RIGIDEZ SISTEMA GENERALIZADO EJEMPLO 1 El sistema de la figura consta de un pequeño bloque de masa m, que cuelga a través de un resorte de rigidez K, desde el punto medio de una viga horizontal simplemente apoyada de luz l, masa despreciable y rigidez a la flexión EI. EI. l/2
l/2
K
m
En la figura al lado izquierdo se muestra el sistema en la posición deformada. Sea: u el desplazamiento absoluto de m v la deformada de la viga en la mitad de la luz s el desplazamiento relativo del bloque respecto a la viga. s es igual a la longitud del resorte. l/2
l/2
Kv
v K
u
s
≡
v u
K
m
s
≡
m
u
Ke
m
El sistema se puede considerar como el bloque conectado a dos resortes en serie, de rigideces K (resorte) y Kv (viga), como se muestra en la figura al centro. A su vez, este sistema se se puede considerar como el bloque conectado a un resorte equivalente a los dos resortes en serie. La rigidez Keq del resorte equivalente es: 1
=
1
1
+
K eq
K v
⇒
K eq =
donde K v =
K 1 1 K v
CIV 235 Dinámica de Estructuras Prof. G. Leiva - UTFSM
+
1
=
K v K K v + K
=
48 EI l
3
48 EI K 3 K l + 48 EI
K
Cap 1 Sistemas de un grado de libertad -V 2012
Ej1-1
EJEMPLO 2 l/2
El sistema de la figura consiste en una viga AB simplemente apoyada, de longitud l y rigidez a la flexión EI. A efectos de aumentar la rigidez del sistema, se ha colocado los tensores AD y BD, de rigidez axial EA, conectados en un extremo a los apoyos fijos A y B y a un puntal rígido GD en el otro extremo, el que a su vez se conecta a la viga, como se muestra en la figura. Considerar que las masas de la viga, tensores y puntal son despreciables, y que en la posición indeformada del sistema los tensores forman un ángulo α con la horizontal.
l/2
m
EI
A
B
G
α
EA
EA D
SOLUCION
l /2
En la figura se muestra el sistema en la posición deformada. La deflexión u en el centro de la luz de la viga es igual al desplazamiento vertical absoluto de m.
l/2
EI
A
α
m θ
Dado que el puntal es rígido, el nudo D también desciende u.
u
G
EA
EA
Se trata entonces de un sistema de un grado de libertad. Se usará u como coordenada generalizada para estudiar el movimiento.
B
u D
Procedimiento 1 Se reemplaza el sistema viga-tensores por un resorte equivalente (resortes en paralelo) de rigidez Keq: l/2
l/2
m
A α
EI
B
Kv
Kt
u
≡
G
EA
m
EA
≡
Keq
u
m
D
K eq = K v + K t Donde Kv es la rigidez de la viga:
K v =
CIV 235 Dinámica de Estructuras Prof. G. Leiva - UTFSM
48 EI l
3
Cap 1 Sistemas de un grado de libertad -V 2012
Ej1-2
Kt es la rigidez del sistema de tensores, la que se puede calcular a partir de la expresión para la fuerza en el puntal para la deflexión u. La fuerza Fp que ejerce el puntal (de masa despreciable) se obtiene a partir de las fuerzas Ft en los tensores. La figura muestra el DCL del puntal. La ecuación de equilibrio estático en dirección vertical es F p = 2 F t sin θ
Fp G Ft
Ft θ
D
donde θ es el ángulo que forma cada tensor con la horizontal, en la posición deformada del sistema. Las fuerzas Ft en los tensores se obtienen a partir de la deformación δ de los tensores. Si so es la longitud indeformada del tensor, y s es la longitud deformada asociada a la deflexión u del sistema, se tiene (ver figura):
l /2
δ = s − − so
EI
A
α
m θ
La fuerza Ft en un tensor es: F t =
l/2
so
s − so s δ = EA = EA s s so o o
EA
− 1
G
s u δ
s=
2 cos θ
l
so =
2 cos α
s
⇒
EA
EA
De la figura: l
B
u
=
so
D
cos α cos θ
Reemplazando se tiene:
cos α − 1 θ cos
F t = EA
La fuerza en el puntal es entonces:
cos α − 1 sin θ cos θ
F p = 2 F t sin θ = 2 EA
La rigidez del sistema de tensores es entonces: K t =
F p u
= 2 EA (cos α − cos θ )
tan θ u
La rigidez equivalente del sistema es: K eq = K v + K t =
48 EI l
3
CIV 235 Dinámica de Estructuras Prof. G. Leiva - UTFSM
+ 2 EA (cos α − cos θ )
tan θ u
Cap 1 Sistemas de un grado de libertad -V 2012
Ej1-3
θ se puede escribir en términos de u como: l
tan θ =
2
tan α + u l
= tan α + 2
2
tan α + 2
⇒ sin θ =
u l
u l
1 + tan α + 2
u
2
1
cos θ =
1 + tan α + 2
l
u
2
l
Procedimiento 2
F En la figura se muestra el DCL de m, sometido a su propio peso mg y a la fuerza F del sistema viga-tensor.
