14
Ecuaciones de movimiento, movimiento, planteamiento del problema y métodos de solución
Capítulo 1
amortiguamiento conistente con la amplitud de deformación esperada, y que por lo regular se toma como la deformación asociada con el límite elástico lineal de la estructura. Se disipa energía adicional debido al comportamiento inelástico de la estructura a grandes deformaciones. Ante la acción de fuerzas o deformaciones cíclicas, este comportamiento implica la formación de un ciclo de histéresis fuerza-deformación (�gura 1.3.1c). 1.3.1c). La energía de amortiguamiento disipada durante un ciclo de deformación entre los límites de deformación ± uo está dada por el área dentro del ciclo de histéresis abcda (�gura 1.3.1c). Esta disipación de energía no suele modelarse mediante un amortiguador viscoso, en especial si la excitación es un movimiento sísmico, por razones que se describen en el capítulo 7. En cambio, el enfoque más común, directo y preciso para explicar la disipación de energía debida al comportamiento inelástico es determinar la relación inelástica entre la fuerza restauradora y la deformación, como se muestra en las �guras 1.3.1c y 1.3.4, al resolver la ecuación de movimiento (capítulo 5). Tales relaciones de fuerza-deformación se obtienen a partir de pruebas experimentales en las estructuras o componentes estructurales a bajas velocidades de deformación, lo que excluye cualquier disipación de energía derivada de los efectos dependientes de la velocidad de deformación. El enfoque habitual es modelar este amortiguamiento en el intervalo de deformaciones inelásticas mediante el mismo amortiguador viscoso que se de�nió anteriormente para pequeñas deformaciones en el intervalo elástico lineal. 1.5 ECUACIÓN ECUACIÓN DE MOVIMIENTO: FUERZA EXTERNA
En la �gura 1.5.1a se muestra el marco idealizado de un nivel que se presentó con anterioridad, sometido a una fuerza dinámica p(t ) aplicada de manera externa en la dirección del GDL u. Esta notación indica que la fuerza p varía con el tiempo t . El desplazamiento resultante de la masa también varía con el tiempo y se indica mediante u(t ). ). En las secciones 1.5.1 y 1.5.2 se obtiene la ecuación diferencial que controla el desplazamiento u(t ) mediante dos métodos que utilizan (1) la Segunda ley del movimiento de Newton y (2) el equilibrio dinámico. En la sección 1.5.3 se presenta una manera alternativa para obtener dicha ecuación. 1.5.1 Uso de la Segunda ley del movimiento de Newton
En la �gura 1.5.1b se muestran las fuerzas que actúan actúa n sobre la masa en un cierto instante de tiempo. Éstas incluyen la fuerza externa p(t ), ), la fuerza restauradora elástica (o inelástica) f S (�gura 1.3.1) y la fuerza de amortiguamiento f D (�gura 1.4.1). Se considera que la fuerza externa es positiva en la dirección del eje x , y que el desplazamiento u(t ), ), la velocidad u (t ) y la aceleración ü(t ) también son positivas en la dirección del eje x . Las fuerzas elásticas y u m
m p(t ) f S
(a)
f D
(b) Figura 1.5.1
f I
p(t ) f S
p(t )
f D
(c)
Sección 1.5
Ecuación de movimiento: fuerza externa
15
