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Matemática - 3º Básico - Grupo Zaculeu - Segundo semestre - IGER

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Matemática

Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica y Grupo Radial ¡uy, uy, uy! Tel: 2412 6666 www.iger.edu.gt [email protected]

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3º Básico - Grupo Zaculeu Segundo semestre - IGER

Matemática

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Matemática 9

Segundo semestre

© Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, IGER. Es una obra producida por el Departamento de Redacción y Diseño, para el Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, IGER. 11 avenida 18-45, Ciudad Nueva, zona 2 Ciudad de Guatemala. PBX: 2412 6666 Fax: 2412 6704 Correo electrónico: [email protected] Página web: www.iger.edu.gt Edición 2014 Impreso en IGER talleres gráficos

Código: 1110904202 ISBN 978 9929 614 10 9

Reservados todos los derechos. Queda rigurosamente prohibida la reproducción total o parcial de este material educativo, por cualquier medio o procedimiento, sin la autorización del Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, IGER. Según artículo 42 de la Constitución Política de Guatemala que se refiere a la autoría.

Índice Índice ..............................................................................................................................................................................................

I

¡Bienvenida y bienvenido! ...................................................................................................................................................

1

Semana 18 Ángulos ................................................................................................................................................................................

13

¡Para comenzar! La geometría en la danza......................................................................................................................

14

El mundo de la matemática

1. El ángulo ............................................................................................................................................................................

15

1.1 ¿Cómo medimos los ángulos? ...........................................................................................................................

15

1.2 Medición de un ángulo con transportador ..................................................................................................

16

2. Clasificación de los ángulos .......................................................................................................................................

17

2.1 Por su abertura ........................................................................................................................................................

17

2.2 Por su relación con otro ángulo ........................................................................................................................

17

a. Ángulos complementarios...............................................................................................................................

17

b. Ángulos suplementarios ..................................................................................................................................

18

3. Complemento y suplemento definidos por una incógnita.............................................................................

19

Resumen ........................................................................................................................................................................................

21

Autocontrol..................................................................................................................................................................................

22

Agilidad de cálculo mental ..................................................................................................................................................

24

Razonamiento lógico .............................................................................................................................................................

25

Desarrolle nuevas habilidades ...........................................................................................................................................

26

Semana 19 Ángulos entre rectas

......................................................................................................................................

27

¡Para comenzar! Euclides de Alejandría............................................................................................................................. El mundo de la matemática

28

1. Ángulos entre rectas ......................................................................................................................................................

29

2. Cálculo de ángulos entre rectas ................................................................................................................................

30

2.1 Cálculo de ángulos entre rectas definidos por una incógnita ...............................................................

32

Resumen ........................................................................................................................................................................................

34

Investigue en la red .................................................................................................................................................................

34

Autocontrol .................................................................................................................................................................................

35


38


39


40

Matemática − Índice

I

Semana 20 La circunferencia.....................................................................................................................................................

41

¡Para comenzar! La rueda ......................................................................................................................................................

42


1. La circunferencia...............................................................................................................................................................

43

1.1 Elementos de la circunferencia ..........................................................................................................................

43

2. Posiciones relativas entre dos circunferencias......................................................................................................

44

3. Longitud del arco de la circunferencia....................................................................................................................

45

Resumen.........................................................................................................................................................................................

47

Investigue en la red..................................................................................................................................................................

47

Autocontrol..................................................................................................................................................................................

48

Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................................

50

Razonamiento lógico...............................................................................................................................................................

51

Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................................

52

Semana 21 El teorema de Tales

..........................................................................................................................................

53

¡Para comenzar! Tales de Mileto y la pirámide de Keops ...........................................................................................

54


1. El teorema de Tales.........................................................................................................................................................

55

2. Aplicaciones del Teorema de Tales............................................................................................................................

56

Resumen ........................................................................................................................................................................................

58

Autocontrol .................................................................................................................................................................................

59


62


63


64

Semana 22 Congruencia y semejanza de triángulos

..........................................................................

65

¡Para comenzar! El mapa en relieve, una joya de ingeniería y arte .......................................................................

66


1. Triángulos congruentes ................................................................................................................................................

67

1.1 Criterios de congruencia de triángulos ..........................................................................................................

68

a. Lado – lado – lado (LLL) ...................................................................................................................................

68

b. Lado – ángulo – lado (LAL) .............................................................................................................................

68

c. Ángulo – lado – ángulo (ALA) ........................................................................................................................

68

d. Lado – lado – ángulo (LLA) .............................................................................................................................

68

II

IGER − Zaculeu

2. Triángulos semejantes .................................................................................................................................................. 2.1 Criterios de semejanza de triángulos .............................................................................................................. a. Los tres ángulos son iguales .......................................................................................................................... b. Dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual .................................... c. Todos sus lados son proporcionales .......................................................................................................... 2.2 Posición de Tales....................................................................................................................................................... Resumen ........................................................................................................................................................................................ Autocontrol ................................................................................................................................................................................. Agilidad de cálculo mental .................................................................................................................................................. Razonamiento lógico ............................................................................................................................................................. Desarrolle nuevas habilidades ...........................................................................................................................................

69 69 69 69 70 71 73 74 76 77 78

Semana 23 Teorema de Pitágoras

....................................................................................................................................

79

¡Para comenzar! Pitágoras y los pitagóricos ................................................................................................................... El mundo de la matemática 1. Teorema de Pitágoras ................................................................................................................................................... 1.1 Cálculo de los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo ................................................................ a. Cálculo de la hipotenusa (c) ........................................................................................................................... b. Cálculo de los catetos (a, b) ........................................................................................................................... Resumen ........................................................................................................................................................................................ Autocontrol ................................................................................................................................................................................. Agilidad de cálculo mental .................................................................................................................................................. Razonamiento lógico ............................................................................................................................................................. Desarrolle nuevas habilidades ...........................................................................................................................................

80

Semana 24 Razones trigonométricas

81 82 82 84 85 86 88 89 90

.........................................................................................................................

91

¡Para comenzar! Ángulos de elevación y ángulos de depresión .............................................................................. El mundo de la matemática 1. Razones trigonométricas ............................................................................................................................................. a. Seno de un ángulo (sen α) .............................................................................................................................. b. Coseno de un ángulo (cos α) ........................................................................................................................ c. Tangente de un ángulo (tan α) ...................................................................................................................... 2. Cálculo de razones trigonométricas ........................................................................................................................ 3. Aplicación de las razones trigonométricas ........................................................................................................... Resumen ........................................................................................................................................................................................ Autocontrol ................................................................................................................................................................................. Agilidad de cálculo mental .................................................................................................................................................. Razonamiento lógico ............................................................................................................................................................. Desarrolle nuevas habilidades ...........................................................................................................................................

92


93 94 94 94 96 98 99 100 102 103 104

III

Semana 25 Repaso: semanas 18 a 24

.................................................................................................................... 107

Querida y querido estudiante: ¿Cómo será la prueba de evaluación?................................................................. El mundo de la matemática Ángulos .................................................................................................................................................................................... Ángulos entre rectas ........................................................................................................................................................... La circunferencia ................................................................................................................................................................... El teorema de Tales .............................................................................................................................................................. Congruencia y semejanza de triángulos ..................................................................................................................... Teorema de Pitágoras ......................................................................................................................................................... Razones trigonométricas ..................................................................................................................................................... Agilidad de cálculo mental .................................................................................................................................................. Orientaciones sobre la prueba parcial ...........................................................................................................................

Semana 26 Potenciación de expresiones algebraicas

108 109 112 114 116 118 121 123 125 126

...................................................................... 127

¡Para comenzar! Potenciación de números enteros ..................................................................................................... El mundo de la matemática 1. Potenciación de expresiones algebraicas .............................................................................................................. a. Regla del producto de potencias de igual base ..................................................................................... b. Regla del cociente de potencias de igual base ...................................................................................... c. Regla del exponente cero ................................................................................................................................ d. Regla de la potencia de una potencia ........................................................................................................ e. Regla del exponente negativo ....................................................................................................................... f. Regla de la potencia de una fracción algebraica ..................................................................................... Resumen ........................................................................................................................................................................................ Autocontrol.................................................................................................................................................................................. Agilidad de cálculo mental .................................................................................................................................................. Razonamiento lógico ............................................................................................................................................................. Desarrolle nuevas habilidades ...........................................................................................................................................

Semana 27 Factorización de expresiones algebraicas I..................................................................

128 129 129 130 130 130 132 132 135 136 140 141 142

143

¡Para comenzar! ¡Hagamos memoria! .............................................................................................................................. 144 1. Factorización de expresiones algebraicas ............................................................................................................. 145 El mundo de la matemática 1.1 Factorización por factor común.......................................................................................................................... 146

IV

IGER − Zaculeu

1.2 Factorización por agrupación.............................................................................................................................. 1.3 Factorización por diferencia de cuadrados.................................................................................................... Resumen ........................................................................................................................................................................................ Investigue en la red ................................................................................................................................................................. Autocontrol ................................................................................................................................................................................. Agilidad de cálculo mental .................................................................................................................................................. Razonamiento lógico ............................................................................................................................................................. Desarrolle nuevas habilidades ...........................................................................................................................................

Semana 28 Factorización de expresiones algebraicas II

148 150 151 151 152 154 155 156

.............................................................. 157

¡Para comenzar! Redes Wi-Fi y polinomios ..................................................................................................................... 158 El mundo de la matemática 1. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto .............................................................................................. 159 ¿Qué sucede si el segundo término es negativo? ............................................................................................. 161 2. Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c .................................................................................... Resumen......................................................................................................................................................................................... Investigue en la red ................................................................................................................................................................. Autocontrol ................................................................................................................................................................................. Agilidad de cálculo mental .................................................................................................................................................. Desarrolle nuevas habilidades ...........................................................................................................................................

162 164 164 165 169 170

Semana 29 Radicación .......................................................................................................................................................................

171

¡Para comenzar! ¡Haga memoria! ...................................................................................................................................... El mundo de la matemática 1. Reglas de los radicales .................................................................................................................................................. 1.1 Regla del producto ................................................................................................................................................. 1.2 Regla del cociente ................................................................................................................................................... 1.3 Raíz de una potencia .............................................................................................................................................. a. El exponente del radicando y el índice de la raíz son iguales ........................................................... b. El exponente del radicando es distinto del índice de la raíz ............................................................. 1.4 Raíz de una raíz ........................................................................................................................................................ Resumen ........................................................................................................................................................................................ Investigue en la red ................................................................................................................................................................. Autocontrol.................................................................................................................................................................................. Agilidad de cálculo mental .................................................................................................................................................. Razonamiento lógico ............................................................................................................................................................. Desarrolle nuevas habilidades ........................................................................................................................................... Matemática − Índice

172 173 173 174 175 175 175 176 177 177 178 180 181 182

V

Semana 30 Radicación de expresiones algebraicas II

..................................................................... 183

¡Para comenzar! ¿Qué tan lejos se puede ver en un día claro? ................................................................................ El mundo de la matemática 1. Radicales semejantes .................................................................................................................................................... 2. Suma y resta de radicales semejantes .................................................................................................................... 3. Multiplicación y división de radicales ..................................................................................................................... 3.1 Multiplicación de radicales con índices iguales .......................................................................................... 3.2 División de radicales con índices iguales........................................................................................................ Resumen ........................................................................................................................................................................................ Investigue en la red ................................................................................................................................................................. Autocontrol ................................................................................................................................................................................. Agilidad de cálculo mental .................................................................................................................................................. Razonamiento lógico ............................................................................................................................................................. Desarrolle nuevas habilidades ...........................................................................................................................................

Semana 31 Ecuaciones de segundo grado I

185 186 187 187 188 189 189 190 192 193 194

.................................................................................................... 195

¡Para comenzar! Descubra la incógnita… ecuaciones lineales ................................................................................. El mundo de la matemática 1. Ecuaciones cuadráticas ................................................................................................................................................. 1.1 Clasificación de ecuaciones cuadráticas ......................................................................................................... a. Ecuaciones cuadráticas completas ............................................................................................................... b. Ecuaciones cuadráticas incompletas .......................................................................................................... 2. Resolución de ecuaciones cuadráticas completas ............................................................................................. 2.1 Resolución por factorización .............................................................................................................................. 2.2 Problemas que se resuelven por medio de ecuaciones cuadráticas ................................................... Resumen ........................................................................................................................................................................................ Investigue en la red... ............................................................................................................................................................. Autocontrol ................................................................................................................................................................................. Agilidad de cálculo mental .................................................................................................................................................. Razonamiento lógico ............................................................................................................................................................. Desarrolle nuevas habilidades ...........................................................................................................................................

Semana 32 Ecuaciones de segundo grado II

184

196 197 198 198 198 199 199 201 203 203 204 206 207 208

.................................................................................................. 209

¡Para comenzar! Ecuaciones que cambiaron la faz de la Tierra .............................................................................. 210

VI

IGER − Zaculeu

El mundo de la matemática 1. Resolución de ecuaciones cuadráticas por la fórmula general .................................................................... 1.1 Problemas que se resuelven por medio de ecuaciones cuadráticas ................................................... Resumen ........................................................................................................................................................................................ Investigue en la red... ............................................................................................................................................................. Autocontrol ................................................................................................................................................................................. Agilidad de cálculo mental .................................................................................................................................................. Razonamiento lógico .............................................................................................................................................................

Semana 33 Gráfica de funciones cuadráticas

............................................................................................... 221

¡Para comenzar! El exponente de x es 1: función lineal .............................................................................................. El mundo de la matemática 1. Función cuadrática ......................................................................................................................................................... 2. Gráfica de la función cuadrática ............................................................................................................................... 1.1 Pasos para trazar la gráfica de la función cuadrática................................................................................. Resumen ........................................................................................................................................................................................ Investigue en la red... ............................................................................................................................................................. Autocontrol ................................................................................................................................................................................. Agilidad de cálculo mental .................................................................................................................................................. Razonamiento lógico ............................................................................................................................................................. Desarrolle nuevas habilidades ...........................................................................................................................................

Semana 34 Repaso: semanas 26 a 33

211 214 217 217 218 219 220

222 223 224 226 229 229 230 232 233 234

.................................................................................................................... 235

Querida y querido estudiante: ¿Cómo será la prueba de evaluación? ............................................................... El mundo de la matemática Potenciación de expresiones algebraicas ................................................................................................................... Factorización de expresiones algebraicas I ................................................................................................................ Factorización de expresiones algebraicas II ............................................................................................................... Ecuaciones de segundo grado I ..................................................................................................................................... Agilidad de cálculo mental .................................................................................................................................................. Razonamiento lógico ............................................................................................................................................................. Orientaciones sobre la prueba final ...............................................................................................................................

236 237 240 243 249 256 257 258

Claves ......................................................................................................................................................................................... 253 Bibliografía.............................................................................................................................................................................. 285 Matemática − Índice

VII

¡Bienvenida y bienvenido! “Hay una fuerza más poderosa que el vapor, la electricidad y la energía atómica, la voluntad.” Iniciamos la segunda parte de nuestro camino… Solo nos falta un tramo de nuestro recorrido, 17 semanas de estudio, para alcanzar la meta y terminar el grupo Zaculeu y el ciclo básico. El currículo nacional base “Cnb” ha planteado una competencia matemática superior que usted está llamado a cumplir: Desarrollar su habilidad para utilizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y el razonamiento matemático tanto para producir e interpretar distintos tipos de información, como para ampliar su conocimiento y aplicarlo a la realidad de su vida cotidiana. La portada de su libro quiere ser una motivación para alcanzar esta competencia. Compartamos algunas ideas de esta imagen. • Vivimos en comunidad y somos parte de la familia humana. La Tierra representa el hogar que compartimos y todas las posibilidades que este planeta nos ofrece: naturaleza, ciencia, arte, cultura… • Los números mayas nos recuerdan la riqueza cultural que como guatemaltecos compartimos. Este conocimiento debemos valorarlo, aprenderlo y transmitirlo. • En este mundo diverso estamos en constante contacto con otras personas y cada vez más “conectados” con otras culturas y conocimientos. La mano dando un clic nos invita a explorar este mundo a través de internet. • La imagen de un grupo de manos alrededor de un corazón nos habla de establecer relaciones con las personas que nos rodean. Intercambiamos formas de sentir, de pensar y de ver la vida. La riqueza de estas relaciones y la manera en que aprendemos a resolver nuestras diferencias nos convierte en mejores personas.

Matemática − ¡Bienvenida y bienvenido!

1

¿Cómo alcanzará esa competencia matemática? La competencia “mayor” que leíamos en la página anterior se divide en cinco competencias específicas que podemos ir logrando paso a paso. Para saber cómo vamos en este proceso, los indicadores de logro son señales que nos van marcando el camino. Las secciones específicas de su libro están pensadas para ayudarle a lograrlo. Veamos:

Competencia de grado 1. Produce patrones aritméticos, algebraicos y geométricos, aplicando propiedades y relaciones.

Indicador de logro 1.1 Aplica la factorización de polinomios al simplificar fracciones algebraicas y dividir polinomios. 1.2 Resuelve problemas que involucran cálculo de medidas y aplicación de propiedades de figuras planas y cuerpos sólidos. 1.3 Aplica la trigonometría a la resolución de problemas.

2. Construye modelos matemáticos que le permiten la representación y análisis de relaciones cuantitativas.

2.1 Emite juicios en discusiones ofreciendo argumentos y justificando sus pasos y resultados. 2.2 Reconoce las ideas matemáticas abstractas que simboliza, grafica e interpreta. 2.3 Utiliza diferentes métodos en la resolución de ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones.

2

IGER − Zaculeu

Sección del libro


Razonamiento lógico

Agilidad de cálculo mental

Desarrolle nuevas habilidades




Autocontrol

Competencia de grado 3. Utiliza los diferentes tipos de operaciones en el conjunto de números reales, aplicando sus propiedades y obteniendo resultados correctos.

Indicador de logro 3.1 Utiliza eficientemente los diferentes tipos de operaciones en el conjunto de números reales, aplicando sus propiedades y verificando que sus resultados son correctos. 3.2 Utiliza eficientemente las cuatro operaciones básicas en el conjunto de números complejos, verificando que sus resultados son correctos y representándolos en el plano cartesiano.

4. Emite juicios referentes a preguntas que se ha planteado buscando, representando e interpretando información de diferentes fuentes.

4.1 Analiza conjuntos de datos aplicando medidas de tendencia central, posición y dispersión. 4.2 Utiliza conceptos probabilísticos al resolver problemas.

Sección del libro




Autocontrol

¡Para comenzar!


Investigue en la red

Razonamiento lógico Desarrolle nuevas habilidades

5. Aplica métodos de razonamiento, el lenguaje y la simbología matemática en la interpretación de situaciones de su entorno.

5.1 Realiza operaciones en sistemas diferentes al decimal convirtiendo de un sistema a otro. 5.2 Propone modificaciones en el mejoramiento de estrategias de resolución de problemas.

Autocontrol

¡Para comenzar! El mundo de la matemática Razonamiento lógico Agilidad de cálculo mental Desarrolle nuevas habilidades

Autocontrol


3

La constancia y el trabajo diario serán sus aliados para lograr tres tipos de contenidos:  Declarativos: Los contenidos declarativos le aportarán el conocimiento de los distintos aspectos teóricos, conceptuales y científicos del área.  Procedimentales: Como indica su nombre, los contenidos procedimentales se desarrollarán a base de ejercicios, operaciones o análisis de problemas en los cuales pueda demostrar el dominio y la puesta en práctica de los conocimientos declarativos.  Actitudinales: Estos hacen referencia a su ”actitud”, a la manera en que enfrenta el estudio y los acontecimientos de su vida cotidiana. El libro le proporciona actividades para reflexionar y pensar acerca de ellas.

¿Qué pretende el libro? Su vida diaria está llena de “matemáticas” realiza el presupuesto de su dinero, calcula el tiempo, hace compras, cuentas, adquiere conocimientos nuevos… Esta materia nos ayuda a comprender el lenguaje y los conocimientos científicos en general.

4

•

Aumentar nuestra autoestima Cuando nos conocemos y aprendemos a aceptarnos “tal y como somos” adquirimos las herramientas emocionales para aprender y sacar provecho de nuestras habilidades. El libro tiene actividades y ejercicios que nos ayudan a reflexionar sobre lo que nos gusta, descubrir destrezas y ser cada día mejores.

•

Valorar a los demás Las ideas de los otros nos permiten conocer puntos de vista distintos, ampliar nuestras perspectivas de vida y encontrar soluciones coherentes a la realidad. Aplicaremos los conocimientos matemáticos a situaciones cotidianas de nuestro país y aprenderemos a resolverlos respetando la diversidad de los pueblos que conviven en Guatemala.

•

Convivir en sociedad Cuando sabemos más, estamos llamados a convertir ese conocimiento en posibilidades de mejora para nosotros y los que nos rodean. En el libro le presentamos actividades y conocimientos para ser cada vez mejor ciudadano y proyectarnos a nuestra comunidad.

IGER − Zaculeu

¡Conozcamos nuestro libro!

Índice Índice ............................................................... .................................................................................... .......................................... ¡Bienvenida y bienvenido! ..................... .................................................................................... .........................................

Este libro mantiene la misma estructura que los anteriores.

I 1

Semana 18 Ángulos ....................................................................................

.................................................................................... ....... ¡Para comenzar! La geometría en la danza ............................................................... ...................................................... El mundo de la matemática 1. El ángulo .......................................... .................................................................................... ............................................. 1.1 ¿Cómo medimos los ángulos? .................................................................................... ...................................... 1.2 Medición de un ángulo con transporta dor ............................................................... .................................. 2. Clasificación de los ángulos ..................... .................................................................................... ............................. 2.1 Por su abertura .......................................... .................................................................................... ......................... 2.2 Por su relación con otro ángulo .................................................................................... ..................... .............. a. Ángulos complementarios ..................... .................................................................................... ..................... b. Ángulos suplementarios ..................... .................................................................................... ........................ 3. Complemento y suplemento defi nidos por una incógnita ..................... ....................................................... Resumen ............................................................... .................................................................................... .................................... Autocontrol .......................................... .................................................................................... ................................................... Agilidad de cálculo mental ..................... .................................................................................... ........................................ Razonamiento lógico ..................... .................................................................................... ................................................... Desarrolle nuevas habilidades ..................... .................................................................................... .................................

Inicia con un índice de contenidos generales al principio y termina con las claves o soluciones de los ejercicios, al final. Usar las claves con responsabilidad le permitirá desarrollar autonomía en su aprendizaje.

Semana 19 Ángulos entre rectas

Cada semana contiene cuatro secciones principales y otras que se van intercalando.

.................................................................................... ................................................. ¡Para comenzar! Euclides de Alejandría .................................................................................... El mundo de la matemática ........................................ 1. Ángulos entre rectas ..................... .................................................................................... ............................................ 2. Cálculo de ángulos entre rectas .................................................................................... ........................................... 2.1 Cálculo de ángulos entre rectas definidos por una incógnita ..................... ......................................... Resumen ............................................................... .................................................................................... .................................... Investigue en la red ... ..................... .................................................................................... .................................................... Autocontrol .......................................... .................................................................................... ..................... ............................. Agilidad de cálculo mental ..................... .................................................................................... ........................................ Razonamiento lógico ..................... .................................................................................... ................................................... Desarrolle nuevas habilidades ..................... .................................................................................... .................................


13 14 15 15 16 17 17 17 17 18 19 21 22 24 25 26

27 28 29 30 32 34 34 35 38 39 40

I

18

¡Iniciemos nuestro recorrido!

Portada Muestra el mosaico de imágenes que identifica nuestro curso de Matemática.

18

Ángulos

Indica el número de la semana, el título del tema y los contenidos que estudiará.

a semana?

¿Qué encontrará est

za

La geometría en la dan

Ángulos

ificación na? Ángulos y su clas encontrará esta sema ¿Qué

ulos

La Suma y resta de áng

geometría en la danza

Ángulos y su clasificación

ulosy resta de ángulos Ejercicios con ángSuma s

Ejercicios con ángulo

a semana logrará:

Esta semana logrará:

Est

movimientos de ballet. s que se forman en los Identificar los ángulo un ángulo. ntos que componen Reconocer los eleme ángulos. su relación con otros s según su medida y Clasificar ángulo suplementarios. s complementarios y Determinar ángulo d. agilida con s entario complementarios y suplem Calcular ángulos trazar una figura. el plano cartesiano para Ubicar puntos en

ballet. los movimientos de ulos que se forman en Identificar los áng ulo. un áng entos que componen Reconocer los elem . ción con otros ángulos rela su y ida med su según Clasificar ángulos . rios lementa complementarios y sup Determinar ángulos agilidad18. 13 entarios con lem sup y Matemática − Semana rios complementa Calcular ángulos trazar una figura. el plano cartesiano para Ubicar puntos en

Logros de la semana

Matemática − Semana

18

Los logros son metas que alcanzará al finalizar el estudio de cada semana. La lista termina con una línea en blanco para que escriba un 13 logro personal.


5

¡Para comenzar! Para entrar en el tema ¡Para comenzar!

La sección ¡Para comenzar! nos propone:

La geometría en la danza El ballet

• recordar conocimientos previos, • conocer datos curiosos relacionados con el tema,

90º

• presentar la vida de matemáticos destacados.

180º

Figura 2

Figura 1

por su belleza estética y por la El ballet es un tipo de danza que se caracteriza presentación de ballet, las y los exactitud de sus movimientos. Durante una y cuadriláteros que se mezclan bailarines proyectan líneas, triángulos, círculos comienza desde la niñez. En cada en el espacio. La preparación de estos artistas deben estar en el ángulo correcto movimiento que realizan, sus brazos y piernas para lograr las formas adecuadas. En las imágenes de arriba puede ver los ángulos to de cada bailarín.

que se forman en el movimien-

las piernas debe elevarse formando Figura 1. El arabesque: en este paso, una de un ángulo de 90° con el suelo.

Figura 2. El grand jete: los bailarines saltan y un ángulo de 180°.

extienden las piernas en el aire, en

¡A trabajar!

en rojo en las imágenes de los bailarines. Luego, Tome el transportador y mida los ángulos señalados ejemplo. escriba el resultado sobre la línea. Tiene un 2) 1) 0)

b

Estas actividades nos motivan y preparan para el tema que estudiaremos en la semana.

c

a = 180º

a = 180º

14

b=

c=

IGER − Zaculeu

El mundo de la matemática El propósito de esta sección es aprender, practicar y aplicar los fundamentos de la matemática. Este semestre conoceremos especialmente los principios del álgebra y la geometría.

El mundo de la matemática 1. Triángulos congruentes Forma y tamaño iguales

En matemática, el término congruencia se emplea como sinónimo de igualdad. Se dice que dos figuras geométricas son congruentes cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño. C

Por ejemplo, los dos triángulos de la imagen de la derecha son congruentes porque tienen la misma forma y miden lo mismo, aunque estén en posiciones distintas. En cambio, estos dos triángulos no son congruentes. Aunque tienen la misma forma, sus medidas son diferentes.

F

A

B

A

D

E F

C

B

D

E

En conclusión, decimos que dos triángulos son congruentes si sus lados y sus ángulos son iguales, aunque se encuentren en posición distinta. En lenguaje matemático se expresa así es congruente con el triángulo DEF.

ABC

DEF y se lee el triángulo ABC

Las condiciones que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se llaman criterios de congruencia. Los estudiaremos en el apartado siguiente.

Cuando los ángulos son complementarios sustituimos los valores de a y b y los igualamos a 90º. Cuando son suplementarios sustituimos los valores de a y b y los igualamos a 180º.

También encontrará recuadros con recordatorios o explicaciones que enriquecen el contenido y espacios vacíos para hacer anotaciones, escribir ideas importantes, preguntas, etc.

Ejercicio 1 Realice las actividades A y B. A. Mida los lados del triángulo DEF y compárelos con los lados del triángulo ABC. F

C 26 mm

A

34 mm

38 mm

26 mm

B

D

E

B. Responda: ¿El triángulo DEF es congruente con el triángulo ABC? Sí o no. Explique su respuesta.

Matemática − Semana 22

67

Anote sus dudas y resalte lo que debe recordar o prestar atención.

6

IGER − Zaculeu

Ejercicio 3

los problemas. y gira un riega agua a una distancia de 12 metros 1) En un campo para hortalizas un aspersor dispersa el agua en su punto más lejano? se longitud qué ¿A ángulo de 135º.

Calcule la longitud de arco para resolver

•

Copie la fórmula

AB =

•

Sustituya los datos y opere

AB = AB =

( 3.14(

AB =

180º

)

)(

r=

)

180

•

Copie la fórmula

AB =

•


AB = AB =

B

A r=

50

m a = 90º

πraº 180º ( 3.14(

AB =

180º

180

)

)( )

180 m

AB = metros de acero.

Si cada metro de tubo de acero cuesta

El costo del acero fue de Q

Resolver los ejercicios durante la clase radial con la ayuda de sus maestros locutores le permitirá comprobar si comprende los contenidos propuestos y por lo tanto si va alcanzando los logros.

m.

forma que se muestra en 2) La estructura de un puente tiene la m de radio y 90° de la figura. Las medidas del arco son: 50 ángulo. para fabricar el arco? a. ¿Qué cantidad de acero se necesitó

46

12 m

m

AB =

b.

a = 135º

180

El agua se dispersa a una longitud de

Se necesitó

¿Cómo saber que está alcanzando los logros que le llevan a desarrollar las competencias?

πraº 180º

Q50.00, ¿cuál fue el costo del acero utilizado?

Tenga presente que la matemática "entra por el lápiz". Resolver todos los ejercicios y hacerlo cuantas veces sea necesario le ayudará a ir ganando seguridad y agilidad.

.

Resumen

IGER − Zaculeu

1.

Una circunfere ncia es la línea cur va exterior dentro de la circ de un círculo. unferencia. El círculo es la superficie que 1.1 Elemento está s de la circunf erencia cue

Resumen

rda

C

1.

r

Resumen El resumen recoge brevemente todo el contenido de la semana. Esta sección le ayuda a recordar todo lo estudiado de un golpe de vista.

2.

Posiciones rela tivas ent

Concéntricas r

2.

Posiciones relat ivas entr

o

Tangentes exteriores

Tangentes interiores

Secantes

e dos circunfer

d

Exteriores

driores Inte

Longitud del arc 3.

• Refiérase siempre a las instituciones conocidas: universidades, ministerios de educación, organismos mundiales, etc.

d

C

Interiores

arc

d

Internet es un recurso que ya no puede quedar fuera de la vida de un estudiante. Esta sección le sugiere direcciones de internet para ampliar los temas. Para una investigación provechosa:

a

rd re dos circunf cue erencias

Exteriores

3.

Investigue en la red

d

Una circunferenci a es la línea curv a exterior de un dentro de la circu círculo. El círcu nferencia. lo es la superficie que está 1.1 Elemento s de la circunfer arc encia o

o se calcula con d

Longitud del arco

se calcula con

encias Tangentes exteriores

Concéntricas

Tangentes d riore inte s

d

Secantes

d

esta fórmula: AB = πraº

esta fórmula:

d

d

d

180º

Se lee: La longitu d del arco entre ABtos los pun = πraº dividido entre 180 A y B es igual a 180º grados pi por el radio Se lee: La longitud . (r), por el ángulo del arco entre los (a), puntos A y B dividido entre 180 grados.

es igual a pi por el radio (r), por el ángulo (a),

vestigue en la InveInst d... igue en larere d...

En la siguiente

dirección de inter

net podrá ver

un video que expl http://goo.gl/zNsK ica las partes de En la siguient la circunferencia. e dirección ade internet podrá ver un video que http://goo.gl/z explica las partes NsKa de la circunfere ncia. Matemática −

Semana 20

47

Matemática −

Semana 20

47

• Lea e intente interpretar la información. No se limite a copiar y pegar el texto. • Indique siempre la fuente de consulta que utilizó. • Trate de visitar internet, al menos, una vez por semana.


7

El autocontrol Practicar, practicar y practicar ¿Sabe manejar bicicleta? Si puede hacerlo, sabe que tuvo que practicar mucho y sufrir algún raspón para aprender la técnica y convertirse en un ciclista experto. Lo mismo sucede con la matemática. En el autocontrol encontrará dos secciones: Autocontrol Autocontrol Actividad 1.

Demuestre lo aprendido

Actividad 1. Demuestre lo aprendido A. Observe la ilustración. Luego, complete los enunciados. Tiene un ejemplo. A. Observe la ilustración. Luego, complete los enunciados. Tiene un ejemplo.


A

E

Es una serie de ejercicios en los que practicará contenidos básicos con actividades sencillas.

B

A

B

C

F

C

E

D

F D cuerda

0) El segmento AB se llama… 1) El punto representado con la letra C se llama… 2) La línea que va de C a D representa el... 0) El segmento AB se llama…

cuerda

3) La línea curva que va de D a F se llama...

1) El punto representado con la letra C se llama…

B. Escriba el nombre de las posiciones relativas de dos circunferencias. Tiene un ejemplo.

2) La línea que va de C a D representa el...

3)

0)

•7 3) La línea curva DB a F se llama... A • 6 que va •de 9 •8

B. Escriba el nombre de las posiciones relativas de dos circunferencias. Tiene un ejemplo. Secantes

0)

•7

1)• 6

A

3) 4)

B

•9

•8

didoido

apren lo aprend loue Practiq 2.ique Pract d 2.dad ActividaActivi

Practique lo aprendido Le proporciona la práctica de di¬ferentes ejercicios con distintos niveles de dificultad.

de ud de longitud e la la longit y encuentr ntre Secantes y encue ángulo según indicado o indicado otro radio elelángul según tador para trazar un transpor otro radio Utiliceortad or para trazar Tiene un ejemplo. Utilice un transp entre los puntos A y B.un lo. ejemp Tiene B. y A s entre los punto 1) 4) B 0)

0)

B

arco

AB =

90º

AB

A

5 cm

18

cmcm) 14.13 5 3.14(4 = = 18 ABAB 18 7.85 cm AB =14.13 cm AB = 18 AB = 7.85 cm 5)

Ángulo: 90º

Ángulo:4890º IGER − Zaculeu 2) 1) 10 cm

1)

180º

3.14(5 cm)(90º)

= = 3.14(45 cm) ABAB 180º

A

5 cm

πraº

180º º πra 5) AB = 3.14(5 cm)(90º) =180º

2)

90º

arco

A

Ángulo: 60º A 10 cm

Agilidad de cálculo mental ente y escriba su respuesta sobre Resuelva las ecuaciones mentalm caso. pueda. Hay un ejemplo en cada A. Suma de dos cantidades. 0) 3 + x = 8

x=

1) 2 + y = 6

y=

2) 4 + z = 12

z=

3) 5 + a = 10

a=

4) 9 + b = 15

b=

5) 12 + c = 18

c=

6) 15 + d = 20

d=

5

a=

1) b – 2 = 8

b=

2) c – 3 = 3

c=

3) d – 7 = 7

d=

4) x – 8 = 2

x=

5) y – 4 = 4

y=

6) z – 1 = 6

z=

7)

24 + e = 30

e=

8)

19 + x = 21

x=

9) 10 + y = 25

y=

10) 14 + z = 34

z=

11) 11 + a = 17

a=

12) 30 + b = 42

b=

13) 18 + c = 25

c=

7) a – 10 = 5

a=

8) b – 18 = 7

b=

9) c – 11 = 4

c=

8

10) d – 12 = 6

d=

11) x – 10 = 0

x=

12) y – 20 = 10

y=

13) z – 22 = 18

z=

es.

cantidad C. Multiplicación y división de 0) 6a = 18

a=

1) 8b = 64

b=

2) 5c = 20

c=

9)

3) 3d = 27

d=

10)

4) 8x = 40

x=

11)

5) 3y = 36

y=

12)

6) 7z = 70

z=

13)

76

8

3

IGER − Zaculeu

IGER − Zaculeu

48

que

2) IGER − Zaculeu

Ángulo: 60º

2)

8m

A

Ángulo: 120º

Agilidad de cálculo mental Pensar rápido, pensar mejor 3)

8m

A

2 km

A

Ángulo: 120º

Usted necesita dominar el cálculo mental y hacerlo muy rápido. La agilidad y la velocidad de cálculo son 49 dos habilidades muy apreciadas en matemática. Ángulo: 270º

es. B. Diferencia de dos cantidad 0) a – 6 = 2

la línea. Hágalo lo más rápido

7) 8)

a

4

b

3

=3

a=

=5

b=

=9

c=

=8

d=

c

3

d

8

x

=2

12

y

5

z

=8

20

=3

x= y= z=

3)


2 km

A

Si usted logra realizar operaciones básicas como la multiplicación, división, suma o resta, con agilidad, 49 su cerebro se estará entrenando en pensar de forma ordenada y en hacer conexiones con facilidad. Ángulo: 270º


Razonamiento lógico Resolver problemas

Razonamiento lógico A. Aplique la semejanza de triángulos para hallar el valor de x y y en cada triángulo. 1)

Los expertos en educación indican que la resolución de problemas es el mejor camino para desarrollar competencias matemáticas ya que nos obliga a utilizar capacidades como: • leer comprensivamente,

20

12

y

x 8

16

2) 10.2 m

x

y

6.5 m

10.6 m

10.9 m

B. Aplique el criterio de la posición de Tales para hallar el valor de x en cada triángulo. 2)

1) 4 cm 2 cm

x

1.5 cm

2 cm

6 cm

3) 50 cm

x

3 cm

x

9 cm

30 cm

45 cm

C. Aplique la semejanza de triángulos para resolver los problemas.

• reflexionar,

1) A las once de la mañana una casa de 3 m de alto proyecta una sombra 0.70 m. ¿Cuál es la altura de un pino que proyecta una sombra de 3.5 m a la misma hora? 2) Ernesto mide 1.65 m y proyecta una sombra de 1.50 m. Si un poste proyecta una sombra de 2.50 m a la misma hora, ¿cuál es la altura del poste?

• establecer un plan de trabajo y

3) Los lados de un triángulo rectángulo miden 12 cm de base, 16 cm de altura y 20 cm de hipotenusa. Si un triángulo semejante a éste mide 5 cm de hipotenusa, ¿cuánto miden los otros lados?

• verificar que la respuesta es correcta.

4) Hallar la altura de un árbol que proyecta una sombra de 8 m, si otro árbol que mide 2 m proyecta una sombra de 1.5 m.

La sección Razonamiento lógico le ayudará a entrenarse y a aplicar los conocimientos matemáticos a la resolución de problemas.

5) Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m, a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.9 m. 6) La ilustración muestra la altura de un poste, la sombra que proyecta el poste y la sombra de un niño. Determine la altura del niño.

6m

x 5m

1.5 m


77


A continuación le presentamos un ejercicio que le ayudará a desarro llar su razonamiento visual. Se trata de identifi car la figura que se forma al hacer coincidir los centros de las figuras que están a la izquierda. 0)

a. b. c. Al Desa deslizarrrolle el rectáng ulo sobre nuev el cuadrad as habil o se idade s forma la figura a. Por eso está marcada con una equis (X). A continuación le presentamos un ejercicio que le ayudará a desarrolla r su razonamiento

visual. Se trata de identificar la fi gura que se forma hacer coincidir Ahora los le centros toca adeusted. Marque las figuras una equis (X) laal fi que estáncon a la izquierda. gura que se forma al combinar las 0) figuras de la izquierda.

1) a. b. c. Al deslizar el rectángulo sobre el cuadrado se forma la figura a. Por eso está marcada con una equis (X). Ahora le toca a usted. Marque con una equis (X)a.la figura que se forma b. al combinar las figuras de la izquierda.

2)

c.

1)

a.

b.

c.

2)

a. 3)

a.

b. b.

Desarrolle nuevas habilidades Y por último la sección Desarrolle nuevas habilidades que supone un reto porque debe aplicar su ingenio para adquirir nuevas destrezas. Para ello, debe combinar sus conocimientos previos con los que aprendió durante la semana.

c. c.

3)

a.

a.

b.

b.

c.

c.

Revise su aprendizaje


Marque con un cheque

la casilla que mejor indique su rendimien

to.

logrado

Después de estudiar...


Conozco la historia de la evolución Marque con un cheque de la rueda. la casilla que mejor indique su rendimiento. Identifico las partes que componen Conozco la historia de la evolución una circunferencia. de la rueda. Clasifico circunfere ncias por su posición relativa.

Calculo Identifico las la longitud arco denen partes una circunfere que de compo ncia. una circunfe rencia. Resuelvo problemas relacionados con longitud de arco. Clasifico circunferencias por su posición relativa. IGER − Zaculeu 52 Calculo la longitud de arco de una circunferencia.

Resuelvo problemas relacionados con longitu

d de arco.

52

IGER − Zaculeu

en no proceso logrado

logrado


Revise su aprendizaje En este último apartado le proponemos que haga un alto y reflexione sobre su aprendizaje. Es muy importante que usted mismo evalúe sus logros y determine en qué ha fallado para superarlo.

Conteste con toda sinceridad y, posteriormente, consulte con su tutor las dudas que tenga.


9

Libro, clase radial y círculo de estudio ¡Su equipo de trabajo! El libro, con ser una buena herramienta, no lo es todo. Para que usted alcance el nivel de competencia deseado, nuestro sistema pone a su disposición: el libro, la clase radial y la invitación a participar en un círculo de estudio.

• El libro cumple cuatro funciones. a. Texto, en el que encuentra la información y el desarrollo de los contenidos a estudiar. b. Pizarrón, para que durante la clase radial subraye ideas importantes o realice distintas actividades. c. Cuaderno de trabajo, con ejercicios para practicar lo aprendido. d. Herramienta de autoevaluación, cuando resuelve su autocontrol cada semana.

• La clase radial tiene como función explicar y facilitar la comprensión de los temas tratados en el libro.

Puede escuchar la clase radial en una emisora de su localidad, descargarla en nuestra página www.iger.edu.gt o adquirirlas en cd en la coordinación regional.

• El círculo de estudio es el lugar para compartir y aprender juntos.

Aproveche estos recursos y apóyese en personas de su comunidad para resolver sus dudas.

10

IGER − Zaculeu

Nuestra metodología paso a paso Para facilitar su aprendizaje y aprovechar más y mejor el estudio cada semana, siga estos pasos. ¡No se salte ninguno!

1

Lea el contenido de la semana

2

Escuche la clase radial

Leer el contenido nos permite tener una idea general del tema: qué sabemos, con qué lo relacionamos, etc. Este primer contacto también nos hará caer en la cuenta del esfuerzo a realizar para aprender lo nuevo y nos pondrá “en onda” para la clase radial.

Con los 5 sentidos La clase radial es nuestra maestra. De ahí que el programa se llame "El Maestro en Casa". Las maestras y maestros locutores explican el contenido, proponen ejercicios y otros ejemplos para ampliar el tema.

3

Después de la clase radial, su trabajo personal Estudio y autocontrol Finalizada la clase radial es el momento de su trabajo personal. Distribuya su tiempo: es mejor un poco cada día, que todo la víspera.

4

Consulte sus dudas Un estudiante inteligente sabe cuándo pedir ayuda Consulte los temas que no le han quedado claros en otros libros, en internet, con familiares o amigos. Seguro que encontrará personas dispuestas a ayudarle.

5

Participe en un círculo de estudio Aprender juntos Póngase de acuerdo con otros estudiantes y organicen un círculo de estudio. Soliciten la ayuda de alguna persona voluntaria de la comunidad. Eso les ayudará a resolver dudas y reforzar lo aprendido. Además, tendrán la oportunidad de intercambiar aprendizajes, ideas y sentimientos. Recuerde que siempre puede acudir a su tutor asignado.


11

¿Cómo aprovechar mejor su estudio? • Busque un lugar cómodo y con buena iluminación. Es importante que se aleje del ruido y de las distracciones. • Elija un horario para trabajar y estudiar. La constancia y la disciplina son sus mejores compañeras de estudio. • Lea con atención las instrucciones de los ejercicios antes de resolverlos. • Consulte sus dudas con otras personas de su comunidad que puedan ayudarle.

12

IGER − Zaculeu

18 Ángulos ¿Qué encontrará esta semana? La geometría en la danza Ángulos y su clasificación Suma y resta de ángulos Ejercicios con ángulos

Esta semana logrará:  Identificar los ángulos que se forman en los movimientos de ballet.  Reconocer los elementos que componen un ángulo.  Clasificar ángulos según su medida y su relación con otros ángulos.  Determinar ángulos complementarios y suplementarios.  Calcular ángulos complementarios y suplementarios con agilidad.  Ubicar puntos en el plano cartesiano para trazar una figura. 


13

¡Para comenzar! La geometría en la danza El ballet

90º

180º

Figura 1

Figura 2

El ballet es un tipo de danza que se caracteriza por su belleza estética y por la exactitud de sus movimientos. Durante una presentación de ballet, las y los bailarines proyectan líneas, triángulos, círculos y cuadriláteros que se mezclan en el espacio. La preparación de estos artistas comienza desde la niñez. En cada movimiento que realizan, sus brazos y piernas deben estar en el ángulo correcto para lograr las formas adecuadas. En las imágenes de arriba puede ver los ángulos que se forman en el movimiento de cada bailarín. Figura 1. El arabesque: en este paso, una de las piernas debe elevarse formando un ángulo de 90° con el suelo. Figura 2. El grand jete: los bailarines saltan y extienden las piernas en el aire, en un ángulo de 180°. ¡A trabajar! Tome el transportador y mida los ángulos señalados en rojo en las imágenes de los bailarines. Luego, escriba el resultado sobre la línea. Tiene un ejemplo. 0)

1)

2)

b

c

a = 180º

a = 180º

14

IGER − Zaculeu

b =

c =

El mundo de la matemática 1. El ángulo Abertura entre dos líneas Iniciamos el segundo semestre del curso de matemática con una serie de temas de geometría que iremos estudiando en las semanas siguientes. Para empezar con buen pie, nos conviene recordar una serie de conceptos que estudiamos en el grupo Quiriguá: los ángulos y su clasificación. Un ángulo es la abertura que hay entre dos líneas rectas que se unen en un punto llamado vértice. Se compone de estos elementos, identifíquelos en la ilustración: • Líneas que forman los lados del ángulo. Llamamos L1 al lado inicial y L2 al lado terminal. • El vértice es el punto donde se cortan las dos líneas. Se representa con cualquier letra mayúscula: A, B, C, … • La abertura es el ángulo que se representa con una línea curva. Se identifica con cualquier letra minúscula: a, b, c, que generalmente corresponde a la misma letra que identificó al vértice.

la

A

do

te

rm

a in

lL

2

a lado inicial L1

1.1 ¿Cómo medimos los ángulos? Los ángulos se miden en grados. El grado es la unidad de medida empleada para medir los ángulos. Simbólicamente, los grados se indican con un círculo pequeño en la esquina superior derecha del número. Fíjese en los ejemplos.

A

a = 60º

Se lee: "el ángulo a es igual a 60 grados".

B

b = 110º

Se lee: "el ángulo b es igual a 110 grados".


15

1.2 Medición de un ángulo con transportador 100 110 80 70 120 60 13 50 0

170 160 10 20

0 10 180 170 20 160

80 70 100 90 60 110 20 50 0 1 3 1

0 15 0 30 14 0 4

centro

180 0

Esta semana utilizaremos el transportador semicircular para realizar los ejercicios. Recordemos cómo utilizarlo.

30 150 4 14 0 0

El transportador es un instrumento que sirve para medir ángulos. Tiene forma circular o semicircular con la escala marcada en el borde.

Para medir un ángulo formado por las líneas L1 y L2 seguimos estos pasos: • Colocamos el transportador de tal forma que su centro coincida con el vértice y el cero con la línea L1. 30 150 4 14 0 0

100

80

110 70 120 60 13 50 0

0

180

0 10 180 170 20 160

170 160 10 20

• El ángulo de la figura mide 80°.

50 0 13

0 15 0 30 14 0 4

• Medimos donde se encuentra la línea L2 y el resultado es el tamaño del ángulo.

L2 80 70 100 90 60 110 0 12

L1

Ahora veamos cómo medir un ángulo cuando la línea L1 no está en posición horizontal. Preste atención.

140 150 160 17 130 40 30 20 1 0 0 50

L1 180

0

70

0 12 0 6

10 17 0 2 16 0 0

• El ángulo de la figura mide 65°.

0 11

50 60 70 40 130 120 110 80 100 9 30 0 140 0 1 0 15 80 0

• Luego, medimos donde se encuentra la línea L2 y ese es el tamaño del ángulo.

L2

0 18 0

• Movemos el transportador hasta que su centro coincida con el vértice del ángulo y el cero concuerde con la línea L1.

Ejercicio 1 Mida los ángulos siguientes. Coloque el centro del transportador en el vértice y el cero del transportador sobre la línea L1. Puede prolongar las líneas para medir con exactitud. Tiene un ejemplo.

140 150 160 170 130 30 20 1 0 0 50 40 12 0 60 11

180 0

L1

1)

L2 2)

L2

80

90 10

0

L2

70

0)

b

16

a=

60º

IGER − Zaculeu

b=

L1

c=

c

L1

2. Clasificación de los ángulos Los ángulos se pueden clasificar de dos maneras: por su abertura y por su relación con otro ángulo.

2.1 Por su abertura Esta clasificación la estudiamos en el grupo Quiriguá. La resumimos en la tabla. ángulo recto

ángulo agudo

ángulo obtuso

ángulo llano

ángulo completo

a = 90º

b < 90º

180º > c > 90º

d = 180º

e = 360º e

a

c

b

d

2.2 Por su relación con otro ángulo Dependiendo de la relación que tienen dos ángulos se pueden clasificar en complementarios y suplementarios.

a. Ángulos complementarios Dos ángulos son complementarios cuando la suma de ambos es 90º, o lo que es lo mismo, juntos forman un ángulo recto. (a + b = 90º) Por ejemplo, los ángulos a = 60º y b = 30º son complementarios, porque

a

60° + 30° = 90°.

b

Si conocemos el valor de un ángulo, podemos hallar su complemento aplicando una ecuación de primer grado. Veamos un ejemplo. Calculemos el valor del ángulo complementario a, si el ángulo b mide 25°.

a + 25o = 90° • Despejamos a y operamos. a = 90° – 25° a = 65° El ángulo complementario de 25º es 65°. • Planteamos una ecuación.

Otro ejemplo Calculemos el valor del ángulo complementario b, si el ángulo a mide 39°.

b + 39º = 90° • Despejamos b y operamos. b = 90° – 39° b = 51° El ángulo complementario de 39° es 51°. • Planteamos una ecuación.


17

b. Ángulos suplementarios Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de ambos es 180°, o lo que es lo mismo, juntos forman un ángulo llano. (a + b = 180º) Por ejemplo, los ángulos a = 60° y b = 120° son suplementarios porque 60° + 120° = 180°. a

Para calcular ángulos suplementarios también aplicamos una ecuación de primer grado. Veamos un ejemplo.

b

Calculemos el ángulo suplementario a, si el ángulo b = 125°.

a + 125º = 180° • Despejamos a y operamos. a = 180° – 125° a = 55° El ángulo suplementario de 125° es 55°. • Planteamos una ecuación.

Otro ejemplo Calculemos el ángulo suplementario a, si el ángulo b = 72°.

a + 72º = 180° • Despejamos a y operamos. a = 180° – 72° a = 108° El ángulo suplementario de 72° es 108°. • Planteamos una ecuación.

Ejercicio 2 A. Observe cada figura y calcule el valor del ángulo complementario al ángulo dado. Tiene un ejemplo. 0) a

a a = 55º 1) b=?

a = ? 2) b = 63º

b

b

c

c = 31º d=?

d

b + 55º = 90º b = 90º – 55º b = 35º

B. Observe cada figura y calcule el valor del ángulo suplementario al ángulo dado. Tiene un ejemplo. 0) e

18

f

e + 135º = 180º e = 120º – 135º e = 45º IGER − Zaculeu

e = ? 1) f = 135º g

h

g = 40º 2) x h = ?

y

x = 142º y=?

