Document créé le 27 novembre 2013
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Chapitre 17 Matrices et applications linéaires 17.1 17 .1
Matr Matric ices es et app appli lica cati tion onss liné linéai aire ress
Exercice 17.1.1
Déterminer la matrice A dans la base canonique (e1 , e2, e3 ) de l’endomorphisme f de (1, 2, −1) 1) appartient appartient à Ke à Kerr f , que f (e1 ) = (2, 1, 1) 1) et et que f (e2 ) = (3, 0, −1) 1)..
R3
sachant que
Exercice 17.1.2
Déterminer relativement aux bases canoniques la matrice A de l’application linéaire f de définie par f (1, −1) = (−1, −2, 5) et f (2, −3) = (0, 5, 4) 4)..
R2
vers
Exercice 17.1.3 ()
1 2 3 −1 Caractériser f , élément de L(R ), de matrice A = 3 −1
−1 −1 2 −1 dans la base canonique de R3 . −1 2
Exercice 17.1.4
Dans
R3 ,
soient (Π) (Π) le le plan d’équation x + 2y + 3 z = 0 et (D) la droite
Déterminer la matrice A de la projection sur (Π) (Π) parallèlement parallèlement à (D). Exercice 17.1.5 (
)
Calculer l’inverse et les puissances de A =
17.2 17 .2
1 0 0 0 0
1 1 0 0 0
1 2 1 0 0
1 3 3 1 0
x = 3z y = 2z
1 4 6 . 4 1
Imag Image, e, noy noyau, au, rang rang
Exercice 17.2.1
Soit f : R4 → R3 , linéaire, de matrice A = Déterminer l’image et le noyau de f .
2 −1 3
−1 1 5 2 3 −4 dans les bases canoniques. 0 5 6
R3
17.3 Changements de base
Chapitre 17 : Matrices
Exercice 17.2.2 ()
Soit f : R3 → R4 , linéaire, de matrice A = Déterminer l’image et noyau de f .
1
a 2a 2a + 1
−a −1 2a a
2a a
1 2a + 1
Exercice 17.2.3 ()
et applications linéaires
dans les bases canoniques.
X = 5 x + 2 y − z
Image du plan P : x + y + z = 0 par f : R3 → R4 définie par Image réciproque de l’hyperplan H : X + Y + Z + T = 0. Exercice 17.2.4 ()
Soit f ∈ L(R4 ), de matrice A =
2 1 3 −1 1 3 4 −3
3 −1 2 0 4 −2 1 1
Y = − 8x − 3y + 2 z Z = − x − 2y − 3z T = 3x − y − 5z
dans la base canonique.
1. Calculer le rang de f . Former un système d’équations de Im f . Donner une base de Im f . 2. Former un système d’équations du noyau de f . Donner une base de Ker f . 3. Déterminer l’image et l’image réciproque du sous-espace d’équation x − y + z − 2t = 0. Exercice 17.2.5 ()
− → On se donne (α , β , γ ) = 0 dans Soit f ∈ L(R3 ), de matrice A =
R3 .
α2 αβ αγ
αβ β 2 βγ
αγ βγ γ 2
dans la base canonique.
Trouver le rang de f , son image, son noyau. Calculer An pour tout n de Exercice 17.2.6
N∗ .
1 0 2 4 1 1 −1 1 On considère la matrice A = 1 1 3 1 1 2 1 3 Soit f l’endomorphisme de K4 , de matrice A dans la base canonique.
−
1. Donner une base du noyau de f . Quel est le rang de f ? 2. Donner une équation cartésienne de l’image de f .
17.3
Changements de base
Exercice 17.3.1
Soit f un morphisme de E muni de la base ( e) = (e1 , e2 , e3 ), vers F muni de (ε) = (ε1 , ε2 ). Soit A =
2 −1 1 la matrice de f dans les bases (e) et (ε). 3 2 −3
1. Déterminer la matrice B de f quand on remplace la base (e) par la base (e ) définie par e 1 = e 2 + e3, e2 = e 3 + e1 , e3 = e 1 + e2 .
