DPCM

CAP ´ ITULO 2. MUESTREO MUESTREO Y CUANTIZA CUANTIZACIN. CIN.

45

emisora adems env´ env´ıa una imagen imagen de un comercial omercial Ejemplo 2.25 Realizar el ejemplo 2.23 , si la emisora 2 con un tamao de 3x3 in , resolucin de 16 bits, profundidad de 200 dpi, y a una frecuencia de una imagen cada 3 segundos. Sea RA la tasa de transmisin de la msica y RB la tasa de transmisin del video (imagen enviada con cierta frecuencia). Tomando la ecuacin 1.50 : R = RA + RB = f sA pix K sA I X A + f sB sB I X B = 288kbps + f s abK pix

= 288kbps +

{ } { }  H z ∗ 3in ∗ 3in ∗ 200dpi ∗ 16bits = 297,6kbps 3

1

Luego, R

≤ C ⇒ f abK s

pix pix K

≤ BLog

2

(1 + SN R)

⇒ 297,6kbps ≤ 426,12kbps

Por lo cual se determina que el anlisis es correcto.

2.15.

DPCM

En PCM, cada muestra de la forma de onda es cuantizada independientemente de los dems. Sin embargo, muchas fuentes de informacin muestreadas a la tasa de Nyquist muestran una correlacin significativa entre muestras sucesivas, es decir, el cambio promedio en la amplitud entre muestras sucesivas es relativamente pequeo. Por lo tanto, un esquema de cuantizacin que explote la redundancia en las muestras, resulta en un nmero menor de s´ımbolos para la fuente. Una solucin es cuantizar las diferencias entre muestras sucesivas en vez de las muestras mismas. Como las diferencias son de menor magnitud que las muestras (se espera), se requiere menos bits para cuantizar. La modulacin de pulsos codificados codificados diferenciales (DPCM) esta diseada espec´ıficamente ıficame nte para aprovechar las redundancias, de muestra a muestra [6]. Con DPCM, la diferencia en la amplitud en las dos muestras sucesivas se transmite en vez de la muestra verdadera. Debido a que el rango de las diferencias de las muestras es menor que el rango de las muestras individuales, se requieren menos bits para DPCM que el PCM convencional. La seal de entrada analgica se limita en la banda a la mitad de la razn de muestra, despus se compara al nivel de la seal acumulada anteriormente en el diferenciador. El resultado X m es la cuantizacin de la diferencia ∆s(tj ) = s(tj )

− s(t

j 1) −

(2.46)

y se transmite. El convertidor A/D funciona igual que en sistema PCM convencional excepto que utiliza menos bits por muestra.

2.15.1 2.15.1..

DPCM DPCM por esti estimac macin in de la la fuent fuente. e.

Una mejor aproximacin de la fuente original, al ser enviada, se tiene hallando el valor estimado de la muestra s(tj ), s(tj ) de acuerdo a N muestras anteriores, dado por: N

s(tj

 )=

n=1

an s(tj )

(2.47)

CAP ´ ITULO 2. MUESTREO Y CUANTIZACIN.

46

Figura 2.17: Cuantizador DPCM.

Figura 2.18: Decuantizador DPCM.

Donde an es un coeficiente de prediccin. Esta secuencia debe ser la misma para transmisin y recepcin. Un buen mtodo para hallar los valores del predictor es minimizando el error cuadrtico medio (MSE) dado por: M SE N = N 0 = E

  

X m

  )  2

N

 −

an X m (tj

i=1

n

−

(2.48)

El cual resulta en una ecuacin polinmica para ser optimizada. Se transmite entonces el valor cuantizado de la diferencia dada por ∆s(tj ) = s(tj )

− s(t ) j

(2.49)

Para eliminar el efecto de error de memoria debido a las muestras anteriores, se utiliza una realimentacin de la seal cuantizada como prediccin de s(tj ), como se muestra en la figura 2.19. Como esta seal se encuentra a la salida del cuantizador, la salida del predictor es : N

s(tj

 )=

an X(tj

n)

−

(2.50)

n=1

Donde Xm (tj n )= X m + s(tj ) es el valor equivalente a s(tj ) al ser procesado. Luego, la diferencia dada por ∆s(tj ) es la entrada al cuantizador y X m es la salida. −

2.15.2.

