OBRAS DEL MISMO AUTO R
TRATADO PRACTIC O DE ELECTROTECNI A Tomo 1
..
MAQUINAS ELECTRICA S
Volumen de 264 paginas . formato A5 (148 x 210 mm), con 23 0 figuras y 45 ejemplos totalmente resuelto s
En este tomo se aborda con gran amplitud la teoría de funcionamiento de las diversas máquinas eléctricas (dinamos, alternado res, motores de corriente continua y alterna, sinéronos, asíncronos , polifásicos y monofásicos, transformadores y autotransformadores, conmutatrices), exponiendo sus características fundamentales , así corto sus aplicaciones prácticas y la manera de ser acoplada s a las redes eléctricas .
TRATADO-
TEORIA Y CALCUL O DE LO S
BOBINADOS ELECTRICO S Volumen de 320 paginas, formato A5 (148 x 210 mm) con 206 figuras y 106 ejemplos totalmente resuelto s
Obra eminentemente práctica, constituye la mejor experiencia del autor, tanto en el taller corno en l,a enseñanza industrial . Permite resolver los variados problemas que se presentan en e l proyecto y ejecución de los bobinados, para lo que se desarroll a un estudio exacto, a la vez que práctico, de las leyes y reglas qu e constituyen el fundamento de los mismor . Realza la obra un gran número de eiemplos totalmente resueltos , así como abundantes esquemas completos y simplificados .
TOMO I
GENERALUDADE S 14 . a EDICION
.
TRATADO PRACTICO DE
ELECTROTECNI A PERITO INDUSTRIAL ELECTRICISTA Y PROFESOR DE ELECTRICIDA D
Tomo I - GENERALIDADE S 14 . a EDICIO N PO R
JESUS RAPP OCARI Z
ISBN - 84-7397-067-5 Depósito Legal : BI-550-1982
J. RAPP, editor Luis Briñas, 1 3 BILBAO 1989
PROLOGO DEL AUTO R
No se concibe, en los tiempos actuales, ningún aspecto de la vida corriente sin que, de una u otra forma, tenga aplicación la energía eléctrica . El prodigioso desarrollo alcanzado por la electricidad, hace que cada día sea más necesario el conocimiento de los fenómenos eléctricos r las lenes que los rigen. Especial interés tiene para los estudiantes de las Escuelas de Aprendices, Artes y Oficios, Elementales de Trabajo, Institutos Laborales, etc ., adquirir conceptos claros r concisos de esta parte de la ciencia, con el fin de poder aplicarlos prácticamen te a lo largo de su vida profesional. El presente tratado, fruto de varios años dedicados a la enseñanza de la Electrotecnia, ofrece un estudio completo de la materia . Dada la extensión de la misma, h a sido imprescindible dividirlo en dos volúmenes .
Es propiedad del autor . Queda hecho el depósit o que marca la ley .
En el primero se examinan los principios básicos de la electricidad, de los circuitos eléctricos de corriente continua v alterna, así como los campos eléctrico y magnético . De todos ellos se deducen las lenes correspondientes, así como las con secuencias prácticas aplicables a la técnica . Para ello se hace uso de las matemáticas más simples, por lo que con toda facilidad se puede seguir el desarrollo de los cálcu los. No obstante la sencillez del estudio, queda siempre asegurada su exactitud científica . Además se aprovecha este volumen para desarrollar el estudio de los aparatos eléctricos elementales, tales como reostatos, pilas, condensadores, electroimanes , aparatos de medida, etc. El gran número de ejemplos resueltos, intercalados en el texto, aclaran suficientemente las cuestiones teóricas y las fórmulas correspondientes . En el tono segundo se abordará la teoría general de las máquinas, así como su s aplicaciones prácticas, desarrollando con grau amplitud los esquemas de instalación a las lineas v los cálculos de sus partes eléctricas.
Sólo une queda decir que, habiendo pretendido que este tratado sea eminente mente práctico . hava acertado en la tarea, lo que me serviría de suficiente satisfacción . Industrias Gráficas Garvica - Islas Canarias, 17-1 . a Plta . - 48015-Bilbao
EL AUTOR. 5
CAPITULO I ENERGIA Y SUS TRANSFORMACIONE S 1. Definición de energía Energía es toda causa capaz de producir trabajo . Por eso se dice que un cuerpo o sistema de cuerpos poseen energía cuando realizan o están en condiciones d e poder realizar un trabajo . De acuerdo con la anterior definición, se deduce que la energía de un cuerp o o sistema de cuerpos pueden encontrarse en dos estados diferentes : actual y potencial . Se dice que la energía es actual cuando se está manifestando, mientras que s i un cuerpo la tiene almacenada en estado latente, recibe el nombre de energía potencial.
Ejemplo de energía actual es la desarrollada por un cuerpo cualquiera al cae r desde una altura por efecto de la gravedad . En cambio, si ese cuerpo se encuentr a sobre otro que impida su caída, el primero tendrá en estado potencial la energía de bida a la gravedad. Otro ejemplo de los estados de la energía lo encontramos en una batería d e acumuladores eléctricos cargados . Si ésta se descarga sobre un circuito exterior, l a energía se manifiesta en estado actual, dando origen a una corriente eléctrica . En cambio, si el circuito exterior está abierto, la energía química del acumulador est á almacenada en forma potencial . 2.
Formas de la energía
La energía puede manifestarse en las distintas formas siguientes : MECANICA -- CALORIFICA -- QUIMICA -- ELECTRIC A
Estas formas de la energía están relacionadas entre sí. Por ejemplo, sea un trozo de carbón que posee cierta energía química en su constitución molecular . Cuan do ese trozo de carbón es quemado, se obtiene determinada cantidad de energía calorífica, energía que puede ser aprovechada para calentar agua en una caldera, vapo rizándola . El vapor de agua posee energía mecánica que, aplicada al rodete de un a turbina, permite arrastrar el rotor oe una dínamo, de forma que se genera energí a eléctrica en su bobinado . 7
3 . Principio de la conservación de la energí a
Hemos visto en el párrafo anterior las transformaciones de energía efectuada s a partir de un trozo de carbón hasta conseguir energía eléctrica en el bobinado de l rotor de una dinamo . Precisamente, en la práctica es necesario transformar la energía, a fin de poderla utilizar de la forma más conveniente . En realidad, transformar la energía no es otra cosa que efectuar un cambio d e forma actual . Ahora bien, toda transformación de energía se rige por el llamad o Principio de la consen'ación de la energia, principio que queda expresado de la forma siguiente : "La energía ni se crea ni se destruye, solamente se transforma" . Según este principio, en toda transformación de energía, la energía resultant e es exactamente igual en cantidad a la energía absorbida en la transformación .
energía que se desea conseguir en el proceso de transformación . De todas las formas de energía, la calorífica es la de peor calidad, ya que todo cuerpo cede calor con gran facilidad sin producir efecto útil alguno en la mayoría de las ocasiones . Esta observación indica que la energía va perdiendo calida d constantemente, resultado que se expresa mediante el llamado Principio de la degradación de la energía . que dice así : "En toda transformación de energía se conserva la cantidad de energía, per o tiende a degradarse su calidad" . 6 . Rendimiento de la transformación de energía
Se define rendimiento de una transformación de energía como la relación qu e existe entre la energía útil Wu y la energía absorbida Wa en dicha transformación . Así, pues, el valor del rendimiento vendrá dado por la expresió n
4. Energía útil y energía perdida
(2)
Es un hecho de observación corriente que, en toda transformación de energía , la que resulta útil para el efecto que se desea conseguir es siempre menor, en canti dad, que la absorbida en dicha transformación . Esta observación no representa ninguna contradicción con el principio de l a conservación de la energía que acabamos de exponer . En realidad, lo que ocurre e s que parte de la energía absorbida, prácticamente se pierde para el efecto útil debid o a que es necesario vencer las resistencias pasivas que se presentan en el proceso de transformación . Aquella parte de energía absorbida, pero no aprovechada para el efecto útil , recibe el nombre de energía perdida. Por ejemplo, sea el caso de un motor eléctric o que absorbe energía eléctrica de la red a la cual está conectado y suministra energí a mecánica por su polea . Es fácil comprobar que esta energía mecánica útil es más pequeña que la energía eléctrica absorbida, debido a que parte de la energía se pierd e en la magnetización del núcleo, en hacer pasar la corriente por los bobinados y e n vencer las resistencias mecánicas ofrecidas por los cojinetes, ventilación etc . Así, pues, siendo Wa la energía absorbida en cualquier transformación d e energía, Wu la energía útil para el efecto deseado y Wp la energia perdida, tendremos, de acuerdo con el principio de la conservación de la energía ,
(1)
Wa=Wu+Wp
5 . Degradación de la energía
Enseña la experiencia que en toda transformación de energía parte de ésta pa sa a la forma calorífica, aun en los casos en que no es precisamente ésta la forma de 8
R=
Wu Wa
Según la fórmula ( 1), la energía útil Wu es igual a la diferencia entre las energías absorbida Wa y perdida Wp. Por consiguiente, otra expresión del rendimient o será . R Wa Wp (3) Wa
7 . Rendimiento de potencia s
En Física se define la potencia como la energía o trabajo desarrollado en l a unidad de tiempo, o sea, en un segundo . Por consiguiente, suponiendo que una determinada transformación de energí a se ha producido en un tiempo de t segundos, resultará que la potencia absorbida du rante la transformación de energía valdrá Pa = Wa : t. Asimismo, la potencia útil será Pu = Wu : t, y, finalmente, la potencia perdida Pp = Wp : t. El rendimiento de un aparato o máquina que efectúa una transformación d e potencia, puede también ser expresado en función de las potencias . Para ello bast a sustituir en las expresiones (2) y (3) los valores de las energías, resultando las fórmu las siguientes : (4) R =
Pu Pa
que dice : "El rendimiento de un aparato o máquina es igual al cociente que result a de dividir los valores de las potencias útil y absorbida " Pa — Pp (5) R = Pa
que dice : "El rendimiento de un aparato o máquina es igual al cociente que result a de dividir por el valor de la potencia absorbida, la diferencia de los valores de las po tencias absorbida y perdida" . Ejemplo 1 .0 Un motor eléctrico que absorbe 4 .650 W suministra, en su eje, unapotencia mecanica útil de 4 .000 W. ¿Cuánto representa la potencia perdida? ¿Cuál es el rendimient o del motor? Dado que la potencia perdida es igual a la diferencia de las potencias absorbida y útil, s u valor será . Pp
= Pa
— Pu
=
4 .650 — 4 .000
= 650
W
En cuanto al rendimiento, su valor queda determinado aplicando la fórmula (4) .
R
Pu
Pa
4 .00 0 4 .65 0
= 0,86
R
= 86 %
Ejemplo 2 .0 ¿Cual debe ser la potencia mecánica de un motor Diesel para que pued a arrastrar el rotor de un alternador que suministra una potencia útil de 175 kW sabiendo que e l rendimiento del alternador es de 87,5 0/ 0? Observemos que, en la transformación de energía que indica este problema, el alternado r absorbe la energía mecánica del motor Diesel, la cual transforma en energía eléctrica útil, qu e suministra á la red. Así, pues, despejando en la fórmula (4) el valor de la potencia absorbida por el alternado r del motor, se tiene Pa
=
Pu R
8.
=
17 5 0,87 5
= 200 kW =
miento de expresiones matemáticas relativas al cálculo de los mismos . 9.
Electrotecni a
Como se ha indicado anteriormente, una de las formas en que se presenta l a energía es la eléctrica, la cual recibe el nombre particular de electricidad. En los tiempos actuales, la energía eléctrica se ha desarrollado de manera extraordinaria, no pudiendo ser hallado aspecto alguno de la vida en el que no hay a sido introducido su uso . La razón del extraordinario desarrollo de la energía eléctrica se encuentra e n las grandes ventajas que presenta sobre las restantes formas de la energía . Esas ventajas son su fácil transporte y transformación en otra forma de energía, así como sus . cómodas y sencillas aplicaciones en todos los órdenes de la vida . Recibe el nombre de Electrotecnia la ciencia que estudia las leyes particulare s de la energía eléctrica o electricidad, así como los procedimientos, aparatos y máquinas empleados para producirla, transportarla y utilizarla prácticamente .
272 C V
Ley de la causa y el efect o
Esta ley, fundamental en el estudio de las transformaciones de energía, se ex presa de la forma siguiente : "En todo fenómeno físico, el efecto obtenido se opone a la causa que lo h a originado" . Esta ley es consecuencia inmediata del principio de la conservación de la energía . En efecto, es fácil comprobar el absurdo que resultaría de no ser cierta esta ley . Para ello, supongamos que al producirse un fenómeno físico cualquiera el efecto obtenido favoreciera la acción de la causa que lo ha' originado . En tal caso, el efecto, al convertirse en causa, producirá un nuevo efecto y éste otro más, y así, sucesivamente encadenados, resultarían efectos infinitamente grandes aun con causas iniciale s pequeñísimas . Esto es un absurdo, ya que, en toda transformación, el efecto o energía obtenida debe ser exactamente igual a la causa o energía absorbida . Por ejemplo, si al empujar un cuerpo el rozamiento de éste con el suelo en lugar de oponerse a la fuerza del empuje favoreciera su acción, es evidente que ésa po dría ser pequeñísima aun para arrastrar pesos extraordinariamente grandes . Esta ley de la causa y el efecto es muy apropiada para deducir teóricamente e l proceso de gran número de fenómenos eléctricos, facilitando, además, el estableci10
11
CAPITULO I I
TEORIA DE LA ELECTRICIDA D
10. Generalidades Antes de iniciar el estudio de la electricidad dinámica, o sea, la que recorre u n circuito eléctrico, mencionaremos, ciertas interesantes experiencias, como son l a electricidad por frotamiento y por contacto, las cuales pueden ser consideradas como el origen de la electrotecnia . Asimismo, en este mismo capítulo explicaremos la llamada teoría electrónica , que no es otra cosa que la teoría moderna de la electricidad, con la que pueden se r explicados, con suma sencillez, todos los fenómenos eléctricos .
El péndulo eléctrico (fig . 1) consiste en una esferita de médula de saúco B sus pendida mediante un hilo de seda H de un soporte de vidrio S . El sistema formad o por la esferita y el hilo de seda es muy ligero, por lo que es fácil mente movible por la acción de los cuerpos electrizados cuando éstos se aproximan a la esferita . Así, pues,el movimiento de la esferita cuando se le acerca un cuerpo señala la presencia de una carga eléctrica en este cuerpo, o sea, indica que está electrizado . El Electroscopio de hojas (figura 2) con siste en dos finísimas láminas de oro A, de for ma larga y estrecha, suspendidas del extrem o de una varilla metálica B que termina, en s u parte superior, en una esfera E, también metá 1 1 t Tica . Las láminas y parte de la varilla metálica s e encuentran colocadas en el interior de un a Fig . 1 . Péndulo eléctrico campana de vidrio cuyo objeto es aislarlas d e la influencia de cargas eléctricas exteriores extrañas a la experiencia que se desea efectuar . Cuando un cuerpo electrizado C se pone en contacto con la esfera metálica E, ésta también queda electrizada, así como l a Fig. 2. Electroscopi o varilla B y las láminas A . Las dos láminas, cargadas de electrici de hojas dad de igual clase, tienden a repelerse (siguiendo las leyes qu e expondremos en la Electrostática) . Así, pues, la separación de las dos láminas A señala que se encuentra electrizado el cuerpo C que se ha puesto en contacto con la esfera metálica E .
11. Electricidad por frotamiento Al frotar una barra de resina, ebonita o lacre, con un trozo de lana o pie] bie n seca, se puede observar que esos cuerpos han adquirido la propiedad de atraer cuerpos ligeros como, por ejemplo, partículas de serrín, pedacitos de papel, virutas de madera, etc . Asimismo, al frotar un trozo de vidrio con un trapo de seda adquiere la misma propiedad de atracción . Esta propiedad recibe el nombre de electrización y los cuerpos que la han adquirido se dice que se encuentran electrizados, lo que quiere indicar que esos cuerpos están cargados de electricidad . Para conocer si un cuerpo está cargado de electricidad se emplean los electroscopios.
12. Electroscopi o Se da este nombre a todo aparato que permite comprobar la electrización d e los cuerpos . Los más usados son el péndulo eléctrico y el electroscopio de hojas . 12
13. Cuerpos conductores y aisladores
Teniendo en cuenta ciertas propiedades eléctricas, los cuerpos son clasifica dos en dos clases, conductores y aisladores . Las propiedades que ahora se tendrán en cuenta son distintas que la electrización, ya que, como hemos visto, todos los cuerpos, al ser frotados, se electrizan . E n cambio, los Cuerpos se comportan de manera diferente en lo que respecta a la propagación de la carga eléctrica por toda su masa, siendo este aspecto el que sirve d e base para establecer la clasificación entre cuerpos aisladores y conductores . a) En algunos cuerpos, la electrización sólo se manifiesta en los puntos frota dos. Esto hace ver que la electricidad no se propaga desde la región frotada al resto . Los cuerpos que así se comportan son malos conductores de la electricidad , por lo que reciben el nombre de aislantes, aisladores o dieléctricos . Ejemplos de lo s mismos son el vidrio, la mica, baquelita, etcétera . b) En otros cuerpos, cuando son frotados, la electrización se manifiesta e n 13
todos sus puntos . Esto demuestra que la electricidad se propaga por todo el cuerpo , aunque si bien en unos con más facilidad que en otros . Estos cuerpos, buenos conductores de la electricidad, son conocidos vulgar mente con el nombre de conductores. Ejemplo de los mismos son todos los metales, el carbón, etc . Prácticamente no existe ni el conductor perfecto ni el aislador completo, y a que, por una parte, todo conductor ofrece más o menos resistencia a la propagació n de la electricidad y, por otra, en todo aislador se presenta, en realidad, un desplazamiento, más o menos pequeño, de la carga eléctrica .
14.
Estas dos experiencias hacen ver que existen cuando menus dos clases distintas de electricidad . Ahora' bien, efectuado este mismo experimento con todos los materiales conocidos, se comprueba que todos ellos se comportan, sea como el vidrio , sea como la resina, en las experiencias anteriores, sin que se haya podido encontra r ninguna substancia que atraiga o repela, al mismo tiempo, a los péndulos A y B elec trizados . Así, pues, existen dos clases de electricidad. Antiguamente esas dos electricidades eran conocidas con los nombres de vítrea (la que existe en el vidrio al ser frotado) y resinosa (la existente en la resina frotada) . En la actualidad ya no son empleadas esas denominaciones, siendo usadas en cambio las expresiones de positiva para la vítrea y negativa para la resinosa .
Electrización por contacto 16. Teoría electrónic a
Un cuerpo cualquiera, puede también ser electrizado si se le pone en contacto con otro cuerpo que, previamente, esté cargado de electricidad . Para comprobar este fenómeno basta con acercar a un electroscopio el cuerp o antes y después de ser puesto en contacto con otro ya electrizado . Se observará qu e antes no ejercía ninguna acción sobre el electroscopio, mientras que después éste se ñalará la presencia de una carga eléctrica en el cuerpo .
15.
Clases de electricida d
Experimentalmente se llega al conocimiento de que existen dos clases diferen tes de electricidad . Para ello, dispongamos dos péndulos eléctricos A y B (fig. 3), los cuales han sido electrizados, ambos por contacto, pero con cuerpos distintos . El péndulo A h a sido puesto en contacto con un troz o de vidrio electrizado y el péndulo B con una barra de resina, también electrizada . Una vez electrizados de la forma indicada los dos péndulos, coloquemos entre ellos el trozo de vidri o Vidrio Resina electrizado (fig . 3, a). Entonces veremos que el trozo de vidrio repele a l a) b) péndulo A (que es el que se ha puest o Fig . 3. Experiencias sobre electrizaciones en contacto con el mismo trozo de vidrio) mientras que atrae al péndul o B (puesto en contacto con la resina) . Por el contrario, si entre los dos péndulos colocamos la barra de resina (fig . 3 , b), veremos que, en tal caso, el atraído es el péndulo A, mientras que el B es repelido . 14
Con el fin de explicar los fenómenos eléctricos de manera clara y completa, s e han enunciado diversas teorías . Ahora bien, solamente una permanece en vigor, y a que con ella se han podido explicar todos los fenómenos eléctricos . Es la llamada teoría electrónica. Según la teoría electrónica, cualquier átomo está constituido (figura 4), po r un núcleo central, electrizado positivamente, y varios corpúsculos, cargados de elec tricidad negativa, llamados electrones. Los electrones giran alrededor del núcleo, d e forma similar a como lo hace la Tierra alrededor del Sol . El núcleo central está constituido por dos clases d e cargas diferentes, unas positivas, llamadas protones, y Electrón libre otras negativas, de igual naturaleza que la de los electrones libres giratorios. Ahora bien, el número de protone s es siempre mayor que el de electrones fijos en el núcleo , por lo que éste es siempre eléctricamente positiv o Por consiguiente, para que un átomo sea eléctrica mente neutro es necesario que el número de electrone s libres girando alrededor de su núcleo sea exactament e igual al exceso del número de protones sobre el de electrones fijos en el propio núcleo . 17.
Fig . 4.
Constitución atómica
Electrización de los átomo s
De acuerdo con la teoría electrónica que acabamos de exponer, un átomo e s eléctricamente neutro cuando el número de protones del núcleo es exactament e igual a la suma de los electrones fijos en el núcleo y los libres giratorios alrededo r del mismo . Electrizar un átomo no es otra cosa que conseguir la variación del número d e electrones libres que le corresponden cuando es eléctricamente neutro . Así, para 1>
electrizar positivamente un átomo es necesario quitarle parte de sus electrones li-
bres, sea por frotamiento, por contacto u otros procedimientos que estudiaremo s más adelante . Al quedar reducido el número de electrones libres de un átomo, en l o que queda del mismo predominarán las cargas positivas . Asimismo, para electrizar negativamente un átomo es necesario aumentar e l número de electrones libres por cualquiera de los procedimientos indicados . Entonces las cargas negativas son las que predominan en el átomo . En resumen, un átomo es eléctricamente negativo cuando tiene exceso d e electrones, mientras que es positivo cuando está con falta de electrones respecto a su estado neutro . Cuando se electrizan dos cuerpos por frotamiento, lo que en realidad ocurr e es una transformación de la energía mecánica del movimiento del trapo en energí a eléctrica . En efecto, al frotar con un trapo un trozo de resina, ésta recibe electrone s del paño, por lo que quedan cargados negativamente los átomos de la resina en l a zona del frotamiento, mientras que los átomos del paño, al ceder parte de sus electrones libres, quedan cargados positivamente . De igual manera, al frotar un pedazo de vidrio con un paño, éste toma electrones que le cede el vidrio, por Io que los dos quedan electrizados en las zonas de frotamiento, el vidrio positivamente y el paño negativamente . Generalizando se puede enunciar la siguiente ley : "Cuando se frotan dos cuerpos quedan electrizados ambos, uno de ellos co n carga positiva y el otro con carga negativa" .
18 . Corriente eléctric a
Se da este nombre al desplazamiento de una carga eléctrica a lo largo de u n conductor . La corriente eléctrica es un fenómeno resultante de la propiedad que tiene todos los cuerpos de neutralizarse eléctricamente . Así, un cuerpo cuyos átomo s están electrizados negativamente tiende a ceder su exceso de electrones, mientra s que un cuerpo cuyos átomos se encuentran electrizados positivamente (es decir, co n falta de electrones) tiende a neutralizarse, tomando electrones de otros átomos qu e los tienen en exceso . En consecuencia, si se ponen en comunicación, mediante un conductor C (fig . 5), dos cuerpos B y A, de los cuales el B está a falta de electrones (es decir, que es positivo), mientras que el A los tiene en exceso (o sea, que es negativo), se establecer á Fig . 5 . Comparación de las corriente s electrónica y eléctric a un desplazamiento desde el cuerpo A hast a el B, desplazamiento que durará hasta qu e se igualen'los estados eléctricos de los dos cuerpos . 16
Este desplazamiento de electrones es el origen de la energía eléctrica o electri cidad y vulgarmente es designado por corriente eléctrica . 19 . Sentido arbitrario de la corriente eléctric a Como acabamos de indicar, la electricidad no es otra cosa que un desplaza miento de electrones (o sea, cargas eléctricas negativas) desde un cuerpo que lo s posee en exceso hasta otro que se encuentra falto de ellos . Así, pues, el sentido del desplazamiento electrónico es del cuerpo negativo a l positivo, lo que parece estar en contradicción con el concepto que vulgarmente s e tiene del sentido de la corriente eléctrica, ya que se admite que ésta va del cuerpo positivo al negativo . En realidad, esta contradicción no es más que aparente . Su explicación está en que los físicos que estudiaron la electricidad antes de l a exposición de la teoría electrónica, establecieron hipotéticamente el sentido de l a corriente desde la electricidad vítrea (positiva) a la resinosa (negativa), sentido qu e es el que todavía se emplea en la vida ordinaria . No es de extrañar que resultara esta contradicción, ya que si bien los físico s pudieron comprobar con facilidad que la corriente eléctrica consistía en un desplazamiento continuo de cargas eléctricas, no pudieron determinar si estas cargas era n positivas o negativas, así como tampoco el sentido del desplazamiento . En efecto, al observar, los fenómenos del calentamiento de un conductor re corrido por una corriente eléctrica, la desviación de una aguja magnética situada e n las proximidades de ese conductor, etc ., era obligado admitir que dichos fenómenos eran consecuencia del desplazamiento de cargas eléctricas, pero existía la posibi lidad de que la causa fuera una cualquiera de las tres siguientes : 1 .a
Desplazamiento de cargas positivas solamente .
2 .a Desplazamiento de cargas negativas solament e 3 .a
Desplazamiento de cargas positivas y negativas simultáneamente .
Experiencias posteriores eliminaron la tercera posibilidad . Así, por ejemplo , intercambiando los extremos del conductor C respecto a los cuerpos A y B de l a fig . 5, observaremos que también cambia el sentido de orientación de una aguj a magnética que estuviera situada en la proximidad del conductor, lo que demuestra que la corriente eléctrica tiene un solo sentido fijo y determinado . Ahora bien, eliminada la tercera posibilidad, no se pudo aclarar la duda de s i la corriente eléctrica era un desplazamiento de cargas positivas o negativas, a pesa r del gran número de experiencias efectuadas . En tal situación, siendo indispensable adoptar un determinado sentido para l a corriente eléctrica, a fin de poder establecer las leyes y reglas que hicieran posibl e el estua .o metódico de la electricidad, se convino en adoptar como sentido de la corriente . : .ctrica desde un cuerpo positivo a otro negativo . 17
En la actualidad, la teoría electrónica ha confirmado la verdad de todos los conceptos, reglas y leyes establecidos anteriormente . Por eso se mantiene en vigo r el sentido vulgar de la corriente eléctrica y se salva la aparente contradicción teniendo presente la idea fundamental siguiente : "Una corriente electrónica del cuerpo negativo al positivo, equivale a una corriente eléctrica del cuerpo positivo al negativo" . Por consiguiente, en lo sucesivo nos referiremos únicamente a la corrient e eléctrica considerando su sentido vulgar, ya que, como hemos dicho, la exactitud d e todas las reglas y leyes que se vayan deduciendo son comprobadas por la observación y la experiencia, estando, por otra parte, en perfecto acuerdo con las que resultarían a base del empleo de la corriente electrónica .
CAPITULO II I CIRCUITO ELECTRIC O
20. Generalidades Se da el nombre de circuito eléctrico al camino recorrido por la electricida d en movimiento. En el presente capítulo vamos a estudiar las características del circuito eléctri. A fin de formarnos una clara idea del mismo, lo compararemos con el circuito co hidráulico, con el cual tiene curiosas semejanzas, presentando éste la ventaja de se r directamente percibida por los sentidos la materia que lo recorre, en general agua . 21 . Circuito hidráulico Consideremos (fig . 6) el conjunto formado por dos recipientes A y B, enlaza dos por un tubo C . Supongamos que en esos recipientes hay agua en cantidades tales que, entre las superficies libres, existe un desnivel H. En tonces circulará una corriente de agua a lo largo del tubo C , desde el recipiente A (cuyo nivel es el más alto) hasta el reci piente B (de nivel inferior) . La corriente de agua se mantendr á hasta que haya quedado eliminado el desnivel H. Así, pues , se puede afirmar que la corriente de agua es debida a la diferencia de nivel existente entr e Fig . 6 . Circuito hidráulico elementa l las superficies libres del agua e n los recipientes A y B . De forma similar, se vió en el párrafo 18 ; que estando unidos los cuerpos A y B de la fig . 5 mediante un conductor C, éste era recorrido por una corriente eléctrica hasta que quedaban igualados los estados eléctricos de los cuerpos A y B . Po r similitud con el circuito hidráulico se da el nombre de nivel eléctrico de un cuerp o al correspondiente estado eléctrico, es decir, que el nivel eléctrico se refiere a l a
=r
_~—
18
—
—
19
cantidad de electrones libres que tienen sus átomos . En consecuencia,entre dos cuerpos de distinto nivel eléctrico, se dice que existe una diferencia de nivel eléctrico , conocida vulgarmente con el nombre de diferencia de tensión . 22 .
Circuito hidráulico cerrad o
En un circuito hidráulico elemental, tal como el representado en la fig . 6, cesa la corriente de agua ,:n el preciso instante en que se iguala el nivel de los dos recipientes . Por lo tanto, si se deseara mantener la circulación continuada del agua a l o largo del tubo C, será preciso conseguir que exista continuamente cierto desnive l entre las superficies libres del agua de los reCornante `. equa cipientes A y B . Para ello es suficiente insta lar una bomba centrífuga G que eleve el agu a desde el recipiente inferior B hasta el superior A . De esta manera queda constituido u n circuito hidráulico cerrado, formado por l a bomba centrífuga, recipientes y tuberías d e unión (fig . 7) . Por otra parte, se puede conseguir qu e el agua, en su circulación, no solamente re corra el circuito hidráulico, sino que ademá s sirva de medio de transporte de la energía . En efecto, si en el tubo C, por donde descienPl1. 7. Circuito hidrdulico cerrado de el agua de nivel, se dispone un recepto r hidráulico cualquiera, por ejemplo, una rueda de paletas, el rotor de ésta girará arrastrado por la fuerza viva que tienen las partícu las de agua en cu caída . De esta manera, la energía hidráulica del agua en movimiento queda transformada en energía mecánica, utilizada en el eje de la rueda de paletas y aplicada par a accionar una máquina cualquiera como, po r ejemplo, un molino, un telar, etc .
representado por G . Así, pues, es posible constituir un circuito eléctrico cerrado formado por el ge nerador G, hilos conductores y cuerpos A y B, circuito que será recorrido por lo s electrones . Estos, en su movimiento, sirven (de forma similar al agua) de medio d e transporte de la energía . En efecto, si en el recorrido del conductor C se dispone u n receptor eléctrico R, por ejemplo, un motor, el rotor de éste girará a causa de l a energía que llevan los electrones en movimiento . De esta forma, la energía eléctric a de los electrones es transformada en energía mecánica, utilizada en el eje del motor , energía que puede ser aprovechada para accionar una máquina cualquiera .
24 . Magnitudes del circuito hidráulico
Todo circuito hidráulico queda caracterizado por un conjunto de magnitude s que facilitan su estudio y aplicación práctica . Las magnitudes de un circuito hidráulico son : el desnivel, el gasto y la resisten cia ofrecida por el propio circuito . a) Desnivel. Es la diferencia de altura entre los niveles de agua de los recipientes superior A e inferior B del circuito . También es llamado altura de salto . El desnivel es de suma importancia en el circuito hidráulico, ya que del mismo depende el valor de la presión que hace descender al agua . El desnivel se mide en metros . b) Gasto. Es la cantidad de agua que desciende en cada unidad de tiempo, e s decir, en un segundo . El gasto de un salto' se mide en litros por segundo . c) Resistencia del circuito. Es la resistencia ofrecida por las tuberías, depósitos, etc ., a la circulación del agua . Esta resistencia depende de las longitudes y secciones de las tuberías, así como del material y calidad que las constituyen, lo qu e puede comprobarse observando que el agua circula más fácilmente por una tubería lisa que por una rugosa . Además podemos considerar en el circuito hidráulico la presión de impulsió n de la bomba, presión que, al elevar el agua al depósito superior, mantiene la diferen cia de nivel entre ambos depósitos, siendo en definitiva la causa que origina la circu lación continua del agua en la tubería C y en el circuito hidráulico cerrado .
23 . Circuito eléctrico cerrado
25 . Diferencia entre los circuitos hidráulico y eléctric o
De manera análoga a la expuesta al examinar el circuito hidráulico, si se deseara qu e la electricidad estuviera en circulación continu a Fig 8 . Circuito eléctrico cerrado en el conductor C de la fig . 8, será preciso co locar un dispositivo o máquina que, de forma similar a la bomba centrífuga, man tenga constante la diferencia de nivel eléctrico existente entre los cuerpos A y B . Tal máquina o dispositivo recibe el nombre de generador eléctrico . En la fig . 8 está
Hemos visto las analogías existentes entre los circuitos hidráulico (recorrid o por una corriente de agua) y eléctrico (recorrido por una corriente eléctrica) . Entre ellos se observa una diferencia fundamental al ser examinados desde e l punto de vista de si están cerrados o abiertos . En efecto, un circuito hidráulico será recorrido por el agua sólo cuando tod o él esté abierto, ya que si se interrumpiera por cualquier causa, por ejemplo, cerran -
20
21
do la llave de paso M de la fig . 7, quedaría cortada la circulación del agua . En cambio, para que pueda circular la corriente a lo largo del circuito eléctrico, es imprescindible que esté totalmente cerrado, ya que si se abriera por cualquie r causa, por ejemplo, actuando sobre el interruptor M de la fig . 8, quedaría interrumpida la circulación de electrones y, como consecuencia, la corriente eléctrica .
Conmutador es un aparato que sirve para conectar a voluntad un circuito principal con dos o más circuitos de utilización posibles . Enchufe es un dispositivo doble, empleado para efectuar la conexión de apara tos portátiles a una red eléctrica . El enchufe consta de dos elementos independientes . Uno de ellos recibe los cables de salida del aparato portátil y el otro está unid o a los hilos de la red de alimentación .
26 . Cerrar y abrir un circuito eléctric o 27.