2. On garde (e ) mais on remplace (ε) par (ε ) : ε1 = 2ε1 + ε2 et ε2 = 5ε1 + 3ε2 . Déterminer la matrice C de f dans les bases (e ) et (ε ).
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17.3 Changements de base
Chapitre 17 : Matrices
et applications linéaires
Exercice 17.3.2 ()
Montrer ques les matrices A =
1 1 −1 −3 −3 3 et B = −2 −2 2
0 1 0 0 0 0
0 0 sont semblables. 0
Exercice 17.3.3 2
Soit f un endomorphisme de C de matrice A =
−1 2i dans la base canonique. −2i 2
Montrer que ε1 = (i, 2), ε2 = (−2i, 1) forment une base de
R2 .
Montrer que la matrice de f dans la base ( ε) est diagonale. En déduire An. Exercice 17.3.4 ()
0 1 et B = 8 1
Vérifier que les matrices A =
inversibles P telles que P 1 AP = B . −
16 −1 sont semblables, et trouver toutes les matrices 232 −15
Exercice 17.3.5 ()
Soit f un endomorphisme de E (dim E = n −1
On suppose que f n = 0 et f n
1).
= 0.
Montrer qu’il existe une base de E où la matrice de f est A =
Exercice 17.3.6 ()
Soit f ∈ L(R4 ) de matrice A =
0 2 0 0
1 1 0 0
5 9 6 8 0 3 1 −2
0
1
0
0
0
1
.
.
.. .. : : . . . . .. 0 . .. . ..
... .. . .. .
0 0
0 :
0 1 0
dans la base canonique.
On pose que ε1 = (−13, −37, 3, 1), ε2 = (1, −1, 0, 0), ε3 = (1, 2, 0, 0), et ε4 = (−7, 1, −5, 5). Montrer que ε1 , ε2 , ε3, ε4 forment une base de
R4 .
Montrer que la matrice de f dans la base ( ε) est diagonale. Exercice 17.3.7 ()
Soit f ∈ L(R4 ) de matrice A =
−1 −4 −2 −2 −4 −1 −2 −2 2 2 1 4 2 2 4 1
Montrer qu’il existe une base de Exercice 17.3.8 ()
Soit f ∈ L(R4 ) de matrice A =
R4
3 2 1
dans la base canonique.
dans laquelle la matrice de f est diagonale.
−1 1 0 1 dans la base canonique. −1 2
Montrer que ε1 = (0, 1, 1), ε2 = (1, 1, 0), ε3 = (1, 1, 1) forment une base de R3 . Montrer que la matrice de f dans la base ( ε) est B =
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1 0 0 2 0 0
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0 1 . En déduire An . 2
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17.3 Changements de base
Chapitre 17 : Matrices
et applications linéaires
Exercice 17.3.9 (
) Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions respectives n et p. Soit f une application linéaire de E vers F , de rang r . On définit G = { g ∈ L(F, E ), f ◦ g ◦ f = 0}. Montrer que G est un sous-espace vectoriel de L(F, E ) et en donner la dimension. Exercice 17.3.10 ()
1 0 Montrer qu’il existe P tq B = P 1 AP où B = 0 0 −
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 , A = 1 1
1 0 0 0
2 1 0 0
3 2 1 0
4 3 . 2 1
Exercice 17.3.11 ()
Soient A et B deux matrices de Mn (K). On suppose que la matrice AB est nulle et que A + B est inversible. Montrer que rg A + rg B = n . Exercice 17.3.12 ()
1. Soit X une matrice-colonne à coefficients réels. Montrer qu’on a l’équivalence : tXX = 0 ⇐⇒ X = 0. 2. Soit A une matrice carrée d’ordre n à coefficients réels. Montrer que les matrices A, tAA et AtA ont le même rang. 3. Montrer que cela cesse d’être vrai si on considère des matrices à coefficients complexes. Exercice 17.3.13 ()
Soit n un entier strictement positif. Pour tout entier r de { 0, . . . , n}, on note J n (r ) la matrice de Mn (K) dont le coefficient d’indice (i, j ) est 1 si 1 i = j r et 0 dans tous les autres cas. En particulier, J n (0) est la matrice nulle et J n (n) est la matrice identité. Soit A une matrice de Mn (K). 1. Montrer que rg A = r ⇔ ∃P, Q inversibles telles que Q 1 AP = J r . −
2. En déduire que les matrices A et tA ont le même rang. 3. Montrer que A peut s’écrire comme une somme de deux matrices inversibles. Exercice 17.3.14 ()
Soit E le sous-espace vectoriel de Mn (K) formé des matrices antisymétriques. Soit A une matrice fixée dans Mn (K). 1. Rappeler quelle est la dimension de E et en donner une base simple. 2. On définit l’application f sur E par f (M ) = tA M + M A. Montrer que f est un endomorphisme de E . Calculer trf en fonction de trA.
