rigonometría
D pto. pto. Pedagó Ped agógi gico T R I L C E D erecho erechos s de E dici dición A sociación E du cati cativa
TRILCE
Tercera Tercera E dici dición , 20 07 . Tod To d os los D erech erechos os R eservad eservad os. E sta pub p ub licación no p u ed e ser rep ro du cid a, ni en tod o n i en p arte, ni reg istra d a e n , o tran sm itid a p o r, u n sist sistem a d e recuperaci ecu peración de inform nform ación , en ning ningun un a form a y po r n in gún gú n m edi ed io, sea m ecán ecá n ico, fo to q u ím ico, electr ectró n ico, m agn ag n éti ético, co , electro ó p tico, p o r fo to co p ia, o cua cu a lq u ier o tro, sin el p erm iso p revi ev io d e la ed e d ito rial.
D pto. pto. Pedagó Ped agógi gico T R I L C E D erecho erechos s de E dici dición A sociación E du cati cativa
TRILCE
Tercera Tercera E dici dición , 20 07 . Tod To d os los D erech erechos os R eservad eservad os. E sta pub p ub licación no p u ed e ser rep ro du cid a, ni en tod o n i en p arte, ni reg istra d a e n , o tran sm itid a p o r, u n sist sistem a d e recuperaci ecu peración de inform nform ación , en ning ningun un a form a y po r n in gún gú n m edi ed io, sea m ecán ecá n ico, fo to q u ím ico, electr ectró n ico, m agn ag n éti ético, co , electro ó p tico, p o r fo to co p ia, o cua cu a lq u ier o tro, sin el p erm iso p revi ev io d e la ed e d ito rial.
Tr Tri gonom et rí a INTRODUCCIÓN L a Tr T rigo n o m etría es e s una un a part p arte d e las M atem atem áti áticas qu e tr trata ata d e rel relacio n ar lo s ángu án gul lo s y lo s lad o s de u n trián gul gu lo ; fu e iniciad a p o r H ipar pa rco, apr ap roxim oxim ad am ente ente el año añ o 150 15 0 a. C . T iem po d espu espu és, és, Tolo m eo siguió con est esto s est estud io s, bas ba sánd án d o se en sus estu d io s y de d e ot o tro s p erso n ajes de la A stro n o m ía, p ara crear ea r su sin taxi ax is M atem atem áti ática llam ad a A lm agest ag esto. H o y en d ía, lo s in gen ge n iero ero s y lo s físicos co s ocu p an m u chas cha s de estas herr h erram ient en tas trigo n o m étricas en su d iario actu actu ar, sin q u izás con o cer qui qu ién las crea y cuál cu ál es su h isto ria, la cual cual vam va m o s a p resent esen tar a con co n tin u ació n . E ste texto exto d e Tr T rigo n o m etría d escrib e, en gen ge n eral, lo s tem as qu q u e con co n stitu yen yen u n cur cu rso d e Trigo n o m etría p lan a d e ni n ivel ve l p reun iversi versitario. Sup S up o n e el cono co no cim ient en to , po r par pa rte d el estud ian te, d e lo s princip io s bási bá sicos co s de d e G eo m etr etría E lem ent en tal, Á lgeb ge b ra y A ritm ética. ca. E ste libro bro respo nd e a un a necesid ad qu e hem o s senti entid o agud a gud am ente ente to d o s lo s qu e no s avo cam o s a la ens en señanza eña nza de las M atem atem áti áticas en las aulas de la acad aca d em ia o colegio d e T R IL C E . L a experi ex perienci en cia no n o s ha d em o strad o qu e el apr ap rend en d izaje de d e las m atem atem áti áticas, requi eq uiere ere no n o so lam ent en te de d e con co n o cim ient en to s teór eó ricos co s, sin o fu n d am ent en talm ent en te de d e la cap acid ad d e resol resolver si situaci ua cio n es m atem atem áti áticas, d eno en o m in ad as, ejerci ercicio s o p ro b lem as. L a p rácti áctica co n stant an te d e reso reso lver ejerci ercicio s y pr p ro blem as es la ú n ica m a ner ne ra d e p ro fu nd izar y cim cim ent en tar lo s concep con cept to s teó ricos co s b ien ap rend en d id o s, es po r ello q u e en el d esarr esarro llo d el lib ro, u sted es deb d eberán erán tener en er en cuen cu en ta las sugeren sug erenci cias plan tead ea d as y a n a lizarlas. E n cua cu an to a su e est stru ctu ra, el lib ro se d desd esdo o b la en e n cap cap ítu lo s y en en to d o s ello s, p rim ero se a ab b o rd a la p arte teó teó rica, ca, la cua cu al se d a en e n fo rm a d e tabl ab la o cuad cua d ro sinó p tico, y un u n resum en d e fo rm u las y resul resultad o s est estrecham echa m ent en te rel relacio n ad o s. U na larga exper exp eri ienci en cia h a co n ven ve n cid o a lo s au to res de q u e para p ara lo s estu d ian tes es u na gran ayu ay u d a el e l u so de d e tales resúm enes en es ya q u e resul resulta, a in icio s, u n tan to d ifícil el m an ejo sistem ático d e to to d as las fó rm u las . C ad a capí ca pít tulo con tiene en e 60 6 0 probl prob lem as, lo s cuales est están d o sificado cad o s de m eno en o r a m ayo r grad grad o d e d ificultad , lo s pri prim ero ero s 20 son ejercicio s de ap licaci cació n d irecta ecta, d ad o s con con la in tenci en ció n d e af a fianzar elu so d e lo s con con cept cep to s teó ricos, co s, lo s sigui gu ien tes 2 20 0 p ro b lem as son pregun pregunt tas d e exám enes de ad m isión plantead anteadas as en las diver diversas universidades da des del m edio (U (U N I, U N M S M , U N A C y PU P U C P ) y los 60 pro pro blem as restan tes so so n d e m ayo r grad grad o d e d ificultad q ue requi eq uieren eren en a lguno gu no s casos casos de d e al a lguno gu no s co co n cepto cepto s de Á lgebr geb ra o G eom eo m etría. D e esta m aner an era a el e llibro bro se hace h ace d id áctico y m o tivará vará al a lalum no lo s deseos de apr ap rend er, yend o d e lo m ás s si im ple a lo m ás com plejo. C o m enzam en zam o s po r tratar atar el u so d e las uni u nid d ad es angu an gul lares, ares, y sus equ ival va lenci en cias, par pa ra p o d er aplicarl carlas al cálculo d e u n a lo ngi ng itu d d e ar a rco d e circunf cun feren erenci cia, com o tam bién bién el área de d e un u n secto r circular y algun gu n o s caso caso s m ás,com o es la d eterm erm inaci na ció n d e la canti cantid ad d e vuel vu eltas que gira una u na rued a o d o s po leas o m ás que qu e están trabaj ab ajand an d o en un sistem a. D espu és, n o s in tro d u cim o s a la co lu m n a ver ve rtebr eb ral d e la Tr T rigo n o m etría qu q ue es el estu d io d e las razon azo n es trigo n o m étricas; pri prim ero ero par pa ra un u n ángu án gul lo agud agu d o y luego ue go par pa ra un u n ángu án gul lo qu e po p o sea cualqu ier m edi ed id a, d eterm erm inar na rem o s dent den tro d e ello s lo s valo res de cad a u n a d e el e llas po p o r m ed io d el estu d io an alítico y su repr ep resent esen tació n m ed ian te segm ent en to s de recta d irigid o s en la circun cu n ferencia trigo n o m étr étrica E sta pa p arte es es fu n d am ent en tal ya q u e lo s tem as sigui gu ient en tes tratará atarán sob sob re las diver ve rsas id ent en tid ad es qu e las relacio n an , las cua cu ales po r ciert erto so n m uy nu m ero ero sas, y que q ue só lo con la const co nstanci an cia en la p ráctica se po d rán d o m inar na r, po rque qu e u n m al entend entend im ient en to d e lo s p rim ero ero s tem as con co n d u cirá, in evi ev itab lem ent en te, a d ificultad es con co n tin u as en las part p artes m ás avan av an zadas. zad as. D ent en tro d e las id en tid ad es, clasificarem o s a aq a q uel ue lla s qu e son so n im prescin d ib les, a las cual cu ales lla m arem o s, id en tid a d es bás bá sicas, y ot o tras que qu e son m eno en o s im po rtant an tes; p ero ero se dan d an con el fin qu q u e no n o s perm perm ita resol resolver situ acio n es m atem atem áti áticas de u n m o d o m ucho ucho m as brev breve. e. S egui egu id am ent en te, le d arem o s uso a to d o el b lo q ue d e las id ent en tid ad es en el estud io d e las fun cio nes ne s trigon go n o m étricas ya sea en las fu n cio n es d irectas e in versas: versas:al h acer ace r el cálcul cu lo d e sus do d o m in io s y rango ran go s,al resol eso lver un u n a ecua e cuaci ció n e in in ecuaci ecu ació n trigo n o m étrica o al resol eso lver ve r p ro b lem as de d e fi figur gu ras geo ge o m étricas, tan solo con co n el u so de d e las razo razon n es trigo n o m étricas qu q u e rel relacio n an sus elem ent en to s. F in alm ent en te, cul cu lm in arem o s con lo s tem as d de: e: vect ve cto res, la lín ea recta, ecta, cón có n icas cas (circun cu n ferenci eren cia, p aráb o la, elip se e hi h ip érbo la), en sus po p o sicio n es ho h o rizont zon tal y vertical. P ara el e l estu d io d e ést é stas, en su po p o sició n o b licua, cu a, abo ab o rd arem o s el tem a d e la tran sfo rm ació n d e coo co o rd enad ena d as. Y term erm inam na m o s co co n la apl a plicació n d e lo s núm ero ero s co co m plejo s a la Tr T rigono go no m etría. Ten ga p resent esen te q u e el e l o bjet bjeti ivo en el estu d io d e las M atem atem áti áticas no n o es m ecan izarse, arse, sin o en saber sabe r ap licar correcta y ló gicam ent en te una u na d eterm in ad a d efinici nició n , p ro piedad ed ad o teor eo rem a a cada cad a p ro blem a qu e se esté resol resolviend en d o. S o lo así, el estu d iant an te encon en con trará ará en las M atem atem áticas una un a recreació n am a m ena en a y ági á gil .
TRILCE
Capítulo
RAZONES TRIGONOM TRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO - I
DEFINICIÓN:
Son los resultados que se obtien en al dividir los lados de un triángulo rectángulo. E n el trián gulo ad junto, tenem os:
C a y c : catetos b : hipotenusa
b
a
B :
c
2
c2 b 2
recto
A y C : A
a
A + C = 90º
s agudo s
B
A los resultad os así obtenidos se les asigna un nom bre asociad o a uno de los ángulos agudos del triángulo. A síen el gráfico; para Aˆ tenem os: a : cateto opu esto (C O ) b : hipo tenusa (H ) c : cateto ad yacen te (C A ) Luego se d efinen :
CO
C osA
CA
TanA
CO
SenA
H
H
CA
a
c
b
C scA
SecA
b a
C otA
c
H
CO
b
b
c
H
CA
CA CO
a
c
a
Po r ejem plo:
S en
13 5
C os
5
;
13 12
;
13
Tan C ot
5
12 12 5
12 *
TRIÁ NG ULOS REC TÁNG ULOS DE ÁNG ULOS NOTABLES :
Son aquellos trián gulos rectángulos en los cuales con ociendo las m edidas de sus ángulos agu dos se pude establecer la proporción en la que se encuen tran los lad os de dicho triángulo. D os de los m ás usad os son :
60º
45º 2
2 1
1
45º
30º 1
3 M ientras que uno aproxim ad o, pero recono cido po r sus diversas aplicaciones es el de 37º y 53º. 53º 5
3
37º 4
9
Trigonometría
A partir de estos se determ inarán o tros ad icionales com o:
67º30'
4+ 2 2
1
22º30' 2+1
5
71º30'
75º 4
10
6-2
15º
18º30' 3
6+ 2
63º30'
74º
82º 5 2
1
26º30' 2
1
25
1
8º
7
16º 24
7
N o olvide adem ás:
*
30º
37º
45º
53º
60º
Sen
1 2
3 5
2 2
4 5
3 2
C os
3 2
4 5
2 2
3 5
1 2
Tan
3 3
3 4
1
4 3
3
C ot
3
4 3
1
3 4
3 3
Sec
2 3 3
5 4
2
5 3
2
C sc
2
5 3
2
5 4
2 3 3
PROPIEDADES: I.
L as razones trigono m étricas de un á ngu lo; depen derán de la m edida d e d icho ángulo y no de los lad os del trián gulo rectán gulo en que se ubique. Po r ejem plo: C
PQ
S en
M N
S en
BC
S en
M Q
A
N
P
B
AQ
AN AC
Iguales
II . R. T. Recíprocas:
Se n ota claram ente, de las definiciones de las razon es trigono m étricas de u n ángulo agud o, qu e existen tres parejas que son una la recíproca inversa de la otra, por lo que su producto es siem pre igual a 1. E stas parejas son las siguien tes: S en C sc
1
C osS ec
1
Tan C ot
1
N ote qu e los ángulos agud os, deben ser iguales. Po r ejem plo si nos dicen q ue : Tan(3x - 10º) . C ot(x + 30 º) = 1; para calcular "x " direm os : Tan(3x - 10º) . C ot(x + 30º) = 1 3x - 10º = x + 30º x = 2 0º
I II . R. T. de Á ngulos C omplementari os:
C uand o se calculan las razon es trigono m étricas de los 2 án gulos agudos de un trián gulo rectán gulo, se pued e notar que existen ciertas parejas de éstas qu e tom an el m ism o valor. E sta característica la vam os a indicar de la siguiente m anera:
10
TRILCE
Si: son agudos; tales que: + = 90º entonces: Sen = C os Tan = C ot Sec = C sc Por ejem plo: Sen10º = C os80º Tan20º = C ot70º Sec40º = C os 50º C os24º = Sen 66º Tan = C ot (90º ) Sen( + 10º) = C os (8 0º )
Si: que: o
son agudos; tales
Sen = C os Tan = C ot Sec = C sc entonces: = 90º Por ejem plo:hallar "x", si: Sen (2x + 10º) = C os3x 2x + 10º + 3x = 90º 5x = 80º x = 16º O tro ejem plo;hallar "x" si: Tan (2x + y) = C ot (x - y) 2 x + y + x y = 9 0º 3x = 90º x = 30º
11
Trigonometría
EJERCICIOS PROPUESTOS 0 1 . S i " " es la m edida de u n án gulo agud o y se cum ple que: T g a) 12 d) 18
2 ; calcular: T 13 Sen 12 C ot 3 b) 14 e) 20
07. D el gráfico, calcular: "Tg " , si: Tgw
02 . E n u n triángu lo rectángu lo A B C recto en "C " se cum ple
a) 10 d) 25
b) 15 e) 30
65 Sen A 42 T gB a) 0,5 d) 2
c) 20
b) 30 u e) 60 u
w
2
03. E l perím etro de un trián gulo rectán gulo es 150 u y la cosecante d e u no d e lo s án gu lo s agu do s es 2,6. C alcular la longitud del m ayor cateto. a) 20 u d) 50 u
12
c) 16
qu e: 4S enA = 7S enB ; calcular: E
5
c) 40 u
04. D el gráfico m ostrad o, calcular: "C ot.C ot" B
b) 1 e) 2,5
08 . C alcular: E a) 5,5 d) 8,5
4 T g 6 Sen 3 C os 4
6
b) 6,5 e) 9,5
09 . C alcular: E
a) 2 d) 2,75
c) 1,5
3
c) 7,5
2 C ot 302º.Sec 60 º.2C ot45 º 2 T g 30 º Sec 45 º
b) 2,25 e) 3
c) 2,5
F
A a) 2 d) 8
10. D el gráfico, calcular: C ot A
2a b) 4 e) 3/2
C
a
E
E
c) 6
F
05. D elgráfico m ostrad o, calcular: "Tg Tgw " , si: A B C D es un cuadrado. B
C
w
37 º
O a) 1 d) 4
B
b) 2 e) 5
c) 3
2a
11. Si A B C es un triángulo equilátero, calcular: "Tg "
E 3a A
a) 0,1 d) 0,4
b) 0,2 e) 0,5
B 2
D
N
c) 0,3
06. D elgráfico, calcular: "C ot", si: C ot 2,4 B C
a) 1 d) 4
12
E b) 2 e) 5
c) 3
D
A
A
8
M
a)
3 5
b)
2 3 5
d)
2 3 7
e)
3 3 7
c)
3 7
C
TRILCE
a) 5 d) 8
12. D el gráfico m ostrad o, calcular: 11Tan B
b) 6 e) 9
c) 7
C
20 . Si: SenxS ecy = 1, con x e y agudos. 45 º
C alcular: E
F
T g(x y ).C ot(x y ).Tgx.T gy 2
3
37 º
A
D
E
a) 1 a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
d)
b)
c) 3
2
e) 6
5
21. E n un triángulo rectángulo, los lad os m eno res m iden 3 cm y 5 cm . S i el m enor ángu lo agud o d e dicho trián gulo m ide " ".
13. D el gráfico m ostrad o, calcular: "C otw ". a
2 H alle elvalor de: W 17 Sen 1 4a w
a) 1 d) 2,5
a) 1,5 d) 4,5
45 º
b) 1,5 e) 3
c) 2
b) 2,5 e) 5,5
22 . E n un triángu lo A B C , recto en C , se sabe :
14. D el gráfico m ostrad o, calcular: "Tg " , si: A B C D es un cuadrado.
SecA SecB E a) 1 d) 4
E a) 3/4 d) 3/5
37 º
A b) 3/7 e) 3/8
D
F
c) 4/7
15 . S i se cum ple que: S en2x = C os3x para "x" agudo, calcular: E = 4T g(2x+ 1º)+ 3T g(3x-1º). a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
b) 11 e) 14
c) 3
23 . E n u n triángu lo rectángu lo, el C oseno de uno de sus ángulos agu dos es 0,96 . Si su hipo tenusa m ide 50 m . H allar el perím etro de dicho triángu lo. a) 112 m d) 52 m
b) 224 m e) 412 m
c) 96 m
24. C alcule el área de la región triangular AB C . D onde: A C = 36m ; si, adem ás
17
a) 72 m 2
b) 144 m 2
d) 18 m 2
e) 360 m 2
C scC
26
c) 10 8 m 2
c) 7
17 . C alcular: E = (3T g10º+ 8C ot80º)C ot10º a) 10 d) 13
3
13 C osA 3 C tgB
b) 2 e) 5
C scA
16 . Si se cum ple que: Sen(3x-17º)C sc(x+ 13º) = 1 C alcular: E = C sc2x+ C ot3x+ Sec4x
2
C alcular :
C
B
c) 3,5
c) 12
25 . E l perím etro de un triángu lo rectángu lo es de 338 m . Si la tangente de uno de los ángulos agu dos es 2,4. ¿C uán to m ide el cateto m eno r? a) 13 m d) 56,33 m
b) 33,8 m e) 55 m
c) 50 m
18 . C alcular: E = (5S en20º+ 3C os70º)(5C sc20º-2S ec70º) a) 20 d) 26
b) 22 e) 28
c) 24
19 . Sab iendo que: Tg(3x-10º)Tg40 º = 1 C alcular: E = 3S ec3x+ 5S en(2x-3º)
13
Trigonometría ría
2
2 6 . D e la fi figur gu ra, hal ha llar (T an 2)
2mn
a)
4 3
b)
3 4
d)
2 3
e)
4 5
c)
5 4
m 3 1 . S i:
f
a) 1 d) 3
(x )
n c) 2
b) 4 e) 0
C alcul cu lar: f
(2)
2 7 . D eterm erm inar na r la h ipo tenusa en usa d e un u n tr triángu án gul lo rectángu án gul lo, sab iend o qu e la sum a d e sus sus cat catet etos os es 6 m y el pro pro d ucto d e lo s Sen o s de lo s ángul ángu lo s agud o s es 0,22 0,22 . a) 3 m d) 6 m
C sc T an 2 C os 3n 2n n 1
b) 4 m e) 7 m
a) 2 0
b) 21
d) 2 3
e) 0
c) 2 2
3 2 . S i en el triángul án gulo A B C , equ ilátero, ero, M , N y P so n p unt un to s m edios de A B , B C y A C , respect espectivam ente. A d em em ás: N Q = 2 Q P C a lcul cu la r:
c) 5 m
2 8 . D el gráfico, calcule : T an . Si: B N = 2AN
C
7 T an 5 T an T an
K
B M
45º
A a) 0 ,2 5 d ) 0 ,8
N
M
B
b ) 0 ,5 e) 0 ,7 5
N
c) 0 ,6
A
29 . Si en elgráfico : A B = B C . a) 3 d) 8
C alcul cu le: T an B
Q
b) 4 e) 1 4
c) 6
y (Tanx)S en 33. Si: x E lval va lo r d e "q" "q" es: q
53 º C
4 b) 9 2 e) 5
2 c) 3
d)
2
1 T an 2 x 1 C tg x
2 3 1 e) 3
a) 2
2 a) 9 1 d) 3
b)
1 2
c) 3
3 4 . D el gráf gráfi ico, calcular: C ot S i: A B C D : cuadrado. cuadrado.
3 0 . D el gráf gráfico, o btene btener r T an
B
C
A
37º M
37 º D
A
O
14
3 2
2
M
A
P
B
a) 6 d ) 18
b) 1 2 e) 1 4
c) 9
1
C
TRILCE
3 5 . S i: Sen 3 x . C scy = 1 Tan(2x + 20º) = C tg(y + 10º) D eterm erm inar na r "y - x" a) 1 2 º d ) 2 4º
b) 1 8º e) 3 2 º
a) c)
(R
e)
2
b)
2
d)
r)
2R r (R
c) 2 0 º
36. Si: Tgx .Tgy = 1 D eterm erm inar na r:
E
4R r
r)
(R
6 3
b)
6 6
d)
5 3
e)
2 6
a
c) 1
a) m 2
b) 1 0 e) 1 6
c) 8
Sec10 º Sec 20 º Sec 30 º... Sec 80 º C sc10 º C sc20 º C sc30 º... C sc80 º
b) 2 e)
6
3
2 2 m t T an m 4
2
d)
(m 2
2
1)2 2
1
4 3 . E n la fi figu ra, calcular cular el val va lo r d e x, si se cum cu m p le la sigu ient en te co n d ició n : T an (30 º ) C tg (30 º3 ) 0
2
39 . H allar los ángulos agud os y
3
1
c) 2 3
t2 tS ec 2 Sen
m 2 1 b) 2
m 2 1 c) 2 e) m 2
3 8 . C alcule el valo r d e la exp resió n :
3
r)2
6
2
E = 4Sen20º (C sc20º + 2Sec70º 2Sec70º) )
d)
(R
t2 tC sc 2 C os
t
37 . C alcular: ar:
a) 1
2R r
4 2 . S e tiene en e un u n triángu án gul lo rectángu án gul lo con cateto s a y b. b. H allar su su área en térm érm in o s de "m " si:
a)
r)2
r)2
b
W
(R
Rr
x y x y Sec2 x y Sen T an 2 3 3
a) 1 2 d) 6
4R r
x
q u e: tales qu
T an (3 35 º ) C tg (90 º) 2
a) 1 1 º y 1 0 º c) 20º y 17º 17º30' 30' e) 17º 17 º y 16º
b) 15º y 13º d) 35º y 25º
40. Siendo: endo: Sen(2x+ Sen(2x+ y) . S en(x-y+ 10º) = C os (x+ 2y) . C os (80º 80 º x + y) C a lcul cu le: K = C ot(x+ y) . C o t(5x5x -2y) 2y ) . C o t(5y-2x) a) 1
b) 2
d)
3 e) 3
3
15 º
c) 3
4 1 . S e tiene en e d o s circunf cun feren erenci cias tan tan gent gen tes exter exteri io rm ent en te con rad io s R y r. C alcul alcular el cua d rad o d e la la co tan gen te d el án gu lo fo rm ad o p o r la recta tan tangen gent te a am bas ba s circunf cun feren erenci cias y la recta q u e u n e lo s cent cen tro s.
20m a) 10 2 m
b) 10 m
d) 5 m
e) 10 3 m
c) 5 3 m
44 . U na sem icircunferenci erencia de radi ad io (1 3 )cm . se divi divid e en trein ta ar a rcos co s igu ales. C alcular la p ro yecció n d el arco arco com co m prend id o ent en tre la q u in ta y d écim a d ivisió n sob so b re el d iám etro h o rizont zon tal en cen ce n tím etro s.
1 4 5 d) 4 a)
b)
1 2
c) 1
e) 2
4 5 . S i par pa ra u n o bservad o r en la T ierr erra, el S o lapar ap arece ece baj b ajo u n án gul gu lo d e 3 2 ' y si la d istan cia d el o b servad va d o r a la superf sup erficie d e S o l es 15 1 5 0 m illo n es de d e kil kiló m etro s. D eterm erm in ar el rad io d el S o l en m illo n es de kiló m etro s sabiend abiend o qu e: Sen 16' = 0,004 65
15
Trigonometría ría
a) 0 ,7 0 d ) 2 ,6 29 29
b ) 0 ,8 1 9 e) 1 ,4 02 02
c) 1 ,3 9 5
D
4 6 . E n un triángu án gul lo isóscel sósceles,las m edi ed ianas an as trazadas azad as de sus vé rtices d e á n gu lo s ig u a les se in in terseca erseca n per pe rp endi en dicul cularm arm ente. ente. E nto nto n ces, ces, el C o seno en o d e uno u no d e lo s ángu án gul lo s igual gu ales es: es:
a)
1 3
d)
b)
1 10
e)
1 2 2 3
7 16 13 e) 25 b)
b) 2 e) 5
c)
F
b) C os2 A e) Sec 2 A
b) 2 e) 5
c)
B
m
p
E n F
C
D
a)
np nm
b)
nm np
d)
m m
n p
e)
pn pn
c)
m m
p n
c) 3 5 3 . S i: Tan( Tan(x+ x+ 10º) 10º)+ Tan(y+ an(y+ 10º) 10º)= C ot(x+ 10º) 10º)+ C ot(y+ 10º) 10º) C os(x y) C os(4 y 10 º ) 2 S en(100 º4 y)
90 º ) señal señ ale el
c) T an 2 A
C a lcul cu la r:
K a) 4 d ) 24
Sec 2 (x 10 º ) Sec 2 3 y C os(x y 10 º)
b) 8 e) 3 2
c) 1 6
5 4 . D el gráf gráfi ico, calcul cu lar: K
2 3 C ot 5 T an
S i: C D se se d ib uja con co n cent cen tro en "E " B
C
Q
c) 3 P
C alcul cu le:
16
55 72
5 2 . D el gráf gráfi ico, h allar: T an
51 . S i los triángu los AB A B C , C D E y EFG E FG son equi equ iláteros. eros. Tanx Tany C E EG S i: A C 3 2
65 77 5 e) 7 b)
50. Si: 3 es un ángul án gulo agud agu d o, tal qu e: 2 C ot3 5 C alcul cu le: K 5 C sc 6 C os2 a) 1 d) 4
G
A
A A K TanA T an 1 TanA C ot 1 2 2 d) C o 2 A
E
3 80
49 . E n un triángu lo rectángu lo A B C (Bˆ equi eq uiva val lent en te d e:
a) S en 2 A
35 66 13 d) 11 a)
48 . E n eltrapeci apecio A B C D : B C // A D . Si: AB = B C = 8;C D = 15 y A D = 25 y la m edida del del ˆ ángul án gulo C D A D ; el val va lo r d e: K = C scD + C tgD ; es: a) 1 d) 4
y
1
en d ireccio nes qu e fo fo rm an un án gulo gulo " " un o a 5 km /h y elotr otro a 12 km /h. C alcul cu lar el C os sab sabi iend en d o q ue al cabo d e 1 ho ra la d istan cia d esde esd e el p u n to "P " al p u n to m ed io d el segm ento que q ue separ separa a am bos bo s autos es es de 7 km .
