2.2 MET METODOS ODOS DE CONTEO SEPARATA 3
Ing.Enrique Elilas Ayala e-mail:
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METODOS DE CONTEO y
NOTACION FACTORIAL:
Es el producto de los números naturales desde 1 hasta n y aquí lo denotamos por el símbolo especial n! (que se lee ³ n factorial´).
n! ! 1* 2 *3*...................* (n 2) *(n 1) * n y
Ejemplos:
Definimos: 0! = 1 Simplificar :
3! = 1*2*3 = 6 6! = 1*2*3*4*5*6 1*2*3*4*5* 6 = 720
n! (n
1)!
!
n * (n (n
1)!
1)!
!
n
y
y
PERMUTACIONES: ES: Son
arreglos arregl arreglos os que se pueden pueden elaborar elaborar con un grupo de elementos en los cuales es importante el orden de selección o ubicación de los elementos elementos.. n! n Pr ! ( n r )!
Permutaciones cuando algunos elementos son idénticos a
otros: Si hay n elementos con n1 iguales, n2 iguales,««, nk iguales, el número de permutaciones de los n elementos es:
n! n 1 ! n 2 ! ..... n k !
y
COMBINACIONES: Son
los arreglos que se pueden elaborar con un grupo de elementos en los cuales no es importante el orden de selección.
EJEMPLOS: 1. Usted acaba de ser contratado para conformar la programación de la cadena de televisión FOX. Cuando está sel seleccionando los progr ograma amas dis disponibl nible es y que debe ebe seleccionar 4 de ellos. El orden de los programas es importante, por los efectos de liderazgo. ¿Cuántas secu secuen enci cias as dife difere rent ntes es de cuat cuatro ro prog progra rama mass son son posi posibl bles es cuando hay 27 programas? Solución:
Necesitamos seleccionar r=4 programas de n=27 que están disponibles.
n
r !
n! ( n r ) !
!
27 !
2 7 4 !
! 4 2 1, 2 0 0
2. Si queremos el número de permutaciones de las letras DDDDDEEEE tomadas todas tenemos: n=9 elementos con n1 = 5 y n2 = 4, luego el número de permutaciones se calcula como: n! n 1 ! n 2 ! . . . . . n k !
!
9! 5 !* 4 !
!
362,880 2880
!
126
3. Si no se permiten repeticiones: repeticiones: a) ¿Cuánt ¿Cuántos os números números de tres tres dígito dígitos, s, se pueden pueden formar formar con los seis dígitos: 2,3,5,6,7 y 9? 6*5*4 = 6P3 = 6!/3! = 120 números b) ¿Cuántos de estos estos números números son menores que 400? 400? c) ¿Cuántos ¿Cuántos son pares? pares? d) ¿Cuántos ¿Cuántos son impares? impares? e) ¿Cuántos ¿Cuántos son múltiplo múltiploss de 5?
4. Cuantas señ señales diferentes, tes, cada una de 6 banderas, pueden formarse con 4 banderas rojas y 2 azules idénticas. 5. ¿Cuántas permutaciones distintas pueden formarse con todas las letras de cada una de las palabras: a)TEMA? b)CAMPANA? c) ESTADISTICA?
6. El consejo de fondos de inversión de la universidad está integrado por nueve miembros. Cada año, ellos eligen un comité de tres personas para supervisar los edificios y los terrenos. También cada año eligen un presidente, presidente, un vicepresidente vicepresidente y un secretario. a)Cuando el consejo elige el comité de terrenos y edificios, ¿cuántos distintos comités de tres personas son posibles? b) Cuando ndo el cons onsejo elige a los tre tres fun funcionar narios (presi (presiden dente, te, vicep vicepres reside idente nte y secret secretari ario), o), ¿cuán ¿cuántas tas diferentes plantillas plantillas de candidatos son posibles?
SOLUCIÓN:
Note que el orden es irrelevante cuando se elige el comité de edificios y terrenos. Sin embargo, cuando se elige a los funcionarios, los diferentes acomodos cuentan por separado. a)Cuando el consejo elige el comité de terrenos y edificios, ¿cuántos distintos comités de tres personas son posibles?
n
C r !
n! (n r ) !r !
!
9! 3!9 3 !
!
362, 880 4320
!
84
b) Cuando ndo el cons conse ejo elige lige a los los tre tres fun funci cion ona ario rios (presi (presiden dente, te, vicep vicepres reside idente nte y secret secretari ario), o), ¿cuán ¿cuántas tas diferentes plantillas plantillas de candidatos son posibles?
P !
n r
n! (n r )!
