INGENIRIA QUIMICA
ESTRATEGIA DE EXPERIMENTACIÓN Los experimentos son parte natural en el proceso de la toma de decisiones en la ingeniería y las ciencias. Supóngase, por ejemplo, que un ingeniero civil investiga los efectos de diferentes métodos de curado sobre la resistencia a la compresión media del concreto. El experimento consistiría en formar varios ejemplares de prueba de concreto utiliando cada uno de los métodos de curado propuestos para después probar la resistencia a la compresión de cada ejemplar de prueba. Los datos de este experimento podrían usarse a fin de determinar qué método de curado deber! usarse para conseguir la resistencia a la compresión media m!xima. Si sólo "ay dos métodos de curado que sean de interés, este experimento podría dise#a dise#arse rse y anali analiars arsee aplica aplicando ndo los método métodoss para para "ipóte "ipótesis sis estad estadíst ística icass con con dos muestras introducidos en el capítulo $. Es decir, el experimentador tiene un solo factor de interés %el método de curado& y sólo "ay dos niveles del factor. Si el experimentador quiere determinar cu!l de los métodos de curado produce la resistencia a la compresión m!xima, entonces puede determinar el n'mero de ejemplares por probar con las curvas de operación característica de la carta () del apéndice, y aplicar la prueba t para decidir si las dos medias difieren. En muc"os experimentos con un solo factor, es necesario considerar m!s de dos niveles del factor. *or ejemplo, ejemplo, qui!s qui!s el ingeniero ingeniero civil quiera investigar investigar cinco cinco métodos métodos de curado diferentes. En este capítulo se explica cómo puede usarse el an!lisis de variana para comparar medias cuando "ay m!s de dos niveles de un solo factor. Se revisar! asimismo la aleatoriación de las corridas experimentales y el importante papel que desempe#a este concepto en la estrategia global de experimentación. En el capítulo siguiente se explicar! cómo dise#ar y analiar experimentos con varios factores. Las técnicas de dise#o experimental basadas en la estadística son particularmente 'tiles en el campo de la ingeniería para mejorar el desempe#o de un proceso de manufactura. +ienen también diversas aplicaciones en el desarrollo de nuevos procesos. La mayoría de los procesos pueden describirse en términos de varias variables controlables, como la temperatura, la presión y la rapide de alimentación. ediante el uso de experimentos dise#ados, los ingenieros í pueden determinar el subconjunto de las variables del proceso que ejerce la mayor influencia sobre el desempe#o del proceso. Los resultados de un experimento como éste pueden llevar a -. El mejora mejoramie miento nto del rendim rendimien iento to del del proc proceso eso.. . La reducc reducción ión de la variabi variabilidad lidad del proces procesoo y a una conco concordanc rdancia ia m!s m!s próxima próxima con con los requerimientos nominales o proyectados. /. La reducc reducción ión del tiempo tiempo de dise dise#o #o y desar desarrol rollo. lo. 0. La redu reducc cció iónn en el cos costo to de de ope opera raci ción ón.. Los métodos del dise#o experimental también son 'tiles en las actividades de dise#o de ingeniería, donde se desarrollan nuevos productos y se mejoran los existentes. 1lgunas aplicaciones típicas de los experimentos dise#ados estadísticamente en el dise#o de ingeniería incluyen -. Evaluaci Evaluación ón y comparac comparación ión de configurac configuraciones iones de dise#o dise#o b!sico. b!sico. . Eval Evalua uaci ción ón de de dife difere rent ntes es mat mater eria iale les. s. /. Selección de par!metros de dise#o para que el prod roducto tenga un buen EDGAR ALVAREZ ARAGON
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funcionamiento en una amplia variedad de condiciones de campo %o para que el dise#o sea robusto&. 0. 2eterm 2etermina inació ciónn de par!met par!metros ros de dise# dise#oo clave clave de un product producto, o, que incid inciden en en el desempe#o del mismo. La utiliación del dise#o experimental en el proceso de ingeniería de dise#o puede redundar en productos cuya fabricación sea m!s sencilla, en productos con un mejor desempe#o de campo y confiabilidad que sus competidores, y en productos que pueden dise#arse, desarrollarse y producirse en menos tiempo. Los experimentos dise#ados generalmente se realian secuencialmente. Es decir, el primer experimento con un sistema complejo %qui!s un proceso de manufactura& que incluye muc"as variables controlables es con frecuencia un experimento ex"austivo de depuración dise#ado para determinar cu!les son las variables m!s importantes. Se realian experimentos subsecuentes para refinar esta información y determinar los ajustes necesarios en estas variables críticas para mejorar el proceso. *or 'ltimo, el objetivo del experimentador es la optimiación, es decir, determinar los niveles de las variables críticas que producen el desempe#o óptimo del proceso. +odo experimento incluye una secuencia de actividades3 -. Conjetura3 la "ipótesis original que motiva el experimento. . Experimento3 la prueba realiada r ealiada para investigar la conjetura. /. Análisis3 el an!lisis estadístico de los datos del experimento. 0. Conclusin3 qué se "a aprendido acerca de la conjetura original del experimento. 4on frecuencia el experimento llevar! a una revisión de la conjetura, y a un nuevo experimento, y así sucesivamente. sucesivamente. Los métodos estadísticos introducidos en este capítulo y el capítulo -/ son esenciales para una buena experimentación. +odos los experimentos son experimentos dise#ados3 desafo desafortu rtunad nadame amente nte,, alguno algunoss de ellos ellos se dise# dise#an an de manera manera defici deficient entee y, como como resultado, se usan recursos valiosos de manera inefica. Los experimentos dise#ados estadí estadísti sticam cament entee permit permiten en eficie eficienci nciaa y econo economía mía en el proces procesoo exp experi erime menta ntal, l, y la aplica aplicació ciónn de método métodoss estadí estadísti sticos cos para para exami examinar nar los datos datos result resultaa en objeti objetivid vidad ad científica al llegar a conclusiones.
!"#" !"#" EXPE EXPERI RIME MENT NT$ $ C$ C$N N %N S$&$ S$&$ 'ACT$R CT$R C$ C$MP MP&E &ET TAMENT MENTE E A&EAT$RI(AD$ !")"#! %n ejemplo 5n fabricante de papel para "acer bolsas para comestibles, se encuentra interesado en mejorarla resistencia a la tensión del producto. El departamento de ingeniería del producto piensa que la resistencia a la tensión es una función de la concentración de madera dura en la pulpa y que el rango de las concentraciones de madera dura de interés pr!ctico est! entre 67 y 87. El equipo de ingenieros responsable del estudio decide investigar cuatro niveles de concentración de madera dura3 67, -87, -67 y 87. 2eciden 2eciden "acer "acer seis ejemplares ejemplares de prueba prueba con cada nivel nivel de concentra concentración, ción, utiliando utiliando una planta piloto. Las 0 muestras se prueban, en orden aleatorio, con una m!quina de laboratorio para probar la resistencia. En la tabla -9- se muestran los datos dE este experimento. EDGAR ALVAREZ ARAGON
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Este es un ejemplo de un experimento con un solo factor completamente aleatoriado con cuatro niveles del factor. 1 los niveles del factor en ocasiones se les llama tratamientos, y cada tratamiento tiene seis observaciones o réplicas. El papel de la aleatoriación en este experimento es de suma importancia. 1l aleatoriar el orden de las las 0 corri corrida das, s, se equi equili libr braa apro aproxim ximad adam amen ente te el efec efecto to de cual cualqu quie ierr varia variabl blee perturbadora que puede influir en la resistencia a la tensión observada. *or ejemplo, suponer que "ay un efecto de calentamiento en la m!quina para probar la tensión: es decir, entre m!s tiempo esté funcionando la m!quina, mayor ser! la resistencia a la tensión observada. Si las 0 corridas se "acen en orden ascendente de la concentración de madera dura %es decir, se prueban primero los seis ejemplares con la concentración de 67, seguidas por los seis ejemplares con la concentración de -87, etc.&, entonces cualquier diferencia observada en la resistencia a la tensión también podría ser causada por el efecto de calentamiento. calentamiento. Es importante analiar gr!ficamente los datos de un experimento dise#ado. En la figura -9l se presentan los diagramas de caja de la resistencia a la tensión con los cuatro nive nivele less de conc concen entr trac ació iónn de made madera ra dura dura.. Esta Esta figu figura ra indi indica ca que que modi modific ficar ar la conc concen entra traci ción ón de made madera ra dura dura tien tienee un efec efecto to sobr sobree la resi resist sten enci ciaa a la tens tensió ión: n: específicamente, las concentraciones m!s altas de madera dura producen resistencias a la tensión observadas m!s altas. 1dem!s, 1dem!s, la distribución de la resistencia a la tensión en un nivel particular de madera dura es raonablemente simétrica, y la variabilidad de la resistencia a la tensión no sufre cambios radicales cuando la concentración de madera dura cambia. Siempre es una buena idea "acer la interpretación gr!fica de los datos. Los diagramas de caja muestran la variabilidad de las observaciones dentro de un tratamiento %nivel del factor& y la variabilidad entre los tratamientos. Se comentar! a"ora cómo pueden analiarse estadísticamente los datos de un experimento aleatoriado con un solo factor.
!")"#" El análisis *e +arian,a Supo Supong ngaa que que se tien tienen en a dife difere rent ntes es nive nivele less de un fact factor or parti particu cula larr que que quie quiere renn compararse. En ocasiones, a cada nivel del factor se le llama tratamiento, un término muy general que puede rastrearse "asta las primeras aplicaciones de la metodología del dise#o experimental en las ciencias agrícolas. La respuesta para cada uno de los a tratam tratamien ientos tos es una variab variable le aleato aleatoria. ria. Los datos datos observ observado adoss apare aparecerí cerían an como como se muestra en la tabla -9. Ta-la Ta-la !")! Resistencia a la tensin *el papel .psi/ Concentracin $-ser+aciones *e ma*era *ura ! " 1 2 3 .0/ 6 ; < -6 -$ -8 - -; -/ -< -$ -6 -0 -< -$ -; -= 8 -$ 6 / -<
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3
4
Totales
Prome*ios
-8 -6 -< 8
=8 $0 -8 -; /
-8.88 -6.=; -;.88 -.-; -6.$=
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>igura >igura -9- a& 2iagramas 2iagramas de caja de los datos de la concentración concentración de madera madera dura, b& ?r!fica del modelo de la ecuación -9- para el experimento completamente autoriado con un solo factor. 5n dato de la tabla -9, por ejemplo y ., representa la observación y i9ésima "ec"a bajo el tratamiento i9ésimo. Se considera inicialmente el caso en que "ay un n'mero igual de observaciones, n, para cada tratamiento. Las observaciones de la tabla -9 pueden describirse con el modelo estadístico lineal.