3. Complemento y suplemento definidos por una incógnita En el apartado anterior aprendimos a calcular el complementario o suplementario de un ángulo conocido. Ahora daremos un paso más. Vamos a calcular el valor de estos ángulos cuando están definidos por una incógnita. Veamos un ejemplo Los ángulos a y b de la figura son ángulos complementarios. Calculemos el valor de cada ángulo, si sus medidas son: a = 3x

b = 2x + 5º =

a

b

a + b = 90º

• Planteamos una ecuación con los (3x) + (2x + 5º) = 90º valores de a y b. = 5x = 90º – 5º = 5x = 85º

Despejamos x y operamos.

=

Cuando los ángulos son complementarios sustituimos los valores de a y b y los igualamos a 90º. Cuando son suplementarios sustituimos los valores de a y b y los igualamos a 180º.

x = 85º/5 x = 17º

• Hallamos los valores de los ángulos a y sustituyendo x por su valor.

b = 2x + 5º b = 2(17º) + 5º b = 39° Los ángulos complementarios miden: a = 51° y b = 39°.

a = 3x a = 3(17º) a = 51°

Otro ejemplo Calculemos el valor de los ángulos suplementarios c y d si sus medidas son:

c = 4x + 20º d = 6x

c

d

= c + d = 180º

(4x + 20º) + (6x) = 180º Despejamos x y operamos. 4x + 6x = 180º – 20º = 10x = 160º = x = 160º/10 = x = 16º

• Planteamos una ecuación.

• Hallamos los valores de los ángulos c y d sustituyendo x por su valor.

d = 6x d = 6(16º) d = 96º Los ángulos suplementarios miden: c = 84° y d = 96°.

c = 4x + 20º c = 4(16º) + 20º c = 84º


19

Ejercicio 3 Observe con atención cada figura y calcule el valor del ángulo complementario o suplementario. Recuerde que primero se calcula el valor de x y luego se sustituye para encontrar el valor de cada ángulo. Tiene un ejemplo. a = 5x + 10º

0) a

b

1)

b = 4x + 8º

c

c = 6x d = 3x

d

(5x + 10º) + (4x + 8º) = 180º 5x + 4x = 180º – 10º – 8º 9x = 162º 162º x= 9 x = 18º

a = 5x + 10º b = 4x + 8º a = 5(18º) + 10º b = 4(18º) + 8º a = 90º + 10º b = 72º + 8º a = 100º b = 80º

2)

b

20

c

IGER − Zaculeu

b = 4x c = 6x – 10º

3)

d

e

d = 2x + 5º e = 8x − 15º

Resumen 1. Un ángulo es la abertura que hay entre dos líneas rectas que se unen en un punto llamado vértice. Se puede representar con cualquier letra minúscula: a, b, c…

Los elementos que componen un ángulo son: • Líneas (lados): L1, L2 • Vértice: A

la

• Abertura: a

do

te

rm

in

al

L2

a

A

lado inicial L1

2.

Clasificación de ángulos

Un ángulo se clasifica por su abertura y por su relación con otro ángulo.

2.1 Clasificación por su abertura ángulo recto

ángulo agudo

ángulo obtuso

ángulo llano

ángulo completo

a = 90º

b < 90º

180º > c > 90º

d = 180º

e = 360º e

a

b

c

d

2.2 Clasificación por su relación con otro ángulo a. ángulos complementarios b. ángulos suplementarios Son dos ángulos que suman 90°. Son dos ángulos que suman 180°. a + b = 90º a + b = 180°

a

b

a

b

3.

Complemento y suplemento de ángulos desconocidos

Para calcular ángulos complementarios o suplementarios de ángulos desconocidos: • Planteamos una ecuación de primer grado sustituyendo los valores de a y b por sus medidas indicadas.

• Despejamos la incógnita x y operamos.

• Hallamos el valor de cada ángulo sustituyendo x por su valor.


21

Autocontrol Actividad 1.


A. Mida con su transportador los ángulos y clasifíquelos en: recto, agudo, obtuso o llano según corresponda. Escríbalo sobre la línea. Tiene un ejemplo. 0)

a

1)

2)

b 90º ángulo recto

3)

c

4)

5)

e

d

f

B. Escriba dentro del paréntesis el número de la figura que corresponde a cada ángulo. Tiene un ejemplo. 1)

2)

b

a

3)

a = 135° ( 4 )

b = 45° (

4)

d

c )

c = 100° (

)

d = 90° (

)

C. Escriba sobre la línea si los ángulos representados forman ángulos complementarios o suplementarios. Tiene un ejemplo. 0) a

22

b

1) 2) b a a b

Complementarios IGER − Zaculeu

Actividad 2.

Practique lo aprendido

A. Escriba sobre la línea la medida del ángulo complementario del ángulo dado. Tiene un ejemplo. 0)

1) c = 29º

2) e = 40º

a=? d=?

b = 35º a=

3)

d =

55º

h=? g = 26º

f=?

f=

h=

B. Escriba sobre la línea el ángulo suplementario de cada ángulo. Tiene un ejemplo. 0)

a = 75º

1)

b=?

b=

105º

2) e=?

c = 110º d = ?

d =

3)

e=

g = ? h = 125º

f = 100º

g=

C. Aplique una ecuación para determinar el valor de los ángulos complementarios o suplementarios. Tiene un ejemplo. 0)

a = 4x + 30º b = 2x

1)

c=x d = 2x + 15º

2) e = 2x – 5º f = x + 50º

(4x + 30º) + (2x) = 180º 4x + 30º + 2x = 180º 4x + 2x = 180º – 30º 6x = 150º 150º x = 6 x = 25º

ángulo a

a = 4x + 30º

a = 4(25º) + 30º a = 100º + 30º a = 130°

ángulo b

b = 2x

b = 2(25º) b = 50° Matemática − Semana 18

23


Mejore su agilidad de cálculo mental operando ángulos complementarios y suplementarios. Recuerde que los ángulos complementarios suman 90º y los suplementarios 180º. Tiene un ejemplo para cada caso. A. Sume ángulos. 0) 60º + 30º =

90º

5) 60º + 30º =

10) 150º + 30º =

1) 85º + 5º =

6) 10º + 80º=

11) 160º + 20º =

2) 75º + 15º =

7) 90º + 90º =

12) 130º + 50º =

3) 20º + 70º =

8) 120º + 60º=

13) 125º + 55º =

4) 45º + 45º =

9) 100º + 80º =

14) 170º + 10º =

5) 90º – 5º =

10) 180º – 50º =

1) 90º – 20º =

6) 90º – 40º =

11) 180º – 75º =

2) 90º – 10º =

7) 90º – 80º =

12) 180º – 120º =

3) 90º – 25º =

8) 180º – 90º =

13) 180º – 100º =

4) 90º – 60º =

9) 180º – 20º =

14) 180º – 150º =

B. Reste ángulos. 0) 90º – 50º =

40º

C . Escriba en la línea el complemento del ángulo de 90º. 0) 80º +

10º

= 90º

5) 70º +

= 90º

10) 25º +

= 90º

1) 60º +

= 90º

6) 20º +

= 90º

11) 75º +

= 90º

2) 30º +

= 90º

7) 50º +

= 90º

12) 55º +

= 90º

3) 10º +

= 90º

8) 10º +

= 90º

13) 15º +

= 90º

4) 40º +

= 90º

9) 45º +

= 90º

14) 65º +

= 90º

D . Escriba en la línea el suplemento del ángulo de 180º.

24

0) 60º +

120º = 180º

5) 20º +

= 180º

10) 100º +

= 180º

1) 40º +

= 180º

6) 70º +

= 180º

11) 150º +

= 180º

2) 90º +

= 180º

7) 30º +

= 180º

12) 140º +

= 180º

3) 50º +

= 180º

8) 175º +

= 180º

13) 130º +

= 180º

4) 10º +

= 180º

9) 160º +

= 180º

14) 120º +

= 180º

IGER − Zaculeu

Razonamiento lógico A. Observe la figura y conteste tentativamente las preguntas sin hacer mediciones. Luego, utilice su transportador para comprobar sus respuestas. Tiene un ejemplo. 0) ¿Qué clase de ángulo es el ángulo a?

agudo b a

1) ¿Qué clase de ángulo es el ángulo b?

c

2) ¿Qué clase de ángulo es el ángulo c?

d

3) ¿Qué clase de ángulo es el ángulo d? B. Observe la figura y conteste a las preguntas. Tiene un ejemplo. 1) ¿Qué clase de ángulos forman los ángulos a y b?

a

b c

d

2) ¿Qué clase de ángulos forman los ángulos e y f ? e

3) Si el ángulo c mide 30°, ¿cuánto mide el ángulo d ?

g

f

h

4) Si el ángulo g mide 110°, ¿cuánto mide el ángulo h? C. Lea cada enunciado y responda a las preguntas. 1) Un albañil construye una pared totalmente vertical. a. ¿Qué tipo de ángulo se debe formar entre la pared y el suelo? b. ¿Cuántos grados debe medir el ángulo?

2) Según las normas de construcción, para que una escalera sea cómoda debe medir en promedio 32° de inclinación. a. ¿Cuánto debe medir el ángulo complementario? b. ¿Cuánto debe medir el ángulo suplementario? 3) Cuando se instala un poste de energía eléctrica, se coloca un alambre a tensión a un lado del poste para darle soporte. Observe la figura. a. ¿Cuántos ángulos agudos se forman? b. ¿Cuántos ángulos rectos se forman?

a

c. ¿Qué ángulos forman ángulos suplementarios? d. ¿Qué clase de ángulo representa el ángulo d?

b

c d


25

Desarrolle nuevas habilidades Descubra la figura oculta en el plano cartesiano. Recuerde que el plano cartesiano está formado por una línea horizontal, llamada eje x, y una línea vertical, llamada eje y, que sirve para ubicar pares ordenados (a, b). Buscamos el elemento a en el eje x, y el elemento b en el eje y. Para descubrir la figura en el plano, siga estos pasos: 1) Lea los pares ordenados identificados con una letra mayúscula y localice los puntos en el plano cartesiano. Escriba la letra que identifica cada punto. Como en los ejemplos. y

A = (3,3)

9

B = (2,6)

8 7

C = (5,8)

6

D = (8,6)

4 3

B

5

E = (7,3)

A

2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

2) Relacione con una línea recta los puntos siguientes en el mismo plano.

A y C

C y E

B y E

B y D

AyD

• ¿Qué figura descubrió?

• ¿Cuántos ángulos tiene?

• ¿Cuántos son agudos?

Puede inventar otras figuras si desea. Solo debe ubicar puntos en el plano y determinar los pares ordenados. ¡Anímese!




26

la casilla que mejor indique su rendimiento.

Identifico los ángulos que se forman en los movimientos de ballet. Reconozco los elementos que componen un ángulo. Clasifico ángulos según su medida y su relación con otros ángulos. Determino ángulos complementarios y suplementarios. Calculo ángulos complementarios y suplementarios con agilidad. Ubico puntos en el plano cartesiano para trazar una figura. IGER − Zaculeu

logrado

en pro- no logrado ceso

19 Ángulos entre rectas ¿Qué encontrará esta semana? Euclides de Alejandría, el padre de la geometría Ángulos entre rectas: relaciones de semejanza Suma y resta de monomios

Toma de decisiones

Esta semana logrará:  Reconocer los aportes de Euclides a la geometría.  Identificar y determinar ángulos internos, externos y alternos al cortar dos o más rectas paralelas.  Sumar y restar monomios con agilidad.  Resolver ejercicios de razonamiento lógico.  Elegir la mejor opción en la toma de decisiones. 


27

¡Para comenzar! Euclides de Alejandría El padre de la geometría

Euclides de Alejandría fue un matemático griego que vivió alrededor del año 300 antes de Cristo. Está considerado como el padre de la geometría gracias a su obra titulada "Elementos", en la que Euclides presentó las ideas fundamentales sobre el punto, la recta, la superficie y el ángulo. Estas ideas se mantienen vigentes hasta nuestros días. Un gran matemático holandés del siglo XX, Bartel van der Waerden, expresa así su admiración por Euclides y su obra. Euclides de Alejandría (325 – 265 a. C.)

...Desde el momento en que se escribió y casi hasta el presente, su obra ha ejercido una continua e importante influencia en los asuntos humanos. Fue la primera fuente de razonamiento geométrico, teoremas y métodos, al menos hasta el siglo XIX. Algunas veces se ha dicho que, junto con la Biblia, los "Elementos" puede ser el libro más traducido, editado y estudiado de todos los producidos en el mundo occidental. Leamos algunas de las ideas de Euclides sobre la línea recta y los ángulos: • Dos puntos cualesquiera determinan una línea recta. • Una línea recta se puede prolongar indefinidamente en la misma dirección. • Todos los ángulos rectos son iguales.

¡A trabajar! Realice las actividades A y B. A. Dibuje las líneas rectas que se pueden formar al unir los puntos: AB, CD, EF. Tiene un ejemplo. B

E

D

A C

B. Responda las preguntas. 1) ¿Cuántos ángulos rectos se forman en la figura? 2) ¿Cuánto mide cada uno?

28

IGER − Zaculeu

F

El mundo de la matemática 1. Ángulos entre rectas

Relaciones de semejanza

Como acabamos de experimentar en la sección anterior, cuando dos líneas paralelas son cruzadas por una línea diagonal, se forman ocho ángulos que guardan relación de semejanza entre sí, de manera que si conocemos cuánto mide uno de ellos podemos determinar el valor de los otros tres. Estos ángulos se pueden definir por su posición en la siguiente clasificación. Ángulos internos

Ángulos externos

Son los ángulos que quedan entre las dos rectas.

Son los ángulos que quedan fuera de las dos rectas.

c

e

f

a

d g

b h

Ángulos alternos internos

Ángulos alternos externos

Son dos ángulos situados entre las dos rectas. Tienen la misma medida.

Son dos ángulos situados fuera de las dos rectas. Tienen la misma medida.

c

b f

g

Ángulos correspondientes

Ángulos opuestos por el vértice

Son los ángulos ubicados en el mismo lado de la diagonal, uno interno y otro externo. Tienen la misma medida.

Son los ángulos ubicados en los lados opuestos al vértice. Tienen la misma medida.

a e

a

d


29

2. Cálculo de ángulos entre rectas El tamaño de los ángulos entre rectas se calcula aplicando las relaciones de semejanza que vimos en la página anterior. Además, aplicaremos lo aprendido respecto a los ángulos complementarios y suplementarios. Recuerde: • ángulos complementarios a + b = 90º • ángulos suplementarios

a + b = 180º

Veamos un ejemplo a c

Calculemos la medida de los ángulos c y e, si:

a = 120° b = 60º

b

e

Solución: • Como c y b son ángulos opuestos por el vértice, sabemos que tienen la misma medida. Si b = 60º, entonces c = 60º • Como a y e son ángulos correspondientes, sabemos que tienen la misma medida. Si a = 120º, entonces e = 120º

Los ángulos miden: c = 60º y e = 120º

Resolvamos otro ejemplo en el que debemos calcular un ángulo suplementario. Calculemos la medida de los ángulos k y m, si:

h = 85° Solución:

h

m k

Los ángulos que debemos calcular son correspondientes, pero no conocemos la medida de ninguno de los dos. Sin embargo, podemos saber el valor de k porque es el suplementario de h. Fíjese. • k y h son suplementarios, entonces... k + h = 180° • Sustituimos h por su valor y operamos. k + 85° = 180° k = 180° – 85° k = 95° • Como k y m son ángulos correspondientes, tienen la misma medida. Si k = 95º, entonces m = 95º

30

IGER − Zaculeu

Los ángulos miden: k = 95º y m = 95º

Un ejemplo más Calculemos el valor de los ángulos a y c, si h = 80°.

a h

c

Solución: • a y h son suplementarios, entonces... a + h = 180° • Sustituimos h por su valor y operamos. a + 80° = 180° a = 180° – 80° a = 100° • Como c y a son ángulos alternos externos, tienen la misma medida. Si a = 100º, entonces c = 100º Los ángulos miden: a = 100º y c = 100º

Ejercicio 1 A. Observe la figura de la derecha. Luego, responda las preguntas. 0) ¿Cuáles son los ángulos externos? r, u, v, y 1) ¿Cuáles son los ángulos internos?

r v

2) ¿Cuáles son los ángulos alternos internos?

s w

t x

u y

3) ¿Cuáles son los ángulos alternos externos? B. Aplique las relaciones de semejanza que hemos estudiado para calcular el valor de los ángulos indicados en la figura. El inciso 0) es un ejemplo. 0)

a

b

a = 62º 1) b=? c=?

c

b = a b = 62°

a b

b = 86º a=? c=?

c

a + c = 180° 62° + c = 180° c = 180° – 62° c = 118°


31

2.1 Cálculo de ángulos entre rectas definidos por una incógnita La semana anterior aprendimos a calcular ángulos complementarios y suplementarios definidos por una incógnita. Lo hicimos aplicando ecuaciones de primer grado. Podemos seguir el mismo procedimiento para calcular ángulos entre rectas. Veamos un ejemplo Calculemos el valor de los ángulos a y g, si:

a = 3x + 10º g = 2x + 40º

a

g

• Los ángulos a y g son alternos externos, por tanto tienen la misma medida. a=g • Sustituimos los datos y operamos 3x + 10º = 2x + 40º 3x – 2x = 40º – 10º x = 30º • Sustituimos x por su valor para hallar la medida de los ángulos a y g.

a = 3x + 10º a = 3(30º) + 10º a = 90º + 10º a = 100º

g = 2x + 40º g = 2(30º) + 40º g = 60º + 40º g = 100º

Los ángulos miden: a = 100º y g = 100º.

Otro ejemplo Calculemos el valor de los ángulos b y d, si:

b

b = 4x d = 5x + 18º

d • Los ángulos b y d son suplementarios, entonces suman 180º. b + d = 180 • Sustituimos los datos y operamos. 4x + (5x + 18) = 180 4x + 5x = 180 – 18 9x = 162

162 9 x = 18 x=

• Sustituimos x por su valor para hallar las medidas de los ángulos b y d.

b = 4x d = 5x + 18º b = 4(18º) d = 5(18º) + 18º b = 72º d = 90º + 18º d = 108º

32

IGER − Zaculeu

Los ángulos miden: b = 72º y d = 108º.

Ejercicio 2 Aplique el procedimiento que aprendió para calcular los ángulos indicados en cada figura. Guíese por el ejemplo. 0)

b

a = 5x b = 3x + 20º

1)

a = 5x b = 4x + 15º

a b

a

a = b

5x = 3x + 20º 5x – 3x = 20º 2x = 20º 20º x = 2 x = 10º a = 5x b = 3x + 20º a = 5(10º) b = 3(10º) + 20º a = 50º b = 30 + 20º b = 50º

2)

a

a = 15x – 10º b = 10x + 20º

3)

c

b

c = 15x – 20º b = 4x + 10º

b


33

Resumen 1.

Ángulos entre rectas: relaciones de semejanza

Cuando dos líneas paralelas son cruzadas por una línea diagonal, se forman ocho ángulos que guardan relación de semejanza. Los podemos definir por su posición en la siguiente clasificación. Ángulos internos

c

e

f

Ángulos externos

a

d


g

a h

c

h


a

b


e

f


a

d

Estos ángulos se relacionan entre sí, de manera que si conocemos cuánto mide uno de ellos podemos determinar el valor de los otros tres.

2.

Cálculo de ángulos entre rectas

El tamaño de los ángulos entre rectas se calcula aplicando las relaciones de semejanza y los conceptos de ángulos complementarios (a + b = 90º) y suplementarios (a + b = 180º).

2.1 Cálculo de ángulos entre rectas definidos por una incógnita

Para calcular ángulos entre rectas seguimos estos pasos: • Plantear una ecuación de primer grado aplicando las relaciones de ángulos entre rectas y resolver la ecuación. • Hallar el valor de cada ángulo sustituyendo la incógnita por el valor encontrado en el paso anterior. • Escribir la respuesta.

Investigue en la red... En la siguiente dirección de internet encontrará un video que trata sobre las relaciones de los ángulos entre rectas paralelas. Échele un vistazo. http://goo.gl/mtRtDS

34

IGER − Zaculeu



A. Observe la figura con atención y conteste las preguntas. Tiene un ejemplo.

f

0) ¿Cuál es el ángulo apuesto al ángulo a? 1) ¿Cuáles son los ángulos alternos internos? 2) ¿Qué ángulos son correspondientes?

a e

3) ¿Cuál es el ángulo opuesto al ángulo d?

b f

c g

d h

4) ¿Qué ángulos miden lo mismo que el ángulo e? 5) ¿Qué relación existe entre los ángulos a y h? 6) ¿A qué tipo corresponden los ángulos e y g ?

l va do

d

a a gu ic a r

Sa

b

r

e

le N

ll e

Calle Argentina

C al

a

Ca

c

Calle Venezuela

B. La imagen presenta el plano de una comunidad. Observe con atención, lea cada pregunta y rellene el círculo de la respuesta correcta.

Paseo de las Américas

1) ¿Qué tipo de ángulo se forma entre la Calle Venezuela y la Calle Nicaragua? Tome como vértice el redondel del Paseo de las Américas.

agudo

obtuso

recto

2) ¿Qué tipo de ángulo se forma entre el Paseo de las Américas y la Calle Venezuela? Tome como vértice el redondel.

completo

recto

agudo

3) Según su posición, ¿a qué tipo corresponden los ángulos a y b que se forman entre las calles Salvador y Argentina?

alternos internos

opuestos por el vértice

correspondientes

4) Si a = 130°, ¿cuánto mide el ángulo d?

130°

50°

90° Matemática − Semana 19

35

Actividad 2.


A. Aplique las relaciones de semejanza que aprendió en la semana para calcular la medida o el valor de los ángulos indicados en la figura. Fíjese en el ejemplo. 0)

1) a 75º

a

b

b

c

d

115º

a + 75° = 180° a = 180° – 75° a = 105° b = c b = 75°

d=a d = 105°

2)

3) x

y z

4)

d

36

130º

95º e

IGER − Zaculeu

a 80º c

b

5) m n 30º 70º r

t

B. Aplique las relaciones de semejanza a una ecuación de primer grado para calcular el valor de los ángulos de cada figura. Guíese por el ejemplo. 0)

a

a = 3x – 50º b = 2x + 10º

b

1)

c d

c = 10x d = 5x + 35º

a = b 3x – 50º = 2x + 10º 3x – 2x = 10º + 50º x = 60º

a = 3x – 50º a = 3(60º) – 50º a = 180º – 50º a = 130º

2)

e

b = 2x + 10º b = 2(60º) + 10º b = 120º + 10º b = 130º

e = 5x f = 6x – 20º

3)

g

h

g = 8x + 8º h = 10x + 10º

f

4)

j k

j = 2x k = 3x – 20º

5)

p

q

p = 4x – 30º q = 6x


37

Agilidad de cálculo mental Sume y reste monomios lo más rápido que pueda. Recuerde que primero se operan los coeficientes numéricos y luego se copia la parte literal. Fíjese en los ejemplos. A. Suma 0) 8a + 8a = 16a

10) 9j 2 + 5j 2 =

20) 10g9 + 4g9 =

1) 5r + 9r =

11) 5t 2 + 5t 2 =

21) 19t 12 + 9t 12 =

2) 6f + 7f =

12) 4z5 + 6z5 =

22) 10p4 + 10p4 =

3) 5c + 5c =

13) 8y8 + 5y8 =

23) 55h14 + 5h14 =

4) 7x + 9x =

14) 8d 4 + 3d 4 =

24) 18x15 + 17x15 =

5) 3y + 6y =

15) 3q5 + 2q5 =

25) 16b10 + 14b10 =

6) 7k + 7k =

16) 2w 8 + 2w 8 =

26) 15w16 + 10w16 =

7) 4h + 2h =

17) 7m9 + 4m9 =

27) 25x19 + 13x19 =

8) 8b + 7b =

18) 18f 6 + 9f 6 =

28) 14x3 + 18x3 =

9) 4v + v =

19) 14h5 + 2h5 =

29) 12m18 + 12m18 =

10) 15n6 – 5n6 =

20) 22b5 – 18b5 =

1) 6j – 4j =

11) 16k 9 – 9k 9 =

21) 19x14 – 19x14 =

2) 8r – 6r =

12) 24v 4 – 7v 4 =

22) 24z15 – 20z15 =

3) 9t – 9t =

13) 49x2 – 7x2 =

23) 60m9 – 30m9 =

4) 6p – 3p =

14) 22y2 – 2y 2 =

24) 64y10 – 44y10 =

5) 8d – 3d =

15) 45p8 – 5p8 =

25) 38p17 – 18p17 =

6) 7g – 2g =

16) 19h5 – 9h5 =

26) 45w12 – 15w12 =

7) 5w – 2w =

17) 30p4 – 3p4 =

27) 29r10 – 15r10 =

8) 5m – 4m =

18) 42c9 – 10c9 =

28) 18m7 – 9m7 =

9) 36a – 6a =

19) 25q8 – 25q8 =

29) 36z15 – 16z15 =

B. Resta 0) 9y – 5y =

38

4y

IGER − Zaculeu

Razonamiento lógico Practique su razonamiento lógico resolviendo problemas con ecuaciones. El inciso A es un ejemplo: A. La base de un rectángulo mide 18 cm más que la altura. Si el perímetro mide 76 cm, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo? • Asignamos una variable a uno de los datos desconocidos y relacionamos el otro en función de este. En este ejemplo, dibujamos un rectángulo para facilitar el procedimiento. a = x

a

b = x + 18 b

2a + 2b = P

• Escribimos la fórmula del perímetro de un rectángulo.

• Expresamos el problema como una ecuación. 2(x) + 2(x + 18) = 76 • Resolvemos la ecuación.

2x + 2x + 36 = 76

2x + 2x = 76 – 36

4x = 40 40 x= 4

• Sustituimos el valor de x en las expresiones que representan la altura y base.

x = 10

a = 10 cm b = 10 + 18 = 28 cm

Las dimensiones del rectángulo son: la altura = 10 cm y la base = 28 cm.

B. Ahora le toca a usted. Lea con atención cada enunciado y aplique una ecuación para resolver los problemas. 1) Dos hermanos se reparten una ganancia de Q1,200.00. Al mayor le corresponde el doble que al menor. ¿Cuánto le corresponde a cada uno? 2) La edad de Rodrigo es 3/2 de la edad de Andrea. Si las edades suman 40 años, ¿cuál es la edad de cada uno? 3) Tres amigos van al mercado y juntos gastan Q72.00 en total. Juan gasta el doble que Alicia y Roberto el triple de lo que gasta Juan. ¿Cuánto gasta cada uno? 4) El ángulo mayor de dos ángulos complementarios mide 20° más que el ángulo menor. ¿Cuánto mide cada ángulo? 5) El ángulo obtuso de dos ángulos suplementarios mide 5 veces el ángulo agudo más 30°. ¿Cuánto mide cada ángulo?


39

Desarrolle nuevas habilidades Toma de decisiones Es importante planificar las actividades antes de salir de casa porque nos permite ganar tiempo y recorrer menos distancia. Suponga que las partes indicadas en el mapa son los lugares y las distancias a donde usted puede ir y luego regresar a casa. Con la información presentada responda las preguntas. casa 100 m 90 m

farmacia 150 m

municipalidad

140 m 80 m

mercado

1) ¿Cuál es la distancia menor que se puede recorrer de la casa a la farmacia sin regresar por el mismo camino? 2) ¿Cuál es la distancia menor que se puede recorrer saliendo de la casa hacia los tres lugares sin pasar dos veces por el mismo camino y regresar a la casa?




40


Reconozco los aportes de Euclides a la geometría. Identifico y determino ángulos internos, externos y alternos al cortar dos o más rectas paralelas. Sumo y resto monomios con agilidad. Resuelvo ejercicios de razonamiento lógico. Elijo la mejor opción en la toma de decisiones. IGER − Zaculeu

logrado


20 La circunferencia ¿Qué encontrará esta semana? La rueda, el invento que transformó la historia La circunferencia Suma y resta de monomios

Tablas de doble entrada

Esta semana logrará:  Conocer la historia de la evolución de la rueda.  Identificar las partes que componen una circunferencia.  Clasificar circunferencias por su posición relativa.  Calcular la longitud de arco de una circunferencia.  Resolver problemas relacionados con la longitud de arco. 


41

¡Para comenzar! La rueda El invento que transformó la historia

La rueda es un objeto común que utilizamos casi a diario, pero su invención significó un gran avance para la humanidad y provocó grandes cambios en las sociedades que la emplearon. Se cree que la idea de la rueda surgió del torno de los alfareros y que luego se trasladó a otras máquinas, como la rueca y los arados. Las primeras ruedas de las que se tiene evidencia fueron fabricadas en la antigua Mesopotamia hace más de 6000 años. Estaban hechas con trozos grandes de madera cortados en forma redonda. Se utilizaban en carretas y carros que facilitaban el transporte de objetos y personas. La forma de la rueda se modificó con el tiempo. Pasó de ser un círculo pesado de madera a una moderna circunferencia de metal cubierta con neumático gracias a los aportes de dos personajes: John Dunlop, que inventó la llanta de bicicleta, y Édouard Michelin, que adaptó el invento de Dunlop para su uso en automóviles. ¡A trabajar! Realice las actividades. 1) La lectura menciona que la rueda pasó de ser un círculo a ser una circunferencia, ¿qué diferencia hay entre estas dos formas? Explique su respuesta. 2) ¡Ponga a trabajar su creatividad! Escriba en su cuaderno un relato corto sobre cómo sería el mundo si la rueda no se hubiera inventado. ¿Cómo nos movilizaríamos? Comparta su trabajo en el círculo de estudio.

42

IGER − Zaculeu

El mundo de la matemática 1. La circunferencia

El borde del círculo

ci r c u n

ferencia

Las palabras círculo y circunferencia se suelen emplear como sinónimos, pero son conceptos distintos. La circunferencia es la línea curva exterior de un círculo. El círculo es la superficie que está dentro de la circunferencia. Estos conceptos ya los estudiamos en el grupo Utatlán.

círculo

1.1 Elementos de la circunferencia La circunferencia tiene unas partes especiales distintas a las de otras figuras geométricas. Puede verlas en la ilustración. Centro: punto que se encuentra a la misma distancia de todos los puntos de la circunferencia. Se representa con la letra C. cue

Radio: distancia que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. Mide la mitad del diámetro. Se representa con la letra r.

r da

C

d r

Diámetro: cualquier línea recta que pasa por el centro y divide la circunferencia en dos partes iguales. Se representa con la letra d.

ar c o

Cuerda: cualquier línea que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro. Arco: es una parte de la circunferencia.

Ejercicio 1 Escriba el nombre de las partes de la circunferencia señaladas en el esquema. Tiene un ejemplo. 0)

cuerda

2)

1)

3) 4)


43

2. Posiciones relativas entre dos circunferencias Las posiciones relativas entre dos circunferencias dependen de los puntos que comparten, de la distancia (d) entre sus centros y del valor de sus radios. Fíjese. Exteriores: no tienen puntos en común. La distancia entre sus centros es mayor a la suma de sus radios. Interiores: no tienen puntos en común. Una está dentro de la otra, por tanto la distancia entre sus centros es menor que la diferencia de sus radios.

d

d

Concéntricas: tienen el mismo centro pero sus radios son distintos. Tangentes exteriores: tienen un solo punto en común y la distancia entre sus centros es igual a la suma de sus radios. Tangentes interiores: tienen un solo punto en común. La distancia entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios. Secantes: tienen dos puntos en común. La distancia entre sus centros es menor que la suma de sus radios.

d

d

d

Ejercicio 2 Identifique las posiciones relativas entre las circunferencias de cada imagen. Tiene un ejemplo. 0)

44

1)

secantes

IGER − Zaculeu

2)

3. Longitud del arco de la circunferencia Como sabe, una de las partes de la circunferencia es el arco. Conocer la medida de este segmento es muy útil en oficios como la construcción, la carpintería, etc. AB =

La longitud del arco se calcula con esta fórmula:

πraº 180º

Se lee: La longitud del arco entre los puntos A y B es igual a pi por el radio (r), por el ángulo (a), dividido entre 180 grados. Veamos un ejemplo Calculemos la longitud de arco sabiendo que el radio de una circunferencia mide 1 metro (r = 1 m) y el ángulo mide 50º (a = 50º).

πraº 180º 3.14(1 m)(50º) • Sustituimos los datos y operamos. AB = 180º 3.14(5 m) AB = 18 15.7 m AB = 18 AB = 0.87 m • Copiamos la fórmula. AB =

a = 50º

B

r=

1m

A

El arco de la circunferencia mide 0.87 m.

Ahora veamos una aplicación. Calculemos cuántos ladrillos se necesitan para construir el dintel decorativo de un portal con forma de arco, como el que se muestra en la figura. Cada ladrillo mide 10 cm de ancho. • Copiamos la fórmula. AB =

πraº 180º

a = 80º

cm

B

0 20

A

r=

3.14(200 cm)(80º) 180º 3.14(1600 cm) AB = 18 5024 cm AB = 18 AB = 279.11 cm

• Sustituimos los datos y operamos. AB =

Para calcular el número de ladrillos dividimos la longitud del arco entre el ancho de cada ladrillo.

279.11 cm ÷ 10 cm = 27.91 ≈ 28

En total se necesitan 28 ladrillos para construir el dintel.


45

Ejercicio 3 Calcule la longitud de arco para resolver los problemas. 1) En un campo para hortalizas un aspersor riega agua a una distancia de 12 metros y gira un ángulo de 135º. ¿A qué longitud se dispersa el agua en su punto más lejano? •

Copie la fórmula

AB =

•


AB =

AB =

AB =

πraº 180º ( 3.14(

)(

180º

r=

)

180

a = 135º 12 m

180

AB =

)

m

El agua se dispersa a una longitud de

m.

2) La estructura de un puente tiene la forma que se muestra en la figura. Las medidas del arco son: 50 m de radio y 90° de ángulo.

A

B

r= 50

a. ¿Qué cantidad de acero se necesitó para fabricar el arco?

m

•

Copie la fórmula AB =

•


πraº 180º

AB =

AB = 3.14(

AB =

AB =

Se necesitó

a = 90º

(

180º

180

)(

)

)

180 m

metros de acero.

b. Si cada metro de tubo de acero cuesta Q50.00, ¿cuál fue el costo del acero utilizado?

46

El costo del acero fue de Q

IGER − Zaculeu

.

Resumen 1. Una circunferencia es la línea curva exterior de un círculo. El círculo es la superficie que está dentro de la circunferencia. 1.1 Elementos de la circunferencia cue

r da

d

C

r ar c o

2.

Posiciones relativas entre dos circunferencias Exteriores

d

3.

Interiores

Concéntricas


Secantes

d

d

d

d

Longitud del arco se calcula con esta fórmula: AB =


πraº 180º

Se lee: La longitud del arco entre los puntos A y B es igual a pi por el radio (r), por el ángulo (a), dividido entre 180 grados.

Investigue en la red... En la siguiente dirección de internet podrá ver un video que explica las partes de la circunferencia. http://goo.gl/zNsKa


47



A. Observe la ilustración. Luego, complete los enunciados. Tiene un ejemplo. A

E

B C

F D

0) El segmento AB se llama…

cuerda

1) El punto representado con la letra C se llama… 2) La línea que va de C a D representa el... 3) La línea curva que va de D a F se llama... B. Escriba el nombre de las posiciones relativas de dos circunferencias que presentan las figuras. Tiene un ejemplo. 0)

A

• 6

• 7 • 8

Secantes

1)

B

4)

2)

48

• 9

3)

5)

IGER − Zaculeu

Actividad 2.


Utilice un transportador para trazar otro radio según el ángulo indicado y encuentre la longitud de arco entre los puntos A y B. Tiene un ejemplo. 0)

B

90º 5 cm

A

Ángulo: 90º

1)

10 cm

A

Ángulo: 60º

2)

8m

A

Ángulo: 120º

3)

2m

πraº 180º 3.14(5 cm)(90º) AB = 180º 3.14(45 cm) AB = 18 141.3 cm AB = 18 AB = 7.85 cm AB =

A

Ángulo: 270º


49

Agilidad de cálculo mental Practique la agilidad de cálculo mental con la suma y resta de monomios. Recuerde que para operar se suman o se restan los coeficientes numéricos y se copia la parte literal. Tiene un ejemplo. A. Suma 0) 5f + 5f =

10f

10) 3r5 + 2r5 =

20) 16x5 + 6x5 =

1) 4c + 8c =

11) 5a2 + 2a2 =

21) 15d 9 + 5d 9 =

2) 6r + 9r =

12) 3z3 + 9z3 =

22) 15z10 + 15z10 =

3) 4x + 8x =

13) 4c7 + 8c7 =

23) 18x15 + 17x15 =

4) 8h + 5h =

14) 6y 8 + 3y 8 =

24) 10y15 + 16y15 =

5) 5y + 9y =

15) 9x8 + 7x8 =

25) 12t10 + 4t10 =

6) 3d + 2d =

16) 3p9 + 6p9 =

26) 14r14 + 12r14 =

7) 2k + 2k =

17) 7b5 + 3b5 =

27) 11g20 + 13g20 =

8) 2w + 8w =

18) 9g2 + 4g2 =

28) 20h16 + 40h16 =

9) 7m + 3m =

19) 6r 4 + 6r 4 =

29) 35n12 + 10n12 =

10) 14x9 – 6x9 =

20) 16t 14 – 10t 14 =

1) 9m – 4m =

11) 10z 4 – 8z 4 =

21) 90c20 – 60c20 =

2) 6g – 3g =

12) 16d8 – 2d8 =

22) 36d 20 – 16d 20 =

3) 8w – 7w =

13) 13q5 – 5q5 =

23) 35y10 – 25y10 =

4) 5r – 3r =

14) 17k5 – 6k5 =

24) 40x15 – 20x15 =

5) 6d – 6d =

15) 45d 2 – 5d 2 =

25) 18p17 – 17p17 =

6) 7a – 5a =

16) 19b2 – 12b2 =

26) 24w11 – 12w11 =

7) 3n – 2n =

17) 12g4 – 6g4 =

27) 18q10 – 14q10 =

8) 7j – 3j =

18) 16x5 – 12x5 =

28) 16q18 – 10q18 =

9) 18h6 – 3h6 =

19) 25g9 – 10g9 =

29) 45d 24 – 30d 24 =

B. Resta

0) 8k – 2k =

50

IGER − Zaculeu

6k

Razonamiento lógico Resuelva en su cuaderno los problemas que se le plantean. 1) Calcule la longitud de arco de una circunferencia con radio de 8 cm y ángulo de 30º. 2) Calcule el espacio recorrido por el asiento de un columpio, si en cada balanceo describe un ángulo de 100º y sus brazos miden 1.5 m de largo. 3) Calcule la longitud del arco de la luz de un faro que recorre un ángulo de 120º si el alcance máximo de luz es de 5 km. 4) El péndulo de un reloj mide 25 cm de longitud, al balancearse describe un ángulo de 20º ¿Cuál es la longitud de arco que describe el péndulo en cada balanceo? 5) Una puerta de 1.5 m de ancho gira un ángulo de 45º cuando se abre. ¿Qué longitud de arco recorre? 6) Un automóvil llega a un retorno y realiza un giro de 180º. Si el radio de giro es de 2 m, ¿qué distancia recorrió durante el giro? 7) ¿Qué longitud de arco recorre una rueda de Chicago de 4 m de radio al realizar un giro de 3/4 de circunferencia. 8) ¿Qué distancia recorre la llanta de una bicicleta con un radio de 0.5 metros al realizar 10 vueltas? 9) Un niño y una niña se subieron a la rueda de caballos. El niño se montó en el caballo que está a 3 m del centro de la plataforma y la niña en el que está a 2.5 m del centro. Calcule la distancia recorrida por cada uno cuando la plataforma ha dado 20 vueltas. 10) El radio promedio de la Tierra mide 6371 km, ¿cuál es la distancia entre dos ciudades que d forman un ángulo de 20º? (Recuerde la fórmula de v = ) t 11) ¿Cuál es la velocidad de un automóvil que en 8 segundos recorre un cuarto de circunferencia que mide 25 m de radio? 12) La Tierra gira alrededor del Sol en una órbita aproximadamente circular de 1.5 x 108 km de radio. Si el ángulo entre el Sol y dos posiciones de la Tierra es de 180º, ¿qué distancia ha recorrido? 13) Un atleta entrena alrededor de una pista como la que se muestra en la figura. a. ¿Qué distancia recorre en cada vuelta? b. Si cada día recorre 15 veces la pista, ¿qué distancia corre en total? A

8m

B

20 m

C Matemática − Semana 20

51

Desarrolle nuevas habilidades A continuación le presentamos un ejercicio que le ayudará a desarrollar su razonamiento visual. Se trata de identificar la figura que se forma al hacer coincidir los centros de las figuras que están a la izquierda. 0) a.

b.

c.

Al deslizar el rectángulo sobre el cuadrado se forma la figura a. Por eso está marcada con una equis (X).

Ahora le toca a usted. Marque con una equis (X) la figura que se forma al combinar las figuras de la izquierda. 1)

a.

b.

c.

2)

a.

b.

a.

b.

c.

3) c.

Revise su aprendizaje Marque con un cheque



Conozco la historia de la evolución de la rueda. Identifico las partes que componen una circunferencia. Clasifico circunferencias por su posición relativa. Calculo la longitud de arco de una circunferencia. Resuelvo problemas relacionados con longitud de arco.

52

IGER − Zaculeu

logrado


21 El teorema de Tales ¿Qué encontrará esta semana? Tales de Mileto y la pirámide de Keops El teorema de Tales Multiplicación y división de monomios Resolución de problemas aplicando el teorema de Tales

Esta semana logrará:  Valorar los aportes de Tales de Mileto a la geometría.  Aplicar el teorema de Tales para calcular el segmento proporcional desconocido de una figura.  Aplicar el teorema de Tales para resolver problemas de la vida cotidiana.  Multiplicar y dividir monomios con agilidad.  Desarrollar la habilidad de calcular alturas aplicando el teorema de Tales. 


53

¡Para comenzar! Tales de Mileto y la pirámide de Keops

Pirámide de Keops - Egipto

Tales de Mileto fue un matemático griego que vivió entre los siglos VI y V antes de Cristo. Cuenta la leyenda que durante uno de sus viajes a Egipto se encontró con el Rey de la ciudad. El soberano, quien había escuchado de la habilidad del sabio griego para resolver problemas, le preguntó si era capaz de calcular de manera sencilla la altura de la gran pirámide de Keops que se levantaba imponente frente a ellos. Tales reflexionó unos instantes y contestó que sí, tomó un vara y la sembró totalmente vertical en la arena. Luego, esperó a que la sombra proyectada en el suelo tuviera la misma longitud de la vara. En ese instante se dirigió al Rey: Con mucha certeza me atrevo a decir, que en este momento, si se mide la sombra de la pirámide, se encontrará la altura que esta tiene. Esta narración nos muestra que el ingenio nos ayuda a solucionar problemas en apariencia difíciles de una forma muy sencilla.

¡A trabajar! Después de leer el texto con atención, responda a las preguntas. 1) ¿Con qué problema retó el Rey a Tales de Mileto? 2) ¿Qué materiales utilizó Tales para medir la altura de la pirámide? 3) ¿Qué dificultades pudo enfrentar si hubiera medido la pirámide de forma directa?

54

IGER − Zaculeu

El mundo de la matemática 1. El teorema de Tales

Proporcionalidad de segmentos

Esta semana estudiaremos la relación que hay entre los segmentos de líneas rectas cortadas entre sí. Este conocimiento sirve para calcular longitudes grandes y desconocidas, difíciles de medir de forma directa, a partir de longitudes pequeñas y conocidas. Tales de Mileto fue el primero en reflexionar sobre este tema estableciendo el teorema denominado Primer teorema de Tales, que dice: Si varias rectas paralelas son intersecadas por otras dos rectas, las medidas de los segmentos comprendidos entre las paralelas son proporcionales entre sí. Veamos el teorema de manera gráfica

L1

Si las tres rectas paralelas de la imagen son cortadas por las rectas L1 y L2, entonces las medidas de los segmentos en la recta L1 son proporcionales a las medidas de los segmentos de la recta L2.

A

Los segmentos de la recta L1 son: AB, AC, BC. De igual manera, los de la recta L2 son: A'B', A'C', B'C'.

C

B

L2 A' B'

C'

Por lo tanto, de acuerdo al teorema de Tales, se cumple esta proporción: AB BC = A'B' B'C' Se lee: el segmento AB es proporcional al segmento A'B'; lo mismo que el segmento BC es proporcional al segmento B'C'.

Ejercicio 1 A. Compruebe el teorema de Tales. Mida con su regla el valor de cada segmento de la figura. Escriba la respuesta en milímetros. Le ayudamos con los segmentos AB y A'B'. 8 mm

Segmento BC:

Segmento A'B': 9 mm

Segmento B'C':

Segmento AB:

A B

B. Compare las medidas de los segmentos AB y BC, así como las de los segmentos A'B' y B'C'. Luego responda: ¿Qué relación de proporcionalidad tienen?

A' B'

C


C'

55

2. Aplicaciones del Teorema de Tales Como vimos en el apartado anterior, el teorema de Tales permite calcular longitudes desconocidas cuando se conocen las medidas de los otros segmentos. Veamos un ejemplo A

Calculemos el segmento B'C' de la figura, si AB = 4 cm, BC = 10 cm y A'B' = 6 cm.

Recuerde que la propiedad de extremos y medios la estudiamos en la semana 29 del grupo Quiriguá.

A'

B

B'

C

C'

• Planteamos la proporción, aplicando el teorema de Tales.

AB BC = A'B' B'C'

• Sustituimos los datos.

4 cm 10 cm = B'C' 6 cm

• Aplicamos la propiedad de extremos y medios.

(4 cm)(B'C') = (10 cm)(6 cm)

• Despejamos el valor desconocido y hallamos su valor.

B'C' =

60(cm)(cm) 4 cm

B'C' = 15 cm El segmento B'C' mide 15 cm. Otro ejemplo

B

La estructura de una galera tiene la forma que se muestra en la figura. Calculemos la distancia B'C' que separa la columna central de la columna derecha, si las medidas de los otros segmentos son: AB = 10 m, BC = 9 m y A'B' = 8 m.

56

IGER − Zaculeu

A

A'

B'


BC AB = B'C' A'B'


10 m 9 m = 8m B'C'

• Aplicamos la propiedad de extremos y medios.

(10 m)(B'C') = (8 m)(9 m)


B'C' =

B'C' = 7.2 m

La distancia B'C' es de 7.2 metros.

C

72(m)(m) 10 m

C'

El ejemplo siguiente muestra el procedimiento que utilizó Tales de Mileto para calcular la altura de la pirámide de Keops. Observe la figura. El segmento hv representa la altura de la vara que es paralelo al segmento hp que representa la altura de la pirámide. Cada uno proyecta una sombra proporcional a su altura. La sombra de la vara es Sv y la de la pirámide, Sp.

hp

La vara puede tener cualquier medida, en este caso suponemos que mide 2 metros, al igual que su sombra. La sombra de la pirámide mide 139 metros. Con estos datos resolvemos el problema.

hv

sp = 139 m

sv

hp S = p hv Sv


hp 139 m = 2m 2m


• Aplicamos la propiedad de extremos (2 m)(hp) = (139 m)(2 m) y medios.


hp =

278(m)(m) 2m

hp = 139 m La pirámide de Keops mide 139 metros de altura.

Ejercicio 2 A

Aplique el procedimiento que aprendió para resolver los problemas. 1) Calcule la longitud del tramo AB del terreno de la imagen, si las medidas de los segmentos son: BC = 18 m, A'B' = 10 m, B'C' = 20 m. •

Plantee una proporción, aplicando el teorema de Tales.

•

Sustituya los datos.

•

Aplique la propiedad de extremos y medios.

AB

(

• Despeje el valor desconocido y opere.

B

AB BC = A'B' B'C'

10 m

AB =

A' B'

C'

C

= )(

)=(

)(

)

180(m)(m)

AB =

El tramo AB mide

metros de longitud. Matemática − Semana 21

57

2) Calcule la longitud del tramo AB de la estructura de la imagen, si las medidas de cada tramo son A'B' = 3 m, B'C' = 6 m, BC = 4 m. •

Plantee una proporción aplicando el teorema de Tales.

•

Sustituya los datos.

=

•

Aplique la propiedad de extremos y medios.

)(

)=(

•

AB BC = A'B' B'C'

( AB =

Despeje el valor desconocido y opere.

La longitud del tramo es de

A' A

B' B

)( =

C'

C

)

metros.

Resumen 1.

El teorema de Tales

El teorema de Tales establece que si varias rectas paralelas son intersecadas por otras dos rectas, las medidas de los segmentos comprendidos entre las paralelas son proporcionales entre sí. L1 A B

L2 A' B'

C

C'

De acuerdo al teorema y los segmentos de las rectas de la imagen se cumple esta proporción: AB BC = A'B' B'C'

Se lee: el segmento AB es proporcional al segmento A'B', lo mismo que BC es proporcional a B'C'.

2.

Para calcular un segmento desconocido cuando se conocen los otros segmentos, seguimos estos pasos: • Planteamos una proporción aplicando el teorema de Tales. • Sustituimos los datos. • Aplicamos la propiedad de extremos y medios. • Despejamos el valor desconocido y hallamos su valor.

58

IGER − Zaculeu



A. Relacione segmentos. Observe con atención la figura y escriba el segmento que falta en cada proporción. Fíjese en el ejemplo. 0)

2)

AB A'B' AB BC = 1) = BC B'C' A'B'

A B

A' B'

A'C' AC A'C' = 3) = AB AC AB C

C'

B. Realice las actividades y compruebe el teorema de Tales. Necesita una regla para realizar la primera actividad. 1) Mida con su regla la longitud de cada segmento de la figura. Escriba su respuesta en milímetros. Tiene un ejemplo.

segmento AB = 10 mm

segmento BC =

A

segmento A'B' =

segmento B'C' =

B

AB . Exprese su respuesta en fracción y simplifique A'B' hasta su mínima expresión.

A' B'

2) Calcule el valor de

C

C'

BC 3) Calcule el valor de . Exprese su respuesta en fracción y simplifique hasta su mínima expreB'C' sión.

4) Responda la pregunta: ¿Se cumple la igualdad

AB BC = ? Explique. A'B' B'C'

5) Compruebe que también se cumple la igualdad

AC AB = . A'C' A'B'


59

Actividad 2.


Aplique el procedimiento que aprendió en la semana para calcular el segmento desconocido en cada figura. Guíese por el ejemplo. 0)

1) 8 4

12

b

8 4 = 6 b

a

8

6

15

(8)(b) = (6)(4) b=

24 8

b = 3

2)

3) d

18

10

12

4)

24 30

h

5) 32 40

60

20

IGER − Zaculeu

28 k

x 50

60 40

B. Aplique el procedimiento que aprendió en la semana para resolver los problemas. 1) Un avión asciende en línea recta como se muestra en la imagen. La medida de los segmentos son: AB = 5 km, AC = 10 km y A'B' = 6 km. ¿Cuántos kilómetros se desplaza el avión desde A' hasta C'?

C' B'

A'

A

B

A'

2) Dos carreteras están separadas como se muestra en la imagen. Calcule la longitud del tramo B'C', si AB = 10 km, BC = 15 km, y A'B' = 9 km.

3) Se desea conocer la longitud del segmento x del puente de la figura. Calcúlelo con las medidas indicadas.