!
9!
93!
!
362,880 720
! 504
7. ¿De cuantas maneras puede escogerse un comité compuesto de tres hombres y dos mujeres de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres?
DIAGRAMA DE
ÁRBOL
Es una gráfica que resulta útil para organizar los cálc cálcu ulos que comp compre ren nden varia rias etapa tapas, s, o para enumerar todos los resultados posibles de una serie de experimentos. Cada segmento en el árbol es una etapa del problema o un resultados posible. Ejemplo: Hallar el conjunto producto A x B si A = {1,2} y B = {a,b,c} Luego A xB = {(1,a); (1,b); (1,c); (2,a); (2,b); (2,b); (2,c)}
El diagrama de árbol para el conjunto producto es: A 1
AxB
B
a b c a
2
b c
EJERCICIO 1:
Un hombre tiene tiempo para jugar a la ruleta cinco veces a lo sumo, en cada juego gana o pierde un dólar, el hombre empieza con un dólar y dejara de jugar si antes de la quinta vez pierde todo o si gana tres dólares. Use un diagrama de árbol para hallar el número de casos en que la apuesta puede ocurrir.
2.3 Introducción
a la Probabilidad
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CONCEPTOS BÁSICOS PARA EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES
EXPERIMENTO: Proceso que lleva a la ocurrencia de una y sólo una de varias observaciones. EXPERIMENTO ALEATORIO: Un experimento se considera aleatorio cuando posee al menos dos resultados posibles y no se conoce cuál de ellos se obtendrá.
ESPACIO MUESTRAL (S): Son todos los posibles resultados de un experimento aleatorio (llamados puntos muéstrales). PUNTOS MUESTRALES (Ns): Es el total de
posibilidades.
EVENTO (E): Es cualquier conjunto de uno o más resultados de un experimento aleatorio. PUNTOS FAVORABLES
AL EVENTO (Me): Son los puntos muéstrales que responden al evento.
EJEMPLO: Un experimento consiste en seleccionar 3 tubos de TV de un pedido y observar si son o no defectuosos. Sea D un tubo defectuoso HIPÓTESIS: Sea B un tubo no defectuoso Nuestro espacio muestral es: S = {(DDD), (DDB), (DBD), (BDD), (DBB, (BDB), (BBD), (BBB)} Ns = 8 puntos muéstrales Sea el Evento E = Muestras con dos tubos defectuosos, entonces: E = { (DDB), (DBD), (BDD)} Me = 3 puntos muéstrales
CONCEPTUALIZACIÓN
PROBABILIDAD:
Se
La PROBABILIDAD puede considerarse:
usa para indicar la posibilidad ó no de que ocurra un acontecimiento. CLÁSICA, EMPÍRICA Y SUBJETIVA.
PROBABILIDAD
CLÁSICA: Se usa cuando un experimento puede tener solamente ciertos resultados definidos.
PROBABILIDAD
EMPÍRICA: Es una definición frecuencial de Probabilidad a posteriori, sucede cuando repetimos n veces un evento.
PROBABILIDAD
SUBJETIVA: Se basa en la confianza que se tiene que tal acontecimiento va a ocurrir con un determinado % de confianza.
El enfoque a seguir en la determinación del valor de la probabilidad probabilidad esta cimentado en el criterio de la Probabilidad Clásica . Para calcular la probabilidad de un evento E: La probabilidad d e E es P ( E ) !
Me !
Ns
Puntos
favorabl es al evento E
Puntos P osibl osibl es
La probabilidad del evento E anterior es: P (E) = 3/8 = 0.375
Ejemplo del cálculo de la Probabilidad de un evento:
Una caja contiene 5 bolas blancas; 10 negras; y 5 bolas azules y hacemos una extracción de ella, a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea blanca? b)¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que la bola sea negra?
Solución: a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea blanca? Sea B = Sacar una bola Blanca; entonces: Puntos favorables al evento (MB ) = 5 casos favorables; Puntos posibles al evento (Ns) = 20 bolas igualmente posibles; luego: P (B)
= MB /Ns = 5/20 = 0.25
b)¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea negra? Sea N = Sacar una bola Negra P(N)
= 10/20 = 0.50
AXIOMAS DE PROBABILIDAD 1.- POSITIVIDAD
P (E) 0
2.- CERTIDUMBRE: La probabilidad del Espacio Muestral es UNO; P(S) = 1
S
3.- La probabilidad de cualquier cualquier evento E, varía entre 0 y 1. 4.- Si E es un evento compuesto por eventos simples E = e1 + e2 + e3 +««..+ ek, entonces:
P( ) ! P (e1) P (e2) P (e3) ........ P (ek )
D istribuciones istribuciones de
Probabilidad SEPARATA 4
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISTRIBUCIONES DISCRETAS Y CONTINUAS. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD:
Una distribución de probabilidad es similar a una distribución distribución de frecuencias frecuencias relativas. relativas. Sin embargo, en lugar de describir el pasa asado, esta desc escrib ribe la posibili bilida dad d de que se presente un evento futuro.
