Ejercicio 1 Luis Castilla

Luis_castilla Problema 1. 1. Usando como guía el ejemplo 6.2 de la página 134 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Convolución analítica), y teniendo en cuenta las propiedades de dicha operación, determine la Convolución entre x(t) y h(t) descritas a continuación:

xt = 2 2  e−ut ht = e−ut  a Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, si este

digito es cero, utilice a=4. RT/A:

xt = 2 2  e−u ut ht = e−ut  a Utilizando la ecuación de Convolución

yt = xt ∗ ht = ∫−∞∞ xnht  ndn

  (1)

Siendo

xn = 22  e−u un −ut  n  4 ht  n = e−−− Se reemplaza en la (1) ecuación de Convolución

∞ −ut  n  4dn yt = −∞2  e−un ∗ e−−− yt = ∫−∞∞ 2 e−u un ∗ e−+ ut  n  44dn  (2) Se utiliza la función exponencial en la (2) ecuación e+b  = e . eb ∞ yt = −∞2  e−u un ∗ e−eut  n  44dn e− Se saca como una constante de la integral ∞ − yt = e −∞2  e−un ∗ eut  n 4  4dn Se calculan los límites de la integral Siendo

n=0

tn4 =0 → n = t4 Hacemos las respectivas multiplicaciones de los términos en la integral y se calculan los límites de integración

− − yt = e  2 e−∗e dn yt = e− ∫−2e  e−.edn  (3) Utilizamos la función exponencial en la ecuación (3)

−  −+ − yt = e  2e   e dn yt = e− ∫−2e  edn  (4)

e.eb = e+b

Usamos la integración de una resta en la ecuación (4)

−  −  − yt = e  2e dn   e dn −  −  − yt = e 2 e dn   e dn yt = e− [2 e|−   e|− ]ut  4 

(5)

Se reemplazan los límites de integración en la ecuación (5)

yt = e− [12 (e−  e) 12 (e−  e)]ut  4 yt = e− [12 e−6  1  12 e−8  1]ut 4 y t = e−    ut 4   (6)

Sacamos factor común en la ecuación (6)

yt = 12 e−e−6  e−8ut 4 e− yt =   e−e−6  e−e−8ut 4 e.eb = e+b Se multiplica

 respectivamente

  (7)

Se utiliza la función exponencial

 en la ecuación (7)

yt = 12 e−+−6  e−+−8ut 4

Se realiza las respectivas soluciones obteniendo la solución parcial de dichas ecuaciones

 =  −  −− 