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ECONOMETRIA ·
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I
ECONOMETRIA
Primera Parte
~/ EDITORIAL
V
FÉUX VARELA
La Habana. 2005
PROLOGO El objetivo fundamental de la segunda edición del texto Econometrfa básica sigue siendo el mismo. Se busca proporcionar una introducción elemental y comprensible de la econometría, sin tener que recurrir al álgebra matricial, al cálculo ni a la estadfstica, más allá de un nivel elemental. Desde la publicación de la primera edición de este libro en 1978, he recibido innumerables sugerencias de parte de alumnos, profesores e investigadores tanto de los Estados Unidos como del exterior sobre cómo se puede mejorar el libro y hacerlo accesible el una m,ayor audiencia. En respuesta a estas sugerencias y también buscando reflejar los nuevos acontecimientos en materia económica desde 1978, he revisado y actualizado significativamente este libro: Algunos de los cambios más importantes en la segunda edición son los siguientes: l. La notación de subíndice Yule se ha eliminado y se ha remplazado por una notación mucho más simple. 2. La expo'sición de algunos temas incluidos en la primera edición se ha simplificado y algunoslde los conceptos más abstractos se han clarificado con mayor profundidad. Las pruebas matemáticas, donde son necesarias, se relegan a los apéndices. 3. Temas tales como las pruebas de Goldfeld-Quandt y Breusch-Pagan de heterocedasticidad, la prueba del índice de condición de la multicolinealidad, la prueba Xl de autocorrelación, la prueba RESET de Ramsey para la especificación de errores, la prueba de Chowpara la comparación de dos o más regresiones, los efectos de interacción de las variables dicotómicas y otros temas similares se presentan ahora en diferentes capítulos. Todos estos temas se ilustran con ejemplos numéricos. 4. Se han incorporado tres nuevos capítulos que reunen material que se encontraba disperso en la primera edición. En el Capítulo 6 (Extensiones al modelo de regresión lineal con dos variables) se cubren los siguientes temas: Regresión a través del origen, escalamiento de las unidades de medida yl formas funcionales para los modelos de regresión, tales como los modelos log-lineal, semilogarítmico y recíprocos. En el Capítulo 11 (Especificación de modelos) se analizan los atributos de-un buen modelo
y se consideran las consecuencias de un modelo inc~rrectamente especi-
ficado. También se trata en este c~p1tulo el tema de la medición de errores. En el Capítulo 13 (Regresión sobre una variable dep~ndiente dicotómica: Los modelos MPL, Logit y Probit), se da un tratamiento más profundo al caso en donde la variable dependiente es dicotómica (sí / no, presente I ausente). Algunos ejemplos numéricos, como también ejemplos de la vida diaria, ilustran las diferentes técnicas. 5. Los problemas y preguntas al final de cada capítulo se han ampliado considerablemente, incorporando gran parte del material de interés teórico y práctico. Se han incluido ejemplos concretos de las diferentes ramas de los negocios, la economía y las finanzas, para demostrar claramente la versatilidad de los modelos de regresión. 6. Desde la publicáción de la primera edición se han lanzado al mercado excelentes paquetes de software de econometría disponibles tanto para grandes computadores (mainframe) como para los computadores personales. El Apéndice A presenta un breve análisis de estos paquetes. La mayor parte de los problemas numéricos considerados en este texto se solucionan utílízando el paquete SAS. El cubrimiento más extenso de los antiguos temas, jUJ;lto con la adición de nuevos temas y ejercicios, han hecho que el libro sea un poco más largo. Esperamos que esto proporcione al profesor una mayor flexibilidad para escoger los temas que considere adecuados para la audiencia específica. A continuación se presentan algunas sugerencias sobre la manera como puede utilizarse este libro. Cursos sobre econometría
Un curso de un semestre para un no especiali::ta. CApítulos 1 a 6 y revisión de los Capítulos 7 y 8 (omitiendo todas las pruebas) y el Capítulo 10. Se pueden omitir los ejercicios teóricos. Un curso de un semestre para estudiantes de economía. Capítulos 1 a 6, Capítulos 7 a 10. Se pueden omitir algunos ejercicios teóricos. Un curso de dos semestres para estudiantes de economía. Capítulos 1 a 15. Las pruebas matemáticas dadas en los diferentes apéndices se pueden cubrir en forma selectiva. Cursos sobre análisis de regresión
Un curso corto de un trimestre (aproximadamente 7 a 8 semanas). Capítulos 1 a 6, omitiendo todas las pruebas matemáticas. Un curso de un semestre. Capítulos 1 a 10. Se pueden omitir algunos desarrollos teóricos. Esta revisión no habría sido posible sin los comentarios constructivos, las sugerencias y el estímulo que he recibido de diferentes personas que han
revisado el libro. En particular, deseo agradecer a los siguientes profesores, sin hacerlos, por supuesto, responsables de cualquier deficiencia que subsista en la versión final de este libro: Ann R. Horowitz (University of Florida en Gainesville) James McDonald (Brigham Young University) James Moncur (University of Hawaii) Mark J. Roberts (Pennsylvania State University) Joseph J. Seneca (Rutgers University) John J. Spitzer (State University ofNew York,en Brockport) H. D. Vinod (Fordham University) Ronald Warren (University of Virginia) También estoy endeuda con mis colegas John Martin, por su valiosa ayuda, con Ashok Vora por las estimulantes conversaciones que sostuvimos, y con mi asistente de investigación, Zhenmin Fang, por su colaboración en repetidas ocasiones. . Finalmente, pero no menos importante, estoy profundamente agradecido con mi esposa Pushpa, mis hijas J oan y Diane, y con dos amigos especiales, Sushila Gildwani-Buschi y Joseph Buschi, por proporcionarme la paz mental necesaria para completar la revisión.
CONTENIDO In troducción Parta I Modelos uniecuacionales de regresión
1
11
1
La naturaleza del análisis de regresión
13 .
1.1 1.2' 1.3 1.4 1.5 1.5 1.7
Origen histórico del ténnino "regresión" Interpretación moderna de la regresión Relaciones estadísticas vs. relaciones detenninísticas Regresión vs. causación Regresión vs. correlación Tenninología y notación Naturaleza y fuentes de infonnación para el análisis econométrico Tipos de datos Fuentes de datos Exactitud de los datos Resumen y conclusiones Ejercicios
13 14 18 19 19 21 22
1.8
2
Modelos de regresión con dos variables: algunas ideas básicas
2.1 2.2 23
Ejemplo hipotético Concepto de la función de regresión poblacional (FRP) Significado ~l ténnino "lineal" Linealidad en las variables Linealidad en los parámetros Especiftcación estocástica de la FRP La signifJCanCÍa del ténnino de -"perturbación estocástica" Función de regresión muestral {FRM} Resumen y conclusiones Ejercicios
2.4
2.S 2.6 2.7
2S 26
28 28 31 33 34 3S 37 41 42
3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9
4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
5 5.1 5.2 5.3
5.4 5.5 5.6
El modelo de regresión con dos variables: El problema de la estimación El método de mínimos cuadrados ordinarios Principio de los mínimos cuadrados El modelo de regresión lineal clásico: Supuestos fundamentales del método de mínimos cuadrados ordinarios Errores de precisión o errores estándar de los estimadores de mínimos cuadrados ordinarios Propiedades de los estimadores de mínimos cuadrados: El teorema de Gauss-Markov Coeficiente de detenninación ". : Medida de la "bondad del ajuste" Un ejemplo numérico Un ejemplo ilustrativo: La demanda de café en los Estados Unidos Listado de computador para la función de demanda de café Resumen y conclusiones Ejercicios Apéndice 3A Derivación de los estimadores de mínimos cuadrados 3A.l 3A.2· Las propiedades de linealidad e insesgamiento de los estimadores de mínimos cuadrados ordinarios ·3A.3 Varianzas y errores estándar de los estimadores mínimos cuadrados ordinarios 3A.4 El estimador de mínimos cuadrados para 0 2 3A.5 La propiedad de la varianza mínima de los estimadores con mínimos cuadrados 3A.6 Listado SAS para la función de demanda de café (3.7.1) El supuesto de nonnalidad: El modelo clásico de regresión lineal nonnal La distribución probabilística de las perturbaciones Ilt El supuesto de normalidad Propiedades de los estimadores de MCO bajo el supuesto de normalidad El método de máxima ver:osimilitud (MV) Resumen y conclusiones Apéndice 4A Estimacion utilizando el método de máxima verosimilitud para un modelo de regresión con dos va,riables Ejercicios· del Apéndice 4A· Regresión con dos variables: Estimación por intervalos y prueba de hipótesis Estimación por intervalos: Algunos conceptos básicos Distribuciones normal t, )(l YF: Breve exposición Intervalos de COnI18nZa para IQs coeficientes de regresión PI y P2 Intervalo de confianza para {J2 Intervalo de confianza para {Jt Intervalo de confumza para {Jt y {J2 simultáneamente Intervalo de confumza para 0 2 Prueba de hipótesis: Gomentarios generales Prueba de hipótesis: El enfoque del intervalo de confianza
47 47 54 63 65
67 73 7S 77 77
79 84. 84 84 85 86
87 89
91 91 92 94 97 97 98 98 101
102 102 104 106
109 110 111
Prueba con dos colas o büateral Prueba con una cola o unilateral 5.7 Prueba de hipótesis: El enfoque de la prueba de significancia Prueba de significancia para los coeficismtes de regresión: La prueba t. . Prueba designificancia para a2: La prueba i" Prueba de hipótesis: Algunos aspectos prácticos 5.8 El significado de "aceptar" o "rechazar" una hipótesis La hipótesis nula o "O" y el "2t" La regla empírica Planteamiento de las hipótesis nula y alterna Escogencia del nivel de significancia ex Significancia estadística vs. significancia práctica 5.9 Análisis de regresión y análisis de varianza 5.10 Aplicación del análisis de regresión: El problema de la predicción Predicción media Predicción individual 5.11 Informes de los resultados del análisis de regresión 5.12. Evaluación de los resultados del análisis de regresión 5.13 Ejempl<1ilustrativo: La relación entre salarios y productividad en los Estados Unidos entre 1960-1983 5.14 Resumen y conclusiones Ejercicjos ApéndiCe 5A 5A.l· Derivación de la ecuación (5.3.2) 5A.2 Derivación de la ecuación (5.9.1) Listado SAS para la regresión salarios-productividad para SA.3 los Estados Unidos (5.13.2)
6 6.1 6.2
6.3
6.4
Extensiones del modelo de regresi6n lineal con dos variables Regresión a través del origen Ejemplo ilustrativo: La línea característica de la teoría del portafolio Escalas y unidades de medición Ejemplo nUmérico: La relación entre ellPDB y elPNB en los Estados Unidos, 1974-1983 Algunas palabras sobre la interpretación Formas funcionales de los modelos de regresión Modelos Log-Log, Doble Log, Log-Lineal o de elasticidad constante Ejemplo ilustrativo: La función reconsiderada de demanda de café Modelos semilogarítmicos: Modelos Log-Lin y Ling-Log Ejemplo ilustrativo: Tasa de crecimiento del PNB real, Estados Unidos, 1969-1983 Transformaciones recíprocas Ejemplo ilustrativo: La curva de Phillips para el Reino Unido, 1950-1966 Resumen y conclusiones Ejercicios Apéndice 6A
113
117
121 124 127 128 129 131 132 138 138 138 139
140 141 146
150
161 162 168
• 6A.l 6A.2 6A.3
7 7.1 7.2 7.3
'7.4
7.5 7.6
7.7 7.8 7.9
7.10 7.11
Derivación de los estimadores con el 'método mínimos
cuadrad~s para la regresión a trávés del origen '. liStado SAS para la línea' característica (6.1.11) Listado' SAS para la regresión de. la curVa de Phillips, para el Reino Unido (6.3.13)
Enfoque matricial para el modelo de regresi6n lineal El modelo de regresión lineal con kvariobles Supuestos del modelo clásico de regresión utilizan:do notac~ón matricial Estimaciones utilizando MCO Ilustración Matriz de varianza-covarianzapata , Propiedades del vector' de MeO . El coeficiente de detenninaciónR 2 y el coeficiente de determinación ajustado R 2 es la notación matricial La matriz de correlación Pruebas de hiPótesis con respecto a los coeficientes individuales de regresión en notación matricial .,' • Pruebas de siSnificancia global de 18 regresióÍl: Análisis de,varianza en notación matricial . Prueba de restricciones lineales: Pruebas generales F utilizando notación matricial ' Predicción utilizando regresi6nmúltiple: Formulació~ matricial Predicción media . . Predicción individual.. . Varianza y predicci6n media Varianza de la predicción media Varianza de la predicci6n individual , Resumen del enfoque matricial: Ejemplo ilustrátivo Resumen y conclusiones
8.1 8.2 8.3
171
172 173
175 177
182 184
18S 186 187 187
192 197
~~b
1~
Apéndice 7A 7A.l Derivación de las K ecuaciones normales o simultáneas 7A.2 Derivación matricial de las eci.iaciones riormales 7A.3 Mátriz de variaI!za-cÓvarianza de , 7A.4 Propiedad MELI de los ~stimadores de MCO
204 204 20S 205 206
Parte 11 Violaci6n.delos supuestos del modelo clásico '
8
168 170
Multicolinealidad Naturaleza de la multicolinealidad Esfimación en el caso de multicolinealidad perfecta Estirnaci6nen el caso de "alta" multicolinealidad pero "imperfecta"
209 213 213 216 218
8.4 8.5
Multicolinealidad: Consecuencias teóricas de la multico1inealidad Consecuencias prácticas de la multicolinealidad Varianzas y covarianzas amplias de los estimadores de MeO Intervalos de confianza más amplios Raz~es t "no significativas" Un alto R' pero pocas razones t significativas Sensibilidad de los estimadores de MeO y sus errores estándar ante pequefl.os cambios en los datos Ejemplo ilustrativo: gastos de consumo en ~lación éon ingreso y la riqueza Cómo detectar la multicolinealidad Medidas remediales ¿Es la mu!ticolinealidad necesariamente mala? tal vez no, si el objetivo es únicamente la predicción Resumen y conclusiones Ejercicios
239 240 241
9
Heterocedasticidad
247
9.1 9.2 9.3
Naturaleza de la heterocedasticidad La estimación con MCO en presencia de heterocedasticidacl El método de los mínimos cuadrados generalizados (MCG) Diferencia entre MCO y MCG Consecuencias de utilizar MCO ante presencia de heterocedasticidad Estimac.ón con MCO permitiendo heteroscedasticidacl Estimación con MCO sin tener en cuenta la presencia de heterocedasticidad Cómo detectar la heterocedasticidad Ejemplo ilustrativo Medidas remediales Cuando se conoce oi': el método de los mínimos cuadrados ponderados Cuando no se conoce Of Resumen y conclusiones Ejercicios Apéndice 9A Prueba de la ecuación (9.2.2) 9A.1 9A.2 Método de mínimos cuadl.ldos ponderados
241 252 253
219 221
,
8.6 8.7 8.8 8.9
t
8.10
9.4
9.5 I
9.6
9.7
226 229 233
256 257 258 269
214 216 285 285
10
Autocorrelación
287
10.1 10.2 10.3 10.4
Naturaleza del problema Estimación de MCO en presencia de autoco~Jación El MELI en presencia de autocorreJación Consecuencias de utilizar MCO en presencia de autocorrelaoiÓD Estimación de MCO permitiendo la autocorrelación Estimación de MCO sin tener en cuenta la autocorrelaciÓD Cómo detectar la autocorrelación Medidas remediales Cuando se conoce la estructura de la autocorrelación. Cuando p no se conoce
287 294 291 298
10.5 10.6
304 . 316
10.7 Ejemplo ilustrativo: La relación entre el índice de vacantes de empleos y la tasa de desempleo en los Estados Unidos comparación de los
10.8
métodos Resumen y conclusiones Ejercicios
323 326 327
11
Especificación del modelo
336
11.1 11.2 11.3
Atributos de un buen modelo Tipos de errores de especificación Consecuencias de los errores de especificación Omisión de una variable relevante Inclusión de una variable irrelevante Pruebas de errores de especificación Cómo detectar la presencia de variables innecesarias Prueba~ de variables omitidas y de la forma funcional incorrecta Otras pruebas de error de especificación Pruebas para detectar errores de especificación de un modelo Ejemplo ilustrativo: el modelo de San Luis Errores de medición Errores de medición en la variable dependiente Y Errores de medición en la variable explicativa X Un ejemplo Resumen y conclusiones Ejercicios Apéndice IIA llA.l Consecuencias de incluir una variable irrelevante: la propiedad de insesgamiento l1A.2 Prueba de la ecuación (11.6.10)
337 339 341
11.4
11.5 11.6
11.7
Parte 111 Temas en econometría
343
350 352
358 359 363 363 363
365
12
Regresión con una variable dicotómica
367
12.1
Naturaleza de las variables dicotómicas Ejemplo 12.1: Los salarios de los profesores según el sexo Regresión con una variable independiente cuantitativa y una cualitativa con dos clases o categorías Ejemplo 12.2: ¿Son los inventarios sensibles a las tasas de interés? Regresión en una variable independiente cuantitativa y una variable cualitativa con más de dos clases Regresión en una variable independiente cuantitativa y dos cualitativas Generalización Ejemplo 12.3: La economía del "doble empleo" Comparación de dos regresiones: Ideas básicas Ejemplo 12.4: Athorro~ e ingresos, Reino Unido, 1946-1963 Comparación de dos regresiones: Prueba de Chow Comparación de dos regresiones: Enfoque de la variable dicotómica
367 369
12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8
370 374 376 377 379 379 381 384
12.9
12.10 12.11
12.12 12.13
13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 13 ..10 13.11 13.12 13.13 13.14
Comapración de dos regresiones: Ilustración adicional Ejemplo 12.5: El comportamiento del desempleo y de las vacantes sin llenar: Gran Bretaña, 1958-1971 Efectos de interacción El uso de las variables dicotómicas en el análisis estacional Ejemplo 12.6: Comportamiento de las ganancias-ventas en la industria manufacturera en los Estados Unidos Regresión discotinua o lineal por etapas o tramos Resumen y conclusiones Ejercicios Apéndice 12A 12A.1 Matriz de datos para la regresión (12.9.2) 12A.2 Matriz de datos para la regresión (12.11.2) Regresión en una variable dependiente dicotómica: Los modelos MPL. Logit y Pro bit Variable dependiente dicotómica El modelo de probabilidad lineal (MPL) Estimación de los MPL MPL: Ejemplo numérico Aplicaciones del MPL lO Alternativas al MPL El modelo Logit Estimación del modelo Logit El modelo Logit: Un ejemplo numérico El modelo Logit: Ejemplos ilustrativos El modelo Probit El modelo Probit: Ejemplo numérico Logit vs. Probit El modelo Probit: Ejemplo ilustrativo Resumen y conclusiones Ejercicios
386
388 389
392 394 395 403 403 404
405 405 406 407 411 413 418 420 422 425 428 430 434 436 439 440
14·
445
14.1 14.2 14.3
446 450 452
Modelos autorregresivos y rezagos distribuidos El papel del "tiempo" o "rezagos" en la economía Razones que explican los rezagos Estimación de los modelos de rezagos distribuidos Estimación Ad hoc de los modelos de rezagos distribuidos 14.4 El enfoque de Koyck para los modelos de rezagos distribuidos Media y mediana de los rezagos 14.5 Racionalización del modelo de Koyck: El modelo de expectativas adaptables 14.6 Otra racionalización del modelo Koyck: El modelo de ajuste de exis.tencias o ajuste parcial 14.7 Combinación de los modelos de esperanzas adaptables y de ajuste parcial 14.8 Estimación de los modelos autorregresivos 14.9 Método de variables instrumentales (VI) 14.10 Cómo detectar autocorrelación en los modelos autonegresivos: Prueba h de Durbin 14.11 Ejemplo numérico: La demanda de dinero en la India
453
457 460 463 464 466 467 470
·14.12 Ejemplos ilustrativos 14.13 El enfoque de Almon a los modelos de rezagos distribuidos: El modelo de rezagos polimoniales de Almon Ejemplo numérico 14.14 Causalidad en economía: La prueba de Granger La prueba de Granger Resultados empíricos 14.15 Reswnen y conclusiones Ejercicios
Parte IV Modelos de ecuaciones simultáneas
472 477 484 486 489
497
15
Modelos de ecuaciones simultáneas
499
15.1 15.2 15.3
Naturaleza de los modelos de ecuaciones simultáneas Ejemplos de modelos de ecuaciones simultáneas El sesgo en las ecuaciones simultáneas: Inconsistencia de los estimadores de MCO El sesgo en los 11\0delos de ecuaciones simultáneas: Ejemplo numérico Resumen y conclusiones Ejercicios
499 500
16
El problema de la identificación
517
16.1 16.2
Notación y definiciones El problema de la identificación Sub identificación Identificación justa o exacta Sobreidentificación Reglas para la identificación de un modelo La condición de orden de identificabilidad La condición de rango de identificabilidad Resumen y conclusiones Ejercicios
517 521
Métodos de ecuaciones simultáneas
539
15.4 15.5
163
16.4
17 17.1 17.2 17.3
Enfoque para la estimación de un modelo Modelos recursivos y el método de,mínimos cuadrados ordinarios Estimación de una ecuación exactamente identificada: El método de mínimos cuadrados indirectos Propiedades de los estimadores con el método de MCI 17.4 Estimación de una ecuación sobreidentificada: El método de mínimos cuadrados en dos etapas. (MC2E) Características sobresalientes de los estimadores con el método de MC2E 17.5 MC2E: ejemplo numérico 17.6 Ejemplos ilustrativos 17.7' Resumen y conclusiones Ejercicios
507 510 512 512
530
535 536
539 541
544 548
553 555 561 562
Apéndice 17 . 17A.l . El sesgo de los estimadores de mínimos cuadrados indirectos 17A.2 Estimación de los errores estándar de los estimadores de MC2E A
B
Apéndices. Lista de algunos paquetes estadísticos de computador Tablas estadísticas Tabla B.l Areas bajo la distribución normal estandarizada Tabla B.2 Puntos porcentuales de la distribución t Tabla B.3 PUÍltos porcentuales superiores de la distribución F Tabla B.4 Puntos porcentuales superiores de la distribucion X" Tabla B.5 Estadística d de Durbin·Watson: Puntos de significancia dL yd v a niveles de signiflcancia de 0.05 y 0.01 Tabla B.6 Valores críticos para diferentes rachas en la prueba de rachas
Bibliografl3 Indice
565 565 566 568 571
588 591
INTRODUCCION
1.
¿QUE ES ECONOMETRIA?
Literalmente, econometría significa "medición económica". Sin embargo, si bien es cierto que el fenómeno de la medición es una parte importante de la econometría, el campo de acción de esta disciplina es mucho más amplio, como puede apreciarse en las siguientes citas textuales: . La econometría, que es el resultado de la adopción de una posición sobre el papel que juega la economía, consiste en la aplicación de la estadística matemática a los datos económicos con el objeto de proporcionar no sólo un apoyo empírico a los modelos construidos por la economía matemática, sino una forma de obtener resul. tados numéricos. 1 Se puede definir la econometría como el a'nálisis cuantitativo de fenómenos econó· micos reales basados en el desarrollo simultáneo de la observación y la teoría, rela· cionados a través de apropiados métodos de inferencia. 2 La econometría puede definirse como la ciencia social en la cual se aplican las he~ rramientas de la teoría económica, las matemáticas y la inferencia estadística, al análisis de los fenómenos económicos. 3 La econometría tiene que ver con la determinación empírica de las leyes económicas. 4 El arte del econometrista consiste en encontrar el conjunto de supuestos que sean suficientemente específicos y realistas, de tal manera que le permitan aprovechar de la mejor manera posible los datos que tiene a su disposición. .
1 Gerhard Tintner, Methodology 01 Mathem,atical Economics and Econometrics, The University of Chicago Press, Chicago, 1968, p. 74. 2 P. A. Samuelson, T. C. Koopmans, and J. R. N. Stone, "Report of the Evaluative Committee ror Econometrica", Econometrica, Vol. 22, No. 2, abril 1954, pp. 141-146.
3
Arthur S. Goldberger, Econometric Theory, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1964, p. 1.
4
H. Theil, Principies of Econometrics, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1971, p. 1
5
E. Malinvaud, Statistical Methods of Econometrics, Rand McNally & Co., Chicago, 1966, p. 514.
1
2 2.
INTRODUCCION
¿POR QUE UNA DISCIPLINA APARTE?
Corno sugieren las definiciones anteriores, la econometría es una amalgama de teoría económica, economía matemática, estadística económica y estadís~ tica matemática. Sin embargo, es una disciplina que merece ser estu~iada separadamente por las razones que se esbozan a continuación. La t.eoría económica hace afirmaciones o formula hipótesis de naturaleza principalmente cualitativa. Por ejemplo, la teoría microeconómica sostiene que, al permanecer constantes otros factores, una reducción en el precio de un bien debe traducirse en un aumento de la demanda de dicho bien. De este modo, la teoría económica postula la existencia de una relación negativa o inversa entre el precio y la cantidad demandada de un bien, sin que proporcione, sin embargo, una medida numérica de la relación entre las dos variables. en otras palabras, no nos dice en cuánto aumentará o disminuirá la cantidad demandada cuando se presente un cambio en el precio de un bien. En este sentido, es trabajo del econometrista proporcionar estimaciones numéricas dirigidas a cuantificar dicha relación, es decir, la econometría proporciona el contenido empírico a la mayoría de las teorías económicas. La preocupación principal de la economía matemática consiste en expresar la teoría económica en forma matemática (ecuaciones), sin prestar atención a la medición ni a la verificación empírica de la teoría. La econometría, corno bien se ha dicho hasta el momento, se interesa primordialmente por la verificación empírica de la teoría económica. Corno veremos, a menudo el econometrista hace uso de las e.cuaciones propuestas por el economista matemático, pero de tal forma que éstas puedan estar sujetas a pruebas o comprobaciones de tipo empírico. Esta conversión de ecuaciones matemáti~ cas a ecuaciones econométricas requiere, sin lugar a dudas, ingenio y destreza. La estadística económica centra su atención en la recolección, procesa~ miento y presentación de cifras económicas en forma de gráficos y tablas. Este es, en efecto, el trabajo del estadístico económieo, cuya actividad principal consiste en recoger cifras de las cuentas nacionales, PIB, empleo, desempleo, precios, etc. La información así recogida se constituye en la materia prima de trabajo para el econometrista. Sin embargo, el estadístico económico no va más allá de la recolección de información, ya que no está interesado en la utilización de la misma para validar ni refutar teorías; es, desde luego, el econometrista quien se ocupa de realizar este trabajo. Aunque la estadística matemática proporciona una buena parte de las herramientas utilizadas en esta ciencia, a menudo el econometrista requiere métodos especiales en virtud del carácter sui géneris de la mayor parte de las cifras económicas, debido a que éstas no son el resultado de un experimento controlado. El econometrista, como el meteorólogo, generalmente depende información que no se puede controlar directamente; por tanto, las cifras , de consumo, ingreso, inversión, ahorro, precios, etc., recogidas por agencias públicas y privadas, son de características no experimentales. El econometrista torna estos datos corno dados, hecho que gener~ problemas que se presentan normalmente en el campo de la matemática estadística. Además, la información puede contener errores de medición, situacióa que el econometrist~ nllprlp. ~vudar a remediar desarrollando métodos especiales de análisis.
INTROOUCCION
3.
3
METODOLOGIA DE LA ECONOMETRIA
En términos generales, el análisis econométrico sigue las siguientes líneas generales,de acción: 1. Enunciado de la teoría o hipótesis. 2. Especificación del modelo econométrico dirigido a probar la teoría. 3. Estimación de los parámetros del modelo escogido. 4. Verificación o inferencia estadística. S. Predicciones o pronóstico. 6. Utilización del modelo para fmes de controlo formulación de políticas. Para ilustrar la metodología de la econometría, consideremos a continuación la teoría keynesiana de la función consumo, ampliamente conocida. Enunciado de la teoría o hipótesis Keynes plantea: La ley sicológica fundamental consiste en que los hombres (y mujeres) están dis· puestos, por regla general y en promedio, a aumentar su consumo a medida que aumenta su ingreso, aunque no en la misma proporción al incremento en dicho ingreSO.6
En poca~ palabras, Keynes afirma que la propensión marginal a consumir {PMC), la tasa de cambio del consumo ante un cambio de una unidad (por ejemplo, un dólar) en el ingreso, es mayor que O pero menor que l. Especificación del modelo econométrico Aunque Keynes postula una relación positiva entre el consumo y el ingreso, no especifica la .forma precisa de la relación funcional entre las dos variables. Para simplificar, un economista matemático pued-e sugerir la siguiente forma para la función consumo de Keynes:" (1)
en donde,
1':" gastos de consumo X,. ingreso fll - intersección con el eje Y fl2 ,. pendiente
, John Maynard Keynea, '171, c;",,,,,, '17Ieory 01 EmpIoyment, 1"""" lI1Id Monq, Barcourt Brace
JaYlDmm, Ine., New York, 1936, p. 96.
4
INTRODUCCION y
o
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Ingresos
FIGURA 1.1 Función de consumo keynesiana.
El coeficiente de la pendiente ~2 representa la propensión marginal a consumir (PMC). Geométricamente, la ecuación (l) se puede representar gráficamente mediante la Figura 1.1. ,La ecuación (1), que afirmá que el consumo está relacionado linealmente con el ingreso, es un ejemplo de uro modelo matemático. Un modelo es simplemente un conjunto de ecuaciones matemáticas. Si el modelo, como el del ejemplo anterior, consta de una sola ecuación, recibe el nombre de modelo uniecuacional; si tiene más de una ecuación, se denomina modelo multiecuacionalo modelo de ecuaciones simultáneas. No,obstante lo anterior, el modelo puramente matemático de la función consumo que se presenta en (l) es de limitado interés para el econometrista, por cuanto supone una relación exacta o determinística entre el consumo y el ingreso. Sin embargo, las relaciones existentes entre las variables económi· cas son generalm'ente inexactas. De este modo, si fuéramos a obtener información de gastos de consumo y de ingreso disponible (después de impuestos) de una muestra de 5000 familias norteamericanas, por ejemplo, graficando a continuación dicha información, colocando los gastos de consumo en el eje vertical y el ingreso disponible en el eje horiz'ontal, seguramente no esperaríamos encontrar que las 5000 observaciones estuvieran exactamente sobre la línea de la ecuación (1), debido a que además del ingreso, existen otras variables que afectan los gastos de consumo, tales como el tamaño 'de la familia, la edad de sus miembros, la religión y otros factores que suelen ejercer cierta influencia en los patrones de consumo. Para tener en cuenta la existencia de una relación inexacta entre las variables económicas, el econometrista debe modificar la función de consumo determinística de (1), de la siguiente manera: (2)
5
INTRODUCCION y
P1GURALl ~---------------------------x Inp'eaol
Modelo econom'trico de la func:i6h de consumo keyneslana.
en la que u representa el término de perturbación o de error, que es una variable aleatona (estocástica) con propiedades probabilísticas bien def1nidas. El término perturbacióJ}., u, suele representar todas aquellas fuerzas que afectan el consumo pero que no se tienen en cuenta de manera explícita en la ecuación. . La ecuación (2) es un buen ejemplo de un modelo econométrico. Técnicamente, dicha ecuación es un ejemplo de un modelo de regresión lineal, modelo que constituirá uno de los más importantes objetivos de este libro. La función econométrica de consumo (2), plantea la hipótesis de que la variable dependiente Y (consumo) está relacionada linealmente con la variable explicativa X (ingreso), aunque no de manera exacta puestQ que está sujeta a variaciones individuales. El modeloeconométrico en la e~ación (2) puede representarse gráf1camente tal como aparece en la Figura 1.2 . . Estimación Habiendo especificado el modelo econométrico, la tarea siguiente del econometrista consiste en obtener estimaciones (valores numéricos) de los parámetros del modelo, a partir de la información disponible, generalmente proporcionada por el estadístico económico. Estas estimaciones le confieren un contenido empírico a la te orla económica. Así, por ejemplo, si en el. estudio de la función consumo keynesiana anteriormente expuesta, se encuentra que fJ" = 0$, este valor no sólo proporciona una estimación numerica de· la PMC sino que corrobora la hipótesis keynesiana según la cual la PMe es menorque 1. ¿Cómo se estiman los parámetros 111 y fJ,,? La respuesta se hallará en los capítulos siguientes. Por el momento, basta afirmar que la herramienta
6
I
INTRODUCCION
estadística del análsisi de regresión es la técnica utilizada en este libro para obtener dichas estimaciones. Verificación (inferencia estadística) Habiendo obtenido ya estimaciones de los parámetros, la tarea siguiente del econometrista consiste en desarrollar criterios apropiados dirigidos a establecer si las estimaciones obtenidas están de acuerdo con lo que se espera de la teoría que se está verificando. Como se mencionó anteriormente, Keynes pretendía que la PMC fuese positiva y menor que l. Supongamos de otro lado, que en un estudio de la función consumo se encuentra que la PMC = 0.9; si bien es cierto que este resultado es menor que 1, podemos preguntarnos si es 10 suficientemente inferior a 1 como para que logremos convencernos de que no es el resultado accidental del proceso de muestreo. En otras palabras, ¿es esta estimación estadísticamente menor que 1? Si es así, se verifica la afirmación keynesiana; de lo contrario, ésta quedaría refutada. La refutación o confirmación de las teorías económicas, basándose en ·la evidencia empírica, se fundamenta en una rama de la teoría estadística conocida como inferencia estadfstica (prueba de hipótesis). A lo largo del libro veremos la manera como se lleva a cabo el proceso de inferencia estadística. Predicciones o pronósticos Si el modelo escogido confirma la hipótesis o teoría que se está investigando, se puede entonces proceder a predecir el (los) valorees) futuro(s) de la variable dependiente Y con base en valores futuros, conocidos o esperados, para la (s) variable(s) explicativa(s) X. Supongamos, por ejemplo, que el gobierno contempla la posibilidad de decretar una reducción en los impuestos personales con el fin de est~ular una economía en recesión. ¿Cuál será el efecto de esta política sobre el ingreso y, por consiguiente, sobre el em'pleo y los gastos de consumo? Como la teoría macroeconómica bien plantea, el cambio en los niveles de ingreso,originado como resultado de un incremento de un dólar en los gastos de inversión está determinado por el multiplicador de ingreso M, el cual se define como: M = [1/0 - PMC)1. Si la PMC = 0.8, M será 5, lo cual implica que si el. nivel de inversión aumenta en un dólar, se producirá finalmente un aumento en el ingreso de 5 veces el incremento en la inversión. El valor crítico a observar en estos cómputos es el del multiplicador del ingreso, que depende del valor de la PMC. Por tanto, una estimación cuantitativa de la PMC proporciona. información invaluable para fines de política económica; conociendo la PMC, se puede predecir el curso futuro del consumo como consecuencia de los cambios en la política fis<;al del gobierno. Utilización de los modelos para fines de controlo formulación de políticas Supóngase que un economista dél gobierno estima la función de consumo keynesiana, obteniendo los siguientes resultados:
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INTRODUCCION
y = 5.0+0.7 X
(3)
donde el gasto de consumo Y y el ingreso X se miden en miles de millones de -dólares. Adicionalmente se ,Supone que el gobierno cree que un nivel de gastos de 1060 (miles de millones de dólares) mantendrá la tasa de desempleo aun nivel relativamente bajo, del orden del 5%. ¿Qué nivel de ingresos (X) garantizará que se obtenga la cantidad presupuestada inicialmente de gastos de consumo? Suponiendt> que el modelo (3) es aceptable, mediante cálculos aritméticos sencillos se puede mostrar que: 1060 = 5;0
+ 0.7 X o
X
= 1055/0.7 =
1507 (aproximadamente)
Lo anterior implica que un nivel de ingresos de 1507 ~miles de millones de dólares), dada una PMC = 0.7, generará un gasto de 1060 (miles de millones de dólares). . Corno sugiere el cálculo anterior, se puede utilizar un modelo que haya sido estimado para fines de control o para la formulación de una política económica. Utilizando las herramientas fiscales~ monetarias apropiadas, el gobierno puede controlar o manipular la variable de control X, dirigida a producir el nivel deseado para la variable objetivo Y.
4.
TIPOS DE ECONOMETRIA Econometría !
I
Teóri(:a
Aplicada I
Clásica
Bayeaiana
clásiu
Bayesiana
De acuerdo con este esquema de clasificación, la econometría puede dividirse en dos categorías generales: econometría teórica y econometda aplicada. En cada categoría se puede enfocar el terna siguiendo la escuela clásica o la bayesiana. En este libro se hará énfasis en el enfoque clásico. El enfoque bayesiano puede encontrarse en el ibro de Zellner,7 pero infortunadamente este libro no está al alcance de un principiante en econometría. Hasta donde conozco, no existe un libro elemental sobre econometría bayesiana al mismo nivel de
Econometría básica. La econometría teórica tiene que ver con el desarrollo de métodos apropiados para medir relaciones económicas especificadas a través de modelos econométricos. En este aspecto, la f econometría se apoya fuertemente en la '
7 Arnold Zellner, An lntroduction 10 Bayesian lnference in Econometricl. 10hn Wiley el Sons, Inc., New York, 1971.
INTROUUCCION
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estadística matemática. Por ejemplo, una de las herramientas más utilizadas en este libro es el método de los mínimos cuadrados. Es una de las preocupaciones principales de la econometría teórica plantear y aclarar los supuestos de este método, sus propiedades y la manera como se ven afectadas dichas propiedades cuando uno o varios de los supuestos no se cumplen. En. la econometría aplicada se utilizan las herramientas de la econometría teórica para estudiar algunos campos especiales de la economía tales como la función de producción, la función de consumo, la función de inversión, las funciones de oferta y demanda, entre otras. Este libro se concentra fundamentalmente en el desarrollo de métodos econométricos, sus supuestos, usos y limitaciones. Dichos métodos se ilustran con ejemplos adecuados tomados de diversas áreas de la economía y de la administración de empresas. Sin embargo, no es este un libro de econometría aplicada, ya que no profundiza en ningún tema de aplicación económica en particular. Se ha considerado conveniente dejar esta tarea a los libros explícitamente destinados a ese fin. s S'.
REQUISITOS PREVIOS DE MATEMATICAS y ESTADISTICA
Este . libro, a pesar de estar escrito a nivel elemental, presupone cierta familiaridad del lector con la estadística elemental, especialmente con los conceptos básicos de estimación estadística y pruebas de hipótesis. En lo tocante a las matemáticas, es recomendable algún conocimiento, al menos elemental, de cálculo diferencial. De otro lado se utiliza álgebra matricial en el Capítulo 7. Sin embargo, con los conocimientos de álgebra matricial que se proporcionan en un curso de álgebra lineal, se superan las dificultades que pueda presentar dicho capítulo. Nótese, no obstante, que el álgebra matricial no es ':in 'requisito previo de este libro y no se pierde la esencia del mismo al omitir ese apartado. 6.
PAPEL QUE JUEGA EL COMPUTADOR
El análisis de regresión, el pan de cada día de la econometría, no sería posible en la actualidad sin contar con el computador y el acceso al software estadístico. Por fortuna hay disponible en el mercado una variada muestra de paquetes de regresión tanto para mainframe como para microcomputadores; con el paso del tiempo, la lista es cada vez mayor. En el Apéndice A analizaremos brevemente las principales características de algunos de los paquetes más populares, tales como SAS, SPSS, TSP, BMD y SHAZAM. Estos paquetes, desarrollados originalmente para computadores de unidad
. s Algunas referencias son J. S. Cramer, Empirical Econometrics. North-Holland PubJishing Company, Amsterdam. 1969; J. L. Bridge, Applied Econometrics, North-Holland Publishing Company. Amsterdam, 1971 y M. Desai,Applied Econometrics. McGraw-Hlll Book Company, New York. 1976.
INTRODUCCION
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central o mainframe, se encuentran disponibles en la actualidad' para microcomputadores personales. En los ejemplos ilustrativos que se encuentran en . este libro, utilizamos principalmente SAS y SHAZAM. Se aconseja a los estudiantes familiarizarse con alguno(s) de estos paquetes de manera que puedan solucionar los problemas numéricos que se originan al fmal de los capítulos, así como adelantar proyectos específicos.
PLAN DEL LIBRO El libro se divide en cuatro partes. Las tres primeras estudian los modelos de regresión uniecuacionales, vr. gr., aquellos en que el comportamiento de la variable Y (la variable dependiente) se explica por una o más variables X (las variables explicatorias). En la Parte I se presenta el modelo de regresión lineal clásico, se desarrolla el método de los mínimos cuadrados y se exponen sus supuestos. En la Parte 11 se analizan las consecuencias sobre las propiedades del método de mínimos cuadrados cuando no se cumplen uno o varios de sus supuestos, así como los métodos alternativos de estimación disponibles. En la Parte lB se presentan algunos temas econométricos que por sus características pueden considerarse como objeto único de la economía. En la Parte IV se presentan algunas características especiales de los modelos de ecuaciones simultáneas y se discuten los métodos espeCíficamente diseñados para estimar los parámetros de este tipo de modelos. Cada una de las partes incluye capítulos que desarrollan diversas técnicas econométricas, cada una de las cuales se ilustra con ejemplos adecllados tomados de la economía y la administración de empresas. Los ejercicios que aparecen al final de cada capítulo constituyen una parte integral del libro. Algunos de ellos exigen cálculos de rutina, mientras que otros, de naturaleza más teórica, aclaran en mayor profundidad el material tratado en el capítulo. Se espera, por tanto, que el estudiante intente desarrollar la mayoría de estos ejercicios ya que ellos le permitirán conocer su grado de comprensión acerca del material estudiado. Con respecto a la notación utilizada en el libro, es preciso recalcar que cada capítulo se ha dividido en secciones numeradas secuencialmente dentro del mismo. Así, la sección 5.3 corresponde a la tercera sección del Capítulo 5. Las ecuaciones se identifican en cada capítulo mediante el número de éste seguido por la sección y por el número de la ecuación, todo entre paréntesis. Por ejemplo, (3.5.8) corresponde a la optava ecuación de la quinta sección del Capítulo 3. Cuando aparece un asterisco, debe entenderse que el material es opcional. El libro está redactado de tal manera que puede omitirse el material opcional sin que esto ocasione pérdida de continuidad. 'l.
•
PARTE
1
MODELOS
UN lE CUAC IONALE S DE REGRESION
psta primera parte del libro introduce el concepto de modelos uniecuacionales. En estos modelos una variable, llamada variable dependiente, se expresa como una función lineal de una o más variables denominadas variables explicativas. En tales modelos se supone implícitamente que las relaciones de causalidad, si existe alguna, entre la variable independiente y las explicativas, se. presentan en una sola dirección: de las variables explicativas hacia la variable dependiente. En el Capítulo 1 se hace una exposición relacionada con la interpretación tanto histórica como moderna del término regresión, ilustrándose las diferencias entre las dos interpretaciones mediante ejemplos provenientes de. la economía y de otros campos. En el Capítulo 2 se presentan algunos conceptos fundamentales del análisis de regresión, utilizando como ayuda el modelo de regresión lineal en dos variables, en el ~ual la variable dependiente se expresa como una función lineal de una sola variable explicativa. En el Capítulo 3 continuamos con el modelo de dos variables e introducimos lo. que se conóce como el modelo de regresión lineal clásico, modelo que tiene variós supuestos simplificadores. Con estos supuestos se examina 11
12
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
el método de mínimos cuadrados ordinarios (MeO) para la estimación de los , parámetros del modelo de regresión en dos variables. El método de MeO es de aplicación sencilla, y tiene algunas propiedades estadísticas muy valiosas. En el Capítulo 4 se estudia el modelo de regresión lineal normal clásico (en dos variables) el cual supone que la variable dependiente aleatoria se ajusta a una distribución normal de probabilidad. Con este supuesto, los estimadores de MCO obtenidos en el Capítulo 3 poseen propiedades estadísticas más fuertes.que las de los modelos de regresión lineal clásicos no normales. Dichas propie'dades nos permiten recurrir a la inferencia estadística y, en particular, a las pruebas de hipótesis. El Capítulo 5 se dedica a tratar el tema de pruebas de hipótesis. En este capítulo tratamOs de averiguar si los, coeficientes de regresión estimados son compatibles con los valores hipotéticos iniciales que se asignaron a tales coeficientes, los cuales fueron sugeridos por la teoría y I o por un trabajo empírico previo. En el Capítulo 6 consideramos algunas extensiones del modelo de regresión en dos variables. En particular, se analizan temas tales como: (l) la regresión a través del origen, (2) escalas y unidades de medida y (3) formas funcioriales de los modelos de regresión, tales como los modelos doble logarítmico, el semilogarítmico y el recíproco. En el Capítulo 7 se desarrolla el modelo de regresión para K variables explic&tivas utilizando álgebra matricial. Aunque la notación matricial no introduce ningún concepto nuevo, proporciona un método muy compacto de presentar la teoría de la regresión involucrando cualquier número de variables explicativas.
CAPITULO
1
LA NATURALEZA DEL ANALISIS DE REGRESION
Como se mencionó en la Introducción, la I;egresión es una herramienta fundamental de la econometría; en este capítulo consideramos muy rápidamente la naturaleza de este importante instrumento. 1.1 ORIGENHISTORICO DEL TERMINO "REGRESION" El término regresión fue introducido por Francis GaIton. En un famoso artículo, Galton halló que aunque existía una tendencia a que los padres de alta estatura tuvieran asimismo hijos altos, y de igual forma que los padres de baja estatura tuvieran hijos de baja estatura; la estatura promedio de los nifios que nacían de padres con una determinada estatura tendía a moverse o "regresar" hacia la altura promedio de la población total. 1 En otras palabras, la estatura de los hijos de padres inusualmente altos o inusualmente bajos, tendía a estar más cerca de la estatura promedio de la población. La ley de regresión universal d~ Galton fue confirmada por su amigo Karl Pearson, quien coleccionó más de mil registros de estaturas de los miembros de diferentes grupos familiares. 2 Pearson encortró que la estatura promedio de los hijos de un grupo de padres altos era inferior a la estatura de sus padres, mientras que la estatura promedio de los hijos de un grupo de padres de baja
a
1 Francis Galton, "Family Likeness in Stature", Proceedings 01 Royal Society, Londres, vol. 40, 1886,
pp. 42-72. 2 K. Pearson y A. Lee, Biometrika, vol. 2, 1903, p. 357.
14
MODELOS UNIECUACIONAlES DE REGRESION
estatura era mayor que la estatura de sus respectivos padres, generándose un fenómeno mediante el cual los hijos altos y bajos de estatura "regresaban" hacia la estatura promedio de todos los hombres. Para utilizar las palabras de Galton, ésta era una "regresión a la mediocridad". 1.2. INTERPRETACION MODERNA DE LA REGRESION
Sin embargo, la interpretación moderna de la regresión es diferente. En términos generales, El análisis de regresión está relacionado con el estudio de !a dependencia de una variable, la variable dependiente, de una o más variables adicionales, las variables explicativas con la perspectiva de estimar y/o predecir el valor (poblacional) medio o promedio .de la primera en términos de valores conocidos o fijos (en muestreos repetidos) de las segundas.
La trascendental importancia de este punto de vista del análisis de regresión se hará más clara a medida que avancemos en el tema, pero algunos ejemplos facilitarán la aclaración de este concepto básico. Ejemplos: . 1. Consideremos nuevamente la ley de regresión universal de Galton. Galton estaba interesado en averiguar las razones por las cuales existía estabilidad en la distribución de las estaturas dentro de una población. Pero desde el punto de vista moderno, nuestra preocupación no está dirigida a esta explicación sino, en cambio, a averiguar la manera como cambia la esta-
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FIGURA 1.1 Distribución hipotética de las estaturas de los hijos correspondientes a estaturas dadas de los padres..
LA NATURALEZA DEL ANALlSIS DE REGRESION
15
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12 'Edad, en años
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FIGURA 1.2 DistTibución hipotética de estaturas correspondientes a edades seleccionadas.
tura promedio de los hijos, dada la estatura de los padres. En otras palabras, estamos interesados en predecir la estatura promedio de los hijos a partir de la estatura de sus padres. Para apreciar cómo puede llevarse esto a cabo consideremos la Fig~ra 1.1 qúe corresponde a un diagrama de dispersión. La figura muestra la distribución de las estaturas de los hijos en una población hipotética, correspondiente al conjunto de valores fijos o dados de las estaturas de los padres. Nótese que existe un rango (distribución) de estaturas de los hijos, correspondiente a cualquier estatura dada de un padre. Sin embargo, apréciese bien que la estatura promedio de los hijos aumenta a medida que aumenta la estatura de los padres. Para observar esto claramente hemos trazado una línea a través de los puntos dispersos, la cual muestra cómo la estatura promedio de los hijos aumenta con la estatura de los padres. Como veremos posteriormente, esta línea se conoce como la línea, de regresión. 3 Obsérvese cómo esta línea tiene una pendiente positiva pero menor que uno, lo cual está de acuerdo con la tegresión' de Galton hacia la mediocridad. (¿Por qué?) 2. Considérese ahora el diagrama de dispersión que se presenta en la Figura
3 En esta etapa del desarrollo del tema denominaremos.a este línea de regresión,/inea de la relación promedio entre la variable dejJendiente (la estatura de un hijo) y la variable explicativa (la e$tatura del padre).
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
16
1.2 Y que muestra la distribución de las est1lturas de ciertos nUlos, medida a determinadas edades, en una población hipotética. Nótese que existe un rango de estaturas correspondiente a una edad determinada. Como es obvio, no todos los niftos a una determinada edad tienden a tener estaturas idéntiéas. Pero la estatura, en promedio, aumenta cpn la edad (ciertamente hasta una determinada edad). En consecuencia, al conocer la edad también estamos en posibilidad de predecir la estatura promedio que corresponde a esa edad. ' 3. Para utilizar ejemplos de la economía, un economista puede estar interesado en estudiar la dependencia que existe entre ,los gastos personales de consumo y el ingreso personal real o disponible después de impuestos. Este tipo de análisis puede ser de gran ayuda para est~mar la propensión marginal a consumir, es decir, el cambio promedio en los gastos de consumo ante una v~ación de, por ejemplo, una unidad ~n el ingreso real. 4. Un monopolista que puede fijar el precio o la cantidad (pero no ambos factores), puede estar interesado en averiguar la respuesta de la demanda de un producto ante los cambios en el precio. Este experimento permite la estimación de la elasticidad precio (es decir, la respuesta a variaciones en el precio) de la demanda de un producto y puede ayudar a determinar el precio que maximiza las ganancias de una empresa. S. Un profesional en economía laboral puede estar interesad0 en éstudiar la relación existente entre el porcentaje de cambio en los salarios monetarios o nominales y la tasa de desempleo. En el diagrama de dispersión que aparece en la Figura 1.3 se presenta información histórica al respecto. La curva +
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LA NATURALEZA DEL ANALlSIS DE REGRESION
17
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Ingresos
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Tasa de inflación
FIGURA 1.4 Cantidad de dinero en poder del público con respecto a la tasa de inflación (n).
que aparece en la Figura 1.3 es un ejemplo de la famosa curva de Phillips, donde se relacionan los cambios en los salarios nominales con la tasa de desempleo. Este tipo de diagrama de dispersión permitirá al economista laboral predecir el cambio promedio en los salarios nominales, dada cierta tasá de desempleo. Dicho conocimiento puede ser de gran ayuda para realizar conjeturas sobre el proceso inflacionario por el cual puede atravesar una determinada economía, puesto que los aumentos en salarios probablemente se reflejarán en aumentos en los precios. 6. La economía monetaria plantea que, al permanecer constantes otros factores, cuanto mayor sea la tasa de inflación ( 1r ), menor será la proporción (k) del ingreso que la gente querrá mantener en forma de dinero, como se ilustra en.la Figura 1.4. Un análisis cuantitativo de esta relación permitirá al economista monetario predecir la cantidad de dinero, como proporción de su ingreso, que la gente querrá mantener, a diferentes tasas de inflación. 7. El director de mercadeo de una empresa puede estar interesado en cono· cer la manera como se relacionan la demanda de su producto con los gastos de publicidad en que incurre dicha empresa. Este tipo de estudio sería de gran utilidad para averiguar la elasticidad de la demanda del producto en los gastos de publicidad de la empresa, es decir, la respuesta promedio de la demanda ante un aumento de una unidad, por ejemplo, un dólar, en el presupuesto de gastos de publicidad. Este conocimiento a su vez puede ser de mucha utilidad para determinar el presupuesto "óptimo" de publicidad. 8. Finalmente, un agrónomo puede estar interesado en estudiar la dependencia existente entre los niveles de producción de un cultivo de, por . ejemplo, trigo, y la temperatura, la lluvia, la cantidad de luz solar y el nivel de fertilidad de la tierra. Este análisis de dependencia puede permi.:. tirle predecir o pronosticar la producción promedio de ese cultivo, dada la información existente sobre las variables explicativas.
18
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
El lector está en capacidad de proporcionar una amplia gama de ejemplos adicionales relacionados con la dependencia de. una variable ante una o más variables adicionales. Además, las técnicas del análisis de regresión comentadas en este texto están diseñadas especialmente para el estudio de este tipo de dependencia entre variables.
1.3 RELACIONES ESTADISTICAS VS. RELACIONES DETERMINISTICAS De los ejemplos que se enunciaron en la Sección 1.2, el lector podrá observar que dentro del análisis de regresión nos interesa lo que se conoce como la dependencia estadistica y no la dependencia funcional odeterministica, entre las variables, como aquellas que se presentan en la física clásica. En las relaciones estadísticas entre variables tratamos esencialmente con variables aleatorias o estocásticas,4 es decir, variables que tienen distribuciones probabilísticas. Por otra parte, en la dependencia funcional o determinística también tratamos con variables, pero éstas no son aleatorias ni estocásticas. La dependencia de los niveles de producción de un cultivo con respecto a la temperatura, la lluvia, el sol y la fertilidad, tiene, por ejemplo, una naturaleza estadística en el sentido de que las variables explicativas, aunque ciertamente importantes, no permitirán al agrónomo predecir la producción de ese cultivo en forma exacta, debido a los errores involucrados en la medición de estas variables, como también debido a otra serie de factores (variables), que en forma colectiva afectan la producción pero que pueden ser difíciles de identificar en forma individual. Por tanto, se va a presentar cierta variabilidad "intrínseca" o aleatoria en la variable dependiente rendimiento del cultivo, que no puede explicarse por completo, independientemente del número de variables explicativas que utilicemos. Por otra parte', en los fenómenos determinísticos tratamos con Cierto tipo de relaciones que surgen, por ejemplo, de la ley de la gravedad de Newton, que plantea: toda partícula en el universo atrae a otra partícula con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. En símbolos, F = k (m 1 m2 /r 2 ), donde F = fuerza, m 1 y m2 son las masas de las dos partículas, r = distancia y k = constante de proporcionalidad. Otro ejemplo lo constituye la ley de Ohm, que dice: para los conductores metálicos que están en un rango limitado de temperatura, la corriente e es proporcional al voltaje V; es decir, v/e = k, donde k es la constante de proporcionalidad. Otros ejemplos de este tipo de relaciones determinísticas son la ley de los gases de Boyle; la ley de la electricidad de Kirchhoff y la ley del movimiento de Newton.
La palabra "estocástico" proviene del griego Stokhos que significa "centro del blanco" o "tiTo acertado que da en el centro del blanco". El resultado que se obtiene al lanzar dardos sobre un tablero es un proceso estocástico, es dech, un proceso acompañado con errores.
4
LA NATURALEZA DEL ANAlISIS DE REGRESION
19
En este texto no estamos interesados en este tipo de relaciones determinísticas. Sin embargo, ~s preciso aclarar que si existen errores de medición, digamos en el valor de k en la ley de la gravedad de Newton, las relaciones que de otra manera serían determinísticas se convertirían en rela:ciones estadísticas. La razón radica en que en esta situación la fuerza puede predecirse únicamente en forma aproximada, a partir de un valor dado de k (y ml' m2 y r) que contiene errores.· La variable F, en este caso, se convierte en una variable aleatoria. 1.4 REGRESION VS. CAUSACION Aunque el análisis de regresión tiene que ver con la. dependencia de una variable con relación a otras variables, esto no implica necesariamente que exista una relación de causalidad. Utilizando las palabras de Kendall y Stuart: "Una relación estadística, independientemente de qué tan fuerte y aparente sea, nunca puede establecer una conexión causal: nuestras ideas de causación deben provenir de las estadísticas externas, y, en últimas, de algún tipo de teoría"5 que las soporte. En el ejemplo de la produ~ción del cultivo de trigo que antes menciona-· mas, no existe una razón estadz'stica para suponer que la lluvia no depende de ,la producción del cultivo. El hecho de que tratemos la producción del cultivo como variable dependiente de los niveles de lluvias {entre otras cosas), se debe a consideraciones de tipo no estadístico: el sentido común sugiere que la relación no se puede invertir, puesto que no podemos controlar la lluvia variando la producción del cultivo. En todos los ejemplos mencionados en la Seccióp 1.2, el punto que debemos 'mantener en mente es que una relación estadística no puede por sí misma implicar en forma lógica una causación. Para atribuir causalidad se debe hacer uso de consideraciones teóricas o a priori. Por tanto, en el tercer ejemplo antes mencionado se puede invocar la teoría económica al plantear que los gastos de consumo dependen del ingreso real. 6 1.5 REGRESION VS. CORRELACION Aunque el análisis de correlación está estrechamente· relacionado con el análisis de regresión, conceptualmente los dos son muy diferentes. En el análisis de correlación, el objetivo fundamental es la medición de la fuerza
s M. G. K~ndal1.y A. Stuart, The advanced Theory 01 Statistics, Charles Griffin Publishers, New York, 1961, vol. 2, cap. 26, p. 279. 6 Pero, como veremos en el Capítulo 3, el análisis de regresión clásico está basado en el supuesto de que el modelo utilizado en el análisis es el modelo correcto. Por tanto, la dirección de la causalidad' puede est~r implícita en el modelo postulado.
20
MODELOS UN1ECUACI0NALES DE REGRESION
o grado de asociación lineal entre dos variables. El coeficiente de correlación, que estudiaremos en detalle en el Capítulo 3, mide esta fuerza de asociación (lineal). Por ejemplo, podríamos estar interesados en averiguar la correlación (el coeficiente de correlación) entre el hábito de fumar y el cáncer del pulmón, entre las calificaciones de exámenes de estadística y matemátic¡rs, entre las calificaciones obtenidas en la escuela secundaria y en la universidad. Como ya se comentó, e-n el análisis de regresión no estamos fundamentalmente interesados en este tipo de medición. En lugar de ello, se intenta estimar o predecir el valor promedio de una variable con base en los valores fijos de otras variables. En este orden de ideas, podría ser importante saber si se puede predecir la calificación promedio obtenida en un examen de estadística, conociendo previamente la calificación obtenida en uno de matemáticas. Las dos técnicas de regresión y correlación tienen ciertas diferencias fundamentales que vale la pena mencionar. En el análisis de regresión existe una asimetría en la manera como se manejan las variables dependientes y explicativas. Se supone que la variable dependiente es estadística, aleatoria o estocástica, 10 cual implica que tiene asociada a ella una distribución probabilística. Se supone, de otro lado, que las variables explicativas tienen valores fijos (en muestreos repetidos),' 10 cual se hizo explícito en la definición de regresión que se formuló en la Sección 1.2. De esta manera, en la Figura 1.2 suponemos que la variable edad era fija a ciertos niveles dados, obteniendo a partir de ella las mediciones de estatura para, cada uno de esos niveles. Por otra parte, en el análisis de correlación se manejan las (dos) variables simétricamente; no existe distinción alguna entre las variables dependientes y las explicativas. Después de todo, la correlación existente entre las calificaciones en matemáticas y los exámenes de estadística es la misma que la correlación existente entre las calificaciones de estadística y los exámenes de matemáticas. Adicionalmente, se supone que ambas variables son aleatorias. Como veremos posteriormente, la mayor parte de la teoría de la correlación está basada en el supuesto de aleatoriedad de las variables, mientras que la mayor parte de la teoría de la regresión que expondremos en este texto está condicionada al supuesto de que la variable dependiente es estocástica y que las variables explicativas son fijas o no estocásticas. 8
7 Es decisivo hacer la observaci6n de que las variables explicativas pueden ser intrínsecamente estocásticas, pero para los propósitos del análisis de regresión suponemos que sus valores se mantienen fijos en muestreos repetidos (es decir, X tiene los mismos valores en diferentes muestras), hecho que les imprime car~cterísticas no al~torias o no estocásticas. Hay informaci6n adicional sobre este tema en el CapítulO 3, Sección 3.2
En el tratamiento avanzado de la econometría se puede liberar el supuesto de que las variables explicativas no son estocásticas (véase Introducci6n a la Parte 11).
8
LA NATURALEZA DEL ANALlSIS DE REGRESION
21
1.6 TERMINOLOGIA y NOTACION Antes de proceder a un análisd más formal de la teoría de la regresión, examinemos brevemente la terminología y la notación a utilizar. En nuestra nomenclatura, los términos variable dependiente y variable explicativa se definen o describen de varias maneras. A continuación se presenta una lista representativa de ellas: Variable dependiente
li Variable explicada
li
Variable explicativa
li Variable independiente
li Predictor
Predicha
li
Regresada
ti
Respuesta
li
Endógena
li
Regresor
ti Variable de controlo estímulo
li
Ex6gena
Aunque es un problema de gusto personal y de tradición, en el presente libro se utiliza la terminología variable dependiente - variable explicativa. Si estamos estudiando la dependencia de una variable en una sola variable explicativa, tal como la dependencia existente entre el consumo y el ingreso real, dicho estudio se conoce como análisis de regresión simple o en dos variables. Sin embargo, si estamos estudiando la dependencia de una variable en más de una variable explicativa, como en el ejemplo del cultivo y su relación con la temperatura, las lluvias y los fertilizantes, nos estamos refiriendo al análisis de regresión múltiple. En otras palabras, en el análisis de regresión en dos variables existe sólo una variable explicativa,. mientras que en el análisis de regresión múltiple se trabaja con más de una de dichas variables. El término aleatorio es sinónimo de estocástico, que a su vez es un sinónimo de probabilidad. Como se anotó anteriormente, una variable aleatoria o estocástica es aquella que puede tomar cualquier conjunto de valores positivos o negativos, con una probabilidad dada. 9 A menos que se afirme lo contrario, la letra Y representará la variable dependiente y las X (Xl' X 2 , ••• , X k ) representarán las variables explicativas, siendo X k la i-ésima variable explicativa. Los subíndices i o t denotarán la observación o valor i-ésimo o t-ésimo Xu (o X kt ) denotarán la i-ésima (o t-ésima) observación de la variable X k • N (o T) representarán el número total de observaciones o valores en la poblacion o en una muestra, según el caso. En general, usaremos el subíndice i para las series de corte transversal (vr. gr., información tomada en un punto en el tiempo). El subíndice t se usará para información de series de tiempo (vr. gr., datos recogí-
9
Véase Apéndice A, para efectos de una def'mición formal y detalles adicionales.
22
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
dos a lo largo de un cierto período). La naturaleza de la información de las series de corte transversal y de las series de tiempo, así como el importante tema de la naturaleza y las fuentes de información para análisis empírico, se estudiarán en la siguiente sección.
1.7 NATURALEZA Y FUENTES DE INFORMACION PARA EL ANALlSIS ECONOMETRIC0 1o El éxito de cualquier análisis econométrico depende en última instancia, de la disponibilidad de información adecuada. Es, por tanto, esencial que se dedique algún tiempo para comentar la naturaleza, fuentes y limitaciones de la información con que se puede contar cuando se realiza análisis empírico. Tipos de infonnación Existen tres tipos de datos que generalmente se encuentran disponible~ para realizar análisis empírico: 1. Series de tiempo. 2. Series de corte transversal. 3. Combinación de series de tiempo y series de corte transversal. Los datos de series de tiempo son aquellos que se almacenan durante un determinado período, tales como la información sobre PNB, empleo, desempleo, oferta monetaria, etc. Estos datos se pueden recolectar en intervalos regulares, ya sea diariamente (por ejemplo, los precios de las acciones), semanalmente (vr. gr., oferta monetaria), mensualmente (vr. gr., la tasa de desempleo), trimestralmente (vr. gr., el PNB) o anualmente (vr. gr., el presupuesto nacional). Dicha información puede ser cuantitativa (por ejemplo, precios, ingresos, oferta monetaria), o cualitativa (vr. gr., hombre o mujer, empleado o desocupado, casado o soltero, blanco o negro). Como veremos posteriormente, las variables cualitativas, también denominadas variables dicotómicas o categóricas, pueden ser tan importantes como las variables cuantitativas (véase Capítulo 12). Las series de corte transversal se recolectan con base en una o más variables en un momento en el tiempo, tales como el censo de población que lleva a cabo la oficina de censos cada 10 años, las encuestas de gastos del consumidor llevadas a cabo por la Universidad de Michigan, las encuestas de opinión que adelantan diferentes empresas especializadas, etc. En los datos combinados ("pooled data" y de corte transversal) se tienen elementos de información proveniente tanto de series de tiempo como de corte transversal. Por ejemplo, los datos que se presentan en el Ejercicio
10 Para una explicación informativa, véase Michael D. Intriligator, Econometric Mode/s, Techniques, and Applications, Ptentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1978, Cap. 3.
LA NATURALEZA DEL ANALlSIS DE REGRESION
23
1.1 son combinados debido a que la tasa de inflación de cada país durante . un período' de 21 afios, 1960-1980, está en la fonna de una serie de tiempo, mientras que los datos sobre la tasa dé inflación durante un solo afio para cada uno de los cinco países allí considerados es de corte transversal. En los datos combinados se cuenta con un total de 105 observaciones. 21 observaciones anuales para cada uno de los cinco países. Los datos longitudinales o de panel constituyen un tipo especial de datos combinados a ros cuales también se les denomina datos de micropanel; en éstos la misma unidad de corte transversal (por ejemplo, una familia o una empresa) se encuesta a través del tiempo. Por ejemplo, el Departamento de comercio de los Estados Unidos lleva a cabo un censo de vivienda a intervalos periódicos. En cada encuesta periódica se entrevista a la misma familia (o a las personas que habitan la misma vivienda) buscando averiguar si se ha presentado algún cambio en las condiciones tanto finanCieras como de la vivienda misma de dicha familia desde la últiina encuesta. Al entrevistar repetidamente a la misma familia a intervalos periódicOS, la infonnación de panel proporciona infonnación muy útil sobre la dinámica del comportamiento familiar. Las fuentes de infonnación l l La infonnación que se utiliza en análisis empíricos puede recolectarse por parte de una agencia gubernamental (vr. gr., el Departamento de' comercio de los Estados Unidos), una agencia internacional (vr. gr., el FMI o el Banco Mundial), una organización privada (la empresa Standar & Poor's) o por parte de un individuo. Existen literalmente miles de estas agencias dedicadas a recolectar infonnación para diversos propósitos. Los datos recolectados por estas empresas pueden tener una naturaleza experimental o no experimental. En los datos de tipo experimental, con frecuencia recopilados por las ciencias naturales, el investigador puede estar interesado en recolectar infonnación en que se mantengan ciertos factores constantes, de tal manera que pueda evaluar el impacto de otros factores adicionales sobre un fenómeno detenninado. Por ejemplo, para evaluar el impacto de la obesidad sobre la presión sanguínea, el investigador desearía recolectar infonnación manteniendo factores tales como los hábitos alimenticios, las actividades de fumar o beber en fonna constante, de tal manera que se pueda minimizar la influencia de, estas variables sobre la presión sanguínea. ' En las ciencias so~iales generalmente los d'atos que se obtienen son de naturaleza no experimental, lo cual implica que no están sujetos al control del irivestigaaor. Así, por ejemplo, la infonnación referente al PNB, al de-
11 Para una explicación muy clara, véase Albert T. Sorners, The U.S. Economy Demystified: What the Major Economic Statistics Mean and Their Significallce for BusinelS, D. C. Heath and Cornpany,
Lexington, Mass., 1985.
24
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
sempleo, al precio de las acciones, etc., no está directamente bajo el control del investigador. Como veremos posteriormente con frecuencia este hecho crea problemas especiales al investigador que 'intenta encontrar la causa o las causas que afectan una determinadasítuación. Por ejemplo, ¿es la cantidad de dinero circulante la variable que deterlilina en PNB (nominal) o, por el contrario, ocurre la relación de causalidad en la otra direccion?
La exactirup de la infonnacióri l 1. Aunque existe mucha información disponitile para llevar a cabo investigación económica, la calidad de ésta no es necesariamente tan buena. Existen diferentes razon~ para ello. En primer lugar, como se señaló anteriorm~nte, la mayor parte <\te la información de que disponen las ciencias sociales no es de naturaleza experimental. Por tanto, existe la posibilidad de incurrir en errores de observación, ya sea por omisión o por comisión. En segundo lugar, aun para información recolectada experimentalmente se presentan errores de medición que surgen debido a aproximaciones o redondeo de las cifras. En tercer lugar, en las encuestas donde se entregan cuestionarios el problema de que no haya respuesta puede tomarse serio; el investigador cuenta con suerte cuando obtiene el 40 % de las respuestas a sus preguntas. El análisis que ~e efectúe con base en estas respuestas parciales puede no reflejar el comportamiento real del 60% que no respondió, conduciendo, por tanto, a lo que se conoce como el sesgo selectivo (de la muestra). Se presenta también otro problema, ya que existe la posibilidad de que quienes responden el cuestionario tal vez no contesten todas las preguntas, especialmente aquellas que toquen aspectos financieros, 10 cual ocasiona un sesgo selectivo adicional. En cuarto lugar, los métodos de muestreo que se utilizan para obtener la información pueden variar tan ampliamente que con frecuencia es difícil comparar los resultados obtenidos de las diferentes muestras. En quinto lugar, los datos económicos generalmente están disponibles con un nivel de agregación muy alto. Por ejemplo, la mayor parte de los macrodatós (como el PNB, el desempleo, la inflación, el empleo) están disponibles para la economía como un todo o, en el mejor de los casos, para algunas regiones geográficas muy amplias. Dicho tipo de agregación puede no decimos mucho sobre las unidades individuales o microunidades que podrían construirse en el objetivo fundamental del estudio. En sexto lugar, debido a restricciones de c0nfidencialidad, cierta información puede publicarse sólo en forma muy agregada. En el caso de los Estados Unidos, por ejemplo, a la agencia de impuestos no se le permite por ley hacer pública la información sobre las declaraciones individuales de ingreso; solamente se le permite liberar información agregada y ré'sumida. Por tanto, si se quiere conocer la 'magnitud de los gastos en salud correspondiente a individuos de cierto nivel de ingresos, el
12 Para un punto de vista crítico, véase Morgenstern, O., The Accuracy 01 Economic Observations. 2a. ed., Princeton University Press, Princeton, N. J., 1963.
LA NATURALEZA DEL ANALlSIS DE REGRESION
25
análisis puede hacerse únicamente a ~n nivel muy agregado. Este. tipo de macroanálisis no refleja, sin embargo, la dinámica del comportamiento de las microunidades. De igual fonna, el Departamento de comercio de los Estados Unidos, agencia que lleva a cabo un censo emprésarial cada cinco afios en ese país, no puede hacer pública la informacion sobre produccióp, empleo, consumo de energía, gastos en investigación y desarrollo, etc.,· a nivel de cada empresa. Erl 'Consecuencia, es difícil estudiar las diferencias existentes entre una empresa y otra en relación cón cada uno de estos aspectos. Debido a estos y muchos otros problemas, el investigador siempre debe tener presente que lés resultados de la investigacion son tan buenos como sea la calidad de la infurmación con que trabaje. Por tanto, si en ciertas situaci~ nes se encuentra que los resultados de la investigación "no son satisfactorios", no se debe necesariamente a que se haya utilizado el modelo equivocado, sino a la mala calidad de los datos. Desafortunadamente, en razon de la naturaleza no experimental de .los datos que se utilizan en la mayoría de los estudios en las ciencias sociales, con frecuencia los investigadores no tienen otra opción aparte de depender de la información disponible. Sin embargo, se debe recordar siempre que la información utilizada puede no ser la mejor, no debiendo, por lo tanto, ser demasiado dogmáticos acerca de los resultados que se obtienen de un determinado estudio, especialmente cuando se sospecha de la calidad de la información con que se trabaja. 1.8 RESUMEN Y CONCLUSIONES
Este capítulo estuvo dirigido a suministrar información relacionada con la naturaleza básica del análisis de regresión, de la manera más informal e intuitiva posible. La idea fundamental del análisis de regresión consiste en la dependencia estadística. de una variable, la variable dependiente, con. respecto a una o más variables, las variables explicativas. El objeto de este análisis es estimar y/o predecir la medida o el valor promedio de la variable dependiente, con base en los valores fijos o conocidos de las variables explicativas. Aunque la teoría y Jos mecanismos del análisis de regresión se analizarán ampliamente en los próximos capítulos, debe tenerse siempre en mente que el éxito del análisis de regresión depende de la disponibilidad de información adecuada. En este capítulo analizamos la naturaleza, fuentes y limitaciones de la información generalmente disponible para la investigaGión, especialmente en las ciencias sociales. Debemos solicitar muy especialmente al lector que se mantenga muy alerta sobre los datos que se utilizan en el análisis empírico. En cualquier investigación, los investigadores deben enunciar claramente las fuentes de los datos utilizaqos en el análisis, sus definiciones, su(s) método(s) de recolección y cualquier omisión en los datos, así como cualquier revisión de los mismos. Recuerde siempre que el consultante quizá no cuente con el tiempo, energía ni recursos p"ara llegar a las fuentes originales de los datos o para verificar los resultados; tiene el derecho de suponer que se obtuvieron los mejores datos posibles y que los cálculos y análisis son correctos.
26
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
EJERCICIOS 1.1 En la siguiente tabla se presentan las tasas de inflación correspondientes a cinco países industrializados para el período 1960-1980.
Tasas de inflación en cinco países industrializados 1960-1980 (% anual) Año Estados Gran Japón Unidos Bretaña 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968
1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980
1.5 1.1 1.1 1.2 1.4 1.6 2.8 2.8 4.2 5.0 5.9 4.3 3.6 6.2 10.9 9.2 5.8 6.4 7.6 11.4 13.6
1.0 3.4 4.5 2.5 3.9 4.6 3.7 2.4 4.8 5.2 6.5 9.5 6.8 8.4 16.0 24.2 16.5 15.9
3.6 5.4 6.7 7.7 3.9 6.5 6.0 4.0 5.5 5.1 7.6 6.3 4.9 12.0 24.6 11.7 9.3 8.1
8.3
3.8
13.4 18.0
3.6 8.0
Alemania 1.5 2.3 4.5 3.0 2.3' 3.4 3.5 1.5 1.8 2.6 3.7 5.3 5.4 7.0 7.0 5.9 4.5 3.7 2.7 4.1 5.5
Francia 3.6 3.4 4.7 4.8 3.4 2.6 2.7 2.7 4.5 6.4
5.5 5.5 5.9 7.5 14.0 11.7 9.6 9.4 9.1 10.7 13.3
Fuente: Richard Jackman, Charles Mulvey, and James Trevithick, The Economics oi Inflation, 2d. ed., Martin RobeTtson, 1981, tabla 1.1. p.5.
(a) Grafique la tasa de inflación para cada país frente al tiempo. (Utilice el eje horizontal para el tiempo y el vertical para la tasa de inflación). (b) ¿Qué conclusiones generales se pueden inferir acerca de la experiencia con la inflación en los cinco países?
(e) ¿Qué país parece tener la tasa de inflación más variable? ¿Puede usted dar alguna explicación?
1.2 Utilice los datos del Ejercicio 1.1. (a) Grafique la tasa de inflación para Gran Bretaña, Japón, Alemania y Francia frente a la tasa de inflación en los Estados Unidos. (Utilice el eje horizontal para la tasa de inflación en los Estados Unidos y el vertical para la tasa de inflación de los demás países. Si lo prefiere, puede hacer cuatro diagramas separados). (b) Haga comentarios generales sobre el comportamiento en la tasa de inflación en los cuatro países, en comparación con su comportamiento en los Estados Unidos.
27
LA NATURALEZA DEL ANALlSIS DE REGRESION .J
•
(e) ¿Observa usted algún cambio significativo en el comportamiento inflacionario de cada país a través del tiempo, y de los cuatro países en relación con los Estados Unidos? (d) ¿Cree usted que los embargoS petroleros de 1974 y 1979 hayan tenido un efecto significativo en la tasa de inflación de los diferentes países? Si es así, ¿por qué razón? (e)
CAPITULO
2
MODELOS DE REGRESION CON DOS VARIABLES: ALGUNAS IDEAS BASICAS
En el·Capítulo 1 nos ocupamos del concepto de regresión en términos más o menos amplios. En este capítulo tratamos el tema de manera un poco más formal; específicamente, éste y los tres capítulos siguientes inician el estudio de la teoría que sirve de fundamento al análisis de regresión más sencillo para el caso de dos variables, el cual se .considera en primer lugar, no necesariamente por su importancia práctica sino porque sirve para presentar en forma simple las ideas básicas del análisis de regresión y porque con él se pueden ilustrar algunas ideas usando diagramas en dos dimensiones. Además, se verá más adelante, el caso general del 'análisis de regresión múltiple es en muchos aspectos una extensión lógica del caso de dos variables. 2.1 EJEMPLO HIPOTETICO Como se señaló en la Sección 1.2, el análisis de regresión está dirigido a estimar o predecir el valor medio o promedio (poblacional) de la variable dependiente con base en los valores fijos o conocidos de la (s) variable (s) explicativa(s). Para cómprender la manera como se lleva a cabo este análisis, examinemos el si~l1ieT\te ejemplo: 28
29
MODELOS DE REGRESION CON DOS VARIABLES: ALGUNAS IDEAS BASICAS
.110
TABLA 2.1 familiar por semana X, $
~ Gastos de COIlSUmO familiar por semana y, $
80
100
120
140
160
180
100
210
240
160
55
79 84
120 136 140 144 145
...
102 107 110 116 118 125
...
80 93 95 103 108 113 115
110 115 120 130
...
65 70 7480 85 !l8
137 145 155 165 175 189
...
150 152 1.75 178 180 185 191
325
462
445
707
966
1211
60
65 70 75
...
Total
90
94 98
...
...
140
..,
... . ..
135 137 140 152 157 160 162
678
750
685
1043
135
Imaginemos un país con una población total 1 de 60 familias. Supóngase que estarnos interesados en estudiar la relación existente entre los gastós de consumo familiar semanal Y y el ingreso disponible familiar semanal después de impuestos X. Más específicamente, asúmase que se desea predecir el nivel (poblacional) promedio de los gastos de consumo semanales, conociendo el ingreso de la familia en este lapso. Con este [m, supongamos que se dividen las 60 familias en 10 grupos con el mismo ingreso aproximadamente, para examin~ a continuación los gastos de consumo,de las familias en cada uno de los grupos de ingreso. En la Tabla 2.1 se presenta información hipotética. (Por razones expositivas, se supone que solamente se observaron en ~a1idad los niveles de ingreso d.ados en dicha Tabla). La Tabla 2.1 debe interpretarse de la siguiente manera: para un ingreso' semanal de S80, existen 5 familias cuyos gastos' de consumo semanales oscilan entre S55 'y S75. Análogamente, para X = $240, existen 6 familias cuyos gastos de consumo semanal están entre S137 y $189. En otras palabras, cada columna de la Tabla 2.1 muestra la distribución de los gastos de consumo Y correspondientes a un nivel fijo de ingreso X; esto es, muestra la distribución condicional de Y condicionada en los valores dados de X. Dados que los datos de la Tabla 2.1 representan la población, podernos calcular fácilmente las probabilidades condicionales de Y p(Y I X). o la probabilidad de Y dado X, de la siguiente manera. 2 Para X = S80, por ejemplo,
1 Informalmente, una población es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento o medición, por ejemplo, cuando se lanza al aire una moneda varias veces o cuando se registran los precios de todos los títulos valores' transados en la Bólsa de valores de Nueva York al fmal del día. 2 Unas palabras sobre lB notación utilizada. La expresión p( y IX) o p( Y IXI) es una forma abreviada de p( r = 1) IX = X¡}, la probabilidad de que la variable aleatoria (discreta) Y tome el valor numérico Y¡ dado que 'la variable aleatoria (discreta) X tome el valor numérico X" Sin embargo, pira no congestionar la. notaci6n utilizaremos el subíndice i (el número de la observación) para las dos variables; Por tanto,p(Y IX) o p(Y IX J significaráp(Y '" 1'; IX = XJes decir, la probabilidad de que Y tome el valor Y, dado que X tome el valor XI, puesto que se desea aclarar el rango de los valores que 'toman X y Y. En la Tabla 2.1, cuando X $220, Y toma siete valores diferentes, pero cuando X $120, Y toma sólo cinco valores diferentes.
=
=
30
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
TABLA 2.2 Probabilidades condicionales p( Y I X ¡) para los datos de la Tabla 2.1
~Y;X~
160
180
200
220
240
260
1
1
1
1
1
1
.
.),
1
1
1
17
1 6
1 "7
.J,
100
Probabilidades
1
5
¡;
5
7"
condicionales
1
1
1
p(Y I XI)
1
1
1
1
t
~
1
~
j
5 5
1
120
140
80
1
;;
5 1
6
6
5
65
77
89
"
1
1
1
1
.J,
1
1
1
6
5
1
1
o\-
1
¡;
1
1
1
1
t
1
1
1
t
i
1
6 6
6
6
6
5
5
ti
101
7 7
6 ti
6
1
o\-
Medias condicionales de Y
7
1
7
6
6
5
1 7
1
6
6
1
7
5
6
6
125
137
149
7
1
7
113
1
7"
7
161
173
existen 5 valores de Y: $55, $60, $65, $70 y $75. Por tanto, dado que X == $80, la probabilidad de obtener uno de estos gastos de consumo es !. Simbólicamente, p(Y = 55\ X = 80) =!. De igual forma, p(Y = 150' X = 260) = t y así sucesivamente. Las probabilidades condicionales para los datos de la Tabla 2.1 se presentan en la Tabla 2.2. Ahora bien, para cada una de las distribuciones de probabilidad condicionales de Y se puede calcular su valor medio o promedio, término conocido también como la media condicional o esperanza condicional, que se denota comoE(Y, X = Xi) Y que se lee "el valor esperado de Y dado que X toma el valor específico X¡"y que, para efectos de simplificar la notación, se escribirá como E(Y \ XJ (Nota: Un valor esperado es simplemente la media o valor promedio de la población). Para nuestros datos hipotéticos, estas esperanzas condicionales pueden ser calculadas fácilmente multiplicando los valores relevantes de Y dados en la Tabla 2.1, por sus probabilidades condicionales dadas en la Tabla 2.2 y sumando luego estos productos. Para ilustrar el concepto, se tiene que la media condicional o esperanza de Y dado X == 80 será igual a: 5 5(!) + 60(!) + 65(}) + 70( *) + 7 5( ~) = 65. Las medidas condicionales calculadas se encuentran al final de la Tabla 2.2. t Antes de seguir es convenie'n te observar las cifras de la Tabla 2.1 a través de un diagrama de dispersión, como se muestra en la Figura 2.1, en el cual se muestra la distribución condicional de Y correspondiente a varios valores de X. A pesar de que ocurren variaciones en los gastos de algunas familias consideradas individualmente, la gráfica de la Figura 2.1 muestra claramente que, promedio, los gastos de consumo aumentan al incrementarse el ingreso. Dicho de otra manera, la figura sugiere que los valores (condicionales) promedios de y aumentan cuando X se incrementa. La anterior afirmación puede apreciarse mucho mejor si concentramos nuestra atención en los puntos más gruesos que representan diferentes valores condicionales medios de Y. El diagrama muestra la forma como estos puntos aparecen exactamente sobre una línea
e,.
MODELOS DE REGRESION CON DOS VARIABLES: ALGUNAS IDEAS BASICAS
31
200 M
7i i
a
150 = o
a
ao ... u
'O
o 100
i
c.? 50~~~~--~--~--~--~--~--~---L---L--
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
Ingreso semanal, $
FIGVRA2.1 Distribución condicional del gasto para düeaentes niveles de Ingreso (datos de la Tabla 2.1). ,-
recta con pendiente positiva. 3 Esta línea se denomina línea de regresión poblacional o, más genéricamente, curva de regresión poblacional o, más específicamente, curva de regresión poblacional de Yen X. Desde el punto de vista geométrico, una curva de regresión poblacional es simplemente el trazado o unión de las medÚlS condicionales o esperanzas de la variable dependiente para losvaloresfijosde 10/s) variable(s) explicativolsJ. En la Figura 2.2 .se puede observar la curva de regresión poblacional, que mu~stra que para cada Xi existe una población de valores de Y (que se suponen normalmente distribuidos, por razones que se explicarán más adelante) y una media (condicional) correspondiente. La línea o curva de regresión atraviesa estas' medias condicionales. Con esta interpretación d~ la curva de regresión es aconsejable releer la defmición de regresión dada en la sección 1.2. 2.2 CONCEPTO DE LA FUNCION DE REGRESION POBLACIONAL (FRP) De la ~terior exposición y especialmente de las Figuras 2.1 y 2.2, se deduce claramente que cada medJa condicional E(Y I Xi) está en función de Xi' Simbólicamente, se tiene que: E(YIX¡) =f(X¡)
(2.2.1)
.
El lector debe mantener presente la naturaleza hipotética de nuestra inforrnacion. No se está sugiriendo que las medias condicionales deban siempre estar sobre una línea recta; ellas pueden perfectamente estar sobre un~ curva.
3
32
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRES!ON y @ Media condicional
.... oí
;149~----~--~~~--~~~
e ~
o
e
~
...
..,..
IOII------+~-::iIIIF--.\
Distribuci6n de Y dado X
=$220
6S I------~F_I
S
~
~~--J80-----1~40-------22~O--------X
Ingreso seman.al. $
FIGURA 2.2 Lúteas de regresión poblacional (datos de la Tabla 2.1).
en donde f(X i ) denota una función de la variable explicativa Xi' [En nuestro ejemplo hipotético, E(YI Xi) es una función lineal de X¡]. La ecuación (2.2.1) se conoce como la· función de regresión poblacional, FRP, (en dos variábles) o simplemente regresión poblacional (RP). Dicha función denota únicamente que la media (poblacional) de la distribución de Y dado Xi está funcionalmente relacionada con XI. En otras palabras, nos muestra cómo el valor promedio (poblacional) de Y varía con las X. Dicho de otra fonna, nos dice cómo la respuesta media: o promedio de Y varía con X ¿Qué fonna toma la funciónf(X i )? Esta pregunta es importante, dado que en una situaciÓn real no se dispone de la totalidad de la población para efectuar el análisis. Por tanto, la fonna funcional de la FRP debe ser aproximada de una manera empírica, aunque para casos específicos es necesario acudir a la teoría. Por ejemplo, un economista puede afinnar que los gastos de consumo están linealmente relacionados con el ingreso. En consecuencia, como una primera aproximación o como hipótesis de trabajo, podemos suponer que la I;'RP E(Y I Xi) es una función lineal de Xi, por ejemplo, del siguiente tipo: (2.2.2)
en la cual PI y P2 son parámetros desconocidos pero fijos que se denominan coeficientes de regresión, también llamados intersección y coeficiente de la pendiente, respectivamente. La ecuación (2:2.2) se conoce como la función de regresión lineal poblacional o, simplemente, como la regresión lineal poblodonal. Otras expresiones equivalentes utilizadas son: modelo de regresión lineal poblacional, o ecuación de regresión lineal poblacional. Obviamente, los ténninos regresión ecuación de regresión y modelo de regresión son sinónimos. En el análisis de regresión, nuestro interés consiste en estimar una FRP como la de la ecuación (2.2.2), esto es, estimar los valores de las incógnitas y
MODELOS DE REGRESION CON DOS VARIABLES: ALGUNAS IDEAS BASICAS
33
TABLA 2.3 Modelo. de re¡resión lineal ¿Modelo
Un.
en 10& parimeuo.? ¿Modelo Uneal ea Ju Ylriablea?
sí
No
Si
No
MRI: MRNL
MRL MRNL
NotG:MRL Modelo de rest_lón lineal MRNL Modelo de rell'esión no lineal I
I
PI y P2 con base en las observaciones de Y y X, en el Capitulo 3.
10 cual se estudiará en detalle .
2.3 . SIGNIFICADO DEL TERMINO "LINEAL" Dado que este texto está interesado principalmente en modelos lineales como los de (2.2.2), es esencial entender en qué consiste el término lineal ya que' éste puede ser interpretado de dos maneras diferentes. Linealidad en las variables . ~
El principal y quizá más "natural" significado de linealidad es que la expectativa condicional de Y es una función lineal de X" por ejemplo en (2.2.2).04 Geométricamente, la CUNa de re~sión es en este caso una línea recta. En esta interpretación, una función de regresión tal como E(Y I XJ=PI -+ P2 xf no es una función lineal, debido a que la variable X aparece elevada al cuadrado. Linealidad en los parámetros El segundo sentido de linealidad es que la esperanza condicional de y, E(Y 1..1¡), es una función lineal de los parámetros, de las p';puede ser o no lineal en la variable X.s En esta interpretación, E(YIXI) = h + pzxf esunmodeloderegresión lineal, pero el modelo E(Y I XI) = PI + -Jpz Xl no lo es. [La última ecuación es un ejemplo de un modelo de regresión no lineal (en los parámetros), que no se considera en este texto]. De las dos interpretaciones de linealidad, la linealidad en los parámetros constitúye el concepto relevante en la teoría que se presenta en las páginas siguientes. Por tanto, de ahora en adelante, la expresión "regresión lineal"
Y = f(x) se dice que es lineal en X si X aparece con una potencia de 1 (se excluyen términos tales como Xl, entre otros) y no está ni multiplicada ni dividida por otra variable (por J'jemplo, X . Z o X/Z, donde Z es otra variable). 4 Una funci6n
.,¡x.
Se dice que una función es lineal en los parámetros, digamos en Pl'si PI aparece con una potencia de 1 y no está multiplicado ni dividido por ningÚn otro parámetro (por ejemplo, P1P1, fJz!fJl' etc.).
5
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
34
significard siempre una regresión lineal en los parámetros; las p' (es decir, los parámetros, se elevan únicamente a la primera potencia), pudiendo o no ser lineales en las variables explicativas, las X Esquemáticamente, en la Tabla 2.3 tenemos que E(Y IXJ = Pl + Pl X¡, es lineal tanto en la variable como en los parámetros, constituyendo, por ende, unMRL, aligualqueE(YIX¡)= Pl +PlX~, el cual es lineal en los parámetros a pesar de no ser lineal en la variable X
2.4 ESPECIFICACION ESTOCASTICA DE LA FRP . Como se. deduce claramente de la Figura 2.1, a medida que el ingreso familiar aumenta, los gastos de consumo familiar en promt(dio también aumentan. Pero ¿qué ocurre con los gastos de consumo de una familia en particular, en relación con su nivel de ingreso (fijo)? Es obvio después de observar la Tabla 2.1 y la Figura 2.1, que los gastos de consumo de una familia ho necesariamente aumentan con el nivel de ingreso. Por ejemplo, en la Tabla 2.1 observamos que para el nivel de ingreso de $100 existe una familia cuyos gastos de consumo de $65 son menores que el gasto de consumo de dos familias cuyo ingreso semanal es de sólo $80. Sin embargo, nótese que los gastos de consumo promedio de las familias con ingresos semanales de $100 son superiores que los de familias con ingresos semanales de $80 ($77 vs. $65). ¿Qué puede decirse entonces acerca de la relación ~xistente entre los gastos de consumo de una familia y un nivel de ingreso dado? Observando la Figura 2.1 se aprecia que para un nivel de ingreso dado Xi, los gastos de consumo de una familia se concentran alrededor del consumo promedio de todas las familias para ese mismo Xi, esto es, alrededor de su esperanza condicional. Por consiguiente, podemos expresar la desviación de un Yi individual alrededor de su valor esperado, de la siguiente manera: o
U¡
= Y; -
Y;
= E(YIX¡)
E(YIX¡)
+ U¡
(2.4.1)
en donde la desviación u, es una variable aleatoria no observable que toma valores positivos o negátivos. Técnicamente, se conoce a u, como la perturbación estocástica o término del error estocástico. La ecuación (2.4.1) postula que los gastos de una familia, dado su nivel de ingreso, son iguales a los gastos promedio de consumo de todas las familias con ese nivel de ingreso, más una cantidad positiva o negativa que es aleatoria. Más adelante examinaremos la naturaleza del término de perturbación Ui, pero por el momento supondremos que se trata de una variable sustitutiva de todas las variables omitidas que pueden afectar a Y, pero que (por una o varias razones) no pudieron incluirse en el modelo de regresión. Si se supone que E(YI Xi) es lineal en X" como en (2.2.2), la ecuación (2.4.1) puede escribirse como: Y¡ - B(YI.X,) ;k'"
,c"i""
;~
+., (2.4.2)
MODELOS DE REGRESION CON DOS VARIABLES;'ALGUNAS IDEAS BASICAS
35
Esta última ecuación plantea el hecho de que los gastos de consumo condicionales de una familiá, están relacionados linealmente con su ingreso, más un término de perturbación; así, los gastos de consumo dado X = $80 (véase Tabla 2.1) pueden expresarse como: Y1 = 55 = fJ1 + fJ2(80) + "1
+ fJl(80) + "1 Y3 = 65 = fJ1 + fJl(SO) + "3 Y... = 70 = fJ1 + fJl(80) + "4 Ys = 75 = fJ1 + fJ2(80) + "5 Y2 = 60 = fJ1
(2.4.3)
Ahora bien, si se toma el valor esperado de (2.4.1) a ambos lados de la ecuación, s&obtiene E(líIXJ = E[E(Y IX¡)] + E(u¡/XJ = E(YIXJ
+ E(u¡/X¡)
.
(2.4.4)
donde se hizo uso del hecho dé que el valor esperado de una constante es igual a la constante misma. Nótese que en (2.4.4) hemos tomado la expectativa condicional, en X Puesto qutE(líIX¡)es equivalente a E(Y IX¡),la ecuaclón (2.4.4) implica que: E(u¡IX¡)
=O
(2.4.5)
En otras palabras, el supuesto de que la línea de regresión pasa por las medias condicionales de Y (véase Figura 2.2) implica que los valores medios condicionales de Uf (condicionales a las X dadas) son iguales a cero. De 10 anterior se deduce que (2.2.2) y (2.4.,2) son formas equivalentes si E(u¡1 Xi) = 0. 6 Sin embargo, la especificación estocástica (2.4.2) ofrece la ventaja de mostrar claramente que, además del ingr~so, existen otras variables que afectan los gastos de consumo, de una familia, los cuales no se pueden explicar en su totalidad por la(s) variable(s)incluida(s) en el modelo de regresión. 2.5 LA SIGNIFICANCIA DEL TERMINO DE 'PERTURBACION ESTOCASTICA
Como pudo apreciarse en la Sección 2.4, el término perturbación ui sustituye todas aquellas variables que han sido excluidas del modelo pero que afectan conjuntamente a Y. La pregunta obvia es ¿por qué no se introducen explici-
En efecto, en el m~todo de mínimos cuadrados a desarrollarse en el Capítulo 3, se supone explícitamente que E(YIXJ, Véue la sección 3.l. ,
6
36
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
, .tamente en el modelo todas estas variables? 0, dicho de otro modo, ¿por qué no desarrollar un modelo de regresión múltiple con tantas variables como sea posible? Son varias las respuestas a este interrogante, a saber: 1. La teoría, si existe alguna, que determina el 'Comportamiento de Y, suele
ser incompleta. Se puede estar seguro de que el ingreso semanal X afecta los gastos de consumo Y, pero puede ocurrir que estemos inseguros o que desconozcamos otras variables que afectan a Y. Por tanto, u{ puede utilizarse como un sustituto de todas las variables excluidas u omitidas del modelo. 2. Aun en caso de que se conocieran algunas de las variables excluidas y que se procediera entonces a plantear un modelo de regresión múltiple, en lugar de una regresión simple, es posible que no existan cifras sobre dichas variables. Es muy común en los análisis empíricos, que la info{J11ación que idealmente quisiéramos tener no se encuentre a nuestra disposición. Por ejemplo, en principio podemos introducir la riqueza de la familia como variable explicativa adicional al ingreso, para describir el consumo familiar. Desafortunadamente, a menudo ocurre que no existe información sobre esta variable, lo cual nos obliga a excluirla del modelo a pesar de su relevancia teórica para explicar los gastos de consumo. 3. Supongamos que además del ingreso Xl, los gastos de cqnsumo también se ven afectados por el número de hijos de cada familia X2 , el sexo X 3, la religión X4, la educación X5 y la región geográfica X 6. Es muy posible que la influencia conjunta de todas o algunas de estas variables sea insignificante o a lo mejor aleatoria o no sistemática, y que desde el punto de vista práctico y por razones de costo no se justifique su introducción explícita en el modelo. Con optimismo, esperamos que el efecto combinado de todas estas variables se pueda tratar como una variable aleatoria u¡. 7 4. Aunque tengamos éxito y podamos incluir todas las variables en el modelo, no deja de existir cierta aleatoriedad "intrínseca" en Y, que, a pesar de todos IQS esfuerzos que se hagan no puede ser explicada. Las u pueden reflejar, en este sentido, la mencionada aleatoriedad intrínseca en Y. S. Aunque el modelo clásico de regresión (que se desarrollará en el capítulo siguiente supone que las variables Y y X se miden en forma exacta, en la práctica los datos pueden estar plagados de errores de medición. Consi· dérese como ejemplo la muy conocida teoría de Milton Friedman acerca de la función de consumo. 8 Según esta teoría el consumo permanente O,p) está en función del ingreso permanente (XI'). Sin embargo, dado
7 Una dificultad adicional consiste en que las variables sexo, educación, religión, etc., pueden ser de difícil cuantificación.
8 Milton Friedman, A Theory 01 the Consumption Function. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1957.
MODELOS DE REGRESION CON DOS VARIABLES: ALGUNAS IDEAS BASleAS
37
que la infonnación para estas dos variables no se observa directamente,. en la práctica nos vemos obligados a utilizar variables aproximadas (o proxis) tales como el consumo actual (Y) y el ingreso actual (X), las cuales si se pueden observar. Puesto que las Y y las X observadas pueden no ser iguales a yP y )(P, existe el problema de que se presenten errores de medición. El ténnino de perturbación u también puede representar en este caso los errores de medición. Como veremos en un capítulo posterior, si existen errores de medición éstos pueden ocasionar serios problemas en la estimación de los coeficientes de regresión, las p. 6. Finalmente, siguiendo el principio de la hoja de afeitar, de Occam,9 es importante mantener el modelo de regresión lo más simple posible. Si se puede explicar "sustancialmente" el comportamiento de Y (vía el R 2 o coeficiente de detenninaciónque se considerará en el Capítulo 3) utilir zando dos o tres variables y si, además, nuestra teoría no es lo suficientemente sólida como para sugerir la inclusión de otras variábles explicátivas, ¿para qué introducir variables adicionales? Dejemos, en lugar de ello, que Ui represente las restantes variables. Sobra decir que no se deben excluir las variables importantes, buscando mantener simple el modelo de regresión. Por todas estas razones, las perturbacionés estocásticas Ui asumen un papel d~cisivo en el análisis de regresión, como se podrá apreciar a medida que avancemos en nuestro análisis. 2.6
FUNCION DE REGRESIONMUESTRAL (FRM)
Hasta el momeI1to hemos limitado nuestros planteamientos a los valores poblacionales de Y correspondientes a los valores fijos de X. Lo hemos hecho de manera deliberada, pues no se deseaba hacer consideraciones de muestreo. (Obsérvese que las cifras de la· Tabla 2.1 representan la población y no la muestra). Sin embargo, es hora de referirnos a los problemas de muestreo porque en la práctica lo que está a nuestro alcance es una muestra de valores de Y correspondientes a valores fijos de X. Por consiguiente, nuestra tarea es la estimación de la FRP con base en infonnación muestral. A modo de ilustración, supongamos por un momento que no conocemos la población de la Tabla 2.1 y que todo lo que tenemos es una muestra de Y seleccionada aleatoriamente para valores fijos de X (véase Tabla 2.4). Ahora, a diferencia de la Tabla 2.1, se cuenta con un solo valor de Y para cada X dado; cada Y (dado Xi) de la Tabla 2.4 ha sido escogido aleatoriamente entre la población de Y de la Tabla 2.1· dado un valor para Xi'
9
"Las descripciones deben ser tan simples como sea posible, a menos que resulten inadecuadas". 11Ie
World o[ Mathematics. vol. 2,J. R. Newman (ed.), Simon & Schuster, Inc., New York, 1956, p. 1247, o "Las cantidades no se deben multiplicar más allá de lo necesario",Donald F. Morrison,~pplied Li near Statistical Methods, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1983, p. 58.
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
38 TABLA 2.4 Muestra aleatoria tomada de la población
de la rabia 2.1 y
X
70 65 90 95 110 115 120 140 155 150
80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
De este modo, podemos formularnos la siguiente pregunta: de la muestra de la Tabla 2.4, ¿es posible predecir el gasto promedio de consumo familiar y para la población como un todo para los X que se hayan escogida? En otras palabras, ¿es posible estimar la FRP con base en los datos muestrales? Cpmo el lector seguramente sospecha, no es factible estimar "con precisión" la FRP, debido a las fluctuaciones muestrales. Para examinar este punto, supongamos que se toma otra muestra de la población de la Tabla 2.1, tal como se presenta en la Tabla 2.5. Al hacer un diagrama con los datos de las Tablas 2.4 y 2.5, se obtiene la Figura 2.3, en la cual se grafican dos líneas de regresión muestra que tratan de "ajustar" lo mejor posible los puntos dispersos. FRM 1 y FRM 2 son las resultantes de la primera y la segunda muestra, respectivamente. Sin embargo, la pregunta es: ¿cuál de las dos líneas es la "verdadera" línea de regresión poblacional? Absteniéndonos de considerar la Figura 2.1 que, a propósito, representa la RP, no existe modo alguno de afirmar con certeza cuál de las TABLA 2.5 Otra muestra aleatoria tomada de la población de la Tabla 2.1 y
X
55 88 90 80 118 120 145 135 145 175
80 100 120 140 160 180 200
220 240 260
MODELOS DE REGRESION CON DOS VARIABLES: ALGUNAS IDEAS BASICAS
39
200 _ Primera muestra (Tabla 2.4) e Segunda muestra (Tabla 2.5)
" FRM, Rellfeaion basada en la ., segunda muestra ... "FRM,
. .........\ '" .,'"\-
... ISO
,
1
~;
i
i
Rellfeaión basada en la primera muestra.