EJEMPLO:
Un fabricante de medicamentos puede solicitar un tra tratamie miento que prov rovoque oque una pérdid rdida a de peso en el 80% de la población. Una agencia de protección al consumidor puede probar el tratamiento en una muestra de seis personas. Si la afirmación del fabricante es verdadera, es casi imposible tener un resultado donde nadie pierda peso en la muestra y es más probable que 5 de 6 personas pierdan peso.
¿Qué es una Distribución de Probabilidad?
Una Una dist distri ribu buci ción ón de prob probab abililid idad ad pres presen enta ta los los resultados posibles de un experimento y la probabilidad de cada uno de ellos.
¿Qué es una variable aleatoria?
Es el resultado que se obtiene al azar en un experimento y que puede asumir valores diferentes.
TIPOS
DE
VARIABLES: Una vari variab able le alea leatoria ria pued puede e ser: ser: di disc scre reta ta o continua.
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: será discreta cuando solo pueda asumir ciertos valores claramente contable c ontables. s. Ejemplo: si existen 100 empleados, entonces el conteo del número de ausentismos el día lunes solo puede ser, ser, 0, 1, 1, 2, 3,«««, 3,«««, 100. Esta Esta generará rará dis isttrib ribuci cio ones nes de prob robabil abilid idad ad dis iscr cre etas como como son son: La Dis isttrib ribuci ció ón Bin Binomia mial Hipergeometrica, Hipergeometrica, Poisson, etc.
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA: Si el rango de una variable aleatoria contiene un inte interva rvalo lo de va valo lore ress re real ales es,, entonces es una variable aleatoria continua. continua. Ejemplos: pesos, volúmenes, longitudes, voltajes, resistencia, ángulos, espesor, entre otros. Y al igual que las variables aleatorias discretas generará distribuciones de probabilidad continuas como la Distribución Normal.
MEDIA, VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD . La media es un valor típico que se utiliza para representar la ubicación central de una distribución de probabilidad. También se describe como su valor esperado. La media de la distribución de probabilidad:
µ = [x P(x)] Donde P(x) es la probabilidad de un valor particular de x.
La varianza describe la cantidad de dispersión de los datos tos, (var variaci ción ón de ellos) los),, en una una distr stribuci ció ón de probabilidad.
La Varianza de una distribución de probabilidad: probabilidad: 2 = [(x - µ) 2 P(x)]
Los pasos para para calcularl calcularla a son los siguientes: siguientes:
Restar la media a cada valor y elevar al cuadrado esta diferencia Multiplicar cada diferencia elevada al cuadrado por su probabilidad. Sumar los productos restantes para obtener la varianza.
La desviación estándar, , se obtiene al extraer la raíz cuadrada positiva de 2
Ejemplo de la Varianza: El palacio de las pizzas ofrece tres tamaños de refresco de cola: chico, mediano y grande, para acompañar las pizzas. Los refrescos de cola se venden a $0.80, $0.90 y $1.20, respectivamente. De los pedidos, 30% son para el tamaño chico, 50% para el mediano y 20% para el grande. Organice el tamaño de los refrescos de cola y la probabilidad probabilidad de venta en una distribución de probabilidad. a) ¿Es una distribución de probabilidad discreta? b) Calcule la cantidad media cobrada por refresco de cola. c) ¿Cuál es la varianza de la cantidad cobrada por un refresco de cola? ¿Cuál es la desviación estándar?