En Electrotecnia son muy corrientes las expresiones "cerrar el circuito" y "abrir el circuito". Vamos a explicar el significado de estos conceptos teniendo e n cuenta que una de las grandes ventajas que presenta el empleo de la energía eléctrica resulta de que los circuitos de utilización pueden ser cerrados o interrumpido s en un punto cualquiera a lo largo del mismo . Se entiende por cerrar un circuito toda operación o maniobra de la cual resulte el cierre completo del circuito eléctrico, a fin de que sea recorrido por una corriente . Se entiende por abrir un circuito toda operación o maniobra de la cual result e una apertura del circuito eléctrico, con lo que se interrumpe el paso de la corriente . Para cerrar o abrir un circuito eléctrico se hace uso de diversos aparatos, siendo entre ellos los más corrientes los interruptores, pulsadores, conmutadores, enchu fes, etc . Interruptor es un aparato que sirve para cerrar o abrir a voluntad un circuit o eléctrico . Existen diversas clases de interruptores, aunque los más usados son los gi ratorios y los oscilantes, movidos a mano (fig . 9) . Cuando se trata de operar sobre circuitos que son re corridos por corrientes de intensidad algo elevada, se emplean interruptores de palanca . Con intensidades más elevadas han de emplearse inB terruptores sumergidos en baño de aceite . Pulsador es un aparat o que sirve para cerrar un circuiFig . 9 . Forma de trabajar los interruptores : A) Giratorios . B) De palanca . C) Cerrado . D) Abiert o to eléctrico durante breves espacios de tiempo, para lo cua l disponen de un contacto normalmente abierto . Un ejemplo de pulsador es el que s e intercala en el circuito de un timbre, de forma tal que éste solamente suena cuand o se aprieta el pulsador . 22
Símbolos gráficos y esquema s
Todas las instalaciones eléctricas, aparatos y máquinas que las integran, so n representadas gráficamente mediante el empleo de símbolos elementales y esquema s de conjunto . Tanto los símbolos de aparatos y máquinas como los de líneas, han sido ordenadamente normalizados al objeto de que sea idéntica su interpretación por todo s los que tienen que hacer uso de los mismos . En los cuadros de las páginas 24 a 27 aparecen los símbolos adoptados por-l a Asociación Electrónica Española . En las instalaciones eléctricas cada conductor viene representado por una línea . Por lo tanto, las instalaciones bi o trifilares, etc ., serán representadas por dos , tres, etc ., líneas . El signo • representa los bornes libres de un aparato o máquina, así como los puntos de contacto de líneas o derivaciones de éstas . A este respecto hemos de tener presente que el simple cruce de dos líneas en el dibujo esquemático no significa que entre ellas exista contacto eléctrico entre los conductores . La representación de los contactos exige el signo • en los puntos de cruce de los conductores que esté n en contacto .
28.
Magnitudes del circuito eléctric o
La energía eléctrica, al manifestarse en un circuito, queda también definid a por un conjunto de magnitudes similares a las indicadas en el circuito hidráulico . Esas magnitudes son : tensión eléctrica, fuerza electromotriz, cantidad de elec tricidad, intensidad de corriente, densidad de corriente y resistencia eléctrica .
29.
Tensión eléctrica
Es la diferencia de nivel eléctrico existente entre dos puntos cualesquiera de l circuito eléctrico . También recibe el nombre de diferencia de potencial, por lo que a veces se expresa abreviadamente con las iniciales d . d . p . 23
TABLA I —
Símbolos eléctrico s
Fig . Fig .
Concept o
Símbol o Condensador o capacidad
Clases de corriente
10
Corriente continua
I1
Corriente alterna
Variabilidad sin interrupción de servicio Cursor o contacto móvil Los símbolos de las figuras 21 y 22, colocados sobre el símbolo de un aparato, indican que la magnitud de éste tiene un valor variable .
..... .. ....... ..... .. ..... .. ... .. .. ...
Elementos de circuitos
12
13
14
15
24
Línea de dos conductore s
Línea de tres conductore s
23
Resistencia pura, regulable por curso r
24
Inductancia variable
25
Condensador de capacidad variable
26
Terminal o contacto (2 símbolos)
27
Contacto normalmente abiert o
..............
28
Contacto normalmente cerrad o
........ ......
29
Interruptor unipolar
.... .. ..... .. ..... .. .. ..
... .. ... .. .. ..... .. .....
Conductores que se cruzan sin que exist a contacto entre ellos
Conductores que se cruzan y entre los cuales existe contacto eléctrico (señalado po r los puntos fuertes)
16
Puesta a tierra
17
Resistencia pura, desprovista de inductancia .
18
Inductancia pura con resistencia practicamente nula
19
Símbol o
Concept o
a
s
.................................
1
e--
30
Interruptor bipolar, de cuchillas solidarias . .
31
Interruptor tripolar, de cuchillas solidarias .
Resistencia que posee cierta inductancia
25
Fig .
Concepto
Símbol o
Fig .
Concepto
Símbol o
Aparatos de medida 32
33
Disyuntor automátic o
... .. . .. .. .. . .. ..... .. ..... .
Conmutador rotativo de dos direcciones, uni polar
34
Conmutador rotativo de dos direcciones, bipolar, con polos solidarios
35
Conmutador de palanca de dos direcciones , unipolar
36
J
42
Volt ímetro
43
Amperímetr o
44
Vatímetr o
... ..... .. ..... .. ..... .. ... .. .. ..... .. ... .. .. ..
45
Fasímetro
.. .. .. . .... .. ... .. ... .. .. ... .. .. .. . .. .. .. . .. .. .
46
Frecuencímetr o
47
Contador de energía
Conmutador de palanca de dos direccione s bipolar, con polos solidarios
37
Cortacircuito fusible, en general
38
Pila o acumulador
39
Batería de acumuladores o pila s
40
Lámpar a
. .. ... .. .. ... .. ... .. ... .. .. ... .. .. ... ....... ....... .
41
Timbre
. ... .. ..... .. .. ... .. ... .. ..... .... ............ ... ...
............ ......... ..... ....... .....
Wh
Máquinas (símbolos generales )
48
Transformador
49
Generador de corriente continua (dínamo) . .
50
Motor de corriente continu a
51
Generador de corriente alterna (alternado r trifásico)
52
Motor de corriente alterna trifásico
X 0
26
27
La tensión eléctrica es una magnitud similar al desnivel en un circuito .hidráu-
lico . La unidad de tensión eléctrica es el voltio (V) . Un múltiplo de voltio es el Kilovoltio (kV), que tiene por valor 1 .000 voltios, y un submúltiplo es el milivolti o (mV), igual a la milésima parte de un voltio. Para medir la tensión eléctrica se emple a el aparato llamado voltímetro . Este aparato dispone de dos bornes libres, que son unidos eléctricamente a los dos puntos A y B, cuya d . d . p . se desea medir (fig. 53) . 30. Fuerza electromotri z Como quedó indicado en el párrafo 23 , voltímetro si se deseara conseguir la circulación continu a de la electricidad a lo largo del circuito eléctrico, es preciso disponer en el mismo un generador . Esto es debido a que en el seno del generador se produce la causa que mantiene en movimiento continuo a la electricidad . Esta causa recibe el nombre de fuerza electromotriz. La fuerza electromotriz de un generador eléctrico es de la misma especie qu e la tensión eléctrica, distinguiéndose técnicamente ambos conceptos en que la fuerz a electromotriz es, precisamente, la tensión que se produce en el seno del generador , mientras que se adopta la expresión de tensión para indicar la diferencia de potencial existente entre dos puntos cualesquiera del circuito . Se acostumbra a representar la fuerza electromotriz por sus iniciales f . e . m . y para medirla se emplean las mismas unidades que para las tensiones eléctricas . La fuerza electromotriz de un generador ejerce una función similar a la fuerz a de impulsión de la bomba centrífuga intercalada en un circuito hidráulico . Observemos que la fuerza de impulsión de la bomba es la presión que se produce en su sen o y hace elevar el agua para mantener el desnivel entre los recipientes superior e infe rior . Sin embargo, sólo es aprovechable para originar el descenso del agua a lo larg o de la tubería C la presión debida al desnivel H (fig . 7), presión indudablemente infe rior a la de impulsión de la bomba . De igual forma, aunque en el generador eléctric o se produce la f. e . m ., sólo se aprovecha en el circuito la tensión, que es siempre me nor que la f. e . m . Fig. 53 . Conexión de un
Ahora bien, siendo él electrón de un valor pequeñísimo, si se expresaran la s cantidades de electricidad en electrones como unidad, sería necesario hacer uso d e cantidades .aritméticas compuestas de muchas cifras . Por tal motivo, se emplea e l culombio (C) como unidad práctica de cantidad de electricidad . 32. Intensidad de corriente eléctrica Es la cantidad de electricidad que recorre un circuito eléctrico en la unidad d e tiempo, o sea, en un segundo . La intensidad de corriente eléctrica es una magnitu d similar al gasto de agua en un circuito hidráulico . P La unidad de intensidad de corriente eléctrica es el amperio (A), que es la intensidad de N una corriente que transporta en cada segundo u n culombio de cantidad de electricidad . Un sub Fig. 54. Conexión de un múltiplo del amperio es el miliamperio (mA) , amperímetro que representa la milésima parte de un amperio . Para medir la intensidad de corriente en un conductor se emplea el amperímetro, aparato que dispone de dos bornes libres que le permiten ser intercalado en e l conductor cuya intensidad se desea medir (fig . 54) . 33. Relación entre la cantidad de electricidad y la intensidad de corrient e Sea un circuito eléctrico recorrido por una intensidad de corriente 1, en amperios, durante un tiempo t, en segundos . La cantidad de electricidad Q, en culombios , transportada por la corriente'eléctrica, ser á
(6) Q = It fórmula que dice : "La cantidad de electricidad, en culombios, es igual al product o de la intensidad de corriente, en amperios, por el tiempo que ésta circula, en segun dos" . Ejemplo 3 .°
¿Qué cantidad de electricidad habrá transportado una corriente de 30 A
durante media hora? Dado que media hora representa 1 .800 segundos, aplicando la fórmula (6) resulta que la cantidad de electricidad transportada será
Q = It =
30 X 1 .800
=
54 .000 C
31 . Cantidad de electricida d
34. Densidad de corriente eléctrica
Hemos visto que cuando se unen mediante un conductor dos cuerpos entre lo s cuales existe una tensión o diferencia de potencial, circulará a lo largo del conductor la cantidad de electrones necesaria para que quede anulado el desnivel eléctric o existente inicialmente entre los dos cuerpos . Recibe el nombre de cantidad de electricidad el número total de electrones que recorren el conductor de unión de los dos cuerpos de distinto nivel eléctrico .
Se da este nombre a la relación que existe entre el valor de la intensidad d e la corriente eléctrica que recorre un conductor, y la sección geométrica del mismo , es decir, que la densidad de corriente eléctrica es el número de amperios por milímetro cuadrado (A/mm 2 ) . Para medir la densidad de corriente no se dispone de aparato especial de medida, por lo que para determinada es preciso conocer la intensidad de la corrient e
28
29
eléctrica 1, en amperios, que recorre el circuito, y la sección Scu, en milímetros cuadrados, del conductor . Entonces, la densidad de corriente eléctrica val e (7) g =-- 1
Scu
en A/mm 2
Ejemplo 4 .0 ¿Cuánto vale la densidad de corriente en un conductor de 20 mm 2 d e sección cuando es recorrido por una corriente de 70 A de intensidad ? De acuerdo con la fórmula (7) la densidad de corriente val e 1
= 35.
Scu
70
3,5 A/mm 2
20
Resistencia eléctrica
Se da este nombre a la mayor o menor dificultad ofrecida por un conductor a ser recorrido por la corriente eléctrica . Así pues, la resistencia eléctrica es una magnitud similar a la resistencia opuesta por una tubería a la circulación del agua a l o largo de ella misma . La unidad de resistencia eléctrica es el ohmio, representado por la letra griega S2 (se lee omega). Un múltiplo del ohmio es el megohmio (MS2), cuyo valor es igua l a un millón de ohmios . De acuerdo con la teoría electrónica, queda explicada la resistencia eléctric a de un conductor de la manera siguiente : Cuando dos cuerpos, entre los cuales existe una diferencia de tensión eléctrica , quedan unidos mediante un conductor, éste es recorrido por una corriente eléctrica . Como ya sabemos, esta corriente eléctrica no es otra cosa que el desplazamiento de electrones de un cuerpo a otro . Pues bien, los electrones, en su desplazamiento, tienen que salvar los núcleos de los átomos que constituyen el conductor, chocand o con éstos, lo que presenta cierta dificultad . Este razonamiento explica también porqué los cuerpos tienen distinta resisten cia eléctrica, lo que es lógico, ya que su constitución atómica es diferente . 36. Conductancia eléctrica Se da este nombre a la mayor o menor facilidad ofrecida por un conductor al paso de la electricidad . Esta definición hace ver que, en realidad, la conductancia e s la magnitud inversa de la resistencia . La unidad práctica de conductancia es el siemens, que es exactamente el valo r inverso del ohmio . Siendo R la resistencia de un conductor, en ohmios, el valor de su conductancia G, en siemens, será (8) G= -
1 R
37. Clases de corriente eléctric a
te eléctrica : corriente continua y corriente alterna . Corriente continua es la que existe en un circuito eléctrico cuando éste es re corrido por la electricidad siempre en un mismo sentido y se mantiene prácticamen te constante en su valor en amperios . Corriente alterna es la que existe en un circuito eléctrico cuando éste es recorrido po r la electricidad alternatiyamente en uno y otr o sentido . Además, la corriente alterna varía continuamente de valor . El símil hidráulico permite obtener un a clara idea de las diferencias que existen entr e las corrientes continuó y alterna . Para ello la s compararemos con las corrientes de agua qu e recorren un Co,-d .,clor da ..uell y circuito hidráulico, disFig . 55. Símil hidráulico de l a corriente continua tinguiendo lo s casos en que la bomba sea centrífuga o de émbolo . Una corriente eléctrica continua es similar a la corriente de agua existente en un circuito hidráu lico cerrado cuando la fuerza de impulsión es proFig . 56. Circuito eléctrico d e corriente continua ducida por una bomba centrífuga (fig . 55) . En e l circuito de corriente continua, la función de l a bomba centrífuga es representada por una dínamo u otro generador cualquiera de co rriente continua (fig. 56) . Una corriente eléctrica alterna es similar a la corriente de agua existente en un circuit o hidráulico cerrado sobre el cual actúa una bomba de émbol o (fig . 57) . La fuerza de impulsión de esta bomba cambia de sentid o Fig . 58. Circuito eléctrico de Fig . 57. Símil hidráulico de la corriente en cada embocorriente alterna alterna lada, lo cual hace que también cambie el sentido de la corriente de agua . En un circuito eléctric o de corriente alterna, la bomba de émbolo queda sustituida por un alternador u otr a clase de generador de corriente alterna (fig . 58) . En los próximos capítulos vamos a estudiar los circuitos eléctricos de corrien te continua, 'dejando para más adelante los correspondientes a corriente alterna .
En las aplicaciones de la electricidad aparecen dos clases diferentes de corrien 30
31
1 . 0 De su longitud 1, en metros . En efecto, es indudable que cuanto más lar go sea el conductor tanto mayor será la dificultad que oponga a la circulación de lo s electrones . Así, pues, la resistencia eléctrica de un conductor es directamente proporcional a su longitud . 2 . 0 De su sección Scu, en centímetros cuadrados, ya que cuanto más pequeña sea ésta tanto mayor dificultad encontrarán los electrones a su circulación . Así, pues, la resistencia eléctrica de un conductor es inversamente proporcional a s u sección . En consecuencia, habiendo definido como resistividad p de un material, la resistencia de un hilo de un metro de longitud y un milímetro cuadrado de sección, l a resistencia de un conductor de 1 metros de longitud y Scu mm 2 de sección valdrá . I = P
CAPITULO I V RESISTENCIA ELECTRIC A
(9) R
38. Generalidades
Scu
Hemos definido la resistencia eléctrica de un conductor diciendo que es la mayor o menor oposición ofrecida por el mismo al paso de la electricidad . La resistencia eléctrica de un conductor depende del material que lo constituye . Esto quiere decir que cada substancia ofrece una oposición específica característica, conocida con el nombre de Resistividad. 39. Resistivida d Recibe el nombre de resistividad de una subtancia el valor de la resistencia d e un cilindro de esa subtancia que tiene un milímetro cuadrado de sección y un metr o de longitud . La representaremos por la letra griega p (se lee ro). En la tabla II aparecen los valores de las resistividades de las subtancias empleadas más corrientemente como conductores en circuitos eléctricos .
Ejemplo 5. 9 ¿Cu4nto vale la resistencia eléctrica de un conductor de cobre de 30 0 metros de longitud y 4 mm Z de sección ? Según la Tabla II, la resistividad del cobre es 0,0172, luego la resistencia buscada valdr á R = P
1
300
= 0,0172
Scu
=1,29
S2
4
Ejemplo 6 .° Una bobina polar tiene las dimensiones indicadas en la fig. 59 . El conductor de cobre tiene un diámetro de 0,8 milímetros . ¿Cuál será el valor de la resistencia de l a bobina si está constituida por 2 .000 espiras ? El diámetro de la espira media vale 170 mm por lo qu e la espira media tendrá una longitud de Im = ir dm = 3,14 X 170 = 534 m m la longitud total del conductor de la bobina ser á I = N . Im = 2 .000 X 0,534 = 1 .068 m
TABLA I I Substancia
Resistividad a 20 0 C
Por otra parte,' la sección drl conductor es de 0,502 mm 2. En consecuencia, la resistencia total de la bobina será .
Coeficiente de temperatur a
R p
Fig. 59 Bobina polar
Aluminio (Al) Cobre (Cu) Hierro (Fe) Plata (Ag) Constantán Niquelina Manganina Nicrohm
0,028 0,0172 0.12 0,016 0,5 0,4 "0,4 3 1
0,003 7 0,003 9 0,004 7 0.003 7 despreciabl e
1 =0,0172 Scu
Resistencia de un conducto r
Según acabamos de decir, la resistencia de un conductor depende, en prime r lugar, de la substancia que lo constituye . Por otra parte, la resistencia de un conductor depende también de los dos va lores siguientes : 32
1 .06 8
= 36,5
P.
0,50 2
41. Conductividad Anteriormente ha sido definida la conductancia de un conductor como el valor inverso de la resistencia . Así, pues, la fórmula que da el valor de la conductanci a será . 1 Scu G= P
40.
1
La cantidad inversa de la resistividad recibe el nombre de conductividad Así , pues, podemos poner para valor de la conductividad K = 1 : p, y para la conductancia (10)
G
= K
S
eu 1
en siemen s 33
TABLA III .
Diámetro Sección mm2 mm 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 1,1 1,15 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4
0,00785 0,0177 0,0314 0,0491 0,0707 0,0962 0,125 0,159 0,196 0,237 0,283 0,332 0,385 0,442 0,502 0,567 0,636 0,708 0,785 0,866 0,95 1,04 1,131 1,227 1,327 1,431 1,54
Hilos redondos de cobre .
Resistenso P o * da por Peso 100 m 100 m Kg 219,4 97,56 54,87 35,12 24,38 17,91 13,71 10,83 8,78 7,25 6,09 5,19 4,48 3,9 3,43 3,04 2,71 2,43 2,19 1,99 1,81 1,66 1,52 1,40 1,29 1,20 1,12
0,0069 0,0157 070279 0,0436 0,0628 0,0855 0,112 0,141 0,174 0,211 0,251 0,295 0,34 2 0,392 0,447 0,504 0,565
0,631 0,70 0,77 0,844 0,923 1,005 1,091 1,18 1,27 1,37
Diámetro Sección mm2 mm 1,45 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,5 4 4,5 5 6 7 8 9 10
1,65 1,767 2,01 2,27 2,54 2,83 3,14 3,46 3,8 4,15 4,52 4,90 5,3 5,72 6,15 6,60 7,07 9,62 12,56 15,90 19,63 28,27 38,48 50,27 63,61 78,54
Resisten- pes o r cia por 100 mo 100 m Kg 1,04 0,975 0,857 0,76 0,677 0,608 0,548 0,497
0,453 0,415 0,381 0,351 0,324 0,301 0,280 0,261 0,244 0,179 0,137 0,108 0,088 0,061 0,044 0,034 0,027 0,022
1,4 7 1,5 7 1,78 2,02 3 2,2 6 2,5 2 2,79 3,08 3,3 8 3,69 4,0 2 4,36 4,7 2 .5,0 9 5,47 5,87 6,2 8 8,5 5 11,1 7 14,1 4 17,4 5 25,1 3 34,2 1 44,68 56,5 5 69,82
42 . Longitud y sección del conducto r La longitud de un conductor eléctrico es, en general, muy grande comparándo la con la sección . En consecuencia, no es fácil cometer error sensible al tomar est e dato en el cálculo de la resistencia . En cambio, se ha de tener sumo cuidado al determinar la sección del conductor, ya que un error repercutiría fuertemente en el resultado obtenido . Aunque en principio es indiferente la forma de la sección de los conductore s eléctricos, en la práctica se encuentran en dos formas distintas : hilos redondos y pletinas rectangulares . 34
Los hilos redondos se fabrican en diámetros muy diversos . El valor de la sección se determina por la fórmula de geometría que da el área del círculo . (11)
Scu=
~4d2
en mm 2
Observando que la relación 1r: 4 tiene por valor 0,785, la sección de un hilo redondo puede ser determinada por una fórmula más sencilla . (12) Scu = 0,785 d 2 en mm 2 Ejemplo 7 .° ¿Cual es la sección de un hilo redondo cuyo diámetro es 0,9 mm ? Aplicando la fórmula (12) se tien e Scu = 0,785
d2 = 0,785 X 0,9 2 = 0636 mm 2
43. Sección real de una pletina . Muchas pletinas empleadas en bobinados de máquinas no tienen las aristas vivas sino redondeadas, a fin de mejorar las condiciones de aislamiento de los bobinados . El radio de redondeo R (Fig . 60) está normalizado , dependiendo su valor del espesor a de la pletina . Según las normas vigentes el radio de redondeo d e aristas de las pletinas estará de acuerdo con la tabla IV . Fig. 60 Sección de una pletina.
TABLA I V
Espesor a
Hasta 0,5 0,6 a 0,8 0,9 a 1,9
2 a 3,9
4 a 5,9
6 a 9, 6
Radio R
0,2
0,3
0,45
0,5
0,8
1
Reducción e
0,03
0,08
0,18
0,22
0,55
0,86
Consecuencia de este redondeo, es que la sección real de la pletina no e s igual a su sección aparente (producto del ancho b por el espesor a, sino que tiene u n valor inferior, ya que, de este producto, se deben sustraer las superficies correspondientes a las cuatro zonas de redondeo . Esta reducción depende, lógicamente, del radio del redondeo R y, en definitiva, del espesor a de la pletina . En efecto se tien e
Scu=ab-4R 2 +nR 2 = ab
- (4
-Ir) R 2 =ab-0,86R 2
Designando por la letra griega e (se lee "epsilón") la reducción 0,86 R 2 s e tiene finalmente (13)
Scu=ab'-
e
35
En la tabla IV aparecen también los valores de la reducción e para los distintos espesores de pletinas, facilitando el cálculo de la sección real de la pletina .
Por otra parte, el peso del conductor viene dado por la fórmula (14 )
mensiones entre caras son de 3 X 6 milímetros? Sobre la Tabla IV se comprueba que a la pletina de 3 mm dé espesor le corresponde una reducción e = 0,22, por lo que la sección real de la pletina e s
Scu = ab — e = 3 X 6 — 0,22 = 17,78 mm 2
•Scu
Pcu =
Ejemplo 8 .0 ¡ Cuál es la sección real de una pletina de aristas redondeadas cuyas di-
Peso de un conductor
P•Scu
1 .000 Pcu
P
Scu • $
Si despejamos el valor de la resistencia R tendremo s
En muchas ocasiones interesa determinar el peso de un conductor . Para ello recordemos que, su volumen en decímetros cúbicos es igual al producto de la secció n en decímetros cuadrados por la longitud en decímetros . Siendo 1 la longitud de l conductor en metros ;. y Scu la sección en mm 2 , su volumen valdr á Vcu =
TABLA V
1 'Sc u
en dm 3
1 .000
Peso específic o
Material
Por otra parte, siendo S el peso específico del material que constituye el conductor, s e obtiene como peso del mism o 1 • Scu (14)
Pcu =
en k g
Aluminio Cobre Hierro, Plata Níquel Latón
,
2, 5 8,8 9 7,92 10, 5 8, 8 8,55
1 .000 En la Tabla V se da el peso específico de los materiales empleados como conductores .
R _
45.
1 • Scu • S _ 1 .068 X 0,502 X 8,89= 4,76 k g 1 .000 1 .000
Resistencia de un conductor conocido su peso
En el cálculo de los conductores es conveniente disponer de una fórmula qu e relacione la resistencia en ohmios con el peso en kilogramos . Sea un conductor de longitud I, en metros, y sección Scu, en mm 2 , que tiene una resistencia dada por la fórmula (9 ) R = p 36
1
Scu
en ohmio s
1000 p • Pcu
• Scu= Corno quiera que el material casi únicamente empleado en la técnica de las máquinas eléctricas es el cobre, vamos a deducir una expresión más sencilla par a conductores de ese material . La resistividad del cobre vale 0,0172 y su densidad b e s 8,89, por lo que se puede pone r 1000 p _
1000 X 0,0172
= 1,95 aproximadament e 8,89 valor que sustituido en la expresión anterior nos da en definitiv a
R =
1,95 Pcu
en ohmio s Scu 2 fórmula que dice : "La resistencia en ohmios de un conductor de cobre es igual a 1,95 veces su peso en kg dividido por el cuadrado de su sección en mm 2 . " Esta fórmula permite también determinar el peso de un conductor de cobre si se conoce su resistencia y su sección . En efecto, si en la fórmula (15) despejamo s Pcu se tiene (15)
Ejemplo 9 .0 ¿Cuál será el peso del conductor empleado en la bobina gel ejemplo 6 .° ? Siendo la longitud del conductor 1 .068 metros y su sección 0,502 mm z , se tiene com o peso de dicho conductor Pcu
en k g
Despejando en ambas ecuaciones el valor de la longitud 1 del conductor e igua lando los valores obtenidos conseguiremos la siguiente expresión :
en lugar de 18 mm 2 , como se estima corrientemente en la práctica . 44.
ó
1 .000
(16)
• Scu2 Pcu = - R 1,95
en k g
Ejemplo 10. ¿Cuál será la resistencia de una bobina en la que se han empleado 2,5 k g de hilo conductor de cobre de 1 mm de diámetro ? Dado que el hilo de 1 mm de diámetro tiene una sección de 0,785 mm 2 , la resistencia de la bobina valdrá _ 1,95 • Pcu = 1,95 X 2,5= 7,93 S2 R 0,785 2 Scu' 46.
Influencia de la temperatura en la resistenci a
Experimentalmente se puede comprobar que la resistencia de un conducto r aumenta cuando se eleva su temperatura . Ensayos de gran precisión han permitido determinar, con toda exactitud, e l aumento de resistencia experimentado por un material cualquiera al elevar la tape37
ratura a que está sometido . Para tal tin se tomaron conductores de sección y longitud tales que su resistencia era exactamente igual a un ohmio cuando la temperatura del conductor era de 20° C . Después se fué elevando la temperatura de grado e n grado y se midieron las correspondientes resistencias a 210C, 22°C, etc . Estos ensayos permitieron comprobar que en un mismo material el aument o de resistencia es siempre idéntico por cada °C que se eleva la temperatura del conductor, es decir, que el aumento de resistencia es el mismo al pasar el conductor de 20° Ca 21° C, como de 210 Ca22°C, etc . Este aumento constante de resistencia por cada grado centígrado de elevació n de temperatura, recibe el nombre de coeficiente de temperatura. Cada material tiene un coeficiente de temperatura propio . En la Tabla II de la pág . 32 aparecen lo s de los materiales más empleados en la técnica eléctrica . 47 . Valor de la resistencia a una temperatura dad a
Conocido el coeficiente de temperatura de un conductor, se puede determinar la resistencia del mismo para cualquier temperatura si se conoce previamente e l valor de su resistencia a 200 C . Siendo R 20 la resistencia de un conductor a 200 C y a el coeficiente de temperatura, al aumentar en 1 0 C su temperatura, experimentará èl conductor un aumento de resistencia igual al producto de la resistencia inicial por el coeficiente d e temperatura, o sea
Mediante una sencilla transformación de la fórmula (17) podemos consegui r otra que nos permita determinar el aumento de temperatura experimentado por u n conductor conocida su resistencia a 200 C y en caliente . En efecto, despejando en dicha fórmula (17) la cantidad [t — 20], a la cual damos el nombre de incremento de temperatura, representándolo por At° se tien e
Rt (18) àt° =
R20 • a [t — 20] Por consiguiente, la resistencia total del conductor a la temperatura de t° C será igual a la que tenía inicialmente a 20° C más el aumento experimentado com o consecuencia de la elevación de temperatura, es decir, que la resistencia total valdr á
= R 20 + R 20 a [t — 20 ] Si en el segundo miembro de esta expresión tomamos a R 20 como factor común se obtiene finalment e Rt
(17)
Rt = R 2 o (1 + a [t — 20] )
Ejemplo 11 . ¿Qué resistencia tendrá un conductor de cobre que a 20°C tiene una resistencia de 2,5 ohmios si lo calentamos hasta la temperatura de 70° C ? Siendo la elevación de temperatura de [t — 20] = [70 — 20] = 50° C, el valor del paréntesis de la fórmula (17) valdr á (1+a[t—20])=(1+0,004[70—20])=1+0,004X50= 1, 2 Finalmente, quedará determinada la resistencia del conductor a 70°C de acuerdo con la fórmula
RI=R„(1+a[t—20])=2,5X1,2=3S2 38
R20
en ° C
a
Una vez conocido el incremento de temperatura experimentado por el conductor, podremos determinar también la temperatura total alcanzada por el mismo , añadiendo 20° C al incremento antes hallado . Así, pues, tendremo s (19)
t=Ot°+20en° C
Ejemplo 12 . ¿Cuál será el aumento de temperatura experimentado por un conducto r de cobre si su resistencia a 20° C es de 3,2 S2 y en caliente es de 3,71212? ¿Cuál será la temperatura del conductor después de calentado ? De acuerdo con la fórmula (18), el incremento de temperatura experimentado por el conductor habrá sido de
R20
Pero si en lugar de aumentar un solo grado la temperatura del conductor alcanza la temperatura de t °C, con lo que la elevación será de [t — 20] °C, la resisten cia del conductor experimentará un aumento igual a
- 1
R, pro
=
Rzo
3,71 2
— 1 a
=
= 40° C
3,2p,004
La temperatura del conductor una vez calentado ser á t= pr o +20=40+20=60° C
49 . Calentamiento medio de un conducto r Recibe el nombre de calentamiento medio de un conductor la diferenciaque existe entre su temperatura y la del medio ambiente en que está colocado cuando esa diferencia se determina mediante el empleo de las siguientes medidas de la resistencia del conductor : 1 .0 En frío, es decir, cuando se encuentra a la misma temperatura del medio ambiente , antes de empezar ser calentado . La llamaremos Ri . 2.0 Cn caltente, es decir, una vez que ha alcanzado la temperatura final de funciona miento. La designaremos por Re . Citando la temperatura del medio ambiente es de 20° C puede ser empleada la fórmula (18), pero, en la práctica, son muy raras las ocasiones en que se dispone exactamente de esa temperatura, por lo que es necesario deducir una nueva fórmula qu e pueda ser usada en la totalidad de los casos que se presenten . Siendo Ri el valor de la resistencia del conductor a la temperatura del medio ambiente , que designaremos por ta, de acuerdo con la fórmula (17), ese valor de la resistencia puede darse por la siguiente expresión : Ri =P20 (1 +a[ta — 20])
Asimismo, siendo Rc la resistencia del conductor cuando está calentado a la temperatur a tc, su valor puede ser expresado de la manera siguiente : Ra
= Rso
(1 + a [te —
20]) 39
Dividiendo ordenadamente el valor de la resistencia en caliente Rc por el de la resistenci a en frío Ri, tendremos Rc Ri
1
+a[tc—20]
1 +
a [ta — 201
(Obsérvese que queda simplificada la cantidad R20 por aparecer en el numerador y denonn :nador del segundo miembro) . Dividiendo par el coeficiente de temperatura a todos los términos del segundo miembro , se tiene sucesivament e a
1? c
a
Ri
+tc — 20
(
+ta — 20
C
a
-
20)+tc
-
20)+ta
a
Efectuados cuidadosos ensayos se ha determinado exactamente el valor de la expresión 1 :
a — 20, que es
1 —
a
20 = 23 5
50.
Observació n
La fórmula (20) no exige corrección alguna siempre que sean exactament e iguales los valores de las temperaturas del medio ambiente en los momentos en qu e son efectuadas las mediciones de las resistencias en frío y en caliente . Si no es así, e s preciso corregir el valor obtenido como incremento de temperatura del conductor . La corrección consiste en disminuir del valor obtenido según la fórmula (20) , la diferencia de las temperaturas del ambiente, al principio y final, si ésta h a aumentado . Inversamente, si la temperatura del ambiente disminuye, se deberá aumentar la diferencia de temperaturas . Así, sien el ejemplo 13 se hubiera hecho la medición de la resistencia del conductor en frío , con una temperatura del medio ambiente de 15° C y la de la resistencia en caliente con un a temperatura ambiente de 18° C, será preciso corregir el valor hallado para el calentamiento, qu e era de 50 0 C, restándole la diferencia 18 — 15 = 3° C, con lo que el calentamiento tendra como valor exacto 50 — 3 = 47° C . Observemos, sin embargo, que la temperatura total alcanzada por el conductor seguir á siendo la misma que la calculada antes de 65 0 C, ya que se tien e t = 47 + 18 = 65° C .
Por consiguiente, podemos poner la igualda d Rc _ 235 + tc Ri 235+t a
51.
Mediante una sencilla transformación artmética, obtenemos sucesivament e Rc — Ri _ 235 + tc — 235 — ta Ri 235+ta
_
tc — ta 235+ta
Ahora bien, la diferencia te — ta es precisamente el valor que hemos definido como calentamiento medio del conductor y lo representamos por 4Q Así, pues, se puede pone r Rc — Ri
_
àr
235 + ta Como quiera que el valor que deseamos hallar es el incremento de temperatura Ot o, despejándolo en la expresión anterior tenemo s Ri
(20)
¿J° =
Rc — Ri (235 Ri
+
ta )
Fórmula que dice : "El calentamiento medio de un conductor de cobre es igual al producto que resulta de multiplicar la temperatura ambiente, aumentada en 235, por el cociente qu e se obtiene de dividir la diferencia de resistencias en caliente y frío por la resistencia en frío" .
Variación de la resistividad con la temperatura
Acabamos de ver que la resistencia de un conductor aumenta al elevar su temperatura . Ahora bien, dado que no varían sensiblemente ni la longitud 1 ni la sección Sc u del conductor, es necesario admitir que la variación de la resistencia es debida a un a variación proporcional de la resistividad. Podemos establecer una fórmula, similar a la (17), que permita conocer la resistividad a cualquier temperatura . Esta fórmula será (21)
Pt= Pm (1
+a[f—20] )
Ejemplo 14 . ¿Cuánto vale la resistividad del cobre a 70° C ? De acuerdo con la fórmula (21), el valor de la resistividad del cobre a la temperatura d e 70° C es igual a Pr = P20 ( 1 + a [t — 20]) = 0,0172 (1 + 0,004 [70 — 20]) = 0,0 2
Ejemplo 13 . ¿Cuánto vale el calentamiento,medio de un conductor, cuya resistenci a en frío es de 1,5 Q y en caliente 1,8 g siendo la temperatura del medio ambiente 15° C ? ¿Cuál será la temperatura alcanzada por el conductor? Aplicando la fórmula (20) se tiene como calentamiento medio del conducto r àiri
=
Rc — Ri Ri
(235 + ta) =
1,8 — 1,5 (235 + 15) = 50° C 1, 5
Por lo tanto, la temperatura alcanzada por el conductor es de t=Lt°+ta=50+15=65°C 40
41
2•a Un circuito eléctrico que, sin interrupción alguna, ponga en comunicación los dos puntos entre los cuales existe la diferencia de potencial, permitiend o así la circulación de la electricidad a lo largo del mismo . Estas dos condiciones obligan a pensar que, lógicamente, el valor de la intensi dad de la corriente eléctrica que recorre el circuito depende tanto de la tensión exis tente entre los extremos del conductor como de la resistencia eléctrica de éste, l o cual quedó demostrado por Ohm con sus experiencias . CAPITULO V
54. CIRCUITOS ELECTRICOS HOMOGENEO S Clases de circuitos eléctricos Podemos establecer una clasificación de los circuitos eléctricos en homogéneos y heterogéneos . Se dice que un circuito eléctrico es homogéneo cuando, a lo largo de toda s u longitud, está constituido por una misma substancia, siendo ésta, además, de secció n exactamente constante . Así, pues, las dos condiciones para que un circuito eléctric o 52.
sea homogéneo son : 1 . a ), igual substancia en toda su longitud, y 2 . a ) , sección constante . Cuando una de estas condiciones deja de cumplirse, se dice que el circuito eléctrico es heterogéneo. Así, pues, un circuito heterogéneo está constituido po r partes que se distinguen claramente, bien porque son de diferente sección, bien por que están formadas por distinta substancia o por las dos razones a la vez . En este capítulo vamos a estudiar los circuitos eléctricos homogéneos, dejan do para el siguiente los heterogéneos . A) 53.
