e Strut Uras

Estruturas Estruturas Algébricas e Aplicações Aplicações Alonso Sepúlveda Castellanos Universidade Federal de Uberlândia Primeira Edição 2017

7 de dezembro de 2017

Sumário

1 Preliminares

. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . 1.1 Teoria de Conjuntos 1.2 Relações de Equivalência 1.3 Exercícios

5 5 5 7

2 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 15 17 21 24 27 31 34 40 43 46 49 50 53 58

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14

Propriedades Elementares de Grupos Exercícios Subgrupos Exercícios Grupos Cíclicos Exercícios Grupos de Permutações Exercícios Classes Laterais e o Teorema Teorema de Lagrange Exercícios Subgrupos Normais e Grupos Quocientes Exercícios Homomorfismos Exercícios

3 Anéis

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.1 Exercícios 65

3.2 Domínios de Integridade 3.3 Exercícios 3.4 Ideais e Anel Quociente 3.5 Exercícios 3.6 Homomorfismos de Anéis 3.6.1

68 70 72 74 77

Corpo de Frações Frações de de um Domínio Domínio de Integridad Integridade e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.7 Exercícios

4 Aplicações 4.1 SAGE

80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 83

4.1.1

Resolvendo o Cubo Mágico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2

Teoria de Códigos

4.2.1 4.2.2

Códigos sobre Grupos . Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Códigos sobre Anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3 Robótica

83 83

1. Preliminares

1.1 Teoria de Conjuntos Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Definimos o produto cartesiano de A e B como A B = (a, b) : a

×

{

∈ A, b ∈ B} .

1.2 Relações de Equivalência Geralmente queremos comparar ou contrastar vários elementos de um conjunto, quer para reuni-los segundo uma determinada característica, quer para agrupar aqueles que são semelhantes. Por exemplo, se ouvimos que Emanuel e Gabriela se relacionam, entendemos que existe algum tipo de laço afetivo entre eles que os distingue dos demais pares de pessoas: são parentes, noivos, amigos, etc. Uma noção fundamental em Matemática é a igualdade. Nós podemos generalizar a igualdade introduzindo o conceito de relações de equivalência e suas classes. Lembremos que dado X um conjunto, temos que qualquer subconjunto R de X × X é uma relação sobre o conjunto X . Uma relação de equivalência sobre um conjunto X , é uma relação R ⊆ X × X tal que: • ( x, x) ∈ R para todo x ∈ X (propriedade reflexiva); • ( x, y) ∈ R implica que ( y, x) ∈ R (propriedade simétrica); • ( x, y) ∈ R e ( y, z) ∈ R implica que ( x, z) ∈ R (propriedade transitiva). Dada uma relação de equivalência R sobre um conjunto X , usualmente escrevemos x ∼ y para representar ( x, y) ∈ R. Se a relação de equivalência já têm uma notação associada tal como =, ≡, ou , nós usaremos essa notação.

= 0}. Defina a relação ( a, b) ∼ (c, d ) se ad = bc . Exemplo 1.1 Seja X = {(a, b) : a, b ∈ Z, b  Claramente ∼ é reflexiva e simétrica. Para mostrar que também é transitiva, suponha que (a, b) ∼ (c, d ) e (c, d ) ∼ (r , s) com b , d , s  = 0. Então temos que ad = bc e cs = dr . Portanto, 

ads = bcs = bdr .

= 0, então as = br logo (a, b) ∼ (r , s). Como d 

Capítulo 1. Preliminares

6

Exemplo 1.2 Suponha que f e g são funções diferenciáveis sobre R. nós podemos definir uma relação de equivalência sobre tais funções definindo f ( x) ∼ g( x) se f  ( x) = g ( x). É claro que ∼ é reflexiva e simétrica. Para mostrar a transitividade, suponha que f ( x) ∼ g( x) e g( x) ∼ h( x). Então, do cálculo sabemos que f ( x) − g( x) = c1 e g ( x) − h( x) = c2 , onde c 1 , c2 ∈ R são constantes. Logo, 

f ( x)

− h( x) = ( f ( x) − g( x))+(g( x) − h( x)) = c1 + c2 , e daí segue que f  ( x) − h ( x) = 0, portanto f ( x) ∼ h( x). Exemplo 1.3 Para ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ∈ R2 , defina ( x1 , y1 ) ∼ ( x2 , y2 ) se x 21 + y21 = x22 + y22 . Então ∼ 

é uma relação de equivalência.

Exemplo 1.4 Sejam A , B ∈ M 2 (R), onde M 2 (R) é o conjunto de matrizes 2 × 2 com entradas reais. Nós podemos definir neste conjunto a relação de equivalência dada por: A ∼ B se existe uma matriz P invertível tal que PAP−1 = B. Por exemplo, sejam 

A =

1 2 3 4

então A ∼ B pois PAP−1 = B para P = Seja I =

1 0

e

B =

2 1 1 1

 −3 11  −2

8

,

.

a matriz identidade de tamanho 2 × 2. Então, como IAI −1 = IAI = A segue

0 1 que é reflexiva. Para mostrar a simétrica, suponha que A ∼ B. Logo, existe uma matriz P tal que PAP−1 = B. Assim, temos que A = P−1 B(P−1 )−1 ,

logo também temos que B ∼ A. Para terminar, suponhamos que A ∼ B e B ∼ C , logo existem matrizes P e Q tal que PAP−1 = B e QBQ−1 = C . Logo, C = QBQ−1 = Q(PAP−1 )Q−1 = (QP) A(QP)−1 ,

implica que a relação é transitiva. Duas matrizes que são equivalentes sobre esta relação, dizemos que são semelhantes.

Exercício 1.1 Seja f : A → B uma função. Então definimos a seguinte relação em A: se x, y ∈ A então x ∼ y se f ( x) = f ( y). É fácil mostrar que é uma relação de equivalência. Definição 1.2.1 Uma partição P de um conjunto X é uma coleção de subconjuntos de X não = j e X = k ∈ I X k , onde I é um conjunto de índices. vazios X 1 , X 2 , . . . tal que X i ∩ X j = / 0 para i 



Por exemplo, se X = Z e sejam A = {números pares } e B = {números ímpares }, temos que P = { A, B} é uma partição dos números inteiros. Seja ∼ uma relação de equivalência sobre um conjunto X , e seja x ∈ X . Então o conjunto [ x] = { y ∈ X : y ∼ x} é chamado a classe de equivalência de x e, denotamos por X / ∼ o conjunto das classes de equivalência de X em relação a ∼. No Teorema a seguir veremos que uma relação de equivalência gera uma partição no conjunto e analogamente, a uma partição de um conjunto podemos associar uma relação de equivalência.

Teorema 1.2.1 Dada uma relação de equivalência ∼ sobre um conjunto X , as classes de equivalência de X formam uma partição de X . Da mesma forma, se P = { X i } é uma partição do conjunto X , então existe uma relação de equivalência sobre X , com classes de equivalência X i . Estruturas Algébricas e Aplicações

Alonso S. Castellanos

1.3 Exercícios

7

Suponha que existe uma relação de equivalência ∼ sobre o conjunto X . Para x ∈ X , = / a propriedade reflexiva mostra que x ∈ [ x] e portanto [ x]  0 para todo x ∈ X . Logo, é claro que 0. Suponhamos X = x∈ X [ x]. Agora, sejam x , y ∈ X . Queremos mostrar que [ x] = [ y] ou [ x] ∩ [ y] = / que [ x] ∩ [ y]  0, então existe z ∈ [ x] ∩ [ y]. Então, temos que z ∼ x e z ∼ y, e pelas propriedades de = / simetria e transitiva segue que x ∼ y, e portanto [ x] ⊆ [ y]. Analogamente, segue que [ y] ⊆ [ x] e assim [ x] = [ y]. Reciprocamente, suponha que P = { X i } é uma partição de X . Assim, definimos a relação: dois elementos do conjunto estão relacionados se eles estão na mesma partição. Claramente a relação é reflexiva. Se x está na mesma partição de y implica que y está na mesma partição de x , logo segue que x ∼ y implica que y ∼ x. Finalmente, se x está na mesma partição de y e y está na mesma partição de z, então x deve estar na mesma partição de z, logo se segura a propriedade  transitiva. Demonstração.



Corolário 1.2.2 Duas classes de equivalência de uma relação de equivalência, são disjuntas ou são iguais. A seguir, vejamos algumas partições dadas pelas classes de equivalência nos exemplos anteriores.

Exemplo 1.5 Na relação de equivalência do Exemplo 1.1, podemos representar a classe do elemento (a, b) como ab = [(a, b)] e, podemos ver que X / ∼= Q, e daí que dois elementos (a, b) e (c, d ) estão na mesma classe de equivalência quando eles se simplificam à mesma fração mínima. Exemplo 1.6 Na relação de equivalência do Exemplo 1.2, duas funções f ( x) e g ( x) estão na mesma partição quando elas diferem por uma constante. Exemplo 1.7 No Exemplo 1.3, dois pares ( x1 , y1 ) e ( x2 , y2 ) estão na mesma classe, quando eles fazem parte da mesma circunferência centrada na origem. Exemplo 1.8 Seja X = Z e n ∈ Z, n  = 0. Então, dados x , y ∈ Z definimos a relação x ∼ y se n| x − y ( n divide x − y) ou, equivalentemente, se x ≡ y (mod n) ( x é congruente a y módulo n ). Por exemplo, 15 ≡ −7 (mod 11), pois 15 − (−7) = 22 que é divisível por 11. Mostremos que esta relação é de equivalência. É claro que x ∼ x, pois x − x = 0 é divisível por n, logo é reflexiva. Agora, suponha que x ≡ y (mod n), então x − y = −( y − x) é divisível por n o que implica que y − x também é divisível por n e portanto y ≡ x (mod n) e segue que a relação é também simétrica. Para finalizar, suponha que n| x − y e n| y − z. Então existem inteiros r , s tais que x − y = n · r e y − z = n · s. Logo, x − z = ( x − y) + ( y − z) = nr + ns = n (r + s) implica que n | x − z e portanto a relação é transitiva e, consequentemente, de equivalência. Se consideramos n = 5, temos as seguintes classes de equivalência: 







[0 ] [1 ] [2 ] [3 ] [4 ]

= = = = =

{. . . , −10, −5, 0, 5, 10, . . .} {. . . , −9, −4, 1, 6, 11, . . .} {. . . , −8, −3, 2, 7, 12, . . .} {. . . , −7, −2, 3, 8, 13, . . .} {. . . , −6, −1, 4, 9, 14, . . .}

Observe que [0] ∪ [1] ∪ [2] ∪ [3] ∪ [4] = Z e também que os conjuntos são disjuntos. Os conjuntos [0], [1], [2], [3], [4] formam uma partição dos números inteiros. Os inteiros módulo n são um exemplo importantíssimo no estudo de estruturas algébricas tais como grupos e anéis.

1.3 Exercícios 1. Quais das seguintes relações definem uma relação de equivalência em Z? Estruturas Algébricas e Aplicações


Capítulo 1. Preliminares

8

(a) x ∼ y ⇔ ∃ k ∈ Z : x − y = 4k (b) x ∼ y ⇔ x| y (c) x ∼ y ⇔ x + y = 10 (d) x ∼ y ⇔ mdc( x, y) = 1 (e) x ∼ y ⇔ x ≡ y (mod 8) (f) x ∼ y ⇔ x ≡ y (mod 9) ou x ≡ − y (mod 9) 2. Mostrar que, em Z × (Z −{0}) a relação (a, b) ∼ (c, d ) ⇔ ad = bc é uma relação de equivalência. 3. Seja A = { x ∈ Z : 0 ≤ x ≤ 10} e defina a relação x ∼ y ⇔ ∃ k ∈ Z : x − y = 4k . Determine o conjunto quociente A/ ∼. 4. 5. Seja E um conjunto arbitrário e ∼ uma relação em E. Dizemos que ∼ é circular se: Para todo a, b, c ∈ E ; a ∼ b e b ∼ c então c ∼ a. Mostre que se ∼ é uma relação de equivalência, então ∼ é circular. 1 1 6. No conjunto R ∗ = R/{0} define-se a relação: x ∼ y ⇐⇒ x + = y + . Mostre que ∼ é x y uma relação de equivalência e encontre os elementos da classe de x. 7. Sejam x, y ∈ R, defina x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Z. Mostre que ∼ é uma relação de equivalência em R. Descreva as classes de equivalência de R. 8. Sejam x, y ∈ Z, defina x ∼ y ⇐⇒ x · y ≥ 0. A relação ∼ é uma relação de equivalência em Z? 9. Sejam x , y ∈ Z, defina x ∼ y ⇐⇒ x + y é par. Mostre que ∼ é uma relação de equivalência e determine as classes de equivalência de Z. 10. Verifique se a seguinte relação em Z × Z∗ : (a, b) ∼ (c, d ) ⇐⇒ ad = bc , é uma relação de equivalência. 11. Em Q, defina a relação x ∼ y ⇔ x − y ∈ Z. Mostre que ∼ é uma relação de equivalência em Q e descreva a classe 1. R é uma relação de equivalência sobre R e 12. Seja R = {( x, y) ∈ R2 : x − y ∈ Q}, Mostre que √ descreva as classes representadas por 1 /2 e 2. 13. Descreva as classes de equivalência o os conjuntos quocientes em relação à relação ∼ induzida pelas seguintes funções: (a) f : R → R, onde f ( x) = x2 − 5 x + 6. (b) f : Z → Z, onde f (n) = n2 − 7n + 10. (c) f : R × R → R, onde f ( x, y) = y. (d) f : R × R → R, onde f ( x, y) = + x2 + y2 . Dizemos que uma relação ∼ é induzida pela função f : A → B, se ∼ esta definida sobre A e a1 ∼ a2 ⇔ f (a1 ) = f (a2 ). 14. Dê exemplos de relações de equivalência ∼ em um conjunto E tais que: (a) E / ∼= { E } ( E / ∼ representa a partição de E pela relação de equivalência ∼); (b) [ x] = { x} para todo x ∈ E ; (c) E seja um conjunto infinito e o conjunto E / ∼ contenha exatamente 11 elementos; (d) E seja um conjunto infinito e E / ∼ também seja um conjunto infinito. 15. Qual é a relação de equivalência associada a cada uma das seguintes partições: (a) A/ ∼= {{a, b}, {c, d , e}} (b) A/ ∼= {{0, ±2, ±4, ±6, . . .}, {±1, ±3, ±5, . . .}} 16. Considere a relação ∼ em Z definida por n ∼ m ⇔ 7|n4 − m4 . (a) Mostre que ∼ é uma relação de equivalência. (b) Quantos elementos têm o conjunto quociente? (c) Descreva as classes de equivalência. 17. Seja E um conjunto qualquer. Denotamos por P ( E ) o conjunto das partes do conjunto E e consideramos a relação X ∼ Y ⇐⇒ X ⊆ Y . É uma relação de equivalência? Para que casos



Estruturas Algébricas e Aplicações


1.3 Exercícios

9

seria uma relação de equivalência? Que propriedades de equivalência são satisfeitas sempre? 18. (Reta Projetiva) Defina a relação sobre R 2 \{(0, 0)} por: ( x1 , y1 ) ∼ ( x2 , y2 ) se existe um número real λ não zero tais que ( x1 , y1 ) = λ ( x2 , y2 ). Mostre que ∼ define uma relação de equivalência sobre R 2 \{(0, 0)}. Quais são as classes de equivalência? Essa relação de equivalência define a reta projetiva, denotada por P(R), bastante importante em geometria.

Deus é o nosso refugio e fortaleza, socorro bem presente nas tribulações. Salmo 46:1



2. Grupos

A formulação do conceito de grupo é, sem dúvida, uma das principais realizações da matemática do século X IX . Ele envolve um sofisticado grau de abstração e é, talvez, o primeiro a ser formulado com tanta generalidade. Frequentemente, o estudante de Matemática que estuda pela primeira vez a Teoria de Grupos e seus primeiros grandes resultados têm a impressão de artificialidade; não compreende por que a teoria se desenvolve em determinada direção, por que certos conceitos são importantes ou, sequer, por que são introduzidos. A própria noção de grupo foi estabelecida pela primeira vez por Evariste Galois num contexto muito especial, o caso dos grupos de permutações, mas de forma intimamente ligada ao problema de resolver equações algébricas mediante radicais. Coube a Agustin Cauchy reconhecer a importância dos grupos por si mesmos e começar a desenvolver esta teoria como um novo ramo da Matemática e, finalmente, a Arthur Cayley reconhecer a noção abstrata sob o exemplo particular. A verdadeira grande fonte da Teoria de Grupos é a Teoria de Equações. Porém, pode se dizer justificadamente que alguns dos teoremas desta teoria se originaram ainda antes de que a própria noção de grupo fosse formulada explicitamente, uma vez que certos resultados particulares foram demonstrados por métodos que seriam completamente gerais.1 Definição 2.0.1 Seja G um conjunto não vazio. Uma operação binária sobre G é uma função que associa a cada par de elementos de G um outro elemento de G. Nesse caso, também dizemos que o conjunto G é fechado com respeito à operação.

As mais familiares operações binárias são a soma, subtração e multiplicação de inteiros. A divisão de inteiros não é uma operação binária sobre os inteiros (porque um inteiro dividido por outro inteiro não necessariamente é outro inteiro). Definição 2.0.2 Seja G um conjunto não vazio, munido de uma operação binária ∗. Dizemos que G é um grupo com a operação ∗, se são satisfeitas as seguintes condições: 1. Associatividade. Para todo a, b, c ∈ G temos que a ∗ (b ∗ c) = ( a ∗ b) ∗ c. 2. Identidade. Existe um elemento e ∈ G tal que a ∗ e = e ∗ a = a para todo a ∈ G. 1 Texto tomado do livro do professor Cesar Polcino Milies, Breve Introdução à História da Teoria de Grupos.

Capítulo 2. Grupos

12

3. Inversa. Para todo a ∈ G, existe b ∈ G tal que a ∗ b = b ∗ a = e. (O elemento b é chamado o inverso de a) Um grupo G com a propriedade que a ∗ b = b ∗ a para todo a, b ∈ G é chamado de grupo abeliano ou comutativo (em homenagem ao matemático Norueguês Niels Henrik Abel 1802-1829). Grupos que não satisfazem esta propriedade são ditos não abelianos ou não comutativos.

Exemplo 2.1 Os inteiros Z (denotados desta forma porque a palavra no Alemão para inteiros é Zahlen), o conjunto de números racionais Q (por quociente), e o conjunto de números reais R são todos grupos abelianos com a operação natural de soma. Em cada caso, o elemento identidade é o 0 e o inverso de um elemento a é −a. 

Exemplo 2.2 O conjunto dos números inteiros com a operação de multiplicação não é um grupo. De fato, o número 1 é o elemento identidade, mas a propriedade 3 falha. Por exemplo, não existe um inteiro b tal que 3b = 1. 

Exemplo 2.3 Os números naturais N = {1, 2, 3, . . .} com a operação de soma não é um grupo, pois também falha a propriedade 3. 

Exemplo 2.4 O subconjunto {1, −1, i, −i} dos números complexos é um grupo abeliano com a multiplicação complexa. Observe que −1 é seu próprio inverso, enquanto o inverso de i é −i, e vice-versa. 

Exemplo 2.5 Q \{0}, R \{0} e C \{0} com a operação de multiplicação respetiva são grupos abelianos. 

Exemplo 2.6 O conjunto G dos números irracionais positivos junto com o 1, com a operação de multiplicação satisfaz a terceira propriedade dada na definição de grupo mas não é um grupo. De √ √ ∈ G, logo dizemos que G não é fechado com a operação de multiplicação. fato, 2 · 2 = 2  

Exemplo 2.7 Seja G = M 2 (R) o conjunto de matrizes de tamanho 2 × 2 com entradas reais. Com 0 0 a operação de soma de matrizes é um grupo abeliano, onde o elemento identidade é e = , 0 0 e dada uma matriz A seu inverso aditivo é − A. Neste exemplo, podemos trocar R por Q , C ou Z p = F p , o corpo finito de p elementos. 



Exemplo 2.8 Seja G = GL 2 (R) =

 

a b c d







∈ M 2(R) : det( A) = ad − bc = 0 com o produto usual de matrizes é um grupo não abeliano. De fato, dadas duas matrizes A, B ∈ GL2 (R)  0, logo a operação é fechada sobre temos que AB ∈ GL2 (R), pois det( AB) = det( A) det( B) = GL2 (R). Como GL 2 (R) ⊂ M 2 (R) então GL 2 (R) assume por herança a propriedade associativa. A matriz I 2 identidade de tamanho 2 × 2 é o elemento identidade, e como o determinante de cada 

A =

matriz é diferente de zero, então cada matriz têm inversa. Observemos que este grupo não é abeliano, pois

1 21 0 3 2 1 01 2 1 2 0 1

·

1 1

=

1 1

=

1 1

·

0 1

=

1 3

Exemplo 2.9 O2 (R) = { A ∈ GL2 (R) : A · At = I }. Verifique que O2(R) é um grupo não abeliano e mostre que O2 (R)  GL2 (R). Observe que se A ∈ O2 (R), então det ( A) = ±1. Este grupo é chamado de grupo linear ortogonal. 

Exemplo 2.10 O conjunto de todas as matrizes de tamanho 2 × 2 com determinante 1 e entradas nos Q, R, C, Z p é um grupo não abeliano com a operação de multiplicação de matrizes. Este grupo é chamado de grupo linear especial de tamanho 2 × 2 com entradas em Q, R, C, Z p , respetivamente. Denotamos ele por SL (2, F ) onde F = Q, R, C, Z p . 



13

Exemplo 2.11 O conjunto R n = {(a1 , a2 , . . . , an ) : a i ∈ R para todo i = 1, . . . , n.} é um grupo com a operação de soma componente a componente, isto é, (a1 , . . . , an ) + (b1 , . . . , bn ) = (a1 + b1 , . . . , an + bn ). 

Exemplo 2.12 Para um ponto fixo (a, b) ∈ R2 , defina T a,b : R2 → R2 por ( x, y) → ( x + a, y + b). Então, T (R2) = {T a,b : (a, b) ∈ R2 } é um grupo com a composição de funções. Simples cálculos mostram que T a,b ◦ T c,d = T a+c,b+d . Usando esta igualdade podemos ver que T (R2 ) é fechado e que T 0,0 é o elemento identidade. Além disso, o inverso de T a,b é T −a,−b , e T (R2 ) é abeliano. Sabemos também que a composição de funções é sempre associativa. Os elementos de T (R2 ) são chamados de translações. 

Exemplo 2.13 Seja n ∈ Z com n > 1, e definamos por Zn = {0, 1, 2, . . . , n − 1} o conjunto dos inteiros módulo n . Este conjunto é um grupo com a operação de soma módulo n . Para qualquer = 0 o inverso de a é n − a. Este grupo é abeliano. a ∈ Zn , a  

Exemplo 2.14 Para alguns valores de n, o conjunto Z∗n = Zn \{0} com a operação de multiplicação módulo n é um grupo abeliano. A seguir construímos as tabelas de multiplicação para n = 4 e n = 5. 



1 1 2 3

1 2 3

 1 1 2 3 4

1 2 3 4

2 2 0 2 2 2 4 1 3

3 3 2 1 3 3 1 4 2

4 4 3 2 1

Podemos observar que Z∗4 não é grupo, pois, por exemplo, 2 não possui inverso. Já Z∗5 é grupo abeliano. Na proposição a seguir, podemos deduzir para que valores de n, temos que Z n é um grupo.

Proposição 2.0.1 Seja n ∈ Z, n > 1 e Zn com a operação temos que t é invertível se, e somente se, mdc (t , n) = 1.

 ∈

, multiplicação módulo 

n. Para t

∈Z , n

Demonstração. Suponhamos que existe t Z n tal que t t = 1 . Então, temos que tt  1 (mod n) n tt  1 existe k Z tal que tt  1 = nk e daí que tt  nk = 1. Como, o mdc(t , n) divide t e n, divide qualquer combinação linear deles, o que implica que deve dividir 1, assim mdc(t , n) = 1. Agora, supondo que mdc(t , n) = 1, então temos que existem a, b Z tais que 1 = at + bn n 1 at 1 at (mod n), então a t = 1 o que implica que t é invertível. 

⇔ | − ⇔

∈

⇔ | − ⇔ ≡

−



≡

−

∈

Corolário 2.0.2 Seja n ∈ Z, n > 1. O conjunto U (n) = {t ∈ Zn : mdc(t , n) = 1} com a operação de multiplicação módulo n , é um grupo abeliano. Este grupo é chamado o grupo das unidades de Zn. Exemplo 2.15 Por exemplo, para n = 12 temos que U (12) = {1, 5, 7, 11} e a tabela da operação é: 



Capítulo 2. Grupos

14

1 5 7 11 1 1 5 7 11 5 5 1 11 7 7 7 11 1 5 11 11 7 5 1

·

Observe que a propriedade comutativa nós obtemos da simetria da tabela em relação à diagonal. E cada elemento é o seu próprio inverso, pois a diagonal é sempre 1.

Exemplo 2.16 (Simetrias do Triângulo Equilátero) As transformações espaciais que preservam o triângulo são: 

Mostremos que S  com a operação de composição é um grupo não abeliano com 6 elementos, construindo a tabela de Cayley (chamada assim em homenagem ao matemático inglês Arthur Cayley, quem foi o primeiro a introduzir essa notação em 1854)

◦

Id R2π /3 R4π /3 R1 R2 R3

Id Id R2π /3 R4π /3 R1 R2 R3

R2π /3 R2π /3 R4π /3 Id R2 R3 R1

R4π /3 R4π /3 Id R2π /3 R3 R1 R2

R1 R1 R3 R2 Id R4π /3 R2π /3

R2 R2 R1 R3 R2π /3 Id R4π /3

R3 R3 R2 R1 R4π /3 R2π /3 Id

Em particular, este grupo é gerado por R2π /3 e R1 . Além disso, este grupo é chamado de grupo diedral de ordem 6 e é denotado por D 3 . Estruturas Algébricas e Aplicações


2.1 Propriedades Elementares de Grupos

15

Exercício 2.1 Construir a tabela de Cayley de D 4 = { R0 , R90 , R180 , R270 , H , V , D1, D2} o grupo de simetrias do quadrado, onde R n é a rotação do quadrado n graus em sentido contrário ao relógio. H é a reflexão do quadrado com respeito o eixo horizontal, V é a reflexão com respeito o eixo vertical e D 1 , D2 são as reflexões com respeito a diagonal principal e a outra diagonal, respetivamente. Exemplo 2.17 Podemos construir de forma similar, ao feito nos dois exemplos anteriores, para um polígono regular de n lados. O grupo construído será denotado por D n e chamado de grupo diedral de ordem 2 n. Os grupos diedrais surgem frequentemente na arte e na natureza. Muitos dos desenhos decorativos usados para cobrir o piso, cerâmica, e construções têm um dos grupos diedrais como grupo de simetria. Por exemplo, o logo da Mercedes-benz têm D 3 como simetria de grupo. Também alguns animais do mar, como a estrela de mar, ouriço do mar e a Clypeasteroida exibem padrões com o grupo de simetria D5 . Possivelmente, a mais espetacular manifestação de grupos diedrais são os grandes vitrais circulares de rosáceas nas janelas das catedrais góticas na Europa. No belíssimo livro Rose Windows de P. Cowen, San Francisco em 1979, podemos encontrar magníficas representações dos grupos D 12 , D16 , D24 , D30 e muitos outros. Essas janelas exibem uma mistura relativa a religião, arte, geometria, arquitetura e ciência. Os grupos D12 e D24 são os mais comuns, associados com janelas de rosáceas. Muitos objetos e figuras têm simetria rotacional e não simetria reflexiva. Assim, as simetrias espaciais de um polígono regular de n lados são: Rotações e Reflexões. 

Rotações: Em torno do centro do polígono, de k (360◦ /n) para k = 0, 1, . . . , n − 1, em sentido anti-horário. Reflexões: n par Em relação a cada eixo perpendicular a um par de lados que se opõem, passando pelos seus pontos médios (n/2), e também em relação a cada reta ligando dois vértices opostos do polígono ( n/2). n ímpar Em relação a cada reta passando por um dos vértices e pelo ponto médio do lado oposto a esse vértice (n). Portanto, a ordem (ou número de elementos) de Dn é 2n, e é denotada por | Dn | = 2n ou # Dn = 2n. Pode ser mostrado que Dn =  R, F  onde R = R 360◦ /n e F uma reflexão qualquer. Então n R = F 2 = Id e F RF = R−1 . Logo, Dn = Id , R, R2 , . . . , Rn−1 , F , FR, FR2 , . . . , FRn−1

{

}

. O grupo de simetrias rotacionais de {0◦ , 360◦ /n, 2(360◦ )/n . . . , (n − 1)360◦ /n} é chamado de grupo de rotação cíclico de ordem n e é denotado por  R360/n .

O objetivo principal da álgebra abstrata é descobrir verdades sobre sistemas algébricos, que são conjuntos com uma ou mais operações binárias, independentes da natureza específica das operações. O que precisamos saber é que as operações precisam cumprir certas propriedades, então o que se busca é deduzir consequências dessas operações.

2.1 Propriedades Elementares de Grupos Proposição 2.1.1 O elemento identidade de um grupo (G, ∗) é único. Demonstração. Suponhamos que existem e, e G identidades do grupo. Então, temos que a e = e a = a e a e = a = e a para todo a G. Assim, segue que e  = e e = e, portanto e = e . 

∗

∗

∗


∈

∈

∗

∗


Capítulo 2. Grupos

16

O elemento identidade em um grupo é denotado por e, devido a palavra em Alemão para identidade Einheit .

Proposição 2.1.2 Em um grupo (G, ∗) se cumprem as propriedades cancelativas tanto à direita como à esquerda, isto é, b ∗ a = c ∗ a ⇒ b = c, e, a ∗ b = a ∗ c ⇒ b = c. Demonstração. Suponha que b a = c a, e seja a o inverso de a. Então, multiplicando do lado direito por a temos que ( b a) a = (c a) a . Pela propriedade associativa segue que b (a a ) = c (a a ) b e = c e b = c . Analogamente, podemos provar que a b = a c  multiplicando por a à esquerda. 

∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ⇒ ∗ ∗ ⇒

∗ ∗

∗

∗

Proposição 2.1.3 Para cada elemento a ∈ G existe um único elemento b ∈ G tal que ab = ba = e. Demonstração. Suponha que b e c são inversos de a . Então, ab = e e ac = e . Logo, daí temos que ab = ac e, pela propriedade cancelativa, temos que b = c como queríamos. 

Daqui para frente, denotaremos o inverso de um elemento g ∈ G por g −1 , notação sugestiva para quando usamos números reais com a operação de multiplicação. Da mesma forma, para n um inteiro positivo, denotamos gn = g ∗ g ∗···∗ g, e definimos g 0 = e . Quando n é negativo, n-vezes então definimos gn = (g−1 )−n , (por exemplo, g−3 = (g−1 )3 ). Com esta notação, as leis naturais de exponenciação são válidas para grupos, isto é

  

gm gn = gm+n

e

(gm )n = gmn .

