T rigonometría rigonometría
18
Identidades Trigonométricas I
Son aquellas igualdades entre las razones razones trigonométricas de una cierta variable, las cuales se verifican para todo valor admitido por la variable.
Motivación
MIGUEL GARAY GARAYCOCHEA COCHEA �1815 � 1861�
Ejemplo: Csc Cscq =
1 Senq
Es una identidad trigonométrica, porque se verifica la igualdad para todo valor de “” diferente a 180ºn: (0º, 180º, 360º, ......)
Probamos para: = 30º, 53º y 270º
•
Csc30º =
1 Sen30º
⇒ 2=
1 1
∴ 2= 2
2
•
Csc53º =
1 Sen53º
⇒
5 4
=
1 4
∴
5
1
∴ −1 = − 1
4
=
5
Poeta y matemático Arequipeño. Se inició en el Colegio San Francisco, luego pasó al seminario San Jerónimo y finalmente a la Universidad de San Agustín. A los 23 años se graduó como doctor en Jurisprudencia. Fué profesor de Derecho, Filosofía y Matemáticas. Fue Director del Colegio Nacional San Juan de Trujillo. Antes de abandonar su ciudad natal expuso en la universidad el problema de la trisección del ángulo. En 1849 pasó a ser juez de Chachapoyas y vocal Superior de Cajamarca. Su obra póstumamante publicada, incluye: Cálculo Binomial en dos tomos, cuyo mérito dilucidó nada menos de Federico Villarreal en el prólogo. Asi mismo realizó demostraciones analíticas sobre Geometría Elemental, Geometría Analítica Indeterminada, e hizo una nueva exposición de la Trigonometría Plana. Para muchos es el Lagrange americano.
4
5
•
Csc270º =
1 Sen 270º
⇒ −1 =
−1
Así podemos seguir dándole valores a “” y siempre siempre se va a verificar la igualdad pero no para: 0º, 180º, 360º, ......
Miguel Garaycochea
113
3ro Secundaria Ahora estudiaremos:
a) Identidades Recíproca En el OPH:
Identidades Recíprocas Senq ⋅ Cscq = 1 ; ∀q ≠ nπ , n ∈ Cosq ⋅ Secq = 1 ; ∀q ≠ (2n + 1) Tgq ⋅ Ctgq = 1 ; ∀q ≠ n
π 2
π 2
⇒ Cscq = , n∈
, n∈
⇒ Secq = ⇒ Ctgq =
Senq Cosq Cosq
Ctgq =
Senq
Senq 1 Cosq 1
• Secq =
OP
Tgq
Tgq =
• Ctgq =
; ∀q ≠ (2n + 1)
π 2
; n∈
PH
⇒ Secq =
OH
1 Senq 1 Cosq
⇒ Senq ⋅ Cscq = 1
⇒ Cosq ⋅ Secq = 1
PH OH
⇒ Tgq.Ctgq =
OH
PH OH ⇒ Tgq ⋅ Ctgq = 1 . OH PH
PH
En el
; ∀q ≠ nπ ; n ∈
OPH: PH
•
Tgq =
•
Ctgq =
OH OH HP
Senq
⇒
Tgq =
⇒
Ctgq =
Cosq Cosq Senq
Los ejercicios en este capítulo son de tipo demostración, simplificación. Para resolverlos se requiere un manejo eficiente de las identidades ya mencionadas.
P 1 O
⇒ Cscq =
b) Identidad por Cociente
Para obtener dichas identidades, estimado alumno, hacemos uso de la circunferencia trigonométrica que ya estudiamos.
A’’ A
OP
1
Identidades de División Tgq =
• Cscq =
H
En una identidad trigonométrica la variable angular es la misma para todas las razones trigonométricas. IDENTIDAD En matemática se define una identidad como una igualdad que verifica para todo valor admitido de variable real.
Ejemplos: • •
Sen20º × Csc20º = 1 Tg3x Tg3 x × Ctg3x = 1
•
Ctg18º =
Cos18º Sen18º
Ejemplo: (x – 3) (x + 3) = x2 – 9 ; x
En esta identidad, al sustituir x por un número real cualquiera, se obtiene en ambos miembros de la igualdad un mismo valor real.
APLICACIONES 1. Demuestra que: SenCtgSec= 1 En este caso, desarrollaremos el primero miembro.
