TUGAS KALKULUS APLIKASI TURUNAN
Disusun Oleh: Adi Susanto (41316010047) (41316010047) Dosen: Kontan Tarigan, Drs, Ms, Ph.D
PROGRAM STUDI TEKNIK MESIN FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS MERCU BUANA JAKARTA 2017
KATA PENGANTAR
Puji syukur penyusun ucapkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesa ikan Makalah dengan judul Aplikasi Turunan” dengan baik. “ Aplikasi Makalah ini diajukan guna memenuhi tugas kelompok mata kuliah kalkulus. Penyusun mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu sehingga makalah ini dapat diselesaikan sesuai dengan waktunya. Penyusun menyadari dalam penyusunan laporan ini tidak luput dari kesalahan dan kekurang sempurnaan, maka kritik dan saran yang konstruktif dari semua pihak, akan Penyusun terima dengan senang hati untuk kesempurnaan makalah ini. Akhirnya Penyusun Penyusu n berharap semoga makalah ini bermanfaat bagi Penyusun Pe nyusun dan semua pihak yang membutuhkan serta dapat menjadi sumber inspirasi untuk kedepan nantinya.
Jakarta, 23 April 2017
Penyusun (Kelompok 3)
BAB 3 APLIKASI TURUNAN 3.1 MAKSIMUM DAN MINIMUM Definisi :
Andaikan S = daerah asal dari f , dan mengandung titik c, kita katakan bahwa : a.f (c) adalah nilai maksimum f pada S jika f (c) > f (x) untuk semua x di S b.f (c) adalah nilai minimum f pada S jika f (x) > f (c) untuk semua x di S c.f (c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum.
d.Fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan adalah fungsi objektif.
Teorema A (Teorema Keberadaan Maks-Min) :
Jika f kontinu pada selang tutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan minimum di sana. Perhatikan kata-kata kunci: f disyaratkan harus kontinu dan himpunan S disyaratkan harus berupa selang tutup.
Teorema B : Teorema Titik Kritis
Andaikan f terdiferensialkan pada selang I yang memuat titik c dan jika f (c) adalah nilai ekstrim, maka c haruslah berupa titik kritis; yakni c berupa salah satu : a.
titik ujung dari I
b.
titik stasioner dari f {f ’ (c) = 0}; atau
c.
titik singular dari f {f ’ (c) tidak ada}
Contoh soal :
1. Carilah titik-titik kritis dan nilai maksimum / minimum dari f (x) = - 2x 3 + 3x2 pada [- ½ ,2 ] Penyelesaian :
Titik-titik kritis diperoleh dari titik ujung dari I yaitu – ½ dan 2 Titik stasioner ----
f’(x) = 0
- 6x2 + 6x = 0 - 6x (x - 1) = 0 - 6x = 0 --- x = 0 x - 1 = 0 --- x = 1 Jadi titik-titik kritisnya adalah titik ujung dan titik stationer yaitu : - ½ , 0, 1, 2
Untuk mencari nilai maksimum / minimum, nilai-nilai titik kritis dimasukkan pada fungsi f (x) = - 2x3 + 3x2 , yaitu : f (- ½ ) --- f (x) = -(- ½ ) 3 + 3(- ½ ) 2 = ¼ + ¾ = 1
------ maksimum
f (0 ) --- f (x) = - 2(0) 3 + 3(0)2 = 0 + 0 = 0 f (2) --- f (x) = - 2(1) 3 + 3(1)2 = - 2 + 3 = 1 f (6) --- f (x) = -(2)3 + 3(2)2 = - 16 + 12 = - 4
----- minimum
Jadi nilai maksimumnya adalah 1 dicapai pada saat x = - ½ , nilai minimumnya adalah - 4 dicapai pada x = 2
2. Carilah titik-titik kritis dan nilai maksimum / minimum dari f (x) = - 2x 3 + 3x2 pada [-2,6] Penyelesaian :
Titik-titik kritis diperoleh dari titik ujung dari I yaitu -2 dan 6. Titik stasioner ----
f’(x) = 0
-3x2 + 6x = 0 - 3x (x - 2) = 0 -3x = 0 --- x = 0 x - 2 = 0 --- x = 2 Jadi titik-titik kritisnya adalah titik ujung dan titik stationer yaitu : -2, 0, 2, 6 Untuk mencari nilai maksimum / minimum, nilai-nilai titik kritis dimasukkan pada fungsi f (x) = -x3 + 3x2 , yaitu : f (-2) --- f (x) = -(-2) 3 + 3(-2)2 = 8 + 12 =20
------ maksimum
f (0 ) --- f (x) = -(0) 3 + 3(0)2 = 0 + 0 = 0 f (2) --- f (x) = -(2)3 + 3(2)2 = -8 + 12 = 4 f (6) --- f (x) = -(6)3 + 3(6)2 = - 216 + 108 = - 108
----- minimu
Jadi nilai maksimumnya adalah 20 dicapai pada saat x = -2, nilai minimumnya 108 dicapai pada x = 6.
