EJERCICIO 1: Calcular la energía especifica cuando circula un caudal de 8.4 m3 /s por un canal trapezoidal cuya solera tiene 2.4 m de ancho, las pendientes de las paredes es 1/1 y la profundidad 1.17m.
Datos Q = 8.4 m3/s y = 1.17 m
SOLUCION Para la solución de este problema usaremos la fórmula de energía especifica
= 2 ∗
1.- Primero hallamos el Área Hidráulica AH Para canales trapezoidales, la fórmula del Área Hidráulica es:
=123 =∗∗=∗ =∗/2∗∗/2
=1. 1 7∗ 7∗ 1.172.4 = 4.1818 2.- Hallamos la velocidad Se sabe que:
Reemplazamos los datos: Q = 8.4 m/s3 AH = 4.18 m 2
=∗ = = 4.8.148 = 2.0101 / /
3.- Reemplazamos los datos hallados en la fórmula de Energía Especifica
y = 1.17 m V=2.01 m/s g = 9.81 m/s2
= 2∗ 2. 0 1 =1.17 2∗9.81 = 1.38 ∗ ∗ /
=123 =∗∗=∗ =∗/2∗∗/2
=1. 1 7∗ 7∗ 1.172.4 = 4.1818 2.- Hallamos la velocidad Se sabe que:
Reemplazamos los datos: Q = 8.4 m/s3 AH = 4.18 m 2
=∗ = = 4.8.148 = 2.0101 / /
3.- Reemplazamos los datos hallados en la fórmula de Energía Especifica
y = 1.17 m V=2.01 m/s g = 9.81 m/s2
= 2∗ 2. 0 1 =1.17 2∗9.81 = 1.38 ∗ ∗ /
EJERCICIO N. 2 Cuál de los dos canales representados en la fig. (a)-(b) conducirá el mayor caudal si ambos están trazados con la misma pendiente. Si s=0.0004
SOLUCION
Se hallará el caudal con los l os datos de ambas secciones transversales y compararemos resultados. A. PARA CANAL RECTANGULAR
CALCULO EL AREA DEL CANAL RECTANGULAR
T= Espejo de agua b= Base de la solera Y= Tirante
=∗
Reemplazando en la formula con los datos del ejercicio tenemos:
==.6 ∗2.7 CALCULO DEL PERIMETRO MOJADO
= 22 = 6.00 2 ∗ 2.70
Reemplazando Reemplazando los datos del ejercicio en la formula tenemos:
=. CALCULO DEL RADIO HIDRAULICO
= = 16.11.2400 =.
Reemplazando los datos en la formula tenemos:
COMO ES UN CANAL ABIERTO, USAMOS LA FORMULA DE MANNING
/ / ∗ = Reemplazamos los datos en la formula:
1. 4 2 = 0,0015 ∗0,0004/ =. / CALCULO DEL CAUDAL Hallamos el caudal con la formula ya conocida: Q =A * V
Q= Caudal A= Área V= Velocidad
Q= 16.20 * 1.68 Q= 27.21 m3/s
= /
B. PARA CANAL TRAPEZOIDAL
CALCULO DEL AREA DEL CANAL TRAPEZOIDAL
T= Espejo de agua b= Base de la solera Y= Tirante Z= Talud F= Factor de seguridad
= 2∗ 2 = 22∗ 2 = ∗ Reemplazando en la formula con los datos del ejercicio tenemos:
= 6=. 1.8 ∗2∗1. 8
CALCULO DEL PERIMETRO MOJADO
= 2 = 2 ∗ 1 Reemplazando los datos del ejercicio en la formula tenemos:
=6 2∗1.8 ∗ 2 1 =.
CALCULO DEL RADIO HIDRAULICO
=
Reemplazando los datos en la formula tenemos:
= 17.14.2085 =.