5 8 9 d) 40
x
B
47 . D os autos part parten sim ultáneam ente desde desde un pun to "P "
a)
C
A
3 2
c)
N
M
60º E
A
a) 3 d) 8
b) 5 e) 1 0
D
c) 7
TRILCE
55 . E n elcuadrado A B C D ; calcular: K
58. Sabiendo que:
3 Tan 9 Tan E
3 x 2 y 2
Sen (2 x y 20 º ) C os
B
C
x 3 y T an x 3 y 1 2 4
T an
C alcule:
8º
W
A a) 3 d) 6
D
b) 4 e) 7
c) 5
C sc2 (x y) C sc2 3 y
a) 4
b) 6
d) 10
e) 5
c) 8
59. D el gráfico calcular: 56. Sabiendo que: Tan(40º+ x) . Sen(50º-x) = C os(10º+ x) ..... (1) Tan(2x-5º) . Tany = Tan1º .Tan2º .Tan3º ...... Tan 89º C alcule:
W
(C sc 1)(C sc 1)(C sc 1)(C sc 1)
W Sec 2 (2x 5 º ) T an 2 (y 5 º) C sc2 (y x 5 º ) a) 3 d) 9
b) 5 e) 11
O1
O2
O3
c) 7 a) 4 d) 81
57 . E n elcuadrado A B C D , calcular: W
2 2 C os 5 C os C
E
c) 16
60. D el gráfico calcule: W (Sec 1)(Sec 1) C os C os Siend o "A " centro del arco B D . B
S i: A E = A F ; C M = C N y C F = 3 FD
B
b) 9 e) 100
O
M
F
A A
a) 11
b)
d)
e) 17
19
13
N
c) 4 6
D
a) 1 d) 3
D b) 0 3 e) 2
T
C
c) 2
17
Trigonometría
laves Claves
18
01.
e
31.
c
02.
d
32.
d
03.
e
33.
e
04.
c
34.
b
05.
b
35.
d
06.
e
36.
a
07.
c
37.
a
08.
d
38.
a
09.
b
39.
e
10.
b
40.
d
11.
d
41.
a
12.
c
42.
d
13.
b
43.
b
14.
c
44.
c
15.
c
45.
a
16.
a
46.
d
17.
b
47.
d
18.
c
48.
d
19.
e
49.
e
20.
c
50.
c
21.
c
51.
b
22.
e
52.
a
23.
a
53.
c
24.
a
54.
e
25.
d
55.
d
26.
d
56.
d
27.
c
57.
e
28.
e
58.
c
29.
b
59.
c
30.
e
60.
c
TRILCE
C apít ulo
*
RAZONES TRIGONOM TRICAS DE UN NGULO AGUDO - II
C Á L C U L O D E L A D O S : E s el procedim ien to m ed ian te el cual se determ inan los lad os faltan tes de un trián gulo rectángulo, en térm ino s de un lad o qu e síse conoce; y de un ángu lo agudo qu e tam bién se con oce. Criterio: Lado desconocid o R .T .( conocido ) Lado con ocido
Casos:
1. C BC Tan B C L AC AC II) L
I)
A
L
B
2 . C AB C ot A B L AC AC II) L
I) L A
B
3 .
C
A
BC L AB II) L
I)
L
B
S en B C
19
Trigonometría
S U P E R F I C I E D E U N TR I Á N G U L O : L a sup erficie d e u n triángulo se pu ede calcular com o el sem iproducto de las m edidas de dos de sus lad os, m ultiplicados por el Seno del ángulo qu e form an dichos lad os.
*
B Sabem os: S A B C c
pero: h = aSenC
a h
A
SABC
luego: S A B C
b
ab SenC 2
A nálogam ente SA B C
20
ac SenB 2
SABC
bc SenA 2
b h 2
C
b aSenC 2
TRILCE
EJERCICIOS PROPUESTOS 01. H allar elárea del trián gulo, de la figura m ostrad a:
05. E n la figura, halla "x". B
K
c) (K
2
A
a) K 2 Sen.C os
/3)Sen .C os
n
m
b) (K
2
d) (K
2
/2)Sen .C os /4 )Sen .C os
e) (K 2 /5)Sen .C os
x
C
a) m S en n C o s
b) m C os n C o s
nSen e) m S en nSec
d) m S ec
c) m C os
06 . H alla "x" en:
A
02 . E n un triángulo isósceles A B C (A B = B C ) se sabe que los ángulos congruentes m iden " " m ientras qu e el lad o d esigu al m id e "L ". H allar un o d e lo s lad o s congruentes.
C
x
L a) Sec 2 d)
L C tg 2
L C sc b) 2 e)
L c) T g 2
m
B
L C os 2
a) m S ec T g
b) m C osC sc
c) m C osC tg
d) m S enC os
07 . H alla "x":
m
m
b) m C os e) m Tg
x
c) m Sec
04 . O btener "x"
a) m S en .C ot
b) m S en .T an
c) m S en .Sen
d) m C os.C ot
e) m C os.T an
A
08 . H allar "x":
R
D
B O
D
e) m T g
03 . O btener "x", en:
a) m Sen d) m C sc
nSec
x H x B
a) R (1 Sen )
b) R (Sec 1)
c) R (1 C os)
d) R (C sc 1)
e) R (1 T g)
A
a) m S en
m
2
c) m S en C os
C
H
2 b) m C os
d) m S en T g
e) m S ecC sc
21
Trigonometría
09. H allar "x", de la figura:
13. H allar "x", siendo "O " centro del sector A O B . O
x
R
m
x a) m S en.C os
b) Sen.C os
c) m S en
d) m C os
B
A
e) m T g 10. D el gráfico, hallar: A C .
a) RSen
b) R C o s
c) R (1 Sen )
d) R (1 C os)
e) R (1 2 C os)
B
14 . H allar "x".
n
m
m C
x
y
A
a) m S enx+ nSeny c) nSenx+ m C osy e) m Seny+ nCo sx
b) m C osx+ nSeny d) m C osx+ nC osy
11. D el gráfico, hallar "x", si: A B C D es cuad rad o. A
B
x
a) m S en Sen
b) m S en C os
c) m C osC os
d) m C osSen
e) m T g C tg 15 . H allar la d istan cia m ínim a d el p un to "P " a la circunferen cia:
x
R D
C
m
2
P
a) m (1 Sen )
b) m (1 C os)
a) RC sc
b) R (C sc 1)
c) m (1 T g )
d) m (1 C tg)
c) R (T g 1)
d) R (C tg 1)
e) m (T g C tg)
e) R (C sc 1)
12. O btener "A B ":
16 . D eterm ine "x" en:
C C
m R A
O
a) R (C sc C tg ) b) R (1 C tg) c) R (1 C sc) e) 2R+ 1
22
d) R (1 Sen )
B
A
D
B
x a) m S en .C os
b) m S en.Sec
c) m S en .C tg
d) m C os.C tg
e) m C os.T g
TRILCE
17 . H allar "x".
21. D el gráfico, determ ine "x". C x B x
a
A
b
m D
a) Sen aCos
b) bSen C os
c) bSen aCos
d) aSen b C o s
a) m Sen b) m C os
c) m Sec
d) m C sc e) m T an
e) aSec bT g
22 . D eterm inar C D .
18 . D eterm ine el perím etro del triángu lo A B C .
B
B
m A
m
A
C
C a) m (1 Sen C os) b) m (1 Sec T g ) c) m (1 C sc C tg)
D
a) m T an Sen
b) m C tg C os
c) m T an C os
d) m T an C sc
e) m C tg Sen
d) m (1 Sec C sc) e) m (1 T g C tg )
23. D el gráfico, hallar "x".
19 . H allar: "x" en:
45 ° x m
m
a) m C tg C os
b) m T g .C os
c) m T g Sen
d) m T g
a)
m T an 1
b)
m C tg 1
c)
m 1 C tg
d)
m 1 T an
e) m S en 20. D el gráfico, hallar: "C tgx".
x
e) m (1 T an ) 24 . D eterm ine "x" en :
x 2Sec C os a) Sen c)
Sec C os Sen
Sec C os e) Sen
Sen C os b) Sen d)
C sc Sen C os
m
x
a) m Sen Sen
b) m Sen C os
c) m Sen Sec
d) m C os Sec
e) m C os Sen 23
Trigonometría
25 . D eterm ine "x" en:
29. D el gráfico, hallar: E D . m C
x a) m
Sec2
b) m
c) m Sen 2
A
C os2
a) m C tg
d) m C sc 2
m
E
D
b) m S ec
B
c) m S ec2
d) m C tg 2 e) m T an 2
e) m Sec C sc 26 . Si A B C D es un cuadrado, determ ine "x".
30. E n elgráfico, hallar M P, en térm ino s de " " y " "; " " y " ".
B
N b
L
M C x
A
D
R a) L Sen
2
b) L C os
c) L (Sen C os )
2
d) L Sen 2 C os
e) L Sen C os2
a) (a b C os) Sec
b) (a b C os) C sc
c) (a b T an ) C tg
d) (a bSec) T an
e) (a bSen ) C sc
27. D el gráfico, hallar "x":
31 . E n un triángulo B A C , recto en A ; la m ediana B M y el cateto A C form an un ángulo agudo x. L uego Tanx es igu al a:
m
a) 2TanC
b) TanB + TanC
c) 2TanB
d) TanC + C tgC
e) 2(TanC + TanB )
x a) m (Sec 2 1)
b) m (C sc2 1)
c) m (T an 2 1)
d) m (C tg 2 1)
32. E n la figura el área del triángulo A C D es igual al área del triángulo A B C . E lvalor de será: D
e) m (T an 2 C tg 2 )
28. D el gráfico, hallar "x", si A B C D es un cuad rado.
C
B
A n
x A
1 a) A rcTan 2
D
24
P
a
a) nSen
b) n C o s
d) nC sc
e) nC tg
C c) nTanC sc
2
c) A rcTan
1
e) A rcTan 2
B
b) A rcC tg 1 2
d) A rcC tg 1 2
TRILCE
33. E n la región lim itad a por un a circunferencia d e rad io R y d o s tan ge ntes a ésta; se q u iere inscrib ir otra circun ferencia (de radio m enor que R ). S ilas tan gen tes se intersectan en un án gulo de 2a rad ianes, ¿A qu é distancia de la intersección de éstas, debe encontrarse el centro d e la circunferencia inscrita?
36 . D ado el cuadrado A B C D , se tiene qu e las áreas de los triángulos FA E , E D C y C B F son iguales, luego Sen es: F A B
E
a)
c) e)
R 1 Sena Sena 1 Sena
R 1 Sena Sena 1 Sena
b)
Sena 1 Sena d) R 1 Sena R Sena
a)
R 1 Sena Sena
c)
34. E n la figura, expresar O B y B C , en térm ino s de x, y,
C
D
e)
3 5 6
3
b)
5
3 5 6 3 5 6
d)
6
C
3 5 6
OA = x 37 . E n la figu ra m ostrad a, so n con ocidos:
AC = y
, y
h.
E ntonces los valores de x e y son d ados por:
B
O
h
A
xC os ySen B C xSen yCos O B xC os ySen B C ySen xC os O B xC os ySen B C xSen yC os O B xC os ySen B C yC os xSen O B xC os ySen B C xSen yC os
a) O B b) c) d) e)
a) x
b) x
c) x
circunferencia d e centro O , A R D ; R S //A B ,AB = a. H allar el radio de la circunferencia.
2
h T an T an T an
h ; y T an T an
hT an T an T an
T an T an
h T an
2
2 2
T an h
; y
2
e) x
hTanT an
2
; y
(T an T an )
C
AB = 3 y A C
;y
2
h T an T an
2
2
T an 2
2
h T an
2
2
(T an T an )
h 2 T anT an
27 16 A
O A
D
a 2 C os
a) a 2 C os
b)
a c) 2 Sen
d) aSen
C
y
S
e) a 1 C os 2
2
38. E n la siguiente figura, hallar (x + y) si:
R B
x
; y
h
d) x
35 . E n la figura: A B C D es un rectán gulo inscrito en la
y
a) 5,14 d) 4,19
x
b) 5,19 e) 3,19
B
c) 5,29
25
Trigonometría
43. E n la figura m ostrad a, calcular: E = Tanx C tgy S i: A B = A D = 1 ; D C = 2
39. D e la figura hallar:
F
6 Tanz 3 Tany C tgxTanyT a nz
B x
k y A
y z a) 3,15 d) 3,00
b) 2,35 e) 3,20
D
x
1 2 1 d) 4 a)
c) 4,30
40. E n u n triángu lo rectángu lo B A C , se cum ple q ue
b)
1 3
c) 2
e) 1
44. E n la figura m ostrad a, ¿a qué distancia se encuen tra el globo respecto del lago?
2 . 4 H allar la altura relativa a la h ipotenusa sabien do que C osB C osC
C
k
G lobo
esta m ide 6 2 m .
a)
2m
b)
d)
5m
e) 7 m
H
c) 3 m
3m
Lago
41 . La figura m uestra un cuadrado cuya área es 64 m 2 y talque P C = B P'. H allar: A M Si: A P = 6 m
A
B
6m
a) H C o s2
b) H S en 2
c) H S ec2
d) H C sc2
e) H C tg 2
P'
O
Im agen
M
45. En la figura:D C = 2AB = 2. C alcular elárea del trián gulo E FG . D
P
a) 12 5 m
12 d) 5
b)
12 5
A
D
C 3m
c)
16 5
E
3m
G
5m
A B C , A D = B D y 3 Sen C os 3 H allar la tangente del ángulo D C G . B
A
26
3 2
C
a)
1 T an 18
b)
2 C tg 45
c)
2 T an 45
d)
1 (T an C tg) 18
e)
1 (T an C tg) 9
46. E n un sector circular, cuyo ángulo central es , está inscrito un cuadrad o de lad o L. E l radio de la circunferencia co rrespondiente es:
G
d)
F
e) 12 3 m
42. E n la siguiente figura, G es el baricen tro del trián gulo
a) 3
B
2 b) 3 1 e) 2
D 1 c) 3
C
1
2 L C tg 2 C tg 5 a) 2 2 2
TRILCE
1
b)
L 2
2 2 C tg 2 2 C tg 2 5 1
2 L C tg 2 4 C tg 5 c) 2 2 2 d)
e)
L C tg 2 2 2
A C bw C os 2 2
d) 4 3 T an
e) 2 3 C tg 3
cuyas áreas están en la relación de 1 : 4. C alcule la tangente del ángulo M D C . A
B
M
a)
b)
2 5
d)
A C bw C os 2 3
1 4
d)
3 4
e)
3 5
e)
A C bw C os 2 4
48 . Se tiene un a po ligon al A B C D tal que los ángu los A B C
5 3 y , respectivam ente. 6 4 H allar la longitud delrad io de la circunferencia tan gente a los tres segm entos de la poligo nal si cum ple que : y BC D m iden
C tg 2n a) m nm d) nm
5 12
C tg 3 m 8
n b) m e)
D
A C bw C os 3 2
c)
4
lad o tiene la longitud a unidad es. Si el segm ento D M divide al cuadrad o en un triángulo y en un trap ecio
47 . Se tiene un triángu lo A B C en elque se con ocen ellado A C (opuesto al vértice B , de longitud b), y la bisectriz de longitud w relativa al vértice B . H allar el área d el trián gulo A B C .
b)
3
c) 2 3 T an
un o de sus vértices en el origen de coordenad as cuyo
L C tg 2 2 2
A C bw C os 3 3
b) 2 3 T an
50 . E n la figura m ostrada se tiene un cuadrado A B C D con
1 2
a)
4
4
a) 2 3 C tg
y BC = n
C
c)
1 3
51 . D ado un po lígon o regular convexo de n lados,se trazan d os circun ferencias, la prim era de rad io r que e s tan gen te a todos los lad os del polígo no, y la segu nda de rad io R que p asa por todos sus vértices.
r es : R
E lvalor de la razón
a) Sen n
b) Sen
2n
c) Sen 2 n
d) 1 Sen e) C os 2 n n
n c) 2m
52. U n cuadrado M N PQ cuyos lados m iden
nm
2
2 ,
está inscrito en una circunferencia.
49. E n la figura, eltriángulo N ST es isósceles de base 6,K H es elradio de la circunferencia circunscrita a un triángu lo equilátero de lad o 6. H allar el rad io R .
C alcular la d istancia d el pun to Q al pu nto m ed io del arco M N . a) 0 ,5
b) 1
d)
e)
S
L R
2
2 2
c) 1,5
2
K N
H
T
27
Trigonometría
53. E n la siguiente figura:
6 a)
B
c)
O
3 5
A La relación
C
c 4 r2 c
e)
d)
3 5 6 3 5
. Si: c , Aˆ b) 2 1 C os
c) 2 1 Sen
d) 2 1 C os
3 5
57. E n la figura h allar elvalor de "h" en fun ción de
2 es equivalente a:
a) 2 1 C os 2
5 3 6
6
r
6 b)
, Bˆ
2 h
54 . L a siguiente figura es un cuadrado, do nd e Q es punto m edio d el lado A B . D eterm ine C sc Q B A
C
D
5 4 e) 2 5 b)
d) 4
C
e) 2 (1 -C os )(1 - Sen )
a) 2
c) 3
A
D
a)
C tg C tg
b)
T an T an
c)
Sen Sen Sen
d)
C tg C tg
e)
C os Sen
B
58.E n u n triángulo A B C , recto en B , la m ediana C M y el cateto B A form an un án gulo agudo . E ntonces, T g es:
55. E n la figura, hallar "x": a) 2 TanA b) 2 C tgA c) 2TanC d) TanA + TgC e) 2(TanC + C tgA )
x 59. E n la sem icircunferencia m ostrad a, halle:
K
k a) kSec5 Sen c) kC tg Sec e) kSec
5
7
b) kSec
6
d) kTan C os
Q
3
C os
C
A
O
a) 2 d)
C
D
A
B
P
1
56 . E n el cuadrado A B C D , las áreas de los triángu los O A P, PD C y C B O son iguales. Luego C sc es:
28
Sen 2 Sen 2
Tan 6
, y
1 4
b) 3 e)
1 3
PB
O c) 4
TRILCE
60. D el gráfico, hallar T an Si:
AP m
m a)
PB n
n
n)
b)
m (2 n m )
d)
n(2m n
c)
A P
M
O
N
e)
m (2 m
n)
2m n 2n m
2n m 2m n
B
29
Trigonometría
laves Claves
30
01.
b
31.
a
02.
a
32.
a
03.
c
33.
c
04.
c
34.
b
05.
b
35.
d
06.
d
36.
b
07.
a
37.
e
08.
a
38.
b
09.
a
39.
b
10.
d
40.
d
11.
c
41.
c
12.
c
42.
d
13.
d
43.
c
14.
b
44.
a
15.
b
45.
c
16.
c
46.
b
17.
c
47.
b
18.
c
48.
b
19.
c
49.
b
20.
a
50.
b
21.
b
51.
e
22.
e
52.
b
23.
b
53.
e
24.
c
54.
b
25.
d
55.
b
26.
c
56.
d
27.
d
57.
a
28.
c
58.
a
29.
d
59.
c
30.
e
60.
c
TRILCE
C ap ítulo
NGULOS VERTICALES NGULOS HORIZONTALES
Á NG ULO S V E R TI C A LE S Son aquellos ángulos ubicados en un plano vertical qu e, en la p ráctica, son form ad os po r una línea visual (o línea de m ira) y una línea horizontal, com o resultad o de hab erse efectuad o una o bservación. E stos resultad os se clasifican en:ángulos de elevación y ángulos de depresión . (ver gráficos).
l a u s i V a e n í L
Línea H orizontal
Línea H orizontal
L í n e a V i s u a l
H
h
: Á ngulo d e E levación
: Á ngu lo de D epresión
Consideración: En el gráfico ad junto, "" es el ángulo b ajo elcualse divisa la torre. N ote que deben trazarse las dos visuales;una hacia la parte alta y la otra hacia la parte baja. Luego "" es el ángulo form ado por las dos visuales.
Á NG UL OS H O R I ZON TAL E S Son aquellos ángulos ubicados en u n plano ho rizontal qu e, en la práctica, los vam os a ubicar en la R osa N áutica. Rosa Náutica: (com pás m arino ), es un instrum ento de o rientación que perm itirá localizar una ciud ad , persona o pun to; respecto de u na referencia, m ed ian te el uso d e las direcciones : N orte (N ) B
direcciones.
30º
P 42º
ángulos; con qu ienes se va n a d eno tar dichas
ó n c i i r e c D
40º O este (O )
B y C ; form an con los ejes principales ciertos
A
D i r e c c i ó n
n ó i c c e r i D
N ote qu e dichas direcciones en este caso para A ;
Po r ejem plo: E ste (E )
R eferencia
"A " se halla el E 30 ºN de "P" "B " se h alla al O 40 ºN de "P" "C " se halla al S42 ºO de "P"
C Sur (S)
31
Trigonometría
N ote que dichas direcciones en este caso para A ; B y C ; form an con los ejes principales ciertos ángulos;con quienes se van a d enotar dichas direcciones. Po r ejem plo: "A " se halla el E 30 ºN de "P " . "B " se halla alO 40 ºN de "P" . "C " se halla al S42 ºO de "P" .
N Q
E stá alN 2 4 º E de "R " P E stá alE66º N de "R "
P 24º 66º
30º O
R
Q
E
E stá alO 3 0º N de "R " de "R " E stá al
10º S
E stá alS10º E de "R " S de "R " E stá al
S
A hora b ien , algu nas direcciones tienen la p articularidad de o bten erse trazando bisectrices sucesivas, a partir de los ejes principales; por lo que su notación será tam bién particular. Indicarem os lo que o curre entre el N orte y el E ste, y u sted concluye los restantes po r an alogía.
N
N
N 1NE 4 NNE
N E 1N 4 NE
O
E
S
O
N O
S
O
E n cu alquiera de los casos :
32
11º15 ' ó rad 16
E
N E
S
N E 1E 4 EN E E 1NE 4
S
E
TRILCE
S I TUA C I ONE S C OMB I NAD A S C uando los enun ciad os de los problem as m encionan ángulos verticales (de elevación o de depresión) y án gulos horizontales (uso de d irecciones, generalm ente), al m ism o tiem po, la rosa náu tica a em plear asum e una po sición m ás real; es decir, ubicad a en u n p lan o horizon tal. Po r ejem plo, grafiquem os la siguiente situación: "D esde un pu nto en tierra, se divisa al N orte lo alto de un po ste con un ángulo de elevación " ". S i luego nos desplazam os hacia el N 60ºE, hasta ubicarnos al E ste d el poste, el án gulo de elevación para su parte m ás alta sería " ". A hora, note la rep resentación gráfica:
60º
E 0 º N 6
33
Trigonometría
EJERCICIOS PROPUESTOS 01. D esde un pun to de tierra se observa lo alto de un edificio con ángulo de elevación 37 º, si la visual m ide 30 m , determ inar la altura d e edificio. a) 3 m d) 18
b) 12 e) 24
c) 15
02 . U na p erson a de 2 m de estatura divisa lo alto d e un po ste co n un ángulo de elevación de 45º. Si la altura del poste es de 20 m . ¿A qué distan cia d e el se halla la persona? a) 18 d) 24
b) 20 e) 32
c) 22
03 . D esde u n p unto u bicado a 24 m de u na torre, se divisa su parte m ás alta con un ángulo de elevación d e 53º. ¿C uáles la altura d e la torre? a) 24 d) 42
b) 36 e) 48
c) 32
04. D esde un pu nto en tierra se divisa lo alto de un po ste con un án gulo de elevación de 37º. S i la a ltura del po ste es d e 30 m . ¿A qué d istan cia d el poste se encuen tra el pu nto d e observación? a) 10 d) 40
b) 20 e) 50
c) 30
05 . D esde do s pun tos separado s 42 m se observa la parte alta d e un farol que se en cuentra entre ellos con án gulos de elevación 37º y 4 5º. D eterm inar la altura del farol. a) 9 d) 12
b) 10 e) 13
b) 24 e) 48
c) 30
07. D esde un pu nto en tierra se ve lo alto de un a torre con un án gulo de elevación " " (T g = 1/4). ¿A qu é distancia d e la torre se halla el punto de o bservación, si la altura d e la torre es 7 m ? a) 14 d) 21
b) 28 e) N .A .
c) 56
08. D esde un pu nto en tierra se divisa lo alto de un po ste con un ángulo d e elevación d e 37º. Si no s acercam os una distan cia igual a la altura del poste, el ángu lo de elevación es " ". C alcular: "Tg ". a) 1 d) 4
34
b) 2 e) 6
a) 1 d) 4
b) 2 e) 6
c) 3
10 . U na h orm iga ob serva la copa d e un árbo l con un ángulo de elevación de 37º, luego se acerca 7 m y observa el m ism o punto con un ángu lo de elevación de 5 3º. C alcular la altura del árbol. a) 10 d) 16
b) 12 e) 20
c) 14
11 . D esde d os puntos separados 52 m se observa lo alto d e u n p o ste con án gulo s d e elevación 53 º y
T g
2 . S i el po ste se encuen tra entre los dos 5
puntos. D eterm ine su altura. a) 12 m d) 9
b) 16 e) 11
c) 18
12 . Se observa un poste con ángulo de elevación " " no s acercam os "L" y el án gulo de elevación es 45 º. Si la altura de poste es "2 L". D eterm inar: T g . a) 1/3 d) 1/2
b) 2/3 e) 3/2
c) 1
c) 11
06 . D esde u n m uro d e 6 m de altura se observa la parte alta y baja u n poste co n án gu lo s de e leva ción y depresión 6 0º y 30º respectivam ente. D eterm ine la altura d el poste. a) 15 m d) 36
09 . D esde un pu nto u bicado a 15 m de un p oste se ve su parte m ás alta con u n ángu lo d e elevación de 53 º. C am inam os 3 m en d irección al po ste y el ángu lo de eleva ción p ara su p arte m ás alta es " ". C alcular: "C tg ".
c) 3
13 . D esde un edificio de 1 2 m de altura se observa un autom óvil con ángulo co n ángu lo d e depresión " "
T g 1 . Luego se ob serva una señalm ás cerca del 3 ed ificio con án gu lo de d epresión 45º. D eterm ine la distan cia en tre la señ al y el autom óvil. a) 12 m d) 36
b) 18 e) 10
c) 24
14. D esde un pu nto en tierra se divisa lo alto de un po ste con un ángulo de elevación d e 45º, y desde o tro punto ubicado en la m itad de la d istan cia q ue hay entre el prim er punto y el poste, el án gulo de elevación es " ". C alcular: "Tg ". a) 2 d) 8
b) 4 e) 16
c) 6
15 . D esde un pun to ubicado a 3 0 m de un a torre se divisa su pa rte m ás alta con un án gulo de elevación " " (Tg = 1/3). Si nos alejam os una d istan cia igual a la altura d e la torre, el án gu lo d e elevación es " ".