donde @ij es una una varia variabl blee alea aleato toria ria que que deno denota ta la obse observ rvac ación ión ij9ési 9ésim ma, µ es un par!metro com'n a todos los tratamientos llamado la media global, τ es un par!metro asociado con el tratamiento i9ésimo llamado el efecto del tratamiento Ai9ésimo, y εij: es un componente del error aleatorio. Bbsérvese que el modelo pudo "aberse escrito como
E5EMP&$ !")! 4onsidérese el experimento de la resistencia a la tensión del papel descrito en la sección -9.- *uede usarse el an!lisis de variana para probar la "ipótesis de que diferentes concentraciones de madera dura no afectan la resistencia a la tensión media del papel. Las "ipótesis son
Se usar! o C 8.8-. Las sumas de cuadrados cuadrados para el an!lisis de variana se se calculan con las ecuaciones -9$, -9-8 y -9-- de la siguiente manera3 EDGAR ALVAREZ ARAGON
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En la tabla -90 se resume el an!lisis de variana. *uesto queD8 8- / 8 C 0.$0, se rec"aa o y se concluye que la concentración de madera dura de la pulpa afecta de manera significativa la resistencia del papel. +ambién puede encontrarse un valor P para este estadístico de la prueba como sigue3
*uesto que el valor * C /.6$ x -8 9= es considerablemente m!s peque#o que F C 8.8-, se cuenta con evidencia sólida para concluir que o no es verdadera. +abla -90
1n!lisis de variana para los datos de la resistencia a la tensión
'uente *e +ariacin 4oncentración de madera dura Error +otal
Suma *e cua*ra*os /<.;$ -/8.-; 6-.$=
Gra*os *e li-erta*
Cua*ra*o me*io
/ 8 /
-;.=8 =.6-
! 6alor P
f o
-$.=8
/.6$ E9=
En algunos experimentos con un solo factor, el n'mero de observaciones que se "acen bajo cada tratamiento puede ser diferente. Se dice entonces que el dise#o es desbalanceado. El an!lisis de variana descrito arriba sigue siendo v!lido, aunque es necesario "acer ligeras modificaciones en las fórmulas de las sumas de cuadrados. Sea a
que se "agan nG observaciones bajo el tratamiento i %iC -, ,.... a&, y sea H C
n ∑ = i
., el
1
n'mero total de observaciones. Las fórmulas para calcular SS + y SS+ratamientos se presentan en la siguiente definición. 2efinición Las formulas para calcular las sumas de cuadrados para el an!lisis de variana con tama#os de las muestras n - diferentes en cada tratamiento son3 a
a
∑ ∑ =
SS T =
i j
2
y y ij − N i = j 2
a
SS Tratamientos =∑ i = j
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2
y i
n1
2
−
y i
N 5
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SS E = SST − SSTratamientos
Elegir un dise#o balanceado tiene dos ventajas importantes. *rimera, el procedimiento de prueba es relativamente insensible a las desviaciones peque#as del supuesto de la igualdad de las varianas si los tama#os de las muestras son iguales. Este no es el caso para tama#os de las muestras diferentes. Segunda, la potencia de la prueba se maximia si las muestras son de tama#os iguales.
Sali*a *e computa*ora uc"os paquetes de softIare tienen la capacidad de analiar datos de experimentos dise#ados utiliando el an!lisis de variana. En la tabla -96 se presenta la salida de la rutina del an!lisis de variana simple del programa initab para el experimento de la resistencia a la tensión descrito en el ejemplo -9-. Los resultados concuerdan bastante bien con los c!lculos manuales presentados previamente en la tabla -90. La salida de initab también incluye intervalos de confiana de $67 para la media de cada tratamiento individual. La media del tratamiento i9ésimo se define como i C J ti
i C -......a
5n estimador puntual de µ es µ C Y i.. Entonces, si se supone que los errores tienen una distribución normal, el promedio de cada tratamiento tiene una distribución normal con media µ y variana σDn. *or tanto, si se conociera σ, podría usarse la distribución normal para construir un intervalo de confiana. 5sando SE como estimador de σ %esta es la K2esviación est!ndar agrupadaK que aparece en la salida de initab& el intervalo de confiana se basaría en la distribución t, ya que Yi− μ +C Y i ¿ MS / n E
tiene una distribución t con a%n 9 -& grados de libertad. Esto lleva a la siguiente definición del intervalo de confiana. +abla -96 Salida del programa initab para el an!lisis de variana del ejemplo -9-
Análisis *7 +arian,a *e un solo 8actor 1n!lisis de variana de la resistencia >uente 2> SS S > * 4oncentración / /<.;$ -;.=8 -$.=- 8.888 Error 8 -/8.-; =.6+otal / 6-.$= 2esviación Hivel H 6 EDGAR ALVAREZ ARAGON
=
edia
est!ndar
-8.888
.<< 6
)ntervalos de confiana individuales de $67 para la media basados en la desviación est!ndar agrupada 99999999 J99999999 J99999999 J99999999 J99999999
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-8 = -6.==; -6 = -;.888 8 = -.-=; 2esviación est!ndar agrupada C
.<86 -.;<$ .=/$ .66-
-8.8
-6.8
8.8
4omparaciones por pares de >is"er ndice de error de familia C8.-$ ndice de error individual C 8.8688 (alor crítico C .8<= intervalos para %media nivel columna& 9 %media nivel renglón& 6 -8 -6 -8 9<.;/$ 9.6$0 -6 9-8.8; 90.08= 9/.$< -.;/$ 8 9-0./$ 9<.6; 9;./$ 9<.$80 9.0< 9-.8$0
De8inicin 5n intervalo de confiana del -88%- 9 a& por ciento para la media del tratamiento i9 ésimo, µ p es3 ´ t −t y
∝
/ 2. a (n −t )
√
MS E n
≤ μ , ≤ ´ y i+ t
∝
/ 2. a (n− 1)
√
MS E n
( 12 −12)
La ecuación -9- se usa para calcular los intervalos de confiana indicados gr!ficamente en la salida del programa initab de la tabla -96. EME*LB -9 Las estimaciones de la media de la resistencia a la tensión para el experimento del ejemplo -9- son las siguientes3
El intervalo de confiana de $67 para la resistencia a la tensión media con 87 de madera dura se encuentra con la ecuación -9- como sigue3
*or lo tanto, el intervalo de confiana deseado es EDGAR ALVAREZ ARAGON
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6.8
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Los otros intervalos de confiana para la concentración de madera dura de 67, -87 y -67 se calculan de manera similar. El examen visual de los intervalos de confiana de la salida de initab sugieren que las resistencias a la tensión medias con -87 y -67 de madera dura son similares. +ambién es de interés encontrar intervalos de confiana para la diferencia de las medias de dos tratamientos, por ejemplo, µi, 9 µi. El estimador puntual de µi 9 µ j es @i. N @ j y la variana de este estimador es
1"ora bien, si se usa SE para estimar a, entonces
tiene una distribución t con a%n 9 -& grados de libertad. *or lo tanto, un intervalo de confiana para µi, 9 µi. puede basarse en la distribución.
De8inicin 5n intervalo de confiana del -88%- 9 a& por ciento para la diferencia de las medias de dos tratamientos µi, 9 µi, es3 ´ i− y´ j− y
ta 2
.a / 2 ( n −1 )
√
2 MS E
n
´ i− y´ j ± j.a /2 ( n−1) ≤ y
√
2 MS E
n
( 12−13 )
5n intervalo de confiana de $67 para la diferencia de las medias µ/, 9 µ, se calcula con la ecuación -9-/ como sigue3
*or tanto, el intervalo de confiana de $67 para %i/ 9 fi, es 9-.;0 O µ/, 9 µ O 0.08 *uesto que el intervalo de confiana incluye al cero, se concluiría que no "ay diferencia en la resistencia a la tensión media en estos dos niveles de madera dura particulares. La parte inferior de la salida de computadora de la tabla -96 proporciona información adicional respecto a cu!les medias específicas son diferentes. Se revisar! esto con mayor detalle en la sección -9/.
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!")"#2 Análisis *e resi*uales 9 +eri8icacin *el mo*elo En el an!lisis de variana del modelo simple o de un solo factor, se supone que las observaciones siguen una distribución normal e independiente con la misma variana para cada tratamiento o nivel del factor. Estos supuestos deber!n verificarse examinando los residuales. 5n residual es la diferencia entre una observación Y ij y su valor estimado %o ajustado& en el modelo estadístico bajo estudio, denotado como yij. *ara el dise#o completamente aleatoriado Y ij Y ij cada residual es eij C yij 9 y, es decir, la diferencia entre una observación y la media observada del tratamiento correspondiente. En la tabla -9= se muestran los residuales para el experimento del porcentaje de madera dura. 1l utiliar y j. para calcular cada residual en esencia, se elimina el efecto de la concentración de madera dura de esos datos: por consiguiente, los residuales contienen información acerca de la variabilidad no explicada. El supuesto de normalidad puede verificarse construyendo una gr!fica de probabilidad normal de los residuales. *ara verificar el supuesto de la igualdad de las varianas en cada nivel del factor, se grafican los residuales contra los niveles del factor y se compara la dispersión de los residuales. +ambién es conveniente graficar los residuales contra Y ij. %llamada en ocasiones el valor ajustado&: la variabilidad de los residuales no deber! depender en forma alguna del valor de yi. La mayoría de los paquetes de softIare de estadística construir!n estas gr!ficas si así se estipula. 4uando aparece un patrón en estas gr!ficas, por lo general sugiere la necesidad de una transformación, es decir, de analiar los datos con una métrica diferente. *or ejemplo, si la variabilidad de los residuales se incrementa con yij, entonces debería considerarse una transformación como log y o y. En algunos problemas, la dependencia de la dispersión de los residuales con la y i. media observada, constituye información de suma utilidad. *uede ser deseable seleccionar el nivel del factor que dé como resultado la respuesta m!xima: sin embargo, este nivel también puede producir una variación mayor en la respuesta de una corrida a otra. El supuesto de independencia puede verificarse graneando los residuales contra el tiempo o contra el orden de las corridas en que se realió el experimento. 5n patrón en esta gr!fica, como secuencias de residuales positivos y negativos, puede indicar que las observaciones no son independientes. Esto sugiere que el tiempo o el orden de las corridas es importante o que las variables que cambian con el tiempo son importantes y no se "an incluido en el dise#o experimental. En la figura -9 se muestra la gr!fica de probabilidad normal de los residuales del experimento de la resistencia a la tensión del papel. En las figuras -9/ y -90 se presentan los residuales graneados contra los niveles del factor y el valor ajustado y.., respectivamente. Estas gr!ficas no revelan ninguna falta de adecuación del modelo ni alg'n problema excepcional con los supuestos.
Ta-la !")4 Resi*uales para el experimento *e la resistencia a la tensin Concentracin *e ma*era *ura 67 -67 87 EDGAR ALVAREZ ARAGON
9/.88 9/.=; 9/.88 9.-;
Resi*uales 6.88 -.88 9.=; .// .88 8.88 8.
9.88 -.// -.88 /.
