Dynamic of Structure

STRUCTURAL ENGINEERING SERIES

http://syaifulsipil96.blogspot.com/

`

DAFTAR

1.

Spring Constant

2.

Single Degree Of Freedom System

3.

Free Vibration-SDOF

4.

Viscous Damped Free Vibration-SDOF

5.

Undamped Harmonic Vibration-SDOF

6.

Damped Harmonic Vibration-SDOF

7.

Duhamel’s Integral

8.

Constant Force

9.

Rectangular Force

10.

Triangular Force

11.

Increasing Force

12.

Interpolation Of Excitation

13.

Central Difference Method

14.

Newmark’s Method

15.

Shear Building

ISI


[email protected]

STRUCTURAL ENGINEERING

SERIES

Title : Dynamic Of Structure

Topic : Single Degree Of Freedom System

1.

PENDAHULUAN

Sistem struktur berderajat tunggal SDOF adalah sebuah model struktur dimana massa struktur terkonsentrasi hanya pada satu lokasi saja. SDOF adalah jenis sistem struktur yang sederhana karena struktur dimodelkan sebagai massa terpusat M yang didukung oleh elemen struktur yang tidak bermassa yang mempunyai kekakuan lateral k.

2.

SISTEM STRUKTUR SDOF

Istilah yang harus dipahami adalah derajat kebebasan dinamik (DOF/ degree degree of freedom ) yaitu jumlah peralihan independen yang digunakan untuk mendefinisikan perpindahan massa struktur relatif terhadap posisi awalnya. Pada struktur SDF karena hanya ada 1 jumlah peralihan lateral maka struktur tersebut dinamakan single degree of freedom system . Sistem struktur SDF terdiri dari 3 komponen penting yaitu : 

Komponen massa, dimodelkan sebagai massa terpusat.



Komponen kekakuan, yaitu elemen vertikal yang mendukung massa tersebut, diasumsikan tidak mempunyai massa (yang sesunguhnya adalah massanya relatif kecil dibandingkan dengan massa struktur yang terpusat).



Komponen redaman.

Model struktur SDF dapat dilihat pada gambar :

dimana : M

= massa struktur yang terpusat

k

= kekakuan lateral elemen vertikal

u

= peralihan lateral struktur

3.

KEKAKUAN LATERAL

Hubungan beban peralihan sistem struktur SDF pada struktur yang linier elastis dan mempunyai deformasi yang kecil (small (small deformation ) adalah :

f = ku dimana : f

= gaya lateral

k

= kekakuan lateral elemen vertikal

Dynamic Of StructureDYN-01.doc

1


u

[email protected]

= peralihan lateral

Kekakuan lateral elemen vertikal dipengaruhi oleh kondisi dari kekakuan lentur balok yang didukungnya. Jika balok mempunyai kekakuan lentur yang sangat kaku dalam atau EI tak hingga maka kekakuan lateral untuk satu elemen vertikal adalah :

k=

12EIc h3

untuk semua elemen vertikal atau struktur adalah : k=∑

12EIc h3

jika tumpuan adalah sendi maka : k=

3EIc h3

dan jika balok tidak mempunyai kekakuan lentur atau EI=0 maka kekakuan lateral untuk satu elemen vertikal adalah :

k=

3EIc h3

untuk semua elemen vertikal atau struktur adalah : k=∑

3EIc h3

Kekakuan lateral struktur dengan memperhitungkan kekakuan lentur balok yang sebenarnya dapat dilakukan dengan metode kekakuan dan kemudian dilakukan kondensasi statik untuk mendapatkan kekakuan lateralnya. Dengan menggunakan metode kekakuan langsung maka dapat memodelkan struktur dengan derajat kebebasan yang lebih banyak.


2


[email protected]


SERIES


Topic : Free Vibration-SDOF

1.

PENDAHULUAN

Sistem struktur yang mengalami getaran bebas jika sistem struktur tersebut mengalami gangguan dari posisi keseimbangan statiknya dan bergetar bebas tanpa adanya beban dinamik luar. Gangguan tersebut berupa peralihan lateral awal dan kecepatan awal.

2.

RESPON GETARAN BEBAS

Persamaan dinamik getaran bebas tanpa redaman adalah : ..

m u+ ku = 0 dimana : m

= massa struktur

k

= kekakuan lateral

u

= peralihan lateral

Karena struktur adalah bergetar bebas maka dalam persmaaan diatas, pada suku sebelah kanan tidak ada gaya luar yang tergantung waktu yaitu p(t). Solusi umum persamaan getaran bebas adalah : u = A cos ωt + B sin ωt .

u = − Aω sin ωt + Bω cos ωt .

Gangguan awal berupa u(0) pada saat t=0 dan u(0) pada saat t=0. Dari persamaan diatas jika dimasukkan syarat awal tersebut maka didapat koefisien A dan B yaitu : .

A = u(0)

B=

.u(0)

ω

sehingga respon getaran bebas adalah : .

u( t ) = u(0) cos ωnt +

⎡.

d[u( t )] u( t ) = dt .

..

u(0)

ωn

sin ωnt

⎤

d⎢u( t )⎥

⎢ u( t ) = ⎣

dt

2 ⎦⎥ = d [u( t )] 2

dt

ωn =

k ⎛ rad ⎞ ⎜ ⎟ m ⎝ sec ⎠

Waktu yang diperlukan oleh sistem untuk melakukan satu kali getaran disebut periode getar alami Tn (natural period of vibration ) dan berhubungan dengan frekuensi getar alami

n.