adalah -
Kesimpulan :
Nilai minimum dan maksimum (nilai ekstrim) pada suatu fungsi kontinyu f pada selang tutup I, dicari dengan cara : Langkah 1 : cari titik-titik kritis (titik ujung dan titik stasioner) Langkah 2 : hitung f pada setiap titik kritis , yang terbesar = nilai maksimum dan yang terkecil = nilai minimum
Contoh perhitungan maksimum dan minimum dalam masalah praktis :
1. Seorang peternak mempunyai 100 m kawat berduri yang akan dipergunakan membuat 2 kandang identik yang berdampingan. Berapa ukuran seluruh keliling agar luas maksimum? Jawab :
y x = lebar = m x
y
= panjang = m
Keliling 2 kandang = 3x + 2y = 100 2y = 100 - 3x y =
-
y = 50 -
Luas total : A = x . y = x ( 50 = 50x -
)
Mencari titik-titik kritis : Tiga sisi dengan panjang x : 0 ≤ x ≤
-----
-- memaksimumkan A pada [ 0 ,
= 0
50 - 3x = 0 x =
5
]
Jadi titik kritis : 0 ,
5 ,
Mencari nilai maksimum :
x = 0 x = x =
5
(0) 5 5 50 ( ) - ( ) () 50 ( )
----- 50 (0) ----- -----
2
2
2
= 0 = 416,67 ---- maksimum pada x =
5
= 0
Jadi ukuran yang diinginkan agar A maksimum adalah : Lebar = x =
5
m
Panjang = y = 50 = 50 -
(5)
= 25 m
2. Biaya operasi sebuah truk diperkirakan sebesar ( 30 + ) sen dolar/ mil pada saat dikendarai dengan laju v mil/jam. Pengemudi dan kenek dibayar $ 14 / jam. Pada laju berapa, biaya pengiriman ke suatu kota yang jaraknya k mil akan paling murah ? Anggap bahwa peraturan membatasi kecepatan pada 40 ≤ v ≤ 60 Jawab :
Misal :
C = biaya total dalam sen dolar untuk menjalankan truk sejauh k mil
Maka : C = upah sopir + biaya operasi =
(1400) + k (30 + ) = 1400 kv-1 + ( ) v + 30 k
C V
Minimumkan fungsi biaya (C) terhadap V ---
- 1400 kv-2 +
+ 0
= 0 = 0
- 1400 kv-2 = -
− -
=
v2 k
= 2 ( - 1400 )k
v2
= 2800
v
= 52,91 =
53
Jadi kecepatan 53 mil/jam optimum, di cek pada titik kritis : v = 40
--
v = 53
--
v = 60
--
5
) 5 + ) + )
(1400) + k (30 +
= 35 k + 50 k = 85 k
(1400) + k (30
= 26,4 k + 56,5 k = 82,9k
(1400) + k (30
= 23,3 k + 60 k = 83,3 k
1. melebihi kuadratnya secara maksimum? Coba pada selang [0,1] BAB 3 APLIKASI TURUNAN 3
Setiap bidang ilmu mempunyai bahasa sendiri-sendiri. Tentu saja ini benar untuk eknomi, yang mempunyai kosa kata yang dikembangkan secara sangat khusus. Sekali kita mempelajari kosa kata ini, kita akan menemukan bahwa banyak masalah ekonomi sebenarnya merupakan masalah kalkulus biasa yang dikenakan baju baru. Pandang sebuah perusahaan pada umumnya, PT. ABC. Untuk memudahkan, anggap bahwa ABC menghasilkan dan memasarkan sebuah barang, mungkin berupa televisi, aki kendaraan atau sabun dalam peti. Jika ABC menjual x satuan barang tahun ini, ABC akan mampu membebankan harga, p(x), untuk setiap satuan. Kita tunjukkan bahwa p tergantung pada x karena bilamana ABC memperbesar keluarannya, kemungkinan ABC akan perlu mengurangi harga tiap satuan agar dapat menjual seluruh hasil keluarannya. Tiga fungsi penting untuk perusahaan atau ahli ekonomi yaitu : 1. C ( x )
