FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA QUÍMICA
EIQ 542-1: Computación Aplicada Ecuación de Percus-Yevick
INTEGRANTES: Karen Orellana Gourdet. Marcela Raby Ibacache. PROFESOR: Javier Silva C. Fecha de entrega: 11 de Abril de 2013.
INTRODUCCIÓN La Termodinámica es el fenómeno que tienen los cuerpos que se encuentran en los estados líquido, sólido, y gaseoso cuando sufren un cambio de temperatura interna, éstas propiedades se relacionaron para obtener ecuaciones de estado. Una ecuación de estado es una ecuación constitutiva para sistemas hidrostáticos que describe el estado de agregación de la materia como una relación matemática entre la temperatura, la presión, el volumen, la densidad, la energía interna y posiblemente otras funciones de estado asociadas con la materia. Uno de los usos más importantes de las ecuaciones de estado es para predecir el estado de los gases, la más simple es la ecuación de estado ideal para bajas presiones y temperaturas, pero pierde mucha exactitud para altas presiones y temperaturas, es por esto que se desarrollaron ecuaciones de estado para gases reales más precisas. La ecuación de Van der Waals la cual está basada en una modificación de la ley de los gases ideales para que se aproxime de manera más precisa al comportamiento de los gases reales al tener en cuenta su tamaño no nulo y la atracción entre sus partículas. Percus Yevick modificó el modelo repulsivo de la ecuación de Van der
Waals, la constante del modelo de Van der Waals se refiere a la máxima capacidad para comprimir un gas, sin embargo la teoría de Percus Yevick toma el modelo repulsivo para modificarlo en base a la teoría de las esferas rígidas y así obtener un resultado más preciso sobre de diseñar un modelo.
(factor de compresibilidad) al momento
Ecuación de Percus Yavick Mediante la ecuación de Percus Yevick se reemplazaran relaciones y modificaciones para llegar a obtener el valor de z (factor de compresibilidad).
(1)
Teniendo la siguiente relación
(2)
Reemplazando la ecuación (2) en (1)
(3)
Multiplicando la ecuación (3) por RT, y teniendo en cuenta la ecuación de los gases
(4)
Nos queda la siguiente ecuación
Aplicando la primera derivada
(5)
()
(6)
Aplicando la segunda derivada
) (
(7)
Dividimos la ecuación (6) en (7), obtenemos el siguientes valores de
Reemplazando el valor de en la primera derivada obtenemos
Luego con el valor de y reemplazado en la ecuación (3) obtenemos el valor de Z.
DIAGRAMA DE FLUJO: MÉTODO DE LA SECANTE (Z VAPOR) INICIO
Leer P,T,Pc,Tc
R=83,14
Z=0,35983
A=(1,37139*Zc*(R*Tc)^2)/Pc
B=(0,5147*Zc*Tc*R)/Pc
X=(A*P)/(R*T)^2
Y=(B*P)/(4*R*T)
Z1=1
Z2=1,01
F=(1-(X/Z))^3*(Z^2+X)-Z*(1+(Y/Z)+(Y/Z)^2)
F1=F(Z1,X,P,B,A)
F2=F(Z2,X,P,B,A)
Z3=Z2-(F2*((Z1-Z2)/(F1-F2)))
SI
|F2*((Z1-Z2)/(F1-F2))|>0,001
NO
Z1=Z2 Z2=Z3 Escribir Z
FIN FIGURA 1. Diagrama de flujo: Método de secante (z vapor) Propiedades del dióxido de carbono: Temperatura crítica: 304,25 (K) Presión critica: 73,83 (bar)
PROGRAMA VISUAL BASIC: METODO DE LA SECANTE (Z VAPOR) Public Function zetaz(p, t, pc, tc) r = 83.14 a = (1.37139 * (r * tc) ^ 2 * 0.359833) / pc b = (0.5147 * 0.359833 * tc * r) / pc q = a * p / (r * t) ^ 2 s = (b * p) / (4 * r * t) z2 = 1.01 z1 = 1 erro = 0.00001 10 f1 = funcion(z1, q, p, b, a) f2 = funcion(z2, q, p, b, a) z3 = z2 - (f2 * (z1 - z2) / (f1 - f2)) If Abs((f2 * (z1 - z2) / (f1 - f2))) > 0.001 Then z1 = z2 z2 = z3 GoTo 10 End If zetaz = z2 End Function
Private Function funcion(z, q, p, b, a) funcion = (1 - (s / z)) ^ 3 * (z ^ 2 + q) - z * (1 + (s / z) + (s / z) ^ 2) End Function
DIAGRAMA DE FLUJOS: MÉTODO DE SECANTE (Z LÍQUIDO)
INICIO
Leer P,T,Pc,Tc
R=83,14
Z=0,35983
A=(1,37139*Zc*(R*Tc)^2)/Pc
B=(0,5147*Zc*Tc*R)/Pc
X=(A*P)/(R*T)^2
Y=(B*P)/(4*R*T)
Z1 = ((B * P) / (R * T)) + 0.001
Z2 = ((B * P) / (R * T)) + 0.002
F=(1-(X/Z))^3*(Z^2+X)-Z*(1+(Y/Z)+(Y/Z)^2)
F1=F(Z1,X,P,B,A)
F2=F(Z2,X,P,B,A)
Z3=Z2-(F2*((Z1-Z2)/(F1-F2)))
SI
|F2*((Z1-Z2)/(F1-F2))|>0,001
NO
Z1=Z2 Z2=Z3 Escribir Z
FIN FIGURA 2. Diagrama de flujo: Método de secante (z líquido).
