Trigonometría_4°

Índice UNIDAD I

Necesidad de medir

Capítulo 1

Capítulo 4

Sistema sexagesimal y centesimal ....................... 5

Características del ángulo trigonométrico........ 36

Capítulo 2

Capítulo 5

Sistema sexagesimal y radial ............................... 16

Fórmula de conversión de sistemas.................. 47

Capítulo 3

Capítulo 6

Sistema sexagesimal, centesimal y radial............. 26

Repaso

UNIDAD II

.................................... 56

.................................... 83

universo curvilíneo

Capítulo 1

Capítulo 3

Cálculo de la longitud de un arco ........................ 61

Miscelánea

Capítulo 2 Superficie de un sector circular........................... 73

UNIDAD III

DISTANCIÓMETRO TLM-300

Capítulo 1

Capítulo 5

R.T. de un ángulo agudo I .................................... 89

Resolución de ángulos verticales................... 130

Capítulo 2

Capítulo 6

R.T. de un ángulo agudo II.................................... 100

Resolución de triángulos rectángulos............ 140

Capítulo 3

Capítulo 7

R.T. de ángulos notables ...................................... 111

Plano cartesiano

Capítulo 4

Capítulo 8

Propiedades de las razones trigonométricas....... 122

Repaso .................................. 162

UNIDAD IV

.................................. 151

EL RADAR COMO ARMA ESTRATÉGICA

Capítulo 1

Capítulo 2

R.T. de ángulos de cualquier medida I ................. 167

R.T. de ángulos de cualquier medida II.......... 177

TRIGONOMETRÍA UNIDAD V

¿cÓmo UBICAR UN LUGAR GEOGRÁFICO?

Capítulo 1

Capítulo 2

Reducción al primer cuadrante I ......................... 186

Reducción al primer cuadrante II......................... 193

UNIDAD VI

UNA RECTA ORIENTADA EN LA TRIGONOMETRÍA

Capítulo 1

Capítulo 3

Circunferencia trigonométrica I ......................... 200

Circunferencia trigonométrica III.................. 216

Capítulo 2

Capítulo 4

Circunferencia trigonométrica II......................... 210

Repaso .................................. 219

UNIDAD VII

LA IMPORTANCIA DE LA IDENTIDAD

Capítulo 1

Capítulo 5

I. T. de un ángulo simple ...................................... 222

I. T. de variable doble .................................. 253

Capítulo 2 I. T. de una variable parte II.................................. 230 Capítulo 3 Identidades trigonométricas auxiliares ............... 237 Capítulo 4

Capítulo 6 Ecuaciones trigonométricas .......................... 261 Capítulo 7 Repaso .................................. 267

I. T. de la suma y diferencia de variables ............. 244

TRILCE

UNIDAD I

Necesidad de medir

E

l hombre siempre ha tenido la necesidad de medir: contar objetos, contar dinero, medir distancias, pesar objetos o personas, medir el tiempo, etc., porque resulta útil para su vida diaria.

La imagen muestra un instrumento de medición digital, poco conocido, para medir espacios: de una vivienda o de cualquier edificación, sin la necesidad de recurrir a una regla o cinta métrica. Basado en una fórmula del triángulo, el usuario debe apuntar el dispositivo a los extremos del espacio que desea medir y la flecha rotativa más los dos brazos con detector calculan la distancia mediante rayos láser.

AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Formular ejemplos de ángulos medidos en los sistemas estudiados. Resolución de problemas • Resolver problemas que involucren la medida de ángulos en los sistemas de medición angular. Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas • Aplicar estrategias de conversión en los sistemas de medición angular.

Trigonometría Razonamiento Matemático

Sistema sexagesimal y centesimal

1

¿Crees que tomaron en cuenta las mediciones para construir la fuente? ¿Cómo crees que se logró? ¿La medida de los ángulos tienen importancia en el diseño?

¿Para qué medir? El Circuito Mágico del Agua en el Parque de la Reserva, inaugurado el 26 de julio de 2007, sigue causando la admiración del público nacional e internacional. Obtuvo el reconocimiento del Records Guinnes como "El Complejo de Fuentes más Grande del Mundo en un Parque Público". El Circuito comprende trece impresionantes fuentes distribuidas a ambos lados del Parque de la Reserva. Las fuentes más grandes del Circuito son la Fuente Mágica con más de 80 m de altura y la Fuente de la Fantasía cuyas aguas despliegan un fastuoso espectáculo con formas y figuras iluminadas que danzan al compás de la música y del movimiento del agua. Seguimos con la Fuente de la Ilusión, la Fuente de la Cúpula Visitable, la Fuente Tanguis, la Fuente de la Armonía, la Fuente del Arco Iris, la Fuente Túnel de las Sorpresas, la Fuente Laberinto del Ensueño, la Fuente de la Vida, la Fuente de las Tradiciones, la Fuente Río de los Deseos y la Fuente de los Niños.

Central: 619-8100

Unidad I

5


Conceptos básicos ¿Qué es medir ángulos? Medir ángulos es establecer una correspondencia entre el conjunto de los números reales y el conjunto de los ángulos. Algunos de los sistemas para medir ángulos son el sistema sexagesimal (sistema inglés) y el sistema centesimal (sistema francés).

¿Cómo se obtienen estos sistemas de medidas de ángulos? Sistema sexagesimal: se considera al ángulo de una vuelta dividida en 360 partes iguales llamadas grados (º), cada grado (1º) está dividido en 60 partes iguales llamadas minutos y a su vez estos están divididos en 60 partes iguales llamadas segundos. Los símbolos para estas unidades son: grado: º

minuto: '

segundo: "

1. Si un ángulo ABC mide 36 grados 27 minutos y 28 segundos, se escribe: 36º 27' 28". Para sumar ángulos en el sistema sexagesimal se procede como sigue: • Se hace la suma de segundos con segundos, minutos con minutos y grados con grados.

EjemploS

Ejemplos

Así tenemos que: B 1 vuelta <> 360º 1º <> 60' 1' <> 60"

25º 45' 56" + 59º 57' 39" 84º 102' 95"

• Como cada 60 segundos es un minuto, entonces la columna de los segundos nos alcanza para formar un minuto y 35 segundos. El minuto completo lo pasamos a la segunda columna. 25º 45' 56" + 59º 57' 39" 84º 103' 35"

Sumar los siguientes ángulos: Inténtalo tú

43º 36' 49" + 25º 12' 16" Respuesta: 68º 49' 05"

• Como cada 60 minutos es un grado, entonces la columna de los minutos nos alcanza para 1 grado y sobran 43 minutos; el grado que nos sobró lo agregamos a la columna de grados quedando como: 25º 45' 56" + 59º 57' 39" 85º 43' 35"

6

Inténtalo tú

43º 46' 29" + 25º 52' 16" Respuesta: 69º 38' 45"

Si en la suma de las columnas de los minutos y los segundos no llegan a 60 se dejan tal como está. 25º 23' 26" + 59º 17' 19" 84º 40' 45"

Colegios

Sumar los siguientes ángulos:

TRILCE


43º 17' 29" + 15º 31' 16" Respuesta: 58º 48' 45"

www.trilce.edu.pe


1

2. Las siguientes notaciones hay que escribirlas correctamente: 47° 192' 78" = 47° 193' 18" = 50° 13' 18" Escribir correctamente:

45º 13' 80" + Inténtalo tú 90º 135º 13' 80" = 135º14'20"

129º 156' 98" Respuesta: 131º 37' 38"

• Para realizar una resta en el sistema sexagesimal, se siguen los pasos realizados en la suma, pero ahora en lugar de sumar hay que restar. 3. Restar el siguiente ángulo. 195º 156' 320" – 57º 10' 88" 138º 146' 232"

195º 156' 320" – 57º 10' 88" 138º 149' 52"

195º 156' 320" – 57º 10' 88" 140º 29' 52"

Observación • Primera parte: en la notación del sistema sexagesimal se debe tener presente: AºB'C" = Aº + B'+ C" • Segunda parte: para convertir de grados a minutos o de minutos a segundos y viceversa se recomienda el siguiente diagrama: x 60 Grado

x 60 Minuto

1. Obtener el valor de: E=

: 60

2º2' 3'3'' + 2' 3''

Resolución: aplicando la observación anterior parte I: E= 2° + 2' + 3'+3" ahora de la primera 2' 3" fracción convertimos los grados a minutos aplicando la observación parte II y de la segunda fracción los minutos a segundos aplicando también la observación parte II. E= 2 # 60'+2' + 3 # 60"+3" " E= 120'+2' + 180" + 3" " E= 122' + 183" 2' 3" 2' 3" 2' 3" Por lo tanto: E = 61 + 61

Inténtalo tú

E = 122

Ejemplo

Ejemplo

: 60

Segundo

Obtener el valor de: E= 4°5' + 6'9" 5' 3" Respuesta: 172

Central: 619-8100

Unidad I

7


Sistema centesimal: se considera el ángulo de una vuelta dividido en 400 partes iguales llamadas grados centesimales, cada grado está dividido en 100 partes iguales llamados minutos centesimales y, estos a su vez están divididos en 100 partes iguales llamados segundos centesimales. Los símbolos para estas unidades son: Minuto: m Segundo: s Grado: g Así tenemos que:

B 1 vuelta <> 400g 1g <> 100m

Ejemplo

1m <> 100s

1. Si un ángulo ABC mide 83 grados centesimales 76 minutos centesimales y 38 segundos centesimales, se escribe: 83g 76m 38s

Ejemplo

Para sumar grados en el sistema centesimal se procede como sigue:

• Se hace la suma de segundos con segundos, minutos con minutos y grados con grados. 99g 58m

67s +

59g 57m

39s

158g 115m 106s

• Como cada 100 segundos es un minuto, entonces la columna de segundos nos alcanza para formar un minuto y 6 segundos. El minuto completo lo pasamos a la segunda columna. 99g 58m

67s +

59g 57m

39s

158g 116m

06s


43g 46m 79s + 25g 52m 86s Respuesta: 68g 99m 65s

• Como cada 100 minutos es un grado, entonces la columna de minutos nos alcanza para 1 grado y sobran 16 minutos el grado que nos sobró lo agregamos a la columna de grados quedando como: 99g 58m

67s +

59g 57m

39s

159g 16m

6s



Si en la suma de las columnas de los minutos y los segundos no llegan a 100 se dejan tal como está 113g 33m

Colegios

8

20s +

87g 17m

48s

200g 50m

68s

TRILCE



www.trilce.edu.pe


1

Observación • Primera parte: en la notación del sistema centesimal se debe tener presente: Ag Bm Cs = Ag + Bm + Cs • Segunda parte: para convertir de grados a minutos o de minutos a segundos y viceversa se recomienda el siguiente diagrama: x 100 x 100 Grado

Minuto : 100

Segundo : 100

Relación entre ambos sistemas • Para el sistema sexagesimal o también conocido como sistema Inglés se cumple: El ángulo de una vuelta equivale a 360º • Para el sistema centesimal o también conocido como sistema Francés se cumple: El ángulo de una vuelta equivale a 400g • Entonces: 1 B de una vuelta <> 360º <> 400g De aquí se desprende: 360º <> 400g Simplificando podemos obtener: 9º <> 10g

Conversión entre sistemas Una conversión de unidades consiste en expresar una cierta cantidad de magnitud que está dada en una cierta unidad, en otra ya sea del mismo sistema de medida o de otro.

Método del factor de conversión Si se sabe que al multiplicar una magnitud por la unidad (por uno) no cambia su valor: 9° = 1 # 9° Lo que se hace es expresar ese “1” en forma útil. Así, sabemos que: g 9°<>10g & 1= 9°g = 10 9° 10

1. Convertir 72º a grados centesimales. g 72° = 1 # 72° & 10 # 72° = 80 g ; Entonces : 72° <> 80g 9° En general para convertir de un sistema a otro.

Unidad que quiero Unidad que no quiero

Central: 619-8100

Ejemplo

Ejemplo

• Si queremos expresar en grados sexagesimales una magnitud que conocemos en grados centesimales, haremos. 60g=1# 60g & 9°g # 60g = 54°. Entonces: 60g <>54° 10

Unidad I

9

Colegios

10

TRILCE

x 60

subunidades

B de una vuelta mide

x 60

# 9 10

# 10 9

se mide en el

x 100

subunidades

x 100



Síntesis teórica

www.trilce.edu.pe


1

Problemas resueltos 1. Convertir 153º al sistema centesimal.

4. Convertir 132g al sistema sexagesimal.

Resolución

Resolución

Unidad que quiero: centesimal " 10

g

Unidad que no quiero: sexagesimal " 9º A 153º se multiplicará por el factor de g conversión: 10 9° g

" 153° # 10 = 170 g 9°

A 132g se va a multiplicar por el factor de conversión: 9°g 10 " 132 g # 9°g = 1188° = 118,8º = 118º + 0,8º 10 10 La parte decimal se convierte a minutos aplicando la observación 1 parte II, es decir: 0,8 x 60' = 48' " El ángulo mide: 118º 48'

2. Convertir 160g al sistema sexagesimal. Resolución Unidad que quiero: sexagesimal " 9º Unidad que no quiero: centesimal " 10 g A 160g se va a multiplicar por el factor de conversión: 9°g 10 " 160 # 9°g =144º 10 g

3. Convertir 121º al sistema centesimal. Resolución A 121º se multiplicará por el factor de g conversión: 10 9° g " 121° # 10 =134,4444g 9° Para llevarlos a grados, minutos y segundos a partir de la coma decimal se separa de dos en dos por lo tanto el ángulo mide: 134g 44m44s

Central: 619-8100

o 5. Si ` 243 j se expresa de la forma xgym, 20 determinar el valor de:

K=

y - 37 -1 x

Resolución Como nuestras incógnitas están en el sistema centesimal entonces convertimos: 243 o ` 20 j al sistema centesimal. Por lo tanto: g 243 o 10 g 243 g ` 20 j # 9° " ` 18 j = 13, 5

Según la recomendación del ejercicio 3 el ángulo mide 13g 50m si comparamos con la condición del problema tendremos: xgym = 13g50m " x = 13; y = 50 Si reemplazamos en: K=

50 - 37 - 1 = 0 13

Unidad I

11


10 x 5 50

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. A Juan se le pide ordenar en forma decreciente los ángulos: a=10º y b = 10g ¿Cuál será el orden elegido? 2. Si para el sistema sexagesimal el ángulo de una vuelta fue dividido en 360 partes y a cada una de esas partes se denominó 1º; de donde se deduce que el ángulo de una vuelta en el sistema sexagesimal mide 360º y para el sistema centesimal el ángulo de una vuelta se dividió en 400 partes iguales denominando a cada parte como un 1g, deduciendo una vez más que el ángulo de una vuelta mide 400g. Entonces podríamos dividir el ángulo de una vuelta en 280 partes iguales y a cada una de estas partes le denominamos 1* entonces que podemos inferir respecto a este hecho. • Para este nuevo sistema de medición angular el ángulo de una vuelta mide: Ángulo de una vuelta = • Las equivalencias entre los sistemas sexagesimal, centesimal y el nuevo sistema son: 360º equivale a 400g que equivale a

*

• Las relaciones simplificadas de equivalencias para los tres sistemas son: ............º <> ...............g <> .............*

3. Establecer una relación de orden (< ; >; =) en: 1º

1 g.

4. En la figura se muestra que el ángulo girado por el mango de las tijeras en el sistema inglés es 81º. Determinar que ángulo gira en el sistema francés.

5. Si la llave Stillson gira un ángulo de 220g, ¿qué ángulo en grados sexagesimales gira la tuerca?

Colegios

12

TRILCE

www.trilce.edu.pe


1

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Expresar 171º al sistema centesimal. b) 190g c) 200g a) 180g d) 210g e) 220g

10. Convertir 54g al sistema sexagesimal.

2. Expresar 198º al sistema centesimal. b) 290g c) 220g a) 280g d) 210g e) 270g

11. Efectuar la siguiente suma: K = 32g 76m 98s + 37g 99m 63s

3. Expresar 110g al sistema sexagesimal. a) 99º

b) 100º

d) 120º

e) 130º

c) 110º

4. Expresar 230g al sistema sexagesimal. a) 207º

b) 206º

d) 208º

e) 237º

c) 227º

5. Efectuar la siguiente suma: K = 12º36'18" + 27º49'53" a) 40º25'11"

b) 41º26'11"

c) 40º16'11"

d) 40º26'11"

c) 61º56'31"

d) 90º26'21"

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

b) 2

d) 4

e) 5

a) 72g76m61s c) 69g76m61s

b) 79g86m71s d) 71g76m51s

e) 70g76m61s 12. Calcular: J = 4°6' 3' a) 82 d) 85

G=

c) 3

8. Siendo: 18º32'41''+21º14'22''+3º26'12''=aºb'c'' calcular: P= a - b c a) 1

e) 46º32'

c) 47º45'

b) 83 e) 86

c) 84

b) 133 e) 136

c) 124

14. Siendo mº y ng ángulos suplementarios los cuales se encuentran en la relación de dos a tres respectivamente, calcular el valor de:

e) 42º16'21" 7. Siendo: 23º41'17'' + 17º32'56'' = aºb'c'' calcular: M= a - b c-4

d) 42º38'

a) 122 d) 125

6. Efectuar la siguiente suma: K = 52º56'48" + 37º59'43" b) 41º56'31"

b) 48º36'

13. Calcular: J=7º12' + 3º3' 6' 3'

e) 42º16'21"

a) 90º56'31"

a) 48º48'

a) 12 d) 15

4n + m - 7 3 b) 13 e) 16

c) 14

15. Siendo mº y ng ángulos complementarios los cuales se encuentran en la relación de dos a tres respectivamente, calcular el valor de: G = 7n + m - 7 200 3 a) 12 d) 15

b) 13 e) 16

c) 14

c) 3

9. Convertir 32g al sistema sexagesimal. a) 28º48'

b) 18º36'

d) 32º48'

e) 26º32'

Central: 619-8100

c) 27º45'

Unidad I

13


Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 16. ¡Qué calor! La señora Jiménez posee un abanico cuya abertura es 178°30'. La señora Suárez posee un abanico cuya abertura es 190g 50m. ¿Cuál de ellas puede darse mayor cantidad de aire, si los abanicos poseen igual radio?

Sra. Jiménez

Sra. Suárez

17. Reparando la bañera Para llegar al tope de la tuerca falta girar 72º. Si Pepe desea girar la llave de tuercas un ángulo de 78g, ¿con este giro quedará asegurada la bañera? 18. La Torre del Reloj El Parque Universitario está ubicado en el Centro Histórico de la ciudad de Lima, capital del Perú. Es de forma rectangular y se encuentra entre las intersecciones de las avenidas Abancay y Nicolás de Piérola. Llamado así por encontrarse en él, la antigua casona de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, considerada la primera universidad de América. Llamada también la Torre Alemana o del Reloj, fue donada por los residentes alemanes en el Perú por el Centenario de la Independencia del Perú en 1921. Tanto a las doce del mediodía como a las seis de la tarde sus campanadas tocaban la primera estrofa del Himno Nacional del Perú. Determina la medida del menor ángulo que forman las agujas del reloj a las 5:48 horas

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Expresar en grados centesimales: X = 2 (a - b + c) Si: a=21º27'14"; b=1º42'37"; c=23" g a) 43,8

b) 41,8 g

c) 43,6 g

d) 42,8g

e) 43g

u

2. La unidad de medida de un nuevo sistema se representa mediante 1 . Calcular el número de minutos sexagesimales que contiene esta nueva unidad, si: x u = x g x m xs a) 54,5454 3. Si: E =

14

c) 45,4545

d) 53,5353

e) 49,4949

d) –1

e) –2

(10x) o + (9y) g ; calcular: 119y + 62x, para: E = 2 (9x) g + (10y) o

a) 0 Colegios

b) 59,5959

TRILCE

b) 1

c) 2

www.trilce.edu.pe


4. Determina el valor de la siguiente expresión:

1

g m s E= 1 + 1 + 1 1° 1' 1 "

a) 1,746

b) 1,647

c) 1,764

d) 1,674

e) 1,467

c) 22º48'

d) 23º48'

e) 25º08'

5. Hallar el menor valor positivo de: g g ' c m° + n m + c m + n° m 1 m, n >0 10 m' 9 n'

a) 20º48'

b) 21º 48'

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Expresar 189º al sistema centesimal. 2. Expresar 190g al sistema sexagesimal. 3. Expresar 100g al sistema sexagesimal. 4. Expresar 54º al sistema centesimal 5. Convertir 37g al sistema sexagesimal. 6. Convertir 24g al sistema sexagesimal. 7. Convertir 48g al sistema sexagesimal. 8. Efectuar la siguiente suma: K = 22º26'38" + 17º19'13" 9. Efectuar la siguiente suma: K = 32g46m18s + 29g41m13s 10. Calcular: J = 5°3' 3'

Central: 619-8100

11. Calcular:

12. Si: 5º37'54'' + 8º42'26'' = aºb'c''

M=

2º2' 6º3' + 2' 3'

calcular: M= 13. Calcular:

a+b+1 c - 13

2 g4 m

4º2' + 2' 4m 14. Siendo mº y ng ángulos complementarios los cuales se encuentran en la relación de tres a dos respectivamente, calcular el valor de: G = 2m - n - 4

M=

15. Los ángulos congruentes interiores de un triángulo isósceles miden 50g y (4x+1)º, determinar el valor de "x"

Unidad I

15

2

Sistema sexagesimal y radial


¿Quédel acontecimientos en la creación del sistema sexagesimal? Vigencia sistema influyeron sexagesimal La necesidad de medir segundos fue bastante posterior, pues la trigonometría se inicia en el año 140 a. C. con Hiparco y hasta el siglo XI no se construye en China un reloj astronómico con un error de 100 segundos por día. En definitiva, los relojes europeos de pesas del S. XIII solo anuncian las horas, y hasta 1656 Huygens no inventa el reloj de péndulo en el que se marca el segundo. Para los sumerios, obsesionados con las coincidencias numéricas, el hecho de que la división sexagesimal del minuto casi coincida con la frecuencia del latido del corazón humano, les confirmaría la validez de un sistema en el que las apariciones en el firmamento de sus dioses cósmicos (sol, luna, estrellas, constelaciones), estaba en directa relación con el destino de la humanidad (astrología del zodíaco), con la vida del individuo y con las épocas de recolección y cultivo, a partir de las manos. Puro humanismo prehistórico. De hecho, cinco milenios después, por lo menos, el arcaico sistema sexagesimal para medir el tiempo y las posiciones angulares, no solo sigue vigente tanto en la técnica, la ciencia y el uso cotidiano, sino que es inmutable a los milenarios cambios culturales.

Colegios

16

TRILCE

www.trilce.edu.pe

Trigonometría

Conceptos básicos Medir es aprender: adquirir un conocimiento de alguna cosa es saber, mediante su conocimiento, de aquella cosa y por lo tanto, entramos en una secuencia de acontecimientos vinculados entre sí que conducen al mejoramiento y constante crecimiento de nuestro entendimiento o inteligencia. Medir es seguridad: al transcurrir el tiempo, las sucesivas mediciones suministran una valiosa información permitiendo desarrollar proyectos más acertados, mejorar costes y satisfacer mejor las necesidades. Medir es eficiencia: las mediciones acertadas y en el momento oportuno evitan costes innecesarios y conducen hacia direcciones más correctas en el desarrollo de las tareas facilitando la toma de decisiones, tanto en el proyecto como durante los procesos involucrados. Medir es desarrollo: no es muy desacertado pensar que el desarrollo de la humanidad está en cierta forma relacionado con los avances en materia de mediciones.

¿Cómo se obtiene este sistema de medida de ángulos? Sistema radial: en este sistema la unidad de medida es el radián. Un radián: es la medida de un ángulo con vértice en el centro de un círculo cuyos lados interceptan un arco de circunferencia de longitud igual al radio. longitud=r r

ián

1 rad r

Así que un radián "marca" una longitud de arco en la circunferencia igual al radio.

Por lo tanto como la longitud de la circunferencia es 2≠r, es decir en una circunferencia (ángulo de una vuelta) existen 2≠ radianes, entonces a partir de ahora:

Consideraciones • El sistema circular o radial no presenta subunidades. • Con frecuencia, un ángulo en radianes se expresa como una fracción de π; es decir π rad, π rad, π rad 6 4 3 • Si la unidad de medida del ángulo no se estipula, se sobreentiende que es el radián. π rad <> π ; π rad <> π ; π <> ≠π rad <> π≠ rad ; ≠ rad <> ≠ ; ≠ <> ≠ 6 6 4 4 3 63 36 4 4 3 3

Central: 619-8100

Unidad I

17


Relación entre el sistema sexagesimal y radial • Para el sistema sexagesimal, también conocido como sistema inglés se cumple que: El ángulo de una vuelta equivale a 360º • Para el sistema radial, también conocido como sistema circular se cumple que: El ángulo de una vuelta equivale a 2≠rad

Método del factor de conversión Se sabe que al multiplicar una magnitud por la unidad (por uno) no cambia su valor: 180º = 1 x 180º Lo que se hace es expresar ese "1" en forma útil. Así, sabemos que: 180° <> π rad & 1= 180° = π rad π rad 180°

1. Convertir 140º a radianes. A 140º se multiplicará por el factor de conversión: π rad 180°

→ 140° # π rad & 7 π rad 180° 9

Inténtalo tú

Convertir 150º al sistema radial:

2. Convertir 3 π rad a grados sexagesimales. 4 A 3 π rad se multiplicará por el factor de conversión: 180° π rad 4 → 3 π rad # 180° & 135° 4 π rad

Inténtalo tú

EjemploS

EjemploS

• Si queremos expresar en radianes una magnitud que conocemos en grados sexagesimales, haremos: 60° = 1 # 60° & π rad # 60° = π rad 180° 3 π Entonces: 60° <> rad 3 • Si queremos expresar en grados sexagesimales una magnitud que conocemos en radianes, haremos: π rad = 1 # π rad & 180° # π rad = 36° 5 5 π rad 5 π Entonces: rad <>36° 5

Respuesta: 5 π rad 6

Convertir 7 π rad al sistema 6 sexagesimal: Respuesta: 210º

Colegios

18

TRILCE

www.trilce.edu.pe


2

Síntesis teórica

mide al B en

B de una vuelta

unidad

B de una vuelta

# π rad 180°

unidad

# 180° π rad

Central: 619-8100

Unidad I

19


Problemas resueltos 1. Convertir 27º al sistema radial. Resolución Sistema que quiero: radial " π rad

Sistema que no quiero: sexagesimal " 180° A 27º se multiplicará por el factor de conversión: π rad " 27° # π rad = 3 π rad 180° 180° 20 2. Convertir 2 π rad al sistema sexagesimal. 3 Resolución

4. Si: π rad = x°y'z", determinar el suplemento 64 de (x + y - z)º Resolución

Sistema que no quiero: radial " π rad A 2 π rad se le va a multiplicar por el factor de 3 conversión: 180° π rad

Como las variables "x", "y", "z" están en el sistema sexagesimal entonces convertimos: π rad al sistema sexagesimal: 64 π rad # 180° = 180° 64 π rad 64

" 2 π rad # 180° = 120º 3 π rad

Aplicando los criterios del problema anterior, entonces:

Sistema que quiero: sexagesimal " 180°

180° = 2°48'45" 64 Si comparamos con la condición inicial

3. Convertir π rad al sistema sexagesimal. 7 Resolución

" π rad = 180° = 2°48'45" = x°y'z" 64 64

A π rad se multiplica por el factor de conversión: 7 180° π rad " π rad # 180° = 180° 7 π rad 7 Se observa que la división no es exacta y que por ello aparecen grados, minutos y segundos. Para lograr la exactitud se procede de la siguiente manera: Paso número 1: 180º 7 5º 25º

Comparando: x=2; y=48; z=45 nos piden el suplemento de (x + y – z)º entonces:

(x+y – z)º=(2+48 – 45)º=5º; nos piden el suplemento, entonces: 180° – 5° = 175° 5. Determinar el valor de "x" en la condición: (4x - 1) ° = 3 π rad 20 Resolución

Paso número 2: el residuo de la división es 5º. Para convertir los 5º a minutos se multiplican por 60 y su producto: 300', se divide entre 7. 300' 7 6' 42' Paso número 3: el residuo de la división anterior es 6'. Para llevar los 6' a segundos se multiplica por 60 y su producto: 360" se divide entre 7. 360" 7 3" 51"

La variable a determinar se halla en grados sexagesimales, entonces convertiremos: 3 π rad al sistema sexagesimal 20 " 3 π rad # 180° = 27° 20 π rad Comparando este valor con la condición inicial tenemos: (4x - 1)º = 27º & x = 7

Paso número 4: el ángulo π rad convertido al 7 sistema sexagesimal es: 25º 42' 51". Colegios

20

Pero surge una duda: ¿Qué pasó con los 3"? Si el residuo es menor que la mitad del divisor se elimina (como es el caso), pero si el residuo es mayor que la mitad del divisor, el cociente se redondea; es decir, se le suma una unidad.

TRILCE

www.trilce.edu.pe


10 x 5 50

2

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. A Carlos se le pide ordenar en forma creciente los ángulos a = 20° y β = 7π rad. 60 ¿Cuál es el orden elegido? 2. Establecer mediante flechas las parejas equivalentes:

90º

π rad

270º

π rad 2

180º

3 π rad 2

3. Si en el sistema sexagesimal el ángulo de una vuelta está dividido en 360 partes y cada una se denomina 1º; se deduce que el ángulo de una vuelta en el sistema sexagesimal mide 360º. Para el sistema radial el ángulo de una vuelta mide 2≠ radianes, entonces podríamos dividir el ángulo de una vuelta en 120 partes iguales y a cada una denominarla 1k. ¿Qué se puede inferir respecto de este hecho? • Para este nuevo sistema de medición angular, el ángulo de una vuelta mide: Ángulo de una vuelta = • Las equivalencias entre los sistemas sexagesimal, radial y el nuevo sistema son: 360º equivale a 2≠ radianes equivale a ………….k • Las relaciones simplificadas de equivalencias para los tres sistemas son:

4. En la figura se muestra a don Pepe podando uno de los árboles de su jardín. Si sus tijeras tienen una abertura de 7π rad, determina el ángulo en el sistema sexagesimal. 18

5. La señora González está aprendiendo a conducir y, de pronto, ve un aviso que dice: "Gire 7 π rad a su derecha" 30 y preocupada trata de recordar la conversión al sistema sexagesimal. ¿Qué ángulo gira en dicho sistema?

Central: 619-8100

Unidad I

21


sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Expresar 160º al sistema radial a) 8π rad 9

b) 7π rad 9

d) 5π rad 9

e) 4π rad 9

c) 2π rad 3

2. Expresar 135º al sistema radial a) 3 π rad 4

b) 4 π rad 9

d) 5 π rad 4

e) 7 π rad 4

b) 250º

d) 280º

e) 300º

c) 2 π rad 3

b) 220º

d) 240º

e) 250º

b) 10º35'18"

c) 11º17'42" e) 11º36'42"

d) 11º36'15"

c) 260º

b) 4 3 e) 3

2π rad = 5aº2b'4c" 7 Calcular: M= a+b c b) 2 e) 3 2

d) 4

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

11. Un mismo ángulo es medido por dos alumnos: 7x - 1 ° y Joaquín 2 j encontró ` 2x + 1j π rad. Halle dicho ángulo en 360 minutos sexagesimales. Sebastián

5. Calcular "x", si: π (3x - 2)º = rad 18

c) 1

10. Sabiendo que:

a) 1

c) 230º

π rad= 1aºb0'4c" 13

Calcular: M= a+b c a) 2 3 d) 2

4. Expresar 7 π rad al sistema sexagesimal 6 a) 210º

a) 10º35'16"

9. Sabiendo que:

3. Expresar 5 π rad al sistema sexagesimal 3 a) 240º

π 8. Exprese rad en el sistema sexagesimal 17

c) 3

encontró

`

a) 52'

b) 53'

d) 55'

e) 56'

c) 54'

6. Calcular "x", si: 12. Un mismo ángulo es medido por dos alumnos: π º Sebastián encontró ` 3x - 5 jc y Joaquín encontró rad=(2x - 4)º 2 30 2x - 1 π rad. Halle dicho ángulo en minutos ` 360 j a) 5 b) 6 c) 10 sexagesimales. d) 4 e) 8 a) 210' b) 150' c) 140' π 7. Exprese rad en el sistema sexagesimal d) 250' e) 16' 11 a) 15º21'49"

b) 16º20'49"

c) 16º21'49"

d) 15º20'49"

13. Calcular: J=

e) 16º30'46" a)

π 180

d) 90 π Colegios

22

TRILCE

1rad+3rad+5rad+...+2011rad 1º+3º+5º+...+2011º b) 180 π e)

c) π 90

π 2010

www.trilce.edu.pe


14. Se crea un nuevo sistema de medición angular "Lima" tal que su unidad (1L) resulta ser la 140ava parte del ángulo de una vuelta. Señala el equivalente de π rad en este nuevo sistema. 35 a) 2L d) 5L

b) 3L e) 6L

c) 4L

15. Siendo:

2

θº=1º1' + 2º2' + 3º3' + ... determinar el valor de "θ", si es el menor número entero. a) 121

b) 122

d) 129

e) 131

c) 128

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 16. Abriendo la puerta Para lograr abrir la puerta, la manija debe girar un ángulo mayor de 50º. Si una persona desea abrirla y gira la manija en un ángulo de 2 π rad, ¿logrará abrirla? 9

17. Salón de juego Una ruleta tiene 36 números dispuestos como indica la figura. Si comienza en cero y se hace girar la ruleta un ángulo de 157 π rad 18 hacia la derecha, ¿qué número será el elegido para el premio?

El eje de la Tierra no apunta siempre en la misma dirección. El eje de la Tierra no es estable. La Tierra no es una esfera perfecta, sino aplanada en los polos y abultada en el ecuador. Reacciona a la influencia gravitatoria del Sol y la Luna como un trompo que gira y cuya rotación está distorsionada por una fuerza externa: esto origina lo que se llama la precesión de la Tierra, esto significa que el eje de la Tierra rota sobre sí mismo en círculo, generando un movimiento cónico alrededor del polo. A pesar de ser tan lento (apenas "50" por año), este movimiento fue percibido por el astrónomo griego Hiparco, en el año 100 a.C., al comparar sus observaciones de las posiciones de estrellas con las observaciones de astrónomos babilónicos más de 100 años antes. La inclinación del eje de la Tierra en promedio es 0,4282 rad. El ángulo del eje de la Tierra también cambia de 22º a 24,30º en 41,000 años debido a la atracción de los planetas, del Sol y la Luna. Estos cambios son la causa de las glaciaciones que han habido a lo largo de la historia de la Tierra. Determinar el ángulo en grados sexagesimales de desviación del eje de la tierra con respecto al eje "X" de la figura.

Central: 619-8100

X Perpendicular al plano de la órbita de la Tierra

0,4082 rad

18. Ángulo de desviación de la tierra.

P

Eje de la Tierra

Unidad I

23


socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Calcular "θ"; si: θ rad=3º(30+x)=8g(9+x) a) 2 π 5

b) π 5

c)

4π 5

d) 3 π 5

e) π

2. En el gráfico mostrado, calcular "θ" en grados, minutos y segundos sexagesimales de tal manera que "α" toma su mínimo valor en: a = x (x + 4) ; x dR

a

q rad

a) 114º17'07"

b) 120º47'02"

c) 130º49'01"

d) 124º49'07"

e) 134º47'04"

3. Se crean dos nuevos sistemas para medir ángulos denotados por "A" y "B", cuyas unidades angulares son respectivamente "1A" y "1B". Se pide obtener una fórmula que relacione a estos dos sistemas, sabiendo que 7 unidades de "A" equivalen a 4º y además 9 unidades de "B" equivalen a 8g. a) A = B 7 5

b) A = B 5 7

c) A = B 3 2

d) A = B 2 3

e) A = B 3 7

4. Sabiendo que: x+y+z=63, determinar el valor de: G = xºy'z" + yºz'x" + zºx'y"; al sistema radial. a) 1,119 rad

b) 1,191

c) 1,139

d) 1,911

e) 1,419

5. Se crea un nuevo sistema de medición angular, tal que su unidad (1*) resulta ser la 240ava. parte del ángulo de una vuelta. Señala el equivalente de 3,6* en el sistema radial. a) 0,01p

b) 0,02p

c) 0,03p

d) 0,04p

e) 0,05p

18:10:45

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Expresar 140º al sistema radial 2. Expresar 5π rad al sistema sexagesimal 4

6. Exprese 3π rad en el sistema sexagesimal. 11

3. Expresar 54º al sistema radial

7. Exprese 3π rad en el sistema sexagesimal. 7

4. Determinar el valor de "x" en: (5x - 1) ° = 3 π rad 10

8. Sabiendo que: 2π rad = 2aº 4b' 3c" 13 a+b calcular: M= c

5. Calcular "x", si: π rad = (4x - 1)º 12 Colegios

24

TRILCE

www.trilce.edu.pe


9. Calcular: P=

πrad+2πrad + 3πrad + ... + 2012πrad 1º+2º+3º+...+2012º

10. Hallar "x", si:

πrad =xº 2(x+1)

11. Un mismo ángulo es medido por dos alumnos: o Carlos encontró ` 6x + 1 j y Juan encontró 4 2x + 1 π rad. Halle dicho ángulo en minutos ` 360 j sexagesimales. 12. Sabiendo que se cumple la igualdad: 13π rad=1xº y3' 1z" 125 Determinar: x+yz

Central: 619-8100

13. Al expresar 3π rad al sistema sexagesimal da 8 como respuesta xºy'. Indicar "x+y"

2

14. Se crea un nuevo sistema de medición angular "Perú" tal que su unidad (1P) resulta ser la 480ava parte del ángulo de una vuelta. Señala el equivalente de π rad en este nuevo sistema. 15 15. Convertir a radianes: º aºb'+bºa' P= (a+b)'

Unidad I

25

3

Sistema sexagesimal , centesimal y radial

Sistema sexagesimal, centesimal y radial

La notación de la inicial de la letra griega ≠, ¿de donde proviene? ¿Qué matemático popularizó esta notación?

La constante más importante en matemática En geometría euclidiana, p (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego "periferia" (periferia) y "periimetro" (perímetro) de un círculo. Esta notación fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones y popularizada por el matemático Leonhard Euler en su obra Introducción al cálculo infinitesimal (1748). La constante p (pi) fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor del matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes. Es muy frecuente emplear poemas como regla nemotécnica para poder recordar las primeras cifras del número pi, solo hay que contar las letras de cada palabra: "Soy π, lema y razón ingeniosa de hombre sabio, que serie preciosa valorando, enunció magistral. Por su ley singular, bien medido el grande orbe por fin reducido fue al sistema ordinario usual."

Colegios

26

TRILCE

www.trilce.edu.pe

Trigonometría

Conceptos básicos Relación entre los tres sistemas de medición angular Existe una infinidad de sistemas para medir ángulos, ya que estos se eligen libremente. La medida de los ángulos se pueden representar en los siguientes sistemas como ya se vio anteriormente.

Sistema sexagesimal (inglés) Se considera al ángulo de una vuelta dividido en 360 partes iguales llamadas grados (1º), cada grado está dividido en 60 partes iguales llamadas minutos (1') y a su vez estos están divididos en 60 partes iguales llamados segundos (1").

Sistema centesimal (francés)

Se considera al ángulo de una vuelta dividida en 400 partes iguales llamadas grados centesimales (1g), cada grado está dividido en 100 partes iguales llamadas minutos centesimales (1m) y a su vez estos están divididos en 100 partes iguales llamadas segundos centesimales (1s).

Sistema radial (circular–internacional) En este sistema la unidad de medida es el radián. Un radián es la medida de un ángulo central cuyos lados interceptan a un arco de circunferencia de longitud igual al radio. Entonces un ángulo de una vuelta para este sistema está midiendo 2 π radianes.

Entonces:

que... Recuerda que...? No olvidemos nuestro método para la conversión de un sistema a otro. Unidad que quiero Unidad que no quiero

Central: 619-8100

Unidad I

27

25º + 50 g + π rad 3 1. Calcular: E = g 64º + 40 + π rad 6

Ejemplo

Ejemplo


En la propuesta de cálculo aparecen los tres sistemas de medición, por lo tanto, primero se deben homogenizar las unidades, es decir, convertirlas a un solo sistema de referencia. Elegiremos el sistema sexagesimal (el más común). En el numerador: 50 g # 180ºg Simplificando nos queda & 45º 200 π rad # 180º Simplificando nos queda & 60º 3 π rad En el denominador: 40 g # 180ºg Simplificando nos queda & 36º 200 π rad # 180º Simplificando nos queda & 30º 6 π rad Reemplazando en la expresión a calcular & E = 25º + 45º + 60º & E = 1 64º + 36º + 30º

Colegios

28

TRILCE

www.trilce.edu.pe


3

Síntesis teórica

mide al B en




360º

400g

2r rad

# 180 π

unidad

unidad

unidad

# π 200

# 10 9 grado sexagesimal

radián

grado centesimal # 200 π

# 9 10

# π 180

Central: 619-8100

Unidad I

29


Problemas resueltos 1. Convertir 20g al sistema radial.

Resolución

Paso número 4: el ángulo π rad convertido al 7 sistema centesimal es: 28g57m14s

Pero surge una duda: ¿Qué pasó con 2s? g Sistema que no quiero: centesimal " 200 Si este residuo es menor que la mitad del divisor, rad = π rad A 20g se multiplicará por el factor: π radg " 20 g # πse elimina (como este caso); pero si el residuo 200 200 g 10 es mayor que la mitad del divisor (es decir 7) se " 20 g # π radg = π rad 10 redondea el cociente; es decir, se le suma una 200 unidad. 2 π 2. Convertir rad al sistema centesimal. 5 4. Si: π rad = x g y m zs , determinar el suplemento 64 Resolución de (x + y + z)g Sistema que quiero: radial " π rad

Sistema que quiero: centesimal " 200 g

Resolución

Sistema que no quiero: radial " p rad

Como las variables "x", "y", "z" están en el sistema centesimal entonces convertimos π rad al sistema centesimal: 64 g g " π rad # 200 & 200 π rad 64 64

g A 2 π rad se multiplicará por el factor: 200 5 π rad g " 2 π rad # 200 & 80 g π rad 5

3. Convertir π rad al sistema centesimal. 7

Aplicando los criterios del problema anterior, g entonces: 200 = 3 g 12 m 50s 64

Si comparamos con la condición inicial g " π rad = 200 = 3 g 12 m 50s = x g y m zs 64 64

Comparando x=3; y=12; z=50 nos piden el suplemento de (x+y+z)g entonces:

(x+y+z)g = (3+12+50)g = 65 g suplemento:

Resolución π rad se multiplica por el factor: 200 g 7 π rad g g " π rad # 200 & 200 π rad 7 7 Se observa que la división no es exacta y que por ello aparecen grados, minutos y segundos centesimales. Para lograr la exactitud se procede de la siguiente manera: Paso número 1: 200g 7 4g 28g

Paso número 2: el residuo de la división anterior es 4g. Para convertir los 4g a minutos se multiplican por 100 y su producto: 400m se divide entre 7. 400m 7 1m

57m

Paso número 3: el residuo de la división anterior es 1m. Para convertir 1m a segundos se multiplican por 100 y su producto: 100s se divide entre 7. 100s 7 2s 14s Colegios

30

TRILCE

200g–65g=135g

5. Uno de los ángulos interiores de un cuadrado mide 5xπrad . Determinar el valor de "x". 2x+16 Resolución Si nos mencionan al ángulo interior de un cuadrado entonces este debe medir 90º por lo tanto: 90º a radianes " 90c # π rad = π rad. 180c 2 Con la condición del problema tenemos: 5x π rad = π rad, 2x + 16 2 efectuando operaciones: x=2

www.trilce.edu.pe


10 x 5 50

3

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Los sistemas de medición angular estudiados son conocidos también con los nombres de: S : Sistema sexagesimal

Sistema

C : Sistema centesimal

Sistema

R : Sistema radial

Sistema

2. A Mauricio se le pide ordenar en forma creciente los ángulos: a = 55 g ; β = 7 π rad y θ = 54º . 25 ¿Cuál es el orden elegido? 3. Establecer mediante flechas las correspondientes parejas entre ambos sistemas. 200g

π rad

300g

π rad 2

90º

3 π rad 2

4. Para el sistema radial, el ángulo de una vuelta mide 2π radianes; para un nuevo sistema de medición angular, el ángulo de una vuelta mide 22k y para otro sistema de medición angular el ángulo de una vuelta mide 34L. • ¿Cuál es la equivalencia entre el sistema radial y el primer sistema nuevo?

• ¿Cuál es la equivalencia entre los dos sistemas nuevos?

• Completar las equivalencias entre los sistemas: ........L <> ............ rad <> ........k

5. En la figura se muestra un volante que debe girar un ángulo de 27 π rad, 10 según indica la flecha, ¿cuál es el ángulo que gira el volante en el sistema francés?

Central: 619-8100

Unidad I

31


sociAprende sáb sotpemás... cnoC g π 7. Si: K= 90 +9º , además:` ≠ j rad = (ab) º kK+1 +1 36º - π rad 30 calcular: E = a+b

1. Calcular el valor de la expresión: g H = 50 + 25º π rad + 5º 36

a) 3

b) 5

d) 8

e) 9

c) 7

2. Calcular el valor de la expresión: L = 70 - 23º π rad - 5º 4 b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

3. Calcular el valor de la expresión:

b) 2

d) 4

e) 5

120 g - 27º # 2 f 30 g - π rad p 20

a) 3

b) 5

d) 9

e) 11

a) 27

b) 81

d) 49

e) 64

6. Sabiendo que: π rad=(7n+1)º 12 π rad=(7m - 1)g 2n+6

a) 5

b) 7

c) 25

d) 49

e) 125

Colegios

32

calcular: L=(m+n)2n - m

TRILCE

b) 6

d) 8

e) 9

c) 7

a) 1

b) 3

d) 7

e) 9

c) 5

4π rad 9 2π d) 3 a)

4π 3 4π e) 11 b)

c)

4π 5

11. Si los ángulos interiores de un triángulo ABC g miden: A=3nº ; B = ` 20 n j ; C = π n rad, 9 36 hallar "n".

c) 729

a) 5

π ≠ rad = ^ ab h º k j K

10. En un triángulo, dos de sus ángulos interiores π rad y 100g. ¿Cuál es la medida del miden 18 tercer ángulo en radianes?

c) 7

5. Sabiendo que: π rad=(3n+1)º 18 π rad=(7m+5)g n+2

calcular: P=(m+n)m - n

e) 9

calcular: E = a+b

c) 3

4. Calcular el valor de la expresión: L=

d) 8

c) 7

g π g 9. Si: K = 120 + 52º ; además:` ≠ j rad = ^ ab h k π K 24º rad 45

g H = 110 + 1º π rad + 14º 5

a) 1

b) 6

g 8. Si: K = 90 - 9º , además: ` π rad 30 Calcular: E = a+b

g

a) 1

a) 5

a) 15

b) 18

d) 12

e) 10

c) 20

12. Las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero son: (3x)º; xg; π x rad y (2x+35)º 300 Hallar "x" a) 80

b) 60

d) 50

e) 45

c) 70

www.trilce.edu.pe


13. Los ángulos iguales de un triángulo isósceles miden 6xg y (5x+4)º. Encuentre la medida del tercer ángulo en radianes. a) π rad 5

b) 2 π rad 5

d) 3 π rad 10

e) π rad 10

c) 3 π rad 5

14. Los ángulos interiores de un cuadrado son: (x - y)º ; π rad; (x+y+z)g z

Determinar el valor de "x". a) 67

b) 68

d) 70

e) 94

3

c) 69

15. Siendo: (a) = aº (3a) '; b = (a) g (25a) m , además: α + β = 29 π rad. Hallar "a". 400 a) 5

b) 4

d) 6

e) 8

c) 2

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 16. Entrando al auto El ángulo mínimo que debe girar la puerta de un auto para que el conductor pueda entrar cómodamente es 45º. Si Ernesto gira la puerta del auto un ángulo de 7 π rad, ¿podrá ingresar al auto? 36 17. Molécula de agua Dos átomos de hidrógeno están enlazados a un átomo de oxígeno, pero la molécula de agua no es lineal (como se muestra en la figura), de manera que las direcciones de los enlaces O–H (oxigeno–hidrógeno) forman un ángulo de 116g11m11s. Calcula la medida de dicho ángulo en el sistema sexagesimal. 18. ¿Para qué sirve tener dos ojos?