TRILCE
22 . U n m óvilse desplaza hacia una torre con una velocidad de 4 m /m in; y en un prim er m om ento, observa su parte m ás alta con un ángulo de elevación de 37º. Sila torre m ide 192 m , ¿después de qué tiem po el ángulo de elevación tiene com o tangente 8?
C alcular: "C tg ". a) 1 d) 4
b) 2 e) 6
c) 3
16 . D esde las partes sup eriores del prim ero, segu nd o y tercer piso de un ed ificio se o bserva lo alto de otro ed ificio con án gulos de elevación
, , , respectiva-
m ente.Si:Tg -Tg = 0,1 y Tg = 2,7.¿C uántos pisos tiene el segundo ed ificio? a) 10 d) 30
b) 15 e) 40
c) 20
b) 2,5 e) 4
c) 3
18 . D esde un punto ubicado a 36 m de un edificio d e 28 m de altura, se divisa su parte m ás alta co n un ángulo de elevación de 53º. Señale la d istan cia d e un punto a la base d el ed ificio. a) 20 d) 32
b) 21 e) 49
c) 35
19 . D esde el puesto del vigía d e un b arco que tiene 4 8 m de altura se ob serva que el ángulo de depresión d e un bote es de 3 0º. C alcular la distancia a la que esta el barco. a) 48
b) 48 3
d) 24
e) 6 3
c) 12
20. D esde el pie de un po ste se observa la parte m ás alta de un a torre con un ángulo de elevación de 45 º, el m ism o p un to es observad o d esde la parte m ás alta del poste co n un ángulo de elevación de 3 7º. C alcular la longitud del poste sila distancia en tre el poste y la torre es de 120 m . a) 10 d) 30
b) 15 e) 40
c) 20
21 . D esde un punto en T ierra se ve lo alto de u n poste con 1 un án gulo de elevación " " (T an ); y si nos 6 acercam os 30 m el ángu lo de elevación es de 45º. ¿C uál es la altura del poste? a) 5 m d) 8 m
b) 6 m e) 12 m
c) 1h 12 m in e) 58 m in
23 . U n n iño ob serva los ojos de su pad re con u n án gulo de elevación , y su pad re o bserva sus pies con un ángulo de depresión (90 º). O btener la relación en tre sus alturas.
17. D esde lo alto de un edificio de 8 pisos, se ve u n pu nto en tierra con un ángulo de d epresión d e 45º. C uánto m ide cada p iso d el ed ificio, si el punto observado se halla a 24 m del m ism o? a) 2 d) 3,5
a) 29 m in b) 48 m in d) 1h 18 m in
c) 4 m
a) 1 Tan 2
b) 1 Tan 2
c) 1 C ot2
d) 1 C ot2
e) Tan 2 1 24. Se tiene u na torre en el bo rde de un acantilad o; cuyas partes alta y b aja so n vistas d esde u n punto de la superficie h orizontal con án gu los de elevación " " y " ", respectivam ente (3 Tan 4 Tan ) . L a altura del acantilad o es de 212 ,31 m . ¿C uáles la altura d e la torre? a) 141,54 m c) 1 59 ,23 25 m e) 35,38 5 m
b) 28,308 m d ) 70 ,77 m
25 . S ub iend o p or un cam ino inclinad o, de án gulo " " respecto a la h orizontal; se observa lo alto de una torre con un ángulo de elevación " 2 "; verificándose que la torre m ide 3 m y la visual 7 m . ¿C uál es el valor de " Tan "?
3 7 4 d) 7 a)
6 7 2 e) 7 b
c)
3 14
26 . D esde d os puntos ubicados al Sur y al O este de una torre d e 24 m de altura, se ve su p arte m ás alta co n ángulo de elevación de 45º y 37º respectivam ente. ¿C uál es la distan cia entre los pu ntos de observación? a) 32 m d) 48 m
b) 36 m e) 40 m
c) 56 m
27 . D esde d os puntos ubicados alSur y O este de un po ste, se divisa su parte m ás alta con ángulos de elevación " " y "90 º ", respectivam en te. Si la d istancia entre los puntos de o bservación es el doble de la altura d el poste, calcular: P
T an C ot
a) 3
b) 2 3
d) 2 6
e) 3 2
c) 6
35
Trigonometría
28. E lángulo de elevación d e la cúspide de un a torre es de 60 º a 72 m etros de ella. E stando elojo d elobservador a
3 m etros sobre el suelo, la altura de la torre es
aproxim adam ente. a) 72 m
b) 73 3 m
d) 73 m
e) 72 3 m
c) 71 m
29. D esde el pie de un po ste el ángulo d e elevación d e la parte m ás alta d e un cam panario es 45º. D esde la p arte superior del poste que tiene 9 m de altura, el án gulo de elevación es de 30 º. ¿C uál es la altura d el cam panario?
tarda en lleg ar al ed ificio 6 segund os, calcular la velocidad del autom ovil. a) 3 m /s b) 6 m /s c) 7 m /s d ) 1 2 m /s e) 4 m /s 33 . U n avión se encuentra voland o horizon talm ente a 18 0 km /h. E n cierto instan te, elpiloto ve una señalen tierra con u n á ngu lo d e dep resión de 3 0º. D os m inu tos después, estando sob re la señal, el piloto observa a una d istan cia d e 10 00 m etros un aerostato con un ángulo de elevación de 60º. ¿A qué altura está vo lan do elaerostato en ese instan te? a) 2 3 km
b) 2,5 3 km
c) 3 3 km
d) 3,5 3 km e) 4 3 km a)
d)
9 3 2 9 3 3
1
b)
e)
7 2 1 2
c)
5 3 3
1
9 3 3
1
30 . U n niño está vo land o su com eta soltánd ole cuerda, la m ism a qu e se m antiene tensa y haciend o un ángu lo con la ho rizontal. A 12 0 m detrás del niño hay un ho m bre. C uand o la com eta se encuentra a 2 0 m de altura, el ho m bre la o bserva con un ángulo respecto a la horizontal. ¿A cuántos m etros de altura se enco ntrará la com eta para qu e sea observada po r el ho m bre con un ángu lo
34 . U n barco y un avión viajan en la m ism a dirección y en el m ism o sentido. E n la prim era observación desde el ba rco se ve a l avió n a d elan te con un án gu lo d e elevación d e 53 º,m arcand o con una bo ya d icho lugar. E n la segunda observación se le ve con un ángu lo de 37º, si la velocidad del avión es 8 veces la del barco. C alcular la co tan gen te del án gulo con la que el avión en la segun da posición o bserva la boya.
a)
17 12
b)
15 11
d)
3 4
e)
5 7
2 ?
637 23 1561 d) 19
1285 17 63 7 e) 13 b)
c)
1080 13
ángulo de elevación
. S ila sum a de las distan cias del
poste a cad a u no de los puntos es d, calcular la altura del poste.
31. U na balsa se aproxim a hacia un faro. E n un determ inad o instan te, el faro es observad o por el
a) dTan 2 dTan
tripulante d e la balsa con un ángulo de elevación de
12
. A l reco rrer 36m ad icionales vuelve a observar,
encontrando esta vez un ángu lo de
b) 15 m e) 18 m
2d 2C tg C tg 2d
2 Tan Tan
e) d (Tan 2 Tan )
c) 12 m
32 . D esde lo alto de un edificio se observa a un autom óvil con un ángu lo d e depresión de 37 º. D icho au tom óvil se desplaza con velocidad con stante. L uego q ue avanza 28 m acercándose al ed ificio es observad o con un ángulo d e depresión d e 53º. S i desde esta posición
36
c) 2 dC tg dC tg d)
b)
.
6 E ncuen tre la a ltura del faro (desprecie la altura d el tripulan te que hizo la observación) a) 10 m d) 14 m
11 17
35 . D os puntos están u bicado s en un m ism o n iveldelsuelo. D esde u no de ellos se observa el extrem o sup erior de un po ste con un ángulo d e elevación y d esde otro pun to se observa el pu nto m edio del po ste con un
C onsidere : T g 1 3 a)
c)
36 . D os autos parten sim ultáneam ente desde un pun to "P" en d ireccio nes qu e fo rm an un án gulo " " un o a 5 km /h y el otro a 12 km /h. C alcular el C os sabiend o q ue alcabo de un a hora la d istan cia d esde el punto "P " al punto m ed io d el segm ento que separa am bo s autos es de 7 km .
5 8 9 d) 40 a)
7 16 13 e) 25 b)
c)
3 80
TRILCE
37. U n niño de estatura "h" está parado sobre la banca y observa los ojos de su pad re; de estatura "H ", con u n ángulo de elevación " " y sus pies con u n ángulo de depresión " ". Si el padre divisa los pies de su hijo con un ángu lo de dep resión " ". H allar:
H h
T an T an a) T an Tan c)
Tan Tan Tan Tan
e)
Tan Tan Tan Tan
Tan Tan b) Tan Tan d)
Tan Tan Tan Tan
38. D esde la parte superior del tercer piso de un edificio de 9, se ve un m om ento d e m eno r altura, con un án gulo de elevación "x", su parte m ás alta y un án gu lo de dep resión "y" su b ase. Si desd e lo alto del ed ificio, la tangente d el ángulo de d epresión co n la q ue se ve la ba se del m onu m ento, es sextup lo d e la tan gente del ángulo con que se ve la parte m ás alta. Calcular: E = 4Coty · Tanx a) 2 d) 8
b) 4 e) 6
c) 5
39. D esde lo alto de un edificio se ven tres puntos en T ierra, a u n m ism o lado, con ángu los de dep resión , 45º y 90 º ( 45 º ). Si el punto interm ed io d ista del m ás alejad o, eldoble d el m ás cercano, calcular: N a) 1 d) 7
2
6 Tan C ot
b) 3 e) 9
c) 5
40 . U n p oste, una person a y una torre están u bicado s del m od o q ue se m encio na n y sus alturas están en la proporción 3; 1; 5. Si de lo alto del poste se divisa lo alto de la persona con u n ángu lo de depresión " "; m ientras que la persona divisa lo alto de la torre con un ángulo d e elevación , desde lo alto de la torre se ve la base del po ste con un ángulo d e depresión " ". Si se verifica que: C ot
b) 2 e) 5
b) 2 3
d) 3
e)
c) 3
, y respectivam en te. Si B P es bisectriz
del ángulo A Pˆ C que m ide 6 0º, calcular:
Tan Tan Tan c) 3
3 3
42 . D esde la parte m ás alta d e un árbol de 5 m etros de altura se observa a otros dos de 1 m etro y 4 m etros de altura con ángulos de depresión y (90 º ), si estos están alE ste y alSur delárbolm ás alto,respectivam ente. C alcular:"T an ",siad em ás desde la p arte m ás alta d el árbol m ás pequeño, se observa la parte m ás alta del árbol de 4 m etros con un án gulo de elevación d e (90 º )
1 a) 4 2
b)
d)
e) 2 2
2
1 2
c) 4 2
43. U n barco se encuentra alSur de un helicóptero, elbarco perm an ece inm óvil; pero el helicóptero avanza cierta distan cia hacia el E ste. D esde el barco se ob serva al helicóp tero en la segund a posición con un ángulo de elevación " ". Si el án gulo de elevación en la prim era posición es de 45º y elhelicóptero avanzó 2km ,calcular " ", siad em ás elhelicóptero se en cuentra a una altura de
2 km .
1 2 3 c) A rcTan 4 e) 45 º a) A rcTan
b) A rcTan
1 3
d) 30º
44 . Se tienen tres puntos en tierra A ,B y C (A B = B C );y un poste PQ ("Q " en elsuelo, alinteriordeltrián gulo A B C ), desde los cuales se ve lo alto del poste con án gulos de elevación Si: A Qˆ B
, y respectivam ente. x B Qˆ C y
Señale el equivalente de:
J
a) Tan
41. Se tiene un po ste PQ ("P" en elsuelo) y tres puntos en la sup erficie h o rizon tal A , B y C , perfectam en te alinead os; desde los cuales se ve "Q " con ángulos de elevación
a) 2
m C ot nCot
C alcular: K = m + 2n a) 1 d) 4
J
d)
1 C ot 2
C otC osx C otC osy C ot2 C ot2
b) 2 Tan e)
c) 2 C ot
1 T an 2
45 . L uciano ob serva a L uciana en la d irección N E y a
18 2 m d e d istancia; a su vez Luciana observa a Lucio en la d irección E 37 ºS. D eterm ine la distancia que separa a Luciano y a L ucio, siLucio se encu entra al E ste de Lucian o.
37
Trigonometría
a) 41 m d) 18 m
b) 40 m e) 42 m
c) 24 m
46 . D esde una ciud ad "A " se divisan a otras dos "B " y "C " en las direcciones O 80 ºN y E 40 ºN , respectivam ente. A dem ás desde "B " se d ivisa a "C " al E 50 ºS a u na distancia de 173 km . ¿C uál es la distancia entre "A " y "B "? a) 100 km d ) 2 73 km
b) 200 km e) 3 00 km
c) 150 km
47. ¿C uál es la d irección de la b isectriz del m enor ángulo form ado po r las direccion es N 20ºE y S 80ºO ? a) N 10ºO d ) N 40ºO
b) N 20ºO e) N 50ºO
c) N 30ºO
52. U n niño sostiene d os globo s. E l ángulo d e elevación qu e tiene en la m an o d erecha es de 21º y la cuerda m ide "a" m etros. E lángulo d e elevación del globo que sostiene en la m an o izquierda es de 24º y la cuerda m ide a 2 m etros. ¿C uál es la d istan cia que h ay entre los globos? a) (1 2 ) a m etros
c) 2 a 5 a m etros d) a 5 a m etros e) ( 2 5 )a m etros 53 . "M oshé" divisa los ojos de su pad re con un ángu lo de elevación " " y sus pies con un ángulo de depresión " "; m ientras que su padre divisa los pies de "M oshé" con un ángulo de dep resión " ". S abiend o qu e las estatu ras de "M o sh é" y su p ad re son "h" y "H " respectivam ente, señale el equivalente d e:
y SO 1 S con la b isectriz de SE y SE 1 S 4 4 b) 78º45' e) 9 0º
c) 77º
49. Se tiene una torre en el bo rde de un acantilado, cuyas partes alta y b aja son vistas desde u n punto de la superficie h orizontal con án gu los de eleva ción " " y " " respectivam ente (3 Tan 4 Tan ) . La altura del acantilado es de 212 ,31 m . ¿C uáles la altura d e la torre? a) 141,54 m c) 1 59,2 32 5 m e) 35 ,38 5 m
b) 28,308 m d ) 7 0,7 7 m
50. U na persona cam ina 5 2 (aprox.) al norte de su casa, luego 13 m en la dirección S E , siah ora se encuen tra en la dirección N E de su casa.
d)
10 2 13
13 2 b) 17 e)
17 c) 13
13 17
51 . D esde d os puntos A y B ,situad os alO este y alN orte de una torre, se observa la p arte m ás alta d e ésta co n
y , respectivam ente; y desde el pu nto m edio de A B , el ángulo de elevación es " ". C alcular: Tan C ot ángulos de elevación
38
a)
C otC ot 2
C ot
C otC ot
c)
e)
C ot
b)
h H
C ot2 C otC ot
d)
C ot C otC ot
Tan T an T an
54. D esde un p un to en tierra, se divisa lo alto d e un poste, con un ángulo de elevación de 10º. N os acercam os una distan cia "d 1 " y el ángulo de elevación es de 40º; y si no s de splazam o s un a d istan cia " d 2 " ha sta ubicarnos al otro lad o del poste, el án gulo de elevación es de 20º. d1 C alcular: d 2
(Sug. C os10º = 0,984 8)
H allar: C sc
13 a) 5
H h
J
48. C alcular elm eno r ángulo que form an la bisectriz de S O
a) 50º d ) 6 7º3 0'
b) (2 2 ) a m etros
3 a) 2
b) 1
d) 2
e) 2 3
c) 3
a) 1,137 d ) 0 ,9 57
b) 1,232 e) 0 ,3 52
c) 1,321
55. U n observad or divisa u n po ste vertical bajo un ángulo " " notan do que sus visuales son iguales. S e acerca una d istancia igu al a las d os terceras pa rtes d e la distan cia q ue inicialm ente lo separaba d elposte y divisa a éste. ahora bajo un ángulo " ". C alcular "n" en la igualdad. Sen Sen a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
nSen 2
2
Sen 2
2
c) 3
TRILCE
56 . U na person a cam ina, po r un cam ino inclinad o qu e form a u n ángulo "x" con la h orizontal y o bserva la p arte superior de u na torre co n un án gulo de inclinación "2x". Luego de cam inar un a distancia de 15 veces la altura d e la torre, observa nuevam ente su parte sup erior con un ángulo de elevación d e "3x". C alcular: E = C scx - 15 a) 10 d) 15
b) 20 e) 25
c) 12
57 . S e tiene una torre y do s puntos A y B ubicado s en lad os opuestos de ella. D esde "A " se divisa un punto de la torre con un ángulo de elevación " "; no tándose que la distancia d e d icho pu nto observado a lo alto de la to rre es igu al a la visua l trazad a p ara d ich a observación;m ientras que,desde "B ",se divisa un punto ub icado 1 m , m ás abajo q ue al anterior con un ángulo de elevación " " . N otán dose que la visual trazad a es igual a la d istan cia d el nuevo punto observado a lo alto de la torre, hallar la altura d e la torre.
a) b)
(T an 1)(T an 1) T an T an (Sen 1)(Sen Sen
1)
C alcular:
J a) 1,1 983 d) 2,5783
T an T an T an T an Tan T an Tan T an
b ) 2 ,2 34 3 e) 2,8794
c) 1,71 24
59 . D esde un pu nto d el suelo, ubicado al O 30ºS d e una torre, se divisa su parte m ás alta co n u n án gulo de elevación 53 º. D e esta ub icación no s desplazam os al S30 ºE hasta ubicarnos alSur de la torre. O bservaríam os su p arte m ás alta con u n ángulo de elevación " ". C alcular: Tan
1 3 3 d) 2 a)
2 3 1 e) 4 b)
c)
3 4
60 .U n reflecto r situ ad o al ras d el sue lo ilu m ina u n m on um ento bajo un án gulo d e 30º. Si trasladam os el reflector 2 m m ás cerca delm onu m ento, éste se ve bajo un ángulo de 45º. ¿C uá l es la a ltura (y) del m onu m ento y cuál es su distan cia (x) al segundo lugar de ilum inación?
Sen
(1 Sen )(1 Sen ) c) Sen Sen
a) y
2 3 3 3
;
x
2 3 3 3
(C os 1)(C os 1) d) C os C os
b) y
2 3 3 3
;
x
2 3 3 3
(T an 1)(T an 1) e) T an T an
c) y
2 3 3 3
;
x
2 3 3 3
;
x
58. D esde cuatro pu ntos colineales de la superficie A , B , C y D se divisa lo alto de una torre PQ ("Q " en el piso) con án gulos de elevación
2 3 3 3 e) y 3 3 d) y
;
2 3 3 3 x 3 3
, , y respectiva-
m ente. Si: A Qˆ B
B Qˆ C C Qˆ D 10 º y Sen 10 º 0,173648 .
39
Trigonometría
laves Claves
40
01.
d
31.
e
02.
a
32.
b
03.
c
33.
b
04.
d
34.
a
05.
e
35.
b
06.
b
36.
c
07.
b
37.
b
08.
c
38.
e
09.
a
39.
d
10.
b
40.
c
11.
b
41.
c
12.
b
42.
c
13.
c
43.
d
14.
a
44.
e
15.
d
45.
e
16.
b
46.
b
17.
c
47.
d
18.
e
48.
b
19.
b
49.
d
20.
d
50.
b
21.
b
51.
c
22.
e
52.
d
23.
b
53.
c
24.
b
54.
a
25.
a
55.
c
26.
e
56.
d
27.
c
57.
b
28.
b
58.
e
29.
d
59.
b
30.
c
60.
c
TRILCE
C ap ítulo
4
SI STEM A COORDEN ADO RECTAN GULA R S I S TE MA C OO R D E NA D O R E C TA NG ULA R
D eno m inad o tam bién cartesiano, en ho no r al m atem ático R ené D escartes (1596-1650). Se determ ina trazan do dos rectas nu m éricas perpendiculares entre síque se intersectan en un p unto "O " y divide al plan o en cuatro sem iplano s denom inad os cuad rantes. * * *
La recta h orizontal se llam a eje "x" o eje d e ab scisas. La recta verticalse llam a eje "y" o eje de ordenadas. E l punto "O " se denom ina origen de coordenadas.
y C uadrante I P (x ;y )
C uad rante II y
1
1
1
x
2
Q (x ;y ) 2
2
x
O (0;0) y
C uad ran te III
2
x
1
C uad rante IV
D istancia entre dos puntos del plano cartesi ano Sean P1 (x1 ;y1 ) y P 2 (x 2 ;y 2 ) d os pun tos del plan o cartesiano, entonces la distan cia "d" entre los puntos P1 y P está d ada por: 2
y y
y
1
d
(x 2
P (x ;y )
2
P (x ;y ) 1
x1 )2 (y 2 y1 )2
2 2
1 1
x
x
x
2
1
*
2
d
Radio Vector E s la distancia d el origen de coordenad as a un p unto cualquiera del plan o cartesian o. Si: P (x ;y ) es un punto delplan o cartesian o elrad io 0 0 vector se calcula así: r
x 02
y02
y y
P (x ;y )
0
0
0
r
x
0
x
41
Trigonometría
D ivis ión de un segmento en una razón dada: Sea P 0 (x 0 ;y 0 )un pu nto cualqu iera sobre un segm ento d e extrem os P (x ;y ) y P (x ;y ) tal que: 1 1 1 2 2 2 P1P 0 P0 P 2
y P (x ;y ) 2
b
a (razón ) b
2
2
P (x ;y )
a
0
0
0
P (x ;y )
Las coo rdenadas de P0 son :
1
1
1
x x
0
ax bx 2
1
y
ab
0
ay by 2
1
ab
Punto Medio de un Segmento L as coorden ada s d el pun to m edio M d el segm ento d e extrem os P1(x1 ;y1 )y P (x ;y ) se calcula así: 2 2 2
x
0
x1
y P (x ;y )
x2
2
2
2
2
M (x ;y ) 0 0
y
0
y
1
P (x ;y )
y2
1
1
1
x
2
y
C oor denadas del baricentro de un tri ángulo:
C (x ;y ) 3 3
E n el triángu lo cuyo s vértices son A (x ;y ) ; B (x ;y ) y 1
1
2
2
C (x ;y ) ,las coordenad as delbaricentro están dad as po r: 3
G
3
x x 2 x 3 y1 y 2 y 3 G 1 ; 3 3
B (x ;y ) 2 2
A (x ;y ) 1
1
x
G : baricentro
Á rea de una r egi ón tr iangular: Para calcular el área "S" de u na región trian gular, se colocan las coordenad as de uno de los vértices y segu im os el sentido an tihorario hasta cerrar la figu ra y volver a co locar el prim er vértice escogido, finalm ente, se proced e com o a co ntinuación se indica.
y C (x ;y ) 3
S
x y 2 1 x 3 y 2 x1y 3
3
B (x ;y ) 2
2
x x
y
1
1
y
2
2
x1 y 2
y3 x 2 y 3 y x 3 y1
x3 x1
1
B Lu ego :
A (x ;y ) 1 1
x
42
A
S
A
B 2
TRILCE
EJERCICIOS PROPUESTOS 01. D eterm ine el rad io vector de (2,-3). a)
5
b)
d)
17
e) 19
09 . D eterm ine el prod ucto d e las coo rden adas del pu nto del segm ento form ad o al unir los puntos (-7,3) y (1,5).
c) 13
11
a) 6 d) -12
b) -6 e) 15
c) 12
10. A l unir los puntos A(-5,1), B (-1,7) y C (5,-1). Se form a un triángulo A B C . D eterm ine la longitud de la m ediana
02 . D eterm inar elradio vector de ( 2 , 7 )
A M , (M en B C ). a)
b)
3
d) 4
c) 3
10
e) 5
03 . D eterm in ar el rad io vecto r de l pu nto m ed io d el segm ento form ad o al unir los puntos (3,1) y (7,9).
a)
5
b) 2 5
d)
10
e) 15
04 . Si: (-1,2) es el punto m edio del segm ento form ado al unir los pu ntos, (-3,-1) y (a,b). D eterm inar: "a+ b". a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
47
d)
57
b)
c) 53
51
e)
61
11 . D eterm ine las coord ena da s del ba ricentro de un triángulo que se form a alunir los puntos.A (-1,5);B (3,9) y C (7,1).