Ruido de cuantizacin.

Una de las caracter´ısticas de utilizar DPCM es la de minimizar el ruido de cuantizacin, a costa de la aparicin del error acumulado dado por las muestras anteriores. Esto se muestra haciendo:


47

Figura 2.19: Cuantizador DPCM.

Figura 2.20: Detector DPCM.

η = X m

= X m

− ∆S (t ) = X − (s(t ) − s(t − s(t ) + s(t ) = η + s(t j

j

j 1 ))

P CM

j 1)

m

j

j 1 −

−

(2.51)

−

Ntese que existe un valor de error de cuantizacin, ηP CM , debido a la amplitud de los niveles de cuantizacin, pero ahora es dependiente de la muestra anterior. Para el caso DPCM con estimacin de la fuente: η = X m

− ∆S (t ) = ( X (t ) − s(t )) − (s(t ) − s(t )) = X (t ) − s(t ) → X − s(t ) = η j

m

j

m

j

j

j

m

j

j

j

(2.52)

P CM

Donde ηP CM es el error de cuantizacin si el proceso fuera realizado por un cuantizador PCM. Ntese que en este caso el error de cuantizacin slo depende de la muestra actual, por lo que el error X m . acumulado de las muestras anteriores se minimiza siempre y cuando Xm (tj )

→

2.16.

ADPCM (Adaptative DPCM).

Muchas de las seales en transmitir tienen la propiedad que la varianza y la funcin de autocorrelacin varan lentamente en el tiempo (proceso cuasi-estacionario). Sin embargo PCM y DPCM estn diseados para seales estacionarias (la varianza y autocorrelacin no var´ıan). Para ello se realiza una adaptacin a estos dos cuantizadores-compresores. Como la seal f (t) es cuasiestacionaria, el error de cuantizacin tambin lo es. Este sistema toma la varianza de las N muestras anteriores de s(tj ) y de acuerdo a esto lo estima. Una forma de estimarlo es de acuerdo a la relacin:


48

∆S (tj+1 ) = ∆S (tj ) M (m) Donde M (m) es el factor cuyo valor depende del nivel de cuantizacin necesario para alcanzar a s(tj ) y ∆S (tj ) es el tamao del paso del cuantizador para procesarlo. En la figura 2.21 se ilustra la conversin para 4 bits de cuantizacin.

·

Figura 2.21: Niveles de Cuantizacin AD-PCM. M (m) se encuentra en tablas de acuerdo al nivel de cuantizacin (en bits). En la tabla 2.3 se

ilustran los valores calculados para una seal de voz (Jayant 1974) para una cuantizacin adaptiva de 2, 3 y 4 bits.

K M (1) M (2) M (3) M (4) M (5) M (6) M (7) M (8)

PCM 2 3 0.60 0.85 2.20 1.00 1.00 1.50

Tabla 2.3: Valores de niveles de cuantizacin. DPCM 4 2 3 4 0.80 0.80 0.90 0.90 0.80 1.60 0.90 0.90 0.80 1.25 0.90 0.80 1.70 0.90 1.20 1.20 1.60 1.60 2.00 2.00 2.40 2.40


2.17.

49

DELTA MODULACIN (DM).