= total biaya produksi x unit produk selama periode waktu tertentu, terdiri dari biaya tetap (keperluan kantor, pajak dsb) dan biaya tidak tetap (biaya yang tergantung pada banyaknya produksi)
2. R ( x )
= total penghasilan dari penjualan x unit produk selama periode waktu tertentu
3. P ( x )
= total keuntungan oleh penjualan x unit produk selama periode waktu tertentu
P(x)
= R(x) - C (x) = x. p ( x ) - C ( x )
Umumnya, sebuah perusahaan berusaha memaksimalkan total labanya. Hal yang harus diperhatikan adalah perlunya membedakan masalah ekonomi dengan masalah fisika. Pada dasarnya, suatu produk akan berupa satuan – satuan diskret ( anda tidak dapat menjual 0, 23 pesawat TV atau π aki mobil. Jadi, fungsi R (x), C (x) dan P (x) pada umumnya
didefinisikan hanya untuk x = 0, 1, 2, ….. dan sebagai akibatnya, grafiknya akan terdiri dari titik – titik diskrit (gambar 1). Agar kita dapat menggunakan kalkulus, titik – titik ini kita hubungkan
satu sama lain sehingga membentuk kurva (gambar 2), dengan demikian R, C dan P dapat dianggap sebagai fungsi yang dapat didiferensialkan. Hal ini menggambarkan salah satu aspek dari pemodelan matematika yang hampir selalu diperlukan, terutama dalam ekonomi. Untuk membuat model dari suatu masalah yang nyata dijumpai, kita harus menyederhanakan beberapa anggapan. Ini berarti b ahwa jawaban yang kita peroleh hanya menghampiri jawaban yang kita cari – salah satu alasan bahwa ekonomi merupakan ilmu yang sedikit kurang sempurna.
6
6 x
4
x x
2
x
4
x
Dunia nyata
Model Matematis 2
x
x 2
4
6
8
10
2
Gambar 1
4
6
8
10
Gambar 2
Suatu masalah yang berkaitan dengan seorang pakar ekonomi adalah bagaimana mendapatkan rumus uttuk fungsi – fungsi C (x) dan p (x). Dalam hal yang sederhana, C (x) dapat berbentuk : C (x) = 10.000 + 50 x Jika demikian , Rp. 10.000,- merupakan biaya tetap dan Rp. 50x merupakan biaya tidak tetap, berdasarkan pada biaya langsung Rp. 50,- untuk setiap satuan yang diproduksi. Barangkali contoh yang lebih umum adalah : C (x) = 10.000 + 45x + 100
√
Perhatikan bahwa dalam kasus ini rata-rata biaya produksi tidak tetap tiap satuan adalah :
5 + √
=
45 +
√
Suatu nilai yang berkurang apabila x bertambah (efisiensi dari besarnya produksi). Fungsi – fungsi biaya C (x) dan C (x) digambar menjadi satu sebagai berikut : C (x) C (x) 30
C (x)
20 10
x 200 400 600
800
1000
Pemilihan fungsi – fungsi biaya dan harga yang sesuai merupakan tugas yang ti dak jelas. Kadang kala keduanya dapat ditentukan dari anggapan – anggapan dasar. Dalam kasus lain, kajian cermat tentang pengalaman perusahaan akan menyarankan pilihan-pilihan yang layak. Kadang kala kita harus melakukannya hanya dengan prakiraan saja.