LEY DE OHM
Este famoso físico realizó una serie de experimentos que le permitieron relacionar de manera exacta las tres magnitudes eléctricas : tensión, resistencia e intensidad de corriente, estableciendo la conocida ley que lleva su nombre . Para ello demostró experimentalmente las dos relaciones siguientes : 1 . a "La intensidad de corriente que recorre un circuito eléctrico varía en pro porción directa con la tensión existente entre sus extremos" . Por ejemplo, si a u n mismo circuito se aplica una tensión de valor doble, triple, etc ., se obtiene una intensidad de corriente doble, triple, etc . 2 . a "Sometiendo a una misma diferencia de potencial diversos circuitos eléctricos cuyas resistencias eléctricas son diferentes, la intensidad de corriente que re corre cada uno de ellos está en razón inversa con el valor de la resistencia del circuito correspondiente" . Por ejemplo, si la resistencia eléctrica de los circuitos es doble, triple, etc ., qu e otro que se toma de comparación, las intensidades de corriente que recorren eso s circuitos son respectivamente la mitad, tercera parte, etc ., de la intensidad de corriente que recorre el circuito elegido para la comparación . 55.
Ley de Ohm
Generalidade s
Se ha visto que si dos cuerpos, entre los cuales existe una tensión eléctrica, so n puestos en comunicación eléctrica mediante un cuerpo conductor, éste es recorrid o por una corriente eléctrica (fig . 61) . Este feA P nómeno puede ser expresado en otras palaN bras, diciendo : "Cuando a los extremos A y B B de un conductor o circuito eléctrico es aplicada una diferencia de potencial, dicho conR ducto o circuito es recorrido por una corriente eléctrica" . Así, pues, para que exista una corrient e Pig. 61 . Circuito eléctrico homogéne o eléctrica, son necesarias y suficientes las do s condiciones siguientes : 1 . a Una diferencia de potencial o tensión eléctrica, la cual, como vimos anteriormente, es la causa que pone en movimiento a la electricidad . 42
Experiencias de Oh m
Resumiendo las experiencias desarrolladas en el párrafo anterior, Ohm enunció la ley de su nombre, que dice así : "La intensidad de corriente que recorre un circuito eléctrico es directament e proporcional a la tensión aplicada entre sus extremos e inversamente proporcional a la resistencia de dicho circuito " Designando por V la tensión, en voltios, aplicada a los extremos del circuito , por R a su resistencia, en ohmios, y por la la intensidad de corriente, en amperios , podemos representar la ley de Ohm mediante la siguiente fórmula :
(22)
1
43
Ejemplo 15 . ¿Cuál será el valor de la intensidad de la corriente que recorre un circuit o de 8 ohmios de resistencia cuando entre susextremos existe una d . d . p . de 120 voltios? Aplicando la fórmula (22) se tiene 1=
56.
R
= 1 g0 =
15 A
Sea el circuito hidráulico de la fig. 6, en el que existiendo un desnivel de H metros, aparece un gasto de agua de G litros por segundo . La potencia mecánic a producida en este circuito hidráulico o salto de agua se sabe que es igual al produc to del desnivel por el gasto, es decir ,
P=H• G
Valor de la tensión necesari a
Despejando el valor de la tensión en la fórmula (22), se obtiene una segund a fórmula de Ohm . Así resulta
V= RI
(23)
fórmula que dice : "Para que un circuito sea recorrido por una intensidad de corrien te dada, es preciso aplicar a los extremos del mismo una tensión de valor igual a l producto de la resistencia de ese circuito, en homios, por la intensidad de corrient e que se desea obtener" . Ejemplo 16 .
¿Qué tensión será preciso aplicar a un circuito de 4,8 S2 de resistencia pa-
ra que sea recorrido por una corriente de 25 A de intensidad ?
obteniéndose la potencia en Kilográmetros por segundo . Si se deseara obtener e n CV, será necesario dividir por 75 el resultado de la expresión anterior . Siempre que han sido comparados los circuitos hidráulico . y eléctrico , se ha dicho que la tensión eléctrica V es una magnitud similar al desnivel hidráulico H, y que la intensidad de corriente I es similar al gasto de agua G . Así, pues, la potenci a de un circuito eléctrico vendrá dado por la expresió n
(25) P = V I fórmula que dice : "La potencia eléctrica de un circuito homogéneo es igual al producto de los valores de la tensión existente entre sus extremos por la intensidad d e la corriente que lo recorre" .
V=R1=4,8X25=120 V
59. 57.
Valor de la resistencia del circuito
Un tercer problema puede ser resuelto mediante el uso adecuado de la ley d e Ohm ; consiste en determinar el valor de la resistencia que debe tener un circuito, l a cual viene dada por la expresión
(24)
R=
V I
fórmula que dice : "La resistencia, en ohmios, de un circuito es igual al cociente que resulta de dividir el valor de la tensión, en voltios, existente entre sus extremos, po r el valor de la intensidad de corriente, en amperios, que lo recorre" . Ejemplo 17 . ¿Qué resistencia eléctrica deberá tener el conductor de una estufa par a que, conectada a una red de 120 V de tensión, sea recorrido por una corriente de 4 A de intensidad? Aplicando la fórmula (24), el valor de la resistencia resulta d e
/?_
= 1
4
=30 S 2
B) POTENCIA ELECTRIC A 58.
La unidad práctica de potencia eléctrica es el vatio . Se representa por W y s u valor es el que corresponde a un circuito eléctrico entre cuyos extremos existe un a d . d . p . de un .voltio y es recorrido por una corriente de un amperio de intensida d Así, pues, se tiene 1 vatio = 1 voltio X 1 amperi o Un múltiplo del vatio es el Kilovatio(kW ), que vale mil vatios . Ejemplo 18 . ¡Cuán to vale la potencia eléctrica de un circuito que, sometido a una tensión de 220 V, es recorrido por una corriente de 250 A de intensidad? Aplicando la fórmula (25) se tiene como valor de la potenci a P= V I
= 220 X 250 =
55 .000 W
=
55 kW
Fig. 62 . Conexiones Para medir la potencia eléctrica de un circuito se hac e de un vatímetro uso del aparato llamado vatímetro. Este aparato consta d e dos conductores independientes, uno llamado amperimétrico (AC), que se intercal a en serie en el circuito, y otro llamado voltimétrico (AB), que va conectado en derivación entre los puntos cuya potencia se desea medir (fig . 62) .
Comparación con el circuito hidráulic o
En física se define la potencia como la cantidad de trabajo realizado en la uni dad de tiempo . Para establecer una fórmula sencilla que dé el valor de la potencia eléctrica, va mos a comparar de nuevo el circuito eléctrico con otro hidráulico . 44
Unidades de potencia
60.
Caballo de vapor .
La potencia mecánica de las máquinas se indica siempre en otra unidad, llama da caballo de vapor, que se representa por CV . A fin de relacionar esta unidad con e l 45
valor que, sustituido en la fórmula (25) de la potencia, permite obtener la expresión V2 vatio s (27) P R
vatio, se estableció como magnitud del caballo de vapo r 1 CV = 736 W Inversamente resulta 1 kW = 1,36 C V Ejemplo 19 .
de 90 kW? 61.
¿Cuál es la potencia en CV de una máquina cuya potencia útil se sabe e s P = 1,36 kW
=
1,36 X 90
=
-
=
= 0,736 kW
122,4 CV
Potencia perdida en un conductor
fórmula que dice : "La potencia de un circuito eléctrico, en vatios, es igual al cociente que resulta de dividir el cuadrado de la d . d . p . existente entre sus extremos por e l valor de su resistencia, en ohmios" . Ejemplo 21 . ¿Cuánto vale la resistencia de una lámpara en cuya boquilla están señala das las siguientes características : 220 V Y 40 W ? Despejando el valor de la resistencia en la fórmula (27), se tien e
En gran número de ocasiones es conveniente conocer la potencia perdida en u n conductor al ser recorrido por una corriente eléctrica . Sea el conductor de la fig . 61, de resistencia R ohmios que, al ser sometido a una d . d. p . de V voltios, es recorrido por una intensidad de 1 amperios . De acuerd o con la fórmula (25), la potencia eléctrica del circuito ser á
R
V2
240
2
=
1 .210 S 2
C) ENERGIA ELECTRIC A
P = V I vatio s Ahora bien, según la fórmula (23) de la Ley de Ohm, para que tal conducto r de resistencia R sea recorrido por la intensidad de corriente I, es preciso que la d . d . p . existente entre sus extremos valg a
V = R l voltio s con lo que, al sustituírla en la expresión anterior, se obtiene finalmente como potencia perdida en el conducto r (26)
Ejemplo 20 . ¿Cuánto valdrá la potencia eléctrica perdida en un conductor de 3 S2 de resistencia al ser recorrido por una corriente de 20 A de intensidad ?
P=PI'=3X20'=3'X400=1 .200W
=1,2 k W
62. Otra expresión de la potenci a Existe una tercera forma de expresar la potencia eléctrica, adecuada para se r empleada en los casos en los cuales los valores conocidos son la tensión y la resisten cia del conductor . Para obtenerla, recordemos que, según la primera forma de la Ley de Ohm, s e tiene
46
Nos enseña la experiencia que, para establecer el trabajo desarrollado por u n aparato o máquina, es necesario conocer, además de la potencia utilizada, el tiemp o durante el cual ha actuado . Por consiguiente, para determinar el trabajo o energía que corresponde a u n .circuito eléctrico, es preciso multiplicar el valor de su potencia por el tiempo d e consumo . Así, pues, resulta la expresión siguiente :
P = R P vatio s
fórmula que dice : "La potencia, en vatios, perdida en un conductor es igual al producto de su resistencia, en ohmios, multiplicado por el cuadrado de la intensidad d e corriente, en amperios, que circula por dicho conductor" .
I =
63. Generalidades
V
amperios
(28)
64.
W
=
P t
Unidades de energía eléctric a
La unidad de energía eléctrica es el julio (J), siendo su valor igual a la energí a consumida por un circuito eléctrico de un vatio de potencia durante el tiempo d e un segundo . Como quiera que se acostumbra a expresar el trabajo mecánico en Kilogrdmetros (Kgm), es conveniente conocer la relación que existe entre estas dos unidade s de trabajo . Esa relación es la siguiente : 1 julio = 0,102 kgm . 1 kgm . = 9,81 J = 9 .81 W/se g 65.
Kilovatio—hora
El julio es nna unidad demasiado pequeña, por Io que no es adecuada para servir de medida de los valores de energía ordinariamente consumidos . Por tal motivo , se ha establecido como unidad práctica el kilovatio hora (kWh). 47
El Kilovatiè--hora representa la energía consumida por un circuito eléctric o de un Kilovatio de potencia durante el tiempo de 1 hora . Dado que un Kilovatio tie ne 1 .000 vatios y la hora 3 .600 segundos, la relación entre el Kilovatio hora y el julio será la siguiente : 1 kWh = 3 .600 .000 julio s Ejemplo 22 . Una plancha eléctrica de 500 W de potencia funciona 25 días al mes durante 8 horas diarias. ¿Cual será la energía consumida durante un mes ? Aplicando la fórmula (28) se tiene como energía consumid a W =Pt=0,5X25X8=100kWh
Para medir la energía eléctrica se hace uso del aparato llamado contador eléctrico . Un mecanismo totalizador efectúa automáticamente el producto de la potencia absorbida por el tiempo de duración, señalando en otro mecanismo contador e l consumo total de energía, de forma tal, que si se desea conocer la energía gastad a en un determinado plazo de tiempo bastará con restar las indicaciones del contado r al final y comienzo de ese tiempo . 66.
Costo de la energía
Una vez conocida la energía W consumida por un receptor en kWh, y el precio unitario en pesetas (p), el costo de la energía ser á (29) C = W • p en peseta s Ejemplo 23 . ¿Cuál será el valor de la factura correspondiente al consumo de la plan cha eléctrica del ejemplo 20 si el precio unitario con impuestos de la energía eléctrica es de 1,5 0 pesetas por kWh? C = Wp = 100 X 1,50 = 150 peseta s 67.
Partiendo de la fórmula (28), que da la energía eléctrica, y sustituyendo la potencia P por los valores dados en las fórmulas (25), (26) y (27), se obtienen tres diferentes expresiones de la energía eléctrica . La primera de ellas permite calcular la energía consumida a partir de los valores de la tensión, intensidad de corriente y tiempo de consum o W=V•I• t
La segunda permite el cálculo partiendo de los valores de resistencia del circui to, en ohmios, intensidad de corriente y tiempo de consum o (31) W =RI2 t Finalmente, la tercera da el valor de la energía conociendo previamente l a tensión, la resistencia del circuito y el tiempo de consum o (32) W = 48
68.
Generalidades
Se entiende por efecto Joule el calentamiento experimentado por un conductor cuando es recorrido por una corriente eléctrica . Este fenómeno no es otra cosa que una verdadera transformación de energí a eléctrica en calorífica . Esta es utilizada en muchas ocasiones pero, en otras, es perjudicial . La teoría electrónica explica el calentamiento de un conductor por efect o Joule, para lo cual supone que, al recorrer los electrones el conductor a través de lo s espacios libres existentes entre los núcleos de los átomos, sufren rozamientos y choques entre sí y con los núcleos, lo que hace aumentar la temperatura del conductor . 69.
Unidades calorífica s
Las unidades caloríficas usadas en la práctica son la caloría-gramo y l a Kilo-caloría . Caloría -gramo (cal) es la cantidad de calor necesaria para elevar en 10 C la temperatura de un gramo de agua destilada . Kilo-caloría (kcal) es la cantidad de calor necesaria para elevar en 1° C la temperatura de un kilogramo de agua destilada . Así, pues, una Kilocaloría es igua l a 1 .000 calorías-gramo . Ensayos de laboratorio, de gran precisión, han permitido establecer la exacta equivalencia entre el julio (unidad de energía eléctrica) y la caloría-gramo (unida d de energía calorífica) . La relación entre esas unidades es la siguiente : 1 julio = 0,24 cal 70. Calor producido en un conducto r
Distintas formas de expresar la energía
(30)
D) EFECTO JOULE
V2
R
t
Para determinar la cantidad de calor producido en un conductor por efect o Joule al ser recorrido por una corriente eléctrica, basta multiplicar por el coeficient e de equivalencia 0,24 el valor de la energía eléctrica consumida . Por consiguiente, l a cantidad de calor será igual a (33) Q = 0,24 W Ejemplo 24 . ¿Qué cantidad de calor producirá una estufa de 1 .500 W en un minuto ? En un minuto, la energía consumida por la estufa ser á W = P • t= 1 .500 X 60 = 90 .000 J Por consiguiente, el calor producido por la estufa en ese tiempo ser á Q = 0,24 W = 0,24 X 90.000 = 21 .600 cal = 21,6 kcal 71 . Distintas expresiones del calor producido
Sustituyendo en la fórmula (33) la energía eléctrica A por los valores dado s en las expresiones (30), (31) y (32), se obtienen tres formas diferentes para expresar el calor producido por efecto Joule . 49
La primera permite calcular el calor producido partiendo de los valores de l a tensión, intensidad de la corriente y tiempo de conexió n (34) Q = 0,24 V I t La segunda permite el cálculo partiendo de los valores de la resistencia de l circuito, intensidad de corriente y tiempo de conexió n (35) Q = 0,24 P12 t Finalmente, la tercera da el valor del calor producido a partir de los valores d e la tensión, la resistencia del circuito y el tiempo de conexió n (36)
Q = 0,24
V2
Rt
Ejemplo 25 . ¿Qué cantidad de calor producirá en medio minuto un calentador de inmersión de 40 S2 de resistencia conectado a una red de 120 V de tensión ? Según la fórmula (36) la cantidad de calor producido ser á
Q
=
0,24
R
t
=
0,24
1 20 40 s
X 30 = 2 .592 ca l
72. Calor útil y calor perdido
El calor producido por efecto Joule, unas veces es útil y otras es indeseable , incluso perjudicial . El calor producido es útil cuando deliberadamente se busca, al utilizar la ener gía eléctrica, la obtención del calor, que es aprovechado para diversas operacione s industriales o domésticas . Ejemplos de calor útil los tenemos en las estufas, planchas, cocinas, calentadores de agua y de aire, etc . En otras ocasiones, el calor producido por efecto Joule es totalmente indeseable. Tal sucede con el calor desarrollado en las líneas de conducción, en los cables d e alimentación y en los conductores de los bobinados de las máquinas eléctricas . Est e calor no deseado recibe el nombre de calor perdido. El calor perdido es siempre perjudicial en más o menos grado . En casos extremos origina importantes averías debido a que el calentamiento excesivo de los conductores determina la carbonización de las materias que forman los aislamientos d é aquéllos . Por tal motivo, es de gran importancia reducir al mínimo posible el calo r desarrollado por efecto Joule, con objeto de que el calentamiento de conductores y aislamientos no sobrepase los límites admitidos por las Normas de Ensayos vigentes .
Las dos causas que dan lugar a un aumento de la intensidad de la corriente so n las sobrecargas y los cortocircuitos . Se entiende por sobrecarga el aumento de la intensidad de la corriente que recorre un circuito eléctrico sobre el valor normal correspondiente . Así, una línea de alimentación de un motor, calculada para una intensidad de corriente de 10 amperios, se encontrará sobrecargada cuando el valor de la corriente que la recorra sea superior a los 10 amperios de intensidad . Se presenta un cortocircuito cuando, por avería o error, quedan directament e unidos dos puntos entre los cuales existe una tensión eléctrica . En la práctica, también se considera como cortocircuito cuando la unión de esos dos puntos se establece a través de un conductor de resistencia muy pequeña . En el caso de existir un cortocircuito, teóricamente la intensidad de la corrien te debería ser de valor infinito . Sin embargo, llega un instante en que la corrient e es tan elevada que el calor producido por efecto Joule pone incandescentes lo s puntos débiles del circuito, terminando por fundirlos, con lo que queda interrumpida la circulación de corriente . Todas las instalaciones eléctricas deben ser protegidas contra las corrientes d e excesiva intensidad . Para conseguir la protección adecuada se emplean los fusibles o cortacircuitos y los interruptores automáticos.
74.
Fusibles
Un fusible no es más que un lugar de la línea de alimentación que deliberada mente se ha hecho más débil que el resto de la misma . Los fusibles se construyen de un material de bajo punto de fusión, a fin d e que la elevación de temperatura originada por sobrecargas o cortocircuitos los fund a fácilmente .
Fig . 63 . Fusible de caja y tapita .
Fig. 64 . Fusible de tapó n
73. Sobrecargas y cortocircuitos
En todo circuito pueden presentarse calentamientos excesivos a causa de se r anormal el valor de la intensidad de la corriente que la recorre . Los calentamientos excesivos pueden provocar incluso un efecto de ignición de los materiales combustibles próximos . 50
Como fusibles se emplean hilos y cintas de plomo cuando la intensidad nominal es inferior a 100 amperios . Para intensidades mayores se emplean hilos de cobr e y de plata . En la tabla VI se indican los diámetros del hilo de plomo correspondien tes a determinadas intensidades de corriente . 51
Los fusibles deben ser colocados en todas las deriva ciones de la línea de distribución cuando exista una reducción de la sección, a fin de que que de protegida eficazmente la derivación . Existen diversas disposicione s de fusibles . Los más usados son los de caja y tapita (fig . 63) en usos domésticos, y los de tapón (fig. 64 ) , j en usos industriales . También so n Fig . 65. Fusibl e muy usados los fusibles de clavij a de clavija (fig . 65) .
TABLA V I Intensidad Diámetro 2 4 5 8 11 14 17 19 25 30
0, 4 0,7 0,8 1, 2 1, 5 1, 8 2 2, 2 2, 5 2,8
75 . Interruptores automáticos Una protección del circuito más eficaz que la obtenida con fusibles se consigue con los interruptores automáticos . La acción de estos aparatos está basada e n efectos térmicos o magnéticos de la corriente que determinan la apertura del circuito eléctrico cuando éste es recorrido por una corriente de intensidad mayor que l a que puede ser tolerada sin exponer la instalación a averías . En la fig . 66 aparece el esquema de un interruptor electromagnético . Este est á constituido por las bobinas B con sus núcleos magnéticos interiores N y sus contactos C . Asimismo forma parte del interruptor la bobina de accionamiento Ba con su núcleo y el interruptor d e línea M . Cuando la intensidad I de la corriente que circula en el circuito qu e se desea proteger toma un valor excesivo, la acción ejercida por las bobinas B sobre los núcleos N toma u n valor tal que determina la apertura del contacto C . En consecuencia, se interrumpe el paso de la corriente po r la bobina de accionamiento Ba y entonces un muelle (que no aparece en la figura), actuando sobre el interruptor de línea M, abre el circuito prinFig . 66. Esquema de instalación de un cipal . interruptor electromagnético Un Interruptor térmico (figura 67) está constituido, ordinariamente, por una pletina bimetálica A, formada por do s placas solidarias de distinto metal, cuyos coeficientes de dilatación son muy diferen tes . Cuando la pletina bimetálica se encuentra fría o poco caliente, los contacto s móviles B se apoyan sobre los contactos fijos C, permitiendo el paso de la corriente .
MM
52
Cuando la intensidad I de la corriente que recorre el circuito que se desea pro teger toma un valor excesivo, la pletina bimetálica se calienta fuertemente por efec to Joule y, como sus dos pletinas se dilatan diferentemente, se modifica la curvatura del conjunto, abriéndose e l A circuito e interrumpiendo la circulación de la corriente . El empleo de los interruptores automáticos represent a una gran ventaja sobre los fusibles . En efecto, cuando la pr oa) b) tecciórr se efectúa con fusibles , Fig. 67 . Interruptor térmico: a) cerrado ; b) abierto es preciso disponer, en reserva , de alguna cantidad de éstos pa ra sustituir rápidamente el averiado . En cambio, con el uso de un interruptor automático no es necesario disponer de recambio, ya que, cuando ha ocurrido la apertura de un interruptor automático, puede ser inmediatamente conectado de nuevo , para lo que basta accionar a mano sobre una palanca colocada exteriormente .
76 . Resistencias de contact o Otra causa que origina el calentamiento de los aparatos eléctricos es el calor desprendido por la resistencia de contacto. Esta resistencia se presenta en todos los órganos en los que existe un contacto móvil, así como en los empalmes permanentes . Cuando los empalmes están bien ejecutados, la resistencia del contacto y, e n consecuencia, el calor originado son poco importantes . Por eso, se debe tener sumo cuidado al preparar los empalmes, soldándolos a ser posible y efectuando los aprietes de forma tal que se tenga la seguridad de que no se aflojarán con el tiempo . El calor desprendido por la resistencia de contacto es muy importante si lo s empalmes no están ajustados de manera perfecta . Ahora bien, como quiera que e l calor desprendido depende de la densidad de corriente en el contacto, es convenien te, para aumentar la seguridad, adoptar pequeños valores de densidad de corriente y , como consecuencia, grandes superficies de contacto . Los contactos en aparatos se efectuán de las siguientes maneras : a) Por presión . Este es el caso de la fig . 68, en el que se ve un terminal T sujeFig . 68 . Contacto a presión de un termina l to a un borne mediante una tuerca R . En los contactos a presión no se debe sobrepasar de una densidad de corriente d e 12 A/cm 2 . 53
b) Por láminas flexibles curvadas. Las láminas flexibles curvadas (fig . 69) de terminan una mayor elasticidad, permitiendo un buen contacto . Sin embargo, l a densidad de corriente admisible es siempre inferior al cas o de contacto a presión, no pudiendo sobrepasar de 1 0 A/cm 2 . c) Por escobillas a presión. Este es el caso de las escobillas que frotan sobre colectores y anillos . Se consigu e una presión adecuada si ésta es de 200 a 300 gramos po r centímetro cuadrado . Para asegurar unas condiciones d e funcionamiento aceptables conviene que la densidad de corriente sea de 8 a 10 A/cm 2 con escobillas electrografítiFig. 69. Contacto po r laminas flexibles cas, pudiendo alcanzar valores mayores con escobillas metálicas . d) Por superficies lisas. El caso más corriente es el de los enchufes, en los qu e un pitón macho ajusta con un anillo cilíndrico . Para asegurar buen contacto el pitón lleva una hendidura longitudinal . La densidad de corriente no debe sobrepasa r de 7 A/cm2 .
CAPITULO V I RESISTENCIAS EN SERI E 77.
Generalidades
En el capítulo anterior ha sido estudiado el circuito eléctrico homogéneo, e s decir, el circuito formado por un conductor de igual substancia e idéntica secció n en toda su longitud . Ahora bien, esta clase de circuito está poco extendida en la práctica, siendo mucho más corriente el circuito eléctrico heterogéneo , es decir, el formado por partes perfectamente distinguibles, bien po r ser de distintos materiales, bien po r ser de secciones distintas . En la fig . 70 se representa esFig. 70. Circuito formado por resistencias en seri e quemáticamente un circuito eléctrico heterogéneo formado por tre s ,R2 y R3, en ohmios . partes distintas, cuyas resistencias son, respectivamente, 78.
Resistencias acopladas en seri e
Se dice que varias resistencias están acopladas en serie cuando se hallan dis puestas una a continuación de otra, de forma tal que son sucesivamente recorrida s por la misma intensidad de corriente . Esta es la manera en que están acopladas la s tres resistencias de la fig. 70 . Se puede comprobar que la misma intensidad de corriente que parte del punto A recorre sucesivamente las distintas resistencias R 1 , R 2 y R 3 -para alcanzar el punto B . 79.
Resistencia total del circuito heterogéne o
La resistencia total del circuito formado por varias resistencias en serie e s igual a la suma de los valores de estas resistencias . Esto es lógico, ya que la corrient e eléctrica, para desplazarse del principio A al final B, extremos del circuito, deber á vencer, una tras otra, las sucesivas dificultades o resistencias opuestas por las distintas partes que constituyen el circuito . 54
55
Así, pues, siendo R 1 , R 2 , R3 . . . los valores de las resistencias acopladas en se rie, la resistencia total del circuito heterogéneo será (37)
80.
1?
Como ya hemos dicho, la intensidad de corriente tiene un valor constante a l o largo de todo el circuito, debido a que la electricidad sólo encuentra un camino para desplazarse desde el punto A al B . Para determinar el valor de la intensidad de corriente se hará uso de la fórmula (22) de la Ley de Ohm, teniendo en cuenta de tomar, en el denominador, la resistencia total del circuito y, en el numerador, la tensión o diferencia de potencial exis tente entre los extremos del mismo . Así, pues, resulta para valor de la intensidad d e la corriente : V
(38) 1 =
R1+R2+R3 + . . .
81. Tensiones parciales . Coloquemos en el circuito de la fig . 70 cuatro voltímetros, según se indica esquemáticamente en la fig . 71, es decir, que cuando está cerrado el interruptor M, e l voltímetro V mide la tensión total de la red , y los voltímetros V 1 , V2 y V 3 las tensiones existentes entre los extremos de cada un a ■ de las tres resistencias R I, R2 y R3 acopladas en serie, tensiones que reciben el nomRi bre de tensiones parciales : Entonces se podrá comprobar que la tensión total de la red es igual a la suma d e las tensiones parciales . Fig . 71 . Tensiones parciales en un circuito Vamos a deducir el valor de cada un a de resistencias en serie . de las tensiones parciales, así como a demostrar matemáticamente la ley deducida por la observación . Para ello, en la fórmula (38) se despejará el valor de la tensión total V aplicada al conjunto del circuito, obteniéndose la siguiente expresió n V=81 1 1--RQ I+P3 1
6
léig eMéii o
En este punto, recordemos la fórmula (23) de la ley de Ohm, según la cual e l producto del valor de una resistencia por el de la intensidad de la corriente que la re corre es exactamente el valor de la diferencia de potencial existente entre los extremos de esa resistencia . Por consiguiente, los términos R iI, R2! y R31, del segundo miembro de la ex presión anterior, representan los valores de las tensiones parciales V l , V 2 y V3 que existen entre los extremos de las resistencias R ~ , R 2 y R 3 . Así pues, se tien e
56
(39)
=P1+Rs+R3+ . . .
Intensidad de corrient e
Vi = 81 1
valores que sustituidos en la anterior expresión, resulta la siguient e
V2 =R3 1
V3 =R3
V= V1 + VE+ Vs
fórmula que dice : "La tensión total aplicada al conjunto de un circuito heterogéne o formado por varias resistencias acopladas en serie, es igual a la suma de las tensione s parciales existentes entre los extremos de las resistencias componentes " . 82. Tensión útil y caída de tensió n Las tensiones parciales de un circuito heterogéneo formado por varias resistencias en serie, se clasifican en tensiones útiles y caídas de tensión . Tensión útil es la tensión parcial que, aplicada directamente al aparato receptor, produce el efecto útil que precisamente se busca al utilizar la energía eléctric a en el caso considerado .
Calda de tensión es la tensión parcial que no produce ningún efecto útil . Parece a primera vista que sería interesante eliminar las caídas de tensión . Sin embargo , está justificada su existencia por la necesidad de transportar la electricidad desde e l punto donde se produce hasta el lugar donde es aprovechada . Así, en el caso de una estufa eléctrica resulta un circuito heterogéneo, forma do por la resistencia interior de la estufa y el cable de conexión al enchufe de alimentación . La tensión total existente entre los dos contactos del enchufe es igua l a la suma de las tensiones parciales correspondientes a la resistencia de la estufa y a la del cable de conexión . La primera, es decir, la tensión directamente aplicada a l a resistencia de calefacción de la estufa, es una tensión útil, mientras que la tensió n parcial correspondiente al cable de conexión es una caída de tensión, ya que no e s aprovechable para el efecto útil que se busca . No obstante, es inevitable la caída d e tensión en el cable, ya que a través de él se transporta la energía hasta la resistenci a de la estufa . 83. Potencias total y parciale s El circuito heterogéneo formado por varias resistencias en serie, absorbe un a potencia eléctrica cuyo valor, de acuerdo con la fórmula (25), es igual al product o de los valores de la tensión total aplicada al circuito por el de la intensidad de comente que lo recorre . Así, pues, valdr á P= V I La potencia total absorbida por el circuito se reparte entre las distintas resistencias . La potencia correspondiente a cada una de éstas recibe el nombre de poten-
cia parcial. El valor de la potencia parcial de cada una de las distintas resistencias es igua l al producto de la intensidad de la corriente por el valor de la tensión parcial correspondiente a la resistencia que se trata . 57
Así, la potencia parcial de la primera resistencia será P 1 = V 1 I, el de la se gunda P2 = V2 1Y así sucesivamente . De acuerdo con el principio de la conservación de la energía, la suma de la s potencias parciales de las distintas resistencias tiene que ser igual a la potencia tota l del circuito . Esta ley puede ser también demostrada matemáticamente . Para ell o multipliquemos los dos miembros de la fórmula (39) por el valor de la intensidad d e corriente obteniendo la expresió n
VI= VI I+ V2 I+ VsI+ . . . Observemos que el primer miembro representa la potencia total y los término s del segundo miembro son las potencias parciales de las distintas resistencias . Así, pues, podemos poner en definitiv a
(40)
P=Pt+Ps+P3+ . . .
pudiéndose verificar que la suma de las tensiones parciales es igual a la tensión total aplicada a l circuito V1 + V1 + Va= 32+48+40=120 V La potencia total absorbida por el circuito, de acuerdo con la fórmula (25), val e P= VI=120X8=960 W Por su parte, las potencias parciales correspondientes a las distintas partes del circuito va len respectivamente Pi = V1 1=32 X 8 = 256 W la de la primera , P2 = V21= 48 X 8 = 384 W la de la segunda y P3 = V31 = 40 X 8 = 320 W la de la tercera . Se puede comprobar que la suma de las potencias parciales es igual a la potencia tota l
P1 +P2 +P3 =256+384 1-320=960W=P
84 . Potencia útil y potencia perdida Las potencias parciales, correspondientes a las distintas resistencias que componen un circuito heterogéneo, se clasifican en potencias útiles y potencias perdidas . Potencia útil es la potencia parcial correspondiente al aparato receptor, es decir, que es la que produce el efecto útil buscado en la utilización de la energía eléctrica . Potencia perdida es la potencia parcial correspondiente a las distintas resistencias, en las cuales no se obtiene el efecto útil buscado . Siguiendo una explicación similar a la que se expuso al hablar de las caídas d e tensión, las pérdidas de potencia están justificadas por la necesidad de transporta r la energía eléctrica desde el punto de producción hasta el lugar de aprovechamiento . Observemos que en un circuito de utilización el abonado paga tanto por la s potencias utilizadas en los distintos receptores como las potencias perdidas en lo s conductores desde el punto donde están situados hasta el contador . Ejemplo 26 . Cálculo completo de circuito heterogéneo . El circuito heterogéne o de la fig. 70 está formado por tres resistencias de valor R1 = 4 S2, R2 = 6 S2 y R3 = 5 S2. Efectúese el cálculo completo sabiendo que entre sus extremos existe una tensión de 12U voltios. La resistencia total del circuito, de acuerdo con la fórmula (37), val e R= R1+Ra -i-Ra=4+6+5 = 15 Q La intensidad de corriente que recorre el circuito se calcula mediante la fórmula (38), resultando V
=
1150
=
8A
Las tensiones parciales correspondientes a las distintas resistencias valen respectivament e Vl=R1/=4X8=32V ;
58
Vs=Rs 1= 6 X 8 = 48 V ;
Vs=P3 1=5X8=40 V 59
Para ello se hará uso de la Ley de Ohm en cada rama, teniendo en cuenta que se co nocen la tensión existente entre los extremos de los circuitos en derivación, que e s la tensión V de la red, así como el valor de sus correspondientes resistencias . Po r consiguiente, se obtiene sucesivamente . CAPITULO VI I CIRCUITOS DERIVADO S 85.
Resistencias acopladas en derivació n
Se dice que varias resistencias están acopladas en derivación o paralelo cuand o los extremos de todas ellas se encuentran unidas eléctricamente a dos puntos comu nes, de forma que la corriente total tomada de la red encuentra varios caminos o circuitos para su desplazamiento . Así, en la fig . 72, aparecen, esquemáticamente representados , tres resistencias R 1 , R 2 y R 3 acopladas en derivación, para lo cual sus extremos se han uni do a los puntos comunes A y B, observándos e que la intensidad de corriente total I se repart e en tres corrientes parciales I l , 12 e /3 . También se observa que, en esta forma de acopla miento, la diferencia de potencial existente entre los extremos de las resistencias es idéntic a Fig. 72 . Circuito formado por rama s para todas ellas y su valor es precisamente e l en derivación mismo que la tensión V aplicada al conjunto . 86.
