UNIDAD II BASES ESTADISTICAS PARA EL CONTROL
Ing. Mario Enrique Elías Ayala e-mail:
[email protected] [email protected]
CONTENIDO 2.1 Estadística descriptiva 2.2 Técnicas de conteo 2.3 Introducción a la probabilidad 2.4 Distribuciones de probabilidad
OBJETIVOS ¡ ¡
¡ ¡
Reconstruir sus conocimientos estadísticos. Aplicar las medidas de tendencia central así como las medidas de dispersión. Aplicar los conceptos de probabilidad. pr obabilidad. Identificar y aplicar las diferentes distribuciones de probabilidad.
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La estadística tiene que ver con la recopilación, presentación, análisis y uso de datos para tomar decisiones y resolver problemas.
¡
¡
Cualquier persona recibe información en forma de datos a través de los periódicos, la televisión u otros medios; y a menudo es necesario obtener alguna conclusión a partir de la información contenida en los datos.
2.1 Estadística Descriptiva
OBJETIVO: Conocer y calcular las medidas de tendencia central
Ing. Melba de Miranda
e-mail:
[email protected] [email protected]
CONTENIDO
Conceptos básicos. Tipos de datos. Aleatorización Aleatorización y otras estrategias de muestreo. Organización de datos. Representación de datos. Medidas de tendencia central. Ø Datos no agrupados Ø Datos agrupados Visualización Visualización de datos. Medidas de dispersión
GENERALIDADES ¡
Los métodos empleados para resumir y organizar datos se denominan estadística descriptiva; mientras que los métodos para tomar decisiones se denominan inferencia estadística.
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ¡
Estadística Descriptiva (Deductiva): Es la encargada de la organización, condensación, condensación, presentación de los datos en tablas y gráficos y del cálculo de medidas numéricas que permitan estudiar los aspectos más importantes de los datos. DESCRIBIR
¡
Esto se debe a la creciente facilidad con la cual se pueden manejar grandes cantidades de datos numéricos, debido al uso de …
CONCEPTOS BÁSICOS ESTADISTICA:: Es una colección de métodos ESTADISTICA para planear experimentos, obtener datos, y después organizar, resumir, presentar, analizar, interpretar y llegar a conclusiones basadas en los datos.
¡
Población: es la colección de todas
las posibles mediciones u observaciones a estudiar. Se dice que la colección es completa, pues incluye a todos los sujetos que se estudian o que pueden hacerse de una variable bajo estudio.
¡
Se clasifica en dos categorías:
l
POBLACIÓN FINITA: Es aquella que
incluye una cantidad limitada contable de observaciones, individuos o medidas. Siempre que sea posible alcanzar (contar) el número total de todas las posibles mediciones, se considera como finita la población. POBLACIÓN INFINITA: Es aquella que incluye un gran conjunto de observaciones observaciones o mediciones que no pueden alcanzarse por conteo. conteo. Al menos, hipotéticamente, no existe límite en cuanto al número de observaciones que el experimento puede generar.
CENSO:
Es la colección de datos de cada uno de los miembros de la población.
¡
Muestra: Es un conjunto de mediciones u observaciones tomadas o seleccionados a partir de una población. l Es un subconjunto de la población. l
TIPOS DE DATOS ¡
Variables: l
Son las características o lo que se estudia de cada individuo de la muestra. Ej: sexo, edad, peso, estatura, color de ojos, estado civil, temperatura, cantidad de nacimientos, presión, grosor, diámetro, ...
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Datos: Son los valores que toma la variable en cada caso. l Son las observaciones recolectadas (como mediciones, géneros, respuestas de encuestas). l
PARAMETRO:
Es una medición numérica que describe algunas características de una población.
EJEMPLO:
Cuando
Lincoln fue elegido presidente por primera vez, recibió el 39.82% de 1, 865,908 votos. Si suponemos que el conjunto de todos esos votos es la población a considerar, entonces el 39.82% es un parámetro, no un estadístico.
ESTADISTICO:
Es una medición numérica que describe algunas características de una muestra.
EJEMPLO:
Con
base en una muestra de 877 ejecutivos encuestados, se encontró que el 45% de ellos no contaría a alguien con un error ortográfico en su solicitud de empleo. Esta cifra de 45% es un estadístico, ya que está basado en una muestra, no en la población completa de todos los ejecutivos.