9-.88 /.// 9-.88 9/.-;
8.88 98.=; -.88 9-.-;
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Ejercicios 12.2 12.1 En design and análisis of experiments 4ª edicion (Jhon Wiley & ons! ".#. $ontgomery descri%e n experimento en la 'e la resistencia a la tensin de na fi%ra sint)tica es de inter)s para el fa%ricante. e piensa 'e la resistencia se relaciona con el porcentaje de algodn de la fi%ra. e san cinco ni*eles del porcentaje de algodn+ y se hacen cinco r)plicas en orden aleatorio+ o%teni)ndose los sigientes datos como resltado, -orcentaje de algodn 15 20 25 30 35
1
2
%ser*aciones /
7 12 14 19 7
7 17 18 25 10
15 12 18 22 11
4
0
11 18 19 19 15
9 18 19 23 11
a) ¿El porcentaje de algodón afecta la resistencia a la ruptura? race diagra!as de caja co!parati"os # $aga un an%lisis de "arian&a' (se α 0'05' *) +rafi,ue la resistencia a la tensión pro!edio contra el porcentaje de algodón e interprete los resultados' c) Encuentre los residuales # e-a!.nelos en cuanto a la adecuación del !odelo'
12/. e estdia la resistencia a la compresin del concreto+ y se in*estigan catro t)cnicas de meclado diferentes. e han o%tenido los si gientes datos, 3)cnica de meclado 1 2 3 4
esistencia a la compresin (psi!. 3129 3200 2800 2/00
3000 3300 2900 2700
28/5 2975 2985 2/00
2890 3150 3050 27/5
a) rue*e la $ipótesis de ,ue las tcnicas de !e&clado afectan la resistencia a la co!presión del concreto' (se α 0'05' *) Encuentre el "alor para el estad.stico calculado en el inciso a)' c) nalice los residuales de este e-peri!ento'
120. 5n ingeniero electrnico está interesado en el efecto 'e tienen cinco tipos diferentes de rec%rimiento de n cinescopio+ so%re la condcti*idad del mismo en n dispositi*o de *isaliacin de n sistema de telecomnicaciones. e o%t*ieron los sigientes datos para la condcti*idad, EDGAR ALVAREZ ARAGON
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3ipo de rec%rimiento 1 2 3 4 5
#ondcti*idad 141 149 133 127 148
152 134 129 147
150 137 132 132 144
140 143 127 129 142
a) ¿a# alguna diferencia en la conducti"idad causada por el tipo de recu*ri!iento? (se α 0'01' *) nalice los residuales de este e-peri!ento' c) onstru#a una esti!ación de un inter"alo de 956 para la !edia del recu*ri!iento tipo 1' onstru#a una esti!ación de un inter"alo de 996 para la diferencia entre las !edias de los recu*ri!ientos tipo 1 # 4'
12.6. En n art7clo de 8#9 (:ol. ;4+ pp.21/21o. ?a resistencia a la compresin resltante del ejemplar de pre%a de concreto es la *aria%le de respesta. ?os datos se mestran en la sigiente ta%la. @i*el de *arillado 10 15 20 25
esistencia a la compresin 1530 1/10 15/0 1500
1530 1/50 1730 1490
1440 1500 1530 1510
a) ¿a# alguna diferencia en la resistencia a la co!presión de*ida al ni"el de "arillado? *) Encuentre el "alor para el estad.stico del inciso a)' c) nalice los residuales de este e-peri!ento' ¿u conclusiones pueden sacarse acerca de los supuestos funda!entales del !odelo?
12A. En n art7clo de Jornal of the 8ssociation of 8sphalt -a*ing 3echnologists (:ol. 0A! se descri%e n experimento para determinar el efecto de los *ac7os de aire so%re la resistencia porcental conser*ada del asfalto. -ara los fines del experimento+ los *ac7os de aire se controlan en tres ni*eles, %ajo (24B!+ medio (4
esistencia conser*ada (B!
ajo 10/ 90 103 edio 80 /9 94 91 70 83 87 83 lto 78 80 /2 /9 7/ 85 /9 85 a) ¿:os diferentes ni"eles de los "ac.os de aire afectan de !anera EDGAR ALVAREZ ARAGON
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*) c) d) e)
significati"a la resistencia conser"ada pro!edio? (se a 0'01' Encuentre el "alor para el estad.stico del inciso a)' nalice los residuales de este e-peri!ento' Encuentre un inter"alo de confian&a de 956 para la resistencia conser"ada pro!edio cuando $a# un ni"el alto de "ac.os de aire' Encuentre un inter"alo de confian&a de 956 para la diferencia de la resistencia conser"ada pro!edio en los ni"eles *ajo # alto de "ac.os de aire'
-5EC8 CE $E"98 "E 3838$9E@3 9@"9:9"58?E ;upóngase ,ue el an%lisis de "arian&a indica ,ue la $ipótesis nula de*er% rec$a&arse' Esto i!plica< desde luego< diferencias entre las !edias de los trata!ientos< pero sin especificar e-acta!ente cu%les !edias son diferentes' E"idente!ente< en una situación as. se justifica la co!paración adicional de las !edias de los trata!ientos' los procedi!ientos para co!parar las !edias de trata!ientos indi"iduales en el an%lisis de "arian&a por lo general se les lla!a !todos de co!paración !=ltiple' Estos !todos se introducen en esta sección'
#omparacin gráfica de medias Es sencillo $acer la co!paración gr%fica de las !edias de los trata!ientos< despus de $a*er reali&ado el an%lisis de "arian&a' ;uponga ,ue el factor tiene a ni"eles # ,ue # 1'< #2'<'''< #a' ;on los pro!edios o*ser"ados de estos ni"eles del factor' odos los pro!edios de los trata!ientos tienen des"iación est%ndar σ> √ n < donde a es la des"iación est%ndar de una o*ser"ación indi"idual' ;i todos los pro!edios de los trata!ientos son iguales< las !edias o*ser"adas #' se co!portar.an co!o si fueran un conjunto de o*ser"aciones to!adas al a&ar de una distri*ución nor!al con !edia µ # des"iación est%ndar σ> √ n < @!aginar ,ue esta distri*ución nor!al puede desli&arse so*re un eje a*ajo del cual se grafican las !edias de los trata!ientos # 1<< #2'<'''< #a' ;i todas las !edias de los trata!ientos son iguales< de*er% $a*er alguna posición para esta distri*ución ,ue $aga e"idente ,ue los "alores #r se to!aron de la !is!a distri*ución' ;i no es este el caso< entonces los "alores #' ,ue no parecen $a*erse sacado de esta distri*ución< se asocian con trata!ientos ,ue producen respuestas !edias diferentes' :a =nica falla en este ra&ona!iento es ,ue a no se conoce' ;in e!*argo< puede usarse √ MS E del an%lisis de "arian&a para esti!ar σ' Esto i!plica ,ue de*er% usarse una distri*ución t en lugar de la nor!al al $acer la gr%fica< pero dada la gran se!ejan&a entre la distri*ución t # la nor!al< tra&ar una cur"a nor!al ,ue tenga apro-i!ada!ente 6 √ MS E @n unidades de anc$o funcionar% *astante *ien en la !a#or.a de los casos' En la figura 12A5 se ilustra esta situación para el e-peri!ento de la concentración de !adera dura de la sección 12A2'1' :a des"iación est%ndar de esta distri*ución nor!al es ;i se "isuali&a el desli&a!iento de esta distri*ución so*re el eje $ori&ontal< se EDGAR ALVAREZ ARAGON
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INGENIRIA QUIMICA
o*ser"a ,ue no $a# ninguna posición de esta distri*ución ,ue sugiera ,ue las cuatro o*ser"aciones Blas !edias graneadas) son "alores t.picos seleccionados al a&ar de esa distri*ución' Esto< desde luego< ser.a de esperarse< #a ,ue el an%lisis de "arian&a $a indicado ,ue las !edias difieren< # la ilustración de la figura 12A5 es tan sólo una representación gr%fica de los resultados del an%lisis de "arian&a' :a figura indica ,ue el trata!iento 4 B206 de !adera dura) produce el papel con la resistencia a la tensión !edia !%s alta ,ue los otros trata!ientos< # ,ue el trata!iento 1 B56 de !adera dura) produce la resistencia a la tensión !edia !%s *aja ,ue los trata!ientos restantes' :as !edias de los trata!ientos 2 # 3B10 # 156 de !adera dura< respecti"a!ente) no difieren'
igura 12A5 ro!edio de la resistencia a la tensión del e-peri!ento de la concentración de !adera dura en relación con una distri*ución nor!al de des"iación est%ndar
Este procedi!iento es una tcnica de co!paración !=ltiple apro-i!ada pero !u# efica&' ;in e!*argo< $a# procedi!ientos de prue*a con funda!entos estad.sticos !%s for!ales' ara !a#ores detalles so*re estos procedi!ientos< "ase ontgo!er#' ;e descri*en a continuación de !anera sucinta dos de estos procedi!ientosC el !todo de contrastes ortogonales # el de la diferencia significati"a !.ni!a de is$er'
#ontrastes ortogonales uc$os de los procedi!ientos de co!paración !=ltiple utili&an la idea de un contraste' onsidrese el e-peri!ento de la concentración de !adera dura presentado en la sección 12A2'1' uesto ,ue la $ipótesis 0C τ 1= τ 2= τ 3=τ 4=0 fue rec$a&ada< se sa*e ,ue algunas de las concentraciones de !adera dura producen resistencias a la tensión diferentes ,ue otras< pero< ¿cu%les son las ,ue causan en realidad esta diferencia? l principio del e-peri!ento< podr.a sospec$arse ,ue las concentraciones de !adera dura 3 # 4 producen la !is!a resistencia a la tensión' Esto i!plica ,ue ,uerr.a pro*arse la $ipótesis
Esta $ipótesis podr.a pro*arse utili&ando una co!*inación lineal de los totales de los trata!ientos< por eje!plo<
;i se $u*iera sospec$ado ,ue el pro!edio de las concentraciones de !adera EDGAR ALVAREZ ARAGON
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INGENIRIA QUIMICA
dura 1 # 3 no difer.a del pro!edio de las concentraciones de !adera dura 2 # 4< entonces la $ipótesis $u*iera sido
lo cual i!plica ,ue la co!*inación lineal de los totales de los trata!ientos es
En general< la co!paración de las !edias de los trata!ientos de inters< i!plicar% una co!*inación lineal de los totales de los trata!ientos co!o
con la restricción de ,ue estas co!*inaciones lineales se les lla!a contrastes' :a su!a de cuadrados de cual,uier contraste es
,ue tiene un solo grado de li*ertad' ;i el diseDo es des*alanceado< entonces la co!paración de las !edias de los trata!ientos re,uiere ,ue
# la ecuación 12A14 pasa a ser
(n contraste se prue*a co!parando su su!a de cuadrados con el cuadrado !edio de error' El estad.stico resultante tiene una distri*ución co!o la < con 1 # A a grados de li*ertad' (n caso !u# especial del procedi!iento anterior es el de los contrastes ortogonales' Fos contrastes con coeficientes Gc H # GdH son ortogonales si
o< en el caso de un diseDo des*alanceado< si
EDGAR ALVAREZ ARAGON
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INGENIRIA QUIMICA
ara a trata!ientos< un conjunto de a A 1 contrastes ortogonales $ar%n la partición de la su!a de cuadrados de*ida a los trata!ientos en a A 1 su!as de cuadrados independientes< con un solo grado de li*ertad' or tanto< las prue*as reali&adas en contrastes ortogonales son inde pendientes' a# !uc$as !aneras de elegir los coeficientes de los contrastes ortogonales para un conjunto de trata!ientos' or lo general< alg=n ele!ento del conte-to del e-peri!ento de*er% sugerir cu%les de las co!paraciones son de inters' or eje!plo< si $a# a 3 trata!ientos< donde el trata!iento 1 es de control # los trata!ientos 2 # 3 son ni"eles reales del factor de inters para el e-A peri!entador< entonces los contrastes ortogonales apropiados podr.an ser los siguientesC
I*sr"ese ,ue el contraste 1 con ci 2<1<1 co!para el efecto pro!edio del factor con el control< !ientras ,ue el contraste 2 con d i 0< 1
EJE$-? 12/ onsidrese el e-peri!ento de la concentración de !adera dura' a# cuatro ni"eles de la concentración de !adera dura< # los conjuntos posi*les de co!paraciones entre estas !edias # las co!paraciones ortogonales asociadas son
I*sr"ese ,ue las constantes de los contrastes son ortogonales' (tili&ando los datos de la ta*la 12A1< los "alores nu!ricos de los contrastes # las su!as de cuadrados se encuentran de la siguiente !anera'
