EJERCICIOS1 7-15 La
gerencia de Electrocomp se da cuenta que olvidó incluir dos restricciones fundamentales (véase el problema 7-14). En particular, la gerencia decide que debería haber un número mínimo de equipos de acondicionador de aire producidos con la finalidad de cumplir un contrato. Además, debido a un exceso de oferta de ventiladores en el periodo anterior, se debería poner un límite en el número total de ventiladores producidos.
a) Si Electrocomp decide que se deberían fabricar por lo menos 20 acondicionadores de aire, pero no más de 80 ventiladores, ¿cuál sería la solución óptima? ¿Cuánta holgura hay para cada una de las cuatro restricciones? b) Si Electrocomp decide que se deberían fabricar por lo menos 30 acondicionadores de aire, pero no más de 50 ventiladores, ¿cuál sería la solución óptima? ¿Cuánta holgura hay en cada una de las cuatro restricciones en la solución óptima?
7-17 La corporación Outdoor Furniture fabrica dos
productos, bancos y mesas de picnic, para su uso en jardines y parques. La empresa cuenta con dos recursos principales: sus carpinteros (mano de obra) y el suministro de madera de secoya para fabricar muebles. Durante el siguiente ciclo de producción están disponibles 1,200 horas de mano de obra de acuerdo con el sindicato. La empresa también cuenta con un inventario de 3,500 pies de secoya de buena calidad. Cada banco que produce Outdoor Furniture requiere de 4 horas de mano de obra y de 10 pies de secoya, en tanto que cada mesa de picnic toma 6 horas de mano de obra y 35 pies de secoya. Los bancos terminados darán una utilidad de $9 cada uno; y las mesas una utilidad de $20 cada una. ¿Cuántos bancos y mesas debería fabricar Outdoor Furniture para obtener la mayor utilidad posible? Utilice el método gráfico de la PL.
7-19 La corporación MSA Computer fabrica dos modelos de minicomputadoras, Alpha 4 y Beta 5. La
empresa contrata a cinco técnicos, que trabajan 160 horas cada mes, en su línea de ensamble. La gerencia insiste en que se mantenga pleno empleo (es decir, las 160 horas de tiempo) para cada trabajador durante las operaciones del siguiente mes. Se requiere 20 horas de trabajo para ensamblar cada equipo Alpha 4 y 25 horas de trabajo para ensamblar cada modelo Beta 5. MSA desea producir al menos 10 Alfa 4 y por lo menos 15 Beta 5 durante el periodo de producción. Las Alfa 4 generan $1,200 de utilidad por unidad, y las Beta 5 producen $1,800 cada una. Determine el número más rentable de cada modelo de minicomputadora que se debe producir durante el próximo mes.
7-21 Con
referencia a la situación de la lotería de Texas del problema 7-20, supongamos que el inversionista ha cambiado su actitud respecto a la inversión y desea considerar más el riesgo de la inversión. Ahora el inversionista desea minimizar el riesgo de la inversión, siempre y cuando se genere al menos 8% de rendimiento. Formule esto como un problema de PL y encuentre la solución óptima. ¿Cuánto se debería invertir en cada acción? ¿Cuál es el riesgo promedio de esta inversión? ¿Cuál es el rendimiento estimado de esta inversión?
7-23 Considere esta formulación de PL:
Minimizar el costo sujeto a
Muestre gráficamente la región factible y aplique el procedimiento de la recta de isocosto, para indicar qué punto esquina genera la solución óptima. ¿Cuál es el costo de esta solución?
7-25
Woofer Pet Foods elabora un alimento bajo en calorías para perros con condición de sobrepeso. Este producto está hecho con productos de carne y granos. Cada libra de carne cuesta $0.90, y cada libra de grano cuesta $0.60. Una libra de alimento para perro debe contener al menos 9 unidades de vitamina 1 y 10 unidades de vitamina 2. Una libra de carne de res contiene 10 unidades de vitamina 1 y 12 unidades de vitamina 2. Una libra de grano tiene 6 unidades de vitamina 1 y 9 unidades de vitamina 2. Formule este como un problema de PL para minimizar el costo del alimento para perro. ¿Cuántas libras de carne y de granos se deberían incluir en cada libra de alimento para perro? ¿Cuáles son el costo y el contenido de vitaminas del producto final?
7-27 Considere las siguientes cuatro formulaciones de PL.
Usando un método gráfico, determine a) que formulación tiene más de una solución óptima. b) que formulación es no acotada. c) que formulación no tiene una solución factible. d) que formulación es correcta como está
7-29 Gráficamente analice el siguiente
problema:
a) ¿Cuál es la solución óptima? b) Si la primera restricción se modifica como X+3Y<=8, ¿cambiarían la región factible o la solución óptima?
7-31 Considere el siguiente problema de PL:
a) ¿Cuál es la solución óptima para este problema? Resuélvalo gráficamente. b) Si se produjo un gran avance técnico que elevó la utilidad por unidad de X a $8, ¿afectaría esto la solución óptima? c) En vez de un aumento en el coeficiente de utilidad X a $ 8, suponga que la utilidad se sobreestimó y tan solo debería haber sido de $3. ¿Cambia esto la solución óptima?