Los sistemas Delta Modulacin (DM) se pueden considerar como sistemas DPCM de un bit. El principio bsico de Delta Modulacin consiste en que el cuantizador transmite un 1 para indicar que la amplitud de la seal de la fuente s(tj ) es mayor que la amplitud de su seal estimada s(tj ) (pendiente positiva), y un 0 para indicar que s(tj ) es menor que s(tj ) (pendiente negativa). En el otro lado del sistema, el decuantizador reconstruye la seal de la fuente usando una salida en serie de las secuencias de 1 bit desde el cuantizador, en la misma forma que el cuantizador form la seal estimada de mensaje: Sumando o restando un intervalo de cuantizacin del total acumulado de intervalos anteriores. Sin embargo, con un solo bit, los cuantizadores Delta no pueden realmente transmitir la diferencia entre las amplitudes de la seal original de mensaje y la amplitud de la seal estimada del mismo. Puesto que solamente se usa un bit para cuantizar, los sistemas DM requieren una frecuencia de muestreo elevada, tal que se incremente la cantidad de informacin contenida en la seal cuantizada.

{}

{}

Ejemplo 2.26 Un valor tpico de tasa de muestreo se encuentra entre 5 y 10 veces la frecuencia de

Nyquist, es decir: ωs = 10(2ωm ) = 20ωm

2.17.1.

MODULACIN DELTA LINEAL.

El sistema de Modulacin Delta Lineal (LDM) se puede considerar como un sistema DPCM simplificado. En lugar de cuantizar la amplitud de la diferencia de las muestras, el cuantizador DM cuantiza la polaridad de la diferencia entre el valor muestreado y un valor estimado de el valor anterior. Puesto que la polaridad slo puede ser positiva o negativa, es suficiente un bit de cuantizacin para transmitir la seal fuente por DM. Esto implica que existen 2 K = 2 niveles de cuantizacin para el seguimiento de la seal. Para determinar el repliegue del siguiente valor diferencia ∆ S (tj ), el cuantizador DM compara la seal fuente con una reconstruccin de la seal formado en un lazo de realimentacin similar al de DPCM. La seal reconstruida o de seguimiento Xm (tj ) se forma sumando los valores de los niveles de cuantizacin a la suma de las muestras previas. De la misma forma la seal se reconstruye en el decuantizador. El sistema LDM usa un cuantizador de dos niveles (1 bit) junto a un predictor de primer orden s(tj )=Xm (tj 1 ), como se muestra en la figura 2.22. La figura 2.24 muestra una seal f (t) y su correspondiente seal de seguimiento X m (tj ) para DM desde su comienzo. Inicialmente X m (tj ) sube hasta que se cruza con f (t), cambiando luego de direccin (bajando) hasta que se cruza nuevamente con la seal. Puesto que la seal X m (tj ) sube o baja en los mismos intervalos, la cuantizacin se puede considerar lineal. La figura 2.25 muestra las formas de onda t´ıpicas en varios puntos a travs del sistema DM. La mayor´ıa de las seales en el sistema DM son continuas en amplitud. El primer bloque en el codificador es un comparador (Sumador ms la funcin signo), el cual compara la amplitud de s(tj ) con la amplitud de la seal estimada s(tj ). La salida del comparador entrega un valor 1 , cuando la amplitud de la seal fuente es mayor que la seal estimada y un valor 0 , cuando la amplitud de la seal fuente es menor que la estimada. Esta seal luego se env´ıa al cuantizador, donde se convierte en X m . Esta seal en serie se transmite al canal y tambin se env´ıa al integrador en lazo de realimentacin del cuantizador. −

{}

{}


Figura 2.22: Diagrama de bloques de un cuantizador DM.

Figura 2.23: Diagrama de bloques de un detector DM.

Figura 2.24: Seguimiento de f(t) mediante LDM.

50


51

Figura 2.25: Descripcin de las seales en DM.

Tanto el lazo de realimentacin como el decuantizador ejecutan la misma funcin: La reconstruccin de la seal. El decuantizador es esencialmente el mismo lazo realimentado del cuantizador. Ambos contienen un integrador que forma una reconstruccin de la seal original de mensaje. El conversor en el decodificador reconstruye la seal transmitida despus que ha pasado por el canal. Los integradores evalan la integral de la seal para formar la seal reconstruida s(tj ). Puesto que es un tren de pulsos el que est siendo integrada, el resultado es una serie de rampas de pendientes ascendentes y descendentes. Al igual que todos los sistemas previos, generalmente se inserta un LPF antes de la entrada del cuantizador para limitar la banda de la seal fuente y despus de la salida del decuantizador para suavizar la seal reconstru´ıda. El integrador forma la seal reconstruida en el sistema bsico DM mostrado en la figura 2.26. Puesto que la seal DM es construida en una serie de pulsos, la seal integrada estar construida de una serie de rampas. La figura 2.26(a) muestra una seal detectada DM t´ıpica y la 2.26(b) la seal reconstruida con integrador lineal, en diente de sierra. El tamao del intervalo de cuantizacin es la distancia movida hacia arriba por una rampa de pendiente X 0 (ecuacin 2.12): X 0 =

