UNIVERZITET U NOVOM SADU ˇ FAKULTET TEHNI CKIH NAUKA
Tatjana Grbi´c Silvia Likavec Tibor Luki´c
Jovanka Pantovi´c Nataˇsa Slado je Ljiljana Teofanov
Zbir Zbirk ka reˇ seni senih h zada zadata tak ka iz Matematike I
Novi Novi Sad, 2009. 2009. god.
Naslo Naslov: v:
Zbirk Zbirkaa reˇ reˇsenih senih zadata zadatak ka iz Ma Matem temati atike ke I
Autori Autori::
dr Tatjana atjana Grbi´ Grbi´ c, c, docent docent FTN u No Novo vom m Sadu Sadu dr Silvia Likavec, docent Univerziteta u Torinu (Universit´a di Torino) mr Tibor Luki´c, c, asistent FTN u Nov Novom om Sadu dr Jovanka Jovanka Pantovi´c, c, vanredni profesor FTN u Novom Sadu dr Nataˇ sa sa Sladoje, docent FTN u Novo Novom m Sadu dr Ljiljana Teofanov, docent FTN u Novom Sadu
Recenzenti:
dr Jovank Jovankaa Niki´ Niki´c, c, redovni profesor FTN u Novom Sadu dr Silvia Gilezan, redovni profesor FTN u Novom Sadu dr Mirjan Mi rjanaa Borisavl Bor isavljevi´ jevi´c, c, redovni profesor Saobra´ cajnog cajnog fakulteta Univerziteta u Beogradu
Tiraˇz:
300
Naslo Naslov: v:
Zbirk Zbirkaa reˇ reˇsenih senih zadata zadatak ka iz Ma Matem temati atike ke I
Autori Autori::
dr Tatjana atjana Grbi´ Grbi´ c, c, docent docent FTN u No Novo vom m Sadu Sadu dr Silvia Likavec, docent Univerziteta u Torinu (Universit´a di Torino) mr Tibor Luki´c, c, asistent FTN u Nov Novom om Sadu dr Jovanka Jovanka Pantovi´c, c, vanredni profesor FTN u Novom Sadu dr Nataˇ sa sa Sladoje, docent FTN u Novo Novom m Sadu dr Ljiljana Teofanov, docent FTN u Novom Sadu
Recenzenti:
dr Jovank Jovankaa Niki´ Niki´c, c, redovni profesor FTN u Novom Sadu dr Silvia Gilezan, redovni profesor FTN u Novom Sadu dr Mirjan Mi rjanaa Borisavl Bor isavljevi´ jevi´c, c, redovni profesor Saobra´ cajnog cajnog fakulteta Univerziteta u Beogradu
Tiraˇz:
300
Sadrˇ za j 1 Slob odni vektori
5
2 Analitiˇ cka geometrija u prostoru
21
3 Kompleksni bro jevi
61
4 Polinomi i racionalne funkcije
89
5 Matrice i determinante
107
6 Sistemi linearnih jednaˇ cina
1 45
7 Vektorski prostori
16 9
8 Niz Nizovi, vi, gran graniiˇ cna vredn rednos ostt i nepr neprek ekid idno nost st funk funkc cije ije
191 191
9 Izvod funkcije
22 1
10 Primena izvo da
23 5
11 Ispitivanje funkcija
247
12 Numeriˇ cko reˇ savanje jednaˇ cina
27 1
3
Predgovor Tre´ce ce izda iz danj njee Zbirke reˇ je rasprodato u veoma reˇsenih senih zadataka iz Matematike Matemat ike I je kratkom roku, a interesovanje za Zbirku i dalje postoji, p ostoji, pre svega svega med¯u studentima prve godine godin e razliˇ r azliˇcitih citih odseka Fakulteta akultet a tehniˇckih ckih nauka Univerziteta Uni verziteta u Nov Novom om Sadu, ali i med¯u studentima studentima drugih fakulteta fakulteta koji se u okviru