Modelos constitutivos de hormigón armado - Práctica Nro 1 Docente: Fabricio Zuleta Estudiante: Roberto Sandoval 4.- Un
tubo circular largo de pared delgada, cerrado en las extremidades, tiene 25.4 [cm] de diámetro y 0.32 [cm] de espesor de pared. Está solicitado a una presión interna de 3 [MPa]. La tensión de fluencia del acero es de 227 [MPa]. Determinar la carga axial P que tiene que ser aplicada en las extremidades del tubo de tal forma que se inicie la fluencia, basándose en el criterio de: (a) von Mises y (b) Tresca.
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Modelos constitutivos de hormigón armado - Práctica Nro 1
Solución 4.1.- Tensor
de tensiones
4.1.1.- Componentes
- tensión plana
clear, clc, format compact syms p Sge P R t pig r
Tensión cirfunferencial disp('Tensión circunferencial') sc = (p*r)/t pretty(sc)
Tensión circunferencial sc = (p*r)/t p r -- t
Tensión longitudinal disp('Tensión longitudinal') sl = (p*r)/(2*t) pretty(sl)
Tensión longitudinal sl = (p*r)/(2*t) p r --2 t
Tensión solicitante longitudinal externa disp('Tensión solicitante longitudinal externa') sp = P/(2*pig*r*t) pretty(sp)
Tensión solicitante longitudinal externa sp = P/(2*pig*r*t) P --------2 pig r t
4.1.2.- Tensor
disp('Tensor de tensiones (literal) ') Sij = [sc 0 0; 0 (sl + sp) 0; 0 0 0]
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Modelos constitutivos de hormigón armado - Práctica Nro 1 pretty(Sij)
Tensor de tensiones (literal) Sij = [ (p*r)/t, 0, 0] [ 0, (p*r)/(2*t) + P/(2*pig*r*t), 0] [ 0, 0, 0] / p r \ | ---, 0, 0 | | t | | | | p r P | | 0, --- + ---------, 0 | | 2 t 2 pig r t | | | \ 0, 0, 0 /
4.2.- Invariantes
del Tensor de tensiones Cálculo de Invariantes I (literal)
Sijsqrd = Sij*Sij; I_Sij = trace(Sij); II_Sij = 0.5*(I_Sij^2 - trace(Sijsqrd)); II_Sij = simplify(II_Sij); III_Sij = det(Sij); disp('Cálculo de Invariantes I (literal)')
Cálculo de Invariantes I (literal) 4.2.1.- Invariante
I1
fprintf('Primer Invariante ') I_Sij pretty(I_Sij)
Primer Invariante I_Sij = (3*p*r)/(2*t) + P/(2*pig*r*t) 3 p r P ----- + --------2 t 2 pig r t
4.2.2.- Invariante
I2
fprintf('Segundo Invariante ') II_Sij pretty(II_Sij)
Segundo Invariante II_Sij = (p*(p*pig*r^2 + P))/(2*pig*t^2) 2 p (p pig r + P) ---------------2 2 pig t
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Modelos constitutivos de hormigón armado - Práctica Nro 1 4.2.3.- Invariante
I3
fprintf('Tercer Invariante ') III_Sij pretty(III_Sij)
Tercer Invariante III_Sij = 0 0
4.2.4.- Invariante
J2
JJ_Sij = (1/3)*(I_Sij^2-3*II_Sij); fprintf('Segundo Invariante ') JJ_Sij pretty(JJ_Sij)
Segundo Invariante JJ_Sij = ((3*p*r)/(2*t) + P/(2*pig*r*t))^2/3 - (p*(p*pig*r^2 + P))/(2*pig*t^2) / 3 p r P \2 | ----- + --------- | 2 \ 2 t 2 pig r t / p (p pig r + P) ---------------------- - ---------------3 2 2 pig t
4.3.- Criterios 4.3.1.- von
de falla
Mises
PvM = solve(sqrt(3*JJ_Sij)-Sge , P); fprintf('von Mises ') PvM pretty(PvM)
von Mises PvM = 2*pig*r*(Sge^2*t^2 -2*pig*r*(Sge^2*t^2 / / | | 2 2 | pig r sqrt| Sge t | \ | | / | | 2 2 | -pig r sqrt| Sge t \ \
(3*p^2*r^2)/4)^(1/2) (3*p^2*r^2)/4)^(1/2) 2 2 \ \ 3 p r | | - ------- | 2 | 4 / | | 2 2 \ | 3 p r | | - ------- | 2 | 4 / /