¡
¡
DATOS CUALITATIVOS (categóricos o de atributos): Son datos que solo toman valores asociados a las cualidades o atributos, clasificándolos en una de varias categorías, es decir, no son valores numéricos. Ejemplo: l l l l l
Sexo: f/m. Hábito de fumar: Fumador/No fumador Color de ojos: negro, azul, marrón, … Religión: católica, evangélica, … Estado civil: soltero, casado, divorciado,…
¡
¡
DATOS
CUANTITATIVOS:
provienen de variables que pueden medirse, cuantificarse o expresarse numéricamente. Ejemplos: l l l l l l l
Peso Edad Estatura Presión Humedad Intensidad de un sismo Cantidad de hermanos
DATOS DISCRETOS : Resultan cuando el número de posibles valores es un número finito, o bien, un número que puede contarse. (Es decir, el número de posibles valores es 0, 1, 2, etc.).
DATOS CONTINUOS (NUMERICOS) (NUMERICOS):: Resultan de un infinito de posibles valores que pueden asociarse a puntos de alguna escala continua, cubriendo un rango de valores sin huecos ni interrupciones.
Abusos que se pueden cometer con la Estadística ¡
¡
¡
Conclusiones erróneas debido a que los datos son numéricamente insuficientes. Representaciones gráficas engañosas (escalas). Datos muéstrales no representativos: Muestra que no incluye a elementos de toda la población. l Ciertas categorías de personas no responden correctamente. l Respuestas voluntarias (sesgadas). l
ALEATORIZACIÓN Y OTRAS ESTRATEGIAS DE MUESTREO
CLASIFICACION DEL TIPO DE MUESTREO
PROBALISTICO O ALEATORIOS
NO PROBALISTICOS (Determinístico)
Azar simple Azar sistemático Estratificado Conglomerados
Casual o accidental Intencional Por cuotas
TIPOS DE MUESTREO
Los métodos de muestreo más comunes son: a) Aleatorio, b) Aleatorio simple, c) Sistemático, d) Por conveniencia, e) Estratificado, Estratificado, f) Por conglomerados o racimos.
¡
Muestra aleatoria: se considera aleatoria siempre y cuando cada observación, medición o miembro de la población tenga la misma probabilidad de ser seleccionado.
¡
A menudo se usan computadoras para generar números telefónicos aleatorios.
MUESTREO ALEATORIO SIMPLE Se
selecciona una muestra de tamaño de n sujetos de manera que cada posible muestra del mismo tamaño n tenga la misma posibilidad de ser elegida.
Todos
los elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser elegidos para formar parte de la muestra.
Ejemplo:
Imagine un salón de clase con 60 estudiantes acomodados en seis filas de 10 estudiantes cada una. Suponga que el profesor selecciona una muestra de 10 estudiantes tirando un dado y seleccionando la fila correspondiente al resultado. ¿El resultado es una muestra aleatoria? o ¿Es una muestra aleatoria simple?
MUESTREO ALEATORIO SISTEMATICO Se selecciona al azar un elemento de la población y a partir de él se seleccionan cada k-esimo los elementos siguientes (por ejemplo, cada n elemento en la población). Ejemplo: sea n=3
MUESTREO DE CONVENIENCIA
Se
utiliza resultados fáciles obtener.
n de
MUESTREO ESTRATIFICADO Estrato 1
La población se divide en grupos homogéneos, llamamos La estratos. proporción de cada estrato en la población se mantiene en la muestra. Cada uno de los estrato de la muestra se obtiene por muestreo aleatorio simple sobre el estrato correspondiente de la población.
Estrato 2
Población
Muestra
Los
estratos más grandes tienen probabilidad de ser representados.
mayor
Se
subdivide a la población en al menos dos diferentes subgrupos (o estratos) que comparten las mismas características (por ejemplo, el genero o categoría de edad) y después se extrae una muestra de cada subgrupo.
Homogéneos
en su interior; diferentes entre sí en propiedades y tamaño .
MUESTREO POR CONGLOMERADOS O RACIMOS Se
Para dividir la población en secciones podemos usar las provincias.
divide el área de la población en secciones (conglomerados o racimos ). Se eligen al azar unas pocas de estas secciones y luego se toman todos los elementos o miembros de las secciones elegidas para formar la muestra.
