Universidad de Guayaquil Facultad Facul tad de Ciencias Matemáticas y Físicas Escuela de Ingeniería Civil
Alumna:
MACIAS CRESPO JOHANNI
Catedrático:
ING. LUIS BRIONES
TEMA:
ECUACION DE RICCATI
Grupo: AÑO LECTIVO:
2014-2015
UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS Y FÍSICAS ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL
Dedico este trabajo a mis padres, por ser el motor para seguir adelante. También dedico a mis abuelos ya que con ellos son mi vida .Y quiero dedicar también Dios que me permite día a día seguir adelante. Él está conmigo en las buenas y en las malas, en las noches más frías y por eso se lo debo todo a él ya que a pesar de mis errores en esta vida y sabe perdonar y comenzar nuevamente.
ECUACION DE RICCATI
JOHANNI MACIAS CRESPO
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Primeramente agradezco a Dios que me permite seguir adelante con la ayuda de mis padres. Agradezco a mi familia por siempre motivarme a seguir adelante, al tutor que nos imparte su conocimiento infinito y le agradezco por la paciencia que nos explica las clases.
ECUACION DE RICCATI
JOHANNI MACIAS CRESPO
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Introducción Tiene por objetivo comprender la ecuación “Riccati’s no linear differential equation” de Sugai.
Sabemos que son pocas las ecuaciones diferenciales ordinarias nolineales que pueden ser convertidas
en ecuaciones diferenciales
ordinarias lineales, entre las cuales destacan: la ecuación de Riccati, la Bernoulli y la de Jacobi. Entendemos
por linealizar el convertir una
ecuación diferencial no-lineal en una ecuación diferencial lineal. La idea principal del artículo de Sugai es linealizar la ecuación diferencial ordinaria no-lineal y no-homogénea de Riccati y algunos casos particulares de ecuaciones diferenciales ordinarias no-lineales. Para lograr dicho objetivo Sugai utilizó la transformación convencional, atribuida a Riccati, y una nueva transformación. Usó las extensiones de estas transformaciones para obtener ecuaciones diferenciales ordinarias lineales que se puedan resolver de manera sencilla mediante métodos conocidos. Entendemos por linealizar el convertir una ecuación diferencial no-lineal en una ecuación diferencial lineal. La idea principal del artículo de Sugai es linealizar la ecuación diferencial ordinaria no-lineal y no-homogénea de Riccati y algunos casos particulares de ecuaciones diferenciales ordinarias no-lineales. Para lograr dicho objetivo Sugai utilizó la transformación convencional, atribuida a Riccati,
y una nueva
transformación. Usó las extensiones de estas transformaciones
para
obtener ecuaciones diferenciales ordinarias lineales que se puedan resolver de manera sencilla mediante métodos conocidos.
ECUACION DE RICCATI
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Nota histórica El Conde Jacobo Francesco Riccati nace en Venecia, Italia, el 28 de mayo de 1676. Vivió parte de su vida en Venecia y en Treviso. Este conde estudió en Padua, en este mismo país y se graduó en 1696 como matemático. Este conde desde temprana edad fue un sabio, ya que 1758 logra algunas publicaciones sobre Matemáticas, Física y Filosofía. Fue el principal responsable de la introducción de las ideas de Newton en Italia. En su época fue muy respetado en el círculo de científicos, hasta le ofrecieron la presidencia de la Academia de Ciencias de San Petersburgo; pero, por su posición en la sociedad aristócrata Italiana,
sus lujos y sus comodidades rechaza esa
oportunidad. En 1724 estudió la ecuación diferencial que lleva su nombre:
= Sin lograr sus soluciones. Es importante resaltar
que estos casos
especiales fueron tratados por integrantes de la familia Bernoulli que sí lograron conseguir sus soluciones. El Conde Jacobo Fracesco Riccati muere en Treviso, Italia, el 15 de Abril de 1754.