de amortiguamiento se muestran actuando en la dirección opuesta, dado que son las fuerzas internas que se oponen a la deformación y a la velocidad respectivamente. La fuerza resultante a lo largo del eje x es p � f S � f D, y a partir de la Segunda ley del movimiento de Newton se tiene (1.5.1) p − f S − f D = mü o mü + f D + f S = p ( t ) Después de sustituir las ecuaciones (1.3.1) y (1.4.1), esta ecuación se convierte en mü + cu + ku = p ( t ) (1.5.2) Ésta es la ecuación de movimiento que controla la deformación o el desplazamiento u(t ) de la estructura idealizada en la �gura 1.5.1a, que se supone elástica lineal, sometida a una fuerza externa dinámica p(t ). Las unidades de masa son fuerza /aceleración. Esta deducción puede extenderse con facilidad a sistemas inelásticos. La ecuación (1.5.1) todavía es válida y todo lo que debe hacerse es sustituir la ecuación (1.3.1), restringida a los sistemas lineales, por la ecuación (1.3.6), válida para los sistemas inelásticos. Por lo tanto, para tales sistemas, la ecuación de movimiento es mü + cu + f S ( u ) = p ( t ) (1.5.3) 1.5.2 Equilibrio dinámico
Después de haber sido entrenados para pensar en términos del equilibrio de fuerzas, los ingenieros estructurales pueden encontrar el principio de equilibrio dinámico de D’Alembert muy atractivo. Este principio se basa en la noción de una fuerza inercial �cticia, una fuerza que es igual al producto de la masa por su aceleración y que actúa en dirección opuesta a la aceleración. Lo anterior establece que, con las fuerzas de inercia incluidas, un sistema está en equilibrio en cada instante de tiempo. Así, es posible dibujar un diagrama de cuerpo libre de una masa en movimiento y pueden usarse los principios de la estática para desarrollar la ecuación de movimiento. En la �gura 1.5.1c se presenta el diagrama de cuerpo libre en el momento t , donde la masa se ha reemplazado por su fuerza de inercia, representada mediante una línea discontinua para distinguir esta fuerza �cticia de las fuerzas reales. Al igualar a cero la sumatoria de todas las fuerzas, se obtiene la ecuación (1.5.1b), † que se obtuvo con anterioridad utilizando la Segunda ley del movimiento de Newton. 1.5.3 Componentes de rigidez, amortiguamiento y masa
En esta sección la ecuación que descibe el desplazamiento para el marco idealizado de un solo nivel se formula con un punto de vista alternativo. Bajo la acción de la fuerza externa p(t ), las condiciones del sistema se describen mediante el desplazamiento u(t ), la velocidad u (t ), y la aceleración ü(t ), vea la �gura 1.5.2a. Ahora visualice el sistema como la combinación de tres componentes puros: (1) el componente de rigidez: el marco sin amortiguamiento o masa (�gura 1.5.2b); (2) el componente de amortiguamiento: el marco con su propiedad de amortiguamiento, pero sin rigidez o masa (�gura 1.5.2c) y (3) el componente de masa: la masa del techo sin la rigidez o el amortiguamiento del marco (�gura 1.5.2d). †Dos
o más ecuaciones en la misma línea con el mismo número de ecuación se referirán como ecuaciones a, b, c, etcétera, de izquierda a derecha.
16
Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema y métodos de solución p(t )
f S
=
Desplazamiento u Velocidad u˙ Aceleración u¨
f D
+
Desplazamiento u
(a)
Capítulo 1 f I
+
Velocidad u˙
(b)
Aceleración u¨
(c)
(d)
Figura 1.5.2 (a) Sistema; (b) componente de rigidez; (c) componente de amortiguamiento; (d) componente de masa.
