Zbirka Zadataka Iz Statistike

Sveučilište u Rijeci Fakultet za menadţment u turizmu i ugostiteljstvu SVEUČILIŠNI PREDDIPLOMSKI STUDIJ »Poslovna ekonomija u turizmu i hotelijerstvu»

Zbirka zadataka iz

STATISTIKE Šifra predmeta: PST0103 ECTS bodovi: 6

Nositelj predmeta:

Prof. dr.

sc. SUZANA MARKOVIĆ

SADRŢAJ Predgovor

3

Vjeţba 1

Uvod

4

Vjeţba 2

Uređivanje i grafičko prikazivanje podataka

5

Vjeţba 3

ni brojevi i njihovo grafičko prikazivanje Relativ ni

8

Vjeţba 4

Srednje vrijednosti (potpune, poloţajne)

12

Vjeţba 5

Mjere disperzije

16

Vjeţba 6

Mjere asimetrije i mjere zaobljenosti

19

Vjeţba 7

Metoda uzoraka: procjena aritmetičke sredine, totala i

21

#

proporcije osnovnog osnovnog skupa

Vjeţba 8

Korelacijska i regresijska analiza

24

Vjeţba 9

Korelacija ranga

26

Vjeţba 10

Analiza vremenskih nizova: individualni indeksi i ndeksi

28

(veriţni i bazni indeksi)

Vjeţba 11

Trend modeli (linearni trend)

30

2

SADRŢAJ Predgovor

3

Vjeţba 1

Uvod

4

Vjeţba 2


5

Vjeţba 3

ni brojevi i njihovo grafičko prikazivanje Relativ ni

8

Vjeţba 4

Srednje vrijednosti (potpune, poloţajne)

12

Vjeţba 5

Mjere disperzije

16

Vjeţba 6


19

Vjeţba 7

Metoda uzoraka: procjena aritmetičke sredine, totala i

21

#

proporcije osnovnog osnovnog skupa

Vjeţba 8


24

Vjeţba 9

Korelacija ranga

26

Vjeţba 10

Analiza vremenskih nizova: individualni indeksi i ndeksi

28

(veriţni i bazni indeksi)

Vjeţba 11


30

2

PREDGOVOR

Zbirka zadataka iz «S tatistike » je na mijenjen mijenjen studentima sveučilišnog tatistike » preddiplomskog studija Fakulteta za menadţment u turizmu i ugostiteljstvu u Opatiji koji slušaju predmet «Statistika». Primarni cilj predmeta je ovladavanje teorijskim spoznajama iz cjelina koje se

izučavaju na predmetu, osposobljavanje studenata za provođenje istraţivačkih zadaća na terenu, analiziranje prikupljenih podataka, tumačenje i prezentiranje ih paketa u izračunatih statističkih pokazatelja, te uporabu različitih statističk ih obradi prikupljenih podataka.

Priručnik slijedi programski sadrţaj predmeta, te je dizajniran tako da podrţava interaktivno učenje i učenje svih studenata, neovisno o tome da li prisustvuju nastavi ili ne.

U priručniku se nalazi veliki broj primjera s rješenjima s ciljem da se maksimalno olakša razumijevanje gradiva. Prilikom odabira podataka za zadatke korišteni su aktualni statistički podaci.

3

VJEŢBA 1 Primjer 1.

Uvod

Skup se sastoji od 8666 diplomiranih studenata na sveučilišnim studijima u Republici Hrvatskoj u 1999. godini. Podaci o diplomiranim studentima prikupljaju

se pomoću statističkog lista. Među njima su i ovi: spol, mjesto rođenja, drţavljanstvo, prethodna školska sprema, zanimanje roditelja, dob, prebivalište, narodnost, način studiranja, broj članova kućanstva. (a) Definirajte statistički skup. (b) Kojoj vrsti pripadaju podaci dobiveni pomoću statističkog lista? Navedite moguće modalitete nekih od navedenih obiljeţja. Primjer 2.

(a) Pregledajte publika ciju «Statistički ljetopis» Drţavnog zavoda za statistiku.

Proučite metodološka objašnjenja koja se odnose na podatke o registru poslovnih subjekata, zaposlenosti, plaćama, investicijama, i drugim područjima djelatnosti odabranim po volji. Utvrdite druge i zvore podataka Drţavnog zavoda za statistiku. Pronađite internetsku stranicu Zavoda i pregledajte je. (b) Koje podatke objavljuje Hrvatska narodna banka? Informacije potraţite na internetskoj stranici. (c) Identificirajte lokacije stranica drugih ustanova koje objavljuju podatke o gospodarskim kretanjima (ministarstva, gospodarske komore, poslovne udruge).

(d) Pronađite na internetskim stranicama podatke o međunarodnoj robnoj razmjeni Republike Hrvatske.

(e) Pronađite statističke podatke međunarodnih organi zacija i zajednica, posebno onih koje se bave turizmom i hotelskom industrijom. Primjer 3.

Pregledajte stranice na navedenim adresama: www.zse.hr, www.hgk.hr, www.worldbank.org.

www.dzs.hr,

www.hnb.hr,

Primjer 4.

Na stranicama međunarodnih organizacija potraţite informacije o Republici Hrvatskoj. Potraţite lokaciju stranice Europskog ureda za statistiku – EUROSTAT. Aktivirajte pojedine opcije na temelju kojih se dolazi do informacija o organizaciji EUROSTAT-a i podataka o gospodarskim aktivnostima zemalja Europske unije.

Primjer 5.

Analizirajte metode istraţivanja javnog m ijenja Gallupova instituta na temelju informacija danih na stranici www.gallup.com.

4

VJEŢBA 2


Primjer 1.

Turistička noćenja u RH 1997. godine: Noćenja u 000

Vrsta objekta Hoteli

11 247 3 791 685 7 857 5 660 5 660 30 314

Turistička naselja Radnička odmarališta Kampovi

Kućanstva Ostali objekti Ukupno

Izvor: Mjesečno statističko izvješće, broj 10, 1998., str. 59 Podatke iz tabele prikaţite grafički jednostavnim stupcima .. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza? Primjer 2.

Dolasci turista prema vrstama objekta od siječnja do svibnja 2006. godine : Vrsta objekta Strani turisti Domaći turisti Hoteli

Turistička naselja Kampovi Omladinski hoteli Kućanstva-sobe, kuće za odmor Nekategorizirani objekti

(u 000) 359 26 3 10 13 21

(u 000) 770 47 147 14 44 12

Izvor: Priopćenje DZS, Zagreb, srpanj 2006., str. 3. Podatke iz tabele prikaţite grafički dvostrukim i razdijeljenim stupcima . Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?

Primjer 3.

Dani krediti stanovništvu u 2005. godini (u mil. kn) : Banka Erste Bank Slavonka banka

Stambeni kredit 3 191 1 417 117 Međimurska Volksbank 250 Izvor: www.hznet.hr, 31.7.2006.

Auto kredit 365 78 43 1 089

Gotovinski kredit 135 387 46 320

Podatke iz tabele prikaţite grafički višestrukim stupcima i razdijeljenim stupcima. Uz grafikon n avedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?

5

Primjer 4.

Zaposleno osoblje u trgovini prema djelatnostima poslovnih subjekata u Republici Hrvatskoj 1997. godine: Djelatnost poslovnih subjekata Broj zaposlenih Trgovina na malo 45 674 Trgovina na veliko 7 719 Ostale djelatnosti 10 224 Ukupno 63 617 Izvor: SLJRH, 1998., str. 347

Podatke iz tabele prikaţite grafički uz pomoć strukturnog kruga . Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza? Primjer 5.