O

átomo de oxígeno

H

H

átomo de hidrógeno

átomo de hidrógeno

H 2O

Los seres humanos, al igual que los animales vertebrados, tenemos dos ojos. Sin embargo, si hacemos la prueba de taparnos un ojo, seguimos viendo lo mismo, entonces ¿para qué sirve tener dos ojos? En primer lugar, tener dos ojos aumenta el campo visual. Con un ojo nuestra visión abarca, en conjunto (visión directa más visión periférica), unos ojo 120º; con los dos ojos se superan los 180º. 15º 15º derecho Esta amplitud se nota fundamentalmente ojo en actividades que necesitan visión izquierdo 60º 60º periférica, como conducir. Si nos tapamos el ojo izquierdo aparte de calcular mal la distancia con el vehículo que nos precede, no veríamos los coches que vienen por el lado tapado. 95º 95º En segundo lugar, con dos ojos se obtiene una imagen virtual ‘mejorada’ utilizando las dos imágenes, una por cada ojo, que llegan al cerebro. Esta visión binocular nos permite ‘ver’ imágenes en tres dimensiones y calcular con precisión la distancia que nos separa del punto o del objeto observado. Así, cuando saltas una zanja, si no pudieses calcular su anchura de forma precisa, caerías en ella o saltarías en exceso. • ¿Cuál es la medida del ángulo de visión en radianes (según la figura) del ojo derecho (visión directa)? • ¿Cuál es la medida del ángulo de visión en radianes (según la figura) que abarca ambos ojos (visión periférica)? Central: 619-8100

Unidad I

33


socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Sea "q" la medida en radianes de un cierto ángulo, tal que q = P(4 – P), P ∈ lR. Entonces, calcule el mayor valor que puede tomar el ángulo "q" en radianes a) 1

b) 2

c) 4

d) 6

e) 8 o

2 ab + b2 . Si esta es la máxima medida 2. En un triángulo, uno de sus ángulos interiores mide: e a + 28 o 2 a + b2 posible, señala la medida circular del mayor ángulo que forman las bisectrices interiores de los otros

dos ángulos del triángulo. a) 7 π rad 24

c) 13 π rad 24

b) 11π rad 24

d) 5 π rad 8

e) 5 π rad 6

3. Siendo "a" y "b" los menores números enteros positivos con raíz cúbica exacta (a;b≠1), determina la medida circular de "θ". qrad=(a+b)º = (a+2b)g

θ rad

a) 7 π rad 20

b) 9 π rad 20

c)

4. Sabiendo que: abº = cdg, xy' = zwm Calcule: c + b - z a+ b x+ y a) 5 9

π rad 20

b) 4 9

e) 4 π rad 5

d) 2π rad 5

c) 3 9

d) 2 9

e) 1 9

5. En el gráfico mostrado, "O" es el centro del arco ABC. Determinar la medida del ángulo "B" en radianes. B

A

50xg

27xº O

a) 13 π 12

Colegios

34

TRILCE

b) 5 π 4

c) 7 π 6

C

d) 10 π 13

e) 5 π 6

www.trilce.edu.pe

Trigonometría Razonamiento Matemático 18:10:45

3

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Calcular el valor de la expresión: g

H = 30 + 15º π rad - 3º 18 2. Calcular el valor de la expresión: g

L = 80 + 13º π rad - 19º 5 3. Calcular: 110g+9º M= π 20g+ rad 2 4. Sabiendo que: π rad=(4m+2)º 10 π rad=(7n - 2)g m+1

8. Si los ángulos interiores de un triángulo ABC miden: A = 5nº ; B=(10n)g ; C = n π rad 45 hallar "n" 9. Si los ángulos interiores de un triángulo ABC πx 160x g ; B=(14x)º y C= rad miden: A= 6 9 hallar "x" 10. Los ángulos iguales de un triángulo isósceles miden 50g y (4x+1)º. Hallar "x". 11. Las medidas de los ángulos interiores de un πx rad y (3x)º. cuadrilátero son: (6x)º ; 20xg ; 10 Hallar "x" 12. Determinar el valor de "x" en la condición: (6x - 1) g = 5 π rad 8

calcular: P=(m+n)n - m

π 5. Si: K = 40 + 9º ; además: ≠ rad = ^ ab h º k π K 2º + rad 60 g

Calcular: E=a+b g π g 6. Si: K = 20 + 32º ; además: ≠ rad = ^ ab h k π K 15º rad 18

Calcular: E = a+b

13. Los ángulos interiores de un cuadrado son (x+y)º, 2 π rad y (x – y+z)g. Determinar el valor de "x". z 14. Los ángulos iguales de un triángulo isósceles miden 10xg y (5x+36)º. Encuentre la medida del tercer ángulo en radianes. 15. Siendo: α=

a º a g (a)' ; β= (8a)m , además: 30 50

α+β = 7π rad, hallar "a". 360

7. En un triángulo, dos de sus ángulos interiores miden 70g y 100º. ¿Cuál es la medida del tercer ángulo en radianes?

Central: 619-8100

Unidad I

35

4

Características del ángulo trigonométrico


¿Qué entiendes por sentido antihorario? ¿Qué entiendes por sentido horario? ¿En qué sentido gira la Tierra?

Característica inherente Al preguntarle a un piloto de aviación comercial dónde se halla París, responde: "Latitud: 48º51’N y longitud: 2º20’ E, desafortunadamente no sabemos cómo interpretar dichas magnitudes. Por lo tanto, es importante entender que la ubicación de cualquier lugar en nuestro medio depende de ciertos parámetros. Por ejemplo: derecha, izquierda, arriba, abajo, horario, antihorario. Con base en este concepto, aprenderemos una de las características del ángulo trigonométrico: el sentido horario y antihorario.

Colegios

36

TRILCE

www.trilce.edu.pe

Trigonometría

Conceptos básicos Ángulo trigonométrico Generación Es aquel que se genera por la rotación de un rayo, en un solo plano, alrededor de un punto fijo llamado vértice; desde una posición inicial (lado inicial) hasta una posición final (lado final).

B

al

in of

Lad Vértice O

A

Lado inicial

Por lo tanto, se deben considerar dos tipos de rotación Sentido horario (sentido dextrógiro) Dícese de lo que gira a favor del sentido a las agujas del reloj y por convención los ángulos así generados se consideran negativos. se 1

orario

11

A

oh tid

10

12

n

2

9

3

O

(–)

4

8 7

6

5

B

Sentido antihorario (sentido levógiro) Dícese de lo que gira en el sentido contrario a las agujas del reloj y por convención los ángulos así

a n t i h or a r i o

generados se consideran positivos.

10

11

12

B

1 2

9

3 4

8

e

do n ti

7

s

Central: 619-8100

6

O

(+)

5

A

Unidad I

37


Observación 1. La medida de un ángulo trigonométrico no puede limitarse, pues este depende de la magnitud de rotación y a su vez estas pueden hacerse indefinidamente en cualquiera de los dos sentidos conocidos. 2. Al cambiar el sentido del ángulo también se debe cambiar el signo de su magnitud: B A

O

a

O

A

−a

B

Sabías que...

http://www.mundoatletismo.com/Site/ images/2808825019f8a64047ao.jpg

¿Por qué el sentido de una carrera en una pista de atletismo es contrario a las agujas de un reloj? Se sostiene que la pierna izquierda funciona como soporte o apoyo y la pierna derecha hace funciones de propulsión, aunque esta afirmación es solo válida para los diestros. De esta forma, el girar en una pista en sentido antihorario puede ofrecer ventaja para aquellos que poseen más fuerza en la pierna derecha. La pierna derecha estaría recorriendo una mayor distancia que la izquierda y por lo tanto, quizás, desarrollando un trabajo más mecánico y técnico. Al ser en la mayoría de las personas la pierna derecha más fuerte que la izquierda, si se corriera en sentido horario probablemente sería más lento y causaría más cansancio.

Colegios

38

TRILCE

www.trilce.edu.pe


4

Síntesis teórica

son

puede ser

genera Bs

puede ser

genera Bs

Problemas resueltos 1. En el gráfico mostrado, hallar "x".

2. Determinar el valor de "x" en el siguiente gráfico: q

a x x Resolución

Resolución

De acuerdo a nuestra teoría se recomienda que los ángulos giren en sentido antihorario, entonces:

Una vez más los ángulos deben girar en sentido antihorario. -q

a x -x Entonces se plantea la siguiente ecuación: - x + 90º + a + 90º = 360º " x = a - 180º

Central: 619-8100

Entonces se plantea la siguiente ecuación: - θ - x = 360º " x = - θ - 360º

Unidad I

39


3. Determinar una relación entre "a", "b" y "q" a partir del gráfico. b

a

4. De acuerdo al gráfico, encontrar la relación entre "a" y "b".

a

q

b Resolución Una vez más los ángulos deben girar en sentido antihorario. Todos los ángulos en sentido antihorario

−b

−a

x

Resolución Todo en sentido antihorario, por lo tanto: −b

a

x 90º - 2x

q x Busquemos las ecuaciones apropiadas:

Planteamos la siguiente ecuación: Primera ecuación: - b + x = 360º Segunda ecuación: - α + θ - x = 360º Sumando ambas ecuaciones: θ - α - β = 720º

Primera ecuación: x - b = 90º Segunda ecuación: a - (90º - 2x) = 180º Efectuando operaciones: α + 2β = 90º

10 x 5 50

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Reconocer el sentido de giro:

O

Colegios

40

TRILCE

www.trilce.edu.pe


2. Según su magnitud, indicar el sentido en el cual fue girado: A : a = - 136º

Sentido

B : b = 198 g 78 m

Sentido

C : θ = - π rad 21

Sentido

4

3. Al colocar un reloj frente a un espejo, ¿en qué sentido girarán las manecillas del reloj que se refleja?

4. a) ¿En qué sentido se está generando el crecimiento del brócoli de Romanescu?

b) ¿En qué sentido se están ubicando las semillas del girasol?

5. a) Se quiere retirar el tornillo de un madero. ¿En qué sentido debe desentornillarse?

b) Si se desea retirar el corcho de esta botella de vino; ¿en qué sentido se debe girar el sacacorchos?

Conceptos básicos Aprende más... 1. Señala la relación correcta entre "a" y "b"

2. Del gráfico, determina "x"

b

10º−x a

x+50º

a) α + β = 90º

b) α - β = 90º

a) 10º

b) 15º

c) α + β = - 90º

d) α + β = 0

d) 30º

e) 35º

c) 25º

e) β - α = 90º

Central: 619-8100

Unidad I

41


3. Calcular “x”

a) 90º - α - β

b) α - 90º - β

c) - β + - θα=- 270º 90º d) - β + α 90º α β + θ = 270º α θ =- 270º -= α 270º e) β + 90º α+ θ (- x+40)º

(20+x)º

a) 50º

b) 100º

d) 80º

e) 90º

8. Hallar "x" en función de "β" y "θ"

c) 200º

x β

q

4. Del gráfico, hallar "x" a) 90º - β + θ c) - +180º e) - - 270º

x+10º

30º−x a) 15º

b) 35º

d) 30º

e) 60º

c) 55º

b) d)

9. Hallar “x” −x q

x

5. Del gráfico, hallar "x" 50º−2x 10º+x

20º+x

a) 10º

b) 30º

d) 50º

e) 60º

c) 40º

a) 90º - θ 2 d) 180º + θ 2

b) 90º + θ 2

c) 180º - θ 2

e) 270º - θ 2

10. Del gráfico, hallar "x"; si OC es bisectriz. A (5x−3)º

6. Señala lo correcto:

O

C

(9−6x)º

a

q

- - 360º + + 270º

B

a) 2 d) 12

b

a) β - α + θ = 90º

b) β - α + θ = 270º

c) β - α - θ = 270º

d) α - β + θ = 270º

b) 4 e) 18

c) 6

11. Señala la relación correcta, respecto a los ángulos trigonométricos mostrados.

e) β + α + θ = 270º 7. Hallar "x", en función de "α" y "β"

α

x β

Colegios

42

TRILCE

q

a) α - θ = - 90º c) α + θ = - 90º e) α + θ = 180º

a

b) α + θ = 90º d) α - θ = 90º

www.trilce.edu.pe


12. Halle "x" del gráfico mostrado

14. Del gráfico, señale lo correcto:

4

-40º q

x

β

α

a) 90º+θ

b) 90º - θ

c) 90º α + θ =- 90º e) 180º - θ

d) 180º + θ

a) - β + α=50º α θ = 270º

b) - β + - θα=130º α = 270º

c) - β + α=40º α θ = 270º

d) - β +- θα=140º α = 270º

e) β + α=90º α + θ = 270º

13. Del gráfico, señale la relación correcta:

15. Del gráfico, señale lo correcto, si OP es bisectriz del AOB. B

α α

q

P

β a) α +β =360º - θ= - 90º c) α -+ θβ ==450º - 90º e) α -- θβ ==120º - 90º

b) α -- θβ ==360º - 90º d) α -- θβ ==450º - 90º

C

O

A

a) 2θ - α=360º

b) 2α - θ=180º

c) 2θ + α=180º

d) 2α - θ=360º

e) 2θ + α=360º

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 16. ¿Se abre la puerta? Para lograr abrir la puerta, la manija debe girar un ángulo mayor a 5π rad. 18 Si una persona desea abrirla: • ¿Cuál es la medida en grados sexagesimales que debe girar la manija? • ¿En qué sentido debe girar la manija para lograr abrir la puerta? 17. Descubriendo la combinación El dial de una caja fuerte tiene cien divisiones numeradas de 10 en 10 como muestra la figura. Si comienza en cero, determina el número de la combinación si gira los siguientes ángulos: 1,5πrad en sentido horario; 0,6πrad en sentido antihorario y 0,3πrad en sentido antihorario 18. El número premiado La ruleta tiene 36 números dispuestos como muestra la figura. Si se comienza en cero y se la hace girar un ángulo de - 317 π rad, 18 ¿qué número será el elegido para el premio? Central: 619-8100

Unidad I

43


socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Si: θ = (x + 12) º , determinar "θ" en radianes.

g (2−x)º (2+x)

a) π 9

b) π 5

c)

π 40

d) 5π 18

e) π 20

d) 3600

e) 1800

d) 261 65

e) 271 65

d) α + β = 360º

e) α - β = 360º

d) 230º + α + θ

e) 130º - α - θ

2. Del gráfico mostrado, ¿a qué es igual: 9α - 10θ ? qº

a) 2700

b) - 2700

ag

c) 3500

3. Del gráfico, calcular " x " y (x−y)' (x−5y)g

a) 261 55

b) 271 55

c) 281 55

4. Señala la relación correcta entre "a" y "b"

b a

a) α + β = 90º

b) α + β = 180º

c) α - β = 90º

5. Hallar “x” en términos de "a" y "q" q

a) 230º - α - θ Colegios

44

TRILCE

b) 230º + α - θ

a x 130º

c) 230º - α + θ

www.trilce.edu.pe


4

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Señala la relación correcta entre "a" y "b"

6. Hallar la relación entre "α", "β" y "θ "

b

q

a

O

b a

a) α + β = 90º

b) α - β = 90º

c) α + β = - 90º

d) α + β = 0

a) β - α - θ = 90º

b) θ - β - α = 90º

c) β - α + θ = 90º

d) β - α - θ = 90º 2

e) β - α = 90º e) 2. Del gráfico, determina "x"

β - α - θ = 90º 2 2

7. Señala lo correcto: A a

30º−2x

O

3x+50º

b

q

D

B

C

3. Calcular "x"

(−2x−30)º

(50+3x)º

a) θ - α - β = 270º

b) β - α + θ = 270º

c) β - α - θ = 270º

d) α - β + θ = 270º

e) β + α + θ = 270º 8. Determinar "x" en términos de "α", "β" y "θ"

4. Del gráfico, hallar "x"

q

a

x+10º

10º−5x

x b

5. Del gráfico, hallar "x"

9. Hallar "x", en términos de "q"

40º−2x x

Central: 619-8100

20º+2x

−x q

x

Unidad I

45


10. Del gráfico, hallar "x"; si OB es bisectriz.

13. Determinar "x" en términos de "a"

A (5x−30)º O

a B

x

(40−6x)º C

14. Determinar "x"

11. Determinar "x"

3x

x

15º−x x+15º

15. Del gráfico, hallar "x", si OM es bisectriz del AOC . 12. Señala la relación correcta, respecto a los ángulos trigonométricos mostrados. A B

q

a

D

M C

θ x

C

A

O

B

D a) α - θ = - 90º

b) α + θ = 90º

c) α + θ = - 90º

d) α - θ = 90º

e) α + θ = 180º

46

Unidad I

Colegios

TRILCE


Fórmula de conversión de sistemas

5

¿Crees que exista una fórmula para todo? ¿Las fórmulas son necesarias? ¿Es fácil aplicar las fórmulas?

¿Qué fórmula tengo que aplicar? Vivimos en un mundo de recetas, de decálogos, de fórmulas, de reglas. Estas normas nos neutralizan, homogenizan y globalizan, alejándonos de nuestra propia identidad, de nuestra marca personal. La red (en general) y los blogs (en particular) están llenos de recetas y listados con "soluciones" a todos los problemas posibles. Los libros de autoayuda son todo lo contrario de ayudarse uno mismo. Más bien son manuales en los que otro te dice lo que debes hacer para alcanzar determinado objetivo (desde encontrar la felicidad hasta ser millonario), aunque realmente al único que ayuda es a quién los escribe. Recuerdo que a la hora de resolver un problema mi profesor siempre insistía en que tratásemos de deducirlo por nuestra cuenta, no tratar de aplicar una fórmula. Era más difícil, sí, pero nos enseñó a deducir, no a memorizar soluciones generales. En la vida real, pocas veces hay una solución única y general.

Central: 619-8100

Unidad I

47


Conceptos básicos Fórmula general de conversión Supongamos que el ángulo "a" se midió en los tres sistemas conocidos dando como resultado Sº, Cg y R rad, entonces se cumplirá: B

O

a

a = Sº <> C g <> R rad A

Comparando las tres medidas, tenemos: Sº = C g = R rad " Finalmente 360º 400 g 2π rad Simplificando las unidades y reduciendo los denominadores:

S = C = R donde: 180 200 π

S: es el número de grados sexagesimales que mide el ángulo. C: es el número de grados centesimales que mide el mismo ángulo. R: es el número de radianes que mide el mismo ángulo. Si solamente se trata de sexagesimales (S) y centesimales (C). S = C simplificando " S = C 9 10 180 200

Colegios

48

TRILCE

www.trilce.edu.pe


5

Síntesis teórica

se mide en el

representado por

representado por

se relaciona

para "S" y "C"

Central: 619-8100

se relaciona

representado por

se relaciona

para simplificar

Unidad I

49


Problemas resueltos Para conversión de sistemas

Para plantear e interpretar

1. Convertir 63º al sistema centesimal

5. Si la suma del número de grados sexagesimales de un ángulo más el número de grados centesimales

Resolución Tenemos que: S = 63 " C = ¿? Reemplazando en la fórmula: S = C 9 10 63 C ; de donde: C = 70 " = 9 10 2. Convertir 80g al sistema sexagesimal.

de radianes que posee este ángulo. Resolución Recordemos nuestra teoría: S : es el número de grados sexagesimales que posee el ángulo.

Resolución Tenemos que: S = ¿? " C = 80 Reemplazando en la fórmula: S = C 9 10 " S = 80 ; de donde: S = 72 9 10

Para la simplificación de sistemas 3. Siendo "S"; "C" y "R" lo conocido para un ángulo no nulo, reducir: E = S + C 19 R Resolución Utilizando la fórmula:

del mismo ángulo es 95, determinar el número

C : es el número de grados centesimales que posee el mismo ángulo. Entonces, luego de interpretar planteamos: S+C=95, nos piden hallar "R". Reemplazamos: 180k + 200k = 95; de donde: Kk = 1 y, como nos piden determinar el valor de 4 "R" : R = kπ " R = 1 π " R = π 4 4

S = C =R 180 200 π

" S=180k ; C=200k ; R = π k E = 180 k + 200 k " E = 20 E= 20 19 π k π 4. Simplificar: H = π C + π S + 20 R 3π C - π S - 20 R Resolución Aplicando nuestra teoría tenemos: S=180k ; C=200k ; R = ≠k Reemplazando en la expresión a reducir: H = π 200 k + π 180 k + 20 πk " 3π 200k - π 180k - 20 πk H = π 400 k " H = 1 π 400 k

Colegios

50

TRILCE

www.trilce.edu.pe


10 x 5 50

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC

5

1. Establecer mediante flechas las correspondientes parejas entre ambas columnas: Número de grados sexagesimales

R

Número de grados centesimales

S

Número de radianes

C

2. Siendo "S"; "C" y "R" los números convencionales, indicar la correspondencia mediante una flecha: El doble del número de grados sexagesimales

380 R

La mitad del número de grados centesimales

2S

(S + C) p

1C 2

3. Dado un mismo ángulo "a" expresado en los tres sistemas: sexagesimal, centesimal y radial, ordenar en forma decreciente los respectivos números:

S

C

R

4. ¿Cuál de las siguientes igualdades son verdaderas (V) o falsas (F)?

Central: 619-8100

π =R 180 S

............................................... ( )

π =R 200 C

............................................... ( )

π =R 10 C

............................................... ( )

Unidad I

51


5. Indicar las parejas correspondientes: S–C

La suma del número de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo

C–S La diferencia del número de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo S+C

El producto del número de grados sexagesimales, centesimales y radianes

SCR

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Siendo "S" y "C" los números convencionales, reducir: M= 4 S + 3 C G C- S a) 44

b) 55

d) 77

e) 88

c) 66

2. Siendo "S" y "C" los números convencionales, reducir: GP= 2 S + 5 C C- S a) 64

b) 65

d) 67

e) 68

c) 66

3. Siendo "S" y "C" los números convencionales, reducir: P = π C - 50 R π S - 80 R a) 1,5

b) 1,6

d) 1,8

e) 1,9

Colegios

52

TRILCE

c) 1,7

4. Siendo "S" y "C" los números convencionales, reducir: 2π S − 30R M= π C+20R a) 1

b) 1,2

d) 2

e) 2,4

c) 1,5

5. Siendo "S" y "C" los números convencionales, reducir: π S + 50 R Q= 3 π C - 39 R 4 a) 10

b) 13

d) 18

e) 12

c) 15

6. Siendo "S" y "C" los números convencionales, reducir: π S + 50 R Q= 6 π C + 30 R 10 a) 1,6

b) 1,2

d) 3

e) 2,4

c) 2

www.trilce.edu.pe


7. Señale la medida sexagesimal de un ángulo, tal que: S=n+1 y C=n+4, siendo "S" y "C" los números convencionales. a) 18º

b) 9º

d) 15º

e) 36º

c) 27º

8. Señale la medida centesimal de un ángulo, tal que: S=2n+1 y C=3n - 16, siendo "S" y "C" los números convencionales. a) 10g

b) 40g

d) 50g

e) 20g

c) 30g

9. Señale la medida circular de un ángulo cuyo número de grados sexagesimales (S) y centesimales (C), cumplen: 2C - S = 44 a) πrad 2 d) π 6

b) π 4 e) π 9

c) π 5

10. Señale la medida circular de un ángulo que verifica: 3S - C=34 siendo "S" y "C" lo conocido para dicho ángulo. a) π rad 10 d) π 9

b) π 36 e) π 45

c) π 20

11. Si la diferencia de los números de grados centesimales y sexagesimales que contiene un ángulo es igual a 6, ¿cuál es la medida centesimal del ángulo? a) 40g

b) 50g

d) 70g

e) 80g

c) 60g

12. Si el triple del número de grados centesimales de un ángulo, excede al doble de su número de grados sexagesimales en 24, ¿cuál es la medida sexagesimal del ángulo? a) 16º

b) 18º

d) 40º

e) 48º

c) 36º

13. Señale la medida circular de un ángulo que verifica: 2C − S+22R=13,1416 (π=3,1416) siendo "S" ; "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo.

Central: 619-8100

π rad 11 π d) 44 a)

π 22 π e) 55 b)

c)

π 33

5

14. Señale la medida circular de un ángulo que cumple: C − S+20R=4,1416 (π=3,1416) siendo "S" ; "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo. π rad 10 π d) 60 a)

π 20 π e) 50 b)

c)

π 40

15. La diferencia de los números de grados centesimales y sexagesimales que contiene un ángulo es a 3, como 5 es a 2. ¿Cuál es la medida centesimal del ángulo? a) 10g d) 45g

b) 25g e) 75g

c) 35g

16. El producto de los números que expresan la medida de un ángulo en los sistemas estudiados es π . Determinar la medida del ángulo en 6 grados sexagesimales. a) 6º d) 3º

b) 5º e) 2º

c) 4º

17. La suma del número de grados centesimales y sexagesimales de un ángulo es a su diferencia, como 19 veces su número de grados sexagesimales es a 6. ¿Cuál es la medida circular de este ángulo? π rad 20 d) π 60

a)

b) π 18 e) π 180

c) π 30

18. Señale la medida circular de un ángulo, que cumple: π π π π π 125 π3 ` 9 + S j ` 10 + C j `20 + R j = 64 SCR siendo "S" ; "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo. a)

π rad 20

d) π 60

b) π 50

c) π 30

e) π 80

Unidad I

53


socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Calcular la medida circular de un ángulo, si se cumple: 12 7 40 7 π 7 π C 197 R ` S j + ` 3 C j + ` 15 R j = π S- 52 R a) π rad 7

b) π 15

c) 2 π 7

d) 2 π 15

e) π 5

2. Determina la medida circular de un ángulo cuyos números que expresan sus medidas en los sistemas convencionales cumplen con la siguiente relación: 2 2 2 π + S2 + C2 + R2 = 1+ S C R + ; 1+ + ;1+ E E E ; 18 R (S + C + R) S+ C+ R S+ C+ R S+ C+ R

a) π rad 30

b) π rad 50

c) π rad 60

d) π 80

e) π rad 90

3. Determinar la medida circular de un ángulo, sabiendo que la suma de sus números de minutos centesimales y segundos sexagesimales, es 1670000 a) 5 π rad 2

b) π rad 5

c) 2 π rad 5

d) 3 π rad 5

e) 4 π rad 5

4. Determina la medida circular de un ángulo cuyos números que expresan sus medidas en los sistemas convencionales cumplen con la siguiente relación: 3 π + π π + π 20 A + π j = 64 π ` 36 j ` j ` 9 S 10 C R SCR

a) 6 π rad 5

b) π rad 5

c) 2 π rad 5

d)

3 π rad 5 20

e) 4 π rad 5

5. Se ha medido un ángulo positivo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial resultando tres números que cumplen la siguiente relación: si al producto del cuadrado del número menor con el número intermedio le incrementamos el número mayor esto nos resulta siete tercios del producto del número menor con el intermedio. Hallar la medida del menor ángulo en radianes que cumple la relación anterior. a) b y d

Colegios

54

TRILCE

b) 2 rad 3

c) 2 rad 5

d) 5 rad 3

e) 3 rad 3

www.trilce.edu.pe


1. Siendo "S" y "C" los números convencionales, reducir: M G= 4 S - 3 C C- S 2. Siendo "S" y "C" los números convencionales, reducir: HP= 2 S + C C- S 3. Siendo "S" y "C" los números convencionales, reducir: P = π C + 50 R π S - 80 R

ci sáb s oten peccasa n oC soPractica 9. Señale la medida radial de un ángulo, si su número de grados centesimales excede a su número de grados sexagesimales en 8. 10. Señale la medida circular de un ángulo que cumple: 2S - C+20R=11,1416 (π=3,1416) siendo "S" ; "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo. 11. Señale la medida radial de un ángulo que verifica: C−S 4R = 2C − S 11π

4. Siendo "S" y "C" los números convencionales, reducir:

π S + 50 R MQ = 3 πC +R 20

5. Señale la medida centesimal de un ángulo que cumple: S=2n+1 y C=3n − 2, siendo "S" y "C" los números convencionales. 6. Señale la medida sexagesimal de un ángulo que cumple: S=3n+6 y C=4n+2, siendo "S" y "C" los números convencionales. 7. Señale la medida circular de un ángulo cuyo número de grados sexagesimales (S) y centesimales (C) cumplen: 2C − S=33 8. Señale la medida radial de un ángulo que verifica: 2S − C=16 siendo "S" y "C" lo conocido para dicho ángulo.

Central: 619-8100

5

Siendo "S" ; "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo.

12. El producto de los números que expresan la medida de un ángulo en los sistemas estudiados es 36π. Determinar la medida del ángulo en grados sexagesimales. 13. La diferencia de los números de grados centesimales y sexagesimales que contiene un ángulo es a 27, como 5 es a 3. ¿Cuál es la medida centesimal del ángulo? 14. La suma del número de grados centesimales y sexagesimales de un ángulo es a su diferencia, como 38 veces su número de grados sexagesimales es a 20. ¿Cuál es la medida circular de este ángulo? 15. Determina la medida de un ángulo en el sistema radial, tal que la diferencia de cuadrados del número de grados centesimales y sexagesimales es al número de radianes como 380 es a 1.

Unidad I

55

6

Repaso

Repaso

¿Es importante repasar? ¿Cuándo, dónde y por qué repasar? ¿Será más provechoso repasar constantemente?, ¿por qué?

Retroalimentación Los repasos son más que una simple repetición, aunque en la práctica pueda parecerlo. Estos tienen un componente importante de repetición (es decir, la repetición se vincula con la memorización), pero principalmente es una reelaboración de la información adquirida (no se repite de la misma manera, no se elabora el esquema mental habitualmente sino se enriquece con mayores y mejores conexiones). Sin embargo, no hay que perder de vista que el repaso parte a priori de la comprensión, que en el estudio implica todo un proceso de elaboración. ¿Por qué repasar? Porque lo que no se repasa se olvida, porque repasando se gana tiempo: sumando los tiempos de los repasos es menor que el tiempo que tendríamos que invertir en volver a estudiar, porque no es lo mismo que reconocer.

Colegios

56

TRILCE

www.trilce.edu.pe

Trigonometría

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Hallar "x"

(9 - 2x)º

a) 31º d) 60º

(x+3)º

b) 51º e) 36º

c) 62º

a) π rad 3

b) π 5

d) π 4

e) π 9

6. Del gráfico, calcular: M = 10x − 9y A

2. Calcular:

yg

π rad+60º 2 M= 10g

a) 3 10

b) 5 3

d) 20 3

e) 40 3

c) 50 3

B

(7x - 2)º

A

O

b) 6 e) 5

c) 8

B (40x)g

4xº

b) 4 e) 10

C

c) 6

5. Del gráfico mostrado, determinar la medida del ángulo AOB en radianes. C B - 10 x g 3 O

Central: 619-8100

b) 1 200

d) 2 400

e) 24 000

c) 240

a) 10

b)

d) π 10

e) 10 π

c) 10π

calcular "a+b - c" a) 4

b) 6

d) 8

e) 9

c) 7

9. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nulo, reducir:

π rad 9

2xº

a) 120

8. Si: π rad= aº 3b' c0" 32

4. Del gráfico, calcular "x"

a) 2 d) 8

2π rad 3

C

- 40g

A

B

7. Reducir: M V = 2C - S 22 R Si "S"; "C" y "R" son los sistemas conocidos

C

a) 2 d) 10

xº

O


c) π 6

A

M=

C+S + C-S

4S C-S

a) 5

b) 6

d) 8

e) 2

c) 4

10. Halle el valor de "A + B + C", si se cumple la equivalencia siguiente: 25 25 cºc <> <>A Aºº B B'' C C"" `` 16 16 jj a) 78

b) 79

d) 83

e) 85

c) 81

Unidad I

57

Repaso

11. Señale la medida centesimal de un ángulo, cuyo número de grados sexagesimales (S) y centesimales (C), cumplen: 4S - C =217 2 a) 30g

b) 40g

d) 60g

e) 70g

c) 50g

12. Si para un mismo ángulo se cumple: S=n+1 y C=n+3, hallar el número de radianes de dicho ángulo. a) π rad 5 d) π rad 9

b) 2π rad 5 e) π rad 10

c) π rad 6

13. Señalar la medida radial de un ángulo que cumple: 3S − 2C+35R=7,1416 (π=3,1416) siendo "S" ; "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo. b) π 7 e) π 60

a) π rad 5 d) π 21

c)

π 35

14. Se tienen tres ángulos donde la suma entre el primero y el segundo es 33º, el segundo más 50g

y la suma entre el primero y π el tercero es rad. Halle el mayor de ellos en 6 grados sexagesimales.

el tercero es

a) 15º

b) 27º

d) 24º

e) 14º

c) 25º

Siendo "S" ; "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo. a) π rad 3 d) π 6

c)

π 5

16. Los ángulos internos de un triángulo se encuentran en progresión aritmética. Si el mayor de ellos es seis veces el menor, hallar la medida del ángulo intermedio en radianes. a) 4π rad 5 d) 4π rad 7

b) π rad 3 e) 4π rad 11

c) 2π rad 5

17. Calcular la medida de un ángulo en radianes, sabiendo que la diferencia de su número de grados centesimales con su número de grados sexagesimales es a su suma como dos veces su número de radianes es a 57p. a) 2π rad 5 π d) 2

b) 3π 5 3 e) π 2

c) 4π 5

18. Hallar la medida en radianes de un ángulo trigonométrico positivo, que satisface la siguiente condición: SC ` C - S j = 40 10 ` 1 + 1 j C S 2 19 Siendo "S" y "C" lo conocido para dicho ángulo. π 45 d) π 15 a)

15. Señale la medida radial de un ángulo, que verifica: C - S = 4R 18:10:45 2C - S 11π

b) π 4 π e) 8

b) π 30 e) π 5

c)

π 20

soPractica cisáb soten peccasa noC 3. Del gráfico, calcular "x"

1. Hallar "x" - 7x+35º

25º+x

- 60g (6x)º

2. Calcular:

Colegios

58

π rad+5º 12 M= 100g

TRILCE

4. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nulo, reducir: M= 5S - 2C C-S

www.trilce.edu.pe



11. Si para un mismo ángulo se cumple: S=2n y C=4n - 1, hallar el número de radianes de dicho ángulo.

B

6

(10x)g

A

2π rad 3

xº

C

6. Si: π rad=1aº 2b' 4c" 11

calcular "a+b+c"

7. Señale la medida circular de un ángulo, cuyo número de grados sexagesimales (S) y centesimales (C), cumplen: 3S - 2C = 35

12. Los ángulos internos de un triángulo se encuentran en progresión aritmética. Si el mayor de ellos es tres veces el menor, hallar la medida del ángulo menor en radianes. 13. Si los ángulos internos de un triángulo ABC miden: A=2nº; B=(20n)g y C = nπ rad, 72 hallar el mayor ángulo en sexagesimales. 14. Calcular la medida de un ángulo en radianes, sabiendo que la diferencia de su número de

8. Señale la medida radial de un ángulo, si el doble de su número de grados sexagesimales aumentado en su número de grados centesimales es igual a 14. 9. Señale la medida radial de un ángulo, que verifica: C - S = C C+S 152 siendo "S" ; "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo. 10. Señale la medida radial de un ángulo, que cumple: 3S - 2C+20R=10,1416 (π=3,1416) siendo "S" ; "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo.

Central: 619-8100

grados centesimales con su número de grados sexagesimales es a su suma como tres veces su número de radianes es a 76≠. 15. Hallar la medida en radianes de un ángulo trigonométrico positivo, que satisface la siguiente condición: SC ` C - S j = 5 10 ` 1 + 1 j 2 19 S C Siendo "S" y "C" lo conocido para dicho ángulo.

Unidad I

59

UNIDAD II

Universo curvilíneo

L

a decoración ha vuelto a basarse en las curvas, pues hoy las sensuales formas redondeadas pueden observarse en infinidad de muebles, objetos y complementos. Nada escapa a las curvas: sofás que recuerdan la figura femenina, grifos de baño con inesperados giros, lámparas de mesa contorneadas. Esta tendencia no se observa solo en un ambiente o espacio específico del hogar, en la cocina, los electrodomésticos también adoptan formas curvas antes inesperadas, como puede comprobarse en los últimos diseños de las neveras, los hornos microondas y otros artefactos de marcas reconocidas. Es indudable que las curvas eliminan de nuestros ambientes la excesiva solemnidad y rigidez, pues con ellas todo es más etéreo y fresco. AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Reconocer e interpretar las fórmulas de longitud de un arco y de superficie del sector circular. Resolución de problemas • Resolver problemas referentes a la longitud de un arco y de superficie del sector circular. Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas • Aplicar eficientemente las fórmulas para el cálculo de la longitud de un arco y de la superficie del sector circular.


1

Cálculo de la longitud de un arco

¿Qué son las curvas para George? ¿A qué forma te gustaría que se asemeje tu vida: a las rectas o a las curvas?

Curvas rectas En ocasiones, la vida se asemeja a una carretera. Hay varias formas de carreteras: perfectas, imperfectas, rectas, curvas. De igual modo también hay varias formas de vida, pero hay un tipo de vida especial: la de George que se puede definir como una curva recta. ¿Te has imaginado cómo es una curva recta? ¿Cómo sería este tipo de vida? ¿Sería la perfección o la imperfección? ¿Tiene algún sentido? ¿Tiene un comienzo y final? ¿Tu vida podría ser una curva recta o una recta curva? A George le gustaban las curvas de la carretera, siempre las observaba, en cambio las rectas le aburrían muchísimo. Un día preguntó a su padre: "¿Por qué existen las curvas?". "Bueno, hijo, existen porque son necesarias. Por ejemplo, fíjate en la carretera que recorremos ahora y en el terreno circundante: hay montañas, lagos, ríos, etc. que necesitamos rodear para transitar sin problemas". Después de un tiempo, George abordó el mismo tema con su padre: "Estuve pensando en tu respuesta y creo que no me entendiste. Me refería a las curvas de la vida. ¿Por qué existen las curvas en la vida?". "Yo creo que existen porque alguien las inventó para escapar de los problemas de la vida, para evadirlos, para ocultar la imperfección del ser humano..." "¿Y las rectas? ¿Sabes lo que pienso?", dijo George, "Las rectas de la vida son el camino que sigue toda la gente en este mundo, todos se dirigen al mismo sitio. Por eso me gustan las curvas, porque no son comunes, son distintas. Siempre me he preguntado si existirá una curva recta. ¿Cómo sería? ¿Qué forma tendría? Creo que sería una mezcla de línea y curva en la que se combinan perfección e imperfección. Entonces, la vida sería plena: con felicidad y todo lo necesario. Eso necesito: la curva recta que mezcla la perfección de la recta y la imperfección de la curva”.

Central: 619-8100

Unidad II

61


Conceptos básicos Cálculo de la longitud de un arco Aquí se debe de considerar que las longitudes de los arcos que se va a encontrar corresponden al arco de circunferencia, por tal motivo la fórmula que se va a emplear es:

Radio

Donde: L : longitud del arco AB θ : número de radianes del ángulo central correspondiente a dicho arco. R : radio de la circunferencia.

Radio

B

q rad

co

C

Ar

L = θ.R

A

Observación 1. Para poder calcular la longitud de un arco se debe tener presente que usamos única y exclusivamente la medida del ángulo central. 2. El ángulo central elegido debe encontrarse en radianes. 3. La figura geométrica formada por los radios y el arco se denomina sector circular. (Parece tajada de torta).

A Sector circular

O

Arco

r θ

(Tajada de torta)

r B

Sabías que... Uno de los primeros problemas en la antigüedad era de qué manera se podía medir un ángulo usando una regla. Como notarás esto no se puede lograr directamente, pero sí se puede medir la cuerda que subtiende ese ángulo y luego con la ayuda de tablas determinar el ángulo. Fue Hiparco de Nicea considerado el “Padre de la trigonometría” quien construyó por primera vez una tabla de cuerdas y para esto consideró los triángulos inscritos en una circunferencia dividida en 360 partes iguales siendo cada cuerda uno de los lados del triángulo. Eratóstenes nacido en Cirene en el año 284 A.C. y muerto en Alejandría a los 92 años fue el primero en la historia de la humanidad en medir con bastante precisión el radio de la tierra. En una época en la cual muy poca gente pensaba que la tierra no era plana y ¿Cómo lo hizo? pues , pensó que dos estacas clavadas verticalmente en el suelo, a una distancia de varios kilómetros, sobre un mismo meridiano, darían sombras distintas a la misma hora por ser la tierra curva y no plana como se pensaba.

Colegios

62

TRILCE

www.trilce.edu.pe


1

Síntesis teórica

posee una medida

se obtiene como

se obtiene como

L

medida en

Central: 619-8100

θ

medida en

R

medida en

Unidad II

63


Problemas resueltos 1. Calcular la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 45º en una circunferencia de 24 cm de radio Resolución Datos: Ángulo = 45º Radio = 24 cm Longitud del arco = ¿? No olvidemos que el ángulo central debe estar en radianes. Entonces: L=45º .

π . 24 180º

L = 6πcm

2. En un sector circular, el ángulo central mide 20º y el radio 45cm. ¿Cuál es el perímetro del sector? Resolución Debemos observar que: B

Perímetro= radio+radio+longitud del arco " Perímetro= r+r+L Perímetro = 2r + 20º. π . r , pero: r=45 180º

r L

" Perímetro = 90 + 5p

O

Perímetro = 5 (18 + π) cm

r A

3. En un sector circular, el arco mide 100cm. Si el ángulo central se reduce a su cuarta parte y el radio se duplica, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide: Resolución Dato 2:

Dato 1: Radio = R

Ángulo = θ rad 4 Radio = 2 R

Longitud del arco = 100 cm

Longitud del arco = ¿? cm

Ángulo = θ rad

100 = θ . R

Comparando ambas longitudes:

Colegios

64

TRILCE

L2 = θ . 2 R 4

L2 = 50 cm

www.trilce.edu.pe


4. En la figura se muestra un péndulo en movimiento. Determinar la longitud del péndulo, si su extremo recorre 10 πu .

1

Resolución El extremo del péndulo recorre 10 πu .

37º

Entonces en el gráfico: 10π = L! + L!

10u

AB

LP 37º

π π . L + 37º. . (L − 10) 10π = 53 # π º. 180 180º P 180º P

A

C

BC

LP=24,11 u B

5. En la figura se muestra una pista para deporte extremo (bicicleta). Determinar la longitud total de la pista según los datos planteados, además los arcos corresponden a un arco de 90º de ángulo central.

4u

10u

4u

Resolución

A

O1

B

D

O2

C

La pista está compuesta por dos arcos y una pista recta, dibujemos: Longitud de la pista: L! + BC + L! AB CD Longitud de la pista: π π . 4+10+90º . .4 =90º . 180º 180º Efectuando operaciones: Longitud de la pista = (2π + 10) u

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Indicar los elementos del sector circular.

Central: 619-8100

Unidad II

65


2. Indicar verdadero (V) o falso (F) en los recuadros, siendo las figuras sectores circulares. A

A

O

80º

80º

O

B

2cm

2cm

B 27cm

3. Determinar la medida del ángulo central en radianes de la figura, siendo ella un sector circular. (Tener presente que: 0 <θ # 2π)

A

B 9cm

θ

9cm

O

4. Latitud: es la distancia angular desde el ecuador a un punto dado de la superficie terrestre. Puntos situados al norte del ecuador tienen latitud Norte (N), los situados al sur tienen latitud Sur (S). Determinar la latitud del punto "P" en kilómetros, si el radio de la tierra es "R". Nota: el ángulo "a" se encuentra en grados sexagesimales.

5. Longitud: es la distancia angular desde el meridiano 0º (Greenwich) a un punto dado de la superficie terrestre. Los lugares situados al Oeste del meridiano 0º (Greenwich) tienen longitud Oeste (W) mientras que los situados al Este de aquel meridiano tienen longitud Este (E). Determinar la latitud del punto "P" en kilómetros, si el radio de la tierra es "R". Nota: el ángulo "b" se encuentra en grados sexagesimales.

Colegios

66

TRILCE

www.trilce.edu.pe


1

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. En el sector circular mostrado, calcular la longitud del arco CD C

6. En un sector circular el arco mide 24 cm. Si el ángulo central se triplica y el radio se reduce a su mitad, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide:

8 cm 45º

O

a) 2p cm d)

8 cm

c) π

b) 4p

π 2

e)

D

π 4

b) 24

d) 72

e) 30

a) 10 cm

b) 20

d) 40

e) 60

m

6c

a) π cm π d) 2

D

6 cm

M

c) 2p

π 4

a) 50p cm

b) 35p

d) 140p

e) 280p

b) 2(p+40)

d) 4(p+40)

e) 2(p+30)

Central: 619-8100

6 7 4 e) 5

b)

7 3 7 e) 4

9. Del gráfico, calcular: P=

2 3

3 2

L1+L2 L3

C

E O

c)

c)

A

c) 4(p+20)

5. En un sector circular, la medida del arco y el radio están representados por dos números enteros consecutivos. Si el perímetro del sector es 20 m, ¿cuál es la medida del ángulo central? 3 rad 5 3 d) 2

B

b)

a)

c) 70p

4. En un sector circular, el ángulo central mide 10g y el radio mide 40 cm. ¿Cuál es el perímetro del sector? a) 2(p+20)

5 3 4 d) 3

C

15º L3

O

L2

N

30º

3. Calcular la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 70g en una circunferencia de 200 cm de radio

a)

L2

Q

b) 4p e)

L1+L3

L1

A

O

c) 30

8. Del gráfico, calcular: M=

P

2p rad 3

c) 48

7. En un sector circular, el arco mide 20 cm. Si el radio se incrementa en el triple y el ángulo central se reduce a la mitad, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide:

2. En el sector circular mostrado, calcular la longitud del arco PQ

a) 36 cm

L1

L2

L3

F D

B

a) 1 d)

1 2

b) 2 e)

c) 3

2 3

Unidad II

67


10. En el gráfico, calcular "L", si : L1+L2=8π

L

L1

a) 8p

b) 4p

d) π

e) π 2

L2

c) 2p D

11. Calcular la medida del ángulo central en la figura mostrada. B 24

B

C

E

a) 2p

b) 4p

d) 16p

e) π

c) 8p

14. Del gráfico, calcular: E = θ- 1 - θ

C O

13. En el triángulo rectángulo isósceles, calcular la suma de las longitudes de los dos arcos dibujados tomando centro en "A" y "C" respectivamente, si la hipotenusa es igual a 4. A

A

5p

p

C

D 24

O

q

A

a) 15º

b) 12º

d) 30º

e) 45º a) 1

12. Del gráfico, calcular "θ"

d)

B C O

12

D

b) 2

6p

C O

A

b) 60º

d) 30º

e) 45º

68

5+1 2 5 2

n

A

2n D

d)

Colegios

q

c) 75º

a)

TRILCE

c) 5

e) 1 2

5 2

12

a) 15º

B

15. Del gráfico, calcular "θ"

2p

q

D

c) 18º

b)

5-1 2

e)

3-1

n

B

c)

5-1

www.trilce.edu.pe


Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas

1

17. La ubicación de mi yate en la esfera celeste Si el radio de la tierra es aproximadamente 6370 km, determinar la longitud y la latitud en km según los datos indicados.