okviru kurseva matematike na svojim studijama susre´ cu cu sa temama i sadrˇ zajima zajima koji su ˇ obuh ob uhva´ va´ceni ce ni Zbirkom . Cetvrto izdanje Zbirke smo smo pripremili sa ˇzeljom da njen prepoznatljiv sadrˇ zaj zaj bude od pomo´ci ci u savladavanju savladavanju oblasti iz Matematike I i narednim narednim generacijama generacijama studenata. studenata. Zahvaljuje Zahvaljujemo mo se svima koji su nam ukazali ukazali na postoj post oje´ e´ce ce ˇstamparske stampar ske greˇske, ske, koje smo u ovom izdanju otklonili. otkloni li. ˇ ˇ Stampanje Cetvrtog izdanja Zbirke reˇ realizoreˇsenih senih zadataka iz Matematike Matemat ike I realizovano je uz finansijsku podrˇ p odrˇsku sku Tempus projekta JEP - 41099 - 2006, “Doctoral School Towards European Knowledge Society – DEUKS’. Veoma nam je drago ˇsto sto smo, zahvaljuju´ zahvalj uju´ci ci ovoj podrˇ po drˇsci, sci , u mogu´cnosti cnos ti da ve´ci ci deo tiraˇ tir aˇza za ustupi ust upimo mo Biblioteci Bibliot eci Fakulteta akultet a tehniˇ te hniˇckih ckih nauka u Novom Sadu i da na taj t aj naˇcin cin ovo izdanje uˇcinimo cinimo pristupaˇ pristup aˇcnim cnim veoma velikom broju bro ju studenata. studen ata. Zbirke uˇ
U Novom Sadu, 10. avgust 2009. godine Autori
1
Slobodni vektori • U skupu E 2 ured ure d¯enih parova par ova taˇ t aˇcaka ca ka pros p rosto tora ra E defi E definiˇ niˇsemo semo relacij rela ciju u ρ na slede´ de ´ci ci naˇcin
a) Ako je A je A = B = B ili C ili C = D, D , tada je (A, (A, B )ρ(C, D)
= B i C = C = D. ⇔ A = B b) Ako je A = B i C D , tada je (A, (A, B )ρ(C, D) ⇔ (d (duˇz AB je AB je para = D, lelna, podudarna i isto orijentisana kao duˇz C D).
Relacija ρ Relacija ρ je je relacija ekvivalencije. Klase ekvivalencije u odnosu na relaciju vektori. Skup svih slobo ρ zovu se slobodni se slobodni vektori. slo bodni dnih h vektora vek tora oznaˇcava´ cava´cemo cemo sa V sa V . Vektor ˇciji ciji je predstavnik (A, B ) ozna oz naˇˇcava´ cava´cemo ce mo • Vektor
−−→
sa AB, ili kra´ce ce sa a. a.
B A
−→ −−→ AB je merni broj bro j duˇzi AB zi AB i oznaˇ ozn aˇcava cava se sa |AB |. • Intenzitet vektora −AB je −→ pravac odred • Pravac vektora −AB j AB jee pravac od red¯en taˇckama ckam a A i B . −→ (A = B) B ) je od taˇcke A cke A do do taˇ ta ˇcke cke B . • Smer vektora −AB, ciji je intenzitet i ntenzitet jednak 1 naziva nazi va se se jedin jed iniˇ iˇ cni cn i vekto vek torr. • Vektor ˇciji su jednaki ako ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet. • Vektori su jednaki zva´cemo em o nula vektor i vektor i oznaˇ ozn aˇcavati cavat i sa 0 ili 0. 0. • Vektor kod kojeg je A = B zva´ Intenzitet nula vektora je 0, a pravac i smer se ne definiˇsu. su.
