Mehanika I - Vežbe1/9 ____________________________________________________________________1 z 1
D
O
C M
A
B
x
y
OC = AB = 2a OA = BC = a OD = 2a
Pravougaona ploča OABC težine G i stranica a i 2a vezana je sfernim (O) i cilindričnim (A) ležištima za postolje. U prikazanom položaju ravnoteže ploču održava uže koje je u tački B vezano za ploču. Drugi kraj užeta vezan je za nepomični oslonac D. Ako u ravni ploče dejstvuje spreg momenta M, odrediti silu u užetu i sile u zglobovima A i O.
Ako se oslobodimo veza a njihov uticaj na posmatranu ploču zamenimo odgovarajućim silama, na ploču će delovati sile kao na slici: Sila u užetu je z 1
D
O FAx
FOz
FOx
S
FOy M
C
G
A x
FAy
kolinearna sa vektorom tog pravca.
B BD ,
Vektor BD određujemo na poznat način: BD rD rB 0,0,2a a ,2a ,0 a ,2a ,2a
Akademske studije
OC = AB = 2a OA = BC = a OD = 2a r
pa se na osnovu toga može odrediti jedinični vektor s 0
r BD s0 BD
Intenzitet ovog vektora je:
y
Mehanika I - Vežbe2/9 ____________________________________________________________________2 BD = a 2 2a 2 2a 2 = 3a Jedinični vector ovog pravca je: r 1 2 2 s 0 , , , pa je i pravac sile S određen ovim vektorom. Projekcije sile S su: 3 3 3 r 1 2 2 S S, S, S 3 3 3
Uslovi ravnoteže su: r
I Fi 0 II ∑Mi = 0 Odavde sledi 6 skalarnih jednačina: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Fxi = F - 13 S = 0 Fyi = F - 23 S + F = 0 Fzi = F + 23 S + F – G = 0 Mx(Fi )= -G a + 23 S 2a = 0 My(Fi )= G a2 - 23 S a - F a = 0 Mz(Fi )= F a + M = 0 Ox
Oy
Ay
Oz
Az
Az
Ay
Spreg je kao vektor upravan na ravan na koju deluje, pa ima pravac ose z. Smer mu je isti kao i smer ove ose ( iz vrha ose z rotacija koju izaziva spreg se vidi u matematički pozitivnom smeru). Rešavanjem ovog sistema jednačina određujemo da su reakcije veza:
FAy = S=
1 M a
FAz = 0
3 G 4
Akademske studije
FOz =
1 G 2
FOy =
1 1 G+ M 2 a
FOx =
1 G 4
Mehanika I - Vežbe3/9 ____________________________________________________________________3 2. Zadatak Vrata ABCD, težine G, koja se mogu obrtati oko vertikalne ose AB, otvorena su za ugao α = 600. U tom položaju vrata su u ravnoteži pod uticajem horizontalne sile F, koja dejstvuje u tački H upravno na površinu vrata, i sile Q u konopcu koji je vezan za vrata u tački C, prebačen preko kotura E i zategnut teretom težine Q. Odrediti veličinu sile F i sile u cilindričnom ležištu B i sfernom ležištu A.
BE = a z
B
E
α
Q
C b
F A
c
a x
y
D
Ako telo oslobodimo veza, na telo pored sopstvene težine G i sila F i Q deluju i reakcije ležišta FA i FB ( videti sliku).
