EJERCICIO-DE-ESTATICA-2015-1-cursores.docx

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL ESTÁTICA TEMA

:

DESARROLLO DE LA PRIMERA PRÁCTICA CALIFICADA

DOCENTE: ING. TARSICIO VALDERRAMA SORIANO

ALUMNOS : ALTAMIRANO SEGURA, Roiser CARRERA TERRONES, José Wiso!

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

VAS"UE# AGIP, José $e%i!s

CICLO

: VACACIONAL

FECHA :

Cajamarca enero de 2!"

PROBLEMA UNICO: Reducir el sistema de fuerzas que actúa en el sólid r!"id que se muestra en la fi"ura a un trsr equi#alente$ indica la ecuación del e%e central & el 'as del trsr( )i se sa*e que +A tiene cm ,n"uls directres( # $%&' ( )!"*.+*+*%*"*&' δ )!*."2""",2,-&

GA = √ 2041 m;CG = √ 95 m;BC =√ 72 m. 3

3

F! ) ! T' ac/a en 0a reca DJ. F2 ) ! T' e1 erend3c40ar a0 0ano 5CGE 6 ac/a en e0 4no L 73ner1ecc38n de 0a1 reca1 G9  CE;. F+ ) 2 T'
| IJ |= 3 |BI | 4

|BK |=3 / 5|CB| H 7=+'="'-.*!"2!,+%!+; I 7=2'=>."'=.,+%-+2>-";

Teoría de cursores Página 2 | 19


DESARROLLO A& PRIMERO TENEMOS "UE ENCONTRAR LOS PUNTOS 'G(, 'C(, 'J(, 'D(, 'L( ) '$( )A "UE ESTOS NOS VAN A SERVIR PARA LA SOLUCI*N AL PRO+LEMA PLANTEADO & C-./-0os e 1!2/o 3 : cos

2

α + cos2 β + cos2 δ =1 α =arccos √ 1 − cos β −cos δ 2

2

α =101.491030544 °

4& 5--0os -s .oor6e!-6-s 6e 7/!8o G :



u ⃗=

GA =( cosα , cosβ , cosδ ) |GA|

⃗

G ( x , y , z ) A ( 5,− 4, 2)

( 5, −4,2 )−( x , y , z )

√ 2041

=( cosα , cosβ , cosδ )

3

→ x = √ 2041 cos ∝−15 , y = √ 2041 cosβ + 12 , z = √ 2041 cosδ −6 −3

(

→G = 8,10,

20 3

−3

−3

)

9& 5--0os -s .oor6e!-6-s 6e 7/!8o C : -& 5--0os - e./-.i! 6e 7-!o EGC+:



G=

(

8,10,

)

20 3

B =( 10,8,1 ) E=(−3,7. −8 )

EC . ( EG x EB )= 0

| | i

EC . ( EG x EB ) )

j

( x + 3, y − 7, z +8 ) . 11

3

13

1

k

44 3 9

¿ ( x +3, y −7, z + 8 ) . (12.3333333333,91.6666666671,−28 ) 12.333333333 x + 91.6666666671 y −28 z =828.6666666667 … ( 1 )

;& 5--0os o8r- e./-.i! e! ;-se - %e.8or /!i8-rio: Dato :|⃗ CG|= 95 9

a!"mos #u" :



⃗ CG = ⃗u=

( 8 − x , 10 − y ,

⃗

|CG|

20 3

− z )

√ 193 3

20 |⃗ CG| =( 8− x ) +( 10− y ) +( − z ) 3

2

2

2

2

(8 − x ) +(10 − y ) + 2

2

(

20 3

)

2

− z =

95 9

… (2 )

.& 5--0os o8r- e./-.i! e! ;-se - %e.8or /!i8-rio: Dato :|⃗ BC |= √ 72 a!"mos #u" :

⃗u=

⃗ BC ( x −10, y −8, z − 1) =

⃗

|BC |

√ 72

2 2 2 2 |⃗ BC | =( x −10 ) +( y − 8 ) + ( z −1 )

( x −10 )2+( y − 8 )2 + ( z −1 )2= 72 … ( 3)

6& Co! -s e./-.io!es , 4 < 9 .-./-0os -s .oor6e!-6-s 6e 7/!8o C :