La fuerza externa f S sobre el componente de rigidez se relaciona con el desplazamien to u por medio de la ecuación (1.3.1) si el sistema es elástico lineal, la fuerza externa f D sobre el componente de amortiguamiento se relaciona con la velocidad u mediante la ecuación (1.4.1), y la fuerza externa f I sobre el componente de masa se relaciona con la aceleración por medio de f I = mü. Por lo tanto, la fuerza externa p(t ) aplicada al sistema completo puede visualizarse como distribuida entre los tres componentes de la estruct ura, y f S + f D + f I debe ser igual a la fuerza aplicada p(t ) que conduce a la ecuación (1.5.1b). Aunque este punto de vista alternativo puede parecer innecesario para el sistema sencillo de la �gura 1.5.2a, resulta útil para los sistemas complejos (capítulo 9). Ejemplo 1.2 Un edi�cio industrial pequeño de un solo nivel, de 20 por 30 pies en planta, se muestra en la �gura E1.2 con marcos a momento en la dirección norte-sur y marcos contraventeados en la dirección este-oeste. El peso de la estructura puede idealizarse como 30 lb /pie2 concentradas en el nivel del techo. Los contravientos horizontales están en la cuerda inferior de las armaduras del techo. Todas las columnas tienen sección de W8 × 24, los segundos momentos de área de la sección transversal respecto a los ejes x y y son I x = 82.8 pulg4 e I y = 18.3 pulg4, respectivamente; para el acero, E = 29,000 ksi. Los contravientos verticales están hechos con varillas de 1 pulgadas de diámetro. Formule la ecuación que controla la vibración libre en (a) la dirección norte-sur y (b) la dirección este-oeste.
Contravientos horizontales •
N
I
I y
′
0 3
Contravientos verticales
Armadura de techo x
′
L
•
A
′
2 1
•
I
I
•
30′ •
(a) Figura E1.2 viento.
,
•
20′ •
E
θ
•
•
20′ •
(b)
•
•
(c)
u
•
•
4
(d)
(a) Planta; (b) elevaciones este y oeste; (c) elevaciones norte y sur; (d) contra-
•
•
•
δ
p f S
Sección 1.5
Ecuación de movimiento: fuerza externa
Solución
17
La masa concentrada en el techo es
m =
w
g
=
30 × 30 × 20 386
= 46.63 lb-s2 /pulg = 0.04663 kip-s2 /pulg
Debido a los contravientos horizontales, el techo puede tratarse como un diafragma in�nítamente rígido. (a) Dirección norte-sur . Debido a la armadura de techo, cada columna se comporta como una columna empotrada en sus dos extremos y la rigidez lateral de los dos marcos a momento (�gura E1.2b) es k N-S = 4
12 E I x h3
=4
12( 29 × 103 )( 82.8)
( 12 × 12) 3
= 38.58 kipspulg
y la ecuación del movimiento es mü + ( k N-S ) u = 0
(a)
(b) Dirección este-oeste. Los marcos contraventeados, como los que se muestran en la �gura E1.2c, suelen diseñarse como dos sistemas superpuestos: un marc o rígido común que soporta las cargas verticales (muertas y vivas), además de un sistema de contravientos verticales, que se considera en general como una armadura conectada mediante pasadores que resiste las fuerzas laterales. Así, la rigidez lateral de un marco contraventeado puede estimarse como la suma de las rigideces laterales de los contravientos individuales. La rigidez de un contraviento (�gura E1.2d) es k contraviento = ( AE / L) cos2θ . Esto puede deducirse de la manera siguiente. Se inicia con la relación fuerza-deformación axial para un contraviento: p =
A E δ L
(b)
Por estática f S = p cos θ , y por cinemática u = δ/cos θ . Al sustituir p = f S /cos θ y δ = u cos θ en la ecuación (b) se obtiene f S = k contravientou
k contraviento =
AE L
cos2 θ
Para el contraviento de la �gura E1.2c, cos θ = 20/ 0.785 pulg2, L = 23.3 pies y k contraviento =
0.785( 29 × 103 ) 23.3 × 12
(c)
122 + 202 = 0.8575, A =
( 0.8575) 2 = 59.8 kips/pulg
Aunque cada marco tiene dos contravientos, sólo el que está en tensión proporciona resistencia lateral; el que está en compresión se pandear á ante una fuerza axial pequeña y contribuirá poco a la rigidez lateral. Teniendo en cuenta los dos marcos, k E-W = 2 × 59.8 = 119.6 kipspulg
(d)
y la ecuación del movimiento es mü + ( k E-W ) u = 0
Observe que el error al despreciar la rigidez de las columnas es pequeño: k col = 2 × 12 EI y/ h3 = 4.26 kips/pulg contra k contraviento = 59.8 kips/pulg.