PENGGUNAAN KATA “MARJINAL” :
Misal perusahaan ABC mempunyai fungsi biaya C (x) dan untuk sementara merencanakan memproduksi 2000 satuan pada tahun ini. Managemen ingin menetapkan biaya tambahan tiap satuan jika produksi diperbesar sedikit. Misalnya, apakah itu akan kurang dari pendapatan tambahan tiap satuan? pendapatan akan berkurang tiap satuan “. Jika demikian, akan merupakan pertimbangan ekonomi yang baik untuk memperbesar produksinya.Untuk dapat menjawab pertanyaan ini, maka dihitung dihitung dengan cara turunan : Jika fungsi biaya adalah seperti diperlihatkan pada gambar berikut, berapa nilai C /x pada saat x = 1, tetapi kita mengharapkan bahwa ini akan sangat dekat terhadap nilai
lim →0
pada saat x
= 2000. Ini disebut biaya marjinal. Para matematikawan mengenalnya sebagai dC/dx, atau turunan C terhadap x.
C(x) C x
x 2000
2000 +
x
Dengan cara serupa, kita definisikan :
= pendapatan marginal
= harga marginal
= laba marginal
Contoh – contoh berikut merupakan gambaran bagaimana kita menyelesaikan aneka ragam
masalah ekonomi.
√
1. Jika C (x) = 8300 + 3,25x + 40 rupiah, hitung : a. biaya rata-rata tiap satuan b. biaya marjinal c. hitung kedua biaya tersebut bilamana x = 1000. Jawab :
() a. Biaya rata – rata : b. Biaya marjinal :
/ 8 + , 5 + = x = 3,25 + – 2/3
c. Pada x = 1000 :
() Biaya rata – rata : Biaya marjinal :
/ 8 + , 5() + () = (1000) = 3,38 = 3,25 +
= 11,95
– 2/3
Ini berarti bahwa : -
rata-rata biaya setiap satuan adalah Rp. 11,95 untuk memproduksi 1000 sataun yang pertama untuk memproduksi satu satuan tambahan diatas 1000 hanya memerlukan biaya Rp. 3,38
2. Sebuah perusahaan memperkirakan akan dapat menjual 1000 satuan tiap minggu, jika menetapkan harga satuan sebesar Rp. 3000,-, tetapi penjualan mingguannya akan meningkat 100 satuan dengan tiap penurunan harga sebesar Rp. 100,-. Jika x = banyaknya satuan yang terjual tiap minggu ( x ≥ 1000 ), hitung : a. Fungsi harga , p (x) b. Banyaknya satuan dan harga yang berpadanan yang akan memaksimumkan pendapatan mingguan c. Pendapatan mingguan maksimum Jawab :
a.