Intensidades parciales
Dispongamos cuatro amperímetros en el conjunto representado en la fig . 72 , de manera que uno de ellos mida la intensidad de corriente total absorbida por e l conjunto del acoplamiento y los tres restantes midan las intensidades de corrient e que recorren las distintas resistencias . El ,q esquema correspondiente es el que apare- P N ce en la fig . 73 . Se da el nombre de intensidad parcial a cada una de las corrientes que circulan por las ramas acopladas en derivación . Así, pues, en la figura 73 las intensidades parciales son 1 1 ,1 2 e 1 3 , las cuale s pueden ser, medidas respectivamente po r los amperímetros A l , A2 y A3 . Por cálculo se pueden determina r Fig . 73 . Intensidades parciales en un los valores de las intensidades parciales. circuito cou ramas en derivación 60
/l
V
= Rl
I,
V
Rs
13
V R3
=
Es fácil comprobar que la suma de estas intensidades parciales es exactament e igual a la intensidad de la corriente total absorbida de la red . En efecto, examinand o el recorrido de la electricidad desde el conductor P al conductor N de la red, obser vamos que la intensidad de corriente total, al llegar al punto de derivación, se reparte en las distintas intensidades parciales que recorren los circuitos derivados . Siguiendo el curso de estas intensidades de corriente parciales, se comprueba que vuelven a reunirse para constituir nuevamente la intensidad de corriente total . Por otra parte, en los puntos de derivación no existe ninguna causa que produzca electricidad, lo cual permite afirmar que la cantidad de electrones que llega a cada punto de derivación sale del mismo . En consecuencia, se puede enunciar la si guiente ley : "La intensidad -de la corriente total absorbida por el conjunto de varios circui tos acoplados en derivación o paralelo, es igual a la suma de las intensidades de co rriente parciales que recorren los distintos circuitos" . Llamando 1 a la intensidad de corriente total e 11,12,13 . . . las intensidades d e corriente parciales, la ley enunciada conduce a la siguiente expresión : (41)
1=It+12+13+ . . .
Ejemplo 27 . Tres resistencias de 2 nl, 3 S2 y 5 S2 están acopladas en paralelo y el con junto se halla sometido a una tensión de 120 V . ¿Cuál será el valor de las intensidades parciale s y cuál el de la intensidad de corriente total? Según hemos dicho, cada rama está sometida a la misma tensión que la aplicada al con junto, en este caso 120 V ; así, pues, las intensidades de corriente parciales valdrán V 120 1,=R1= 4
V
=60A
1,=R-=
120
3
=40A
12 0
= Ra = 5 =24 A V
18
De acuerdo con la fórmula (41), la intensidad total valdr á
1=1,+1,+18 =60+40-}-24=124
A
87. Valor de la resistencia combinada del conjunt o Recibe el nombre de resistencia combinada del conjunto de varios circuitos e n derivación el valor de la resistencia única que puede producir los mismos efectos qu e todas las resistencias del conjunto, es decir, que la intensidad total absorbida po r éste sea exactamente la misma que absorbería la resistencia combinada . 61
Así, pues, Llamando Rc a la resistencia combinada del conjunto, su valor deb e ser tal que la intensidad absorbida por ella sea igual a la intensidad total absorbid a por el conjunto de ramas eh paralelo . Según la Ley de Ohm debe verificars e
(42)
V Re
l=
Es fácil calcular el valor de la resistencia combinada partiendo de los valore s de las resistencias de las distintas ramas . Para ello, pongamos en la fórmula (42), e n lugar de la intensidad total, su correspondiente valor, dado por la fórmula (41) y , en lugar de las intensidades parciales, los valores dados por la Ley de Ohm, resultan do así
89 . Conjunto de dos resistencias en paralelo. En el caso particular de que sean solamente dos las ramas en paralelo, el problema se resuelve con fórmulas de cálculo más sencillas que las anteriormente dadas . Siendo R 1 y R 2 los valores de las resistencias de las dos ramas (fig . 74), el valo r de la resistencia combinada del conjunto N vale
Rc =
1
+] R1
Rc
+
R1
+
R2
-f . . .
R3
Rc
PI
+
+
RZ
R3
+ ...
Ahora bien, lo que nos interesa es disponer de una fórmula que dé el valor de la resistencia combinada (y no su valor inverso), por lo que despejando Rc en la ex presión (43) result a
(44)
Rc
=
]
R2 + R1 R2
de donde, finalmente, se obtien e
Dividiendo por V todos los términos de la expresión anterior, se obtiene la si guiente :
(43)
R2
—
(45)
Re=
Rt • R2 R, + R2
Fig. 74 .
Circuito formado por dos rama s en derivación .
fórmula que dice : "La resistencia combinada del conjunto de dos ramas paralelas, e s igual al producto de los valores de sus resistencias dividido por su suma" . Veamos ahora la proporción en que se reparte la corriente total absorbida po r el conjunto entre las dos ramas que lo forman . Para ello, recordemos que las dos ramas están sometidas a la misma tensión de la red . Designando por I l e 12 los valores de las intensidades de corriente parciale s tendremos, aplicando la fórmula (23) de la Ley de Ohm a ambas ramas ,
1
+R2+
1
R1
R3
V=R 1 I1
± ...
V=R2 I2
Igualando los dos valores de la tensión, result a fórmula que dice : "La resistencia combinada de varios circuitos en derivación e s igual al valor inverso de la suma de los valores inversos de las resistencias de los dis tintos circuitos derivados" . Ejemplo 28.
¿Cuánto vale la resistencia combinada del conjunto de las tres resistencias acopladas en paralelo indicado en el ejemplo 41 ?
RIIl = R2I2 expresión que, puesta en forma de proporción, nos da finalment e
(46) I, I2
Aplicando la fórmula (44) el valor de la resistencia combinada será
Rc
=
1
1 1
2
_
1 ±
3
1 +
5
30 15±10±6
30 31
88 . Casos particulare s Existen dos casos particulares de circuito en derivación, que se presentan e n muchísimas ocasiones . Estos casos son : 1 .0) ; cuando se trata de dos circuitos solamente, y 2 .0), cuando todos los circuitos paralelos que forman el conjunto tiene n igual resistencia . 62
RZ R1
fórmula que dice : "Las intensidades de corriente parciales que recorren dos rama s acopladas en paralelo, son inversamente proporcionales a los valores de sus respectivas resistencias" . Ejemplo 29 . Dos resistencias de 10 S2 y 15 S2 están conectadas en derivación . El conjunto se halla sometido a una tensión de 120 V . ¿Cuánto vale la resistencia combinada del conjunto? ¿Cuáles son las intensidades de corriente total y parciales ? De acuerdo con la fórmula (45), la resistencia combinada del conjunto valdr á Rc =
R, Rq Ri+R'
_ 10X15
10+1 5
=
6 S2 63
En consecuencia, la intensidad de corriente total, de acuerdo con la Ley de Ohm, e s 1_
V= 120 = 20 A Rc 6 Por su parte, las intensidades de corriente parciales son las siguientes : =
V
_ 120
R,
10
1,=
=12A
V R'
_120_
R,
I,
Ri
ya que se tiene
8 A
15
12
8
=
15 5 10
d fórmula que dice : "La resistencia combinada del conjunto de varios circuitos derivados de igual resistencia, es igual al cociente que resulta de dividir el . valor de la resistencia de uno de los circuitos por el número de éstos" . Por otra parte, al tener todos los circuitos igual resistencia, también han de se r iguales las intensidades de las corrientes parciales . Así, pues, designando por IR l a intensidad de corriente de un circuito, su valor será
Una interesante aplicación del estudio efectuado sobre un conjunto de dos circuitos en derivación se presenta en la conexión en triángulo de las tres fases de un bobinado trifásico de al ternadores y motores . En la fig . 75 aparece esta conexión . Recibe el nombre de resistencia en triángulo el valor medido entr e dos vértices, por ejemplo entre los puntos de conexión U y W . Observemos que la resistencia en triángulo es precisamente la resistencia combinada de dos circuitos en derivación, uno de lo s cuales está formado por una sola fase, la U W, siendo su resistenciaRf, mientras que el otro circuito está constituído por las do s fases restantes, UV + VW, por lo que su resistencia valdrá 2 Rf . Por consiguiente, la resistencia en triángulo valdrá . Fig.75. Conexión tritasica en triángulo.
_Rr • 2Rr _2Rr + Rr + 2 Rf 3 Rf
Rà
Simplificando esta expresión resulta como valor de la resistencia en triángulo . RO =
(47)
2
Rl
fórmula que dice : "La resistencia en triángulo de las tres fases de un bobinado trifásico es igual a dos tercios el valor de la resistencia de una sola fase " .
Ejemplo 30. ¿Cuánto vale la resistencia en triángulo del bobinado del estator de u n motor asíncrono tri fásico sabiendo que la resistencia de cada fase es de 0,48 S2 ? 2 8
Rr=
2X0,4 8 -0,32 1 2 3
Un caso que se presenta en algunas ocasiones es el conjunto de varios circuitos derivados que tienen la misma resistencia RR . Entonces, la resistencia combinad a del conjunto valdrá
Rc =
1
RR
+RR+
RR
+
I
d
fórmula que dice : "La intensidad de corriente parcial que recorre cada uno de lo s circuitos que forman un conjunto de varios iguales en derivación, es igual al cociente que resulta de dividir la intensidad total absorbida por el número de circuitos derivados" . Ejemplo 31 . El bobinado imbricado de una dínamo exapolar contiene seis circuito s en derivación . Todos ellos tienen de resistencia 0,18 S2. Sabiendo que la intensidad de corriente total suministrada por el inducido es de 240 A, se pregunta : 1 .0 ¿Cuánto vale la resistencia co m binada del conjunto del bobinado? 2° ¿Qué intensidad de corriente recorre cada circuito ? De acuerdo con la fórmula (48), la resistencia combinada del inducido val e Re
=
RdR
=
0,118
-= 0,03 S2
Por su parte, la intensidad de corriente parcial en cada circuito derivado, de acuerdo co n la fórmula (49), tendrá por valor IR =
d
= 2
6
=
40 A
92 . Potencias total y parciale s
El conjunto formado por varios circuitos en derivación absorbe una potenci a eléctrica, cuyo valor, de acuerdo con la fórmula (25), será igual al producto de lo s valores de la tensión aplicada al conjunto por el de la intensidad de corriente tota l que lo atraviesa . Así, pues, la potencia total de conjunto será
-
91 . Circuitos derivados de igual resistenci a
64
IR =
(49)
90 : Aplicación importante
R~=
R Re = R
(48)
Se comprueba que su suma 12 + 8 = 20 A es exactamente el valor de la intensidad de corriente total . Asimismo, se puede comprobar que se verifica la proporción dada por la fórmula (46) Il
El denominador de esta expresión es, en realidad, la suma de tantos sumandos , igual a 1 : RR, como circuitos derivados tenga el conjunto . Llamemos d al númer o de ramas en paralelo, por Io que se tiene en definitiv o
. ..
P= V I La potencia total del conjunto se reparte entre los distintos circuitos . La potencia correspondiente a cada uno de éstos, recibe el nombre de potencia parcial . La potencia parcial de cada uno de los circuitos es igual al producto del valo r de la tensión por el de la intensidad de corriente parcial que recorre dicho circuito . 65
Así, la potencia parcial del primer circuito será P1 = V
Ii ; la del segundo
P2 = V12, y así sucesivamente .
La suma de las potencias parciales es igual a la potencia total del conjunto . Para demostrarlo, multipliquemos los dos miembros de la fórmula (41) por el valor común de la tensión, obteniendo la expresió n
CAPITULO VII I
VI= VIt +VIz+V13 + . . . Observemos que el primer miembro representa la potencia total, mientras qu e los términos del segundo miembro son las potencias parciales de las distintas ramas . Así, pues, podemos poner en definitiva
P = Pt+P2+P3 Ejemplo 32 . ,,Cuánto valen las potencias parciales y la total del conjunto de la fig . 7 3 estudiado en el ejemplo 27 ? La potencia parcial de la primera rama vale Pl Vli = 120 X 60 = 7 .200 W, la de la segunda P2 = VI2 = 120 X 40 = 4 .800 W y la de la tercera P3 = V13 = 120 X 24 = 2 .880 W . La soma de las potencias parciales result a P1 + P2 + P3 = 7.200 + 4.800 + 2 .880 = 14 .880 W I•ste valor también puede ser calculado directament e
P= VI= 120X 124= 14.880W
66
CIRCUITOS MIXTOS 93. Generalidades La gran mayoría de los circuitos eléctricos que se presentan en la práctica están constituidos por acoplamientos mixtos de ramas paralelas y resistencias en seri e Estos circuitos son bastante complep jos, por lo que para calcularlos se ne cesita tener cierta experiencia . El método más seguro y eficaz para resolver los circuitos mixtos es el de la s
transfiguraciones
94. Transfiguraciones . Este método, para el cálculo d e los circuitos mixtos, consiste en i r simplificando progresivamente el esquema inicial del circuito hasta conseguir otro esquema lo suficientement e sencillo para facilitar los primeros cál culos . Entonces se calcula : 1 . 0 La intensidad total absorbida por el conjunto . 2 . 0 Las tensiones parciales correspondientes a las distintas partes del conjunto . 3 . 0 Las intensidades de corriente parciales que recorren las dife rentes ramas derivadas que existan . 4 . 0 Las potencias totales y parciales . Para aclarar la marcha de est e método, veamos el caso que se pred) senta en la figura . 76 . En a) aparec e Fig. 76 . Transfiguraciones de un.circuito mixto. un circuito mixto, formado por un a resistencia R I conectada en serie con el conjunto de dos ramas paralelas, una de la s cuales está constituida por una sola resistencia de valor R2, mientras que la otra es67
tá formada por dos resistencias R3 y R4 acopladas en serie . En b) se ha efectuado la primera transfiguración, mediante la cual las dos resistencias R3 y R4 han sido sustituidas por una sola R5 , cuyo valor es igual a la su -
Ejemplo 33 . Estudiar y resolver el circuito mixto de la fig . 76 sabiendo que la tensió n aplicada entre sus extremos vale 120 V y los valores de las resistencias son :
En c) se ha efectuado la segunda transfiguración, consistente en sustituir las dos ramas paralelas R2 y R5 por una sola resistencia, de valor Rc, igual a la resistencia combinada de las ramas en derivación, es decir, que se verifica P2 • P5 Pc = P2 + P5 Finalmente, en d) se ve el circuito después de la tercera y última transfiguración . Con ella se ha conseguido convertir el conjunto del circuito mixto en una sol a resistencia RT, cuyo valor es igual ala suma RT = R1 + Rc. La resistencia RT representa, por consiguiente, el valor de la resistencia combinada del circuito mixto completo . Por lo tanto, la intensidad de la corriente tota l absorbida por el conjunto del circuito mixto ser á
I_
Observando la fig. 76 c) se ve que entre los puntos B y D hay una resistencia combinada de valor Rc, por lo que la tensión parcial correspondiente a ese trozo de
circuito será V2 = Pc I
La resistencia combinada Rc del conjunto formado por las dos ramas paralelas tienen por valor Rc
_
R, P,
.
_4 X 6 ,4 52 4 + 6_R,+P 2
Por lo tanto, el valor de la resistencia total RT del conjunto e s
PT=R1 +Rc= 1,6+2,4=4 Ç La intensidad de corriente total que recorre el circuito val e 14
= 30 A
PT
1=
Iz =
V2=Rc1=2,4X30=72 V (Observemos que se cumple que la suma de las dos tensiones parciales es igual a la tensió n total, ya que 48 + 72 = 12U V ). Seguidamente, calculamos las intensidades de corriente parciales en las dos ramas . En la formada por la resistencia R2 la intensidad de corriente vale 12
=
V2 P2
Finalmente, pueden ser calculadas las tensiones parciales correspondientes a las resistencias R3 y R4 acopladas en serie en una de las ramas . Estas tensiones parciales valdrán V. = P411 V3 = R3 I1
Asimismo, pueden ser calculadas tanto la potencia total del circuito como la s parciales de las distintas resistencias, para lo que basta multiplicar los valores de la intensidad de corriente y de la tensión existente entre los extremos de la resistenci a
P2
=
=18 A
42 En cuanto a la rama formada por las resistencias R3 y R4 será recorrida por una intensidad de corriente parcia l 12=
Conocido el valor de la tensión parcial correspondiente al conjunto de las dos ramas derivadas, se determinan seguidamente los valores de las intensidades de corriente parciales que las recorren .
68
R,=R,+R.=1 +5=6el
Vi = P1 1= 1,6 X 30 = 48 V
. —= pl 1
correspondiente .
drá
Asimismo, la tensión parcial que corresponde al conjunto de las dos ramas paralelas vale
Conocida la intensidad de corriente total, se puede calcular seguidamente la s tensiones parciales existentes entre los puntos A y B por una parte y entre B y D por otra . Entre A y B habrá una tensión parcia l
V2 R5
R.=5 Q
La tensión parcial correspondiente a la resistencia Rl será
V
PT
=
Ps=1Q
La resistencia R5 de la rama formada por las resistencias R3 y R4 acopladas en serie val -
ma de aquéllas R5 = R3 + R4 .
I,
P,=4Q
R,=1,6Q
= 6
=12 A Ra (Observemos que se verifica que la suma de las intensidades de corriente parciales es igua l a la intensidad total, ya que 18 + 12 = 30 A ) . Las tensiones parciales correspondientes a las resistencias R3 y R4 valen respectivamente V3
=
R3 Il = 1 X 12 = 12 V
V4=R411=5X12=60 V
Observando que también se cumple la condició n V2 = V3 + V4=12+60=72 V La potencia total del conjunto ser á P= V/= 120X-30=3 .600W =3,6k W En cuanto a las potencias parciales de las distintas resistencias tienen por valor : la de la resistenciaRl valePl = V1 I = 48 X 30 = 1 .440 W ; la de la resistencia R2 vale P2 = V212 =72 X 18 = 1 .296 W ; la de R3 vale P3 = V3 Il = 12 X 12 = 144 W, y la de la resistencia R4 vale P4 = V411 = 60 X 12 = 720 W. Podemos comprobar cómo la suma de las potencias parciale s Pl +P2+P3+ P4 = 1 .440+864+216+1 .080=3 .600 W es igual exactamente al valor calculado para la potencia total del conjunto . 69
En cambio, si interesara variar el valor de la resistencia del reostato incluid o en el circuito, se divide el valor total de la resistencia en varios trozos independien tes, unidos todos ellos en serie, y se conectan los extremos de los distintos trozos a unas piezas llamadas contactos o plots (fig . 77), colocados sobre un arco de circunferencia y en orden tal que, al girar la maneta de conmutación M, se pueda aumentar o disminuir el número de trozos elementales y con ellos el valor de la resistencia incluida en el circuito . Así, en la figura 77, la maneta se encuentra sobre el plot 4 , incluyendo en el circuito los trozos, Ri, R2 y R3, de forma que la corriente que enCAPITULO I X R 95.
EOSTA TO S
Definición y clasificació n
Recibe el nombre de reostato toda resistencia intercalada en un circuito eléctrico, sea en serie o en derivación, a fin de regular la intensidad o reducir la tensión . Según sea el material de que están construidos, los reostatos pueden ser metálicos o líquidos . Sin embargo, los casi únicamente usados son los reostatos metálicos, debido a la constancia del valor de la resistencia, así como por su más sencill a instalación y fácil manipulació n 96.
Reostatos metálicos
Los reostatos metálicos son construidos con hilos o pletinas desnudas de hierro o aleaciones de gran resistividad, como por ejemplo, niquelina, constantán , nicrhom, etc . (Sus resistividades se dan e n la Tabla II, de la página 32) . Se clasifican los reostatos metálicos , atendiendo al empleo a que se destinan . en cuatro grupo s 1 .° Resistencias calibradas par a aparatos de medida y ensayos de precisión . 2° Resistencias variables para regulación de circuitos en los cuales se encuentran conectados permanentemente . 3 .° Resistencias variables para e l arranque de máquinas y aparatos eléctricos . 4 .° Resistencias de calefacción . Fig . 77. Reostato de regulación Cuando los reostatos han de tene r una resistencia de valor invariable, s e construyen de una sola hélice, que deja libres sus dos extremos llamados bornes y que sirven para conectarlo al circuito . 70
tra por A recorre estos trozos y sale por el plot 4, sector S y borne B . Para evitar que se produzca la interrupción de la corriente al pasar la manet a de un contacto al siguiente, la pieza móvil de conexión de la maneta se hace de una anchura tal que le permite tocar un contacto antes de abandonar el anterior . No es conveniente hacer pasar la corriente por el eje de la maneta a causa de l a resistencia de contacto . Por eso se provee a los reostatos de un sector metálico S concéntrico con el arco de circunferencia sobre el que se encuentran los contactos . De esta forma, la pieza de contacto C de la maneta une el sector metálico con lo s plots . Otro tipo de reostato de resistencia de valor variable es el llamado de corredera, en el cual un contacto móvil C se desliza sobre una varilla metálica V, apoyándose constantemente sobre una hélice de hilo H, que forma l a resistencia (fig . 78) . Fig . 78. Reostato de corredera. Dos bornes B, uno de ellos conectado al extremo de la resistencia y e l otro a la varilla metálica V, sobre la que desliza el contacto móvil, permite intercala r el reostato en el circuito . 97. Cerrar en cortocircuito .
En ciertas ocasiones es usada la expresión "cerrar en cortocircuito", la cual n o debe ser confundida con un cortocircuito, ya que este fenómeno es una anomalía siempre perjudicial, mientras que cerrar en cortocircuito es una maniobra necesari a en la manipulación de reostatos . Con ella se elimina una resistencia de varias acopladas en serie, sin determinar una elevación exagerada de la intensidad de la corrient e que recorre el circuito . Por ejemplo, sea el reostato de la fig . 77 acoplado en serie con un aparato o rpáquina eléctrica, formando un circuito heterogéneo. Si se maniobra en el reostat o de forma que la maneta quede sobre el contacto 1, unirá directamente los bornes A y B, por lo que, en consecuencia, estará cerrado en cortocircuito y el circuito ser á recorrido por el valor máximo de la intensidad de corriente . Ahora bien, en esta ma niobra no se ha originado un cortocircuito, ya que aún quedan incluidos en el cir 71
culto las restantes resistencias acopladas en serie con el reostado . 98.
Resistencias de medida .
Las resistencias empleadas en medidas de precisión deben tener gran exactitud y ser de valor absolutamente constante . Para conseguir tal fin son construida s en aleaciones especiales con las que es inapreciable la variación de resistencia, teniendo en cuenta, por otra parte, las pequeñas temperaturas a que están sometidas . Por otra parte, en la construcción de las resistencias de medida se deben guardar escrupulosamente determinadas precauciones . Una consiste e n que el conductor que forma las hélices sea cuidadosamente aislado y arrollado, a fin de evitar toda Hg. 79 . Resistencia sin posibilidad de cortocircuitos, que alterarán el valo r atto-inducción . de la resistencia . Otra precaución que se debe guardar tiene por objeto evitar el efecto de auto — inducción del hilo arrollado . Si la hélice se construyera arrollando un solo hilo, presentaría una inductancia muy elevada, lo que podría alterar las medidas en determinados ensayos . A fin de evitarlo, las resistencias de medida se preparan dobland o previamente el hilo conductor y arrollando las dos mitades a la vez, con lo que s e consigue que la corriente circule en sentido inverso en las dos mitades de la bobina , anulándose mutuamente su efecto de auto--inducción . En la fig. 79 puede observarse el doblez del conductor en C, y que la hélice presenta los dos bornes A y 13 para ser unidos a los contactos o plots de l reostato . 99.
Reostatos de arranqu e
Las resistencias destinadas a l arranque de motores eléctricos n o exigen gran exactitud en su valor, y a que el error posible influye muy poc o en el funcionamiento del motor .
Fig . 81 .
72
Reostato de parrillas.
C
El valor de la resistencia total del reostato, así como los de los trozos en que s e halla dividido, depende del motor al cual va a ir conectado y de las condiciones deseadas en el arranque . 100.
Reostatos de regulació n
Esta clase de reostatos son conectados en serie o derivación en un circuit o principal, con objeto de- regular la intensidad de corriente en el mismo o reducir l a tensión aplicada a un receptor . Así, por ejemplo, en una dínam o P Shunt es necesario colocaren serie con la s N bobinas polares principales un reostat o de regulación, cuyo objeto es regular l a intensidad de la corriente de excitación a fin de mantener constante la tensión e n los bornes de la dínamo . Otro ejemplo de reostato de regulación es el que se conecta en serie con u n receptor a fin de reducir la tensión aplicada a sus bornes . Fig. 82. Reostato en serie Para conseguir tal objeto, el reostacon un arco eléctric o to debe originar ttna caída de tensión V R igual a la diferencia de la tensión de la red V y la tensión deseada en el receptor V ' Así, pues, se debe verificar
VR = V - V '
(50)
Como además se conoce la intensidad de la corriente que ha de recorrer el cir cuito, será calculada la resistencia del reostato aplicando la fórmula (22) de la Le y de Ohm, resultando la expresión siguiente VR (51) RR I Ejemplo 34 . El arco eléctrico representado en la fig . 82 tiene las siguientes caracterís-
=
Fig . 80.
Parrilla de reostato.
Mayor interés tiene que estos reos tatos sean baratos . A tal fin, se construyen de hierro o aleaciones de hierro y níquel, que se funden en forma de parrillas (fig. 80), las cuales, por otra parte, n o son forradas con aislamiento continuo . Las parrillas se apilan para forma r el conjunto del reostato, introduciend o en los agujeros, expresamente taladrados , bulones aislados, como se ve en la fig. 81 .
ticas nominales de funcionamiento : tensión, 40 V ; intensidad, 25 A. Calcúlese la resistenciade l reostato necesario para que pueda ser acoplado el arco a una red de 60 V de tensión . La resistencia del reostato debe originar una caída de tensión d e
VR= V—
V'=60—40=20 V
En consecuencia, su valor dado por la fórmula (51) ser á
PR =
101.
R I
=
~~= 0,8 5
Reostatos de calefacció n
En esta clase de reostatos se busca, como único fin útil, la producción de ca. Este es consecuencia del efecto Joule que aparece en el conductor, que forma l a lor resistencia, al ser atravesado por una corriente eléctrica . 73
Las resistencias de calefacción trabajan a altas temperaturas, del orden d e centenares de grados . Por tal razón, es necesario emplear en estos reostatos conduc tores de elevado punto de fusión, que no son forrados con aislamiento propio . Los conductores de la resistencia se arrollan en cilindros o piezas de forma convenient e preparados en materiales refractarios . El cálculo de una resistencia de calefacción se efectúa partiendo de dos su puestos distintos, según se desee que esa resistencia consuma cierta potencia eléctri ca o produzca determinada cantidad de calor . En el primer caso, los datos conocidos son : la potencia eléctrica absorbida P, en vatios, y la tensión de la línea V, en voltios . La resistencia quedará calculada des pejando su valor en la fórmula (27) . Así result a (52) P =
V2
P Calcúlese el valor, en ohmios, de la resistencia que se ha de colocar e n una plancha eléctrica de 550 W de potencia sabiendo que la tensión de la red es de 220 V . Aplicando la fórmula (52) se obtiene el valor de la resistenci a Ejemplo 35 .
P _
V2
P
_ 2202 _ 88 Q 55 0
En otras ocasiones los datos conocidos son : la cantidad de calor Q, en calorias -gramo, que debe producir la resistencia ; el tiempo t, en segundos, durante e l cual ha de funcionar, y la tensión de la línea V, en voltios . La resistencia quedar á 'alculada ' despejando su valor en la fórmula (36) . Así result a (53) P =
0, 24 V 2 t Q
Ejemplo 36 . Calcúlese el valor, en ohmios, de la resistencia de un calentador de agua , desea que en 5 minutos consiga elevar la temperatura de 30 litros de agua de 20 a 80 0 C, .iendo la tensión de la línea de alimentación 120 voltios . Según las Leyes de la Termotecnia, para elevar en 60 8 Ola temperatura de 30.000 gramo s de agua se necesita la cantidad de calor siguiente :
Q = P,t°=30 .000X60=1 .800.000 ca l hn consecuencia, para que en 300 segundos se produzca esta cantidad de calor, el valor d e la resistencia ha de ser e_ _ 0,24172 1 _ 0,24 X 120' X 300 _ 0 576 Q Q 1 .800.000 102 . Cálculo de un reostat o
Calcular un reostato consiste en la determinación de la sección y longitud d e ta resiste!-cia que lo constituye . A este respecto debemos hacer una Importante con sideración deducida de la fórmula (9 )
R=p 74
Scu
Observemos que con un determinado material puede ser obtenido el mism o valor de resistencia tomando diferentes secciones y longitudes, siempre que se man tenga constante la relació n 1 Scu Por ejemplo, se obtendrán valores iguales de resistencia tomando 20 metros d e hilo de cobre de 0,5 mm 2 de sección que si se toman 40 metros de 1 mm 2 ó 100 metros de 2,5 mm 2 , etc . Así, pues, existen para cada caso infinito número de soluciones posibles . Sin embargo, la experiencia práctica, teniendo en cuenta puntos de vista económicos y técnicos, aconsejará la mejor solución . Desde el punto de vista económico, cuando menor sea la sección del conductor, tanto más pequeña, proporcionalmente, , ha de ser su longitud para obtener e l valor deseado de la resistencia . Por consiguiente, el reostato será más barato por tener menos peso de material . Ahora bien, el punto de vista técnico exige que la sección del conductor n o sea demasiado pequeña, ya que en tal caso sería excesiva la densidad de corriente, l o que determinaría que la temperatura de régimen tomaría un valor elevado, inclus o peligroso .
103 . Temperatura de régimen de un conducto r
Un conductor de resistencia R, en ohmios, recorrido por una corriente de I amperios, produce, por efecto Joule, una cantidad de calor Q, en calorías—gram o por cada segundo, dado por la fórmula (35 ) C= 0,24P P Este calor producido se desdobla en dos partes, que originan los efectos siguientes : 1 .° Una parte Ql se encarga de elevar la temperatura del conductor . 2 . 0 Otra parte Q2 es emitida al medio ambiente . En todo instante, la suma de estas dos partes es igual al calor total producid o en el conductor por efecto Joule, es decir, qu e
Q = Qt 1- Q2 Dado que la temperatura del conductor tc va aumentando progresivamente . también aumentará en igual proporción la parte Q2 del calor emitido hasta llegar un momento en el cual se verifique que el total del calor producido por efect o Joule Q sea igual al emitido al medio ambient e
Q = Q2 En ese instante será nula la parte Ql destinada a elevar la temperatura de l conductor y ésta quedará estabilizada . Esta temperatura recibe el nombre de temperatura de régimen del conductor . El valor de la temperatura de régimen tiene sum a 75
importancia en la técnica eléctrica . En efecto, si el conductor está aislado, la tempe ratura de régimen debe ser inferior al valor límite establecido por las Normas eléctricas, para el aislamiento empleado . En cambio, si se trata de conductor desnudo, la temperatura de régimen deb e ser inferior a la temperatura de fusión del propio conductor, con un amplio marge n de seguridad .
104. Expresión de la temperatura de régime n De acuerdo con la fórmula (35), el calor producido por efecto Joule enun conductor de diámetro d y longitud L, cuando es recorrido por una corriente de I amperios, vale
L
Q=0,24p7c d ,
l'
4 Por otra parte, el calor Q2 emitido al ambiente por el conductor, cuya superficie de emisión es tr d L cuando la diferencia de su temperatura sobre la del ambiente es Ot , valdr á
Q,=K• adLOt ° Igualando las dos expresiones anteriores se obtiene la siguiente :
0,24p
L I'=K• ndLOt ° d' 4
Simplificando y despejando el incremento de temperatura del conductor result a
,àt° _
" _0,24 p d ( / 4K ` Scu 1
El paréntesis es el valor de la densidad de corriente, por lo que result a
(55)
At° =
042
KP d S '
fórmula que permite enunciar las leyes siguientes : 1 . a En un determinado conductor, el incremento de temperatura sobre el ambiente e s directamente proporcional al cuadrado de la densidad de corriente a que se haya sometido . 2 . a Para un determinado incremento de temperatura y en igualdad de condiciones exteriores, la densidad de corriente deberá ser tanto más pequeña cuanto mayor sea el diámetro de l conductor .
105 . Reostatos Ifquido s Estos reostatos están constituidos por dos placas metálicas P, introducidas e n un baño electrolítico que, en general, es una solución de sosa o potasa (fig . 83) . Los reostatos de esta clase resultan muy económicos, pero son de engorros a manipulación y exigen un cuidadoso control del baño electrolítico, inconveniente s que han reducido su empleo a casos muy limitados . 76
La resistencia de un reostato líquido depende de la superficie bañada de la s placas, de la separación entre ellas y de la resistividad del baño, característica ést a que varía con gran facilidad . La única ventaja de los reostatos líquidos estriba en que la regulación del valor de su resistencia puede hacerse tan suavemente como se desee, para lo cual basta con variar la superficie bañada de las placas . Existen dos procedimientos para conseguir tal variación . Uno de ellos consiste en bajar lentamente la s placas, con lo que se consigue que, al ir introduciéndose en el baño, aumente la superficie bañad a y, por consiguiente se reduzca progresivamente e l valor de la resistencia . Para cerrar en cortocircuit o el reostato se hace que las placas se apoyen sobr e barras metálicas C situadas en el fondo del recipiente . En algunas ocasiones, el tamaño considerabl e que alcanzan las placas de los reostatos líquido s exigirían locales muy altos para efectuar las maniobras de elevación y descenso . Para soslayar este in Fig . 83. Reostato líquid o conveniente se dejan inmóviles las placas y, mediante una bomba de trasegar líquidos, se varía el nivel del baño, para lo cual introduce o se quita electrólito, según convenga .
CAPITULO X GENERADORES ELECTRICO S 106 . Clasificación de las máquinas o aparatos eléctrico s
Estos valores constantes, que reciben el nombre de características del generador, son la fuerza electromotriz, la resistencia interior y la intensidad nomina l a) La fuerza electromotriz, según la definimos en el párrafo 30, es la caus a que mantiene a la electricidad en movimiento a lo largo de un circuito . Es producida en el seno del generador . b) La resistencia interior es el valor de la resistencia medida entre los borne s A y B de salida . Esta resistencia corresponde a la parte del circuito eléctrico cerrado situada en el interior del generador desde el borne de entrada de la corriente B hasta el borne de salida A (fig . 84) . c) La intensidad de régimen es el valor máximo de intensidad de corrient e que puede circular por el generador sin que se produzcan efectos perjudiciales que pudieran ponerlo fuera de servicio . 109 . Utilización del generador eléctrico
Para producir, transformar y aprovechar la energía eléctrica se hace uso d e diversos tipos de máquinas y aparatos . Teniendo en cuenta la transformación de energía que efectúan, las máquinas y aparatos eléctricos se clasifican en tres grandes grupos : 1 . ° Generadores : que transforman en energía eléctrica otra forma cualquier a de energía . 2 .° Receptores : que transforman la energía eléctrica en otra forma de energía cualquiera . Es decir, que los receptores efectúan la operación inversa de los gene radores . 3 .° Convertidores y transformadores : que conservan la energía eléctrica per o modifican su clase o características a fin de hacerla más adecuada para su utilización . 107 . Generador eléctrico
Recibe el nombre de generador eléctrico todo aparato o máquina . capaz 4e producir energía eléctrica a expensas de otra clase de energía . Según sea la forma de energía absorbida, los generadores eléctricos pueden se r de las tres clases siguientes : 1 . a Térmicos. Son generadores que transforman energía térmica o calorífic a en eléctrica . De esta clase son los llamados pares termoeléctricos. 2 . a Químicos. Son generadores que transforman energía química en eléctrica . Pertenecen a este grupo las pilas hidroeléctricas y los acumuladores. 3 . a Mecánicos. Son generadores que transforman energía mecánica en energía eléctrica . Constituyen esta clase de generadores las dínamos y los alternadores . 108. Características de un generado r
Todo generador eléctrico está caracterizado por unos valores que le son própios, e independientes del circuito exterior al cual está acoplado y al que comunic a la energía eléctrica que produce . 78
Para poder utilizar la energía eléctrica producida por un generador es necesario conectar a sus bornes libres A y B un circuito exterior (fig . 84) de resistencia R . La resistencia exterior junto con la interio r del generador forman un circuito eléctrico cerrad o que, al estar sometido a la acción de la f. e . m . producida en el seno del generador, será recorrida po r una determinada intensidad de corriente, que recibe el nombre de corriente de carga . 110 .
