ejercicio 3_señales

Ejercicio 3

Dibuje unos cuantos periodos de cada una de las siguientes señales periódicas y calcule el coeficiente indicado de la serie de Fourier Tema Tema a estudiar: Coeficientes de la serie de Fourier (Ambardar, capítulo !: A"# $"% •

ak  para  para x ( t )=rect  ( t + 5 ) conT = 1 0

•

bk  para  para x ( t )=−4 t  0  0 ≤ t ≤ 1 conT =2

&')C*'+: - .(t! .(t!"r "rec ect( t(t/ t/%! %!

0or definición la función rectangular es:

&i la despla1amos % unidades a la i12uierda y le ponemos un periodo de 3, entonces nos 2ueda:

4l coeficiente a5 de la serie de Fourier ser6: ak =

2 T 

T 

∫ rect ( t +5 ) cos (

T 

2 πkt 

2

10

10

0

)dt =

1

1,5

∫ rect ( t +5 ) cos (5 πkt )dt = 5 ∫ cos ( 5 πkt ) dt  0

0,5

)sando una sustitución: u=5 πkt→du =5 πkdt → dt =

du 5 πk 

u ( 0.5 )=2.5 πk 

(

u 1.5

ak =

)=7.5 πk 

1

7.5 πk 

∫ 25 πk 

2.5 πk 

cos udu=

1

 ( senu ) 7.5 πk =

25 πk 

1

 ( sen 7.5 πk − sen 2.5 πk )

2.5 πk  25 πk 

)tili1ando identidades trigonom7tricas

ak =

1 25 πk 

( (( 2 cos

+

7.5 2.5 2

) ) ( πk  sen

))

−2.5 =

7.5

2

1

(

25 πk 

(

) sen

2cos 5 πk 

( )) 5

2

πk 

&i 5 es par el seno se anula, luego solo 2uedan los t7rminos para los cuales 5 es impar, adem6s el coseno ad2uiere el 8alor de / por2ue su argumento es un 6ngulo parAsí, ak =

2

 sen ( 2.5 πk )

25 πk 

 b!.(t!!"9#t

Como es una función impar su e.pansión solo se puede acer en una base de senosbk =

2

T 

T 

∫−4 t ∗se n 0

Seau = πkt→dt =

( ) 2 πkt 

du πk 

2

dt =

2 2

2

∫ −4 t ∗sen ( πkt ) dt  0

u ( 0 )= 0

( )=2 πk 

u 2

bk =

−4

2 πk 

 ∫ u∗sen (u ) du

πk 

0

)sando integración por partes, se llega a 2ue: bk =

−4 ( ucosu senu ) 2 πk  − 4 ( πkcos πk ) − + = −2 = 8cos2 πk  2 πk 

0

πk 

;ecordemos 2ue, si en el argumento de seno ay un m