UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA ECUACIONES DIFERENCIALES CONTENIDO El presente trabajo es una recopilación de problemas propuestos en las prácticas y exámenes tomados en las diversas especialidades de la UNI, el alumno debe tener conocimiento de las derivadas y de manera fundamental del cálculo integral. Es necesario que practique y repase los métodos que se van presentando, de una constante práctica dependerá que asimile estos conocimientos que serán fundamentales para plantear modelos matemáticos que contribuyen en la formación de enlazar la práctica con la realidad, como ingenieros estarán siempre buscando dar solución a determinados problemas que su vida profesional se presenta, las matemáticas enriquece su nivel de razonamiento les da herramientas para el análisis. Solución de ecuaciones diferenciales de primer orden y de primer grado 1.
Método de separación de variables -Método de las ecuaciones diferenciales Homogéneas -Ecuaciones homogéneas -Ecuaciones diferenciales reductibles a ecuaciones diferenciales homogéneas -Problemas geométricos -Problemas físicos
2.
– Método Método de diferenciales Exactas -Solución de las ecuaciones diferenciales exactas -Método de factor integrante Problemas de aplicación Problemas propuestos
SOLUCION DE ECUANCIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO
Sabemos que una ecuación de primer orden y de primer grado presenta cualquiera delas dos formas.-
La solución de estas ecuaciones se puede determinar mediante algunos de los tres métodos que presentamos. presentamos.Primer método.- método de separación de variables Segundo método.- método de las diferenciales exactas Tercer método.- método del factor integrante
El método a emplear, depende del tipo de ecuaciones diferenciales que se presenta, ya que ella puede ser reducida reducida a tal tal modo que se pueda resolver resolver por cualquiera cualquiera de los métodos métodos indicados. indicados.
METODO DE SEPARACION DE VARIABLES O VARIABLES SEPARABLES
SOLUCION DE ECUANCIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO
Sabemos que una ecuación de primer orden y de primer grado presenta cualquiera delas dos formas.-
La solución de estas ecuaciones se puede determinar mediante algunos de los tres métodos que presentamos. presentamos.Primer método.- método de separación de variables Segundo método.- método de las diferenciales exactas Tercer método.- método del factor integrante
El método a emplear, depende del tipo de ecuaciones diferenciales que se presenta, ya que ella puede ser reducida reducida a tal tal modo que se pueda resolver resolver por cualquiera cualquiera de los métodos métodos indicados. indicados.
METODO DE SEPARACION DE VARIABLES O VARIABLES SEPARABLES
(1) Este método se emplea cuando la l a ecuación diferencial dada, pueda llevarse a la forma:
La cual nos indica que se han separado variables y la solución general se obtiene integrando ecuación anterior, se obtiene
Ejercicios resueltos.1.
Resolver la ecuación diferencial diferencial
Resolución.-
La ecuación (1), puede escribirse también:
Separando variables, variables, es decir llevando llevando a la forma (B)
1.- Hállese la solución solución general de la siguiente E.D
Resolución.-
De (1), separando variables resulta.
Los integrales de (2); son inmediatamente; entonces integrando y teniendo en cuenta las propiedades de de los logaritmos se tiene.
Quitando el logaritmo y el radical queda lo siguiente:
2.- Hállese la solución particular para la E.Dque satisface a los valores
Resolución.Resolución .-
=0
De la E.D dada en (1): se tiene también:
[ ] [ [ ]
Se integra por fracciones parciales parciales para integrar la segunda igualdad de (2), se descompone en fracciones parciales, así
Efectuando las integrales que son inmediatas i nmediatas se tiene:
Y aplicando las propiedades de los logaritmos se reduce a:
Para obtener la S.P se debe calcular la constante de integración para las condiciones dadas; es decir.
Remplazando en la S.G, resulta C=1, entonces la S.P, es:
3.- Resolver la siguiente E.D.
√
Resolución.- Separando variables resulta
Para integrar el primer miembro, se hace el cambio
Sustituyendo el (2) luego integrando.