Ejemplo 1.3 En la �gura E1.3 se muestra una trabe cajón de un puente, hecha de concreto, con 375 pies de largo sobre cuatro soportes (dos estribos y dos ejes intermedios ubicados simétricamente). El
18
Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema y métodos de solución
Capítulo 1
Tablero
a l n i d l i t u r s a g e n v o n s L T r a
y Eje 2
x
5 1 2
Eje 1
(a) Estribo 1
1 2 5
1 2 5
Tablero del puente
z x (b)
25
Zapatas
(c)
k Figura E1.3
k
Estribo 2
Sección 1.6
19
Sistema masa-resorte-amortiguador
área de la sección transversal del tablero del puente es de 123 pies 2. El peso del puente se idealiza como concentrado en el nivel de la cubierta, el peso volumétrico del concreto es de 150 lb/pie3. El peso de las columnas en los ejes puede despreciarse. Cada eje consiste en tres columnas de 25 pies de altura con sección transversal circular, donde I y′ = I z′ = 13 pies4 (�gura E1.3b). Formule la ecuación de movimiento que controla la vibración libre en la dirección longitudinal. El módulo de elasticidad del concreto es E = 3000 ksi. El peso por unidad de longitud concentrado en el nivel de la cubierta es (123 × 1) 150 = 18.45 kips/pie. El peso total concentrado en el nivel de la cubierta es Solución
w
= 18.45 × 375 = 6919 kips
y la masa correspondiente es m=
w
g
=
6919 32.2
= 214.9 kip-s 2 /pie
La rigidez longitudinal del puente se calcula suponiendo que la cubierta del puente se desplazará como cuerpo rígido como se muestra en la �gura E1.3c. C ada columna de un acodamiento se comporta como una columna empotrada en sus dos extremos. La rigidez longitudinal proporcionada por cada acodamiento es k eje = 3
12 E I z h3
=3
12( 3000 × 144) 13
( 25) 3
= 12,940 kips/pie
Dos ejes proporcionan una rigidez total de k = 2 × k eje = 2 × 12,940 = 25,880 kips/pie
La ecuación que controla el desplazamiento longitudinal u es mü + ku = 0
1.6 SISTEMA MASA-RESORTE-AMORTIGUADOR
Se ha presentado el sistema 1GDL idealizando una estructura de un nivel (�gura 1.5.1a), un enfoque que debería ser atractivo para los estudiantes de ingeniería estructural. Sin embargo, el sistema 1GDL clásico es el sistema masa-resorte-amortiguador de la �gura 1.6.1a. La dinámica de este sistema se desarrolla en los libros de texto sobre vibración mecánica y física elemental. Si se considera que el resorte y el amortiguador no tienen masa, que la masa es rígida y que todo movimiento ocurre en la dirección del eje x , se tiene un sistema de 1GDL. En la �gura 1.6.1b se muestran las fuerzas que actúan sobre la masa, las cuales incluyen la fuerza restauradora elástica, f S = ku, ejercida por un resorte lineal de rigidez k , y la fuerza restauradora de amortiguamiento, f D = cu, debida a un amortiguador viscoso lineal. Entonces, a partir de la Segunda ley del movimiento de Newton resulta la ecuación (1.5.1b). De manera alternativa, puede obtenerse la misma ecuación mediante el uso del principio de D’Alembert y al escribir una ecuación de equilibrio de fuerzas en el diagrama de cuerpo libre, incluyendo la fuerza de inercia (�gura 1.6.lc). Es evidente que la ecuación de movimiento obtenida anteriormente, para el marco idealizado de un nivel en la �gura 1.5.1a, también es válida para el sistema masa-resorte-amortiguador de la �gura 1.6.1a.