12.333333333 x + 91.6666666671 y −28 z =828.6666666667 … ( 1 )

(8 − x ) +(10 − y ) + 2

2

(

20 3

)

2

− z =

95 9

… (2 )

( x −10 )2+( y − 8 )2 + ( z −1 )2= 72 … ( 3) La1 coordenada1 de0 4no C 1on →

C (10.0803277 , 10.4688085 , 9.1177911)

=& C-./-0os e 7/!8o D :



-& 5--!6o e 7/!8o D e! e 7-!o A+CD

A = (5, −4,2 )

B =( 10,8,1 ) C =(10.0803277,10 .4688085,9.1177910

|BD|=( x −10, y −8, z −1)

BA|=(−5,−12,1 ) |⃗ |BC |=(0.803277,2.4688085,8.11779108 ) De 0a ec4ac38n de0 0ano:

⃗ BD . (⃗ BC x ⃗ BA )=0 Teoría de cursores Página 7 | 19


|

i

( x −10, y −8, z −1 ) . 0.0803277 −5

|

j

k

2.4688085 −12

8.11779108 1

=0

( x −10, y −8, z −1 ) . ( 99.88230146, − 40.6692831,11.3801101 ) ) ( 99.88230158 x −40.66928314 y +11.38011025 z ) =684.84886095 ?. 7!;

;& 5--!6o -s .oor6e!-6-s 6e 7/!8o D e! e 7-!o CDG5:

(

G = 8,10,

)

20 3

$ =(−3,−5,4.8152173913 ) C =(10.0803277,10 .4688085,9.1177910

|GD|=( x −8, y −10, z − 20 )

⃗

3

⃗

|G$ |=(−11,−15,−1.85144928 ) |GC |=(2.0803277,0 .4688085,2.45112441333 )

GD. ( G$ xGC ) =0 ( x −8, y −10, z −

( x −8, y −10, z −

20 3

20 3

|

).

i

j

−11

−15

2.0803277

0.4688085

k

|

−1.85144928 =0 2.45112441333

) . (−35.8988910402,23.1107473243,26 .048022 ) )

(−35.89889130 x +23.11074753 y + 26.04802197 z) =117.56982469 ?. 72;

.& 5--!6o e 7/!8o D e! e 7-!o AD5I: A = ( 5, − 4,2 )

$ =(−3,−5,4.8152173913 )

Teoría de cursores

Página I 8=(− | 192,− 6.5,−0.739432645 )


| ID|=( x + 2, y + 6.5, z + 0.739432645 ) ⃗

| I$ |=(−1,−1.5,5 .55465004 ) | IA|=( 7,2.5,2.739432645 ) ⃗

Ec4ac38n de0 0ano ID . ( I$ x IA ) =0

|

i

j

k

2.5

5.55465004 2.739432645

( x + 2, y + .65, z+ 0.739432645 ) . −1 −1.5 7

|

=0

( x + 2, y + .65, z + 0.739432645 ) . (−9.77747612,41.6219829, −13 ) )

(−9.77747612 x + 41.62198290 y −13 z )=−241.37531221 ?. 7+; Re1o0@3endo 0a1 ec4ac3one1 !' 2  + enconramo1 0o1 @a0ore1 coordenada1 de0 4no D

( 99.88230158 x −40.66928314 y +11.38011025 z ) =684.84886095 ?. 7!;

(−35.89889130 x +23.11074753 y + 26.04802197 z) =117.56982469 ?. 72; (−9.77747612 x + 41.62198290 y −13 z )=−241.37531221 ?. 7+; x = 5.15049821 y =−0.75366303

z =12.28057610 →

D ( 5.15049821 ,−0.75366303 , 12.28057610)



>& C-./-0os -s .oor6e!-6-s 6e 7/!8o J :

De 0o1 dao1 de0 ro0ema:

| IJ |= 3 |BI | 4

Ha00amo1 5I  IJ BI ) =!2 i =!-." j =!.,+%-+2>-" k IJ ) 7B2; i  7>."; j⃗  7.,+%-+2>-" ⃗