Akademske studije
Mehanika I - Vežbe4/9 ____________________________________________________________________4
z
FBy
B
E
α
FBx
C G FAz FAx A
a
Q
Q
y
b
A
F
600
FAy
c
y
Q
D
x
x
F
Iz uslova ravnoteže dobijamo šest jednačina: 1. ∑ Fxi = F cosα – Q sinα + FAx + FBx = 0 2. ∑ Fyi = - F sinα + Q cosα + FAy + FBy = 0 3. ∑ Fzi = – G + FAz = 0 4. ∑ Mx(Fi) = -G 5. ∑My(Fi) = G
a cosα + F c sinα – Q b cosα – FBy b = 0 2
a sinα + F c cosα – Q b sinα + FBx b = 0 2
6. ∑Mz(Fi) = - F a + Q a sinα = 0
Uzimajući u obzir da je α = 600 i da je sin 600 =
1 3 a cos 600 = , određujemo da su 2 2
reakcije: F=Q
3 , 2
FAx =
Akademske studije
c 3 a ( G–(1)Q) , b b 4
FAy =
1 a c ( G + 3( 1 ) Q) 4 b b
Mehanika I - Vežbe5/9 ____________________________________________________________________5 FAz = G ,
FBx =
a c 3 (- G + ( 2 )Q), b b 4
FBy = -
1 a c ( G+(2-3 )Q) 4 b b
3. Zadatak Pravougaona homogena ploča ABDE, težine G i stranica a i 2a , vezana je sfernim zglobom A i cilindričnim zglobom B za postolje. U položaju prikazanom na slici ploču održava teret Q koji je prebačen preko kotura K zanemarljive težine, K(a,0,a). Na ploču , u težištu , a u vertikalnoj ravni paraleelnoj sa koordinatnom ravni zAy, deluje sila F = 2G. Pravac sile sa linijom nagiba ploče zaklapa ugao od 600. Ploča je nagnuta u odnosu na horizontalnu ravan i sa njom zaklapa ugao od 300. U ravni ploče deluje spreg momenta M. Odrediti veličinu tereta Q, kao i otpore oslonaca u datom položaju ravnoteže. z
K D A
Q
300
F 2a
0
60
a
B
E
x
Akademske studije
y
Mehanika I - Vežbe6/9 ____________________________________________________________________6 z z
S=Q
K Q
FAy
0
60
y
2a
300
M
FBz
y
E
a
FBy
x
F
300
G
600
B
A
FAx
F
D
S
FAz
z M 300 y 300
Sila u užetu KD: r S DK
S=Q
DK rK rD
DK =
= (a, 0, a ) – (0, a
3 a 2 a 2
2
a 2
1 1 3 3 , a ) = (a, -a ,a ) 2 2 2 2
2
a 2
Jedinični vektor koji je kolinearan sa vektorom sile u užetu KD je: DK DK
2 6 ,, 2 4
=(
2 ) 4
Sila u užetu je: S
=(Q
2 6 2 , -Q ,Q ) 2 4 4
Sila koja deluje u težištu ploče ima ( videti sliku a) projekcije na ose koordinatnog sistema: F
= (0, F
1 3 ,-F ) 2 2
Akademske studije
Mehanika I - Vežbe7/9 ____________________________________________________________________7 Projekcije sprega na koordinatne ose mogu se odrediti na osnovu normalnosti sprega na ravan dejstva (spreg je normalan i na svaku pravu koja leži u toj ravni - vektor sprega je normalan na duži AB i AD ). Projekcije vektora sprega na ose koordinatnog sistema su: M = (0,
1 3 M, M) 2 2
Uslovi ravnoteže su: 2 =0 2 3 6 2. ∑ Fyi = FAy + FBy + F -Q =0 2 4 1 2 3. ∑ Fzi = FAz + FBz + Q -F -G=0 2 4 a 6 a 3 4. ∑ Mx(Fi) = -G cos30 0 + Q a-F =0 2 4 4 a 1 2 5. ∑ My(Fi) = G a + Q a + F - FBz 2a + M=0 2 2 4 6 a 3 3 6. ∑ Mz(Fi) = FBy 2a - Q a +F M=0 4 2 2
1. ∑ Fxi = FAx + Q
Rešavanjem ovog sistema dobijaju se tražene reakcije kao i sila u užetu: Q=
3 2 G , 2
1 1 FAz = - G M, 4a 8
FAy =
3
15 3 GM, 8 4a
FAx =
3 2
G FBy =
3 3 MG , 4a 8
FBz =
11 1 G+ M 8 4a
4. Zadatak Homogena tanka ploča težine G u obliku pravouglog trougla oslanja se o sferno ležište A i tri prava laka štapa CE (1), BD(2) i CD(3). Ivica AC ploče leži u horizontalnoj Oxy ravni tako da geometrijska figura OACD čini kvadrat stranice 2a. Za prikazani ravnotežni položaj odrediti reakcije ležišta i sile u štapovima.