16. ¿Sobre el puente? Determinar la longitud del puente (PQ), si la longitud del arco AB=5≠m y su radio (OA=OB) mide 10m

N Gr ee

Latitud: 43º35'N

nw ich

P B

W

Ecuado

Latitud

Q

A

r

Longitud: 46º25'W O

E

Longitud (0,0)

S

18. La escalera de mi piscina Se muestra unos escalones como muestra la figura terminada. Determinar el perímetro de la figura, si los peldaños tienen de altura 20cm y 30cm los pasos (No se incluye las paredes laterales)

Vista de perfil

Vista de planta 30

100º

30

30

Modelo 30 20 20 20 20

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. En la figura se muestra un péndulo en movimiento. Determinar la longitud del péndulo, si su extremo recorre 10πu 30º 12u

30º C

A

B

a) 21u

Central: 619-8100

b) 22

c) 23

d) 24

e) 25

Unidad II

69


Determinar el perímetro de la región sombreada (p=3,14)

1u 60º

a) 3,327u

b) 5,327

c) 7,327

d) 9,327

e) 5,553

2. Determinar el perímetro de la figura mostrada, si "C" es el centro del arco BF, además los arcos ABCD, AFCE son de igual longitud y el centro del primer arco se halla en "O". E

B C

A 12 F 12

12

D 12

O

a) 60,8u

b) 61,8

c) 62,8

3. Determinar el perímetro del ovoide, si: R = 6 + puntos "B" y "A", respectivamente.

d) 63,8

e) 64,8

! ! 2 ; además: AD y CB son arcos cuyos centros son los C

D

O2

A

O1

B

R a) 15p

Colegios

70

TRILCE

b) 16p

c) 17p

d) 18p

e) 19p

www.trilce.edu.pe


1

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: A : Para determinar la longitud de un arco se debe tomar en cuenta el ángulo central............................... B : Para determinar la longitud de un arco se debe conocer el radio y su ángulo central. .............................

7. En un sector circular la medida del arco y el radio están representados por dos números enteros consecutivos. Si el perímetro del sector es 17 m, ¿cuál es la medida del ángulo central?

( ) L3

( )

E

A

m

60º

45º

A

O

B

40º

9. Del gráfico, calcular: P=

L1 - L 3 L2

6c

m B

3. Calcular la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 60º en una circunferencia de 18 cm de radio. 4. En un sector circular, el ángulo central mide 72º y el radio mide 25 cm. ¿Cuál es el perímetro del sector?

L1

D

M

L3

6c

C

L2

2. Determinar la longitud del arco AB en la figura, siendo ella un sector circular.

O

L1+L2


E

3

2

C

3

F 2

A

L1

L2

L3

O

2

D

2

B

10. En el gráfico, calcular "L", si: L1+L2=16π

5. En un sector circular, el arco mide 30 cm. Si el ángulo central se duplica y el radio se triplica, se genera otro sector circular cuyo arco mide: L2

L

L1

6. Calcular la longitud que recorre el insecto al ir de "P" hasta "Q", si el centro del arco posee su centro en el ojo del muchacho.

11. Del gráfico, calcular la medida del ángulo central.

Q cm

B

90

6u

40º

m

90c

C

P O

6p

5p D

6u A

Central: 619-8100

Unidad II

71


14. En el triángulo rectángulo isósceles, calcular la suma de las longitudes de los dos arcos dibujados tomando centro en "A" y "C" respectivamente, si la hipotenusa es igual a 10

12. En el gráfico, calcular "L" 12

D

O

A

10π

L

60º C

12

A

B

13. En el gráfico, calcular "a" a

C O

70g

D A

14π

7π D

B

15. Del gráfico, calcular: E = θ (1 + θ) A

a

C

B O

q D

Colegios

72

TRILCE

C

E

B

www.trilce.edu.pe


2

Superficie de un sector circular

¿Te imaginas una casa con paredes curvas, donde no existan esquinas? La sensación que produce este diseño a tus sentidos, ¿será agradable? hoy en día los diseños ya no son rectos, ¿a qué crees que se deba?

Viviendas circulares Geométricamente y constructivamente, la figura circular es la más sencilla de describir y trazar, según Euclides. En principio, para delinear una circunferencia e incluso una estructura concéntrica no se necesitan conocimientos complicados. Estas casas buscan cumplir con las demandas de funcionalidad, confort y valor que pide el mercado. A pesar de que habitualmente no se le toma en cuenta, las casas circulares proveen de esas características y más. Las personas deciden construir una casa redonda por múltiples razones. En algunos casos, es porque simplemente les gusta la apariencia en contraste a las típicas casas en forma de caja, hay quienes tratan de expresar su individualidad y no ven que lo pueden lograr a través de un diseño convencional de vivienda. Hay propietarios motivados por la vista panorámica que se logra con una casa circular. También hay quienes buscan la eficiencia en el consumo de energía o una casa de ambiente amigable.

Central: 619-8100

Unidad II

73


Conceptos básicos Cálculo de la superficie de un sector circular Se denomina sector circular a la figura geométrica, porción de círculo, comprendida entre un arco de circunferencia y sus respectivos radios delimitadores. B

S S = 1 . θ . R2 S 2

dio

arco

ra

θ

O

Donde: S=Superficie del sector circular AOB θ=Número de radianes del ángulo central correspondiente a dicho arco.

rad

io

A

R = radio de la circunferencia.

Observación Primera parte: Para determinar la superficie de un sector circular de la expresión anterior, podemos deducir: S= 1 . L . R 2

2 S= 1 . L 2 θ

Segunda parte: El ángulo central del sector circular se halla en el siguiente intervalo: 0 <θ # 2 π

Trapecio circular Es la porción de plano limitada por dos circunferencias concéntricas y dos radios. Para el trapecio circular los elementos que intervienen son: • El arco mayor • El arco menor • La separación entre ambos arcos

Cálculo de la superficie de un trapecio circular Para determinar la superficie del trapecio circular basta restar el sector circular

A

mayor y el sector circular menor, deduciéndose la siguiente relación:

d B

S= L1

O

S

C d D Colegios

74

TRILCE

L2

L +L

1 2 ( ) #d

2

Donde: S = superficie del trapecio circular L1 = longitud del arco menor L2 = longitud del arco mayor d = separación entre ambos arcos www.trilce.edu.pe


2

Síntesis teórica

conociendo

fórmula

conociendo

conociendo

fórmula

fórmula

Problemas resueltos 1. Se tiene un sector circular cuyo ángulo central mide 45º y su radio 8 cm. ¿Cuál es su superficie? Resolución Datos: Ángulo central= 45º Radio = 8 cm

2. En un sector circular, la longitud de arco mide π cm y el ángulo central mide 30º. ¿Cuál es la 4 superficie del sector? Resolución Datos: Longitud del arco = π cm 4 Ángulo central = 30º

Superficie del sector = ¿? "No olvidemos que el ángulo central debe estar

Superficie del sector = ¿?

en radianes" Entonces: π 2 2 2 1 45 1 1 45 .≠ ≠(8).(8) S= " " S=8 p cm2 S 2 θ R " S= 2 .45º 2 180 180 180º

Central: 619-8100

Además: L = θ . R " π = 30º 30 .π πR . R → ` R= 3 180 2 4 180º

Entonces: 2 2 2 2 S= 1 θ R " S= 1 . 1≠ (π3()31) ≠".( 3 ) →" S= 3π cm2 2 2 26 62 2 6 2 16

Unidad II

75


Resolución

S 3. Del gráfico, determinar: H= 1 S2

2u

Sx = Smayor − Smenor D 1 π 1 π .(6)2 − .120º. .(2)2 Sx = .120º. 2 180º 2 180º

E

36º

C

6u

S2

S1

O

A

Sx = 32π u2 3

5. Del gráfico, determinar la superficie de la región sombreada.

Resolución

Sector: AOD

Ángulo = 36º.

Radio = 8 Superficie del sector = ¿?

1 π .(8)2 " S1= .36º. 2 180º

Sector: COE

Ángulo = (180º - 36º)

Radio = 6 Superficie del sector = ¿?

1 π .(6)2 " S2= .144º. 2 180º

Reemplazando en la pregunta:

π 180º

Resolución A C 6

π 180º

1 π .(8) 2 .36º. S 2 180º → 1 = 4 = 9 S2 S 1 π 2 .144º. .(6)2 2 180º S1

O

20º

H

B

Para determinar la región sombreada podemos interpretarlo como: Ssombreado = SAOB − SCOH " Ssombreado = 1 π 1 π .20º. .(OA)2 − .20º. .(OH)2 2 180º 2 180º Factorizando la parte común:

1 π Ssombreado = .20º. .[(OA)2 − (OH)2] ; 2 180º pero: (OA) 2 - (OH) 2 = (6) 2 ..... por Pitágoras

4. En la figura mostrada, determinar la superficie de la región sombreada, cuyo ángulo central es de 120º

1 π Entonces: Ssombreado= .20º. .[62] → 2 180º

Ssombreado= 2 ≠ u2

6u 2u

Colegios

76

TRILCE

www.trilce.edu.pe


10 x 5 50

2

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Indica las correspondientes parejas mediante flechas según el gráfico.

1

Longitud de arco

2

Ángulo central

1 2 3 3

Radio

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda, de acuerdo al uso de la fórmula de la superficie de un sector circular. • El ángulo central está en grados sexagesimales ............................................................... ( ) • El ángulo central puede ser mayor que una vuelta ........................................................... ( ) • El ángulo central debe expresarse en radianes ................................................................. ( ) 3. En la figura mostrada, ¿cuántos sectores circulares observas?

4. ¿Cuál de las siguientes expresiones indica el perímetro del sector circular?. (Marcar con un aspa) R+R+q R

L

qq R

R2 + L R+R+L

5. La pantalla de esta lámpara es cortada por uno de sus bordes y colocada sobre una mesa. ¿Qué forma geométrica posee la pantalla?

Central: 619-8100

Unidad II

77


sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. En un sector circular, el ángulo central mide 45º y el radio 8 u. ¿Cuál es su área? a) π u2

b) 4p

d) 6p

e) 2p

c) 8p

2. En un sector circular, el ángulo central mide 30 g y el radio 10 u. ¿Cuál es su área? a) 30pu2

b) 15p

d) 24p

e) 5π u2 2

c) 15π u2 2

8. En un sector circular, el área es 36 cm2. Si el ángulo central se reduce a la mitad y el radio se triplica, se genera un nuevo sector circular cuya área es: a) 36 cm2 d) 144


a) 11 π u d) 10p

b) 12p

d) 2π

60º

c) 3π 4

b) π 3 e) 2π 3

b) 20 e) 40

Colegios

78

TRILCE

b) 60 e) 180

C

a) 1 8 d) 9 2

b) 1 4 e) 9 8

c) 3 8


S1

S2

A

S2 M

30º

O

45º

S1

c) π 6

C

a) 1 d) 4

b) 2 e) 6

c) 10

c) 90

c) 3

11. En el gráfico mostrado, señala el área del sector circular AOB A x2+1

7. En un sector circular, el área es 10u2. Si el ángulo central se triplica y el radio se duplica, se genera un nuevo sector circular cuya área es: a) 40u2 d) 120

S2

3

B

6. En un sector circular, el área es 40u2. Si duplicamos el radio y reducimos el ángulo central en su mitad, se genera un nuevo sector circular cuya área es: a) 80u2 d) 15

D

O

5. En un sector circular, el arco mide π cm y su 3 ángulo central mide 60º. ¿Cuál es su área? a) π cm2 2 d) π 12

S2 B

S1

c) 13p

e) 14p

b) 3π 8 e) 2π 3

S1

1

4. En un sector circular, el arco mide π cm y su 4 ángulo central mide 30º. ¿Cuál es su área? a) 3π cm2 16

c) 72

A

3. En un sector circular, el arco mide 2pcm y su radio 13u. ¿Cuál es su área? 2

b) 96 e) 162

O

8+x

x rad x2+1

a) 25

b) 40

d) 50

e) 75

B c) 45

www.trilce.edu.pe


12. Se tiene un sector circular de radio "R" y ángulo central de 36º. Si se reduce el ángulo central en 11º y el radio se incrementa en "x", de modo que el área del nuevo sector generado es igual a la del sector original. Hallar "x" a) R 2 d) R 6

b) R 4 e) R 9


A 1u

c) R 5

O

B

S F 1u

b) π 20 e) π 5

E

x

b) 3 2

d) 5 2

C

c) 2

e) 4

15. Del gráfico mostrado, calcular "S4", si: S1=4u2 ; S2=8u2 y S3=10u2 S2

q a) π 10 d) π 4

D

5S

1u

a) 1

13. Si las áreas de las regiones sombreadas son iguales, calcular "θ"

1u

x

2

S1

c) π 3

S4

b) 6 e) 9

a) 5 u2 d) 7

S3

c) 8

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 16. Conduciendo de noche Los faros de un automóvil iluminan un sector, como se muestra en la figura. Determínese la superficie de la región iluminada.

17. Sacando cálculos El costo del pie cúbico de madera es de 5 nuevos soles. ¿Cuál es el costo del pedazo de tronco de la figura?

s

ie 0,5 p

290º

90º 2 pies

20

m

18. A pintar la escalera Se desea pintar la escalera de la piscina. ¿Qué cantidad de pintura debo usar, si un bote alcanza para 20m2 ? (En el gráfico las unidades están en centímetros) Vista de planta

Vista de perfil 30

100º

30

30

Modelo

30 20 20 20 20

Central: 619-8100

Unidad II

79


socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Si en un tronco de cono circular recto; los radios de sus bases y su generatriz suman 8 cm, ¿cuál es el máximo valor del área lateral del tronco de cono? r

R

a) 20p

g

g

a) 16p

R

a) 23p

r

b) 24p

c) 25p

2. En el siguiente gráfico, se tiene un cono en el cual se cumple que el área de la región sombreada en la base, es el doble del área de la superficie sombreada sobre el cono. Calcular "θ", si además el perímetro de la base es a la altura como ≠ es a 10 y AB=2BD A

B C D

q E

a) π rad 8

b) π 9

c) 2 π 9

d) 3 π 8

e) π 4

3. Del gráfico, obtener el área de la región sombreada, si la longitud del arco MN es igual al perímetro de la circunferencia. M

r O R

a) π r (R - 2r)

b) π r (R + 2r)

c) π r (R - r)

N

d) π r (r - 2R)

e) πr R (R - 2r)

4. Se tiene un sector circular cuyo ángulo central mide 120º y su radio igual a "R". Si duplicamos el radio de este sector y disminuimos su ángulo central en "θ" se obtiene un nuevo sector cuya área es el triple del área del sector original, de acuerdo a esto obtenga el valor de "θ" a) 30º

Colegios

80

TRILCE

b) 40º

c) 50º

d) 60º

e) 70º

www.trilce.edu.pe


5. Un granjero coloca su vaca en un campo como el de la figura. Si la longitud de la cuerda es de 20m, calcular la mayor cantidad de superficie de pasto que puede comer la vaca.

2

a) 30,3p b) 31,3p 60m

69º

c) 32,3p d) 33,3p e) 34,3p

60m 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. En un sector circular, el ángulo central mide 40º y el radio 9 u. ¿Cuál es el área?

8. Del gráfico, calcular: M= A

2. En un sector circular, el arco mide 4≠ cm y su radio 7 u. ¿Cuál es su área?

S1

6

3. En un sector circular, el ángulo central mide 40g y el arco 4π cm. ¿Cuál es el área?

5


7. En un sector circular, el área es 30u2. Si triplicamos el radio y reducimos el ángulo central a su quinta parte, se genera un nuevo sector circular cuya área es:

Central: 619-8100

B

S1 S2

A

5. En un sector circular, el área es 12 cm2. Si el ángulo central se duplica y el radio se triplica, se genera un nuevo sector circular cuya área es: 6. En un sector circular, el área es 48 cm2. Si el ángulo central se reduce a su tercera parte y el radio se duplica, se genera un nuevo sector circular cuya área es:

D

S2

4. En un sector circular, el ángulo central mide 36º y el radio mide 4 5 cm. Calcular el área del sector.

S2

C

30º

O

S1

4

O

S1

15º 30º

C B S2

6

D

10. Se tiene un sector circular de radio "R" y ángulo central de 49º. Si se reduce el ángulo central en 13º y el radio se incrementa en "x", se genera un nuevo sector circular cuya área es igual a la del sector original. Calcular "x".

Unidad II

81


11. En el gráfico mostrado, señala el área del sector circular AOB.


A

x2+1 O

1 +x 8

x rad

2u O

B

12. Del gráfico, calcular:

S2

2u

F 3u

S1

x

E

D

S4

S2 S3

A

D 4

O 3

82

S

S1

3

Colegios

14S

S2=6u2 y S3=5u2

13. Calcular el área de la región sombreada.

TRILCE

B

C

15. Del gráfico mostrado, calcular "S4", si: S1=18u2;

S1

S2

3

A

3u

x

C

3

B

www.trilce.edu.pe


3

Miscelánea

¿Cómo sacar el máximo provecho en el aula? Observa, escucha y toma nota. Observa atentamente lo que escribe el profesor en la pizarra y escúchalo con atención porque si pierdes algún paso de la explicación, te confundirás y no comprenderás lo explicado. Si te distraes: mirando por la ventana, charlando con tu compañero, pensando en la hora, jugando con tu celular, etc., perderás el tiempo. También debes tomar apuntes necesarios, no todo. Debes guiarte por expresiones como: “El punto siguiente es muy importante…”, “Asegúrense de recordar que…” “No olviden este detalle…”, etc. Lee cinco o diez minutos antes que el profesor aborde un nuevo tema, pues te ayudará a comprender. Debes anotar también los puntos que no entiendes durante la lectura previa para que el profesor te los aclare.

Central: 619-8100

Unidad II

83

Miscelánea

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. En un sector circular, la longitud del arco es 4p cm y el ángulo central mide 50g. ¿Cuánto mide su radio? a) 14 cm d) 12

b) 15 e) 8

c) 16

a) 1 d) 4

b) 1,2

d) 1,6

e) 1,3

1 3 1 d) 2

b)

O1

40º

18 B 6 6

A

2 5

c)

3 5

a) 2p

b) 4p

d) 8p

e) 10p

A C

L1

x

O

L2

40º 30º

A

a

2

C 1 B

D

b) 1,8 e) 2,6

5. En el gráfico, calcular: A

L1 C

3 O Colegios

84

TRILCE

36º

c) 2

b

c)

1 4

8. Del gráfico, calcular "θ" 6

C

L2

O

1 π rad 3 2π d) 3

a)

A

4π

θ D

B

D

B

b)

L1

L2

3x

1 2 1 e) 3

a) 1 d) 2

L2 D

a) 1, 6 cm d) 2,5

c) 6p

a b

7. De la figura, hallar:

L1 O

60º O2

e) 1

4. En el gráfico, calcular :

C

18

c) 1,25

3. En un sector circular, el ángulo central mide 40g y su arco correspondiente "L1". Si aumentamos el ángulo central en 9º y duplicamos el radio, el L1 nuevo arco sería "L2 ". Calcular: L2 a)

c) 3

6. En la figura se muestra un camino que consta de dos arcos con sus datos claramente indicados. Determina la longitud de dicho camino.

2. En un sector circular, el radio y el arco están representados por dos números enteros consecutivos. Si el perímetro del sector es 13 cm, ¿cuánto mide el ángulo central de dicho sector? a) 1,5 rad

b) 2 e) 5

π 6 π e) 5 b)

6π

6

B

c)

π 9

www.trilce.edu.pe


9. En un sector circular, el ángulo central mide 50g y su radio 8 cm. ¿Cuál es su área? a)

cm2

b) 4π

d) 6π

13. De la figura, hallar el área del sector circular sombreado. 8

c) 8π

e) 2π

11

7

10. En un sector circular, el área es 20 cm2. Si triplicamos el radio y el ángulo central se reduce a la mitad, se genera un nuevo sector circular cuya área es: cm2

a) 40

b) 80

d) 45

c) 160

e) 90

8

a) 36 cm2

b) 40

d) 49

e) 56

O

C

O

S

b) 5π 3 e) 5p

c) 10π 3

12. De acuerdo al gráfico, calcular:

S1

a) 8

b) 9

d) 15

e) 18

S2

C O

qrad

S1

a) 15 8 64 d) 45

Central: 619-8100

D

b) 2 e) 15 16

a) 1

b) 2

d) 4

e) 6

3

A

2 D

C 1 B

3 S2

c) 12

15. Si en el gráfico, AOB es un sector circular al igual que COD, calcular "θ" cuando la longitud del arco AB tome su máximo valor entero.

A

36º 45º

x

B

D B

O

3S

6 C

62

d) 30p

A D

20º

a) 10p

c) 42


11. A partir del gráfico mostrado, calcular el área de la región sombreada. A 23

3

3

B c) 3

c) 21 8

Unidad II

85

Miscelánea 18:10:45

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Calcular la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 75º en una circunferencia de 24 m de radio. 2. En un sector circular, el ángulo central mide 70 g y el radio 40 m. ¿Cuánto mide el arco? 3. En un sector circular, el radio y el arco están representados por dos números enteros consecutivos. Si el perímetro del sector es 16 cm, ¿cuánto mide el ángulo central de dicho sector? 4. En un sector circular, el arco mide 80 cm. Si el ángulo central se reduce a su tercera parte y el radio se triplica, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide: 5. En el gráfico, calcular:

L1

8. Del gráfico, calcular "θ". A 4

L

θ

O

C

B

20º

L

5 D

9. En un sector circular, el ángulo central mide 40g y el radio 10 cm. ¿Cuál es su área? 10. El área de un sector circular es 3≠ cm2 . Si duplicamos el radio y triplicamos el arco, se genera un nuevo sector circular cuya área es: 11. De acuerdo al gráfico, calcular:

L2

A

S1 S2 A

L1 O

40g

50g

S1

C 1 B

2

36º 45º

O

L2

4

C 2

B

2S

x

S2

D

D 6. En la figura se muestra un camino que consta de dos arcos con sus datos claramente indicados. Determina la longitud de dicho camino.


C

O1 20º

10

5

B

10

5

S

O

9

60º O2

A

13. Del gráfico, calcular el área sombreada. 4

7. En el gráfico, calcular "L" 80

10g

L

2π

80 Colegios

86

TRILCE

O

q

S

5p cm

7p cm

4 www.trilce.edu.pe


14. De la figura, hallar el área del sector circular sombreado. A 6 D 4

O C

Central: 619-8100

15. Se tiene un sector circular de área "S", si se disminuye el arco en 20% y se aumenta el radio en 40%, entonces el área del nuevo sector es:

3

10

6

B

Unidad II

87

UNIDAD III

DISTANCIÓMETRO TLM-300 El distanciómetro TLM-300 es una herramienta profesional ideal para medir con precisión distancias entre paredes, para determinar alturas o para calcular superficies y volúmenes.

AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Interpretar el significado de las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Resolución de problemas • Resolver problemas con razones trigonométricas de ángulos agudos. Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas • Identificar y calcular razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.


1

Razones trigonométricas de un ángulo agudo I

¿Qué instrumento de medición de longitud usarías ahora: la cinta métrica, la regla graduada o el distanciómetro, porqué? ¿Qué dificultad crees que existe al usar este instrumento?

El distanciómetro El distanciómetro es también ideal para el equipamiento de interiores, tanto en el sector industrial como en el profesional o artesanal. El distanciómetro se destaca por sus múltiples funciones de medición. Se puede utilizar tanto en edificios como en las calles. El distanciómetro TLM-300 es ligero, resistente, compacto y tiene un manejo muy sencillo que facilita las tareas de medición y control en las edificaciones. Los menús de comandos y las aplicaciones son sencillos y eficientes. Está especialmente indicado para profesionales en estructuras exteriores e interiores.

Central: 619-8100

Unidad III

89


Conceptos básicos Definición Es el cociente entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, respecto de uno de sus ángulos agudos.

cateto opuesto

Tomando en cuenta el ángulo "a".

usa

n ote

hip a

cateto adyacente

Razón trigonométrica

• seno de alpha

Definición

sen a =

longitud del cateto opuesto de "α" a longitud de la hipotenusa

• coseno de alpha

cos a =

longitud del cateto adyacente de "α" a longitud de la hipotenusa

• tangente de alpha

tan a =

longitud del cateto opuesto de "α" a longitud del cateto adyacente de "α" a

• cotangente de alpha

cot a =

longitud del cateto adyacente de "α" a a longitud del cateto opuesto de "α"

• secante de alpha

sec a =

longitud de la hipotenusa a longitud del cateto adyacente de "α"

• cosecante de alpha

csc a =

longitud de la hipotenusa longitud del cateto opuesto de "α" a

Es importante observar que las razones trigonométricas son cantidades numéricas o adimensionales (no poseen unidades)

Colegios

90

TRILCE

www.trilce.edu.pe


1

Aplicación sen a = c b cos a = a b

A

tan a = c a

b

c

a

B

cot a = a c

sec a = b a

C

a

Ejemplo

csc a = b c

A

Resolución

Nos falta determinar el lado "a" y lo encontraremos

13

5

aplicando Pitágoras. 52 + a2 = 132 ; Por lo tanto: a=12. a

B

Ejemplo

En la figura, determine las seis razones trigonométricas de "a".

C

a

Entonces: sen a = 5 13

cos a = 12 13

tan a = 5 12

cot a = 12 5

sec a = 13 12

csc a = 13 5

Regla práctica para recordar las razones trigonométricas

SOH

Cateto opuesto

A

B

CAH

TOA

Hipotenusa cos θ = θ Cateto adyacente

Central: 619-8100

C

sen θ =

cat. op. hip

cat. ady. hip tan θ =

cat. op. cat. ady.

Unidad III

91


Definición Definición

Definición

Definición

se nombran

es la

Definición

Definición

Síntesis teórica

Colegios

92

TRILCE

www.trilce.edu.pe


1

Problemas resueltos 1. En un triángulo rectángulo ABC (A = 90º), se cumple que: cot C + cot B = 4 Calcule: M = 16 sen B . sen C . cos B . cos C a) 1 4

b)

1 2

c) 1

d) 2

e) 4

Resolución: cot C + cot B = 4 & b + c = 4 " b2 + c2 = 4 bc ; c b

C a

B

pero: b2 + c2 = a2 & a2 = 4bc

b

2 2 2 2 Luego: M = 16 c b m` c j` c jc b m & M = 16 e b .c o = 16 e b c o a a a a a4 16b2c2

A

c

` M =1

2. Siendo el triángulo rectángulo ABC (recto en "B") además: a=1 y c=4. Hallar: R = cos2 A − sen2A

2 7 Resolución: a)

b) 1

c)

15 17

d)

1 17

e) 2

y2 = 42 + 12 y2 = 16 + 1

C

y = 17

y = 17

a=1

Reemplazando en:

B

R = cos2A − sen2A

A

c=4

2 2 R = c 4 m − c 1 m " R = 15 17 17 17

3. En un triángulo rectángulo, si la hipotenusa es el doble de la media geométrica de los catetos, calcule la suma de las tangentes trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo. a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

Resolución: Si: c = 2 ab b c

a

a b

2 2 Se pide: E = tan α + tan β → E = a + b = a + b b a ab

Pero: a2 + b2 = c2 " E = 4 ab = 4 ab

Central: 619-8100

Unidad III

93


4. En la figura adjunta, se cumple que: AB = BC . Calcular: cot θ − csc φ 4 3 A

13

D

b) 5 4

a) 3 4 Resolución:

φ θ

B

C

12

c) 7 4

d) 9 4

e) 11 4

Si: AB BC & AB 44K k ; BC=3K BC = 3K = = 4 3 Pitágoras en DBC: DB2 = 122 + (3K)2 = 122 + 9K2 Pitágoras en DBA: 132 = 122 + 9K2 + 16K2 25 25 K2 & K 1 = =

cot θ = 12 = 12 = 4 ; csc φ = 13 = 13 =&13 cot θ − csc φ = 4 − 13 = 3 4 BC 3 AB 4 4 4

2 5. En un triángulo rectángulo ABC (C=90º), si: senB+secA= +senA . cotB 3 halle: E = cot2 B + sec2 A a) 13

b) 15

c) 17

d) 19

e) 21

Resolución: sen B + sec A = 2 + senA cot B 3 A A

b b+ +c c= =2 2+ +a a.a a c c b b 3 3 c cb b

c=3

b2 + c2 − a2 = 2 c"2 = 2bb22 = + a22 " b = 1 c 3 bc 3 bc 3

b=1

C

B

a= 2 2 2 2

2

2 E = c 2 2 m + ` 3j 1 1

E = 8 + 9 = 17

Colegios

94

B

2 = b2 + a2 " b = 1 c14243 c 3

TRILCE

www.trilce.edu.pe


10 x 5 50

1

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Relacionar mediante flechas las dos columnas: cateto adyacente hipotenusa

sen b

cateto opuesto cateto adyacente

cos b

cateto opuesto hipotenusa

sec b

tan b

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda, de acuerdo al gráfico: • sec b = m ... ( ) p p

m

• cos b = n ... ( ) p • cot b = m ... ( ) n

b n

3. En los círculos, colocar <; >; = según corresponda: • sec b

sen a

• cos a

tan b

• csc b

cot a

b 17

8

a 15

4. En la figura mostrada, si: cos θ = 3 , determinar a qué distancia de la pared sobre el suelo se encuentra 4 la escalera.

4 m θ

Central: 619-8100

Unidad III

95


36 m

5. En la figura, determinar "x".

x b

b

24 m

28 m

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. En la figura mostrada, determinar: E = sen a + cos a

40 b

5

41

a

12

a) 17 13 d) 12 13

b) 7 13 e) 1 13

c) 5 13

a) 10 29 16 d) 29

8 a 15

b) 23 17 e) 5 17

c) 7 17

3. De la figura, determinar: E = cot b + – csc b

a) 1

25

b) 7

d) - 7 e) - 1 24 7 4. De la figura, determinar: E = sec b – tan b Colegios

96

TRILCE

c) 41 40

b) 12 29 18 e) 29

c) 14 29

6. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 3 y 5 cm. Determinar el producto de los cosenos de sus ángulos agudos. a) 9 34 d) 15 34

b) 11 34 e) 17 34

c) 13 34

7. En un triángulo rectángulo, los lados mayores miden 7 y 5 cm. Determinar el producto de los senos de sus ángulos agudos.

24

b

b) 47 41 4 e) 5

5. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 2 y 5 cm. Determinar el producto de los senos de sus ángulos agudos.

2. En la figura mostrada, determinar: E = cos a – sen a

a) 16 17 d) 2 17

a) 40 41 5 d) 4

c) 17 24

a) 10 6 49

b) 12 6 49

d) 16 6 49

e) 18 6 49

c) 14 6 49

8. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 1 y 3 cm. Determinar el seno de su mayor ángulo agudo. www.trilce.edu.pe


a)

3

10 1 d) 3

b)

1 10

c)

1

a) 1

b) 2

29

d) 4

e) 5

6 29

e)

9. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 2 y 7 cm. Determinar el coseno de su menor ángulo agudo. a)

7 53

d) 7 2

b) 2 53 e) 6

c) 2 7

11 6 2 6 d) 7

34

b)

5

6 e) 7 11

c)

b) 2

d) 4

e) 5

13. En un triángulo rectángulo ABC (BB=90º); simplificar: Y = b sen A + c cot C a a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

15. En un triángulo rectángulo ABC (BB=90º); simplificar: Y = ( 2c csc A + b tan C ) cos C c

11 5

11. En un triángulo rectángulo ABC (BB=90º); simplificar: K=2 sen A . sec C – 1 a) 1

c) 3

14. En un triángulo rectángulo ABC (BB=90º); simplificar: Y = b cos A + a tan C c

10. En un triángulo rectángulo, los lados mayores miden 6 y 5 cm. Determinar la tangente de su menor ángulo agudo. a)

1

c) 3

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3


12. En un triángulo rectángulo ABC (BB=90º); simplificar: L = 3 cos A . csc C – 1

16. Del gráfico, determinar la longitud de la rampa, si: sen θ = 0, 19 y H=0,57cm

Rampa

θ

Central: 619-8100

H

Unidad III

97


17. En el gráfico mostrado, determinar el seno y el coseno del ángulo que forma la escalera y su proyección sobre el piso. 177,0cm

388,6cm

18. Los ojos de un jugador de baloncesto están a 6 pies del piso. El jugador se encuentra en la línea de tiro libre que está a 15 pies del borde de la canasta (véase figura). Si tan θ = 0, 24 ,determinar que tan alejado se encuentra el jugador de la canasta.

q

350,6cm

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Si "a" y "θ" son los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, calcular el valor de la expresión: V = csc2 α - 2 sec θ , sabiendo que: tan θ = 2 sec α a) 0,5

b) 1

c) 0

d) 2

e) 4

d) 7 5

e) 1

2. Del triángulo rectángulo mostrado, hallar: sen a + cos a a

x–3

x–4

x–5 a) 1 2

b) 12 5

c) 1 5

3. En un triángulo isósceles ABC, AB=AC y cos A = 0,6. Calcular: Tan B b) 1 2

a) 2

c) 4 3

d) 4 5

e) 3 4

d) 2 2

e) 3+ 2

4. En un triángulo rectángulo ABC (B=90º), se cumple: tan A + tan C = 8 . Determinar: E = cot2 A + 2 (cos C) sen A sec A - sen C a) Colegios

98

2

TRILCE

b) 2

c) 2+ 2

www.trilce.edu.pe


5. Del gráfico, determinar "cot θ", si el cuadrilátero es un cuadrado y el arco corresponde a una media

1

circunferencia.

θ a) 1 + 2 5 2

b) 2 + 5 2

c) 1 + 5

d) 1 + 5 2

e) 2 + 5 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. En la figura mostrada, determinar: E = sen a + cos a 5 3

7. En un triángulo rectángulo, los lados mayores miden 7 y 6 cm. Determinar el producto de los senos de sus ángulos agudos.

a 2. En la figura mostrada, determinar: E=cotα+cscα

8

8. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 3 y 2 cm. Determinar el producto de los cosenos de sus ángulos agudos. 9. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 2 y 5 cm. Determinar el coseno de su mayor ángulo agudo.

a

15 3. De la figura, determinar: E = sec b - tan b 7 b

25 4. De la figura, determinar: E=cscβ - cotβ

10. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 1 y 4 cm. Determinar la secante de su menor ángulo agudo. 11. En un triángulo rectángulo, los lados mayores miden 4 y 3 cm. Determinar la tangente de su mayor ángulo agudo. 12. En un triángulo rectángulo ABC (BB=90º); simplificar: K=3cotA.cotC+1 13. En un triángulo rectángulo ABC (BB=90º); simplificar: L = cosA.cscC+2

40 b

41 5. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 3 y 5 cm. Determinar el producto de los senos de sus ángulos agudos. Central: 619-8100

6. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 3 y 4 cm. Determinar el producto de los cosenos de sus ángulos agudos.

14. En un triángulo rectángulo ABC (BB=90º); 4b cosA - a tanC simplificar: P= c 15. En un triángulo rectángulo ABC (BB=90º); 2c secA + a secC senA simplificar: M= a Unidad III

99

2

Fórmula Razonesdetrigonométricas conversión de sistemas de un ángulo agudo II

Razones trigonométricas de un ángulo agudo II

¿Para qué crees que se aprende trigonometría en los últimos grados del colegio? En sus inicios, ¿cómo se aplicó la trigonometría? En la actualidad ¿en qué áreas se aplica la trigonometría?

Retrospectiva de la trigonometría A diferencia de la aritmética, el álgebra y la geometría que alcanzaron gran desarrollo desde la época de los babilonios, los egipcios y los griegos, la trigonometría solo logra su madurez en los últimos siglos de nuestra era. Y esto es muy aplicable, pues para desenvolverse plenamente necesita de una geometría ya razonada y, sobre todo, de un álgebra sin titubeos, para darle toda la flexibilidad y todo el vuelo que la trigonometría es capaz. Según el diccionario de la Real Academia de la Lengua Española, la trigonometría es: "Estudio de las relaciones numéricas entre los elementos que forman los triángulos planos y esféricos". Etimológicamente, la palabra procede del griego clásico y significa medición de triángulos. La importancia de esta rama, radica, fundamentalmente, en la medición de campos, la ubicación de barcos en el mar o, más recientemente, el posicionamiento por satélite, e, incluso, la medición de distancias entre estrellas próximas en astronomía. Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrolló a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo de los calendarios.

Colegios

100

TRILCE

www.trilce.edu.pe


5

Conceptos básicos Propiedad fundamental de las razones trigonométricas Las razones trigonométricas de un ángulo agudo dependen únicamente de la variable angular sin tomar en cuenta las dimensiones del triángulo rectángulo. Como todos los triángulos rectángulos que tienen un ángulo de medida "q" son semejantes, los valores de las razones trigonométricas dependen únicamente de la amplitud del ángulo agudo, es decir, es independiente de las longitudes de los lados del triángulo. A D G

θ

B

E

C

F

En la figura se observa que los triángulos rectángulos ABC, EDC, GFC son semejantes esto es: ABC ~

EDC ~

GFC:

& AB = DE = GF = tan θ también se podría plantear: AB = DE = GF = sen θ y si usamos otra razón BC CD FC AC CE GC

Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es "θ", donde: sen θ = 5 , 13 indicar en cada caso el valor de "x". A G

D

θ x

30

x

60 θ

E

B

10

→

• senθ=

5 10 = 13 x

→

x=26

Central: 619-8100

θ

F

C

C

10 x

• senθ=

C

x

Ejemplo

Ejemplo

trigonométrica BC = DC = FC = cos θ . AC CE GC

30 x

• senθ=

5 30 = 13 x

→

x=78

60 x

5 60 = 13 x

x=156

Unidad I

101


Definición Definición Definición

son tres

Definición

se ordenan

depende

Definición

son tres

Definición

Síntesis teórica

Colegios

102

TRILCE

www.trilce.edu.pe

Trigonometría

2

Problemas resueltos 1. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B") se cumple: senA = 3senC. Determina: H = (10 sen2A + csc2C + 2 tan A) a) 5

b) 15

c) 20

d) 25

e) 10

Resolución: Como: sen A = 3 sen C Reemplazando: a = 3c " a = 3c b b

A A

Por lo tanto: a=3k; c=k

b

c

Aplicando Pitágoras: b = 10 k

B

C

a

C

Reemplazando: 2

2

3k H = e10 c 10 k m + c 10 k m + 2 c 3k mo k k

Efectuando operaciones: H = 25

2. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B") se cumple: tan A = 5 tanC Determina: H = (6 sen2A + csc2C + 5 tan A) a) 15

b) 16

c) 17

d) 18

e) 19

Resolución: Como: tan A = 5 tan C Reemplazando: a = 5 ca " a2 = 5c2 c

A A

B

de donde: a =

b

c

C a

5 c ; por lo tanto: a = 5 k ; c=k

Aplicando Pitágoras: b = 6 k C

Reemplazando: H = e6 c

2 5k m +c 6k

2

6 km + k

5 c 5 k mo k

Efectuando operaciones: H = 16

Central: 619-8100

Unidad III

103


3. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º) se cumple que: sen A + 1 sen C - 1= 0 . 2 Hallar: E = tan A + csc C − 2 a) 0

b) –1

c) –2

d) 2

e) 1

Resolución: A

sen A + 1 senC=1 c =1 2

A

C

B

2a + 1 c = 1 → 2a+c=2b " c= 2 (b - a) 2b 2 b

b

c

a

c (a + b) = 2 (b2 - a2) ............ (b2=c2+a2)

C

` a + b = 2c

E = tan A + csc C – 2; E = a + b − 2 ; E = a + b − 2 c c c ` E = 2c − 2 " E = 0 c

4. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º), si: tan C = 8 ; a – c = 21, 15 calcular el perímetro del triángulo. a) 90

b) 120

c) 150

d) 75

e) 136

Resolución: A

Se pide: 2p = 17k + 8k + 15k = 120

b=17k

C

8k=c B

a=15k

Si: a – c = 21; 7k=21; k=3

5. En un triángulo rectángulo ABC (B=90º), si: sen A = 12 y a – c = 28, 13 calcular la superficie del triángulo. a) 90

b) 120

c) 150

d) 75

e) 136

Resolución: A

Si: a – c = 28; 7k=28; k=4 Por lo tanto los lados son:

b=13k

5k=c

a=12k " a=48 b=5k " b=20

C

B

de donde: S ABC = 48 x 20 2 Entonces: S ABC = 480

Colegios

104

a=12k

TRILCE

www.trilce.edu.pe

Trigonometría

10 x 5 50

2

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Relacionar mediante flechas las dos columnas:

seno

hipotenusa cateto adyacente

secante


tangente


2. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda: m ... ( ) • csc b = n pp p

m

• sen b = m ... ( ) p • tan b = m ... ( ) n

b n 3. En los círculos, colocar si es <; >; = según corresponda:

• sec b

sen a

• cos a

tan b

• csc b

cot a

b 13

12

a 5

4. Indicar cuál de los siguientes valores es mayor y justifique su respuesta: I. sen 50°

II. cos 50°

5. ¿Cuál de las siguientes fracciones es una razón trigonométrica? a)

cateto opuesto mediana

Central: 619-8100

b)


c)

cateto adyacente altura

Unidad III

105


sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. En un triángulo rectángulo, uno de los catetos es igual al doble del otro. Si el menor de los ángulos agudos mide "β", calcular: 5 C= secβ+tanβ a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

2. En un triángulo rectángulo, uno de los catetos es igual al triple del otro. Si el menor de los ángulos agudos mide "θ", calcular: C= 10secθ - tanθ a) 1

b) 2 1 e) 3

d) 3

c)

1 2

3. E n un triángulo rectángulo, uno de los catetos es la tercera parte de la hipotenusa. Si el mayor de los ángulos agudos mide "φ", calcular: C= 2tanφ+secφ a) 2

b) 4

d) 5

e) 7

3

d) 4 3

b) 2 3

c) 3 3

e) 5 3

 =90º), se sabe 5. En un triángulo rectángulo ABC (B que: senA=4senC. Calcular: 2 2 E=sen A - cos A a) 1 15 d) 17

b) -1 8 e) 17

a) 1

b) 2

d) 0,5

e) 2,5

c)

5 17

c) 1,5

 =90º), se sabe 8. En un triángulo rectángulo ABC (B 2 que: senA= . Calcular "senC" 3 a)

3 2

b)

5 2

d)

5 3

e)

1 2

c)

1 3

 =90º), se sabe 9. En un triángulo rectángulo ABC (B 3 que: tanA= . Calcular "secC". 2 a)

5 2

b)

5 3

d)

13 2

e)

13 6

c) 6

4. En un triángulo rectángulo, uno de los catetos es la cuarta parte de la hipotenusa. Si el mayor de los ángulos agudos mide "α", señale el valor de: 1 C= tanα+ 3secα 5 a)

 =90º), se sabe 7. En un triángulo rectángulo ABC (B que: tanA = 9tanC. Calcular: E=2sen2A - 3sen2C

c)

13 3

 =90º), se 10. En un triángulo rectángulo ABC (B 3 sabe que: senA= . Calcular el perímetro del 5 triángulo, si: AB=8 cm. a) 12 cm

b) 16

d) 24

e) 30

c) 18

 =90º), se 11. En un triángulo rectángulo ABC (B 12 sabe que: tanA= . Calcular el perímetro del 5 triángulo, si: AB=15 cm. a) 120 cm

b) 90

d) 30

e) 45

c) 60

 =90º), se sabe 6. En un triángulo rectángulo ABC (B que: cosA=2cosC. Calcular: E=5cos2A+1 a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

Colegios

106

TRILCE

c) 3

www.trilce.edu.pe

Trigonometría

12. En el gráfico, determinar: GG . cotβ β tanααcot ==tan

15. De la figura, determinar: E=(senβ.cscα)-1

2

B

B 40

a

b

b 3 D

A

41

4

a) 7 3

b) 3 7

d) 2 3

e) 1 3

a

A

C

c) 5 3

13. En la figura mostrada, determine: EE==tan tanαα.tan tanββ B

C

a) 32 41

b) 35 41

d) 39 41

e) 40 41

c) 41 40

16. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se cumple: sec A - cos A = 8 sec C - cos C 27 Determinar: G = (4 csc2 A - 9 tan2 A) tan C - 1

b

A

8

D

a) 16 15

b) 8 15

d) 2 17

e) 15 8

7

a

c) 7 8

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

e) 5

H 1

a) 120 cm

b) 260

d) 200

e) 360

c) 300

18. En un triángulo rectángulo, los números de las longitudes de sus lados son: 8; (x+5) y (x+9). Hallar el seno del mayor de los ángulos agudos.

a 5

d) 4

c) 3

longitud de la hipotenusa.

B

A

b) 2

17. La secante de uno de los ángulos agudos de un 13 . Si la suma de las triángulo rectángulo es 5 longitudes de los catetos es 340 cm, calcular la

C

14. De la figura, determinar: E=cotβ.tanα

b

a) 1

C

c) 3

a) 3 5

b) 4 5

d) 13 15

e) 15 17

c) 3 4

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 19. En la figura se muestra el perfil de la instalación de tuberías de combustible. Si el punto "A" se encuentra a 10m de la superficie, calcule la suma de las alturas a la que se encuentran los puntos "B", "C" y "D" sabiendo que las pendientes de las tuberías de AB, BC y CD son 2%; 3% y 1% respectivamente.

D C A

Central: 619-8100

B

Unidad III

107


20. En el deporte de ala delta, el profesor aconseja al alumno que comience saltando desde una peña no muy alta; por ejemplo 10 metros. Al llegar a tierra observa que la distancia horizontal recorrida es de 80 metros. A medida que el alumno se vuelve más experto va saltando desde peñas más altas. Suponiendo que el comportamiento del ala delta es siempre el mismo, ¿qué distancia horizontal recorrerá cuando se lance de una altura de 20 metros? En la siguiente tabla expresamos la altura y la distancia horizontal de cada vuelo, completa los datos que faltan y determina la relación que existe entre la altura de la roca desde que se lanza y la distancia horizontal en términos de una razón trigonométrica. Altura

Distancia horizontal

10m

80m

20m

160m

30m

240m

45m 1 km

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Calcule "sec θ"

θ

2ab

a

b a) 1

b) 2

2. De la figura, calcular:

c)

2

d) 2 2

e) 3

d) 2 2

e) 9 5

34 sen θ θ

3 5 a) 1

Colegios

108

TRILCE

b) 2

c)

2

www.trilce.edu.pe

Trigonometría

3. En la figura mostrada, determinar "tan θ", si: AB=1 y DE=27 C

D

E a)

1 27

θ F

b) 1 9

2

c) 1 3

B A

d) 3

e) 9

4. Del gráfico, determinar: Y = tan α . tan β D

C b

E

A a) 1

a

G

b) 2

B

F d) 1 2

c) 3

e) 1 3

5. Del gráfico mostrado, obtener el valor de: F = 2 cos θ + cot θ , sabiendo que: AD=BC y "O" es centro. A C D θ B

O a) 1 2

Central: 619-8100

b) 1

c) 1 3

d) 2

e) 3

Unidad III

109


socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. En un triángulo rectángulo, un cateto es igual al doble del otro. Calcular la secante del menor ángulo agudo del triángulo.

