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11) Análisis Gráfico de
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Funcione ciones s Cuadrátic Cua dráticas as
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I. Propiedades Propiedades de una ecuación ecuación cuadrática
Forma Standard cuadrática:
ax2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0
donde x es una variable y a , b y c son constantes. Forma Vértice: y = a(x – h) 2 + k Vértice es el punto más bajo o más alto de la parábola. Vértice: (h, k) II. a. Por
Solu Soluci ción ón de u una na ecua ecuaci ción ón cuad cuadrá ráti tica ca
factorización
b. Por raíz cuadrada cuadrada
1. 6x2 – 19x – 7 = 0 2. x2 - 6x + 5 = 0 3. 2x2 = 3x 2x2 – 3 3x2 + 27 = 0 (x + ½ )2 = 5/4
1. 2. 3. c. Completando
al cuadrado 1. 2. 3.
d. Por
fórmula Cuadrática 1. 2.
III.
x2 + 6x – 2 = 0 2x2 –4x + 3 = 0 x2 + 8x = 3 x
=
−b±
b
2
− 4ac
2a 2x + 3/2 = x 2 x2 – 5/2 = -3x
Discr scriminant ante y ra raíces
raíces de ax2 + bx + c = 0 a, b y c son reales , a ≠ 0 b2 – 4ac > 0 b2 – 4ac = 0 b2 – 4ac < 0
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hay dos raíces reales Useful hay una sola raíz re al hay dos raíces imaginarias
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IV.
Cuadraicas y Funcion Raiz
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11) Análisis Gráfico de
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Resuelve.
a. La suma de un número y su recíproco es 13/6. Encuentre esos números. b. La suma de dos números es 23 y su producto es 132. Encuentre los dos núemros. c. Una lancha para excursiones le toma 1.6 horas hacer un viaje ida y vuelta 36 millas agua la rapidez de la corriente es de 4 millas por hora, ¿Cuál es la rapidez de la lanch tranquilas? d. Una nómina se puede terminar en 4 horas trabajando en dos computadoras simu ¿Cuántas horas serán necesarias para que cada computadora termine sola si el modelo vi 3 horas más que el nuevo? Calcule la respuesta con dos cifras decimales. e. Dos lanchas viajan en ángulos rectos uno con respecto al otro y arriban a un muelle al mi Una hora antes están separadas 25 millas . Si una de las lanchas viaja 5 millas por hora que la otra, ¿cuál es la rapidez a la que viaja la segunda? Sugerencia : Teorema de distancias iguales =tiempos iguales f. Dos carteros pueden entregar la correspondencia en 3 horas cuando trabajan juntos. Uno terminar el trabajo 2 horas más rápido que el otro. ¿Cuánto tiempo le toma a uno entrega correspondencia? Calcule las respuestas don dos cifras decimales.
You're Reading a PreviewCuadráticas Ejercicios Resolviendo Ecuaciones Por Factorización o Raíz Cuadrada Unlock full access with a free trial.
