ANÁLISE MATEMÁTICA IV 1 Exame do 2 semestre de 05/06 curso: LEC LEC Data: 20 de Junho de 2006
Duração: 3h00.
Nome: Número:
Registo: Nota:
Certas:
EM
Erradas:
I
11.
12.
13.
14.
Cotação das perguntas de escolha múltipla: Certa: 1,2 v. Vazia: 0,0 v. Errada: -0,4 v.
Não é permitida a utilização de quaisquer elementos de consulta, máquinas calculadoras ou telemóveis. Desligue e guarde o seu telemóvel. 1. Considere a lista de afirmações seguintes relativas à função f (x + iy ) =
I. II. III. IV.
(x cos x
e
− y sen x) + i
e
[1,2 v.]
(y cos x + x sen x) .
f satisfaz as equações de Cauchy Riemann. f não é analítica em
C.
f (x + iy) = e
− y)cos x − x sen x) + i (x cos x + (1 − y)sen x)] . − y)cos x − x sen x) + i ((1 − y)cos x − x sen x)] .
f (x + iy) = e
[((1 [((1
A lista completa de afirmações correctas é:
I e IV
II e III
II e IV
I e III.
1 . Diga Diga qual o interi interior or da região região de de conver convergênci gênciaa [1,2 v.] z +4 do desenvolvimento de f (z ) em série de Laurent centrado no ponto z = 1 i que é convergente no ponto z = i.
2. Considere a função f (z ) =
−
{z ∈ C : z∈C: {z ∈ C : z ∈ C :
0< 2< 2< 0<
|z − 1 + i| < 2}√ |z − 1 + i| < 2 2 |z − 1 + i|} √ |z − 1 + i| < 2 2
3. Diga qual das funções seguintes é solução da equação
y (t) = e sen( ) +
y ( t) = t
y ( t) = e
y (t) = e sen( ) +
+ e sen(t) +
e
e
e e
d y + 4 y = 5e . dt
[1,2 v.]
1 Exame AMIV - 2 sem. 2005/06 - LEC - pag. 2
20 de Junho de 2006
4. Para o integral
[1,2 v.]
cos θ I = dθ 2 + sen 3θ diga qual das igualdades seguintes é verdadeira:
= = = 1
I
I
I
I =
2
z z
z +1 dz . 4i z
−
− −8 (z + z) − 3z − 16iz + 3z − 1 dz.
z +z z + 4iz
− 1 dz.
z +z dz . 3z 1 z
−
−
5. Considere o seguinte sistema de equações diferenciais Então
y
y
y
y
x = 3x y
− y + sen t = 2x − e
− 3y + 2y = 2 + 2 sen t. − 3y + y = 2 + 2 sen t. − 3y + y = + sen t. − 3y + 2y = + sen t. e
e
e
e
6. Diga qual das seguintes equações admite o factor de integração e .
2
e
2e
[1,2 v.]
2 t e + (y + y e + 1) y = 0 + (2y + 2y e + 1) y = 0 e 2 t e + (2y + 2y e + 2) y = 0 + (y + y e + 1) y = 0 e
7. Sendo A =
. [1,2 v.]
2
e
2e
3 −1 2
− −2
e
− −2
e
e
0
, então e
e
2e
e
e
2e
− −
e
e
− −
e
e
é:
[1,2 v.]
5
e
2e
2
e
2e
−4 −2
e
e
e
2e
− −2
e
e
e
5e
− −
e
e
− −4
e
e
1 Exame AMIV - 2 sem. 2005/06 - LEC - pag. 3
20 de Junho de 2006
8. Considere a lista de afirmações seguintes relativas à função f (z ) =
I. f tem um pólo simples em z =
[1,2 v.]
sen(iz ) . z (e + 1) e
−iπ.
II. f tem uma singularidade essencial em z = 0. III. f tem um pólo duplo em z = iπ . IV. f tem uma singularidade removível em z = 0. A lista completa de afirmações correctas é:
I e II
I e IV
III e IV
II e III.
9. Seja u (t, x) = T (t)X (x) uma solução separada (não trivial) do problema
∂u ∂ u = ∂t ∂x u (t, 0)
Então, com n
∈N
− 2 ∂u ∂x
(t, 0) = 0 − ∂u ∂x
X (x) = e sen(2nx)
X (x) = e cos(nx)
X (x) = e
cos(2nx)
X (x) = e
cos(nx)
10. A série de Fourier da função f (x) = π
π π
2
1 sen[2 n
+
4 π
e
u (t, π)
(t, π ) = 0. − ∂u ∂x
e a menos de uma constante multiplicativa, temos:
3
[1,2 v.]
nπ x].
1 cos[(2n + 1) x]. (2n + 1)
− |x| definida no intervalo [−π, π], é:
4 π
π
3
2
+
π
1 cos[(2n + 1) x]. (2n + 1)
1 cos[2 n
n x].
[1,2 v.]
1 Exame AMIV - 2 sem. 2005/06 - LEC - pag. 4
20 de Junho de 2006
*
Justifique convenientemente todas as respostas às questões seguintes
*
Escreva a tinta escura e claramente. Identifique com o nome e número todas as folhas do caderno de respostas.
11. Determine a função y (t) diferenciável em R que é solução da equação 4y
− 3t y
[2,0 v.]
= t,
e que satisfaz (simultaneamente) as condições e
y ( 1) = 0
−
y (1) = 0.
Justifique a unicidade da solução.
12. Determine a solução contínua u (t, x) do seguinte problema:
Note:
∂u ∂ u = ∂t ∂x u (t, 0)
+ − 2 ∂u ∂x
para (t, x)
e
(t, 0) = 0 − ∂u ∂x
u (0, x) = (π + 1
− x)
e
∈ R × ]0, π[
u (t, π )
para x
e
(t, π) = 0 − ∂u ∂x
∈ ]0, π[ .
pode (e deve) utilizar as respostas das questões
13. Sendo C a elipse z calcule o integral
9
e
10.
| − 1| + |z − 2| = 4 percorrida uma vez no sentido positivo,
1 z
− iz − z
+ iz
[2,0 v.]
[2,0 v.]
dz.
14. Considere o problema de valor inicial:
(a) Mostre que e
y + 2 (y + y y (0) =
−
e
)y =0
−1
é um factor de integração da equação diferencial.
(b) Determine a solução do problema e o seu intervalo máximo de definição.
[0,5 v.] [1,5 v.]