x = 1000 + atau p (x) =
− () (100) , ( − ) 3 - (0,10)
= 3 - 0, 001x + 1 = 4 - 0,001x b. R (x) = x. p (x) = x ( 4 - 0,001x ) = 4x - 0,001x2 Pendapatan maksimum -----
4 - 0,002x x
= 0 = 0 =
− − ,
= 2000
-
Jadi titik – titik kritis adalah : titik ujung x = 1000 dan titik stationer x = 2000
-
Uji turunan pertama :
R’ (x) > 0 untuk 1000 ≤ x < 2000 dan, R’ (x) < 0 untuk x > 2000
Ini memperlihatkan bahwa x = 2000 memberikan pendapatan maksimum. Ini berpadanan terhadap harga satuan p (2000) = Rp. 2,c. Pendapatan mingguan maksimum adalah R (2000) = Rp. 4000,-
3. Dalam memproduksi dan menjual x satuan komoditi tertentu, fungsi harga p dan fungsi biaya C (dalam ribuan rupiah) diberikan dalam persamaan sebagai berikut : p (x) = 5 - 0,002x C (x) = 3 + 1,1x Cari : a. Persamaan untuk pendapatan marjinal, biaya marjinal dan laba marjinal b. Tentukan tingkat produksi yang akan menghasilkan keuntungan total maksimum Jawab :
a. Pendapatan : R (x) = x. p(x) = x (5 – 0,002x) = 5x - 0,002x2 Pendapatan marjinal = Biaya marjinal = Laba :
P (x) = = = =
Laba marjinal =
()
= 5 - 0,004x
= 1,1
R (x) - C (x) ( 5x - 0,002x2 ) - ( 3 + 1,1 x ) 5x - 0,002x2 - 3 - 1,1 x - 0,002x2 + 3,9x - 3
= - 0,004x
b. Untuk memaksimumkan laba --- - 0,004x
+ 3,9
=
+ 3,9 = 0 - 0,004x = - 3,9 x =
Pada x = 0,975 :
0
− ,9 − ,
=
0, 975
Pendapatan marjinal = 5 - 0,004 (0,975) = 5 - 3,9 = 1,1 --- sama dengan biaya Marjinal
Secara umum, sebuah perusahaan harus mengharapkan berada pada tingkat laba maksimum bila biaya produksi sebuah satuan tambahan tepat sama dengan pendapatan dari satuan tersebut. Pernyataan yang baru dibuat menganggap bahwa fungsi biaya dan fungsi pendapatan adalah fungsi yang baik, fungsinya dapat didiferensialkan dan bahwa titik ujungnya tidak penting. Dalam beberapa situasi, fungsi biaya mungkin berupa lompatan besar, seperti
bila ditambahkan seorang karyawan baru atau sebuah sebuah peralatan baru, juga sebuah pabrik mungkin mempunyai kapasitas maksimum, sehingga memperkenalkan titik ujung penting. Kita tunjukkan kemungkinan-kemungkinan ini dalam contoh 4 berikut 4. Perusahaan XYZ menghasilkan kursi rotan. Dengan dua mesin yang sekarang mempunyai keluaran tahunan maksimum sebanyak 500 satuan. Jika ia membuat x kursi, dapat menetapkan harga p (x) = 200 - 0,15 x ( ribu rupiah / buah ) dan akan mempunyai total biaya tahunan C (x) = 4000 + 6x - ( 0,001 ) x2 rupiah. Berapa tingkat produksi yang memaksimumkan total laba tahunan ? Jawab :
Pendapatan =
R (x) = x . p (x) = x (200 - 0,15 x) = 200x - 0,15x 2 Sehingga laba = P (x) = R (x) - C (x) = ( 200x - 0,15x2 ) - ( 4000 + 6x - 0,001 x2 ) = 200x - 0,15x2 - 4000 - 6x + 0,001 x2 = - 0,149x2 + 194x - 4000 Laba maksimum
:
=
0
-0,298x + 194 = 0 -0,298x = 194 x =
− 9 − ,98
x = 651
------ merupakan titik stationer
Titik stationer tidak berada pada selang [ 0 , 500 ], sehingga titik kritis yang diperiksa hanya pada kedua titik ujung yaitu 0 dan 500. Pada x = 0
--- Laba = - 0,149( 0 )2 + 194 ( 0 ) - 4000 = - 4000 ---- rugi
Pada x = 500 -- Laba = - 0,149 ( 500 )2 + 194 ( 500 ) - 4000 = - 37.250 + 97.000 - 4.000 = 55.750 ribu rupiah ---- merupakan laba maksimum
5. Dengan tambahan sebuah mesin baru, perusahaan XYZ pada contoh 4 dapat menaikkan produksi tahunannya sebanyak 750 kursi. Tetapi fungsi biayanya menjadi berbentuk : Fungsi semula : 4000 + 6x - 0,001x2
jika 0 ≤ x ≤ 500
C (x) = Fungsi baru
: 6000 + 6x - 0,003x2
jika 500 < x ≤ 750
Berapa tingkat produksi yang memaksimumkan total laba ta hunan dibawah situasi ini? Jawab :
Fungsi biaya baru menghasilkan fungsi laba baru : P (x) = ( 200x - 0,15x2) - ( 6000 + 6x - 0,003x2 ) = 200x - 0,15x2 - 6000 - 6x + 0,003x2 = - 0,147x2 + 194x - 6000 Laba maksimum :
=
0
pada selang 500 < x ≤ 750
-0,294x + 194 = 0 -0,294x = 194 x =
− 9 − ,9
x = 659,86 ∞ 660
Terdapat 4 titik kritis : 0, 500, 660 dan 750 diperoleh : Pada x = 0
------ merupakan titik stationer
--- dimasukkan pada persamaan P (x) / laba ,
--- Laba = - 4000 (lihat contoh 4)
Pada x = 500 --- Laba = 55.750 (lihat contoh 4) Pada x = 660 --- Laba = - 0,147 (660)2 + 194(660) - 6000 = - 64.033 + 128.040 - 6000 = 58.007 ---------- laba maksimum Pada x = 750 --- Laba = - 0,147 (750)2 + 194(750) - 6000 = - 82.687 + 145.500 – 6000 = 56.813 Kita simpulkan bahwa laba maksimum diperoleh pada tingkat produksi 660 satuan.