Robna razmjena Republike Hrvatske od siječnja do lipnja 2006. godine : Zemlja Austrija Italija

Njemačka Slovenija Izvor: www.dzs.hr, 20.8.2006.

Izvoz (u mil. kn) 1 865 7 100 3 066 2 335

Uvoz (u mil. kn) 3 253 9 932 8 935 3 915

Strukturu izvoza i uvoza usporedite strukturnim krugovima i proporcionalnim strukturnim krugovima. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se

zaključuje na temelju grafičkog prikaza? Primjer 6.

Vanjskotrgovinska robna razmjena RH 1998. godine po regijama: Zemlje namjene i porijekla Izvoz Zemlje Europske unije (EU) 2161 80 Europsko udruţenje slobodne trgovine (EFTA) Ostale industrijske zemlje 136 Zemlje u razvoju 2165

Uvoz 4980 231 611 2561

Izvor: Mjesečno statističko izvješće, broj 1, 1999., str. 74 Strukturu izvoza i uvoza usporedite strukturnim krugovima i proporcionalnim strukturnim krugovima.

Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza? Primjer 7.

Vanjskotrgovinska robna razmjena RH 1998. godine po regijama: Zemlje namjene i porijekla Izvoz Zemlje Europske unije (EU) 2161 80 Europsko udruţenje slobodne trgovine (EFTA) Ostale industrijske zemlje 136 Zemlje u razvoju 2165 Izvor: M jesečno statističko izvješće, broj 1, 1999., str. 74

Uvoz 4980 231 611 2561

Strukturu izvoza i uvoza usporedite strukturnim polukrugovima i proporcionalnim strukturnim polukrugovima.

Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?

6

Primjer 8.

Stanovništvo prema završenoj školi (u 000 ): Stupanj obrazovanja Muškarci 220 Bez škole Osnovno obrazovanje Srednje obrazovanje

Ţene

345 956 77 Više obrazovanje Visoko obrazovanje 145 Izvor: Popis stanovništva 2001. godine, www.hznet.hr, 16.8.2006.

274 463 778 74 143

Usporedite strukturu stanovništva prema stupnju obrazovanja grafički uz pomoć strukturnih krugova i strukturnih polukrugova. Što se zaključuje na temelju grafičkog prilaza? Primjer 9.

Prihodi i rashodi od putovanja u milijunima US$: Godina Prihodi 1997. 2 529.1 1998. 2 726.3 Izvor: Hrvatska narodna banka, 1999.

Rashodi 521.4 600.3

Usporedite prihode i rashode od putovanja u turizmu u RH 1997. i 1998. godine pomoću dvostrukih stupaca , strukturnih krugova i strukturnih polukrugova .

Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza? Primjer 10.

Broj registriranih domena pri Carnetu od siječnja do lipnja 2006. godine : Mjesec

Siječanj Veljača Oţujak Travanj Svibanj Lipanj Izvor: www.dns.hr, 28.7.2006.

Broj domena 717 731 1 061 777 812 596

Podatke iz tabele prikaţite grafički linijskim grafikonom . Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?

7

VJEŢBA 3

Relativni brojevi i njihovo grafičko prikazivanje

Primjer 1.

Fizički obujam telekomunikacijskih usluga od siječnja do lipnja 2006. godine : Vrsta usluge

Utrošene minute u nepokretnoj mreţi Utrošene minute u pokretnoj mreţi SMS poruke Izvor: www.dzs.hr, 8.8.2006.

Broj usluga (u mil.) 2005. godina 2006. godina 5 162 4 463 1 215

1 831

1 153

1 235

Izračunajte strukturu broja telekomunikacijskih usluga u 2005. i 2006. godini. Strukturu prikaţite grafički strukturnim stupcima . Što se moţe zaključiti na temelju grafičkog prikaza? Primjer 2.

Izvoz i uvoz po odabranim ţupanijama od siječnja do lipnja 2006. godine : Izvoz (u mil. kn) Uvoz (u mil. kn) Ţupanija 1 834 1 895 Varaţdinska Primorsko-goranska Osječko-baranjska Splitsko-dalmatinska Istarska Izvor: www.dzs.hr, 8.8.2006.

1 280 1 653 2 366 2 963

2 656 1 284 3 551 3 352

Izračunajte relativne frekvencije i prikaţite ih grafički odgovarajućim grafikonom. Što se moţe zaključiti na temelju grafičkog prikaza? Primjer 3.

Studenti sveučilišnih studija u Republici Hrvatskoj školske godine 2000/2001. Broj studenata Broj studentica Studijsko područje Prirodne znanosti Tehničke znanosti Medicinske znanosti

Biotehničke znanosti Društvene i humanističke

2367 18398 4693 3334 40048

1285 5252 3079 1416 26445

znanosti 997 Umjetničke akademije Izvor: Statistički ljetopis Republike Hrvatske, 2001., str. 435 (a) (b)

559

Niz studenata prema studijskim p odručjima prikaţite jednostavnim stupcima. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Izračunajte relativni udjel (postotak) studenata i studentica u ukupnom

broju studenata po studijskim područjima. Strukturu studenata po spolu i studijskim područjima prikaţite razdijeljenim stupcima. (c)

Usporedite obujam i strukturu studenata po spolu i studijskim područjima proporcionalnim strukturnim krugovima .

8

Primjer 4.

Prosječne mjesečne isplaćene neto plaće u djelatnosti financijskog posredovanja u Republici Hrvatskoj u lipnju 2001. godine Vrsta djelatnosti Financijsko posredovanje, osim osiguranja i mirovinskih fondova Osiguranje i mirovinski fondovi, osim obveznog osiguranja

Prosječna plaća u kunama 4931 5501

Pomoćne djelatnosti u financijskom

2451

posredovanju

Izvor: Priopćenje DSZ (www.dsz/hr/Hrv/2001Priopćenja) Prosječna plaća za djelatnost kao cjelinu iznosila je 4997 kuna. Izračunajte indekse neto plaća za navedene vrste djelatnosti. Za osnovu indeksa uz mite prosječnu plaću u djelatnosti kao cjelini. Izračunate indekse prikaţite odgovarajućim grafikonom. Primjer 5.

Prosječne isplaćene neto plaće po radniku u travnju 2006. : Djelatnost Neto plaća u kn 3 779 Građevinarstvo Trgovina Hoteli i restorani

Prijevoz, skladištenje i veze Financijsko posredovanje Obrazovanje

3 866 3 770 5 333 6 847 4 476

Izvor: Računovodstvo i financije, Zagreb, srpanj 2006., str. 95. Prosječna plaća u odabranim djelatnostima iznosila je 4678,50 kuna. Izračunajte indekse n eto plaća za navedene vrste djelatnosti. Za osnovu indeksa uzmite prosječnu plaću u odabranim djelatnostima. Izračunate indekse prikaţite odgovarajućim grafikonom. Primjer 6.

Odobreni krediti po bankama u Hrvatskoj (stanje 31.12.2005.) Banka Odobreni krediti (u mil.kn) 38 126 Zagrebačka banka Privredna banka 29 801 Raiffeisenbank 16 587 Hypo Alpe-Adria Bank 13 739 19 365 Erste und Steiermärkische Bank Izvor: Privredni vjesnik, lipanj 2006., str.49.

Izračunajte indekse odobrenih kredita u 2005. godini. Za osnovu uzmite iznos odobrenih kredita u Hypo Alpe-Adria banci . Indekse prikaţite grafički. Što se moţe zaključiti na temelju izračunatih indeksa?

9

Primjer 7.

Osobe koje su stekle obrazovanje u Republici Hrvatskoj 1996. godine Stupanj obrazovanja Broj osoba Osnovno 55067 Srednje 48498 3831 Više Visoko 7679

Izvor: Mjesečno statističko izvješće DSZ, 1/1998., str. 97 Izračunajte relativne frekvencije . Prikaţite niz odgovarajućim grafikonom. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Pri konstrukciji grafa koristite relativne frekvencije.

Primjer 8.

Izvoz i uvoz Republike Hrvatske u zemlje Europske unije 1999. godine Zemlja Izvoz u mil. US$ Uvoz u mil US$ Austrija 265 549 Belgija 31 114 Francuska 104 392 34 18 Grčka Italija 772 1234 Nizozemska 50 141 673 1439 Njemačka 19 82 Španjolska Velika Britanija 80 181 Ostale zemlje 60 242 Ukupno 2088 4392

Izvor: Statistički ljetopis Republike Hrvatske, 2000., str. 331 i 332. Analizirajte strukturu izvoza i uvoza pomoću odgovarajućih relativnih veličina. Usporedite strukturu izvoza i uvoza Republike Hrvatske i zemalja EU strukturnim krugovima .

Primjer 9.

Stanovništvo i površina odabranih europskih zemalja: Zemlja Austrija Hrvatska

Broj stanovnika u 000 7987 4776 10372 Mađarska Slovenija 2052 Izvor: SLJRH, 1996., str. 620-621.

Površina u km 2 83858 56610 93032 20251

Pomoću navedenih podataka izračunajte broj stanovnika na km 2 , tj. izračunajte relativne brojeve koordinacije . Dobivene veličine prikaţite grafički jednostavnim stupcima i Varzarovim znakom. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?

10

Primjer 10.

Dolasci i noćenja turista u RH od siječnj a do lipnja 2006. godine (u 000): Mjesec Dolasci Noćenja 111 293 Siječanj 128 325 Veljača 189 484 Oţujak Travanj Svibanj Lipanj Izvor: www.dzs.hr, 16.8.2006.

530 804 1 388

1 548 2 772 6 807

Izračunajte prosječnu duljinu boravka turista u Hrvatskoj po mjesecima . Relativne brojeve koordinacije prikaţite grafički jednostavnim stupcima i Varzarovim znakom .

11


Srednje vrijednosti

(potpune, poloţajne)

Ispituje se prosječno trajanje pozitivnih telefonskih razgovora preko telefonske centrale Market. Trajanje u minutama 10 slučajno odabranih ra zgovora bilo je sljedeće: Xi:

2

1

1

2

3

4

2

1

1

3

Izračunajte: aritmetičku sredinu, mod i medijan. (Rj. A.S.=2; Mo=1; Me=2) Primjer 2.

Ispitu iz predmeta «Statistika» pristupilo je 35 studenata, a rezultati ispita su prikazani u sljedećoj tablici: Ocjena Broj studenata

1 7

2 3

3 11

4 5

5 9

Izračunajte: aritmetičku sredinu, mod i medijan. (Rj. A.S.=3.17; Mo=3; Me=3) Primjer 3.

Na kolokviju iz kolegija «Statistika» 50 studenata ostvarilo je sljedeće rezultate: Ocjena Broj studenata

1 23

2 14

3 6

4 5

5 2

Izračunajte: aritmetičku sredinu, mod i medijan. (Rj. A.S.=1,98; Mo=1; Me=2)

Primjer 4.

Starost zaposlenih u trgovačkom društvu X: Starost u godinama 18 – 26 27 – 30 31 – 41 42 – 50 51 – 59 Ukupno

Broj zaposlenih 8 19 32 14 9 82

Izračunajte: aritmetičku sredinu, mod i medijan. (Rj. A.S.=37.19; Mo=29.71; Me=35.81) Primjer 5.

Zaposleni prema godinama u poduzeću X: Starost u godinama 21 – 30 31 – 40 41 – 50 51 – (65) Ukupno

Broj zaposlenih 32 162 404 142 740

Izračunajte: aritmetičku sredinu, mod i medijan. (Rj. A.S.=45,25; Mo=45,44; Me=45,36)

12

Primjer 6.

Zaposleni u trgovini u RH, stanje potkraj studenog 1997. godine i prosječna mjesečna neto plaća po zaposlenome: Vrsta trgovine Trgovina na malo Trgovina na veliko Robna razmjena s inozemstvom

Prosječna plaća u kunama

Broj zaposlenih u 000 63.8 44.0 5.9

1988 2739 2754

(a) Kolika je bila prosječna mjesečna plaća u trgovini kao cjelini u studenome 1997. godine?

(b) Izračunajte indekse prosječnih plaća za svaku od navedenih vrsta trgovine. Za osnovu indeksa uzmite veličinu izračunatu pod (a). Dobivene bazne indekse prikaţite grafički odgovarajućim grafikonom. (Rj. A.S.A.S. = 2318,37 kn) Primjer 7.

Za numerički niz: 7, 3, 8, 6, 2, 5, izračunajte: aritmetičku sredinu, harmonijsku sredinu i geometrijsku sredinu. (Rj. A.S.=5.167, H.S.=4.088, G.S.=4.648)

Primjer 8.

Za distribuciju frekvencija: xi fi

1 11

2 28

3 38

4 66

5 90

6 36

7 28

8 7

Izračunajte: aritmetičku sredinu, harmonijsku sredinu i geometrijsku sredinu. (Rj. A.S.=4.48 ; H.S.=3.66 ) Primjer 9.

Prema ispisu tuzemnih telefonskih poziva za lipanj 2006. godine dobivena je

sljedeća distribucija telefonskih poziva: Broj poziva Broj dana

0

1

2

3

4

5

6

7

10

9

3

4

1

1

1

1

Izračunajte: aritmetičku sredinu, harmonijsku sredinu, mod i medijan. (Rj. A.S.=1,63; H.S.=2,38; Mo=0; Me=1) Primjer 10.

Razredi prema broju odsutnih: Broj odsutnih 1 2 3 Broj razreda 5 8 9

4 4

5 2

6 1

7 1

Izračunajte: aritmetičku sredinu, harmonijsku sredinu i geometrijsku sredinu. (Rj. A.S.=4.48 ; H.S.=3.66; G.S.=2,54)

Primjer 11.

Zadane su pojedinačne vrijednosti numeričke varijable X: Xi:

115

120

98

117

134

100

101

95

125

130

116

Kolika je geometrijska sredina? Odredite i vrijednost aritmetičke sredine. (Rj. G.S.=112.997; A.S.=113.727) Primjer 12.

Izračunajte aritmetičku sredinu, harmonijsku sredinu i geometrijsku sredinu vrijednosti numeričke varijable X: 10, 45, 27, 38, 89, 87, 98, 24, 36, 58, 23, 67, 67, 90. (Rj. A.S.=54.21 ; H.S.=35.93) 13

Primjer 13.


10 7

20 13

30 10

40 2

60 3

Izračunajte: aritmetičku sredinu, geometrijsku sredinu i harmonijsku sredinu. (Rj. A.S.=25.43; H.S.=19.63) Primjer 14.

Osobe prijavljene u Hrvatskom zavodu za zapošljavanje, stanje potkraj 1999. : Navršene godine ţivota 15 – 19 20 – 24 25 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – (65)

Broj osoba 67 170 48 482 119 819 82 263 10 604 13 392

Izvor: SLJRH, 2000., str. 139

Odredite najčešću dob osoba koje su bile prijavljene u Zavodu za zapošljavanje. Izračunajte medijalnu dob osoba prijavljenih u Zavodu za zapošljavanje u RH. Izračunajte aritmetičku sredinu distribucije frekvencija. Distribuciju prikaţite histogramom i poligonom frekvencija.

(Rj. Mo=26.67; Me=27.30; A.S.=28.35 ) Primjer 15.

Korisnici Interneta prema dobi (istraţivanje 20 05. godina) Starost u godinama 15 – 25 25 – 35 35 – 45 45 – 65

Broj ispitanika 34 27 23 15

Izračunajte: aritmetičku sredinu, harmonijsku sredinu, mod i medijan. (Rj. A.S.=32,68; H.S.=28,70; Mo=23,29; Me=30,74)

Primjer 16.


10 7

20 13

30 10

40 2

60 3

Izračunajte: aritmetičku sredinu, geometrijsku sredinu i harmonijsku sredinu. (Rj. A.S.=25,43 ; G.S.=11,20; H.S.=19,63)

Primjer 17.

Količina vremena provedena tjedno na Internetu (istraţivanje 2005. godina) : Broj ispitanika Količina vremena (u satima) 0 – 2,5 37 2,5 – 5 25 5 – 7,5 12 7,5 – 10 13 Odredite najčešću količinu vremena koju ispitanici provedu na Internetu. Izračunajte medijalnu količinu vremena.. Izračunajte prosječnu količinu vremena provedenu na In ternetu. Distribuciju prikaţite histogramom i poligonom frekvencija. (Rj. Mo=1,89; Me=3,15; A.S.=3,78)

14

Primjer 18.

Zadane su ove vrijednosti numeričke varijable: 15, 25, 10, 8, 20, 5, 30, 15. Izračunajte vrijednost drugog, trećeg i četvrtog momenta oko s redine i to na temelju pomoćnih momenata oko nule. (Rj. 2= 64.5; 3=184.5; 4=8158.5)

Primjer 19.

Za numerički niz: xi fi

0 1

5 8

10 28

15 56

20 70

25 56

30 28

35 8

40 1

i zračunajte vrijednost drugog, trećeg i četvrtog momenta oko sredine i to na tem elju pomoćnih momenata oko nule. (Rj. 2= 50; 3=0; 4=6875)

Primjer 20.

Za numerički niz: xi fi

0 1

5 8

10 28

15 56

20 70

25 56

30 28

I zračunajte vrijednost i momenata oko nule i momenata oko sredine. (Rj. m1=19,43; m2=420,24; m3=9753,04; m4=238360,32; 2=42,59; 3=-68,68; 4=4598,32)

Primjer 21.

Zadane su ove vrijednosti numeričke varijable: 15, 25, 10, 8, 20, 5, 30, 15. Izračunajte momente oko nule i momente oko sredine. (Rj. m1=16; m2=320,5; m3=7376,5; m4=184574,5; 2= 64,5; 3=184,5; 4=8158,5)

15


Mjere disperzije

Ispituje se prosječno trajanje pozitivnih telefonskih razgovora preko telefonske centrale Market. Trajanje u minutama 10 slučajno odabranih razgovora bilo je sljedeće: Xi:

2

1

1

2

3

4

2

1

1

3

Izračunajte: (a) raspon varijacije, interkvartil, koeficijent kvartilne devijacije, (b) varijancu, standardnu devijaciju i koeficijent varijacije. (Rj. (a) 3; 2; 50%; (b) 1; 1; 50%)

Primjer 2.

Ispitu iz predmeta «Statistika» pristupilo je 35 studena ta, a rezultati ispita su prikazani u sljedećoj tablici: Ocjena Broj studenata

1 7

2 3

3 11

4 5

5 9

Izračunajte: (a) raspon varijacije, interkvartil, koeficijent kvartilne devijacije, (b) varijancu, standardnu devijaciju i koeficijent varijacije. (Rj. (a) 4; 3; 42.86%; (b) 2.036; 1.427; 44.92%)

Primjer 3.

Na kolokviju iz kolegija «Statistika» 50 studenata ostvarilo je sljedeće rezultate: Ocjena Broj studenata

1 23

2 14

3 6

4 5

5 2

Izračunajte: (a) raspon varijacije, interkvartil, koeficijent kvart ilne devijacije, (b) varijancu, standardnu devijaciju i koeficijent varijacije. (Rj. (a) 4; 2; 50% (b) 1,34; 1,16; 58,46%)

Primjer 4.

Zaposleni prema godinama u poduzeću X: Starost u godinama 21 – 30 31 – 40 41 – 50 51 – (65) Ukupno

Broj zaposlenih 32 162 404 142 740

Izračunajte: (a) raspon varijacije, interkvartil, koeficijent kvartilne devijacije, (b) varijancu, standardnu devijaciju i koeficijent varijacije. (Rj. (a) 44; 9,50; 0,11 (b) 66,26; 8,14; 17,99% )

Primjer 5.

Zadane su ove vrijed nosti numeričke varijable: 15, 25, 10, 8, 20, 5, 30, 15.

Izračunajte varijancu, standardnu devijaciju i koeficijent varijacije. (Rj. 64,50; 8,03; 50,19%)

16

Primjer 6.



Izračunajte: (a) raspon varijacije, interkvartil, koeficijent kvartilne devijacije, (b) varijancu, standardnu devijaciju i koeficijent varijacije. (Rj. (a) 42; 13.98; 19.09%; (b) 88.38; 9.4; 25.28%)

Primjer 7.

Prodaja električnog grijača, izraţena u komadima, u 10 prodavaonica trgovačkog lanca Trade, iznosila je u studenome 2002. godine: 110 111 114 110 115 115 105 114 106 100

Izračunajte varijancu, standardnu devijaciju i koeficijent varij acije. (Rj. 22.4; 4.73286; 4.3026%)

Primjer 8.

Prema evidenciji osiguravajućeg društva ustanovljen je broj šteta na automobilima 1000 osiguranika tijekom jedne godine. Distribucija osiguranika prema broju šteta bila je ovakva:

Broj šteta Broj osiguranika

0 664

1 191

2 82

3 34

4 21

5 i više 8

Izračunajte: aritmetičku sredinu, varijancu, standardnu devijaciju. (Rj. 0.58900; 1.102079; 1.04980)

Primjer 9.

Zadana je distribucija zaposlenika tvrtke M&M prema dobi: Broj zaposlenika Godine ţivota 15 – 20 62 20 – 25 142 25 – 30 221 30 – 35 205 35 – 40 137 40 – 50 142 50 – 60 81 60 – (70) 10

Izračunajte: (a) srednje vrijednosti (aritmetičku sredinu, harmonijsku sredinu, medijan, mod), (b) kvartile, interkvartil, koeficijent kvartilne devijacije, (c) varijancu, standardnu devijaciju, koeficijent varijacije. (Rj. (a) A.S.=33.65; H=30.64; Me=31.83; Mo=29.16; (b) Q1=26.04, Q3=39.38; IQ=13.34; VQ=0.20; (c) 2=109.53; =10.47; V=31.10%)

17

Primjer 10.

Prema ispisu tuzemnih telefonskih poziva za lipanj 2006. godine dobivena je

sljedeća distribucija telefonskih poziva: Broj poziva Broj dana

0

1

2

3

4

5

6

7

10

9

3

4

1

1

1

1

Izračunajte: (a) raspon varijacije, interkvartil, koeficijent kvartilne devijacije, (b) varijancu, standardnu devijaciju i koeficijent varijacije. (Rj. (a) 7; 3; 1 (b) 3,43; 1,85; 113,50%)

Primjer 11.

Greške u smjeni : Broj grešaka 0-4 5–9 10 – 14 15 – 19 20 – 24 25 – 29 Ukupno

Broj dana 11 22 13 8 3 2 59

Izračunajte: (a) kvartile, interkvartil, koeficijent kvartilne devijacije, (b) varijancu, standardnu devijaciju, koeficijent varijacije. (Rj. (a) 5,85; 14,33; 9,20; 8,48; 0,22 (b) 39,93; 6,32, 60,35%)

Primjer 12.

Zadana je distribucija zaposlenika tvrtke S&S prema radnom staţu: Broj zaposlenika Godine radnog staţa 0–5 297 5 – 10 348 10 – 15 183 15 – 20 87 20 – 25 41 25 – 30 30 30 – 35 9 35 - 40

5

Izračunajte: (a) srednje vrijednosti (aritmetičku sredinu, harmonijsku sredinu, medijan, mod), (b) kvartile, interkvartil, koeficijent kvartilne devijacije, (c) varijancu, standardnu devijaciju, koeficijent varijacije. (Rj. (a) A.S.=9.39; H=5.32; Me=7.92; Mo=6.18; (b) Q1=4.21, Q3=12.87; IQ=8.66; VQ=0.51; (c) 2=48.48; =6.96; V=74,15%)

18



Ispituje se prosječno trajanje pozitivnih telefonskih razgovora preko telefonske centrale Market. Trajanje u minutama 10 slučajno odabranih razgovora bilo je sljedeće: Xi:

2

1

1

2

3

4

2

1

1

3

Izračunajte: (a) koeficijent asimetrije, Pearsonove mjere asimetrije, Bowleyjevu mjeru asimetrije; (b) koeficijent zaobljenosti.

(Rj. (a) 0.6; 1; 0; 0; (b) 2.2) Primjer 2.

Ispitu iz predmet a «Statistika» pristupilo je 35 studenata, a rezultati ispita su

prikazani u sljedećoj tablici: Ocjena Broj studenata

1 7

2 3

3 11

4 5

5 9

Izračunajte: (a) koeficijent asimetrije, Pearsonove mjere asimetrije, Bowleyjevu mjeru asimetrije; (b) koeficijent zaobljenosti. (Rj. (a) -0.182; 0.12; 0.36; 0.33 (b) 1.835) Primjer 3.

Na kolokviju iz predmeta «Statistika» 50 studenata ostvarilo je sljedeće rezultate: Ocjena Broj studenata

1 23

2 14

3 6

4 5

5 2

Izračunajte: (a) koeficijent asimetrije, Pearsonove mjere asimetrije, Bowleyjevu mjeru asimetrije; (b) koeficijent zaobljenosti. (Rj. (a) 1,04; 0,84; -0,05; 0 (b) 3,06)

Primjer 4.



Izračunajte: (a) koeficijent asimetrije, Pearsonove mjere asimetrije, Bowleyjevu mjeru asimetrije; (b) koeficijent zaobljenosti. (Rj. (a) 0.45; 0.8; 0.44; 0.12; (b) 2.46) Primjer 5.

Zadane su ove vrijednosti numeričke varijable: 1 5, 25, 10, 8, 20, 5, 30, 15. Izračunajte: (a) koeficijent asimetrije, Pearsonove mjere asimetrije, Bowleyjevu mjeru asimetrije; (b) koeficijent zaobljenosti. (Rj. (a) 0,36; 0,12; 0,37; 0,11 (b) 1,96)

19

Primjer 6.

Prema evidenciji osiguravajućeg društva ustanovljen je broj šteta na automobilima 1000 osiguranika tijekom jedne godine. Distribucija osiguranika prema broju šteta bila je ovakva:

Broj šteta

0 664

Broj osiguranika

1 191

2 82

3 34

4 21

5 i više 8

Izračunajte: (a) koeficijent asimetrije, Pearson ove mjere asimetrije, Bowleyjevu mjeru asimetrije; (b) koeficijent zaobljenosti.

(Rj. (a) 3=2.32; (b) 4=9.29) Primjer 7.

Greške u smjeni : Broj grešaka 0-4 5–9 10 – 14 15 – 19 20 – 24 25 – 29 Ukupno

Broj dana 11 22 13 8 3 2 59

Izračunajte: (a) koeficijent asimetrije, Pearsonove mjere asimetrije, Bowleyjevu mjeru asimetrije; (b) koeficijent zaobljenosti. (Rj. (a) 0,79; 0,43; 0,60; 0,21 (b) 3,15 )

Primjer 8.

Zadana je distribucija zaposlenika tvrtke M&M prema dobi:

Godine ţivota 15 – 20 20 – 25 25 – 30 30 – 35 35 – 40 40 – 50 50 – 60 60 – (70)

Broj zaposlenika 62 142 221 205 137 142 81 10

Izračunajte: (a) koeficijent asimetrije, Pearsonove mjere asimetrije, Bowleyjevu mjeru asimetrije; (b) koeficijent zaobljenosti. (Rj. (a) 3=0.70; Sk1=0.43; Sk2=0.52; Skq=0.13; (b) 4=2.96) Primjer 9.

Zadana je distribucija zaposlenika tvrtke S&S prema radnom staţu: Godine radnog staţa 0–5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30 30 – 35 35 - 40

Broj zaposlenika 297 348 183 87 41 30 9 5

Izračunajte: (a) koeficijent asimetrije, Pearsonove mjere asimetrije, Bowleyjevu mjeru asimetrije; (b) koeficijent zaobljenosti. (Rj. (a) 3=1.32; Sk1=0.46; Sk2=0.63; Skq=0.14; (b) 4=4.77)

20

VJEŢBA 7

Metoda uzoraka: procjena aritmetičke s redine,

totala i

proporcije osnovnog skupa ►

Procjena aritmetičke sredine osnovnog skupa

Primjer 1.

Odredite vrijednosti standardne pogreške procjene aritmetičke sredine osnovnog skupa za ove slučajeve: (a) procjenjuje se sredina konačnog skupa od 125 768 članova pomoću slučajnog uzorka veličine 1 250 članova. Standardna devijacija osnovnog skupa iznosi 64,

uzorak veličine 36 je izabran iz beskonačne populacije N (  = 5),

(b) (c) (d)

Primjer 2.

N = 35679, n = 2500,  = 10, Veličina uzorka je n = 256, N = 12 800, a standardna devijacija uzorka je 32. (Rj. (a) 1.81; (b) 5.07; (c) 0.19; (d) 2)

Ispituje se prosječno trajanje pozitivnih telefonskih razgovora preko telefonske centrale poduzeća Market. Trajanje u minutama 10 slučajno odabranih razgovora iz evidencije 8967 r azgovora bilo je sljedeće: Xi:

2

1

1

2

3

4

2

1

1

3

Pretpostavlja se da je trajanje pozitivnih razgovora na centrali normalno

distribuirano s nepoznatom aritmetičkom sredinom i nepoznatom standardnom devijacijom.

Odredite granice u kojima se moţe očekivati da obuhvaćaju prosječno trajanje razgovora za osnovni skup. Pouzdanost procjene: 95% i 99%. (Rj. 95%: 1.206; 2.794; 99%: 0.86; 3.14) Primjer 3.

Na otoku koji ima 1620 domaćinstava slučajno smo izabrali 100 domaćinstava i zabiljeţili za svako od njih koliko hektara obradive zemlje posjeduje. Izračunali smo aritmetičku sredinu tog uzorka koja je iznosila 1,83 ha. Pomoću standardne devijacije tog uzorka procijenili smo standardnu devijaciju osnovnog skupa i dobili s = 1,36 ha.

Izračunajte s 99% pouzdanosti kolika je prosječna površina obradive zemlje svih domaćinstava na tom otoku. (Rj. 1.49; 2.17) Primjer 4.

Od 186 elemenata jednog osnovnog skupa slučajno smo izabrali 20 jedinica. Aritmetička sredina tog uzorka iznosi 2.5, a standardna devijacija je 1. 204. Uz 95% vjerojatnosti procijenite aritmetičku sredinu promatranog osnovnog skupa. Izračunajte standardnu grešku. Pomoću te greške izračunajte interval procjene s 95% pouzdanosti. (Rj. 1.94; 3.07)

Primjer 5.

Metodom slučajnog uzorka ispitano je 100 studenata o količini vremena koju oni utroše na put do fakulteta. Rezultati ispitivanja pokazali su da prosječno troše 60 minuta pri prosječnom odstupanju od 15 minuta. Na osnovu navedenih rezultata odredite: 

s vjerojatnošću od 95% interval u kojem će se nalaziti aritmetička sredina osnovnog skupa ako je poznato da je na fakultetu upisano 5000 studenata;



da li će se promijeniti rezultat rješenja ako pretpostavimo da je na fakultetu upisano 1500 studenata? (Rj. (a) 57,06; 62,94; (b) 57,16; 62,84)

21

►

Procjena totala osnovnog skupa

Primjer 1.

U svrhu ispitivanja vremena potrebnog za dolazak na rad, od 915 djelatnika jedne

tvrtke anketirano je 150 osoba. Pomoću tog uzorka dobiveni su ovi rezultati: prosječno vrijeme u uzorku = 47 minuta, standardna greška aritmetičke sredine uzorka = 0,0747.

Izračunajte 99% pouzdan interval procjene totala osnovnog skupa, tj. ukupno vrijeme potrebno za dolazak na rad svih djelatnika te tvrtke. Zaključak? (Rj. 42828; 43181) Primjer 2.

Iz populacije od 160 000 stanovnika anketirano je 400 osoba. Prema odgovorima

anketiranih prosječna dnevna potrošnja kruha po stanovniku jest 22 dkg. Izračunata je i standardna greška aritmetičke sredine tog uzorka (s x = 0,45 dkg). Koliko kilograma kruha troši ta populacija za ukupnu dnevnu prehranu? Interval totala procijenite uz 95% pouzdanosti.

(Rj. 3378888; 3661120) Primjer 3.

Poduzeće X dobilo je narudţbu za izradu 3000 proizvoda za jednog poslovnog partnera. Uzorkom od 28 mjerenja utvrđeno je da je prosječno vrijeme za izradu proizvoda (u tom uzorku) 26,5 minuta sa standardnom devijacijom 5,3 minute. Procijenite sa 95% pouzdanost totala, tj. ukupno vrijeme potrebno za izradu te

serije od 3000 komada. Zaključak? (Rj. 73105,89; 85894,14) Primjer 4.

Da bismo procijenili koliki je ukupan broj djece u nekoj regiji X koja broji 5000

domaćinstava izabrali smo na slučajan način uzorak od 1000 domaćinstava. Uzorak je dao slijedeću distribuciju prema broju djece: Broj djece 0-2 3-4 5-6 7-8 9 - 10 Ukupno

Broj domaćinstava 500 240 150 70 40 1000

Izračunajte prosječan broj djece izabranog uzorka. Na osnovu rezultata uzorka izračunajte 95% pouzdan interval procjene totala osnovnog skupa. Primjer 5.

Na području X djeluje 785 sportskih klubova. Sponzore zanima koliki je ukupni prihod tih klubova. Slučajno je izabrano 35 klubova koji imaju prosječan prihod 35 340 kuna, uz standardnu devijaciju od 3 240 kuna.

S 99% pouzdanosti utvrdite ukupan prihod svih klubova na promatranom području. Napišite zaključak. (Rj. 26616531,69; 28867268,32)

22

►

Procjena proporcije osnovnog skupa

Primjer 1.

Primjer 2.

Ispituje se raspoloţenje birača prema kandidatu X. U biračkom popisu navedeno je 6000 građana. Iz popisa je slučajnim izborom izabrano 196 birača, od kojih je 138 izjavilo da će glasovati za kandidata X na predstojećim izborima. Izračunajte granice u kojima se moţe očekivati proporcija svih birača kandidata X na predstojećim izborima. Razina signifikantnosti 95%. (Rj. 0,64; 0.77) Iz osnovnog skupa od 6000 posjetilaca jedne nogometne utakmice, anketirano je

160 gledalaca. Na pitanje “da li su zadovoljni igrom svoje momčadi”, 10 anketiranih odgovorilo je negativno.

Odredite proporciju gledalaca zadovoljnih igrom svoje momčadi s pouzdanosti 95%.

(Rj. 0.90; 0.98) Primjer 3.

Analizira se proporci ja osiguranika poslovnice osiguravajućeg društva X koji su sudjelovali u prometnim nezgodama u tijeku 2000. godine. Poslovnica ima 6432 osiguranika. U uzorku od 400 slučajno odab ranih osiguranika njih 320 nije sudjelovalo u prometnim nezgodama. (a) (b)

Primjer 4.

Procijenite proporciju osiguranika poslovnice sudionika u prometnim nezgodama u 2000. godini jednim brojem. Odredite granice 95% intervala procjene proporcije navedene kategorije osiguranika. (Rj. 0,16; 0.24)

Od 10 000 gostiju jednog područja anketirano je 200 slučajno izabranih osoba. 4% anketiranih gostiju dalo je negativan odgovor na pitanje: "Da li ste zadovoljni uslugom smještaja u hotelu ?". (a) Procijenite s 99% vjerojatnosti proporciju nezadovoljnih gostiju u tom osnovnom skupu. Zaključak? (b) (Rj. 0.004; 0.076)

Primjer 5.

Metodom slučajnog uzorka ispitano je 200 studenata na završnom ispitu. Od tih je 70 dobilo negativnu ocjenu. Na završnom ispitu bilo je ukupno 1000 studenata. Odredite s vjerojatnošću od 95% nepoznatu generalnu proporciju stude nata koji nisu uspjeli na završnom ispitu. (Rj. 0.29; 0.41)

23



Pomoću podataka u zadanoj tabeli ispitajte da li postoji linearna veza između varijable X i varijable Y. X Y

13,8 6,0

3,1 2,7

38,5 13,6

15,1 3,4

28,2 10,1

53,6 19,7

U tu svrhu:  nacrtajte dijagram rasipanja;    

izračunajte jednadţbu pravca regresije (Y c) i ucrtajte Y c u grafikon; analizirajte varijancu i ocijenite preciznost procjene jednadţbe Y c ; izračunajte Pearsonov koeficijent korelacije; napišite zaključak. (Rj. Yc=0,39+0,35x; r=0,98)

Primjer 2.

Pomoću podataka iz tabele u prilogu: X Y    

798 40,7

121 6,1

1370 87,6

409 18,8

779 55,1

1421 83,6

168 6,4

548 35,2

Izračunajte oba pravca regresije (Y c i X c ). Pomoću koeficijenta regresije (b i b') izračun ajte koeficijent korelacije. Nacrtajte dijagram rasipanja i ucrtajte oba pravca regresije u taj grafikon. Provjerite da li je sjecište tih pravaca u točki (X , Y).

Zaključak? (Rj. Yc=-0,41+0,06x; Xc=63,89+15,30y; r=0,96)

Primjer 3.

Pomoću podataka u zadanoj tabeli ispitajte da li postoji linearna veza između varijabli X i Y. X Y

1180 29,0

1322 31,0

1366 32,4

1010 25,5

1602 38,7

1226 29,0

U tu svrhu izračunajte:  jednadţbe pravac a regresije (Y c i X c ) i      

koeficijent korelacije (geometrijskom sredinom iz koeficijenata regresije b i b'). ukupnu, protumačenu i rezidualnu varijancu (za Y c ) i stupanj rezidualne varijance; koeficijent determinacije i Pearsonov koeficijent korelacije;

koeficijent korelacije pomoću rezidualne varijance i koefi cijent korelacije pomoću kovarijance. (Rj. Yc=5,2+0,02x; Xc=75,96+44,02y; r=0,94)

Primjer 4.