Essas propriedades de exponenciação não são válidas quando envolve mais de dois elementos, pois, em geral, não é verdade que (ab)n = anbn para a, b elementos de um grupo G .

Proposição 2.1.4 Seja G um grupo. Então, • Se a, b ∈ G, então (ab)−1 = b−1a−1; • Para a ∈ G temos que (a−1)−1 = a. Definição 2.1.1 O número de elementos de um grupo (finito ou infinito) é chamado sua ordem. Geralmente é denotada por |G|. Assim, o grupo Z com a soma têm ordem infinita, enquanto o grupo U (8) = {1, 3, 5, 7} com a multiplicação módulo 8 têm ordem 4. Definição 2.1.2 A ordem de um elemento g ∈ G é o menor inteiro positivo n tal que gn = e. Se tal inteiro não existe, então dizemos que g têm ordem infinita. Denotamos a ordem do elemento g por |g|.

Exemplo 2.18 Considere o grupo U (10) = {1, 3, 7, 9} com a operação de multiplicação módulo 10. Este grupo têm ordem 4. Para encontrar a ordem do elemento 7, devemos calcular a sequência 71 = 7, 72 = 9, 73 = 3, 74 = 1, logo |7| = 4. Já a ordem de 9 é 2, pois 9 2 = 1 módulo 10. Exemplo 2.19 Considere Z10 com a soma módulo 10. Como, 21 = 2, 22 = 2 + 2 = 2 · 2 = 4, 23 = 6, 24 = 8 e 25 = 0 então concluímos que |2| = 5. Cálculos similares implicam que |5| = 2, |7| = 10 e |8| = 5. Exemplo 2.20 Considere Z com a soma. Todo elemento diferente de zero têm ordem infinita, pois a sequência a, 2a, 3a, . . . nunca é zero para a  = 0. 







2.2 Exercícios

17

2.2 Exercícios 1. Dê duas razões que justificam que o conjunto dos números ímpares com a operação de soma não é um grupo. 2. Mostre que o conjunto Z não cumpre a propriedade associativa com a operação de subtração. 3. No conjunto R \{1} defina a operação: x  y = xy − x − y + 2. Mostre que (R \{1}, ) é um grupo abeliano. 4. Em cada caso abaixo, considere a operação ∗ no conjunto E e verifique se é associativa, se é comutativa, se existe elemento neutro e determine os elementos que possuem inverso. E é um grupo com alguma dessas operações? x + y (a) E = R e x ∗ y = . 2 (b) E = R e x ∗ y = x. (c) E = Z e x ∗ y = xy + x + y. (d) E = Z e x ∗ y = xy + 2 x. (e) E = R e x ∗ y = max( x√ , y). √ 3 5. Seja o conjunto G = {r + s 2 + t 3 4 : r , s, t ∈ Q e r , s não são simultâneamente nulos } com a operação de multiplicação usual. Então, mostre que (G, ·) é um grupo abeliano. (Dica: Um caminho para mostrar o inverso de um elemento é usar a igualdade (a2 + b2 + c2 − ab − ac − bc)(a + b + c) = a3 + b3 + c3 − 3abc) = 0} com a operação de multiplicação dos números 6. Seja o conjunto G = { x ∈ R : x2 ∈ Q e x  reais. Então, mostre que (G, ·) é um grupo abeliano. x x − 1 1 1 }, onde seus elementos são funções de 7. Seja o conjunto G = { x, 1 − x, , , , x 1 − x x − 1 x R \ 0, 1 para R \ 0, 1, e a operação ◦ é a composição de funções. Então, mostre que (G, ◦) é um grupo não abeliano. x + 5 x − 5 3 x − 5 , , } onde seus elementos são funções de R \−1, 1, 3 8. Seja o conjunto G = { x, 3 − x x − 1 x + 1 para R \−1, 1, 3, e a operação ◦ é a composição de funções. Então, mostre que (G, ◦) é um grupo não abeliano. √ 9. Seja G = R com a operação ∗ definida por a ∗ b = 3 a3 + b3 . Então, mostre que (G, ∗) é um grupo abeliano. a+b . 10. Seja o conjunto G = { x ∈ R : −1 < x < 1} com a operação ∗ definida por a ∗ b = 1 + ab Então, mostre que (G, ∗) é um grupo abeliano. = 0}, com a operação ∗ definida por ( x, y) ∗ ( x , y ) = 11. Seja o conjunto G = {( x, y) ∈ R2 : x  ( xx , x y + y ). Então, mostre que ( G, ∗) é um grupo não abeliano. O que acontece se R é substituído por Q ou Z? 12. Em cada caso abaixo, está definida uma operação sobre Z × Z. Verifique se é associativa, se é comutativa, se existe elemento neutro e determine os elementos que possuem inverso. É Z × Z um grupo, com alguma dessas operações? (a) (a, b) ∗ (c, d ) = ( ac, 0) (b) (a, b)(c, d ) = ( a + c, b + d ) (c) (a, b) ◦ (c, d ) = ( a + c, bd ) 13. Em cada caso abaixo, está definida uma operação ∗ sobre G . Pede-se: Fazer a tabela de Cayley, verificar se é comutativa, se existe elemento neutro e determinar os elementos que possuem inverso (quando o elemento neutro existe). (a) G = {1, 3, 9, 27} e x ∗ y = mmc( x, y). (b) G = P ({a, b}) e X ∗ Y = X ∩ Y . (c) G = {1, i, −1, −i} e x ∗ y = x · y. (d) G = {0, 1, 2, 3} e x ∗ y = resto da divisão em Z de x + y por 4. 14. Dado x , y ∈ R com a operação definida por x ∗ y = x + y − 3. Mostre que (R, ∗) é um grupo Estruturas Algébricas e Aplicações


Capítulo 2. Grupos

18

abeliano. 15. Verifique se Z × Z é um grupo em relação a alguma das seguintes leis: (a) (a, b) × (c, d ) = ( a + c, b + d ). (b) (a, b) · (c, d ) = ( ac, bd ) 16. No conjunto Q \{−1/2} defina a operação: x ◦ y = x ( y + 1) + ( x + 1) y. Mostre que ( Q \ {−1/2}, ◦) é um grupo abeliano. 17. Seja G = {e, a, b, c, d } um grupo onde e é o elemento neutro e a2 = b , b2 = d e ad = e . Construa a tabela de Cayley da operação do grupo G. 18. No conjunto Q \{1} defina a operação xy = xy + x + y. Mostre que (Q \{1}, ) é um grupo abeliano. 2 6 19. Encontre o inverso do elemento no grupo GL(2, Z11 ). 3 5 20. Usando indução, mostre que, para todos a, b ∈ G e n ∈ Z, que (a−1 ba)n = a−1 bn a. 21. No conjunto R \{−1} defina a operação: x ∗ y = x + y + xy. Mostre que (R \{−1}, ∗) é um grupo abeliano. xy 22. O conjunto dos racionais positivos Q+ com a operação definida por x ∗ y = é um grupo? 2 23. Seja G = R∗ × R e defina a operação ( a, b) ∗ (c, d ) = ( ac, ad + b). Mostre que (G, ∗) é um grupo. Este grupo é comutativo? 24. Sejam a e b elementos quaisquer de um grupo G. Mostre que existe um elemento x ∈ G tal que xax = bba−1 . 25. Seja i ∈ C com i2 = −1. Mostre que o conjunto



Q8 : =



 1 0  ±

0 1

,

±

i

0

0

−i

  ,

±

0 1 −1 0

  0  ,

i

±

i

0

,

com a operação de produto de matrizes é um grupo, chamado o grupo dos quaternios. 26. Seja G =



a a

a a





: a ∈ R, a  = 0 . Mostre que G é um grupo com a multiplicação de

matrizes. Explique por que cada elemento de G têm inverso, mesmo que o seu determinante é zero. 1 a b 27. Prove que o conjunto de matrizes 3 × 3 com entradas reais da forma: 0 1 c é um 0 0 1 grupo com a operação de multiplicação de matrizes. Este grupo é chamado algumas vezes como o Grupo de Heisenberg, depois que o físico Werner Heisenberg ganhou o Prémio Nobel da Física, intimamente relacionado com o princípio de incerteza de Heisenberg da física quântica. 28. Mostre que para todo n ≥ 1, o conjunto

 

 2  cos

k π n

+ isen

2  k π n

 



: k = 0, 1, 2, . . . , n − 1

das raízes complexas da unidade (isto é, os zeros do polinômio x n − 1) é um grupo com a operação de multiplicação usual de números complexos. (Use o Teorema de DeMoivre: Para todo inteiro positivo n e todo número real θ , (cos θ + isenθ )n = cos nθ + isen nθ ) (Lembre 2π k que cos 2k nπ + isen 2k nπ = ei n ) 29. Para um ponto fixo (a, b) ∈ R2 defina a translação

 

 

T a,b : R2

→ R2 por T , ( x, y) = ( x + a, y + b) Mostre que o conjunto T (R2 ) := {T , : a, b ∈ R} é um grupo usando a operação de compoab

ab

sição de funções.



2.2 Exercícios

19

30. Considere o conjunto de números complexos G = {1, −1, i, −i}. Mostre que G é um grupo com a operação de multiplicação e escreva a tabela do grupo. 31. Considere o conjunto Q = {±1, ±i, ± j, ±k } tal que i 2 = j2 = k 2 = −1, i · j = k , j · k = i, k · i = j, j · i = −k , k · j = −i e i · k = − j. Mostre que ( Q, ·) é um grupo. Observe que este grupo é o mesmo dos quaternios numa outra representação. 32. Seja G um grupo tal que para todo a ∈ G temos que a2 = e, onde e é o elemento identidade do grupo. Mostre que G é abeliano. = e tais 33. Seja G um grupo finito de ordem par. Mostre que deve existir um elemento a ∈ G, a  − 1 que a = a . 34. Para n > 2, mostre que existem pelo menos dois elementos em U (n) tal que x 2 = 1. 35. Um professor de EA1 pretendeu dar uma lista de 9 números que formavam um grupo com a multiplicação módulo 91, mas a lista que ele passou foi {1, 9, 16, 22, 53, 74, 79, 81} e esqueceu de um número. Qual inteiro está faltando? 36. Seja G um grupo com a seguinte propriedade: se a, b, c ∈ G e ab = ca, então b = c. Mostre que G é abeliano. 37. Mostre que o conjunto {5, 15, 25, 35} é um grupo com a multiplicação módulo 40. Qual é o elemento identidade deste grupo? Qual é a relação entre este grupo e U (8)? 38. Os inteiros 5 e 15 fazem parte de um conjunto com 12 elementos que formam um grupo com a multiplicação módulo 56. Liste todos os 12 elementos desse grupo. 39. Escreva a tabela de Cayley para o grupo U (12). 40. Mostre que se (ab)2 = a2 b2 em um grupo G , então ab = ba. 41. Sejam G um grupo e a, b, c ∈ G. Resolva a equação: (a) axb = c para x ; (b) a−1 xa = c para x . 42. Seja (G, ·) um grupo abeliano. Dados a, b, c ∈ G, resolver a equação (isto é, achar o valor de x) de abx 2 c = cxa . 43. Seja G = {1, a, b, c} um grupo onde 1 é o elemento neutro. (a) Escreva a tabela do grupo G sabendo que a2 = 1. (b) Escreva a tabela do grupo G sabendo que a2 = b. (c) Escreva a tabela do grupo G sabendo que a2 = c. Concluir que existem unicamente três operações que fazem de G um grupo. 44. A tabela abaixo é a tabela de um grupo. Preencha os espaços em branco.

e a b c d

e e

a

b

c

d

__ __ __ __ __ b __ __ e __ c d e __ __ d __ a b __ __ __ __ __

45. Seja G um grupo. Definimos o centro Z (G) de G como: Z (G) = { x ∈ G : ∀g ∈ G têm-se que gx = xg}. Mostre que Z (G) é um grupo com a mesma operação de G. 46. Seja G um grupo tal que g4 = e para todo g ∈ G, onde e é o elemento neutro do grupo. Mostrar que ∀g, h ∈ G temos que (hg)3 = g3 h3 . 47. Sejam S um conjunto, (G, ∗) um grupo e f : S → G uma aplicação bijetora. Para cada x, y ∈ S defina o produto xy = f −1 ( f ( x) ∗ f ( y)). Mostre que essa multiplicação define uma estrutura de grupo sobre S . 48. Seja (G, ∗) um grupo abeliano. Mostre, por indução matemática, que, para todos a , b ∈ G, temos que (a ∗ b)n = an ∗ bn , n ∈ Z+ . 49. Seja ( G, ∗) um grupo e suponha que a ∗ b ∗ c = e (onde e é o elemento identidade) para Estruturas Algébricas e Aplicações


Capítulo 2. Grupos

20 a, b, c

∈ G. Mostre que b ∗ c ∗ a = e também.

50. Mostre que o conjunto de todos os números racionais da forma 3m 6n , onde m , n ∈ Z é um grupo com a multiplicação. 51. Seja G um grupo. Mostre que o número de elementos x ∈ G tais que x 3 = e é ímpar. Mostre = e é par. que o número de elementos x ∈ G tais que x 2  52. Descreva com desenhos ou palavras os elementos de D 5 , que são as simetrias do pentágono. Calcule a tabela de Cayley para D 5 . 53. Sejam G = Dn e R, F ∈ G tais que R é uma rotação e F é uma reflexão qualquer. Então: (a) Explique geometricamente por que uma reflexão seguida de outra reflexão deve ser uma rotação; (b) Explique geometricamente por que uma rotação seguida de outra rotação deve ser uma rotação; (c) Explique geometricamente por que uma rotação e uma reflexão aplicadas juntas em qualquer ordem deve ser uma reflexão; (d) Mostre que RF R = F ; (e) Escolhendo R = R360◦ /n , escreva cada um dos seguintes produtos como R i ou R i F com 1 ≤ i < n. i. Em D 4 , F R−2 FR5 ; ii. Em D 5 , R −3 FR4 FR−2 ; iii. Em D 6 , F R5 FR−2 F . 54. Para n ≥ 3, descreva os elementos de D n . (Dica: Você precisa considerar dois casos, n ímpar e n par). Quantos elementos têm Dn ? 55. Descreva as simetrias de uma elipse não circular. É a mesma que de uma hipérbole? 56. Para cada figura abaixo, determine o grupo de simetria.

Exercício 2.2 (Exercícios Computacionais) Hoje em dia, muitos matemáticos têm usado ferramentas computacionais de forma heurística para tentar obter “insights” em questões de matemática pura. A ideia é produzir exemplos e observar propriedades especiais em objetos matemáticos, os quais poderia se esperar ter pistas sobre o comportamento de teorias mais gerais testadas nos exemplos.



2.3 Subgrupos

21

1. Escreva um programa ou use um software para as seguintes informações para U (n), o grupo das unidades de Zn , para n < 1000. (a) Os elementos de U (n) para n = 12, 15, 30, 36, 63. (b) Os inversos de cada elemento de U (n). 2. Determine o tamanho de U (k ) para k = 9, 27, 81, 243, 25, 125, 49, 121. Usando esta informação, tente dar uma fórmula para o tamanho de U ( pn ) como função do primo p e do inteiro n. 3. Determine o tamanho de U (k ) para k = 18, 54, 162, 486, 50, 250, 98, 242. Faça uma con jetura relacionando o tamanho de U (2 pn ) com U ( pn ) onde p > 2 é um primo. 4. Compute o inverso de cada elemento em GL(2, Z p ) onde p é um primo. 5. Determine o número de elementos em GL(2, Z p) e SL(2, Z p ) (Em outras palavras, a ordem do grupo), para p = 3, 5, 7 e 11. Qual é a relação entre as ordens de GL (2, Z p ), SL(2, Z p ) e p − 1? Essa relação é verdadeira para p = 2? Com base nos exemplos, é de se esperar que p divida sempre a ordem de SL (2, Z p )? E p − 1? E p + 1? Ache uma fórmula para a ordem de SL (2, Z p ) e de GL (2, Z p ).

Mas os que esperam no SENHOR renovarão as forças, subirão com asas como águias; correrão, e não se cansarão; caminharão, e não se fatigarão. Isaías 40:31

2.3 Subgrupos Nos exemplos de grupos da seção anterior, o leitor pode ter observado que alguns eram subconjuntos de outros com a mesma operação binária. Por exemplo, SL (2, R) ⊆ GL(2, R), e esta situação nos leva a introduzir termos especiais para descrevê-los.  / 0 é um subgrupo de G, Definição 2.3.1 Seja G um grupo. Um subconjunto H de G , com H = se H for um grupo com a mesma operação de G .

Usamos a notação H ≤ G para dizer que H é subgrupo de G. Dizemos que H um subgrupo de  G e denotamos isto por H < G. O subgrupo {e} é chamado o G é um subgrupo próprio, se H = subgrupo trivial de G.

Obs Note que Zn com a soma módulo n , não é subgrupo de Z com a soma, pois têm diferentes elementos e portanto diferentes operações.

Para determinar se um subconjunto H de G é um subgrupo, não precisamos mostrar todas as propriedades de grupo. A seguir, daremos alguns testes que nos ajudam com esta verificação.

Teorema 2.3.1 Sejam G um grupo e H um subconjunto de G. Dizemos que H é subgrupo de G se, satisfaz as seguintes afirmações:  / 0; 1. H = 2. Se ab−1 ∈ H para todo a, b ∈ H (em notação aditiva, se a − b ∈ H para todo a, b ∈ H . Demonstração. Como

a operação em H é a mesma que em G, então é claro que a operação é  / 0 então existe x ∈ H . Escolhendo a = x e b = x segue que associativa também em H . Como H = − 1 xx = e ∈ H , logo o elemento identidade está em H . Agora, dado x ∈ H , tome a = e, b = x e então temos que x−1 ∈ H , portanto se x ∈ H segue que x−1 também está em H . Para terminar, precisamos mostrar que H é fechado, isto é, dados x, y ∈ H , queremos mostrar que xy ∈ H . De fato, sabemos que y−1 ∈ H , assim, tomando a = x e b = y−1 , segue que xy = x( y−1 )−1 ∈ H .  Estruturas Algébricas e Aplicações


Capítulo 2. Grupos

22

Exemplo 2.21 Seja G um grupo abeliano com identidade e. Então, o conjunto H = { x ∈ G : x2 =  0/ , pois e ∈ H . Sejam a, b ∈ H , então temos que a2 = e e e} é um subgrupo de G . Note que H = b2 = e. Queremos mostrar que ab−1 ∈ H , em outras palavras, que (ab−1 )2 = e. Como G é abeliano segue que ( ab−1 )2 = ( ab−1 )(ab−1 ) = a2 (b−1 )2 = a2 (b2 )−1 = ee−1 = e. Portanto, pelo teorema anterior, temos que H é um subgrupo de G. 

A maioria dos estudantes prefere usar o próximo teorema em vez do anterior.

Teorema 2.3.2 Sejam G um grupo e H um subconjunto de G . Então, H é subgrupo de G se satisfaz as seguintes condições:  / 0; 1. H = 2. ab ∈ H para todo a , b ∈ H ; 3. Para todo a ∈ H temos que a−1 ∈ H . Demonstração. Pelo teorema anterior é suficiente mostrar que se a , b H então ab−1 H . Assim, dados a, b H temos pela condição (3) que b−1 H , o que implica que ab −1 H pela condição (2), e portanto H é um subgrupo de G . 

∈

∈

∈

∈

∈

Exemplo 2.22 Seja G = R∗ , o grupo dos números reais não nulos com a operação de multiplica√ 2 ∈ H , ção, H : 1 ou é irracional , e : 1 . não é subgrupo pois = { ∈ = , } = { ∈ ≥ } x G x x K x G x H √ √ mas 2 2 = 2 /∈ H . K não é subgrupo, pois 2 ∈ K , mas 2−1 ∈ / K . 

Exemplo 2.23 Seja G um grupo abeliano e H , K subgrupos de G . Então H K = {hk : h ∈ H , k ∈ K } é um subgrupo de G . De fato, observe que e = ee ∈ HK , pois e está tanto em H como em K , 0. Suponhamos que a , b ∈ HK . Então, por definição temos que existem h 1 , h2 ∈ H e = / logo H K  k 1 , k 2 ∈ K tal que a = h1 k 1 e b = h2 k 2 . Pelo teorema anterior, devemos provar que ab ∈ HK e que a−1 ∈ HK . Como G é abeliano, temos que ab = ( h1 k 1 )(h2 k 2 ) = ( h1 h2 )(k 1 k 2 ) ∈ HK . Além disso, 

−1 −1 1 a−1 = (h1 k 1 )−1 = k 1−1 h− 1 = h1 k 1

∈ HK .

Como provar que um subconjunto de um grupo não é um subgrupo? Estes são possíveis caminhos que garantem isto: 1. Mostre que a identidade não está no conjunto 2. Exiba um elemento do conjunto tal que seu inverso não está no conjunto 3. Exiba dois elementos do conjunto tais que o seu produto não está no conjunto. Quando tratamos com grupos finitos é fácil usar o seguinte teste para verificar que um conjunto dado é subgrupo.

Teorema 2.3.3 Sejam G um grupo e H ⊆ G um subconjunto finito. Então, H é subgrupo de G se são satisfeitas as seguintes condições: i) H =  / 0 ii) Para todo a, b ∈ H temos que ab ∈ H . Demonstração. Pelo teorema 2.3.2, é suficiente mostrar que a −1 H , para todo a H . Se a = e , temos que a −1 = a = e, logo é satisfeito. Agora, para a = e, temos a sequência a , a2 , a3 , . . . em H , pois H é fechado. Além disso, como H é finito, esses elementos não são todos distintos. Suponhamos que ai = a j para i > j. Então, ai− j = e e como a = e então i j > 1 . Logo, i j 1 1 e daí temos que aa i− j−1 = a i− j = e , portanto a i− j−1 = a −1 H , pela unicidade do



− − ≥

elemento inverso.

∈

∈



∈

−



Proposição 2.3.4 Sejam G um grupo e a ∈ G. Então, o conjunto a = {an : n ∈ Z} é um subgrupo de G. Estruturas Algébricas e Aplicações


2.3 Subgrupos

23

∈ a, então a = / 0. Sejam a , a ∈ a, então a (a )−1 = a − ∈ a, logo pelo Teorema 2.3.1 segue que a é um subgrupo de G.  O subgrupo a é chamado subgrupo cíclico de G gerado por a . No caso que G = a

Demonstração. Como a

n

m

n

m

n m

dizemos que G é um grupo cíclico e que a é um gerador de G (um grupo cíclico pode ter mais de um gerador).

Exemplo 2.24 Em U (10), temos que 3 = {1, 3, 7, 9} = U (10). De fato, 31 = 3, 32 = 9, 33 = 7, 34 = 1, 35 = 34 3 = 1 · 3 = 3, . . . Também temos que 3 −1 = 7, 3−2 = 9, 3−3 = 3, 3−4 = 1, . . . Exemplo 2.25 Em Z10 , temos que 5 = {0, 5} e 2 = {0, 2, 4, 6, 8}. Lembre que an = na quando a operação é de soma. Também podemos pensar que dado a ∈ G um grupo, então a é o menor subgrupo de G contendo a. Esta noção pode ser estendida para qualquer coleção S de elementos do grupo G definindo S  com a propriedade que S  contém S e se H é qualquer outro subgrupo de G contendo S , então também contém S . • Em Z20, temos que 8, 14 = {0, 2, 4, . . . , 18} = 2. Exemplo 2.26 • Em Z, temos que 8, 9 = Z. • Em R, com a operação de soma, temos que 2, π , √ 2 = {2a + bπ + c√ 2 : a, b, c ∈ Z}. • Em C, com a operação de soma de números complexos, temos que 1, i = {a + bi : a, b ∈ Z} (Este grupo é chamado Inteiros Gaussianos) • Em C∗, com a operação de multiplicação de números complexos, temos que 1, i = {1, −1, i, −i} = i. • Em D4, temos que  H , V  = { H , H 2, V , V H } = { R0, R180, H , V }. • Em D4, temos que  R90, V  = { R90 , R180 , R270, R0, V , R90V , R180V , R270V } = D4 





Proposição 2.3.5 Sejam H 1 , H 2 , . . . , H m subgrupos de um grupo G. Então, m

 =

H

H i ,

i=1

é um subgrupo de G. Demonstração. Exercício.



Exemplo 2.27 Vamos determinar todos os subgrupos de Z com a operação de soma. Já sabemos que m com m ∈ Z é subgrupo de Z, os quais são todos os múltiplos de m. Veremos que esses são os únicos subgrupos de Z. Seja H ≤ G qualquer. Se H = {0}, então H = 0. Podemos supor então que H  = {0}. Seja m = min{ x ∈ H : x > 0}. Como m ∈ H e H é um subgrupo, temos que m ⊆ H . Reciprocamente, dado h ∈ H , pelo algoritmo de Euclides, existem q, r ∈ Z tais que h = qm + r com 0 ≤ r < m, e como h, m ∈ H segue que r ∈ H e pela minimalidade de m devemos ter que r = 0, e portanto h = qm ∈ m, então concluímos que H = m. 

Definição 2.3.2 Seja G um grupo. Definimos Z (G) o centro de G, como o subconjunto de elementos de G que comutam com todo elemento de G. Isto é,

{ ∈ G : gx = xg, ∀ x ∈ G} .

Z (G) = g

A notação Z (G) vem pelo fato que a palavra em alemão para centro é Zentrum, e foi introduzida pela primeira vez por J.A. de Seguier em 1904.



Capítulo 2. Grupos

24

Teorema 2.3.6 O centro de um grupo G é um subgrupo de G . Demonstração. Claramente e Z (G), logo Z (G) = 0/ . Agora, suponha que a , b Z (G). Então, (ab) x = a(bx) = (bx)a = ( xb)a = x(ba) = x(ab) para todo x G, logo ab Z (G). Dado g Z (G), temos que gx = xg para todo x G. Daí, temos que multiplicando por g−1 tanto à direita como à

esquerda da igualdade, temos

∈ ∈



g−1 (gx)g−1 (g−1 g) xg−1 exg−1 xg−1

∈

∈

∈

∈

= g−1 ( xg)g−1 = g−1 x(gg−1 ) = g−1 xe = g−1 x ,

logo, g−1 ∈ Z (G) e, portanto, pelo Teorema 2.3.2, segue que Z (G) é subgrupo de G.



Exemplo 2.28 Para n ≥ 3, temos que



Z ( Dn ) =

 {

R0 , R180 R0

{ }

} quando n é par,

quando n é ímpar.

Para verificar isto, veja primeiro que toda rotação em Dn é uma potência de R360/n , logo rotações comutam com rotações. Agora, vamos ver quando uma rotação comuta com uma reflexão. Sejam R uma rotação em Dn e F uma reflexão em Dn . Observe que RF é uma reflexão, logo RF = ( RF )−1 = F −1 R−1 = F R−1 . Assim, segue que R e F comutam se, e somente se, R = R −1 . Mas, isto ocorre somente quando R = R0◦ ou R = R180◦ e R180◦ ∈ Dn somente quando n é par, segue o que queríamos mostrar.

Definição 2.3.3 Seja G um grupo e a ∈ G. Definimos o centralizador de a em G como o conjunto de todos os elementos de G que comutam com a, denotado por C (a). Isto é,

{ ∈ G : ga = ag} .

C (a) = g

Exemplo 2.29 Em D4 , nós temos os seguintes centralizadores: • C ( R0) = D4 = C ( R180◦ ); • C ( R90) = { R0, R90, R180, R270} = C ( R270); • C ( H ) = { R0, H , R180, V }; • C ( D1) = { R0, D1, R180, D2} = C ( D2).



Teorema 2.3.7 Seja G um grupo e a ∈ G. Então C (a) é um subgrupo de G . Demonstração. Exercício.



Observe que para todo elemento a ∈ G um grupo, temos que Z (G) ⊆ C (a).

2.4 Exercícios 1. Verifique se são subgrupos: (a) S = {0, ±2√ , ±4, ±6, . . .} de (Z, +). (b) S = {a + b√ 2 : a, b ∈ Q} de (R, +) (c) S = {a + b 2 : a, b ∈ Q}\{0} de (R∗ , ·) (d) S = {cos(2π t ) + isen(2π t ) : t ∈ Q} de (C∗ , ·). cos a sen a 2. Mostre que as matrizes da forma −sen a cos a , com a ∈ R formam um subgrupo de GL2 (R).







2.4 Exercícios

25

3. Seja G um grupo e H ⊂ G. Mostre que H é um subgrupo de G nos seguintes casos(Faça a Tabela de Cayley): (a) G = D9 e H = { Id , R3 , R6 , FR2 , FR5 , FR8 }. (b) G = D12 e H = { Id , R6 , FR, FR7 }. ∈ H , R5 ∈ H e F R2 ∈ H . Mostre que o subconjunto H 4. Achar o subgrupo H de D 10 tal que R  achado é de fato um subgrupo de D10 . 5. Construa os seguintes subgrupos: (a) −1 em (Q, +) (b) 3 em (Q∗ , ·) (c) i em (C∗ , ·) 6. Para cada um dos seguintes grupos encontre: a ordem do grupo e a ordem de cada um dos elementos do grupo. Qual relação você vê entre a ordem dos elementos e a ordem do grupo? Z12 , U (10), U (12), U (20), D3 .