4.3.2.- Tresca
PT = solve((Sij(2,2)-Sij(1,1))/2-Sge/2 , P); fprintf('Tresca ') PT
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Modelos constitutivos de hormigón armado - Práctica Nro 1 pretty(PT)
Tresca PT = p*pig*r^2 + 2*Sge*pig*t*r 2 p pig r + Sge pig t r 2
4.4.- Cálculo
numérico Dimensiones en [mm], esfuerzos en [MPa] y fuerzas en [N]
p = 3; Sge = 227; R = 254; t = 3.2; r=R-t; syms Pn, format bank 4.4.1.- Tensor
de tensiones
4.4.1.1.- Componentes
Tensión plana
disp('Tensiones')
Tensiones
Tensión cirfunferencial disp('Tensión circunferencial') scn = (p*r)/t
Tensión circunferencial scn = 235.13
Tensión longitudinal disp('Tensión longitudinal') sln = (p*r)/(2*t)
Tensión longitudinal sln = 117.56
Tensión solicitante longitudinal externa disp('Tensión solicitante longitudinal externa') spn = Pn/(2*pi*r*t)
Tensión solicitante longitudinal externa spn = (25*Pn)/(40128*pi) 4.4.1.2.- Tensor
disp('Tensor de tensiones (numérico) ') Sijn = [scn 0 0; 0 (sln + spn) 0; 0 0 0] pretty(Sijn)
Tensor de tensiones (numérico) Sijn = [ 1881/8, 0, 0] [ 0, (25*Pn)/(40128*pi) + 1881/16, 0]
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Modelos constitutivos de hormigón armado - Práctica Nro 1 [ 0, / 1881 \ | ----, 0, 0 | | 8 | | | | 25 Pn 1881 | | 0, -------- + ----, 0 | | 40128 pi 16 | | | \ 0, 0, 0 /
4.4.2.- Invariantes
0, 0]
del Tensor de tensiones Cálculo de Invariantes I (numérico)
Sijnsqrd = Sijn*Sijn; I_Sijn = trace(Sijn); II_Sijn = 0.5*(I_Sijn^2 - trace(Sijnsqrd)); III_Sijn = det(Sijn); disp('Cálculo de Invariantes I (numérico)')
Cálculo de Invariantes I (numérico) 4.4.2.1.- Invariante
I1
fprintf('Primer Invariante ') I_Sijn pretty(I_Sijn)
Primer Invariante I_Sijn = (25*Pn)/(40128*pi) + 5643/16 25 Pn 5643 -------- + ---40128 pi 16
4.4.2.2.- Invariante
I2
fprintf('Segundo Invariante ') II_Sijn pretty(II_Sijn)
Segundo Invariante II_Sijn = ((25*Pn)/(40128*pi) + 5643/16)^2/2 - ((25*Pn)/(40128*pi) + 1881/16)^2/2 / 25 Pn 5643 \2 / 25 Pn 1881 \2 | -------- + ---- | | -------- + ---- | \ 40128 pi 16 / \ 40128 pi 16 / 3538161 -------------------- - -------------------- - ------2 2 128
4.4.2.3.- Invariante
I3
fprintf('Tercer Invariante ') III_Sijn
Tercer Invariante III_Sijn =
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Modelos constitutivos de hormigón armado - Práctica Nro 1 0 4.4.2.4.- Invariante
J2
JJ_Sijn = (1/3)*(I_Sijn^2-3*II_Sijn); fprintf('Segundo Invariante ') JJ_Sijn pretty(JJ_Sijn)
Segundo Invariante JJ_Sijn = ((25*Pn)/(40128*pi) + 1881/16)^2/2 - ((25*Pn)/(40128*pi) + 5643/16)^2/6 + / 25 Pn 1881 \2 / 25 Pn 5643 \2 | -------- + ---- | | -------- + ---- | \ 40128 pi 16 / \ 40128 pi 16 / 3538161 -------------------- - -------------------- + ------2 6 128
4.4.3.- Criterios 4.4.3.1.- von
de falla
Mises
PvMn = solve(sqrt(3*JJ_Sijn)-Sge , Pn); fprintf('von Mises ') symN = sym([PvMn]); PvMn = double(symN); PvMn
von Mises PvMn = 505929.07 -505929.07 4.4.3.2.- Tresca
PTn = solve((Sijn(1,1)-Sijn(2,2))/2-Sge/2 , Pn); fprintf('Tresca ') symN = sym([PTn]); PTn = double(symN); PTn
Tresca PTn = -551853.17
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