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Teorema de los tres momentos Análisis en vigas continuas A través de este trabajo de investigación para fines expositivos, se resumirá con algunos ejemplos básicos, la resolución de problemas de ingeniería, con la técnica matemática y el contenido teórico que respalda el desarrollo operativo del método de los tres momentos para vigas , que no pueden ser analizadas en otros métodos, por su comportamiento hiperestático.
Área de Ingeniería Resistencia de Materiales II Prof. Aris Ricart
Sustentantes: Miguel Bueno Jairon Francisco Alexander Vallejo
98-1338 07-0034 07-0913
Estudiantes de Ingeniería Mecánica
e20070083 Intec intec
Introducción
El problema de las vigas continuas | Método de los Tres Momentos | INTEC | Resistencia II | Grupo V
En la ingeniería se presentan problemas relacionados con el cálculo, o la simplificación del mismo con respecto a los momentos flectores en una viga de estudio. Con la aplicación de una fórmula que relaciona los datos de la situación del problema, directamente (con una ecuación matemática), se puede determinar a renglón seguido el comportamiento de la viga. El problema que enfrentan los ingenieros en el cálculo de vigas que tienen más de dos apoyos, reside en la indeterminación de las variables en superioridad de las ecuaciones aportadas por la Estática y la Resistencia de Materiales. Que es el caso particular que se explicará en relación con el método de los tres momentos y las vigas continuas. A través de este trabajo de investigación para fines expositivos, se resumirá con algunos ejemplos básicos, la resolución de problemas de ingeniería, con la técnica matemática y el contenido teórico que respalda el desarrollo operativo del método de los tres momentos para vigas , que no pueden ser analizadas en otros métodos, dada su indeterminación o su comportamiento hiperestático. De paso se resumirán los conceptos precedidos para el análisis compresivo del método. Se estará en contacto con la definición de las fases de una viga continua, los principios de hiperestaticidad, diagramas de fuerzas y flexiones y la propia deformación analizada en vigas continuas. Buscando significados a los datos recolectados para la formulación del trabajo, existe una relación entre la palabra flecha y deformación de una viga. Se explica este concepto, con tal de que no se confunda su significado, así como otros. Las gráficas que presentan a las vigas en sus condiciones de apoyo y sumisión a cargas, revelan que se necesitará previamente desarrollar bosquejos para indicar el flujo del momento, cortante y flexión sobre la viga. Estos esquemas gráficos proporcionarán datos valiosos en la operatividad del método. La utilización de vigas continuas en la ingeniería civil es muy frecuente, por ejemplo en puentes, pórticos, forjados, carriles de ferrocarril, tuberías, etc. Lo que no le resta importancia en su estudio. La viga continua nos dará pie a las definiciones más adelante, pero mientras, es justo que se comprenda que puede tratarse como una tipología particular de estructura reticulada de plano medio, capaz de soportar esfuerzos, principalmente de flexión y cuya característica mas importante es la de disminuir los momentos en relación con los que se producen en vigas similares de tramos simplemente apoyados. Eso justifica su uso, y en este caso, su estudio.
Conceptualización precedente (vigas continuas) El problema de las vigas continuas | Método de los Tres Momentos | INTEC | Resistencia II | Grupo V Siempre, antes de enfrentar el análisis de algún método es recomendable valerse de los significados de los términos que se usarán. En la tesis de la investigación, se encontró que el Método de los Tres Momentos, no es el único que da soluciones a los problemas de cálculo en vigas continuas. Sin embargo, el problema genérico parte de condición estática de la viga. Una viga continua puede definirse como una estructura hiperestática formada por varias piezas rectas alineadas, unidas entre si por nudos rígidos apoyados, determinándose vano, o tramo, al segmento comprendido entre dos apoyos sucesivos de la viga. Esta tipología es apreciable en la figura 1.
Recordando que una estructura hiperestática es aquella que necesita más elementos de los necesarios para mantenerse estable; la supresión de uno de ellos no conduce al colapso, pero modifica sus condiciones de funcionamiento estático. También llamada estructura estáticamente indeterminada. Y que estas condiciones se reflejan en el cálculo, puesto que la cantidad de variable supera la cantidad de ecuaciones proporcionadas para la solución de los estados de esfuerzos sobre ellas.
En el estudio de las vigas continuas sólo consideramos la acción de fuerzas verticales y de momentos, con lo que las reacciones en los apoyos también serán verticales. De actuar alguna fuerza horizontal, como, por ejemplo, de frenado en puentes de carretera o de ferrocarril, supondremos que uno de los apoyos es fijo y, por tanto, que soporta todas las acciones horizontales. Con esta disposición de los apoyos, los cambios térmicos uniformes a través del espesor de las piezas no producen ningún tipo de esfuerzo. Figura 1 Viga continua. Se observa que los nudos intermedios son rígidos, lo cual implica la continuidad de los giros y los momentos flectores a uno y otro lado de cada apoyo.