Zadana je tablica slučajnih varijabli: X Y

1 1

3 2

4 4

6 4

8 5

9 7

11 8

14 9

Odredite koeficijent korelacije i oba pravca regresije. Nacrtajte dijagram panja i napišite zaključak. rasi (Rj. r=0,98; Yc=0,55+0,64x; Xc=0,50+1,50y)

24

Primjer 5.

Zadane su slučajne varijable X i Y: X Y

12 14

18 8

13 16

15 20

10 15

Odredite oba pravca regresije i koeficijent korelacije. Nacrtajte dijagram rasipanja i n apišite zaključak. (Rj. Yc=22,90-0,61x; Xc=17,98-0,30y; r=0,43)

Primjer 6.

Na razradbenom ispitu slučajno je odabrano 5 kandidata, te je izvršena usporedba broja bodova postignutih na razradbenom ispitu i bodova dobivenih na

temelju ocjena postignutih u srednjoj školi. Dobivena je sljedeća tablica s bodovima: X Y

68 95

72 80

45 63

70 100

80 90

Odredite oba pravca regresije i koeficijent korelacije. Nacrtajte dijagram rasipanja i n apišite zaključak. (Rj. Yc=29,32+0,84x; Xc=8,79+0,68y; r=0,76)

Primjer 7.

Na prvom i drugom kolokviju iz predmeta «Statistika» šest studenata dobilo je bodove prikazane u tablici: I. kolokvij II. kolokvij

80

78

91

45

47

77

100

65

100

22

53

80

Odredite: oba pravca regresije, koeficijent korelacije, nacrtajte dijagram rasipanja, te n apišite zaključak . (Rj. Yc=-28,23+1,41x; Xc=45,64+0,34y; r=0,69)

Primjer 8.

Dolasci i noćenja turista (u mil.) Dolasci

7,1 39,1 Noćenja Izvor: www.dzs.hr

7,9 43,4

8,3 44,7

8,8 46,6

9,4 47,8

10,0 51,4

Ispitajte da li postoji linearna veza između broja dolazaka i broja noćenja turista. U tu svrhu izračunajte: pravac regresije Y c , koeficijent korelacije, te komentirajte dobivene rezultate. (Rj. Yc=12,55+3,84x; r=0,98)

Primjer 9.

Temeljni kapital i aktiva hrvatskih banaka u 2005. godini ( u mil. kn) Temeljni 1 098 1 666 1 333 1 434 kapital Aktiva

63 408

47 370

28 651

19 307

1 324 30 335

Ispitajte jačinu i smjer veze između temeljnog kapitala i aktive odabranih banaka u Hrvatskoj u 2005. godini. Komentirajte dobiveni rezultat. (Rj. r=0,33)

25


Korelacija ranga

Dva stručnjaka banke neovisno ocjenjuju rizičnost naplativosti računa potencijalnih korisnika kreditnih kartica banke Z&S. Ocjene su od 1 (najmanja rizičnost) do 10. Ocjene su stručnjaka z a 9 podnositelja zahtjeva: Rang

2

3

6

5

4

8

9

1

7

A Rang

3

2

5

4

6

8

7

1

9

stručnjaka stručnjaka B

Nacrtajte pripadajući dijagram rasipanja. Izračunajte Spearmanov koeficijent korelacije ranga. Testirajte njegovu značajnost na razini signifikantnosti 0 .05. Napišite zaključak. (Rj. rs=0.87) Primjer 2.

Proizvodnja proizvoda A u tisućama komada (varijabla X) i ukupni troškovi po jedinici proizvoda u kunama (varijabla Y) iznose: Xi Yi

550 60

580 54

620 50

700 45

750 36

815 32

895 25

997 23

1195 18

1541 10

Nacrtajte pripadajući dijagram rasipanja. Izračunajte Spearmanov koeficijent korelacije ranga. Testirajte njegovu značajnost na razini signifikantnosti 5% i 1%. Napišite zaključak. (Rj. rs=-0.39) Primjer 3.

Zadane su slučajne varijable X i Y: X Y

12 14

18 8

13 16

15 20

10 15

Izračunajte koeficijent korelacije ranga i testirajte njegovu značajnost na razini 5% i 1%. Nacrtajte dijagram rasipanja i n apišite zaključak. (Rj. rs=-0.10) Primjer 4.

Povjerenstvo turističke zajednice «Kvarner» ocjenjuje (rangira) 10 hotela prema unutarnjem uređenju i kvaliteti usluga. Rangovi su sljedeći: Rang unutarnjeg uređenja (r x) Rang usluga (r y))

5

1

4

10

2

7

8

3

6

9

7

1

3

9

4

8

6

2

5

10

Nacrtajte dijagram rasipanja. Izračunajte vrijednost Spearmanovog koeficije nta korelacije ranga. Testirajte njegovu značajnost na razini 5% signifikantnosti. (Rj. rs=0.89)

26

Primjer 5.

Sluţba za marketing ispituje reakcije potrošača na prodajnu cijenu novog proizvoda. Područje drţave segmentirano je na 10 područja. Za svako je područje određena posebna cijena proizvoda. Šest mjeseci poslije uvođenja proizvoda na trţište dobiveni su ovi podaci po područjima: Prodaja u 000 komada Cijena po kom. u kn

11.5

10.0

9.0

7.0

6.0

5.0

4.0

3.5

2.5

1.0

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

Nacrtaj te pripadajući dijagram rasipanja. Izračunajte Spearmanov koeficijent korelacije ranga. Testirajte njegovu značajnost na razini signifikantnosti 0.05. N apišite zaključak. (Rj. rs=-0.99) Primjer 6.

Dani su ovi parovi vrijednosti numeričkih varijabli: Xi 352 Yi 166

373 153

411 441 462 177 201 216

490 208

529 227

577 238

641 692 268 268

743 801 274 302

Nacrtajte dijagram rasipanja. Izračunajte Spearmanov koeficijent korelacije ranga. Napišite zaključak. (Rj. rs=0.98) Primjer 7.

Na prvom i drugom kolok viju iz predmeta «Statistika» šest studenata dobilo je bodove prikazane u tablici: I. 80 78 91 45 47 77 kolokvij II. 100 65 100 22 53 80 kolokvij

Nacrtajte dijagram rasipanja. Izračunajte vrijednost Spearmanovog koeficijenta korelacije ranga. Testirajte njegovu značajnost na razini 5% signifikantnosti. (Rj. rs=0,93)

27

VJEŢBA 10 Analiza vremenskih nizova: grafičko prikazivanje, indi vidualni indeksi (veriţni i bazni indeksi) Primjer 1.

Prevezeni putnici (u tisućama) u cestovnom prometu u RH : Godina 1995. 1996. Prevezeni putnici 83652 85764 Izvor: SLJRH, 2001., str. 298

1997. 85236

1998. 77595

1999. 64763

2000. 66556

O kojoj je vrsti statističkog niza riječ u ovom primjeru? Niz prikaţite grafički površinskim i linijskim grafikonom. Napišite zaključak. Primjer 2.

Mjesečni izvoz i uvoz Republike Hrvatske 2001. godine, u milijunima USD: Mjesec Izvoz Uvoz

I 321 537

II 375 638

III 397 815

IV 344 742

V 388 957

VI 409 845

VII 374 814

VIII 425 689

IX 397 744

X 498 843

XI 343 744

XII 389 676

Izvor: priopćenje DZS. Usporedite izvoz i uvoz na jednom grafikonu. Što se moţe zaključiti na temelju grafičkog prikaza. Primjer 3.