Periode getar alami

dinyatakan sebagai berikut : Tn =


2π

ωn

(dt )

1


[email protected]

Jumlah getaran yang dilakukan setiap detiknya disebut frekuensi fn (natural cyclic frequency ), ), dinyatakan sebagai berikut : fn =

1 Tn

cyc ⎞ ⎛ ⎜ Hz / ⎟ sec ⎠ ⎝

fn =

ωn 2π

Properti getaran alami hanya tergantung dai massa dan kekakuan struktur. Untuk 2 buah sistem dengan massa yang sama tetapi berbeda kekakuannya, sistem dengan kekakuan yang lebih besar mempunyai fruensi alami yang lebih besar dan periode getar lebih pendek. Dan jika 2 buah struktur dengan kekakuan yang sama tetapi berbeda massanya, sistem dengan massa lebih besar mempunyai frekuensi alami lebih kecil dan periode getar lebih panjang. Amplitudo maksimum u0 dari sebuah sistem dengan getaran bebas adalah :

⎡. ⎤ 2 ⎢ u(0) ⎥ u0 = [u(0)] + ⎢ω ⎥ ⎢⎣ n ⎥⎦ Nilai

n, fn,

2

Tn dapat ditulis dalam bentuk yang lain yaitu :

ωn =

g

δst

fn =

1 2π

δst =

g

δst

Tn = 2π

δst g

mg k

δst adalah peralihan lateral statik dari massa yang berhubungan dengan kekakuan lateralnya, atau peralihan lateral struktur akibat gaya lateral mg. mg.


2


[email protected]


SERIES


Topic : Viscous Damped Free Vibration-SDOF

1.

PENDAHULUAN

Sistem struktur yang mengalami getaran bebas jika sistem struktur tersebut mengalami gangguan dari posisi keseimbangan statiknya dan bergetar bebas tanpa adanya beban dinamik luar. Gangguan tersebut berupa peralihan lateral awal dan kecepatan awal. Jika sistem mempunyai redaman yang lebih kecil dari redaman kritis maka sistem akan bergetar dan setiap waktunya akan mengurangi amplitudo getarnya.

2.

RESPON GETARAN BEBAS DENGAN REDAMAN

Persamaan dinamik getaran bebas dengan redaman adalah : ..

.

m u+ c u+ ku = 0 dimana : m

= massa struktur

c

= redaman

k

= kekakuan lateral

u

= peralihan lateral

jika persamaan tersebut dibagi dengan m maka : ..

.

u+ 2ζωn u+ ωn2u = 0

ζ=

c c cr

c cr = 2mωn = 2 km =

2k

ωn

dimana : ccr

= koefisien redaman kritis

Berdasarkan redaman kritis ada tiga kondisi yang dapat terjadi yaitu : 

c = ccr atau

ζ = 1 maka sistem akan kembali ke posisi seimbangnya tanpa mengalami getaran,

disebut critically damped system . 

c > ccr atau

ζ > 1 maka sistem akan kembali ke posisi seimbangnya tanpa mengalami getaran,

overdamped system . 

c
ζ < 1 maka sistem akan kembali ke posisi seimbangnya dengan getaran yang tiap

waktunya mengurangi amplitudo getarnya karena adanya redaman, underdamped system .

Sistem struktur yang nyata mempunyai kondisi yang ke-3 yaitu sistem struktur underdamped .

Karena struktur adalah bergetar bebas maka dalam persmaaan diatas, pada suku sebelah kanan tidak ada gaya luar yang tergantung waktu yaitu p(t). Solusi umum persamaan getaran bebas dengan redaman adalah : Dynamic Of StructureDYN-03.doc

1


[email protected]

u = e −ζωn t (A cos ωt + B sin ωt ) .

Gangguan awal berupa u(0) pada saat t=0 dan u(0) pada saat t=0. Dari persamaan diatas jika dimasukkan syarat awal tersebut maka didapat koefisien A dan B yaitu : .

A = u(0 )

B=

.u(0) + ζωnu(0 )

ωD

sehingga respon getaran bebas adalah :

⎡

⎛ .

⎢⎣

⎜ ⎝

⎞

⎤

⎟ ⎠

⎥⎦

⎜ .u(0) + ζωnu(0 ) ⎟ ⎢ ⎥ u( t ) = e −ζωn t ⎢u(0) cos ωDt + ⎜ ⎟ sin ωDt ⎥ ωD

⎡.

d[u( t )] u( t ) = dt .

ωD = ωn 1 − ζ 2

..

⎢ u( t ) = ⎣

TD =

Tn 1− ζ2

⎤

d⎢u( t )⎥ dt

2 ⎦⎥ = d [u( t )] 2

dt

fD =

1 TD

fD

=

ωD 2π

Nilai tersebut dalam keadaan teredam tidak begitu berpengaruh sampai dengan rasio redaman 20%. Pada sistem struktur getaran bebas dengan redaman, sistem akan bergetar dan kembali ke posisi seimbangnya dengan berkurangnya amplitudo getarnya mengikuti persamaan berikut :

± ρe−ζωn t


2⎤ ⎡ . ⎛ ⎞ ⎢ ⎜ .u(0) + ζωnu(0 ) ⎟ ⎥ ρ = ⎢u(0)2 + ⎜ ⎟ ⎥ ωD ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣

2


[email protected]


SERIES


Topic : Undamped Harmonic Vibration-SDOF

1.

PENDAHULUAN

Sistem struktur dengan getaran harmonis adalah sistem struktur yang bergetar akibat sebuah beban harmonik. Beban harmonik dapat merupakan fungsi sinusoidal atau juga fungsi cosinus. Berbeda dengan sistem dengan getaran bebas dimana tidak ada gaya luar maka pada sistem dengan getaran harmonik terdapat beban dinamik luar yang berupa sebuah fungsi.

2.