SOAL – SOAL :
3.9 PENDAHULUAN
Integral merupakan anti – turunan. Hal ini dapat digambarkan dengan suatu perumpamaan dalam kehidupan sehari – hari. Misal kita memakai sepatu dan melepasnya lagi. Operasi yang kedua menghapuskan yang pertama. Kita katakana dua operasi tersebut adalah operasi balikan (“invers” ). Pasangan operasi balikan dalam matematika lainnya antara lain penambahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, pemangkatan dan penarikan akar, serta penarikan logaritma dan pencarian anti logaritma. Kita telah mengkaji pendiferensialan, balikannya disebut anti – pendiferens ialan. Definisi :
Kita sebut F suatu anti turunan f pada selang I jika D x F(x) = f(x) pada I - yaitu, jika F’(x) = f(x) untuk semua x dalam I (jika x suatu titik ujung I, F’(x) hanya perlu berupa turunan sepihak)
Kita menggunakan istilah “suatu” anti turunan daripada anti turunan (“an” dan bukan “the”)
dalam definisi kita. Alasannya dapat kita simpulkan pada contoh berikut ini. Contoh :
1. Carilah suatu anti turunan fungsi f(x) = 4x3 pada (- ∞,∞) Jawab : Kita mencari suatu fungsi F yang memenuhi F’(x) = 4x 3 untuk semua x real. Dari
pengalaman kita dengan pendiferensialan, kita mengetahui bahwa F(x) = x4 adalah fungsi yang dimaksud. Pemikiran sejenak akan mengemukakan penyelesaian-penyelesaian lain untuk contoh 1. Fungsi F(x) = x4 + 6 juga memenuhi F’(x) = 4x 3, ini juga adalah suatu anti turunan dari f(x) = 4x3. Pada kenyataannya, F(x) = x4 + C, dengan C konstanta sebarang, adalah suatu anti turunan dari 4x3 pada (- ∞,∞). (lihat gambar 1 ). Sekarang kita dihadapkan pada pertanyaan penting, apakah setiap anti turunan f(x) = 4x3 berbentuk F(x) = x4 + C ? jawabnya adalah ya. Ini menurut teorema sebelumnya, yang mengatakan bahwa dua fungsi dengan turunan sama hanya berbeda dalam konstanta.
Kesimpulan kita adalah, jika suatu fungsi f mempunyai suatu anti turunan, ia akan mempunyai keseluruhan family dan setiap anggota dari family ini dapat diperoleh dari salah satu di antara mereka dengan jalan menambahkan suatu konstanta yang cocok. Famili fungsi ini kita namakan anti turunan umum dari f. Setelah kita terbiasa dengan pengertian ini, sering kali kita akan kata sifat umum itu. y
15
F(x) = x4 + 6
12
9 Gambar 1 F(x) = x4
3 -2
-1
0
1
2 F(x) = x4 - 4
2. Carilah anti turunan umum fungsi f(x) = x2 pada (- ∞,∞) Jawab : F(x) = x3 tidak akan berhasil karena turunannya adalah 3x2 . Tetapi itu menyarankan
F’(x) = . 3x3 = x3 . Akan tetapi, anti turunan umumnya adalah
x + C. 3
3.8 ANTI TURUNAN
Karena kita telah menggunakan lambing Dx untuk operasi penentuan suatu turunan, adalah wajar menggunakan Ax untuk operasi anti turunan. Jadi : Ax (x2) =
x
3
+ C
Ini adalah notasi yang digunakan oleh beberapa penulis pada buku-buku lama. Seiring dengan bertambahnya waktu, notasi yang popular dipakai adalah notasi Leibniz yang menggunakan lambing :
∫ ……...
