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Módulo 6
Trigonometría “La matemática compara los más diversos fenómenos y descubre las analogías secretas que los unen” Joseph Fourier
TRIGONOMETRÍA Para comenzar a trabajar con trigonometría necesitamos necesitamos primero conocer que es un ángulo orientado. Consideramos una semirrecta OM que puede girar alrededor de su origen O . Si esta rotación se efectúa en sentido contrario al de las agujas del reloj, diremos que la semirrecta ha rotado en sentido positivo , en caso contrario, el sentido será negativo .
La semirrecta OM ha girado en sentido positivo
N
hasta ocupar la posición ON , engendrando el ángulo positivo α. α
O
Como el sentido de giro es negativo, el ángulo engendrado por la semirrecta OM al girar alrededor del punto O hasta ocupar la posición ON , es negativo.
O
M M α
N
Las semirrectas OM y ON reciben el nombre de lado inicial y lado terminal respectivamente. 1
Módulo 6
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR ANGULAR Sistema sexagesimal sexagesimal De los sistemas de medición angular el más usado es el sexagesimal, cuya unidad es el grado sexagesimal que se define como la noventa ava parte de un ángulo recto: 1R 1° = 90 En este sistema hay dos submúltiplos de la unidad: 1° a) el minuto sexagesimal : que es la sesenta ava parte de un grado: 1′ = ; 60 b) el segundo sexagesimal : que es la sesenta ava parte de un minuto: 1° 1′ 60 1° . 1′′ = = = 60 60 3600 En este sistema, es usual expresar la amplitud de un ángulo en forma compleja : α = 42° 20′ 33′′ pero a veces es necesario expresar la amplitud del ángulo como un número expresado en una sola unidad (forma incompleja ). 20 33 α = 42° 20′ 33′′ = 42° + + = 42°,3425 60 3600 Observación : la mayoría de las calculadoras hacen esta conversión automáticamente, consulta en el manual. Sistema Circular Circular Consideramos un sistema de ejes cartesianos y una circunferencia C con centro en el origen del sistema. Si centramos un ángulo orientado α, vemos que éste determina sobre la AB , orientado según el mismo sentido que α. circunferencia un arco y y
B α
O
A x x
En el sistema circular, se asigna como medida del ángulo a la longitud del arco subtendido por el mismo, tomando como unidad el radio de la circunferencia, por esto es que suele decirse que el ángulo está medido en radianes . S α = En símbolos: r Donde S: longitud del arco y r : radio de la circunferencia. 2
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Si consideramos un ángulo de 360° (un giro), la longitud del arco es la longitud de la circunferencia: 2 π r / = 2 π 360° = r / Es decir, un ángulo de 360° equivale a 2 π (radianes). De esta equivalencia podemos deducir, dividiendo m.a.m por 2 y por 4 respectivamente: 180° = π 90° =
π
2
Para convertir un ángulo expresado en el sistema sexagesimal al circular nos valdremos de una regla de tres simple. Por ejemplo: Expresar 30° en el sistema circular: 180º ______ π 30º ______ x =
30º ⋅ π 180º
=
π
6
Observación importante : en el sistema circular, la amplitud de un ángulo está dada por un número real (sin unidades). Si queremos expresar un ángulo del sistema sexagesimal dado en forma compleja en el sistema circular, antes de hacer la regla de tres, es necesario pasarlo a la forma incompleja. El pasaje del sistema circular al sexagesimal se hace de la misma manera. ACTIVIDAD 1 1) Expresar en el sistema circular los siguientes ángulos dados en el sistema sexagesimal: a )45° b ) α = 56°25′47′′ c ) β = 97°50′42′′ d ) γ = 320°11′ 30′′ 2) Expresar en el sistema sexagesimal los siguientes ángulos dados en el sistema circular: π 3π a)δ = b)ε = c ) λ = 0,87 d )θ = 1,26 6 2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO RECTÁNGULO B a C
c
α
A b Recordemos los elementos de un triángulo rectángulo: • Hipotenusa : Es el lado opuesto al ángulo recto. • Catetos : Son los lados que forman el ángulo recto. 3