Akademske studije
Mehanika I - Vežbe8/9 ____________________________________________________________________8 AC = 2a AB = 2a
z
B
2
A O
y
D x
C
3
1
E(0,0,-2a)
AC = 2a AB = 2a
z
B
Koordinate tačaka:
S2
B (2a, 0, 0) FAz
2
A
G O D x
T
1
E (0, 0, -2a) FAy
y
OD = OB = 2a
FAx
S3 3
C (2a, 2a, 0)
C S1
Određivanje silea u štapovima: Štao 3 je paralelan sa osom Oy, pa je i sila u tom štapu paralelna sa tom osom: Akademske studije
Mehanika I - Vežbe9/9 ____________________________________________________________________9 S3
= (0, S3, 0)
Štap 2 leži u ravni xOz i prolazi kroz tačke B i D pa sa osom Ox, na primer, zaklapa ugao od 450 , tako da su projekcije ove sile: 2 2 2 ,0, S2 2 )
S2
= (-S 2 Silu u štapu 1 određujemo preko vektora EC sa kojim je ova sila kolinearna. EC rC rE
EC = 2a
= (2a, 2a, 0) – (0, 0, -2a) = (2a, 2a, 2a)
3
EC ( 2a , 2a , 2a ) 3 3 3 ( , , ) EC 3 3 3 2a 3
S1 = ( S 1
3 3 3 , , 3 S1 3 S1 3 )
Koordinate težišta ploče se mogu odrediti i na ovaj način: 1 1 ( rA rB rC ) 2a ,0,0 0,0,2a 2a ,2a ,0 3 3
rT
2 4 2 a, a, a 2 3 3
rT
Moment sile težine se može odrediti i preko vektorskog proizvoda : i 2a M (G ) rT G 3 0
j 4a 3 0
k 2a 4 = i (- G a) 3 3 G
Uslovi ravnoteže:
1. ∑ Fxi = FAx + S1
3 2 3 - S2 2 = 0
2. ∑ Fyi = FAy + S1
3 3 + S3 = 0
3. ∑ Fzi = FAz + S1
3 2 3 + S2 2 - G = 0
Akademske studije
j
(-
2 G a) 3
Mehanika I - Vežbe10/9 ____________________________________________________________________10 4. ∑Mx (Fi) = FAz 2a + S1
5. ∑Mx (Fi) = - S2
4a 3 3 2a – G 3 = 0
2a 2 3 2 2a - S1 3 2a + G 3 = 0
6. ∑Mz (Fi) = S3 2a – FAx 2a = 0
Rešenja: 1 S3 = 3 G,
2 S2 = 3 G ,
S1 = 0 , G
1 FAx = 3 G ,
1 FAy = - 3 G ,
2 FAz = 3
5. Zadatak Homogena kvadratna ploča CDEF, stranice 2a i težine G, oslanja se na cilindrično ležišta B i sferno ležište A . Za ploču je vezano uže u tačkama F i H koje je prebačeno preko kotura N zanemarljivih dimenzija a koji se nalazi na vertikali iznad tačke F na rastojanju FN = a. Ako na ploču deluje spreg momenta M,odrediti silu u užetu i reakcije ležišta A i B.
z
N
a
FN = a
G E
F
A
B
a
C a x
Akademske studije
H
a
D
M
y
Mehanika I - Vežbe11/9 ____________________________________________________________________11
z FN = a
N E
S2 F
a
F A Az
FAy a
FBz
G
B
FAx
FBx
S1
C a
H
x
a
D
y
M
S1 = S2
Koordinate karakterističnih tačaka: H (a, a, 0), F(-a, 0, 0), N (-a, 0, a), B(2a, 0, 0) Sila u jednom kraju užeta jednaka je sili u drugom kraju, pa je S1 = S2 = S . Sila S2 je u pravcu FN i njene komponente su: = ( 0, 0, S) Sila S1 u drugom kraju užeta kolinearna je sa vektorom HN HN = rN rH = (-a, 0, a) - (a, a, 0) = (-2a, -a, a) čiji je intenzitet HN = a√6 a jedinični vector pravca: S2
HN 2 6 6 6 ( , , ) HN 6 6 6 , tako da su komponente sile S2 određene izrazom:
S2
(
2 6 6 6 S, S, S) 6 6 6 .
= Uslovi ravnoteže su:
1. ∑ Fxi = FAx + FBx
2 6 S 6 =0
6 S 6 2. ∑ Fyi = FAy =0 6 S 6 3. ∑ Fxi = FAz + FBz +S–G =0
Akademske studije
Mehanika I - Vežbe12/9 ____________________________________________________________________12 4. ∑Mx (Fi) = FBz 2a – G a +
6 S 6 a =0
6 S 6 5. ∑My (Fi) = Sa – M a =0 2 6 6 S S 6 6 6. ∑Mz (Fi) = - FBx 2a aa= 0
1 S= M 1 a
1
1 1 1 6 6 1 6 , FBz = G M , 6 = M a 2 a 5 10 6 1 1 6 1 1 6 FBx = M , FAy = M , a a 10 5
FAx =
2 1 6 M a 5
Akademske studije
FAz =
1 3 (1 6 ) 2 GM . 2 a 10