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17.4 Calcul effectif du rang
17.4
Chapitre 17 : Matrices
et applications linéaires
Calcul effectif du rang
Exercice 17.4.1
Déterminer le rang de la matrice A =
Exercice 17.4.2
Déterminer le rang de la matrice A =
Exercice 17.4.3
Exercice 17.4.4 ()
Calculer le rang de A =
a b
b ..
:
..
b
.
. .. .
... .. . .. . b
2 3 4 5
5 8 2 −1
Calculer le rang de la matrice A =
)
Calculer le rang de A =
Exercice 17.4.8 ()
Calculer le rang de A =
1 4
5 6 . 7 8
2 20 −2 8 2 10 0 −6 . 2 2 −1 −3 5 11 −5 8
2 1 . −3 λ
(matrice carrée d’ordre n à coefficients dans
K.)
b a
0 −r q
r
−q
0 − p
p
1 22
22 32
... n2
...
75 0 116 171 −69 402 301 0 87 114 −46 268
1 2 −2 6 −1
4 5 6 7
1 −1 1 1 −1 3 2 0
λ
:
)
Exercice 17.4.6 ()
3 4 5 6
b
Déterminer le rang de la matrice A =
Exercice 17.4.7 (
1 2 3 4
1
Déterminer le rang de la matrice A =
Exercice 17.4.5 (
(n + 1)
0
2
, avec ( p, q, r) = (0, 0, 0).
... ... ... ...
n2
(n + 1)2 ... (2n)2
39 0 123 45 . −417 −169 82 30
−2 3 −1 −1 0 −2 −1 1 −5 8 −4 3 0 −1 2 −7 −1 1 −1 2
−2 −2 −1 . −5 1
Exercice 17.4.9 (
) Dans R4 , on pose ε1 = (1, 1, 1, 0), ε2 = (2, 1, 1, 1), ε3 = (1, 0, 1, 2) et ε4 = (1, −1, −1, 1). Montrer que ε1 , ε2 , ε3, ε4 forment une base de R4 . Calculer les coordonnées du vecteur v = (1, 2, 3, 4) dans cette base.
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17.5 Formes linéaires
Chapitre 17 : Matrices
et applications linéaires
Exercice 17.4.10 ()
On pose
u1 = (1, −1, 2, 3, 4) u2 = (2, 1, −1, 2, 0) u3 = (−1, 2, 1, 1, 3) u4 = (1, 5, −8, −5, −12) u5 = (3, −7, 8, 9, 13)
Déterminer le rang de la famille u 1 , u2 , u3, u4, u5 et former un système d’équations du sous-espace de R5 qu’ils engendrent. Exercice 17.4.11 (
)
Déterminer le rang de A =
0
a b
a b
0 0
0
0 0
b
0 , où (a, b) ∈ C2 . 0
a b
a
Exercice 17.4.12 ()
Préciser si A =
17.5
1 1 1 1 + a 1 1 1 1
1 1 1 + b 1
1 1 1 1 + c
est inversible, et calculer dans ce cas son inverse.