Como la viga sobre dos apoyos simples es un sistema isostático, en una viga de más de un tramo cada apoyo intermedio introduce un vinculo redundante y, en general, una viga continua sobre n apoyos, constituye un sistema n-2 veces hiperestático. Por tanto, en la resolución de una viga continua pueden tomarse como incógnitas hiperestáticas las reacciones de los apoyos intermedios. Como alternativa a diferentes métodos para resolver vigas continuas se eliminan los enlaces entre los diversos tramos y se eligen como incógnitas hiperestáticas los momentos flectores sobre los apoyos intermedios. Eso equivale a suprimir la continuidad de los tramos y considerar la viga como una sucesión de vigas biapoyadas isostáticas que interaccionan entre sí a través de momentos de extremidad de valor desconocido al momento del cálculo.
Ecuación de los tres momentos El problema de las vigas continuas | Método de los Tres Momentos | INTEC | Resistencia II | Grupo V En el diseño de elementos mecánicos se cuenta con piezas y elementos que se pueden analizar como vigas que tienen más de dos apoyos, entre estos se pueden mencionar las tuberías, algunas armaduras y algunos marcos. La determinación de las reacciones en los apoyos no se pueden establecer mediante la estática, por lo que se denominan hiperestáticos, como ya se mencionó, se recurre a la mecánica de materiales para su análisis. Buscando determinar la ecuación que se utilizará para el desarrollo del método, se toma en cuenta que se tiene una viga continua infinita con diferentes tipos de cargas en cada uno de los extremos y se toma de la misma, en el hipotético caso, dos tramos, los cuales tienen longitud L1 y L2, como se observa en la figura 2. Figura 2 Separación de dos tramos de una viga continua infinita y desarrollo de los diagramas de cortante DFV y DFM.
Separando por tramos la viga y haciendo la similitud estática de las cargas en las secciones de corte, construimos los diagramas de cortante y momento, señalando las áreas y centroides de las figuras compuestas en la siguiente forma: Al dividir la estructura por tramos, es decir, entre cada apoyo, un corte, se generan momentos compensados de signos contrarios. Los ángulos de giro son señalados con relación a la pendiente de la deformación, en la división de los tramos. Al realizar el corte sobre los extremos infinitos, se generan momentos que también son señalados sobre ambos tramos. En estas establecer:
razones
Si se toma por separado cada uno de estos tramos y se observa que las cargas externas producen un diagrama de momentos pero tambien aparecen momentos hiperestáticos al separar cada tramode la viga. Los dos tramos tienen un punto común en el cuál se ubica el apoyo No. 2, y en cual se sabe que .
se
puede
El ángulo que se genera en este punto debe ser igual a cero. También se observa que cada uno de de los tramos es afectado por las cargas y los momentos. Tomando en consideración el teorema de area momentos, la contribución de las cargas externas del tramo 1 a es la siguiente:
Podemos expresar el ángulo
como una contribución de los momentos hiperestáticos
En el tramo dos, igualmente está expresado como sigue:
Igualando con la ecuación determinada antes donde
Donde: M1, M2, M3 L1, L2 A1, A2 a1 b2
, tenemos:
: Momento flectores en los apoyos 1, 2 y 3. : Longitudes de los tramos 1 y 2. : Área del diagrama de Momentos Flectores de las Cargas sobre los tramos 1 y 2. : Distancia del centro del diagrama de Momentos Flectores del tramo 1 al apoyo 1. : Distancia del centro del diagrama de Momentos Flectores del tramo 2 al apoyo 3.
Consideraciones del método Si se va a trabajar con más de dos tramos, deben escribirse una ecuación de Tres Momentos por cada par de tramos consecutivos.
Tramo 1-2: M1L1 + 2M2(L1 + L2) + M3L2 + (6A1a1)/L1 + (6A2b2)/L2 = 0 Tramo 2-3: M2L2 + 2M3(L2 + L3) + M4L3 + (6A2a2)/L2 + (6A3b3)/L3 = 0 Tramo 3-4: M3L3 + 2M4(L3 + L4) + M5L4 + (6A3a3)/L3 + (6A4b4)/L4 = 0 Si tenemos un apoyo simple, el momento en dicho extremo será igual a cero. Si tenemos un empotramiento, se puede construir una ecuación adicional de Tres Momentos, creando un tramo virtual en el que todos los valores sean iguales a cero. Si tenemos un voladizo, el momento en tal extremo seguirá valiendo cero.
El método por pasos
Separar la viga en tramos tomándolos de dos en dos. Superponer las cargas en cada tramo sin violar los principios de la estática. Calculando y ubicando las reacciones de los apoyos. Construir diagrama de cortante y momento flector, calculando y ubicando áreas y sus respectivos centroides. Aplicar la ecuación de los Tres Momentos en los tramos, de dos en dos. Obteniendo un sistema de ecuación de dos ecuaciones y dos incógnitas por cada tramo. Sustituir y resolver. Considerando las condiciones de borde, donde los momentos son cero. Con el valor de los momentos calculados, sustituir en las ecuaciones de fuerza, calculando las fuerzas en los tramos con los valores encontrados para obtener las reacciones reales de los apoyos. (Opcional) Construir el diagrama de momento y cortante total de la estructura (Opcional) Este método fue idealizado por: Benoit Paul Émile Clapeyron (26 de febrero, 1799 - 28 de enero, 1864) fue un ingeniero y físico francés, padre (entre otros) de la teoría termodinámica. Nacido en París, Clapeyron estudió en la École polytechnique y la École des Mines, antes de mudarse a San Petesburgo en 1820 para enseñar en la École des Travaux Publics. Tras la Revolución de 1830 volvió a París, donde supervisó la construcción de la primera vía de ferrocarril de Francia, que comunicaba París con Versalles y Saint-Germainen-Laye.