100
8
j
•
1.
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
~~8~O~~IO~O--~12~O--I~~~-I~~~~I~W~~2~OO~~2~20~~24~O~~2~60~--
Ingreso semanal, $.
FIGURAl.3 Líneas de regresión basadas en dos muestras diferentes.
dos líneas que aparecen en la Figura 2.3 representa la verdadera línea (o curva) de regresión poblacional. Las líneas de la Figura 2.3 se conocen como las líneas de regresión muestra/o Supuestamente, ambas representan la línea de regresión poblacional, pero en razón de fluctuaciones muestrales, en el mejor de los casos son una aproximación de la verdadera RP. En general, se obtendrán N FRMS diferentes para N muestras diferentes, y no es factible que estas FRMS sean iguales. Ahorá, de manera análoga a la FRP en que se fundamenta la regresión lineal poblacional, es posible desarrollar el concepto de función de regresión muestral (FRM) para representar la línea de regresión muestral. La contraparte muestral de (2.2.2) puede escribirse como:
1'; = donde
PI + pzX¡
(2.6.1)
se lee como "sombrero" o "gorro" ~ = estimador de E(Y I Xi) PI = estimador de P1 pz = estimador de P2 1\
Nótese que un estimador o estadístico (muestral), como también se conoce, es simplemente una regla, fórmula o método que nos dice cómo estimar el parámetro poblacional a partir de la información proporcionada por la muestra que se tiene a mano. El valor particular que se obtiene para el esti-
40
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
mador después de efectuada una aplicación se conoce con el nombre de estimativo. lO
Ahora que se ha expresado la FRP en dos fonnas equivalentes, (2.2.2) y (2.4.2), podemos también expresar la E'RM (2.6.1) en su fonna estocástica de la siguiente manera:
(2.6.2) en donde, además de los símbolos definidos anterionnente, e, denota el tér. mino residual (muestral). Conceptualmente e, es análogo a~" pudiendo considerarse como una estimación de u,. Se introduce en la FRM por las mismas razones por las cuales u¡ se introdujo en la FRP. Resumiendo, el objetivo fundamental del análisis de regresión consiste en estimarla FRP .
(2.4.2) con base en la FRM
(2.6.2) en razón. de. que en la mayoría de los casos el análisis se debe llevar a cabo con base en una muestra tomada de una población. Sin embargo, debido a fluctuaciones entre una muestra y otra, nuestra estimación de la FRP con base en la FRM es, en el mejor de los casos, una aproximación. Esta aproximación se representa en fonna de diagrama en la Figura 2.4. Para X = X, tenemos una observación (muestral) Y = Y,. En términos de la FRM, el Y , observado puede expresarse como:
(2.6.3) yen términos de la FRP, como: 1'; = E( Y I XI) + U¡
(2.6.4)
Ahora. es obvio que en la Figura 2.4, ~ sobreestima el verdadero E(Y I XI) para el X, dado, mientras que para cualquier X, a la izquierda del punto A la FRM subestima la verdadera FRP. El lector podrá concluir fácilmente que la sobre o subestimación del modelo poblacional es inevitable, precisamente por las fluctuaciones de tipo muestral. . Surge ahora la siguiente pregunta esencial: puesto que sabemos que la FRM es sólo una aproximación a la FRP, ¿es posible diseñar una regla o método que haga que dicha aproximación sea lo más "ajustada" posible? En otros ténninos, cómo se debe oonstruir la FRM de tal fonna que P1 y P2 estén
10 De aquí en adelante el símbolo A sobre una variable denotará un estimador del valor poblacional en referencia.
MODEI.OS DE REGRESION CON DOS VARIABlES: ALGUNAS IDEAS BASICAS
41
y
..
Y¡
..
~
ti Ii a o
I..
E (Y)XI )
o
O>
'O
!
i o ~--------------~~----------------X XI
ln¡rao semanal, $
· FlGURA2.4 Líneas de regresión poblacional y rnuestral..
tan "cerca" de los verdaderos PI y P2 corno sea posible, aunque no se conozcan PIyP2' · La respuesta a esta pregunta ocupará nuestra atención en el Capítulo 3; · por el momento, contentémonos con saber que es posible desarrollar procedimientos que nos dicen cómo construir la FRM a "imagen y semejanza" de la FRP y, lo que es más fascinante, que esto puede efectuarse sin que en realidad tengamos que determinar la FRP.
2.7 RESUMEN Y CONCLUSIONES En este capítulo hemos considerado algurias ideas fundamentales del análisis de regresión. Comenzando con el concepto clave de la función de regresión poblacional (FRP) , hemos desarrollado el concepto de la FRP lineal. La mayor parte de este libro está destinada a estudiar los FRP de tipo lineal, esto es, re3fesiones que son lineales en los parámetros desconocidos, sin importar qu,é sean lineales en las variables. Introdujimos a continuación la idea de la FRP ~stocástica, analizando en detalle la naturaleza y el papel del término de perturbación estocástica u,. La FRP es, desde luego, una construcción idealizada o teórica, puesto que en la práctica todo lo que se tiene es una(s) muestra(s) de la población. Para este efecto, se requería considerar la función de regresión muestral (FRM). Es la FRM la que nos permite estimar la FRP. La estimación de esta última será el objeto del Capítulo 3.
42
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
EJERCICIOS 2.1 La tabla que presentamos a continuación muestra las tasas de retomo anuales anticipadas de cierta inversión y sus probabilidades correspondientes. Tasa de retomo Probabilidad PI 0.10 0.15 0.45 0.25 0.05
X(%)
-20 -10 10 25 30
Utilizando las defmiciones consideradas en cualquier texto de estadística, (a) Calcule la tasa de retomo esperada,E(X). (b) Calcule la varianza (02) y la desviación estándar (o) de las tasas de retomo. (e) Calcule el coeficiente de variación, V, defIDido como V = a/E(X). Nota: Frecuentemente V se multiplica por 100 para expresarlo en términos de porcentaje. 2.2 La siguiente tabla presenta la distribución de probabilidad conjunta p(x, y) de las variables X y Y.
1 1 3 4
1
1
3
0.03 0.02 0.09 0.06
0.06 0.04 0.18 0.12
0.06 0.04 0.18 0.12
Utilizando las defmiciones consideradas en cualquier texto de estadística, determine: (a) Las distribuciones de probabilidad marginal o no condicional de X y Y. (b) Las distribuciones de probabilidad condicional p(X I Y¡) y p(Y IXi)' (e) Las esperanzas condicionales E(X I Y¡) y E(Y IXi)' 2.3 En la tabla que se presenta a continuación se muestra la distribución probabilística conjunta p(x, y) para las variables aleatorias X y Y, donde X = tasa de retomo esperada para el primer año (%) del proyecto A y Y = tasa de retomo esperada para el primer afto del proyecto B.
x y
-10
O
10
30
10 50
0.27 0.00
0.08 0.04
0.16 0.10
0.00 0.35
(a) Calcule la tasa de retomo esperada para el proyecto A, E(X). (b) Calcule la tasa de retomo esperada para el proyecto B, E(Y). (e) ¿Son independientes las tasas de retomo de los dos proyectos? (Sugerencia: ¿Es 4
E(XY) = E(X)E(Y)?)
Nota: E(XY) =
2
L L ;=\ j=\
Xi 1)p(Xi 1).
MODELOS DE REGRESION CON DOS VARIABLES: ALGUNAS IDEAS BASICAS
43
2.4 Para 50 parejas, las edades de la esposa X y del marido Y se agrupan en la siguiente tabla, con intervalos de cu de 10 aftos para cada pareja y con las respectivas frecuencias en el interior de la tabla. Los valores de X y Y aquí presentados corresponden a: los valores promedio de cada intervalo de clase.
~
lO
1 2
~
30 40 50 60
30
40
11 4
1 10 3
50
60
70
3
15
14
9
Total
1 14 15 10
1 6
2
Total
70
1 3 1
2 2
7
5
4
SO
3
De este modo, para la cuen la cual la edad del marido está entre 35 y 45 aftos y la edad de la esposa entre 25 y 35 aftos,los valores de Y y X se toman centrados en 40 y 30, respectivamente, siendo la frecuencia de 4. (ti) Determine la media de cada arreglo, es decir, de cada Illa y cada columna. (b) Con X en la abscisa y Yen la ordenada, dibuje el arreglo de medias (condicionales) obtenidas en (ti). Si 10 desea, u~ el sí~bolo + para la columna de las medias yOpara la ma de las medias. (e) ¿Qué se puede decir de la relación entre X y Y? (d) ¿Cae aproximadamente la media condicional de las Illas y las columnas en una línea recta? Dibuje las líneas de regresión. 2.5 En la siguiente tabla se presenta la cotización (X) y el rendimiento al vencimiento Y.(%) de SO bonos, donde la cotización se mide a tres niveles: X = l(Bbb).X = 2(Bb) Y X = 3(B). De acuerdo con la cotización de bonos suministrados por la fonna Standar & Poor, Bbb, Bb, Y B son bonos de calidad intermedia,dondeBb tiene una cotización ligeramente mayor que B mientras que Bbb tiene una cotización ligeramente superior que Bb.
~ 8.5
11.5 17.5 Total
1 1M
1 BII
13 2 O
5 14 1
2 13
18 i8 14
15
20
15
SO
3 B O
Total
(a) Convierta la tabla anterior en una tabla que presente la distnoución probabilística conjunta,p(x, y), es decir, p(X = 1, Y = 8.5) = 13/50 = .26. (b) Calcule P(YIX = l),P(YIX ... 2), Y P(YIX = 3). (e) Calcule E(Y I X = 1), E(Y I X - 2), Y E(Y I X = 3). (d) ¿Están de acuerdo las tasas de retomo calculadas en (e) con las expectativas
a priori sobre la relación entre la cotización de los bonos y, su rendinUento al vencimiento?
I
44
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
2.6. Examine los siguientes datos:
Economistas con doctorado: mediana de los saJarios (en miles de dólares por afio) en tipos de empleos según los afios de experiencia profesional, registros nacionales, 1966 en los Estados Unidos. Años de experiencia
Institutos de educación
(}-2
lO 11
2--4 5-9 1(}-14 15-19 2(}-24 25-29 3(}-34 35-39
12
12 14 15 16.3 18.0 17.4 17.5 18.0
40-44*
Gobierno Federal Empresas o industrias
15.6 18.0 20.0 24.0 25.0 25.5
13
15.2 17.6 18.4 20.0 20.6
• La categoría verdadera es de 40 o más N. Amold Tolles y Emanuel Melichar. Studies of th,e Structure of Economlts' Salaries and Income," American Economic Review. vol 57 no. 5 suplemento, diciembre 1968, Tablas 111 B-13 y 14 p.113.
Fuente
(a) ¿A qué conclusión general llega usted? (b) Con los afios de experiencia en el eje X y la mediana del salario en el eje Y, dibuje curvas de regresión que relacionen la mediana del salario,con los afias de experiencia para cada uno de los tres tipos de empleo que se presentan en la tabla. 2.7. Considere la siguiente tabla:
Cantidad de economistas según afios de experiencia y edad (solamente economistas de tiempo completo empleados profesionalmente). Años de experiencia Edades (años)
2(}-24 25-29 3(}-34 35-39
~l
24 121 77
55-59
18 6 1 1 1
60-64
l'
40-44
45-49 5(}-54
1-4
13
405 497 125 36 15 5 2
s-9
1 184 825 535 161 48 19 10 3
65-69 7(}-74t T~tal
250
1099
1787,
1~14
197 780 652 183 52 18 6 2 1890
1~19
3 194 761 433 119 27 8 4 1 1550
~14*
1 235 751 784 612 382 206
27 2998
Total
38 710 1599 1653 1851 1431 980 670 400
214 28 9574
• 'La categoría yerdadera es de 20 o más. t 'La categoría verdadera es de 70 o más. Fuente: Adaptado de "The Structure 01 Ec()nomista' Employment and Salaries, 1964", American Economlc Revlew, vol. SS, no. 4, diciembre de 1965, Tabla VII, p. 40.
MODELOS DE REGRESION CON DOS VARIABLES: ALGUNAS IDEAS BASICAS
45
La tabla muestra las frecuencias absolutas de las variables edad y aftos de experiencia. Haciendo uso de frecuencias relativas (frecuencias absolutas- dividid:lS por el número total) como una medida de las probabilidades: (a) Obtenga la distribución probabilística conjunta de la edad y los aftos de experiencia. (b) Obtenga las distribuciones probabilísticas condicionales de la edad para diferentes aftos de~experiencia. (e) Obtenga lá. distribución probabilística condicional de los afios de experiencia para varias edades. , (el) Haciendo uso de los puntos medios de los intervalos de la edad y de los aftos de experiencia, obtenga las medias condicionales, de las distribuciones derivadas en(b) y (e). . (e) Dibuje los diagramas de dispersión apropiados que muestren las diferentes medias condicionales. (/) Si se conectan las medias condicionales que se muestran en (e) ¿Qué se obtiene? (g) ¿Qué puede usted decir acerca de la relación existente entre los aftos de "xperiencia y la edad? 2.8. Determine cuáles de los siguientes modelos son lineales en los parámetros, en las variables o en ambos. ¿Cuáles de estos modelos son modelos de regresión lineal? Modelo
Descripción
(a) Y¡ =
PI + P2(;) + ul
Recíproco
(b) Y¡ =
PI + P2 In X/ + u¡
Semilogarítmico
(e) In Y¡ =
PI + P2XI + u¡
(d) In Y¡ = In
(e) In Y¡
SemilogarítmiCO.inverso
PI + P2 In XI + u¡
= PI -
P2(;) + u
1
Logarítmico o doble logarítmico Semilogarítmico inverso en el recíproco
= logaritmo natural (es decir, logaritmo en base e); Uf es el término de perturbación estocástica. Estudiaremos estos modelos en el Capítulo 6.
Nota: In
2.9.
¿Corresponden los siguientes a modelos de regresión lineal? ¿Por qué razón?
(e) Y¡ =
(e) In Y¡
= PI + p~(;) + U1
PI + P~XI + U/.
46
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
2.10. Si en (d) del ejercicio anterior, P2 = 0.8, ¿se convertida el modelo en un modelo de regresión lineal? ¿Por qué? 2.11. Considere los siguientes modelos no estocásticos. ¿Son estos modelos lineales en los parámetros? Si no, ¿es posible, utilizando operaciones algebraicas adecuadas, convertirlos en modelos lineales? 1 (a) Y¡ = Pi
+ P2 X ¡
(b) Y¡ = Pi
+ P2 X ¡
X.
(e)
1
y=--~~ I 1 e-fJ¡-fJ,X,
+
CAPITULO
3
EL MODELO DE REGRESION CON DOS VARIABLES: EL PROBLEMA DE LA ESTlMACION
Como se vio en el Capítulo 2, nuestra primera tarea consiste en estimar la función de regresión poblacional (FRP) con base en la función de regresión muestral (FRM}, de la manera más precisa posible. Existen en la actualidad varios métodos para construir la FRM, pero en lo concerniente al análisis de regresión el más usado es el. método de mínimos cuadrados ordinarios (MCO).! En el presente capítulo se analiza este método en términos del mo'delo de regresión en dos variables. 3.1 EL METODO DE MINIMOS CUADRADOS ORDINARIOS El método de mínimos cuadrados ordinarios se ha atribuido al matemático alemán Carl Friedrich Gauss. Bajo ciertos supuestos (analizados en la seccion 3.2) el método de MCO ofrece algunas propiedades estadísticas muy atractivas, por lo cual se ha constituido en uno de los más eficaces y populares métodos de análisis de regresión. Para comprender este método procederemos a explicar'primero el principio de los mínimos cuadrados.
1 Otro método, conocido como el método de m4xima lIerosimüitud, se explicará brevemente en el Capítulo 4.
47
48
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
y
L -____J -_ _- J _ _ _ _ _ _~--~--~~---------x
FIGURA 3.1 El criterio de mínimos cuadrados.
El prinCipio de los mínimos cuadrados Recordando la FRP en dos variables, 1'; = /31
+ /32 X ¡ + U¡
(2.4.2)
Sin embargo, como mencionamos· en el Capítulo 2, la FRP no se puede observar directameI).te, la estimamos a partir de la FRM: 1'; =
P1 + P2 X¡ + e¡
= ~
+e¡
(2.6.2) (2.6.3)
donde ~ es el valor estimado (media condicional) de 1'; Pero, ¿cómo se puede determinar la FRM misma? Para saberlo, procedamos de la siguiente forma. Primero expresemos (2.6.3) como: e¡
= 1'; -
~
(3.1.1)
lo cual muestra que los e¡ (los residuos) son simplemente las diferencias entre los valores reales y los estimados de Y. Ahora bien, dados N pare') de observaciones de Y y X estamos interesados en determinar la FRM de tal forma que esté tan cerca como sea posible del Y real. Con este fin podemos adoptar el siguiente criterio: elíjase la FRM, de tal manera que la suma de los residuos ¿ e¡ = ¿ (1'; - ~) resulte ser tan pequeña como sea posible. Aunque intuitivamente este criterio parece atractivo, no es un buen criterio de elección, como se desprende del diagrama hipotético que se muestra en la Figura 3.1. Si adoptamos el criterio de minimizar ¿ e¡, observamos en la Figura 3.1 cómo los residuos ez y e3' así como los residuos el Y e4 reciben la .misma /"
EL MODELO DEREGRESION CON DOS VARIABLES: EL PROBLEMA DE LA ESTIMACION
49
ponderación en la suma (el + e2 + ea + e4) a pesar de que los dos primeros están mucho más cerca de la FRM que los dos últimos. En otras palabras, a todos los residuos se les da la misma importancia o peso sin importar qué tan cerca o qué tan dispersas estén las observaciones individuales de la FRM. Como consecuencia, es bastante factible que· la suma algebraica de los e, sea muy pequeña (aun cero), a pesar de que los e, estén muy dispersos alrededor de la FRM. Para verificar lo anterior, supongamos que el' e2' ea ye4 asumen valores de 10, -2, +2, Y -10 respectivamente; la suma algebraica de estos residuos es cero, a pesar de que e l y e4est~n más dispersos alrededor de la FRM que e2 Y ea. Este problema puede evitarse adoptando el criterio de los mínimos cuadrados según el cual la FRM puede plantearse en forma tal q~e
(3.1.2)
resulte ser tan pequeña como sea posible y en donde el representan los residuos al cuadrado. Al elevar al cuadrado los residuos e" este método les asigna un mayor peso a los residuos el ye4 en la Figura 3.1 que a los residuos e2 Y ea. Como se anotó previamente, bajo el criterio de minimizar ¿ e¡, la suma puede ser pequeña a pesar de que los e, estén bastante dispersos alrededor de la FRM. La anterior situación no puede presentarse con el método de los mínimos cuadrados debido a que cuanto más grandes sean los e, (en valores absolutos), mayor será ¿ el. Una justificación adicional para el método de mínunos cuadrados es el hecho de que los estimadores obtenidos mediante este método tienen propiedades muy deseables desde el punto de vista estadístico, como veremos más adelante. Es obvio a partir de (3.1.2) que (3.1.3)
TABLA3.l Determinación experimental de la FRM Y¡
XI
(1)
(2)
4 5 7 12
1 4 S 6
Suma: 28
16
fu
eu
r.1 (S)
(3)
(4)
2.929 7.000
1.071 -2.000 -1.357 2.286
1.147 4.000 1.841
0.0
12.214
8.357 9.714
5.226
f ZI
eZI
et
(6)
(7) .;
(8)
4 7 8 9
-2 -1 3
O 4 1 9
O
14
Notas:fli = 1.572 + 1.357X,(V.gr., P. = 1.572 Y Jl = 1.357) f l , = 3.0 + 1.0X,(V.gr., P. = 3 Y Pl = 1.0) e ll = (1'; - fli) el; - (1'; - flJ
O
50
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
10 cual implica que la suma de los residuos al cuadrado es una función de los estimadores PI y $2: para un conjunto dado de datos, con diferentes valores
para PI y P2. se obtendrán diferentes valores para e y por tanto, valores distintos para ¿ ef. Para apreciar claramente lo anterior, considere los datos hipotéticos sobre Y y X dados en las primeras dos columnas de la Tabla 3.1. Ahora llevamos a cabo dos experimentos. En el primero, sea PI = 1.572 Y P2 = 1.357 (por ahora no nos preocupemos sobre cómo obtuvimos estos valores; digamós que se adivinaron). Utilizando estos valores de Py los valores de X dados en la columna (2) de la Tabla 3.1, podemos calcular fácilmente el Y¡ estimado que está dado en la columna (3) de la tabla y denotado como Y1i (el subíndice·l se utiliza para indicar el primer experimento). Pasemos ahora al segundo experimento, pero esta vez utilizando los valores de PI = 3· Y P2 = 1. Los valores estimados de Y i para este experimento se presentan en la columna (6) de la Tabla 3.1, mediante el ¡símbolo Y2i • Puesto que los valores de P son diferentes en los dos experimentos, obtenemos valores asimismo diferentes para los residuos estimados, como se ilustra en la tabla; los el ¡ corresponden a los residuos del primer experimento, mientras que los e2 ¡ corresponden a los del segundo. En las columnas (5) y (8) se presentan, de otro lado, los cuadrados de estos residuos. Obviamente, como es de esperarse de (3.1.3), estas sumas residuales de cuadrados son diferentes puesto que se derivan de conjuntos de valores diferentes de p. Entonces, ¡.qué conjuntos de valores de P debemos escoger? Debido a (= 12.214) infeque los valores P del primer experimento arrojan una ¿ rior a la que se obtiene para los valores P del segundo experimento (= 14), podríamos concluir entonces que las ¡J del primer experimento son los "mejores" valores. ¿Pero cómo podemos saberlo? Si contásemos con una cantidad infinita de tiempo y de paciencia, habríamos llevado a cabo muchos experimentos similares adicionales escogiendo cada vez diferentes conjuntos de P, comparando. la ¿ resultante luego escogiendo el conjunto de valores p que arrojara el mínimo valor posible para L er, suponiendo, como es lógico, que hemos tenido en cuenta todos los valores posibles de PI y P2' Pero como el tiempo y la paciencia siempre son escasos, necesitamos encontrar una simplificación para este proceso de prueba y error. Afortunadamente, el método de mínimos cuadrados nos ofrece tal simplificación. El principio o método de mínimos cuadrados seleccion.a el ¡JI, y el P2 de tal forma que para un conjunto muestral de información¿ efes la más pequefia posible. En otras palabras, para una muestra dada, el método de mínimos cuadrados nos arroja estimativos únicos de PI y P2 que producen el valor más pequefio posiLo anterior se obtiene mediante un ejercicio sencillo de cálculo ble de ¿ diferencial. El proceso de diferenciación produce las siguientes ecuaciones para la estimación de Pi y {Jz., como se ilustra en el Apéndice 3A, Sección 3A.l;
er
er
y
er .
(3.1.4) (3.1.5)
EL MODELO DE REGRESION CON DÓS VARIABLES: EL PROBLEMA DE LA ESTIMACION
51
en donde N es el tamaño de la muestra. Estas ecuaciones simultáneas se conocen como ecuacionej normales. Al resolverlas simultáneamente se obtiene
(3.1.6)
en donde X y Y son las medias muestrales de X y Y respectivamente, y en donde definimos Xi = (Xi - X), y Yi = (Y¡ - Y¡) . De aquí en adelante adoptamos la convención de utilizar letras minúsculas para representar desviaciones con respecto a los valores medios.
p = 1: Xl L Y¡ - L Xi LX, y, 1
L Xl - (L X¡f = r -P2Z N
(3.1.7)
El último paso en (3.1.7) puede obtenerse directamente a partir de (3.1.4) por simple manipulación algebraica. A esta altura del análisis puede decirse que al utilizar identidades algebraicas simples, la fónnula (3.1.6) para estimar P2 puede expresarse en fonna alterna como:
(3.1.8)2
lo cual reduce el exceso de cálculos, en caso de que se utilizara utilice una calculadora manual para resolver el problema de regresión con un conjunto pequefio de datos.
x: 1: 1: 1:
x,
lNota J: L xf = L (X, - X)l ~ L 2 L X,X + 1:Xz = Lxf - 2X E + L Xl, puesto queX es una constante. Además, apréciese que LX,. NX y 1z - NXZ' puesto que X es una constante. Finalmente, obtenemos xf = Xf - N X Z . . • Nota 2: X,Y, = L x,(Y, - 1) ... x, y, - f L x, "" x, y, - f (X, - X) = L x, y" puesto que y es una constante y la suma de las desviaciones de una variable con respecto a su valor promedio es siempre cero. De la mjsma manera, = (Y, - 1) .. o. (es decir, L (X, -
1:
X»
1: 1: 1: "
r
r
52
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
y
FIGURA 3.2,
~------------~~---------------x
X
Diagrama que muestra cómo la línea de regresión muestral pasa a través de los valores de las medias mucstraJcs Y y X.
Los estimadores previamente obtenidos se conocen como estimadores de mz'nimos cuadrados, por derivarse del principio de mínimos cuadrados. Obsérvense a continuación las características de estos estimadores.
1. Están expresados únicamente en términos de cantidades observables (v,gr., la muestra); es decir, Xi y Xi' 2. Son estimadores puntuales; es decir, dada la muestra, cada estimador proporcionará un solo (punto) valor del parámetro poblacional relevante. (En el Capítulo 5 consideraremos los llamados .estimadores de intervalos, que porcionan un rango de valores posibles para el parámetro poblacional desconocido). Una vez obtenidos los estimadores de mínimos cuadrados, a partir de los datos que se tengan a mano es muy fácil ajustar la línea de regresión muestral (Figura 3.1), la cual posee las siguientes propiedades: 1. Pasa a través de las medias muestrales de X y Y. Esto es obvio a partir de la ecuación (3.1.7), puesto que ésta puede escribirse comoY = Pi + P2X, como se observa en la Figura 3,2.
2. El valor medio del Y estimado (= f¡) es igual al valor medio del Y observado para
f; =
Pi + P2 X
¡
= (Y - P2X)
+ P2X¡
(3.1.9) Y + P2(X¡ - X) Sumando a ambos lados de la última igualdad sobre los valores muestra- . les y dividiendo por el tamÍlfto de la muestra N, se obtiene: =
EL MODELO DE REGRESION CON DOS VARIABLES: EL PROBLEMA DE LA ESTIMACION
donde hemos hecho uso de
53
L (XI - X) = O. (¿porqué?)
3. El valor medio de los residuos el es cero. A partir del Apéndice 3A, Sección 3 A.l , la primera ecuación es
L Pi - P1 - P2 XJ = O P1 - P2XI, la anterior ecuación
-2
Pero dado que el = lí se reduce a L el = O teniéndose que e = 0.4 Como resultado de. la anterior propiedad, la regresión muestral
-2
(2.6.2)
puede expresarse alternativamente en forma de desviación, donde tanto X como Y se expresan en términos de desviaciones de sus valores medios.
Para apreciar lo anterior, tómese la sumatoria a ambos lados de (2.6.2) para obtener
L lí = NP1 + P2 L X¡ + L e¡ =NP1+P2LX¡ puesto que Le¡=O'
(3.1.14) = (3.1.4)
Dividiendo la ecuación (3.1.11) por N, se obtiene y =
P1 + P2 X
(3.1.12) =(3.1.7)
restando (3.1.12) de (2.6.2), se obtiene
(3.1.13)
donde y, y Xi, representan, de acuerdo con nuestra convención, desviaciones con relación a sus respectivos valores medios (muestrales). La ecuación (3.1.13) se conoce como la forma de desviación para uno de los estimadores de MCO. Nótese que el térm.ino de intersección P1 ha desaparecido, aunque puede estimarse utilizando (3.1.7), debido a que la línea de regresión muestral pasa siempre por las medidas muestrales de X y Y. Una de las ventajas de la desviación de las ecuaciones en
Se debe seÍialar que este resultado es correcto únicamente cuando el modelo de regresión incluye el término de intersección PI Corito se demuestra en el Apéndice 6A, Sección 6A.l este resultado no se da necesariamente cuando Pino forma parte del modelo.
3
Este resultado también requiere que la intersección PI esté presente en el modelo. (VétUe Apéndice 6A, Sección 6A.l).
4
54
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
fonna de desviaciones es la simplificación
en los cálculos aritméticos.
cuando se trabaja con una calculadora de escritorio, ventaja que puede ser insignificante en esta era de los computadores. Observemos de paso que la FRP en fonna de desviaciones puede expresarse de la siguiente manera: (3.1.14)
mientras gue en las unidades originales 'de medida, dicha expresión era }>¡ = Pl + P2 X i, como se muestra en (2.6.1). 4. Los residuos e, no están correlacionados con el valor estimado de Y" 10 cual se puede verificar de la siguiente manera, utilizando la fonna de desviación:
L Yiei = P2 L Xiei = P2 L Xl..Yi - P2 Xi) = P2 L X¡ y¡ - P~ L xf = P~ L xf - P~ r. xf =0 donde nos hemos fundamentado en el hecho de que
(3.1~15)
P2 = r. x¡y¡/r. xf.
S. Los residuos e, no están correlacionados con X" hecho que implica que L e¡X¡ = O 10 cual se desprende de la ecuación (2) en el Apéndice 3A, Sección 3 A.l. . 3.2 EL MODELO DE REGRESION LINEAL CLASICO: SUPUESTOS FUNDAMENTALES DEL METOno DE MINIMOS CUADRADOS ORDINARIOS l
Si nuestro objetivo consiste en estimar Pl y P2 únicamente, el método de MCO ya analizado, en la sección anterior sería sufi~iente. Pero recordemos del Capítulo 2 que en el análisis de regresión nuestro objetivo no es solamente obtener P1 y $2 sino también establecer inferencias acerca de los verdaderos valores de P1 y P2' Por ejemplo, sería interesante conocer qué tan cerca están P1 y P2 de los parámetros poblacionales, así como qué tan ajustado está Y¡ al verdadero E(Y IXi)' Con ese objetivo en mente, no sólo debemos especificar la fonna funcional del modelo, como se hizo en (2.4.2), sino que debemos también plantear ciertos supuestos sobre la manera como se generan X, Y u,. Para entender las razones de 10 anterior, obsérvese la FRP: Y¡ = P1 + P2 X¡ + Uf. Esto muestra que Y , depende tanto de X, como de u.J.' Por tanto, mientras no se especifique la forma como se generan X, y u" no se puede hacer ninguna inferencia estadística sobre Y, ni sobre P1 y P2" como veremos posterionnente. En consecuencia, los supuestos sobre la variable X, y el término de perturbación son fundamentales para llevar a cabo una interpretación válida de las estimaciones de la regresión.
EL MODELO DE REGRESION CON DOS VARIABLES: EL PROBLEMA DE LA ESTIMACION
55
El modelo de regresión, con9cido también como el modelo de Gauss, o modelo clásico, estándar o lineal general, en el cual se basa la mayor parte de la teoría econométrica, plantea los siguientes supuestos. 5 Supuesto 1. (El valor medio o promedio de Uf es igual a cero) (3.2.1)
El supuesto plantea que el valor promedio de Uf, dado un valor de Xf, es igual a cero. Geométricamente, este supuesto puede representarse a través de la Figura 3.3, donde se muestran algunos pocos valores de la variable X y las correspondientes poblaciones de Y asociadas con cada uno de ellos. Como se presenta allí, cada población de Y correspondiente a un X dado, está dis-· tribuida alrededor de su valor medio (que se representa mediante los puntos rodeados por un círculo sobre la FRP), con algunos valores de Y por encima y otros por debajo de la media. Las distancias de los puntos localizados' por encima y por debajo de los valores medios no son otra cdsa que los Uf. La ecuación (3.2.1) sólo requiere que el valor medio o promedio de esas desviaciones para un X cualquiera sea igual a cero. 6 Es fácil comprender este supuesto, teniendo presente el análisis hecho en la Sección 2.4 (véase -la ecuación 2.4.5). Todo lo que se plantea es que aquellos factores que no están incluidos explícitamente en el modelo, incorporados, por tanto, en Uf, no afectan sistemáticamente el valor promedio de Y; dicho de otro modo, los valores positivos de Uf se cancelan con los valores negativos de tal manera que su efecto promedio sobre Y es cero. 7 Nó·tese que el supuesto E(ud Xi) = O implica que E(Y¡ I Xi) = PI + P2 Xi' (¿Por qué?) Por tanto, los dos supuestos son equivalentes. Supuesto 2. (No eXiste autocorrelación entre las u) COY
(u¡, u) = E[u¡ - E(u¡)J[uJ - E(u)J
por el supuesto i#j
(3.2.2)
donde i Y j son dos observaciones diferentes y coy significa covarianza.
Dicho de otro modo, (3.2.2) postula que las perturbaciones Uf,y U, no están correlacionadas. Técnicamente, este supuesto se conoce como el su-
Es clásico en el sentido de que fue desarrollado por primera vez por Gauss en 1821 y desde entónces ha seivido como norma o patron contra el cual se pueden comparar los modelos de regresión que no satisfacen los supuestos gausianos.
-5
6 Para fmes ilustrativos, estamos suponiendo que las u están distribuidas simétricamente como se mues· tra en la Figura 3.3;. sin-embargo, en el Capítulo 4 se supondrá además que las,u tienen una distribución normal. 7 Para una explicaci6n más técnica de por qué el supuesto 1 es necesario, vétzse E. Malinvaud, Statistical Methods of Econometrics, Rand McNally ti Co., Chicago, 1966, p. 75. Véase también el ejercicio 3.3.
56
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
y
o Media
L-----~------~------~------~------------X
Xl
FIGURA 3.3 Distribución condicionada de las perturbaciones Ui.
puesto de co"elación no serial o de no autoco"elactón. Lo anterior significa que, dado un valor de X" las desviaciones de dos valores cualesquiera de Y de su media no presentan patrones como los que se muestran en la Figura 3.4a y b. En la Figura 3.4a, vemos que los u están co"elacionados positivamente: un u positivo .está seguido p~r un u positivo, o un u ~egativo está seguido por un u negativo. En la Figura, 3.4b, los u están co"elacionados negativamente, un u positivo está seguido por un u negativo y viceversa. Si las perturbaciones (désviaciones) siguen patrones de tipo sistemático, tales como los que se muestran en las Figuras 3.4a y b, existe autócorrelación o correlación serial. La Figura 3.4c no muestra un patrón sistemático para los u, 10 cual indica, por tanto, cero correlación. A propósito, obsérvese que el supuesto (3.2.2) implica que la cov (Yj, lJ) = 0, i =Fj. (¿Por qué?) Las consecuencias de este supuesto se explicarán detalladamente en el Capítulo 10; sin embargo, por el momento podemos explicar el supuesto de la siguiente manera: Supongamos que en la FRP: 1'; = /31 + f32X, + U, U, U'-1 están positivamente correlacionadas. Por tanto, Y t depende no sólo de X t sino también de U,-1 puesto que este valor, en cierto 'modo, determina el de u t . Puf el momento, cuando invocamos el supuesto 2 decidimos estudiar el efecto sistemático, si éste existe, de X t sobre Y t sin tener en cuenta otro tipo de influencias sobre Y que tengan lugar como resultado de las posibles intercorrelaciones entre las u. Pero, como hemos dicho, en el Capítulo lOse intentará ánallzar la manera como las intercorrelaciones entre las perturbaciones se pueden incluir en el análisis y cuáles son las consecuencias de su inclusión en nuestros modelos.
EL MODELO DE REGRESION CON DOS VARIABLES: EL PROBLEMA DE LA ESTIMACION +U¡
+U¡
•
••• ••• •• • • •• • ••• - U ¡ - - - - - - - l ' n - . - - - - - +u¡ ••• •
e.e:••
..:.
••••• • •••• •
.: .
-u¡-----.:-!e-!'-----.-:'+u¡
••
•••• •••
. -. • •
57.
•• • ••
.•..••
:.
e .• e••
• :.
• -U¡
(a)
(b)
+U¡
:-. .:.....- ... .-..... .. .:.
•••• •• -U¡ - - -___ .~.r!"i.,;:J.0.:;."'.----+ U¡ .
-U¡
(e)
FIGURA 3.4 Patrones de correlación entre las perturbaciones (a) correlación serial positiva, (b) correlación serial negativa, (e) cero correlación.
Supuesto 3. (Homocedasticidad o igual varianza para Ui) var (ud X J = E[u¡ - E(UJ]2
= E(ur)
por el supuesto (3.2.3)
donde var significa varianza.
La ecuación (3.2.3) plantea que la varianza de Uf para cada Xi (es decir, la varianza condicional de u¡) es un número positivo constante, igual a (12. Técnicamente, (3.2.3) representa el supuesto de homocedasticidad o igual (horno) dipersión (cedasticidad) o igual varianza. Dicho de otra manera, (3.2.3) implica que las poblaciones de Y que corresponden a los diferentes valores de X tienen la misma varianza. Esta situación se ilustra en la Figura 3.5.
58
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION f(u)
y
FIGURA3.! X
Homocedasticidad.
En contraste con lo anterior, obsérvese la Figura 3.6 en donde la varianza condicional de la población Y aumenta a medida que X aumenta. Esta situación se conoce con el nombre de heterocedasticidad o dispersión o desigual varianza. Simbólicamente, en esta situación (3.2.3) puede escribrrse como var (ud XJ = af
(3.2.4)
Apréciese el subíndice i que acompaña a a2 el cual indica que la varianza de la poclación Y ya no es constante. Con el objeto de aclarar las dos situaciones, tomemos como ejemplo el caso en que Y representa los gastos de consumo semanales y X el ingreso semanal. Las Figuras 3.5 y 3.6 muestran que a medida que el ingreso aumenta, los gastos de consumo promedio también aumentan; sin embargo, mientras que en la Figura 3.5 la varianza del consumo permanece igual para todos los niveles de ingreso, en la Figura 3.6 dicha varianza aumenta con el ingreso. Las llamadas familias ricas consumen, en promedio, más que las pobres; de la misma manera, las primeras tienen mayor variabilidad en sus patrones de consumo que las segundas. . ::s-
[(11)
"
." 01
.!:! ,~
::=
~
'2
y
'"
."
·01
1 FIGURA 3.6
x
Heterocedasticidad.
EL MODELO DE REGRESION CON DOS VARIABLES: El PROBLEMA DE LA ESTIMACION
59
Para comprender el razonamiento utilizado en este supuesto, analícese la Figura 3.6 en la cual se muestra que var (u I XI) < var (u I X 2)' ... , < var (u I XI)' Por tanto, existe una mayor probabilidad de que las observaciones de y que provengan 'de una población donde X = XI estén más cerca de la FRP que aquellas observaciones provenientes de las poblaciones donde X = X 2' X = X 3' etc. Resumiendo, no todos los valores de Y para los diferentes X serán igualmente confiables, donde la con fiabilidad se puede evaluar según qué tan cerca o qué tan lejos estén distribuidos los valores de Y con respecto a sus medias; es decir, los puntos sobre la FRP. Si en efecto éste es el caso, ¿no sería preferible entonces obtener muestras de las poblaciones de Y que están más cerca de sus medias que de aquellas que están muy dispersas de las mismas? Al hacerlo, sin embargo, restringiríamos la variación que se obtiene en los valores de las X. Al invocar el supuesto 3 se está planteando que todos los valores de Y que corresponden a las X son igualmente importantes. En el Capítulo 9 se podrá observar qué ocurre si este no es el caso, momento en el cual se dice que existe heterocedasticidad. Obsérvese ahora que el supuesto 3 implica que var (lj IXi) = (12 de lo cual a su vez se infiere que la varianza condiciona}'de Y también es homocedástica. (¿Por qué?) Supuesto 4. (Cero covarianz.a entre Ui YXi) Formahhente. COY (UI'
X J = E[(u, - E(u¡)][(X, - E(XI )] = E[u¡{X¡ - E(X J],
puesto que E(uJ = O
= E(u,XJ -E(X,)E(u,), ya que E(X¡) es una constante = E(u¡X,), puesto que E(u,) = O (3.2.4) = 0, de acuerdo con el supuesto El supuesto 4 afirma que la perturbación u y la variable explicativa X no están correlacionadas. La justificación de este supuesto es la siguiente: cuando expresamos la FRP como .en (2.4.2), supusimos que X y u (que representa la influencia de todas las variables omitidas) tienen innuencia separada (y aditiva) sobre Y. Pero si X y u están correlacionadas, no es posible establecer su efecto individual sobre Y. De este modo, si X y u están positivamente correlacionadas, X aumenta cuando u aumenta y disminuye cuando u disminuye. En forma similar, si X y u están negativamente correlacionadas, X aumenta cuando u disminuye o X disminuye cuando u aumenta. En cualquiera de los dos casos es difícil aislar la influencia individual de X y de u sobre Y. El supuesto 4 se cumple automáticamente si la variable X no es aleatoria o estocástica y si el supuesto l se mantiene (en cuyo caso, cov [XI - E(XJ]E[ul - E{uJ] = O.¿Por qué?) Ahora bien, dado que hemos supues;to que las variables X no solamente son no estocásticas, sino que se han asu-'
60
MODéLOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
mido también valores fijos para ellas en muestras repetidas,8 el supuesto 4 no es realmente tan crítico para nuestro análisis; se ha mencionado aquí con el solo propósito de hacer énfasis en el hecho de que, aún siendo las X aleatorias o estocásticas, la teoría de regresión continúa siendo válida, dado que las X son independientes o por 10 menos, no están correlacionadas con las perturbaciones U¡. 9 (En la Parte II, se examinan las consecuencias de liberar el supuesto 4). Debemos resaltar un supuesto auxiliar sobre Xi' Aunque las X permanecen fijas a 10 largo de muestreos repetidos, la totalidad de los valores de X no deben permanecer iguales. Teniendo lo anterior en cuenta, para el ejem plo consumo-ingresos los valores de X eran fijos, $80, $100, ... , $260 (véase la Tabla 2.1) y, por tanto, no eran iguales. ¿Por qué se requiere ese supuesto auxiliar? La respuesta es evidente partiendo de (3.1.6) puesto que si todos los valores de X fuesen idénticos, Xi = X (¿por qué?) y el denominador de la ecuación sería cero, haciendo imposible, por tanto, estimar /32 y /31' En resumen, para que se puedan estimar los parámetros debe existir cierta variación en las X, hecho que implica que la expresión L (X - X)2 que aparece en (3.1.6) no debe ser igual a cero. 10 En consecuencia, el lector debe tener siempre presente que las variaciones tanto en X como en Y son claves en el análisis de regresión. Supuesto 5. El modelo de regresión está correctamente especificado. (No existen sesgos ni errores de especificación)
De todos los supuestos, este es el más riguroso y quizás el menos atractivo. En el Capítulo 11 se explicarán con más detalle las implicaciones del supuesto; por ahora 10 explicaremos de la manera más informal posible . . Como se señaló en la introducción, una investigación econométrica parte de la especificación del modelo econométrico en el que se basa el fenómeno que se está analizando. Algunas preguntas importantes que surgen al especificar un modelo son: (1) ¿Cuáles variables se deben incluir en el modelo? (2) ¿Cuál es la forma funcional del mismo, lineal en las variables o en los parámetros, o en ambos? (3) ¿Cuáles son los supuestos probabilísticos que se hacen sobre los Y¡, los X¡ y los Ui que se incluyen en el modelo?
8 Recuérdese que al obtener las muestras de las Tablas 2.4
y 2.5 mantuvimos los mismos valores de X.
Como se analizará en la Parte n, si las X son estocásticas y distribuidas independientemente de las Uj, las propiedades de los estimadores mínimos analizadas a continuación siguen siendo válidas, pero si las X son estocásticas y simplemente no están correlacionadas con las Uj, las propiedades de los estimadOres de MCO siguen siendo válidas solamente si el tamaño de la muestra es muy grande. Por ahora no hay necesidad de preocupamos acerca de este punto teórico. 9
10
Más técnicamente hablando, para cualquier tamaño de muestra N. var (X) =
L (XN-
X)2
debe ser fmita
EL MODELO DE REGRESION CON DOS VARIABLES: EL PROBLEMA DE LA ESTlMACION
61
Estas son preguntas de fundamental trascendencia debido a que, como veremos en el Capítulo 11 ,al omitir del modelo variables importantes, al escoger la forma funcional incorrecta o al plantear supuestos estocásticos equivocados sobre las variables del modelo, será muy cuestionable la validez de la interpretación que se de a la regresión estimada. Para ilustrar 10 anterior,' obsérvese la curva de Phillips que se plantea en la Figura 1.3. Suponiendo que escogemos los siguientes dos modelos para ilustrar la relación fundamental existente entre la tasa de cambio de los salario's monetarios y la tasa de desempleo: .
(3.2.5)
Ji = Pi + P2(~) + U¡
(3.2.6)
donde Ji = tasa de cambio de los salarios monetarios y X¡ = tasa de desempleo. El modelo de regresión (3.2.5) es lineal tanto en los parámetros como en las variables, mientras que (3.2.6) es lineal en los parámetros (y, por tanto, es un modelo de regresión lineal, de acuerdo con nuestra definición), pero no lineal con respecto a la variable x. Consideremos ahora la siguiente ilustración: Si el modelo (3.2.6) es el modelo "correcto" o "verdadero", al ajustar el modelo (3.2.5) a través de los puntos dispersos que se encuentran en la Figura 3.7 se obtendrán predicciones erradas: entre los puntos A y B para cualquier Xi dado, el modelo (3.2.5) va a sobrestimar el valor medio verdadero de Y, mientras que a la izquierda de A (o a la derecha de B) el modelo va a subestimar (o sobrestimar, en términos absolutos) el verdadero valor promedio de Y . .,
o
~ ~ o
e .~
., § 01
.o e
:E
.~"
'O
¡
Tasa de desempleo "10 ¡...'--------...;.::~G_-~,_--------O
FIGURA 3.7 Curvas de Phillips lineales y no lineales.
62
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
El ejemplo anterior ilustra 10 que se conoce como el sesgo de especificación o error de especificación; en este caso el sesgo ocurre cuando se escoge la forma funcional equivocada. Veremos otros tipos de errores de especificación en el Capítulo 11. Desafortunadamente, sin embargo, en la práctica muy pocas veces conocemos las variables correctas que deben incluirse en el modelo, la forma funcional correcta del mismo o los supuestos probabilísticos correctos sobre las variables utilizadas en el modelo, puesto que la teoría en la que se fundamenta una investigación determinada (v. gr. la relación de tipo Phi11ips que muestra la disyuntiva existente entre el cambio en los salarios monetarios y la tasa de desempleo) puede no ser 10 suficientemente fuerte para responder a todas estas preguntas. Por tanto, en la práctica el econometrista debe utilizar algo de su juicio personal para escoger el número de variables que entran en el modelo, la forma funcional del mismo, y tiene que hacer algunos supuestos sobre la naturaleza estocástica de las variables que se incluyen en dicho modelo. Hasta cierto punto, 'Se presenta algo del proceso de prueba y error al tener que escogerse el modelo "correcto" para realizar análisis empírico. 11 Si es este el caso, ¿por qué razón se requiere el supuesto 51 Sin entrar en detalles por ahora (véase Capítulo 11), basta con decir que este supuesto está allí para recordarnos que nuestro análisis de regresión y, por tanto, los resultados que se obterigan con base en ese análisis, están condicionados al modelo que se haya escogido, y de otro lado, para advertirnos que debemos pensar cuidadosamente sobre la fonna funcional de los modelos econornétricos, especialmente cuando existan diferentes teorías que rivalizan entre sí para explicar ciertos fenómenos económicos como, por ejemplo, la tasa de inflación, la demanda de dinero o la determinación de un valor adec,uado o de equilibrio para una acción o un bono. Por esta razón la construcción de modelos econométricos, como descubriremos posteriormente, resulta ser más un arte que una ciencia. Con esto hemos completado nuestro análisis de los supuestos fundamentales en que se basa el modelo clásico de regresión lineal. Es importante aclarar que todos estos supuestos pertenecen únicamente a la FRP y no a la FRM. A la vez, es interesante observar que el método de los mínimos cuadrados tiene ciertas propiedades similares a los supuestos formulados sobre la FRP. Por ejemplo, encontrar que L e¡ = O, Y que, por tanto, e = O, es semejante al supuesto de que E(ud Xi) = O. De la misma manera, que¿ e¡X¡ = Oes similar al supuesto de que cov (u¡, Xi) = o. Es interesante entonces notar que el método de los mínimos cuadrados trata de "duplicar" algunos de los supuestos que hemos impuesto sopre la FRP.
11 No obstante, se debe evitar lo que se conoce como "excavación de información", es decir, tratar de utilizar todos los modelos posibles con la esperanza de que al menos uno ajuste bien la información.. En consecuencia, es de fundamental importancia que haya cierto razonamiento económico como fundamento del modelo escogido y que cualquier modificación al mismo tenga alguna justificación económica. Un modelo puramente ad hoc puede ser difícil de justificar desde el punto de vista teórico o a priori. En resumen, la estimación se debe basar en la teoría.
EL MODELO DE REGRESION CON DOS VARIABLES: EL PROBLEMA DE LA ESTIMACION
63
No obstante lo anterior, la justificación teórica del método de mínimos cuadrados se basa en el famoso teorema de 'Gauss-Markov. Dados los su. puestos que hemos hecho sobre la FRP" este teorema muestra que los estimativos del método de mínimos cuadrados poseen ciertas propiedades estadísticas deseables. Pero antes de continuar con el teorema de Gauss-Markov, es preciso considerar los errores de precisión o errores estándar de los estimativos de mínimos cuadrados. 3.3 ERRORES DE PRECISION O ERRORES ESTANDAR DE LOS ESTIMADORES DE MINIMOS CUADRADOS De las ecuaciones (3.1.6} y (3.1.7) se deduce que es evidente que los estimadores de mínimos cuadrados están en función de la' información muestral. Sin embargo, como los datos pueden cambiar fácilmente de una muestra a otra, de igual manera cambiarán ipso lacto los estimativos qúe se obtengan. Por tanto, se hace necesario encontrar alguna medida de la "confiabilidad" o precisión de los estimadores Pt Y P2' En estadística, la precisión de un estimativo se mide a través de su error estdndar (se). 1 2 Dados los supuestos de Gauss, se muestra en el Apéndice 3A Sección 3A.3, que los errores estándar de los estimadores de MCO pueden obtenerse de la siguiente manera: (3.3.1) (3.3.2) -(3.3.3) (3.3.4)
donde var = varianza; se = error estándar; (12 es la constante o varianza homocedástica de Uf en razón del supuesto 3. Todas las cantidades que aparecen en las anteriores ecuaciones pueden estimarse a partir de los datos, con excepción de (12 • Como se demuestra en el Apéndice 3 A. Sección 3A.4, (12 se estima mediante la siguiente fórmula:
rr = L!L N-2
\3.3.5)
12 El e"or estándar no es otra cosa que la desviación estándar de la distribución muestral del estimador, siendo ésta última simplemente una distribución de frecuencias o de probabilidades de un estimador, es decir, una distribución del conjunto de valores del estimador obtenidos de todas las muestras posibles del mismo tamaño y de la mismá población. Las distribuciones muestrales se utilizan para realizar inferencias acerca de los parámetros poblacionales con base en los valores de los estimadores calculados a partir de una o más muestras.
64
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
donde &2 es el estimador de MeO del verdadero pero desconocido (12 y donde la expresión N - 2 se conoce con el nombre de número de grados de liberes la suma de los residuos al cuadrado o suma residual de tad (g de 1) y cuadrados (SRC) .13 Una vez se conoce I entonces f¡2 puede calcularse fácilmente. A su vez, puede calcularse a partir de (3.1.2) o u titizando la siguiente expresión (véase Sección 3.5 para la demostración):
r. er
er
r. er
"L.
" Yi2 - Pl 6~" ei2-_~ L.
Xl1
(3.3.6)
Comparando esta ecuación con (3.1.2), observamos que (3.3.6) es más simple, por cuanto no requiere calcular e, para cada observación, sin que con ello se pretenda demeritar el valor analítico propio de e en sí mismo (como veremos en los Capítulos 9 y 10). Puesto que B _LXiYi 112 - " 2 L. Xi
una expresión alterna para calcular "
L.
2 _ el -
La raíz cuadrada positiva de
r. ef es: "y2 "'"
¡ -
a: X¡yJ2 "
2
(3.3.7)
L.. XI
f¡2
A
-
(1-
J.L!L N-2
(3.3.8)
se conoce como el error estándar de la estimación. Básicamente, es la desviación estándar de los valores de, Y con respecto a la línea de regresión estimada y que se utiliza con frecuencia como una medida que resume la "bondad del ajuste" de la línea de regresión estimada, tema que se analizará en la Sección 3.5. Obsérvense l¡ls siguientes características de las varianzas (y, por tanto, de los errores estándar) de PI y P2' 1. La varianza dep2 es directamente proporcional a (12 pero inversamente proporcional a la x? lo cual implica que, dado (12, cuanto mayor sea la variación en los valores de X, más pequefía será la varianza de $2 y mayor la precisión en la estimación de 132' En resumen, dado (12, si existe una
r.
13 El (= N)
término números de grados de libertad muestra el número total de observaciones en la muestra menos el número de restricciones (lineales) impuesto en ellas. Por ejemplo, antes de que la SRC (3.1.2) pueda ser calculada, PI y P2 deben computarse. Estos dos estimativos ponen, por tanto, dos restricciones sobre la SRC; así entonces, hay N - 2 y no N observaciones independientes para calcular la SRC. Siguiendo ia misma lógica, en una regresión en tres variables la SRC tendrá N - 3 g de 1, en. tanto que para el modelo con K variables se tenarán N - K g de 1. La regla general es: g de 1 =N número,Áe parametros estimados.
EL MODELO DE REGRESION CON DOS VARIABLES: EL PROBLEMA DE LA ESTIMACION
65
variación significativa en los valores de X, P2 se puede medir con mayor exactitud que cuando los Xi no varían signific$ltivamente. Igualmente, dado L xl, cuanto mayor sea la varianza de (12, mayor será también la varianza de P2' • 2. La varianza de PI es directaqlente proporcional a (12 ya L xf pero inversamente proporcional a L xl y al tamaño de la muestra, N. 3. Puesto que PI y P2 son estimadores, no sólo varían de una muestra a otra sino que dentro de una muestra dada tienden a depender entre sí. Esta dependencia .entre los estimadores se miqe mediante la covarianza existente entre .ellos. En el Apéndice 3 A, Sección 3 A.3 se demuestra que:
(3.3.9)
Puesto que var (P2) siempre es positiva, como es siempre el caso de la varianza de cualquier variable, la naturaleza de la covarianza entre PI y $2 depende del signo de X. Si X es positivo, entonces, como muestra la fórmula, la covarianza será negativa. Después (especialmente en el Capítulo 8 sobre multicolinealidad) veremos la utilidad de estudiar las covarianzas entre los coeficientes estimados de regresión. ¿Cómo podem os juzgar la confiabilidad de los estimativos utilizando las varianzas y los errores estándar de los coeficientes de regresión estimados? Este es un problema sobre inferencia estadística que analizaremos en los Capítulos 4 y 5.
3.4 PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES DE MINIMOS CUADRADOS: EL TEOREMA DE GAUSS--MARKOVI4
Como se mencionó anteriormente, dados los supuestos del modelo de regresión lineal clásica, los estimativos de mínimos cuadrados poseen propiedades ideales u óptimas, las cuales se encuentran resumidos en el teorema de Gauss- ' Markov. Para comprender este teorema es necesario tener en cuenta la pro-
piedad por la cual un estimador se considera el mejor estimador lineal insesgado. 15 Un estimador, digamos el estimador P2' de MCO, es el mejor estimador lineal insesgado (MELI) de P2 si: 1. Es lineal. es decir, una función lineal de una variable aleatoria tal corno la variable dependiente Y en el modelo de regresión 14 Aunque conocido como teorema de Gauls-Markov, el enfoque de los mínimos cuadrados de Gauss antecede (1821) al enfoque de Markov de varianza mínima (1900). 15 El lector debe remitirse a textos donde se explica la importancia de los estimadores.Hneales y se presenta un análisis general sobre las propi$des deseables de los estimadore.s estadísticos.
66
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
2. Es insesgado, es decir, su valor promedio o esperado valor verdadero
E ($2)" es igual al
P2
3. Tiene varianza mínima entre la clase de todos los estimadores lineales insesgados; a un estimador insesgado con varianza mínima se le conoce como un estimador eficiente En el contexto del análisis de regresión se puede demostrar que los estimadores de MCO son MELI. Esta es la clave del famoso teorema de GaussMarkov, el cual se puede enunciar de la siguiente forma: Teorema de Gauss-Markov: Dados los supuestos del modelo clásico de regresión . lineal, los estimadores de mínimos cuadrados, en la clase de estimadores lineales insesgados, tienen varianza mínima; es decir, son MELI.
La demostración de este teorema se desarrolla en el Apéndice 3A,Sección 3A.5. La trascendental importancia del teorema de Gauss-Markov se hará más clara a medida que avancemos en el texto. Por ahora, es suficie'nte resaltar que el teorema tiene una importancia teórica y práctica. 16 La significancia del teorema puede explicarse mejor con la ayuda de la
Figura 3.8. . En la Figura 3.8 (a) se ilustra la distribución muestral del estimador p2,de MeO, esto es, la distribución de los valores que toma P2 en experimentos repetidos de muestreo (véase Tabla 3.1). Por conveniencia, hemos supuesto que P2 está simétricamente distribuido (se hablará más al respecto en el Capítulo 4). Como muestra la figura, la media de los valores de 112 E(¡!2), es igual al valor verdadero de 112' En esta situación, se dice que P2 es un estimador insesgado de {32' En la Figura 3.8 (b) se presenta la distribución muestral de f3! , un estimador alterno de 112 que se obtiene utilizando otro método diferente al de MCO. Por conveniencia, supongamos que (3!, al igual que P2' . también es insesgado, hecho que implica que su valor promedio o esperado es igual a 112' Supóngase además que P2 y P! son estimadores lineales, es' decir, que son funciones lineales de Y. ¿Cuál de los dos estimadores escogería usted? Para responder a esta pregunta, procedamos a sobreponer las dos figuras 'como se muestra en la Figura 3.8 (e). Es obvio entonces que, aunque P2 y 11! son insesgados, la distribución de 11! es más difusa y dispersa alrededor elel valor de la media que la distribución de P2' En otras palabras, la varianza de 11! es superior a la varianza de P2' Ahora, dados dos estimadores lineales e insesgados, se debe escoger el estimador con la menor varianza porque es más probable que éste se encuentre más cerca de 132 que el estimador altérflo.En resumen, se debe escoger el estimador MELI.
16 Por ejemplo, se puede demostrar que cualquier combinación lineal de los ¡rdigamos'(JJ1 - 2P1 ) se puede estimar por medio de (JI - 2$2) siendo este estimador MELI. Para más detalles, véase Henri Theil, Introduction to Econometrics, Prentice-Hall, Inc., Engléwood Clüfs, N.J., 1978, pp. 401-402.
EL MODELO DE REGRESION CON DOS VARIABLES: EL PROBLEMA DE LA ESTIMACION
67
----~------~------~-----P2
EcPJ=P2 Distribución muestra! de P2
(a)
~-----------'.----------~P;
E
=P2
(b)
Distribución muestra! deP;
.,\_P2· \'-... •
P2 (e)
--
Distribuciones muestrales ue P2
.
- P,. P; FIGURA 3.8 Distribuciones muestrales del estimador de MCO$2Y del estimador alterno p;. y ~;
('
,2 :
3.5 COEFICIENTE DE DETERMINACION MEDIDA DE LA "BONDAD DEL AJUSTE"
Hasta el momento nos hemos concentrado en el problema de la estimación de los coeficientes de regresión, sus errores estándar y en derivar algunas de sus propiedades. Consideremos ahora la llamada bondad del ajuste de la línea de regresión ajustada a un conjunto de datos, por lo cual se intentará encontrar en qué medida ajusta la línea de regresión muestral a los datos. De la Figura 3.1 se desprende claramente que si todas las observaciones coincidieran con la línea de regresión, obtendríamos un ajuste "perfecto", lo que raras veces ocurre. Generalmente tienden a presentarse e¡ positivos y negativos, con la esperanza de que los residuos localizados alrededor de la línea de regresión sean lo más pequeños posible. En este sentido, el coeficiente de determinación,2 (para el caso de dos variables) o R2 (para regresión múltiple) es una medida resumen que nos dice qué tan bien la línea de regresión muestral se ajusta a los datos.
68
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
00 (a)
(ti)
(e)
(b)
(j)
(e)
FIGURA 3.9 El punto de vista de Ballentine para r l . (a) r l
= 0, (f) r 1 = 1.
Antes de mostrar cómo se calcula el ,2, es conveniente proporcionar una explicación heurística del r 2 utilizando una herramienta conocida como el diagrama de Venn o Ballentine, como se ilustra en la Figura 3.9. 17 En esta figura, el círculo Y representa la variación en la variable dependiente Y, en tanto que el círculo X representa la variación en la variable explicativa X.18 La intersección, de los dos círculos (elárea sombreada) indica hasta qué punto la variación en Y se explica mediante la variación en X (digamos que a través de la regresión de MCO). Cuanto mayor sea la rragnitud del término de intersección, mayor será la variacion en Y que es explicada por la variable X. El r 2 es simplemente una medida numérica de esta intersección. En la figura, a medida que nos movemos de izquierda a derecha el área de la intersección aumenta, 10 cual implica que una proporCión cada vez mayor de la variación en Y se explica por medio de X, hecho (}\le a su vez implica ,que r 2 aumenta. Cuando no existe intersección alguna, es'obvio que ',2 es cero, pero cuando la intersección es total, r 2 es igual a uno puesto que elIDO % de, la variación en Y se explica por medio de X. Como demostraremos muy pronto, r 2 se encuentra entre O y 1. Para calcular este r 2 procederemos de la siguiente forma: Recuérdese que Yj =
f; + ei
(2.6.3)
17 Véase Peter Kennedy, "Ballentine: A Graphical Aid for Econometrics", Australian Economics Pa· pen, vol. 20, 1981, pp. 414-416. El nombre Ballentine se deriva del emblema de círculos de la conocida cerveza Ballantine.
18 Los términos variación y varianza son diferentes. La variación es el cuadrado de la suma de las desviaciones de una variable con respecto a su media. La varianza es esta suma de cuadrados dividida por los correspondientes grados de libert::d. En resumen, varianza =variación/g de 1.
EL MODELO DE REGRESION CON DOS VARIABLES: EL PRÓBLEMA DE LA ESTIMACION
69
o, en forma de desviación Yi =;: Y¡ •
A
+ ei
(3.5.1)
en donde se han utilizado (3.1.13) y (3.1.14). Elevando al cuadrado ambos lados de (3.5.1) y sumado sobre toda la muestra, obtenemos
(3.5.2) debido 'a que L .vi ei = O (¿por qué?) y a que .vi = P2 Xi· Las sumas de cuadrados que aparecen en la expresión (3.5.2) pueden describirse de la siguiente manera: L yf = L (Y¡ - Y)2 = variación total de los valores reales de Y con respecto a su medida muestraI. eJg)resión que se conoce como suma total de cuadrados (STC). L.vf = L (~- r)l = L (f. - Y)2 = P~ L xt. = variación de-los valores estimados de Y con respecto a su media (9' = Y), y que se conoce con el nombre de suma de cuadrados debida a la regresión (v. gr., debida a las variables explicativas o explicada por la regresión o, simplemente, suma explicada de cuadrados (SEC). ¿ ef = variac.ión residual o no explicada de los valores.de Y con respecto a la línea de regresión o, simplemente, suma residual de cuadrados (SRC). Por consiguiente, (3.5.2) es igual a: STC!= SEC+ SRC y
(~ -
~
O
____________
~
__
~
Y) = Debido, 1, re¡resión
____________ X
X,
i"IGURA3.10 Partición de los dos componentes de la.variaci6n de
Y,.
(3.5.3)
70
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
y nos muestra que la variación de los valores observados de Y alrededor de su media pueden dividirse en dos componentes, el primero atribuible a la línea de regresión y el segundo a fuerzas aleatorias, ya q1Je no todas las observaciones reales de Y caen sobre la línea de regresión ajustada. Para una ilustración geométrica, obsérvese la Figura 3.10. Dividiendo ambos lados de (3.5.3) porla STC, obtenemos SEC
SRC
1 = STC+ STC
_ L (~ - L Pi -
y)2 y)2
L el
+ L Pi -
y)2
(3.5.4)
Podemos ahora definir el r2 como (3.5.5)
La cantidad r2 definida de esta manera, 'se conoce como coeficiente de determinación (muestra!), y es la más ampliamente utilizada medida de la bondad del ajuste de una línea de regresión. Claramente, r2 mide la proporción ó. porcentaje de la variación total en Y explicada por el modelo de regresión. Sus propiedades más importantes son:
1. Es una cantidad no negativa. (¿Por qué?) 2. Sus límites son O:::;; ,2:::;; 1. Un r 2 de 1 denota un ajuste perfecto, mientras que un r2' de O nos dice que no existe relación alguna entre la variable dependiente y la(s) variable(s) explicativa(s). ' Aunque r2 puede calcularse directamente a partir de su definición en (3.5.5), puede derivarse más rápidamente haciendo uso de la siguiente fórmula:
SEC ,2 = -
STC
LJ; =¿yl =
Pi L xl Lyl
=piLE..). \1:11
(3.5.6)
si dividimos el numerador y el denominador de esta última expresión por el tamatlo de la muestra N (o por N - 1, si el tamaño de la muestra es pequeño), obtendremos
(3.5.7)
EL MODELO DEREGRESION CON DOS VARIABLES: EL PROBLEMA DE LA ESTIMACION
71
en donde S; y S; son las varianzas muestrales de Y y X, respectivamente. Dado que $2 = L x¡yJL xl, la ecuación (3.5.6) también puede expresarse como: (3.5.8)
ecuación que mediante computación es más fácil de calcular. U na cantidad muy estrechamente relacionada a r 2 pero conceptualmente diferente es el coeficiente de co"elación que, como se observó en el Capítulo 1, es una medida del grado de asociación entre dos variables. Puede calcularse bien como r=
±#
'(3.5.9)
o a partir de su definición r
. ¿X¡YI = -¡::;:-~:;::::;;;:::::;:: ,j
(¿Yj)2]
(3.5.10)
medida que se conoce como coeficiente de co"elación muestral. 19 A continuación se presentan algunas propiedades de r: (Véase Figura 3.11 )" 1. Puede ser positivo o negativo; su signo dependerá del signo del numera-, dar de (3.5.10), que mide la'covariación de las dos variables. 2., Tiene como límites -1' y + 1'; esto es, -1 ~ r ~ 1. 3. Es de naturaleza simétrica; lo anterior implica que el coeficiente de correlación entre X y Y (rXy') es igual al coeficiente de correlación entre y y X (ryx ).
4. Es independiente del origen y de la escala; si definimos Xr = aX¡ + e y yr = b Yj + d, donde ,a > 0, b > 0, y c y d son constantes, entonces r entre X· y Y* es igual al r entre las vadables originales X y Y. 5. Si X y Y son estadísticamente independientes, el coeficiente de correlación entre ellas es cero; pero si r = O,no se puede inferir que las dos variables sean independientes. En otras palabras, una correlación igual a cero no implica necesariamente independencia. (Véase Figura 3.11 h). 6. Es una medida de asociación lineal o dependencia lineal únicamente; por consiguiente no tiene sentido, utilizarlo para describir relaciones no lineales. Por tanto, en la Figura 3.11h, Y = x 2 es una relación exacta pero r es cero. (¿Por qué?). 19
El coeficiente de correlación poblacional, denotado por P. se define en textos de estadística.
72
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION y
y
y r cerca a +1
r= +1
r= -1
..
FIGURA 3.11 , Patrones de correlación (Adaptado de: Henri Theil: lntroduction to Econometrics, Prentice-Hall, Inc., Engl~wood Cliffs, N.J., 1978, p. 86.
7. Aunque mide la asociación lineal entre dos variables, no necesariamente implica una relación de causa y efecto, como vimos en el Capítulo 1. En el contexto del análisis de regresión,,2 es una medida más significativa que'" debido a que el primero muestra la proporción de la varianza en la variable dependiente explicada por la(s) variable(s) explicativa(s) y, por tanto, proporciona una medida global de la magnitud del efecto que ejerce la variación existente en una variable sobre la variabilidad de la otra. De otro lado, no nos permite realizar inferencias de este género. 20 Además, como veremos
20 En los modelos de regresión, la teoría fundamental indicará la dirección de la causalidad entre Y X, la cual, en el contexto de los mOdelos de una sola ecuación, generalmente va de X a Y.
y
EL MODELO DE REGRESION CON DOS VARIABLES: EL PROBLEMA DE LA ESTIMACION
73
más adelante, la interpretación de r(=R)en un modelo de regresión múltiple es de un valor dudoso . .A propósito, obsérvese que ~l defmido previamente' también se puede calcular como el cuadrado del coeficiente de la co"elación existente entre el valor real de Y, y el valor estimado de f¡. En otras palabras, utilizando (3.5.10) podemos escribir:
r
o, (3.5.11)
donde Y; = y real, f¡ = y estimado y Y = f = la media de Y. En el Ejercicio '3.19 se presenta la demostración de los anteriures conceptos. .
3.6 UN EJEMPW NUMERICO Podemos ilustrar los conceptos básicos de teoría econométrica desarrollada hasta el momento, considerando la función keynesiana de consumo analizada en la Introducción. Recuérdese que Keynes planteaba que "La ley sicológica fundamental ... consiste en que los hombres (y mujeres) tienden, como regla general yen promedio, a aumentar su consumo a medida que aumenta su ingreso, aunque no en la misma cantidad que el aumento en su ingreso", afmnaciÓD que implica que la propensión marginal al consumo (PMC) es mayor que cero pero menor que uno. AUnque Keynes no especificó la forma funcional exacta de la relación existente entre el consumo yel ingreso, en aras de simplificar el análisis asúmase que dicha relación es lineal como en (2.4.2). Para probar la función keynesiana de consumo, utilicemos la infor~ mación muestral de la Tabla 2.4 reproducida ahora en la Tabla 3.2. La información básica primaria que se utiliza para obtener las estimaciones de los coeficientes de regresión, sus errores estándar, etc., se presenta en la Tabla 3.3. Con base en esta información se obtienen los siguientes cálculos, que se recomienda al lector verificar. var (PI) = 41.1370
PI = 24.4545 P2 = 0.5091 COY
Y
var (P2) = 0.0013
y
(PI' P2) = -0.2172
2
r 2 = 0.9621
se (PI) = 6.4138 se (P2) = 0.0357
(3.6.1)
17 = 42.1591
r =,0.9809
g de 1= 8
Por tanto, la línea de regrllsión estimada es
f; = 24.4545 + 0.5091X¡
(3.6.2)
que se muestra geométricamente en la Figura 3.12. De acuerdo con el Capítulo 2, la FRM (ecuación (3.6.2» y la línea de regresión asociada a ella se pueden interpretar de la siguiente manera: cada punto sobre la línea de regresión proporciona una estimación del valor medio o esperado de f correspondiente a un valor seleccionado de X; Yi es, por tanto, una estimación de
74
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
TABLA 3.2 Cifras hipotéticas de gastos de consumo familiar , semanal Y e ingreso familiar por semana X Y (S)
X (S)
70 65
80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
90 95 110 115 120 140 155 150
E(YIX¡} El valor de P2=O.5091, que mide la pendiente de la línea, muestra que dentro del rango de la muestra de X comprendido entre $80 y $260 semanales, a medida que X aumenta, digamos en $1, el aumento estimado en el promedio de gastos de consumo semanales es de aproximadamente 51 centavos. El valor dePl = 24.4545, el cu!11 corresponde a la intersección de la línea, indica el nivel promedio de los gastos de consumo semanales cuand.o el ingreso semanal es cero. No obstante, esta es una interpretación mecánica de la intersección. En el análisis de regresión esta interpretación literal del intercepto no es siempre significativa, aunque en el ejemplo que estamos considerando se puede· argumentar que una familia sin ingreso alguno (ya sea por desempleo, despido, etc.) puede mantener algún nivel mínimo de
TABLA 3.3 Datos brutos basados en Ia,Tabla 3.2 Y,
x,
Y,X,
Xf
(1)
(2)
(3)
(4)
70 65 90 95 110 115 120 140 155 150
80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
5600 6500 10800
JC,. Y,· x,- J{ Y, - f
6400
10000 14400 13300' 19600 17600 25600 20700 32400 24000 40000 30800 48400 37200 57600 39000 67600
Sum 1110 1700 205500 322000 Media 111
170
ne
ne
ti·
JCl
JC,Y,
f,
Y, :'" f ,
f,t ,
(9)
(10)
(11)
(5)
(6)
(7)
(8)
-90 -70 -50 -30 -10 10 30 50 70
90
- 41 -46 -21 -16 -1 4 9 29 44 39
8100 4900 2500 900 100 100 900 2500 4900 8100
3690 3220 1050 480 10 40 270 1450 3080 3510
O
O
O
O
65.1818 4.8181 314.0524 75.3636 -10.3636 -781.0382 381.0620 85.5454 4.4545 -69.6128 95.7272 -0.7272 4.0909 105.9090 433.2631 116.0909 -1.0909 -126.6434 126.2727 -6.2727 -792.0708 136.4545 3.5454 483.7858 146.6363 8.3636 1226.4073 156.8181 -6;8181 -1069.2014
33000 16800 1109.9995 * 1110.0'
ne
ne
Notas: '" significa "aproximadamente igual a". nc significa "no calculado",
110
O
0.0040 *0.0
O
O
EL MODELO DE REGRESION CON DOS VARIABLES: EL PROBLEMA DE LA ESTIMACION
75
y
Y¡
=
24.454\0.5091 Xi
lllr---------------------~~---------------
(y)
~--------------------~--------------------X 170 (X)
FIGURA 3.12 Línea de .regresión muestral basada en las cifras de lá Tabla 3.2.
gastos de consumo, ya sea tomand'odinero prestado o utilizando sus ahorros. Sin embargo, en general, se debe apelar al sentido común para interpretar la intersección puesto que es muy común que el rango que ha tomado la muestra de valores de X no haya incluido el valor cero como uno de los valores observados. Quizá sea mejor interpretar la intersección como el efecto medio o promedio que tienen todas las variables omitidas del modelo de regresión sobre el valor de Y. El valor de 0.9621 para r2 significa que cerca del 96 % de la variación en los gastos de consumo semanales se explica por la variable ingreso; puesto que r 2 puede tener un valor máximo de 1 solamente, el r2 observado sugiere que la línea de regresión muestral se ajusta muy bien a la información. 21 El coeficiente de correlación de 0.9809 muestra que las dos variables, gastos de consumo e ingreso, están muy positivamente correlacionadas. Los errores estándar ,estimados para los coeficientes de regresión Se interpretarán en el Capítulo 5. .
3.7 UN EJEMPLO ILUSTRATIVO: LADEMA.NDA DE CAFE EN LOS ESTADOS UNIDOS EL CONSUMO DE CAFE EN LOS ESTADOS UNIDOS, 1970-1980 Considérense los datos presentados en la Tabla 3.4. 22
21
Agradezco a Scott E. Sandberg por su ayuda en la recolección de la información.
22 Por tanto, 0.01479 corresponde a la varianza deP,y 0.0130 es la varianza deP2; al sacar la raíz CUeldrada de estos números obtenemos 0.1216 y 0.1140, que representan los errores estándar de los dos coeficientes, respe!ctivamente, como se muestra en la Parte 111, excepto por errores de aproximación.
76
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
TABLA 3.4 Consumo de café en los Estados Unidos (Y) en relación con el precio real al detal,(X)* 1970-1980
r
(tazas diarias Año
P9r persona)
1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980
2.57 2.50 2.35 2.30 2.25 2.20 2.11 1.94 1.97 2.06 2.02
x ($ por libra)
0.77 0.74 0.72 0.73 0.76 0.75 1.08 1.81 1.39 1.20 1.17
"Nota: E\ precio nominal se dividió por el índice de precios al consumidor (IPC) para alimentos y bebidas, 1967 = 100. Fuente: Los datos para .Y provienen del Summary 01 National Collee Drlnking Study, Data Group, Inc., Elkins Park, Penn., 1981, y los datos sobre X nominal (es decir, X a precios corrientes) provienen de Nielsen Food Index, A.C Nielsen, N_ York, 1981.
Según la microeconomía, la demanda de un producto de consumo depende generalmente del precio de ese producto, de los precios de otros bienes que compiten con éste o que son complementarios a él, y del ingreso del consqmidor. Para incorporar todas estas. variables en una función de demanda y suponiendo que ~xiste información disponible, se. precisaría utilizar un modelo de regresión múltiple, para lo cual aún no nos encontramos preparados. Por tanto, lo que haremos es suponer una función demanda parcial o ceteris paribus (todo lo demás, constante), relacionando "!1nicamente la cantidad demandada con su precio. Por ahora supondremos que las restantes variables ,que entran en la función deman.da permanecen constantes. En consecuencia, si ajustamos el modelo lineal de dos variables (2.4.2) a los datos de la Tabla 3.4, obtendremos los siguientes resultados (en el Apéndice3A, Sección j A.6 se ilustra el resultado obtenido utilizando los listados tras una corrida del paquete econométrico SAS);
f, = 2.6911- O.4795X, Var ($1)=0.0148; se
(3.7.1).
,
,
EL MODELO DE REGRESION CON DOS VARIABLES: EL PROBLEMA DE LA ESTIMACION
77
Podemos interpretar la regresión estimada de la siguiente manera: si el precio de venta real promedio del café por libra, a nivel de detallista, aumenta, digamos, en un dólar, se espera que el consumo promedio diario de café disminuya en aproximadamente media taza. Si el precio del café fuera igual a cero, se esperaría que el consumo de café por persona sea de aproximadamente 2.69 tazas por día. Por supuesto, como se mencionó anteriormente, es muy frecuente que no se pueda asignar ningún significado físico a la intersección. No obstante, debemos tener en cuenta que aunque el precio del café fuera cero, la gente qo consumiría cantidades desproporcionadas de café debido al aparente efecto negativo de la cafeína sobre la salud. El valor del r 2 implica que aproxima.damente el 66% de la variación en el consumo de café diario percápita se explica a través de la variación del precio de venta del mismo.
¿Qué tan real es el modelo que hemos ajustado a la información? Puesto que no incluye todas las variables relevantes, no podemos decir que es una función de demanda completa de café. Este sencillo modelo se escogió para fines didácticos en esta etapa de nuestro estudio. 3_8 LISTADO DE COMPUTADOR PARA LA FUNCION DE DEMANDA DE CAFE Como se mencionó en la Introducción, a lo largo de este texto estaremos uti- . lizando el computador para obtener respuestas a los ejemplos ilustrativos, con el fin de familiarizar al lector con algunos "paquetes" de programas de regresión. En el Apéndice A analizamos en detalle algunos de estos programas, tales como SAS, SPSS, MINITAB, SHAZAM y TSP. Para la mayoría de los ejemplos ilustrativos en este texto se ha utilizado el programa SAS (Statistical Analysis System, sistema de análisis estadístico). Para la función demanda de café de nuestro ejemplo, se presenta en el Apéndice 3A, Sección 3A.6, el listado de computador SAS con los resultados de la estimación obtenida. Cuando sea posible, en los apéndices de los diferentes capítulos se incluyen dichos listados de computador. 3.9 RESUMEN Y CONCLUSIONES
'
En este capítulo se introdujo el enfoque de mínimos cuadrados al análisis de regresión. Carl Friedrich Gauss, el creador de este enfoque, demostró que bajo ciertos supuestos el método de mínimos cuadrados produce estimadores lineales, insesgados y de la clase de estimadores lineales insesgados de varianza mínima. En una palabra, los estimadores de MCO son MELI. Este es el contenido básico deI.famoso teorema de Gauss-Markov"teorema que proporciona el fundamento teórico del método de mínimos cuadrados. Después de haber analizado el problema de la estimación puntual de los coeficientes de regresió.n, se consideré- el tema relacionado con la precisión de los mismos. La precisión de un estimador se mide por su error estándar, el cual nos permite hacer inferencias acerca de los parámetros (poblacionales), tema Que trataremos en el Capítulo 4.
78
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
Un problema estrechamente relacionado con la estimación de los coeficientes de regresión es el de la bondad del ajuste (global) de la regresión muestral. La bondad del ajuste se mide a través del coeficiente de determinación r?' , el cual nos muestra la proporción de la variación en la variable dependiente que se explica mediante la(s) variable(s) independiente(s). El r?' puede estar entre O y 1; cuanto más cerca esté de 1, mejor será el ajuste. , Aunque conceptualmente diferente del análisis de regresión, se ha considerado también el tema del coeficiente de correlación r, que mide el grado de asociación entre, dos variables y que puede estar entre -1 y + 1. Al considerar las propiedades de r se hizo énfasis sobre, algunas de sus limitaciones, especialmente el peligro de interpretar la correlación como causalidad. Antes de concluir el presente capítulo es necesario comentar brevemente acerca del modelo de regresión lineal clásico, que es el fundamento de casi la totalidad del análisis de regresión. Debe tenerse en cuenta que el modelo clásico es una abstracción o construcción teórica, ya que los supuestos que lo fundamentan pueden llegar a ser considerados como rigurosos o poco realistas. Sin embargo, dicha abstracción es a menudo necesaria durante las primeras etapas de estudio de cualquier disciplina. A medida que nuestros conocimientos progresen y que asimilemos los trucos de la ciencia, aprenderemos también a convivir con supuestos irreales o a modificarlos sobre la marcha. En esta forma, lo que es .importante en un comienzo es saber cuáles son las cosas que suponemos, cuáles las que adivinamos y cuáles las que observamos. Quizá la Tabla 3.5 permita al lector mantenerlos siempre presentes. Una vez dominemos el modelo clásico, desarrollaremos, en las Partes 11 y 111 una investigación detallada sobre lo que ocurre cuando se liberan uno o más de uno de los supuestos del modelo clásico. TABLA3.S Anatoínía del modelo de regresión clásico en dos variables Esto se observa
Esto se supone Los (JI y
Pl
verdaderos existen Existe el u¡ verdadero con ' las siguientes propiedades: (i) E(uJ=O (ii) E(u~) = u l (iii) E(u¡uJ)=O i
Esto no se observa {JI y (Jl
verdaderos
Uf
verdadero
E(uJ E(u~)
~j
Esto se impone Algún criterio de estimación v.gr. mínimos cuadrados
Esto se calcula PI
y
Pl
Residuosef
e= media de los residuos =0 8'1 = estimación deu l
Población de YpuaunX 4ado donde "Y¡={JI+{JlX¡+U¡
y y X en Y fuerade una mu~tra dada la muestra
Fuente: Adaptado de S. Valavanis, EconometrÚl, McGraw·Hül Book Company, Nueva York, 1959, p. 19
El MODELO DE REGRESION CON OOS VARIABLES: EL PROBLEMA DE LA ESTIMACION
79
EJERCICIOS 3.1 Dados los supuestos en la columna (1) de la siguiente tabla, demuestre que los supuestos en la columna (2) son equivalentes. Supuesto del , modelo clásico (1)
E(u¡/XJ==O COy (14,,14)=0 i var (u¡/XJ=u 2
(2)
~j
E(YjIXJ=Pl +P 2 X cov(Yj,y)=O i~j var (YjIXJ""u 2
3.2 Demuestre que las estimaciones PI = 1.572 Y P2 = 1.357 que se utilizaron en el primer experimento de la Tabla 3.1 de hecho son los estimadores de MCO. 3.3 Según Malinvaud, el supuesto de que E(u¡/ X J =0 es muy 'importante. Para comprenderlo, consideremos la FRP: Y = PI + P2 X ¡ + U¡. Considérense ahora dos situaciones: (i)PI = O, P2 = 1Y E(uJ=O y (ii) PI = 1, P2 =0 YE(uJ=(X¡-l). Tómese ahora la expectativa de la FRP condicionada con respecto a X en los dos casos anteriores y veamos si usted está de acuerdo con Malinvaud sobre la significancia del supuesto E;(u¡ I X J = O. 3.4 Considere la siguiente regresión muestral: Y;=PI +P2 X ¡+e, Imponiendolasrestriccionest(a) ¿ e¡=O y(b) ¿ e¡X¡=O obtengalosestimadores.d¡y P y demuestre que son idénticos a Jos estimadores de mínimos cuadrados dados en 2
(3.1.6) Y (3.1.7). Este método de obtener estimadores se conoce como el principio de analog(a. Dé una justificación intuitiva de la imposición de las restriccioQes (a) y (b). 3.5 Muestre que el r'J. defmido en (3.5 .5) varía entre Oy l. Puede utilizar pilla tal efecto la desigualdad de Cauchy-Schwarz que establece que para cualquier variable aleatoria X y Y se cumple la siguiente relación: [E(XY)]2 ~E(X2)E(y2)
3.6 Sean P,,, y p", las pendientes de una regresión de Y en X y de X en Y, respectivamente. Muestre que
donde r es el coeficiente de, correlación entre X y Y. 3.7 La siguiente tabla proporciona cifras de las tasas de renuncias por cada 100 empleados y las tasas de desempleo en la industria manufacturera en los Estados Unido,s para el período 1960-1972. Nota: El 'término renuncia implica que el empleado salió voluntariamente de la empresa. (a) Represente gráficamente los datos. (b) Suponga que la tasa de renuncias Y está linealmente relacionada con la tasa de desempleo X, de la siguiente manera: Y;=PI +P2X¡+U¡. Estime P¡, P2 , Ysus errores estándar. (c) Calcule r2 y r
80
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
Tasas de renuncias voluntarias y de desempleo en la industria manufacturera en los Estados Unidos, 1960-1972 TUI. de renuncias Tasa de desempleo Ailo por cada 100 empl~os, y (%), X
1.3 1.2 1.4 1.4 1.5
1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 19JO 1971 1972
6.2 7.8 5.8
P 5.Ó 4.0
1.9 2.6 2.3 2.5 2.7 2.1 1.8 2.2
3.2 3.6
3.3 3.3 5.6 6.8 5.6
Fuente: Manpower Report of the President, 1973, tablas ColO y A-lB.
(el) Interprete sus resultados (e) Utilizando infonnación anual para el período 1966-1978 y el mismo modelo de (b), se obtuvieron los siguientes resultados: f.= 3.1237-0.l714X¡; se
y r 2 =0.8575.
Si estos resultados son ,diferentes a los que usted obtuvo en (b), ¿cómo racionalizaría esa diferencia?
3.8 Con base en una muestra de 10 observaciones se obtienen los siguientes resultadas:
¿
¿ X¡Y¡=205500
Y¡= 1110
¿
y2= 132100
con un coeficiente de correlación' = 0.9758. Sin embargo, al revisar los resultados nuevamente se encuentra que dos pares de observaciones se consideraron erróneamente, así: y
X
90 140
120 220
en lugar de
Y
X
80 ISO
110 210
¿Cuál es el efecto dé esta equivocación en el cálculo de ,? Obtenga el, correcto. 3.9 La siguiente tabla proporciona la tasa de variación (porcentaje anual) de los índices de precios de acciones y del índice de precios al consumidor en algunos países seleccionados para el período posterior a la segunda guerra mun~ial.
EL MODELO DE REGRESION CON DOS VARIABLES: EL PROBLEMA DE LA ESTIMACION
81
Valores de acciones y precios al consumidor, período posterior a la segunda guerra mundial (1969) Tasa de variación mual, % PaÍl ,
1. 2. 3. 4. S. 6. 7. 8. 9. 10; 11. 12. 13. 14. lS. 16. 17. 18. 19. 20.
Precio de las acciones, Y Precio. al consumidor, X
Australia Austria Bélgica Canadá Chile Dinamarca Finlandia Francia Alemani~
India Irlanda Israel Italia Japón México Holanda Nueva Zelandia Suecia Reino Unido Estados Unidos
S.O 11.1 3.2 7.9 2S.s 3.8 11.1 9.9 13.3 I.S 6.4 8.9 8.1 13.5 4.7 7.S 4.7 8.0 7.5 9.0
4.3 4.6' 2.4 2.4 26.4 4.2 S.S 4.7 2.2 4.0 4.0 8.4 . 3.3 4.7 S.2 3.6 3.6 4.0 3.9 2.1
Fuente: Phillip Cacen: Common Stock Value8 and Inflatlon: 1'IIe Hútorlcal Record 01 Many Countrle8, Natfonal Bureau of Economic Relearch, Suppl., marzo, 1974, Tabla 1, p. 4.
(a) Represente gráficamente los datos. (b) Estime los parámetros de una regresión lineal en que la tasa de variación en l~s . precios de las acciones es :la variable dependiente y la tasa de variación en los precios al consumidor es la variable explicativa. Calcule a continuación el (e) ¿Son las acciones una protección contra la inflación? ¿Son una protección perfecta? (á) Para un pºsible proyecto del curso actualice esta información y verifique si los resultados de la regresión correspondiente al período 1970-1986 difieren de los que se obtuvieron en (b).
r
3.10 La siguiente tabla suministra información relacionada con el producto nacional bruto de los Estados Unidos. (a) A la información anterior, ajuste el siguiente modelo:
Y,=Pl +P2 X ,+U, donde Yt = PNB en el período t.y X = tiempo, meWdo crono!ógicamente, comenzando con 1 para 1969, 2 para 1970 y así sucesivamente. (b) ¿Cómo interpretaría usted a P2? • (e) ¿Existe alguna diferencia entre el P2 estimado utilizando el PNB en términos
82
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
Producto Nacional Bruto en los !stados Unidos, en dólares cotrientes y constantes (1972), 1969 a 1983 PNB PNB (JDÜes de (mies de millones de Afto millones de dólares d6lares de 1972) 1969 1970 1971 1972 1973 1974 ·1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983
944.0 9927 1077.6 1185.9 1326.4 1434.2 1549.2 1718.0 1918.3 2163.9 2417.8 2631.7 2957.8 3069.3 3304.8
1087.6 1085.6 11224 1185.9 1254.3 1246.3 1231.6 1298.2 1369.6 1438.6 1479.4 1475.0 15122 1480.0 1534.7
Fuente: Economic Repon ofthe Pre,lident, febrero de 1985, tablas 8-1 y 8-2, pp. 232-234.
corrientes y el estimado utilizando el PNB en términos constantes? ¿"Qué explica la diferencia? (d) Con base en los resultados, ¿qué puede usted decir acerca de la naturaleza de la inflación en los Estados Unidos durante el período 1969·1983?
3.11 Ajuste un modelo de regresión lineal apropiado a las siguientes cifras que relacionan el índice de precios al consumidor y la oferta monetaria en el Japón para el período comprendido entre 1977·3 y 1982·1 Y haga coment8rlos·al respecto.
EL MODELO DE REGRESION CON DOS VARIABLES: EL PROBLEMA DE LA ESTIMACION
83
Precios al consumidor y la oferta monetaria en el Japón, 1977-3 a 1982-1 Indice de precios a! M_Oferta monetaria Año y trimestrel, consumidor (1975-100) i(müei de millones de yenes)
1977-3 -4
1978--1 -2 -3 -4
1979-1 -2 -3 -4 198~1
-2 -3 -4
1981-1
-2 -3 -4'
1982-1
119.0 119.9 120.7 122.0 123.7 124.0 124.0 125.8 127.9 130.1 133.4 136.3 138.6 140.4 . 142.3 143.1 144.3 146.1 146.7
55,014 56,310 57,486 59,093 61,416 63,343 64,165 66,873 67,310 66,909 67,976 67,389 66,345 65,763 66,183 69,419 69,993 71,849 73,358
Fuente: Banco de la Reserva Federa! '
3.12 Considere las siguientes fonnulaciones de la FRP en dos variables:
Modelo 1:
l'¡""Pl +P2X¡+U¡
Modelo 11:
l'¡=(Xl + (X2(X¡-X) + U¡
(a) Encuentre los estimadores de PI y (Xl ¿Son idénticos? ¿Son sus varianzas idénticas? (b) Encuentre los estúnadores de P2Y (X2 ¿Son idénticos? ¿Son sus varianzas idénticas? (c) ¿Cuál es la ventaja, si existe alguna, del modelo 11 sobre el modelo I?
3.13 Sea rl = coeficiente de correlaqi6n entre N pares de valores(l'¡, XJ y r2 =coeficiente de correlación entre N pares de valores (aX¡+b, cl'¡+d),- donde a, b, c y d son constantes. Muestre que rl ·=r2 y, por consiguiente, establezCa el principio según el cual el coeficiente de co"elación es invariable con respecto al cambio de escala y de origen. Sugerencia: Aplique la defmición de r dada en (3.5.10) . Nota: Las operaciones aX¡, X¡+b, y aX¡+b se conocen como cambio de escala, cambio de origen y. cf111lbio de escala y origen, respectivamente. 3.14 Si r,' el coeficiente de correlación entre N pares de valores (Xi' Y i ) es positivo, se deduce que (a) r entre ( -XI' -Jí) es también positivo. (h) rentre(-X¡,Jí)yentre (XI' -YJ puede ser positivo o negativo.
I
84
MODELOS UNIECUACIONAlES DE REGRESION
(e) Los dos coeficientes de la pendienteP,x y Poi' son positivos, donde P'IC= coefi· ciente' de la pendiente en la regresión de Yen X y ¡J",= pendiente de la regre· sión de X en Y. Detennine en cada caso si es cierta o falsa la afmnación 3.15 Si Xl. X 2 y X 3 son variables no correlacionadas, cada una con la misma desviación estándar, muestre que el coeficiente de correlación entre Xl + X 2 Y X 2 + X 3 es igual a l. ¿Por qué razón dicho coeficiente no es cero? 3.16 Demuestre que (3.5.11) de hecho mide el coeficiente de detenninación. Sugeren· cia: Utilice ladefmici6n der dada en (3.5.10); recuerde que L Yi.Y¡= L (Y¡ +eJy¡ =Lyf y tenga también en cuenta (3.5.6).
APENDICE3A
3A.1
DERIVAClON DE LOS ESTIMADORES DE MINIMOS CUADRADOS
Derivando parcialmente (3.1.2) con respecto a PI y Pl se obtiene
~~ -2 L Oí-PI-P ap;-
1
a[ el) aPl,
.
8
XJ=-2 ~:e,
8
-2 ¿ (Y,-PI-P1XJX,= -2 ¿ e,X,
.(1) (2)
Igualando estas dos ecuaciones a cero y después de algunas simplificaciones y manipulaciones algebraicas, se obtienen los estimadores que se dan en las ecuaciones (3.1.6) y (3.1.7). 3A.2
LAS PROPIEDADES DE LINEALIDAD E INSESGAMIENTO DE LOS ESTIMADORES DE MINIMOS CUADRADOS ORDINARIOS
A partir de (3.1.8) tenemos (3)
donde X,
k,=
10 cual muestra que Pl eS'un estimador lineal. puesto que .es una función lineal de Y; en realidad, es un promedio ponderado de Y" donde k, representa las
diferentes ponderaciones. Se puede demostrar en forma similar, que 11 también es un estimador lineal.
EL MODELO DE REGRESION CON DOS VARIABLES: EL PROBLEMA DE LA ESTIMACION
85
A propósito, obsérvense las siguientes propiedades de k i : (i)puesto que se supone que las Xi no son estocásticas, las k¡ tampoco lo son, consecuentemente. (ii) L k¡=O; 000) '" k 2 (IJI t... ¡
=¿ 1xl; .
(iv) L k¡x¡= L k¡X¡= 1. Estas propiedades se pueden verificar directamente
partir de la definición de k¡. Por ejemplo, , L k.= L (~)=_'1_ L x. puesto que para una muestra L xl L xl determinada se conoce L xl • I
l'
=;0, dado que ¿ Xi' la suma de las desviaciones de los valores promedio, siempre es igual a cero. Sustitúyase ahora la FRP Y¡=Pl +P2X¡+U¡ en (3) para obtener P2=L k~Pl +P2 X ¡+U¡) =Pl L k¡+P2 Lk¡X¡+ L k¡u¡ =P2+ L k¡u¡
(4)
donde se utilizan las propiedades de k¡ mencionadas anteriof111ente. Ahora, tomando la expectativa de (4) a ambos lados de la ecuación y considerando que las k¡ no son estocásticas y que, por consiguiente, pueden considerarse como constantes, obtenemos E(P2)=P2 + L k¡E(u¡) =P2
(5)
puesto que se ha asumido que E(u¡) = O. Por tanto, P2es un estimador insesgado de P2' De la misma manera, se puede demostrar que PI también es un estimador insesgado de PI' 3A.3
VARíANZAS y ERRORES ESTANDAR DE LOS ESTIMADORES DE MINIMOS CUADRADOS
De la definición de varianza, var (P2) = E[P2 -EW2W =E(P2-~)2, puesto que E(P2)=P2
=E(L k¡UJ2, utilizando la eco (4) anterior. =E(kiui +k~ u~ + ... +k~'U~+2klk2 U{U2 + ... +2kN-1kNuN-IUN) (6)
MOD~LOS
86
UNIECUACIONAlES DE REGRESION
Como se ha supuesto que E (uf) == (J2 para cada i y E(u¡ uj) = 0, i 1: j, se deduce que
=.; Lo
2 2'
X¡
(usando la definición de
= ecuación
k1 )
(3.3.1)
(7)
La varianza de Pi se puede obtener utilizimdo el mismo tipo de raciocinio. Una vez obtenidas las varianzas de Pi y Pl se pueden obtener los errores estándar correspondientes tomando las raíces cuadradas respectivas.
Covarianza entre
P1Y P2
Por definición, . cov (Pi' P2)=E[(Pl-EWlxPl-E(P2)]
= E
XEW2 - (Jl)l -X var Wl)
= -
=
= ecuación (3.3.9) donde se utiliza el hecho de que a Wl- E(1)= -XW1-{Jl). 3A.4
Pi = y -Jl X
(8)
y E(1) = y - (Jl X, que es igual
EL ESTIMADOR DE MINIMOS CUADRADOS PARA (J2
No olvide que (9)
Por tanto, (10)
Restando (10) de (9) (11)
Recuérdese también que e¡=Y¡-P1X¡
(12)
Por tanto, remplazando (11) en (12) e¡={Jlx¡+(U¡-ü)-p1x¡
(13)
Agrupando términos, elevando al cuadrado y sumando a ambos lados, obtendremos L el=Wl-{Jl)l L xl+ L (u¡-ü)l-2Wl-{Jl) L x~u¡-ü) l14)
EL MODELO DE REGRESION CON DOS VARIABLES: EL PROBLEMA DE LA ESTIMACION
87
Tomando el valor esperado a ambos lados, E(¿ et)=¡: XtE(P2-P2)2+E[¿ (u¡-t)2]-2E[(P2-P2) =
+
A
+
B
¿ xlu¡-·ü)]
C
(15)
Apelando a los supuestos del modelo de regresión lineal clásico, así como' a algunos resultados obtenidos~nteriormente, es posible' verificar que A=q2 B=(N _1)q2 C=-2 q 2
Por tanto, remplazando estos valores en (15) obtendremos E(¿ et)=(N _2)q2
(16)
Consecuentemente, si 'definimos ~2
~
ef
q=~
N-2
(17)
Su valor esperado es (18)
lo cual demuestra que (¡2 es un estimador insesgado del verdadero q2,
3A.S
LA PROPIEDAD DE LA VARIANZA MINIMA DE LOS ESTIMADORES DE MINIMOS CUADRADOS
Se demostró en el Apéndice 3A, Sección 3A.2, que el estimador P2 de mínimos cuadrados era lineal e insesgado (esto es también válido para PI)' Para mostrar que estos estimadores tienen varianza mínima dentro de la clase de todos los estimadores lineales insesgados, consideremos por un. momento el estimador $2: .
donde Xi-X ki =¿ (X¡-X)2
Xi
¿ xf
(véase Apéndice 3A.2)
(19)
lo cual muestra que $2' e's un promedio ponderado de las Y con las Ki sirvien- ' do como ponderaciones. Definamos un estimador lineal alterno defJ2 en la siguiente forma: (20}
, donde bien,
Wi
son también ponderaciones, no necesariamente iguales a k i . Ahora
88
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
L Wi E( lí)
E(fJ~) =
=
L W¡(fJl + {J2 XI)
=fJl
L WI+{J2 L w¡X¡
(21)
Por tanto, para que {J~ sea insesgado se requiere que (22)
LW¡=O
y que (23)
Ahora var (fJ~) =var
L W i lí
=L w~ var lí =(12
2
r-(Wi-LX~f +i~fr(N6tese la manipulaci6n matemática) ~(
=(1
'-'
=(1
2~ ( '-'
Xi )2
w¡-LX~ Wi -
I
2 +(1
L
xf
2
~
(LX~)2+2(1 '-'
i )2 Xx; 2(Ix; 1 ) +(1
(
X¡ )( X¡ ) w¡-Ix; Ix; (24)
por .cuanto el último ténnino desaparece en el penúltimo paso (¿Por qué?) Ya que e1.último ténnino en (24) es constante, la varianza de (fJ!) puede minimizarse únicamente manipulando el primer ténnino. Si hacemos a
la ecuaci6n (24) se reduce a (12
var (fJ!) =~ 2 '-' Xi =var (P2)
(25)
Puede decirse entonces que con ponderaciones WI = k" que son las ponderaciones de mínimos cuadrados, la varianza del estimador lineal {J! es igual a la varianza del estimador de mínimos cuadrados P2; de otra manera, var ({J!» var (P2)' Dicho de otra manera, si hay un estimador lineal insesgado de {J2 de varianza mínima, éste debe ser el estimador de mínimos cuadrados. Igualmtmte, pu'ede demostrarse que PI' es un estimador lineal insesgado con varianza mínima de {JI'
El MODELO DE REGRESION CON OOS VARIABLES: EL PROBLEMA DE LA ESTIMACION
3A.6
89
LISTADO SAS PARA LA FUNCION DE ~EMANDA DE CAFE (3.7.1)
Puesto que esta es la primera vez que presentamos un listado producido por . SAS, vale la pena comentar brevemente sobre el niismo. Los resultados se obtienen del procedimiento REGRESSION de SAS. La variable dependiente es y (tazas al día por persona) y el regresor es X 2 [Precio al detal real promedio, $ por lb. Nótese que ésta es la variable X en (3.7.1)1. Con el fin de facilitar la exposición, el listado se ha dividido en seis partes. Obsérvese que aparece un buen número de cifras decimales en el listado, aunque en la práctica no se requieren de más de cuatro o cinco.