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Estas su!as de cuadrados de los contrastes $acen una partición co!pleta de la su!a de cuadrados de los trata!ientosJ es decir< ;;rata!ientos ;; K ;;d K ;;e' Estas prue*as de los contrastes suelen incluirse en los an%lisis de "arian&a< co!o el ,ue se !uestra en la ta*la 12A7' partir de este an%lisis< se conclu#e ,ue $a# diferencias significati"as entre las concentraciones de !adera dura 3 # 4< # 1 # 2< pero ,ue el pro!edio de 1 # 4 no difiere del pro!edio de 2 # 3' si!is!o< el pro!edio de 1 # 3 difiere del pro!edio de 2 # 4'
3a%la 126 Dente de *ariacin oncentración de !adera dura c B1<4 "s' 2< 3) d B1<2 "s' 3< 4) e B1<3 "s' 2<4) Error otal
8nálisis de *ariana de los datos de. la resistencia ma de rados de #adrado cadrados li%ertad medio fF 382'79 3'38 234'38 145'04 130'17 512'9/
3 1 1 1 20 23
127'/0 3'38 234'38 145'04 /'51
L 19'/1 0'52 3/'00 22'28
$)todo de la diferencia significati*a m7nima de Disher recuente!ente< los analistas no sa*en de ante!ano có!o construir los contrastes ortogonales apropiados< o ,ui&% deseen pro*ar !%s de α A 1 co!paraciones usando los !is!os datos' or eje!plo< tal "e& un analista ,uiera co!parar todos los pares posi*les de !edias' :a $ipótesis nula ser.a entonces 0 C µi µ j< para toda i ≠ j ' ueden aplicarse "arios procedi!ientos en este pro*le!a' ;e descri*e a,u. el !todo de la diferencia significati"a !.ni!a B:;F) de is$er' ara otros !todos # !a#ores detalles< inclu#endo un an%lisis co!parati"o de "arios !todos< "ase ontgo!er#' El !todo de la :;F de is$er co!para todos los pares de !edias con las $ipótesis nulas 0 C µi µ j Bpara toda i ≠ j ) utili&ando el estad.stico t
;uponiendo una $ipótesis alternati"a de dos colas< el par de !edias Mi' # -' se declarar.a significati"a!ente diferente si EDGAR ALVAREZ ARAGON
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donde :;F< la diferencia significati"a !.ni!a< es
;i los ta!aDos de las !uestras son diferentes en cada trata!iento< entonces la :;F se define co!o
EJE$-? 124 ;e aplicar% el !todo de la :;F de is$er al e-peri!ento de la concentración de !adera dura' a# a 4 !edias< n /< ; E A /'51 # f 0'025 20 2'08/' :as !edias de los trata!ientos son
El "alor de la :;F es :;F or lo tanto< cual,uier par de pro!edios de los trata!ientos ,ue difiere en !%s de 3'07 i!plica ,ue el par de !edias de los trata!ientos correspondientes son diferentes' :as co!paraciones entre los pro!edios o*ser"ados de los trata!ientos son las siguientesC 4 "s' 1 21'17 A 10'00 11'17 N 3'07 4 "s' 2 21'17 A 15'/7 5'50 N 3'07 4 "s' 3 21'17 A 17'00 4'17 N 3'07 3 "s' 1 17'00 A 10'00 7'00 N 3'07 3 "s' 2 17'00 A 15'/7 1'33 O 3'07 2 "s' 1 15'/7 A 10'00 5'/7 N 3'07 partir de este an%lisis< se o*ser"a ,ue $a# diferencias significati"as entre todos los pares de !edias e-cepto la 2 # la 3' Esto i!plica ,ue las concentraciones de !adera dura de 106 # 156 producen apro-i!ada!ente la !is!a resistencia a la tensión # ,ue los de!%s ni"eles de concentración pro*ados producen resistencias a la tensión diferentes' on frecuencia es con"eniente tra&ar una gr%fica de las !edias de los trata!ientos< co!o la de la figura 12A/< con las !edias ,ue no son diferentes su*ra#adas' Esta gr%fica EDGAR ALVAREZ ARAGON
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INGENIRIA QUIMICA
re"ela clara!ente los resultados del e-peri!ento # !uestra ,ue 206 de !adera dura produce la resistencia a la tensión !%-i!a' I*sr"ese ,ue estos resultados concuerdan con los del !todo gr%fico si!ple para co!paraciones !=ltiples descrito en la sección 12A3'1' El progra!a inita* ejecuta "arios procedi!ientos de co!paración !=ltiple' :a salida del progra!a inita* de la ta*la 12A5 !uestra el !todo de la :;F de is$er *ajo el enca*e&ado Po!paraciones por pares de is$erP' El "alor cr.tico reportado es en realidad el "alor de t 0025 20 2'08/' inita* aplica el !todo de la :;F de is$er calculando inter"alos de confian&a para todos los pares de !edias de los trata!ientos utili&ando la ecuación 12A13' :os l.!ites de confian&a inferior # superior de 956 se !uestran en la parte inferior de la ta*la' I*sr"ese ,ue el =nico par de !edias para los ,ue el inter"alo de confian&a inclu#e al cero es para µ10 # µ15' Esto i!plica ,ue µ10 # µ15 no difieren significati"a!ente< el !is!o resultado al ,ue se llegó en el eje!plo 12A4' En la ta*la 12A5 ta!*in se proporciona un P.ndice de error de fa!iliaP< igual a 0'192 en este eje!plo' uando se prue*an todos los pares posi*les de !edias< la pro*a*ilidad de al !enos un error tipo @ puede ser !uc$o !a#or ,ue para una prue*a sencilla' El .ndice de error de fa!ilia puede interpretarse de la siguiente !anera' :a pro*a*ilidad de ,ue no $a#a errores tipo @ en las seis co!paraciones es 1 A 0'192 0'808' El .ndice de error de fa!ilia de la ta*la 12A 5 se *asa en la distri*ución del rango de las !edias !ustrales' Qase ontgo!er# para los detalles' lternati"a!ente< inita* per!ite ,ue el usuario especifi,ue un .ndice de error de fa!ilia # despus el progra!a calcula un .ndice de error de fa!ilia para cada co!paración'
Digra 12<
esltados del m)todo de la ?" de Disher en el ejemplo 124.
EJE#9#9 "E ?8 E##9G@ 12/ 12A11' pli,ue el !todo gr%fico de la sección 12A3'1 para in"estigar la resistencia a la tensión para los cinco ni"eles de contenido de algodón del ejercicio 12A1' ¿u%les son las conclusiones? 12A13' pli,ue el !todo gr%fico de la sección 12A3'1 al e-peri!ento del ejercicio 12A3' ¿u conclusiones pueden sacarse? 12A15' pli,ue el !todo gr%fico de la sección 12A12A3'1 al e-peri!ento del diseDo del circuito del ejercicio 12A/' ¿u diseDos del circuito producen tie!pos de respuesta !edios diferentes? 12A17' pli,ue la tcnica gr%fica de la sección 12A3'1 al e-peri!ento de los "ac.os de aire del ejercicio 12A9' ¿u ni"eles de "ac.os de aire dan co!o EDGAR ALVAREZ ARAGON
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INGENIRIA QUIMICA
resultado resistencias conser"adas !edias del asfalto diferentes? 12A19' (se el !todo de la :;F de is$er con pR a 0'05 para anali&ar las !edias de los cinA+iilST co ni"eles diferentes del contenido de algodón del ejercicio 12A1' 12A21' onsidere el e-peri!ento de la "elocidad de flujo del gas descrito en el ejercicio 12A2' ;uponga ,ue 125 ; es una "elocidad de flujo est%ndar' ;ugiera un conjunto de contrastes ortogonales ,ue ser.an apropiados para la co!paración de las !edias' aga el an%lisis usando a 0'05' 12A23' (se el !todo de la :;F de is$er para anali&ar las cinco !edias de los tipos de recu*ri!iento descritos en el ejercicio 12A5' (se a 0'01' 12A25' onsidere el e-peri!ento descrito en el ejercicio 12A5' ;uponga ,ue< antes de reali&ar el e-peri!ento< se le pidiera a usted ,ue constru#era un conjunto de contrastes ortogonales para este e-peri!ento' roponga un conjunto de contrastes< suponiendo ,ue el recu*ri!iento tipo 5 es el ,ue est% en uso actual!ente' ¿u conclusiones sacar.a usted< usando a 0'01? 12A27' (se el !todo de la :;F de is$er para anali&ar las cantidades !edias del radón li*erado en el e-peri!ento descrito en el ejercicio 12A8' (se a 0'05' 12A29' pli,ue el !todo de la :;F de is$er en el e-peri!ento del !aterial superconductor descrito en el ejercicio 12A10' ¿u !todos de preparación difieren si a 0'05?
$"E? "E EDE#3 8?E839 En !uc$as situaciones< el factor de inters tiene un gran n=!ero de ni"eles posi*les' El analista se interesa en sacar conclusiones acerca de la po*lación co!pleta de los ni"eles del factor' ;i el e-peri!entador selecciona aleatoria!ente a de estos ni"eles entre la po*lación de los ni"eles del factor< entonces se dice ,ue el factor es un factor aleatorio' uesto ,ue los ni"eles del factor ,ue se usan real!ente en el e-peri!ento se eligieron de !anera aleatoria< las conclusiones alcan&adas ser%n "%lidas para la po*lación co!pleta de los ni"eles del factor' ;e supondr% ,ue la po*lación de los ni"eles del factor es de ta!aDo infinito o *ien lo suficiente!ente grande co!o para considerarlo infinito' El !odelo lineal estad.stico es
donde los efectos de los trata!ientos τi # los errores εij son "aria*les aleatorias independientes' I*sr"ese ,ue la estructura del !odelo es idntica a la del caso de efectos fijos< pero los par%!etros tienen una interpretación diferente' ;i la "arian&a de los efectos de los trata!ientos τi es σ 2τ entonces< por la independencia la "arian&a de la respuesta< es
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las "arian&as σ 2τ # σ 2❑ se les lla!a los co!ponentes de la "arian&a< # al !odelo< la ecuación 12A17< se le lla!a el !odelo de co!ponentes de la "arian&a o !odelo de efectos aleatorios' ara pro*ar $ipótesis en este !odelo< se supone ,ue los errores εij tienen una distri*ución nor!al e independiente con !edia 0 # "arian&a σ 2❑ < # ,ue los efectos de los trata!ientos τi tienen una distri*ución nor!al e independiente con !edia cero # "arian&a σ 2τ ara el !odelo de efectos aleatorios< pro*ar la $ipótesis de ,ue los efectos de los trata!ientos indi"iduales son cero no tiene sentido' Es !%s apropiado pro*ar una $ipótesis acerca de σ 2τ ' Espec.fica!ente<
;i σ 2τ ' 0< todos los trata!ientos son idnticosJ pero si $a# "aria*ilidad entre los trata!ientos'
2
σ τ ' N 0< entonces
El an%lisis de desco!posición de "arian&a de la "aria*ilidad total sigue siendo "%lidoJ es decir<
;in e!*argo< los "alores esperados de los cuadrados !edios de los trata!ientos # del error presentan ciertas diferencias con respecto al caso de los efectos fijos' En el !odelo de efectos aleatorios para un e-peri!ento co!pleta!ente aleatorio con un solo factor< el cuadrado !edio esperado de los trata!ientos es
ssTratamientos ÷ a − - = σ + nσ
E %MSTratamientos & = E
τ
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%- − -$& %- − 8&
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# el cuadrado !edio esperado del error es
SS E a %n − -&
E % MS E & = E
= σ
%- − 8&
El desarrollo de estos cuadrados !edios esperados es relati"a!ente si!ple' onsidrese el "alor esperado del cuadrado !edio de los trata!ientosC
;i se ele"a al cuadrado # se calcula el "alor esperado< se encuentra ,ue los tr!inos ,ue inclu#en aτ 2i son ree!pla&ados por σ 2τ < #a ,ue EBt ) 0' n
si!is!o<
los
tr!inos
,ue
inclu#en
n
a
n
ε , ∑ ε y ∑ ∑ τ ∑ = = = = j
1
2
2
ij
ij
j
1
2
i
i
1
j
<
son
1
ree!pla&ados por nσ2< anσ2 # anσ2< respecti"a!ente' or =lti!o< todos los tr!inos con productos cru&ados ,ue inclu#en a τ i y ε ij J tienen e-pectati"a cero por,ue las "aria*les aleatorias son independientes' Esto lle"a a
o *ien
co!o se esta*leció en la definición' (tili&ando un enfo,ue si!ilar se de!uestra con facilidad ,ue EB;E ) σ2' l e-a!inar los cuadrados !edios esperados< es claro ,ue tanto ;E co!o 2 ;trata!iento esti!an σ2 cuando H 0 : σ τ =0 es "erdadera' de!%s< ;E # ;trata!ientos son independientes' or consiguiente< el cociente
es una "aria*le aleatoria con a A 1 # aBn A 1) grados de li*ertad cuando o es "erdadera' :a $ipótesis nula se rec$a&ar.a en el ni"el de significación α si el f > f α ,a −-,a % n−-& "alor calculado del estad.stico de la prue*a 8 .