Heterogéneos en su interior; diferentes entre sí en propiedades y tamaño. Grupo 1A Grupo 5C
Grupo 2A Grupo 3B
ORGANIZACIÓN DE DATOS NO AGRUPADOS ¡
Una vez que se ha realizado la recolección de los datos, se obtienen datos en bruto, los cuales rara vez son significativos sin una organización y tabulación.
¡
Formas de organizar los datos: l Un arreglo: es la forma más sencilla de organizar los datos en bruto, consiste en colocar las observaciones en orden según su magnitud: ascendente o descendente. l Poco práctica cuando se tiene una gran cantidad de datos. datos.
Si los datos muéstrales no se reúnen de forma adecuada, resultarían tan inútiles que ninguna cantidad estadística podrá salvarlos.
MEDIDAS DE LOCALIZACIÓN ¡
¡
Las medidas de localización dividen la distribución en partes iguales, sirven para clasificar a un individuo o elemento dentro de una determinada población o muestra. Clasificación de las medidas de localización:
Centralización o de tendencia central Indican
valores con respecto a los que los datos parecen agruparse. Media, Mediana y Moda
Dispersión
Indican la mayor o menor concentración de los datos con respecto a las medidas de centralización. Desviación típica, coeficiente variación, Rango, Varianza
de
Posición
Dividen un conjunto ordenado de datos en grupos con la misma cantidad de individuos.
Percentiles, mediana.
Cuartiles,
Forma
Asimetría Apuntamiento o curtosis
Decilesy
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL ¡
Corresponden a valores que generalmente se ubican en la parte central de un conjunto de datos.
¡
Forma como los datos pueden condensarse en un solo valor central alrededor del cual todos los datos muéstrales se distribuyen.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS NO AGRUPADOS ¡
Las medidas de importantes son: l Media. l Mediana. l Moda.
¡
Son valores que se encuentran en el centro o a la mitad de los datos, o representa el valor al que tienden a concentrarse los datos de una muestra o de un proceso.
¡
tendencia
central
más
MEDIA ARITMÉTICA La media aritmética o simplemente promedio (también llamada media muestral).
¡
Es la suma de todas las observaciones dividida entre
¡
el número total de observaciones. ¡
Se calcula de la siguiente forma: si las observaciones de una muestra de tamaño n son x 1, x 2,…,x n entonces:
¡
¡
n
¡
µ = X =
x1
+ x 2 + ... + x n n
∑ xi =
i =1
n
MEDIANA –PERCENTIL 50 ¡
Es el valor que ocupa la posición central de un conjunto de observaciones o datos, una vez que han sido ordenados en forma ascendente o descendente.
¡
La mediana se suele definir como el valor “más intermedio” una vez que los datos han sido ordenados en forma creciente. Se suele denotar por Me.
¡
Divide al conjunto de datos en dos partes iguales. Si el número de valores es impar, la mediana es el número que se localiza exactamente a la mitad de los datos.
Si
el número de valores es par, la mediana es el número que se obtiene calculando la media
Cálculo de la mediana ØPara datos no agrupados : Si n es impar : posición donde se ubica la mediana es igual a (n+1)/2. Si n es par : (n+1)/2 no es entero, por lo tanto la mediana será igual al promedio de las dos posiciones centrales. La forma más general de calcular la mediana es la siguiente:
x ( ( n + 1) 2 ) si n es impar Md = x +x ((n 2) 1+ ) ( n 2) si n es par 2
MODA ¡
Es una medida de tendencia central que se puede utilizar sea cual sea el tipo de variable a estudiar.
¡
La moda de un conjunto de observaciones es el valor que más se repite, aquel cuya frecuencia absoluta es máxima.
¡
Puede ser única (unimodal), que haya más de una (bimodal o multimodal), o que no exista.
¡
Es la única medida de tendencia central que se puede determinar para datos de tipo cualitativo.
¡
Para datos no agrupados: es simplemente la observación que más se repite. repite.