Parte 1:
Muestra la tabla del análisis-de varianza (ADV), la cual se analiza en el Capítulo 5.
Parte 11:
Root MSE significa la raíz cuadrada del error promedio al cua-
drado (= a2 ), es decir, el error estándar de la estimación a. Dep Mean significa el valor medio o promedio de la variable dependiente, y (= Y). C. V. es el coeficiente de variación, definido como (a/Y) x 100, expresa la variabilidad no explicada que permanece aún en la información (v.gr., en la variable Y) en relación con el valor promedio f. R 2 = Coeficiente de determinación R2 = R 2 ajustado
Parte IlI:
Muestra los valores estimados de los parámetros, sus errores estándar, sus razones t y el nivel de,significancia de las mismas. Estas últimas dos se analizarán extensamente en el Capítulo 5.
Parte IV:
Nos proporciona lo que se conoce como la matriz de varianza -ca varianza de los parámetros estimados. Los elementos sobre la diagonal que van de la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha muestran las varianzas (v.gr. los cuadrados de los errores estándar dados en la Parte III), 22 mientras que los elementos que están fuera de la diagonal representan las covarianzas entre los para metros estimados; en este caso, cov (¡JI' P2)' como se definió en (3.3.9).
Parte V:
Muestra los valores reales pará Yi y Xi, los valores estimados de y (= f¡) y los residuos e¡=Oí- ~).
Parte VI:
Presenta el estadístico d de Durbin-Watson y el coeficiente de autocorrelación de primer orden, temas que se analizarán en el Capítulo 10.
90
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESlON
SUMOF
SQUAAES. 1 , 10
'0.292975 0.149080 0.442055 0.128703 2.208364 5.833255
UIVARIAB1..E
DF
PARAMETER ESTIMA TE
STANOARD' ERROR
2.691124 -0.479529
0.121622
INTERCEP X
TFOR ttO: PARAMETER-O
0.114022
IV
INTERCEP
COVB INTERCEP X
OBS \¡, .
1 2 3
4 5 S 7
8 9 10
11
0.01479203 -0.0131428
y 2.57 2:50 2.35 2.30 -2.25 2.20 2.11 1.94. 1.97
. 1.39 '
2,06 2.02
1.20 1.17 ,
X -0.0131428
0.0130Q097
YHAT 2.32189 2.33627 2.34586 2.34107 2.32668 2.33148 2.17323 1.82318
X' 0.77 0.74' 0.72 0.73 0.76 0.75 1.08 1.81
"a024li8 /Í'
~~1_
it.13007
0.727 '.:' .JJt.I.R8IN.WAlSON d A~i,' ¡i:¡8'fORDERi AUTOCORAel.AllON 0.390
···'tAESID ~U
0:16313 O.()f)414 -0.04107 -0.07ees ,....n.13148
-0.08323 0,11682 :"'0.05458 -0.05569 ":':0.11007
CAPITULO
4
EL SUPUESTO DE
NORMALIDAD: EL MODELO CLASICO
DE REGRESION LINEAL NORMAL
En este capítulo continuamos utilizando· el modelo clásico de regresión lineal con dos variables, pero suponemos. que las perturbaéiones Uf de ]a población' están· distribuidas normalmente. Este modelo' recibe el nombre de modelo cldsico de regresión lineal nonnal con dos variables. En las secciones que se presentan a continuación ofrecemos una justificación del supuesto de normalidad para Ut, haciendo énfasis en las consecuencias del mismo.
4.1 LA DISTRIBUCION PROBABILISTKA DE LAS PERTURBACIONES Uf Recordemos que la aplicación del método de los mínimos cuadrados ordinarios (MCO) al modelo de regresión lineal clásica, no tuvimos que hacer supuestos con respecto a la distribución probabilística de las perturbaciones Ut. Los únicos supuestos que se formularon con respecto a éstas eran las que tenían un valor esperado igual a 0, no estaban correlacionadas y' tenían una varianza constante. Con estos supueftos vimos (en el Capítulo 3) que los estimadores de MeO Pl' $2' y a2 satisfacían diferentes propiedades estadísticas muy deseables, tales como. las de insesgamiento y varianza mínima. Si nuestro objetivo es únicamente la estimación puntual el método de MCO será suficiente; sin embargo, la estimación puntual ·es sólo la formulación de un 91
92
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
aspecto de la inferencia estadística; el otro tema tiene que ver con las llamadas pruebas de hipótesis. 1 Por tanto, nuestro interés no consiste solamente en obtener, por ejemplo, P2' sino en utilizar dicha estimación para hacer enunciados o inferencias sobre el valor verdadero de /32 . En términos más generales, nuestra meta consiste no sólo en obtener la función de regresión muestral (FRM), sino utilizarla para realizar inferencia sobre la función de regresión poblacional (FRP), como se explicó claramente en el Capítulo 2. Siendo entonces nuestro objetivo tanto la estimación como la inferencia a través de pruebas de hipótesis, necesitamos especificar la distribución probabilística de las perturbaciones Uf. ¿Por qué? La razón es sencilla. En el Apéndice 3A, Sección 3A. 2, se demostró que los estimadores PI y P2 de MeO son funciones lineales de las U¡, los cuales son a su vez aleatorios según el supuesto que se planteó en su momento. 2 En consecuencia, las distribuciones muestrales probabilísticas de los estimadores de MCO dependerán de los supuestos que se formularon acerca de la distribución probabilística de u/. y puesto que las distribuciones probabilísticas de estos estimadores son necesarias para realizar inferencias sobre sus valores pOblacionales, la naturaleza de la distribución probabilística de U¡ juega un papel muy importante para la realización de pruebas de hipótesis. . Dado que el método de MCO no formula ningún supuesto sobre la naturaleza probabilística de Uf, no es de mucha ayuda para obtener inferencias sobre la FRP a partir de la FRM, a pasar del teorema de Gauss-Markov. Este vacío puede llenarse si aceptamos que las u se basan en algún tipo de distribución probabilística. Por razones que se explicarán muy pronto, en el contexto de análisis de regresión normalmente se supone que las u poseen una distribución normal.
4.2 EL SUPUESTO DE NORMALIDAD La regresión lineal normal clásica supone que cada u está distribuido normal-
mente con Media o valor esperado: E(u¡) = O
(4.2.1)
2
(4.2.2)
Varianza:
E(uf) = u
1 La que se ha venido a conocer corno teor{a clásica de la inferencia estadfstica consta de dos ramas: la estimación (tanto puntual corno por intervalos) y las pruebas de hipótesis. La estimación puntual . se mencionó en el Capítulo 3. Los ternas de estimación por intervalos y de pruebas de hipótesis, los cuales están íntimamente ligados, se analizarán extensamente en el Capítulo S. Por ahora es suficiente observar que en las pruebas de hipótesis generalmente estarnos interesados en la relación existente entre las cantidades poblacionales (parámetros) y sus contrapartes muestrales (estimadores). 2 Nótese que estos estimadores en realidad son funciones lineales de la variable dependiente Y. Sin embargo, Y es en sí misma una función lineal de u, corno se postuló en (2.4.2). Por tanto, los estimadores son, en última instancia, funciones lineales de u, la cual se ha asumido que es aleatoria. (Véase ecuación 4 en el Apéndice 3A, Sección 3A.2)
EL SUPUESTO DE NORMALIDAD: EL MODELO CLASICO DE REGRESION L1NEAI.,NORMAL
i "" j
93
(4.2.3)
Estos supuestos se pueden resumir y expresar de la siguiente forma: U¡ -:
N(O,
0"2)
(4.2.4)
donde""" significa "distribuido" y N significa" distribución nonnal", en tanto que los términos entre paréntesi~ representan los dos parámetros de la distribución normal: la media y la varianza. . A propósitQ, se puede observar que para dos variables con distribución nonnal, una covarianza o co"elación de cero implica. independencia entre las dos variables. En consecuencia, con el supuesto de normalidad (4.2.3) se plantea que Ui Y u¡ no solamente no están correlacionadas sino que también están distribuidas en forma independiente. (Véase Ejercicio 4.1 del Apéndice 4A). ¿Por qué razón plantear el supuesto de normalidad? Existen varias razones. 1. Como se sefialó en la Sección 2.5, Ui representa la influencia combinada (sobre la variable dependiente) de un gran número de variables independientes que no se introducen explícitamente en el modelo de regr.Qn. Como se explicó, asimismo se esperaba que la influencia de estas variables omitidas o no tenidas en cuenta fuera pequefia y, en el-mejor de los casos, aleatoria. Ahora, gracias ai conocido teorema del límite central de la estadística, se puede demostrar que si existe un número apreciable de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, entonces, con unas pocas excepciones, la distribución de su suma tenderá a 'seguir una distribución normal a medida que el número de estas variables aumenta indefinidamente. 3 Es precisamente este teorema del límite central el que proporciona una justificación teórica para el supuesto de normalidad de Ui'
2. Una variante del teorema del límite central afirma que aunque el número de variables no sea muy grande o si estas variables no son estrictamente independientes, su suma puede seguir teniendo una distribución norma1. 4 3. Con el supuesto de normalidad se pueden obtener fácilmente las distribuciones probabilísticas de los estimadores de MCO, debido a que es una propiedad de la distribución nonnal que cualquier función lineal de variables nonnalmente distribuidas también esté nonnalmente distribuida. Posteriormente se demuestra que, bajo el supuesto de normalidad de Ui, los estimadores PI y P2 de MCO también tienen una distribución normal. 3 Para una discusi6n relativamente sencilla del teorema, véase Harold Cramer, The Elementl of ProbabUity Theory and SomeofltlApplicationl, John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1955, pp.114-U6. Unaexcepci6n al teorema es 18 distribución de Cauchy; véale, M. G. Kendall yA. Stuart, The advanced The¿ry 01 Statilticl, Charles Griffm & Company, Ltd., Londres 1960, vol. 1, pp. 248-249. 4 Para las distbttas formas de teorema del límite central, véale Harold Cramer, Mathematical Methodl 01 Statisticl, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1946, Cap. 17.
94
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
4. Finalmente, la distribución normal es una distribución comparativamente sencilla que involucra sólo dos parámetros (media y varianza); es además bien conocida y sus propiedades teóricas se han estudiado extensamente en la estadística matemática. 4.3 PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES DE MeQ BAJO EL SUPUESTO DE NORMALIDAD Con el supuesto de normalidad, los estimadores PI' siguientes propiedades estadísticas: s
P2 Y(72 de MCO tienen las
1. Son insesgados. 2. Tienen varianza mínima. En combinación con 1, lo anterior implica que son insesgados con varianza mínima, es decir, que son estimadores eficientes.
3. Consistencia; a medida que el tamafto de la muestra aumenta indefinidamente, los estimadores convergen hacia sus valores poblacionales verdaderos. 4. ~I está normalmente distribuida con Media: E(PI) =
PI
var (p¡):
(4.3.1)
(4.3.2)
o, en forma abreviada
PI '" N(Pl> al) Entonces, de acuerdo con las propiedades de la distribución normal, se define la variable Z como: (4.3.3)
que tiene una distribución normal estandarizada, esto es, una distribución normal con una media de cero y una varianza unitaria (= 1): Z '" N(O, 1)
En términos geométricos, la distribución probabilística de PI se puede'ilustrar de la 'siguiente forma:
5 Las propiedat\es estadísticas de los estimadores se analizan en detalle en el Apéndice A.
EL SUPUESTO DE NORMALIDAD: EL MODELOCLASICO DE REGRESION LINEAL NORMAL
!(Z>
al-fJl
~----~--~~------------Z=--.tlp,
FIGURA 4.1 La distribución probabilística de , •.
~~--------~--------------~ !(Z>
FlGURA4,2
.
La distribuci6n probabibstica de
$2.
95
96
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGREStOti
S. P2 está normalmente distribuida con Media: E
P2 (4.3.4)
o, más brevemente, por tanto, como en (4.3.3), (4.3.5)
también sigue una distribución normal estandarizada. En términos geométricos, en la Figura 4.2 se ilustra la distribución probabilística de P2 . 6. (N - 2)82/(]2 sigue una distribución X2 (Ji-cuadrado) con N - 2 g de l. 7.
8. P1 Y P2 tienen
varianza mínima entre toda clase de estimadores insesgados, lineales o no lineales. Este resultado, desarrollado por Rao, es muy
poderoso porque, a diferencia del toerema de Gauss-Markov, no está restringido a la clase de estimadores lineales únicamente. 6 Por tanto, pode- . mos decir que los estimadores de mínimos cuadrados son los mejores estimadores insesgados (MEl). Las pr.opiedades de insesgamiento y de varianza mínima de los estimadores de MCO se demostraron en el Apéndice 3A, Sección 3A. 2. Es fácil comprobar que PI y P2 tienen una distribución normal. Como se observó en el Capífu10 3, PI y $2 son funciones lineales del 'término de perturbación estocástica U¡ (véase Función 2). Puesto que los U¡ se suponen distribuidos normalmente, entonces, de acuerdo con la regla de que cualquier función lineal de variables normalmente distribuidas es asimismo normalmente distribuida, se concluye que PI y P2 son asimismo normalmente distribuidas con las medias y varianzas antes mencionadas. La prueba de la aflrmación de que (N - 2)c12/0 2 sigue una distribución t con N - 2 g de 1 es un poco mas elaborada y puede encontrarse en las referencias. 7 El punto que merece mayor atención consiste en que el supuesto de normalidad pos permite obtener las distribuciones probabilísticas de PI (nor-
C.R. Rao. Li~ear Statisticallnference and lts Applications, John Wiley & Sons, Ine., Nueva York, 1965, p. 258.
6
7 V~ase, por ejemplo, Robert V Hogg y Allen T. Craig, lntroduction to Mathematical Statistic" 2a. ed., The Macmillan Company, Nueva York, 1965, p. 144. .
EL SUPUESTO DE NORMALIDAD: EL MODELO CLASICO DE REGRESION LINEAL NORMAL
97
mal), $2 (normal) y a2 (Ji-cuadrado). ,Esto simplifica la tarea de establecer intervalos de conflallZa y llevar a cabo pruebas de hipótesis (estadísticas) corno veremos en el Capítulo 5. . A propósito, obsérvese que si suponemos que u, tiene una distribución normal con una media de cero y una varianza de (12, entonces, Y, posee también una distribución normal con una media y una varianza dadas por 'E(Yi) = Pi
Media:
var (Yi)
+ P2 X ¡
= (12
(4.3.6) (4.3.7)
Más brevemente, podernos escribir
tí -
N(Pi
+ P2X¡, (12)
(4.3,8)
La prueba de la ecuación (4.3.8) se deduce del hecho de que cualquierfunción lineal de variables con una distribución normal posee también una distribución normal. 4.4 EL METOno DE MAXlMA VEROSIMILITUD (MV)
Un
método de estimación puntual, con algunas propiedades teóricas más fuertes que las del método de MCO, es el método de máxima verosimüitud (MV). Puesto que el método es ligeramente complicado, se analiza en detalle en el apéndice de este capítulo. Para el lector con sólo un interés~ general. será suficiente con tener claro que si se formula el supuesto de que Uf tiene una distribución normal, por razones ya analizadas, los estimadores de los ~oeficientes de regresión del modelo MV y de MCO. las P' serán idénticas, :anto para el caso de regresión simple corno para el de regresión múltiple. ~l estimador de MV para (12 es L efjN.Este"estimador es sesgado~ mientras el stimador de MeO para (12 = L er/(N - 2) es como hemos visto, insesgado. in embargo, al comparar estos dos estimadores de (12, se puede apreciarque medida que auItlenta el tamafio de la muestra, los dos estimadores de (12 mden a ser iguales. Por tanto, asintóticamente, (es decir, a medida que N menta indefmidamente), el estimador MV de (12 también es insesgado. . Dado que el método de mínimos cuadrados, sumado al supuesto adicio\ de la normalidad de Ut nos proporciona todas las ·herramientas necesarias 'a llevar a cabo la estimación y las pruebas de hipótesis necesarias de los delos de regresión lilleal, no existe problema alguno para lectores que no ~en continuar usando el método de máxima verosimilitud debido a su ra complejidad matemática.
RESUMEN Y CONCLUSIONES ste capítulo consideramos nuevamente el modelo clásico de regresión \ normal. Este modelo difiere del modelo considerado en el Capítulo 3 que se asume que las perturbaciones poblacionales tiene una distribunormal. Con este supuesto, vimos que los estimadores del modelo de para Pto P~, y(lZ siguen distribuciones probabilísticas muy bien cono-
MODELOS UNIECuACIONALSS DE REGRESION
98
cidas. Esto simplifica de. manera conside~ble nuestra tarea aemferenCÍa estadística, es decir, la estimación de parámetros, así como la posibilidad, de llevar a cabo pruebas de hipótesis de dichos parámetros, como se demostrará . en el Capítulo S. Asimismo, se describió muy brevemente un método alterno para la estimación puntual conocido como método de mtxima verosimilitud. Sin embargo, con el supuesto de nohiuiUdad, los estimadores de MV generalmente son iguales a los estimadores de MCO. Por tanto, en este texto no utilizareJIlOSJ~xplícitamente este método aunque será introducido en los apéndices a ínedidaque SUIja la necesidad, para beneficio de los alumnos que tengan una mayor hlclinación matemática.
APEMDI~4A~
ESTlMAClON UTILIZANDO ELMETODO DEMAXIMA VEROSIMILITUD PARt\ UN MODELO DE REGRESION CON DOS VAmABLES Supong¡anosque.en el modelo con dos variables: y, == P1 + P1X, + u, las Y, tiener una· distribución normal e independiente,-con una media == P1 + Pl Xt ,Y' una variánza == aa; [Véase ecuación (4.3.8)]. Como resultado de esto, J8if\inción de densidád de probabilidad conjunta de y .. Y 2• •••• YN, con base estJ.a' media y la varianza antes referidas, puede escribirse como f(Yl' Y;¡, ••.•
YNIPl + PaX,. a")
Pero en vista de la indepen4encia de las Y, esta función de densidad de probabilidad conjunta se tonia en el producto de N funciones de densidad indio viduales. así:
f(lí, 1'2, ... , YN·IJI,·+ P2 X"a") =f(l'íIJlt + Pa X ,.112)f(Y1IP1 + plX" 0-2) •.• f(YNIPl + P2 X ,.I1") donde
"(V\' 1 {1 A.u=--exp - - (Y, -
J'
.
afo
2
P1 - p" XJ
2 }
a"
la cual es la función de densidad de una variable con distribución normal c media y varian~ dadas. (Nota: exp significa e elevado a la potencia de la e~presión enceltl entre { }.) SustituyendQ (21 para cada Y, en (1) obtenemos
(
EL SUPUESTO DE NORMALIDAD: EL MODELO CLASICO DE REGRESION LINEAL NORMAL
f (Yl, Y2 , ... , YNIPl + P2 X ¡, a 2) =
1
¡;;:
aN(y 21t)N
exp
{l - -2 ~ (Yi ~
99
PI - P2 X¡)2} ," (1 (3)
Si Y 1• Y 2 , .• :, YN son valores conocidos o dados y PI' P2'Y a 2 son desconocidos, la función en (3) se denomina función de verosimilitud, expresada como L(Pl, P2, (12), Y escrita de la siguiente manera: 1 L(P P ( 2)= 1>
2'
1 exp {_,!r(Yi-PI-P2 X¡)2} (lN(j2rc.)N 2 a2
(4)
El método de máxima verosimilitud, como su' nombre lo indica, consiste en la estimación de parámetros desconocidos de tal manera que la probabilidad de observar un determinado valor de Y es la más elevada (o máxima) posible. Es consecuencia, debemos hallar el máximo de la función (4). Este es un sencillo ejercicio de cálculo diferencial. Para diferenciar dicha ecuación es más fácil expresar (4) en términos logarítmicos, de la siguiente forma:" (Nota: In = logaritmo natural). In L = _ N In (1' _ N In (21t) _ 2
= _ N In
2
~ (Yi - PI - P2X¡)2
!
2 "'-
a" _ N In (21t) _! ~ (Yi 2
2""
(12
P1.- P2 X ¡)2
(1'2
(5)
Diferenciando (5) parcialmente con respecto a Plt P2 Y (1'2, obtenemos
oIn L
1
aIn L
1
alnL
2(12 + 2(14 L (Yi
-apI- = - -(12 "'~ (Yi . ap2 = - (1'2 Lo (Yi -
aT = -
N
1
PI -
p"XiX-l)
(6)
P1 -
p" Xi)( -
(7)
Xi)
- PI - P2 Xi)
2
(8)
Igualando estas ecuaciones a cero (la condición de primer orden para optimización) y permitiendo que /11t H2 y 0'2 denoten los estimadores de MV, obtenemos: (9)
1 Por supuesto, si PI' P2 Y al son conocidas pero no se conocen las Y,. (4) representa la función de densidad conjunta, o sea, la probabilidad de observar conjuntamente las Y,
Puesto que una función logarítmica es una función monotónica, In L logrará su máximo valor en el mismo punto que L.
2
100
MODELOS UNIECUACIONAlES DE REGRESION
(10) (11)
Después de simplificar, a partir de las ecuaciones (9) y (la) se encuentra que:
L Y¡ = NP1 + Pl L X, L Y¡X¡=P1 LX¡+P1L Xt
(12)
(13)
las cuales son precisamente las ecuaciones normales de la teoría de mínimos cuadrados que se obtuvieron en (3.1.4) y (3.1.5). Por tanto, los estimadores de MV, las po, son las mismas que los estimadores de MeO, o sea, las fJ' dadas en (3.1.6) y (3.1.7). Esta igualdad no es accidental. Al examinar la función de verosimilitud (5) puede observarse que el último término entra con signo negativo. En consecuencia, al maximizar (5) en realidad se está minimizando este ténnino. Sin embargo, éste es precisamente el enfoque de mínimos cuadrados, como se puede apreciar en (3.1.2). Al sustituir los estimadores de MV (=MCO) en (11) y simplificar la expresión resultante, obtenemos el estimador de MV para al, así:
a2 =! L (l'; - P1 - P2XJ2 N 1 X J2 =-L(l';-P1-P2 N
1 = N
Let
(14)
Se deduce de (14) que el estimador a2 de MV"difiere del estimador a2 = l: et/(N -2) de MeO,del cual se demostró en el Apéndice 3A, Sección 3A.4 que era un estimador insesgado de a2 • Esto significa que el estimador de MV de a2 es sesgado. La magnitud de este sesgo se puede determinar fácilmente de la siguiente manera: Tomando la esperanza matemática de (14) en ambos lados de la ecuación, obtenemos: E(a 2 )
= !N =
E(l: en
(N; 2)
al, utilizando la ecuación (16) del Apéndice 3A,
Sección 3A.4 (15)
lo cual demuestra que a2 es sesgado hacia ab~o en muestras pequeflas. Pero obsérvese que a medida que N, el tamafto de la muestra, aumenta indefmi-
EL SUPUESTO DE NORMALIDAD: EL MODELO CLASICO DE REGRESION LINEAL NORMAL
101
damente, el segundo término en (15), el factor de sesgamiento, tiende a cero.' En consecuencia, asintóticamente (es decir, para una muestra muy grande), u2 también es insesgado, es decir, lím E(¡¡2) = (12 a medida que 'N -+ oo. Se puede demostrar además que u2 también es un estimador consistente,3 es decir, a medida que N aumenta indefinidamente, u2 converge a su verdadero valor de u 2 •
EJERCICIOS DEL APENDICE 4A * 4.1. "Si dos variables aleatorias son ,estadísticamente independientes, el, coeficiente de correlación entre las dos es cero. Lo contrario, sin embargo, no es necesariamente cierto; una correlación igual a cero no irilplica independencia estadística. No obstante, si dos variables tienen una distribución normal, una correlación de cero necesariamente irilplica independencia estadística". Verifique esta aIrrmación para la siguiente función de densidad de probabilidad conjunta de dos variables normalmente distribuidas r; y ~. (Esta función de densidad de. probabilidad conjunta se conoce como lafuncion densidad de probabüidad nonnal bivariada): f(Yl' Y2 ) = 1
21t(11(12Jl- p 2
,exp { _
1 2 2(l-p)
[(lí u-
1'1)2 _ 2p 1
(Y1 - J.ll)(l'í - 1'2) + (Y2 - J.l2)·2J} (11(12
(12
donde 1'1 = media deY1, 1'2 =Y2 , (11 =desviación del estándar de Y1, (12 = desviación estándar de ~ y p = coeficiente de correlación entre r; y ~. 4.2. Al aplicar las condiciones de segundo orden para la optirilización (es decir, la prueba de la segunda derivada), demuestre que los estimadores de MV de PI' P2' Y(12 que se obtienen resolviendo las ecuaciones (9), (10) Y (11), de hecho maxirilizan la función (4) de verosirililitud.
3 Puede consultarse un tex,to de estadística para un análisis de las propi~dades de los estimadores de
máxima verosimilitud, así como también de la distinción entre insesgamiento asintótico y consistencia. En términos generales, en el insesgamiento asint6tico tratamos de averiguar el Iím E(c7~) a medida que N tiende a infinito, siendo N el tamaño de la muestra en la que se basa el estimador, mientras que en la consistencia tratamos de averi¡uar cómo se comporta c7~ a medida que N aumenta indefinidamente. Obsérvese que la propiedad de insesgamiento es una propiedad del muestreo repetid9 para un estimador, basada en una muestra de un tamafio dado, mientras que la consistencia tiene que ver con el comportamiento de un estimador a medida que aumenta indefinidamente el tamaño de la muestra. • Opcional.
CAPITULO
5
REGRESION CON DOS VARIABLES: ESTlMACION POR INTERVALOS y PRUEBA DE HIPOTESIS
Como se señaló en el Capítulo 4, la estimación y la prueba de hipótesis constituyen las dos ramas principales de la estadística clásica. La teoría de la estimación consta de dos partes: estimación puntual y estimación por intervalos. La primera ya fue estudiada ampliamente en los dos capítulos anteriores, donde introdujimos los métodos de MCO y de MV de estimación puntual. En este capítulo consideramos primero la estimación por intervalos, retomando a continuación el tema de pruebas de hipótesis, el cual está íntimamente relacionado con la estimación por intervalos. 5.1 ESTIMACION POR INTERVALOS: ALGUNOS CONCEPTOS BASICOS Para poner las ideas en orden, consideremos el ejemplo hipotético consumoingreso del Capítulo 3. La ecuación (3.6.1) muestra que la propensión marginal a consumir (PMC) estimada P2 es de 0.5091, correspondiente a una sola . estimación (puntual) de la PMC fJ2 poblacional desconocida. ¿Qué tan con-
1 En el análisis siguiente se supone que el lector está familiarizado con los conocimientos básicos de la inferencia estadística, tales como el intervalo de COnfl8llZ8, la prueba de hipótesis, el nivel de significancia o la probabilidad de los errores de tipos 1 y n, entre otros.
102
REGRESION CON DOS VARIABLES: ESTIMACION POR INTERVALOS Y PRUEBA
103
ftab1e es esta estimación? Corno se mencionó en el Capítulo 3, debido a fluctuaciones muestraIes, es posible que una sola estimación diftera del valor verdadero, aunque en un muestreo repetido se espera que su valor medio sea igual al valor verdadero. (Nota: E(#2) = P2 ). En estadística, la c
- ~ : :; P2 : :; P2 + ~) = 1 -
IX
(5.1.1)
Tal intervalo, si éste existe, se conoce corno intervalo de confianza; a 1 - IX se le denomina coeficiente de confianza y a(O < IX < 1) se conoce corno nivel de significancia. 2 Los dos extremos del intervalo de conftanza se conocen corno lfmites ..de confianza (también denominados valores crfticos), en donde P2 - ~ corresponde al límite de· conFzanza inferior y P2 + ~. al limite de confianza superior. A propósito, nótese que en la práctica I! y 1 - IX con frecuencia se expresan a formas de porcentaje corno 1001X y 100 (1 - IX) por ciento. La ecuación (5.1.1) muestra que un estimador de intervalo, en contraste con un estimador· puntual, es un· intervalo construido de tal manera que tenga una probabilidad específica 1 - IX de incluir dentro de sus límites el valor verdadero del parámetro. Por ejemplo, si IX = 0.05, o 5%, (5.1.1) sería: la probabilidad de que el intervalo (aleatorio) que se muestra allí inCluya el P2 verdadero es 0.95 ó 95 %. El estimador de intervalos proporciona entonces un rango de valores dentro de los cuales se puede encontrar el valor verdadero de P2 . Es muy importante conocer los siguientes aspectos en la estimación por intervalos: 1. La ecuación (5.1.1) no dice que la probabilidad de que P2 se encuentre entre los'límites dados sea 1 -IX. Puesto que seha asumidoqueP2,'aunquees un valor desconocido, es un número fijo, entonces se dice que está o no está dentro del intervalo. Lo que dice (5.1.1) es que al utilizar el método descrito en este capítulo, la probabilidad de construir un intervalo que contenga P2 es 1 - IX.
También conocida como probabilidad de cometer el error de tipo L El error de tipo I consiste en rechazar una hipótesis verdadera, mientras que el error de tipo Uconsiste en aceptar una hipótesis falsa.
2
104
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
2. El intervalo (5.1.1) es un intervalo aleatorio, 10 cual implica que éste variará de una muestra a otra debido a .que está basado en $2' la cual es aleatoria. (¿Por qué?). 3. Puesto que el intervalo de confianza es aleatorio, los enunciados probabilísticos 'que le corresponden deben entenderse en un sentido de largo plazo, es decir, para muestreos repetidos. Más específicamente, (5.1.1) implica que siwconstruyen repetidamente intervalos de confianza como el anterior con base en la probabilidad 1 - oc ,entonces, a largo plazo, en promedio, tales intervalos contendrán en 1 - oc de los casos el verdadero valor del parámetro. 4. Como se mencion6 en 2, el intervalo (5.1.1) es aleatorio mientras P2 sea desconocido. Pero una vez especificada la muestra y obtenido un valor numérico específico para P2' el intervalo ~(5.1.1) deja de ser aleatorio siendo entonces fijo. En este caso no podemos hacer la afmnaci6n probabilística (5.1.1); ·no se puede decir que la probabilidad de que un determinado intervalo fijo incluya el valor verdadero de P2 es de 1 - oc : en esta situación, {J2 está dentro o fuera del intervalo fijo. Por tanto, la probabilidad es 1 6 O. En consecuencia, en el caso hipotético de nuestro ejemplo· consumo-ingreso, si el intervalo de confianza del 95% que se obtuviera para (0.4268 ~ (J2 ~ 0.5914), como el que se obtendrá en (5.3.9), no podemos decir que existe un 95 % de probabilidad de que el verdadero valor de P2 se encuentre en este intervalo. La probabilidad es de 1 6 O. ¿C6mo se construyen los intervalos de confianza? A partir del análisis anterior es de esperarse que si se conocen el muestreo o las distribuciones probabilísticas de los estimadores, se pueden hacer afirmaciones sobre el intervalo de confianza similares a (5.1.1). En el Capítulo 4 vimos que bajo el supuesto de normalidad de las perturbaciones U¡, los estimadores MCO P1 y P2 poseen en sí mismos distribuciones normales y que el estimador de MCO el 2 sigue una distribución X2 (ji-cuadrado). Parecería entonces que la tarea de construir intervalos de confianza es sencilla. Aunque éste puede ser el caso, es preciso realizar una breve exposici6n y considerar algunas de las distribuciones probabilísticas relacionadas con la distribución normal que nos serán de gran utilidad más adelante. 5.2 DISTRIBUCIONES NORMALES t, X2 , y F BREVE EXPOSICION
En el Capítulo 4 se introdujo el concepto de la distribución normal; de otro lado, algunas distribuciones relacionadas con la distribución normal se presentan a través de los siguientes teoremas, sin incluir las pruebas correspondientes.! ! Pata una pn¡eba de los teoremas,
vme Alexander M. Mood, Frank1in A. GtaybUl y Duane C Boes
ITltroductlon to me Theory of Sttztiltlc" 3a. ed., McGraw-HiU Book Company, Nueva York, 1974, pp. 239-249.
REGRESIONCON DOS VARIABLES: ESTIMACION POR INTERVALOS Y PRUEBA
105
Teorema 5.1. SiZI' Z2 • .... ZN son variables aleatoriasconunadistribuciónnonnal e independiente de la formaz¡- N(p¡, u¡)entonces la suma Z = L k¡Z¡, donde k, son constantes sin ser todas cero, también está normalmente distribuida con una media L k¡Jl¡ Y una varianza L kfuf; es decir, Z ~. N(L k¡Jl¡, L k¡u:).
En resumen, las combinaciones lineales de variables normales también poseen una distribución normal. Por ejemplo, si Zl y Z2 poseen distribuciones normales e independientes del tipo Zl '" N(l O, 2) y Z2 '" N (8, 1.5); entónces la combinación lineal Z = 0.8Z 1 + 0.2Z2 también posee una distribu. ción normal con una media = 0.8(10) + 0.2(8) = 9.6 y una varianza = 0.64 (2) + .0.04(1.5) = 1.34, es decir, Z '" N (9.6,1.34). Teorema 5.2. Si Z¡, Z2' ... , ZN son variables aleatorias con distribución normal e independiente, de tal forma que cada Z¡ - N(O,l). es decir, que cada una de ellas es un;! variable normal estandarizada, entoncesIz;= z¡ + zi + ... + Z~tiene una distribución ji-cuadrado con Ng de 1. Simbólicamente L Z; - X~,donde N denota los grados de libertad, g de l.
En resumen, "la suma de cuadrados de variables normales estándar independientes posee una distribución ji-cuadrado, en donde los grados de libertad son iguales al número de términos en la suma".4 Teorema 5.3. Si Z¡. Z2' ... , ZN son variables aleatorias distribuidas independientemente, cada una con una distribución ji-cuadrado con k i g de 1, entonces la suma I Z¡ = Z1 + Z2 + ... + ZN también posee unadistribuciónji-cuadrado con k =Lk¡ g, del 1. .
Por tanto, si Z 1 y Z2 son variables l independientes con k y k g de 1, respectivamente, entonces Z = ZI + Z2 también eS una variable X2 con(k 1 + k 2 ) grados de libertad. . Teorema 5.4. Si Z 1 es una variable normal estandarizada [Z1 - N(O, 1)] Y si una segunda variable Z2 posee una distribución ji-cuadrado con k g de 1 y es independiente de Z¡, entonces la variable que se defme como: t=
ZIJI< AlJI< A ZI
=--
variable normal estándar
J variable ji-cuadrado independiente/g de 1
(5.2.1)
sigue una distribución t de 8tudent con k g de l.
Al margen de lo anterior, obsérvese que como k, g de 1 en (5.2.1) aumenta indefinidamente (es decir, a medida que k ~ (0), la distribución t de Student se aproxima a la distribución normal estandariZada. s Por conven-
4
lbid., p. 243 .•
véale Henri Theil. Introduction to Econometricl. Prentice-Hall. Inc.• Eriglewood Clif'f's, N.J., 1978, pp. 237-245. . 5 Para una prueba,
106
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
ción, la notación tk implica una distribución o variable t de Student con k g de 1. . Teorema S.S. Si Z, y Z, son variables ji-cuadrado distribuidas independientemente con k, y k, g de 1, respectivamente, entonces la variable (5.2.2)
tiene una distribución F con k, y k, grados de libertad, donde k, se conoce como los grados de libertad del numerador y k, como los grados de libertad del denominador.
Nuevamente, por convención la notación F tI, I:z implica una variabl~ F con k 1 y k" grados de libertad, donde los g de 1 del numerador aparecen' primero. En otras palabras (5.2.2) afIrma que la variable Fes simplemente la razón de dos variables ji-cuadrado distribuidas independientemente,' divididas por sus respectivos grados de libertad. Teorema 5.6. El cuadrado de la variable t (de Student) con k g de 1 tiene una distribución F con k, = 1 g de 1 en el numerador y k, = k g de 1 en el denominador. 6 · Es decir, (5.2.3)
Se debe observar que, para que esta igualdad se mantenga, los g de 1 del numerador de la variable F deben ser iguales a 1. En consecuencia F 1." ;:: ti o F 1,23 = t~3 Y así sucesivamente. En 10 que resta de este capítulo veremos cómo los anteriores teoremas nos ayudan a establecer los intervalos de confIanza y a efectuar pruebas de hipótesis. 5.3 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LOS COEFICIENTES DE REGRESION Pl y P2
Intervalo de cOn118Dza para
P2
En el Capítulo 4, Sección 4.3, se estableció que con el supuesto de normalidad para u" los estimadores de MCO Pl y $2 tienden en sí mismos a una distribución normal con medias y varianzas dadas. En consecuencia, por ejemplo, la variable
(5.3.1)
6 Para una prueba, v",e EjerciciO 5.18. Para una aplicaci6n, véoIe Sección 5.13.
107
REGRESION CON DOS VARIABLES: ESTIMACION POR INTERVALOS Y PRUEBA
como se mencionó en (4.3.5), es una variable nonnal estandarizada. Parece entonces que podemos utilizar la distribución nonnal para hacer aflI1Ilaciones probabilísticas sobre P2 dado que se conoce la verdadera varianza poblacional (12. Si se conoce (12 una propiedad importante de una variable con distribución nonnal, con una media de J.I. y una varianza de u2 es que el área bajo la curva nonnal entre/l ±udicha área es de aproximadamente el 68%; que entre los limites/l±2(1dicha área es de aproximadamente el 95%yque entre p. ± 3(1 es de aproximadamente el 99.7%. Noobstarite, muy pocas veces se conoce (12 y, en la práctica, ésta se detennina utilizando el estimador insesgado (¡2. Al remplazar (1 por ft, se puede reescribir la ecuación (5.3.1) como
P2 - P2 - estimador - parámetro - error estándar del estimador (P2 - P2>!f:? -~~
t-
- se cP2)
------':.....---..;..~-
(5.3.2)
donde el se ($2) se refiere ahora al error estándar estimado. Se puede demostrar (véase Apéndice 5A, Sección 5A.l) que la variable l' defmida previamente tiene una distribución t con N - 2 g de l. (Obsérvese la diferencia entre (5.3.1) y (5.3.2).) Por tanto, en lugar' de utilizar la distribución nonna!, podemos usar la distribución t para establecer intervalos de confianza paraP2 • así: (5.3.3)
donde el valor t en medio de esta doble desigualdad es el valor t dado por (5.3.2) y en donde t«/2 es el valor de la variable t obtenida de la distribución t para UD nivel de significancia de 0l/2 y N - '2 g de l. Al sustituir (5.3.2) en (5.3.3), obtenemos Pr
[-
t«/2:::;;
P2se -(P2)P2 : :; t«/2
J'= 1 -
(5.3.4)
IX
Reordenado (5.3.4), obtenemos Pr [P2
-
tll/
2se cP2) :s; P2 :s; P2 + tll/ 2se (.82)] -
(5.3.5f
1 - IX
La ecuación (5.3.5) proporciona el intervalo de confianza del 100 (l - IX) por ciento para P2 que se puede escribir más brevemente como: . intervalo de confianza del 100 (1 - Ol) por ciento para: P2
P.lc± t-fl/2 se
(5.3.6)
7 Algunos autores prefieren ~scribir la ecuación (S.3.S) indicando explícitamente los g de 1: por tanto,. la expresión se escribiría de la· siguiente forma:
Pr
rfJ2 - t(N-21 ••/2
se (12) S PI S $2 + t(N-21,./2 se (12)]
= 1-
IX.
Pero para mayor simplicidad, continuaremos utilizand~ nuestra notación; el contexto clarifica los g de 1 apropiados.
108
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
Utilizando un argumento análogo y las ecuaciones (4.3.1) y (4.3.2), se concluye entonces que
Pr [J. -
t IJr1
se
(5.3.7)
0, más brevemente:
Intervalo de confianza de 100 (1 - ex)
P1 ± t"'/l se
(5.3.8)
Al regresar a nuestro ejemplo ilustrativo de consumo-ingreso en el Capítulo 3 (Sección 3.6) encontramos que¡J2 = 0.5091, se (P1) = 0.0357y g de 1 = 8. Si suponemos que IX = 5%, es decir, un coeficiente de confianza del 95%, entOnces la Tabla t muestra que para 8 g de 1, el t,,/2 critico es = t O.025 = 2.306. Al sustituir estos valores en (5.3.5), el lector debe verificar que el intervalo de confianza de195% para P2 es el siguiente: 0.4268
~
P2 ~ 0.5914
(5.3.9)
0, utilizando (5.3.6), es: 0.5091 ± 2.306(0.0357)
es decir, 0.5091 ± 0.0823
•
(5.3.10)
La interpretación de este intervalo de confianza es: dado un coeficiente de confianza del 95 % en el largo plazo, en 95 de cada cien casos, intervalos como (0.4268, 0.5914) contendrán el verdadero P2' Pero como se advirtió anteriormente, obsérvese que no podemos decir que existe una propabilidad del 95% de que el intervalo específico (0.4268, 0.5914) contenga el verdadero valor de P2 porque este intervalo es ahora fijo, dejando por tanto, de ser aleatorio; en consecuencia, pz está o no está en el intervalo: la probabilidad de que el intervalo fijo que se especifique contenga el verdadero valor de P2 es, por tanto, 1 ó O. Intervalo de confIanza para P1 Desarrollando (5.3.7), el lector debe poder verificar fácilmente que el intervalo de confianza del 95% para P1 en el caso de nuestro ejemplo consumoingreso es: 9.6643
~
P1
~
39.2545
(5.3.11)
0, utilizando t5.3.8) 24.4545 ± 2.306(6.4138)
es decir, 24.4545 ± 14.7902
(5.3.12)
Nuevamente, se debe ser precabido al interpretar este intervalo de confianza. A largo plazo, 95 de cada cien casos de intervalos como (5.3.11) con-
• REGRESION CON DOS VARIABLES: ESTIMACION POR INTERVALOS Y PRUEBA
109
tendrán el verdadero valor de PI; la probabilidad de que este detenninado intervalo fijo incluya el verdadero valor. de Pies 1 ó O.
Intervalo de conrl8llza paraPl
yP2 simultáneamente
Existen ocasiones en que sé necesita construir intervalos de confianza conjuntos para PI y P2 de tal manera que con un nivel de confianza del O - a), por ejemplo del 95 % tanto PI como P2 se encuentren simultáneamente en este intervalo. Puesto que este tema es un poco más elaborado, el lector puede consultar las referencias en caso de que requiera intervalos de confianza conjuntos para apl~caciones espeCíficas.! S.4 INTERVALO DE CONFIANZA PARA
(12
Como se mencionó en el Capítulo 4, Sección 4.3, bajo el supuesto de nonnalidad la variable (5.4.1)
posee una distribución X2 con N - 2 g de 1. 9 Por tanto, podemos utilizar la distribución X2 para establecer intervalos de confianza para (12: Pr (xi -,./2 ::s; X2 ::s; X;/2)
= 1-
a
(5.4.2)
2
en donde el valor x en medio de esta doble desigualdad está dado por (5.4.1) y en donde xi -11./2 y X; corresponden a dos valores de X2 obtenidos de la tabla ji-cuadrado para N - 2 g de 1, de tal fonna que corten (o dejen por fuera) lOO(a/2) por ciento del área de las colas de la distribución X2 tal como se muestra en la Figura 5.1. Remplazando X2 de (5.4.1) en (5.4.2) y ordenando ténninos, se obtiene (5.4.3)
lo cual da el intervalo de confianza del 1000 - a) por ciento para (12. Para ilustrarlo, consideremos este ejemplo. A partir del Capítulo 3, Sección 3.6, obtenemos que ¡,2 = 42.1591 Y, g de 1 = 8. Si a a se le asigna un valor del 5%, la tabla ji-<:uadrado para 8 g de 1 arroja los siguientes valores críticos: X~.025 = 17.5346, Y X~.975 = 2.1797. Estos valores muestran que la probabilidad de que un valor ji cuadrado exceda 17.5346 es del 2.5%, y que, sea mayor de 2.1797 es del 97.5%. Portanto, el intervalo entre estos dos valores corres-
lIéase Jobn Neter, y Micbael H. Kutner, Applied Lineflr Regreai01l Models, Richard D. Irwin Inc., Homewood, 111, 1983, Cap. 5.
8 Para un análisis sencillo,
9 Para una prueba, J1étzse Robert V. Hogg y Allen T. Craig, /ntroduction to Mllthe1Nlticlll Stlltistics, 2 ed., The Macmillan Company, New York, 1965, p. 144.
110
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
2.1797
17.5346
\Ó.97S
t XÓ .02S
FIGURAS.l Intervalo de confianza de195%para X2 (8 g de 1).
ponde al intervalo de confianza del 95% parax 2 , como se muestra en el diagrama de la Figura 5.1. (Obsérvese la asimetría característica de la distribución ji-cuadrado). Al sustituir los datos de nuestro ejemplo en (5.4.3), el lector debe verificar que el intervalo de confianza del 95 % para (12 es el siguiente: 19.2347 ~
(12
~
154.7336
(5.4.4)
La interpretación de este intervalo es: si establecemos límites de confianza del 95 % sobre (12 y si mantenemos a priori que estos límites incluirán el verdadero valor de (12, a largo plazo estaremos en lo correcto el95 % de las veces.
5.5 PRUEBA DE HIPOTESIS: COMENTARIOS GENERALES Habiendo considerado el tema de la estimación puntual y por intervalos, debemos pasar ahora a considerar las llamadas pruebas de hipótesis, tema que trataremos a partir de esta sección y sobre el cual se puede consultar en otros libros para considerar algunos detalles adicionales. El problema que se intenta resolver con las pruebas de hipótesis estadísticas puede enunciarse sencillamente de la siguiente manera: ¿Es cierta observaci6n o hallazgo compatible con una determinada hip6tesis? La palabra "compatible" en este contexto significa "suficientemente" cerca del valor hipotético, de sue{te que nos lleve a aceptar la hip~tesis enunciada inicialmente. Por tanto, si alguna teoría o experiencia previa nos lleva a creer que el verdadero coeficiente P2 de la pendiente, para el ejemplo consumo-ingreso, es de 1, ¿es el valor P2 = 0.5091 observado que se obtiene de la muestra en la Tabla 3.2, consistenté con la hipótesis enunciada? Si lo es, podemos aceptar la hipótesis; de lo contrario, debemos rechazarla. En el lenguaje de la estadísti~, ra hipótesis enunciada se conoce como hip6tesis nula y se denota mediante el símbolo Ro. La hipótesis nula gene-
REGRESION CON DOS VARIABLES: ESTIMACION POR INTERVALOS Y PRUEBA
111
ralmente se prueba contra una hip6tesis alterna, que se denota como H 1 , Y que puede afmnar, por ejemplo, que el verdadero valor de P2 es diferente de l. La hipótesis alterna puede ser simple o compuesta. 10 Por ejemplo, H 1: P2 = 1.5 es una hipótesis simple, pero H 1: fJ2 #= 1.5 es una hipótesis compuesta ... La teoría de pruebas de hipótesis se preocupa por desarrollar regIas o procedimientos para decidir si se acepta o se rechaza la hipótesis nula. Existen dos enfoques mutullmente complementarlos para desarrollar est.s reglas: el del intervalo de confianza y el de la prueba de signiftcancia. Ambos enfoques predican que la variable (estadístico o estimador) bajo consideración, tiene cierta distribución probabilística y que las pruebas de hipótesis involucran o encierran afmnaciones sobre los valores de los parámetros de dicha distribución. Por ejemplo, sabemos que con el supuesto de nonnalidad, 12 tiene una distribución nonnal donde la media es igual a P2 y la varianza está dada por (4.3.4). Si fonnulamos la hipótesis de queP2 = 1 ,estamos haciendo una afirmación sobre \lno de los parámetros de la distribución nonnal, es decir, la media. La mayoría de las hipótesis estadísticas que se encuentran en este texto serán de este tipo; mediante ellas se hacen afmnaciones'sobre uno o más valores de los parámetros de cierta distribución probabilística supuesta, ya sea normal, F, t o X2. Este constituirá·el tema de las siguientes dos secciones. 5.6 PRUEBA DE HIPOTESIS: EL ENFOQUE DEL INTERVALO DE CONFIANZA Prueba en dos colas o prueba bilateral Para ilustrar el enfoque del intervalo de confianza, consideramos nuevamente' el ejemplo consumo-ingreso. Como ya sabemos, la propensión marginal a consumir (PMC) estimada, P2' es de 0.5091. Supongamos que postulamos que: Ho: P2
= 0.3
H 1 : P2 #= 0.3
lo cual implica que la PMC verdadera es 0.3 bajo la hipótesis nula pero inferior o mayor que 0.3 bajo la hipótesis alterna. La hipótesis nula es una hipótesis simple, mientras que la hipótesis alterna es compuesta. Esto es lo que en realidad se conoce como la hipótesis de dos colas o bilateral. Es común que una hipótesis alterna bilateral refleje el hecho de que no tenemos una fuerte . expectativa teórica o apriori sobre la dirección en que se debe mover la hipótesis alterna l1artiendo de la hipótesis nula.
10 Se dice que una hipótesis estadística es una hip6tem rimple si especifica el valor preciso de los parámetros de una función de densidad ~babilística; en caso contrario, se denomina hipótesis compuerta. Por ejemplo, en la fdp normal(l/t1y'21t} exp { -i[(X -1l)/t1]2},si afirmamos que H 1: Il = 15 Y t1 = 2, ésta es una hipótesis simple, pero siH 1: Il = 15 Y t1 > 15, es una hipótesis compuesta porque la desviación estándar no tiene un valor específico.
.
112
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
¿Es.el valor observado de P2 compatible con Ro? Para responder a esta pregunta,·considérese el intervalo de confianza (5.3.9). Sabemos que a largo plazo, intervalos como (0.4268, 05914) c¿ntendrán el verdadero valor de fJ2 con una probabilidad del 95 %. En consecuencia, a largo plazo (es decir, en muestreos repetidos), tales intervalos proporcionan un rango a unos límites dentro de los éuales puede encontrarse el verdadero valor de fJ2 con un coeficiente df confian~a de, digamos, el 95%. Por tanto, el intervaló de confianza proporcIona un conjunto de hipótesis nulas posibles. En consecuencia, si fJ2 bajo Ho cae dentro del intervalo de confianza del 100(1-1X) por ciento, podemos aceptar la hipótesis nula. Si se encuentra fuera del intervalo, podemos rechazarla. 11 Esto se ilustra esquemáticamente en la Figura 5.2. Regla de decisión. Construya un intervalo de conf"lanza del 100( 1-1) por ciento para. Si el valor de" bajo Ho cae dentro de este intervalo de conftanza, acepte Ho, pero si cae fuera del intervalo, rechace Ho .
De acuerdo con esta regla, para nuestro ejemplo hipotético Ho: fJ2 = 0.3 claramente se encuentra fuera del intervalo de confianza del 95% parafJ2 Entonces podemos rechazar la hipótesis' nula. En este caso decimos que nuestra estimación de 0.5091 es estadfsticamente significativa, es decir, significativamente diferente en términos estadísticos del valor hipotético de 0.3 para este caso específico. Prueba en una cola o prueba unilateral En ocasiones existen altas expectativas teóricas o a priori (o expectativas basadas en cierto trabajo empírico anterior) de Gue la hipótesis alterna es de una cola (o unilateral) o unidireccional, en lugar de ser bilateral, como se I
I I
I I 1 I
I
1 I
I
I
I I
Los valores de 132 dentro de este intervalo son posibles bajo Ha con 100 (l-a) por ciento de confianza. Por tanto, acepte Ha si 132 se encuentra én esta región.
FIGURA 5.2 _ _ _~... I _ _ _ _ _ _ _ _ _+-_ _ _,_ ün intervalo de confianza del 100 6 - t «/2 1'2
se
(6 1'21\
6 1'2
+ t «/2 se (61'2)
(1 - IX) para fJ2'
11 Mantenga siempre en mente que existe una probabilidad del lOOlX por ciento de que el intervalo de confianza no contenga el valor fJ2 que se encuentra bajo Ho aun cuando la hipótesis sea correcta. En resu men, existe una probabilidad del 1001% por ciento de cometer el e"or tipo de l. Por tanto, si'lX = 0.05, existe una probabilidad del5%,de que podamos rechazar la hipótesis nula cuando esta sea verdadf!1"a.
REGRESION CON DOS VARIABLES: ESTIMACION POR INTERVALOS Y PRUEBA
113
planteó anteriormem,~. Por tanto, en nuestro ejemplo de consumo-ingreso podríamos postular que H o:
P2 :;;, 0.3
Y
H 1:
/12
> 0.3
Quizá la teoría económica o trabajo empírico anterior sugiera que la ptopensión marginal a consumit es'mayor que 0.3. Aunque el procedimiento para probar esta hipótesis puede derivarse fácilmente de la ecuación (5.3 .5), los mecanismos reales pueden explicarse mejor en términos del enfoque de la prueba de significancia que se explica a continuación. 12 5.7 PRUEBA DE HIPOTESIS: EL ENFOQUE DE LA PRUEBA DE SIGNIFICANCIA
Prueba de significancia para los coeficientes de regresión: la prueba t Un enfoque alterno pero complementario al método del intervalo de confianza para las pruebas de hipótesis estadísticas, es el enfoque de la prueba de significancia desarrollado independientemente por F.A. Fisher, de un lado, y Neyman y Pearson,13 del otro. En términos generales, una prueba de significancia es un procedimiento mediante el cual se utilizan los resultados de la muestra para verificar la veracidad o falsedad de una hipótesis. La idea fundamental detrás de las pruebas de significancia consiste en utilizar un estadístico de prueba (estimador) y la distribución muestral de die.ho estadístico bajo la hipótesis nula. La decisión de aceptar o rechazar Hose toma sobre la base del valor del estadístico obtenido a partir de los datos que se tengan a mano. A manera de ilustración, recordemos que bajo el supuesto de normalidad la variable t - P2 - P2 - se (P2)
(P2
-
P2)/f.:Xt (¡
(5.3.2)
sigue la distribución t con N - 2 g de l. Si el valor verdadero de P2 se especifica en la hipótesis nula, el valor t para (5.3.2) puede calcularse fácilmente a partir de la muestra disponible, pudiendo servir por tanto como estadístico de prueba. Y puesto que este estadístico de prueba posee la distribución t, es posible hacer afmnaciohes sobre el intervalo de confianza, como la siguiente: (5.7.1)
Si desea utilizar el enfoque del intervalo de confianza, construya un intervalo de confianza del (100 - IX) por ciento de una cola o unilateral.paraP2· (¿Por qué?).
12
13 Para mayores detalles, véase E. L. Lehman. Testing Statistical Hypothesis, John Wiley &; Sons,lnc, Nueva York, 1959.
114
MODElOS UNIECUACIONALES DE AEGAESION
donde /l~ es el valor de/l2 blÜO HoY - t./1 Y t./1 son los valores de t que se obtienen de la tabla t para un nivel de significancia de (<
(5.7.2)
t1
'~presiónque proporciona el intervalo en el que z se encontrará con una
probabilidad de (1 -IX )%, dado que f31 = f3r· En ellenguaje de lás pruebas de hipótesis, el intervalo de confianza dell00 (1 - a) por ciento establecido en (5.7.2) se conoce como reglón de aceptación (de la hipótesis nula), mientras que la(s) región( es) fuera del intervalo de confianza se denomina(n) región(ea) de rechazo (de Ho) o región(es) crítica(s). Como se mencionó previamente, los límites de confianza, es decir, los extremos del intervalo de confianza, reciben también el nombre de valores criticos. La estrecha relación existente entre los enfoques del intervalo de confUlIlza y la prueba de significancia en el análisis de pruebas de hipótesis puede observarse ahora al comparar (5.3.5) con (5.7.2). En el procedimiento de intervalos de confUlIlza tratamos de establecer los límites dentro de los cuales se puede encontrar el f31 verdadero pero desconocido, mientras que utilizando el enfoque de la prueba de significancia se plantea un valor hipotético para f3z buscando comprobar si el pz calculado se encuentra dentro de ciertos límites razonables (de confianza) con respecto al valor en la hipótesis. . Consideremos nuevamente nuestro ejemplo de consumo~ingreso. Sabemos que pz = 0.5091, se
S;
0.3823) = 0.95
~z=0.5091
le encuentra dentro de elta región crítica 2.5'10
0.2177
0.3
FIGURA 5.3 El intervalo de confianza del 9SCJb para
0.3823
$2 según la hipótesis de que fJ2 = 0.3.
(5.7.3)
REGRESION CON DOS VARIABLES: ESnMACION POR INTERVALOS Y PRUEBA
115
Jet)
t = 5.86 se encuentra denLfo de esta reglón crítica 2.5%
Región crítica 2.5% -2.306
o
+2.306
FIGURA 5.4 Intervalo de confumza del 95 %para t (8 g de 1).
como se muestra en el diagrama de la Figura 5.3. Puesto que el valor observado de $2 se encuentra en la región crítica, podemos rechazar la hipótesis nula de que el verdadero valor de P2 = 0.3. En la práctica, no existe necesidad de estimar explíqitamente (5.7.2). Se puede calcular el valor t que aparece en el centro de la doble desigualdad de la ecuación (5.7.1) y observar si se'encuentradentro de los valores, t críticos o fuera de ellos. En el caso de nuestro ejemplo. t=
0.5091 - 0.3 0.0357 = 5.86
(5.7.4)
que claramente se encuentra dentro de la región crítica de la Figura 5..4. La conclusión sigue siendo la misma: se rechazaBo . Puesto que utilizamos la distribución t, el anterior procedimiento se denomina prueba t. En el lenguaje de pruebas de significancia, se dice que un estadístico es estadúticamente significativo si el valor del estadístico de prueba se encuentra en la región-crí1ica. En nuestro ejemplo, el estadístico t es significativo y por tanto procedemos a rechazar la hipótesis nula. Siguiendo TABLAS.l La prueba t de significancia:' reglas de decisión Tipo de hipótesis
Ha: hipótesis nula
De dos Colas P2 .. Pf Cola derecha pz'S /lt Cola izquierda -Pl
H 1: hipótesis alterna
III "P!
fJz > P!
Pi
Regla de decisión: rechazar Ho si
I tI> tl/~. g de 1 t > t •. g de 1 t<-t.,gdel
Notas: Pi es el valor numérico hipotético de p,. [tI significa valor absoluto de t. t. Ó 1,,, significa valor t crítico a un nivel de significancia de a./2 g de 1: grados de libertad, (N - 2) para el modelo de dos variables, (N - 3) para el modelo de tres variables, y así sucesivamente. Sobra agregar que el mismo procedimiento es válido para evaluar la hipótesis'con respecto a PI'
116
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
. esa misma línea de razonamiento, se dice que una prueba es estadfsttcamente insignificante si el valor del estadístico de prueba se encuentra en la región de aceptación. En esta situación se puede aceptar la hipótesis nula. En el caso de nuestro ejemplo, la prueba t es significativa y por tanto podemos rechazar la hipótesis nula. Antes de concluir el análisis de pruebas de hipótesis se debe observar que el procedimiento de prueba que acabamos de describir se conoce como procedimiento de significancia en dos colas o bilateral, debido a que consideramos las dos colas extremas de la dis~ribución probabilística relevante, las llamadas regiones de rechazo. Se decide rechazar la hipótesis nula si ésta se encuentra en alguna de estas dos colas. Ilo anterior se debió a que H 1 era una hipótesis compuesta de dos colas; /32 ::f: 0.3 significa que /32 es mayor o menor que 0.3. Sin embargo, supóngase que la experiencia previa nos sugiere que el valor esperado de la PMC es mayor que 0.3. En este caso, tenemos que: Ho: /32:S;; 0.3yH 1: /32 > 0.3. Aunque H 1 sigue siendo una hipótesis compuesta, ahora es de una sola cola. Para probar esta hipótesis u titizamos una prueba de hipótesis de una cola, (la cola derecha) tal como se muestra en la Figura S.S. (Considérese también el análisis que se presenta en la Sección 5.6). El procedimiento de prueba es el mismo que el anterior, con la excepción de que el límite de confianza superior o valor crítico corresponde ahora atll = t.05' es decir, el nivel del 5%. Como se muestra en la Figura 5.5, para este caso no necesitamos considerar la cola inferior de la distribución y, la utilización de una prueba de significancia de una o dos colas dependerá de la manera como se fonnule la hipóte'sis alterna, la cual a su vez dependerá de consideraciones a priori o de previa experiencia empírica. (Este tema se ampliará en la Sección 5.8). A través de la Tabla 5.1 se puede resumir la metodología de la prueba t de significancia utilizada en las pru'ebas de hipótesis. Prueba de significancia para (J2 : la prueba X'1. Como ilustración adicional de la metodología de la prueba de significancia, consideremos la siguiente variable: (5.4.1)
x:
la cual, como vimos anterionnente, sigue una distribución con N - 2 g de 1. Para el 'ejemplo hipotético, q2 == 42.1591 Y los g de 1 = 8. Si postulamos que Ho: (12 == 85 persus H 1: (12 ::f:.85, la ecuación (5.4.1) proporciona el estadístico de prueba para H o. Al sustituir los valores correspondientes en (5.4.1), se puede encontrar que bajo HO ,X2 == 3.97. Si suponemos queoc==5%,los valores críticos de X2 son 2.1797 y 17.5346. Puesto que el valor calculado dex 2se encuentra entre estos límites, los datos confirman la hipótesis nula, pudiendo entonces aceptarla. (Véase Figura 5.1). Este procedimiento de prueba se conoce muy acertadamente como prueba significancia ¡i-cuadrado.
REGRESION CON DOS VARIABLES: ESTIMACION POR INTERVALOS y PRUEBA
117 .
.....
95%
~-0.S091
se encuentra en esta región crítica
Región de aceptación
S'lt
0.3
1ft) •
Región de aceptación
t = 5.86 se encuentra en esta región cr ítica 5%
o
,
1.860 '0.05
(8 g de 1)
FIGURA 5.5 Prueba de significancia de una cola.
5.8 PRUEBAS DE HIPOTESIS: ALGUNOS ASPECTOS PRACTICOS El significado de "aceptar" o "rechazar" una hipótesis Si con base en u~ prueba de significancia, por ejemplo la prueba t, decidimos "aceptar" la hipótesis nula, 10 que realmente estamos diciendo es que con base en la evidencia de la muestra no tenemos razón para rschazarla; no estamos diciendo que la hipótesis nula sea cierta sin lugar a ninguna duda. ¿Por qué? Para responder este interrogante regresemos a nuestro ejemplo de consumo-ingreso y supongamos que Ro: {J2 (PMC) = 0.50. Entonces el valo'r estimado de la PMC es P2 = 0.5091 con un se
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
118
cia, basad'o en laprueba t, encontramos que f = (0.5091 - 0.50)/0.0357 = 0.25, el cual no es significativo a todas luces. Por tanto, decimos que "aceptamos" Ho. Pero ahora supongamos que Ho: fJ2 = 0.48. Al aplicar la prueba t obtenemos t = (0.5091-0.48)/0.0357 = 0.25, que tampoco es estadísticamente significativo. Podemos entonces decir que "aceptamos" Ho. ¿Cuál de estas dos hipótesis nula es la "verdadera"? No lo sabemos. En consecuencia, al "aceptar" una hipótesis nula debemos estar conscientes de que puede existir otra hipótesis nula igualmente compatible con los datos. Es preferible decir entonces que podemos aceptar la hipótesis nula en lugar de que de hecho la aceptamos. Es mejor aun expresarlo de la siguiente manera: ... así como una corte emite el veredicto de que "no es culpable", en lugar de decir que "es inocente", asimismo la conclusión de una prueba estadística es de "no rechazo" en lugar de "aceptación" , .14
La regla práctica del "2-t" y la hipótesis nula o "cero" "t"
Una hipótesis nula que frecuentemente se evalúa en trabajo empírico es Ho: fJl = O, es decir, que el coeficiente de la pendiente es cero. Esta hipótesis nula de "cero" es como un espantapájaros, cuyo objetivo es averiguar sr Y está relacionada con X, la variable explicativa. Si inicialmente no existe relación alguna entre Y y X, entonces no tiene sentido alguno evaluar una hipótesis del tipo fJl = 0.3 o una con cualquier otro valor. Es fácil evaluar esta hipótesis nula utilizando el método del intervalo de confianza o la prueba t mencionada en las secciones anteriores. Pero es muy frecuente que estas evaluaciones formales se puedan acortar, adoptando la regla práctica de significan cia· "2-t" que se puede enunciar de la síguiente forma:
"'8
Regla práctica "2-t". Si el número de grados de libertad es de 20 o más y si ~ el nivel de significancia, se ¡fija en 0.05, entonces la hipótesis nula " . O se puede rechazar en favor de la hipótesis alterna de que si el valor t [..~fJJJ culado a partir de la ecuación (5.3.2) excede a 2 en valores absolutos.
El razonamiento detrás de esta regla no es difícil de entender. Utilizando la ecuación (5.7.1), sabemos que rechazaremos Ho: fJ2 = O si t=
p2/se (ftl) >
t"¡l cuando
P2 > O
o
14
Jan Kmenta, Elements of Econometrics, The Macmillan Company, New York, 1971, p. 114.
REGRESION CON DOS VARIABLES: ESTIMACION POR INTERVALOS Y PRUEBA
119
o cuando (5.8.1)
para los grados de,libertad adecuados y donde [ ] representa el valor absoluto. Si examinamos la Tabla t dada en el apéndice, vemos que para g de 1 de aproximadamente 20 o más, un valor t calculado superior a 2 (en términos absolutos), por ejemplo 2.1, es estadísticamente significativo al nivel de significancia del 5%, implicando el rechazo de la hipótesis nula en favor de la hipótesis alterna de qué Pl :/:. O. En consecuencia, si encontramos que para 20 o más g de 1, el valor calculado de t es, digamos, 2.5 ó 3~ ni siquiera tenemos que consultar la Tabla t para evaluar la significancia del coeficiente estimado para la pendiente. Por supuesto, siempre se puede consultar la Tabla t para obtener el nivel de significancia exacto y debe hacerse siempre en el caso en que los g de 1 sean inferiores'a 20. A propósito, obsérvese que si estamos evaluando una hipótesis unilateral: P2 = O vs. Pl > O Ó P2 < O , entonces debemos rechazar la hipótesis nula si
(5.8.2) Si fijamos IX al 0.05, entonces, de acuerdo con la Tabla t observamos que para 20 o más g de 1, un valor t por encima de 1.73 es estadísticamente significativo a un nivel de significancia del S % (unilateral). En consecuencia, cuando un valor t excede digamos 1.8 (en términos absolutos) y hay 20 o más g de 1, no se tiene que consultar la Tabla t para obtener la significancia estadística del coeficiente observado. Claro, si escogemos un valor de lX.del 0.01 o cualquier otro nivel, tendremos que' decidir el valor t adecuado como valor crítico a observar. No obstante, en este momento el lector debe estar en capacidad de hacerlo. Planteamiento de las hipótesis nIda y alterna Dadas las hipótesis nula y alterna. la evaluación de éstas para obtener el valor de la significancia estadística no debe seguir siendo un misterio. Pero ¿cómo se formulan estas hipótesis? No existen normas rápidas para hacerlo. Es muy común que el fen6meno qu~ se está estudiando sugiera la naturaleza de las hipótesis nula y alterna. Por ejemplo, en el ejercicio S.13 se le pide al alumno estimar la línea de mercado de capital (LMC) de la teoría del portafolio, donde se postula que: E¡ = P1 + P2(1¡, donde E = tasa de retomo esperada del portafolio "y (1 = desviacion estándar de la. tasa de retomo, la cual es una medida del riesgo. Puesto que se espera que el retomo y el riesgo estén relacionados positivamente -cuanto mayor sea el riesgo, mayor será el retorno- la hipótesis alterna natural a la hipótesis nula .de que Pl = O será Pl > O. Es decir, no se considerarían valores de P2 inferiores a O. Pero consideremos el caso de la demanda de dinero. Como demostraremos posteriormente. uno de los determinantes importantes de la demanda
120
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
de dinero es el ingreso. Estudios previos de las funciones de demanda de di· nero han demostrado que la elasticidad-ingreso de la demanda de dinero (la variación porcentual en la demanda de dinero correspondiente a un cambio de un 1% en el ingreso) se ha encontrado generalmente entre 0.7 y 1.3. En consecuencia, en un Lluevo estudio de la demanda de dinero, si se postula que el coeficiente de la elasticidad-ingreso es de 1, la hipótesis alterna podría plantear quep2 ~len otras .palabras, una hipótesis alterna de dos colas o bilateral. Por tanto, las expecta,ivas teóricas o trabajo empírico previo pueden ser confiables para formular hipótesis. No obstante, independientemente de cómo se forman las hipótesis, es muy importante que el investigador establezca estas hipótesis antes de llevar a cabo la investigación empz'rica. De otra manera, se tendrá que caer en un razonamiento de tipo circular o caer en profecías que se cumplen por sí mismas. Lo anterior implica que si se formulan hipótesis después de examinar los resultados empíricos, puede surgir la tendencia de formar hipótesis de tal forma que se justifiquen los resultado~ obtenidos. Este procedimiento no es aceptable de ninguna maneta, y al menos en términos de la objetividad científica. Por tanto, debe evitarse a toda costa.
Escogencia de ex. el nivel de significancia Con base en los análisis efectuados hasta ahora, debe ser claro que la aceptación o el rechazo de la hipótesis nula depende fundamentalmente de (x, el nivel de significancia, o la probabilidad de cometer un error de tipo 1, o sea, la probabilidad de rechazar la hipótesis verdadera. En diversos libros de estadística se analiza extensamente la naturaleza del llamado error de tipo I y su relación con el error de tipo 11 (la probabilidad de aceptar la hipótesis falsa). Surge ahora la pregunta, ¿por qué generalmente se asigna a (X un valor del 1%, 5 % o máximo del 10%? De hecho, no hay nada sacrosanto respecto a estos valores; cualquier otro valór sería también adecuado. En un libro introductorio como este no es posible analizar en'profundidad las razones por las cuales escogemos los niveles de significancia del 1, 5 ó 10%, puesto que tendríamos que entrar en el campo de la toma de decisiones estadísticas, la cual constituye toda una disciplina en sí misma. No obstante, podemos presentar. un breve resumen. Recordemos que si tratamos de reducir el error de tipo 1, inmediatamente aumenta el error de tipo· 11 y viceversa. Es decir, dado el tamaño de la muestra, si tratamos de reducir la probabilidad de rechazar la hipótesis verdadera, al mismo tiempo estamos aumentando la probabilidad de aceptar la hipótesis falsa. Así, existe una disyuntiva entre estos dos tipos de errores, dado el tamaño de la muestra. Ahora bien, la única manera en que podemos dilucidar esta disyuntiva consiste en averiguar los costos relativos asociados a los dos tipos de errores. En consecuencia, Si el error de rechazar la hipótesis nula cuando ésta sea verdadera (error de tipo 1) es costoso en relación con el error de no rechazar la hipótesis nula cuando ella sea falsa (error de tipo II), es razonable fijar la probabilidad del primer tipo de error a niveles bajos. Si, por otra parte, el costo de cometer el error de tipo 1 es bajo en relación
REGRESION CON DOS VARIABLES: ESTIMACION POR INTERVALOS Y PRUEBA
121
con el costo de cometer el error de tipo IJ, vale la pena que la probabilidad del pri. mer tipo de error sea alta (disminuyendo así la probabilidad del segundo tipo de 'error).15
Desde luego, pocas veces se conoce el costo resultante de cometer 'estos dos tipos ,de errores. Esta es la razón por la cual los econometristas generalmente establecen valores pará-« {fel I o del 5%, máximo, del 10% y escogén qn estadístico de prueba que disminuya al máximo la probabilidad de cometer el error de tipo 11. Este es el enfoque de la estadística clásica, el cual en general no es aceptado por los seguidores de la estadística bayesiana, escuela que compite con la estadística clásica .. Significancia estadística versus significancia práctica Regresemos a nuestro ejemplo de consumo-ingreso y plantearnos la hipótesis de que la verdadera PMC es de 0.61 (H o : P2 = 0.61). Con base en el resultado de la muestra de que P2 = 0.5091,obtuvimos el intervalo (0.4268, 0.5914) con un nivel de confianza del 95%. Puesto que este intervalo no incluye el valor· 0.61, podernos, con un nivel de confianza del 95 %, decir que nuestro estimativo es estadísticamente significativo, es decir, significativamente diferente de 0.61. Pero ¿cuál es la significancia práctica de nuestro resultado? Es decir, ¿qué diferencia existe si tornarnos una PMC de 0.61 en lugar de 0.5091? ¿Es esta diferencia de 0.1009 entre las dos PMC, importante en la práctica? La respuesta depende de lo que hagamos en realidad con 'estos estimativos. Por ejemplo, de la teoría macro económica sabernos que elmultiplicador del ingreso es 1/(1- PMC). En consecuencia, si la PMC es de 0.5091, el multiplicador es 2.04, pero éste tiene un valor de 2.56 si la PMC es igual a 0.61. Es decir, si el gobierno aumenta sus gastos en $1 para sacar la economía de una recesión, el ingreso eventualmente aumentará en $2,04, dado que la PMCes de 0.5091, y de $2,56 si la PMC es de 0.61. Esa diferencia es muy importante para reactivar una economía en recesión. El punto fundamental de este análisis es que no se debe confundir la signiflcancia estadfstica con la signiflcancia prdctica. Para decidir si un resultado específico es significativo tanto estadística corno sustancial o prácticamente, tendremos que recurrir a la teoría de las decisiones, un campo que está más allá del alcance de este libro. Por ahora trabajaremos en el supuesto de que si un resultado es estadísticamente significativo, también puede ser importante en la práctica. 5.9 ANALISIS DE REGRESION y ANALlSIS DE VARIANZA En esta sección estudiaremos el análisis de regresión desde el punto de vista
15
Jan Kmenta, 0,. cit.• pp. 126-127.
122
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
TABLA 5.2 Tabla de ADV para el modelo de regresión con dos variables Fuente de variación
se
gde 1
Debidas a la regresión (SCE) ~.ílt = Debidas a los residuos (SeR)
Pi ~ xt
~e~
1
N-2
scp. p~ ~
xt
et
-~- = ( 1-2
N-2
STe
N -1
• Suma promedio de los cuadrados que se obtiene dividiendo los g de 1 correspondientes. '
se por
del análisis de varianza e introduciremos al lector a una forma complementaria y esclarecedora de examinar el problema de la inferencia estadística. En el Capítulo 3, Sección 3.5, desarrollamos la siguiente identidad:
L y; = L yt + L el = P~ L xl + L el
(3.5.2)
es decir, STC = SCE + SCR, lo cual descompone la suma total de cuadrados (STC) en dos: suma de cuadrados explicados (SCE) y suma de cuadrados de 'los residuos. Desde el punto de vista de la regresión, el estudio de los componentes de l~ STC se conoce como análisis de varianza (ADV). Asociados con cualquier suma de cuadrados existen g de,l correspondientes los cuales tienen que ver ~on el número de observaciones independientes en las cuales dicha suma se basa. La STC tiene N - 1 g de 1 porque perdemos un grado de libertad en el cálculo de la media muestral Y. La SCR tiene N - 2 g de 1 (¿por qué?) (Nota: 10 anterior es cierto solamente para el modelo de regresión con dos variables y con la intersección en el eje y, PI presente). La SCE tiene 1 g de 1 (nuevamente válido para casos de dos variables), debido a que la SCE = P~ L xl es una función de P2 solamente ya que se conoce L xl. Recordemos las diferentes sumas de cuadrados y los g de 1 asociados con ellas de la Tabla 5.2, que representa la forma estándar de una tabla de ADV, la cual en ocasiones se denomina tabla de ANOV A. Dada la información de la Tabla 5.2, consideremos la siguiente variable: SCM de SCE F =SCM de SCR
_ P~ L x; - L et/(N - 2) P~ L x; 0- 2
(5.9.1)
Suponiendo que las perturbaciones u¡ poseen una distribución normal y Ho: se puede demostrar que F de (5.9.1) satisface las condiciones del teorema 5.5 (Sección 5.2) y, por tanto, tiene una distribución F con 1 y N - 2 g
P2 = O,
REGRESION CON DOS VARIABLES: ESTIMACION POR INTERVALOS Y pqUEBA
123
TABLAS.3 Tabla de ADV para el ejemplo consumo - ingreso Fuente de variación
se
Debidas a la regresión (SCE)
8552.73
Debidas a los residuos (SCR)
337.27
8
8890.00
9
STC
gde 1
SCP 8552.73 42.159
8552.73 F=-42.159 = 202.87
de l (véase Apéndice 5A, Sección 5A.2). ¿Cómo puede utilizarse esta tasa o relación F? Se PUede demostrar que 16 (5.9.2) y
~ e2
E~ N-2
= E(&2) = (12
(5.9.3)
(Nótese que P2 y (12, alIado derecho de las ecuaciones, son los verdaderos parámetros). Por tanto, si P2 es en efecto cero, las ecuaciones (5.9.2) y (5.9.3) nos dan estimadores idénticos del verdadero valor de (12. En este caso, la variable explicativa X no ejerce ninguna influencia lineal sobre Y y la totalidad de la variación de Y se explica por los errores aleatorios de perturbación Uj. Si, por otra parte, P2 no es cero, (5.9.2) y (5.9.3) serán diferentes y parte de la variación de Y podrá atribuirse a X. Por tanto, la razón F de (5.9.1) nos proporciona una prueba de la hipótesis nula Ho: P2 = O. Dado que todas las cantidades que componen esta ecuación se pueden obtener a partir de la muestra disponible, esta razón F se constituye en un estadístico que sirve para probar la hipótesis nula de que el verdadero P2 es igual a cero. Para hacer esto, se debe proceder a calcula,r el valor F y compararlo con el valor crítico F que se obtiene de las tablas F para el nivel de significancia que se escoja. A manera de ilustración, continuemos con nuestro ejemplo de consumoingreso. La tabla de ADV correspondiente a este ejemplo se encuentra en la Tabla 5.3. El valor calculado de F es 202.87. Si IX se escoge al 5%, el valor crítico de F para 1 y 8 g de l es 5.32. Obviamente el valor calculado de Fes estadísticamente significativo y, por tanto, ¡>odemos proceder a rechazar la hipótesis' nula de que el ingreso X no tiene influencia alguna en los gastos de consumo. Recuérdese ahora el Teorema 5.6 de la Sección 5.2 que enuncia que el cuadrado del valor t con k g de l corresponde a un valor F con 1 g de 1 en el
16 Pora una prueba, véase K. A. Brownlee, Statistical Theory and Methodology in Science and Engin· eenng, Tohn Wiley_ & Sons, Ine., New York, 1960, pp. 278·280.
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
124
numerador y k g de 1 en el denominador. Para el ejemplo de consumo-ingreso, si suponernos que Ho: /32 = O, entonces se puede verificar usando (5.3.2) que el valor t estimado es de 14.26. Este valor t tiene 8 g de 1. Bajo la misma hipótesis nula, el valor F era de 202.87 con 1 y 8 g de 1. En conse,;uencia, (14.26)2 = valor F, exceptuando los errores de aproximación. Por tanto, las pruebas t y F nos presentan dos maneras alternas y complementarias para evaluar la hipótesis nula de que /32 = O. Si este es el caso, ¿por qué no basarse en la prueba t sin preocuparse por la prueba F y el correspondiente análisis de varianza? Para el modelo de dos variables no hay.· necesidaQ de recurrir a la prueba F. Pero cuando consideremos el terna de regresión múltiple veremos que la prueba F tiene diferentes aplicaciones interesantes que 10 convierten en un método poderoso para evaluar hipótesis estadísticas.
5.10 APLICACION DEL ANALISIS DE REGRESION: EL PROBLEMA DE LA PREDICCION Con base en los datos muestrales de la Tabla 3.2 se obtiene la siguiente regresión muestra1:
r; = 24.4545 + 0.5091X¡
(3.6.2)
donde ~ es el estimador del verdadero E(Y¡) correspondiente a un X dado. ¿Para qué se puede utilizar esta regresión histórica? Una aplicación consiste en "predecir" o "pronosticar" el futuro gasto de consumo Y correspondiente a algún nivel dado de ingreso X. Existen dos clases de predicciones: (1) predicción .de1 valor medio condicional de Y correspondiente a un detenninado X, digamos X o , que es un punto sobre la línea de regresión poblacional misma (véase Figura 2.2), y (2) predicción de un valor individual de Y correspondiente a X o. Denominaremos a estas predicciones la predicción media y la predicción individual. Predicción media l7
=
Para concretar los conceptos, supongamos que X o 100 Y que queremos predecir E(Y I X o = 100). Ahora es posible mostrar que la regresión histórica (3.6.2) proporciona la estimación puntual de esta predicción media de la siguiente ·manera: fo = PI + P2 X O =
24.4545
= 75.,3645
+ 0.5091(100) (5.10.1)
17 Para las pruebas de los diferentes enunciados, consúltese a J. Johnston, Econometric Methods. McGraw-Hill Book Company, 3 ed., New York, 1984, pp. 42-45.
REGRESION CON DOS VARIABLES: ESTIMACION POR INTERVALOS Y PRUEBA
125
donde f o·=: estimador deE(Y I X o).Puede demostrarse que este predictor puntual es el mejor estimador lineal insesgado (MELI). Puesto que es un estimador, es probable que sea diferente de su verdadero valor. La diferencia entre los dos valores nos da una idea del error de la predicción o del pronóstico. Para estimar este error se necesita encontrar la distribución muestral de fo . También es posible demostrar que Yo tiene una distribución normal con media (PI + P2 X o) y varianza dada por la siguiente fórmula:
ro
(5.10.2)
Remplazando el valor desconocido que la variable t
=
(72
por su estimador insesgado 0- 2 , se tiene
fo - (PI + P2 X O) se
(5.10.3)
(fo)
sigue una distribución t con N - 2 g de l. La distribución t puede, por tanto, emplearse para encontrar intervalos de confianza del verdadero E(Yo I X o) para hacer pruebas de hipótesis usando el procedimiento acostumbrado, es decir,
• •lLlilS::Jlt'+ /J, t •.s #1 + pz X o + t
lJl/ 2
se
(fo)] = 1 -
IX
(5.10.4)
en donde se obtiene se (ro) a partir de (5.10.2). Para nuestros datos (véase Tabla 3.3). 1
var (fo) = 42.159 [ 10 +
(100 - 170)2J 33,000
= 10.4873 se
y
(fo) =
3.2383
Por tanto, el intervalo de confianza del95 % para el verdadero E(Y I X o) = Po + PiXo estará dado por: [75.3676- 2.306(3.2383) ::;; E(Yo I X = 100) ::;; 75.3676
+ 2.306(3.2383)]
es decir, [67.8965::;; E(Y I X = 100) ::;; 82.8325]
(5.10.5)
De este modo, daqo X o = 100, en muestreos repetidos, 95 de cada 100 intervalos como el de (5.1 0.5), incluirán el verdadero valor promedio; la mejor estimación de este valor medio verdadero es 'obviamente la estimación puntual,75.3676. Si obtenemos intervalos de confianza del 95%, como el de (5.10.5), para cada uno de los valores de X dados en la Tabla 3.2, hallaremos lo que se conoce como el intervalo de confianza o banda de confianza para la función de regresión poblacional ilustrada en la Figura 5.6.
126
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
y
/ 170
ISO
I
// Intervalo de cO!1fianza / para el promedio y /
130
110
90
70
0~0--~6~0--~870--~lOO~~12~0~·~14~0--1~~~-1~8-0--2~0-0--2~2-0--2~~---2~6-0-X
x FIGURA 5.6 Intervalos (bandas) de confianza para promedio valor individual de Y.
Predicción individual Si se tiene interés en predecir un valor individual de Y como Yo que corresponde a un valor dado de X como X o , es posible probar que el mejor estimador lineal insesgado de Yo también está dado por (5.10.1) pero que su varianza es (5.10.6)
Se puede den Jstrar además que Yo también posee una distribución normal con una media y una varianza dadas por (5.1 0.1) y (5.1 0.6) respectivamente. Al sustituir ¡;-2 por el 0'2; desconocido, se tiene entonces que la variable t = (Yo - Yo)/se (Yo) posee también una distribución t. Por tanto, se puede utilizar la distribución t para realizar inferencias sobre el verdadero valor Yo. Para continuar con nuestro ejemplo de consumo-ingreso, la predicción puntual de Yo es 75.3676, la misma que para Yo , y su varianza es 52.6470 "(el lector debe verificar este cálculo). Por tan to, eHntervalo de confianza del 95% para Yo, correspondiente a X o = 100 está dado por (58.6353
~
Yo IX o = 100
~
92.0955)
(5.10.7)
REGRESION CON DOS VARIABLES: ESTIMACION POR INTERVALOS Y PRUEBA
127
Al comparé1l" este intervalo con (5.10.5), se puede observar que el intervalo de confianza para el Yo individual es más amplio que el intervalo para el valor medio de Yo. (¿Por qué?) Al calcular los intervalos de confianza como el de (5.10.7), condicionados...a los valores de X de la Tabla 3.2, obtendremos una banda de confianz#l del 95% para los valores individuales de Y que corresponden a dichos valores de X. Esta banda de confianza, al igual que la banda de confianza para f o ' §e}lustra en la Figura 5.6. Nótese una característica importante de la9 bandas de confianza que se encuentran en la Figura 5.6. La amplitud de las bandas esmtmor cuando X o = X. (¿Por qué?) No obstante, la amplitud aumenta abruptamente cuando X o se aleja de X. (¿Por qué?) Esto podría sugerir que la habiliaad predictiva de la línea de regresión muestral histórica decrece apreciablemente a medida que X o se aleja progresivamente de X. Por tanto, hay que ser muy cautelosos al "extrapolar" la línea de regresión histórica cuando!se trata de pr~decir fo o asociado' con un X o dado que se encuentra muy'eléja<Ío de .la media muestral X.
ro
5.11 INFORMES DE LOS RESULTADOS DEL ANALISIS DE REGRESION Existen diferentes maneras de informar los resultados obtenidos de 'un análisis de regresión; sin embargo, en este texto emplearemos lasiguient6 presentación, la cual describimos a continuación para el ejemplo de consumo-ingreso del Capítulo 3.
f; = 24.4545 + 0.509IX¡ (6.4138) (0.0357) t = (3.8128)
(14.2605)
r 2 = 0.9621
g de 1 = 8
F 1,8
= 202.87
(5.11.1)
En la ecuación {5.J 1.1) las cantidades que aparecen en la primera serie de parépt-:sis corresponden a los errores estándar de los diferentes coeficientes de regresión, mientras que las cifras en la segunda serie de paréntesis corresponden a los valores t, estimados a partir de la ecuación (5.3.2) bajo la hipótesis nula que el verdadero valor poblacional de cada coeficiente individual de regresión es cero (por ejemplo, 3.8128 = 24.4545.;. 6.4138). Una de las ventajas del hecho de prtsentar los resultados del informe de , esta manera, consiste en que se puede apreciar muy rápidamente si cada uno de los coeficientes de regresión es individualmente significativo desde el punto de vista estadístico, es decir, significativamente diferente de cero. Como es obvio, cualquiera otra hipótesis nula puede ser verificada haciendo uso de , (5.3.2) y de los errores estándares estimados que se presentan en (5.11.1). La hipótesis nula igual a "cero" es como una especie de "comodín" usado con fines estratégicos para "dramatizar" la significancia estadística de un coeficiente estimado. Como se mencionó antes, el valor F reportado sencillamente refuerza el estadístico ten la prueba de la hipótesis de que el verdadero coeficiente de la
ae
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
128
pendiente P2 es cero. Cuando estudiemos los modelos de regresión múltiple hablaremos de otros usos de la prueba F.
5.12 EVALUACION DE LOS RESULTADOS DEL ANALÍSIS DE REGRESION Una vez se reportan les -resultados del análisis de regresión con la representación de la ecuación (5.11.1), es natural hacer la pregunta ¿qué tan "buenos" son los resultados? Necesitamos apelar a algunos criterios para responder a esta pregunta. Ante todo, los signos de los coeficientes estimados deben estar de acuerdo con las expectativas teóricas o previas. De esta manera, se espera que la línea de mercado de capital (LMC) de la teoría del portafolio analizado previamente tenga pendiente positiva. Si en una aplicación éste resulta ser el caso, se puede decir que el resultado es satisfactorio. Segundo, si la teoría o la experiencia previa nos lleva a creer que un coeficiente determinado es, en términos estadísticos, significativamente diferel1te de cero, como se espera sea el caso para la pendiente de la LMC, entonces si los resultados reales son de hecho significativos, nuevamente se puede decir que éstos son consistentes con la teoría. Tercero, puesto que el r'2 mide la bondad global del ajuste del modelo de regres~ón estimado, se puede decir que el modelo es satisfactorio si el valor de r'2 es razonablemente alto, digamos, alrededor de 0.8. Pero este eriterio no se debe ponderar demasiado, puesto que siempre se puede aumentar el r'2 éigregando al modelo variables explicativas adicionales. Por tanto, TABLASA Indice de compensación real (Y) e índice de productividad por hora (X), sector comercial, Estados Unidos, 1960 - 1983 Año
y.
r
Año
ya
1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971
69.5 71.4 73.8 75.6 78.4 80.1 83.3 85.3 88.3 89.7 90.8 92.8'
65.2 67.4 69.9 725 75.6 78.3 SO.8 82.6 85.3 85.5 86.2 89.3
1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983
95.7 97.3 95.9 96.4 98.9 100.0 100.8 99.1 96.4 95.5 97.3 98.4
r 92.4 94.8 92.5 94.6 97.6 100.0 100.5 99.3 98.8 100.7 100.9 103.7
Compensación por hora dividida por el índice de precios al consumidor para todos los consumidores, 1977 100. Producto doméstico bruto en dólares de 1972 por hora, para 100. todas las personas, 1977 Fuente: Economic Report of the President, 1985, tabla B-40, p. 278.
=
=
REGRESION CON DOS VARIABLES: ESTIMACION POR INTERVALOS Y PRUEBA
129
si los dos primeros criterios se cumple.n y r2 es razonablemente alto, todo está bien. Pero si se satisfacen los dos primeros criterios y el valor de r 2 es bajo, por ejemplo, menor que 0.6, no debemos desanimamos. De hecho posteriortnente dernostraremos que para series .de corte transversal con varios cientos de' observaciones se pueden obtener valores muy bajos para r 2 , pero encontrando también que los coeficientes estimados tienen el signo correcto y que un buen número de elfos son estadísticamente significativos y de acuerdo a las expectativas previas. Reiterando 10 anterior no debe exagerarse la importancia del criterio de un valor "elevado" de r 2 • Existen algunos criterios adicionales de evaluación que incorporaremos al análisis a medida que desarrollamos.el tema. 18 5.13 EJEMPLO ILUSTRATIVO: LA RELACION ENTRE SALARIOS Y PRODUCTIVIDAD EN LOS ESTADOS UNIDOS ENTRE 1960-83 La Tabla 5.4 presenta información sobre Y, el índice de compensación real por hora y X, el índice de productividad por hora, para el sector comercial de la economía de los Estados Unidos entre los años de 1960 y 1983. Puesto que se espera que la compensación real y la productividad estén relacionadas,19 se puede utilizar el siguiente modelo sencillo para averiguar hasta qué punto las dos variables están relacionadas;
y, = Pt + plX, + u,; Pl > O(a priori)
(5.13.1)
Al aplicar el método de MCO a los datos dados en la Tabla 5.4 obtuvimos los siguientes resultados:. (Véanse los resultados del programa estadístico SAS en el Apéndice SA. (Sección SA.3).
f, =
16.8978
+ 0.8254 X,
(3.3341)
(0.0375)
t = (5.0681)
(21.9956)
rl = 0.9566.
g del
= 22
(5.13.2)
F(1, 22) = 483.808
Al examinar los resultados observamos que el Pl estimado es positivo, de acuerdo con las expectatiYas previas. El coeficiente estimado de la intersección con el eje Y es positivo, lo cual implica que aunque la productividad sea cero, existen ingresos positivos. No obstante, como se mencionó en el Capítulo 3, ésta es una interpretación mecánica de la intersección con .el eje Y, y que en muchos casos no tiene una verdadera significación económica.
18 Por ejemplo, agregaremos el estadístico d de Durbin-Watson para evaluar la correlación serial cuando se sospeche que puede haber un problema de correlación~erial en los datos (véa$e Capítulq 10 pará mayores detalles). 1 9 Se puede invocar la teoría microeconómica de la productividad marginal aplicada a nivel macro o nacional, para hipotetizar una relación positiva entre las dos variables.
130
MODELOS UNlECUACIONALES DE REGRESION
. Volviendo a la significancia del coeficiente estimado para la pendiente, se puede observar que, puesto que el valor t de 21.996 es muy superior a nuestra regla "2-t", defmitivamente se puede rechazar la hipótesis nula de que no existe rela~ión entre los ingresos y la productividad. De hecho, si consultamos la Tabla t, vemos que para 22 g de 1, un valor t de 3.S()S o más es estadísticamente significativo a.IQs.niveles del 1% (con una cola) y 2% (con dos colas). En otras palabras, si la hipótesis nula "cero" fuera verdadera, la probabilidad de obtener un valor t de 3.505 o mayor sería muy pequefta. Por tanto, se puede rechazar la hipótesis nula, siendo muy pequefta la probabilidad de cometer el error de tipo 1. lO Consideremos cómo se aplicaría el análisis para la hipótesis Ho: Pl = 1.0, la cual implica que existe una relación uno a uno entre los ingresos y la productividad: si el índice de productividad aumenta en un punto, el de ingresos también aumenta en un punto. Se puede evaluar fácilmente esta hipótesis utilizando la Sección 5.3.2) t= =
0.8254 - 1 0.0375
-4.656
(5.13.3)
También podemos rechazar esta hipótesis nula, puesto que .el valor t estimado (en términos absolutos) excede la regla crítica "2-t". Al consultar la tabla, t, se verá que el valor t estimado es de hecho significativo al nivel del 1% (con una cola) o al 2% (2 colas). No obstante, la prueba de una cola es más relevante en este caso. (¿Por qué?) Por tanto, la conclusión global es que aunque P2 es mayor que cero, es, sin embargo, menor que 1; los salarios o ingresos y la productividad están relacionados positivamente, pero no a través de una relación l a 1. Obsérvese, a propósito, que el valor F de 483.808 es el cuadrado del valor t de 21.996, descontando los errores de aproximación. El valor del r l de 0.9566 implica que aproximadamente el 96% de la variación en los ingresos se explica por la variación en la productividad, lo cual es una explicación muy poderosa, considerando la simplicidad del modelo. En general, los resultados que hemos obtenido son bastante buenos, con base' en los criterios analizados en la sección 5.12. ¿Significa esto que nuestro modelo es satisfactorio? Por ahora, digamos que el modelo es consistente con la teoría de la productividad margínal. Posteriormente demostraremos que nuestros resultados pueden estar plagados de problemas de correlación serial. (Véase Capítulo 10).
20 Los valores t reportados en SAS y en otros programas de computación siempre suponen que la hipótesis nula es /12 = O. Por tanto, si usted desea evaluar cualquiera otra hipótesis nula debe calcular su propio valor t, lo cual puede hacerse fácilmente partiendo de la fórmula general (5.3.2) como se muestra a continuación.
REGRESION CON DOS VARIABLES: ESTIMACION POR INTERVALOS Y PRUEBA
131
5.14 RESUMEN Y CONCLUSIONES La estimación y la prueba de hipótesis constituyen las dos ramas de la esta. dística clásica. Habiendo analizado a fondo el problema de la estimación en los Capítulos 3 y 4, en el presente capítulo -consideramos el problema de la prueba de hipótesis. Enunciado en forma sencilla, la prueba de hipótesis está relacionada con la pregunta ¿es un determinado resultado, compatible con cierta hipótesis enunciada? Existen dos enfoques mutuamente complementarios para responder a esta pregunta: el intervalo de confianza y la prueba de significan cia. El concepto de la estimación por intervalos es la base del procedimiento del intervalo de confianza. Un estimador de intervalos, a diferencia de un estimador de punto, es un intervalo o rango construido de tal manera que tiene una probabilidad específica de incluir dentro de sus límites el verdadero valor del parámetro desconocido. El intervalo que se construye de esta manera se conoce como intervalo de confianza. Si el valor hipotético (nulo) del parámetro se encuentra dentro del intervalo de confianza, la hipótesis se puede aceptar; si éste cae fuera de este intervalo, la hipótesis se puede rechazar. Es decir, el intervalo de confianza proporciona un conjunto de hipótesis posibles sobre los valores de parámetros desconocidos. Dentro del procedimiento de la prueba de significancia, en lugar de construir un intervalo de confianza para el valor de un parámetro desconocido, desarrolla un estadístico o criterio de prueba y examina la distribución muestralque se encuentra bajo la hipótesis nula. El estadístico de prueba está basado generalmente en una distribución probabilística bien definida, ya sea normal, t o ji-cuadrado. El estadístico de prueba, calculado a partir de la muestra disponible, se compara con los valores críticos que se obtienen de la disfribucjón probabilística relevante. Si el estadístico de prueba calculado excede el valor crítico, la hipótesis nula se puede rechazar; en caso contrario, ésta se puede aceptar. Después de analizar la teoría en la que se fundamenta la prueba de hipótesis, consideramos diferentes aspectos prácticos sobre el tema en cuestión. Primero analizamos la regla empírica "2-t", la cual plantea que si los grados de libertad son razonablemente elevados, digamos de 20 o más y asumiendo un nivel de significancia del 5 %, se puede rechazar la hipótesis nula de que el verdadero coeficiente de la pendiente /32 ,es cero si el valor t estimado en términos absolutos, es superior a .2. En segundo lugar, anali~amos cómo se formulan las hipótesis para las pruebas estadísticas. Expectativas a priori o teóricas, trabajo empírico previo, o ambos, pueden utilizarse para formular las hipótesis. No obstante, independientemente del método, se hizo énfas~s en que el investighdor debe formular las hipótesis nula y alterna antes de realizar los cálculos estadísticos para evitar la tentación de formular las hipótesis después de examinar los resultados. En tercera instancia, consideramos el importante tema de cómo escoger el valor de IX, el nivel de significancia, la probabilidad de cometer el error de tipo 1. Se ha hecho algo común el procedimiento de utilizar en la práctica un nivel de significancia del 1% , del 5 % o, máximo, del 10%. Sin embargo, 110 se puede asegurar que esta escogencia de
132
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
la estadística clásica es arbitraria, ni se puede decidir verdaderamente el valor de a:, sin evaluar los costos involucrados al cometer los errores de tipos 1 y 11 a diferentes niveles de IX. Finalmente, observamos que un estimativo, a pesar de ser estádísticamente significativo, puede no serlo en la práctica. En este caso, también se deben evaluar las conseeuencias, por ejemplo, en términos monetarios, de no basarse sencillamente. en la significancia estadística de un estimativo, tema A.ue pertenece al campo de la teoría de las decisiones. En este capítulo consideramos también el enfoque del análisis de varianza en el análisis de regresión y mostramos la forma como complementa los procedimientos de intervalos de confianza y de pruebas de significancia con los que se efectúan las pruebas de 'hipótesis. Finalmente, demostramos cómo la línea de regresión muestral que se obtiene de los datos puede utilizarse para fmes de proyección. Se analizaron, igualmente, los problemas involucrados en la extrapolación de la línea de regresión muestral en forma indiscriminada.
EJERCICIOS 5.1. Con referencia al Ejercicio 3.11. (a) Calcule los errores estándar de las estimaciones de los parámetros y estime al. (b) Establezca intervalos de confIanza del 95% para Plo P2' Y (12. (e) Evalúe las siguientes hipótesis a un nivel de signrucancia del 5% (i) P2 = O, (ü) PI = O. (el) ¿Puede usted probar la hipótesis de que P1 = P2 = O simultáneamente, apli~do la prueba t? Si no es posible, explique por qué. (e) Haga una predicción de la tasa de variación promedio del cambio en los precios de las acciones, dada una tasa de variación en los precios al consumidor del 6%. Averigüe el error estándar de la predicción. (j) Haga una predicción de la tasa de cambio del precio individual de una acción, dado que la tasa de cambio en el precio al consumidor es del 6%. Averigüe el error estándar de la predicción. . (g) Evalúe la hipótesis de que pz = O utilizando la técnica del ADV. ¿Soporta la pruebaFla conclusión dada en (cXi)? Por qué? 5.2. La tabla del ADV para el Ejercicio 3.9 es la siguiente: Puente de wriaci6n
A
Debidas a la regresi6n 2.153 Debidas a losreslduos 1.144 Total
3.297
D
v
1 11
2.153 0.104
12
Con base en los datos anteriores, evalúe la hipótesis nula según la cual la tasa de retiro no está linealmente relacionada con la tasa de desempleo. 5.3. Para el ejemplo de salarios-productividad de la Sección 5.13 y basados en el resultado de la regresión reportado en(S.13.2), ¿puede usted llenar la tabla de ADV? ¿Qué información adicional necesita? Si se le dice que la suma de residuos al cuadrado SRC es 99.11, ¿le servirá de ayuda? Muestre los cálculos necesarios.
REGRESION CON DOS VARIABLES: ESTIMACION POR INTERVALOS Y PRUEBA
133
5.4. Dada la "regresión consumo de café/precio, ecuación (3.7.1.). evalúe la hipótesis de que para el período 1970-1980 no hubo relación entre el consumo y el precio del café en los Estados Unidos. Utilice el nivel de significancia del 5%. ¿Utilizaría usted la prueba de una cola, o la de dos colas? ¿Por qué? 5.5. Refiérase al Ejercicio 3.12 y evalúe la hipótesis de que 112 > 0, para las regresiones del PNB tanto en términos corrientes como constantes, 5.6. Refiérase al Ejercicio 3.13. Prepare la Tabla de ADV para evaluar la hipótesis de que los cambios en la oferta monetaria no tienen ningún efecto sobre el lPe. 5.7. Con referencia al Ejercicio 3.18, . (a) ¿Existe alguna relación entre la propiedad de aparat.Qs telefónicos y el PDB per eápita en Singapur para el período 1960-1981? (b) Suponiendo que el PDB real per eápita en 1982 fue de US$5,752, ¿cuál es el valor promedio estimado de Y, el número de teléfonos por cada población de 1000 personas para ese afio? Establezca un intervalo de confianza del 95% para esta estimación. 5.8. Remítase al Ejercicio 1.1, para cada país que aparece allí, ajuste el siguiente modelo: y, = 111 + 112 X, + u, donde Yt = tasa de inflación en el período t, Xt = tiempo, tomando valores de 1, ~ oo. 21, YUt = término de perturbación estocástica. (a) ¿A qué conclusiones generales puede usted llegar sobre el comportamiento de la inflación en cada país? (b) Para la regresión de cada país, evalúe la hipótesis de que 112, el coeficiente de tendencia, es mayor que cero: (Utilice un nivel de significancia del 5%). 5.9. Continúe con los datos del Ejercicio 1.1. y estime la siguiente regresión: Y¡, =
111 + 112 X, + u,
donde Y it = tasa de inflacion en el país i, donde i corresponde a Gran Bretaña, Japón, Alemania o Francia, y X t = tasa de inflación para los Estad'os Unidos. (a) Para cada una de las cuatro regresiones, ¿existe alguna relación entre la tasa de inflación de ese país y la tasa de inflación en los Estados Unidos? (b) ¿Cómo evaluaría usted formalmente esta relación? (e) ¿Se puede utilizar el modelo para predecir la tasa de inflación en los cuatro pal~(ls después de 1980? ¿Por qué sí o por qué no? 5.10. En la siguiente tabla. se presenta informacion sobre el PNB y cuatro definiciones de la masa monetaria para los Estados Unidos entre 1970 y 1983.