Es decir
Sabemos que:
√
Sustituyendo en (,3) y recordando las propiedades de los logaritmos, la S.G, en:
√
(2) Ecuaciones Homogéneas
— ()
Una ecuación es homogénea de grado si al sustituir en ella por respectivamente, resulta, la expresión original multiplicada por para todos los adecuadamente restringidos, analíticamente se tiene:
Ejemplo: Las siguientes ecuaciones:
Son homogéneas de grados
respectivamente, pues:
Entonces se tiene que:
2.1.- Ecuaciones Diferenciales Homogéneas La ecuación
[ *]
Se denomina ecuación diferencial homogénea, si M y N son funciones homogéneas del mismo grado; de (1)
Evidentemente que
; es una función de grado cero.
(*) También, si tiene ó es posible llevarlo a la forma
Para resolver la E.D.H (2); se reduce a una ecuación diferencial de variables separadas, mediante la sustitución:
Para entender mejor, se observa que se cumple
Estas relaciones nos permiten hacer
, entonces:
(3) y (4), sustituimos en (2) según corresponda, y se tiene
En (5), las variables se pueden separar es decir:
Integrando la segunda igualdad de (6), se obtiene la S.G EJERCICIOS RESUELTOS. 1.- Hállese la solución general de la siguiente ecuación diferencial.
Resolución.-
(1), es una E.D.H de grado 3, llamando a la forma:
* [ ] Haciendo el cambio de variables:
Sustituyendo en (2): se tiene después se simplificar
Separando variables; para luego integrar:
Que integrando resulta finalmente:
Volviendo a las variables
la S.G, es:
2.- Resolver la siguiente ecuación diferencial y hállese la solución particular para los valores
Resolución.- Como la ecuación diferencial es homogénea se puede escribir también.
Donde hacemos:
Sustituyendo variables; integrando se obtiene
[ ] * √ √
En (3), levantando logaritmos y volviendo a las variables
Reduciendo la última expresión resulta la S.G.
Para la solución particular se la S.G. se debe calcular C, para los valores
; es decir
Reemplazando en la S.G; se obtiene
3.- Hállese la solución general de la siguiente ecuación diferencial.
Resolución.-Racionalizando la ecuación queda:
En (2) hacemos los cambios indicados, resulta.
Separando variables:
√ { √
Remplazando en el segundo miembro de (3), después de simplificar queda las integraciones de:
Volviendo a las variables originales, la S.G es
2.2.- Ecuaciones diferenciales reductibles a ecuaciones diferenciales Homogéneas Las ecuaciones diferenciales de Primer orden reductibles a homogéneas presentan la forma.
* * *
Que también puede escribirse así:
Se reduce a una E.D.H; haciendo el siguiente cambio de variable.
Donde
son variables;
son constantes que deben calcularse; reemplazando en (1)
Efectuando se tiene:
La expresión (3) será E.D.H, si los términos independientes que figuran en el segundo miembro son nulos, es decir.
| |
El sistema de ecuaciones (4), al ser resueltas dan los valores de
entonces:
En la expresión (5); pueden ocurrir los casos: 1.
Primer caso.-
Entonces, el cambio de variable indicado es (2) es aplicable pues los valores de precisables.
1.
Segundo caso.-
En tal circunstancia los valores de no son precisables y el cambio de variables indicado en (2) no funciona; el ejercicio 2, nos muestra la forma de resolver una ecuación; donde se presenta el inconveniente indicado por las expresiones (6)
EJERCICIOS RESUELTOS.1.-Resolver la siguiente ecuación diferencial.
*
Resolución.- A simple vista vemos que es una E.D reductible a homogéneas; por consiguiente el sistema de ecuaciones y su determinante son:
Por ser es aplicable el método aplicado en 2.2.- entonces resolviendo el sistema de ecuaciones; resulta:
Reemplazando en (1); se obtiene la E.D.H.
*
Lo que resolvemos haciendo:
obteniendose
Integrando hallamos:
Volviendo a las variables
, la S.G. es:
2.- Hállese la solución general de la siguiente ecuación diferencial.
Resolución.-
La expresión (1), se escribe también:
*
Que es reductible a una E.D.H; luego el sistema de ecuaciones y su determinante son:
Como
no podemos hacer el cambio de variable indicado anteriormente, sino el siguiente:
(3) reemplazando en (2);
S, V para integrar; e integrando.