m La fuerza neta F sobre m incluye la fuerza Fv que ejerce la viga y la fuerza Fp que ejerce el puntal.
mg
l/2
La fuerza Fv que ejerce la viga (de masa despreciable) sometida a la deflexión u se puede calcular directamente como: F v = K v u = 48
EI l
3
l/2
B
A u
u
G
La fuerza Fp que ejerce el puntal (de masa despreciable) fue obtenida en el paso anterior:
cos α − 1 sin θ cos θ
F p = 2 F t sin θ = 2 EA
La fuerza neta vertical F sobre m es: EI cos α F = F v + F p = 48 u + 2 EA − 1 sin θ 3 cos θ l
Este resultado coincide con el anterior
CIV 235 Dinámica de Estructuras Prof. G. Leiva - UTFSM
Cap 1 Sistemas de un grado de libertad -V 2012
Ej1-4
EJEMPLO 3
b
Un sistema consiste en una masa m que cuelga soportada por dos puntales elásticos de longitud indeformada a y peso despreciable, los que están conectados a los puntos fijos A y B, ambos a la misma altura y separados por una distancia 2b. En la situación de equilibrio estático (reposo), m se encuentra a distancia h bajo los soportes y la longitud de los cables es , como se muestra en la figura. Considerar que m está restrigida a moverse únicamente a lo largo de la recta horizontal a distancia h bajo los apoyos, en el plano definido por la posición en reposo del sistema, con pequeños desplazamientos:
b B
A
l
l
h
Ayuda: si lo requiere, puede usar la siguiente aproximación. Para
α <<
(1 + α )
≈
1+
α
2
m
b
b
SOLUCION a)
B
A
General
En la figura se muestra el sistema en las posiciones de reposo (estática) y bajo un desplazamiento u de la masa m en la dirección horizontal. En la posición en reposo, θ es el ángulo que forman los puntales con la vertical y l es la longitud de ambos puntales.
l1
h
En la posición deformada, los ángulos que forman los puntales con la vertical son θ1 y θ2 y las longitudes de los puntales son l1 y l2.
l
l
θ2 θθ
m
La rigidez axial de los puntales se determinará a partir de las condiciones de equilibrio estático.
b)
l2
θ1
u
Equilibrio Estático
En la figura se muestra el DCL de m en la posición de equilibrio estático. Las fuerzas actuantes son el peso y las tensiones F en los puntales (iguales por simetría).
F
F θθ
Por equilibrio vertical se determina la fuerza en los puntales: 2 F cos θ − mg = 0
⇒
F =
mg
mg
2 cos θ
Si k es la rigidez axial de cada puntal, la fuerza en el puntal se puede escribir en términos de la deformación (l-a)
F = k (l − a )
CIV 235 Dinámica de Estructuras Prof. G. Leiva - UTFSM
Cap 1 Sistemas de un grado de libertad -V 2012
Ej1-5
Igualando con la expresión anterior se obtiene la rigidez del cable: k (l − a ) =
⇒
c)
mg 2 cos θ
k =
mg 2(l − a )cos θ
=
mg
l
2h
(l − a )
Rigidez
F1
θ 1 θ2
En la figura se muestra el DCL de m en la posición deformada. Las fuerzas actuantes son el peso, las tensiones F1 y F2 en los puntales, y una fuerza vertical V asociada a la restricción de movimiento horizontal.