Ejercicios de Aplicación El problema de las vigas continuas | Método de los Tres Momentos | INTEC | Resistencia II | Grupo V
1) 10kN
Encuentre los momentos hiperestáticos en la estructura de supervisión de equilibrio para camiones que se muestra en la figura articulado en 1, y simplemente apoyado en 2, 3 y 4. Considere el peso de las columnas de contención de acero galvanizado como cargas puntuales en las distancias céntricas correspondientes. Asuma el peso del camión como carga distribuida de 4kN/m sobre la plataforma del puente entre el punto 2 y 3. 10kN
4kN/m
20kN
2m
4m 6m
6m
Construyendo el esquema de análisis del problema: 20KN
En el siguiente paso construimos el diagrama de cortante y momento, superponiendo las cargas y dividiendo la estructura en tramos. El primer tramo contiene la carga puntal de la primera columna de contención con su magnitud respectiva. El segundo tramo asume el peso del camión como carga distribuida entre el punto 2 y 3. El tercer tramo asume el peso de dos columnas en cargas puntualmente aplicadas y concluye con una articulación.
DIAGRAMAS DE ESFUERZO CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR DE LA ESTRUCTURA
Analizando el primer tramo de 1 a 2, se construye nuestra primera ecuación: 20KN
Analizando el segundo tramo de 2 a 3, se construye la segunda ecuación:
Con el valor de los momentos calculados, sustituimos en las ecuaciones de fuerza, calculando las fuerzas en los tramos con los valores encontrados para obtener las reacciones reales de los apoyos.
Construyendo el diagrama de momento total con las reacciones totales ya calculadas.
20KN
2)
En la siguiente viga vamos a analizar los momentos que se generan en los apoyos, mediante el método de los tres momentos.
3)
Determinar los momentos hiperestáticos que se generan en los apoyos, usar la ecuación de los tres momentos y realizar los diagramas correspondientes.
Conclusión El problema de las vigas continuas | Método de los Tres Momentos | INTEC | Resistencia II | Grupo V En la parte final de la investigación se alinean los aspectos generales del tema de vigas continuas y la oferta de solución que brinda el método matemático, para problemas de aplicación en ingeniería. Se resumirá brevemente en conclusiones puntuales los conocimientos concretos adquiridos, conjuntamente, al análisis del mismo con respecto a los sistemas de cálculo de momentos flectores, conocidos previamente. Comprendiendo el método, podríamos decir, que se trata de una ecuación que relaciona a las vigas y los momentos sobre los apoyos con un comportamiento matemático creciente, que a su vez no es limitado por la forma hiperestática de la estructura. Resulta beneficioso un método que nos proporcione soluciones en problemas de vigas indeterminadas, o continuas, como suele suceder en la ingeniería. Por lo regular en grandes estructuras del campo de estudio mecánico y la propia construcción civil, un método que exprese el comportamiento conteniendo a las cargas y los momentos, relacionándose al mismo tiempo con los diagramas que reflejan los esfuerzos de corte máximos , y los momentos flectores, le agrega fidelidad a los resultados. Eso es lo que difiere con respecto a los demás métodos. El teorema de los tres momentos, ajusta por tramos de ecuaciones conocidas a los esquemas de análisis que contienen la situación de la estructura de estudio. Cada paso es fidedigno y no requiere de cálculos avanzados de derivadas o integraciones múltiples. El comportamiento es creciente, una función relacionada a la expansión de una línea, donde por lo conocido en resistencia de materiales, el momento afectado sobre una viga guarda relación con su centroide, su área de sección y la distancia desde el punto de referencia. Es menester reconocer, que en el intento de presentar un ejercicio de aplicación donde se demostrase la utilidad de la ecuación de los tres momentos idealizada por Clapeyron, nos dirigimos al caso práctico de un puente, con ciertas condiciones de carga sobre la plataforma. El problema lejanamente puede ser considerado como complicado. Hemos querido presentarlo de esa forma, para darle la versatilidad al campo real de los problemas ingenieriles ligado a la continuidad y la indeterminación de las vigas de análisis. En comparación con otros métodos conocidos, para la resolución de cargas vigas determinadas, aunque no esté al mismo nivel de cálculo, el asunto indeterminado se corrige con una ecuación que no trasciende fronteras algebraicas. Las funciones están ordenadas en grados con respecto a los sistemas que dan solución no más de dos sustituciones. Eso, sencillamente es útil y aprovechable.