Ejemplo:
Senq x2 − 4 x−2
= x + 2 ; x ∈ − { 2}
⋅
Cosq Senq
⋅
1 Cosq
=1
⇒ 1 = 1 2. Demostrar que: Tg2q ⋅CtgqCos= Sen
En esta igualdad, la identidad sólo se verifica para todos los valores reales de x, menos el valor 2. 114
Senq=Senq
T rigonometría
1
El equivalente de la expresión:
3
Secq ⋅ Ctgq Cscq
Simplificar: M = Tgx . Cosx + Sen 2x . Cscx
P=
Resolución: Resolución:
Rpta:
2
Rpta:
La expresión:
4 E=
1 + Senx Cosx
Simplificar: P = Sen3θ. Csc2θ+ Cos2θ. Tgθ
− Tgx
Resolución:
es igual a: Resolución:
Rpta:
Rpta:
115
3ro Secundaria
Si la expresión es una identidad:
5
1 − Cosx Senx
6
Simplificar: E=
= A − Ctgx
Senq + Cosq Cscq + Secq
Resolución: Dar el valor de “A” Resolución:
Rpta:
Rpta:
10. Simplificar:
7. Simplificar: E=
1 + Tgq 1 + Ctgq
8. Simplificar:
E = Ctgθ. Sen2θ+ Tgθ. Cos2θ
11. Simplificar:
M = (Sec x – 1)Ctg x – Csc x
9.
Simplificar
=
1 + Tgx Cscx + Secx
12. Simplificar:
E=
116
K
Sen2q ⋅ Ctgq Cos2q ⋅ Tgq
M = (Cscx + 1)Tgx – Secx
T rigonometría
1.
7.
Simplificar: E=
1 + tgx
a) Cosx d) Tgx 2.
Secx
Simplificar: P = Cos3q Sec2q + Senq . Ctgq
− Senx
b) Senx
c) Secx e) Cscx
a) 2Sen d) 2Cos 8.
b) 2Tg
c) 2 e) 2Sec
El equivalente de la expresión:
Simplificar:
E = Sen2. Csc + Cos2. Sec E=
a) 2Cosx d) Secx
Senx Tgx
+
1
a) 2Sen d) 2Cos
Secx
b) 3Cosx
c) 4Cosx e) Ctgx
9.
b) SenCos
c) 2 e) Sen+Cos
La expresión: H = Tgθ. Ctg2θ. Senθ
3.
El equivalente de la expresión:
es igual a: a) 1 d) Cscθ
Cscq ⋅ Tgq K= Secq a) 1 d) Secθ 4.
b) Senθ
K
a) Secx d) Cscx
1 − Cosx Senx
a) 2Senx d) 2Cosx
+ Ctgx
b) Tgx
c) 1 e) Ctgx
c) Sec 2 e) Tg θ
10. Simplificar:
La expresión: P=
5.
c) Cosθ 2 e) Tg θ
b) Cosθ
= Ctgx +
Cscx Secx
b) 2Tgx
c) 0 e) 2Ctgx
11. Reducir:
Simplificar:
P=
Cosx Ctgx
+
1 Cscx
E = Ctg x . Sen x + Cos x
a) 2 Senx d) 2 Cosx 6.
b) Tgx
c) Secx e) Ctg x
b) 2Senx
c) Senx e) 2Cosx
12. Simplificar:
Simplificar: E=
a) Sen x d) Cos x
a) 1 d) 2
1 + Ctgx Cscx
E=
− Cosx
b) –Sen x
c) 0 e) –Cos x
a) Sen d) Sec
1 − Ctgq Secq − Cscq
b) Cos
c) Tg e) Csc
117
3ro Secundaria
19
Identidades Trigonométricas II
Es una igualdad en la que intervienen razones trigonométricas de una misma variable angular y que se verifica para todo valor permitido de dicha variable.
Para obtener dichas identidades, estimado alumno, hacemos uso de la circunferencia trigonométrica, ya que estudiamos:
Estudiaremos ahora las identidades pitagóricas:
P 1
Sen
2
q + Cos2q = 1 ; ∀q ∈
2 2 Sec q – Tg q = 1
Csc
2
q – Ctg2q = 1
A’
π
;
∀q ≠ (2n + 1)
;
∀q ≠ nπ ; n ∈
2
O
H
; n∈
De estas identidades se van a obtener otras formas equivalentes mediante la manipulación algebráica.