SOLUCION: a) ¿Es una distribución de probabilid probabilidad ad discreta? Es una distribución de probabilidad discreta ya que los valores que toma la variable aleatoria se pueden contar, (tres valores = chico, mediano y grande), esto se puede ver en la tabla siguiente: PRECIO DEL TAMAÑO DE REFRESCOS DE COLA
(X) Chico de $ 0.80 Mediano $ 0.90 Grande de $1.20 TOTALES
PROBABILIDAD P(X)
0.30 0.50 0.20 1.00
b) Calcule la cantidad media cobrada por refresco de cola. La cantidad media cobrada es (precio medio): µ = [xP(x)] = (0.80)*(0.30) + (0.90)*(0.50) + (1.20)*(0.20) µ = 0.93
c) ¿Cuál es la varianza de la cantidad cobrada por un refresco de cola? ¿Cuál es la desviación estándar? Una tabla será útil para el cálculo de la varianza: PRECIO DEL TAMAÑO DE REFRESCOS DE
PROBABILIDAD P(X)
(X-µ)
(X-µ)2
(X-µ)2 * P(X)
COLA (X) Chico de $ 0.80
0. 30
0.80 ± 0.93 = -0.13
0.0169
0.0169 * 0.30 = 0.00507
Mediano
0.50
0.90 ± 0.93 = -0.03
0.0009
0.0009 * 0.50 = 0.00045
0.20
1.20 ± 0.93 = 0.27
0.0729
0.0729 * 0.20 = 0.01458
$ 0.90
Grande de $1.20
TOTAL
VARIANZA (2 ) = 0.02010 De donde la desviación estándar es: = 0.1417744688 § 0.14
0.02010
Distribución de Probabilidad Binomial .
Características: Es un experimento aleatorio. El resultado de cada ensayo es uno de dos: ³éxito´ ³ éxito´ o ³fracaso´. Este se conoce como experimento Bernoulli. Un experimento aleatorio que consiste de una secuencia de n ensayos de Bernoulli tales que: Los ensayos son independientes. La probabilidad de éxito en cada ensayo, denotada por p, permanece constante, recibe el nombre de
Es una distribución ión de probab obabililid idad ad disc discrreta que que se presenta muy a menudo. Una de sus característica característicass es que existan sólo dos resultados posibles en una prueba particular de un experimento, en el control de calidad se puede identificar como una variable del tipo pasa o no pasa. pasa . La función de probabilidad de X s e calcula:
f(x, n, p) = nCx px(1 ± p)n ± x, x = 0, 1, 1, 2, 2, «, n n: tamaño de la población p: probabilidad probabilidad de éxito en cada ensayo x: número de ensayos La variable aleatoria X que es igual al número de ensayo ensayoss donde el result ultado ado es un éxito, tiene iene una d istribución istribución binomial (n, p).
f(x, n, p) = nCx px (1 ± p)n ± x, x = 0,1, 2, «, n n: tamaño de la población p: probabilidad probabilidad de éxito en cada ensayo x: número de ensayos o artículos defectuosos
n
x
!
n! x ! n x !
Es el número de combinaciones de n elementos disponibles tomados X a la vez. ³ p´ es
generalmente generalmente la proporción promedio de artículos defectuosos
Algunos ejemplos: Un proceso produce 5% de piezas defectuosas. Sea X el número de piezas defectuosas en las siguientes 20 piezas producidas. En una prueba final de artículos electrónicos se tiene un historial de que el 1% tiene alguna falla que es necesario reparar antes de liberarlos. Sea X la cantidad de artículos con fallas en los siguientes 50 inspeccionados. inspeccionados. De los nacimientos en un hospital, sea X la cantidad de niños varones en los siguientes 10 nacimientos.
X es una variable aleatoria con co n distribución binomial (n, p), entonces, la media y la varianza de la distribución será: µ = E(X) = np y Si
2 = V( V(X) X) = np (1 ± p) Y si estamos interesados en conocer ³r´ defe efecto ctos o menos menos utili utilizar zaremo emoss una una distri distribuc bución ión acumul acumulad ada a para para determinar la probabilidad de presencia.
Calculo, para un valor de: r n P
x e r
!
r
§ x ! 0
n
x
p
x
(1 p ) n x
Ejemplo 1: En un proceso de fabricación que produce gran cantidad de artículos, se sabe que en promedio 2% de ellos son defectuosos. Los artículos son empacados en cajas de 10, y se quiere saber cuál es la probabilidad de que no haya ning ningún ún artí artícu culo lo defe defect ctuo uoso so en cada cada caja caja.. Si X es el número de artículos defectuosos por caja, entonces se quiere obtener P(x=0), lo cual es:
x ! 0!
P
10! 0!10 0!
0
100
0.02 10.02
10
0.98
!
0.82
!
Por tanto, se espera que el 82% de las cajas no tengan ningún artículo defectuoso. Mientras que el 18% restante tendrá al menos un defectuoso. Si
se quisiera saber cuál es la probabilidad de que tengan exactamente un artículo defectuoso (P(x = 1)), entonces:
!
P x !1
10!
1
101
0.02 10.02
1!101!
9
100.020.98 !0.167
!