7-33 El
resultado de computadora que se presenta a continuación es para el problema 7.31. Úselo para contestar las siguientes preguntas. a) ¿Cuánto podría aumentar o disminuir la utilidad de X, sin necesidad de cambiar los valores de X y de Y en la solución óptima? b) Si el lado derecho de la restricción 1 se aumentara en 1 unidad, ¿cuánto aumentaría la utilidad? c) Si el lado derecho de la restricción 1 se aumentara en 10 unidades, ¿cuánto aumentaría la utilidad?
7-35 Resuelva
gráficamente el siguiente problema:
a) ¿Cuál es la solución óptima? b) Cambie el lado derecho de la restricción 1 a 11 (en vez de 10) y resuelva el problema. ¿Cuánto aumenta la utilidad como consecuencia de esto? c) Cambie el lado derecho de la restricción 1 a 6 (en vez de 10) y resuelva el problema. ¿Cuánto disminuyen las utilidades como resultado de esto? Examine la gráfica, ¿qué sucedería si el valor del lado derecho se reduce por debajo de 6? d) Cambie el valor del lado derecho de la restricción 1 a 5 (en vez de 10) y r esuelva el problema.
7-37 A
Inversiones Bhavika, un grupo de asesores financieros y planeadores de jubilación, se le ha pedido que aconseje a uno de sus clientes cómo invertir $200,000. El cliente ha estipulado que el
dinero se debe poner en cualquier fondo de acciones o de mercado monetario, y que el rendimiento anual debería ser de al menos de $14,000. También se le han especificado otras condiciones relacionadas con el riesgo, y se desarrolló el siguiente programa lineal para ayudar con esta decisión de inversión.
En la parte inferior se muestran los resultados en QM para Windows. a) ¿Cuánto dinero se debería invertir en el fondo del mercado monetario y en el fondo de acciones? ¿Cuál es el riesgo total? b) ¿Cuál es el rendimiento total? ¿Qué tasa de rendimiento es esta? c) ¿Cambiaría la solución si la medida de riesgo de cada dólar en el fondo de acciones fuera de 14 en vez de 12? d) Por cada dólar adicional que está disponible, ¿cuál es el cambio en el riesgo? e) ¿Podría cambiar la solución si la cantidad que se deba invertir en el fondo del mercado monetario cambiara de $40,000 a $50,000?
7-39
El rancho Feed ‘N Ship engorda ganado para los granjeros locales y lo envía a los mercados de
carne en Kansas City y Omaha. Los propietarios del rancho intentan determinar las cantidades de alimento para el ganado a comprar, de manera que se satisfagan los estándares nutricionales mínimos y, al mismo tiempo, se reduzcan al mínimo los costos totales de alimentación. La mezcla de alimentos puede estar formada por tres granos que contienen los siguientes ingredientes por libra de alimento:
El costo por libra de las mezclas X, Y y Z es de $2, $4 y $2.50, respectivamente. El requerimiento mensual mínimo por vaca es de 4 libras del ingrediente A, 5 libras del ingrediente B, 1 libra de ingrediente C y 8 libras de ingrediente D. El rancho enfrenta una restricción adicional: tan solo puede obtener 500 libras mensuales de la mezcla Z del proveedor de alimento, independientemente de su necesidad. Como en general hay 100 vacas en el rancho Feed ‘N Ship en un momento dado, esto
significa que no se pueden contar con más de 5 libras de la mezcla Z para su uso en la alimentación mensual de cada vaca. a) Formule esto como un problema de PL. b) Resuelva usando software de PL.