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
134
El PNB Ycuatro medidas de la masa monetaria Medida de la masa monetaria ($ miles de millones)
PNB ($ miles de
Año
millones)
1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983
997.2 1077.6 1185.9 1326.4 1434.2 1549.2 1718.0 1918.3 2163.9 2417.8 2631.7 29S7.8 3069.3 3304.8
MI
M2
M3
L
216.6 230.8 2S2.0 26S.9 277.6 291.2 310.4 33S.4 363.1 389.1 414.9 441.9 480.S S2S.4
628.2 7128 8OS.2 861.0 908.S 1023.3 1163.6 1286.7 1389.1 1498.S 16326 1796.6 1965.4 2196.3
677.5 776.2 886.0 985.0 1070.5 1174.2 1311.9 1472.9 1647;1 1804.8 1990.0 2238.2 2462S 2710.4
816.3 903.1 1023.0 1141.7 1249.3 1367.9 IS16.6 1704.7 1910.6 2117.1 2326.2 2S99.8 2870.8 3183.1
Definiciones MI = Efectivo + depósitos en cuenta corriente + cheques viajeros y otros depósitos en cheque. M, = MI + transacciones de recompra entre bancos y eurodólares + Saldos MMF + MMDA + ahorros y pequelios depósitos. M, = . M2 + depósitos a largo plazo + transacciones de compra a largo plazo + MMMF institucional. M, + otros activos líquidos L
=
Fuente: Economic Report o[ the. President, 1985, Datos del PNB de la tabla B-1, p. 232; los datos sobre agregados monetarios provienen de la tabla B-61, p. 303.
Al hacer regresiones del PNB con respecto a las diferentes definiciones de dinero, obtuvimos los resultados que aparecen en la tabla a continuación: Regresiones para el PNB - agregados monetarios, 1970-1983 1) PNB. = -787.4723 + (77.9664) 2) PNB. = -44.0626 + (61.0134) 3) 'PNB. = 159.1366 + (42.9882) 4) PNB. = 164.2071 + (44.7658)
8.0863 MI. (0.2197) 1.S87S M 2 • (0.0448)
1.2034 M3. (0.0262) 1.0290 L. (0.0234)
,2 = 0.9912 ,2 = O.990S
,2 = 0.9943 ,2 = 0.9938
Nota: Las cantidades entre paréntesis corresponden a los errores estándares estimados.
Los monetaristas afmnan que el ingreso nominal (esto es, el PNB nominal) se determina principalmente por cambios en la masa monetaria, aunque no existe un consenso con respe~to a la definición "correcta" del dinero. Dados los resultados en la tabla anterior: (a) ¿Cuál defmición monetaria parece estar más relacionada con el PNB nominal?
135
REGRESION CON DOS VARIABLES: ESTIMACION POR INTERVALOS Y PRUEBA
r
(b) Puesto que los son unifonnemente altos, ¿significa esto que no jmportacuál defmici6n del dinero se escoja? (e) Si el Banco de la Reserva Federal (de los .Estados Unidos) desea controlar la oferta de dinero, ¿c~ de estas m~didas monetarias es más adecuada para tal propósito? ¿Puede usted obtenerla basándose en los resultados de regresión?
5.11. R.A. Fisher ha derivado la distribución muestral del coeficiente de correlación defi· nido en (3.5.10). Si se' alpone que las variables X y Y poseen una distribución nor· mal conjunta, es dedr •. ".provienen de una distribución nonnal bivariada (véase Apéndice 4A, Sección 4A.1. Ejercicio 4.1), entonces bajo el supuesto de que el'coe· ficiente de correlación pob1acional es cero, se puede demostrar que t - , -.2/ sigue la distribución t de Student con N - 2 g de 1.· Demuestre que este valor tes idéJ;lüCO al valor t dado en (5.3.2) bajo la hipótesis nula de que 1J2 - o. Por tanto, establezca que, bajo la misma hipótesis nula, F t 2 • (Véase Secci6n·S.9). 5.12. Suponiendo que la ecuación de una curva de indiferenc~ entre dos bienes es
JN
JI=?
=
X, y, = P1 + P2 X, ¿Cómo estimaría los parámetros de este modelo? Aplique el modelo anterior a los siguientes. datos y comente acerca de lo.resul· tados: Consumo del bien X:
1
2
3
4
5
Consumo del bien Y:
4.
3.5 2.8 1.9 0.8
5.13. La línea de mercado de capital (LM'C) de la teoría del portafolio·· p~tu1auna rela· ción lineal entre el retomo o rendimiento esperado y el riesgo (medido por la desviación estándar) pita portafolios eficientes, así: E, = P1
+ P2(J,
donde El = rendimiento esperado del portafolio i y (J, - desviación ell'tándar de rendimiento. Se cuenta con la siguiente infonnación sobre el rendimiento esperado y la desviación estándar del mismo para los portafolios de 34 fondos mutuos de in· versión en los Estados Unidos para el período 1954·1963. Verifique hasta qué punto las cifras. respaldan la teoría.
• Si de hecho es cero, Fisher ha demostrado que r posee la misma distribución t, dado que X o Y ten gan una distribución normal. Pero si p no es igual a cero, ambas variables deben tener una distribución normal. ' •• Véase William F. Sharpe, Portlolio Theory and Capital Markets, McGraw·Hill Book Company, New York, 1970, p. 83. -
138
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
COMPORTAMIENTO DE 34 FONDOS MUTUOS DE INVERSION,1954-1963 DeBYiadón estándu del rendimiento anual promedio %
Rendimiento anual promedio % Affiliated Fund American Business Shares Axc-Houghton. Fun4 A Axc-Houghton. Futld B Axc-Houghton. Stock Fund Boston Fund Board Strcet Investing Bullock Fund Commonwealth Investment. Company Dclaware Fund Dividend Shares Eaton and Howard Balanced Fund Baton and Howard Stock Fund Eq¡Pty Fund Fidelity Fund Financial IndustriaL Fund Fundamental Investors Group Securities. Common Stock Fund Group Securities. Fully Administered Fund Incorporated Investors Investment Company of America Investors Mutual Loomis·Sales Mutual Fund Massachusetts Investors Trust Massachusetts Investors--Growth Stock National Investors Corporation National Securities-Income Series New .England Fund Putnam Fund of Boston Scudder, Stevens & Oark Balanced Fund Selccted American Shares . United Funds-Income Fund Wellington Fund Wisconsin Fund
14.6 10.0 10.5 120 11.9 12.4 14.8 15.7 10.9 14.4 14.4 11.0
15.3 9.2 13.5 16.3 15.6 12.1 16.8 19,3 13.7 21.4 15.9
U.9
15.2
19,2
14.6 16.4
18.7 23.5 23.0 21.7 19.1 14.1 25.5 21.8 125 10.4 20.8 22.7 19.9 17.8 10.2 16.0 13.3 19.4 20.9 12.0 16.9
14.S
16.0 15.1 11.4 14.0 17.4 11.3 10.0 16.2 18.6 18.3 12.4 10.4 13.1 10.7 14.4 16.1 11.3 13.8
Fuente:' William F. Sh arp e , "Mutual Fund Performance". Joumal 01 Business, suplemento, enero, 1966, p. 125.
5.14. Suponienao que el nivel de significancia se Lija a un nivel del 0.01, ¿qué valor t propondría usted si tuviera 20 g de 1 Ó más para evaluar las hipótesis? (a) H O:Pl=O;H 1 :Pl"#O
\b) H O :Pl=O;H 1 :Pl>O .
5.15. ¿Se puede expresar la ecuac1ón (5.9.1) como F
=
(N - 2)r"
(1 _ r")
REGRESION CON DOS VARIABLES: ES1IMACION POR INTERVALOS Y PRUEBA
¿ ef = (1 -
r2 ) ¿
137
¿
y r2 = ~ xf I¿ yf) ¿Qué ventajas se tienen al expresar F de esta forma? 5.16. La ecuación (5.3.5) se puede expresar también como;
(Sugerencia:
t>r [l1z -
t./ 2 se (/12)
yf
< fJz < 112 + t./ 2-se (112)]
= 1-
IX
lo cual implica remplazar la desigualdad débil (:5:) por la desigualdad fuerte ¿Porqué? .
«).
5.17. Utilicemos el ejemplo ilustrativo consumo-ingreso mencionado en este capítulo. Obsérvese que no podemos escribir:
Pr (0.4268 :5: fJ2 :5: 0.5914) = 0.95 pero, si fJz = 0.3" podríamos decir que Pr (0.2177 :5: 112 :5: 0.3823) = 0.95 ¿Por qué? ¿Existe alguna diferencia clave entre los dos enunciados? 5.18. Si fJz = O , demuestre que F¡.k =
t¡ (teorema 5.6.)
[Sugerencia: comience con (5.9.1) y recuerde (5.3.2)]. 5.19. Lo que se conoce como [(nea caracterz'stica del análisis de inversión moderno es simplemente la línea de regresión obtenida del siguiente modelo: r¡1
donde
= C1.¡
+ fl¡r ml + U,
'¡, = tasa de retorno del iésimo título valor en el período t
tasa de retorno del portafolio del mercado en el período t término de perturbación estocástica En este modelo, Pi se conoce como coeficiente beta del iésimo título valor como medida del riesgo en el mercado (o riesgo sistemático) de un título valor. * Con base en 240 tasas de retorno mensuales para el período 1956-1976, Fogler y Ganapathy obtuvieron la siguiente línea característica para las acciones de IBM en relación con el índice de portafolio desarrollado en la Universidad de Chicago:** 'mI U,
= =
'¡, =
0.7264 (0.3001)
+
1.{)598 (0.0728)
'mI
,2 = 0.4710
df = 238
F 1.238 = 211.896
(a) Cuando un título valor tiene un coeficiente Beta mayor que 1, se dice que es volátil o que es un valor agresivo. ¿Fueron las acciones de IBM valores volátiles en el período de tiempo bajo estudio? (b) ¿Es el coeficiente de intersección con el eje Y significativamente diferente de cero? Si lo es, ¿cuál es su significado práctico?
* Véase
Haim Levy y Marshall Sarnat, Portfolio and Investrrrent Selection: Theory and Practice. Prentice-Han International, Englewood CHffs, N.J., 1984, Cap. 12 . .. H. Russell Floger y Sudaram Ganapathy, Financial Econometrics. Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1982, p. 13.
138
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
APENDICESA SA.1 DERIVAClON QE LA ECUACION (5.3.2) \ Sea (1)
y
(2)
Dado que el valor de (1 es conocido, Z 1 posee una distribución nonnal estandarizada; es decir, ~ - N (0,1). (¿Por qué?) Za tiene una distribución X2 con (N - 2) g de 1. (rara una prueba, véase nota de pie de página No. 9). Además, se puede demostrar que Z2 tiene una distribución independiente de Zl • . Por tanto, en virtud del teorema 5.4, la variable t=
tiene una distribucion t con N obtiene (5.3.2).
~
Zl.;N=2
.¡z;
(3)
2 g de 1. Remplazando (1) y (2) en (3) se
5A.2 DERIVACION DE LA ECUACION (5.9.1) La ecuación (1) muestra que Z1 - N (0,1). Por tanto, 5.2, la cantidad anteriqr
sigue una distribución X2 con 1 g de 1. Como se menciono en la Sección SAJ,
también posee una distribución X2 con N - 2 g de 1. Además, como se mencionó enla Sección 4.3, Z" está distribuido independientemente de Z1' Entonces, al aplicar el teorema 5.5, tenemos que F
=
ZVl Z 2/(N - 2)
= (P2 -
P2)2(¿
L ef/(N -
x~) 2)
• Para una prueba, véase J. Johnston, Op. cit., pp. 181-182. (Se necesita tener conocimientos de álgebra matricial para seguir la prueba).
139
REGRESION CON DOS VARIABLES: ESTIMACION POR INTERVALOS Y PRUEBA
sigue una distribución F con 1 y N - 2 g de 1, respectivamente. De acuerdo con la hipótesis nula .Ho: P2 = O , la anterior razón F se reduce a la ecuación
(5.9.1). 5A.3 SAS OUTPUT OF UNITED STATES W AGES-PRODUCTIVITY REGRESSION (5.13.2) DEP VARIABLE: Y
DF
SOURCE
1
MODEl ERROR TOTAL
22 23
Roor
MSE OEP MEAN C.V.
VARIABLE
DF
INTE~CEP
·1
X
SUM OF SOUAAES
MEAN SQUARE
F VALUE
PROS> F
2179.57536 99.11087 '2278.68623
2179.57536 4.50504
483.8083
0.0001
2.122508
R-SOUARE 89.654167 2.367439
0.9566 ADJ R-SO
0.9546
PARA METER ESTIMATE
STANDARD ERROR
T FOA HO: PARA METE A =
16.8978 0.8254
3.3341 0.0375
5.0681 21.9956
o
0.0001 0.0001
COVARIANCE OF ESTIMATES
cove INTERCEP X2
INTERCEP 11.11622 -0.122308
X2 -0.122308 0.0014062
oes
y
X2
YHAT
YRESID
1 2
69.5 71.4 73.8 75.6 78.4 SO. 1 83.3 85.3
65.2 67.4 69.9 72.5 75.6 78.3 SO.8 82.6 85.3 85.5 86.2 89.3 92.4
70.7116 72.5274 74.5909 76.7368 79.295481.5239 83.5873 85.0730 87.3015 87.4668 88.0443 90.6029 93.1616 95.1425 93.2441 94.9774 97.4535
-1.21163 -1.12744 -0.79085 -1.13680 -0.89543 -1.42392 -0.28733 0.22701
3 4 5
6 7 8
9
88.3
10 11 12 13 14
89.7
15
95.9
16 17 .18
96.4 96.9 l00.Q
19 20
100.8 99:1
21
22 23 24
90.8 92.8 95.7 97.3
94.8 92.5 94.6 97.6 100.0
100.5
99.4343
96.4 95.5 97.3
99.3 98.8 10().7 100.9
99.a.70 98.8566 98.4439 100.012 100.1n
98.4
103.7
102.488
OURBIN-WATSON d
PROS> ITI
0.99852 2.23345 2.75570 2.19706 . 2.53842 '2.15755
2.65589 1.42263 1.44653 0.56565 0.95297 ').24340 -2.04391 -4.51210
-2.87718 -4.08820 0.239T
CAPITULO
6
EXTENSIONES DEL MODELO DE REGRESION LINEAL CON DOS VARIABLES
Existen algunos aspectos del análisis de regresión lineal que se pueden introducir fácilmente dentro del marco del modelo de regresión lineal con dos variabies, que hemos estudiado hasta ahora. En primer lugar, consideramos el caso de la regresión a través del origen, situación en la cual el término de la intersección con el eje Y, PI' no aparece en el modelo. A continuación consideramos el tema relacionado con las unidades de medición, es decir, la manera como se miden las variables Y y X Y si un cambio en las unidades de medición afecta los resultados d.e la regresión. Finalmente, consideramos el tema de la forma funcional de 1,In modelo de Tegresión lineal. Hasta ahora hemos considerado modelos que' son lineales tanto en los parámetros como en las variables. Sin embargo, recordemos que la teoría de regresión desarrollada en los capítulos anteriores solamente requiere que los parámetros sean lineales; las variables pueden o no entrar linealmente en el modelo. En este eapítulo, al considerar modelos lineales en los parámetros, pero no necesariamente en las variables, ilustramos cómo los modelos con dos variables pueden utilizarse en ciertos problemas prácticos interesantes. Después de comprender las ideas que introducimos en este capítulo, su aplicación en los modelos de regresión múltiple es bastante clara. 140
EXTENSIONES DEL MODELO DE REGRESION LINEAL CON DOS VARIABLES
141
6.1 REGRESION A TRAVES DEL ORIGEN Existen situaciones en que la FRP de dos variables toma la siguiente fonna: (6.1.1)
En este modelo, el ténnino de intersección con el eje Y no existe o es cero, recibiendo, por tanto, el nombre de regresión a r;avés del origen. Como ilustración, consideremos el modelo de cotización de activos de capital (MCAC) de la teoría moderna del portafolio, el cual, se puede expresar com0 1 (ER¡ - TI) = p~ER", - TI)
donde:
(6.1.2)
retomo esperado de la inversión para el título valor i. ER", = retomo esperado de la inversión sobre el portafolio de mercado, representado, por ejemplo, el índice de acciones compuesto S &P 500 TI = retomo en la inversión libre de riesgo, por ejemplo, el retomo sobre bonos del tesoro federal a 90 días en los Estados Unidos p¡ = el coeficiente p o la medida del riesgo sistemático que no se puede elim~ar a través de la diversificación. Además, una medida del grado en que el retomo. en la inversión deliéSImo título valor se mueve con el mercado. Un P, > 1 implica.un título valor agresivo o volátil, mientras que p¡ < 1 .implica un título valor conservador. (Nota: No confunda éste con el coeficiente de la pendiente de la regresión de dos variables, P2') ER, =
Si los mercados de capital funcionan eficientemente, entonces el MCAC postula que el premium diferencial de riesgo espérado para el valor i ( = ER¡ - TI) es igual al coeficiente P del título valor multiplicado por el premium diferencial de riesgo esperado en el mercado ( = ER", - TI)' Si lo anterior es válido, se tiene la situación ilustrada en la Figura 6.1. La línea que se muestra en la figura se conoce como linea del mercado de títulos valores (LMV). Para propósitos empíricos, (6.1.2) comúnmente se expresa como R¡ - T¡ =P~R", - T¡)
o
R¡ - TI =
(X¡
+ p~R", -
+ U¡ TI)
(6.1.3)
+ U¡
(6.1.4)
Este último modelo se conoce como modelo del mercado. 2 Si el MCAC es válido, se espera que «¡ sea éero. (Véase Figura 6.2).
1 YIae, por ejemplo, Diana R. Hatrington, Modern Portfolio Theory and the Capital Asret Pricing . Prentice-Halllntemational, Englewood Cliffs, N.J., 1984, Cap. 14.
2 Yhue, por ejempli. Diana R. Hatrlngton, Modem Portafolio Theory and the Capital Asset Pricing Modd: A U,er', Guille, Prentice· Hall,lnc., Englewood Cliffs, N.J., 1983, p. 71.
142
MODELOS UNIECUACrONALES DE REGRESION
-------------(3/
O
FIGURA 6.1
Riesgo sistemático
A propósito, en la ecuación (6.1.4) la variable dependiente Y es (R¡ - r,) Pi' el coeficiente de volatilidad y no (R m - r¡).
y la variable explicativa X es
Por tanto, al calcular la regresión (6.1.4) se debe estimar primero PI' cuyo valor se estima a partir de la Unea característica tal como se describe en el Ejercicio 5.19. Como muestra este ejemplo, en ocasiones la teoría dicta que el téI1nino de la intersección de las ordenadas con el eje Y no esté presente en el modelo. Otros casos en que un modelo donde la intersección con el eje Y es cero puede ser el adecuado, son el modelo de Milton Friedman de la hipótesis del ingreso permanente, el cual enuncia que el consumo permanente es proporcional al ingreso permanente. Otros casos similares son el de la teoría de análisis de costos, donde se postula que el costo variable de produ~ción es proporcional al nivel de producción, y algunas versiones de la teoría monetarista R/-r,
--------i4I~------- (3/
Riesgo sistemático
FIGURA 6.2 El modelo del mercado para la teoría del portafoDo.
EXTENSIONES DEL MoOl:LO DE REGRESION LINEAL CON DOS VARIABLES
143
que enuncian que la tasa de cambio de los precios (esto es, la tasa de inflaci6n) es proporcional a la tasa' de cambio de la oferta monetaria. ¿C6mo estimamos modelos como (6.1.1) Y qué problemas especiales presentan? Para responder a estos interrogantes, primero escribamos la FRM de la ecuación (6.1,.1), (6.1.5)
Aplicando ahora el método de MeO a la ecuaci6n (6.1.5) obtenemos las siguientes f6rmulas para P2 v su varianza. (Las demostraciones se encuentran en el Apéndice 6A, Sección 6A.l): (6.1.6) (6.1.7)
donde
(12
se estima por medio de (6.1.8)
Es interesante comparar estas fórmulas con las obtenidas cuando el término de irltersección con las órdenes se incluía en el modelo:
6_~ ~ 2
P2 -
(3.1.6)
t...X, (12
Var
2
(3.3.1)
L.. X,
A2 (1
_.I.E. N-2
-
(3.3.5)
Las diferencias. entre los dos grupos de f6rmulas deben ser obvias: en el modeló donde está ausente la intersección con el eje de las ordenadas, utilizamos sumas de cuadrados y productos cruzados. Sin embargo, en el modelo donde está presente la intersecci6n utilizamos sumas de cuadrados ajustadas (desviaciones del promedio) y productos cruzados ajustados. En segunda instancia, los g de 1 para calcular son (N - 1), en el primer caso, y (N - 2) en el segundo. (¿Por'qué?) Aunque el modelo sin intersección o con cero intersecci6n con el eje y puede 'ser adecuado en algunos casos, es necesario mencionar ciertas carac- , terísticas de este modelo. Primero, L e" que siempre es cero para el modelo con el término de intersección presente (el modelo convencional), no necesariamente es cero cuando dicho término está ausente. En resumen, L el no es necesariamente cero para la regresión a través'del origen. En s~gundo lugar
144
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
el coeficiente de detenninación,2 introducido en- el Capítulo 3, que siempre es positivo para el modelo convencional, puede en algunos casos tornarse negativo para el modelo sin intersección. Este anómalo resultado se presenta depido a que el r2 que se introdujo en el Capítulo 3 asume explícitamente que la intersección está incluida en el modelo. Por tanto, el r 2 calculado convencionalmente puedé no ser adecuado para los modelos de regresión a través delorigen. 3 Debido a estas características especiales del modelo se debe tener una gran precaución al utilizar el modelo de regresión con intersección igual a cero. A menos que existan muy fuertes expectativas a priori, es conveniente aferrarse al modelo convencional que incluye la intersección. Lo anterior tiene una doble ventaja. Primero, si el término de la intersección está incluida en el modelo pero resulta ser estadísticamente no significativo (es decir, estadísticamente igual a cero), para todos los fmes prácticos tenemos un modelo de regresión a través del origen. 4 Segundo, y más importante aún, si de hecho existe una intersección con el eje Yen el modelo pero insistimos en ajustar una regresión a través del origen, estaríamos cometiendo un e"or de especificación, violando por consiguiente el supuesto 5 del modelo de regresión lineal clásico. Ejemplo ilustrativo: La línea característica de la teoría del portafolio La Tabla 6.1 presenta información sobre las tasas anuales de retomo sobre la inversión en el fondo Afuture, un fondo mutuo de inversión cuyo objetivo fundamental es generar la ganancia máxima sobre el capital. La tabla muestra igualmente la tasa anual de retomo del portafolio del mercado, medida a través del índice de Fisher para el período 1971-1980. . En el Ejercicio S.19 introdujimos la línea caracteristica del análisis de inversiones, lo cual puede expresarse como: Y; =
/X¡
+ p¡X¡ + U i
(6.1.9)
donde Y; = tasa anual de retomo en la inversión (%) del fondo Afuture Xi = tasa anual de retomo en la inversión (%) del portafolio de mercado Pi = coeficiente de la pendiente, también conocido como coeficiente Beta en la teoría del portafolio y /Xi
/Xi'
=
la intersección
En la literatura correspondiente no existe un consenso sobre el valor a prion' Algunos resultados empíricos han demostrado que es positivo y estadísticamente
3 Para un análisis más detallado, véase Dennis J. Aigner, Basie Eeon om e tries, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1971, pp. 85-88.
4 Henry Theil hace énfasis en que si en realidad está ausente la intersección, el coeficiente de la pendiente se puede estimar con una mayor precisión que para el caso en que el término de la intersección quede incluido en el modelo. Véase su texto Introduetton to Eeonometries, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs: N.J., 1978, p. 76. También, véase el ejemplo numérico dado a continuación.
146
EXTENSIONES DEL MODELO DE REGRESION LINEAL CON DOS VARIABLES.
de.
significativo, mientras que otros han demosu.do que no es el punto de vista estadístico sjgnificativamente diferente de cero; ea este últimocaao. podríamos expresar el modelo como: 1, -
/I,X , +"1
(6.1.10)
es decir, una regresión a través del origen. Si decidimos usar el modelo (~:1.1) obtenemos los siguientes resultados de regresión. (Véase el listado SAS, en el Apéndice 6A, Sección 6A.2).
1. -
1.0899 X, (0.1916)
t -
(6.1.11)
(5.6884)
lo cual muestra que /1, es sjgnificativamente ntáYor Que cero: La interpretación del anterior resultado es que un aumento de 1w. en la tasa de retomo del mercado implica, en promedio, un aumento de aproximadamente 1.09 w. en el retomo de la inversi6n para el fondo Afuture. ¿Cómo podemos estar seguros de que es el modelo (6.1.1) y no el (6.1.9) el adecuado, en vista del hecho de que no existe una certidumbre a priori en la hipótesis de que tX, es en efecto igual a cero? Esto se puede verificar llevando a cabo la ,regresión (6.1.9). Utilizando la infonnaci6n dada en la Tabla' 6. 1 obtuvimos los siguientes resultados: TABLA 6.1 Tasas anuales de retomo en la imersi6n anual (%), Fondo Afuture e Indice de Fisher (portafolio de mercado), 1971-1980 Retomo en la inversión Retomo en la iDwni6n para el fondo Afuture 'lb para el índice ele Filher % , Afto (Y)
1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980
(X)
67.5 19.2 -35.2 -42.0 63.7 19.3 3.6 20.0 40.3 37.5
19.5 8.5 -29.3 -26.5 61.9 t 5.5 9.5 14.0 35.3 31.0
Fuente: HIIm Levy Y MenJWl Samat, Portlolio and Inve8tment Selection: Theory and Prac· tice, Prentlce-Ha1l lntemational, EllJIewood CUffa, N.J., 1984, p. 730 Y p. 738. Los autores obtuvieron estos datos de Welsenber¡ Investment Servlce. Inve8tmmt Compantes, edici6n de 1981.
146
M.ODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
TABLA 6.1
.
Jnversi6n doméstica privada bruta (lDPD) y el producto nacional bruto (PNB) en d61ares de 1972, Estados Unidos, 1974-1983
Aio
1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983
PNB(mBesde IDPB(mBesde IDPB (~nes dones de milloneade d61aresde de d6lares dÓiare8 de 1972) de 1972) 1972)
195.5 154.8 184.5 214.2 236.7 236.3 208.5 230.9 194.3 221.0
195,500 154,800 184,500 214,200 236,700 236,300 208,500 230,900 194,300 221,000
1246.3 1231.6 1298.2 1369.7 1438.6 1479.4 1475.0 1512.2 1480.0 1534.7
PNB (mB1ooes ded6luesde
1972) 1,246,300 1,231,600 1,298,200 1,369,700 1,438,600 1,479,400 1,475,000 1,512,200 1,480,000 1;534,700
Fuente: Economlc Report ofthe Presldent, 1985, p. 234 (para los datos expresados en mUes de millones de dólares).
r. = 1.2797 + 1.0691 XI (7.6886) (0.2383)
t
= (0.1664)
(6.1.12)
(4.4860)
A partir de estos resultados se puede aceptar la hipótesis de -que la intersección verdadera no es (estadísticamente) diferente de cero, justificando así la utilización de (6.1.1) 10 cual implica que la regresión pasa a través del origen. Nótese que no existe una gran diferencia entre los resultados de (6.1.11) y los de (6.1.12), aunque el error estándar estimado de P es ligeramente inferior para el modelo de regresión a través del origen, apoyando así el argumento de Theil dado en la función 4, de que si 11.¡ es en efecto cero, el coeficiente de la pendiente se puede medir con mayor precisión: utilizando los datos de la Tabla 6.1 y los resultados de la regresión, el lector puede verificar fácilMente que el intervalo de confianza del 95 % para el coeficiente de la pendiente del modelo de regresión a través del origen es (0.6566, 1.5232) mientras que para el modelo (6.1.2) dicho intervalo es (0.5381, 1.6081), hecho que implica que el primer intervalo de confianza es más estrecho que el segundo.
6.2 ESCALAS Y UNIDADES DE MEDICION Para comprender las ideas desarrolladas en esta sección, considérense los datos de la Tabla 6.2. La información presentada allí se refiere a la inversión doméstica privada bruta en los Estados Unidos (lDPB) y el producto nacional bruto (PNB) en dólares de 1972 para el período 1974-1983. En la columna (1) se encuentran los datos sobre la IDPB en miles de millones de dólares, mientras que en la columna (2) se presentan los datos en millones de dólares. En .las
EXTENSIONES DEL MODELO DE REGRESION LINEAL CON DOS VARIABLES
147
columnas 3 Y 4 se muestran los datos sobre el PNB en miles de millones de dólares, y en millones de dólares respectivamente. Suponiendo que en la regresión de la IDPB en el PNB un investigador utiliza l()s datos expresados en miles de millones de dólares, mientras que otro utiliza los datos sobre estas variables, medidos en millones de dólares, ¿serán los resultados de las dos regresiones, iguales en ambos casos? Si no es así, ¿cuáles resultados se deben utilizar? En resumen, ¿afectan de alguna manera los resulta.dos de la regresión las unidades en que se miden las variables y y X? Si es así, ¿qué se debe hacer al escoger las unidades de medición en el análisis de regresión? Para responder a estos interrogantes, procedamos en fonna sistemática. Sea
(6.2.1) donde Y = IDPB Y X Definamos
= PNB~ (6.2.2) (6.2.3)
donde w, . y W2 son constantes denom.iandas factores de escala; Wl puede o , no ser igual a W2 • Partiendo de (6.2.2) y (6.2.3), és claro que n y Xr corresponden a Y i y a Xi reesc(l/adas. Es decir, que si Y , y X, se miden en miles de millones de dólares y se desea expresarlas en millones de dólares, tendremos que yr = 1000 Y , YXr 1000 X,; en este caso, Wl =W2 = 1000. COflsideremos ahora la regresión en donde se utilizan las variables yry
=
(6.2.4) donde yr = w1l'í, Xr = W2 X ¡ yer = W1 e¡ (¿Por qué?) Queremos encontrar la relación entre: 1.
P1 P2
Y PT
2. Y P! 3. var (p 1) Y var 4. var
s. ¡,2 y &.2 6.
r", y r,..,. 2
2
A partir de la teoría de los mínimos cuadrados sabemos que (Véase Capítulo 3) . (6.2.5)
8_~ ~ 2
#12 -
i... X¡
(6.2.6)
148
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
(6.2.7) (6.2.8) (6.2.9)
y
Aplicando el método de MeO a la ecuación (6.2.4) obtenemos en forma similar:
fJT = y* R* _
fJ~X*
"Le Xi*Yi*
L Xi2 2 R* L. Xi *2 var (p¡) = N L. xt2 . (1
(6.2.10) (6.2.11)
1'2 -
(1*2
var (fJ!)
="
(6.2.13)
*2
LXi
*2 _ (1
(6.2.12)
-
"~ e~2 , (N _ 2)
(6.2.14)
A partir de estos resultados se puede establecer fácilmente la relación existente entre los dos grupos de estimaciones de los parámetros. Todo lo que se debe hacer es recordar las relaciones de definición Yi = W 1 Y¡ (o Yi = W1Y.); Xi , = w2 X¡ (o xi = w2 xJ; ei = w 1e¡; y* =w 1 YyXt = w 2 X. Utilizando estasdefiniciones,,' el lector puede verificar fácilmente que
(::)112 fJT = W1P1
(6.2.15)
= W~U2
(6.2.17)
fJ!
(1*2
=
(6.2.16)
var (fJT) = w~ var
--
(::Y 2 r x*y"
var
(6.2.18)
(112)
(6.2.19) (6.2.20)
De los anteriores resultados debe quedar claro que, dados los resultados de una regresión con base en una escala de medición, se pueden derivar los resultados con base en otra escala, una vez que los factores de escalamiento, los w, se conozcan. No obstante, en la práctica se deben escoger cuidadosamente las unidades de medición. No tiene mucho sentido utilizar una gran.
EXTENSIONES DEL MODELO DE REGRESION LINEAL CON DOS VARIABLES
149
cantidad de ceros para expresar los números en millones o en miles de millones de dólares. A partir de los resultados dados desde (6.2.15) hasta (6.2.20), se pueden derivar fácilmente algunos casos especiales. Por ejemplo,si W 1 = W2' es decir, que los factóres de escalamiento son iguales, el coeficiente de la pendiente y su error estándar no se ven afectados cuando se pasa de (Yi , Xi) a (Yi , Xi), 10 cual debe ser intuitivamente claro. No obstante, la intersección y su error estándar se ven multiplicados por Wl. Sin embargo, si la escala X no cambia (es decir, W2 = 1), mientras que la escala Y cambia en un.factor igual a w 1 , los coeficientes de la pendiente y de la intersección y de sus respectivos errores estándar se multiplican todos por el mismo factor W 1 • Finalmente, si la escala Y no sufre ningún cambio (Wl = 1), pero la escala X cambia en un factor W2' el coeficiente de la pendiente y su error estándar se multiplican por el factor (l/w2)' pero el coeficiente de la intersección y su error estándar no se ven afectados. Sin embargo, se debe observar que la transformación de la escala (Y, X) a la escala (Y*, X*) no afecta las propiedades de los estimadores de MeO analizados en los capítulos anteriores. Ejemplo numérico: la relación entre la IDPB y.el PNB en los Estados Unidos, 1974-1983 Para suStentar los anteriores resultados teóricos, regresemos al ejemplo de la Tabla 6.2 y examinemos los siguientes resultados de regresión. (Las cantidades entre paréntesis corresponden a los errores estándar estimados). La IDRB Y el PNB en miles de millones de dólares: IDPBt
= -37.0015205 + 0.17395 PNBt
(6.2.21)
(76.2611278) (0.05406)
r' = 0.5641
Tanto la IDPB como el PNB, en millones de dólares IDPB t = -37001.5205 + 0.17395 PNB t
(6.2.22)
(76261.1278) (0.05406) r l =- 0.5641
Obsérvese que la intersección así como su error estándar es de 1000 veces, (Wl = 1000 cuando se pasa de miles de millones de dólares a millones de dólares) los valores obtenidos en regresion (6.2.21), pero el coeficiente d:e la pendiente, como su error estándar, no cambian, lo cual está de acuerdo con la teoría. La IDPB en miles de millones de dólares y el PNB en millones de d~lares.
1,
IDPB t - -37.0015205 + 0.OOOq.395 PNB t (76.2611278) (0.00005406) rl
= 0.5641
(6.2.23)
150
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
Como es de esperarse, tanto el coeficiente de la pendiente como su error estándar son (l/IODO) del valor de la ecuación (6.2.21), puesto que solamente cambia la escala de X o PNB.
La IDPB en millones de dólares y el PNB en miles de millones de dólares. IDPB t = -37001.5205
+ 173.95
(76261.1278)
PNB t
(6.2.24)
(54.06)
r2 = 0.5641 Nuevamente, obsérvese que los coeficientes de la intersección y de la pendiente, así como sus respectivos errores estándar, son iguales a 1000 mil veces sus valores en (6.2.21), de acuerdo con los resultados teóricos ..
Algunas palabras sobre la interpretación: Puesto que el coeficiente de la pendiente, P2 es simplemente la tasa de cambio, se mide en las unidades de la siguiente proporción: s unidades de la variable dependiente (Y) unidades de la variable explicativa (X) Por tanto, en la regresión (6.2.21) la interpretación del coeficiente de la pendiente de 0.17395 es que si el PNB cambia en una unidad, es decir, mil millones de dólares, la IDPB cambia en promedio en 0.17395 miles de millones de dólares. En la regresión (6.2.23), un cambio de una unidad en el PNB, que equivale a 1 millón de dólares, produce en promedio un cambio de 0.00017395 miles de millones de dólares en la IDPB. Los dos resultados son desde luego idénticos en relación con los efectos del PNB sobre la IDPB; simplemente, ellos se expresan en unidades diferentes de medición. 6.3 FORMAS FUNCIONALES DE LOS MODELOS DE, REGRESION
Como se mencionó en el Capítulo 2, este texto está relacionado principalmente con modelos que son lineales en los parámetros; dichos modelos pueden o no ser lineales con respecto a las variables. En esta sección consideramos algunos modelo!\ de regresión comúnmente utilizados, que pueden ser no lineales en las variables pero que siguen siendo lineales en los parámetros (o que se pueden hacer lineales efectuando adecuadas transformaciones de las variables). También analizamos sUs características especiales e ilustramos su utilización.
s Para un análisis más detallado y extendido al modelo de regresión múltiple, véare Donald F. Momson, Applied Linear Statistical Methods, Prentiee-Hall, Ine., EngIewood CIiffs, N.J., 1983, p. 72.
EXTENSIONES DEL MODELO DE RI;GRES/ON LINEAL CON DOS VARIABLES y
151
In Y
• 1
i
~
'a
I¡ u
..
.!! 'a 110
L---------x .s ' - - - -LOI ------InX Precio del precio (a)
(b)
PIGVRA6.3 Modelo de elasticidad constante.
Modelos log-Iog. doble log. loglineal o de elasticidad constante Consideremos el siguiente modelo: Y¡ = PI X(2e"1
que se puede expresar en forma alterna com0
(6.3.1)
6
(6.3.2)
en donde In = logaritmo natural (es decir, 10g en base e, donde e = 2.718).' Si escribimos (6.3.2) como
In Y¡ =:
IX
+ P2 In Xi + Ui
(6.3.3)
donde IX = In PI' este modelo es lineal en los parámetros IX y P2' lineal en los logaritmos de las variables Y y X y se puede estimar por el método de regresión de MCO. Debido a esta linealidad, estos modelos se denominan lag-log, doble log o log linea/o Si se satisfacen los supuestos del modelo de regresión lineal clásico, los parámetros de (6.3.3) se pueden estimar con el método de MCO haciendo (6.3.4)
Obsérvense estas propiedádes de los logaritmos: (1) In (AB) = In A = In B, (2} In (A/B) = In A - In B Y (3) In (A k) = k In A, suponiendo que A y B son positivos y donde k corresponde a alguna constante.
6
, En la práctica se pueden utilizar los logaritmos comunes, es decir, logaritmo en base 10. La relación entre el logaritmo natural y el logaritmo comúnes: Ine X= 2.30261og lO X. Por convención, In significa logaritmo natural y log significa logaritmo en base lO, por tanto, no hay necesidad de escribir explícitamente los subíndices e y 10. .
152
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
yr
Xr
donde = In lí y = In XI' Los estimadores de MeO, & y $2 que se obtienen s'erán los mejores estimadores lineales insesgados de ex y P2 respectivamente. Una característica atractiva del modelo log-log, por la cual se ha hecho tan popular en ~conometría aplicada, es que el coeficiente de la pendiente mide la elasticidad de Y con respecto a X, es decir, el cambio porcentual en y ante un cambio porcentual (pequeño) en X. 8 Por tanto, si Y representa la cantidad demandada de un bien y X corresponde a su precio unitario, P2 mide la elasticidad-precio de la demanda, el cual es un parámetro de considerable interés económico. Si la relación existente entre la cantidad demandada y el precio es como la que se ilustra en la Figura 6.3a, la transformación doble log, como la que aparece en la Figura 6.3b, proporcionará entonces una estimación de la elasticidad-precio (- P2)' Se pueden mencionar dos características especiales del modelo log lineal: el modelo asume que el coeficiente de elasticidad entre Y y X, P2 permanece constante. (¿Por qué?) De ahí el nombre alterno que recibe: modelo de elasticidad contante. 9 En otras palabras, como muestra la Figura 6.3b, el cambio en el In y por unidad de cambio en In X (es decir, la elasticidad, (32) permanece constante, independientemente del In X donde midamos la elasticidad. Otra característica del modelo consiste en que, a pesar de que & y P2 son estimativos insesgados de ex y P2' Pi (el parámetro que entra en el modelo original) cuando se estima como Pi = antilog (&) es en sí mismo un estimador sesgado. Sin embargo en la mayoría de los problemas prácticos, el término de
El coeficiente de elasticidad, en la notación utilizada en cálculo, se define como (dY/Y)/(dX/X) = Los lectores familiarizados con el cálculo diferencial, fácilmente verán que 11 2 de hech? corresponde al coeficiente de elasticidad
8
[(dY/dX) . (X/Y)].
Una nota técnica: el lector orientado hacia el cálculo observará que d(ln X)/dX = l/X o d(ln X) '" dX/X es decir, que para pequeños cambios infinitesimales (obsérvese el operado diferencial d), el cambio en el In X = cambio relativo o proporcional en X. No obstante, en la práctica si el cambio en X es pequeño, esta relación se puede escribir como: cambio en In X = cambio relativo en X, donde = significa aproximadamente. Por tanto, para cambios pequeños
(In X, - In X,_ ¡) == (X, - X,-l)/X,-l
= cambio relativo en X
Incidentalmente, el lector debe observar estos términos que se presentan frecuentemente: (1) cambio absoluto, (2) cambio proporcional o relativo y (3) cambio porcentual o tasa de crecimiento porcentual. Por tanto, (X, - X,_l) representa un cambio absoluto, (X, - X'-l)/X'-l = (X,/X'_l - 1) corresponde a un cambio proporcional o relativo y [(X, - X,-l)/X,_d corresponde al cambio porcen tual o tasa de crecimiento. X, X'-l son, respectivamente, los valores actuales y previos de la variable X. 9 Un modelo de elasticidad constante proporcionará un cambio total constante en el ingreso ante un cambio porcentual dado en el precio, independientemente del nivel absoluto de éste. Los lectores deben contrastar este resultado con las condiciones de elasticidad que implica la función de demanda lineal simple, Y¡ = P1 + P2 XI +u¡ .No obstante, una fúnción lineal simple proporciona una cantidad constante de cambio por unidad de cambio en el precio. Establezca un contraste con lo que el modelo log lineal implica para un cambio dado en el precio en dólares.
EXTENSIONES DEL MODELO DE REGRESloN LINEAL CON DOS VARIABLES
153
la intersección tiene una importancia secundari8 y no.es importante obtener su estimación insesgada. lO En el modelo con dos variables, la manera máS fácil de decidir si .el modelo log lineal ~usta los datos consiste en graficar el diagrama de dispersión delln y, contra elln ~ y ver si los puntos de dispersión se encuentran aproximadamente sobre una línea.recta, como en la Figura 6.3b. Ejemplo Bustrativo: la función de demanda de café, reconsiderada: Refiérase a la función de demanda de café de la Sección 3.7. Mi asistente de investigación me infomó que cuando se graftcaron los datos utilizando la escala In Y Y In X, el diagrama de dispersióri parecía indicar que el modelo log log podría ajustar mejor la infonnaci6n que el modelo lineal (3.7.1).11 Al llevar a cabo los cálculos, él obtuvo los sjguientes resultados: lnY,
= 0.7774 -
0.2530 In X,
(0.0152) (0.0494)
t
= (51.1447)
r = 0.7448 Fu = 26.27
(6.3.5)
(-5.1214)
=
=
donde 1t consumo de café, tazas por persona por día y Xt precio real del café, $ porIb. A partir de estos resultadospuede observarse que el coeficiente de elasticidadprecio es de -0.25, lo cual implica que para un aumento del 1 % por libra en el precio real del café, la demanda de éste (medida en tazas de café consumidas por día) en promedio disminuye aproximadamente en 0.25 % Puesto que el valor de 0.25 para la elasticidad-precio es inferior al, en ténninos absolutós, podemos decir que la demanda de café es inelástica con respecto al precio.
Una preguntá interesante: al comparar los resultados de la función de demanda log lineal versus la función de demanda lineal de la ecuación (3.7.1), ¿cómo decidimos realmente cuál es el mejor modelo? ¿Podemos decir que (6.3.5) es mejor que (3.7.1) porque su valor r2 es superior (0.7448 versus 0.6628)? Desafortunadamente, no podemos aftrmar lo anterior cuando la variable dependiente de los dos modelos no es la misma (en este caso In Y versus Y), no siendo, por tanto, los dos valores de r2 directamente comparables. Tampoco podemos comparar directamente los dos coeficientes de la pendiente, puesto que en (3.7.1) el ooeficiente de la pendiente muestra el efecto de un cambio unitario en el precio del café, digamos de $1 por libra, sobre la cantidad constante absoluta (es decir, no relativa) de disminución en el consumo de café, que corresponde a 0.4795 tazas por día. Por otra parte, el coeficiente de -0.2530 que se obtuvo de la ecuación (6.3.5) muestra la disminución porcentual constante en el consumo de café, como resul-
10 Con respecto a la naturaleza del sesgo y 10 que se puede hacer al respecto, véase Arthur S. Goldberger, Topies in Regresion Ana/y,;s, The Macmil1an Company, New York, 1976, p. 120.
u Es claro que (3.7 .1)se introdujo únicamente para fines pedagógicos.
154
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
ta,do de un aumento del 1% en el precio por libra de café; (esto es, se da la elasticidad en el precio ).12 ¿Cómo podemos entonces comparar los resultados de los dos modelos? Esto hace parte de un tema mucho más amplio del llamado análisis de especificación, tema que se discutirá en el Capítulo 11. Por ahora, una manera en que podemos comp;.:rar 105 dos modelos consiste en calcular una medida aproximada de la elasticid¡¡d.-precio para el modelo (3.7.1). La fonna en que se hace esto se indica mediante el Ejercicio 6.12. Modelos semitog: modelos log Un y Un log Los modelos del tipo (6.3..6) y
(6.3.7)
se denominan modelos semilog, debido a que solamente X o Y se'éncuentran en forma logarítmica. Para fines descriptivos, denominaremos a la ecuación (6.3.6) como el modelo log Un y a la ecuación (6.3.7) como el modelo lin log, dependiendo de si la variable dependiente o la variable explicativa son las que están en forma logarítmica. ' Las propiedades de estos modelos son las siguientes: en el modelo log lin (6.3.6), el co~fkiente di' 1:J prndien,te az mide el cambio proporcional o relativo constante en Y para un cambio absoluto dado en X, es decir: 13
a
cambio relativo en Y
z =cambio absoluto en X
(6.3.8)
Si multiplicamos el cambio relativo en Y por 100, (6.3.8) entonces nos proporcionará el cambio porcentual en Y para un cambio absoluto en X. El modelo log lin como (6.3.6) es especialmente útil en situaciones donde X es una variable de tendencia en el tiempo, puesto que en ese caso el modelo describe la tasa porcentual (1 O()¡(X2) o la tasa relativa ( = (X2 ) de cre-
12 Existe una diferencia entre el coeficiente de la p'lIlUlente y la medida de la elasticidad. Como muestra la función 8, la elasticidad es igual a la pendiente (:=dY/dX) multiplicada por la razón (X/Y). El coeficiente de la pendiente del modelo (3.7.1) solamente proporciona (dY/dX), mientras que el coefi ciente de la pendiente de (6.3.5) proporciona la media de la elasticidad, (dY/dX) . (X/Y). En resumen, para '!! modelo log limal. la pen(lie.1~c y los eoeficientes de elasticidad son los mismos; éste no es el caso para el modelo lineal.
13 Utilizando el cá1culo diferencialsepuede demostrar que a 2 = d(ln Y)jdX = (ljY)(dYjdX) = (dYjY)jdX lo cual corresponde a (6.3.8). Para cambios pequeños en Y y X, lo anterior se puede aproximar me diante
(Y, - 1';-,)/1';-1
.--IX,---X-::¡' donde el subíndice t indica el valor actual y el subíndice t - 1 indica el valor anterior.
EXTENSIONES DEL MODELO DE REGRESION LINEAL CON
DO~
\J.III:¡IABLES
155
cimiento constante (lOO. (X2) (X2 >. O) o de disminución constante (a 2 < O) en la variable Y, donde Y puede ser una variable como el PNB, la población, la oferta monetaria, el empleo, los niveles de ganancias, las ventas, etc. Esta es la razón por la cual a este modelo se le denomina modelo de crecimiento (constante). Brevemente ilustraremos este modelo. En el modelo lin lag de (6.3.7), el coeficiente de la pendiente P2 mide el cambio absoluto en (el valor promedio o esperado) de Y ante un cambio relativo o proporcional dado en X, es decir: 14
P2:::;
cambio absoluto en Y cam b'10 re 1arlVO en X
(6.3.9)
Este modelo es por tanto, adecuado en situaciones donde un cambio relativo o proporcional dado en X produce un cambio absoluto constante en Y. Por ejemplo, el Congreso de los Estados Unidos exige que el Banco de Reserva Federal adopte y anuncie metas de crecimiento para los agregados monetarios con un afio de anterioridad, los cuales se expresan en forma de porcentajes. Las tasas de crecimiento monetario para M1 presupuestadas para los afias 1976 a 1983, en porcentajes, fueron 4.5-7.5, 4.5-6.5, 4.5-6.5, 1.5-4.5, 4-0-6.5, 3.5-6, 2.5-5.5 y 4.0-8.0. Si se está interesado en averiguar, por ejemplo, la manera como afectan estas tasas de crecimiento porcentual de MI al nivel absoluto del PNB, el modelo (6.3.7) sería entonces adecuado. (Véase Ejercicio 6.19). A propósito, si deseamos calcular el coeficiente de elasticidad para los modelos lag lin o lin lag, esto se puede hacer partiendo de la definición del coeficiente de elasticidad, es decir, (dY/dX) (X/Y). De hecho, una vez se conozca la forma funcional del modelo se pueden calcular las elasticidades aplicando 19 definición anterior. La Tabla 6.4, al final de esta sección, resume los coeficientes de elasticidad para los diferentes modelos que hemos considerado en este capítulo. Ejemplo ilustrativo: la tasa de crecimiento del PNB real, Estados Unidos, 1969-1983 En el Ejercicio 3.12 presentamos información sobre el PNB real en los Estados Unidos para el período 1969-1983. Si ajustamos el modelo de crecimiento (6.36) a estos da~os, obtenemos los sigUientes resultados (los errores estándar aparecen entre paréntesis):
---
In PNBt = 6.9636 + 0.0269 Tiempo (0.0151) (0.0017)
14
Utilizando nuevamente el cálculo diferencial,. dY/dX
=(6.3.9).
= fJ1(l/X).
r1 = 0.9524 F 1 • 13
= 260.34
Por tanto, fJl = dY/(dX/X)
(6.3.10)
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
156 ~ 7.32
...o-..
'O
g 7.25
•
:o'O
.
'O
::c:
7.18 In PNB, =6.9636+0.0269 tiempo
.s:
:::1
e
7.11
"e
7.04
...," ., :::1
.
c:
1969 70 71
72 73 74 75 76
77 78 79
80 81
82 83
Año
FIGURA 6.4 PNB real, EE.UU., 1969-1983
Estos resultados ÚDplican que para el período 1969-1983, el PNB en los Estados Unidos estaba creciendo a una tasa del 2.69 % anual. 15 Geométricamente, la línea de regresión estÚDada se muestra en la Figura 6.4.
Es interesante comparar los resultados del modelo de crecimiento (6.3.10) con los del siguiente modelo lineal de tendencia: /'o..
PNB t = 1040.1105
+ 34.9978
(18.8574)
(2.0740)
r2
Tiempo
= 0.9563
(6.3.11)
F 1 ,13 = 284.74
Como muestran los resultados, para el período 1969-1983 el PNB real en los Estados Unidos estaba creciendo en una cantidad absoluta constante de aproximadamente 35 mil millones por afio. La escogencia entre (6.3.10) y (6.3.11) dependerá de si se está interesado en el cambio relativo o absoluto en el PNB, aunque para muchos fines el cambio relativo es el importante. A para los dos modelos propósito, no podemos comparar los valores de puesto que las variables dependientes son diferentes.
,2
15 Un punto técnico. a tener en cuenta: el coeficiente de la pendiente de 0.0269, que se obtuvo en (6.3.10), o en forma más. general, el coeficiente a 2 del modelo de crecimiento (6.3.6) constituye la tasa de crecimiento instant4nea (en un punto en el tiempo) y no la tasa de crecimiento compuesta (a través de un período). Una manera sencilla de calcular esta última consiste en tomar el antüogaritmo de 0.0269 en (6.3.10), restarle 1 y multiplicar la diferencia por 100. En el caso de nuestro ejemplo, la tasa de crecimiento anual compuesta, de acuerdo con este procedimiento es de 2.73% (Nota Antilog de 0.0269 == 1.0273). Pata mayores detalles, véase Ejetcicio 6.15.
· EXTENSIONES DEL MODELO DE REGRESION LINEAL CON DOS VARIABLES
157
Transfonnaciones recíprocas Los modelos del siguiente tipo se conocen como modelos recíprocos.
Ji = Pt + p~(~) + u,
(6.3.12)
Aunque este modelo no es lineal en la variable X, debido a que está expresado en fonna inversa o recíproca, el modelo es lineal en /3 1 y /32 y por tanto es un modelo de regresión lineal. 16 Este modelo tiene dos características: a medida que X lumenta indefinidamente, el término /3,,(l¡X) se acerca a cero (Nota: /32 es una constante) y Y.se acerca al límite o valor asintótico PI' Por tanto, modelos similares a (6.3.12) poseen una asíntota o valor límite que asumirá la variable dependiente cuando el valor de la variable X aumenta indefinidamente. 17 Algunas formas posibles de la curva que corresponde a (6.3.12) se muestran en la Figura 6.5. Un ejemplo de la Figura 6.5a se encuentra en la Figura 6.6, donde se relaciona el costo de producción fijo promedio con el nivel de producción. Como muestra la figura, el CFP declina continuamente a medida que aumenta la producción (debido a que el costo fijo se distribuye entre un gran número de unidades) y eventualmente se vuelve asintótico con el eje de producción al nivel {JI' Una de las aplicaciones importantes de la Figura 6.5b es la famosa curva de Phillips de la macroeconomía. Con base en la información relacionada con la tasa porcentual de variación de los salarios monetarios (Y) y la tasa pórcentual desempleo (X) para el Reino'Unido durante el período 1861-1957, Phillipsobtuvo una curva cuya forma general es similar a lh Figura 6.5b y que reproducimos en la Figura 6.7. 18 Como muestra la figura, existe una asimetría en la respuesta de los cam bios salariales al nivel de desempleo: los salarios aumentan mas rápidamente a cambios unitarios en el desempleo si la tasa de desempleo está por debajo de UN, a la cual los economistas denominan tasa natural de desempleo, de los que disminuyen para un cambio equivalente cuando la tasa de desempleo está por encima del nivel natural PI indicando el piso asintótico p~a el cambio en los salarios. Es posible que esta característica especial de la curva de Phillips se atribuya a factores institucionales, tales como el poder de negociación de los 'sindicatos, la existencia de salarios mínimos, las compensaciones por desempleo, etc. 16
Si hacemos
Y, yX1:
xr '"' (l/X,) entonces (6.3.12) es lineal en los parámetros como también en las variables ..
es
17 La pendiente de(6.3.12}dY/dX '"' -P2(1/X 2)lo cual implica que SiP2 positivo, la."endíente es negativa y que si fJ 2 es negativa, la pendiente es positiva. VéQ1Jge Figura 6 Sa y 6.5c respectivamente. 18 A. W. Phillips, "TIte relation between Unemployment and the Rate oC Change Money Wages in the United Kingdom, 1861-1957", Económica, noviembre de 1958, vol. 25, pp. 283-299. Obsérvese que la curva original se ajustó a los datos para el período 1861-1913 y no cruzó el eje del desempleo; sin embargo, la Figura 6.7 representa la idea moderna de la versión de la curVa de Phillips.
158
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
y
y
y
I {jJ~-----='"
{jJI---------:;;;:;;;
.--x
o
o~-~Ik_---- X
-----x
L -......
O
-{jl
fJ J (a)
(e)
(b)
FIGURA 6.S El modelo recíproco: Y = PI
( 1)
+ fJ1 X .
Una aplicación importante de la Figura 6.5c es la curva de gastos de Engel (que alude al estadístico alemán Ernst Engel, 1821-1896), la cual relaciona el gasto que realiza un consumidor en un bien de consumo con su gaito o ingreso total. Si Y corresponde al gasto en un bien de consumo determinado y X al ingreso, entonces ciertos bienes tienen las siguientes caracterís. ticas: (a) existe un nivel crítico o umbral del ingreso, por debajo del cual el bien no se compra. En la Figura 6.5c, este umbral de ingreso se encuentra al nivel --(/32/fJ ¡), y (b) existe un nivel de consumo en que el consumidor se sacia, más allá del cual éste no se ubicará, independientemente de qué tan alto sea" su ingreso. Este nivel es precisamente la ásíntota que se muestra en y
~I~-------------------X Producción
~GURA6~
Modelo de transformaci6n recíproca.
EXTENSIONES .DEL MODELO DE REGRESION LINEAL CON DOS VARIABLES
158
.s
1
La .u. de deaempleo ~.tural
.;
!
/
.,. O t----~~------ Tua de desempleo %
-~
PlGURA6.7 La ourva de Phi11ips.
----------------------
la figura. Para dichos bienes, el modelo recíproco de la Figura 6.5c es el más adecuado. 19 .. Ejemplo Bustrativo: la curva de Pbillips para el Reino Unido, 1950-1966 La Tabla 6.3 muestra infonnación sobre variaciones porcentuales anuales en la tasa de salarios (Y) y de desempleo (X) para el Reino Unido, durante el período 19501966.
Cuando se trató de ajustar el modelo recíproco (6.3.12), se obtuvieron los siguientes resultados (véase listado SAS en el Apéndice 6A, Sección 6A.3). 1
1, = -1.4282 + 8.7243 X
r l = 0.3849
(6.3.13)
t
(2.0675) (2.8478)
F 1• 15
= 9.39
donde las cifras entre paréntesis corresponden a los errores estándar estimados. La línea de regresión estimada se ilustra en la Figura 6.8. Al observar esta ("¡gura, es claro que el piso salarial es de -1.43%,10 cual implica que a medida que X aumenta indefinidiamente, el porcentaje de disminución en los salari~s no será supeñor al 1.43
Incidentalmente, obsérvese que el valor estimado para,2 es relativamente bajo, aunque el coeficiente de la pendiente es estadísticament~ signi-
9 Para ejemplos concretos, véase S. 1.
Prais y H. S. Houthakker, The AnalYlir af FamOy Budgets, :ambridge Univetsity Presa, London, 1971, Cap. 7.
.180
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
TABLA 6.3
Porc:entaje de aumento anual en Iu .... de salarios y en la tasa de deaempleo, Reino Unido, 1950-1966 'l& Afto
PorceDtIIje de aumento Dual en Iu ..... ele lllarida (Y)
1.8 8.5 8.4 4.5 4.3
1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960
6.98.0 5.0 3.6
2.G 2.6 4.2 3.6 3.7 4.8 4,3 4.6
1961
1962 1963
1964 1965 1966
De8empleo t (%) (X)
1.4 1.1 1.5 1.5 1.2 1.0 1.1 1.3 1.8 1.9 1.5 1.4 1.8
2.1 1.5 1.3 1.4
Fuente: CUff Pratten, Applied Macroeconomlcl, Oxford Unlverslty Press, Oxford, 1985, p. 8.
ficativo y diferente de cero y tie~e el signo correcto. Esto refuerza la advertencia que hicimos anteriormente acerca de que no se debe hacer énfasis innecesario sobre el valor de ,1. .
l
;¡
..,.'"
~
~
.
\:
fIl
:E
~ ..,..
. Eo ..
Y(=-1.4282 + 8.7243 l/X,
/ I---~~--------
Tasa de desempleo %
\:
~
~ -1.43 - - - - - - - - - - - - - - - - -
FIGURA 6.8 La curva de Phillips para el Reino Unido, 1950-1966.
EXTENSIONES DEL MODELO DE REGRESION LINEAL CON DOS VARIABLES
181
Resumen de las formas funcionales En la Tabla 6.4 resumimos las principales características de las diferentes formas funcionales consideradas hasta ahora.
6.4 RESUMEN Y CONCWSIONES En este capítulo considerarnos algunos aspectos más detallados sobre el modelo de regresión lineal, trabajando aun dentro del marco del modelo de dos variables. Esto se hizo para fines expositivos. Una vez se comprendan las ideas básicas de este' capítulo, su extensión a los modelos de regresión multípIe es en muchos casos bastante sencilla. Primero considerarnos el caso de la regresión a través del origen. En ocasiones las expeclativas teóricas a priori o trabajo empírico previo, o ambos, sugieren que la línea de regresión debe pasar a través del origen, implicando que la intersecci(;ln debe omitirse del modelo. Después de presentar algunas ilustraciones mostramos la mecánica de la estimación del coeficiente de la pendiente para este modelo, el único valor desconocido dentro del mismo. Puesto que este modelo no satisface las propiedades del modelo cgnvencional (esto es, el que presenta intersección) de que la suma de errores (¿ el) sea cero y que para este modelo ~l r l .convencional calculado puede ser negativo en algunos casos, el modelo debe utilizarse con precaución. En términos prácticos, podemos decir que mientras la información previa no sea suficientemente fuerte, no se debe utilizar la regresión a través del origen por las razones analizadas anteriormente y porque existe además la posibilidad de cometer un error de especificación si ajustarnos este tipo de modelo, cuando la sítuación verdadera requiera, por el contrario, que se incluya la inter-. TABLA 6.4
. ln't·-iil +_j'X' 'r-#1-+R2 lai
Nota: El asterisco (*) indica que el coeficiente de elasticidad es variable, de-
pendiendo del valor que tome X o Y o ambos. Cuando no se especifica ningÚn valor de X ni de Y, en la práctica estu elasticidades se miden muy comúnmente en sus valores promedio, X y Y.
162
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
sección en el modelo. Es claro que si la regresión a través del origen corresponde al modelo verdadero, entonces, como se demostró median te un ejemplo ilustrativo, el coeficiente de la pendiente se puede estimar con mayor precisión (es decir, se puede estimar con un error estándar comparativamente más pequeño) que cuando se incluye el término de 'la intersección (innecesariamente) en la modelo. A continuación se hizo re'ferencia al problema.práctico y muy importante de las escalas y unidades de medición. Mediante un ejemplo detallado demostramos que los coeficientes de regresión se pueden afectar cambiando las unidades en las que se expresan las variables X y Y. Desde luego, no existe conflicto alguno en los resultados con base en unidades diferentes de medición, en tanto se conozcan los factores que relacionan una unidad de medición con otra. Mostramos la mecánica necesaria involucrada en el hecho de pasar de una unidad de medición a otra. Finalmente, consideramos los aspectos relacionados con la fonna funcional de los modelos de regresión. Puesto que en este texto nos interesan principalmente modelos que sean lineales en los parámetros y no necesariamente en las variables, consideramos diferentes modelos que no son lineales en las variables pero que sí lo son en los parámetros o que pueden serlo medÍante transf6nnaciones adecuadas en las variables. Específicamente, consideramos tres modelos de este tipo; (l) el modelo log lineal o modelo de elasticidad constante, (2) el modelo semi log y (3) el modelo recíproco. Ilustramos cada tipo de modelo, mostrando sus características especiales y sugiriendo las situaciones en que ellos p.ueden ser adecuados. Los modelos de elasticidad constante se utilizan frecuentemente en estudios de demanda para estimar las elasticidades precio e ingreso. En el modelo semi log, donde la variable dependiente se expresa en fanna logarítmica y la variable X corresponde al tiempo, el coeficiente de la pendiente estimado (después de multiplicarlo por 100) mide la tasa de crecimiento en la variable dependiente. Por tanto, tales modelos se denominan modelos de crecimiento; son utilizados frecuentemente para estimar la tasa de crecimiento en variables como el PNB, el empleo, las ganancias, las ventas, las importaciones, exportaciones, etc. Los modelos recíprocos se han utilizado extensamente en modelos macroecon6micos del tipo phillips, relacionando las variaciones porcentuales en los salarios o en los precios con la tasa de desempleo. Tales modelos también se han utilizado para estimar las curvas de gastos de Engel, que relacionan los gastos que realiza el consumidor en un bien determinado y su ingreso total. Estos modelos pueden fácilmente hacerse extensivos a más de una variable explicativa.
EJERCICIOS 6.1 En la siguiente tabla se presenta infonnación sobre el deflactor del.POB (productc doméstico bruto) para bienes domésticos, así como .el deflactor para las importa ciones en Singapur para el período 1968-1982. El deflactor del POB se utilizl
EXTENSIONES DEL MODELO DE REGRESION LINEAL CON DOS VARIABLES
163
comúnmente como indicador de la inflación en lugar del IPC. Singapur es una pe· queña economía abierta que depende signifi~ativamente del comercio exterior para su sobrevivencia.
Afio
Deflactor dél PDa para bienes domésticos (Y)
Deflactor de las importaciones
1000 1023 104Q 1087 1146 1285 1485 1521 1543 1567 1592 1714 1841 1959 2033
1000 1042 1092 1105 1110 1257 1749 1770 1889 1974 2015 2260 2621 2777 2735
1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982
(X) .
Fuente: eolio Simkio, "Does Mooey Matter in Sineapore", The Singapore Economic Revtew. Vol. XXIX, No. 1, abril 1984, Tabla 6. p. 8.
Para efectos de estudiar la relación entre los precios mundiales y domésticos, se dan - a usted los siguientes modelos: 1.
2.
+ !X2 X, + u, y, = fJ2X, + U,
Y, =
!XI
donde Y = deflactor del PDB para los bienes domésticos y X = deflactor del PDB para las importaciones. (a) ¿Cuál modelo escogería usted a priori? (b) Ajuste los dos modelos a los datos y decida cuál es el más adecuado. (e) ¿Qué otro u otros modelos pueden ser adecuados para estos datos? 6.2 Remítase a la función de demanda de café dada en la Sección 3.7. Supóngase que los precios del café estuvieran dados en centavos en lugar de dólares por libra. (a). ¿C6mo afectará esto la intersección con el eje de las ordenadas y la pendiente . estimadas que se dieron en (3.7.1)? Presente los cálculos necesarios. (b) ¿Cuál es el cambio, si existe alguno, en los errores estándar estimados? (e) ¿Estará afectado r l ? ¿Por qué si o por qué no?
6.3 Regresión en varjables estandarizadas. Sea Xr = (XI - X)/S" y yr = (1'; - f)/S~ donde S" y Sy corresponden a las desviaciones estándar de X y Yen la muestra. De· muestre que en el modelo:
164
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
&1 = OY&l = r, el coeficiente de correlación entre X y Y. ¿Puede usted pensar en alguna razón por la cual se quisiera utilizar el modelo de regresión usando variables estandarizadas? Nota: Las Yfy Xfantes defmidas se conocen como variables estandarizadas. Se dice que una variable está estandarizada o se encuentra en unidades estándar (de desviación) si se expresa en términos de la desviación de su promedio (es decir, un cambio del origen) dividida por su desviación estándar muestral (es decir, el cambio de escala). Así, la estandarizacion involucra tanto un cambio del origen como un cambio de escala. Las variables estandarizadas antes defmidas tienen estas propiedades: cada una tiene un valor promedio de cero y una varianza de 1. Como consecuencia, un cambio unitario en, digamos, X·, se convierte en un cambio de desviación estándar de l. Por tanto, se puede decir que el coeficiente de la pendiente en el modelo anterior muestra el número de desviacione~ estándar que cambia en promedio ·la variable dependieme cuando la variable explicativa cambia en una desviación estándar. Incidentalmente, el coeficiente de la pendiente en el modelo anterior se conoce como ,coeficiente Beta, el cual no debe confundirse con el coeficiente Beta de la teoría del portllÍolio. 6.4 Considere los siguientes modelos:
Modelo 1: Modelo 11:
yr = (Xl + (Xl Xr +
UI
dond.e Y· y X· son las variables estandarizadas defmidas en el Ejercicio 6.3. Demuestre que &l = Pl(S,,/S,) establezca, por tanto, que aunque los coeficientes de regresión son independientes del cambio del origen, no son independientes del cambio de escala. . 6.S
Refi~rase
a los datos dados en el Ejercicio 6.1. Los promedios de Y y X son 1456 y 1,760, r~spectivamente, y las desviaciones estándar correspondientes son 346 y 641. Estime la siguiente regresión:
yr = OC 1 + (XzXr + U, donde las variables con asterisco corresponden a las variables estandarizadas. Interprete los resultados. 6.6 Considere los siguientes modelos: In
yr ... al + al In Xr + ur
In
lí =jJ1
+ Pl In X¡ + U¡
yr
donde = Wllí Xr = Wl X¡ las w són constantes. (a) Establezca la relación entre los dos conjuntos de coeficientes de regresión y sus errores estáns1ar.
(b) ¿Es diferente el r2 entre los dos modelos?
6.7 Remítase a los datos del Ejercicio 1.1. Para cada país, estime la tasa de crecimiento de Jainflación obtenida a partir del modelo: In 1'; == {J1
+ pz Tiempo + U,
donde Y es la tasa de inflación. Entonces, ¿cómo difieren estos resultados de los que se obtienen en el Ejerci.cio S.8?
EXTENSIONES DEL MODELO DE REGRESION LINEAL CON DOS VARIABLES
165
6.8 Remítase a los datos del Ejercicio 3.10. Calcule la tasa de crecimiento del PNB de los Estados Unidos en términos nominales para el período 1969-1983 y compare 'sus resultados con los dados en la ecuación (6.3.10). ¿Ayudarían los resultados de las dos regresiones a estimar la tasa de inflación en los Estados Unidos para el mismo período de tiempo? ¿Cómo? 6.9 Suponiendo que usted ajusta la siguiente versión de la curva de Phillips a los dalos dados en la Tabla 6.3: Y; = (Xl + (X,X, +,u,
6.10 6.11
6.12
6.13 6.14 6.15
donde Y = % de cambio anual en las tasas de salarios monetarios o nominados y X = tasa de desempleo. (a) A priori ¿cuál es el signo esperado para !Xl? . (b) Estime la regresión anterior obteniendo las estadísticas acostumbradas. (e) ¿Cómo se comparan estos resultados con los de la regresión (6.3.13)? ¿Existe algún conflicto en los resultados? (d) ¿Puede usted comparar los dos valores de r2 ) (e) ¿Qué modelo, prefiere usted? ¿Por qué? Entre las regresiones (6.3.10) y (6.3.11), ¿qué modelo prefiere usted? ¿Por qué? Dada la función de demanda de café estimada (6.3.5), ¿aceptaría usted la hipótesis de que la elasticidad-precio de la demanda de café no es significativamente diferente de cero? Utilice una prueba de una cola con un nivel de significancia del 5·'110. Considere por qué es adecuada la prueb¡\ de una cola. Para la función lineal de demanda de café (3.7.1) ¿cómo estimaría usted la elasticidad-precio? (Sugerencia: elasticidad-precio = (dY/dX)(XjY) y usted sabe que\Y = 2.43 tasas y X = $1.11). ¿Cómo se compara este valor de elasticidad con el valor dado en (6.3.5)? ¿Cuál medida de la elasticidad es más confmble? Para la regresión (6.3.10), evalúe la hipótesis de que el coeficiente de la pendiente no es significativamente diferente de .03. Partiendo de la curva de Phillips estimada, en (6.3.13), es posible calcular la tasa natural de desempleo? ¿Cómo? Considére el siguiente modelo: (1) Y; = Yo(1 + g)'eU'
donde Yt = valor de la variable Yen el tiempo t, Yo = valor inicial de Y,g = tasa de crecimiento anual compuesta, u = término del enor estocástico y t = tiempo. La parte no estocástica de (1) es simplemente la fórmula fmanciera usual del interés compuesto. Tomando el logaritmo natural de (1), obtenemos (2)
In Y; = In Yo + t In (1 + g) + u,
=fJl+fJ,t+U, donde {Jl = In Yo Y fJ2 = In (1 + g) (a) ¿Cuál es la diferencia entre las ecuaciones (2) y (6.3.6) puesto que desde el punto de vista de la regresión (después de hacer X = t), las dos ecuaciones pare· cen iguales? (b) Si se calcula la regresión (2), ¿cómo calcularía usted el parámetro g, o sea, la tasa de crecimiento?
166
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
(e) ¿Cómo difiere esta tasa de crecimiento de la que se obtuvo (6.3.6)? ¿Es crucial la diferencia, si es que existe alguna?
de la ecuación
6.16 Para el modelo log¡lin (6.3.6), si Y es la cantidad consumida de un bien y X es el ingreso del consumidor, ¿cómo calcularía usted la elasticidad·ingreso (dY/dX)(X/Y)? ¿Cómo lo haría para el modelo lin lag (6.3.7)? 6.17 La curva Engel de gastos relaciona los gastos de un consumidor en un bien y su in· greso total. Sea Y = gasto de consumo en un bien y X = ingreso del consumidor; considere los siguientes modelos:
Yi = PI + pz(XJ + U¡ Yi = PI + pz(l/XJ + u¡ In Yi = In PI + pz In X¡ + U¡ In Yi = In PI + P2(1/X¡) + U¡ Yi = PI + pz In XI + U¡
.
¿Cuál de estos modelos escogería usted para la curva de gastos de Engel y por qué? (Sugerencia: interprete los diferentes coeficientes de la pendiente, averigüe las ex. presiones para la elasticidad de los gastos con respecto al ingreso, etc.). 6.18 Modelo recíproco logarítmico. En el Ejercicio 2.8 (e) introdujimos el siguiente modelo, conocido como modelo semilogarítrnico inverso en recíproco o, más senci· llamente, corno modelo logarítmico recíproco: In Yi
= PI - P2(~) + U¡
(a) . ¿Cuáles son las propiedades de este modelo: (Sugerencia: Considere el coefi·
ciente de la pendiente,,la asíntota, etc.).
(h) Si X = tiempo, ¿qué tipo de curva de crecimiento se traza con este modelo? (e) ¿En qué situaciones consideraría usted utilizar este modelo?
6.19 La siguiente tabla presenta información relacionada con el PNB y la oferta moneta· ría (M) en millones de dólares para Canadá, durante el período 1970-1984.
Fu~nt~: Banco de Reserva Federal de San
Luis. lnt~matto1Ull Economlc CondlttolU. edición anual. junio, 1985. p. 14 (datos de M,) Y p. 17 (datos del PNB).
Afto 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984
PNB Oferta monetaria ($, mAlones) ($, mBlones) 85,685 94.450 105.234 123.560 147,528 165,343 191.857 210.189
232,211 264,279 297.556 339,797 358,302 390.340 420,819
9,027 10.178
11,626 13.320 14.555 16,566 17,889 19,381 21,328 J2,823
24,254 25,379 25,541 .28,137 28,798
EXTENSIONES DEL MODELO DE REGReSlON UNEAL CON DOS VARIABLES
187
Utilice estos datos. para ajustar el siguiente [email protected] los resultados. PNBt .. PI
+ P2 In dinero. +u.
6.20 So dan a usted los siguieBtes-datos:
1í
XI
Y,
X,
86 79 76 69
3 7 12 17
62 52
35 45
65
25
48
51 51
55 70 120
(Fuente: adaptado de J. 10hnston, Econometrlc Methodl, ed.. McGraw·HID Book Company, New York, 1984, p. 87. En realidad, est' tomado de un examen
econométrico de la Universidad de Oxford,1975).
Ajuste el siguiente modelo a los datos y obtenga las usuales estadísticas de regresión:
C~~
}) = PI
+
P2(:)
6.21 Para medir la elasticidad de sustitución entre el capital y la mano de obra, Arrow. Chenery, Minhas y Solow. autores de la famosa función de producción CES (Función de elasticidad constante de sustitución) utilizaron el siguiente modelo: log donde·(V¡L)
(f) = log
{JI
+ (J" log W + u
= valor agregado por unidad de mano de obra, L = mano de obra y
W= tasa de salario real. El c~ficiente P2 mide la elasticidad de sustitución entre la mano de obra y el capital (es decir, el cambio proporcional en las proporciones de los fictores/cambio proporcional en los preCios relativos .de los factores). Para.los datos dados en la siguiente tabla, verifique que la elasticidad estimada es de 1.3338 y que no es significativamente diferente de 1 desde el punto de vista estadístico.
Industria
Harina de trigo Azúcar Pinturas y barnices Cemento Vidrio Cerámica Triplex Textiles de algodón Textiles de lana Textiles de yute Químicos
lo¡¡ (VIL)
Io¡¡W
3.6973 3.4795 4.0004 3.6609 3.2321 3.3418 3.4308 3.31S8 3.5062 3.2352 3.8823
2.9617 2.8532 3.1158 3.0371 2.8727 2.974S 2.8287 3.0888 3.0086 2.9680 3.0909
168
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
IDdustria Aluminio
Hierro y acero Bicicletas Máquinas de coser
loa (VIL)
IoaW
3.7309. 3.7716 3.6601 3.7554
3.0881 3.2256 3.1025 3.1354
Damodu Gujuati, "A Test of ACMS Production Function: lndian InduJtries, 1958," lndlll" JourruJI o{ lndunrlal Re14t1onl, Julio 1966, vol. 2, No. 1, pp. 95-97.
Fuen,.:
APENDICE6A 6A.l DERIVACION DE LOS ESTIMADORES MINIMOS CUADRADOS PARA LA REGRESION A TRAVES DEL ORIGEN Queremos minimizar
con respecto a Pl. Al diferenciar (1 ) con respecto. a Pl obtenemos (2)
d¿ef dP;¡,
= 2
¿ (Y¡ - Pa Xi)( -Xi)
Haciendo (2) igual a cero y simplificando, obtenemos (3)
8 Pl
¿ Xi Y¡ . = ¿ Xl = (6.1.6)
Ahora sustituyendo la FRP: Y¡ = P2 Xi + u, en esta ecuación, obtenemos, (4)
6 = P2
¿ X¡CJJl XI + Ui)
¿Xl _P ¿Xiu¡ - a+ ¿Xl
Por tanto, (S)
E(Pa - P2)2
=
1lii;IT
Expandiendo el lado derecho de (5) y observando que las X, no son estocás ticas y las u, son homocedásticas y no correlacionadas, obtenemos: (6)
Var ~2)
= E
(12
P2)a
= ¿ Xl = (6.1.7)
169
EXTENSIONES Del MODELO DE REGRESION lINEAl CON DOS VARiABlES
Incidentalmente, obsérvese que de la ecuación (2) obtenemos, después de igualar a cero (1) e, X, == O
L
Del Apéndice 3A, Sección 3A.I, podemos ver que cuando el término de la intersección está presente (\n. eJmodelo, obtenemos además de (7) la condición L e, == O. De los anteriores cálculos matemáticos debe quedar clara la razón por la cual puede presentarse el caso de que para el modelo de regresión a través del origen, la suma del error, L e, no sea igual á cero. Supongamos que se quiere imponer la condición de que L e, == O . En este caso tenemos. (8)
L lí == p" L X, + L e, == p" ¿ X, (dado que¿ e, = Odada la construcción
.iiticial)
Tenemos entonces (9)
1" == L,X ~ lí, y
== 1
Valor medio de Y = Valor medio de X
Pero este estimador no es el mismo que (3)6 (6.1.6). Y puesto que elp" de (3) es insesgado (¿por qué?), el p" d.e (9) no puede ser insesgado. El punto clave a tener en cuenta es que en la regresión a través del origen no se puede dar el caso en que tanto L elX,como L e, sean iguales a cero, como ocurrió en el modelo convencional. La única condición que se satisface es que L elX,es cero. Recordemos que lí == ~ + e, (2.6.3) Sumando esta ecuación en ambos lados y dividiendo por N, el tamafto de la muestra, obtenemos (lO)
Y= f + e
.puesto que para el modelo con intersección igual a cero,L e, y, por tanto, no necesariamente deben ser cero, entonces (11)
e,
y#: t
10 cual implica que el promedio de los valores reales de Y no necesariamente debe ser igual al promedio de los valores estimados de Y; por el contrario, los dos valores promedios son idénticos para el modelo que posee intersección con el eje Y, como se puede ver partiendo de-Ia ecuación (3.1.10). . Se observó que para el modelo con intersección igual a cero,'" puede ¡er negativo mientras que para el modelo convencional éste nunca .es el caso. ~sto se puede demostrar de la siguiente manera:
, MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
170
Utilizando (3.5.4), podemos escribir. r l = 1 - SRC/STC = 1 -;
(12)
~ e~ t...
YI
Ahora, para el modelo convencional, que posee. intersección el modelo (3.3.6) muestra que (13) SRC = L el = L yl - .O~ L xl ~ Y1 a no ser que .Ol sea cero, (es decir, que X no tenga ninguna influencia sobre ~. Por tanto, para el modelo convencional, SRC ~ STC, lo Gual implica que nunca puede ser negativo. Para el modelo con intersección igual a cero, se puede demostrar análogamente que (14) SRG = L el = L Yl - .O~ L Xl (Nota: La suma de los cuadrados de Y y X no está ajustada con respecto al promedio). Entonces, no existe ninguna garantía de que esta SRC sea siempre inferior a L = L yt - Ny 2 10 cual sugiere que la SRC puede ser mayor, implicando que como se define convencionalmente, puede ser negativo. Incidentalmente obsérvese que en este· caso el SRC será mayor que el STC si .O~ L xt < Ny2.
,2
yr ,2 ,
6A.2 LISTADO SAS DE LA·LINEA CARACTERISTICA (6.1.11) MEAN
SU... OF . sQuARES
SQUARE
123&4.263
12364.263
343".147 15801.410
381.905
19.54239$
R-saUARE ADJ R-sa
19.390000 100.786
TERM IS USEO. R-8QUARE IS REOEFINED. PARAMETER ESTlMATE
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X
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67.5
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19.2 -35.2 -42.0 63.7
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EXTENSIONES DEL MODELO DE REGRESION LINEAL CON DOS VARIABLES
171
6A.3 LISTADO SAS DE LA REGRESION DE LA CURVA DE PffiLLIPS PARA E~ REINO UNIDO (6.3.13)
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-..-
CAPITULO
7
ENFOQUE MATRICIAL PARA EL MODELO DE REGRESION LINEAL
En este capítulo se presenta el modelo clásico de regresión lineal con k variables (Y y x 2 , x), ... X k ), en notación de álgebra matricial. Conceptualmente, el modelo de k variables es una extensión lógica de los modelos de ·2 Y 3 variables. Por tanto, en este capítulo se presentan muy pocos conceptos nuevos, a excepción de la notación matricial. 1 Una gran ventaja del álgebra matricial sobre el álgebra escalar (álgebra elemental que trata con escalares,y números reales) consiste en que proporciona un método compacto de manejar los modelos de regresión que involucran cualquier número de variables; una vez formulado y solucionado el modelo con k variables mediante la utilización de notación matricial, la solución se puede.aplicar a una, dos, tres, o cualquier número de variables. * Este es un capítulo opcional y puede ser omitido sin que por ello haya pérdida de continuidad. I Los lectores que no estén familiarizados con el álgebra matricial deben repasar los fundamentos correspondientes antes de seguir, los cuales son necesarios para comprender este capítulo.
172
ENFOQUE MATRICIAL PARA EL MODELO DE REGRESION LINEAL"
173
7.1 EL MODELO DE REGRESION LINEAL CON k VARIABLES ~
Generalizando los modelos de regresión lineal con dos y tres variables, el modelo de regresión poblacional (FRP) con k variables que tiene la variable dependiente Y y K-l variables explicativas X 2 , X 3 , ••• X k se puede escrlbir como i = 1.2.3 •...• N
(7.11) donde PI = la intersección, fJ2 a fJ" = coeficientes parciales de la pendiente, u = término de perturbación estocástica, i = iésima observación, donde N corresponde al tamafto de la población. La FRP (7.1.1) se debe interpretar como siempre: nos proporciona la media o valor esperado de Y, condicionado en los valores fijos (en muestreos repetidos) de X 2 , X 3 , ••• X k , es decir La ecuación (7.1.1) es'una expresión abreviada del siguiente conjunto de N ecuaciones simultáneas:
. Yi Y2
= fJI + fJ2 X 21 + fJ3 X 31 + ... + fJ"X u +"1
= fJI + fJ2 X 22 + fJ3 X 32 + ... + fJ"X u
+"2
(7 .l~2)
Escribamos el sistema de ecuaciones (7.1.2) en' una forma alterna, aunque más ilustrativa:
[~1
y N xl
donde y
=
=
[j
X 21 X 22
X3~
X 2N
X 3N
X 32
x N xk
x"rl m X 12
fJ2
X"N
fJ"
·· ·
.. .
p
k x 1
+ +
(7.1.3)
u
N xl
2
= un vector columna N X 1 que contiene las observaciones de la va-
riable dependiente Y. X = matriz N X k que muestra las N observaciones de las k - 1 variables explicativas X 2 a X k , con la primera columna de unos para representar el término de intersección. (Esta ma:triz también se conoce c"mo matrjz de datos). 11 = vector columna k X l de los parámetros desconocidos fJ" P2"'" fJ" u = vector columna N X 1 de N las perturbaciones U¡ Los vectores serán representados por letras minúscUlas en negrillas y las matrices serán representadas por letras mayúscUlas en negrillas.
2
174
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
Utilizando las reglas de suma y multiplicación de matrices, el lector debe verificar que los sistemas (7.1.2) Y (7.1.3) son equivalentes. El sistema (7.1.3) se conoce como representación matricial del modelo general de regresión lineal (con k variables). Se puede escribir en forma más concreta como
y Nxl
== ,X: , + u N'kkkxl N xl
(7.104)
Donde no existe ninguna confusión sobre las dimensiones u 6rdenes de la matriz X y los vectores y, p, y u; la ecuación (7.1.4) se puede escribir sencillamente como (7.1.5) y = Xp + u Como ilustración de la representación matricial, consideremos el modelo consumo-ingreso de dos variables utilizado en el Capítulo 3; más específicamente, 1'; = /Ji + /J2 X ¡ + U¡, , donde Y son los gastos de consumo y X es el ingreso. Utilizando los datos dados en la Tabla 3.2 la formulación matricial es la siguiente: 70 65 90 95 110 115 120 140 155 150 Y
=
1 80 1 100 120 1 140 1 160 1 180 1 200 1 220 240 1 260 X
U1 U2 U3
u4
[~~
+
Us
u6
(7.1.6)
U7 U8 '"9
"10 P
+
u
10 x 1 10 x 1 10 x 2 2 x 1 Como fue el caso para 'el modelo de dos variables, nuestro objetivo consiste en estimar los parámetros de la regresión múltiple (7.1.1) Y hacer inferencias acerca de ellos a partir de los datos que se tienen a la mano. En notación matricial, esto implica estimar p y hacer inferencias sobre su valor. Para efectos de estimación, podríamos utilh'lr el método de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) o el método de máxima verosimihtud (MV). Sin embargo, como se mencionó anteriormente, estos dos métodos arrojan idénticos estimadores de los coeficientes de regresión. 3 En consecuencia, limitaremos nuestra atención al método de (MCO). 3 La prueba de que esto se cumple en el caso de k variables se encuentra en las referencias de las notas de pie de página del capítulo cuarto.
ENFOQUE MATRICIAL PARA EL MODELO DE REGRESION LINEAL'
175
7.2 SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO DE REGRESION UTILIZANDO NOTACION MATRICIAL En la Tabla 7.1 se presentan los -supuestos en los que se basa el modelo clásico de regresión lineal en notación escalar, así como sus equivalentes en notación matricial. El supuésto 1 dado en (7.2.1) implica que el valor esp~rado del vector de perturbación u, es decir, el valor de cada uno de sus elementos, es cero. Expresado más explícitamente, E(u) = O implica que
E[::] = [:::::] UN
E(UN)
=
l~]
(7.2.6)
O
El supuesto 2 [ecuación (7.2.2)1 es una forma concreta de expresar los dos sUp'uestos dados en (3.2.2) y (3.2.3), utilizando notación escalar. Para poder apreciarlo, escribamos:
TABLA 7.1
Supuestos del modelo clásico de regresión lineal Notación escalar 1. E(u¡) == o, pata cada;
2. E(ufU¡)
= O i =1= i. :,(12;=;
3. X,. Xl' .. , • Xk son no estocásticas o fijas
------------------~---Notación matricial (3.1.1)
1. E(u)=O (7.2.1) donde 11 y O son vectores columna de N xl. siendo O un vector nulo
(3.1.2) (3.1.3)
2. Eluu') _ 6 1 1 donde I es una matriz identidad de N x N
(3.2.4)
(7.2.2)
3. La matriz X de N x k es no estocástica; es decir. consta de un conjunto de números fijos. (7.2.3)
4. No existe relación lineal exacta entre lal variables X. es decir, no existe multicoli· nealidad. (7.1. 7)
4. El rango de X. ¡¡(xl"" k, donde k es el número columnas en X y k es menor que N, número de observaciones. (7.2.4)
5. Para pruebas de hipótesis: N(O, (11)
5. El vector u tiene una distribución normal multivariada, es decir u - N(O, 0'21) (7.2.5)
"1 -
(4.2.4)
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
176
donde u' es la traspuesta del vector columna Efectuando la multiplicación, obtenemos
u, el cual es un vector fila.
Aplicando el operador de valor esperado E a cada elemento de la matriz anterior, obtenemos E(u¡)
E(uu')
=
[
E(utuz)
E(utu N )
~~~~.~~~ ....~~~~! .... '.:: ...~~~.2. ~~). E(uNu t ) E(UNU2)
...
]
(7.2.7)
E(u~)
Debido a los supuestos de homocedasticidad y no correlación serial, la matriz (7.2.7) se reduce a E(uu)
~ r~:'~~ . ~.: :.....~l loo
=
O ...
(12
(1Z[.~.... ~....~ .........~.] O
O O .. ,
1
(7.2.8) donde 1 corresponde a una matriz identidad o matriz unitaria N X N. A la matriz (7.2.7) y su representación dada en (7.2.8) se le denomina matriz de varianza-covarianza de las perturbaciones U¡; los elementos sobre la diagonal principal de esta matriz (los que van de la esquina superior izquierda a 1~ esquina inferior derecha) muestran las varianzas, mientras los elementos que se encuentran4 fuera de la diagonal principal corresponden a las covarianzas. Obsérvese que la matriz de varianza-covarianza es simétrica: los elementos localizados a la derecha de la diagonal principal son imagen idéntica de los de la izquierda. ' El supuesto 3 afirma que la matriz X de orden N X k es no estocástica, lo cual implica 'que está formada por número fijos. Como se mencionó previamente, nuestro análisis de regresión es un análisis de regresión condicional, por lo cual los valores de Y dependen de los valores fijos de las variables X.
Por definición, la varianza de u¡ = E[u¡-E(u¡)]2 mientras que la covarianza entre u¡ y Uj =E[u¡-E(uJ - E(u j )). Sin embargo, en razón al supuesto de que E(u¡) = O para cada i, tenemos la matriz de varianza-covarianza de la ecuación (7.2.7). 4
[u j
ENFOQUE MATRICIAL PARA EL MODELO DE REGRESION LINEAL'
177
El supuesto 4 afirma que la matriz X tiene un rango de columna completo igual a k, el número de columnas en la matriz. Lo anterior significa que las columnas de la matriz X son linealmente independientes, lo que implica que no existe una relación lineal exacta entre las variables X.< En otras palabras, no existe multicolinealidad. En notación escalar, esto es equivalente a decir que no existe un conjunto de números Al, A2' ... , Ak donde no todos son cero, tales que [cf (7.1.8)]. (7.2.9) donde X 11 = 1 para todo i (para dar lugar a la columna de unos en la matriz X). En notación matricial, la ecuación (7.2.9) se puede representar como )..'x =0
(7.2.10)
donde A' es un vector fila de 1 X k Yx es un vector columna de k X 1. Si existe una relación lineal exacta como la de la ecuación (1.2.9), se dice que las variables son colineales. Por otra parte, si la ecuación (7.2.9) es ve"dadera solamente si Al = A2 = A,3 = ... = O, entonces se dice que las variables X son linealmente independientes. En el Capítulo 8 proporcionaremos una justificación más profunda del supuesto de no multicolinealidad.
7.3 ESTIMACIONES UTILIZANDO MeO Para obtener el estimador de MCO para muestral p.,.q k variables (FRM):
p, escribamos primero la regresión (7.3.1)
que se puede escribir más concretamente en notación matricial como y=
Xp + e
(7.3.2)
y en forma de matrices como
(7.3.3)
e + P N x 1 kx 1 donde ~ es un vector columna de k elementos de los estimadores de MCO para los coeficientes de regresión y donde e es un vector columna de N X 1 para los N residuos. Como ocurre en los modelos de dos y" tres variables, en el caso de k variables los estimadores de MCO se obtienen minimizando =
y
N xl
X
N xk
L ef = L (Y¡ -
•
PI - P2 X 2i -'" - ptXkl
(7.3.4)
178
MOOELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
r et
donde es la suma de los residuos al cuadrado (SRC). En notación matricial, esto equivale a minimizar e'e puesto que
e'e
= [el e2 ... eNJ [:::] = ei + ei.+··· +
e~ = ¿
el
(7.3.5)
. eN
Ahora, partiendo de la ecuación (7.3.2) obtenemos (7.3.6)
e = y - Xp
Por tanto, e'e
= (y Xp)'(y - XP) = y'y - 2P'X'y + p'X'XP j
(7.3.7)
donde se utilizan las propiedades de la trasposición de una matriz, es decir, = P'X'; y puesto que P'X'y es un escalar (un número real), él es igual a su traspuesta y'XIl. .la ecuación (7.3.7) es la representación matricial de (7.3.4). En notación escalar, el método de MCO consiste en estimar de esta manera 131.132' ... , Pie donde ¿ el es tan pequeña como sea posible. Esto se hace diferenciando parcialmente (7.3.4) con respecto a PI' P2' ... , Pie e igualando las expresiones resultantes a O. Este proceso arroja k ecuaciones simultáneas para k incógnitas, las ecuaciones normales de la teoría de los mínimos cuadrados. Como se muestra en el Apéndice 7A, Sección 7A.l, esta~ ecuaciones son las siguientes:
(Xp)'
NPI + P2 L X 2i + P3 ¿ X 3i + ... + Pie L X lei = L Y¡ PI ¿ X 2i + P2 ¿ X~i + P3 L XU X3i + ... + Pie ¿ X 2i X lei = ¿ X u Y¡ PI ¿ X 3i + P2 ¿ X 3 /X 2/ + P3 ¿ X~/ + ... + Pie ¿ X 3i X ki = ¿ X 3i Y¡ ~
................................................................................. (7.3.8)5 PI
¿X
lci
+ P2
¿X
Ie
/X 2/ + P3
¿ X ki X
31
+ ... +
Pie ¿
Xfi
=
¿
X lei Y;
En forma matricial, las ecuaciones en (7.3.8) se pueden expresar como N
I
X 2i
IX
I
3i
X ki
IX 2i I xii I X 3i X
I
IX IX I X 2i X li .,. I X 2i X li I xii ... I X X 3i
li
X ki X 2i
(X'X)
lci
3i
I
X ki X 3i
•. ,
I
lci
X 21
X 22
.,.
X 2N
X 3!
X l2
.. ,
X 3N
X;i
X'
Y (7.3.9)
Estas ecuaciones pueden recordarse fácilmente. Comience COR la ecuación Y¡ = p\ + P2 X 2i + P3 X 3i + .. + Pie X lei' Sumando esta ecuación sobre los N valores se obtiene la primera ecuación en (7.3.8);
5
al multiplicarla por X 2 a ambos lados y sumar sobre las N, obtenemos la segunda ecuación; tnultipli cándola por X, a ambos lados y sumando sobre las N obtenemos la tercera ecuación; y así sucesivamente. Nótese que la primera ecuación en (7.3.8) equivale Clirectamente a p\ = Y - P2 X 2:" Pie X k [cf. (7.4.6)].
179
ENFOQUE MATRICIAL PARA EL MODELO DE REGRESION LINEAL'
o en forma más concreta como (X'X)~
= X'y
(7.3.10)
. Obsérvense las siguientes características de la matriz (X'X): (1) proporciona las sumas brutas de los cuadrados y los productos cruzados de las variables X, uno de los cuales es la intersección, la cual toma el valor de 1 para cada observación. Los elementos en la diagonal principal muestran las sumas brutas de los cuadrados, mientras que aquellos que se encuentran fuera de la diagonal principal presentan las sumas brutas de los productos cruzados (el término bruto implica que está en las unidades originales de medición. (2) Es simétrica puesto que el producto cruzado entre X 2i X 3i es el mismo que entre X 3;' X 2;' (3) El orden de la matriz es de (k X k), es decir, k. filas y k columnas. En la ecuación (7.3.10) las cantidades conocidas son (X'X) y (X'y) (el producto cruzado entre las variables X y siendo ~ el valor desconocido. Utilizando ahora álgebra matricial, si existe la inversa de (X'X), es decir, (X'X)-l, entonces premultiplicando ambos lados de la ecuación (7.3.1 O) por su inversa obtenemos .
n,
(X'X)-l(X'X)~
= (X'X)-IX'y
pero debido a que (X'X)-l (X'X) == J, una matriz identidad de orden k X k, obtenemos
o
IP = (X'X)-IX'y P= (X'X)-lX'y
(7.3.11)
k xl, k x k (k x NXN x 1)
La ecuación (7.3.11) es un resultado fundamental de la teoría de MCO en notación matricial. Muestra como el vector íi se puede estimar partiendo de los datos dados. Aunque la ecuación (7.3.11) se obtuvo partiendo de (7.3.9), se puede obtener directamente de (7.3.7) diferenciando e'e' con respecto a ~. La prueba se encuentra en el Apéndice 7 A, Sección 7 A.2.
Ilustración Para ilustrar el método matricial desarrollado hasta el momento, examinemos el ejemplo de consumo-ingreso del Capítulo 3, cuya información se reproduce en la ecuación (7.1.6). Para el caso de dos variables, tenemos
Xl
LJ
1
~: -[tx, f~¡J
180
MODELOS UNIECUACIONAlES DE REGRESION
y
Empleando la i.nformación dada en (7.1.6), obtenemos, X'X
I
Xy =
y
1700 ] 322000
= [10
1700
[1110 ] 205500
Al utilizar las reglas de inversión de matrices, se puede observar que la inversa de la matriz (X'X) anterior es (X'X)-1 = [
0.97576 -0.005152
-0.005152 ] 0.0000303
por tanto,
~ = [P1J =
P2
[0.97576 -0.005152
-0.005152 J[ 1110J 0.0000303 205500
= [24.3571J 0.5079
Previamente obtuvimos P1 = 24.4545 y P2 = 0.5091, utilizando el computador. La diferencia entre las dos estimaciones se debe únicamente a errores de aproximación. A propósito, obsérvese que cuando se trabaja con una calculadora de escritorio es esencial obtener los resultados a un nivel significativo de dígitos, para efectos de minimizar los errores de aproximación. Matriz de varianza-covarianza para ~
Los métodos matriciales nos permiten desarrollar fórmulas, no solamente para la varianza de Pi' cualquier elemento dado de ~, sino también para la covarianza entre dos elementos cualesquiera de p, por ejemplo, Pi y P1 . Necesitamos estas varianzas y covarianzas para efectos de realizar inferencia estadística. Por definición, la matriz varianza-covarianza para P es [cf. (7 .2.7)J: var-cov (,B) = E{[P - E(~)][P - E(P)]'} que se puede escribir explícitam~nte como
ENFOQUE MATRICIAL PARA EL MODELO DE REGRESION LINEAL"
var-cov (j)
=
181
[~~~W~1.,l. .~:.~r~;:l . ::. ~:~:: .~~] COy (Pk'
Pl)
COy (p",
Pl) ...
(7.3 .12)
var (Pk)
En el Apéndice 7 A, Sección 7 A.3, se demuestra que la anterior matriz de varianza-covarianza se puede obtener a partir de la siguiente fórmula: (7.3.13) donde q2 es la varianza homocedástica de u¡ y (X'Xt 1 es la matriz inversa que aparece en la ecuación (7.3.11), fórmula de la cual se obtiene el estimador ~,de MCO. En los modelos de regresión lineal de dos o tres variables, las expresiones (¡2 = ¿ ef/(N ~ 2) Y (¡2 = ¿ et/(N - 3), arrojaban el estimador insesgado para q2 , respectivamente. En el caso del modelo de k variables, la fórmula correspondiente es
e'e
(7.3.14)
=N-k
en cuyo caso existen N - k g de 1. (¿Por qué?) A pesar de que en principio e'e se puede calcular a partir de los residuos estimados, en la práctica se puede obtener directamente de la' siguiente manera. Si recordamos que ¿ et (= SRC) = STC - SEC, para el caso de dos variables, "t..
" y¡2 e¡1 -_ t..
82" pz t..
(3.3.6)
X¡2
y en el caso de tres variables
¿ ef = ¿ yf - Pl ¿ Y/X2i -
P3
¿ y¡X3¡
(7.4.17)
Extendiendo este principio al modelo con k variables, se puede ver
¿ et = ¿yt - Pl ¿Y¡X
2i - ' "
-
¡JI< ¿Y¡x,,¡
(7.3.15)
En notación matricial,
, STC Ln·_·~,<::"Nf:~:~~~h~,:;:\::\~~~j' SEC:P: Ly,X;Af'" ··(,... I,Itlt~~f~t.:.:;~!~
(7.3.16)
(7.3.17)
donde el término Ny2 se conoce como corrección de la media. 6 Enton'ces, e'e == 1Y - "X'y ,6 Nota:
L yf = L (Yj -
y)2 =
L Yf -
"'(7.3.18)
Ny 2 = y'y - NYz. Por tanto, sin el término de corrección, y'y
nos dará silJlplemente la suma bruta de cuadrad.u y no la suma de desviaciones al cuadrado.