En el
OPH : Por el teorema de Pitágoras.
OP2 =PH2 + OH2 ⇒ 12 = Sen2q + Cos2q
∴ Sen2q + Cos2q = 1 2
.......(I)
2
Sen q = 1 − Cos q 2
Si dividimos (I) entre Sen 2q, tenemos:
2
Sen q + Cos q = 1 Cos2q = 1 − Sen 2q
Sen2q
+
Sec2q = 1 + Tg 2q Sec2q − Tg 2q = 1
2
=
1
q Sen q Sen2q ⇒ 1 + Ctg2 q= Csc2q
Sen
2
Cos2q
∴ Csc2q − Ctg2q = 1
Tg2q = Sec2q − 1
Si dividimos (I) entre Cos 2q, tenemos: Sen2q Cos2q Csc2q = 1 + Ctg2q 2
2
+
Cos2q C os2q
118
1 C os2q
⇒ 1 + Tg2q = Csc2q
Csc q − Ctg q = 1 Ctg2q = Csc2q − 1
=
∴ Sec2q − Tg2q = 1
T rigonometría Motivación En una identidad trigonométrica la variable angular es la misma para todas las razones trigonométricas.
JEAN BAPTISTE FOÜRIER • • •
Sen210º + Cos210º = 1 Sec235º = 1 + Tg235º Csc24x – Ctg24x = 1
�1768 � 1730�
APLICACIÓN 1. Demostrar que: Tg2(1 – Sen2) = Sen2 En este caso desarrollaremos el primer miembro, para obtener un resultado igual al otro miembro. 2 Tg2q(1 q) = Sen2q −Sen
Nació en Auxerre. Intentó seguir una carrera militar que se vió frustrado por no pertenecer a la nobleza. Ingresó a la obadía de la orden Benedictina que abandonó antes de ser sacerdote. Se dedicó al estudio de las matemáticas, contribuyendo con métodos para resolver ecuaciones diferenciales de cualquier grado, lo cual utilizó en el estudio de la propagación del calor en cuerpos sólidos.
Tg2q ⋅ Cos2q = Sen2q
El nombre de Foürier suele relacionarse con el estudio de las funciones periódicas por él desarrolladas. Este campo de trabajo es conocido con el nombre de Análisis Armónico; otros estudios lo ubicaron en la investigación meteorológica y en los estudios precursores de la estadística matemática.
2
Senq Cos2q = Sen2q Cosq Sen2q Cos2q
.Cos2 q
= Sen2q
⇒ Sen2q= Sen2q 2. Reducir: E = (Tgq.Cosq)2 + (Ctgq.Senq)2 Para reducir esta espresión, se recomienda colocar en términos de senos y cosenos; así: E = (Tgq. Cosq)2 + (Ctgq. Senq)2 2
Senq Cosq ⋅ Cosq + ⋅ Senq E= Cosq Senq
2
E = Sen2q + Cos2q
∴E = 1
Jean Baptiste Foürier
119
3ro Secundaria
1
Simplificar:
3
Simplificar:
Sen3q 1 − Cos2q Cscq
P = (1 + Cosx)2 + Sen2x – 2
P=
Resolución: Resolución:
Rpta:
2
Rpta:
Simplificar:
4
El equivalente de la expresión:
E = (Senx + Cosx)2 – 2Senx Cosx Resolución:
Rpta:
120
E = (1 + Senx) (1 – Senx) Resolución:
Rpta:
T rigonometría 5
El equivalente de la expresión:
6
Simplificar:
E = (Tgq . Cscq)2 – 1
K
=
Secq − Cosq Cscq − Senq
Resolución: Resolución:
Rpta:
7.
Rpta:
H
8.
10. Reducir la expresión:
Reducir la expresión:
=
1 1 + Senx
+
1 1 − Senx
Reducir la expresión: E = (1 – Sen4x) Sec2x
9.
H
Simplificar:
=
Senq − Sen3q Cosq − Cos3q
11. Simplificar: E = Secx – Secx . Sen2x
12. Reducir la expresión: E = (Cscx – Senx) Tgx
H = Sen3q. Cscq + Cos3q. Sec
121
3ro Secundaria
1.