Módulo 6
Si consideramos el ángulo agudo α, el cateto c se denomina cateto opuesto (es el que no determina el ángulo α) y el cateto b es el cateto adyacente, que junto a la hipotenusa, forma el ángulo α. a b a c b c Con los lados del triángulo podemos formar seis razones: ; ; ; ; ; . b a c a c b Se puede demostrar que estas razones no dependen de las longitudes de los lados sino que dependen exclusivamente del ángulo agudo α , por eso reciben el nombre de funciones trigonométricas. Cada una de ellas recibe un nombre especial: • Seno Seno: no: : Se llama seno de un ángulo al cociente entre el cateto opuesto al mismo y la hipotenusa. c senα = a • Coseno: Se llama coseno de un ángulo al cociente entre el cateto adyacente al mismo y la hipotenusa. b cos α = a • Tangente: Se llama tangente de un ángulo al cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. c tg α = b • Cotangente: Cotangente: Es el cociente entre el cateto adyacente y el cateto opuesto. b cotg α = c • Secante: Es el cociente entre la hipotenusa y el cateto adyacente. a sec α = b • Cosecante: Cosecante: Es el cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto. a cosec α = c Enunciemos ahora algunas relaciones importantes entre las funciones trigonométricas de un mismo ángulo: 1) Relación PPitagórica itagórica: itagórica La suma de los cuadrados del seno y del coseno de un mismo ángulo es igual sen2α + cos2 α = 1 . a 1: 2) La tangente de un ángulo es igual al cociente entre el seno y el coseno del mismo:
tg α =
sen α . cos α
3) La cotangente de un ángulo es igual al cociente entre el coseno y el seno del mismo:
cotg α =
cos α . sen α
1 . cos α 1 5) La cosecante de un ángulo es el valor recíproco de su seno: cosec α = . sen α
4) La secante de un ángulo es el valor recíproco de su coseno: sec α =
4
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Identidades trigonométricas II dentidades trigonométricas Las identidades trigonométricas son igualdades establecidas entre dos expresiones trigonométricas que se satisfacen para cualquier valor de los ángulos que figuran como argumentos. Las relaciones entre las funciones de un mismo ángulo son identidades, como así también los casos triviales tales como cos α = cos α , etc... Verificar una identidad trigonométrica significa reducir sus dos miembros a una misma expresión. En la verificación de identidades no está permitido hacer pasajes de términos o factores (lo que significa que debemos trabajar con el primer y segundo miembro por separado). Ejemplo: Verificar la identidad 1 + tg2α = sec2 α sen2α 1 = 1+ cos2 α cos2 α 1
cos2 α + sen2α 1 = cos2 α cos2 α 1 1 = cos2 α cos2 α
ACTIVIDAD 2 2 Verificar las siguientes identidades: a ) (1 − cos2 α ) (1 + tg 2α ) cotg α = tg α cos4 α − sen 4α 2 ( sen α + cos α ) c ) cos2 α − sen 2α
=
cos α 1 b ) sen 2α + sec α sen 2α
−
1
sec α − 1 2
=1
1 1 + 2 sen α cos α
FUNCIONES DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS COMPLEMENTARIOS Recordemos que dos ángulos son complementarios si su suma es igual a un ángulo recto. En un triángulo rectángulo, sus ángulos agudos son complementarios, ya que: Aˆ + Bˆ + Cˆ = 2R B pero Aˆ = 1R ˆ + Cˆ = 1R ∴B a Notemos además, que el cateto c es c ˆ pero opuesto para el ángulo C ˆ ; algo adyacente para el ángulo B similar ocurre con b : es adyacente C A ˆ , pero opuesto para el B ˆ. para el C b En consecuencia: 5
Módulo 6
senCˆ = cos Cˆ =
c ˆ = cos B a b ˆ = sen B a
Utilizando las relaciones entre funciones de un mismo ángulo: tgCˆ =
senCˆ ˆ cos C
=
ˆ cos B ˆ =cotg B ˆ sen B
Si hacemos lo mismo con las demás funciones veremos que, las funciones y cofunciones de un ángulo, son respectivamente las cofunciones y funciones de su complemento. (coseno , quiere decir, justamente seno del complemento ...)