mg
La fuerza neta en la dirección horizontal es:
F2
V
F H = F 2 sinθ 2 − F 1 sinθ1
Las fuerzas en los puntales se pueden expresar en términos de sus rigideces y las deformaciones respectivas. Si l1 y l2 son las longitudes de los puntales (ver figura), se tiene:
F 1 = k (l 1 − a)
F 2 = k (l 2 − a)
Reemplazando en la expresión para la fuerza neta horizontal: F H = k
l2 − a
sin θ 2 − k
l1 − a
sin θ 1
ó
(b + u )
l1
F H = k (l 1 − a )
− (l 2 − a )
(b − u ) l2
Las longitudes l1 y l2 de los cables se pueden expresar en términos del desplazamiento u. En la figura se aprecia el cable 1 en la posición de equilibrio estático (longitud l) y en la deformada (longitud l1). Suponiendo desplazamientos pequeños (u <<), el alargamiento δ1 del cable con respecto a la longitud l se puede escribir como: δ 1 ≈ u sin θ = u
θ1
l1 l
b
⇒
l
l 1 = l + δ1 = l +
θ
b l
u
θ
δ1
u
De igual forma, para el otro cable se tiene: l2 = l −
CIV 235 Dinámica de Estructuras Prof. G. Leiva - UTFSM
b l
u
Cap 1 Sistemas de un grado de libertad -V 2012
Ej1-6
Note que el mismo resultado se obtiene de la geometría de la figura, despreciando los términos de segundo orden: l1
2
2 2 2 2 2 2 2 2 = (b + u ) + h = b + h + 2 bu + u = l + 2 bu + u ≈ l + 2 bu
l2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 = (b − u ) + h = b + h − 2 bu + u = l − 2 bu + u ≈ l − 2 bu
(
)
Usando la aproximación dada en el enunciado, las longitudes se pueden escribir como: 2
l1 ≈
l
l2 ≈
l
+ 2bu = l 1 +
2bu l
2
− 2 bu = l
1−
2
2 bu l
2
bu
bu
=l+ 2 l
bu
bu
≈ l 1 +
≈ l 1 −
= l− 2 l
l
l
Reemplazando en el término en el paréntesis de la expresión para la fuerza horizontal:
(l 1 − a ) u
=
l 1l 2
(b + u ) l1
u
[2l 1 l 2 − 2 al] +
2u l 1l 2
=
l 1 l 2
− al +
2u l
l2
(l 1 + l 2 ) = 2 l
l 1l 2
=
(b − u )
[2l 1 l 2 − a (l 1 + l 2 )] +
pero
=
− (l 2 − a )
a h2 l − = l l 1 2
u l 1l 2
b l 1l 2
[(l 1 − a )l 2 + (l 2 − a )l 1 ] +
b l 1l 2
=
bu
l 1l 2
[(l 1 − a )l 2 − (l 2 − a )l 1 ] =
⇒
l
2u 2 bu a l = l l 1 2
2u l 1l 2
b
[a (l 1 − l 2 )]
(l 1 − l 2 ) = 2
ab 2 l
=
l 1l 2
−
a l
l 1 l 2
− al +
( 2 − b 2 ) = l
2 ab l
=
2u l 1l 2
l 1 l 2
−
a 2 h = l
2 2 2 2 2 2u a h2 = 2 u l − a h l ≈ 2 u l − a h l = 2 u l − a h l− 2 2 4 2 4 l l l l ( ) l l bu l − bu l 2 − l
La fuerza horizontal queda: F H =
2 k l
CIV 235 Dinámica de Estructuras Prof. G. Leiva - UTFSM
l −
a h2 l
2
u = 0
Cap 1 Sistemas de un grado de libertad -V 2012
Ej1-7
La rigidez lateral es entonces: K H =
2 k l
l −
a h2 l
2
Reemplazando por el valor de k:
K H
3 2 ( −ah ) m g =
CIV 235 Dinámica de Estructuras Prof. G. Leiva - UTFSM
l
l
2
h (l − a )
Cap 1 Sistemas de un grado de libertad -V 2012
Ej1-8
SISTEMA UN GRADO DE LIBERTAD – ECUACION DEL MOVIMIENTO EJEMPLO 1 En la sección anterior se determinó la rigidez equivalente para el sistema de la figura, que consta de un pequeño bloque de masa m, que cuelga a través de un resorte de rigidez K, desde el punto medio de una viga horizontal simplemente apoyada de luz l, masa despreciable y rigidez a la flexión EI.