Volviendo a las variables
la S.G. en:
(*)Hay otras ecuaciones que también son reductibles a ecuaciones diferenciales homogéneas; mediante un cambio de variable como se ilustra a continuación.3.- Resolver la siguiente ecuación diferencial.
Resolución.-Podemos ver que la ecuación dada no es homogénea; para reducirla a homogénea el siguiente cambio de variable
Sustituyendo (2) en (1) y aplicando operaciones resulta
La expresión (3) para ser una E.D.H; sus términos deben tener el mismo grado, entonces:
+ *
Reemplazando en (1), resulta:
En (4), la última ecuación de E.D.H seguimos el procedimiento indicado para estos casos.-
(5) en (4); después de simplificar resulta:
Separando variables y reemplazando:
Volviendo a las variables primitivas, la solución general es:
PROBLEMAS DE APLICACION
1.
PROBLEMAS GEOMETRICOS
Para resolver un problema geométrico se debe recordar las relaciones geométricas correspondientes a una determinada familia de curvas, ya que dichas relaciones permiten plantear la ecuación diferencial que resuelve el problema; es decir.
( )
La S.G es la ecuación de la familia de curvas, cuya E.D es (1), para cada valor de C; se tendrá la ecuación de una curva de dicha familia.
PROBLEMA 1.Determinar la ecuación diferencial de la familia de curvas, que gozan de la siguiente propiedad: “la longitud de la normal trazada por cualquier punto de una de las curvas es siempre 10 unidades”
Resolución.-Es recomendable hacer un gráfico:
√ Sabemos
Con cual se tiene la ED que resuelve el problema.- efectuando
Para integrar hacemos:
Sustituyendo en (1);
Volviendo a las variables
PROBLEMA 2.Hallar la curva para la cual la perpendicular trazada a la tangente desde el pie de la ordenada del punto de contacto es constante, determinar lo que pasa por el punto (o, a)
Resolución.-Del enunciado se tiene.
̅ Condición= En
Luego la ED de la familia de curvas.
H
+ +
Resolviendo la ED (1) obtenemos la S.G
(2) es la solución general, es decir la ecuación de la familia de curvas que cumple con el enunciado. Para:
Reemplazando en (2) y efectuando se tiene la solución
PROBLEMA 3.Determinar la ecuación de una curva que pase por (1,1) y que tenga la propiedad de que la abscisa en el origen de su recta tangente sea igual a la ordenada de su recta normal
Resolución.- Planteando el problema:
Y Condición:
Donde
(1)
Reemplazando en (1)
(2) es una EDH que al integrar resulta.
ó lo que es la S.G:
(3) es la ecuación de la familia de curvas que cumple la condición del problema; para la S.P se debe calcular c. Cuando
PROBLEMA 4.-
Determinar la ecuación de una curva tal que pase por (3,4) y en que la longitud de su subtangente en cualquier punto sea igual a la distancia del punto al origen Resolución.-
̅ ̅
Rectatan
Reemplazando en (1)
(2) es una EDH, para integrarla se debe hacer dos cambios de variables en el siguiente orden.
Integrando resulta que la familia de curvas es
otambién:
EN (B); para
Reemplazando C, en (B), se tiene la curva solicitada.
2.
PROBLEMAS FISICOS
PROBLEMA 1.Una barca con su carga pesa 98.1 kg .Si la fuerza que ejerce el motor sobre la barca en la dirección del movimiento es equivalente a una fuerza constante de 15kg, y la resistencia (en kilogramos) al movimiento es numéricamente igual al doble de la velocidad (en metros por segundo); determinar la velocidad sabiendo que l a barca parte del reposo. a) después de t, segundos; b) después de 10 segundos c) la velocidad limite
Resolución.Datos e incógnitas
W Datos e Incógnita t
0
t
10
0
¿?
¿?
¿?
W= 98.1 kg = 15 kg
= 2v g = 9.81
Por newton, sabemos que Del gráfico:
Reemplazando valores en (1) se obtiene la ecuación diferencial
Resolviendo la ED (2); obtenemos la ecuación del movimiento, es decir la SG que es:
En (3) calculamos c; para los valores iníciales es decir para
*
Por consiguiente la SP corresponde a la ecuación que gobierna el movimiento, esto es:
1.
De (2), despejamos v:
Como
2.
Para
de la anterior resulta:
3.