RESPON GETARAN HARMONIK TANPA REDAMAN

Beban harmonik yang bekerja adalah : p(t) = p0 sin ωt

p(t) = p0 cos ωt

dimana : p0

= amplitudo maksimum dari fungsi beban

ω

= frekuensi getar beban

Persamaan dinamik getaran harmonik tanpa redaman adalah : ..

m u+ ku = p0 sin ωt dimana : m

= massa struktur

k

= kekakuan lateral

u

= peralihan lateral

Solusi umum persamaan getaran harmonik tanpa redaman merupakan superposisi 2 solusi yaitu solusi komplementer dan solusi partikular, solusi tersebut adalah :

Komplementer uc (t) = A cos ωnt + B sin ωnt

Partikular

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎛ p ⎞ ⎟ sin ωt up (t) = ⎜ 0 ⎟⎜ ⎝ k ⎠⎜ ⎛ ω ⎞2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ 1 − ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ω ⎝ ⎝ n ⎠ ⎠

ω ≠ ωn

Konstanta A dan B didapat berdasarkan syarat awal yaitu :


1


[email protected]

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ω u(0 ) ⎜ p0 ωn ⎟ B= −⎜ ⎟ 2 k ωn ⎞ ⎟ ω ⎜⎜ 1 − ⎛ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ωn ⎠ ⎠ ⎝ .

A = u(0 )

Sehingga solusi akhir sistem dengan getaran harmonik adalah :

⎧ ⎫ ⎧ ⎡ ⎤ ⎫ ω ⎪ ⎪ ⎪ ⎢. ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ u(0 ) p0 ⎥ ⎪ ⎪ 1 ωn ⎪ p u(t ) = ⎨u(0) cos ωnt + ⎢ sin ωnt ⎬ + ⎨ 0 sin ωt ⎬ − ⎥ 2 2 k ⎪ ⎛ ω ⎞ ⎥ ⎪ ⎪k ⎛ ω ⎞ ⎪ ⎢ ωn ⎟⎟ ⎥ ⎟⎟ 1 − ⎜⎜ ⎪ ⎪ ⎪ 1 − ⎜⎜ ⎪ ⎢ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎩ ⎝ ωn ⎠ ⎦ ⎝ ωn ⎠ ⎣ ⎭ Persamaan tersebut diatas terdiri dari 2 bagian yaitu : 

Force vibration / steady state vibration , getaran tergantung dari beban harmonik tidka tergantung dari gangguan awal, mengandung faktor frekuensi getar beban tersebut atau ω.



Transient vibration , getaran tergantung dari gangguan awal.

Keadaan force vibration yaitu pada saat gangguan awal adalah 0 (baik peralihan lateral awal dan kecepatan awal) adalah : p u(t) = 0 k

⎛ ⎞ ω ⎜ sin ωt − ⎟ sin t ω n ⎟ 2 ⎜ ω n ⎠ ⎛ ω ⎞ ⎝ ⎟ 1 − ⎜⎜ ⎟ ω ⎝ n ⎠ 1

Respon dinamik steady state pada state pada frekuensi beban ωn = 0 adalah :

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 u(t ) = (ust )0 ⎢ sin ωt 2⎥ ⎢ ⎛ ω ⎞ ⎥ ⎟⎟ ⎥ ⎢ 1 − ⎜⎜ ω n ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ Deformasi statik akibat beban harmonik : p ust (t) = 0 sin ωt k Harga maksimum dari deformasi statik adalah :

(ust )0 = p0 k

Dari persamaan solusi sistem struktur dengan getaran bebas dapat kita ketahui bahwa jika frekuensi beban harmonik sama dengan frekuensi sistem maka deformasi yang terjadi akan membesar sampai tak hingga karena adanya pembagian dengan angka nol. Kondisi ini disebut resonansi, dan harus dihindari dalam desain struktur. 1

⎛ ω ⎞ ⎟ 1 − ⎜⎜ ⎟ ω n ⎝ ⎠


2

2


[email protected]


SERIES


Topic : Damped Harmonic Vibration-SDOF

1.

PENDAHULUAN

Sistem struktur dengan getaran harmonis adalah sistem struktur yang bergetar akibat sebuah beban harmonik. Beban harmonik dapat merupakan fungsi sinusoidal atau juga fungsi cosinus. Berbeda dengan sistem dengan getaran bebas dimana tidak ada gaya luar maka pada sistem dengan getaran harmonik terdapat beban dinamik luar yang berupa sebuah fungsi.

2.

RESPON GETARAN HARMONIK DENGAN REDAMAN

Beban harmonik yang bekerja adalah : p(t) = p0 sin ωt

p(t) = p0 cos ωt

dimana : p0

= amplitudo maksimum dari fungsi beban

ω

= frekuensi getar beban

Persamaan dinamik getaran harmonik tanpa redaman adalah : ..

.

m u+ c u+ ku = p0 sin ωt dimana : m

= massa struktur

c

= redaman struktur

k

= kekakuan lateral

u

= peralihan lateral

Solusi umum persamaan getaran harmonik tanpa redaman merupakan superposisi 2 solusi yaitu solusi komplementer dan solusi partikular, solusi tersebut adalah :

Komplementer uc (t ) = e− ζωn t (A cos ωDt + B sin ωDt )

Partikular up (t) = C sin ωt + D cos ωt

⎛ ω ⎞ ⎟⎟ 1 − ⎜⎜ ω ⎝ n ⎠

2

p C= 0 2 k ⎡ 2 2⎤ ⎡ ⎛ ω ⎞⎤ ⎛ ⎞ ω ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ + ⎢2ζ⎜ ⎟⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢ ⎣

⎝ ωn ⎠ ⎥⎦

⎢⎣ ⎝ ωn ⎠⎥⎦

ω ≠ ωn ⎛ ω ⎞ − 2ζ⎜⎜ ⎟⎟ p ⎝ ωn ⎠ D= 0 2 k ⎡ 2 2⎤ ⎡ ⎛ ω ⎞⎤ ⎛ ⎞ ω ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ + ⎢2ζ⎜ ⎟⎥ ⎜ ω ⎟ ⎥ ⎢ ⎜ ω ⎟⎥ ⎢ ⎝ n ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎝ n ⎠⎦

Sehingga solusi akhir sistem dengan getaran harmonik adalah : u(t ) = e−ζωn t (A cos ωDt + B sin ωDt ) + {C sin ωt + D cos ωt}


1


[email protected]

{

}

u(t ) = e −ζωn t (A cos ωDt + B sin ωDt ) +

⎧⎛ ⎪⎜ ⎪⎜ ⎪⎜ p0 ⎨⎜ ⎪⎜ k ⎪⎜ ⎪⎜⎜ ⎩⎝

⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎛ ω ⎞ ⎟ ⎜ 1− ⎜ ⎜ ω ⎟⎟ ⎟ ⎜p ⎝ n ⎠ sin ωt + ⎜ 0 ⎟ 2 ⎜k ⎡ ⎛ ω ⎞2 ⎤ ⎡ ⎛ ω ⎞⎤ 2 ⎟ ⎜ ⎢1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ + ⎢2ζ⎜⎜ ⎟⎟⎥ ⎟ ⎜ ⎢ ⎝ ωn ⎠ ⎥ ⎣ ⎝ ωn ⎠⎦ ⎟⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ 2

⎫ ⎞ ⎟ ⎪ ⎛ ω ⎞ ⎟ ⎪ ⎟⎟ − 2ζ⎜⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ωn ⎠ cos ωt ⎬ ⎟ 2 ⎪ ⎡ ⎛ ω ⎞2 ⎤ ⎡ ⎛ ω ⎞⎤ 2 ⎟ ⎪ ⎢1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ + ⎢2ζ⎜⎜ ⎟⎟⎥ ⎟ ⎪ ⎢ ⎝ ωn ⎠ ⎥ ⎣ ⎝ ωn ⎠⎦ ⎟ ⎣ ⎦ ⎠ ⎭

Kostanta A dan B didapat berdasarkan syarat batas yaitu gangguan awal berupa peralihan lateral awal dan kecepatan awal.


2


[email protected]


SERIES


Topic : Spring Constant

1.

PENDAHULUAN

Dalam analisis struktur baik analisis statik maupun diamik, elemen struktur dimodelkan sebagai pegas dengan kekakuan tertentu. Kekakuan tersebut dapat berupa kekakuan aksial maupun kekakuan lentur. Asumsi yang sering digunakan adalah pegas linier artinya hubungan antara gaya dengan peralihan mengikuti jalur berupa garis linier. Karena sistem masih linier maka superposisi respon dapat dilakukan.

2.

PEGAS PARAREL

Yang dimaksud dengan pegas pararel adalah suatu sistem pegas dimana akibat gaya luar yang bekerja akan mempunyai peralihan yang besarnya sama, atau untuk melakukan sebuah peralihan sebesar 1 unit diperlukan gaya sebesar jumlah dari konstanta pegas pararel tersebut.

Konstanta pegas pararel adalah : n

k e = ∑ ki i=1

dimana : ke

= konstanta pegas pararel ekivalen

ki

= konstanta pegas ke-i

3.

PEGAS SERI

Pegas seri adalah sistem pegas dimana peralihan dari titik akhir pada sebuah pegas merupakan penjumlahan dari peralihan pegas tersebut. Konstanta pegas seri adalah : n 1 1 = ∑ k e i=1 k i

dimana : ke

= konstanta pegas seri ekivalen

ki

= konstanta pegas ke-i


1


[email protected]


SERIES


Topic : Duhamel’s Integral

1.

PENDAHULUAN

Integral Duhamel digunakan untuk menghitung respons dinamik terhadap beban dinamik yang merupakan beban impulse dengan fungsi tertentu. Beban impulse adalah beban yang bekerja dalam selang waktu yang sangat kecil. Jika beban dinamik merupakan beban impulse maka respon total struktur adalah merupakan penjumlahan semua respon impulse, sehingga dapat dilakukan integrasi terhadap fungsi beban.

2.

INTEGRAL DUHAMEL

Integral Duhamel dapat digunakan untuk menghitung respon struktur terhadap fungsi beban dinamik baik untuk sistem dengan redaman dan sistem tanpa redaman. Respon struktur SDOF tanpa redaman adalah : u(t ) =

1 mωn

t

∫ p(τ) sin[ωn (t − τ)]dτ

0

untuk sistem SDOF dengan redaman, integral Duhamel menjadi : u(t ) =

1

t

∫ p(τ)e

mωD 0

−ζωn (t − τ )

sin[ωD (t − τ)]dτ

respon tersebut berlaku untuk struktur dengan kondisi awal 0, jika ada gangguan awal maka persamaan tersebut untuk struktur tanpa redaman menjadi : . ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 1 t ⎞ u(0) u(t ) = ⎜ u(0) cos ωnt + sin ωnt ⎟ + ⎜⎜ ∫ p(τ) sin[ωn (t − τ)]dτ ⎟⎟ ωn ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ mωn 0 ⎝ ⎠


1


[email protected]


SERIES


Topic : Constant Forces

1.

PENDAHULUAN

Beban dinamik konstan adalah beban dinamik dimana setiap pertambahan waktu beban tetap mempunyai nilai yang sama besar.

2.

BEBAN DINAMIK KONSTAN

Untuk mendapatkan respon struktur dapat digunakan integral Duhamel dengan memasukkan fungsi beban adalah :

p(τ ) = p0

u(t ) =

1 t ∫ p0 sin[ωn (t − τ)]dτ mωn 0

p u(t ) = 0 (1 − cos ωnt ) k

u(t ) =

p0 mωn2

(1 − cos ωnt )

u(t ) = (ust )0 (1 − cos ωnt )

Untuk struktur dengan redaman respon struktur menjadi :

⎡ ⎛ ⎞⎤ ζ ⎟ − ζω t⎜ ⎢ n u(t ) = (ust )0 1 − e cos ωDt + sin ωDt ⎟⎥ ⎜ ⎢ ⎜ ⎟⎥ 1− ζ2 ⎢⎣ ⎝ ⎠⎥⎦


1


[email protected]


SERIES


Topic : Rectangular Forces

1.