2
c) 5
a)
a) (3,2) d) (5,3)
b) (-7,3) e) (-3,5)
c) (3,5)
12. E n el gráfico, hallar "x+ y":
c) 5
B (10 ;6)
2K K
05. D el gráfico, calcular: "d".
P
(3,5) A (-2;3) a) (2,3) d) (-1,2)
d (5,2)
a)
37
b)
41
d)
61
e)
82
A (1;9)
c) 53 2S
06. D os vértices consecutivos de un cuad rad o son (-7,3) y (-1,-5), determ ine su p erím etro.
d) 12
b) 40 3
e) 15
2
b) 15 e) 35
c) 26
3S
B (-2;5)
a) (1,8) d) (3,7)
c) 20
07. Se tiene una circunferencia d e centro (-3,7) qu e pasa por (2,-5), determ inar su diám etro. a) 13 d) 30
c) (1,3)
13. Según el gráfico, halle "p":
(-11,1)
a) 60
b) (2,4) e) (-2,4)
C (8;10 )
b) (2,7) e) (4,6)
c) (3,5)
14. Los vértices de un triángulo son A (3,1);B (9,1) y C (3,7). D eterm ine su área.
a) 36
2
b) 18
d) 16
2
e) 9
2
c) 24
2
2
08 . Si: (4,2) es el punto m edio d el segm ento form ado al unir los puntos (a,-3) y (5,b). D eterm inar: E
a) 2 d) 3
ba
15 . L os vértices de un trián gu lo son A (1;2), B (3;6) y C (-1,0). C alcular la longitud de la m ed iana relativa al lad o A B .
b) 3 e) 5
c) 2 a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
43
Trigonometría
16 . D eterm ine en el eje "x" un pu nto q ue tenga u na distan cia d e 5 unidad es del punto (2,4). a) (-1,0) d) (6,0)
b) (1,0) e) a y c
c) (5,0)
17 . Si A B C D es un p aralelogram o d on de A (3,2), B (1,5), C (-2,3). H alle el punto D . a) (0,0) d) (-2,2)
b) (1,7) e) (-5,1)
c) (-1,3)
18. Los pun tos A(4,-2); B (1,2) y C (5,5) son los vértices de un trián gulo: a) Isósceles. c) R ectán gu lo. e) O blicuángulo.
b) E quilátero. d ) R ectán gu lo Isó sceles.
19. H allar en el eje de o rdenadas un pu nto A cuya d istancia hasta el punto B (-8,13) sea igual a 17. a) (0 ,-1 ) d) (2,8)
b ) (0 ,-2 ) e) (0,-28)
c) (1 ,2 )
20 . S i P (a;a+ 1) es un pu nto q ue eq uidista d e A (2,1) y B (-6,5). H allar el valor de "a". a) 6 d) 1
b) -6 e) -1
c) 0
21. Se tienen d os vértices opu estos de un cuad rad o (-5,8) y (1,2); determ inar su centro de gravedad .
25. H allar las coordenadas de un p un to "A " cuya d istancia al origen es igual a 1 3u ; sabiendo ad em ás qu e su ordenadas tiene 7u m ás que su abcisa. (D ar la sum a d e coordenad as). a) 17 d) a y b
b) (-2,3) e) (1,3)
c) (-2,5)
22. E lcentro de una circunferencia es (-4, 5 ), determ inar
c) -17
26 . Si (2,3) es el punto m edio d el segm ento A B sien do A (-3,5) y B (a,b). C alcular: a+ b. a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
27. E l segm ento qu e une A = (-2,1) con B = (2,2) se prolonga h asta C sabiend o que B C = 3A B . H allar las coordenadas de C . a) (14,11) b) (11,14) d) (14,-11 ) e) (-14 ,11 )
c) (1,7)
28 . S i un vértice de u n trián gulo A B C , es A = (1,3) y el baricentro del trián gulo es G = (3,1). ¿C uál es la sum a de coordenadas del pu nto m edio "M " opu esto alvértice "A "? a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
29 . D ad o s dos vértices consecutivos d e u n cuad rad o A (3 ; 7) y B (1 ; 4), calcule su área. a) 12 7
a) (-1,3) d) (-1,5)
b) 16 e) a y c
2
d) 81 2
b) 13 7
2
c) 147
2
e) 100 2
30. Señale las coo rdenadas del pu nto "P" ub icado en el eje de abscisas que equ idista d e A (1 ; 5) y B (7 ; 3)
su área si pasa por el origen de co ordenad as (usar: (
22 ). 7
a) 2
2
b) 3
2
e) 81
d) 66
2
c) 44
2
2
23 . Si P es punto m edio de M N ;M y N son puntos m edios de A C y B C respectivam ente, determ ine elrad io vector del punto P; siendo A (-4,5); B (2,5) y C (6,-3). a)
7
d) 3
2
b)
10
e)
15
c) 2
a) 2 d) 5
44
yx . b) 3 e) 6
c) 4
7 ;0 3
b
8 ;0 3
d)
11 ;0 2
e)
4 3
c)
;0
11 ;0 4
31. E n un triángulo A B C ,los vértices son A (3 ;1),B (1 ;5) y C (1 ; 3). C alcule la longitud de la m ed ian a relativa al lad o B C . a)
5
b)
d)
13
e) 15
7
c) 2 3
3
24. Si (-5,3) es punto m ed io entre (x,0) y (0,y); calcular: E
a)
32. Si tres vértices consecutivos de u n p aralelogram o son A (1 ; 1) , B (1 ; 5) y C (9 ; 7). H alle la sum a d e coordenadas del cuarto vértice "D " op uesto a B . a) 5 d) 10
b) 6 e) 12
c) 9
TRILCE
33. Se traza un segm ento d esde A(1;1) hasta B (3;5). ¿H asta qué pu nto "C " será n ecesario prolongarlo para qu e AC 6
38. D el gráfico, halle : S
2
BC ? 5
S1 .
(5 ; 8)
(Señale la sum a de coo rden adas de "C ") a) 35 d) 23
b) 38 e) 27
S1
c) 42
b) 5 e) 7
(6 ; 2)
c) 7 a) 10
35 . D elesquem a m ostrado, determ ine las coordenadas del punto M . Si: A B C D es un paralelogram o.
S2
(3 ; 1)
34. E n un triángulo A B C se sabe qu e A (3 ; 5) y elbaricentro es G (1 ; 3). H allar la sum a de coo rdenadas del pu nto m edio de BC . a) 3 d) 5
(10 ; 1)
2
d) 11,5
b) 10 ,5 2
e) 12
2
c) 6 2
2
39 . Los puntos P(-4;0); Q (5 ; 3 3 ),R (x;0) so n lo s vértices de un triángulo rectángulo recto en Q , la sum a d e los valores que indican el perím etro y el área del triángu lo es:
y B C (4 ; 9) M
a) 18 3
A(8 ;5)
N
D (6 ; 1) x
a)
11 ;8 2
b) ( 6 ; 5)
9 ;5 2 e) ( 5 ; 7) c)
d) ( 6 ; 4)
36. Se tiene el triángulo form ad o po r los vértices A (1;9), B (6 ; 8) y C (2 ; 4),calcule la superficie del triángu lo. a) 35 2
2 b) 28
2
e) 40 2
d) 24
c) 14 2
37. Si A (-1;3) , B (3;1) y C (2;4), calcule el Seno del ángulo CAB.
3 a) 10 d)
2 5
10 b) 10 e)
2 2
5 c) 5
24
b) 18 18 3
c) 18 24 3
d) 12 12 3
e) 12 6
6
40 . La base m ayor de un trapecio isósceles une los puntos (-2;8) y (-2;-4). U no de los térm ino s de la b ase m enor tiene por coordenad as (3;-2). La d istancia o longitud de la base m enor es: a) 8 d) 12
b) 6 e) 10
c) 9
41 . U n cua d rilátero tien e sus vértices en lo s pun to s coordenado s : A (0;0) , B (2;2) , C (7;2) y D (5;0)
PROPOSICIÓN 1: Si sólo los valores d e las abscisas se m ultiplican por 2 entonces este cu ad rilátero es sem ejan te al original.
PROPOSICIÓN 2: Silos valores de las abscisas y ordenad as se m ultiplican po r un m ism o nú m ero, entonces este cuadrilátero es sem ejante al original.
PROPOSICIÓN 3: Si los valores de las abscisas se m ultiplican por 2 y las o rd en ad as po r 3 e nton ces el área d e este n uev o cuadrilátero es 5 veces m ayor que el original. a) FV V d) FFF
b) FFV e) V V F
c) V FF
45
Trigonometría
42. Los vértices de un cuad rad o son A (0 ; -3); B (b ;b ), 1 2
6 6 1 9 ; 2 2 13 13 6 6 1 9 ; 2 2 13 13
d)
C (3;4), D (d ;d ) . 1 2 C alcular el área del rectángulo cuyo s vértices son los puntos B , P, D , Q do nd e P (d 1 ;b 2 ) y Q (b ;d ) . 1 2 a) 58 d) 21
b) 29 e) 19,5
c) 25
e)
47. Las coordenadas de los vértices A y B de un rectángulo A B C D son (12 ; 3) y (4 ; 9), respectivam ente. Sielárea de la región rectangular es 80 u 2 , determ inar la sum a de las abscisas de los vértices C y D .
43 . E n la figura m ostrada las coo rden adas delpunto R son (6 3 ;8).
a) 25
H allar la distancia d el baricentro de la región triangu lar M O N alpunto R . y
d)
12 7 5
b)
12 6 5
e)
12 8 5
c) 26
48. Si los puntos (1 ; 6) y (5 ; 2) son los vértices op uestos de un cuad rad o, entonces el área d el cuad rad o es:
R M
30º N
O
a) 2 21
b)
d) 21
e) 2 42
x
c) 4 21
21
a) N o se pued e d eterm inar. b) 50 c) 4 d) 16 e) 8 49. Los pun tos A(-2 ; 2),B (0 ;4), C (C ;C ) son los vértices 1 2 de un triángulo equilátero. S i C está en el segu nd o cuad ran te, en to nces 3 (C
44 . S i A (-3;4), B (4;5), C (1;-4) son lo s vértices de u n triángulo. C alcular las coordenad as delcircuncentro del triángu lo. a) (1 ; 1) d) (-3 ; -1)
b) (1 ; -1) e) (-1 ; -1)
c) (2 ;-1)
b) 828 e) 605
C 2 ) vale:
a) - 9
b) - 8
d) - 5
e) 2 3
c) - 6
50. D ad os los pun tos A (-2;-3) , B (2;1), C (4;-9) y M pu nto m edio de B C , la d istancia de M al segm ento A C es:
45. Sean los puntos del plano cartesiano: A (3 ; 10), B (13 ; 2) , C (0 ; a) y D (b ; 0). H allar los valores de a y b de tal form a que la sum a d e las longitud es de los segm entos A C , C D y D B sea lo m eno r po sible y d ar com o respu esta el valor de 12ab. a) 961 d) 1020
1
a) 2
b) 2 2
d) 4 2
e) 6
c) 4
51 . E n la gráfica,siA C = 5, la sum a d e las coo rden adas de C es: C (x;y)
y
c) 780
46. Sean los puntos del plano cartesiano A (1;2) B(10 ;0) y C (8;4). D esde elpun to C se baja la perpendicular C P B (4;2)
A (1;2)
al segm ento A B , entonces las coordenadas de P son :
x
O a) b)
c)
46
6 6 1 9 ; 2 -2 7 7 59 59 1 9 ; 2 2 85 85 59 1 9 85
59 85
; 2 - 2
a) 4 d) 6
b) 10 e) 9
c) 8
TRILCE
52 . Los extrem os de la b ase de un triángu lo son los puntos A (0 ; 0) y B (3 ; 0). D eterm inar la o rdenad a delvértice opuesto C
1 2
56. A partir delgráfico, calcule: W
; y
Sen 2 Sen 2
Sen
2
B (3;9)
de talm anera que la m edida del ángu lo C A B es igual al
do ble de la m edida del ángulo C B A .
a) 15
b)
15 2
15 6
e)
15 8
d)
15 4
c)
A (1;3)
53. A (a ; b),B (a ; -b), C (-a ; -b),D (-a ;b) son los vértices de un rectán gu lo. S i: P (x;y) cum ple que D P CP
7
a)
5
5 , entonces elvalor de A P
y BP
c) 3
b) 2 3
d) 4
6 ,
es:
a) 1 d)
2 3
b) 2 e)
3 2
"P".Si: B D 3
DC 5
54. En elgráfico: BD = 3AD y EC = 2BE .
W
h
c) 3
57. D el gráfico, halle la sum a de coo rdenadas del pu nto
e) 3 2
C alcule:
C (5;7)
B (3;9)
h3
2
h
y
D
1
7S
B (5;5) h3
S
C (7;5)
P E
D
h2
A (2;0)
C (8;2)
h1 A (1;1)
x a) 1
b) 2
d) 4
e)
c) 3
a) 8
b) 10
d) 16
e) 7
c) 12
58 . D e tod os los puntos del plano cuya sum a de distancia a los puntos A (1;5) y B (7;5) es igual a 10. Señale la
2 3
sum a d e coo rden ada s de aq uel pu nto d e orden ada m áxim a.
55. D el gráfico, calcule "x" si " " es m áxim o. . y (3;3)
a) 10
b) 11
d) 13
e) 14
c) 12
59. Señale las coordenadas delvértice C ,deltriángulo A B C , silas coo rdenadas de los vértices del trián gulo form ad o
(1;1)
al unir los puntos m edios de sus lad os son:
P(x;0) a)
2
d) 2 3
b) 2 2 e)
x
A M (1 ;0 ), B M (2 ;3 ) y C M (6 ;7 ) y A
c) 3
CM
6 BM
B AM
x
C a) (-9 ; -4)
b) (-7 ; - 2)
d) (-8 ; -5)
e) (-6 ; -7)
c) (-10 ; -5)
47
Trigonometría
60 . Si A B C D es un paralelogram o, halle: S 1 S 2 y C (x;y)
S2 x B (2;-1)
A (-5;-5)
48
2
d) 21 2 4
D (-3;2) S1
a) 41 4
b) 41 2
2
e) 41 2
c) 21 2 2
TRILCE
laves Claves 01.
c
31.
d
02.
c
32.
d
03.
c
33.
b
04.
d
34.
c
05.
e
35.
a
06.
b
36.
c
07.
c
37.
e
08.
c
38.
c
09.
d
39.
c
10.
c
40.
a
11.
c
41.
a
12.
b
42.
d
13.
b
43.
a
14.
b
44.
a
15.
d
45.
a
16.
e
46.
c
17.
a
47.
e
18.
d
48.
d
19.
a
49.
e
20.
b
50.
b
21.
c
51.
b
22.
d
52.
b
23.
b
53.
b
24.
c
54.
c
25.
e
55.
e
26.
d
56.
a
27.
a
57.
b
28.
d
58.
d
29.
b
59.
a
30.
b
60.
b
49
TRILCE
C ap ítulo
RAZONES TRIGONOM TRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORM AL
5 Definiciones Previas: I.
Á N G U LO E N P O S I C I Ó N N O R MA L Llam ad o tam bién en posición canónica o stándar. E s aquél ángulo trigono m étrico cuyo vértice coincide con el origen del sistem a cartesiano y su lado inicial coincide co n el eje "x" po sitivo. C uando un ángulo, está en posición no rm al, el lad o final puede estar en u no de los cuadrantes, en cuyo caso se dice que éste pertenece a tal cuad ran te.
y
y
L ad o Inicial x (-)
V értice
L ado F inal
(+ )
x L ad o Inicial
V értice
L ado F inal
Del gráfico : * *
: es un ángulo IIC ; 0
en po sición norm al
*
: es un
*
IIIC
ángulo en po sición n orm al
;
0
Definición de las Razones Trigonométricas: Para d eterm inar el valor de las R .T. de un ángulo en po sición no rm al, tom arem os un pu nto P (x 0 ;y 0 ) perteneciente a su lado final.
y
P (x ;y ) o
o
Se define:
y
Sen
o
r C os
' x
o
* r
x
2 o
yo2
x
Tan
*
yo r xo r y
S ec
xo y
o
r x
r y
o
o
xo
': se den om ina
C ot
C sc
o
ángulo de referencia
51
Trigonometría
S igno de las R .T. en los cuadrantes
(+ )
D epend iend o d el cuad rante al que pertenezca u n ángu lo en posición norm al, sus R.T. pued en ser positivas o negativas. E s así com o se obtien e el cua dro ad junto.
Seno y C osecante
(+ )
Tangente y (+ ) C otangen te
Todas son positivas
C oseno y (+ ) Secante
Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales rad ian es (grad os) 0 2 0 2
3 2
Sen 0
C os 1
Tan 0
C ot N .D .
Sec 1
C sc N .D .
90º
1
0
N .D .
0
N .D .
1
180º
0
-1
0
N .D .
-1
N .D .
270º
-1
0
N .D .
0
N .D .
-1
N ota: N .D . no d efinido
Á ngulos C oter minales: Son aq uellos ángulos trigo nom étricos que poseen el m ism o vértice, el m ism o lad o inicial y final. E jem plo :
i)
Lado inicial
y
ii)
Lado final
x V értice
P (x ;x ) o
o
Se tiene qu e :
* *
y y
: son coterm inales : son coterm inales (están
Propiedades: Si y son coterm inales se cum
en P. N .)
ple que:
I.
II.
- = 360ºn
52
; n
Z
R .T. () = R .T.()
TRILCE
EJERCICIOS PROPUESTOS 01. D el siguiente gráfico, calcular: E
10 Sen 12 C ot
07 . C alcular: 2
E
y
(a b )
a) 1 d) -3
x
Sec360 º(a b)2 C os180 2 abC sc 270
b) 2 e) -2
c) 3
08. Si: x IV C y | C scx | 4 Sen
(1;-3)
C alcular: E = Senx + a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
c) 2
a) 1 d) 2/3
02 . Por elpunto P (2; 5 ) pasa el lad o final de u n án gulo en p osición norm al cuya m ed ida es " ". C alcular: C os . a) -1/2 d) -4/3
b) -2/3 e) -3/2
03. Si: Sen
2 3
y E
a) -1 d) 2
c) -3/4
T an 2 Sec b) 2 e) 5
c) 3
a) 0 d) -1
c) -3
b) , , e) + , , +
IIC
C alcular: f( ) 2
04. Ind icar el signo de cada exp resión: I. Sen200ºTan240º II. C os120ºTan100º III. S en15 0ºC o s34 0º a) + , + ,+ d) + , ,
c) 1/3
10. Si: f(x)= 2Sen2x+ 3C os3x+ 4Tan4x.
5 (Tan Sec)
b) -2 e) 3
C alcular: E a) 1 d) 4
IIIC .C alcular:
6
3 C osx
b) 1/2 e) 3/2
09. Si: C os 0,3 y
0
b) 1 e) -2
2 11.U na raíz de la ecu ación: x
c) 2
2 x 3 0 es un
"Tan ",si: IIIC .C alcular: E a) -1 d) -4
c),+ , +
b) -2 e) -5
valor de
10 (Sen C os)
c) -3
12. Si: f(x)= Senx+ C os2x+ Tan4x. 05. ¿A q ué cuad rante pertenece " ", si: T an 0 y
C os a) IC d) IV
0. b) II e) IC y IIC
c)IIIC
C alcular: f( ) 2 a) 0 d) -1
06. D e la figura, calcular: "T an"
13. Si:
b) 1 e) -2 y
son
c) 2
m edidas de ángulos coterm inales y se
cum ple qu e: Tan < 0 y |C o s |= -C o s . ¿A qu é
y
cuadrante pertenece " "? (1-x;2x)
a) IC d) IV C
17
b) IIC e) IC y IIC
c)IIIC
x
a) 1 d) -4
b) -2 e) -5
c) -3
53
Trigonometría
14. C alcular: E m ostrada:
25 Sen T an , a
partir de la figu ra
a) -3/7 d) -6/7
b) -4/7 e) -7/4
c) -5/7
y (24;7)
20. D el gráfico, calcule: "T an " . y
x
x
(-4;-8) a) 1 d) 7
b) 3 e) 9
c) 5
(2;-3)
15 . Por elpunto P ( 2 ; 7 ) pasa p or elfinalde un án gulo en p osición n orm al cuya m ed ida es " ". C alcular:
a) 1/2 d) 4/3
b) 2/3 e) 3/2
c) 3/4
21. D e acuerdo al gráfico calcular:
5 C os C os
K
7 C sc .
y a) 1 d) -3
b) 2 e) -2
c) 3
(-24;7)
16 . C alcular: E a) 0
Senx
b) 1 2
d)
C osx
1 (-4;-3)
c) 2 2
e) 2
a) 2 d) 2
17. Si: IV ,determ ine elsigno de: E
a) + d) - y + 18 . C o n
ay ud a
de l gráfico
T an (1 C os) Sen C os
6
c) 4
22. Siel pun to Q (8; 5) pertenece al lad o finalde un ángulo canónino " ". R
m o strad o, calcular:
C sc C ot
b) 0,4 e) 0,3
a) 0,4 d) 0,6
c) 0,6
23 . Sim plificar:
) 2
2 5 (a b) C os 2 3 b C o s2 aSen
2
(a b) Sen L
b) 2/3 e) 3/2
b) 3 e) 4
C alcular:
) Sen( ) 3 Sen(
a) 1/2 d) 4/3
b) c) + ó e) Todas son correctas
3 C os( E
x
3
2
b) 2a e) 4b
a) 2a d) 4a
c) 3/4
2
c) 4a
24 . Señale los signo s de:
19. D e la figura, calcule: "Tan " y
M R
Sen14 0ºC os14 0º T an 30 0º T an 26 0º
T an16 0º C os21 7º T an11 6º C os24 8 º Sen 34 8º
37º
x
54
a) b) c) d) e)
y
() N o se puede precisar. (+ ) ; (+ ) (+ ) ; () () ; () () ; (+ )
TRILCE
25 . Señale Verda dero (V ) o Falso (F) según correspo nd a en: I. Si: Sen 0
C os 0 , entonces IV . Sec 0 , entonces IIIC . C ot 0 , entonces IIC .
II. Si: T an
0 III. Si: C sc 0 a) V V F d) FFV
b) V V V e) FV V
a) (+ ) b) () c) (+ ) o () d) (+ ) y () e) N o se pued e precisar. 32. D el gráfico, calcular :
E
3 T an 1 y
c) V FV
53º
26. Sabiendo que:
Sen 0
T an Sec
0
¿A qu é cuadrante p ertenece el ángulo canó nico a) IC d) IVC
?
b) IIC c)IIIC e) N o se puede precisar.
a) 0 d) 2
27. Señale el cuad rante al qu e pertenece " " si: C os a) IC d ) IV C
T an
28 . Señale Verdadero (V ) o Falso, según correspo nd a en: I. Si: 90 º ;180º , entonces II. Si: IIC , entonces III. Si:
IIIC
entonces a) V V F d) FV V
IIC
90 º ;180º .
180 º ;270º .
b) V FV e) V V V
29. Sabiendo que: T an
c) V FF
a)
2 3
b)
13
5 13 d) 13
e)
13 13
c)
5 13
b) 1º y 3º e) 1º y 4º
c) 2º y 3º
b) 2760º e) 30 00 º
C os
1 28
c) 2820º
c) 6
1 13 0
C alcular:
a) 1 d) 2
C ot2 T an 2
1 70
C os K
13
b) 4 e) 12
c) 0,4472
35. Se tienen dos ángulos coterm inales tales qu e el m ayo r es alm enor com o 23 es a 2. S u sum a está com prendida entre 2820 º y 310 0º. ¿C uál es la m edida del m ayor?
3
pun tos P(m + n; n) y Q (n;m n),
a) 2 d) 8
a) 1º y 2º d) 2º y 4º
4 1 Sen 5 4
30. Si ellado finalde un ángulo can ónico " " pasa por los C alcular: K
b) 2,236 e) 1,118
36. Siendo:
Sen C os
1
y sabiend o q ue:
34 . Los cuadrantes en los que elC oseno y Tangen te tienen el m ism o signo son:
a) 2540º d ) 24 20 º
IIC C alcular: Q
2,236
.
, es po sitivo y m enor que una vuelta,
5
C tgx = - 0,5 y que x IV C . ¿C uál es elvalor de C scx? a) 2,236 d) 1,118
b) IIC c)IIIC e) N o se p ued e p recisar
c) 1
b) 1 e) 2
3 3. To m and o
x
b) 1 e) 3
2 Sen 3 C os c) 2
37 . E l valor num érico d e la exp resión : Sen180º+ 2C os180º+ 3Sen270º+ 4C os270º- 5Sec180º-6C sc270º
es: a) 4 d) 16
b) 12 e) 8
c) 6
31. Sabiendo que " " es un ángu lo p ositivo m enor que una vuelta perten eciente al IIIC señale el signo de:
Q
2 3 Sen C os T an 2 3 5 55
Trigonometría
38. Indicar los signos de las siguientes expresiones en el orden F. G . H . 2
F
G
Sec 285 ºTan 138 º Sen 210 º 3
T g135 º Sec 298 º a) , + , d) + , ,
b) , , + e) + , + , +
3
2
Sen 195 º C tg 340 º C sc128 º
p2 2 2 q p
43 . Sabiendo que: C osQ
Sen 3 260 º C tg 2 115 º C os116 º C sc19 5 ºTan 336 º
H
3
C sc 215 º C tg 338 º
e)
q2
SecQ C scQ 1 C tgQ a) 0,25 d) 4,00
c) , ,
4 4. S i
b) 0,50 e) 4,50
2
f() C os(3 ) 1 Sen (2 ) C os 2
2
8
C alcular: (8 Sec)3
C alcular:
f f 1 3 3 b) 2
d) 3 2 3
e) 2 3
a) 8
d)
3 2
a) 2
3
c) 5
63 83
3 63
I
II
III
IV
+ + +
+
+ + +
+ +
+ +
II.
+
5
4
a) ; siQ pertenece alIC . b) + ; siQ pertenece alIIC . c) + ; siQ pertenece alIIIC . d) + ; si Q pertenece alIV C . e) ; siQ pertenece alIIC .
p2
q2 2 2 p q
; p> q> 0
C alcular T gx, con x en el segund o cuad rante.
c)
56
q2
p2
2 pq b)
2 pq q2
p2
q2
p2
2 pq d)
63
86 63 63
q2
p2
x Sec 3 x 3 4 x C os 5
C ot
3
83
x 4
Sen Q S ec Q C tg Q
a)
63
c)
Sen x C o sec x 2 4
2 pq
e)
3
T an
41 . D eterm inar el signo de:
4 2 . D ad o : C osx
8
y es tal que: 0 x 2 . E ntonces, hallar el signo de las siguientes expresiones trigo nom étricas.
I.
+
b)
45. Sielángulo x es positivo, pertenece alcuarto cuadrante
3 2
40 . D eterm inar elsigno de S en cada un o de los cuad rantes (I,II,III,IV). S = C tgx + Senx -C scx
a) b) c) d) e)
c) 2,50
es u n án gu lo d el tercer cuad ran te, tal que :
1 C tg
3 9 . S i:
1 4
2 70 º < Q < 3 60 º C alcular el valor de la exp resión:
3
3
III.
x T an 2 x 3 3 Sec 3 x 4
Sen
a) (+ ) (+ ) (+ ) c) (+ ) (+ ) () e) () () (+ )
b) () () () d) () () ()
46. H allar el signo de las expresiones trigo nom étricas, en el orden dado :
Sen
52 25 32 22 C os C ot ; Sen ; 3 3 5 3
20 5 C ot 73 10 3
Sen
a) (+ ) (+ ) () c) () (+ ) (+ ) e) (+ ) () (+ )
b) () (+ ) () d) () () (+ )
TRILCE
es un án gu lo Sen 0,25 .
4 7. S i
en el prim ero cu ad ran te
y
sigu ien tes exp resiones:
¿C uál es el valor de C sc C tg 2 ?
21 b) 19
a) 15 d)
19 21
I. Sen(361º) C os(455º)
III.
4 8 . S i T g 1,5 , siendo
un ángulo
en el III cuad ran te,
el valor de la expresión:
a)
1
b)
d)
5
e)
6 6
1 13
(Sec C sc) es :
1
c)
6
d)
b)
4 5
5 0 . S i T an
e)
1
H allar : K
3
b )+ ; + ;
d) + ; ;
e) + ; + ; +
5 3. S ea un án gulo del tercer cuadran te. Indicar la alternativa correcta al sim plificar:
E
1 1 Sen 2 C os
6
3 5
de l segu nd o
3. 5 c)
1 3
y
está en
a) 2 Sen 2
b)
c) 1 C os2
d)
10
d) 2 10 5
54. Si: Senx = 0,6, ¿cuáles elvalor de C osx, sabiendo q ue x es un ángulo del segund o cuad rante?
2 3
a) C o sx = 0,8 c) C osx = 0,7 e) C osx = 0,8
el segundo cuadrante.
b) C o sx = 0,6 d) C o sx = 0,9
5 5. S i " " y " " son án gulos cua drantales, po sitivo s y m enores que una vuelta, tales que: C ot
3(C os 5 Sen ) 2 C tg
10 10
b)
e)
2
c)
10 10
C os Sen
2
Sen C os 2
10 5
5 Sen 15 C os T an y
a)
2 2
b)
d)
2 2
e) 1
56. Si y
2 1
c)
2 1
son ángulos positivos, qu e no C os
24
0
son agudos;
; T an 0 ; ( 36 0 º )
Sean:
-7
C os
C alcule:
51. E n la figura ad jun ta, hallar:
V
Sen 2 2 Sen
e) C os 2
K a)
c) ; ; +
1
cuad ran te, tal que Sen
4 5
a) + ; ;+
1 6
49. C alcular el C o seno d el án gulo
a)
3 C os 3 4 4 5 Sec(31 5º ) T an 4
II. Sen
19 c) 15
e) 19
M
52. Indicar la alternativa correcta para el signo de las
x
0
a=
b=
Sen 2 Sen 2
c=
Sen( )
E ntonces, son positivas.
a)
14 1 35
b)
29 7
d)
39 7
e)
1 4
c)
99 35
a) a y b. d) a.
b) a y c. e) b y c.
c) a , b y c.
57
Trigonometría
2
57. Si: Tanx
59. Si: IIC y
a 3 b
34
C alcular el valor de:
E
1 1 3 a b3 a) 1 1 b3 a3
a 2 c) 2 2 b a
1 3 3 b
a) b)
a b
b
e)
inferior a 2
2
5 12 2 e) Faltan datos c)
58
b)
13 12
14 3
13 12
14 3
d)
9 12
14 3
b) d)
3
3 8
2
2
11 12
14 3
60. Se tiene dos ángu los que se diferencian en un m últiplo de 360º. Se sabe que el cuád rup le del m eno r es a la sum a d el ángulo m eno r m ás el triple del m ayo r de los ángulos,com o 4 es a 5. H allar elm enor de los ángulos, si se sabe qu e está com prend ido entre 10 80º y 324 0º.
del prim er cuadran te, cuyo ángu lo doble está en el segundo cua drante, su ángulo triple está en el tercer cuadrante y su cuádrup le en el cuarto cuadrante; pero
4
14 3
12
3
2 2 2 3 a b3 d) 2 2 b3 a3
a 3 b3 a3
11
c)
a
58. H allar todos los valores qu e pu ede tom ar el ángulo
a)
(Sen)C os
C alcular: T g Sen
b ; x IC aC osx
3
1 2 2 b
e)
a bSenx
Sen 2
a) 1280º d ) 32 10 º
b) 2160º e) 32 30 º
c) 3200º
TRILCE
laves Claves 01.
b
31.
b
02.
b
32.
c
03.
a
33.
e
04.
c
34.
a
05.
d
35.
b
06.
d
36.
d
07.
e
37.
c
08.
a
38.
a
09.
e
39.
c
10.
a
40.
c
11.
d
41.
c
12.
b
42.
b
13.
b
43.
d
14.
e
44.
e
15.
d
45.
c
16.
a
46.
b
17.
a
47.
e
18.
e
48.
a
19.
b
49.
d
20.
b
50.
b
21.
c
51.
d
22.
c
52.
e
23.
e
53.
d
24.
d
54.
e
25.
a
55.
a
26.
b
56.
e
27.
d
57.
d
28.
b
58.
d
29.
b
59.
c
30.
c
60.
b
59
TRILCE
Capítulo
REDUCCI N AL PRIM ER CUADRANTE
6 OBJETIVO: *
E l objetivo del presen te capítulo es: C alcular las razones trigono m étricas de un ángulo qu e no es agud o, en fun ción de otro qu e sí lo sea; recon ociend o previam ente el caso en que nos ubicam os y el criterio a utilizar.
*
n Sim plificar correctam ente exp resiones d el tipo : R .T . 2
*
R econ ocer y aplicar correctam ente las propiedad es de ángulos cuya sum a d e m edidas es 180 º ó 360 º
; nZ
CASOS I.
Ángulos cuyas medidas están en <90º ; 360º>:
E n este caso, el ángu lo original " " se descom pone com o la sum a o resta d e un ángulo cuad rantal (90 º ; 18 0º ; 27 0º ó 36 0º) con un ángulo que sea agu do; para luego aplicar :
R T ()
18 0 R R .T .() 36 0 90 C o R .T .() 22 0
R
D ond e el signo () que deberá anteponerse al resultad o dependerá del cuadrante al que pertenezca el ángulo original " "
Po r ejem plo; calculem os: *
Sen 120 º Sen (90 º30 ) C os30 º ()
*
3 2
1 2
C os120 º C os(180 º 60 º) C os60 º ()
*
Tan 240 º Tan (270 º30 º )
C ot30 º
3
( )
*
C sc330 º C sc(360 º30 º ) C sc 30 º 2 ()
II .
*
Sen 170º Sen(
)
*
C os200º C os(
)
*
T an 260 º Tan (
)
*
Sen 320º Sen(
)
Ángulo cuya medida es mayor que 360º:
E n este caso, se procede d e la siguiente m anera:
R .T.( ) = R .T.( ) ; don de 360º q R esidu o
61
Trigonometría
Po r ejem plo, calculem os:
*
Sen 2580 º Sen 60 º
2580º 2520º 60º *
* Tan 3285º = Tan45º = 1
360º 7
3285º 3240º 45º
Sec1200º = Sec120º = Sec( 90º + 30º) = 1200º 1080º 120º
*
3 2
360º 9
C sc30º =
2
()
360º 3
S en 3180º =
Si el án gulo estuviese exp resad o en rad ian es, se proced e de la siguiente m an era: *
Sen133
133 132 1
Sen 1 1
2 4 33
*
2
C os127
127 126 1
a b
E s decir, si fuese: R .T .
;a
C os 1
3 6 21
3
1 2
2b
Se divide: a 2b q r este residuo reem plaza al nu m erad or "a" *
Tan 1315
1315 51 35 3
Tan 3
4 8 164
*
4
Sen 1345
3
1345
II I. Á ngulos de medida negativa:
Se procede de la siguiente m anera: Sen(-x) = -Senx C os(-x) = C osx Tan(-x) = - T anx
C sc(-x) = -C scx S ec(-x) = Secx C ot(-x) = - C otx
Po r ejem plo, calculem os: *
Sen(45 º) Sen 45 º
*
Tan (120 º ) Tan 120 º
*
C os (- 200º) =
2 2
()
1.
Senx Seny Si:x y 180º C osx C osy Tanx Tany
62
C os(60 º ) C os60 º
Tan (90 º30 º ) (C ot30 º)
I V. Ángulos relacionados:
2.
*
3
1 2
TRILCE
Senx Seny Si:x y 360º C osx C osy Tanx Tany Po r ejem plo, calculem os:
C
C os C os 2 C os 3 C os 4 C os 5 C os 6 7
7
7
7
7
7
E n esta exp resión note qu e:
6 C os C os 6
7
7
7
7
2 7
5 C os 2 C os 5
3 7
4 C os 3 C os 4
7
7
7
7
7
7
Luego:
C
C os 6 C os 5 C os 4 C os 4 C os 5 C os 6 7
7
7
7
7
7
R educiendo, qued aría C = 0
63
Trigonometría
EJERCICIOS PROPUESTOS 01 . Señale el valor de: Sen120º
a) 1/2
d)
b) -1/2
3 2
c)
10. D eterm ina el equ ivalente de: Sen ]32 ].
3 2
2 2
e)
d)
a) 1 d) 1/2
b) -1/2
3 2
c)
3 2
2 2
e)
03 . C alcule: E = Tg15 0º.Sen31 5º
6 4
a)
d)
b)
6 6
e)
b) -1 e) -1/2
6 4
c) 0
11 . H allar el valor de: C os174 1
02 . H allar: C os330 º
a) 1/2
a) 1 d) 1/2
c)
6 6
b) -1 e) -1/2
c) 0
12 . H allar: T g17 . 3 a) 1
b) -1
d) 3
e)
c)
3
3 3
13. D el gráfico, calcule: Tg
C
2 4
04 . H allar el valor de: Sen1680º a) 1
b) -1
c) 1/2
45º
A d) -1/2
e)
05 . D eterm inar el valor de: C os1200º a) 1
b) 0
d) -1/2
e)
06 . H allar: E a) 1/2 d) 1
B
M
3 2 a) 1 d) -2
b) 2 e) 3/4
c) -1
c) 1/2 14. D el gráfico, hallar: Tg
3 2
C
C os(60 º ) T g (45 º ) b) -1/2 e) 2
c) 0
37 º
A
D
07 . H allar: E = Sen(-30º)+ Tg(-53º) a) 11/6 d) 0
b) 6/11 e) 1
c) -11/6
08 . Señale el equivalente de: C os(18 0º+ x) a) C osx d ) -S en x
b) -C osx e) -S ecx
64
b) Senx e) C scx
c) C osx
b) -3/4 e) -4/7
c) 3/7
15. H allar el equivalente de: M
c) Senx
09. D eterm inar el equ ivalente de: S en(360 º-x) a) -Senx d ) -C o sx
a) 3/4 d) -3/7
a) 1 d) C tgx
Sen(x 180 º ) C os(x 90 º )
b) -1 e) -Tgx
c) Tgx
B
2
TRILCE
16 . Si: Sen(-x) + 2C os(-x) = 2S enx ; x es agud o C alcular: M = Sec(-x) + C sc(-x)
5 2
a)
d)
13 6
b)
5 2
e)
5 5
c)
22 . C alcular:
C
13 6
A
d)
2
6 3
x
U
Sen(90 º x )Tan (180 º x)C sc(270 º x) C os(180 º x)Sec(360 º x)C ot(180 º x )
b) 1
a) 1 2
6 3
Sen13 5 ºSen 24 0 º T an15 0 º C os 21 0 ºC os30 0 º
b)
6 3
e)
2 3
2 6 3
e)
c) Tan 2 x
T an 2 x
a)
1 2
d)
1 4
(2 Sec3000º1)(2 Sen 3383º1) 2 C os4920º1 b)
1
e)
3 Sen( )C ot(2 )Sec 2 T an ( )
C
2 a) T an
b)
C tg 2
T an2
c) C tg
2
e) 1
c)
2
1 4
3 4
18 . Sim plificar:
d)
c)
23 . C alcular:
17. R educir:
d) C o
a)
24 . M arque U d. la afirm ación correcta: a)
Sen ( 750º) = 0,5
b)
C os(1110 º ) 0,5
c)
T an(1830 º)
d)
C tg(3270 º )
3
3 3 3
e) + Sen2534º = C os14º 19 . Sim plificar:
C
a) C otx
b) C o 2 x
d) - C o tx
e) C o 3 x
20. Si: 0
x x
Sen( x )T an 3 2 T an( x)C os 3 2
c) C o 2 x
A 2
3 Sen A C os( A ) Tan A 2 2 Sec A C tg(2 A ) C sc( A ) 2
F
b) 2 S en A e) 2S ecA
c) 2 C scA
21 . C alcular:
M a) 1 d) 4
F
2
2
2
2
2
2
c)
Sen 225 º Tan 330 ºSen 780 º Tan 780 º Tan 330 ºC tg 225 º
a)
31 12
b)
33 20
d)
33
e)
31
20
1 44
12
26. Sim plificar las expresiones:
E valua r:
a) 2 SenA d) 2 C scA
25 . H allar el valor num érico d e:
2Sec12 0º1 4 T an 31 5º1
b) 2 e) 2
c) 3
3 T an 24 0º
a
C os() Sen(360 º) C os(180 º ) Sen()
b
Sen(90 º ) C os(90 º) C os() Sen
a) b) c) d) e)
a a a a a
= 0 = 1 = 2 = 0 = 1
y y y y y
b b b b b
27. Si: x + y = 180º C alcule el valor de: J
= 2 = 2 = 2 = 0 = 2
y + z = 270º Senx Tany Seny C tgz
65
Trigonometría
a) 1 d) 2
b) 0 e) - 5
c) - 3
28. Si: Tanx + C tgy = 2 ; x y
34 . Sim plificar:
K
5 Sen 7 Sec 9 2 2 2 C os(5 )C sc(7 )C tg(9 )
T an
H allar: C tgx
a)
2 1 b) 1
d) 1 2 2
e)
c)
2
b) 1
a) 0 d) 2
2 1 2
c) 1
e) 2
35 . E n un triángulo A B C se cum ple: Sen (B + C ) = C osC D icho trián gulo es :
2 1
29. Sim plificar la expresión: E
Sen (180 º )C os( 90 º )T an (2160 º) C os(540 º)Sen (450 º)T an(360 º )
Sabiend o que : Sec2 E ntonces E es igual a : a) 2 d) 2
36 . E n un triángulo A B C , se cum ple que: C os (A + B) = C osC E nton ces el valor de A + B es :
c) 1
30. E l valor de la expresión:
E
a)
3 C os( ) T an 2 6
d)
2
C tg(2 ) Sec() C sc
C uando
: 6
b)
4
e)
6
c)
3
2 3
2
37 . C alcular:
2
C os A
es:
Sen 2 B
Si se sabe que A y B son ángu los suplem entarios.
b) 1 e) 2
a) 1 d) 2
b) R ectángu lo d ) A cu tá ngu lo
2
b) 1 e) 0
Sen
a) E scaleno c) Isó sceles e) Equilátero
c) 0 a) 1
31. C alcular el valor de: C os10º+ C os30º+ C os50º+ .... + C os170º
d)
b)
1 2
1
2
c) 0
e) 1
38. Si A y B son ángulos com plem entarios, al sim plificar:
1 a) 2
b) 0
d) 1
3 e) 4
T
32 . C alcular:
3 c) 2
E
30
30
b) 1 e) - 2
c) - 1
33. E l valor de la siguiente expresión:
7 Sen 12 12 C os 7 C os 12 12
S en
E s igual a: a) 0 d) 2
66
30
20 térm ino s
a) 0 d) 2
b) 1 e) - 2
Sen(A 2 B )T an (2 A C os(2 A B )T an (4 A
3B ) 3B )
Se o btiene:
C os C os 2 C os 3 ... C os 29 30
c) - 1
a)
3
d)
1
b)
2
c)
2
e) 1
39 . E n u n trián gu lo A B C , cua les de las sigu ien tes prop osiciones se cum plen: I. S enA = S en(B + C ) II. C osA = C os(B+ C ) III. SenB = -Sen(A + 2B+ C ) a) V V V d) FV F
40. Si : a b c
b) V FV e) FFF
y Sen(a +
c) V FF
b) = - Senc 2 ¿C uál de los siguientes resultad os es verdadero?
2 4 c a) C os 4
0
TRILCE
45. Q ué relación existe entre a y b sabiend o q ue:
4 c 0 4
b) C os
4 c c) C os 2
2a 3 b C tg 6 3a 2 b 0 4 8
T an
0
4 c 0 4 C os(4 c ) 0
a)
1 2
b)
1 3
d)
1 5
e)
1 6
d) C os e)
41 . C alcule el valor de:
R
a)
1
2
T an 37 Sec 17 5 4
b) 2 2
d) 2
e) 1
4
c)
2
2
C os(2 ) Tan( ) 2 3 Sec() C sc C tg 2 6
Sen
C uando :
d)
b) 5
5
c)
47 . H allar sabiendo que está en el tercer cuad ran te, es po sitivo, m ayo r qu e una vuelta y m eno r qu e dos vueltas y:
C os
a)
3 3 1 13
b)
13 3 13
a)
75 22
b)
73 22
c)
3 3 1 3
d)
3 3 1 3
d)
69 22
e)
67 22
e)
13 3 3
11
c)
71 22
C os1996º Sen C alcular el valor de:
55 C os 77 1 2 2
E
m Sen C alcular:
E
T an C tg
en térm inos de m . a) m 2 d) m
b) m e) m
a) 1 d) 2,5
2
c) 2m
M N
(1 k)36 0 º1035 º , k Z E lvalor de : Sen( 22 ,5 º ) será: 3 2
C sc15 Sen15
b) 1,5 e) 3
c) 2
49. Sabiendo que:
T an k 2 C sc n (-1)n
44. Si:
2
Sen
4 8 . S i es la m edida de un ángu lo agud o tal que:
43. Sabiendo que:
a)
5 4
e) 4
4
es:
3
1 4
46. Si : SenA 2 C o sA = 0 E ntonces el valor de: T an (90 º A )S ec(18 0 º A )C tg(270 º A ) E S en(360 º A )C sc(180 º A )C os(18 0 º A ) es:
a) 5
42 . E l valor que asum e la expresión :
c)
b)
2 3 2
; kZ ; n Z
M 2 N 2 MN
a) T an Sen
b)
T an Sen
c) C tg C os
d)
C tgC os
C alcular: E
e) 1 c)
e)
2 2
2
d)
2 2 2
2 2 2
67
Trigonometría ría
A
50 . D el gráf gráfico. y
2 3
b
x
a
4
O D eterm erm inar na r:
a b Sena Senb 3 a b C osa 6 C os osb osa C osb 6
a) 3 d) 6
B
b) 4 e) 7
c) 5
3 S en
K
a)
1
b)
1
d)
1 2
e)
1 3
2
c)
3
5 4 . D el gráf gráfi ico, h allar "C ot " en fun ció n d e " ". Si: A B = B C y C
1 4 B
51. Sabiendo que: que:
56
otx T an(n! (1)n x) 2C otx
A
n 2
D onde: x IC C alcule: W = S ecx .Tanx a) 2 3
b)
6
d) 2 6
6 e) 6
c) 3 2
x
a) T an 1 b) T an 1
c) T an 1
d)
e) C ot 1
C ot 1
5 5 . D el gráf gráfi ico, calcule: C os
r
52. Si : A B C D : cuadrado C alcul cu le: W
T an T an
R
C
B
a)
r 2R
d)
P M
R 2r
b)
r 2R
e)
R 4r
c)
R 2r
N 26º30'
56 . E n un tr triángulo A B C , se sabe sabe que:
A
D
a) 2
b) 1
d) 1
e)
c) - 2
W
3
2
5 3 . D el gráf gráfico calcule: W Si: O A = O B
68
Sen (A
3 C ot
B ) 2 C os(B C ) SenC
C a lcul cu la r:
55
1 C os2B C os2 C C os2 A 1 S en 4 A S en 4 B S en 4 C
a) 1
b) 2
d) 1
e)
1 2
c) 4
TRILCE
57 . ¿C uál es la m edida d elm ayor ángulo " " que qu e cum ple:
59. Reduzc Reduzca:
2 C os 7 S i es m ayo r qu e 3 vuel vue ltas, per pe ro m eno r qu e 4 vuel vue ltas.
a)
97 14
b)
95 d) 14
10 1 14
c)
G
10 3 14
99 e) 14
a)
5 S ec 9
b)
1 S ec
d)
C sc
e)
2 C sc
5 8 . D e acuer acu erd d o al a l gráf gráfi ico, calcule:
K
Sen
2 3 C os 3 4
T an
6
a)
6 12
d)
3 12
b)
3 12
e)
x
c)
6 12
9
c) 5 S ec
9
6 0 . S eñal eña le el signo d e cada cad a un a d e las expres expresi io nes:
20 36 C os 7 7 12 1 T an 11
S en
y
57 2 79 4 S en(82 ) 5 C os 2 2 T an(57 ) 3C ot
S en
R
H
S en 25 C sc 27 C ot 21
G
C sc 44 S ec 9
8
9
a) (+ ) ; () ; () c) (+ ) ; (+ ) ; (+ ) e) () ; (+ ) ; (+ )
7
8
5
b ) (+ ) ; () ; (+ ) d) () ; () ; (+ )
6 6
69
Trigonometría ría
Claves l ave ves s
70
0 1.
c
31. 3 1.
b
0 2.
c
32. 3 2.
a
0 3.
c
33. 3 3.
a
0 4.
e
34. 3 4.
c
0 5.
d
35. 3 5.
b
0 6.
b
36. 3 6.
e
0 7.
e
37. 3 7.
e
0 8.
b
38. 3 8.
e
0 9.
a
39. 3 9.
b
1 0.
a
4 0.
b
1 1.
b
4 1.
e
1 2.
d
4 2.
a
1 3.
d
4 3.
e
1 4.
d
4 4.
d
1 5.
b
4 5.
c
1 6.
d
4 6.
a
1 7.
e
4 7.
a
1 8.
d
4 8.
b
1 9.
b
4 9.
a
20. 2 0.
d
50. 5 0.
a
21. 2 1.
d
51. 5 1.
b
22. 2 2.
b
52. 5 2.
d
23. 2 3.
a
53. 5 3.
b
24. 2 4.
c
54. 5 4.
e
25. 2 5.
c
55. 5 5.
b
26. 2 6.
c
56. 5 6.
b
27. 2 7.
d
57. 5 7.
d
28. 2 8.
e
58. 5 8.
c
29. 2 9.
b
59. 5 9.
c
30. 3 0.
d
6 0.
b
TRILCE
Capítulo
CIRCUNFERENCIA TRIGONOM TRICA
7
CIR CUNFERENCI A TRIG ONOMÉTRIC A DEFINICIÓN E s aquella circunferencia canónica; es decir, con centro en el origen del sistem a cartesiano; y co n radio iguala la unidad del sistem a. En el gráfico ad junto, destacarem os los siguientes elem entos: y
A (1; 0)
: origen de arcos
B (0; 1)
: origen de com plem entos de arcos
B R= 1 A
A' O
A '(-1; 0) : origen d e suplem entos de arcos
x
1
x 2 + y2 = 1 C .T.
B '(0; -1) : anónim o B'
E l pu nto A (1;0) se denom ina o rigen de arcos, ya qu e a partir de él se van a d ibujar
arcos orientados , con
un signo
asociad o, tan igual que en el caso de los ángulos trigo nom étricos; por ejem plo, en el gráfico: y
: es un arco positivo (sentido antihorario)
B
M
1 A'
: es un arco n egativo (sentido horario)
A x
O
extremos de arco; y d ichos denom inarán arcos en posición nomal .
A ho ra bien, los pu ntos "M " y "N " se deno m inan
N
arcos se
B'
S i observam os en la siguien te C .T., notarem os que en tre el arco y el án gulo central correspo ndiente, se cum ple que num éricam en te son igu ales; lo cua l perm itirá estab lecer una relación en tre los nú m eros rea les y el ángu lo cen tral correspo ndiente, en rad ianes. y
E n el sector circular A O M ; po r longitud de u n arco:
B
M
O
rad , esto
es:
A O M (en rad) = A M (num éricam ente)
rad
A'
AO M =
1
A
rad 1
x
D ebido a esta relación, a cada arco le correspond e un ángulo central del m ism o valor, pero exp resad o en rad ianes.
C .T.
B'
N
71
Trigonometría
A sím ism o, po dem os establecer:
R .T. ( rad ) = R .T. ( ) ;
R
C on lo cual qued a claro que las R azones Trigo nom étricas (R .T.) de un n úm ero real, son calculab les al asociarles un án gulo cuya m edida está exp resad a en rad ianes, nu m éricam ente igual considerad o. E s decir; por ejem plo: Sen 2 = Sen 2 rad Tan 3 = Tan 3 rad C os (-1) = C os (-1 rad)
LÍNEAS TRIG ONOMÉTRIC AS Son segm entos dirigidos (de m edida positiva o negativa) que van a representar elvalor num érico d e una R azón Trigono m étrica de un cierto nú m ero (expresado graficam ente com o un arco); así com o tam bién perm itirán analizar las variaciones de estas R .T., asícom o su com po rtam iento. Para com enzar con el an álisis, se recom ienda tener en cuenta las siguientes observaciones para la ubicación de arcos. a)
Para arcos representados po r núm eros enteros: y
y
1,57 = 2
1
2
1 3,14 = O
3
x
O
x
2 = 6 ,28 6 C .T.
3 4,7 1= 2
4
Para arcos con extrem os en A , B , A 'ó B ' ( n
b)
5
Z)
y B:
; ; ;.... 2 2 2
n A ':(2 n 1) n B :(4 n 1) 2 2 (2 n 1) 2 B ':(4 n 3) 2 A :2n
..., 3 A '
A ;0; 2; 4 ;... x
3 ; ; .... B ': ; 2 2 2
I.
Lí nea S eno.Representación:
Variación :
y B
C .T.
M
1 Sen (+ )
(+ )
Sen A
A'
0
2 0 1
Sen (-) N
72
2 1 0
1 Sen 1
-1
B'
3 2 0 -1
E sto es: x
(-)
m áxim o : 1 m ínim o : 1
Sen
;
R
3 2 2 -1 0
TRILCE
II.
Lí nea C osenoRepresentación:
Variación :
y C .T.
M C os (+ )
-1
A'
0
B
C os
2
2
1 0
0 -1
-1 0
1 C os 1 B'
(-)
3 2
3 2 2 0 1
E sto es:
x
N
A
1
C os (-)
R
;
m áxim o : 1 m ínim o : 1
C os
(+ )
Observación: Si con sideram os el extrem o de un arco cualqu iera, no tarem os que por ser un pu nto del plano cartesiano, tiene sus y
propias com po nentes: C .T.
Po r ejem plo, para "M " se n ota q ue:
Sen
M = (C o s ; Sen
)
Sen
A
C os
Luego:
x
C os
B'
D e m anera sim ilar, las com po nentes de N son (C os ; Sen III.
Sen
A'
M C os
N
abscisa = C os ordenada = Sen
B
)
Línea Tangente.Representación:
Variación :
T y
B
Tan
M
A
x
O (-)
B'
0
Tan
0
2
2
3 2
0
0
3 2 2 0
(+ )
A'
C .T.
N
Tan
E sto es:
< Tan < N o hay m áxim o, ni m ínim o
P
Consideración : L a L.T.tan gente n o está d efinida para arcos cuyo extrem o esté en B ó B ';lo cualsignifica que la R .T.tan gen te no se define para todo arco d e la form a: (2 n 1)
; nZ 2
73
Trigonometría
EJERCICIOS PROPUESTOS 01 . Pon er el signo en: I. C os80º ( ) II. C os200º ( ) III. C osx ( ) x ; agudo a) < ; < ; > c) > ; < ; > e) < ; > ; <
06 . D eterm ine el área d e la región som breada en la C .T.
C os 100º C os 300º C os(x+ 2 0º)
B
b) > ; > ; < d) > ; < ; =
02. Poner elsigno > ; < I. S en20º ( II. C os10º ( III. S en200º ( a) > ; > ; < c) > ; > ; > e) > ; < ; <
A’
a) Tg d)
c) FFV
04 . D eterm ine el área de la región som breada en la C .T. y
b)
T g 2
A’
O
A
B’
b) -C os
b) [4 ;4 ]
d) [5 ;3 ]
e) [2;5 ]
d) -C os
e) -C os /2
b) [1,5] e) [-3,3]
1 ;1
A
d)
74
2
Sen 2
1 ;2
c) 0 ;3
IIIC ; sabiendo la variación de: L 2 C os 1
b)
1 ;3
d) 0 ;3
e)
2 ;2
c)
1 ;1
x
11 . C alcular el prod ucto d el m áxim o y m ínim o valor de:
f( , ,) 2 Sen 2 3 | C os | Sen Siendo ,
B’
Sen
3 Sen 1 ?
a) 1 ;3
a)
c) [-3,5]
e) 4 ;2
10. Sabiendo que
O
2C os2 3
IIC .
b)
05 . D eterm ine el área de la región som breada en la C .T. y
A’
c) [3 ;5 ]
¿C uál es la variación de :
d)
B
4 Sen 1
08. D eterm ine la variación de: A
a) 0 ;2
c) Sen /2
c) -Tg
a) [3;3]
L
a) Sen
x
e) -Tg2
09. Sabiendo que x
T g 2
07. D eterm ine la variación de: E
a) [3,5] d) [-1,3]
B
A
B’
b) < ; < ; < d) < ; > ; >
b) V FV e) FFF
O
o = en: ) S en80º ) C os40º ) S en300º
03. Ind icar con "V" lo verdad ero y con "F" lo falso: I. Tg50º > Tg200º II. Tg100º > Tg300º III. Tg13 5º = T g315º a) V V V d) FV F
L
y
b)
C os
e)
Sen .C os
2
2
c)
C os 2
a) 0 d) 8
y independientes entre sí. b) 4 e) 12
c) 8
TRILCE
12. H allar el área de la región som bread a en la C .T. y
a) 1 ;3 d)
1 ;3 e) 3 ;6
c) 1 ;5
b)
3 ;3
150º 17. Señale Verdad ero (V ) o falso (F), según correspo nd a en:
x
I. S i:0
C .T. II. Si:
3 1 2 a) 4 4
b)
1 2 6 2
d)
c)
1 2 4 3 1 2 2 2
1 2 3 2
e)
; ; señale la variación de:
13. Sabiendo que: x
4
4
L
3 T an 2 x 1
a) 0 ;1
b) 0 ;1
c) 1 ;4
d) 1 ;4
e) 2 ;4
x1 x 2 Tanx1 Tanx 2 2
x x Tanx Tanx 1 2 1 2 2
III. Si: 3 x1 x 2 2 Tanx1 Tanx 2 2 a) V V V d) V FV
b) V V F e) V FF
c) FFV
18. H allar todos los valores qu e debe tom ar "K " para qu e la igualdad no se verifique: 2K 3 Sec 5
1 K 4 c) 1 K 4 e) K 1 K 4 a) K
b) d)
1 K 4 K 1 K 4
19. E n la C .T. calcular un valor de:
K
Sen C os y L1 : y-2x+ 1= 0
x2+ y2= 1 14. Sabiendo que:
x 2 ¿C uál es la variación de : 3 C os x 1 ?
L
a) 4 ;2 d)
4 ; 1
x
2
4 ;2
b)
c)
4 ;1
e) 4 ;1
3 5 1 d) 5 a)
15. Siendo x
; 5
8
24
b)
4 5
c)
7 5
e) 1
Señale la variación de: L
4
2 Sen 2 x 1 4
a) 1 ;2
b) 1 ;4
d) 3 ;6
e) 4 ;8
C
c) 2 ;4
16. Sabiendo que x 17 ;7 24 8 Señale la variación de:
L
11 35 x 12 12 Señale la variación de;
20 . Sabiendo que:
4 C os 2 x 3 12
x 4 C os 1 2 8
a) [ 3 ;2] b ) [ 3 ; 3] d) [ 5 ; 6] e) [ 3 ; 5]
2 1 . S i:
c) [ 2 ; 3]
; ; 2
2 2 C alcular la sum a del m áxim o y m ínim o valor de : E
2 Sen 3 C os 4 Sen
75
Trigonometría
a) 1 d) 1
b) 2 e) 2
c) 0
22 . D e las cuatro prop o siciones, ind icar d o s qu e so n im posibles: I.
3 Sen 2x
D
n 2 )C osx 2 m n , m n R
III. (m 2
n 2 )C scx m 2 n 2 ; m n 0
IV. Secx
3
a) Iy II d) II,III
b) Iy III e) III,IV
c) II y IV
b) V FF e) V V F
El Seno aum enta. El C oseno aum enta. E l C osecante aum enta. La S ecante dism inuye. La C otangente aum enta.
25. E n un círculo trigono m étrico se tiene:
x x 1 2
2 D e las sigu ien tes proposiciones: Senx1
II.
C osx 2
III. C osx 2
A O
a) Sec T an
1 C os Sen
b) Sec T an d)
1 C os Sen
e) Sec C sc 27. E n elcírculo trigo nom étrico, calcular el área d e la región som breada.
O
c) V FV
24 . C uand o el ángulo "x" aum enta de 90 º a 180º. ¿C uál de las siguientes afirm aciones es cierta?
I.
B
c)
23. D ecir si son falsos (F) o verdad eros (V ) los siguientes enu nciad os: I. La función Seno y C oseno son negativos en el tercer cuad ran te y crecientes en el cuarto cuad ran te. II. N o existe función trigonom étrica alguna de un ángulo del segundo cuadrante que sea positivo y au m ente a m edida que el ángu lo crece. III. Sólo existe una función q ue puede tom ar el valor de 3,8 y ser positiva en el tercer cuadrante.
a) b) c) d) e)
valor de O C D B , en función d el án gulo " " C
2
II. (m 2
a) FFF d) V V V
26. E n la circunferencia trigo nom étrica, se pide indicar el
Senx 2 C osx1 C osx1
a) 1 (Sen C os 1) 2 b) 1 (Sen C os 1) 2 c) 1 (1 Sen C os) 2 d) 1 (1 2C os) 2 e) 1 (1 2Sen ) 2 28. C alcular B Q en el círculo trigonom étrico adjun to en fun ción d e " " B Q
E s o son verdad eras: a) Sólo I b) Sólo II c) S ólo III d) S ólo Iy II e) Las 3 son co rrectas
O
a) 1 Sen
b)
1 Sen
c) 2(1 Sen )
d)
2(1 Sen )
e)
76
2(1 C os)
TRILCE
29. Evaluar: Sen (k) C os(k) T an (k)
a)
k: nú m ero entero no negativo. a) 1
b) 2 k
d) (1)
c) 1
e)
Si:
6
b)
13 ; 9 9 13
16 ; 9 16 9
d)
11 ; 9 9 11
c)
e) 1
3 0 . S i es un arco delsegund o cuad rante,po sitivo m eno r qu e una vuelta. H allar la extensión de: C os( )
14 ; 9 9 14
10 ; 9 9 10
34 . E n la figu ra m ostrad a, ha lle el área d e la regió n trian gular O Q P. y (0;1)
4
P
1 a) 2
C os( ) 1 2 1 b) 1 C os( ) 2
Q O
c)
2 C os( ) 1
d)
1 C os( ) 3
e)
2
3 2
C os( )
a)
2 2
31. D e las siguientes propo siciones:
I. Si : x1 x 2 0 entonces: 2
Sen x 2
Sen x1 II. Si :
x1 x 2 0 entonces:
Sen C os
b)
Sen C os
Sen C os 16
d)
Sen C os
4
c)
x
2
8
2
e) Sen C os 35. E n la figu ra siguien te, calcular el área de la región som breada. y x2+ y2= 1
2
Senx III.
(1;0)
2
2
y
x1 3
3
Senx1
Senx Tanx C osx C tgx
x
E s positivo en el prim er y tercer cuadrante y negativo en el segundo y cuarto cuad rante. Son verdaderas: a) Sólo I d) Sólo III
b) Sólo I y II c)Sólo IIy III e) I,IIy III
a)
C os() 2
c) 32 . E l m ínim o valor de la función :
f(x) T g x ; x ; 5 es : 6 3 2
1 3 d) N o existe m ínim o f a) 0
33. Si:
b)
; para 6 3
c) 3
e)
1 C os() 2 3
b)
1 C os() 2
d)
1 C os() 2 2
2
1 C os() 2 2
36. E n el círculo trigonom étrico m ostrad o, halle el área de la región som breada. y B
e) 1
C
que valores de "x" se cum ple
que:
O
D
A
x
(x 1)Sen 2 3 x 2
77
Trigonometría
a)
Sen 2 2
b)
c)
T an Sen 2
d)
e)
T an Sen 2
2
T an 2
2
T an
2
III.
2 C os(Tanx ) C os(Tanx ) 1
Sen 2
a) V FV d) FFF
37. Según la figura, sólo una de las siguientes afirm aciones es Verdadera para: 0
x1 ;x 2 0 ; /x1 x 2 y 2
b) V V F e) FV F
c) FFV
S1
41 . E n la C .T.m ostrada:
S2
y
x 2
B
y
C B
S1
x O
S2
A x
A' D
A
x
B'
C .T.
a)
1 T an (Sec T an 1)2
b) SenxC osx 2x Tanx c) Senx x C osx
b)
1 C os(Sec T an 1)2
d) C osx x Senx e) SenxC osx x Tanx
c)
1 2 T an (Sec T an 1) 2
d)
1 T an (Sec T an 1)2
e)
1 C os(Sec T an 1)2
a) Sen 2 x
x Tanx 2
38 . Señale la variación de: 3 M 4 T an Sen 1 4
a) [5 ; 4] d) [6 ;4]
b) [4 ; 5] e) [3 ; 5]
2 2
2 2
c) [3 ; 3] 42 . E n la C .T.m ostrada:
39 . Señale la variación de: M
3 3 a) ; 7 2 3 d) ;1 7
2 Sen2 x Senx 1 Sen x Senx 2
3 3 b) ; 7 4 1 3 e) ; 7 4
C alcular: "S"
S1 S2
1
II.
x1 ;x 2 0 ; /x1 x 2 y 2 Tan (Senx ) Tan (Senx ) 1
78
2
2
S1 N
O
Q
T
S2 A'
2 Sen(Tanx ) Sen(Tanx )
B S
2 4 c) ; 7 7
x1 ;x 2 0 ; /x1 x 2 y
17
y
S
40. Señale Verdad ero (V ) o Falso (F), según correspo nd a en: I.
15
B' 15 2 7 16 2 d) 17 a)
12 2 17 20 2 e) 17 b)
c)
14 17
2
A x
TRILCE
43 . Señale Verdadero (V ) o Falso (F) en: I. C os(Sen1) < C os(Sen2) II. Sen(C os2) > Sen(C os3) III. |Tan(Sen4)| > |Tan(Sen5)| a) V V F d) FV F
b) V FV e) FV V
47 . Sabiendo que: 3 2
Señale Verdad ero (V ) o Falso (F), según co rrespond a en:
T an
II. T an Sen
Sec T an b) FFV e) V V F
T an Sen
III. T an(2 C os) T an(2 C os) a) FV F d) FFF
b) V V F e) FV V
c) FFV
48. E n la circunferencia trigo nom étrica m ostrad a, hallar el
2
a) FFF d) FV F
T an
I.
c) FFV
44 . Ind icar Verdadero (V ) o Falso (F) según correspo nd a en: I. Sec (Sen1) > Sec(Sen2) II. Sec(C os1) > Sec(C os2) III Si:
2
área de la región som breada, si M N //A B y
c) V FV
B
45. D el gráfico m ostrad o, hallar las coo rdenadas de P. N
y x 2+ y2= 1
A
A'
x
C .T
x
B' M
P
a) V ersC ov a)
T an ; T an 1 T an 1 T an
b)
1 T an ; T an 1 T an 1
c)
1 T an ; T an 1 Tan 1
d)
1 T an ; 1 Tan 1 T an
e)
1 T an ; 1 T an 1 T an
c)
1 V ersC ov 2
e)
1 V ersC os 4
b)
1 V ersC os 2
d)
1 C ov Sen 2
49. E n la C .T. m ostrad a, calcular: M (2 S )C tg S: área d e la región som bread a. y x 2+ y 2= 1
B
46. Sabiendo que: C ot 2 C ot T an
S
Señale la variación de:
L
O
3 | Sen | 1
a) [0 ; 2]
b) [1 ; 2]
d) 1 ;2
e) 1 ;3
c) 1 ;2
A
1 4
b)
1 2
d) 1
e)
2 3
a)
x
c) 2
79
Trigonometría
50. Siendo x u n arco perteneciente al intervalo ( ;0) A dem ás:
1 Senx 3 2
H allar la variación de: K
3 T an x 1 2 6
a)
6
b)
6
d)
6
e)
2
3 2 6 3
1 ;1 2
d)
;5
a) 2 ;4
b) 1 ;4
d) 1 ;3
e) 1 ;3
C os2 C os
C alcular: L
d)
1 3 3 ; 4 2
e) 0 ;
b)
1 32 3 ; 4 4
d)
3 3 1 ; 2 4
M
N S
A'
A
B'
a) 2 d) 6
7 C os 15 4
7 ;
b)
b) 4 e) 8
c) 3
4
56. E n la C .T.m ostrad a, hallar: T an
H allar la extensión de: Tan 2
9 ; 7
1 ; 15
Si: M P es una vertical de longitud igualaldiám etro de la C .T.y adem ás O Q = 0,5 y
c) 15 ;
P
B
e) 7 ;
A'
M A
O
53 . C alcular el valo r d e 3x 2y
T an , p ara
el cu al: C .T.
C sc Tan ,tom a su valor m áxim o,,siendo x e y
las coordenad as del pun to P. Adem ás : 2AP = 3TP
T
P A
x 2+ y2= 1
x
Q B'
a)
2 10 3
b)
3 10 2
d)
3 10 5
e)
2 10 5
y
80
x
Q
P
1 2
A dem ás:
d)
Tan Tan 3 y
52. Si: 2
a)
c) 1 ;4
55. E n la C .T.m ostrada,las áreas de las regiones som breadas son igu ales.
C alcular la variación de:
32 3 a) 0 ; 4
24
2 C sc 3 2x 1 4
L
;11 6 6 T
24
Señale la variación de :
2 3 ; 2 2
e)
5 1 . D ad o :
1 ;2 c) 2
2 ;2
b)
6 4
54. Sabiendo que:
x a) 1 ;2
c)
c)
3 4
10
x
TRILCE
57. Si en la C .T. m ostrad a, el área d e la región som bread a es igual a 2 2 . C alcular: L
59. D e la figura, "G " es el baricentro del triángulo O PQ . C alcular la ecuación d e la recta q ue pasa p or G y por el origen del sistem a d e coo rdenad as, en térm ino s de
2
2
y
Sec C os
. y
y M
x 2+ y2= 1
B
P
S
A'
O
A
O x
x Q
B'
a) 16 d) 18
b) 8 e) 24
c) 6
58. D el gráfico, hallar M N : y
O
M
N
a) y
x T an 2
b) y
T an x 2
c) y
T an ( ) x
d) y
C ot x 2
e) y
C tg( ) x
x
60 . S i "S " representa el área d e la región som bread a, reduzca:
C .T.
E
Sen 2 (S C os3 ) Sen 2 y
a)
Sen Sen C os C os
C osC os c) C os C os
b)
Sen Sen Sen C os
y= x2
C os C os d) Sen Sen
x
O
e) Sen (C os C os) Sen Sen
C .T.
a) 2
b) 1
d) 4
e)
c) 3
1 2
81
Trigonometría
laves Claves
82
361 .
c
391 .
a
362 .
d
392 .
b
363 .
b
393 .
d
364 .
a
394 .
e
365 .
b
395 .
c
366 .
b
396 .
e
367 .
d
397 .
e
368 .
a
398 .
e
369 .
b
399 .
b
370 .
c
400.
d
371 .
e
401.
a
372 .
a
402.
b
373 .
d
403.
d
374 .
d
404.
d
375 .
c
405.
e
376 .
c
406.
d
377 .
d
407.
e
378 .
c
408.
a
379 .
c
409.
d
380 .
b
410.
a
381 .
a
411.
b
382 .
b
412.
b
383 .
b
413.
d
384 .
c
414.
e
385 .
e
415.
a
386 .
c
416.
c
387 .
b
417.
d
388 .
c
418.
e
389 .
d
419.
b
390 .
b
420.
b
TRILCE
Capítulo
8
IDENTIDADES TRIGONOM TRICAS DE UNA VARIABLE
* D E F I N I C I Ó N : Son aquellas igualdades en tre las razon es trigo nom étricas de una variab le; las cuales se verifican para todo valor de la variab le en que la razón trigo nom étrica que interviene se encuentra d efinida. * CLASIFICACIÓN:
I.
I . T. R E C Í P R O C A S : SenxC scx 1 C scx
1 ; x R {n ; n Z} Senx
C osxSecx 1 Secx
1 ; x R (2n 1) ; n Z C osx 2
TanxC otx 1 C otx
n 1 ; x R ; n Z Tanx 2
I I . I . T. P O R D I V I S I Ó N :
Tanx Senx ; x R (2 n 1) ; n Z C osx 2
C osx C otx ; x R {n ; n Z} Senx
I I I . I . T. P I T Á G O R A S :
Sen 2 x 1 C os2 x Sen 2 x C os2 x 1 ; x R C os2 x 1 Sen 2 x 2 2 ; n Z Sec x Tan x 1 2 Tan 2 x Sec 2x 1 C sc2 x C ot2 x 1 2 2 C sc x C ot x 1 ; x R n ; n Z C ot2 x C sc2 x 1
Sec 2 x Tan 2 x 1 ; x R (2n 1)
83
Trigonometría
I V . I . T. A U X I L I A R E S :
n 1. Tanx C otx SecxC scx ; x R ; n Z 2
2. Sec2x C sc2 x Sec 2 xC sc 2 x ; x R n ; n Z 2 3. Sen 4 x C os4 x 1 2 Sen 2 xC os2 x ; x R 4. Sen 6 x C os6 x 1 3 Sen 2 xCos2 x ; x R 5. (1 Senx C osx )2 2(1 Senx)(1 C osx); x R 6. Si: aSe nx bC osx c c
a2 b 2
E nton ces : Senx
a C osx b c c
7. Si: Secx Tanx n Secx Tanx
1 ; x R (2 n 1) ; n Z n 2
C scx C otx m C scx C otx
1 ; x R n ; n Z m
8. Si:
84
TRILCE
EJERCICIOS PROPUESTOS 01. R educir: 10. Sim plificar: E
E = (1+ C osx)(C scx-C tgx) a) 1 d) Secx
b) Senx e) C scx
02. Sim plificar: E
6
6
Sen x C os 1
c) C osx a) 5/3 d) 3/4
Tgx Senx C osx C scx Secx C tgx
b) Sec2 x e) C scx
a) 1 d) Secx
Sen 4 x C os4 x 1
b) -1 e) 1/3
c) 2/3
4 4 6 6 11 . R educir: E 3(Sen x C os x) 2(Sen x C os x)
a) 0 d) 2
2
c) C sc x
b) 1 e) -2
c) -1
12 . E lim inar "x" a partir de: Senx = m , C osx = n 03. Sim plificar: E
a) 1 d) -2
(Senx C osx )2 1 Senx .C osx
b) -1 e) 0
a) m
2
C osx C osx 2 04 . D eterm inar "k" en: 1 Senx 1 Senx k
b) SenxC osx c) Senx
d) C osx
e) Sen 2 x
b) C tgx e) Secx
06. Sim plificar: E
a) 2 2
d) 2 Sec x
d) m
2
n2 7
a)
1 m 2 2
b)
d)
(1 m )2 2
e) 1+ m
2
1m 2 2
c)
(1 m ) 2
a) 3
1 1 1 C osx 1 C osx
d)
c) 2C scx
c) 11
b) 9 15
e)
17
15 . R educir: E = (Tgx+ C tgx)C osx
2
e) 2 C sc x
07. Sim plificar: E
a) Secx d) C tgx
3
14. Si: Tgx+ C tgx = 3 C alcular: E = Secx+ C scx
c) C osx
b) 2Secx
2
13. Si: Senx+ C osx = m C alcular: E = (1+ Senx)(1+ C osx)
05 . R educir: E [T gx (C tgx 1) C tgx (1 T gx )]Senx a) 1 d) Tgx
2 2 b) m n 5
n2 1
c) m n e) N .A .
c) 2
a) C os2 x
2
a) 1 d) Secx
1 Secx Tgx
b) C osx e) 2Tgx
b) Senx e) C scx
c) C osx
Tgx 16 . D eterm inar "x" para que la igualdad:
1
c) C scx
2
C os
1 2
T an
1 2
C ot
1 x
Sea u na identidad 08. Sim plificar: E
a) Senx d) Tgx
09 . R educir: E
a) 1 d) Secx
1 2SenxC osx Senx Senx
b) C osx e) C tgx
(x IC )
a) Sen 2 d) Secx
b) C os 2 e) C scx
c) Tan 2
c) 1 17 . R educir: E
C osx T gx 1 Senx
Secx.C scx C tgx a) Senx d) Tgx
Senx b) Senx e) C scx
b) C scx e) C tgx
c) Secx
c) C osx
85
Trigonometría
18. Si la igualdad es un a identidad C alcular: M + N
25 . Sim plificar:
C scx C tgx C scx C tgx M 4 C tg N x C scx C tgx C scx C tgx a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
1 Senx A 1 Senx C scx 1 2
2
c) Tg x
b) C os x
2
c) Sen 2 x
d) C os 2 x
a) a b
2
2
3
b) a b
2
2
3
c) a b
2
2
4
d) a b
2
2
4
2
2
8 7 6
2 1 . S i: Senx C osx C alcular :
C = Senx C osx
a)
1 7
b)
1 6
d)
1 12
e)
1 9
26 . Sim plificar: C = (Secx C scx - C otx) (Secx C scx - Tanx) a) 1 b) T an 2x d) SenxC osx
c)
a)
1 3
b)
2 3
d)
2 9
e)
4 9
2
1) 2
2 b) m (n 1) 2
c) n(m
2
1) 1
d) n (m
2
e) n (m
2
2
b) 12 e) 36
23 . Sim plificar:
C
1) 2
(1 C os2 x) 1 2
b) Tanx
2
2
Senx C osx Senx C osx 1 1.4 Tanx 1 C otx 1
c) 16
3
1.5 Senx Sen x C otx 3 C osx C os x
SenxTanx C osx C osxC otx Senx c) C otx
30 . R educir: W 3 Secx C osx C scx Senx
C otx 2 d) Tanx
e) C o 2 x
a)
Sen 4 x C os4 x Senx C osx
a) 1 b) Senx d) Senx + C osx
c) C osx e) Senx - C osx
b) Secx
c) C scx
e) Senx
1 2 E nton ces : Tana + C ota es:
31. Si: Sen 2a C os2 a
a)
86
1) 4
1.3 (Sec 2 x 1)(1 Sen 2 x) (C sc2 x 1)
a) 9 d) 18
C
2
1.2 Sen 2 xC otx C os2 xTanx 2 SenxC osx
C Sec x C sc x
24. R educir:
; Tanx + C otx = n
29. D em ostrar las siguientes igualdad es: 1.1 Senx C otx + C osx Tanx = Senx + C osx
1 14
2
2
1 9
a) n(m
C alcular:
d) Tan x
c)
28 . E lim inar "x" de: Senx + C osx = m
22. Si: Tanx C otx 3 2
a) 1
c) C o 2 x e) Secx C scx
4 4 27. Si: Sen x C os x
20. E lim inar "x" a partir de: Tgx + C tgx = a Tgx - C tgx = b
e) a b
b) Sen 2 xCos2 x
7 9 6 C alcular: C Sen x C os6 x
e) Sec2 x
d) C tg x
a) 1
e) 2
19. H allar A en la siguiente identidad :
a) Sen 2 x
2 4 2 4 C (1 Tan x)C os x (1 C ot x)Sen x
10 3
b)
4 3 3
c)
13 2 10
TRILCE
d)
3 3 4
e)
a) 13 d) 16
2 10 13
3 2 . S i: 2 (1 Senx C osx) A (1 Senx)(1 C osx) C alcular: "A "
a) 1 d) 2
33. H allar el valor nu m érico de la expresión: T = (Tan35º + Tan55º) (Sen35º + Sen55º + 1) (C os35º + C os55º - 1)
d)
e)
d)
T an 1
e)
1 2
a) 2 d) 16
3 8
b) 3S enxC o sx d )- 3
y Tan n x C otn x
Tanx C otx
Tan n x C otn x
b) 4 e) 32
2
es :
c) 8
42. Si: Senx C osy = 0,5
,es : Tan C ot 2
b) 1 e)
3 4
c)
Siendo "n" po tencia de 2; entonces el valor de E
E ntonces el valor de:
3
d)
n n E Tan x C ot x
4
d)
1 8
35. Si: Sen C os
a) 1
b)
41. Si: Tanx + C otx = 2
3 3
e)
1 4
a) S enxC o sx c) - 3 Sen xC o sx e) 3
3 3 c) 2
b) 2 3
2 3 3
a)
2
5 2 E = C o ta + C o sa
a) 3 3
E SenC os , es:
C (Sen 6 x C os6 x 1)(Tanx C otx)
34. Si: Sena C sca C alcu lar :
1 2C os2 1 Sen C os 2 E ntonces el valor de:
39. Si:
40. R educir:
c) 2
b) 2 2
c) 22
c) 1
b) 2 e) 4
a) 1
b) 14 e) 15
c)
H allar : P C os2 x C os2 y C osy
a)
5 4
b)
3 4
d)
3 2
e)
1 4
3
3 3
c)
1 2
43 . C alcular: T an 36 . C alcular: 2
2
C os A Sen B Si se sabe que A y B son ángu los sup lem entarios b)
a) 1
1 d) 2
1 2
4 4 Si: aCos bSen
a) c) 0
a b
d)
e) 1
b)
a b
b a
ab ab
;a b
c)
a b
e) ab
44 . D a do : 2
2
4
C alcular:
f (2) + f (3)
a) 20 d) 23
b) 21 e) 24
1 2 Tanx
2 Secy
1 2 Tany C alcular: E = Secx + Secy
2 Secx
4
37. Si: f(T an x C ot x) Sec x C sc x
c) 22
38. Si: Sec2 x C sc 2 x 7 C alcular:
a)
2 2
b)
2 1
d)
2 3
e)
2 1
c)
3 2 2
2 2 2 2 C (Sec x T an x)(C sc x C ot x)
87
Trigonometría
45. E l valor de "E " en la identidad: Sen 3 E C o s2 Sen
; ,es : 2 2
a) 6 d) 8
b) 2 e) 12
c) 4
5 2 . S i:
7 4 4 y Sen C os
a) Sen 2
b) C os2
d) C os
e) Sen
Sen C os Sen C os
BSenA Sen - C os a) 1
b)
2
d) 2
e)
5
c) 3
b) m Seca e) nC o sa
2
2
9
a) d)
3
2 3
b)
5
e)
3 3
3 3
c)
53 . C alcular el m ínim o valor de: 4
4
E Sec x C sc x
n 47. Si: Tana m E ntonces: n (2C osa + Seca) - 2m Sena E s igual a: a) m C osa d ) nS eca
2
C alcular: C Sen C os
46. H allar el valor de "B " sabiend o q ue:
TanA
4
c) Sen C os
c) m n
a) 6 d) 10
2
c) 8
54 . H allar: y = Senx C osx Si:Tanx - Senx = 1 a) 1
2
2 1
d)
48. Si: a C os x Sec x 2 E ncontrar el valor de: C = Senx Tanx + 2C osx
b) 4 e) 12
b) 1 e)
c) 1
2
2
2
55. Sabiendo que es un án gulo agudo el cual satisface la ecuación: C tg C sc 5
D eterm ine el valor de la expresión : 2
2
a 2
a)
b) a 2 c) a
d) a
e) a
a) 10
2
d)
49. Si: Sec x nTanx 3
d)
n2 b) n 1
n2 n 1
e)
a) c)
n 1 c) n2
e)
n2 n 1
d)
5 3
b)
7 3
d) 3
e)
4 3
C
2 C osx
51. Si: P,Q y R son constantes que satisfacen la relación:
C alcular: P .Q . R
1 1 1 Senx C scx 1
2
4
2
x
c) 2
57. Siendo: Senx + C osx = n H allar:
a)
P Q T an R x
2
4
b) 2 Secx
2 Secx
5 13
C Sen x T an x C os xC o
a)
3 1 C osx 1 C osx ; x 2 1 Senx 1 Senx
2
c) 15
C alcular:
e) 2 C osx
88
5 12
56. Siendo: Tanx C otx
50. Sim plificar la expresión:
K
b) 20
3
H allar: C Sen x C os x (Senx C osx )3
n 1 a) n2
24 T g 26 Sen
d)
2 n 1 2 2
n 1
Secx Tanx 1 C scx C otx 1 Secx Tanx 1 C scx C otx 1
b)
e)
2 n 1 1 n 1
c)
2 2
n 1
TRILCE
58. Siendo: Tanx + C otx = 3 C alcular:
13 a) 27 d)
25 27
S
Senx C osx n ; x IV C
Sen7 x C os7 x Senx C osx
19 b) 27 e)
60. Sabiendo que: R ed ucir:
C
29 c) 27
31 27
a)
59. Siendo:
d) Tanx C otx
2
1 n 1 2 n 1
b) e)
1 Senx 1 C osx 1 Senx 1 C osx 1 n 1
c)
2 n 1
2 2
n 1
C alcular:
C
Sec5 x C sc5 x Secx C scx
a) 3(5 6 )
b) 6 (5 6 )
c) 6 (3 6 )
d) 3(3 6 )
e) 5 (3 6 )
89
Trigonometría
laves Claves 0 1.
b
3 1.
b
0 2.
b
3 2.
b
0 3.
c
3 3.
b
0 4.
d
3 4.
b
0 5.
e
3 5.
c
0 6.
e
3 6.
e
0 7.
a
3 7.
d
0 8.
e
3 8.
e
0 9.
d
3 9.
c
1 0.
c
4 0.
c
4 1.
b
1 1.
90
1 2.
ba
4 2.
b
1 3.
c
4 3.
e
1 4.
d
4 4.
c
1 5.
e
4 5.
e
1 6.
a
4 6.
b
1 7.
c
4 7.
d
1 8.
d
4 8.
e
1 9.
d
4 9.
c
2 0.
c
5 0.
b
2 1.
d
5 1.
c
2 2.
d
5 2.
e
2 3.
b
5 3.
c
2 4.
d
5 4.
d
2 5.
a
5 5.
b
2 6.
a
5 6.
b
2 7.
b
5 7.
b
2 8.
a
5 8.
c
2 9.
-
5 9.
b
3 0.
d
6 0.
d
TRILCE
C apít ulo
9 I.
IDENTIDADES TRIGONOM ÉTRICAS DE LA SUM A Y DIFERENCIA DE VARIABLES
Para la Suma: Sen (x y) Senx C osy Seny C osx C os(x y) C osx C osy Senx Seny Tan (x y)
II .
Tanx Tany 1 Tanx Tany
Para la D iferencia: Sen (x y) Senx C osy Seny C osx C os(x y) C osx C osy Senx Seny Tan (x y)
Tanx Tany 1 Tanx Tany
PROPIEDADES: I. 2
2
Sen (x y) Sen (x y) Sen x Sen y C os(x y) C os(x y) C os2 x Sen 2 y
II . Tanx Tany
Sen (x y) C osx C osy
III. Si:K
aSenx bC osx
a ,b R
a2 + b 2 b
K
a2
b
2
Sen (x )
; donde :
a
I V. S i: L aSenx bC osx ; a ,b ,x R D ond e : 2 2 L a b a b : con stantes m áx x : variab les 2 2 L m ín a b
91
Trigonometría
V. Tanx Tany Tanx Tany Tan (x y) Tan ( x y) ó
Tanx Tany Tanx Tany Tan (x
y) Tan (x y)
ID ENTIDAD ES TRIG ONOMÉTRIC AS PARA T RES ÁNG ULOS *
Propiedades: I. S i: x y z ó n
; nZ
i) Tanx Tany ii)
Tanz Tan x · Tan y · Tan z C tgx · C tgy C tgy · C tgz C tgz · C tgx 1
II . Si: x y z
2
ó (2n
1)
2
; n Z
i) C tgx + C tgy + C tgz = C tgx ·C tgy ·C tgz ii) Tan x · Tany + Tany ·Tanz + Tanz · Tanx = 1
92
TRILCE
EJERCICIOS PROPUESTOS 01. R educir: J = Sen(30º+ x)+ Sen(30º-x) a) 2Senx
b) C osx
d) Senx
e)
a)
12 7 22 5
b)
12 5 11 7
d)
11 7 12 5
e)
39 25
c) 2C osx
3 Senx
02 . R educir: J = C os(45º+ x)+ C os(45º-x) b) Senx
d)
e)
3 C osx
c)
a) 1
03. H alle un valor agudo d e "x" qu e verifique:
C os4 x.C osx Sen 4 x.Senx
a) 6º d) 21º
b) 12º e) 24º
1 2
c) 15º
b) -1 e) -2
c)
3
e) 3 3
11. Sabiendo que: S en(2x+ y)C os(x-y)+ S en(x-y)
4 5
C alcular: C tg3x a) 3/4 d) 5/4
b) 4/3 e) 3/5
c) 4/5
12. O btener: Sen23º
05. Si: Tgx = 2 Tgy = 3 C alcular: Tg(x+ y)
06. Si: T an
3 3
C os(2x+ y) =
b) 10º e) 30º
a) 1 d) -1/2
d)
b) 2
c) 18º
04 . H alle un valor agudo de "x" para qu e cum pla: Sen4x.C osx-Senx.C os4x = 0,5 a) 5º d) 20º
C os(30 º x ) C os(30 º x) Sen(30 º x ) Sen(30 º x )
2 C osx
2 2
11 7 22 2
10 . Sim plificar: M
a) C osx
c)
a)
3 10
b)
3 3 4 10
d)
4 3 3 10
e)
4 3 3 10
c) 2
1 2 ; T an 3 5
c)
3 3 4 10
13. D el gráfico m ostrad o, calcular: "x".
C alcular: T an ( ) x a) 1/7 d ) -1 /1 7
b) -1/7 e) -1 /1 9
c) 1/17
07 . H allar el valor de: Sen7º
3 3 4 a) 10 d)
1
3 3 4 b) 10
3 3 4 5
e)
4 3 3 c) 10
4 a) 17/13 d) 13/51
3 3 4 2 14. Si:
08 . C alcular: Tg8º a) 1/3 d) 1/9
09. Si: Senx
b) 1/5 e) 1/11
37 º
2 Senx
b) 13/17 e) 3
c) 51/13
3 C osx
C alcular: Tg(45º-x) c) 1/7
a) 1/4 d) 5
b) 1/5 e) 3/7
c) 5/3
3 24 y Senz 5 25
C alcular: E = Sen(x+ z); x
z son
agud os.
93
Trigonometría
15 . H allar: M
22. D el gráfico, calcular: T an
2 Sen (45 º x )
a) C osx-Senx c) C osx+ Senx
C
b) Senx-C osx d) 2(C osx-Senx)
2 e) 2 16 . Sim plificar: L= (Sen3x+ C os3x)(Sen2x+ C os2x)-Sen5x a) C osx d ) C o s4x
b) C os2x e) C o s5x
37º A
c) C os3x a)
3 16
b)
6 17
d)
12 17
e)
14 19
17. R educir:
C a) Tan 40º d) C ot45º
Sen 50 º2 Sen10 º C os40 º b ) Tan 10 º e) Sen30º
c) C o t1 0º
c)
P
B
a) S en3 7º d ) C sc3 7º
b ) C o s3 7º e) 1
7 19
23. D el gráfico, calcular: T an
1 8 . S i: 5 Sen (x 37 º ) H allar : C otx
B
M
C
2 C os(x 45 º )
c) S ec3 7º
37º
19 . Sim plificar:
D
A C
Sen( ) Sen C os C os( ) SenSen
a) T an
b) T an
d) C ot
e) 1
a) 4 d) 9
b) 8 e) 32
c) 16
c) C ot
60 º
24. Siendo:
C alcular: 20 . Sim plificar:
C J
a)
3
e) 2
Sen 40 º Sen10 º C os30 º C os40 º Sen 30 º Sen10 º
b) 1 e)
c)
3 3
(C os C os)2 (Sen Sen )2
a) 2
3
b) 2(2 3 ) c) 3(2
d) 2
3
e) 3
25. Siendo:
2 3 3
x + y = 60º ; Tany
21. Siendo: x + y = 30º ; x y = 37º
3 4
C alcular : M
C alcular:
(1 TanxTany )T an (x y)
J = (Senx + C osx) (Seny + C osy) a) 1,1 d) 1,4
94
b) 1,2 e) 1,5
3)
c) 1,3
a)
3 28
b)
5 3 28
d)
3 3 14
e)
5 3 14
c)
3 3 28
TRILCE
26 . Señale el valor m áxim o que tom a la expresión: C = (Sen3x + C os3x) (Sen2x C os2x) + Senx a) 1
b) 2 1
d) 4 1
2 e) 3
d)
3 13
2
3 13
b)
2
e)
1
1
6 13
P
D onde: x IIIC ; y IIC C alcular: L = Sen(x + y) + C os(x
c)
2
6 13
y)
a) T an T an
b) T an T an
c) C tg
d) T an
e) C tg 33. C alcular el valor de: Tan13º + Tan32º + Tan13º Tan32º a) 2
2
b) 1
2
1 2 2 e) 1 c)
5 13
2
1 C tg( ) T an C tg( )
T an
c) 1
27. Sabiendo que: Senx - 5C osx = 0 ; 2Seny + 3C osy = 0
a)
32 . Sim plificar:
d)
2
2 2
34. Sim plificar la sigu iente expresión: 28. Si: T an(a b c)
3 5
y
Tanb = 3
1 Tan 5 a Tan 2 a
C alcular:
1 C tg 5 a C tg 2 a
Tan (a b + c)
a)
d)
6 7
21 b) 7
29
e)
17
a)
27 c) 11
C os7a Sen3 a
d) C tg3a
11
b)
C os3a Sen7a
e)
Sen3 a Sen7 a
c) C tg7a
27 35. A partir de la figura, hallar "x".
2 9. S i: A + B + C = 180º E lvalor de: E = Tan A + Tan B + Tan C b) 1 e) 2
a) 1 d) 0
TanA TanB
7
TanC
c) 2
30. S i x e y son ángu los com plem entarios (x > 0º), encontrar elvalor de "m " de m odo qu e se verifique la identidad . m
y 1 Tg 2 a) 1
c) T an
b) 2
d) T an
y 2
x 1 T an 2
e) T an
x 2
y x T an 2 2
31 . H allar TanA en un A B C , cuyos ángulos cum plen: SenA = nSenB SenC C osA = nCosB C osC a) n d) n 2
b) n
1
2
e) n + 1
c) n
1
x
30º 2 3 a)
3
d) 6
b) 3
c) 4
e) 7
36 . C alcular: Sen7 5º + C os75º
a)
6 2
b)
2 3 3
d)
6 3
e)
6 2
37. Si: T an(x y)
ab ab
c)
6 2
2
2
; Tan(y z) = 1
E ntonces: Tan(x z) es igu al a: a)
a b
b)
b a
c)
ab ab
95
Trigonometría
d)
ab ab
e)
a b a
10 m o. piso
, y satisfacen la relación: T an T an T an T an T anT an
38 . Lo s ángulos
9no. piso
H allar la sum a de:
(K : N úm ero entero)
a) 0 d)
b) 2 k
k
c)
k
500
2
e) k
4
39. E n la siguiente figura, la m edida d el lad o x es:
a)
5 3143
b)
3143 50 0
d)
25 3143
e)
36 3143
c)
1 27 4
4 4 3 . S i:
Sen(y 2 t)
6
b) 4 23
d) 3 17
e) 3 6
a) b) c) d) e)
40. H allar el valor de:
y x 2
(C osx Seny)C os
x
7 R ad 12
, y
x ; 5
2 E xpresar x en térm ino s de Sen 2t y C os2t solam ente:
c) 4 13
Sa biendo que:
Seny
y 2t
2 x
a) 4 6
4 ; 5
x= x= x= x = x=
4Cos2t + 3Sen2t 3Cos2t 4Sen2t C os2t Sen2t 2Sen2t 3C os2t 2Cos2t + 3Sen2t
44. E n la figura m ostrad a, se tiene un trap ecio isósceles en el que la longitud de la base m enor es igual a la d e su altura y la longitud de su b ase m ayor es igual a la d e su diago nal.
5 R ad 12
H allar: T an C
B a)
(2
6)
2
c) 0 e)
b)
(3
d)
3 3 4
3)
4
3 2 2
D
A
41. E l valor de la expresión: (Tan80º Tan10 º) C tg70º a) 1
b) 1
d) 2
e) 0
es :
a) 2
c) 2 d)
42 . N os situam os a una d istancia d e 500 m etros de un
3 4
b)
4 3
e)
1 3
96
m
1 7
45 . H allar el valor aproxim ado d e:
ed ificio de 1 00m de altura, que tiene 25 pisos idénticos. H allar el valor de la Tangente d el án gulo
c)
D
C os2 4 ºC os2 86 º
ostrado. . a)
7 2 10
b)
9 2 10
d)
2 10
e)
3 2 10
c)
5 2 10
TRILCE
46 . E n un triángulo A B C , se cum ple: SenC
TanB
3
2 Sen(A
3
2
51. E n la identidad trigono m étrica: 2 Senx 3 C osx
B)
D eterm inar: T an
6
H allar elvalor del ángulo B A C .
2
a)
a)
5 b) 12
3 3 10
d)
e)
c)
6
d)
2 3
2 3
b)
13 3 2
MC 3
x 14
1 2
T an
CB 4
AB 8
y
b) 2 e)
2
B
A
Senx 2C osx B
3
b)
d)
2
5 y
a)
13 4
b)
22 7
d)
24 5
e)
17 9
53. Si: Sen
5
2 Sen
c)
y
8 3
C os 3 C o s
H allar el valor de: C os( )
5 y 2 5
2 y 2 2
49. E n u n triángulo rectángulo A B C recto en C , calcular el valor de M .
M
C
c) 1
a) 3 y 3
e)
M x
48 . D eterm inar el m ayor valor de A y elm eno r valor de B tal que:
c) 3 y
MD
D
1 3
A
MC
C alcular: T gx
5 x C tg 28
1 2
13
13 3
e)
H allar:
d)
3
c)
52. E n la siguiente figura:
4 7 . S i:
a) 3
kC os(x )
A B C 1 T an 1 T an 1 T an 2 2 2
a)
5
b)
3
d)
5 7
e)
6 7
7
7
c)
3 7
54. E n la figura m ostrad a, calcular: T an
a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
3
c) 2 2
50. E n la figura ad jun ta, la longitud del segm ento A B es: C
1
3 1 2 5 d) 2 a)
4
2
B
A a) 2 3
b) 3 3
d) 5 3
e) 6 3
b) 2 e)
c)
3 2
1 6
55. Si :
60 º , el valor de la expresión: A (C os C os)2 (Sen Sen)2
c) 4 3 a) 2 d) 0
3 4 1 e) 2 b)
es
c) 1
97
Trigonometría
59. D el gráfico, calcular: Tanx
5 6 . S i: Tan(x + 3y) = 5
y
C
Tan(2y + x) = 4
E ntonces elvalor de C tgy es :
1
a) 20 d) 14
F
b) 21 e) 15
c) 18
45º x
5 7 . S i: Tan(2a + b) = 8
y
Tan(a + 2b) = 2
A
E ntonces: Tan(a b) es:
a)
12 17
b)
4 17
d)
6 17
e) 10
58. D el gráfico calcular
AE Si: 2
ED 3
c) 6
el valor m ínim o de: C ot
a)
17 24 1
b)
21 24 1
c)
23 24 1
d)
17 19 5
e)
21 19 5
C os C os
m
Sen
A
d)
10 6 2 10 9
B
b)
e)
3 10 5 3 10 10
c)
2 10 3
b)
c)
d)
e)
98
2
Sen m
¿C uáles la variación d e "m " para que se cum plan las 2 relaciones anteriores?
a)
B
60. Siendo:
D
E
2
D
DC C
a)
4
5 1 2 5 1 2 5 1 2 5 1 2 5 ; 2
;
5 1 2
;
5 1 2
;
5 1 2
;
5 1 2
5 2 2
TRILCE
laves Claves 01.
b
31.
e
02.
c
32.
d
03.
b
33.
e
04.
b
34.
d
05.
b
35.
b
06.
d
36.
a
07.
a
37.
a
08.
c
38.
e
09.
d
39.
a
10.
c
40.
b
11.
a
41.
c
12.
e
42.
d
13.
c
43.
a
14.
b
44.
c
15.
a
45.
a
16.
a
46.
a
17.
e
47.
a
18.
c
48.
b
19.
a
49.
e
20.
c
50.
e
21.
c
51.
b
22.
b
52.
b
23.
e
53.
d
24.
e
54.
a
25.
b
55.
c
26.
a
56.
b
27.
d
57.
d
28.
c
58.
d
29.
d
59.
b
30.
b
60.
d
99
TRILCE
Capítulo
IDENTIDADES TRIGONOM TRICAS DE LA VARIABLE DOBLE
10 Seno de 2x Sen2x
C oseno de 2x
2SenxC osx
C os2x
Tangente de 2x
C os2 x Sen 2 x
Tan 2 x
2 Tanx 2
1 Tan x
Tam bién :
*
C os2 x
1 2 Sen 2 x
C os2 x
2C os2 x 1
Fór mulas de D egradación : 2
1 C os2 x
8 Sen x
2
1 C os2 x
8 C os x
2Sen x 2C os x
*
4
3 4 C os2x C os4 x
4
3 4 C os2 x C os4 x
Propiedades : I. C otx Tanx
2 C sc 2x
C otx Tanx
2 C ot2 x
2
2
S ec x C sc x
2
4 C sc 2 x
II. (Senx C osx )2
1 S en 2 x
2
1 S en2 x
(Senx C osx )
III. 1 Sen 2 x
Senx C osx
1 Sen 2 x
Senx C osx
I V. Tan 2xTanx
Sec 2 x 1
Tan 2x Tanx
Sec 2 x 1
10 1
Trigonometría
*
Tri ángulo del Ángulo D oble :
2 1 Tan
C os2
1 Tan 2 1 Tan
2 Tan
2 1 Tan
2
2 Tan
Sen 2
1 Tan
2
2
ID ENTIDAD ES TRIG ONOMÉTRIC AS DE LA VARI ABLE MITAD Seno de
Sen
x 2
x 2
C oseno de
1 C osx 2
C os
x 2
x 2
1 C osx 2
Tan
x 2
C otangente de
x 2
D on de el signo () d epend erá d el cuad rante en el qu e se ubiqu e Tangente de Tan
10 2
x 2
x 2
C scx C otx
Tangente de
C ot
x 2
x 2
C scx C otx
x 2
1 C osx 1 C osx
TRILCE
EJERCICIOS PROPUESTOS 0 1 . S i " " es un ángu lo agud o y Sen
2 . 3
a)
33 6 62 5
b)
23 6 62 5
d)
33 6
e)
43 6
5 13
18 0º 27 0º
C alcular: " Sen 2 ".
4 a) . 5 9 9 d) 4
2 b) 9
5
1 c) 9
09. Si: C os
8 Sen.C os.C os2.C os4
a) Sen2 d) Sen4
03. Si: Sen
b) S en8 e) Sen 32
2
a) 2/5 d) -3/5
b) 3/5 e) -4/5
3
c) 4/5
a)
12 0
b)
12 0 16 9
d)
60 16 9
e)
14 0
16 9
c)
a) 2/n d) 1/2n
16 9
b) n/2 e) 1/n
, calcu lar: C os2
2 3
c) 2n
90 º x
18 0º x 2
C alcule el valor de: Sen a) -1/3
b) 1/3
d) -2/3
e)
05. Si: T g
06. Si: T g
c) 2/3
3 3
a)
1 , calcular: T g 2 . 2
a) 1/3 d) 5/3
b) 2/3 e) 7/3
c) 4/3
3 , hallar: Sen 2 2
a) 11/13 d ) 1 3/15
07. Si: T g
a) 1/3 d) -2/3
08. Si: Sen
b) 12/13 e) 1 1/15
1
c) 14/15
, determ inar: C os2
5
b) -1/3 e) 3/4
7 25
c) 2/3
d)
6 6
6 12
12. Si: Sen
6 6
b)
e)
2 6 3
7 25
C alcular: Sen 2
a)
2 10
b)
3 2 10
d)
7 2 10
e)
5
d)
2 2
3
e)
c)
90 º
4
2 3
b)
2 3
2
5 2 10
2 10
90 º 18 0º a)
6 12
18 0º 27 0º
C alcule el valor de: Sen
13. Si: C os
c)
C alcule el valor de: C os
60 16 9
10. Si: Tgx+ C tgx = n ¿A qu é es igual Sen2 x?
11. Si: C osx
1
04. Si: C os
c) Sen16
, calcu lar: C os2
5
62 5
C alcule: Sen 2
02 . Sim plificar:
E
23 6 62 5
5
5 e) 4
5
62 5
c)
18 0º
2 c)
2 4
2 4
10 3
Trigonometría
14. Si: C os
1
2
, calcule: C os
3
a) 1/3 d) -1/3
b) 2/3 e) -2/3
d) 4
c) 3/4
e)
22. Si : Sen 2 x
3 2
2 3
C alcule :
1
15. Si: C osx
90 º x
3
C alcular el valor de: Tg
a) 3
b)
2
e) 5
2
2
d) - 2
16. Si: T g
C alcule:
E
18 0º
x 2
c) -3
a)
7 9
b)
7
d)
2
e)
2
2
9
27 0º
S ec
a)
c) 3/4
3 2
e)
b) C tg
e)
x 2
4
c) T g
c) 1
1
f
x 8
2
8
x 2
b) 2S ec2x d) Secx + C scx
a) 2Sec2x c) 2C sc2x e) 2C sc2x
C tg x
2
Sec x C sc x ;
25. Ind iqu e la expresión sim plificada de :
M
b) 5 e) 11
1 C os2 1 C os4
;
K 2
c) 7
b) C tg25º e) 1
c) -T g25º
1 C os2 2
a) 4 C os 2
b)
c) 1 Sen 2 2
d) 1 C sc2 4
19 . R educir: E = Sec40º-Tg40 º a) T g25º d) -C tg25º
e) 4 Sen 2 20. Si:
2
C os
3 4
26. Si : C os
C alcule:
E
a) 0
7 .Sen
b) 1
C os 2
c)
2
e) 2
2
2 d)
21. R educir : H = (Tanx + C otx) Sen2x a) 1
10 4
b) 2
c) 3
H alle : C os
a) d) 2
3 , 16
24. Sim plificar la función f definida por :
C sc x C tg x 4
3 1 2
b)
d) 1
18 . ¿A qué es igual: C tg8º? a) 3 d) 9
C sc
2 b) -5/2 e) 1
x 8
2
el valor de Sen 2 es :
(x )
d) C tg
7
2
Tg
x 2
9
2 9
2 3 . S i:
18 0º
17 . A qué es igual: E
a) T g
c)
Sen 6 C os6 1
20 21
a) -5/4 d) -3/4
Sen 4 x C os4 x
2 13
3 13
5 3 ; 13 2
2
b)
e)
3 13
5 26
c)
2 13
; K
Z
TRILCE
27 . S eñale elvalor de C os
2 2
a)
2 1
c)
8
2
d) C ot
2 1
d)
2
a) Tan x
2 2
b)
2
32. R educi educir : M = C sc2x + C sc4x + C sc8x + C ot8x
2
x 2
e) C ot
33. R educi educir :
2
R
28. R educi educir :
1 C os24 º 2 2
H
b ) S en 6 º e) S en en 1 2º 2º
1
b)
T an 2
2 x x c) C ot 2 2
T an x
e)
C ot2
x 2
2
c) S en 3 º 3 4 . S ise ti tiene un triángu án gul lo rectángul án gulo A B C , recto en B con
2 9 . S i:
A án gul gu lo m eno en o r, la rel relació n d e catet cateto s es
C os h allar : T an
4 5
180º
y
5
270º ,
S e ti tien e la relació n : E = 7Cos2A 7Cos2A + 5Sen2 5Sen2A A D eterm erm inar na r el valo r d e E . a) 4 d) 7
c) 3
b) 5 e) 8
c) 6
35 . E ncontr ncontrar aproxi aproxim adam ente el valor de :
e) 1
4
T an 30. Si : T an
x 2
n , do nd e
x
,
en to n ces ces cuá cuáld e las sigu ien tes al a lterna ernativas va s es la cor co rrect ecta.
a) Senx
2
1 n2 1n 2
b ) Senx
1 x2 1x
c) Senx
d ) Senx
e) Senx
2n 1n
2
2x 1x
2
1n
2
1n
2
; C osx osx
2n 1n
2
; C osx osx
1n 2 1n
; C osx osx
1x 2 1x
2
2n 1n
25 24
b)
1
d)
2 2 3
5
6 2
2 3 2
6
2 2
3
1 2 3
e) 2 3
2x
1x
c)
2
1 3
; C osx osx
; C osx osx
a) 1 3
36. Sea Sea : a b c S im p lificar ca r la sigu ien te exp ex p resió n : Sen(3a + 2b + 2c) 2c) Sen(a + 2b + 2c) 2c) + C os( os(b + c) C os( os(b + 2a + c) a) 1 d ) C o s2 s2 a
b) 0 e) C o s2 b
c) 1
2
3 7 . S i A , B y C so n lo s ángul án gulo s inter nterno no s d e un u n tr triángul án gulo y
31. Sabiendo endo que :
Sen(A + B) C os( os(A + B ) = 2
2
3 S en x 7 C os x a b C o s2 x H alle el el val va lo r d e : M = 3 a 2b a) 9 d ) 11
5 . 7
2 4 b) 5
a) 3 d)
1
x 2
a) T an 2
d) a) C os o s6 º d ) C o s3 s3 º
x 2 x C scxTan 2 C scxC ot
1
x 2
x 4
4 2
e)
c) T an
b ) C o tx
b) 1 5 e) 7
c) 1 3
1
2
¿C uánto vale 1 + TanC ? a) 0 d) 1
b) 1 1 e) 2
c) 2
10 5
Trigonometría ría
38 .
42 . H alle "m "m " en la iden tidad da d :
U
N
2 A A SecA C os S en SenA 2 2
SenA
I C osA osA
2 C os A S en A S en A 4 4 2
2 C os A S en A S en A 2K 2K K
K 1 S im p lificar ca r la exp e xp resió n : U
A K
d ) C o sA sA
K
A K
(C osa osa C osb osb)2
a b 2
a b 2
a) 2 Sen
4 0 . S i: S en 2 x
b) 4 Sen
d) S en
2 a b
2 a
2
b 2
2
2 x
A C o s B C osx osx 2
h allar : S
a) 1
4 b) 5
d) 1
e)
4
4
a) 4
b ) Sen 2 y
d) 1
e) 2
h allar : C o s2(x
e) 0
; x 0 ;
T an 4 x C o
SenxSeny
B c) 2
3 5
2
x
c) S en2y en2 y
45. Sabiendo endo que :
4
,
cal ca lcul cu lar : C os4 x S en 4 x
a)
1 4
d)
7 8
46. Si : KSen c)
3 5
3 4
;xy
b)
1
e)
7 8
c)
4
1 2
C os 2
S iend en d o : S en
2
0 P
3 5
2
1 S en S en
2
C sc
4 1 . H alle el valo r d e la expr ex pres esi ió n :
W
a) 2
b) 4
1 d) 2
1 e) 4
Sen 20 º 3 C os20 º Sen 40 º C os40 º
2
K 2 )
a)
(K
c) K
K 1
e)
K
c) 1
,
y)
S erá erá :
10 6
osy ) (Seny C osy osy ) (Seny C osy 2 2 (Seny C osy osy) (Seny C osy osy )
A
b) A
es: es:
44. Si : Tanx + C otx 2 = Sen2y Sen2y A
A , B son con co n stan tes real ea les.
A 2
(Sena Senb)2
E n fun funci ción de Sen
K
a) B
c) 8
43 . E lvalor de :
C os A
E
S en(m x) m
a b e) 2 S en 2 2
39 . H allar la sum sum a de d e los valores ores m áxim os y m ínim os de la sigu ien te exp expr resió n :
d)
b) 4 e) 3
a b 2
SenA
A K
a) 2 d) 6
c) S en
C os A
c) 1 S en
e) S en
1 C osA osA
osA C osA
a) S en en A b ) S en
N I
x S en x 4 4
S en 2xSen
K 1
b) K
K 1
d)
K
K 1
,
TRILCE
4 7 . E xpres xpresar ar en fun fun ció n d e Tanx, Tan x, la expr exp resi esió n: E
5 2 . E l val va lo r d e X al sim p lificar la exp e xpr resió n :
2(T an 2 x S ec2 x) S ec2 2 x T an 2 2 x C ot2 x
2
1 T an 1 S en 2 1 T an 1 S en 2
X
1 Tanx 2 1 Tanx c) 1 2T 2 Tan x e) 1 Tanx a)
48. Si: T an
b)
1 Tanx 1 Tanx
a) 1 S en 2 c) 1
d ) Tan x + 1
e) S en 2
m ;n n
0,
53. Si: T an(A
ent en to nces el val va lo r d e n C o s2 m S en en 2 a) m + n d) m
b) 2m + n e) n
c) 2 m
es :
a)
T an 2 xSec2 x 3 S ec2x 3 C sc2 x 2
d)
2a 1a
2
b)
2
e)
2a 1a
16 C sc4 x
c) y C sc16 x
a
a
2
1
c)
a 1a
2
a
1
54 . Si : Tan(x + 45º)= n ; n 0 , calcular : E = S ec2x Tan2x b) y
4
16 C sc4 2x
a) n
4
d) y 16 C scx
1
b ) 2n
d) 2 n
1
55 . L a expr expres esi ión :
50 . Sea la ecuaci ecuación :
x nCos x p 0 2 2 ¿B ajo cuál cu ál d e las sigui gu ient en tes relacio acio n es ent en tre m , n y p, p , el
c) n
2
e) n 2
C sc4 2 x
e) y
2a 2
2
C o xC sc x , ent en to n ces :
a) y
45 º ) a 1 , a 1
h allar : S en 2 A
n
4 9 . S i:
Y
b) 1 S en 2 d) 1
C os es equ eq u ival va lent en te a: a: 1 S en
m S en en
x val va lo r d e T an es ún ico? 4 a) m
2
n2 p2
c) n
2
p2 m
e)
m
2
b) m 2
2
d)
a) T an
4
4
e) T an 2
4
c) 2 T an
p 2 n2
m 2
n 2 2p
b) T an
d) T an 2
T an 2 A 51. S i x es un án gulo gulo en el pri prim er cuad ran te y 1
; en co n trar el va lo r de la sigu ien te
2a a) ab d)
2a 2a b
b)
e)
S en 2 x C scx Senx b ab
1
2b c) a 2b
a b
T an 2 B T an 5 4
S abiendo que : TanA Tan TanB B = 1
S en 2 A
exp resió n :
E
4
5 6 . H allar el valo r d e :
n2 p
a Tanx 2 b
4
2 4 S en 2 A
a) 2 d) 1
b) 1 e) 2
c) 0
57 . R edu cir la exp resi esión : S
1 2
Sen 2 Sen 2 ( 15 0º ) S en 2 ( 15 0º)
ab ab
a) C os(30 º2 )
b) Sen (30 º 2 )
c) S en 2
d) C os2
e) Sen (60 º2 )
10 7
Trigonometría
6 0 . S i:
58 . C alcular :
E
Sen 4 16
3 16
Sen 4
1 C os 2 8
1 3 C os 2 8
C os
T an1ºT an 2 º C os T an1ºT an 4 º C os T an 1ºT an 6 º H alle : R
2 a) 2 d)
b)
1 2
3 e) 2
1 x T an 2 2
....
1
2n E s igual a :
a)
1 2
b)
n
1 22
x 2n
T an
x C otx 2 n
C ot
x 1 C ot n C otx 2 2 x 1 C ot n C otx 2 2
e) 2 n C ot(2 n x) C otx
10 8
x ...... 2 2
T an
c) C o tx d)
2
2
2
3 c) 4
2 2
59 . La siguiente sum a :
F
T an T an T an
a)
Sen7 º Sen1º
b)
C os7 º C os1º
c)
T an7 º T an1º
d)
Sen9 º Sen 2º
e)
C os7 º C os3 º
TRILCE
laves Claves 01.
a
31.
e
02.
a
32.
c
03.
a
33.
a
04.
d
34.
b
05.
a
35.
c
06.
b
36.
c
07.
b
37.
a
08.
a
38.
b
09.
a
39.
d
10.
a
40.
d
11.
a
41.
a
12.
a
42.
b
13.
d
43.
d
14.
b
44.
c
15.
b
45.
c
16.
c
46.
b
17.
b
47.
e
18.
b
48.
c
19.
d
49.
b
20.
a
50.
e
21.
d
51.
c
22.
d
52.
a
23.
a
53.
a
24.
c
54.
c
25.
d
55.
b
26.
c
56.
a
27.
e
57.
b
28.
d
58.
e
29.
c
59.
b
30.
b
60.
e
10 9
TRILCE
Capítulo
IDENTIDADES TRIGONOM TRICAS DE LA VARIABLE TRIPLE
1 Sen 3 x
Tangente de 3x
C oseno de 3x
Seno de 3x
3 Senx 4 Sen 3 x
4 C os3x 3 C osx
Tan 3 x
C osx (2C os2x 1)
Tan 3 x
C os3 x
3 Tanx
Tan 3 x 2
1 3 Tan x
F Ó R M UL A S E S P E C I A L E S :
Sen 3 x
Senx(2C os2x 1)
C os3 x
2C os2 x 1 Tanx 2C os2x 1
DEGRADACIONES: 3
4 Sen x
3 Senx Sen 3 x
3
4 C os x
3C osx C os3 x
PROPIEDADES :
Senx Sen (60 º x)Sen (60 º x)
1 Sen 3 x 4
C osx C os(60 º x)C os(60 º x )
1 C os3 x 4
Tanx Tan (60 º x)Tan (60 º x ) Tan 3 x
Tanx + Tan(60 º+ x) + Tan(120º+ x) = 3Tan3x
11 1
Trigonometría
EJERCICIOS PROPUESTOS 01.Señala el equivalente d e la expresión:
09 . Sim plificar:
Sen 3 x Sen 3 x 3
C os3 C os3 C os
3
C os x C os x a) Tgx d) C tgx
b) Secx e) N .A .
c) C scx
02 . Sim plificar: E = (Tg2A+ TgA)(C os3A+ C osA )C sc3A a) 1 d) 4
b) 2 e) N .A .
a) C os d) 3
3 Sen Sen 3 Sen
b) Sen e) 0
c) 1
10. D el gráfico m ostrad o, hallar: "x".
E
c) 3
x D
03 . La expresión que da C os3x en térm ino s de C osx es: 4C os3 x
4 C 3 B
4C osx3C os3 x
a) 3C osx+ c) 3C osx-4cos3 x e) 3C os3x-4C osx
b) d) 4C os3x-3C osx
A
04. E l valor de la expresión:
Sen 3 a Sena a) 5 d) 2
C os3 a
b) 4 e) 1
05. Si: T gx
a) 3,07 d) 32
es:
C osa
c) 3
b) 7
c) 17
d) 8
e) 2 7
11 . Sim plificar:
C os3 20 ºC os3 40 º C os20 ºC os40 º
1 . C alcular: Tg3x. 11 b) 0,27 e) 0,21
a) 4
c) 3,27
a) 3 d) 3/4
b) 4 e) 3/2
c) 4/3
12. R educir: 2C os6x . Sen3x + Sen3x
06. Sen2a = C os3a, 0< a<
a) S en6x d ) C o s9x
2
C alcular el valor de: Sena
b) 3S en6x e) 3C o s6x
c) S en9x
13. La siguiente igualdad es un a identidad: a)
d)
1 5 5 5 1 4
b)
5 1 4
c)
5 1 3
H allar: "K ".
b) 19/23 e) 2 2/27
c) 27/22
08. C alcular el valor de:
F a) 1 d) -1/2
C os3 2 KC osK C os
e) N .A .
07 . Si: SenA = 2/3, entonces Sen3A es: a) 1 d ) 2 1/2 9
Sen 3 Sen
a) 0 d) 4
c) 1/2
c) 2
3
3
14 . C alcular: Sen 18 º C os 36 º
a)
5 2
b)
d)
5 6
e)
(3 4 Sen 2 10 º )(1 2 Sen 2 40 º ) b) -1 e) 1/3
b) 1 e) 3
5 8
c)
5 4
5 4
15 . C alcular: C ot18 º(4C os18º-3S ec18º)
11 2
a) 1
b) 2
d) 4
e)
c) 3 5
TRILCE
16 . C alcular: Tan9º+ C ot9º-Tan27 º-C ot27º a) 2 d) 0
b) 4 e) 8
c) 6
3 2 6 4
9 12 5
e)
C ot
b)
2
1 2
6 4
c)
C 2
5 1 4
e)
2
IIC
2 ;
,
calcular :
C os85º(1+ 2Sen80º)
d)
10 7 12 5
24. Sabiendo que :
17 . C alcular:
a)
d)
a)
17 2 36
d)
23
2
36
b)
17
e)
7
Sen 3 Sec 2
c)
36
23 2 36
2 36
18 . Sim plificar: Tan3 (2C os2 -1)-(2C os2 + 1)Tan an a) Tan
b) C ot
d) Tan3
e) C ot3
c) 0
25. Siendo : Sen
C alcular : C
19 . C alcular: 3 C o s2 10 º.S ec2 50 º.S ec2 70 º a) 64 d) 192
b) 9/64 e) 64/9
a)
1 3
d)
1
c) 1/64
3
2 3
C os3 C os
b)
2 9
e)
2
c)
7 9
9
20 . C alcular:
2 9
Sec
8 C os2 2
26. Sabiendo que : C os
9
calcular : P a) 1 d) 5
b) 2 e) 6
C alcular : Sen 3
a)
7 9
b)
7
d)
23
e)
17 27
2 2 . S i: C os2 x
9
c)
23 27
Sen 3 C sc
a)
2 9
b)
4 9
d)
2
e)
4
9
c)
7 9
9
27. Señale el valor de "Senx", si : Sen2x = C os3x
a)
5 1 4
b)
5 1 4
c) 1
1 , 3
,
3 2
c) 3
21. Siendo : C ot 2 2 ; " " agud o. .
27
1
d) a y c son respu estas. e) a, b y c son respu estas.
hallar : C os6x
28. R educir :
22 a) 27 17 d) 27
23 b) 27 e)
c)
22 27
23 27
A
a) C osx d ) 4 C o s2 x
Sen 3 x Senx
b) Sen2x e) 2
C os3 x C osx
c) Sen4x
23 . H allar : Sen 1 11º
a)
8 12 5
b)
10 8 12 5
c)
11 7 12 5
11 3
Trigonometría
29. Siendo : Sen calcular : L
a)
11 3
d) 2
36. Sim plificar :
1 , 3
C
C os3 C os
b)
7 2
e)
5 9
c)
11 3
a) Tanx
b) Tanx
d) C otx
e)
3
Sen 3 x Sen x
3
C os3 x C os x
a) S en3x C o sx c) Sen3x e) C ot3x
b) Tan3x d) C os3x Senx
5 T an 2 x 1
a) 2 d) 8
b) 4 e) 12
a)
6 13
b)
3 13
d)
3 13
e)
6 13
M
32. Si : Tan3x = 5Tanx, calcule : |Tan2x|
7
b)
14
d)
7 3
e)
5
c)
2 5
1 3 , Sen 10 º C os10 º
obtenem os : a) 1 d) 5
1 2
b) 17 12 2
c) 12 17 2
d) 12 17 2
e) 5
2
2
5 1 , 4
hallar el valor de M , si : M Sec15º Sec9º = Sen15º Sen9º
c)
3 b) 4 e)
x 0 ;
1 8 5
8
b)
4
d)
8 5
1
c) 3
34 . E lvalor de : E = C os80º C os20º C os40º es:
a) 2
a) 17 12 2
a) b) 2 e) 4
12 13
Tan 3x .C ot3 x ;
39. Si : Sen 18 º
33. A l calcular elvalor de :
F
c)
38 . C alcular elm áxim o valor de : c) 6
a)
1 , 3
calcular : L = Tan3x C otx
31 . Si : Sen3x = 0,25 Senx,
c) 4
1 8
E
1 4 5
e) 4
5
Sen 20 º
5 1 8
1
40. A l sim plificar la expresión : E = Sen6º Sen54º Sen66º O btenem os : a) Sen12º c) Sen18º
35. Sim plificar :
b) 2Sen6º d) 2S en12º
e) Sen18 º 4
1 3 Sen 20 º
a) 2Tan20º b) Tan40º d) Tan20º e) Sec20º
c) 2Tan40º
41. C alcular el valor aproxim ad o de la expresión : S = C sc27º Sec27º a) 3 5
11 4
c) C otx
37. Siendo :
C = (C os3x + 2C osx) Tanx
d)
Sen 3 x 2Senx C os3 x
Tan 2 x
30. R educir :
calcule : K
b) 3 5
TRILCE
c)
2 (3
47. Si: C os39º os39º = nC os13º os13º, ,
d) 5 5
5)
2
h alle : T an 13 º en térm érm ino s de "n" "n"
e) 3 5 2
a)
3n 1n
b)
2n 1n
d)
2n 1n
e)
1n 3n
42 . E lvalor de :
1 4 C os20 º
x
3
E s igual gu al a : a) C o t1 0 º d) Tan20º an20º
b ) Ta n1 n1 0 º e) 2Tan1 2Tan10º 0º
4 8 . S i: T an 3 x Tanx
c) C o t2 0º 0º
n 1 n 1
c)
3n 1n
,
h alle : Senx en térm érm ino s d e "n" "n" S en3 x
4 3 . C alcular elvalo r d e ,. ,. 2
S en 3 C os
a) 1
b ) 1
d) 2
e)
S en C os3S en 2 C os 2 (S enC os) c) 2
1 2
b ) (n 1)
d ) n 1
e) (n 1)
, p ara
h allar : L
S en 3 x Senx
C os3 x C osx osx
b
b
x
Senz
C os3 y C os3 z C osy osy
C osz osz
c) n + 6
5 0 . D el gráf gráfi ico, h allar la m edi ed id a d el ángu án gul lo " " z
y
4a 17 º 43 º
2 b) A rcC os 3
a) A rcC os 3 2
1 4 3 e) A rcC os 4 c) A rcC os
d) A rcC os
a
1 2
3
13º
a) 3 9 º d ) 51 º
45. C alcule: 3
S en 17 º C os 13 º S en17 º C os13 º
b ) 17º e) 4 8 º
3 b) 4
3 d) 2
1 e) 4
2
2
2 S ec 10 º S ec 50 º S ec 70 º es :
3 c) 8 12 8 3
b)
9 64
d ) 192
e)
64 9
a)
4 6 . S i: Sen3x C scx + C os3x os3x Secx Secx = K C osp osp . x, calcul cu lar :K + p
c) 3 6 º
51 . E lvalor de : 2
1 a) 2
b) 3 e) 8
Seny
a
a
a) 2 d) 6
2 n
S en 3 y S en 3 z n ,
b ) n 3 e) 2 n 6
a) n + 3 d ) n 6
c)
1
49. Sabiendo que :
4 4 . E n el trián gu lo d e la figur gu ra, h allar el án gul gu lo que qu e a sea sea dob d ob le de b .
M
1
a) n + 1
52
c)
1 64
El val valor de : G = C ot24º C ot57º C ot24º ot24º C ot33º
c) 4 a) 2 d) 1
b) 3 e) 1
c) 2
11 5
Trigonometría ría
5 3 . H allar el valo r d e la exp resió n :
T an 2 20 º T an 2 40 º T an 2 80 º
M a) 1 2 d ) 24
b) 9 e) 3 3
c) 2 1
b ) 3 e) 6
a) 3 d) 2
5 8 . D el gráf gráfi ico, h allar :
c) 2
x y
B
54 . E n elgráfico : S S
1
95 84 ,
2
cal ca lcul cu lar " " B 3
S2
A
D
a) A rcC os 6 7
b) A rcC os 8 9
9 10
e) A rcC os
D
x
45º 80º E
20º C y
2
S1
c) A rcC os
5º
A
d) A rcC os
C
10 11
a)
2 C sc5 º
b)
2 C sc10 º
c)
2 C sc5 º 2
d)
2 C sc10 º 2
e)
2 C sc5 º 4
5 9 . D el gráf gráfi ico, h allar : x
5 6
C
5 5 . D el gráfico, calcular : S en 3
E
m
2
C 2
2
A
D
n
4 D
2
3
x
B
A
a)
m 2
c)
n 2
e)
m 2
n
m
m
b)
n 2
m
d)
n 2
m
n m
F
a)
d)
3 4 2 3
b)
e)
3 8
c)
1 3
1 6
n
m
m m
n n
n n
5 6 . D esde u n p un to en tierr erra, se divisa lo alto d e un u n a to rre;
6 0 . D el gráf gráfi ico, h allar la lo n gitu d d e C D
con un ángul án gulo de elevación " ". S i no s acercam acercam o s
B
u n a d istan cia igu al a la altu ra d e la to rre, el án gul gu lo d e elevaci ev ació n es " 90 º2 ". C alcul cu lar el val va lo r d e :
L
16
C
S ec2 T an
24º 6º
a) 1 d) 4
b) 2 e) 6
c) 3
57 . C alcular : L = Tan130º Tan130º Tan10º Tan10º + Tan70º Tan70º Tan130º Tan130º Tan10º Tan70º
11 6
A a) 1 ,2 3 d ) 3 ,2 3
E b ) 2 ,2 3 e) 2 ,3 2
c) 1 ,3 6
3 6º
D
TRILCE
Claves l ave ves s 0 1.
a
31. 3 1.
c
0 2.
b
32. 3 2.
d
0 3.
d
33. 3 3.
e
0 4.
d
34. 3 4.
e
0 5.
b
35. 3 5.
b
0 6.
b
36. 3 6.
b
0 7.
e
37. 3 7.
d
0 8.
c
38. 3 8.
a
0 9.
d
39. 3 9.
a
1 0.
d
4 0.
e
1 1.
d
4 1.
c
1 2.
c
4 2.
c
1 3.
c
4 3.
c
1 4.
c
4 4.
e
1 5.
b
4 5.
b
1 6.
b
4 6.
d
1 7.
d
4 7.
e
1 8.
c
4 8.
b
1 9.
a
4 9.
d
20. 2 0.
e
50. 5 0.
a
21. 2 1.
c
51. 5 1.
a
22. 2 2.
e
52. 5 2.
c
23. 2 3.
c
53. 5 3.
e
24. 2 4.
d
54. 5 4.
a
25. 2 5.
c
55. 5 5.
a
26. 2 6.
c
56. 5 6.
a
27. 2 7.
a
57. 5 7.
a
28. 2 8.
e
58. 5 8.
e
29. 2 9.
e
59. 5 9.
c
30. 3 0.
c
6 0.
a
11 7
