UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facul Facultad tad de Ingeni Ingenierí ería a Civil Civil Departamento Departamento de Estructuras Estructuras
SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD VIBRACIÓN VIBRACI ÓN FORZADA: RESPUESTA RESPUESTA A EXIT EXITACIONES ACIONES DINÁMICAS GENERALES (Integral (Integr al de Duhamel)
Curso: EC-114J ± Dinámica Ing. Rosmery Gómez Minaya Minaya
En muchas situaciones las estructuras se encuentran ante fuerzas de exitación que no son armónicas como se vió anteriormente. Sino que podrían adoptar formas diversas. Por esta razón veremos la respuesta que una estructura puede tener ante la ac accció ión n de fu fuer erzzas exi xittad ador oras as de tip ipo o gen ener eral al.. Par ara a es estto se hac ace e us uso o de procedimien proce dimientos tos numéric numéricos os de integraci integración. ón.
Fuerza Fuer za de Exitac Exitación ión tip tipo o Imp Impuls ulso: o: Una exitación de impulso es una fuerza aplicada durante un corto intervalo de tiem ti empo po.. Se de defi fine ne co como mo el pr prod oduc uctto de la fu fuer erza za po porr el ti tiem empo po de su du dura raci ción ón.. En la figura inferior el impulso de la fuerza F(t) durante un intervalo d X, está repr re prese esent ntad ado o po porr el el ár área ea som sombr brea eada da y es es ig igual ual a F( F(X)d X.
Cuando el impulso actúa sobre un cuerpo de masa m , produce el cambio de veloc ve locida idad d dR, que segú según n la ley de New Newton ton se escri escribe: be:
m
dv d X
! F (X )
El di dife fere renc ncial ial de ve velo loci cidad dad est está á dad dado o por por:: dv
!
F (X )d X
(1)
m
Donde: F(X) : es es el el im impu puls lso o dR : es el inc incre reme ment nto o de velo veloci cidad dad Si vemos el caso de un oscilador simple sin amortiguamiento , la solución estará dada da da por por:: (*)
La ecuación de d R, se introduce en la solución (*) como Ro así como yo=0, en el instante de tiempo X, esto nos da para el diferencial de desplazamiento dy(t) , al final del tiempo t , donde el intervalo de tiempo será (t-X):
(2) En la ecuación (2), la función de exitación puede considerarse como una serie de impulsos cortos, que se presentan a intervalos de tiempo dX. Donde cada uno da una respuesta diferencial en el tiempo t. Por lo tanto el desplazamiento total en el instante t , debido a la fuerza impulsiva F(X) está dado por la suma o integral de los desplazamientos diferenciales dy(t) desde X=0 hasta X=t , esto resulta: (3)
La integral dentro de la ecuación (3) se conoce como la integral de Duhamel. La ecuación (3), representa el desplazamiento total producido por la fuerza
exitadora F(X) aplicada a un sistema en vibración libre no amortiguada. La ecuación (3) incluye la componente transitoria y la componente estacionaria.
Si la fuerza F( X) no tiene una función conocida , la integral se puede calcular por procedimientos numéricos. Para incluir el efecto del desplazamiento inicial y o y la velocidad inicial Ro en el instante t=0, se agrega a la ecuación (3) la solución dada por la ecuación (*). Con estas consideraciones la solución de un sistema de 1GD L sin amortiguamiento
debido a una fuerza arbitraria está dado por: (4)
Aplicaciones de la ecuación (4) para casos de fuerzas aplicadas de funciones
simples:
Fuerza de Exitación Constante: Si la fuerza aplicada es constante de magnitud Fo , aplicada en forma repentina al sistema en vibración libre no amortiguado, en un instante t=0,
Para este caso la ecuación (4) resulta:
Integrando se obtiene: (5)
Donde: yst =Fo/k La respuesta (5) se grafica como se ve en la figura siguiente. Donde se observa que la solución es similar a la de vibración libre , pero con la diferencia de que la
coordenada de t se ha desplazado una distancia y st =Fo/k.
Respuesta de un sistema con 1GDL no amortiguado exitado por una fuerza cte. repentina
En la gráfica anterior, se encontró que el resultado de desplazamiento debido a una fuerza repentina es el doble que si la fuerza se hubiera aplicado en situación estática (lentamente). Esta situación se aplica también a los esfuerzos internos de la estructura.
Fuerza de Exitación Rectangular: Este caso se refiere a una fuerza constante Fo aplicada repentinamente , pero sólo durante un tiempo limitado de duración td. Como se vió anteriormente con otro procedimiento , la solución tendrá dos etapas.