PROGRAMA VISUAL BASIC: MÉTODO DE SECANTE (Z LÍQUIDO) Public Function zetazl(p, t, pc, tc) r = 83.14 a = (1.37139 * (r * tc) ^ 2 * 0.359833) / pc b = (0.5147 * 0.359833 * tc * r) / pc q = a * p / (r * t) ^ 2 s = (b * p) / (4 * r * t) z2 = ((b * p) / (r * t)) + 0.001 + 0.001 z1 = ((b * p) / (r * t)) + 0.001 erro = 0.00001 10 f1 = funcion(z1, q, p, b, a) f2 = funcion(z2, q, p, b, a) z3 = z2 - (f2 * (z1 - z2) / (f1 - f2)) If Abs((f2 * (z1 - z2) / (f1 - f2))) > 0.001 Then z1 = z2 z2 = z3 GoTo 10 End If zetazl = z2 End Function
Private Function funcion(z, q, p, b, a) funcion = (1 - (s / z)) ^ 3 * (z ^ 2 + q) - z * (1 + (s / z) + (s / z) ^ 2) End Function
TABLA DE DATOS P (bar)
Z tabulado
Z vapor
Z líquido
0
1
1
-2,00602E-06
2,5
0,982988
0,97945133
0,021039554
5
0,9658
0,95673531
0,042587345
7,5
0,9476
0,93369679
0,066614825
10
0,9294
0,90963778
0,091080714
12,5
0,90945
0,88243904
0,116928657
15
0,8895
0,85434547
0,145752768
17,5
0,86955
0,8239382
0,1763198
20
0,8496
0,79062894
0,210001027
Tabla 1.Factor de Compresibilidad (273 °K). GRÁFICO 1.2 1 0.8 S A T E Z
0.6
Z tabulado Z vapor
0.4
Z líquido 0.2 0 0 -0.2
10
20
30
40
PRESIÓN
Gráfico 1.Presión v/s Z (273°K).
CONCLUSIÓN De acuerdo al gráfico el z tabulado se ajusta al z vapor que calculamos por medio del método de la secante ya que la correlación entre ambas es 0,9989, el cual es un dato bastante positivo lo que nos indica que el modelo es correcto de acuerdo al z vapor. Como segundo punto, el z vapor y el z líquido a medida que aumentaba la presión debían converger en cierto punto, en este caso ocurrió antes de la presión crítica, esto se debe a que no utilizamos la temperatura crítica, es por esto que ocurre antes la convergencia, esto indica que en cierto punto pasa a estado líquido, por lo tanto el modelo también demuestra que se ajusta de acuerdo a los métodos utilizados. Además realizamos una comparación entre el volumen calculado en base al z crítico de Percus Yevick y el volumen en función del z a la presión crítica, éstos valores fueron 0,1(L) y 0,08(L) respectivamente, realizando un análisis a esos valores podemos concluir que los resultados son cercanos, lo que nos demuestra que el modelo de Perkus Yevick si se podría aplicar a un compuesto como el dióxido de carbono.
DESARROLLO DE FUGACIDAD
∫
(8)
Utilizando la ecuación de Percus Yevick, descrita en la ecuación (3), la modificamos para que quede de la siguiente manera
(9)
Teniendo en cuenta la siguiente relación
(10)
Reemplazándola en la ecuación (9)
Aplicando la integral
∫
(11)
, resolviendo y luego reemplazando
(12)
Obtenemos la siguiente ecuación
(13)
Donde se tienen las siguientes relaciones
(14)
(15)
DIAGRAMA DE FLUJO TRAPECIO INICIO
Leer i, j
D=2,5
Donde j=2 hasta n-1 I= I+ celda(j+4, 7) X=I*(D/2)
Escribir I
FIN
PROGRAMA VISUAL BASIC TRAPECIO Public Function tra(n) d = 2.5 For j = 2 To n - 1 i = i + Cells(j + 4, 7) Next j i = i + Cells(n + 4, 7) x=i*d/2 tra = x End Function
TABLA DE DATOS P (bar)
Z tabulado
ln(phi) tabulado
(z-1)/P
ln(phi) trapecio
0
1
0
0
0
2,5
0,982988
-0,013823682
-0,0068048
-0,008506
5
0,9658
-0,027743906
-0,00684
7,5
0,9476
-0,041768079
-0,0069867
10
0,9294
-0,055884512
-0,00706
12,5
0,90945
-0,069992604
-0,007244
15
0,8895
-0,084139942
-0,0073667
17,5
0,86955
-0,098222772
-0,0074543
20
0,8496
-0,112126391
-0,00752
-0,017056 0,025789333 0,034614333 0,043669333 0,052877667 0,062195524 0,071595524
Tabla 2.Valores Energía residual de Gibbs (273°K)
GRÁFICO 0 0
5
10
15
20
25
-0.02 -0.04 ) I H P ( N L
ln(phi) tabulado
-0.06
ln(phi) trapecio
-0.08 -0.1 -0.12
PRESIÓN
Gráfico 2. Ln(phi) v/s Presión (273°K). CONCLUSIÓN De acuerdo a la correlación entre la energía residual
de Gibbs por el
método experimental y el método del trapecio, que nos da un valor de 0.99986213, se concluye en base al resultado de la correlación y lo visualizado en el gráfico, que el modelo utilizado en base al método del trapecio se ajusta a los datos experimentales.
BIBLIOGRAFÍA http://www.icmp.lviv.ua/journal/zbirnyk.58/001/art01.pdf
http://www.sklogwiki.org/SklogWiki/index.php/Exact_solution_of_the_Percus_Yevick_integral_equa tion_for_hard_spheres
http://es.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A1mica