La velocidad limite se obtiene para obteniendo.
y reemplazamos en la respuesta de (a);
PROBLEMA 2.Un cuerpo de masa m; cae dentro de una liquido por efecto de su peso y experimentalmente una resistencia proporcional al cubo de su velocidad 1.
Hallar la ecuación del movimiento
2.
Mostrar que la velocidad tiende a un valor constante
Resolución.- Aplicamos el principio de Newton
La fuerza que resulta y ocasiona el movimiento es:
Como
Reemplazando en (2) luego en (1) se tiene:
La E.D del movimiento es:
*
Para hacer fácil la integración hacemos los cambios
El segundo miembro es integrable directamente; el primer miembro integramos por descomposición en fracciones posibles.
Efectuando resulta.
, √ , √ √
Comenzamos la integración
Reemplazando en (4), resulta.
√ √
De la primera expresión de (4):
reemplazando en (5)
* √ √ √ * √ * √
b). En (3)
Tiende a valor constante cuando Entonces:
PROBLEMA 3.-
Se tiene un recipiente que contiene 400 litros de agua y un contenido de 25kg de sal. Está mezclado se mantiene uniforme mediante un mecanismo de agitación. Si a este depósito ha de ingresar salmuera que contiene 0.25kg de sal por litro de salmuera a razón de 12litros por minuto: determinar 1.
La cantidad de sal que contendrá en cualquier instante,
si la mezcla sale del recipiente con el mismo gasto que entra 2.
La sal que contendrá al cabo de 30minutos
3.
¿Cuándo contendrá 75kg de sal?
Resolución.- Consideremos empezado el procedimiento, entonces: 1.
Al transcurrir t min; hay x kg de sal en el recipiente.
2.
La concentración será=
3.
Luego al transcurrir
* , x se incrementa en
(Cantidad se sal que entra)-(cantidad de sal que sale) que es la ecuación de continuidad, abreviadamente
Reemplazando en (1) ; se obtiene la ecuación diferencial del problema.
Reemplazado (2): Cuando 1.
Reemplazando en (3), el valor de C, despejando x:
2.
Se calcula x, cuando t= 30min; en expresión (a)
3.
Conociendo C=L(75) y X= 75kg en (3), calculamos
* PROBLEMA 4.Un tanque que tiene la forma de un cubo de 3.67m de arista; presenta una fuga debido a un pequeño agujero cuya área mide 13 centímetros cuadrados. Si inicialmente está lleno de sus tres cuartas partes; determinar la relación de los tiempos cuando está lleno hasta la mitad; y cuando estavacío.
Resolución.- Al transcurrir la altura de agua es y el volumen disminuye en Luego:
. En un
3.67
También, el mismo volumen sale por la sección B a una velocidad.A
Luego:
√
Como sabemos:
B
Resolviendo (3
Donde:
Luego el tiempo necesario para calcular nivel es:
; el nivel disminuye en
Donde: A= área de sección del cubo; B= área de sección de agujero
[ ] [ √ √ √ (√ √ √ )
En (5) para
Para
La relación solicitada es: Simplificando
PROBLEMA 5.El radio de un cilindro circular recto mide 3.06m y su altura 6.12m .El cilindro que se llena con agua tiene en su base un pequeño orificio circular de 25.5 mm de diámetro ¿Cuánto tardará en salir toda el agua? Primero considerar
Resolución.-
Es conveniente resolver el problema en forma general
condiciones
Datos
y(m)
a=0.0255
0
h
0
0
Al transcurrir
v=3.06m
la altura es
y h
*
Al trascurrir , el nivel de agua desciende volumen descendido: entonces:
,y el volumen desalojado es igual al
Reemplazando en (1):
Resolviendo (2):
(2)
(3)
Para
El tiempo necesario para descender hasta cualquier nivel se consigue reemplazando k, en (3),y
1.
2.
PROBLEMA 6.Un casquete hemisférico de R m de radio con la base hacia arriba, está lleno de agua que sale a través de un orificio de a m de diámetro practicado en el fondo ¿Cuánto tiempo tardara en vaciarse? Si el coeficiente de descargue es c. Condiciones Aplicación: 0
(m)
Resolución.-
R 0
M
R
0
0
P
A medida que el agua desciende el Radio varía para el espejo de agua
3.