De 0 a td se aplica la ecuación (5). Para el instante td el desplazamiento y la velocidad son:
Después del tiempo td, se aplica la ecuación de vibración libre (*), donde las condiciones iniciales los resultados para desplazamiento y velocidad obtenidos en el tramo de 0 a td. t = t - t d y o = y d Ro = Rd La solución final será:
Se reduce a: (6) Como el F.A.D (o F.D), se define como el desplazamiento en cualquier instante de tiempo t entre el desplazamiento estático Rst = F o/k , las ecuaciones (5) y (6) se
pueden escribir como:
(7)
Es conveniente expresar el tiempo como un parámetro adimensional , esto se logra usando el período natural en lugar de la frecuencia circular del sistema:
×
(8)
Emplear los parámetros sin dimensiones en la ecuación (8) , sirve para resaltar la relación t d/T como el parámetros de mayor importancia. En la gráfica inferior se observa el FD máx, donde se observa que para fuerzas de duración t d/T ×
× À
Ó
×
×
Gráfica del factor dinámico máximo de un oscilador sin amortiguación , exitado por una fuerza rectangular.
Fuerza Exitadora Triangular: Se considera un sistema ante Fo en el tiempo t=0 , luego decrece a cero en el tiempo td. Se puede emplear la ecuación (4) en esta situación , donde el primer tramo Xetd se encuentra ante una fuerza dada por:
Las condiciones iniciales son:
Sustituyendo esta ecuación en la ecuación (4) e integrando da:
(9)
O en forma adimensional, empleando el FD (factor dinámico):
(10) Para el intervalo t
×
(11)
Los valores de la ecuación (11) son las condiciones iniciales en el instante t=td para
el segundo intervalo. Reemplazando en la ecuación de vibración libre (*) t=t-td , y o y Ro por y d y Rd , además F( X )=0, obtenemos la respuesta:
Dividiendo entre y st =F o /k , se obtiene:
(12)
En forma adimensional, la ecuación (12) se puede escribir como: (13)
La gráfica inferior muestra el FDmáx en función al tiempo relativo de duración td/T
para el sistema en vibración libre sin amortiguamiento. Se observa que FD se aproxima a 2 cuando td/T tiene valores altos , esto se debe a que el decremento de la fuerza es insignificante en relación al tiempo en que se alcanza la amplitud máxima.
Factor dinámico máximo de un sistema exitado por fuerza triangular
En muchos casos la función exitadora se conoce sólo por datos experimentales , como es el caso de los registros de movimientos sísmicos. En tales situaciones la respuesta debe ser calculada por un método numérico. Uno de los métodos de cálculo numérico es la integral de Duhamel. Introduciendo la identidad trogonométrica : [( sen tX) !
sen ([
[X ) cos([ ) t t )cos(
sen ([X )
Usando esta identidad y suponiendo condiciones iniciales iguales a cero , se obtiene la integral de Duhamel de la ecuación (4) como: (4)
y (t ) !
A( t) sen[ t B( t)cos [ t m[
(14)
Donde: (15)
El cálculo de la integral de Duhamel requiere el cálculo numérico de las integrales A(t) y B(t). Para el cálculo de estas integrales se emplea diversos métodos. A través de los métodos numéricos las funciones debajo de las integrales son
reemplazadas por una suma de términos a intervalos de tiempo (X. Los métodos más conocidos son la regla trapezoidal, y la regla de Simpson. Considerando la integral de una función I(X):
La operación elemental en la regla trapezoidal es:
(16) Y en la regla de Simpson: (17) Donde: n=t/(t , en la regla de Simpson debe ser par La aplicación de estas reglas es directa, pero los resultados son aproximados porque
se basan en la sustitución de la función I( X) por una función de segmentos lineales en la regla trapezoidal y segmentos parabólicos en la regla de Simpson. Un método alternativo es obtener la solución analítica exacta de la integral de Duhamel, suponiendo que la función está compuesta por segmentos lineales sucesivos. Este método no introduce aproximaciones numéricas en la integración , aparte de las inherentes al error de redondeo , por lo que se considera un método exacto.
Se supone que la función de la fuerza exitadora F(X) puede ser representada aproximadamente por una función de segmentos lineales , como se observa en la figura inferior.
