Bir f fonksiyonunun a noktasındaki türevin f (a + h ) h→0 h
lim
− f (a)
limiti olarak tanımlanır. Bu limit eğer var ise, yani bir gerçek sayı ise, f fonksiyonu a noktasında türevlenebilirdir denir. Limitin sonsuz olması veya var olmaması durumunda, f ye a noktasında türevlenemez denir. Türevin gösterimi şu şekilde olabilir: df df (x ) ˙ f (x ) f dx dx
,
,
,
Türevin Fiziksel Yorumu: Bir hareketlinin t zamanına bağlı olarak aldığı yol S ile S = S (t ) fonksiyonu ile gösterilsin. Hareketlinin t − t 0 zaman aralığındaki ortalama hızı V ort ile gösterilirse S (t ) V ort = t
olur.
S ( t ) lim t →t 0 t
− S (t ) − t 0
0
− S (t ) − t 0
0
değerine , hareketlinin t 0 anındaki ani hızı denir. ve dS ( t ) = V (t 0 ) ile gösterilir. S (t 0 ) = dt Zamana bağlı S = S (t ) yol denkleminde , yolun zamana göre
türevi, hız denklemini verir.
Bir hareketlinin t − t 0 zaman aralığındaki hız değişimi V (t ) − V (t 0 ) olsun. V (t ) t
oranına ortalama a (t ) ile gösterilir.
ivme denir,
− V (t ) − t 0
0
aort ile gösterilir. İvme fonksiyonu
V (t ) lim t →t 0 t
− V (t ) − t 0
0
değerine , hareketlinin , t = t 0 anındaki ivmesi denir. V (t 0 ) =
dV (t 0 ) = a (t 0 ) dt
Hızın zamana göre türevi, yol denkleminin zamana göre 2 türevi , ivmeyi verir. .
Herhangi bir sabit c ve m sayılar, ve türevlenebilen f (x ) ve g ( x ) fonksiyonlar için, d [c ] = 0 dx d [mx + c ] = m dx d d [cf (x )] = c [f (x )] dx dx d d d [f (x ) g (x )] = [f (x )] [g (x )] dx dx dx d n [x ] = nx n−1 dx d d d [f (x ) g (x )] = f (x ) g ( x ) + f (x ) g (x ) dx dx dx
±
·
±
·
·
d d ( ) ( ) ( ) f x g x f x g ( x ) d f (x ) dx = dx dx g (x ) [g (x )]2 d d d f (g ( x )) = f (g ) g ( x ) dx dg dx
·
−
·
Fonksiyon
Türev
x n e x ln(x ) sin(x ) cos (x ) sin(x ) cos (x )
nx n−1 e x
− −
1 x
cos (x ) sin(x ) cos (x ) sin(x )
− −
·
Örnek 3x 2 + 5x ifadesinin türevi nedir?
Çözüm
d d d d 3x 2 + 5x = 3x 2 + 5x = 3x 2 + [5x ] dx dx dx dx d = 6 x + [5x ] = 6x + 5 dx
Örnek d dx
√
x değeri bulunuz.
Çözüm
Aynı kural üstel fonksiyonlarda da geçerlidir. d dx
sin (x + 1) cos (x + 1) sin (x + 1) = − x + 1 x + 1 (x + 1)2
8. d dx
=
cos x + 2
2x 2 sin + 2 x 2 (x 2 + 2)
d dx
3x 2 = 3 cos x 3 + 3 x + 3
3x 2 3 sin + 3 x 2 3 (x + 3)
sin x 2 + 2 x 2 + 2
9. sin x 3 + 3 x 3 + 3
2x x + 2 2
2
− −
10. 11. 12. 13.
d tan (x + 1) = tan2 (x + 1) + 1 dx d tan x 2 + 2 = 2x tan2 x 2 + 2 + 1 dx
1 d log (x + 1) = dx x + 1 2x d 2 log x + 2 = 2 dx x + 2
14. d dx
cos (x ) sin (x ) cos2 (x ) = − − sin (x ) + 1 sin (x ) + 1 (sin (x ) + 1)2
Eğer python kullanmak isteyen varsa: https://github.com/trishume/sympy-wiki-withsvn/blob/master/Generating-tables-of-derivatives-andintegrals.md sayfasına bakabılır.