Por lo que se espera que 16.7% de las cajas tendrá exactamente un articulo defectuoso. Y si quisiéramos saber cuál es la probabilidad de que como máximo se tenga un defectuoso, entonces: P(x
1) = P(x = 0) + P(x =1) = 0. 0.82 82 + 0. 0.1167 = 0.987
De manera similar se podría calcular cualquier otra probabilidad.
Problema 1: Las normas mas de la indu indust strria sug sugieren ren que que el 10% 10% de los vehí vehícu culo loss nuev nuevos os requ requie iere ren n un serv servic icio io de gara garant ntía ía en el primer año. Jones Nissan en Sumter, Carolina del Sur, vendió ayer 12 autos marca Nissan. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno n inguno de estos vehículos requiera el servicio de garantía? R/ 0.2824 b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno de estos veh vehícul ículos os requi equie eren ren el ser servi vici cio o de gara garan ntía tía? R/ 0.3 .37 765 c) Dete Determ rmin ine e la prob probab abililid idad ad de que que exac exacta tame ment nte e dos dos de estos vehículos requieren el servicio de garantía? R/ 0.2301 d) Calcule la media y la desviación estándar de esta distribución de probabilidad. R/µ = 1.2 y = 1.0392
Problema 2: La velocidad a la que las compañías de servicios pueden reso resollver ver probl roblem ema as es muy impo import rtan ante te.. La com compañí pañía a de teléfonos Telecom, informa que puede resolver los problemas del cliente el mismo día que éstos se reportan en el 70% de los los caso casos. s. Suponga que 15 casos reportados hoy son representativos representativos de todas las quejas. a) ¿Cuántos problemas esperaría que se resolvieran el día de hoy? oy? ¿Cuál Cuál es la desv svia iaci ció ón están stánda dar? r? R/ µ=10.5 y =1.7748 b) ¿Cuál es la probabilidad de que 10 de los problemas se resuelvan hoy? R/ 0.2061 c) ¿Cuál es la probabilidad de que 10 u 11 de los problemas se resuelvan hoy? R/ 0.4247. d) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 10 de los problemas se resuelvan hoy? R/ 0.5154
ribuc ión ión de Probabilidad Dist ribu ric a. Hipergeomet ri Esta se aplica en ciertos tipos de experimentos Bernoulli, en los que la probabilidad de éxito no se mantiene constante. Por ejemplo, un conjunto de N objetos contiene K de ellos clasificados como éxitos y (N ± K) como fallas. fallas. Se extrae una muestra aleatoria (sin (sin reemplazo) reemplazo) de tamaño n, de tal forma que n N. Sea x el número número de éxitos éxitos en la muestr muestra a n, n, entonces, istribución hipergeométrica. x tiene una d istribución
f (x; , K , n) !
(K
x
)(
K nx )
; x !0,1, 2,...., n
n
Donde: N:
tamaño de la población; K: número de éxitos en la población; n: tamaño de la muestra y número de éxitos éxitos de la muestra muestra (del que x: número se quiere encontrar la probabilidad)
Además se tiene que: Q W
! np 2
p !
« ! n p (1 p ) ¬
n
» 1 ½¼
K
Cuan Cuando do n/N n/N < 0.1, 0.1, la dis distrib tribuc ució ión n bin binomia omial,l, se aproxima bien a la distribución hipergeométrica.
EJEMPLO: Play Time Toys, Inc. emplea a 50 personas en el depa departa rtame ment nto o de ensa ensamb mbla laje je.. Cuar Cuaren enta ta de los los empleados pertenecen a un sindicato y diez no. Se sele selecc cciionan ci cin nco emple mplea ados al azar zar para formar un comité que va a hablar con la gerencia acerca de los horarios en que inician los turnos. ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro de los cinco empleados seleccionados para el comité pertenezcan a un sindicato?
SOLUCION: La
población son los 50 empleados del departamento de ensamblaje. ensamblaje. Un empleado puede ser seleccionado para el comité sólo una vez. El muestreo se realice sin reemplazos. Por tanto, la probabilidad de seleccionar un empleado sindicalizado sindicalizado,, cambia de un ensayo a otro. La distribución de probabilidad hipergeométrica es adecuada para determinar la probabilidad.
el
número de empleados: empleados: N = 50, empleados sindicalizado sindicalizados: s: K = 40, el número de empleados el número de empleados empleados seleccionado seleccionados: s: n = 5, el número de empleados sindicalizados seleccionados: x = 4. Para encontrar la probabilidad de que 4 de los 5 miembros del comité sean sindicalizados, tenemos: f ( x;
, K , n ) !