11. Del gráfico, calcular: P=tanα . cotθ

2. En un triángulo rectángulo, un cateto es la tercera parte del otro. Calcular el coseno del mayor ángulo agudo del triángulo. 3. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es el triple de un cateto. Si el mayor de los ángulos agudos mide "θ", calcular "cos2θ"

α A

θ 5

D

6. Siendo "α" un ángulo agudo, tal que: senα=1; 3 calcular "cotα"  =90º), se sabe 7. En un triángulo rectángulo ABC (B que: senA=2senC. Calcular: E=tanA+2tanC  =90º), se sabe 8. En un triángulo rectángulo ABC (B que: tanA=9tanC. Calcular "senA".  =90º), se sabe 9. En un triángulo rectángulo ABC (B que: cotA=4cotC. Calcular: 2 2 M=7cos A+2cos C

2

B

12. Del gráfico, calcular: M=tanα.cotβ

C

α 2

4. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa y un cateto están en la proporción de 3 a 2. Calcular el seno del mayor ángulo agudo del triángulo. 5. Siendo "θ" un ángulo agudo, tal que: cosθ=2; 3 calcular "tanθ"

C

β A

D 3 B

 =90º), se sabe 13. En un triángulo rectángulo ABC (A 2 que: senB . senC= . Hallar: tanB+tanC 9 14. La cosecante de uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 41 . Si la suma de las 40 longitudes de los catetos es 245 cm, calcular la longitud de la hipotenusa. 15. El perímetro de un triángulo rectángulo es 288 cm. 3 Si la tangente de uno de los ángulos agudos es , 4 ¿cuánto mide el cateto menor?

 =90º), se sabe 10. En un triángulo rectángulo ABC (B 13 que: secA= . Si el perímetro del triángulo es 5 60 cm, hallar la hipotenusa.

Colegios

110

TRILCE

www.trilce.edu.pe


3

Razones trigonométricas de ángulos notables F co t excsc cvs

csc

sin

A tan

sin

θ

C

O cos versin

D

exsec

E

sec

1 B

¿Cuáles son las medidas de los lados del triángulo sagrado? ¿Cómo se aplicó el triángulo sagrado en las construcciones? ¿Por qué se le llamó triángulo "isíaco"?

Triángulo sagrado egipcio También llamado triángulo egipcio, es el nombre moderno dado a un triángulo rectángulo cuyos lados tienen las longitudes 3; 4 y 5 o cuando sus medidas guardan estas proporciones. Es el triángulo rectángulo más fácil de construir y, posiblemente, se utilizó para obtener ángulos rectos en las construcciones arquitectónicas desde la más remota antigüedad. El triángulo rectángulo semejante, de 15; 20; 25 codos egipcios, se empleó en el antiguo Egipto y fue llamado "isíaco" (de la diosa Isis).

Central: 619-8100

El "triángulo egipcio", de medidas 3; 4 y 5

Unidad III

111

Razones trigonométricas de ángulos notables

Conceptos básicos Razones trigonométricas de 45º Sean los catetos del triángulo rectángulo ABC: AB=BC=L. Por el teorema de Pitágoras:

AC2 AC2

=

AB2

+

=

L2

L2

+

BC2 =

Luego, calculamos las razones trigonométricas del ángulo de 45º.

A 45º

2 L2

L 2

L

2L2 =

AC =

2L

` AC = L 2

45º

B

L

C

c = sen45 45º= sen

2 2

csc 45º= 45c = 2

cos cos 45º= 45c =

2 2

c= 2 45º= sec 45

tan 45º = 1

cot 45º = 1

Razones trigonométricas de 30º y 60º Para hallar las razones trigonométricas de 30º y 60º, construimos un triángulo equilátero. Veamos en el triángulo rectángulo ABC, calculamos BC, por el teorema de Pitágoras.

AC2 = AB2 + BC2 (2L) 2

(L) 2

=

+

(BC) 2

Luego, calculamos las razones trigonométricas del ángulo de 30º y 60º.

A 60º

c = 1 =cos sen3030º= sen 60c = Cos60º 2

2L

L

c = 2 3 =csc cos30º= 30º= cos 30c = 3 =sen 60c sec 30 60c = Csc60º = Sen 60º 2 3

3L2

BC =

` BC =

3L=L 3

30º

B

L 3

csc 30º=2=sec 60º

C

tan tan 30º= 30c =

3 =cot60º = Cot 60c cot cot 30º= 30c = 3 =tan 60c = tan 60º 3

Razones trigonométricas de 37º y 53º Según lo leído en la primera parte sobre el triángulo Isíaco su formación es práctica aunque es un triángulo de ángulos agudos aproximados. Porque estos miden 36º52'12" y 53º7'48,37". A 53º 3L

B

Colegios

112

TRILCE

5L

37º 4L

C

c= 3 = c sen 37 37º= =cos 53º cos 53 5

c csc 37º= =sec 53º 37c = 5 = sec 53 3

c= 4 = c =sen 53º cos 37 37º= sen 53 5

c = 5 =csc sec 37 37º= 53c = csc 53º 4

c = 3 =cot tan 37 37º= 53c = cot 53º 4

c = 4 =tan cot 37 37º= 53c = tan 53º 3

www.trilce.edu.pe


Regla nemotécnica

Seno

30º

45º

60º

1

2

3

3

2 3

Coseno

2

1

2

Tangente

1

2

3

3

2

1

Síntesis teórica

de

lados

lados

Central: 619-8100

lados

Unidad III

113


Problemas resueltos 1. Calcular el valor de : 2 2 G = sen 60c sec 45c + sen 45c cot 30c cos 45c tan 60c

a) - 3 3 2

b) 3 3 2

c) 3 2 2

d) - 3 2 2

e) 1

Resolución: Sabemos que: sen 60c =

3 2

sec 45c = 2

cot 30c = 33 3

cos 45c =

sen 45c =

2 2

2 2

tan 60c = 3

Reemplazando dichos valores en la expresión: 2

G=

c 3m 2

2 ^ 3 2h 3 2+3 2 9 2 3 2 4 2 4 " G= " G= " G= 3 3 2 2. 3 2 .3 3 2. 3 3 3 2 2 2

2+

2. Si "x" es un ángulo agudo y se cumple que: cos (3x − 60c) =

3 tan 45c 2

cos (x + 30c)

Determinar: H = `sec2 (2x) + 3 tan ( 3x ) + 2 3 cos x − 1j 2 a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Resolución: De la condición, recordemos que: tan 45º = 1; entonces: cos (3x − 60c) = Es decir: cos (3x - 60c) =

3 (1) 2

3 ; de donde: 3x - 60º = 30º " x=30º 2

Reemplazando en "H": H = (sec260c + 3 tan 45c + 2 3 cos 30c - 1) cos (60c) sec 60º = 2 (2) 2

H= c

Colegios

114

TRILCE

cos 30c =

tan 45º = 1

3 2

cos 60c = 1 2

1

+ 3 (1) + 2 3 ( 3 ) - 1m 2 " H = 3 2

www.trilce.edu.pe


3. De la figura, calcule: cot f

3

B

M

f

A

a) 1

b) 2

45º

c) 3

C

d) 4

e) 5

Resolución: B 2

2 2

1

f

A

cot φ = 3

M 45º

3

2

45º 1

C

4. Del gráfico mostrado, hallar el valor de "tan θ", si ABCD es un cuadrado. D

E a)

3 4

b)

37º

C

θ

A

3 7

c)

B 4 7

d)

3 5

F e)

3 8

Resolución: De la figura:

C

D

FBC de 37º y 53º, lados: BC=4n, BF=3n y FC=5n. Como ABCD es un cuadrado:

37º 4n

" AB=AD=4n, por lo tanto en el

4n

DAF: E

37º A

4n

B

3n

θ

F

tan θ =

4n " tan θ = 4 4n + 3n 7

Central: 619-8100

Unidad III

115


10 x 5 50

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Relacionar mediante flechas las dos columnas. sen 30º

3 3

sec 30º

1 2

tan 30º

2 3 3

2. Relacionar mediante flechas las dos columnas. sen 45º

2 2

sec 45º

1

tan 45º

2

3. En los círculos colocar "<"; ">"; "=" según corresponda: • sen 37º

sen 30º

• cos 37º

tan 60º

• csc 37º

cot 30º

4. Indique cuál de los siguientes valores es mayor y justifique su respuesta: a) csc 53º

b) csc 45º

c) csc 60º

5. De la figura, indicar cual de las relaciones es correcta y cual es incorrecta. B • BC < AB . ............................................ ( ) • BH > HC . ............................................ ( ) A

Colegios

116

TRILCE

60º H

• AH < BH . ............................................. ( ) C

www.trilce.edu.pe


3

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Calcular:

8. En la figura mostrada, determinar "AC"

C = (2 sen 30c + tan2 60c) tan 37c a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

A

c) 3

45º

2. Calcular:

B

G = 2sen2 45c + 3 tan2 30c + tan2 60c a) 2

b) 3

d) 5

e) 6

c) 4

9

a) 13 d) 16

3. Calcular:

37º

D

b) 14 e) 17

c) 15

9. De la figura, determine "BC" A

K = (csc 53c + tan 37c) (sec2 45c + tan 45c) a) 2

b) 3

d) 5

e) 6

c) 4

40

C = sen 30c cos 45c tan 60c tan 45c csc 60c sec 30c

6 4

d)

b) 2 6 9 e) 5 6 16

c) 3 6 16

b) 3

d) 5

e) 6

C

a) 30 3+18

b) 32 3+24

d) 16 3+30

e) 32 3+40

c) 24 3+32

10. Del gráfico, hallar "tanθ" A θ

5. Hallar "x", si: 2 2 37x.tan 30º - 5x.csc 60º=7tan45º+5csc30º a) 2

53º

30º

B

4. Calcular:

a) 6 16

C

c) 4 B

6. Siendo "θ" un ángulo agudo, tal que: 1 1 tanθ= sen60º , calcular: M=10sen2θ+ cos2θ 2 2 3 c) a) 1 b) 2 2 2 d) e) 3 3 7. Siendo "β" un ángulo agudo, tal que:

37º

D

a) 2 3 d) 1

b) 3 2 e) 1 2

C

c) 3 4

3 11. Del gráfico, hallar "tanα", si: BC= AD 2 C α

tanβ = tan230º , calcular: P=3cos2β - 2sen2β a) 1

b) 2

5 2

e) 5

d)

Central: 619-8100

c)

A

3 2 a) 1 2 d) 1

45º

D

b) 1 3 e) 2 3

B

c) 1 4

Unidad III

117


12. Si el triángulo ABC es equilátero, calcular "cotθ" A

14. En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado, determinar: 16 tan a

8

F

D

D

E

2 θ

B 3 5

a)

d) 3 3

C b)

3 6

e)

3 3

c)

a

3 9

13. En el gráfico mostrado, hallar "cotβ" B

A

d)

b) 12

d) 14

e) 15

c) 13

15. Del gráfico, obtener "tanθ", si: AF=FC

4

B 37º

β

3

B

A

3

a) 3 3

37º

a) 11

150º

A

C

θ

E

C b)

3 3 2

e)

3 2

c)

2 3 3

D

C

F

a) 4

b) 8

d) 32

e) 2

c) 16

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 16. El perfil (o sección por un plano vertical) de un monumento de gran tamaño, muestra que cada cara tiene un ancho de 10m y está a 30º; 45º y 60º, respectivamente con la horizontal. ¿Qué altura tiene la edificación?

10m 45º 10m

H 60º

10m 30º

Colegios

118

TRILCE

www.trilce.edu.pe


17. En un cierto motor de combustión interna, la distancia "x" en metros del centro de la biela a la cabeza

3

del émbolo está dada por: x = cos θ + 16 + 0, 5 cos 2θ Donde "θ" es el ángulo entre el brazo del cigüeñal y la trayectoria de la cabeza del émbolo (véase la figura). Encuentre "x", cuando: θ = 30c

x

θ

18. Un diseñador de piezas decorativas planea vender esferas sólidas de oro encerradas en conos transparentes de cristal. Cada esfera tiene un radio "R" y estará encerrada en un cono de altura "h" y radio "r". Véase la figura. Pueden usarse muchos conos para encerrar la esfera, cada uno con un ángulo "θ" de inclinación diferente. El volumen "V" del cono puede expresarse en función del ángulo "θ" del cono: 3 V(i) = 1 π R3 (1 + sec θ) , 0c <θ <90c 3 tan2 θ ¿Qué volumen se requerirá para encerrar una esfera de 2 cm de radio en conos cuyos ángulos "θ" son de 30º; 45º y 60º?

R

θ

Central: 619-8100

Unidad III

119


sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Hallar el valor simplificado de: G = a) sen 30º

sec 60c + tan 37c - cos 30c sen2 30c + sen

b) cos 30º

c) tan 37º

d) tan 53º

e) tan 60º

2. De la figura, determinar "tan θ" A

D

a) sen 30º

53º 6

b) cos 30º

θ

5

B

c) tan 37º

C

d) tan 53º

e) tan 60º

3. Si ABCD es un cuadrado, determinar el valor de: R=cot2y - tanx C

B x E

53º

A

a) - sen 30º

b) - sen 53º

c) - tan 37º

F

y

D

d) - tan 53º

e)

4 sec 37c + csc2 30c

tan2 60c

4. De la figura, si: tan θ = 0, 25; determinar el valor de "x"

x θ

a) 30º

O2

b) 37º

c) 45º

O1

d) 53º

e) 60º

5. Del gráfico, determinar: G = 3 cot θ - 11 tan θ θ 30º 60º

a) 4 3 Colegios

120

TRILCE

b) 8 3

c) 10 3

d) 11 3

e) 5 3 www.trilce.edu.pe


3

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Calcular: E = (sen 30º + cos 60º) tan37º

11. Del gráfico, hallar: cotθ B

2. Calcular: E=(sec245º+tan45º)(cot37º - 2cos60º) 3. Calcular:

1 M=(sen260º+ sen245º)sec60º 2

4. Calcular:

45º x+3

P= 6.sec45º.tan30º - 1

θ

A 2x+1 H

C

5x–3

12. En el gráfico mostrado, calcular "tanβ"

5. Hallar "x", si: 2x.sen30º - tan45º=sec60º - x

B

120º

6. Siendo "β" un ángulo agudo, tal que: 1 senβ= cos60º 2 Calcular: A=2cot2β+1

7. Siendo "α" un ángulo agudo, tal que: secα= 2tan45º Calcular: P=senα.tanα

3

8

β

A

C

13. Si el triángulo ABC es equilátero, calcular "tanθ" B 6 D

8. Del gráfico, hallar "tanθ"

4

C

θ

A

C

θ

14. Del gráfico, hallar "tanθ" (ABCD es un cuadrado)

2 45º

A

A

B

D

B

9. Del gráfico, hallar "BC" A

20

B

45º

53º

D

C

37º

E

C 30º

A

E

β 6

Central: 619-8100

C

15. Del gráfico, hallar "tanα"

10. Del gráfico, hallar "tanβ"

B

θ

A D

30º

B

α

D

C Unidad III

121

4

Propiedades de las razones trigonométricas


¿Cuándo dos razones trigonométricas son recíprocas? ¿Cuándo dos razones trigonométricas son complementarias? ¿Habrá algún par de razones trigonométricas complementarias y recíprocas simultáneamente?

Propiedades de las razones trigonométricas Lo dijo Machado que sabía mucho del verso, indicándonos la existencia del complemento y su recíproco. Quise elegir este ejemplo para relacionar la idea de complemento y recíproco que son dos conceptos que se manejan simultáneamente en las razones trigonométricas. Decimos que dos razones son recíprocas si una de ellas es la inversa aritmética de la otra, es decir, el producto de ambas es igual a la unidad. Y dos razones trigonométricas serán complementarias si sus ángulos suman 90º, de donde se deduce que una razón es igual a la co-razón de su complemento.

Colegios Colegios

122

TRILCE TRILCE

www.trilce.edu.pe www.trilce.edu.pe

Trigonometría

Conceptos básicos Razones trigonométricas recíprocas sen θ = c b A

cos θ = a b tan θ = c a

b

c

θ

B

a

cot θ = a c C

sec θ = b a csc θ = b c

Efectuando el producto como se indica, obtenemos: sen θ . csc θ = 1

sen 20º . csc 20º = 1

cos θ . sec θ = 1

cos 35º . sec 35º = 1

tan θ . cot θ = 1

tan 46º . cot 46º = 1

Razones trigonométricas de ángulos complementarios sen θ = c b A

cos a = c b

a c

B

tan θ = c a

b

θ a

cot a = c a C

sec θ = b a csc a = b a

sen θ = cos αθ tan θ = cotαθ sec θ = csc αθ Central: 619-8100

1442443

Se concluye que: sen 20º = cos 70º α+θ=90º

tan 40º = cot 50º sec 60º = csc 30º Unidad III

123


cuando

estas son estas son

estas son

cuando

Síntesis teórica

Colegios

124

TRILCE

www.trilce.edu.pe


4

Problemas resueltos θ+α θ+α θ 1. Si: senθ=cos ∧ tan = cot 3 2 2

(

)

(

)

Calcule: M = sen ` θ j − cos θ + tan 36c tan ` θ + α j 2 2 b) 1 2

a) 0

c) 1

d) 2

e) 2 3 3

Resolución: tan ` θ + α j = cot ` θ + α j & θ + α + θ + α = 90c & 5 (θ + α) = 90c & θ + α = 108c 3 2 3 2 6 senθ = cos θ & θ + θ = 90c & θ = 60c → α=48º 2 2 1

6 444 7 444 8 M = sen 30c − cos 60c + tan 36c .S tan 54c cot 36c

`

M =1

2. Determinar el valor de "x" en la ecuación: tan 20c tan 50c = cos 10c csc 80c tan 70c tan 4x a) 5º

b) 10º

c) 12º

d) 15º

e) 16º

Resolución: Multiplicando en aspa: tan 20º tan 50º tan 70º tan 4x = cos 10º csc 80º Notemos que: 20º+70º=90º " tan20º=cot70º también: 10º+80º=90º " cos 10º = sen 80º Entonces, acomodando factores: cot 70c tan 70c tan50º tan 4x = sen 80c csc 80c " tan 50º tan4x=1 ; tan 50º = cot 40º 1 444 2 4 44 3 1 444 2 444 3 1

1

cot 40º tan 4x = 1 " 4x=40º `

x = 10c

3. Reducir: tan10º tan20º tan30º tan40º tan50º tan60º tan70º tan80º a) 1

b) 0

c) 2

d) –1

e) –2

Resolución: Se distingue que: 10º + 80º = 90º 20º + 70º = 90º 30º + 60º = 90º

tan 10º = cot 80º tan 20º = cot 70º tan 30º = cot 60º

40º + 50º = 90º

tan 40º = cot 50º

E = tan 10º tan 20º tan 30º tan 40º .... tan 80º E = cot 80º . cot 70º . cot 60º . cot 50º . tan 50º . tan 60º . tan 70º . tan 80º

Por lo tanto: E = 1 Central: 619-8100

Unidad III

125


4. Siendo "a" y "b" las medidas de dos ángulos agudos, tales que: cos11α.secβ=1 ∧ cosα.cscβ=1 Halle: W = tan (a + 37º30') sen (b – 52º30') b) 1 2

a) 1

c)

Resolución:

3 2

d)

3

3 3

e)

Datos: I. cos 11α . sec β = 1 " 11α = β II. S cos α . csc β = 1 sen (90c − α) csc β =1 " 90c − α = β " α + β = 90c... (II) En (II): α + 11α = 90c " α = 15c = 7c30' 2 "a" en β = 11 c 15c m " β = 165c = 82c30' 2 2 Piden: W = tan (a+37º30') sen (b – 52º30') `

W = tan (45c) . sen(30º)=1 2

10 x 5 50

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Completar según las razones trigonométricas recíprocas. sen 50º . csc (

)=1

cos 72º . sec (

)=1

tan 42º . cot (

)=1

2. Completar según las razones trigonométricas complementarias. sen 64º = cos (

)

tan 32º = cot (

)

sec 81º = csc (

)

3. Calcular "x", si: tan (4x+20º) . cot(x+80º)=1 4. Calcular "x", si: sen(x+10º)=cos(x+20º) 5. Calcular: M=sen(x+20º).sec(70º - x)

Colegios

126

TRILCE

www.trilce.edu.pe


4

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Hallar "x" en: cos(7x–30º).sec(x)=1 a) 2º

b) 3º

d) 5º

e) 6º

c) 4º

sen(5x+20º).csc(3x+40º)=1 a) 12º

b) 13º

d) 15º

e) 10º

c) 14º

3. Si: tan 3x.cot (x+40º)=1, calcular: cos 3x

d) 1 4

a) 1

b) 3

d) 7

e) 9

c) 5

11. Calcular: M=2tan10º.tan80º+3tan20º.tan70º

2. Hallar "x" en:

a) 1

10. Calcular: E=(4 tan 10º + 3 cot 80º) cot 10º

b) 1 2 e) 1 5

c) 1 3

4. Si: sen(2x–10º).csc(x+10º)=1, calcular: tan2 3x a) 2

b) 3

d) 5

e) 6

c) 4

sec(5x+20º)=csc(x+40º) b) 3º

d) 5º

e) 6º

c) 4º

6. Hallar "x" en: tan(3x–20º) = cot (4x+40º) a) 7º

b) 8º

d) 10º

e) 11º

c) 9º

d) 5

e) 6

e) 5

c) 4

c) 3

12. Si: sen20º.cos4x=cos70º.sen5x calcular: M=tan4x.tan5x.tan6x a) 1 d)

b)

3 3

c) 3

3

13. Si: tan26º.sen3x=cot64º.cos(x+10º) calcular: M=tan(2x+5º).tan23x a) 1 b) 3 c) 6 e)

b) 8

d) 5

e) 6

14. Calcular: R = sen 1c + sen 2c + sen 3c + ... + sen 89c cos 1c + cos 2c + cos 3c + ... + cos 89c a) 1 b) 1 c) 1 2 3 1 1 d) e) 4 5 15. Si: sen (4x) = cos (6y) Determinar el valor de: sec (3x + 2y) + tan (5x + y) csc (x + 4y) + cot (5y - x) b) 1 2 e) 1 5

d) 1 4

c) 1 3

15. Si: sen3θ =cos(2θ+10º) En el gráfico, calcular "tanα"

A

b) 3

d) 5

e) 6

Central: 619-8100

c) 4

a) 4 3 d) 8 5

2θ - 3º

b) 1 6 e) 8 3

D

C

α

9. Si: cos (2x+6º).csc (5x+21º) = 1, calcular: a) 2

θ 2

c) 9

Q = 3 tan (7x - 10c) - sec2 (5x)

3

8. Si: tan (3x–5º).tan(2x)=1 Calcular: E = 4 tan (2x–1º) + 5 sen (3x–4º) a) 7

e) 9

a) 1

Calcular: R = tan2 6x + sec2 (4x + 5c) b) 3

d) 4

Q=

7. Si: sen 7x =cos2x a) 2

b) 2

d) 3 3

5. Hallar "x" en: a) 2º

a) 1

M

B

c) 1 3

Unidad III

127


16. Si "x" e "y" son complementarios, cumpliéndose: (tan x) cot y = sen 45c, calcular:

17. Sabiendo que: sen(2a+b).sec(12º - 2c) = cos(a - 2b).csc(78º+2c) calcular: P=tan(2a+b+c).tan(a - 2b - c)

E = 5 csc x + cot x a) 6

b) 7

d) 9

e) 10

c) 8

a) 1

b) 2

d) 5

e) 7

c) 1 2

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Sabiendo que se cumple que: sen (x + 13º).sec (y+17º) = 1 ∧ tan (x + 14c) = 1 tan (2y + 14c) siendo "x" e "y" ángulos agudos, calcule: N = 2 sen 2x . sec a) 1

b) 2

c) 3

y + tan2 (x + y) 2 d) 4

e) 5

2. Si: tan (2x + 7º) = cot (4x + 35º), halle: E = sen (3x + 6c) + cos (6x - 11c) sen (4x + 5c) + cos (6x + 12c) a)

3+1

b)

3

c) 5 6

d) 10 11

3. Si: sen x.sec y = 1, además "x" e "y" son ángulos agudos, halle: G = tan ( a) 1 2

b) 1

c)

3

d)

e) 13 11 x+ y x+ y ) cot ( ) 2 3

3 2

e)

3 3

4. Siendo: tan ( π - sen 2x) - cot ( π + cos (3x - 10c)) = 0 6 3 Además: 0º < x < 90º, determinar el valor de: K = tan 3x + cot 3x + sec 3x 4 4 a) 2

b) 4

c) 5

d) 4+2 3

e) 2+2 3

5. Si: csc 4x = 2,6 ; 0 < x < π , determinar el valor de: 3 cot ( π + x) - 2 8 8 a)

Colegios

128

7

TRILCE

b)

10

c)

13

d) 2 5

e)

26

www.trilce.edu.pe


4

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Hallar "x", si: cos(2x – 10º).sec(x + 30º) = 1

10. Calcular: P=4sen40º.sec50º - tan25º.tan65º

11. Calcular: sen10º tan20º + M= cos80º cot70º

2. Hallar "x", si: sen(3x - 42º).csc(18º - 2x)=1 3. Si: tan4x.cot(x+18º)=1 calcular: sen5x 4. Hallar "x" en: sen4x=cos(x+10º)

5. Si: tan3x=cot(x+10º) calcular: sec3x+tan(2x+5º)

6. Si: sec5x=csc(3x+10º) calcular: sen3x+cos6x

7. Si: tan2x.tanx=1 calcular: tan22x

13. Si: sen (A – C) = cos (B + C) A B A + Calcular: E = 2 sen ` + tan ( + B ) 3 j 2 14. Si en el gráfico se cumple que: tanθ=cot4θ, calcular "x"

40 3 θ + 12c

9. Reducir: A=(5cos20º - 3sen70º)csc70º

Central: 619-8100

12. Si: sen 2x = cos 3x, hallar: E = sen x + sen 2x cos 4x cos 3x

8. Si: sen(x+15º).sec2x=1 calcular: sen2(2x - 5º)

3θ + 6c x

15. Calcular: P= sec1º+sec2º+sec3º+...+sec89º csc1º+csc2º+csc3º+...+csc89º

Unidad III

129

5

Resolución de ángulos verticales


¿Por qué parece que a lo lejos, los barcos se hunden? Si comparas "h" y el arco sobre la superficie terrestre, ¿qué resultado obtienes? Calcula la distancia horizontal para tu estatura.

¿Cuál es la distancia del horizonte? Imagina que estás en la playa de pie mirando el horizonte: ¿a qué distancia se encuentra? Antes de seguir haz una estimación: ¿5 Km?, ¿50?, ¿500?... El horizonte es la línea a partir de la cual no podemos ver más allá a causa de la curvatura de la Tierra. Entonces la línea visual que une nuestros ojos con el horizonte es una línea recta tangente a la Tierra, y por tanto perpendicular al radio de esta en el horizonte. Los datos necesarios son el radio de la Tierra (r=6378 km aproximadamente en el ecuador), y la altura a la que se encuentran los ojos del observador ("a" en el esquema, claramente exagerado). Aplicando el teorema de Pitágoras calculamos la distancia al horizonte (h): Si suponemos que nuestros ojos se elevan a=1,70 metros del suelo (0,0017 km) y aplicamos la fórmula el horizonte estará a 4,66 km. Dependiendo de nuestra altura, este valor puede oscilar entre 4 km (para los más pequeños de la casa) y 5 (para los jugadores de baloncesto).

Colegios

130

TRILCE

www.trilce.edu.pe

Trigonometría

Conceptos básicos Ángulo de Elevación Es el ángulo comprendido entre la horizontal que pasa por el ojo del observador y la recta determinada por la vista dirigida hacia un punto que esta por encima de él.

l)

ua

is n(v

isió

ea

Lín

v de

ángulo de elevación

35º

Línea horizontal

Ángulo de Depresión Es el ángulo comprendido entre la horizontal que pasa por el ojo del observador y la recta determinada por la vista dirigida hacia un punto ángulo de depresión que está por debajo de él.

Línea horizontal

ión

35º

ea

l

ua

Vis

ín ol

is ev

d

Observación Del gráfico, el ángulo de DEPRESIÓN de un objeto respecto al observador es igual al ángulo de ELEVACIÓN del objeto al observador.

observador

horizontal ángulo de depresión

e ea d

a

mir

lín

ángulo de elevación observador

horizontal

Ángulo de Observación Es aquel ángulo formado por dos visuales que parten desde un mismo punto, al observar un objeto de un extremo a otro.

Central: 619-8100

ángulo de observación

Unidad III

131


Colegios

132

TRILCE

debe encontrarse debe encontrarse

elementos

dos situaciones

elementos

Síntesis teórica

www.trilce.edu.pe


5

Problemas resueltos 6. Una hormiga observa lo alto de la torre Eiffel con un ángulo de elevación "a", si se acerca hacia él una distancia igual a su altura y mira lo alto de dicha torre nuevamente, el nuevo ángulo de elevación es el complemento del anterior. Halle "tan a".

a)

5 +1 2

b)

5 -1 2

c)

5 +1

d)

5 -1

e)

5

Resolución: S

Del gráfico: H cot α = H + H tan α " H (cotα)=H(1+tanα) (ctg α) H (1 + tan α)

a H

P

"

1 = 1 + tan α " 1 = tan α + tan2 α tan α

" 1 + 1 = tan2 a + tan a + 1 4 4

a Q

H

R

2 " 5 = ` tan α + 1 j 4 2

"

5 = tan α + 1 " tan α = 2 2

5 −1 2

7. Desde un punto en tierra se observa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación de 37º. Nos acercamos una distancia "x" y el nuevo ángulo de elevación tiene por tangente a 4. Si la altura del edificio es "h", halle: x . (Tomar: sen 37º = 0,6) h S a) 1, 213

S b) 1, 082

S c) 1, 083

S d) 2, 132

S e) 3, 015

Resolución: Dato: tan b = 4

h=3k

3k = 4 4k − x 3k = 16k – 4x 4x = 13k

b

37c x

Se pide: 4k–x

4k

x 4= x 13k = 1, 083 S = h 4h 4 (3k)

Central: 619-8100

Unidad III

133


8. Desde un punto de tierra se ve lo alto de una torre con un ángulo de elevación "θ". Nos acercamos una distancia igual a la altura de la torre y el nuevo ángulo de elevación es ahora 37º. Calcule: cot θ. (Tomar: sen37º = 0,6) a) 5 3

b) 4 3

c) 7 3

d) 3

e) 2

Resolución: Se pide: cot θ = 7k = 7 3k 3 H=3k

θ

37º 4k

H

9. Una antena de radio de 15m de longitud se encuentra en la azotea de un edificio. Desde un punto del plano horizontal que pasa por la base del edificio, las elevaciones angulares para la parte superior e inferior de la antena son "a" y "b" respectivamente. Si: tan a= 0,76 y tan b=0,19; determinar (en m) la altura del edificio. a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

Resolución: tana=0,76; tanb=0,19 15m

" tan α = 4 tan β 15+H = a tan a H = a tan b

a

b

a

" 15 + H = tan α = 4 H tan β " 15 + H = 4H ` H = 5m

Colegios

134

H

TRILCE

www.trilce.edu.pe


10. Un avión que está por aterrizar observa en su misma trayectoria la pista de aterrizaje de extensión igual al doble de la altura a la que se encuentra. Si ve el extremo más alejado con un ángulo de depresión de 22º30’, calcule con que ángulo observa el otro extremo. a) 22º30'

b) 67º30'

c) 30º

d) 60º

5

e) 45º

Resolución: A

θ 22º30'

horizontal

FE = 2m m B FEA = 22c30'

m

AGE: GE=mcot 22º30' θ

G

F

22º30' 2m

E

GE=( 2 +1)m ; GF=GE − EF ; GF= ( 2 +1)m – 2m " GF=( 2 –1)m GF AGF:cot cotθ= θ = CE == m ( 2 − 1) m AG AG cot θ =

2 −1

θ = 67º30'

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Grafique lo más claro posible: Un niño de estatura "h" divisa los ojos de su padre con un ángulo de elevación "α" y luego divisa sus pies con un ángulo de depresión "β". 2. Grafique: Desde lo alto de un faro se ven dos barcos, a un mismo lado del faro, con ángulos de depresión "α" y "β" (α<β) 3. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste de 24 m con un ángulo de elevación de 37º. ¿A qué distancia del poste se encuentra el punto de observación? 4. Desde lo alto de un edificio de 40 m se ve un objeto en el suelo con un ángulo de depresión de 53º. ¿A qué distancia se encuentra el objeto de la base del edificio? 5. Un niño de 1m observa lo alto de un árbol con un ángulo de elevación de 45º. Calcular la altura del árbol, si la distancia que separa al niño y al árbol es 2m.

Central: 619-8100

Unidad III

135


sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Desde un punto del suelo se observa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación de 37º. Si el objeto se encuentra a 36 m de la base del edificio, ¿cuál es la altura del edificio? a) 36 m

b) 27

d) 72

e) 96

c) 48

2. Desde lo alto de un faro se ve un barco, a 24 m de su base, con un ángulo de depresión de 53º. ¿Cuál es la altura del faro? a) 18 m

b) 12

d) 36

e) 48

c) 32

3. Una persona de 1,7 m de estatura divisa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación de 37º. Si la persona está a 24 m del edificio, ¿cuál es la altura del edificio? a) 33,7 m

b) 19,7

d) 28,7

e) 37,7

c) 27,7

4. Desde lo alto de un muro de 2 m de alto, se divisa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación de 53º. Si el muro está a 36 m del edificio, ¿cuál es la altura del edificio? a) 50 m

b) 48

d) 64

e) 72

c) 56

5. Desde un muro ubicado a 3 m del suelo se observa la parte más alta de un árbol con un ángulo de elevación de 60º, alejado de él 8 3 m. ¿Cuál es el tamaño del árbol? a) 21 m

b) 23

d) 27

e) 29

c) 25

6. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una torre con un ángulo de elevación de 15º. Si nos acercamos 40 m, el nuevo ángulo de elevación se duplica, ¿cuánto mide la torre? a) 40 m

b) 24

d) 30

e) 20

c) 32

7. Desde lo alto de un faro se observan dos barcos en direcciones opuestas con ángulos de depresión de 45º y 37º. Si la altura del faro es de 21 m, ¿qué distancia separa a los barcos? Colegios

136

TRILCE

a) 90 m

b) 96

d) 100

e) 80

c) 49

8. Desde la cúspide de un monumento de 30 m de altura, se observan dos objetos en el suelo en direcciones opuestas con ángulos de depresión de 45º y 30º. Hallar la distancia que los separa. a) 30+ 3 m

b) 30(1+ 3 )

d) 15( 3 - 1 )

e) 10( 3 - 1 )

c) 10( 3+1 )

9. Desde el borde de un acantilado de 500 m de altura sobre el nivel del mar, se observan dos botes en la misma dirección con ángulos de depresión de 45º y 30º. ¿Cuál es la distancia entre los botes? a) 50 3

b) 500( 3 - 1)

d) 100( 3 - 1)

e) 10 3

c) 100 3

10. Una persona cuya estatura es 1,60 m observa la parte más alta de un poste con un ángulo de elevación de 37º y su parte más baja con un ángulo de depresión de 45º. Calcular la altura del poste. a) 2,6 m

b) 2,2

d) 3,8

e) 3,2

c) 2,8

11. Desde la parte más alta de un edificio de 30 m de altura se observan con ángulos de depresión de 30º y 60º la parte superior e inferior de otro edificio. Encontrar la altura de dicho edificio. a) 20 m

b) 15

d) 10

e) 10 3

c) 15 3

12. Una antena de teléfono se encuentra plantada en lo alto de un edificio de 18 m de altura. Si un estudiante ve con un ángulo de elevación de 53º el extremo de la antena y con otro ángulo de elevación de 45º el techo del edificio, ¿cuál es la altura de la antena? a) 3 m

b) 4

d) 6

e) 7

c) 5

www.trilce.edu.pe


13. Desde lo alto de un edificio de 16 m de altura se ve la parte alta y baja de una casa de 6 m de altura con ángulos de depresión "α" y "β" respectivamente. Calcular: C=tanβ.cotα a) 1,2 m

b) 1,4

d) 1,3

e) 1,5

c) 1,6

14. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 53º. Si nos alejamos una distancia igual a la mitad de la altura del poste, el nuevo ángulo de elevación para su parte más alta sería "θ". Calcular "tanθ" a) 0,9

b) 0,8

d) 0,6

e) 0,5

c) 0,7

15. Desde un punto en tierra se ve lo alto de una torre con un ángulo de elevación "α". Si nos acercamos 24 m, el nuevo ángulo de elevación es "θ", cumpliéndose que: 3 cotα - cotθ= 2 Calcular la altura de la torre. a) 16 m

b) 12

d) 20

e) 24

5

c) 18

16. Desde dos puntos en tierra ubicados en extremos opuestos respecto a una torre, a distancias de su base iguales a 10 y 40 m, los ángulos de elevación para su parte más alta son "θ" y "90º - θ" respectivamente. Calcular "tanθ" a) 2 2

b) 4

d) 2

e) 3 2

c)

2

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 17. Una persona ubicada en una habitación, observa las esquinas superiores de una de sus paredes con ángulos de elevación "β" y "α". Si las proyecciones de las visuales con el piso forman 90º considerando que en el piso, el triángulo rectángulo formado es de 37º y 53º, halle el valor de: tanα.cotβ.

18. Una persona de 1,73m de altura observa la parte superior de un poste de luz de 19,03m de altura con un ángulo de elevación "a". Si esta persona en la primera observación está a la izquierda del poste y luego de un cierto tiempo la persona se encuentra al frente al poste observándola con un ángulo de elevación "b" y además la distancia entre ambas observaciones es 20m, determinar:

α

β

20 m

a) cot2 α + cot2 β b) Si: cot a = 0, 25 indicar la longitud de la sombra de esta persona en este caso. c) Si: cot b = 0, 4 indicar la longitud de la sombra de esta persona en este caso.

Central: 619-8100

Unidad III

137


socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Desde un edificio situado a 20m sobre el nivel del piso, los ángulos de elevación y depresión para la parte más alta y baja de una torre son 30º y 37º, respectivamente. Calcule la altura de la torre. a) 31,40

b) 32,40

c) 33,40

d) 34,40

e) 35,40

2. Un poste está pintado hasta un punto “P" que se encuentra a 10m sobre el nivel del suelo. Si el ángulo de elevación del punto “P" respecto del suelo es 30º y la parte no pintada es observada bajo un ángulo de 15º con respecto a dicho observador, calcule la longitud del poste que falta pintar. a) 5,3

b) 6,3

c) 7,3

d) 8,3

e) 9,3

3. Sobre un plano se ha construido un edificio donde cada piso mide 2m. Si se sabe que desde dos puntos más abajo sobre el plano inclinado se observa la parte superior del edificio con ángulos de elevación de 20º y 30º, ¿cuánto será el número de pisos del edificio, si los puntos están distanciados 100m? además el plano inclinado forma un ángulo de 10º con la horizontal. (sen10º= 0,17) a) 15

b) 16

c) 17

d) 18

e) 19

4. Un poste de altura "h"" se encuentra ubicado en el centro de un parque de forma circular. Tres personas situadas en la periferia del parque observan la parte superior del poste con un ángulo de elevación "α". Si estas personas están situadas a una distancia “2h" una de la otra, calcule "tana" a)

3 2

b)

3 3

c)

d) 2 3 3

3 4

e)

3 6

5. Siendo "θ" un ángulo entre la horizontal y la recta que une el extremo de la sombra y el punto más alto de un árbol, cuando su altura es un metro más pequeña que la sombra que proyecta y "2θ" es el ángulo cuando su altura es un metro más grande que la sombra que proyecta. Calcular "cot θ" a) 3 - 7 3

b) 4 - 7 3

c) 2 + 7 3

d) 4 + 7 3

e) 7 + 7 3

18:10:45

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. A 20 metros del pie de un poste, se observa lo alto del poste con un ángulo de elevación de 37°. ¿Cuál es la altura del poste? 2. Desde lo alto de un edificio de 60m de altura se observa un punto en el suelo con un ángulo de depresión de 53°. ¿A qué distancia de la base del edificio se encuentra el punto? 3. Un niño de estatura de 1,5 m; está ubicado a 6 m de una torre y observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 53º. ¿Cuál es la altura de la torre?

Colegios

138

TRILCE

4. Un árbol quebrado por el viento, forma un triángulo rectángulo con el suelo. ¿Cuál era la altura del árbol, si la parte que ha caído hacia el suelo forma con este un ángulo de 37º y la parte del tronco que ha quedado en pie tiene una altura de 30 m? 5. Una persona de 2 m de estatura, ubicada a 32m de una torre de 34 m de altura; observa la parte más alta con un ángulo de elevación de: 6. El ángulo de elevación para la parte superior de una torre es de 30º y acercándose 100 m se encuentra que el nuevo ángulo de elevación es de 60º. ¿Cuál es la altura de la torre? www.trilce.edu.pe


7. Desde lo alto de un faro, se divisa dos barcos en una misma dirección, con ángulos de depresión de 45º y 37º. Si la altura del faro es de 96 m, ¿cuál sería la distancia entre los barcos? 8. Desde lo alto de un acantilado se observa dos barcos en una misma dirección con ángulos de depresión de 45º y 53º respectivamente. Calcular la distancia de separación de los barcos, si además la altura del acantilado es de 24 m.

13. Una antena de radio está colocada en la azotea de un edificio. A 12 m de distancia del edificio sobre el suelo; los ángulos de elevación de la punta de la antena y de la parte superior del edificio son 53º y 37º respectivamente. Hallar la longitud de la antena.

5

14. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una torre con un ángulo de elevación "α". Si se acerca 20 m, el nuevo ángulo de elevación sería

9. De lo alto de un edificio de 24 m de altura se divisa una torre con un ángulo de elevación de 30º y la base de la torre con un ángulo de depresión de 60º. Hallar la altura de la torre.

"β". Calcular la altura de la torre, si además se 1 sabe que: cotα - cotβ = 4

10. Una persona de 2 m de estatura observa la base de un poste de luz con un ángulo de depresión de 30º y la parte superior con un ángulo de elevación de 60º. Calcular la altura del poste.

15. Desde un punto del suelo se observa la parte superior de un poste con un ángulo de elevación "α", acercándose 5 m hacia el poste el nuevo ángulo de elevación es el complemento de "α". Si el poste mide 6 m, calcular "tanα"

11. Desde un punto del suelo se observa la parte alta de un árbol con un ángulo de elevación de 37º. Si nos acercamos 5m, el nuevo ángulo de elevación es de 45º. Calcule la altura del árbol. 12. Desde un punto en tierra se observa lo alto del tercer piso de un edificio con un ángulo de elevación "α"; y luego la parte baja del quinto piso con un ángulo de elevación "β ". tanβ Hallar: tanα

Central: 619-8100

Unidad III

139

6

Resolución de triángulos rectángulos


¿A qué se dedica la topografía? ¿Cuál es el límite de la extensión de tierra que se considera como superficie plana? ¿En qué proyectos se aplica la topografía?

Alcances de la topografía La topografía es una de las artes más antiguas e importantes que practica el hombre, porque desde los tiempos más antiguos ha sido necesario marcar límites y dividir terrenos. En la actualidad la topografía se utiliza bastante. a) Sirvió de base a la mayoría de los trabajos de ingeniería, pues la elaboración de cualquier proyecto se realiza una vez que se tengan los datos y los planos topográficos que representan fielmente los accidentes del terreno donde se va a realizar el proyecto. b) Se emplea para establecer límites en terrenos de propiedad privada y pública, profundidades, medir extensiones, dividirlas y determinar los accidentes u objetos dentro de ellos. c) Establecer aclimatación entre países, su delimitación política interna, determinar sus diferentes accidentes topográficos, ríos, lagos, cordilleras, entre otras, sus vías de comunicación, sus caminos, confeccionar las cartas geográficas de los países. d) Trazar cartas de navegación para uso en el aire, en tierra y en el mar. e) Construir bancos de datos con información sobre recursos naturales y de utilización de la tierra, para ayudar a la mejor administración y aprovechamiento de nuestro ambiente,etc.

Colegios

140

TRILCE

www.trilce.edu.pe

Trigonometría

Conceptos básicos Resolución de triángulos A) Conociendo un ángulo agudo y la hipotenusa. A • En el triángulo rectángulo ABC (B=90º) sen θ = AB " AB = b sen θ b

b sen θ

cos θ = BC " BC = b cos θ b

B

b

θ

C

b cos θ

B) Conociendo un ángulo agudo y el cateto adyacente A • En el triángulo rectángulo ABC (B=90º) tan θ = AB " AB = a tan θ a

a sec θ

a tan θ

sec θ = AC " AC = a sec θ a

θ

B

C

a

C) Conociendo un ángulo agudo y el cateto opuesto A • En el triángulo rectángulo ABC (B=90º) cot θ = BC " BC = c cot θ c

c

csc θ = AC " AC = c csc θ c

B

c csc θ

θ

C

c cot θ

Lo que quiero = Razón trigonométrica (θ) Lo que tengo

Método práctico

Superficie de un triángulo

B θ

SABC=

a.c senθ 2

c

A Central: 619-8100

a

C Unidad III

141


es

entonces

es

es

entonces

si se tiene un ángulo agudo y

es

es

entonces

es

Síntesis teórica

Colegios

142

TRILCE

www.trilce.edu.pe


6

Problemas resueltos 1. Se tiene en el gráfico que AM= 2 . Hallar el valor de "AH", en términos de "a" A

a) sen2α (1 + cot α)

45º

b) cos 2a (1 + tan a) c) sena (1 + cot a)

M

H

d) sen2a (1 + csc a)

a a

B

C

e) csc a (1 + sen2a)

Resolución: A 45º 1 2

MGC: GC=1 . cot a

En el

AHC: AH=AC . sen 2 a

G

1 cot a

M

H

En el

Pero: AC=AG+GC

a a

B

C

AC=1 + cot a

Por lo tanto: AH = (1 + cot a ) sen 2 a

2. Se cumple que: AB=2 y AD=3 Hallar: T = sen 2α . sec α cos α C

B

E a

A

a

a) 2 3

b)

3 2

c) 2

d)

3 4

e) 4 3

D

Resolución: C

B

C E 3 cos a

2 sec a

2 a

2α

a

A

3

D

2 cos a 3 A

A

En el En el

E

2 sec a

ABC: AC=2sec a

En el

AED: AE=3cos a

AEC:

sen2α = 3 cos α 2 sec α

Por lo tanto: T = sen 2α . sec α = 32 cos α 23 Central: 619-8100

Unidad III

143


3. Según el gráfico, hallar "BC" en términos de "a", si: AD=4 B

C

b) 4 sena cos a

c) 4 sen2 a sec a

d) 4 cos2 a

e) 4 sena tan a

a

A

a) 4 sen2 a

D

Resolución: B

A

C

a

a

D

4

En el

B

D

En el BCD: BC=BDsen a Como: BD=4sen a

ABD: BD=4sen a

Entonces: BC=4 sen2α

4. Del gráfico, hallar: T =

tan θ tan φ tan α B

3 3

a)

θ a

b)

c) 2 Q

f

A

H

d) 2 3 3 2

e) 30º

3

C

Resolución: B

θ n A A

n tan θ

H

a n

H

H

En el AHB: Sea: HB=n " AH=ntan θ

En el AHQ: AH=n tan θ " HQ=ntan θ tan f

n tan a

Q

H

30º n tan a

C

C

En el BHC: Como: HB=n " HC=ntan a

En el QHC: HC=ntan a " HQ=ntan a tan30º

Igualando HQ en los triángulos rectángulos AHQ y QHC, entonces: tan θ tan φ tan θ tan φ n tan θ tan φ = n tan α tan 30c " = tan 30c " = 3 tan α tan α 3

Colegios

144

f n tan θ

n tan θ tan φ

Q

n tan a . tan 30c

B

TRILCE

www.trilce.edu.pe


10 x 5 50

6

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Del gráfico, hallar "x" en función de "m" y "θ".

x θ m 2. Del gráfico, hallar "x" en función de "n" y "α".

x

n

α 3. Determine "x - y", en función de "m" y "α"

y

x α

m 4. Determine "x", en función de "m" y "θ"

x

m

θ 5. Una escalera de longitud "L" está apoyada en la pared formando un ángulo agudo "θ" con el suelo. ¿A qué distancia de la pared se encuentra el punto de apoyo en el suelo?