∫ = x + C Perhatikan bahwa D ∫ () = f (x) 3
Ia menuliskan :
dan
∫ 4
=
x4 + C
x
Teorema A :
(Aturan Pangkat). Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali – 1, maka :
∫
=
+
+ C
Mengenai teorema A, ada dua hal yang perlu diperhatikan, yaitu : a. Apabila r = 0, maka
∫ 1
= x + C
b. Karena tidak ada selang yang dirinci, maka dipahami kesimpulan sahih untuk selang tempat terdefinisi.
Contoh :
3. Cari anti turunan yang umum dari f(x) = x4/3 Jawab :
∫ / dx
=
+
+ C =
/ + 7/
C =
7
x7/3 + C
Teorema B :
∫ sin = - cos x + C
∫ cos
= sin x + C
Integral tak tentu adalah linear :
Ingat bahwa Dx adalah suatu operator linear. Ini berarti dua hal yaitu : a. Dx [ k . f (x) ] = k D x f (x) b. Dx [ f (x) + g (x) ] = D x f (x) + Dx g (x) Dari kedua sifat ini, sifat ketiga menyusul secara otomatis, yaitu : c. Dx [ f (x) - g (x) ] = D x f (x) - Dx g (x) Apa yang benar untuk turunan adalah benar juga untuk integral tak tentu (anti turunan). Teorema C :
∫ …..
). Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu ) dan andaikan k suatu konstanta, maka : (Kelinearan
a. b. c.
∫ k .f (x) dx = k ∫ f (x) dx ∫[ f (x) g (x) ] dx = ∫ f (x) dx ∫[ f (x) g (x) ] dx = ∫ f (x) dx
+ -
∫ g (x) dx ∫ g (x) dx
Contoh :
1. ∫( 3 4 ) = ∫ 3 + ∫ 4 = 3 ∫ + 4 ∫ = 3(
+ C1) + 4 (
+ C2 )
= x3 + 2x2 + 3C1 + 4C2 = x3 + 2x2 + C
∫ 3 14
2.
3. ∫ √
=
∫ - 3 ∫ + 14 ∫ 1 = 5 - + 14u + C ∫(− / ) = ∫ − ∫ /
= − =
=
/ / t
+ +
3/2
+ C + C
Aturan Pangkat yang Dimampatkan
Ingat kembali aturan rantai yang diterapkan pada pangkat suatu fungsi. Jika u = g(x0 adalah fungsi yang dapat dideferensialkan dan r suatu bilangan rasional ( r ≠ 1), maka : Dx
[
+
] =
ur + Dxu
Atau dalam cara penulisan fungsional :
Dx
[()] +
= [g(x)] r . g’(x)
Dari sini kita peroleh suatu aturan penting untuk integral tak tentu. Teorema D : ( Aturan Pangkat yang Dimampatkan ). Andaikan g suatu fungsi yang dapat dideferensialkan dan r suatu bilangan rasional bukan – 1, maka :
∫[() ] ′()
=
[()] +
+ C
Contoh :
Cari
∫( 3 ) ( 4 3)
Jawab :
() = 3 ---- g’(x) = 4 3 ∫( 3 ) ( 4 3) = ∫[() ] ′() Misal :
[()]
=
=
( + )
+ C
Sekarang kita dapat melihat mengapa Leibniz menggunakan diferensial dx dalam cara penulisan . Jika kita tetapkan u = g (x) maka du = g’(x). Karena itu kesimpulan dari teorema D adalah :
∫ …….