( K C x ) (
K C n x
C n
)
; x ! 0 , 1, 2 , . . . . , n
¨ 40 ! ¸ ¨ 10 ! ¸ ¹© ¹ ! 3 6 ! º ª 1! 9 ! º 9 1 3 9 0 1 0 4 0 C 4 5 0 4 0 C 5 4 ©ª 4 !3 ! ! ! 0 .4 3 1 P ( 4 ) ! 50
C 5
50 !
2118760
EJERCICIO 1: La tienda Enseres Electrónicos del Sur, acaba de reci recibi birr un carg cargam amen ento to de diez diez rep reprodu roduct ctor ores es de DVD. Poco después de recibirlo, el fabricante llamó para reportar que por error enviaron tres unidades defectuosas. La propietaria de la tienda, decidió probar dos de los diez reproductores de DVD que recibió. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los dos reproductores de DVD probados esté defectuoso? R/ 0.4667
ribuc ión ión de Dist ribu Probabilidad de Poiss on on Una situación frecuente en control de calidad es evaluar variables variables como las siguientes: número de defectos por artículo, número de defectos por metro cuadrado de tela, t ela, número de defectos por unidad de área, número de impurezas en un líquido, número de errores de un trabajador. Tod Todos los casos anteriores res se pueden resumir mir así: número de eventos que ocurren por unidad u nidad (por unidad de área, por unidad de volumen, por unidad de tiempo)
Es frecuente que este tipo de variables tenga una distribución de Poisson, cuya función de distribución de probabilid probabilidad ad está dada por:
f ( x; P ) !
e
P
P
x
x!
x ! 0,1, 2, ........
Donde: x: número de ensayos o artículos defectuosos ««.. = 2.718281828 ««..
media de la distribución es: µ = np = su varianza es: 2 =
EJEMPLO:
a) b) c) d)
Un estudio de las filas en las cajas registradoras del Supermercado Selectos Gigante reveló que entre las 4:00 y las 7:00 p.m., los fines de semana existe un promedio de cuatro clientes formados. ¿Cuál es la probabilidad de que usted visite el Supermercado Selectos Gigante a esa hora durante este mes y encuentre que: ¿No hay clientes esperando? ¿Hay cuatro clientes esperando? esperando? ¿Cuatro clientes o menos esperando? ¿Cuatro clientes o más están esperando?
SOLUCION: Basados en que el experimento sigue una distribución de Poisson, determinamos que el valor de = 4 que corresponde al promedio observado y procedemos a evaluar las condiciones pedidas en la formula de la distribución. a
P
) x ! 0 c l i e n t e s ,
x ! 0 !
e
4
4
P
!4
0
!
e
4
0! b ) x ! 4 c l i e n t e s , P ! 4
P
x ! 4 !
e
4
4
4
!
64
!
e
1 e
4
4
!
! 0 .0 1 8 3 2
64
! 0 19537
c ) x ! 4 o m e n o s c l i e n t e s , P ! 4 P P P P P
x ! 4! x ! 3! x ! 2! x ! 1! x ! 0 !
e
4
4
4
4! 4
e
4
e
4
4
e
4
e
4
6 e
4
2
! 4e
1! 4
4
e
! !
64
4
!
4
4 e
!
1 4
4
4
! 0 .1 9 5 3 7
4
! 0 .1 9 5 3 7
6e 64 6e 8 e
0
!
!
6
1
4
e
!
16
2
2! e
!
64
3
3! 4
!
64
4
! 0 .1 4 6 5 3
! 0 .0 7 3 2 6 ! 0 .0 1 8 3 2
Cuyo total es de: P(x4) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + P(x=4) P (x4) = 0.01832 + 0.07326 + 0.14653 + 0.19537 + 0.19537 = 0.62885 d)P (x4) = 1 ± P (x<4) = 1 - (0.01832 + 0.07326 + 0. 0.14653 + 0.19537) = 0.56652
EJERCICIO La señorita Magaña es ejecutiva de préstamos del Ban Banco CITY CITY.. Por Por sus sus años años de expe experi rien enci cia, a, ella ella calcula que la probabilidad de que un solicitante no pueda pagar su préstamo inicial es de 0.025. El mes pasado ella realizó 40 préstamos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no se paguen 3 prestamos? R/ a) 0.0613 b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 3 préstamos queden queden sin pagar? R/ b) 0.0803
ribuc ión ión de Probabilidad Nor mal Dist ribu
Es probablemen mente la di distr strib ibuc ució ión n co cont ntin inua ua más impo mportante, tanto en esta stadística teórica como como aplicada. Si X es una variable aleatoria normal, normal, entonces su función de densidad de probabilidades esta dada por:
f ( x) !