7. Seja Q o grupo dos números racionais com a soma, e Q ∗ o grupo dos números racionais não nulos com a operação de multiplicação. Em Q, escreva os elementos de 1/2. Em Q∗ , escreva os elementos de 1/2. 8. Mostre que em G um grupo qualquer, a ordem de um elemento e a ordem de seu inverso são iguais. 9. Sem computar a ordem, diga por que o par de elementos de U (15) têm a mesma ordem: {2, 8}, {7, 13}. 10. No grupo Z12 , encontre |a|, |b| e |a + b| para cada caso: (a) a = 6, b = 2. (b) a = 3, b = 8. (c) a = 5, b = 4. Você vê alguma relação entre |a|, |b| e |a + b|? = e. Mostre que |a| = 2 se, e somente se, a = a−1 . 11. Seja G um grupo, a ∈ G e a  12. Sejam G um grupo e a, b, c ∈ G tais que |a| = 6, |b| = 7. Escreva ( a4 c−2 b4 )−1 sem usar expoentes negativos. 13. Que podemos dizer sobre um subgrupo de D3 que contém R240◦ e uma reflexão? Que podemos dizer sobre um subgrupo de D3 que contém duas reflexões? 14. Quantos subgrupos de ordem 4 têm D 4 ? 15. Sejam a e b elementos de um grupo multiplicativo G . Supondo que |ab| = h, mostre que |ba| = h. 16. Determine todos os elementos de ordem finita em R∗ com a operação de multiplicação. 17. Complete e mostre: um elemento x de um grupo é o seu próprio inverso se, e somente se, | x| = _________ 18. Para quaisquer elementos a, x de um grupo G , mostre que |axa−1 | = | x|. 19. Mostre que se a é o único elemento de ordem 2 num grupo, então a ∈ Z (G). 20. Para cada divisor k > 1 de n, seja U k (n) = { x ∈ U (n) : x (mod k ) ≡ 1}. Por exemplo, U 3 (21) = {1, 4, 10, 13, 16, 19} e U 7 (21) = {1, 8}. Liste os elementos de U 4 (20), U 5 (20), U 5 (30) e U 10 (30). Mostre que U k (n) é um subgrupo de U (n). Seja H = { x ∈ U (10) : x (mod 3) ≡ 1}. É H um subgrupo de U (10)? 21. Seja G um grupo e a ∈ G tal que a6 = e. Quais são os possíveis valores para |a|? Justifique. 22. Mostre que U (14) = 3 = 5 (isto mostra que U (14) é cíclico). É U (14) = 11? 23. Mostre que U (20)  = k  para qualquer k ∈ U (20) (isto mostra que U (20) não é cíclico). 24. Suponha que n é um inteiro positivo par e que H é um subgrupo de Zn . Mostre que todo elemento de H é par ou exatamente a metade deles são pares. 25. Mostre que um grupo com 2 elementos de ordem 2 que comutam deve ter um subgrupo de ordem 4. Estruturas Algébricas e Aplicações


Capítulo 2. Grupos

26

26. Para todo inteiro par n, mostre que D n têm um subgrupo de ordem 4. 27. Suponha que H é um subgrupo próprio de Z com a operação de soma e H contém os elementos 18, 30 e 40. Determine H . 28. Suponha que H é um subgrupo próprio de Z com a operação de soma e H contém os elementos 12, 30 e 54. Quais são as possibilidades para H ? 29. Suponha que H é um subgrupo próprio de Z com a operação de soma e H contém os elementos 250 e 350 . Quais são as possibilidades para H ? 30. Se H e K são subgrupos de G, mostre que H ∩ K também é subgrupo de G . 31. Seja G um grupo e a ∈ G. Mostre que C (a) = C (a−1 ). 32. Seja G um grupo abeliano e H = { x ∈ G : | x| é ímpar}. Mostre que H é um subgrupo de G . = b2 ou a 3  = b3 . 33. Se a e b são elementos distintos do grupo G, mostre que a2  34. No grupo Z, encontre: (a) 8, 14; (b) 8, 13; (c) 6, 15; (d) 12, 18, 45. Em cada subgrupo, encontre um k ∈ Z tal que o subgrupo seja k . 35. Sejam G um grupo abeliano com identidade e e n um inteiro fixo. Mostre que o conjunto de todos os elementos de G que satisfazem a equação x n = e formam um subgrupo de G . Dê um exemplo de um grupo no qual os elementos que satisfazem a equação x2 = e não formam um grupo. 0 −1 0 1 36. Considere os elementos A = e B = −1 −1 de SL2(R). Encontre | A|, | B| 1 0 e de | AB|. Sua resposta surpreende você? 37. Sejam G um grupo e a ∈ G tal que |a| = n. Suponha que d |n, então mostre que |ad | = n/d . 38. Dê um exemplo de elementos a e b num grupo tal que a ordem de a é finita, a ordem de b é infinita e a ordem de ab é finita. 1 1 de SL2 (R). Qual é a ordem de A? Se vemos A = 39. Considere o elemento A = 0 1 1 1 como elemento de SL 2 (Z p ) com p primo, qual é a ordem de A? 0 1 40. Para todo inteiro positivo n e todo ângulo θ , mostre que em SL 2 (R) se cumpre que









 cos

θ sen θ









−sen θ  cos θ

n

=

 cos

nθ sen nθ

−sen nθ  cos nθ

Use esta fórmula para encontrar a ordem dos elementos

 cos60◦ −sen 60◦  sen 60◦ cos60◦  cos −sen 

Geometricamente,

θ sen θ

θ cos θ

e

 cos √ √ 2◦

◦

sen 2

−sen√ √ 2◦ ◦  . cos 2

representa a rotação do plano de θ graus.

41. No grupo R∗ , encontre elementos a e b tais que |a| = , |b| = e |ab| = 2. 42. Mostre que o subconjunto dos elementos de ordem finita de um grupo abeliano forma um subgrupo (Esse subgrupo é chamado o subgrupo de torsão). Isso é verdade também para grupos não abelianos? 43. Compute a ordem dos seguintes grupos. (a) U (3), U (4), U (12). (b) U (5), U (7), U (35). (c) U (4), U (5), U (20). ∞


∞


2.5 Grupos Cíclicos

27

(d) U (3), U (5), U (15). Com base nas suas respostas, conjecture uma relação entre U (r ), U (s) e U (rs). 44. Seja o grupo R∗ com a multiplicação e seja H = { x ∈ R∗ : x2 é racional}. Mostre que H é um subgrupo de R∗ . 45. Compute |U (4)|, |U (10)| e |U (40)|. Esses grupos são um contra-exemplo para sua resposta no exercício 36? Se são, revise sua conjetura. 46. Encontre um subgrupo não cíclico de ordem 4 no grupo U (40). 47. Seja G =



a b c d





: a, b, c, d ∈ Z comasomaeseja H =



a b c d



∈ G : a + b + c + d = 0

Mostre que H é um subgrupo de G . Se substituir 0 por 1, continua sendo subgrupo? 48. Seja H = { A ∈ GL2 (R) : det( A) é uma potência inteira de 2 }. Mostre que H é um subgrupo de GL 2 (R). 49. Sejam H e K dois subgrupos de um grupo finito G tal que | H | > |G| e |K | > |G|. Sabemos que e ∈ H ∩ K . Mostre que existe pelo menos um outro elemento em H ∩ K . 50. Seja G o grupo de funções de R → R∗ , onde a operação de G é a multiplicação de funções. Seja H = { f ∈ G : f (2) = 1}. Mostre que H é um subgrupo de G. Pode 2 ser substituído por qualquer número real? 51. Seja H = {a + bi : a, b ∈ R, ab ≥ 0}. H é subgrupo de C com a soma de números complexos? 52. Seja H = {a + bi : a, b ∈ R, a2 + b2 = 1}. H é subgrupo de C com a multiplicação de números complexos? 53. Seja G um grupo abeliano finito, e sejam a , b ∈ G. Mostre que o conjunto a, b = {ai b j : i, j ∈ Z} é um subgrupo de G. 54. Seja H um subgrupo de um grupo G. Mostre que o conjunto HZ (G) = {hz : h ∈ H , z ∈ Z (G)} é um subgrupo de G ( Z (G) é o centro do grupo G).





2.5 Grupos Cíclicos Lembremos que um grupo G é chamado cíclico se existe a ∈ G tal que G = a = {an : n ∈ Z}. O elemento a é chamado um gerador do grupo G. Nesta seção estudaremos um pouco mais detalhado este tipo de grupo e algumas de suas propriedades. A seguir, alguns exemplos. Exemplo 2.30 O conjunto (Z, +) é um grupo cíclico com geradores 1 e −1. Lembremos que com a operação de soma, interpretamos 1n = 1 + 1 + ··· + 1 quando n é positivo e 1n = n−vezes (−1) + (−1) + ··· + (−1) quando n é negativo. 



 | |− n

vezes



  

Exemplo 2.31 O grupo Zn = {0, 1, . . . , n − 1} para n ≥ 1 é um grupo cíclico com a soma módulo n. Temos aqui de novo que 1 e −1 são geradores. Este grupo não necessariamente têm dois geradores, pode ter mais ou menos dependendo do valor de n. Exemplo 2.32 O grupo Z8 = 1 = 3 = 5 = 7. Por exemplo, 3 = {3, 6 = 3 + 3, 1 = 3 + 3 + 3, 4 = 3 + 3 + 3 + 3, 7 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3, 2 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3, 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3, 0 =  Z8. 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3} = Z8 . Por outro lado, 2 não é gerador, pois 2 = {0, 2, 4, 6} = Exemplo 2.33 U (10) = {1, 3, 7, 9} = 3 = {30, 3, 33 , 32 } = 7 = {70 , 73 , 7, 72 }. Logo, 3 e 7 são geradores de U (10). Exemplo 2.34 U (8) = {1, 3, 5, 7} não é um grupo cíclico, porque 1 = {1}, 3 = {1, 3}, 5 = {1, 5}, 7 = {1, 7}. Nenhum dos seus elementos gera o grupo todo. 











.

Capítulo 2. Grupos

28

Teorema 2.5.1 Sejam G um grupo e a ∈ G. Se a têm ordem infinita, então todas as potências de a são elementos distintos do grupo. Se |a| = n, então a = {e, a, a2 , . . . , an−1 } e ai = a j se, e somente se, n|i − j . Se a têm ordem infinita, então não existe n  = 0 tal que an = e. Supondo que ai = a j , então temos que a i− j = e, o que implica que i − j = 0, logo i = j e a primeira parte do teorema está provada. Claramente, pela definição de ordem do elemento, temos que e , a, a2 , . . . , an−1 são distintos e pertencem ao grupo a. Agora, seja ak ∈ a. Pelo algoritmo da divisão, existem inteiros q e r tais que k = nq + r com 0 ≤ r < n. Logo, a k = aqn+r = aqn ar = (an )q ar = ear = ar , assim a k ∈ {e, a, a2 , . . . , an−1 }. Agora, suponhamos que ai = a j e mostremos que n|i − j . Assim, temos que ai− j = e e pelo algoritmo da divisão segue que existem q e r  tais que i − j = q n + r     com 0 ≤ r  < n. Logo, e = ai− j = aq n+r = ar e, pela minimalidade de n, devemos ter que r  = 0 e, portanto, n|i − j. Analogamente, se n|i − j, então i − j = qn e daí que ai− j = a qn = e , logo ai = a j . 

Demonstração.

Corolário 2.5.2 Sejam G um grupo e a ∈ G. Então, nós temos que |a| = |a|. Corolário 2.5.3 Sejam G um grupo e a ∈ G. Se a k = e, então |a| divide k . Demonstração.

Se ak = e = a0 , então, pelo Teorema 2.5.1, segue que |a| divide k − 0 = k .



Teorema 2.5.4 Sejam G um grupo e a ∈ G tal que |a| = n, e seja k um inteiro positivo. Então ak  = amdc(k ,n) e |ak | = n/mdc(n, k ) Demonstração. Denotemos por d = mdc(n, k ) e k = dr . Como a k = (ad )r então temos que ak amdc(k ,n) . Sabemos que existem inteiros s e t tais que d = ns + kt , e daí que ad = ans+kt = ans akt = (an )s (ak )t = e(ak )t = (ak )t ak , logo ad ak , assim verificamos que ak = amdc(k ,n) . Para a segunda parte, observe que ( a )n/ = an = e, logo a n/. Por outro lado, se i é um inteiro positivo menor que n/, então (a)i = e pela definição da ordem de a. Assim, para  = d = mdc(n, k )  temos que ak = ak = ad = ad = n/d , como queríamos mostrar.





∈ 

 | | | | | | | |

 ⊆ 

| |≤

  

 ⊆ 

No exemplo a seguir, veremos como o teorema anterior nos permite listar os elementos de um subgrupo e calcular facilmente a ordem de seus elementos,

Exemplo 2.35 Para |a| = 1000 queremos encontrar a185 , a400 , a124  e suas respetivas ordens. Como o mdc(1000, 185) = mdc(23 53 , 5 · 37) = 5, então nós temos que a185  = a5  = {e, a5, a10, a15, . . . , a995 } e |a5| = 1000/5 = 200. Como mdc (1000, 400) = mdc(2353, 2452) = 23 52 = 200, então temos que a400  = a200  = {e, a200 , a400 , a600 , a800 }, e |a200 | = 1000/200 = 5. Como mdc(1000, 124) = mdc(23 53 , 22 · 31) = 22 , então temos que a124  = a4  = {e, a4 , a8 , a12 , a16 , . . . , a996 } e |a4 | = 1000/4 = 250. 

Corolário 2.5.5 Sejam G um grupo finito cíclico e a ∈ G. Então, |a| divide |G|. O teorema abaixo nos mostra uma maneira de encontrar todos os geradores de um grupo cíclico, depois de encontrar o primeiro.

Teorema 2.5.6 Seja G = a um grupo cíclico de ordem n. Então, G = ak  se , e somente se, mdc{k , n} = 1. Estruturas Algébricas e Aplicações


2.5 Grupos Cíclicos

29

Demonstração. Se mdc(k , n) = 1, então existem u, v Z tais que 1 = ku + nv. Logo, a1 = aku+nv = aku anv = aku e daí que a ak , consequentemente, temos que todas as potências de a pertencem à ak . Assim, G = ak e ak é também um gerador de G. Agora, suponhamos que mdc(k , n) = d > 1. Então existem t , s Z tais que k = td e n = sd . Logo, ( ak )s = ( atd )s = ( asd )t = ( an )t = e e daí segue que ak s < n. Isto mostra que a k não gera todos os elementos do grupo G e, portanto, mdc(k , n) = 1. 

 

| |≤

  ∈

∈

∈ 

Corolário 2.5.7 Um inteiro k ∈ Zn é um gerador de Zn se, e somente se, mdc (k , n) = 1. Exemplo 2.36 Considere o subgrupo das rotações em D6 . Claramente, um gerador é R60 e | R60| = 6. Pelo teorema, temos que outro gerador seria ( R60)5 = R300 e que não existem mais. Exemplo 2.37 Vamos encontrar todos os geradores do grupo cíclico U (50). Primeiro note que |U (50)| = 20 = φ (50), onde φ é a função de Euler (φ (50) = φ (2 · 52 ) = φ (2) · φ (52 ) = 1 · 5 · 4 = 20 ). Agora, fazendo as contas, pode ser mostrado que 3 é um gerador de U (50). Logo, os outros geradores são: {3, 33 (mod 50) = 27, 37 (mod 50) = 37, 39 (mod 50) = 33, 311 (mod 50) = 47, 313 (mod 50) = 23, 317 (mod 50) = 13, 319 (mod 50) = 17}. 



O seguinte teorema nos ajuda a calcular todos os subgrupos de um grupo cíclico.

Teorema 2.5.8 (Fundamental dos Grupos Cíclicos) Todo subgrupo de um grupo cíclico é cíclico. Além disso, se |G| = |a| = n, então a ordem de qualquer subgrupo de a é um divisor de n , e para cada divisor positivo k de n , o grupo a têm exatamente um subgrupo de ordem k , a saber

a / . n k

Demonstração. A primeira parte é exercício. Observe que ( an/k )k = an = e e como a ordem de a é n , então temos que ( an/k )t = e para todo inteiro positivo t < k ; logo, a ordem de an/k é k . Agora, mostremos que H = an/k é o único subgrupo de ordem k . Seja H um subgrupo qualquer de G = a de ordem k . Então, pela primeira parte do teorema, temos que H = am , onde m é o menor inteiro positivo tal que am H . Assim, escrevendo n = mq + r , com q, r Z e 0 r < m, temos que e = an = a mq+r = a mqar ; logo, ar = ( amq)−1 = ( am )−q H e, pela minimalidade de m, segue que r = 0 e, portanto, n = mq . Portanto, k = H = am = n /m, então m = n /k e  H = am = an/k .



 

  ∈



∈

  ∈ ≤

| | | |

   

Exemplo 2.38 Vamos encontrar todos os subgrupos do grupo cíclico G = a de ordem 30. Pelo Teorema, concluímos que os subgrupos de G são precisamente os da forma am , onde m é um divisor de 30. Além disso, se k |30, então o subgrupo de ordem k é a30/k . Assim, temos que os subgrupos são: 

a a2 a3 a5 a6 a10 a15 e

= G; = a2 , a4 , a6 , a8 , a10 , a12 , a14 , a16 , a18 , a20 , a22 , a24 , a26 , a28 , e ; = a3 , a6 , a9 , a12 , a15 , a18 , a21 , a24 , a27 , e = a5 , a10 , a15 , a20 , a25 , e ; = a6 , a12 , a18 , a24 , e = a10 , a20 , e ; = a15 , e ; = e .

{ { { { { } { } {}

}

}

}

}

Corolário 2.5.9 Para cada divisor positivo k de n, temos que o conjunto n/k  é o único subgrupo de Zn de ordem k . Além disso, esses são os únicos subgrupos de Zn . Estruturas Algébricas e Aplicações


Capítulo 2. Grupos

30

Exemplo 2.39 Todos os subgrupos de Z15 são:



1 3 5 0

= = = =

{0, 1, 2, . . . , 14}; {0, 3, 6, 9, 12}; {0, 5, 10}; {0}.

Exemplo 2.40 Encontraremos todos os geradores do subgrupo de ordem 9 em Z 36 . Observe que 36/9 = 4 é um gerador. Para encontrar os outros, nós temos, do Teorema 2.5.6, que os outros geradores são da forma 4 j tal que mdc ( j, 9) = 1. Assim, 

4 · 1 = 4 · 2 = 4 · 4 = 4 · 5 = 4 · 7 = 4 · 8 . Teorema 2.5.10 Seja G um grupo cíclico de ordem n. Se d é um divisor positivo de n, então o número de elementos de ordem d em G é φ (d ). Demonstração. Pelo Teorema 2.5.8, o grupo G têm exatamente um subgrupo de ordem d , o qual chamemos de a . Então todo elemento de ordem d também gera o subgrupo a e, pelo Teorema 2.5.6, um elemento a k gera a se, e somente se, mdc (k , d ) = 1. O número de tais elementos é  φ (d ).





 

Proposição 2.5.11 Mostre que todo grupo cíclico é abeliano. Demonstração. Exercício.



Obs A recíproca da proposição acima não é verdadeira. A seguir construiremos um exemplo para verificar isto, mas, primeiro, introduziremos o produto cartesiano de dois grupos. Sejam (G1 , ∗1 ), (G2 , ∗2 ) dois grupos. O produto cartesiano desses dois grupos é dado por

× G2 = {( x, y) : x ∈ G1 e y ∈ G2 } . Esse conjunto munido com a operação ∗ definida por: ( x1 , y1 ) ∗ ( x2 , y2 ) = ( x1 ∗1 x2 , y1 ∗2 y2 ) , G1

é um grupo. (Exercício) Considere G1 = G2 = Z2 com a operação de soma módulo 2, denotada por + 2 , temos que (Z2 × Z2 , ∗) é um grupo e, além disso, ele é abeliano. De fato, dados ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ∈ Z2 × Z2 , temos que ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) = ( x1 +2 x2 , y1 +2 y2 ) = ( x2 +2 x1 , y2 +2 y1 ) = ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 ) .

∗

∗

Agora, observemos o gerado por cada um dos seus elementos: • (0, 0) = {(0, 0)}; • (0, 1) = {(0, 0), (0, 1)}; • (1, 0) = {(0, 0), (1, 0)}; • (1, 1) = {(0, 0), (1, 1)}. Note que nenhum dos seus elementos gera o conjunto todo, logo Z2 × Z2 não é cíclico.

A relação entre os subgrupos de um grupo pode ser ilustrada com um latice de subgrupos do grupo. Este é um diagrama que inclui todos os subgrupos de um grupo e os conecta pela relação de subgrupo. A seguir, mostramos o latice de Z30 . Estruturas Algébricas e Aplicações


2.6 Exercícios

31

Exercício 2.3 Faça o latice de U (30) e de Z36 .

2.6 Exercícios 1. Encontre todos os geradores de Z6 , Z8 e Z20 . 2. Suponha que a, b e c são grupos cíclicos de ordens 6, 8 e 20, respetivamente. Encontre todos os geradores de a, b e c. 3. Liste os elementos de 20 e 10 em Z30 . Se a é um elemento de um grupo, tal que |a| = 30. Liste todos os elementos dos subgrupos a20  e a10 . 4. Liste os elementos de 3 e 15 em Z18 . Se a é um elemento de um grupo, tal que |a| = 18. Liste todos os elementos dos subgrupos a3  e a15 . 5. Liste os elementos dos subgrupos 3 e 7 em U (20). 6. O que os exercícios 3, 4 e 5 têm em comum? Tente fazer uma generalização que inclua esses três casos. 7. Encontre um exemplo de um grupo não cíclico tal que todos seus subgrupos próprios são cíclicos. 8. Seja a ∈ G, G um grupo. Se |a| = 15, então calcule a ordem de a3 , a6 , a9 , a10 , a20 , a2 e a8 . 9. Quantos subgrupos têm Z20 ? Liste um gerador para cada um desses subgrupos. 10. Em Z 24 , liste todos os geradores para o subgrupo de ordem 8. Sejam G = a e |a| = 24. Escreva todos os geradores para o subgrupo de ordem 8. 11. Sejam G um grupo e a ∈ G. Mostre que a−1  = a. 12. Em Z, encontre todos os geradores de 3. Se a têm ordem infinita, encontre todos os geradores de a3 . 13. Em Z24 , encontre um gerador para 21∩10. Suponha que |a| = 24. Encontre um gerador para a21 ∩a10 . Em geral, qual é um gerador para am ∩an ? 14. Complete a proposição: |a| = |a2 | se, e somente se, |a| . . . 15. Complete a proposição: |a2 | = |a12 | se, e somente se, |a2 | . . . 16. Suponha que um grupo cíclico G têm exatamente 3 subgrupos: O mesmo G, {e} e um subgrupo de ordem 7. Qual é |G| ? O que podemos dizer se 7 é substituído por p, onde p é Estruturas Algébricas e Aplicações


Capítulo 2. Grupos

32

um número primo? 17. Sejam G um grupo finito e p um número primo. Se x p = e para todo x ∈ G, então, mostre que existe k ∈ N tal que |G| = 1 + k ( p − 1). 18. Suponha que G é um grupo abeliano de ordem 35 e que todo elemento de G satisfaz a equação x35 = e. Mostre que G é cíclico. Seu argumento é válido se em vez de 35 fosse 33? 19. Sejam G um grupo e a ∈ G. (a) Se a12 = e, o que podemos dizer sobre a ordem de a? (b) Se am = e, o que podemos dizer sobre a ordem de a? (c) Suponha que |G| = 24 e que G é cíclico. Se a8  = e e a12  = e, então mostre que G = a.

20. Mostre que um grupo de ordem 3 deve ser cíclico. 21. Seja Z o grupo dos inteiros com a soma. Todo subgrupo de Z é cíclico? Por que? Descreva todos os subgrupos de Z. 22. Mostre que todo grupo de ordem 2 , 3 e 5 é cíclico. 23. Ache um grupo de ordem 4 cíclico e um não cíclico. 24. Mostre que todo grupo de ordem menor ou igual a 5 é abeliano. 25. Sejam G um grupo e a ∈ G. Mostre que a é um subgrupo de C (a) (o centralizador de a). 26. Se d é um inteiro positivo, tal que d  = 2 e d |n, mostre que o número de elementos de ordem d em Dn é φ (d ). Quantos elementos de ordem 2 têm Dn ? 27. Escreva todos os elementos de ordem 8 em Z8.000.000 . 28. Determine a ordem dos elementos de D 33 e quantos existem de cada ordem. 29. Determine o latice de subgrupos de Z12 . Generalize para Z p2 q , onde p e q são primos distintos. 30. Determine o latice de subgrupos para Z8 . Generalize para Z pn , onde p é um número primo e n é qualquer inteiro positivo. 31. Considere o conjunto {4, 8, 12, 16}. Mostre que este conjunto é um grupo com a multiplicação módulo 20, construindo a tabela de Cayley. É um grupo cíclico? Se for, encontre todos seus geradores. 32. Dê um exemplo de um grupo que têm exatamente 6 subgrupos, incluindo o trivial e ele mesmo. Generalize para exatamente n subgrupos para qualquer inteiro positivo n. 33. Sejam m e n elementos do grupo Z. Encontre um gerador para o grupo m∩n. 34. Sejam a , b ∈ G tais que a e b comutam. Se |a| é finita e |b| é infinita, mostre que |ab| é infinita. 35. Sejam G um grupo e a ∈ G tal que |a| = 100. encontre |a98 | e |a70 |. 36. Se F e F  são reflexões distintas em D 21 , quais são as possibilidades para |FF  |? 37. Seja H subgrupo de um grupo G tal que | H | = 10. Se a ∈ G e a6 ∈ H , quais são as possibilidades para |a|? 38. Qual dos seguintes números deve ser o número exato de elementos de ordem 21 em um grupo: 21600, 21602, 21604? 1 n 39. Mostre que H = : n ∈ Z é um subgrupo cíclico de GL (2, R). 0 1  {e}, então mostre que a6 = b11. 40. Sejam a, b ∈ G. Se |a| = 12, |b| = 22 e a∩b = 41. Mostre que um grupo finito é a união de dois subgrupos próprios se, e somente se, o grupo não é cíclico. 42. Suponha que G é um grupo finito com a propriedade que todo elemento diferente da identidade têm ordem prima (por exemplo, D 3 e D 5 ). Se Z (G) é não trivial, mostre que todo elemento diferente da identidade têm a mesma ordem. 43. Suponha que G é um grupo cíclico e que 6 divida |G|. Quantos elementos de ordem 6 o grupo G têm? Se 8 divide |G|. Quantos elementos de ordem 8 o grupo G têm? Se a ∈ G é um elemento de ordem 8, liste os outros elementos de ordem 8.









2.6 Exercícios

33

44. Liste todos os elementos de Z40 que têm ordem 10. Se x é um elemento tal que | x| = 40, liste todos os elementos de  x que têm ordem 10. 45. Para ver se 2 = U (25), explique por que é suficiente ver que 2 10  = 1 e 2 4  = 1? 46. Se G é um grupo abeliano que têm subgrupos de ordens 4 e 5, que outros tamanhos de subgrupos contém G ? Generalize. 47. Se G é um grupo abeliano que têm subgrupos de ordens 4 e 6, que outros tamanhos de subgrupos contém G ? Generalize. 48. Mostre que em um grupo não pode haver exatamente dois elementos de ordem 2. 49. Dado que U (49) é cíclico e que têm 42 elementos, determine o número de geradores que U (49) têm, sem encontrar nenhum dos geradores. 50. Sejam G um grupo e a, b ∈ G. Se |a| = 10 e |b| = 21, então mostre que a∩b = {e}. 51. Sejam G um grupo e a, b ∈ G. Se |a| e |b| são relativamente primos, então mostre que a∩b = {e}. 52. Sejam G um grupo e a, b ∈ G. Se |a| = 24 e |b| = 10, quais são as possibilidades para a∩b? 53. Mostre que U (2n ) não é cíclico para n ≥ 3. 54. Mostre que Zn têm um número par de geradores se n > 2. 55. Se |a5 | = 12, quais são as possibilidades para |a|? Se |a4 | = 12, quais são as possibilidades para |a|? 56. Suponha que | x| = n . Encontre uma condição necessária e suficiente sobre r e s tal que r

s

 x  ⊆  x . 57. Sejam G um grupo e a ∈ G tal que |a| = 48. Encontre um divisor k de 48, tal que (a) a21  = a ; (b) a14  = a ; (c) a18  = a . 58. Para todo inteiro n maior que 2, mostre que U (n2 − 1) não é cíclico. 59. Se x é um elemento de um grupo cíclico de ordem 15 e exatamente dois dos elementos x3 , x5 e x 9 são iguais, determine | x13 |. 60. Considere o conjunto F 4 das funções f : Z4 → Z4 tais que f ( x) = ax + b, com a , b ∈ Z4 e  0. a= (a) Mostre que F 4 é um grupo com a operação de composição de funções. (b) Encontre o número de elementos de F 4 . (c) Mostre que F 4 não é abeliano. (d) Encontre todos os subgrupos cíclicos de F 4 . Quantos subgrupos são? k k k

Deleita-te no Senhor, e Ele concederá os desejos do teu coração. Salmo 37:5



Capítulo 2. Grupos

34

2.7 Grupos de Permutações Nesta seção, nós estudaremos certos grupos de funções, chamados grupos de permutações, de um conjunto A nele mesmo. Até meados do século X IX , grupos de permutações foram os únicos grupos pesquisados pelos matemáticos. Definição 2.7.1 Uma permutação de um conjunto A é uma função bijetora de A em A . O conjunto de todas as permutações de A em A forma o grupo de permutações de A com a operação de composição de funções. Nós focaremos no caso em que A é um conjunto finito e tomaremos ele como sendo {1, 2, 3, . . . , n} para algum inteiro positivo n. Permutações de um grupo finito são dadas por uma lista explícita de cada elemento do domínio e seu respetivo valor. por exemplo, nós definimos α uma permutação do conjunto {1, 2, 3, 4} por especificar α (1) = 2, α (2) = 3, α (3) = 1, α (4) = 4 ,

ou de uma forma mais conveniente, como uma matriz da forma

1



2 3 4 2 3 1 4

,

onde α ( j) é colocado em baixo de cada j. Analogamente, a permutação β do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} dada por β (1) = 5, β (2) = 3, β (3) = 1, β (4) = 6, β (5) = 2, β (6) = 4 , é expressa na forma de matriz como

1



2 3 4 5 6 5 3 1 6 2 4

.

Composição de permutações também pode ser expressa na forma de matriz, da direita para a esquerda e de cima para baixo, e de novo de cima para baixo. Por exemplo, sejam σ =

1

2 3 4 5 2 4 3 5 1



e γ =

1

2 3 4 5 5 4 1 2 3



,

então, temos que γσ =

1

2 3 4 5 5 4 1 2 3

 1

2 3 4 5 2 4 3 5 1

 1 =

2 3 4 5 4 2 1 3 5



Observe que (γσ )(1) = γ (σ (1)) = γ (2) = 4; logo, na composta vemos que 1 vai para 4 e assim sucessivamente. A seguir, daremos alguns exemplos de grupos de permutações.

Exemplo 2.41 Seja S 3 o conjunto de todas as bijeções de {1, 2, 3} nele mesmo. Então, S 3 com a composição de funções é um grupo com 6 elementos. Os 6 elementos são: 

id =

1

2 3 1 2 3


 1 , α =

2 3 2 3 1



2

, α =

1

2 3 3 1 2



,


2.7 Grupos de Permutações

β =

Note que β α =

1 2 3  11 32 23 

35

1

2 3 2 1 3

, αβ =

3 2 1



2

e α β =

1

2 3 3 2 1



.

= α 2 β = α β , logo S 3 não é abeliano.



Exemplo 2.42 Seja A = {1, 2, . . . , n}. O conjunto de todas as permutações de A é chamado de grupo de simetrias de grau n e é denotado por S n . Os elementos de S n têm a forma 

α =



1 2 α (1) α (2)

··· ···

n α (n)



.

É fácil computar a ordem de S n . Existem n escolhas para α (1). Uma vez escolhido α (1), = α (2). Depois existem n − 1 possibilidades para α (2), pois α é injetora e devemos ter que α (1)  de escolher α (2), temos n − 3 possibilidades para α (3), e assim sucessivamente, temos que a ordem de S n é n!. Os grupos de simetrias possuem bastantes subgrupos. Por exemplo, o grupo S 4 tem 30 subgrupos e o grupo S 5 têm 100 subgrupos.

Exemplo 2.43 (Simetrias do Quadrado) Nós podemos associar cada elemento de D 4 com uma permutação. Para isto nós colocamos números a cada canto do quadrado. 

Por exemplo, R 90 , a rotação de 90 graus em sentido anti-horário, é representada por ρ =

1

2 3 4 2 3 4 1



,

e a reflexão com respeito ao eixo horizontal H é representada pela permutação φ =

1

2 3 4 2 1 4 3



.