PENDAHULUAN

Beban dinamik persegi adalah beban dinamik dimana beban konstan sampai dengan waktu tertentu kemudian setelah itu beban menjadi nol dan bergetar bebas.

2.

BEBAN DINAMIK PERSEGI


Respon struktur dihitung dalam 2 selang waktu yaitu : 0≤t

≤

td p(τ ) = p0 p u(t ) = 0 (1 − cos ωnt ) k

u(t ) = (ust )0 (1 − cos ωnt )

t ≥ td

Setelah beban menjadi nol maka sistem bergetar bebas dengan kondisi awal adalah peralihan dan kecepatan pada saat td. Respon pada saat t d adalah : . p u(t d ) = 0 k

p u(t d ) = 0 (1 − cos ωnt d ) k

ωn

sin ωnt d

Pada saat t>td maka digunakan persamaan getaran bebas dengan kondisi awal tersebut : .

u(t ) = u( t d ) cos ωn (t − t d ) +

u( t d ) ωn

sin ωn (t − t d )

Untuk struktur dengan redaman dapat dilakukan integral Duhamel


1


[email protected]


SERIES


Topic : Triangular Forces

1.

PENDAHULUAN

Beban dinamik segitiga adalah beban dinamik dimana beban berkurang sesuai dengan pertambahan waktu sampai beban menjadi nol.

2.



Respon struktur dihitung dalam 2 selang waktu yaitu : 0 ≤ t ≤ td

⎛

p(τ) = p0 ⎜⎜1 −

⎝

τ ⎞ ⎟ t d ⎠⎟

p p ⎛ sin ωnt ⎞ u(t ) = 0 (1 − cos ωnt ) + 0 ⎜ − t⎟ k kt d ⎝ ω ⎠

t ≥ td Setelah beban menjadi nol maka sistem bergetar bebas dengan kondisi awal adalah peralihan dan kecepatan pada saat td. Respon pada saat td adalah : p u(t d ) = 0 k

⎛ sin ωnt d ⎞ ⎜ ⎟ cos t ω n d ⎜ ω t ⎟ ⎝ n d ⎠

p ⎛ cos ωnt d 1 ⎞ u(t d ) = 0 ⎜⎜ ωn sin ωnt d + − ⎟⎟ k ⎝ td t d ⎠ .

Pada saat t>td maka digunakan persamaan getaran bebas dengan kondisi awal tersebut : .

u(t ) = u( t d ) cos ωn (t − t d ) +

u( t d )

ωn

sin ωn (t − t d )

Untuk struktur dengan redaman dapat dilakukan integral Duhamel.


1


[email protected]


SERIES


Topic : Increasing Forces

1.

PENDAHULUAN

Beban dinamik bertambah adalah beban dinamik dimana beban terus bertambah sesuai dengan pertambahan waktu sampai beban menjadi tak hingga.

2.



⎛ τ ⎞ ⎟ ⎟ ⎝ t d ⎠

p(τ ) = p0 ⎜⎜

p ⎛ t sin ωnt ⎞ ⎟ u(t) = 0 ⎜⎜ − k ⎝ t d ωnt d ⎠⎟


1


[email protected]


SERIES


Topic : Interpolation Of Excitation

1.

PENDAHULUAN

Jika beban dinamik yang bekerja merupakan fungsi yang sembarang maka untuk mendapatkan responnya lebih mudah menggunakan metode numerik dibandingkan dengan metode eksak dengan menurunkan persamaan diferensial. Metode numerik efektif digunakan untuk analisis dengan bantuan komputer.

2.

METODE INTERPOLASI LINIER

Metode numerik yang paling sederhana adalah interpolasi linier, dimana fungsi beban diinterpolasi menurut jalur garis linier sepanjang Δt. Respon struktur dihitung dalam selang waktu ti
Fungsi beban dinamik dalam selang waktu tersebut adalah : p(τ) = pi +

Δpi τ Δti

Δpi = pi+1 − pi

Persamaan dinamik getaran bebas adalah : ..

m u+ ku = pi +

Δpi τ Δti

Respon ini terdiri dari 3 bagian yaitu : 

Respon getaran beban dengan kondisi awal adalah respon pada waktu ti.



Respon getaran akibat beban konstan pi dengan kondisi awal nol.



Respon getaran akibat beban linier yang meningkat

Δpi τ. Δti

Sehingga solusinya adalah dengan mensuperposisikan ketiga solusi tersebut menjadi satu : . ⎧ ⎫ ui ⎫ ⎧⎪ Δp ⎪ ⎪ ⎧p u(τ) = ⎨ui cos ωnτ + sin ωnτ⎬ + ⎨ i (1 − cos ωnτ )⎬ + ⎨ i ωn ⎭ ⎩⎪ k ⎪ ⎪ ⎩k ⎩ ⎭

⎛ τ sin ωnτ ⎞⎫⎪ ⎜⎜ − ⎟⎟⎬ ⎝ Δti ωnΔti ⎠⎭⎪

. ⎧ ⎫ ⎫ u ⎫ ⎧ Δp 1 ⎪ ⎪ ⎧p i (1 − cos ωnτ)⎬ = ⎨− ui sin ωnτ + cos ωnτ⎬ + ⎨ i (sin ωnτ )⎬ + ⎨ i ωn ⎪ ωn ⎭ ⎩ k ωnΔti ⎭ ⎪ ⎩k ⎩ ⎭

.

u(τ )

Dengan mensubtitusikan τ = Δt maka persamaan respon adalah : . ⎧ ⎫ ⎫ ui ⎫ ⎧ Δp 1 ⎪ ⎪ ⎧p (ωnΔti − sin(ωnΔti ))⎬ ui+1 = ⎨ui cos ωnΔti + sin ωnΔti ⎬ + ⎨ i (1 − cos ωnΔti )⎬ + ⎨ i ωn ⎭ ⎩ k ωnΔti ⎭ ⎪ ⎪ ⎩k ⎩ ⎭