Formes linéaires
NB : les trois exercices suivants sont « légèrement » hors-programme en MPSI. Exercice 17.5.1 ()
Soient ϕ1, ϕ2 , ϕ3 les formes linéaires définies sur K3 par, pour tout u = (x , y , z) : ϕ1 (u) = x + 2 y + 3 z , ϕ2 (u) = 2x + 5y + 4 z , ϕ3 (u) = x + 3y + 2 z . 1. Montrer que (ϕ1 , ϕ2 , ϕ3) est une base de (K3 ) = L(K3 , K). ∗
2. Trouver la base (u1 , u2 , u3 ) de
K3
dont dans laquelle ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 sont les applications coordonnées.
Exercice 17.5.2 () 1
Sur E = R3 [X] on définit les applications f j : P
→ 0
t j P (t) dt.
1. Montrer que la famille ( ε ) = f 0 , f 1 , f 2 , f 3 est une base de E = L(R3 [X], R). ∗
∗
2. De quelle base (ε) de E les formes linéaires f 0 , f 1 , f 2, f 3 sont-elles les applications coordonnées ? Exercice 17.5.3 (
) Soient ( e), (ε) deux bases de E (dim E = n ), et (e ), (ε ) leurs bases duales. Soit P la matrice de passage de (e) à ( ε) et P celle de (e ) à (ε ). Exprimer P en fonction de P . ∗
∗
∗
∗
∗
∗
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17.6 Exercices non corrigés
17.6
Chapitre 17 : Matrices
et applications linéaires
Exercices non corrigés
Exercice 17.6.1
Soit A une matrice carrée d’ordre n, strictement triangulaire. Montrer que An = 0. Exercice 17.6.2
Montrer que pour toute matrice carrée A, il existe un polynôme P tel que P (A) = 0. Exercice 17.6.3
Montrer que l’ensemble des M (x, y ) =
x + y −y
4y est une sous-algèbre de M2 (R). x−y
En donner une base et la dimension. Est-ce un corps ? Exercice 17.6.4
Soient S et A les sous-ensembles de Mn (K) formés respectivement des matrices symétriques et des matrices antisymétriques. Montrer que S et A forment deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de Mn (K). Quelles sont leurs dimensions ? Exercice 17.6.5
Soit M =
1 1 1 0 1 1 . Calculer M p , pour tout p de Z. 0 0 1
Exercice 17.6.6
0 1 Calculer la puissance n-ième de : A = 1 −0 , B =
Exercice 17.6.7
Puissance n-ième de : A =
1 1 0 0 1 1 ,B= 0 0 1
Exercice 17.6.8
Calculer les puissances de la matrice A =
1 1 1
1 1 1 1 , C = 1 1
−1 −1 1 −1 , C = −1 1
1 −1 −1
1
1
··· 1
0
1
..
.
:
..
.
..
.
···
0
: 1
: 0
0 1 0
1 0 0 0 1 0
1 0 . 1
0 0 0 1 . 0 1
.
Exercice 17.6.9
Déterminer un polynôme P de degré minimum tel que P (A) = 0. En déduire An . On prendra : A =
0 1 1 1 0 1 , 1 1 0
A =
2 0 0 2 0 0
0 1 2
, A =
−1 0 0 0 0 1 0 0 0
Exercice 17.6.10
Structure de l’ensemble des matrices M (α, β ) =
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α β ¯ α ¯ −β
, où α, β ∈ C.
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17.6 Exercices non corrigés
Chapitre 17 : Matrices
et applications linéaires
Exercice 17.6.11
Soit A une matrice carrée d’ordre n à coefficients dans K, de terme général aij . On dit que A est une matrice magique s’il existe un scalaire d tel que : n
}
∀ i ∈ {1, . . . , n ,
n
}
aij = d, ∀ j ∈ {1, . . . , n ,
j =1
aij = d
i=1
1. Montrer que la matrice J de terme général 1 est magique. 2. Montrer que l’ensemble des matrices magiques est une sous-algèbre de Mn (K). 3. Montrer que si A est magique et inversible, alors A
−1
est magique.