Ejercicios:
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A. Resuelve cada ecuación por factorización. 1. x2 + 6x + 8 = 0 2. x2 +1 8 = 9x 3. x2 - 2x = 3 4. x2 + 8x = 0 5. 2x2 + 6x = -4 6. 3x2 = 16x + 12
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6. 6x2 + 4x = 0 7. 2x2 - 5x - 3 = 0 8. x2 + 2x = 6 – 6x 9. 6x2 + 13x + 6 = 0 10. 3x2 + 7x = 9
progresiones
11) Análisis Gráfico de
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x2 – 9 = 0 2x2 + 4x =70 x2 - 30 = 10 x2 + 4x = 0 x2 + 3x + 2 = 0
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11) Análisis Gráfico de
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Resolviendo Ecuaciones Cuadráticas Completando al Cuadrado y Fórmula Cuadrática
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A.Completa al cuadrado. Luego escribe cada trinomio cuadrado perfecto como el cuadrado de un binom B. 1. n2 + 18 n + _____ 2. k2 – k + ____ 3. x2 – 24 x + ____ 4. x2 + 20x + ____ 5. m2 – 3m + ____ 6. x2 + 4x + _____ Resuelve cada ecuación cuadrática, completando al cuadrado. 1. x2 - 3x = 28 2. x2 - 3x = 4 3. 6x - 3x2 = -12 4. –d2 – 2d = 5 5. x2 + 6x + 41 = 0 6. t2 – 2t = -2 7. w2 – 8w – 9 = 0 8. t2 + 4 = 0 9. 2p2 = 6p – 20 10. 3x2 - 12x + 7 = 0 11. t2 + 6t = -22 12. 4c2 + 10c = -7
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Download With Free Trial Re-escribe la ecuación en forma y = a(x – h) 2 + k 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
y = x2 + 4x – 7 y = -x2 + 4x - 1 y = -2 x2 + 6x + 1 y = ½ x2 – 5x + 12 y = - 1/5 x 2 = 4/5 x + 1/5 y = x2 + 4x + 1 y = -4x2- 5x + 3
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11) Análisis Gráfico de
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x2 - 6x + 11 = 0 x2 + 6x - 5 = 0 x2 - 2x + 3 = 0 x2 + 10x = -25
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11) Análisis Gráfico de
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F.Evalúa el discriminante de cada ecuación. Determina cuántas soluciones hay y si la(s) solucion(es) s complejas. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
x2 + 4x + 5 = 0 x2 - 4x - 5 = 0 4x2 + 20x + 25 = 0 2x2 + x + 28 = 0 2x2 + 7x -15 = 0 6x2 - 2x + 5 = 0 2x2 + 7x = -6 x2 -+12x + 36 = 0 x2 = 8x - 16
G.Resuelve cada ecuación utilizando cualquier método estudiado. Cuando sea necesario redondea la so centésima más cercana. Para soluciones complejas, escribe la solución exacta. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
x2 = 11x – 10 2x2 + 4x = 10 –3x2 + 147 = 0 5x2 =210 x x2 - 2x + 2 = 0 x2 + 8x = 4 4x2 + 4x = 3 x2 - 3x - 8 = 0 x2 = 6x – 11
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Download With Free Trial A. Desplazamiento horizontal o vertical
y =x2 y = x2 + 2 y = x2 - 3 y = x2 y = (x + 2)2 y = (x – 3) 2
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y= f(x)
y = f(x) + k
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11) Análisis Gráfico de
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a > 1 La gráfica se ___________ expande Conclusión:
y = af(x)
a < 1 La gráfica se ___________ contrae
C. Reflexión
y = 2x2 y = 3x2 y = 1/3 x2 y = -2x2 y = -3x2 y = -1/3 x2 Conclusión:
y= f(x)
y = -f(x)
La gráfica se refleja con respecto al ___________eje de x Eje de Simetría
Si y = a ( x – h ) 2 + k Punto máximo y mínimo
Si
y = a ( x – h )2 + k
El eje de simetría es cuando x = h a > 0 hay un punto mínimo a < 0 hay un punto máximo You're Reading a Preview
Dominio y Campo de Valores
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El dominio de toda gráfica cuadrática son los números reales. El Campo de Valores: (-∞ , k] si a < 0Download ó [k, ∞ )With si a >Free 0 Trial Ceros de la gráfica cuadrática
Los ceros de la gráfica cuadrática son los puntos donde la gráfica toca el eje de x. Éstos ceros se obtienen igualas la ecuación a 0 y por medio de factorización utilizas la propiedad del cero: m • n = o si y solo si m=0 ó n = 0 ( Sign o ambos) up to vote on this title Ejemplo: y = x2 – 6x + 5 Ejercicicios:
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11) Análisis Gráfico de
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B. Encuentra el vértice, el eje de simetría, el punto máximo o mínimo y el campo de valores para ca cuadrática. a. y = -2(x + 4) 2 - 3 b. y = -(x + 2 ) 2 - 4 c. y = 3( x + 6)2 - 3 d. y = ( x + 5)2 - 7 y = 2( x + 5) 2 f. y = ½ ( x – 4 ) 2
C. Halla los ceros de cada gráfica cuadrática y encuentra el vértice, el eje de simetría, el punto máximo o el dominio y el campo de valores para cada gráfica cuadrática a
a. y = x2 + 8x - 9 b. y = 1/2 x2 + 2x + 3
b
Ceros Vértice Eje de simetría Máximo o mínimo Dominio Campo de valores
D.Determina las raíces, la simetría, vértice y concavidad de las siguientes funciones cuadráticas. a. 4x2 + 4x =-3
b. 5x2 =10 x
c. -x2 + 3x =- 4 a
contestaciones
Raíces Eje de simetría Vértice concavidad
Función Cuadrática. Características
b
c
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Una función de la forma estándar: f (x) = a x ² + b x + c Sign up to vote on this title
con a, b y c pertenecientes a los reales y a ≠ 0, es una función cuadrática y su gráfico una curva llamad Useful Notes useful
En la ecuación cuadrática sus términos se llaman:
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11) Análisis Gráfico de
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Las raíces (o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale los valores de x tales que y = 0. Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la paráb eje x. Podemos ver a continuación que existen parábolas que cortan al eje x en:
You're Reading a Preview Para poder calcular las raíces de cualquier función cuadrática calculamos f (x) = 0, entonces Unlock full access with a free trial.
ax² + bx +c = 0
Download With Free Trial Pero para resolver ax² + bx +c = 0 observamos que no podemos aplicar las propiedades de las ecuac tiene la particularidad de poseer un término de segundo grado, otro de primer grado y un término Entonces, para resolverla podemos hacer uso de la formula:
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1er caso: ax2 + bx = 0 2do caso: ax2 + c = 0
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Simetría
La parábola presenta simetría respecto a una cierta recta vertical. Es decir, si conocemos dos puntos del p) y (x2, p), el eje de simetría pasará por el punto medio entre estos, o sea
Vértice
El vértice de la parábola está ubicado sobre la recta de simetría, de modo que su coordenada x, que no vale:
You're Reading a Preview Conocida la coordenada x de un punto, su correspondiente coordenada y se calcula reemplazando el valo Unlock full access with a free trial. expresión de la función.
En el vértice se calcula el máximo ( o el mínimo) valor de la función de acuerdo a que la parábola teng Download With Free Trial para abajo o para arriba ( lo veremos a continuación). Si la parábola no tiene raíces el vértice se puede calcular utilizando los coeficientes de la función de manera: Sign up to vote on this title
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6. 7. 8. 9.
y = x2 + 4x + 1 y = -4x2- 5x + 3 y = 2x2- 8x + 1 y = -x2- 2x + 3
vértice (-2-11) (2,3) (1.5,5 ½) (5,-1/2) (-2,3) (-2,-3) (5/8,4 9/16 (2,-7) (-1,4)
Cuadraicas y Funcion Raiz
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Eje de simetría x= -2 X=2 X=-3/2 X=5 X = -2 X= -2 X=-5/8 X=2 X=-1
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11) Análisis Gráfico de
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y = (x+2) 2 -3 y = (x – 5/8) 2 + 73/16 y = 2(x-2) 2 - 7 y = -(x+1) 2 +4 Máximo o mínimo Min Max Max Min Max Min Max Min Max
Arriba/abajo arriba abajo abajo arriba abajo arriba abajo arriba abajo
Expande o se contrae normal normal contrae expande expande normal contrae contrae normal
Dominio Reales Reales Reales Reales Reales Reales Reales Reales Reales
Campo de valores Y > -11 Y< 3 Y< 5 1/2 Y< -1/2 Y< 3 Y< -3 Y< 4 9/16 Y< -7 Y< 4
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