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INGENIRIA QUIMICA
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El procedi!iento de c%lculo # la construcción de la ta*la de an%lisis de "arian&a para el !odelo de efectos aleatorios son idnticos al caso de efectos fijos' ;in e!*argo< las conclusiones son !u# diferentes< #a ,ue se aplican a la po*lación co!pleta de los trata!ientos' or lo general< ta!*in ,uerr%n esti!arse los co!ponentes de la "arian&a B 2 2 σ y σ τ ) del !odelo' l procedi!iento ,ue se usar% a,u. para esti!ar σ 2 # 2 σ τ se le lla!a el !todo del an%lisis de "arian&a< por,ue utili&a la infor!ación de la ta*la del an%lisis de "arian&a' o es necesario el supuesto de nor!alidad de las o*ser"aciones' El procedi!iento consiste en igualar los cuadrados !edios esperados con sus "alores o*ser"ados en la ta*la del an%lisis de "arian&a # resol"er para los co!ponentes de la "arian&a' uando se igualan los cuadrados !edios o*ser"ados # los esperados del !odelo de efectos aleatorios con clasificación si!ple< se o*tiene
#
or lo tanto< los esti!adores de los co!ponentes de la "arian&a son
P MS E
σ
=
%-. ..& −
# σ t
P =
MSTratamientos − MS E n
%- − /&
En ocasiones el !todo del an%lisis de "arian&a produce una esti!ación negati"a de un co!ponente de la "arian&a' uesto ,ue los co!ponentes de la "arian&a por definición son no negati"os< una esti!ación negati"a de un co!ponente de la "arian&a es pertur*ante' (n curso de acción es aceptar la esti!ación # usarla co!o e"idencia de ,ue el "erdadero "alor del co!ponente de la "arian&a es cero< al suponer ,ue la "ariación del !uestreo lle"ó a la esti!ación negati"a' un cuando este enfo,ue posee una apelación intuiti"a< pertur*ar% las propiedades estad.sticas de otras esti!aciones' Itra alternati"a es esti!ar de nue"o el co!ponente de la "arian&a negati"o con un !todo ,ue produ&ca sie!pre esti!aciones no negati"as' (na posi*ilidad !%s es considerar la esti!ación negati"a co!o e"idencia de ,ue el !odelo lineal propuesto es incorrecto< lo cual re,uerir.a la re"isión del !odelo # sus supuestos para encontrar un !odelo !%s apropiado'
EJE$-? 120 En Fesign and nal#sis of E-peri!ents< 4a' edición BUo$n Vile#)< F'' ontgo!er# descri*e un e-peri!ento con un solo factor referente a un !odelo de efectos aleatorios en el ,ue una co!paD.a !anufacturera de te-tiles ela*ora una tela en un gran n=!ero de telares' :a co!paD.a est% interesada en la "aria*ilidad de la resistencia a la tensión de un telar a otro' ara in"estigar esta "aria*ilidad< un ingeniero de !anufactura selecciona cuatro telares al a&ar # EDGAR ALVAREZ ARAGON
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INGENIRIA QUIMICA
$ace cuatro deter!inaciones de la resistencia en !uestras de la tela elegidas al a&ar de cada telar' :os datos se !uestran en la ta*la 12A8< # el an%lisis de "arian&a se resu!e en la ta*la 12A9' partir del an%lisis de "arian&a< se conclu#e ,ue los telares de la planta difieren significati"a!ente en su capacidad para producir una tela de P. σ resistencia unifor!e' :os co!ponentes de la "arian&a se esti!an 1'90 #
or lo tanto< la "arian&a de la resistencia en el proceso de !anufactura se esti!ó por
:a !a#or parte de esta "aria*ilidad es atri*ui*le a las diferencias entre los telares' Este eje!plo ilustra una i!portante aplicación del an%lisis de "arian&aC el aisla!iento de diferentes fuentes de "aria*ilidad en un proceso de !anufactura' En los progra!as de !ejora!iento de calidad con frecuencia surgen pro*le!as de "aria*ilidad e-cesi"a en los par%!etros
3a%la 12; 3elar
1
1 2 3 4
98 91 9/ 95
"atos de la resistencia del ejemplo 120 %ser*aciones 2 / 97 90 95 9/
99 93 97 99
4
3otal
-romedio
9/ 92 95 98
390 3// 383 388 1 527
97'5 91'5 95'8 97'0 95'45
3a%la 12A 8nálisis de *ariana de los datos de la resistencia Dente de ma de rados de #adrado f 0 *ariacin #adrados li%ertad medio elares Error otal
89'19 22'75 111'94
3 12 15
29'73 1'90
15'/8
:alor 1'88 EA4
o las propiedades funcionales cr.ticas' or eje!plo< en el caso anterior de la resistencia de la tela< la !edia del proceso se esti!a con # 95'45 psi< # la P =
σ
VP % y & =
<.<= = .$< psi
ij des"iación est%ndar del proceso se esti!a con y . ;i la resistencia tiene una distri*ución apro-i!ada!ente nor!al< entonces la
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24
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distri*ución de la resistencia en la producción final< ser.a parecida a la distri*ución nor!al ilustrada en la figura 12A7a' ;i el l.!ite inferior de las especificaciones B:;:) de la resistencia se locali&a en 90 psi< entonces una proporción sustancial de la producción del proceso es fallidaJ es decir< !aterial defectuoso o de desec$o ,ue de*e "enderse co!o !aterial de segunda calidad' Este !aterial fallido est% relacionado directa!ente con la "aria*ilidad e-cesi"a ,ue resulta de las diferencias entre los telares' :a "aria*ilidad en el dese!peDo de los telares podr.a ser causada por un ajuste incorrecto de la !a,uinaria< falta de !anteni!iento< super"isión inadecuada< operadores sin el entrena!iento adecuado< etc' El ingeniero o gerente responsa*le del !ejora!iento de la calidad de*e identificar # eli!inar estas fuentes de "aria*ilidad del proceso' ;i puede $acerlo< entonces la "aria*ilidad de la resistencia se reducir% en gran !edida< ,ui&%s a un "alor tan *ajo co!o σ
P y =
P = -.$8 = -./< psi
σ
< co!o se !uestra en la figura 12A7*' En este proceso !ejorado< la reducción de la "aria*ilidad de la resistencia $a reducido en gran !edida la producción fallida< dando co!o resultado una dis!inución del costo< calidad !%s alta< clientes !%s satisfec$os # una posición co!petiti"a fortalecida para la co!paD.a'
igura 12A7 Fistri*ución de la resistencia de la tela< a) proceso actual< *) proceso !ejorado'
EJE#9#9 "E ?8 E##9G@ 124 12/1. 5na fá%rica de textiles tiene n gran n=mero de telares. e spone 'e cada telar tiene la misma prodccin de tela por minto. -ara in*estigar este spesto+ se eligen cinco telares al aar y se mide s prodccin en tiempos diferentes. e o%t*ieron los sigientes datos, elar 1 2 3 EDGAR ALVAREZ ARAGON
roducción B@*>rnin) 4'0 3'9 4'1
4'1 3'8 4'2
4'2 3'9 4'1 25
4'0 4'0 4'0
4'1 4'0 3'9
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4 5 a) *) c) d)
3'/ 3'8
3'8 3'/
4'0 3'9
3'9 3'8
3'7 4'0
¿:os telares tienen una producción si!ilar? (se α 0'05' Esti!e la "aria*ilidad entre los telares' Esti!e la "arian&a del error e-peri!ental' nalice los residuales de este e-peri!ento # "erifi,ue la adecuación del !odelo'
12//. En n art7clo de Jornal of Hality 3echnology (:ol. 1/+ @o. 2+ pp. 111114! se descri%e n experimento 'e in*estiga los efectos de catro sstancias '7micas %lan'eadoras so%re la %rillante de la plpa. Estas catro sstancias '7micas se seleccionaron al aar de na gran po%lacin de agentes %lan'eadores potenciales. ?os datos son los sigientes. stancia '7mica
Crillante de la plpa
1 77'199 74'4// 92'74/ 7/'208 82'87/ 2 80'522 79'30/ 81'914 80'34/ 73'385 3 79'417 78'017 91'59/ 80'802 80'/2/ 4 78'001 78'358 77'544 77'3/4 77'38/ a) ¿a# alguna diferencia en los tipos de sustancias ,u.!icas? (se α 0'05' *) Esti!e la "aria*ilidad de*ida al tipo de sustancia ,u.!ica' c) Esti!e la "aria*ilidad de*ida al error aleatorio' d) nalice los residuales de este e-peri!ento # co!ente la adecuación del !odelo'
"9EI "E C?H5E #$-?E3 8?E8398" "ise>o y análisis estad7stico En !uc$os pro*le!as de diseDo e-peri!ental< es necesario diseDar el e-peri!ento de tal !odo ,ue la "aria*ilidad ,ue surge de un factor pertur*ador pueda controlarse' or eje!plo< considrese la situación del eje!plo 9A9< donde se usaron dos !todos diferentes para predecir la resistencia al corte de "igas de placas de acero' Fe*ido a ,ue cada "iga tiene Bpotencial!ente) una resistencia diferente< # a ,ue esta "aria*ilidad de la resistencia no era de inters directo< el e-peri!ento se diseDó utili&ando los dos !todos de prue*a en cada "iga # despus co!parando con cero la diferencia pro!edio en los registros de la resistencia de cada "iga usando la prue*a t pareada' :a prue*a t pareada es un procedi!iento para co!parar las !edias de dos trata!ientos cuando no es posi*le $acer todas las corridas e-peri!entales *ajo condiciones $o!ogneas' Fe !anera alternati"a< la prue*a t pareada puede "erse co!o un !todo para reducir el ruido a!*iental en el e-peri!ento separando en *lo,ue B*lo,ueando) el efecto del factor pertur*ador' El *lo,ue es el factor pertur*ador< # en este caso< el factor pertur*ador es la unidad e-peri!ental en s.< los eje!plares de prue*a de las "igas de acero usadas en el e-peri!ento' El diseDo de *lo,ues aleatori&ados es una a!pliación de la prue*a t pareada a EDGAR ALVAREZ ARAGON