A

C

B'

C'

B

C

14 m

x

12 m

24 m


61

Agilidad de cálculo mental Multiplique y divida los monomios lo más rápido que pueda. Intente hacerlo en menos de 3 minutos. ¡Adelante! A. Multiplicación. Recuerde que primero se multiplican los coeficientes numéricos. Luego, se copia la base y se suman los exponentes. 0) (5a 5 )(3a7 ) = 15a 12

10) (8t)(t) =

20) (3t 5 )(3t 5 ) =

1) (5z 3 )(7z 2 ) =

11) (y 6 )(y 9 ) =

21) (9x 9 )(7x 3 ) =

2) (9x 8 )(2x 3 ) =

12) (3x 3 )(5x 2 ) =

22) (5h 2 )(8h 3 ) =

3) (8g 2 )(4g 4 ) =

13) (4c 7 )(4c 3 ) =

23) (7w 2 )(6w 2 ) =

4) (4y 5 )(9y 5 ) =

14) (6k 5 )(9k 8 ) =

24) (20p 5 )(4p 3 ) =

5) (3p 9 )(2p 4 ) =

15) (7b 7 )(4b 5 ) =

25) (25a 16 )(4a 4 ) =

6) (6d 8 )(7d 4 ) =

16) (2q 7 )(9q4 ) =

26) (12k 12 )(5k 6 ) =

7) (8h 6 )(9h 5 ) =

17) (9x 5 )(5x 4 ) =

27) (60g 10 )(3g 6) =

8) (6m 6 )(4m 8 ) =

18) (6w 8 )(5w 3 ) =

28) (15m 4 )(2m 7 ) =

9) (8v 8 )(2v 10 ) =

19) (4c 4 )(2c 4 ) =

29) (16h 6 )(4h 9 ) =

B. Divida los monomios. Recuerde que primero se dividen los coeficientes numéricos. Luego, se copia la base y se restan los exponentes.

0) 15y 5 ÷ 3y 5 =

62

5

10) 32x 7 ÷ 4x =

20) 36d16 ÷ 9d12 =

1) 6d 6 ÷ d 3 =

11) 40k 2 ÷ 2k 2 =

21) 24j12 ÷ 12j10 =

2) 25t 9 ÷ 5t 2 =

12) 63g 5 ÷ 7g 3 =

22) 80d 16 ÷ 40d 7 =

3) 32x 7 ÷ 8x 5 =

13) 75t 10 ÷ 3t 6 =

23) 25p14 ÷ 25p6 =

4) 24z 9 ÷ 6z 3 =

14) 45b 5 ÷ 9b 4 =

24) 120d 22 ÷ 6d 2 =

5) 81r 8 ÷ 9r 4 =

15) 24c 18 ÷ 2c3 =

25) 66d 24 ÷ 22d12 =

6) 36b5 ÷ 6b4 =

16) 60y 14 ÷ 3y 6 =

26) 180q 24 ÷ 3q 10 =

7) 10h 5 ÷ 2h 3 =

17) 45x 17 ÷ 5x 5 =

27) 100d15 ÷ 4d10 =

8) 18k 9 ÷ 6k 6 =

18) 81g 12 ÷ 9g 4 =

28) 150n 26 ÷ 5n 16 =

9) 64m 10 ÷ 8m 8 =

19) 60a 19 ÷ 10a 5 =

29) 125m 24 ÷ 25m 18 =

IGER − Zaculeu

Razonamiento lógico Aplique el teorema de Tales y el procedimiento que aprendió en la semana para resolver los problemas. C'

1) Calcule la distancia BC que hay entre las columnas de la imagen. Las medidas son: AB = 6 m, A'B' = 8 m y B'C' = 4 m.

B' A' A

2) Calcule la distancia que hay entre la primera y la segunda columna de la estructura que se muestra en la imagen. Las medidas de los segmentos son: A'B' = 12 m, B'C' = 10 m, BC = 8 m.

B

C

A'

A

3) Dos carreteras están separadas como se muestra en la imagen. Si el segmento AC mide 3 km, ¿cuánto mide el segmento A'C'? Tome en cuenta las medidas indicadas.

A

C'

B'

B

C

B 1 km 1.5 km

A'

C 2 km

B'

C'

8m

4) Encuentre el perímetro de un terreno con la forma que se muestra en la ilustración. Recuerde que el perímetro es la medida del borde de una figura.

5m

4m

x

8m 3m

5) ¡Le presentamos un reto! Calcule el valor de los segmentos AB = 8x + 1 y BC = 5x – 2. Aplique una ecuación fraccionaria para hallar el valor de x. Estas ecuaciones las estudió en la semana 12 Utatlán. Le ayudamos en los primeros pasos del procedimiento.

A

C

•

Plantee la proporción y resuelva la ecuación para hallar el valor de x.

AB BC 8x + 1 5x – 2 = ; = A'B' B'C' 12 4

Sustituya x por su valor en cada segmento.

•

A' 12 cm

B

B' 4 cm C'

AB = 8x + 1 BC = 5x – 2 AB = 8(

) + 1 BC = 5(

AB =

BC =

AB =

BC =

)–2


63

Desarrolle nuevas habilidades Calcule la altura de un poste. Con esta actividad aprenderá a calcular alturas de la misma forma que lo hizo Tales de Mileto. Siga los pasos. • Elija un poste o una estructura alta de su comunidad para calcular su altura. • Consiga un palo o bastón de aproximadamente 1 metro de longitud y una cinta métrica.

hp

• Elija una hora del día cuando el poste proyecte una sombra fácil de medir. Por ejemplo, las 10 de la mañana.

Sp

hb

Sb

• Siembre el bastón a un lado del poste de modo que proyecte su sombra sobre el suelo. Observe la imagen. • Mida la sombra y altura del bastón. Luego, la sombra del poste. Anote los datos en su cuaderno. • Dibuje un esquema que represente el problema. Guíese de la imagen de esta página. • Plantee una proporción con los datos que registró y determine la altura del poste. Comparta su trabajo con sus compañeros y comenten sobre los resultados.




64


Valoro los aportes de Tales de Mileto a la geometría. Aplico el teorema de Tales para calcular el segmento proporcional desconocido de una figura. Aplico el teorema de Tales para resolver problemas de la vida cotidiana. Multiplico y divido monomios con agilidad. Desarrollo la habilidad de calcular alturas aplicando el teorema de Tales. IGER − Zaculeu

logrado


22 Congruencia y semejanza de triángulos ¿Qué encontrará esta semana? El mapa en relieve, una joya de ingeniería y arte Triángulos congruentes y triángulos semejantes

Aplicación de los triángulos congruentes y triángulos semejantes a la resolución de problemas Ecuaciones de primer grado sencillas

Esta semana logrará:  Conocer cómo se construyó el mapa en relieve de Guatemala.  Reconocer triángulos congruentes y semejantes.  Aplicar la congruencia y semejanza de triángulos.  Operar con agilidad ecuaciones de primer grado.  Utilizar la técnica del cuadriculado para ampliar dibujos. 


65

¡Para comenzar! El mapa en relieve, una joya de ingeniería y arte

http://goo.gl/pSwvhO

El mapa en relieve es una representación de la geografía de Guatemala construido a nivel del suelo y en dos escalas: 1:10,000 para la extensión horizontal, y 1:2,000 para la vertical. La escala 1:10,000 significa que 1 unidad del mapa es equivalente a 10,000 unidades en la realidad. Las unidades pueden ser kilómetros, millas, metros cuadrados, etc. En un artículo, publicado en la revista "El Ideal" de 1911 se describe el mapa en relieve de la manera siguiente: Todos los accidentes geográficos, ciudades, caminos, ferrocarriles, etc. se hallan reproducidos con la mayor exactitud. Por los cauces de los ríos corren pequeños hilos de agua, y los lagos y mares están formados por depósitos de agua, de tal forma y profundidad que corresponden exactamente a las cuencas que representan. Tomado y adaptado de: cultura.muniguate.com

La relación de proporcionalidad que hay entre las medidas del mapa y las medidas reales de un territorio recibe el nombre de "semejanza de figuras", sirve para medir distancias de forma indirecta. Esta semana aprenderemos a identificar congruencia y semejanza de triángulos.

¡A trabajar! Escriba qué significan las siguientes escalas. 1:100 25:500

66

IGER − Zaculeu

El mundo de la matemática 1. Triángulos congruentes

Forma y tamaño iguales

En matemática, el término congruencia se emplea como sinónimo de igualdad. Se dice que dos figuras geométricas son congruentes cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño. Por ejemplo, los dos triángulos de la imagen de la derecha son congruentes porque tienen la misma forma y miden lo mismo, aunque estén en posiciones distintas. En cambio, estos dos triángulos no son congruentes. Aunque tienen la misma forma, sus medidas son diferentes.

F

C

A

B

E F

C

A

D

B

D

E

En conclusión, decimos que dos triángulos son congruentes si sus lados y sus ángulos son iguales, aunque se encuentren en posición distinta. En lenguaje matemático se expresa así es congruente con el triángulo DEF.

ABC

DEF y se lee el triángulo ABC

Las condiciones que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se llaman criterios de congruencia. Los estudiaremos en el apartado siguiente.

Ejercicio 1 Realice las actividades A y B. A. Mida los lados del triángulo DEF y compárelos con los lados del triángulo ABC. F

C 26 mm

A

34 mm

38 mm

26 mm

B

D

E

B. Responda: ¿El triángulo DEF es congruente con el triángulo ABC? Sí o no. Explique su respuesta. Matemática − Semana 22

67

1.1 Criterios de congruencia de triángulos Para saber si dos o más triángulos son congruentes, podemos aplicar alguna de estas propiedades. Veamos.

a. Lado – lado – lado (LLL) Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados iguales. C

F

AC = DF

A

B

AB = DE CB = FE

D

E

b. Lado – ángulo – lado (LAL) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados iguales y el ángulo determinado por ellos es igual. C

AB = DE

a

A

F

AC = DF

B

a=d

D

d

E

c. Ángulo – lado – ángulo (ALA) Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos iguales y el lado común a ellos también es igual. C

A

a

F

a=d b=e b

B

AB = DE

D

d

e

E

d. Lado – lado – ángulo (LLA) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados iguales y el ángulo opuesto al mayor de ellos también es igual. C

A

68

IGER − Zaculeu

a

F

AC = DF CB = FE B

a=d

D

d

E

2. Triángulos semejantes Los triángulos semejantes son aquellos que tienen sus ángulos iguales y sus lados correspondientes proporcionales. Es decir, la misma forma, aunque su tamaño sea diferente.

2.1 Criterios de semejanza de triángulos Para saber si dos triángulos son semejantes deben cumplir al menos uno de los criterios de semejanza. C

a. Los tres ángulos son iguales

70º

Estos dos triángulos tienen los tres ángulos iguales, pero con que dos ángulos sean iguales basta para establecer la semejanza.

30º

A

F

80º

B D

Veamos un ejemplo Un triángulo con un ángulo de 30º y otro de 40º ¿es forzosamente semejante a un triángulo con un ángulo de 30º y otro de 110º?

30º

70º 80º

30º

E

110º

40º

30º

Sí, pues como los ángulos de un triángulo suman 180º, se concluye que los ángulos de los dos triángulos son iguales y por el criterio de ángulos iguales son semejantes. 30° + 40° + 110° = 180°

b. Dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual Estos dos triángulos tienen un ángulo común que mide 25º y los dos lados que lo forman son proporcionales.

AB 8 = =2 DE 4

AC 9 = =2 DF 4.5

C

F

9 cm

4.5 cm

25º

A

8 cm

B

D

25º

E

4 cm

Como los lados son proporcionales y el ángulo mide lo mismo, los triángulos son semejantes. Dos triángulos tienen un ángulo de 120º. Los lados que los forman miden 6 cm y 15 cm en un triángulo y 4 cm y 10 cm en el otro triángulo. ¿Son semejantes?

AB 6 = = 1.5 DE 4 BC 15 = = 1.5 EF 10

C

F

15 cm A

120º B 6 cm

D

120º

4 cm

E

10 cm

Como los lados son proporcionales y el ángulo mide lo mismo, los triángulos son semejantes. Matemática − Semana 22

69

c. Todos sus lados son proporcionales Comprobemos que los lados del ejemplo guardan la misma proporción: Lado AB Lado DE Lado BC Lado EF Lado AC Lado DF

= = =

12

= 2

6

C

9

10

= 2

4.5

A

10

F

9 B

12

4.5

5 D

6

E

= 2

5

Por tanto, podemos afirmar que se cumplen estas proporciones: AB DE

=

BC EF

=

AC DF

Resolvamos un ejemplo

10

Los triángulos de la figura son semejantes, hallemos la medida del lado x.

x

x

• Planteamos la proporción.

4

=

12

8

4

10 8

• Aplicamos la propiedad de extremos (8)(x) = (4)(10) y medios. • Despejamos x y operamos. x =

(4)(10) = 5 8

La medida del lado x es 5.

Ejercicio 2 Aplique la proporcionalidad de los lados de triángulos para hallar el valor de x en el ejercicio siguiente. Los triángulos de la figura son semejantes, halle la medida del lado x. • Plantee la proporción

x

10

=

• Aplique la propiedad de extremos y ( medios • Despeje x y opere x = x = x =

70

La medida del lado x es IGER − Zaculeu

12 24 )(x) = (

(

)( 24 24

)(12) )

24

12

x

10

2.2 Posición de Tales

F C

Si hacemos coincidir los vértices de los dos triángulos que tengan el mismo ángulo, obtenemos lo que se llama posición de Tales. Todos los triángulos semejantes pueden colocarse en esta posición y podemos aplicar el teorema de Tales, que aprendimos la semana anterior para resolver problemas.

A

B D C AD

E F

B

E

Veamos un ejemplo x

Hallemos la altura del árbol tomando como referencia la altura de la niña y la sombra que proyecta, así como la sombra que proyecta el árbol. • Planteamos la proporción. • Aplicamos la propiedad de extremos y medios.

1.5 m sombra = 0.5 m

x

1.5 m

=

sombra = 2.16 m

2.16 m 0.5 m

(0.5 m)(x) = (2.16 m)(1.5 m)

• Despejamos x y operamos. x =

(2.16 m)(1.5 m) 0.5 m

x =

3.24 m 0.5

x = 6.48 m El árbol tiene una altura de 6.48 metros. Otro ejemplo Determinemos la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6 m a la misma hora que un poste de 4 m de altura proyecta una sombra de 1 m.

x 4m sombra = 1 m

• Planteamos la proporción.

x

4m

=

sombra = 6 m

6m 1m

• Aplicamos la propiedad de (1 m)(x) = (6 m)(4 m) extremos y medios. 24(m)(m) • Despejamos x y operamos. x = 1m x = 24 m El edificio tiene una altura de 24 metros. Matemática − Semana 22

71

Un ejemplo más Cuando se toma una fotografía con una cámara analógica, la figura que se forma es semejante a la imagen real. Calculemos la altura real del árbol según los datos proporcionados.

10 cm

x

4 cm

• Planteamos la proporción. • Aplicamos la propiedad de extremos y medios.

400 cm

x

4 cm

=

400 cm 10 cm

(10 cm)(x) = (400 cm)(4 cm)

x = • Despejamos x y operamos x =

(400 cm)(4 cm) 10 cm 1600 cm 10 cm

x = 160 cm Para escribir la respuesta en metros dividimos el resultado entre 100. 160 cm ÷ 100 = 1.6 metros El árbol fotografiado mide 1.6 metros.

Ejercicio 3 Aplique el procedimiento que aprendió para resolver el problema Un pino de 1.56 m de altura proyecta una sombra de 1.2 m. En el mismo momento otro pino proyecta una sombra de 1.83 m. ¿Cuál es la altura del segundo pino? 1.83 m x • Plantee la proporción. = 1.2 m 1.56 m • Aplique la propiedad de extremos y medios. • Despeje x y opere.

( x=

x = x =

72

El segundo pino mide

IGER − Zaculeu

metros.

)( (

)( 1.2 m 1.2 m

)=( )

x

1.56 m

1.2 m 1.83 m

)(

)

Resumen 1.

Dos triángulos son congruentes si sus lados y sus ángulos son iguales, aunque se encuentren en una posición distinta.

1.1 Criterios de congruencia de triángulos

Dos triángulos son congruentes si cumplen con una de estas propiedades: a. lado – lado – lado (LLL) C

F

AC = DF

A

B

AB = DE CB = FE

b. lado – ángulo – lado (LAL)

D

a=d

a A

b

2.

AB = DE D

AB = DE B

e

a=d

D

AC = DF

C

d

F

d

E

d. lado – lado – ángulo (LLA)

F

b=e B

a

A

E

c. ángulo – lado – ángulo (ALA) C

AC = DF

C

A

E

a

F

CB = FE B

a=d

D

d

E

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.

2.1 Criterios de semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si cumplen al menos uno de los criterios de semejanza. b. Dos lados proporcionales y el ángulo entre ellos es igual

a. Los tres ángulos son iguales F

C

C A

B D

E

A

B D

c. Todos sus lados son proporcionales C

F E

F A

B D

E

Si conocemos dos lados de un triángulo, podemos hallar el lado desconocido de un triángulo semejante cuando conocemos uno de sus lados. El procedimiento es el siguiente: • Plantear la proporción con los datos de los triángulos. • Multiplicar aplicando la propiedad de extremos y medios. • Despejar el valor desconocido y operar. • Escribir la respuesta.


73



A. Rellene el círculo de la opción que completa correctamente cada enunciado. 1) Para que dos triángulos sean congruentes, la medida de sus lados comunes debe ser…

igual diferente proporcional

2) La relación que guardan los ángulos de dos triángulos semejantes es de…

igualdad equivalencia proporcionalidad

3) La medida de los lados comunes en dos triángulos semejantes debe ser…

igual diferente proporcional

4) Si uno de los lados de un triángulo mide 10 cm, en un triángulo congruente este mismo lado debe medir…

5 cm 10 cm 12 cm

5) El ángulo mayor de un triángulo mide 120º, en un triángulo semejante este mismo ángulo debe medir…

30º 60º 120º

B. Los triángulos siguientes son congruentes. Escriba la medida de los ángulos y de los lados que faltan en cada uno. Tiene un ejemplo. 1)

40 mm

19 mm 35 mm

29º

2)

24 cm

27 cm

74

IGER − Zaculeu

61º

26º

106º

20 cm 48º

Actividad 2.


Aplique los criterios de semejanza para encontrar el valor de las medidas que hacen falta en cada triángulo. Tiene un ejemplo. 0)

x

=

y 6 3 = 8 3 6

5 x 8 5 x = (6)(5) y 3

y = (3)(8) 6

30 24 y = 3 6 x = 10 y = 4 3

6 x=

1) 20

26

y

15

x

32

2) x 8 3.2

10.8

3)

4 3

9

x


75

Agilidad de cálculo mental Resuelva las ecuaciones mentalmente y escriba su respuesta sobre la línea. Hágalo lo más rápido que pueda. Hay un ejemplo en cada caso. A. Suma de dos cantidades. 0) 3 + x = 8

x=

1) 2 + y = 6

5

7) 24 + e = 30

e=

y=

8) 19 + x = 21

x=

2) 4 + z = 12

z=

9) 10 + y = 25

y=

3) 5 + a = 10

a=

10) 14 + z = 34

z=

4) 9 + b = 15

b=

11) 11 + a = 17

a=

5) 12 + c = 18

c=

12) 30 + b = 42

b=

6) 15 + d = 20

d=

13) 18 + c = 25

c=

7) a – 10 = 5

a=

B. Diferencia de dos cantidades.

8

0) a – 6 = 2

a=

1) b – 2 = 8

b=

8) b – 18 = 7

b=

2) c – 3 = 3

c=

9) c – 11 = 4

c=

3) d – 7 = 7

d=

10) d – 12 = 6

d=

4) x – 8 = 2

x=

11) x – 10 = 0

x=

5) y – 4 = 4

y=

12) y – 20 = 10

y=

6) z – 1 = 6

z=

13) z – 22 = 18

z=

C. Multiplicación y división de cantidades.

76

0) 6a = 18

a=

1) 8b = 64

b=

2) 5c = 20

c=

3) 3d = 27

d=

4) 8x = 40

x=

5) 3y = 36

y=

6) 7z = 70

z=

IGER − Zaculeu

3

7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)

a 4

= 3

a=

3

= 5

b=

3

= 9

c=

8

= 8

d=

12

=2

x=

5

= 8

y=

20

=3

z=

b c

d x

y

z

Razonamiento lógico A. Aplique la semejanza de triángulos para hallar el valor de x y y en cada triángulo. 1) 20

12

y

x 8

16

2) 10.2 m

x

10.9 m

y

6.5 m

10.6 m

B. Aplique el criterio de la posición de Tales para hallar el valor de x en cada triángulo. 1)

2) 4 cm 2 cm

x

6 cm

2 cm

1.5 cm

3) 50 cm

x

3 cm

9 cm

x 30 cm

45 cm

C. Aplique la semejanza de triángulos para resolver los problemas. 1) A las once de la mañana una casa de 3 m de alto proyecta una sombra 0.70 m. ¿Cuál es la altura de un pino que proyecta una sombra de 3.5 m a la misma hora? 2) Ernesto mide 1.65 m y proyecta una sombra de 1.50 m. Si un poste proyecta una sombra de 2.50 m a la misma hora, ¿cuál es la altura del poste? 3) Los lados de un triángulo rectángulo miden 12 cm de base, 16 cm de altura y 20 cm de hipotenusa. Si un triángulo semejante a éste mide 5 cm de hipotenusa, ¿cuánto miden los otros lados? 4) Hallar la altura de un árbol que proyecta una sombra de 8 m, si otro árbol que mide 2 m proyecta una sombra de 1.5 m. 5) Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m, a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.9 m. 6) La ilustración muestra la altura de un poste, la sombra que proyecta el poste y la sombra de un niño. Determine la altura del niño.

6m

x 5m

1.5 m


77

Desarrolle nuevas habilidades La técnica del cuadriculado se utiliza para copiar un dibujo con bastante exactitud, y a la vez cambiarle la escala si se desea, es decir, ampliar o reducir de tamaño. Para aplicar la técnica del cuadriculado debemos seguir los pasos siguientes. • Seleccionar el dibujo que se quiere reproducir. • Cuadricular el dibujo original a una proporción conocida. Por ejemplo 1 cm x 1 cm. Cuantas más cuadrículas se tracen mayor precisión tendrá la copia del dibujo. • Trazar una cuadrícula de mayor o menor dimensión sobre la superficie donde haremos la copia. Debe tener el mismo número de cuadros que el dibujo original Fíjese en los cuadriculados de la imagen. • Dibujar en cada cuadro el trazo que corresponde a la cuadrícula original. Fíjese en la imagen y complete las otras figuras.

Revise su aprendizaje Después de estudiar...


78


Conozco como se construyo el mapa en relieve de Guatemala. Reconozco triángulos congruentes y semejantes Aplico los triángulos congruentes y semejantes a la solución de problemas. Opero con agilidad expresiones algebraicas. Utilizo la técnica del cuadriculado para ampliar dibujos. IGER − Zaculeu

logrado


23 Teorema de Pitágoras ¿Qué encontrará esta semana? Pitágoras y los pitagóricos Teorema de Pitágoras Operaciones con monomios Solución de problemas

Esta semana logrará:  Reconocer las características de un triángulo rectángulo.  Aplicar el teorema de Pitágoras para calcular el lado desconocido de un triángulo rectángulo.  Practicar la agilidad de cálculo con la potenciación y la radicación de monomios.  Desarrollar el pensamiento lógico aplicando el teorema de Pitágoras a la resolución de problemas. 


79

¡Para comenzar! Pitágoras y los pitagóricos

Fresco: La escuela de Atenas, de Rafael Sanzio. Pitágoras aparece en la esquina inferior izquierda sentado mostrando sus escritos a unos estudiantes.

Pitágoras de Samos fue un filósofo y matemático griego que vivió entre los años 570 y 469 a.C. Lo que se conoce de su vida está rodeado de leyendas creadas por sus discípulos Los Pitagóricos, un grupo de estudiantes de la Escuela de Pitágoras que realizó aportes importantes a la matemática, entre ellos: • Creación de las tablas de multiplicar • Descubrimiento de los números irracionales • Clasificación de los números en pares e impares • Construcción del pentágono regular • Demostración del teorema de Pitágoras Este último, se relaciona con el estudio de los triángulos rectángulos y tiene distintas aplicaciones en la vida cotidiana. Lo estudiaremos esta semana.

¡A trabajar! En la lectura nos indican que el teorema de Pitágoras se aplica a los triángulos rectángulos. Active sus conocimientos previos y responda estas preguntas. 1) ¿Cuál es la característica principal de un triángulo rectángulo? 2) ¿Qué tipo de ángulos se encuentran en un triángulo rectángulo?

80

IGER − Zaculeu

El mundo de la matemática 1. Teorema de Pitágoras En la sección anterior le pedimos activar sus conocimientos previos sobre los triángulos rectángulos. Recordémoslos. Un triángulo rectángulo es aquel que: • Tiene un ángulo recto (90°).

c

• Los lados perpendiculares que forman el ángulo se llaman catetos. En la figura se representan con las letras a y b.

b

a

• El lado mayor opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. En la figura se identifica con la letra c. Pitágoras y sus seguidores se dieron cuenta de que las partes de estos triángulos guardaban cierta relación entre sí y la expresaron mediante el teorema de Pitágoras. Este teorema dice que: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (c2) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (a2 + b2). Se representa con esta fórmula:

c2 = a2 + b2

• Sustituimos los datos y operamos.

b=8m

c 2 = a2 + b 2

m 10

• Escribimos la fórmula del teorema de Pitágoras.

c=

Comprobemos el teorema con el triángulo del ejemplo.

(10 m)2 = (6 m)2 + (8 m)2

100 m2 = 36 m2 + 64 m2 a=6m

• Comprobamos la igualdad. 100 m2 = 100 m2 El teorema se cumple, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los lados a y b.

b = 4 cm

Ejercicio 1 Siga los pasos para comprobar si se cumple el teorema de Pitágoras en el triángulo de la imagen. • Escriba la fórmula del teorema de Pitágoras

c 2 = a2 + b 2

• Sustituya los datos y opere

(

• Compruebe la igualdad

25 cm2 =

5c

m

a = 3 cm

cm)2 = (3 cm)2 + (

25 cm2 =

c=

cm2 +

cm)2 cm2

cm2

El teorema se cumple porque la igualdad se mantiene. Matemática − Semana 23

81

1.1 Cálculo de los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo Para encontrar el valor de cualquier lado de un triángulo rectángulo aplicamos la fórmula del teorema de Pitágoras que aprendimos en el apartado anterior. Solo debemos despejar la variable correcta.

b = 8 cm

a. Cálculo de la hipotenusa (c) Para encontrar la hipotenusa debemos conocer el valor de los catetos a, b y despejar c. Veamos un ejemplo.

c

Calculemos la hipotenusa de un triángulo rectángulo con estas medidas: cateto a = 6 cm, cateto b = 8 cm.

a = 6 cm

• Escribimos la fórmula.

c 2 = a2 + b 2


c2 = (6 cm)2 + (8 cm)2

c2 = 36 cm2 + 64 cm2 c2 = 100 cm2 • Aplicamos la raíz cuadrada en ambos c2 = 100 cm2 lados de la operación y obtenemos el resultado. c = 10 cm La hipotenusa del triángulo mide 10 cm.

Ahora veamos una aplicación. Calculemos cuánto debe medir una escalera para llegar a la parte más alta de una pared que mide 4 m de alto. La base de la escalera está a 3 m de la pared.

c =a +b


c2 = (3 m)2 + (4 m)2

c2 = 9 m2 + 16 m2

c2 = 25 m2

2

2

La escalera debe medir 5 m.

2

c2 = 25 m2

c = 5 m

IGER − Zaculeu

3m

• Escribimos la fórmula.

• Aplicamos la raíz cuadrada en ambos lados de la operación y obtenemos el resultado.

82

c

4m

Otro ejemplo Calculemos el costo de la baranda para las gradas de un edificio con las medidas que se muestran en la figura. El metro de baranda cuesta Q250.00. Primero calculamos la longitud de la baranda aplicando el teorema de Pitágoras. • Escribimos la fórmula.

c 2 = a2 + b 2


c2 = (4 m)2 + (3 m)2

c2 = 16 m2 + 9 m2 3m

c c2 = 25 m2 • Aplicamos raíz cuadrada en ambos c2 = 25 m2 lados de la operación y obtenemos 4m el resultado. c = 5 m Hallamos el costo multiplicando los metros de baranda por el precio de cada metro. Q250.00 x 5 m = Q1,250.00 El precio total de la baranda es de Q1,250.00.

Aplique el procedimiento que aprendió para resolver el problema.

c

Calcule la cantidad de hilo que se necesita para formar los bordes de un barrilete como el que se muestra en la figura. El problema se resuelve calculando la hipotenusa de cada triángulo.

b = 20 cm

Ejercicio 2 a = 15 cm

Hipotenusa de un triángulo • Escriba la fórmula.

c 2 = a2 + b 2

• Sustituya los datos y opere.

c2 = (

cm)2 + (

c2 =

cm2 +

c2 =

cm2

• Aplique la raíz cuadrada en ambos lados 2 de la operación y obtenga el resultado. c = c =

cm)2 cm2

cm2 cm

Para calcular la cantidad de hilo multiplique por cuatro el valor de la hipotenusa, porque los cuatro lados del rombo miden lo mismo.

cm x 4 lados =

Se necesitan

cm de hilo. Matemática − Semana 23

83

b. Cálculo de los catetos (a, b) Para calcular el valor de uno de los catetos debemos conocer la medida del otro cateto y de la hipotenusa. Hagamos un ejemplo. Calculemos el cateto a de un triángulo rectángulo con las medidas que se indican en la imagen. •

a

b = 16 cm

Escribimos la fórmula y despejamos la variable que nos interesa. En este 2 a = c2 – b2 caso queremos averiguar el tamaño del cateto a.


c = 20 cm

a2 = (20 cm)2 – (16 cm)2

a2 = 400 cm2 – 256 cm2 a2 = 144 cm2 • Aplicamos raíz cuadrada en ambos a2 = 144 cm2 lados de la ecuación y obtenemos el resultado. a = 12 cm El cateto a mide 12 cm.

Ahora veamos una aplicación. Calculemos el costo de la escalera para un resbaladero que mide 5 metros de longitud. De la base de la escalera a la base del resbaladero hay 4 metros. Cada metro de escalera cuesta Q120.00. •

Escribimos la fórmula y despejamos la variable que nos interesa. En este 2 a = c2 – b2 caso queremos averiguar el tamaño del lado o cateto a.


5m

a

4m

a2 = (5 m)2 – (4 m)2

a2 = 25 m2 – 16 m2 a2 = 9 m2 • Aplicamos raíz cuadrada en ambos a 2 = 9 m2 lados de la ecuación y obtenemos el resultado. a = 3 m

La escalera mide 3 m de altura.

Para hallar el costo multiplicamos la altura por el precio de cada metro.

3 m x Q120.00 = Q360.00 El precio de la escalera es de Q360.00.

84

IGER − Zaculeu

Ejercicio 3 Aplique el procedimiento que aprendió para resolver el problema. Calcule el costo de la construcción de una columna que servirá para sostener las gradas de una pasarela de 15 metros de longitud. De la base de la columna a la base de la gradas hay 12 metros. Cada metro de columna cuesta Q500.00.

a

c = 15 m b = 12 m

Halle la altura de la columna aplicando el teorema de Pitágoras. • Escriba la fórmula.

a2 = c 2 – b 2 a2 = (

• Sustituya los datos y opere. a2 =

m2 –

a2 = • Aplique raíz cuadrada en ambos a2 = lados de la ecuación y obtenga el resultado. a =

La columna mide

)2 – (

)2 m2

m2 m2 m

m de altura.

Para hallar el costo multiplique la altura por el precio de cada metro de columna.

m x Q500.00 = El costo de la columna es de Q

.

Resumen 1. El teorema de Pitágoras sirve para calcular el valor de cualquier lado de un triángulo rectángulo cuando conocemos los otros dos. El teorema dice que: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (c²) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (a2 + b2).

c

a

c 2 = a2 + b2

b

2.

Cálculo de los catetos y de la hipotenusa de un triángulo rectángulo

Para encontrar el valor de cualquiera de los lados de un triángulo rectángulo despejamos la variable correcta del teorema de Pitágoras.

hipotenusa c cateto a cateto b c 2 = a 2 + b 2 a 2 = c 2 – b 2 b 2 = c 2 – a2 Matemática − Semana 23

85



Calcule el lado desconocido en los triángulos rectángulos siguientes. 1)

2) c

20 cm

b

15 cm

3)

4) 13 m

a

12 m

6m

a 8m

IGER − Zaculeu

1.5 m

c 3m

5)

86

20 m

16 m

6) 20 cm

25 cm

a

Actividad 2.


Aplique el procedimiento para calcular la hipotenusa o los catetos de un triángulo rectángulo. 1) Calcule la altura de una pirámide con las medidas que se presentan en la figura.

16 m

h

20 m

La pirámide tiene una altura de

m.

2) Calcule el perímetro de un terreno como el que se presenta en la figura. x

40 m

60 m

El perímetro del terreno es de

m.

3) Calcule la longitud de la lámina que debe cubrir el techo de una casa con las medidas indicadas.

2m

3m

La longitud de la lámina es de

m. Matemática − Semana 23

87

Agilidad de cálculo mental Realice las operaciones indicadas. Tiene un ejemplo para cada caso. A. Eleve cada número a la potencia indicada. 0) 82 =

64

5) 42 =

10) 72 =

1) 52 =

6) 23 =

11) 53 =

2) 10 =

7) 60 =

12) 62 =

3) 32 =

8) 13 =

13) 22 =

4) 80 =

9) 92 =

14) 15 =

B. Obtenga la raíz cuadrada de los números siguientes. 0)

25 =

1)

5

4) 16 =

8) 4 =

9 =

5) 36 =

9) 49 =

2)

81 =

6) 0 =

10)

64 =

3)

1 =

7) 100 =

11)

121 =

C. Divida los monomios. Recuerde, se dividen los coeficientes numéricos, se copia la base y se restan los exponentes. 0) 18a 6 ÷ 2a 4 =

88

9a2

9) 27b9 ÷ 9b =

18) 50a5 ÷ 10a4 =

1) 15x6 ÷ 3x =

10) 25c 8 ÷ 5c 5 =

19) 100b 8 ÷ 4b 4 =

2) 25b 6 ÷ 5b 3 =

11) 18w7 ÷ 6w 5 =

20) 60d 10 ÷ 30d 9 =

3) 64y8 ÷ 8y8 =

12) 16x7 ÷ 2x3 =

21) 80z12 ÷ 40z7 =

4) 30c 4 ÷ 3c 4 =

13) 45y 16 ÷ 9y 8 =

22) 36x 10 ÷ 36x 6 =

5) 64z9 ÷ 8z3 =

14) 42z9 ÷ 6z2 =

23) 180d 4 ÷ 6d 2 =

6) 16a8 ÷ 4a5 =

15) 16c8 ÷ 4c6 =

24) 150y6 ÷ 5y6 =

7) 24b 6 ÷ 6b 4 =

16) 35y12 ÷ 5y9 =

25) 100x3 ÷ 25x2 =

8) 40a10 ÷ 4a8 =

17) 49x15 ÷ 7x5 =

26) 100z6 ÷ 10z5 =

IGER − Zaculeu

Razonamiento lógico A. Aplique el teorema de Pitágoras para resolver los ejercicios siguientes. 1) Calcule la altura de un edificio que proyecta una sombra de 5 m sobre el suelo. Tome en cuenta que la distancia desde la parte más alta del edificio hasta donde termina la sombra es de 15 m. 2) Calcule la longitud de una rampa que tiene 1 m de altura. La distancia desde el suelo hasta la base es de 3 m. 3) Una escalera de 4 m de longitud está apoyada en la parte superior de una pared de 3 m de alto. ¿A qué distancia de la pared se encuentra la parte inferior de la escalera? 4) Se quiere dividir un gallinero de forma cuadrada en dos triángulos rectángulos iguales. El gallinero mide 5 metros por lado. a. ¿Qué cantidad de malla se debe comprar para dividir el gallinero? b. ¿Cuál es el área de cada triángulo? 5) Dos barcos parten del mismo puerto a las 12:00 del día. El barco A viaja hacia el Norte a 40 km/h y el barco B viaja hacia el Este a 60 km/h. a. ¿Qué distancia lleva recorrida cada barco a las 4:00 de la tarde? b. ¿Cuál es la separación entre los barcos a las 4:00 de la tarde?

3x

6) El ancho de un muro mide 3x y el alto 4x. Calcule sus dimensiones si la diagonal del muro mide 10 m.

10 m

4x

7) Encuentre el volumen de un cono con las medidas que muestra la figura. 12.8 cm

x 8 cm B. Halle el valor de x y calcule el perímetro y el área de las siguientes figuras. 1)

2) 3m

x

x

3m

3)

3m x

3m

6m

4 cm

4 cm Matemática − Semana 23

89

Desarrolle nuevas habilidades Sucesión de triángulos ¡Ponga a prueba su imaginación! Este ejercicio le ayudará a seguir desarrollando su razonamiento espacial. Siga los pasos. 1) Consiga 7 palillos de fósforos u otros palitos del mismo tamaño y forme un triángulo como el que se observa en la figura.

2) Ahora, sobre el mismo triángulo, con tan solo mover tres de estos palillos, forme tres triángulos continuos. Puede intentar las veces que necesite.




Reconozco las características de un triángulo rectángulo. Aplico el teorema de Pitágoras para calcular el lado desconocido de un triángulo rectángulo.

90

IGER − Zaculeu

Practico la agilidad de cálculo con la potenciación y la radicación. Desarrollo el pensamiento lógico aplicando el teorema de Pitágoras a la resolución de problemas.

logrado


24 Razones trigonométricas ¿Qué encontrará esta semana? Ángulos de elevación y ángulos de depresión Razones trigonométricas Problemas que se resuelven aplicando razones trigonométricas Potencias y raíces de monomios

Esta semana logrará:  Identificar y distinguir un ángulo de elevación y un ángulo de depresión.  Calcular los lados desconocidos de triángulos rectángulos.  Aplicar las razones trigonométricas a la solución de problemas.  Resolver ecuaciones de primer grado con agilidad. 


91

¡Para comenzar! Ángulos de elevación y ángulos de depresión

Observador

a rrib na i sió ador v e er v ad s líne e l ob d ángulo de elevación

horizontal

ángulo de depresión

lín

ea d de e vi l o sió bs er v n de ad baj or o

La trigonometría de triángulos rectángulos se utiliza frecuentemente para averiguar la altura de un objeto de manera indirecta. Para resolver un problema de este tipo, se mide el ángulo desde la horizontal hasta la recta de visión, cuando se ve la parte superior o inferior del objeto. Se llama línea de visión a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el lugar observado. Llamamos ángulo de elevación al ángulo formado entre la horizontal del observador y el lugar observado, cuando este está situado arriba del observador. Cuando el observador está más alto que el objeto observado, lo llamaremos ángulo de depresión. Identifique ambos ángulos en la figura.

¡A trabajar! Escriba dos ejemplos en los que aplique el ángulo de elevación y otros dos ejemplos en los que aplique el ángulo de depresión. Tiene un ejemplo para cada caso.

92

0) Observar un avión en pleno vuelo

1)

1)

2)

2) IGER − Zaculeu

0) Observar un pueblo desde un mirador

El mundo de la matemática 1. Razones trigonométricas

Seno, coseno, tangente

La semana anterior empleamos el teorema de Pitágoras para calcular los lados desconocidos de un triángulo rectángulo. Este teorema nos ayuda a resolver muchos problemas de trigonometría, pero tiene una limitante: necesitamos conocer las medidas de dos lados del triángulo para calcular la medida del tercero. Pero, ¿qué ocurre cuando conocemos solo la medida de un lado y un ángulo del triángulo? En este caso, es necesario aplicar las razones trigonométricas. Llamamos razones trigonométricas a una serie de relaciones que se establecen entre los lados de un triángulo rectángulo. Para comprender mejor estas relaciones, debemos tener claros los conceptos de cateto adyacente y cateto opuesto. Fíjese. • Cateto adyacente: es el lado que está a la par de un ángulo determinado. Por ejemplo, en el triángulo de la derecha, el lado a es adyacente al ángulo β (beta) y el lado b es adyacente al ángulo α (alfa).

a

• Cateto opuesto: es el lado que está frente al ángulo. Por ejemplo, el cateto opuesto al ángulo α es a y el lado opuesto al ángulo β es b. La hipotenusa es el lado c y es opuesta al ángulo recto.

β

c b

α

Las relaciones o razones trigonométricas básicas son: seno, coseno y tangente. Las estudiaremos en las páginas siguientes. ¡Un paso más! A partir de esta semana identificaremos los ángulos con las letras griegas: α (alfa) y β (beta).

Ejercicio 1 Observe las medidas del triángulo rectángulo y complete cada enunciado con el valor correcto. Tiene un ejemplo. 0) El cateto opuesto al ángulo α mide… 1) El cateto opuesto al ángulo β mide… 2) El cateto adyacente al ángulo α mide… 3) El cateto adyacente al ángulo β mide… 4) El cateto opuesto al ángulo de 90º mide…

6 cm 10 cm α

β

6 cm

8 cm


93

1.1 Razones trigonométricas básicas a. Seno de un ángulo (sen α) El seno de un ángulo establece la relación entre el ángulo conocido, el cateto opuesto y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Se calcula con la fórmula:

sen α =

cateto opuesto hipotenusa

c

a

b

sen α = α

a c

Se lee: El seno del ángulo alfa es igual al cateto opuesto entre la hipotenusa.

b. Coseno de un ángulo (cos α) El coseno de un ángulo de un triángulo rectángulo se define como la relación entre el ángulo conocido, el cateto adyacente y la hipotenusa.

cos α =

cateto adyacente hipotenusa

a

c b

cos α = α

b c

Se lee: el coseno de alfa es igual al cateto adyacente entre la hipotenusa.

c. Tangente de un ángulo (tan α) La tangente de un ángulo se puede definir como la relación entre dicho ángulo y los dos catetos de un triángulo rectángulo. En general decimos que la tangente de un ángulo es igual al cateto opuesto dividido entre el cateto adyacente.

tan α =

cateto opuesto cateto adyacente

a

c b

tan α = α

a b

Se lee: la tangente del ángulo alfa es igual al cateto opuesto entre el cateto adyacente.

94

IGER − Zaculeu

Practiquemos con unos ejemplos la ubicación y el valor de seno, coseno y tangente de un ángulo. Observemos las medidas del triángulo rectángulo de la figura y determinemos el valor del seno de alfa (sen α).

c = 20 cm

a = 12 cm

α b = 16 cm • Identificamos los lados

cateto opuesto a = 12 cm

hipotenusa c = 20 cm • Escribimos la fórmula del seno

sen α =


• Sustituimos los valores

sen α =

12 cm 16 cm

sen α = 0.75 Veamos un ejemplo del cálculo del coseno Determinemos el valor del coseno de alfa (cos α), para el triángulo rectángulo con las medidas indicadas.

c = 5 cm

a = 4 cm


cateto adyacente b = 3 cm

hipotenusa c = 5 cm • Escribimos la fórmula del coseno

cos α =

cateto adyacente hipotenusa

3 cm 5 cm cos α = 0.6 • Sustituimos los valores

cos α =

Veamos un ejemplo del cálculo de la tangente Observemos las medidas del triángulo rectángulo y determinemos el valor de la tangente de alfa (tan α).

c = 15.62 cm

a = 12 cm


opuesto a = 12 cm

adyacente b = 10 cm • Escribimos la fórmula de la tangente


12 cm 10 cm tan α = 1.2

• Sustituimos los valores

tan α =

tan α =


95

2. Cálculo de razones trigonométricas En la calculadora encontrará la tecla "sin" en lugar de la abreviatura sen.

Calculadora o tabla

En los ejemplos que hemos visto hasta ahora, contábamos con la medida de los lados para calcular las distintas razones trigonométricas. ¿Pero cómo calcularíamos esas razones si solo tenemos la medida del ángulo y de un lado? Si contamos con una calculadora científica buscamos la función que nos piden, por ejemplo el seno, pulsamos la tecla "sin", introducimos el valor del ángulo, como aparece en la ilustración, y automáticamente nos dará la respuesta. Pero si no tenemos una calculadora científica podemos trabajar con una tabla de razones trigonométricas que recoge los valores de seno, coseno y tangente para los ángulos de 0° a 90°. Encontrará esta tabla en la última hoja de la semana. Recórtela y cúbrala con plástico para protegerla. Hagamos un ejemplo Calculemos la medida de la hipotenusa de un triángulo que tiene un ángulo de 30º y uno de sus lados mide 8 cm. Observe la figura y siga los pasos.

c

a = 8 cm

α = 30º

• Identificamos los catetos. El cateto opuesto es el que se encuentra frente al ángulo α. • Determinamos qué relación trigonométrica vamos a utilizar. En nuestro ejemplo, será la que relacione el cateto opuesto y la hipotenusa. sen α =


• Sustituimos valores. En la tabla usted verá, a la par de la medida del ángulo, los valores de las razones trigonométrica que estamos estudiando.

ángulo

sen

cos

tan

30º

0.500

0.866

0.577

• Buscamos en la tabla el dato que 8 cm corresponde al del seno de 30° sen 30° = c y lo sustituimos por su valor.

• Despejamos la variable c

96

IGER − Zaculeu

La hipotenusa mide 16 centímetros.

8 cm c c • 0.5 = 8 cm 8 cm c= 0.5 c = 16 cm 0.5 =

¡Otro ejemplo! Las relaciones trigonométricas también nos sirven para encontrar ángulos. Para el triángulo de la figura hallemos el valor del ángulo α.

a = 2 cm α b = 4 cm

• Identificamos los catetos Cateto opuesto a = 2 cm Cateto adyacente b = 4 cm • Determinamos qué relación trigonométrica vamos a utilizar. Será la que relacione cateto opuesto y cateto adyacente. tan α = • Sustituimos valores

cateto opuesto cateto adyacente tan α =

tan α = • Resolvemos la división:

a b 2 cm 4 cm

tan α = 0.5

Ubicamos la relación tangente en la tabla y localizamos el valor más cercano a 0.5. En nuestro caso, el más cercano es 0.510.

Ángulo

sen

cos

tan

25º

0.423

0.906

0.466

26º

0.438

0.899

0.488

27º

0.454

0.891

0.510

El valor del ángulo α es 27°.

Ejercicio 2 Calcule la medida del lado a de un triángulo si el ángulo α mide 30º y la hipotenusa mide 50 cm. Observe la figura y siga los pasos: • Identifique los lados

a

cateto opuesto:

c = 50 cm

cateto adyacente:

α

hipotenusa: c =

a

b

• Determine qué relación trigonométrica debe utilizar. sen α = cateto opuesto hipotenusa Será la que relaciona el cateto opuesto y la hipotenusa.

sen 30º =

ángulo sen cos tan

=

• Busque el dato de seno para 30º y sustitúyalo. 30º

0.500

• Despejamos la variable

0.866

0.577

El cateto opuesto mide

a 50 cm

a = 0.5 • a = 25 cm

centímetros. Matemática − Semana 24

97

3. Aplicación de las razones trigonométricas Las razones trigonométricas se emplean con frecuencia en problemas de construcción, ingeniería y diseño. Por ejemplo, es necesario saber a qué altura debe elevarse una grúa o cuánto debe alzarse un puente. Veamos algunos problemas de aplicación. Un avión despega con un ángulo de elevación de 42º. ¿A qué altura ve pasar el avión un observador que se encuentra a 900 metros del punto de despegue? La ilustración nos puede ayudar a visualizar los datos del problema.

a 42º

b = 900 m

• Identificamos los catetos.

La altura que alcanza el avión representa el cateto opuesto y la distancia horizontal el cateto adyacente.

• La relación trigonométrica que debemos utilizar será la que relacione el cateto opuesto y el adyacente. Escribimos la fórmula • Sustituimos valores

Cateto opuesto a = ? Cateto adyacente b = 900 m

tangente α =

tan 42° = Ángulo

sen

cos

tan

42º

0.669

0.743

0.900

• Sustituimos el valor de la tangente.

0.9 =

• Despejamos la variable.

(0.9)(900 m) = a

IGER − Zaculeu

a 900 m

• Buscamos en la tabla de valores el valor de la tangente de 42º.

a 900 m

a = 810 m

98


El avión se encuentra a 810 m de altura.

Ejercicio 3 Una persona está situada a una altura de 687 m sobre el nivel del mar. Desde este punto observa un barco, con un ángulo de depresión de 23°. ¿A qué distancia de la orilla se encuentra el barco? • Identifique los lados

23º 687 m

cateto opuesto: b = 687 m

cateto adyacente: • Determinamos la relación trigonométrica adecuada para resolver el problema. En este caso debemos emplear la que relacione el cateto opuesto y el cateto adyacente.

tan β =

tan β = • Sustituimos valores:


b a

tan 23° =

Ubicamos en la tabla el valor de la tangente de 23°.

ángulo

sen

cos

tan

23º

0.391

0.921

0.425

β

a

=

a 687 m a

• Despejamos la incógnita a. a= 0.425 a = 1620.28 m Respuesta: El barco se encuentra a

metros de la orilla.

Resumen La trigonometría es una rama de la matemática que se dedica al estudio de las razones trigonométricas. Las razones trigonométricas son relaciones entre los lados del triángulo rectángulo y dependen de los ángulos del mismo. Las tres razones trigonométricas básicas son el seno (sen), el coseno (cos) y la tangente (tan). a cateto opuesto sen α = = c hipotenusa β c b cateto adyacente a cos α = = c hipotenusa α a cateto opuesto b tan x = = b cateto adyacente Matemática − Semana 24

99



Rellene el círculo de la opción que completa correctamente cada oración. 1) La razón trigonométrica que relaciona el cateto opuesto y la hipotenusa es...

seno coseno tangente

2) La razón trigonométrica que relaciona el cateto opuesto y el cateto adyacente es...


3) La razón trigonométrica que relaciona el cateto adyacente y hipotenusa es...


4) El cateto opuesto está ubicado...

al lado del ángulo enfrente del ángulo fuera del triángulo

B . Clasifique los lados a y b como cateto adyacente u opuesto de acuerdo al ángulo dado. Tiene un ejemplo. 0)

a α

a

b = cateto adyacente

a=

a=

a

b=

b

4)

a=

a b=

b= b

α

β

a= b=

b

100

β

b

a

3)

b

1)

2)

a = cateto opuesto

IGER − Zaculeu

a

5) b

a= b=

C. Observe las medidas del triángulo y encuentre el valor de las razones trigonométricas indicadas. Tiene un ejemplo. 0)

β

a sen β = b 18 m tan α = sen β = 12 m tan α =

18 m

21.6 m

tan α = 1.5

α

12 m 1)

β 20 cm α

sen α =

b c 12 m 21.6 m

sen β = 0.55

cos β =

10 cm

17.32 cm

D. Utilizando las relaciones trigonométricas calcule el lado x en cada uno de los triángulos siguientes. Tiene un ejemplo. 0) 50 m

x

30º

1)

640 m 37º

2)

x

24 m 45º

x Matemática − Semana 24

101

Agilidad de cálculo mental Resuelva mentalmente el valor de la variable que hace verdadera la ecuación, escriba la respuesta sobre la línea. Hágalo lo más rápido que pueda. Tiene un ejemplo para cada caso. A. Suma 0) 8 + w = 16

w=

1) 3 + x = 10

8

7) 18 + w = 36

w=

x=

8) x + 20 = 40

x=

2) 5 + y = 25

y=

9) y + 25 = 33

y=

3) 7 + z = 17

z=

10) z + 16 = 20

z=

4) 10 + a = 25

a=

11) a + 12 = 15

a=

5) 14 + b = 15

b=

12) b + 45 = 50

b=

6) 22 + c = 30

c=

13) c + 26 = 36

c=

B. Resta 2

0) 6 – x = 4

x=

7) 45 – x = 40 x =

1) 8 – y = 0

y=

8) y – 10 = 18

y=

2) 2 – z = 1

z=

9) z – 12 = 12

z=

3) 14 – a = 10

a=

10) a – 15 = 7

a=

4) 18 – b = 12

b=

11) b – 20 = 9

b=

5) 36 – c = 22

c=

12) c – 45 = 15

c=

6) 84 – w = 70

w=

13) w – 16 = 16

w=

B. Multiplicación y división 0) 3a = 12

a=

1) 12b = 24

b=

2) 15c = 90

c=

3) 10w = 40

w=

4) 12x = 36

x=

5) 40 c = 120

c=

102

IGER − Zaculeu

4

6)

y = 5 8

y=

7)

z = 6 3

z=

8)

a = 4 2

a=

9)

b = 9 4

b=

10)

c = 5

5=

11)

w = 10 10

w=

Razonamiento lógico Utilice las razones trigonométricas para resolver los ejercicios siguientes. Tome dos decimales y aproxime donde sea posible. 1) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm y tiene un ángulo de 30º. ¿Cuánto miden los dos catetos? 2) Un cable de soporte debe ser colocado en la parte superior de un poste de 8 m de alto y fijado en el suelo. ¿Qué cantidad de alambre se necesita para que forme un ángulo de 75º con el suelo? 3) El hilo de un barrilete mide 50 m de largo y forma un ángulo de 47º con la horizontal. ¿A qué altura se encuentra el barrilete? 4) Cuando los rayos del sol forman un ángulo de 35º con la horizontal, la sombra de un árbol mide 10 m. ¿Cuál es la altura del árbol? 5) Una persona asomada en lo alto de un edificio tiene un nivel visual de 1.50 m de altura. Al ver un automóvil estacionado, el ángulo de depresión es de 48º. Si la base del edificio se encuentra a 70 m del automóvil, ¿cuál es la altura del edificio?