CALCULO DE LA VELOCIDAD, USAMOS LA FORMULA DE MANNING
/ / ∗ = Reemplazamos los datos en la formula:
1. 2 3 = 0,0010 ∗ 0,0004/ =. / CALCULO DEL CAUDAL Hallamos el caudal con la formula ya conocida: Q =A * V
Q= Caudal A= Área V= Velocidad
Q= 17.28 * 2.30 Q= 39.74 m3/s
= /
Comparando los dos resultados, el caudal mayor es el de 40 m3/s, por lo tanto la sección que transporte mayor caudal será el trapezoidal.
PROBLEMA N° 3: En una galería circular de cemento pulido (n=0.013), de 2 m de diámetro y 1.50 m de tirante, debe conducir un caudal de 3 m 3/s. calcular la pendiente necesaria para que el flujo sea uniforme.
1.00 m
1.00 m
r
DATOS:
2.00 m 1.50 m
=0.013 =2 =1.5 =3 ⁄ = ¿? RESOLUCION: 1º Para calcular T, es necesario conocer el diámetro interior como se muestra: Para ello se utiliza un triángulo rectángulo, que se encuentra desde el centro de la galería circular hasta el final del radio formando la tangente con un ángulo de , como se muestra en la figura:
=45°
Hallando del valor de A:
A 1.00 m
r Se sabe que:
Hallando r:
sin= sin45° = 1 sin45° = 1 = sin145° = 1.4142
Se halla por método de triángulos notables, como se muestra en la figura:
1.00 m 1.41 m 1.00 m
1.00 m
r
r 1.00 m
1 = 1.41142 =0.7071
Se sabe que:
Entonces el diámetro menor seria:
=1.4142 2º Calculando T :
=2 =2 1.4142 21.4142 =2 √ 0.8284 =2 0.9102 =1.8204
3º Calculando : Por propiedad de triangulo isósceles y triangulo rectángulo como se muestra e la figura, se tiene:
T/2
y - R =0.50 m
tan 2 = /2 tan 2 = Remplazando:
tan 2 = 1.1.8204/2 5 1 tan 2 = 1.8204 α2 =tan−1.8204 α2 =tan−1.8204 α2 = 61.219° α= 122.437° 4º Calculando el área y el perímetro: Hallando el área hidráulica:
=
= 4 4 ×360 ° 2×ℎ ° 122. 1. 4 142 1. 4 142 4 37 = 4 4 ×360° 1.82042 ×0.50 =1.57080.62850.4551 =1.3974
Remplazando los valores:
Hallando el perímetro mojado:
= × 2360 ° = 2360 ° ° 2 ×0. 7 071 × 122. 4 37 =1.4142 360° =1.41420.4773 =0.9669 =3.0376
Remplazando valores:
5º Hallamos el radio hidráulico.
El radio hidráulico es:
=
1. 3 973 = 3.0376 =0.46
6º Ahora utilizamos la ecuación de Manning.
Despejando:
Remplazando:
/ / =
.= ./ / . / = ./ . / = / / = / / = 1.397330.0.00.0391346/ / = 0.8326 0. 0 39 (√ ) = 0.8326 =0.0468 =0.002194
EJERCICIO N. 4 Diseñar el canal trapezoidal óptimo para transportar 17 m3/seg. Emplea n=0.025 y como pendiente de las parcelas 1 vertical sobre 2 horizontal.
SOLUCION HALLAMOS RELACION DE RADIO HIDRAULICO Y TIRANTE
T= Espejo de agua b= Base de la solera Y= Tirante Z= Talud F= Factor de seguridad Sabemos que:
= = 2 ∗ 1
=
La nueva ecuación de la base reemplazamos en el area
=2 1∗ =2 1 = 2 12 = = +− Despejando:
Reemplazamos en el perimetro
= 2∗ 1 =2 1 2∗ 1 = Remplazamos en el radio hidráulico
=
2√ = 2 2√ 1 1
=/ Lo que indica que en una sección de máxima eficiencia hidráulica de forma trapezoidal o rectangular (para cualquier valor de Z), el radio hidráulico es igual a la mitad del tirante DESARROLLANDO LA SECCION DE MAXIMA EFICIENCIA HIDRAULICA TENEMOS
Los datos que tenemos del problema son: Q = 17 m3/s V = 1 m/s n = 0.025 Z = 2:1 Sabemos que: Q =A * V
= = 17.1.0000 = 2√ 1 = 2 21712 = = = 2.1763 22.63
= =. =.
