Estrutu Estruturas ras de Dados Dados e Projeto Projeto de Algoritm Algoritmos os
UFG - Instituto de Informática Mestrado em Computação
Prof . Márcia Márcia Cappelle Cappelle1 a
Listas de exercícios – 2018.1 1 – Técnicas de demonstração = 0. Dizem 1. Sejam a e b inteiros, com a Dizemos os que que a divide b se existe um inteiro c tal que b = ac. Dizemos também que b é divisível a ou que b é múltiplo de a. A notação notação corres corresponde pondent ntee é a | b quando a divide b e a b em caso contrário. contrário. Observe Observe que, pela definição, todo inteiro inteiro x divide 0 9 , 4 | 12, 12 , 6 16, 16 , (zero); d | b ⇔ ( −d) | b ; e todo inteiro a é divisível por 1 e por a . Por exemplo, 3 exemplo, 3 | 9, 3 | −15 e 15 e 5 | 0. 0 . Sejam a,b,c e d inteiro inteiros. s. Responda Verdadei Verdadeiro ro ou Falso. Justifique Justifique suas afirmações (demonstre (demonstre ou exiba um contraexemplo). (a) Se a|b e b|a então a = b . (b) Se a|c e b|d, então ab|cd. (c) Se a|b e a|c, então a|(b + c). (d) Se a|c e b|c, então (a + b)|c. 2. Encontre Encontre um contraexemplo contraexemplo para cada uma das afirmações listadas listadas a seguir: (a) Todos os animais que vivem nos oceanos são peixes. (b) Toda figura geométrica geométrica com 4 ângulos retos retos é um quadrado. quadrado. (c) ∀ n ∈
5) . , (n < 10) ⇒ ( n > 5).
(d) ∀ n ∈
+
∗
, n2 ≤ 10 + 5n.
(e) A soma de dois pares consecutivos consecutivos é divisível divisível por 4. (f) O produto de dois ímpares consecutivo consecutivoss é divisíve divisívell por 3. 314, 11|x e 11|y . (g) Existem Existem inteiros inteiros x e y tais que x + y = 314, 3. Seja A = {1, 2, {1, 2}, {3}, ∅}. Diga, Diga, justifi justificand cando, o, se as seguin seguintes tes proposições proposições são verdad verdadeir eiras as ou falsas: (a) 1 ∈ A .
(e) {1, 2} ⊆ A .
(b) {1} ∈ A .
(f) (f ) 3 ∈ A .
(c) {1, 2} ∈ A .
(g) ∅ ⊆ A .
(d) ∅ ∈ A .
(h) {∅} ⊆ A .
A, B , C ⊆ 4. Sejam os conjunto conjuntoss A,
.
(a) Dado que A ⊆ B , mostre que P (A) ⊆ P (B ), onde P (S ) denota o conjunto das partes do conjunto S . (b) Mostre Mostre que (A \ B ) \ C ⊆ A \ (B \ C ). (c) Mostre que se A é subconjunto subconjunto de B e se B é subconjunto próprio de C , então A é subconjunto próprio de C . 1
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(d) Pode-se definir A ⊆ B em termos de álgebra de conjuntos como A ∩ B = A . Use esta definição para provar que se A ⊆ B e B ⊆ C , então A ⊆ C . 5. Demonstre que o quadrado de um número ímpar é um número ímpar. 6. Prove por contraposição que se x + y ≥ 2, em que x e y são números reais, então x ≥ 1 ou y ≥ 1. 7. Prove por contradição cada uma das proposições abaixo: (a) Se x e y são números reais e 25x + 5y = 1723, então x ou y não é um inteiro. (b) Se um número somado a ele mesmo é igual a ele mesmo, então esse número é 0. 8. Sendo A, B e C subconjuntos de um conjunto U qualquer, responda Verdadeiro ou Falso para cada proposição. Justifique suas afirmações (demonstre ou exiba um contraexemplo). (a) (b) (c) (d) (e) (f)
A ∪ B = ∅ =⇒ A = ∅ e B = ∅
(g) |A \ B | = | A| − |B |
(A \ B ) \ C = (A \ C ) \ B (A ∪ B ) \ C = (A \ C ) ∩ (B \ C ) A = B \ C =⇒ B = (A ∪ C ) A \ B = ∅ =⇒ A ∩ B = ∅ B = A ∪ C =⇒ A = (B \ C )
(h) (A ∪ B ) \ B = A (i) A − B = A ⇐⇒ A ∩ B = ∅ (j) A × (B ∩ C ) = (A × B ) ∩ (A × C ) (k) A ∪ B ⊆ A − B =⇒ B = ∅
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