Simplificar:
7.
El equivalente de la expresión:
E = Senq+ Cosq. Ctgq a) Senθ d) Secθ 2.
b) Cosθ
P = (Tgq + Ctgq) . Cosq c) Tgθ e) Cscq
Simplificar:
a) Senq d) Secq 8.
b) Cosq
P = (1 – Cos 2q) . Ctgq a) Senq d) Secq
c) Tgq e) Cscq 9.
3.
c) Tgq e) Cscq
Simplificar:
Cos3q P= 1 − Sen2q Tgq a) Senq d) Secq
b) Cosq
b) Cosq
c) Tgq e) SenqCosq
Simplificar:
Simplificar: E = (1 + Ctg2q) (1 – Cos2q) E = Tgx (Ctgx + Tgx) 2
2
a) Sen x 2 d) Sec x
b) Cos x
2
c) Tg x 2 e) Csc x
b) Sen2q
a) 1 d) 2
c) Csc2q e) Tg2q
10. El equivalente de la expresión: 4.
Simplificar: E = (Secx – 1) (Secx + 1) E = (Cscx – Senx)Senx 2
2
a) Sen x 2 d) Sec x 5.
b) Cos x
2
c) Tg x 2 e) Csc x
2
6.
b) Cos x
d) Ctg2x
2
c) Tg x 2 e) Csc x
b) 2Senq Cosq c) 0
a) 1
e) Secq Cscq
d) 2
E = Cscx – Cscx . Cos 2x
E = (Sec q– Cosq) Ctgq
122
e) Sec2x
12. Simplificar:
Simplificar:
a) Senθ d) Secθ
c) Tg2x
H = (Senq + Cosq)2 + (Senq – Cosq)2
E = (1 – Cosx) (1 + Cosx) 2
b) Cos2x
11. Simplificar:
El equivalente de la expresión:
a) Sen x 2 d) Sec x
a) Sen2x
b) Cosθ
c) Tgθ e) Cscθ
a) Senx d) Secx
b) Cosx
c) Tgx e) Cscx
T rigonometría
20
Identidades Auxiliares → Adaptamos a la expresión “E” y simplificamos:
SIMPLIFICACIONES En este tipo de aplicaciones se buscará reducir al máximo la expresión con la ayuda de las identidades fundamentales (ya estudiadas).
E=
( Senq + Cosq )(Senq − Cosq)
También podremos considerar en el desarrollo de los problemas a las identidades algebráicas, como por ejemplo:
( Senq + Cosq )
+ Cosq
→ E = Senq – Cosq + Cosq (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
∴ E = Senq
a2 – b2 = (a + b) (a – b) (a + b)2 + (a – b) 2 = 2(a2 + b2)
2. Simplificar: De las identidades fundamentales se podrán deducir otras, así: M=
Cos2x 1 − Sen2x
+1
Sen2q + Cos2q = 1
→ Observación: Cos2x = 1 – Sen2x ⇒ Senq = 1 – Cos2q ⇒ Cos2q = 1 – Sen2q
→ Reemplazamos en el denominador:
APLICACIÓN M =
1. Simplificar:
E=
Sen2q − Cos2q Senq + Cosq
+ Cosq
→ Recordar: a2 – b2 = (a + b) (a – b)
Cos2x Cos2x
+1
→M=1+1 ∴M = 2
123
3ro Secundaria IDENTIDADES AUXILIARES
Demostrar: Sen6x + Cos6x = 1 – 3Sen2x Cos2x
1. tg x + Ctg x = Sec x Csc x
Sen2x + Cos2x = 1
2. Sec2x + Csc2x = Sec2x + Csc2x
(Sen2x + Cos2x)3 = (1)3
3. Sen4x + Cos4x = 1 – 2Sen2x Cos2x
Sen6x + 3Sen4x Cos2x + 3Sen2x Cos4x + Cos6x = 1
4. Sen6x + Cos6x = 1 – 3 Sen2x Cos2x Ordenando y factorizando Demostrar: 2 2 x x) =1 + Cos Sen6x + Cos6x + 3Sen2x Cos2x (sen
Tg x + Ctg x = Se cx Csc x
1
Sabemos:
sen6 x + Cos6 x = 1 − 3Sen2 x Cos2 x
Tgx
=
Senx Cosx
Senx
Tgx + Ctgx =
Tgx + Ctgx =
Ctgx =
y
Cosx
+
Cosx Senx
Cosx Senx
CARL. F. GAUSS
Sen2 x + Cos2 x
�1777 � 1855�
Cosx Senx
Sabemos: Sen2x + Cos2x = 1
Tgx + Ctgx =
Nació en la ciudad Alemana de Brunswick. Es considerado el más grande matemático del siglo XIX. A pesar de su preeminencia se procupaba de cosas simples como la claridad en la expresión. Se le recuerda en Trigonometría sobre todo cuando expresó que “La notación Sen2 es verdaderamente detestable” puesto que ello puede interpretarse como Sen (Sen). Como bien se sabe el uso convencional de Sen2 , significa(Sen)2.