l /2
l/2
K En la figura al lado izquierdo se muestra el sistema en la posición deformada. Sea:
m u el desplazamiento absoluto de m v la deformada de la viga en la mitad de la luz s el desplazamiento relativo del bloque respecto a la viga. s es igual a la longitud del resorte.
l/2
l/2
Kv
v K
≡
u
s
m
v u
K
s
≡
m
u
Ke
m
La rigidez Keq del resorte equivalente es:
K eq =
48 EI K K l 3 + 48 EI
La ecuación diferencial del movimiento del sistema es:
mu && = − K eq u + m g o
2
u && + ω u = g
CIV 235 Dinámica de Estructuras Prof. G. Leiva - UTFSM
donde
ω
2
=
K eq m
Cap 1 Sistemas de un grado de libertad -V 2012
Ej1-9
EJEMPLO 2 l/2
El sistema de la figura consiste en una viga AB simplemente apoyada, de longitud l y rigidez a la flexión EI. A efectos de aumentar la rigidez del sistema, se ha colocado los tensores AD y BD, de rigidez axial EA, conectados en un extremo a los apoyos fijos A y B y a un puntal rígido GD en el otro extremo, el que a su vez se conecta a la viga, como se muestra en la figura.
l/2
m
EI
A G
α
EA
EA
Considerar que las masas de la viga, tensores y puntal son despreciables, y que en la posición indeformada del sistema los tensores forman un ángulo α con la horizontal.
D
l /2
La rigidez vertical equivalente del sistema, calculada en la sección anterior, está dada por:
A
l/2
EI α
m θ
K eq = K v + K t =
48 EI l
+ 2 EA (cos α − cos θ )
3
B
tan θ
u
G
EA
EA
u
B
u
θ se puede escribir en términos de u como:
D l
tan θ =
2
tan α + u l
= tan α + 2
u
2
tan α + 2
⇒
sin θ =
l
u l
u 1 + tan α + 2 l
1
cos θ =
2
u 1 + tan α + 2 l
2
La ecuación del movimiento del sistema es:
mu && + K eq u = mg Reemplazando:
48 EI
mu && +
⇒ u && +
l
3
+ 2 EA (cos α − cos θ )
48 EI ml
3
u+
CIV 235 Dinámica de Estructuras Prof. G. Leiva - UTFSM
2 EA m
tan θ
u = mg
u
(cos α − cos θ) tan θ = g Cap 1 Sistemas de un grado de libertad -V 2012
Ej1-10
EJEMPLO 3 Un sistema consiste en una masa m que cuelga soportada por dos puntales elásticos de longitud indeformada a y peso despreciable, los que están conectados a los puntos fijos A y B, ambos a la misma altura y separados por una distancia 2b. En la situación de equilibrio estático (reposo), m se encuentra a distancia h bajo los soportes y la longitud de los cables es l, como se muestra en la figura. Considerar que m está restrigida a moverse únicamente a lo largo de la recta horizontal a distancia h bajo los apoyos, en el plano definido por la posición en reposo del sistema, con pequeños desplazamientos:
b
b B
A
l1
h
l
l
l2
θ1 θ2
En la figura se muestra el sistema en las posiciones de reposo (estática) y bajo un desplazamiento u de la masa m en la dirección horizontal.
θθ
m u
En la posición en reposo, θ es el ángulo que forman los puntales con la vertical y l es la longitud de ambos puntales. En la posición deformada, los ángulos que forman los puntales con la vertical son θ1 y θ2 y las longitudes de los puntales son l1 y l2. La rigidez lateral del sistema es:
K H
3 2 ( −ah ) m g = l
l
2
h (l − a )
La Ecuación del Movimiento en oscilaciones libres es:
u && +
CIV 235 Dinámica de Estructuras Prof. G. Leiva - UTFSM
2 k
a h2
ml
2
l −
l
u =0
Cap 1 Sistemas de un grado de libertad -V 2012
Ej1-11
CIV 235 Dinámica de Estructuras Prof. G. Leiva - UTFSM
Cap 1 Sistemas de un grado de libertad -V 2012
Ej1-12