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. En un triángulo rectángulo ABC (B=90º) donde AB=m y CAB=a, hallar la longitud de la hipotenusa. a) m sen a

b) m cos a

d) m cot a

e) m sec a

Central: 619-8100

c) m tan a

2. En un triángulo rectángulo ABC (B=90º) donde BC=m y ACB=θ, hallar la longitud del otro cateto. a) m senθa

b) m cos θa

d) m cot θa

e) m sec θa

c) m tanθa

Unidad III

145


3. En un triángulo rectángulo ABC (B=90º), donde BC=m y CAB=α, hallar la suma de los catetos. a) m(1+secα)

b) m(1+tanα)

c) m(1+cotα) e) m(1+cosα)

d) m(1+cscα)

a) msenαsenβ

b) msenαcosβ

c) mcosαcosβ e) mtanαcotβ

d) mcosαsenβ

9. Del gráfico, hallar "x" en función de "L"; "α" y "β" B

4. En un triángulo rectángulo ABC (B=90º), se sabe que: AC=n y ACB=θ. Halle el perímetro del triángulo a) n(1+secθ+tanθ) c) n(1+senθ+cosθ) e) n(1+cscθ+senθ)

β L

b) n(1+cotθ+cscθ) d) n(1+secθ+cosθ)

A

5. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide "L" y uno de sus ángulos agudos mide "α", ¿cuál es el área del triángulo? 2 b) L .senα.cosα 2 d) 2L2.senα.cosα

a) L2.senα.cosα 2 c) L .senα.cosα 4 e) 4L2.senα.cosα

6. En un triángulo isósceles, sus lados congruentes miden "L" y el ángulo desigual mide "2θ". Determinar la altura relativa al lado desigual. a) L sen θ d) L cot θ

b) L cos θ e) L sec θ

A

n

α

C

x

a) Lsenαcosβ

b) Lsenαtanβ

c) Lcosαtanβ

d) Lsenαcotβ

e) Lsenαsecβ 10. E n la figura mostrada, el triángulo ABC es isósceles (AB=BC) y sus ángulos congruentes miden " θ". Si además PQRS es un cuadrado de lado "L", determinar AC. B

S

A

R

P

C

Q

a) L (2 cot θ + 1)

b) L(2tanθ+1)

c) L(2senθ+1)

d) L(2cosθ+1)

e) L (2 sec θ + 1) θ

a) msenα+nsenθ c) nsenα+mcosθ e) msenα+ncosθ

H

c) L tan θ

7. Del gráfico, hallar "AC" en términos de "m";"n"; "α" y "θ" B

m

α

C

b) mcosα+nsenθ d) mcosα+ncosθ

11. Del gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado. Determinar "x" en función de "m" y "θ"

B

C x E

8. Del gráfico, hallar "x" en función de "m" ; "α" y "β"

m

α

A

m

β

θ

D

a) m(cosθ - senθ)

b) m(cotθ - tanθ)

c) m(secθ - cscθ) e) m(1 - cosθ)

d) m(1 - senθ)

x Colegios

146

TRILCE

www.trilce.edu.pe


12. Si ABCD es un cuadrado, hallar "x" en términos de "L" y "θ". E x C B

a) c)

L

e)

θ

b)

cosθ - senθ L

d)

senθ - cosθ L

a) L(1 - senθ)

b) L(1 - cosθ)

c) L(senθ - cosθ )

d) L(cosθ - senθ )

B

E

R r

θ D

θ

F

D

E

a) m(senθ+cosθ)

b) m(cosθ - senθ)

c) m(secθ - cscθ)

d) m(secθ+cscθ)

e) m(tanθ+cotθ) 14. Del gráfico, hallar "x" en función de "L" y "θ". C θ

45º

D

C

a) (R - r) (1 + cot θ ) 2 θ c) (R + r) (1 + cot ) 2 R θ e) cot r 2

b) (R - r) (1 - cot θ ) 2 θ d) (R + r) (1 - cot ) 2

16. Una escalera de 14 m de longitud está apoyada en un edificio, formando con el suelo un ángulo de 70º. ¿A qué distancia de la base del edificio se encuentra el punto de apoyo de la escalera en el suelo? a) 3,648 m d) 4,168

b) 3,518 e) 5,218

c) 4,788

17. Calcular el perímetro de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 10 cm y uno de sus ángulos agudos mide 35º.

x

L

secθ + cscθ

A

13. En el rectángulo ABCD, hallar "BC", si: BE=EF=m. B C

A

cosθ + senθ L

secθ - cscθ

e) L(cotθ - tanθ )

A

L

15. En la figura, determinar BE en términos de "R" y "r", si ABCD es un cuadrado.

D

A

L

6

B

a) 26,132 cm

b) 24,517

d) 22,218

e) 20,146

c) 23,927

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 18. La parte horizontal de un escalón se llama peldaño. La parte vertical se llama contrahuella. La razón entre la longitud de la contrahuella y la longitud del peldaño afecta la seguridad de una escalera. Tradicionalmente, los constructores usaban una razón de contrahuella a peldaño de aproximadamente 33/4 pulgadas: 9 pulgadas. Ahora se recomienda una nueva razón de 7 pulgadas: 11pulgadas a) Halla el valor del “Ángulo de la escalera" (ver gráfico) para las escaleras construidas con la nueva razón de contrahuella a peldaño. b) Halla el valor del “Ángulo de la escalera" para las escaleras construidas con la vieja razón de contrahuella a peldaño.

Central: 619-8100

Unidad III

147


socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Se tiene un triángulo ABC, en el cual se trazan las alturas AD y CF cortándose en el punto "H", de modo que: AH = 3HD, halle: tan B.tan C. a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

2. De la figura mostrada: mBABC=90º, mBABD=a, AB = x, BC = p y BD = q. Calcule "x" en función de los datos dados. B

C

A

D

a)

pq cos a p - q sen a

b)

pq sen a q - p cos a

d)

pq cos a q - p cosα sen a

e)

pq p sen a + q cos a

c)

pq cos a q - p sen a

3. Halle "1 " de la figura, si ABCD es un rectángulo x C

B

1 x

3

1 A

a)

11 9

b)

13 9

3

c)

15 9

D

d)

17 9

e)

19 9

4. En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado y ME=CE. Halle el valor de: L = tanx – 2tan(x – y) C

B M

y

A

a) 1 2 Colegios

148

TRILCE

b) 1

x

D

c) 3 2

d) 2

E

e) 5 2 www.trilce.edu.pe


6

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Hallar "x" en función de "n" y "θ".

6. Del gráfico, hallar "x" en función de "m" y "θ" D

x

C

n x

θ A

θ

θ

B

m

7. Del gráfico, hallar "x" en función de "m", "θ" y "β" 2. Hallar "x" en función de "a" y "β".

B θ m

β x

b

A

H

a

x

C

8. Del gráfico, hallar "x" en función de "m" y "θ" 3. Determine el perímetro del triángulo rectángulo mostrado, en función de "m" y "θ".

θ m

θ m

x

9. Del gráfico, hallar "x" en función de "a", "α" y "θ" B

4. Hallar el área del triángulo rectángulo mostrado, en función de "L" y "α" a L

A

α

5. Del gráfico, hallar "x" en función de "n", "a" y "b"

x

α H

θ

C

10. Del gráfico, hallar "x" en función de "m" y "β"

B

b

m

n

x

C A

x

a

Central: 619-8100

β

β

D

Unidad III

149


11. Si ABCD es un cuadrado, hallar "x" en función de "m" y "α" A

B

14. Del gráfico, hallar el lado del cuadrado ABCD en función de "m" y "θ" B

C

x

m

m D

α

C

12. Del gráfico, hallar "x" en función de "n" ; "α" y "θ" A D x B

n θ

a

13. Hallar "x", en función de "n" y "θ"

θ

D

A

E

15. Hallar "x", en función de "a","b" y "θ" C

x B

a

C A

θ b

D

x θ n

Colegios

150

TRILCE

www.trilce.edu.pe


7

Plano cartesiano

El plano cartesiano

¿Cuál es la utilidad de un sistema cartesiano? Si tuviéramos que ubicarnos en tres dimensiones, ¿qué estaría faltando? ¿Cómo ubicaríamos tu casa respecto del municipio de tu distrito?

Relación con la vida cotidiana El plano cartesiano nos sirve en la vida cotidiana para ubicarnos y darnos referencia en un lugar determinado o cuando nos dan una dirección y no sabemos cómo llegar. Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las "x" hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las "y" hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente. Ejemplo: Doña Lupe nos ha dicho que su farmacia está dentro del centro de la ciudad. Supongamos que deseamos saber la ubicación exacta de la farmacia de doña Lupe. Una vez que ya estamos en el centro le preguntamos a un policía para que nos oriente. El policía nos ha dicho que caminemos 5 cuadras hacía el este y 6 cuadras hacía el norte para llegar a la farmacia. Las cantidades de cuadras que tenemos que caminar las podemos entender como coordenadas en un plano cartesiano.

Central: 619-8100

Unidad III

151

Plano cartesiano

Conceptos básicos Sistema de coordenadas rectangulares A) Plano cartesiano El punto O recibe el nombre de origen de coordenadas. Se escoge también una unidad de medida, con la que se marcan con signo positivo las distancias en las semirrectas desde el origen hacia arriba y hacia la derecha, y con signo

eje y

negativo desde el origen hacia abajo y hacia la izquierda. El eje perpendicular se denomina eje de abscisas o eje de las "x", mientras que el eje vertical se denomina eje de ordenadas o eje de

Cuadrante O II

Cuadrante I

las "y". Este sistema de referencia se denomina (de Cartesius, nombre latinalizado de René Descartes, filósofo y matemático francés del siglo

eje x

origen

sistema de ejes cartesianos o sistema cartesiano

Cuadrante IV

Cuadrante III

XVII). Con ello, todo el plano queda dividido en cuatro cuadrantes (I, II, III y IV), que se enumeran en sentido contrario al movimiento de las agujas de un reloj. B) Ubicación del punto en el plano Por el punto "A" y "B" del plano pasan dos rectas perpendiculares entre sí y paralelas a cada uno de los ejes, es decir, pasa una recta paralela al eje de las "x" y una recta paralela al eje de las "y". y

Estas rectas cortan los dos ejes en dos puntos, –2 y 3. Si se consideran las distancias dirigida –2 y

A

3, estas representan la abscisa y la ordenada del punto "A".

abscisa

3

P

2

ordenada

1

En la figura, el punto "B" tiene como abscisa +4 y como ordenada -3. Por ello, se dice que "B"

4

x

0 –4

–3

–2 –1

1 –1

tiene como coordenadas +4 y –3, que se escribe

–2

de la siguiente manera: P (+4; –3).Si se fijan dos

–3

números en un orden determinado, por ejemplo

–4

2

3

4 ordenada

abscisa

B

+2 y +3, se dice que a este par ordenado le corresponde el punto "P" del plano que tiene como abscisa +2 y como ordenada +3, es decir, el punto P (+2; +3), como se muestra en la siguiente figura:

Colegios

152

TRILCE

www.trilce.edu.pe

Trigonometría

C) Radio vector de un punto

7

Es la distancia que existe desde el origen del sistema de coordenadas rectangulares a un punto determinado del plano. Sea el punto P(x; y) entonces su radio vector se

y

obtiene: (x; y) r

r=

Si: A(–3; 4) entonces su radio vector es:

y

r= x

x2 + y2

(- 3) 2 + (4) 2

r = 5.

x

D) Distancia entre dos puntos Por ejemplo:

y B(x2;y2)

B(3;5)

A(–1;2)

A(x1;y1)

d (A; B) =

(- 1 - 3) 2 + (2 - 5) 2

x d (A; B) = 16 + 9 & d (A; B) =5 La distancia entre "A" y "B", se calcula de la siguiente manera: d (A; B) =

Otro ejemplo: A(–1;7)

(x2 - x1)2+(y2 - y1)2

B(4;–5) d (A; B) =

& d (A; B) =

Para determinar la distancia de un punto "P1" a un punto "P2" se usa:

d (P1. P2) =

Central: 619-8100

2 (y ((x x2 + 2--yy1)2) 2 - xx11))2+(y 2 2 1

Unidad III

153

Plano cartesiano

E) Punto medio de un segmento El punto medio "M" de un segmento se halla:

B(x2 ; y2)

xx + + x y1 + + y22 c 11 22 ; 1 m 2 2

M

fórmula del punto medio

Sea el punto A=(–5; 7) y B=(–3; 3) el punto medio del segmento

A(x1 ; y1) A (x1; y1)

AB es: (–4; 5)

F) División de un segmento en una razón dada Las coordenadas del punto "P" se obtienen: P = A (m) + B (n) m+ n

B

Ejemplo: n

m

A = (–3; 4), B=(4; 5), determinar "P"; si n=2 y m=3

P

A

G) Superficie de una región triangular La superficie de la región triangular ABC se obtiene:

B(x B (x22; y22) A (x11; y11)) A(x

C(x C (x33;;yy33))

Colegios

154

TRILCE

xx11 yy11 xx y S ABC = 1 22 22 2 xx33 yy33 xx1 yy1 1 1 y se efectúa las operaciones

www.trilce.edu.pe

Trigonometría

7

la primera

recordar

la segunda

recordar

recordar

Síntesis teórica

Central: 619-8100

Unidad III

155

Plano cartesiano

Problemas resueltos 1. Sean: A(–2;5); B(3;–2) y C(10;b) puntos del plano. Si d(A;B) = d(B;C), halle el valor de "b", si es negativo. a) –3

b) –5

d) –8

e) –9

Resolución: C(5;7)

c) –7

L

L

D

B

Resolución: (-2 -

3)2+(5+2)2

=

(3 -

10)2+(-2

-

b = 3 / b = –7 → b= –7

L A(2;3)

2+b= ±5 Donde:

L

b)2

d (A; C) = `d= 5

(5 - 2) 2 + (7 - 3) 2 " d =

9 + 16

Luego: 2. Dado el punto A(–2;5) y B(m;8). Halle la suma de valores de "m", si la distancia de AB es 5. L 2 5= " 2 L2 25 → L2 = 25 = 2 a) –1 b) –2 c) –3 d) –4

e) –6

4. Se tiene un triángulo equilátero ABC cuyos vértices son A(–1; 2) y B(2; 6). Determina el perímetro de dicho triángulo.

Resolución:

a) 20 d) 11

B(m;8)

5

b) 15 e) 12

Resolución:

A(–2;5) d (A; B) = → 5=

B(2;6)

(m+ - 2 ) 2 + (8 - 5 ) 2 (m + 2) 2 + 9

L

L

A(–1;2)

→ 25 = 9 + (m + 2) 2

L C m=2

II. m+2=–4

m=–6

123

(m+2)2=16 I. m+2=4

Suma= –4

3. L os vértices de un cuadrado ABCD son: A(2;3) y C(5;7). Halle el área del cuadrado. a) 5 2

b) 15 2

d) 35 2

e) 45 2

Colegios

156

TRILCE

c) 10

(2+1)2+(6 - 2)2

d (A; B) =

L = 9 + 16 → L=5

Luego: Perímetro=15

c) 25 2

www.trilce.edu.pe

Trigonometría

5. Tres vértices de un paralelogramo son: A(–1; 4), B(1; –1) y C(6; 1). Si la ordenada del cuarto vértice "D" es 6, halle su abscisa. a) 5

b) 4

c) 6

d) -4

7

e) -6

Resolución: y

En la figura:

D(x;6)

i) M = A + C ii) M = B + D 2 2 " A+C = B+D & A+C = B+D 2 2

C(6;1) M

A(–1;4) 0

B(1;–1)

"(–1;4)+(6;1) = (1;–1)+(x;6) & (4;6) = (x;6)

x

∴ x=4 10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Indicar verdadero (V) o falso (F) I. El punto A(–2; –7) ∈ IIIC .........................................................................................................( ) II. El punto B(1; –2) ∈ IVC ...........................................................................................................( ) III. El punto C(–2; 4) ∈ IIC ............................................................................................................( ) 2. Determinar la distancia del punto A(– 4; 7) al punto B(4; 1). 3. Del gráfico, determine las proposiciones verdaderas: B(a; b) P(10; 5) A(6; 8)

I. a+b=16 ................................................................................................................................ ( ) II. a – b=10................................................................................................................................ ( )

4. Obtener las coordenadas de "P", si: 3 2

B(4; 7)

P

A(-1; 2) 5. ¿Qué punto se encuentra más lejos del origen del sistema cartesiano? I. (3; -4) II. (2; -1) III. (-3; 2)

Central: 619-8100

Unidad III

157

Plano cartesiano

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. El punto P(-3; 2) está ubicado en el: a) I C

b) II C

d) IV C

e) eje x

c) III C

b) II C

d) IV C

e) eje y

c) III C

3. ¿Qué punto se encuentra más lejos del origen del sistema cartesiano? a) (3; -1)

b) (2; 2)

d) (3; -2)

e) (3; 4)

c) (-1; 4)

4. ¿Qué punto se encuentra más cerca del origen del sistema cartesiano? a) (4; -2)

b) (3; 4)

d) (3; -2)

e) (4; -1)

c) (5; -1)

5. Si la distancia al origen del punto P(x+1; x - 1) es igual a 10, ¿cuál es el valor de "x"? a) 3

b) 5

d) 9

e) 8

c) 7

6. Si la distancia al origen del punto Q(x - 1; x) es igual a 5, ¿cuál es el valor de "x"? a) 4

b) –3

d) a y b

e) a y c

c) 3

7. Calcular la distancia entre P(1; -3) y Q(-5; 5). a)

17

d) 2 5

b) 13

c) 10

e) 3 10

8. Calcular la distancia entre P(–3; 2) y Q(2; –10). a)

26

d) 13

b)

37

c) 10

e) 15

9. Si el punto medio del segmento cuyos extremos son A(1; -5) y B(a;b) es M(-3; 2); calcular: k=a+b a) 1

b) 2

d) –6

e) –3

Colegios

158

TRILCE

su punto medio M(-1; 1), calcular: k=a2+b2 a) 25 d) 37

2. El punto P(4; -3) está ubicado en el: a) I C

10. Dado el segmento de extremos A(3; 2) y B(a; b) y

c) 4

b) 26 e) 50

c) 29

11. Si dos vértices consecutivos de un cuadrado son A(3; 1) y B(7; 5), calcular el perímetro de dicho cuadrado. a) 3 2

b) 4 2

d) 12 2

e) 16 2

c) 8 2

12. Si dos vértices de un triángulo equilátero son A(–1; 2) y B(2; 5); calcular el perímetro de dicho triángulo. a) 3 2

b) 6 2

d) 12 2

e) 15 2

c) 9 2

13. Dado el segmento de extremos A(1; 7) y B(-3; 5); calcular la longitud del radio vector correspondiente al punto medio de AB. a) 5

b) 26

d) 5 2

e) 10

c)

37

14. Si los vértices de un triángulo son A(1; 1), B(3; 5) y C(7; –1), calcular la longitud de la mediana relativa al mayor lado del triángulo. a)

10

d) 2 5

b)

5

c)

17

e) 3 10

15. Dado el segmento de extremos A(1; -1) y B(5; 5); halle uno de los dos puntos que trisecan a dicho segmento. a) 5 ; 1 3 d) 10 ; 1 3

b) 5 ; 3 3 e) 7 ; 1 3

c) 10 ; 3 3

16. El lado de un rombo es igual a 5 10 y dos de sus vértices opuestos son los puntos P(4; 9) y Q(-2; 1). Determine el área del rombo. a) 120

b) 130

d) 150

e) 160

c) 140

17. Halle la suma de coordenadas del baricentro de un triángulo cuyos vértices son A(3; 5) ; B(4; -1) y C(8;2). a) 3 d) 8

b) 5 e) 10

c) 7

www.trilce.edu.pe

Trigonometría


7

18. Juego: Batalla Naval La batalla naval es un juego de estrategia en el que participan dos jugadores. Se juega con el lápiz y papel, y no interviene el azar. Preparación: Antes de comenzar el juego, cada participante dibuja en un papel cuadriculado dos tableros cuadrados de 10 x 10 casillas. Las filas horizontales se enumeran de la A hasta la J, y las columnas verticales del 1 al 10. Basta con indicar las coordenadas de un disparo con un par de letra/número (por ejemplo, A6 ó J9). 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

1

A

A

B

B

C

C

D

D

E

E

F

F

G

G

H

H

I

I

J

J

2

FLOTA PROPIA

3

4

5

6

7

8

9 10

DISPAROS

En el cuadrado de la izquierda se coloca la flota propia (se muestra un ejemplo). En el cuadrado de la derecha se irán marcando los disparos que el jugador efectúa en el mar del contrincante: barcos tocados, hundidos y disparos al agua. La flota: Cada jugador dispone en su tablero izquierdo de una flota completa, sin que el contrincante vea su posición. Los barcos no pueden tocarse entre sí, es decir, que todo barco debe estar rodeado de agua o tocar un borde del tablero. La flota está formada por: 1 portaaviones (de cuatro cuadrados) 2 acorazados (de tres cuadrados) 3 buques (de dos cuadrados) 4 submarinos (de un cuadrado)

Mecánica del juego: • El turno pasa alternativamente de un jugador a otro. • En su turno, el jugador hace un disparo a una posición del mar enemigo, indicando la coordenada correspondiente (letra y cifra). Si no hay barcos en ese cuadradito, el otro jugador dice: "¡Agua!"; si el disparo ha dado en algún barco dice: "¡Tocado!"; si con dicho disparo el rival logra completar todas las posiciones del barco, debe ser "¡hundido!". En el ejemplo, un primer disparo sobre H9 sería "¡Agua!"; sobre G5, "¡Tocado!" y sobre D7 "¡Hundido!". • Gana el jugador que consigue hundir todos los barcos del rival. 1. Halle el área de aquella región triangular donde dos de sus vértices son (0;0) y (6;6). Además se sabe que el punto de intersección de sus medianas es (4/3; 4) Central: 619-8100

Unidad III

159

Plano cartesiano

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC a) 3u2

b) 6

c) 24

d) 12

e) 48

2. Los puntos A(–2;3), B(1;1), C(3; a); con a >0 y D(b;c) son los vértices de un cuadrado. Calcule: V = a + b + c a) 6

b) 10

c) 8

d) 2

e) 12

3. Si O(0;0); A(12;a) d IC y B(6;0) , donde P(4;3) es el punto de intersección de OA y BC . Si "P" divide a ambos segmentos en la misma razón, halle la suma de las coordenadas del punto "C". ( CP > PB ) a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

4. El lado desigual de un triángulo isósceles tiene por extremos los puntos A (2;–1) y B (–1;2) y los lados iguales miden cada uno 17 u. Halle el vértice opuesto al lado desigual. a) (1;1) ó (–3;–3)

b) (3;3) ó (–2;–2)

d) (5;5) ó (–2;2)

e) (–3;3) ó (3;3)

c) (4;4) ó (–1;1)

5. Se tiene los vértices de un triángulo ABC y A(2;3); B(4;5 ) y C(–2;–2). Determinar el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC a)

82 85 2

b)

42 15 2

d)

127 2

e)

41 85 2

c)

115 2

1. ¿Cuál es la distancia entre P(-1; 2) y Q(3; 4)? 2. ¿Cuál es la distancia entre P(4; -1) y Q(-1; 2)? 18:10:45

soPractica cisáb soten peccasa noC 3. ¿Cuál es la suma de coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son A(-1; 5) y B(7; 3)? 4. Del gráfico, calcular "a+b".

(a; b) M(3; 3)

(7; -1)

Colegios

160

TRILCE

www.trilce.edu.pe

Trigonometría

5. De acuerdo al gráfico, calcular "a.b". (5; 7)

9. Si dos vértices consecutivos de un cuadrado son A(-3; 1) y B(1; 3), ¿cuál es su perímetro?

7

10. Si dos vértices de un triángulo equilátero son A(1; 3) y B(3; -3), calcular el perímetro de dicho triángulo.

M(1; 3)

11. Si los vértices de un triángulo son A(-1; 1), B(3; 5) y C(5; -1), ¿cuál es la longitud del mayor lado?

(a; b) 6. ¿Qué punto se halla más lejos del origen del sistema cartesiano? a) (3; 2)

b) (-1; 3)

d) (-3; 6 )

e) (4; 0)

c) (4; 1)

7. ¿Qué punto se halla más cerca del origen del sistema cartesiano? a) (- 3 ; 2)

b) (3; 0)

d) (-2; -3)

e) (3; 2)

c) (0; -2)

8. En el gráfico, calcular la suma de coordenadas de "P". A(-1; 7)

12. ¿Qué tipo de triángulo es el mencionado en el problema anterior? a) rectángulo

b) acutángulo

d) equilátero

e) b y c

c) isósceles

13. Si los vértices de un triángulo son A(1; 1), B(-3; 7) y C(5; 5), calcular la longitud de la mediana relativa al lado BC. 14. Calcular las coordenadas de los puntos que trisecan al segmento cuyos extremos son: A(3; 8) y B(-3; -9). 15. Hallar la suma de coordenadas del baricentro del triángulo formado por los puntos A(-6; -3), B(4; 5) y C(5; -2)

2 P 1 B(5; -3)

Central: 619-8100

Unidad III

161

8

Repaso

Repaso

¿Después de cuánto tiempo se debe realizar el primer repaso? ¿Qué es la revisión consciente?

Importancia del repaso

El psicólogo alemán Herman Ebbinghaus, a finales del siglo pasado, realizó cientos de estudios que dieron mucha información sobre los ciclos de recuerdo y olvido. Ebbinghaus descubrió que la mayor parte de faltas de memoria se producen inmediatamente después del aprendizaje: En el plazo de 1 hora, se olvida más de la mitad del material original. 9 horas después, se pierde un 60% . En el plazo de 1 mes, un 80%. A pesar de esto, sabemos que si el material es revisado periódicamente, la retención puede ser óptima. El repaso refuerza las redes neuronales creadas al aprender nuevos temas y, por el proceso de consolidación, sitúa la nueva información en la memoria a largo plazo.

Colegios

162

TRILCE

www.trilce.edu.pe

Trigonometría

Conceptos básicos Aprende más... 1. Asocie correctamente mediante flechas ("θ" es agudo) cateto adyacente cateto opuesto senθ

cateto adyacente hipotenusa

cotθ


secθ


3 5 7 d) 10

a)

a) 4

2. Asocie mediante flechas, según el gráfico adjunto: c b c a a b a c b c

C

θ b

A

α

a

senα tanθ

c

B

secα

b)

17 10

3. Complete en los espacios en blanco: "Cuando tenemos: senα.cscθ=1, podemos afirmar que ......................., mientras que si tenemos la igualdad: senα=cosθ, podemos afirmar que ........................". 4. Complete en el gráfico los nombres correctos de los elementos indicados:

d) 5

b) 2 1 e) 5

a) 6 d)

1 4

Central: 619-8100

c) b2

1 3

b)

4 3

c) 2

e) 7

9. Siendo "θ" un ángulo agudo, tal que: cosθ=tan230º calcular: K= 2tanθ+secθ a) 6

b) 7

d) 5

e) 4

c) 8

10. Sabiendo que: sen4x.csc(x+24º)=1 calcular: E=4sen(4x - 2º)+1 1 3 4 d) 3

a)

d) 1

5. En un triángulo rectángulo ABC (B=90º), simplificar: K=(a.cotC+c)c

c)

8. Señale el valor de: 2 2 C=[(2sen30º+sec 45º)tan53º+tan 60º]

a) 4

b) a2 e) c

8 5

e) 1

b) 3

c) 2

e) 1

11. Sabiendo que: tan4x=cotx calcular: E=3tan(3x - 1º)

a) b d) a

c)

7. En un triángulo rectángulo, se afirma que su lado mayor resulta ser los 3/2 de un cateto. Si el mayor de los ángulos agudos del triángulo mide "α"; calcular: K= 5tanα+secα


6. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 1 y 3 cm. Si el menor de los ángulos agudos mide "θ"; calcular: 2 2 K=2cos θ - sen θ

b) 2 1 e) 3

c)

1 2

12. Desde lo alto de un poste de 20 m de altura, se ve un objeto en el suelo con un ángulo de depresión "θ" (tanθ=5/8). ¿A qué distancia de la base del poste se encuentra el objeto?

Unidad III

163

Repaso

a) 30 m

b) 18

d) 20

e) 32

c) 40

13. Desde un punto en tierra se ve lo alto de una torre con un ángulo de elevación de 15º y si nos acercamos 18 m, el ángulo de elevación se duplica. ¿Cuál es la altura de la torre? a) 9 m

b) 9 3

d) 10

e) 36

c) 18 3

14. Del gráfico, hallar "x", en función de "m" y "β" b

18. Desde dos puntos "A" y "B" en tierra, ubicados a un mismo lado de una torre, se ve su parte más alta con ángulos de elevación "α" y "β" respectivamente. Si desde el punto medio entre "A" y "B" el ángulo de elevación es "θ", calcular: cotα+cotβ E= cotθ

d)

a) mcosβ

b) msenβ

d) mtanβ

e) mcotβ

1 2 e) 3

a) 1

x

m

17. En un triángulo rectángulo ABC (B=90º); se C sabe que: b+a=3c. Calcular "tan " 2 1 1 c) a) b) 3 2 3 d) 2 e) 1

c) msecβ

15. Si en el gráfico: AD=3DB; hallar "tanθ" en función de "α".

1 3

19. Una recta pasa por los puntos M(5;2) y N(–4;–7). Hallar el punto de intersección de esta recta con el eje de ordenadas a) (0;–3)

b) (0;–2)

d) (0; –5)

e) (0;–1)

C

a

c) 2

b)

20. Hallar:

c) (0;–4)

AB , para que: OB=OC CD O

A

α

θ

tanα 4 d) 3cotα

D

a

B

b) cotα 4 e) 4cotα

a)

b

b

c) 2senα A

16. Del gráfico, calcular "h". (Dato: tan55º - tan40º=0,589)

35º º 15

B

D

C

a)

a senα b senβ

b)

a cosα b cosβ

d)

b cosβ a cosα

e)

b senα a cosβ

c)

a senβ b senα

h

20 m

a) 33,96

b) 34,2

d) 16,37

e) 20,2

Colegios

164

TRILCE

c) 18,24

www.trilce.edu.pe

Trigonometría 18:10:45

8

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "A"), reducir: P=senB.senC.tanB.a2

9. Hallar "x"

12

8 ("β" es agudo), calcular: 17 F=secβ+tanβ

2. Siendo: senβ=

18º

x

3. Calcular:

K=

10. Una escalera de 80 m de longitud está apoyada en una pared, formando 14º con el suelo. ¿A qué altura sobre el suelo se encuentra el punto de apoyo en la pared?

sen30º+cos245º sec245º+tan260º

4. Hallar el valor de "x", sabiendo que: tan (x+30º).cot 67º =1

11. Siendo: secθ=

m2- n2 hallar: H=cscθ+cotθ

5. Del gráfico, calcular "tanθ" C D

θ

A

B

C

37º

D

13. Una recta pasa por los puntos M (–5; 2) y N (4;–7) Hallar el punto de intersección de esta recta con el eje de ordenadas.

º

C

45

53º

α

12. Del gráfico, calcular "tanθ". B

B

M

6. Del gráfico, calcular "tanα".

A

("θ" es agudo)

θ

37º

A

m2+n2

14. En la figura mostrada, hallar el área de la región triangular AOB en términos de "θ" ("O" centro). D

E

B

7. Si: tan3x.tanx - 1=0; calcular: tan2x 8. Del gráfico, calcular: P=tanβ+tanθ F B C

A

θ

4

O

15. Si: sen(x - 10º)=cos(x - 40º) Halle: tan(x - 10º)

4

E A

Central: 619-8100

β θ

D

Unidad III

165

UNIDAD UNIDAD IIV

Necesidad deARMA medir EL RADAR COMO ESTRATÉGICA

EE

hombre siempre ha tenido la necesidad de medir: contar objetos, contar dinero, distancias, ll radar (radio direction and ranging, detección y localización radioeléctricas) es unmedir instrumento que emite chocanetc., contra un objeto, un diaria. monitor la presencia pesar ondas objetoselectromagnéticas o personas, medirque el tiempo, porque resultaseñalando útil para suenvida del mismo. Los ingenieros ingleses y alemanes trabajaron sobre esta técnica en los años treinta, y al La imagen muestra un instrumento de medición digital, poco conocido, para medir espacios: de una inicio de la guerra, Gran Bretaña contaba con importantes estaciones de radar a lo largo de sus costas. Los vivienda o de cualquier edificación, sin la necesidad de recurrir a una regla o cinta métrica. primeros radares eran enormes y con base en tierra hasta que en 1942 aparecieron los pequeños radares a Basado en una fórmula del triángulo, el usuario apuntar el dispositivo a los extremos del espacio que microondas, conocidos como H2 S, que podían debe colocarse en los aviones con el objeto de marcar objetivos con mayor precisión. Los alemanes se apoderaron de la técnica del radar recién en enero de 1943, cuando desea medir y la flecha rotativa más los dos brazos con detector calculan la distancia mediante rayos láser. un avión inglés provisto de radar se estrelló en su territorio, permitiéndole a los ingenieros conocer su secreto. Para entonces los aliados ya habían ideado una trampa que confundía los monitoreos alemanes por medio de papel de aluminio que se arrojaba al aire, simulando la presencia de aviones enemigos. La variante submarina era el sonar (sound navigation and ranging, detección y localización de sonido), en el esperados cual lasAprendiZajes ondas ultrasónicas penetraban en el agua a profundidades y distancias calculables. AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Comunicación Formular ejemplos de ángulos medidos en los sistemas estudiados. matemática • Codificar decodificar las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal. Resolución deyproblemas matemática • Análisis Resolver problemas que involucren la medida de ángulos en los sistemas de medición angular. • Identificar cuando un ángulo se encuentra en posición normal. Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas Resolución de problemas • estrategias de conversión en los sistemas de angular. • Aplicar Resolver situaciones problemáticas aplicando las medición razones trigonométricas de un ángulo en posición normal.


Razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida I

Movilidad articular En realidad la flexibilidad no es una cualidad física independiente, sino más bien la suma de las dos cualidades siguientes: Movilidad articular es la capacidad de movilización espacial que posee cada articulación del cuerpo. La cual se suele medir en grados de ángulo que es capaz de describir el movimiento total de los extremos de dicha articulación (en cada una de sus posibles direcciones de movimiento). Los límites de esta movilidad suelen ser las estructuras óseas o cartilaginosas, o bien la propia masa corporal. Elasticidad muscular es la capacidad que tiene un músculo o grupo muscular para alongarse (o dejarse estirar), la cual puede medirse en unidades lineales (de longitud). De ambas cualidades la más entrenable es la elasticidad muscular, mientras que el trabajo orientado hacia la movilidad articular tiene un sentido más de mantenimiento para evitar pérdidas de capacidad.

Central: 619-8100

1

Ventajas de una buena flexibilidad • Reduce la tensión muscular y relaja el cuerpo. • Mejora la coordinación de movimientos haciéndolos más libres y fáciles. • Previene daños o lesiones (desgarros, tirones, contracturas y roturas musculares, así como problemas articulares, tendinitis, etc.). • Mejora y agiliza la circulación sanguínea. • Nos permite obtener, si se realiza en condiciones adecuadas, sensaciones agradables y acelerar algunos procesos de recuperación. • Favorece la unión cuerpo, mente y espíritu, de ahí que su práctica se incluya en muchas de las modalidades orientales de actividad físico–filosófica (tai-chi, karate, kung-fu, yoga, etc.). • Facilita la relajación de la tensión y combate el estrés. • Fomenta la autodisciplina.

Unidad IV

167


Conceptos básicos Ángulo en posición normal Es aquel ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema cartesiano y su lado inicial o inicio de giro coincide con la parte positiva del eje de abscisas. Su lado final se ubicará en cualquier región del plano y será el que indica a qué cuadrante pertenece dicho ángulo. y b θ

α ∈ β ∈ θ ∈ φ ∈

a x

φ

IC II C III C IV C

Ángulo cuadrantal Es aquel ángulo canónico cuyo lado final coincide con algunos de los semi-ejes cartesianos. Se puede observar que su medida es siempre múltiplo de 90º y no pertenecen a cuadrante alguno. Algunos de ellos son por ejemplo: 90º; 180º; 270º; -90º; ... y 180º

90º

270º

x

-90º

con ellos podemos ubicar a otros ángulos, ya que representan la "frontera" entre un cuadrante y otro. Por ejemplo, ubiquemos: 120º; 310º; -140º 90º

120º 180º

310º

0º

360º

270º

-180º

-140º

0º

-90º

Colegios

168

TRILCE

www.trilce.edu.pe


Definición de las R.T de un ángulo en posición normal

1

Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo canónico se necesita de un punto perteneciente a su lado final, tal como P(x; y) para luego aplicar las siguientes definiciones: P(x; y)

y Note que:

r

r2=x2+y2

θ x

y • senθ= r

• cosθ= x r

y • tanθ= x

• cscθ= r y

• secθ= r x

• cotθ= x y

Signos de las R.T en cada cuadrante Notamos que algunas R.T. son positivas y otras son negativas; lo cual nos lleva a establecer una regla práctica para reconocer los signos de las R.T de un ángulo dependiendo del cuadrante al que pertenece.

90º

S en 180º

csc

(+)

Tan (+) cot

Positivas todas

Cos (+) sec

270º

• sen 100º 123 = + II C

0º 360º

• sec 220º 123 = III C

• tan 320º 123 = IV C

Si la R. T está en el cuadrante, entonces su signo será positivo y si la R.T. no está en el cuadrante, entonces su signo será negativo.

Central: 619-8100

Unidad III

169


sec α=

cos α=

relación relación

son

relación

sus

csc α=

r.v ord.

⇒

son

abs r.v.

r.v abs

cot α=

abs ord.

Síntesis teórica

Colegios

170

TRILCE

www.trilce.edu.pe


1

Problemas resueltos 1. Si: cos2 q = 1 ("q" ∈ IV C) calcule: 16 M = sec θ − csc θ 1 − cot θ a)

b) 1 4

15 4

d) - 1 4

Luego: y = – 5 , r=3 ∧ x=–2 ⇒ M =

c) - 15 4

e) 4

cos θ = 1 4

4

15

(q ∈ IV C)

1

e) 2

24 •• S cot a = 2, 4 = 10 ( )

−

1+

d) –2

c) 0

(−)

? ? M = sec θ − csc θ & M = sec θ + csc θ cot θ 1−S 1+ cot θ

M=

b) 1

csc α < 0 •• S

−

4 15 1 15

a) –1

Resolución:

q

4+ 1

3. Si: cot a = 2,4 ∧ csc a < 0; sabiendo además que "a" es un ángulo en posición normal, halle: P = 2 sen α + 1 cos α 4

Resolución:

+

5 c 3 m + 9 `− 2 j = − 3 − 6 = − 9 3 − 5

a ∈ III C

+

→ M=

4 c1+ c1+

1 m 15 & M= 4 1 m 15

x = 12 = − 12 & y 5 −5

x2 + y2 = 13

2. Se tiene un ángulo "q" en posición normal que verifica las siguientes condiciones: I. | cos q | = –cos q

y a

x=–12

x

II. | tan q | = tan q III. | sen q | =

13

5 3

r=

Determine el valor de: M = 5 . csc q + 9 cos q

a) –11

b) –10

d) –8

e) –6

c) –9

Resolución: I. cos q < 0 II. tan q > 0

y=–5

•• P = 2 sen a + 1 cos a 4 y •• P = 2 ` j + 1 ` x j r 4 r •• P = 2 ` - 5 j + 1 ` - 12 j = - 13 = - 1 13 4 13 13

q ∈ III C

III. | sen q | = 5 3 ("q" ∈ III C)

Central: 619-8100

(x;y)

sen q = – 5 3

Unidad III

171


10 x 5 50

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Reconocer cada uno de los elementos del gráfico mostrado: y x: y: f r P(x;y)

x

r: f:

2. Indicar las parejas correspondientes mediante flechas. A(3;2)

IC

B(7;4)

IIC

C(–3;5) D(6;–5)

IIIC

E(–3;–11)

IVC

3. Indicar la alternativa correcta de un ángulo en posición normal. y a)

x

a

b)

x

q

x

a x

b

c) f

y d)

y

y

e)

4. Del gráfico, calcular: K=senθ+cosθ y

θ

x (3 ; - 4)

5. Si el punto P (-2 ; -3) pertenece al lado final del ángulo canónico "α", calcular:

Colegios

172

TRILCE

M=

13 senα - 3cotα

www.trilce.edu.pe


1

socAprende isáb sotpmás... ecnoC ángulo canónico "f", calcular:

1. El ángulo canónico que mide 140°, pertenece al: a) IC d) IVC

A= 13 csc φ − 1 cot φ 2

b) IIC c) IIIC e) No se puede precisar

a) 1 d) 2

2. El ángulo canónico que mide 280° pertenece al: a) IC d) IVC


3. El ángulo canónico que mide –100° pertenece al: a) IC d) IVC


4. Del gráfico, calcular: M=sena+2cosa y

b) - 2 13 e) - 7 13

c) - 10 13

y

M=

a) 3 d) –5

b) –3 e) –7

c) 5

b) (–) c) (+) ó (–) e) No se puede precisar

a) (+) d) (+) ó (–)

b) (–) c) (+) y (–) e) No se puede precisar

b) –1 e) –3 10

3 5 M= sen 1704°. cos 2153°. cot 170° sec 208°. cos 160°

b) (–) c) (+) y (–) e) No se puede precisar

12. Señale los signos de: A=(sen340°+cos225°) B=(sen138° – cos255°)

(–3;–1) c) – 10 9

6. Del gráfico, calcular: M= 1 senφ - 2cosφ 2 y (–15;8) φ x b) –1 e) 3

10 secα - tanα

9. Señale el signo de: A= cos 100°. tan 340° sen210°

a) (+) d) (+) ó (–)

x

θ

a) 1 d) –2

11. Señale el signo de:

5. Del gráfico, calcular: J=secq . tanq

a) –3 d) - 1 10

10. Señale el signo de: J= sen310º. cot 152º cos 190º

x

α

c) –2

8. Si el punto P(-1; 3) pertenece al lado final del ángulo canónico "α", calcular:

a) (+) d) (+) y (–)

(–5;12)

a) 2 13 d) - 5 13

b) –1 e) –4

c) 2

a) (+); (+) d) (–); (+)

b) (+); (–) c) (–); (–) e) (+); no se puede precisar

13. Señale los signos de: P=(tan100º+cot140º)(sen250º+cos120º) L=(sen216º+cos110º)(tan208º - cot132º) a) (+); (+) d) (–); (+)

b) (+); (–) c) (–); (–) e) (+); no se puede precisar

14. ¿A qué cuadrante pertenece "q", si: cos q>0 ∧ csc q<0? a) IC d) IVC

b) IIC c) IIIC e) Es cuadrantal

7. Si el punto P(2;–3) pertenece al lado final del Central: 619-8100

Unidad III

173


17. En la figura: tan a+25 cot a=10 Calcula: 26 cos a y

15. ¿A qué cuadrante pertenece "f", si: cos f<0 ∧ cot f<0? a) IC d) IVC

b) IIC c) IIIC e) Es cuadrantal

16. ¿A qué cuadrante pertenece "θ", si:

a x

P= senθ. - cos θ es un número real?

a) IC d) IVC

b) IIC c) IIIC e) "θ" no existe

(x;y) a) –1 d) –4

b) –2 e) –5

c) –3

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 18. Si el brazo de la persona es "L" y el ángulo de giro tiene como tangente a –2,4; determinar la altura respecto de la horizontal la cual se levanta el brazo de dicha persona.

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. En la figura mostrada, "0" es el centro de la circunferencia. Si: OM=MN=NB, calcule: P=tan q.tan f y

B N

a)

Colegios

174

10

TRILCE

b) – 10 10

M O

q f

c) – 5 5

x

d) – 10 5

e) – 5 10

www.trilce.edu.pe


2. En la figura, calcular: E=tanq – tanf

1

y q

x

f 82° (–3;–4)

a) - 5 4

b) - 5 3

c) 1 4

d) 1 2

e) - 3 4

3. Si en la figura, el área de la región sombreada es 8u2 , calcule: K=cota – 3cotq y (a;4) (2a+1;3)

a x

q a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

4. Si "α" ∈ IC, determine la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. tana>sena a) VVV

II. csca>cota b) FVV

III. seca>tana

c) VFV

d) FFV

e) FFF

5. En el gráfico adjunto, APB es un sector circular con centro en "P". Además "M" es punto medio del arco AB. Calcule el valor de: J=cotw – 2tanw y P

A

30°

M

a) 5 + 3 3 2

Central: 619-8100

b) 5 - 3 3 2

w o

x

B

c) 3 + 3 5 2

d) 3 - 3 5 2

e)

3 2

Unidad III

175

Razones trigonométricas de un ángulo agudo II 18:10:45

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. El ángulo canónico que mide 316º pertenece al: a) IC d) IVC


2. El ángulo canónico que mide 170º pertenece al: a) IC d) IVC


8. Si el punto P(-1; 3) pertenece al lado final de un ángulo en posición normal "θ", calcular el valor de: E= senθ.cotθ 9. Del gráfico mostrado, calcular: E=5cosα - 21cscβ y

3. El ángulo canónico que mide -188º pertenece al: a) IC d) IVC

(3; 4)

α


0

q

x

5. Del gráfico mostrado, calcular: E=secα+tanα y

x

β

4. Del gráfico mostrado, calcular: E=secθ.cscθ y ( 6; 7 )

(20; - 21)

10. Señale el signo de: cos 110 º. cot 200º E= sec 190º 11. Señale el signo de: 2 3 sec 285 º. tan 138 º. sen 210º E= 3 csc 215º. cot 338º

12. ¿A qué cuadrante pertenece "θ", si: senθ>0 ∧ cosθ<0?

(- 5 ; 2)

α

x

0

6. Del gráfico mostrado, calcular: E=8(secθ - tanθ) y

θ

13. ¿A qué cuadrante pertenece "θ", si: cotθ<0 ∧ cscθ<0? 14. Si: tanθ=3, calcular "a". y

x

x

θ

(8; -15)

(a - 1; 4a - 1)

7. Si el punto P(6; - 8) pertenece al lado final del ángulo canónico "α", calcular el valor de: E=5cosα +6tanα

15. ¿A qué cuadrante pertenece "θ", si:

tanθ. - senθ >0?