Figura (I): Función exitadora representada por segmentos lineales
Con el fin de determinar la historia completa de la respuesta es más conveniente
expresar las integrales de la ecuación (15) en forma incremental:
(15)
en forma incremental: (18)
(19)
Aproximando la fuerza F( X) por segmentos lineales como se observa en la figura (I) ,
se puede escribir:
(20) En la cual:
Aplicando la ecuación (20) en la ecuación (18) e integrando da: t i
(18)
A( ti ) ! A( ti 1 )
´ F (X ) cos [X d X
t i 1
¨
A( ti ) ! A( ti 1 ) © F (ti 1 ) ti 1
ª
( Fi ¸ ( (ti ¹º
sen [t i
sen[t i ) (F i _cos [ti cos [ti [(ti sen[ti t i sen[t i )a [ [ (t i 1
2
1
1
(21)
1
En forma análoga de la ecuación (19) se obtiene: B (t i )
¨ ( F ¸ (cos [ti cos [t i ) (F i ! B(t i ) © F (ti ) t i i ¹ _sen[t i sen[ti [(ti cos [ti ti cos [ti ) a ( [ [ ( t t ª i º i 1
1
1
1
2
1
1
1
(22) Las ecuaciones (21) y (22) son fórmulas de recurrencia para el cálculo de las
integrales en la ecuación (15) en el instante t=ti
Ejemplo de aplicación: (Duhamel)
En forma análoga al análisis del sistema amortiguado , se obtiene el desplazamiento diferencial para un sistema con amortiguamiento. Sustituyendo la fuerza impulsiva F( X)dX que produce la velocidad inicial dv= F(X)dX, y t sustituido por (t- X) en la ecuación (*) que corresponde a la solución para un sistema en vibración amortiguada. (*) (23) Sumando los términos de las respuestas diferenciales, resulta:
(24)
La respuesta de un sistema en función de la integral de Duhamel para el caso
amortiguado será:
(25) Donde: (26)
(27)
Para la función de segmentos lineales dada en la ecuación (20) , sustituída en las ecuaciones (26) y (27), resulta:
(28)
(29)
(30)
(31)
Donde I1 e I2 son las integrales de las ecuaciones (28) y (29) antes de calcularlas en los límites de esas ecuaciones. En función de estas integrales se obtiene AD(t i) y BD(t i): (32)
(33) Finalmente, reemplazando las ecuaciones (32) y (33) en la ecuación (25) resulta (34): (25)
(34)
Recordando la ecuación diferencial de movimiento de un sistema de 1 GDL, representado por el oscilador simple amortiguado y su DCL.
(35)
Si la estructura modelada por el oscilador simple es exitada por un movimiento en el apoyo, del DCL correspondiente se obtiene:
(36)
En el último caso es más conveniente expresar el movimiento de la masa en función del desplazamiento relativo u, para esto se hace el cambio de variable: (37) Aplicando la ecuación (37) y sus derivadas en la ecuación de movimiento (36) , se
obtiene: (38) Comparando las ecuaciones (35) y (38), se observa que son matemáticamente equivalente , interpretando el segundo miembro de la ecuación (38) como fuerza
efectiva Fef (t): (35) (39) Reescribiendo la ecuación (38): (40)
Suponiendo que la exitación se da a intervalos iguales de tiempo como en la figura (I), la fuerza puede expresarse como: F (t )
t ti ¸ ¨ t ti ¸ F F ! ¨©1 (t ¹º i ©ª (t ¹º i ª
1
ti
t
ti
(t
(41)
Donde ti=i.(t para intervalos de tiempo iguales, i=1,2,3,. Entonces la ecuación diferencia de movimiento (35) viene dada por: (42) La solución de la ecuación (42) puede expresarse como la suma de la solución homogénea (complementaria) y c, cuando el segundo miembro es igual a cero , más
una solución particular yp: (43)
La solución homogénea está dada por la ecuación (**) , escrito para el intervalo tiet eti+(t , será (44):
(**)
(44) La solución particular toma la forma:
(45) Reemplazando en la ecuación (42) resulta:
Estableciendo la identidad de coeficientes y resolviendo las ecuaciones resultantes da:
(46)
Sustituyendo en la ecuación (43) la solución homogénea yc y la solución particular yp, por los valores de las ecuaciones (44) y (45), respectivamente , se obtiene la siguiente expresión para el desplazamiento: (47) Derivando la ecuación (47) para obtener la velocidad: (48)
Las constantes de integración Ci y Di se obtiene de las ecuaciones (47)
(48), velocidad yi, se
reemplazando las condiciones iniciales de desplazamiento yi obtiene:
(49)
Las ecuaciones (47) y (48) en el instante t i+1=t i+(t , nos da el desplazamiento y velocidad en el instante de tiempo t i+1, que es el que se busca:
yi 1
! e\ [(t ?Ci cos wD (t Di senwD (t A Bi Ai (t
y&i 1 ! e\ (t ?Di ([ cos w w
(50)
w (t w Dsenw (t A (t \[senw (t ) C i (\ wcos
i
(51)
La aceleración en el instante t i+1=t i+(t , se obtiene al aplicar y i+1 y y i+1, de las ecuaciones (50) y (51) en la ecuación diferencial (35), se obtiene:
& & y i 1
! (1 / m )( Fi c &iy
Ejemplo de aplicación:
1
1
) ky i 1
(52)