Por lo tanto las dimensiones de la sección trapezoidal de M.E.H será:
b= 1.20 m Y= 2.63 m Z= 2:1 EJERCICIO N. 5
Un depósito alimenta a un canal trapezoidal de ancho de solera 1 m, talud Z = 1, coeficiente de rugosidad 0,014 y pendiente 0,0005. A la entrada, la profundidad de agua en el depósito es de 0,736 m por encima del fondo del canal como se muestra en la figura. Determinar el caudal en el canal con flujo uniforme subcrítico, suponiendo que la perdida a la entrada es
0.25 /2.
SOLUCION:
hf 0-1 =
0.25 /2.
hf 0-1 = perdida de energía
Y0 = 0,736 + Z Nota: flujo critico, cuando Fr (numero de froude) < 1 A. APLICAMOS LA FORMULA GENERAL DE BERNOULLI
2 = 2 ℎ−
Reemplazamos los datos del ejercicio en la formula obtenemos:
0, 2 5 0,736 2 = 2 2
, , = … B. HALLANDO EL AREA DEL CANAL TRAPEZOIDAL
T= Espejo de agua b= Base de la solera Y= Tirante Z= Talud F= Factor de seguridad
∗ = 2 2 = 222 ∗ = ∗ Reemplazando en la formula con los datos del ejercicio tenemos:
= 1 ∗1 ∗ = ∗ C. HALLANDO EL PERIMETRO MOJADO
= 2 = 2 ∗ 1
Reemplazando los datos del ejercicio en la formula tenemos:
= ∗√ D. HALLANDO RADIO HIDRAULICO
=
Reemplazando los datos en la formula tenemos:
∗√ ∗ =
E. COMO ES UN CANAL ABIERTO, USAMOS LA FORMULA DE MANNING
/ / ∗ = Reemplazamos los datos en la formula:
12 1 ∗∗ √ 2 / = 0,0014 ∗ 0,0005 =++∗∗√ / ∗0,0005/ ∗ , / ∗ = ∗ √ ∗,
…
Reemplazamos (2) en (1):
0,736= 1,225 ∗ / 1, 2 5 1 ∗ 0,736= 2∗9,81 ∗[12 ∗ √ 2 ∗1,597] / 1, 2 5 1 ∗ 0,736= 2∗9,81 ∗1,597 ∗12 ∗ √ 2 / ∗ , = , ∗ ∗ √
Luego resolvemos o tanteamos el valor, es este caso tantearemos para obtener el valor más rápido, por lo tanto
=,
0,736 = 0,7358
= = 11 0,6∗ 89 ∗0, 6 89 =, / 1 ∗ =12 ∗√ 2 ∗1,597 …2 / 10, 6 89∗0, 6 89 = 120,689∗√ 2 ∗1,597 =, / Reemplazamos el valor de
en la fórmula del área:
Reemplazamos el valor de
en la fórmula de la velocidad:
Por último hallamos el caudal con la formula ya conocida: Q =A * V
Q= Caudal A= Área V= Velocidad
Q=1,164 * 0,859 Q=0,999 m3/s
= /
EJERCICIO N. 7
Un cauce, cuya sección es un triangulo rectangular en C, debe ensancharse de modo que el caudal sea el doble, ver la figura: Hallar el ángulo correspondiente al nuevo talud:
Q2 = 2Q1 SOLUCION:
El ejercicio nos pide ensanchar la sección del canal para así nosotros tener un canal que contenga el doble de caudal del canal 1 (Q2 = 2Q1). Al ensanchar la sección nosotros
deducimos que los valores y, n, s permanecen constante al no ser afectados por este cambio, pero el talud es el que se modificara.