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situaciones en las ,ue el factor de inters tiene !%s de dos ni"elesJ es decir< de*en co!pararse !%s de dos trata!ientos' or eje!plo< suponer ,ue podr.an usarse tres !todos para e"aluar las lecturas de la resistencia de las "igas de placas de acero' Estos !todos pueden considerarse tres trata!ientos< por eje!plo t 1, t 2 y t 3 ;i se usaran cuatro "igas co!o unidades e-peri!entales< entonces un diseDo de *lo,ues co!pletos aleatori&ados se "en co!o se ilustra en la figura 12A8' l diseDo se le lla!a de *lo,ues co!pletos aleatori&ados< por,ue cada *lo,ue es lo suficiente!ente grande para contener todos los trata!ientos # por,ue la asignación real de cada uno de los tres trata!ientos dentro de cada *lo,ue se $ace al a&ar' (na "e& ,ue se $a reali&ado el e-peri!ento< los datos se registran en una ta*la< co!o la ,ue se !uestra en la ta*la 12A10' :as o*ser"aciones de esta ta*la< #''< representan la respuesta o*tenida cuando el !todo iAsi!o se aplica en la "iga jAsi!a'
3a%la 121F "ise>o de %lo'es completos aleatorios 3ratamiento (m)todo! 1 2 /
Clo'e (*iga! 1
2
3
4
y 11 y 21 y 31
y 12 y 22 y 32
y 13 y 23 y 33
y 14 y 24 y 34
El procedi!iento general de un diseDo de *lo,ues co!pletos aleatori&ados consiste en seleccionar * *lo,ues # correr una rplica co!pleta del e-peri!ento en cada *lo,ue' En la ta*la 12A11 se !uestran los datos ,ue resultan de correr un diseDo de *lo,ues co!pletos aleatori&ados para in"estigar un solo factor con a ni"eles # * *lo,ues' a*r% a o*ser"aciones Buna por cada ni"el del factor) en cada *lo,ue< # el orden en ,ue se corren estas o*ser"aciones se asigna aleatoria!ente dentro del *lo,ue' ;e descri*ir% a$ora el an%lisis estad.stico de un diseDo de *lo,ues co!pletos aleatori&ados' ;uponer ,ue el inters se centra en un solo factor con a ni"eles # ,ue el e-peri!ento se corre en * *lo,ues' :as o*ser"aciones pueden representarse con el !odelo estad.stico lineal
donde µ es la !edia glo*al< τiJ es el efecto del trata!iento i-ésimo< B5' es el efecto del *lo,ue jAsi!o< # εij es el tr!ino del error aleatorio< el cual se supone ,ue tiene una distri*ución nor!al e independiente con !edia cero # "arian&a σ2' :os trata!ientos # los *lo,ues se considerar%n inicial!ente co!o factores fijos' de!%s< los efectos de los trata!ientos # los *lo,ues se definen co!o des"iaciones de la !edia glo*al< por lo ,ue ∑
a
a
τ = 8 y ∑ j =l β j = 8 i =l i
' ;e supondr% asi!is!o ,ue no $a# interacción entre los trata!ientos # los *lo,ues' Es decir< el efecto del trata!iento iAsi!o es el !is!o< independiente!ente del *lo,ue Bo *lo,ues) en el ,ue se prue*e' El inters se encuentra en pro*ar la igualdad de los efectos de los trata!ientos' Es decir
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τ
ro*ar la $ipótesis de ,ue todos los efectos de los trata!ientos i son iguales a cero< es e,ui"alente a pro*ar la $ipótesis de ,ue las !edias de los trata!ientos son iguales' ara "er esto< o*sr"ese ,ue la !edia del trata!iento iAsi!o es µi definida co!o
b
β = 8 # co!o ∑ j - j < se tiene ,ue la !edia del trata!iento i-ésimo se define =
co!o
or lo tanto< pro*ar la $ipótesis de ,ue las !edias de los a trata!ientos son iguales< es e,ui"alente a pro*ar ,ue todos los efectos de los trata!ientos - son iguales a cero' El an%lisis de "arian&a puede e-tenderse al diseDo de *lo,ues co!pletos aleatori&ados' En el procedi!iento se utili&a la su!a de cuadrados identidad ,ue $ace la partición de la su!a total de cuadrados en tres co!ponentes'
?a sma de cadrados identidad para el dise>o de %lo'es completos aleatoriados es,
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a
b
∑∑ % y i =- j =-
a
b
− y & = b∑ % yi − y..& +a ∑ % yi − y..&
ij
i =l
a
j =-
b
+ ∑∑ % yij − y . j − y j + y..&
%- − 6&
i =- j =-
:a de!ostración de esta identidad se o*tiene desarrollando el !ie!*ro i&,uierdo de la ecuación 12A25 co!o sigueC
:os tres tr!inos de los productos cru&ados de esta =lti!a e-presión son cero'
∑ i=- ∑ j=- ( yij − y.. ) a
or lo tanto<
b
se reduce a la identidad de la ecuación 12A25'
:a su!a de cuadrados identidad puede representarse si!*ólica!ente co!o
donde
de!%s< la desco!posición de los grados de li*ertad ,ue corresponden a estas su!as de cuadrados es ab - 1 = (a-1)+(b-1)+(a-1) (b-1) EDGAR ALVAREZ ARAGON
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ara el diseDo de *lo,ues aleatori&ados< los cuadrados !edios apropiados son
uede de!ostrarse ,ue los "alores esperados de estos cuadrados !edios son los siguientesC a
b E %MS Tratamientos & = σ +
∑
τ i
i =-
a −i
b
j =-
E %MS Bloques & = σ +
E %MS E &
∑ β
j
b −=
σ
.
or lo tanto< si la $ipótesis nula 0 es "erdadera de tal !odo ,ue los efectos de los trata!ientos τ i 0< entonces ;rata!iento < es un esti!ador insesgado de σ < !ientras ,ue si 0 es falsa< ;rata!ientos so*resti!a σ ' El cuadrado !edio
de error sie!pre es una esti!ación insesgada de a2' ara pro*ar la $ipótesis nula de ,ue todos los efectos de los trata!ientos son cero< se calcula el cociente'
,ue tiene una distri*ución con a A 1 # Ba A M)G* A 1) grados de li*ertad< si la $ipótesis nula es "erdadera' :a $ipótesis nula se rec$a&ar.a con el ni"el de significación a si el "alor calculado del estad.stico de la prue*a de la ecuación 12A2/
En la pr%ctica< se calculan ;; ;;rata!ientos # ;;lo,ues # despus se o*tiene la su!a de cuadrados del error ;; E por sustracción' :as fór!ulas apropiadas para reali&ar los c%lculos son las siguientesC
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"efinicin :as for!ulas para calcular las su!as de cuadrados en el an%lisis de "arian&a de un diseDo de *lo,ues co!pletos aleatori&ados sonC a
SST
b
= ∑∑ y − i =- j =-
SSTratamiento
=
ij
-
y
%- − ;&
ab
a
y ∑ a
ij
−
y
i =-
SS Bloques
=
b
-
∑y
a
ij
−
i =-
ab
y
%- − <&
%- − $&
ab
Y
SS E
=
SST SS Tratamiento s SS Bloques −
−
%-. /8& −
:os c%lculos suelen presentarse en una ta*la de an%lisis de "arian&a< co!o la ,ue se !uestra en la ta*la 12A12' En general< se usar% un pa,uete de softWare de co!putadora para reali&ar el an%lisis de "arian&a del diseDo de *lo,ues co!pletos aleatori&ados'
3a%la 1212 aleatorios Dente de *ariacin
8nálisis de *ariana de n dise>o de %lo'es completos ma de cadrados
rados de #adrado medio li%ertad
rata!ientos
aA1
lo,ues
*A1
Error otal
DF
Ba A 1)B* A 1) ss
a*A1
EJE$-? 12< ;e reali&ó un e-peri!ento para deter!inar el efecto de cuatro sustancias ,u.!icas diferentes so*re la resistencia de una tela' Estas sustancias ,u.!icas se usan co!o parte del proceso de aca*ado del planc$ado per!anente' ;e seleccionaron cinco !uestras de tela< # se corrió un diseDo de *lo,ues co!pletos aleatori&ados para pro*ar cada tipo de sustancia ,u.!ica so*re cada !uestra de tela en orden aleatorio' En la ta*la 12A13 se !uestran los datos' ;e pro*ar%n las diferencias de las !edias utili&ando el an%lisis de "arian&a con α 0'01'
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a*la 12A13 aleatorios
Fatos de la resistencia de la tela diseDo de *lo,ues co!pletos
3ipo de sstancia '7mica
$estra de tela 1
1 2 3 4 otales de los *lo,ues #'' ro!edios de los *lo,ues #'
2
/
1'3 1'/ 0<5 2'2 2'4 0'4 1'8 1'7 0'/ 3'9 4'4 2'0 9'2 10'1 3'5 2'30 2'53 0'8
4
0
3otales de tratamiento
-romedios de tratamiento
y i
Y J
1'2 1'1 5'7 1'14 2'0 1'8 8'8 1'7/ 1'5 1'3 /'9 1'38 4'1 3'4 17'8 3'5/ 8'8 7'/ 39'2B#'') 2<20 1'90 1'9/B3?'')