Resistencia total del circuit o
Como se ve en la fig . 84, el circuito cerrad o está formado por dos resistencias acopladas en serie , Fig . 84 Generador eléctrico. una la resistencia interior del generador (representada por r) y otra la resistencia exterior de utilización, conectada a los bornes del generador (representada por R). Por consiguiente, la resistencia total del circuito cerrado será igual a la sum a de los valores de dichas resistencias parciales, o se a (56) RT
=r + R
111 . Intensidad de corrient e
Al ser conectada la resistencia exterior de utilización se presentan las dos condiciones necesarias para que exista una corriente eléctrica . 1 . 0 , queda formado u n circuito cerrado y 2 .° este circuito está sometido a la f . e . m . del generador . La intensidad de corriente que recorre dicho circuito cerrado será calculad a mediante la fórmula (22) de la Ley de Ohm . Así se obtiene la expresió n E en amperio s (57) I =
r+
79
Ejemplo 37 . Una dínamo produce una f. e . m . de 120 V y tiene una resistencia interior de 0,2 n. Si se conecta a sus bornes una resistencia exterior de 7,8 S2 se pregunta : ¿Cuánto vale la resistencia total del circuito cerrado que se forma? ¿Cuál será la intensidad de corrient e de carga ? La resistencia total del circuito cerrado val e RT = r + R = 0,2 + 7,8 = 8 St Por consiguiente, la intensidad de corriente de carga es d e 120 1= r = = 15 A
Podemos obtener una fórmula que permita deducir el valor de la tensión e n bornes conociendo la f. e . m . del generador y su caída de tensión interior . Para ello , si despejamos en la fórmula (58) el valor de la tensión en bornes, se llega a la expresión siguiente :
112.
Ejemplo 40 . ¿Cuánto será el valor de la tensión en bornes de un generador eléctric o que produce una f. e . m . de 220 V sabiendo que su resistencia interior es de 0,25 SZ y que su ministra una corriente de carga de 40 A de intensidad ? La caída de tensión interior del generador alcanza un valor de
+R
Caída de tensión interio r
Si en la fórmula (57) despejamos el valor de la f . e . m . E, encontramos la siguiente expresión : (58)
ve = r I voltio s
fórmula que dice : "La caída de tensión interior de un generador es igual al producto del valor de su resistencia interior por el de la intensidad de corriente de carga" . Ejemplo 38 .
vc =
r 1=
114.
Potencia útil del generado r
La potencia útil de un generador es el valor de la potencia eléctrica en sus bornes . Así, pues, su valor vendrá dado por la expresión
(62) Pu = Vb 1 fórmula que dice : "La potencia útil de un generador es igual al producto del valo r de su tensión en bornes por la intensidad de corriente de carga" . Ejemplo 41 .
¿Cuánto vale la potencia útil del generador del ejemplo 40 ? Pu = Vb 1 = 210 X 40 = 8 .400 W = 8,4 kW
0,2 X 15 = 3 V
Tensión en bornes
El segundo sumando del segundo miembro de la fórmula (58) es otra de las do s tensiones parciales que cubre la f . e . m . del generador . Esta segunda tensión parcia l es utilizada en el circuito exterior y recibe el nombre de tensión en bornes. Si designamos por Vb a la tensión en bornes del generador, su valor viene dado por la expresión
(60) Vb = R I fórmula que dice : "La tensión en bornes de un generador es igual al producto de lo s valores de la resistencia del circuito exterior por el de la intensidad de corriente d e carga." Ejemplo 39. ¿Cuál será el valor, de la tensión en bornes necesaria en un generador para que un circuito exterior de 6 S2 de resistencia sea recorrido por una corriente de 20 A de in tensidad?
Vb=RI=6X20= 80
10 V
Vb = E — vc = 220 — 10 = 210 V
115. 113.
r 1= 0,25 X 40 =
Por consiguiente, el valor de la tensión en bornes ser á
¿Cuanto vale la caída de tensión interior en la dínamo del ejemplo 37 ? ve =
Vb = E — vc
fórmula que dice : "El valor de la tensión en bornes de un generador puede ser determinado restando del valor de la f . e . m . producida el de la caída de tensión interior"
E= r 1+ R I
El segundo miembro de esta expresión contiene la suma de las dos tensione s parciales a que da lugar la f. e . m . producida en el generador . El primer sumando de ese segundo miembro de la fórmula (58) es la tensió n parcial que se pierde en la resistencia interior del generador, es decir, que no es utilizada . Por esta razón recibe el nombre de caída de tensión interior. Si designamos por Ve a la caída de tensión interior de un generador, su valo r viene dado por la expresión . (59)
(61)
120V
Funcionamiento de un generador en vací o
Se dice que un generador funciona en vací o cuando está desconectado el circuito exterior . Por consiguiente, será nula la corriente suministrada (fig . 85) . También será nula la caída d e tensión interior, resultando que la tensión en bornes de un generador cuando funciona en vacío e s igual al valor de la f . e . m . producida en su interior . Así, pues, designando por Vbo el valor de la tensión en bornes del generador funcionando en va cío se puede poner la expresión .
Fig . 85 . Funcionamiento de un generador en vací o
(63) Vbo = E Observemos que la única manera de poder medir la f. e . m . de un generador e s hacerlo funcionar en vacío, con lo cual, midiendo la tensión en bornes, queda determinado el valor de la f. e . m . 81
La potencia útil de un generador en vacío es también nula, al no existir uno d e los factores de la potencia, la intensidad de corriente . 116.
De acuerdo con la fórmula (58), la f. e . m . E producida en un generador . e s igual a la suma de la tensión en bornes Vb y la caída de tensión interior r 1
Funcionamiento de un generador en cortocircuit o
E= Vb+r I
Se dice que un generador funciona en cortocircuito cuando sus bornes que dan unidos mediante una resistencia de muy pequeño valor, prácticamente nula (fig .
Si multiplicamos los dos miembros de la expresión anterior por el valor de l a intensidad de corriente tendremo s
86) . En tales condiciones, la tensión en bornes del generador quedará reducida a un valor próximo a cero, ya que según la fórmula (62) se tien e Vbcc = R I = cero Así, pues, la única tensión parcial que se presenta enel circuito cerrado es la caída de tensión interior, es decir, que el valor total de la f . e . m . producida en el ge nerador se utiliza en vencer la caída de tensión interior . Designando por lee la inten sidad en el generador funcionando en cortocircuito la caída de tensión en este caso será r /cc . luego, podemos pone r
EI=VbI+rl ' En esta expresión, Vb I representa la potencia utilizada en el circuito exterior . Por su parte r 1 2 es la pérdida de potencia interior del generador, luego la suma d e ambas potencias será la . potencia eléctrica total producida por el generador . Rendimiento eléctrico de un generador es la relación entre la potencia eléctrica útil y la total producida por el generador . Representando el rendimiento eléctrico por Re se tiene
Re
=
E = r /ce Como quiera que el valor de la resistenci a interior de un generador es siempre pequeñ o en comparación con la f. e . m . que produce, resulta que la intensidad de corriente en cortocircuito tendrá un valor muy elevad o Fig. 86 . Funcionamiento de generado r en cortocircuito
(64)
Ice =E
r
fórmula que dice : "La intensidad de corriente en un generador en cortocircuito e s igual al cociente que resulta de dividir el valor de la f . e . m . por el de la resistenci a interior" .
Vb
I
El
de donde simplificando resulta (65) Re
=
Vb
E : "El rendimiento eléctrico de un generador es igual al cocient e fórmula que dice que resulta al dividir la tensión en bornes por la fuerza electromotriz " Así, en el generador estudiado en los ejemplos anteriores, que produce una f . e . m . de 220 voltios y, cuando funciona en carga, su tensión en bornes es Vb = 210 voltios, el rendimient o eléctrico alcanza un valor de
Re
=
Vb = E
210 22 0
=0,954
Re =
95 .4
%
Ejemplo 42 . ¿Cuánto vale la intensidad de cortocircuito de un generador que produc e una f. e . m . de 220 V y una resistencia interior de 0,25 S2? Ice =
E
r
22 0
0 25 = 880 A
valor elevadísimo, ya que resulta 880 : 40 = 22 'veces mayor que la calculada en el ejemplo 4 0 como corriente nominal .
La potencia útil de un generador funcionando en cortocircuito es nula po r serlo la tensión en bornes . 117.
Rendimiento eléctrico de un generado r
Ya sabemos que parte de la potencia eléctrica producida por un generador e s perdida en el interior del mismo, quedando una potencia útil inferior a la producida .
82
83
CAPITULO X I ACOPLAMIENTO DE GENERADORE S 118.
Distintas formas de acoplar generadores .
El resultado conseguido con un acoplamiento de generadores eléctricos es similar al conseguido con la disposición de las bombas centrífugas de la fig . 88 .Como se ve, las bombas Bi, B2 y B3 elevan el mismo agua sucesivamente desde el recipiente in ferior A hasta los recipien tes At, A2 y A3 . De est a forma cada bomba sólo debe suministrar la fuerza ne cesaria para elevar el agua a las alturas Ht , H2 y H3 . reN sultando que la altura total a la que ha sido elevada es H, suma de las tres alturas parciales, es decir, que se tendrá
En la práctica interesa, en muchas ocasiones, disponer de fuerzas electromotrices o intensidades de corriente de mayor valor que las que caracterizan a un sol o generador . Para conseguir tal objeto es necesario acoplar dos o más generadores . El acoplamiento de generadores puede ser ejecutado en las siguientes formas : En serie, con lo cual se consigue que la fuerza electromotriz resultante sea mayor que la de cualquiera de los generadores acoplados . b) En paralelo, lo que permite suministrar una intensidad de corriente de valor mayor a' la de cualquiera de los generadores así acoplados . cJ Mixto o en series paralelas, acoplamiento que se ejecuta cuando simultáneamente se desean conseguir los dos efectos anteriores, es decir . que se pueda disponer al mismo tiempo de fuerza electromotriz e intensidad de corriente mayores a los que caracterizan a un solo generador . aJ
a) 119.
ACOPLAMIENTO EN SERI E
Necesidad de este acoplamient o
Siempre que el circuito exterior de utilización exija una tensión de mayor valor que la que puede proporcionar un solo generador, se acoplan varios generadore s en serie, de forma (lue se sumen sus correspondientes fuerzas electromotrices . Para efectuar el acoplamiento en se rie de varios generadores eléctricos, se conecta el borne negativo de cada uno de ello s con el borne positivo del siguiente . En consecuencia, quedarán libres do s Fig. 87. . Generadores acoplados en serie. bornes solamente, el positivo del primer o y el negativo del último, los cuales constituyen los bornes del conjunto o baterí a (fig . 87) . 84
Fig. 88. Símil hidráulico del acoplamiento en serie de generadores .
120.
H = H~+H2+ H3
Condición exigida a los generadore s
En un acoplamiento en serie de generadores eléctricos, la intensidad de corriente es la misma para todos ellos . Por tal motivo, es condición imprescindible qu e todos los generadores sean de igual intensidad nominal . Para comprobar la razón de esta condición veamos lo que sucedería si no s e cumpliera, fijándonos que entonces pueden presentarse dos casos distintos : l .° Que la batería fuera recorrida por una corriente de intensidad igual a l a correspondiente al generador que la tenga más baja de todos . En tal caso, los restantes generadores no serán totalmente aprovechados, por lo que tendrán un rendimiento inferior a su valor nominal . 2 .° Que la batería fuera recorrida por una corriente de intensidad igual a l a nominal del generador que la tiene más elevada de todos . En tal caso, funcionará n sobrecargados los generadores restantes, de manera que, en su circuito interior , habrá una densidad de corriente mayor que la aceptable con garantía . Como consecuencia, se presentará un excesivo incremento de temperatura, lo que constituye u n claro peligro para la integridad de esos generadores . En cambio, los generadores acoplados en serie pueden ser diferentes en cuant o a sus fuerzas electromotrices y sus resistencias interiores . No obstante, ordinariamente, se ejecutan los acoplamientos en serie con generadores exactamente iguales , no sólo en intensidad de régimen sino también en f . e . m . y resistencia interior .
121.
F . e . m . del conjunt o
La f. e . m . total, del conjunto de varios generadores en serie es igual a la sum a de las fuerzas electromotrices producidas por todos ellos, de forma similar al resul 85
Lado obtenido en la instalación de bombas de la fig . 88, con las que se conseguía elevar el agua a un desnivel total H igual a la suma de los desniveles parciales originados por las distintas bombas . Así pues, designando por Ei, E2, E3, . . . . los valores de las fuerzas electromotrices producidas por los generadores acoplados en serie y por E la f . e . m . total del conjunto o batería podemos pone r
(66) E = Et +E: +Eg + . . . . Ordinariamente, los generadores acoplados en serie son de igual f. e . In ., por lo que el valor de la fuerza electromotriz total del conjunto o batería es igual a la d e uno de ellos multiplicado por su número . Así, pues . designando por t al númer o de generadores acoplados en serie y por E, la fuerza electromotriz de cada uno d e los generadores, el valor de la f . e . m . total del conjunto ser á
(67)
E--= t El
fórmula (69), se tiene finalmente, como valor de la intensidad de corrient e (70) 1 124 .
Caída de tensión y tensión en borne s
La caída de tensión interior del conjunto de varios generadores acoplados e n serie es igual al producto del valor de la resistencia interior total del conjunto multiplicado por el valor de la intensidad de corriente que suministr a
vc=r 1
(71)
Si del valor de la fuerza electromotriz total producida por el conjunto de varios generadores acoplados en serie se deduce el valor de 1"a caída de tensión interio r del conjunto, el resto representará la tensión útil en sus bornes . Así, pues, en este caso también es utilizable la fórmula (61 ) Vb=E — vc
122 . Resistencia interior del conjunt o En un acoplamiento de generadores en serie, la resistencia interior del conjunto es igual a la suma de las resistencias interiores de los distintos generadores . En el caso general de que todos los generadores sean iguales, la resistencia interior del conjunto o batería es igual a la de uno de los generadores multiplicado po r el número de los que están acoplados en serie . Así, pues, designando por r, a la resistencia interior de cada generador y por t al número de generadores iguales acopla dos en serie, la resistencia interior total del conjunto del acoplamiento o batería valdrá
(68)
r = t r1
125. Potencia útil y rendimiento del conjunt o La potencia útil del conjunto viene dada, como siempre, por el producto d e los valores de la tensión útil en bornes y de la intensidad de corriente (fórmula 62) . P
= Vb I
Asimismo, el rendimiento eléctrico del conjunto es igual a la relación existen te entre la tensión en bornes y la f . e . m . total producida por el mismo (fórmula 65 ) Pe=
123 . Intensidad de corrient e Cuando se conecta a los bornes del conjunto o batería . constituido por vario s generadores en serie, un circuito exterior de resistencia R, quedará formado un circuito cuya resistencia total será igual a la suma de la resistencia interior del conjunt o y la resistencia exterior
(69)
PT
t tri + P
= t r1 + P
La intensidad de cor r iente que recorre este circuito cerrado será calculad a aplicando la fórmula (22) de la Ley de Ohm, que en este caso nos da la siguient e expresión
1= - E
PT
Recordando los valores de la fuerza electromotriz total del conjunto E, dad o por la fórmula (67), y el de la resistencia total RT del circuito cerrado, dado por la
E
Ejemplo 43 . Una batería contiene 30 pilas acopladas en serie . La f. e . m . de cada un a de ellas es de 2 V y su resistencia interior de 0,04 S2 . A los bornes de la batería se conecta un a resistencia exterior de 2,8 SZ . Calcúlese el circuito cerrado que así se forma . De acuerdo con la fórmula (67) la f . e . m . total de la batería es de EtE,=30X2=60 V
Mediante la fórmula (68) se calcula la resistencia interior total de la batería, que val e r=tr,=30X0,04=1,2 4
La resistencia total del circuito vale, (fórmula 69) ,
PT
= t r, + R = 1,2 + 2,8 = 4 4
por lo que la intensidad de la corriente que recorre el circuito vale, de acuerdo con la fórmul a (70) _
_ 60 E tr, -I- R 4
=15 A
La caída de tensión, aplicando la fórmula (71), resulta d e vc=r1=1,2X15=18V 87
por consiguiente, la tensión en los bornes de la batería valdr á Vb = E — ve=60 — 18=42 V
La potencia útil suministrada por la batería será d e
P=
Vb1=42X 15=630 W
y el rendimiento alcanza un valor d e Re —
Vb E -
42
_—
60 —
— ¢ — 70 n ~s
b) GENERADORES EN OPOSICIO N 126.
Generalidades .
Ocurre en algunas ocasiones que al efectuar el acoplamiento en serie de vario s generadores, uno o más de éstos quedan defectuosamente conectados por error o descuido . De aquellos generadores no acoplados de manera correcta en el conjunto , se dice que están en oposición . En un acoplamiento de generadore s en serie, se encuentra uno de ellos e n oposición cuando aparecen directamente unidos dos bornes de igual polaridad, es decir, dos bornes positivos o dos bornes neHg . 89. Acomplamiento de generadores en gativos. Así, en la fig . 89 el generador de l serie con uno de ellos en oposición . medio está en oposición respecto a los do s restantes, ya que ha sido conectado su borne negativo con el también negativo del generador de la izquierda y su borne positi vo con el de igual sentido del de la derecha . 127.
F . e . m . del conjunt o
La f . e . m . producida por un conjunto de generadores, cuando uno o más d e ellos están en oposición, no es igual a la suma total de las fuerzas electromotrices d e todos ellos, como resultaría si estuvieran correctamente conectados en serie . En efecto, la f . e . m . producida en los generadores conectados en oposició n tiende a oponerse a que circule la electricidad en el circuito . En consecuencia, de signando por El a la suma de las f . e . ms . producidas en los generadores que actúa n correctamente y E2 a la suma de las producidas en los generadores acoplados e n oposición, la fuerza electromotriz resultante en el conjunto valdr á
(72)
E=Et —E2
evidentemente menor que la que resultaría si todos los generadores estuvieran co nectados de manera correcta, ya que en tal caso la f . e . m . total sería El + E2 . 88
128.
Resistencia interio r
La resistencia interior del conjunto de varios generadores es la suma de las resistencias interiores de todos ellos, tanto si están correctamente conectados como s i hubiera alguno acoplado en oposición, ya que la electricidad que recorre el circuit o encontrará idéntica dificultad . Así, pues, la resistencia interior del conjunto vendrá dada por la misma fórmula (68) que para los generadores en serie, que er a r 129.
t
Tensión en bornes
Si a los bornes del conjunto se conecta una resistencia exterior R, se formar á un circuito cerrado de desistencia total igual a la suma de las resistencias interior y exterior
RTtr 1 + R Este circuito cerrado será recorrido por una corriente cuya intensidad valdrá .
=
E= E, — Es tr i + R RT
Esta corriente da origen a una caída de tensión en el interior del conjunto d e valor
Vc
= rI
Resultando una tensión útil en bornes igual a la f. e . m . del conjunto deducid a la caída de tensión
Vb=E—vc=(El — E,) —r I
130.
Potencia úti l
La potencia útil de la batería queda reducida cuando existen generadores e n oposición, ya que en tal caso disminuyen lds valores de los dos factores de la potencia, tanto la tensión en bornes como la intensidad de corriente . Ejemplo 44 . Se desea acoplar en serie 60 pilas de 2 V de f . e . m . y 0,05 Slde resistencia interior, pero por error quedan 8 de ellas conectadas en oposición . Estúdiese el circuito que se forma al conectar a los bornes de la batería una resistencia exterior de 7 ohmios . s La f. e . m . de las 52 pilas conectadas correctamente vale E i = 52 X 2 = 104 V, mientra que la correspondiente a las 8 pilas conectadas en oposición es E2 = 8 X 2 = 16 V . Por consiguiente, la f. e . m . resultante en la batería ser á E=E1 —Es
= 104 —16=88 V
valor muy inferior al que se obtendría si todas las pilas hubieran sido conectadas correctamente, ya que entonces la f. e . m . total valdría 60 X 2 = 120 V La resistencia interior de la batería val e r=tr1 =60X0,05=3 Q 89
y la resistencia total del circuito, formado por la batería y la resistencia exterior, val e P T = r+P=3+7=10' Q Por consiguiente, la intensidad de la corriente que recorre ese circuito tomará un valo r 1= — E, = 8 8 PT 1 0 = 8,8 A que determinará una caída de tensión interior d e
El acoplamiento de generadores en paralelo es similar a una disposición hidraú lica como la de la fig . 91, en la cual dos bombas centrífugas BI y B2 actúan simultáneamente, elevando agua a la misma altura H, pero de forma tal que el caudal total de agua elevada es igual a la sum a de los caudales elevados independien temente por ambas bombas .
vc =r I = 3X8,8=26,4 V quedando como tensión útil entre los borne s Vb=E— vc = 88 — 26,4 = 61,6 V (Obsérvese que si todas las pilas hubieran estado correctamente conectadas en serie, la co rriente que recorrería el circuito sería de 12 A, la cual determinaría una caída de tensión inte rior de 3 X 12 = 36 V, quedando como tensión útil en bornes 120 — 36 = 84 V) . La potencia útil de la batería con los 8 generadores en posición será d e P = VbI=61,6X8,8=542 W (Obsérvese que si todas las pilas hubieran estado conectadas correctamente, la potencia útil hubiera alcanzado un valor de 84 X 12 = 1 .008 W) .
Estos resultados, que demuestran la disminución de la potencia útil y, por con siguiente, del rendimiento de la batería al existir generadores acoplados en oposición, hacen ver la necesidad de observar sumo cuidado al efectuar la conexión e n serie de todos los que componen una batería .
c) ACOPLAMIENTO EN PARALEL O 131 . Necesidad de este acoplamient o
Cuando el circuito exterior de utilización exija una corriente de mayor intensidad que la que puede suministrar uno solo de los generadores, se recurre a acopla r varios en paralelo . Con ello se consigue que la corriente total absorbida por el cir cuito exterior se reparta entre todos lo s generadores que forman la batería . Para efectuar el acoplamiento e n paralelo de varios generadores eléctricos , se deben unir todos los bornes positivo s en un punto común, para formar el born e positivo general . A de la batería . Asimismo, se unirán los bornes negativos de todos los generadores, para formar el borne Fig . 90 . Generadores acoplados en paralelo . negativo general B del conjunto (fig . 90). En este acoplamiento, la tensió n resultante en lis bornes de la batería, es exactamente la misma que la tensión existente en los bornes de cada uno de los generadores que la componen . 90
132.
Condiciones de este acoplamiento
Los generadores acoplados e n paralelo pueden ser de distinta intenFig . 91 . Símil hidraúlico del acoplamiento e n paralelo de generadores . . Sin embargo, normalsidad nominal mente, se procura que todos ellos sean de iguales características de funcionamiento . Admitido el supuesto de que todos los generadores sean de la misma intensidad nominal, vamos a demostrar que, para que sea correcto el acoplamiento en paralelo y no se presenten corrientes de circulación . es preciso se cumplan las dos con diciones siguientes : 1 . a Que todos los generadores tengan fuerzas electromotrices iguales . 2 . a Que también sean iguales sus resistencias interiores . Para simplificar las demostraciones, reduciremos a dos el número de generado res acoplados en paralelo . Ahora bien, se debe tener en cuenta que estas leyes son aplicables a baterías de cualquier número de generadores .
133.
Primera condición : Igualdad de f . e . ms .
La primera condición que deben cumplir los generadores que se desea acopla r en paralelo . se expresa con la siguiente ley : "Las fuerzas electromotrices producida s por los distintos generadores acoplados en pa I ralelo deben ser iguales " . Para convencernos de la necesidad de escondición, veamos lo que sucede cuando n o ta es cumplida . Sea, por ejemplo, el acoplamient o de los dos generadores de la fig . 92, cuyas fuer zas electromotrices, que son de distinto valor , las designaremos por El y E2 . Admitamos qu e son iguales las resistencias interiores de los do s generadores, de valor r . Vamos a demostrar qu e la corriente total 1 suministrada por la batería Fig 92 Generadores de distint a f e . m acoplados en paralelo al circuito exterior no se reparte a mitad po r cada generador, sino que las intensidades d e corriente cedidas por ellos Il e 12 son diferentes . 91
Dado que la tensión en bornes Vb es común para ambos generadores, su valor puede ser expresado de las dos maneras siguientes :
Vb=E1—r11 =E2 —r12
11 =
Expresión que, mediante una sencilla transformación, se convierte en la siguiente :
E1E2=rA—r12 La intensidad de corriente total I es igual a la suma de las intensidades de corriente parciales I = Il + 12, de donde se deduce que el valor de la intensidad d e corriente del segundo generador es 12 = I — Il , valor que, sustituido en la expresión anterior, conduce a la siguiente :
(E1 — E2)=r1 1 —r1+r11 De esta expresión se deducen las intensidades de corriente suministradas po r los generadores, que vale n ( 73 )
A =I+ 2
E'— 2r
E2
(74)
2 =
1 2
E' — E2 2 r
Las fórmulas
(73) y (74) demuestran que las intensidades suministradas por los dos generadores sólo serán iguales cuando también lo sean sus f . e . ms .
Ejemplo 45. Dos generadores, cuyas f. e. ms. son respectivamente 120 y 118 V y re sistencias interiores iguales a 0,25 SZ están acoplados en paralelo . Conectado a los bornes de la batería está un circuito exterior que absorbe una corriente de 100 A de intensidad . ¿Cómo se repartirá esta corriente entre los dos generadores ? Mediante la fórmula (73) se determina la intensidad de la corriente del generador que tie ne mayor f. e . m . (el de 120 voltios) . 1 E, —E, _ 100 120 — 11 8 1' 2 + 2 r 2 2 X 0,25 = 54 A
Igualmente, mediante la fórmula (74), se determina la intensidad de la corriente del generador que tiene f . e . m . menor (el de 118 voltios) . 1q
_
1 2
_ El — Es _ 100 _ 120 — 1 1 1 _ 46 A 2 r 2 2 X 0,2 5
Así se comprueba que aunque la suma de las corrientes de los dos generadore s = 100 amperios, esas corrientes no son iguales, con el consiguient e perjuicio para el buen funcionamiento de las máquinas, ya que habiendo sido construidas exactamente iguales, o sea, para la misma intensidad nominal, uno quedar á sobrecargado, mientras que el otro funcionará con menor rendimiento . es
54 + 46
134. Caso particular : Funcionamiento en vacío
En el caso de que la batería de los dos generadores, cuyas f . e . ms . son de diferente valor, funcione en vacío (fig . 93), se presenta una corriente de circulación que recorre el circuito cerrado que forman los dos generadores . En efecto, en el 92
funcionamiento la corriente exterior es nula, por lo qu e de acuerdo con las fin-mu las (73) y (74) la corriente en los generadores valdrá
E1 — E2 2r
12
__
El — E2 2r
es decir, de igual valor absoluto, pero de senti do contrario, lo que significa que el segund o generador absorbe la intensidad de corrient e suministrada por el primero . Fig . 93. Generadores paralelos , de distinta f e . m ., funcionand o a circuito exterior abiert o
135 . Segunda condición : Igualdad de resistencias interiore s
La segdnda condición que deben cumplir los generadores que se desea acopla r en paralelo, se enuncia con la siguiente regla : "Las resistencias interiores de los distintos generadores acoplados en paralelo deben ser iguales" . Sean (fig . 94) dos generadores que produciendo igual fuerza electromotriz E tienen diferentes resistencias interiores r i y r2 . Según lo expuesto anteriormente, la ten sión en bornes Vb es común para ambos generadores, por lo que tenemo s Vb=E—r,I, Vb=E—r1 11 Mediante sencillas transformaciones, con vertimos las expresiones anteriores en las siguientes :
E— Vb=r111
E— Vb=r:I,
Siendo iguales los primeros miembros d e estas dos últimas expresiones, también debe n serlo los segundos, luego se obtien e
Pig. 94. Generadores de distinta resistencia interior acoplados e n paralelo
r1 / = r212
expresión que, según las reglas de aritmética, se puede poner en forma de proporción de la siguiente manera : 11 _ r2
(75)
12
rl
que dice : "Dos generadores de igual f. e . m ., pero de distinta resistencia interior , acoplados en paralelo sobre un circuito exterior, suministran intensidades de corriente también diferentes, cuyos valores están en razón inversamente proporciona l a sus resistencias interiores " . Para calcular la intensidad de corriente suministrada por el primer generador , efectuemos sobre la fórmula (75) la sencilla transformación siguiente :
ri I, -4- I: — r2 11 r:
93
Observemos que la suma de corrientes I1 + 12 representa la intensidad de corriente total absorbida por el circuito exterior, por lo que resulta finalmente par a valor de la intensidad de corriente suministrada por el primer generado r r2
11 = 1
(76)
r2 + r1
Por procedimiento análogo se determina la intensidad de corriente del segun do generador 12 =1
(77)
r1
r2 -~ r1
Ejemplo 46 . ¿Cuánto valen las intensidades de corriente suministradas por dos genera dores acoplados en paralelo de igual L. e . m . . pero de resistencias interiores 0,26 y 0,24 SZ, sabiendo que el circuito exterior absorbe una corriente total de 150 A ? Aplicando las fórmulas (76) y (77) result a r, _ 0,24 =150 r,+ — 0,26 + 0,2 4 = 72 A
r,
/,_/ rr+ 136.
0,26 =150 026+0,24
r,
=78 A
Resistencia interior del conjunt o
138 . Caída de tensión interior y tensión en borne s
La caída de tensión en una batería de varios generadores en paralelo pued e ser determinada por dos procedimientos distintos . a) Mediante el producto de la intensidad de corriente total por la resistenci a total combinada del interior de la batería
vc = r I b) Mediante el producto de la intensidad de corriente parcial suministrad a por un solo generador por la resistencia interior del mismo . vc = r,
Ii
i
A t) -4-' (
c t ~,Z,c!1f7 .
Conocida la caída de tensión interior de la batería , se determina la tensión útil en bornes mediante la fórmula
Vb=E —
Vc
139 . Potencia úti l
Igual que en los acoplamientos antes estudiados, la potencia útil de la baterí a es igual al producto de la tensión útil en bornes por la intensidad de la corrient e total absorbida por el circuito exterior .
P= Vb !
Admitamos que son cumplidas las dos condiciones exigidas para un correct o funcionamiento de generadores en paralelo . Siendo r, el valor de la resistencia interior de cada una de ellos y b el número de los acoplados en paralelo, resulta que e l valor de la resistencia-interior combinada del conjunto es igual al de la resistencia d e un generador dividido por su número, de acuerdo con la fórmula (48 )
r=
137.
r1 b
=
rt~- R b
1=
E
PT
Dado que todos los generadores son iguales, la intensidad de corriente suminis trada por cada uno de ellos es igual a la total dividida por su número . 94
Q
A 1= PT = 0,1 = 20 Siendo la intensidad de corriente parcial en cada generado r
Por este circuito circulará una corriente . cuya intensidad valdr á (79)
= b =8 0 4 = 0,03
RT = r + P = 0,03 + 0,07 = 0,1 ç Este circuito será recorrido por una corriente total d e
Si a los bornes de la batería se conecta una resistencia exterior de R ohmios , quedará formado un circuito cerrado, cuya resistencia total será igual a la suma de l a resistencia interior combinada del conjunto y la resistencia exterio r
PT
r
La resistencia total del circuito será
Intensidad de corriente total
(78)
Se forma una batería de 8 pilas en paralelo . La f. e . m . de cada una de Ejemplo 47 . ellas es 2 V y la resistencia interior 0,24 S2. Estúdiese el circuito que resulta cuando a los borne s de la batería se conecta una resistencia exterior de 0,07 SZ. La resistencia interior combinada de la batería es de
/,—
b=8
= 2,5 A
La caída de tensión, tomando la intensidad total de 20 A y la resistencia interior combina da 0,03 SZ, vale vc=r1=0,03X20=0,6 V Valor que también se obtiene operando con la intensidad de corriente parcial (2,5 A) y l a resistencia interior de una sola pila (0,24 Sa) . vc = r, 1= 0,24 X 2,5 = 0,6 V En consecuencia la tensión en los bornes de la batería será Vb=E—vc = 2 — 0,6 = 1,4 V La potencia útil suministrada por la batería val e P = Vb/=1,4X20=28 W 95
d) ACOPLAMIENTO MIXTO O EN SERIES—PARALELAS
140. Necesidad de este acoplamiento
Cuando el circuito exterior de utilización exige simultáneamente valores d e tensión en bornes e intensidad de corriente mayores que las que puede suministrar un solo generador, es necesario acoplar cierto número de generadores, de forma qu e constituyan varias ramas, cada una de la s cuales esté formada por igual número de generadores en serie, estando reunidas to das las ramas en paralelo (fig . 95) . Este tipo de acoplamiento recibe e l nombre de mixto o en series—paralelas. 141 . Condiciones del acoplamiento Dado que todas las ramas están acopladas en paralelo, deberán cumplir las con diciones expuestas para estos circuitos, a fin de que no se presenten corrientes d e circulación . Dichas condiciones son las siguientes : 1 . a Igualdad de fuerzas electromotrices totales de las distintas ramas . 2 . a Igualdad de resistencias interiores totales de las distintas ramas . Dentro de cada rama, los generadores están acoplados en serie . Por lo tanto , deberán cumplir la condición exigida en este tipo de acoplamiento, que es la de qu e todos ellos sean de igual intensidad de régimen . El caso que se presenta ordinariamente es el de un acoplamiento en series—pa ralelas formado por ramas con el mismo número de generadores exactamente iguales en resistencia interior, fuerza electromotriz e intensidad de régimen . Fig. 95. Acoplamiento de generadore s en series-paralelas
143.
Resistencia interior del conjunto
La resistencia interior de cada rama es igual a la suma de las resistencias intedores de todos los generadores que la constituyen, ya que se encuentran acoplado s en serie . Así, pues, siendo r, la resistencia interior de cada generador, la resistenci a de cada rama r R vale
rR =tr,
Dado que las distintas ramas se encuentran acopladas en paralelo, la resistencia interior combinada del conjunto será igual a la resistencia de una de las ramas di vidida por el número de ramas . Así, pues, siendo b el número de ramas en paralelo, el valor de la resistenci a interior combinada del conjunto o batería ser á
rR
r
b
Sustituyendo el valor de la resistencia de una rama se obtiene, finalmente, como resistencia interior combinad a
(80) r
=
t r,
b
fórmula que dice : "La resistencia interior combinada del conjunto formado por va rios generadores acoplados en series-paralelas es igual a la resistencia de un genera dor multiplicado por el número de generadores que constituyen una rama y dividido por el número de ramas conectadas en paralelo" . 144.