 Reem0aando :

| IJ |= 3 |BI | 4

IJ −3 IB = ⃗u 4⃗ u k 12 i + 14.5 j + 1.739432645 ¿ ⃗

⃗

⃗

¿ ¿ ( x + 2) i +( y + 6.5 ) j +( z + 0.739432645 ) ⃗k 3 = ¿ ⃗

⃗

⃗u

S3m03cando: x =7 y = 4.375

z =0.565141839

J ( 7 , 4.375 , 0.5651141839 )


4

¿ ⃗k


→

?& C-./-0os e 7/!8o $ :

De 0o1 dao1 de0 ro0ema:

|BK |= 3 |CB| 5

Ha00amo1 59  C5

BK ) 7B=!;

i  7=*; j  7=!; k

CB ) =.*+2,, i =2.->**" j =*.!!,,%!* k

 Reem0aando :

|BK |= 3 |CB| 5

BK −3 BC = ⃗u ⃗ 5u

( x −10 ) i +( y −8 ) j +( z −1) ⃗k ⃗

u⃗

S3m03cando: x =¿ !.-*!%>>


=

k ) 3 ( 0.0803277 i + 2.468805 j + 8.11779108 ⃗ ⃗

5

u⃗


y =¿ %.-*!2*"!

z =5.87067465

→ K ( 10.0481966 , 9.48128508 , 5.87067465

@& C-./-0os 6e -s .oor6e!-6-s 6e 7/!8o L:

Ec4ac38n de 0a reca 4e con3ene 0o1 4no1 9 6 G 7L !; x − 8 2.0481966

y −10

)

z −20 / 3

−0.795991716667

) −0.5187149 ??????? 7L !;

Ec4ac38n de 0a reca 4e a1a or 0o1 4no1 C 6 E 7L2;

x + 3 13.0803277

)

y −7 3.4688085

)

z + 8 17.11779108

???????? 7L 2;

So04c3onamo1 0a1 ec4ac3one1 de L!  L2  oenemo1 e0 4no L' 34a0amo1 e1a1 a 4e 14 3ner1ecc38n @endra a 1er e0 4no L:



KL ) *.!"%*>*" 6L ) %.%"%"!-"+ L ) >.>-"+%*→

8.15986085 , 9.95951453 , 6.60453984

+& CALCULAMOS LAS COMPONENTES DE LAS FUER#AS % 1 ,

% 2 )

% 3

+&& FUER#A % 1 % 1 act&a "'(a )"cta DJ % 1 )

⃗u

% 1 )

⃗u

% 1 )

⃗

. | % 1|

F!

. | % 1|

DJ

JD | % 1| |JD| .

⃗

⃗ JD =(−1.84950178,−5.12863026,11 .71543426) % 1 ) 7=.!-+!2%" i =.+%>*%"!->! j .%>>+">-+! ⃗k ; .

! % 1

+&4& FUER#A

= -14.31294993 i -39.68951461

j

% 2

E1a <4era ac/a de manera erend3c40ar a0 0ano 5CGE' or 0o ano nece13amo1 4n @ecor 4n3ar3o ⃗u <2 4e c4m0a con 0a1 cond3c3one1 de 1er erend3c40ar  enrane a0 0ano 5CGE: ⃗u


¿ KG x CE ∨¿ <2



⃗ ⃗

KG x CE

¿


u+ 2 =

−6.11810983 i  45.47243790 j + 13.88976285 k

⃗

⃗u

<2

47.93849590

)=.!2,>2-!" i  .%-*"",** j  .2*%,-!+! k % 2∨¿ . ∨¿

% 2=u + 2 ⃗

% 2 ) =+!.%>+,>%

+&9& FUER#A

⃗

i  2+,.!+%->%+

j

% 3

ara enconrar e1a <4era nece13amo1 a00ar 141 comonene1: An40o enre GC yG$ : GC =2.0803277 i + 0.4688085 j + 2.4511308 k G$ =−11 i −15 j −1.8514492087 k

cos ∝=

GC.G$ −34.45386392 = =−0.56730762 |GC ||G$ | 60.73224214

∝=124.56269070

°

D34jamo1 e0 0ano DI5UJO DE LANO



 An40o P

- =∝−100 °=¿ 2-.">2>%,&  An40o ( cos

$G . $D 167.17275944 ( ) | $G|| $D|= 221.33151681 =0.75530481 β =40.94798940 &

 An40o Q =180 −- − β =¿ !!-.-*%+!%%&

| $G|=18.69298971



 /o) ("y 0" s"'os

| $G| | $Dʹ| s"'