Esses dois elementos geram o grupo D4 . Quando representamos D4 desta forma, vemos que D 4 é um subgrupo de S 4 .

Existe uma outra notação para especificar permutações. É chamada de notação cíclica e foi primeiramente introduzida pelo matemático francês Cauchy em 1815. Esta notação cíclica têm vantagens teóricas, em que certas propriedades das permutações podem ser determinadas quando a notação é cíclica. Para ilustrar esta notação, consideremos a seguinte permutação α =


1

2 3 4 5 6 2 1 4 6 5 3



,


Capítulo 2. Grupos

36

que na notação cíclica seria α = (1, 2)(3, 4, 6)(5) e quer dizer que α (1) = 2 e α (2) = 1, α (3) = 4, α (4) = 6 e α (6) = 3, α (5) = 5. Uma expressão da forma (a1 , a2 , . . . , am ) é chamado de um ciclo de comprimento m ou um m -ciclo. A multiplicação de ciclos pode ser introduzida vendo o ciclo como uma permutação onde fixa os símbolos que não aparecem no ciclo. Assim, o ciclo (4, 6) pode 1 2 3 4 5 6 ser visto como sendo a permutação . Considere o seguinte exemplo em 1 2 3 6 5 4 S 8 . Sejam α = (13)(27)(456)(8) e β = (1237)(648)(5) (quando tratamos somente com números inteiros é comum omitir as vírgulas). Bem, tendo em mente que a composição da função é feita da direita para a esquerda e que cada ciclo que não contém um símbolo fixa o símbolo, observamos que: (5) fixa 1; (648) fixa 1; (1237) envia 1 a 2; (8) fixa 2; (456) fixa 2; (27) envia 2 a 7; E (13) fixa 7. Assim, o efeito de α β é enviar 1 a 7. Assim, começamos α β = (17 ··· ). Agora, repetindo todo o processo começando com 7, temos, ciclo por ciclo, da direita para a esquerda,





7 → 7 → 7 → 1 → 1 → 1 → 1 → 3 , logo α β = (173 ··· ). Seguindo esse processo, no final, temos que α β = (1732)(48)(56).

1

2 3 4 5 Exercício 2.4 Dadas as permutações α = 2 1 3 5 4 escreva na notação cíclica e calcule o produto α β .



e β =

1

2 3 4 5 5 4 1 2 3



,

A seguir, daremos alguns resultados sobre permutações e ciclos.

Teorema 2.7.1 Toda permutação de um conjunto finito pode ser escrita como um ciclo ou um produto de ciclos disjuntos. Teorema 2.7.2 Se dois ciclos α = (a1 , a2 , . . . , am ) e β = ( b1 , b2 , . . . , bn ) não têm entradas em comum, então α β = β α . Demonstração. Sejam α = ( a1 , a2 , . . . , am ) e β = (b1 , b2 , . . . , bn ) permutações do conjunto S = a1 , a2 , . . . , am , b1 , b2 , . . . , bn , c1 , c2 , . . . , ck ,

{

}

onde os ci s são os elementos de S fixados por α e β . Para provar que α β = β α , devemos mostrar que α β ( x) = β α ( x) para todo x ∈ S . Suponhamos que x = ai , então temos que αβ (ai ) = α (β (ai )) = α (ai ) = ai+1 ,

pois β fixa os elementos de α . (nós interpretamos a i+1 = a1 se i = m). Da mesma forma, para todos os elementos de β . Para terminar, seja x = ci , e como os ci s são fixados por α e β temos que αβ (ci ) = α (β (ci )) = α (ci ) = ci ,

e β α (ci ) = β (α (ci )) = β (ci ) = ci ,

o que completa a prova.



Teorema 2.7.3 A ordem de uma permutação de um conjunto finito escrita na forma de ciclos disjuntos é o mínimo múltiplo comum das ordens dos ciclos. Exemplo 2.44 |(132)(45)| = 6, |(1432 )(56)| = 4, |(123)(456)(78)| = 6, |(123)(145)| = 3, |(14523)| = 5. 




37

Exemplo 2.45 Neste exemplo, determinamos todas as possíveis ordens dos 7! = 5040 elementos de S 7 . Nós precisamos unicamente considerar as possíveis estruturas de ciclos disjuntos dos elementos de S 7 . Para simplificar notação, denotamos um n −ciclo por (n). Logo, temos as seguintes possibilidades 

(7) (6)(1) (5)(2) (5)(1)(1) (4)(3) (4)(2)(1) (4)(1)(1)(1) (3)(3)(1) (3)(2)(2) (3)(2)(1)(1) (3)(1)(1)(1)(1) (2)(2)(2)(1) (2)(2)(1)(1)(1) (2)(1)(1)(1)(1)(1) (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)

Pelo Teorema 2.7.3, vemos que a ordem dos elementos de S 7 são 7, 6, 10, 5, 12, 4, 3, 2 e 1.

Exemplo 2.46 Vamos determinar os elementos de S 7 que têm ordem 12. Pelos Teoremas 2.7.1 e 2.7.3, temos que basta contar o número de permutações com ciclos disjuntos da forma (a1 a2 a3 a4 ) e (a5 a6 a7 ). Primeiro, considere o ciclo (a1 a2 a3 a4 ). Todas as possibilidades seriam 7 · 6 · 5 · 4, mas este produto contou o ciclo (a1 a2 a3 a4 ) quatro vezes. Por exemplo, o 4-ciclo (2741 ) é o mesmo que (7412), (4127) e (1274). De forma análoga, vemos que o 3-ciclo (a5 a6 a7 ) têm 3 · 2 · 1 expressões e, também temos ciclos que são contados 3 vezes. Logo, tirando as múltiplas contagens temos que em S 7 existem 7 · 6 · 5 · 2 = 420 elementos de ordem 12. Exemplo 2.47 Agora, nós determinamos os elementos de S 7 de ordem 3. Pelo Teorema 2.7.3, precisamos contar o número de permutações da forma (a1 a2 a3 ) e (a1 a2 a3 )(a4 a5 a6 ). Pelo exemplo anterior, existem 7 · 6 · 5/3 = 70 elementos da forma (a1 a2 a3 ). Analogamente, para os elementos da forma (a1 a2 a3 )(a4 a5 a6 ), teríamos 7 · 6 · 5/3 para o primeiro ciclo, e 4 · 3 · 2/3 para o segundo ciclo. Mas, observemos que ainda estamos contando duas vezes o ciclo ( a1 a2 a3 )(a4 a5 a6 ) que é igual a (a4 a5 a6 )(a1 a2 a3 ), o que implica que para os elementos da segunda forma temos (7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2)/(3 · 3 · 2) = 280. Portanto, em total temos 350 elementos em S 7 de ordem 3. É também muito prático, escrever as permutações como produto de ciclos de comprimento 2, = b. Este tipo de ciclos também é chamado de transposições . da forma (ab) com a  Exemplo 2.48 Observe que (12345) = (15)(14)(13)(12) e (1632 )(457) = (12)(13)(16)(47)(45). 





Teorema 2.7.4 Toda permutação em S n , com n > 1, é o produto de 2-ciclos. Demonstração. Primeiro note que a identidade pode ser

escrita como ( 12)(12). Pelo Teorema 2.7.1, sabemos que toda permutação pode ser escrita da forma (a1 a2

··· a )(b1b2 ··· b ) ··· (c1c2 ··· c ) . t

k

s

Uma computação direta mostra que esses ciclos podem ser escritos como (a1 ak )(a1 ak −1 )

··· (a1a2)(b1b )(b1b −1) ··· (b1b2) ··· (c1c )(c1c −1) ··· (c1c2) ,


t

t

s

s


Capítulo 2. Grupos

38

e isto completa a prova.



No exemplo a seguir, veremos que uma decomposição de uma permutação como 2-ciclos pode variar bastante.

Exemplo 2.49 Note que (12345) = (54)(53)(52)(51) ou (12345 ) = (54)(52)(21)(25)(23)(13). Lema 2.7.5 Se e = β 1 β 2 ··· β r , onde os β i s são 2-ciclos, então r é par. 

Demonstração. Claramente r = 1, pois um 2-ciclo não é a identidade. Se r = 2, não temos nada a mostrar. Assim, suponhamos que r > 2, e vamos mostrar usando indução. Suponha que o 2-ciclo que está mais à direita seja (ab). Como (i j) = ( ji), o produto β r −1 β r é uma das seguintes formas



mostradas do lado direito,

= (ab)(bc) = (ac)(cb) = (ab)(cd ) = e

(ab)(ab) (ac)(ab) (bc)(ab) (cd )(ab)

Se o primeiro caso acontece, nós podemos apagar o produto β r −1 β r do produto original e obter e = ( β 1 β 2 ··· β r −2 ) e, pelo segundo princípio de indução matemática, segue que r − 2 é par. Nos outros 3 casos, nós substituímos o lado direito pelo seu correspondente no lado esquerdo para obter um novo produto de r 2-ciclos, onde o inteiro a agora aparece é no segundo 2-ciclo, contado de direita para esquerda. Nós repetimos o processo já descrito com β r −2 β r −1 e, como antes, obtemos um produto de (r − 2) 2-ciclos igual a identidade ou um novo produto de r 2-ciclos onde o inteiro a aparece no terceiro 2-ciclo de direita para a esquerda. Continuando com este processo, nós devemos obter um produto de ( r − 2) 2-ciclos que seja idêntico a e , pois, do contrário, nós teríamos um produto igual onde o inteiro a somente aparece no 2-ciclo que está mais a esquerda, e este produto não fixa a, enquanto a identidade fixa. Daí, pelo segundo princípio de indução, temos que (r − 2) é par e, portanto, r é par. 

Teorema 2.7.6 Se uma permutação α pode ser escrita como um número par(ímpar) de produtos de 2-ciclos, então toda decomposição de α em um produto de 2-ciclos deve ter um número par(ímpar) de 2-ciclos. Em símbolos, se α = β 1 β 2

··· β

r

e

α = γ 1 γ 2

··· γ , s

onde os β i s e os γ j s são 2-ciclos, então r e s são ambos pares ou ambos ímpares. Demonstração. Observe

que

e = α α −1 = β 1 β 2

·

··· β γ −1 ··· γ 2−1γ 1−1 = β 1β 2 ··· β γ ··· γ 2γ 1 , r s

r s

pois um 2-ciclo é seu próprio inverso. O Lema 2.7.5 garante que s + r é par, e daí segue que s e r têm a mesma paridade. 

Definição 2.7.2 Uma permutação que pode ser escrita como um produto de um número par de 2-ciclos é chamada de permutação par. Uma permutação que pode ser escrita como um produto de um número ímpar de 2-ciclos é chamada de permutação ímpar. Teorema 2.7.7 O conjunto de permutações pares de S n forma um subgrupo de S n . Demonstração. Exercício.






39

Definição 2.7.3 O grupo de permutações pares de n símbolos é denotado por An e é chamado o Grupo Alternado de grau n. O próximo resultado mostra que a metade dos elementos de S n são permutações pares.

Teorema 2.7.8 Para n > 1, An têm ordem n!/2. Demonstração. Para cada permutação α ímpar, temos que ( 12)α é

par, e pela propriedade cance (12)β quando α = β . Assim, existem tantas permutações pares quanto lativa em grupos, (12)α = ímpares. Analogamente, se α é par, temos que (12)α é ímpar e, pela propriedade cancelativa em  (12)β quando α = β . Logo, também existem tantas permutações ímpares quanto grupos, (12)α = pares e, portanto, em S n temos o mesmo número de permutações pares e ímpares. Como |S n | = n!, segue que | An | = n!/2. 

Os nomes para o grupo simétrico e grupo alternado de grau n vem do estudo de polinômios de n variáveis. Um polinômio simétrico em n variáveis x1 , x2 , . . . , xn é um polinômio que não muda pela transposição de quaisquer duas variáveis . Um polinômio alternado é um polinômio que muda de sinal pela transposição de quaisquer duas variáveis. Por exemplo, o polinômio p = x1 x2 x3 não muda quando duas das três variáveis são transpostas. Já o polinômio q = ( x1 − x2 )( x1 − x3 )( x2 − x3 ) muda de sinal quando quaisquer duas variáveis são transpostas. Como todo elemento do grupo simétrico é o produto de transposições, então os polinômios simétricos não mudam pelos elementos do grupo simétrico. Da mesma forma, como qualquer membro do grupo alternado é o produto de um número par de transposições, os polinômios alternados são aqueles que são invariantes por membros do grupo alternado. Os grupos alternados estão entre os exemplos mais importantes de grupos.

Exemplo 2.50 (Rotações do Tetraedro) As 12 rotações de um tetraedro podem ser descritas com elementos de A4 . As primeiras linhas da tabela de Cayley de A 4 representam a identidade e 3 rotações de 180◦ da aresta sobre o eixo que passa pelo ponto médio de dois lados. A segunda parte consiste de rotações de 120◦ das faces sobre o eixo que passa por um vértice e pelo centro da face oposta. A terceira parte está formada por rotações de 240◦ das faces. Observe que as 4 rotações da segunda linha podem ser obtidas das da primeira linha por multiplicar à esquerda pela rotação (123), e as rotações da terceira linha podem ser obtidas da primeira multiplicando à esquerda pela rotação (132). 

◦

α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 α 6 α 7 α 8 α 9 α 10 α 11 α 12

(1) = α 1 1 2 3 4 (12)(34) = α 2 2 1 4 3 (13)(24) = α 3 3 4 1 2 (14)(23) = α 4 4 3 2 1 (123) = α 5 5 8 6 7 (243) = α 6 6 7 5 8 (142) = α 7 7 6 8 5 (134) = α 8 8 5 7 6 (132) = α 9 9 11 12 10 (143) = α 10 10 12 11 9 (234) = α 11 11 9 10 12 (124) = α 12 12 10 9 11


5 6 7 8 9 6 5 8 7 10 7 8 5 6 11 8 7 6 5 12 9 12 10 11 1 10 11 9 12 2 11 10 12 9 3 12 9 11 10 4 1 3 4 2 5 2 4 3 1 6 3 1 2 4 7 4 2 1 3 8

10 9 12 11 4 3 2 1 7 8 5 6

11 12 9 10 2 1 4 3 8 7 6 5

12 11 10 9 3 4 1 2 6 5 8 7


Capítulo 2. Grupos

40

2.8 Exercícios 1. Sejam α = (a) α −1 (b) β α (c) αβ

1

2 3 4 5 6 2 1 3 5 4 6

1



e β =



1

2 3 4 5 6 6 1 2 4 3 5





. Calcule

2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 2. Sejam α = e β = 2 3 4 5 1 7 8 6 1 3 8 7 6 5 2 4 α , β e α β como (a) Produto de ciclos disjuntos (b) Produtos de 2-ciclos 3. Escreva cada uma das seguintes permutações como produto de ciclos disjuntos. (a) (1235 )(413) (b) (13256)(23)(46512) Estruturas Algébricas e Aplicações



. Escreva


2.8 Exercícios

41

(c) (12)(13)(23)(142) 4. Encontre a ordem de cada uma das seguintes permutações. (a) (14) (b) (147) (c) (14762) (d) (124)(357) (e) (124)(3567 ) (f) (124)(35) (g) (124)(357869 ) (h) (1235 )(24567) (i) (345)(245) 5. Qual é a ordem de cada uma das seguintes permutações? 1 2 3 4 5 6 (a) 2 1 5 4 6 3 1 2 3 4 5 6 7 (b) 7 6 1 2 3 4 5 6. Qual é a ordem de um par de ciclos disjuntos de comprimento 4 e 6? 7. Determine se as seguintes permutações são pares ou ímpares. (a) (135) (b) (1356 ) (c) (13567) (d) (12)(134)(152) (e) (1243 )(3521) 8. Mostre que A 8 contém um elemento de ordem 15. 9. Encontre um elemento em A 12 de ordem 30. 10. Suponha que α é um 6-ciclo e β é um 5-ciclo. Determine se α 5 β 4 α −1 β −3 α 5 é par ou ímpar. Mostre seu raciocínio. 11. Se α é uma permutação par, mostre que α −1 também é par. Se α é uma permutação ímpar, mostre que α −1 também é ímpar. 12. Dê duas justificativas de por que o conjunto das permutações ímpares não forma um subgrupo de S n . 13. Sejam α , β ∈ S n . Mostre que α −1 β −1 αβ é uma permutação par. 14. Quantos elementos de ordem 2 existem em A8 que têm ciclos disjuntos da forma (a1 a2 )(a3 a4 )(a5 a6 )(a7 a8 )? 15. Quantos elementos de ordem 5 há em S 7 ? 16. Quantos elementos de ordem 2 e 4 há em S 6 ? 17. Mostre que (1234 ) não é produto de 3-ciclos. Generalize. 18. Sejam (a1 a2 a3 a4 ) e (a5 a6 ) elementos de S 10 . Mostre que não existe um elemento x em S 10 tal que x 2 = (a1 a2 a3 a4 )(a5 a6 ). 19. Seja G o grupo de permutações sobre um conjunto X . Seja a ∈ X e defina E st G (a) = {α ∈ G : α (a) = a }. Este conjunto é chamado o estabilizador de a em G . Mostre que E st (a) é um subgrupo de G (este subgrupo foi introduzido por Galois em 1832). 20. Seja β = (1, 3, 5, 7, 9, 8, 6)(2, 4, 10). Qual é o menor inteiro positivo n tal que β n = β −5 ? 21. Seja α = ( 1, 3, 5, 7, 9)(2, 4, 6)(8, 10). Se α m é um 5-ciclo, o que podemos dizer sobre m? 22. Seja H = {β ∈ S 5 : β (1) = 1 e β (3) = 3}. Mostre que H é um subgrupo de S 5 . Quantos elementos têm H ? Seu argumento é válido quando S 5 é substituído por S n para n ≥ 3? Quantos elementos têm H quando S 5 é substituído por An para n ≥ 4? 23. Em S 4 , encontre um subgrupo cíclico de ordem 4 e um subgrupo que não é cíclico de ordem 4 também. 24. Em S 3 , encontre elementos α e β tais que |α | = |β | = 2 e |αβ | = 3.

 







Capítulo 2. Grupos

42

25. Em S 5 , encontre elementos α e β tais que |α | = |β | = 3 e |αβ | = 5. 26. Mostre que em S 7 , a equação x2 = (1234 ) não têm solução, mas a equação x 3 = (1234 ) têm no mínimo duas. 27. Mostre que A 5 têm 24 elementos de ordem 5, 20 elementos de ordem 3 e 15 elementos de ordem 2. 28. Encontre um subgrupo cíclico de A8 que têm ordem 4. Encontre um subgrupo não cíclico de A8 que têm ordem 4. 29. Mostre, para n ≥ 3, que Z (S n ) = {e}. Alegrem-se na esperança, sejam pacientes na tribulação, perseverem na oração. Romanos 12:12



2.9 Classes Laterais e o Teorema de Lagrange

43

2.9 Classes Laterais e o Teorema de Lagrange Nesta seção, demonstraremos um importante teorema em teoria de grupos finitos que é o Teorema de Lagrange. Para isto, introduziremos a ideia de classes laterais que foi inventada por Galois em 1830. Definição 2.9.1 Sejam G um grupo e H um subconjunto não vazio de G. Dado a ∈ G, o conjunto {ah : h ∈ H } é denotado por aH . Analogamente, Ha = {ha : h ∈ H } e aHa−1 = {aha−1 : h ∈ H }. Quando H é subgrupo de G , o conjunto aH é chamado de Classe lateral à esquerda de H em G contendo o elemento a , e H a de Classe lateral à direita de H em G contendo o elemento a.

Exemplo 2.51 Seja G = S 3 e H = {(1), (13)}. Então, as classes laterais à esquerda de H em G são: (1) H = H , (12) H = {(12), (12)(13)} = {(12), (132)} = (132) H , (13) H = {(13), (1)} = H , (23) H = {(23), (23)(13)} = {(23), (123)} = (123) H . Exemplo 2.52 Seja H = {0, 3, 6} em Z9 com a soma módulo 9. No caso em que a operação é soma, nós usamos a notação a + H em vez de aH . Então as classes laterais de H em G são: 



0 + H = {0, 3, 6} = 3 + H = 6 + H 1 + H = {1, 4, 7} = 4 + H = 7 + H , 2 + H = {2, 5, 8} = 5 + H = 8 + H .

Exemplo 2.53

K = R0 , R180 R0 K = K = R180 K , R90 K = R90 , R270 = R270 K V K = V , H = HK D1 K = D1 , D2 = D2 K . 

{

} subgrupo de D4. Então,

{ } { } { }

Observe que classes laterais não são necessariamente subgrupos, e que nem sempre aH = Ha, pois, no Exemplo 2.51, vemos que (12) H = {(12), (132)} é diferente de H (12) = {(12), (123)}. A seguir, apresentaremos algumas propriedades das classes laterais (propriedades análogas são válidas para classes laterais à direita).

Lema 2.9.1 Sejam H um subgrupo de G e a , b ∈ G. Então, 1. a ∈ aH . 2. aH = H se, e somente se, a ∈ H . 3. (ab) H = a(bH ) e H (ab) = ( Ha)b. 4. aH = bH se, e somente se, a ∈ bH . 5. aH = bH ou aH ∩ bH = / 0. 6. aH = bH se, e somente se, a−1 b ∈ H . 7. |aH | = |bH |. 8. aH = Ha se, e somente se, H = aH a−1 . 9. aH é um subgrupo de G se, e somente se, a ∈ H . 1. a = ae ∈ aH 2. Primeiro, suponhamos que aH = H . Então a = ae ∈ aH = H . Agora, mostremos que aH ⊆ H . Pelo fecho de H e como a ∈ H , então aH ⊆ H . Para a outra inclusão, seja h ∈ H . Então, como a ∈ H segue que a−1 h ∈ H . Assim, h = eh = (aa−1 )h = a(a−1 h) ∈ aH . 3. Segue diretamente da propriedade associativa de grupo, pois (ab)h = a(bh) e h(ab) = (ha)b.

Demonstração.



Capítulo 2. Grupos

44

4. Se aH = bH , então a = ae ∈ aH = bH . Agora, se a ∈ bH , temos que a = bh com h ∈ H e, portanto, aH = ( bh) H = b(hH ) = bH . 5. Esta propriedade segue diretamente da 4, pois se c ∈ aH ∩ bH então cH = aH e cH = bH . 6. Segue da propriedade 2. 7. Para mostrar que |aH | = |bH |, mostremos que existe uma bijeção entre aH e bH . A aplicação que leva ah → bh é sobrejetora e, pela propriedade cancelativa, segue que também é injetora. 8. Note que aH = Ha ⇔ (aH )a−1 = ( Ha )a−1 = H (aa−1 ) = H , logo aH a−1 = H .  / 0 e, pela propriedade 5, segue 9. Se aH é subgrupo, então e ∈ aH e daí que aH ∩ eH = H = que aH = eH = H . Assim, da propriedade 2, segue que a ∈ H e, de novo pela propriedade 2, temos que aH = H . 

Note que as propriedades 1, 5 e 7 do Lema 2.9.1 garantem que as classes laterais de um subgrupo H em G particionam G em blocos de igual tamanho. No entanto, podemos ver uma partição como uma classe de equivalência definida da seguinte forma a ∼ b se, e somente se, aH = bH . Por exemplo, se G = R3 e H é um plano que passa pela origem, então a classe (a, b, c) + H é o plano que passa pelo ponto ( a, b, c) e que é paralelo ao plano H . Assim, as classes laterais de H , particionam R3 em planos paralelos ao plano H . Se G = GL(2, R) e H = SL (2, R), então para qualquer matriz A ∈ G, a classe lateral AH é o conjunto de todas as matrizes 2 × 2 com o mesmo determinante que A. Assim,

2 0

H , é o conjunto de todas as matrizes 2

0 1

× 2 tais que o determinante é 2 ,

e

1 3 3 1

H , é o conjunto de todas as matrizes 2

× 2 tais que o determinante é − 8 .

A propriedade 5 do Lema 2.9.1 é útil para encontrar as distintas classes de um subgrupo.

Exemplo 2.54 Para encontrar as classes de H = {1, 15} em



U (32) =

{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31} , nós começamos com H = {1, 15}. Para a segunda classe lateral, escolhemos um elemento que não está em H , por exemplo, escolhemos 3 como o representante da classe, e encontramos 3 H = {3, 13}. Para encontrar outra classe, escolhemos outro representante que não esteja em nenhuma das classes anteriores, por exemplo 5 e, encontramos 5 H = {5, 11} e continuamos da mesma forma até obtermos todos os elementos de U (32) em alguma classe.

Agora estamos prontos para provar um teorema que existe há mais de 200 anos, mais do que a própria Teoria de Grupos.

Teorema 2.9.2 (Teorema de Lagrange) Se G é um grupo finito e H é um subgrupo de G, então | H | divide |G|. Além disso, o número de classes laterais à esquerda (direita) distintas de H em G, é |G|/| H |. Demonstração. Sejam a1 H , a2 H , . . . , ar H as distintas classes laterais à esquerda de H em G. Então, para cada a G, temos que aH = ai H para algum i . Também, pela propriedade 1 do Lema 2.9.1, segue que a aH , assim, cada elemento de G pertence a uma classe lateral, isto é,

∈ ∈

G = a1 H a2 H

∪


∪···∪ a H . r


2.9 Classes Laterais e o Teorema de Lagrange

45

Pela propriedade 5 do Lema 2.9.1, segue que a união é disjunta, logo

|G| = |a1 H | + |a2 H | + ··· + |a H | , e como |a H | = | H | para cada i, temos que |G| = r | H |. r



i

Observe que o Teorema de Lagrange nos dá uma lista da ordem de possíveis subgrupos de um grupo. Por exemplo, se a ordem de um grupo é 12, então a ordem dos possíveis subgrupos seriam 12, 6, 4, 3, 2, 1 e nenhum outro. Mas, cuidado !!! Não é verdade que o grupo necessariamente vai ter subgrupos com essas ordens, pode acontecer que o grupo de ordem 12 não tenha subgrupo de ordem 6. Definição 2.9.2 O índice de um subgrupo H em G é o número de classes laterais à esquerda distintas de H em G, e é denotado por |G : H |.

Corolário 2.9.3 Se G é um grupo finito, e H é um subgrupo de G , então |G : H | = |G|/| H |. Corolário 2.9.4 Em um grupo finito, a ordem de cada elemento divide a ordem do grupo. Corolário 2.9.5 Um grupo de ordem prima é cíclico. Corolário 2.9.6 Sejam G um grupo finito e a ∈ G. Então, a |G| = e. Corolário 2.9.7 (Pequeno Teorema de Fermat) Para todo inteiro a e todo número primo p, temos que a p ≡ a (mod p) . Demonstração. Pelo Algoritmo da divisão, temos que existem m, r Z tais que a = pm + r onde 0 r < p . Assim, a r (mod p), logo é suficiente mostrar que r p r (mod p) para 0 r < p. Se r = 0, o resultado é trivial. Tomemos r U ( p) = 1, 2, 3, . . . , p 1 com a multiplicação módulo p . Então, pelo corolário anterior temos que r p−1 (mod p) 1 e daí segue que r p r (mod p). 

≤

≡

∈

{

≡

≡ −}

∈

≤

≡

O pequeno teorema de Fermat têm sido usado em conjunto com computadores em testes de primalidade de certos números “grandes”. Por exemplo, ver se o número n = 2 257 − 1 é primo ou não. Se ele for primo, pelo Pequeno Teorema de Fermat deveríamos ter que 10n ≡ 10 (mod n), e portanto 10n+1 ≡ 100 (mod n). Usando um simples loop, um computador pode calcular 257 10n+1 ≡ 102 (mod n) em poucos segundos. Como o resultado não é 100, então concluímos que n não é primo.

Teorema 2.9.8 Sejam H e K subgrupos finitos de um grupo G. Então,

| HK | = | H ||K |/| H ∩ K | . Demonstração. Sabemos que HK têm | H ||K | produtos, mas não necessariamente todos esses  h e k = k . Para determinar | HK |, produtos são distintos. Isto é, podemos ter hk = h k  com h = devemos descobrir até que ponto isso acontece. Para todo t ∈ H ∩ K , o produto hk = ( ht )(t −1 k ) ∈ HK e, assim, o mesmo elemento de H K é representado pelo menos por | H ∩ K | produtos distintos em H K . Mas hk = h k  implica que t = h−1 h = kk −1 ∈ H ∩ K , assim h  = ht e k  = t −1 k . Logo, cada elemento de H K é representado por exatamente | H ∩ K | produtos distintos. Portanto, | HK | = | H ||K |/| H ∩ K |.  Estruturas Algébricas e Aplicações


Capítulo 2. Grupos

46

Exemplo 2.55 Um grupo de ordem 75 pode ter no máximo 1 subgrupo de ordem 25. De fato, suponhamos que H e K sejam subgrupos de ordem 25 de um grupo G. Como | H ∩ K | divide | H |, segue que | H ∩ K | = 1 ou 5 ou 25 . Se | H ∩ K | = 1 então | HK | = | H ||K | = 625, e se | H ∩ K | = 5 então | HK | = 625/5 = 125, o que implica que | H ∩ K | deve ser 25, e daí que H = K . 

Definição 2.9.3 Seja G o grupo de permutações de um conjunto S . Para cada i ∈ S , definimos o estabilizador de i em G como E st G (i) = {φ ∈ G : φ (i) = i}. Mostre que E st G (i) é subgrupo de G. Definição 2.9.4 Seja G o grupo de permutações de um conjunto S . Para cada i ∈ S , definimos a órbita de i por G como orb G (i) = {φ (i) : φ ∈ G} ⊆ S . Exemplo 2.56 Seja G o subgrupo de S 8 dado por



G = (1), (132)(465)(78), (132)(465), (123)(456), (123)(456)(78), (78) .

{

Então,

orbG (1) = orbG (2) = orbG (4) = orbG (7) =

}

{1, 3, 2}, {2, 1, 3}, {4, 6, 5}, {7, 8},

Est G (1) = Est G (2) = Est G (4) = Est G (7) =

{(1), (78)} {(1), (78)} {(1), (78)} {(1), (132)(465), (123)(456)} .

Exemplo 2.57 Nós podemos ver D 4 como um subgrupo de S 4 . Na figura abaixo, vemos a orbita de um ponto p e q por D 4 . Observe que E st D4 ( p) = { R0 , D1 } e E st D4 (q) = { R0 }. 

Os dois exemplos anteriores ilustram o teorema a seguir.

Teorema 2.9.9 Seja G um grupo finito de permutações de um conjunto S . Então, para todo i ∈ S , temos que |G| = |orbG (i)|| Est G (i)|. Demonstração. Pelo Teorema de Lagrange, temos que G / Est G (i) é o número de classes distintas à esquerda de E st G (i) em G. Assim, é suficiente estabelecer uma bijeção entre as classes de E st G (i) e a órbita de i em G . Para isso, definimos a aplicação T (φ Est G (i)) = φ (i). Primeiro, mostremos que está bem definida. Suponhamos que α Est G (i) = β Est G (i), isto implica que α −1 β Est G (i) e daí que α −1 β (i) = i , logo α (i) = β (i). Em sentido contrário, o último passo mostra que T é injetora também. Agora, mostremos que T também é sobrejetora. Seja j orbG (i), então existe γ G tal que γ (i) = j. Assim, tomando a classe lateral à esquerda γ Est G (i), temos que T (γ Est G (i)) = γ (i) = j, portanto T é sobrejetora. 

| ||

|

∈

∈

∈

2.10 Exercícios 1. Seja H = {0, ±3, ±6, ±9, . . .}. Encontre todas as classes a esquerda de H em Z. 2. Encontre todas as classes a esquerda de {1, 11} em U (30). Estruturas Algébricas e Aplicações


2.10 Exercícios

47

3. Suponha que a têm ordem 15. Encontre todas as classes a esquerda de a5  em a. 4. Seja |a| = 30. Quantas classes laterais a esquerda existem de a4  em a. Liste todas elas. 5. Dê um exemplo de um grupo G e de subgrupos H e K de G, tal que H K não é subgrupo de G.

= q primos, então 6. Sejam H e K subgrupos de um grupo finito G . Se | H | = p e |K | = q, p  mostre que H ∩ K = {0}. ∈ H , R4 ∈ H e F R2 ∈ H . Mostre que o subconjunto H 7. Achar o subgrupo H de D 12 tal que R  achado é realmente um subgrupo de D 12 . Achar também as classes laterais de H em G , a direita e a esquerda. 8. Considerando Z como subgrupo aditivo do grupo aditivo Q, descrever as classes (−1) + Z e 1/2 + Z. 9. Seja H = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}. Encontre as classes a esquerda de H em A4 . Quantas classes laterais à esquerda de H existem em S 4 ? 10. Sejam a, b ∈ G um grupo e H , K subgrupos de G. Se aH = bK , mostre que H = K . 11. Sejam H , K subgrupos de G um grupo, e g ∈ G. Mostre que g( H ∩ K ) = gH ∩ gK . 12. É finito ou infinito o número de classes de Z × 2Z em Z × Z? Porque? 13. Dado o grupo Z × Z2 , ache todas as classes laterais a esquerda do subgrupo H = {0}× Z2 . 14. Sejam a, b ∈ G um grupo, diferentes da identidade e com ordem diferentes, e |G| = 155. Mostre que o único subgrupo de G, que contém a e b é o próprio G . 15. Seja G um grupo de ordem 60. Quais são os possíveis ordens para os subgrupos de G ? 16. Suponha que K é um subgrupo próprio de H , e H é um subgrupo próprio de G. Se |K | = 42 e |G| = 420, quais são as possíveis ordens de H ? 17. Se G é um grupo com |G| = pq, onde p e q são primos. Mostre que todo subgrupo próprio de G é cíclico. 18. Mostre que a ordem de U (n) é par, quando n > 2. 19. Suponha que H e K são subgrupos de um grupo G. Se |K | = 35 e | H | = 12, encontre | H ∩ K |. Generalize. 20. Seja p um primo e k um inteiro positivo tal que ak ≡ a (mod p) para todo inteiro a. Mostre que p − 1 divide k − 1. 21. Seja |G| = 15. Se G têm unicamente um subgrupo de ordem 3 e unicamente um subgrupo de ordem 5, mostre que G é cíclico. Generalize para |G| = pq , onde p e q são primos. 22. Seja G um grupo de ordem 25. Mostre que G é cíclico ou g5 = e para todo g ∈ G. Generalize para qualquer grupo de ordem p2 , onde p é um número primo. 23. Seja |G| = 33. Quais são as possíveis ordens dos elementos de G? Mostre que G deve ter um elemento de ordem 3. 24. Seja |G| = 8. Mostre que G deve ter um elemento de ordem 2. 25. Pode um grupo de ordem 55 ter 20 elementos de ordem 11? explique sua resposta. 26. Suponha que um grupo contem elementos de ordem 1 até 10. Qual é a menor ordem possível para o grupo G? 27. Seja G um grupo, tal que |G| = 21. Se g ∈ G é tal que g14 = e, então quais são as possibilidades para |g|? 28. Suponha que um grupo abeliano finito têm pelo menos 3 elementos de ordem 3. Mostre que 9 divide |G|. 29. Mostre que se G é um grupo finito, então o índice do Z (G) não pode ser primo. 30. Suponha que H e K são subgrupos de um grupo, com | H | = 24 e |K | = 20. Mostre que H ∩ K é abeliano. 31. Seja G um grupo de ordem 100 que têm um subgrupo H de ordem 25. Mostre que todo elemento de G de ordem 5 deve pertencer a H . 32. Mostre que todo subgrupo de Dn de ordem ímpar é cíclico.



Capítulo 2. Grupos

48

33. Seja G = {(1), (12)(34), (1234)(56), (13)(24), (1432)(56), (56)(13), (14)(23), (24)(56)}. (a) Encontre o estabilizador e a órbita de 1. (b) Encontre o estabilizador e a órbita de 3. (c) Encontre o estabilizador e a órbita de 5. 34. Mostre que em um grupo G de ordem ímpar, a equação x 2 = a têm solução única para todo a

∈ G.

35. Mostre que A 5 deve ter um subgrupo de ordem 12. 36. Mostre que A 5 não têm subgrupo de ordem 30. 37. Mostre que A 5 não têm subgrupos de ordem entre 15 e 20. 38. Por que o fato de A4 não ter subgrupos de ordem 6 implica que | Z ( A4 )| = 1? 39. Seja G = GL (2, R) e H = SL (2, R). Seja A ∈ G e suponha que det ( A) = 2. Mostre que a classe lateral AH é o conjunto de todas as matrizes de G de tamanho 2 × 2 que têm determinante 2. 40. Em D 4 , encontre a órbita e o estabilizador de cada ponto nos quadrados a seguir:

O Deus de toda a graça, que os chamou para a sua glória eterna em Cristo Jesus, depois de terem sofrido durante pouco de tempo, os restaurará, os confirmará, lhes dará forças e os porá sobre firmes alicerces. 1 Pedro 5:10



2.11 Subgrupos Normais e Grupos Quocientes

49

2.11 Subgrupos Normais e Grupos Quocientes Definição 2.11.1 Um subgrupo H de um grupo G é chamado de subgrupo normal de G se aH = Ha para todo a ∈ G. Nós denotamos este por H  G. Teorema 2.11.1 Um subgrupo H de G é normal em G se, e somente se, xH x−1 ⊆ H para todo x ∈ G. Demonstração. Seja H subgrupo normal de G , então para cada x G e h H existe h  H tal que xh = h x. Assim, xhx −1 = h H , logo xH x−1 H . Agora, se xH x−1 H , então para x = a temos que aH a−1 H ou aH Ha. Por outra parte, tomando x = a−1 , segue que a−1 Ha H ou  Ha aH .

⊆

⊆

⊆

∈

⊆

∈

∈ ⊆

∈ ⊆

Exemplo 2.58 Todo subgrupo de um grupo abeliano é normal. Exemplo 2.59 O centro Z (G) de um grupo é sempre normal. Exemplo 2.60 Todo subgrupo de Dn formado somente por rotações é normal em Dn . Isso porque, para toda rotação R e toda reflexão F , temos que F RF = R−1 , e qualquer duas rotações comutam. Exemplo 2.61 Seja H um subgrupo normal de G e K um subgrupo de G. Então H K = {hk : h ∈ H , k ∈ K } é um subgrupo de G. Combinando os Exemplos 2.60 e 2.61, formamos um subgrupo não abeliano de D 8 de ordem 8. Exemplo 2.62 Em D 8 , Sejam H = { R0 , R90 , R180 , R270 } e K = { R0 , F } onde F é um reflexão. Então H K = { R0 , R90 , R180 , R270 , F , FR90 , FR180 , FR270 } é um subgrupo de D8 . Exemplo 2.63 Se um grupo G têm um único subgrupo H , não trivial, de alguma ordem finita, então H é normal em G. Para ver isto, observe que gH g−1 é subgrupo de G e |gHg−1 | = | H |. Exemplo 2.64 O subgrupo H = SL(2, R) de G = GL(2, R) é normal em G . De fato, seja x ∈ G e h ∈ H , então det ( xhx−1 ) = det ( x)det (h)det ( x−1 ) = det (h) = 1, assim xH x−1 ⊆ H . 













Grupo Quociente

Quando um subgrupo H de um grupo G é normal, então o conjunto de classes laterais à esquerda (ou direita) formam um grupo, chamado de grupo quociente de G por H . Nós podemos obter informação do grupo estudando um dos seus grupos quocientes.

Teorema 2.11.2 Seja G um grupo e H um subgrupo normal de G . O conjunto G / H = {aH : a ∈ G} forma um grupo com a operação (aH )(bH ) = abH . Demonstração. Primeiro, mostremos que a operação está bem definida. Devemos mostrar que para a, a , b, b G com aH = a H e bH = b H devemos ter que abH = a b H (isso mostra que a operação depende apenas da classe e não do representante da classe). Como aH = a H e bH = b H , nós temos que a  = ah1 e b  = bh2 para h 1 , h2 H . Assim, a  b H = ah1 bh2 H = ah1 bH = ah1 Hb = aH b = abH , aqui usamos várias vezes a propriedade associativa e o fato de H  G. A identidade é eH = H , o inverso de aH é a−1 H , e (aHbH )cH = (ab) HcH = (ab)cH = a(bc) H = aH (bc) H = aH (bHcH ), isto mostra que G/ H é um grupo. 

∈

∈

Exemplo 2.65 Seja 4Z = {0, ±4, ±8, ±12, . . .}. Para construir Z/4Z, primeiro determinamos as classes laterais à esquerda de 4Z em Z. Nós temos somente 4 classes 0 + 4Z, 1 + 4Z, 2 + 4Z e 3 + 4Z; se calcularmos a tabela de Cayley, teremos que Z/4Z = Z4 . Mais geralmente, para n > 0, temos que Z/nZ = Zn . Exemplo 2.66 Seja G = Z18 e seja H = 6 = {0, 6, 12}. Então, G/ H = {0 + H , 1 + H , 2 + H , 3 + H , 4 + H , 5 + H }. 





Capítulo 2. Grupos

50

Exemplo 2.67 Seja K = { R0 , R180 } = Z ( D4 ) subgrupo normal em D4 . Então, o grupo quociente é D 4 /K = {K , R90 K , HK , D1 K } Exemplo 2.68 Sejam G = U (32) = {1, 3, 5, 7, 9, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31} e H = U 16 (32) = {1, 17}. Então G/ H é um grupo abeliano de ordem 16/2 = 8. Quais são as classes desse grupo quociente? 



Teorema 2.11.3 Seja G um grupo e seja Z (G) o centro de G . Se G/ Z (G) é cíclico, então G é abeliano. Demonstração. Para G ser abeliano, devemos ter que Z (G) = G , logo devemos mostrar que a única classe lateral é a classe identidade Z (G). Seja a G um elemento arbitrário. Suponhamos G/ Z (G) = gZ (G) . Então existe um inteiro i tal que aZ (G) = (gZ (G))i = gi Z (G). Assim, a = gi z para algum z Z (G). Dado que g i e z pertencem ao centralizador de g , então a C (g). Como a era um elemento arbitrário de G , então temos que todo elemento de G comuta com g e, portanto, g Z (G). Logo, gZ (G) = Z (G) é o único elemento de G/ Z (G). 



∈

∈



∈

∈

Exemplo 2.69 Seja H um subgrupo normal de um grupo G , e seja K um subgrupo do grupo quociente G/ H . Então o conjunto K , a união de todos os elementos nas classes de H em K , é um subgrupo de G. Claramente, K  0, porque H está contido em K . Sejam a, b ∈ K . Então, as classes = / aH e bH estão em K , e daí que aH (bH )−1 = aH (b−1 H ) = ab−1 H ∈ K . Logo, ab −1 ∈ K . Observe que quando G é finito, então |K | = |K || H |. 

Teorema 2.11.4 (Teorema de Cauchy para Grupos Abelianos) Seja G um grupo abeliano finito e seja p um primo que divide a ordem de G. Então G têm um elemento de ordem p. É claro que o teorema é verdadeiro para ordem de G igual a 2. Vamos mostrar o teorema usando o segundo princípio de indução matemática sobre |G|. Nós assumimos que o teorema é verdadeiro para todo grupo abeliano com menos elementos que G e queremos mostrar para G. Claramente, G têm elementos de ordem prima, pois dado x ∈ G tal que | x| = m = qn onde q é primo, então temos que | xn | = q . Assim, seja x ∈ G tal que a ordem de x é um primo q . Se = q. Como todo subgrupo de um grupo abeliano p = q nada a fazer, então vamos assumir que p  é normal, então construímos o grupo quociente G = G/ x. Então G é abeliano e p divide |G|, pois |G| = |G|/q. Por indução, segue que G têm um elemento, digamos y x, de ordem p. Então, ( y x) p = y p  x =  x e, portanto, y p ∈  x. Se y p = e terminamos, se não, pode ser que y p tenha ordem q, então teríamos que y q teria ordem p. 

Demonstração.

Definição 2.11.2 Dizemos que G é o produto interno direto de H e K , e escrevemos G = H × K , se H e K são subgrupos normais de G e G = H K ,

H K = e .

∩

{}

Exemplo 2.70 Se s e t são inteiros positivos relativamente primos, então U (st ) = U s (st ) × U t (st ). Exemplo 2.71 Em D6 , o grupo diedral de ordem 12, temos que





D6 = R0 , R120 , R240 , F , R120 F , R240 F

{

} ×{ R0, R180} .

2.12 Exercícios 1. Seja H = {(1), (12)}. H é normal em S 3 ? 2. Mostre que A n é normal em S n. Estruturas Algébricas e Aplicações


2.12 Exercícios

51

3. Em D4 , seja K = { R0 , R90 , R180 , R270 }. Escreva H R90 na forma xH , onde x ∈ K . Escreva DR270 na forma xD , onde x ∈ K . Escreva R 90V na forma V x, onde x ∈ K . 4. Escreva ( 12)(13)(14) na forma α (12), onde α ∈ A4 . Escreva ( 1234)(12)(23), na forma α (1234 ), onde α ∈ A4 . 5. Seja H =



a

b d





= 0 . H é subgrupo normal de GL(2, R)? : a, b, d ∈ R com ad  0 6. Seja G = GL(2, R) e seja K um subgrupo de R∗ . Mostre que H = { A ∈ G : det ( A) ∈ K } é um subgrupo normal de G. 7. Mostre que se H têm índice 2 em G, então H é subgrupo normal de G. 8. Seja p um número primo ímpar. Achar todos os subgrupos do grupo diedral D p . Quais dentre eles são subgrupos normais de D p ? 9. Achar o subgrupo H de D6 , tal que R4 , FR ∈ H e F ∈  H . Mostrar que H é subgrupo normal de D 6 . 10. Mostre que o grupo quociente de um grupo cíclico é cíclico. 11. Mostre que o grupo quociente de um grupo abeliano é abeliano. 12. Qual é a ordem do elemento 14 + 8 no grupo quociente Z24 /8? 13. Qual é a ordem do elemento 4U 5 (105) no grupo quociente U (105)/U 5 (105)? 14. Lembre que Z ( D6 ) = { R0 , R180 }. Qual é a ordem do elemento R 60 Z ( D6 ) no grupo quociente D6 / Z ( D6 )? 15. Seja G = Z/20 e H = 4/20. Liste todos os elementos de H e G/ H . 16. Qual é a ordem do grupo quociente Z60 /15? 17. Liste os elementos de U (20)/U 5 (20). 18. Mostre que um grupo abeliano de ordem 33 é cíclico. 19. Seja G um grupo. Suponha que |G| < 30 e que G é não abeliano tal que existe g ∈ G com |g| = 11. Qual é a ordem de G? Quem é G e quem seria o elemento g? 20. Se N é um subgrupo normal de G e |G/ N | = m, mostre que x m ∈ N para todo x ∈ G. 21. Sejam H e K subgrupos de um grupo G . Se G = H K e g = hk , para h ∈ H e k ∈ K , existe alguma relação entre |g|, |h| e |k |? O que acontece se G = H × K ? 22. Em Z, seja H = 5 e K = 7. Mostre que Z = HK . Será que Z = H × K ? 23. Sejam G = {3a 6b 10c : a , b, c ∈ Z } e H = {3a 6b 12c } com a multiplicação. Mostre que  3×6×12. G = 3×6×10, enquanto H = 24. Seja G = {±1, ±i, ± j, ±k }, onde i2 = j2 = k 2 = −1, e i j = − ji = k , jk = −k j = i , e ki = −ik = j. (a) Mostre que H = {1, −1} é subgrupo normal de G . (b) Construa a tabela de Cayley de G/ H . 25. Determine a ordem de 8 + 18Z em Z/18Z. 26. Construir a tabela de Cayley dos seguintes grupos quocientes: (a) Z8 / H onde H = {0, 4}. (b) U (24)/ H onde H = {1, 5, 7, 11}. 27. Determinar todos os subgrupos normais não triviais dos grupos D3 e D4 . em cada caso, construir o grupo quociente e fazer a tabela de Cayley da operação em cada caso. 28. Achar os subgrupos não triviais de Z2 × Z4 , calcular os grupos quocientes e escreva as tabelas de Cayley respetivas. 29. Seja G o grupo aditivo Z × Z. Construa a tabela de Cayley do grupo quociente G/(3Z × 2Z). 30. Dado a, b ∈ R, considere o grupo G das funções f a,b : R → R tais que f a,b ( x) = ax + b, com a = 0, cuja operação é a composição de funções. Seja H = { f 1,b : b ∈ R}. (a) Prove que H  G. (b) Prove que H = { f a,0 ◦ H : a ∈ R∗ }. (c) Prove que para a, c ∈ R∗ a operação do grupo quociente satisfaz ( f a,0 ◦ H ) ◦ ( f c,0 ◦ H ) =



Capítulo 2. Grupos

52 f ac,0 H .

◦

31. Mostre que a interseção de dois subgrupos normais de G é um subgrupo normal de G. Generalize. 32. Se N e M são subgrupos normais de G, mostre que N M também é subgrupo normal de G . 33. Seja H um subgrupo normal de um grupo finito G e seja x ∈ G. Se mdc (| x|, |G/ H |) = 1, mostre que x ∈ H . 34. Seja G um grupo e G o subgrupo de G gerado pelo conjunto S = { x−1 y−1 xy : x , y ∈ G} (isto é, todo elemento de G  é da forma ai11 ai22 ··· aik k , onde cada a j é da forma x −1 y−1 xy, cada i j = ±1, e k é um inteiro positivo qualquer). G  é chamado o subgrupo dos comutadores do grupo G . Este semigrupo foi introducido por G.A. Miller em 1898. (a) Mostre que G  é normal em G. (b) Mostre que G /G é abeliano. (c) Se G / N é abeliano, mostre que G  é subgrupo de N . (Isso que dizer que G  é o menor subgrupo de G tal que G /G é abeliano). (d) Mostre que se H é um subgrupo de G e G  é subgrupo de H , então H é normal em G. 35. Sejam M e N subgrupos normais de G tais que M ∩ N = {e}. Mostre que mn = nm para todo m ∈ M e para todo n ∈ N . 36. Se |G| = 30 e | Z (G)| = 5, qual é a estrutura de G / Z (G)? Qual é a estrutura de G / Z (G) se | Z (G)| = 3? Generalize para |G| = 2 pq, onde p e q são primos ímpares distintos. “Buscai em primeiro lugar o Reino de Deus e sua justiça, e TODAS as outras coisas serão acrescentadas”. Mateus 6:33



2.13 Homomorfismos

53

2.13 Homomorfismos

Definição 2.13.1 Um homomorfismo φ : G → G˜ é uma aplicação que preserva a operação dos grupos, isto é, φ (ab) = φ (a)φ (b), para todos a , b ∈ G. Definição 2.13.2 O núcleo de um homomorfismo φ , de um grupo identidade e, é o conjunto Ker (φ ) = { x ∈ G : φ ( x) = e}.

G para

um grupo com

Definição 2.13.3 Um homomorfismo que é injetor e sobrejetor é chamado de isomorfismo. Exemplo 2.72 A aplicação determinante definida por d et : GL(2, R) → R∗ é um homomorfismo. O núcleo é SL (2, R). Exemplo 2.73 A aplicação φ : R∗ → R∗ definida por φ ( x) = | x| é um homomorfismo com núcleo Ker (φ ) = {1, −1}. Exemplo 2.74 Seja R[ x] o grupo dos polinômios com coeficientes reais com a operação de soma. A aplicação φ : R[ x] → R[ x] definida por φ ( f ) = f  é um homomorfismo com núcleo formado por todos os polinômios constantes. 





Exemplo 2.75 A aplicação φ : Z → Zn definida por φ (m) = m (mod n) é um homomorfismo com núcleo n. Exemplo 2.76 A aplicação φ : R∗ → R∗ definida por φ ( x) = x2 , com a operação de multiplicação, também é um homomorfismo, pois φ (ab) = ( ab)2 = a2 b2 = φ (a)φ (b). Seu núcleo é {1, −1}. Exemplo 2.77 A aplicação φ : R → R definida por φ ( x) = x 2 , com a operação de soma de = números reais, não é um homomorfismo, pois, para a = 2 e b = 3 temos φ (2 + 3) = ( 5)2 = 25  13 = 22 + 32 = φ (2) + φ (3). 





Teorema 2.13.1 (Propriedades) Seja φ um homomorfismo do grupo G no grupo G˜ , e seja g ∈ G, então 1. φ leva a identidade de G para a identidade de G˜ . 2. φ (gn ) = ( φ (g))n para todo n ∈ Z. 3. Se |g| é finita, então |φ (g)| divide |g|. 4. Ker (φ ) é um subgrupo de G. 5. Im (φ ) = {φ ( x) : x ∈ G} é um subgrupo de G˜ . 6. φ (a) = φ (b) se, e somente se, aKer (φ ) = bKer (φ ). 7. Se φ (g) = g , então φ −1 (g ) = { x ∈ G : φ ( x) = g } = gKer (φ ). 1. Temos que φ (e) = φ (ee) = φ (e)φ (e). Por outro lado, sendo e  G˜ temos Demonstração. que φ (e) = e  φ (e), logo e φ (e) = φ (e)φ (e) e, pela propriedade cancelativa, temos que e = φ (e). 2. Para n positivo, temos, pela definição de homomorfismo e por indução, que φ (gn ) = ( φ (g))n . Agora, se n é negativo, então n é positivo e, da propriedade 1, temos que e = φ (e) = φ (gn g−n ) = φ (gn )φ (g−n ) = φ (gn )(φ (g))−n , e multiplicando dos dois lados por ( φ (g))n à direita, obtemos que φ (gn ) = ( φ (g))n . 3. Se g é finita, então g n = e , e daí que e  = φ (e) = φ (gn ) = (φ (g))n , então, pelo Teorema 2.5.8, segue que φ (g) divide n. 4. Pela propriedade 1, temos que Ker (φ ) = / 0. Agora, sejam a , b Ker (φ ) e mostremos que ab−1 Ker (φ ). Como φ (a) = φ (b) = e , temos que φ (ab−1 ) = φ (a)φ (b−1 ) = φ (a)(φ (b))−1 = e e = e , logo ab−1 Ker (φ ). 5. Pela propriedade 1, temos que Im(φ ) = / 0. Sejam a˜, b˜ Im (G), então existem a, b G tais que φ (a) = a˜ e φ (b) = ˜b. Logo, a˜b˜ = φ (a)φ (b) = φ (ab) Im (G).

∈

−

| |

∈

|

|

∈






∈

∈

∈

∈


Capítulo 2. Grupos

54

6. Suponhamos que φ (a) = φ (b). Então e  = ( φ (b))−1 φ (a) = φ (b−1 a), logo b −1 a ∈ Ker (φ ). Assim, temos que aKer (φ ) = bKer (φ ). Revertendo este argumento, temos a prova. 7. Primeiro mostremos que φ −1 (g ) ⊆ gKer (φ ). Seja x ∈ φ −1 (g ). Então temos que φ ( x) = g , assim que φ (g) = φ ( x) e, pela propriedade 5, segue que gKer (φ ) = xKer (φ ) e, portanto, x ∈ gKer (φ ). Para a outra inclusão, seja k ∈ Ker (φ ) então temos que φ (gk ) = φ (g)φ (k ) = g e = g e, por definição, segue que gk ∈ φ −1 (g ). 

Um homomorfismo preserva a operação do grupo, não é estranho que também preserve várias propriedades do grupo também.

Teorema 2.13.2 Sejam φ : G → G˜ um homomorfismo de grupos e H um subgrupo de G . Então 1. φ ( H ) = {φ (h) : h ∈ H } é um subgrupo de G˜ . 2. Se H é cíclico, então φ ( H ) é cíclico. 3. Se H é abeliano, então φ ( H ) é abeliano. 4. Se H é normal em G, então φ ( H ) é normal em φ (G). 5. Se |Ker (φ )| = n, então φ é uma aplicação n para 1 de G sobre φ (G). 6. Se | H | = n, então |φ ( H )| divide n. ˜ é um subgrupo de G˜ , então φ −1 (K ˜ ) = {k ∈ G : φ (k ) ∈ K ˜ } é um subgrupo de G . 7. Se K − 1 ˜ é um subgrupo normal de G˜ , então φ (K ˜ ) = {k ∈ G : φ (k ) ∈ K ˜ } é um subgrupo 8. Se K normal de G. 9. Se φ é sobrejetora e Ker (φ ) = {e}, então φ é um isomorfismo. Demonstração. Tarefa para entregar na próxima aula.



Corolário 2.13.3 Seja φ um homomorfismo de grupos de G em G˜ . Então Ker (φ ) é um subgrupo normal de G . Corolário 2.13.4 Se φ é um homomorfismo de um grupos finitos G para G˜ , então |φ (G)| divide |G| e |G ˜ |. Exemplo 2.78 Considere a aplicação φ : C∗ → C∗ definida por φ ( x) = x4 . Como ( xy)4 = x4 y4 , segue que φ é um homomorfismo. Claramente, Ker (φ ) = { x ∈ C∗ : x4 = 1} = {1, −1, i, −i}. Pela propriedade 5 do Teorema 2.13.2, nós sabemos que φ é uma aplicação 4 para 1. Claramente, √ 4 6 do√ Teorema 2.13.1, o conjunto de todos os elementos que são φ ( 2) = 2 e, pela propriedade √ √ √ √ 4 4 4 4 4 aplicados para 2 são 2Ker (φ ) = { 2, − 2, 2i, − 2i}. Exemplo 2.79 Defina φ : Z12 → Z12 por φ ( x) = 3 x. Para verificar que φ é um homomorfismo, observe que em Z12 , temos que 3(a + b) = 3a + 3b. Cálculos diretos mostram que Ker (φ ) = {0, 4, 8}. Daí temos que φ é uma aplicação 3 para 1 e, como φ (2) = 6, segue que φ −1(6) = 2 + Ker (φ ) = {2, 6, 10}. Observe que 2 é cíclico e que φ (2) = {0, 6} = 6 é também cíclico. Além disso, |2| = 6 e |φ (2)| = 2, que divide a ordem do gerado por 2. 



O próximo exemplo nos mostra uma forma de encontrar todos os homomorfismos entre grupos cíclicos.

Exemplo 2.80 Nós determinaremos todos os homomorfismos de Z12 para Z30 . Pela propriedade 2 do Teorema 2.13.1, tais homomorfismos são completamente determinados pela imagem de 1 . Isto é, se a imagem de 1 é a , então a imagem de x é xa . O Teorema de Lagrange e a propriedade 3 do Teorema 2.13.1 requerem que |a| deve dividir 12 e 30. Assim, |a| = 1, 2, 3 ou 6. Logo, a = 0, 15, 10, 20, 5 ou 25. Isto dá uma lista de candidatos a homomorfismos. Todas essas possibilidades 



2.13 Homomorfismos

55

nos dá aplicações que preservam as operações e, portanto, temos 6 homomorfismos. Observe que mdc(12, 30) = 6. Isto não é uma coincidência.

Exemplo 2.81 A aplicação de S n para Z2 que leva toda permutação par para 0 e toda permutação ímpar para 1 é um homomorfismo. 

Teorema 2.13.5 (Primeiro Teorema de Isomorfismos) Seja φ um homomorfismo de grupos de G para G˜ . Então a aplicação de G/Ker (φ ) para φ (G), dada por gKer (φ ) → φ (g), é um isomorfismo. Em símbolos, G/Ker (φ ) ∼ = φ (G). Demonstração. Nós

usamos ψ : G/Ker (φ ) → φ (G) a aplicação dada por gKer (φ ) → φ (g). Observe que ψ está bem definida, isto é, não depende do representante da classe. A propriedade injetora segue diretamente da propriedade 5 do Teorema 2.13.1. Claramente, pela definição, temos que ψ é sobrejetora. Agora, mostremos que ψ preserva a operação. Observe que ψ ( xKer (φ ) yKer (φ )) = ψ ( xyKer (φ )) = φ ( xy) = φ ( x)φ ( y) = ψ ( xKer (φ ))ψ ( yKer (φ )). 