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Ecuación de Riccati La investigación de la ecuación de Riccati convocó el esfuerzo de varios matemáticos: Leibnitz, Goldbach, Juan Bernoulli y sus hijos Nicolás y Daniel Bernoulli, y posteriormente, aEuler.1
= Recibe el nombre de ecuación diferencial de RICCATI. Esta ecuación diferencial no se puede resolver por los métodos convencionales, sin embargo si se conoce una solución particular variable
=
=
, el cambio de
transforma la ecuación dada en una ecuación
que se puede resolver con facilidad. PRIMERA SOLUCION Llevar la ecuación de RICATTI a una ecuación de BERNOULLI par luego resolverla. Esta transformación se consigue mediante la sustitución. Si
=
entonces
= ∅´ ´
, reemplazando en la
ecuación de riccati, se tiene:
´ = Realizando operaciones
´ = 2 ´ = 2 ECUACION DE RICCATI
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Agrupamos términos
´ 2 =0 (´ ) 2 =0 (´ ) = 0
Pero como
es una solución particular, se tiene que
Luego, la ecuación se reduce a:
2 = 0 ( 2) = La cual corresponde a una ecuación de Bernoulli
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Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial.
2 = 2 Reescribimos la ecuación como
2 − = 2 = 2 − 2 = − 2 2 La cual tiene la formal
Donde
= = −; = 2 ; = 2
Es fácil comprobar que una solución de la ecuación diferencial es
=
Ya que
= 1
, con lo que
1 = − 2 2 1 = 12 2 1= 1 =
Haciendo el cambio de variable,
se tiene que
= 1
De donde
1 = − 2 2 ECUACION DE RICCATI
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1 = 1− 2 2 2 1 = 1− 2 4 2 2 = − 4 2 = − 4 2 − 4 = 2 4 − = 2 =
La cual tiene la forma
que corresponde a una
ecuación diferencial de Bernoulli, con n=2 Multiplicando por
Haciendo
−
, se tiene que
− 4 −− = 2 = − 4 = 2
Buscamos el factor integrante, para ello determinamos
ʃ = ʃ − 4 = 2 ʃ = − = − ʃ− = −+ = = − Con lo que el factor integrante:
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De donde la solución general es de la forma:
= ʃ− ʃ ʃ = − ʃ 2− = − 12 − = − − = − 12 − = = − = − 12 − 1 = 1 12 − = 12 − = 12 1 = 2 2 1 = 2 1 =
)
Recordemos que
Pero
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de donde
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Segunda solución: Llevar la ecuación diferencial a una ecuación
lineal. Ahora, mediante el cambio de variable
=
, la ecuación de
riccati, se transforma en una ecuación lineal. Si
= −
entonces
= − , reemplazando en la
ecuación de riccati, se tiene:
− = − −
Realizando operaciones
− = − 2− − − = − 2− − Agrupamos términos,
− 2 = 0 − − 2− − = 0 ECUACION DE RICCATI
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Pero como
= 0 es una solución particular, se tiene que
Luego, la ecuación se reduce a:
− − 2− = − − 2− = − De donde
( 2) = Que es la ecuación lineal a resolver Por ejemplo: encontrar la solución de la ecuación diferencial
= 2 1 Una solución particular de la ecuación dada es la función ya que
′ = 1
, se tiene que
=
,
= 2 1 1 = 1 2 1 = 12 2 1= 1
Realizando cambio de variable
= ECUACION DE RICCATI
De donde
= − JOHANNI MACIAS CRESPO
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Se tiene
= 1
1 1 1 = 2 11 1 1 = 2 1 1 2 2 1 1 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 =
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La transformación convencional permite linealizar ecuaciones nolineales de órdenes superiores:
=
No se pueden linealizar ecuaciones no-lineales homogéneas de primer orden y de grado dos con la transformación convencional. La transformación convencional extendida y la nueva transformación extendida linealizan las extensiones de la ecuación de Riccati para cierto valores de P, Q y R. La nueva transformación extendida linealiza la ecuación de Bernoulli y esta ecuación resultante es más sencilla de resolver que la ecuación lineal obtenida utilizando la transformada de Leibnitz.
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BIBLIOGRAFÍA file:///C:/Users/User/Desktop/Downloads/GUIA9.ECUACION%20DIFERENCIAL%20 DE%20RICATTI.pdf http://jacobi.fis.ucm.es/metodos/Apuntes/edi-ag.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Riccati
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