¡
Datos no estan ordenados
REPRESENTACIÓN DE DATOS CURVAS
EJERCICIO:
A continuación se presentan las calificaciones de 60 estudiantes en el año 2009: 23 80 52 41 60 34
60 77 10 71 78 67
79 81 64 83 89 17
32 95 75 54 76 82
57 41 78 64 84 69
74 65 25 72 48 74
52 92 80 88 84 63
70 85 98 62 90 80
82 55 81 74 15 85
36 76 67 43 79 61
a)Ordenar los datos. b)Determine el valor mínimo y máximo de los datos. c)Encuentre el rango de los datos. d)Calcule la media, mediana y moda de la distribución. e)Construir el grafico que corresponda para la serie de datos.
ORGANIZACIÓN DE DATOS AGRUPADOS l Una distribución de frecuencias : es un arreglo de los datos que permite expresar la frecuencia de ocurrencias de las observaciones en cada una de las clases, mostrando el patrón de la distribución de manera más significativa. ¡
Clase
Pto. Medio
f i
Fi
fri
FRi
¡
La Distribución de Frecuencias: l
Se recomienda su uso cuando se tienen grandes cantidades de datos (n).
l
Su construcción requiere, en primer lugar, la selección de los límites de los intervalos de clase.
l
Para definir la cantidad de intervalos de clase (k), se puede usar:
La regla regla de Sturges: k = 1 + 3.3log(n) 3.3log(n) ¡k = n ¡
¡
La cantidad de clases no puede ser tan pequeño (menos de 5) o tan grande (más de 20), que la verdadera naturaleza de la distribución sea imposible de visualizar.
¡
La amplitud de todas las clases deberá ser la misma. Se recomienda que los puntos medios tengan la misma cantidad de cifras significativas que los datos en bruto.
¡
Los límites de las clases deben tener una cifras significativas más que los datos en bruto cuando sean reales.
¡
Determinar: Punto medio = (Li+Ls)/2. Li: limite inferior Ls: limite superior l Frecuencia absoluta de la clase (f i). l
l
Frecuencia acumulada de la clase (Fi).
l
Frecuencia relativa de la clase (fri)= f i/n
l
Frecuencia relativa acumulada de
4. Determinar el Número de clase (K) en las que se van a agrupar los datos.
l l
Clase: subgrupo en los que se agrupan los datos. Como se determina: ØLa
regla de Sturges: k = 1 + 3.3log(n) k = 1 + 3.3log(50) = 6.607 ≈ 7 Número de clase (K) = 7 ØSi utilizamos la formula es: K= √n K=√50 = 7.07≈7 5.Determinar la Amplitud (A) de las clases. A= Rango/Clase = R/K Amplitud ( A) = 62/7 = 8.857 Amplitud ( A) ≈ 8.86 ≈ 9
6. Determinar las fronteras o límites naturales de cada clase. Li: Limite inferior --- Li = Vm = 29 Ls: Limite superior – Ls = Li + (A-1) Ls =29+ (9-1) =37 =37
INTERVALOS FRONTERAS DE CLASE LIMITE LIMITE SUPERIOR (I) INFERIOR (Li) (Ls)
1 2 3
X X+(A-1) X+(A-1) X+2(A-1) X+2(A-1) X+3(A-1)
I
FRONTERAS Li Ls
1 2 3 4 5 6 7
29 38 47 56 65 74 83
37 46 55 64 73 82 91
6. Determinar las fronteras o límites reales de cada clase. Li: Limite inferior --- Li = Vm – ½ u Ls: Limite superior – Ls = Li + A u: unidad, si es entero es 1, decimal es 0.1, centesimal 0.01, ect.
Limite inferior --- Li = Vmin – ½ u Li = 29 – (1/2) (1) = 28.5 Ø Limite superior --- Ls = Li + A Ls = 28.5 + 9 = 37.5 Ø
INTERVALOS DE FRONTERAS CLASE LIMITE LIMITE (I) INFERIOR (Li) SUPERIOR (Ls)
1 2 3
X X+A X+2A
X+A X+ X+2A X+3A
I
FRONTERAS Li Ls
1 2 3 4 5 6 7
28.5 37.5 46.5 55.5 64.5 73.5 82.5
<37.5 <46.5 <55.5 <64.5 <73.5 <82.5 <91.5
Cálculo de la media Para datos agrupados:
¡
k
xf ∑ i i 1 X =i = k
fi ∑ 1 i=
Donde: xi : punto medio de la clase i (marca de clase) = (Li + Ls)/2 f i : frecuencia absoluta de la clase i n : número de datos
Cálculo de la mediana Ø
Datos agrupados: l
La clase mediana es la que contiene a la observación que ocupa la posición N/2.