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA Es una circunferencia con centro en el origen de un sistema de coordenadas y radio unitario. y y
O
r = 1
x x
Para cualquier número real a , existe un arco de la misma que tiene longitud a y en consecuencia queda determinado un ángulo central cuya medida en radianes es también a . y y A ≡ ( x ; y ) ρ
y
a
a O
x
x x
El extremo libre del arco determina el punto A cuyas coordenadas son (x ; y ). El segmento OA recibe el nombre de radio vector . Podemos ahora definir las funciones trigonométricas del número real a en función de las coordenadas del punto A. Resulta: 6
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Seminario Universitario – Matemática sen a
=
cos a
=
tg a
abscisa
ρ =
radio vector ordenada
cotg a
=
y
=
radio vector
=
sec a
ordenada
x ρ
y
abscisa x abscisa x
=
=
ordenada radio vector
=
cosec a
=
y =
ρ
abscisa x radio vector ρ =
ordenada
y
De acuerdo al cuadrante al que pertenezca el punto A, las funciones trigonométricas tendrán diferentes signos, que dependen de los signos de su abscisa y su ordenada. (El radio vector es siempre positivo.) yy Segundo cuadrante : abscisa negativa y ordenada positiva
Primer cuadrante : abscisa y ordenada positiva xx
O Tercer cuadrante : abscisa y ordenada negativa
Cuarto Cuadrante : abscisa positiva y ordenada negativa
Podemos resumir los signos de las funciones en el siguiente cuadro:
IC II C III C IV C
seno + + – –
ACTIVIDAD 3 7 1) Si sen α = 25
∧ α ∈ I
2) Sabiendo que cos α
coseno + – – +
tangente cotangente secante + + + – – – + + – – – +
cosecante + + – –
las demás funciones. C , calcular = −
3 5
∧
sen α < 0 , calcular las demás funciones.
7
Módulo 6
FUNCIONES TRIGO TRIGONOMÉTRICAS NOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS NOTABLES NOTABLES Los ángulos notables son: 0°, 30°, 45°, 60° y 90°. Sus funciones trigonométricas se obtienen por métodos geométricos. No daremos aquí las demostraciones sino que simplemente mostramos un cuadro de sus valores. seno
coseno
tangente cotangente
secante
cosecante
0°
0
1
0
∞
1
∞
30°
1 2
3 2
3 3
3
2 3 3
2
45°
2 2
60°
3 2
2 2 1 2
1
1
2
2
3
3 3
2
2 3 3
90°
1
0
∞
0
∞
1
Estos valores son fáciles de recordar teniendo en cuenta la siguiente regla mnemotécnica: Los senos de los ángulos notables son respectivamente decir, todos tienen la forma
0 1 2 3 4 ; ; ; ; . Es 2 2 2 2 2
n con n = 0;1;2;3;4 . Teniendo en cuenta que 0° y 2
90°, 30 y 60° son complementarios y que 45° es complemento de sí mismo, la columna correspondiente a la función coseno, es la del seno escrita en forma inversa. Para las demás funciones, se utilizan las relaciones entre las funciones de un mismo ángulo. ACTIVIDAD 4 4 Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones: 1 1) sen60° ⋅ cos 45° + cos 60° ⋅ sec 60 ° − sen 45° ⋅ cotg30 ° = 2 2 2 2 2 cos 0° + cos 60° cos 0 ° − cos 60 ° 2) + = sen30° − sen90° sen30° + sen90°
LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS TRIGONOMÉTRICAS Son segmentos cuyas medidas, tomando al radio de la circunferencia trigonométrica como unidad, representan los valores y signos de las funciones trigonométricas de los ángulos.
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Seminario Universitario – Matemática L D F
E
c
A
0
B
C
H
t
sen α = med BA cos α = med OB tg α = med CD cotg α = medEF sec α = medOH cosec α = med OL
Las rectas t y c se llaman respectivamente ejes de tangentes y de cotangentes . Como actividad te proponemos graficar las líneas trigonométricas para ángulos de los demás cuadrantes. Importante : Los ejes de tangentes y de cotangentes no cambian de posición.
GRÁFICOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1) y = sen x : Sinusoide o Senoide Características: a) Es continua b) Es periódica (período 2 π) c) Su dominio es ℝ. d) Su recorrido es {y / –1 ≤ y ≤ 1} e) Alcanza su valor máximo para x =
π
2
y todos sus congruentes.
f) Alcanza su valor mínimo para x =
3π 2
y todos sus congruentes.
g) Sus ceros son x = 0 + 2 k π ; x = π + 2 k π Observación : 2 k π, k ∈ ℤ indica un número exacto de giros, al sumarlo al ángulo estamos indicando todos sus congruentes.
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Módulo 6
2) y = cos x : Cosinusoide o Cosenoide Características: a) Es continua b) Es periódica (período 2π) c) Su dominio es ℝ. d) Su recorrido es {y / –1 ≤ y ≤ 1} e) Alcanza su valor máximo para x = 0 + 2 k π. f) Alcanza su valor mínimo para x = π + 2 k π. g) Sus ceros son x =
π
2
+ 2 k π ; x =
3π 2
+ 2 k π
3) y = tg x : Tangentoide Características: a) Es discontinua, presenta saltos infinitos en x =
π
2
+ 2 k π ; x =
3π 2
+ 2 k π
b) Es periódica (período π) c) Su dominio es: π
3π
2
2
– { + 2 k π ;
ℝ
+ 2 k π}
d) Su recorrido es ℝ e) No tiene valor máximo ni mínimo f) Sus ceros son x = 0 + k π.
4) y = cotg x : Cotangentoide Características: a) Es discontinua, presenta saltos infinitos en x = 0 + 2 k π ; x = π + 2 k π b) Es periódica (período π) c) Su dominio es: ℝ – {0 + 2 k π ; π + 2 k π} d) Su recorrido es ℝ e) No tiene valor máximo ni mínimo f) Sus ceros son x =
10
π
2
+ k π
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5) y = sec x : Secantoide Características: a) Es discontinua, presenta saltos infinitos en x =
π
2
+ 2 k π ; x =
3π 2
+ 2 k π.
b) Es periódica (período 2 π) c) Su dominio es: π
3π
2
2
– { + 2 k π ;
ℝ
+ 2 k π}
d) Su recorrido es Rec = {y /|y | ≥ 1} e) No tiene valor máximo ni mínimo f) No tiene ceros.
6) y = cosec x : Cosecantoide Cosecantoide Características: a) Es discontinua, presenta saltos infinitos en x = 0 + 2 k π ; x = π + 2 k π. b) Es periódica (período 2 π) c) Su dominio es: ℝ – {0 + 2 k π ; π + 2 k π} d) Su recorrido es Rec = {y /|y | ≥ 1} e) No tiene valor máximo ni mínimo f) No tiene ceros.
INVERSAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS TRIGONOMÉTRICAS Llamaremos problema directo al siguiente: “Dado un ángulo, encontrar el valor de una función trigonométrica”, por ejemplo, haciendo uso de la calculadora: cos 23º15’ = 0,91879121… El problema inverso es: “Dado el valor de una función trigonométrica, hallar el ángulo”. Por ejemplo: Si sen α = 0,43421; hallar α Se dice que α es el arco seno de 0,43421 y se expresa: α = arc sen 0,4321 α = 25º 44’ 6” De igual manera se procede para las demás funciones. Pero notemos que el valor de α no es único, porque además de los infinitos congruentes con él, existe otro ángulo menor que un giro que es solución del problema. Para ello, recordemos que el seno es positivo en el primer y segundo cuadrante, entonces, el ángulo del segundo cuadrante es: 180º – (25º 44’ 6”) = 154º 15’ 54” 11
Módulo 6
Es conveniente trabajar siempre con el valor positivo de la función (entonces obtendremos un ángulo del primer cuadrante) y después, de acuerdo al signo de la función, ubicar los ángulos correspondientes de la siguiente forma: Llamando α al ángulo del primer cuadrante: a) Segundo cuadrante: 180º – α b) Tercer cuadrante: 180º + α c) Cuarto cuadrante: 360º – α Ejemplo: Si tg α = − 3 , hallar α.