Colegios

176

TRILCE

www.trilce.edu.pe


Razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida II

2

Costumbres lingüísticas Lamentablemente hay todavía mucha gente que todavía no entiende que este ciclo diario es causado por el movimiento de la Tierra y no por lo que el Sol hace. Esto podría explicarse un poco por el hecho que nuestras costumbres lingüísticas están siglos detrás de nuestra comprensión científica, y continuamos hablando en términos de la salida del sol y sus ocasos. El próximo ciclo que veremos no está basado en el movimiento de la Tierra, sino de la Luna, que rota alrededor de la Tierra cada 29.5 días, dándonos el concepto de mes, al aparecer en sus diferentes fases, desde la luna nueva a la luna llena. Luego está el ciclo observable del año, cuando la Tierra viaja alrededor del Sol en una órbita elíptica, tomándole 365.25 días para completar una revolución. Cuando las personas continuaron observando los cuerpos celestes, comenzaron también a notar que algunas de las luces luminosas en el cielo se movían mientras otras se quedaban relativamente estacionarias. Estos cuerpos errantes eran lo que hemos venido a conocer como los planetas. Y algunos seres humanos en todo el mundo mostraron un interés especial en sus ciclos y movimientos particulares, tejiendo un gran número de historias, mitos y leyendas.

Central: 619-8100

Unidad V

177


Conceptos básicos Ángulos coterminales

Son aquellos ángulos trigonométricos que poseen el mismo lado inicial y el mismo lado final; verificando que la diferencia de sus medidas es siempre un múltiplo de 360º. y

α

x β

"α" y "β" : canónicos y coterminales

Propiedad: Las R.T. de los ángulos coterminales son respectivamente iguales y

α

Si "α" y "β" son coterminales: R.T. (α)=R.T.(β)

x

β

Razones trigonométricas de los ángulos cuadrantales

Las razones trigonométricas de los ángulos cuadrantales se calculan de modo similar al de un ángulo canónico cualquiera. Por ejemplo, calculemos las R.T. de 180º: I. Tomamos un punto de su lado final: P(-1; 0) y

II. Identificando:

180º

x

P(-1; 0)

0º; 360º; 90º; π 2π 2 sen cos tan cot sec csc

Colegios

178

r=

x2 + y2 = 1

III. Aplicando definiciones: y sen 180º= = 0 = 0 r 1

TRILCE

x =-1 3 y=0

0 1 0 N 1 N

1 0 N 0 N 1

cos 180º= x = - 1 = - 1 r 1 180º;π 0 -1 0 N -1 N

270º ; 3π 2 -1 0 N 0 N -1

www.trilce.edu.pe

Trigonometría

2

Síntesis teórica

son

si

si poseen

propiedades

Central: 619-8100

Unidad III

179


Problemas resueltos 1. Siendo "q" y "f" dos ángulos positivos del IC y menores de una vuelta, para los cuales se cumple que: cos(2q+f) = 0. Halle el valor de: k=

5 sen (θ + φ) + 3 cos θ 5 cos θ − 3 sen (θ + φ)

a) sen q

b) 2

d) 4

e) 1

c) cos q

Resolución:

cos (2q + f) = 0 ⇒ 2q + f = 90º ("q" y "f" ∈ IC)

⇒ k = 5 sen (90º − θ) + 3 cos θ 5 cos θ − 3 sen (90º − θ)

k = 5 cos θ + 3 cos θ 5 cos θ − 3 cos θ

k = 8 cos θ ⇒ k = 4 2 cos θ

b) 140º

d) 300º

e) 420º

a) 720º

b) 90º

d) 270º

e) 360º

c) 180º

Resolución:

Sean: "a" y "q" ángulos cuadrantales

(0º < a < 360º y 0º < q < 360º) Probando en la condición: cos α + 1 + − 1 − cos α = 1 − sen θ ⇒ cos a + 1 = 0 ⇒ cos a = –1 ⇒ a = 180º ⇒ 1 – sen q = 0 ⇒ sen q = 1 ⇒ q = 90º

` a + q = 270º

2. Determinar el menor de dos ángulos coterminales, si la suma de ellos es 1320º y el mayor está comprendido entre 900º y 1200º. a) 100º

3. Dada la ecuación: cos α + 1 + − 1 − cos α = 1 − sen θ Halle "a+q", si cada uno de ellos es un ángulo cuadrantal, positivo y menor a una vuelta.

4. Si la expresión: M = θ − 2 + 4 − θ es real, calcule: R = sen q + tan q + cos q; cuando "q" es un ángulo cuadrantal.

c) 240º

Resolución:

a) –2

b) –1

d) 1

e) 2

c) 0

Resolución: 2

Sean "a" ∧ "q" : coterminales a – q = 2np, "n" ∈ a>q a – q = 360º n ................ (1)

4

Dato: a + q = 1320º ................ (2) 900º < a < 1200º ............. (3) (1) + (2): 2a = 1320º + 360ºn ⇒ a = 660º + 180º n En (3): 900º < 660º + 180ºn < 1200º 1, 3 < n < 3 ∧ n=2 ∈

Luego: a=1020º ∧ q = 300º Colegios

180

Si "M" es real: q – 2 ≥ 0 ∧ 4 – q ≥ 0 ⇒ q ≥ 2 ∧ q ≤ 4 2≤q≤4 y como "q" es cuadrantal: q=p (p=3,14...) Luego: R = sen p + tan p + cos p ∴ R = –1

TRILCE

www.trilce.edu.pe

Trigonometría

10 x 5 50

2

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Calcular: P=3sen90º+cos180º - sec0º

2. Calcular: + sen 270 º cos 180º M= csc 90º

3. Calcular: P=tan(senπ)+cos(tan2π)

4. Diga usted cuál de los siguientes ángulos no es cuadrantal I. 1530º II. 1080º III. 850º 5. Según el gráfico, hallar: senα - senθ y α x θ

Conceptos básicos Aprende más... 1. Sabiendo que: sena= 2 ("a"∈II C), calcular "cosa" 3 a) 1 3

b) – 1 3

d) – 5 3

e) – 6 3

c)

5 3

2. Siendo: tanθ= 1 ("θ"∈ IIIC), calcular: 3 K=2senθ – cosθ a) 1 4

b) – 1 4

d) – 1 10

e) – 5 10

c)

3. Siendo: senθ=– 2 ("θ" ∈ IVC), calcular: 3 P= 5 cotθ – cscθ a) 1

b) –1

d) –2

e) –4

Central: 619-8100

c) 2

1 10

4. Siendo: cosθ=– 1 ("θ" ∈ IIC), calcular: 3 P= 2 senθ + 1 tanθ 2 a) – 2 3

b) 2 3

d) – 1 3

e) 4 3

c) 1 3

5. Siendo: tanφ= 3 ("f" ! IC), calcular: 4 M=3senf – cosf a) 0 d) 2

b) 1 e) –1

c) –2

6. Siendo: cosβ =– 1 ("β" ∉ IIC), calcular: 4 1 senβ + 3 M= 2 5 a)

3 2

b) – 3 2

d)

3 4

e)

c) – 3 4

3 8

Unidad III

181


14. Reducir:

7. Siendo: senα=– 3 ; |cosa|=–cosa 5 Calcular: C=secα+tanα a) 1

b) 2

d) –1

e) – 1 2

A=

c) –2

8. Siendo: cosθ=– 2 ; |tanθ|=–tanθ 3 calcular: P=cscθ+cotθ a)

1 5

d) – 5

2 5 e) – 1 5

c)

b)

a) 9 d) –7

a) m – n

b) m+n

d) m2 - n2

e) 1

c) m2 + n2

15. Del gráfico, calcular: α−β m – sen(b – q) 2

J=2sen(a – b)+3cos c y

5

a

q b

9. Del gráfico, calcular: M=(8cosb – cosq)secq y

q

m3 sen90° - n3 cos 360°

m2 cos 0° - mn. sec 180° - n2 . csc 270°

b x

b) 8 e) –8

a) –1 d) –5

x

b) –2 e) –6

c) –3

16. Del gráfico, calcular "tana", si: OA=OB (–6; 9) A

c) 7

B 0

a

10. Del gráfico, calcular: J=(6secf+7seca)(2senf+3sena).cscf.cosa y

f

a) 5 d) 65

a) 3 2 d) – 3 4

a

b) 13 e) –65

x

b) 17 e) 20

b) –1 e) 0

y

c) 55

B M

c) 18

12. Calcular: P=2secp – sen 3π +cos2p 2 a) 1 d) –2

c) 2 3

17. Si ABCD es un cuadrado, calcular "tanθ"

11. Calcular: M=(3sen90º - cos180º)2+(sen270º - cos360º)2 a) 16 d) 19

b) – 3 2 e) – 2 3

c) 2

A

C 37º

D

a) – 3 7

b) – 7 3

d) – 7 2

e) – 4 7

θ

x

c) – 2 7

13. Calcular: Q=(2senp – sen π ) 2 +(3cosp – cos π ) 2 2 2 a) 12 d) 9 Colegios

182

TRILCE

b) 11 e) 8

c) 10

www.trilce.edu.pe

Trigonometría


2

18. Debido a que el área abdominal contiene muchos órganos diferentes, está dividida en áreas más pequeñas. Un método de división utiliza un plano sagital medio y un plano transversal que pasa a través del ombligo en ángulos rectos. Este método divide el abdomen en cuatro cuadrantes y el personal médico se puede referir fácilmente a dichos cuadrantes cuando describe un dolor o una lesión con relación a una víctima. Si a esta persona se le hace una incisión en el punto (-3; -4) indicar qué órgano de los indicados puede estar en complicaciones. a) hígado

b) bazo

c) estómago

d) apéndice

e) intestino delgado

¡Tú puedes!básicos Conceptos csc x =sen40° – cos50°+cos0°, además: tanx<0, calcule: F=3senx – 1. Si: 25 125

a) 0

b) 2

c) 4

d) 6

5 tanx. e) 8

2. Se tiene dos ángulos coterminales y se sabe que dos veces la medida del menor es a la suma de las medidas de los ángulos como 13 es a 23. Hallar la medida del menor ángulo, si se sabe que está comprendido entre 400° y 500°. a) 462°

b) 464°

c) 466°

d) 468°

e) 470°

3. Se tiene tres ángulos coterminales "a","b" y "q" que son proporcionales a los números 2; 4 y 6 respectivamente. Además el ángulo "b" es mayor que –800º pero menor que –500°. β sec c θ − m + 2 cos θ − 3 tan ^β − 127°h 3 2 Calcule: M= 2sen^2α − 270°h + sec `3α + θ j 6 a) –1/3

b) 1/3

c) –1/2

d) 1/2

m 4. Simplificar: P=sen `3n . π j . csc c 5 .π m ; sabiendo que "n" y "m" ∈ 2 2

a) ^- 1hn

b) ^- 1hm

c) ^− 1hn + m

e) 3

+

d) ^- 1hm - n

e) 0

5. Se tiene dos ángulos que se diferencian en un múltiplo de 360°. Se sabe que el cuádruple del menor es a la suma del ángulo menor más el triple del mayor, como 4 es a 5. Hallar el menor de los ángulos, si se sabe que está comprendido entre 1080° y 3240°. a) 1280°

Central: 619-8100

b) 2160°

c) 3200°

d) 3210°

e) 3230°

Unidad III

183

Resolución de triángulos rectángulos 18:10:45

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Siendo: cosβ= 2 ("β" ∈ IVC), calcular "senβ" 5 2. Siendo: tanα= 1 ("α" ∈ IIIC), calcular: 4 M= 17 cscα – cotα

3. Siendo: tanβ=– 5 ("β" ∈ IIC), calcular: 3 M= 34 senβ

10. Calcular el valor de: 3 cos 180 º sen 0 º cot 90 º + P= sen270º + tan 180º 11. Calcular el valor de: 3 π 2 cos 2π − csc + tan π 2 M= cot π − sec π + 3sen 3π 2 2 12. Calcular el valor de: E=sec[tan(sen2π)]

4. Siendo: cotθ=– 1 ("θ" ∈ IIC), calcular: 2 2 A= 2 (cscθ – cotθ)

13. Del gráfico, calcular: α−β ) - sen(β+θ) P=3cos( 2

5. Siendo: senβ=– 3 ("β" ∉ IIIC), calcular: 5 P=secβ + tanβ 6. Siendo: cosθ=– 2 ("θ" ∉ IIC), calcular: 7

M=

y θ

x

β

14. De la figura, calcular "tanα". y

8. Si: 3tanα=9 ∧ "α" ∈ IIIC, calcular: M= 5 senα + tanα que

a) 40° y 140° c) 1440° y 120° e) 2585° y 425°

x

x

θ

9. Determinar terminales.

(4;7)

a

a

184

a

y

Colegios

5 tanθ - secθ

7. Del gráfico mostrado, calcular: A=cosα – cosθ

TRILCE

pareja

son

15. En el gráfico mostrado, ABCO es un cuadrado, calcular: E=4tanα+5cotα, si: MN=NC.

ángulos

y co-

B 53º

b) 1080° y 80° d) 1250° y 150°

C

N

M A

O

α

x

www.trilce.edu.pe

us o r u sa e Th

f Geographic Na

me s

UNIDAD V UNIDAD I G e tty

Necesidad de medir

¿CÓMO UBICAR UN LUGAR GEOGRÁFICO?

E S

l hombre siempre ha tenido la necesidad de medir: contar objetos, contar dinero, medir distancias, pesar objetos o personas, medir el tiempo, etc., porque resulta útil para su vida diaria. e trata del Getty Thesaurus of Geographic Names, un vocabulario estructurado que contiene alrededor La un imagen un instrumento de medición conocido, para medir de unay de millónmuestra de nombres y otra información sobredigital, lugarespoco geográficos. Incluye todos espacios: los continentes vivienda o de cualquier edificación, sin la necesidad de recurrir a una regla o cinta métrica. naciones del mundo moderno, así como lugares históricos. Hay que remarcar, de todos modos, que el objetivo deluna TGN no es del la genealogía sino el artedebe y la apuntar arquitectura, por lo que ponen énfasis los lugares Basado en fórmula triángulo, el usuario el dispositivo a los extremos delenespacio que con alguna significación para los mismos. desea medir y la flecha rotativa más los dos brazos con detector calculan la distancia mediante rayos láser. El objeto de cada registro del TGN es una localidad, representada en la base de datos por un número de identificación. En el registro se encuentran nombres, un árbol de jerarquías (provincia, región, comuna, etc.) coordenadas geográficas, notas, fuentes de información, rol del lugar geográfico (capital de la provincia, por ejemplo). Los nombres de cada lugar geográfico incluyen el local, el nombre en inglés y en otros idiomas de AprendiZajes esperados significación para el lugar. Estos nombres están identificados por las siglas C (nombre actual), H (nombre histórico), V (nombre en el idioma oficial) y O (variante del nombre en un idioma diferente del oficial). Comunicación matemática esperados • AprendiZajes Formular ejemplos de ángulos medidos en los sistemas estudiados. Resolución de problemas Comunicación matemática • problemas que involucren la medida de ángulos en los sistemas de medición angular. • Resolver Justificar las propiedades de los ángulos complementarios y suplementarios. Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas Análisis y demostración • Aplicar Deducirestrategias las aplicaciones de los ángulos en otros cuadrantes. • de conversión en los sistemas de medición angular. Resolución de problemas • Optimizar los procedimientos en el cálculo de las razones trigonométricas de ángulos mayores que 90º.

12

Reducción Sistema sexagesimal al primer cuadrante y radial I

Reducción al primer cuadrante I

Una herramienta para la evaluación de las incapacidades laborales El conocimiento del goniómetro es antiguo; nace cuando el hombre aprendió a dividir los ángulos en grados. Son goniómetros el astrolabio y el sextante, nombres que evocan navegantes y piratas, y con los cuales se medían los ángulos con las estrellas para identificar las distintas latitudes. Su aplicación en la medicina para medir los ángulos que forman los distintos segmentos óseos a nivel de las articulaciones es también un conocimiento añejo, pero el uso regular del goniómetro como instrumento clínico necesario para ajustar con mayor exactitud la medición de los ángulos osteo–articulares ha sido hasta hace poco tiempo bastante ignorado por los profesionales. Recuerdo innumerables evaluaciones en organismos oficiales destinadas a la determinación de grados de incapacidad laboral, en las que la evaluación de los ángulos se hacía solo basándose en una apreciación visual subjetiva que daba lugar a confusión y a la formulación de estimaciones divergentes. Hoy es inadmisible que se prescinda de esta herramienta, tan simple y a la vez tan eficaz, que permite dar consistencia a las mediciones y precisión a los resultados. Una herramienta para la evaluación de las incapacidades laborales, dedicada a los médicos del trabajo, pero su utilidad excede ampliamente esta indicación; es igualmente una herramienta valiosa para quienes deben estimar incapacidades en otros foros, como el previsional y el civil, y también para fisioterapeutas, kinesiólogos y ortopedistas que pueden evaluar los resultados de sus programas terapéuticos.

Colegios

186

TRILCE

www.trilce.edu.pe

Trigonometría

Conceptos básicos Definición

Es el procedimiento mediante el cual se determinan las razones trigonométricas de un ángulo que no es agudo, en función de otro que sí lo sea.

"α": no es agudo

"β": sí es agudo

Casos

1. Ángulos positivos mayores que 90º y menores que 360º Si tenemos que calcular: R.T(θ) usamos el siguiente criterio:

El signo (±) dependerá del ángulo original "θ" y de la R.T. pedida. Por ejemplo, calculemos:

- 120º)=sen60º → sen120º= 3 • sen120º=+sen(180º 123 2 IIC

- 180º)=tan60º → tan240º= 3 • tan240º=+tan(240º 123 IIIC

cos(180º - 150º)=- cos30º → cos150º= - 3 • cos150º=123 2 IIC

2. Ángulos mayores que 360º Si tenemos que calcular: R.T.(θ), θ>360º, usamos el siguiente criterio: R.T. (θ)

R.T. (α) θ

360º q

residuo: α

Esto es posible porque "θ" y "α" van a resultar ángulos coterminales. Por ejemplo, calculemos:

• sen1500º=??

•

cos1200º=??

1500º 360º 1440º 4 60º

1200º 360º 1080º 3 120º

sen1500º=sen60º

cos1200º=cos120º=- cos(180º - 120º)

sen1500º= 3 2

cos1200º=- cos60º cos1200º=- 1 2

3. Ángulos negativos En este caso aplicamos: sen(- θ)= - senθ

csc(- θ)=- cscθ

cos(- θ)= cosθ

sec(- θ)=secθ

tan(- θ)= - tanθ

cot(- θ)=- cotθ

Por ejemplo:

• cos(- 60º)=cos60º= 1 • sen(- 30º)=- sen30º=- 1 2 2 Central: 619-8100

• tan(- 45º)=- tan45º=-1 Unidad I

187


y se

se aplica que es

el signo

para reducir

el signo

para reducir

si el

el signo

para reducir

se

se

Síntesis teórica

Colegios

188

TRILCE

www.trilce.edu.pe


3

Problemas resueltos 1. Reducir al primer cuadrante:

a) cos 150º

b) tan 200º

c) sen 320º

d) sec 115º

e) csc 240º

f) cot 345º

c) tan1240º =tan(3 × 360º + 160°) = tan160° Luego:

Resolución: a) cos 150º = cos (180º – 150º) = –cos 30º "El signo (–) se debe a que el ángulo a reducir (150º) pertenece al II C, en el cual el coseno es negativo" b) tan 200º = tan (200º – 180º) = +tan20º "El signo (+) se debe a que el ángulo a reducir (200º) pertenece al III C, en el cual la tangente es positiva". c) sen 320º = sen (360º – 320º) = –sen 40º "El signo (–) se debe a que el ángulo a reducir (320º) pertenece al IV C, en donde el seno es negativo". d) sec115º=sec(180º–115º) = –sec 65º e) csc 240º = csc (240º–180º) =–csc 60º f) cot 345º = cot (360º – 345º) = – cot 15º

a) sen 548º

b) cos 987º

tan1240° = tan160° = tan(180° – 160°) = –tan20° 3. Reducir al primer cuadrante:

a) cos (–30º)

b) sec (–274º)

c) cot (–1120º)

d) csc (–2140º

Resolución: a) cos(–30°)=cos(30°) b) sec(–274°)= sec274º=sec(360°–274°)=sec86° c) cot(–1120º)= –cot(1120°)= –cot(3×360°+40°) cot(–1120°) = –cot40° d) csc(–2140°)=–csc(2140°)=–csc(5×360°+340°) csc(–2140°) = –csc(340°)= –csc (360º – 20º) = –[–csc20º]= csc 20º

2. Reducir al primer cuadrante:

b) cos987°=cos(2×360º +267º)=cos267° Luego: cos987°=cos267°=cos(267°–180°)=–cos87°

c) tan 1240º

Resolución: a) sen548°=sen(1×360º +188°)=sen188° Luego: sen548°=sen188º=sen(188°–180°)=–sen8°

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Calcula: cos120° 2. Calcular: sen150°+2.tan217º 3. Calcula: cot 2100° 4. Calcular: sec(–30°) 5. Calcular: csc(–135º)

Central: 619-8100

Unidad III

189


sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Señale el valor de: sen120º a) 1 2

b) – 1 2

d) – 3 2

e)

8. Calcular: c)

C=cos(– 60º).sen(–240º)

3 2

d) – 3 2

2. Señale el valor de: cos330° a) 1 2

b) – 1 2

d) – 3 2

e)

a)

6 4

d) – 2 4 4. Calcular:

a)

6 4

d) – 6 6

b) – 6 4 e)

c)

c)

e) – 3 2

b) 0

d) – 1 2

e)

c)

Colegios

190

TRILCE

C=sen135º.cos(– 240º).tan1500º 6 4

b) – 6 4 e)

c)

6 6

6 3

C=cos225°.tan(–120º).sen2400° 2 4

d) – 3 2 4 c) 1 2

c) – 3 2

b) – 2 4

c) 3 2 4

e) 3 2 8

12. Reducir: C= sen40º + cos 20º - tan 80º sen140º cos 160º tan 100º a) 1 d) 3

C=cos58500º.sen10500º

e) – 1 4

e) – 6 4

a)

7. Calcular:

d) – 3 6

6 2

6 6

3 2

b) – 2 3

d)

c) – 6 2

11. Calcular:

c) 1 2

a) – 1 2

b) – 6

d) – 6 6

6. Señale el valor de: cos1200° a) 1

6

a)

5. Señale el valor de: sen1680°

d) – 1 2

6 3

a)

2 4

e) – 2 4

b) –1

e)

c) – 3 4

10. Calcular:

C=tan150º.sen315º

a) 1

3 2

C=cos(–45°).cot(–150°)

2 6

b) – 6 4

b)

9. Calcular:

3 2

2 2

3. Señale el valor de: C=sen225º.cos300º

3 4

a)

2 2

b) –1 e) –3

c) 0

13. Calcular: C=cos40º+cos80º+cos100º+cos120º+cos140º a) 0 d) 1 2

b) –1 e) – 1 2

c) 1

14. Reducir: C=sen(tan50º)+sen(tan310º) a) 1

b) –1

d) –2

e) 0

c) 2

www.trilce.edu.pe


15. Reducir: C=cos(cos70º) - cos(cos110º) a) 1 c) 2cos(cos70º) e) -1

17. Si: sen40º=k; hallar: C=tan140º.sen320º

b) 0 d) -2cos(cos70º)

16. Si: tan20º=k; reducir: C=sen160º.cos200º

a)

k 2 k +1

b)

-k 2 k +1

d)

- 2k k2 + 1

e)

-k k+ 1

a) d)

2k 2 k +1

c)

k2 1 - k2 -k 1 - k2

- k2 1 - k2 e) 2k k -1 b)

c)

k 1 - k2

3

18. Reducir: C=cos(cos40º+cos140º)+sen(sen70º+sen290º) a) 1

b) –1

d) 1 2

e) – 1 2

c) 0

¡Tú puedes!básicos Conceptos 5

/ "sen [(− 1) n x]

1. Señale el valor de: J= n 5= 1 / "cos [(− 1) n x] n=1

a) tanx

b) –5tanx

c) 5tanx

d) 1 tanx 5

e) – 1 tanx 5

d) – 1 5

e) – 3 5

sec 1232π + 2sen2003 π 2 2. Señale el valor de: M= π 3 csc 7143 − 2 cos 1437π 2 a) 1

3. Reducir: P=

c) 1 5

b) –1

5

/

π n $sen 8n 2 - (- 1) θB. +

n=1

a) senq

b) –senq

6

/

π n+1 θB. $cos 8n 2 + (- 1)

n= 1

c) –senq–cosq

d) –senq–2cosq

e) –2senq–cosq

d) 4,5

e) –4,5

4. Calcular: R=cos1°+cos2°+cos3°+...(180 términos) a) 1

b) –1

c) 0

5. En un triángulo ABC, simplificar: Q= sen (A + B) + cos (2B + C) + tan (3A + 2B + C) senC cos (A - B) tan (C - A) a) 3

Central: 619-8100

b) –3

c) 0

d) 1

e) –1

Unidad III

191

Reducción al primer cuadrante I 18:10:45

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Calcule: sen330º

10. Calcular el valor de: E= sen300º tan 315º

2. Calcule: cos240º 3. Calcule: tan300º 4. Calcule: L=sen150º.cos225º

5. Calcular: tan1200º

11. Calcular el valor de: 2 E= 2 cos 300º3- sen 120º 2 tan 135º

12. Reducir: sen 20 ° tan 50 ° C= + sen340° tan 130°

13. Calcular el valor de: E=sen150º+cos240º - tan315º

14. Si: cos10º=k, ¿a qué es igual "E"? E=sen100º.cos190º

15. Reducir: M=sen(tan70º)+sen(tan290º)

6. Calcular: cos2400º 7. Calcular: sen(-45º) 8. Calcular: L=tan(-120º).cos(-300º)

9. Calcular: L=sen(-3030º).cos(-1200º)

Colegios

192

TRILCE

www.trilce.edu.pe


Reducción al primer cuadrante II

2

Conceptos básicos Continuación de casos de reducción al primer cuadrante

4. Reducción de: R.T à π j ; a>2b b Se procede de la siguiente manera:

R.T. à π j b

R.T. `r π j b a

2b q

residuo: r

Por ejemplo, calculemos: • sen1743 π 2 4 1743 14 435 23 3 p =-1 p =sen 3≠ sen1743 ≠ 2 2

• cos3273 π 4 3273 73 1

8 409

cos3273 π =cos1 ≠p = 2 4 4 2

5. Reducción de: R.T (90º.n±θ), n ∈ Apliquemos el siguiente criterio:

El signo (±) dependerá de la R.T pedida y del cuadrante al que pertenece el ángulo original. Por ejemplo:

+ θ)=+cosθ • sen(90º 123 IIC

+ θ)=+tanθ • tan(180º 123 IIIC + θ)=- cotθ • tan(270º 123 IVC

Central: 619-8100

- θ)=- cosθ • cos(180º 123 IIC

- θ)=- cscθ • sec(270º 123 IIIC

•

p + θ)=- cotθ tan( ≠ 2 123 IIC Unidad V

193


6. Situaciones geométricas

Aplicación:

Del gráfico, calcular "tanθ"

Resolución: C

C 2a

A

A

45º

M

B θ

45º

a

α

M θ

a

B

Sea: AM=MB=a →BC=2a t C=α BM Pero: θ+α=180º θ=180º - α Luego: tanθ=tan(180º - α) tanθ= - tanα Pero: tanα= 2a ( MBC) a tanα=2 ∴ tanθ= - 2

cot( 3π –x)=tanx 2

Luego: M=(- cos x) (sec x) +(- cot x) (tan x) 1 4 44 2 4 44 3 1 4 44 2 4 44 3

Problemas resueltos 1. Reducir: J=tan( π +x).tan(p+x).sec( 3π –x) 2 2

Resolución:

Por partes:

tan( π +x)=tan(90°+x)=–cotx 2

tan(π+x)=tan(180°+x)=tanx

sec( 3π –x)=sec(270°–x)=–cscx 2

Reemplazando:

J=(–cotx)(tanx)(–cscx)

J= tan x. cot x . csc x U ` J=cscx 1 44 2 44 3 1

2. Reducir: π M=cos(p+x).csc( +x)+cot(p–x).cot( 3π –x) 2 2

Resolución:

Por partes: • cos(p+x)=–cosx • csc( π +x)=secx 2 • cot(p–x)=–cotx

Colegios

194

TRILCE

-1

-1

M=–2

3. Señalar el equivalente de: P= cos (x - 180°) sen (x - 270°) Resolución:

Por partes:

• cos(x–180°)=cos[–(180°–x)]=cos(180°–x) =–cosx

• sen(x–270°)=sen[–(270º–x)]=–sen(270°–x) =–[–cosx] =cosx - cos x ` P=–1 Luego: P= cos x

www.trilce.edu.pe


4. Del gráfico, calcular "tanq"

5. Del gráfico, calcular "tana"

4

y 17

8

a x

q

(a;b)

Resolución:

Resolución: Del gráfico, note que:

y 17

8

90° a

q

15

Del gráfico, note que: a+q=180° & tanq=–tana

a (a;b)

x

cot (90° + a) = x = a S y b 1 4 44 2IIC 44 43 Luego: –tana= a b `tana=– a b

Pero: tana= 8 15 `tanq=– 8 15 10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Reducir: sen(90°+x)= 2. Reducir: cos(270º – q)= 3. Reducir: cot(π – α)= 4. Reducir: csc( π +b)= 2 5. Reducir: sec(2p + q)=

Central: 619-8100

Unidad III

195


sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Señale el equivalente de: sen17 π 3 a) 1 2

b) – 1 2

d) – 3 2

e) –1

10. Reducir: J = csc (90° − θ) + cos (180° + θ) csc (270° + θ) cos (360° − θ) c)

3 2

b) – 1 2

d) – 2 2

e) – 3 2

c)

2 2

b) –1 e) – 1 2

c) 0

4. Señale el equivalente de: sen1321 π 2 a) 1 b) –1 c) 0 d) 1 e) – 1 2 2 5. Señale el equivalente de: cos(180°+x) a) cosx d) –cosx

b) senx e) secx

b) cosx e) –secx

c) secx

7. Señale el equivalente de: sen(270º+x) a) senx d) –senx

b) –secx e) –cosx

a) 1 d) –2

b) 2 e) 0

a) tanβ d) –cotβ

c) –1

b) cotβ e) –secβ

c) cosx

c) –tanβ

13. Reducir: M=tan(p+q).cot( 3π +q).tan(2p –q) 2 a) tanq

b) –tanq

d) –tan3 θ

e) –tan2 θ

c) tan3 θ

14. Señalar el equivalente de: J= sen (x - 180°) cos (x - 90°)

c) –senx

6. Señale el equivalente de: csc(360°–x) a) cscx d) –cscx

c) 1

12. Reducir: M=sen(90º+β).sec(180º+β).tan(270º–β)

3. Señale el valor de: cos1741π a) 1 d) 1 2

b) 2 e) –2

cos ( π + x) sen x ( π ) + 2 11. Reducir: C = + sen (π − x) cos ( 3π + x) 2

2. Señale el equivalente de: cos47 π 4 a) 1 2

a) –1 d) 0

a) 1 d) cotx

b) –1 e) –tanx

c) tanx

15. Señale el equivalente de: P=tan(x–180º).tan(x–90º).tan(x–270º) a) tanx d) –cotx

b) –tanx e) –tan2x

16. Del gráfico, calcular "tanβ"

c) cotx

C

8. Señale el equivalente de: tan(90º+b) a) –tanb d) tanb

b) –cotb e) –cscb

c) cotb

9. Señale el equivalente de: sec(360º – f) a) senf d) cscf

Colegios

196

TRILCE

b) cosf e) –secf

A

45° 1

b

c) secf a) 3

b) –3

d) – 3 2

e) – 2 3

2

B

c) 3 2

www.trilce.edu.pe


17. Del gráfico, calcular "tanq"

18. Del gráfico, calcular "tanq" y

C

q 37°

A θ

a) 3 4 d) – 3 7

x

B

D

b) – 3 4 e) – 4 7

4

(–5;–12) c) 3 7

a) – 5 3 3 d) – 5

b) – 5 12

c) – 12 5

e) –1

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Del gráfico, calcular: K=cotb+tana

C

A

a) 1

b) 2

a

37° B

b

c) –1

d) –2

e) 1 3

2. En un triángulo ABC, se sabe que: sen(A+B)+2cos(B+C)=senC; calcular: J = 1 + cos 2B + cos 2C - cos 2A 1 + sen4A + sen4B + sen4C a) 1

b) 2

c) 4

d) –1

e) 1 2

3. ¿Cuál es la medida del mayor ángulo "q" que cumple: sen 2π =–cosq; si es mayor que 3 vueltas, pero 7 menor que 4 vueltas? a) 97 π 14

b) 101 π 14

c) 103 π 14

4. Del gráfico, calcular "cosq"

d) 95 π 14

e) 99 π 14

d) – R 2r

e) – r 4R

q r

R

a)

r 2R

Central: 619-8100

b) – r 2R

c) R 2r

Unidad III

197

Reducción al primer cuadrante II

S .S 5. De acuerdo al gráfico, se verifica que: 1 2 = K c senα.senθ m . ¿Cuál es el valor de "K", si además B(1;1)? senφ S3 a

q

B

f

S1

S3

A(–3;2)

S2

C(7;–7)

a)

17 2

b) – 17 2

c)

15 2

d)

13 2

e) – 13 2

18:10:45

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Señale el valor de: L=sen135 π .cos237π 2

2. Calcular: L=cos143π.tan147 π 4

10. ¿A qué es igual: tan(x – 180º)?

11. Simplificar la expresión: E= sen (x - 270º) + cos (x - 90º) sec (x - 360º) csc ^x - 180ºh 12. Simplificar:

3. Señale el equivalente de: C=sen(180º+x)

4. ¿A qué es igual: C=2sen` 3π + xj +cos(π – x)? 2

5. ¿A qué es igual: C=3tan(90º+x)+cot(180º+x)?

E=

cos (− x) sen (360º − x) + cos (180º + x) sen^− xh

13. Simplificar la expresión: sen ` 5π + xj .sen ` 7π − xj . sec ` 9π + xj 2 2 2 E= cos (5π + x) . csc (7π − x) . cot (9π + x) 14. Del gráfico, calcular "tanθ"

C

6. Simplificar: sen (270º + x) + cos (90º + x) E= cos (360º + x) + sen (180º - x) 7. Simplificar: tan (270º + x) + cot (90º + x) E= cot (180º + x) - tan (360º - x) 8. Simplificar:

A

37° 3

θ

1

15. Del gráfico, calcular "tanθ.tanα", si: AN=5NB

tan ( π - x) . sec (π - x) .sen ( 3π + x) 2 2 E= cos (π - x)

C

M a

9. ¿A qué es igual: cos(x – 90º)?

A Colegios

198

TRILCE

B

45°

N θ

B

www.trilce.edu.pe

UNIDAD VI 3

2

2 T

Y P'

U

U'

sentido horario

R=

1

T'

P

1

1 rad O

X O O'

−π 4 H'

T ≠ 2 P t U 1

sentido antihorario

H –1

–1

−π 4

–2

UNA RECTA ORIENTADA EN LA TRIGONOMETRÍA

A

los fines de definir sen(1300p) y, en general, sen t, cos t, para cualquier número real t, pensemos en enrollar alrededor de la circunferencia unitaria una cuerda "infinitamente" larga que representa todos los números reales (la recta real). Consideremos un punto origen O’ en la cuerda que hacemos coincidir con el punto C(1,0) de la circunferencia. La unidad de medida de segmentos en la cuerda (O’U=1) es igual al radio R=1 de la circunferencia. Cada punto P (P≠C) de la cuerda, de abscisa t, es llevado en un punto P’ de la circunferencia de tal forma que la longitud del arco CP’ es |t|. Después de hacer una o más vueltas completas con la cuerda (en un sentido o en el sentido contrario), los puntos comienzan a superponerse. Por ejemplo, el punto S de la cuerda tal que O’S = CS= 1 300p = 650 x 2p es llevado en C pues se dan 650 “vueltas completas” en sentido positivo o en sentido antihorario (el contrario al movimiento de las agujas de un reloj). Este proceso de llevar los puntos de la recta sobre la circunferencia unitaria, permite definir sen t y cos t para cualquier valor de la variable independiente t. Así: sen (1300p) = sen 0 = 0 y cos (1300p) = cos 0 = 1; sen ( − 33π ) = sen ( − 4 ) = − 2 4 2 π cos ( − 33π ) = cos ( − π ) = 2 4 4 2 AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Identificar las representaciones de las razones trigonométricas en la circunferencia trigonométrica. Análisis y demostración • Analizar las razones trigonométricas utilizando la circunferencia trigonométrica Resolución de problemas • Resolver problemas de contexto real y matemático a partir de inferencias deductivas.

1

Circunferencia trigonométrica I

Circunferencia trigonométrica I Conceptos básicos Es aquella circunferencia con centro en el origen de coordenadas cartesianas y radio igual a la unidad de medida del sistema. Las razones trigonométricas de un número real se pueden definir gracias a la correspondencia natural entre los números reales y los ángulos en posición canónica, es decir, la correspondencia según la cual a cada número real "t" se le asocia al ángulo en posición canónica cuya medida en radianes es "t". En consecuencia, las razones trigonométricas del número real "t" se definen como las razones trigonométricas del ángulo que mide "t" radianes. Por ejemplo, "Sen6" significa "el seno del número real 6 o el seno del ángulo 6 en radianes" Arco en posición normal de sentido antihorario

A(1; 0)

6 C.T. (R=1)

Arco en posición normal de sentido horario

A(1; 0)

–3 C.T. (R=1)

Colegios

200

TRILCE

www.trilce.edu.pe

Trigonometría

Representación del seno El seno de un arco en la C.T. se define como la ordenada del extremo del arco. I. Elegimos cuatro arcos uno en cada cuadrante "a", "b", "q" y "f" para los cuales representaremos sus respectivos senos. II. Si comparamos los arcos "a" y "b" entonces se distingue que: senb > sena (ambos son positivos) III. Si comparamos los arcos "q" y "f" entonces se distingue que: senq > senf (ambos son negativos) b a

senb (+)

q

senq (–)

sena (+)

A

senf (–)

f

Observación • Si tenemos las ordenadas (seno) positivas entonces mayor tamaño mayor valor • Si tenemos las ordenadas (seno) negativas entonces menor tamaño mayor valor

Representación del coseno El coseno de un arco en la C.T. se define como la abscisa del extremo del arco. I. Elegimos cuatro arcos uno en cada cuadrante "a", "b", "q" y "f" para los cuales representaremos sus respectivos cosenos. II. Si comparamos los arcos "a" y "f" entonces se distingue que: cos a> cosf (ambos son positivos) III. Si comparamos los arcos "b" y "q" entonces se distingue que: cos b> cos q (ambos son negativos) b

q

cosb (–)

cosq (–)

cosa (+)

cosf (+)

a A

f

Observación • Si tenemos las abscisas (coseno) positivas entonces mayor tamaño mayor valor • Si tenemos las abscisas (coseno) negativas entonces menor tamaño mayor valor

Central: 619-8100

Unidad VI

201


Síntesis teórica

su

es

las

su

como

representada

Colegios

202

TRILCE

representada

www.trilce.edu.pe


6

Problemas resueltos 1. Ordenar los valores de sen 40º; sen 100º; sen 260º y sen 320º de mayor a menor, con la ayuda de la circunferencia trigonométrica.

3. Determine la veracidad (V) o falsedad (F) de c/u de las siguientes proposiciones I. sen 2 > sen 1 > sen 3 .................. ( ) II. sen 6 > sen 4 > sen 5 .................. ( )

Graficando en la C.T.

III. cos 6 < cos 1 < cos 5 .................. ( ) IV. cos 2 < cos 4 < cos 3 .................. ( )

100º

40º

+

Resolución: Graficando:

+

2

sen2

320º

-

cos2

2≠ . 6, 28

sen4

π = 3, 14

Respuesta: sen 100º; sen40º; sen320º; sen260º

cos4

4

2. Ordenar los valores de cos40º; cos160º; cos250º y cos350º de mayor a menor, con la ayuda de la circunferencia trigonométrica. Resolución:

Graficando en la C.T.

+ -

+ 250º

40º

350º

-

sen6 6 cos6

3≠ . 4, 71 5 2

cos5

Según la C.T. las proposiciones serán: I. V III. F

1

cos1

cos3 sen3

3

260º

160º

≠ . 1, 57 2

sen1

Resolución:

sen5

II. V IV. F

4. Si: π < x2 < x1 < p; analizar la verdad (V) ó 2 falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. sen x1 < sen x2 II. cos x1 > cos x2

Resolución:

Graficando: x2

p/2

Respuesta: cos 350º; cos 40º; cos 250º; cos 160º x1 p Según la C.T. las proposiciones serán: I. sen x1 < sen x2 II. cos x1 > cos x2

Central: 619-8100

V F

Unidad III

203


10 x 5 50

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Represente en la C.T. mostrada: sen140º y

4. En la C.T. mostrada, complete según corresponda en: y α

M

x A

P

A'

Q β

x

N

2. Represente en la C.T. mostrada: sen240º y 5. En la C.T. mostrada, hallar la longitud de PA x

M

A'

θ

B

y

A

P

x

3. Represente en la C.T. mostrada: cos310º y B'

x

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Grafique un arco positivo "b" del IIIC y representa gráficamente: senb y cosb.

a) VVV d) FVV

b) VFV e) VFF

c) VVF

2. Grafique un arco positivo "f" del IIC y representa 4. Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda: gráficamente: senf y cosf 3. Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda en:

II. cos155°>cos98°

I. sen80°>sen40°

III. cos300°>cos210°

II. sen200°>sen250°

a) VVV d) FVF

III. sen100°
Colegios

204

I. cos85°>cos15°

TRILCE

b) FFF e) FFV

c) VVF

www.trilce.edu.pe


5. Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda en:

10. En la C.T. mostrada, hallar la longitud de PB'.

II. cos20°
b) VVF e) FFV

c) FFF

6. Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda en: I. |cos100º|>|cos200º| II. |sen250º|<|sen300º| III. |sen200°|>|cos200°| a) FFV d) FVV

A

A'

III. cos10°=cos280° a) FVV d) VVV

b B P

M

I. sen40°>sen100°

b) FFF e) VFF

B' a) 1–senb d) 1+cosb

b) 1+senb e) –senb

A

A'


III. |sen240º|=|cos240º| a) FFF d) VVF

b) FVV e) FFV

c) FVF

x

B' a) 2senq d) –2cosq

II. |sen190º|<|sen280º|

c) 1–cosb

11. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada. y q B M

c) FVF

I. |cos140º|>|cos170º|

6

b) 2cosq e) senq

c) –2senq

12. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada. y B

8. En la C.T. mostrada, hallar la longitud de A'P. y B

B' M a) 1–cosq d) 1+cosq

A

P

A'

A x

A' B' q a) –senq

q

b) –2senq e) 1 cosq 2

d) 2cosq

b) –cosq e) 1–senq

c) cosq

9. En la C.T. mostrada, hallar la longitud de PB B

P

A b M

A q

B' a) 1+senb d) 1–cosb

Central: 619-8100

b) 1–senb e) –senb

c) 1+cosb

c) cosq

13. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada. y B A'

A'

M

a) – 1 senq 2 d) –cosq

M

x

B'

b) – 1 cosq 2 e) –2senq

c) –senq

Unidad III

205


14. Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda en: I. sen1>sen3 II. cos2>cos4 III. cos5>cos6 a) VVF d) FVF

b) FFV e) VVV

15. Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda en: I. sen1 > cos1 II. cos4>cos6 III. sen5>sen6

c) FFF

a) FVV d) FFF

b) VFF e) VVV

c) VVF

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 16. En una conferencia sobre la circunferencia trigonométrica, un catedrático expuso acerca de la representación de la línea trigonométrica seno y coseno. Se extendió mucho en la explicación y sus diferentes análisis. Luego en ese momento un alumno formuló preguntas: •• ¿En qué cuadrantes, crece el seno y coseno a la vez? •• ¿Cómo se determina el coverso y verso en una circunferencia trigonométrica?

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. En la circunferencia trigonométrica mostrada, el área de la región sombreada (en u2), es: y B θ

P x

A

a) 1 (1+senq+cosq) 2 d) 1 (1–senq–cosq) 2

b) 1 (1–senq+cosq) 2 e) 1 (1+senq.cosq) 2

c) 1 (1+senq–cosq) 2

! 2. En la circunferencia trigonométrica de la figura mostrada, hallar ( q – p)2n+1, donde n∈ (AR = θ ) y B

R A

A'

x

(p;q) B'

a) 22n+1

Colegios

206

TRILCE

b) 42n+1

c) –1n

d) +1

e) –22n+1

www.trilce.edu.pe


3. Si el área de la región sombreada es 0,25 u2; entonces al calcular la medida de "q" (en rad), se obtiene:

6

y

q x

a) 2π 3

C.T.

b) 3π 4

c) 9π 10

d) 5π 6

e) 7π 12

4. En la circunferencia trigonométrica mostrada, calcular el área de la región sombreada (en u2) y q

x

0

a) 1 (p–q–senq.cosq) 2 d) p–q+senq.cosq

b) 1 (p–q+senq.cosq) 2 e) p+q–senq.cosq

c) p–q–senq.cosq

5. En la circunferencia trigonométrica mostrada, calcular el área de la región sombreada (en u2) OB = AC. (sen2q=2senq.cosq) y q

A

a) 1 sen2q 2

Central: 619-8100

b) 1 cos2q 4

0 B

c) 1 sen2q 4

x C

d) – 1 cos2q 4

e) – 1 sen2q 4

Unidad III

207

Resolución de triángulos rectángulos 18:10:45

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Poner el signo (<; >; =) en: I. cos80° II. cos200°

( ) ( )

cos100° cos300°

2. Poner el signo (<; >; =) en: I. sen 20° II. cos 10° III. sen 200º

( ) ( ) ( )

7. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada. B Q a 45° A

C.T.

sen 80° cos 40° sen 300°

A'

3. Determine el área de la región sombreada en la C.T. y

B'

B

A x

0

A'

8. Ordenar en forma decreciente: cos1; cos2; cos3; cos4;

M q

C.T.

B

9. En la C.T. mostrada, determinar el valor de "x+y" B

4. Determine el área de la región sombreada en la C.T mostrada.

q

C.T.

A

A'

y M

b

P(x;y) A

A'

x

B'

10. En la C.T. mostrada, determinar: A'P. B

B' 5. De las siguientes proposiciones:

P

A'

I. Si: − π < x1 < x2 < 0 , entonces: 2 sen |x1| > sen |x2| II. Si: − π < x1 < x2 < 0 , entonces: 2 |sen x2| > |sen x1|

Indicar si es verdadero o falso

B'

Nθ

11. Ordena en forma creciente: sen1; sen2 ; sen3 12. Determinar el área de la región sombreada.


y a

I. 7x1: x2 ! 0; π /x1 < x2 y 2

x

sen(senx1)=sen(senx2) II. 7x1: x2 ! 0; π /x1 < x2 y 2

A

q

cos(senx1)=cos(senx2 ) Colegios

208

TRILCE

www.trilce.edu.pe


13. En la C.T. mostrada, hallar "tanf" en función de "q" q

y

f

15. En la C.T. mostrada, hallar B'N

6

y θ A' 45°

x

x

C.T.

C.T.

B'

N

14. Del gráfico, hallar "y" en función de "q". (0;y) M q

N

x C.T.