¡
N − Faa ) * Ic Md = Li + ( 2 fm
Donde: Li: límite inferior de la clase mediana. Faa: frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase mediana. fm: frecuencia absoluta de la clase mediana. Ic :amplitud de la clase mediana Cabe destacar que es preferible el uso de la mediana como medida descriptiva del centro cuando se quiere reducir o eliminar el efecto de valores extremos en un conjunto de datos (muy grandes o muy pequeños).
¡
Ejercicio: datos agrupados ¡
I
Calcule la mediana de la distribución:
FRONTERAS
FRECUENCIA ABSOLUTA
FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA
1
Li Ls fi 28.5 <37.5 8
2
37.5 <46.5 14
22
3
46.5 <55.5 3
25
4
55.5 <64.5 0
25
5
64.5 <73.5 3
28
6
73.5 <82.5 14
42
7
82.5 <91.5 8
50
TOTAL
50
Faa 8
N − Faa ) * Ic Md = Li + ( 2 fm
= 55.5
Solución: 1. Calcular el factor N/2 = 50/2 = 25 datos. 2. Observar en la tabla la columna de Frecuencia absoluta acumulada e identificar la clase en que se encuentran 25.
Faa3 = Faa4 = 25 datos
Fi3= 3 y Fi4 = 0
Por lo tanto esta en el intervalo de clase I 3, con Fi3=3.
1. 2.
I
FRONTERAS
FRECUENCIA ABSOLUTA
FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA
2
Li Ls fi 37.5 <46.5 14
3
46.5 <55.5 3
25
4
55.5 <64.5 0
25
Faa 22
Md Ø Ø Ø Ø Ø Ø
Ø
Li
= +
N ( 2
Faa I)c* fm
−
Limite real inferior de la clase mediana o frontera de clase es: Li = 47 - 0.5 = 46.5 Factor es: N/2 = número de datos/2 = N/2 = 50/2 = 25 Frecuencia acumulada de la clase anterior es: Faa = 22 Frecuencia de la clase de la mediana o frecuencia absoluta es: fm = fi = 3 Ancho o amplitud de clase es: Ic = 9 Sustituyendo valores en la ecuacion se tiene que la mediana es: Md = 46.5 + ( 50/2 – 22 ) * 9 = 55.5 3
Cálculo de la moda ¡
Para datos agrupados: Mo
= Li +
∆1 ∆1 + ∆ 2
Ic
Donde: Li: límite inferior de la clase modal. ∆ 1: diferencia entre f i de la clase modal y la anterior. ∆ 2: diferencia entre f i de la clase modal y la posterior. Ic: amplitud de la clase modal (clase de mayor frecuencia).
Ejemplo: datos agrupados ¡
I 1
2 3 4 5
6 7
Calcular la moda de las distribuciones anteriores. FRONTERAS
Li 28.5 37.5 46.5 55.5 64.5 73.5 82.5
TOTAL
Ls <37.5 <46.5 <55.5 <64.5 <73.5 <82.5 <91.5
FRECUENCIA ABSOLUTA
Fi 8
Mo
= Li +
∆1 ∆1 + ∆ 2
Ic
14 3 0 3
14 8
50
Mo2 = 40.7≈41 Mo6 = 79.3 ≈79
Mo
=
Li +
∆1
Ic
∆1 + ∆ 2
Ø
El intervalo de clase donde mas se repiten los datos es en: Fi2 = Fi6=14
Ø
Limite real inferior de la clase modal es: Li2 = 38 - 0.5=37.5 Li6 = 74 – 0.5 =73.5
Ø
Ø
Ø Ø
Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la clase pre modal es: Δ21 =14 - 8 = 6 Δ61 =14 - 3 = 11 Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la clase post modal es: Δ22 =14 - 3 = 11 Δ62 =14 - 8 = 6 Ancho o amplitud de clase es: Ic = 9 Mo2= 37.5 + ( 6 )* 9 Mo6= 73.5 + ( 11 6 + 11
Mo = 40.7≈41
11 + 6
Mo = 79.3≈79
)*9
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS DATOS ¡
Los gráficos permiten visualizar en forma global y rápida el comportamiento de los datos.