Noćenja turista u RH: Godina 1996. Ukupno 21860 Od toga stranih turista 16919 Izvor: SLJRH, 2001., str. 380

1997. 30775 25114

1998. 31852 26545

1999. 27126 21885

2000. 39183 34045

Usporedite navedene nizove odgovarajućim grafikonom i komentirajte ga. Primjer 4.

Robni izvoz i uvoz RH (u milijunima USD): Godina 1996. 1997. Izvoz 4643 3981 Uvoz 7784 9101 Izvor: MSI, br. 1, 2002., str. 73

1998. 4517 8276

1999. 4302 7799

2000. 4432 7887

Izračunajte veriţne indekse izvoza i uvoza. Izračunate indekse prikaţite na jednom grafikonu. Napišite zaključak. Primjer 5.

Robni izvoz i uvoz RH (u milijunima USD): Godina 1996. 1997. Izvoz 4643 3981 Uvoz 7784 9101 Izvor: MSI, br. 1, 2002., str. 73

1998. 4517 8276

1999. 4302 7799

2000. 4432 7887

Izračunajte indekse uvoza i izvoza (1996. = 100). Prikaţite ih grafički odgovarajućim grafikonom. Napišite zaključak. 28

Primjer 6.

Robni izvoz i uvoz RH u milijunima US$: Godina 1991. 1992. 1993. Uvoz 3292 4957 3904 Izvoz 2334 4461 4666

1994. 4260 5229

1995. 4633 7510

1996. 4512 7788

1997. 4341 9123

Izračunajte bazne indekse uvoza i izvoza (1991. = 100). Bazne indekse prikaţite graf ički odgovarajućim grafikonom. Napišite zaključak. Primjer 7.

Godišnji prihod tvrtke AGRO u milijunima kuna stalne cijene bio je: Godina Prihod (a) (b)

Primjer 8.

1992. 22

1993. 19

1994. 20

1995. 23

1996. 25

1997. 26

1998. 30

1999. 39

Navedeni niz prikaţite grafički linijskim grafikonom. Što se na temelju grafikona moţe zaključiti? Izračunajte veriţne indekse i bazne indekse (1992. = 100).

U tablici su dani podaci o upisanim studentima u RH u razdoblju od 1997/1998. do 2001/2002. akademske godine: Ak. godina 1997/1998. 1998/1999. 1999/2000. 2000/2001. 2001/2002. Broj 90.021 91.874 96.798 100.297 107.911 studenata

Navedeni niz prikaţite grafički odgovarajućim grafikonom. Izračunajte veriţne indekse i prikaţite ih grafički odgovarajućim grafikonom. Napišite zaključak. Primjer 9.

Tabela: Prijevoz robe u pomorskom prometu Republike Hrvatske Godina 1991. 1992. 1993. 1994. 1995. Roba 26 912 26 142 22 392 32 050 38 121 prevezena morem Izvor: Statistički ljetopis Republike Hrvatske, 1998., str. 293

1996. 38 644

1997. 38 092

Podatke iz tabele prikaţite grafički linijskim grafikonom. Izračunajte bazne indekse (1991. = 100) i prikaţite ih grafički odgovarajućim grafikonom. Napišite zaključak. Primjer 10.

Tabela: Ukupan broj noćenja turista u Republici Hrvats koj po mjesecima 1997. godine Mjesec

I Noćenja 260

II 295

III 496

IV 591

V 1524

VI 2946

VII 8944

VIII 11286

IX 2924

X 537

XI 251

XII 260

Izvor: Mjesečno statističko izvješće, broj 11, 1998., str. 57 Izračunajte veriţne indekse i prikaţite ih grafički odgovarajućim grafikonom. Napišite zaključak.

29

VJEŢBA Primjer 1.

11


Stanovništvo SAD-a (u milijunima, stanje sredinom godine): Godina

Stanovništvo

1989. 247

1990. 250

1991. 253

1992. 255

1993. 258

1994. 261

1995. 263

1996 266

1997. 268

Prikaţite navedeni niz linijskim grafikonom. Izračunajte jednadţbu linearnog trenda: (a) s ishodištem na početku vremenskog razdoblja, (b) s ishodištem u sredini vremenskog razdoblja. Napišite zaključak. (Rj. (a) Yc=247,37+2,63x; (b) Yc=257,89+2,63x)

Primjer 2.

Godišnji prihod tvrtke TREND u milijunima kuna stalne cijene bio je: Godina Prihod

1992. 22

1993. 19

1994. 20

1995. 23

1996. 25

1997. 26

1998. 30

Prikaţite navedeni niz linijskim grafikonom. Izračunajte jednadţbu line arnog trenda: (a) s ishodištem na početku vremenskog razdoblja, (b) s ishodištem u sredini vremenskog razdoblja. Napišite zaključak. (Rj: (a) Yc=18,82+3,34x; (b) Yc=27,17+1,67x)

Primjer 3.

Broj posjeta odabranoj web-stranici po mjesecima u 2006. godini (u 000) Mjesec Broj posjeta

I. 15,5

II. 17,2

III. 21,0

IV. 21,9

V. 24,9

Prikaţite navedeni niz linijskim grafikonom. Izračunajte jednadţbu linearnog trenda s ishodištem na početku vremenskog niza. Napišite zaključak . (Rj. Yc=15,4+2,35x)

Primjer 4.

Zaposlene osobe u RH (u 000) Godina Broj zaposlenih osoba

2000.

2001.

2002.

2003.

2004.

2005.

1 014

1 024

1 034

1 046

1 074

1 095

Izvor: www.dzs.hr, 16.8.2006.

Prikaţite navedeni niz linijskim grafikonom. Izračunajte jednadţbu linearnog trenda s ishodištem na početku vremenskog niza. Napišite zaključak . (Rj. Yc=9035,86+114,25x)

Primjer 5.

Proizvodnja artikala (u tisućama komada) bila je: Godina Komada

1994. 30

1995. 36

1996. 48

1997. 62

1998. 78

1999. 94

2000. 107

2001. 118

2002. 127

Izračunajte jednadţbu linearnog trenda s ishodištem na početku i u sredini vremenskog razdoblja. Prikaţite navedeni niz linijskim grafikonom.

30

Primjer 6.

Noćenja turista u RH (u mil.) Godina

2000. 39 Br. noćenja Izvor: www.dzs.hr, 16.8.2006.

2001. 43

2002. 45

2003. 47

2004. 48

2005. 51

Prikaţite navedeni niz linijskim grafikonom. Izračunajte jednadţbu linearnog trenda s ishodištem u sredini vremenskog niza. Napišite zaključak . (Rj. Yc=45,50+1,10x)

Primjer 7.

Prosječne mjesečne neto plaće zaposlenih Godina

2000. Neto plaća 3 326 Izvor: www.dzs.hr

2001. 3 541

2002. 3 720

2003. 3 940

2004. 4 173

2005. 4 376

Izračunajte:  jednadţbu linearnog trenda s ishodištem na početku  jednadţbu linearnog trenda s ishodištem u sredini  veriţne indekse neto plaća  sve prikaţite grafički  napišite zaključak. (Rj.Yc=3319,85+210,46x; Yc=3846+105,23x)

Primjer 9.

Registrirana osobna vozila u tisućama (stanje potkraj godine): Godina Broj vozila

1994. 8

1995. 11

1995. 15

1996. 22

1997. 36

1998. 63

1999. 125

2000. 288

2001. 776

Izračunajte jednadţbu linearnog trenda s ishodištem na početku i u sredini vremenskog razdoblja. (Rj. Yc=-128,27+69,40x; Yc=149,33+69,40x)

31

Zbirka Zadataka Iz Statistike

Recommend Documents