En
Calculo del volumen descendido en un
Luego en (1): 4.
Volumen desalojado en un
Según (A) del problema general, igualando (2)y (3)
(4) es la ecuación diferencial que resuelve al problema, resolviendo por los métodos conocidos:
Reemplazando en (5)
Esta expresión representa el tiempo de variación para cualquier nivel. Calcular
Para:
* (II)METODO DE DIFERENCIALES EXACTAS
Este método se emplea cuando se observa o se determina que la ecuación diferencial dada , constituye una “diferencial exacta” entonces la solución general se conseguir determinando cual es la relación. Que satisface a la ecuación diferencial.-
Reducción del Método.1.
Condiciones de Exactitud.-
Consideremos la familia de curvas
cuya diferencial es:
ó bien:
Considerando la Ecuación Diferencial:
Considerando (1), con (2) resuelta que:
Si en (3) derivamos la primera parcialmente con respecto a y; la segunda con respecto a x; Resulta.
Bajo ciertas condiciones adecuadas, es indiferente el orden en que se efectúa la derivación; luego sabemos que:
Si la última relación en (5) se cumple entonces la ecuación (2) es denominada “Ecuación Diferencial Exacta”, esta relación constituye una condición necesaria y suficiente para la exactitud.
2.
Solución de la E.D.E
La solución puede comenzarse por cualquiera de las expresiones de (3); depende del grado de dificultad en la integración; lo usual es comenzar por la primera; la cual integramos en respecto a x.
* *
La “constante de Integración“que se presenta en este caso es una función arbitraria de proviene de una integración en la que “y”, ha sido considerada constante.
ya que
El problema queda reducido a encontrar M en la condición de que , dado por (6) satisface a la segunda relación de (3); diferenciando (6) con respecto a y; debe ser igual a N; esto es:
Luego resulta:
Luego en (6) el valor de , es:
Por consiguiente la S.G presenta la forma:
*
(*)se recomienda aprender el método, mas no la fórmula que se indican.
EJERCICIOS RESUELTOS.-
.
1.- Hállese la solución general de la ecuación diferencial.
Resolución.-Verificando las condiciones de exactitud. De (1):
0
La expresión (2) verifica las condiciones de exactitud, luego
Integrando
(4) diferenciamos respecto a y; e igualando a N
Efectuando: Es decir que
La resolución general es:
*
2.- Resolver la Ecuación diferencial.
Resolución.- La ecuación también es:
* * * *
(3) verifica las condiciones de exactitud, luego calculamos considerando N.
esta vez la hacemos
Diferenciando (4) respecto de x, e igualando a M.
Reemplazando en (4);
Por consiguiente la S.G es:
(III) METODO DE DIFERENCIALES EXACTAS Cuando la ecuación diferencial de Primer Orden y de primer grado no es una diferencial exacta existen varios métodos para resolverla, que depende de las formas que presentan dichas ecuaciones, como veremos más adelante. A continuación se nuestra el caso de aquellas ecuaciones diferenciales, que no siendo exactas, se las transforma a exactas mediante un factor de integración f, al que se le denomina “Factor de Integración”
Si el factor de integración es función de las variables su cálculo resulta laborioso y complicado, facilitndose si es una relación en “x” solamente; o una relación en “y” solamente
Determinación del Factor Integrante.
Sea la ecuación diferencial no exacta:
Multiplicndolo por el factor de integración “f” (hasta ahora desconocido), por definición, la ecuación (1) se hace exacta.
1.
* * ∫
Caso en que “f” es una función de x.
De (2) escribimos:
Si el coeficiente de
, en (3)es solamente función de x
Integrando la segunda expresión de (4) se tiene.
Donde omitimos la constante de integración; entonces el procedimiento es: Si
2.
* ∫ Caso en que “f” es una función de y.
De (2) podemos escribir
*
Donde se tiene que:
* ∫ *∫
Integrando la segunda expresión de (7)
Donde también se emite la constante de integración „, entonces el procedimiento es:
Donde f; es el factor de integración
Procedimiento.Dada la E.D
1.- calcular: 2.- Si
3. Si A
la ecuación es exacta, de fácil reducción.
calcular (A-B) y dividir la diferencia por N, llamaremos h, al resultado.