A. HALLAMOS EL AREA DEL CANAL TRIANGULAR
= Reemplazamos el valor de z=1 en la fórmula del área obtenemos:
= B. HALLAMOS EL PERIMETRO DEL CANAL TRIANGULAR
=2 1 Reemplazamos el valor de z=1 en la fórmula del área obtenemos:
=√ C. HALLAMOS EL RADIO HIDRAULICO DEL CANAL TRIANGULAR
=
Reemplazamos en la fórmula los valores de área y perímetro obtenemos:
= 2√ 2 = √ D. POR SER UN CANAL ABIERTO USAREMOS LA FORMULA DE MANNING
/ / ∗ ∗ =
Reemplazamos en la fórmula los valores de área y radio hidráulico obtenemos:
=
∗√ / ∗/
= = = = 2√ 1 = √ / / ∗ ∗ = / / ∗ ∗ = √
E. AHORA ARMAREMOS LA FORMULA DE MANNING PARA EL CANAL AMPLIADO
F. AHORA COMO SABEMOS QUE EL Q 2 = 2Q1
∗2√ 1
∗
=
2∗ ∗ ∗
2√ 2
Simplificando los valores:
/ / ∗2√ 1 =2∗2√ 2 / / 1 / 1 / / ∗ ∗ 2√ 1 =2∗ 2√ 2 / / 1 1 / ∗2√ 1 =2∗2√ 2 / / ∗√ =
Luego resolvemos la ecuación por tanteo obteniendo z= 1,745
/ 1 1,745/ ∗2 1 1,745 =1 , =
0,999 es prácticamente 1 por lo que el valor de z es correcto. G. AHORA POR ULTIMO, HALLAMOS EL ANGULO
= 1 = =1,7145
PROBLEMA N° 8:
=° ´ , "
En un canal que conduce un caudal de 9 m3/s; existe una transición de salida que sirve para unir una sección rectangular con una trapezoidal, cuyas dimensiones se muestran en la figura.
2 1
2
Q = 9 m /s
3.80 m
5.80 m
Q = 9 m2/s
TALUD 1.5
Z = 1.5
PLANTA
y1 = ??
1.30 m h = 20 m
PERFIL LONGITUDINAL DATOS:
=9 ⁄
Sección rectangular (1):
=3.80 y
b1 = 3.80 m
Sección trapezoidal (2):
=1.30 =3.80 =1.5
1.30 m
1 1.5
5. 80 m
Condición:
∆ ℎ − =0.3 2 2
RESOLUCIÓN: 1º Calculando los parámetros en las secciones (1) y (2), necesarios para reemplazarlos en la ecuación de energía:
Sección (1): Para esta sección es necesario conocer los valores del área y velocidad: Hallando el área:
Hallando la velocidad:
Remplazando los valores del área:
Sección (2):
= × =3.80 = ⁄ 9 =
= 3.890 = 2.3684
Para esta sección es necesario conocer los valores del área y La velocidad: -
Hallando del área:
o
=2 2 = … = …
Hallando el área por la ecuación (I): Primero se debe hallar el valor x, para ello calcularemos el ángulo del talud: Se sabe que el talud esta en relación 1.5:1
1
tan=
1.5
tan= 1.15 tan− 1.15= θ=33.69∘
Ahora que tenemos el ángulo, se podrá calcular el valor de x:
x
1.30 m
1 1.5
tan= 5. 80 m
tan= Remplazando:
tan33.69∘ = 1.3 tan33.69∘ = 1.3 = tan33.1.369∘ = 1.95 = … = 5.801.95×1.3 =10.075
Reemplazando en la ecuación (I):
Hallando el área por la ecuación (II):
= … = 5.801.51.30 ×1.30 =10.0750 -
Hallando la velocidad:
= ⁄ 9 = 10.075 = 0.893 ⁄ 2º Aplicando la ecuación de energía entre los puntos (1) y (2) se tiene:
∆ ℎ 2 = 2 ∆ ℎ −
Remplazando
∆ ℎ ∆ ℎ − 0.20 2 = 2 0.3 2 2 0.20 0.70 2 = 0.70 2 y
:
Sustituyendo los valores que se tiene:
2. 3684 0 . 8 93 0.20 0.70 2 9.81 = 1.30 0.70 2 9.81 0.2001 = 1.1285 0.2001= 1.1285 0.2001= 1.1285 1.1285 = 0.2001 1.1285 = 0.2001 1.1285 = 0.2742 ×0.7298 Resolviendo por tanteos, se tiene:
0.2742= 1.1285 = 0.27421.1285 = 0.8543
0.7298 = √ 0.7298 = 0.8543 =
Entonces el valor de
3º Reemplazando
:
en
= 0.8543 (1):
= 2.3684
EJERCICIO N° 9:
⁄ 2. 3 684 = 0.8543 = 2.7723 /
SE TIENE UN TUNEL CON UNA SECCION TRANSVERSAL COMO SE MUESTRA EN LA FIGURA. SE PIDE DETERMINAR A, p ,R, T:
0.7 0.5
1m Figura 1: sección transversal del túnel
SE PIDE HALLAR A, p, R, T : DONDE: A= Área del túnel P=Perímetro del túnel R=Radio del túnel T=Espejo de agua Y=Tirante de agua d=diámetro
SOLUCION: 1-° DESCOMPONEMOS LA SECCION TRANSVERSAL EN 2 AREAS.
1m
0.2
2 1m 1
0.5
1m 2°- CALCULAMOS EL ÁREA 1 Y PERÍMETRO 1:
AREA 1 A1= L x a A1= 1 x 0.5 A1=0.5 m² PERIMETRO 1 P1= L + 2 x a P1= 1 + 2 x 0.5 P1= 2 m
3°-CALCULAMOS EL AREA 2 Y PERIMETRO 2:
0.2m
2 y= 0.7m
d=1 m
DE LA FIGURA SE OBSERVA QUE:
A2 = A
– A
………………………………………………………………(1)
4°-CALCULO DEL A
PARA y = 0.7, d = 1, se tiene:
= .
=0.7
PARA ESTA RELACION, SE UTILIZARA LA TABLA 1.3 DEL MANUAL DE DISEÑO DE CANALES: y/d
A/d2
P/d
0.70
0.5872
1.9823
²
= 0.5872, Despejando el área.
A
= d2 x 0.5872
A
= 12 x 0.5872
A
= 0.5872 m2…...(2)
= 1.9823, Despejando el perímetro.
P
= d x 1.9823
P
= 1 x 1.9823
P
=1.9823 m………. (3)
5°-CALCULO DE A :
r (0.5)
A
=
A
=
A
=
2
2
0.3927 m²
……..(4)
6°-SUSTITUYENDO (2) Y (4), EN (1) SE TIENE :
A2 = A
– A
A2= 0.5872 – 0.3927 A2= 0.1945 m2
7°-CALCULO DE P 2 P2 = P – P ……(5)
P P P
= 0.5
=
= 0.4115 m…………..(6)
6°-LUEGO SUSTITUYENDO (3) Y (6) EN (5) , SE TIENE : 7°- CALCULO DE P 2 P2= P
– P
…….(5)
P2= 1.9823 – 1.5708 P2= 0.4115 m 8°- CÁLCULO DE A total:
A =A1 + A2 A =0.5 + 0.1945 A=0.6945 m2 9° CÁLCULO DE p total: p = p1 + p2 p = 2 + 0.4115 p = 2.4115
10°-CALCULO DE R :
.. 0.2880
R= R= R=
11°- CALCULO DE T: REEMPLAZANDO LA ECUACION:
T=2
d=1 y =0.7
TENIENDO COMO DATO y ,d, REEMPLAZAREMOS EN LA ECUACION DE T:
T=2
0.710.7
T= 2
T= 0.9165 m
11°-RESULTADOS DEL EJERCICIO A= 0.6945 m2 p = 2.4115 m R = 0.2880 m T = 0.9165 M
10. Un túnel de concreto bien acabado (n=0.013) tiene la forma mostrada en la figura 8, con pendiente S=0.5% y diámetro D=1.6 m. Determinar la velocidad media y el caudal que transporta a tubo lleno.