1


[email protected]

. ⎧ ⎫ ⎫ ui ⎫ ⎧ Δp 1 ⎪ ⎪ ⎧p (1 − cos ωnΔti )⎬ = ⎨− ui sin ωnΔti + cos ωnΔti ⎬ + ⎨ i (sin ωnΔti )⎬ + ⎨ i ωn ⎪ ωn ⎭ ⎩ k ωnΔti ⎭ ⎪ ⎩k ⎩ ⎭

.

ui+1

Persamaan tersebut untuk respon dengan redama dapat dituliskan kembali menjadi : .

ui+1 = Aui + B ui + Cpi + Dpi+1 .

.

ui+1 = A ' ui + B' ui + C' pi + D' pi+1 Koefisien A, B,… D’ adalah : A =e

⎛ ζ ⎞ ⎟ sin ωDΔt + cos ωDΔt ⎟ ⎜⎜ 2 ⎟ ⎝ 1 − ζ ⎠

−ζωn Δt ⎜

⎛ 1 ⎞ sin ωDΔt ⎟⎟ ⎝ ωD ⎠

B = e− ζωn Δt ⎜⎜

⎧

⎡⎛

⎤⎫

⎞

⎛ ζ ⎟ 1 ⎪ 2ζ 1 − 2ζ 2 2ζ ⎞ ⎟⎟ cos ωDΔt ⎥ ⎪⎬ + e−ζωnΔt ⎢⎜⎜ − C= ⎨ sin ωDΔt − ⎜⎜1 + ⎟ ⎢⎜ ωDΔt ⎥⎪ k ⎪ ωnΔt ⎝ ωnΔt ⎠ 1 − ζ 2 ⎠⎟ ⎣⎢⎝ ⎦⎥ ⎩

D=

⎭

⎞⎫⎪ 1⎧ 2ζ 2ζ 2 − 1 2ζ ⎪ − ζωn Δt ⎛ ⎜ ⎟ − + ω Δ + ω Δ 1 e sin t cos t ⎨ D D ⎟⎬ ⎜ ωnΔt k ⎪ ωnΔt ⎝ ωDΔt ⎠⎭⎪ ⎩

A ' = −e

⎛ ω ⎞ ⎟ n sin ωDΔt ⎟ ⎜⎜ 2 ⎟ ⎝ 1 − ζ ⎠

−ζωn Δt ⎜

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

B' = e− ζωn Δt ⎜ cos ωDΔt −

⎧

ζ 1− ζ2

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

sin ωDΔt ⎟

⎡⎛

⎤⎫

⎞

ωn ζ 1⎪ 1 ⎟ sin ω Δt + 1 cos ω Δt ⎥ ⎪ + e−ζωn Δt ⎢⎜⎜ + C' = ⎨− D D ⎥⎬ ⎢⎜ 2 2 ⎟⎟ Δt k ⎪ Δt − ζ Δ − ζ 1 t 1 ⎠ ⎣⎢⎝ ⎦⎥ ⎪⎭ ⎩ ⎧

⎞⎫

⎛

ζ 1 ⎪ ⎟⎪ −ζω Δt ⎜ D' = sin ωDΔt + cos ωDΔt ⎟⎬ ⎨1 − e n ⎜ 2 kΔt ⎪ ⎜ ⎟ ⎝ 1 − ζ ⎠⎪⎭ ⎩

Contoh : A 0.813 A' -3.58

B 0.09067 B' 0.7559

C 0.01236 C' 0.1709

D 0.006352 D' 0.1871

Hanya dihitung sekali jika selang waktu sama. ti

pi

Cpi

Dpi+1

Bvi

vi

Aui

ui

0.0

0.0000

0.0000

0.0318

0.0000

0

0.0000

0

0.1

5.0000

0.0618

0.0550

0.0848

0.9355

0.0258

0.0318

0.2

8.6602

0.1070

0.0635

0.2782

3.0683

0.1849

0.2274

0.3

10.0000

0.1236

0.0550

0.4403

4.8562

0.5151

0.6337


2


[email protected]

0.4

8.6603

0.1070

0.0318

0.5

5.0000

0.0618

0.0000

0.6

0.0000

0.0000

0.0000

0.7

0.0000

0.0000

0.0000

0.8

0.0000

0.0000

0.9

0.0000

0.0000

1.0

0.0000

0.0000

ti

pi

C'pi

0.4290

4.7320

0.9218

1.1340

0.1753

1.9332

1.2110

1.4897

-0.2735

-3.0165

1.1771

1.4481

-0.6767

-7.4635

0.7345

0.9036

0.0000

-0.8048

-8.8762

0.0470

0.0578

0.0000

-0.6271

-6.9165

-0.6160

-0.7578

0.0000

-0.2281

-2.5157

-1.0105

-1.2431

D'pi+1

A'ui

ui

B'vi

vi

0.0

0.0000

0.0000

0.9355

0

0

0.0000

0

0.1

5.0000

0.8545

1.6203

-0.1137

0.0318

0.7071

0.9355

0.2

8.6602

1.4800

1.8710

-0.8142

0.2274

2.3193

3.0683

0.3 0.4

10.0000 8.6603

1.7090 1.4800

1.6203 0.9355

-2.2682 -4.0592

0.6337 1.1340

3.6708 3.5769

4.8562 4.7320

0.5

5.0000

0.8545

0.0000

-5.3324

1.4897

1.4613

1.9332

0.6

0.0000

0.0000

0.0000

-5.1833

1.4481

-2.2802

-3.0165

0.7

0.0000

0.0000

0.0000

-3.2345

0.9036

-5.6417

-7.4635

0.8

0.0000

0.0000

0.0000

-0.2070

0.0578

-6.7095

-8.8762

0.9

0.0000

0.0000

0.0000

2.7125

-0.7578

-5.2282

-6.9165

1.0

0.0000

0.0000

0.0000

4.4498

-1.2431

-1.9016

-2.5157

Grafik Hubungan Peralihan-Waktu 2 1.5 1 ) t ( u

0.5 0 -0.5 0. 0

0. 2

0. 4

0. 6

0. 8

1. 0

1. 2

0.8

1.0

1.2

-1 Peralihan

-1.5

t

Grafik Hubungan Kecepatan-Waktu 6 4 2 0 -2 0.0

0.2

0.4

0.6

-4 -6 -8

Kecepatan

-10 t


3


[email protected]


SERIES


Topic : Central Difference Method

1.