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
182
a
Una vez estimado el valor de e'e, 2 se puede calcular fácilmente partiendo de (7.3.14), lo cual a su vez nos permite estimar la matriz de varianza-covarianza (7.3.13). Para el caso de nuestro ejemplo ilustrativo, e'e
= 132100 -
[24.4545
O.5091][20~~~J
= 337.273 (337.273/8) = 42.1591, que corresponde aproximadamente
Por tanto, a = al valor obtenido previamente en el Capítulo 3. 2
Propiedades del vector
pde MCO
Para el caso de dos variables, sabemos que los estimadores de MCO son lineales, insesgados y, dentro de la clase de todos los estimadores lineales, insesgados, tienen varianza mínima (la propieda,d de Gauss-Markov). En resumen, los estimadores de MCO son los mejores estimadores lineales insesgados (MELI). Esta propiedad es extensiva a todo el vector ti; es decir, p]es lineal (cada uno de sus elementos es una función lineal de Y, la variable dependiente). E(P) = p, lo cual implica que el valor esperado de cada elemento de P'es igual al correspondiente elemento del 11, verdadero y en la clase de todos los estimadores lineales insesgados de 11, el estimador ti de MCO tiene varianza mínima. La prueba está dada en el Apéndice 7 A, Sección 7A.4. Como se enunció en la introducción, el caso del modelo de k variables es en la mayoría de las circunstancias una extensión directa de los casos de dos y tres variables.
-.7.4 EL COEFICIENTE DE DETERMINACION R 2 y EL COEFICIENTE DE DETERMINACION AJUSTADO R'l EN LA NOTACION MATRICIAL El coeficiente de determinación R'l se ha definido como R2 = SEC
STC En el caso de dos variables, (3.5.6) yen el caso de tres variables
183
ENFOQUE MATRICIAL PARA EL MODELO DE REGRESION LINEAL>
Generalizando, para el caso de k variables tendremos R2 = P2 L Y/X2/
+ P3L Y/X31 + ... + ¡JI< l: YIXIcI LY?
(7.4.1)
Usando (7.3.16)'· y (7.3.17), la ecuación (7.4.1) se puede escribir como R2
-
"X',
_Ny2
=--..=-..~:-:-
(7.4.2)
- 1'y - NY"
lo cual nos muestra la representación matricial de R 2 Para nuestro ejemplo ilustrativo,
p~, X,Y = [24.3571
•
1110J 0.5079] [ 205500
= 131409.831
y'y = ,132100
Ny2 = 123210
y
Al remplazar es~os valores en (7 .4.2) se puede apreciar que R'1. = 0.9224, el cual es aproximadamente el mismo valor que se obtuvo anterionnente, excepto por los errores de aproximación. Para efectos de comparar dos iP , es necesario tener en cuenta el núme': ro de variables explicativas presentes en el modelo. Lo anterior puede hacerse fácilmente si se considera un coeficiente de determinación alterno, como el que presentamos a continuación: iP
=::
,
1 _1; eU(N- k)
(7.4.2.1)
Lfl/(N ';;'.1)
en dondé k = número de parámetros en el modelo, incluyendo el término de intersección con el eje Y. (En el modelo de 3 variables, por ejemplo, k = 3). El R'1. definido de esta manera se denomina R2 ajustado. El ténnino ajustado implica que el coeficiente se ajusta por los grados de libertad asociados con las sumas.de cuadrados que entran en la ecuación (7.4.2.1): L tieneN - k g de 1 en un modelo que incolucra k parámetros y que incluye la intersección, en tanto que L yf tiene N - 1 g de l. Para el caso del modelo de tres . variables, sabemos que L tiene N - 3 g de l. La ecuación (7.4.2.1) puede escribirse alternativamente de la siguiente manera:
et
er
f¡2
iP=l--Z Sy
(7.4.2.2)
en donde f¡2 es la varianza de los residuos, un estimador insesgado del verdadero (12, y es la varianza muestral de Y. Es fácil establecer la relación existente entre el iP y el R 2 , puesto que
S:
184
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
al sustituir la definición del R2 del Capítulo 3, ecuación(3.5.4), en la ción (7.4.2.2); en donde, después de alguna manipulación algebraica,
ecua-
en la ecuación (7.4 ..2:2), se obtiene la siguiente expresión: (7.4.2.3) ¿Qué R" deberá usarse en la práctica? Theil nos proporciona un buen argumento acerca de las razones por las cuales debe utilizarse el R" : ... es buena práctica utilizar el R" en lugar del R 1 debido a que este último nos proporciona un cuadro demasiado optimista de la regresión, p~icularmente cuando el número de variables explicativas no es muy pequeño en comparación con el número de observaciones.
En el Capítulo 5 desarrollamos la técnica de ADV para probar la significancia global de la regresión estimada, hecho que implicaba probar la hipótesis nula de que el valor verdadero del coeficiente de la pendiente era igual a cero. En este capítulo haremos extensivo el ADV al modelo d~ k variables, buscando (1) probar la significancia de la hipótesis nula de que los coeficientes verdaderos (parciales) de las pendientes son simultáneamente iguales a cero y (2) estimar la contribución incremental de una variable explicativa. 7.S LA MATRIZ DE CORRELACION En los ~apítulos anteriores nos encontramos con los coeficientes de correlación rn, '13, '23 de orden cero o simple, así como los coeficientes de correlación parcial o de primer orden '12.3, '13.2' '23.1 Y sus respectivas interrelaciones. En el caso de k variables, se tendrán en total k (k - 1)/2 coeficientes de correlación de orden cero. (¿Por qué?) Estas correlaciones k(k - 1)/2 se pueden colocar en una matriz denominada matriz de correlación R, de la siguiente manera:
(7.5.1)
ENFOQUE MATR1CIAL PARA EL MODELO DE REGRESION LINEAL'
185
donde el subíndice 1, como en el caso a)1terior, denota la variable dependiente y (r12 repres~nta el coeficiente de correlación entre Y y X" y así sucesivamente) y donde se apela al hecho de que el coeficiente de correlación de una variable con respecto a sí misma es siempre igual a 1 ('11 = '22 = ... = 'kk = 1). Partiendo de la matriz de correlación R se pueden obtener los coeficientes de correlación de primer orden y de órdenes más elevados, tales como '12.34 ••• k· (véase Ejercicio 7.4). Muchos programas de computador calculan rutinariamente la matriz R. Analizaremos la matriz de" correlación en un capítulo posterior(véase Capítulo 8).
7.6 PRUEBAS DE HIPOTESIS CON RESPECTO A LOS COEFICIENTES INDIVIDUALES DE REGRESION EN NOTACION MATRICIAL Con base en razones ya expuestas en los capítulos anteriores, si nuestroobjetivo es tanto la inferencia como la estimación, tendremos que asumir que las. perturbaciones u¡ siguen alguna distribución probabilística. Además, por razones dadas previamente, en el análisis de regresión suponemos normalmente que cada Uf posee una distribución normal con un promedio o media de cero y una varianza constante 0'2. En notación matricial tenemos que
(7.6.1) londe u y O son vectores columna de N Xl, mientras que I es una matriz ientidad de N X N YO corresponde al vector nulo. Según "el supuesto de normalidad, sabemos que para los modelos de ~resión con dos y tres variables: (1) los estimadores de MCO, ¡Ji y los imadores de MV Pi son idénticos, aunque el estimador de MV (12 es seso, este sesgo se puede eliminar utilizando el estimador insesgado de MCO y (2) los estimadores Pi de MeO también tienen una distribución norEn términos generales, para el caso de k variables se puede demostrar (7~6.2)
ir, que cada elemento de ; tiene una distribución normal, distribuido la media igual al elemento correspondiente del valor verdadero de \ varianza dada por 0'2 multiplicado por el elemento adecuado en la 1 1. de la matriz inversa (X'Xt • . !sto que en el práctica se desconoce 0'2, ésta se estima empleando nces, utilizando en lugar de la distribución normal, la distribución ~luye que cada elemento de ~ posee una distribución t con N-k g )ólicamente,
(7.6.3)
MODELOS UNfECUACfONALES DE REGRESION
186
con N - k g de 1, donde fl¡ es un elemento de p. Por tanto, la distribución t se puede utilizar para evaluar hipótesis acerca del verdadero valor de Pi' como también para establecer intervalos de confianza con respecto a dicho vector. Los procedimientos correspondientes ya se han' ilustrado en el Capítulo 5. Si se desea un ejemplo completo, véase Sección 7.10.
7.7 PRUEBAS DE SIGNIFICANCIA GLOBAL DE LA REGRESION: ANA LISIS DE VARIANZA EN NOTACION MATRICIAL La técnica de ADV 'se puede, por tanto, hacer extensiva fácilmente al caso de un modelo de k variables. Recordemos que la técnica de ADV consiste en descomponer la STC en dos componentes: la SEC y la SRC. Las expresiones matriciales para estas tres sumas de cuadrados ya se han dado en (7.3.16) , (7.3.17) y (7.3.18), respectivamente. Los grados de libertad asociados con esta suma de cuadrados son N - 1, k - 1 Y N - k, respectivamente. (¿Por qué?) En la Tabla 7.2 se presentan estas expresiones. Suponiendo que las perturbaciones u¡ tienen distribución normal y que la hipótesis nula P2 = P3 = ... = Pk = O , se puede demostrar que F _' (P'X'y - Ny2)/(k - 1) - (y'y - j'X'y)/(N - k)
(7.7.1)
TABLA 7.2 Fonnulación matricial del cuadrado de ADV para el modelo de regresión lineal de k variables SMC
Fuente de variación
SC
Debido a la regresión
_'X'y - Nf l
k- 1
~'X'y - Nf 2 k- 1
y'y - j'X'y
N -k
y'y - ~'X'y N- k
y'y - Nf 2
N -1
gde I
(es decir, debida a X l' X)' ...• X.) Debido a los residuos Total
TABLA 7.3 Tabla de ADV para k variables en fonna matricial en ténninos del R 2 gdel
Fuente de variación
SC
Debido a la regresión
R1(y'y _ Nf l )
(Es decir, debido a X 2' X 3' , .• , Xi) Debido a los residuos Total
k-l
., (1 -
R1)(y'y - Nf2)
y'y - Nyl
N-k
N-l
SMC RVyrNf2) k-l (1 - R2)(y'y - J
N-k
ENFOQUE MATRICIAL PARA EL MODELO DE REGRESION LINEAL·
187
posee unad.istribución F, con k - 1 Y N - k g de l. Se puede demostrar que existe una relación muy estrecha entre el F el R 2 , de la siguiente forma: F=
y
2
R /(k-l) (1 - R 2 )/(N - k)
Por tanto, la Tabla 7.2 de ADV se puede expresar también en la Tabla 7.3. Una ventaja de la Tabla 7.3 sobre la Tabla 7.2 es que todo el análisis se puede desarrollar en términos del R2 ; no se necesita considerar el término (y/y - Ny2) , puesto que éste se cancela en la relación F. .
7.8 PRUEBA DE RESTRICCIONES LINEALES: PRUEBAS GENERALES F UTILIZANDO NOTACION MATRICIAL En la sección anterior introdujimos la prueba general F para evaluar la validez de restricciones lineales impuestas sobre 1 o más parámetros del modelo de regresión lineal con. k variables. Derivemos ahora la notación matricial para la prueba estadística respectiva. Sea eR = vector de residuos de la regresión de mínimos cuadrados restringidos. eUR
= vector
de residuos de la regresión de mínimos cuadrados sin res-
tringir. Entonces e~ e!l = eUR eVR
L e¡ =
SRC de la regresión restringida y
= L e~R = SRC de la regresión sin fe.Stringir
m = número de restricciones lineales. k
=
N
=
número de parámetros (incluyendo la intersección) en la regresión sin restringir. número de observaciones.
La contraparte matricial es entonces F'= (e~eR - eutev.J/m (euReu.J/(N -k)
(7.8.l)
¡ue posee una distribución F con (m, N - k) g de 1. Como siempre, si el alor calculado d
9 ' PREDICCION UTILIZANDO REGRESION MULTIPLE: FORMULACION MATRICIAL \ esta se'cción mostraremos cómo utilizar la regresión múltiple estimada ra predecir valores' (l) promedios y (2) individuales de Y dados los valores
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
188
d~ X, utilizando notación matricial. También presentamos las fórmulas
para calcular las varianzas y errores estándar de los valores proyectados.
Predicción med.ia o promedio
(7.9.1)
Sea
el vector de valores de las variables X para los cuales deseamos pronosticar Yo , la predicción media o promedio de Y. La regresión múltiple estimada en forma escalar es:
Y; =
Pl + P2 X 2i + P3 X 3i + ... + PkXki
(7.9.2)
que, en notación matricial, puede escribirse en forma correcta como
Y¡ = x;~
(7.9.3)
.
'
La ecuación (7.9.2) o (7.9.3) corresponde desde luego a la predicción media de Y , correspondiente a los x; dados. Si xí es como el que se presenta en (7.9.1), entonces (7.9.3) se convierte en (7.9.4 ) donde, como es obvio, se especifican los valores de Xo . Nótese que (7.9.4) proporciona una predicción in sesgada de E(Y¡lx~), puesto que E(x~¡J) = xo~. (¿Por qué?)
Predied6n individual Como se 'consideró en el Capítulo S, la predicción individual de Y , Yo tamo bién está dada ((.n general por (7.9.3) o específicamente por (7.9.4). Es decir (Yolx~) =
xóP
(7.9.5
Para ilustrar la meéánica de la predicción media e individual, consideremos I modelo en el cual se intenta estimar los gastos de consumo personal en l( Estados Unidos en los últimos años utilizando el siguiente modelo Y = gastos de consumo personal (GCP)' en donde
ENFOQUE MATRICIAL PARA EL MODELO DE REGRESION LINEAL"
X2
189
= ingreso personal disponible (IPD ) = tiempo, en años.
X3 Para la estimación del anterior modelo se utilizó la información que aparece en la Tabla 7.4, para el período 1956-1970 TABLA7.4 Gastos de consumo personal per capital (GCPP) e ingreso personal disponible per cápita (IPDP) en Estados Unidos en 1956-1970, en dólares de 1985 Tiempo, X 3
GCPP, Y
IPDP, Xl
281.4 288.1 290.0 307.3
309.3 316.1 318.8 333.0
1956 1957 1958 1959
316.1 322.5 338.4 353.3
340.3 350.5 367.2 381.2
1960 = 5 1961 = 6 1962 = 7 1963 = 8
373.7 397.7 418.1 430.1
408.1 434.8 458.9 477.5
1964 = 9 1965 = 10 1966 = 11 1967 = 12
452.7 469.1 476.9
499.0 513.5 533.2
1968 = 13 1969 = 14 1970 = 15
= 1 = 2 = 3 =4
Fuente: Economic Report o{ the P1'es/dent enero 1972, Tabla B-16
la función estimada es la siguiente: f; = 53.1603 + O.7266X 2i + 2.7363X 3i (13.0261) (0,0487)
(0.8486)
t = (4.0811) (14.9060)
(3.2246)
gdel= 12
R 2 = 0.9988 iP = 0.9986
F Z• 12 = 5128.88
Supóngase ahora que se desea estimar los gastos de consumo para el primer trimestre de 1971, -dado que se conoce que el ingreso personal disponible ~s de $567 mil millones. . ~emplazando los dos valores, X 2 = 567 Y X 3 = 16, se obtiene (Y1m/X, =' S·67,X. = 16)= 53.1603 +0.7266 (567) + 2:7363 (16) = 508.9297
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
190
De otro lado, en términos matriciales, la predicción media y la individual de Jos gastos de consumo personal son:
y
•
P=
[53.1603] 0.7266 2.7363
por .tanto (Y1971Ix'1971)
= [1
567
16]
53.1603] 0.7266 [ 2.7363
= 508.9297 (Y1971
(7.9.6)
.
(7.9.7)
I X'1971) = 508.9297
Varianza de la predicción media o promedio l3 fórmula para calcular la varianza de(Yolxó) es la siguiente:? (7.9.8)
donde (12 es la varianza de U¡, x~ son los valores dados de las variables X a las que deseamos predecir y (X'X) es la matriz dada en (7.3.91, es decir. la matriz utilizada para estimar la regresión múltiple. Al remplazar (12 por su estimador insesgado &2, podemos escribir la fórmula (7.9.8) como (7.9.9) Para el ejemplo ilustrativo antes considerado, tenemos los siguientes valores: &l
= 6.4308
26.3858 X'X- 1
= [ -0.0982
1.6532
-0.0982 0.0004 -0.0063
1.6532] -0.0063 0.1120
7 Para la derivación, v~Qse J. Johnston, Econometric Methods. McGraw-HiII Book Company, 3 cd. Nueva York, 1984, pp. 195-196.
f
ENFOQUE MATRICIAL PARA EL MODELO DE REGRESION
LlN~AL'
191
Utilizando la Ínfonnación de (7.9.9), obtenemos (Var t 1971 1Xí971) = 6A308[1
567
-= 6.4308
= 3.6580
(7.9.10)
y
(7.9.11)
Entonces, siguiendo el análisis del Capítulo 5, el intervalo de confianza del 100(1 _oc ) por ciento de la respuesta promedio, dado x o és:
to -
t./2JU2xo{X'X)-lXO S E(Ylxo) S ro
+ t./2JU2xo{X'X)-lXO (7.9.12)
Para nuestro ejemplo, el intervalo de confianza del 95 %, para la respuesta promedio es: 504'.7518 S E(Y 1971) ~ 513.0868. Varianza de la predicción individual r~a
fórmula para la varianza de una predicción individual es la siguiente: 8 (7.9.13)
f. (5.10.6)] tevamente, utilizando la información con que se cuenta, obtenemos:
Var (Y1971Ix 1971 ) = 6.4308(1
se (Y1971lx1971)
+ 0.5688)
= 10.0887
(7.9.14)
= J10.0887 = 3.1763
(7.9.15)
',eamos establecer un intervalo de confianza del 100(1 - IX) por ciento a predicción individual, procedemos como en (7.9.12), excepto que Ir estándar de la producción se obtiene ahora a partir de (7.9.13). decir que el error estándar de la predicción para la predicción indivimayor que el de la predicción promedio.
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGAESION
192
7.10 RESUMEN DEL ENFOQUE MATRICIAL: EJEMPLO ILUSTRATIVO Para resumir el enfoque matricial al análisis de regresión, presentaremos a continuación un ejeIl}plo numérico desarrollado para tres variables. Recordemos el ejemplo de la regresión del consumo personal agregado en el ingreso personal disponible agregado para el período de 1956-1970. En dicho modelo se incluye una tercera variable, la de teñdéncia X 3, que puede representar entre otras cosas la población total: se espera que el consumo agregado aumente a medida que la población aumenta. Una manera de aislar la influencia de la población consiste en convertir el consumo agregado y el ingreso agregado en cifras per cápita, dividiendo tales valores por la población total. La regresión de los gastos de consumo per cápita en el ingreso per cápita nos proporcionaría la relación entre los gastos de consumo y el ingreso neto de los cambios que experimente la población (o efecto de escala). La variable de tendencia se puede mantener en el modelo como una variable que· "toma" todas las demás influencias que afectan los gastos de 9onsumo (por ejemplo, la tecnología), Por tanto, para fmes empíricos el modelo de regresión es
(7.10.1) donde Y = gastos de consumo per cápita, Xz = ingreso disponible per cápíta y X 3 = tiemp,o. Los datos necesarios para procesar la regresión (7.10.1 )se presentan en la Tabla 7:5.
TABLA 7.5 Gastos de' consumo personal per cápita (GCPP) e ingreso personal disponible per cápita (IPDP) en Estados Unidos en 1956-1970, en dólares de 1985 GCp'p. Y
1673 1688 1666 1735 1749 1756 1815 1867 1948 2048 2128 2165 2257 2316 2324
IPDP X 2
1839 1844 1831 1881 1883 1910 1969 2016 2126 2239 2336 2404 2487 2535 2595
Tiempo, X3
1 (=1956) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (= 1970)
Fuente: Ecanamic Repart al the Presi dent.enero 1972, Tabla 8·16.
ENFOQUE MATRICIAL PARA EL MODEl,.O DE REGRESION LINEAL·
193
En notación matricial, el problema puede escribirse de la siguiente manera: 1673 1688 1666
1735 1749 1756 1815 1867 1948 2048 2128 2165 2257 2316
=
~324
y
1
1
el
1
1839 1844 1 1831 1881 1883 1910 1 1969 1 2016 1 2126 1 2239 2336 1 2404 1 2487 1 2535 1 2595
2 3 4 5 6 7 8 9 10
e¡ e3
=
15 x 1
e. es e6 e7 es eg elO eu
[~:] +
11 12 13
eu
eu ea eu
14 15
X
-
15 x 3
(7.10.2)
+
3x 1
e 15 x 1
De la información ant~rior se pueden obten~r loto siguientes valores:
f
L (l'j -
f}l
= 1942.333
= 830121.333
X2 = 2126.333
L (Xli -
n-V,
X~)2
= 1103111.333 L (X 31 -
1 ...
L]
X22 X 23 ... X X32 X33 .. X ,
31
X3 = 8.0 1 X 21 X31 1 X l2 X32 1 X:u X 33
3N
1
+:~.
LX 31
L
LX lI LX~, X lI X 31
[ ~135] X'y = 62905821 247934
X X 2N
3N
] L LX" X 21 X 31 LX~,
31895 15 1~ ] = 31895 68922513 272144 1240. 120 272144 [
X3)l = 280.0
(7.10.3)
(7.10.4)
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
194
Utilizando las reglas de inversión de matrices se puede apreciar que
(X'X)-l
37.232491 -0.0225079 [ , 1.3366965
=
-0.0225079 0.0000137 -0.0008319
• =(X/X)-lX/y =
por consiguiente,
(
1.3366965] -0.0008319 0.054034
300.28625] 0.74198
(7.10.5)
(7.10.6)
8.04356
La suma de los residuos al cuadrado puede computarse como
L el = e'e = 1Y -
,'X/y
= 57420003 -
[300.28625 0.74198
8.04356](62~:!~~] 247934
= 1976.85574
(7.10.7)
de donde obtenemos 8'2
e'e
= - = 164.73797
(7.10.8)
12
La matriz de varianza-covarianza para _ puede escribirse entonces de la siguiente manera:
.
var-cov
- 3. 70794 220.20634] 0.00225 -0.13705 8.90155 -0.13705
6133.65151 -3.70794 [ 220.20634
(7.10.9)
Los elementos de la diagonal de esta matriz constituyen las varianzas de PI' P2,yP3 respectivamente, mientras que sus raíces cuadradas positivas corresponden a los respectivos errores estándar. De los datos anteriores se puede verificar fácilmente que y
SEC: P'X'y - Nf 2
= 828144:47786
2
STC: y'y - Nf = 830121.333
por tanto,
R2 =
(7.10.10) (7.10.11)
2 P'X'y - Nf _ y'y _ Ny2
828144.47786 830121.333 = 0.99761
(7.10.12)
Se puede ver que el coeficiente ajustado de determinación es R2
= 0.99722
Reorganizando los resultados que hemos tenido hasta ahora, se tiene
1; = 300.28625 + 0.74198X u + 8.04356X 3i
(7.10.1:
ENFOQUE MATRICIAL PARA EL MODELO DE REGRESION LINEAL'
(78.31763) (0.04753)
(2.98354)
(3.83421) (15.61077)
(2.69598)
t= 2
R = 0.99761
iP
=
195 (7.10.14)
0.99722 g de 1= 12
La i'nterpretación de (7.10.14) es la siguiente: SiX 2 y X 3 se fijan en cero, el valor promedio del gasto de consumo per cápita se estima del orden de $300. Como es constumbre, esta interpretación mecánica de la intersección debe tomarse con cautela. El valor del coeficiente de regresión parcial de 0.74198 implica que, manteniendo todas las demás variables constantes, un aumento en el ingreso per cápita de, digamos, un dólar, va acompañado de un aumento en el consumo personal promedio per cápita de alrededor de 74 centavos. En resumen, la propensión marginal a consumir estimada es de cerca de 0.74 o del 74%. De igual manera, manteniendo todas las demás variables constantes, el consumo personal promedio per cápita aumentó a una tasa de $8 por año durante el período estudiado, 1956-1970. El R 2 Y el/P de 0.9976 y 0.99722 demuestran que las dos variables explicativas recogen cerca del 99% de la variación en el consumo per cápita en los Estados Unidos durante el período 1956-1970. Aunque el iP disminuye ligeramente, sigue siendo suficientemente alto. Analizando la significancia estadística de los coeficientes estimados, vemos a 'partir de (7.10.14) que cada uno de los coeficientes estimados es estadísticamente significativo en forma individual a un nivel.de significancia, de, por ejemplo, el 5%: las razOnes de los coeficientes estimados con respecto a sus errores estándar (es decir, las razones t) son 3.83421,15.61077 y 2.69598, respectivamente. Utilizando la prueba t en dos colas a un nivel de significancia del 5 %, se puede apreciar que el valor crítico t para 12 g de 1 es 2.179. ~ada uno de los valores t calculados excede este valor crítico. Por tanto, indiidualmente podemos rechazar la hipótesis nula de que el valor poblacional ~rdadero para el coeficiente relevante es cero. Como se mencionó previamente, no podemos aplicar la prueba t tradicio1 para evaluar la hipótesis de que fJ2 = fJ3 = O simultáneamente, debido a e el procedimiento de la prueba t supone que se toma una muestra indepennte cada vez que se aplica dicha prueba. Si se utiliza la misma muestra 1 evaluar la hipótesis acerca de fJ2 y fJ3 simultáneamente, es probable que estimadores Pl y P3 estén correlacionados, violando así el supuesto fundatal del procedimiento de la prueba t. De hecho, al observar la matriz de .A 7.6
,la de ADV"para los datos de l8 Tabl8 7.S de variación
sc
a Xi' Xa
828144.47786 1976.85574
2 12
830121.33360
14
t
residuos
gde I
SMC
414072.3893 164.73797
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
196
varianza-covarianza para' dada en (7.10.9), se demuestra que los estimadores P2 y P3 están correlacionados negativamente (la covarianza entre los dos es -0.1 3705). Por tanto, no podemos utilizar la prueba t para evaluar la hipótesis nula de que P2 = P3 = O. Pero recordemos que una hipótesis nula como P2 = P3 = O, simultáneamente se puede evaluar utilizando la técnica de análisis de varianza y la prueba F. En el caso de este problema la tabla para el análisis de varianza es la Tabla 7.6. Bajo los supuestos usuales obtenemos F = 414072.3893
164.73797
= 2513 52 .
(7.10.15)
la cual tiene una distribución F con 2 y 12 g de 1. El valor calculado F es obviamente muy significativo; podemos rechazar la hipótesis nula de que P2 = P3 = O , es decir, que el gasto de consumo personal per cápita no está linealmente relacionado con el ingreso disponible y la tendencia. En la Sección 7.9 estudiamos la mecánica para realizar proyecciones, ya sea la predicción promedio, como también la predicción individual. Supongamos que para 1971 el valor del IDPP (Ingreso doméstico privado personal) es de $2610 y que se desea predecir los gastos de consumo personal per cápita GCPP correspondiente a estas cifras. Entonces, la predicción individual y la predicción promedio para los GCPP para 1971 son las mismas y están dadas como GCPP 1971 IDPP 19710 X 3 = 16) =
= [1
x1971'
2610 16]
300.28625] 0.74198 [ 8.04356
= 2317.29
donde se utillia (7.9.3). Las varianzas de 9'1971 y ferentes y son las siguientes:
Y1971 ,
(7.10.16' que se dieron en la Sección 7.9, son cJ
Var (fI971lxl971) = q2[X'1971(X'X)-lX 1 971]
-164.73797 [1 2610
16)(X'x)-{26:~r
(7.10
donde (X'X)-"t se muestra en (7.1 0.5). Sustituyendo esto en (7.1 O el lector debe yerificar que
(7.1 y, por tanto.
ENFOQUE MATRICIAL PARA EL MODELO DE REGRESION LINEAL"
197
Dejaremos que el lector verifique, utilizando (7.9.13), que Var (Y1971 1X'1971) y
$e (Y1971Ixí971)
= 474.7389
. (7.10.19)
= 21.7885
En la Sección 7.5 introdujimos la matriz de correlación R. Para nuestros datos, la matriz de correlación es la siguiente:
X2
y
X3
[1
0.9980 0.9743] y R = X 2 0.9980 1 0.9664 X 3 0.9743 0.9664 1
(7.10.20)
Obsérvese que en (7.10.20) hemos enmarcado la matriz de correlación con los nombres de las variables del modelo para que podamos identificar fácilmente cuáles variables están involucradas en el cálculo' del coeficiente de correlación. De esta manera, el coeficiente 0.9980 en la primera fila de la matriz (7.10.20) es el coeficiente de correlación entre Y y X 2 (es decir, '12)' Partiendo de las correlaciones cero, dadas en la matriz de correlación (7.1 0.20), se pueden derivar fácilmente los coeficientes de correlación de primer orden. (véase Ejercicio 7.7).
7.11 RESUMEN Y CONCLUSIONES El propósito fundamental de este capítulo fue introducir el enfoque matricial al modelo clásico de regresión lineal. Aunque se introdujeron muy poTABLA 7.7 Ifodelo de regresión de k variables en las unidades originales y en forma 'e desviaciones . ,idades originales
Forma de desviaciones
(9.3.2)
(9.3.11) (9.3.13) (9.3.18) (9.3.16) (9.3.17) (9.4.2)
y==X_+e La columna de 1 s en la matriz X desaparece. (¿Por qué?) La misma La misma La misma
r. y; = y'y
SEC= _'X'y R2 = _'X/y
(9.11.1) (9.11.2) (9.11.3)
y'y
e que aunque en ambos casos los símbolos para vectores y matrices son los en el modelo en forma de desviaciones se supone que los elementos de las y de lo. vectores son desviaciones de la media en lugar de adoptar la forma de la información. Nótese ademÍl que en la forma de desviaciones, ,es de • 1 Yla matriz var-cov (1) es de orden ,(k - IXk - 1).
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
198
cos conceptos sobre el análisis de regresión, la notación matricial proporciona un método concreto de manejar los modelos de regresión lineal que involucran cualquier número de variables. Al cerrar este capítulo vale la pena observar que si las variables X y. y se miden en forma de desviaciones, es decir, como desviaciones de sus medias muestrales, se presentan algunos cambios en las fórmulas presentadas previamente, los cuales se enumeran en la Tabla(7.7.9).Comomuestra esta tabla, al estimar el modelo en la forma de desviación la corrección para la media de Ny2 desaparece de la STC y de la SECo (¿Por qué?) Esto produce un cambio en la fórmula del R'l. Por otra parte, la mayoría de las fórmulas desarrolladas en las unidades originales de medición continúan siendo válidas cuando se estima el modelo en forma de desviaciones. EJERCICIOS 7.1 Para el ejemplo ilustrativo analizado en la sección 7.10, X'X y X'y utilizando los
datos en forma de desviaciones son los siguientes: X'X = [ll03111.333 16984
16984J 280
, _ [955099.333] X Y14854.000
y
(a) Calcule P2 y P3' (b) ¿Cómo estimaría usted PI? (c) Estime la varianza de P2 y P3 Y sus covarianzas. (d) Obtenga R2 y ji2. (e) Comparando los resultados con los de la Sección 7.10, ¿cuáles son las ventaja
de la estimación en forma de desviaciones?
7.2 Evaluación de la igualdad entre dos coeficientes de regresión. Suponiendo que tiene el siguiente modelo de regresión: Yj
= Pt + P2 X 21 + P3 X 31 +"1
Y se desea evaluar la hipótesis de que P2 =P3 . Suponiendo que los Ut tienen una tnbucíón normal, se puede demostrar que t
=
P2 - P3
Jvar
9 En estos días de poderosos computadores no hay tanta necesidad de estimar el modelo en desviaciones. Esto, sin embatgo, SÚIlpUfic:a las fórmulas y por tanto los cálculos cuando se ti una calculadora de escritorio y con cifras grandes.
ENFOQUE MATRICIAL PARA EL MODELO DE REGRESION LINEAL'
199
Sugerencia: Utilice la matriz de var-cov de Pdada en (7.1 0.9). 7.3 Expresión de co"elaciones de alto orden en térlninos de correlaciones de órdenes más bajos. Los coeficientes de correlación de orden p pueden expresarse en términos de los coeficientes de correlación de orden p - 1 utilizando la siguiente fórmula: r
_ r 12.345 ... (rl) - [r lp. 345 ... !e-lrap. 345 ... !e-1J 12.345 ... , 2 2 [ -rlp.34L.(p-1I] [ l - r l P.345,..(P-1J
JI.
J
por tanto,
Utilizando la siguiente matriz de correlación: y y
Xl
X3
X4
X,
0.44
-0.34 0.25 1
-0.31 -0.19 0.44
-0.14 -0.35 0.33 0.85
X2 R=X 3
X4 X5
1
Halle (d).
(e) r 12.3 (f) r l 3.l
(b) r 12.34 (e) r 13.24
(a) r 12.345 r13.245
7.4 Expresión de coeficientes de regtesión de orden más alto en términos de coeficientes de regresión de orden más bajo. Un coeficiente de regresión de orden p puede expresarse en términos de los coeficientes de regresión de orden p - 1 usando la siguiente fórmula de reducción Ii
_ 1112.345 ... (p-l) 1 _ Ii
11 12.345 ... P -
[111P. 345 ... (P- 1I I1,2.345 ... (,,-11]
Ii
112p.345 ... (,-1)11,2.345 ... (p-1)
Ii
Por tanto,
_ 1112 - 11131132
1112.3 -
1
D D -1123P32
en donde (J12.3 es el coeficiente de la pendiente en la regresión de YenX 2 , manteniendo constante X 3' En forma similar, P12.34 es el coeficiente de la pendiente en la regresión de Y en X 2, manteniendo X 3 YX 4 constantes. Utilizando la fórmula anterior, halle las expresiones de los siguientes coeficientes de regresión en términos de los coeficientes de regresión de orden inferior: 1112.3456' 1112.345' y RI2.34' Establezca la siguiente identidad: 6
Ii
Ii
- r 12.3 r 23.1 r 31.2
1112.31123.11131.2 -
Para la matriz de correlación R dada en (7.l0.20), halle todos los coeficientes de correlación parcial de primer orden.
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESJON
200
7.7 Estudiando las tasas de criminalidad en ciertas grandes ciudades de los Estados Uni· dos. Ogburn obtuvo los siguientes datos: • y Xl
r = 19.9 Xl = 49.2
1'3 == 10.2 X.';" 481.4 X, =41.6
SI = 7.9 S2 = 1.3 8 3 "", 4.6 S. = 74.4 Ss = 10.8
Y
Xl R=X 3 X. X,
1 0.44 1
X3 -0.34 0.25 1
X.
Xs
-0.31 -0.19 0.44 1
-0.14 -0.35 0.33 0.85 1
donde y = tasa de criminalidad. número de delitos por cada mil habitantes X2 = porcentaje de hombres X3 = porcentaje de hon:tbres extranjeros X. = número de nifios menores de 5 años por cada mil mujeres casadas con edades entre 15 y 44 años X, = religión; número de feligreses de 13 afios o más por cada 100 habitantes de 13 años o más;Sl a Ss son las desviaciones estándar muestrales de las variables y hasta Xs y R es la matriz de correlación. .
(a) Tomando Y como variable dependiente, obtenga la regresión de Y ert las cuatro variables X e interprete la regresión estimada. (b) Obtenga 'U.3. '1 •. 35 Y'15.3.· (e) Obtenga el R' y verifique la hipótesis de que todos los coeficientes parciales (pendientes) son simultáneamente iguales a cero. 7.8 La siguiente tabla presenta infonnación relacionada con la producción y el costo total de producción de un bien en el corto plazo. Producción
Costo toíal, $
1
193
2
226
3 4
24() ,
5
257 260 274 297 3.50 420
6 7 8
9 10
244
Para verificar si la anterior infonnación comprueba que las curvas de costo rr ginal y costo medio tiene la fonna de U típicas en el corto plazo, podemos usa siguiente modelo:
• W. F. Ogbutn, "Factot5 in the Variation of Crime among Cities". Joumal 01 American Stat
Association. vol. 30, p. 12, 1935.
ENFOQUE MATRICIAL PARA EL MODELO DE REGRESION LINEAL>
donde Y
201
= costo total y X = producción. Las variables explicativas adicionales
Xfy Xfse obtienen a partir de X
(a) Exprese la información en forma de desviación y obtenga (X'X)•• (X'y), (X'X)-t. (b) Estime P2. P,. Y P.. ' (e) Estime la matriz de var-cov para ,. , (ti) Estime PI.Interprete PI en el contexto del problema. (e) Obtenga e1R 2 yellP. (j) ¿Cuáles son a priori los signos de Pl' P3' Y 'P.? ¿Por qué? (g) A partir de la función de costo total anteriormente dada, obtenga expresiones para las funciones de costos medio y marginal. . (h) Ajuste las funciones de costos medio y marginal a las cifras, comentando el ajuste. '(1) Si P3 = P. = O, ¿cuál es la naturaleza de la fUnción de costo marginal? ¿Cómo verificaría la hipótesis de que P3 = P. = 01 (j) ¿Cómo obtendría las funciones de costo total variable y costo variable medio a partir de las cifras dadas? 7.9 Para estudiar la participación de la fuerza de trabajo de familias pobres urbanas (familias con ingresos inferiores a $3943d61ares en 1969), se obtuvieron a partir ,del censo de población de 1970 las cifras que aparecen a continuación. (a) Utilizando el modelo de regresi6n lí = PI + P2XlI + P3X31 + P.X., + "" obtenga una estimaci6n de los coeficientes de regresión e interprete los resultados. (b) ¿Cuáles son lo signos 16gicos apriorl para los coeficientes de regresi6n? ¿Por qué? '
Participación de la fuerza de trabajo, familias pobres urbanas: áreas del censo, ciudad de Nueva York, 1970 % en la fue~ Ingreso familiar Tamaño medio Tasa de desempleo, Area No. de trabajo, y. promedio, XJ de la'familia,X3 X4t
137 139 141 142 143 145 147 149 151 153 l55 IS7 1S9 161 163
64.3 45.4 26.6 87.5 71.3 824 26.3 61.6 529 64.7 64.9 70.5 87.2 81.2 67.9
1998 1114 1942 1998 2026 1853 1666 1434 1513 2008
1704 IS25 1842 1735 1639
2.95 3.40 3.72 4.43 3.82 3.90 3.32 3.80 3.49 3.8S 4.69 3.89 3.53 4.96 3.68
4.4 3.4 1.1 3.1 7.7 5.0 6.2 5.4 12.2 4.8 2.9 4.8 3.9 7.2 3.6
• y _ cabezas de familia con menos de 6S años t X. - porcentaje de la fuerza de trabajo civil desempleada Fllente: Cenaua Traets: New York, Bureau of the Censua, U.S. Department of Commeree, 1970.
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
202
(e) 'Cómo se verifica la hipótesis de que la tasa global de desempleo no tiene ;fecto alguno sobre la participación de la fuerza de trabajo de familias urbanas pobres? (d) ¿Deberían excluirse del modelo algunas variables? ¿Por qué? (e) ¿Qué otras variables debería usted tener en cuenta para que se incluyeran en el modelo? 7.1 O En una aplicación de la función de producción Cobb-Douglas se obtuvieron 10$ siguientes resultados:
-
In Y¡-- 2.3542 + 0.95761n X 21 + 0.82421n X 31 (0.3571)
(0.3022) R2
=0.8432 g de 1= 12
donde Y = producción, X 2 =mano de obra y X 3 =capital. Las cifras entre paréntesis corresponden a los errores estándar estimados. (a) Los coeficientes de los insumos capital y trabajo en la anterior ecuación representan las elasticidades de la producción con respecto al capital y al trabajo. Verifique la hipótesis de que dichas elasticidades son individualmente iguales
al. (b) Verifique la. hipótesis de que las elasticidades del trabajo y del capital son igua-
les, suponiendo que (i) la covarianza de los coeficientes estimados de capital y trabajo es igual a cero y que (H) dicha covarianza es igual a -0.0972. (e) ¿Cómo haría usted para verificar la significancia global de la ecuación de regresión estimada? • 7.11 Exprese la fúnción de verosimilitud para el modelo de regresión de k variables utilizando notación matricial, y demuestre que j, el vector de estimadores de máxima verósimilitud, es idéntico a S, el vector de estimadores de MCO para el modelo de regresión con k variables.
7.12 Regresión utilizando variables estandarizadas. Considere las siguientes funciones de regresión muestral (FRM):
y¡ =
Pl + P2 X U + P3 X 3¡ + e¡
yr = b donde
1
+ bzX!¡ + b3 X;¡ + er y¡ - y
y!"=-,
Sy
y donde las s denotan las desviaciones estándar muestrales. Como vimos en el e tulo 6, Ejercicio 6.3, las variables con asterisco se" conocen como variables estan zadas. Estas variables tienen medias iguales a cero y desviaciones estándar uní! (= 1). Expresando todas las variables en forma de desviación, demuestre que p modelo (2):
(1) (2)
ENFOQUE MATRICIAL PARA EL MODELO DE REGRESION LINEAL'
(fl) X'X
= [1
r
'23
(b)
X'y
(e) b 1
=
203
23JN 1
[rI2JN ru
=O
Yestablezca la relación entre las b y las p. (Obsérvese que en las anteriores relaciones, N denota el tamafio de la muestra, '12. '13 Y '23 denotan las correlaciones entre Y y X 2 , entre Yy X 3 y Y2 Y X 3 respectivamente). ' 7.13 Verifique las ecuaciones (7.10.18) y (7.10.19). *7.14 Mínimos cuadrados ,estringidos. Suponiendo que (1) y=XIS+u lo cual deseamos estimar sujetos a un conjunto de restricciones de igualdad o limitaciones: (2) RIS = r
donde R = es una matriz conocida de orden qxk I(q S k) Yr es un vector de q elementos. Para efectos de ilustración, supongamos que nuestro modelo es: (3)
y suponiendo que deseamos calcular este modelo sujeto a las siguientes restricciones:
fJl - fJ3 fJ. + fJ,
=O
(4)
= 1
Podemos utilizar ciertas técnicas para incorporar estas restricciones (por ejemplo,
P2 = fJ3 y P. = 1 - fJ, , eliminando así Pl y fJ. del modelo) y evaluando la validez de
estas restricciones utilizando la prueba F. Sin embargo, existe una manera más sencilla de estimar (3) incorporandt> las restricciones (4) directamente en el procedimiento de estimación y expresando primero las restricciones en la forma de la ecuación (2), que en el caso presente se convierte en:
R=[O 1 -1 O O
pcional.
O
O 1
~J r=[~J
(5)
MODELOS UNIECUACIONALES DE REGRESION
204
Si p. denota los mínimos cuadrados restringidos, o el estimador de los mínimos cuadrados restringidos, se puede demostrar que dicho vector se puede estimar utilizando la siguiente fórmula: * (6)
donde _ es el estimador usual (sin restricciones) calculado a partir de la fórmula tradicional de MCO (X'Xr lX'y. (a) ¿Cuál es el vector P en (3)? (b) Dado este 'vector P, verifique que la matriz R y el vector r dados en (5) incorporan de hecho las restricciones en (4). (e) Escriba los valores de R y r para los siguientes casos:
P2 = P3 = P. = 2 = P3 Y P. = P5 (iii) P2 - 3P3 = SP. (iv) P2 + 3P3 = O ¿Cuándo será p. = p?
(i)
(ii) Pl
(d)
APENDICE7
7A.l
DERIVACION DE k ECUACIONES NORMALES O SIMULTANEAS
Diferenciando
¿ ef = ¿ (Y¡ - PI - P2X2' -'" - tJt X",)2 parcialmente son respecto a PI' P2' ... , p" obtenernos
~ aPI = 2 ¿
a¿ef
aP2
= 2
(Y¡ -
¿ (Y¡ -
PI - P2 X2i - ' " Pl -
P2 X
U -'"
-
¡I"X"iX-l)
-
¡I"X,,¡X -Xu)
Igualando a cero las anteriores derivadas parciales y reordenando términos, obtenernos las k ecuaciones normales dadas en (7.3.8).
• Y;a,e J. Johnston, op. cit., p.20S.
ENFOQUE MATRICIAL PARA EL MODELO DE REGRESION LINEAL"
7A.2
205
DERIVACION MATRICIAL DE LAS ECUACIONES NORMALES
Partiendo de (7.3.7), obtenemos e'e = y'y - 2~'X'y
+ ~'X'X~
utilizando las reglas de la diferenciación matricial, obtenemos
o~~e) = _ 2X'y + 2X'X~ Igualando la anterior ecuación a cero tenemos que (X'X)~
= X'y
donde ~ = (X'X)-lX'y , siempre que la inversa exista.
7A.3
MATRIZ DE VARIANZA-COVARIANZA DE 11
Partiendo de (7 .3.11), obtenemos ~
= (X'X)-lX'y
Sustituyendo y = XIJ + u en la anterior expresión tenemos que
+ u) (X'X) - 1 X'XIJ + (X'X) - 1X'u IJ + (X'X)-lX'U
~ = (X'X) - 1 X'(XIJ
= =
Por tanto,
~ -IJ = (X'X)-lX'U
(1)
(2)
Por defmición var-cov (~) = E[(Il- 1J)(1l- IJ)'J
= E{[(X'X)-lX'U][(X'X)-lX'U]') = E[(X'X) - 1 X'uu'X(X'X) -
1]
(3)
:londe en el último paso se utiliza el hecho de que (AD)' = D'A'. Observando que las X no son estocástiCas, al calcular el valor esperado I,e (3) obtenemos var-cov (~) = (X'X)-lX'E(uu')X(X'X)-r = (X'X) -1 X' 0'2IX(X'X) -
1
= 0'2(X'X) - 1 cual es el resultado obtenido en (7 .3.13). Obsérvese que para llegar al ante,r resultado se hizo uso del supuesto E(uu') = 0'21.
206 7AA
MODELOS UNIECUACIONAlES DE REGRESION
PROPIEDAD MELI DE LOS ESTIMADORES DE Meo
Partiendo de (7.3.11), tenemos que
p= (X'X)-lX'y
(1)
PuesIO que (X'X)-l X. es una matriz de números fijos, Pes una función lineal de Y. Por tanto, es por definición un estimador lineal. Recordemos que la FRP es: y
= Xp + u
(2)
Sustituyendo (2) en (1), obtenemos
p= (X'X) -
1 X'(XP
+ u),
(3) (4)
puesto que (X'X)-lX'X = 1. Tomando la expectativa de (4), tenemos E(P) = E(P)
+ (X'X}-lX'E(u)
=p
~5)
puesto que E(P) = P (¿por qué?) y E(u) = O (según supuesto inicialmente formulado), lo cual demuestra que P es un estimador insesgado de p. Si P* es cualquier otro estimador lineal de P, el cual se puede escribir de la sigUiente forma p* = [(X 'X) - 1 X'
+ C]y
(6)
donde e es una matriz de constantes. Sustituyendo (2) en (6) para y, obtenemos P* = [(X'X) - 1 X'
+ C](XP + u)
= P + CXp + (X'X)-lX'U + Cu Entonces, para que P* sea un estimador insesgado de p debe darse que CX = O (¿por qué?)
(7)
(8)
Utilizando (8), (7) se puede expresar como P* -
P=
(X'X)-lX'U
+ Cn
(9)
Por definición, la var-cov (P*) es: E(P* -P)(P* -P),
= E[(X'X)-lX'U + Cu][(X'X)-lX'U + Cu]'
(10)
Utilizando las propiedades de la inversión y trasposición de matrices y después de simplificación algebraica, obtenemos: Yar-Cov (P*) = (T2(X'X) -
1
+ (T2Ce
= Yar-Cov (P)
+ (T2Ce
(1
ENFOQUE MATRICIAL PARA EL MODELO DE REGRESION LINEAL"
207
lo cual demuestra que la matriz de varianza-covarianza del estimador lineal es igual a la m'atriz de va~anza-covarianza del estimador insesgado alterno , de MeO, adicionada en (/" multiplicado por ce', la cual es una matriz positiva semidefinida*. Por tanto, las vatianzas de un elemento dado de p. deben necesariamente ser iguales o mayores al elemento correspondiente de ~. lo cual demuestra que , es MELI. Desde luego que si e es una matriz nula, es decir, e = O. entonces JI. = " otra manera de decir que si hemos encontrado un estimador MELl, éste debe corresponder al estimador, de mínimos cuadrados.
,.*
PARTE
II
VIOLACION DE LO'S SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
n la Parte 1 del libro consideramos extensamente el modelo clásico de re·esión lineal e ilustramos la manera como se puede utilizar para estudiar los 'oblemas claves de la inferencia estadística: la estimación y las pruebas de Jótesis, así como el importante tema de la predicción. No obstante, recornos que este modelo está basado en varios supuestos simplificadores que ncibnaremos nuevamente a continuación. Supuesto 1. El valor promedio condicional del término de perturbación acional Uf, condicionado en los valores dados de la variable explicativa es igual a O.
n,
Supuesto 2. La varianza condicional de
U¡
es constante u homocedás-
upuesto 3. No existe auto correlación alguna entre las perturbaciones. lpuesto 4. Las variables explicativas.son no estocásticas (es decir, fijas uestreos repetidos) o, si son estocásticas están distribuidas indepenente de las perturbaciones Uf.
209
VIOlACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
210
Supuesto 5. No existe multicolinealidad entre las variables explicativas (las X). Supuesto 6. Las u poseen una distribución normal cuyo promedio y varianza están dados por los supuestos 1 y 2. Supuesto 7. El modelo de regresión está correctamente especificado, es decir, no existe ningún sesgo de especificación. Con estos supuestos en mente, vimos que los estimadores de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) de los coeficientes de regresión son los mejores estimadores lineales insesgados (MELI)l y que a través del supuesto de normalidad están distribuidos normalmente. Como resultado de ello fue posible obtener para estos estimadores, intervalos de confianza, pudiendo además evaluar hipótesis sobre los verdaderos coeficientes de regresión poblacional. En la Parte 11 del libro anali~amos más de cerca estos supuestos e intentamos averiguar qué ocurre con las propiedades de los estimadores de MCO si uno o más de los supuestos no se cumplen, buscando, entonces, medidas remediales para dichas violaciones. No analizaremos en detalle los supuestos 1, 4 Y 6, por las siguientes razones: Supuesto 1: Cero perturbación esperada. Recordemos el modelo de regresión lineal con k variables: Y¡
= PI + P2 X 2I+ P3 X 31 + ... + PtXkl + UI
(l}
Supongamos ahora que (2)
donde w es una constante; obsérvese que en el modelo estándar w diéndose, sin embargo, asignarle una constante cualquiera. Tomando la expectativa condicional de (1), obtenemos:
= 0, pu-
E(Y¡IX 2;, X 31 • ... , Xli) = PI + P,X 21 + P3X31 + ... + P"X"I + W
+ w) + P2 X 21 + P3 X 3; + ... + p"Xtl = (X + P2X2I + P3X31 + ... + P"X"I
= (PI
donde (X = (PI + w) y donde al tomar las esperanzas se debe mencionar qUf X se manejan como constantes. (¿Por qué?) Por tanto, si no se cumple el supuesto 1 se puede apreciar que no p mos estimar el intersecto original PI; lo que obtenemos es IX, que con PI' y E(uJ = w. En resumen, obtenemos una estimación sesgada de PI Pero, como mencionamos en varias ocasiones, en una gran cantid
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS bEL MODELO CLASICO
211
situaciones prácticas el término de intersección PI no tiene mucha importancia; las cantidades más significativas son los coeficientes de las pendientes, los cuales no se ven afectados, aun cuando se viole el Supuesto 1. 2 Además, en muchas aplicaciones el término de intersección no tiene interpretación física alguna. Supuesto 4: El caso de regresores estocásticos. Recuérdese que nuestro aná· lisis de regresión está basado en el supuesto de que los regresores son no estocásticos y que toman valores fijos en muestreos repetidos. Existe una buena razón para esta estrategia. A diferencia de los científicos en las ciencias físicas, como se mencionó en el Capítulo 1, los 'economistas generalmente no • tienen control sobre los datos que utilizan. Es muy frecuente que ellos dependan de información secundaria, es decir, información recolectada por alguien más, bien sea un organismo del gobierno u organizaciones privadas. Por tanto, una estrategia práctica a seguir consiste en suponer que para el problema en cuestión los valores de las variables explicativas sean dados, auncuando las variables mismas puedan ser intrínsecamente estocásticas o aleatorias. En consecuencia, los resultados del análisis de-t:egresión son condicionales con respecto a estos valores dados. Sin embargo, supóngase que no podemos determinar que las X sean no, estocásticas o fijas. Este es el caso de regresores estocásticos o aleatorios. En este caso, la situación es un poco más complicada. Los Uf en sí mismos, según los supuestos antes enunciados, son estocástidos. Si la$ X también lo son, entonces debemos especificar cómo son las distribuciones probabilísticas tanto de las X como de los Ui' Si, como parte del enunciado del Supuesto 4, se desea asumir que 'las X aunque sean aleatorias están distribuidas independientemente de los Ui, entonces para cualquier fin práctico podemos continuar operando como si las X fueran no estocásticas. Como menciona Kmenta: "De esta manera, al violar el supuesto de que X es no estocástica y al remplazarlo por el supuesto de que es estocástica e independiente de [u] no se modifican las propiedades deseables y la factibilidad de la estimación de mz'nimos cuadrados. 3
En resumen, mantendremos el Supuesto 4 hasta cuando nos enfrentea los modelos de ecuaciones simultáneas estudiados en los Capítulos i-17. 'puesto 6: ,Normalidad de u. Este supuesto 'no es esencial si nuestro objeties únicamente la estimación. Como se mencionó en el Capítulo 3, los estidores de MCO son MELI, independientemente de que los Ui posean una ribuc16n normal o no. No obstante ello; con el supuesto de normalidad
lOS
vcry important to note that thís statement is true only if E(uJ = w Cor each i. However, ir , 1fl ' that is, a díft'ereJít constant ror each 1, the partial slope coefficients may be biased as well as stent In tbis case violation of Assumption 1 will be critical. For proof and further details, lee :hmidt, Econonretrlcs, Man:el Dekker, Ine., New York, 1976, pp. 36-39. Elements of Econometrics, The Macmi1lan Company,New York, 1971, p. 301. lÍa in the ori¡inal.)
:menta,
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
212
podemos establecer que los estimadores de MCO para los coeficientes de regresión tienen una distribución normal, que (N - k)q2/(12 tiene una distribución '1. 2 y que se pueden utilizar las pruebas t y F para evaluar las diferentes hipótesis estadísticas, independientemente del tamaño de la muestra. Sin embargo, ¿qué ocurre si los Uf no tienen una distribución normal? Nos basamos entonces en la siguiente extensión del teorema del límite central; recordemos que fue este teorema el que invocamos para justificar el supuesto de normalidad en primer lugar: Si las perturbaciones [ud están distribuidas en fonna independiente e idéntica, con un promedio de cero y una varianza (12 (constante) y si las variables explicativas están fijas en muestreos repetidos, los estimadores de los coeficientes de Meo poseen una distribución asintóticamente nonnal, cuyos promedios son iguales a los p's corresponnientes.4
Por tanto, los procedimientos de evaluación tradicionales, las pruebas t y F, continúan siendo válidas asinfóticamente, es decir para muestras grandes. No así para muestras finitas o pequeñas. ' El hecho de que las perturbaciones no posean una distribución normal y que, por tanto, los estimadores de MCO continúen teniendo una distribución normal asintóticamente (bajo el supuesto de varianza homocedástica y valores fijos de las X) no es, sin embargo, tan alentador para el economista practico, quien frecuentemente no se puede dar el lujo de contar con una muestra grande de información. Por tanto, el supuesto de normalidad se toma muy importante para fines de pruebas de hipótesis y proyección de cifras. Por tanto, teniendo presente la necesidad de realizar estimaciones e hipótesis, y dado que las muestras pequeñas son la regla general y no la excepción en la mayoría de los análisis económicos, continuaremos utilizando el supuesto de normalidad. s Nos quedan entonces los Supuestos 2, 3, S y 7, que analizaremos en los siguientes cuatro capítulos. En el Capítulo 8 estudiamos el tema de la multicolinealidad. tema de no mucho interés teórico pero de una importancia práctica muy significativa. En el Capítulo 9 consideraremos el tema de 1: heterocedasticidad. El Capítulo 10 estará dedicado al análisis de autoCO"é lación. Finalmente, en el Capítulo 11 estudiaremos el tema del sesgo pe
especificación. Por razones pedagógicas, en cada uno de estos capítulos seguimos misma metodología, la cual consiste en averiguar la naturaleza del problen examinar sus consecuencias, sugerir métodos para detectarlo y considera' analizar' las medidas remediales conducentes a hacer que los estimade posean las adecuadas propiedades estadísticas analizadas en la Parte 1.
" Henó Thcíl,lntroduction to Econometrics, Prentice-Halllne., Englewood C1iffs, NJ., 1978, p. 24
CAPITULO
8
MULTICOLINEALIDAD
Uno de los supuestos del modelo clásico de regresión lineal es que no existe multicolinealidad entre las variables explicativas incluidas en el modelo. En este capítulo entraremos a estudiar mucho más detalladamente este supuesto, buscando dar, más específicamente, respuesta a las siguientes preguntas:
t. ¿Cuál es la naturaleza de la multicolinealidad? ¿Es la multicolinealidad realmente un problema? ¿Cuáles son sus consecuencias prácticas? ¿Cómo se detecta? ¿Qué medidas remediales se pueden tomar para aliviar el problema de la multicolinealidad?
NATURALEZA DE LA MULTICOLINEALIDAD énnino multicoltnealidad se atribuye a Ragnar Frisch. 1 Originalmente Icaba la existehcia de una relación lineal "perfecta o exacta" entre algu-
. FriIch, Stlltlstical Con/blence Analym by Mean. of Complete Regresaion s,atema. lnatitute mica, Oslo University. publ. No. S. 1934.
213
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
214
nas o la totalidad de las variables explicativas de un modelo de regresión. 2 Para la regresión en k variables, con las variables explicativas, Xl, X 2, . . . , X k (donde Xl = 1 para todas las observaciones de tal manera que se permita la inclusión de la intersección), se dice que existe una relación lineal exacta si se satisfacen las siguientes condiciones: (8.1.1) donde Al' A2' ... , Al son constantes tal que no todas sean simultáneamente cero.' No obstante, en la actualidad el término multicolinealidad se utiliza en un sentido más amplio para incluir el caso de multicolinealidad perfecta, como se ilustra en (8.1.1), corno también aquella situación en donde las variables X están intercorrelacionadas, pero no en forma perfecta, de la siguiente manera: 4 (8.1.2) donde Vi es un término estocástico de error. Para apreciar la diferencia existe entre multicolinealidad perfectll y multicolinealidadmenos que perfecta, supongamos, por ejemplo, que A2 :f: O. En consecuencia, (8.1.1) se puede expresar como Al A3 Al X 2i = - - X 11 - - X 3/ - ••• - - X 1d (8.1.3) A2 A2 A2 lo cual muestra que X 2 está exactamente relacionada en forma lineal con otras variables o que se puede derivar a partir de la combinación lineal de las restantes variables X En esta situación, el coeficiente de correlación· entre la variable X 2 y la combinación lineal del lado derecho de (8.1.3) debe ser igual a uno. En forma similar, el A2 :f: O, la ecuación (8.1.2) se puede expresar como Al A3 Al 1 X2j= -¡-X 1I - , X 3 / - " ' - , X k¡-,v¡ 2
11.2
11.2
(8.1.4:
11.2
2 Hablando estrictamente, el término multicolinealidad se refiere a la existencia de más de una relad lineal exacta, mientras que el término colinealidad se refiere a'la éxistencia de una sola relación Iin Sin embargo, esta distinción raramente se mantiene en la práctica, hablándose entonces de multic nealidad para ambos casos.
Las posibilidades de obtener una muestra de valores donde los regresores estén relacionados de manera son realmente muy pequeñas en la práctica, excepto cuando se hace PO\; diseño cuando ejemplo, el número de, observaciones es menor que el número de regresores o si uno cae en la "tr de la variable dicotómica", como se mencionará posteriormente en el Capítulo 12. (vease Ejetcici( 3
4 Si existen solamente dos variables explicativas, la interco"eIación se puede medir por el coef de correlación simple o de orden cero. Pero si existen más de dos variables X, la intercorrela puede medir a través de los coeficientes de correlación parcial o por el coeficiente de correlació¡ pIes R de una variable X con las demás variables X consideradas conjuntamente.
MULTICOllNEALIDAD
215
lo cual muestra que X 2 no es exactamente una combinación lineal de las restantes X's debido a que también está deterniinada por el término del error estocástico Como ejemplo numérico, consideremos las siguientes cifras hipotéticas:
v,.
Xz
X3
X·3
10
50
15 18 24 30
75
52 75 97 129 152
90
120 150
Es aparente que X 31 = 5X zI • Por tanto,existe una!Colinealidad perfecta entre X 2 y X 3 puesto que el coeficiente de correlación 723 es igual a 1. La variable Xr de otro lado, fue creada partiendo de X 3 , por medio de'la adición de los
siguientes números tomados de la tabla de números aleatorios: 2, O, 7,9,2. En este momento deja de' existir una colinealidad pefecta entre X 2 y Xr. No obstante, las dos variables continúan estando altamente correlacionadas porque los cálculos muestran que el coeficiente de correlación entre ellas es de 0.9959. El enfoque algebraico antes presentado al problema de la multicolinealidad se puede expresar adecuadamente mediante un diagrama de Ballentine. En esta figura, los círculos Y, X 2 Y X 3 representan respectivamente las variaciones en Y (la, variable dependiente) y X 2 y X 3 (las variables explicativas). El grado de collnealidad se puede medir por la magnitud de la sobreposición o intersección (área sombreada) de los círculos X 2 Y X 3' En la Figura 8.1 (a), no existe sobreposición alguna entre los círculos X 2 y X 3 , por tanto no ~xiste colinealidad. En las Figut:as 8.1(b) a 8.1(e) existen grados de colinealilad que van desde uno "muy bajo" (8.l)(b) hasta uno muy alto 8.1(e). 'uanto mayor sea la superposición entre X 2 y X 3 (esto es, cuanto mayor ~a el área sombreada), mayor será el grado de colinealidad. En el extremo, si \ y X 3 estuviera superpuesto completamente (o si X 2 estuviera completamte dentro de X 3 o viceversa), la colinealidad sería perfecta. A propósito, obsérvese que la multicolinealidad, de acuerdo con nuesdefinición, excluye únicamente las relaciones lineales entre las variables Elimina las relaciones lÍo lineales, existentes entre ellas. Por ejemplo, conremos el siguiente modelo de regresión:
= Po + PI X ¡ + PzX~ + P3 X t + U¡ (8.1.5) l,e digamos que Y = costo total de producción y X = producción. Es I que las variables XI (producción. de cuadrado) y XI (producción al Y¡
, están funcionalmente relacionadas con Xi> pero la relación no es lineal. mto; hablando estrictamente, modelos similares a (8.1.5) no violan el ltO de no multicolinealidad. Sin embargo, en aplicaciones concretas el ente de correlación convencionalmente medido demostrará que Xi> están estrechamente correlacionadas, lo cual, como demostraremos
rr
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
216
(a) No existe cOlineaJida<\
(e) CoJinealidad moderada
(d) Collnealidad alta
(b) Baja colinealidad
(e) Muy alta collnealidad
FIGURAS.1 Gráfico de Ballentine de la multicolinealidad
posteriormente, dificultará la estimación de los parámetros de (8.1.~) con mayor precisión (es decir, con errores estándar más pequeños). ¿Por qué supone el modelo clásico de regresión líneal que no e~iste multicolinealidad entre las X? El razonamiento es el siguiente: si la multicolí· nealidad es perfecta en el sentido de (8. L 1), los coeficientes de regresión df las variables X son indeterminados y sus errores estándar son infinitos. Si 1 multicolinealidad es menos que perfecta, como en (8.1.2), los coeficientf de regresión, aunque determinados o finitos, poseen errores estándar dem siado grandes (en relación con los coeficientes mismos), lo cual implica ql los coeficientes no se pueden estimar con gran precisión o exactitud. 1 pruebas de estos enunciados se presentan en las siguientes secciones. 8.2 ESTIMACION EN EL CASO DE MULTICOLINEALIDAD PERFECTA Se estableció previamente que en el caso de multicolinealídad perfect. coeficientes de regresión son indeterminados y sus errores estándar infiJ
MULTICOLlNEALIDAD
217
~o anterior se puede demostrar fácilmente en ténninos del modelo de regresión con tres variables. Utilizando la estimación del modelo en fonna de desviaciones de sus medias muestrales, el modelo de regresión con tres variables se puede escribir como: Yi=
Pl Xli
+ P3 X3i+ el
(8.2.1 )
se puede demostrar entonces que P _ (L y/xl/)(L x~¡) - (L y¡x3i)(L Xl¡X31) 1 (L X~I)(L x~¡) - (L Xli X3i)l P _ (L y/x 3¡)(L xii) - (L y¡xlI)(L Xl/X3i) )(L xil)(L X~¡) - (L Xl¡X)I)l
Supóngase que X 31 = ),X 21. donde A. es una constante diferente de cero (por ejemplo 2, 4, 1.8, etc.) Sustituyendo esto, obtenemos 8 _ 112 -
=
(L Y¡Xl I)(A 2 L X~i) - (A L YIX ll)().. Lxii) (L xii)()..l Lxii) - )..l(k xil)2 .
O
O
(8.2.2)
que es una expresión indetenninada. El lector puede verificar que P3 es también indetenninada. ¿Por qué se obtiene el resultado que se muestra en (8.2.2)? Recordemos el significado de P2: Este muestra la tasa de cambio promedio en Y. a medida que X 2 cambia en una unidad, manteniendo X 3 constante. Sin embargo, si l"3 y X 2 son perfectamente colineales, no existe fonna alguna de mantener . X 3 constante: a medida que X 2 cambia, también lo hace X 3 en un factor ~ual a A.. Lo q\le esto significa entonces es que no existe manera alguna de \parar las influencias individuales de X 2 y X 3 de la muestra dada: para fines ácticos, X 2 y X 3 no se pueden diferenciar. En econometría aplicada,éste un problema muy serio puesto que la idea consiste en separar los efectos 'ciales de cada X sobre la variable dependiente. Para ver esto en fonna diferente, sustituyamos X31 = AX 2i en (8.2.1) y engamos: YI
= P2 X21 + P3(A.x2¡) + eí = (P2
+ )..P3)X21 + ei . (8.2.3)
a=
a= (Pl + )..P3) =
1:21i X21
(8.2.5)
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
218
Por tanto, aunque podemos estimar (X en forma única, no existe manera de obtener una única estimación de/32 y P3; matemáticamente, &= P2 + ;'P3
(8.2.6)
nos proporciona una única ecuación con dos incógnitas (obsérvese que;' está dada), existie,ndo un número infinito de soluciones a (8.2.6) para valores dados de & y l. Para dar una idea de lo anterior, si &= 0.8 Yl = 2 , tenemos: (8.2.7)
o,
(8.2.8) Ahora escojamos un valor arbitrario para P3 y tendremos la solución para P2. Escojamos otro valor para P3 y obtendremos una solución diferente para P2. Independientemente de lo que hagamos, no existe un valor único para P2. La conclusión del análisis anterior es que, en el caso de multicolinealidad perfecta, no se puede obtener una solución única para los coeficientes individuales de regresión. Sin embargo, obsérvese que se puede obtener una solución única para combinaciones lineales de dichos coeficientes. La combinación lineal (P2 + lP3) se estima en forma única para (x, dado el valor de l.s A propósito, obsérvese que en el caso de multicolinealidad perfecta,las varianzas y los errores estándar para P2 y P3 individualmente son infinitos. (véase Ejercicio 8.22). 8.3 ESTIMACION EN EL CASO DE "ALTA" MULTICOLINEAUDAD PERO "IMPERFECTA" La situación en el caso de la multicolinealidad perfecta e~ un extremo ( tipo patológico. Generalmente no existe una relación lineal exacta entre J variables X, especialmente con información relacionada con series de tiem en Economía. Por tanto, regresando al modelo con tres variables dado (8.2.1), en lugar de multicolinealidad exacta, podemos tener (8.'
donde A. =f ()1 Y Vi es un término de error estocástico, tal que L Xz¡ Vi = O. ( qué?) En este caso es factible la estimación de los coeficientes de regr P2Y f33, por ejemplo, sustituyendo (8.3.1) en la solución paraf3t, en e del modelo de tres variables, obtenemos:
¡J 2 -
L' (Yi X2i)(l2 L X~i + LV;) - (l L Yi Xli + L Yi v¡)(A. L X~i) L X~¡{l2 L X~í + LV;) - (l L X~í)2
5 En la literatura eco no métrica, una función tal como (fJ2
+ ;'P3 )
se conoce como función I
MUlTICOLlNEALlDAD
219
donde se utiliza el hecho de que L X2iV¡ = O. Una expresión similar se puede derivar para Ahora, a diferencia de (8.2.2), no existe razón alguna para creer e priori. que (8.3.2) no se puede estimar. Desde luego que si Vi es suficientemente pequefta, por ejemplo, muy cercana a cero, (8.3.1) indicará la existencia de una colinealidad casi perfecta, retornando entonces al caso indeterminado de (8.2.2).
P3'
8.4 MULTICOLINEALIDAD: CONSECUENCIAS TEORICAS DE LA MULTICOLINEALIDAD Recordemos que si se satisfacen los supuestos del modelo clásico, los estimadores de MCO son MEL! (o MEL si se adiciona el supuesto de normalidad). Se puede entonces demostrar que, aun en el caso de multicolinealidad muy alta, aquella situación de casi multicolinealidad, los estimadores de MCO continúan manteniendo su propiedad de ser estimadores MEL/. 6 Por tanto, ¿cuáles son entonces los inconvenientes de la multicolinealidad? Comenta
Christopher Achen:
.
Los alumnos principiantes en el estudio de la metodología ocasionalmente se preo· cupan por el hecho de que sus variables independientes estén correlacionadas, ellla· mado problema de multicolinealidad. Sin embargo, la multicolinealidad no viola los supuestos básicos de regresión. Se presentarán estimativos consistentes-e insesgados y sus errores estándar se estimarán en forma correcta. El único efecto de la multí· colinealidad tiene que ver con la dificultad de obtener las estimaciones de los coefi· cientes conpequeftos errores estándar. Sin embargo, se tiene el mismo problema al contar con un número reducido de observaciones, de la misma forma que cuando se tIenen variables independientes con varianzas pequefias. (De hecho, a nivel teórico, ,multicolinealidad, un número reducido de observaciones y varianzas pequefias en las variables independientes, son todos esencialmente el mismo problema). Por tanto,la pregunta de " ¿qué debo hacer entonces acerca de la multicolinealida~" es similar al interrogante de "¿qué debo hacer si no tengo muchas observaciones?" Respecto a estos planteamientos no se puede dar una respuesta estadística.'
El punto en el que Achen quiere hacer énfasis es adecuado. No obstante, . problema de la casi multicolinealidad o alta multicolinealidad se presenta ecuentemente en análisis de tipo empírico y presenta problemas de estima;n suficientemente importantes para garantizar que le consideremos como a violación al modelo clásico de regresión lineal".8 En primer lugar, es cierto que aun en el caso de casi multicolinealidad, estimadores de MCO continuarán siendo insesgados. Sin embargo, el inses-
110 que la snwt1coUnealidad por sí mislna no vioJa o'tros supuestos, los estimadores de MeO, son tophet. H. Achen, ·¡ntopreting tmdCTring ~egre,rio", Sage Publications, Beverly Hilla, Calif., !p; 82-83. Kennedy,A Guide toEconometrlcs, TheMlfPreu, CaJnbridge, Mass., 1979, p. 128.
220
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
gamiento es una propiedad de muestras múltiples o de muestreo repetido. Lo que esto implica es que al mantener fijos los valores de las variables X, si se re.alizan muestreos repetidos y se calculan los -estimadores MCO para cada una de estas muestras, el promedio de ws valores muestrales convergerá hacia los verdaderos valores poblacionales de los..estimadores a medida que aumenta el número de muestras. ~ero lo anterior no nos dice nada acerca de las propiedades de los estimadores para una muestra dada. En segundo lugar, también es cierto que la colinealidlKt n.Q destruye la propiedad de la varianza mínima: en la clase de todos los estimatíote§ line.il.e, insesgados, los estimadores de MCO tienen varianza mitlima, lo cual implica que son eficientes. Lo anterior no significa, sin embargo, que la varianza de un estimador MCO sea necesariamente pequeña (en relación con el valor del estimador) para una muestra dada, como demostraremos brevemente. Tercero, la mu/ticolinealidad es esencialmente un fenómeno muestral (de regresión), en el sentido de que aunque las variables X no estén linealmente relacionadas en la población, pueden relacionarse en la muestra específica que se tenga a mano: Cuando postulamos la función de regresión poblacional teórica (FRP) , se postula que todas las variables X incluidas en el modelo tienen una influencia separada o independiente sobre la variable dependiente Y. Pero puede ocurrir el caso de que en cualquier muestra dada que se esté utilizando para evaluar la FRP, algunas o la totalidad de las varia~ bIes X tengan una colinealidad tan alta que no sea factible aislar su influencia individual sobre Y. Lo anterior implica que la muestra contradice la teoría, a pesar de que ésta última nos diga que todas las X son importantes. En conclusión, nuestra muestra puede no ser suficientemente "rica" para incluir todas las variables X en el análisis. Como ilustración, reconsideremos el ejemplo consumo-ingreso del Capítulo 3. Los economistas teorizan que además del ingreso, la riqueza del consumidor también es un determinante importante en los gastos de consumo. Por tanto, podemos escribir: Consumo j = Pi + P2 Ingresoj + P3 Riqueza¡ + Uj Puede ocurrir entonces que cuando obtengamos información sobre los ingr sos y la riqueza, las dos variables puedan estar altamente, si no perfectame te, correlacionadas: las personas más ricas generalmente tienden a tener n yores ingresos. Por tanto, aunque en teoría el ingreso y la riqueza sean candidatos lógicos para explicar el comportamiento de los gastos de consur en la práctica (es decir, en la muestra) puede ser difícil separar las influen individuales de dichas variables sobre los gastos de consumo. En forma ideal, para evaluar los efectos individuales de la riqueza) ingresos sobre los gastos de consumo, lo que necesitamos es un número ciente de observa¡::icmes muestrales de individuos ricos con bajo nivel d greso e individuos con alto ingreso y baja riqueza. Aunque esto puec posible en estudios de series de corte transversal (aumentando el tama la muestra) es muy difícil lograr información agregada de series de ti con la cual trabajar.
MULTICOllNEAlIOAO
221
Por todas estas razones, el hecho de que los estimadores de MCO sean
MELI a pesar de la multicolinealidad, es poco importante en la práctica. Debemos ver qué ocurre o qué puede ocurrir en una muestra determinada, tema que se analizará en la pr6xinla sección. :
8.5 CONSECUENCIAS PRACTICAS DE LA MULTICOLINEALIDAD Los casos de casi multicolinealidad o de alta multicolinealidad pueden traer consigo las siguientes consecuencias:
Varianzas y covarianzas amplias para los estimadores de MCO Para apreciar 10 anterior, recordemos que para el modelo (8.2.1) las varianzas y las covarianzas de Pl y P3 están dadas por: (Jl
var
2)
rl3
y
en donderz3es el coeficiente de correlación entre X 2 y X 3 • Es aparente que a medida que '23 tiende al, es decir, a medida que mmenta la colinealidad, las varianzas de los dos estimadores aumentan y, en \1 límite, cuando '23 = 1,ellas son infinitas. Tambien es claro que a medida ue '23 aumenta hacia 1, la covarianza de los dos estimadores también lmenta en valores absolutos. (Nota: cov cJl' P3) = cov cJ3' P2'» . Para dar idea acerca de que tan rápido aumentan las varianzas y cova\nzas a medida que aumenta '23, consideremos la Tabla 8.1 donde aparecen as varianzas y covarianzas para valores s.eleccionados de '23' Como demuesesta tabla, aumentos en '23 tienen un ef~cto dramático .sobre las varianzas ovarianzas estimadas para los estimadores de MeO. Cuando '23 = 0.50, ar
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
222 TABLA 8.1
El efecto de aumentar'23 sobre la var(j2)Y eov (j2' 13) VII'
(1)
(2)* 11
COY
(3)
(4)
(Ja./,)
2
0.00
¿xf,
0.50 0.70 0.80 0.90 0.95 0.97 0.99 0.995 0.999
1.33 x A 1.96 x A 2.78 x A 5.26 x A 10.26 x A 16.92 x A 50.25 x A 100.00 x A
Nota:
(Ja) : '23 ,. O VII' (la) :'23 - O VII'
(Ja)
Valorderu
--=A
O
1.33 1.96 2.78 5.26 10.26 16.92 50.25 100.00 SOO,OO
500.00 x A.
0.67 x B
1.37xB 2.22 x B 4.73 x B 9.74 x B 16.41 x B 49.75 x B 99.50 x B 499.50 x B
ul
Á--
LX~.
B-
_ul
vtx~,LX~,
x .. Tiempos • Para hallar el efecto de aumentar,u sobre var (13), obsérvese l que A - u fi X~, cuando'1)= O, pero los factores de magnificaci6n de la varianza y la covarianza permanecen Iguales.
Var
(f3iJ
el
A=-
1:4
5.26A 1.33A
A ....- - - - - -
L - - -_ _ _ _-L_ _ _-L---''----L- rl
O
0.5
0.8 0.9 1.0
l
FIGURA 8.2 Comportamiento de var(J12)com funcion de r1J'
MULTICOLlNEALIDAD
223
Mú ampllios intervalos de cOJÜl8DZa Debido a la presencia de errores estándar grandes, los intervalos de confianza para los parámetros poblacionales relevantes tienden a ser más amplios, como se puede apreciar en la Tabla 8.2. Como muestra la tabla, cuando '23 = 0.95, el intervalo de confianza para fJ2 es mayor que cuando '23 = O en un factor de JI0.26 o de aproximadamente 3. Por tanto, en casos de alta multicolinealidad la información muestral puede ser compatible con un conjunto diverso de hipótesis. Por consiguiente, la posibilidad de aceptar una hipótesis falsa (es decir, de cometer el error de tipo 11) aumenta. Razones t "no significativas" Recordemos que para evaluar la hipótesis nula de que, por ejemplo, fJ2 = O, utilizamos la razón t:· P2/se
En casos de alta colinealidad es posible encontrar, como acabamos de menciolar, que uno o más coeficientes parciales de las pendientes sean individualnente no significativos en términos estadísticos con base en la prueba t. No bstante, el D..2 en tales situaciones puede ser tan elevado, digamos superior a .9, que con base en la prueba F se puede convincentemente rechazar la pótesis de que Pz = P3 = .. , {J" = O. De hecho, ésta es una de las sefiales de ulticolinealidad: valores t no significativos pero un elevado R2 , así como valor F bastante alto. Aunque demostraremos el anterior resultado en la uiente. sección, no debe ser sorprendente para nosotros dicho resultado si emos en cuenta el análisis de las pruebas individuales, en comparación las pruebas conjuntas. Como usted ha de recordar, el problema r.eal en • caso consiste en que las covarlanzas entre los estimadores están relacio18 con las correlaciones entre los regresores.
\minos de intervalos de confianza, el valor fJl = O'se encontrará cada vez más en la región de ión a medida que aumenta el grado de colinealidad.
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
224 TABLA 8.2
El efecto de aumentar la colinealidad sobre el intervalo de confmnza del 95 % para fl1: tJ1 ± 1.96 es
Nota: Obsérvese que estamos utilizando la distribución normal porque, por conveniencia, se supone asume 'que ".' se conoce. De ahí el uso de 1.96, el factor del 95% de confianza proveniente de la distribución normal. Los errores estándar correspondientes a los diferentesvaloresder 23 provienente de la Tabla 8.1.
Sensibilidad de los estimadores de MeO y sus errores estándar ante cambios pequeftos en los datos Mientras la multicolinealidad no sea perfecta, es posible la est}mación de los coeficientes de regresión; sin embargo, los estimadores y sus errores estándar se tornan muy sensibles, aun al más ligero cambio en los datos. Para ver esto analicemos la Tabla 8.3. Con base en estos datos, obten e mos la siguiente regresión múltiple.
TABLAS.3 Datos hipotéticos sobre Y,
X 2 yX3 y
Xz
X3
1 2
2
4
o
3
4
2 12
4
6
o
S
8
16
MULTICOUNEALIDAD
225
TABLA 8.4 Datos hipotfticos sobre Y, XayX, y
Xa
x,
1
2 O 4 6 8
4 2 O
2 3 4 .5
12 16.
f, = 1.1939 + 0.4463X 2 / + 0.0030X3 / (0.7737) (0.1848)
(0.0851)
t == (1.5431) (2.4151)
(0.0358)
2
R = 0.8101
'23
(8.5.1)
= 0.5523
cov
g de 1 = 2
La regresión (8.5.1) muestra que ninguno de los coeficientes de regresión son individualmente significativos a los niveles de significancia convencionales del 1 o deiS % , a pesar de que P2 sea significativo al nivel del 10 % con • base en la prueba t de una cola. Consideremos ahora la Tabla 8.4. La única diferencia entre las Tablas 8.3 y 8.4 es que el tercer y cuarto valores de X 3 han sido int~rcambiados. Utilizando los datos de la Tabla 8.4, obtenemos
f, = 1.2108 + 0.4014X2i + 0.0270X 3/ t =
(0.7480) (0.2721)
(0.1252)
(1.6187) (1.4752)
(0.2158)
R2. ==
0.8143
r23
(8.5.2)
= 0.8285
cov
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
226 TABLA 8.5
Datos hipotéticos sobre el psto de consumo Y, el ingreso Xz y la riqueza X 3' Y. $
70 65 90
95 110 115 120 140 155 150
Xl' $
Xl' $
80
810 1009 1273 1425 1633 1876 2052 2201 2435 2686
100 120 140 160 180 200 220 240 260
TABLA 8.6
Tabla de ADV para el ejemplo coDSUmo-ingreso-riqueza Fuente de variación
SC
Debido a la regresión 8565.5541 Debido a los residuos 324.4459
gde 1 SCM
2 7
4282.7770 46.3494
cisa, pero que las combinaciones lineales de estos coeficientes se pueden estimar más precisamente. Lo anterior se puede respaldar observando las regresiones (8.5.1) y (8.5.2). En la primera regresión, la suma de los dos coeficientes parciales de las pendientes es 0.4493, en tanto que en la segunda regresión dicha suma es igual a 0.4284, prácticamente la misma. Sin embargo, esa no es la única coincidencia. Los errores estándar son prácticamente los mismos, 0.1550 versus 0.1823. 10 No obstante, obsérvese que el coeficiente de X 3 ha cambiado ostensiblemente, pasando de 0.003 a 0.027. 8.6 EJEMPLO ILUSTRATIVO: GASTOS DE CONSUMp EN RELACION CON INGRESO Y LA RIQUEZA Para ilustrar los diferentes puntos mencionados hasta ahora reconsideremos el ejemplo consumo-ingreso del Capítulo 3. En la Tabla 8.5, hemos reproducido los datos
10 Estos errores estándar se obtienen de la fórmula :
se
+ $3) = Jvar (jJ2) + var (jJ3) + 2 cov
Obsérvese que al aumentar la colinea1idad aumentan las varianzas de 12 y P3.éstas se'pueden compensa! si existe una alta covarianza negativa entre las dos, como indican claramente los resultados.
MUlTICOllNEAlIDAD
227
de la Tabla 3.2, agregándole información sobre la riqueza del consumidor. Si suponemos que existe una relación lineal entre los gastos de consumo y el ingreso y la riqueza, eptonces con base en la Tabla 8.5 obtenemos la siguiente regresión.
f¡ = 24.7747 + 0.9415X 11 - 0.0424X 31 (6.7525) (0.8229)
t R
Z
= (3.6690)
= 0.9635
(0.0807)
(1.1442) (-0.5261)
(8.6.1)
iP = 0.9531 g de 1= 7
La regresión (8.6.1) muestra que el ingreso y la riqueza explican conjuntamente el 96 % de la variación de los gastos de consumo. A pesar de esto, ninguno de los coeficientes de las pendientes es significativo estadísticamente. Adicionalmente, no solamente es la variable riqueza no significativa estadísticamente, sino que también tiene el signo incorrecto. A priori, se podría esperar una relación positiva entre el consumo y la riqueza. A pesar de que P2 y P3 no son significativas individualmente en términos estadísticos, si evaluamos la hipótesis de que P2 = P3 =.0 simultáneamente, esta hipótesis se puede rechazar como lo demuestra la Tabla 8.6. Bajo el supuesto tradicional, obtenemos F
= 4282.7770 46.3494
= 92.4019
(8.6.2)
Este valor F es obviamente muy significativo.
Es interesante observar este resultado desde un punto de vista geométrico (véase Figura 8.3). Con base en la regresión (8.6.1) hemos establecido intervalos de confianza individuales del 9S % para PI y P3' Como muestran estos intervalos, cada uno de ellos en forma individual incluye el valor de cero. Por tanto, individualmente podemos aceptar la hipótesis de que las dos pendientes parciales son cero. Sin embargo, cuando establecemos el intervalo de confianza conjunto para evaluar la hipótesis de que PI = P3 = 0, sea hipótesis no se puede aceptar puesto que el intervalo de confianza conjunto, en realidad una elipse, no incluye el origen. u Como ya se hizo énfasis anteriormente, cuando la colinealidad es alta, las pruebas que' se realicen sobre los regresores individuales no son confiables; en tales casos es la prueba F gtobaIla que mostrará si Y está relacionada con los diferentes regresores. Nuestro ejemplo muestra en forma dramática las consecuencias de la multicolinealidad. El hecho de que la prueba F sea significativa mientras que los valores t para X 2 y X 3 no son significativos individualmente, implica que las dos variables están tan altamente correlacionadas que es imposible aislar el impacto individual del ingreso o la riqueza sobre el consumo. De hecho, si regresamos Xl en X 3 obtenemos
11 Como se mencionó en la Sección S.3, el tema de intervalo de confianza conjunto es bastante complicado. El lector interesado puede consultar la.referencia mencionada allí.
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
228 {JJ
í
Intervalo de confianza conjunto del 95% para {32 and {3J
------------.-----~-r~------~~------~------~2 -1.004
2.887
~
Intervalo de confianza del 95 % para {32
-0.2332
FIGURAS.3
Intervalos de confianza individuales para pz y P3 e intervalos de confianza conjuntos (elipse) para PI y
P3 •
7.5454
+ 10.l909X:2i
(29.4758)
(0.1643)
X3i =
t = (0.2560) (62.0405)
(8.6.3) • R2
= 0.9979
lo cual demuestra que existe una colinealidad casi perfecta entre X 3 y X 2 . Veamos entonces qué ocurre si regresamos Yen X 2 únicamente:
Y; = 24.4545 + 0.5091X 2i (8.6.4)
(6.4138) (0.0357) t = (3.8128) (14.2432)
R2
= 0.9621
En (8.6.1) la variable ingreso no era estadísticamente significativa, mientras que ahora pasa a ser altamente significativa. Si, en lugar de regresar Y en X 2 , regresáramos Yen X 3 , obtendríamos
Y; =
24.3480
+ 0.0498X 3i (8.6.5)
(6.3837) (0.0037) t = (3.8141) (13.3576)
R2
= 0.9567
Vemos ahora que la riqueza tiene un impacto significativo sobre los gastos de consumo, mientras que en (8.6.1) no tenía ningún efecto sobre éstos. Las regresiones (8.6.4) y (8.6.5) muestran muy claramente que en situaciones de extrema colínealidad, eliminar la variable altamente colineal traerá
MULTICOLINEALlDAD
229
frecuentemente como resultado que la otra variable X se torne estadísticamente significativa. Esto sugeriría que una manera de evadir la extrema colinealidad consistiría en eliminar la variable colineal, tema al cual nos referiremos más en detalle en la Sección 8.8.
8.7 COMO DETECTAR MULTICOLINEALIDAD Habiendo estudiado la naturaleza y las consecuencias de la multicolinealidad, la pregunta más lógica que se puede a continuación formular es ¿cómo se sabe que está presente la colinealidad en una determinada regresión, especialmente· en aquellos modelos que involucran más de dos variables explicativas? ~n este aspecto es importante mantener en mente las advertencias de Kmenta: 1. La multicolinealidad es un problema de grado y no de tipo. La distinción significativa no es entre la presencia y la ausencia de. multicolinealidad, sino entre sus diferentes grados y magnitudes. 2. Puesto que la multicolinealidad se refiere a la condición de las variables explicativas, que se supone que son no estocásticas, ella es una característica de la muestra y no de la población. Por tanto, no tenemos que "llevar a cabo pruebas de multicolinealidad" pero si lo deseamos podemos medir su grado para cualquier muestra determinada. 12
Dado que la multicolinealidad es esencialmente un fenómeno de tipo muestral que surge de información principalmente no experimental, que se recopila ,en la mayoría de las ciencias sociales, no se cuenta con un método único para detectarla o medir su fuerza. Lo que tenemos en realidad son ciertas reglas generales, algunas de ellas formales y otras informales, pero solamente reglas generales. Consideremos a continuación algunas de éstas.
1. Un R2 elevado pero pocas razones t signiFICativas. Co~o se mencionó anteriormente, éste es un síntoma "clásico de multicolinealidad". Si el R2 es alto, digamos, por encima de 0.8, la prueba F en la mayoría de los casos rechazará la hipóteSIs de que los coeficientes parciales de las pendientes son simultáneamente iguales a cero. Sin embargo, las pruebas t individuales mostrarán que ningún coeficiente parcial de las pendientes, o muy pocos de ellos, son estadísticamente diferentes de cero. Lo anterior se demostró claramente en nuestro ejemplo de consurno-ingreso..riqueza. Aunque este diagnóstico es sensible, su gran desventaja consiste en que "es demasiado fuerte, en el sentido de que la multicolinealidad se considera daflina, únicamente cuando la totalidad de las influencias de las variables explicativas sobre Y no se pueden separar" .1~ Altas co"elaciones pares entre regresores. Otra regla general que... sesugiere utilizar consiste en observar el coeficiente de correlación de orden cero
Jan Kmenta, Elements 01 Econometrlc., The MacMillan Company, New York, 1971." p. 380.
"'Id., p. 390.
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
230
o par entre dos regresores. Si éste es alto, digamos, superior a 0.8, entonces la multicolinealidad es un problema serio. El problema con este crite~ rio es que aunque las altas correlaciones de orden cero pueden sugerir la presencia de colinealidad, no es necesario que dichas correlaciones sean altas para contar con la presencia de colinealidad en un determinado'caso específico. Para plantearlo en términos un poco técnicos, correlaciones
elevadas de orden cero son una condición suficiente pero no necesaria para la existencia de multicolinealidad, debido a que ésta puede existir, a pesar de qu~ .las correlaciones de orden cero o correlaciones simples sean comparativamente bajas (digamos, inferiores a 0.50). Para apreciar esto, supongamos que tenemos un modelo de cuatro variables:
Yi =
{J1
+ {J2 X 2i + {J3 X 3i + (J4,X~i + Ui
y suponiendo que
donde A. 2 Y A3 son constantes, sin que las dos sean simultáneamente iguales a cero. Obviamente, X 4 es una combinación lineal exacta de X 2 y X 3 dando como resultado que el coeficiente de determinación en la regresión de X 4 sobre X 2 y X 3 ,R¡.23 es igual a 1 se puede comprobar que, (8.7.1) Pero puesto que R¡.23 tenemos
= 1 debido a la existencia de colinealidad perfecta, (8.7.2)
Ahora bien no es difícil ver que (8.7.2) se satisface conr42 = 0.5 r43 = 0.5 Yr23 = -0.5, los cuales no son valores realmente altos. Por tanto, en los modelos que involucren más de dos variables explicativas la correlación simple o de orden cero no proporcionará una guía infalible sobre la presencia de multicolinealidad. Claro está que si solamente existen dos variables explicativas, bastará con las correlaciones de orden cero. 3. Andlisis de las correlaciones parciales. Debido al problema que acabamos de mencionar, cuando nos basamos únicamente en las correlaciones de orden cero, Farrar y Glauber han sugerido que se deben observar en lugar de ello los coeficientes de correlación parcial. 14 De, esta forma, si se encuentra en la regresión de Yen X 2 • X 3 , y X 4 que Rt234 es muy elevado,
14
D. E. Farrar y R. R. Glauber, "Multicolinearity in Regression Analysis. The Problem Revísited' '
Review of Econometrics and Statistics, vol. 49, pp. 92-107.
MULTICOUNEALIDAO
231
pero r72.34, r13.24, y rfU3 son comparativamente bajos, esto puede implicar que las variables X 2 • X 3 y X4 están altamente intercorrelacionadas y que por lo menos una de estas variables es superflua. Aunque puede ser lltU un estudio de las correlaciones parciales, no hay garantía. de que éstas proporcionen una guía infalible para detectar multicolinealidad, puesto que puede suceder que tanto el R' ~omo todas las correlaciones l'8!ciales sean suficientemente altas. Sin embargo, y tal vez más importante, C. Robert Wichers15 ha demostrado que la prueba de correlación parcial'de Farrar-Glauber es ineficaz en el sentido de que una determinada correlación parcial puede ser compatible con patrones de multicolínealidad diferentes. La prueba Farrar-Glauber ha sido también T. Krishna Kumar,16 John O'Hagan y Brendan Me muy criticada Cabe. 17
por
4. Regresiones auxiliares. Puesto que la multicolinealidad .surge debido a que uno o más regresores son combinaciones exactas o aproximadamente lineales de los otros regresores, una manera de averiguar qué variable X está relacionada con otras variables X consiste en regresar cada X, en las restantes variables X, procediendo entonces a calcular el R' correspondiente que designamos como R~; cada una de estas regresiones se denomina regresión auxiliar, auxiliar a la regresión principal de Y en las X. Entonces, siguiendo la relación existente entre el F y el R' , la variable
(8.7.3 ) posee una distribución F con k - 2 y N· - k + 1 g de 1. En la ecuación (8.7.3), !ti significa el tamafto de la muestra, k representa el número de variables explicativas incluyendo el término de la intersección y R~i' X2X~ .. ' x~ es el coeficiente de determinación en la regresión de la variable X, en las restantes variables X. 18 Si el F calculado excede al F, crítico al nivel de significancia escogido, se dice entonces que una X, determinada es colineal con las restantes X; de otro lado, si el F calculado no excede al F, crítico, decimos entonces que la variable X considerada no es colineal con las restantes X, en cuyo caso podemos retener la variable en el modelo. Si F, es estadísticamente
15 "Tbe Detection of Multico1linearity; A Comment", Review oí Eeonomtc. and Statistie8,. vol. 57, 1975, pp. 365·366. 16 "Multico1linearity in Regression Analysls", Review o/ Eeonomtc. and StatiBtic., vol. 57, 1975, pp. 366-368.
17 "Test for the Severity of MulticoUinearity in Regtession Analysls
A Comment", Review o/ Eeono-
micsand StatiltiCs, vol. 57,1975, pp. 368-370.
} 18 Por ejemplo,R~J se puede obtener haciendo la regresi6n deX 2i ,de la siguiente manera: X3i + a.X.í + ... + a,.Xij + ej'
X 2i =
al
+ a3
232
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
significativo, tendremos aun que decidir si la Xi que se está considerando debe eliminarse del modelo. Este aspecto ~e analizará más detalladamente en la Sección 8.8. Sin embargo, este método no deja de tener sus desventajas, puesto que ... si la multicolinealidad involucra únicamente unas pocas variables, ,de tal manera que las regresiones auXiliares no sufren multicolinealidad extensa, los coeficientes estimados puec;len 'Te\relar la naturaleza de la dependencia lineal existente entre los regresores. Infortunadamente, si existen diferentes ásociaciones lineales muy complejas, este ejercicio de ajuste puede no ser muy valioso puesto que será difícil identificar las interrelaciones independientes. 19
5. Valores propios o específicos* e índice de condición. Si se examina el listado SAS de la función de producción Cobb-Douglas se podrá apreciar que SAS utiliza valores específicos y el z'ndice de condiciones para diagnosticar muIticolinealidad. No analizaremos aquí el tema de los valores específicos, puesto que nos llevaría a involucrarnos en los temas de álgebra matricial, que están fuera del enfoque de este libro. Partiendo de estos valores específicos, podemos desarrollar lo que se conoce como número . de condición k, definido como: k = Valor específico máximo Valor específico mínimo y el z'ndice de condición (IC), el cual se define como le=
Valor específico máximo Valor específico mínimo
Entonces, tenemos la siguiente regla general. Si k está entre 100 Y 1000, existe una multicolinealidad que va desde moderada a fuerte, mientras que si excede a 1000, existe una multicolinealidad severa. En forma alternativa si el IC (= está entre 10 Y 30, existe una multicolinealidad entre moderada y fuerte, en tanto que si excede a 30, existe una multicolinealidad sev\.,ra. Para el ejemplo ilustrativo, k = 3.0/0.00002422 o aproximadamente 123864 y ei IC = J123864 = aproximadamente 352. En consecuencia, tanto k como el IC sugieren la presencia de una multicolinealidad severa. Claro está que k y el IC se pueden calcular entre el valor específico máximo y cualquier otro valor específico como se hace en el listado. (Nota: El listado no calcula explícitamente el valor de k; es simplemente elcuadrado det IC). A propósito, obsérvese que un bajo valor específico (en
Jk)
19 George G. Judge, R. Carter Hill, William E. Griffiths, Helmut Lütkepohl, y Tsoung-chao Lee, lntroduction to The Theory ami Practice 01 Econometrics, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1982, p.621.
*N. de C. Eigenvalues, expresión que también puede traducirse como valores característicos.
233
MUlTICOLlNEALlDAO
relación con el máximo valor específico,es una indicación de dependencias casi lineales en los datos. Algunos autores creen que elíndice de condición es el mejor diagnóstico de multicolinealidad existente. Sin embargo, esta opinión no es ampliamente aceptada. P.ara nosotros, entonces, el IC és solamente una regla general, tal vez un poco más sofisticada. Para mayores detalles, el lector puede consultar las referencias bibliográficas 11 este respecto. 20 Para concluir nuestro estudio sobre cómo detectar multicolinealidad, se debe hacer énfasis en que los diferentes métodos que hemos mencionado son esencialmente "método de pesca" puesto que no podemos decir si ellos funcionan para una determinada aplicación. Sin embargo, no se puede hacer mucho al respecto puesto que la multicolinealidad es un problema de tipo muestral sobre el cual el investigador puede no tener mucho control, especiálmente si los datos son de naturaleza no experimental, el caso común que enfrentan los investigadores en las ciencias sociales. 8.8 MEDIDAS REMEDIALES ¿Qué se puede hacer si la multicolinealidad es grave? Como sucedió cuando intentábamos buscar maneras para detectarla, no existen guías infalibles debido a que la multicolinealidad es esencialmente un problema muestral. No· obstante, se puede intentar ut,i}izar las siguientes reglas generales, dependiendo el éxito de las mismas de la severidad del problema de colinealidad.
1. Información a priori. Suponiendo que consideramos el modelo Y¡
= {Jl + {JIX 1¡ + {J3 X 3¡ + U¡ = ingreso y X 3 = riqueza.
donde Y = consumo, X 2 Como se mencionó anteriormente, las variables ingreso y riqueza tienden a ser altamente colineales. Sin embargo, supongamos que a priori creemos que {J3 = O.10{J2; es decir, que la tasa de cambio del consumo con respecto a 1a riqueza corresponde a una décima parte de la tasa de variación con respecto al ingreso. Podemos entonces realizar la siguiente regresión: Y¡
= {Jl + {J2 X 2¡ + 0.10{J2 X 3¡ + U¡ =
{Jl
+ {J2 X ¡ + U¡
donde Xi = Xli + 0.1 X3~' Una vez que obtengamos P2 podemos estimarP3 a partir de la relación postulada entre {J2 y {J3' ¿Cómo se obtiene información a priori? Puede provenir de trabajos empíricos previos donde el problema de colinealidadsea menos serio o,
28 Véase especialmente D. A. Belsley, E. Kuh y R. E. Welsch, Regresrion PÚlgnOStiCS, Identifying Injluenttal Data and Sources 01 Collinearity, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1980, Cap. 3. Sin embargo, este libro no es para un principiante.
234
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
de otro lado, basándose en la teoría 'relevante fundamental en el campo bajo estudio. Por ejemplo, para el caso de la función de producción tipo Cobb-Douglas, si se espera obtener retornos a escala constantes, entonces (Pz + P3) = 1, en cuyo caso podríamos llevar a cabo la siguiente regresión:
In (Yt!X21 )
=
PI + pzln (J(3t!X U )
donde Y = producción, X 2 = mano de obra o trabajo, X 3 = capital. En dicha regresión, se regresa la relación producto/trabajo en la relación capital/trabajo. Si existe colinealidad entre la mano de obra y el capital, generalmente es el caso de la mayoría de los datos, esa transformación puede reducir o eliminar el problema de colinealidad. Sin embargo, es preciso hacer una advertencia en este caso con respecto a la imposición de tales restricciones a priori. " ... puesto que en general estamos interesados en evaluar las predicciones a priori de la teoría económica, en lugar de sencillamente imponerlas sobre los datos sobre los que puedan o no ser ciertas". 21 No obstante, ya hemos diseñado mecanismos para evaluar la validez de restricciones lineales en el modelo en fonn~ explí. cita, como se vio en el Capítulo 7.
2. Combinación de series de corte transversal y de series de tiempo. Una variante a la técnica de obtener infonnación a priori, sugerida previamente, consiste en combinar cifras de corte transversal y de series de tiempo, técnica que se conoce como mezcla de datos. Supongamos que queremos estudiar la demanda de automóviles en los Estados Unidos y que disponemos de series de tiempo para el número de autos vendidos, el precio promedio de cada auto y el ingreso del consumidor. También supongamos que In y, = PI + pz In P, + P3 In 1, + U, donde Y = número de autos vendidos, P = precio promedio, 1 = i~greso y t = tiempo. Nuestro objetivo consiste en estimar la elasticidad-preciopz y la elasticidad-ingreso P3' Ahora bien, tratándose de series de tiempo, las variables precio e ingreso tienden a ser altamente colineales. Por tanto, si corremos la anterior regresión nos enfrentaremos al problema de la multicolinealidad. Una manera de solucionarlo ha sido sugerida por Tobin. 22 Afirma que si tenemos infonnación de corte transversal (como la que se genera a través de páneles de consumidores o de estudios presupuestales como los que lle:" van a cabo agencias privadas o gubernamentales), podemos obtener una estimación relativamente precisa de la elasticidad ingreso P3 puesto que
21 Mark B. Stewart y Kenneth F. Wallis, lntroductory Econometrics, 2a. ed., John Wiley & Sons, Inc" A Halstead Press Book, 1981, p. 154.. 22 J. Tobin, "A Statistical Demand Function for Food in the U.S.A.Jouma/ ofthe Royal Statistical society, seto A, pp. 113-141, 1950.
235
MULTICOLlNEALlDAD
con estos datos, que están en un punto en el tiempo, los precios no varían mucho. Sea P3 la elasticidad-ingreso, estimada a partir de los datos de corte transversal. Utilizando esta estimación, la anterior regresión de series de tiempo puede escribirse como: y~ =
Pl + P2 In Pf + Uf
donde Y· = In Y - P3 In 1, que representa el valor de Y después de suprimirle el efecto del ingreso. Podemos proceder a obtener una estimación de la elasticidad - precio P2 a partir de la anterior regresión. Aunque es una técnica atractiva, combinar cifras de corte transversal con las de series de tiempo puede crear problemas de interpretación debido a que en este caso estamos suponiendo implícitamente que la elasticidad - ingreso, estimada a partir de cifras de corte transversal, es igual a la que se habría obtenido a partir del análisis de series de tiempo.23 Sin embargo, la técnica ha tenido muchas aplicaciones y es particularmente valiosa en situaciones en donde los estimativos de corte transversal no varían sustancialmente de una muestra a otra. Un ejemplo de esta técnica se encuentra en el Ejercicio 8.12. 3. Eliminación de una(s) variable(s) y el sesgo de especificación. Cuando encaramos el problema de multicolinealidad severa, una de las soluciones más "simples" consiste en omitir del modelo una de las variables colinea~ les. En nuestro ejemplo consumo-ingreso-riqueza, al omitir la variable riqueza obtenemos la regresión (8.6.4), la cual muéstra que mientras en el modelo original la variable ingreso no era estadísticamente significativa, ahora se vuelve "muy" significativa. Sin embargo, al eliminar una variable del modelo podemos cometer el sesgo de especificación o error de especificación. El sesgo en la especificación del modelo surge debido a la especificación incorrecta del modelo utilizado en el análisis. Por tanto, si la teoría económica plantea que el ingreso y la riqueza deben incluirse en el modelo que explica los gastos de consumo, al eliminar la variable riqueza estaríamos cometiendo un sesgo de :especificación. Aunque estudiaremos el tema del sesgo en la especificación de un modelo en el Capítulo 11, podemos ilustrarlo a continuación. Si el modeo poblaeional verdadero es: ~ = Pl + P2 X 2j + P3 X 3¡ +u¡
pero ajustamos erradamente el modelo:
y¡ = bl + bu X 2i + e¡
23 Para un análisis completo y una aplicación de la técnica de combinación de datos, v¿ase Edwin Kuh, Oipital Stock Growth: A Micro-Econometrlc Approach, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1963, Caps. S y 6.
236
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
entonces
E(b 12 )
= P2 + P3 b32
donde b 32 = coeficiente de la pendiente en la regresión de X 3 en X 2 • Por tanto, es obvio a partir de la expresión (b) que b 12 será una estimación sesgada de P2 en la medida en que b 32 sea diferente de cero (se supone que P3 es diferente de cero; en caso contrario no tendría sentido incluir X 3 en el modelo original).24 Claro está que si b32 fuera cero, no tendría..: mos el problema de multicolinealidad. También es claro observando (b) que si b 32 y P3 son positivas, E(b 12 ) será mayor queP2; por tanto, en promedio b 12 sobreestimará P2' ocasionando por ende un sesgo positivo. En forma similar, si el producto b 32 P3 es negativo, en promediob 12 subestimará P2 ocasionando un sesgo negativo. A partir del análisis anterior es claro que al eliminar una variable del modelo para aliviar el problema de la multicolinealidad, se puede producir un sesgo en la especificación del mismo. Por tanto, el remedio puede ser peor que la enfermedad misma en algunas situaciones debido a que mientras la multicolinealidad puede prevenir la estimación precisa de los parámetros del modelo, omitir una variable del mismo puede llevar a equivocarse seriamente con respecto a los verdaderos valores de los parámetros. . Recordemos que los estimadores de MCO son MELI, a pesar de la presencia de colinealidad menos que perfecta. 4. Transformación de variables. Supongamos que poseemos información en forma de series de tiempo para los gastos de consumo, ingreso y riqueza. Una razón que puede explicar la alta multicolinealidad entre el ingreso y la riqueza en estos datos consiste en que en el tiempo ambas variables tienden a moverse en la misma dirección. Una manera de minimizar esta dependencia es procediendo de la siguiente forma: Si la relación (8.8.1)
se cumple en el período t, también debe cumplirse en el período t - 1, en razón de que el origen del tiempo es, de todas fórmas, arbitrario. Por tanto, se tiene que (8.8.2) Si restamos' (8.8.2) de (8.8.1), obtenemos: (8.8.3)
donde v, = u, - U,-l La ecuación (8.8.3) se conoce como la forma de primeras diferencias, puesto que se está corriendo la regresi6n, no sobre
14 Adicionalmente, obsérvese que si bu no se acerca a cero a medida que el tamaño de la ~uestra aumenta indefinidamente, entonces b l2 no solamente será sesgado sino también será inconsistente.
237
MULTICOllNEAlIDAD
las variables originales, sino sobre las diferencias de los valores sucesivos de dichas variables. El modelo de regresión utilizando las primeras diferencias, con frecuencia reduce la severidad de la multicolinealidad debido a que aunque los niveles de X 2 y X 3 puedan tener una alta correlación, no existe unarazón a priori para creer que sus diferencias también tengan una alta correlación. Sin embargo, la transfonnación que utiliza las primeras diferencias crea algunos problemas adicionales. El ténnino de erro.r Vt que aparece en (8.8.3) puede no satisfacer uno de los supuestos del modelo clásico de regresión lineal, según el cual las perturbaciones no están correlacionadas serialmente. Como veremos en el Capítulo 10, si el Uf es serialmente independiente o no correlacionado, el ténnino de error Vt obtenido previamente, en la mayoría de los casos estará serialmente correlacionado. Nuevamente, el remedio puede ser peor que la enfennedad. Adicionalmente, se pierde una observación debido al procedimiento de diferenciación y por. tanto los grados de libertad se reducen en 1. Con una muestra pequefía, este hecho puede ser un factor que se debe por lo menos tener en cuenta. Además, el primer procedimiento de diférenciación puede no ser el adecuado en los datos de corte transversal donde no hay un ord&namiento lógico de las observaciones.
5. Datos nuevos o adicionales. Ya que la multicolinealidad es una característica de la muestra, es posible que en otra muestra que involucre las mismas variables la colinealidad puede no ser tan seria como en la primera muestra. A veces, con sólo aumentar el tamafío de la muestra (si es posible), se puede atenuar el problema de colinealidad. Por ejemplo, en el caso del modelo de tres variables se puede obtener que ql
var
L x~~l - r~3)
Ahora, a medida que el tamafío de la muestra aumenta, L X~i generalmente aumentará. (¿Por qué?) En consecuencia, para cualquier r23 dado, la varianza de Pl disminuirá, disminuyendo así el error estándar, lo cual nos permite estimar en forma más precisa el valor de Pl La obtención de datos adicionales o de "mejor" información no siempre es tan sencilla, puesto que como lo mencionan Judge et al: Infortunadamente, los economistas muy pocas veces pueden obtener datos adicionales sin tener que incurrir en costos significativos, y mucho menos escoger los valores de las variables explicativas que desean. Adicionalmente, cuando ~ agregan nuevas variables en situaciones que no se controlan, debemos estar conscientes de agregar observaciones que fueron generadas en un proceso diferente del asociado con el conjunto original de datos; es decir, debemos estar seguros de que la estructur¡l económica asociada con las nuevas observaciones es la misma que la de la estructurá original.25 25 Judge et al.,
op. cit., 625, véase también Seccion 8.9.
238
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
6. Reducción de la colinealidad en las reducciones polinomiales. Una característica especial de los modelos de regresión polinomial es que las variables explicativas aparecen elevadas a diferentes potencias. Por tanto, en la función cúbica de costos totales que involucra la regresión del costo total de la producción (producción)2 y (producción)3 ,los diferentes términos de la producción elevados a las diferentes potencias van a estar correlacionados, dificultando así la estimación precisa de los diferentes coeficientes de las pendientes. 26 No obstante, en la práctica se ha encontrado que si las variables explicativas se expresan en formas de desviación (es decir, en forma de desviaciones de sus valores promedios), se reduce sustancialmente la multicolinealidad. Pero aun entonces el problema puede persistir ~ 27 en cuyo caso se podrían considerar técnicas como la de los polinomios ortogonales. 28 7. Otros métodos de remediar la mu/tico/inealidad. Técnicas estadísticas multivariadas, tales como el análisis factorial y la de componentes principales o técnicas tales como la ridge regression con frecuencia se utilizan para "solucionar" el problema de la multicolinealidad. Infortunadamente, estas técnicas están más allá del enfoque de este libro y no se pueden analizar en forma adecuada sin acudir al álgebra matricia1. 29 Para concluir nuestro análisis de las medidas remediales, es importante una nota de advertencia. En el análisis de regresión, cuando obtemos valores t no significativos para' los éoeficientes de regresión, con frecuencia existe la tentación de culpar por esta falta de significancia a la multicolinealidad. Pero el verdadero culpable puede no ser la multicolinealidad sino algún otro factor diferente. Como mencionan Douglas Montgomery y Elizabeth Peck, ese factor puede ser: 30
1. El método de recolección de datos empleado; por eJemplo, muestreo sobre un rango limitado de valores que pueden tomar los regresores en la poblacion. 2. Limitaciones en el modelo o en la población que se está muestreando. Por ejemplo, en la regresión del consumo de electricidad en el ingreso (X2) y en el tamaño del hogar (X3) existe una limitación física en la poComo se mencionó, puesto que la relación entre X, x y X' ~o es lineal, hablando en forma estricta las relaciones polinomiales no violan el supuesto de no multicolinealidaddel modelo clásico. 26
2
27 Véase R. A. Bradley y S. S. Srivastava, "Correlation and Polynomial Regression", American Statisti· cian, vol. 33, 1979, pp. U·l4. 28 Véase Norman Drapper and Harry Smith, Applied Regression Analysis, 2 ed., John Wiley & Sons, Inc., New York, 1981, pp. 266·274.
29\ Una explicación sencilla de estas técnicas desde un punto de vista aplicado, se puede encontrar en Samprit Chatterjee and Betram' Price, Regression Analyris by Example, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1977, Caps. 7 y 8. . 30 Véase su Introduction to Linear Regression Analyris, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1982, Cap. 8, pp. 289·290. La siguiente discusión se basa principalmente en sus análisis. Este capítulo tamo bién proporciona un estudio detallado de los diagnósticos de multicolinealidad y de la rldge regresrion.
MULTICOLlNEALlDAD
239
blación,que radica en el hecho de que "familias con ingresos más altos generalmente tienen un número de personas a cargo más grande que las familias con ingresos más bajos. [Por tanto] ... la multicolinealidad existirá, independientemente del método de muestreo utilizado". 31 3. EspecifICación del modelo, por ejemplo, agregar términos polinomiales al modelo de regresión, especialmente cuando el rango de la variable X es pequefto.
4. Un modelo sobredefinido. Esto ocurre cuando el modelo tiene más variables explicativas que número de observaciones. Lo anterior puede ocurrir en la investigación médica, donde puede haber un número pequefio de pacientes sobre los cuales se recolecta información sobre una gran cantidad de variables. 8.9 ¿ES LA MULTICOLINEALlDAD NECESARIAMENTE MALA? TAL VEZ NO, SI EL OBJETIVO ES UNICAMENTE LA PREDICCION Se dice que si el único propósito del análisis de regresión es el pronóstico o la predicción, .entonces la colinealidad no se constituye en un problema serio porque cuanto mayor sea el R'", mejor será la predicción. 32 Pero este puede ser el caso, " ... en la medida en que los valores de las variables explicativas para las cuales se desea obtener predicciones obedezcan a las mismas dependencias lineales casi exactas de la matriz X de [datos] de disefio original". 33 Por tanto, si en una regresión estimada se encontró que X:i = 2X 3 aproximadamente, entonces en una futura muestra utilizada para predecir Y, X 2 debería también ser aproximadámente igual a 2X 3 , lo cual es una condición, difícil de cumplir en la práctica (véase Fn. 25), en cuyo caso la predicción se tornará cada vez más incierta. 34 Adicionalmente, si el objetivo del análisis no es solamente la predicción sino también la estimación confiable de los paráme c tros, la presencia de alta Iriulticolinealidad puede ser un problema serio debido a que, como hemos visto, puede producir grandes errores estándar para los estimadores. Sin embargo, existe un caso en donde la multicolinealidad puede no representar un problema serio. Este es el caso en que se tiene un elevado R'2 y en donde los coeficientes de regresión son individualmente significativos,
31
lbid.
32 Véase R. C. Geary, "Some Results about Relations between Stochastic Variables: A Discussion Document", Review o[ IntematioTIIJI Statistical lnstituté, vol. 31, 1963, pp. 163-181. 33 Judge et al., op. cit., p. 619. También encontrará en esta página una prueba de por qué, a pesar de la existencia de colinealidad, se pueden obtener mejores predicciones medias si la estructura de la colinealidad existente tambienpersiste en muestras futuras.
Para un excelente análisis del tema, véase E. Malinvaud, Statistical Methods 01 Econometrics, 2 cd., North-H.,:>lland Publishing Company, Amsterdam, 1970, pp. 220-221.
34
240
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
como demuestran los altos valores t. Aun así, los diagnósticos de la multicolinealidad, por ejemplo el que arrojaría el índice de condición, indican que existe una seria colinealidad en los datos. ¿Cuándo puede presentarse tal situaciórr? Como menciona Johnston: Lo anterior puede surgir si los coeficientes individuales resultan estar numéricatnente por encima del valor verdadero, de tal manera que el efecto se siga mostrando, a pesar de estar inflados los errores estándar y/o debido a que el valor verdadero mismo en tan grande que aun cuando se obtenga una estimación bastante subestimada, ésta continúe siendo significativa. 35
8.10 RESUMEN Y CONCLUSIONES Uno de los supuestos del modelo clásico de regresión lineal es la inexistencia de multicolinealidad entre las variables explicativas, las X. En términos generales, la multicolinealidad se refiere a la existencia de una relación lineal exacta o aproximaqamente exacta entre las variables X. Las consecuencias de multicolinealidad son las siguientes: Si existe una perfecta colinealidad entre las X. sus coeficientes de regresión son indeterminados y sus errores estándar son infinitos. Si la colinealidad es alta pero no perfecta, la estimación de los coeficientes de regresión es posible, pero sus errores estándar tienden a ser grandes. Por consiguiente. los valores poblacionales de los coeficientes no pueden estimarse en forma precisa. No obstante, si el objetivo consiste en estimar combinaciones lineales de estos coeficientes, las funciones estimables, esto se puede hacer aun en presencia de multicolinealidad perfecta. Aunque no existen métodos exactos para detectar la colinealidad, existe , '~iferentes indicadores de ésta tales como: 1. El signo más diciente de la existencia de colinealidad tiene lugar cuando el R 2 es muy alto, pero ninguno de los coeficientes de regresión es estadísticamente significativo, con base en la tradicional prueba t. Este es, naturalmente, un caso extremo. 2. En el modelo con dos variables explicativas se puede obtener una idea relativamente buena de la colinealidad examinando el coeficiente de correlación simple o de orden cero entre las dos variables. Si esta correlación es alta, el culpable es generalmente la colinealidad. 3. No obstante, los coeficientes de correlación de orden cero pueden ser engañosos en modelos con más de dos variables X, puesto que es posible tener pequeñas correlaciones de orden cero y existir simultáneamente una altamulticolinealidad. En situaciones como éstas, es necesario examinar los coeficientes de correlación parcial. 4. Si el R 2 es alto pero las correlaciones parciales son bajas, la multicolinealidad es una posibilidad. En este caso pueden ser superfluas una o más 35
J. Johriston, Econometric Methods, 3 ed., McGraw-Hill Book Company, New York, 1984, p. 249.
241
MULTICOLlNEALI.DAD
variables. Per~ si el R 2 es alto y las correlaciones parciales son también elevadas, la multicolinealidad no puede ser detectada tan directamente. Además, como plantean C. Robert, Krishna Kumar, John O'Hagan y Brendan McCabe, existen algunos problemas estadísticos con la prueba de correlación parcial sugerida por Farrar y Glauber. 5. Por tanto, se puede proceder a correr una regresión de cada una de las variables Xi sobre las variables X restantes en el modelo y calcular los correspondientes coeficientes de determinación R? Un alto Rf sugeriría que Xi está altamente correlacionado con el resto de las X. En consecuencia se puede proceder a eliminar esa Xi del modelo, dado que no produce un serio sesgo de especificación en el modelo. La detección de multicolinealidad es la mitad de la batalla. La otra mitad está relacionada con hallar cómo deshacerse del problema. Nuevamente, no existen métodos seguros, solamente unas pocas reglas generales. Algunas de éstas son: (1) utilizar información obtenida en forma previa o externa al modelo, (2) combinando información de series de tiempo y de corte transversal, (3) omitiendo una variable altamente colineal, (4) transformando la información, (5) obteniendo información nueva o adicional. Naturalmente, para saber cuál de estas reglas utilizar en la práctica tendremos que considerar la naturaleza de los datos y la severidad del problema de colinealidad. Finalmente, mencionamos el papel de la multicolinealidad en la predicción o .proyección de cifras e hicimos énfasis eh que, en tanto que la estructura de la multicolinealidad continúe en la futura muestra, es difícil utilizar una regresión estimada que esté plagada por problemas de multicolinealidad para fines de predicción. EJERCICIOS 8.1 En el modelo de regresión lineal de k variables existen k ecuaciones normales para estimar k incógnitas. Estas ecuaciones normales se dan en (7.3.8). Suponga que X k es una combinación lineal perfecta de las restantes variables X. ¿Cómo mostraría usted que en este caso es imposible estimar los k coeficientes de regresión? 8..2 Considere el siguiente conjunto de datos hipotéticos:
y
X1
X3
1 2 3
-2
5
1 3 5 7 9
O
6
11
2
7
4 6 8
8
13 15 17 19 21
-10 -8 -6 -4
10
4
9 10 11
242
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
Supongamos que usted desea ajustar el modelo: a los datos anteriores.
(a) ¿Puede usted estimar las tres incógnitas? ¿Por qué sí o por qué no? (b) Si no lo puede hacer, ¿qué funciones lineales de estos parámetros, las funciones estimables, puede usted calcular? Muestre los cálculos necesarios aparte. 8.3 Sila relación A¡X li + A2 X 2i + A3 X 3i = O se cumple para todos los valores de A¡, Ah Y A3 , estime '12.3' '13.2' Y '2:i.!· También encuentre Rt23,RL3' y R~.¡2· ¿Cuál es el grado de multicolinealidad en esta situación? Nota: R~ .23 es el coeficiente· de determinación en la regresión de X en X 2 Y X 3. Los restantesR 2 dében interpretarse de la misma manera. 8.4, Considere el siguiente modelo:
y, = p¡ + P2 X , + P3 X ,-¡ + P4 X ,-2 + PS X'-3 + P6X,-4 + U, donde Y = consumo, X = ingreso y t = tiempo. El modelo anterior postula que el consumo en el tiempo t es una función del ingreso, no sólo en el período t sino también del ingreso en períodos anteriores. De esta forma, el consumo en el primer trimestre de 1976 es una función del ingreso en ese trimestre y en los cuatro trimestres de 1975. Tales modelos se denominan modelos de rezagos distribuidos, los cuales serán estudiados más adelante. . (a) ¿Esperaría hallar multicolinealidad en tales modelos? ¿Por qué? (b) Si espera hallar multicolinealidad ¿cómo solucionaría el problema? 8.S Considere el ejemplo ilustrativo de la Sección 8.6. ¿Cómo reconciliaría usted las diferencias en las propensiones marginales a consumir obtenidas en (8.6.1) Y(8.6.4)?
8.6 En información de series de tiempo de variables económicas como en PNB. la ofertá de dinero, precios, ingresos, desempleo, etc., se sospecha generalmente la existencia , de multicolinealidad. ¿Por qué? 8.7 Suponga que en el modelo
'ü,coeficiente de correlación entre X 2 y X 3 , es cero. Por tanto, alguien sugiere que se debe correr la siguiente regresión:
y, =
%1
+ C(2 X 2i + U¡¡
(a) ¿Será i 2 = P2 Y 1'3 = P3? ¿Por qué? (b) ¿Será PI igual a i l o a YI o alguna combinacion de ellas? (e) ¿Será var (P2) = vac (i 2 ) y var (/3 3 ) = var (Y3)? 8.8 Supóngase que para cierta regresión, la matriz de correlación es la siguiente:
Xi Xi
Xl X~I
.1
xf
X¡
0,9742 1.0
0.9284 0.9872 1.0
243
MULTICOLlNEALlDAD
(a) "P\:leSto que las correlaciones de orden cero son muy altas, debe existir una seria multicolinealidad". Comente respecto a dicha afirmación. (b) ¿Eliminaría usted del modelo las variables (e) Si las elimina, ¿qué ocurrirá con el valor del coeficiente de XI?
8.9 Regresión por etapas o tramos (step.wise). Para escoger el "mejor" conjunto de va· riables explicativas para un modelo de regresión, los investigadores acuden con freo cuencia al método de regresión por etapas o step 'wise. En este método se procede ya sea introduciendo las variables X una a la vez, (regresión en etapas hacia adelan· te) o incluyendo todas las posibles variables X en una posible regresión múltiple y rechazándolas una a la vez (regresión en etapas hacia atrás). La decisión de agregar o eliminar una variable generalmente se hace con base en la contribución de esa variable a la SEC de acuerdo con lá prueba F. Según lo que usted ya ha aprendido hasta ahora, ¿recomendaría alguno de estos dos procedimientos? ¿Por qué sí o por qué no? * 8.10 Klein Y Goldberger intentaron ajustar el siguiente modelo de regresión a la econo· mía de los Estados Unidos:
+ P2 X 2i + P3 X 3i + P4 X 4i + Ui
Y¡ = PI
=
=
donde Y = consumo, X 2 ingreso por salarios, X 3 ingreso diferente a salarios o diferente a ingresos agrícolas y X 4 ingresos agrícolas. Pero, puesto que se espera que' X 2 , X 3 Y X 4 tengan una alta colinealidad, ellos obtuvieron estimaciones paraP3Y P4utilizando análisis de series de corte transversal de la siguiente máneraP3 = 0.75 Pl Y f34 =O.625f32.Utilizando estas estimaciones, formularon su función consumo de la siguiente manera. Y¡ = PI + P2(X 2i + O.75X 3i + O.625X 4i ) + Ui = PI + P2 Z i + Ui donde Zi = X 2i + O.75X 3i + O.625X 4i · (a) Ajuste el modelo a los siguientes datos y obtenga estimadores de PI a P4' (b) ¿Cómo interpretaría usted la variable Z? ¿Por qué? Año
Y
Xl
X3
X.
Año
Y
Xl
X3
X.
1936 1937 1938 1939 1940 1-941 1945·
62.8 65.0 63.9 67.5 71.3 76.6 86.3
43.41 46.44 44.35 47.82 51.02 58.71 87.69
17.10 18.65 17.09 19.28 23.24 28.11 30.29
3.96 5.48 4.37 4.51 4.88 6.37 8.96
1946 1947 1948 1949 1950 1951 1952
95.7 98.3 100.3 103.2 108.9 IOS.5 111.4
7(,:;3 75.91 77.62 78.01 83.57 90.59 95.47
28.26 27.91 32.30 31.39 35.61 37.58 35.17
9.76 9.31 9.85 7.21 7.39 7.98 7.42
Fuente: L. R. KIein y A. S. Goldberger, An Economic Modelo ofthe United StJJtes, 1929·1952, North Holland Publishing Company, Amsterdam, 1964, p. 131.
.~Faltan los datos para los años de guerra entre 1942.1944. Los datos para los demás años están dados en mUes de millones de dólares de 1939.'
* Analice si su razonamiento está de acuerdo con los planteamientos de Arthur Goldberger y D. B. Jochems, "~te on Stepwise Least-Squares", Joumal of the American Statistical Association, Marzo 1961, pp. 105-110.
244
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
8.11 (a) Demuestre que si ru = Opara i = 2, 3, ... , k, entonces
(b) ¿Cuál es la importancia de este resultado para la regresión de la variable Xl (= Y) en las variables X 2, X 3 , ... , X k ?
8.12 Suponiendo que todos los coeficientes de correlación de orden cero para Xl (= Y). X 2 • .... X k son i~uales a r, (a) ¿Cuál es el valor de R;.23 ... k? (b) ¿Cuáles son los valores de los coeficientes de correlación de primer orden?
"'8.13 En notacion matricial, ocurre que
P= (X'X)-IX'y
ti
(a) ¿Qué sucede con cuando existe colinealidad perfecta entre las X? (b) ¿Cómo sabría usted si existe colinealidad perfecta? '8.14 Utilizando notacion matricial, resulta var-cov (P) = (72(X'X) - 1
¿Qué ocurre con la anterior matriz de var-cov cuando (a) existe colinealidad perfecta y (b) cuando la colinealidad es alta pero no perfecta? *s.15 Considere la siguiente matriz de correlación: X2
X3
...
Xk
_ ¿Cómo averiguaría usted a partir de la matriz de correlacion, (a) si existe colinealidad perfecta, (b) si existe colinealidad menos que perfecta y (e) si las X no están correlacionadas? Sugerencia: Utilice IR I para responder a estas preguntas, IR I denota el determinante de R.
8.16 Variables explicativas ortogonales. Suponiendo que en el modelo X 2 a X k no están correlacionadas. A tales variables se les denomina variables ortogonales. Si es este caso, (a) ¿Cuál será la estructura de la matriz (X'X) (b) ¿Cómo obtendría usted P= (X'X) -1 X'y? (c) ¿Cuál será la naturaleza de la matriz de var-cov de p?
* Opcional.
MULTICOLlNEALlDAD
245
(d) Suponga que usted ya ha corrido la regresión y que pOSterionnente desea introducir otra variable ortogonal, digamos la variableXu t en el modelo. ¿Se tienen que volver a calcular todos los coeficientes anteriores desde Pt hasta Pt? ¿Por qu6 sí o por qué no?
8.17 Considere el Siguiente modelo: PND,
= Pt + P2 M , + P3 M,-t + P4(M,- M,-t) + U,
donde PNBt = PNB en el período t, Mt = oferta de dinero en el período t,Mt -l oferta de dinero en el período (t - 1) Y (Mt - 1 ) = variación de la oferta de dinero entre el período t y el período (t - 1). Este modelo postula entonces que el nivel del PNB en el período t está en función de la oferta de dinero en el período t y el período (t - 1), como también de la variacion en la oferta de diBero entre ~stos períodos. (a) Suponiendo que usted tiene la información necesaria para estimar el modelo anterior, ¿tendría éxito en estimar todos los coeficientes para este modelo? ¿Por qué sí o por qué no? (b) Si no es éste el caso, ¿qué coeficientes se pueden estimar? (e) Suponiendo que el términoP~ M,-t estuviera ausente del modelo, ¿sería su respuesta a la pregunta (a) la misma? (d) Repita (e) suponiendo que el ténninoP2 M,no esta presento en el modelo. 8.18 Demuestre que (7.4.7) y (7.4.8) también se pueden expresar cOmo:
p _ (L Y¡X2i)(L xii) 2 -
p _ (L Y¡X3¡)(¡ xii) 3 -
(¡
y¡x 3 ¡)(L X2¡X~¡J (L X~¡)(L x~¡)(l - r~3) (L y¡x?¡)(L X2¡X 3.) ri3)
(L xi¡)(L x~¡)(l -
donde r 23 es el coeficiente de correlacion entre X2 YX3 • 8.19 La siguiente tabla proporciona datos sobre importantes, PNB e índice de precios al consumidor (IPC) para los Estados Unidos durante el período 1970-1983.
Merchandise imports, GNP lUId epI, United States, 1976-1983 imporú
GNP
(S, millioa)
(S, llillioa)
CPI AH .... (1967 -100)
992.7 1077.6 1185.9 1326.4 1434.2 1549.2 1718.0 1918;) 2163.9 2417.8 2631.7 2957.8 3069.3 3304.8
116.3 121.3 125.3 133.1 147.7 161.2 170.5 181.5 195.4 2l'i.4 246.8 272.4 289.1 298.4
Mercbandise
Year 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983
39866 45579 55797 70499 103811 98185 124228 151907 176020 212028 249781 265086 247667 261312
Source: Eco"omic Report of tire Preside,,', 1985. Data on imparts from table 8-98 (p. 344), GNP from table 8-1 (p. 232) and ePI from table 8-52 (p. 291).
246
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
Se le solicita con~iderar el siguiente modelo:
In importaciones r =
fJI + fJ2 In PNB t + fJ3 In IPC t + Ur
(a) Calcule los parámetros de este modelo utilizando la información dada en la tabla. (b) ¿Sospecha usted que existe multicolinealidad en los datos? (e) Examine la naturaleza de la colinealidad utilizando el índice de condición. \ (d) Regrese: (l) In importacionesr = Al + A 2 In PNB t . (2) In importacionesr = BI + B 2 In IPC t (3) In PNB t = C I + C 2 In IPC t Con base en estas regresiones, ¿qué puede decir usted sobre la naturaleza de la multicolinealidad en los datos? (e) Suponiendo que existe multicolinealidad en los datos pero que P2 y P3 son individualmente significativas al nivel deiS % Y que la prueba global F también es significativa; en este caso, ¿debemos preocuparnos sobre el problema de la multicolinealidad?
8.20 Utilizando (3.3.1) y (3.3.2) para el caso de regresión simple para el caso de regresión múltiple, demuestre que cuando existe una colinealidad perfecta las varianzas de los parámetros estimados son infinitas. 8.21 Verifique'que los errores estándar de las sumas de los coeficientes de las pendientes estimadas utilizando (8.5.1) y (8.5.2) son respectivamente 0.1992 y 0.1825 (Véase Sección 8.5). . 8.22 Para el modelo de regresión (7.1.1.) con k variables, se puede demostrar que la varianza del coeficiente de regresión parcial késimo (k = 2, 3, .... , K) se puede expresar como:·
donde 0'; = varianza de Y,O'; = varianza de la késima variable explicativa, R; = R 2 de la regresión de X k en las restantes variables X y R 2 = coeficiente de terminación de la regresión múltiple (7.7.1), es decir, la regresión de Y sobre la totalidad de las variables X. (a) Permaneciendo constantes otros factores, si 0'; aumenta, ¿qué ocurre con la var (Pk)? ¿Cuáles son las implicaciones de esto en el problema de multicolinealidad? (h) ¿Qué ocurre con la fórmula anterior cuando la colinealidad es perfecta? (e) Verdadero o falso: "La varianza de Pk disminuye a medida que aumenta el R 2 , de tal manera que el efecto de un elevadOR; puedecontrarrestarseconR 2 elevado". ¿Por qué?
• Esta fórmula está dada por Stone, ,R. uThe Analysis of Market Demand" ,Journal o[ the Royal Statistical Socíety, vol. B7, 1945, p. 297. Para un amplio análisis, véase Peter Kennedy •• ~ Cuide to Eco: nometrics, 2 ed., The MIT Press, Cambridge, 1985, p. 156.
CAPITULO
9
HETEROCEDASTICIDAD
Un supuesto importante del modelo clásico de regresión lineal es que las perturbaciones u 1 de la función de regresión poblacional son homocedásticas, es decir, que todas tienen la misma varianza. En este capítulo examinaremos la validez de este supuesto y averiguaremos qué ocurre si no se cumple. Como en el Capítulo 8, buscamos respuestas a las siguientes preguntas: 1.
¿Cuál es la naturaleza de la heterocedasticidad?
2.
¿Cuáles son sus consecuencias?
3.
¿Cómo se detecta?
4.
¿Cuáles son las medidas remediales?
9.1 NATURALEZA DE LA HETEROCEDASTICIDAD Como se mencionó en el Capítulo 3, uno de los supuestos importantes en el modelo clásico de regresión lineal es que la varianza de cada término de perturbación u" condicional a los valores escogidos de las variables explicativas, es un número constante igual a (12. Este es el supuesto de homocedasticidad o igual (horno) dispersión (cedasticidad), es decir, igual varianza. En símbolos, i = 1,2, ... , N
(9.1.1)
Gráficamente, para el modelo de regresión lineal de dos variables se puede ilustrar la homocedasticidad a través de la Figura 3.5 que por conveniencia se reproduce en la Figura 9.1. Como ilustra la figura, la varianza condicional de Y¡ (la cual es igual a la de u¡), condicional al Xi dado, sigue siendo igual, independientemente de los valores que tome la variable X. 247
248
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
..,
..,•
.
.~
O
FIGURA 9.1 Perturbaciones homocedásticas.
En contraste, obsérvese la Figura 9.2 en la cual se muestra que la varianza condicional aumenta a medida que X aumenta. En este caso, las varianzas de Y¡ no son las mismas. Por tanto, existe heterocedasticidad. En símbolos, E(Uf) =
qf
(9.1.2)
Obsérvese el subíndice de q2, que nos recuerda que las varianzas condicionales de U¡ (= varianza condicional de Y¡) no continúan siendo constantes. Para aclarar' la diferencia existente entre la homocedasticidad y la hetetocedasticidad, supongamos que en el modelo de dos variables, Y¡ = PI + P2 X¡ + U¡. Y representa los ahorros y X el ingreso. Las Figuras 9.1 y 9.2 muestran que a medida que aumenta el ingreso también aumentan los ahorros en promedio. Sin embargo, en la Figura 9.1 la varianza de los ahorros permanece igual a todos los niveles de ingresos mientras que en la Figura 9.2' dicha varianza aumenta con el ingreso. Al parecer, en la Figura 9.2 no sólo las familias de mayores ingresos ahorran en promedio
..,
•.,
~
5
Q,
y
x FIGURA 9.2 Perturbaciones heterocedásticas.
HETEROCEDASTICIDAD
249
FIGURA 9.3 Ilustración de la heterocedastioidad.
más que las familias de ingresos inferiores, sino que también existe una mayor variabilidad en sus ahorros. Existen diferentes razones que explican la variación en las varianzas de u, j algunas de las cuales se mencionan a continuación .1 l. Siguiendo modelos de aprendizaje por error, a medida que las personas aprenden, sus errores de comportamiento se hacen mas pequefios a través del tiempo. En este caso, se espera que uf disminuya. A manera de ejemplo, consideremos la Figura 9.3 que relaciona el número de errores mecanográficos cometidos durante un tiempo en un examen en relación con las horas dedicadas a la práctica de la mecanografía. Como muestra la Figura 9.3, a medida que el número de horas de práctica aumenta, disminuye el número promedio de errores mecanográfi~os como también su varianza. 2. A medida que aumenta el ingreso, las personas tienen un· mayor ingreso discrecionaP y por tanto, un mayor número de posibilidades en las cuales utilizar su ingreso. En consecuencia, uf puede aumentar con el ingreso. Como resultado de ello, en la regresión del ahorro en el ingreso es probable encontrar que uf aumenta con el ingreso (como en la Figura 9.2), debido a que las personas tienen un número mayor de formas alternas en las cuales colocar sus ahorros. En forma similar, se espera que las empresas con mayores ganancias muestren generalmente mayor variabili-
1
VhI.e Stefan VaJavanis, Econometrlc., McGraw-Hill Book Company, Nueva York, 1959, p. 48.
2 Tomando las palabras de VaJavanis, "el in¡relO crece y la gente entonces escasamente diferencia los dólares, mientras que anteriormente escasamente diferenciaban las monedas de 10 centavos". lbid, p.48.
250
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
TABLA 9.1 Salarios por empleado ($) en las industrias manufactureras de artículos no durables,
de acuerdo con el tamaño del empleo del establecimiento. Tamaño del empleo (número promedio de empleados) Industria
1-4
S-9
1&-19 lé)..49
50-99 100-149 250-499 500-999 1000-1499
Alimentos y productos afines Productos del tabaco Prod uctos textiles Vestidos y productos relacionados Papel y productos relacionados Impresi6n y publicaci6n Productos químicos Y relacionados Petróleo y productos del carbón Productos de caucho Y plástico Cuero y productos derivados
2994
3295
3565
3907
4189
4486
4676
4968
5342
1721 3600 3494
2057 3657 3787
3336 3674 3533
3320 3437 3215
2980 3340 3030
2848 3334 2834
3072 3225 2750
2969 3163 2967
3822 3168 3453
3498
3847
3913
4135
4445
4885
5132
5342
5326
3611
4206
4695
5083
5301
5269
5182
5395
5552
3875
4660
4930
5005
5114
5248
5630
5870
5876
4616
5181
5317
5337
5421
5710
6316
6455
6347
3538
3984
4014
4287
4221
4539
4721
4905
5481
3016
3196
3149
3317
3414
3254
3177
3346
4067
Salario promedio 3396 3787 4013 4104 4146 4241 Desviación estándar 743.7 851.4 727.8 805.06 929.9 1080.6 Productividad promedio 9355 8584 7962 8275 8389 9418
4387 1243.2 9795
4538 4843 1307.7 1112.5 10281 11750
Fuente: The Cenaus 01 ManrJlacturers, U.s. Department of Commerce, 1958 (calculado).
dad en sus políticas de distribución de dividendos que la que mostrarían empresas con menores ganancias. De igual manera, empresas orientadas hacia el crecimiento muestran probablemente una mayor variabilidad en sus tasas de dividendos pagados que las que presentan empresas ya establecidas. 3. A medida que mejoran las técnicas de recolección de datos, es probable que uf tienda a disminuir. Por tanto, bancos que cuentan con equipos de procesamiento de datos muy sofisticados probablemente tiendan a cometer menos errores en los extractos bancarios mensuales y trimestrales que envían a sus clientes, que aquellos bancos que no poseen este tipo de herramientas. Conviene señalar que el problema de heterocedasticidad tiende a ser mas común en series de corte transversal que en series de tiempo. Por lo general, en datos de corte transversal se trabaja con miembros de una población en un momento determinado en el tiempo, tales como consumidores individuales y sus familias, empresas, industrias y subdivisiones geográficas, como países,
251
HETEROCEDASTICIDAD
ciuQades o estados, etc. Además, dichos miembros pueden ser de diferentes tamaños, tales como empresas grandes, medianas o pequeñas o firmas con niveles\ de ventas altos, bajos o medianos. Por otra parte, en los datos de series de tiép1po las variables tienden a tener órdenes de magnitud similares porque generalmente se recolectan los datos para la misma entidad durante un tiempo. Como ejemplo de ello podemos citar los casos del PNB, los gastos de consumo, los ahorros o las tasas de desempleo en los Estados Unidos durante el período cómprendido entre 1950 y 1986. Para ilustrar el hecho de que la heterocedasticidad tiende a encontrarse en análisis de series de corte transversal, consideremos la Tabla 9.1 en la cual se presenta información relacionada con la compensación por empleado en 10 industrias manufactureras de bienes perecederos, clasificadas según el número de empleados de cada empresa para el año 1958. En la tabla también se presentan los niveles de productividad promedio para 9 clases de empleos. Aunque las industrias difieren en la composición de su producción, la Tabla 9.1 muestra claramente que en promedio las empresas grandes pa~an más que las pequeñas. Como ejemplo de ello se tiene que las empresas que emplean entre uno y cuatro individuos pagaron en promedio aproximadamente $3396 pesos, mientras que aquellas que emplearon entre 100 Y 2499 empleados en promedio pagaron cerca de $4843. Obsérvese, sin embargo, que existe una considerable variabilidad entre los salarios ,de las diferentes clases de empleados, como lo comprueban las desviaciones estándar 'estima-
® Salario promediol t
1 Rango
$7000
6000
o 'O
os
.Sl
s:>.
..e
SOOO
..
o s:>. 4000 o
'5-¡¡¡
•
3000
.:::IL-__-L__ 1-4
~
____-L__
5-9
10-19
~ ~ ~, ~~~~~~~-____
20-49
__
50-99
____
100-249 250-499 500-999 1000-2499
Número promedio de empleados
FIGURA 9.4 Salarios por empleado, en relación con el tamaño del empleo.
252
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
das de los ingresos recibidos. Lo anterior se puede observar también en la Figura 9.4 que muestra el rango de ingresos laborales para cada categoría de empleados. Como muestra la figura, el rango (la diferencia entre el valor más alto y el más bajo), una medida general de variabilidad, difiere de una clase a otra, indicando la presencia de heterocedasticidad en los ingresos para las diferentes categorías de empleados.
9.2 LA ESTIMACION DE MCO EN PRESENCIA DE HETEROCEDASTICIDAD ¿Qué ocurre con los estimadores de MeO y sus varianzas si introducimos heterocedasticidad, haciendo E(ut) = qt pero manteniendo los restantes supuestos del modelo clásico? Para responder a este interrogante, regresemos al modelo de dos variables: Y¡ =
/31 + /32X¡ + U¡
.
Al aplicar la fórmula tradicional, el estimador de MeO para P2 es igual a:
(9.2.1) Sin embargo, su varianza está ahora dada por (véase Apéndice 9.A, Secciór 9.A.l):
(9.2.2) que es obviamente diferente a la fórmula tradicional de la varianza de /32 obtenida bajo el supuesto de homocedasticidad, la cual era igual a
(9.2.3) Claro está que si qt = q2 para cada i, las dos fórmulas serán idénticas. (¿Por qué?) Recordemos que P2 es el mejor estimador lineal insesgado (MELO si se cumplen los supuestos del modelo clásico, incluyendo el de homocedasticidad. ¿Continúa siendo /32 MELI cuando eliminamos el supuesto de homocedasticidad y lo remplazamos por el supuesto de heterocedasticidad? Es fácil probar que $2 sigue siendo lineal e insesgado. De hecho, como se muestra en el Apéndice 3A, Sección 3.A.3, para establecer el insesgamiento de /12 no se requiere que las perturbaciones (u¡) sean homocedásticas. En efecto, la varianza de U¡, homocedástica o heterocedástica no juega papel alguno en la determinación de la propiedad de insesgamiento.
HETEROCEDASTICIDAD
253
Dado que p2continúa siendo lineal e insesgada, ¿es "eficiente" o "el mejor" estimador? o en otras palabras, ¿tiene varianza mínima en la clase de estimadores lineales insesgados? ¿Y está e~a varianza mínima dada por la ecuación (9.2.2)? La respuesta a ambas preguntas es no: #2 no continúa siendo mejor estimador y la varianza mínima no está dada por (9.2.2). Enton<;es, ¿qué es MELI en presencia de heterocedasticidad? La respuesta la encontraremos en la siguiente sección. 9.3 EL METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS GENERALIZADOS (CMG)
¿Por qué no está el estimados tradicional de MCO de (J2 dado en (9.2.1) . como el mejor estimador, a pesar de ser aún insesgado? Intuitivamente podemos ver la razón de lo anterior, a partir de la Figura 9.4. Como muestra esta figura, existe una variabilidad considerable en los ingresos .laborales de las diferentes clases de empleos. Si procediéramos a regresar los salarios por empleado en la cantidad de empleos existentes, probablemente estaríamos interesados en utilizar el hecho de que conocemos que existe una variabilidad considerable en los ingresos entre las diferentes clases. Idealmente, nos gustaría establecer un esquema de estimación tal que aquellas observaciones provenientes de poblaciones con mayor variabilidad reciban un menor "peso" que aquellas que' provienen de poblaciones con una variabilidad más pcquefia. Al examinar la Figura 9.4 posiblemente nos gustaría "ponderar" las observaciones provenientes de las clases de empleo 10-19 Y 2049 con un "peso" mayor que el que se le asignara a aquellas provenientes de las clases de empleo, digamos, 5-9 y 250499, puesto que las primeras están más a~padas alrededor de sus valores promedio que las últimas, permitiéndonos así estimar la . FRP en forma más exacta. Infortunadamente, el método usual de MCO no sigue esta estrategia y, por lo tanto no utiliza la "ínformación" contenida en la variabilidad desigual de la variable dependiente Y, (por ejemplo, los salarios de los empleados de la Figura 9.4): asigna una ponderación o un peso o una importancia igual a cada observación. Sin embargo, un método de estimación conocido como método de mínimos cuadrados generalizados (CMG) toma en cuenta esta información explícitamente, produciendo, por tanto, estimadores que sean MELI. Para ver cómo se logra 10 allterior, continuemos con nuestro ya conocido modelo de dos variables: (9.3.1)
el cual, en aras de facilitar las manipulaciones algebraicas, se expresará de la siguiente manera: Y¡
= {J1XO¡ + {JzX¡ + U¡
(9.3.2)
donde X O¡ = 1 para cada i. El lector puede verificar que estas dos formulaciones son idénticas. Ahora supongamos que se conocen las varianzas heterocedásticas (11 . Dividiendo (9.3.2) por (1, , obtenemos: '
254
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
(9.3.3) que, para efectos de simplificar la exposición, se escribirá de la siguiente forma: (9.3.4) donde las variables con asterisco o transformadas corresponden a las variables originales divididas por el (valor conocido) Ui' Utilizamos la notación P! y fJ!, los parámetros del modelo transformado, para distinguirlos de los parámetros normales de MCO PI y P2' . ¿Cu~l es el propósito de transformar el modelo original? Para comprenderlo, observemos la siguiente característica del término de error transformad o u¡*..
var
(un = E(un = E(~r 2
1
= 2" E(uf) dado uf se conoce Ui
(9.3.5)
=1
la cual es una constante. En otras palabras, la varianza del término de perturbacÍón transformado u¡* es ahora homocedástica. Puesto que continuamos reteniendo los restantes supuestos del modelo cIásicv, el hecho de encontrar que u* sea homocedástica sugiere que si aplicamos el mé.todo de MCO al nlodelo transformado (9.3.3) se obtendrán estimadores que sean MELI. En resumen, los PT y /31 estimados serán ahora MELI, a pesar de que los estimadores MCO P1Y Pl no lo sean. Este procedimiento de transformar las variables originales de tal manera que las variables transformadas satisfagan los supuestos del modelo clásico, y de aplicar a continuación MCO se conoce como el método de mínimos cua~ drados generalizados (MCG). MCG es MCO aplicados sobre las variables transformadas que satisfagan los supuestos tradicionales de los mínimos cuadrados. Los estimadores obtenidos de esta manera se conocen como estimadores de MCG, los cuales son MELI. La mecánica específica para estimar Pt y P1 es la siguiente. Primeró, se determina la FRM para (9.3.3) Y;
~
o
= P!(X Oi ) + ~
P!(X
i
~
)
+
(~) ~
(9.3.6)
HETEROCEDASTICIDAD
257
lo cual implica que ambos son estimadoresinsesgados. Sin embargo, sabemos . que es eficiente, es decir, que tiene la varian?:a más pequeña. ¿Qué ocurre con nuestros procedimientos para establecer intervalos de confianza, pruebas de hipótesis, etc., si continuamos utilizando el estimador P2 de MCO? En esta situación, tenemos que distinguir dos casos.
Pi
Estimación de MCO permitiendo heterocedasticidad Suponiendo que utilizamos #2 y la fórmula para la varianza dada en (9.2.2), que toma en cuenta la presencia de heterocedasticidad en forma explícita. Utilizando esta varianza y suponiendo que se- conocen losa; , ¿podemos establecer intervalos de confianza y pruebas de hipótesis utilizando las pruebas t y F? La respuesta generalmente es negativa, puesto que se puede demostrar que var ({Ji) s var (#2),4, lo cual implica que los intervalos de confianza basados en esta última serán innecesariamente mayores. Como resultado, las pruebas t y F posiblemente producirán resultados inexactos puesto que la var de (P2) es excesivamente grande y l!l que parece a primera vista ser un coeficiente estadísticamente no significativo (porque el valor t es más pequeño que lo adecuado), de hecho puede s'er significativo si los correctos intervalos de confianza se establecieran con base en el procedimiento de MCG. ESTIMACION DE MCO SIN TENER EN CUENTA LA PRESENCIA DE HETEROCEDASTICIDAD La situación· se complica si no solamente utilizamos #2, sino que continuamos usando la fórmula de la varianza tradicional (homocedástica) dada en (9.2.3), aun en d caso en que esté presente o se sospeche que exista heterocedasticidad: obsérvese que este puede ser el caso común a los dos que mencionamos aquí, porque al correr un paquete de regresión estándar de MCO e ignorar (o no conocer) la heterocedasticidad producirá uria varianza de P2 dada por (9.2.3). Ante todo. var (#2) dada en (9.2.3) es un estimador sesgado de var (#2) dada en (9.2.2), hecho que implica que, en promedio, se está sobreestimando o subestimando esta última. En general, no podemos darnos cuenta de si dicho sesgo es positivo (sobreestimacion) o negativo (subestimación), porque él depende de la naturaleza dela relación existente entre af y los valores que toma la variable explicativa X, como se puede ver claramente en (9.2.2) (véase Ejercicio 9.17). El sesgo surge del hecho de que q2 . el estimador convencional de a 2 , es decir, ¿ ef/(N - 2) no continúa siendo un estimador insesgado de este último cuando se cuenta con la presencia
Una prueba formal se puede encontrar en Phoebus J. Dhrymcs, Introductory Econometrics, SpTingcr-Vcrlag, Nueva York, 1978, pp. 110-111. A propósito. con respecto a la pérdida de eficiencia de ¡i,(es decir, en cuánto excede la var (/3 2 ) a la var (/ij) depende de los valores 'lluestrales de las variabies X y del valor de r1¡.
4
258
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
de heterocedasticidad. Como resultado de ello, no podemos continuar basán· donos en los intervalos de confianza calculados convencionalmente ni en las pruebas t yP utilizadas convencionalmente. En resumen, si continuamos utilizando los procedimientos de prueba usuales a pesar de la presencia de heterocedasticidad, independientemente de las conclusiones o inferencias que realicemos, podemos llegar a cometer serios errores. De la anterior discusión, es claro que la heterocedasticidad es un problema potencialmente serio que el investigador necesita conocer si está presente en una situación dada. Si se detecta su presencia, entonces se pueden tomar acciones correctivas como utilizar la regresión de mínimos cuadrados ponderados ~ alguna técnica alterna. Sin embargo, antes de examinar los diferentes procedimientos correctivos, debemos primero averiguar si está presente o si existe alguna posibilidad de que esté presente la heterocedasticidad en un caso dado. Este tema se tratará en la siguiente sección. 9.5 COMO DETECTAR LA HETEROCEDASTICIDAD
Como hicimos con la multicolinealidad, es preciso preguntarnos ¿cómo sabemos que en una situación dada se presenta heterocedasticidad? Nuevamente, como en el caso de la multicolinealidad, no existen reglas fijas y seguras para detectarla, sino solamente unas cuantas normas muy generales. Esto es inevitable, ya que sólo se conoce uf cuando conocemos la totalidad de la población Y correspondiente a las X escogidas, como fue el caso de la población que se presenta en las Tablas 2.1 Ó 9.1. Sin embargo, tales datos son una excepción antes que una regla en la mayoría de las investigaciones económicas. En esto difieren los econometristas de los científicos de otros campos como la agricultura y la biología, en donde se puede tener suficiente control sobre los temas de investigación. Lo más común es que en los estudios económicos sólo exista un valor muestral de Y para cada valor particular de X y por esto no existe manera de conocer ut a partir de una sola observación de Y. Es así como en la mayoría de investigaciones econométricas, la heterocedasticidad puede ser el resultado de la intuición del investigador de un trabajo educado de prestidi$itación, de experiencia empírica previa o de pura especulación. Teniendo en cuenta la anterior advertencia, examinemos algunos de los métodos formales e informales para detectar la heterocedasticidad. Como revelará la discusión siguiente, la mayoría de estos métodos están basados en el examen de los residuos e¡ de MCO, puesto que éstos son los que observamos y no las perturbaciones U¡ • Esperamos que los e¡ sean buenas estimaciones de u¡ , lo cual se puede cumplir si el tamaño de la muestra es relativamente grande.
5 De la ecuacion (5:3.6) sabemos que el intervalo de confianza del 100(1 - IX) % para /32 es [$2 ± t./ 2 ($2)]. Sin embargo, si ($2) no se puede estimar en forma insesgada, ¿cómo podemos con·
fiar en el intervalo de confianza calculado convencionalmente?
259
HETEROCEDASTICIDAD
•••••••• •• •• •• • •••• e•••••••••••••• : ._ •• e.e. •• • ••
V
~--------------y
o'"'-----------------y
(a)
(b)
~~~-----------y
(e)
oL---------------~~-y
(d)
(e)
FIGURA 9.6 Patrones hipotéticos de los residuos estimados al cuadrado.
Naturaleza del problema. Muy a menudo la naturaleza del problema que se está considerando sugiere la existencia de heterocedasticidad. Por ejemplo, siguiendo el trabajo pionero de Prais y Houthakker sobre el tema de los presupuestos familiares. en el cual encontraron que la varianza de los residuos alrededor de la regresión del consumo en el ingreso aumentaba con el ingreso, se asume generalmente en la actualidad que en encuestas, similares se pueden esperar varianzas desiguales entre las perturbaciones. 6 De hecho, en las series de corte transversal que involucren unidades heterogéneas la heterocedasticidad puede ser la regla general en lugar de la excepción. De esta forma, en un análisis de corte transversal que involucre los gastos de inversión en relación con las ventas, la tasa de interés, etc., se espera generalmente la presencia de heterocedasticidad si se incluyen en la muestra en conjunto empresas pequeñas, medianas y grandes. Método gráfico. En la práctica, c.uando no existe información a priori o empírica acerca de la heterocedasticidad, se puede llevar a cabo el análisis de regresión sobre el supuesto de que no existe heterocedasticidad y luego realizar un examen posterior (post mortem) de los residuos estimados al cua-
6 S. J. Prais y H. S. Houthakker, The Analysis o[ Family Budgets. The Cambridge University Press, . Nueva York, 1955.
260
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
•••••••• •• ••• ••••••••• •• • ••• •• •• •• •• •• • ••• • • •• • •• x
O
(a)
O
O
~--------------x
L-::~------------x
(b)
(e)
x (d)
O
L--------------------x (e)
FIGURA 9.7 Diagrama de dispersión de los residuos estimados al cuadrado grafieados contra X.
drado e¡ para ver si ellos presentan algún patrón sistemático. Aunque e~ y ,no son la misma cosa, pueden usarse como aproximaciones, especialmente cuando la muestra es suficientemente grande. 7 Al examinar los e¡ podemos encontrar patrones como los que aparecen en la Figura 9.6. u~
En la Figura 9.6, los e~ se grafican contra Y; , el valor estimado de Y¡ para ~a línea de regresión, siendo la idea averiguar si el valor promedio estimado de Y está sistemáticamente relacionado con el residuo al cuadrado. En la Figura 9.6 a se advierte que ,no existe un patrón sistemático entre las dos variables, 10 cual sugiere la inexistencia de heterocedasticidad en la información. No obstante, las Figuras 9.6 b a e presentan patrones definidos. Por ejemplo, la Figura 9.6 e sugiere una relación lineal mientras que las Figuras 9.6 d y e indican una relación cuadrática entre e¡ y Y;. Utilizando estos conocimientos, aunque sean informales, se pueden transformar los datos de tal manera que éstos, una vez transformados, no presenten heterocedasticidad. En la Sección 9.6 examinaremos alguna de estas transformaciones.
er
En lugar de graficar los contra los Y; ,podemos trazarlos contra una de las variables explicativas, especialmente si al graficar contra Y; se pro-
er
7 Sobre la relación entre ei y,u¡. véase E. Malinvaud, Statistical Methods of Econometrics. North-"lolland Publishing Company, ,Amsterdam, 1970, pp, 88-89. "
261
HETEROCEDASTICIDAD
duce el patrón que se ilustra en la Figura 9.6 a.Este diagrama. que se muestra en la Figura 9.7, puede revelar patrones similares a aquellos dados en la Figura 9.6. (En el caso del modelo de dos variables. graficar contra Y; es equivalente a graficar e¡ contra X¡, siendo la Figura 9.7, por tanto, similar a la Figura 9.6. Sin embargo, éste no es el caso cuando consideramos un modelo que involucre dos o más variables X¡ en esta situación ef se puede graficar contra cualquier variable X incluida en el modelo). U n patrón como el que se ilustra, en la Figura 9.7 C, por ejemplo, sugiere que la varianza del término de perturbación está linealmente relacionada con la variable X. Por tanto, si en la regresión de los ahorros en el ingreso se encuentra un patrón tal como el que se ilustra en la Figura 9.7 C, se puede concluir que la varianza heterocedástica puede ser proporcional al valor de la variable ingreso. Este conocimiento puede ayudarnos a transformar nuestros datos, de tal manera que en la regresión que utilice los datos transformados. la varianza de la 'perturbación sea homocedástica. Regresaremos a este tema en la siguiente sección.
er
Prueba de Park. 8 Park ha formalizado el método gráfico sugiriendo que (J; es una función de la variable explicativa Xi. La forma funcional propuesta por él es
o
In
(Jf
=
In
(12
+ {3 In
Xi
+ Vi
(9.5.1)
donde Vi es el término estocástico de perturbación. Dado. que (J? es por lo general desconocida. Park propone que se useef como aproximación y que se realice la siguiente regresión:
In ef
= In
(12
+ {3 In
= IX + {3 In
Xi
Xi
+
Vi
+ Vi (9.5.2)
Si {3 resulta ser estadísticamente significativa, puede implicar la existencia de heterocedasticidad en los datos. Si resulta ser no significativa, podemos aceptar el supuesto de homocedasticidad. La prueba de Park es, por tanto, un procedimiento en dos etapas. En la primera etapa, corremos la regresión de MeO independientemente del problema de heterocedasticidad. Obtenemos e¡ de esta regresión y entonces, en la segunda etapa se corre la regresión
(9.5.2) .. Aunque es empíricamente llamativa, la prueba de Park tiene algunos problemas. Goldfeld y Quandt han argumentado que el término de error Vi que entra en (9.5.2) puede no satisfacer los supuestos de MeO, pudiendo ser
~ R.[. Park, "Estimation with Hcteroscedastic Error Terms", Econométrica, vol. 34, No. 4, p. 888, octubre, 1966. .
262
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
en sí mismos heterocedásticos. 9 Sin embargo, se puede usar ~omo un método estrictamente indicativo. Para ilustrar el enfoque de Park, utilicemos los datos de la Tabla 9.1 para realizar la siguiente regresión: Y¡ =
/31 + /32 X¡ + U¡
donde Y = salario proinedio en miles de dólares, X = productividad promedio en miles de dólares, i = iésima escala del empleo del establecimiento. Los resultados de la regresión son los siguientes: ~
= 1999.0466 + 0.2323X¡ (9.5.3)
(0.1000) t
= (2.323)
. R2
= 0.4356
Los resultados nos indican que el coeficiente estimado de la pendiente es significativo a un nivel del 5 %, con base en una prueba t de una cola. La ecuación muestra que a medida que la productividad de la mano de obra aumenta
en un dólar, por ejemplo, la remuneración media del trabajo aumenta en cerca de 23 centavos. Los residuos obtenidos de la regresión (9.5.3) se regresaron contra la variable X¡, como se sugiere en la ecuación (9.5.2), obteniéndose los siguientes resultados: In
ef =
35.9010 - 2.8099 In X¡
(9.5.4)
(4.216)
t
= (-0.667)
R2
= 0.0595
Obviamente, no existe una relación estadísticamente significativa entre las dos variables. Siguiendo la prueba de Park se puede concluir que no existe heterocedasticidad en la varianza del error .10 Prueba de Glejser. l l La prueba de Glejser es similar en concepción a la de Park. Después de obtener los residuos e¡ de la regresión de MeO, Glejser sugiere regresar los valores absolutos de e¡,.1 e¡ 1, sobre la variable X que se cree está más asociada con uf. En sus experimentos, Glejser utilizó las siguientes formas funcionales:
Stephen M. Goldfeld 'y Richard E. Quandt, Nonlinear Methods in Econometrics, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1972, pp. 93-94.
9
10 La forma funcional específica escogida por Park es solo una sugerencia. Una forma funcional diferente puede revelar una relación significativa. Por ejemplo, se puede utilizar ef en lugar del In ef como variable dependiente. 11 H. Glejser, "A New Test for Heteroscedasticity", Joumal of the American Statistical Association,. vol. 64, pp,,}16-323, 1969.
263
HETEROCEDASTICIDAD
PI + PZX¡ + V¡ Ie¡ I = PI + Pz}X; +'V¡ le;! =
le;! = PI
,
.
+ pz
1 X¡
+ V¡
1
le¡j=Pl+Pz r,;+v¡ ...;X¡
= Jpl + P2 X ¡+ V¡ le;! = Jpl + P2 X f + Vi le;!
donde Vi es el ténnino de error. El método de Glejseres nuevamente una solución empírica o práctica; sin embargo, Goldfeld y Quandt señalan que el término de error Vi tiene algunos problemas y que su valor esperado es diferente de cero, está serialmente correlacionado (véase Capítulo 10) e irónicamente es heterocedástico. 12 Una dificultad adicional del método de Glejser consiste en modelos tales como y
son no lineales en los parámetros, y por tanto no pueden ser estimados con el procedimiento usual de MCO. Glejser ha encontrado que pará muestras grandes, los cuatro primeros modelos proporcionan generalmente resultados satisfactorios para detectar la heterocedastidad. En la práctica, la técnica de Glejser puede usarse entonces para muestras grandes, pudiendo utilizarse muestras pequeñas como recurso cualitativo dirigido a conocer más a fondo el problema de heterocedasticidad. Prueba de correlación de rango de Spearman. El coeficiente de correlación de rango de Spearman está dado por
(9.5.5) donde di = diferencia en los rangos asignados a dos diferentes características del iésimo individuo o fenómeno y N = número de individuos o fenómenos clasificados. Este coeficiente de correlación de rango se puede utilizar para detectar heterocedasticidad, de la siguiente manera: Supóngase que Y¡= Po + PIX¡
+ U¡. Paso 1. Ajuste la regresión a los datos sobre Y y X Y obtenga los residuos ei.
12
Para mayores detailes véase Goldfeld y Quandt, op. cit., Cap. 3.
264
VIOLACION DE LOS SUPUEnOS DEL MODELO CLASICO
Paso
n. Ignorando el signo
de
e¡,
es decir, tomando el valor absoluto Ie¡j, ordene
tanto Ie¡ I como x¡ en forma ascendente y descendente y proceda a calcular elcoefi· ciente de cOlTelación de rango de Speannan dado previamente. , Paso 111. Suponiendo que el coeficiente de correlación de rango poblacional P. es cero y N ~ S"la significancia del rs muestral se puede evaluar por medio de la prue· ba t de la siguiente manera Y
( 9.5.6) con g de 1 = N - 2.
Si el valor calculado de t excede el valor crítico de t, podemos aceptar la hipótesis de heterocedasticidad; si 'no es así, podemos rechazarla. Si el modelo de regresión involucra más de una variable X, el puede calcularse entre I e¡ I y cada una de las variablex X separadamente, pudiendo evaluarse la significancia estadística utilizando la prueba t dada anteriórmente.
's
TABLA 9.2 Prueba de correlación de rango para la heterocedasticidad d
0'.
Nombre del fondo mutuo
Desviación E. Retorno estándar del promedio retorno anual, % anual, % t* •
Fondo de Boston 12.4 Fondo de Delaware 14.4 Fondo de equidad 14.6 Inversionistas Fundamental 16.0 Fondomutuo 11.3 de inversionistas Fondo mutuo de 10.0 ventas de Loomis Fondo mutuo de 16.2 Massachussetts 10.4 Fondo de Nueva'lnglaterra Fondo Putnam de Boston 13.1 Fondo de Wellington 11.3
I e.I** Residuos I(E. - t.>
I
Diferencia entre los Rango de Rango de dos d'ordenamientos 0' • I e.l
12.1 21.4 18.7
11.37 15.64 14.40
1.03 1.24 0.20
9 10 4
4 9 7
5 1 -3
25 1 9
21.7' 12.5
15.78 11.56
0.22 0.26
5 6
10 5
-5
25
10.4
10.59
0.59
7
2
5
25
' 20.8 10.2
15.37 10.50
0.83 0.10
8 3
8
O 2
O 4
16.0 12.0
13.16 11.33
0.06 0.03
2
6 3
-4 -2
16 4
O
110
• Obtenido de la regresión: E, = 5.8194 + 0.4590 (1, • •• Valor,absoluto de los residuos Nota: El ordenamiento está en orden asceniJente de los valores.
13 Véase G. Udny Yule y M.G. Kendall, An lntroduction to the Theory 01 Statistics, Charles Griffin & Company, Ltd., Londres, 1953, p. 455.
265
HETEROCEDASTICIDAD
Para ilustrar la prueba de correlación de rango, considérense los datos de l~ Tabla 9.2, la cual es una submuestra de los datos de la tabla que pertenecen al Ejercicio 5.13 Y que solicitan al estudiante estimar la línea de mercado de capital para la teoría del portafolio, E¡ = PI + P2 u¡, donde E es la tasa de retorno esperada sobre el portafolio y u es la desviación estándar de la tasa de retorno. Puesto que los datos se refieren a 10 fondos mutuos de inversión de diferentes tamaños y metas de inversión, se podría esperar a priort la existencia de heterocedasticidad. Para evaluar ésta hipótesis aplicamos la técnica de correlación de rangos. Los cálculos necesarios también aparecen en la Tabla 9.2. Aplicando la fórmula (9.5.s), obtenemos: 110
r. = 1 - 6 10(100 _ 1)
= 0.3333
(9.5.7)
Aplicando la prueba t, dada en (9.5.6), obtenemos t
=
(0.3333)(J8) 0.1110
JI -
= 0.9998
(9.5.8)
Para 8 g de 1 este valor t no es significativo, aun a un "nivel de significancia del 10%. Por tanto, no existe evidencia de una relación sistemática entre la variable explicativa y los valores absolutos de los residuos, lo cual puede sugerir que no existe hete~ocedasticidad. Prueba de Goldfeld-Quandt. 14 Este popular método es aplicable si se supone que la varianza heterocedástica uf está positivamente relacionada con una de las variables explicativas en el modelo de regresión. Por simplicidad, consideremos el modelo tradicional de dos variables: Y¡
Supongamos que te forma:
= PI + P2 X¡ + U¡
ut está relacionada positivamente con Xi de la siguien(9.5.9)
donde u 2 es una constante. 15 El supuesto (9.5.9) postula que uf es proporcional el cuadrado de la variable X. Prais y Houthakker han encontrado que tal supuesto es útil en su estudio de los presupuestos familiares. 14
Goldfeld y Quandt, op. cit.
•
Este es úni"amente un supuesto factible. En realidad lo que se necesita es queO'~ esté monotónicamente relacionáQa con Xi. 15
266
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
Si (9.5 .9) es adecuada, significa que uf sería mayor cuanto mayor fueran los valores de Xi' Si éste resulta ser el 'Caso, es probable que haya heterocedasticidad en el modelo. Pa~a evaluar lo anterior' explícitamente, Goldfeld y Quandt sugieren los siguientes pasos. Paso 1. Ordenar las observaciones de acuerdo con los valores de X, comenzando con el valor más bajo de X. Paso 2. Omitir e observaciones centrales, donde e es especificada a priori y dividir las restantes (N - e) observaciones en dos grupos de (N - e)/2 observaciones cada una. Paso 3. Ajustar, regresiones separadas de MeO a las primeras (N - e)/2 observaciones y a las últimas (N - e)j2 observaciones y obtener las sumas de residuos al cuadrado respectivas SRC ¡ y SRC 2 , donde SRC¡, representa las SRC de la regresión correspondiente a los valores más pequeños de Xi (el grupo de varianzas pequeñas) y la SRC 2 de los valores más grandes de Xi (el grupo de varianza grande). Estas SRC tienen individualmente (N - e) (N - e - 2k) -2- - k o 2 g de 1,
donde k corresponde al número de parámetros a estimar, incluyendo la intersección. (¿Por qué?) Para el caso de dos variables, k es, por supuesto, igual a 2. Paso 4. Calcular la relación: SRC 2 /g de l SRC 1 /g de l
A=--
(9.5.10)
Si se supone que los Ui tienen una distribución normal (lo cual es normalmente el caso) y si el supuesto de homocedasticidod es válido, entonces se puede demostrar que;' de (9.5.1 O) posee una distribución F donde los g de 1 del numerador y del denominador son (N - e - 2k)j2.
Si en una aplicación el valor calculado ,1" (= F) es mayor que el valor crítico de F al nivel de significancia que se haya escogido, podemos proceder a rechazar la hipótesis de homocedasticidad, pudiendo entonces decir que existe una gran probabilidad de que haya heterocedasticidad. Antes de ilustrar la prueba mencionemos algo sobre la omisión de las observaciones centrales c. Estas observaciones se omiten buscando acentuar la diferencia exist~nte entre el grupo de varianza pequeña (es decir, SRC¡) y el grupo de varianza grande (es decir, SRC 2 ). Sin embargo, la habilidad de la prueba de Goldfeld-Quandt para llevar a cabo lo anterior en forma exitosa depende de la manera como se escoja c. 16 Para el modelo de dos variables,
16 Técnicamente, la potencia de la prueba depende de cómo se escoge c, En estadística, la potencÚl de una prueba se mide de acuerdo con la probabilidad de recoozar la hipótesis nula cuando ésta sea falsa,
[es decir, a través de 1 - Prob (error tipo 11)]. En este caso la hipótesis nula es que las varianzas de los dos grupos son las mismas, es decir, existe homocedasticidad.
267
HETEROCEDASTICIDAD
TABLA 9.3 Datos hipotéticos sobre los gastos de consumo (Y, $) y el ingreso (X, $) para ilustrar la prueba de GoldfeldQuant Los datos están ordenados de acuerdo con los valores de X y
X
Y
55 65 70 80 79 84 98 95 90 75 74 110 113 125 108 115 140 120 145 130 152 144 175 180 135 140 178 191 137 189
80 100 85 110 120 115 130 140 125 90 105 160 150 165 145 180 225 200 240 185 220 210 245 260 190 205 265 270 230 250
55 70 75 65 74 80 84 79 90 98 95 108 113 110 125 115 130 135 120 140 144 152 140 137 145 175 189 180 178 191
X
80 85 90 100 J05 110 115 120 125 130 140 145 150 160 165 4 observaciones 180 intermedias 185 190 200 205 210 22Ó 225 230 240 245 250 260 265 270
los experimentos de Monte CarIo llevados a cabo por Goldfeld y Quand sugieren que e tiene un valor aproximado de 8, si el tamaño de la muestra es de aproximadamente 30, siendo de aproximadamente 16 si el tamaño de la muestra es de más o menos 60. Sin embargo, Judge et al. mencionan que e = 4 si N = 30 y e '= 10 si N es aproximadamente 60 se han encontrado satisfactorios en la práctica. 17 17 George G. Judge, R. Carter HilI, Wi1Iiam E. Griffiths, Helmut Lutkepohl, Tsoung-Chao Lee, Introduction to the Theory and Practice o{ Econometrics, John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1982, p.
422.
268
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
Antes de continuar adelante se puede mencionar que en el caso de que exista más de una variable X en el modelo, el ordenamiento de las observaciones, primer paso en la prueba, se puede hacer de acuerdo a cualquiera de ellas. Por tanto, en el modelo: Y¡ = Pi + P2 X 2i + P3X3i + P4X4i + U¡ , podemos ordenar por rango los datos de acuerdo a cualquiera de estas variables X. Si a priori no estamos seguros de cuál variable X es la adecuada, podemos llevar a cabo la prueba sobre cada una de las variables X o por medio de la prueba de Park sobre cada X.
Ejemplo ilustrativo Para ilustrar la prueba de Goldfeld-Quandt, presentamos en la Tabal9.3 información sobre los gastos de consumo en relación con diferentes niveles de ingreso para una serie de corte transversal para 30 familias. Supóngase que postulamos que los gastos de consumo están linealmente relacionados con el ingreso, pero que existe heterocedasticidad en los datos. Asúmase adicionalmente que la naturaleza de la heterocedasticidad es similar a la que está dada en (9.5.9). El reordenamiento neceSlirio de los datos para la aplicación de la prueba se presenta asimismo mediante la Tabla 9.3. Al eliminar las cuatro observaciones intermedias se obtienen las regresiones de MCO basadas en las primeras 13 observaciones y en las últimas 13 y sus sumas de cuadrados residuales asociadas, las cuales se presentan a continuación (los errores. tlstándar aparecen entre paréntesis). Regresión con base en las primeras 13 observaciones:
f; =
3.4094
+ 0.6968X i r 2 = 0.8887
(8.7049) (0.0744)
SCR! = 377.17 g de 1 = 11
Regresión con base en las 13 últimas observaciones:
Y;
= -28.0272
+ 0.7941X¡ r 2 = 0.76in
(30.6421) (0.1319)
SCR 2 = 1536.8 g de 1 = 11
De los resultados anteriores obtenemos: A. ,. SCR 2 / g de 1 = 1536.8/11 SCR¡/gdel 377.17/11 A. = 4.07
El valor crítico F para los 11 g del numerador y dtl los 11 g de 1 del denominador a un nivel del 5% es igual a 2.82. Puesto que el valor estimado de F(=A.) excede el valor crítico, podemos concluir que existe heterecedasticidad en la varianza del error. No obstante, si el nivel de significancia se fija en 1 % , no podemos rechazar el supuesto de homocedasticidad. (¿Por qué?).
HETEROCEDASTICIDAD
269
TABLA 9.4 Ilustración de la regresión de los mínimos cuadrados ponderados Salarios (Y)
3396 3787 4013 4104 4146 4241 4387 4538 4843
Tamaño del empleo (X)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
(J,
Y,/(J,
X,/(J,
743.7 851.4 727.8 805.06 929.9 1080.6 1243.2 1307.7 1112.5
4.5664 4.4480 5.5139 5.0978 4.4585 3.9247 3.5288 3.4702 4.3532
0.0013 0.0023 0.0041 0.0050 0.0054 0.0055 0.0056 0.0061 0.0081
Fuente: Los datos de Y y
11, (desviación estándar de los salarios) corresponden a la Tabla 9.1. Tamaño del empleo: 1 = 1-4 empleados, 2 = 'S -9 empleados, etc. Estos ultimos datos aparecen también en la Tabla 9.1. Nota: En la regresión (9.6.2), la variable dependiente es (Y¡/I1,) y las variables independientes son (1/11,) y (X,!I1,).
Otras pruebas de heterocedasticidad. Existen otras pruebas diferentes. de heterocedasticidad, cada, una basada en diferentes supuestos. Algunas de estas pruebas son las siguientes: (1) Prueba de Bartlett de homogeneidad de la varianza (véase Ejercicio 9.3), (2) Prueba de Breuscb-Pagan (véase Ejercicio 9.13), (3) Prueba de pico o prueba mdxima, (4) Prueba de heterocedasticidad general de White 18 y (5) Prueba CUSUMS. 19 El lector interesado puede consultar las refe~encias bibliográficas para obtener mayores detalles sobre dichas pruebas. 9.6 MEDIDAS REMEDIALES Como hemos visto anteriormente, la heterocedasticidad no destruye las propiedades de insesgamientc y de consistencia de los estimadores de MCO; sin embargo, ya no son eficientes ni siquiera asint6ticamente (es decir, en muestras grandes). Esta falta de eficiencia resta credibilidad a los procedimientos de pruebas de hipótesis. Por esto es necesario introducir medidas remediales. Existen dos enfoques para remediar el problema de heterocedasticidad: el primero tiene que ver cuando se conoc'e uf , mientras que en el segundo, uf no se conoce.
18 Un análisis relativamente concreto de la prueba del máximo y de la prueba de White se pueden encontrar en Thomas B. Fomby, R. Carter Hill, Stanley R. Johnson, Advanced Econometric Methods, Springer·Verlag, Nueva York, 1984, pp. 194-197. 19 Véase A.C. Harvey, The Econometric Analysis of Time Series, John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, Halstead Press Book, 1981, pp. 151-153.
270
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO ,
Cuando se conoce
2
CTi :
el método de mínimos cuadrados ponderados
Como vimos' en la Seccion 9.3, si se conoce I1r el método más directo de corregir heterocedasticidad es a través de los llamados mínimos cuadrados ponderados, método en el cual los estimadores obtenidos son MELI. Para ilustrar el método, supongamos que queremos estudiar la relación existente entre los salarios y los niveles de empleo para los datos presentados en la Tabla 9.1. En aras de la simplicidad, medimos el tamaño del empleo en las siguientes nueve categorías: 1 (1-4 empleados), 2 (5 - 9 empleados), ... 9 (1000-2499 empleados), aunque también pudimos haberla medido utilizando los puntos medios de las diferentes clases de empleos dados en la tabla (véase Ejercicio 9-18). Ahora bien, si Y representa el salario promedio por empleado ($), mientras que X representa el número de empleados, procedamos a correr la siguiente regresión [véase ecuación (9.3.6)] (9.6.1) donde 11. son las desviaciones estándar de los salarios como se reportan en la Tabla 9.1. Los datos necesarios para correr esta regresión están dados en la Tabla 9.4. Antes de analizar los resultados de la regresión, obsérvese que (9.6.1) no tiene término de intersección. (¿Por qué?) Por tanto, se requiere utilizar el modelo de "regresión a través del origen" para estimarPt y P! , tema que ya se discutió en el Capítulo 6. Sin embargo, la mayoría de los paquetes econométricos 'de computador actualmente tienen una opción para eliminar el término de intersección (véase SAS, por ejemplo). Adicionalmente 'nótese una segunda característica interesante de (9.6.1): tiene dos variables explicativas, (1/11;) y (X¡/I1¡) , mientras que si fuéramos a utilizar MCO, al regresar los salarios en el tamaño del empleo, esa regresión tendría únicamente una variable explicativa Xi' (¿Por qué?) Los resultados de regresión utilizando CMP son:
-(li/I1¡)
= 3406.639(1/I1¡) + 154.l53(X¡jI1¡) t
(80.983)
(16.959)
= (42.066)
(9.090)
(9.6.2)
R 2 = 0.9993 20
Para efectos de comparar estos resultados con los de MCO no ponderados, a continuación presentamos estos últimos:
2
El R 2 de la regresión que pasa a través del origen no es directamente comparable con el R de la regresión sin términos de intersección. El R 2 de 0.9993 obtenido toma en cuenta 10 anterior. (Véase el paquete SAS para mayores detalles acerca de la manera como se corrige el R 2 ;para tener en cuenta la ausencia del término de intersección). 20
271
HETEROCEDASTICIDAD
~
= 3417.833 + 148.767 X¡ t =
(81.136)
(14.418)
(42.125)
(10.318)
(9.6.3) R 1 = 0.9383
En el Ejercicio 9.15 se pide al estudiante comparar estas dos regresiones. Cuando se desconoce
uf
En estudios econométricos, en muy contadas ocasiones se tiene conocimiento previo de los u~. Por tanto, si deseamos utilizar el metodo de mínimos cuadrados ponderados previamente discutido, tendremos que recurrir a ciertos supuestos ad hoc, con cierto grado de razonabilidad sobre u~ para proceder a transfonnar el modelo de regresión original de tal manera que el modelo transformado cumpla con el supuesto de homocedasticidad. Los MeO pueden entonces aplicarse al modelo transfonnado, puestc. que los CMP no son mds que los MCO aplicados a los datos transformados. . Si no se realizan algunas de tales transfonnaciones, el problema de heterocedasticidad se torna prácticamente insoluble. Ilustraremos a continuación algunas de dichas transfonnaciones, con la ayuda del modelo de dos variables. Y; =
P1
+ P1X¡ + U¡
Se pueden considerar a continuación diferentes supuestos posibles sobre el patrón existente de heterocedasticidad. Supuesto 1 (9.6.4)21 Si, como resultado de "especulación", a partir de los métodos gráficos o del enfoque de Park y Glejser se cree que la varianza de Uf es proporcional al cuadrado de la variable explicativa X, se puede proceder a transformar el modelo original de la siguiente manera. Dividimos el modelo original por Xi:
l'í. PI P +UI -=-+ Xi Xi 2 Xi 1
(9.6.5)
== PI X, + P2 + V,
donde V¡ es el ténnino de perturbación transfonnado e igual a ut!X¡. Es fácil 1 entonces verificar que 2
E(v¡)
=E
()2 =
.
U¡
X. I
=
(12
2
X~ E(u¡) I
utilizando (9.6.4)
21 Recuérdese que ya hemos Ilncontrado anteriormente este supuesto en nuestro análisis de la prueba de Goldfeld-Quandt.
272
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
Por tanto, la varianza de
Vi
es ahora homocedástica, pudiéndose por tanto
proceder a aplicar MCO a la ecuación (9.6.5) traRsformada, regresando Y;/XI en l/XI' Obsérvese que en la regresión transformada el término de intersección /32 corresponde al coeficiente de la pendiente en la ecuación original y que el coeficiente de la pendiente /31 es el término de intersección en el modelo original. Por tanto, para regresar al modelo original tendremos que multiplicar el valor estimado de (9.6.5) por XI' Una aplicación de esta transformación está dada en el Ejercicio 9.7. Supuesto 2 (9.6.6) Si se cree que la varianza de Ui, en lugar de ser proporcional al cuadrado de Xi es proporcional a XI misma, entonces el modelo original se puede transformar de la siguiente manera: 1'; . 131 IV = IV yX i yX i
IV
+ PZyX, +
U,
IV yX.
(9.6.7) donde
Vi
=
uJ~ y Xi> O.
Dado el supuesto 2, se puede verificar fácilmente que el E(v¡) = a 2 , la cual es una situación homocedástica. Por tanto, se puede proceder a aplicar MCO a (9.6.7), regresandoY;/~'en 1/~ yenJX:. Obsérvese una característica importante del modelo transformado: no tiene término de intersección. Por tanto, se tendrá que utilizar el modelo de "regresión. a través del origen" para estimar /31 y /32' Al correr (9.6.7) se puede regresar al modelo original, simplemente multiplicando (9.6.7) por JX:. Supuesto 3 (9.6.8) La ecuación (9.6.8) postula que la varianza de U¡ es proporcional al cuadrado del valor esperado de Y (véase Figura 9.6 e). Entonces E(Y;) =
/31 + /32 Xi
Por tanto, si transformamos la ecuación original de la siguiente manera: Y; /31 E(Y;) = E(Y;) =
+ /32 1 )
Xi E(Y;)
Ui
+ E(Y;) X·
/31( E(Y;) + /32 E(~) + Vi
(9.6.9)
HETEROCEDASTICIDAD
273
donde Vi = u;/E(Y;); se puede apreciar que E(vf) = (12 ; lo cual implica que las perturbaciones Vi son homocedásticas. Por tanto, es la regresión (9.6.9) la que satisface el supuesto de homocedasticidad del modelo clásico de regresión lineal. Sin embargo, la transformación (9.6.9) no es operativa puesto que E (1';) depende de PI y P2 , los cuales se desconocen. Desde luego, conocemos •Y; = PI + P2 X¡ ,el cual es un estimador de E(Yi ). Por tanto, podemos pro{:ederen dos pasos: primero, corremos la regresión usual de MeO sin tener en cuenta el problema de heterocedasticidad, obteniendo Y; . A continuación, utilizando el valor estimado. Y;; transformamns nuestro modelo de la siguiente manera:
(9.6.10) donde V¡ = (uJY;) . En el paso 2, corremos la regresión (9.6.10). Aunque los Y; no son exactamente E (1';) , son estimadores consistentes; hecho que implica que a medida que aumenta el tamaño de la muestra indefinidamente, ellos convergen al valor verdadero de E (1';) . En consecuencia, la transformación (9.6.10) será útil en la práctica si el tamaño de la muestra es razonablemente grande. Supuesto 4. Transfonnación logarítmica. Si en lugar de correr la regresión Y; = PI + P2 X¡ + u¡ ,corriéramos In 1'; = /31 + /32 In X¡ + u¡ (9.6.11) se tiene que muy frecuentemente se reduce. el problema de heterocedastici~ dad. Esto se debe a que las transformaciones logarítmicas comprimen las escalas en las que se miden las variables, reduciendo aSl una diferencia de 10 veces a 'una de dos veces. De esta manera, el número 80 es 10 veces el numero 8, pero In 80 (=4.3820} es aproximadamente dos veces mayor que In 8 (=2.0794). Una ventaja adicional de la transformación logarítmica es que el coeficiente de la pendiente /32 mide la elasticidad de Y con respecto a X, es decir. el cambio porcentual en Y ante un cambio porcentual en X. Por ejemplo, si y es el consumo y X es el ingreso f32 en (9.6.11). medirá la elasticidad-ingreso. mientras que en el modelo original /32 mide únicamente la tasa de cambio del consumo promedio por un cambio en una unidad en el ingreso. Esta es una de las razones por las cuales los modelos logarítmicos son tan populares en econometría empírica. (Para algunos problemas asociados con las transformaciones logarítmicas, véase Ejercicio 9.10). Para concluir nuestro análisis de las medidas remediales, se debe hacer énfasis en que todas las transformaciones'mencionadas previamente son ad hoc; esencialmente, estamos especulando sobre la naturaleza de O'~. De las transformaciones mencionadas anteriormente, la que funcione. dependerá de la naturaleza del problema y de la severidad de la heterocedasticidad. Existen algunos problemas adicionales con las transformaciones que hemos considerado y que deben mantenerse en mente.
274
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
1. Cuando se va más allá del modelo de dos variables, podemos no conocer a priori cuál de las variables X se debe escoger para transformar los datoS. 22
2. Las transformaciones logarítmicas, como se mencionó anteriormente en el supuesto 4, no es aplicable si algunos de los valores de Yo X son cero o son negativos. 23 3. Existe también el problema de la correlación espúrea. Este término, creado por Karl Pearson, se refiere a aquella situación en donde se encuentra que existe una correlación entre las relaciones de las variables a pesar de ' que las variables originales no estén correlacionadas o sean aleatorias. 24 Por tanto, a pesar de que en el modelo Y¡ = f31 + f32 Xi + Ui ,Y y X pueden no estar correlacionadas, en el modelo transformado Y¡ I Xi = f31(1/X¡} + f32' Y¡/XiY l/Xi con frecuencia se encuentra que están correlacionadas. 4. Cuando o} no se conocen directamente y son estimados a partir de una o más de las transformaciones que se mencionaron anteriormente, todos nuestros procedimientos de prueba utilizando las pruebas t. F, etc., estrictamente hablando son válidas únicamente para muestras grandes. En consecuencia, se debe tener cuidado al interpretar los resultados obtenidos en las diferentes transformaciones cuando se cuenta con muestras pequeñas o finitas. 25 9.7 RESUMEN Y CONCLUSIONES Un supuesto crítico del modelo clásico de regresión lineal es que los términos de perturbación U¡ tienen todos la misma varianza. Si no se cumple este supuesto, se presenta el fenómeno de heterocedasticidad. La heterocedasticidad no destruye el insesgamiento ni las propi~dades de consistencia de los estimadores de MCO. Sin embargo, estos estimadores no poseen varianza mínima, no siendo, por tanto, eficientes. En otras palabras, ellos dejan de ser MELI. Los estimadores MELI se obtienen utilizando el método de mínimos cuadrados ponderados.
et
22 Sin embargo, como aspecto práctico se puede graficar contra cada una de las variables y decidir cuál variable X se pu~de utilizar para transformar los datos. (véase Figura 9.7). A veces podemos utilizar in (Y¡ + k) o In (X¡ + k), donde k es un número positivo escogido de tal manaera que todos los valores de Y y X se tornen positivos; véase Ejercicio 9.19.
23
24 Por ejemplo, si XI' X 2' Y X, no están mutuamente correlacionadás, r 12 = r 13 = r13 = O Y si encon-
tramos que los valores de las razones xlix, 'y X2 Ix, están correlacionadas, entonces existe una correlación espúrea. "En términos más generales, la correlación se puede describir como espúrea si es inducida por el método de manejo de datos y no está presente en el material original". M.G. Kendall y W.R. Buckland, A Dictionary of Statistical Terms, Hafner Publishing Company, Inc., Nueva York, 1972, p. 143. 25
Para mayores detalles, véase George G. Judge et. al., op. cit., seco 14.4, pp. 415-420.
HETEROCEDASTICIDAD
275
Si continuamos utilizando los estimadores usuales de MCO en casos de· heterocedasticidad, las varianzas de estos estimadores dejan de ser dadas por medio de las fórmulas usuales de MCO. Por ejemplo, en el caso del modelo de dos variables el estimador de la varianza. de $2 es u2 ~ xf ,mientras que cuando existe heterocedasticidad ésta está dada por I. xfu¡ / (I. xf)2. Por tanto, en situaciones de heteroscedasticidad debemos utilizar por lo menos este último estimador. Pero obsérvese que esta última varianza deja de ser una varianza mínuna; en consecuencia, los intervalos de confianza basados en esta última son innecesariamente amplios y las pruebas de significancia, menos poderosas. La situación puede tornarse potencialmente seria si (erróneamente) descartamos la presencia de heterocedasticidad y utilizamos los estimadores convencionales de MCO para las varianzas. Por tanto. en el caso de dos variables, si utilizamos u2/I. xf en lugar de L xfuf /(I. Xf)2 (lo cual, para comenzar es ineficiente), las pruebas de significan cia. t y F basadas en ella nos llevarán a conclusiones erradas, debido a que en situaciones de heterocedas. ticidad el estimador tradicional para u2 , ¡¡.l, deja de ser insesgado. Como resultado de ello, la varianza u 2 /I. xf tampoco es in sesgada, no pudiendo, en general, establecer la dirección del sesgo. En resumen, en esta situación los procedimientos de prueba convencionales son de dudosa credibilidad. Aunque es fácil documentar las consecuencias teóricas de la heterocedasticidad, no es tan fácil detectarla por cuanto en investigación econométrica es muy común que solamente se tenga un valor Y correspondiente a un valor de X dado, imposibilitando averiguar uf con base en esa única observación. Como consecuencia, se han creado algunos métodos informales y de aproximación para detectar la presencia de heterocedasticidad. Estos métodos generalmente examinan los residuos obtenidos del procedimiento de mínimos cuadrados normales para buscar en ellos patrones sistemáticos. Si ellos presentan dichos patrones se puede sugerir maneras de transformar el modelo original bajo consideración, de Úll manera que en la ecuación transformada las perturbaciones tengan una varianza constante. Si las varianzas heterocedásticas uf se conocen, el método más directo para resolver el problema consiste en utilizar la técnica de mínimos cuadrados ponderados, que minimizan la iniportancia de las perturbaciones con valores externos ponderándolas en proporción inversa a sus varianzas. Sin embargo, es muy raro que se conozcan los uf . Como resultado, generalmente se plantean algunos posibles supuestos sobre la naturaleza de los af , transformándose a continuación los datos para hacer que las perturbaciones en los datos transformados sean homocedásticas. En este capítulo analizamos algunas de las más comunes transformaciones que se utilizan, haciendo énfasis en sus características especiales. También mencionamos algunos problemas asociados con tales transformaciones.
276
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
EJERCICIOS 9.1 Para los datos de la Tabla 9.1, haga una regresión de los salarios promedio Y en la productividad promedio X, tomando la cantidad de empleos como unidad de observación. Interprete sus resultados y ve.a si ellos están de acuerdo con los dados en (9.5.3).
(a) De la anterior regresión, obtenga los residuos ej. (h) Siguiendo la prueba de Park, haga una regresión del In ef en el In X¡ y verifique la regresión (9.5.4). (e) Siguiendo el enfoque del Glejser, haga una regresión dell e¡ len X¡ y a continuación regrese Ied en~ y comente acerca de los resultados obtenidos. (d) Halle la correlación de rango entre e¡ y Xi Ycomente sobre la naturaleza de la heterocedasticidad presente en los datos, si es que existe alguna. 9.2 La tabla a continuación presenta los datos sobre la relación ventas/efectivo en las industrias manufactureras de los Estados Unidos clasificadas de acuerdo con la cantidad de activos de las firmas para el período 1971-1 a 1973-IV. (Los datos son trimestrales). La relación ventas/efectivo puede tomarse como una medida de la velocidad del ingreso en el sector corporativo, es decir, el número de veces que se negocia con cada dólar. Tamaño de los activos (millones de dólares) Año y trimestre
1971-1
-11 -111 -IV
1972-1
-11 -111 -IV
1973-1
-11 -111 -IV
1-10
1~25
25-50
~100
1~250
6.696 6.826 6.338 6.27;2 6.692 6.818 6.783 6.779 7.291 7.766 7.733 8.316
6.929 7.311 7.035 6.265 6.236 7.010 6.934 6.988 7.428 9.071 8.357 7.621
6.858 7.299 7.082 6.874 7.101 7.719 7.182 6.531 7.272 7.818 8.090 7.766
6.966 7.081 7.145 6.485 7.060 7.009 6.923 7.146 7.571 8.692 8.357 7.867
7.819 7.907 7.691 6.778 7.104 8.064 7.784 7.279 7.583 8.608 7.680 7.666
_
~1000
7.557 7.685 7.309 7.120 7.584 7.457 7.142 6.928 7.053 7.571 7.654 7.380
1000 +
7.860 7.351 7.088 6.765 6.717 7.280 6.619 6.9196.630 6.805 6.772 7.072
Fuente: Quarterly FinanciDI Repon for Manufacturing Corporations. Federal Trade Commission and the Securities and Exchange Commission, gobierno de los Estados Unidos, diferentes volúmenes (calculados).
(a) Para cada tamaño de activos, calcule la medida y la desviación estándar de la relación ventas-efectivo. (h) Grafique el valor promedio contra la desviación estándar calculadas en (a), utilizando el tamaño de los activos como unidad de observación. (e) Por medio de un modelo adecuado de regresión, decida si la desviación estándar de la anterior relación aumenta con el valor promedio. Si no es así, ¿cómo racionalizaría el resultado? (d) Si existe una relación estadísticamente significativa entre los dos, ¿cómo transformaría usted los datos de tal manera que desaparezca la heterocedasticidad?
277
HETEROCEDASTICIDAD
9.3 Prueba de Bartlett de homogeneidad de la varianza. * Suponiendo que existen k varianzas muestrales independientes s~, s~, ... , s¡ ,con f¡,f2' ... ,h. g de 1, cada una proveniente de poblaciones con una distribución normal, con promedio igual a JI y varianza a¡. Suponiendo adicionalmente que deseamos evaluar la hipótesis nula Ho: ai = a~ = ... = af = a 2 ; es decir, que cada varianza muestral es una estimación de la misma varianza poblacional a 2 . Si la hipótesis nula es verdadera, entonces k
2
¡~l/;sf ¿/;S7
s =---=--
¿ /;
f
proporciona una estimación del estimador común de la varianza poblacional a 2 , donde /; = (N¡ - 1), \ Y Ni es el número de observaciones en el iésimo grupo y
f= I~=l
/;.
.
Bartlett ha demostrado que la hipótesis nula se puede evaluar por medio de la relación A/B, que está aproximadamente distribuida de acuerdo a una distribución X2 con k - l g de 1, donde y
A = f In 52
-
B = 1 + 3(k
¿ (/; In s7)
~ 1) [ ¿ (~) - y]
Aplique la prueba de Bartlett a los datos de la Tabla 9.1 Y verifique que la hipótesis de que las varianzas poblacionales de los salarios de los empleados son las mismas para cada grupo de empleo de cada lipo de establecimientú, no se puede rechazar a un nivel de significancia del 50/0. Nota: [¡, los g de l para cada varianza muestral, es 9, puesto que Ni para cada muestra (es decir, la clase de empleo) es 10.
9.4 Los datos en la siguiente tabla se refieren a los salarios medianos de economistas, . hombres y mujeres, por campo de especialización, para el año de 1964. (a) Halle el salario promedio y la desviación estándar del salario de los dos grupos de economistas. (b) ¿Existe una diferencia significativa entre las dos desviaciones estándar? (puede utilizar la prueba de Bartlett). (e) Suponiendo que se desea predecir el salario mediano.de los economistashombres a partir del salario mediano de las mujeres économistas, desarrolle un modelo adecuado de regresión para este fin. Si se espera que exista heterocedasticidad en este modelo, ¿cómo la manejaría?
* La prueba de Bartlett se presentó por primera vez en el artículo "Properties of Sufficiency and Statistical test," Proceedings o[ the Royal Society o[ London, A, 160, p. 268, 1937 ..
278
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
Salarios medianos (miles de dólares) Campo de especialización
Mujeres
Finanzas empresariales, etc. 9.3 Economía laboral 10.3 8.0 Monetaria - fiscal Teoría económica general 8.7 Población, programas de seguridad social, etc. 12.0 9.0 Sistemas económicos y desarrollo
Hombres 13.0 12.0 11.6 10.8 11.5 12.2
Fuente: "The Structure of Economists' Employment and Salaries", Committee on the National Science Foundation Report on the Economics Profession, American Economic Review, vol. 55, No. 4, p. 62, diciembre 1965. 9.5' Los siguientes datos proporcionan los salarios medianos de economistas, clasificados de acuerdo con los grados académicos obtenidos y la edad: . Salarios medianos (miles de dólares) Edad, años
M.A.
Pb.D.
25-29 30-34 35-39
8.0 9.2 11.0 12.8 14.2 14.7 14.5 13.5 12.0
8.8 9.6 11.0 12.5 13.6 14.3 15.0 15.0 15.0
4()..44
45-49 5(}-54 55-59 6(}-64
65-69
Fuente: "The Structure of Economists' Employment and Salarles", Commlttee on National Science Foundation Report on the Economics Profession, American Economic Review, vol. SS, No. 4, p. 37, diciembre de 1965.
(a) ¿Son las varianzas de los salarios medianos de los economistas con máster y Ph.D., iguales? . (b) Si lo son, ¿cómo evaluaría usted la hipótesis de que los salarios medianos de los . dos grupos son iguales? (e) Economistas GOn un máster ganaron más que sus contrapartes con un Ph.D. con edades comprendidas entre 35 y 54 afios. ¿Cómo explicaría usted este resultado, si se .cree que un economista con un Ph.D. debería ganar más que. un economista con máster?
9.6 Refiérase a los datos sobre productividad promedio ya la desviación estándar de la productividad dados en la siguiente tabla .. Suponga que:
y, = !Ji + !J1X¡ + U¡
279
HETEROCEDASTICIDAD
Donde Y , =productividad promedio en la iésima clase de empleo, x, =tllmafto de empleo medido por 1 = 1 - 4 empleados, 2 =5 - 9 empleados, ... , 9 = 1000 - 24999. Utllizando estos datos, estime dos regresiones utilizando mínimos cuaarados ponderados y no ponderados en forma similar a las ecuaciones (9.6.2) Y (9.6.3) Y comente acerca de los resultados obtenidos. Tamaño del empleo (número de empleados)
Productividad promedio, $
Desviaci6n etÜnctar de la productividad, $
1--4
93SS 8S84 7962 827S 8389 9418 979S 10,281 11,750
2487 2642 30SS 2706 , 3119 4493 4910 S893 SSSO
5-9
10--19 20-49 50--99 100--249 2S0-499 SOO--999
1000--2499
Fuente: The Cenms 01 Manufactures, U.S. Department of Commerce, 1958, (calculado). .
9.7 En una encuesta de más de 9966 economistas en 1964 se obtuvieron los siguientes datos: ' Edad,años
20--24 25-29 30--34 35-39
Salarios medianos, $
7800 8400
9700
40-44
II,SOO 13,000
45--49
14,800
SO--S4
IS,OOO IS,OOO IS,OOO 14,SOO 12,000
S5-S9 60--64
65-69 70+
Fuente: "The Structure of Economists' EmpJooyment and Salaries", Committee on the National Sclence Foundation Report on the Economics Profession, American Economlc Revlew. vol. SS, No. 4, p. 36, diciembre de 1965.
(a) Desarrolle un modelo adecuado de regresión que explique el salario mediano en
relación con la edad. , Nota: Para fmes de la regresión, suponga que los salarios medianos se refieren al punto medio del intervalo de edades. Por tanto, 7800 se refiere a la edad de 22.5 años y así sucesivamente. Para el último intervalo de edades, suponga que la edad máxima es 75 aflos. ,
280
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
(b) Suponiendo que la varianza del término de perturbación es proporcional al cuadrado de la edad, transforme los datos de tal manera que el término de perturbación resultante sea homocedástico. (e) Repita (b) suponiendo que la varianza es proporcional a la edad. ¿Cuál de las transformaciones parece plausible? (d) Si ninguna de las transformaciones anteriores paFece razonable"suponga que el término de varianza es proporcional a la expectativa condicional del salario mediano, condicionado a la edad dada. ¿Cómo transformaría usted los datos para que la varianza resultante sea homocedástica? 9 ..8 La siguiente tabla proporciona datos sobre derechos especiales de retiro (DERs), también conocidos como papel oro y la balanza de pagos para'diez países durante el año 1974. Puesto que los DERs se utilizan como moneda internacional, se espera que su tamaño esté relacionado con la posición de la balanza de pagos de un país. (a) De los datos dados, ¿existe una relación que se pueda discernir entre los DERs y la balanza de pagos? Presente su respuesta regresando la primera variable sobre la segunda. (b) Utilizahdo los resultados obtenidos en (a), evalúe en forma separada la siguiente hipótesis: la varianza de perturbación es proporcional al (i) valor de la balanza de pagos, (ii) valor esperado condicional de los DERs , condicionados con el valor qe la balanza de pagos. (e) ¿Puedé usted utilizar la transformación logarítmica analizada en el texto para transformar los datos? ¿Por qué sí o por qué no? (d) Aplique la prueba de correlación de rangos a ei obtenida de la regresión en (a) y los valores de la balanza de pagos. ¿Puede usted decir algo sobre la heterocedasticidad con basé en esta prueba?
País
DERs (millones de dólares)
715 574 248 1763 221 529 595 131 843 2370
Bélgica Canadá Francia Alemania Italia Japón Países Bajos Suecia Irigla terra Estados Unidos
* El signo negativo
Balanza de pagos (mülonés de dólares)
346 26 -83* -466 -4633 1241 985 -802 -4355 -8374
indica un déficit en la balanza de pagos.
Fuente: International Financial Statistics. Internacional Monetary Fund, diciembre de 1975.
9.9 (a) ¿Puede usted hacer una estimación de los parámetros de los modelos
+ f3zX¡ + Vi Jf31 + f3zX¡ + Vi
le¡j = Jf31 le¡j =
281
HE"fEROCEDASTICIDAD
utilizando el método de mínimos cuadrados ordinarios? ¿Por qué sí o por qué no? (h) Si no, ¿puede usted sugerir un método, bien sea formal o informal, de estimar los parámetros para tales modelos? 9.10 A pesar de que los modelos logarítmicos como los que se presentan en la ecuación (9.6.11) con frecuencia reducen la heterocedasticidad, se debe prestar una gran atención a las propiedades del término de perturbación para tales modelos. Por ejemplo, el modelo (1)
se
p~ede
escribir ~omo
I
In Y¡
=
In PI + P2 In X¡ + In
U¡
(2)
(a) Si In Uf va a tener una expectativa de cero, ¿cuál debe ser la distribución de u¡? (h) Si E(u¡) == 1, ¿será E(ln Uf = O? ¿Por qué si o por qué no? (e) SiE(ln Uf) no es cero, ¿qué se puede hacer para volverlo cero? 9.11 Demuestre
quep~
..
de (9.3.8) también se puede expresar como:
"
p. _ L... w¡y¡ X¡
L w¡xr 2
2 -
y var(p!) dada en (9.3.9) también se puede expresar como:
.) _
var (P2
-"
L...
1 W¡X¡.2
donde yr = Y¡ - Y· xr = X¡ - X·representan desviaciones de lo~ promedios ponderados de Y· y X· definidos como
Y· X·
=
L
=
L w¡X¡!L
W¡
Y¡!L
W¡ W¡
9.12 Suponga que se le proporciona a usted la siguiente información: SCR l con base en las primeras 30 observaciones = 55, g de 1 = 25 SCR2 con base en las últimas 30 observaciones = 140, g de 1 = 25 Lleve a cabo la prueba de Goldfeld-Quandt para heterocedasticidad a un nivel de significancia del 5% . 9.13 Prueba de Breusch-Pagan. Considere el modelo de k variables: Y¡ =
PI
+ P2 X 2¡ + ... + PtXti + Ui
(1)
Suponiendo que la varianza del error uf se describe como:
uf = f(a l + a2 Z2i + ... + a .. Z ..¡)
(2)
es decir, que uf es cierta función de las variables Z no estocásticas; algunas o la totalidad de las X pueden utilizarse como variables Z. Específicamente suponga que:
uf =
al
+ a2 Z 2¡ ...... + a", Z",¡
(3)
esdecir,uT es unafunci6n lineal de lasZ. Si a2 = a3 = ... = a.. = O, uf = al' la cual es una constante. Por tanto, para evaluar si uf es homocedástica, se puede evaluar la hipótesis de que a2 = a3 = ... = a.. = O. Esta es la idea básica de la prueba de Breusch-Pagan. El procedimiento de la prueba en la práctica es el siguiente:
282
VIOLACION DE LOS SUPU~STOS DEL MODELO CLASICO
Paso 1. Estimar (1) por medio de MeO y obtener los residuos el' e2' ... , eN'
L
Paso 2. Obtenerü 2 = e;/N.Recordemos del Capítulo 4 que éste es el estimador de máxima verosimilitud (MV) de (12. [Nota: el estimador de MCO es L ef/(N - k)]. Paso 3. Construir las variables Pi, las cuales se definen como:
que cClrresponden sencillamente a cada residuo elevado al cuadrado, dividido por ¡¡2. Paso 4. Regresar los Pi construidos en el paso 3 en las variables Z, de la siguiente forma: (4)
donde Vi es el término residual de esta regresión. Paso 5. Obtener la SCE (suma de cuadrados explicada) del paso (4) y definir: 1
e = 2' (SCE)
(5)
Se puede demostrar que si existe homocedasticidad y el tamaño de la muestra N aumenta indefinidamente, entonces
e-
X!-l
(6)
10 cual implica que e tiene un distribución ji-cuadrado con (m - 1) grados de libertad.
Por tanto, si en una aplicación el valor calculado e (= x2 ) excede el valor crítico x2 al nivel de significancia escogido, se puede rechazar la hipótesis de homocedasticidad; de otra forma, ésta se puede aceptar. Para familiarizarse con la prueba de Breusch-Pagan, considere el siguiente modelo:
donde Yt = inventarios en el sector manufacturero de los Estados Unidos y X t = ventas en el sector manufacturero de los Estados Unidos, ambos para el período 1950-1983. Lleve a cabo la prueba de Breusch-Pagan asumiendo que
,(Nota: Z = X en este ejemplo). UtITice los datos de la siguiente tabla y complete lo.s resultados.
HETEROCEDASTICIDAD
283
Inventarios y ventas en las empresas manufactureras de los EstadQs Unidos, 1950-1983 (miles de millones de dólares) Año 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983
Inventarios 31:1 39.3 41.1 43.9 41.6 45.1 50.6 51.9 50.2 52.9 53.8 54.9 58.2 60.0 63.4 68.2 78.0 84.7 90.6 98.2 101.6 102.6 108.2 124.6 157.8 159.9 175.2 189.2 210.4 240.9 264.1 282.1 264.6 260.4
Ventas 18.6 21.7 22.5 24.8 23.3 26.5 27.7 28.7 27.2 30.3 30.9 30.9 33.4 35.0 37.3 41.0 44.9 46.5 50.2 53.5 52.8 55.9 63.0 72.9 84.8 86.4 98.8 113.2 126.9 143.9 154.4 168.1 159.2 170.6
Fuente: Economic Report 01 the Pre'¡-. dent, 1985, Tabla 8-49, p. 288. Nota: Las cifras se aproximan a un decimal.
9.14 Para fmes p.dagógicos. Hanushek y Jackson estimaron el siguiente modelo:
er = /JI + /J2
PNB r + /J3 Dr + Ur
(1)
donde Ct = gastos de consumo privado agregado en el período t, PNB t = producto Ilacional bruto en el período t y Dt gastos de defensa nacional en el período t, donde el objetivo del an41isis es estudiar el efecto de los gastos de defensa sobre otros gastos en la economía.
=
284
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
Postulando que
a; = a (pNBt)2 , ellos transforman (1) y estiman 2
C,/PNB,
=
p¡(1/PNB,)
+ P2 + P3(D,/PNB,) + u,/PNB,
(2)
Los resultados empíricos Corl base en los datos para el período 1946-1975 fueron los siguientes (errores estándar entre paréntesis).*
C, =
26.19
+ 0.6248 PNB, - 0.4398 D,
(2.73) (0.0060) C,/PNB, = 25.92(I/PNB,)
--------
(2.22)
(0.0736)
R 2 = 0.999
+ 6246 - 0.4315 (D,/PNB,) (0.0068) (0.0597)
R 2 = 0.875
au~res acerca de la naturaleza de la heterocedasticidad? ¿Puede usted justifi<;a'rlo? (b) Compare los resultados d~1as dos regresiones. ¿Han mejorado los resultados la transformación del mptlelo original? En otras palabras, ¿han reducido los errores estándar estimados? ¿Por qué si o por qué no? (e) ¿Puede usted comparar los dos valores del R 2 ? ¿Por qué si o por qué no? (Sugerencia: Examine las variables dependientes).
(a) ¿Qué supuesto plantean los
9.15 Refiérase a las regresiones estimadas (9.6.2) y (9.6.3). Los resultados de la regresión
son muy similares. ¿Cómo se puede explicar esto? (Sugerencia: refiérase al Ejercicio (9.3). 9.16 Demuestre que si w¡ = W es una constante para cada i,p!, y P2 de igual manera que sus varianzas son idénticas. 9.17 Refiérase a las fórmulas (9.2.2) Y (9.2.3). Suponga que
donde u2 es una constante y k¡ son ponderaciones conocidas y no necesariamente todas iguales. Utilizando este supuesto, demuestre que la varianza dada en (9.2.2) se puede expresar como:
El primer tém'¡no al lado derecho de la ~cuación corresponde a la fórmula de la v.arianza dada en (9.2.3), es decir, var (P2) bajo homocedasticidad. ¿Qué puede decir acerca de la naturaleza de la relación entre var{P2) bajo heterocedasticidad y bajo homocedasticidad? (Sugerencia: Examu,e el segundo término alIado derecho de la fórmula anterior). ¿Puede obtener usted alguna conclusión general sobre la relación entre (9.2.2) y (9.2.3)?
* Etic A. Hanushek y John E. Jackson, Statistical Methods lor Social Scientists, Academic Press, Nueva York, 1977, p. 160.
285
HETEROCEDASTICIDAD
APENDICE 9
9A.l PRUEBA DE LA ECUACION (9.2.2) Del Apéndice 3A, Sección 3A.3, se tiene que var (pz)
= E[kIuI + k~ u~ + ... + k~ u~ + 2 ténninos de productos cruzadaS
= E[kIuI + k~u~ + ... + k~u~]
Puesto que las esperanzas de los términos de los productos cruzados son cero debido al supuesto de correlación no serial.
= kIE(ul) + k~ E(un + .,. + k~ E(u~) dado que se conocen los k¡. (¿Por qué?) =
dado que E(ul)
=
kIuI + k~ u~ + ... + k~ u~
ul·
puesto que k¡
= xJr. xl (9.2.2)
9A.2 METODO DE MINIMOS CUADRADOS PONDERADOS Para ilustrar este método, utilicemos el modelo de dos variables Y¡ = Pl + pz X¡ + U¡. El método de mínimos c.uadrados no ponderados m.inimiza (1)
para obtener los estimativos, mientras que el método de los mínimos cuadrados minimiza la suma ponderada de los residuos al cuadrado: (2)
donde PT y P~ son los estimadores de mínimos cuadrados ponderados y en donde las ponderaciones Wi son tales que W¡=2
(3)
U¡
lo cual implica que las ponderaciones son inversamente proporcionales a la varianza de U¡ o Y¡ condicional al Xi dado, entendiendo que var (u¡ IX J = var (Y¡ I Xi) = ul. Al diferenciar (2) con respecto a PT y P~, obtenemos
286
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
o-¿w¡e; ( apt = 2" L... w¡ Y¡ -
p.1 - IJ2 n. X ¡X- 1)
aLap!w¡e¡ -_ 2 ~~ w¡( 1'; -
1-'1 -
R*
R* X
1-'2
X-
¡
X) ¡
Igualando las anteriores expresiones a cero, obtenemos las siguientes dos ecuaciones normales:
L w¡ 1'; = Pt L W¡ + P! L W¡ X¡ L w¡X¡ 1'; = Pt L w¡X¡ + P! L w¡X¡
(4) (5)
Obsérvese la similitud entre estas ecuaciones normales y las ecuaciones nor~ales de los mínimos cuadrados no ponderados. Al solucionar estas ecuaciones simultáneamente, obtenemos
Pt = y* - P!X*
(6)
y R* _ 1-'2 -
(L w¡X¿ w¡x¡ Y¡) ~
~
(~ w¡X~
(¿ w¡X¡X¿ W¡ Y¡)
~ w¡X¡) - (~ w¡X¡) 2
2
(7) = (9.3.8)
La varianza de P! que aparece en (9.3.9) se puede derivar de la manera en que se obtuvo la varianza de $2 que aparece en el Apéndice 3A, Sección 3.A.3. Nota: Y* = L W¡ YJL W¡ y X* = L w¡XJL w¡. Como se puede verificar fácilmente, estos promedios ponderados coinciden con los promedios no ponderados tradicionales Y y X cuando w¡ = w, constante para todos los i.
CAPITULO
10
AUTO CORRELAC ION
Un supuesto importante del modelo lineal clásico presentado en la Parte 1 es que no existe autocorrelación o relación serial entre las perturbaciones Uf que entran en la función de regresión poblacional.· En este capítulo examinaremos cuidadosamente este supuesto, cón el fin de dar respuesta a las siguientes preguntas:
1. ¿Cuál es la naturaleza de la autocorrelación? 2. ¿Cuáles son las consecuencias teóricas y prácticas de la autocorrelación? 3. Puesto que el supuesto de no autocorrelación se relaciona con las perturbaciones Uf no observables, ¿cómo se sabe que existe autocorrelación en una situación determinada? 4. ¿Cómo se soluciona el problema de la autocorrelación? El lector encontrará que este capítulo es similar en muchos aspectos al capítulo anterior sobre heterocedasticida~, puesto que en presencia de autocorrelación y de heterocedasticidad los estimadores tradicionales de MeO, a pesar de ser insesgados, dejan de tener la varianza mínima entre todos los estimadores- lineales ~sesgados. ,En resumen, dejan de ser MELI.
10.1 NATURALEZA DEL PROBLEMA El término autoco"elaci6n se puede definir como la "correlación e:1dstente entre los miembros de una serie de observaciones ordenadas en el tiempo 287
288
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
(como las cifras de series de tiempo) o en el espacio (como las cifras de corte transversal)"1 . En el contexto de la regresión, el modelo de regresión lineal clásico supone que tal autocorrelación no existe en las perturbaciones u,. Sim bólicamente, i:;:j
(3.2.2)
Expresado en forma sencilla, el modelo clásico supone que el término de perturbación asociado a alguna observación no está influenciado por el término de perturbación asociado a cualquier otra observación. Por ejemplo, si estamos manejando datos trimestrales de series de tiempo que involucren la regresión de la variable productividad en las variables mano de obra e insumos de capital, y si, digamos, se presenta una huelga que afecta la producción de un trimestre, no existe razón alguna para creer que esta interrupción afectará la producción del siguiente trimestre. Lo anterior implica que si la producción de este trimestre es inferior, no existe razón alguna 'Para esperar que ella sea inferior en el próximo trimestre. En forma similar, si estamos manejando datos de corte transversal que involucren la regresión de los gastos familiares de consumo sobre el ingreso familiar, no se espera que el efecto de un aumento en el ingreso de una familia sobre sus gastos de consumo afecte los gastos de consumo de otra familia. . Sin embargo, si existe tal dependencia, tenemos autocorrelación. Simbólicamente, ' i :;: j
(10.1.1 )
En esta situación, los traumatismos generados por la huelga de este trimestre pueden afectar la producción del próximo trimestre o, de otro lado, el aumento en los gastos de consumo de una familia puede también hacer que la otra familia aumente sus gastos de consumo para no quedarse atrás de la primera: Antes de averiguar por qué existe autocorrelación, es esencial tener claros ciertos aspectos de terminología. Aunque en la actualidad es práctica común el empleo de los términos autocorrelación y correlación serial como sinónimos, algunos autores prefieren distinguir los dos términos. Por ejem plo, Tintner define la autocorrelación como la "correlación de rezagos de una serie dada consigo misma, rezagada en un número de unidade~ de tiempo", 'mientras que reserva el término de correlación serial para la "correlación de rezagos entre dos series diferentes"2 . Por tanto, a la correlación entre dos series de tiempo tales como Ul, U2, ••• , Ul0 U2, U3, ••• U11, en donde la primera corresponde a la última serie rezagada en un período de tiempo, se le denomina autocorrelación, mientras que a la correlación entre series de
1 Maurice G. Kendall y WiJ1iam R. Buckland, A Dlctlonary o[ 8tJ1t1stical Terma, Hafner Publishing Company, Inc., New York, 1971, p. 8. 2
Gerhard Tintner, Econometrlcs, John Wiley &Sons, Inc., New York, 1965, Science ed., p.-187.
AUTOCORREl.ACION 11,
289
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FIGURA 10.1 Patrones de auto correlación.
tiempo tales como Ub U2; ... u 10, Y V 2 , Va , ... V ll , dond'! u y v son dos series de tiempo diferentes, se le denomina co"elación serial. ~unque la distinción entre los dos términos puede ser útil, en este libro los utilizaremos corno sinónimos.
290
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
Puede resultar interesante visualizar algunos de los posibles patrones de autocorrelación y no autocorrelación, los cuales se representan en la Figura 10.1. De la Figura 10.1 a a la d se muestra la existencia de un patrón perfectamente distinguible entre las u. La Figura 10.1 a muestra un patrón cíclico; las Figuras lO.lb y 10.1e sugieren una tendencia lineal hacia arriba o hacia abajo en las perturbaciones, mientras la Figura 1O.ld indica que los terminas sugieren una tendencia tanto lineal como cuadratica en las perturbaciones. Solamente en la Figura 10.1 e no se presenta ningún patrón sistemático que apoye el supuesto de no autocorrelación del modelo de regresión lineal clásico. La pregunta natural es: ¿por qué ocurre la correlación serial? Existen diferentes razones, algunas de las cuales son: Inercia. Una de las característica~ sobresalientes de la mayoría de las series económicas de tiempo es la inercia. Como se conoce ampliamente, series de tiempo tales como el PNB, los índices de precios, la producción, el empleo y el desempleo, presentan ciclos (en la actividad empresarial). Partiendo de la parte más baja de la recesión, cuando comienza la recuperación económica, la mayoría de estas series comienzan a moverse hacia arriba. En este movimiento, el valor de una serie en un punto en el tiempo es mayor que su valor anterior. Por tanto, existe un "momento" intrínseco en ellas que continúa hasta que algo ocurre (por ejemplo, un aumento en las tasas de interés, en los impuestos, o en ambos) que hace que éstas disminuyan su ritmo. Por tanto, en las regresiones que involucren datos de series de tiempo, es probable que obs~rvaciones sucesivas sean interdependientes. Sesgo de especificación: el caso de las variables excluidas. En análisis empírico, es común el caso en que el investigador comienza con un modelo de regresión factible que puede no ser el más "perfecto". Después del análisis de regresión, el investigador hace un examen posterior (postmortem), buscando averiguar si los resultados están de acuerdo con las esperanzas existentes a priori. Si no es así, comienza la cirugía. Por ejemplo, el investigador puede graficar los residuos ei obtenidos de las regresiones ajustadas, pudiendo observar patrones como los que se aprecian en la Figura 12.1 a a d. Estos residuos (los cuales son aproximaciones de Ui) pueden sugerir que algunas de las variables que originalmente eran candidatas para entrar en el modelo y que no fueron incluidas en el mismo, por una variedad de razones, ahora deben incluirse. Este es el caso del sesgo de especificación debido a una variable excluida: Ocurre con mucha frecuencia que al incluirse tales variables en el modelo se elimina el patrón de correlación observado entre los residuos. Por ejemplo, suponiendo que tenemos el siguiente modelo de demanda:
(10.1.2) donde Y = cantidad demandada de carne de res, X 2 = precio de la carne de res, X] = ingreso del consumidor, X 4 = precio de la carne de cerdo y t =
291
AUTOCORRELACION
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PRODUCCION
FIGURA 10.2 Sesgo en la especificación: forma funcional incorrecta.
tiempo3 . NO obstante, por alguna razón, hemos corrido la siguiente regresión: (l O. 1.3)
Ahora, si (10.1.2) es el modelo "correcto" o la relación "verdadera" o real, correr (10.1.3) equivale a decir que Vt "" f34 X 4t + Ut • Y en la medida en que el precio de la carne de cerdo afecte el.consumo de carne de res, el término de error o perturbación v reflejará un patrón sistemático, creando, por consiguiente, (una falsa) autocorrelación. Una sencilla prueba de esto consis-. tiría en correr (10.1.2) Y (l 0.1.3) Y ver si la autocorrelación, si ésta existe, observada en el modelo (I0.1.3) desaparece cuando se corre (l 0.1.2)4. La mecánica específica para detectar la autocorrelación s,~ analizará en la Sección 10.5, donde mostraremos que una gráfica de los residuos de las regresiones (10.1.2) Y (10.1.3) con frecuencia aclaran, en gran parte, la presencia del problema de correlación serial. Sesgo de especificación: fonna funcional incorrecta. Suponiendo que el modelo correcto o "verdadero!> en un estudio de costo-producción sea el siguiente: (10.1.4) Costomarginali "" f31 + f32 produccióni+ f33 producción; + U¡ pero se ajm,ta el siguiente modelo: Marginal Costo¡ "" (X I +
(X2
producción, + Vi
(10.1.5)
Por convención, utilizaremos el subíndice t para denotar información de series de tiempo y el subíndice usual' para datos de corte transversal. 3
Se ha encontrado que el problema real consiste en un sesgo de especificación y no en autocorrelación; entonces, los estimadores de MeO de los parámetros de (10.1.3) pueden ser sesgados así como inconsistentes.
4
292
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO GLASICO
La curva de costo marginal, correspondiente al modelo "verdadero" se muestra en la Figura 10.2 junto con la curva de costos lineal "incorrecta". Como se muestra en la Figura 10.2, entre los puntos A y B la curva de costo marginal lineal sobreestimará consistentemente el verdadero costo marginal, mientras que más allá de estos puntos consistentemente subestimará el verdadero cósto marginal. Esto es de esperarse, puesto que el término de perturbación VI es de hecho igual a la producción2 + UI y, por tanto, capta el efecto sistemático del término producción2 sobre el costo marginal. En este caso, vI reflejará la auto correlación debido al uso de una forma funcional incorrecta. Fenómeno de la telarafta. La oferta de muchos productos agrícolas refleja el llamado "fenómeno de la telarafta", donde la oferta reacciona ante cambios en el precio con un regazo de un período de tiempo, debido a que las decisiones de la oferta requieren cierto tiempo para adaptarse (período de gestación). Por tanto, al comienzo de la siembra de este afto los agricultores se ven influenciados por el precio que prevaleció durante el pasado afto y en consecuencia su función de oferta está dada por (10.1.6)
Suponiendo que al final del período t el precio Pt resulta ser inferior a Pr• 1 • Por tanto, en el período t + 1 los agricultores pueden decidir claramente producir menos que lo que produjeron en el período t. Obviamente, en esta situación no se espera que las perturbaciones UI sean aleatorias, porque si los agricultores generaron una sobreproducCión en el afto t, probablemente reducirán su producción en t + 1 y así sucesivamente, llevando al llamado fenómeno de la telarafía. Rezagos. En una regresión que utilice datos de series de tiempo para los gastos de consumo y el ingreso no es extrafío encontrar que el nivel de gastos de consumo en un determinado período depende, entre otras cosas, de los gastos de consumo del período inmediatamente anterior. Es decir: Consumo t = Pl + P2ingresot+ P3 consumO'-l + u, (10.1.7) Un modelo como el de la ecuación (10.l.7) se conoce comoauto"egresi6n, debido a que una de las variables explicativas corresponde al valor rezagado de la variable dependiente. (Estudiaremos tales modelos en el Capítulo 14). El razonamiento para un modelo como el de la ecuación (10.1. 7) es sencillo. Los consumidores no cambian sus hábitos de consumo con frecuencia debido a razones de tipo sicológico, tecnológico o institucional. Pero si no tomamos en cuenta el término rezagado en (10.1.7), él término del error resultante reflejará uit patrón sistemático debido a la influencia del consumo rezagado sobre el consumo actual. "Manipulación" de datos. En análisis empírico se manipula frecuentemente la información. Por ejemplo, en regresiones de series de tiempo que involu-
AUTOCORRELACION
293.
cren datos trimestrales, tales datos generalmente se obtienen de información. mensual, sumando simplemente las tres observaciones mensuales y dividiendo la suma por tres. Este procedimiento de promediar las cifras permite uni-
formizar la información, eliminando las fluctuaciones mensuales que éstas presenten. Por tanto, la gráfica de los datos trimestrales es mucho más uniforme que la que presentan los datos mensuales. Esta uniformidad puede originar en sí misma la creación de un patrón sistemático en las perturbaciones, introduciendo así la autocorrelación. Otra fuente de manipulación de datos es la interpolación o extrapolación de cifras. Por ejemplo, el censo de población se lleva a cabo cada 10 años en los Estados Unidos, habiendo sido los dos últimos en 1980 y en 1970. Si se necesita obtener datos para algún año entre el período intercensal 1970-1980, la práctica común consiste en interpolar cifras con base en ciertos supuestos ad hoc. Tales.técnicas de "masajear" los datos pueden originar sobre éstos un patrón sistemático que no existía en los datos originales. Antes de concluir esta sección, obsérvese que el problema de la autocorrelación es generalmente más común en datos de series de tiempo, a pesar de que puede ocurrir, y en efecto ocurre, en los datos de corte transversal. . En información de series de tiempo las secciones están ordenadas cronológicamente. Por tanto, existe gran probabilidad de que haya intercorrelaeiones entre observaciones sucesivas, especialmente si el intervalo de tiempo entre dichas observaciones es corto, por ejemplo, un día, una semana o un mes, en lugar de un año. Generalmente no existe este orden cronológico en los datos de corte transversal, aunque en algunos casos puede existir un orden similar. De esta forma, en una regresión de corte transversal de los gastos de consumo en el ingreso y donde las unidades de observación corresponden a los cincuenta estados de los Estados Unidos, es posible que los datos estén ordenados de tal forma que se presenten en grupos tales como el sur, el suroeste, el norte, etc. Puesto que es probable que los patrones de consumo difieran de una región geográfica a otra a pesar de ser sustancialmente similares dentro de una región dada, los residuos estimados de regresión pueden presentar un patrón sistemático asociado con las diferencias regionales. El punto a mencionar es que aunque la correlación generalmente predomina en series de tiempo, puede presentarse también en los datos de corte transversal. Algunos autores denominan a la autocorrelación existente en series de corte transversal autocorrelación espacial,. es decir, correlación en el espacio, en lugar de aquella existente a través del tiempo. Sin embargo, es importante tener presente que en análisis de corte transversal el ordenamiento de los datos debe tener cierto interés lógico o económico para llegar a la conclusión de que se cuenta con la presencia de autocorrelación. Se debe mencionar además, que la auto correlación puede ser positiva o negativa aunque la mayoría de las series económicas de tiempo generalmente presentan una autocorrelación positiva debido a que la mayoría de éstas se mueven hacia arriba o hacia abajo durante períodos prolongados de tiempo, sin que presenten fluctuaciones erráticas hacia arriba o hacia abajo como las . que se observan en la Figura 10.3 b.
294
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO U
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(b)
FIGURA 10.3 (a) Autocorrelación positiva y (b) Negativa.
10.2 ESTIMACION DE MCO EN PRESENCIA DE AUTOCORRELACION
¿Qué ocurre con los estimadores de MCO y sus varianzas si introducimos auto correlación en las perturbaciones suponiendo que E(u¡ u) "# O (i "# j) , reteniendo los demás supuestos del modelo clásico? Consideremos a continuación nuevamente el modelo de regresión con dos variables para explicar las ideas básicas en nuestro análisis: Yr = Pi + Pl X, + u, , donde t corresponde a los datos u observaciones en el período t; obsérvese que estamos utilizando datos de series de tiempo. Debemos entonces ahora suponer que el mecanismo que genera los Uf> debido a que E(u" ",+.) "# O (s "# O) es un supuesto demasiado general para que sea de uso práctico. Como primera aproximación, se puede asumir que las perturbaciones se generan de la siguiente manera: (10.2.1)
295
AUTOCORRELACION
donde p se c~:moce como coeficiente de autocovarianza y e, es la perturbación estocástica tal que satisface los supuestos de MCO tradicionales, es decir, E(e,) = O
var (e,) =
(10.2.2)
(12
cov (e" e, +.) = O
s :;: O
El esquema presentado a través de la ecuación (10.2.1) se conoce como esquema autorregresivo de primer orden de Markov o, sencillamente esquema autorregresivo de primer orden y que generalmente se denota como AR(1). El nombre de autorregresivo es apropiado, debido a que (10.2.1) se puede interpretar como la regresión de u t sobre sí misma rezagada un período. Es de primer orden porque solamente U t y su valor inmediatamente anterior están involucrados, lo cual implica que el rezagado máximo es 1. Si el modelo fuera U, = PI U, _ 1 + P2 U, _ 2 + e, , éste sería un esquema AR (2) o un esquema autorregresivo de segundo orden y así sucesivamente. Nótese, igualmente que, p, el coeficiente de autocovarianza, también puede interpretarse como el coeficiente de autocorrelaci6n de primer orden o, en forma más exacta, el coeficiente de autocorrelaci6n de 1 rezagos. (10.2.1) 'plantea que el movimiento o desplazamiento de utconsta ~e dos partes: la parte PU,- 1 ,que corresponde a un desplazamiento sistemático y la segunda e" que es puramente aleatoria. Antes de continuar adelante, se debe mencionar que a priori no existe ninguna razón por la cual no podamos adoptar un esquema AR(2) o AR(3) o . cualquier otro mecallismo de generación del error de mayor orden, diferente al mecanismo AR(1) que hemos adoptado en (10.2.1). Sin embargo, utilizamos este último no solamente por su sencillez sino también porque en muchas aplicaciones ha demostrado ser de gran utilidad. Ahora bien, el estimador de MCO para (J2' que generalmente hemos empleado está dado por:
D_~ ~ 2
P2 -
(10.2.3)
L.. X,
5 Este nombre se puede justificar fácilmente. Por definición, el coeficienie (poblacional) de correlación entre u, YU'_les E{[u, - E(u,)][u'_1 - E(u,_I)]}
p=~~==~~==~~
Jvar (u,)Jvar (U'_I) E(u,u'_I)
var (U'_I) puesto que B(u,) = O para cada t y var (u,) = var (U,_I) debido a que estamos reteniendo el supuesto de homocedasticidad. El lector puede ver también que p es el coeficiente de la pendiente en la regresión de u, en U'_I'
296
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
pero su varianza, dado el esquema AR( 1) es ahora:
(10.2.4) donde var(ft2)AU representa la varianza de P2 bajo un esquema autorregresivo de primer orden. Contraste esta fórmula con la fórmula tradicional cuando no existe autocorrelación. (10.2.5) .
Una comparación de (10.2.4) con (10.2.5) muestra que la primera es igual a la última más un término que depende de p y de las covarianzas entre los valores que tome X. y, en general, no podemos decir si la var
297
AUTOCORRELACION
10.3 EL MELI EN PRESENCIA DE AUTOCORRELACION
y
Continuando con el modelo de dos variables suponiendo un proceso. AR( 1)~ se puede demostrar que el MELI de P2 está dado por la .siguiente expresión 6 : N
oCMG 112
=
L (X, -
pXr-t)(Yr - PYr-l)
1=2
\ N
L (X
r=2'
+e
(10.3.1)
PXt_l)2
r -
.
donde e es un factor de correlación que se puede desechar en la práctica. Obsérvese que el subíndice t va ahora de t = 2 a t = N. Su varianza está dada por: (12
var p~'M(;= -N",...------ + D
L (x
r -
(10.3.2)
pxr - ¡)2
r=2
Donde D también es un factor de correlación que se puede desechar en la práctica. El estimador pfM? como lo sugiere el superíndice, se obtiene utilizando el método de MCG. Como se mencionó en el Capítul~ 9, en MCG incorporamos cualquier información adicional con ,que se cuente (es decir, la naturaleza de la heterocedasticidad o de la autocorrelación) directamente en el pro-, cedimiento de estimación, transformando las variables, mientras que en MCO tal información adicional no se toma directamente en consideración. Como puede apreciar el lector, el estimador de MCG de P2 dado en (10.3.1) incorpora el parámetro de autocorrelación P en la fórmula de estimación, mientras que la fórmula de MCO dada en (10.2.3) simplemente no la tiene en cuenta. En forma intuitiva, ésta es la razón por la cual el estimador de MCG, y no el de MCO, el que es MELI; el estimador de MCG utiliza al máximo la información disponible' . No es preciso mencionar que si P = O , no existe información adicional a considerar y por tanto los estimadores de MCG y MCO son idénticos. En resumen, bajo autocorrelación es el 'estimador de MCG dado en (10.3.1), el que es MELI, estando la varianza mínima entonces dada por (10.3.2), no por (10.2.4) y obviamente no por (10.2.5). Si éste es el caso, ¿qué ocurre si continuamos el trabajo utilizando el procedimiento normal a pesar de la presencia de autocorrelación? La respuesta se encuentra en la sección a continuación.
6 Para las pruebas respectivas, véase Jan Kmenta, Elements of Econometrlcs, The Macmillan Company, New York, 1971, pp. 274-275. El factor de corrección e pertenece a la primera observación, (Y1' Xl)' Sobre esto, véase Ejercicio 10.26.
7 La prueba formal de que p;MGes MELI se puede encontrar en Kmenta, op. cit. Pero la tediosa prueba algebraica se puede simplificar considerablemente utilizando notación matricial. Véase J. Johnston, Econometríc Methods, 3 ed., McGraw-Hill Book CompaJ;ly, New York, 1984, pp. 291-293.
298
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
IOACONSECUENCIAS DE UTILIZAR MCO EN PRESENCIA DE AUTOCORRELACION
Como en el caso de la heterocedasticidad, los estimadores de MCO en presencia de autocorrelación continúan siendo lineales, insesgados y consistentes, pero dejan de ser eficientes (es decir, de varianza mínima). ¿Qué sucede entonces con nuestros procedimientos normales de pruebas de hipótesis si c9ntinuamos utilizando los estimadores de MCO? Nuevamente, como en el caso de la heterocedasticidad, debemos considerar dos casos .. Con fines pedagógicos, continuaremos trabajando con el modelo de dos variables aunque la discusión que sigue a continuación puede extenderse al caso de la regresión múltiple sin mucho problemas. Estimación de MCO permitiendo la autocorrelación
Como se mencionó, $2 no es MELI y aunque utilicemos var (P2)ARl) los intervalos de confianza que se deriven probablemente serán más amplios que aquellos basados en el procedimiento de MCG. Como demuestra Kmenta, éste puede ser el caso aun si el tamaño de la muestra aumenta indefinidamente9 • Este hecho implica que P2 no es eficiente asintóticamente. La implicación de este resultado para los procedimientos de prueba de hipótesis es clara: probablemente declaremos un coeficiente estadísticamente no significa. tivo (es decir, no diferente de cero), aunque de hecho (es decir, basándose en . el procedimiento correcto de MCG) puede serlo. Lo anterior se puede ver claramente en la Figura 10.4, en la cual se muestran los intervalos de confianza del 95 0 /0 de MCO (AR(l)) y de MCG suponiendo que el verdadero P2 = O . Consideremos una estimación específica de P2' como, por ejemplo, b2 , puestoque b 2 se encuentra dentro del intervalo de confianza MCO, se puede proceder a aceptar la hipótesis de que el verdadero P2 es igual a cero con un porcentaje de confianza del 95 0/0. Sin embargo, si utilizáramos el intervalo de confianza (correcto) de MCG, procederíamos a rechazar la hipótesis nula de que el verdadero valor de P2 es igual a cero, puesto que b2 se encuentra en la región de rechazo. Ha: {j, =0
~--~~~L---------~~~--~~~2
..
o
..
~b2
Intervalo MCG del 95%
•
•
Intervalo MeO del 95%
FIGURA 10.4 Intervalos de confianza del 95% para los métodos de MCG r de MCO.
11 Pero el álgebra matricial se hace imperiosa para evitar complicadas manipulaciones algebraicas. 9 Véase Kmenta, op. cit. pp. 277·278
AUTOCORRELACION
299
El mensaje a tener en cuenta es que para establecer intervalos de confianza y para evaluar hipótesis se deben utilizar MCG y no MCO, a pesar
er
2. Como resultado de ello, es probable que se sobreestime el R 2 • 3. Aun en el caso en que (J2 no se subestime, var (P2) puede subestimar var (P2)ARl (ecuación 10.2.4), su verdadera varianza bajo auto correlación (de primer orden). a pesar de que esta última sea ineficiente en comparación con var (P2)CMG 4. Por tanto, las pruebas tradicionales t y F déjan de ser válidas y si se aplican es probable que lleven a conclusiones erradas sobre la significancia estadística de los coeficientes de regresión estimados. Para establecer algunas de esta proposiciones, regresemos nuevamente al modelo de dos variables. Sabemos del Capítulo 3 que de acuerdo con el supuesto clásico &2 = L eN (N - 2).proporciona un estimador insesgado de (J2, es decir que E(&2) = (J2 • Pero si existe autocorrelación, dada por AR( 1), se puede demostrar que E(&2)
= (J2{N -
[2j(1 - p)] - 2pr} N-2 '
(10.4.1 )
donde r = L~=-/xtxt-dL~=lX?, el cual se puede interpretar como el coeficiénte de correlación (muestral) entre valores sucesivos de las x lO • Si p Y r son positivas (un supuesto probable para la mayoría de las series económicas de tiempo), es obvio, de la ecuación (10.4 ..1), que E(&2) < a 2 ; es decir, la fórmula de varianza residual común, en promedio, el verdadero valor de a 2 • En otras palabras, &2 estará sesgado hacia abajo. No sobra decir que este
10 Véase S. M. Goldfeld y R. E. Quandt, Nonlinear Methods in Econometrics, North·Holland PubHs· hing Company, Amsterdam, ~972, p. 183. A propósito, obsérvese que si los errores tienen autocorrelación positiva, el valor R 2 tiende a estar sesgado hacia arriba, es decir, tiende a ser mayor que elR 2 obtenido en ausencia de correlación.
300
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
sesgamiento en el valor de a- 2 se transmitirá a la var (P2) , debido que, en la práctica, este último se estima por medio de la fórmula (¡2/I. x; .
Pero si (J2 no se subestima, var (P2) es un estimador sesgado de var UJ2)ARl, hecho que se puede apreciar fácilmente al comparar (10.2.4) con (10.2.5)11 , puesto que las dos fórmulas son diferentes. De hecho, si p es positivo (el cual es el caso en la mayoría de las series de tiempo económicas) y si las X están correlacionadas positivamente (también verdadero en la mayoría de series de tiempo económicas), entonces es claro que var (P2) < var (¡]2)ARl
(10.4.2)
lo cual nos lleva a concluir que la varianza de P2 tradicional de MCO subestima su verdadera varianza [bajo AR(I)]. Por tanto, si utilizamos var (¡]2) , estaremos inflando la precisión o exactitud (en otros términos, estaremos subestimando el error estándar) del estimador P2 • Como resultado, al calcular la razón t como t = p2/se (P2) (bajo la hipótesis de que /32 = O) , estaremos sobreestimando el valor t y, por tanto, la significancia estadística del /32 estimado. La situación -puede empeorar si adicionalmente se subestima (J2 , como antes se mencionó. Para apreciar cómo el método de MCO puede subestimar el valor de 12 . Suponien(J2 y de la varianza de Pl, efectuemos el siguiente experimento do que en el modelo de dos variables "sabemos" que los Verdaderos valores de /31 y /32 son /31 = 1 Y /32 = 0.8., entonces la FRP estocástica es (10.4.3) y, = 1.0 + 0.8X t + Ut Por tanto, E(Y, I X,)
= 1.0 + 0.8X t
(10.4.4)
que nos permite obtener así la línea de regresión poblacional. Supongamos que los U t están generados por un esquema autorregresivo de primer orden, de la siguiente manera: Ut
= O.7U t - l + et
(10.4.5)
Donte et~ satisface todos los supuestos de MCO. Suponiendo adicionalmente, por conveniencia, que los et tienen una distribución normal con media igual a cero y varianza unitaria (= 1). La ecuación (10.4.5) postula que los términos de perturbación sucesivos están correlacionadas positivamente, con un coeficiente de auto correlación de + 0.7, un grado relativamente alto de dependencia. Ahora, utjlizando una tabla de números normales aleatorios con una media de cero y una varianza unitaria, generamos 10 números aletorios que
11
Para una prueba formal, véase Kmenta, op. cit., p. 281.
12
El experimento presentado es un ejemplo del llamado "Método de Montecado".
301
AUTOCORRELACION
aparecen en la Tabla 10.1 utilizando el esquema O0.4.5). Para comenzar con el esquema necesitamos especificar el valor inicial de u, digamos con Uo = 5. Al graficar los u t generados en la Tabla 10.1 obtenemos la Figura'l 0.5, la cual muestra que inicialmente cada ut sucesivo es más alto que su valor anterior y que, subsiguientemente, su valor es en general más pequeño que su valor anterior, mostrando en general una autocorrelación positiva. Supóngase ahora que los valores de X están fijos en 1,2,3, ... , 10. Ahora, dados estos valores de X, se pueden generar 10 valores de Ya partir de la ecu'ación 00.4.3), así como los valores de u t dados en la Tabla 10.1. Los detalles aparecen en la Tabla 10.2. Utilizando los datos de la Tabla 10.2, si se regresa Yen X obtenemos la siguiente regresión (muestral):
Y; =
6.5452
+ 0.3051X,
(0.6153) (0.0992)
= (10.6366) r 2 = 0.5419 t
(3.0763) (¡2
00.4.6)
= 0.8114
mientras que la verdadera línea de regresión está dada por 00.4.4). Ambas líneas de regresión se presentan en la Figura 10.6, la cual muestra claramente cómo la línea ajustada de regresión distorsiona la verdadera línea de regresión; dicha línea ajustada subestima seriamente el verdadero coeficiente de la pendiente pero sobreestima el verdadero valor de la intersección. (Sin embargo_, obsérvese que los estimadores de MeO continúan siendo insesgados).
TABLA 10.1
Ejemplo hipotético de .los ténninos de error positivamente autocorrelacionados
.*, O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
O 0.464 2,0262 2,455 -0.323 -0.068 0.296 -0.288 1.298 0,241 -0.957
", - 0.711,_1
+."
"o = 5 (supuesto) "1 = 0.7(5) + 0.464 = 3.9640 "2 = 0.7(3.964) + 2.0262 = 4.8010 "3 = 0.7(4.8010) + 2.455 = 5.8157 "4 = 0.7(5.8157) - 0.323 = 3.7480 ", = 0,7(3.7480) - 0.068 = 2.5556 "6 = 0.7(2.5556) + 0.296 = 2.0849
= 0.7(2.0849) - 0.288 = 1.1714 = 0.7(1.1714) + 1.298 = 2.1180 = 0.7(2.1180) + 0.241 = 1.7236 "10 = 0.7(1.7236) - 0.957 = 0.2495 "7 "8 "9
• Obtenido de A Million Random Digits and One H"ndred Thouaand Devtates, Rand Corporation, Santa Monica, Calif., 1950.
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
", 6
s
4
3
2
oL--.l.._....l- -L....--L_ - L-.....J- -L....-L-..l.9-.....JL.....Tiem p o
2
3
4
S
6
7
S
10
TABLA 10.2 Generacion de valores muestrales de Y
x, 1
2 3 4
S 6 7
8 9 10
,,*,
Y, - 1.0 + O.8X, + ",
3.9640 4.8010 5.8157 3.7480 2.5556 2.0849 1.1714 2.1180 1.7236 0.2495
Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Ya Y9 Y10
=
1.0 + 0.8(1)
+ 3.9640 =
5.7640
= 1.0 + 0.8(2) + 4.8010 = 7.4010 = 1.0 + 0.8(3) + 5.8157 = 9.2157 = 1.Q + 0.8(4) + 3.7480 = 7.9480 == 1.0 + 0.8(5) + 2.5556 = 7.5556
= 1.0 + 0.8(6) + 2.0849 = 7.8849 = 1.0 + 0.8(7) + 1.1714 = 7.7714 = 1.0 + 0.8(8) -+' 2.1180 = 9.5180 = 1.0 + 0.8(9) + 1.7236 = 9.9236
= 1.0 + 0.8(10)
• Obtenido de la Tablll 10.1.
+ 0.2495 = 9.2495
FIGURA 10.5 Correlación generada por el esquema u, = 0.7u'_1 + 8,. (Tabla 10.1).
303
AUTOCORRELACION y
•
10
•
y,
=
Y,
= I + O.8X,
6.5452 + 0.305lK¡
FRP verdadera
OL-~---L----~4L-----~6~--~~8------~IO---X
FIGURA 10.6 FRP verdadera y línea de regresiól'1 estimada para los datos de la Tabla 10.2.
La Figura 10.6 también muestra por qué es probable que la verdadera varianza de Uf se subestime de igual manera por el estimador f¡2, el cual se calcula a partir de e,: los e, generalmente están cerca a la línea ajustada (lo cual se debe al procedimiento -de MeO) pero se desvían sustancialmente de la verdadera FRP. Por tanto, ellos no reflejan una idea correcta acerca de UI. TABLA '10.3 Muestra de los valores de Y con correlación serial igual a cero
-",*
X,
a,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.464 2.026 2.455 -0.323 -0.068 0.296 -0.288 1.298 0.241 -0.957
Y, - 1.0 + O.8X, + a, 2.264 4.626 5.855 3.im 4.932 6.096 6.312 8.698 8.441 8.043
• Puesto que no existe autocorrelación, los Ut y t, son idénticos. Los e. provie. nen de la Tabla 10.1.
,
· 304
VIOLACION DE lOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
Para tener una mejor idea de hasta dónde se subestima el verdadero valor de (/2 , supongamos que llevamos a cabo otro experimento de muestreo. Manteniendo los valores de X t y 8, ~ dados en las Tablas 10.1 Y 10.2, supongamos que p = O" es decir, que no existe auto correlación. La nueva muestra de valores Y generado~ de e.sta forma está dada en la Tabla 10.3. La regresión' basada en la Tabla 10.3 es la siguiente:
Y; = 2.5339 + 0.6146X, (0.6684) (0.108i)
(lOA.7)
t = (3.7910) (5.6541) 2
r =
0.7998
f¡2 =
0.9752
Esta regresión está mucho más cerca a la "verdadera", debido a que las Y son ahora esencialmente aleatorias. Obsérvese que f¡2 ha aumentado de 0.8114 (p = 0.7) a 0.9752 (p = O) . Además, obsérvese que los errores estándar de PI y 82 han aumentado, hecho que está de acuerdo con los resultados teóricos considerados previamente.
.
10.5 COMO DETECTAR LA AUTOCORRELACION Como se demostró en la Sección 1004, la autocorrelación es un problema potencialmente serio que requiere de medidas remediales. Desde luego que, antes de hacer cualquier cosa, es esencial detectar la presencia de auto correlación en una situación determinada. En esta sección consideraremos algunas pruebas de correlación serial que se utilizan comúnmente. Método gráfico. Recordemos que el supuesto de no auto correlación en el modelo clásico está relacionad'o con las perturbaciones de población Un las cuales no pueden observarse directamente. Lo que tenemos en cambio son sus valores aproximados, los residuos e t , los cuales se pueden obtener utilizando el procedimiento normal de MCO. Aunque los et no sean lo mismo que los ut , muy comúnmente un análisis visual de los e nos proporcionan alguna pista sobre la posible presencia de autocorreración en las u. En realidad, un análisis visual de e t (o de e:) nos puede proporcionar una información muy útil no solamente sobre la auto correlación sino también sobre la heterocedasticidad (como vimos en el capítulo anterior), grado de adecuabilidad del modelo o ~esgo de especificación, como veremos en el siguiente capítulo. Como ,menciona un autor:
La importancia de producir y analizar gráficas (de los residuos) como procedimiento estándar de análisis estadístico es fundamental. Además de proporcionar ocasionalmente un resumen de fácil comprensión acerca de un problema complejo, nos penniten adelantar un análisis simultáneo de los, datos, considerados en su conjun-
AUTOCORRELACION
305
4
4
3
Residuos
3
~ (escala de ¡a Izquierda) 2
2
o -r------~~------~-----_.,_-.JI\__-~---+OTiempo -1
-1
Residuos estandarizados (escala de la derecha)
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-s
-s
FIGURA 10.7
Residuos y residuos estandarizados de la regresión de salarios en productividad: regresión (5.13.2).
to, mientras que a la vez ilustra claramente el comportamiento de los casos individuales13 •
Existen diferentes formas de analizar los resiGuos. Podemos graficarlos simplemente contra la variable tiempo, a través de una gráfica de secuencia de tiempo, como hemos hecho en la Figura 10.7, la cual muestra los residuos de la regresión de los salarios en la productividad en los Estados Unidos durante el período 1960-1983 (véase Apéndice SA, Sección SA.3). (véase también Tabla 10.4). En forma alternativa, podemos graficar los residuos estandarizados contra la variable tiempo, lo cual también se ilustra en la Figura 10.7. Los residuos estandarizados corresponden sencillamente a et dividido por u, el error estándar de la estimación (= JP). Obsérvese que et , así como u se miden en las unidades de la variable dependiente Y. Por tanto, (e,ju) serán números puros (sin unidades de medición), pudiendo, por consiguiente, compararse directamente con los residuos estándar de otras regresiones. Aún más, los residuos estandarizados como et tienen una media de
13 Este procedimiento es conocido como etapas de regresión. Para una revisión crítica de esta materia y del tipo de etapas de regresión, ;véase Norman Drapper y Harry Smith, Applied Régreuion, Anal)'st" 2 ed., John Wüey & Sons, 1981, Cap. 6.
306
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
e, 4 3
( ®
2
®® ®
1 -1
®
®®
®
--t---t---t---t..--t---'=-f-----,f--t--+----'-f---l--,5 -4 -3 -2 ® ® 2 3 4 S
® ®. ®® -2
e,.,
-1
®
-3
®
-4
® FIGURA 10.8 Residuos e, versus e,-l de regresión (5.13.2).
cero (¿por qué?) y, aproximadamente, una varianza unitaria 14 • En muestras grandes, eJa tiene una distribución aproximadamente normal con un promedio cero y una varianza unitaria. Al examinar la gráfica de secuencia de tiempo dada en la Figura 10.7, observamos que et y el valor estandarizado de et no presentan un patrón que se asociaría con una secuencia puramente aleatoria, tal como la que se muestra en la Figura 10.1. e. Esto sugiere, por tanto, que las perturbaciones Ut también pueden ser no aleatorias. Para apreciar lo anterior desde un punto de vista diferente, podemos graficar et contra e'-I' es decir, granear los residuos en el período t contra su valor en el período (t - 1), un tipo de prueba empírica del esquema ARO). Si los residuos no son aleatorios, deberíamos obtener gráficos similares a los que se observan en la Figura 10.3. Cuando graficamos et contra e'_lpara nuestra regresión de salarios-productividad, obtenemos la gráfica que se muestra en la Figura 10.8; los datos en los que se basa dicha figura se presentan en la Tabla 10.4. Como muestra la figura, la mayoría de los residuos se concentran en el primer (norte - este) y tercer (sur - oeste) cuadrantes, sugiriendo muy claramente que existe una correlación positiva en los residuos.
14 En el presente contexto, el valor d
=2 significa que no hay error de especificación. (¿Por qué?).
AUTOCORRELACJON
307
TABLA 10.4 Residuos (e t) Y residuos estandarizados (er//T r) de la regresión salario. productividad, Estados Unidos, 1960-1983 Año
e,
(e,/a,)
e'-l
1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983
-1.2116 -1.1274 -0.7908 -1.1368 -0.8954 -1.4239 -0.2873 0.2270 0.9985 2.2334 2.7557 2.1971 2.5384 2.1576 2.6559 1.4226 1.4465 0.5656 0.9530 0.2434 '-2.0439 -4.5121 -2.8772 -4.0882
-0.5708 -0.5312 -0.3726 -0.5356 -0.4219 -0.6709 -0.1354 0.1069 0.4704 1.0523 1.2983 1.0351 1.1959 1.0165 1.2513 0.6703 0.6815 0.2665 0.4490 0.1147 -0.9630 -2.1258 -1.3556 -1.9261
-1.2116 -1.1274 -0.7908 -1.1368 -0.8954 -1.4239 -0.2873 0.2270 0.9985 i.2334 2.7557 2.1971 2.5384 2.1576 2.6559 1.4226 1.4465 0.5656 0.9530 0.2434 -2.0439 -4.5121 -2.8772
Fuente: Los et se obtuvieron del listado .SASdel Ap. SAo Sec. SA.3. el valor de Ii. - 2.1225.
Posteriormente veremos cómo podemos utilizar este conocimiento para eliminar el problema de autocorrelación. (Véase sección 10.6). El método gráfico que acabamos de analizar es esencialmente subjetivo o de naturaleza cu·alitativa. Sin embargo, existen varias pruebas de tipo cuantitativo que se pueden utilizar,para complementar el enfoque puramente cualitativo. Consideremos ahora algunas de estas pruebas. La prueba de~atoriedad o de corridas. Si analizamos nuevamente la Figura 10.7, observamos una característica muy peculiar: inicialmente tenemos diferentes residuos negativos, luego se présenta una serie de residuos positivos y fmalmente existen varios residuos que nuevamente son negativos. Si los residuos fueran netamente aleatorios, ¿observaríamos este patrón? Intuitivamente, esto parece poco probable. Esta intuición puede verificarse con la llamada prueba de aleatoriedad o de corridas, a veces también conocida
308
VIOLACION DE lOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
como prueba de Geary, una prueba no paramétrica 15 • Para explicar esta prueba anotemos sencillamente los signos (+ o -) de los residuos de la regresión salarios-productividad dada en el Apéndice 5A, Sección 5A.3:
(- - - - - - -) (+ + + + + + + + + + + + +) (- - - -)
(10.5.1)
Por tanto, existen 7 residuos negativos, seguidos por 13 residuos positivos, los cuales a su vez son seguidos por 4 residuos negativos. Definimos ahora. una corrida. (llamada también racha) como una secuencia ininterrumpida de un símbolo o atributo, 'tal como + O -. Adicionalmente, definimos la longitud de la corrida como el número de elementos en la misma. En la secuencia que se muestra en (10.5.1), existen tres corridas: una corrida de 7 signos menos (es decir, una longitud de 7), una corrida de 13 signos más (es decir, una longitud de 13) y, finalmente, una corrida de 4 signos menos, (es decir, una longitud de 4); para obtener un mejor efecto visual, hemos colocado las diferentes corridas entre paréntesis. Al examinar como se comportan las corridas en una secuencia de observaciones estrictamente aleatoria, se puede llevar a cabo una prueba de aleatoriedad de las corridas. Nos preguntamos lo siguiente: ¿son las tres corridas observadas en nuestro ejemplo ilustrativo, y que constan de 24 observaciones, demasiadas, o muy pocas, en comparación con el número de corridas esperadas en una secuencia estrictamente aleatoria de 24 observaciones? Si existen demasiadas corridas, esto significaría que en nuestro ejemplo el signo de las e cambia frecuentemente, indicando así una correlación serial negativa (véase Figura 10.3 b). En forma similar, si hay muy pocas corridas esto puede sugerir una correlación positiva como la que se muestra la Figura 10.3 a. A priori, entonces, la Figura 10.7 indicada una correlación positiva en los residuos. Ahora si N = número total de observaciones (= NI + N 2) N1
= número de símbolos + (es decir, residuos + )
N'}. = número de símbolos-(es decir, residuos-)
n
= número de corridas
Entonces, bajo la hipótesis nula de que los eventos sucesivos (en este caso, los residuos) son independientes y suponiendo que NI> 10 Y N 2 > 10 , el número de corridas tiene una distribución (asintóticamente) normal con
15 En las pruebas no paramétricas no se plantean supuestos sobre la distribución con base én la cual se tomaron hu observaciones. En la prueba de Geary, véase R. C. Geary, "Relative Efficiency of Count of Sign Changes for Assessing Residual Autoregression in Least Squares Regressión", Biometrlka. vol. 57, pp. 123-127. 1970.
309
AUTOCORRELACION
media: E(n)= 2N 1 N 2 NI + N 2
+1
• . u 2 = _2N--!..JN--=.;2(,-2N--..:;,2.JN--.:. 2 _-.....;N--!..l_-.....;N~2) vananza. "
(N 1
+ N 2) (N 1 + N 2 -
(10.5.2)
1)
Para que la hipótesis de aleatoriedad se puede mantener, debemos esperar que n, el número de corridas obtenidas en un caso determinado, se encuentre entre [E(n) ± 1.96u.] , con un 95 por ciento de confianza. (¿Por qué?) Por tanto, se tiene entonces: ' Regla de decisión. Acéptese la hip6tesis nula de aleatoriedad con un nivel de confmza del 95% [E(n) - 1.96/T. :$; n :$; E(n) + 1.96/T,,] rechácese la hipótesis nula si el valor estimado de n se encuentra fuera de estos límites.
Regresando a nuestro ejemplo, calculamos: E(n) =
'2(13)(11) 24 +l
12.9166, Y
=
2(13)(11)(2 x 13 x 11 - 13 - 11) (24)2(24 _ 1)
=
5.6561, Y
2
u"
=
u" = J5.6561 = 2.3782
Por ~anto, el intervalo de confianza del 95% es: [12.91661± 1.96(2.3782)] = (8.2533, 17.5779). Puesto que el número de corridas en nuestro ejemplo es de tres, éstas están claramente fuera de este intervalo. Por tanto, podemos proceder a rechazar la hipótesis de que la secuencia observada de los residuos que se ilustran en la Figura 10.7 es aleatoria con una confianza deI95%. Si NI o N 2 son inferiores 10, Swed y Eisenhart han desarrollado tablas especiales que proporcionan los valores críticos de las corridas esperadas en una secuencia aleatoria de N observaciones. Estas tablas se presentan en el Apéndice B, Tabla 6.
La prueba X2 de independencia de los residuos. Consideremos nuevamente los datos dados en la Tabla 10.4 Y concentrémonos únicamente en los signos de et y e'-l' Consideremos ahora la Tabla 10.5, la cual se conoce como Tabla de contingencia de 2 x 2 16 • (por ahora no nos preocupemos sobre los números entre paréntesis). La interpretación de
16 Una tabla de· contingencia- es sencillamente un arrtIglo tabular en donde las ¡tlas representán la clasificaci6n de acuerdo a una variabl~ (por ejemplo, los residuos en el períodO t - 1), Y las columnas'tepresentan la clasificaci6n de acuerdo con otr, variable (por ejemplo, los residuos en el período t). En una tabla de 2 x 2 cada variable se divide en dos clases o categorías (por ejemp\p, c.g., positiva y negativa).
310
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
TABLA 10.S La prueba Xl de independencia de los residuos de la Tabla 10.4
Número de residuos Número de residuos positivos en t neptivos en t
Total
Número de residuos positivos en t - 1
12 (7.35)
1 (5.65)
13
Número de residuos negativos en t - 1
1 (5.65)
9 (4.35)
10
13
10
23
Total
Nota: Las cifras entre p~esls corresponden alas frecuencias esperadas bajo el ~upue.to de que 101 tftiduoB son independientes.
esta tablá es sencilla. De un total de 23 resi~uosl" , había 12 de ellos positi-
-vos tanto en el períoto t como en el (t - 1 ), 9 residuos negativos tanto en el tiempo t como en el (t - 1), un residuo positivo en el período t pero negativo en el período (t - 1) Y un residuo negativo en t pero positivo en el (t - 1).
Si las e fueran verdaderamente aleatorias, ¿se obtendría tal distribución de valores de las e? Si éstas fueran aleatorias, ¿no se distribuirían más o menos uniformemente las frecuencias esperadas (o teóricas) en las cuatro celdas? En otras palabras, bajo la hipótesis nula de que las e son aleatorias, la frecuencia esperada o teórica en cada celda sería el producto de los totales marginales de las filas y las columnas dividido por el gran total. ¿Por qué? En consecuencia, bajo la hipótesis nula de que las e están distribuidas en forma independiente, la frecuencia esperada o teórica en cada celda sería: 13 x 13/23 = 7.35; 10 x 13/23 = 5.65; 13 x 10/23 = 5.65; y 10 x 10/23 = 4.35. Estas frecuencias teóricas aparecen entre paréntesis en la Tabla 10.5, junto con las frecuencias reales observadas. Entonces si
A, = frecuencia real u observada en la celda i E, = frecuencia teórica o esperada en la celda i Entonces, bajo la hipótesis nula de que las e están distribuidas en forma independiente (es decir, no hay relación alguna ontre los valores de et y los et - 1). se puede demostrar que (10.5.3)
17 Aunque existen 24 ej , solamente hay 23 e'-I' puesto· que no existe predecesor ata primera observaci6n. Por tanto,1610 consideramos 23 residUOI y omitimol el primer e,.
AUTOCORRELACION
311
Posee una distribución X2 .con (r - 1) (C ~ 1) grados de libertad, donde r es el número de mas y e es el número de columnas; en la tabla de contingencia de 2 x 2, r = e = 2 y, por tanto, los g de 1 siempre serán iguales a 1. Por tanto, si en una aplicación el valor calculado del excede el valor crítico del '1.1,. (al nivel de significancia escogido), podemos rechazar la hipótesis de independencia; de lo contrario, podemos aceptarla, Regresando a--nuestro ejemplo, encontramos que:
'r
2 (12 - 7.35)2 X = 7.35
+
(1 - 5.65)2
5.65
+
(1 - 5.65)2
5.65
(9 - 4.35)2
+~-~
4.35
- 15.15
De la tabla '1. 2 observamos que para 1 g de 1, los valores '1. 2 al 5 % Y 1 % son 3.84 y 6.63, respectivamente. Por tanto, podemos rechazar la hipótesis nula de que las e de la regresión salarios - productividad son independientes. Recordemos que llegamos a la misma conclusión con base en prueba de corridas. A propósito, obsérvese que la prueba '1.2 ,como la prueba de corridas, es una prueba no paramétrica. Prueba d de Burbin-Watson18 • La prueba más conocida para detectar correlación serial es la desarrollada por los estadísticos Durbin y Watson, más comúnmente conocida como el estadístico d de Durbin-Watson, el cual se defi..; ne de la siguiente manera:
(10.5.4)
el cual es simplemente la razón de las sumas de las diferencias al cuadrado de residuos sucesivos, a la SRC. Obsérvese que en el numerador del estadístico d el número de observaciones es N - 1, debido a que se pierde una de ellas al tomar las diferencias consecutivas. Una gran ventaja del estadístico d consiste en que se basa en los residuos estimados que se calculan automáticamente en el análisis de regresión. En virtud de esta ventlija, en la actualidad es frecuente incluir en los informes de análisis de regresión el estadístico d de Durbin-Watson, junto con el R 2 , el R 2 ¡lijustado, los valores t, entre otros. Si JJien es cierto que su uso es actualmente rutiD.ario, conviene referirnos a los supuestos en que se basa el estadístico d:
18 1. Durbin y G. S. Watson, "Tesüng ror Serial Correlation in Least-Squares Regression", BlometriktJ, vol. 38, pp. 159-177,1951.
312
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
1. El modelo de regresión incluye el término de intersección. Si este término no está presente, como en el caso de lá 'regresión a través del origen, es esencial volver a correr la regresión incluyendo el ténnino de intersección para obtener la SRC19 • 2; Las variables explicativas, las X, son no estocásticas o fijas para muestreos repetidos. 3. Las perturbaciones ut se generan a través de un esquema autoregresivo de primer orden: ", = P",-t + 8,. 4. El modelo de regresión no incluye el valor o los valores 'rezagados de la variable dependiente como una de las variables explicativas, por lo cual la prueba no es aplicable a modelos del siguiente tipo: (10.5.5) donde Y,-1 es el valor de Y, rezagado un período. Tales modeloS'Se conocen como modelos auto"egresivos, los cuales se estudiarán en detalle en el Capítulo 14. S. No hacen falta observaciones en los datos. En este sentido, en nuestra regresión salario-productividad para el período 1960-1983, si por ejemplo, las observaciones para 1963 y 1972 no estuvieran presentes por alguna razón, el estadístico d no pennitirían la ausencia de tales observaciones. Es difícil derivar la distribución probabilística o muestral exacta del estadístico d dada en (10.5.4), debido a que, como han demostrado Durbin y Watson, ella depende de manera complicada de los valores de X que están presentes en una muestra dada. Esto es comprensible, puesto que d se calcula con base en el, los cuales, desde luego, dependen de los valores de X dados. Por tanto, a diferencia de las pruebas t, F o 1. 2 , no existe un único valor crítico que pueda llevar el rechazo o a la aceptación de la hipótesis nula de que no hay correlación serial de primer orden en las perturbaciones UI' Sin embargo, Durbin y Watson tuvieron éxito al encontrar un límite inferior dL y un límite superior d, tales que si el valor d calculado en la ecuación (10.5.4) cae por fuera de estos valores críticos, se puede tomar una decisión sobre la posible presencia de correlación serial positiva o negativa. Además, estos límites dependen únicamente del número de observaciones N y del número de variables explicativas y no de los valores que tomen estas variables explicativas. Dichos límites, para N entre 6 y 200 y hasta para 20 variables explicativas, han sido tabulados por Durbin y Watson y se reproducen en el Apéndice B, Tabla 5 (hasta un-máximo de 20 variables explicativas).
19 Sin embargo, recientemente R. W. Farebtother ha calculado valores d cuando el término de intersecci6n no está presente en el modelo. Véase su "The Durbin-Watson Test for Serial Correlation When There ls No Intercept in the Regression~', Econometrlca, vol. 48, pp. 1553-1980.
313
AUTOCORRELACION
El procedimiento específico de prueba se puede explicar mejor con ayuda de la Figura 10.9, que muestra que los lúnites de d están entre O y 4, lo cual se puede demostrar expandiendo (10.5.4), de donde se obtiene:
(10.5.6) Puesto quéL e~ y L e~-l difieren únicamente en un~ sola observación, se consideran aproximadamente iguales. Por tanto, haciendo L e~-l = L e~ , (10.5.6) se puede ~xpresar como:
d== 2(1- Li::~-l)
(10.5.7)
donde == significa aproximadamente, Definamos ahora
p.Lere,-l , '!e!
(10.5.8)
como el coeficiente muestral de autocorrelación de primer orden, un estimador de p . (véase nota de pie de página 5). Utilizando (l0.5.8), la ecuación (10.5.7) se puede expresar como (10.5.9) ~. Pero puesto que -1 Sp Si, (10.5.9) implica que (10.5.10)
Osds4 f(d)
I I
RechazarHo Evidencia de autocorrela clón' positiva
I ,1 IZOna de I Rechazar H O I IlndeCislÓ1Evldencla de I I lautocorrelacló1 regatlva I
IZona de I
Ilndeclsió~
I I
I
i
I
I
I
i
I
I
II
II
I I I I
I
I I
I I I I
I I I
1 I
I
~I'----------------~'I
I I I I
IAceptarHO oHO· o ambas
I
I
I
: I I I I ~------~----~--------~------~~--~~------t-d O 2 Leyenda Hu : No hay auto correlación positiva
do : No hay autocorrelación negativa FIGURA 10.9 Estadístico d de DUTbin-Watson.
314
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
Estos son los límites de d; cualquier valor estimado de d debe encontrarse dentro de estos límites. Resulta evidente de la ecuación (10.5.9) que si p = O, d = 2 ; lo cual implica que si no hay una correlación serial (de primer orden), se espera que d sea aproximadamente igual a 2. Por tanto, como regla general, si se encuentra que d es igual a 2 en ufld aplicación; se puede suponer que no existe ca. rrelación de primer orden, ya sea positiva o negativa. Si p =: + 1 • indi~ando la presencia de una perfecta correlación positiva en los residuos, .d == O • Por tanto, cuanto más cerca esté d de cero, mayor será la evidencia de una 'corre lación serial positiva: Esto debe ser evidente de (10.5.4), puesto que si existe una autocorrelacion positiva los valores de etestaran todos cerca y sus dife~· rencias tenderán a ser pequefias. Como resultado de ello, la suma de cuadrados del numerador será menor en comparación con la suma de cuadrados del denominador, el cual es un valor que permanece fijo para una regresión dada. Si p = -1, implicando la presencia de una perfecta correlación negativa entre los valores consecutivos de los residuos, d == 4 . En consecuencia, cuando más cerca este d de 4, mayor sera la evidencia de una correlación serial negativa. Nuevamente, al analizar (10.5.4) lo anterior es comprensible ya que si existe una auto correlación negativa, un et positivo tendera a ser seguido por un et negativo y viceversa, de tal manera que le,- e,-tl sera generalmente mayor que I e,l y, por consiguiente, el numerador de d será comparativamente mayor que el denominador. La mecánica de la prueba Durbin-Watson es la siguiente, asumiendo que se satisfacen los supuestos en los que se basa dicha prueba: 1. Correr la regresión de MCO y obtener los residuos e" 2. Calcular d a partir de (10.5.4). (La mayoría- de los programas para computador en la actualidad lo hacen en forma rutinaria).
3. Para un tamaño de muestra dado y un número de variables explicativas determinado, hallar los valores críticos de di y d u . 4. Seguir las reglas de decision dadas en la Tabla 10.6. Para facilitar su entendimiento; estas reglas de decisión se ilustran igualmente en la Figura 10.9.
TABLA 10.6 Prueba d de Durbin-Watson: Reglas de decisión Hipótesis nula
Decisión
No existe auto correlación positiva No existe auto correlación positiva No existe autocorrelación negativa No existe correlación negativa No existe autocorrelación positiva o negativa
Rechazar No hay decisión Rechazar No hay decisión No rechazar
Si
. ;;.<4,<", . ~
¡ 4L <:. d<:. 4"..
t' . ( " " "
t4 -
".:S;
:4 - 411 4 - il, 4.<4<.4-:4"
AUTOCORRELACION
315
Para ilustrar la mecanica de la prueba, retornemos a nuestra regresión de salarios-productividad. En el listado SAS del Apéndice 5A, Sección 5A.3, podemos apreciar que el valor estimado de d es 0.2398, sugiriendo que existe una correlación serial positiva en los residuos. (¿Por que?) De las Tablas de Durbin-Watson se tiene que para 24 observaciones y una variable explicativa (excluyendo el término de intersección), dL = 1.27 Y du = 1.45 a un nivel del 5% • Puesto que el valor estimado de 0.2398 está por debajo de 1.27, no podemos rechazar la hipótesis de que existe una correlación serial positiva en los residuos. A pesar de ser muy popular, una de las desventajas de la prueba d es que si ésta cae en la zona de indecisión o región de ignorancia no se puede con cluir si existe autocorrelación. Para resolver este problema, muchos autores han propuesto modificar la prueba de Durbin-Watson; sin embargo, estas técnicas son bastante complejas y están mas alla del-alcance de este text0 20 El programa de computador SHAZAM ejecuta una prueba d exacta los estu diantes interesados que tengan acceso a este programa pueden utilizarla en el caso de que el estadístico d normal se encuentre en la zona de indecisión. No obstante, en muchas situaciones se ha encontrado que el límite superior d u corresponde aproximadamente al verdadero límite de significancia y21 , por tanto, en caso de que el valor estimado de d se encuentre en la zona de indecisión, se puede utilizar la siguiente prueba d modificada; dado el nivel de significancia 1. H o: P = O VS. H 1: P > O: si el valor estimado d < ti¡¡ , rechazar H o en favor de Hl al nivel IX ,esto es, existe una correlación positiva estadísticamente significativa. 2. Ho: p = O VS. H 1 : P < O : si el valor estimado (4- d) <4" rechazar Ho en favor de H 1 al nivel IX ; estadísticamente existe una evidencia significativa de autocorrelación negativa. 3. Ho: P = O VS. H 1 : P #= O: si el valor estimado de d
20 Para mayores detalles, véue Thomas B. Fomby, R. Carter Hill y Sta1lleY R. Johnson, Advanced EconometrlcMethod8, Springer-Verlag, New York, 1984, pp_ 225-228.
21 Por ejemplo, TheU y'Nagar han demostrado que el límite superior d u "es aproximadamente igual al verdadero límite de significancia en todos aquellos casos donde el comportamiento de las variables explicativas es continuo, en el sentido de que sus primeras y segundas diferencias son pequeñas en comparación con el rango de la variable misma correspondiente". véaH Henri Theil, Prlnciple8 o{ Eco· nometrlc8, John Wi1ey & Sons, Inc. Ncryv York, 1971, p. 201.
316
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
con base en la prueba d modificada podemos rechazar la hipótesis de que no existe una relación positiva (de primer orden) puesto que d < 4,.22 Si no se desea utilizar la prueba d modificada, se pueden utilizar a cambio las pruebas no paramétricas de corridas y X2 de independencia mencionadas anteriormente. Al utilizar la prueba Durbin-Watson es esencial observar que no se .puede aplicar si se violan los supuestos en que se basa la misma. En particular, no se debe utilizar para comprobar la presencia de correlación serial en modelos autorregresivos, es decir, aquellos modelos que contienen valores rezagados de la variable dependiente como variable(s)explicativa(s). Si se aplica erróneamente, el valor d en tales casos con frecuencia será alrededor de 2, valor que corresponde al valor esperado de d en ausencia de auto correlación de primer orden [véase (10.5.9)]. Por tanto, existe un sesgo intrínseco en dichos modelos que no permite descubrir correlación serial en ellos. Lo anterior no significa que los modelos autorregresivos no sufran del problema de autocorrelación. Como veremos en un capítulo posterior, Durbin ha desarrollado el llamado estadístico h para evaluar la presencia de correlación serial en tales modelos.
10.6 MEDIDAS REMEDIALES Dado que en presencia de correlación serial los estimadores de MCO son ineficientes, es necesario buscar medidas remediales. Sin embargo, el remedio depende del conocimiento que se tenga sobre la naturaleza de la interdependencia existente entre las perturbaciones. A este respecto, es necesario distinguir dos situaciones: cuando se conoce la estructura de la auto correlación y cuando ésta no se conoce. Cuando se conoce la estructura de la autocorrelación Puesto que las perturbaciones U t no son observables, la naturaleza de la correlación serial es un asunto de especulación o de exigencias prácticas. En la práctica se supone frecuentemente que las u t siguen un esquema autorregresivo de primer orden, como el siguiente: u, = pu,_ 1
+ 6,
(10.6.1)
donde ¡pi < 1 Y 6, satisfacen los supuestos de MCO de cero valor esperado, varianza constante y no autocorrelación, como se muestra en (10.2.2).
22
Sobre ciertas recomendaciones prácticas acerca de cómo utilizar el estadístico de Durbin-Watson, Draper y Smith, op. cit., pp.162.1~9.
~ue
317
AUTOCORRELACION
Suponiendo la validez de O0.6.1), el problema de correlación serial se puede resolver satisfactoriamente si se conoce p , el coeficiente de autocorrelaci6n. Para apreciar esto, regresemos al modelo de dos variables23
:
00.6.2) Si (10.6.2) se cumple en el período t, se cumple también en el período t - 1. Por tanto, 00.6.3) Multiplicando (10.6.3) por p en ambos lados de la ecuación, obtenemos (10.6.4)
PY,-l =PPl +PP2 X '-1 +PU'-l
Restando (10.6.4) de (10.6.2), obtenemos (Y, - PY,-l)
= Pl(l = PI(l -
+ P2 X ,- PP2 X ,-1 + (u, p) + fJl(X, - pX,-I) + e, p)
OU,-I)
(10.6.5)
donde se hizo uso de (10.6.1) en el último paso. Podemos expresar (10.6~5) como: (10.6.6) donde pt = Pl(1 - p), Yi = (Y, - pY,-tl y Xi = (X, - pX,-tl· Puesto que Et satisface todos los supuestos de MCO,se puede continuar aplicando MCO a las variables transformadas y* y X* para obtener estimadores MELI con todas las propiedades óptimas. En efecto, correr (10.6.6) es ~quivalente a utilizar mínimos cuadrados generalizados (MCG), discutidós en la Sección 10.3 (véase Ejercicio 10.27). Sin embargo, obsérvese que la primera observación (Y1, X 2 ,) se excluye, (¿Por qué?). La regresión (10.6.5) se conoce como ecuaci6n de "diferencia generalizada. Involucra la regresión de Y en X, no en la forma original sino en forma de diferencias, las cuales se obtienen restando una proporción (= p) del valor de una variable en el previo período de tiempo, del valor en el act\lal período de tiempo. En este procedimiento de diferenciación se pierde una observación, puesto que la primera de ellas no tiene observación que le anteceda. Para evitar esta pérdida de una observación, las primeras observaciones de Y y de X se transforman de la siguiente maneral4 Y1 ~ Y Xl Esta transformación se conoce como transformaci6n de Prais-Winsten. "
J'1=P2.
No importa si el modelo tiene más de una variable explicativa porque la autocorrelación es una propiedad de las u,·s.
23
24 La
pérdida de una observación no es seria en etcaso. de una. muestra grande, pero puede significar una gran diferencia en los resultados obtenido~ de .una muestra pequei'ia. Sobre esto, v/fUe~. Johnston, op. cit.• capítulo 8. pp. 321-323, y también seco 10.7. .
318
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
Cuando p no se conoce A pesar de que la regresión de diferencia generalizada es fácil de aplicar, por lo general es difícil estunar dicha regresión debido a que en la práctica muy pocas veces se conoce el valor de p. Por tanto, se necesita diseñar métodos alternos, algunos de los cuales son los siguientes. Método de la primera düerencia. Puesto que p se encuentra entre O y ± 1, se podrían adoptar, para empezar, dos posiciones extremas. De un lado, podríamos suponer que p = O , es decir, que no existe correlación serial, mientras que de otro lado, podríamos hacer p = ± 1 hecho que implica la existencia de upa auto correlación perfecta, positIva o negativa. De hecho, cuando se corre una regresión, generalmente se supone que no existe autocorrelación, y luego deja que sean las pruebas de Durbin-Watson u otras las que muestren si se justifica este supuesto. Sin embargo, si p = + 1 , la ecuación de diferencia generalizada (10.6.5) se reduce a la ecuación de la primera diferencia, de la siguiente manera: Y,- Y,-l =/3iX,-X,_l)+(U,-U,_l)
= (12(X, - X,-l)
AY, = {12 AX, + e,
+ e, (10.6.7)
donde A. denominada delta, es el operador de la primera diferencia, siendo un símbolo u operador (como el operador de valor esperado E) para diferencias sucesivas de dos valores. (Nota: generalmente un operador es un símbolo para expresar una operación matemática). Al correr (10.6.7), todo lo que se debe hacer es formar las primeras diferencias tanto de las variables dependientes como de las explicativas, utilizándolas como insumo básico para llevar a cabo el análisis de regresión. Obsérvese una característica importante del modelo de primeras diferencias: no existe término de intersección en éste. Por tanto, para correr (10.6.7) se tendrá que utilizar el modelo de la regresión a través del origen. Suponiendo que el modelo originál fuera (10.6.8) donde t es la variable de la tendencia y Uf sigue el esquema autorregresivo de primer orden. El lector puede verificar que la transformación .de la primera diferencia de (10.6.8) es la siguiente: (10.6.9) donde AY, = 1; - Y,-l AX, = X, - X,-l' La ecuación (10.6.9) ¿nuestra que existe un término de intersección en la forma de la primera diferencia, lo cual contrasta" con (10.6.7). Claro está, sin embargo, que {13 esel coeficiente de la variable de tendencia en el modelo original. Por tanto, si existe un término de intersección en forma de la primera diferencia, esto significa que había un término de tendencia lineal en él modelo original y que el término
319
AUTOCORRELACION
de intersección es, de hecho, el coeficiente .de la variable de tendencia. Sí,
por ejemplo, P3 fuera positiva en (10.6.9), sigI!ificaría que existe una tendencia hacia arriba en Y, después de permitir 1; influencia de todas las demás variables. En cambio de asumir que p = + 1 , si suponemos que p = -1 , es decir, la existencia de Una correlación serial negativa perfecta (la cual no es típica de una serie de tiempo económica), la ecuación de diferencias generalizadas (10.6.5) se transforma áhora en
y, + Y,-1 Y,+ Y,-1 2
= =
2P1 + P2(X, + X,-1) + e, P 1+
P X,+X'_1 . e, 2
2
+2'
(10.6.10)
El modelo anterior se conoce como· modelo de regresión de promedio móvil (de dos períodos), debido a que estamos regresando el valor de un promedio móvil sobre otr025 • La transformación de la primera diferencia presentada previamente es bastante popular en econometría aplicada, puesto que es fácil de efectuar, sin embargo, obsérvese que esta transformación se basa en el supuesto de que p = + 1 ; es decir, que las perturbaciones tienen una perfecta correlación positiva. Si éste nd. es el caso, el remedio puede ser peor que la enfermedad misma. Pero, ¿cómo se puede saber si el supuesto de que p = + 1 es justificable en una situación dada? A continuación se presenta respuesta a dicho interrogante. p Basado en el estadístico d Durbin-Watson. Recordemos que anteriormente establecimos la siguiente relación:
d == 2(1 - p)
(10.5.9) (10.6.11)
la cual sugiere una manera sencilla de obtener una estimación de p a partir del estadístico d estimado. De la ecuación (10.6.11), es claro que el supuesto de la primera diferencia de que .p = + 1 es válido únicamente si d = O o aproximadamente igual a ese valor. También es claro que cuando d = 2, P= O Y que cuando d = 4 , P= -1. Por tanto, el estadístico d nos proporciona un método directo de obtener una estimación de p. Sin embargo, obsérvese
25 Puesto que (Y, + Y,_1)/2 y (X, + X'-I)/2 corresponden a los promedios de dosvalores adyacentes, se denominan promedios de do. penodo,. Ellos son m6viles puesto que al calcular estos promedios de períodos sucesivos, eliminamos una observación y agregamos otra. Por tanto (Y,+I + Y,)/2 sería el siguiente promedio de dos períodos, etc.
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO ~ue
la relación (10.6.11). es-aproximada y puede no ser cierta para el caso de muestras ~as. Para muestras pequeñas se puede utilizar el estadístico d modificado de Theil-Nagar 6 • Una vez se estima p con base en (10.6.11), se pueden transformar los datos como se ilustra en (10.6.6) y proceder con la estimación normal de MCO .. Ilustrarenios brevemente esta técnica. Pero antes debemos hacemos una pregunta importante: ¿tendrán los coeficientes de regresión estimados las propiedades óptimas usuales del modelo clásico? Obsérvese que en la ecuación de diferencia generalizada es p y no p el que aparece; sin embargo, al llevar a cabo la regresión de MCO utilizamos esta última. Sin entrar en detalles técnicos demasiado complejos, se puede enunciar, como principio gene-
ral, que cuando utilizamos un estimador en lugar del verdadero valor, los coeficientes de MeO estimados tienen las propiedades 6ptimas usuales s6lo asint6ticamente, es decir, para muestras grandes, Igualmente, los procedimientos de pruebas de hip6tesis convencionales estrictamente hablando son vdlidos asint6ticamente. Por tanto, en muestras pequeñas se debe tener cuidado al interpretar los resultados estimados. Procedimiento iterativo de Cochrane-Orcutt para estimar p. 27 • Una alternativa para estimar p a partir deld de Durbin-Watson es el método de CochraneOrcutt, comúmnente utilizado, que se basa en la estimación de los residuos et para obtener información sobre el valor desconocido p. Para explicar el método, consideremos el modelo de dos variables:
y, = P1 + pzXt + Ut
y supongamos'que U t
(10.6.12) se genera a través de un esquema AR(1), es decir,
(10.2.1) t = PUt -1 + et Cochrane y Orcutt recomiendan los siguientes pasos para estimar p. U
1. Estimar el modelo de dos variables utilizando la rutina de MCO y obtener los residuos et • 2. Utilizando los residuos estimados, llevar a cabo la siguiente regresión: et = pet -1 + Vt (10.6.13) la cual es la· contraparte empírica del esquema AR( 1) dado anteriormente 28 • Esta modificación está dada en el Ejercicio 10.6. Véase el artículo "Testing the Independence of Regression Disturoances", Joumal of the American Statiatical A880cfDtion, vol. 56, pp. 793-806, 1961. 26
27 D. Cochrane' y G. H. Orcutt, "Aplication of Least Squares Regtessions to Relationships Containing Autocorrelated Error Terms", Journal of the American StutUttclJl A880cl4tion, vol. 44, pp. 32-61, 1949.
28 P= "f:-l e.e'-l!'i.~_l e:_ 1(¿Por qué?) (cf. nota de pie de página). A propósito, aunque el estimador sea sesgado, él e~ un estimador consistente de p, hecho que implica que a medida que aumenta el tamaño de muestra indefmidamente, p converge hacia el verdadero valor de p.
321
AUTOCORRELACION
3. Utilizando p obtenido en 00.6.13), correr la ecuación de diferencia generalizada 00.6.5): (Y, - PY,-I) = Pl(l - p)
+ P2(X, -
pX,-I) + (u, - PU,-I)
o • y* ".=
P*1 + P*2X* ' + e* ,
00.6.14) Nota: Podemos correr esta regresión, puesto que se conoce p . Además, obsérvese que Pt = Pl(1 - p). 4. Puesto que no se ponoce a priori que el p obtenido en O0.6.13) es la "mejor" estimación de p ,sustitúyanse los valores de Pt = Pl(1 - jJ) y Pt obtenidos en 00.6.14) en la regresión original 00.6.12) y obténganse los nuevos residuos, digamos, e~* e** - , y. - P*1 , -
-
P*2 X ,
los cuales se pueden calcular rácilmente dado que Y" X" cen. S. Estimar entonces la siguiente regresión e·* , -la cual es similar a (10.6.13).
p
pf:e'-1 **
+ w,
00.6.15)
Pt y Pt se cono-
00.6.16)
corresponde a la segunda estimación de
p en la segunda corrida.
Puesto que no conocemos si la estimación obtenida de p en la segunda regresión es la mejor estimación de p , podemos llevar a cabo una tercera regre~ón y así sucesivamente. Como sugieren los pasos anteriores., el método de Cochrane-Orcutt es iterativo. Pero ¿hasta dónde debemos llegar? En general, el procedimiento consiste en llevar a cabo iteraciones hasta cuando los estimativos sucesivos de p difieren en una cantidad muy pequefta, por ejem plo, en menos de 0.01 ó 0.005. Como se mostrará posteriormente en un ejemplo ilustrativo, en la práctica serán sufientes tres o cuatro iteraciones. Procedimiento de Cochrane-Orcutt en dos etapas Esta es una versión acortada del proceso iterativo. En el paso 1, estimamps p de la primera iteración, es decir de la regresión 00.6,.13) y en el paso 2 utilizamos la estimación de p para correr la ecuación de diferencia generalizada. A veées, en la práctica. este método en dos pasos proporciona resultados muy similares a los que se obtienen en los procedimientos iterativos más elaborados ya mencionados anteriormente. Método de Durbin en dos pasos para la estimación de p.29 • Para ilustrar este
29 J~ Durbin, "Estirnation of Parameters in Time-Series Regression Models", Jou"",l o{ the Royal Statistical Soclety, ser. B, vol. 22, pp. 139-153, 1960.
322 '
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
método, escribamos a continuación la ecuación de diferencia 'generalizada (10.6.5) en forma equivalente como:
(10.6.17) Durbin sugiere el siguiente procedimiento en dos pasos para estimar p. 1. Tratar (10.6.17) como un modelo de regresión múltiple, regresando Yt en X t , X t - 1 y Yt . , y utilizar el valor estimado del coeficiente de regre1
sión 1';-1 (= p) como un estimativo de p . A pesar de ser sesgado, éste proporciona una estimación consistente de p.
y:
2. Habiendo obtenido p , transformar las variables de forma tal que = (1'; - P1';-l) y X~ = (X, - pX,-l)' Proceder entonces a correr la regresión de MCO en las variables transformadas como aparecen en (10.6.6). Del análisis anterior es claro que el primer paso del procedimiento de Durbin en dos etapas consiste en obtener una estimación para p , mientras que el segundo paso involucra la estimación de los parámetros. Posteriormen te comentaremos sobre este método en relación con los otros
Otros métodos para estimar p. Hasta el momento se han analizado algunos métodos comúnmente utilizados para estimar p ; sin embargo, de ninguna manera la lista termina allí. Por ejemplo, se podría utilizar el método de máxima verosimilitud para estimar los parametros de (10.6.17) directamente, sin tener que recurrir a algunas de las rutinas iterativas antes mencionadas. Sin embargo, el método de MV involucra procedimientos de estimacion no lineales (en los parametros), estando por ende, mas allá del enfoque de este text0 30 • También existe el procedimiento de búsqueda o exploración de Hildreth-Lu (véase Ejercicio (10.7». Sin embargo, este método requiere bastante tiempo y se ha encontrado muy ineficiente en comparación con la estimación de MV y, por tanto, no se utiliza tan extensamente en la actualidad. Concluimos esta sección con las siguientes observaciones. Los diferentes métodos mencionados básicamente corresponden a métodos en dos pasos: en el paso 1 obtenemos una estimacion del valor desconocido de p y en el paso 2 utilizamos la e~timación para transformar las' variables para estimar la ecuación de diferencia generalizada, la cual es básicamente MCG. Pero, puesto que utilizamos' p en lugar del verdadero valor de p • todos estos métodos de estimación se conocen en la literatura como métodos de m¡(nimos cuadrados generalizados estimados o factibles (MCGE).
'30
véase J. Jonhston, op. cit.• pp. 325·326.
AUTOCORRELACION
323
10.7 EJEMPLO' ILUSTRATIVO': LA RELACIO'N ENTRE EL INDICE DE VACANTES DE EMPLEOS Y LA TASA DE DESEMPLEO' EN LO'S ESTADO'S UNIDO'S: CO'MPARACIO'N DE LOS METODOS' Como ilustración de los diferentes métodos analizados anteriormente, consideremos el siguiente ejemplo. (véase Tabla 10. 7).
El modelo de regresión escogido para la investigación empirica fue el siguiente: In IV, =
\
PI + P2
In
V, + U,
donde IV corresponde al índice de vacantes y U a la tasa de desemple0 31 . A priori, se espera que P2 sea negativa. (¿Por qué?) Suponiendo que los supuestos de MCO se cumplen, la regresión estimada es: In IV, = 7.3084 - 1.5375 In V, (0.111 O) (0.0711) t = (65.825) (-21.612)
N=24
(10.7.1)
,2 = 0.9550 d = 0.9021
De la regresión estimada, observamos que el estadístico d de Durbin-Watson indica la presencia de una correlación serial positiva: para 24 observaciones y una variable explicativa, la Tabla del 5% de Durbin-Watson muestra un dL = 1.27 Y un du = 1.45 Y el valor estimado de d 0.9021 está por debajo del límite inferior crítico. Puesto que la regresión (10.7.1) posee correlación serial, no podemos confiar en los errores estándar estimados y las razonell t, por razones ya mencionadas. Por tanto, se necesita recurrir a medidas remediales. El remedio, claro está, depende del valor de p , el cual se puede estimar utilizando uno o más de los métodos mencionados previamente. Para nuestro ejemplo ilustrativo, los p estimados por losldiferentes métodos son los siguientes:
Comentario
Método utilizado Durbin-Watson d Theil-Nagar Cochrane-Orcutt d Iteración 1 Iteración 2 Iteración 3 Iteración 4
0.5490 0.5598 0.54571 0.57223 0.57836 0.57999*
Dos etapas, de Durbin
0.7952
véase (10.6.11) véase Ejercicio 10.6 véase Sección 10.6
coeficiente de In IV,_ I
(véase Ejercicio 10.14) *Se suspende en esta iteración, puesto que
p no difiere mucho del p
anterior.
Como puede ver el lector, el estadístjco d de Durbin-Watson, el d modificado de Theil-Nagar y el procedimiento iterativo de Cochrane-Orcutt, todos arrojan esti
31 Por ahora no nos preocupemos por el problema de la simultaneidad, es decir, si es el nivel de desempleo D el que origina el IDV o viceversa.
324
VIOLACIO~
DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
maciones de p que son bastante similares a pesar de que la que se obtiene en el procedimiento de Durbin en dos etapas es muy diferente. De lo anterior surge una pregunta importante: ¿cuál método de estimación de p se debe escoger en la práctica? Responderemos a esta pregunta brevemente. Por ahora continuaremos con nuestro ejemplo e ilustraremos cómo estimar la ecuación de diferencia generalizada (o estimación de MCG factible) utilizando uno de estos p. Utilizaremos la aproximación de d para muestras pequeñas, de Theil-Nagar. Usando la fórmula dada en el Ejercicio 10.6, obtenemos p = 0.5598. Con esta estimación transformamos nuestros datos de la siguiente forma. In In
IV~ =
(In IV¡ - 0.5598 In IY.-l)
U~ =
(In U, - 0.5598 In U,-I)
es decir, restamos 0.5598 veces el valor previo de la variable de su valor actual. Puesto que la primera observación no tiene un antecedente, tenemos dos opciones (1) eliminarla del análisis y (2) incluirla por medio de la transformación Prais-Winsten. la cual en este caso se convierte en 1 - 0.5598 2 In IV¡] ) y [J 1 - 0.5598 2 In U1]' Presentamos nuestros resultados de ambas maneras:
[J
Omitiendo la primera observación log lV~ = 3.1693 - 1.4644 log (0.0900) (0.1332)
U~
t = (35.2144) (-10.9939)
(l0.7.2) N = 23 r 2 = 0.8517
d = 1.77
donde las variables con asterisco corresponden a las variables transformadas como se indicó anteriormente. ObServese que 3.1693= Pl(1 - p) = Pl(1 - 0.5598), de donde ob-tenemos PI = 7.1997, el cual es comparable con el PI de la regresión original (10.7.1). Incluyendo la primera observación (transfonnación Prais-Winsten)32 log IV ~
= 3.1351 -
1.4786 log
(0.0819) (0.1207) (38.284) (-12.247)
(10.7.3)
U~
N = 24 r2
= 0.9684
d = 1.8342
Comparando la regresión (10.7.1) original (con un elevado grado de autocorrelación) con la regresión transformada (10.7.2) y la regresión de Prais-Winsten
32 Una nota de tipo .técnico, El término de intersección en la. regresión de Prais-Winsten es algo compli-
cado. Como resultado, se debe correr esta regresión a través del origen. El término de intersección reportada en (10.7.3) se ha descifrado. Para mayores detalles, véase SHAZAM, sept. 1985, p. 86.~ra detalles teóricos, véase Jan Kmenta, Elements of Econometrlcs, 2 ed., The Macmillan Company, New York, 1986, pp. 303-305.
325
AUTOCORRELACION
TABLA 10.7 Relaci6n entre el índice de vacante de empleos (IVD) y la tasa de desempleo (D) Año y trimestre 1962-1 2 3 4 1963-1 2 3 4 1964-1 2 3 4 1965-1 2 3 4 1966-1 2 3 4 1967-1 2 3 4
IV. 1957-1959 - 100 104.66 103.53 97.30 95.96 98.83 97.23 99.06 113.66 117.00 119.66 124.33 133.00 143.33 144.66 152.33 178.33 192.00 186.00 \88.00 193.33 187.66 175.33 178.00 187.66
U,%
5.63 5.46 5.63 5.60 5.83 5.76 5.56 5.63 5.46 5.26 5.06 5.06 4.83 4.73 4.46 4.20 3.83 3.90 3.86 3.70 3.66 3.83 3.93 3.96
Fuente: Damodar Gujarati: "The relation Between Help- Wanted lndex and the Unemployment Rate: A Statistical Analysis, 1962-1967", The Quaterly Review ofEconomicland Bulineu, vol. 8, pp. 67-73,1968.
(10.7.3), vemos que los resultados son comparables en general 33 • La pregunta práctica es, entonces, ¿hemos solucionado el problema de la autocorrelación? Si tomamos los 'valores estimados de Durbin-Watson reportados en (10.7.2) y (10.7.3) por sus valores reales, parecería que deja de existir la autocorrelación (de primer orden). (¿Por qué?) No obstante, como menciona Kenneth White en su SHAzAM (p. 86), las Tablas de Durbin-Watson pueden no ser adecuadas para evaluar la correlación serial en los datos que ya han sido ajustados por autocorrelación. Por tanto, podríamos utilizar una de-las pruebas nop~tricas mencionadas previamente. Para la regresión (10.7.2) se puede demostrar que con base en la prueba de rachas no se puede rechazar la hipótesis de que no existe correlación serial en los residuos de esa
33 Pero manténgase en mente que para muestras pequeiias los resultados pueden ser sensibles a la inclusión o exclusión de la primera observación. .
326
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
regresión. Véase Ejercicio 10.28). Para la regresión de Prais-Winsten (10.7.3) también se puede demostrar que los residuos estimados de la regresión no poseen problemas de correlación serial. (Verificar esto explícitamente. Para su información, existen 11 residuos positivos, 13 residuos negativos y el número de corridas es de 12). Si quisiéramos evaluar hipótesis sobre los parámetros podemos proceder de la forma usual. Sin embargo, obsérvese que puesto que estamos estimando p , las pruebas usuales de significancia serán válidas estrictamente para muestras grandes. Para muestras pequeilas, los resultados de las pruebas serán sólo aproximados. Por ejemplo, con base en (10.7.2) podemos concluir que el coeficiente verdadero de ~a pendiente es estadísticamente diferente de cero. Sin embargo, debemos tener mucha precaución aquí puesto que nuestra muestra de 23 observaciones no es demasiado grande.
Comparación de los métodos. Regresemos ahora a la pregunta que surgió anteriormente: ¿cuál método de estimación de p se debe utilizar en la práctica para correr la regresión de diferencias generalizadas o MCG factibles? Si estamos utilizando muestras grandes (digamos, superiores a 60-70 observaciones), no existe mucha siferencia acerca de cuál método se escoja puesto que todos producen más o menos resultados similares. Sin embargo, ést~ no es el caso en muestras pequeñas o finitas puesto que los resultados pueden depender del método que se escoja. Entonces, en muestras pequeñas, ¿cuál método es preferible? Infortunadamente, no existe una respuesta específica a esta pregunta debido a que los estudios efectuados con muestras pequeñas utilizando los diferentes métodos a través de simulaciones de Montecarlo, no favorecen a ninguno de éstos en forma conSistente34 • Sin embargo, en la práctica el método que más frecuentemente se utiliza es el método iterativo de Cochrane-Orcutt que se incorpora· ahora en diferentes programas de computador, tales como SHAZAM, TSP y SAS. A medida que se hace más complejo y útil el software de computador, podemos utilizar métodos para estimar p dirigidos específicamente a muestras pequeñas. De hecho, en la actualidad, paquetes estadísticos como SAS tienen técnica de MV y algunos procedimientos no lineales para estimar p. (Véase rutina AUTOREG de SAS) .
10.8 RESUMEN Y CONCLUSIONES Uno de los supuestos importantes del modelo clásico de regresión lineal es que los errores o perturbaciones Ut que entran en la función de regresión poblacional son ale dorios o no correlacionados. Si se viola este supuesto, tenemos el problema de correlación serial o auto correlación.
34 Para una revisi6n de estos estudios, viole J. Johnston, op. ett., pp. 326-327. Un tratamiento relativamente avanzado se puede encontrar en A. C. Harvey, The Eeonometrle ArullyIÜ o{ 7Yme Seriel. John Wiley el; Sons, Inc., NewYork, 1981, pp. 196-199.
AUTOCORRELACION
327
La autocorrelación se presenta por diferentes razones. Ejemplos de ella son la inercia de la mayoría de las series económicas de tiempo, el sesgo de esp~cificaci6n que resulta de excluir algunas variables relevantes del modelo o de la utilización de una forma funcional incorrecta, el fenómeno de la telaraña, la exclusión de variables rezagadas y la manipulación dé datos. Aunque los estimadores de MCO continúan siendo insesgados y consistentes en présencia de correlación, ellos dejan de ser eficientes. Como resultado, las pruebas de significancia usuales t y F no pueden aplicarse legítimamente. Por tanto, se requieren medidas remediales que dependen de la naturaleza de la interdependencia entre las perturbaciones Uf. Puesto que las perturbaciones no se pueden observar, en la práctica se asume que son generadas por algún mecanismo factible. El mecanismo que se utiliza comúnmente es el esquema autorregresivo de primer orden de Markov, en el cual se asume que la perturbación en el período actual es~á linealmente relacionada~ mino de perturbación en el período previo, siendo el coeficiente de autocorrelación el que proporciona la magnitud de esa interdependencia. Si el esquema de primer orden es válido y se conoce el coeficiente de autocorrelación, el problema de correlación serial se puede enfrentar fácilmente transformando los datos, utilizando el procedimiento de la ecuación de diferencia generalizada. Puesto que no se conoce el coeficiente de auto correlación a priori, consideramos diferentes métodos para estimarlo. Algunos de éstos son ad-hoc, en tanto que otros se basan en la información misma. Específicamente consideramos los siguientes métodos: el d de DurbinWatson, la modificación del d de Theil-Nagar, procedimientos de dos pasos de Cochrane-Orcuttc (CO) y los procedimientos iterativos en dos etapas de C - O de Durbin. En muestras grandes estos métodos producen resultado~ generalmente similares, aunque en muestras pequeñas se desempeñan en forma diferente. Sin embargo, en la práctica, el método iterativo de C-O se ha vuelto bastante popular. Claro está, antes de remediar el problema es preciso detectarlo. Aunque existen diferentes métodos para hallar si la correlación serial está presente en una situación dada, el más conocido entre éstos es el estadísticod de DurbinWatson. Los diferentes paquetes calculan en forma rutinaria el estadístico d junto con el resumen estadístico, que presenta entre otros el R 2 , las razones t, etc. En este capítulo hicimos énfasis en los supuestos en que se basa la prueba d, así como también en algunas de sus limitaciones. En situaciones donde no se pueda utilizar la prueba d, se puede recurrir a pruebas no paramétricas tales como ·la prueba de rachas o la prueba X2 de independencia. Para un estudio intuitivo de la correlación seríal se puede utilizar la graficación de los residuos o de los residuos estandarizados contra el tiempo o CORtra los valores rezagados de los residuos mismos. Comúnmente, ésta es una buena práctica en análisis empírico. EJERCICIOS 10.1 Refiérase a los datos de la siguiente tabla.