(
α = arc tg −
3)
como la tangente es negativa, los ángulos que cumplen con esta condición son del segundo o del cuarto cuadrante. Buscamos arc tg 3 = 60° En consecuencia, el ángulo del segundo cuadrante es α 1 = 180° − 60° = 120° y el del cuarto cuadrante es α 2 = 360° − 60° = 300° . RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Resolver un triángulo rectángulo es calcular sus elementos teniendo como datos dos de ellos. Se dan cuatro casos, llamados casos clásicos : 1. Datos: La hipotenusa y un ángulo agudo 2. Datos: Un cateto y un ángulo agudo 3. Datos: La hipotenusa y un cateto 4. Datos: Los dos catetos. Para resolver triángulos rectángulos son suficientes las definiciones de seno, coseno y tangente y el teorema de Pitágoras. No desarrollaremos aquí los casos clásicos, que pueden consultarse en cualquier texto de trigonometría, sino que veremos aplicaciones a problemas. Ejemplo 1: Calcular la longitud de la sombra que proyecta un poste vertical de 3 m de altura, cuando el sol está a 48° sobre el horizonte. Resolución : Es fundamental hacer un gráfico de la situación para saber qué debemos aplicar:
Poste: h = 3 m 48° Sombra: x
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Como se desprende del gráfico, calcular la longitud de la sombra es hallar el cateto adyacente al ángulo de 48°, conociendo el cateto opuesto que es la altura del poste. El siguiente paso es buscar una función trigonométrica del ángulo dado como dato, que relacione la altura del poste (cateto opuesto) con la longitud de la sombra (cateto adyacente). Dicha función es la tangente. En consecuencia: 3m 3 m = 2,70 m tg 48° = ⇒x = x tg48° Ejemplo 2: La base de un rectángulo mide 4 cm y su altura 2 cm. Calcular: a) la longitud de su diagonal; b) el ángulo que forma la diagonal con la base.
d
2 cm
α
4 cm
Resolución : Para hallar la longitud de la diagonal, vemos que ésta es la hipotenusa del triángulo rectángulo que tiene por catetos a la base y a la altura del rectángulo. Por teorema de Pitágoras: 2
2
( 4 cm ) + ( 2 cm ) = 16 cm 2 + 4 cm 2 = 20 cm 2 = 2 5 cm Para calcular el ángulo, buscamos una función del mismo que vincule a los datos, esta función es la tangente: d
=
2 cm 1 = 4 cm 2 1 ⇒ α = arc tg 2 α = 26° 33′ 54′′ tg α =
RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Para resolver triángulos oblicuángulos (no rectángulos), aplicaremos dos teoremas que no demostraremos: 1) Teorema del Coseno Coseno En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de los mismos multiplicado por el coseno del ángulo que ellos forman. A b 2 + c 2 − 2 b c cos Aˆ b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos Bˆ c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos Cˆ a2
=
c
b C
B
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Módulo 6
2) Teorema del Seno Seno En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. A a sen Aˆ
=
b c = ˆ senC ˆ sen B
b
c
C B Ejemplo : Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas de 175 N y 225 N. Si las direcciones de las fuerzas forman un ángulo de 50º 10’, encontrar la intensidad de la resultante y el ángulo que forma con la fuerza más grande. Resolución : Primeramente hagamos un gráfico de la situación: D a =175
C b = ? 129°50’
50°10’ A
c = 225
a =175
B