1 Cosx Senx
Sabemos: 1 Cosx
= Secx ∧
Motivación
1 Senx
= Cscx
Es te científico trabajó con W. Weber, desarrollando juntos la teoría matemática del magnetismo.
∴ Tgx + Ctgx = Secx Cscx
Demostrar: Sen4x + Cos4x = 1 – 2 Sen2x Cos2x Sabemos: Sen2x + Cos2x = 1 (Sen2x + Cos2x) = (1)2 Sen4x + 2Sen2x Cos2x + Cos4x = 1 Sen x + Cos x = 1 − 2Sen x Cos x 4
124
4
2
2
Carl F. Gauss
T rigonometría
1
Simplifique:
Reducir:
3
D = (Tgx + Ctgx) Senx
E = (Sen2x – Cos2x)2 + 4Sen2x Cos2x
Resolución:
Resolución:
Rpta:
2
Rpta:
Reducir:
4
Si: Sec2x + Csc2x = 2 Calcule:
A = (Tgx + Ctgx) Cosx Resolución:
Rpta:
M = Sec2x Csc2x – 1 Resolución:
Rpta:
125
3ro Secundaria
5
Si: Sen2x Cos2x = 1/36
6
Reducir:
Calcule:
A = Sen6x + Cos6x + 3Sen2x Cos2x M = Sen4x + Cos4x Resolución:
Resolución:
Rpta:
7.
Rpta:
Simplifique:
10. Simplifique:
B = Sen4x + Cos4x + 2Sen2x Cos2x M
8.
Simplifique:
9.
=
Sec2 x + Csc2 x (Tgx + Ctgx)2
11. Si: Tgx + Ctgx = 2
M
=
Calcule: M = Secx Cscx – 2
Sen4 x + Cos4 x − Sen2 x Cos2 x Sen6 x + Cos6 x
12. Si:
Reduce: E=
Sec2q + Csc2q = 8
Tgx + Ctgx Secx
Calcule: M = Sec2q Csc2q − 5
126
T rigonometría
1.
Simplifique: A
7.
=
Secx Cscx
a) 2Senx Cosx c) –Secx Cscx d) Secx Cscx
+
Cscx
Si: Tgx + Ctgx = 2 Calcule: M = Sen6x + Cos6x
Secx
a) 1/4 c) 3/4 d) 1
b) Cscx
b) 1/2 e) 2
e) Secx 8. Simplifique:
2.
Reduce:
E = Sen6q + Cos6 q + 3Sen2q Cos2q
B = (Tgx + Ctgx) Sec–1x a) Cscx b) Senx c) Cosx d) Secx e) Tgx 3.
a) 1 c) –1 e) 2Sen2q Cos2q
b) 0 d) Sen2q Cos2q
Simplifique: 9.
Simplifque:
C = (Sec x + Csc x) Cos x 2
2
2
E = (Sec2x + Csc2x)(Sec2x)–1
2
a) Sen x 2 c) Sec x 2 d) Csc x 4.
2
b) Cos x e) Tg x
Simplifique: D = Sen4x + Cos4x + 2Sen2x Cos2x a) 1 c) 2 2 2 d) Sen x Cos x
5.