4.-Si h solamente es función x, entonces
∫ ∫
es el factor de integración.
5- Si h, no es función solamente de x, calcular ( B-A) y dividir por Mla diferencia, sea g, el resultado 6.-Si g,solamente es función de y, entonces
es el factor de integración.
EJERCICIOS RESUELTOS.-
1.- Hállese la solución general de la siguiente ecuación diferencial
Resolución.- Veamos si la ecuación diferencial dada es exacta.
(2), nos dice que la ecuación dada no es diferencial entonces procedemos a calcular a el factor integral “f”
∫
Entonces se tienen que;
Multiplicándolo (1) por el f, calculando, se hace exacta.
(3) se resuelve como en el método anterior, es decir el método de las diferenciales exactas.
Diferenciando (4), respecto a y; e igualando a N.
Reemplazando en (4) las SG es:
2- Hállese la solución particular de la siguiente ecuación diferencial para los valores iníciales
Resolución.-La ecuación puede escribirse en la forma
(2) nos dice que la ecuación diferencial no es exacta, procedemos a calcular el factor integrante “f”
∫ * *
En este caso pasamos a calcular
(1) al multiplicarse por f, se hace una E.D.E, que al resolverse por el método estudiado resulta la S.G
Resolviendo la E.D.E (3); se tiene la S.G
√ (√ ) √ √ √ √ √ √ √
En (4) obtenemos; para
3.- Resolver.Resolución.-
La ecuación puede escribirse también en la forma
Para facilitar: hacemos Reemplazando en (1):
En (2) hacemos
Reemplazando en (2): ó también
Dónde:
(3) por f; de la siguiente E.D.E
Solucionando por el método de las ecuaciones diferenciales exactas. Se obtiene:
( )√
Volviendo a las variables originales la S.G, es:
PROBLEMAS DE APLICACIÓN PROBLEMA 1.Hallar la curva para la cual la longitud del arco desde un punto fijo hasta un punto cualquiera P, es proporcional a la raíz cuadrada de la abscisa de P. Resolución.Del enunciado se debe plantear la condición, se recomienda hacer un grafico
que contribuye siempre a la solución del problema.
√
Condición:
Y
B
Sabemos que: 0
En (1) resulta:
X
∫ √
Dividiendo respecto a X, se tiene:
√
(2) es la ecuación diferencial que resuelve el problema; integrando
√ [ ]
Reemplazando en (4)
Obteniéndose después de integrar (5), y dividiendo a las variables originales, la S.G
√
El alumno debe solucionar como ejercicios haciendo el siguiente cambio soluciones son iguales? PROBLEMA 2.-
¿las
Desde un punto cualquiera de una cierta curva, se traza una normal, la cual corta al eje , en el punto N, hallar la ecuación de dicha curva sabiendo que pasa por el origen y que el punto medio de la recta normal PN, está sobre la parábola cuya ecuación es
Resolución.-
Hacemos el grafico, y se obtiene
Condición:
En el
Y
̅
Coordenadas de
H
M
Coordenadas de
0
N
X
Como M, está en la parábola, entonces se tiene:
Luego:
Reemplazando en (2):
(3) representa la ecuación diferencial de la familia de curvas, resolviendo se tiene la S.G
Cuando la curva pasa por el origen
la S.P es.
PROBLEMA 3.-
Un cuerpo que cae partiendo del reposo en un líquido, alcanza una velocidad cuyo límite es de . Suponiendo que la resistencia del medio es proporcional a la velocidad y que la densidad del cuerpo es de tres veces la del líquido, determinar: 1.
La velocidad al final de 1seg.
2.
La densidad de caída al final de 1seg.
Resolución.- Debemos hacer un gráfico que nos permita entender con mayor claridad el problema. Nuestro cuadro de valores e incógnitas
t
0
1
v
0
3m/s
¿?
e
0
-
¿?
Como por newton:
Del gráfico:
Reemplazando en (1):
Como
En (2) resulta:
Resolviendo la ecuación diferencial del movimiento, dada por (3)
* * *
En la (S.G), para
Luego la S.P. para las condiciones del problema es:
De la S.P; obtendrán la velocidad de caída en cualquier instante
En (4) calculamos la constante k, con las condiciones: Para
Reemplazando en (4) y despejando v; para cualquier instante, t.