ˆ: Veamos cómo hemos calculado el ángulo B ˆ + Dˆ = 360° ˆ + Bˆ + BCD En el paralelogramo ABCD : DAB ˆ + Bˆ ) = 360° Pero, como los ángulos opuestos son congruentes: 2 ( DAB
Entonces: ˆ + Bˆ = 180° DAB ˆ ⇒ Bˆ = 180° − DAB
=
180 ° − 50° 10′ = 129° 50′
Aplicando el teorema del coseno: b 2 = 2252 + 1752 − 2 ⋅ 225 ⋅ 175 ⋅ cos129° 50′ b 2 = 131693,8291 b = 131693,8291 b = 362,9 N
Para hallar el ángulo que la resultante forma con la fuerza de 225 N, aplicamos el teorema del seno: 175 ⋅ sen129° 50′ 175 362,9 = = 0,370307 ⇒ sen α = sen α sen129° 50′ 362,9 α = arc sen 0,370307 α = 21° 40′
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ÁREA DE UN TRIÁNGULO TRIÁNGULO Todos conocemos la fórmula A = b ⋅ h , pero existen otras expresiones que 2
permiten calcular el área de un triángulo: A
1) El área de un triángulo es igual al semiproducto de dos lados, multiplicado por el seno del ángulo que ellos forman: 1 Área = b ⋅ c ⋅ sen Aˆ 2
b
c
C B
2) Fórmula de Herón: Área = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) , donde p se denomina a + b + c semiperímetro y es p = . 2
FUNCIONES DE LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS ÁNGULOS Las funciones trigonométricas no son distributivas con respecto a la suma ni a la resta de ángulos. Las expresiones que permiten hallar el seno, coseno y tangente de la suma o diferencia de dos ángulos son las siguientes:
a) Seno de la suma y diferencia de dos ángulos ángulos sen ( α sen ( α
cos α ⋅ senβ − β ) = senα ⋅ cosβ − cos α ⋅ senβ +
β ) =senα
⋅ cosβ +
b) Coseno de la suma y diferencia de dos ángulos ángulos cos ( α cos ( α
cos α ⋅ cos β − β ) = cos α ⋅ cos β +
β)
=
senα ⋅ senβ + senα ⋅ senβ −
c) Tangente de la suma y diferencia de dos ángulos ángulos tgα + tgβ 1 − tgα ⋅ tgβ tgα − tgβ tg ( α − β ) = 1 + tgα ⋅ tgβ tg ( α
+
β )
=
Ejemplo : Hallar las funciones de 75°, haciendo 75° = 45º + 30º. Resolución : sen75° = sen ( 45° + 30° ) = sen 45° ⋅ cos 30° + cos 45° ⋅ sen30° =
2 ( 3 + 1) 2 3 2 1 ⋅ + ⋅ = 2 2 2 2 4
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Módulo 6
cos75° = cos ( 45° + 30° ) = cos 45° ⋅ cos 30° − sen 45° ⋅ sen30° =
2 3 ⋅ 2 2
−
3 tg 45° + tg30° 3 = tg75° = tg ( 45° + 30° ) = 1 − tg 45° ⋅ tg30° 3 1 −1⋅ 3
3+ 3 3− 3
=
1+
=
3+ 3 3/ 3− 3 3/
=
2 ( 3 − 1) 2 1 ⋅ = 2 2 4 2+ 3
ACTIVIDAD 5 5 Calcular: 1 1) sen ( α + β ) , sen (α − β ) , cos ( α + β ) , cos ( α − β ) , si sen α = 2 y cos β = . 3 2 1 2) tg ( α + β ) ,tg ( α − β ) si tg α = 2 y sen β = . 4
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DUPLO DUPLO Las funciones del ángulo duplo pueden deducirse muy fácilmente de las funciones de la suma de dos ángulos, haciendo 2 α = α + α. Las fórmulas correspondientes son: sen ( 2α ) = 2 senα cosα cos ( 2α ) = cos2 α − sen2α 2 tg α tg ( 2α ) = 1 − tg2α Ejemplo : Calcular las funciones de 180° sabiendo que es el duplo de 90°. Resolución : sen180° = sen ( 2 ⋅ 90° ) = 2 ⋅ sen90° ⋅ cos 90° = 2 ⋅ 1 ⋅ 0 = 0 cos180° = cos (2 ⋅ 90° ) = cos2 90 ° − sen2 90 ° = 02 − 12 = −1 Surge un problema para calcular la tangente de 180° pues necesitamos la de 90°, pero ésta no está definida. Entonces, en lugar de usar la fórmula de la tangente del duplo de un ángulo hacemos: sen180° 0 = =0 tg180° = cos180° −1 ACTIVIDAD 6 6 Calcular sen ( 2α ) y cos ( 2α ) si cos α =
2 . 3