:as su!as de cuadrados del an%lisis de "arian&a se calculan co!o sigueC
El an%lisis de "arian&a se resu!e en la ta*la 12A14' uesto ,ue f 0 75'13 N f 0'01'3'12 5'95 Bel "alor es 4'79 - 10 A8) se conclu#e ,ue $a# una diferencia significati"a en los tipos de sustancias ,u.!icas en lo ,ue se refiere a su efecto so*re la resistencia pro!edio de la tela'
K#ándo es necesario hacer %lo'esL ;uponga ,ue un e-peri!ento se reali&a co!o un diseDo de *lo,ues aleatori&ados< cuando en realidad no era necesaria la separación en *lo,ues' a# a* o*ser"aciones # Ba A M)B* A1) grados de li*ertad para el error' ;i el e-peri!ento se $u*iera corrido co!o< un diseDo de *lo,ues co!pletos aleatori&ados con un solo factor con * rplicas< se $a*r.an tenido aB* A 1) grados de li*ertad para el error' or lo tanto< la separación en *lo,ues $a costado aB* A 1) A Ba A M)B* A 1) * A 1 grados de li*ertad para el error' or tanto< puesto ,ue la prdida en los grados de li*ertad para el error por lo general es pe,ueDa< si e-iste una oportunidad ra&ona*le de ,ue los efectos de *lo,ue sean i!portantes< el e-peri!entador de*er% usar el diseDo de *lo,ues aleatori&ados' EDGAR ALVAREZ ARAGON
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3a%la 1214 8nálisis de *ariana del experimento de %lo'es completos aleatoriados Dente de *ariacin ipos de sustancias ,u.!icas Btrata!ientos) uestras de tela B*lo,ues) Error otal
ma de rados de cadrados li%ertad
#adrado $edio
f F
:alor -
75'13
4'79 EA8
18'04
3
/'01
/'/9 0'9/ 25'/9
4 12 19
1'/7 0'08
or eje!plo< considrese el e-peri!ento ,ue se descri*ió en el eje!plo 12A/ co!o un e-peri!ento con un solo factor sin separación en *lo,ues' ;e tendr.an entonces 1/ grados de li*ertad para el error' En el diseDo de *lo,ues co!pletos aleatori&ados $a# 12 grados de li*ertad para el error' or lo tanto< el diseDo de *lo,ues $a costado tan sólo 4 grados de li*ertad< prdida ,ue es !u# pe,ueDa considerando la posi*le ganancia de infor!ación ,ue se lograr.a si los efectos de *lo,ue en realidad son i!portantes' El efecto de *lo,ue del eje!plo 12A/ es grande< # si no se $u*iera utili&ado este diseDo< ;; lo,ues se $a*r.a incluido en la su!a de cuadrados del error< en el an%lisis co!pleta!ente aleatori&ado' Esto $a*r.a dado co!o resultado un "alor de ; E !uc$o !%s grande< $aciendo !%s dif.cil detectar las diferencias de los trata!ientos' o!o regla general< cuando se tengan dudas acerca de la i!portancia de los efectos de *lo,ue< el e-peri!entador de*er% $acer este diseDo # apostar a ,ue el efecto de *lo,ue e-iste' ;i el e-peri!entador se e,ui"oca< la ligera prdida en los grados de li*ertad del error tendr%n un efecto o!isi*le< a !enos ,ue el n=!ero de grados de li*ertad sea !u# pe,ueDo'
olcin de comptadora En la ta*la 12A15 se presenta la salida de co!putadora del progra!a inita* para el diseDo de *lo,ues co!pletos aleatori&ados del eje!plo 12A/' ;e utili&ó el !en= del an%lisis de "arian&a para diseDos *alanceados para resol"er este pro*le!a' :os resultados concuerdan *astante *ien con los c%lculos !anuales de la ta*la 12A14' I*sr"ese ,ue inita* calcula un estad.stico para los *lo,ues Blas !uestras de tela)' :a "alide& de este cociente co!o estad.stico de la prue*a para la $ipótesis nula de ,ue no $a# efectos de *lo,ue es dudosa< #a ,ue los *lo,ues representan una restricción so*re la aleatori&aciónJ es decir< la aleatori&ación sólo se $a $ec$o al interior de los *lo,ues' ;i los *lo,ues no se eligen al a&ar< o si no se corren en orden aleatorio< entonces el cociente de los *lo,ues ,ui&% no proporcione infor!ación confia*le acerca de los efectos de *lo,ue' ara una re"isión !%s a!plia< "ase ontgo!er# Bcap.tulo 5)'
-re%as so%re medias de tratamientos indi*idales uando el an%lisis de "arian&a indica ,ue e-iste una diferencia entre las !edias de los trata!ientos< ,ui&% sea necesario reali&ar algunas prue*as de segui!iento para aislar las diferencias espec.ficas'
3a%la 1210 EDGAR ALVAREZ ARAGON
8nálisis de *ariana del programa $inita% para el dise>o de 34
INGENIRIA QUIMICA
%lo'es completos aleatoriados del ejemplo 12< >actor Sustancia +ipo Hiveles química uestra de fijo 0 tela fijo 6
(alores -
0 0
3
S =.8-0; -.=;// 8.8;$
> ;6.<$ -.--
* 8.888 8.888
> ;6.<$ -.--
* 8.888 8.888
/ /
1n!lisis de variana i de la resistencia >uente Sustancia química uestra de tela Error +otal
2> / 0 - -$
SS -<.8008 =.=$/8 8.$6-8 6.=<<8
*rueba > con deno minador3 Error C 2enominador S C 8.8;$68 con -
grados de libertad
Humerador Sustancia química uestra de tela
S =.8-6 -.=;/
2> /0
ual,uier !todo de co!paración !=ltiple< co!o el !todo gr%fico descrito en la sección 12A3'1 o el !todo de la :;F de is$er< podr.a utili&arse a este fin' ;e ilustrar% el !todo de la :;F de is$er' :os pro!edios de los cuatro tipos de sustancias ,u.!icas del eje!plo 12A/ sonC
El pro!edio de cada trata!iento usa * 5 o*ser"aciones Buna de cada *lo,ue)' ;e usar% a 0'05< por lo ,ue t 0'025 n 2'179' or lo tanto< el "alor de la :;F es
ual,uier par de pro!edios de los trata!ientos ,ue difiera en 0'39 o !%s< indica ,ue ese par de !edias de los trata!ientos presenta una diferencia significati"a' :as co!paraciones se !uestran a continuaciónC
EDGAR ALVAREZ ARAGON
35
INGENIRIA QUIMICA
En la figura 12A9 se presenta la ilustración gr%fica de los resultados' :os pares de !edias su*ra#ados no son diferentes' El procedi!iento de la :;F indica ,ue la sustancia ,u.!ica tipo 4 resulta en resistencias significati"a!ente diferentes ,ue los otros tres tipos' :os ,u.!icos tipo 2 # 3 no difieren< # los tipos 1 # 3 no difieren' uede $a*er una ligera diferencia en la resistencia entre los tipos 1 # 2'
8nálisis de residales y *erificacin del modelo En cual,uier e-peri!ento diseDado< sie!pre es i!portante e-a!inar los residuales # "erificar la transgresión de los supuestos *%sicos ,ue pudiera in"alidar los resultados' o!o de costu!*re< los residuales del diseDo de *lo,ues co!pletos aleatori&ados< son tan sólo la diferencia entre los "alores o*ser"ados # esti!ados Bo ajustados) del !odelo estad.sticoJ es decir<
# los "alores ajustados son
El "alor ajustado representa la esti!ación de la respuesta !edia cuando el trata!iento iAsi!o se aplica en el *lo,ue jAsi!o' :os residuales del e-peri!ento del tipo de sustancia ,u.!ica se !uestran en la ta*la 12A1/'
Digra 12A a*la 12A1/
3ipo de stancia
esltados del m)todo de la ?" de Disher.
Xesiduales del diseDo de *lo,ues co!pletos aleatori&ados
1
2
$estra de tela /
1 A0'18 A0'10 2 0'10 0'08 3 0'08 A0'24 4 0'00 0'28 En las figuras 12A10< 12A11< 12A12 # 12A13 EDGAR ALVAREZ ARAGON
36
4
0
0'44 A0'18 0'02 A0'28 0'00 0'10 0'30 A0'12 A0'02 A0'48 0'30 A0'10 se presentan las gr%ficas de los
INGENIRIA QUIMICA
residuales i!portantes para el e-peri!ento' Estas gr%ficas de los residuales por lo general se $acen con pa,uetes de softWare de co!putadora' a# indicios de ,ue la !uestra B*lo,ue) de tela 3< tiene una "aria*ilidad !a#or en la resistencia cuando se trata con las cuatro sustancias ,u.!icas ,ue las otras !uestras' :a sustancia ,u.!ica tipo 4< ,ue produce la resistencia !%s alta< ta!*in tiene una "aria*ilidad un tanto !a#or en la resistencia' ueden ser necesarios e-peri!entos su*secuentes para confir!ar estos resultados si son potencial!ente i!portantes'
"ise>o de %lo'es completos aleatoriados con factores aleatorios En las secciones precedentes< se $a supuesto ,ue los trata!ientos # los *lo,ues son factores fijos' En !uc$os diseDos de *lo,ues co!pletos aleatori&ados estos supuestos pueden ser de!asiado restricti"os' or eje!plo< en el e-peri!ento del tipo de sustancia ,u.!ica< en el eje!plo 12A/< ,ui&% las !uestras de tela ,uisieran considerarse co!o una !uestra aleatoria del !aterial al ,ue pueden aplicarse las sustancias ,u.!icas< para ,ue las conclusiones del e-peri!ento puedan e-tenderse a la po*lación co!pleta del !aterial'
Digra 121F ráfica de pro%a%ilidad normal de los residales del dise>o de %lo'es completos aleatoriados.
Digra 1211 esidales por tratamiento.
EDGAR ALVAREZ ARAGON
37
INGENIRIA QUIMICA
Digra 1212
esidales por %lo'e.