1 W
2T
e
« x Q 2 » ¬ ¼ 2 ¬ 2W ½¼
co n
g
x
Donde: µ es su media y su desviación estándar .
g
ando Grafic ando
la Func ión ión
Al graficar la función f (x) (x) se obtiene una gráfica en forma de campana con una sola cima en el centro de la distribución. La media aritmética, mediana y moda son iguales y están ubicadas en el centro de la distribución
Es una dis isttrib ribuci ció ón si simé méttrica rica con con resp respe ecto cto a la media. Si cortamos en sentido vertical la curva normal en el valor central, las dos mitades serán imágenes espejo. La curva es ASINTOTICA, se acerca más y más al eje X pero nunca lo toca, los extremos de la cur curva se ext extien ienden den de man manera ind indefini inida en ambos sentidos. La ubicación de una distribución normal se determina a través de la media µ. Y la dispersión de la distri strib buci ción ón por med medio de la desv svia iaci ció ón estándar, .
ribuc ión ión de La Dist ribu Probabilidad Nor mal Estándar
Es una distribución normal con media cero (Z = 0) y desviación estándar uno . Cualquier distribución normal se puede convertir en una una dist distri ribu buci ción ón norm normal al está estánd ndar ar,, rest restan ando do el valor de la media de cada observación y divi dividi dien endo do está está dife difere renc ncia ia entr entre e la desv desvia iaci ció ón estándar.
A los resultados se les llama valores tipificados de z o valores z, de donde: z Siendo:
X
!
Q
W
(Z calcularlo con dos decimales) observación; X el valor de cualquier observación; µ es la media de la distribución y es la desviación estándar de la distribución, Los valores z tienen una distribución normal con una media de cero y una desviación estándar de uno .
La tabla que aparece en el apéndice D enumera las probabilidades para la distribución normal estándar. Si X es una variable aleatoria con distribución normal (µ, ), entonces se cumple que: 1. P(µ - < X < µ + ) = 0.6827 2.P(µ - 2 < X < µ + 2 ) = 0.9545 3.P(µ - 3 < X < µ + 3 ) = 0.9973 4.P(x = a) = 0 para cualquie c ualquierr número a. Estas propiedades señalan la proporción de la distr stribuci ció ón normal que se localiza liza en torno rno a la
ral del Limite. Teor em ema Cent ral Sea
una mues muestr tra a alea aleato tori ria a de cual cualqu quie ier r x1, x2,««., xn una
población, y sea X la media muestral, entonces, inde indepe pend ndie ient ntem emen ente te de cómo cómo sea sea la dist distri ribu buci ción ón de la población de donde se extrajo la muestra, la distribución de aproxima a la normal normal confor conforme me n crece. X se aproxima Cuando la distribución de donde proviene la muestra no sea radicalmente distinta a la normal, entonces la aproximación empieza a ser buena para tamaños de muestra mayores o igua ig uale less que n = 4. En caso caso de que sea sea muy dife diferen rente te se requieren tamaños de muestras mayores. mayores .
EJEMPLO 1: Tomaremos de ejemplo el peso de una caja de cereales y deseamos calcular la probabilidad de que las cajas pesen entre 283 y 285.4 gramos. Sabiendo que el peso de las cajas sigue una distribución normal con una media de 283 gramos y una desviación estándar de 1.6 gramos.
CASO I: Deseamos conocer la probabilidad o área por debajo de la curva entre la media, 283 y 285.4 gramos.
SOLUCION: Para encontrar la probabilidad es necesario convertir tanto 283 como 285.4 gramos a valores z. El valor de z= 0 para 283, ya que coincide con la media de la distribución y el valor z que corresponde a 285.4 es z=1.50 . Se calcula así: (285.4 ± 283)/1.6 = 1.50 A continuación pasamos a la tabla (Apéndice D), y leemos en la fila que corresponde al valor de z = 1.5, en la primera columna el valor de 0.4332,
Esto significa que el área por debajo de la curva entre 0.00 y 1.5 es 0.4332. La cuál representa la probabilidad de que una caja de cereal pese entre 283 y 285.4 gramos.
285.4
Si
represen sentamos mos por x el peso, so, tenemos mos que su
ulo de Probabilidades EJEMPLO: Calc ulo Cas os, de Ár eas .
Caso II: Cuando el peso de las cajas de cereales sea mayor de 285.4 gramos.