7-41 Outdoor
Inn, un fabricante de equipo para campamento en el sur de Utah, está desarrollando un programa de producción para un tipo popular de tienda de campaña, la Doble Inn. Se han recibido 180 pedidos que se entregarán a finales de este mes, 220 se entregarán a finales del próximo mes, y 240 que se entregarán al final del tercer mes. Esta tienda de campaña se pueden fabricar a un costo de $120, y el número máximo de tiendas de campaña que se pueden fabricar en un mes es de 230. La compañía puede fabricar algunas tiendas de campaña extra en un mes y mantenerlas en el almacén hasta el mes siguiente. El costo por mantener estas en el inventario durante 1 mes se estima en $6 por tienda, por cada unidad dejada hasta final del mes. Formule este como un problema de PL para minimizar los costos y, al mismo tiempo, satisfacer la demanda y que no se exceda la capacidad de producción mensual. Resuélvalo utilizando cualquier software. (Sugerencia: Defina las variables que representan el número de tiendas de campaña que quedan a final de cada mes). VARIABLES
tN1= número de tiendas que se produce en el mes actual en tiempo normal t01= número de tiendas que se produce en el mes actual en horas extras tN2= número de tiendas que se produce en el próximo mes en tiempo normal t02= número de tiendas que se produce en el próximo mes de las horas extraordinarias txN1= número de tiendas extras producida en el mes actual en tiempo normal tx01= número de tiendas extras producidas en el mes actual en horas extras txN2= número de tiendas extras producidas en el próximo mes en tiempo normal tx02= número de tiendas producidas en el próximo mes de las horas extraordinarias Et = número de tiendas en inventario al final del mes en curso Itx= número de tiendas extras en inventario al final del mes en curso Minimizar el costo= 40tN1+ 50t01+ 44tN2+ 55t02+ 60txN1+ 70tx01+ 66txN2+ 77tx02+ 2IS+ 2IP RESTRICCIONES
It = tN1 + t01 -180 número de tiendas restante se producen menos demanda Itx= txN1+ tx01 - 90 tiendas extras restante se produjeron menos demanda tN2+t02+ It >=200 La demanda de tiendas en próximos meses txN2= tx02+Itx>= 120 La demanda de tiendas extras en próximos meses tN1+ txN1<=230 Capacidad en el mes actual en tiempo normal t01 + tx01<= 80 Capacidad de mes actual en horas extras
7-43 La corporación Modem of America (CMA) es el mayor
productor del mundo de dispositivos de comunicación por módem para microcomputadoras. CMA vendió 9,000 del modelo regular y 10,400 del modelo “inteligente” en este mes de septiembre. Su estado de result ados del mes se presenta en la siguiente tabla. Los costos presentados son típicos de meses anteriores y se espera que permanezcan en los mismos niveles en un futuro próximo. La empresa se enfrenta a varias restricciones conforme prepara su plan de producción de noviembre. En primer lugar, ha experimentado una gran demanda y no ha sido capaz de mantener un inventario significativo en existencia. No se espera que cambie esta situación. En segundo lugar, la empresa está ubicada en un pequeño poblado de Iowa, donde no hay mano de obra adicional disponible. Sin embargo, los trabajadores se pueden alternar de la producción de un módem a otro. Para fabricar los 9,000 módem regulares en septiembre se requirieron 5,000 horas de mano de obra directa. Los 10,400 módem inteligentes absorbieron 10,400 horas de mano de obra directa.
X1= número de CMA módems normales regulares y se venden en noviembre X2= número de CMA módems inteligentes fabricados y vendidos en noviembre ó =
5000 ℎ
= 0.555 ℎ/ó 9000 ó 10400 ℎ ó = = 1.0 ℎ/ó 10400 ó
a.Minimizar 22.67X1 + 29.01X2 RESTRICCIONES 555X1 + X2 <= 15400 X2 <= 8000 b.-
c.-La solución óptima sugiere hacer todos los modems normales CMA. Las implicaciones del transporte es otro punto de interés
7-45 Raptor Fuels produce tres
tipos de gasolina: regular, premium y súper. Todas ellas se producen al mezclar dos tipos de petróleo, crudo A y crudo B. Los dos tipos de crudo contienen ingredientes específicos que ayudan a determinar el octanaje de la gasolina. Los ingredientes importantes y los costos están contenidos en la siguiente tabla:
Con la finalidad de alcanzar el octanaje deseado, al menos 41% de la gasolina regular debería ser del ingrediente 1; al menos 44% de la gasolina Premium debe ser del ing rediente 1, y por lo menos 48% de la gasolina súper debe ser del ingrediente 1. Debido a compromisos contractuales vigentes, Raptor Fuels tiene que producir al menos 20,000 galones de regular, al menos 15,000 galones de Premium y al menos 10,000 galones de súper. Formule un programa lineal que se podría utilizar para determinar la cantidad de crudo A y de crudo B, que se debería utilizar en cada una de las gasolinas, para satisfacer la demanda con el costo mínimo. ¿Cuál es el costo mínimo? ¿Qué cantidad de crudo A y de crudo B se utiliza en cada galón de los diferentes tipos de gasolina?
A1= Una de galones de crudo utilizados en regular A2= Una de galones de crudo utilizados en la prima A3= Una de galones de crudo utilizados en el Super B1= galones de crudo B utilizados en regular B2= galones de crudo B utilizados en la prima B3= galones de crudo B utilizados en el Super F .O Minimizar
.42A1 + .42A2 + .42A3 + .47B1 + .47B2 + .47B3 0 .4A2 + 0.52B1 >= 0.41(A1+B1) 0.4A3 + 0.52B2 >= 0.44(A2+B2) 0.4B1 + 0 .52B3 >= 0.48(A3+B3) A1 + B1 >= 20000 A2 + B2 >= 15000 A3 + B3 >= 10000 A1 >= 0
A2 >= 0 A3 >= 0 B1 >= 0 B2 >= 0 B3 >= 0 La solución es
A1= 18,333.33 galones de crudo al utilizado en regular; A2= 10.000 galones de crudo al utilizado en la prima; A3= 3,333.33 galones de crudo al utilizado en Super; B1= 1.666.67 litros de crudo B utilizan en apoyo regular; B2= 5.000 galones de B crudo utilizado en la prima; B3= 6,666.67 galones de B crudo utilizado en el Super Costo total ? $ 19,566.67.