¡
Para datos cuantitativos agrupados en clases, comúnmente se utilizan tres gráficos: Histogramas. l Polígono de frecuencias. l Ojiva o Polígono de frecuencias f recuencias acumuladas. l
REPRESENTACIÓN DE DATOS CUANTITATIVOS
Histograma
OJIVA
POLIGONO DE FRECUENCIAS
Histograma y Polígono de Frecuencias
REPRESENTACIÓN DE DATOS CUALITATIVOS ¡
Para datos cualitativos se usan: Curvas l Barras l Sectores l
CURVAS
BARRAS PASTEL O CIRCULAR
Continuación…. Construir para el ejercicio anterior, el grafico que corresponda, considerando el tipo de datos.
Solución: El grafico que representa esos datos es el HISTOGRAMA I
1 2 3 4 5 6 7
FRONTERAS Li
Ls
29 38 47 56 65 74 83
37 46 55 64 73 82 91
fi
8 14 3 0 3 14 8
29
38
47
56
65
74
83 92
RELACIÓN ENTRE LA MEDIA, LA MEDIANA Y LA MODA Permiten estudiar la forma de la curva, dependiendo de cómo se agrupan los l os datos.
Cuando los datos son sesgados es mejor emplear la Md
ASIMETRÍA O SESGO ¡
Una distribución es simétrica si la mitad izquierda de su distribución es la imagen especular de su mitad derecha. oEn las distribuciones simétricas media y mediana coinciden. Si sólo hay una moda también coincide. La asimetría es positiva o negativa en función de a qué lado se encuentra la cola de la distribución.
o
¡
La media tiende a desplazarse hacia las valores extremos (colas).
¡
¡ ¡
Las discrepancias entre las medidas de centralización son indicación de asimetría.
Relación entre Tendencia Central y la Simetría de la distribución Simetría
Relación
Simétrica Simétrica o insesg insesgada ada Moda = Mediana Mediana = Media Media sesgo positivo o a la derecha sesgo negativo o a la izquierda
Moda < Mediana < Media Moda > Mediana > Media
La forma depende de la distribución de las frecuencias absolutas de los datos. Algunas de las formas más comunes que puede adoptar son las siguientes: SIMETRICA ó Campana de Gauss-Normal
Asimétrica
Forma bimodal
Con anomalías
Sesgada a la derecha
Forma en U
Sesgada a la izquierda
¡
La localización o tendencia central de un conjunto de datos no necesariamente proporciona información suficiente para describirlos adecuadamente. Debido a que no todos los valores son semejantes, la variación entre ellos se considera importante.
¡
Se puede decir que un conjunto de datos tiene una dispersión reducida si los mismos se aglomeran estrechamente en torno a alguna medida de localización de interés y se dice que tiene una dispersión grande si se esparcen ampliamente alrededor de alguna medida de localización de interés.
Md = 55.5
29
38
47
56
65
Mo = 41
Mo = 79 X = 60
CONCLUSIÓN:
74
83
92
Comparación de los resultados obtenidos en las medidas de tendencia central MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
DATOS NO DATOS AGRUPADOS AGRUPADOS
Media Aritmética(¯)
59.8
60.0
Mediana (Md)
58.5
55.5
Moda (Mo)
42 y 78
41 y 79
Conclusión:
X
EJERCICIO:
A continuación se presentan las calificaciones de 60 estudiantes en el año 2009: 23 80 52 41 60 34
60 77 10 71 78 67
79 81 64 83 89 17
32 95 75 54 76 82
57 41 78 64 84 69
74 65 25 72 48 74
52 92 80 88 84 63
70 85 98 62 90 80
82 55 81 74 15 85
36 76 67 43 79 61
a)Determine el valor mínimo y máximo de los datos. b)Encuentre el rango de los datos. c)Construir el grafico que corresponda para la serie de datos. d)Calcule la media, mediana y moda de la distribución. e)Compare los resultados obtenidos. ¿Qué puede concluir de estos datos?
Comparación de los resultados obtenidos en las medidas de tendencia central MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Media Aritmética(¯) Mediana (Md) Moda (Mo)
Conclusión:
X
DATOS NO DATOS AGRUPADOS AGRUPADOS