() * *
1.
Para
de (5)
2.
Para el cálculo de
; cuando
. De (5)
De (6); para t=0; x=0, resulta
Para t=1seg; x=e; sustituyendo en (6)
* * PROBLEMA 4.En un depósito hay 100 litros de disolución acuosa que contiene 10kg de sal. En este depósito se vierte agua con velocidad de 3 litros por minuto y se expulsa la mezcla a 2 litros por minuto. La concentración se mantiene homogénea removiendo el agua. ¿Cuánta sal había en el depósito después de transcurrir 1 hora? Resolución.- Debemos tener en cuenta que se vierte solamente agua
Sabemos que: al transcurrir un
Entra =
Reemplazando en (1) resulta.
, x, disminuye
Integrando
√ √ √ √
(2) es la S.G, entonces para
luego:
- Ecuación que resuelve el problema: - Para
resulta:
EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE REPASO
1.- resolver las siguientes ecuaciones diferenciales y calcular la S.P, para aquellas cuyas condiciones iniciales se dan.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
(√ )
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
* * ( ) –
2.- Calcular el valor de n, para que la ecuación que se da sea exacta.
3.- Una curva que se halla en el primer cuadrante pasa por el punto . Si la longitud de arco comprendido entre y un punto es numéricamente igual al área limitada por la curva, el eje , el eje , y la ordenada P. Hallar las ecuaciones de la curva
4.- Hallar la ecuación de la familia de curvas, caracterizadas por la propiedad “la suma de las longitudes de la subtangente y de la subnormal de una familia de curvas es igual a 2”
5.- Determinar la ecuación de la familia de curvas que cumple con la siguiente condición “la parte de la recta tangente comprendida entre el punto de tangencia y su intersección con el eje de ordenadas es bisecada por el lugar geométrico de ecuación”
√ √ √
6.- Un hombre nada con velocidad constante v, a través de un rio de ancho, a, dirigiéndose siempre a la otra orilla. Si la velocidad de las aguas del rio varía directamente con el producto de las distancias a ambas orillas; encuentre la ecuación de la trayectoria seguida por el nadador.
7.- Un tanque contiene 240 litros de agua salina con 0.2kg de sal por litro, luego se introduce en él una solución con 0.3kg de sal por litro a un gasto de 8 litros por minuto y la mezcla sale del tanque con el mismo gasto. a) Hallar la cantidad de sal que el tanque contiene en cualquier instante.
b) ¿Cuánto contendrá el tanque 60kg de sal?
8.- En un medio favorable, el número de bacterias crece a una velocidad que es proporcional al número presente. Si hay 1, 000,000 de bacterias en un instante dado y 2, 000,000un hora después, hallar el número de bacterias cuatro horas después.
9.- Se dispara un proyectil con una velocidad de desde un punto situado a 80 metros sobre el nivel del mar. Expresar su altura respecto al mar como una función del tiempo. ¿Cuál es la mayor altura que alcanza? No tomar en cuenta la residencia del aire. Solución:
10.-Un camión está ascendiendo a velocidad de 750km/h y su trayectoria forma un ángulo de 30° respecto a la horizontal. En el instante que deja caer un proyectil, el avión está a una altura de 600m sobre el nivel del terreno ¿cuánto tiempo transcurrirá hasta que el proyectil llegue al suelo? Despreciar la resistencia del aire. Solución:
11.-Un tanque contiene inicialmente 600 litros de salmuera en la que están disueltos 450 gramos de sal. Se vierte agua pura en el tanque a razón de 15 litros/min, y la mezcla, que se mantiene uniforme revolviéndola sale a la misma velocidad. ¿Cuántos gramos quedaran después de 20 minutos?
12.- Un tanque de 400 litros llena de agua pura, se vierte a razón de 12 litros por minuto, agua salada que contiene 0.25 kg de sal por litro. La solución homogénea gracias a un agitador, sale a la misma velocidad. a) ¿Cuántos kilogramos de sal habrá en el t anque al cabo de 1hora 90min? b) ¿Cuál es el límite superior de la cantidad de sal en el tanque, si el proceso continua indefinidamente!