6) Con las medidas indicadas en la figura, calcule el área del pentágono regular. Recuerde que la fórmula del P×a área. A=

α

2

α = 36º

8) La parte superior de una escalera de 7 metros de largo está apoyada contra una pared. Si la base de la escalera forma un ángulo de 25º con el suelo. ¿A qué altura de la pared llega la escalera?

120º

100 m

7) Una carretera debe rodear un valle para abaratar los costes de construcción. Con las medidas indicadas en la ilustración, ¿cuál es la medida de la carretera al dar esa vuelta? Sugerencia: utilice sus conocimientos sobre ángulos suplementarios.

100 m

= 16 m

100º

150 m

25º


103

Desarrolle nuevas habilidades ¿Puede encontrar el área de un círculo a partir de un triángulo? En diferentes pruebas de razonamiento nos presentan una figura compuesta, para que, a partir de los datos de una figura conocida, podamos encontrar la medida de otra. En esta sección averiguaremos el área de un círculo a partir de las medidas de un triángulo rectángulo. Preste atención a la figura compuesta y siga los pasos.

m 3c

m 4c

• Encuentre el valor de la hipotenusa del triángulo, que es el diámetro de la circunferencia. • Divida el valor del diámetro entre 2, para obtener el radio. • Escriba la fórmula del área de un círculo, sustituya los datos.




104


Distingo entre ángulo de elevación y ángulo de depresión. Calculo el lado desconocido de triángulos rectángulos. Aplico las razones trigonométricas en la solución de problemas. Resuelvo ecuaciones con agilidad. IGER − Zaculeu

logrado


Ángulo 0º 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º 15º 16º 17º 18º 19º 20º 21º 22º 23º 24º 25º 26º 27º 28º 29º 30º 31º 32º 33º 34º 35º 36º 37º 38º 39º 40º 41º 42º 43º 44º 45º

seno 0.000 0.018 0.035 0.052 0.070 0.087 0.105 0.122 0.139 0.156 0.174 0.191 0.208 0.225 0.242 0.259 0.276 0.292 0.309 0.326 0.342 0.358 0.375 0.391 0.407 0.423 0.438 0.454 0.470 0.485 0.500 0.515 0.530 0.545 0.559 0.574 0.588 0.602 0.616 0.629 0.643 0.656 0.669 0.682 0.695 0.707

coseno 1.000 1.000 0.999 0.999 0.998 0.996 0.995 0.993 0.990 0.988 0.985 0.982 0.978 0.974 0.970 0.966 0.961 0.956 0.951 0.946 0.940 0.934 0.927 0.921 0.914 0.906 0.899 0.891 0.883 0.875 0.866 0.857 0.848 0.839 0.829 0.819 0.809 0.799 0.788 0.777 0.766 0.755 0.743 0.731 0.719 0.707

tangente 0.000 0.018 0.035 0.052 0.070 0.088 0.105 0.123 0.141 0.158 0.176 0.194 0.213 0.231 0.249 0.268 0.287 0.306 0.325 0.344 0.364 0.384 0.404 0.425 0.445 0.466 0.488 0.510 0.532 0.554 0.577 0.601 0.625 0.649 0.675 0.700 0.727 0.754 0.781 0.810 0.839 0.869 0.900 0.933 0.966 1.000

Ángulo 46º 47º 48º 49º 50º 51º 52º 53º 54º 55º 56º 57º 58º 59º 60º 61º 62º 63º 64º 65º 66º 67º 68º 69º 70º 71º 72º 73º 74º 75º 76º 77º 78º 79º 80º 81º 82º 83º 84º 85º 86º 87º 88º 89º 90º

seno 0.719 0.731 0.743 0.755 0.766 0.777 0.788 0.799 0.809 0.819 0.829 0.839 0.848 0.857 0.866 0.875 0.883 0.891 0.899 0.906 0.914 0.921 0.927 0.934 0.940 0.946 0.951 0.956 0.961 0.966 0.970 0.974 0.978 0.982 0.985 0.988 0.990 0.993 0.995 0.996 0.998 0.999 0.999 1.000 1.000

coseno 0.695 0.682 0.669 0.656 0.643 0.629 0.616 0.602 0.588 0.574 0.559 0.545 0.530 0.515 0.500 0.485 0.470 0.454 0.438 0.423 0.407 0.391 0.375 0.358 0.342 0.326 0.309 0.292 0.276 0.259 0.242 0.225 0.208 0.191 0.174 0.156 0.139 0.122 0.105 0.087 0.070 0.052 0.035 0.018 0.000

tangente 1.036 1.072 1.111 1.150 1.192 1.235 1.280 1.327 1.376 1.428 1.483 1.540 1.600 1.664 1.732 1.804 1.881 1.963 2.050 2.145 2.246 2.356 2.475 2.605 2.747 2.904 3.078 3.271 3.487 3.732 4.011 4.331 4.705 5.145 5.671 6.314 7.115 8.144 9.514 11.430 14.300 19.081 28.640 57.289 Inf.


105

25 Repaso: semanas 18 a 24 Esta semana logrará:  Repasar los contenidos de la semana 18 a la 24.  Realizar los ejercicios del repaso para prepararse para la tercera prueba parcial.  Resolver problemas aplicando los conocimientos aprendidos en las semanas 18 a 24. 


107

Querida y querido estudiante: Se aproxima la tercera prueba parcial y debe prepararse adecuadamente, repasando los contenidos de la semana 18 a la 24. Para aprovechar este repaso le recomendamos: • Haga un plan de lo que estudiará cada día y trate de cumplirlo. Dedique más tiempo a los temas que le resulten difíciles. • Busque un lugar tranquilo, iluminado y silencioso para estudiar. • Lea los resúmenes de cada semana y escriba las ideas más importantes en su cuaderno. • Escuche la clase radial. Sus profesores locutores le acompañarán en este repaso y le ayudarán a resolver algunos ejercicios. • Compruebe que haya realizado bien los autocontroles. Si tiene dudas, vuelva a leer las semanas, ahí encontrará explicaciones y ejemplos.

¿Cómo será la prueba de evaluación? La prueba parcial evalúa los mismos contenidos y de la misma forma en que los ha trabajado semana a semana. En la prueba encontrará: • Una serie de agilidad mental para medir su destreza y rapidez de cálculo, en un tiempo límite de tres minutos. • Diferentes ejercicios que evalúan lo aprendido en las ocho semanas. Estos ejercicios serán semejantes a los que usted resolvió en las actividades del autocontrol. Se le pedirá:  responder preguntas,  rellenar el círculo de la opción correcta,  realizar operaciones y  resolver problemas. • Cuando resuelva ejercicios y problemas debe dejar escrito el procedimiento. • Muy importante: cada serie contiene instrucciones exactas de lo que debe realizar en cada apartado, así como la valoración asignada. Si usted se prepara con tiempo y dedicación, el resultado será satisfactorio.

108

IGER − Zaculeu

El mundo de la matemática Ángulos 1.

Un ángulo es la abertura que hay entre dos líneas rectas que se unen en un punto llamado vértice. Se puede representar con cualquier letra minúscula: a, b, c…

Los elementos que componen un ángulo son: • Líneas (lados): L1, L2 • Vértice: A la

• Abertura: a

do

A

te

rm

a in

lL

2

a lado inicial L1

2.

Clasificación de ángulos

Un ángulo se clasifica por su abertura y por su relación con otro ángulo.

2.1 Clasificación por su abertura ángulo recto

ángulo agudo

ángulo obtuso

ángulo llano

ángulo completo

a = 90º

b < 90º

180º > c > 90º

d = 180º

e = 360º e

a

b

d

c

2.2 Clasificación por su relación con otro ángulo a. ángulos complementarios b. ángulos suplementarios Son dos ángulos que suman 90°. Son dos ángulos que suman 180°. a + b = 90º a + b = 180°

a

b

a

b

3.

Complemento y suplemento de ángulos desconocidos

Para calcular ángulos complementarios o suplementarios de ángulos desconocidos: • Planteamos una ecuación de primer grado sustituyendo los valores de a y b por sus medidas indicadas.

• Despejamos la incógnita x y operamos.

• Hallamos el valor de cada ángulo sustituyendo x por su valor. Matemática − Semana 25

109

Ejercicio 1 Explique con sus palabras la diferencia entre: 1) Un ángulo agudo y un ángulo obtuso. 2) Dos ángulos suplementarios y dos ángulos complementarios.

Ejercicio 2 Clasifique cada ángulo en agudo, recto, obtuso o llano de acuerdo a su abertura. Tiene un ejemplo. 0)

1)

a

c

3)

d

b

agudo

2)

Ejercicio 3 A. Encuentre la medida del ángulo complementario al ángulo dado. Tiene un ejemplo. 0)

a

1)

b

50º

a + 50º = 90º a = 90º – 50º a = 40º

2)

3) 58º

c

20º

b=

15º

c=

d

d=

B. Escriba sobre la línea la medida del ángulo suplementario al ángulo dado. Tiene un ejemplo. 0)

a

110

125º

1)

b

60º

2) 80º

c

a + 125º = 180º a = 180º – 125º a = 55º b= c= IGER − Zaculeu

Ejercicio 4 Aplique una ecuación para determinar el valor de los ángulos complementarios y suplementarios. Tiene un ejemplo. a=x b = 5x

a

0)

1)

c = 7x d = 8x

c

b

e = 2x + 34º f = 4x + 8º

2)

e

d

f

a + b = 90º x + 5x = 90º 6x = 90º 90º x = 6 x = 15º

a = x = 15º b = 5x = 5(15º) = 75º g = 2x h = 5x + 13º

g

3)

w

h

m = 8x p = 12x

6) m

p

w = 4x + 20º z=x

4)

j

z

k = 4x + 48º l = 2x + 24º

7) k

j = 5x k = 4x

5)

l

k

8)

q = 2x r = 4x – 10°

40º q

r


111

Ángulos entre rectas 1.

Ángulos entre rectas

Cuando dos líneas paralelas son cruzadas por una línea diagonal, se forman ocho ángulos que los podemos definir por su posición en la siguiente clasificación. Ángulos internos

c

e

f

Ángulos externos

a

d


g

b

c

h

a h

f



a


a

e

d

Estos ángulos se relacionan entre sí, de manera que si conocemos cuánto mide uno de ellos podemos determinar el valor de los otros tres.

2.

Cálculo de ángulos entre rectas

El tamaño de los ángulos entre rectas se calcula aplicando las relaciones de semejanza y los conceptos de ángulos complementarios (a + b = 90º) y suplementarios (a + b = 180º).

2.1 Cálculo de ángulos entre rectas definidos por una incógnita

Para calcular ángulos entre rectas seguimos estos pasos: • Plantear una ecuación de primer grado aplicando las relaciones de ángulos entre rectas y resolver la ecuación.

a + b = 180º a + 60º = 180º

• Hallar el valor de cada ángulo sustituyendo la incógnita por el valor encontrado en el paso anterior.

a = 180º – 60º a = 120º

• Escribir la respuesta.

c=a c = 120º

112

IGER − Zaculeu

Ejercicio 5 A. Observe la figura, luego complete cada expresión con la información que se le pide. Tiene un ejemplo. a b c d g

f

e h

0) Dos pares de ángulos correspondientes son:

1) Dos ángulos alternos externos son:

2) Dos ángulos alternos internos son:

3) Dos ángulos opuestos por el vértice son:

(a, e) y (c,g)

4) Por su relación, los ángulos e y d son: 5) Por su relación, los ángulos g y f son: B. Aplique las relaciones de semejanza para calcular el valor de los ángulos indicados en cada figura. Tiene un ejemplo. 0)

a b c

1)

t

m = 120º n=? t=?

d e

f=?

3)

w y

x z

d = 80º e=?

f g

c=?

p

m n

b=?

a + b = 180º 120º + b = 180º b = 180º – 120º b = 60º c=b c = 60º 2)

a = 120º

y = 65º w=? x=?


113

La circunferencia 1.

Una circunferencia es la línea curva exterior de un círculo. El círculo es la superficie que está dentro de la circunferencia.

1.1 Elementos de la circunferencia cue

r da

d

C

r ar c o

2.

Posiciones relativas entre dos circunferencias Exteriores

d

3.

Interiores

Concéntricas


d

d

d

Secantes

d

Longitud del arco se calcula con esta fórmula: AB =


πra° 180°

Se lee: La longitud del arco entre los puntos A y B es igual a pi por el radio (r), por el ángulo (a), dividido entre 180 grados.

Ejercicio 6 Trace los elementos de la circunferencia indicados. Tiene un ejemplo. 0) diámetro 1) centro 2) radio 3) cuerda 4) arco

114

IGER − Zaculeu

Ejercicio 7 Encuentre la longitud de arco AB en los ejercicios siguientes. Preste atención al ángulo y a la medida del radio. Tiene un ejemplo. 0)

A

πrαº AB = 180º B 3.14(10 cm)(150º) AB = 180º 3.14(1500 cm) AB = 180 r = 10 cm 4710 cm α = 150º AB = 180

1)

B A

r=6m α = 90º

AB = 26.17 cm

B A

A

B

2)

r = 25 cm α = 180º

3)

r = 15 cm α = 40º

Ejercicio 8 Resuelva los problemas aplicando los ejercicios de la longitud de arco. Trabaje en su cuaderno. 1) El péndulo de un reloj mide 50 cm de largo y al balancearse del punto A al punto B describe un ángulo de 30º. ¿Cuál es la longitud de arco que recorre en cada balanceo? A

2) Se desea iluminar una plaza de forma circular de 10 m de radio con 5 postes que sostendrán las lámparas. ¿A qué distancia se debe colocar cada poste para que queden distribuidos de manera uniforme?

B

30º

r=

10

m

3) Un automóvil realiza un viraje en un retorno de 3.6 m de radio, a un ángulo de 135º. ¿Qué distancia recorre al automóvil en el viraje?


115

El teorema de Tales 1.

El teorema de Tales

El teorema de Tales establece que si varias rectas paralelas son intersecadas por otras dos rectas, las medidas de los segmentos comprendidos entre las paralelas son proporcionales entre sí. L1

L2

A

A'

B

B'

C

C'

De acuerdo al teorema y los segmentos de las rectas de la imagen se cumple esta proporción: AB BC = A'B' B'C'

Se lee: el segmento AB es proporcional al segmento A'B' lo mismo que BC es proporcional a B'C'.

2.

Para calcular un segmento desconocido cuando se conocen los otros segmentos seguimos estos pasos: • Planteamos una proporción aplicando el teorema de Tales. • Sustituimos los datos. • Operamos aplicando la propiedad de extremos y medios. • Despejamos el valor desconocido y hallamos su valor.

Ejercicio 9 Observe las rectas y encuentre el valor de x por medio de 2 proporciones diferentes. Tiene un ejemplo.

2

3

0)

x

3 = 1.8 2

x(2) = 3(1.8); x

1.8

x = 5.4 2

x = 2,7 cm

116

IGER − Zaculeu

1)

x

3

= ________

Ejercicio 10 Aplique el teorema de Tales para encontrar el valor de x en cada figura. Tiene un ejemplo. 0)

10

15

8

x

15

1) 9 cm

x

8 10

2) 24

(10)x = 8(15)

16

x = 8(15) 10 120 x= 10 x = 12

x

6 cm

=

x

4

3) x

7 cm

3 2

5

Ejercicio 11 Aplique el teorema de Tales para resolver los problemas siguientes. Trabaje en su cuaderno. 1) Una persona que mide 1.70 m proyecta una sombra de 1 m. En ese mismo instante un edificio proyecta sombra de 25 m. Calcule la altura del edificio. 1.70 m sombra = 1 m

sombra = 25 m

2) Una bandera se encuentra ondeando en la parte superior de su asta. De acuerdo a las medidas de la ilustración, ¿Cuál es la altura del asta? 6m 8m

x

12 m


117

Congruencia y semejanza de triángulos 1.

Dos triángulos son congruentes si sus lados y sus ángulos son iguales, aunque se encuentren en una posición distinta.

1.1 Criterios de congruencia de triángulos

Dos triángulos son congruentes si cumplen con una de estas propiedades: a. lado – lado – lado (LLL) C

F

AC = DF

A

B

AB = DE CB = FE

b. lado – ángulo – lado (LAL)

D

A

E

c. ángulo – lado – ángulo (ALA) a=d

C

a A

b

2.

B

AB = DE D

d

AB = DE

a

a=d

B

D

AC = DF

C

e

F

d

E

d. lado – lado – ángulo (LLA)

F

b=e

AC = DF

C

A

E

F

CB = FE

a

B

a=d

D

d

E

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.

2.1 Criterios de semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si cumplen al menos uno de los criterios de semejanza. b. Dos lados proporcionales y el ángulo entre ellos es igual

a. Los tres ángulos son iguales F

C

C A

B D

E

A

B D

c. Todos sus lados son proporcionales C

F E

F A

B D

E

Si conocemos dos lados de un triángulo, podemos hallar el lado desconocido de un triángulo semejante cuando conocemos uno de sus lados. El procedimiento es el siguiente: • Plantear la proporción con los datos de los triángulos. • Multiplicar aplicando la propiedad de extremos y medios. • Despejar el valor desconocido y operar. • Escribir la respuesta.

118

IGER − Zaculeu

Ejercicio 12 Lea cada enunciado, luego rellene el círculo de la opción que lo completa correctamente. 1) Dos triángulos son congruentes si la medida de sus lados es…

igual desigual proporcional

2) Una característica de dos triángulos semejantes es que...

los lados son iguales los ángulos son iguales los ángulos son proporcionales

Ejercicio 13 A. Los pares de triángulos siguientes son congruentes. Complete la medida de los tres ángulos y de los tres lados para cada triángulo. 1)

9.33 cm

6 cm

40º

2)

60º

50º

7.15 cm

6.13 m

4m 80º

40º

6.13 m

3)

7.25 cm 25º

25 cm

65º 8 cm


119

B. Aplique la semejanza de triángulos para encontrar las medidas de los lados expresados con variables. Tiene un ejemplo. 0)

y

y

6

3

3

4

6 4

(4)y = 6(3)

x

8

=

y = 6(3) 4 y = 18 4 y = 4.5

1) y

12

8

x

9 2

2) 12

x

y

3)

5

8

x

9 18

120

10

IGER − Zaculeu

6

10 12

Teorema de Pitágoras 1.

El teorema de Pitágoras sirve para calcular el valor de cualquier lado de un triángulo rectángulo cuando conocemos los otros dos. El teorema dice que: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (c²) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (a2 + b2).

c

a

c2 = a2 + b2

b

2.

Cálculo de los catetos y de la hipotenusa de un triángulo rectángulo

Para encontrar el valor de cualquier lado de un triángulo rectángulo despejamos la variable correcta del teorema de Pitágoras.

hipotenusa c c2 = a2 + b2

cateto a a = c2 – b2

cateto b b2 = c2 – a2

2

Ejercicio 14 Aplique el teorema de Pitágoras para hallar el lado desconocido en los triángulos rectángulos. Tiene un ejemplo. 0) a

37 cm

1) 21 cm

c

35 cm 20 cm

c2 = a2 + b2 a2 = c2 – b2 a2 = (37 cm)2 – (35 cm)2 a2 = 1369 cm2 – 1225 cm2 a2 = 144 cm2

a2 = 144 cm2 a = 12 cm


121

2)

3)

13 cm

25 cm

a

b 16 cm

20 cm

4)

5) b

c

12 m

9m

122

IGER − Zaculeu

12 cm

13 cm

Razones trigonométricas La trigonometría es una rama de la matemática que se dedica al estudio de las razones trigonométricas. Las razones trigonométricas son relaciones entre los lados del triángulo rectángulo y dependen de los ángulos del mismo. Las tres razones trigonométricas básicas son el seno, el coseno y la tangente. Las razones trigonométricas que hemos estudiado esta semana son: sen α =

cateto opuesto a = hipotenusa c

cos α =

cateto adyacente b = hipotenusa c

tan α =

cateto opuesto a = cateto adyacente b

B

a

β

C

c

b

α

A

Ejercicio 15 Utilice su tabla de valores de las funciones trigonométricas y determine el valor para los ángulos siguientes. Tiene un ejemplo. 5) sen 24º =

0.71

0) sen 45º = 1) tan 28º =

6) tan 15º =

2) cos 55º =

7) cos 0º =

3) sen 16º =

8) sen 36º =

4) tan 0º =

9) cos 50º =

Ejercicio 16 Observe las medidas de los triángulos y escriba las medidas que completan las razones trigonométricas. Tiene un ejemplo. 1)

3

5

4

sen α = α

2)

3 5

cos α =

tan α =

cos α =

tan α =

10

12.81

8

sen α =

α


123

Ejercicio 17 Encuentre los lados indicados en los triángulos, utilice la función trigonométrica correspondiente. Tiene un ejemplo. 0) x

y 9

tan 28º =

9 (tan 28º) = x

28º

9 cos 28º 9 x = 4.77 y = 0.88 y = 10.23

y

15 cm

x

60º

2)

5m

x

124

y (cos 28º) = 9

9(0.53) = x y =

1)

y

x cos 28º = 9 y 9

IGER − Zaculeu

30º

Agilidad de cálculo mental Realice lo que se le pide en cada apartado. Hágalo lo más rápido que pueda. A. Escriba a la par de cada ángulo, su ángulo complementario o suplementario según sea el caso. Tiene un ejemplo para cada uno.

= 90º

0) 70º + 110º = 180º

1) 25º +

= 90º

1) 30º +

= 180º

2) 30º +

= 90º

2) 40º +

= 180º

3) 20º +

= 90º

3) 10º +

= 180º

4) 55º +

= 90º

4) 55º +

= 180º

5) 75º +

= 90º

5) 60º +

= 180º

6) 80º +

= 90º

6) 50º +

= 180º

7) 45º +

= 90º

7) 75º +

= 180º

8) 25º +

= 90º

8) 20º +

= 180º

9) 72º +

= 90º

9 80º +

= 180º

10) 24º +

= 90º

10) 100º +

= 180º

11) 16º +

= 90º

11) 150º +

= 180º

0) 60º +

30º

B. Escriba el valor de x que hace verdadera la expresión. Tiene un ejemplo. 8

0)

x = 4, x =

1) x2 = 81, x =

1)

x = 6, x =

2) x2 = 16, x =

2)

x = 7, x =

3) x2 = 25, x =

3)

x = 10, x =

4) x2 = 9,

x=

4)

x = 9, x =

5) x2 = 36, x =

5)

x = 1, x =

6) x2 = 4,

x=

6)

x = 8, x =

7) x2 = 49, x =

7)

x = 3, x =

8) x2 = 0,

8)

x = 0, x =

0) x2 = 64, x =

x=

16


125





logrado


Repaso los contenidos de la semana 18 a la 24. Resuelvo los ejercicios de repaso para evaluarme en la tercera prueba parcial. Me siento bien preparado o preparada para la prueba de evaluación.

Orientaciones sobre la prueba parcial ¡Llegó el momento de la prueba! Ya está listo para su tercera prueba de Matemática. Le presentamos las últimas recomendaciones que pueden ayudarle a la hora del examen.

Grupo: Zaculeu Prueba: Tercera

Al recibir la prueba, y antes de empezar a resolverla, escriba su nombre, número de carné, número de centro y fecha.

Materia: Matemática A-2014

Nombre: Carné: Círculo de estudio Nº:

Punteo:

Fecha:

i serie.

Lea atentamente las instrucciones antes de contestar. Si tiene duda, consulte a su orientador(a).

1 punto cada respuesta correcta. Total 6 puntos. INSTRUCCIONES: Rellene el círculo que corresponde al resultado correcto.

1) De las siguientes secuencias numéricas, la que representa una progresión geométrica es…

1, 2, 3, 4, 5 1, 2, 3, 5, 8 1, 2, 4, 8, 16

No se "atasque" en ningún ejercicio. Empiece por las preguntas que sepa mejor y le quedará más tiempo para pensar en las que tenga dudas. Al finalizar su examen, relea todas sus respuestas y vea si algo se le pasó por alto. Presente su prueba limpia y ordenada.

¡Ánimo! El resultado de su examen será el producto de su esfuerzo.

126

IGER − Zaculeu

26 Potenciación de expresiones algebraicas ¿Qué encontrará esta semana?

Repaso de la potenciación de números enteros y las reglas del producto y cociente

Potenciación de expresiones algebraicas Conversión entre unidades Operaciones con la unidad seguida de ceros, producto y cociente de potencias

Esta semana logrará:  Repasar las leyes de la potenciación de números enteros.  Aplicar las leyes de la potenciación para resolver potencias de expresiones algebraicas.  Resolver problemas de conversión entre unidades.  Multiplicar y dividir con la unidad seguida de ceros.  Aplicar métodos prácticos para resolver operaciones aritméticas. 


127

¡Para comenzar! Comencemos recordando la potenciación de números enteros y las reglas para multiplicar y dividir potencias. Este tema lo estudiamos en el grupo Quiriguá. ¿Lo recuerda? Repáselo, porque le ayudará a comprender el tema de esta semana.

Potenciación de números enteros Una potencia se compone de una base y un exponente. • La base es el número que se multiplica por sí mismo. • El exponente indica el número de veces que se multiplica la base.

5

3

exponente base

53 = 5 x 5 x 5

Por ejemplo: 53 = 5 • 5 • 5 = 125 24 = 2 • 2 • 2 • 2 = 16

Producto de potencias de igual base Para multiplicar potencias de igual base, se copia la base y se suman los exponentes. Por ejemplo: 42 • 43 = 42 + 3 = 45 5 • 5 3 = 5 1 + 3 = 5 4

Cociente de potencias de igual base Para dividir potencias de igual base, se copia la base y se restan los exponentes. Por ejemplo: 98 ÷ 95 = 98 – 5 = 93 74 ÷ 72 = 74 – 2 = 72 ¡A trabajar! Aplique las reglas de la potenciación para expresar cada operación como una sola potencia. Tiene un ejemplo. 0) 32 • 35 =

32 + 5 = 37

4) 85 ÷ 82 =

1) 78 • 76 =

5) 125 ÷ 12 =

2) 34 • 39 =

6) 154 ÷ 15 =

3) 10 • 10 2 =

7) 107 ÷ 102 =

128

IGER − Zaculeu

El mundo de la matemática 1. Potenciación de expresiones algebraicas En la sección anterior vimos que una potencia está formada por una base y un exponente. Este concepto se aplica tanto a números enteros como a expresiones algebraicas. Preste atención a la tabla. Potenciación de números enteros

Potenciación de expresiones algebraicas

52 = 5 • 5

x2 = x • x

24 = 2 • 2 • 2 • 2

y4 = y • y • y • y

A continuación estudiaremos las reglas a seguir para resolver potencias de expresiones algebraicas. Estas reglas son las mismas que se cumplen para la potenciación de números enteros. Preste atención.

a. Regla del producto de potencias de igual base Cuando estudiamos los números enteros aprendimos la regla para multiplicar potencias de igual base. Esta misma regla se utiliza para multiplicar potencias algebraicas. Veamos: Para multiplicar expresiones que tienen la misma base, copiamos la base y sumamos los exponentes. De manera simbólica se representa por:

xa • x b = xa + b Fíjese en los ejemplos

x2 • x3 = x2 + 3 = x5 k 2 • k 7 = k 5 + 7 = k12

Ejercicio 1 Aplique la regla del producto para resolver las operaciones potencias. Tiene un ejemplo. 0) a4 • a5 = a4 + 5 = a9

3) h9 • h3 =

1) y8 • y6 =

4) x10 • x7 =

2) k5 • k6 =

5) b12 • b4 =


129

b. Regla del cociente de potencias de igual base Para dividir expresiones algebraicas que tienen la misma base, copiamos la base y restamos los exponentes. En lenguaje matemático se representa por:

xa a –b xb = x

o

xa ÷ xb = xa – b

Por ejemplo

x12 = x12 – 5 = x 7 ℎ7 ÷ ℎ6 = ℎ7 – 6 = ℎ1 = ℎ x5

c. Regla del exponente cero La regla del exponente cero afirma que cualquier cantidad, excepto el cero, elevada al exponente 0 da como resultado la unidad (1).

x0 = 1 Veamos algunos ejemplos

a 0 = 1

(xy)0 = 1

2x 0 = 2(1) = 2

Observe que en el segundo ejemplo, el exponente afecta tanto a x como a y porque las dos letras están dentro del paréntesis. En el tercer ejemplo, el exponente cero afecta solo a x, entonces, la regla se aplica solo a x.

d. Regla de la potencia de una potencia Para elevar una potencia a otra potencia, copiamos la base y multiplicamos los exponentes. Se representa de manera simbólica por:

(xa)b = xa • b Por ejemplo:

(h 5)3 = h 5 • 3 = h15

(a 2)7 = a 2 • 7 = a14

Veamos el ejemplo de una potencia que afecta a dos factores agrupados dentro de un paréntesis. Preste atención.

(2y 4)3 = (2)3 (y 4)3 = 8y 4 • 3 = 8y 12 Observe que la potencia 3 se aplica a los dos factores que están dentro del paréntesis: a 2 y a y4.

130

IGER − Zaculeu

Ejercicio 2 A. Aplique la regla del cociente para resolver las operaciones de potencias. Tiene un ejemplo. 0)

b7 = b 7 – 3 = b4 b3

3)

y9 = y5

1)

a6 = a2

4)

z10 = z3

2)

x5 = x4

5)

d8 = d8

B. Aplique la regla del exponente cero. 1) k 0 =

3) (2x)0 =

2) (ab)0 =

4) (4x)0 =

C. Aplique la regla de la potencia de una potencia para resolver cada ejercicio. Tiene un ejemplo. 0) (x 4)6 = x 4 • 6 = x24

4) (x 3)3 =

1) (y2)5 =

5) (y 5)3 =

2) (a3)4 =

6) (a 2)2 =

3) (x 2)3 =

7) (b 4)7 =

D. Aplique la regla de la potencia de una potencia a cada factor dentro del paréntesis para resolver cada ejercicio. Tiene un ejemplo. 2 4 2 4•2 8 0) (3a 4)2 = (3) (a ) = 9a = 9a

1) (2x 2)3 = 2) (a3b2)5 = 3) (7x2y)2 = 4) (5x3y3)3 = 5) (4a 4b5)2 = 6) (6y 5z3)2 =


131

e. Regla del exponente negativo En la vida cotidiana cuando tenemos una experiencia negativa, intentamos “darle la vuelta” a la situación y convertirla en un aprendizaje, en algo positivo. Lo mismo sucede con la matemática, una potencia de exponente negativo es el inverso de la base con el mismo exponente, pero positivo. Se define:

1 a–n = an Cualquier potencia con exponente negativo se puede escribir como la unidad dividida por la potencia con el exponente positivo. Veamos algunos ejemplos. • (2ab) –3 =

Para convertir el exponente (–2) en un exponente positivo, invertimos la base.

(2ab) –3 =

1 (2ab)3

• 2ab–3 =

Para convertir el exponente (–3) en un exponente positivo, invertimos la base. Como el exponente negativo solo afecta a la variable b, solo invertimos la base b.

1 2a = 3 b3 b

2a •

f. Regla de la potencia de una fracción algebraica Para elevar una fracción a una potencia se eleva cada uno de los términos del numerador y del denominador al exponente.

()

a n an b = bn

Veamos un ejemplo

( )

a2b5 2 = ab 2

• Elevamos el numerador y el denominador a la potencia 2. • Aplicamos la regla de la potencia de una potencia para simplificar numerador y denominador. • Aplicamos la regla del cociente: copiamos la base y restamos los exponentes. • Escribimos el resultado.

132

IGER − Zaculeu

( )

a 2 b 5 2 (a 2 b 5 )2 = ab 2 (ab 2)2

a 2 • 2b 5 • 2 a 4b10 = a1 • 2b 2 • 2 a 2b 4 a 4b10 = a4 – 2b10 – 4 = a2b6 a 2b 4

( aabb ) 2

5 2

2

= a2 b 6

Ejercicio 3 A. Aplique la regla del exponente negativo para convertir los exponentes negativos en positivos. Tome en cuenta los paréntesis. Tiene un ejemplo. 0) 5x–2 = 5

1 5 2 = x x2

5) 8y–6 =

1) a–8 =

6) (5z) –10 =

2) b–5 =

7) 14m–5 =

3) d–3 =

8) (10v) –3 =

4) 3x–4 =

9) 25w–8 =

B. Aplique la regla de la potencia de una potencia para resolver las fracciones algebraicas.

1)

2)

(

2x 7 y 5 5xy 2

)= 2

•

Elevamos el numerador y el denominador a la potencia 2.

•

Aplicamos la regla de la potencia de una potencia para simplificar numerador y denominador.

(

2x 7 y 5 5xy 2

)

2

22 x 7 •

=

(2x 7 y 5 )2 (5xy 2)2

y5•

4x y 10 25x 2y 4

=

5xy 2 2

• Aplicamos la regla del cociente: copiamos la base y restamos los exponentes.

4x y 10 4 = • x14–2 • y 25 25x 2y 4

• Escribimos el resultado.

(

( aabb ) = 3 2 3

2x 7 y 5 5xy 2

12

( aabb ) = ((a b )) 3 2 3

•

Elevamos el numerador y el denominador a la potencia 2.

•

Aplicamos la regla de la potencia de una potencia para simplificar numerador y denominador.

a3 •

• Aplicamos la regla del cociente: copiamos la base y restamoslos exponentes.

a9 b

• Escribimos el resultado.

) = 254 x y 2

3 2 3

b2 •

=

a 3b =

a3b

a9 –

3

a9 b a3b b–

a3b

( aabb ) = a b 3 2 3

6


133

Exponente negativo en una fracción algebraica Una fracción elevada a un exponente negativo es igual al inverso de la fracción elevada al mismo exponente pero positivo. Cuando realizamos el inverso de una fracción, el numerador pasa a ser denominador y el denominador pasa a ser numerador.

() () a b

–n

b = a

n

Una vez que hemos convertido la fracción algebraica de signo negativo en fracción algebraica de signo positivo, aplicaremos las reglas que hemos aprendido para simplificar y llegar a un resultado. Apliquemos la regla del exponente negativo en una fracción negativa.

( ) a2 b2

–2

• Invertimos las fracciones y escribimos el exponente positivo. • Elevamos numerador y denominador al cuadrado o a la potencia 2. • Aplicamos la regla de la potencia de una potencia. • Operamos y escribimos el resultado.

( ) ( ) ( ba ) = (b(a )) a2 b2

–2

=

b2 a2

2 2

2 2

2

2 2

2

(b 2)2 b 2 • 2 = (a 2)2 a 2 • 2 b2 • 2 b4 = a2 • 2 a4

Un ejemplo más

( ) b 4a c5

–3

• Invertimos las fracciones y escribimos el exponente positivo. • Elevamos numerador y denominador a la potencia 3.

134

IGER − Zaculeu

( ) ( ) ( bc a ) = (b(c a)) b 4a c5 5

–3

=

3

c5 b 4a 5 3

4

4

3

• Aplicamos la regla de la potencia de una potencia.

(c 5)3 c5 • 3 4 3 = (b a) b 4 • 3a 3

• Escribimos el resultado, ordenamos la respuesta en orden alfabético.

( ) b 4a c5

–3

=

c 15 a 3b 12

3

Resumen 1.

La expresión xa es una potencia algebraica en la que x es la base y a es el exponente. Para resolver operaciones con potencias, aplicamos las reglas de la potenciación.

1.1 Regla del producto de potencias de igual base

Para multiplicar expresiones que tienen la misma base, copiamos la base y sumamos los exponentes. a b a +b

x •x =x

1.2 Regla del cociente de potencias de igual base

Para dividir expresiones que tienen la misma base, copiamos la base y restamos los exponentes.

xa a –b xb = x

o

xa ÷ xb = xa – b

1.3 Regla del exponente cero

Cualquier expresión algebraica, excepto el cero, elevada al exponente 0 da como resultado 1.

x0 = 1 1.4 Regla de la potencia de una potencia

Para elevar una potencia a otra potencia, copiamos la base y multiplicamos los exponentes.

(xa)b = xa • b 2.

Regla del exponente negativo

Una potencia de exponente negativo es el inverso de la base con el mismo exponente, pero positivo. Se define así:

1 a–n = an 3.

Regla de la potencia de una fracción algebraica

Para elevar una fracción a una potencia se eleva cada uno de los términos del numerador y del denominador al exponente.

()

a n an b = bn

Una base fraccionaria con exponente negativo es igual a la inversa de la fracción elevada a exponente positivo.

() () a b

–n

b = a

n


135



A. Rellene el círculo de la respuesta correcta a cada pregunta. 1) ¿Cuál es la base en la potencia h5?

1 h 5

2) ¿A qué regla de la potenciación se refiere el enunciado: “copiamos la base y multiplicamos los exponentes”?

Regla del cociente Regla del producto Regla de la potencia

3) ¿Cuál es el resultado de (4x2)0?

0 1 4

4) ¿Cuál de las expresiones es correcta?

x3 • x2 = x x3 • x2 = x5 x3 • x2 = x6

5) ¿Cuál de las expresiones es incorrecta?

x2 ÷ x = x x2 • x = x3 (x2)3 = x5

6) ¿Cuál es el resultado correcto de (4b3)2?

8b5 16b5 16b6

7) ¿Cuál de los expresiones es correcta?

3a0 = 1 3a0 = 3 3a0 = 0

B. Repase las reglas de la potencias. Escriba sobre la línea la palabra que completa correctamente cada enunciado. Tiene un ejemplo. 0) Para elevar una potencia a otra potencia, copiamos la base y multiplicamos los exponentes. 1) Para multiplicar dos o más potencias que tienen la misma base, copiamos la base y los exponentes. 2) Para dividir dos potencias que tienen la misma base, copiamos la base y los exponentes.

136

IGER − Zaculeu

Actividad 2.


A. Aplique la regla del producto de potencias de igual base para multiplicar las potencias. Tiene un ejemplo. 0) x8 • x = x 8 + 1 = x9

5) y4 • y6 =

10) 412 • 415 =

1) a7 • a5 =

6) k10 • k =

11) x4 • x16 =

2) 83 • 86 =

7) z • z =

12) s15 • s12 =

3) y9 • y9 =

8) k2 • k2 =

13) t 6 • t 6 =

4) b • b12 =

9) b10 • b0 =

14) h 10 • h 3 =

B. Aplique la regla del cociente para simplificar las potencias. Tiene un ejemplo. 0)

x12 = x7

6)

a7 = a3

1)

x9 = x5

7)

m = m

2)

b7 = b6

8)

37 = 35

3)

y8 = y

9)

z5 = z4

4)

710 = 73

10)

x5 = x5

5)

h2 = h

11)

h10 = h3

x12 – 7 = x5

C. Aplique la regla del exponente cero y/o la regla de la potencia de una potencia para simplificar. Tiene un ejemplo. 5•6 30 0) (y 5)6 = y = y

6) (xy)2 =

1) (x 3)3 =

7) (y 2 x 3)2 =

2) (h 6)4 =

8) (45 )3 =

3) (53)3 =

9) (2x 6 )4 =

4) (x 10)0 =

10) (5x 2y 2)0 =

5) (y 9)7 =

11) (x 0)5 =


137

D. Aplique la regla del producto a cada factor para simplificar las potencias. Tiene un ejemplo. 1+3 2+1 4 3 0) (ab 2)(a 3b) = a b = a b

5) (2x 2)(x) =

1) (xy 4)(x) =

6) (a)(3ab) =

2) (a 3b 3)(a 2) =

7) (6x 2)(3xy 2) =

3) (x 5y 2)(xy) =

8) (2xy)(2xy) =

4) (xy 2)(x 2y 2) =

9) (ab 2 c 3)(abc 2) =

E. Aplique la regla del cociente a cada literal para simplificar las potencias. Fíjese en el ejemplo. 0)

a5b 7 = a 5 – 1b7 – 4 = a 4b3 ab 4

3)

a9b3 = b

1)

x 8y 3 = y2

4)

a2b = a 7b

2)

c 6 d 10 = c2

5)

x7y6 = x5y 3

F. Realice las operaciones necesarias para eliminar los exponentes negativos de las potencias. 1) 5y–3 =

6) 25 • 2–6 =

2)

2a = –b3

7) –5x –6 =

3)

1 = x–1

8) –4y –3 =

4)

6x 4 = x –2

9) x6 • x –2 =

5)

3 = 5y –2

10) 2 =

138

IGER − Zaculeu

8x –4 2x

G. Algunas potencias exigen utilizar más de una regla a la vez. Se resuelven aplicando primero la ley de la potencia y después la ley del producto o del cociente. Observe el ejemplo. Luego, resuelva cada operación. 0) (x2)3 • x = x2 • 3 • x = x 6 • x = x 6 + 1 = x7

1) (c 2)(c 2) 4 =

2) (x 2y)3(xy)2 = 3) (2x 2)3(x2y) 0 =

4)

( ) x 2y xy

3

= 5)

( ) x 2y x6y 3

–2

=


139

Agilidad de cálculo mental A. Multiplique por la unidad seguida de ceros. Recuerde que para operar debe correr el punto decimal a la derecha tantos lugares como ceros tenga la cantidad. Observe el ejemplo.

26

0) 2.6 × 10 =

6) 0.05 × 10 =

12) 15.5 × 100 =

1) 6.9 × 10 =

7) 125 × 10 =

13) 3.54 × 100 =

2) 0.2 × 10 =

8) 2.42 × 100 =

14) 1.45 × 1000 =

3) 0.75 × 10 =

9) 36.1 × 100 =

15) 25.12 × 1000 =

4) 3.12 × 10 =

10) 0.25 × 100 =

16) 34.62 × 1000 =

5) 45.2 × 10 =

11) 0.07 × 100 =

17) 90.01 × 1000 =

B. Divida entre la unidad seguida de ceros. Recuerde que para operar debe correr el punto decimal a la izquierda tantos lugares como ceros tenga la cantidad. Tiene un ejemplo.

0.14

0) 1.4 ÷ 10 =

6) 2.25 ÷ 10 =

12) 4.81 ÷ 100 =

1) 9.4 ÷ 10 =

7) 32.4 ÷ 10 =

13) 1.20 ÷ 100 =

2) 0.2 ÷ 10 =

8) 578 ÷ 10 =

14) 0.31 ÷ 100 =

3) 24 ÷ 10 =

9) 100 ÷ 10 =

15) 0.01 ÷ 100 =

4) 0.01 ÷ 10 =

10) 987 ÷ 100 =

16) 0.29 ÷ 100 =

5) 1.25 ÷ 10 =

11) 76.5 ÷ 100 =

17) 3.30 ÷ 100 =

C. Aplique la regla del producto o del cociente para expresar cada operación como una sola potencia. Tiene un ejemplo.

28

7) 2a3 • 3a6 =

14) y12 ÷ y8 =

1) 52 • 57 =

8) 2nb5 • 12nb3 =

15) ab19 ÷ ab11 =

2) 68 • 63 =

9) 2z7 • z8 =

16) m17 ÷ m9 =

3) 95 • 98 =

10) 89 ÷ 84 =

17) 6x24 ÷ 2x11 =

4) mn4 • mn2 =

11) 211 ÷ 23 =

18) 10ab22 ÷ 5ab13 =

5) x11 • x12 =

12) 315 ÷ 37 =

19) 14mm6 ÷ 7mn2 =

6) k16 • k14 =

13) 512 ÷ 58 =

20) 18xy4 ÷ 1xy =

0) 23 • 25 =

140

IGER − Zaculeu

Razonamiento lógico Con esta actividad usted aprenderá realizar conversiones de una unidad de medida a otra aplicando una regla de tres simple. Tienen un ejemplo. Medidas de longitud 0) Si un centímetro es igual a 10 milímetros, ¿a cuántos centímetros equivalen 100 milímetros? •

Planteamos la regla de tres simple.

1 cm

•

Calculamos el valor de x.

x = 100 mm x 1 cm = 10 cm

•

Escribimos la respuesta: 100 milímetros equivalen a 10 centímetros.

10 mm 100 mm

x

10 mm

1) Un metro es igual a 100 centímetros. a. ¿Cuántos centímetros hay en 3.5 metros? b. ¿Cuántos centímetros hay en 0.5 metros? 2) Un kilómetro es igual a 1000 metros. a. ¿Cuántos kilómetros equivalen a 4800 metros? b. ¿Cuántos metros hacen 2.7 kilómetros? Medidas de peso y capacidad 1) Un garrafón es igual a 25 botellas. a. ¿Cuántos garrafones equivalen a 1000 botellas? b. ¿Cuántas botellas hacen 5 garrafones? 2) Un litro es igual a 1000 centímetros cúbicos (1 l = 1000 cm3). a. ¿Cuántos litros hacen 3500 cm3? b. ¿Cuántos cm3 equivalen a 5.3 litros? 3) Un quintal es igual a 4 arrobas y una arroba es igual a 25 libras. a. ¿Cuántas arrobas hay en 3 quintales? b. ¿Cuántas libras hay en 10 arrobas? c. ¿Cuántos quintales equivalen a 20 arrobas? 4) Un quintal es igual a 100 libras y una libra es igual a 16 onzas. a. ¿Cuántas libras hay en 3.5 quintales? b. ¿Cuántas onzas hay en 25 libras? c. ¿Cuántas onzas hay en un quintal? d. ¿Cuántas onzas hay en 2 arrobas?


141

Desarrolle nuevas habilidades Acortemos procedimientos Para resolver una operación matemática podemos tomar caminos distintos y llegar a la misma solución. Observe el procedimiento común para resolver una operación combinada:

35 • 6 210 = = 30 7 7 Esta operación se puede solucionar a través de un camino más corto si primero dividimos 35 entre 7. Luego, multiplicamos el resultado por 6. Preste atención:

35 • 6 = 5 • 6 = 30 7 Llegamos a la misma respuesta utilizando un procedimiento más corto. Entonces, siempre que sea posible primero hay que dividir y luego multiplicar. Practique esta técnica para resolver las operaciones siguientes. 1)

36 •9= 4

=

3) 8 •

42 = 7

=

2)

56 •3= 8

=

4)

36 •5= 12

=




Repaso las leyes de la potenciación de números enteros. Aplico las leyes de potenciación para resolver potencias de expresiones algebraicas. Resuelvo problemas de conversión entre unidades. Multiplico y divido ágilmente con la unidad seguida de ceros. Aplico métodos prácticos para resolver operaciones aritméticas.

142

IGER − Zaculeu

logrado


27 Factorización de expresiones algebraicas I ¿Qué encontrará esta semana? Descomposición de números naturales en factores Factorización de expresiones algebraicas Producto de monomios

Esta semana logrará:  Distinguir los factores de un número y de una expresión algebraica.  Factorizar una expresión algebraica por: factor común, agrupación de términos y por diferencia de cuadrados.  Aplicar la factorización en la representación geométrica del perímetro y el área de un rectángulo.  Desarrollar la agilidad mental a través del producto de monomios y el cálculo de porcentajes. 


143

¡Para comenzar! ¡Hagamos memoria! Descomposición de números naturales en factores ¿Recuerda la diferencia entre un número primo y un número compuesto? Un número primo es un número entero mayor que 1 que tiene exactamente dos factores, 1 y el mismo número. Por el contrario, un número compuesto es un número entero mayor que 1 que tiene más de dos factores. Si quisiéramos expresar el número 36 como producto de sus factores primos, ¿cómo lo haríamos? Podemos expresar el número 36 así: 36 = 22 • 32 22 y 32 son factores del número 36

36 18 9 3 1

2 2 3 3

36 es un número compuesto que también puede expresarse como producto de otros factores. Veamos: 36 = 1 • 36 36 = 2 • 18 36 = 3 • 12

36 = 4 • 9 36 = 6 • 6

Factorizar consiste en encontrar aquellos factores o términos que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión dada.

¡A trabajar! Factorice los siguiente números y expréselos como producto de sus factores primos. Luego hágalo utilizando todos los factores compuestos posibles. 1) 64 =

144

IGER − Zaculeu

2) 16 =

El mundo de la matemática 1. Factorización de expresiones algebraicas

Descomponer factores

De la misma manera que descomponemos un número en factores, también podemos factorizar una expresión algebraica. Por ejemplo, si tenemos el producto 2 • 7 = 14, decimos que 2 y 7 son factores o divisores de 14. Asimismo, si tenemos la expresión algebraica a(a + b) = a2 + ab, decimos que a y (a + b) son factores o divisores de a2 + ab Siguiendo con el ejemplo de la sección ¡Para comenzar!, observe atentamente la relación entre multiplicar y factorizar. Multiplicar

Factorizar

(x)(36x) = 36x2

36x2 = (x)(36x)

(2x)(18x) = 36x2

36x2 = (2x)(18x)

(3x)(12x) = 36x2

36x2 = (3x)(12x)

(4x)(9x) = 36x2

36x2 = (4x)(9x)

Factorizar una expresión algebraica consiste en descomponer esa expresión en un producto de dos o más factores. Si los factores son números primos decimos que la factorización es completa. Hay varios maneras de factorizar. Esta semana aprenderemos: • Factorización por factor común • Factorización por agrupación de términos • Factorización por diferencia de cuadrados

Ejercicio 1 Escriba las siguientes multiplicaciones como factorizaciones. Multiplicar

Factorizar

(6a)(4a) = 24a2

24a2 = (

)(

)

(12a)(2a) = 24a2

24a2 = (

)(

)

(8a)(3a) = 24a2

24a2 = (

)(

)

(a)(24a) = 24a2

24a2 = (

)(

) Matemática − Semana 27

145

1.1 Factorización por factor común Observe atentamente las expresiones algebraicas y fíjese si puede descubrir un patrón:

2x + 2y = 2(x + y) 3x2 + 6x =3x(x + 2)

En ambas hay un factor que divide exactamente a todos los términos de la expresión. Analicemos la factorización de la primera. El factor que divide a todos los términos es 2.

2x + 2y =

Dividimos los dos términos de la expresión entre el factor común 2.

2x 2y + = (x + y) 2 2

Expresamos la respuesta. Fuera del paréntesis escribimos el factor común (2) y dentro del paréntesis el resultado de la división (x + y).

2x + 2y = 2(x + y)

1

1

Para factorizar un binomio, polinomio o expresión algebraica por factor común, seguimos estos pasos: • Calculamos el máximo común divisor (MCD) de los coeficientes numéricos y buscamos la variable común, con el menor exponente, para obtener el factor común. • Dividimos cada término de la expresión dada entre el factor común encontrado. • Expresamos la respuesta: Fuera del paréntesis escribimos el factor común y dentro del paréntesis el resultado de la división. Veamos un ejemplo Factorizar por factor común el binomio:

146

IGER − Zaculeu

5a – 10b

• Calculamos el máximo común divisor (MCD) de los coeficientes numéricos.

5 10 5 1 2

• Buscamos la variable común con su menor exponente. En este caso no hay una variable común, así que el factor común es 5.

MCD (5, 10) = 5

• Dividimos cada término de la expresión entre el factor común encontrado.

5a 10b – = (a – 2b) 5 5

• Expresamos la respuesta. Fuera del paréntesis escribimos el factor común y dentro del paréntesis el resultado de la división.

5a – 10b = 5 (a – 2b)

1

2

Un ejemplo más!

25x2y2 – 5xy – 30xy2

Factorizar • Calculamos el máximo común divisor (MCD) de los coeficientes numéricos.

25 5 30 5 5 1 6 MCD (25, 5, 30) = 5

• Buscamos las variables comunes con su menor exponente.

x2, x

y2, y xy

El factor común es

5xy

• Dividimos cada término de la expresión entre el factor común.

25x2y2 5xy 30xy2 – – = 5xy 5xy 5xy = 5xy – 1 – 6y

• Ya podemos escribir los dos factores. Fuera del paréntesis ponemos el factor común y dentro del paréntesis el resultado de la división.

5xy (5xy – 1 – 6y)

• Escribimos la expresión algebraica y su factorización completa.

25x2y2 – 5xy – 30xy2 = 5xy (5xy – 1 – 6y)

Ejercicio 2 Practique la factorización por factor común en el siguiente ejercicio. 1) Factorice: 3xy + 6y •

Calcule el máximo común divisor (MCD) de los coeficientes numéricos.

3 6 3 1 2 MCD (3, 6) =

•

Busque la variable común con su menor exponente.

El factor común es •

Divida cada término de la expresión entre el factor común.

•

Escriba la factorización. Fuera del paréntesis el factor común y dentro el resultado de la división.

xy

y 3y

3xy 6y + = 3y 3y 3xy + 6y =

(

+

)


147

1.2 Factorización por agrupación La factorización por agrupación se emplea en expresiones que tienen cuatro términos o más aplicando la asociación de términos con factor común. Para hacerlo seguimos los siguientes pasos: • Asociamos los términos de manera que cada grupo tenga un factor común y cada término pertenezca a un grupo. • En cada grupo, factorizamos por factor común. • Tomamos el factor común y los términos repetidos de ambas agrupaciones para escribir el resultado final. Veamos un ejemplo

x + x2 + 2x + 2

Factoricemos: • Agrupamos los términos que tengan factor común.

(x + x2) + (2x + 2)

• En cada grupo, factorizamos por factor común. Recuerde los pasos del apartado anterior.

(x + x2) = x(1 + x) (2x + 2) = 2(x + 1)

• Tomamos el factor común de ambas agrupaciones y los términos repetidos para escribir el resultado final.

(x + 1) x, 2

El factor que se repite (x + 1) será una parte del resultado y el otro paréntesis se forma por la unión de los factores comunes x y 2; (x + 2).

x + x2 + 2x + 2 = (x + 1)(x + 2) ¡Otro ejemplo!

ab + 3a + bc + 3c

Factoricemos • Agrupamos los términos que tengan factor común.

(ab + 3a) + (bc + 3c)

• En cada grupo, factorizamos por factor común.

(ab + 3a) = a(b + 3) (bc + 3c) = c (b + 3)

• Tomamos el factor común de ambas agrupaciones y los términos repetidos para escribir el resultado final.

(b + 3) a, c

El factor que se repite (b + 3) será una parte del resultado y el segundo factor se forma por la unión de los factores comunes a y c (a + c).

ab + 3a + bc + 3c = (b + 3) (a + c)

148

IGER − Zaculeu

Ejercicio 3 Guíese por los ejemplos anteriores para resolver estos ejercicios. 1) Factorizar: •

Agrupe los términos que tengan factor común. Tome en cuenta que el signo menos delante del paréntesis cambiará los signos de los términos de dentro.

•

En cada grupo, factorizamos por factor común.

•

•

Tome el factor común de ambas agrupaciones y los términos repetidos para escribir el resultado final.

Escriba la expresión algebraica y su factorización.

2) Factorizar:

ax – 2bx – 2ay + 4by (ax – 2bx) – (

–

)

x(

–

)

–(2ay – 4by) = –2y(

–

)

(ax – 2bx) =

(

–

)

x, –2y ax – 2bx – 2ay + 4by = (

–

x2 – 8x + 2x – 16

•

Agrupamos los términos que tengan factor común.

(x2 – 8x) + (2x – 16)

•


(x2 – 8x) = x(

–

)

(2x – 16) = 2(

–

)

•

•

Tome el factor común de ambas agrupaciones y los términos repetidos para escribir el resultado final. Escriba la expresión algebraica y su factorización.

) (x – 2y)

(

–

)

x, 2 x2 – 8x + 2x – 16 = (

–

)(

+


)

149

1.3 Factorización por diferencia de cuadrados En general decimos que la diferencia de cuadrados es igual a la suma por diferencia de las raíces cuadradas.

a2 – b2 = (a + b) (a – b) factores

Para factorizar por diferencia de cuadrados obtenemos las raíces cuadradas de los términos y hallamos los factores. Ponga atención al proceso de factorización.

a2 – b2

• Tomamos la expresión a factorizar. • Obtenemos la raíz cuadrada de los dos términos del binomio, sin tomar en cuenta el signo.

a2 = a

b2 = b

• Expresamos el binomio como el producto de la suma por la diferencia de las raíces cuadradas.

a2 – b2 = (a + b) (a – b)

Otro ejemplo

4x2 – 25y2

• Tomamos la expresión a factorizar. • Obtenemos la raíz cuadrada de los dos términos del binomio, sin tomar en cuenta el signo.

4x2 = 2x

25y2 = 5y

• Expresamos el binomio como el producto 4x2 – 25y2 = (2x + 5y) (2x – 5y) de la suma por la diferencia de las raíces cuadradas. Tenga presente que: • El signo menos de la expresión nos permite identificar la diferencia de cuadrados. • Para hallar las raíces no se toma en cuenta el signo menos.

Ejercicio 4 Factorice el binomio que presenta una diferencia de cuadrados: • Calcule la raíz cuadrada de los dos términos. • Exprese el binomio como el producto de la suma por la diferencia de las raíces cuadradas.

150

IGER − Zaculeu

25x2 – 49y2

25x2 = 25x2 – 49y2 = (

49y2 = )(

)

Resumen 1.

La factorización consiste en descomponer un producto de dos o más factores. La factorización permite simplificar expresiones.

1.1 Para factorizar una expresión algebraica por factor común, seguimos estos pasos: •

Calculamos el máximo común divisor de los coeficientes numéricos.

•

Buscamos la variable común, con su menor exponente.

•

Dividimos cada término de la expresión dada entre el factor común encontrado.

•

Escribimos la respuesta. Fuera del paréntesis colocamos el factor común y dentro del paréntesis el resultado de la división.

Ejemplo: 2x2 + 6x = 2x(x + 3) 1.2 La factorización por agrupación se emplea en expresiones que tienen cuatro términos o más aplicando la asociación de términos con factor común. Para hacerlo seguimos los siguientes pasos: •

Asociamos los términos de manera que cada grupo tenga un factor común y cada término pertenezca a un grupo.

•


•

Utilizamos el factor común y los términos repetidos de ambas agrupaciones para escribir el resultado final.

Ejemplo: x + x2 + 2x + 2 = (x + 1)(x + 2) 1.3 En la factorización por diferencia de cuadrados obtenemos las raíces cuadradas de los términos y hallamos los factores. Ejemplo: x2 – 4 = (x + 2) (x – 2)

Investigue en la red... ¿Quiere practicar en línea? Anímese a visitar la página web que le sugerimos y realice la factorización por agrupación en un click. http://goo.gl/yATncd Matemática − Semana 27

151



Rellene el círculo de la opción que presenta la respuesta correcta. 1) Los factores de 12a2 – 18a son:

6a (2a – 3) 6 (2a2 – 3a) 4a (3a – 12)

2) El factor común de 6x2 + 12x es:

6 3x 6x

3) El factor común es 4mn – 2n es:

2 2n 2mn

4) Los factores de 4y + 28 son:

2(2y + 14) 4(y + 7) 4(y – 7)

5) Los factores de 6a – 5b + 12ad – 10bd son:

(1 – 2d) (6a – 5b) (1 + 2d) (6a – 5b) (1 – 2d) (6a + 5b)

Actividad 2.


A. Factorice las siguientes expresiones por factor común. 0) a2 + ab =

a(a + b)

10) 6x – 12 =

1) b + b2 =

11) 4x – 8y =

2) x2 + x =

12) 24a – 12ab =

3) 3a3 – a2 =

13) 10x – 15x2 =

4) x3 – 4x2 =

14) 14m2n + 7mn =

5) ab – bc =

15) 4m2 – 20am =

6) 8m2 – 12mn =

16) 8a3 – 6a2 =

7) 15c3d2 + 60c2d3 =

17) ax + bx =

8) a3 + a2 + a =

18) b4 – b3 =

9) 15y3 + 20y2 – 5y =

19) 4a3bx – 8bx =

152

IGER − Zaculeu

B. Factorice por agrupación. Si puede, hágalo directamente. Si no, trabaje en su cuaderno.

a2 + ab + ax + bx = (a2 + ab) + (ax + bx)= (a2 + ab) = a(a + b) (ax + bx) = + x (a + b) a2 + ab + ax + bx = (a + b) (a + x) 0)

1) 20ac + 15bc + 4ad + 3bd = 2) 18a3 + 12a2 – 15a – 10 = 3) ay2 + ax2 – by2 – bx2 = 4) a4 + ab2 – a3b – b3 = 5) abx + 3x – 10ab – 30 = 6) 3ax – 3bx – ay + by = 7) 2ax + 2x + ay + y = 8) 5ax – 5bx – 2ay + 2by = 9) 3x2 + 18x – 2x – 12 = C. Factorice las diferencias de cuadrados. Recuerde la definición: "Diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia". Intente escribir la respuesta directamente. 0) x2 – 49 =

(x + 7) (x – 7)

1) 9x2 – 1 = 2) y2 – 121 = 3) e2 – 81 = 4) 16x2 – 81 = 5) 25x2 – y2 = 6) n2 – 25 = 7) a2b2 – 100 = 8) 4 – 36x2 = 9) 1 – m2n2 = 10) 4b2 – 9 = Matemática − Semana 27

153

Agilidad de cálculo mental A. Resuelva lo más rápido que pueda las siguientes multiplicaciones de monomio por monomio. Tiene un ejemplo. 0) (3a)(2a) =

6a2

15) (ab3)(ab2) =

1) (6x)(3y) =

16) (3a3)(3a3) =

2) (3b)(4a2) =

17) (9mn)(mn) =

3) (5x)(2x) =

18) (–x)(y) =

4) (3x)(2x2) =

19) (–5x)(6x) =

5) (4x)(3x) =

20) (–x)(–y) =

6) (2ab)(5ab2) =

21) (–12a)(5a) =

7) (ab3)(ab2) =

22) (8b)(–8b) =

8) (3a3)(3a3) =

23) (2x3)(5x3) =

9) (5x)(6y) =

24) (12x3)(4x) =

10) (9b)(7a2) =

25) (2xy)(4xy)(3xy) =

11) (4y)(8x) =

26) (5x)(2x2y3z) =

12) (3a)(5b2) =

27) (5x2y3z)(2y2z2) =

13) (7x)(3x) =

28) (18x3y2z5)(6x3yz2) =

14) (2ab )(5ab2) =

29) (–2x3)(–5x)(–3x2) =

B. Practique su agilidad de cálculo con porcentajes. Recuerde que el 50% es la mitad y el 25% la cuarta parte. Tiene un ejemplo. 4 0) 50% de 8 = 7) 50% de 12 = 14) 25% de 60 = 1) 50% de 80 =

8) 50% de 18 =

15) 25% de 28 =

2) 50% de 10 =

9) 50% de 30 =

16) 25% de 44 =

3) 50% de 90 =

10) 25% de 20 =

17) 25% de 24 =

4) 50% de 20 =

11) 25% de 36 =

18) 25% de 32 =

5) 50% de 50 =

12) 25% de 16 =

19) 25% de 200 =

6) 50% de 24 =

13) 25% de 40=

20) 25% de 100 =

154

IGER − Zaculeu

Razonamiento lógico Podemos asociar algunas expresiones algebraicas con el cálculo de áreas de figuras geométricas. Por ejemplo, si tenemos un rectángulo de lado "a + b" (piense que a y b son dos números enteros), podemos calcular el perímetro así:

P = a + b + a + b = 2a + 2b

a b

También podemos calcular el área del rectángulo escribiendo:

A=b•h A=a•b Encuentre una expresión algebraica para el área de la siguiente figura:

5x (12x – 2) 1) Calcule el perímetro de la figura si x = 4 metros.

2) Calcule el área de la figura si x = 6 metros.


155

Desarrolle nuevas habilidades ¿Cuál es el orden de los pueblos? Aplique sus conocimientos de cómo interpretar una tabla de doble entrada para encontrar el orden en que se encuentran los pueblos del ejercicio siguiente. Cinco pueblos A, B, C, D y E (no necesariamente en ese orden) se encuentran a lo largo de una carretera. La distancia, en kilómetros, entre ellos se muestra en la tabla siguiente. Pueblo A

B

C

D

E

A

0

3

3

1

6

B

3

0

6

2

3

C

3

6

0

4

9

D

1

2

4

0

5

E

6

3

9

5

0

Escriba en cada cuadro el pueblo que continúa y verifique en la tabla de arriba que las distancias sean las correspondientes entre cada uno. Le damos el primero. A 1

Rellene el círculo de la opción que presenta el orden correcto de estos pueblos.

A C D B E

CADBE

CDABE

C B D A E

EABCD

ABDCE




156


Distingo los factores de un número y de una expresión algebraica. Factorizo una expresión algebraica por: factor común, agrupación de términos y por diferencia de cuadrados Aplico la factorización en la representación geométrica del perímetro y el área de un rectángulo. Desarrollo la agilidad mental a través del producto de monomios. IGER − Zaculeu

en no logrado proceso logrado

28 Factorización de expresiones algebraicas II ¿Qué encontrará esta semana? Redes Wi-Fi y polinomios Factorización del trinomio cuadrado perfecto

Factorización de la forma: x2 + bx + c Producto de monomios y resolución directa de trinomios cuadrados perfectos

Representación algebraica del área de un rectángulo

Esta semana logrará:  Expresar en factores un trinomio cuadrado perfecto.  Expresar en factores un trinomio de la forma x2 + bx + c.  Desarrollar la agilidad mental en la factorización de trinomios. 


157

¡Para comenzar! Redes Wi-Fi y polinomios Una pareja que mejora

¿Ha oído de las redes Wi-Fi? Se trata de una tecnología que permite conectar teléfonos celulares, computadoras, videojuegos o un reproductor de música a la internet de forma inalámbrica, es decir, sin utilizar cables. Los aparatos electrónicos fabricados y preparados para funcionar con Wi-Fi se pueden conectar a Internet por medio de puntos que pueden encontrarse a 20 metros de distancia. Cada punto es una pequeña antena que esparce ondas electromagnéticas a través de las cuales “viaja” la señal de internet. Los últimos modelos de estas antenas están diseñados empleando polinomios llamados de Chevyshev, que les permite alcanzar una distancia mayor, mejorando el servicio.

¡A trabajar! Investigue el significado de las siglas Wi-Fi. Le sugerimos esta página de internet.

http://goo.gl/bnV2Le

158

IGER − Zaculeu

El mundo de la matemática 1. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto ¿Qué factores multiplicamos para obtener la expresión a2 + 2ab + b2? En el grupo Utatlán aprendimos que un binomio es una expresión algebraica formada por dos términos unidos por los signos más o menos. Elevar al cuadrado el binomio a + b equivale a multiplicar este binomio por sí mismo, es decir: (a + b)2 = (a + b)(a + b). Si hacemos el producto tenemos a+b a+b a2 + ab + ab + b2 2 a + 2ab + b2 Por lo tanto, el trinomio cuadrado perfecto es el equivalente al cuadrado de la suma o de la diferencia de dos cantidades. Para que un trinomio sea cuadrado perfecto debe cumplir con estas características: • Estar formado por tres términos y que el primer término y el tercero sean positivos. • Que el primer término y el tercero tengan raíces cuadradas exactas.

a 2 + 2ab + b2 1 2 3 a2 = a b2 = b

• Que el segundo término resulte de multiplicar 2 veces la raíz cuadrada del primero por la del tercero.

2 • a • b = 2ab

• Si el trinomio cumple con las tres características, podemos expresar el trinomio como el cuadrado de un binomio.

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

Sigamos el procedimiento con un ejemplo. Factoricemos el trinomio r2 + 4rs + 4s2 . Revisemos sus características: • Comprobamos que está formado por tres términos. • Hallamos la raíz cuadrada del primer término y del tercero. Las raíces cuadradas deben ser exactas.

r 2 + 4rs + 4s2

1 2 3 r2 = r 4s2 = 2s

• El segundo término debe ser 2 veces la raíz cuadrada del primero por la del tercero.

4rs = 2 • r • 2s

• Expresamos el trinomio como el cuadrado de un binomio.

r2 + 4rs + 4s2 = (r + 2s)2


159

¡Un ejemplo más! Factoricemos el trinomio x2 + 6x + 9. Revisemos sus características: • Comprobamos si está formado por tres términos x2 + 6x + 9 y si el primer término y el tercero son positivos.

1

• Hallamos la raíz cuadrada del primer término y del tercero. Las raíces deben ser exactas.

2 3

x2 = x 9=3

• El segundo término debe ser dos veces la raíz 2 • x • 3 = 6x del primero por la del tercero. • Expresamos el trinomio como el cuadrado de un x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 binomio.

Ejercicio 1 Factorice los siguientes trinomios cuadrados perfectos. Hágalo siguiendo los pasos que se le indican. 1) x2 + 14x + 49 •

Compruebe si está formado por tres términos y si el primero y el tercer término son positivos.

x2 + 14x + 49

1 2 3 x2 = 49 =

•

Halle la raíz cuadrada del primer término y del tercero. Las raíces cuadradas deben ser exactas.

•

El segundo término debe ser dos veces la raíz del primero por la del tercero.

2•

•

Exprese el trinomio como el cuadrado de un binomio.

x2 + 14x + 49 = (

•

= 14x )2

2) 9x2 + 12xy + 4y2 •

•

160

Compruebe si está formado por tres términos y si el primer término y el tercero son positivos. Halle la raíz cuadrada del primer término y del tercero. Las raíces cuadradas deben ser exactas.

9x2 + 12xy + 4y2

1 2 3 9x2 =

•

El segundo término debe ser 2 veces la raíz cuadrada del primero por la del tercero.

2•

•

Exprese el trinomio como el cuadrado de un binomio.

9x2 + 12xy + 4y2 = (

IGER − Zaculeu

•

4y2 = = )2

¿Qué sucede si el segundo término es negativo? En el grupo Utatlán también aprendió que al elevar al cuadrado el binomio a – b se tiene que: (a – b)2 = (a – b) (a – b). Si multiplicamos tenemos: a – b

a–b a2 – ab – ab + b2 a2 – 2ab + b2

En general, podemos decir que a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 Siguiendo los mismos pasos que aprendimos, factoricemos el trinomio:

9x2 – 12x + 4y2 • Comprobamos si está formado por tres términos y si el primero y el tercero son positivos.

9x2 – 12xy + 4y2

1 2 3

• Hallamos la raíz cuadrada del primer término y del tercero. Las raíces deben ser exactas.

9x2 = 3x 4y2 = 2y

• El segundo término debe ser menos dos veces (–2) la raíz cuadrada del primero por la raíz del tercero.

–2 • 3x • 2y = –12xy

• Expresamos el trinomio como el cuadrado de la 9x2 – 12xy + 4y2 = (3x – 2y)2 resta de un binomio.

Ejercicio 2 Factorice el trinomio cuadrado perfecto. Hágalo siguiendo los pasos que se indican. 1) 25x2 – 30x + 9 •

Compruebe que está formado por tres términos que y el primero y el tercero son positivos.

25x2 – 30x + 9

1 2 3 25x2 = 9 =

•

Halle la raíz cuadrada del primer término y del tercero. Las raíces cuadradas deben ser exactas.

•

El segundo término debe ser –2 veces la raíz cuadrada del primero por la del tercero.

–2 •

•

Exprese el trinomio como el cuadrado de la resta de un binomio.

25x2 – 30x + 9 = (

•

=


)2

161

2. Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c Factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c • Descomponemos el trinomio en dos factores (binomios). Para ello obtenemos la raíz cuadrada del primer término. El resultado será el primer término de los dos factores en los que se dividirá el trinomio.

x2 = x (x + ) (x + )

• Elegimos dos números (p, q) que al sumarse den como resultado el término b y al multiplicarse den como resultado el término c.

p+q=b p•q=c

• El trinomio factorizado es el producto de dos binomios.

x2 + bx + c = (x + p) (x + q)

x2 + bx + c x2 + bx + c

Hagamos un ejemplo Factorizar x2 + 3x + 2 • Obtenemos la raíz cuadrada del primer término. El resultado es el primer término de los dos factores en los que se dividirá el trinomio.

x2 = x (x + ) (x + )

• Elegimos dos números cuya suma sea 3 y su producto sea 2.

1+2=3 1 • 2 = 2

x2 + 3x + 2 x2 + 3x + 2

• Formamos los dos bionomios.

(x + 2) (x + 1)

• Expresamos la factorización final del trinomio cuadrado perfecto.

x2 + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1)

Un ejemplo más Factorizar y2 + 2y – 15 • Obtenemos la raíz cuadrada del primer término. El resultado será el primer término de cada uno de los dos factores.

162

IGER − Zaculeu

y2 = y (y + ) (y –

)

• Elegimos dos números cuya suma sea 2 y su producto sea –15.

5 + (–3) = 2 5 • (–3) = –15

• Formamos los dos bionomios.

(y + 5) (y – 3)

• Expresamos la factorización final del trinomio cuadrado perfecto.

y2 + 2y – 15 = (y + 5) (y – 3)

Ejercicio 3 Siga los pasos del ejemplo y factorice. 1) Factorice a2 + 14a + 40

a2 =

•

Obtenga la raíz cuadrada del primer término.

Este resultado es el primer término de cada uno de los dos factores.

•

Busque dos números cuya suma sea 14 y su producto sea igual a 40.

•

Forme los dos binomios.

(

•

La factorización del trinomio es:

a2 + 14a + 40 = (a + 4) (a + 10)

(a + ) (a + )

+ • +

= 14 = 40 ) (a + 10)

2) Factorice x2 – 6x – 7 = •


Este resultado es el primer término de los dos factores.

•

Busque dos números cuya suma sea –6 y su producto sea igual a –7.

•


x2 = (

) (x + ( •

) ) = –6 = –7

x2 – 6x – 7 = (x – 7) (x + 1)

3) Factorice x2 – 12x + 27 = •


Este resultado es el primer término de los dos factores.

•

Busque dos números cuya suma sea –12 y su producto sea igual a 27.

•


x2 = (

) (x + ( •

) ) = –12 = 27

x2 – 12x + 27 = (x – 9) (x – 3) Matemática − Semana 28

163

Resumen 1.

Factorización de un trinomio cuadrado perfecto

El trinomio cuadrado perfecto es el equivalente al cuadrado de la suma o la diferencia de dos cantidades.

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 Cumple con estas características: •

Está formado por tres términos y el primer término y el tercero son positivos.

•

El primer término y el tercero tienen raíces cuadradas exactas.

•

El segundo término se forma al multiplicar por dos el primer término por el tercero.

2.

Factorización de un trinomio de la forma x2 +bx + c

El trinomio factorizado es el producto de dos binomios de la forma:

x2 + bx + c = (x + p) (x + q) Para factorizar: •

Descomponemos el trinomio en dos factores (binomios). Para ello obtenemos la raíz cuadrada del primer término.

•

Elegimos dos números (p, q) que al sumarse den como resultado el término b y al multiplicarse de cómo resultado el término c.

•

p + q = b

x2 +bx + c

p•q=c

x2 +bx + c

Expresamos el trinomio como producto de dos factores :

x2 + bx + c = (x + p) (x + q)

Investigue en la red... Para practicar y resolver dudas, lo invitamos a visitar: http://goo.gl/WhmmcO

164

IGER − Zaculeu



A. Rellene el círculo de la opción que presenta la respuesta correcta. 1) ¿Cuál es la respuesta correcta al factorizar 4x2 – 20x + 25?

(2x – 5)2 (2x + 5)2 (x – 5)2

2) ¿Cuál es la respuesta correcta al factorizar 5x2 – 6x – 8?

(x + 2) (5x – 4) (x – 2) (5x + 4) (x – 2) (5x – 4)

3) ¿Cuál es la respuesta correcta al factorizar x2 + 12x + 27?

(x + 9) (x + 3) (x – 9) (x – 3) (x + 9) (x – 3)

4) ¿Cuál es la respuesta correcta al factorizar y2 – 20y + 100?

(y – 10)2 (y – 20)2 (y + 10)2

5) ¿Cuál es la respuesta correcta al factorizar x2 + 2x – 80?

(x – 10) (x – 8) (x + 10) (x – 8) (x – 10) (x + 8)

6) ¿Cuál de los siguientes es un trinomio cuadrado perfecto?

x2 – 6x – 9 x2 + 6x – 9 x2 – 6x + 9

Actividad 2.


A. Determine cuáles de los siguientes trinomios son cuadrados perfectos. Tiene un ejemplo. 0) x2 + 14x + 49 =

x2 = x; 49 = 7; 2 • x • 7 = 14x

Sí es trinomio cuadrado perfecto.

3) 9x2 + 14x + 4 =

1) x2 + 18x + 81 =

4) 4x2 + 12x + 9 =

2) 25x2 + 10x – 1=

5) 9x2 + 12x + 4 =


165

6) x2 – 4x – 4 =

7) y2 – 20y – 100 =

B. Factorice los trinomios cuadrados perfectos. 1) a2 + 8a + 16 =

10) 16m2 + 40m + 25 =

2) x2 + 2x + 1 =

11) 49s2 – 14s + 1 =

3) x2 + 6x + 9 =

12) x2 + 6x + 9 =

4) y2 – 2y + 1 =

13) 16x2 + 8x + 1 =

5) y2 – 4y + 4 =

14) y2 + 10y + 25 =

6) x2 + 20x + 100 =

15) 4y2 – 24y + 36 =

7) x2 + 18x + 81 =

16) 49x2 + 112x + 64 =

8) x2 + 8x + 16 =

17) 81y2 – 180y + 100 =

9) y2 + 6yw + 9w2=

18) 25x2 + 30xy + 9y2 =

166

IGER − Zaculeu

C. Factorice los trinomios cuadrados de la forma x2 + bx + c. 1) x2 + 3x + 2 =

9) x2 – 4x2 – 21 =

2) y2 + 2y – 15 =

10) y2 + 7x + 12 =

3) x2 + 5x + 6 =

11) x2 + 11x + 30 =

4) x2 + 8x + 12 =

12) x2 – 2x – 3 =

5) x2 – 4x – 12 =

13) x2 – x – 20 =

6) x2 – 7x – 8 =

14) x2 + 15x + 54 =

7) x2 + 5x + 4 =

15) x2 + 6x + 8 =

8) x2 – 11x + 30 =

16) x2 + 9x + 14 =


167

D. Complete el trinomio cuadrado perfecto escribiendo los términos en la columna correspondiente. Siga el ejemplo.

168

Primer término

Raíz del primer término

x2

x

a

Segundo término

término

Raíz del tercer término

2 • a • b = 2ab

Trinomio cuadrado perfecto

y2

y

2 • x • y = 2xy

x2 + 2xy + y2

Tercer

x2

1

25x2

16

9a2

25

a2

49

9

x2

16

36w2

y2

4x2

100x2

64y2

81x2

16

36a2

9b2

49b2

4a2

81x2

1

36y2

16

IGER − Zaculeu

b

Agilidad de cálculo mental A. Resuelva lo más rápido que pueda las siguientes multiplicaciones de monomio por monomio.

1) (4a)(5a) =

9) (6a3)(3) =

17) (7a3)(3a3) =

2) (2x)(3y) =

10) (12x)(2y) =

18) (8mn)(9mn) =

3) (10b)(4a2) =

11) (6b)(6a2) =

19) (–2x)(3y) =

4) (3x)(7x) =

12) (7y)(8x) =

20) (–6x)(10x) =

5) (9x)(9x2) =

13) (2a)(5b2) =

21) (–4x)(–y) =

6) (9x)(3x) =

14) (10x)(9x) =

22) (–2a)(10a) =

7) (5ab)(5ab2) =

15) (7ab)(5ab2) =

23) (–9b)(8b) =

8) (3ab3)(4ab2) =

16) (4ab3)(6a) =

24) (6x3)(7x3) =

B. Factorice directamente los siguientes trinomios cuadrados perfectos. Tiene un ejemplo.

0) x2 + 2xy + y2 =

(x +y)2

1) 25x2 + 30x + 9 = 2) 4x2 + 20xy + 25y2 = 3) 100x2 + 40xy + 4y2 = 4) 36x2 + 12xy + y2 = 5) 49x2 + 28xy + 4y2 = 6) 4x2 + 16xy + 16y2 = 7) 100x2 + 20xy + y2 = 8) 4x2 + 8xy + 4y2 = 9) 81x2 + 54x + 9 = 10) 36x2 + 12xy + y2 = 11) 144x2 + 48xy +4y2 = 12) 9x2 + 18xy + 9y2 = Matemática − Semana 28

169

Desarrolle nuevas habilidades El trinomio cuadrado perfecto se puede aplicar para averiguar el área de un rectángulo. Observe la figura. 3+1 3(1)

1(1)

3(3)

3(1)

El área de este cuadrado está dada por:

(3 + 1)2 = (3 + 1)(3 + 1) Aplicando la regla se obtiene:

(3 + 1)2 = 3(3) + 3(1) + 3(1) + 1(1) = 3

32 + 2(3)(1) + 12 = 9 + 6 + 1 = 16

1

¡Ahora le toca a usted! Observe la figura. Escriba un trinomio cuadrado que represente el área. Calcule el área del cuadrado. 4+2 4(2)

2(2)

4(4)

4(2)

4

2




170


Expreso en factores un trinomio cuadrado perfecto. Expreso en factores un trinomio de la forma x2 + bx + c. Multiplico monomios con agilidad y factorizo directamente trinomios cuadrados perfectos. Aplico la factorización en el cálculo del área de un rectángulo. IGER − Zaculeu


29 Radicación ¿Qué encontrará esta semana? Repaso de la raíz cuadrada exacta

Reglas de los radicales: producto, cociente, potencia de una raíz, raíz de otra raíz Cálculo mental de operaciones con potencias Problemas de área y perímetro, aplicando la raíz cuadrada exacta

Esta semana logrará:  Repasar las raíces cuadradas exactas.  Aplicar las reglas de: producto, cociente, potencia y raíz de otra raíz a la radicación.  Resolver problemas aplicando la radicación.  Operar con agilidad potencias de igual base.  Determinar el área máxima de cuadriláteros. 


171

¡Para comenzar! ¡Haga memoria! Raíces cuadradas exactas de números naturales Antes de entrar de lleno en el tema de esta semana, nos conviene recordar las partes de una raíz. signo radical índice

2

25 = 5

raíz

radicando

En la semana 9 del grupo Utatlán aprendimos que la radicación es la operación inversa a la potenciación. La radicación consiste en averiguar la base, cuando conocemos el resultado de un número que fue elevado a una potencia. Para averiguar la raíz cuadrada de un número, buscamos una cantidad que elevada al cuadrado sea igual al número que está dentro del radical. Por ejemplo, ¿qué número elevado al cuadrado es igual a 49? ¡Correcto! La respuesta es 7 porque 7 x 7 = 72 = 49. Por lo tanto 49 tiene raíz exacta que es 7. En lenguaje matemático lo expresamos como: 49 = 7

¡A trabajar! Calcule la raíz exacta en los ejercicios siguientes. Tiene un ejemplo.

172

IGER − Zaculeu

0)

9 =

1)

64 =

8) 144 =

2)

36 =

9) 121 =

3)

25 =

10) 169 =

4)

100 =

11) 256 =

5)

4 =

12) 1 =

6)

16 =

13) 0 =

3

7) 81 =

El mundo de la matemática 1. Reglas de los radicales Así como aprendimos las reglas de la potenciación, ahora conoceremos algunas reglas o propiedades que se aplican a los radicales. Ponga mucha atención a las reglas y los recuadros que expresan cada una.

1.1 Regla del producto Esta regla indica que la raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los radicandos, con el mismo índice. n

n

n

a•b = a • b

Por ejemplo Apliquemos la regla del producto a:

25 • 4

• Separamos los dos factores y escribimos cada uno con su radical.

25 • 4

• Obtenemos la raíz de cada factor y multiplicamos.

5 • 2 = 10

• Escribimos la expresión completa con su resultado.

25 • 4 = 10

Otro ejemplo Apliquemos la regla del producto a: • Separamos los factores y escribimos cada uno con su radical:

64 • 25a2 • 36b2 64 • 25a2 • 36b2

• Obtenemos la raíz de cada factor y multiplicamos para hallar el resultado.

8 •


64 • 25a2 • 36b2 = 240ab

5a

•

6b = 240ab

Ejercicio 1 1)

Aplique la regla del producto en esta raíz: •

Separe los factores y escriba cada uno con su radical.

•

Obtenga la raíz de cada uno y multiplique.

•

Exprese el resultado final.

100 • 16y2 • 10

•

4y =

100 • 16y2 = Matemática − Semana 29

173

1.2 Regla del cociente Cuando dentro del radical hay un cociente, podemos separar el dividendo y el divisor en un cociente de dos raíces con el mismo índice. n

a = b

n n

a b

Ejemplo

100x2 25y2

Apliquemos la regla del cociente a: • Separamos el dividendo y el divisor, cada uno con su radical.

100x2 25y2

• Obtenemos la raíz de cada término y simplificamos.

10x 2x = 5y y


100x2 = 2x y 25y2

Otro ejemplo

121 36x2

Apliquemos la regla del cociente a: • Separamos el dividendo y el divisor, cada uno con su radical. • Obtenemos la raíz de cada término. Como no se puede simplificar, ese será el resultado.

11 6x


121 = 11 6x 36x2

Ejercicio 2 Practique la regla del cociente en los siguientes ejercicio. 1) Aplique la regla a:

174

•

Separe el dividendo y el divisor, cada uno con su radical.

•

Obtenga la raíz de cada término y simplifique.

•

Escriba la expresión completa con su resultado.

IGER − Zaculeu

121 36x2

64 4

=

64 = 4

1.3 Raíz de una potencia En esta regla se pueden presentar dos casos, preste atención a cada uno.

a. El exponente del radicando y el índice de la raíz son iguales Cuando el exponente del radicando es igual al índice de la raíz, estos se anulan y solo se copia el radicando. n

n

an = an = a

Por ejemplo •

3

3

53 = 5

102 = 102 = 10

• •

53 =

6

166 =

6

166 = 16

4

•

4

x4 =

•

3

(5x)3 =

3

(5x)3 = 5x

•

5

(xy)5 =

5

(xy)5 = xy

x4 = x

b. El exponente del radicando es distinto del índice de la raíz Cuando el exponente del radicando es diferente al índice de la raíz, el exponente se divide entre el índice y obtenemos una potencia fraccionaria. n

am = am/n

Por ejemplo •

3

• •

4

52 = 52/3

•

6

x5 = x5/6

303 = 303/2

•

3

w9 = w9/3 = w3

a5 = a5/4

•

5

410 = 410/5 = 42 = 16

Ejercicio 3 Resuelva los radicales siguientes de forma directa. Tiene un ejemplo.

32 =

0)

3

3

6) (25a)2 =

1)

3

83 =

7) 25m4 =

2)

4

(25w)4 =

8) 16x2y2 =

3)

3

27a3 =

5

243x5 =

9) 36x4y4 = 3

49x4y2 =

4) 5)

64x12 = 10)

11) 64x12 = Matemática − Semana 29

175

1.4 Raíz de una raíz Cuando una raíz tiene como radicando otra raíz, se puede simplificar multiplicando los índices de las raíces y copiando el radicando de la raíz interna. m

n

a =

m•n

a

Por ejemplo Apliquemos la regla de la raíz de una raíz: • Multiplicamos los índices y copiamos el radicando de la raíz interna. • Escribimos la expresión completa con su resultado.

3

5

3•2

5 =

3

6

5 6

5

5x =

15

5x

5x =

15

5x

5 =

Otro ejemplo Apliquemos la regla de la raíz de una raíz: • Multiplicamos los índices y copiamos el radicando de la raíz interna. • Escribimos la expresión completa con su resultado.

5

3

5•3

5

3

5x

Ejercicio 4 A. Aplique la propiedad de la raíz de una raíz para resolver los ejercicios. Tiene un ejemplo.

125 =

0) 1)

4

2) 3) 4) 5)

125

=

4

125

3

100 =

=

3

45 =

=

b =

=

5x =

=

18xy =

=

3

6

2•2

3

B. Resuelva las raíces indicadas. Debe aplicar más de una regla para hacerlo. Fíjese en el ejemplo.

16x8

0) 1) 2)

176

IGER − Zaculeu

3

=

729y12 = 81b4

=

2•2

16x8 =

4

16x8 = 2x2

Resumen 1.

La radicación es la operación inversa a la potenciación, los elementos que la forman son: signo radical índice

2

a2 = a

raíz

radicando

Cumple con las reglas siguientes: Regla del producto n

n

Regla del cociente n

n

a•b = a • b Por ejemplo

3

a = b

n n

a b

Por ejemplo

49 = x2

3 100b2 = 100 • 3 b2

49 x2

Regla de la raíz de una potencia Cuando el exponente es igual que el índice n

Cuando el exponente es distinto del índice n

n

an = an = a

Por ejemplo

Por ejemplo 4

x4 =

4

am = am/n

2

x4 = x

y4 = y4/2 = y2

Regla para la raíz de una raíz m

n

a =

m•n

Por ejemplo

a

2

3

2a =

2•3

6

2a = 2a

Investigue en la red... Puede ver un video que explica las leyes de los radicales en la dirección de internet siguiente: http://goo.gl/kzxJlo Matemática − Semana 29

177



A. Escriba sobre la línea el nombre de cada parte señalada en la raíz cuadrada. Tiene un ejemplo.

índice

4

625 = 5

B. Rellene el círculo de la opción que responde correctamente a cada pregunta.

0 1 2

1) ¿Cuál es el índice de 100 ?

2) ¿Cuál es el resultado correcto de

3) ¿Qué opción es equivalente a

4

3

(4)3 ?

2 4 64 912 93/4 94/3

93 ?

4) ¿En qué expresión se aplica la propiedad correcta para 4 • 20 ?

5) ¿Cuál es el resultado correcto de

3

5ab ?

4 • 20 4 + 20 4 ÷ 20 6 6

6) ¿Cuál es el resultado correcto de 36x5 ?

7) ¿Cuál es índice de

3

16 ?

8) ¿Cuál es el resultado de

6x5 6x2/5 6x5/2 16 3 2

4 ?

4 3 2

178

IGER − Zaculeu

5ab 5a5b5 25ab

4 4 4

Actividad 2.


A. Transforme los radicales en potencias. Tiene un ejemplo. 0)

(45)3 = (6x)3 = (6x)3/2 5)

1)

53 =

(3x)3 = 6)

4

2)

4

16 =

(ab)4 = 7)

3)

3

(y)4 =

(10xy)3 = 8)

(8a)4 =

9) =

4)

3

7 5

3

B. Escriba las expresiones siguientes en forma de radical. Tiene un ejemplo. 0) (8xy)3/2 =

(8xy)3 5) (65)3/4 =

1) 1001/3 =

6) (25pq)5/2 =

2) 251/4 =

7) =

3) (3w)3/2 =

4) (5xy)2/5 =

9) =

a b

3/2

8) (18mn)4/5 =

2x 3y

6/7

C. Aplique las reglas de los radicales y simplifique su respuesta donde sea posible. Hay un ejemplo. 0)

(5xy)4 = (5xy)4/2 = (5xy)2

8) (8cd)2 =

1)

25 • 9 =

9)

50 =

10)

3)

(30k)2 =

11) (45g)10 =

4)

(45ab)6 =

12)

5)

64 = 36

13) 5a • 2b =

64 • 8 =

14)

15)

2)

6) 7)

4

3 4

3

40x =

25 = 100 3

6h =

5 6

3

2x 3y

6

=

(16m)3 = (4n)3 (69cd)4 = Matemática − Semana 29

179

Agilidad de cálculo mental Aplique las leyes de la potenciación para resolver las actividades siguientes. A. Realice las siguientes operaciones. Recuerde, para multiplicar potencias de igual base, se copia la base y se suman los exponentes. Tiene un ejemplo.

712

0) 78 • 74 =

9) x8 • x4 =

1) 12 • 16 =

10) a2 • a6 =

2) 52 • 56 =

11) d5 • d2 =

3) 98 • 94 =

12) y3 • y5 =

4) 85 • 82 =

13) p9 • p2 =

5) 32 • 34 =

14) m4 • m5 =

6) 46 • 43 =

15) z2 • z4 • z =

7) 82 • 83 =

16) h3 • h3 • h3 =

8) 05 • 07 =

17) w3 • w5 • w4 =

B. Realice las divisiones siguientes. Recuerde, para dividir potencias con igual base, copie la base y reste los exponentes. Tiene un ejemplo. 8 0) 156 =

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

180

15 66 = 62 89 = 88 27 = 24 73 = 7 1014 = 106 168 = 164 423 = 422 3512 = 358

152

IGER − Zaculeu

x6 = x5 9 10) r3 = r c5 11) 3 = c q7 12) 6 = q 12 13) j 8 = j y3 14) = y d6 15) 3 = d u6 16) 5 = u w6 17) 4 = w 9)

8 18) 2a3 =

2a 19) 5m3 = 5m 8x8 20) 3 = 8x 21) 4f 3 = 8

4f 22) 3k3 = 3k 8 23) 15a3 = 15a 8 24) 24r3 = 24r 8 25) 19w3 = 19w 45z8 = 26) 45z3

Razonamiento lógico Resuelva en su cuaderno los problemas, cuando lo considere necesario, realice un bosquejo que ilustre lo expresado. 1) Un espejo tiene una superficie cuadrada de 400 cm². ¿Cuánto mide por lado? 2) A los alumnos de una escuela les donaron 900 arbolitos. Si al sembrarlos desean que formen un cuadrado, ¿cuántos arbolitos debe haber en cada fila y en cada columna? 3) Se desea colocar baldosas en un una habitación de 16 m². Si tres baldosas colocadas en fila (una tras otra) miden un metro, ¿cuántas baldosas se necesitan para cubrir la habitación? 4) El tablero de ajedrez, es un cuadrado dividido en 64 partes iguales. Si el número de cuadros en cada fila y columna son iguales, ¿cuántos cuadros hay en cada una? 5) Una plancha de duroport tiene un área de 22 500 cm². ¿Cuántos cuadrados de 10 cm por lado se pueden obtener de la plancha? 6) Calcule el número de árboles que se puede plantar en un terreno de forma cuadrada que tiene una superficie de 1024 m2, si cada árbol para desarrollarse necesita un área de 4 m². 7) Los ladrillos de cristal o tragaluz tienen una medida de 18.5 cm y se utilizan como separadores de ambientes o cuando se desea un buen ingreso de luz. ¿Cuántos ladrillos por lado se deben colocar en una ventana si el área es de 12 321 cm²? 8) En un centro comercial, ciertos locales miden el doble de frente que de fondo y tienen un área de 200 m². Si un arrendatario desea dividir un local en dos partes con áreas iguales, ¿cuándo debe medir por lado cada local ya dividido? 9) Determine el radio que deben tener las latas para una empresa de envasados, si cada lata debe medir 10 cm de alto y contener un volumen de 502.4 cm3 de producto. 10) Ana está haciendo un mosaico cuadrado con 25 azulejos cuadrados iguales. ¿Cuántos azulejos pondrá en cada lado del mosaico? 11) Antonio ha enlosado un patio con baldosas cuadradas y pone en total 36 baldosas. ¿Cuántas baldosas ha puesto en cada fila? ¿Cuántas filas ha hecho?


181

Desarrolle nuevas habilidades Cómo obtener el área mayor Una persona dispone de 80 metros de cerca para hacer un nuevo corral, con esta cerca desea encerrar el área más grande posible. Aunque a primera vista pareciera que las dimensiones de la cerca no son tan importantes, porque solo se dispone de 80 metros, veremos que con la misma cantidad de cerca podemos encerrar áreas diferentes. Veamos los dos primeros casos, luego usted asígnele medidas diferentes a los lados hasta obtener el área máxima. (Recuerde que nuestro perímetro siempre debe medir 80 m) 5m 35m

A=bxa A = (5m) (35m) A = 175m2

A=bxa A = (6m) (34m) A = 204m2

6m

34m

x

x ¿Con qué medidas obtuvo el área máxima? ¿Con qué medidas se obtiene el área más pequeña?





Aplico las reglas de: producto, cociente, potencia y raíz de otra raíz a la radicación con exactitud. Resuelvo problemas aplicando la radicación. Opero con agilidad potencias de igual base. Determino el área máxima de cuadriláteros.

182

IGER − Zaculeu


30 Radicación de expresiones algebraicas II ¿Qué encontrará esta semana? ¿Qué tan lejos se puede observar en un día claro? Radicales semejantes y operaciones con radicales:

suma, resta, multiplicación y división Multiplicación y división de monomios Resolución de problemas

Esta semana logrará:  Identificar radicales semejantes.  Sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones algebraicas que contienen radicales semejantes.  Mejorar el cálculo mental mediante operaciones con monomios.  Resolver problemas de razonamiento lógico 


183

¡Para comenzar! ¿Qué tan lejos se puede ver en un día claro? Si usted está parado en el suelo, sobre un terreno plano, seguramente objetos naturales o artificiales le impedirán ver el horizonte. Pero si observa desde la ventana de un edificio alto o desde una montaña su visión alcanzará una distancia mayor. Un estimado de qué tan lejos podemos llegar a ver en un día claro está dado por la fórmula v = 1.225 a , donde v = visibilidad (en millas) y a = altitud (en pies). Ejemplo: Una persona desde una avioneta puede ver 49 millas al horizonte. Usando la fórmula de la visibilidad, ¿qué tan alto del suelo está?

Para resolver este problema, debemos sustituir los valores conocidos en la fórmula de la visibilidad.

v = 1.225 a

Sabemos que v = 49. Sustituimos y nos quedará una ecuación radical de una variable.

49 = 1.225 a

a=

Despejamos la incógnita. Para averiguar el valor de a, debemos eliminar la raíz. ¿Cómo? —Elevando al cuadrado los dos términos de la igualdad. Solución:

49 1.225

a = 40 2

a = 402

a = 1,600

¡La respuesta es 1600 pies! Seguramente esta persona tendrá una visibilidad bastante buena y podrá contemplar el paisaje desde la avioneta. Esta es una aplicación de los radicales. Nuestro tema de esta semana.

Problema tomado y adaptado de www.montereyinstitute.org

184

IGER − Zaculeu

El mundo de la matemática 1. Radicales semejantes Decimos que dos o más radicales son semejantes cuando comparten el mismo índice e igual radicando, aunque fuera del radical tengan distinto signo o diferente coeficiente. Por ejemplo:

4x

−3y 4x

5 4x

2 4x 5

En todos los ejemplos el índice de la raíz es 2 y el radicando es 4x, aunque tengan signos o coeficientes distintos. Veamos otro ejemplo:

8 20y

10 25y4

− 5 yz

3 45y3

Estos radicales no son semejantes pues los radicandos: 20y, 45y3 y 5yz no son iguales.

Ejercicio 1 A. Complete el cuadro indicando con un cheque ü si los radicales son semejantes o marcando con una cruz û si no lo son. Tiene un ejemplo. Radicales

23 4

Radicales semejantes

4 23

û

2 5ab 30 5ab 4

10x

5 4 10x

5

1220 4 13

12 3c 12a 3c B. Escriba dos radicales semejantes al radical dado, Tiene un ejemplo.

4 5

0) 4 5

1) 2a 4

2) 18x2y3

3) 3y 2x

5

− 5


185

2. Suma y resta de radicales semejantes Solo se pueden sumar o restar radicales semejantes. Para realizar las sumas y las restas se operan los coeficientes externos y se copian índice y radicando. n

n

n

n

a d + b d − c d = (a + b − c) d Ejemplos: 1) Sumemos los radicales. Sumamos los coeficientes: 2 del primer radical (2 5 ) y 3 del segundo radical (3 5 ). Luego copiamos el índice y el radicando.

3

2) Sumemos los radicales.

2 5+3 5= (2 + 3) 5 = 5 5

Los radicales son semejantes, se suman los coeficientes y luego se copia el índice y el radicando.

3

2 6a + 11 6a = 3 (2 + 11) 6a = 3 13 6a 16 x2b + 9 x2b − x2b =

3) Sumemos los radicales.

Sumamos los coeficientes: 16 más 9. Luego copiamos el índice y el radicando.

16 x2b + 9 x2b = (16 + 9) x2b = 25 x2b

A este resultado parcial le restamos el coeficiente 1 y copiamos el índice y el radicando.

25 x2b − 1 x2b = (25 − 1) x2b = 24 x2b

También podemos sumar y restar los coeficientes en una misma operación.

16 x2b + 9 x2b − x2b = (16 + 9 − 1) x2b = 24 x2b

Ejercicio 2 Resuelva las siguientes sumas y restas. 1) 5 xy + 7 xy =

4) 9a 2b − 4a 2b =

2) 2a 3 + 3a 3 + 5a 3 =

5) 4 a3 + 7 a3 − 3 a3 =

3) 7x2y 5 − 3 x2y 5 =

6) 4a 2 + 2a 2 – a 2 =

186

IGER − Zaculeu

3. Multiplicación y división de radicales 3.1 Multiplicación de radicales con índices iguales Para multiplicar radicales que tienen índices iguales, se multiplican los radicandos y, si es posible, se simplifica el resultado. La multiplicación de radicales con índices iguales se representa con la fórmula: n

n

n

n

a• b• d= a•b•c

Hagamos un ejemplo:

Multipliquemos los radicales siguientes.

2

4x • 2x

2

Como ambos tienen el mismo índice, incluimos todos los radicandos dentro de la misma raíz y copiamos el índice.

2

4•2•x=

Ordenamos y operamos en primer lugar los valores numéricos y en segundo lugar las variables. (Hemos expresado 4 como 22)

2

22 • 2 • x • x = 22 • 2 • x2

Fíjese cómo nos han quedado dentro de la raíz dos potencias que tienen el mismo índice que la raíz. Separamos nuevamente las raíces.

2

22 • 2 • x2

Aplicamos la regla de la raíz de una potencia.

2

22 • x2 = 2x 2

Escribimos el resultado final.

2

4x • 4x = 2x 2

2

2

2

2

2

Ejercicio 3 Resuelva

6a2 • 3b2 =

Multiplique todos los factores dentro del mismo radical. Ordene y opere primero los valores numéricos y en segundo lugar las variables.

6•

Detemine las potencias que tengan el mismo índice que la raíz y sepárelas.

32 • a2 •

Elimine índices y exponentes iguales y exprese el resultado.

6a2 • 3b2 =

• a2 •

=

• 2= 2


187

3.2 División de radicales con índices iguales Para dividir radicales con el mismo índice, dividimos los radicandos y, si es posible, simplificamos el resultado. La división de radicales con índices iguales se representa con la fórmula: n

n

a = a b b

n

Por ejemplo: 2

1) Resolvamos la división.

2 2

10a2 2a 10a2 2a

Incluimos numerador y denominador en un solo radical y copiamos el índice.

Dividimos y ordenamos valores numéricos y variable.

5 • a2 − 1 = 5a

Expresamos el resultado.

5a

Ejercicio 4 Practique la división de radicales. 1. Divida

72x3 2x


72x3 2x2



2. Divida

188

• x3 − 2 =

•

72x3 = 2x 27y4 3y



9 • y4 − 1 = 32 • y2 • y


27y4 = 3y

IGER − Zaculeu

=

Resumen 1.

Radicales semejantes Radicales semejantes son aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando. Simplificar un radical consiste en expresar un radical en su forma más simple.

2.

Suma y resta de radicales semejantes

La suma y la resta solo se pueden realizar si el índice del radical y el radicando son iguales. Para realizar las sumas y las restas se operan los coeficientes externos y se copian índice y radicando. n

n

n

n

a d + b d − c d = (a + b − c) d 3.

Multiplicación y división de radicales 3.1 Para multiplicar radicales con índices iguales, se multiplican los radicandos y de ser posible se simplifica el resultado. n

n

n

n


3.2 Para dividir radicales con índices iguales aplicamos la propiedad del cociente para raíces con el mismo índice. n

n

a = a b b

n

Investigue en la red... Anímese a repasar este tema y a resolver ejercicios en la red en esta dirección: http://www.mamutmatematicas.com/lecciones/sumar_restar_raices.php Matemática − Semana 30

189



A. Complete el cuadro indicando con un cheque ü si los radicales son semejantes o marcando con una cruz û si no lo son. Tiene un ejemplo. Radicales

6 4

4 6

7 3

19 3

−2 5


û

2 5

3x y2 3y x2 a2b3 2 6 2 25 b2c x b2c B. Resuelva las sumas y las restas de radicales semejantes. Si es posible, simplifique los resultados. 1) 5 2a + 7 2a =

2)

3b2 + 2 3b2 + 4 3b2 =

5) 3 5x3 − 2 5x3 − 2 5x3 =

6) 23 8abc − 8abc + 2 8abc =

3) 3x2 5xy + 4x2 5xy =

7) 14 6y3 − 12 6y3 − 2 6y3 =

4) 2b ab + 7b ab =

8) 3a 5 + 5a 5 − a 5 =

C. Simplifique para convertir los radicales en radicales semejantes y luego sume y reste. 1) 18 + 18 =

190

IGER − Zaculeu

2) 12 − 3 =

D. Multiplique. Si es posible, simplifique. 1) 8x2 • 2x =

3

3

5) 15x • 3 12x =

6)

24ab • 2 3ab • 6ab =

3) 7xy • 3xy =

7)

2y • 6 • 8x =

4) 2a 3 • 3b 21 =

8)

2)

5ab • 25a2 =

4

4

5a2 • 4 =

E. Realice las siguientes divisiones. 1)

64 = 64

2)

121 = 81

3)

3

2 50 = 16

3

4)

a2 − b 2 = a+b

5)

ab3 = a2 b 2 Matemática − Semana 30

191

Agilidad de cálculo mental A. Realice las multiplicaciones siguientes. Recuerde, para multiplicar potencias de igual base, se copia la base y se suman los exponentes. Exprese su resultado en potencias tal y como se le enseña en el ejemplo. 0)

84 • 83 = 84 + 3 =

1)

87

11) 96 • 94 =

22) 174 • 172 =

64 • 63 =

12) 108 • 103 =

23) 252 • 256 =

2)

52• 53 =

13) 125 • 126 =

24) 772 • 772 =

3)

34 • 32 =

14) 82 • 84 =

25) 887 • 886 =

4)

37 • 32 =

15) 156 • 155=

26) 192 • 194 =

5)

25 • 26 =

16) 223 • 226 =

27) 244 • 243 =

6)

94 • 93 =

17) 144 • 147 =

28) 327 • 322 =

7)

103 • 102=

18) 165 • 168 =

29) 152 • 153 =

8)

47 • 44 =

19) 126 • 129 =

30) 147 • 145 =

9)

36 • 32 =

20) 249 • 243 =

10) 85 • 82 =

21) 335 • 337 =

B. Realice las divisiones siguientes. Recuerde, para dividir potencias de igual base, se copia la base y se restan los exponentes. Exprese su resultado en potencias. Guíese con el ejemplo. 0)

26 ÷ 23 = 26 − 3 =

1)

23

12) 27 ÷ 22 =

24) 98 ÷ 94 =

48 ÷ 47 =

13) 157 ÷ 153 =

25) 116 ÷ 112 =

2)

89 ÷ 88 =

14) 148 ÷ 145 =

26) 134 ÷ 132 =

3)

126 ÷ 123 =

15) 69 ÷ 62 =

27) 149 ÷ 143 =

4)

29 ÷ 23 =

16) 1911 ÷ 195 =

28) 1614 ÷ 166 =

5)

1315 ÷ 137 =

17) 1013 ÷ 1010 =

29) 88 ÷ 82 =

6)

44 ÷ 42 =

18) 97 ÷ 93 =

30) 710 ÷ 75 =

7)

57 ÷ 56=

19) 621 ÷ 611 =

31) 913 ÷ 94 =

8)

72 ÷ 72 =

20) 217 ÷ 25 =

32) 39 ÷ 36 =

9)

87 ÷ 86=

21) 327 ÷ 325 =

33) 57 ÷ 52 =

10) 1012 ÷ 104 =

22) 1812 ÷ 182 =

34) 118 ÷ 114 =

11) 44 ÷ 43=

23) 209 ÷ 203 =

35) 1014 ÷ 106 =

192

IGER − Zaculeu

Razonamiento lógico Resuelva en su cuaderno los siguientes problemas de porcentajes. 1)

El precio de un carro nuevo es 70,000 quetzales. Alejandra lo compra con un descuento del 7%. ¿Cuánto pagó por el carro?

2)

La cuota que cada trabajador paga al IGSS es 4.83% de su sueldo mensual. Si Antonio tiene un sueldo de Q2,600.00, ¿cuánto tiene que pagar al IGSS?

3)

Sara ahorró Q4,000.00. Destina el 43% para realizar arreglos en su casa y utiliza el 37% para pagar sus estudios. ¿Cuánto le queda de lo ahorrado?

4)

Una encuesta estableció que de 250 000 estudiantes del último año de bachillerato: el 45% desea estudiar carreras relacionadas con la salud, el 32% administración de empresas, el 18% quiere estudiar derecho y el 5% quiere estudiar arte. Calcule el número exacto de estudiantes para cada carrera.

5)

Mercedes y Ramiro son socios. Pagan Q1,500.00 de renta por un local comercial. Mercedes para Q575.00 y Ramiro paga Q925.00. ¿Qué porcentaje de la renta paga cada uno?

6)

El 75% de un amueblado de comedor es de Q4,500.00, ¿cuál es el valor total del amueblado?

7)

De una muestra de 435 estudiantes, 220 son mujeres y 215 son hombres. ¿Cuál es el porcentaje de mujeres y de hombres según la muestra?

8)

Estela compra un equipo de sonido que cuesta Q1,700.00. Si el vendedor le hace un descuento del 21%, ¿cuánto debe pagar en total?

9)

Un equipo de basquetbol tuvo 29 derrotas durante 80 juegos, ¿cuál fue el porcentaje de victorias?

10) Andrea contestó 90 de 120 preguntas de la prueba del Ministerio de Educación. Si está segura de haber contestado correctamente 70% de las 90, ¿cuántas preguntas de las restantes deberá contestar acertadamente para tener el 70% del examen bien contestado? 11) Para aprobar un examen de 60 preguntas, los estudiantes deben contestar correctamente el 75% de las preguntas. ¿Cuál es el mínimo de preguntas que deberán contestar acertadamente para aprobar la prueba? 12) Un depósito de agua con capacidad para 800 litros está lleno en sus dos quintas partes. Si se agregan 80 litros más, ¿qué porcentaje del depósito está lleno?


193

Desarrolle nuevas habilidades El sudoku es un juego matemático muy popular en Japón. Desde 2005 numerosos periódicos lo publican en su sección de pasatiempos. El objetivo del sudoku es rellenar una cuadrícula de 9 × 9 celdas, en total 81 casillas, dividida en subcuadrículas de 3 × 3. Estas también se llaman “cajas” o “regiones”. Cada cuadrícula se llena con un número del 1 al 9, pero no se pueden repetir en una misma fila, columna o subcuadrícula. Los sudokus parten de algunos números ya dispuestos en algunas de las celdas. Le presentamos uno. Anímese a resolverlo.

5

3

6 9 8

7 2

1

8

3

9

7

6

8

5

4 7

1 6

9

9 5

4

5

7

4

4

8

6 4

2

3 5 2

1

9

8

6

3 1

2 1

1

6

8 5 7

9




Identifico radicales semejantes. Aplico las reglas de los radicales Sumo, resto, multiplico y divido expresiones algebraicas que contienen radicales semejantes. Resuelvo problemas de razonamiento lógico

194

IGER − Zaculeu


31 Ecuaciones de segundo grado I ¿Qué encontrará esta semana? Descubra la incógnita Ecuaciones cuadráticas

Resolución de ecuaciones cuadráticas por factorización Resolución de ecuaciones lineales por simple inspección Problemas que involucran ecuaciones cuadráticas por factorización

Esta semana logrará:  Reconocer las características de una ecuación cuadrática.  Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización.  Desarrollar su lenguaje simbólico y razonamiento lógico en la solución de problemas.  Mejorar su habilidad de cálculo mental en la solución de ecuaciones lineales.  Desarrollar su pensamiento divergente y su creatividad a través de la observación y la deducción. 


195

¡Para comenzar! Descubra la incógnita… ecuaciones lineales Vamos a traer a nuestra mesa de trabajo lo que aprendimos en el grupo Utatlán. Recordemos que una ecuación lineal es una igualdad que tiene una sola variable o incógnita (x) elevada a la potencia uno. Por estas razones se le conoce también como ecuación de primer grado. Una ecuación está formada por dos miembros separados por el signo igual (=). Al resolver una ecuación lineal obtenemos el valor de la incógnita y con ello se hace verdadera la igualdad. Veamos un ejemplo. Resolvamos 4x + 5x – 10 = 35 • Transponemos los términos. Es decir, reunimos de un lado de la ecuación (primer miembro) todos los términos con incógnita y del otro lado (segundo miembro) todos los términos numéricos.

4x + 5x – 10 = 35 4x + 5x = 35 + 10 • Reducimos términos semejantes en cada miembro de la ecuación.

4x + 5x = 35 + 10 9x = 45 • Despejamos la variable y encontramos el valor de x.

x = 45 ÷ 9 x=5 • Verificamos el resultado sustituyendo el valor de x en la ecuación original.

4x + 5x – 10 = 35 4(5) + 5(5) – 10 = 35 20 + 25 – 10 = 35 45 – 10 = 35 35 = 35 ¡A trabajar! Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado. Hágalo en su cuaderno. 1) x + 7 = 30 3)

3x + 4 = 5x – 2

2) x + 3 = 4 4)

5y + 2 = 2y + 11

196

IGER − Zaculeu

El mundo de la matemática 1. Ecuaciones cuadráticas

¿En qué se diferencian de las ecuaciones lineales?

En la sección "Para comenzar" recordamos que una ecuación lineal es aquella que tiene una incógnita, generalmente x, y que al solucionarla hallamos un valor que convierte en verdadera la ecuación. Las ecuaciones cuadráticas o ecuaciones de segundo grado se caracterizan por: • La incógnita está elevada al cuadrado o exponente dos,(x2). • La ecuación puede tener dos soluciones. En algunos casos las ecuaciones cuadráticas tienen una sola solución o ninguna, pero tenga en cuenta que pueden tener dos. En general, una ecuación cuadrática se expresa de esta forma:

ax2 + bx + c = 0 Donde: • ax2: es el término cuadrático. El coeficiente numérico (a) es siempre distinto de cero. • bx: es el término de primer grado. Puede estar formado por un coeficiente numérico (b) y la variable (x) o solo por la variable. • c: es el término independiente formado solo por un coeficiente numérico.

Ejercicio 1 Identifique los términos de una ecuación cuadrática en los siguientes ejemplos. Rellene el círculo de la opción que completa correctamente cada enunciado. Tiene un ejemplo. 0) El término cuadrático de la ecuación 2x2 – 14x + 152 = 0 es...

2x2

– 14x

+ 152

10x2

+ 36x

–2

x2

+ 3x

– 28

1) El término independiente de la ecuación 10x2 + 36x – 2 = 0 es...

2) El término de primer grado de la ecuación x2 + 3x – 28 = 0 es...


197

1.1 Clasificación de ecuaciones cuadráticas a. Ecuaciones cuadráticas completas Una ecuación de segundo grado se considera completa cuando los tres coeficientes numéricos a, b y c son distintos de cero. Se representa por:

ax2 + bx + c = 0 Ejemplos de ecuaciones cuadráticas completas:

x2 − 5x + 4 = 0 Coeficiente a = 1 Coeficiente b = –5 Coeficiente c = 4

− 5x2 + 13x + 6 = 0 Coeficiente a = – 5 Coeficiente b = 13 Coeficiente c = 6

b. Ecuaciones cuadráticas incompletas En una ecuación cuadrática no puede faltar el término ax2 , pero sí puede faltar el término de primer grado (bx), el término independiente (c) o ambos. En cualquiera de los casos se trata de una ecuación cuadrática incompleta. Se pueden presentar tres casos de ecuaciones cuadráticas incompletas: • Cuando falta el término de primer grado y también el término independiente.

ax2 = 0 Por ejemplo: 16x2 = 0

• Cuando falta el término independiente.

ax2 + bx = 0 Por ejemplo: 3x2 + 2x = 0

• Cuando falta el término de primer grado:

ax2 + c = 0 Por ejemplo: 2x2 – 32 = 0

Ejercicio 2 A. Rellene el círculo de la opción correcta. Tiene un ejemplo. 0) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es una ecuación cuadrática?

3x – 4 = 0

3x + 1 + 3 = 27

2x2 – 5 = 0

1) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es una ecuación cuadrática?

5x2 – 5x + 3 = 0

4x + 6x + 2 = 0

16x = – 8

2) Entre las siguientes, ¿cuál es una ecuación cuadrática incompleta?

198

IGER − Zaculeu

3x – 4 = 0

3x + 1 + 3 = 27

2x2 – 5 = 0

2. Resolución de ecuaciones cuadráticas completas Las ecuaciones cuadráticas completas del tipo ax2 + bx + c = 0 se pueden resolver por varios métodos. Nosotros vamos a estudiar dos: • Por factorización • Por fórmula general o fórmula de Vieta Esta semana aprenderemos y practicaremos el método de factorización.

2.1 Resolución por factorización Seguro que recuerda que en la semana 28 aprendimos a factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c. Así que este procedimiento le va a resultar sencillo porque resolver ecuaciones cuadráticas por factorización consiste en tomar el trinomio ax2 + bx + c = 0 de la ecuación cuadrática y expresarlo como producto de sus factores. Sigamos los pasos. • Obtenemos la raíz cuadrada del término cuadrático x2 . Este resultado será el primer término en cada binomio. • Buscamos dos números que cumplan la doble condición: i. Su suma es igual al valor numérico del término de primer grado, bx ii. Su producto es igual al término independiente, c • Expresamos los binomios como factores y los igualamos a cero • Tomamos cada factor por separado, lo igualamos a 0 y despejamos la variable. • Por último, comprobamos el resultado en la ecuación original. Veamos un ejemplo: Resolvamos: x2 + 5x + 6 = 0 • Obtenemos la raíz cuadrada del término cuadrático x2 . Este resultado será el primer término en cada binomio.

x2 = x (x + ) (x + )

• Buscamos dos números cuya suma sea 5 y su producto, 6. Esos números son 2 y 3.

2+3=5 2•3=6

• Expresamos los binomios como factores y los igualamos a cero.

(x + 2) (x + 3) = 0

• Tomamos cada factor por separado, lo igualamos a 0 y despejamos la variable.

x + 2 = 0 x1 = –2

x+3=0 x2 = –3


199

• Verificamos las soluciones sustituyendo x por su valor, en la ecuación original Si x = –2 x2 + 5x + 6 = 0

Si x = –3 x2 + 5x + 6 = 0

(–2)2 + 5(–2) + 6 = 0 4 + (–10) + 6 = 0 –6 + 6 = 0 0=0

(–3)2 + 5(–3) + 6 = 0 9 + (–15) + 6 = 0 –6 + 6 = 0 0=0 x1 = –2 x2 = –3

• La igualdad se cumple, las soluciones son:

Ejercicio 3 x2 + 3x – 28 = 0

Siga los pasos del ejemplo y resuelva la ecuación:

x2 = x

• Obtenga la raíz cuadrada del término cuadrático x2 . Este resultado será el primer término en cada binomio.

(x + ) (x + )

• Busque dos números cuya suma sea 3 y su producto – 28. Esos números son y 7.

+ 7 =3 •

• Exprese los binomios como factores e iguálelos a cero.

= – 28

(x – 4) (x + 7) = 0

x–4=0

• Tome cada factor por separado, iguálelos a 0 y despeje la variable.

x+7=0

x1 =

x2 =

• Verifique las soluciones sustituyendo x por su valor en la ecuación original. Si x = 4

(

x2 + 3x – 28 = 0

IGER − Zaculeu

(

x2 + 3x – 28 = 0

)2 + 3(

) – 28 = 0

+

– 28 = 0

28 – 28 = 0

28 – 28 = 0

0=0

0=0

• Las soluciones de la ecuación son:

200

Si x = –7

x1 = 4 x2 = –7

)2 + 3(

) – 28 = 0

+

– 28 = 0

2.2 Problemas que se resuelven por medio de ecuaciones cuadráticas Algunos problemas se pueden representar por ecuaciones cuadráticas y encontrar así su solución. En este apartado veremos algunos ejemplos. Ejemplo ¿Cuál es el número positivo cuyo cuadrado más dicho número más cinco unidades es igual a 61? • Expresamos los datos que nos proporciona el problema en una tabla número buscado

cuadrado del número más cinco

suma de los dos anteriores

x

x2+ 5

x2 + x + 5 = 61

• Planteamos la ecuación. • Igualamos la ecuación a 0

x2 + x + 5 = 61 x2 + x + 5 – 61 = 0 x2 + x – 56 = 0

• Factorizamos: •

•

Obtenemos la raíz cuadrada del término cuadrático x2 . Este resultado será el primer término de cada binomio.

x2 = x (x ) (x )

Buscamos dos números cuya suma sea 1 y su producto, –56. Esos números son –7 y 8.

•

Expresamos los binomios como factores y los igualamos a cero.

•

Tomamos cada factor por separado, lo igualamos a 0 y despejamos la variable.

–7 + 8 = 1 –7 • 8 = –56 (x – 7) (x + 8) = 0 x – 7 = 0 x1 = 7

x+8=0 x2 = –8

• El problema pide un número positivo, así que descartamos x2 = –8 porque es número negativo y tomamos la solución x1 = 7 • Comprobamos el resultado.

x2 + x + 5 = 61 (7)2 + 7 + 5 = 61 49 + 7 + 5 = 61 56 + 5 = 61 61 = 61

• La igualdad se cumple. El problema está resuelto correctamente. Matemática − Semana 31

201

¡Otro ejemplo! María es cuatro años mayor que su hermano. ¿Qué edad tiene actualmente cada uno si dentro de tres años el producto de sus edades será 221? • Expresamos los datos que nos proporciona el problema en una tabla. Edad del hermano de María

Edad de María

x

x+4

Dentro de 3 años Dentro de 3 años hermano de María María

x+3

• Como el producto de estas edades dentro de tres años es 221, planteamos la ecuación. • Multiplicamos los binomios. • Igualamos el resultado a 0 para obtener una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 • Factorizamos la ecuación obtenida. •

(x + 4) + 3 (x + 7) (x + 3) = 221

x2 + 3x + 7x + 21 = 221 x2 + 10x + 21 – 221 = 0 x2 + 10x – 200 = 0 x2 + 10x – 200 = 0 x2 = x

Obtenemos la raíz cuadrada del término cuadrático x2 . Este resultado será el primer término de cada binomio.

(x ) (x )

•

Buscamos dos números cuya suma sea 10 y su producto, –200. Esos números son –10 y 20.

–10 + 20 = 10 –10 • 20 = –200

•

Igualamos el producto de los binomios a cero.

(x – 10) (x + 20) = 0

•

Igualamos a cero cada factor y despejamos la variable.

x – 10 = 0 x1 = 10

x + 20 = 0 x2 = –20

• Como no puede haber edades negativas, descartamos la solución x2 = –20 y tomamos la solución x1 = 10 • Comprobamos el resultado:

x2 + 10x + 21 = 221 (10)2 + 10(10) + 21 = 221 100 + 100 + 21 = 221 200 + 21 = 221 221 = 221

• La igualdad se cumple. María tiene 14 años y su hermano 10.

202

IGER − Zaculeu

Resumen 1.

Las ecuaciones cuadráticas o ecuaciones de segundo grado se caracterizan porque la incógnita está elevada al exponente dos, x2. En general, se representa como:

ax2 + bx + c = 0 Donde:

•

ax2 es el término cuadrático. El coeficiente numérico (a) es siempre distinto de cero.

•

bx es el término de primer grado, puede estar formado por un coeficiente numérico (b) y la variable (x) o solo por la variable.

•

c es el término independiente formado por un coeficiente numérico.

Los términos b y c pueden representar cualquier número real. El término a también puede ser cualquier número real distinto de cero.

1.1 Clasificación de las ecuaciones cuadráticas a. Completa: cuando los tres coeficientes numéricos a, b, y c son distintos de cero. b. Incompleta: una ecuación cuadrática es incompleta cuando falta el término de primer grado bx, el término independiente (c) o ambos. 2.

Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización consiste en tomar el trinomio ax2 + bx + c = 0 de la ecuación cuadrática y expresarlo como producto de sus factores. Seguimos estos pasos: •

Obtenemos la raíz cuadrada del término cuadrático x2. Este resultado será el primer término en cada binomio.

•

Buscamos dos números que cumplan la doble condición: a. La suma de ambos es igual al término de primer grado, bx b. Su producto es igual al término independiente, c

•

Formados los binomios, los igualamos a cero.

•

De nuevo igualamos a cero cada factor y despejamos la variable.

Investigue en la red... Si lo desea, visite http://goo.gl/yQiYcF para escuchar una explicación sobre ecuaciones cuadráticas y practicar en línea. Matemática − Semana 31

203



A. Observe las ecuaciones. Subraye las que son cuadráticas y escriba los términos que las componen. Tiene un ejemplo.

6x2 término de primer grado: – 7x término independiente: – 3

1) 3x + 5x = – 6

término cuadrático:

término de primer grado:

término independiente:

0) 6x2 – 7x – 3 = 0


2) 20x2+ 72x – 4 = 0 término cuadrático:



3) 6x + 12 = 0




4) x2 + 6x + 10 = 0




B. Rellene el círculo de la opción correcta. Tiene un ejemplo. 1) Entre las siguientes ecuaciones, ¿cuál es cuadrática?

2x + 16 = 0 9x + 3 + 9 = 36 x2 – 4 = 0

2) ¿Cuál es el primer término de la ecuación cuadrática: x2 + 11x + 24 = 0?

x2 11x 24

3) Entre las siguientes ecuaciones, ¿cuál es cuadrática?

6x – 8 = 0 y2 – y – 20 = 0 x + 3x – 5 = 0

4) Entre las siguientes ecuaciones, ¿cuál es cuadrática incompleta?

3x2 – 5x – 2 = 0 x + 10 = 0 x2 – 5x = 0

204

IGER − Zaculeu

C. Observe con atención las ecuaciones, determine si son completas o incompletas y escriba los coeficientes de cada término. Tiene un ejemplo. Ecuación cuadrática completa

0) x2 + 5x + 4 = 0

coeficiente a =

coeficiente b =

1 5

coeficiente c =

4

1) x2 – 10x = 0

coeficiente a =

coeficiente b =

coeficiente c =

2) x2 + 6x – 27 = 0

coeficiente a =

coeficiente b =

coeficiente c =

3) x2 – x = 0

coeficiente a =

coeficiente b =

coeficiente c =

4) 2x2 + 5x + 2 = 0

coeficiente a =

coeficiente b =

coeficiente c =

Actividad 2.


Resuelva las siguientes ecuaciones por factorización. Hágalo en su cuaderno. 1) x2 + 8x + 7 = 0

6) x2 – 4x – 21 = 0

11) x2 – x – 12 = 0

2) x2 + 12x + 32 = 0

7) x2 – x – 2 = 0

12) x2 – 7x + 12 = 0

3) x2 + 12x + 27 = 0

8) x2 + 2x – 8 = 0

13) x2 – 5x + 4 = 0

4) x2 +15x + 56 = 0

9) x2 – 10x + 24 = 0

14) x2 – 14x + 45 = 0

5) x2 – 12x – 28 = 0

10) x2 – 17x + 72 = 0

15) x2 + 7x – 8 = 0 Matemática − Semana 31

205

Agilidad de cálculo mental A. Solucione las ecuaciones lineales por simple inspección. Tiene un ejemplo. 0) x – 15 = 1

x = 16

16) x – 5 = 4

1) 6 + x = 9

17) x – 1 = 5

2) x + 3 = 4

18) x – 2 = 1

3) x – 15 = 4

19) x – 6 = 3

4) x + 7 = 30

20) m + 8 = 30

5) x – 8 = – 10

21) x – 1 = 24

6) x + 9 = 12

22) x + 9 = 16

7) x – 3 = – 1

23) y + 1 = 2

8) x + 12 = 9

24) x + 8 = 14

9) 8 + x = 10

25) x + 2 = 6

10) x – 7 = 4

26) x – 3 = 10

11) x + 5 = 13

27) x + 8 = 21

12) x + 5 = 25

28) x + 5 = 30

13) x + 10 = 20

29) x + 11 = 22

14) y + 5 = 18

30) y + 7 = 20

15) x + 8 = 14

31) x + 3 = 12

B. Resuelva las siguientes ecuaciones en el menor tiempo posible. Tiene un ejemplo . 0) 3x = 15

x=

1) 4x = 8

5

9) 4x = 28 x =

18) 8x = 80 x =

x=

10) 2x = 14 x =

19) 5x = 45 x =

2) 5x = 50 x =

11) 3x = 15 x =

20) 6x = 18 x =

3) 2x = 18 x =

12) 3x = 21 x =

21) 9x = 63 x =

x=

13) 5x = 40 x =

22) 8x = 16 x =

5) 9x = 45 x =

14) 7x = 70 x =

23) 2x = 28 x =

6) 3x = 18 x =

15) 4x = 80 x =

24) 5x = 15 x =

7) 7x = 63 x =

16) 6x = 60 x =

25) 3x = 30 x =

8) 4x = 16 x =

17) 9x = 18 x =

26) 10x = 20 x =

4) 8x = 0

206

IGER − Zaculeu

Razonamiento lógico A. Exprese en lenguaje simbólico cada enunciado. Tiene un ejemplo. 0. El cuadrado de un número.

x2

1. Un número cualquiera. 2. La diferencia de dos números cualesquiera. 3. El doble de un número más cinco. 4. La división de un número entre su antecesor. 5. La mitad de un número. 6. El triple de un número. 7. La suma de dos números cualesquiera. 8. El cuadrado de un número aumentado en 7. 9. El cubo de un número más el triple de dicho número. 10. Un número disminuido en cinco. 11. Un número entero par. 12. Un número entero impar. 13. La suma de dos números pares enteros consecutivos. 14. La sexta parte de la suma de dos números. B. Lea con atención cada problema, plantee una ecuación y resuélvala para encontrar la solución. 1. Eva tiene 3 quetzales más que Leonel. Si juntos tienen 61 quetzales, ¿cuánto tiene cada uno? 2. La edad de Juan es el triple que la de Ana y la edad de los dos suma 96 años. ¿Qué edad tiene cada uno? 3. Un estudiante paga 164 quetzales por dos libros, uno de Física y otro de Matemática. ¿Cuál es el precio de cada libro si el de Matemática costó 48 quetzales más que el de Física? 4. Un número x + 20 es igual a 35. ¿Cuál es el número? 5. La suma de dos números es 200. El mayor excede al menor en 120. Halle los números. Matemática − Semana 31

207

Desarrolle nuevas habilidades Complete las figuras. Este ejercicio aumentará su capacidad de observación y cálculo espacial. Examine las figuras de forma horizontal, vertical y diagonal y deduzca el diseño. En el espacio vacío dibuje la figura que usted piensa que completa el diseño.

Tomado de Juegos de ingenio. Eugene Raudsepp




208


Reconozco las características de una ecuación cuadrática. Resuelvo ecuaciones cuadráticas por factorización. Desarrollo mi lenguaje simbólico y mi razonamiento lógico en la solución de problemas. Mejoro mi habilidad de cálculo mental en la solución de ecuaciones lineales. Desarrollo mi creatividad a través de la observación y la deducción. IGER − Zaculeu


32 Ecuaciones de segundo grado II ¿Qué encontrará esta semana? Ecuaciones que cambiaron la faz de la Tierra Resolución de ecuaciones cuadráticas por fórmula general Resolución de ecuaciones lineales por simple inspección Resolución de problemas con la fórmula de Vieta

Esta semana logrará:  Aplicar la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.  Aplicar las ecuaciones cuadráticas en la solución de problemas.  Desarrollar su razonamiento lógico en la solución de problemas.  Mejorar su habilidad de cálculo mental en la solución de ecuaciones lineales. 


209

¡Para comenzar! Ecuaciones que cambiaron la faz de la Tierra Un filatelista es un coleccionista de sellos postales. En 1971, Nicaragua editó una colección de diez sellos postales que muestran las diez ecuaciones que cambiaron “la faz de la Tierra”. Cada ecuación representa un momento decisivo de la matemática o de la ciencia. Al reverso de cada sello se encuentra una breve explicación de la ecuación. Conozcamos algunos.

Las leyes de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que describen por completo los fenómenos electromagnéticos.

La Ley de Newton o ley de la gravitación universal.

Ley de Tsiolkovskii: Relacionada con la astronáutica, indica que la velocidad final de los cohetes depende de la reserva de combustible y de la velocidad de expulsión de los gases de combustión.

¡A trabajar! Lo invitamos a navegar por la Internet e investigar cuáles son las otras siete ecuaciones. Le sugerimos esta dirección: http://goo.gl/0go3mi

210

IGER − Zaculeu

El mundo de la matemática 1. Resolución de ecuaciones cuadráticas por la fórmula general

La fórmula de Vieta

Recordemos que cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar como:

ax2 + bx + c = 0 La semana pasada aprendimos a solucionar estas ecuaciones por factorización. Ahora lo haremos utilizando la fórmula de Vieta:

– b ± b2 – 4ac x= 2a Donde: • x: representa las dos soluciones de la ecuación cuadrática (x1 y x2) • b: es el coeficiente del término de primer grado bx. A la izquierda del radical, se debe multiplicar por el signo menos (–) y dentro del radical se eleva al cuadrado. •

±: el símbolo formado por el signo más y el signo menos indica que toda raíz cuadrada puede tener dos resultados: uno positivo y otro negativo.

Por ejemplo:

9 = ± 3 porque:

32 = 3 x 3 = 9

(–3)2 = (–3) x (–3) = 9 • – 4: es un factor constante. •

a: es el coeficiente del término cuadrático (ax2) y nunca es igual a cero. Dentro del radical, se debe multiplicar por – 4 y por c. En el denominador se debe multiplicar por 2.

• 2: es un factor constante en el denominador.

La fórmula de Vieta es muy práctica porque: Permite resolver todo tipo de ecuaciones cuadráticas. Se trabaja solo con los coeficientes a, b y c de la ecuación.

ax2 + bx + c = 0 Matemática − Semana 32

211

Para aprender a utilizar adecuadamente la fórmula de Vieta iremos resolviendo paso a paso una ecuación cuadrática. Resolvamos la ecuación cuadrática x2 + 6x + 5 = 0 • Escribimos la fórmula e identificamos los valores numéricos de a, b y c.

x=

– b ± b2 – 4ac 2a

a=1

b=6

c=5

• Sustituimos los valores numéricos de a, b y c en el lugar que corresponde dentro de la fórmula. Operamos potencias y productos.

x=

– (6) ± 62 – 4(1)(5) 2 (1)

• Operamos la resta dentro del radical.

x=

– (6) ± 36 – 20 2

• Extraemos la raíz cuadrada.

x=

• Obtenido el resultado de la raíz cuadrada, subdividimos la expresión en x1, con signo + y x2 con signo –. • Resolvemos cada expresión para obtener los valores de x1 y x2.

– (6) ± 16 2 –6±4 x= 2 –6–4 2

x1 =

–6+4 2

x1 =

– 10 –2 = –1 x2 = = –5 2 2

x1 = – 1

x2 =

x2 = – 5

¡Otro ejemplo! Resolvamos 2x2

3x + 1 = 0

• Escribimos la fórmula e identificamos los valores numéricos de a, b y c.

x=

– b ± b2 – 4ac 2a

a=2

• Sustituimos los valores de a, b y c en la fórmula. Operamos potencias y productos. • Operamos la resta dentro del radical. • Extraemos la raíz cuadrada.

212

IGER − Zaculeu

b=–3

x=

x= x=

c=1

– (–3) ± (–3)2 – 4(2)(1) 2 (2) 3± 9–8 4 3± 1 4

• Obtenido el resultado de la raíz cuadrada, subdividimos la expresión en x1, con signo + y x2 con signo –.

x= x1 =

3±1 4

3+1 4

x2 =

• Resolvemos cada expresión para obtener los 4 x1 = =1 valores de x1 y x2.

2 1 = 4 2 1 x2 = 2 x2 =

4

x1 = 1

3–1 4

Ejercicio 1

Siguiendo los pasos de los ejemplos. Resuelva. A. x2 + 7x + 12 = 0 •

Escribimos la fórmula e identificamos los valores numéricos de a, b y c.

x=

– b ± b2 – 4ac 2a

a=1

b=

c=

•

Sustituimos los valores numéricos de a, b y c en el lugar que corresponde dentro de la fórmula. Operamos potencias y productos.

x=

– (7) ± 72 – 4(1)(12) 2( )

•

Operamos la resta dentro del radical.

x=

– 7 ± 49 – 48 2

•

Extraemos la raíz cuadrada.

x=

•

Obtenido el resultado de la raíz cuadrada, en este caso 1, subdividimos la expresión en x1, con signo + y x2 con signo –.

•

Resolvemos cada expresión para obtener los valores de x1 y x2.

x1 =

–7+1 2

=

–6 2

=

x2 =

–7–1 2

=

–8 2

x=

–7± 2 –7±1 2

x1 =

–7+1 2

x2 =

–7–1 2

=


213

1.1 Problemas que se resuelven por medio de ecuaciones cuadráticas La semana anterior resolvimos ecuaciones cuadráticas por factorización y esta semana lo haremos por fórmula general. Podemos resolver los problemas utilizando cualquiera de los dos métodos. Ejemplo Andrea es tres años mayor que Beto. Si el producto de las dos edades es 108, ¿cuál es la edad de cada uno? • Expresamos los datos que nos proporciona el problema en una tabla: Edad de Beto

Edad de Andrea Producto de las edades

x

x+3

x (x + 3) = 108

• Formamos y expresamos la ecuación para resolverla.

x2 + 3x = 108

• Igualamos la ecuación a 0.

x2 + 3x – 108 = 0

• Sustituimos los valores de a, b y c en la fórmula. a = 1; b = 3; c = –108. Operamos potencias y productos.

x=

• Resolvemos las operaciones del radical.

x=


x=

• Obtenido el resultado de la raíz cuadrada, en este caso 21, subdividimos la expresión en x1, con signo + y x2 con signo –.

x=

– (3) ± 32 – 4(1)(–108) 2 (1)

– 3 ± 9 + 432 2 – 3 ± 441 2

– 3 ± 21 2

x1 = x2 =

– 3 + 21 2

– 3 – 21

• Hallamos los valores de x1 y x2.

x1 =

– 3 + 21 18 = =9 2 2

x2 =

2

–3 – 21 24 = = –12 2 2

Descartamos –12 porque no existen edades negativas.

Para comprobar el resultado, sustituimos la solución que consideramos válida en el planteamiento inicial de las edades. •

Edad de Beto: x = 9

•

Edad de Andrea: (x + 3) = (9 + 3) = 12

Respuesta: Beto tiene 9 años y Andrea 12.

214

IGER − Zaculeu

¡Otro ejemplo! Luis tiene 7 quetzales más que Dora. Si el producto de lo que tienen los dos es 144 quetzales, ¿cuánto tiene cada uno? • Expresamos los datos que nos proporciona el problema en una tabla: Dinero de Dora

Dinero de Luis

Producto y dinero total

x

x+7

x (x + 7) = 144

• Formamos y expresamos la ecuación para encontrar el valor de x.

x2 + 7x = 144


x2 + 7x – 144 = 0

• Sustituimos los valores de a, b y c en la fórmula. a = 1; b = 7; c = –144. Operamos potencias y productos.

x=

– (7) ± 72 – 4(1)(–144) 2 (1)

• • Resolvemos las operaciones del radical.

x=

– 7 ± 49 + 576 2


x=

– 7 ± 625 2

• Obtenido el resultado de la raíz cuadrada, en este caso 25, subdividimos la expresión en x1, con signo +, y x2, con signo –.

x=

– 7 ± 25 2

x1 = x2 =

– 7 + 25 2 – 7 – 25 2

• Resolvemos cada expresión para obtener los valores de x1 y x2.

x1 =

– 7 + 25 18 = =9 2 2

x2 =

–7– 25 –32 = = – 16 2 2

Descartamos –16 porque el dinero que se tiene no se representa con cantidades negativas.

Para comprobar el resultado, sustituimos la solución que consideramos válida en el planteamiento inicial •

Dinero de Dora: x = 9

•

Dinero de Luis: (x + 7) = (9 + 7) = 16

Respuesta:

Dora tiene 9 quetzales y Luis 16. Matemática − Semana 32

215

Ejercicio 2

Siga los pasos y resuelva este problema. La edad de Juana es el cuadrado de la de su hijo, y dentro de 24 años, la edad de Juana será el doble de la del hijo. ¿Cuántos años tienen ahora Juana y su hijo? • Expresamos los datos que nos proporciona el problema en una tabla: Edad actual de Juana

Edad actual del hijo

Edad futura de Juana

Edad futura del hijo

x2

x

x2 + 24

x + 24

• La ecuación que expresa que “la edad de Juana, dentro de 24 años, será igual al doble de la de su hijo” es:

x2 + 24 = 2(x + 24)

• Quitamos el paréntesis del segundo miembro.

x2 + 24 = 2x + 48


x2 – 2x + 24 – 48 = 0

• Reducimos términos semejantes y ya tenemos la ecuación definitiva.

x2 – 2x – 24 = 0 a=

• Sustituimos los valores de a, b y c en la fórmula.

x=

– (–2) ± (– 2)2 – 4( 2 (1)

• Resolvemos las operaciones del radical.

x=


x=

• Obtenido el resultado de la raíz cuadrada, en este caso 10, subdividimos la expresión en x1, con signo + y x2 con signo –.

x=

• Resolvemos cada expresión para obtener los valores de x1 y x2.

x1 =

2 + 10 12 = = 2 2

x2 =

216

La edad de Juana es:

IGER − Zaculeu

c= )(

)

+ 2 ± 4 + 96 2 +2± 2 2 ± 10 2

x1 = x2 =

2 + 10 2 2 – 10

2 – 10 –8 = = 2 2

• Descartamos – 4 porque no existen edades negativas. Puede dar la respuesta sustituyendo 6 por el valor de x.

b=

y la edad del hijo es:

x2 = (6)2 = 36 x=6

2

Resumen Otra forma de resolver ecuaciones cuadráticas es aplicar la fórmula de Vieta:

x=

– b ± b2 – 4ac 2a

Donde: • x: representa las dos soluciones de la ecuación cuadrática (x1 y x2) • b: es el coeficiente del término de primer grado bx. A la izquierda del radical, se debe multi plicar por el signo menos (–) y dentro del radical se eleva al cuadrado. • ±: indica que toda raíz cuadrada tiene dos resultados: uno positivo y otro negativo.

Por ejemplo:

9 = ± 3 porque:

32 = 3 x 3 = 9

(–3)2 = (–3) x (–3) = 9 • – 4: es un factor constante. • a: es el coeficiente del término cuadrático (ax2) y nunca es igual a cero. Dentro del radical, se debe multiplicar por – 4 y por c. En el denominador se debe multiplicar por 2. • 2: es un factor constante en el denominador. Para resolver una ecuación cuadrática con la fórmula de Vieta seguimos estos pasos: • Escribimos la fórmula e identificamos los valores numéricos de a, b y c. • Sustituimos los valores numéricos de a, b y c en la fórmula. Operamos potencias y productos. • Resolvemos las operaciones del radical. • Extraemos la raíz cuadrada. • Subdividimos la expresión en x1, con signo +, y x2 con signo –. •


Investigue en la red... Si quiere practicar la resolución de problemas que se resuelven con ecuaciones de segundo grado, visite esta página: http://goo.gl/y98wM4


217



Rellene el círculo de la opción correcta. 1. ¿Cuál es la expresión correcta de la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas? x=

b ± b2 – 4ac 2a

x=

– b ± b2 – 4ac 2a

x=

–b ± b2 – 4a 2a

x=

b– b2 – 4ac 2a

2) ¿Cuáles son las soluciones a la ecuación x2 + 8x + 15 = 0?

x1 = – 3; x2 = – 5 x1 = 1; x2 = 6 x1 = – 1; x2 = – 6

3) ¿Cuáles son las soluciones a la ecuación x2 – 25x + 24 = 0?

x1 = 25; x2 = 4 x1 = 1; x2 = 24 x1 = – 1; x2 = – 24

4) ¿Cuáles son las soluciones a la ecuación 3x2 – 5x + 3 = 0?

x1 = 2; x2 = – 5 x1 = – 5; x2 = 3

no tiene raices reales 5) ¿Cuáles son las soluciones a la ecuación x2 – 6x + 5 = 0?

Actividad 2.

x1 = 1; x2 = 5 x1 = – 1; x2 = 5 x1 = 1; x2 = – 5


Resuelva las siguientes ecuaciones aplicando la fórmula de Vieta. Trabaje en su cuaderno. 1) x2 + 4x – 21 = 0

9) 2x2 + 5x – 3 = 0

2) x2 + 4x + 3 = 0

10) 3x2 + 4x – 4 = 0

3) x2 + 6x + 5 = 0

11) x2 – x – 20 = 0

4) 8x2 – 20x + 12 = 0

12) x2 + 3x – 28 = 0

5) 5x2 + 13x – 6 = 0

13) x2 + 6x – 27 = 0

6) x2 + 10x – 11 = 0

14) 3x2 – 5x – 2 = 0

7) x2 + 7x + 12 = 0

15) 2x2 + 5x – 7 = 0

8) x2 + 8x + 12 = 0

16) x2 – 9x – 22 = 0

218

IGER − Zaculeu

Agilidad de cálculo mental A. Solucione las ecuaciones lineales por simple inspección. Tiene un ejemplo. 0) x – 10 = 1

x=

1) 3 + x = 9

11

16) x – 5 = 8

x=

x=

17) x – 1 = 4

x=

2) x + 3 = 7

x=

18) x – 2 = 3

x=

3) x – 12 = 4

x=

19) x – 6 = 2

x=

4) x + 7 = 20

x=

20) m + 8 = 20

x=

5) x – 8 = 10

x=

21) x – 1 = 13

x=

6) x + 6 = 18

x=

22) x + 9 = 15

y=

7) x – 3 = –9

x=

23) y + 1 = 4

x=

8) x + 12 = 15

x=

24) x + 8 = 16

x=

9) 8 + x = 24

x=

25) x + 2= 10

x=

10) x – 7 = 13

x=

26) x – 3 = 7

x=

11) x + 10 = 25

x=

27) x + 8 = 22

x=

12) x + 5 = 15

x=

28) x + 5 = 25

x=

13) x + 10 = 30

x=

29) x + 11 = 21

x=

14) y + 5 = 16

y=

30) y + 7 = 15

x=

15) x + 8 = 18

x=

31) x + 3 = 8

x=

B. Resuelva las siguientes ecuaciones en el menor tiempo posible. Tiene un ejemplo. 0) 3x = 30

x = 10

7) 7x = 49

x=

14) 7x = 14

x=

1) 4x = 12

x=

8) 4x = 36

x=

15) 4x = 32

x=

2) 5x = 30

x=

9) 4x = 16

x=

16) 6x = 36

x=

3) 2x = 20

x=

10) 2x = 8

x=

17) 9x = 27

x=

4) 8x = 80

x=

11) 3x = 12

x=

18) 8x = 64

x=

5) 9x = 90

x=

12) 3x = 30

x=

19) 5x = 15

x=

6) 3x = 24

x=

13) 5x = 25

x=

20) 6x = 12

x=


219

Razonamiento lógico Lea con atención cada problema, plantee una ecuación cuadrática y resuélvala.

1) ¿Cuál es el número positivo que sumado con su cuadrado da como resultado 132?

2) Elisa tardó dos horas menos que Felipe en recorrer una distancia en bicicleta. Si el producto de los dos tiempos es 48 horas, ¿cuánto tardó cada uno?

3) El largo de un rectángulo mide 3 cm más que el ancho. Si el área del rectángulo es 88 cm2, ¿cuánto mide el ancho y el largo? Sugerencia: dibuje la figura de rectángulo para expresar los datos.

4) Pedro es 2 años mayor que Alba y la suma de los cuadrados de ambas edades es 130 años. ¿Qué edad tiene cada uno?

5) Separe 15 en dos partes de tal manera que su producto sea 56.

6) Tono es 4 años mayor que Hilda y la suma de los cuadrados de ambas edades es 136 años. Calcule la edad de cada uno.

7) Arturo es 5 años mayor que Beatriz. El producto de sus edades es 374. Calcule la edad de cada uno.

8) Obtenga dos números naturales consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea 145.

9) Encuentre dos números cuya suma sea 28 y cuyo producto sea 187. 10) Encuentre tres números consecutivos cuyos cuadrados sumen 77. 11) Si un terreno rectangular tiene un perímetro de 88 m y un área de 475 m2, ¿cuáles son sus dimensiones?




220


Aplico la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas. Aplico la fórmula de Vieta en la solución de problemas Desarrollo mi razonamiento lógico en la solución de problemas Mejoro mi habilidad de cálculo mental en la solución de ecuaciones lineales IGER − Zaculeu

logrado


33 Gráfica de funciones cuadráticas ¿Qué encontrará esta semana? El exponente de x es 1: función lineal Función cuadrática: características generales Cálculo del valor numérico de expresiones algebraicas Problemas que involucran la función cuadrática para su solución

Esta semana logrará:  Reconocer las características de las funciones cuadráticas.  Representar gráficamente funciones cuadráticas.  Desarrollar su razonamiento lógico en la solución de problemas.  Mejorar su habilidad de cálculo mental en la valuación de expresiones algebraicas. 


221

¡Para comenzar! El exponente de x es 1: función lineal En la semana 28 de Utatlán, aprendió que una función lineal es aquella cuyo exponente de la variable x siempre es uno (1) y su gráfica sobre el plano es una línea recta. Para representar gráficamente una función, elaboramos una tabla de valores, ubicamos los pares ordenados en el plano cartesiano y unimos con una línea recta los puntos obtenidos. Recordemos con un ejemplo. Un bebé mide 50 cm cuando nace. Si aumenta 2 cm cada mes, ¿cuánto medirá cuando cumpla 6 meses y cómo se verá la línea de crecimiento en una gráfica? La función que relaciona estas cantidades es f (x) = 50 + 2x Hasta llegar a la gráfica, previamente debemos asignar valores a x y trasladar esos valores a la tabla. Siga el proceso que marca la línea de puntos.

cm

f(x) = 50 + 2x = y

x

f(0) = 50 + 2 (0) = 50

0 1 2 3 4 5 6

f(1) = 50 + 2 (1) = 52 f(2) = 50 + 2 (2) = 54 f(3) = 50 + 2 (3) = 56 f(4) = 50 + 2 (4) = 58 f(5) = 50 + 2 (5) = 60 f(6) = 50 + 2 (6) = 62

y 50 52 54 56 58 60 62

-3 -2 -1

y 62 60 58 56 54 52 50 0

1 2 3 4 5 6 7 -5 mes -10 -15

Respuesta: Al cumplir seis meses el bebé medirá 62 cm. ¡A trabajar! Represente gráficamente la función f (x) = 4x. Utilice los valores asignados a la variable x para elaborar la tabla de valores.

f f f f f f

222

(x) = 4x = y (– 2) = 4 (– 2) = – 8 (– 1) = 4 (– 1) = – (0) = 4 ( )= (1) = 4 ( )= (2) = 4 ( )=

IGER − Zaculeu

x –2 –1

0 1 2

y –8

x

El mundo de la matemática 1. Función cuadrática

Funciones de segundo grado

Una función es una relación de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos. Esto significa que si tenemos dos conjuntos, A y B, a cada elemento del conjunto A le corresponde un elemento del conjunto B. Veamos un ejemplo muy sencillo para recordarlo. Conjunto A= Departamentos del norte de Guatemala Conjunto B = Cabeceras del norte de Guatemala A = {Alta Verapaz, Baja Verapaz} Conjunto A

Conjunto B

Alta Verapaz

→

Cobán

Baja Verapaz

→

Salamá

B = {Cobán, Salamá} Para cada elemento del conjunto A hay un elemento único del conjunto B que le corresponde.

Para cada par ordenado de números de una función f, f (x) = y. Esto significa que el valor de f en x es y. En nuestro ejemplo, si la función de x es “cabecera de” tenemos que:

x = Alta Verapaz x = Baja Verapaz

f (x) = y = Cobán f (x) = y = Salamá

Una función cuadrática es aquella en la cual el mayor exponente de la variable es 2. Las funciones se representan con letras minúsculas, generalmente f, g, h. La función cuadrática se puede escribir como una ecuación de la forma:

f (x) = ax2 + bx + c ¿Qué representa esta ecuación? • Como usted ya sabe, a, b y c representan cualquier número real, con la condición de que a no puede ser 0. El valor de b y de c sí puede ser cero. Recuerde lo que estudiamos en la semana 31 sobre ecuaciones cuadráticas incompletas. Ejemplos de funciones cuadráticas son: y = f (x) = x2 + 3x + 7 y = f (x) = x2 – 5 y = f (x) = 3x2 + 2x – 4

Fíjese, a nunca es igual a cero, en los primeros dos ejemplos a = 1. Recuerde, si una variable no tiene un número delante, siempre se asume que el valor es 1. En el tercer ejemplo a = 3.


223

2. Gráfica de la función cuadrática

Funciones de segundo grado

El procedimiento para representar gráficamente una función cuadrática es el mismo que aprendimos en las funciones lineales, pero en una función cuadrática la figura geométrica que resulta es una parábola. Una parábola es una curva abierta simétrica respecto a una línea recta o eje. La parábola tiene las siguientes características: • Orientación o concavidad (ramas o brazos)

La parábola es cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba.

La parábola es convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.

La orientación está definida por el signo del término cuadrático (ax2). Si a tiene un valor positivo la parábola es cóncava y si el valor de a es negativo, la parábola es convexa.

ramas de la parábola

y

y = ax2 x

y = – ax2

• Puntos de la parábola Los puntos de la parábola están dados por los valores de x que se determinan. Para calcular algunos puntos escogemos un intervalo que representa a x. El intervalo va, por lo general, de – 2 a 2 y lse representa entre corchetes: [– 2, 2]. Veamos un ejemplo: Graficar la función f (x) = x2 en el intervalo [–2, 2]. Aplicamos la función en el intervalo definido. A cada elemento de x, del intervalo definido, le corresponde un valor de y que está dado por la función x2. y

y = f (x) = x

2

f (– 2) = (– 2) = 4

x –2

y 4

f (– 1) = (– 1)2 = 1

–1

1

0

0

1

1

2

4

2

f (0) = (0)2 = 0 f (1) = (1)2 = 1

4 3 2 1 -2

-1

f (2) = (2) = 4 2

Los puntos encontrados serán los puntos de la parábola.

224

IGER − Zaculeu

-1 -2 -3 -4

1

2

x

• Eje de simetría o simetría

El eje de simetría de una parábola es la recta vertical que divide simétricamente a la curva, la separa en dos partes semejantes.

• Vértice

El vértice de una parábola es el punto donde la parábola cruza su eje.