=

s"'-

18.69298971

=

| $Dʹ|

s"' ( 114.48931990 ) s"' ( 24.56269070 ) | $Dʹ|=8.53860901

⃗

 1"cto) u'ita)io 0"| $D| u$D =u$D =0.68836640 i + 0.35863553 j + 0.63050159 k ʹ



Ha00ando 0a1 coordenada1 de D 7B+'"'=-.*!"2!,+%!+;) u$D ∗| $D | ʹ

ʹ

D72.*,,>%!"-'=!.%+,,"!-+'!.!%**2+%>;

 1"cto)u'ita)io 0"|GD | ʹ

−0.38050272, −0.88677730,0.26238081 GD =¿ ¿ ; ʹ

⃗u¿

$a((amosa 2a)ti) 0" (ascom2o'"'t"s



|GG |= % 3∗cos30 ° ʹ

GD =¿ ⃗uGG ⃗u¿ ʹ

Enonce1:

ʹ

|GG |=173.20508076 ʹ

⃗

7B=*' =!' =2+;) uGG ∗|GG | ʹ

ʹ

G (−57.90500437, −143.59433474,52.11235660) ʹ

E' "( 2u'to3



|G 3 |= % 3∗s"' 30 ʹ

|G 3 |=200∗s"' 30 ʹ

|G 3 |=100 ʹ

Nece13amo1 4n @ecor erend3c40ar  enrane a0 0ano CDHG: ⃗u ⃗u

⃗u

!)

!)

G 4 $ x G4 $ 4 |G 4 $ x G4 $ 4 |

⃗ ⃗⃗

−0.7177867141 i .->2%2!% j ."2*!%"% k


!


3G

ʹ

) G −3 ) ⃗u ʹ

. |3 G |

!

ʹ

G −3 ) 7 u⃗ !;.21en 7+&; ʹ

−129.68344272 i −97.3852556385 j⃗ +104.19449076 ⃗k

3 =

⃗

L4eo % 3 ) G−3

% 3 = -137.68344272 i -107.38525564

C& CALCULAMOS LE "UE SE NOS PIDE E PRO+LEMA C.!. RESULTANTE DE

% 1 ' % 2 , % 3

5= % 1 + % 2+ % 3 % 1

% 2

= -14.31294993 i -39.68951461

) =+!.%>+,>%

j

i  2+,.!+%->%+

j

% 3 = -137.68344272 i -107.38525564 5=¿ (-183.90243034

|

i – 384.21423955 j +260.62671721 k )

5

| = 499.36657025

C&& CÁLCULO DEL MOMENTO EN EL ORIGEN: ⃗ x ⃗ ⃗ 6o =( ⃗ J x ⃗ % 1 ) + ( * % 2 ) +(G x ⃗ % 3 ) ⃗

¿ ⃗ 6o =¿

4397.87805558

i -3142.63290839 j -1314.71195819 k )

C&4& MOMENTO MINIMO: C)


( 6o ) .5 / 7 5 7


C ) !!2.!,!>*2%! 7Tor1or o133@o;  6 1  ) C. ⃗u

R

 6 1  ) !!2.!,!>*2%! 7 −0.3682714088 i =.,>%-+2-% j  ⃗

0.5219146269 k

| 6 1 | = (-41.30962369

C&9&

;

i -86.3052523251 j + 58.5440420372

k ) T-

ECUACION DEL EJE CENTRAL

/=8 + t 5

Donde  e1 4n 4no de 0a reca 4e con3ene a0 eje cenra0.

¿ 5 ∨¿ ²

⃗

 ) 5 x 6o ⃗

¿

 ) 7".+!!*>>!2-' +.>2>**>*,' %.%+>*,>; L4eo' 0a ec4ac38n de0 eje: /=( 5.3101866124, 3.62688687,9.09368706) + t (−183.90243034 i  384.21423955⃗ j + 260.62671721 ⃗k ) ⃗

C&=& PASO DEL TORSOR 6 | | ⃗ 1

| 5| ⃗

¿

112.17168291 499.36657025

¿ 0.2246279378 m




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