Intensidad de corriente tota l
Si a los bornes del conjunto o batería se conecta un circuito exterior de resistencia R, quedará formado un circuito cerrado, cuya resistencia total es igual a la su ma de la resistencia combinada del conjunto de generadores acoplados en series-paralelas más la resistencia exterio r
(81)
PT = - tb'
+R
142 . F . e. m . del conjunto
En un acoplamiento mixto o en series—paralelas, formado por generadore s exactamente iguales, la fuerza electromotriz del conjunto es la misma que la producida en cada rama . De acuerdo con lo expuesto en el acoplamiento de generadores en serie, resul ta que si cada rama está formada por t generadores de fuerza electromotriz E,, l a f. e . m . de cada rama y del conjunto valdrá n
E=tE1 96
Este circuito cerrado será recorrido por una corriente eléctrica, cuya intensidad total tendrá un valor de
PT Conocidos los valores de la resistencia combinada del conjunto y la intensida d de corriente total suministrada por el mismo, se calcula fácilmente la caída de ten sión interior y, en consecuencia, la tensión en los .bornes del conjunto o batería .
97
Ejemplo 46 . 60 pilas de 2 V de f . e. m . y 0,5 S2 de resistencia interior forman un acoplamiento mixto o en series-paralelas, constituyendo 5 ramas, cada una de las cuales contien e 12 generadores en serie. Estúdiese el circuito formado al acoplar a los bornes de la batería un a resistencia exterior de 2,8 S2 . 1 . ° La f . e . m . de la batería,igual a la de una rama, val e E=tE1 =12X2=24 V 2 .° La fesistencia de cada rama es de ra=tr,=12X0,5=61 2 3 .° La resistencia interior combinada del conjunto valdr á t rl _ 12 X 0, 5 r = 1,2 S-2 b 5 4 .° En consecuencia la resistencia total del circuito cerrado valdr á Rt=r+R=1,2+2,8=4 S 2
5 .° La intensidad de corriente total absorbida por el circuito exterior, o sea la suministrada por el conjunto, será l
E Rr
=
4
2
Vb
=6 A
=
vc=rI=1,2X6=7,2 V 8 .° Por consiguiente, la tensión en los bornes del conjunto será d e Vb =E—Vc=24—7,2= 16,8 V
9 .° La potencia útil será pues P=Vb1=16,8X6=100,8 W l0.° Finalmente, el rendimiento eléctrico de la batería tendrá un valor igual a
=
=
1~
=
0,7
Re
= 70 °fo
145 . Potencia máxima posibl e Según hemos visto en el párrafo 115, cuando una pila (o batería de pilas) funciona en va cío la tensión en bornes es de igual valor que la f . e . m . generada y que la potencia útil resulta nula por serlo también la intensidad de la corriente . Asimismo se ha visto en el párrafo 116 que, cuando una pila (o batería de pilas) funcion a en cortocircuito, resultan nulos los valores de la tensión en bornes y de la potencia útil . Esto hace ver que ha de existir un régimen de funcionamiento para el cual resulte máxim o el valor de la potencia útil, siendo evidente que en tal régimen el valor de la tensión en bornes h a de ser mayor que cero y menor que la f . e . m . generada en el interior de la pila o batería . Se demuestra que se obtiene la potencia máxima cuando la tensión en bornes es exactamente la mitad que la fuerza electromotriz, es decir cuando se verifica 98
2
Re =
E~2
=
= 0,5
R = 50 °/o
E Veamos ahora cual es la condición necesaria para obtener la máxima potencia útil en un a pila o batería de pilas . Para ello recordemos que la f. e . m . es igual a la suma de la tensión e n bornes R I más la caída de tensión interior r I E=Rl+r l Por otra parte, acabamos de ver que se obtiene la potencia máxima cuando la f. e . m e s igual al doble de la tensión en bornes E — 2 Rlpor lo que sustituyendo este valor en la expresión anterior se tiene 2RI=Rl+r l Simplificando l y efectuando operaciones resulta finalmente
l _ 6 = 1,2 A b 5 7 .° La caída de tensión interior total es igual a la resistencia combinada del conjunto po r la intensidad de corriente total suministrada por el mismo, o se a
Re
E
Con esta potencia máxima el rendimiento de la pila o batería result a
(84)
6 .° Siendo iguales exactamente todas las ramas, la intensidad parcial en cada una será d e 11
=
R=r
expresión que dice : " La potencia útil dada por una pila o batería de pila es máxima cuando la re sistencia del circuito exterior es exactamente igual a la resistencia interior de la pila o batería" .
146 Mejor disposición con N pila s A menudo interesa conocer la mejor disposición que debe efectuarse con N pilas para obtener la máxima potencia útil . Como acabamos de ver se consigue este resultado cuando la resistencia exterior del circuito de utilización sea igual a la resistencia interior de la batería . El valor de la resistencia interior combinada de la batería viene dado de la fórmula (80) . Así, pues, para obtener la potencia máxima se debe verificar la siguiente igualdad : R— r, (A) b Por otra parte, siendo N el número total de generadores que constituyen el acoplamiento mixto, es evidente que se verifica la igualda d (B)
N= tb
Las igualdades (A) y (B) forman un sistema de dos ecuaciones, con dos incógnitas t y b, que permiten calcular la distribución de los generadores para obtener la máxima potencia de l a batería. Para resolver el sistema de ecuaciones se despejan t o b en la expresión (B), resultando
/
N
b
b
N
Igualmente, despejando esos mismos valores en la igualdad (A), resulta t=
b R r 1
b— tr, R 99
Igualando los valores de t o de b, se obtienen las siguientes expresione s
N bR b rr
N t
R
expresiones que permiten deducir los valores de t y de b en función de las resistencias exterio r R, interior de un solo generador r, y número de éstos que forman la batería
ter,
(85) b _
(86)
t = NR
CAPITULO XI I
Estos valores indican la distribución conveniente para obtener la máxima potencia . Ejemplo 49 . ¿Cuál será la disposición de 75 pilas de 2 V de f . e . m . y 6 S2 de resistencia interior para obtener la máxima potencia cuando esté conectado a los bornes de la baterí a un circuito exterior de 1852 de resistencia ? De acuerdo con la fórmula (85), el número de ramas que ha de tener la batería ser á
Nr,
b -=
R_ I
/75X6 _ -5 18
Asimismo, de acuerdo con la fórmula (86), cada rama debe tener las siguientes pilas en seri e
t=
NR r,
75 I
X
6
18 = 1 5
Así, pues, las 75 pilas formarán una batería de 5 ramas paralelas con Entonces, la f . e . m . de la batería valdrá
E= tEt =_5_-
15
pilas en cada una .
V
= 15X 6 = 1852 r= tr, b 5
valor que, como se debía, es exactamente igual a la resistencia exterior del circuito de utiliza ción . La intensidad de la corriente total valdrá
_ E _ 10 — Rr 18+18—0,27 A La tensión en bornes, de acuerdo con lo indicado para obtener la potencia máxima, deb e ser igual a la mitad de la f. e . m . Así, pues, valdrá Vb=
2 = Z =5 V
Finalmente, la potencia útil en el círculo exterior valdrá P=
Vb l= 5
X 0,27 =
1,35 W
A) PARES TERMOELECTRICO S 147. Observación experimenta l Se puede comprobar experimentalmente que, al calentar la unión o soldadur a de dos metales diferentes, se produce una fuerza electromotriz . Así, por ejempl o (fig . 96), al calentar mediante un mechero el punto de soldadura C de una varilla d e antimonio A y otra de bismuto B, se observ a en el milivoltímetro el paso de una corriente , lo que demuestra que en el circuito se produce una f. e . m . El conjunto formado por los dos metales unidos recibe el nombre de elemento o par termoeléctrico.
mgrirsire .tA
l5x2 =3O v
y la resistencia interior del conjunto
DESCRIPCION DE GENERADORE S
IMff l
148 . Pila termoeléctrica
Fig . 96 . Producción de f. e. m . termoeléctric a
La f. e . m . producida en un elemento o par termoeléctrico es muy pequeña , del orden de algunos milivolticls, aún con temperaturas relativamente altas . Al objeto de conseguir f. e . ms . más importantes,se disponen en serie varios elementos ter moeléctricos formando una pila (figura 97) . Lo s elementos deben estar colocados de forma tal qu e todas las soldaduras de orden impar C se encuentren en una misma línea y las soldaduras de or den par D en otra . "Entonces, la f. e . m . del conjunto es igual a la suma de las f. e . ms . producidas en las distintas soldaduras C, teniendo cuidado de calenta r Fig . 97. Pila termoeléctrica solamente éstas . 149. Aplicaciones de los pares termoeléctrico s Los pares termoeléctricos tienen aplicaciones muy limitadas a causa del pequeño valor de la f. e . m . que producen, así, como por las dificultades que present a
100
101
su utilización . Solamente son empleados para medir temperaturas, formando los lla mados pirómetros eléctricos. Los pirómetros eléctricos están constituidos por dos varillas de distinto mate rial soldadas entre sí y colocadas en el interior de un tubo C, llamado caña pirométrica, de longitud y forma adecuadas al lugar cuya temperatura se desea medir (fig . 98) . Los extremos de los hilos están conectados mediante u n cable A a un aparato de medida cuya escala se halla graduad a directamente en grados centígrados . Los pirómetros eléctricos son particularmente interesantes para medir las temperaturas de lugares de difícil acceso, por ejemplo, calderas de vapor, aceite de los transforma dores, etc . B)
PILAS HIDROELECTRICA S
150 . Generalidades Fig. 98. Pirómetro eléctrico
Las pilas hidroeléctricas, vulgarmente llamadas pilas, son generadores quimicoeléctricos que trasforman energía química en eléctrica . La pila hidroeléctrica fué el primer generador eléctrico conócido . Su aplicación práctica es limitada por causa de su reducida potencia . Sin embargo, la pila e s un elemento muy apreciado en medidas eléctricas por la interesante cualidad de la constancia de su f. e . m ., aun con fuertes variaciones de la corriente suministrada . Antes de entrar en la teoría de funcionamiento de las pilas hidroeléctricas , conviene tener clara noción de los fenómenos electrolíticos que constituyen el fundamento de las pilas hidroeléctricas . 151 . Teoría elemental de la electrolisi s
Sea un recipiente, llamado cuba electrolítica, en el que se ha dispuesto un a disolución de un cuerpo cualquiera, por ejemplo, un ácido en agua, disolución qu e recibe el nombre de electrolito. La teoría electrolítica en vigor dice que, al disolverse el cuerpo en el agua, la s moléculas que lo constituyen se disocian en iones . Los iones no son otra cosa que átomos cargados de electricidad, unos con cargas positivas y otros con negativas . Los iones positivos reciben el nombre de cationes; de esta clase son el hidróge no y todos los metales . En cuanto a los iones negativos se conocen con el nombre d e aniones y comprenden las restantes sustancias, es decir, todos los metaloides, excepto el hidrógeno . Los electrolitos pueden ser atravesados por una corriente eléctrica . Para ello se disponen dos tomas de corriente llamadas electrodos. El electrodo por el cual entra lá corriente es el ánodo y aquel por el cual sale la corriente al exterior recibe el nom bre de cátodo. 102
Cuando un electrolito es atravesado por una corriente eléctrica, los catione s (cargas positivas) se dirigen al cátodo (electrodo negativo), mientras que los anione s (cargas negativas) son atraídos por el ánodo (electrodo positivo) . Observando el sentido de la corriente y la dirección de los iones, se puede enunciar la importante regl a siguiente : "Cuando un electrolito es atravesado por una corriente eléctrica, los catione s (metales e hidrógeno), siguen el mismo camino que la corriente, mientras que los aniones se mueven en sentido contrario" . 152.
Funcionamiento de la pila hidroeléctrica
En una cuba electrolítica que contiene un electrolito formado por una disolución de ácido sulfúrico (de fórmula SO4 H2) en agua, introduzcamos dos barras , una de cobre Cu y otra de zinc Zn (fig . 99) . Se puede comprobar experimentalmente que en el conjunto así formado se produce un a fuerza electromotriz . Para ello se conectarán los extremos superiores de las dos barras a los bornes de u n miliamperímetro . Este acusará el paso de una corriente eléctrica, demostrando que en el interior de la cuba se ha producido una fuerza electromotriz com o consecuencia de las reacciones químicas desarrolla das entre los electrodos y el electrolito . La teoría electrolítica explica este efecto de la siguiente manera : El ácido sulfúrico ataca a la barr a de zinc disolviendola lentamente . Los átomos de est e metal disueltos se cargan positivamente, convirtiéndose en cationes . Ahora bien, para que los átomos de ~Aq~} .4c~s~iexp zinc disueltos queden cargados positivamente es preciso que cedan electrones a otros átomos del mism o Fig. 99 . Funcionamiento metal . Esto exige que los átomos que aún quedan si n de la pila hidroeléctrica. disolver en la barra de zinc, queden cargados negativamente . En estas condiciones, existirá una diferencia de potencial o tensión entre la s barras de cobre y zinc, de forma que si a ellas se conecta un circuito eléctrico exterior, éste será recorrido por una corriente eléctrica . 153.
Polos de la pila y sentido de la corriente .
Recibe el nombre de polos de la pila las barras introducidas en el electrolito . Uno de los polos de la pila es positivo y el otro negativo y para determinarlos se h a de conocer el sentido de la corriente en el circuito exterior . En la pila estudiada en el párrafo anterior los polos son las barras de cobre y zinc . Debido a las reacciones químicas, los átomos que quedan fijos en la barra d e 103
zinc resultan cargados negativamente, por lo que la corriente eléctrica se desplazar á por el circuito exterior del cobre al zinc . Así, pues, la barra de cobre es el polo positivo y la de zinc el negativo . Se determina el sentido de la corriente con un amperímetro de corriente continua . También puede ser usado el llamado papel buscapolos, que es un papel humedecido con fenoftaleina . Apoyando sobre este papel los polos de una línea eléctrica , el negativo lo colorea en rojo, mientras que el positivo no produce ninguna variación de color en el papel . Dado que la corriente eléctrica recorre siempre un circuito eléctrico cerrado , es evidente que la corriente que recorre el circuito exterior de utilización desde l a barra de cobre a la de zinc, atravesará el electrolito desde la barra de zinc a la de cobre. 154. Pila Volta El físico italiano Volta construyó la primera pila hidroeléctrica . Para ello fu é apilando discos de cobre y zinc alternativamente, separándolos entre sí mediante ro dajas de paño humedecido con una solución de ácid o sulfúrico en agua_ El conjunto formaba una pila de discos y rodajas (fig . 100), de donde nació el nombre dad o a estos generadores de corriente . ////////. La pila de Volta ya no es empleada en la práctic a debido a los fuertes inconvenientes que presenta .
155 . Fig . 100. Pila Volta.
Polarización de las pila s
Cuando la corriente eléctrica ha estado recorriend o el circuito de la fig . 99 durante cierto tiempo se apreci a una sensible reducción del valor de su intensidad . Esta reducción es consecuencia d e un fenómeno que se desarrolla en el electrolito y que se conoce con el nombre d e polarización de la pila. Se explica la polarización mediante la teoría electrónica . El ácido sulfúric o (SO4 H2), disuelto en el agua, se disocia en sus dos iones : uno, el radical SO4, qu e es anión, y el otro, el hidrógeno H, que es catión, es decir, provisto de carga positiva . Este último, siguiendo el camino de la corriente, se dirige a la placa de cobre , que hace de cátodo, acumulándose alrededor de ella en forma de burbujas gaseosas . La presencia de estas burbujas de hidrógeno gaseoso alrededor de la placa d e cobre, reduce el contacto de ésta con el líquido electrolito, lo que aumenta la resistencia interior de la pila y reduce la tensión útil en los bornes de la misma . Se comprueba que es la acumulación de hidrógeno gaseoso la causa de la polarización de las pilas, cortando el paso de la corriente durante el tiempo necesario para que se desprenda el hidrógeno . Entonces, al cerrar de nuevo el circuito, la intensi dad de corriente alcanza el valor inicial . 104
156.
Despolarizantes
Para evitar la polarización de la pila, el medio más eficaz consiste en elimina r el hidrógeno a medida que se produce, lo que se consigue disponiendo alrededor del cátodo una substancia que ceda oxígeno con facilidad, el cual reacciona con el hidrógeno para formar agua . Las substancias colocadas en las pilas con este objeto , reciben el nombre de despolarizantes. Las pilas provistas de un despolarizante consiguen obtener una corriente d e intensidad casi constante . 157.
Pilas secas
Las pilas líquidas presentan el inconveniente de que para ser transportada s exigen gran cuidado a fin de evitar que se derrame el líquido . Esta dificultad queda soslayada con el uso de las pilas secas, en las cuales lo s líquidos que forman el electrolito y el despolarizante quedan empapadas en substancias porosas, como serrín, yeso, etc ., resultando una pasta gelatinosa que se introduce en una lata de zinc . En la fig . 101 se comparan las pilas húmeda y seca . En ambas, el electrodo positivo a está constituido por carbón de retorta, en forma de placa en la pila húmeda y de barra cilíndrica en la seca . Por su parte, el electrodo negativo b es de zinc, siendo una simple placa en l a Fig. 101 . Comparación de la s pila húmeda, mientras que en la pila seca es e l pilas húmeda y seca mismo recipiente que contiene la pasta . La pila seca se 'nota al cabo de cierto tiempo, bien porque desaparece la impregnación húmeda de la pasta, bien por la acción química del líquido activo sobr e el zinc del recipiente, acabando por perforarl o
158.
Tipos de pilas
Existen numerosos tipos de pilas que se distinguen unas de otras por los mate riales que forman los electrodos, el líquido activo y el despolarizante . En la Tabl a VII aparecen los tipos de pilas más corrientes con la indicación de los materiales qu e la constituyen, así como el valor de la fuerza electromotriz que producen . TABLA VI I Tipo Volta Daniell Bunsen Leclanché Poggendorf
ELECTRODO
Positivo Negativo Cobre Cobre Carbón Carbón Carbón
Zinc Zinc Zinc Zinc Zinc
Electrolito
Despolarizante
F .e .m .
Acido sulfúrico Acido sulfúrico Acido sulfúrico Cloruro amónico Acido sulfúrico
No tiene Sulfato de cobre Acido nítrico Bióxido de manganeso Bicromato potásico
0,98 1,07 1, 9 1,3 8 2,03 10 5
Obsérvese que en esta Tabla no figura la resistencia interior de las pilas . Ello e s debido a que el valor de la resistencia interior depende del tamaño de los electrodos , así como de su colocación y de la distancia entre ellos . Igualmente, depende de la clase de electrolito, de su pureza y del grado de concentración . C) ACUMULADORES
paso de corriente eléctrica, lo que demuestra que en el circuito existe ahora una fuerza electromotriz . Dado que entre los ensayos 1 .° y 2 .° ha existido la conexión de las placas co n generador, es necesario admitir que esta es la causa de la producción de la f. e . m . el observada . En realidad, lo que ocurre es que la corriente suministrada por el genera dor atraviesa el electrolito, produciendo en éste ciertas reacciones químicas que sir ven para acumular energía eléctrica .
159. Generalidade s
Los acumuladores son pilas reversibles, es decir, pilas que después de haber si do descargadas pueden regenerarse por el paso de una corriente eléctrica . Esta pro duce ciertas reacciones químicas, lo que determina la acumulación de energía . La energía química acumulada se podrá transformar posteriormente en eléctrica . En resumen, en un acumulador se presentan dos transformaciones de energía : En la primera, la energía eléctrica de la corriente que atraviesa el baño del acumula dor se transforma en energía química, y en la segunda, inversamente, la energía quí mica acumulada vuelve a transformarse en eléctrica . La primera transformación recibe el nombre de carga del acumulador y la segunda constituye la descarga del mismo . 160.
Ensayos experimentale s
Sea el recipiente de la fig . 102, que contiene un electrolito formado por ácid o sulfúrico disuelto en agua . Sumergidas en el electrolito se encuentran dos placas d e plomo P y Q . Estas placas pueden se r conectadas a voluntad, sea a un generador de corriente continua G, sea a u n amperímetro A, mediante el conmutador C . , Con el sistema así constituido vamos a efectuar los siguientes ensayo s experimentales : 1 .° Colocando el conmutador C en la posición a se podrá comprobar que el ' amperímetro A no acusará el paso de corriente, lo que indica que en e l circuito cerrado no se produce f . e . m . alguna . 2 . 0 Pasemos el conmutador C a Fig. 102 . Funcionamiento de un acumulador la posición b, con lo que las placas de plomo quedarán conectadas a los bor nes del generador G . Si después de cierto tiempo volvemos a cambiar las cuchillas del conmutador C llevándolas de nuevo a la posición a, el amperímetro acusará el 106
161. Teoría de funcionamiento del acumulado r
Se explica el funcionamiento de un acumulador mediante la llamada teoría de la doble sulfatación. Según esta teoría, las placas de plomo que constituyen lo s electrodos de los acumuladores sufren sucesivas transformaciones químicas en la s primeras cargas y descargas durante un proceso inicial llamado formación de las placas. Después de este proceso inicial de formación de las placas, cuando se ha efectuado la descarga del acumulador, ambas placas, tanto la positiva como la negativa , contienen en toda su superficie sulfato de plomo (de fórmula química SO4 Pb). A partir de la formación completa de las placas, se desarrollan los procesos d e carga y descarga de acuerdo con las siguientes reacciones químicas : a) Carga . Durante el proceso de carga, la corriente continua suministrada por una dínamo b (fig . 103), circula por el electrolito e, desde la placa positiva c hasta la negativa d, descomponiendo el agua (H20) .en sus do s componentes, oxígeno (0) e hidrógeno (H) . El hidrógeno, siguiendo el camino de la corriente, se di rige a la placa negativa y reacciona con el sulfato de plom o que recubre su superficie exterior, produciendo ácido sulfúrico (SO4H2) y plomo (Pb), de acuerdo con la reacción química siguiente : SO 4 P b +H,=SO 4 H,+Pb
Por su parte, el oxígeno resultante dé la descomposición del agua se dirige a la placa positiva y reacciona con e l sulfato de plomo, que recubre su superficie exterior, en presencia del agua, produciendo ácido sulfúrico y óxido d e plomo (Pb 02), de acuerdo con la reacción química siguien te :
SO4Pb+O+H2O=S
04
Fi,. 103 . Car de un acumulador
H,+Pb 0,
Resumiendo las reacciones del proceso de carga, podemos decir que, durant e el tiempo que dura, las placas pierden el sulfato de plomo que las recubren, obteniéndose en la placa positiva óxido de plomo y en la negativa plomo, que aparece e n forma esponjosa . 107
Por su parte, en el electrolito aumentará la concentración del ácido sulfúric o durante el proceso de carga, lo que representa un detalle interesante, ya que se puede determinar el estado de la carga de un acumulador mediante la simple medida d e la densidad del electrolito . El final del proceso de carga también puede ser observado de otra forma distinta : Por las burbujas gaseosas de hidrógeno y oxígeno qu e quedan libres una vez terminada la reducción de las placas, diciéndose que el líquido hierve . No obstante, conviene' prolongar la carga unos minutos después de que hay a hervido el electrolito . b) Descarga . Para descargar un acumulador es preciso conectar a sus borne s un circuito exterior de utilización a (fig . 104) . La f . e . m ., producida en el seno del electrolito da lugar a una corriente eléctrica que recorre el in terior del propio electrolito e desde su placa negativa d hasta la positiva c, descomponiendo el agua en oxígeno e hidrógeno . El hidrógeno, siguiendo el camino de la corriente, s e dirige a la placa positiva y reacciona con el óxido de plom o existente en esa placa, en presencia del ácido sulfúrico disuel to en el agua, obteniéndose sulfato de plomo y agua de acuerdo con la reacción química siguiente : Pb
O, + H, + S 0 4 H, = S 0 4
Pb
+ 2 H, O
Fig . 104. Descarga de un acumulador
Por su parte, el oxígeno resultante de la descomposición del agua, se dirige a la placa negativa y reacciona con e l plomo esponjoso que impregna dicha placa, en presencia del ácido sulfúrico de l electrolito, obteniéndose sulfato de plomo y agua, de acuerdo con la reacción química siguiente : Pb
+
O + S, 04
H, = S 04
Pb
+ H, O
Resumiendo las reacciones del proceso de descarga, podemos decir que duran te el tiempo que dura el electrolito se empobrece la concentración del ácido sulfúrico, mientras que las placas vuelven a sulfatarse . 162 . Observació n Es de observar que solamente puede ser cargado 4,1 acumulador con corrient e continua, no pudiendo hacerlo con corriente alterna . Ello es debido a que la corrien te alterna circularía por el electrolito en sentido inverso durante intervalos iguale s de pequeña duración y cada cambio de sentido anularía los efectos producidos po r la corriente cuando circulaba en el sentido contrario . Como los tiempos de duración de la corriente en uno y otro sentido son iguales, el resultado será totalment e nulo . Por consiguiente, si sólo se dispone de corriente alterna para cargar acumulador, se necesita intercalar un rectificador que convierta la energia eléctrica en corriente continua . 108
163 . F . e . m . de un acumulado r La fuerza electromotriz de un acumulador es independiente de su forma y dimensión . En cuanto a la tensión existente en los bornes depende de su resistenci a interior . En la fig . 105 aparecen las curvas representativas de la variación de la f . e . m . de un acumulador en función del tiempo transcurrido, tanto para el proceso de carga, como para el de descarga . 2,5 Examinemos brevemente esa vaMMMMIR/MMIMIM M riación . a) Carga. La f. e . m . ge?. M•MWMZMVMMMBME M nerada en un acumulador duMMÉMIUMFMMMMMM M rante el proceso de carga varía M 2 MBMMMMMFOUMMMB al principio, muy rápidamente u uMi:LIM f,9 desde 1,9 voltios hasta 2,1 5 IB ■M 6 5 6 9 ? manteniéndose luego casi cons3 L 5 6 B Nonos tante, ya que hasta el final de l a carga sólo aumenta a 2,25 volFig . 105 F. e. m . de un acumulador datante la carga y la descarga. tios . Finalmente, cuando ha ter minado la carga y se ha reduci do todo el sulfato de plomo de las placas, la f . e . m . experimenta otra brusca elevación hasta 2,45 voltios, valor éste que señala el foral del proceso de carga . Durante el proceso de carga, el acumulador funciona como si fuera un receptor ; por consiguiente ; la tensión aplicada a sus bornes debe ser mayor que la f . e . m . en un valor igual a la caída de tensión interior . Así, pues, siendo E la f . e . m . de l acumulador y r I la caída de tensión interior, la tensión de sus bornes deberá se r
I
%■umuua ? ■••i`■uunu ►
Vb=E+ r I De acuerdo con esta expresión, el valor de la tensión debe variar paralelament e con la f. e . m . de cada instante y ser siempre mayor que ésta . Por consiguiente, variará desde 2,1 a 2,5 voltios . b) Descarga . El valor de la f. e . m . de un acumulador también varía durant e el proceso de descarga . En primer lugar ocurre que, al desconectar el acumulador de la fuente d e energía, una vez terminada la carga, su f . e . m . no se mantiene en 2,45 voltios, sin o que, en el mismo instante de cortar la conexión, disminuye hasta 2,15 voltios . Luego, durante el proceso de descarga, se pueden distinguir tres partes perfec tamente delimitadas . Al principio, en el transcurso de pocos minutos, baja el valor de la f . e . m . desde 2,15 a 2,05 voltios ; después se mantiene este valor prácticamente invariable durante el resto del proceso de descarga . Al foral de éste se presenta una rápida dismi nución del valor de la f . e . m ., pudiendo llegar, si no se toman las debidas precaucio nes, a tomar valores muy pequeños . A este respecto, es preciso evitar la sulfatació n 109
de las placas, cosa que ocurre de prolongarse la descarga del acumulador después d e haber descendido su f. e . m . hasta 1,85 voltios, valor que señala siempre el final de la descarga . Durante el proceso de descarga, el acumulador funciona como generador . Po r consiguiente la tensión en bornes es menor que la f . e . m . y varía de 2,1 a 1,8 voltios aproximadamente . 164. Capacidad Se da el nombre de capacidad de un acumulador a la cantidad de electricida d que proporciona durante el proceso de descarga . La capacidad de un acumulador se mide en amperios—horas (Ah) . Designando por I la intensidad de la corriente, en amperios, suministrada durante el proceso d e descarga y por t el tiempo, en horas, que dura éste, la capacidad del acumulado r vendrá dada por la expresión (6) Q=I t Ejemplo 50 . ¿Cuál es la capacidad de un acumulador que suministra una corriente d e 18 amperios de intensidad, siendo 5 horas la duración del proceso de descarga ? Q=It=18X5=90 Ah
La capacidad de un acumulador depende de las dimensiones de las placas, as í corno de su grado de formación . Por otra parte, la capacidad de un acumulador da do no es siempre igual, sino que depende de la intensidad de la corriente a que ha si do descargado, siendo mayor si el proceso de descarga es largo, mientras que cuand o la corriente suministrada es fuerte, disminuye la capacidad . La explicación de est a variación está en que al ser largo el tiempo de descarga, ès más eficaz el aprovechamiento de las materias activas del acumulador . Los fabricantes de acumuladores indican en sus catálogos de venta las capacidades respectivas para distintas duraciones del proceso de descarga . 165. Constitución de los acumuladores de plom o En un acumulador de plomo se distinguen tres partes esenciales : el recipiente , las placas y el electrolito . a) Recipiente. Es el vaso en el que se vierte el electrolito y se introducen la s placas . El material del recipiente varía bastante, según que el acumulador sea estacionario o transportable . Los recipientes de acumuladores estacionarios se preparan ordinariamente d e madera, forrada en su inrerior con plancha de plomo para evitar que el ácido sulfúrico del electrolito corroa-la madera del recipiente . Los acumuladores transportables conviene que sean de poco peso . Por tal razón, sus recipientes se preparan de ebonita, material liviano pero de gran robuste z mecánica a la par que no es atacable por el ácido sulfúrico y posee elevada resistencia eléctrica . 110
Los recipientes de los acumuladores estacionarios son abiertos, mientras qu e los de los transportables tienen que ser cerrados para evitar el derrame del electrolito a causa del movimiento . Entonces la tapa forma un cierre hermético con el recipiente y presenta cuatro agujeros, dos para la salida de los bornes del acumulador , otro para la renovación y control del electrolito, y e l cuarto, abierto y de poco diámetro, que facilita el escap e de los gases producidos al finalizar el proceso de carga . b) Placas. Las placas de los acumuladores de plo mo son de construcción diferente, según que hayan d e ser positivas o negativas . Las placas positivas son de plomo fundido y se Fig . 106 . Placa positiva coristruyen de forma tal que su superficie activa sea muy de acumulador de plom o grande (fig . 106), por Io que llevan nervios que, al mism o tiempo que aumentan la rigidez de la placa, facilitan la c olocación de la pasta activa . . Las placas negativas (fig . 107) están consA tituidas por un armazón de plomo de nervio s e—J macizos, entre los cuales quedan huecos cuadrados ocupados por un enrejillado parecido a l nido de abeja . Estos espacios son ocupados po r la parte activa . Las placas son sostenidas sobre los bordes del recipiente, para lo que llevan dos saliente s A en forma de orejas . En los acumuladore s transportables las placas quedan apoyadas soFig. 107. Placa negativa d e acumulador de plomo bre prismas aislantes P situados en el fondo de l recipiente (fig . 108) . Tanto en uno como en otros se debe procurar que las placas estén algo aleja das del fondo del recipiente, a fin de evitar cortocircuitos originados por la pasta desprendida de las placa s negativas . Cuando se desea conseguir superficies activa s importantes sin necesidad de aumentar exageradamente las dimensiones de las placas, se disponen en un mismo recipiente varias placas positivas y negativas paralelas entre sí y a la menor distancia posible . El número total de placas es siempre impar, habiendo una placa positiva menos que las negativas, d e Fig . 108. Colocación de lu manera que las dos placas extremas son negativas (fig . placas en el recipiente 109) . Todas las placas positivas son reunidas en paralelo e igualmente se hace co n las positivas Para conseguir tal objeto, las placas llevan una entalla B (fig . 107), que
a-
111
son unidas con dos barras, cada una de las cuales reúne todas las placas de igual po laridad, formando los extremos de esas barras los bornes del acumulador . c) Electrolito. Es una solución de ácido sulfúrico en agua . La densidad del electrolito debe ser de 1,2 en el momento de verterlo en el recipiente . Luego, la densidad varía en el transcurso del funcionamiento, aumentand o en el período de carga y disminuyendo a medi rl da que el acumulador se va descargando . —
o
Nt
rr
b
166 . Baterías de acumuladores en seri e
Dado que la f. e . m . de un acumulador e s muy pequeña (2 voltios aproximadamente), e s °I necesario acoplar varios en serie para obtene r Fig . 109 . Èsquema de baterí a fuerzas electromotrices importantes, formand o de 4 voltios así una batería . Para conectar los acumulado res se siguen las reglas dadas en el párrafo 119 . Todos los acumuladores qu e forman una batería han de ser de la misma capa cidad, cuyo valor será, al mismo tiempo, la capacidad de la batería . En las redes alimentadas mediante una batería de acumuladores es preciso ase gurar la constancia de la tensión en bornes . Para ello se dispone en la instalación u n dispositivo de conmutación, el conmutador–adjuntor, que sirve para variar el número de acumuladores que están en funcionamiento . ó
167 . Conmutador–adjunto r
Es un dispositivo con el cual se pueden ir aumentando el número de acumula dores activos a medida que va disminuyendo la f . e . m . de éstos cuando se van descargando . En una batería existen acumuladores en servicio permanente y acumuladore s de reserva. Estos últimos son los que se van agregando para mantener constante l a tensión en bornes de la batería . Para ello, el conmutador–adjuntor dispone de un a maneta M (fig . 110), que se desliza circularmente frotando sobre una serie de con tactos o plots P, de forma que establece la comunicación eléctrica de uno de ello s con un sector metálico S . Según el plot sobre el cual se apoya la maneta, estarán in cluidos mayor o menor número de acumuladores en el circuito . Para que no ocurran interrupciones de corriente al pasar la maneta de u n contacto al siguiente, debe ser construida de forma especial, como indica la fig .l 11 . La maneta está formada por dos piezas metálicas A y B . separadas por una placa C de material aislante y unidas eléctricamente a través de una resistencia Rc de valo r apropiado a la capacidad de lá batería . Esta resistencia es la que evita la interrupció n de la corriente, pero además hace imposible la puesta en cortocircuito del acumulador situado entre dos contactos consecutivos . 112
Fig . 110. Esquema de instalación de una batería de acumuladores .