2Ac M X 0 durante un periodo de la seal CLK. Algunos

o hacia abajo por una rampa de pendiente sistemas DM usan acumuladores en lugar de integradores para reconstruir el mensaje. La seal reconstruida mediante un acumulador se muestra en la figura 2.26(c). Se usar el integrador y la seal integrada en la mayor´ıa de los casos puesto que los mdulos DM de pendiente continua usan integradores para formar la seal reconstruida.

−

2.17.2.

Ruido por solapamiento.

Existe, debido a las altas tasas de muestreo que implica utilizar DM, un riesgo de presentarse distorsin debido a que los niveles de cuantizacin se ponen al mximo permitido debido a pendientes


52

Figura 2.26: Descripcin de seales en un detector LDM.

altas de la seal. Esto se puede resolver aumentando la tasa de muestreo.

2.17.3.

Ruido de cuantizacin.

Al igual que los sistemas PCM y DPCM, los sistemas DM sufren los efectos del ruido de cuantizacin. El ruido de cuantizacin, en el sistema LDM est dado por: η = X m

− ∆S (t ) = X − (s(t ) − X j

m

j

m (tj 1 )) −

(2.53)

El cual determina un error de tipo acumulativo. En el caso de DPCM, existe un valor de error de cuantizacin fijo debido a que X m estar cerca de s(tj ) en un valor ηP CM . Para el caso de DM, X m tiene solo dos valores, que comprenden el valor positivo y negativo del intervalo m´ınimo de cuantizacin. Esto conlleva a que el ruido se minimiza si y solo si X m ∆S (tj ). Para el resto de los casos, el ruido de cuantizacin se hace presente. Esto conlleva a dos casos particulares: El ruido granular y el ruido por saturacin de la pendiente. La figura ilustra el proceso bsico de modulacin DM con los dos casos, los cuales se ilustrarn a continuacin. El Ruido granular. Se produce cuando X m >> ∆S (tj ). Esto es, cuando la pendiente es demasiado pequea para el nivel mnimo del cuantizador. El primer paso es la puesta en marcha, el cual trae la seal integrada al nivel de la seal de mensaje. Puesto que la seal muestreada tiene una amplitud menor que la seal, la seal digital es una serie de impulsos. Una vez se realiza la puesta en marcha, la seal de seguimiento tiene que moverse hacia arriba o hacia abajo a travs del rango del nivel de cuantizacin por cada ciclo de reloj; esto significa que no se realiza un seguimiento del valor de la seal durante este intervalo. La diferencia entre la seal fuente la seal integrada causada

≈


53

Figura 2.27: Descripcin de ruidos de cuantizacin en LDM.

por el seguimiento produce un ruido granular. La figura 2.27 ilustra el ruido granular en un sistema DM. El ruido granular ocurre cuando el cuantizador DM est siguiendo el valor de la seal fuente que vara lentamente. Cuando el nivel de cuantizacin es demasiado grande para las variaciones de la seal, estas variaciones no se podrn detectar. A fin de detectar estas variaciones, se requiere de un nivel de cuantizacin ms pequeo. En la figura 6.12a la seal fuente se cuantiza con un nivel de cuantizacin grande. Despus de filtrarse, la seal estimada es plana, tal que no se presentan las variaciones presentes en el seal. Si se cuantiza con un nivel ms pequeo, tal como se muestra en la figura 6.12b, se producir una seal reconstruida que se parece ms a la seal fuente. Los efectos de cuantizacin del ruido se pueden reducir disminuyendo la pendiente de las rampas usadas para formar la seal reconstru´ıda de mensaje, aumentando la frecuencia de reloj o con una combinacin de ambos.