Xesulta ,ue si los trata!ientos o los *lo,ues Bo a!*os) son efectos aleatorios< la prue*a en el an%lisis de "arian&a se sigue for!ando co!o
Esto puede de!ostrarse utili&ando los !todos presentados con anterioridad en este cap.tulo para e"aluar los cuadrados !edios esperados' ;i los trata!ientos son aleatorios< entonces los efectos de los trata!ientos τ1' se consideran "aria*les aleatorias con una distri*ución nor!al e independiente con !edia cero # "arian&a trata!ientos es
. σ τ
' :a $ipótesis nula de cero efectos de los
uando tanto los trata!ientos co!o los *lo,ues son aleatorios< entonces se supone ta!*in ,ue los efectos de los *lo,ues ' son "aria*les aleatorias con una distri*ución nor!al e independiente con !edia cero # "arian&a oR' En este caso los "alores esperados de los cuadrados !edios de los trata!ientos< los *lo,ues # el error son
:as esti!aciones insesgadas de los co!ponentes de la "arian&a son
EDGAR ALVAREZ ARAGON
38
INGENIRIA QUIMICA
igura 12A13
Xesiduales contra
EJE#9#9 "E ?8 E##9G@ 120 12A35' En El efecto del diseDo de *o,uillas en la esta*ilidad # el dese!peDo de surtidores de agua tur*ulenta Bire ;afet# Uournal< Qol' 4)< ' $eo*ald descri*e un e-peri!ento en el ,ue se deter!inó una !edición de la for!a de "arios tipos diferentes de *o,uillas en diferentes ni"eles de la "elocidad del flujo de salida del surtidor' El inters en este e-peri!ento se enfoca principal!ente en el tipo de *o,uilla< # la "elocidad es un factor pertur*ador' :os datos son los siguientesC
3ipo de %o'illa
11.6/
1 2 3 4 5
0'78 0'85 0'93 1'14 0'97
:elocidad de fljo de salid del srtidor 14./6 1<.0A 2F.4/ 2/.4< 0'80 0'85 0'92 0'97 0'8/
0'81 0'92 0'95 0'98 0'78
0'82 0'8/ 0'89 0'88 0'7/
0'83 0'81 0'89 0'8/ 0'7/
2;.64 0'84 0'83 0'83 0'83 0'75
a) ¿El tipo de *o,uilla afecta la !edición de la for!a? o!pare las *o,uillas utili&ando diagra!as de caja # el an%lisis de "arian&a' *) (se el !todo gr%fico de la sección 12A3'1 para deter!inar diferencias espec.ficas entre las *o,uillas' ¿(na gr%fica del pro!edio Bo des"iación est%ndar) de las !ediciones de la for!a contra el tipo de *o,uilla a#uda en las conclusiones? c) nalice los residuales de este e-peri!ento'
12/6. En n art7clo en 8merican 9ndstrial Mygiene 8ssociation Jornal (:ol. /6+ pp. 41;422! se descri%e na pre%a de campo para detectar la presencia de ars)nico en mestras de orina. ?a pre%a se propso para aplicarla entre tra%ajadores forestales de%ido al so creciente de ars)nicos orgánicos en esa indstria. En el experimento se compar la pre%a+ aplicada por n practicante y por n instrctor experimentado+ con el análisis en n la%oratorio remoto. e seleccionaron catro sjetos para someterlos a la pre%a y se les consider como %lo'es. ?a *aria%le de respesta es el contenido de ars)nico (en ppm! en la orina de los sjetos. ?os datos son los sigientes,
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-re%a
jeto
racticante @nstructor :a*oratorio
1
2
/
4
0'05 0'05 0'04
0'05 0'05 0'04
0'04 0'04 0'03
0'15 0'17 0'10
a) ¿a# alguna diferencia en el procedi!iento de prue*a del arsnico? *) nalice los residuales de este e-peri!ento'
12/A. e reali n experimento para in*estigar la dispersin de corriente en la cercan7a de na miera de n dispositi*o $DE3. ?a finalidad del experimento fe in*estigar cmo *ar7a la dispersin de corriente cando cam%ia la longitd del canal. e seleccionaron catro longitdes del canal. -ara cada longitd del canal+ se saron tam%i)n cinco amplitdes diferentes+ y la amplitd de%erá considerarse n factor pertr%ador. ?os datos son los sigientes, :ongitud del canal 1 2 3 4
1
2
8mplitd /
0'7 0'8 0'9 1'0
0'8 0'8 1'0 1'5
0'8 0'9 1'7 2'0
4
0
0'9 0'9 2'0 3'0
1'0 1'0 4'0 20'0
a) rue*e la $ipótesis de ,ue el "oltaje de dispersión pro!edio no depende de la longitud del canal< utili&ando a 0'05' *) nalice los residuales de este e-peri!ento' o!ente las gr%ficas de los residuales'
"E3E$9@8#9G@ "E? 38$8I "E ?8 $5E38 E@ EN-E9$E@3 #@ 5@ ? D8#3 En cual,uier pro*le!a de diseDo e-peri!ental es i!portante la elección del ta!aDo de la !uestra o del n=!ero de rplicas ,ue de*er%n usarse' ueden usarse las cur"as de operación caracter.stica co!o gu.a para $acer esta selección' Xecurdese ,ue la cur"a de operación caracter.stica es una gr%fica de la pro*a*ilidad de un error tipo @@ B) para "arios ta!aDos de la !uestra contra una !edida de la diferencia de las !edias ,ue es i!portante detectar' or tanto< si el e-peri!entador conoce la !agnitud de la diferencia de las !edias ,ue es de i!portancia potencial< las cur"as de operación caracter.stica pueden usarse para deter!inar cu%ntas repeticiones se necesitan a fin de alcan&ar la sensi*ilidad adecuada'
#aso con efectos fijos ;e considera pri!ero la deter!inación del ta!aDo de la !uestra en un !odelo con efectos fijos para el caso del !is!o ta!aDo de la !uestra en cada trata!iento' :a potencia B1 A B3) de la prue*a es
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ara e"aluar este enunciado de pro*a*ilidad es necesario conocer la distri*ución del estad.stico de la prue*a< 0< si la $ipótesis nula es falsa' uede de!ostrarse ,ue< si 0 es falsa< el estad.stico o ;rata!ientos >;E tiene una distri*ución co!o la de una "aria*le aleatoria no central< con a A 1 # aBn A 1) grados de li*ertad # un par%!etro de no centralidad δ' ;i δ 0< entonces la distri*ución no central se con"ierte en la distri*ución central o co!=n' :as cur"as de operación caracter.stica dadas en la carta Q@@ del apndice se usan para e"aluar B3 definido en la ecuación 12A32' En estas cur"as se gr%fica B3 contra un par%!etro Y< donde
El par%!etro Φ2 est% relacionado con el par%!etro de no centralidad δ' ;e dispone de cur"as para α 0'05 # α 0'01 # para "arios "alores de los grados de li*ertad del nu!erador # el deno!inador' En un diseDo co!pleta!ente aleatori&ado< el s.!*olo n de la ecuación 12A33 es el n=!ero de rplicas' En un diseDo de *lo,ues co!pletos aleatori&ados< n se sustitu#e con el n=!ero de *lo,ues' uando se usan las cur"as de operación< de*e definirse la diferencia de las !edias ,ue ,uiere detectarse en tr!inos de ∑
a i =- i
τ
' si!is!o< por lo general se conoce la "arian&a del error σ ' En tales casos< de*en elegirse los cocientes 2
a
de ∑ i -
τ
i
D σ
,ue ,uieren detectarse' Fe !anera alternati"a< si se cuenta con una esti!ación de σ2< puede sustituirse σ2 con esta esti!ación' or eje!plo< si el inters estu"iera en la sensi*ilidad de un e-peri!ento ,ue #a se $a reali&ado< podr.a usarse ;E co!o esti!ación de σ2' =
EJE$-? 126 ;uponga ,ue se est%n co!parando cinco !edias en un e-peri!ento co!pleta!ente aleatori&ado con α 0'01' El e-peri!entador ,uerr.a sa*er cu%ntas rplicas correr si es i!portante rec$a&ar o con una pro*a*ilidad de al a
!enos 0'90 si ∑ i =
τ
i
D σ
5'0' En este caso< el par%!etro Φ2 es'
# para la cur"a de operación caracter.stica para a Z 1 5 Z 1 4< # aBn A 1) 5BW A 1) grados de li*ertad del error se consulta la carta Q@@ del apndice' o!o EDGAR ALVAREZ ARAGON
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pri!era conjetura< se prue*a con n [ 4 rplicas' on este "alor se o*tiene I2 4< I 2< # 5B3) 15 grados de li*ertad del error' or consiguiente< por la carta Q@@< se encuentra ,ue B3 0'38' or lo tanto< la potencia de la prue*a es apro-i!ada!ente 1 A B3 1 A 0'38 0'/2< ,ue es !enor ,ue el 0'90 re,uerido< # se conclu#e en consecuencia ,ue n [ 4 rplicas no son suficientes' rocediendo de !anera si!ilar< puede construirse la siguiente ta*laC n
a(n1!
2
4 4 5 5 / / or tanto< de*en correrse con la potencia re,uerida'
2'00 2'24 2'45 al !enos n A /
-otencia O (1 !
15 20 25 rplicas a fin
0'38 0'/2 0'18 0'82 0'0/ 0'94 de o*tener una prue*a
#aso con efectos aleatorios :a potencia de la prue*a para el !odelo con efectos aleatorios es
. σ τ
uede de!ostrarse ,ue si 1 es "erdadera B N 0)< la potencia puede calcularse usando la distri*ución central< con a A 1 # aBn A 1) grados de li*ertad' Fe $ec$o< el cociente
tiene la distri*ución con a A 1 # aBn [ 1) grados de li*ertad' Entonces< por la ecuación 12A34<
Este enunciado de pro*a*ilidad puede e"aluarse f%cil!ente utili&ando ciertas calculadoras de !ano< o puede e"aluarse usando ta*las de la distri*ución '
EJE$-? 12; onsidrese un diseDo co!pleta!ente aleatori&ado con cinco trata!ientos seleccionados al a&ar # seis o*ser"aciones por trata!iento' ;i α 0'05< ¿cu%l es la potencia de la prue*a si potencia es EDGAR ALVAREZ ARAGON
. σ τ
σ
.
? or la ecuación 12A35< se tiene ,ue la
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#a ,ue si
. σ τ
σ
.
< el cociente
. . σ τ σ
>
1' $ora *ien f 0'05 4 25 2'7/< de donde
Esta pro*a*ilidad se e"aluó utili&ando una calculadora ,ue da las pro*a*ilidades de la distri*ución ' uesto ,ue la potencia de la prue*a es . σ τ
0'81< esto i!plica ,ue la $ipótesis nula 0C 0 ser% rec$a&ada con una pro*a*ilidad de 0'81 en esta situación e-peri!ental' a!*in es posi*le e"aluar la potencia de la prue*a usando las cur"as de operación caracter.stica de la carta Q@@@ del apndice' En estas cur"as se gr%fica la pro*a*ilidad del error tipo @@< < contra \< donde
En el diseDo de *lo,ues aleatori&ados< n se sustitu#e con *< el n=!ero de *lo,ues' uesto ,ue por lo general no se conoce a2< puede usarse una esti!ación pre"ia o *ien definir el "alor de aC ,ue ,uiere detectarse en tr!inos del cociente
. . σ τ σ
>
EJE$-? 12A onsidrese la situación descrita en el eje!plo 12A8' uesto ,ue σ 0'05< a A 5< n A / # σ2' σ2< puede encontrarse \ con la ecuación 12A3/ co!o
or la cur"a de operación caracter.stica con a A 1 4< aBn A 1) 25 grados de li*ertad # σ 0'05< se encuentra ,ue
or lo tanto< la potencia es apro-i!ada!ente 0'80' Esto concuerda con los resultados o*tenidos en el eje!plo 12A8'
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EJE#9#9 "E ?8 E##9G@ 12< 12A41' ;uponga ,ue cuatro po*laciones nor!ales tienen la "arian&a co!=n σ2 25 # !edias 50 µ2 /0 µ3 50 # µ4 /0' ¿u%ntas o*ser"aciones de*er%n $acerse en cada po*lación para ,ue la pro*a*ilidad de rec$a&ar la $ipótesis de la igualdad de las !edias sea de al !enos 0'90? (se α 0'05' 12A43' onsidere un e-peri!ento con un solo factor # efectos aleatorios' ;i $a# cuatro trata!ientos # cinco o*ser"aciones por trata!iento # encuentre la potencia de la prue*a si α 0'01'
. σ τ
1'25σ2<
12A45' onsidere un e-peri!ento con un solo factor # efectos aleatorios con . σ τ
tres trata!ientos' ;i α 0'05 # si σ2< ¿u%ntas rplicas de*er%n correrse si se ,uiere ,ue la potencia de la prue*a sea de al !enos /06? 12A47' En un art.culo de :u*rication Engineering se descri*en los resultados de un e-peri!ento diseDado para in"estigar los efectos de las propiedades del !aterial de car*ono so*re la for!ación de *ur*ujas en sellos con superficie de car*ono' :os sellos con superficie de car*ono son de uso generali&ado en dispositi"os co!o arrancadores de tur*inas de aire' ;e pro*aron cinco !ateriales de car*ono diferentes< # se !idió la irregularidad superficial' :os datos son los siguientesC
3ipo de material de car%ono
9rreglaridad sperficial
E10 0'50 0'55 0'55 0'3/ E10 0'31 0'07 0'25 0'18 0'5/ 0'20 E4 0'20 0'28 0'12 E1 0'10 0'1/ a) ¿El tipo de !aterial de car*ono tiene alg=n efecto so*re la irregularidad superficial !edia? (se α 0'05' *) Encuentre los residuales de este e-peri!ento' ¿(na gr%fica de pro*a*ilidad nor!al de los residuales indica alg=n pro*le!a con el supuesto de nor!alidad? yP c) +rafi,ue los residuales contra ij o!ente la gr%fica' d) Encuentre un inter"alo de confian&a de 956 para la diferencia entre la irregularidad superficial !edia entre los grados de car*ono E10 ] E1' 12A49' En un art.culo de Uournal of ualit# ec$nolog# BQol' 14< o' 2< pp' 80A 89) se descri*e un e-peri!ento en el ,ue se e"al=an tres !todos diferentes para preparar pescado con *ase en criterios sensorios< asign%ndose una calificación de calidad' ;uponga ,ue estos !todos se $an seleccionado al a&ar de una po*lación grande de !todos de preparación' :os datos se !uestran en la ta*la del final de la p%gina' a) ¿a# alguna diferencia en los !todos de preparación? (se α 0'05' *) alcule el "alor para el estad.stico del inciso a)' c) nalice los residuales de este e-peri!ento # co!ente la adecuación del EDGAR ALVAREZ ARAGON
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