Contoh :
∫
=
+
+ C
, r ≠ -1
∫( 6 )5 ( 6 12 ) Jawab : Misal u = 6 ----- du = ( 3 6 ) dx sehingga (6 12) = 2 ( 3 6 ) dx = 2du Cari
∫( 6 )5 ( 6 12 )
=
∫ 5 2
= 2
∫ 5
+ C ] = + 2C ( + ) + K =
= 2[
3.9Pendahuliuan
PERSAMAAN DIFERENSIAL
Untuk mengerti megenai persamaan diferensial, kita bisa melihat contoh berikut ini : Cari persamaan xy dari kurva yang melalui ( - 1, 2) dan yang kemiringannya pada setiap titik pada kurva itu sama dengan dua kali absis ( koordinat x ) titik itu. Jawab :
Syarat yang harus berlaku di setiap titik ( x, y ) pada kurva adalah :
= 2x
Kita mencari suatu fungsi y = f(x) yang memenuhi persamaan ini dan tambahan bahwa y = 2 bilaman x = - 1. Terdapat dua metode penyelesaian yaitu : Metode 1 :
Bilamana persamaan berbentuk anti turunan dari g (x) yaitu ;
= g (x), kita perhatikan bahwa y harus berupa suatu
∫ () = ∫ 2 =
y = Dalam soal di atas :
y
x2 + C
Metode 2 :
Pikirkan
sebagai suatu hasil bagi dua diferensial. Bilamana kedua ruas dari
dikalikan dengan dx, maka diperoleh :
= 2x
dy = 2x dx Selanjutnya kedua ruas diintegralkan dan disederhanakan :
∫ = ∫ 2x dx y + C1 = x2 + C2
Persamaan
y
= x2 + C2 - C1
y
= x2 + C
= 2x disebut suatu persamaan diferensial.
Menyelesaikan suatu persamaan diferensial adalah mencari suatu fungsi yang tidak diketahui dan merupakan suatu hal yang sulit. Disini kita hanya meninjau kasus yang paling sederhana, yaitu persamaan diferensial tingkat satu yang terpisahkan. Ini adalah persamaan – persamaan yang hanya melibatkan turunan pertama dari fungsi yang tidak diketahui dan sedemikian sehingga peubah – peubah dapat dipisahkan. Pemisahan peubah :
Perhatikan persamaan diferensial
=
+
Jika kedua ruas dikalikan dengan y2 dx, kita peroleh : y2 dy = ( x + 3x 2 ) dx Dalam bentuk ini, persamaan diferensial mempunyai peubah – peubah terpisah yaitu, suku – suku y berada pada suatu ruas dari persamaan dan suku – suku x pada ruas yang lainnya. Dalam bentuk terpisah, kita dapat menyelesaikannya. Kita dapat menyelesaikan persamaan diferensial itu menggunakan metode 2 (yaitu integralkan kedua ruas, samakan hasil – hasil, dan sederhanakan ) seperti contoh berikut :
Contoh :
Selesaikan persamaan diferensial memenuhi y = 6 bilamana x = 0
+
=
, kemudian cari penyelesaian yang
y2 dy = ( x + 3x 2 ) dx
Jawab :
∫ dy = ∫( 3 ) dx + C = + x + C y = + 3x + ( 3C + 3x + 3C = 3
1
2
3
3
2
- 3C1)
3
y
=
3
Untuk menghitung konstanta C, kita gunakan syarat y = 6, bilamana x = 0. Ini memberikan : ---- C = 216 6 =
√
Pengecekan akhir pada pekerjaan kita adalah menyulihkan hasil ini pada kedua ruas dari persamaan diferensial semula untuk melihatbahwa ini memberikan suatu kesamaan. Penyulihan pada ruas kiri menghasilkan :
(
=
=
+ ( + + )/
+
3x3
+
216 ) – 2/3 ( 3x + 9x2 )
Penyulihan pada ruas kanan menghasilkan :
+
=
+ ( + + )/
Seperti yang diharapkan, kedua ungkapan tersebut sama