Exemplo 2.82 Lembremos que SL(2, R) = { A ∈ GL(2, R) : d et ( A) = 1 } e seja H = { A ∈ GL(2, R) : d et ( A) = ±1}. Então a aplicação φ ( A) = d et ( A) de GL(2, R) sobre R∗ mostra que GL(2, R)/SL(2, R) ≈ R∗ e a aplicação φ ( A) = (det( A))2 de GL(2, R) sobre R+ mostra que GL(2, R)/ H ∼ = R+ . Exemplo 2.83 Considere o homomorfismo de D4 em D4 dado por φ ( R0 ) = φ ( R180 ) = R 0, φ ( R90 ) = φ ( R270 ) = H , φ ( H ) = φ (V ) = R180 e φ ( D1 ) = φ ( D2 ) = V . Então Ker (φ ) = { R0 , R180 }, e a aplicação ψ do Teorema 2.13.5 é R0 Ker (φ ) → R0 , R90 Ker (φ ) → H , HKer (φ ) → R180 , DKer (φ ) → V . É fácil verficar que ψ é um isomorfismo. Exemplo 2.84 Seja H um subgrupo de um grupo G . O normalizador de H em G é N ( H ) = { x ∈ G : xHx−1 = H }, o centralizador de H em G é C ( H ) = { x ∈ G : xhx−1 = h para todo h ∈ H } e Aut ( H ) é o grupo de isomorfismos de H em H , conhecido como o grupo de automorfismos de H . Considerando a aplicação de N ( H ) em Aut ( H ) dada por g → φ g , onde φ g é um automorfismo interno, isto é, φ g (h) = ghg−1 para todo h ∈ H . Esta aplicação é um homomorfismo com núcleo igual a C ( H ). Assim, pelo Teorema 2.13.5, temos que N ( H )/C ( H ) é isomorfo ao subgrupo de Aut ( H ) formado pelos automorfismos internos de H . Mostre que o conjunto formado pelos automorfismos internos é um um subgrupo de Aut ( H ). Nós usaremos o exemplo anterior para mostrar que todo grupo de ordem 35 é cíclico. Exemplo 2.85 Seja G um grupo de ordem 35. Pelo Teorema de Lagrange, todo elemento diferente da identidade têm ordem 5, 7 ou 35. Se algum elemento têm ordem 35, G é cíclico. Então, podemos assumir que todo elemento diferente da identidade têm ordem 5 ou 7. No entanto, todos os elementos não podem ter ordem 5, pois se x ∈ G é tal que | x| = 5, então temos que | x2 | = | x3| = | x4| = 5 e 4 não divide 34. Analogamente, como 6 não divide 34, então todos os elementos não podem ter ordem 7. Assim, G têm elementos de ordens 5 e 7. Assim, seja H o subgrupo de G gerado pelo elemento de ordem 7. Só existe esse subgrupo de ordem 7, pois se K é outro subgrupo de ordem 7, então, pelo Teorema 2.9.8, segue que | HK | = | H ||K |/| H ∩ K | = 7 · 7/1 = 49, mas isto é impossível, pois a ordem de G é 35. Assim, como para todo a ∈ G temos que aHa−1 é um subgrupo de ordem 7, então devemos ter que aH a−1 = H . Logo, N ( H ) = G. Como H é cíclico, então ele é abeliano. Em particular, C ( H ) contém H . Assim, 7 divide |C ( H )| e |C ( H )| divide 35. Segue então que C ( H ) = G ou C ( H ) = H . Se C ( H ) = G, então construímos o elemento x por tomar x = hk , onde h ∈ H com h = e e k é um elemento de ordem 5. Temos que x têm ordem 35, pois todo elemento de G comuta com os elementos de H , assim x n = (hk )n = hn k n e, pela ordem dos elementos, devemos ter que | x| = 35. Agora, se C ( H ) = H , então |C ( H )| = 7 e daí que | N ( H )/C ( H )| = 35/7 = 5. Contudo, 5 não divide | Aut ( H )| = | Aut (Z7 )| = 6, contradição, portanto G é cíclico. 









Capítulo 2. Grupos

56

Teorema 2.13.6 Todo subgrupo normal de um grupo G é o núcleo de um homomorfismo de G. Em particular, um subgrupo normal N é o núcleo da aplicação g → gN de G para G/ N . Demonstração. Defina γ : G G/ N por γ (g) = gN . (Esta aplicação é chamada de homomorfismo natural). Então, γ ( xy) = xyN = xNyN = γ ( x)γ ( y). Além disso, g Ker (γ ) se, e somente se, gN = γ (g) = N , o que é verdade se, e somente se, g N . 

→

∈

∈

Definição 2.13.4 Dados G 1 , G2 , . . . , Gn grupos, nós definimos o grupo G 1 × G2 ×···× Gn = G1 ⊕ G2 ⊕···⊕ Gn como o conjunto de n -uplas tal que a i -ésima componente é um elemento de Gi e a operação é componente a componente. Note que no caso em que todos os G i são finitos, por propriedade de conjuntos, segue que |G1 ⊕ G2 ⊕···⊕ Gn| = |G1||G2|···|Gn|. Esta construção não é nova, já que R2 = R ⊕ R.

Exemplo 2.86 U (8) ⊕U (10) = {(1, 1), (1, 3), (1, 7), (1, 9), (3, 1), (3, 3), (3, 7), (3, 9), (5, 1), (5, 3), (5, 7), (5, 9), (7, 1), (7, 3), (7, 7), (7, 9)}. O produto (3, 7)(7, 9) = (5, 3), pois a primeira componente é módulo 8 e a segunda é módulo 10. Exemplo 2.87 Z2 ⊕ Z3 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)}. Claramente este é um grupo abeliano de ordem 6. Observe que Z 2 ⊕ Z3 = (1, 1). De fato, ( 1, 1) = (1, 1), 2 (1, 1) = (0, 2), 3(1, 1) = (1, 0), 4 (1, 1) = (0, 1), 5 (1, 1) = (1, 2) e 6 (1, 1) = (0, 0). Daqui temos que Z2 ⊕ Z3 é isomorfo a Z6 . Exemplo 2.88 (Classificação de grupos de ordem 4) Um grupo de ordem 4 é isomorfo a Z4 ou Z2 × Z2 . Para verificar isto é suficiente mostrar que qualquer grupo não cíclico de ordem 4 têm somente um caminho para construir a tabela de operação para G. Pelo Teorema de Lagrange, os elementos de G devem ter ordem 1 ou 2. Sejam a , b ∈ G distintos do elemento identidade. Pela = a e ab  = b. Além disso, ab  = e, pois, do propriedade cancelativa de grupos, devemos ter que ab  − 1 contrário, a = b = b. Assim, G = {e, a, b, ab}. A tabela da operação é unicamente determinada pela observação que ab = (ab)−1 = b−1 a−1 = ba. 





Teorema 2.13.7 Dado g = (g1 , g2 , . . . , gn ) ∈ G1 ⊕ G2 ⊕···⊕ Gn temos que

|g| = |(g1, g2, . . . , g )| = mmc(|g1|, |g2|, . . . , |g |) . n

n

Demonstração. Denote por e i o elemento identidade de G i . Seja s = mmc( g1 , g2 , . . . , gn ), e t = (g1 , g2 , . . . , gn ) . Como s é um múltiplo comum de cada gi , temos que ( g1 , g2 , . . . , gn )s = (gs1 , gs2 , . . . , gsn ) = ( e1 , e2 , . . . , en ), logo t s. Por outro lado, temos que

|

|

≤

| |

| || |

| |

(gt 1 , gt 2 , . . . , gt n ) = ( g1 , g2 , . . . , gn )t = (e1 , e2 , . . . , en ) ,

vemos que t é um múltiplo comum de |g1 |, |g2 |, . . . , |gn |, então s ≤ t .



A seguir, alguns exemplos de aplicações do teorema anterior.

Exemplo 2.89 Exemplos de grupos de ordem 100 incluem Z100 , Z25 ⊕ Z2 ⊕ Z2 , Z5 ⊕ Z5 ⊕ Z4 , Z5 ⊕ Z5 ⊕ Z2 ⊕ Z2 , D50 , D10 ⊕ Z5 , D5 ⊕ Z10 e D 5 ⊕ D5 . Exemplo 2.90 Agora determinaremos o número de elementos de ordem 5 em Z25 ⊕ Z5 . Precisamos contar o número de elementos (a, b) ∈ Z25 ⊕ Z5 tais que 5 = |(a, b)| = mmc(|a|, |b|). Logo, devemos ter que |a| = 5 e |b| = 1 ou 5, ou |b| = 5 e |a| = 5 ou 1. Nós consideraremos dois casos mutuamente exclusivos. Caso 1 |a| = 5 e |b| = 5 ou 1. Aqui existem 4 possibilidades para a , a saber, a = 5, 10, 15 ou 20 e 5 escolhas para b, a saber, b = 0, 1, 2, 3 ou 4. Assim obtemos 20 elementos de ordem 5. 





2.13 Homomorfismos

57

Caso 2 a = 1 e b = 5. Neste caso, existe somente uma escolha para a e 4 para b , assim obtemos

||

|| mais 4 elementos de ordem 5. Portanto, Z25 ⊕ Z5 têm 24 elementos de ordem 5.

Exemplo 2.91 Nós determinaremos o número de subgrupos cíclicos de ordem 10 em Z100 ⊕ Z25 . Nós começamos por contar o número de elementos (a, b) de ordem 10. Caso 1 |a| = 10 e |b| = 1 ou 5. Como Z100 têm um único subgrupo cíclico de ordem 10 e qualquer subgrupo de ordem 10 têm 4 geradores, temos 4 escolhas para a . Analogamente, temos 5 escolhas para b. Assim, temos 20 escolhas para (a, b). Caso 2 |a| = 2 e |b| = 5. Como qualquer grupo finito cíclico de ordem par têm um único subgrupo de ordem 2 , temos uma única escolha para a . Claramente, temos mais 4 escolhas para b , então temos mais 4 possibilidades para (a, b). Assim, Z100 ⊕ Z25 têm 24 elementos de ordem 10. Como cada subgrupo cíclico de ordem 10 têm 4 elementos de ordem 10, então temos 24 /4 = 6 subgrupos cíclicos de ordem 10. Exemplo 2.92 Queremos encontrar um subgrupo de Z 30 ⊕ Z12 que seja isomorfo a Z 6 ⊕ Z4 . Observe que 5 é um subgrupo de Z30 de ordem 6, e que 3 é um subgrupo de Z12 de ordem 4. Assim, 5⊕3 é o subgrupo desejado. 



Teorema 2.13.8 Sejam G e H grupos cíclicos finitos. Então G ⊕ H é cíclico se, e somente se, |G| e | H | são relativamente primos. Demonstração. Sejam G = m e H = n, assim G H = mn. Assumamos que G H = (g, h) é cíclico, e seja d = mdc(m, n). Como (g, h)mn/d = ((gm )n/d , (hn )m/d ) = ( e, e), logo mn = (g, h) (mn)/d e daí que d = 1 . Para a outra implicação, sejam G = g e H = h e suponhamos que mdc (m, n) = 1. Então (g, h) = mmc(m, n) = mn = G H , logo (g, h) é um gerador de  G H .

| |

| |

|

⊕

| ⊕ |

  | ⊕ |

|

⊕  

 |

 |≤

Corolário 2.13.9 G1 ⊕ G2 ⊕···⊕ Gn é cíclico se, e somente se, |Gi | e |G j | são relativamente = j. primos para todo i  Corolário 2.13.10 Seja m = n 1 n2 ··· nk . Então Zm é isomorfo a Zn1 ⊕ Zn2 ⊕···⊕ Znk se, e = j. somente se, ni e n j são relativamente primos para i  Usando os resultados acima, podemos expressar alguns grupos de diferentes formas a menos de isomorfismo. Por exemplo, Z2

⊕ Z30  Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z3 ⊕ Z5  Z2 ⊕ Z6 ⊕ Z5 .

Analogamente,

⊕ Z6 ⊕ Z5  Z2 ⊕ Z3 ⊕ Z2 ⊕ Z5  Z6 ⊕ Z10 .  Z60. Logo, Z2 ⊕ Z30  Z6 ⊕ Z10 . Note que Z2 ⊕ Z30  Z2

Teorema 2.13.11 Suponha que s e t sejam primos relativos. Então U (st )

 U (s) ⊕ U (t ) .

Além disso, U s (st )  U (t ) e U t (st )  U (s).



Capítulo 2. Grupos

58

Corolário 2.13.12 Seja m = n1 n2 ··· nk , onde mdc (ni , n j ) = 1 para i  = j. Então U (m)

 U (n1) ⊕ U (n2) ⊕···⊕ U (n ) . k

2.14 Exercícios 1. Seja r ∈ Z, com r > 0. Mostre que a aplicação φ : R∗ → R∗ definida por φ ( x) = x r é um homomorfismo. Determine seu núcleo. Para quais valores de r , φ é um isomorfismo? 2. Seja f : R∗ → R∗ definida por f ( x) = | x|. Mostre que f é um homomorfismo de grupos e calcule Ker ( f ) e Im( f ). 3. Qual das seguintes funções f : C∗ → C∗ é um homomorfismo de grupos. No caso de ser homomorfismo calcule Ker ( f ) e Im( f ). (a) f ( z) = z2 ; (b) f ( z) = | z|; (c) f ( z) = z ¯; (d) f ( z) = z1 ; (e) f ( z) = − z; (f) f ( z) = z3 . 4. Defina φ : GLn (R)/SLn (R) → R∗ , por φ ( A · SLn (R)) = det( A). (a) Mostre que φ está bem definida. (b) Mostre que φ é um homomorfismo de grupos. (c) Mostre que φ é bijetora. 5. Seja n ∈ Z, defina f : Z → Z por f ( x) = nx. (a) Mostre que f é um homomorfismo de grupos. (b) f é injetor? Sobrejetor? 6. Seja f : R∗ → R∗ dada por f ( x) = | x|. Mostre que f é um homomorfismo de grupos. 7. Verifique se f : Z → R∗+ dada por f (n) = 2n é um homomorfismo, onde R∗+ são todos os reais maiores que zero. 8. Mostre que um grupo G é abeliano, se e somente se, f : G → G definida por f ( x) = x−1 é um homomorfismo. 9. Seja G um grupo abeliano finito e n ≥ 1, um inteiro tal que md c(n, |G|) = 1. Mostre que ψ : G → G definido por ψ ( x) = xn é um automorfismo de G . 2π ki 10. Considere a aplicação φ : (Z, +) → (U n , ·) definida por φ (k ) = e n . Mostre que φ é um homomorfismo sobrejetor e calcule Ker (φ ). Daí, conclua que Zn  U n . 11. Encontre um homomorfismo do grupo (Z, +) no grupo dos inteiros pares com a soma usual de inteiros. 12. Seja f : Z → Z30 definida por f ( x) = 3 x. Mostre que f é um homomorfismo de grupos. 13. Seja f : Z → Z20 definida por f ( x) = 6 x. Mostre√ que f é um homomorfismo de grupos. 14. Mostre que ψ : R+ → R+ definida por ψ ( x) = x é um automorfismo de R+ . 15. Mostre que a aplicação φ (a + bi) = a − bi é um automorfismo do grupo dos números complexos com a soma. Mostre que φ também preserva a multiplicação complexa, isto é, que φ ( x · y) = φ ( x)φ ( y), para todo x , y ∈ C. 16. Mostre que os grupos G 1 = 2Z e G 2 = 3Z são isomorfos. 17. Sejam G um grupo e b ∈ G um elemento fixo. Defina φ : G → G por φ ( x) = b−1 xb para todo x ∈ G. Mostre que φ é um isomorfismo. 18. Seja K = {1, x, y, xy} um grupo de 4 elementos tal que x 2 = y2 = 1, xy = yx e 1 é o elemento identidade. ( K é chamado de grupo de Klein). Mostre que K é isomorfo a Z2 × Z2 . 19. Se φ : G → H e ψ : H → K são homomorfismos, mostre que ψ ◦ φ é um homomorfismo de G em K . Como estão relacionados o Ker (φ ) e Ker (ψ ◦ φ )? Se φ e ψ são sobrejetores e G é Estruturas Algébricas e Aplicações


2.14 Exercícios

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finito, então descreva [Ker (ψ ◦ φ ) : Ker φ ] em termos de | H | e |K |. 20. Considere f : Z6 → U (7) definida por f (n) = 3n . (a) Mostre que f é uma função bem definida. (b) Mostre que f é um homomorfismo de grupos. (c) Calcule f (m) para m = 0, 1 . . . , 5. 21. Considere f : Z4 → U (5) definida por f (n) = 2n . (a) Mostre que f é uma função bem definida. (b) Mostre que f é um homomorfismo de grupos. (c) Calcule f (m) para m = 0, 1, 2, 3. 22. Seja G um grupo de permutações. Para cada α ∈ G, defina Sinal(α ) =



+1 se α é uma permutação par 1 se α é uma permutação ímpar

−

Mostre que Sinal é um homomorfismo de G no grupo multiplicativo {−1, +1}. Qual é o núcleo? Porque este homomorfismo permite concluir que An é um subgrupo normal de S n de índice 2? 23. Mostre que a aplicação de G ⊕ H para G dada por (g, h) → g é um homomorfismo. Qual é o núcleo? Esta aplicação é chamada a projeção de G ⊕ H em G . 24. Mostre que (Z ⊕ Z)/((a, 0)×(0, b)) é isomorfo a Za ⊕ Zb . 25. Suponha que k é um divisor de n. Mostre que Zn /k   Zk . 26. Explique porque a correspondência x → 3 x de Z12 para Z10 não é um homomorfismo? 27. Suponha que φ : Z30 → Z30 é um homomorfismo e que Ker (φ ) = {0, 10, 20}. Se φ (23) = 9, determine todos os elementos que são levados em 9 por φ . 28. Prove que não existe homomorfismo não nulo de Z16 ⊕ Z2 sobre Z4 ⊕ Z4 . 29. Existe um homomorfismo de Z 4 ⊕ Z4 sobre Z 8 ? Existe um homomorfismo de Z 16 sobre Z2 ⊕ Z2 ? Explique suas respostas. 30. Suponha que existe um homomorfismo φ de Z 17 em algum grupo e que φ não é injetora. Determine φ . 31. Quantos homomorfismos existem de Z20 sobre Z8 ? 32. Se φ é um homomorfismo de Z30 em um grupo de ordem 5, determine Ker (φ ). 33. Se φ é um homomorfismo entre os grupos finitos G e G˜ . Se H é um subgrupo de G˜ , então dê uma formula para |φ −1 ( H )| em termos de | H | e de φ . 34. Suponha que φ : Z50 → Z15 é um homomorfismos de grupos com φ (7) = 6. (a) Determine φ ( x). (b) Determine o núcleo e a imagem de φ (c) Determine φ −1 (3). 35. Para cada um dos seguintes homomorfismos encontre Ker ( f ) e Im( f ): (a) f : R → R∗ , com f ( x) = e x , onde e é o número de Euler. (b) f : R∗+ → R, com f ( x) = ln x. (c) f : C∗ → C∗ , com f ( z) = zn . (d) f : C∗ → C∗ , com f ( z) = z. (e) f : C → C, com f ( z) = z. (f) f : C∗ → R∗ , com f ( z) = | z|. (g) f : Z → C∗ , com f (n) = in . (h) φ : Zn → Dn , com φ (a) = Ra . 36. Quantos homomorfismos existem de Z20 sobre Z10 ? e quantos para Z10 ? 37. Determine todos os homomorfismos de Z4 para Z2 ⊕ Z2 . 38. Determine todos os homomorfismos de Zn em Zn . 39. Suponha que φ é um homomorfismo de S 4 sobre Z2 . Determine o núcleo de φ . Determine todos os homomorfismos de S 4 para Z2 . Estruturas Algébricas e Aplicações


Capítulo 2. Grupos

60

40. Suponha que φ é um homomorfismo de grupo de G sobre Z6 ⊕ Z2 e que o núcleo de φ têm ordem 5. Explique porque G deve ter subgrupos normais de ordem 5 , 10, 15, 20, 30 e 60. 41. Suponha que φ é um homomorfismo de U (30) para U (30), e que Ker (φ ) = {1, 11}. Se φ (7) = 7, encontre todos os elementos de U (30) que vão em 7 por φ . 42. Encontre um homomorfismo de U (30) em U (30) com núcleo {1, 11} e tal que φ (7) = 7. 43. Suponha que φ : U (40) → U (40) é um homomorfismo tal que Ker (φ ) = {1, 9, 17, 33}. Se φ (11) = 11, encontre todos os elementos de U (40) que são aplicados em 11. 44. Mostre que não existe homomorfismo de A4 sobre Z2 . 45. Mostre que a aplicação φ : Z ⊕ Z → Z dada por φ (a, b) = a − b é um homomorfismo. qual é o núcleo de φ ? Descreva o conjunto φ −1 (3). 46. Para cada par de inteiros m e n, podemos definir um homomorfismo de Z em Zm ⊕ Zn por x → ( x (mod m), x (mod n)). Qual é o núcleo quando (m, n) = (3, 4)? E quando (m, n) = ( 6, 4)? Generalize. 47. (Segundo Teorema de Isomorfismo) Se K é um subgrupo de G e N é um subgrupo normal de G, mostre que K /(K ∩ N ) é isomorfo a KN / N . 48. (Terceiro Teorema de Isomorfismo) Se M e N são subgrupos normais de G e N ≤ M , mostre que (G/ N )/( M / N ) é isomorfo a G / M . 49. Seja k um divisor de n . considere o homomorfismo φ : U (n) → U (k ) dado por φ ( x) = x (mod k ). Qual é a relação entre este homomorfismo e o subgrupo U k (n) de U (n)? 50. Determine todos os homomorfismos de D5 sobre Z2 ⊕ Z2 . Determine todos os homomorfismos de D5 para Z2 ⊕ Z2 . 51. Seja Z[ x] o grupo dos polinômios na variável x com coeficientes inteiros e com a operação de soma. Mostre que a aplicação φ : Z[ x] → Z dada por φ ( f ( x)) = f (3) é um homomorfismo. Dê uma descrição geométrica do núcleo deste homomorfismo. Generalize. 52. Dê uma estrutura de grupo para o conjunto P = {( x, y) ∈ R2 : y = x2 } definindo uma operação  em P de modo que tenhamos (P, )  (R, +). cos x sen x 53. Mostre que a aplicação φ : R → SL(2, R) dada por φ ( x) = −sen x cos x é um homomorfismo. Qual é o núcleo deste homomorfismo? 54. Suponha que existe um homomorfismo sobrejetor φ : G → Z2 ⊕ Z2 . Mostre que G é a união de 3 subgrupos próprios normais. 55. Se φ é um homomorfismo de G sobre H , mostre que φ ( Z (G)) ⊆ Z ( H ). 56. Suponha que φ : D12 → D3 é um homomorfismo. Qual é a imagem de R180 ? 57. Mostre que todo grupo de ordem 77 é cíclico. 58. Determine todos os homomorfismos de Z sobre S 3 . Determine todos os homomorfismos de Z para S 3 . 59. Seja G um grupo abeliano. Determine todos os homomorfismos de S 3 para G. 60. Seja p um primo. Determine o número de homomorfismos de Z p ⊕ Z p para Z p . 61. Mostre que G ⊕ H é abeliano se, e somente se, G e H são abelianos. 62. Mostre que Z ⊕ Z não é cíclico. 63. Mostre que Z8 ⊕ Z2 não é isomorfo a Z4 ⊕ Z4 , comparando a ordem de seus elementos. 64. É Z3 ⊕ Z9 isomorfo a Z27 ? Por quê? 65. Dê um exemplo de um grupo de ordem 12, que têm mais de um subgrupo de ordem 6. 66. Quantos elementos de ordem 9 há em Z3 ⊕ Z9 ? (Não faça por força bruta) 67. Encontre um subgrupo cíclico de ordem 12 de Z40 ⊕ Z30 e um subgrupo não cíclico de ordem 12 de Z40 ⊕ Z30 . 68. Encontre um subgrupo de Z12 ⊕ Z18 que é isomorfo a Z9 ⊕ Z4 . 69. Determine o número de elementos de ordem 15 e o número de subgrupos cíclicos de ordem 15 de Z30 ⊕ Z20 .







2.14 Exercícios

61

70. Quantos subgrupos de ordem 3 há em Z3 ⊕ Z3 ? E em Z3 ⊕ Z3 ⊕ Z3 ? E em Z3 ⊕···⊕ Z3 n cópias? 71. Sejam m > 2 um inteiro par e n > 2 um inteiro ímpar. Encontre uma fórmula para o número de elementos de ordem 2 em D m ⊕ Dn . 72. O grupo S 3 ⊕ Z2 é isomorfo a um dos seguintes grupos: Z12 , Z6 ⊕ Z2 , A4 , D6 . Determine qual é por eliminação. 73. Liste 6 exemplos de grupos não abelianos de ordem 24. 74. Encontre todos os subgrupos de ordem 3 em Z9 ⊕ Z3 . 75. Encontre todos os subgrupos de ordem 4 em Z4 ⊕ Z4 . 76. Qual é a ordem do maior subgrupo cíclico de Z 6 ⊕ Z10 ⊕ Z15 ? Qual é a ordem do maior subgrupo cíclico de Zn1 ⊕ Zn2 ⊕···⊕ Znk ? 77. Quantos elementos de ordem 2 há em Z2000000 ⊕ Z4000000 ? Generalize. 78. Encontre um subgrupo de Z800 ⊕ Z200 que é isomorfo a Z2 ⊕ Z4 . 79. Encontre um subgrupo de Z12 ⊕ Z4 ⊕ Z15 que têm ordem 9. 80. Liste os elementos nos grupos U 5 (35) e U 7 (35). 81. Prove ou diga porque não U (40) ⊕ Z6 é isomorfo a U (72) ⊕ Z4 . 82. Se um grupo têm exatamente 24 elementos de ordem 6, quantos subgrupos de ordem 6 têm este grupo? 83. Escreva Aut (U (25)) na forma Zm ⊕ Zn. 84. Determine Aut (Z2 ⊕ Z2 ). 85. Achar os seguintes grupos: Aut ( D3 ), Aut (Z8 ) e Aut (U (8)). 86. Seja G um grupo. (a) Mostre que Aut (G) com a operação de composição é um grupo. (b) Para cada a ∈ G, seja f a : G → G dado por f a ( x) = axa−1 . Mostre que f a ∈ Aut (G). Além disso, mostre que I (G) = { f a : a ∈ G} é um subgrupo normal de Aut (G). Cada elemento de I (G) é chamado de automorfismo interno de G . 87. É Z10 ⊕ Z12 ⊕ Z6  Z60 ⊕ Z6 ⊕ Z2 ? É Z10 ⊕ Z12 ⊕ Z6  Z15 ⊕ Z4 ⊕ Z12 ? 88. Quantos isomorfismos há de Z18 para Z2 ⊕ Z9 ? 89. Quantos isomorfismos há de Z18 para Z2 ⊕ Z3 ⊕ Z3 ? 90. Suponha que φ é um isomorfismo de Z 3 ⊕ Z5 para Z 15 tal que φ (2, 3) = 2. Encontre os elementos de Z3 ⊕ Z5 que são aplicados em 1. 91. Se φ é um isomorfismo de Z 4 ⊕ Z3 para Z 12 , qual é φ (2, 0)? Quais são as possibilidades para φ (1, 0)? Justifique sua resposta. 92. Encontre um subgrupo de U (140) que é isomorfo a Z4 ⊕ Z6 . 93. Seja G um grupo de 6 elementos. Mostre que G ∼ = Z6 ou G ∼ = D3 . 94. Determine todos os grupos cíclicos que têm exatamente dois geradores. 95. Se n ∈ Z e n ≥ 3, determine o número de elementos de ordem 2 em U (2n ). 96. Sem fazer cálculos em U (27), diga quantos subgrupos têm. 97. Qual é a maior ordem de um elemento em U (900)? 98. Encontre um subgrupo de ordem 4 em U (1000 ). 99. Encontre um inteiro n tal que U (n) é isomorfo a Z2 ⊕ Z4 ⊕ Z9 . 100. Qual é o menor inteiro positivo k , tal que x k = e para todo x ∈ U (7 · 17)? Generalize para U ( pq) onde p e q são primos distintos. 101. Qual dos grupos U (35), U 5 (40), U 8 (40) é cíclico? “Deleita-te no Senhor e Ele concederá os desejos do seu coração. Salmos 37:4



3. Anéis

Muitos conjuntos possuem naturalmente duas operações binárias: soma e multiplicação. Exemplos que rapidamente vem a nossa mente são: os números inteiros, os inteiros módulo n , os números reais, as matrizes e os polinômios. O conceito abstrato que assume essa possibilidade é justamente o de anel. Esta noção foi originalmente dada por Richard Dedekind em meados do século X IX , mas a sua definição abstrata foi apresentada por Abraham Fraenkel somente no ano de 1914. Definição 3.0.1 Um anel R é um conjunto com duas operações binárias, soma (denotada por a + b), e multiplicação (denotada por ab), tal que para todo a, b, c ∈ R são satisfeitas as seguintes propriedades: 1. a + b = b + a 2. (a + b) + c = a + (b + c) 3. Existe a identidade aditiva 0, isto é, existe um elemento 0 ∈ R tal que a + 0 = a para todo a ∈ R. 4. Existe um elemento −a ∈ R tal que a + (−a) = 0. 5. a(bc) = ( ab)c. 6. a(b + c) = ab + ac e (b + c)a = ba + ca.

Assim, um anel é um grupo Abeliano com a soma, e com a multiplicação é associativo, e também satisfaz as distributivas sobre a soma. Note que a multiplicação não necessariamente é comutativa, mas quando isto acontece, dizemos que é um anel comutativo. Também, um anel não têm necessariamente um elemento identidade com a multiplicação, mas quando têm dizemos que é um anel com unidade. Um elemento não nulo de um anel com unidade não necessariamente têm inverso multiplicativo. Quando isso acontece, dizemos que é uma unidade do anel. Logo, a ∈ R é uma unidade se existe a−1 ∈ R. Se a, b ∈ R um anel comutativo, e a é não nulo, então dizemos que a divide b (ou que a é um divisor de b ) e escrevemos a |b, se existe um elemento c ∈ R tal que b = ac . Se a não divide b , escrevemos a | b.

Exemplo 3.1 O conjunto Z dos inteiros com a soma e multiplicação usual, é um anel comutativo com unidade 1. As unidades de Z são {1, −1}. 

Capítulo 3. Anéis

64

Exemplo 3.2 O conjunto Zn = {0, 1, . . . , n − 1} com a soma e multiplicação módulo n é um anel comutativo com unidade 1. O conjunto das unidades é U (n). 

Exemplo 3.3 O conjunto Z [ x] de todos os polinômios na variável x com coeficientes inteiros com a soma e multiplicação usual de polinômios é um anel comutativo com unidade f ( x) = 1. 

Exemplo 3.4 O conjunto M 2 (Z) de todas as matrizes de tamanho 2 × 2 com entradas inteiras e 1 0 com a soma e multiplicação usuais é um anel não comutativo com unidade . 0 1 Exemplo 3.5 O conjunto 2Z dos inteiros pares com a soma e multiplicação usuais é um anel comutativo sem unidade. 







Exemplo 3.6 Sejam R1 , R2 , . . . , Rn anéis. Nós construímos um anel novo da seguinte forma:



R1

⊕ R2 ⊕···⊕ R = {(a1, a2, . . . , a ) : a ∈ R } , n

n

i

i

com a soma e multiplicação componente a componente. Este anel é chamado de soma direta de R1 , R2 , . . . , Rn .

A seguir daremos algumas propriedades dos anéis. Nós usaremos b − c para denotar b + (−c).

Teorema 3.0.1 Sejam a, b, c ∈ R um anel. Então, 1. a0 = 0a = 0 2. a(−b) = ( −a)b = −(ab) 3. (−a)(−b) = ab 4. a(b − c) = ab − ac e (b − c)a = ba − ca. Além disso, se R têm elemento unidade 1, então 5. (−1)a = −a 6. (−1)(−1) = 1 Demonstração. Claramente temos que 0 + a0 = a 0 = a (0 + 0) = a 0 + a0 e pela propriedade cancelativa segue que 0 = a0. Analogamente se faz para 0a. Para mostrar a propriedade 2, observe que a( b) + ab = a( b + b) = a0 = 0, e somando dos dois lados (ab) temos que a( b) = (ab).

−

−

−

A outra igualdade é análoga. As outras propriedades são deixadas de exercício.

−

−



Lembremos que, no caso de grupo, o elemento identidade e o inverso eram únicos, e o mesmo acontece para anéis provado primeiro sua existência. As provas são análogas que as dadas para grupo, e por isso serão omitidas aqui.

Teorema 3.0.2 Se um anel têm unidade, essa é única. Se um elemento do anel têm inverso multiplicativo, este é único. Definição 3.0.2 Um subconjunto S de um anel R é um subanel de R se ele é um anel com as operações de R. A seguir, daremos um teste simples para mostrar que um conjunto é um subanel.