PENDAHULUAN

Jika beban dinamik yang bekerja merupakan fungsi yang sembarang maka untuk mendapatkan responnya lebih mudah menggunakan metode numerik dibandingkan dengan metode eksak dengan menurunkan persamaan diferensial. Metode numerik efektif digunakan untuk analisis dengan bantuan komputer.

2.

METODE CENTRAL DIFFERENCE

Metode ini berdasarkan peralihan konstan untuk selang waktu Δt. Peralihan pada selang waktu tersebut adalah : u −u ui = i+1 i−1 2 sehingga kecepatan dan percepatannya adalah : . u −u ui = i+1 i−1 2Δt

.. u − 2ui + ui−1 ui = i+1 (Δt )2

persamaan dinamik untuk sistem linier adalah :

⎛ u − 2ui + ui−1 ⎞ ⎛ ui+1 − ui−1 ⎞ ⎟ + c⎜ m⎜ i+1 ⎟ + kui = pi 2 ⎜ ⎟ ⎝ 2Δt ⎠ ( ) t Δ ⎝ ⎠

c ⎤ c ⎤ 2m ⎤ ⎡ m ⎡m ⎡ ⎢ 2 + 2Δt ⎥ui +1 = pi − ⎢ 2 − 2Δt ⎥ui−1 − ⎢k − 2 ⎥ui Δt ⎦ ⎣ Δt ⎦ ⎣ Δt ⎦ ⎣

⎡m c ⎤ kˆ = ⎢ + ⎥ ⎣ Δt 2 2Δt ⎦

kˆ ui+1 =pˆ i

⎡ m ⎡ c ⎤ 2m ⎤ pˆ i = pi − ⎢ ui−1 − ⎢k − − ⎥ ⎥ui 2 2Δt ⎦ Δt 2 ⎦ ⎣ Δt ⎣

pˆ i = pi − Aui−1 − Bui

peralihan pada i+1 adalah : ui+1 =

pˆ i kˆ

Kondisi awal peralihan adalah nol, u 0=0. Pada saat i=0 diperlukan nilai u -1 untuk mendapatkan u1 adalah menggunakan persamaan dengan menggunakan i=0 : .

u −u u0 = 1 −1 2Δt

..

u − 2u0 + u−1 u0 = 1 Δt 2

dari kedua persamaan tersebut didapatkan :

⎛ . ⎞ Δt 2 .. u−1 = u0 − Δt⎜ u0 ⎟ + u0 ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ Pada saat t=0 persamaan dinamiknya adalah : ..

.

m u0 + c u0 + ku0 = p0

..

.

p − c u0 − ku0 u0 = 0 m

Metode ini akan stabil jika memenuhi kondisi : Dynamic Of StructureDYN-13.doc

1


[email protected]

Δt Tn

3.

PROSEDUR



Lakukan perhitungan awal, yaitu :



u0 = 0

B.

⎛ . ⎞ Δt 2 .. u−1 = u0 − Δt⎜ u0 ⎟ + u0 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2

C.

c ⎤ ⎡m kˆ = ⎢ + ⎥ 2 2Δt ⎦ ⎣ Δt

D.

A=⎢

⎣ Δt 2

c ⎤ 2Δt ⎥⎦

.

⎡

B = ⎢k −

⎣

2m ⎤

⎥ Δt 2 ⎦

Untuk setiap i lakukan perhitungan : A.

pˆ i = pi − Aui−1 − Bui

B.

ui+1 =

C.

. u − ui−1 ui = i+1 2Δt

4.

CONTOH

u0

0

v0

0

a0

0

u-1

0

k^

−

π

..

u0 = 0

⎡m

1

p − c u0 − ku0 u0 = 0 m

.

A.