A
2
e) Sec x
2 2 = 3 ( Sen6q + Cos6q ) + 9Sen q Cos q
a) 1 c) 3 d) 0
e) –1
Si: Sen2x Cos2x = 1/9 Calcule: M = Sen4x + Cos4x
b) 2 e) Sen2q Cos2q
11. Si: Senx Cosx = 2
6.
b) Csc x
10. Simplifique:
b) 0
a) 2/81 c) 5/9 d) 3/7
2
a) Cscx 2 c) Sen x 2 d) Cos x
2
Calcule:
b) 7/9
M = Tgx + Ctgx
a) 1/3 c) 1/2 d) 1/4
e) 1/9
b) 4 e) 1/9
Simplifique: E = 2 ( Sen
a) 1 c) 3 d) –1
4
q + Cos q ) + 4Sen q Cos q 2
4
b) 2 e) –2
2
12. Si: Sen 2x Cos2x = 2/5
Calcule: M = Sen4x + Cos4x
a) 1/3 c) 1/2 d) 1/10
b) 1/5 e) 1/4 127
3ro Secundaria
21
Identidades Trigonométricas delasumaydiferenciadedosarcos
INTRODUCCIÓN Este capítulo constituye la generalización de las identidades trigonométricas y esto se da porque a partir de aquí encontraremos relacionadas entre las identidades que efectúen entre sí operaciones algebraicas de adición o sustracción.
Ahora tomemos un arco igual a (α - β) en el primer cuadrante con una cuerda «d» : y
R(Cos(α-β); Sen(α-β)) α-β d
En este capítulo compararemos que las identidades trigonométricas no son algebraicas como por ejemplo: Sen (x+y) = Senx + Seny, de este modo el resultado del operador (Sen) y el número (x+y), no es una operación algebraica de simple multiplicación, sino una operación de tipo trascendente. Tomemos dos puntos cualesquiera P(cosb; Senb) y Q(Cosa; Sena) que están en una circunferencia trigonométrica. Pβ
y
A
x (1; 0)
de los gráficos QP = AR = d
⇒ d = (1- Cos(α - β))2 + (0 - Sen(α - β ))2 ⇒ d = 2 - 2Cos(α - β) …(b)
x α Q
Luego de:
* Entonces calculando la distancia PQ :
⇒ PQ = (Cosα - Cosβ )2 + (Senα - Senβ )2 ⇒ PQ=
(a) = (b) tenemos : ⇒ 2-2Cos(α - β) = 2-2(CosαCosβ+SenαSenβ)
∴ Cos (α-β) = Cosα Cosβ + Senα Senβ ..... (1)
2- 2Cosα Cosβ - 2Senα Senβ …(a)
* Sustituyendo β por -β P = (Cosβ; Senβ)
⇒ Cos(α-(-β)) = Cosα Cos (-β) + Sena Sen (- β)
Q = (Cosα; Senα) QP = α − β
128
∴ Cos(α + β) = Cosα Cosβ - Senα Senβ ..... (2)
T rigonometría *
Se sabe que :
π Sen (α+β) = Cos − (α + β) 2 π − β − α 2
Motivación
CLAUDIO PTOLOMEO �100 � 168�
⇒ Sen(α+β) = Cos
π − β Cosα + Sen − β Senα 2 2
⇒ Sen(α+β)= Cos
π
∴ Sen(α + β) = Senα Cosβ + Cosα Senβ ..... (3) π ∗ Cos − β = Senβ 2 π ∗ Sen − β = Cosβ 2
Astrónomo griego, realizó sus más importantes trabajos a mediados del siglo II, haciendo progresar a la Trigonometría enriqueciéndola con nuevas fórmulas, jamás conocidas por Hiparco. Los trabajos de Ptolomeo están contenidos en su obra Composición, llamada Gran Composición por los griegos. Al Magisti por los traductores árabes y Almagesto por los latinos. En esta obra figuran fórmulas que, si bien no hacen referencia a senos ni a cosenos , si no únicamente a cuerdas, son miradas como equivalentes a:
* Sustituyendo β por -β ⇒ Sen (α+(-β)) = SenαCos(-β)+CosαSen(-β)
∴ Sen(α − β) = Senα Cosβ - Cosα Senβ ..... (4) En conclusión: I.