Exercice 17.6.12
Soit A une matrice carrée vérifiant A2 − 3A + 5 I = 0. Montrer que A est inversible et calculer A 1 en fonction de A. −
Exercice 17.6.13
Soit A =
a c
b d
. On pose s = a + b (trace de A) et δ = ad − bc (déterminant de A).
Montrer que A2 − sA + δI = 0. En déduire que A est inversible si et seulement si d = 0. Exprimer alors A 1 en fonction de A. −
Exercice 17.6.14 n
Pour A, carrée d’ordre n et de terme général aij , on pose trA =
a jj (trace de A).
j =1
Montrer que pour des matrices A de Mnp (K) et B de M pn (K), on a tr(AB ) = tr(BA ). Exercice 17.6.15
Soit a = r exp(iθ) un nombre complexe non réel.
On pose E = M (x, y ) =
x −r2 y
y x + 2ry cos θ
, x ∈
R, y ∈ R
.
1. Montrer que E est un corps commutatif. 2. Montrer que : ∀ z ∈ C, ∃ !(x, y ) ∈ 3. Que dire de l’application de
R2 ,
C dans
z = x + ay . On pose alors N (z ) = M (x, y ).
E qui à z associe N (z ) ?
4. Calculer la puissance n-ième de la matrice N (a). Exercice 17.6.16
Structure de l’ensemble des matrices M (x , y , z) =
Exercice 17.6.17
Montrer que les matrices
a b b
b a b
b b a
x 2z 2y
y x 2z
z y x
, où x, y,z ∈ R.
forment une sous-algèbre E de M3 (R) (base, dimension ?).
Montrer que l’anneau E n’est pas intègre. En donner tous les diviseurs de zéro.
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17.6 Exercices non corrigés
Chapitre 17 : Matrices
Exercice 17.6.18
Calculer nlim M n , avec M n = →∞
Exercice 17.6.19
Préciser si la matrice A =
1
α − n
0
1
1
..
.
..
. : 1 ...
α n
1
... .. . .. .
1
. Indication : Poser
et applications linéaires
α π = tan ϕn , avec |ϕ| < . n 2
1 :
est inversible, et calculer dans ce cas son inverse.
1 0
Exercice 17.6.20
Soient A, B deux matrices carrées symétriques. La matrice AB est-elle symétrique ? Exercice 17.6.21
On pose u1 = (2, 1, 1, 1, 1, 1), u2 = (1, 3, 1, 1, 2, 1), u3 = (1, 1, 4, 1, 3, 1), u4 = (1, 1, 1, 5, 4, 1). Déterminer le rang de la famille u1 , u2 , u3 , u4 et former un système d’équations du sous-espace de qu’ils engendrent. Exercice 17.6.22
Calculer le rang de A =
R6
2 1 11 2 1 0 4 −1 . 11 4 56 5 2 −1 5 −6
Exercice 17.6.23 u1 = (2, −1, 1, 3, 4) u2 = (2, −1, 2, 1, −2) u3 = (1, 0, 1, −2, −6) On pose u4 = (2, −3, 1, 2, −2) u5 = (1, 2, 1, −1, 0)
Déterminer le rang de la famille u 1 , u2 , u3, u4, u5 et former un système d’équations du sous-espace de R5 qu’ils engendrent. Exercice 17.6.24
Déterminer le rang de la matrice A =
1 3
1 0 2 −1 λ 3 −2 −1 0 −4
1 3 . 0 3
Exercice 17.6.25
Dans R6 , on définit les vecteurs : u1 = (1, 2, 1, 1, 1, 2), u2 = (1, 1, 0, −1, −1, 1), u3 = (1, 1, 1, −1, 1, 0), u4 = (1, −2, 1, −1, 1, 1), u5 = (0, −1, 1, 0, 1, 0), u6 = (0, 1, 2, 1, 1, 1), et v = (1, 1, 1, 1, 1, 1). Montrer que u1 , u2 , . . . , u6 forment une base de R6 . Calculer les coordonnées de v dans cette base. Exercice 17.6.26
Préciser si la matrice A =
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3 −2 0 2 1 −2 0 1
0 2 −3 2
−1 1 −2 1
est inversible, et calculer dans ce cas son inverse.