Figura 2.28: Reduccin del ruido granular.

El ruido por saturacin de la pendiente se produce cuando X m << ∆S (tj ). Esto es, cuando


54

la pendiente es demasiado grande para el nivel m´ınimo del cuantizador. Para este caso, la amplitud de la seal muestreada empieza a aumentar rpidamente. La seal integrada no se puede levantar lo suficientemente rpido para tomar el valor de la seal con un valor pequeo de error. Este valor de error se denomina ruido por saturacin de la pendiente. Cuando esto ocurre, como la amplitud de la seal de la fuente aumenta, la seal digital estar en el valor alto, como se muestra en la figura 2.28. Si ocurre saturacin de la pendiente cuando la seal de la fuente disminuye, la seal digital estar en valor ba jo. La saturacin de la pendiente puede encontrarse realmente en la mayor´ıa de los sistemas DPCM cuando el rango mximo de diferencia de la seal no se puede cuantizar. La distorsin por saturacin de pendiente se muestra en la figura 6.13. Se presenta cuando la pendiente de la seal fuente es mayor que la pendiente de las pendientes en la seal integrada as´ı que la seal integrada va atrasada con respecto a la seal de mensaje. La seal integrada no puede alcanzar la seal fuente hasta que los cambios rpidos de la pendiente de la seal de mensaje disminuyan.

Figura 2.29: Ruido por saturacin.

Figura 2.30: Variacin del ruido por saturacin. El ruido por saturacin de pendiente se puede reducir aumentando el tamao del intervalo de cuantizacin. Existen dos formas de incrementar el tamao del nivel de cuantizacin de un sistema DM: Aumentando la ganancia del integrador o aumentando la frecuencia del reloj.


2.18.

55

Modulacin Delta Adaptivo (ADM)

El sistema descrito hasta ahora se conoce como DM Lineal (LDM), debido a que el tamao del intervalo de cuantizacin no cambia. Los sistemas en los cuales el tamao del intervalo de cuantizacin puede cambiar de acuerdo con los cambios de la seal fuente se conocen como sistemas DM Adaptativo (ADM). Una forma de ADM utiliza una tcnica denominada Delta de Pendiente Variante Continua (Continuous Variable Slope Delta CSVD). Esta tcnica monitorea la seal cuantizada por signos de distorsin de saturacin de la pendiente. Cuando se detecta un inicio de saturacin de pendiente, el nivel de cuantizacin se incrementa para reducir la sobrecarga producida.

Figura 2.31: Diagrama de bloque del cuantizador ADM.

Figura 2.32: Diagrama de bloque del detector ADM.

2.19.

Resolucin.

Como la cuantificacin de una seal f (t) como una funcin lineal, el mximo valor del error de cuantizacin es constante para todos los niveles. Sin embargo, no todos los valores de f (t) tienen la misma probabilidad de ocurrencia, por ejemplo, una seal de voz est distribuida estadsticamente alrededor de sus valores bajos.


56

La resolucin temporal determina el menor valor de tiempo que puede ser cuantizado. Esta incertidumbre se produce cuando se intenta reconstruir el valor de la seal. Esta incertidumbre es proporcional al tiempo de elevacin del sistema y, por tanto, inversamente proporcional a su ancho de banda. La resolucin temporal de un sistema de modulacin de pulsos en presencia de ruido es igual al tiempo de elevacin del modulador. Por lo tanto, una regla efectiva se produce cuando los pulsos deben estar espaciados al menos el ancho efectivo de la respuesta impulso del sistema.

Figura 2.33: Respuesta impulso de un sistema. Para la deteccin tenemos la siguiente consideracin. En el caso ideal de respuesta en frecuencia de un sistema de banda limitada, tenemos que, de acuerdo a la figura 2.34

Figura 2.34: Respuesta impulso de un filtro ideal.