Sen2a+Cos2a=1 Sen (a-b)=Sena.Cosb-Senb.Cosa
Sen2
a 2
=
1 − Cosa 2
Para la suma de Arcos: Sen(α + β) = Senα ⋅ Senβ − Cosα ⋅ Cosβ Cos(α + β) = Cosα ⋅ Cosβ + Senα ⋅ Senβ
Es autor de la Teoría Geocéntrica que mantuvo su vigencia durante 14 siglos. Aplica la Geometría y Trigonometría a la Astronomía, logrando un gran
II. Para la diferencia de Arcos: Sen(α − β) = Senα ⋅ Cosβ − Cosα ⋅ Senβ Cos(α − β) = Cosα ⋅ Cosβ + Senα ⋅ Senβ
129
3ro Secundaria
1
Determinar el valor de:
L
=
3
Sen(α + q) − Senα ⋅ Cosq
Calcular el valor de: “Cos 7°” Resolución:
Cosα ⋅ Cosq
Resolución:
Rpta:
2
Calcular el valor de: “Cos 67°”
Rpta:
4
Determinar el valor de:
Resolución:
E=Cos25°.Cos35°–Sen35°.Sen25° Resolución:
Rpta:
130
Rpta:
T rigonometría 5
Determinar el valor de: M=
Cos(α − β) Senα ⋅ Cosβ
6
− Ctgβ
P=Cos20°.Cos17°–Sen17° Sen20°
Resolución:
Rpta:
7.
Calcular el valor de:
Resolución:
Rpta:
Determinar el valor de:
10. Determinar el valor de: P=
N=Cos(x-30°)–Cos(x+30°)
8.
Calcular el valor de: E=
Cos20° ⋅ Cos10° − Sen20° ⋅ Sen10°
Sen(y − x) Cosy ⋅ Cosx
+ Tgx
11. Si: Senx ⋅ Cosy =
Sen25° ⋅ Cos5° + Sen5° ⋅ Cos25° Seny ⋅ Cosx =
1 3 1 2
Hallar: E = 6Cos(x + y) 9.
Calcular el valor de: E=(Cos50°+Cos20°)2+(Sen50°+Sen20°)2
12. Si: Sen x = 5/13 ∧ Tg y = 3/4 Calcular: Sen(x + y)
131
3ro Secundaria
1.
Calcular el valor de:
7.
Calcular el valor de:
E=Sen30°.Cos7°+Sen7°.Cos30° a) Sen23° d) Sen7° 2.
b) Cos7°
M=
c) Sen37° e) Cos37°
Calcular un valor agudo de “x”, si:
a) Cosx d) Seny 8.
Cosx.Cos10°–Sen10°.Senx=Cos80° a) 60° d) 90° 3.
b) 50°
b) Cosy
c) Senx e) –Senx
=
Sen60° ⋅ Cos30° − Sen30°⋅ Cos60° Sen15°⋅ Cos75° + Sen75°⋅ Cos15°
a) 2 d) 1/2
b) 0
c) 1/3 e) 1
Determinar el valor de: M=Cos72°.Cos12°+Sen12° Sen72° a) 1/2 d) –2
4.
Cosy
Calcular el valor de: M
c) 70° e) 100°
Cos(x + y) + Senx ⋅ Seny
b) 2
c) 1 e) –1/2
Calcular el valor de: “Sen 16°” a) 7/25 d) 24/7
b) 24/25
c) 7/24 e) 25/24
10. Calcular el valor de:
Determinar el valor de: P=
9.
Sen3xCos4x + Sen4x ⋅ Cos3x
E = Sen19° . Cos18° + Sen18° . Cos19°
Sen5xCos2x + Sen2x ⋅ Cos5x
a) Cos7x d) Senx
b) Sen7x
c) 1 e) Cos3x
a) 4/5 d) 4/3
b) 3/5
c) 3/4 e) 5/4
11. Determinar el valor de: 5.
Calcular el valor de: E = Sen42°.Cos5°-Sen5°.Cos42° a) Cos37° d) Cos47°
6.
c) Sen37° e) Sen38°
Determinar el valor de: E=
a) Senx d) –Cosx
132
b) Sen47°
J=
Sen5x ⋅ Cos3x − Sen3x ⋅ Cos5x Cos4x ⋅ Cos2x + Sen4x ⋅ Sen2x
a) Tgx d) Tg4x
b) Tg5x
c) Tg2x e) 1
12. Calcular un valor agudo de “x”; si:
Senx ⋅ Cosy − Sen(x + y) Seny
b) Cosy
Cos5x . Cos3x + Sen3x . Sen5x = Cos60° c) –Seny e) –Senx
a) 60° d) 30°
b) 20°
c) 40° e) 50°