Central: 619-8100

Unidad III

209

2

Repaso Circunferencia trigonométrica II

Circunferencia trigonométrica II Conceptos básicos Una vez estudiadas las representaciones del seno y coseno se puede deducir:

Variación trigonométrica del seno 1

0

0

–1

<0; 90º> <90º; 180º> <180º; 270º> <270º; 360º> Seno

1

0

1

crece

0

0

decrece

–1

–1

decrece

0

crece

Variación trigonométrica del coseno 0

–1

1

0

<0; 90º> <90º; 180º> <180º; 270º> <270º; 360º> Coseno

1

0

decrece Colegios Colegios

210

TRILCE TRILCE

0

–1 decrece

–1 crece

0

0

1 crece www.trilce.edu.pe www.trilce.edu.pe

Central:619-8100 619-8100 Central:

[–1; 1]

toma de

si

0

1

es

es

1

IIC

IC

0

0

es –1

IIIC

se tiene

–1

es

IVC

0

su

[–1; 1]

toma de

si

1

es

IC

0

0

es –1

IIC

–1

es

IIIC

se tiene

0

0

es 1

IVC Trigonometría Trigonometría

Unidad III VI Unidad

8

Síntesis teórica

211

Plano cartesiano

Problemas resueltos (I) + (II): –2 ≤ 3 cos2a – 2 sen3b ≤ 5

1. ¿Qué valores puede tomar "x" para que se cumpla: senθ = x − 2 + x + 1 , siendo "q" un arco 3 2 del tercer cuadrante?

Qmínimo

Resolución:

senθ = x − 2 + x + 1 = 5x − 1 3 2 6 como: q ∈ IIIC: –1< sen q < 0 − 1 < 5x − 1 < 0 6

2 ≤ 4 + 3 cos2a – 2 sen3b ≤ 9

–6 < 5x –1 < 0 –1 < x < 1 5

–5 < 5x < 1 ` x d < − 1; 1 > 5

Resolución:

Si: "q" ∈ IIIC como: senθ = 1 − 2x 3

4. Calcule el valor máximo que toma la expresión: E = 4 sen x − 3 4 + sen x Resolución:

–4 < –2x < –1

2>x > 1 2 ` "x" ! < 1 ; 2 > 2 3. Indique el producto de los valores mínimo y máximo de la expresión: Q = 4 + 3 cos2a – 2 sen3b ; (a ≠ b)

Resolución:

Sabemos: 0 ≤ cos2a ≤ 1 –1 ≤ sen3b ≤ 1

Colegios

212

TRILCE

Pero: –1 ≤ sen x ≤ 1 1# 1 #1 5 4 + sen x 3

–1 < sen q < 0

–3 < 1 – 2x < 0

Como: E = 4 sen x − 3 − 4 + 4 4 + sen x E = − 19 + 4 4 + sen x

–1 < 1 - 2x < 0 3

Qmáximo

` Qmínimo x Qmáximo = 18

2. Si: senθ = 1 − 2x / "q" ∈ IIIC; halle la variación 3 de "x".

"Q"

3 ≤ 4 + sen x ≤ 5 − 7 # E # 1 & Emáx = 1 3 5 5

5. Calcule el intervalo de: y = (2 sen x - 1)(2 sen x + 1) Resolución:

Como: y = 4 sen2x – 1

Pero:

0 ≤ sen2 x ≤ 1

0 ≤ 4 sen2x ≤ 4

–1 ≤ y ≤ 3

0 ≤ 3 cos2a ≤ 3 ..... (I) –2 ≤ –2 sen3b ≤ 2 ... (II)

www.trilce.edu.pe

Trigonometría

10 x 5 50

7

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Sabiendo que q∈ ; señale la extensión de: C=4+3senq 2. Sabiendo que q∈ ; señale la extensión de: P=3+2cosq 3. Sabiendo que a∈ ; sume el máximo y mínimo valor de: M=4+7senα 4. Sabiendo que a∈IIC; señale la variación de: P=3+2senα 5. Sabiendo que b∈IVC; señale la variación de: A=2 - 3cosβ

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Señale la variación de:

6. Sabiendo que q∈

J=8senq+3 (q∈ ) a) [–5;6] d) [–4;10]

b) [–7;11] e) [–5;11]

c) [0;11]

E=9senq–4 (q∈ ) a) [–12;5] d) [–11;5]

b) [–13;4] e) [0;11]

c) [–13;5]

5. Sabiendo que b∈

c) [4;10]

y además:

Central: 619-8100

b) 2 e) –2

c) 0

b) <–1;4> e) <–1;5>

c) <–2;3>

9. Sabiendo que: θ∈IC; señale la extensión de: L=4senθ – 1 a) <–1;4> d) [–1;4]

cosb= 3n + 2 3 ¿cuál es la suma de los valores enteros que toma "n"? a) 1 d) –1

c) <2;5>

M=5cosa+3 a) <–1;3> d) <–2;2>

E=7–3cosf (f∈ ) b) [5;11] e) [5;12]

b) <1;5> e) <–1;1>

8. Sabiendo que: a∈IIC; señale la extensión de: c) [1;9]

4. Señale la variación de:

a) [2;5] d) [4;9]

c) 2

P=3senq+5 a) [2;5] d) <–2;5]

M=4cosq+5 (q∈ ) b) [–1;9] e) [3;9]

b) 1 e) 4

7. Sabiendo que: q∈IIIC; señale la extensión de:


a) [0;9] d) [2;8]

senq= 4n - 1 11 ¿Cuál es la suma de los valores enteros que toma "n"? a) 0 d) 3


y además:

b) <–1;3> e) [–5;3]

c) [–1;3]

10. Sabiendo que: 60° c) <–3;7> e) [–3;3]

b) <3 3 ; 9> d) <–3;3]

Unidad III

213

Plano cartesiano

11. Sabiendo que: variación de: a) [3;10] c) <3;10] e) <–10;3>

40°<α#180°; M=7sena+3

señale

la

a) [1;2] d) <1;5]

b) <3;10> d) [3;10>

P=sen2 β − senβ

b) <–2;10] e) <2;9]

a) 1 4

b) [–3;1> e) <–3;1>

b) 1 2 5 e) 2

d) 2

c) <2;10]

c) 1

16. Señale el máximo valor de:

13. Sabiendo que: f∈< π ; π ], señale la variación 3 2 de: M=8cos2f+5 a) [–3;0> d) [–3;3>

c) [1;2>

15. Señale el máximo valor de:

12. Sabiendo que: a∈<70°;270°>, señale la variación de: E=3sena+5 a) <2;8] d) <1;10]

b) [1;5> e) [1;5]

Q=cos2 θ + 4 cos θ a) –2 d) 6

c) [–3;2>

b) –3 e) 5

c) 4

17. Sabiendo que: θ∈<25; 75º], señale el rango de: M=4sen2(3θ - 45º)+1

14. Sabiendo que: y∈< 5π ; 5π ], señale el rango de: 36 12 Q=4sen2 (3y– π )+1 4

a) [1;2> d) <1;5>

b) [1;2] e) [1;5]

c) [1;5>

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 18. En la primera vuelta de las elecciones presidenciales en el Perú, la ONPE determina los dos primeros lugares para la segunda vuelta y los candidatos obtuvieron el siguiente porcentaje: Ollanta Humala Keyko Fujimori

O(x)=(2senx+35)% K(x)=(cos2 x+21)%

•• ¿Quién ganó en la primera vuelta? •• Determinar la diferencia porcentual entre dichos candidatos

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Según lo mostrado en la C.T., calcular: A= senθ + cos θ − 1 1 + cot θ q

y

B

A' 2S

A S

x C.T.

B' a) –1

b) 2

c) –2

d) 1

e) –4

2. Si "a" y "b" son ángulos menores que una vuelta, además "a" y "b" ∈ IIC ∧ a>b, entonces son correctas: I. tanb>tana a) Solo I Colegios

214

TRILCE

b) Solo II

II. tana>tanb c) Solo III

III. senb
e) II y III www.trilce.edu.pe

Trigonometría

3. ¿Qué valores puede tomar "x" para que "q" sea un arco del tercer cuadrante? senq= x − 2 + x + 1 3 2 a) - 1; 0

b) - 2; 1 5

c) - 1; 1 5

d) - 3; 2

e)

7

1; 1 5

4. Calcule el área de la región sombreada en términos de "q", si: BC=2AB y C.T. T

x B θ

A

a) –cosqu2

b) – 3 senq 2

C

c) – 3 tanq

d) – 3 cosq 2

e) – 1 cosq 2

d) –cos3

e) cos5

5. Calcule el mínimo valor de: F(q)=cos(sen2q+2senq) a) cos1

b) cos2

c) cos3

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Determinar la variación de: E=4senq–1 ("θ"∈ ) 2. Determine la variación de: A=2cosq+3 ("θ"∈ ) 3. Señale la variación de: P= 7 – 2senβ ("β"∈

)

4. Señale la variación de: M= 3 - 2cosθ ("θ"∈

)

5. Sabiendo que a∈IIC, ¿cuál es la variación de: L=3sena–1? 6. Sabiendo que b∈IIIC, hallar la variación de: L=2cosb+1 7. Calcular el producto del máximo y mínimo valor de: P=7 – 2senθ ("θ"∈ ) y además: senθ= 2n - 1 7 ¿cuál es la suma de los valores enteros de "n"?

10. Sabiendo que: 30º<α<120º, extensión de: P=4senα-1

y además: cosφ= 2n + 1 3 ¿cuál es la suma de los valores enteros de "n"?

9. Sabiendo que "φ"∈

Central: 619-8100

la

11. Sabiendo que: x∈< π ; π>, señale la variación 3 de: L=2cosx+1 12. Sabiendo que: π , señale la extensión de: P=8cosβ+1 14. Siendo: x∈< π ; 5π > 8 24 Señale la variación de:L=

8. Sabiendo que "θ"∈

señale

4 2sen `2x − π j + 1 4

15. Señale la variación de: 2

M= sen2 x − senx + 1 sen x − senx + 2

Unidad III

215

3

Circunferencia trigonométrica III

Circunferencia trigonométrica III sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. ¿Para qué valores de "k" la igualdad no se verifica: tan2 θ = 2k − 1 ? 3 a) 1 ; 3 b) 8 1 ; + 38 c) - 3; 1 2 2 2 d) B- 3; 1 B e) – $ 1 . 2 2 2. Si: q∈IVC, calcular todos los valores de "k" que verifica la igualdad: tanq= 4k - 3 7 a) - 3; 3 b) B- 3; 3 B c) 3 ; + 3 4 4 4 d) 8 3 ; + 38 4

e) R - $ 3 . 4

b) B 2 ; 1B 3 e) 8 2 ; 18 3

c)

2; 1 3

E= tan2 θ − tan θ + 7

c) ]6;10+2 3 ] e) [6;10+2 3 [

b) 6;10+2 3 d) 〈 27 ;10+ 3 〉 4

5. Si: – π
a) 82; 118 4

d) 82; 11B 4 Colegios

216

TRILCE

b) B2; 11B 4 e) 82; 5 B 2

b) [0;1]

d) [–1;1]

e) - 1 ; 1 2 2

c) 2; 11 4

c) - 1; 1

7. Si: – 7π # θ 1 π , calcular la extensión de: 24 24 E=sen( π –2|q|) 4 a) ]0;1] 1; 1 2

b) [0;1] e) ;- 3 ; 2 E 2 2

c) B 1 ; 1B 2

8. Calcular la extensión de: E= a) 8 3 ; 2B 2

d) [1;2]

4. Si: – π < θ < π , calcular la extensión de: 3 3

a) [6;10+2 3 ]

a) ]0;1]

d)

3. Si: – π
6. Si: – 3≠
| senx |+ 2 | senx |+ 1

b) 8 1 ; 3B 2 e) 8 1 ; 2B 2

c) 8 2 ; 1 B 3 4

9. Si: |2senq|∈ ]0; 3 ]; entonces: |2cosq| pertenece al conjunto: a) [1;2[ d) 1; 2

b) [1;2] e) ]0;2]

c) ]1;2]

10. De la siguiente igualdad: 2senq–1=3a; determina el intervalo solución para "a" a) 8- 1; 1 B 3 d) - 1; 1 3

b) 8- 1; 1 8 3

e) B1; - 1 B 3

c) B- 1; 1 B 3

www.trilce.edu.pe

Trigonometría

11. Sabiendo que: senx+2m=3, calcule los valores enteros que puede tomar "m" a) 1 y 2 d) 0 y 2

b) 1 y 3 e) 2 y 3

c) 13 y 7

12. Si: q∈IIC y además: cos q= m + 2 , calcule la suma de los valores 6 enteros que toma "m". a) –25 d) –22

16. Si: a∈ 8 π ; π B determinar la variación de: 6 4 E= 3 tana

b) –24 e) –18

c) –23

b) 5; 8 e) 5; 10

c) 5; 11

d) [–3;4]

c) [–4;2]

b) [ 3 ;2] 4

d) [ 2 ;2] 3

e) [ 1 ;3] 4

c) [ 4 ;4] 3

a) [–2 2 ;2 2 ]

b) [2 2 ;2+ 2 ]

c) [2 2 ;4]

d) - 2 2 ; 2 2

E=sen2 θ + 2senθ , calcula el máximo valor que puede tomar "E". a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

19. Calcula el mínimo valor de: P=(2+senx)(3–senx)

15. Si: sen2a= 2a - 3b , ¿entre qué límites se en5b contrará el valor de: a ? b a) [ 3 ;4] 2

e) [ 3 ;3[

18. Si:

cosa= m + 1 ∧ senb= m + 1 4 3 b) [–3;4[ e) [ 1 ;3] 4

d) [ 3 ;3]

c) 0; 1

e) [2– 2 ;+2+ 2 ]

14. Evalúa el intervalo común para "m" de modo que satisfaga las siguientes condiciones:

a) [–3;2]

b) [1; 3 ]

17. Si: 8 π ; 3π B, determine la variación de "n", si 2 4 además: senq= n - 2 2

13. Si: cosq= a - 5 ; siendo q∈IVC; determinar la 6 extensión de "a" a) 5; 6 d) 4; 5

a) ]0;1]

a) 4

b) 5

d) 5 3

e) 3 4

c) 5 2

20. Determine el máximo valor de: E=7senx – 3cos2y+senz – 1 (x ≠ y ≠ z) a) 3 d) 5

b) 7 e) 10

c) 4

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Señale verdadero corresponda en:

(V)

o

I. sen100º>sen140° II. sen200º>sen230° III. |sen210°|>|sen290°|

Central: 619-8100

falso

(F)

según

2. Señale verdadero corresponda en:

(V)

o

falso

(F)

según

I. Si: π < α < β < π & senα > senβ 2 II. Si: p|senb| 2 III. Si: 3π senb 2

Unidad VI

217

Circunferencia trigonométrica III

3. En la C.T. mostrada, halle la longitud de PB en función de "q". y B C.T.

10. Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda: I. tan(sen1)tan(cos3)

A' M

A P

q


x

I. Si: psenx1 2 2x 2x II. Si: 2psen 2 2 3 3 III. Si: 0
B'

4. Señale la variación de: J=3+2senx (x∈ ) 5. Señale verdadero (V) o falso corresponda en: I. cos(cos10°)>cos(cos40°)

(F)

según

12. Sabiendo que: a∈IIC y b∈IIIC, señale la intersección de las variaciones de: C=5–3sena L=3+senb

6. Ordene de mayor a menor: cos1; cos2; cos3; cos4; cos5


II. cos(cos100°)>cos(cos140°)

7. En la C.T. mostrada, hallar "PO" en función de "q" y q B M P A'

A

O

C.T. B' 8. Señale la variación de: J=3–2|cosx|; x∈ 9. Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda en cada proposición:

x x I. Si: p|cos 2 | 2 2 3π π π II. Si: pcos 2 x1 x2 14. Sabiendo que: x∈< π ; 2π ]; señale la extensión 6 5 de: J=4|cos3x|–1 15. Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda en: I. 6x∈<0; π >:tanx>senx 2 π II. 6x∈< ;p>: cosx>tanx 2 III. 6x∈< 3π ; 2p>: |tanx|>|senx| 2

I. tan50°>tan70° II. tan(sen50°)>tan(sen70°) III. tan(cos50°)>tan(cos70°)

Colegios

218

TRILCE

www.trilce.edu.pe


Repaso

4

Conceptos básicos Aprende más... 1. Indicar verdadero (V) o falso (F):

a) b) c) d) e)

I. tan100°
b) VFF e) VVV

c) FFF

2. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. |sen1–cos1|=sen1–cos1

7. Indicar el menor de los números: a) cos1 d) cos4

b) tan2; tan3; tan1

c) VFV

c) tan3; tan2; tan1 d) tan1; tan3; tan2

3. Indicar verdadero (V) o falso (F):

e) tan2; tan1; tan3

I. tan 2 > 2 >sen 2 II. 2>sen2>tan2

9. Determina el área de la región sombreada, en la C.T. mostrada:

III. 11>tan 11>sen 11 a) FFV d) VVV

b) FVV e) VVF

c) VFF B

4. Ordena de menor a mayor. sen20°; sen140°; sen240° a) b) c) d) e)

sen20°;sen140°;sen240° sen20°;sen240°;sen140° sen140°;sen20°;sen240° sen240°;sen20°;sen140° sen240°;sen140°;sen20°

Central: 619-8100

A q

cos1;cos2;cos3 cos2;cos3;cos1 cos2;cos1;cos3 cos3;cos2;cos1 cos3;cos1;cos2

6. Ordena de mayor a menor: tan10°; tan100°; tan210°

y

A'

5. Ordena de menor a mayor: cos1; cos2; cos3 a) b) c) d) e)

c) cos3

a) tan1; tan2; tan3

III. |sen3+cos3|=sen3+cos3 b) FFV e) FFF

b) cos2 e) cos5

8. Ordena en forma creciente: tan1; tan2; tan3

II. |sen2–cos2|=|cos2–sen2| a) VFF d) VVV

tan10°; tan100°;tan210° tan10°;tan210°;tan100° tan100°;tan10°;tan210° tan100°;tan210°;tan10° tan210°;tan10°;tan100°

x

B'

a) senq.cosq + b) - (senθ cos θ) 2 c) senθ + cos θ 2 d) 1 senq.cosq 2 e) - 1 senq.cosq 2

Unidad VI

219

Repaso

10. Ordena de mayor a menor: csc1; csc2; csc3. a) b) c) d) e)

csc1>csc2>csc3 csc2>csc1>csc3 csc2>csc3>csc1 csc3>csc2>csc1 csc3>csc1>csc2

I. sen(–x1)
11. Indicar verdadero (V) o falso (F) si: 3π
II. cosx1>cosx2 III. |secx1|>|secx2|

I. senx1>senx2 II. cosx1>cosx2

a) VVV d) VFF

III. |senx1|>|senx2| a) VVV d) VVF

b) FFF e) FFV

c) VFV

12. Si se verifica que: 3 π sena

13. Se tiene los números reales "x1" y "x2" que verifican la relación: –p
b) VVF e) FVF

c) VFV

14. Determine la variación de: E = 3sen2x - 1; para x ∈ lR a) [-1; 1] c) [2 ; 3] e) [0 ; 3]

b) [0 ; 1] d) [-1 ; 2]

15. Determinar la variación de: E = 5cosx - 3; para x ∈ III C

II. cosa>cosb III. tana>tanb

Colegios

220

TRILCE

a) [-1; 0] d) [-3; 3]

b) [-8; -3] e) [-1; 1]

c) [-8; 0]

www.trilce.edu.pe

UNIDAD VII

LA IMPORTANCIA DE LA IDENTIDAD

C

omo siempre digo, la mayoría de blogs están hechos por personas y para personas, esto nos da la posibilidad de imprimir mucho más que textos e imágenes en cada uno de nuestros posts y generar así una identidad. Pero ¿para qué queremos tener una identidad? Básicamente nuestra identidad nos va a servir para separarnos de los demás en un mercado bastante saturado, es decir, para que nuestros lectores o quienes lleguen al sitio rápidamente se den cuenta que no somos un blog más del montón. Entre las principales ventajas que presenta esto podemos enumerar, tal como lo hacen en Daily Blog Tips, la posibilidad de crear lectores fieles que nos reconozcan fácilmente y tal vez se identifiquen con nosotros produciéndole ganas de leer nuestras entradas y no solo escanearlas, generar una marca con su nombre e imagen y en muchos casos poder tratar temas alejados del blog mostrándose usted como “persona”. Dicha identidad no se va a crear de la noche a la mañana sino que requiere tiempo, mucha actividad en el blog susodicho y una visión clara de lo que se busca y en que parte del proceso se está. Algunos puntos que ayudarán a realizar esta tarea, será pensar en qué cosas son las que lo diferencian de los demás y explotarlas, además de ver qué es lo que están diciendo los demás sobre ti. Hay que pensar muy bien qué tipo de identidad se quiere crear, una vez que lo hayas conseguido no vas a poder arrepentirse, o mejor dicho, va a ser muy difícil revertirla. AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Discriminar identidades trigonométricas por ser pitagóricas, recíprocas y por cociente al ser despejadas algebraicamente. Análisis y demostración • Demostrar identidades trigonométricas. Resolución de problemas • Resolver problemas aplicando las identidades trigonométricas básicas.

1

Identidades trigonométricas de un ángulo simple

Identidades trigonométricas de un ángulo simple Conceptos básicos Definición Es una ecuación que involucra expresiones trigonométricas, las cuales son válidas para todos los valores de la variable donde la expresión se encuentra correctamente definida.

Identidades recíprocas Las identidades recíprocas se obtienen directamente de las definiciones de las razones trigonométricas de un arco en la circunferencia trigonométrica. t (x;y)=(cost; sent)

Q

(1;0) x2 + y2 = 1

Consideremos un arco en el segundo cuadrante, entonces las coordenadas del extremo "Q" de dicho arco son respectivamente: (cost; sent) I. csc(t)= r y

csc(t)=

1 sen (t)

III. cot(t)= x y

cot(t)=

1 tan (t)

II. sec(t)= r x

sec(t)=

1 cos (t)

Identidades por cociente y y I. tan(t)= & tan(t) = r x x r Por lo tanto:

Colegios

222

TRILCE

x x II. cot(t)= & cot (t) = r y y r Por lo tanto:

www.trilce.edu.pe

Trigonometría

Identidades pitagóricas Partimos de la condición de un punto cualquiera de la circunferencia trigonométrica. .....(*) Pero como ya hemos visto anteriormente "x" representa al cos(t) e "y" representa al sen(t). Entonces:

cos2 (t) + sen2 (t) = 1

Para deducir las siguientes, dividimos (*) entre x2. Entonces (*) queda: x 2 y 2 12 ` xj +` xj = ` xj Efectuando operaciones:

1+tan2(t)=sec2(t)

Ahora dividimos (*) entre y2: x 2 y 2 1 2 `yj +cym = cym Efectuando operaciones:

1+cot2(t)=csc2(t)

Los problemas frecuentes en este capítulo se pueden clasificar en: •• Demostraciones •• De simplificación o reducción de expresiones. •• Con condición •• Eliminación de una variable angular.

Central: 619-8100

Unidad VII

223


Síntesis teórica

Se pueden clasificar en

Producto uno

Colegios

224

TRILCE

www.trilce.edu.pe


1

Problemas resueltos Problemas sobre demostraciones Recomendaciones: •• Aquí se muestran dos expresiones: expresión 1 = expresión 2 Se elige una de ellas de preferencia en la cual se pueden efectuar operaciones. •• A partir de esta se debe llegar a la otra expresión, trabajando independientemente sin realizar ninguna operación en la otra expresión. •• Para comenzar a reducir la expresión elegida se debe llevar todo a senos y cosenos. •• Si a pesar de esto no se llegase a demostrar la identidad se debe recurrir a algún artificio del ejercicio. 1 + tgθ 1. Verifique la siguiente identidad: = tgθ 1 + ctgθ S E2 14 424 3 E1 Resolución:

2. Verifique la siguiente identidad : senθ + 1 + cos θ = 2 csc θ 1 + cos θ senθ

Resolución:

Paso 1: Elegimos el miembro en el cual vamos a trabajar: A = senθ + 1 + cos θ 1 + cos θ senθ Paso 2: Efectuar operaciones:

A=

sen2 θ + ^1 + cos θh2 ^1 + cos θh senθ

2 2 A = sen θ + 1 + 2 cos θ + cos θ ^1 + cos θh senθ

Paso 3: Reconocemos las identidades fundamentales: sen2 θ + cos2 θ = 1

A = 1 + 1 + 2 cos θ ^1 + cos θh senθ

A=

Paso 4: Simplificando y usando la identidad recíproca de la cosecante. A=

Paso 1: Elegimos el miembro en el cual se va a efectuar las transformaciones básicas de preferencia al que posee más términos.

Sea: E1 =

Paso 2: Pasemos toda la expresión a senos y cosenos, entonces tendremos:

1 + senθ cos θ Minimo común a las fracciones E1 = 1 + cos θ senθ

3. Verifique la siguiente identidad: 1 − cos θ = tan θ cos θ 1 + senθ

1 + tgθ 1 + ctgθ

Paso 3: Realizamos las operaciones inmediatas cos θ + senθ cos θ E1 = senθ + cos θ senθ

Efectuando extremos y medios

Paso 4: Simplificamos la expresión.

E1 = senθ (cos θ + senθ) cos θ (senθ + cos θ)

Paso 5: Reconocemos las identidades fundamentales E1 = senθ & E1 = tgθ lo que queríamos demostrar cos θ

Central: 619-8100

2^1 + cos θh 2 + 2 cos θ " A= ^1 + cos θh senθ ^1 + cos θh senθ

2 " A = 2 csc θ senθ

Resolución

Paso 1:Elegimos el miembro en el cual vamos a trabajar. E = 1 − cos θ cos θ 1 + senθ

Paso 2: Efectuemos las operaciones inmediatas. 2 E = 1 + senθ − cos θ (1 + senθ) cos θ

Paso 3: Reconocemos las identidades fundamentales: sen2 θ = 1 − cos2 θ

2 E = sen θ + senθ Factor común: senq (1 + senθ) cos θ

Paso 4: Simplificando

E=

senθ^senθ + 1h " E = tan θ (1 + senθ) cos θ

Unidad VII

225


Problemas sobre simplificación o reducción de expresiones Simplificar o reducir una expresión trigonométrica se debe entender que al realizar ciertos procesos la expresión debe quedar siempre comparada con la original y para esto se procederá en forma similar a los problemas de demostración. 4. Reducir la siguiente expresión: K = sec x + csc x 1 + tgx

Resolución:

Como se puede notar ya no hay que elegir la expresión o transformar porque nos la dan, entonces seguimos las secuencias anteriores.

5. Reducir: tgx E = senx + cos x + csc x sec x ctgx

Resolución:

Paso 1: Toda la expresión a senos y cosenos

Paso 2

Efectuamos las operaciones básicas. senx senx cos x cos x Extremos y medios. 1 1 E= + + 1 1 cos x senx cos x senx

Paso 1: Toda la expresión a senos y cosenos.

1 + 1 x senx cos K= 1 + senx cos x

senx senx cos x cos x E= + + cos x 1 1 senx cos x senx

2 E = sen2 x + cos2 x + sen2 x cos x

Paso 2: Efectuamos las operaciones básicas.

Paso 3:

Reconociendo las identidades como:

senx + cos x K = cos x.senx Mínimo común cos x + senx cos x

^senx + cos xh cos x K= ^cos x + senxh cos x.senx

Paso 3: Reconociendo las identidades fundamentales. 1 E = " E csc x = senx

sen2 x + cos2 x = 1 ; tgx = senx cos x

E = 1 + tg2 x , ahora la identidad pitagórica.

E=sec2 x

10 x 5 50

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Establece una correspondencia mediante flechas entre ambas columnas.

Colegios

226

TRILCE

cscx

1 senx

tanx

senx cos x

secx

1 cos x

www.trilce.edu.pe


2. Completa los espacios en blanco:

1

I. sen2x + cos2x = = sec2x

II. 1+ III. cotx= cos x

3. Demostrar: senx.cotx+2cosx=3cosx 4. Simplificar: 2 M=sen x.cotx.secx

5. Reducir: 2 P=(1 – sen x)secx

Conceptos básicos Aprende más... 1. Demostrar la siguiente identidad:

8. Simplificar:

tanx.secx.cot2x=cscx

A=senx(cscx+senx)+cosx(secx+cosx)+1

2. Demostrar la siguiente identidad:

a) 1 d) 2

sen4x.csc2x+cos4x.sec2x=1

G = 3 sec x - cos x csc x - sen x

[(senx+cosx)2 - 1]cscx=2cosx

a) senx d) cotx

4. Demostrar la siguiente identidad: (tanx+cotx)sen2x=tanx

a) 1 d) senx.cosx

b) secx.cscx e) cosx

6. Simplificar la expresión: P=senx(1+cotx)+cosx(1 - tanx) a) 1 d) 2cosx

b) 2 e) 2senx

c) senx

Central: 619-8100

b) 2tanx e) senx

b) cosx e) cscx

c) tanx

10. Simplificar:

E=

(sec2x - 1) . cotx (csc2x - 1) . tanx b) tan2x e) 1

a) tanx d) cot2x

c) cotx

11. Reducir: c) 0

7. Simplificar: M=tanx(1+cosx) - sen2x.cscx a) tanx d) 2cosx

c) 5

9. Simplificar:

3. Demostrar la siguiente identidad:

5. Reducir: M=(secx - cosx)(cscx - senx)

b) 3 e) 4

A= a) tan2x d) sec2x

sen2x–sen4x cos2x–cos4x b) cot2x e) csc2x

c) 1

c) cosx

Unidad VII

227


15. Si: x ∈ <0; p/2>, reducir:

12. Reducir: B=(3senx+2cosx)2+(2senx – 3cosx)2 a) 7 d) 13

b) 5 e) 15

H = cos3x +

c) 12

a) 2secx d) 3tanx

13. Reducir: A=

b) 4cotx e) 4senx

c) 2cosx

16. Reducir: 2 2 4 4 P=(sen x–cos x)(sen x+cos x)(sen8x+cos8x)+cos16x

1 + cot x csc x + cot x

a) senx d) cotx

1 + sen2x - sen 4 x - sen6 x

b) cosx e) cscx

a) sen16x d) 0

c) tanx

b) 1 e) 1+sen16x

c) –1

14. Simplificar: P=csc4x–cot4x–2csc2x a) 1 d) –csc2x

c) csc2x

b) –1 e) 2

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 17. La siguiente ecuación se produce en el estudio de la mecánica: senθ =

I1cos φ

2 2 Î1cos φh + Î2 senφh

Puede ser que I1 = I2 suponiendo que esto sucede, simplifica la ecuación e indica que se deduce de los ángulos "q" y "f".

18. Muchas gafas de sol han polarizado las lentillas que reduce la intensidad de luz. Cuando la luz pasa por una lente polarizada, la intensidad de la luz es cortada en la mitad. Si la luz entonces pasa por otra lente polarizada con su eje en un ángulo de "q" al primero, la intensidad de la luz otra vez es disminuida.

Eje 1 Lente 2 Luz Lente 1

Eje 2

La intensidad de la luz emergente puede ser encontrada usando la fórmula I = I0 −

I0

, donde I0 es la csc2 θ intensidad de la luz emergente y “q” es el ángulo entre los ejes de polarización. Simplifique esta expresión y determine la intensidad de luz que surge de una lente polarizada con su eje en los 30º respecto al eje original.

Colegios

228

TRILCE

www.trilce.edu.pe


1

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Si: 0
b) 2secx.cscx

c) 2secxctgx

d) 2ctgx

e) 2senx.cosx

2. Simplificar: G= ^1 - cos x. cos yh2 - sen2 x.sen2 y , si: x∈
e y∈<0;p/4> a) cosx – cosy

3. Simplificar: G =

b) 2(cosy –cosx) 2 . b−a

a) 2tgx 4. Simplificar: H =

c) 2cosx

d) cosy – cosx

e) 2(cosx – cosy)

b − a senx a . 1 + btg2 x . Donde: 0
b) 2ctgx

c) –2tgx

d) –2ctgx

e) tgx

d) –senx

e) –cosx

d) –senx

e) –cosx

2 + 2senx - senx (x ! IIC) 1 - cos x 1 - cos x

a) 1

b) –1

c) senx

tgx tgx + 1 − tgx 1 + tgx 5. Simplificar: R = − 1 + tg2 x sec2 x. csc2 x csc2 x − sec2 x ^1 + tgxh2

a) 1

b) –1

c) senx

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Simplificar: senx cos x E= + csc x sec x

9. Simplificar: E = tan x +

cos x 1 + senx

10. Simplifique:

2. Reducir: P=cotx.sen2x.secx

W=

3. Reducir: M=(tanx+cotx)cos2x

^cos α − senαh^sec α + csc αh

tgα − ctgα

11. Simplificar: E=

5. Reducir: 2 2 L=sen x.cotx+cos x.tanx

12. Simplificar: M=sec4x - tan4x - 2tan2x

4. Reducir: 2 [(senx–cosx) –1]secx

13. Reducir:

6. Reducir: E=(secx – cosx).cotx 7. Reducir: M=sen3x(1+cot2x)–(1–cos2x)cscx

E=

^senx + cos xh2 − ^senx − cos xh2

Central: 619-8100

E = ^senx − cos xh2 + ^senx + cos x − 1h^senx + cos x + 1h

14. Simplificar: M=(secx+tanx+1)(cscx–cotx–1) 15. Simplifique:

8. Simplificar:

cos x + cos x sec x + tgx sec x − tgx

senx. cos x

R=

^sec2 x + sen2 x − tg2 xh2 − cos 4 x

^csc2 x + cos2 x − ctg2 xh2 − sen 4 x

Unidad VII

229

2

Sistema Identidades sexagesimal, trigonométricas centesimal deyuna radial variable parte II

Identidades trigonométricas de una variable parte II

Nuestro conocimiento de Varahamihira es muy limitado. De acuerdo con una de sus obras, fue educado en Kapitthaka. Se sabe, sin embargo, que trabajó en una importante escuela de matemáticas en Ujjain alrededor del año 400 d. C. El trabajo de Varahamihira en esta institución aumentó la importancia de dicha escuela, lo que la mantuvo durante un largo periodo como uno de los dos principales centros matemáticos de la India, con Brahmagupta como su gran figura . La obra más famosa de Varahamihira fue Pancasiddhantika (Los cinco cánones astronómicos) de 575 d. C. Este trabajo es importante en sí mismo y también porque informa acerca de los textos indígenas perdidos más antiguos. La obra es un tratado de astronomía matemática que resume cinco tratados astronómicos anteriores, a saber, la Surya, Romaka, Paulisa, Vasistha y Paitamaha Siddhantas Shukla. Algunos resultados trigonométricos importantes atribuidos a Varahamihira son los siguientes: sen2 x + cos2 x = 1

senx=cos ` π − xj 2 1 - cos 2x = sen2 x 2

Pancasiddhantika es un compendio de los conocimientos de astronomía de los griegos, los egipcios, los romanos y los hindúes. Su investigación en astronomía occidental fue exhaustiva. En cinco secciones, su monumental trabajo progresa a través de la astronomía indígena y culmina en dos tratados de la astronomía occidental, que muestran cálculos basados en estimaciones griegas e hindúes, e incluso mejora la precisión de las tablas de Ptolomeo.

Colegios Colegios

230

TRILCE TRILCE


Trigonometría Trigonometría Razonamiento Matemático

3

Síntesis teórica

Estos son

Central: Central:619-8100 619-8100

Unidad UnidadVII I

231


Problemas resueltos Problemas condicionales 2 b2 − 1 Si la condición es complicada debemos simplificarla 2senx.cosx=b − 1 " K = 2 y así obtener una expresión que puede ser la pedida o que nos permita hallar fácilmente lo que nos piden. Problemas sobre eliminación Estos ejercicios consisten en que a partir de ciertas 1. Calcule: senx.cosx relaciones trigonométricas debemos encontrar relaciones algebraicas donde no aparezca ninguna Si: a = b senx cos x razón trigonométrica. Por lo general para estos tipos de problemas se deben recordar las identidades Resolución: pitagóricas. Del dato: a = b & senx = a senx cos x cos x b 4. Si: sena= x - 2 y cosa= y - 3 , determinar la ecuación cartesiana que determina dichas a2 condiciones. +b 2 Por lo tanto: tgx= a → a b Resolución: x b Reemplazando en lo que nos piden: a b senx.cosx= por lo tanto: . 2 2 2 a +b a + b2

senx.cosx= 2ab 2 a +b

2. Si: sen2 x + sen2 y = 1 8 Halle:

Resolución:

Convirtiendo toda la expresión en términos del dato: A=(1–sen2 x )(1 - sen2 y )– sen2 x.sen2 y Efectuando operaciones inmediatas: 2

2

2

2

A=1 − sen x − sen y + sen x.sen y − sen x.sen y

Después de simplificar se obtiene:

2

A=1–[ sen x + sen y ] usando el dato: A=1– 1 " A = 7 8 8

3. Si: senx+cosx=b, determinar el valor de: K=senx.cosx

Resolución:

Recordemos que entre el "senx" y el "cosx" existe una identidad ^sen2 x + cos2 x = 1h entonces nuestra condición al cuadrado. (senx+cosx) 2 = b2 " sen2x + 2senx. cos x + cos2x = b2 Continuando la simplificación:

Colegios

232

TRILCE

2

Resolución:

Notemos que las condiciones se encuentran en secante y cosecante por lo tanto llevemos a senos y cosenos.

cos α = 3 ........(1) ∧ senα= 2 .................(2) x y

2

2

2

5. Si: x= 3seca y= 2csca Hallar una relación entre "x" e "y" independiente de "α"

A= cos2 x. cos2 y - sen2 x.sen2 y

2

6 x − 2 @ + 6 y − 3 @ = 1; efectuando operacio-

nes tenemos: x–2+y–3=1" x+y=6

Sabemos que entre seno y coseno existe una relación (identidad) por lo tanto comencemos por ahí. Sabemos: sen2 α + cos2 α = 1 Reemplazando en esta identidad obtenemos:

Usando la identidad del ejercicio 4 obtenemos: 2 2 ` 3 j + c 2 m = 1. Por lo tanto: 9y2 + 4x2 = x2 y2 x y

www.trilce.edu.pe


10 x 5 50

4

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 2 2 1. Si: senx+cosx=1, determinar el valor de: G= sen x - cos x senx - cos x

2. Si: sen2x = cos x, determina el valor de: H=cosx+cos2x 3. Si: nsenx+cosx=1, determinar el valor de: K=cscx–cotx 4. Si: sen4x - cos4x = n, determina el valor de: cos2x 5. Si: tanq= a , determinar: G=senq.cosq b

Conceptos básicos Aprende más... 1. Si: 1+tgx=asecx; 1– tgx=bsecx Calcular: a2+b2 a) 1

b) –1

d) – 1 2

e) 2

6. Si: acosx+bseny=aseny+bcosx, calcular: K= sen2 x - cos2 y c) 1 2

a) ±a d) b

a) ±n

a) 1

b) –1

d) – 1 2

e) 2

d) n–1

c) 1 2

2 a) n - 1 2

2 b) n + 1 2

a) ±n d) n–1

d) n2 + 1

e) 1 - n2

c)

2 n2 - 1

4. Si: senx–cosx=n; obtener:

M=6sec x - csc x @

-1

2

b) n + 1 2n e) 1–n2

c) 1 - n 2n

5. Si: asenx+bcosx=a Determina: K=acosx–bsenx a) ±a d) b

Central: 619-8100

b) ±b e) ±1

b) ±n–1

c) n

e) ±1

8. Si: cscx+ctgx=n Determina: B=cscx–ctgx

3. Si: senx+cosx=n; obtener: M=tgx+ctgx

a) n - 1 2n 2 d) n + 1

c) a

7. Si: secx–tgx=n Determina: B=secx+tgx

2. Si: 1+ctgx=acscx 1– ctgx=bcscx Calcular: a2+b2

2

b) ±b e) 0

2

b) ±n–1 e) ±1

c) n

9. Si: 3senx+4cosx=5; determina: R=2senx+cosx a) 1

b) –1

d) – 1 2

e) 2

c) 1 2

10. Si: 5senx+12cosx=13; determina: R=3senx+2cosx a) 1 d) –3

b) –1 e) 2

c) 3

11. Si: tgx+ctgx=k Determine: E=(1+tgx)2+(1+ctgx)2 c) a

a) k2+2

b) k2–2

d) k(k–1)

e) 2k(k+2)

c) k(k+2)

Unidad I

233


14. Si: ctgx+ctg2x+ctg3x=1 Calcular: E=tgx–tg2x+ctgx

12. Si: cscx–senx=k Determine: E=(cscx+1)2+(senx–1)2 a) k2+2k+4

b) k2–2k

d) k(k–1)

e) 2k(k+2)

c) k(k+2)

a) 1 d) 2

2x+tg3x=1

13. Si: tgx+tg Calcular: E=ctgx+tg3x a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

b) –1 e) 1 2

c) –2

15. Si: 4cos2a+4cosq.cosa+1=0 Calcular:

c) 3

G=sec2a + cos2q

a) 3 d) 9

b) 2 e) 7

c) 5

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 16. El sistema vascular consta de vasos (arterias, capilares y venas) que llevan la sangre desde el corazón hasta los órganos y de regreso a aquél. Este sistema tiene que trabajar de manera que se minimice la energía consumida por el corazón al bombear la sangre. En particular esta energía se reduce cuando se baja la resistencia de la sangre. Una de las leyes de Poiseville de la resistencia de la sangre es: R=C L4 r Donde: L r

: Es la longitud del vaso sanguíneo. : Es el radio.

C

: Es una constante positiva determinada por la viscosidad de la sangre.

En la figura se muestra un vaso sanguíneo principal con radio r1 el cual se ramifica formando un ángulo "q" hacia un vaso más pequeño de radio r2 .

C

r2

A

r1

b

q B a

Aplique la ley de Poiseville para demostrar que la resistencia total de la sangre a lo largo de la trayectoria ABC es: R = Ce

a − bctgθ b csc θ + o r14 r24

Pruebe que la resistencia se minimiza cuando: cos θ =

r24 r14

Encuentre el ángulo óptimo de ramificación cuando el radio del vaso sanguíneo menor es los dos tercios del radio mayor. Colegios

234

TRILCE

www.trilce.edu.pe


4

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Si: cos2x + sen4x=n, ¿a qué es igual: Y=sen6x+cos6x? a) 3n+2

b) 3n+1

c) 3n–2

d) 3n–1

e) 3n–3

d) 2 - 17 2

e) 3 - 17 2

2. Si: senx+sen3x=cos4x; halle: A=senx+cscx, (x∈II C) a) 1 + 17 2

b) 1 - 17 2

c) 2 + 17 2

3. Si: sen2x+csc2x=7; (x∈IIIC), halle el valor de: E=sen4x–cos4x+3 5 a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

d) k6 - 3k 4

e) k6

d) 41

e) 51

4. Si: tgx+ctgx=k, calcule: G=sec6x + csc6x a) k6 - 2k 4

b) 2k 4 - k6

c) 3k 4 - k6

5. Si: secx–tgx=3, entonces el valor de: V=9[sec4x – tg4x] a) 1

b) 21

c) 31

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1 + senx + tgx = k ; hallar: 1 + cos x + ctgx E= sec x - cos x csc x - senx

1. Si:

2. Si: senx= 119 , hallar el valor de: cosx 169 3. Sabiendo que: sena+cosa= 1 3 Obtener el valor de: M=(1–sena)(1–cosa)

6. Si: 16cos2 u + 3sen2 u = 7 Calcular el valor de "tg u" 7. Si: ^ tgθ + ctgθh ^ tgθ + ctgθh ^ tgθ + ctgθh = 128

Hallar el valor de: G=secq.cscq 8. Si: a2 − cos2 θ − sec2 θ = 2 Encontrar el valor de: P=senqtgq+2cosq

4. Si: cosx= 1 3 Calcular: ^1 + senx − cos xh2 E= 1 + senx 5. Si se cumple que: asecq+bcosq=b Hallar el valor de: E=sen2 q+cosq

Central: 619-8100

9. Si: A=senq–sen2q+sen3q–sen4q+ B=senq+sen2q+sen3q+sen4q+ C=cos2q+cos4q+cos6q+cos8q+ Hallar el valor de: G=A.B.C.

Unidad I

235

Identidades trigonométricas de una variable parte II

10. Hallar el valor de "k" para que la igualdad sea una identidad: 2

^sec θ − tgθh = 1−k ^sec θ + tgθh2 1 + k 2

2

tg x − ctg x 11. Dado: a = b ; hallar: T= tgx ctgx sec2 x + csc2 x 12. Si: senx+cosx=n; obtener: M=tgx+ctgx+secx+cscx

Colegios

236

TRILCE

13. Si: ctgkx=kctgx; hallar: (A–B) en la igualdad: cos2 kx = A 2 cos x 1 + B cos2 x 14. Dada la expresión: 5cosx+senx=1 Calcular: H= cos x 1 + senx 15. Si: cscx–ncsc(nx)=0 Calcule: E = 1 + csc2 (nx) 1 + sen 4 (nx) − 2sen2 (nx) − 12 ctg2 x n

www.trilce.edu.pe


Identidades trigonométricas auxiliares

3

Introducción: finalizando el proceso Montaje En esta área se completa la carrocería desnuda con todas las piezas necesarias. Para ello se suelen desensamblar las puertas y en ocasiones también la puerta del maletero para ser ensamblados de forma paralela y así facilitar el acceso al interior del vehículo. Se comienza con el arnés de cables (diferente según los equipamientos especiales del vehículo) para ir poblando el interior poco a poco, revestimientos, módulo de climatización, volante y eje, salpicadero, asientos, etc. En paralelo se ensambla el motor con la transmisión y los ejes. La unión del cuerpo del vehículo y la parte inferior se denominaba boda. Finalmente se ensamblan las puertas desensambladas al comienzo del montaje, se rellena el vehículo con todos los líquidos necesarios (ej. aceite de motor, refrigerante, líquido de frenos, etc.). Al igual que en la producción de automóviles en serie primero se preparan las piezas principales (chasis) para luego iniciar el acabado. Las identidades auxiliares son también como la parte última del acabado de un ejercicio porque esta permite terminarla apropiadamente.