168 . Cálculo de una batería de acumuladore s
Los datos necesarios para calcular una batería de acumuladores son la tensió n en bornes Vb, en voltios, la intensidad de la corriente de descarga Id, en amperios, y el tiempo td, en horas, de duración del proceso de descarga . De acuerdo con la fórmula (6), la capacidad de la batería deberá ser de Q -=--
td
en A h
El valor de la capacidad Q y del tiempo de descarga td permiten elegir, sobre los catálogos de las casas constructoras, el tipo de acumulador adecuado, siendo convenient e adoptar uno que tenga 20 0/o más que la capacidad previa mente calculada . Fig 111 Conmutado r Seguidamente se pasa a calcular el número de acumula adj unt o r dores necesario . Para ello recordemos que el número d e elementos intercalados simultáneamente varía entre un mínimo permanente Np y un máximo, que es el número total Nt de acumuladores . La diferencia es el númer o de acumuladores de reserva NR . El número total estará acoplado cuando la tensión de cada uno de los acumuladores sea la mínima del proceso de descarga, o sea, 1,8 voltios . Así, pues, ser á (87)
Nt =
Vb 1, 8
113
Por su parte, el número de acumuladores en servicio permanente correspond e al caso de ser máxima la tensión en bornes de cada uno de ellos, o sea, 2,1 voltios . Así, pues, será
(88)
Np =
Vb 2, 1
Resultando que los acumuladores de reserva so n
(89) NR = Nt — Np Ejemplo 51 .
Calcular batería de acumuladores de los valores siguientes : Tensión en bornes, 120 V ; intensidad de descarga, 40 A ; duración del proceso de descarga, 5 horas . De acuerdo con la fórmula (6), la capacidad de la batería debe ser d e
Q
Idtd=40X5=200A h
valor que, con un aumento del 20 % , indica que se deben elegir acumuladores de 240 amperios—hora de capacidad . El número total de acumuladores de la batería ha de se r Vb =
120 = 67 1,8 1, 8 El número de acumuladores en servicio permanent e
Nr =
12 0 Vb 8 Np= 2,1 = 21 =5 Io que indica que el número de acumuladores de reser,a es d e
Nle =Nr--Np=67—58= 9 valor que indica que el conmutador—adjuntor debe tener 10 contactos o plot . Completaremos el cálculo determinando el reostato de regulación conectado en serie co n la batería, necesario para conseguir que la intensidad de carga tenga el valor conveniente . (En la fig . 111 la batería de acumuladores se encontrará en el proceso de carga cuando el conmutado r C se encuentre en la posición II y el conmutador—adjuntor tenga la maneta M sobre el contact o 10) . Para calcular el reostato es preciso conocer la tensión de la Línea . Sea ésta 220 voltios . La resistencia necesaria al principio de la carga deberá ser tal que determine una caída d e tensión de 220 — (67 X 2,1) = 80 V . Por lo tanto, su valor será d e
R=
o
= 72
= 1,11 12
Por su parte, al final de la carga, la resistencia del reostato solamente debe originar un a caída de tensión 220 — (67 X 2,5) = 52,5 V, por lo que su valor ser á
R'
=
725
= 0,72 S2
Así, pues, cl reostato de regulación de la carga de la batería debe tener 1,11 S2 con una parte de 0,72 S2 incluída permanentemente durante toda la carga y otra de 1,11 — 0,72 = 0,3 9 S2distribuída en varios trozos.
169 . Conservación de los,acumuladore s
Respecto al electrolito, se debe tener cuidado que su nivel sea tal que cubra por completo a las placas . También tiene importancia el control de la densidad, y a que ésta da una buena indicación del estado en que se encuentra el acumulador . La densidad del electrolito se mide mediand A te un aerómetro (fig. 112), el cual est á lastrado en su parte inferior, a fin d e que al sumergirse conserve la posició n vertical . Una escala dispuesta en su parte superior sirve para leer la densida d que se busca, basándose en el hecho d e que el aerómetro se sumergerá más o menos en el electrolito, según que ést e sea de menor o mayor densidad . En un acumulador es preciso comprobar las placas a menudo . Un opera112 . Medida de la densidad dél electrolit o rio experimentado conoce el estado d e Fig. con un aerómetro . A . Acumulador cargado . B. Acumulador descargado . las placas simplemente por su color , que cuando el acumulador está cargado, debe ser achocolatado en las placas positivas y gris en las negativas . El mejor instrumento para verificar el estado de un acumulador es un voltíme tro especial cuya escala va de 0 a 4 voltios . Dos puntas de exploración, conectada s a los bornes del voltímetro, permiten efectuar la medida de la tensión existente entre dos placas vecinas . La medición debe hacerse mientras circula la corriente . Si el voltímetro Señala una tensión nula, tanto en el período de carga como e n el de descarga, podemos tener la seguridad de que existe un cortocircuito entre la s placas por contacto directo de ellas . Si el voltímetro señala una tensión superior a la normal, tanto en el períod o de carga como en el descarga, es indicio de sulfatación de las placas, avería que exige la inmediata sustitución de las placas defectuosas. 170 .
Acumuladores ferro—níquel
El acumulador ferro—níquel, inventado por Edison, está constituido por placas, cuyo armazón es de acero, recubiertas las positivas por óxido de níquel y la s negativas por hierro . El electrolito es una disolución de potasa cáustica . Estos acumuladores producen una f . e . m . más pequeña que los de plom o (1,4 voltios) y tienen una resistencia más elevada, desventajas que han reducido mucho su empleo práctico . Sin embargo, tienen la interesante propiedad de no desprender gases sulfurosos, lo cual le hacen ideal para su empleo en los submarinos y galerías subterráneas de minas, que son las aplicaciones exclusivas de estos acumuladores .
Para conservar en buen estado los acumuladores eléctricos, es preciso guarda r una atención constante tanto del electrolito como de las placas . 114
115
CAPITULO XII I RECEPTORES ELECTRICO S 171.
Definición y clasificació n
Asimismo, el fenómeno químico de disociación que se produce en el electrolito de un baño electrolítico es el mismo que el que hemos ya visto se producía e n una pila eléctrica. Esta similitud de funcionamiento da a entender que en el seno del receptor s e genera una fuerza electromotriz : Ahora bien, la acción de esta f. e . m . sobre el circuito del receptor presenta una diferencia fundamental respecto a la acción de l a f. e . m . de un generador . En efecto, la f . e . m . de un generador actúa en tal sentido, que es la causa que po ne en movimiento a la electricidad . En cambio, como vamos a demostrar, el sentido de la f. e . m . de un receptor es tal que se opone a la circulación de la electricidad . Para ello recordemos la ley de la causa y el efecto que dice que el efecto resultante en un fenómeno físico se opone a la causa que Io produce . En el recep- Fig . 113 Receptor eléctrico . tor, la fuerza electromotriz generada tiene como causa inicial la tensión aplicada a sus bornes, por lo que su sentido será opuesto a esta última (fig . 113) . Así, pues, teniendo en cuenta el sentido en que actúa la fuerza electromotri z de un receptor en el circuito cerrado en el que está incluído, recibe el nombre d e
Receptor eléctrico es todo aparato o máquina capaz de transformar energí a eléctrica en otra forma de anergía cualquiera . Según cual sea la forma de la energía resultante, se clasifican los receptores e n tres grupos . l .° Térmicos . Son receptores que producen energía calorífica o calor . En realidad, en todos los conductores recorridos por una corriente eléctrica se produc e calor por efecto Joule ; sin embargo, sólo se aceptan como verdaderos receptore s térmicos, los aparatos eléctricos que se conectan a una red con el exclusivo fin d e producir calor . Tal es el caso de una estufa, plancha, lámpara de incandescencia, etc . 2 .° Químicos. Son receptores que transforman energía eléctrica en energí a química . A este grupo pertenecen los baños electrolíticos de plateado, cromado, dorado, etc . 3 .° Mecánicos . Son receptores eléctricos que suministran energía mecánic a por un eje giratorio . Este grupo comprende los llamados motores eléctricos .
fuerza contraelectromotriz .
172. Características de los receptores eléctrico s
Recibe el nombre de resistencia interior del receptor el valor, en ohmios . de la resistencia medida entre sus bornes . La designaremos por r.
Todo receptor eléctrico (al igual que vimos en los generadores) está caracterizado por determinados valores propios, independientes de la red de alimentació n de la cual absorben la energía eléctrica y de la máquina a la cual ceden la energí a mecánica . Estos valores constantes, que reciben el nombre de características del receptor , son la fuerza contraelectromotriz, la resistencia interior y la intensidad nominal d e régimen . 173.
Fuerza contraelectromotri z
El funcionamiento interno de un receptor eléctrico es similar al de un generador del mismo grupo . Por ejemplo, en un motor de corriente continua existe el movimiento del inducido en el campo magnético que crean los polos, exactamente d e igual forma que ocurre en una dínamo . 116
174.
Observación referente a los receptores térmico s
Los receptores térmicos (estufas, resistencias, etc .) no producen fuerza contraelectromotriz alguna, por lo que representan una excepción en el estudio de lo s receptores eléctricos . 175.
176.
Resistencia interior
Intensidad de carga
Cuando los bornes de un receptor eléctrico quedan conectados a la línea de alimentación, se forma un circuito eléctrico cerrado, que será recorrido por una corriente cuyo valor recibe el nombre de intensidad de corriente de carga . El valor de la intensidad de corriente de carga será calculado mediante la Le y de Ohm, teniendo presente que en el numerador ha de aparecer la suma de todas la s tensiones existentes en el circuito eléctrico cerrado, que son la tensión de la red Vb. aplicada a los bornes del receptor, y la fuerza contraelectromotriz E, generada en su seno, cuyo sentido es contrario al de la tensión en bornes . Así, pues, la tensión resultante en el circuito será . Vb - -F 117
Por otra parte, la resistencia total del circuito se reduce a la resistencia interio r del receptor, que es la única existente entre los hilos de la red de alimentación . E n consecuencia, la intensidad de la corriente absorbida por el receptor ser á (90)
1—
Vb— E
Ejemplo 54 . ¿Cuál será el valor de la fuerza contraelectromotriz de un receptor, cuy a resistencia interior es de 0,05 12, si cuando está conectado a una red de 160 V absorbe una corriente de 120 A de intensidad?
r fórmula que dice : "La intensidad de la corriente absorbida por un receptor es igua l al cociente que resulta de dividir la diferencia de la tensión en bornes y la fuerz a contraelectromotriz por la resistencia interior del receptor . Ejemplo 52 . Un motor, cuya fuerza electromotriz es de 118 V y su resistencia interior de 0,04 S2, se conecta a una red de 120 V de tensión . Calcúlese el valor de la intensidad d e la corriente absorbida por el receptor . Aplicando la fórmula (90), resulta como valor de la intensidad de la corriente absorbid a
Vb—E - 120—118— r
0,04
fórmula que dice : "La fuerza contraelectromotriz producida en un receptor eléctrico tiene un valor que se determina restando de la tensión en bornes la caída de ten sión interior" .
50 A
Recibe el nombre de intensidad nominal o de régimen el valor máximo de la corriente eléctrica que puede circular por el receptor sin que se originen en el mism o efectos perjudiciales que puedan ponerlo fuera de servicio .
E=Vb—rI
= 160—0,05X120=154 V
179 . Potencia absorbid a
La potencia eléctrica absorbida por un receptor es igual al producto de la ten sión en bornes por la intensidad de corrient e (93)
Pa=Vb• I
La potencia eléctrica absorbida por el receptor sirve para cubrir la potenci a utilizada Pu y las pérdidas de potencia Pp que se producen en su seno durante e l fenómeno de transformación de energí a
P8 = Pu + Pp
177 . Caída de tensión interior
180 . Funcionamiento de un motor en vacío
Mediante una sencilla transformación, la fórmula (90) se convierte en la siguiente
Se dice que un motor eléctrico funciona en vacío cuando, girando librement e su parte giratoria, no suministra potencia mecánica en el eje . En consecuencia, el motor sólo absorberá la potencia eléctrica necesaria para cubrir las pérdidas de potencia . Como quiera que estas pérdidas representan una parte muy pequeña de la potencia nominal, la intensidad de corriente que absorbe el motor en vacío será también pequeña . En consecuencia, la caída de tensión interior del motor será muy pequeña, prácticamente nula, y, por consiguiente, la fuerza contraelectromotriz producida por el motor es aproximadamente igual a la tensión en bornes .
(91) r1= Vb— E El producto r I representa la caída de tensión en el interior del receptor, comprobando que su valor es igual a la diferencia existente entre la tensión en bornes y la fuerza contraelectromotriz producida en el receptor . Esta caída de tensión la de signaremos por vc . Ejemplo 53 .
¿Cuánto vale la caída de tensión interior en el receptor del ejemplo 52 ? vc=rI=0,04X50=2 V
Eo
=
Vb
valor que se hubiera también deducido mediante la sencilla diferencia de la tensión en bornes y la fuerza contraelectromotriz vc= Vb—E=120—118=2 V 178 . Valor de la fuerza contraelectromotri z
Ordinariamente, los valores que se conocen de un receptor son la tensión e n bornes, la resistencia interior y la intensidad de corriente absorbida, siendo de interés determinar su fuerza contraelectromotriz . Esto se puede conseguir despejand o dicho valor en la fórmula (91), con lo que se obtiene la siguiente expresión .
181 . Funcionamiento de tin motor en cortocircuit o
Se dice que un motor funciona en cortocircuito cuando, estando sometido a la tensión en bornes de la red de alimentación, tiene parada su parte giratoria . En tales condiciones, el receptor no produce fuerza contraelectromotriz alguna y, por consiguiente, la intensidad dè corriente absorbida tendrá un valor muy ele vado . En efecto, entonces se verifica Icc
(92) 118
E= Vb—r1
=
Vb
r 11 9
CIRCUITO COMPLETO CON GENERADOR Y RECEPTOR
182 . Generalidades
Hasta ahora hemos considerado los casos más sencillos en los cuales existía , bien un generador suministrando energía eléctrica a un circuito exterior, bien un receptor absorbiendo energía eléctrica de la red de alimentación . Vamos a estudiar ahora el caso particular de un circuito completo formad o por un generador y un receptor unidos mediante los hilos de la línea que transport a la energía . 183 . Intensidad de corrient e
Fig . 114. Circuito eléctrico completo
Sea el circuito heterogéneo formado por un generador G, un recepto r M y la línea bifilar que une las dos máquinas anteriores (fig . 114) . Siendo I la longitud de la línea en metros y Scu la sección del conductor, la resistencia total de los dos conducto -
res que forman la línea valdrá
RL=p
2L Scu
Designando por Rg y RM los valores de las resistencias del generador y receptor respectivamente, la resistencia total del circuito valdrá
RT = RL + Rg + PM Para poder aplicar la Ley de Ohm en el circuito heterogéneo que estudiamos , es preciso tomar la suma de las tensiones que actúan en él . Estas son la fuerz a electromotriz Eg del generador y la fuerza contraelectromotriz EM producida en el motor . Por lo tanto, la intensidad de la corriente que recorre el circuito ser á
1=
Eg — EM RL + Rg + Pm
184. Caídas de tensión y tensiones en bornes del generador y moto r
Siendo Rg la resistencia interior del generador, la caída de tensión en ella producida será
Vcg = Rg I
Por consiguiente, la tensión útil en los bornes del generador valdr á Vg = Eg — Vcg 120
Los dos conductores que unen los bornes del generador con los del motor, da n lugar a caídas de tensión correspondientes, cuyo valor respectivo es igual al produc to de la resistencia del conductor por el de la intensidad de la corriente que recorr e el circuito . Sea VL la caída de tensión total en los dos conductores de la línea . La tensión en los bornes del motor es igual a la diferencia del valor de la ten sión en los bornes del generador menos la caída de tensión en la línea .
VM= Vg— VL Por su parte, siendo RM la resistencia interior del motor, la caída de tensió n en ella producida vale Vc1N = Pm 1 Finalmente se puede calcular la fuerza contraelectromotriz del motor, EM , que es igual a la diferencia del valor de la tensión en sus bornes menos la caída d e tensión interior .
EM = VM —
Vc1N
esta última operación sirve para comprobar los cálculos sucesivos, ya que el valor d e la f . e . m . que se obtenga tiene que ser el mismo que el conocido como dato . 185 . Potencias en el circuito
La potencia de cualquiera de las distintas partes del circuito queda determinada mediante las fórmulas ya conocida s Así, la potencia útil del generador es Pg = Vg I y la absorbida por el moto r = VM 1p M
Ejemplo 55 . En una línea de tranvías funciona un solo vehículo (fig . 115), situado a 3 Km . de distancia de una dínamo cuya f . e . m . es de 530 V y cuya resistencia interior es de 0,14 SI. El motor del tranvía produce una fuerzacontraelectromotriz de 500 V y su resistenci a interior es de 0,16 SZ. El cable aéreo de cobre tiene una secció n de 80 mm 2 y el carril (conductor de vuelta de la corriente) es de acero y de 60 cm 2 de sección . Estúdiese el circuito cerrado asi formado . Fig . 11 5 Esquema del circuito eléctric o La resistencia del cable aéreo es de de un tranvía. Rcu =
Pcu
1_
_
Scu
0,0172X3 .000_ 80
064 SZ '
Asimismo, la resistencia del carril de acero val e L-
efe = PPe SPe
_ 0,12 X 3 .000 6 .000
=
0,06 S2
Así pues, la resistencia suma de los conductores e s
RL = Rcu + RPe = 0,64 + 0,06 = 0,7 S2 y la resistencia total del circuito cerrado es d e
RT =- PL +Rg+Rrf=0,7+0,14+0,16=1S 1 121
Siendo Eg = 530 V la fuerza electromotriz de la dínamo y EM = 500 V la fuerza contraelectromotriz del motor del tranvía, la tensión resultante que impulsa la electricidad ser á — EM = 530 — 500 = 30 V El valor de la intensidad de la corriente que recorre el circuito e s
e
— Eg—EM — 30 =30 A PT 1 Esta corriente determina una caída de tensión en el interior del generador de valo r Vcg = Pg /= 0,14 X 30 = 4,2 V
CAPITULO XIV
Por consiguiente, la tensión en los bornes del generador valdr á
BAÑOS ELECTROLITICO S
Vg =Eg — Vcg = 530 — 4,2=525,8 V La caída de tensión total en la línea, comprendidos en cable aéreo y el carril de acero, e s de valor VL=PLI=0,7X30=21 V por lo que la tensión en los bornes del motor valdrá 5 C• 17
VM= Vg— VL = 525,8 — 21 = 504,8 V La caída de tensión en el interior del motor toma un valo r VcM = PM I=0,16X30=4,8 V
lo que exige que la f. c . e . m . del motor sea igual a
E
M = VM — VcM = 504,8 — 4,8 = 500 V t valor que coincide con el dado en el enunciado del problema, lo que indica que los cálculos ha n sido ejecutados correctament e La potencia útil del generador vale
Z
Pg = Vg I = 525,8 X 30 = 15 .774 W = 15,774 k W mientras que la potencia absorbida por el motor e s
PM = VM I = 504,8 X 30 = 15 .144W =15,144 kW lo que indica que en la línea de alimentación se pierden 15 .774 -15 .144 = 630 W . valor que podía haber sido determinado mediante la fórmula (26), resultand o PL=PLI'=0,7X 30' = 630 W
186. Generalidade s Las subtancias conductoras se clasifican en dos grandes grupos : conductore s de primera y de segunda clase . Conductores de primera clase son aquellas substancias que no sufren ningun a alteración química al ser recorridas por una corriente eléctrica . En este grupo están incluidos todos los cuerpos metálicos y el carbón . Conductores de segunda clase son aquellas substancias que, al ser recorrida s por una corriente eléctrica, sufren modificaciones químicas en su constitución . So n todos los electrolitos . 187. Ejemplo experimenta l Vamos a recordar lo ya expuesto en el párrafo 151 acerca de la teoría elemental de la electrolisis. Sea (fig . 116) una cuba electrolítica en la que se dispone como electrolito una disolución de sa l común (cloruro sódico) en agua . Cada molécula de cloruro sódico (CI Na) se disocia en los dos átomos que la forman, resultando iones positivós (cationes) de sodio (Na) e iones negativos (aniones) de clor o (CI) . Introduciendo en el electrolito dos placas de platino conectadas a una fuente de energía eléctrica será atravesado por una corriente eléctrica . La s dos placas de platino son los electrodos, la positiv a el ánodo y la negativa el cátodo . La acción de la corriente eléctrica hace qu e 15g . 116. Cuba electrolltica. los aniones de cloro se dirijan al ánodo y que lo s cationes de sodio se depositen en la placa negativ a o cátodo, siguiendo el camino de la corriente . Esta propiedad que tiene la corriente de transportar los metales al cátodo e s aprovechada en numerosas e interesantes aplicaciones (galvanoplastia, galvanostegia , electrometalurgia, etc .) .
122
12 3
188.
Vb•=E+r I
Resistencia interior del electrolito
Conforme con la teoría de la electrolisis, se deduce que únicamente puede n ser atravesadas por corriente eléctrica las disoluciones que contienen iones . Por otra parte, el fenómeno de la corriente eléctrica en el seno de los electrolitos es substancialmente diferente del que se presenta en un conductor metálico . En efecto, en los conductores metálicos o de primera clase, la corriente eléctrica es debida a un desplazamiento de electrones desde un cuerpo cuyos átomo s poseen exceso de electrones, hasta otros cuyos átomos están a falta de ellos . En cambio, en los electrolitos o conductores de segunda clase la corrient e es debida al transporte dedos iones que se encuentran disociados . Por consiguiente, debemos admitir que la resistencia opuesta por un electrolito al paso de la corriente eléctrica depende de la cantidad de iones disociados, de l a carga eléctrica que poseen y de su velocidad de traslación . Prácticamente es siempr e impreciso el cálculo de la resistencia interior de un electrolito . Su valor, de acuerd o con la fórmula (9), e s
La fuerza contraelectromotriz E no es otra cosa que la parte de la tensión necesaria para producir los fenómenos químicos, siendo r I la caída de tensión interior . 190. Equivalente electroquímic o Recibe el nombre de equivalente electroquímico de una substancia el peso e n miligramos de la misma depositado, en un proceso de electrolisis, por la cantidad d e electricidad de un culombio o, lo que es igual, por una corriente eléctrica de un amperio de intensidad durante un segundo de tiempo . Representaremos el equivalente electroquímico por la letra griega e (se le e "épsilon " ) . En la Tabla VIII aparecen los equivalentes electroquímicos de las substancia s más corrientes . TABLA VII I
siendo S la superficie media de los electrodos, l la distancia que los separa y p la resistividad del electrolito, valor que depende de las características de los iones disociados . La resistividad p del electrolito y, por consiguiente, la resistencia interior r varían con la temperatura, como sucede con los conductores metálicos . Ahora bien , entre aquéllos y éstos se presenta otra diferencia fundamental . Como ya vimos en el párrafo 46, la resistencia de un conductor metálic o aumenta al crecer la temperatura y se reduce al disminuir ésta . En cambio, en un. electrolito sucede a la inversa, es decir, que su resistencia disminuye al aumentar l a temperatura . Elfo es debido a que al aumentar la temperatura de un electrolit o crece el número de iones disociados y aumenta su velocidad de traslación, efecto s ambos que hacen disminuir la resistencia del electrolito . Este es el motivo de que en los baños de galvanoplastia y galvanostegia se tra baje siempre con temperaturas superiores a las del ambiente, a fin de acelerar los re sultados que se desean conseguir .
189. Fuerza contraelectromotriz Experimentalmente se comprueba que en un baño de resistencia interior r, para que circule una corriente de I amperios de intensidad, no basta con aplicarle un a tensión V = r I, sinq que la tensión en bornes ha de ser mayor de este valor . Ello es debido a que en el baño aparece una fuerza contraelectromotriz, por lo qu e la tensión necesaria en los bornes del baño será 124
Substancia Plata Oro Cromo Cobre Cadmio Níquel Estaño Zinc
191.
Equivalente electroquímico mg
1,118 0,681 0,180 0,329 0,580 0,305 0,635 0,338
Substancia Hierro Cloro Platino Plomo Sodio Magnesio Aluminio Hidrógeno
Equivalente electroquímico mg
0,290 0,367 0,504 1,071 0,23 8 0,126 0,093 0,01
Peso del metal depositado en la electrolisi s
Como acabamos de ver, el peso del cuerpo depositado por electrolisis depende, en primer lugar, de la substancia que constituye dicho cuerpo . Por otra parte, el peso depositado dependerá asimismo de los dos factores siguientes : 1 .° De la intensidad de corriente que atraviesa el electrolito, lo que puede se r comprobado experimentalmente observando que cuanto mayor es la intensidad d e corriente, proporcionalmente mayor es la cantidad del cuerpo depositado . 2 .° Del tiempo que dura el proceso de electrolisis, cosa lógica, ya que cuant o mayor es el tiempo de circulación de la corriente, proporcionalmente mayor será e l efecto desarrollado . 12 5
En consecuencia, habiendo definido como equivalente electroquímico e de u n cuerpo, al peso en miligramo depositado por una corriente de 1 amperio de intensidad durante 1 segundo de tiempo, el peso depositado por una corriente de I amperios de intensidad, que atraviesa el electrolito durante t segundos de tiempo . será de (94) P
= E
It
miligramo s
fórmula que dice : el peso del cuerpo depositado por electrolisis es igual al product o de los valores del equivalente electroquímico de la substancia que compone el cuerpo por la intensidad de la corriente, en amperios, y el tiempo de duración . en segun dos . Ejemplo 56 . ;, Cuánta plata se precipitará en el cátodo de una cuba electrolítica si un a corriente de 200 A de intensidad atraviesa cl electrolito durante 15 minutos ? Siendo el equivalente electroquímico de la plata 1,118 mg y durando el proceso de electrolisis t = 15 X 60 = 900 segundos, la cantidad de plata precipitada ser á P=E 11 = 1 , 118 X200X900
contacto eléctrico con el baño . Al pasar la corriente eléctrica, los iones metálicos s e dirigen al cátodo, formando un cuerpo cuya forma es exactamente igual a la del mol de . Galvanostegia es la operación mediante la cual ciertos objetos metálicos son re cubiertos con una lámina finísima de otro metal, como oro, plata, níquel, etc ., a fi n de darles mejor presencia exterior o de evitar la oxidación . Así, en la fig . 117 tenemos un baño electrolítico en el cual el cátodo f son los objetos a recubrir, el ánod o e es una placa del metal que va a recubrirlos y cuyos iones, después de disolverse e n el electrolito g, se depositan en el cátodo . La electrometalurgia es otra de las aplicaciones prácticas de la electrolisis me diante la cual se obtienen industrialmente diversos metales, como son por ejemplo e l aluminio, plomo, hierro electrolítico, etc ., etc .
= 201 .240 mg= 201 .24 g
192 . Aplicaciones de la electrolisi s Los fenómenos electrolíticos tienen innumerables aplicaciones industriales . Las más importantes son la purificación de metales, la galvanoplastia, la galvanoste gia y la electrometalurgia . La electrolisis se emplea en la purificación de metales. Entonces el ánodo e s del mismo metal pero con impurezas y la electrolisis va depositando los iones de me tal puro en el cátodo . Un ejemplo d e purificación de un metal lo tenemos e n la obtención del cobre electrolítico . S e dispone el ánodo de cobre con impure zas en un electrolito formado por disolución de sulfato de cobre, y el cátod o es una varilla de cobre puro . El sulfat o de cobre al disociarse da iones positivo s de cobre y negativos de radical ácido . Los iones de cobre puro se depositan e n el cátodo, mientras que los aniones se dirigen al ánodo disolviéndolo . De esta forma el cobre se purifica, yendo de l ánodo impuro al cátodo ya totalment e fig. 117. Principio de la gatvanostegia . limpio de impurezas . Galvanoplastia es la operación electrolítica mediante la cual se consigue repro ducir en metal objetos de formas deseadas . Para ello, sustituye el cátodo por u n molde de yeso o gutapercha, recubiertos con plombagina con objeto de establecer el 126
127
CAPITULO X V LEYES DE KIRCHHOF F 193. Generalidades Hasta ahora nos hemos referido a circuitos más o menos sencillos, en los cuale s las intensidades de corriente del generador o receptor son determinadas sin gran dificultad . En el presente capítulo vamos a estudiar el caso general de una red de conduc tores conectados entre sí de una forma cualquiera (fig . 118) . Antes de abordar el estudio de estas redes complejas definamos los concepto s siguientes : Nudo . Se da este nombre a cualquier punto donde se reunen más de dos conductores . En la fig . 118 son nu dos de corriente los punto s A, B, C,D, . . . . Rama . Recibe este nombre toda porción de circuit o comprendida entre dos nudo s vecinos cualesquiera . En la fig . Fig . 118. Red eléctrica compleja. 118 son ramas recorridos tales como AB, BC, CD, . . . . Malla o circuito cerrado . Se da este nombre al conjunto de ramas que puede n ser recorridas de forma que, partiendo de un nudo cualquiera, se llega nuevament e al mismo, bien entendido que no se ha de pasar dos veces por el mismo nudo o l a misma rama . Así en la fig 118 son mallas los circuitos cerrados ABCDA, ADGA , GFBAG, . . . . Para calcular estas redes es necesario recurrir a las llamadas leyes d e KIRCHHOFF, la primera de las cuales se refiere a las intensidades que concurren en un nudo y la segunda a las tensiones parciales de una malla de la red . 194.
Primera ley de Kirchhoff
En todo nudo existen corrientes de sentido tal que unas tienden a alejarse de l 128
mismo y otras tienden a acercarse . Como quiera que en dicho nudo no existe ninguna causa productora de electricidad, es necesario admitir que son iguales las suma s de corrientes que se acercan y las que se alejan del nudo . Este hecho se expresa me diante la primera ley de Kirchhoff que dice así : "En todo nudo de conductores la suma de las intensidades de las corrientes qu e a él llegan es igual a la suma de las intensidades de las corrientes que de él se alejan" . Así en el nudo B de la fig . 118 se verifica : 1i+ 17
—
12+15+1e
195. Resumen de estudios anteriores Antes de abordar el estudio de la segunda ley de Kirchhoff vamos a hacer u n breve recordatorio de ciertos estudios anteriores . Un generador está caracterizado por su fuerza electromotriz interior, que tiende a favorecer el movimiento de la corriente eléctrica . Es decir, que la f. e . m . de u n generador es positiva en lo que se refiere al movimiento de la corriente eléctrica . Un receptor está caracterizado por su fuerza contraelectromotriz, que tiende a oponerse al movimiento de la electricidad, o sea, que la f . c . e . m . de un receptor e s negativa en lo que se refiere a su acción sobre la circulación de la corriente eléctrica . Examinemos seguidamente los circuitos elementales más sencillos formados po r una sola rama . a) Rama con solo resistencia . Se verifica, de acuerdo con la fórmula (22) de l a Lcy de Ohm, que la intensidad que la recorre es igual al cociente de la diferencia d e potencial eléctrico de los nudos extremos de la rama, dividido por el valor de la resistencia de ésta . Así, en la rama AB, en la que no existe ningún generador ni receptor, la intensidad de corriente I, es igual a la diferencia de los potenciales de los nu dos A y B (que valen VA y VB respectivamente) dividido por la resistencia R i de l a rama . Así, pues, tenemos . ¡1
=
(VA — VB) R1
d io donde se obtiene, mediante una sencilla transformación , (95)
(VA — VB) = Rl 1i
b) Rama con generador. En la-rama que dispone de generador, se ha de tene r en cuenta la f . e . m . de éste, que actúa en igual sentido que la diferencia de potencial existente entre los nudos extremos de la rama en lo que respecta al desplaza miento de la corriente eléctrica . Así, en la rama BC existe un generador cuya f. e . m . vale El . Por consiguiente, la intensidad de corriente 12 en dicha rama tomará un va lor
¡z =
(VB — Vc) -}-
R2
Et
129
siendo R2 la resistencia total de la rama . incluida la del generador Mediante un a simple transformación, se obtiene la expresió n (VB — VC)
(96)
+ El
= R2
/
e) Rama con receptor. En toda rama que exista un receptor se ha de tener en cuenta su f. c . e in ., que actúa en sentido contrario a la diferencia de potancial existente entre los nudos extremos de esa rama, ya que se opone a la circulación de l a corriente eléctrica . Así, en la rama CD existe un receptor cuya f. c . e . m . vale E2 . Siendo R3 la resistencia total de esta rama, incluida la del receptor, el valor de l a intensidad de corriente 13 en dicha rama tomará un valo r
13=
(VC — VD) — E2 P3
De esta expresión se deduce la siguiente :
(97)
(VC— VD)—E2 =83 13
d) Rama con generador y receptor. En la rama que disponga de generador y receptor se han de tener en cuenta los efectos de la f. e . m . del primero y la f. c . e . m . del segundo en relación a su influencia sobre la circulación de la corriente . Así , en la rama AD existe un generador de f . e . m . E3 y un receptor de f. c . e . m . E4, po r lo que, siendo R4 la resistencia total de la rama, incluida la interior de ambas máquinas, el valor de la intensidad de corriente que la recorre ser á
14— (VA— VD)+E3 —E4 R4 De esta expresión se deduce fácilmente la siguiente :
(98)
(VA— VD)+E3—E4=8414
196 . Sentido de las corrientes y fuerzas electromotrices en una malla de corriente s
Según el sentido con que recorren las corrientes las distintas ramas que componen una malla, se clasifican en positivas u horarias y negativas o antihorarias . La corriente de una rama es horaria o positiva cuando avanza en esa rama en e l mismo sentido que el giro de las agujas del reloj . Así, en la malla ABCDA de la fig. 119 son corrientes horarias o positivas las designadas por Il , 12 e 13 . Inversamente, la corriente de una rama es antihoraria o negativa cuando avanz a en esa rama en sentido contrario al de giro de las agujas del reloj . Así, en la mall a antes indicada, la corriente 14 es antihoraria o negativa . Una f. e . m . o una f. c . e . m . es horaria o positiva cuando, considerada independientemente, tendería a producir una corriente positiva u horaria . Así, en la malla 130
antes dicha, son positivas las designadas por El y L4 . aunque es producida la primera por un generador y la segunda por un receptor . Inversamente, una f. e . m . o una f. c . e . m . es negativa o antihoraria cuan do, considerada independientemente, tendería a producir una corriente negativa . En la malla que citamos, son negativas la s designadas por E2, correspondiente a u n receptor, y E3, de un generador . Una caída de tensión es positiva u horaria cuando corresponde a una corriente también positiva u horaria . En la mall a que citamos son positivas las caídas d e tensiónRi I1,R2I2 yR313 . De forma idéntica, una corrient e antihoraria da lugar a caída de tensió n Fig. 119 . Circuito cerrado o mall a también antihoraria o negativa . Ei el cirde corriente s cuito de la fig . 119 sólo hay una caída d e tensión negativa, la R4 14 . 197 .
f Segunda ley de Kirchhof
La segunda ley de Kirchhoff se enuncia así : "En todo circuito cerrado o malla d e corrientes, la diferencia del conjunto de f. e . ms . horarias y antihorarias e s exactamente igual a la diferencia de las caídas de tensión horarias y antihorarias" . Para demostrar esta ley nos referiremos al circuito cerrado o malla de corriente s ABCDA de la fig. 119, en el que existen las f. e . ms . positivas El y E4 y las negativas E2 y E3 . Asimismo existen las caídas de tensión siguientes, deducidas en los pá rrafos anteriores :
Sentid o
Valor
Rama
Fórmula
AB
(95)
R, 1, = (VA — VB )
positiv a
BC
(96)
Rr I2 = ( VB — Vc) + E l
positiv a
CD
(97)
R:, 13 = ( VC — VD ) — E2
positiv a
AD
(98)
R4
14
_ (VA — VD )
f
E4
negativa
Efectuemos la suma algebraica de las cuatro caídas de tensión teniendo en cuenta su sentido . Así resulta :
R,1i +82 12 +R3 /8 —8414=(VA
—VB)+[(VB — VC)+ E1] +
+[(VC—VD)—Lç=]—[(VA—VD)+E3
E4 ]
13 1
quitando todos los paréntesis del segundo término se tiene :
+RsI4 —84 14 =VA —VB +VB --Vc+E1 + +VC—VD—E2—VA +VD —Es+E4
R1 11 +RR
Simplificando los valores ecuación, resulta finalmente :
(99)
VA, VB,
VC, y VD, e invirtiendo los miembros de l a
E1—E2 — E8+E4= R111 +R2 12 +1?s15 — 84 14
expresión que demuestra la segunda ley de Kirchhoff. 198 . Forma de aplicar las leyes de Kirchhoff
Las dos leyes de Kirchhoff permiten resolver los problemas de reparto de corrientes en las redes por complejas que sean . Ahora bien, en algunas ocasiones aparece cierta dificultad para aplicarlas . Un método que facilita su aplicación práctica, sin error posible, es el siguiente : 1 .° En la mayoría de las ocasiones no se conoce el verdadero sentido de las corrientes que recorren las diferentes ramas que constituyen la red . Por eso se fijan provisionalmente los sentidos de esas corrientes y una vez obtenidos los resultado s del problema, aparecerá claro si han sido correctamente adoptados . Para ello nos fijaremos en los signos de los resultados y tendremos en cuenta que los que salgan positivos señalan que los sentidos de las corrientes respectivas han sido tomados correctamente, mientras que los negativos señalan que han sido tomados al contrari o de los que realmente tienen . 2 .° Se aplicará la primera ley de Kirchhoff a todos los nudos excepto uno . 3 .° Se aplicará la segunda ley de Kirchhoff a tantas mallas o circuitos cerrados como sea necesario para disponer de un sistema de tantas ecuaciones como in cógnitas . A este respecto, se definen como malla s distintas, todas aquellas que contengan, por l o menos, una rama no utilizada en las mallas an R teriores . Ejemplo 57 . Dos generadores de corriente continua G1 y G2 están acoplados en paralelo (fig . 120) . Sus f . e . m . son 125 V la de la primera y 122, 4 V la de la segunda . Las resistencias de los generadore s B son 0,25 S2 y 0,24 S2 respectivamente . A los borne s Fig. 120 . Generadores acoplados en paralelo . del conjunto está conectado un circuito exterior, cuy a resistencia vale 40 S2. Determínese las distintas inten sidades de corriente y la tensión en los bornes del conjunto . Admitamos provisionalmente que las corrientes son del sentido indicado en la figura . En ella se ve que existen dos nudos de corrientes A y B . Aplicando a cualquiera de ellos la primera le y de Kirchhoff se tiene : (A) /i -1- /, = I Seguidamente deberán obtenerse otras dos ecuaciones más, ya que en este problema se tie nen como incógnitas las tres corrientes . Esas dos ecuaciones serán conseguidas aplicando la se- , gunda ley de Kirchhoff. 132
En el circuito cerrado o malla constituido por el generador G1 y la resistencia exterior R existe una f. e . m . El positiva u horaria y dos caídas de tensión también positivas, la rl Ii y l a Ri Así, pues, podemos poner (B) 125 = 0,25 + 4 1 Asimismo, en el circuito cerrado constituido por el segundo generador G2 y la resistencia ex terior son positivas tanto la f. e . m. E2 y las caídas de tensión 1212 y R i Por consiguiente, se obtiene (C) 122,4 = 0,24 1, + 4 1 Despejando en la ecuación (A) el valor de la intensidad de corriente 12 del segundo genera dor, resulta
1,=1- 4
y sustituyendo el valor así obtenido en la ecuación (C), ésta se transforma en la siguient e 122,4 0,241— 0,241,+ 4 1 reduciendo términos semejantes, se tien e (D) 122,4 = 4,24 /— 0,24 /1 Despejando el valor del' en las ecuaciones (A) y (D), se tien e 125 — 4 1 4,24 1— 122, 4 1, = 025 0,2 4 Igualando estos dos valores 4,24 / — 122,4 125 — 4 / 0,2 4 0,25 Quitando denominadores se obtiene la igualdad 30 — 0,96 1= 1,06 1 — 30,6 De donde se deduce para valor de I = 60,6 1 02 = 30 A Sustituyendo el valor hallado para i en las ecuaciones, se obtien e 125=0,254+4X30 De donde despejando h, se obtiene para valor del mism o = 125 — 120 = 20 A 0,2 5 Finalmente, de la ecuación (A) nos da para valor de 12 =I—=30—20=10 A Como los resultados han dado valores positivos para las tres corrientes, ello nos indica que los signos que provisionalmente adoptamos eran correctos . La tensión en bornes del conjunto puede ser hallada mediante tres procesos de cálculo dife rente . Partiendo de la f. e . m . del primer generador se obtien e
Vb=E,—r 1 11 =125—0,25X20=120 V A partir de la f. e. m . del segundo generador, se obtien e
Vb=E,—r,1,= 122,4—0,24X 1b= 120 V Finalmente, el mismo valor se obtendría si aplicásemos la Ley de Ohm al circuito exterior , resultando así
Vb=R/='4X30=120 V 133
CAPITULO XV I ELECTROSTATIC A 199.