Caso III: Cuando el peso de las cajas este entre 281.4 y 285.4
Caso IV: Cuando el peso de las cajas este entre 284.6 gramos
En Res umen. Existen cuatro situaciones para encontrar el área por debajo de la distribución normal estándar: 1) Para encontrar el área entre o y Z ( 0 ± Z), vea la probabilidad directamente en la tabla 2)Para encontrar el área más allá de Z o ( - Z), localice la probabilidad de Z en la tabla y reste esa probabilidad de 0.5000.
3) Para encontrar el área entre dos puntos en lados distintos de la media, determine los valores Z y sume las probabilidades probabilidades correspondientes. correspondientes. 4) Para encontrar el área entre dos puntos en el mismo lado distinto de la media, determine los valores de Z y reste la probabilidad menor de la mayor.
EJEMPLO 2: Como parte de su programa de aseguramiento de la cal calidad idad,, la comp compañ añía ía de bate baterí ría as AUT AUTOLIT OLITE E rea realiz iza a pruebas sobre la vida útil de las baterías. La vida media para una batería de celda alcalina D, es de 19 horas. La vida útil de la batería sigue una distribución normal con una desviación estándar de 1.2 horas. Responda las preguntas siguientes: a) ¿Dentro de que par de valores se encuentra el 68% de las baterías? b) ¿Dentro de que par de valores se encuentra el 95% de las baterías? c) ¿Entre qué par de valores se encuentran todas las baterías?
Para poder responder estas preguntas es posible utilizar los resultados de la regla empírica. a) ¿Dentro de que par de valores se encuentra el 68% de las baterías? Alrededor de 68% de las baterías tienen una vida útil entre 17.8 y 20.2 horas, dato que se encuentra por medio de 19.0 ± 1(1.2) horas. b) ¿Dentro de que par de valores se encuentra el 95% de las baterías? Cerca del 95% de las baterías tienen una vida útil entre 16.6 y 21.4 horas, dato que se encuentra por medio de 19.0 ± 2(1.2) horas.
c) ¿Entre qué par de valores se encuentran todas las baterías? Virtualmente todas las baterías tienen una vida útil entre 15.4 y 22.6 horas, dato que se encuentra por medio de 19.0 ± 3(1.2) horas. Esta información se resume en la siguiente gráfica:
EJEMPLO 3: Los ingresos semanales de los supervisores de la industria del vidrio tienen una distribución normal con una media de $ 1 000.00 y una desviación estándar de $ 100.00. a) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un supe superv rvis isor or cuy cuyo ingr ingres eso o esté esté entr entre e $790 $790.0 .00 0y $1 000.00? b) ¿Menos de $ 790.00? c)¿Si su salario está entre $840.00 Y $1 200.00?
SOLUCION: a y b) Empezamos por encontrar el valor de z correspondiente correspondiente a un salario neto de $790.00 y tenemos: z !
xQ
!
$790 $1000
!
2.10
$100 En la tabla tabla buscamos buscamos el valor de 2.1 2.1 y a la par en la columna columna denominada como 0.00 encontramos el valor de 0.4821 que corresponde al área bajo la curva normal entre 0.00 y 2 .10. Debido a que la distribución normal es simétrica, el área entre 0 y un valor de z negativo es lo mismo que el que se encuentra entre 0 y un valor de z positivo. Luego la: P($790 ingreso semanal $1000) = 0.4821
W
La media divide la curva normal en dos mitades idénticas. El área por debajo de la mitad a la izquierda en 0.5000, y el área a la derecha también es 0.5000. Debido a que el área por debajo de la curva entre $ 790.00 y $ 1 000.00 es 0.4821, el área por debajo de $ 790.00 se encuentra mediante 0.5000 ± 0.4821. P(ingreso semanal < $790.00) = 0.0179. Lo cual se resume en el diagrama siguiente:
Literal c) El problema se puede dividir en dos partes. Para el área entre $ 840 y la media de $1000. z !
x Q
!
$840$1000
W
$100
!
$160 $100
! 1.60
Para el área entre la media de $ 1 000.00 y $ 1 200.00. z !
x Q W
!
$1200$1000 $100
!
$200 $100
!
2.00
En la Tabla comprobamos que el valor del área comprendida entre 0 y z = - 1.60 es 0.4452 y el área bajo la curva entre 0 y z = 2.00 es 0.4772. Sumando las dos áreas: 0.4452 + 0.4772 = 0.9224 por con consi sig guien iente: P($840 ingres reso sema seman nal $1200) = 0.9224, 0.9224, el cual cual se ve en la gráfica:
