11.1 ESTABLÉZCASE SI LAS SIGUIENTES AFIRMACIONES SON CIERTAS, FALSAS O INCIERTAS Y BREVEMENTE DE SUS RAZONES. a) En presencia de heteroscedasticidad, los estimadores MCO son sesgados al igual que ineficientes. (F) Porque en presencia de heteroscedasticidad los estimadores de MCO siguen siendo insesgados y consistentes pero ya no tienen varianza mínima es decir, ya no son eficientes. b) Si hay heteroscedasticidad, las pruebas convencionales t y F son inválidas. (V) Porqu Porq ue dado que Va Varr[p [pic ic]] no es mí mín nima los in inte terv rva alos de confianza tienden a ser innecesariamente grandes y las pruebas “t” y “F” tienden a ser imprecisas. c) En presencia de heteroscedasticidad, el método MCO usual sobreestima siempre los errores estándar de los estimadores. (V) Porque la característica más sobresaliente de estos resultados es que los MCO, con o sin corrección por heteroscedasticidad , sobr so bree eest stim iman an co cons nsis iste tent ntem emen ente te el ve verd rdad ader ero o er erro rorr es está tánd ndar ar obtenido mediante el procedimiento MCG, especialmente para valores grandes de α, con lo cual se establece la superioridad de MCG. d) Si los residuales estimados a través de una estimación MCO exhiben un patrón sistemático, significa que hay presencia de heteroscedasticidad heteroscedasticid ad en los datos. (V)
Porque si los residuos al cuadrado nos da un valor mayor que cero o nos presenta un patrón sistemático significa que existe heteroscedasticidad. e) No hay una prueba general de heteroscedasticidad que este libre de supuesto alguno sobre cuál de las variables esta correlacionada con el término de error. (F) Porque no existe una prueba que nos señale específicamente que variable explicativa esta relacionada con el término de perturbación, sino que más bien nos dan pruebas generales para detectar heteroscedasticidad. f) Si el modelo de regresión esta mal especificado (por ejemplo, se ha omitido una variable importante), los residuos MCO mostraran un patrón claramente distinguible. (V) Es verdadero porque al omitir una variable que tiene relevancia teórica en el modelo se va a distinguir claramente un patrón sistemático, ya que los residuos van a presentar un gran peso por la variable omitida. g) Si una regresora que tiene varianza no constante se omite (incorrectamente) de un modelo, los residuos MCO serán heteroscedásticos. (V) Es verdadero porque si se omite una variable que tiene varianza no constante, esta va a seguir presente en el modelo a través del término de perturbación y seguirá siendo heteroscedástica.
11.2 EN UNA REGRESIÓN DE SALARIOS PROMEDIO (W,$) SOBRE EL NÚMERO DE EMPLEADOS (N) PARA UNA MUESTRA ALEATORIA DE 30 EMPRESA s. Se obtuvieron los siguientes resultados: [pic] 7.5 + 0.009N t = n.a. (16.10) R[pic] [pic] = 0.008 + 7.8 (1/N) t =(14.43) (76.58) [pic]= 0.99 a) ¿Cómo se interpretan las dos regresiones? i) Dado un incremento unitario en el número de empleados se estima que los salarios promedio también se incrementará en 0.009 dólares, es decir existe una relación directa entre los salarios promedio y el número de empleados, por tanto si se incrementa el número de empleados también se incrementarán los salarios promedios y viceversa. ii) Como observamos en la segunda regresión podemos darnos cuenta que el autor trata de corregir la heteroscedasticidad dividiendo el modelo para la variable estocástica con lo cual el modelo mejora ya que se obtiene un coeficiente de determinación
mayor y las pruebas “t” de significancia individual se incrementan. b) ¿Qué esta suponiendo el autor al pasar de la ecuación (1) a la (2)? ¿Estaba preocupado por la heteroscedasticidad? ¿Cómo se sabe? El autor al pasar de la ecuación (1) a la (2) supone que existe heteroscedasticidad y por la misma razón trata de corregir este problema dividiendo la regresión para la variable heteroscedástica a través del método de Mínimos Cuadrados Generalizados que es capaz de producir estimadores que son MELI. c) ¿Se puede relacionar las intersecciones y las pendientes de los modelos? Sí, ya que estamos considerando un mismo modelo en donde las relaciones entre las variables son directas, pero se puede observar que las pendientes y las intersecciones cambian debido a que se utiliza una medida para corregir la heteroscedasticidad. d) ¿Se pueden comparar los valores R 2 de los modelos? ¿Por que si o por que no? Los coeficientes de determinación no son comparables en estos dos modelos de regresión ya que la variable dependiente no es la misma debido a la corrección de la heteroscedasticidad.
11.6 CON PROPÓSITOS PEDAGÓGICOS HANUSHEK Y JACKSON ESTIMAN EL SIGUIENTE MODELO: [pic] donde [pic]gasto agregado de consumo privado en el año t, .PNBt=producto nacional bruto en el año t y Dt= gasto de defensa nacional en el año t, siendo el objetivo del análisis estudiar el efecto de los gastos de defensa sobre otros gastos en la economía. Postulan que [pic]t=[pic](PNBt)2, luego transforman (1) y estiman. [pic] Los resultados empíricos basados en la información para 19461975 fueron los siguientes (errores estándar entre paréntesis): [pic] (2.73) (0.0060) (0.0736) R2=0.999 [pic]
(2.22) (0.0068) (0.0597) R2=0.875 a) ¿Qué supuesto hacen los autores sobre la naturaleza de la heteroscedasticidad? ¿Puede justificarse? El supuesto que hacen los autores sobre la naturaleza de la heteroscedasticidad es que la varianza del término de perturbación no es constante a lo largo de la regresión y esto puede justificarse debido a que han sido omitidas algunas variables relevantes en el modelo. b) Compárense los resultados de las dos regresiones. ¿La transformación del modelo original ha mejorado los resultados, es decir, ha reducido los errores estándar estimados? ¿Por qué si o por qué no? En general podemos darnos cuenta que en los modelos las relaciones existentes entre las variables explicativas y la dependiente no cambian, pero como los autores señalan que existe heteroscedasticidad tratan de mejorar el modelo y como resultado se obtiene que en su mayoría los errores estándar disminuyen porque aplicando una medida de corrección se espera que la varianza sea mínima y por lo tanto los errores estándar también sean mínimos.
c) ¿Se puede comparar los dos valores de R2? ¿Por qué si o por qué no? (Pista: Examínense las variables dependientes) No se pueden comparar los valores del coeficiente de determinación ya que la variable dependiente en estos modelos de regresión no es la misma siendo esta una condición necesaria para que los [pic] sean comparables.
a) De la regresión anterior, obténgase los residuos [pic]. Para cada Xi obtenemos como residuos los siguientes valores: RESIDUOS ([pic]) |-775.7709 | | -205.1284 | | 165.7972 | | 183.8684 | | 199.3065 | | 54.55018 | | 113.7094 | | 150.4718 | | 113.1957 | [pic] b) Siguiendo la prueba de Park, efectúese la regresión de [pic]sobre [pic]y verifíquese la regresión (11.5.4) Comparando los resultados de la regresión 11.5.4 con el modelo anteriormente corrido obtenemos los siguientes resultados. [pic] ee = (38.319) (4.216) (11.5.4) t = (0.934) (-0.667) R[pic] [pic] ee = (38.3227) (4.1961) modelo corrido
t = (0.93487) (-0.66776) R[pic] De acuerdo a la prueba de Park obtuvimos los resultados anteriores y fijándonos en el [pic] podemos concluir diciendo que no hay una relación estadísticamente significativa entre las dos variables y por lo tanto no hay heteroscedasticidad en la varianza del error. c) Siguiendo el método de Glejser, efectúese la regresión de [pic]sobre [pic] y luego efectúes la regresión de [pic] sobre [pic]y coméntense sus resultados. i) Modelo 1 Como podemos darnos cuenta con los resultados obtenidos al aplicar la prueba de Glejser nos damos cuenta que no existe relación entre el valor absoluto de los residuos y la variable explicativa productividad promedio, ya que Glejser sugiere hacer la regresión sobre los valores absolutos de los residuos sobre la variable X que se cree que está muy asociada con la varianza, por lo tanto existe homoscedasticidad. ii) Modelo 2 Utilizando otra de las formas funcionales de Glejser nos damos cuenta que no existe relación entre el valor absoluto de los residuos y la variable explicativa productividad promedio, es decir existe homoscedasticidad. d) Encuéntrese la correlacEncueseasticidad Encuesión por rango entre [pic] y [pic] y coméntese sobre la naturaleza de la heteroscedasticidad presente en los datos, si ésta existe.
INTERPRETACIÓN: Como el “t” dado excede al “t” calculado en valores absolutos, entonces no hay suficiente evidencia estadística para rechazar la hipótesis de que existe homoscedasticidad por lo tanto hay heteroscedasticidad.
11.15. La tabla 11.7 proporciona datos sobre 81 automóviles respecto a su: MPG (millas promedio por galón), CF(caballos de fuerza de su motor), VOL(pies cúbicos de su cabina), VM(velocidad máxima en millas por hora) y su PS(peso del vehículo en cientos de lbs). Donde: VOL = pies cúbicos del espacio de la cabina CF = caballos de fuerza del motor. MPG = millas promedio por galón. VM = velocidad máxima. PS = peso del vehiculo, cientos de libra. a) Considere el siguiente modelo: Estime los parámetros de este modelo e interprete los resultados. ¿Tiene significado económico? Con los datos presentados en la tabla anterior corremos el modelo en el programa Eviews y obtenemos los siguientes resultados:
|Dependent Variable: MPG | |Variable |Coefficient |Std. Error |t-Statistic |Prob. | |C |75.72373 |28.61802 |2.646015 |0.0099 | |VM |-0.111336 |0.289859 |-0.384103 |0.7020 | |CF |0.011069 |0.095636 |0.115738 |0.9082 | |PS |-1.003452 |0.265787 |-3.775403 |0.0003 | |R-squared |0.664598 | Mean dependent var |33.36765 | |Adjusted R-squared |0.651531 | S.D. dependent var |10.70712 | | F-statistic |50.85849 | |Durbin-Watson stat |1.394075 | Prob(F-statistic) |0.000000 | ee = (28.62) (0.29) (0.0956) (0.266) t = (2.65) (-0.38) (0.12) (-3.78) 0.665 INTERPRETACIÓN:
Dados incrementos unitarios en la velocidad máxima se estima que las millas promedio por galón disminuirán en 0.11 millas por galón manteniendo todo lo demás constante, es decir existe una relación inversa entre MPG y la velocidad máxima.
[pic] Dados incrementos en los caballos de fuerza de motor se estima que las millas promedio por galón también se incrementarán en 0.01 milla por galón manteniendo todo lo demás constante, es decir existe una relación directa entre MPG y los caballos de fuerza de motor, por tanto si incrementa el uno también incrementará el otro y viceversa. [pic] Dados incrementos unitarios en el peso del vehículo, cientos de libras se estima que las millas promedio por galón disminuirá en 1.00 millas por galón manteniendo todo lo demás constante, es decir existe una relación inversa entre las MPG y el peso del vehiculo, cientos de libra. b) ¿Se esperaría que la varianza del error en el modelo anterior sea heteroscedástica? ¿Por qué? Si se esperaría que la varianza del error en este modelo sea heteroscedástica ya que estamos utilizando datos de corte transversal y es en este caso donde existe mayor probabilidad que se de heteroscedasticidad es decir que la varianza no sea constante a lo largo de la regresión.
c) Utilice la prueba White para averiguar si la varianza de error es heteroscedástica. |Variable |Coefficient |Std. Error |t-Statistic |Prob. | |C |-20940160 |28561411 |-0.733163 |0.4659 | |VM |445660.3 |594060.7 |0.750193 |0.4556 | |VM^2 |-2282.160 |3124.536 |-0.730400 |0.4675 | |VM*CF |1214.655 |1966.184 |0.617773 |0.5387 | |VM*PS |-2242.884 |5680.112 |-0.394866 |0.6941 | |CF |-114865.3 |198918.2 |-0.577450 |0.5655 | |CF^2 |-151.9130 |342.2568 |-0.443857 |0.6585 | |CF*PS |418.6345 |2188.015 |0.191331 |0.8488 | |PS |163107.1 |603790.5 |0.270139 |0.7878 | |PS^2 |509.4899 |4019.457 |0.126756 |0.8995 | |R-squared |0.035193 | Mean dependent var |37597.08 | |Adjusted R-squared |-0.087107 | S.D. dependent var |309158.7 | F-statistic |0.287759 | |Durbin-Watson stat |2.109911 | Prob(F-statistic) |0.976044 | De acuerdo a la prueba de White podemos observar que los valores “p” son mayores que a un α de 0.05 or0 por lo que podemos decir que existe homoscedasticidad.
d) Obténgase los errores estándar de White que son consistentes con la heteroscedasticidad, así como los valores t, y compare los resultados con los obtenidos mediante los MCO. Valores “t” mediante los MCO. t = (2.65) (-0.38) (0.12) (-3.78) ee= (28.62) (0.29) (0.0956) (0.266) Valores “t” mediante White t= (-0.733) (0.750) (-0.577) (-0.270) ee=(28561411) (594060.7) (198918.2) (603790.5) Comparando los valores “t” de MCO con los obtenidos en la prueba de White podemos darnos cuenta que estos valores en su mayoría son poco significativos, por lo tanto se puede concluir diciendo que existe homoscedasticidad, ahora las desviaciones estándar de MCO son mínimos a comparación de los obtenidos a partir de la prueba de White ya que su varianza se ha inflado enormemente y por lo tanto ya no son eficientes. e) Si se establece la heteroscedasticidad, ¿Cómo se podría transformar los datos de manera que en los datos transformados la varianza de error sea homoscedástica? Muestre los cálculos
necesarios. Si se establece heteroscedasticidad se puede corregir aplicando el método de MCG para que de esta manera la varianza de error sea homoscedástica pero en este caso no se puede hacer ningún cálculo debido a que este modelo presenta homoscedasticidad, como podemos darnos cuenta en los siguientes gráficos: * Relacionando los residuos al cuadrado con la velocidad máxima al cuadrado. [pic] Observando el gráfico podemos decir que no existe mucha variabilidad de los datos con respecto a su media y por lo tanto no hay presencia de heteroscedasticidad. *Relacionando los residuos al cuadrado con los caballos de fuerza de motor al cuadrado. [pic] Observando el gráfico podemos decir que no existe mucha variabilidad de los datos con respecto a su media y por lo tanto no hay presencia de heteroscedasticidad.
*Relacionando los residuos al cuadrado con el peso de vehículo, cientos de libras al cuadrado. [pic] Observando el gráfico podemos decir que no existe mucha variabilidad de los datos con respecto a su media y por lo tanto no hay presencia de heteroscedasticidad.