FUNCIONES TRIGONOMÉT TRIGONOMÉTRICAS RICAS DEL ÁNGULO MITAD MITAD Dado un ángulo α, el ángulo mitad es funciones de la mitad del ángulo, 16
α
2
α
2
. Las fórmulas que proporcionan las
, conociendo la de cos α son:
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α 2
=
α 2
=
sen cos
α 2
tg
=
1 − cos α 2 1 + cos α 2 1 − cos α 1 + cos α
Por ejemplo, calcularemos las funciones de 22° 30’, que es el ángulo mitad de 45°: 1 − cos 45° 2
sen22° 30′ =
1 + cos 45° 2
cos22° 30′ =
1 − cos 45° 1 + cos 45°
tg22° 30′ =
1− =
2 1+
=
2 2 2 2
2
1− =
1+
2 2 2 2
2− 2 2 2
=
2+ 2 2 2
=
2− 2 2/ 2+ 2 2/
=
2
=
(2 − 2 ) ⋅ (2 − 2 ) = (2 − 2 ) 4−2 2 + 2 ) ⋅ (2 − 2 ) (
=
2− 2 2
2 2 −2 2
2− 2 4
=
2− 2 2
=
2+ 2 4
=
2+ 2 2
=
2− 2 2+ 2
=
(2 − 2 )
2 =
2
2
racionalizando nuevamente
racionalizando
=
=
=
2 −1
=
ACTIVIDAD 7 7 Verificar las siguientes identidades: 1) 2 sen
α
2
⋅ cos
α
2 tg :
α
2
2 1 − tg2 α 2
=
cos α
α 2) cos2 2
−
2
sen
α α + 2 sen 2 2
2
α ⋅ cos 2
=
1 + sen2α
TRANSFORMACIONES EN PRODUCTO PRODUCTO En ocasiones es conveniente expresar la suma o diferencia de dos senos o dos cosenos como un producto de funciones trigonométricas, (en otras, conviene expresar un producto como una suma o resta). Para ello nos valdremos de las siguientes fórmulas: a) Transformación Transformac ión en producto de la suma de dos senos senos α
+
2
sen α + senβ = 2 sen
β
α − β cos 2
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Módulo 6
Ejemplo : 60° + 30° 60° − 30° ⋅ cos 2 2
sen60° + sen30° = 2 sen
= 2 ⋅ sen 45°
cos15°
=
2⋅
2 cos15° = 2 cos15° 2
b) Transformación en producto de la diferencia de dos senos senos α
+
2
sen α − senβ = 2 cos
β
α − β sen 2
c) Transformación en producto de la suma de dos cosenos cosenos α
+
2
cos α + cos β = 2 cos
β
α − β cos 2
d) Transformación en producto de la diferencia de dos cosenos cosenos α
+
2
cos α − cos β = −2 sen
β
α − β sen 2
Estas fórmulas sirven también para calcular la suma o diferencia entre un seno y un coseno, por ejemplo: sen30° + cos50° = cos ( 90 ° − 30 ° ) + cos50 ° = cos 60 ° + cos50 ° = por ser ángulos complementarios
60° + 50° 60° − 50° cos 2 2
2 cos
=
2 cos55° ⋅ cos5 °
ACTIVIDAD 8 8 1) Aplicando transformaciones en producto, hallar el valor numérico de las siguientes expresiones: a ) sen 15° + cos15° = b )cos75° − sen 75° = 2)
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Verificar la identidad:
sen x + sen 2x + sen 3x = tg 2x cos x + cos2x + cos3x
U.T.N. F.R.C.U.
Seminario Universitario – Matemática
SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS Actividad 1:
1) a)
π
4 2) a )30°
b )0,98488
c )1,70772
d )5,58840
b )270°
c ) 49° 50′ 50′′
d )72° 11′ 34′′
Actividad 2: A cargo del alumno. 24 7 24 25 25 ; tg α = ; cotg α = ; sec α = ; cosec α = 25 24 7 24 7 4 4 3 5 5 2) senα = − ; tg α = ; cotg α = ; sec α = − ; cosec α = − 5 3 4 3 4
Actividad 3:
1) cos α
Actividad 4:
1) 1
=
2) –2 Actividad 5: 1)sen( α + β ) = 2)tg( α + β ) =
2 + 15 6
sen( α − β ) =
32 + 5 15
Actividad 6:
6
cos ( α + β ) =
5−2 3 6
5+ 2 3 cos ( α − β ) = 6
32 − 5 15 tg ( α − β ) = 11
11
sen ( 2α )
2 − 15
=
2 14
cos ( 2α )
9
= −
5 9
Actividad 7: A cargo del alumno. Actividad 8 8:: 1)
a)
6 2
b) −
2 2
2) A cargo del alumno (sugerencia: asociar las funciones de x y de 3x para aplicar transformaciones en producto).
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