328
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
(a) Con base en estos datos, estime el siguiente modelo' de regresión: In et = PI + pz In It + P3 In Lt + P4 In Ht + Ps In At + Ut e interprete los resultados. (b) Obtenga los residuos y los residuos estandarizados de la regresión anterior y grafíquelos. ¿Qué puede usted opinar sobre la presencia de autocorrelación en estos residuos? (e) Estime el estadístico d de Durbin·Watson y comente sobre la naturaleza de la autocorrelaci6n presente en los datos. Determinantes del precio doméstico del cobre en los Estados Unidos 1951-1980 Año 1951 52 53 54 55 56 57 S8 S9 60 61 62 63 .64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
e 21.89 22.29 19.63 2285 33.77 39.18 30.58 26.30 30.70 3210 30.00 30.80 30.80 32.60 35.40 36.60 38.60 42.20 47.90 58.20 52.00 51.20 59.SO 77.30 64.20 69.60 66.80 66.SO 98.30 101.40
G
330.2 347.2 366.1 366.3 399.3 420.7 442.0 447.0 483.0 506.0 523.3 563.8 594.7 635.7 688.1 753.0 796.3 868.5 935.5 982.4 1,063.4 1,171.1 1,306.6 1,412.9 1,528.8 1,700.1 1,887.2 2,127.6 2,628.8 2,633.1
1 45.1 SO.9 53.3 53.6 54.6 61.1 61.9 S7.9 64.8 66.2 66.7 72.2 76.5 81.7 89.8 97.8 100.0 106.3 111.1 107.8 109.6 119.7 129.8 129.3 117.8 129.8 137.1 145.2 152.5 147.1
L
220.4 259.5 256.3 249.3 352.3 329.1 219.6 234.8 237.4 245.8 229.2 233.9 234.2 347.0 468.1 555,0 418.0 525.2 620.7 588.6· 444.4 427.8 727.1 877.6 556.6 780.6 7SO.7 709.8 935.7 940.9
H
1,491.0 1,504.0 1,438.0 1,551.0 1,646.0 1,349.0 1,224.0 1,382.0 1,553.7 1,296.1 1,365.0 1,492.5 1,634.9 1,561.0 1,509.7 1,195.8, 1,321.9 1,545.4 1,499.5 1,469.0 2,084.5 2,378.5 2,057.5 1,352.5 1,171.4 1,547.6 1,989.8 2,023.3 1,749.2 1,298.5
A
19.00 19.41 20.93 21.78 23.68 26.01 27.52 26.89 26.85 27.23 25.46 23.88 22.62 23.72 24.50 24.50 24.98 25.58 27.18 28.72 29.00 26.67 -25.33 34.06 39.79 44.49 51.35 54.42 61.01 70.87
C= Promedio anual del preciO doméstico del cobre en los Estados Unidos (centavos por libra) G = Producto nacional bruto anual ($, mUes de millones) I = Indlce promedio anual de produccl6n Industrial L= Precio promedio anual del cobre en la bolsa de metales de Londres (libras esterlinas) H= Número de construcción de casas por afio (mUes de unidades) A= Precio promedio anual del aluminio (centavos por libra) Notar La información fue recolectada por Gary R. Smith, de fuentes como American Metal Market, Metllll Week y pUblicaciones del Departamento de
Comercio de los Estados Unidos.
329
AUTOC()RRELACION
(á) Efectúe la prueba de rachas y verá si su respuesta difiere de la respuesta dada en (e). . (e) Repita el mismo procedimiento,pero utilizando la prueba ,X2de independencia. Nota: Guarde los datos para un análisis posterior (véase Ejercicio 10.12).
10.2 Dada una muestra de 50 observaciones y 4 variables expl~cativas, ¿cuál es su opinión sobre la autocor:relación, si (a) d = 1.057 (b)d = 1.401 (e) d = 2.501 (á) d = 3.971 10.3 Al estudiar el movimiento en la participación de los obreros de producción en el valor agregado (es decir, la participación en la mano de obra), Gujarati consideró los
siguientes modelos· . . Modelo A: y, = Po + plt + u, Modelo B: y, = (Xo + (Xlt + (X2 t 2 + u, donde Y = participación de la mano de obra y t = tiempo. Con base en datos anuales para el período 1949·1964, se obtuvieron los siguientes resultados para la industria metálica primaria: Modelo A: f,
= 0.4529 -
R2
O.OO4lt
:z
0.5284
d = 0.8252
( -3.9608)
Modelo B: f, = 0.4786 - 0.0127t + 0.0005t 2 ( -3.2724)
(2.7777)
2
. R = 0.6629
d = 1.82
donde fas cifras entre paréntesis corresponden a las ruones t. (a) ¿Existe correlación serial én el modelo A ? ¿En el modeloR? (h) ¿Qué explica la correlación serial? (e) ¿Cómo distinguiría usted entre la autocorrelaci6n "pura" y el sesgo de especifi-
cación? 10.4 Detección de la autoeorrelaCión: prueba de razón de von Neuman,..tSuponiendo
que los residuos et: se obtienen aleatoriamente de una distribución normal, von Neumann ha demostrado que para un valor grande de N, a la razón
I
fJ2 S2
=
(e, - e,_¡)2¡(N - 1) (e, - e)2¡N
Nota:
I
e = o in MCO
se le denomina razón de von Neumann, la cual tiene aproximadamente una distribufJ2 2N ción normal con Media o promedio: E 2" = - s
y varianza:
N-l
fJ2
var
S2
= 4N
2
N-2 (N
+ l)(N _
1)3
• Damodar Gujarati, "Labor's Share in Manufacturlng Industries", Industriol and Lahor Relations Re· view, vol. 23, No. 1, pp. 65-75, octubre 1969.
t J. von Neumann, "Distribution of the Ratio of the Mean Square Succesive Ditference to the Variance", Aml/ds 01 Mathematical StJltistics, vol. 12, pp. 367-395, 1941.
330
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
(a) Si N es suficientemente grande, ¿cómo utilizaría usted la razón de von Neuman para evaluar autocorrelación? . (b) ¿Cuál es la relación entre el d de Durbin-Watson y la razón de von Neumann? (c) El estadístico d se encuentra entre Oy 4. ¿Cuáles son los límites correspondientes para la razón de von Neuman? (d) Puesto que la razón depende del supuesto de que los e se obtienen aleatoriamente de una distribución normal, ¿qué tan valioso es este supuesto para los residuos de MCO? (e) Suponiendo que en una aplicación se encontró que la razón era 2.88 con 100 observaciones, evalúe la hipótesis de que no existe correlación serial en los datos. Nota: B. 1. Hart ha tabulado los valores críticos de la razón de von Neu mann para un tamafio de muestra de hasta 60 observaciones·. 10.5 En una secuencia de 17 residuos, 11 positivos y 6 negativos, el número de corridas fue de 3. ¿Existe evidencia de autocorrelación? ¿Cambiaría la respuesta si hubiera 14 corridas? 10.6 p estimado de Theil-Nagar con base en el estadistico d. Theil y Nagar han sugerido que en muestras pequeñas, en lugar de estimar p como (14-/2), se estime como N 2(1 - dj2) + k p= N 2 _ k2 "
2
donde N = número total de observaciones, d = d de Durbin Watson y k = número de coeficientes (incluyendo la intersección) a estimar. . Demuestre que para un valor grande de N, esta estimación de p es igual a la que se obtuvo utilizando la fónnula más sencilla (1-d/2).
10.7 Estimación de p: procedimiento de búsqueda o de exploración de Hildredth-Lut Puesto que en el esquema autorregresivo de primer orden u, = PU,_I
+ e,
se espera que p se e~cuentre entre -1 y + 1, Hildreth y Lu sugieren una "exploración" o procedimiento de búsqueda sistemática para localizarlo. Ellos recomiendan seleccionar p entre -1 y + 1 utilizando, digamos, intervalos de 0.1 unidades y transformando en datos utilizando la ecuación de diferencia generalizada (10.6.5). Por tanto, se puede escoger p desde -0.9, -0.8 •...• 0.8 a 0.9. Para cada p escogido, se procede a correr la ecuación de diferencia generalizada, obteniendo la SRC correspondiente: L e¡ . Hildreth y Lu sugieren escoger el que minimice la SCR (maximizando así el r 2 ). Si se requiere una refmación aun mayor, ellos sugieren utilizar intervalos de unidades más pequeñas, digamos de 0.01 unidades tales como: -0.99, -0.98, ...• 0.90,0.91. y así sucesivamente. (a) ¿Cuáles son las ventajas del procedimiento de Hildreth-Lu? (b) ¿Cómo se sabe que el valor de p que se escoja finalmente para transformar los datos garantizará de hecho el valor mínimo de ¿ e¡?
• La tabla se puede encontrar en Johnston, op. cit., 2d. ed., pp. 432433.
t G. Hildreth y J. Y. Lu, "Demand Relations with Autocorrelated Disturbances", Michigan State Uníversity, Agricultural Experlment Station, Tech, Bull. 276, noviembre 1960.
331
AUTOCORRELACION
c:
-o
1. .!!
f--3i~...JL~-..-lWq"'!:""1=if...,~~-log (producción)
FIGURA 10.10 Residuos de regresión del estudio de • Nerlove. (Adaptado de Mare Nerlove.' "'Retum to Seale in Eleetrie Supply", en Measurement in Economics, Carl F. Chri,t et al.• Standford Univerdty Pre". Stanford, Calit, 1963).
10.8 Al medir los retamos a escala en el suministro eléctrico, Nerlove utilizó datos de corte transversal para 145 empresas eléctricas privadas en los Estados Unidos para el afio 1955 y regresó el logaritmo del costo total en los logaritmos de la producción, la tasa de salarios, el precio del capital y el precio del comb,ustible. Encontró que los residuos estimados de esta regresión presentaban correlación "serial" de acuerdo con el d de Durbin·Watson. En busca de un remedio, graficó los residuos estimados contra el logaritmo de la producción y obtuvo la Figura 10.10. (a) ¿Qué muestra la Figura 10.10? (b) ¿Cómo podemos deshacemos de la correlación "serial" en la situación anterior? 10.9 Los residuos de una regresión cuando se grafican contra el tiempo produjeron el dia· grama de dispersión que se ilustra en la Figura 10.11. El residuo "extremo" ence· rrado en un círculo se denomina valor e"dtico o discordante ("outlier"). Un valor errático ( o atípico) es una observación cuyo valor excede los valores de los restantes valores en la muestra en una gran cantidad, quizá 3 ó 4 desviaciones estándar del valor promedio para todas las observaciones.
e,
c:
-o
1 .. • . ~
S
'O
o
::s
'O
.;
le le
le
le JI
JI
le
le
le
1 -le - - -le - - - - -----le
O
le
le
le
Tiempo
le
CII:
FIGURA 10.11 Gráfica de los residuos de una regresión hipotética vs. tiempo.
332
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
(a) ¿Cuáles son las razones para la existencia de los valores erráticos? (b) Si existe uno o varios valores erráticos, ¿se deben descartar esas observaciones y correr las regresiones sobre las observaciones restantes? (e) ¿Su puede aplicar el d de Durbin-Watson en presencia de valores erráticos?
10.10 Verifique la ecuación (10.6.9) 10.11 Dados los siguientes datos
Y, Gastos de consumo personal (miles de millones de d6lares de 1958) X,tiempo 281.4 288.1 290.0 307.3 316.1 322.5 338.4 353:3 373.7
397.7 418.1 430.1 452.7 469.1 476.9
f,estimado yt
e" residuos
1( = 1956) 2 3 4 5 6 7 8
261.4208 276.6026 291.7844 306.9661 322.1479 337.3297 352.5115 367.6933
19.9791 11.4973 -1.7844 0.3338 -6.0479 -14.8297 -14.1115 -14.3933
9
382.8751
-9.1751
398.0569 413.2386 428.4206 443.6022 458.7840 473.9658
-0.3569 4.8613 1.6795 9.0977 10.3159 2.9341
10 11 12 13 14 15( = 1970)
t Obtimido de la regresión y, = Po + P,X, + U"
(a). Verifique que eld de Durbin Watson es igual a 0.4147. (b) ¿Existe correlación serial positiva en las perturbaciones? (e) Si es así, calcule p utilizando? (1) El método Theil-Nagar (JI) El procedimiento de Durbin en dos etapas (JJI) El método de Cochrane-Orcutt. (d) Utilice el método de Theil-Nagar para transformar los datos y corra la regresión sobre los datos transformados. (e) ¿Presenta auto correlación la regresión estimada en (d)? Si es así, ¿cómo podría deshacerse de ella?
10.12 Refiérase al Ejercicio 10.1 yen los datos de la tabla que se presenta a continuación de ese ejercicio. Si los resultados muestran la presencia de correlación serial: (a) Ütilice el procedimiento de Cochrane-Orcutt en dos etapas y obtenga los estimativos para los MCG factibles o la regresión de diferencia generalizada y compare sus resultados. (b) Si el p estimado con el método de Cochrane-Orcutt en (a) difiere sustancialmente del obtenido con el estadístico d, ¿qué método de estimación de p escogería usted y por qué? . ·10.13 Suponiendo un esquema autorregresivo de primer orden", = P"'-l + e,donde e, satisface los supuestos del modelo clásico de regresión lineal. '" Opcional.
333
AUTOCORRELACION
Demuestre que var(u,) = (72/(1 - p2)donde (72 = var (/l,). ¿Cuál es la covarianza entre u, y U,-I? ¿Entre u, y U,-2? Generalice sus resultados. (e) Escriba la matriz varianza-covarianza de las u. (ti) Si p = 1, ¿qué ocurre con la varianza de u,? ¿Qué implicaciones tiene para la transformación de primera diferencia? (a)
(b)
10.14 Aplique el procedimiento de Dllrbin en dos pasos para el ejemplo ilustrativo dado en la Sección 10.7 Y compare sus resultados.
10.15 Refiérase al Ejercicio 3.11. Obtenga los residuos y averigüe si existe correlación en los datos. ¿Cómo transformaría usted los datos en caso de que se detecte correlación serial? -10.16 Refiérase a la ecuación (10.2.4). Suponga quep :F Opero que las X no están mutuamente correlacionadas. ¿Qué ocurre con la var, (P2)ARI ?¿Qué puede usted comentar sobre la autocorrelación en esta situación? 10.17 Refiérase a la ecuación (10.4.1). Suponga que r = O pero quep:F O. ¿Cuál es el efecto sobreE(ü 2) si (a) 0< p < 1 (b) -1 < p < O? ¿Cuándo será el sesgo en a2 razonablemente pequeño? 10.18 Refiérase a las Tablás 10.1 y 10.2. Utilizando los valores de /l" y X t dados allí, genere una muestra de 10 valores Y para el modelo
y, = donde u,
3.0 + O.5X, + u,
= 0.9u'_1 + /l,. Suponga que UD = 10. Comente los resultados.
10.19 Refiérase al Ejemplo 7.4. Al omitir las variables
X~ y X 3 , corra la regresión y exa-
mine los residuos buscando detectar correlación "serial". Si encuentra una correlación serial, ¿cómo la racionalizaría? ¿Qué medidas remediales sugeriría usted? 10.20 Con base en el estadístico d de Durbin-Watson, ¿cómo distinguiría usted autocorrelación "pura" del sesgo de especificación? 10.21 Suponiendo que en el modelo
y, = PI + P2 X, + u, las u son, de hecho, serialmente independientes. ¿Qué ocurriría en esta situación si, asumiendo que u, = PU'_I + /l" utilizáramos la regresión de diferencia generalizada
y, -
PY,-I = PI(I- p)
+ P2 X , - PP2 X ,-1 + /l,
Analice en particular las propiedades del término de perturbación /l,.
10.22 Refiérase al Ejercicio 7.12. A priori se espera que exista autocorrelación en estos datos. Por tanto, se sugiere que se regrese el logaritmo de la oferta monetaria real en los logaritmos del ingreso nacional real y la tasa de interés a largo plazo en forma de primera diferencia. Corra esta regresión y luego vuelva a correr la regresión en la forma original. ¿Se satisface el supuesto en el que se basa la transformación de la primera difereneia? Si no, ¿qué tipos de sesgos resultan de dicha transformación? Ilustre con los datos disponibles. . 10.23 En un estudio de determinación de precios de la producción final a ~psto de factores en Inglaterra, se obtuvieron los siguientes resultados con base en los datos anuales para el período 1951-1969: PF, == 2.033 + 0.273W,-0.521X,+0.256M,+0.028M'_1 +0.121PF,_1 (0.992) (0.127) (0.099) (0.024) (0.039) (0.119) 2 R = 0.984 d = 2.54
334
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
donde PF
= precios de la producción fInal a costo de factores, W=sueldos y sala-
rios por empleado, X = producto doméstico bruto por persona empleada, M = precios de importaciónM'_1 = precios de importación rezagados un año y PF'_I <= precios para la producción fmal a costo de factores en el año anterior·. "Puesto que para las 18 observaciones y 5 variables explicativas, los valoresd superior e inferior del 5% son 0.71 y 2.06, el valor d estimado de 2.54 indica que no existe una autocorrelación "positiva". Comente al respecto. 10.24 Plantee circunstancias bajo las cuales cada uno de los siguientes métodos para estimar el coeficiente de primer orden de autocorrelación p serIa adecuado: (a) Regresión de primera diferencia ' (b) Regresión de promedios móviles (e) Transformación de Theil-Nagar (d) Procedimiento iterativo de Cochrane y Orcutt (e) Procedimiento explorativo o de búsqueda de Hildreth-Lu (f) Procedimiento de Durbin en dos pasos 10.25 ¿Porciona el PI
= 7.1997 obtenido de la regresión (10.7.2) una estimación insesgada del verdadero PI? i.Por qué sí o por qué no? 10.26 Incluyendo el factor de corrección C, la fórmula para pfMGdada en (10.3.1) es: N
pC¡MG
(1 - p2)X I YI =
+
¿
(x, - PX'_I)(Y' - Py,- r)
,=2 N
(1 - p2)xf
+
¿
(x, - PX'_1)2
,=2
Dada esta fórmula y (10.3.1), halle la expresión para el factor de corrección C. 10.27 Demu~stre que estimar (10.6.6) es equivalente a estimar los MCG analizados en la Sección 10.3, excluyendo la primera observación de Y y X 10.28 Para la regresión (1 0.7.2), los residuos estimados tenían los siguientes signos:
---+--++--+++-+-++---++ Con base en la prueba de rachas demuestre que se puede aceptar ia hipótesis de que no existe auto correlación en estos residuos. 10.29 Utilización del d de Durbin Watson para evaluación de la no linealidad Continúe con el Ejercicio 10.19. Ordene en forma ascendente los residuos obtenidos en esa regresión, de acuerdo con los valores de X. Utilizando la fórmula dada en (10.5.4), estime d con base en los residuos reordenados. Si el valor calculado d indica autocorrelación, esto implicaría que el modelo lineal fue incorrecto y que el modelo completo debe incluir los términos x¡ y X¡ . ¿Se puede dar una justificación intuitiva a tal procedimiento? Vea si su respuesta está de acuerdo con la dada por Henri Theil.t
• Fuente: Prlees and Eamings in 1951·1969: An Eecnometrle Assesment. Departamento de Empleo, Oficina de Su Majestad, 1971, Tabla No. C, p. 37. ecuación 63. t lJenri Thet!, IntrocJuetion to Eeonometrlel. Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1978, pp. 307-308.
335
AUTOCORRELACION
lO.30Evaluación de la existencia de co"elación serial de mayor orden. Suponiendo que tenemos datos de series de tiempo trimestrales. En modelos de regresión que involucran datos trimestrales, en lugar de utilizar el esquema AR(1) 'dado en (10.2.1) puede ser más útilasumir un esquema AR(4), así:
es decir, suponer que el término de perturbación actual está correlacionado con el del mismo trimestre para el año anterior, en lugar de estarlo con el del trimestre anterior. . Para .evaluar la hipótesis de quep4 = O" Wallis* sugiere la siguiente prueba d de Durbin-Watson modificada: N
I
(e, - e'_4)2
_;...'=...;;5--.,,,..-_ _ d4 N
I et
,= 1
El procedimiento de prueba sigue la rutina d de prueba normal que se menciona en el texto. Wallis ha preparado tablas d 4 que se pueden encontrar en su artículo original. Suponiendo que tenemos información mensual, ¿se podría generalizar la prueba de Durbin-Watson para tomar en cuenta tales datos? Si ese es el caso, escriba la fórmula d 12 adecuada.
*Kenneth Wallis, "Testing ror Fourth Order Autocorrelation in Quarterly Regression Equations", Eéonometrlca, vol. 40, 1972, pp. 617-636. Las tablas <14 también se pueden encontrar en J. Jonhston, óp. cit., 3 ed., o. 558.
CAPITULO
11
ESPECIFICACION DE MODELOS
Uno de los supuestos del modelo clásico es que el modelo utilizado en el análisis está "correctamente" especificado, lo cual implica que no existe sesgo de especificación o error de especificación. En el Capítulo 3 nos referimos a la naturaleza del error de especificación de una manera un poco informal. En este capítulo discutimos el tema en forma unificada. Sin embargo, se debe mencionar de'sde el comienzo que éste es un tema muy amplio y cambiante l y que algunas de las técnicas y procedimientos matemáticos en los que se basa el sesgo de especificación están más allá del enfoque de este libr0 2 • Sin embargo, la discusión que se presenta a continuación proporcionará al lector una idea suficientemente adecuada sobre la naturaleza.e importancia de este tema en trabajo aplicado. Más específicamente, consideramos los siguientes. temas:
1. ¿Qué constituye un modelo "bueno" o "correcto"? 2. Supongamos que alguien ha desarrollado el modelo "correcto" para analizar un determinado problema. Sin embargo, debido a la disponibilidad de los datos, a consideraciones de costos o a simple ignorancia, se utiliza un modelo diferente y, por tanto, en relación con el modelo "correcto", se comete un error de especificac"ión. ¿Qué tipos de errores de especificación se pueden cometer en la práctica? 3.
¿Cuáles son las consecllencias de los .diferentes errores de especificación?
4.
¿Cómo se puede detectar un error de especificación?
1 Sería útil para el lector consultar la referencia E.E. Leamer, Specilication Searches, John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1978, para una comprensión más profunda de este tema.
Véase A. C. Harvey, The Economerric Analysis 01 Time Series, John Wiley & Sons, lnc., Nueva York, 1981, Cap. 5.
2
336
ESPECIFICACION DE MODELOS
337
s.
¿QUé medidas se pueden adoptar para regresar al modelo "correcto", si se encuentra que se ha cometido un error de especificación? 6. Hasta el momento hemos asumido que existe un modelo correcto y' nos gustaría saber qué ocurre si utilizamos otro modelo. Supongamos ahora que no conocemos inicialmente el modelo verdadero. Por ejemplo, los monetaristas argumentan que son los cambios en la oferta de dinero los que determinan el PNB (nominal), mientras que los keynesianos afirman que son los cambios en los gastos de gobierno los que ·afectan el PNB. Por tanto, tenemos dos hipótesis o modelos alternos y no sabemos cuál es el verdadero. Por .tanto, si utilizamos un modelo monetarista como el desarrollado por el Banco Federal de San Luis, cometeríamos un error de especificación similar al que incurriríamos al utilizar el modelo keynesiano. A este tipo de error se le denomina error de especificaci6n incorrecta (del modelo). Obsérvese cuidadosamente que este error de especificación es diferente al que se discutió anteriormente, puesto que allí teníamos en mente un modelo alterno claro, es decir, el verdadero modelo postulado inicialmente. ¿Cómo se distingue un error de especificación puro de un error de especificación incorrecta? Responderemos a esta pregunta a continuación.
11.1 ATRIBUTOS DE UN BUEN MODELO A continuación presentamos una función de demanda para pollos en los Estados Unidos durante el período 1960-1982. El modelo es el sigúiente: (11.1.1)
donde Y = consumo per cápita, de pollos, Xl = ingreso disponible real per cápita y X 3 = precio real del pollo, X 4 = precio real del cerdo y X s = precio real de la carne. ¿Es este un modelo "bueno"? Esta es una pregunta difícil de contestar. Mientras no se especifiquen algunos criterios para juzgar la "bondad" o "adecuabilidad" de un modelo, es imposible responder a dicho interrogante. A. C. Harvey enumera los siguientes criterios para juzgar la "calidad" de un mode10 3 . • Parsimonia. Un modelo nunca puede llegar a ser una descripción completamente exacta de la realidad; para describir la realidad exactamente se tendría que desarrollar un modelo tan complejo que no sería útil en la práctica. Es inevitable cierta cantidad de abstracción o simplificación en la construcción de cualquier modelo. El principio de Occam (véase Capítulo 3) o Principio de parsimonia enuncia que un modelo se debe mántener tan simple como sea posible o, como diría Milton Friedman, "un modelo (hipótesis) es importante
3 Op.
cit., pp. 5-7. La discusión a continuación se basa principalmente en este materiaL
338
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
si 'explica' mucho en forma muy resumida ... "4 . Lo anterior impl~ca sencillamente que se deben introducir más pocas variables claves en el modelo y que constituyen la esencia del fenómeno que se está estudiando, relegando todas las influencias menores y aleatorias al término de error U t . Identificabilidad. Significa que para un conjunto de datos determinado, los parámetros estimados deben tener valores únicos o, lo que es lo mismo, existe únicamente un estimativo para un parámetro dado. Para apreciar esto en forma concreta, recordemos el procedimiento de Durbin en dos etapas para resolver el problema de autocorrelación que se discutió en el capítulo anterior. En la primera etapa corremos la siguiente regresión: (12.6.17)
Como puede observar fácilmente el lector, existen dos estimaciones del parámetro de autocorrelación de primer orden p "uno dado por el coeficiente de' 1';-1 y el otro obtenido de dividir el coeficiente de X t - 1 por el de X t y cambiando el signo. No existe ninguna garantía de que los dos estimativos sean iguales. Bondad del ajuste. Puesto que la razón básica de los modelos de regresión es lograr explicar la mayor cantidad posible de la variación de la variable dependiente utilizando variables explicativas incluidas en el modelo, se dice que éste es bueno si estª explicación, medida por el ¡F" es tan alta como sea posible. Claro está, como se mencionó previamente, que el criterio de un iP elevado por sí mismo no se debe sobreestimar, sino qU€ junto con otros criterios (por ejemplo, signos o valores de los coeficientes resperados a priori), un R 2 elevado siempre debe constituir un signo alentador de un ajuste aparentemente adecuado. Consistencia teórica. Un modelo puede no ser bueno, a pesar de que se obtenga un R 2 alto, el uno o más de los coeficientes estimados tienen los signos equivocados. En la función de demanda antes considerada, si se obtuviera un signo positivo para el coeficiente del precio del pollo (curva de demanda con pendiente positiva), se debería cuestionar mucho el resultado obtenido. Poder predictivo. Para citar a Friedman nuevamente, "oo. la única prueba de validez relevante de una hipótesis (modelo) es la 'comparación de sus predicciones con la experiencia.'" 5 ¿Pero no indica un valor elevado del R 2 el pOuc'r predictivo de un modelo? Sí, pero ese es su valor predictivo dentro de una muestra dada. Con lo que deseamos contar es con su poder predictivo más allá de la muestra o más allá del período muestra!. En nuestro ejemplo,
Milton Friedman, "The Metodology of Positive Economics", en Essays in Positil'c Economics, University of Chicago Press, Chicago, 1953, p. 14. 4
5
lbíd.,p.7.
ESPECIFICACION DE MODELOS
339
el R2 estimado fue 0.9823. Pero, suponiendo que utilizáramos la regresión estimada para predecir la demanda de pollos más allá del período muestral 1960-1982, digamos para los años 1984-1985, ¿pbtendríamos el mismo y elevado poder explicativo? Si lo anterior es cierto, podemos decir que el modelo tiene un poder predictivo bastante bueno (más allá de la muestra).6 Con base en estos criterios, ¿podríamos decir que nuestro ejemplo ilustrativo constituye un modelo relativamente exacto de la demanda de pollos? La respuesta a esta pregunta se deja al lector como ejercicio para responder más adelante. (véase Ejercicio 11.1).
11.2 TIPOS DE ERRORES DE ESPECIFICACION Suponiendo que con base en los criterios enumerados anteriormente llega"mos a un modelo que aceptamos como buen modelo. Para ser concretos, éste sería: (11.2.1)
donde Y = costo total de producción y X = producci~n. La ecuación (11.2.1) es un ejemplo de la función costo total cúbica que se presenta en la mayoría de los textos de teoría económica. Pero supuniendo que por alguna razón (por ejemplo, por pereza de graficar el diagrama de dispersión), un investigador decide utilizar el siguiente modelo: (11.2.2)
Obsérvese que hemos cambiado la notación para distinguir este modelo del modelo verdadero. Puesto que se asume que (11.2.1) es verdadero, adoptar (11.3.2) constituiría un error de especificación que consiste en omitir una variable relevan te (Xn. Por tanto, el término de error Uu en (11.2.2) es de hecho: (11.2.3)
Veremos muy pronto la importancia de esta relación Suponiendo ahora que un segundo investigador utiliza el siguiente modelo: (11.2.4)
Si (11.2.1) es ~l "verdadero" modelo, (11.2.4) también constituye un error de especificación que consite en inc!úir una variable innecesaria o i"elevante,
Pero manténgase en mente la advertencia dada en el Capítulo 5 sobre los peligros de la extrapolación más alla del rango de la regresión muestral.
6
340
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
dado que el verdadero modelo asume que As es cero. El nuevo término de errores de hecho:
=
Uli
puesto que A. s igualO en el modelo verdadero (¿Por qué?)
(11.2.5)
Suponiendo ahora que otro investigador postula el siguiente modelo: (11.2.6)
En relación con el modelo verdaddero, (11.2.6) también presenta un sesgo de especificación que conssiste en utilizar la forma funcional equivocada: en (11.2.1) y aparece en forma lineal, mientras que en (11.2.6) aparece en forma log-lineal. Finalmente, consideremos un cuarto investigador que utiliza el siguiente modelo: (11.2.7)
donde yt = y. + e; y xt = X¡ + W¡, siendo f:¡ y W¡ errores de medición. Lo que (11.2.7) enuncia es que en lugar de utilizar los verdaderos Y¡ y Xi' usamos sus aproximacIones Y¡* y X¡*, las cuales pueden contener-errores de medición. Por tanto, en (11.2.7) cometemos el sesgo por errores de medición. En trabajo aplicado, sucede frecuentemente que los datos están llenos de errores de aproximación o errores de un cubrimiento incompleto o sencillamente errores de omisión de algunas observaciones. En ciencias sociales, con frecuencia dependemos de datos secundarios sin que tengamos manera de saber los tipos de errores, si existen, que comete la entidad que recolecta los datos primarios. En resumen, al especificar un modelo como el correcto, es probable que s~ cometan uno o más de los errores de especificación que a continuación se enumeran: 1. omisión de una variable relevante. [véase 01.2.2)] ~ 2. inclusión de una variable innecesaria. [véase (11.2.4)] 3. adopción de la forma funcional equivocada. [véase (11.2.6)] 4. errores de medición7 • [véase 01.2.7)] Antes de continuar adelante, sería interesante conocer las razones por las cuales se pueden cometer tales errores. En algunos casos sucede que sabemos cuál es 'el modelo correcto, pero no podemos implementarlo debido a que no se encuentra disponible la información necesaria. En este sentido, en el análisis de la función de consumo algunos autores han argumentado que además
7 Para completar debemos mencionar otro error de especificación, la especificación incorrecta d,el término de perturbación U¡. véase Ejercicio 11,7.
341
ESPECIFICAC.ION DE MODELOS
del ingreso, la riqueza del consumidor se debe también incluir como variable explicativa. Sin embargo, es bastante difícil encontrar información sobre la variable riqueza. Por esta razón, con frecuencia esa variable se excluye del análisis. Otra razón consiste en que se puede saber cuáles variables incluir en el modelo, pero quizá no se sabe la forma funcional exacta en que las variables deban aparecer en el modelo: es muy común que la teoría fundamental no nos ~ndique la forma funcional precisa del modelo; no nos dirá si el modelo es lineal en las variables o lineal' en los logaritmos de las variables, una mezcla de éstos o una forma alterna. Finalmente, y quizás lo más importante, frecuentemente un error de especificación es realmente un error de una especificación equivocada, puesto que no sabemos cuál es el verdadero modelo. Esté aspecto será analizado posteriormente.
11.3 CONSECUENCIAS DE LOS ERRORES DE ESPECIFICACION Independientemente de las fuentes de errores de especificación' ¿cuáles son sus consecuencias? En aras de la simplicidad responderemos a esta pregunta en el contexto del modelo con tres variables y consideraremos en detalle dos tipos de errores de especificación, en su orden, la omisión de una variable relevante y la adición de una variable superflua o innecesaria. Claro está que los resultados se pueden generalizar para el caso de k variables, pero teniendo que apelar a tediosas manipulaciones algebraicas (el álgebra matricial se hace necesaria una vez se tengan modelos de más de tres variables). Omisión de una variable relevante Suponiendo que el verdadero 1110delo es: Yj =
PI + P2 X 2i + P3 X 3i + Ui
(11.3.1)
pero por alguna razón, se ajustó el siguiente modelo: (11.3.2)
Las consecuencias de omitir X 3 son las siguientes:
1. Si la variable omitida X 3 está correlacionada con la variable X 2 , 10 cual implica que '23 no es igual a cero, se tiene que al ya 2 son sesgadas inconsistentes, hecho que a su vez implica que E(!X l ) no es igual a PI y E(a 2 ) no es igual a P2' El sesgo no desaparece, independientemente de qué tan grande sea la muestra. 2.' Aun cuando X 2 y X 3 no estén correlacionadas (r 23 siendo sesgada, a pesar de que &2 sea ahora insesgada.
= O), !Xl,.
continúa
3. La varianza de perturbación (12 se estima en forma' incorrecta. 4. La varianza convencional para !X 2 (= (12 /¿ X~,) es un estimador sesgado de la varianza del verdadero estimador $2'
342
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
5. En consecuencia, el intervalo de confianza usual y los procedimientos de pruebas de hipótesis probsablemente nos conduzcan a conclusiones erradas sobre la significancia estadística de los parámetros estimados. Inclusión de una variable irrelevante Supongamos ahora que
(11.3.3) corresponde al verdadero modelo, sin embargo hemos ajustado el siguiente modelo: (11.3.4) y por tanto, cometemos un error de especificación al incluir una variable innecesaria en el modelo. Las consecuencias de este error de especificación son los siguientes: 1. Los estimadores de MCO del modelo "incorrecto" son todos insesgados y
consisten.tes, lo cual implica que E(&I) = PI' E(&2) = P2 Y E(&3) = P3 =
o.
2. La varianza de error (12 se estima en forma correcta. 3. El intervalo de confianza usual y los procedimientos de pruebas de hipótesis continúan siendo válidos. 4. Sin embargo, los & estimados serán por lo general ineficientes, es decir, sus varianzas serán generalmente más grandes que las de los Pdel modelo verdadero. Las pruebas de algunos de estos enunciados se pueden encontrar en el Apéndice IIA, Sección 1 lA. 1. El punto de interés a destacar es la ineficiencia relativa de los &, lo cual se puede demostrar fácilmente. De la fórmula usual de MCO sabemos que (12 var (P2) =~ (11.3.5) L...
X2i
y
(11.3.6) por tanto var (&2) 1 var ($2) = 1 - d3
(11.3.7)
Puesto que O ~ r~3 ~ 1, entonces varl(&2) ~ var ($2)' es decir, la varia~~a de &2 es generalmente mayor que la varianza deP2' aunque en promedio &2 = f32 (i.e., E(&2)
= f32)'
La implicación de este resultado es que la inclusión de la variable innecesaria X 3 hace que la varianza de &2 sea más grande de lo necesario afectan. do la precisión de &2' Esto también es cierto en el caso de al'
ESPECIFICACION DE MODELOS·
343
Obsérvese la asimetría en los dos tipos de sesgo de especificación que hemos considerado. Si excluimos una variable relevante del modelo, los coeficientes de las variables que se retienen son generalmente sesgadas e inconsistentes, mientras que la varianza del error se estima en forma incorrecta y se invalidan los procedimientos usuales de prueba de hipótesis. Por otra parte, al incluir' una variable irrelevante en el modelo se continúan obteniendo esti- . mativos consistentes e insesgados de los coeficientes en el modelo verdadero, se estima correctamente la· varianza del error y continúan siendo válidos los métodos convencionales de prueba de hipótesis; el único castigo que pagamos por incluir una variable superflua consiste en que las varianzas estimadas de los coeficientes son más grandes y, como resultado, nuestras inferencias probabilísticas sobre los parámetros son menos precisas. Una conclusión indeseada a la que se puede llegar en este momento es que es mejor incluir variables irrelevantes que omitir variables relevantes. Sin embargo, esta filosofía no se debe seguir debido a que la adición de variables innecesarias trae consigo una pérdida de ineficiencia de los estimadores, pudiendo ocasionar asimismo el problema de multicolinealidad (¿por qué?), sin mencionar la pérdida de grados de libertad. Por tanto: En -&eneral, el mejor enfoque consiste en incluir solamente variables explicativas que, en términos teóricos, influyan directamente sobre la variable dependiente y que no sean explicadas por oiras variables ya incluidas en el model0 8 •
11.4 PRUEBAS DE ERRORES DE ESPECIFICACION Conocer las consecuencias de los errores de especificación es una cosa, pero averiguar si se han cometido tales errores es otra bastante diferente puesto que no tratamos deliberadamente de cometer estos errores. Muy frecuentemente los sesgos de especificación s~rgen en forma inadvertida, quizá de nuestra inhabilidad de formular el modelo en forma tan precisa como sea posible debido a que la teoría en la que se basa es débil oa que no tenemos el tipo adecuado de datos para evaluar el modelo. El asunto práctico no es que se cometan este tipo de errores, puesto que siempre ocurren, sino cómo detec~ tarlos. Una vez se encuentra que se han cometido errores de especificación, los remedios se sugieren por sí solos. Si por ejemplo, se puede demostrar que una variable se omite inadecuadamente de un modelo, el remedio obvio consiste en incluir esa variable en el análisis suponiendo (claro está) que se tengan datos sobre esa variable. En esta sección discutimos algunas pruebas que Se pueden utilizar para detectaNos. errores de especificación.
8 Michael D. Intriligator, Econometric Models, Techniques and Applications, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., p. 189. Recuérdese el principio de Occam de la hoja de afeitar.
344
VIOLACION DE lOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
Cónio detectar la presencia de variables innecesarias Suponemos que desarrollamos un modelo COn k variables para explicar un fenómeno:
( 11.3.8) Sin embargo, no estamos totalmente seguros de que, por ejemplo, la variable X k realmente pertenece allí. Una manéra sencilla de averiguar esto consiste en evaluar la significancia del p" estimado con la prueba t usual: t = P"/se (p,,).
Pero suponiendo que no estamos seguros si por ejemplo X 3 y X 4 legítimamente pertenecen al modelo, en este caso nos gustaría evaluar si P3 = P4 = O. Por tanto, detectar la presencia de una variable irrelevante no es difícil. Pero es muy importante recordar que al llevar a cabo estas pruebas de significancia tenemos un modelo específico en mente. Aceptamos ese modelo como hipótesis mantenida de la "verdad", independientemente de lo tentativa que sea. Dado ese modelo, entonces podemos averiguar si unO' o más de los regresares realmente son relevantes utilizando las pruebas usuales t y F, pero. obsérvese cuidadosamente que no podemos utilizar las pruebas t y F para construir un modelo iterativamente, es decir, no podemos decir que inicialmente Y está relacionada con X 2 porque P2 es estadísticamente significativo y luego ampliar el modelo para incluir X 3 y decidir mantener la variable en el modelo si resulta ser estadísticamente significativo y así sucesivamente 9 • Esta estrategia de extracción de datos no se recomienda puesto que si X 3 legítimamente perteneciera al modelo debió introducirse desde el comienzo. Excluir a X 3 en la regresión inicial llevaría al sesgo por omisión de una variable relevante con las consecuencias que ya hemos visto. Es muy importante hacer énfasis en este punto: la teoría debe guiar cualquier construcción de un modelo. Pruebas.de variables omitidas y de la forma funcional incorrecta En la práctica nunca estamos seguros de que el modelo adoptado para pruebas empíricas es "la verdad, y nada más que la. verdad". Con base en la teoría de introspección y en el trabajo empírico a priori, desarrollamos un modelo que creemos captura la esencia del tema que se está estudiando. Luego sometemos el modelo a las pruebas empíricas. Después de obtener los resultados, comenzamos con el postmortem, manteniendo en mente los criterios de un buen modelo mencionado anteriormente. Es en esta etapa cuando sabemos si el modelo escogido es el adecuado. Al determinar la adecuabilidad del modelo observamos algunas características generales de los resultados. tales como el valor de R2 ,las razones t estimadas. los signos de los coefi-
9 Este procedimiento se conoce como regresión en etapas o stepwise. Para una revisión crítica de este tema y los tipos de regresiones en etapas, véase Norman Draper y Harry Smith, Applied Regression Analysis,2 ed., John Wiley & Sons, 1981, Cap. 6.
345
ESPECIFICACION DE MODELOS
cientes estimados en relación con sus esperanzas anteriores, el estadístico Durbin-Warson y demás. Si estos diagnósticos son razonablemente buenos, proclamamos que el modelo escogido es una representación justa de la realidad. Utilizando el mismo análisis, si los resultados no se ven muy dicientes debido a que el valor de R,2 es demasiado bajo o hay muy pocos coeficientes que son estadísticamente significativos o tienen los signos correctos o debido a que el Durbin-Watson d es demasiado bajo, entonces comenzamos a preocuparnos sobre la adecuabilidad del modelo y buscamos los remedios: quizá hayamos omitido una variable importante o utilizado la forma funcional equivocada, o no- hay~mos diferenciado inicialmente las series de tiempo (o eliminado la correlación serial), y así sucesivamente. Como ayuda de la determinación de la adecuabilidad del modelo en uno o más de estos problemas, podemos utilizar algunos de los métodos mencionados a continuación. Examen de los residuos. Como se mencionó en el Capítulo 10, al examinar los residuos se obtiene un buen diagnóstico visual para determinar la autocorrelación o la heterocedasticidad. Pero estos residuos también se pueden examinar, especialmente en los datos de corte transversal, para' errores de especificación de modelos tales Gomo la omisión de una variable importante o una forma funcional incorrecta. Si de hecho existen tales errores, una gráfica de los residuos presentará patrones específicos. La utilidad del gráfico de los residuos es entonces clara: si existen errores de especificación, los residuos presentarán patrones muy característicos. e,
Or----r----~~-----r----+---~----~~O+-=~~~-------x
Productos
(a)
(b)
(e)
FIGURA 11.1 Los residuos e¡ de funciones de costo total (a) lineales, (b) cuadráticas y (e) cúbicas.
346
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
TABtA 11.1 Residuos estimados de las funciones del costo total lineal cuadrático y cúbico. Observación número l 2 3 4 5 6 7 8 9 10
e.
e.
e.
(modelo lineal)! (modelo cuadrático)l (modelo cúbico)3 -23.900 9.500 18.817 13.050 11.200 -5.733 -16.750 -23.850 -6.033 23.700
6.600 19.667 13.733 -2.200 -9.133 -26.067 -32.000 -28.933 4.133 54.200
If; = 166.467 + 19.933 Xi (19.021) (8.752)
R 2 = 0.8409 iP = 0.8210 d = 0.716
(3.066) (6.502)
lf; = 222.383 - 8.0250 Xi + 2.542 Xf (23.488) (9.809) (9.468) (-0.818)
-0.222 1.607 -0.915 -4.426 4.435 1.032 0.726 -4.119 1.859 0.022
(0.869) (2.925)
= 0.9284 =
0.9079
d = 1.038
3f; = 141.767 + 63.478 Xi - 12.962 xf + 0.939 X¡ (6.375) (4.778) (0.9856) (22.238) (13.285) (-13.151)
R2
iP
(0.0592) (15.861)
R2
= 0.9983
iP
=
0.9975
d = 2.70
El estadístico d de Durbin-Watson considerado nuevamente. Si analizamos el d de Durbin-Watson calculado en forma rutinaria y que se muestra en.la Tabla 11.1, vemos que para la función de costo lineal el d estimado es 0.716, sugiriendo que exi.ste una "correlación" en los residuos estimados: para N = 10 y k1 = 1, los valores d críticos deiS por ciento son: dL = 0.879 Y liu = 1.320. De la misma manera, el valor d calculado pará la función cuadrática de costo es 1.038, mientras que los valores críticos del S por ciento son dL = 0.697 Y t!,¡ = 1.641, los cuales caen en la zona de indecisión. Sin embargo, si utilizamos la prueba d modificada (véase Capítulo 10), podemos decir que existe una correlación "positiva" en los residuos puesto que el valor calculado de d es inferior a d u . Para la función cúbica de costos, la verdadera especificación del modelo, el valor estimado d no indica ninguna "correlación" positiva en los residuos 1o • La "correlación positiva" observada en los residuos cuando se ajusta el modelo lineal o cuadrático no es una medida de correlación serial (de primer orden) sino el indicador de errores de especificación (del modelo). La correlación observada sencillamente refleja el hecho de que algunas variables que
10
En este contexto un valor de d
= 2 significa que no hay error de especificación. (¿Por qué?).
347
ESPECIFICACION DE MODELOS
. pertenecen al modelo están incluidas en el términó de error y necesitan desecharse e introd'Ucirse por sí mismas como variable explicativa: si excluimos las xl de la función de costo, entonces, como muestra la ecuación (1 1.2.3), el término de error en el mo
2. Si se cree que el modelo supuesto está especificado erradamente porque excluye una variable explicativa relevante, digamos Z ordene los residuos obtenidos en el paso 1 de acuerdo con los valores ascendentes de Z. Nota: la variable Z puede ser una de las variables X incluidas en el modelo supuesto o alguna función de esa variable, tal como ~ o.r. 3. Se calcula el estadístico d de los residuos ordenados de esta manera, utilizando la fórmula usual de d, es decir, N
¿ (e,-e'_1)2 d = :.-'=-=2'---:-:N--.L. "
,= 1
e,2
Nota: El subíndice t es el índice de observación y no necesariamente implica que los datos sean series de.tiempo. 4. Con base en las tablas de burbin-Watson, si el valor estimado de d es significativo, entonces se puede aceptar la hipótesis de la especificación errada de un modelo. Si este es el caso, las medidas remediales naturalmente se sugieren por sí mismas. En nuestro ejemplo de costos, la variable Z (=X) (producción) ya estaba ordenada!! . Por tanto, no tenemos que calcular nuevamente el estadísticodo Como hemos visto, el estadístico d para las funciones de costos cuadrática y lineal, sugiere errores de especificación. Los remedios sondaras: introdúzcanse los términos cuadráticos y cúbicos en la función de costo lineal y el término al cubo en la función de costos
348
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
e,
, I
I I
I
I I
I I
I
I
I I I
~\
¡I \ ¡I \ ,\
II
\
f
I
__________O~--~----~--~+_--~----+/~--_+---y 150
200
!~O \
\
300
/350
400
I
I
/
\
/ I /
\
\
\
\
I
\)
FIGURA 11.2 Los residuos el y los Y estimados de la función de costo lineal: 1'; = A. l
+ A.2 Xi + U,.
cilla d~ la prueba. Para aclarar las ideas, continuemos con nuestro ejemplo de costo-producción y supongamos que la función de costos es lineal en la variable producción de la siguiente manera: (11.4.1 ) donde Y = costo total y X = producción. Ahora, si graficamos los residuos el obtenidos de esta regresión en el eje horizontal, y los Y; ,los Y¡ estimados para el modelo, en el eje vertical obtenemos la gráfica que se ilustra en la Figura t 1.2. Aunque L e¡ y L e¡ Y; son necesariamente cero (¿por qué?, véase Capítulo .3), los residuos en esta figura muestran un patrón en el cual su promedio cambia sistemáticamente con Y; . Esto sugeriría que si introducimos Y; de alguna forma como regresor (es) en (11.4.4), debería aumentar el valor del R 2 . Si el aumento en el R2 es estadísticamente significativo sugeriría que la función de costos lineal (11.4.4) no se especificó adecuadamente. Esta es la esencia de RESET. Los pasos involucrados en RESET son los siguientes:
349
ESPECIFICACION DE MODELOS
1. Del modelo escogido, por ejemplo (11.4.4), obténganse los valores estjmado de Y¡, es decir,~. 2. Vuélvase a correr (11.4.4), introduciendo 9; de alguna fonna como regresor adicional. De la Figura 11.2, observamos que existe una relación curvilínea entre e¡ y ~ ,sugiriendo que se puede introducir y? y Yr como regresores adicionales. Por tanto, corremos: (11.4.2)
3. Sea ahora el R 2 obtenido de (l1.4.5) R~uevoY el obtenido de (11.4.4) R;~jO Entonces podemos utilizar la prueba F que se introdujo inicialmente, es decir, {R~u.vo-
Raejo)/número de regresores nuevos
F _ . • - (1 -R;upvo)j(N - número de parámetros en el nuevo modelo).
(8.7.5)
para averiguar si el aumento en' el R2 al utilizar (11.4.5) es estadísticamente significativo. 4. Si el valor F calculado es significativo, digamos a un nivel del 5%, se puede aceptar la hipótesis de Que el modelo (11.4.4) se ha especificado erróneamen te. Regresando a nuestro ejemplo ilustrativo, se obtienen los siguientes resultados (los errores estándar aparecen entre paréntesis): ~ = 166.467
+ 19.933X¡
(19.021)
(132.0044)
R 2 = 0.8409
(3.066)
Y; = 2140.7723 + 476.6987X¡ (33.3951)
R
2
(11.4.3)
0.09189Y1 (0.OO620)
+ 0.OOOI18Y} (0.0000074)
(11.4.4)
= 0.9983
Nota: y? y Yr en (11.4.7) se obtienen de (l1.4.6). Al aplicar entonces la prueba F encontramos: {0.9983 - 0.8409)/2 F = (l _ 0.9983)/(10 - 4) = 281.07
(11.4.5)
El lector puede verificar fácilmente que este valor F es altamente significativo, indicando que el modelo (11.4.6) está especificado erróneamente. Claro está que hemos llegado a la misma conclusión con base en el análisis visual de los residuos, así como a través del valor d de Durbin-Watson. Una ventaja de RESET es que es fácil de aplicar, puesto que no se necesita especificar cuál es el modelo alterno. Sin embargo, ésta también es su gran desventaja puesto que conociendo que un modelo está erróneamente especificado, no proporciona ayuda alguna para escoger una mejor alternativa.
350
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
Otras pruebas de error de especificación Las pruebas que hemos mencionado hasta ahora no necesariamente agotan todas las que existen. Algunas otras pruebas mencionadas en la literatura son: (1) la prueba qe razón de verosimilitud, (2) la prueba de Wald, (3) la prueba del multiplicador de Lagrange y (4) la prueba de Hausman. Puesto que las discusiones de estas pruebas están más allá del enfoque de este libro, el lector interesado puede consultar las referencias 13 •
11.5 PRUEBAS PARA DETECTAR ERRORES DE ESPECIFICACION DE UN MODELO Habiendo estudiado los errores de especificación en cierto detalle, consideraremos a continuación el error en la especificación equivocada de un modelo. Recordemos que en el análisis del error de especificación existe un modelo que suponemos es válido y tratamos a continuación de,averiguar qué ocurre si ajustamos el modelo equivocado. Sin embargo, en el análisis del error de especificación incorrecta no sabemos en principio cuál es el modelo verdade-
ro: lo que tenemos son algunas teorías que compiten entre sí y que se utilizan para explicar un fenómeno dado. Nuestra tarea entonces consiste en decid ir entre dichas teorías que compiten por ser aceptadas como el modelo verdadero. Para ser más específicos, consideremos los siguientes modelos alternos que tratan de explicar el fenómeno Y. Modelo !:
1';
= !Xl + !X 2 X 2i + U1i
Modelo JI:
(11.5.1) (1l.5.2)
¿Cómo escogemos entre estos dos modelos? Suponiendo que estimamos el siguiente modelo "anidado" o "híbrido": Modelo JI!:
(11.5.3)
Si ahora el modelo 1 es correcto, Y3 = O, mientras que si el modelo 11 es correcto, Y2 = O . Por tanto, una prueba sencilla de los modelos alternos en competencia consiste en correr el modelo "anidado" y evaluar la significancia estadística de 'h y '93: el modelo 1 probablemente sea el modelo verdadero si '92 es significativo y '93 no lo es, y el modelo 11 probablemente es el modelo verdadero si '93 es significativo pero '92 no lo es. No obstante, existen algunos problemas con este procedimiento de prueba. Si X 2 y X3 tienen una alta colinealidad, entonces, como se mencionó en el capítulo~ sobremulticolinealidad, es muy probable que tanto '92 como )13 no sean significativamente diferentes de cero, aunque se puede rechazar la hipótesis de que Y2 = Y3 = O , es decir, que el efecto conjunto de X 2 y X 3 es significativo. En esta situación, no tenemos manera de decidir
13
Para una completa discusión de texto, véase A. C. Harvey, op. cit., Cap. 5, pp. 144-188.
ESPECIFICACION DE MODELOS
351
cuál de los dos modelos, el modelo 1 o el modelo 11, es el correcto. Existe otro problema adicionap4. Supóngase que escogemos el modelo 1 como hipótesis o modelo de referencia y hallamos que todos sus coeficientes son significativos, a continuación agregamos X 3 al modelo y encontramos,utilizando la prueba F, que su contribución incremental a la SEC (suma explicada al cuadrado) es insignificante. Por tanto, decidimos escoger el modelo 1. Pero suponiendo que en cambio hubiésemos escogido el modelo 11 como hipótesis o modelo de referencia y hubiésemos encontrado que todos sus coeficientes eran estadísticamente significativos. Pero cuando se adiciona X 2 al modelo, encontramos, nuevamente utilizando la prueba F, que su contribución incremental al SEC es insignificante. Por tanto, habríamos escogido el modelo 11 como el correcto. En consecuencia, la escogencia de la hipótesis de referencia puede determinar el resultado del modelo escogido"15 , especialmente cuando está presente una severa colinealidad en las variables explicativas que compiten por ser introducidas en el modelo a estimar. Como se mostró anteriormente, la evaluación del sesgo por especificación errada no es una tarea fácil y se debe ejerct'r un inmenso cuidado al anidar mecánicamente los modelos alternos 16 Ejemplo ilustrativo: El modelo de San Louis Para determinar si los cambios en el PNB nominal se pueden explicar a través de las variaciones en la oferta de dinero (monetarismo) o a través de los cambios en lds gastos del gobierno (keynesianismo), consideremos los siguientes modelos:
4
=IX+
IP¡MI-¡+Ul l
(11.5 .4)
i=O
4
= y+
I
A.1E,_¡ + U2r
(11.5.5)
i=O
donde
t = tasa de crecimiento del PNB nominal en el período t MI = tasa de crecimiento de la oferta de dinero (versión M1) en el período t El = tasa de crecimiento a niveles de gastos del gobierno que aseguran empleo pleno en la economía.
14 véase Thomas B. Fomby, R. Cartcr HilI y Stanley R. Johnson, Advanced Econometric Methods, Springcr-Verlag. Ncw York, 1984, p. 416. 15
lhid.
16
Para una discusión detallada. véase A. C. Harvey, op. cit.
352
\/IOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
A propósito, obsérvese que. (11.5.4) y (11.5.5) son ejemplos de modelos de rezagos distribuidos, tema que se estudiará ampliamente eft el Capítulo 14. Por ahora, simplemente obsérvese que el efecto de un cambio unitario en la oferta de dinero o en los gastos del gobierno sobre el PNB está distribuido sobre un período, no siendo, por tantq, instantáneo. Pue~o que a priori puede ser difícil decidir entre los dos modelo~ alternos, mezclémoslos como se muestra a continuación: 4
Y, =
constante+
4
I P¡M'-i + I ).¡lt'-i + U3, i=O
(11.5.6)
i=O
Este modelo anidado es una dt: las formas en que el famoso modelo de San Louis (del Banco de Reserva Federal de San Louis), entidad que sigue la escuela monetarista, se ha expresado y estimado. Los resultados de este modelo para el período 1953-1 a 1976-IV para los Estados Unidos son los siguientes: (las razones t aparecen entre paréntesis)17.
Coeficiente
Po
PI
P2 P3 P4 4 I Pi
Estimación 0.40 (2.96) (5.26) 0.41 (2.14) 0.25 0.06 (0.71) -0.05 (-0.37) 1.06
(5.59)
1=0
).0
).1
A2 ).3
4
I
A4 Ai
(2.26) 0.08 0.06 (2.52) 0.00 (0.02) -0.06 (-2.20) -0.07 (- L83) 0.03
(11.5.7)
(0.40)
i=O
R 2 =0.40 d = 1.78
¿Qué sugieren estos resultados sobre la superioridad de un modelo con respecto a otro? Si consideramos el efecto acumulativo de un cambio unitario de M y E en y, obtenemos, respectivamente, It=o Pi = 1.06 It=o A.i = 0.03, siendo el primero estadísticamente significativo, mientras que el último no lo es. Lo anterior favorecería. la teoría monetarista de que los cambios en la oferta de dinero determinan los cambio~ en el PNB nominal. Dejamos este ejercicio pala que el lector evalúe críticamente esta teoría (~éase Ejercicio 11.12).
11.6 ERRORES DE MEDICION A lo largo del libro hemos asumido implícitamente hasta el momento que la variable Y y las variables explicativas, las X, se miden sin ningún tipo de
17 véase Keith M. Carlson, "Does the Sto Louis Equation Now Believe in Fiscal Policy? Review, Federal Reserve Bank of Sto Louis, vol. 60, No. 2, febrero, 1978, p. 17, Tabla IV.
ESPECIFICACION DE MODELOS
353
error. De esta forma, en la regresión de los gastos de consumo en el ingreso y la riqueza de los hogares, asumimos que los datos sobre estas variables son Uexactos"; no son estimaciones adivinadas, extrapoladas, interpoladas, o aproximadas de alguna manera sistemática, (aproximadas, por ejemplo a la centésima de dólar más cercana) o algún método alterno. Infortunadamente, este ideal no se cumple en la práctica por una variedad de razones, tales como errores de no respuesta, errores en los informes y errores en los cálculos.. Independientemente de las razones, los errores de medición se convierten potencialmente en un, problema bastante complicado puesto que constituyen otro ejemplo de sesgo de especificación en los modelos con las consecuencias que se mencionan a continuación. Errores de medición en la variable dependiente Y Considérese el siguiente modelo:
yt donde
yr =
=
IX
+ pX¡ + U¡
(11.6.1 )
gasto de consumo "permanente"18
X¡ = ingreso actual U¡ = término de perturbación estocástica.
Puesto que yt no se puede medir directamente, podríamos utilizar una variable de gastos observable lí. , tal que (11.6.2)
donde S¡ denota los errores de medición en estimar (11.6.1), calculamos
yr . Por tanto,
lí = (IX + pX¡ + u¡) + S¡ = IX + pX¡ + (u¡ + Si) = IX + pX¡ + V¡
en lugar de
(11.6.3)
donde v¡ = u/ + S¡ es un término de error compuesto que contiene el término de perturbación poblacional (que se podría denominar término de error en la ecuación) y el término de error de medición. Para simplificar, supóngase que E(u¡) = E(s¡) = O, que coy (X¡, u¡) = O (el cual es el supuesto del modelo lineal clásico) y que coy (X¡, Si) = O; es decir, que los errores de medición en yr no están correlacionados con Xi y que coy (u/, 6/) == O; lo cual implica que el error en la ecuación y el error en la medición no están correlacionados. Con estos supuestos se puede ver que el P estimado, ya sea a partir de (11.6.1) 6 (11.6.3), será un estimador insesgado
18
Esta frase la elijo MUton Friedman.
354
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
p (véase Ejercicio 11.13); 10 anterior implica que los errores de medición de la variable dependiente Y no destruyen la propiedad de insesgamiento de los estimadores de MCO. Sin embargo, las varianzas' y los errores estándar de p estimados utilizando f( 11.6.1) y (11.6.3) serán diferentes, porque ptilizando las fórmulas actuales (véase Capítulo 3) obtenemos
del verdadero
Modelo (11.6.1)
var (¡J)
a2
=~ u2 L.
(11.6.4)
X¡
a2
var (¡J) =_v
Modelo (11.6.3)
L xr
(11.6.5)
Obviamente, esta última varianza es mayor que la primera 18 . ~r tanto, aunque los errores de medición en la variable dependiente siguen arrojando estimativos insesgados de los parámetros y de sus varianzas, las varianzas estimadas son más grandes que en el caso en que no existieran tales errores de medición. Errores de medición en la variable explicativa X Supongamos ahora que en lugar de (11.6.1), tenemos el siguiente modelo: 1'; =
O(
+ pXr + U¡
(11.6.6)
donde 1'; =
gasto de consumo actual ingreso "permanente" ' U¡ = término de perturbación (error en la ecuación) Supongamos ahora que en lugar de observar Xr, observamos
xr =
x¡=xr
donde W¡ representa los errores de medición en estimar (11.6.6), estimamos 1';
01.6.7)
+w¡
Xr . Por tanto, en lugar de
= O( + p(X¡ - w¡) + U¡ = O( + pX¡ + (u¡ - pW¡) = O( + f3X¡ + Z¡
(11.6.8)
donde Z¡ = U¡ - pW¡ ¡ , un conjunto de errores de medición y de errores en la ecuación. Entonces, aunque supongamos que w{ tiene un promedio de cero, sea serialmente independiente y no esté correlacionada con Uf' no podemos continuar suponiendo que el término del error compuesto z¡ sea indepen-
355
ESPECIFICACION DE MODELOS
diente de la variable explicativa X" Puesto que tenemos [suponiendo que = O]
E(z¡)
cov (z¡, XI) = E[z¡- E(z¡)][X¡ - E(X¡}l
=E(u¡ -
utilizando 11 6.7)
fJwJ(w¡)
= E( -fJwf) =
-fJu;
(11.6.9)
En consecuencia, la variable explicativa y el ténnino del error en (11.6.8) están correlacionados, 10 cual viola el supuesto crucial del modelo clásico de regresión lineal de que la variable explicativa no está correlacionada con el ténnino de perturbación estocástica. Si se viola este supuesto, se puede demostrar que los estimadores de CMO nQ solamente son insesgados sino también inconsistentes,· hecho que implica que ellos permanecen insesgados a pesar de que el tamaño de la muestra N aumente indefinidamente 19 • Para el modelo (11.6.8) se demuestra en el Apéndice ) 1 A. Sección 11 A.2, que plim ¡1 = fJ[
2]
1 uw
(11.6.10)
1 +-
ui.
u;
y ui. son las varianzas de w, y X* y donde plim ¡1 significa donde límite de probabilidad de fJ. Puesto que el término entre paréntesis cuadrados es menor que 1, (¿por qué?), (11.6.10) demuestra que así el tamafi.o de la muestra aumente indefinidamente, ¡J no convergirá hacia fJ: en realidad, si se supone que fJ es posj,tivo, ¡1 subestimará a fJ , es decir, estará sesgada hacia cero. Claro está que si no existen errores de medición en X (es decir que, u! = O), ¡1 proporcionará un estimados consistente de fJ. Por tanto, los errores de medición presentan un serio problema cuando se encuentran presentes en la(s) variable(s) explicativa(s), puesto que imposibilitan la estimación consistente de los parámetros. Ciertamente, como se mencionó anterionnente, si di<:hos errores están presentes únicamente en la variable dependiente, los parámetros pennanecen siendo insesgados y, por tanto, también son consistentes. Si existen errores de medición en la(s) variable(s) explicativa(s), ¿cuál es la solución? La respuesta no es tan fácil. De un lado, podemos suponer que si u! es pequefi.a comparada con ui. J para todos los fmes prácticos podemos "asumir" que el problema no existe y proceder con la estimación de
19 Pero obsérvese que esta varianza sigue siendo insesgada porque bajo las condiciones enunciadas, el término deerrot compuesto Vi = Ui + El continúa satisfaciendo los supuestos en que se'basa el método de mínimos cuadrados. .
356
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
Meo corriente. Lo cierto es que en este caso no podemos observar fácilmente a u; y a u}. y, por tanto, no existe fonna alguna de juzgar sus magnitudes _ relativas. Otro remedio que ha sido sugerido es el uso de las llamadas variables instrumentales o aproximadas· que, aunque tienen una alta correlación con las .variables X originales, no están correlacionadas con la ecuación y los términos de error de medición (es decir, U¡ y w¡) • Si se pueden encontrar tales variables, entonces se puede llegar a optener una estimación consistente de fJ. Esto es sin embargo, mucho más fácil decirlo que hacerlo. En la práctica, no es fácil hallar buenas variables instrumentales; con frecuencia estamos en una situación en que nos quejamos del mal tiempo, sin poder hacer nada al respecto. Además, no es fácil averiguar si la variable instrumental seleccionada es de hecho independiente de los ténninos de error U¡ y W¡. En la literatura existen otras sugerencias para resolver el problema20 ; sin embargo, la mayoría de ellas son específicas para situaciones detenninadas y están basadas en supuestos restrictivos. Realmente no existe una respuesta satisfactoria al problema de los errores de medición. Por esto es crucial medir los datos en fonna tan exacta como sea posible. Un ejemplo Concluimos esta sección con un ejemplo que se construyó para hacer énfasis en los puntos antes considerados. La Tabla 11,2 proporciona información hipotética sobre los gastos de consumo verdadero observado en la realidad Y·, el ingreso obteniendo en la realidad X* , el consumo medido Y y el ingreso medido X. La tabla también explica la manera como se midieron estas variables por la entidad que recopiló la información21 •
Errores de medición en la variable dependiente y tmicamente Con base en la información dada, la verdadera función de consumo es:
fr = 25.00 (10.477)
+ O.6000Xr
(11.6.11)
(0.0584)
.t = (2.3861) (10.276) R 1 = 0.9296
I es un estimador consistente de /l si, a medida que N aumenta indefinidamente, la distribución muestral de p finalmente éonvergerá hacia el verdadero /l . Técnicamente, esto se enuncia como $- /l. • La consistencia es una propiedad de las muestras grandes y con frecuencia se utiliza para estudiar el comportamiento de un estimador cuando sus propiedades en una muestra pequei1a o finita (por ejemplo, el insespmiento) no se pueden determinar. 21 " . , . Fomby et 111., op. cit., pp. 273-277. 2)
357
ESPECIFICACION DE MODELOS
TABLA 11.2 Datos hipotéticos sobre Y* (gastos de consumo verdaderos), X· (ingreso verdadero), Y (gastos de consumo medidos), y X (ingreso medido). Toda la infonnación está en dólares. Y*
X*
Y
X
E
"'
11
75.4666 74.9801 102.8242 125.7651 106.5035 131.4318 149.3693 143.8628 177.5218 182.2748
80.00 100.00 120.00 140.00 160.00 180.00 200.00 220.00 240.00 260.00
67.6011 75.4438 109.6956 129.4159 104.2388 125.8319 153.9926 152.9208 176.3344 174.5252
80.0940 91.5721 112.1406 145.5969 168.5579 171.4793 203.5366 222.8533 232.9879 261.1813
-7.8655 0.4636 6.8714 3.6509 -2.2647 -5.5.999 4.6233 9.0579 -1.1874 -7.7496
0.0940 -8.4279 2.1406
2.4666 -10.0199 5.8242 16.7651 -14.4965 -1.5682 4.3693 -13.1372 8.5218 1.2748
5.59~9
8.5579 -8.5207 3.5366 2,8533 -7.0120 1.1813
Nota: se asume que están dados los datos sobre X·. Al derivar las otras variables. los supuestos planteados fueron: (1) E(u,),. E(e,) = E(w,) = O; (2) COy (X. u) - COy (X. e),. COY (u. el - COY (w. u) - COY (e. w) - O; (3) ,,~ ,. 100. ": .. 36. Y ,,; = 36 Y (4) y~ ,. 25 + O.6X~ +14 1;
Y¡= Yi+~i' y Xi=X~+Wi·
mientras que si utilizamos 1'; en lugar de
Y; =
25.00
rr. obtenemos +
(12.218)
0.6000Xr
(11.6.12)
(0.0681)
t = (2.0461) (8.8118)
R 2 = 0.9066
Como muestran estos resultados y de acuerdo con la teoría, los coeficientes estimados son idénticos~ el único efecto de trabajar con errores de medición en la variable dependiente consiste en que los errores estándar estimados de los coeficientes tien. den a ser más grandes [véase (U.6.5)], hecho que se puede apreciar claramente en (11.6.12). A propósito, obsérvesé que los coeficientes de regresión en (11.6.11) y (11.6.12) son los mismos debido a que la muestra se generó de tal manera que encajara con los supuestos del modelo con errores de medición.
Errores de medición en X Sabemos que la regresión verdadera es (11.6.11). Suponiendo ahora que en lugar de utilizar Xr, utilizamos Xl' (Nota: en realidad, Xr se observa muy ocasionalmente). Los resultados Q,e la regresión son los 'siguientes: .
rr = 25.992 + 0.5942X (11.0810) (0.0617)
t = (2.3457) (9.6270)
R 2 = 0.9205
i
(11.613)
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
Estos resultados están de acuerdo con la teoría; cuando existen errores de medición en la(s) variable(s) explicativa(s), los coeficientes estimados son sesgados. Afortunadamente, en este ejemplo el sesgo es relativamente pequefio: a partir de (11.6.10) es evidente que el sesgo depende de u;/ui. y al generar los datos se asumió que' u; = 36 Y que ui. = 3667.\ produciendo así un factor de sesgo relativamente pequeño, ' aproximadamente de 0.98'%1(= 36/3667). Dejamos como tarea al lector que compruebe qué ocurre cuando existen errores de medición y Y yen X, es decir, si regresamos Y{ en X{ en lugar de y~ enX~ (véase Ejercicio 11.16).
11.7 RESUMEN Y CONCLUSIONES Uno de los supuestos del análisis clásico de regresión es que el modelo utilizado en el análisis se especifique "correctamente". Este supuesto parecería inocuo, pero en este capítulo hemos demostrado que no lo es. Las consecuencias de violar este supuesto pueden ser muy serias. Puesto que necesitamos algunas guías generales para juzgar la "calidad" de un modelo, primero consideramos algunos criterios prácticos importantes, principalmente (1) moderación o simplicidad, (2) identificabilidad, (3) bondad del ajuste, (4) consistencia teórica y (5) poder predictivo (una vez tomé!'da la muestra). Dados estos criterios, distinguimos entre los errores de especificación de un modelo y los errores de especificación equivocada del mismo. En el análisis de error, de especificación suponemos que existe un modelo "correcto" e intentamos averiguar qué ocurre con los estimadores de MCO usuales cuando cometemos uno o más de los siguientes errores: (1) omitir una variable relevante, (2) incluir una variable innecesaria (o más de una), (3) adoptar una forma funcional errada, (4) la especificación incorrecta del término de perturbación u{, (5) errores de medición. Cuando se omite una variable legítima del modelo, la~ consecuencias son muy serias: los estimadores de MCO de los coeficientes de la variable retenida en el modelo no son únicamente sesgados, sino también inconsistentes. Adicionalmente, las varianzas y los errores estándar de estos coeficientes están estimados en forma incorrecta viciando ásí los procedimientos usuales de prueba de hipótesis, Las cop.secuencias de incluir variables irrelevantes en el modelo son afortunadamente mucho menos serias: los estimadores de los coeficientes de las variables relevantes como también los de las "irrelevantes" continúan siendo insesgados y consistentes, la varianza del error (12 se sigue estimando en forma correcta. El único problema es que las varianzas estimadas tienden a s~r más grandes que io necesario, haciendo así menos precisa la estimación de los parámetros; los intervalos de confianza tienden a ser más grandes que lo' necesario. Puesto que los errores de especificación pueden ser un problema serio, en el capítulo desarrollamos varios métodos para detectar su presencia en una situación dada. Las pruebas que analizamos incluyen (l) el análisis de los residuos, (2) el estadístico d de Durbin-Watson y (3) la prueba RESErde
359
ESPECIFICACION DE MODELOS
Ramsey. Estas pruebas se pueden aplicar individualmente, pudiéndose también usar en fonna complementaria. Discutimos el caso del sesgo en la especificación errada del modelo. A diferencia de los errores de especificación en donde contábamos con un modelo o estándar definido para comparar nuestros resultados, en la especificación equivocada de modelos no se ttlnía un modelo claro en nuestra mente. Generalmente tenemos dos o más teqrías que compiten entre sí (modelos), donde cada una compite para que se lt: preste atención. Una forma de decidir entre dichos modelos consiste en "anidar" o unir los modelos en un "gran" modelo', procediendo a escoger _aquel modelo cuyos coeficientes sean en términos estadísticos significativamente diferentes de cero. Sin embargo. este método aparentemente simple puede no funcionar si existe una colinealidad seria entre las variables de los dos modelos que compiten para ser seleccionados. Por tanto, a diferencia de las pruebas para los errores de especificación, las pruebas para los errores de especificación errada pueden no ser llevadas a cabo fácilmente. Finalmente, consideramos el caso de los errores de medición, caso especial de los errores de especificación. Primero consideramos el caso en que la variable dependiente se mide con errores, mientras que la(s) variable(s) explicativa(s) pennanece(n) sin errores. En el caso de los estimadores de MeO, éstos continúan siendo insesgados y consistentes, pero son menos eficientes. El caso verdaderamente serio es cuando se presentan errores de medición en las variables X. Aquí los estimadores de MeO no solamente son sesgados sino inconsistentes también. Aunque es fácil establecer estas consecuencias, no es fácil remediar la situación. La utilizaci6n de variables aproximadas ("proxy") o instrumentales, te6ricamente es atractiva pero difícil de implantar en la práctica. Dtros remedios sugeridos para resolver el problema tampoco son fáciles de adoptar y están basados en supuestos restringidos. No obstante, en la práctica, si los errores de medición son pequeños en comparación con el error' de la ecuación, se tiende a "ignorar" el problema y a adoptar la metodología usual de MeO. Sin embargo, no es fácil averiguar si tales errores son de hecho pequeños. Realmente no existe un buen sustituto para este problema. Por esto es tan importante que recolectemos los datos en la forma más exacta posible.
EJERCICIOS 11.1 Suponiendo que el modelo verdadero es (1) pero, en lugar de ajustar esta regresión a través del origen, usted en forma rutinaria ajusta el modelo usual, en donde está presente la intersección: ,
y¡ =
1%0 +I%¡X¡
+ V¡
Evalúe las consecuencias de este error de especificación.
(2)
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
11.2 Continúe con el Ejercicio 11.1 suponiendo que el modelo (2) es el verdadero. Analice las consecuencias de ajustar el modelo (1) especificado erróneamente.
n.3 Suponiendo que el modelo "verdadero" es (3)
pero adicionamos al modelo una variable "irrelevante" X3 (irrelevante en el sentido de que el verdadero cOeficiente p3asociado a la variableX 3 es cero) y estimados (4) (a) ¿Sería el R2 y el R2 ajustado para el modelo (4), mayor que los del modelo (3)? (b) ¿Son insesgados los estimativos de PI y P2 obtenidos de (4)? (e) ¿Afecta la inclusión de la variable "irrelevante" X3 las varianzas de PI y P2?
11.4 Suponiendo que el modelo "verdadero" es
Yi = pX¡u¡
~
~;,'
(5)
donde el término de error Ut es tal que In (ut) satisface los supuestos del modelo clásico lineal normal; es decir, que tiene un promedio cero y una varianza constante. Pero suponiendo que ajustamos el siguiente modelo:
Yi = pX¡ + V¡
(6)
(a) ¿Sería el P estimado de (b) un estimador insesgado del verdadero P? (b) Si el P estimado previamente es sesgado, ¿es consistente?, es decir,¿desapa-
rece el sesgo a medida que aumenta el tamaflo de la muestra? 11.5 Considere la siguiente función de producción "verdadera" (Cobb-Douglas) (7)
donde
y = producción
L1 = mano de obra dedicada a la producción L 2 = mano de obra no dedicada a la producción K = capital ., Pero si suponemos que la regresión que en realidad utilizó una investigación empírica es: In Y¡ =
Po + PI
In Lu
+ P2 In K¡ + U¡
(8)
Suponiendo que se tienen datos de corte transversal para las variables relevantes, (a) ¿Serán E(f11) = 1X 1 Y E(f12) = 1X 3 ? (b) ¿Se má'ntendrá la respuesta dada en (a) si se sabe que L" es un insumo igelelevante en la función de producción? Muestre las derivaciones necesarias. . 11.6 En el Ejercicio 6.21 se solicitó estimar la elasticidad de sustitución de la mano de obra y el capital utilizando una función CES (las siglas en inglés significan elasticidad constante de sustitución). Sin embargo, la función que se muestra allí está basada en el supuesto de que existe competencia perfecta en el!mercado de trabajo. Pero si la competencia es imperfecta, la fórmula correcta para elllrotie.lo es: I
361
ESPECIFICACION DE MODELOS
10g
(f) =
10g {JI
+ 10g W + 10g (1 +~) {Jz
{J3
(9)
donde (VIL) = valor agregado por unidad de mano de obra, L = mano de obra, W = tasa de salario real y E = elasticidad de la oferta de mano de obra. . (a) ¿Qué tipo de errOI de especificación está involucrado en la estimación original CES de la elasticidad de sustitución si de hecho el mer¡;ado laboral es imperfecto? (b) ¿Cuáles son las consecuencias teóricas de este error pna {Jz, el parámetro de elasticidad de sustitución? (e) Suponga que las elasticidades de la oferta de mano de obra en las industrias que aparecen en el Ejercicio 6.21 fueron: 2.0, 1.8,2.5,2.3, 1.9,2.1,1.7,2.7,2.2, 2.1,2.9,2.8,3.2,2.9, Y 3.1. Utilizando estos datos, junto con los del Ejercicio 6.21, estime el modelo (9) y comente sobre los resultados con base en la teoría de los errores de especificación.
t 1.7 Consideremos l.os siguientes dos modelos:
+ (Xl ingreso ¡ + U¡
Modelo!
consumo ¡ =
Modelo!!
consumo¡ = fJI + fJl riqueza¡ + V¡
(XI
'Supongamos que afmnamos que el modelo 1 es el "verdadero". ¿Cómo haTía usted para verificar la "verdad"? 11.8 Evalúe en forma crítica los resultados del modelo de San Louis dado en (11.5.7). En particular, considere el (J¡ y el A¡ estimado. También, considere la posibilidad de la presencia de multicolitlealidad. Con base en su análisis, ¿cuál modelo aceptaría usted, el monetarista o el keynesiano? 11.9 Demuestre que el fJ estimado ya sea de (11.6.1) o (11.6.3) proporciona una información insesgada del verdadero (J. 1l.10Siguiendo la hipótesis de Friedman sobre el ingreso permanente, podríamos escribir
rr donde yr
=
(X
+ fJXr
(lO)
= gastos de consumo "permanente"
X~ =
ingreso "permanente"
En lugar de observar las variables "permanentes", observemos.
l'í = yr + U¡ X¡ ... Xr + V¡ donde Y i Y Xi son las cantidades que se pueden observar o medir y donde U¡ y Vi son los errores de medición en y· y X·, respectivamente. Utilizando las cantidades observables, podemos escribir la función de consumo como l'í = (X + fJ(X¡ - viJ + U¡ (11) = (X + {JX¡ + (u¡ - fJvJ Suponiendo que (1) E(u¡) = E(vJ == 0, (2) var (uJ = 11~ Y var (v¡)
=
11:, (3) COy (yr,
362
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
uJ =0, COy (Xr, VJ =0, y (4) COy (u" Xr)
=COy (v"
rr) =COy (u" VJ
=0, demnestre
que en muestras grandes, el B estimado en (11) se puede expresar como
lim 16\ _ fJ P \PI - 1 + (O'!/O'~) (a) ¿Qué puede usted decir sobre la naturaleza del sesgo en p? (b) Si el tamatlo de la muestra aumenta indefmidamente, ¿tenderá el fJ estimado a igualar al verdadero fJ?
11.11 Modelo para valuar activos de capital El modelo de avalúo de activos de capital (CAPM) de la teoría moderna de inversiones, postula la siguiente relación entre la tasa promedio de re'torno de un título valor (acción común) medido durante cierto período y la volatilidad del valor, denominado coeficiente Beta (la volatilidad es la medida del riesgo):
(12) donde
Ri = tasa de retorno promedio para el título valor i PI = verdadero coeficiente Beta para el valor i U¡ = término de perturbación estocástica
El verdadero manera:
Pi
no se puede observar directamente sino que se mide de la siguiente
(13) tasa de retorno del valor i para el período t tasa de retorno del mercado para el período t (esta es la tasa de retorno con respecto a un índice global más amplio del mercado, tal como el índice S & P de valores industriales en los Estados Unidos). e, = término residual y donde p. es una estimación de coeficiente Beta "verdadero", Por tanto, en la práctica, en lugar de estimar (12) se estima
donde
ril
r...
= =
(14) donde pr se obtiene de la regresión (13). Pero puesto que se estiman los Pf , la relación entre el verdadero P y p. se puede expresar como
(15) donde Vi se puede denominar errores de medición. (a) ¿Cuál será el efecto de este error de medición sobre la estimación de a2 ? (b) ¿El a2 estimado en (14) proporciona una estimación insesgada del verdadero a2 ? Si no es el caso, es una estimación consistente de a2 ? Si no es así, ¿qué medidas remediales sugiere usted? 11.12 El veI:dadero modelo es
yr=p¡+p2 X r+u¡
(16)
pero debido a errores de medición se estima
(17)
363
ESPECIFICACION DE MODELOS
rr
xr
donde Y¡ = + e¡ y X¡ = + W¡ siendo é¡ y W¡, los errores de medición. Utilizando los datos dados en la Tabla 1 l .2, documente las consecuencias de estimar (17) en lugar del verda'lj.ero modelo (16) .
APENDICE llA llA.1 CONSECUENCIAS DE INCLUIR UNA VARIABLE IRRELEVANTE: LA PROPIEDAD DE INSESGAMIENTO Para el modelo verdadero (11.3.4) tenemos que B _
¿ YX
112 -
'" L.
2
(1)
x22
y sabemos que éste es insesgado. Para el modelo (11.3.7), obtenemos A
!X
2
(2: yx 2x2: x~) - (2: YX3X2: X 2 x 3) = 2: x~ 2: x~ - (L X2 X3)2
(2)
Ahora bien, el modelo verdadero, expresado en forma de desviaciones es: y¡
= /32 X 2
+ (U¡
-
(3)
ü)
sustituyendo Yi de (3) en (2) y simplificando, obtenemos 1 E(
A
)
[¿ xi 2: x~ - (¿ X 2 X3)2]
/3
_
!X2 -
2
'" L.
" x2 x 22 'L. 3
-
'" X 2 (L.
x 3 )2 ~)
=/32
es decir, <2 2 continúa siendo insesgado. También obtenemos <2 _ 3 -
(L YX 3 )(L x~) - (L YX2X2: X 2 x 3 ) ¿ x~ L x~ - (2: X 2 X3)2
(5)
Sustituyendo y¡ de (3) en (S) y después de simplificar obtenemos E(& ) 3-
nL X2 X3X¿ x~) -=- (2: X2 x 3 )(L xm
/3
2: x~ ¿ x~ -
2
(2:X2 X3)2
=0 W el cual corresponde a su valor en el modelo verdadero, puesto que X 3 no está presente en el modelo verdadero. l1A.2 PRUEBA DE (11.6.10) Tenemos
y X¡
= !X + /3X¡ + U¡
(1)
= Xr + W¡
(2)
364
VIOLACION DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO CLASICO
Por tanto, expresado en fonna de desviaciones obtenemos . YI = Xi
=
pxt + (UI - ü) xt + (WI - w)
(3)
(4)
Entonces cuando utilizamos Y; = a
+ px, + u,
(5)
= (11.6.8)
obtenemos
B_~
P-
=
¿x
2
L [px* + (u -
ü)][x*
+ (w - w)] utilizO d (3)
L [x* + (w _ W)]2 ' _ PL X*2 + PL x*(w - w) + L x*(" -
-
L x*~ +. 2 L x*(w -
an o
ü)
(4) y
+ L (" -
ü)(w - w)
+ L (w - W)2
w)
P4esto que no podemos tomar la esperanza matemática de esta expresión, debido a que la esperanza de la razón de dos variables no es igual a la razón de sus esperanzas. (Nota: el operador de esperanza E es un operador lineal), primero podemos dividir cada término del numerador y el denominador por N y tomar el límite de la probabilidad, plim, .
PL X*2 N
+
PL x(w -
w)
N ~
N
+
L x*(u N
2Lx*(w-w) -
N
+
ü)
+
L (u -
ü)(w - w) N
L(W-W)2 N
Puesto que el límite de probabilidad de la razón de dos variables es la razón de sus límites de probabilidad, al aplicar esta regla y tomar el plim de cada término obtenemos .
B
Pt1;' t1;x" + t1 w
l plmp= 2 . 2
donde t1;' Y t1; corresponden a las varianzas de x· y w a medida que aumenta indefinidamente el tamafl.o de la muestra y donde hemos utilizado el hecho de que a medida que aumenta el tamafl.o de la muestra indefinidamente, no hay correlación entre los errores u y w como entre éstos y el verdadero x· . Para la anterior expresión, finalmente obtenemos plim
P=
p[_1_2 ]
t1w t1;'
1 +-
que corresponde al resultado que se requería.
INDICE
Aceptación, región de véase Región de An61isis de regresión, 72,127, 128 análisis de correlación versus, 19-20 análisis de varianza y, 121 aplicación del, 124 causación versus, 19 en dos variables, 102 estadística versus detenninística, 18 evaluación de los resultados, 128 infonnes de los reSultados, 127 múltiple, 124, 187 véase tDmbién regresión lineal An81isis di! Regresión Múltiple, 21, 124, 140 coefichmtes de correlación parcial y,l84 detenninaclón de coeficientes y el, 182 estimación de la función de costo, 238, 239 función de producción de Cobb-Douglas, 232,234 inferencia, 6 interpretación del, 150 modelo de tres variables, notación y supuestos, 151 modelos de regresión polinomial y, 238 R2 Y R2 , cuadrado ajustado, 182 sesgo de especificación y, 190 An611sis de Varianza (ADV), 122 an61lsls de regresión y, 121 An6111is Estacional, variables dicotómicas en.el, 238 Autocorrelaclón, 287 coeficiente, 295 cómo detectarla, 304
en modelos autorregresivos, 312 definición, 287, 288 espacial, 293 estimación de, 294 método de primeras diferencias, 318 procedimiento en dos etapas de Durbin, 312,-313 procedimiento de Cochrane·Orcutt, 320,321 estimación de MCO y, 294 estimador MELI y, 297 fenómeno de la telaraña y, 292, 295, 298 inercia y, 290 medidas reme diales, 316 patrones de, 289 problemas de, 287, 293 sesgo de especificación y, 290, 291 Autocorrelación espacial, 293 Autorregresión, 292 modelos estimación de, 294 detección de la autocorrelación en, pruebah de Durbin, 467, 469 método de las variables instrumentales y,466,467 Banda de confianza, 125 Bondad de ajuste en los modelos, 338 Causación, análisis de regresión versus, 19, 20 Causalidad, 484, 485, 486 Coehrance-Orcutt, procedimiento iterativo para estimar, 320, 321
591
592
INDICE
Coefi~ientes,
Dependencia lineal,
de ajuste, 462 de correlación, 71, 72 de correlación múitiple. 229 de correlación parcial, 230, 232 de determinación, 70, 182 de expectativas, 458 de regresión parcial, 226 Coeficiente de confianza, 103 Coeficiente de diferencia de intersección, 473 Coeficiente de diferencias entre las pendientes, 384 Coeficiente en la forma reducida, 519 Coeficiente de regresión intervalos de confianza y, 106 Coeficientes de regresión parcial, 195, 226 estimadores de máxima verosimilitud, 98, 100,202 estimadores de MCO y., 269, 274, 291, 294 Coeficientes de ~orrelación parcial, 230, 232 Coeficientes estructurales, 519, 525, 527, 534 Colinealidad, definición de, 240 Com binación de datos de sección transversal y de series de tiempo, 22 Comparación de dos valores R 2 , 129 Confiabilidad de un estimador, véase precisión de un estimador Consistencia, definición de, 101 Consistencia teórica en los modelos, 338 Correlación análisis de, análisis de regresión, versus, 19,20 coeficiente de, 20 matriz de, 184 Correlación espúrea, 274 Correlación serial, 288 Cotización de Bonos, predicción, 416 Datos, exactitud de, 24 fuentes de, 23 tipos de, 22, 23 Datos com binados o agrupados (Pool data), 22 Datos de corte transversal, 22 Datos de micropanel, 23 Datos de panel, 23 Datos de series de tiempo, 22 Datos longitudinales, 23
Desestacionalización,390 Determinante~, 534 evaluacion de, 566, 567 rango de una matriz, 533, 534 propiedades de, 567 Diagrama de dispersión, 15, 260 Dispersograma, véase diagrama de dispersión DistribuciónF,187,l96 propiedades de la, 93 Distribución muestral, 66, 552 Distribucion normal, 104 Distribución t, 95,104 propiedades de la, Distribución N 2 , 96, 104 propiedades de la, 97 Durbin.Watson, 346, 347 prueba de t para autocorrelación, 311 EconometrÍ1l definición, 1 modelos, 3 metodología, 3, 7 tipos de datos, 22 Ecuación de diferencias generalizadas, 317, 321 Ecuaciones de comportamiento, 519 Ecuaciones en la forma reducida, 519 Ecuaciones simultáneas, 498, 499 métodos de la ecuación, 539 sesgo en, 507 Efectos de interacción, 388, 389 Elasticidad constante de sustitución (CES), función de producción de, 167 Enfoque de Koyck sobre los modelos de rezagos distribuidos, 453, 457 Engel, curvas de gasto de, 166 Errores de medición en los modelos, 352, 353 Error estándar, 63 de la estimación, 64 Error tipo uno, 120 Error tipo dos,120 Espacio muestral, definición Esquema autorregresivo, 295 Esquema autorregresivo de primer orden, de Markov, 295 Estimación, 5 de punto, 52 intervalo de, 102, 103
IN DICE
mlllticolinealidad "alta" pero imperfecta y, 218 multicolinealidad perfecta y, 216, 217 Estimación de MCO, autocorrelación y, 298, 299 consecuencias de utilizarla con la presencia de Heterocedasticidad, 25.6, 257 en presencia de la autocorrelación, 294, 295 en presencia de la Heteroeedasticidad y, 252, 253 Estimación por intervalos, 102, 103 Estimadores, propiedades de los estimadores para muestras grandes, 84 propiedades de los estimadores para muestras pequeñas, 87 Estimadores de punto,propiedades de los, 52,53,54 Estimadores MCO, coefi~ientes de regresión parcial y los, 195 gran des varianzas y covarianzas de los, 221 inconsistencia de los, 507, 508 mínimos cuadrados generalizados en . contraste con los, 253, 254 modelo de regresión lineal y los, 175, 185 sensibilidad de los, 224, 225 supuesto de normalidad, 92, 94 Estocástico, especificación de la función de regresión poblacional, 34, 35 término del error, 34, 35 término de perturbación, 35 variables, 18, 21 Evento, po blación, definición, 526 Fenómeno de la telaraña, 292, 295, 298 Formato de desviaciones, 53 Función de densidad de probabilidad co~junta, .98 continua, 439 discreta, 440 Función de distribución logística, 419, 420 Función de producción Cob}).Óouglas, 232, 234 Función de producción trascendental (FM'), 101 Función de regresiqn muestral (FRM), 37, 92
593
Función de verosimilitud (FV), 99 FRM, véase Función de regresión muestral FRP, véase Función de regresión poblacional Grados de libertad, número de, 183
Heteroeedasticidad, 24 7, 257 consecuencias del uso de la estimación de MCO, 256 detección de, 258, 269 prue ba de correlación de rangos de Sperman,263 prue ba de Goldfeld-Quandt, 263, 265 prueba de Glejser, 262, 263 prueba de Park, 261 . estimación de MCO y, 252 ilustración, 24 9 medidas remediables, 269 métodos de los mínimos cuadrados generalizados, 253 método de los mínimos cuadrados ponderados (MCP), 256 naturaleza de, 247, 251 Hipótesis aceptación o rechazo, 117 nula,117 prueba de, 110, 111 con inferencia estadística, 6 enfoque de intervalo de confianza, 111 enfoque de la prue ba de significancia, 113,116 Regla práctica del 2-t, 118 Homogeneidad de Bartletten la prueba de varianza, 269, 277 Identificación, exacta o justa, 524 sobre identificación, 528 condición de orden, 530 condición de rango, 530 reglas para la, 530 su bidentlficación, 521 Identificabilidad en los modelos, 33.8 IDP, véase inversión doméstica privada bruta Indiee condicional, 232 Inferencia, 6 análisis de regresión múltiple, 21 análisis de varianza y, 121, 122 mínimos cuadrados restringidos y, pruebaFy, 187 prueba de hipótesis y, 110, 111 . prueba de igualdad para dos coeficientes de regresión, 198
594
INDICE
prueba de significancia de una muestra, 113,116 sul>uesto de normalidad y, 92, 93, 94 Inferencia estadística, 6 estimación, 5 Insignificancia estadística, definición, 116 Intervalo aleatorio, 104 Intervalo de confianza, 103 coeficientes de regresión y, 106 prueba de hipótesis y, 110, 111 Inversión doméstica privada bruta (IDPB), producto nacional bruto (PNB) y, 149 Límite de confianza, inferior, 103 Límite de confianza superior, lOa Límites de confianza, 103 LM V, véase línea de mercado de valores Línea de mercado de valores (LMV), 141 Lineal, definición, 31, 33 Linealidad, al3 Matrices, 197 Matrices iguales, 180 Matrices tipos de, 182, 184 Matriz cuadrada, 185 Matriz diagonal, 185, 194 Matriz escalar, 178 Matriz identidad, 175, 176, 179 Matriz nula, 180, 181 Máxima versosimilitud (MV), 97 estimadores, coeficientes parciales de regresión y, 100, 97 método, 97 Medida escalar, y unidades de, 146 Mejor estimador lineal insesgado, véase
MELI MELI definición, 297, 298 estimador, autocorrelación y, 297 Método de máxima verosimilitud, con información completa (MVIC), 97, 540 Método de Montecarlo, 300 Métodos de información completa, 539, 540 Métodos de información limitada, 539, 540 Mínimos cuadrados en dos etapas, 548,549 Mínimos cuadrados generalizados en contraste con los, 253 Mínimos cuadrados indirectos, 544, 545 Mínimos cuadrados ordinarios, 12,47 Mínimos cuadrados ponderados (MCP), 256 M ínimos cuadrados restringidos y, 187, 203 Modelo de acelerador flexible, 460, 461 Modelo de ajuste de choque, 459, 460
Modelo de ajuste de existencias, véase Modelo de ajuste parcial, 460 Modelo de demanda y oferta, 500 Modelo dinámico, véase Modelo au torregresivo, Modelo de expectativas adaptables, 457 Modelo de mercado para la teoría del portafolio, 142, 143 Modelo de probabilidad lineal (MPL), 406 Modelo de regresión doble log, 151 Modelo de regresión Lin Log, 154 Modelo de regresión Log-Lineal, 151, 152 Modelo de regresión Log-Log, 151 Modelo de regresión Log-Lin, 154 Modelo IS en macroeconomía, 503 Modelo I de Klein, 506 Modelo Keynesiano para la determinación del ingreso, 502 Modelo LM 504, 505 Modelo Logit, 420 Modelo Logit, modelo Probit versus, 435 Modelo Probit, 430 modelo lógico versus, 153 variables dependientes docótomicas y, 439 ejemplo ilustrado, 436 ejemplo numérico del, 434 Modelos ajuste de choque, 459, 460 ajuste parcial, 460 alternativas a los, 418 atributos de un buen modelo, 337, 338 autorregresión, estimación de, 464 autoregresivos, 467 de demanda y oferta, 500, 501 de expectativas adaptables, 457 de multiecuación, 4 de regresión, formas funcionales de la, 150 de rezagos distribuidos, enfoque de Almon, 477 enfoque de Koyck, 453 estimación del, 452 de salarios-precio, 503 de tres varia bies, 182 econométricos, especificación de los, 505, 506 ecuaciones individuales, 4 ecuaciones simultáneas, 498, 499 ejemplo numérico de, 510, 511 especificaciones para los, 3,·5
INDICE
estimación de los, .407 explicaciones de los, 408 extensiones al modelo en dos variaties, 140,182 Logit,420 ejemplo numérico, 425 ejemplos ilustrativos, 428 estimación del, 422 ML,175 modelo lB en macroeconomía, 503 modelo keynesiano para determinación del ingle80, 502 probabDidad lineal, 406 Probit, 430 recursivos, mínimos cuadrados ordinarios y,12 regresión lineal, 173, 174 regresión polinomial, 238 supuestos de los, 92, 93 uUUzación de modelos para control, 6,7 Modelos autorregresivos, 445 definición, 445 ejemplos ilustrativos, 472 ejemplos numéricos, 482 Modelos de análisis de covarianza (ACOV), 370 Modelos de crecimiento constante, véase Modelos de regresión Lag·Ua Modelos de ecuación múltiple, 4, 5 Modelos de precios para los activos de capital (CAPM), 141 Modelos de regresión de elasticidad constante, 152 Modelos de regresión semllogarítmica, 154 . Modelos de regresión pollnominal, 238, 239 Modelos de rezagos distriblidos, 242, 245 Modelos de salario-precios, 503 Modelos ~ una sola ecuación, 497 Modelos recursivos, mínimos cuadrados ordinarios y, 12, 13 MPL, véase, Modelo de probabilidad lineal Multicolinealidad,213 consecuencias de la, 219 dermición, 213, 214 detección de la, 229 ejemplo de, 226, 228 estimación en presencia de . multlcolinealidad "alta" pero imperfecta, 218 estimación en presencia de multicolinealidad perfecta, 216, 217
595
importanca de la, 239 medidas reme diales, 233 naturaleza de la, 213, 214 predicción y, 239 punto de vista de Ballentinoe, 216 Multiplicadores, de impacto o de corto plazo, 447 de largo plazo o total, 447 retrazados o provisionales, 447 Nivel de significancia, 103, 120 escogencia del, 120, 121 Occam, el principio de, 37, 337 Operaciones de suma y multiplicación, 50 Paráme.tros, linealidad en los, 33 Persimonía en los modelos, 387, 338 Perturbaciones homocedásticas, 248 Philips, curva de, 16, 161, 171 Población, 29 definición, 31 función de regresión poblacional (FRP), 31,32 Potencia de la prueba, 337, 338 Potencia predictiva de los modelos, 338 Precisión de un estimador, 63 Véase también error estándar Predicción, 6, 417 regresión múltiple y, 1~, 188 Predicciones, 6 Predicción de la media (promedio), 124, 188 Predicción individual, 126, 189 Primer orden, coeficiente de autocorrelación de, 295 esquema autorregresivo de, 295, 296 Principio de analogía, 75 Probabilidad, 120, 421 . distriblciones probabDísticas, 91, 92,408 función de densidad, 98, 99 Problema de identificación, 517 Productividad en relación con los ~arios, 129,130 Producto nacional bruto, (PNB), H9, 150 ejemplo de la tisa de crecimiento. 156 inversión doméstica privada bruta (1DPB) y, 148, 149 Promedios móviles, 319 Propiedades de una muestra grande, 320 Propiedades de una muestra pequeña, 320 Proporciones, R 2 alto, 427 t "no significativo", 223
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IN DICE
Prue be de aletoriedad, 307, 308 Prueba de correlación de rango de Spearman, 263,264 Prueba de Cbow, 381 Prueba de igualdad, enfoque de la variable dicotómica, 366 prueba de Chow, 381 Prueba de Glejser, 262, 263 Prueba de Goldfeld.Quandt, 263, 266 Dustración, 268 Prue ba de Granger, 484 Prueba de signlficancia ji cuadrado, 116 Prueba de Part, 261 Prueba de una cola o unilateral, 112 Pruebah de Durbin, 467 Prue ba RESET de Ramsey, 347 Pruebas de significancia, 113 pruebas de hipótesis, y 113,116 reglas de decisión, 112 Prue bis, significancia de la regresión muestra! de las, 113 Pun to de vista de Balletine so bre la multicollnealidad, 216, 217 Región de aceptación, 114, 117 Regla práctica "2-t", 118 Regresión, a través del origen, 141, 142, 143 comparación de dos, 379 efectos de interacción, 388, 389 interpretación de la, 14, 16 ley de la regresión universal, 13 lineal por etapas, 392, 393 regresiones, 366, 366 variables dicotómicas y, 367 Regresión través del origen, 141, 142, 143 Regresión de series de tiempo, rezagos en la, 292,293 Regresión lineal, 33, 173, 174 en etapas, 392, 393 extensión al modelo en dos variables, 88, 140 enfoque matricial, a, 172, 207 supuesto de normalidad, 91, 101 Regresión lineal por etapas, 392, 393 Regresión múltiple, 21 predicción con, 124 predicción utilizando, 187, 188 Regresión universal, ley de la 13 Relación (es) determinIsta, 18 estadística, 18
a
2
entre-el Fy el R , 231 entre el F y el t,232 Residuos eSWmGarizados, 305 Residuos estandarizados utilizando la distrill1ción t, 106, 116 Rezago polnomial de Almon, 477,478 Rezago promedio, véase Rezagos media, 457 Rezagos, media, 466 mediana, 466 papel que juegan en la economía, 450 razones para los, 460 véase también Modelos de rezagos distrill1idos, 446, 462 Salarios, relación con la productividad, 129, 130 SCE, véase Suma de cuadrados explicada, Sesgo de especificación, regresión múltiple y,
290,291 Significancia estadística, uefinición, 121, 122 Significancia estadística significancia práctica versus, 121 Significancia práctica, significancia estadística versus, 121 Software de computador, paquetes estadísticos de, 326 Software de paquetes estadísticos, 326 Suma de cuadrados explicada (SCE) 122 SUma de cuadrados de los residuos (SCR), 122 Suma total de cuadrados (STC), 122, 123 SUpuestos de normalidad, 92, 93 estimadores de MCO y, 252 Teorema central de límite, 93 Teorema de Weirstrass, 477, 478 Teorem~ de Gauss-Markov, 65, 66 Teoría del portafolio, línea característica de la, 144, 145 Tiempo, véase Rezagos, Trampa de una variable dicotómica, 373 Transformaciones recíprocas, 157, 158 Valor esperado, 91, 92,408 Valores esperados, distrill1ción probabilística y, 91, 92,408 Valores erráticos o atípicos, 331 Valores por omisión en los bonos, predicción, 416, 417 Variable dependiente, 21 Variable explicativa, 21
IN DICE
Variables aleatorias continuas, función de densidad probabilística, y, Variables aleatorias, 18, 21 Variables aleatorias discretas, función de densidad probabilística, Variables binarias, véase Variables dicotómicas Variables categóricas, véase variables dicotómicas Variables cualitativas, véase, variables dicotómicas Variables dicotómicas, 556,368 Variables dicotómicas dependientes, 405, 439. análisis estacional y, 389, 390 comparación de dos regresiones y, 384, 385
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modelo de probabilidad lineal (MPL) y, 420,421 modelo Logit y, 420 modelo Probit y, 430 regresión y, 386, 386 Variables endógenas, 652 Variables estandarizadas, 431 Variables exógenas, 548, 661 Variables indicadoras, véase Variables dicotómicas Variables instrumentales, métodos de, 466, 549 Varianza, matriz de covarianza, 180 Verificación, 6,6