<

pˆ i kˆ .. u − 2ui + ui−1 ui = i+1 (Δt )2

26.13

a

24.53

b

-40.66

ti

pi

ui-1

ui

pi^

ui+1

0

0.0 0.0

0.00 0.0000 00 u-1 u-1

0.00 0.0000 00 u0

0.000 0.0000 0

0.00 0.0000 00 u1

0.00 0.0000 00

1

0.1 0.1

5.00 5.0000 00 u0

0.00 0.0000 00 u1

0.00 0.0000 00

5.00 5.0000 00 u2

0.19 0.1914 14

2

0.2 0.2

8.66 8.6602 02 u1

0.0 0.000 000 0 u2

0.191 0.1914 4

16.4 16.440 405 5 u3

0.62 0.6292 92

3

0.3 0.3

10.0 10.000 000 0 u2

0.19 0.1914 14 u3

0.62 0.6292 92

30.8 30.888 887 7 u4

1.18 1.1821 21

4

0.4 0.4

8.66 8.6603 03 u3

0.6 0.629 292 2 u4

1.182 1.1821 1

41.2 41.291 913 3 u5

1.58 1.5802 02

5

0.5 0.5

5.00 5.0000 00 u4

1.1 1.182 821 1 u5

1.580 1.5802 2

40.2 40.254 547 7 u6

1.54 1.5406 06

6

0.6 0.6

0.00 0.0000 00 u5

1.5 1.580 802 2 u6

1.540 1.5406 6

23.8 23.876 760 0 u7

0.91 0.9137 37

7

0.7 0.7

0.00 0.0000 00 u6

1.5 1.540 406 6 u7

0.9137 0.9137

-0.6 -0.637 372 2 u8

-0.0 -0.024 244 4

8

0.8 0.8

0.00 0.0000 00 u7

0.91 0.9137 37 u8

-0.0 -0.024 244 4 -23. -23.40 4055 55 u9

-0.8 -0.895 957 7

9

0.9

0.0000 0.0000 u8

-0.024 -0.0244 4 u9

-0.89 -0.8957 57 -35.82 -35.8224 24 u10

-1.370 -1.3709 9

10

1.0

0.0000 0.0000 u9

-0.89 -0.8957 57 u10

-1.370 -1.3709 9 -33.76 -33.7696 96 u11

-1.292 -1.2924 4


2


[email protected]


SERIES


Topic : Shear Building

1.

PENDAHULUAN

Bangunan geser adalah struktur dimana tidak ada tahanan rotasi pada elemen-elemen strukturnya. Sehingga peralihan bangunan geser adalah seperti pada balok kantilever yang disebabkan hanya oleh gaya geser. Asumsi pada bangunan geser adalah : 

Massa struktur total terkonsentrasi pada level lantai.



Balok mempunyai kekakuan yang tak hingga dalam arah aksialnya.



Deformasi struktur tidak tergantung dari gaya aksial kolom.

Derajat kebebasan bangunan geser berupa DOF arah lateral, 1 dof tiap 1 tingkat, sehingga jumlah total DOF adalah sebanyak jumlah tingkatnya.

2.

SHEAR BUILDING

Untuk analisis bangunan geser bangunan tersebut dimodelakan sebagai model kolom tunggal dengan massa terpusat pada level lantainya. Kekakuan lateral kolom tunggal merupakan pejumlahan semua kekakuan kolom pada tingkat tersebut. Kekakuan lateral kolom seragam dengan ujungnya yang mempunyai tahanan rotasi adalah : k=

12EI L3

Jika satu ujungnya jepit dan lainnya sendi maka : k=

3EI L3

dimana : L

= panjang elemen kolom

Model struktur bangunan geser adalah :


1


[email protected]

Persamaan dinamik bangunan geser tanpa redaman adalah :

⎧.. ⎫

[M]⎪⎨u⎪⎬ + [K ]{u} = [F] ⎪⎩ ⎪⎭

⎡M1 0 0 0 ⎤ ⎢0 M 0 0 ⎥ 2 ⎥ [M] = ⎢ ⎢0 0 . 0⎥ ⎢ ⎥ 0 0 Mn ⎦ ⎣0

− k2 ⎡k1 + k 2 ⎢ k k2 + k3 − [K ] = ⎢ 2 ⎢ 0 − k3 ⎢ 0 ⎣ 0

0

0⎤

⎥ − k 3 0⎥ k 3 0⎥ ⎥ 0 .⎦

dimana : M1

= massa tingkat ke-1

k1

= kekakuan lateral tingkat 1


2


[email protected]


SERIES


Topic : Newmark’s Method

1.

PENDAHULUAN

Metode Newmark adalah metode numerik untuk analisis respon dinamik. Ada 2 asumsi yang digunakan yaitu asumsi percepatan konstan (average acceleration ) dan percepatan linier (linier acceleration ). ). Kedua asumsi tersebut dibedakan berdasarkan penggunanan parameter

γ dan β.

Parameter tersebut diturunkan berdasarkan dari solusi eksak dengan asumsi percepatan konstan dan percepatan linier.

2.

NEWMARK’ METHOD

Penggunanaan parameter γ dan β adalah untuk menentukan variasi percepatan dalam selang waktu tertentu dan juga menentukan stabilitas serta akurasi dari metode ini. Paramater tersebut adalah : 

Percepatan konstan dalam selang waktu Δt, γ =



Percepatan linier dalam selang waktu Δt, γ =

1 1 dan β = 2 4

1 1 dan β = 2 6

Prosedur perhitungan dengan metode Newmark adalah : A.

Lakukan perhitungan awal .

;;

B.

1.

p − c u0 − ku0 u0 = 0 m

2.

γ 1 kˆ = k + c+ m βΔt β(Δt )2

3.

A=

1

βΔt

m+

γ c β

B=

⎛ γ ⎞ 1 − 1⎟⎟c m + Δt⎜⎜ 2β ⎝ 2β ⎠

Lakukan perhitungan setiap waktu i 1.

Δpˆ i = Δpi + Au& i + Bu&&i

2.

Δui =

3.

Δu& i =

⎛ γ ⎞ γ γ Δui − u& i + Δt⎜⎜1 − ⎟⎟u&&i βΔt β ⎝ 2β ⎠

4.

Δu&&i =

γ γ & 1 && Δui − u − u 2 βΔt i 2β i β(Δt )

5.

ui+1 = ui + Δui

Δpˆ i kˆ

u& i +1 = u& i + Δu& i

&&i +1 = u &&i + Δu &&i u

Metode Newmark akan stabil jika memenuhi kondisi sebagai berikut :


1


[email protected]

Δt Tn

≤

1

1

π 2

γ − 2β

Jika digunakan asumsi percepatan konstan ( γ =

1 1 dan β = ) maka kondisi tersebut menjadi : 2 4

Δt Tn

≤≈

artinya asumsi percepatan akan stabil untuk setiap nilai Δt, tetapi keakuratannya baik jika Δt kecil.

Jika digunakan asumsi percepatan linier ( γ =

1 1 dan β = ) maka kondisi tersebut menjadi : 6 2

Δt Tn


≤ 0.551

2

Dynamic of Structure

Recommend Documents