ω H (ω ) = rect 2B

  exp(−

jω t0 ) =

h(t) =

1 2B

   exp(− 0

B sinc (B (t π

jω t0 )

−B < ω < B resto

· − t )) 0

(2.54) (2.55)

Corresponde a una respuesta a impulso. Al ser estimado este filtro por un escaln unitario , el cual corresponde a un flanco de subida de una seal PPM o PWM, se ve en la figura 2.35 y determina el tiempo de respuesta del sistema de forma inversamente proporcional al ancho de banda del filtro: tr = k

2π B

0

≤k<1

De forma ideal k = 1. Cuando se utilizan filtros de orden superior a 2, se tiene que k

(2.56)

≈ 0,5 y:


57

Figura 2.35: Respuesta a escaln.

tr

≈ Bπ

(2.57)

Al ser acondicionado el ruido, existe la posibilidad que dos pulsos consecutivos aparezcan dentro del tiempo de elevacin del sistema. La m´ınima precisin de tiempo que el sistema puede detectar un pulso en presencia de ruido es: ∆τ

=

≈t

r

π B

(2.58)

Cambiando el pulso por una funcin trapezoidal, tal que la respuesta del sistema sea consistente, la base superior es igual al tiempo de apertura y la base inferior igual a τ + 2tr .

Figura 2.36: Estimacin del tiempo de apertura. Se tiene lo siguiente: ∆τ tr

=

η (τ ) A

t ⇒ ∆τ = t ηA(τ ) = √SN R r

r

(2.59)

Si el SNR es bajo, tal que la presencia de ruido determina una prdida en la precisin de tiempo, π es decir, ∆τ = B : SN R =

2

  tr ∆τ

= 1 = 0dB

(2.60)


58

Si el SNR es alto, tal que la presencia de ruido no determine una prdida en la precisin, es decir, π ∆τ = α B ,0 α<1

≤

SN R =

2

  tr ∆τ

=

1

(2.61)

k2

En el peor de los casos, el ruido provoca un desplazamiento de los pulsos en ∆ τ . Con un SNR alto, el ruido slo afecta la amplitud del pulso. Un valor mnimo se obtiene determinando que un valor alto de SNR se produce cuando ∆τ se desplaza en la mitad del tiempo de respuesta, esto es, k = 0,5. Por lo tanto, SN R = 4 = 6dB , el cual es el valor m´ınimo requerido para realizar una deteccin coherente en modulacin de pulsos. Por lo tanto, es el valor de resolucin m´ınimo. Una SNR por debajo de este valor produce una variacin de la posicin de los flancos laterales del pulso. Este error debido al ruido puede reducirse aumentando la pendiente del flanco del pulso, aumentando el ancho de banda aumentando la amplitud del pulso, aumentando la potencia de transmisin. Tomando la desviacin de la posicin del pulso como el ruido de resolucin del sistema η (τ ): η(τ ) η = tr A N τ = N 0

(2.62) 2

  tr A

(2.63)

A la entrada de un detector tendremos la seal de pulsos mezclado con ruido dado por: SN Ri =

E f 2

  N 0

=

A2 τ N 0 T

(2.64)

A la salida del detector: SN R0 =

E f 2 A2

 

(2.65)

N 0 t2r

Para el valor mnimo de deteccin de 6 dB: E f 2 (t) SN R0 = 2 SN Ri N 0 tA

    ·  = r

N 0

A2

τ T

B 2 T E f 2 (t)

·

 

4τ π 2

(2.66)

Ntese que la relacin del detector es dependiente del ancho de banda del sistema y, por lo tanto, de su velocidad, como se ver ms adelante. De igual forma, la resolucin espacial determina el menor valor de seal que puede ser cuantizado. T´ıpicamente es el valor del LSB. Para un valor dado, se puede incrementar la resolucin incrementando el nmero k de bits de conversin, o decreciendo la magnitud del LSB.

DPCM

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