Teorema 3.0.3 Um subconjunto não vazio S de um anel R é um subanel de R se, e somente se, é fechado com a subtração e a multiplicação, isto é, se a − b ∈ S e ab ∈ S para todo a, b ∈ S . Demonstração. Como

a soma em R é comutativa e S é fechado com a subtração, então S é um grupo abeliano com a soma. Como a multiplicação em R é associativa e também distributiva com respeito a soma, o mesmo acontece com a multiplicação em S .  Estruturas Algébricas e Aplicações


3.1 Exercícios

65

Deixamos ao leitor mostrar que cada um dos seguintes exemplos são subanéis.

Exemplo 3.7 {0} e R são subanéis de R . {0} é chamado o subanel trivial de R. Exemplo 3.8 {0, 2, 4} é subanel de Z6 . Observe que 1 é a unidade em Z6 , e 4 é a unidade em {0, 2, 4}. Exemplo 3.9 Para cada inteiro positivo n, temos que nZ = {0, ±n, ±2n, . . .} é um subanel de Z. Exemplo 3.10 O conjunto dos inteiros Gaussianos Z[i] = {a + bi : a, b ∈ Z} é um subanel dos números complexos C. a 0 Exemplo 3.11 O conjunto S = : a, b ∈ Z é um subanel comutativo com unidade 0 b de M 2 (Z). 















3.1 Exercícios “Não existe substituto para o trabalho duro”

Thomas Alva Edison

1. Considere em Z ⊕ Z as operações + e · definidas por: (a, b) + (c, d ) = ( a + c, b + d ) ,

(a, b) (c, d ) = ( ac

·

− bd , ad + bc) .

Mostre que (Z ⊕ Z, +, ·) é um anel comutativo com unidade. 2. Considere as operações ∗ e  definidas em Q por: a b = a + b

∗

− 3 ,

a b = a + b



− ab3 .

Mostre que (Q, ∗, ) é um anel comutativo com unidade. 3. Seja E um conjunto não vazio. Mostre que R = P ( E ), o conjunto das partes de E , é um anel comutativo com as operações definidas por:

∪ − ∩ X · Y = X ∩ Y , para todo X , Y ∈ R . 4. Considere as operações ∗ e  em Z definidas por a ∗ y = x + ay − 2 , x y = xy + bx + cy + d , e em que a, b, c, d ∈ Z. Determine a, d , c, d ∈ Z tais que (Z, ∗, ) seja um anel. Para os valores obtidos de a, b, c e d , (Z, ∗, ) é um anel comutativo com unidade? 5. Seja R um anel com a propriedade que x 2 = x para todo x ∈ R. Mostre que R é comutativo e que − x = x para todo x ∈ R. X + Y = X Y X Y ,

6. Determine quais dos seguintes subconjuntos de Q são anéis, com a soma e multiplicação de números racionais: (a) Z ∈ Z} (b) R = { x ∈ Q : x  a (c) R = { ∈ Q : a, b ∈ Z e 2|b} (d) R = {

b a

∈ Q : a, n ∈ Z} (e) R = { ∈ Q : a, b ∈ Z e 2 |b} b 2an

7. Quais dos seguintes subconjuntos de M 2 (R) são anéis, com a soma e multiplicação de matrizes: Estruturas Algébricas e Aplicações


Capítulo 3. Anéis

66

(a) R1 = (b) R2 = (c) R3 = (d) R4 =

   0  00 a b a a

c

 :  :  0 :  0 0

b c b a b

a, b



∈R  a, b, c ∈ R  a, b ∈ R  : a, b, c ∈ R

8. Dê um exemplo de um anel finito não comutativo. Dê um exemplo de um anel infinito não comutativo que não têm unidade. 9. Seja A um anel cujas operações de soma e multiplicação são iguais. Mostre que A = {0}. 10. O anel {0, 2, 4, 6, 8} com a soma e multiplicação módulo 10 têm unidade, qual é? 11. Dê um exemplo de um subconjunto de um anel que é subgrupo com a soma, mas não é um subanel. 12. Mostre, com exemplos, que a equação ax = b têm mais de uma solução para a e b fixos. 13. Encontre um inteiro n que mostre que o anel Zn não possui necessariamente têm as seguintes propriedades que o anel dos inteiros têm: (a) a2 = a implica a = 0 ou a = 1. (b) ab = 0 implica a = 0 ou b = 0. (c) ab = ac com a  = 0 implica b = c. 14. Mostre que as três propriedades do exercício anterior são válidas para Z p com p primo. 15. Determine todos os elementos invertíveis de cada um dos seguintes anéis: (a) Z (b) Q (c) Z ⊕ Z (d) Z3 (e) Z4 (f) Z14 (g) M 2 (R) (h) Z2 ⊕ Z2 (i) M 2 (Z2 ) 16. Encontre os elementos invertíveis de Z18 . Resolva o seguinte sistema em Z18 :

5

x + 2 y = 1 x + 11 y = 7

= 0. 17. Mostre que um anel é comutativo se têm a propriedade que ab = ca implica b = c com a  18. Mostre que a interseção de qualquer coleção de subanéis de R é um subanel de R . 19. Achar todas as soluções de x 2 = 2 em: √ (a) Z5 [ 2] (b) Z14 20. Encontre todos os subanéis de Z6 . 21. Sejam a, b, c ∈ R, onde R é um anel comutativo, e suponha que a é uma unidade. Mostre que b divide c se, e somente se, ab divide c . 22. Sejam a, b ∈ R um anel, e m ∈ Z. Mostre que m · (ab) = ( m · a)b = a(m · b). 23. Mostre que se n ∈ Z e a ∈ R um anel. Então, n · (−a) = −(n · a). 24. Mostre que um anel que é cíclico com a soma é comutativo. 25. Seja a ∈ R um anel, e S = { x ∈ R : ax = 0}. Mostre que S é um subanel de R. 26. Seja R um anel. O centro de R é o conjunto { x ∈ R : xa = ax para todo a ∈ R}. Mostre que o centro de R é um subanel de R.



3.1 Exercícios

67

27. Descreva os elementos de M 2 (Z) que têm inverso multiplicativo. 28. Seja R um anel comutativo com unidade e seja U ( R) o conjunto das unidades de R . Mostre que U ( R) é um grupo com a multiplicação de R. Este grupo é chamado o grupo das unidades de R . 29. Determine U (Z[i]). 30. Determine U (Z[ x]). 31. Determine U (R[ x]). 32. Em Z6 , mostre que 4|2, em Z8 , mostre que 3|7, em Z15 , mostre que 9 |12. 33. Suponha que a, b ∈ R um anel comutativo com unidade. Se a é uma unidade de R e b2 = 0, mostre que a + b é uma unidade de R. 34. Suponha que existe um inteiro n > 1 tal que xn = x para todo x ∈ R. Se m é um inteiro positivo e am = 0 para algum a ∈ R, mostre que a = 0. = 0. 35. Dê um exemplo de um anel com elementos a e b com a propriedade que ab = 0, mas ba  n 36. Se n ∈ Z, com n > 1 e para todo x ∈ R um anel, temos que x = x, mostre que ab = 0 implica ba = 0. 37. Suponha que R é um anel tal que x 3 = x para todo x ∈ R. Mostre que 6 x = 0, para todo x ∈ R. 38. Suponha que a ∈ R um anel e que a4 = a2 . Mostre que a 2n = a2 para todo n ≥ 1. 39. Encontre um inteiro n > 1 tal que a n = a para todo a ∈ Z6 . O mesmo para Z10 . Mostre que tal n não existe em Zm quando m é divisível pelo quadrado de algum primo. 40. Sejam m e n inteiros positivos, e k = mmc(m, n). Mostre que m Z ∩ nZ = k Z. 41. Suponha que R é um anel com unidade, e a ∈ R tal que a2 = 1. Seja S = {ara : r ∈ R}. Mostre que S é um subanel de R. S têm unidade? 42. Quais dos seguintes conjuntos é subanel de M 2 (Z):

 (a)  (b)  (c)

a a+b a a b a a b b

−

a+b b a b b

−



 : 

a, b

 

∈Z : a, b ∈ Z



: a, b ∈ Z

43. Seja R = Z ⊕ Z ⊕ Z e S = {(a, b, c) ∈ R : a + b = c}. É S subanel de R ? 44. Seja R um anel com unidade. Mostre que S = {n · 1 : n ∈ Z} é um subanel de R . 45. Determine o menor subanel de Q que contém 1 /2. 46. Determine o menor subanel de Q que contém 2 /3. 47. Suponha que R é um anel e que a 2 = a para todo a ∈ R. Mostre que R é comutativo. Este anel é chamado de anel Booleano, em homenagem ao matemático inglês George Boole (1815-1864). 48. Dê um exemplo de um anel Booleano com 4 elementos. Dê um exemplo de um anel Booleano infinito. 49. Mostre que 4 x2 + 6 x + 3 é uma unidade em Z8 [ x]. 50. Dê um exemplo de um anel comutativo R com unidade, tal que a , b ∈ R, a  = b e a n = b n , am = bm para n e m relativamente primos.



Capítulo 3. Anéis

68

3.2 Domínios de Integridade Domínios de integridade são estruturas muito importantes na Teoria de Números e na Geometria Algébrica. = 0 e Definição 3.2.1 Seja R um anel e a ∈ R. Dizemos que a é um divisor de zero, se a  existe um b ∈ R, b  = 0, tal que ab = 0.

Definição 3.2.2 Dizemos que R é um Domínio de Integridade se R é um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero. Assim, em um domínio de integridade temos que um produto daria zero se e somente se um dos fatores for zero.

Exemplo 3.12 O anel Z é um domínio de integridade.



Exemplo 3.13 Os inteiros Gaussianos Z[i] é domínio de integridade.



Exemplo 3.14 O anel Z[ x] dos polinômios com coeficientes inteiros é domínio de integridade.



√

√

Exemplo 3.15 O anel Z[ 2] = {a + b 2 : a, b ∈ Z} é domínio de integridade.



Exemplo 3.16 O anel Z p onde p é primo, é um domínio de integridade.



Exemplo 3.17 O anel Zn não é domínio de integridade quando n não é primo.



Exemplo 3.18 O anel M 2 (Z) não é domínio de integridade.



Exemplo 3.19 Z ⊕ Z não é domínio de integridade.



= 0, e ab = ac Proposição 3.2.1 Sejam a , b, c ∈ R, onde R é um domínio de integridade. Se a  então b = c. = 0 e R é domínio de integridade, De ab = ac, temos que a (b − c) = 0 e como a  então devemos ter que b − c = 0, logo b = c. 

Demonstração.

Definição 3.2.3 Um conjunto K é um corpo se K é um anel comutativo com unidade, tal que todo elemento não nulo é uma unidade, isto é, possui inverso. = 0 e ab = 0, Em particular, um corpo é um domínio de integridade. De fato, se a , b ∈ K , a  então multiplicamos pelo inverso de a dos dois lados e temos que b = 0.

Teorema 3.2.2 Um domínio de integridade finito é um corpo. Demonstração. Seja D um domínio de integridade finito com unidade 1. Seja a D, a = 0. Nós devemos mostrar que a possui inverso. Se a = 1 nada a fazer, logo tomamos a = 1. Considere a sequência a , a2 , a3 , em D. Como D é finito, então devemos ter dois inteiros positivos i > j tal que ai = a j . Então, cancelando temos que ai− j = 1. Como a = 1, então temos que i j > 1, e daí segue que ai− j−1 é o inverso de a. 

∈ 

···





−

Corolário 3.2.3 Para todo primo p, Z p é um corpo. Demonstração. Pelo Teorema 3.2.2, é suficiente mostrar que Z p não têm divisores de zero. Assim, suponha que a, b Z p são tais que ab = 0. Então, temos que ab = pk para algum k Z. Isso implica  que p ab e como p é primo, segue que p a ou p b, logo em Z p temos que a = 0 ou b = 0.

|

∈

|

|

∈

A seguir, um exemplo de um corpo finito que não é da forma Z p . Estruturas Algébricas e Aplicações


3.2 Domínios de Integridade

69

Exemplo 3.20 Seja Z 3 [i] = {a + bi : a, b ∈ Z3 } = {0, 1, 2, i, 1 + i, 2 + i, 2i, 1 + 2i, 2 + 2i}, onde = 2. Este é o anel dos inteiros Gaussianos módulo 3. A seguir, damos a tabela de Cayley dos elementos não nulos de Z3 [i]. 

i2

1 1 2

i 2 1+i 2+i 2i 1 + 2i 2 + 2i i 1 2 1+i 2+i 2i 1 + 2i 2 + 2i i 2 1 2i 2 + 2i 1 + 2i 2+i 1+i i i 2i 2 2 + i 2 + 2i 1 1 + i 1 + 2i i 1 + i 1 + i 2 + 2i 2 + i 2i 1 1 + 2i 2 i 2 + i 2 + i 1 + 2i 2 + 2i 1 1+i 2i 2 i 2i 2i 1 1 + 2i 1 + i 2 2 + 2i 2 + i i 1 + 2i 1 + 2i 2 + i 1 + i 2 2i 2 + 2i 1 i 2 + 2i 2 + 2i 1 + i 1 + 2i 2 2+i 1 2i

√

√

Exemplo 3.21 Seja Q[ 2] = {a + b 2 : a, b ∈ Q}. Não é difícil mostrar que esse conjunto é um anel. Para mostrar que é um√ corpo, devemos mostrar que todo elemento não nulo possui inverso. √ √ Observe que o inverso de a + b 2 é 1/(a + b 2), mas devemos escrever da forma c + d 2 usando racionalização. Especificamente, 

√ √ − b 2 a b √ √ √ = · = 2 − 2 . a − 2b2 a2 − 2b2 a+b 2 a+b 2 a−b 2 1

1

a

Definição 3.2.4 A característica de um anel R é o menor inteiro positivo n tal que nx = 0 para todo x ∈ R. Se tal inteiro não existe, dizemos que R têm característica 0. Assim, a característica de Z é 0, de Zn é n. Um anel infinito pode ter característica não nula. Por exemplo, Z2 [ x] têm característica 2.

Teorema 3.2.4 Seja R um anel com unidade. Se 1 têm ordem infinita com a soma, então a característica de R é 0. Se 1 têm ordem n com a soma, então a característica de R é n. Demonstração. Se 1 têm ordem infinita, então não existe inteiro positivo n tal que n 1 = 0, assim R têm característica 0. Agora, suponha que 1 têm ordem aditiva n , então n 1 = 0. Logo, para qualquer x R, nós temos que

·

∈

·

n x

= = = =

·

x + x + + x(n somandos) x 1 + x 1 + + x 1(n somandos) x(1 + 1 + + 1)(n somandos ) x(n 1) = x 0 = 0 .

·

·

··· · ··· · ···

Assim, R têm característica n.



Teorema 3.2.5 A característica de um domínio de integridade é 0 ou um primo. É suficiente mostrar que se a ordem de 1 é finita e, deve ser um número primo. Suponha que 1 têm ordem n e que n = st , onde 1 ≤ s, t ≤ n. Então, 0 = n · 1 = (st ) · 1 = (s · 1)(t · 1). Logo, s · 1 = 0 ou t · 1 = 0. Como n é o menor inteiro positivo que satisfaz essa condição, devemos ter que s = n ou t = n, assim n é primo. 

Demonstração.



70

Capítulo 3. Anéis

3.3 Exercícios 1. Liste todos os divisores de zero em Z20 . Pode você ver a relação entre os divisores de zero de Z20 e as unidades Z20 . 2. Encontre um elemento não nulo em um anel que não é divisor de zero nem unidade. (Observe que um elemento não nulo do anel Zn é uma unidade ou um divisor de zero) = 0 pertencendo a um anel comutativo. Mostre que a é um divisor de zero, se e 3. Seja a  somente se, a2 b = 0 para algum b  = 0. 4. Encontre elementos a, b e c em Z ⊕ Z ⊕ Z tal que ab , ac e bc são divisores de zero, mas abc não é divisor de zero. ⊕ Z. 5. Descreva todos os divisores de zero e unidades de Z ⊕ Q √ 6. Em Z7 , dê uma interpretação razoável para 1 /2, −2/3, −3 e −1/6. 7. Dê um exemplo de um anel comutativo sem divisores de zero que não é um domínio de integridade. = 0, e 8. Encontre dois elementos a e b em um anel tal que ambos são divisores de zero, a + b  a + b não é divisor de zero. 9. Seja a ∈ R, onde R é um anel com unidade, e suponha que an = 0 para algum inteiro positivo n. (Tal elemento é chamado de nilpotente). Mostre que 1 − a têm inverso multiplicativo em R. 10. Mostre que o conjunto dos elementos nilpotentes de um anel forma um subanel. 11. Mostre que 0 é o único elemento nilpotente em um domínio de integridade. 12. Um elemento a de um anel é chamado de idempotente se a 2 = a. Mostre que os únicos idempotentes em um domínio de integridade são 0 e 1. 13. Se a e b são idempotentes em um anel comutativo, então mostre que cada um dos seguintes elementos também são idempotentes: ab, a − ab, a + b − ab, a + b − 2ab. 14. Mostre que Zn não têm elementos nilpotentes não nulos se, e somente se, n é divisível por algum quadrado de um número primo. 15. Determine todos os elementos de um anel que são nilpotentes e idempotentes ao mesmo tempo. 16. Mostre que no anel Z2 p os únicos elementos idempotentes são p e p + 1. 17. Encontre os divisores de zero em Z5 [i]. 18. Encontre um idempotente em Z5 [i]. 19. Encontre todas as unidades, divisores de zero, idempotentes e nilpotentes em Z3 ⊕ Z6 . 20. Obter o conjunto dos elementos nilpotentes dos anéis: Z , Z6 , Z8 e Z2 ⊕ Z4 . 21. Mostre que se a ∈ D, onde D é um domínio de integridade, e a2 = 1 então a = 1 ou a = −1. 22. Determine todos os elementos de um anel que são unidades e idempotentes ao mesmo tempo. 23. Seja R = {0, 2, 4, 6, 8} com a soma e multiplicação módulo 10. Mostre que R é um corpo. 24. Seja K um corpo de ordem 2 n . Mostre que a característica de K é 2. 25. Determine todos os elementos de um domínio de integridade que são seus próprios inversos multiplicativos. 26. Determine todos os n > 1 tais que ( n − 1)! é um divisor de zero em Z n . (Dica: Somente n = 4 têm que ( n − 1)! é divisor de zero em Zn . Mostre que para n ≥ 6, n composto, então (n − 1)! ≡ 0 (mod n). Tome n = ab e faça dois casos: 1) Quando a = b e observe que (n − 1)! ≡ 1 · 2 · 3 ··· a ···− a ···− 1 ≡ 0 (mod n). 2) Quando 0 < a < b < n então a e b aparecem (n − 1)!.) 27. Suponha que a, b ∈ D, onde D é um domínio de integridade. (a) Se a5 = b5 e a3 = b3 , mostre que a = b. (b) Se am = bm e an = bn , onde m e n são primos relativos, então mostre que a = b. 28. Se a é um elemento idempotente em um anel comutativo com unidade, mostre que 1 − a é também idempotente. Estruturas Algébricas e Aplicações


3.3 Exercícios

71

√

29. Mostre que Z7 [ 3] é um corpo. 30. Mostre que um anel comutativo finito e sem divisores de zero com pelo menos 2 elementos têm unidade. 31. Seja R um anel comutativo com unidade 1 e característica prima. Se a ∈ R é nilpotente, mostre que existe um inteiro positivo k tal que (1 + a)k = 1. 32. Dê um exemplo de um domínio de integridade infinito que têm característica 3. 33. Encontre todas as soluções de x 2 − x + 2 = 0 em Z3 [i]. 34. Considere a equação x 2 − 5 x + 6 = 0. (a) Quantas soluções esta equação têm em Z7 ? (b) Encontre todas as soluções que a equação têm em Z8 . (c) Encontre todas as soluções que a equação têm em Z12 . (d) Encontre todas as soluções que a equação têm em Z14 . 35. Encontre a característica de Z4 ⊕ 4Z. 36. Suponha que R é um domínio de integridade tal que 20 · 1 = 0 e que 12 · 1 = 0. Qual é a característica de R? 37. Em um anel comutativo de característica 2, mostre que o conjunto dos elementos idempotentes forma um subanel. 38. Se K é um corpo finito com n elementos, então mostre que xn−1 = 1 para todo x ∈ K \{0}. 39. Suponham que a e b pertencem a um corpo de ordem 8, e que a2 + ab + b2 = 0. Mostre que a = 0 e b = 0. 40. Suponha que F é um corpo de 27 elementos. Mostre que para todo elemento a ∈ F , temos que 5a = −a. 41. Verifique se são subcorpos: (a) M = {0, 1} de qualquer corpo K . ] = {a + bi : a√ , b ∈ Q} do corpo C. (b) Q[i√ (c) Q[ 3] = {a + b 3 : a, b ∈ Q} do corpo R. 42. Se F 1 , F 2 são subcorpos de um corpo F , mostre que F 1 ∩ F 2 é subcorpo de F . 43. Determine quais dos seguintes subconjuntos de R são subcorpos: √ (a) F 1 = {a + b√ 2 : a, b ∈ Q} (b) F 2 = {a + b 3 2 : a, b ∈ Q}



Capítulo 3. Anéis

72

3.4 Ideais e Anel Quociente Subgrupos normais são essenciais para construir grupos quocientes e, nesta seção, nós introduzimos o análogo para construir o anel quociente. Definição 3.4.1 Um subanel I de um anel R é chamado ideal de R se, para todo r ∈ R e para todo a ∈ I , têm-se que ar , ra ∈ I . Nós dizemos que o ideal I absorve todos os elementos do anel R. = / Teorema 3.4.1 Seja I ⊆ R, I  0 é um ideal se: 1. a − b ∈ I , para todo a, b ∈ I . 2. ar ∈ I e ra ∈ I para todo a ∈ I e para todo r ∈ R.

Exemplo 3.22 Para todo anel R, temos que {0} e R são ideais de R. O ideal {0} é chamado de ideal trivial. Exemplo 3.23 Para todo inteiro positivo n, temos que nZ é ideal de Z. Exemplo 3.24 Sejam R um anel comutativo com unidade e seja a ∈ R. O conjunto a = {ra : r ∈ R} é um ideal de R chamado de ideal principal gerado por a . Exemplo 3.25 Seja I ⊆ R[ x] o subconjunto de todos os polinômios com coeficientes reais e termo constante zero. Então I é um ideal e I =  x. Exemplo 3.26 Seja R um anel comutativo com unidade e a1 , a2 , . . . , an ∈ R. Então I = a1 , a2, . . . , an  = {r 1a1 + r 2a2 + ··· + r nan : r 1, r 2, . . . , r n ∈ R} éumidealde R, chamado o ideal gerado por a1, a2, . . . , an. Exemplo 3.27 Seja I ⊆ Z[ x] o conjunto de todos os polinômios com termo constante par. Então I é um ideal e I =  x, 2. 











Teorema 3.4.2 Sejam R um anel e I um subanel de R . O conjunto de classes {r + I : r ∈ R} é um anel com as operações (s + I ) + (t + I ) = (s + t ) + I e (s + I )(t + I ) = st + I se, e somente se, I é um ideal de R . Demonstração. Exercício.



Exemplo 3.28 Z/4Z = {0 + 4Z, 1 + 4Z, 2 + 4Z, 3 + 4Z}. Onde os elementos são operados módulo 4 tanto na soma quanto na multiplicação. Exemplo 3.29 2Z/6Z = {0 + 6Z, 2 + 6Z, 4 + 6Z}, onde as operações são essencialmente feitas módulo 6. Exemplo 3.30 Seja R = M 2 (Z) e I ⊆ R tal que todas as entradas são pares. É fácil ver que I é ideal de R. Considere o anel quociente R/ I . Quantos elementos têm? Note que 





R/ I =



r 1 r 3

r 2 r 4



+ I : r i



∈ {0, 1}

,

e daí podemos ver que R/ I têm 16 elementos. Essa situação pode ser vista no fato que

7 8  1 0 6 8  1 0 3

−1

+ I =

1 1

+

2

−2

+ I =

1 1

+ I .

Exemplo 3.31 Considere o anel quociente dos inteiros Gaussianos S = Z[i]/2 − i. Os elementos de S têm a forma a + bi + 2 − i, onde a, b ∈ Z. Observe que a classe 0 + 2 − i = 2 − i + 2 − i, o que implica que 0 é equivalente a 2 − i e daí que 2 = i. Por exemplo, o elemento 5 + 4i + 2 − i = 5 + 8 + 2 − i = 13 + 2 − i. Logo, todos os elementos de S podem ser escritos da forma a + 2 − i, 



3.4 Ideais e Anel Quociente

73

onde a ∈ Z. Mas podemos ainda mais reduzir o conjunto de representantes elevando ao quadrado a igualdade 2 = i e obtemos que 4 = −1 ou que 5 = 0. Assim, a classe 5 + 4i + 2 − i = 13 + 2 − i = 3 + 5 + 5 + 2 − i = 3 + 2 − i. Desta forma, podemos mostrar que todos os elementos de S é igual a uma das seguintes classes: 0 + 2 − i, 1 + 2 − i, 2 + 2 − i, 3 + 2 − i, 4 + 2 − i. Todas essas classes são distintas, pois a ordem aditiva da classe 1 + 2 − i é 5. Note também que S é o corpo Z5 .

Exemplo 3.32 Seja R = R[ x] e  x2 + 1 o ideal principal de R gerado por x2 + 1, isto é,



 x2 + 1 = { f ( x)( x2 + 1) : f ( x) ∈ R[ x]} . Então R[ x]/ x2 + 1 = g( x) + ( x2 + 1) : g( x)



 {

∈ R[ x]} = {a + bx + ( x2 + 1) : a, b ∈ R} ,

para ver a última igualdade, note que se g ( x) ∈ R[ x], então nós podemos escrever g( x) = q( x)( x2 + 1) + r ( x) com r ( x) = 0 ou o grau de r ( x) menor que 2 , logo r ( x) = ax + b para certos a , b ∈ R. Assim, g( x) +  x2 + 1 = q( x)( x2 + 1) + r ( x) +  x2 + 1 = r ( x) +  x2 + 1 , pois o ideal  x2 + 1 absorve o elemento q( x)( x2 + 1). Para a multiplicação dos elementos, observe que x 2 + 1 +  x2 + 1 = 0 +  x2 + 1, então segue que podemos pensar x 2 + 1 como 0, ou x 2 = −1. Assim, por exemplo, temos que ( x + 3 + x2 + 1 ) (3 x

 · − 7 +  x2 + 1) = (3 x2 + 2 x − 21 +  x2 + 1) = 2 x − 24 +  x2 + 1 . Pelo fato dos elementos do anel ser ax + b +  x2 + 1 e que x 2 +  x2 + 1 = −1 +  x2 + 1, não é 

surpresa que este anel é o mesmo anel dos números complexos. Esta observação foi feita primeiro por Cauchy em 1847.

Definição 3.4.2 Seja R um anel comutativo. Dizemos que um ideal próprio I ⊂ R é um ideal primo, se para todo a , b ∈ R tal que ab ∈ I então a ∈ I ou b ∈ I . Dizemos que um ideal próprio M ⊂ R é um ideal maximal , se dado B ideal de R tal que M ⊆ B ⊆ R temos que M = B ou R = B. Dizemos que um ideal não nulo I ⊂ R é um ideal minimal, se dado J ideal de R tal que {0} ⊆ J ⊆ I temos que J = {0} ou J = I . Assim, o único ideal que contém propriamente o ideal maximal é o próprio anel, e o único ideal que está contido no ideal minimal é o {0}.

Exemplo 3.33 Se R é um domínio de integridade, então I = {0} é um ideal primo de R . Exemplo 3.34 Seja R = Z e n ∈ Z, n > 1. Então, o ideal nZ é primo, se e somente se, n é primo. Note que no anel dos inteiros não existem ideais minimais. Exemplo 3.35 Quando construímos o latice de Z36 , vemos que os únicos ideais maximais dele são 2 e 3. Também vemos que os únicos ideais minimais de Z36 são 12 e 18. 





Exercício 3.1 O ideal  x2 + 1 é maximal em R[ x]. Exemplo 3.36 O ideal  x2 + 1 não é primo em Z2 [ x], pois x2 + 1 ∈ x2 + 1, mas x2 + 1 = ( x + 1)2 ∈  x2 + 1. e x + 1  

Teorema 3.4.3 Seja R um anel comutativo com unidade e I um ideal de R . Então, R / I é um domínio de integridade se, e somente se, I é um ideal primo. Estruturas Algébricas e Aplicações


Capítulo 3. Anéis

74

Demonstração. Suponha que R/ I é um domínio de integridade e que ab I . Então, (a + I )(b + I ) = ab + I = I , o elemento zero em R / I . Logo, devemos ter que a + I = I ou b + I = I , o que implica que a I ou b I e, portanto, I é ideal primo. Para mostrar a outra parte, observe que R/ I é um anel comutativo com unidade para qualquer ideal próprio I . Assim, temos que mostrar que quando I é um ideal primo, então R/ I não têm divisores de zero. Suponhamos que (a + I )(b + I ) = 0 + I = I , então ab I e daí que como I é ideal primo, então a I ou b I e portanto a + I = I ou b + I = I . 

∈

∈

∈

∈

∈

∈

Teorema 3.4.4 Seja R um anel comutativo com unidade e M um ideal de R . Então, R/ M é um corpo se, e somente se, M é um ideal maximal. Demonstração. Suponha que R / M é um corpo e que B é um ideal de R que contém propriamente M . Seja b B tal que b M . então b + M é um elemento não nulo de R / M e, portanto, possui inverso. Logo, existe c + M não nulo, tal que ( b + M )(c + M ) = 1 + M e daí que 1 bc M B. Assim, 1 = 1 bc + (bc) B e, portanto, B = R o que implica que M é maximal. Agora, suponhamos que M é maximal e que b R com b M . Temos que mostrar que b + M possui inverso multiplicativo. Considere o ideal B = M + b = a + br : a M , r R . Claramente, este ideal contém propriamente M , e como M é maximal, então devemos ter que B = R e daí que 1 B, logo existe a M e r R tal que 1 = br + a. Logo,

∈

∈

−

∈

∈

− ∈ ⊂

∈

∈  {

∈

∈ }

∈

∈

1 + M = ( br + a) + M = br + M = ( b + M )(r + M ) . As outras propriedades de corpo, seguem trivialmente.



Exemplo 3.37 O ideal  x é primo em Z [ x] mas não é maximal. Observe que  x = { f ( x) ∈ Z[ x] : f (0) = 0}. Assim, se f ( x)g( x) ∈  x então temos que f (0)g(0) = 0 e como f (0) e g (0) são inteiros então devemos ter que f (0) = 0 ou g (0) = 0. Para ver que  x não é maximal, é suficiente ver que  x ⊂  x, 2 ⊂ Z[ x]. 