Central: 619-8100

Unidad VII

237


Conceptos básicos El empleo de las identidades auxiliares nos permite que las relaciones algo más complicadas se puedan reducir de una manera más simple y con menos exigencia algebraica, aquí indicamos algunas de ellas y sus respectivas aplicaciones:

Demostración: S = tgx + cotx (llevando todo a senos y cosenos) S = sen x + cos x cos x sen x

2 2 S = sen x + cos x sen x cos x

Reconociendo el numerador nos queda: S=

1 sen x cos x

S=

1 . 1 sen x cos x

Identificando las identidades recíprocas tenemos: S = cscx.secx entonces logramos demostrar nuestra identidad. tgx + cotx = secx.cscx

Demostración: S = sec2x + csc2x (llevando todo a senos y cosenos) S=

1 + 1 cos2 x sen2 x

2 2 x S = sen x2 + cos 2 sen x cos x

Reconociendo el numerador nos queda: 1 S= 1 . 1 S= 2 2 sen2x cos2x sen x. cos x Identificando las identidades recíprocas tenemos:

S = csc2x.sec2x entonces logramos demostrar nuestra identidad.

sec2x+csc2x = sec2x.csc2x

Demostración: Sabemos que: sen2x + cos2x = 1, como deseamos encontrar términos de exponente 4 entonces elevamos al cuadrado cada miembro. (sen2x+cos2x)2 = (1)2 efectuando el binomio, obtenemos: 4x + 2sen2xcos2x + cos4x = 1 sen Llevando el término central al segundo miembro: sen4x + cos4x = 1– 2sen2xcos2x

Demostración: Obramos tan igual que en la identidad anterior pero ahora elevamos al cubo nuestra identidad fundamental: sen2x + cos2x = 1, como deseamos encontrar términos de exponente 6 entonces elevamos al cubo cada miembro. Colegios

238

TRILCE

www.trilce.edu.pe


(sen2x+cos2x)3 = (1)3

Llevando el término central al segundo miembro: sen6x + cos6x = 1– 3sen2xcos2x

Demostración: G = (1±senx±cosx)2 Efectuando el trinomio 1 G = 12+sen2x+cos2 x±2senx±2cosx±2senxcosx

Reconociendo la identidad básica: G=2±2senx±2cosx±2senxcosx Agrupando adecuadamente: G=2(1±senx)±2cosx(1±senx) Seguimos agrupando: G=2(1±senx)(1±cosx)

efectuando el binomio obtenemos: 1 sen6x+3sen2xcos2x(sen2x+cos2x )+cos6x = 1

3

Síntesis teórica

son

es

es

es

Central: 619-8100

es

es

Unidad VII

239


Problemas resueltos

1. Simplificar: G=sen x(tgx+cotx)

Resolución:

Aplicando la identidad auxiliar: G = senx ( tgx + cotx ) G=senx . secx . cscx

Resolución:

Aplicando la identidad auxiliar: G = 1+tg2x + 1 + cot2x G = sec2x+csc2x Recordemos un teorema en álgebra:

sen2x –2senx.cosx+ cos2x = 3/2; recordemos que: sen2x+cos2x= 1 nos queda: 1 – 2senxcosx = 3/2

secx . cscx Por lo tanto: G = secx

2. Determinar el mínimo valor de: J = sec2x.csc2x

x + 1 $ 2; x ! x

G = 2 + tg2x +

+

1 tg2x

Gmin = 4

$2 3. Siendo: senx – cosx = K = sen4x + cos4x

3 , determinar: 2

De la condición elevamos al cuadrado cada miembro: (senx – cosx)2 = ( 3 ) 2 2

Donde nos queda: senx.cosx = –1/4 reemplazando en "K" obtenemos: K = 7/8 K = 1 – 2(–1/4)2

6 6 4. Reducir: S = sen x + cos x - 1 sen 4 x + cos 4 x - 1

Resolución:

Reemplazando las identidades en:

6 6 S = sen x + cos x - 1 sen 4 x + cos 4 x - 1

2 2 Obtenemos: S = 1 − 3sen x cos x − 1 2 1 − 2sen x cos2x − 1

Simplificando queda: 2 2 S = − 3sen x cos x − 2sen2x cos2x

Resolución:

Aplicando nuestra identidad "K" se convierte en: K=1–2sen2xcos2x, por lo tanto nos falta encontrar el producto "senx cosx".

S = − 3 −2

S = 3 2

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Reducir: S = cos x (tan x + cot x) 2. Reducir: 2 (senx + cos x) - 1 M= 2 cos x

3. Si: sen2x.cos2x= n; calcula: J=sen4x+cos4x 4. Calcular: H= 3(sen4x+cos4x)–2(sen6x+cos6x) 5. Si: tanx+cotx=3, calcule: M=senx.cosx

Colegios

240

TRILCE

www.trilce.edu.pe


3

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Reducir: G = senx.cosx(tanx+cotx)+1 a) 1 d) –2

b) 2 e) 1 2

c) –1

a) 1 3 d) 4 3

2. Reducir: H=(secx.cscx–cotx)cosx a) senx d) cosx

b) cotx e) secx

3. Si: senx + cosx = F = senx.cosx a) 1 8 d) 1 2

c) 1

9 ; determinar: 8

b) 1 4 e) 3 16

c)

1 16

b) 3 4 e) 1 8

c) 3 8

b) 23 e) 7

d) –3

c) 25

b) 4 e) 7

c) 5

M=sec2x.csc2x - cot2x - tan2x b) 2 e) –1

c) 0

8. Simplificar: 4 4 6 6 A = sen x + cos x - sen x + cos x 2 3

a) 1 2

b) 1 3

d) – 1 6

e) – 1 2

Central: 619-8100

b) 1 4 e) 1 12

c) 1 8

b) 2 e) 1 2

c) –1

b) 2 e) 1 2

c) –1

13. Si se cumple que: sen4x+cos4x = k ; determinar el valor de:

a) 3(1–k)

b) –(1+k)

d) 3 (1–k) 2

e) 1 (1–k) 2

c) 3 (1+k) 2

14. Si se cumple que: sen6x+cos6x = k ; determinar el valor de: M=(senx–cos3x)2+(senx+cosx)2 + (cosx–sen3x)2

7. Simplificar: a) 1 d) –2

M=(senx+cos3x)2 + (senx–cosx)2 + (cosx+sen3x)2

6. Si: tanx - cotx= 3 ; calcular: G = tan2x + cot2x a) 3 d) 6

c) 1

12. Reducir: T = [1–(sen6x+cos6x)](sec2x + csc2x) a) 3

G = tan2x + cot2x

11. Reducir: T = (sen4x+cos4x – 1)(sec2x + csc2x) d) –2

5. Si: tanx + cotx =5; calcular: a) 3 d) 27

a) 1 2 d) 1 6

b) 2 3 e) 5 3

10. Si: tanx+cotx = 4 calcular: (senx–cosx)2

a) 1

4. Si: senx – cosx = 1 ; determinar: 2 F = senx.cosx a) 1 2 d) 1 4

9. Si: tanx+cotx = 6 calcular: (senx+cosx)2

c) 1 6

a) 2(1–k) d) 3 (1–k) 2

b) k+2

c) (1+k)

e) (1–k)

15. Calcular el mínimo valor de: C= sec2x+csc2x+2secx.cscx a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

Unidad VII

241


Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 16. Los sistemas hidráulicos se utilizan a menudo para levantar objetos, por ejemplo, motores de automóviles. Es necesario que el diseñador del sistema comprenda la relación entre presión, fuerza y área, para que pueda lograr que el sistema funcione adecuadamente.

En esta oportunidad un brazo hidráulico

y

C

B 2,4m

3,0m

A

x

1,7m

1,7m

Tenemos el esquema del comportamiento del brazo (ver figura) B

A

q E

D

C

2m

Determinar: K = (AE + CD)máx

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Halle el valor de “k” para que el valor de la expresión "P" sea una constante o no dependa de “x”. P = (sen4x–cos4x)2 + 3ksen2x cos 2x a) 1 3

b) 2 3

c) 4 3

d) 3 4

e) 3 2

2. Si: tgx + ctgx = m, exprese: E=sen4x+cos4x en términos de “m”: a)

Colegios

242

m2-2 m2

TRILCE

2 b) m + 2 m

2 c) 2 - m m

2 d) m - 1 m

2 e) 1 - m m

www.trilce.edu.pe


π 3. Si: x ∈ <0 ; > 4 Reducir: E=senx+ a) 0 4. Si:

1-

3

2 tgx+ctgx

b) senx

c) cosx

d) 2

e) 1

cos x = m, determinar el equivalente de: P = 1 (1 + senx + cos x) 1 + senx 2 2 b) 1 + m 1+m

a) 1 + m 1 + m2 5. En la identidad:

2 d) m + m m2 + 1

c) 1 - m 1 - m2

e) 1 − m 1 + m2

senx cos x = a sen x + b cos x + c , determinar: S= |a| + |b| + |c| 1 − senx + cos x b) 1 2

a) 0

c) 3 2

d) 1

e) 2 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Si: senx + cosx = 1 , calcular: 5 4x(1+sen2x) + cos4x(1+cos2x) S = sen

9. Simplificar:

2. Reducir:

10. Si: senx + cosx = n , calcular: E = sen8x+cos8x

G=

2 + sen6 x + cos6 x

1 + sen 4 x + cos 4 x

3. Si: sen6x + cos6x = n; determinar: 4x + cos4x Y = sen

4. Reducir: J=

sec 4 x

tg 4 x - 1

+ 2 sec x.tg2x

5. Simplificar: J=

csc6 x - ctg6 x - 1 csc2x

6. Si: tgx + ctg x = 6 ; calcule: K= sen6x+cos6x 7. Si: tgx + ctg x = 10 ; calcule: K= sec2x+csc2x 8. Reducir: K=(senx–cosx)(senx+cosx)(1–2sen2xcos2x)+cos8x Central: 619-8100

H=

sec 4 x + tg 4 x − 1 sec6 x − tg6 x − 1

11. Simplificar: 4 4 4 4 B = sec θ. csc θ − sec θ − csc θ csc2 θ. sec2 θ

12. Sabiendo que se verifica: tgx + ctgx + m sec3x + csc3x = tgx + ctgx + 2 (sec x + csc x) 3 Calcular el valor de “m”. 13. Simplificar la expresión: C=

ctg6 x + 3 csc2x.ctg2x + 1 tg6 x + 3 sec2x.tg2x + 1

14. Simplificar la expresión: G=sec6x–3tg2xsec2x–tg6x+2tgx(secx–tgx)(cscx+1) 15. Simplificar: T=

tg 4 x + sen 4 x - tg 4 x.sen 4 x (tgx + senx) (tgx - senx)

Unidad VII

243

4

Identidades Propiedadestrigonométricas de las razones trigonométricas de la suma y diferencia de variables

Identidades trigonométricas de la suma y diferencia de variables De donde proviene la palabra Seno

p/2

1

y

w

j

p

3p/2

x

0 2p

0

p/2

p

3p/2

2p

–1

El astrónomo y matemático hindú Aria Bhatta (476–550 d. C.) estudió el concepto de «seno» con el nombre de ardhá shia (en inglés ardha-jya), (siendo ardhá: ‘mitad, medio’, y shiá: ‘cuerda’). Por simplicidad; el término se terminó apocopando como shiá. Cuando los escritores árabes tradujeron estas obras científicas al árabe, se referían a este término sánscrito como jiba (pronunciado shiba, lo más parecido al sánscrito). Sin embargo, en el árabe escrito se omiten las vocales, por lo que el término quedó abreviado jb. Escritores posteriores que no sabían el origen extranjero de la palabra creyeron que jb era la abreviatura de jiab (que quiere decir ‘bahía’). A finales del siglo XII, el traductor italiano Gherardo de Cremona (1114-1187) tradujo estos escritos del árabe al latín y reemplazó el insensato jiab por su contraparte latina sinus(‘hueco, cavidad, bahía’). Luego, ese sinus se convirtió en el español «seno». Según otra explicación,[cita requerida] la cuerda de un círculo, se denomina en latín inscripta corda o simplemente inscripta. La mitad de dicha cuerda se llama semis inscríptae. Su abreviatura era s. ins., que terminó simplificada como sins. Para asemejarla a una palabra conocida del latín se la denominó sinus.

Colegios

244

TRILCE


Trigonometría

Conceptos básicos Consideremos una circunferencia trigonométrica en la cual los ángulos "a" y "b" tienen las coordenadas que se indican. y (cosα; senα)

d (cosβ; senβ) α 0

β

x

Observa que el tamaño del ángulo entre los lados terminales es "a–b". Utilizamos la fórmula de la distancia para escribir una expresión para "d", la longitud del segmento entre (cosa; sena) y (cosb; senb). d2 = (cosa–cosb)2+(sena–senb)2 = cos2a – 2cosacosb + cos2b + sen2a –2sena.senb + sen2b = 1+1–2 cosacosb – 2senasenb = 2 – 2 (cosa cosb + sena sen b) En (1;0). La longitud "d" no ha cambiado.

y

[cos(a–b); sen(a–b)] d a–b 0

(1;0) x

d2 = [cos(a–b)–1]2+[sen(a–b)–0]2 d2 = [cos2(a–b)+sen2(a–b)] + 1 –2cos(a–b) d2 = 2 – 2 cos(a–b) Al igualar las dos expresiones para d2, tenemos que: 2 – 2cos(a–b) = 2 – 2(cosacosb+ senasenb) Esto se simplifica a la identidad:

Central: 619-8100

III Unidad VII

245

5


Ahora consideremos cos(a–b). Esto es igual a: cos [a - (- b)], y con base en la identidad del coseno de una diferencia, tenemos lo siguiente: cos (a+b) = cosacos(–b) – sena sen(–b) Pero: cos(–b)=cosb y sen(–b)=–senb, de modo que la identidad que buscamos es la siguiente:

Para desarrollar una identidad correspondiente al seno de una suma "a+b", recordemos lo siguiente: senq=cos ( π – q) 2 En esta identidad habremos de sustituir "a+b" en vez de "q" sen (α + β) = cos 8 π − (α + β) B 2 = cos 8 ( π − α) − β B 2 = cos ( π − α) cos β + sen ( π − α) sen β 2 2

Para derivar una identidad correspondiente al seno de una diferencia, podemos utilizar la identidad recién derivada, sustituyendo –b en vez de b

Con base en las identidades recién deducidas, podemos derivar una identidad para la tangente de una suma.

Para el caso de la diferencia se obra igual que en los casos anteriores.

Colegios

246

TRILCE

www.trilce.edu.pe

Trigonometría

es

es

para

es

Para

es

es

para

es

Síntesis teórica

Central: 619-8100

Unidad III

247

5


Problemas resueltos 1. Simplifique: D = sen (15c+θ) cos θ − senθ cos (15c + θ) cos θ cos (15c − θ) − senθ sen (15c − θ) a) 2+ 3 3 2

d)

a) 1 5 d) 4 5

c) 2 3

3

3 6

e)

Resolución:

sen 6(15c + θ) − (θ)@ P= cos 6(θ) + (15c − θ)@

b) 2 -

4. Si: sen(a+b)= 4 ∧ sen a.cos b = 3 , halle: 5 5 sen (a – b)

15c tg 15c P sen = = cos 15c

Resolución:

Como: sena cosb + cosa sen b = 4 5 3 +cos a sen b = 4 5 5 cos a sen b = 1 5 Se pide:

` P = 2 − 3

2. Siendo: tg (3x – 2y) = 4 ∧ tg (2x – 3y) = 5, halle "tg(x+y)" a) 1 21 d) – 1 21

b) –1

c)

1 10

Resolución:

tg (3x − 2y) = 4 14243

tg a = 4

tg (2x − 3y) = 5 14243

tg b = 5

sen (a - b) = 3 − 1 = 2 5 5 5 5. ¿A qué es igual: E = cos13º - 2 sen18º sen5º? a) sen 7º d) cos 23º

α

β

Piden: tg (x + y) = ? S

tg (a – b) = ?

"α − β "

&

`

tgα − tgβ = 4−5 1 + tgα . tgβ 1+ 4 . 5 tg (α − β) = − 1 21 tg (α − β) =

3. Resolver: E =

b) 2 e) 0

tg 89c − tg 1c E= tg 88c tg 89c − tg1c E= tg 89c − tg1c 1 + tg89c tg1c

E = tg 89c − tg 1c tg (89c − 1c)

E = 1 + tg89c ctg89c ` 1 44 2 44 3 "1"

Colegios

248

TRILCE

E = 1 +tg 89º tg1º E=2

c) 2 sen 22º

Resolución:

E = cos (18º - 5º) - 2 sen18º sen5º E = cos18º cos5º+sen18º sen5º - 2sen18º sen5º E = cos18º cos5º - sen18º sen5º ∴ E = cos23º

6. Si "a" y "b" son ángulos complementarios y además: 3 sen a = 7 sen b, halle: tan (a–b) a) 17 21 d) 22 21

c) –1

Resolución:

b) cos 22º e) 2 cos 23º

tg 89c − tg 1c tg 88c

a) 0,5 d) 1

c) 3 5

sen (a - b) = sen a cos b - cos a sen b

e) – 1 10

b) 2 5 e) 1 6

b) 19 21 e) 23 21

c) 20 21

Resolución:

Si: a + b=90º ⇒ sen b= cos a 3 sen a = 7 cos a → tg a = 7 = ctg b 3 Se pide: 7−3 tg a − tg b 3 7 tg (a − b) = = 1 + tg a tg b 1 + 7 3 ` 3 j` 7 j tg (a − b) = 20 21

www.trilce.edu.pe

Trigonometría

10 x 5 50

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Completa los espacios en blanco: •

sen(x+y)

= senx

+seny

•

cos(x–y)

= cosx

+ senx

2. Indicar el valor en: • sen20º.cos40º + sen40º.cos20º = • cos80º.cos20º– sen80º.sen20º = 3. Reducir: sen (x + θ) − senx. cos θ M= cos x. cos θ

4. Reducir: sen (x - y) + seny. cos x P= cos (x - y) - senx.seny

5. Simplificar: M= sen(x+y)–2seny.cosx

Conceptos básicos Aprende más... 1. Simplificar la expresión: sen (α + β) − sen (α − β) E= cos (α + β) + cos (α − β) a) tgb d) 1

b) cosb e) secb

a) tgx d) 2 c) senb

2. Simplificar: K = sen (α − x) + senx . cos α cos (α − x) − cos α . cos x a) tgx d) tg2x

b) 1 e) cosx

c) ctgx

3. Simplificar: K = sen (30c + x) + sen (30c − x) sen x a) tgx d) 2ctgx

b) cscx e) 2tgx

4. Simplificar: K = sen (α − x) + tg x cos α . cos x a) tga d) ctga

b) tgx e) 1

5. Determinar el valor de: K = sen4x . cos x + senx . cos 4x sen3x . cos 2x + sen2x . cos 3x

Central: 619-8100

c) ctgx

c) 1

6. Hallar un valor de "x" que verifique la igualdad: sen 3x . cosx + sen x . cos 3x = 3 2 a) 20º b) 30º c) 15º d) 8º e) 16º 7. Si: senα = 1 ∧ cos θ = 5 Calcular: S = tg (a + q) a) 2 d) 8

c) ctgx

b) tg5x e) 0

2 13

b) 4 e) 1

c) 6

8. Si: cos (a+x) = 5 cos (a–x) Calcular: K = tg a . tg x a) – 2 5 4 d) 7

b) – 2 3

c) 1

e) 0

9. Calcular el valor de: K=(cos50º+cos20º)2+(sen50º+sen20º)2 a) 1

b) 0

d) 1+ 3

e) 8

c) 2+ 3

Unidad III

249

5


10. Siendo: a+b = 45º; tga = 5 4 Calcular "tg b" a) – 1 9

b) 1

a) 11 16 d) 1 2

c) 2

e) 1 12

d) 4

b) 0,2 e) 3

c) 0,5

B

q

D

b) 2 e) 1 4

a) 1 d) 1 3

c) 3

13. Del gráfico, calcular "tg a"

C

b) 2 e) 1 2

c) 3

15. Simplificar la siguiente expresión: 1 1 G= − tg 5α − tg2α ctg5α − ctg2α

C 1

a) cos 7a sen3a d) ctg3a

a D 2 A

M

A

12. Calcular el valor de: tg 2º S= tg 46º − tg 44º a) 1 d) 1 2

c) 1

14. Si ABCD es un cuadrado y "M" es punto medio, calcular "tgq"

11. Calcular el valor de: K=sen 50º – 2 cos 40º . sen 10º a) 1 d) 2

b) 7 9 e) 2

b) cos 3a sen7a e) ctg7a

c) sen3a sen7a

B

M 3

2

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 16. Para los decorados de una representación teatral, un tramoyista desea reducir la longitud de las paredes de una estancia. Para ello recurre a la mampara BC que tiene una longitud “m”, con la que se tapa la esquina. Hallar el ángulo “g” con el que se tapa la mayor longitud de pared, sabiendo que las paredes AB y AC son perpendiculares. A C

B

Colegios

250

g

m

TRILCE

www.trilce.edu.pe

Trigonometría

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Del gráfico, hallar "x"

E 9 D 6 C 3 B

a) 12

a q a

x

b) 8

c) 9

A

d) 7

e) 13

2. Hallar "tg a", en la figura mostrada. a

a 3

a) 2 3

b) 1 2

2

c) 3 2

1

d) 1

e) 2

d) 4

e) 5

tga + tgb sen (5a + 4b) 3. Si: a+b= π , hallar: K = . 2 sec a . sec b cos (4a + 5b) a) 1

b) 2

4. Simplificar: M = a)

2

c) 3

tg 20º + tg40º + 3 tg20ºtg40º tg20º + tg25º + tg20ºtg25º b) 1

c) 0

d)

3

e)

3 3

5. En la figura, calcular "tgx" 2a

4a

a) 13 4

Central: 619-8100

x

a

b) 12 5

c) 16 3

2a

d) - 16 13

e) 13 5

Unidad III

251

Identidades trigonométricas de la suma y diferencia de variables 18:10:45

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Simplificar: L=

10. ¿A qué es igual : E=(sen a + cos a)(senb +cosb)–cos(a–b)?

sen (x + y) + sen (x − y) cos (x − y) − cos (x + y)

2. Si: y = 45°, hallar el valor de la expresión: sen (x + y) - tgx cos x . cos y

11. Simplificar: (cos40°+isen40°)(cos50°+isen 50°); si: (i)2 = – 1 12. En la figura, hallar "x". A

3. Si: senA= 12 y senB= 5 ; calcular: cos (A + B) 13 13

37º 5

4. Al dividir: sen(A–B) entre "cosA . cos B" se obtiene: 5. Si: tg A = 1 y A – B = 45°; calcular "tg B" 3 6. Hallar el valor de "tg B", si: tg (A – B) = 1 y ctg A= 4 3 3

C

x

M

2

B

13. De la figura, hallar "tg a" 4

7. Si se cumple: x + y = 60º, hallar: E = (senx–seny)2 + (cosx+cosy)2

2

a 3

8. En el siguiente gráfico, el valor de "tg a" es:

14. Si ABCD es un cuadrado, y además: AD = 2 DE. Hallar: tg a

4 2

30º

a

x

9. Determinar "tg q", si ABCD es un cuadrado. A

1

M

2

B

B

D

C

a E

15. En la figura, los tres cuadrados son idénticos. Hallar: tg (a + b) . ctg y

q D

A

C

y b a

Colegios

252

TRILCE

www.trilce.edu.pe


Identidades trigonométricas de variable doble

5

¿Qué es el número de Match? Muchas personas han escuchado una explosión msenq=1: m≤1 sónica, pero pocos la han visto…. Cuando un avión viaja a una velocidad mayor que la del sonido, las ondas de sonido emitidas por el avión no pueden precederlo y entonces ellas se acumulan como un cono detrás del avión. Cuando esta onda de choque pasa, se oirá el sonido: una explosión sónica. Y cuando el avión q acelera y logra romper la barrera del sonido se forma una increíble nube detrás de él. El origen de esta nube es aún desconocida. El número Mach (M), es una medida de velocidad relativa que se define como el cociente entre la velocidad de un objeto y la velocidad del sonido en el medio en que se mueve dicho objeto. Es un número adimensional típicamente usado para describir la velocidad de los aviones. Mach 1 equivale a la velocidad del sonido (La velocidad del sonido en el aire a una temperatura de 20 °C es de 344,2 m/s), Mach 2 es dos veces la velocidad del sonido, etc. Los aviones supersónicos dejan una estela cónica de ondas acústicas. La polémica originada por el avión SST (Super Sonic Transport) generada hace algunos años fue ocasionada por los efectos que podrían producir dichas ondas sobre un territorio o país. El ángulo según el cual llegan las ondas al suelo depende del número de match (índice de velocidad sónica) de la nave.

Central: 619-8100

Unidad VII

253


Conceptos básicos • Sabemos que: sen(x + y) = senx.cosy + seny.cosx Hacemos: x=y; entonces esta identidad nos queda: sen(x+x)=senx.cosx + senxcosx sen2x = 2senx.cosx

• Sabemos que: cos(x + y) = cosx.cosy – senx.seny Hacemos: x= y; entonces esta identidad nos queda: cos(x+x)=cosx.cosx – senx.senx cos2x = cos2x– sen2x

• Sabemos que: tg(x + y) =

tgx + tgy 1− tgx . tgy

Hacemos: x= y; entonces esta identidad nos queda: tg(x+x)= tg 2x=

Colegios

254

TRILCE

tgx + tgx 1 - tgx . tgx 2 tgx 1-tg2x

www.trilce.edu.pe


5

Síntesis teórica

Para

es

es

es

Observación: sen 2x=

1+tg2x

2 tgx 1+tg2x

2tgx 2x 1-tg2x

Central: 619-8100

cos 2x=

1- tg2x 1+tg2x

Unidad VII

255


Síntesis teórica 1. Si: sen x + cos x = 1 5 Halle: H = sen 2x a) - 1 5 d) - 4 5

b) - 2 5 e) - 5 8

c) - 3 5

2 sen2x cos 2x = 1 .2 4

E = sen24x+1

a) 0,125 d) –0,625

(senx+cosx)2= ( 1 ) 2 5 1+sen2x = 1 5 sen 2x = - 4 5

2. Si: tgq= 1 3 Halle "cos 2q"

b) 2 5

c) 3 5

d) 4 5

e) 5 12

Como: cos a = sen 2a 2 sen a

c) –0,125

M = sen 24c . sen 48c . sen 96c . sen 192c 2 sen 12c 2 sen 24c 2 sen 48c 2 sen 96c

M = 1 sen (180c + 12c) = 1 (− sen 12c) = − 1 8 sen 12c 8 sen 12c 8

M = –0,125

5. Si: θ = π , hallar: 6 H = 16 sen q cos q cos 2q cos 4q

cos 2θ =

1 − tg2 θ 1 + tg2 θ

2 8 1− ` 1j 1− 1 9 3 9 cos 2θ = = = 2 1 10 1 1 + 1+ ` j 9 9 3

a) 1

b) 2

d) - 3

e) - 3 2

c) – 1 2

Resolución:

H = 2 (2) (2) (2) sen q cos q cos 2q cos 4q

H = 2 (2) (2) sen 2q cos 2q cos 4q

H = 2(2) sen 4q cos 4q

3. Si: sen x cos3x – sen3x cos x = 1 8 Halle: M= sen24x+1

H = 2 (sen 8q) → H=2 sen 8q

H = 2 sen [ 8 (30º) ] = 2 sen 240º

H = 2 (- sen 60º) = 2 c - 3 m ` 2

cos 2θ = 4 5

a) 1 4

b) 5 4

d) 3 4

e) 2 5

Resolución:

sen x cos3x - sen3x cos x= 1 8

sen x cosx (cos2x - sen2x) = 1 8

2 senx cosx cos2x= 1 . 2 8 Colegios

256

Resolución:

Resolución: tgq= 1 3

b) 0,625 e) –0,0625

a) 1 5

E = 1 + 1 ` E= 5 4 4

4. Calcule: M = cos 12º cos 24º cos 48º cos 96º

Resolución:

sen 4x= 1 2

TRILCE

c) 5 8

H = - 3

www.trilce.edu.pe


10 x 5 50

5

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Completar: •

sen 40º = 2 sen20º

•

sen 80º = 2

•

cos 40º = cos220º –

•

cos 80º =

•

tg 40º

•

tg 80º

=

2 ____ 1 - tg220c

cos 40º – sen240º

2 tg 40c = 1 _____ -

2. Reducir: M= sen2x senx

3. Reducir: A=cos2x+2cos2x

4. Si: tanθ= 1 , calcular: cos2θ 5 5. Reducir: P=(1–tan2x)tan2x

Conceptos básicos Aprende más... 1. Si: cotθ=4 ("θ" agudo) calcular: sen2θ a) 4 15 d) 8 17

b) 4 17 e) 15 17

4. Reducir: M = sen2x.secx – senx c) 8 15

b) 20 29 e) 19 29

a) 1 d) 8 c) 10 29

d)

2 3

Central: 619-8100

b) 1 3 e)

3 6

c) tanx

c) 5 6

b) 2 e) 16

c) 4

6. Reducir la siguiente expresión: G = 1 + cos 2θ 2 cos θ a) 2cosq d) senq

3. Si: senθ= 1 ("θ" agudo) 6 calcular: cos2θ a) 2 3

b) senx e) 0

5. Reducir: P = (sen2x.secx)2 + (sen2x.cscx)2

2. Si: tanβ= 2 ("β" agudo) 5 calcular: sen2β a) 21 29 d) 17 29

a) cosx d) cscx

b) 2senq e) tgq

c) cosq

7. Reducir la siguiente expresión: H = 1 − cos 2θ 2 sen θ a) 2cosq d) senq

b) 2senq e) tgq

c) cosq

Unidad VII

257


8. Reducir la siguiente expresión: S = 1 + cos 2θ sen 2θ a) 2cosq d) senq

b) 2senq e) tgq

12. Reducir la siguiente expresión: K= c) ctgq

9. Señale el equivalente de: M=senx.cosx.cos2x a) sen4x

b) 2sen4x

d) 1 sen4x 4

e) 4sen4x

b) 2sen3θ e) 2sen2θ

c) 1 sen4x 2

b) 1 2 e) 4

d) 1 4

b) sena

d) 2cosa

e) tana

c) 2 sena

2 2 K = (senα + cos α) − (senα − cos α) (senα + cos α) 2 + (senα − cos α) 2

a) cos2a d) 2cos2a c) 2cos3θ

b) sen2a e) 2sena

c) 2 sen2a

14. Reducir la siguiente expresión: tg (45c + x) + tg (45c − x) K= tg 2x a) 2sen2x d) 2sec2x

11. Reducir la siguiente expresión: tg α + ctg α K= csc 2α a) 2

a) cosa

13. Reducir la siguiente expresión:

10. Simplificar: M=(sen2θ+2senθ)(1–cosθ) a) sen3θ d) cos3θ

sen2α+cos2α+1 2(cosα+senα)

b) 2csc2x e) 2cos2x

c) sen2x

15. Si: 3tg2x –4 tgx – 3 = 0, calcula: tg4x c) 1

a) 12 5 d) 12 7

b) 5 12 e) 11 7

c) 7 12

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 16. Juan está sentado en una butaca central de un cine que dista 11m de la pantalla. Para ver mejor se acerca a la pantalla para conseguir un ángulo el doble del inicial. ¿A qué distancia se pone de la pantalla? ( el ancho de la pantalla es “L”)

a

2a

?m

Colegios

258

TRILCE

11m

www.trilce.edu.pe


5

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Halle "A+B+C" en la identidad: sen 4 ( π + θ) + sen 4 ( π − θ) = A + B cos 2θ + C cos 4θ 6 6 a) 1 4

b) 3 4

c) 1 8

d) 3 8

e) 5 8

2. En la siguiente identidad: 8 senx . cos3x = A sen4x + B sen2x, halle: A–B c) –1 d) 0 a) –2 b) – 1 2

e) 2

3. Simplifique la siguiente expresión: G = cos x + senx − sen4x cos x − senx 1 + cos 4x a) sec2x

b) sen2x

c) secx

d) csc2x

e) cos2x

5 5 4. Simplifique la siguiente expresión: K = senx cos x − cos xsen x 4 (sen 4 x + cos 4 x) − 3

a)

tg 4x 4

b)

tg 2x 2

c)

tg2x 8

d)

tg 2x 4

e)

tg 4x 2

5. Si: 8 sen 2x + ctg 2x B 8 tg 2x + cos 2x B = 8 , x ! < 0; π > , halle: G = 15 sen 8x 1 + cos 2x 2 + sen 2x 8 2 cos24x a)

10

b)

15

c)

d)

5

e) 1

3

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Simplificar: M = 1 + cos θ + cos 2θ senθ + sen2θ

5. Al simplificar: 1 + tgα 1 − tgα , se obtiene: E= − 1 − tgx 1 + tgα

2. Determinar el valor de "k" en la siguiente identidad: coska – senka = cos 2a

6. Simplificar: tg (45c − φ) (1 + sen2φ) R= ctg2φ (1 + cos 2φ)

3. Determinar el valor de "k" para que se verifique la siguiente identidad: cos3θ + sen3θ = 1 − k sen2θ cos θ + senθ 4. Simplificar: M = 2(cos4 x – sen4 x )2 –1

Central: 619-8100

7. Reducir: Ctgφ − tgφ 2 P= − 2 Ctgφ − tgφ 8. Reducir: R=

1 − tg2 (45c − φ)

1 + ctg2 (45c + φ)

.L

Si: L = tg(45º+f) + tg (45º– f)

Unidad VII

259


9. Calcular: R=

4 − 3sen22φ

sen6 φ + cos6 φ

+

2 − sen22φ

14. Del gráfico mostrado, calcular: sabiendo que: AC = 2BD

sen 4 φ + cos 4 φ

C

10. Si: tg x=a, calcular: R= (1+sec2x) ctg2x + tgx 11. Hallar el valor de "R", si: tg a= 0,8 R = 6,5 sen2a + 3cos2a 12. Calcular: tgx, si: 6 sen2x + cos 2x = 1

senqcosq, D

2q 4q

A

B

15. Simplificar: P=sec2x+csc2x+4sec22x

13. Simplificar: R = 2 ` 1 − sec θj` 1 − csc θj sec θ csc θ

Colegios

260

TRILCE

www.trilce.edu.pe


Ecuaciones trigonométricas

6

Conceptos básicos Son aquellas igualdades condicionales; donde la incógnita está afectada de operadores trigonométricos; como por ejemplo: sen x + cos x = 1; tg x + cot x = 4; sen x + tg x = 1. Pero la incógnita a su vez también puede aparecer en múltiplos reales de ella, por ejemplo: sen2x + cos x = 1 ; sen5x + sen3x = sen4x; tg (2x − π ) = 1 2 3 Ahora bien; como es una igualdad condicional; se verificará para ciertos valores de la variable (incógnita). Nuestro objetivo es encontrar todos aquellos valores que verifican la igualdad; valores que reciben el nombre de soluciones de la ecuación trigonométrica. ¿Qué es resolver una ecuación trigonométrica? Resolver una ecuación trigonométrica significa encontrar todos los valores que toma la incógnita; es decir las soluciones que verifican la igualdad. Pero debido al carácter periódico de las funciones trigonométricas; no solo se encontrará una o dos soluciones; sino que generalmente existirá una cantidad ilimitada de soluciones; motivo por el cual se hace necesario el uso de fórmulas que permitan determinar el conjunto total de soluciones; llamado solución general de la ecuación trigonométrica. ¿Cómo resolver una ecuación trigonométrica? —— Para resolver una ecuación trigonométrica; debemos diferenciar una ecuación trigonométrica elemental de una ecuación trigonométrica no elemental. •• Ecuación trigonométrica elemental: Donde : a ≠ 0; a ∧ b ∈

ó

•• Ecuación trigonométrica no elemental: operaciones entre diferentes R.T. de la incógnita o de variables que involucran a la incógnita. La mayoría de los problemas de resolución de Ecuaciones Trigonométricas; plantea situaciones no elementales. En estos casos; la idea es simplificar la ecuación aplicando lo ya desarrollado en el curso (identidades trigonométricas de una variable; de la suma y/o diferencia de variables; de la variable doble; mitad; triple; así como las fórmulas de transformaciones trigonométricas y la teoría de funciones trigonométricas inversas); reduciéndola a su forma elemental y de allí obtener la solución general de dicha ecuación. Observaciones: 1. Si la ecuación trigonométrica es de la forma "R.T. (ax + b) = n"; se procede de manera similar a R.T (x) = a; solo que se deberá despejar la incógnita "x" de la igualdad. 2. Las consideraciones algebraicas acerca de la resolución de ecuaciones; que tienen que ver con el perder soluciones o agregar soluciones extrañas; se mantienen; así que debemos tener cuidado con la simplificación de términos que contienen a la incógnita. 3. Recuerde que es preferible una variable a diferentes variables; así como es preferible una razón trigonométrica a diferentes razones trigonométricas.

Central: 619-8100

Unidad VII

261


Síntesis teórica

si

es

entonces

Colegios

262

TRILCE

es

entonces

www.trilce.edu.pe


6

Problemas resueltos 1. Halle la suma de las tres primeras soluciones positivas de la ecuación: sen(5x - 10º) = 2 2 a) 111º d) 132º

b) 133º e) 123

Resolución:

sen(5x−10º)= 2 → VP=arcsen( 2 ) = 45º 2 2

→ 5x − 10º = 180ºn + (−1)n 45º

x = 36ºn + (−1)n 9º+2º; n ∈

Si: n = –1→ x = –43º

n = 0 → x = 11º

n = 1 → x = 29º

n = 2 → x = 83º

∴ Σ = 11º + 29º + 83º = 123º

b) 630º e) 300º

c) 3

Resolución:

cos2x + sen x = 0; x ∈ [0º; 360º]

(1−2 sen2x) + senx=0

0 = 2 sen2x − sen x − 1 1 -1

0 = (2 sen x + 1)(sen x - 1)

sen x = − 1 ' IIIC : x = 210º 2 IVC : x = 330º

sen x = 1 " x = 90º

∴ Σ = 90º + 210º + 330º = 630º

4. Al resolver la ecuación: tg 2x .cos x=3 sen x, donde: 0 ≤ x ≤ 360º , la suma de todas sus soluciones es: a) 1260º d) 720º

b) 990º e) 570º

Resolución:

• 0º < x < 360º

• secx−cosx=senx →

→ 1 − cos2x=senxcosx → sen2x=senx.cosx

→ sen2x−senx cosx=0 → senx (senx−cosx)=0

donde: tg x = 0

I. senx=0 → x=0º; 180º; 360º; ...

→ x = 0º; 180º; 360º

Pero: 2 = 3 - 3 tg2x

II. senx−cosx=0 → senx=cosx → senx = 1 cos x → tg x= 1 → x = 45º; 225º; …

∴ Son tres soluciones: 45º;180º;225º

tg2x = 1 3 → x = 30º; 150º; 210º; 330º

Se pide: Σ soluc = 1 260º

Central: 619-8100

1 − cosx = senx cos x

c) 540º

2 sen x sen x

2. Indique el número de soluciones positivas y menores a una vuelta de la ecuación: secx–cosx=senx b) 2 e) 5

a) 450º d) 360º

c) 122º

a) 1 d) 4

3. Resolver y dar la suma de soluciones de la ecuación: cos2x + sen x = 0; x ∈ [0º; 360º]

Resolución:

tg 2x = 3 tg x 2 tg x

1 − tg2x

c) 650º

= 3 tg x

Unidad VII

263


10 x 5 50

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Sume las tres primeras soluciones positivas de: cosa = 1 2 2. Sume las tres primeras soluciones positivas de: senx = 1 2 3. Indicar el número de soluciones, si: 2 senx +

3 = 0 (0 < x < 360º)

4. Indicar el número de soluciones, si: tg2x – 1 = 0 (0 < x < 360º) 5. Resolver: sec(2x – 45º) =

2 ; x ∈ [0º ; 360º>

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Resolver: sen2x = 1 2 Hallar la suma de las dos primeras soluciones positivas a) 15º

b) 60º

d) 90º

e) 30º

c) 45º

2. Resolver : cos3x = 1 2 Hallar la suma de las dos primeras soluciones positivas a) 100º

b) 60º

d) 90º

e) 120º

c) 45º

3. Resolver : tg3x = 3 Hallar la suma de las dos primeras soluciones positivas a) 10º

b) 60º

d) 80º

e) 20º

c) 100º

4. Resolver : sen6x = 1 2 Hallar la suma de las dos primeras soluciones positivas a) 10º

b) 30º

d) 5º

e) 20º

c) 15º

5. Resolver: tg2x=1; sumar las soluciones en el intervalo <0;p> a) 130º

b) 110º

d) 140º

e) 135º

Colegios

264

TRILCE

c) 120º

6. Resolver : tg ( 3x )=1, sumar las soluciones en 2 el intervalo <0;p> a) 30º

b) 210º

d) 330º

e) 180º

c) 150º

7. Resolver: tg(2x+ π )=1, sumar las dos primeras 5 soluciones en el intervalo <0;p> a) 99º

b) 129º

d) 139º

e) 119º

c) 109º

8. Resolver en el intervalo <0;p/2>: sen4x+cos4x= 7 , sumar las soluciones 8 a) 90º b) 165º c) 105º d) 145º

e) 135º

9. Resolver e indicar el número de soluciones en el intervalo <0; π>: (tanx+cotx)senx=2 a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

10. Resolver e indicar el número de soluciones en el intervalo <0;p>: sen2x.cscx=1 a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

11. Resolver: cos2 ( π – x) – sen2 ( π – x) = 1 4 4 2 e indicar la suma de las dos primeras soluciones positivas. a) 45º b) 90º c) 75º d) 135º

e) 60º www.trilce.edu.pe


12. Resolver la ecuación trigonométrica e indicar la suma de soluciones en el intervalo [0;2p]. senx – 3 cosx = 2 a) 300º d) 210º

b) 120º e) 240º

c) 150º

13. Resolver la ecuación trigonométrica e indicar el número de soluciones en el intervalo [0;2p] 2cos2x+3–4cosx= 0 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

14. Resolver la ecuación e indicar el número de soluciones en el intervalo [0; p] 16 [sen6x+cos6x]=13 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

6

c) 3

15. Halle la suma de soluciones, al resolver la siguiente ecuación: 2cos2xcos2x=1–4sen4x, x ∈ <0;p>

c) 3

a) 90º d) 180º

b) 360º e) 225º

c) 135º

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Al resolver la ecuación: (1–tgx)(1+sen2x)=(1+tgx)(1–cos2x), la suma de las soluciones comprendidas entre 0 y 180º será: a) 360º

b) 240º

c) 245º

d) 315º

e) 325º

2. Al resolver la ecuación: sen2x=cos2x.tanx.cscx, calcule la diferencia entre las menores soluciones positivas. a) 2π 3

b) π 6

c) π 12

d) 2π 15

e) 3π 4

3. Resolver la ecuación trigonométrica: 3 cosx = 7+4cos x . Indique la suma de las soluciones en el 2 intervalo de [0;6p] a) 2p

b) 4p

c) 6p

d) 8p

e) 10p

4. Al resolver la ecuación: sen(x+135º)+cos(x–135º)=cos(x+135º), el mayor ángulo negativo "x" es: a) –15º

b) –75º

c) –45º

d) –87º

5. Determine la suma de soluciones de la ecuación: senx = 3 cos x − 1; x ! 60; 2π@ a) 2π 3

Central: 619-8100

b) 3π 5

c) 5π 3

d) 3π 2

e) –39º

e) π 6

Unidad VII

265

Identidades trigonométricas de variable doble 18:10:45

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Resolver la ecuación trigonométrica: [senx+cosx+2][1+cos2x–2sen2x]=0 e indicar la suma de soluciones en el intervalo π π 8− 2 ; 2 B. 2. Resolver la ecuación trigonométrica: cos2x.cosx – sen(30º+ x )sen(30º– x )=0 2 2 π > e indicar una de las soluciones. x ∈ <0; 2 3. Resolver la ecuación trigonométrica e indicar el número de soluciones en [0; p] sen2 (2x + π ) + cos2 (2x + π ) = 1 3 6 4. Resolver la ecuación e indicar el número de soluciones en el intervalo [0;2p] 2 cos2( x )–sen2( x )= 1 sen2x 2 2 2 5. Resolver la ecuación trigonométrica : cos2x=senx+cosx; indique las tres primeras soluciones positivas. 6. Resolver la ecuación trigonométrica e indicar el número de soluciones en [0;2p] cscx–2senx – 2cosx = 0

8. Halle el menor valor positivo que toma "x" en la ecuación: 1 1 =8 + 1 + cos x 1 − cos x 9. Resolver: tg3x = 3tgx Indicando la mayor solución en <0 ; 360º> 10. Si se cumple que : cos2a + 3 sen2a = 0 Halle la menor solución positiva. 11. Resolver: sec2x + tg2x = 3; (cosx < 0) 12. Resolver : nsen2x + (n + 2)cos2x = n + 1; (senx > 0) 13. Resolver e indicar el primer valor positivo en: sen7x + sen3x = 3 cos 7x + cos 3x 14. Resolver: cos3x+cosx=0; indicar el número de soluciones en <0;π> 15. Resolver: cos3x – sen5x=0

7. Resolver la ecuación trigonométrica e indicar la suma de soluciones en <0; 360º>. sen2x – 3 senxcosx+cos2x = 1

Colegios

266

TRILCE

www.trilce.edu.pe


Repaso

7

Conceptos básicos Aprende más... 1. Reducir: E = 4senx cosx cos2x a) sen2x d) cos2x

b) sen4x e) cos4x

c) sen8x

2. Reducir: E = 4senx cos3x – 4sen3x cosx a) senx d) 4senx

b) sen2x e) sen4x

c) 2sen2x

3. Reducir: E = tgx cos2x + ctgx sen2x a) sen2x

b) 2sen2x

d) 1 cos2x 2

e) cos2x

c) 1 sen2x 2

4. Reducir: E = (senx + cosx)2 – 1 a) sen2x c) 0,5sen2x e) cos2x

b) 2sen2x d) 0,5cos2x

b) –1 e) cos2x

c) sen2x

b) 1 (n2–1) 2

c) 1 (n–1) 2

a) 1 4 d) - 1 3

Central: 619-8100

b) 2 e) 0

c) 1 3

b) 20º e) 50º

c) 30º

a) tgx d) cscx

b) ctgx e) senx

c) secx

13. Si: x+y = 45º calcular: E = tgx + tgy + tgx tgy b) 2 e) 5

c) 3

14. Si: ABCD es un cuadrado; calcular "tgx" C

B

x

c) 5

8. Reducir: E=sen4x(3–2sen2x)+cos4x(3–2cos2x) a) 1 d) 4

b) - 1 4 e) 2 3

12. Reducir: sen (x + y) E= - tg y cos x cos y

e) n+1

b) 3 e) 9

c) tgy

11. Hallar "x", si: senx cos10º + sen10º cosx = sen50º

7. Si: tgx + ctgx = 2; Obtener: E = 3tgx + 4ctgx a) 1 d) 7

b) tgx e) ctgy

10. Si: x + y = 45º; tgx = 2 calcular "tgy"

a) 1 d) 4

6. Si: senx + cosx = n; Hallar: E = senx cosx a) 1 (n2+1) 2 d) 1 (n+1) 2

a) 1 d) ctgx

a) 10º d) 40º

5. Reducir: E = (senx + cosx + 1) (senx + cosx – 1) a) 1 d) 2sen2x

9. Reducir: tgx − tgy E= − tgx tgy tg (x − y)

A

a) 2 d) 5

2

b) 3 e) 6

E 1

D

c) 4

c) 3

Unidad VII

267

Repaso

17. Del gráfico, calcular "tgx" si: AB = BC

15. Si: senq + cosq = 1 3 Hallar: sen2q a) – 4 9 5 d) – 9

b) – 3 9 e) 1

c) – 8 9

A

b) 6 8 e) 9 8

M

x

16. Si: sen(q - 45º) = 3 4 Calcular: sen2q a) 5 8 d) 8 9

C

c) 7 8

B

N

a) 1

b) 2

d) 1 3

e) 1 2

c) 3 4

18. Reducir: R=

sen 6θ sen3θ sen (90º − 3θ)

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Simplificar: P=senx.cos3x - sen3x.cosx 2. Si:

tg2x − sen2x

ctg2x − cos2x

= A tgB x , halle: (A + B)

3. Reducir: H=1 - tg2x+tg4x - tg6x+tg8x - ... 4. Si: sen3x - csc3x = 7, calcule: sen3x+csc3x 5. Si: csc2q - csc q = 1 Halle: H=ctg2q(1+ctgq)(ctgq - 1) 6. Si: csc x = 2 + 10 Calcule el valor de: J = tgx.secx 7. Si: sec (α − θ) = 4 sec (α + θ)

M = sen ( π + x) . cos ( π + x) − cos2x 3 6 9. Halle "tg q" de la figura. 53º q

268

a

4

5

11. En la figura, halle : tga b a

2b 5b

13. Reducir: M =

8. Reduce:

Colegios

3

5b

12. El máximo valor de: E = 6 + sen2x cos2x - 2 (sen x + cos x)2

Calcule: G = tga . tgq

TRILCE

10. De la figura mostrada, calcular: tg a

1 3 − sen10º cos 10º

14. Si: cos22x + cos32x + cos 2x = 1 Halle: E = tgx + tg2x + tg3x, si: x <0; π > 4 15. Reducir: G =

4 tg θ 61 − tg2 θ@

2

2 sec 4 θ − sec6 θ

www.trilce.edu.pe

Trigonometría_4°

Recommend Documents