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17.6 Exercices non corrigés
Chapitre 17 : Matrices
et applications linéaires
Exercice 17.6.27
Préciser si la matrice A =
2 4 3 0 1 1 est inversible, et calculer dans ce cas son inverse. 2 2 −1
1 a a2 1 b b2 est inversible, et calculer dans ce cas son inverse. 1 c c2
Exercice 17.6.28
Préciser si la matrice A =
Exercice 17.6.29
Déterminer le rang de la matrice A =
Exercice 17.6.30
Calculer l’inverse de A =
Exercice 17.6.31
1 1 0 0 0
0 1 1 0 1
1 0 1 1 0
1 + i
Calculer l’inverse de A =
Exercice 17.6.32
Calculer l’inverse de A =
Exercice 17.6.33
Calculer l’inverse de A =
0 0 0 1 1
1 0 2 3
Résoudre le système (S)
5 2 4 7
3 −2 2 0 . 0 1 1 3
0 0 0 . 0 1
−1 2i 0 1 . i 1
i
1
1 1 1 1 1 1 −1 −1 . 1 −1 1 −1 1 −1 −1 1
1
2
..
0
1
2
:
..
.
..
.
.
n − 1 .. . .. .
n − 1 .. .
1 0
2 1
.
: . . . .. 0 . .. . ..
Exercice 17.6.34
7 4 −2 −1
− − − −
n
x + y + z = 1
(a,b,c réels)
ax + by + cz = d a2x + b2 y + c2z = d 2
Exercice 17.6.35
Résoudre le système (S)
x + y + z + t = a x
y
x
z + t = b
y + z + t = c
(a,b,c,d réels > 0)
−3x + y − 3z − 7t = d
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17.6 Exercices non corrigés
Exercice 17.6.36
Résoudre le système (S)
Chapitre 17 : Matrices
et applications linéaires
x + y + z = a + b + c bx + cy + az = a 2 + b2 + c2
(a,b,c complexes)
cx + ay + bz = a 2 + b2 + c2
Exercice 17.6.37
Résoudre le système (S)
x + ay + a2z = a 4 x + by + b2 z = b 4
(a,b,c complexes)
x + cy + c2 z = c 4
Exercice 17.6.38
Résoudre le système (S)
Exercice 17.6.39
Résoudre le système (S)
(b + c)x + (bc − 1)y + (1 + b2 )(1 + c2 )z = a (c + a)x + ( ca − 1)y + (1 + c2 )(1 + a2 )z = b (a + b)x + ( ab − 1)y + (1 + a2 )(1 + b2 )z = c
(a,b,c complexes)
x + ay + a3z + a4 t = a 2 x + by + b3 z + b4 t = b 2 x + cy + c3 z + c4 t = c 2
(a,b,c,d ∈
C)
(a,b,c,d ∈
C)
x + dy + d3z + d4 t = d 2
Exercice 17.6.40
Résoudre le système (S)
x + ay + a2z + a4 t = a 3 x + by + b2 z + b4 t = b 3 x + cy + c2 z + c4 t = c 3 x + dy + d2z + d4 t = d 3
Exercice 17.6.41
Résoudre le système (S)
Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
4bcx + acy − 2abz = 0 5bcx + 3acy − 4abz = − abc 3bcx + 2acy − abz = 4abc
(a,b,c,d ∈
mathprepa.fr
C)
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