−−→ ima isti pravac i intenzitet kao vektor AB, a suprotan smer, • Vektor koji −−→ −−→ je vektor BA i naziva se se suprotan vektor vektora vektor vektora AB. AB . 5
6
1. SLOBODNI VEKTORI
• U skupu V definiˇsemo operaciju sabiranja vektora + na slede´ci naˇcin: −AB + −→ −CD −→ = −→ AE −−→ −−→ gde je BE = CD. E
A
B
D
C
−−→ OA i b = OB je ugao ∠AOB pri ˇcemu se • Ugao ϕ izmed¯u vektora a = −→ dogovorno uzima da je 0 ≤ ϕ ≤ π. • Proizvod vektora a = 0 i skalara λ = 0, λ ∈ R je vektor λ · a koji ima a) isti pravac kao i vektor a, b) intenzitet λ a i
| || |
c) isti smer kao i vektor a ako je λ > 0, a suprotan ako je λ < 0. Ako je a = 0 ili λ = 0, tada je λ a = 0.
·
• Vektor s = α1a1 + . . . + αnan , gde su α1, . . . , αn ∈ R skalari, se naziva linearna kombinacija vektora a1 , . . . ,an .
• Dva vektora a i b su kolinearna ako i samo ako imaju isti pravac. Nula vektor je kolinearan sa svakim vektorom.
• Nula vektor je normalan na svaki vektor. • Za tri ne nula vektora kaˇzemo da su koplanarni ako i samo ako su paralelni sa jednom ravni.
• Skalarni proizvod vektora a i b, u oznaci a · b definiˇse se a · b = |a|| b| cos ∠(a, b). Osobine skalarnog proizvoda: a) a a = a 2 , b) a b = b a,
· || · · c) a⊥ b ⇔ a · b = 0, (uslov normalnosti, ortogonalnosti), d) ∀α ∈ R α(a · b) = (αa) · b = a · (α b), e) a · ( b + c) = a · b + a · c.
7
Zbirka reˇsenih zadataka iz Matematike I
Na osnovu definicije skalarnog proizvoda imamo da se ugao izmed¯u vektora a i b moˇze raˇcunati na slede´ci naˇcin a, b) ∠(
= arccos
a b , 0 a b
· | || |
≤ ∠(a, b) ≤ π.
• Neka je a = 0. Tada je projekcija vektora b na vektor a definisana sa: pra b = | b| cos ∠(a, b). • Vektorski proizvod vektora a i b je vektor, u oznaci a × b, odred¯en na slede´ci naˇcin:
| × b| = |a| | b| | sin ∠(a, b)|, b) (a × b)⊥a i (a × b)⊥ b, c) vektori a, b i a × b ˇcine desni sistem vektora. a) a
Osobine vektorskog proizvoda:
× b = −( b × a), b) (∀α ∈ R) α(a × b) = (α a) × b = a × (α b), c) a b ⇔ a × b = 0 (uslov paralelnosti), d) a × a = 0, a) a
e) Intenzitet vektorskog proizvoda dva nekolinearna vektora jednak je povrˇ sini paralelograma koji je konstruisan nad tim vektorima.
• Meˇsoviti proizvod vektora a, b i c je skalarni proizvod vektora a i b×c, tj. a · ( b × c). Osobine meˇsovitog proizvoda: a) Vektori a, b i c su koplanarni
⇔ a·( b×c) = 0 (uslov koplanarnosti),
b) Apsolutna vrednost meˇ sovitog proizvoda tri nekoplanarna vektora jednaka je zapremini paralelepipeda koji je konstruisan nad vektorima a, b i c kao ivicama.
• Dekartov (pravougli) koordinatni sistem u prostoru je odred¯en, ako su - Date tri prave koje se obiˇ cno nazivaju x, y i z i svake dve se seku pod pravim uglom u taˇcki O(0, 0, 0). - Na svakoj od datih pravih izabran je jedan smer i nazvan pozitivan. - Na pozitivnim smerovima pravih x, y i z izabrane su taˇcke E 1 (1, 0, 0), E 2 (0, 1, 0) i E 3 (0, 0, 1) redom.