Datos:
=0.013 =0.0005 =1. 6
A. DESCOMPONIENDO LA SECCIÓN TRANSVERSAL EN 3 ÁREAS PARCIALES, SE TIENE:
1. Sección Semicircular a. Cálculo de Área y Perímetro Mojados
= 121 = 2 0.8 =1.0053 = 12 2 = =∗0.8 =2.5133
2. Sección Rectangular b. Cálculo de Área y Perímetro Mojados
=∗ℎ =1. 6 ∗0. 4 =0.64 =2 =2∗0.4 =0.8
(no se considera b por no ser parte del perímetro)
3. Sección Triangular Cálculo de Z:
1 = 0.0.84
=2 = =2∗0.4 =0.32 =2 1 1 2 =2∗0.4 =1.7889
c. Cálculo de Área y Perímetro Mojados
B. ENTONCES: d. Cálculo de Área y Perímetro Total
==1.00530. 640.32 =1.9653 = =2. 5 1330. 8 1. 7 889 =5.1022 = = 1.5.91653002 =0.3852
e. Cálculo del Radio Hidráulico
C. FINALMENTE: f. Cálculo de Velocidad Media (V) De la Ecuación de Manning, se tiene:
= ∗ ∗ = 0.0113 ∗0.3852 ∗0.0005 =. /
; Donde: es el coeficiente de Concreto Simple, según la Tabla de “Valores Típicos de Rugosidad” de Manning.
g. Cálculo de Caudal (Q) De la ecuación de la Continuidad, se tiene:
=∗ =0. 9 106∗1. 9 653 =. / ∴=.
Rpta:
;
=. /
EJERCICIO N° 12: UN CANAL DE SECCION CIRCULAR DE DIAMETRO 5 m , CONDUCE UN CAUDAL DE 17 m 3 /s, CON UNA VELOCIDAD DE 1.5 m/s .INDICAR CUAL ES EL TIRANTE. Datos D =5m Q=17 m3/s
V=1.5m/s
5
Se pide y:
SOLUCION: 1°-CALCULO DEL AREA: DE LA ECUACION DE CONTINUIDAD, SE TIENE: Q =V x A A= A=
QV .
A= 11.3333 m 2
2°- CALCULO DE
:
DE LA FÓRMULA DEL ÁREA SE TIENE:
A = ( – SEN ) D 2
² – SEN =
( en radianes)
PARA TRABAJAR EN GRADOS, SE MULTIPLICA POR EL FACTOR 0.0175,LUEGO SE TIENE QUE:
8AD²
0.0175 – SEN =
( en radianes)
8 x 11.253333
0.0175 – SEN = f(
0.0175 – SEN = 3.6267
ESTE TIPO DE ECUACION SE RESUELVE POR TANTEO PARA ESTO SE DAN VALORES A QUE EL RESULTADO DE F (
Q
f(
300
6.1160
270
5.7250
200
3.8420
190
3.4986
195
3.6713
193
3.6025
194
3.6369
193.5
3.6197
193.6
3.6231
193.7
3.6266
193.71
3.6269
=. ° ∝
193.7 °
HASTA
SEA IGUAL O MUY APROXIMADO, AL SEGUNDO MIEMBRO, EN
ESTE CASO A 3.6267.
x
y 2.5