3.5 Exercícios 1. Encontre um subanel de Z ⊕ Z que não é um ideal de Z ⊕ Z. 2. Seja S = {a + bi : a, b ∈ Z, e b par}. Mostre que S é um subanel de Z[i], mas não é um ideal de Z[i]. 3. Encontre todos os ideais de cada um dos anéis abaixo e diga quais deles são primos, quais maximais e quais minimais. (a) Z8 (b) Z10 (c) Z12 (d) Zn 4. Mostre que a interseção de qualquer conjunto de ideais de um anel é um ideal. 5. Se I e J são ideais de um anel, mostre que a soma de I e J , dado por I + J = {a + b : a ∈ I , b ∈ J } é um ideal. 6. Em Z, encontre um inteiro a tal que (a) a = 2 + 2 (b) a = 6 + 8 (c) a = m + n 7. Sejam I e J ideais de um anel R . Mostre que o produto I J = {a1 b1 + a2 b2 + ··· an bn : ai ∈ I , e b i ∈ J , e n > 0} é também ideal de R . 8. Sejam I e J ideais de um anel R. Mostre que IJ ⊆ I ∩ J . 9. Se I e J são ideais de R um anel comutativo com unidade e I + J = R, mostre que I ∩ J = IJ . Estruturas Algébricas e Aplicações


3.5 Exercícios

75

10. Se um ideal J de um anel R contém uma unidade, mostre que I = R. 11. Se R é um anel finito, comutativo com unidade, mostre que todo ideal primo de R é um ideal maximal de R . 12. Dê um exemplo de um anel que têm exatamente dois ideais maximais. 13. Suponha que R é um anel comutativo e | R| = 30. Se I é um ideal de R , tal que | I | = 10, mostre que I é um ideal maximal. 14. Seja I = 2. Mostre que I [ x] não é um ideal maximal de Z [ x], mas mostre que I é ideal maximal de Z. 15. Seja R um anel comutativo com unidade. Mostre que todo ideal maximal de R é também um ideal primo. 16. Dê um exemplo de um anel comutativo que têm um ideal maximal que não é ideal primo. 17. Se R é um anel comutativo com unidade e I é um ideal próprio, mostre que R / I é um anel comutativo com unidade. 18. Escreva todos os elementos distintos no anel Z[ x]/3, x2 + 1. 19. Mostre que I = {(3 x, y) : x, y ∈ Z} é um ideal maximal de Z ⊕ Z. Generalize. O que acontece se trocar 3 x por 4 x? Generalize. 20. Seja R = Z8 ⊕ Z30 . Encontre todos os ideais maximais de R , e para cada ideal maximal I , calcule o número de elementos do corpo R/ I . 21. Quantos elementos têm Z[i]/3 + i. Justifique sua resposta. 22. Em Z ⊕ Z, seja I = {(a, 0) : a ∈ Z}. Mostre que I é um ideal primo mas não é maximal. 23. Mostre que I = 2 + 2i não é um ideal primo de Z[i]. Quantos elementos têm Z[i]/ I ? Qual é sua característica? 24. Em Z5 , seja I =  x2 + x + 2. Encontre o inverso multiplicativo de 2 x + 3 + I em Z[i]/ I . 25. Sejam R um anel comutativo e I um ideal qualquer de R. Mostre que o Nil Radical de I , dado por N ( I ) = {r ∈ R : r n ∈ I , para algum inteiro positivo n} é um ideal. N (0) é chamado o Nil radical de R. 26. Seja R = Z27 . Encontre (a) N (0) (b) N (3) (c) N (9) 27. Seja R = Z36 . Encontre (a) N (0) (b) N (4) (c) N (6) 28. Seja I um ideal de um anel comutativo. Mostre que N ( N ( I )) = N ( I ). 29. Mostre que Z2 [ x]/ x2 + x + 1 é um corpo. 30. Mostre que Z3 [ x]/ x2 + x + 1 não é um corpo. 31. Mostre que Z[i]/1 − i é um corpo, quantos elementos têm este corpo? 32. Quantos elementos têm Z5 [i]/1 + i? 33. Mostre usando um exemplo, que a interseção de ideais primos não necessariamente é um ideal primo.√ √ 34. Seja R = Z[ −5] e seja I = {a + b −5 : a, b ∈ Z, a − b é par}. Mostre que I é ideal maximal de R . 35. Seja R um anel comutativo com unidade e com a propriedade que a2 = a para todo a ∈ R. Se I é um ideal primo de R , mostre que | R/ I | = 2. 36. Seja R um anel comutativo com unidade, e I um ideal próprio tal que todo elemento de R que não está em I é uma unidade de R . Mostre que I é o único ideal maximal de R. 37. Verifique se é subanel, ideal, ideal primo ou ideal maximal. (a) {0, 2, 4} no anel Z6 . Estruturas Algébricas e Aplicações


Capítulo 3. Anéis

76

(b) mZ no anel Z. (c) mZ ⊕ nZ no anel Z ⊕ Z. (d) { x ∈ Z : mdc( x, 5) = 1} no anel Z. (e) Z ⊕{0} no anel Z ⊕ Z. (f) Z ⊕ 3Z no anel Z ⊕ Z. (g) 2Z ⊕ 6Z no anel Z ⊕ Z. (h) 2Z ⊕ 7Z no anel Z ⊕ Z. 38. Descreva os seguintes ideais principais: (a) 2 em Z8 . (b) −5 em Z. (c)  27  em Q. (d) 3 em Z16 . (e) 2 em 2Z. (f) − 35  em R. 39. Mostre que todos os ideais de um anel Zm são principais. 40. (a) Seja I um ideal de um anel comutativo R. Mostre que J = { x ∈ R : x · i = 0, para todo i ∈ I } é um ideal de R . O ideal J é chamado o anulador do ideal I . (b) Determine J no caso que R = Z16 e I = 2. 41. Seja R um anel comutativo e a, b ∈ R. Dizemos que a é associado de b, se existe um elemento u ∈ U ( R), tais que a = b · u. (a) Mostre que a é associado de b se, e somente se, a = b. (b) Quais são os elementos associados de 5 no anel Z? 42. Sejam I e J dois ideais de um anel R . Mostre que se I ∩ J = {0}, então x · y = 0 para todo x ∈ I e y ∈ J . 43. Dê um exemplo de dois ideias I , J num anel R , tal que I ∪ J não é ideal de R. 44. Sejam I =  x e J =  y ideais de Z. Mostre que I + J = mdc( x, y) e que I ∩ J = mmc( x, y). Determine, 12 + 21 e 12∩21. 45. Mostre que um anel R comutativo com unidade, é domínio de integridade se, e somente se, {0} é ideal primo. 46. Considere R = C (R) o anel das funções contínuas f : R → R. Para a , b ∈ R define-se os conjuntos:

{ ∈ C(R) : f (a) = 0} ,

I a = f

{ ∈ C (R) : f (a) = f (b) = 0} .

I a,b = f

(a) Mostre que I a e I a,b são ideais de C (R). = b, então temos que (b) Mostre que se a 

{0}  I ,  I  C (R) (c) Mostre que I , não é ideal primo de C (R). (d) Prove que I é ideal primo de C (R). (e) Mostre que I , não é ideal maximal de C (R). (f) Prove √ que I é ideal maximal de C (R). √ √ 47. No anel Z [ 3], definimos os subconjuntos I = {3a + b 3 : a, b ∈ Z} e J = {7a + 7b 3 : a, b ∈ Z}. √ 3]. Além disso, que é ideal primo e ideal maximal de Z I (a) Mostre [ que é ideal de √ Z[ 3]. √ (b) Mostre que I =  3. √ 3]. Além disso, que é ideal primo e ideal maximal de Z que é ideal de J (c) Mostre [ √ Z[ 3]. (d) Mostre que I = 7. ab

a

ab

a

ab

a



3.6 Homomorfismos de Anéis

77

3.6 Homomorfismos de Anéis Definição 3.6.1 Um homomorfismo de anéis ψ : R → S é uma aplicação que preserva as duas operações de anéis, isto é, para todo a, b ∈ R temos que ϕ (a + b) = ϕ (a) + ϕ (b)

e

ϕ (ab) = ϕ (a)ϕ (b)

Um homomorfismo de aneis que é injetor e sobrejetor é chamado de isomorfismo de anéis.

Exemplo 3.38 Para qualquer inteiro positivo n, a aplicação ϕ : Z → Zn , dada por ϕ (k ) = k (mod n), é um homomorfismo de anéis, chamado de homomorfismo natural . 

Exemplo 3.39 A aplicação ϕ : C → C dada por ϕ (a + bi) = a − bi é um isomorfismo de anéis.



Exemplo 3.40 A aplicação ϕ : R[ x] → R definida por ϕ ( f ( x)) = f (1) é um homomorfismo de anéis. 

Exemplo 3.41 A aplicação ϕ : Z4 → Z10 definida por ϕ ( x) = 5 x é um homomorfismo de anéis. Não é muito natural mostrar que é homomorfismo, pois do lado esquerdo as operações são módulo 4 e do lado direito são feitas módulo 10. Assim, para verificar que ϕ preserva as operações, vamos escrever x + y = 4q1 + r 1 e xy = 4q2 + r 2 , onde 0 ≤ r 1 , r 2 < 4. Então, ϕ ( x + y) = ϕ (r 1 ) = 5r 1 = 5( x + y − 4q1 ) = 5 x + 5 y − 20q1 = 5 x + 5 y = ϕ ( x) + ϕ ( y) em Z10 . Analogamente, usando o fato que 5 · 5 = 5 em Z10 , temos que ϕ ( xy) = ϕ (r 2 ) = 5r 2 = 5( xy − 4q2 ) = 5 xy − 20q2 = 5 xy = 5 x5 y = ϕ ( x)ϕ ( y). 

Exemplo 3.42 Vamos encontrar todos os homomorfismos de anéis de Z12 para Z30 . Pela teoria de grupos, sabemos que a aplicação definida por ϕ (1) = a é homomorfismo para a = 0, 5, 10, 15, 20, 25. E como, 1 · 1 = 1 em Z12 , então devemos ter que a · a = a em Z30 , logo este requerimento tira o 5 e o 20. Assim, por simples cálculos se mostra que para todos os outros valores de a , ϕ é um homomorfismo de anéis. 

Exemplo 3.43 Se R é um anel comutativo de característica 2, então a aplicação ϕ (a) = a2 é um homomorfismo de anéis de R → R. 

A seguir, daremos algumas propriedades dos homomorfismos de anéis.

Teorema 3.6.1 Seja ϕ : R → S um homomorfismo de anéis, e seja A um subanel de R e J um ideal de S . 1. Para qualquer r ∈ R e n inteiro positivo, temos que ϕ (nr ) = nϕ (r ) e ϕ (r n ) = ( ϕ (r ))n . 2. ϕ ( A) = {ϕ (a) : a ∈ A} é um subanel de S . 3. Se A é um ideal e ϕ é sobrejetor, então ϕ ( A) é um ideal de S . 4. ϕ −1 ( J ) = {r ∈ R : ϕ (r ) ∈ J } é um ideal de R. = / 5. Se R têm unidade, S  0, e ϕ é sobrejetora, então ϕ (1) é a unidade de S . 6. ϕ é um isomorfismo se, e somente se, ϕ é sobrejetora e Ker (ϕ ) = {0}. 7. Se ϕ é um isomorfismo de R em S , então ϕ −1 é um isomorfismo de S em R. Demonstração. Exercício.



Os seguintes três teoremas têm resultados paralelos para grupos, e sua demonstração é deixada para o leitor.

Teorema 3.6.2 Seja ϕ : R → S um homomorfismo de anéis. Então, o núcleo Ker (ϕ ) = {r ∈ R : ϕ (r ) = 0} é um ideal de R. Estruturas Algébricas e Aplicações


Capítulo 3. Anéis

78

Teorema 3.6.3 (Primeiro Teorema de Isomorfismo para anéis) Seja ϕ : R → S um homomorfismo de anéis. Então a aplicação ϕ : R/Ker (ϕ ) → ϕ (S ) definida por ϕ (r + Ker (ϕ )) = ϕ (r ) é um isomorfismo de anéis, isto é, R/Ker (ϕ ) ∼ = ϕ (S ). Teorema 3.6.4 Todo ideal de um anel R é o núcleo de um homomorfismo de anéis de R . Em particular, o ideal I de R é o núcleo da aplicação ϕ : R → R/ I dada por ϕ (r ) = r + I . Exemplo 3.44 Como a aplicação ϕ : Z[ x] → Z dada por ϕ ( f ( x)) = f (0) é um homomorfismo sobrejetor de anéis, com núcleo Ker (ϕ ) =  x, então temos pelo Teorema 3.6.3 que Z[ x]/ x ∼ = Z, e como Z é um domínio de integridade, segue que  x é ideal primo mas não maximal. 

Teorema 3.6.5 Seja R um anel com unidade. Então a aplicação ϕ : Z → R definida por ϕ (n) = n · 1 é um homomorfismo de anéis. Demonstração. Quando a operação é soma, a propriedade multiplicativa a m+n = am an é tomado como ( m + n)a = ma + na, nós temos que ϕ (m + n) = ( m + n) 1 = m 1 + n 1, temos que ϕ preserva a operação de soma. Além disso, temos que ϕ (mn) = (mn) 1 = (m 1)(n 1) = ϕ (m)ϕ (n)

·

·

·

e portanto ϕ preserva também a multiplicação, logo é um homomorfismo.

·

·

·



Corolário 3.6.6 Se R é um anel com unidade e a característica de R é n > 0, então R contém um anel isomorfo a Zn . Se a característica de R é 0, então R contém um anel isomorfo a Z. Demonstração. Seja 1 a unidade de R e seja S = k 1 : k Z . Pelo teorema acima temos que a aplicação ϕ : Z S dada por ϕ (k ) = k 1 é um homomorfismo sobrejetor de anéis. Assim, pelo Primeiro Teorema de Isomorfismo para anéis, temos que Z/Ker (ϕ ) = S . Claramente, temos que Ker (ϕ ) = n quando n é a ordem aditiva de 1, e portanto n é também a característica de R . Assim, quando R têm característica n , segue que S = Z/ n = Zn . Quando R têm característica 0, então  segue que S = Z/ 0 = Z.

→

 ∼  ∼

·

{·

∈ }

∼

∼  ∼

Corolário 3.6.7 Para qualquer inteiro positivo m, a aplicação ϕ : Z → Zm dada por ϕ ( x) = x (mod m) é um homomorfismo de anéis. Demonstração. Segue diretamente do teorema acima, pois em Z m temos que x (mod n) é x (mod n).

·1 

Corolário 3.6.8 Se F é um corpo de característica p, então F contém um subcorpo isomorfo a Z p . Se F é um corpo de característica 0, então F contém um corpo isomorfo aos números racionais. Demonstração. Sabemos

pelo corolário acima que se a característica é p, então F contém um subcorpo isomorfo a Z p , e se a característica é 0, então contém um subanel S isomorfo a Z. Assim, = 0}. Então T é isomorfo aos números racionais Q. defina T = {ab−1 : a, b ∈ S , b  

3.6.1 Corpo de Frações de um Domínio de Integridade Os números inteiros Z é um domínio de integridade, e podemos ver que os números racionais não é nada menos que o quociente de números inteiros, e de forma similar podemos construir um corpo a partir de um domínio de integridade qualquer. Estruturas Algébricas e Aplicações


3.6 Homomorfismos de Anéis

79

Teorema 3.6.9 Seja ( D, +, ·) um domínio de integridade. Então 1. Existe um corpo (F , ⊕, ), chamado o corpo de frações de D , tal que (a) (F , ⊕, ) contém um subanel que é isomorfo a ( D, +, ·). = 0 tais que f = a  b−1 . (b) Para todo f ∈ F , existem a, b ∈ D, b  2. Se (F 1 , ⊕1 , 1 ) e (F 2 , ⊕2 , 2 ) são corpos que satisfazem as condições (a) e (b), então eles são isomorfos. Demonstração. 1. Seja S = (a, b) : a, b D e b = 0 . Definimos uma relação de equivalência em S por (a, b) ( c, d ) se ad = bc . Assim, seja F = S / o conjunto das classes de equivalência, e denote a classe de (a, b) por a/b, isto é, a/b = (c, d ) S : ad = bc . Agora, definimos uma operação de soma e multiplicação em F por:

∼

a/b

{

∈

⊕ c/d = ( ad + bc)/bd

 } e

∼ {

a/b

∈

}

 c/d = ac/bd .

Observe que para que as operações de soma e multiplicação estejam no corpo de frações, é = 0 já que b  = 0 e d  = 0, o que é verdade porque D é um domínio preciso que o produto bd  de integridade. Agora, vamos mostrar que as operações estão bem definidas. Assim, seja a/b = a /b e c /d = c /d  , então temos que ab  = a b e cd  = c  d . Então segue que (ad + bc)b d  = adb  d  + bcb d  = ( ab )dd  + (cd  )bb = (a b)dd  + (c d )bb = a d  bd + c b bd = (a d  + c b )bd .

Logo, por definição temos que (ad + bc)/bd = ( a d  + b c )/b d  ,

e portanto a soma está bem definida. Analogamente, temos para a multiplicação que (ac)b d  = ( ab )cd  = ( a b)c d = ( a c )bd ,

e, por definição da operação temos que ac /bd = a c /b d  e portanto a multiplicação está bem definida também. Que F é um corpo podemos ver que 0 /1 é a identidade da soma e 1 /1 é a identidade da multiplicação, onde 1 denota a unidade de D , e o inverso aditivo de a/b é −a/b. O inverso multiplicativo de um elemento não nulo a/b é b/a. O resto das operações podem ser facilmente mostradas. Finalmente, a aplicação ϕ : D → F dada por ϕ ( x) = x/1 é um isomorfismo de D para ϕ ( D). Note que para um elemento a /b de F , temos que a/b = a/1  1/b = a/1  b−1 /1, onde a última igualdade nós temos do fato que 1 = bb−1 . 2. Agora mostremos a unicidade a menos de isomorfismo. Sejam (F 1 , ⊕1 , 1 ) e (F 2 , ⊕2 , 2 ) = 0 e vamos escrever dois corpos que satisfazem as condições desejadas. Seja b ∈ D, com b  − − 1 1 b1 para o inverso de b em (F 1 , ⊕1 , 1 ) e escrevemos b2 para o inverso de b em (F 2 , ⊕2 , 2 ). 1 = 0 e vamos escrever ( a/b)1 para denotar o elemento a 1 b− Sejam a , b ∈ D tal que b  1 e 1 (a/b)2 para denotar o elemento a 2 b− 2 . Defina a aplicação ρ : (F 1 , 1 , 1 )

⊕  → (F 2, ⊕2, 2) (a/b)1 → (a/b)2 .

Verifique que ρ está bem definida no sentido de que a imagem de um elemento x ∈ F 1 não depende do representante da classe. Além disso, verifique que ρ é um isomorfismo de corpos, isto é, que é uma bijeção e que preserva as operações. 



Capítulo 3. Anéis

80

Obs O item (2) do Teorema anterior diz que, a menos de isomorfismo, existe um único corpo K que satisfaz as condições (a) e (b). Observe que Q é o corpo de frações de Z.

Exemplo 3.45 Seja D = Z[ x]. Então o corpo de frações de D é Fr ( D) = { f ( x)/g( x) : f ( x), g( x) ∈ D, e g ( x)  = 0}. Quando F é um corpo, o corpo de frações de F [ x] é denotado por F ( x). = 0}. Exemplo 3.46 Seja p um primo. Então Z p ( x) = { f ( x)/g( x) : f ( x), g( x) ∈ Z p [ x], e g( x)  



3.7 Exercícios 1. Verifique se a aplicação ϕ : R → S é ou não é um homomorfismo do anel R no anel S , nos seguintes casos: (a) R = S = Z e ϕ ( x) = x + 1 (b) R = S = Z e ϕ ( x) = 2 x (c) R = S = Z ⊕ Z e ϕ ( x, y) = ( y, x) (d) R = S = C e ϕ (a + bi) = a − bi (e) R = Z, S = Zn e ϕ ( x) = x (f) R = Z ⊕ Z, S = Z e ϕ ( x, y) = x (g) R = Z, S = Z ⊕ Z e ϕ ( x) = ( 0, x) (h) R = Z, S = Z24 e ϕ ( x) = 5 x (i) R = Z, S = Z12 e ϕ ( x) = 4 x 2. Dê um exemplo de anéis R√ e S e um homomorfismo de anéis ϕ : R → S tal que ϕ (1 R )  = 1S . 3. Sejam os anéis R = {a + b −2} e S = M 2 (Q). √ a −2b (a) Mostre que ϕ : R → S definida por ϕ (a + b −2) = é um homomorfismo.



b

a



(b) ϕ é um isomorfismo? 4. Seja R um anel. Para cada elemento invertível a ∈ R, defina ϕ a : R → R por ϕ a (r ) = ara−1 . Mostre que ϕ a é um isomorfismo e dê uma fórmula para ϕ a ◦ ϕ b. 5. Seja ϕ : R → S um isomorfismo de anéis. Mostre que: (a) Se a ∈ R é um elemento idempotente, então ϕ (a) também o é. (b) Se a ∈ R é um elemento nilpotente, então ϕ (a) também o é. 6. Mostre que se ϕ : Z → Z é um isomorfismo, então ϕ é a aplicação identidade de Z. (Sugestão: Observe que ϕ (±1) = ±1 e que para todo m ∈ Z temos que m = ±1 ± 1 ···± 1 ) 7. Mostre que se ϕ : Q → Q é um isomorfismo de anéis, então ϕ é a aplicação identidade de Q. (Sugestão: Observe que ϕ (1) = 1 = n1 + 1n + ··· 1n (n vezes) para todo n ∈ N. A partir disto, calcule ϕ ( 1n )). 8. Calcular todos os homomorfismos de Z em Z. 9. Mostre que ϕ : Z5 → Z10 dada por ϕ ( x) = 5 x não preserva a soma. 10. Mostre que ϕ : Z4 → Z12 dada por ϕ ( x) = 3 x não preserva multiplicação. 11. Mostre que todo homomorfismo de anéis de Zn em Zn é da forma ϕ ( x) = ax, onde a2 = a. 12. Suponha que ϕ : Zm → Zn é um homomorfismo de anéis. Mostre que se ϕ (1) = a, então a2 = a. 13. É o anel 2 Z isomorfo ao anel 3 Z? É o anel 2Z isomorfo ao anel 4 Z? 14. Seja Z3 [i] = {a + bi : a, b ∈ Z3 }. Mostre que o corpo Z3 [i] é isomorfo como anel ao corpo Z3 [ x]/ x2 + 1. 15. Seja S =



a b

−

b a





: a, b ∈ R . Mostre que ϕ : C → S dada por ϕ (a + bi) =




a b

−

b a



,


3.7 Exercícios

81

é um isomorfismo de anéis. √ √ 16. Seja Z[ 2] = {a + b 2 : a, b ∈ Z} e H =



a b

2b a





√

: a, b ∈ Z . Mostre que Z[ 2] e H

são isomorfos como anéis. 17. A aplicação ϕ : Z5 → Z30 dada por ϕ ( x) = 6 x é um homomorfismo de anéis? Note que a imagem da unidade é uma unidade na imagem, mas não é a unidade de Z30 . 18. A aplicação ϕ : Z10 → Z10 dada por ϕ ( x) = 2 x é um homomorfismo de anéis? 19. Lembre que um elemento a em um anel é chamado de idempotente se a2 = a. Mostre que um homomorfismo de anéis leva elementos idempotentes em elementos idempotentes. 20. Determine todos os homomorfismos de anéis de Z6 em Z6 . Determine todos os homomorfismos de anéis de Z20 em Z30 . 21. Determine todos os isomorfismos de anéis de Zn em Zn . 22. Suponha que ϕ : Z ⊕ Z → Z ⊕ Z é um homomorfismo de anéis. Quais são as possibilidades para ϕ ((1, 0))? 23. Em Z, seja A = 2 e B = 8. Mostre que o grupo A / B é isomorfo ao grupo Z4 , mas o anel A/ B não é isomorfo como anéis a Z4 . 24. Determine todos os homomorfismos de anéis de Z ⊕ Z → Z. 25. Se m e n são inteiros positivos, mostre que a aplicação de Z m para Z n dada por ϕ ( x) = x (mod n) é um homomorfismo de anéis se, e somente se, n divide m. 26. Dê um exemplo de um homomorfismo de anéis, de um anel comutativo R para um anel S , que leva um divisor de zero de R para uma unidade de S . 27. Determine todos os homomorfismos de anéis de Q para Q. 28. Seja R um anel comutativo de característica prima p. Mostre que a aplicação de Frobenius definida por ϕ ( x) = x p é um homomorfismo de anéis de R para R. 29. Suponha que R e S são anéis comutativos com unidades. Seja ϕ : R → S um homomorfismo sobrejetor de anéis, e J um ideal de S . (a) Se J é primo em S , mostre que ϕ −1 ( J ) é primo em R. (b) Se J é maximal em S , mostre que ϕ −1 ( J ) é maximal em R. 30. Sejam R e S anéis. (a) Mostre que a aplicação de R ⊕ S para R dada por ϕ ((a, b)) = a é um homomorfismo de anéis sobrejetor. (b) Mostre que a aplicação de R para R ⊕ S dada por ϕ (a) = ( a, 0) é um homomorfismo injetor de anéis. (c) Mostre que R ⊕ S é isomorfo como anéis a S ⊕ R. 31. Determine todos os homomorfismos de anéis de R para R. √ √ 32. Mostre que Q[ 2] e Q[ 5] não são isomorfos como anéis. 33. Seja R um anel comutativo com unidade tal que {0} e R são seus únicos ideais. Mostre que R é um corpo. 34. Dê um exemplo de um anel sem unidade que está contido num corpo.

 

35. Seja R = A =

a b

b a





: a, b ∈ Z , e para A ∈ R seja ϕ ( A) = a − b ∈ Z.

(a) Mostre que ϕ é um homomorfismo. (b) Determine o núcleo de ϕ . (c) Mostre que R /Ker (ϕ ) é isomorfo como anel a Z. 36. Mostre que Zmn é isomorfo como anéis a Zm ⊕ Zn , quando m e n são relativamente primos. 37. Mostre que o corpo de frações de Z [i], os inteiros de Gauss, é, a menos de isomorfismo, Q[i] = { x + iy : x, y ∈ Q}. √ √ 38. Considere o subdomínio de R, Z[ 2] =√ {a + b 2 : a, b ∈ Z}. Identifique o subcorpo de R, que a menos de isomorfismo é o Fr (Z[ 2]). 39. Se o domínio D é um corpo, mostre que D = Fr ( D). Estruturas Algébricas e Aplicações


Capítulo 3. Anéis

82

40. Identifique o subcorpo de C que é o corpo de frações de Z[ω ], onde ω = cos(2π /3) + isen(2π /3). a  b} . Mostre Considere o corpo Q. Para p ∈ N, considere o conjunto Q( p) = { ∈ Q : p ∈ 41. Considere b que Q( p) é um domínio de integridade. 42. Em Q( p) defina o subconjunto pQ( p) =

{ ab ∈ Q( ) : p |a} . p

(a) Mostre que pQ( p) é um ideal de Q( p) . Mais ainda, mostre mostre que pQ( p) é ideal primo e ideal maximal de Q( p) . (b) Mostre que U (Q( p) ) = Q( p) \ pQ( p) . (c) Seja I um um ideal próprio de Q( p) . Mostre que I ⊆ p Q( p) .



4. Aplicações

4.1 SAGE Nesta secção

4.1.1 Resolvendo o Cubo Cubo Mágico Mágico

4.2 Teoria de Códigos 4.2.1 Códigos sobre Grupos 4.2.2 Códigos sobre Anéis

4.3 Robótica “O segredo de viver contente é adorar a Deus”

Índice Remissivo

Anel, 63 Anel, 63 associado, 76 associado, 76 booleano, 67 booleano, 67 característica, 69 característica, 69 centro, 66 centro, 66 com unidade, 63 unidade, 63 comutativo, 63 comutativo, 63 divisor, 63 divisor, 63 divisor de zero, 68 zero, 68 domínio de integridade, integridade, 68 elemento idempotente, 70 idempotente, 70 elemento nilpotente, 70 nilpotente, 70 homomorfismo, 77 propriedades, 77 propriedades, 77 ideal, 72 ideal, 72 maximal, 73 maximal, 73 Nilradical, 75 Nilradical, 75 primo, 73 primo, 73 principal, 72 principal, 72 teste, 72 teste, 72 propriedades, 64 propriedades, 64 subanel, 64 subanel, 64 teste, 64 teste, 64 Teorema Isomorfismo 1, 78 1, 78 unidade, 63 unidade, 63 Classe lateral, 43 lateral, 43 propriedades, 43 propriedades, 43 Corpo, 68 Corpo, 68 Corpo de Frações, 78 Frações, 78

Domínio, 68 Domínio, 68 Grupo, 11 Grupo, 11 cíclico, 27 cíclico, 27 Abeliano, 12 Abeliano, 12 alternado, 39 alternado, 39 cíclico, 22 cíclico, 22 centro, 23 centro, 23 diedral, 15 diedral, 15 homomorfismo, 53 núcleo, 53 núcleo, 53 propriedades, 53 propriedades, 53 inteiros Gaussianos, 22 Gaussianos, 22 isomorfismo, 53 isomorfismo, 53 Não Abeliano, 12 Abeliano, 12 ordem, 16 ordem, 16 Permutações, 35 Permutações, 35 permutações, 34 permutações, 34 produto interno direto, 50 direto, 50 Propriedades, 15 Propriedades, 15 quociente, 49 quociente, 49 rotações do tetraedro, 39 tetraedro, 39 Simetrias do Triângulo, Triângulo, 14 14 subgrupo, 21 subgrupo, 21 Teorema Isomorfismo 1, 55 1, 55 Teorema Isomorfismo 2, 60 2, 60 Teorema Isomorfismo 3, 60 3, 60 Unidades de Zn , 13 Homomorfismo de grupos, 53 grupos, 53

ÍNDICE REMISSIV R EMISSIVO O

85

Operação binária, 11 binária, 11 Ordem de um elemento, 16 elemento, 16 Permutação, 34 Permutação, 34 m ciclo, 36 ciclo, 36 estabilizador, 46 orbita, 46 orbita, 46 transposição, 37 transposição, 37 Polinômio alternado, 39 alternado, 39 Polinômio Simétrico, 39 Simétrico, 39 Relação, 5 Relação, 5 de equivalência, 5 equivalência, 5 Subgrupo, 21 Subgrupo, 21 índice, 45 índice, 45 centralizador de a, 24 definição, 21 definição, 21 estabilizador, 42 Gerado, 22 Gerado, 22 interseção, 23 interseção, 23 latice, 30 latice, 30 normal, 49 normal, 49 normalizador, 55 normalizador, 55 Simetrias do quadrado, 35 quadrado, 35 Teste finito, 22 finito, 22 Tabela de Cayley, 14 Cayley, 14 Teorema de Cauchy para Grupos Abelianos, 50 Abelianos, 50 Teorema de Fermat (pequeno), 45 (pequeno), 45 Teorema de Lagrange, 44 Lagrange, 44 Teorema Fundamental dos Grupos Cíclicos, 28 Cíclicos, 28



e Strut Uras

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