Si el coeficiente del término x2 es positivo, el vértice será el punto más bajo de la forma “U”.

y

eje de simetría

x

vértice

Si el coeficiente del término x2 es negativo, el vértice será el punto más alto en la gráfica, en la parte alta de la forma “∩”.

Ejercicio 1 Rellene el círculo que responde correctamente el enunciado. Tiene un ejemplo. 0) Una función cuadrática es aquella en la cual el mayor exponente de la variable en la expresión algebraica es:

uno dos cuatro

1) La representación gráfica de una ecuación cuadrática es:

una línea recta una parábola un círculo

2) Cuando las ramas o brazos se orientan hacia arriba, la parábola es:

cóncava convexa simétrica

3) El punto donde la parábola cruza su eje se llama:

punto de corte concavidad vértice

4) La gráfica de la función f (x) = – 2x2 es:

una línea recta una parábola cóncava una parábola convexa

5) En la función f (x) = 4x2, el valor de y para x = – 2 es:

8 16 – 16 Matemática − Semana 33

225

1.1 Pasos para trazar la gráfica de la función cuadrática Para dibujar la gráfica de una función cuadrática seguimos estos pasos: • Sustituimos los valores del intervalo en x. Como ya dijimos, normalmente el intervalo es [-2, 2]. • Trasladamos los valores obtenidos a una tabla.En la columna izquierda escribimos los elementos de x y en la derecha escribimos los valores de la función y. • Graficamos la función en el plano cartesiano con los pares ordenados resultantes (x, y) . Lo entenderemos mejor con un ejemplo. Ejemplo Grafiquemos f (x) = x2 definida en el intervalo [–2, 2]

f (x) = x2 = y

• Sustituimos los valores del intervalo en x, aplicamos la función y calculamos el valor de y.

f (– 2) = (– 2)2 = 4 f (– 1) = (– 1)2 = 1 f (0) = (0)2 = 0 f (1) = (1)2 = 1 f (2) = (2)2 = 4

• Trasladamos los valores obtenidos a una tabla. En la columna izquierda escribimos los elementos de x y en la derecha escribimos los valores de la función y. • Graficamos la función en un plano cartesiano con los pares ordenados (x, y) resultantes. Los puntos de x se marcan sobre el eje x horizontal y los puntos de y se marcan sobre el eje vertical. y (-2,4)

226

IGER − Zaculeu

x –2

y = x2 4

–1

1

0

0

1

1

2

4

4 3 2 1

(-1,1) -2

-1

-1 -2 -3 -4

(2,4)

(1,1) 1

2

x

¡Otro ejemplo! Grafiquemos f (x) = –3x2 definida en el intervalo [–2, 2] • Sustituimos los valores del intervalo en x.

f (x) = –3x2 = y

f (– 2) = –3(– 2)2 = – 3 • 4 = – 12 f (– 1) = –3(– 1)2 = – 3 • 1 = – 3 f (0) = –3(0)2 = – 3 • 0 = 0 f (1) = –3(1)2 = – 3 • 1 = – 3 f (2) = –3(2)2 = – 3 • 4 = – 12 • Trasladamos los valores obtenidos a una tabla. En la columna izquierda escribimos los elementos de x y en la derecha los valores de la función y. • Graficamos la función en un diagrama cartesiano con los pares ordenados (x, y) resultantes. y

x –2

y = – 3x2 – 12

–1

–3

0

0

1

–3

2

– 12

12 9 6 3 -2

-1

-3 -6 -9 -12

1

2

x

Ejercicio 2 A. Grafique f (x) = x2 – 4 definida en los números reales en el intervalo [–2, 2]. • Sustituimos los valores del intervalo en x.

f (x) = x2 – 4 = y f (– 2) = (– 2)2 – 4 = 4 – 4 = f (– 1) = (– 1)2– 4 = 1 – 4 = f (0) = (0)2 – 4 = 0 – 4 = f (1) = (1)2 – 4 = 1 – 4 = f (2) = (2)2– 4 = 4 – 4 =

• Traslade los valores obtenidos a una tabla.

x y = x2 – 4

–2

–1

0

1

2


227

y

• Grafique la función en un diagrama cartesiano con los pares ordenados (x, y) resultantes.

4 3 2 1 -2

-1

-1 -2 -3 -4

1

x

2

B. Grafique f (x) = – x2 + 7 definida en los números reales en el intervalo [–2, 2] • Sustituya los valores del intervalo en x.

f (x) = – x2 + 7 = y f (– 2) = – (– 2)2 + 7 = – 4 + 7 = f (– 1) = – (– 1)2 + 7 = – 1 + 7 f (0) = – (0)2 + 7 = 0 + 7 f (1) = – (1)2 + 7 = – 1 + 7 = f (2) = – (2)2 + 7 = – 4 + 7 =

• Traslade los valores obtenidos a la tabla.

x –2 2 y=–x +7

7 6 5 4 3 2 1 -2

IGER − Zaculeu

0 7

1

y

• Grafique la función en un diagrama cartesiano con los pares ordenados (x, y) resultantes.

228

–1

-1

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

1

2

x

2

Resumen 1.

Función cuadrática

Una función cuadrática es aquella en la cual el mayor exponente de la variable en la expresión algebraica es 2. Las funciones se representan con letras minúsculas, generalmente f, g, h. La función cuadrática se puede escribir como una ecuación de la forma:

f (x) = ax2 + bx + c

2.

Gráfica de la función cuadrática

La figura geométrica que representa a una función cuadrática es una parábola. Esta es una curva abierta simétrica respecto a una línea recta o eje. La parábola tiene las siguientes características:

Eje de simetría Ramas de la parábola

• Orientación o concavidad

• Puntos de la parábola

• Eje simétrico

• Vértice

Para dibujar la gráfica de una ecuación cuadrática seguimos estos pasos:

vértice

• Sustituimos los valores del intervalo en x. Generalmente el intervalo es [–2, 2]. • Trasladamos los valores obtenidos a una tabla. En la columna izquierda escribimos los elementos de x y en la derecha escribimos los valores de la función y. • Graficamos la función en un plano cartesiano con los pares ordenados (x, y) resultantes.

Investigue en la red... Lo invitamos a revisar ejemplos de la vida real de la aplicación de funciones cuadráticas. Visite: http://goo.gl/eans4k Matemática − Semana 33

229



A. Rellene el círculo que responde correctamente el enunciado. Tiene un ejemplo. 0) Una función cuadrática es aquella en la cual el mayor exponente de la variable en la expresión algebraica es:

uno dos cuatro

1) La figura que resulta al graficar una función cuadrática se llama…

elipse parábola hipérbola

2) Cuando las ramas o brazos se orientan hacia abajo la parábola es…

cóncava convexa simétrica

3) La recta vertical que divide simétricamente a la curva se llama…

punto de corte concavidad vértice

4) Si el valor de a es positivo la parábola es…

cóncava convexa plana

B. Identifique en la parábola la parte que indica cada flecha.

y

x C. Indique hacia dónde se da la abertura de la curva de las funciones cuadráticas siguientes explique por qué. Tiene un ejemplo. 0) f (x) = –9x2 1) f (x) = –x2 + 9x 2) f (x) = 8x2 – x + 3

230

IGER − Zaculeu

hacia abajo, porque el valor de a es negativo.

D. Construya una tabla de valores para las siguientes funciones. Asigne a x los valores comprendidos en el intervalo [–2 a 2].

x y = – x2

x y = x2 – x

–2

–1

0

1

2

x y=–x +x+2

–2

–1

0

1

2

x y = – x2 + 3

–2

–2

–1

–1

0

1

0

2

1

2

2

Actividad 2.


Represente gráficamente las siguientes funciones cuadráticas definidas en los números reales, en el intervalo de [– 2, 2]. Hágalo en su cuaderno. 1) f (x) = x2 + 3

5) f (x) = 4x2 + 1

2) f (x) = x2 – 1

6) f (x) = – 2x2

3) f (x) = x2 – 2

7) f (x) = – 4x2 + 3

4) f (x) = x2 + 2

8) f (x) = – 3x2 Matemática − Semana 33

231

Agilidad de cálculo mental A. Calcule el valor numérico de estas expresiones algebraicas si x = 2. Tiene un ejemplo. 0) 4x + 2 =

4 (2) + 2 = 10

6) 2x – 1 =

1) 3x + 1 =

7) 9x – 9 =

2) 6x + 3 =

8) 7x – 3 =

3) x + 7 =

9) 6x + 1 =

4) 5x + 10 =

10) 8x + 3 =

5) 7x – 3 =

11) 8x – 3 =

B. Calcule directamente el valor numérico de estas expresiones algebraicas si x = 5. Tiene un ejemplo. 0) 4x + 2 =

22

6) 2x – 3 =

1) 3x + 6 =

7) 6x – 3 =

2) 2x + 4 =

8) 5x – 3 =

3) x + 3 =

9) 3x + 4 =

4) 4x + 7 =

10) 10x + 6 =

5) 8x – 5 =

11) 10x – 6 =

C. Calcule el valor numérico de estas expresiones algebraicas si z = 4. Tiene un ejemplo. 0) 4z + 2 =

232

18

6) 2z – 1 =

1) 3z + 1 =

7) 9 – 9z =

2) – 6z + 3z =

8) 7z – z =

3) z + 4 =

9) 6 + z =

4) 5z + 10 =

10) – 8z + 3 =

5) 7z – 3z =

11) – 3z + 8 =

IGER − Zaculeu

Razonamiento lógico ¡Lanza la pelota! Para encontrar la altura de una pelota, lanzada desde el nivel del suelo, podemos utilizar la función

f (x) = – 5x2 + 20x

Siga los pasos que se le indican y grafique la función. Tome en cuenta que x representa el tiempo en segundos. Grafiquemos f (x) = –5x2 + 20x, definida en el intervalo [0, 4] • Sustituya los valores del intervalo en x.

f f f f f f

(x) = –5x2 + 20x = y (x) = –5(0)2 + 20(0) = 0 (x) = –5(1)2 + 20(1) = (x) = –5(2)2 + 20(2) = (x) = –5(3)2 + 20(3) = (x) = –5(4)2 + 20(4) =

• Traslade los valores obtenidos a la tabla. En la fila superior los elementos de x y en la fila inferior los valores de la función y.

x y = –5x2 + 20x

0 0

1

2

3

4

• Grafique la función con los pares ordenados (x, y) resultantes. Los puntos de x se marcan sobre el eje x (horizontal) y los puntos de y se marcan sobre el eje y (vertical). y 25 20 15 10 5 -1

1

2

3

4

5

6

x

-5


233

Desarrolle nuevas habilidades Le presentamos un problema de aplicación que se resuelve utilizando una ecuación de segundo grado. A partir de una pieza cuadrada de hoja lata, se desea construir una caja de base cuadrada y sin tapa, quitando cuadrados en las esquinas de 2 cm por lado y doblando hacia arriba los lados; si la caja debe tener un volumen de 98 cm3, ¿cuáles son las dimensiones de la pieza de hojalata que deberá usarse? Se construye una figura con los datos que se proporcionan.

x

x–4

Ordene en una tabla todos los datos del problema. Volumen

Alto

Largo

98

2

x–4

Ancho

La fórmula del volumen de la caja es:

V = (alto)(largo)(ancho)

Sustituya los datos en la fórmula del volumen.

98 = 2

98 = 2x2 – 16x + 32

(x – 4)

Ordene los dos miembros de la ecuación y resuelva por factorización o por el método que le resulte más fácil. La longitud de la pieza de hojalata es

por lado.




234


Reconozco las características de las funciones cuadráticas. Represento gráficamente funciones cuadráticas. Desarrollo su razonamiento lógico en la solución de problemas. Mejoro mi habilidad de cálculo mental en la valuación de expresiones algebraicas.

IGER − Zaculeu

logrado


34 Repaso: semanas 26 a 33 Esta semana logrará:  Repasar los contenidos de la semana 26 a la 33.  Realizar los ejercicios de repaso para prepararse para la prueba final.  Resolver problemas aplicando los conocimientos aprendidos en las semanas 26 a 33. 


235

Querida y querido estudiante: Se aproxima la prueba final de este ciclo de estudios y debe prepararse lo mejor que pueda repasando los contenidos de la semana 26 a la 33. Para aprovechar este repaso le recomendamos: • Haga un plan de lo que estudiará cada día y trate de cumplirlo. Dedique más tiempo a los temas que le resulten difíciles. • Busque un lugar tranquilo, iluminado y silencioso para estudiar. • Lea los resúmenes de cada semana y escriba las ideas más importantes en su cuaderno. • Escuche la clase radial. Sus profesores locutores le acompañarán en este repaso y le ayudarán a resolver algunos ejercicios. • Compruebe que haya realizado bien los autocontroles. Si tiene dudas, vuelva a leer las semanas, ahí encontrará explicaciones y ejemplos.

¿Cómo será la prueba de evaluación? La prueba final evalúa los mismos contenidos y de la misma forma como los ha trabajado semana a semana. En la prueba encontrará: • Una serie de agilidad mental para medir su destreza y rapidez de cálculo, en un tiempo límite de tres minutos. • Diferentes ejercicios que evalúan lo aprendido en las ocho semanas. Estos ejercicios serán semejantes a los que usted resolvió en las actividades del autocontrol. Se le pedirá:  responder preguntas,  rellenar el círculo de la opción correcta,  realizar operaciones y  resolver problemas. • Cuando resuelva ejercicios y problemas, debe dejar escrito el procedimiento. • Muy importante: cada serie contiene instrucciones exactas de lo que debe realizar en cada apartado, así como la valoración asignada. Si usted se prepara con tiempo y dedicación, el resultado será satisfactorio.

236

IGER − Zaculeu

El mundo de la matemática Potenciación de expresiones algebraicas 1.

La expresión xa es una potencia algebraica en la que x es la base y a es el exponente. Para resolver operaciones con potencias, aplicamos las reglas de la potenciación.

1.1 Regla del producto de potencias de igual base

Para multiplicar expresiones que tienen la misma base, copiamos la base y sumamos los exponentes.

xa • x b = xa + b

1.2 Regla del cociente de potencias de igual base

Para dividir expresiones que tienen la misma base, copiamos la base y restamos los exponentes.

xa a –b xb = x

o

xa ÷ xb = xa – b

1.3 Regla del exponente cero

Cualquier expresión algebraica, excepto el cero, elevada al exponente 0 da como resultado 1.

x0 = 1 1.4 Regla de la potencia de una potencia

Para elevar una potencia a otra potencia, copiamos la base y multiplicamos los exponentes.

(xa)b = xa • b 2.

Regla del exponente negativo

Una potencia de exponente negativo es el inverso de la base con el mismo exponente, pero positivo. Se define así:

1 a–n = an

3.

Regla de la potencia de una fracción algebraica

Para elevar una fracción a una potencia se eleva cada uno de los términos del numerador y del denominador al exponente.

()

a n an b = bn

Una base fraccionaria con exponente negativo es igual a la inversa de la fracción elevada al exponente positivo.

() () a b

–n

b = a

n


237

Ejercicio 1 Rellene el círculo de la respuesta correcta a cada pregunta. 1. ¿A qué regla de la potenciación se refiere el enunciado: “copiamos la base y multiplicamos los exponentes”?

regla del cociente regla del producto regla de la potencia

2. ¿Cuál es el resultado de x5∙x3?

x8 x15 x2

3. ¿Cuál es el resultado de (2x3)0?

0 1 2

4. ¿Cuál de las expresiones es correcta?

x9 • x2 = x18 x9 ÷ x2 = x7 (x9)2 = x11

5. Cuál de las expresiones es incorrecta?

( ab ) ( )

Ejercicio 2 A. Aplique la regla del producto para resolver las potencias. Tiene un ejemplo.

0) x5 • x2 = x5 + 2 = x7 6) c9 • c12 =

12) k12 • k11 =

1) c4 • c3 =

7) x3 • x9 =

13) x14 • x12 =

2) a3 • a =

8) y7 • y14 =

14) x16 • x14 =

3) b7 • b4 =

9) d12 • d13 =

4) y8 • y5 =

10) x15 • x17 =

16) x22 • x24 =

11) h13 • h10 =

17) x25 • x35 =

5) m9 • m4 =

238

IGER − Zaculeu

( )

b = a x • x2 = x3 x 2 x2 3 = 3 –1

15) x15 • x21 =

B. Aplique la regla del cociente para resolver las potencias. Tiene un ejemplo.

y 8–3 5 0) y3 = y = y 3)

x8 x6 =

8

a3

1)

d15 = d10

4) a3 =

2)

z3 = z

5) = 7

b10 b

6)

x14 = x9

7)

m18 = m9

8)

y21 y12 =

C. Aplique la regla de la potencia de una potencia a cada factor dentro del paréntesis para resolver cada ejercicio. Tiene un ejemplo. 3 2 3 2•3 6 0) (4x2)3 = (4) (x ) = 64x = 64x 6) (2a2b)3 =

1) (2a5)2 =

7) (9x2y)2 =

2) (3b2)3 =

8) (3x2y2)3 =

3) (x3y5)4 =

9) (7a3b5)2 =

4) (a3x2)2 =

10) (10x2y2)2 =

5) (2b4y2)3 =

11) (2h3k6)4 =

D. Realice las operaciones necesarias para eliminar los exponentes negativos de las potencias. Tiene un ejemplo.

1

2

0) 2x – 2 = 2 x2 = x2

5) y6 • y– 3 =

1) 3x– 4 =

2) 1 = –3

7) (2x2) – 1 =

3) 4x– 5 =

8) 2 =

x

4)

2x = x– 3

6) 35 • 3– 2 =

x– 3 x

9) – 5y3– 4 = Matemática − Semana 34

239

Factorización de expresiones algebraicas I 1.

La factorización consiste en descomponer un producto de dos o más factores. La factorización permite simplificar expresiones.

1.1 Para factorizar por factor común, seguimos estos pasos: •

Calculamos el máximo común divisor de los coeficientes numéricos.

•

Buscamos la variable común, con su menor exponente.

•

Dividimos cada término de la expresión dada entre el factor común encontrado.

•

Escribimos la respuesta. Fuera del paréntesis colocamos el factor común y dentro del paréntesis el resultado de la división.

Ejemplo: 2x2 + 6x = 2x(x + 3)

1.2 La factorización por agrupación se emplea en expresiones que tienen cuatro términos o más aplicando la asociación de términos con factor común. Para hacerlo seguimos los siguientes pasos: •

Asociamos los términos de manera que cada grupo tenga un factor común y cada término pertenezca a un grupo.

•


•

Utilizamos el factor común y los términos repetidos de ambas agrupaciones para escribir el resultado final.

Ejemplo: x + x2 + 2x + 2 = (x + 1)(x + 2)

1.3 En la factorización por diferencia de cuadrados obtenemos las raíces cuadradas de los términos y hallamos los factores.

Ejemplo: x2 – 4 = (x + 2) (x – 2)

Ejercicio 3 Rellene el círculo de la respuesta correcta a cada pregunta. 1) ¿Cuál es el factor común del binomio 2x + x?

2x x 1

2) ¿Qué caso de factorización aplicamos para factorizar x2 – 4?

factor común

diferencia de cuadrados

factorización por agrupación

240

IGER − Zaculeu

3) ¿Qué caso de factorización se aplica en el binomio x2 – x?

factor común



4) ¿Qué caso de factorización se aplica en el polinomio

factor común

x + x + 3x + 3?


2


5) ¿Cuál es el resultado de factorizar x2 – 1?

(x + 1) (x + 1) (x – 1) (x – 1) (x + 1) (x – 1)

Ejercicio 4

Factorice las expresiones utilizando el caso de factorización indicado. Tiene un ejemplo. A. Factor común 0) x4 + ax2 = x2 (x2 + a)

6)

25a2b6 + 5ab3 =

1) a2 + a =

7)

9ab – 27bc =

2) b3 + b2 =

8)

36mn + 6m =

3) 6y5 + 6y3 =

9)

12y6 + 8y4 =

4) 8z3 – 4z2 =

10)

5x2 + 10x =

5) ax – bx = B. Diferencia de cuadrados

0) 16x2 – 25 = (4x + 5) (4x – 5)

5)

100 – x2y6 =

1) x2 – y2 =

6)

y2 – 1 =

2) a2 – 1 =

7)

16a2– 81b2 =

3) b2 – 16 =

8)

36x2 – 4 =

4) 25 – 36x4 =

9)

25x2y4 – 121 = Matemática − Semana 34

241

C. Factorización por agrupación

0) ax + bx + ay + by =

4)

3m – 2n – 2nx4 + 3mx4 =

(ax + bx) + (ay + by) = x(a + b) + y(a + b) = (a + b) (x + y)

1) am – bm + an – bn =

5)

3x3 – 9ax2 – x + 3a =

2) ax – 2bx – 2ay + 4by =

6)

x + x2 – xy2 – y2 =

3) 3m2 – 6mn + 4m – 8n =

7)

4am3 – 12amn – m2 + 3n

242

IGER − Zaculeu

Factorización de expresiones algebraicas II 1.

Factorización de un trinomio cuadrado perfecto

El trinomio cuadrado perfecto es el equivalente al cuadrado de la suma o la diferencia de dos cantidades.

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 Cumple con estas características: •

Está formado por tres términos y el primer término y el tercero son positivos.

•

El primer término y el tercero tienen raíces cuadradas exactas.

•

El segundo término se forma al multiplicar por dos el primer término por el tercero.

2.

Factorización de un trinomio de la forma x2 +bx + c

El trinomio factorizado es el producto de dos binomios de la forma:

x2 + bx + c = (x + p) (x + q) Para factorizar: •

Descomponemos el trinomio en dos factores (binomios). Para ello obtenemos la raíz cuadrada del primer término.

•

Elegimos dos números (p, q) que al sumarse den como resultado el término b y al multiplicarse de cómo resultado el término c.

p + q = b p•q=c •

x2 +bx + c x2 +bx + c

Expresamos el trinomio como producto de dos factores :

x2 + bx + c = (x + p) (x + q)

Ejercicio 5 Rellene el círculo de la respuesta correcta a cada pregunta. 1) ¿Cuál es el resultado correcto de factorizar x2 + 4x + 4?

(x + 2)2 (x + 4)2 (x2 + 2)2

2) ¿Cuál es el resultado correcto de factorizar x2 – x – 6?

(x – 3)(x – 2) (x + 3)(x + 2) (x – 3)(x + 2)

3) ¿Cuál es el resultado correcto de factorizar x2 + 2x – 8?

(x + 4)(x + 2) (x + 4)(x – 2) (x – 4)(x – 2)


243

Ejercicio 6 A. Determine cuáles de los siguientes trinomios son cuadrados perfectos. Tiene un ejemplo. 0) x2 + 18x + 81 =

x2 = x ; 81 = 9 ;

2 • x • 9 = 18x

1) m2 + 2m + 1 =

2) a2 + 4a + 4 =

3) 4x2 – 6x + 8 =

4) 9b2 – 30b + 25 =

5) 4x2 + 12x + 9 =

Sí es trinomio cuadrado perfecto

B. Factorice los trinomios cuadrados perfectos. Tiene un ejemplo. 2 0) a2 + 6a + 9 = (a + 3)

5)

16m2 + 72m + 81 =

1) a2 – 6a + 9 =

6)

25b2 – 30b + 9 =

2) x2 + 10x + 25 =

7)

x2 + 20x + 100 =

3) 36a2 + 12a + 1 =

8)

16y2 – 8y + 1 =

4) x2 – 14x + 49 =

9)

64c2 + 144c + 81 =

C. Factorice los trinomios cuadrados de la forma x2 + bx + c. Tiene un ejemplo. 0) x2 + 5x + 4 = (x + 4)(x + 1)

5)

x2 + x – 2 =

1) x2 + 5x + 6 =

6)

m2 + 5m – 14 =

2) x2 – 7x + 12 =

7)

c2 + 5c – 24 =

3) x2 + 7x + 10 =

8)

a2 + 7a + 6 =

4) x2 – 5x + 6 =

9) a2 + 4a + 3 =

244

IGER − Zaculeu

Radicación de expresiones algebraicas I 1.

La radicación es la operación inversa a la potenciación, los elementos que la forman son: signo radical índice

2

a2 = a

raíz

radicando

Cumple con las reglas siguientes: Regla del producto n

n

Regla del cociente

n

a•b = a • b

n

Por ejemplo 3

n

a = b

n

a b

Por ejemplo

3 100b2 = 100 • 3 b2

49 = x2

49 x2

Regla de la raíz de una potencia Cuando el exponente es igual que el índice n

Cuando el exponente es distinto del índice n

n

an = an = a

am = am/n

Por ejemplo

Por ejemplo

4

2

x4 =

4

x4 = x

y4 = y4/2 = y2

Regla para la raíz de una raíz m

n

a =

m•n

Por ejemplo

a

2

3

2a =

2•3

6

2a = 2a

Ejercicio 7 A.

Resuelva los radicales siguientes de forma directa. Fíjese en el ejemplo.

0)

2

32 = 3

4)

3

23 =

8)

2

h2 =

1)

2

52 =

5)

3

33 =

9)

2

x2 =

2)

2

22 =

6)

3

53 =

10)

2

y2 =

3)

2

66 =

7)

3

83 =

11)

2

k2 = Matemática − Semana 34

245

B.

Aplique la regla del producto y regla del cociente en cada raíz. Tiene un ejemplo.

0)

25 • 36 = 25 • 36 = 5 • 6 = 30

3)

81 = 100

1)

4 • 25 =

4)

225 144 =

2)

36 • 49 =

6)

121 = 256

C.

Aplique la regla de la raíz de una potencia y la regla de la raíz de una raíz. Tiene un ejemplo.

0)

3

1)

4

2)

3 4

D.

Realice las siguientes multiplicaciones y divisiones, si es posible simplifique. Tiene un ejemplo.

0)

2a • 8a2 = (2 • 8) a • a2 = 16 a2 • a = 4a a

1)

9m • 4n =

2)

3)

72x12y14 = 2x10y12

4)

24a8b6 = 6a6b4

246

3

64b6 =

3•2

(2)6b6 = 6 26 • 6 b6 = 2b

44 =

100 =

25x2z • 3 5xz2 =

IGER − Zaculeu

3)

x2 =

4)

5

6)

y =

16x4y4 =

Radicación de expresiones algebraicas II 1.

Radicales semejantes Radicales semejantes son aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando. 1.1 Simplificar un radical consiste en expresar un radical en su forma más simple.

2.

Suma y resta de radicales

La suma y la resta solo se pueden realizar si el índice del radical y el radicando son iguales. Para realizar las sumas y las restas se operan los coeficientes externos y se copian índice y radicando. n

n

n

n

a d + b d − c d = (a + b − c) d 3.

Multiplicación y división de radicales 3.1 Para multiplicar radicales con índices iguales, se multiplican los radicandos y de ser posible se simplifica el resultado. n

n

n

n


3.2 Para dividir radicales con índices iguales aplicamos la propiedad del cociente para raíces con el mismo índice. n

n

a = a b b

n

Ejercicio 8 Rellene el círculo de la respuesta correcta a cada pregunta.

2 x –3 2x –x 2

2) ¿Cómo queda el radical al simplificar 8 ?

( 2

4•2 2 2

3) ¿Cómo deben ser el índice y el radicando de dos o más

iguales

diferentes

1) ¿Cuál de los radicales siguientes es semejante a 2x ?

radicales para sumarlos o restarlos?

4) ¿Cuál de las expresiones siguientes es correcta?

simplificados

9 • 16 = 9 16 9 • 16 = 9 • 16 9 • 16 = 9 + 16 Matemática − Semana 34

247

Ejercicio 9 Practique las operaciones con radicales que indica cada inciso. A. Resuelva las sumas y restas de radicales semejantes. Tiene un ejemplo. 0) 2c b + 4c b = (2c + 4c) b = 6c b 1) 6a x + 7a x = 2) 15xy 7z – 14xy 7z = 3) 8m 2n – 4 2n – 3 2n = 4) 6x2 26 + 8x2 26 = 5) 7y3 3xy + 15y3 3xy – 20y3 3xy = B. Simplifique para convertir los radicales en radicales simples y luego sume o reste. Tiene un ejemplo. 2 0) 6 5a – 45a = (6 5a) – ( 3 • 5a) = 6 5a – 3 5a = 6 – 3 5a = 3 5a

1) 45b – 80b = 2) 175c + 63c = 3) 20x – 5x =

27y + 12y =

4) 5)

3

24z – 3 4z =

B. Simplifique los radicales en radicales simples y luego multiplique. Tiene un ejemplo.

8x3y • 4xy5 = 8 • 4x3+1y5+1 = 32x4y6 = 42 • 2x4y6 = 4x2y3 2

0)

1) 5xy6 • 6x3y = 2) 3) 4) 5)

248

4

9x2 • 4 9x2 = 32x4y3 = 8xy 75x8y4 = 3x5y3 12x2y • 6xy3 =

IGER − Zaculeu

Ecuaciones de segundo grado I 1.

Una ecuación cuadrática o de segundo grado se caracteriza porque la incógnita está elevada al exponente dos, x2. En general, se representa como:

ax2 + bx + c = 0

Donde: •

ax2 es el término cuadrático y si está formado por un coeficiente numérico (a) este es siem-

•

bx es el término de primer grado, puede estar formado por un coeficiente numérico (b) y la variable (x) o solo por la variable.

•

c es el término independiente formado por un coeficiente numérico.

pre distinto de cero.

Los términos b y c pueden representar cualquier número real. El término a también puede ser cualquier número real distinto de cero.

1.1 Clasificación de las ecuaciones cuadráticas a. Completa: cuando los tres coeficientes numéricos a, b, y c son distintos de cero. b. Incompleta: cuando falta el término de primer grado bx, el término independiente (c) o ambos. 2.

Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización consiste en tomar el trinomio ax2 + bx + c = 0 de la ecuación cuadrática y expresarlo como producto de sus factores. Seguimos estos pasos: •

Obtenemos la raíz cuadrada del término cuadrático x2. El resultado será el primer término en cada binomio.

•

Buscamos dos números que cumplan la doble condición: a. Su suma es igual al término de primer grado, b b. Su producto es igual al término independiente, c

•

Formados los binomios, los igualamos a cero.

•

De nuevo igualamos a cero cada factor y despejamos la variable.

Ejercicio 10 Rellene el círculo de la opción que responde correctamente a cada pregunta. 1) ¿Cuál es la característica principal que identifica a una ecuación cuadrática?

tiene variable x se compone de tres términos el mayor exponente de la variable es 2

2) ¿Cuál de las ecuaciones siguientes es una ecuación cuadrática?

2x + 4 = 12 2x + 2y = 0 x2 – 2x = 1 Matemática − Semana 34

249

Ejercicio 11 A. Observe cada ecuación e indique si se trata de una ecuación cuadrática o una ecuación de primer grado. Tiene un ejemplo. Es cuadrática

3) 3x – x + 2 = 0

1) 2x2 – 3 = 0

4) x2 + x = 0

2) 8x + 6 = 0

5) 5w2 – 16w + 3 = 0

0) 3x2 – 4x = 0

B. Observe las ecuaciones cuadráticas y escriba si se trata de una ecuación cuadrática completa o incompleta. Tiene un ejemplo. 0) x2 + x – 12 = 0

Ecuación cuadrática completa

1) x2 – 49 = 0 2) 2x2 – 32x = 0 3) x2 + 15x + 8 = 0 4) z2 + 16z + 64z = 0 5) x2 – 9 = 0

Ejercicio 12 Resuelva las siguientes ecuaciones por factorización, realice el procedimiento en su cuaderno. Fíjese en el ejemplo. 0) x2 + 3x – 54 = 0 1) x2 + 7x + 10 = 0 2) x2 – 8x + 15 = 0 3) x2 – x – 20 = 0 4) x2 – 11x + 30 = 0 5) x2 + 11x + 24 = 0 6) x2 + 7x + 10 = 0 7) x2 – 5x + 6 = 0 8) x2 + 3x – 10 = 0 9) x2 + x – 2 = 0 10) a2 + 4a + 3 = 0 11) m2 + 5m – 14 = 0 12) x2 – 3x + 2 = 0

250

IGER − Zaculeu

(x + 9) (x – 6) =0,

x1 = – 9

x2 = 6

Ecuaciones de segundo grado II Otra forma de resolver ecuaciones cuadráticas es aplicar la fórmula de Vieta:

– b ± b2 – 4ac x= 2a Donde: • x: representa las dos soluciones de la ecuación cuadrática (x1 y x2) • b: es el coeficiente del término de primer grado bx. A la izquierda del radical, se debe multi plicar por el signo menos (–) y dentro del radical se eleva al cuadrado. • ±: indica que algunas raíces tienen dos resultados: uno positivo y otro negativo.

Por ejemplo:

9 =±3

porque:

32 = 3 x 3 = 9

(–3)2 = (–3) x (–3) = 9 • – 4: es un factor constante. • a: es el coeficiente del término cuadrático (ax2) y nunca es igual a cero. Dentro del radical, se debe multiplicar por – 4 y por c. En el denominador se debe multiplicar por 2. • 2: es un factor constante en el denominador. Para resolver una ecuación cuadrática con la fórmula de Vieta seguimos estos pasos: • Escribimos la fórmula e identificamos los valores numéricos de a, b y c. • Sustituimos los valores numéricos de a, b y c en la fórmula. • Resolvemos todas las operaciones del radical. • Subdividimos la expresión en x1, con signo +, y x2 con signo –. •


Ejercicio 13 Identifique los coeficientes a, b y c en cada ecuación cuadrática y escriba los valores sobre las líneas. Tiene un ejemplo. 0) x2 – 15x + 50 = 0 a = 1,

b = –15,

c = 50

1) 4x2 + 20x + 25 = 0 a =

b=

c=

2) 3x2 + 13x + 4 = 0 a =

b=

c=

a=

b=

c=

3) 6x2 + 11x – 10 = 0


251

Ejercicio 16 Aplique la fórmula de Vieta para resolver las ecuaciones cuadráticas. Fíjese en el ejemplo.

– b ± b2 – 4ac x= 2a 0) x2 + 3x – 10 = 0

x=

–3 ± 32 – 4(1)(–10) 2(1)

x=

– 3 ± 9 + 40 2

x=

– 3 ± 49 – 3 ± 7 = 2 2

1) 3y2 + y – 2 = 0

x1 = – 3 + 7 = 42 = 2 2 –10 = –5 x2 = – 3 – 7 = 2 2

2) x2 – 12x + 20 = 0

252

IGER − Zaculeu

3) 2x2 – 10x + 12 = 0

4) 5w2 – 16w + 3 = 0

5) 4x2 – 4x – 48 = 0

6) 2x2 + 3x – 2 = 0

7) 3x2 – 5x – 2 = 0

Ejercicio 15 Aplique una ecuación cuadrática para resolver los problemas. 1) El largo de un terreno rectangular mide 10 metros más que su ancho. Si el área mide 75 m2, ¿cuáles son las dimensiones del terreno? 2) La edad de Andrea es 3 años mayor que Alberto. Si el producto de sus edades igual a 180, ¿cuál es la edad de cada uno? Matemática − Semana 34

253

Gráfica de funciones cuadráticas 1.

Función cuadrática

Una función cuadrática es aquella en la cual el mayor exponente de la variable en la expresión algebraica es 2. Las funciones se representan con letras minúsculas, generalmente f, g, h. La función cuadrática se puede escribir como una ecuación de la forma:

f (x) = ax2 + bx + c

2.

Gráfica de la función cuadrática

La figura geométrica que representa a una función cuadrática es una parábola. Esta es una curva abierta simétrica respecto a una línea recta o eje. La parábola tiene las siguientes características:

•

Orientación o concavidad

•

Puntos de la parábola

•

Eje simétrico

•

Vértice

Eje de simetría

y

Ramas de la parábola x

vértice

Para dibujar la gráfica de una ecuación cuadrática seguimos estos pasos:

• Sustituimos los valores del intervalo en x. Generalmente el intervalo es [–2, 2]. • Trasladamos los valores obtenidos a una tabla. En la fila superior escribimos los elementos de x y en la fila inferior escribimos los valores de la función y. • Graficamos la función en un diagrama cartesiano con los pares ordenados (x, y) resultantes.

Ejercicio 16 A continuación se le presenta una serie de funciones cuadráticas. Indique si la gráfica de cada una se abre hacia arriba o hacia abajo. Explique su respuesta. Tiene un ejemplo. 0) f(x) = x2 + 2x + 1 hacia arriba, porque el valor de a es positiva 1) f (x) = 2x2 – 1 2) f (x) = – x2 + 3

254

IGER − Zaculeu

Ejercicio 17 Escriba sobre la línea el nombre de las partes de la parábola que señala cada numeral. Tiene un ejemplo. 1

y

0 ramas de la parábola

2

x

3

Ejercicio 18 Elabore una tabla de valores para cada función. Asigne los valores indicados para la variable x. Le ayudamos el primer valor del inciso 1. 1) f (x) = x2 – 2

y

x

f (–2) = (–2)2 – 2 = 4 – 2 = 2

f(–1) =

–1

f (0) =

0

f(1) =

f(2) =

–2

y

4 3 2 1

2

-4 -3 -2 -1

1 2

x –1

f(0) =

0

f(2) =

y

4 3 2 1

–2

f(–1) =

f(1) =

x

y

2) f(x) = – x2 + 4

f(–2) =

1 2 3 4 -1 -2 -3 -4

1 2

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x

-1 -2 -3 -4


255

Agilidad de cálculo mental Mejore su velocidad de cálculo con ecuaciones de primer grado con una incógnita. Debe resolverlas en el menor tiempo posible. Guíese por los ejemplos. A. Sumas 6) x + 3 = 17

x=

12) x + 14 = 26

x=

x=

7) x + 6 = 16

x=

13) x + 19 = 30

x=

2) x + 9 = 18

x=

8) x + 15 = 23

x=

14) x + 18 = 28

x=

3) x + 7 = 13

x=

9) x + 17 = 25

x=

15) x + 21 = 34

x=

4) x + 5 = 21

x=

10) x + 12 = 19

x=

5) x + 8 = 19

x=

11) x + 16 = 24

x=

0) x – 4 = 12,

x = 16

6) x – 6 = 13

x=

12) x – 24 = 8

x=

1) x – 6 = 18

x=

7) x – 8 = 22

x=

13) x – 28 = 3

x=

2) x – 2 = 11

x=

8) x – 10 = 5

x=

14) x – 14 = 6

x=

3) x – 5 = 17

x=

9) x – 15 = 9

x=

15) x – 19 = 4

x=

4) x – 7 = 21

x=

10) x – 12 = 7

x=

5) x – 3 = 25

x=

11) x – 27 = 5

x=

0) x + 6 = 15,

x=

1) x + 4 = 12

9

B. Restas

C. Multiplicación

6) 7x = 28

x=

12) 9x = 54

x=

x=

7) 3x = 21

x=

13) 8x = 64

x=

2) 9x = 27

x=

8) 5x = 45

x=

14) 6x = 48

x=

3) 4x = 24

x=

9) 6x = 36

x=

15) 9x = 63

x=

4) 6x = 42

x=

10) 7x = 56

x=

5) 8x = 40

x=

11) 4x = 36

x=

0) 5x = 30

x=

1) 2x = 16

6

D. División 0) 1) 2) 3)

4)

256

x 2 = 8 x 3 = 4 x = 7 5 x 10 = 5 x 3 = 9 IGER − Zaculeu

x = 16

5) x = 8

x=

x=

6)

= 7

x=

x=

7)

= 8

x=

x=

8)

= 9

x=

x=

9)

= 10

x=

4 x 9 x 3 x 2 x 7

Razonamiento lógico Lea con atención cada enunciado e identifique los datos conocidos y los datos desconocidos. Luego, aplique las operaciones adecuadas para resolver cada problema. 1) El área total de un terreno mide 100 m2. Si la forma del terreno es la de un cuadrado, ¿cuánto miden los lados? 2) Un agricultor desea sembrar, de manera uniforme, 64 matas de tomate en un terreno cuadrado. ¿Cuántas filas de tomate debe sembrar por lado? 3) El tiempo que tarda en caer un objeto que se suelta desde lo alto de un edificio está dado por la fórmula t = 2h g , en la cual t representa el tiempo, h la altura del edificio y g la constante de gravedad (10 m/s2 aproximado). De acuerdo a esta información, ¿cuánto tiempo tarda en caer una pelota que se suelta desde la parte más alta de un edificio de 20 metros? Sustituya los valores de cada letra para resolver el problema. 4) El lado menor de un terreno rectangular mide 2 10 metros y el lado mayor 3 10 metros. ¿Cuánto mide el perímetro del terreno en términos de radicales? Exprese el resultado con radical. 5) El largo de un terreno rectangular mide 2 metros más que su ancho. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno si el área es igual a 24 m2? 6) Hay que fabricar una valla publicitaria de 12 metros cuadrados de superficie. El largo debe medir 1 metro más que el ancho. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la valla para cumplir con estos requerimientos? 7) El producto de dos números es 36. Si se sabe que uno de los dos números es 5 unidades mayor que el otro, ¿cuáles son los números? 8) Alberto es 4 años mayor que Beatriz. ¿Cuántos años tiene cada uno, si se sabe que el producto de las edades es igual a 60? 9) Calcule dos números consecutivos que al multiplicarlos entre sí den como resultado 30. 10) El largo de un cancha de futbol sala mide el doble que su ancho. ¿Cuáles son las dimensiones de la cancha si se sabe que el área es igual a 72 metros cuadrados? 11) La altura de un triángulo rectángulo mide 2 centímetros más que su base. Si el área es igual a 40 centímetros cuadrados, ¿cuánto miden la altura y la base del triángulo? Recuerde que la fórmula para calcular el área de un triángulo es: A =

bxh 2

12) Encuentre dos números que al sumarlos den 15 unidades y al multiplicarlos 54. 13) Si al abrir un libro vemos que el producto de los números de página es igual a 90, ¿en qué páginas abrimos el libro? Matemática − Semana 34

257






Repaso los contenidos de la semana 26 a la 33. Resuelvo los ejercicios de repaso para evaluarme en la prueba final. Me siento bien preparado o preparada para la prueba de evaluación.

Orientaciones sobre la prueba final ¡Llegó el momento de la prueba! Ya está listo para la prueba final de Matemática. Le presentamos las últimas recomendaciones que pueden ayudarle a la hora del examen.

Grupo: Zaculeu Prueba: Final

Al recibir la prueba, y antes de empezar a resolverla, escriba su nombre, número de carné, número de círculo y fecha.

Materia: Matemática A-2014

Nombre: Carné: Círculo de estudio Nº:

Punteo:

Fecha:

i serie.

Lea atentamente las instrucciones antes de contestar. Si tiene duda, consulte a su orientador(a).

1 punto cada respuesta correcta. Total 6 puntos. INSTRUCCIONES: Rellene el círculo de la respuesta correcta a cada pregunta.

1) ¿Cuál es el resultado de factorizar el polinómio 2x2 + x?

x (2x + 1) x2(2x + 1) 2x(x + 1)

No se "atasque" en ningún ejercicio. Empiece por las preguntas que sepa mejor y le quedará más tiempo para pensar en las que tenga dudas. Al finalizar su examen, relea todas sus respuestas y vea si algo se le pasó por alto. Presente su prueba limpia y ordenada.

¡Ánimo! El resultado de su examen será el producto de su esfuerzo.

258

IGER − Zaculeu

Claves

Matemática − Claves

259

Semana 18 ¡A trabajar!

1) 6x + 3x = 90º 9x = 90º x = 90º/9 x = 10º

0) 180º 1) 130º 2) 160º

Ejercicio 1 0) a = 60º 1) b = 45º 2) c = 40º

A. 0) b + 55º = 90º b = 90º – 55º b = 35º

b = 4x b = 4(10º) b = 40º

1) a + 63º = 90º a = 90º – 63º a = 27º

B. 0) e + 135º = 180º e = 180º – 135º e = 45º

e = 8x – 15º e = 8(19º) – 15º e = 152º – 15º e = 137º

y 9

C

8

2) y + 142º = 180º y = 180º – 142º y = 38º

7 6

B

D

5

Ejercicio 3

4

0) (5x + 10º) + (4x + 8º)= 180º 5x + 4x = 180º – 10º – 8º 9x = 162º x = 162º/9 x = 18º

IGER − Zaculeu

d = 2x + 5º d = 2(19º) + 5º d = 38º + 5º d = 43º


1) h + 40º = 180º h = 180º – 40º h = 140º

260

c = 6x – 10º c = 6(10º) – 10º c = 60º – 10º c = 50º

3) (2x + 5º) + (8x – 15º) = 180º 2x + 8x = 180º – 5º + 15º 10x = 190º x = 190º/10 x = 19º

2) d + 31º = 90º d = 90º – 31º d = 59º

a = 5x + 10º a = 5(18º) + 10º a = 90º + 10º a = 100º

d = 3x d = 3(10º) d = 30º

2) 4x + (6x – 10º) = 90º 10x = 90º + 10º x = 100º x = 100º/10 x = 10º

Ejercicio 2

c = 6x c = 6(10º) c = 60º

b = 4x + 8º b = 4(18º) + 8º b = 72º + 8º b = 80º

A

3

E

2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

• La figura es una estrella de 5 picos. • En la figura hay 20 ángulos. • En la figura hay 15 ángulos agudos.

9

x

Semana 19 ¡A trabajar! A.

B

E A

C

2) a=b 15x – 10º = 10x + 20º 15x – 10x = 20º + 10º 5x = 30º 30º x= 5 x = 6º

D F

B. 1) 8 ángulos rectos 2) 90°

a = 15x – 10º a = 15(6º) – 10º a = 90º – 10º a = 80º

b = 10x + 20º b = 10(6º) + 20º b = 60º + 20º b = 80º

Ejercicio 1

A. 0) r, u, v, y 2) s y x, w y t 1) s, t, w, x 3) r y y, v y u B. 0) b = a a + c = 180° b = 62° 62° + c = 180° c = 180° – 62° c = 118°

3) c + b = 180º (15x – 20º) + (4x + 10º) = 180º 15x + 4x = 180º + 20º – 10º 19x = 190º 190º x= 19 x = 10º

1) a + b = 180° a + 86° = 180° a = 180° – 86° a = 94°

c = a c = 94°

Ejercicio 2 0) a=b 5x = 3x + 20º 5x – 3x = 20º 2x = 20º 20º x= 2 x = 10º a = 5x b = 3x + 20º a = 5(10º) b = 3(10º) + 20º a = 50º b = 30 + 20º b = 50º 1) a=b 5x = 4x + 15º 5x – 4x = 15º x = 15º a = 5x b = 4x + 15º a = 5(15º) b = 4(15) + 15º a = 75º b = 60 + 15º b = 75º

c = 15x – 20º c = 15(10º) – 20º c = 150º – 120º c = 130º

b = 4x + 10º b = 4(10º) + 10º b = 40 + 10º b = 50º

Desarrolle nuevas habilidades 1) Casa – farmacia: 100 m Farmacia – mercado: 140 m Mercado – casa: 150 m 390 m R/ La menor distancia a recorrer es 390 m. 2) Casa – municipalidad: 90 m Municipalidad – mercado: 80 m Mercado – farmacia: 140 m Farmacia – casa: + 100 m 410 m R/ La menor distancia a recorrer es 410 m.


261

Semana 20

Semana 21

¡A trabajar!

¡A trabajar!

Las respuestas a las preguntas de esta serie son personales.

1) Calcular la altura de la pirámide de Keops. 2) Una vara de longitud conocida. 3) La forma y la altura enorme de la pirámide dificultan la medición de forma directa.

Ejercicio 1 0) cuerda 1) diámetro 2) centro 3) radio 4) arco

Ejercicio 2 0) secantes 1) exteriores 2) concéntricas

Ejercicio 3 πraº 1) AB = 180º

AB = 3.14(12 m)(135º) 180º 3.14(1620 m) AB = 180 508.68 m AB = 18 AB = 28.26 m El agua se dispersa a una longitud de 28.26 m.

2) a. AB =

πraº 180º

AB = 3.14(50 m)(90º) 180º AB = 3.14(450 m) 18 1413 m AB = 18 AB = 78.5 m Se necesitó 78.5 metros de acero.

b. 78.5 x Q50.00 = Q3,925.00 El costo del acero fue de Q3,925.00.

Desarrolle nuevas habilidades 1) b 2) b 3) c

262

IGER − Zaculeu

Ejercicio 1 A. Segmento AB = 8 mm Segmento BC = 16 mm Segmento A'B' = 9 mm Segmento B'C' = 18 mm B. La medida del segmento BC es el doble que la del segmento AB. Sucede lo mismo con las medidas de los segmentos B'C' y A'B'.

Ejercicio 2

AB BC = A'B' B'C' AB 18 m = 10 m 20 m (AB)(20 m) = (10 m)(18 m) 180(m)(m) AB = 20 m AB = 9 m

El tramo AB mide 9 metros de longitud.

1)

2)

AB BC = A'B' B'C' AB 4m = 3m 6m (AB)(6 m) = (4 m)(3 m) 12 (m)(m) =2m 6m La longitud del tramo es de 2 metros.

AB =

Desarrolle nuevas habilidades Guíese por el procedimiento practicado en la semana para calcular la altura de la estructura que eligió. Comparta su trabajo con sus compañeros y compañeras.

Semana 22

Semana 23

¡A trabajar!

¡A trabajar!

Una unidad en el mapa representa cien unidades en la realidad. Veinticinco unidades en el mapa representan quinientas en la realidad.

1) El ángulo que se forma entre los dos catetos mide 90º. 2) Uno recto y dos agudos.

Ejercicio 1 A.

F

C 34 mm

26 mm A

38 mm

B

26 mm

34 mm D

38 mm

B. Si porque sus lados y ángulos son iguales.

Ejercicio 2 x 12 = 10 24 (24)x = 12(10) 12(10) x= 24 120 x= 24 x=5 La medida del lado x es 5.

Ejercicio 3

1.83m x = 1.2m 1.56 m

(1.2 m) x = 1.83 m (1.56 m) 1.83 m (1.56 m ) x= 1.2 m

x=

2.85 m 1.2

E

Ejercicio 1 c2 = a2 + b2 (5 cm)2 = (3 cm)2 + (4 cm)2 25 cm2 = 9 cm2 + 16 cm2 25 cm2 = 25 cm2

Ejercicio 2 c2 = a2 + b2 c2 = (15 cm)2 + (20 cm)2 c2 = 225 cm2 + 400 cm2 c2 = 625 cm2 c2 = 625 cm2 c = 25 cm 25 cm x 4 lados = 100 cm

Se necesitan 100 cm de hilo.

Ejercicio 3 a2 = c2 – b2 a2 = (15 m)2 – (12 m)2 a2 = 225 m2 – 144 m2 a2 = 81 m2 a2 = 81 m2 a=9m

La columna mide 9 m de altura.

9 m x Q500.00 = Q4,500.00 El costo de la columna es de Q4,500.00.


x = 2.38 m El segundo pino mide 2.38 metros.


263

Semana 24

Semana 25

¡A trabajar!

Ejercicio 1

Le presentamos algunos ejemplos de ángulo de elevación y depreciación

1) El ángulo agudo mide menos de 90° mientras que el ángulo obtuso es mayor de 90° y menor de 180°. 2) Los complementarios son dos ángulos cuya suma da 90° y los suplementarios son dos ángulos que sumados dan 180°.

Ángulo de elevación 0) Observar un avión en pleno vuelo. 1) Observar un cometa en el cielo. 2) Observar un pájaro en vuelo. Ángulo de depresión 0) Observar un avión en pleno vuelo. 1) Observar los peces desde la orilla de un río. 2) Observar una lancha desde un puente. 3) Observar un objeto desde lo alto de un edificio. 4) Observar un objeto al fondo de un precipicio.

Ejercicio 2 0) agudo 1) obtuso 2) llano 3) recto

Ejercicio 1

Ejercicio 3

0) 1) 2) 3) 4)

A. 0) a + 50° = 90°; a = 90° – 50°

6 cm 8 cm 8 cm 6 cm 10 cm

Ejercicio 2 cateto opuesto a = 12 cm cateto adyacente b = 12 cm

a = 40°

1) b + 20° = 90°; b = 90° – 20°

b = 70°

2) c + 15° = 90°; c = 90° – 15°

c = 75°

3) d + 58° = 90°, d = 90° – 58°

hipotenusa c = 50 cm

d = 32°

cateto opuesto hipotenusa α sen α = 50 cm α sen α = 0.5 = 50 cm

B. 0) a + 125° = 180°; a = 180° − 125°

sen α =

sen α = (0.5) (50) sen α = 25 cm El cateto opuesto mide 25 centímetros.

a = 55°

1) b + 60° = 180°; b = 180° − 60°

b = 120°

2) c + 80° = 180°; c = 180°− 80°

c = 100°

Ejercicio 4 0) a + b = 90°

x + 5x = 90° 6x = 90° 90° x= 6 x = 15° a = x = 15°

a = x

b = 5x = 5(15°) = 75°

264

IGER − Zaculeu

b = 5x

1) c + d = 90°

c = 7x d = 8x 7x + 8x = 90°; 15x = 90° 90° x= 15 x = 6° c = 7(6°) = 42° d = 8(6°) = 48° 2) e + f = 90°

e = 2x + 34° 2x + 34° + 4x + 8° = 90° 2x + 4x = 90° – 34° – 8° 6x = 48° 48° x= 6 x = 8°

6) m + 2p = 180°

f = 4x + 8°

e = 2(8°) + 34° = 16° + 34° = 50° d = 4(8°) + 8° = 32° + 8° = 40° 3) g + h = 90°

g = 2x h = 5x + 13°

2x + 5x + 13° = 90° 2x + 5x = 90° – 13° 7x = 77° 77° x= 7 x = 11° g = 2(11°) = 22° d = 5(11°) + 13° = 55° + 13° = 68° 4) w + z = 90°

w = 4x + 20° z = x 4x + 20° + x = 90° 5x = 90° – 20° 5x = 70° 70° x= 5 x = 14° w = 4(14°) + 20° = 56° + 20° = 76° z = x = 14° 5) j + k = 180°

5x + 4x = 180° 9x = 180° 180° x= 9 x = 20° c = 5(20°) = 100° d = 4(20°) = 80°

c = 5x d = 4x

8x + 12x = 180° 20x = 180° 180° x= 20 x = 9º m = 8(9°) = 72° p = 12(9°) = 108°

m = 8x

p = 12x

7) k + l = 180°

k = 4x + 48° l = 2x + 24° 4x + 48° + 2x +24° = 180° 4x + 2x = 180° − 48° − 24° 6x = 108° 108° x= 6 x = 18° k = 4(18°) + 48° = 72º + 48º = 120º l = 2(18º) + 24 = 60º 8) q + r + 40° = 180° q = 2x q + r = 180° − 40° q + r = 140° 2x + 4x – 10° = 140° 2x + 4x = 140° + 10° 6x = 150° x = 150° 6 x = 25° q = 2(25°) = 50° r = 4(25°) – 10° = 100° – 10° = 90°

r = 4x – 10°

Ejercicio 5 A. 0) (a, e) y (c, g) 1) a y h 2) c y f 3) (a, d) y (g, f) 4) ángulos alternos internos 5) ángulos opuestos por el vértice B. 0) a = 120°

b = ¿? c = ¿? a + b = 180° 120° + b = 180°; b = 180° − 120° b = 60° c=b c = 60°


265

1) d = 80° e = ¿? f = ¿? d + e = 180° 80° + e = 180°; e = 180° − 80° e = 100° e=f f = 100° 2) m = 120° n = ¿? t = ¿? m=n m = 120° n = 120° n = t n = 120° t = 120° 3) y = 65° w = ¿? y=x x = 65° 180° − 65° = w w = 115°

Ejercicio 6 cu

e

r da

C

d r

ar c

πrαº

α = 90º

AB = 9.42 m IGER − Zaculeu

AB =

180º 3.14(15 cm)(40º) AB = 180º 3.14(600 cm) AB = 180 1884 cm AB = 180 AB = 10.47 cm

Ejercicio 8

1) r = 50 cm πrαº

180º 3.14(6 m)(90º) AB = 180º 3.14(540 m) AB = 180 1695.6 m AB = 180

266

α = 40º

AB =

180º 3.14(25 cm)(180º) AB = 180º AB = 78.5 cm

α = 150º

180º 3.14(10 cm)(150º) AB = 180º 3.14(1500 cm) AB = 180º 4710 cm AB = 180º AB = 26.17 cm

AB =


AB =

1) r = 6 m

α = 180º

o

Ejercicio 7 0) r = 10 cm πrαº

x = ¿?


AB =

180º 3.14(50 cm)(30º) AB = 180º 3.14(1500 cm) AB = 180 4170 cm AB = 180 AB = 26.17 cm

2) r = 10 m πrαº

α = 72º

AB =

180º 3.14(10 m)(72º) AB = 180º 3.14(720 m) AB = 180 42260.8 m AB = 180 AB = 12.56 m

3) r = 3.6 m πrαº

α = 30º

AB =

α = 135º

180º 3.14(3.6 m)(135º) AB = 180º 3.14(486 m) AB = 180

1526.04 m 180

AB =

AB = 8.48 m

Ejercicio 9 0)

x

1.8

3 2

=

3)

x

3 2

=

5

x(2) = 5(3); x = 5(3) 2

x = 7.5

x(2) = 3(1.8);

Ejercicio 11

x = 5.4

1)

x = 2.7

x= 1.7(25);

2

1)

x

3

1.8 2

=

x(2) = 3(1.8); x=

3(1.8)

2

x = 2.7

Ejercicio 10 0)

x

15

=

8 10

x

=

25

1.7 1

x = 1.7(25) 1

x = 42.5 metros 2)

x

=

12

6 8

x(8) = 6(12); 6(12) 8

x=

x = 9 metros

x(10) = 8(15);

Ejercicio 12

x = 8(15)

1) Igual

x = 12

2) Los ángulos son iguales

10

1)

x

9

=

7 6

x(6) = 7(9); x = 7(9) 6

x = 10.5 24 2) = 16 4

Ejercicio 13 A. 1) Ángulos: 40°, 50° y 90° Medidas: 6cm, 9.33cm y 7.15cm 6 cm

x = 96 16

x = 6

9.33 cm

90º

x

x(16) = 4(24);

50º

50º

9.33 cm

90º

60º

40º

6 cm

7.15 cm

7.15 cm

2) Ángulos: 40°, 60° y 80° Medidas: 4m, 6.13m y 6.13m 6.13 m

40º

60º

4m 80º

6.13 m

60º

4m 80º

6.13 m


6.13 m

40º

267

3) Ángulos: 25°, 65° y 90° Medidas: 7.25cm, 25 cm y 8 cm 7.25 cm 25º

B.

25 cm

25 cm

y

=

y

12 8 9 9(12) y= 8 y = 13.5 12 y 2) = 10 8 8(12) y= 10 y = 9.6

x

=

a = 12 cm

1)

c2 = a2 + b2 c2 = (21 cm)2 + (20 cm)2 c2 = 441 cm2 + 400 cm2 c2 = 841 cm2

c2 = 841 cm2 c = 29 cm

268

IGER − Zaculeu

x

=

5 8 5(9.6) x= 8 x = 6

0) c2 = a2 + b2 a2 = c2 – b2 a2 = (37 cm)2 – (35 cm)2 a2 = 1369 cm2 – 1225 cm2 a2 = 144 cm2

x

13.5 9 2 2(13.5) x= 9 x = 3

=

a2 = 144 cm2

=

x = 5.33

Ejercicio 14

x

4 8 6 4(8) x= 6

9 6 10 9(10) x= 6 x = 15 3)

7.25 cm 25º

y = 4.5 1)

90º

65º

65º

6 3 4 6(3) y= 4 0)

8 cm

8 cm

90º

2) c2 = a2 + b2 a2 = c2 – b2 a2 = (25 cm)2 – (20 cm)2 a2 = 625 cm2 – 400 cm2 a2 = 225 cm2

9.6

=

a2 = 225 cm2 a = 15 cm

3) c2 = a2 + b2 b2 = c2 – a2 b2 = (16 cm)2 – (13 cm)2 b2 = 256 cm2 – 169 cm2 b2 = 87 cm2 b2 = 87 cm2 b = 9.33 cm 4) c2 = a2 + b2 c2 = (9 cm)2 + (12 cm)2 c2 = 81 cm2 + 144 cm2 c2 = 225 cm2 c2 = 225 cm2

c = 15 cm

5) c2 = a2 + b2 b2 = c2 – a2 b2 = (13 cm)2 – (12 cm)2 b2 = 169 cm2 – 144 cm2 b2 = 25 cm2

b2 = 25 cm2 b = 5 cm

Ejercicio 15 0) sen 45° = 0.71 1) tan 28° = 0.53 2) cos 55° = 0.57 3) sen 16° = 0.28 4) tan 0° = 0 5) sen 24° = 0.41 6) tan 15° = 0.27 7) cos 0° = 1 8) sen 36° = 0.59 9) cos 50° = 0.64

Ejercicio 16 sen α = 3 5

tan α = 3 4

1) x2 = 81, x = 9

1) x = 6, x = 36

10 sen α = 12.81

8 cos α = 12.81

10 tan α = 8

2) x2 = 16, x = 4

2) x = 7, x = 49

3) x = 25, x = 5

3) x = 10, x = 100

4) x2 = 9, x = 3

4) x = 9, x = 81

5) x2 = 36, x = 6

5) x = 1, x = 1

6) x = 4, x = 2

6) x = 8, x = 64

7) x = 49, x = 7

7) x = 3, x = 9

8) x = 0, x = 0

8) x = 0, x = 0

0) tan 28º =

x

9

cos 28º =

9

y

15 cm

x

x (1.73) = 15 cm

cos 60º =

1.73

x = 8.67 cm y 15 cm

2

8.67

y y (0.5) = 8.67

x = 15 cm y =

2) sen 30º =

2

y = 10.23

1) tan 60º =

2

2

(9) tan 28º = x (y) cos 28º = 9 9 9(0.53) = x y= cos 28º x = 4.77 y = 9 0.88

0) x = 4, x = 16

4 cos α = 5

Ejercicio 17

B. 0) x2 = 64, x = 8

8.67 0.5

y = 17.34 cm

5m (0.5) = y

y = 2.5 m

cos 30º =

x 5m

0.5 (0.87) = x

x = 4.35 m

Agilidad de cálculo mental A. 0) 60° + 30° = 90° 1) 25° + 65° = 90° 2) 30° + 60° = 90° 3) 20° + 70° = 90° 4) 55° + 45° = 90° 5) 75° + 15° = 90° 6) 80° + 10° = 90° 7) 45° + 45° = 90° 8) 25° + 65° = 90° 9) 72° + 18° = 90° 10) 24° + 66° = 90° 11) 16° + 74° = 90°

0) 70° + 110° = 180° 1) 30° + 150° = 180° 2) 40° + 140° = 180° 3) 10° + 170° = 180° 4) 55° + 125° = 180° 5) 60° + 120° = 180° 6) 50° + 130° = 180° 7) 75° + 105° = 180° 8) 20° + 160° = 180° 9) 80° + 100° = 180° 10) 100° + 80° = 180° 11) 150° + 30° = 180°


269

Semana 26 ¡A trabajar! 0) 32 • 35 = 32 + 5 = 37 1) 78 • 76 = 78 + 6 = 714 2) 34 • 39 = 34 + 9 = 313 3) 10 • 102 = 10 1 + 2 = 103 4) 85 ÷ 82 = 85 – 2 = 83 5) 125 ÷ 12 = 125 – 1 = 124 6) 154 ÷ 15 = 154 – 1 = 153 7) 107 ÷ 102 = 107 – 2 = 105

Ejercicio 1

0) a4 • a5 = a4 + 5 = a9 1) y8 • y6 = y8 + 6 = y14 2) k5 • k6 = k5 + 6 = k11 3) h9 • h3 = h9 + 3 = h12 4) x10 • x7 = x10 + 7 = x17 5) b12 • b4 = b12 + 4 = b16

Ejercicio 2

A. 7 b 0) 3 = b 7 – 3 = b4 b 6 a 1) 2 = a 6 – 2 = a4 a x5 2) x4 = x 5 – 4 = x1 = x y9 3) 5 = y 9 – 5 = y4 y z10 4) z3 = z 10 – 3 = z7 d8 5) d8 = d 8 – 8 = d 0 = 1 B. 1) k0 = 1 2) (ab)0 = a0 • b0 = 1 • 1 = 1 3) (2x)0 = 20 • x0 = 1 • 1 = 1 4) (4x)0 = 40 • x0 = 1 • 1 = 1 C. 0) (x4)6 = x4 • 6 = x24 1) (y2)5 = y2 • 5 = y10 2) (a3)4 = a3 • 4 = a12 3) (x2)3 = x2 • 3 = x6 4) (x3)3 = x3 • 3 = x9 5) (y5)3 = y5 • 3 = y15 6 ) (a2)2 = a2 • 2 = a4 7) (b4)7 = b4 • 7 = b28 D. 0) (3a4)2 = 32 • a4 • 2 = 9a8 1) (2x2)3 = 23 • x2 • 3 = 8x6 2) (a3b2)5 = a3 • 5 • b2 • 5 = a15 b10

270

IGER − Zaculeu

3) 4) 5) 6)

(7x2y)2 = 72 • x2 • 2 • y2= 49x4y2 (5x3y3)3 = 53 • x3 • 3 • y3 • 3 = 125x9y9 (4a4b5)2 = 42 • a4 • 2 • b5 • 2 = 16a8 b10 (6y5z3)2 = 62 • y5 • 2 • z3 • 2 = 36y10z6

Ejercicio 3 A. 0) 5x–2

1

= 5 x2 = x52 1

1) a –8 = a8 1 2) b–5 = d5 1 3) d–3 = d3 1 3 4) 3x–4 = 3 x4 = 4 x 1 8 5) 8y–6 = 8 y6 = 6 y 1 1 6) (5z)–10 = (5z)10 = 510z10 1 14 7) 14m–5 = 14 m5 = 5 m 1 1 1 8) (10v)–3 = (10v)3 = 103v3 = 1000v3 1 25 9) 25w–8 = 25 w8 = 8 w B. 7 5 2 2 2 x 7 • 2y 5 • 2 1) 4x 14 y 10 2x 7 y 5 2 (2x y ) = = = 2 2 25x 2y 4 (5xy ) 5xy 2 52 x 2y 2 • 2

(

)

4 4 = 25 • x14–2 • y 10–2 = 25 x 12y 8

2)

( aabb ) = (aabb ) = a a bb 3

2 3

a 9b 6 9–3 6–3 = 3 3 a3b 3 = a b = = a 6 b 3 3

2 3

3•3

2•3

3

Desarrolle nuevas habilidades 36 • 9 = 9 • 9 = 81 4 56 2) • 3 = 7 • 3 = 21 8 42 3) 8 • = 8 • 6 = 48 7 36 4) • 5 = 3 • 5 = 15 12 1)

Semana 27 ¡A trabajar! 1) 64 2 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1

64 = 26 64 = 1 • 64 64 = 2 • 32 64 = 4 • 16 64 = 8 • 8

2) 16 8 4 2 1

16 = 24 16 = 1 • 16 16 = 2 • 8 16 = 4 • 4 16 = 8 • 2

2 2 2 2

• (2x – 16) = 2 (x – 8) • x2 – 8x + 2x – 16 = (x – 8) (x + 2)

Ejercicio 4 49y2 = 7y • 25x2 = 5x • 25x2 – 49y2 = (5x + 7y) (5x – 7y)

Desarrolle nuevas habilidades C

D

A

B

E

1 3

3

3

CADBE

Ejercicio 1 24a2 = (6a)(4a) 24a2 = (12a)(2a) 24a2 = (8a)(3a) 24a2 = (a)(24a)

Ejercicio 2 Factorice: 3xy + 6y • MCD (3, 6) = 3 • xy y

y Factor común: 3y 3xy 6y + = x+2 •

3y

3y

• Respuesta: 3xy + 6y = 3y (x + 2)

Ejercicio 3 1) • ax – 2bx – 2ay + 4by

• • • •

(ax – 2bx) – (2ay – 4by) (ax – 2bx) = x (a – 2b) – (2ay – 4by) = – 2y (a – 2b) ax – 2bx – 2ay + 4by = (a – 2b) (x – 2y)

2) • x2 – 8x + 2x – 16

• (x2 – 8x) + (2x – 16) • (x2 – 8x) = x (x – 8)


271

Semana 28

Semana 29

¡A trabajar!

¡A trabajar!

Comparta su investigación con sus compañeros y comenten sobre sus resultados.

0) 3 1) 8 2) 6 3) 5 4) 10 5) 2 6) 4

Ejercicio 1

1) x2 + 14x + 49 x2 = x Raíz 1er. término: 49 = 7 Raíz 3er. término: Segundo término: 2 • x • 7= 14x x2 + 14x + 49 = (x + 7)2 2 2 2) 9x + 12xy + 4y 9x2 = 3x Raíz 1er. término: 4y2 = 2y Raíz 3er. término: Segundo término: 2 • 3x • 2y= 12xy 9x2 + 12xy + 4y2 = (3x + 2y)2

Ejercicio 2

1) 25x2 – 30x + 9 25x2 = 5x Raíz 1er. término: 9= 3 Raíz 3er. término: Segundo término: −2 • 5x • 3= –30x 25x2 – 30x + 9 = (5x – 3)2

Ejercicio 3

1) a2 + 14a + 40 Raíz 1er. Término: Factores 2) x2 – 6x – 7 Raíz 1er. término: Factores 3) x2 – 12x + 27 Raíz 1er. Término: Factores

a2 = a (a + ) (a + ) 4 + 10 = 14 4 • 10 = 40 a2 + 14a + 40 = (a + 4) (a + 10) x2 = x (x – ) (x + ) 1 + (– 7) = – 6 1 • (– 7) = – 7 x2 – 6x – 7 = (x – 7) (x + 1) x2 = x (x – ) (x – ) (– 3) + (– 9) = (– 12) (– 3) • (– 9) = 27 x2 – 12x + 27 = (x – 9) (x – 3)

Desarrolle nuevas habilidades El área de este cuadrado está dada por: (4 + 2)2 = (4 + 2) (4 + 2) = Aplicando la regla se obtiene: (4 + 2)2 = 4(4) + 2(4) + 2(4) + 2(2) = 42 + 2(2)(4) + 22 = 36

Ejercicio 1 100 • 16y2 100 • 16y2 10 • 4y = 40y 100 • 16y2 = 40y

Ejercicio 2 64 4 64

IGER − Zaculeu

=

4

8 =4 2

Ejercicio 3 0) 3 6) (25a)2/3 1) 8 7) 5m4/2 = 5m2 2) 25w 8) 4xy 3) 3a 9) 6x2y2 2 4) 7x y 10) 4x4 5) 3x 11) 8x6

Ejercicio 4 A. 0) 1) 2) 3) 4) 5)

272

7) 9 8) 12 9) 11 10) 13 11) 16 12) 1 13) 0

4

125 = 3 3

3 6

100 = 45 = b =

3

2•2 4•3

2•3

3•2

5x =

6•3

4

125 = 100 =

45 =

6

6

b

5x =

18

b =

125

12

100

45 5x

18xy = 2•2 18xy = 4 18xy

Semana 30 B. 0)

16x8 3

1)

729y

2)

81b4

= 12

2•2

= =

4

16x8 = 16x8 = 2x2

2•3

2•2

729y12 = 729y12 = 3y2 4

81b4 = 81b4 = 3b

1) x + x + x + x = 80

A.

6

Desarrolle nueva habilidades

Ejercicio 1

4x = 80 80 x= 4 x = 20

R/ Las medidas del área máxima son 20m • 20m.

2) Por tanteo, las medidas para el área más pequeña son 1m • 39m.


Radicales

23 4

4 23

û

2 5ab

30 5ab

ü

4

10x

5 4 10x

ü

5

1220

4

û

12 3c

13

12a 3c

ü

B. La respuesta puede variar, le presentamos algunos ejemplos. 0) 4 5 − 5 −6x 4 1) 8b2 4 12 18x2y3 2) −7 18x2y3 −6a 2x 3) 9 2x

Ejercicio 2 1) 5 xy + 7 xy = (5+7) xy = 12 xy 2) 2a 3 + 3a 3 + 5a 3 = (2a + 3a + 5a) 3 = 10a 3 3) 7x2y 5 – 3x2y 5 = (7 – 3) x2y 5 = 4x2y 5 4) 9a 2b – 4a 2b = (9 – 4) a 2b = 5a 2b 5) 4 a3 + 7 a3 − 3 a3 = (4 + 7 − 3) a3 = 7 a3 6) 4a 2 + 2a 2 – a 2 = (4a + 2a – a) 2 = 5a 2

Ejercicio 3 6a2 • 3b2 = 6 • 3 • a2 • b2 = 32 • a2 • b2 • 2 = 6a2 • 3b2 = 3ab 2

Ejercicio 4 1) 72x3 = 72x3 = 2x 2x 3−1 36 • x = 62 • x2= 6x 2) 27y4 = 27y4 = 3y 3y 9 • y4 − 1 = 32 • y2 • y = 3y y


273

Semana 31 Desarrolle nuevas habilidades

¡A trabajar!

5

3

4

6

7

8

9

1

2

6

7

2

1

9

5

3

4

8

1

9

8

3

4

2

5

6

7

8

5

9

7

6

1

4

2

3

4

2

6

8

5

3

7

9

1

7

1

3

9

2

4

8

5

6

9

6

1

5

3

7

2

8

4

2

8

7

4

1

9

6

3

5

3

4

5

2

8

6

1

7

9

1) x + 7 = 30

x = 30 – 7 x = 23 23 + 7 = 30 30 = 30 2) x + 3 = 4

x = 4 – 3 x = 1 1+3=4 4 = 4 3) 3x + 4 = 5x – 2

3x – 5x = – 2 – 4 –2x = –6 x = – 6/–2 x = 3 3(3) + 4 = 5(3) – 2 9 + 4 = 15 – 2 13 = 13

4) 5y + 2 = 2y + 11

5y – 2y = 11 – 2 3y = 9 9 y = 3 y = 3

5 (3) + 2 = 2 (3) + 11 15 + 2 = 6 + 11 17 = 17

Ejercicio 1 0) 1) 2)

2x2 –2 + 3x

Ejercicio 2 0) 1) 2)

274

IGER − Zaculeu

2x2 – 5 = 0 5x2 – 5x + 3 = 0 2x2 – 5 = 0

Semana 32 Ejercicio 3

Ejercicio 1

• x2 + 3x – 28 = 0

x2 + 7x + 12 = 0

•

a = 1 b = 7 c = 12

x2 = x → (x + 7) (x – 4)

• – 4 y 7 Porque: – 4 + 7 = 3

x=

– 4 • 7 = – 28

• (x – 4) (x + 7) = 0 • x – 4 = 0

x1 = 4

x=

x+7=0 x2 = –7

• Si: x = 4

x2 + 3x – 28 = 0 (4)2 + 3(4) – 28 = 0 16 + 12 – 28 = 0 28 – 28 = 0 0 = 0

Si: x = –7

x2 + 3x – 28 = 0 (–7) + 3(–7) – 28 = 0 49 – 21 – 28 = 0 28 – 28 = 0 0=0 2

• Las soluciones de la ecuación son:

x1 = 4

x2 = –7

Desarrolle nueva habilidades

x= x1 = x2 =

– 7± 72 – 4(1)(12) 2 (1) 49 – 48

–7±

2 –7± 1 2 –7+1

=

2 –7–1 2

=

–6 2 –8 2

= –3 = –4

Ejercicio 2 x2 – 2x – 24 = 0 a = 1 b = – 2 c = – 24 x= x=

x= x1 = x2 =

– (–2) ± (– 2)2 – 4(1)(– 24) 2 (1) + 2 ± 4 + 96 2 + 2 ± 100 2 2 + 10 2 2 – 10 2

=

=

12 2 –8 2

=6

= –4


275

Semana 33 ¡A trabajar!

f (2) = (2)2 – 4 = 4 – 4 = 0

f (x) = 4x = y f (– 2) = 4 (– 2) = – 8

x –2 –1 0 1 2

f (– 1) = 4 (– 1) = – 4 f (0) = 4 (0) = 0 f (1) = 4 (1) = 4 f (2) = 4 (2) = 8

x y = x2 – 4

y –8 –4 0 4 8

–2 0

–1 –3

-2

-1

4 3 2 1 -2

-2 -4 -6 -8

1

2

Ejercicio 1 0) 1) 2) 3) 4) 5)

dos una parábola cóncava vértice una parábola convexa 16

-1

276

IGER − Zaculeu

2 0

1

x

2

B.

f f f f f f

(x) = – x2 + 7 = y (– 2) = – (– 2)2 + 7 = – 4 + 7 = 3 (– 1) = – (– 1)2 + 7 = – 1 + 7 = 6 (0) = – (0)2 + 7 = 0 + 7 = 7 (1) = – (1)2 + 7 = – 1 + 7 = 6 (2) = – (2)2 + 7 = – 4 + 7 = 3 x y = – x2 + 7

–2 3

–1 6

0 7

1 6

y 7 6 5 4 3 2 1

A.

(x) = x2 – 4 = y (– 2) = (– 2)2 – 4 = 4 – 4 = 0 (– 1) = (– 1)2 – 4 = 1 – 4 = – 3 (0) = (0)2 – 4 = 0 – 4 = – 4 (1) = (1)2 – 4 = 1 – 4 = – 3

-1 -2 -3 -4

x

Ejercicio 2 f f f f f

1 –3

y

y 8 6 4 2

0 –4

-2

-1

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

1

2

x

2 3

Semana 34 Desarrolle Nuevas Habilidades Solución de la ecuación cuadrática (que se obtuvo del volumen de la caja)

x2 – 8x – 33 = 0 (x – 11) (x + 3 ) = 0 x – 11 = 0, x +3 = 0 x1 = 11, x2 = –3 Se descarta esta respuesta x2 = –3 por ser negativa. La respuesta correcta es x = 11. A este valor se le restan 4cm que corresponden a las dos esquinas. R/ La longitud del cuadrado es 9 cm por lado.

Ejercicio 1 1) Regla de la potencia 2) x8 3) 1 4) x9 ÷ x2 = x7 2 5) ( x ) 2 = x 3 3

Ejercicio 2 A. 0) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

x5 + 2 = x7 9) d12 + 13 = d25 4+3 7 c =c 10) x15 + 17 = x32 3 +1 4 a =a 11) h13 + 10 = h23 b7 + 4 = b11 12) k12 + 11 = k23 8+5 13 y =y 13) x14 + 12 = x26 9+4 13 m =m 14) x16 + 14 = x30 9 + 12 21 c =c 15) x15 + 21 = x36 x3 + 9 = x12 16) x22 + 24 = x46 7 + 14 21 y =y 17) x25 + 35 = x60

B. 0) 1) 2) 3) 4)

y8 – 3 = y5 d15 – 10 = d5 z3 – 1 = z2 x8 – 6 = x2 a3 – 3 = a 0 = 1

5) 6) 7) 8)

b10 – 7 = b3 x14 – 9 = x5 m18 – 9 = m9 y21 – 12 = y9

C. 0) 43x2 • 3 = 64x6 6) 23a2 • 3b3 = 8a6 b3 2 5•2 10 1) 2 a = 4a 7) 92 x2 • 2y2 = 81x4y2 3 2•3 6 2) 3 b = 27b 8) 33x2 • 3y2 • 3 = 27x6y6 3•4 5•4 12 20 3) x y = x y 9) 72 a3 • 2b5 • 2 = 49a6 b10 3•2 2•2 6 4 4) a x = a x 10) 102 x2 • 2y2• 2 = 81x4y4 5) 23b4 • 3y2 • 3 = 8b12y6 11) 24h3 • 4k6 • 4 = 16h12k24 D. 1 0) 2 2 = x 1 1) 3 4 = x

2 x2 3 x4

2) x3 3) 4

1 4 = 5 x5 x

4) 2x•x3 = 2x1+3 = 2x4 1 y6 = 3 = y6 – 3 = y3 y3 y 6) 35 + (–2) = 33 = 27 5) y6


277

7) 1 2 2x 1 8) 2 1• 3 = 5 x x x 1 –5 9) –5 4 = 4 y y

Ejercicio 3 A. 1) 2) 3) 4) 5)

x diferencia de cuadrados factor común factorización por agrupación (x + 1) (x – 1)

Ejercicio 4 A. 0) x4 + ax2 = x2 (x2 + a) 1) a2 + a = a(a + 1) 2) b3 + b2 = b2 (b + 1) 3) 6y5 + 6y3 = 6y3 (y2 + 1) 4) 8z3 – 4z2 = 4z2 (2z – 1) 5) ax – bx = x (a – b) 6) 25a2b6 + 5ab3 = 5ab3 (5ab3 + 1) 7) 9ab – 27bc = 9b(a – 3c) 8) 36mn + 6m = 6m (6n + 1) 9) 12y6 + 8y4 = 4y4(3y2 + 2) 10) 5x2 + 10x = 5x(x + 2) B. Diferencia de cuadrados 0) 16x2 – 25 = (4x + 5) (4x – 5) 1) x2 – y2 = (x + y) (x – y) 2) a2 – 1 = (a + 1) (a – 1) 3) b2 – 16 = (b + 4) (b – 4) 4) 25 – 36x4 = (5 + 6x2) (5 – 6x2) 5) 100 – x2y6 = (10 + xy3) (10 – xy3) 6) y2 – 1 = (y + 1) (y – 1) 7) 16a2– 81b2 = (4a + 9b) (4a – 9b) 8) 36x2 – 4 = (6x + 2) (6x – 2) 9) 25x2y4 – 121 = (5xy2 + 11) (5xy2 – 11) C. Factorización por agrupación 0) ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by) = x (a +b) + y (a +b) = (a + b) (x + y)

278

IGER − Zaculeu

1) am – bm + an – bn = (am – bm) + (an – bn) = m(a – b) + n (a – b) = (a – b) (m + n) 2) ax – 2bx – 2ay + 4by = (ax – 2bx) – (2ay – 4by) = x(a – 2b) – 2y (a – 2b) = (a – 2b) (x – 2y) 3)

3m2 – 6mn + 4m – 8n = (3m2 – 6mn) + (4m – 8n) = 3m(m – 2n) + 4(m – 2n) = (m – 2n) (3m + 4)

4)

3m – 2n – 2nx4 + 3mx4 = (3m + 3mx4) – (2n + 2nx4) = 3m(1 + x4) – 2n(1 + x4) = (1 + x4)(3m – 2n)

5)

3x3 – 9ax2 – x + 3a = (3x3 – 9ax2) – (x – 3a) = 3x2 (x – 3a) – 1 (x – 3a) = (x – 3a) (3x2 – 1)

6) x + x2 – xy2 – y2 = (x2 + x) – (xy2 + y2) = x(x + 1) – y2 (x + 1) = (x + 1) (x – y2) 7) 4am3 – 12amn – m2 + 3n = (4am3 – 12amn) – (m2 – 3n) = 4am (m2 – 3n) – 1 (m2 – 3n) = (m2 – 3n) (4am – 1)

Ejercicio 5 A. 1) (x + 2)2 2) (x – 3) (x + 2) 3) (x + 4) (x – 2)

Ejercicio 6 A. 0) x2 + 18x + 81 x2 = x ; 81 = 9; 2 • x • 9 = 18x Sí es trinomio cuadrado perfecto 1) m2 + 2m + 1 m2 = m; 1 = 1; 2 • m • 1 = 2m Sí es trinomio cuadrado perfecto 2) a2 + 4a + 4 = a2 = a; 4 = 2; 2 • a • 2 = 4a Sí es trinomio cuadrado perfecto 3) 4x2 – 6x + 8 = 4x2 = 2x ; 8 = no tiene raíz exacta. No es trinomio cuadrado perfecto.

4) 9b2 – 30b + 25 = 9b2 = 3b; 25 = 5; – 2 • 3b • 5 = –30b Sí es trinomio cuadrado perfecto 5) 4x + 12x + 9 = 4x2 = 2x; 9 = 3; 2 • 2x • 3 = 12x Sí es trinomio cuadrado perfecto 2

B. 0) a2 + 6a + 9 = (a + 3)2 1) a2 – 6a + 9 = (a – 3)2 2) x2 + 10x + 25 = (x + 5)2 3) 36a2 + 12a + 1 = (6a + 1)2 4) x2 – 14x + 49 = (x – 7)2 5) 16m2 + 72m + 81 = (4m + 9)2 6) 25b2 – 30b + 9 = (5b – 3)2 7) x2 + 20x + 100 = (x + 10)2 8) 16y2 – 8y + 1 = (4y – 1)2 9) 64c2 + 144c + 81 = (8c + 9)2 C. 0) x2 + 5x + 4 = (x + 4) (x + 1) 1) x2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2) 2) x2 – 7x + 12 = (x – 3) (x – 4) 3) x2 + 7x + 10 = (x + 5) (x + 2) 4) x2 – 5x + 6 = (x – 3) (x – 2) 5) x2 + x – 2 = (x + 2) (x – 1) 6) m2 + 5m – 14 = (m + 7) (m – 2) 7) c2 + 5c – 24 = (c + 8) (c – 3) 8) a2 + 7a + 6 = (a + 6) (a + 1) 9) a2 + 4a + 3 = (a + 3) (a + 1)

Ejercicio 7 A. 0) 2 32 = 3 6) 3 53 = 5 1) 2)

2

3)

2

9) 2 x2 = x 66 = 63

4)

3

23 = 2

10)

2

y2 = y

5) 3 33 = 3

11)

2

k2 = k

2

52 = 5 7) 22 = 2 8)

3 2

83 = 8 h2 = h

B. 0) 25 • 36 = 25 • 36 = 5 • 6 = 30 1) 4 • 25 = 4 • 25 = 2 • 5 = 10 2) 36 • 49 = 36 • 49 = 6 • 7 = 42 81 81 9 3) = = 100 100 10 225 15 5 225 4) = = = 144 144 12 4 121 121 11 5) = = 256 16 256

C. 0)

3

64b6 =

3•2

(2)6 b6 =

6

6

26 • b6 = 2b

4

1) 44 = 4 2)

3 4

100 =

3•4

100 = 12 100

3) x2 = x 5

4)

y=

5•2

y=

16x4y4 =

5)

10

2•2

y

16x4y4 =

4

24x4y4 = 2xy

D. 0) 2a • 8a2 = (2 • 8) a • a2 = 16 a2 • a = 4a a 1) 9m • 4n = (9 • 4)mn = 36mn = 6 mn 2) 3 25x2 z • 3 5xz2 = (25 • 5)x2 • x • z2 • z = 3 125x3y3 = 5xy 3)

72x12y14 = (72 ÷ 2)x12 – 10y14 – 12 = 36x2y2 = 6xy 2x10y12

4)

24a8b6 = (24 ÷ 6)a8 – 6 b6 – 4 = 4a2b2 = 2ab 6a6 b4

Ejercicio 8 1) 2) 3) 4)

–3 2x 2 2 iguales 9 • 16 = 9 • 16

Ejercicio 9 A. 0) 2c b + 4c b = (2c + 4c) b = 6c b 1) 6a x + 7a x = (6a + 7a) x = 13a x 2) 15xy 7z – 14xy 7z = (15xy – 14xy) 7z = xy 7z 3) 8 2n – 4 2n – 3 2n = (8 – 4 – 3) 2n = 2n 4) 6x2 26 + 8x2 26 = (6x2 + 8x2) 26 = 14x2 26 5) 7y3 3xy + 15y3 3xy – 20y3 3xy = (7y3 + 15y3 – 20y3) 3xy = 2y3 3xy B. 0) 6 5a – 45a = (6 5a) – ( 32 • 5a) = 6 5a – 3 5a = 6 – 3 5a = 3 5a 1) 45b – 80b = 3 5b – 4 5b = (3 – 4) 5b = – 5b 2) 175c + 63c = 25 • 7c + 9 • 7c = 5 7c + 3 7c = (5 + 3) 7c = 8 7c 3) 20x – 5x = 4 • 5x – 5x = 2 5x – 5x = (2 – 1) 5x = 5x 4) 27y + 12y = 9 • 3y + 4 • 3y = 3 3y + 2 3y = (2 + 3) 3y = 5 3y 5)

24z – 3 4z = 3 8 • 4y – 3 4z = 24 3 4z – (2 – 1) 3 4z = 3 4z 3

3

4z =


279

C. 0) 8x3y • 4xy5 = 8 • 4x3 + 1y5 + 1 = 32x4y6 = 42 • 2x4y6 = 4x 2y3 2 1) 5xy6 • 6x3y = (5 • 6)x1 + 3y6 + 1 = 30x4y7 = x2y3 30y 2) 9x2 • 9x2 = 3) 4)

(9 • 9)x2 + 2 = 81x4 = 9x2

32x4y3 8x2y =

(32 ÷ 8)x4 – 2y3 – 1 =

75x8y4 3x5y3 =

(75 ÷ 3) x8 – 5y4 – 3 = 25x3y = 5x xy

4x2y2 = 2xy

5) 12x2y • 6xy3 = (12 • 6)x2 + 1y1 + 3 = 72x3y4 = 6xy2 2x

Ejercicio 10 1) El mayor exponente de la variable es 2 2) x2 – 2x = 1

Ejercicio 11 A. 0) 3x2 – 4x = 0 cuadrática 1) 2x2 – 3 = 0 cuadrática 2) 8x + 6 = 0 primer grado 3) 3x – x + 2 = 0 primer grado 4) x2 + x = 0 cuadrática 5) 5w2 – 16w + 3 = 0 cuadrática B. 0) x2 + x – 12 = 0 Completa 1) x2 – 49 = 0 Incompleta 2) 2x2 – 32x = 0 Incompleta 3) x2 + 15x + 8 = 0 Completa 4) z2 + 16z + 64z = 0 Completa 5) x2 – 9 = 0 Incompleta

Ejercicio 12 0) x2 + 3x – 54 = 0 1) x2 + 7x + 10 = 0 2) x2 – 8x + 15 = 0 3) x2 – x – 20 = 0 4) x2 – 11x + 30 = 0 5) x2 + 11x + 24 = 0 6) x2 + 7x + 10 = 0

280

IGER − Zaculeu

(x + 9) (x – 6) = 0, x1 = – 9 x2 = 6 (x + 5)(x + 2) x1 = – 5 x2 = – 2 (x – 5)(x – 3) x1 = 5 x2 = 3 (x – 5)(x + 4) x1 = 5 x2 = – 4 (x – 6)(x – 5) x1 = 6 x2 = 5 (x + 8)(x + 3) x1 = – 8 x2 = – 3 (x + 2)(x + 5) x1 = – 2 x2 = – 5

7) x2 – 5x + 6 = 0 8) x2 + 3x – 10 = 0 9) x2 + x – 2 = 0 10) a2 + 4a + 3 = 0 11) m2 + 5m – 14 = 0 12) x2 – 3x + 2 = 0

(x – 3)(x – 2) x1 = 3 x2 = 2 (x + 5)(x – 2) x1 = – 5 x2 = 2 (x + 2)(x – 1) x1 = – 2 x2 = 1 (a + 3)(a + 1) a1 = – 3 a2 = – 1 (m + 7)(m – 2) m1 = – 7 m2 = 2 (x – 2)(x – 1) x1 = 2 x2 = 1

Ejercicio 13 0) x2 – 15x + 50 = 0 1) 4x2 + + 20x + 25 = 0 2) 3x2 + 13x + 4 = 0 3) 6x2 + 11x – 10 = 0

a = 1, a = 4, a = 3, a = 6,

b = –15, b = 20, b = 13, b = 11,

c = 50 c = 25 c=4 c = – 10

Ejercicio 14 0) x2 + 3x – 10 = 0 x = –3 ±

32 – 4 (1)(–10) 2(1)

–3 ± 9 + 40 x = 2

–3 ± 49 2 –3 ± 7 x1 = 2 –3 + 7 4 x2 = = =2 2 2 2 1) 3y + y – 2 = 0 x =

x =

–1 ±

x2 =

–3 – 7 –10 = = –5 2 2

12 – 4(3)(–2) 2(3)

–1 ± 25 x = 6 –1 + 5 4 2 x1 = = = 6 6 3

x2 =

–1 – 5 –6 = = –1 6 6

x2 =

12 – 8 4 = =2 2 2

2) x2 – 12x + 20 = 0 x =

–(–12) ±

–122 – 4(1)(20) 2(1)

12 ± 64 x = 2 12 ± 8 x = 2 12 + 8 20 x1 = = = 10 2 2

Ejercicio 15

3) 2x2 – 10x + 12 = 0 x =

–(–10) ±

(–10)2 – 4(2)(12) 2(2)

10 ± 4 x = 4 10 ± 2 x = 4 10 + 2 12 x1 = = = 3 4 4

1) ancho = x largo = x + 10 Área = 75m2 A = a x b = 75 x(x + 10) = 75

x2 =

10 – 2 8 = =2 4 4

4) 5w2 – 16w + 3 = 0

w=

–(–16) ±

(–16)2 – 4(5)(3) 2(5)

16 ± 196 10 16 ± 14 w= 10 16 + 14 30 w1 = = = 3 10 10

w =

w2 =

1 16 – 14 2 = = 10 10 5

5) 4x2 – 4x – 48 = 0 –(–4) ± (–4)2 – 4(4)(–48) 2(4) 4 ± 784 x = 8 4 ± 28 x= 8 4 + 28 32 4 – 28 x1 = = = 4 x2 = 8 8 8

x=

–3 ± 32 – 4(2)(–2) 2(2) –3 ± 25 x = 4 –3 ± 5 x= 4 1 –3 + 5 2 x1 = = = 2 4 4

–24 = 8 = –3

x=

–3 – 5 –8 = = –2 4 4

7) 3x2 – 5x – 2 = 0 –(–5) ± (–5)2 – 4(3)(–2) 2(3) 5 ± 49 x = 6 1 5 + 7 12 5 – 7 –2 x1 = = = 2 x2 = = =– 3 6 6 6 6

x=

–10 ± 102 – 4(1)(–75) 2(1) –10 ± 400 x = 2 –10 ± 20 x= 2 –10 + 20 10 x1 = = = 5 2 2

x=

x2 =

–10 – 20 –30 = = –15 2 2

R/ El ancho mide 5 metros y el largo 15 metros. 2) Edad de Alberto = x Edad de Andrea = x + 3 Producto de las edades = 180

–3 ± 32 – 4(1)(–180) 2(1) –3 ± 729 x = 2 –3 ± 27 x= 2 –3 + 27 24 x1 = = = 12 2 2

x2 =

x2 + 10x – 75 = 0

(x)(x + 3) = 180 x2 + 3x = 180 x2 + 3x – 180 = 0

6) 2x2 + 3x – 2 = 0

x=

x2 =

–3 – 27 –30 = = –15 2 2

R/ Alberto tiene 12 años. Andrea 12 + 3 =15 años.

Ejercicio 16 0) hacia arriba, porque el valor de a es positivo 1) hacia arriba, porque el valor de a es positivo 2) hacia abajo, porque el valor de a es negativo

Ejercicio 17 0) brazos o ramas de la parábola 1) eje de simetría 2) punto de la parábola 3) vértice 4) Vértice


281

Ejercicio 18 1)

f(x) = x2 – 2 f(–2) = (–2)2 – 2 = 4 – 2 = 2 f(–1) = (–1)2 – 2 = 1 – 2 = – 1 f(0) = (0)2 – 2 = –2 f(1) = (1)2 – 2 = 1 – 2 = – 1 f(2) = (2)2 – 2 = 4 – 2 = 2

x –2 –1 0 1 2

y

y 2 –1 –2 –1 2

4 3 2 1 -4 -3 -2 -1

-1

1

2

3

4

x

-2 -4

f(x) = – x2 + 4 f(–2) = – (–2)2 + 4 = – 4 + 4 = 0 f(–1) = – (–1)2 + 4 = –1+4 = 3 f(0) = – (0)2 + 4 = 4 f(1) = – (1)2 + 4 = –1 + 4 = 3 f(2) = – (2)2 + 4 = – 4 + 4 = 0

x –2 –1 0 1 2

y 4

1 -1

1

2

3

4

x

-2 -3


282

y 0 3 4 3 0

2) Total: 64 matas Filas = 64 Filas = 8 R/ El agricultor debe sembrar 8 filas de tomate.

2

A. Sumas 0) x = 9 1) x = 8 2) x = 9 3) x = 6 4) x = 16 5) x = 11 B. Restas 0) x = 16 1) x = 24 2) x = 13 3) x = 22 4) x = 28 5) x = 28

x = 63 x = 24 x = 18 x = 70

1) área = 100 m2 l = 100 m2 l = 10 m R/ El terreno mide 10 m por lado.

3

-4 -3 -2 -1

6) 7) 8) 9)

2h g g = 10 m/s2

3) t =

5

D. División 0) x = 16 1) x = 12 2) x = 35 3) x = 50 4) x = 27 5) x = 32

12) x = 6 13) x = 8 14) x = 8 15) x = 7


-3

2)

C. Multiplicación 0) x = 6 6) x = 4 1) x = 8 7) x = 7 2) x = 3 8) x = 9 3) x = 6 9) x = 6 4) x = 7 10) x = 8 5) x = 5 11) x = 9

6) x = 14 7) x = 10 8) x = 8 9) x = 8 10) x = 7 11) x = 8

12) x = 12 13) x = 11 14) x = 10 15) x = 13

6) x = 19 7) x = 30 8) x = 15 9) x = 24 10) x = 19 11) x = 32

12) x = 32 13) x = 31 14) x = 20 15) x = 23

IGER − Zaculeu

h = 20 m t = 2(20m) 10 m/s2

t=

t = 4s2

40m 10 m/s2

t = 2s R/ La pelota tarda 2 segundos en caer del edificio. 4) Lado menor: 2 10 Lado mayor: 3 10 P = 2 10 + 2 10 + 3 10 + 3 10 P = (2 + 2 + 3 + 3) 10 P = 10 10 R/ El perímetro del terreno mide 10 10 metros. 5) Ancho: x Largo: x + 2 Área = 24 m2

(x)(x + 2) = 24 x2 + 2x = 24

x2 + 2x – 24 = 0 (x + 6)(x – 4) = 0 x1 = –6, x2 = 4 R/ Las dimensiones del terreno son: Ancho: 4 m Largo: (4 +2) = 6m 6) Ancho: x Largo: x + 1 Área: 12 (x)(x + 1) = 12 x2 + x = 12 x2 + x – 12 = 0 (x + 4)(x – 3) = 0 x1 = –4 x2 = 3 Descartamos el resultado negativo. R/ Las medidas de la valla deben ser: Ancho: 3 m Largo: (3 + 1)= 4 m 7) número menor: x número mayor: x + 5 producto: 36 (x) (x + 5) = 36 x2 + 5x = 36 x2 + 5x – 36 = 0 (x + 9)(x – 4) = 0 x1 = –9 x2 = 4 R/ Los números son 4 y 9. 8) Edad de Beatriz: x Edad de Alberto: x + 4 Producto de las edades: 60 (x)(x + 4) = 60 x2 + 4x = 60 x2 + 4x – 60 = 0 (x + 10)(x – 6) = 0 x1 = –10 x 2= 6 R/ Beatriz: 6 años. Alberto: 6 + 4 = 10 años. 9) Primer número: x Segundo número: x + 1 (x)(x + 1) = 30 x2 + x = 30 x2 + x – 30 = 0 (x + 6)(x + 5) = 0 x1 = –6 x2 = 5 R/ Los números son 5 y 6.

10) Ancho: x Largo: 2x Área: 72 m2

(x)(2x) = 72 2x2 = 72 72 x2 = 2 x2 = 36 x = 36 x=6 R/ Las medidas de la cancha son: Ancho: 6 m Largo: 2 (6 m) = 12 m 11) Base (b): x Altura (h): x + 2 Área: 40 cm2 (b)(h) = 40 2 (x)(x + 2) = 40 2 2 x + 2x = 40(2) x2 + 2x – 80 = 0 (x + 10)(x – 8) = 0 x1 = –10

x2 = 8

R/ Las medidas del triángulo rectángulo son: Base: 8 cm Altura: (8 + 2)= 10 cm

12) Primer número: x Segundo número: 15 – x Producto: 54 (x)(15 – x) = 54 15x – x2 = 54 0 = x2 – 15x + 54 (x – 9)(x – 6) = 0 x1 = 9

x2 = 6

R/ Los números que cumplen con la condición son 9 y 6. 13) Página del lado izquierdo: x Página del lado derecho: x + 1 Producto: 90 (x)(x + 1) = 90 x2 + x = 90 x2 + x – 90 = 0 (x + 10)(x – 9) = 0 x1 = –10 x2 = 9 R/ El libro está abierto por las páginas 9 y 10.


283

Bibliografía Aguilar Márquez; et al. Matemáticas simplificadas. Editorial Pearson. México, 2009. Almaguer, G. y Bazaldúa, J. Matemáticas I. Editorial Limusa. México, 1997. Baldor, A. Álgebra. Ediciones Cultura. México, 2009. Bello, I. Álgebra. Thomson. México, 2005. De la Vega, S. Aritmética y Álgebra. McGraw – Hill. México, 2000. Goodman y Hirsch. Álgebra y geometría con trigonometría analítica. Prentice – Hall. México, 2002. IGER. Cimientos 2. Tomo 2. IGER Talleres Gráficos. Guatemala, 2005. IGER. Matemática Cimientos 2. Tomo 2. IGER.Talleres Gráficos. Guatemala, 2007. IGER. Matemática Cimientos 3. Tomos 1 y 2. IGER.Talleres Gráficos. Guatemala, 2007. IGER. Matemática Quiriguá. Tomos 1 y 2. IGER.Talleres Gráficos. Guatemala, 2007. IGER. Matemática Quiriguá. Tomos 1 y 2. IGER Talleres Gráficos. Guatemala, 2010. IGER. Matemática Utatlán. Tomos 1 y 2. IGER Talleres Gráficos. Guatemala, 2012. Moreno, J. Álgebra. McGraw – Hill. México, 2002. Nichols, Eugene; et al. Álgebra con trigonometría. Editorial CECSA. USA, 1997. Smith, et al. Álgebra, trigonometría y geometría analítica. Editorial Pearson. México, 1998. Sullivan, M. Álgebra y Trigonometría. Editorial Pearson. México, 2006. VVAA. Matemática 7. Santillana Secundaria. Editorial Santillana. Colombia, 2007. VVAA. Matemática 8. Santillana Secundaria. Editorial Santillana. Colombia, 2007. VVAA. Matemática 9. Santillana Secundaria. Editorial Santillana. Colombia, 2007.

Páginas web consultadas: www. centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/funciones/seno7.htm www. cienciayfilatelia.wordpress.com/.../las-10-formulas-matematicas-que-cam... www. concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material098/geometria/.../trigo1.htm www. descargas.pntic.mec.es/cedec/mat3/.../12_tringulos_semejantes.html www. descartes.cnice.mec.es www. encicpoledia.us.es www. ivulgamat2.ehu.es www. mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/trigo4.htm www. platea.pntic.mec.es/~anunezca/ayudas/racionalizar/racionalizar.htm Matemática − Bibliografía

285

www. ponce.inter.edu/cremc/cuadratica.html www. recursostic.educacion.es/.../razones_trigonometricas_bcnt/indicetri2.htm www. thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm www.cimat.mx/ciencia_para_jovenes/.../algebra_angel_cap8.pdf www.conevyt.org.mx/cursos/cursos/ncpv/contenido/.../nycu7t1-b.htm www.dad.uncu.edu.ar/upload/teorema-de-thales.pdf www.disfrutalasmatematicas.com www.juntadeandalucia.es/.../funciones/teoriafuncioncuadratica/teoriafunc... www.juntadeandalucia.es/averroes/~29700989/...de.../tema10.pdf www.vitutor.com/ecuaciones/2/ecuaciones_cuadraticas.html www.x.edu.uy/cuadratica.htm

286

IGER − Zaculeu

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Matemática - 3º Básico - Grupo Zaculeu - Segundo semestre - IGER

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