Generalidades
Hasta ahora, el estudio efectuado se ha referido exclusivamente a los fenómeno s eléctricos originados por la electricidad en movimiento, es decir, por la electricida d dinámica . Además de estos fenómenos existen otros de suma importancia, producidos por la electricidad en reposo, es decir, por la electricidad estática . Electrostática es la parte de la Electrotecnia que estudia los fenómenos origina dos por la electricidad en reposo, así como las leyes que los rigen y las aplicacione s que resultan de los mismos. En el conjunto de su estudio se presentan diversos fenó menos muy interesantes, pero la parte primordial consiste en llegar a adquirir el con cepto claro del campo eléctrico, tema que será abordado en el presente capítulo . 200.
Carga eléctrica
Sea el péndulo eléctrico de la fig . 1 y acerquemos a él barras de substancias diferentes, por ejemplo, vidrio, ebonita, resina, etc ., previamente electrizadas . Así se podrá comprobar que las fuerzas de atracción o repulsión desarrolladas por las distintas barras son muy diferentes, lo que es debido a que las barras tienen distinta carga eléctrica.
Así, pues, se puede conocer la carga eléctrica de un cuerpo electrizado por el valor de su fuerza de atracción o repulsión ; por ejemplo, dos cuerpos tendrán carga s eléctricas iguales cuando, a igualdad de distancia de un péndulo eléctrico, ejerce n sobre él la misma fuerza de atracción o repulsión . En realidad la carga eléctrica de un cuerpo no es otra cosa que la cantidad d e electricidad almacenada en el mismo . Por eso se toma como unidad de carga eléctri ca el culombi, • l ue es también la unidad de cantidad de electricidad . i e' ),
201.
Atracción y repulsión eléctric a
Aproximando sin llegar a tocarse dos cuerpos, uno electrizado positivamente y otro electrizado negativamente, se atraen mutuamente por el deseo que ambos tie134
nen de neutralizarse . Si no existe ningún impedimento los cuerpos llegan a tocarse , con lo cual el exceso de electrones de uno pasa al cuerpo que está a falta de ellos . En cambio, dos cuerpos con exceso de electrones o con falta de electrones se re pelen, ya que ambos se encuentran en igualdad de condiciones . Resumiendo estos resultados, se pueden enunciar las siguientes leyes : 1 . a Entre dos cuerpos próximos cargados con electricidades de distinto signo , se ejerce una fuerza de atracción que tiende a juntarlos . 2 . a Entre dos cuerpos próximos cargados con electricidades de igual signo, s e ejerce una fuerza- de repulsión que tiende a alejarlos aún más de lo que están . Un- estudio matemático de estas fenómenos permite enunciar la tercera ley siguiente : 3 . a La fuerza de atracción o repulsión que se ejerce entre dos cuerpos electrizados es igual al producto de los valores de sus cargas eléctricas dividido por el cua drado de la distancia que los separa . Esta ley se puede expresar mediante la fórmula siguiente : (100)
202.
F=
di
Distribución superficial de la electricida d
Se demuestra experimentalmente que la carga eléctrica de un cuerpo reside únicamente en su superficie exterior. Sea, por ejemplo (fig. 121), una caja metálica C e n la que se ha introducido una esferita E, también metálica, sostenida por un mango de vidrio . Estando electrizada la caja, podremos observar que no comunica electricidad alguna a la esferita cuando se toca con ella l a + parte interna, mientras que si se toca la superficie exte+ + rior de la caja la esfera queda también electrizada . + + Se da el nombre de densidad superficial a la relación + + + +++++ .++, + que existe entre el valor de la carga eléctrica de un cuerFig . 121 . Distribución po electrizado y su superficie exterior . superficial de la electricidad En un cuerpo esférico la densidad superficial e s idéntica en todos los puntos de su superficie exterior . En cambio, en un cuerpo cuya superficie presenta curvaturas diferentes, la densidad superficial varía de un pun to a otro, de manera que en cada punto es directamente proporcional a su curvatur a o, lo que es igual, inversamente proporcional al radio de la esfera a que pertenece . Si la superficie de un cuerpo electrizado presenta alguna arista o punta, la densi dad superficial en esos pùntos tomará un valor muy superior al resto de la superficie exterior del cuerpo, ya que es muy grande la curvatura de las aristas o puntas . Esto demuestra que la carga eléctrica se acumula preferentemente en las aristas o pun 135
204. tas, por lo que un cuerpo electrizado al descargar lo hará preferentemente por ellas . Confirma lo expuesto la experiencia, ya que se puede observar como todo conductor provisto de puntas se descarga rápidamente .
203 . Influencia electrostática Sea una esfera metálica A (fig . 122 a) aislada, por un soporte de vidrio . Est a esfera se encuentra electrizada con carga positiva . Al aproximar el cilindro conducto r B, también provisto de soport e aislador, y en estado neutro, se + puede comprobar fácilmente qu e + queda electrizado negativament e positivamente en la parte opuesta . Retirando la esfera desaparecen las cargas del cilindro . Esto s ensayos demuestran que la electrización del cilindro es debida a la influencia de la esfera . a)
La explicación de este fenómeno es muy sencilla . La carga positiva de la esfera A, actuando de acuerdo con las leyes de atracción y repulsión, atraen las carga s negativas de B y repelen las positivas .
Efectuemos ahora otro experimento . Estando electrizado e l cilindro, establezcamos un contacto a tierra en la parte alejada de l a b) esfera . Entonces desaparece la car ga positiva en ella situada, de forFig. 122 . Influencia electrostática debida a una carg a eléctrica. a) Por carga positiva. b) Por carga negativa ma que el cilindro queda electrizado negativamente en toda su superficie, sin perder este estado aun cuando se retire la esfera . De manera inversa, si la esfera A se encontrara electrizada negativamente (fig . 122), al acercarle el cilindro B éste quedaría electrizado con carga positiva en la parte próxima a la esfera y nega tiva en la parte opuesta. Al establecer contacto de esta parte con tierra, queda el cilindro permanentemente electrizado con carga positiva .
Descarga eléctrica . Chisp a
Cuando dos cuerpos electrizados con cargas eléctricas contrarias se aproxima n una al otro, la fuerza de atracción de sus electricidades aumenta a medida que disminuye la distancia . Como quiera que entre los cuerpos no existe más resistenci a eléctrica que la debida al aire, llega un momento en que la fuerza de atracción venc e esta resistencia y las electricidades se neutralizan, saltando una chispa en el espacio . Esta chispa es el resultado de la transformación en energía calorífica de la mayo r parte de la energía eléctrica almacenada en los cuerpos electrizados.
205. Electricidad atmosférica . Ray o La atmósfera está siempre cargada de electricidad . Las nubes, por influencia
de
la atmósfera, se cargan a veces de electricidad positiva y otras de negativa .
Rayo es la descarga eléctrica que se produce entre dos nubes de diferente potencial eléctrico o entre una nube y la tierra, produciendo temibles efectos . Cuando una nube cargada de electricidad pasa cerca del suelo, los cuerpos pró ximos se cargan, por influencia, de electricidad contraria . Si la nube pasa muy cerc a de la tierra se puede llegar a producir una descarga eléctrica o rayo . Para preservar los edificios d e los efectos del rayo se disponen e n su parte alta ciertos dispositivos, conocidos con el nombre de pararrayos. Los pararrayos están constituidos (fig . 123) por una barra d e hierro, que termina en su extrem o superior en una esfera de cobre pro Fig. 123. Campo de protección de un pararrayos vista de puntas plateadas, que son los receptores de descarga. Dicha barra comunica con tierra mediante un cable d e hierro galvanizado o por una cinta de cobre . El contacto del cable con tierra se hac e mediante una placa, llamada pierde–flúidos, de un metro cuadrado aproximadamente, enterrada en un lugar húmedo o rodeada de carbón vegetal . La protección por pararrayos se basa en el hecho de que al presentarse encima del edificio una nube electrizada positivamente se altera el estado neutro del pararra yos, desplazándose los electrones hacia su parte superior . Cuando la tensión entr e la nube y las puntas del pararrayos es elevada se origina una descarga eléctrica qu e neutraliza eléctricamente la carga de la nube . Generalmente se admite que un pararrayos protege eficazmente el espacio limitado por un cono, cuyo vértice es la punta y cuya base es un círculo de radi o igual a la altura total h del pararrayos . 13 7
136
Para que un pararrayos actúe eficazmente es preciso exista buena comunicación con el suelo, ya que se ha de ofrecer a la descarga eléctrica un camino de me nos resistencia que cualquier otro conducto a tierra . Para probar un pararrayos se dispone una pila P (fig . 124) de forma que uno de sus terminales esté unido al hilo de tierra H y el otro a la toma de tierra B de en sayo, poniendo en serie con el conjunto un timbr e T . Si el timbre suena es señal que el pararrayos s e encuentra en buenas condiciones de funcionamien -
to .
el campo, lo que exige que también sea mayor el número de líneas de fuerza existentes en el mismo . b) Depende de la distancia geométrica d, que separa las cargas eléctricas . E n efecto, cuanto mayor es dicha distancia, mayor ha de ser la resistencia que encuentran las líneas de fuerza en su recorrido y, en consecuencia, resultarán más pequeños los efectos que originen . Resumiendo las consideraciones anteriores, podemos decir que la intensida d de campo es directamente proporcional a la tensión V existente entre las cargas eléc tricas e inversamente proporcional a la distancia d que las separa . Este resultado pue de expresarse mediante la fórmula siguiente :
206 . Campo eléctric o
Fig . 124.
Prueba de un pararrayos .
Recibe el nombre de campo eléctrico la porción de espacio en la que son sensibles los efecto s de los cuerpos electrizados . Es decir, que el camp o eléctrico de un cuerpo electrizado será la parte de
espacio en la cual se nota su fuerza de atracción o repulsión sobre un péndulo eléctrico, así como la influencia electrostática . Los efectos ejercidos por los cuerpos electrizados (fuerzas de atracción y repulsión, influencia electrostática, etc .), se propagan no sólo por el aire, sino también por toda clase de cuerpos aislantes, incluso por el vacío . Se explican los efectos electrostáticos admitiendo la existencia en todo el campo eléctrico de unos hilos o líneas imaginarias que transmiten las fuerzas de atracción y repulsión . Esos hilos imaginarios reciben el nombre de líneas de fuerza, las cuales no tienen existencia física real, pero es necesario admitirla . 8 Por otra parte, se supone que las líneas de fuerz a recorren en el campo eléctrico siguiendo caminos que parten de una carga positiva, y van a parar a una carg a negativa (fig. 125) . 207 .
Intensidad de campo eléctrico
Se denomina así al número de líneas de fuerza qu e +existen por cada centímetro cuadrado de campo eléctrico, considerada esa superficie perpendicular a la direcció n d de las líneas de fuerza . Fig . 125. Líneas de fuerza El valor de la intensidad de campo eléctrico depende un campo eléctrico . de de la diferencia de tensión existente entre las carga s positiva y negativa y de la distancia que las separa . a) Depende de la diferencia de tensión V, existente entre las cargas eléctrica s que hacen de extremo del campo . En efecto, cuanto mayor sea la tensión eléctrica , mayor será el afán de los electrones por desplazarse, ejerciendo así mayor fuerza en 138
(101)
H=
V
d
La unidad de intensidad de campo eléctrico es el voltio por centímetro (V/cm) . Un múltiplo de la misma es el Kilovoltio por centímetro (kV/cm) . Ejemplo 58 . Entre dos placas metálicas separadas cinco milímetros existe una d . d . p . de 50 .000 V . ¿Cuánto vale la intensidad del campo existente entre ellas ? De acuerdo con la fórmula (101), la intensidad del campo eléctrico val e
= 5
H =
x0= 100 .000 V/cm = 100 kV/c m
d
Ejemplo 59 . ¿A qué distancia deberán situarse dos placas metálicas entre las cuale s existe una d . d . p . de 24 .000 V para que el campo eléctrico tenga una intensidad de 60 kV/cm ? Despejando el valor de la intensidad del campo en la fórmula (101), se tien e d
=
V
H
=
24 .000 60.000
= 0,4 cm = 4 mm Vp
208 . Rigidez dieléctrica
Sea el sistema formado por dos placas metálica s A y B separadas por un medio C de material aislant e cualquiera, que también puede ser aire (fig . 126) . Cuando sea V la tensión existente entre las placas , y d el espesor del aislante, el valor de la intensidad de l campo eléctrico, de acuerdo con la fórmula (101), será . H=
V
Fig . 126. Perforación del dieléctrico
d
Aumentando lentamente la tensión entre las placas metálicas, la intensidad de l campo puede llegar a tomar un valor tal que se produzca la perforación del dieléctrico . La tensión a la cual ocurre esto recibe el nombre de tensión de perforación. Siendo Vp la tensión de perforación, la intensidad de campo en esas condiciones valdrá (102)
Hp
= Vp d
13 o )
Esta intensidad de campo Hp, que corresponde a la tensión de perforación, re cibe el nombre particular de rigidez dieléctrica. Su valor es una característica de lo s aislantes, ya que cada material tiene su valor correspondiente . El valor de la rigidez dieléctrica de los aislantes más usuales se da en la Tabl a siguiente : TABLA I X Rigidez dieléctric a kV/cm
Material Papel . . Presspan . Madera Mica . Micanita .
40 a 10 0 100 a 40 0 30 a 60 600 a 700 200 a 400
.
Rigidez dieléctric a kV/c m
Material Porcelana Vidrio . Baquelita Ebonita Parafina
. . . . .
. . . . .
200 a 300 60 a 12 0 23 0 23 0 120
¿Cuánto vale la rigidez dieléctrica de un aislante de 0,3 mm de espeso r Ejemplo 60 . si es perforado a una tensión de 3 .000 V ?
Hp
=
dp
3 .000 = 0,0 3 = 100 .000 V/cm = 100
kV/c m
CAPITULO XVI I CONDENSADOR ELECTRICO 210.
Generalidades
Ordinariamente la carga eléctrica acumulada en los conductores eléctricos e s siempre pequeña . A veces interesa disponer de cargas de valor importante, siend o preciso hacer uso de un condensador eléctrico . Recibe el nombre de condensador eléctrico el sistema formado (fig . 127) por dos superficies metálicas conductoras A y B, llamadas armaduras, que se hallan se paradas por un medio aislante C, que recibe el nombre d e dieléctrico, La cara de cada armadura que da al dieléctric o recibe el nombre de activa y la otra es la cara libre.
209 . Coeficiente de seguridad 211.
A los aislamientos se les hace trabajar bajo tensiones menores que la de perforación a fin de evitar queden destruidos . Sea un aislante, de espesor d, cuya rigide z dieléctrica es Hp . Para que quede perforado, es preciso que esté sometido a la ten Hp • d. sión de perforación, cuyo valor es Vp Ahora bien, el aislante está trabajando a una tensión V, inferior a la de perforación . Se define entonces el coeficiente de seguridad como la relación que exist e entre la tensión de perforación y la tensión de trabajo, es decir, que val e (103)
Vp
Ks =
V El coeficiente de seguridad que se da normalmente a los aislantes es de 3 a 6 . Ejemplo 61 . Una lámina de mica cuya rigidez dieléctrica es de 600 kV/cm, tiene u n espesor de 1 mm . ¿A qué tensión será perforada? ¿Cuál será el coeficiente de seguridad cuand o la tensión de trabajo a que esté sometida sea de 15 kV ? Despejando el valor de la tensión de perforación en la fórmula 102 se tien e Vp = Hp •
d=
600.000
X
0,1 = 60 .000 V
Aplicando la fórmula (103) resulta como coeficiente de segurida d Ks=
140
Vp _ 60 .000 V 15 .000
= 4
Fundamento de la acción de un condensado r
Para formarse idea del fundamento del condensador , observemos lo que sucede si, en el sistema formado por la s dos armaduras de la fig. 128, solamente una de ellas, la A, Fig. 127. Condensador eléctrico . está unida al polo positivo de una pila P, mientras que se suprime la conexión de la armadura B con el pol o negativo . En tales condiciones, la armadura A adquier e • una carga positiva, es decir, que pierde electrones . "f Dado que la armadura B se encuentra en el camp o eléctrico de la armadura A, quedará sometida a s u influencia electrostática . Esta determina la atracció n de los electrones de la armadura B, haciendo qu e quede cargada negativamente la superficie activa qu e da al dialéctrico y positivamente la cara libre . De aquí se deduce que por la simple influencia electrostática queda cargada la armadura B, sin esta r Fig . 128. Fundamento del unida al generador . Entonces, si se cierra el interrupcondensador eléctrico . tor M, fluirán electrones desde el polo negativo de l generador a la armadura B . Los primeros en llegar servirán para compensar la carg a
+{p —
14 1
positiva de la cara libre de la armadura B, sirviendo los restantes para aumentar l a carga eléctrica negativa de la cara activa . Es de notar que, de igual forma que la carga positiva de A ejercía influenci a electrostática sobre B, la carga negativa de ésta influye sobre la armadura A , aumentando su carga positiva . Lo expuesto demuestra que la carga de las armaduras A y B queda considerablemente aumentada por el hecho de que cada una de ellas se encuentra situada e n el campo eléctrico originado por la otra . En resumen, la razón por la cual un condensador eléctrico es capaz de almacenar cantidades importantes de electricidad, se basa en el fenómeno de influenci a electrostática, mutuamente ejercida por las cargas eléctricas de sus armaduras, la s cuales determinan fuerzas de atracción que adquieren un considerable valor por se r relativamente pequeño el espesor del dieléctrico o, lo que es igual, muy pequeña l a distancia entre las superficies activas de las armaduras . 212 . Capacidad de un condensador
Se denomina capacidad de un condensador a la aptitud del sistema de sus do s conductores, separados por un aislante, para acumular cargas eléctricas . La capacidad C de un condensador es de un valor igual a la relación que exist e entre la cantidad de electricidad O en él almacenada y la diferencia de tensión eléctrica V existente entre sus armaduras, es decir, que se verific a (104)
C = V
La unidad de capacidad es el faradio (F), que es la capacidad de un condensador que almacena una cantidad de electricidad igual a un culombio cuando entr e sus armaduras existe una diferencia de potencial de un voltio, es decir, que se verifi ca 1 culombi o 1 faradio =
213 . Valor de la capacida d
La capacidad de un condensador depende de la superficie de las caras activa s de las armaduras, del espesor del dieléctrico y del material del que está constituido este último . a) La capacidad de un condensador es directamente proporcional a la superficie S que se ofrecen mutuamente las caras activas de las armaduras, ya que cuant o mayores sean éstas tanto mayor será la carga eléctrica total almacenada . b) La capacidad de un condensador es inversamente proporcional al espeso r d del dieléctrico, ya que cuanto más pequeño es éste o, lo que es igual, cuanto má s cerca se hallan las placas tanto mayor será la fuerza de atracción ejercida por las car gas eléctricas de cada armadura sobre la de la otra . c) La capacidad de un condensador depende del material que constituye e l dieléctrico, ya que, según sea éste, varía la facilidad que ofrece al paso de las línea s de fuerza de una armadura a la otra . Resumiendo, siendo S la superficie en = 2 de la cara activa de cada armadura , d, el espesor del dieléctrico en centímetros y K un coeficiente que depende del material aislante del dieléctrico, el valor de la capacidad del condensador en microfaradios será . (1"05)
C
=
í0,84
S
8
K
d
(La cantidad abstracta 8,84 : 108 que entra en la fórmula es necesaria para que el resultado de la fórmula venga dado en microfaradios) . El coeficiente K, característico de cada material, recibe el nombre de constan te dieléctrica . Su valor, en los materiales más corrientes, viene dado en la Tabla siguiente : TABLA X . Material
K
Aire Mica . Micanîta Papel . . Presspan . Madera .
1 4,5 a 5,5 2,3 a 2,5 2 a 2,8 3,2 a 3,8 2,5 a 4,8
Constantes dieléctrica s K
Material
1 volti o
El faradio es una unidad enormemente grande para las necesidades prácticas . Por eso se emplean otras unidades más pequeñas para indicar las capacidades . Estas son el microfaradio (p F), que vale una millonésima de faradio . El picofaradio (pp F), que vale una millonésima de microfaradio o una billonésima de faradio . E n Radiotecnia se emplea también como unidad de capacidad el centímetro. Su valor es tal que un picofaradio equivale a 0,9 centímetros . Ejemplo 62 . ¿Cuál sera la capacidad de un condensador que, sometido a una tensió n de 50 .000 V, almacena una carga de 1,5 culombios ? Aplicando la fórmula se tiene C 142
Q V
1,5 50.000
=0,00003F=30µ F
. . .
Porcelana Vidrio . Baquelita Ebonita Parafina
. . . . .
. . . . .
4,5 a 6, 5 5 a12 5,6 a 8, 5 2,5 a 3, 2 1,9 a 2, 3
Ejemplo 63 . Dos placas metálicas de 600 cm 2 de superficie están separadas por cartón presspan de 3 mm de espesor, cuya constante dieléctrica es 3,5 . ¿Cuál será la capacidad de l condensador formado ? C=
8,84
K
d=1 84 X 3,5 X 0, 600 = 0,00062 µ F 14 3
214 . Carga y descarga de un condensador
Para cargar un condensador basta aplicar a sus armaduras una diferencia de po tencial . Entonces, una determinada cantidad de electricidad positiva va desde e l polo -- de la fuente de energía a la armadura conectada al mismo y una cantida d exactamente igual de electricidad negativa va del polo de la fuente de energía a la otra armadura . Este doble transporte de electricidad recibe el nombre de corriente de carga del condensador . La corriente de carga dura breves instantes, sólo hasta que la tensión entre la s armaduras del condensador toma el mismo valor que la tensión de la fuente de ener gía . Cuando esto ocurre queda cortado el transporte de electricidad a las dos placas . Esto nos hace afirmar que el condensador no permite el paso de la corriente continua (salvo los brevísimos instantes en los que existe la corriente de carga). Para aclarar el pro ceso de carga de un condensador se puede establecer el símil hidráulico siguiente : Sea (fig . 129) una vasija A, dividida en dos compartimentos indepenFig. 129. Símil hidrlulico del condensador eléctrico dientes mediante una membrana elástica E . Esta vasija, que está totalmente llena de agua, puede ser comunicada a voluntad, sea con una bomba B o con tubo de unión T, para Io que basta accionar sobre tres llaves de paso M1 M2 M3 . En el supuesto de que la bomba no funcione y con las llaves M1 M2 M3 abier tas, el conjunto estará en reposo y la membrana ocupará la posición normal de mínima energía, representada por la línea de puntos . Si cerramos la llave M3, dejando abiertas M1 y M2 . la acción de la bomba B determina unta presión hidráulica sobre la membrana . Esta, que es elástica, se estirará hasta tomar una posición tal que su tensión sea igual y contraria a la presión ejercida por el agua . Cuando esto se verifique se habrá establecido el equilibrio de fuer zas del conjunto . En la fig . 129 la posición de la membrana, representada por la línea gruesa , corresponde a la tensión igual y contraria a la presión del agua . El proceso que acabamos de ver es un símil de la carga de un condensador . E n el recipiente A la membrana elástica hace el papel del dieléctrico, la presión del agua, 144
debida a la acción de la bomba, es la diferencia de potencial de la fuente de energía . y la tensión de la membrana es la tensión entre las armaduras del condensador . Se observa que, antes de que se llegue a establecer el equilibrio del conjunto , existirá un desplazamiento de agua que irá a ocupar el hueco debido al abomba miento de la membrana . La cantidad de agua desplazada puede asimilarse a la carg a eléctrica tomada por el condensador . Descarga. Para descargar un condensador es suficiente unir sus armaduras me diante un conductor eléctrico . Entonces se presenta una corriente eléctrica que reci be el nombre de corriente de descarga y cuyo sentido será de la armadura positiva a la negativa a través del conductor que las une, sin pasar por el dieléctrico . En el símil hidráulico de la fig . 129 puede también encontrarse el paralelism o con el proceso de descarga . En efecto, cerrando las llaves Mi M2 y abriendo la M3 , la tensión de la membrana E hace que el agua circule por el tubo T hasta consegui r que la citada membrana alcance su posición normal de reposo o de mínimo esfuerzo .
215.
Perforación del dieléctrico
Como vimos en el párrafo 208, un aislante cualquiera puede ser perforado si l e hacemos trabajar a una intensidad de campo eléctrico superior a su rigidez dieléctri ca, lo que ocurrirá si entre sus caras existe una diferencia de potencial superior a l a tensión de perforación . Por esta razón, se debe tener mucho cuidado de que el condensador no trabaje con tensión exageradamente mayor que la nominal de funcionamiento . En el símil hidráulico de la fig . 129 la perforación del dieléctrico correspond e a la rotura de la membrana elástica, lo que ocurriría si la bomba ejerciera una presión hidráulica excesiva . Con la membrana rota el agua circulará libremente .
216.
Clasificación de los condensadores
Existen en el mercado diversos tipos de condensadores, que se clasifican aten diendo a varias cualidades, como son las siguientes : a) Material del dieléctrico. Los condensadorés pueden ser de aire, de mica , electrolíticos, etc . b) Forma de las armaduras . Los condensadores pueden ser planos o de placas , cilíndricos, esféricos, etc . c) Constancia del valor de la capaciFig . 130. Condensadores variables. dad. Los condensadores se clasifican e n constantes y variables (fig . 130) . Un condensador constante es la llamada Botella de Leyden . Esta es un condensador forma145
do por un frasco de vidrio (fig . 131), cubierto exteriormente por papel de estaño A hasta las tres cuartas partes de su altura . El frasco está cerrado por un tapón T de goma, atravesado por una varilla metálica V, que termina en su parte superior en una esfera E, también metálica . La parte inferior de la varilla va introducida en hojas de pane s de oro, que ocupan el interior de la botella . Las armaduras del condensador son : la exterior e l papel de estaño y la interior los panes de oro ; el dieléctri co es el vidrio del frasco que tiene muy poco espesor .
V
= Vr +V2
Dividiendo los dos miembros de la expresión anterior por el valor constante d e la carga de cada condensador se tien e V a)
V2
=
V
I Ci
Cz
C3
°
El esquema de este acoplamiento es el indicado en la fig . 132 . En él están dispuestos los con Vi densadores uno a continuación de otro . Uniend o las armaduras libres de los dos condensadores exFig . 132. Agrupamiento d e condensadores en seri e tremos a una fuente de energía, se presentará una corriente de carga I igual para todos los condensadores . Como, además, también es común el tiempo que dura el período de carga , resulta que todos los condensadores tomarán la misma carga eléctrica Q . Designando por VI . V2, V3, a los valores de las tensiones parciales exis tentes entre las armaduras de los distintos condensadores, es evidente que la ten sión total es igual a la suma de las tensiones parciales . 146
+
Q Q Q
Q
+
Ahora bien, observemos que VI : Q es el valor inverso de la capacidad del primer condensador, o sea, 1 : Cl . Asimismo V2 : Q = 1 : C2 ; V3 : Q = 1 : C3 . . . Por otra parte, designando por C la capacidad total del sistema, es evidente qu e V
A fin de conseguir un tipo de condensador qu e ocupando poco espacio posea una capacidad de valo r importante, se han ideado los condensadores electrolíticos . El procedimiento para su fabricación consiste e n producir un dieléctrico extremadamente delgado de óxiFig . 131 . Botella de Leyden . do de aluminio sobre una armadura de este metal . Para obtener un condensador de esta clase se introducen dos láminas de aluminio en un baño electrolítico formado por una disolució n de sal amoníaco, se aplica a las placas una tensión continua que produce la descom posición del electrolito, con el resultado de que los iones que van a la placa positiv a originan una película de óxido de aluminio que hará de dieléctrico y que, al llegar a a ser de un determinado espesor, corta por completo el paso de la corriente, terminando entonces la fabricación del condensador .
V3
+
V1
217 . Condensadores electrolítico s
218 . Agrupamiento d e condensadores en seri e
+Vs+ . . . .
1
C
Q
Así, pues, la expresión a) se convierte en la siguiente : 1
1 + 1 +
C,
C
1
C2
C3
de donde, despejando el valor de la capacidad equivalente del acoplamiento en serie , se deduce (107) C
1 =
C
+ C2+ C3 + . . . .
I
fórmula que dice : "El valor de la capacidad equivalente de un agrupamiento en seri e de varios condensadores es igual al inverso de la suma de los inversos de los valore s de las capacidades de los distintos condensadores que forman el agrupamiento" . Ejemplo 64 . Tres condensadores, cuyas capacidades son de 20, 30 y 40 p F . están formando un agrupamiento en serie . ¿Cuál será el valor de la capacidad equivalente del conjunto? Aplicando la fórmula (107) se tiene
C=
1 1
1
1
C, fi C2 + C3
1
1
1
20 + 30 + 40
6+4+3 12 0
_ 120 _
3 13 -9 13
µ F
219 . Caso particular : Capacidades iguales Si todos los condensadores que forman el agrupamiento en serie son de igua l capacidad, la fórmula que permite calcular la capacidad equivalente del conjunto es más sencilla que la (107) . 14 7
Sea t el número de condensadores iguales agrupados en serie y Cl la capacida d de cada uno de ellos . Aplicando la fórmula (107) se tiene como capacidad equivalente del conjunt o C=
' Ct
--
_
'
Ct—} C1 +
C1
obteniendo en definitiva la expresió n (108) C =
Cl t
fórmula que dice : "El valor de la capacidad equivalente de un agrupamiento en seri e de varios condensadores de la misma capacidad es igual al cociente que resulta d e dividir la capacidad de uno de los condensadores por el número que forma el agrupamiento" . Ejemplo 65 . 6 condensadores iguales, de capacidad 24 µ F, están agrupados en serie . ¿Cuánto vale la capacidad equivalente del conjunto ? Aplicando la fórmula 108 se tien e C =
C, t
=
24 7
—
4
µ
F
fórmula que dice : "La capacidad total de un agrupamiento de varios condensadore s en paralelo es igual a la suma de las capacidades de todos ellos" . Ejemplo 66 . ¿Cuál será la capacidad total del agrupamiento en paralelo de tres condensadores de 20, 30 y 401.11" ? Aplicando la fórmula (109) se tien e C = C1 + Cs + Ca = 20 + 30 + 40 = 90 µ F 221 . Condensador de placas en paralelo
Para disponer de capacidades elevadas se distribuye la superficie total necesaria entre varias placas en la forma que se indica en la fig . 134 . Como se puede comprobar, las placas que se encuentran en lugar impar están unidas entre sí, formando una de las armaduras del conjunto . La otra queda constituid a + por las placas del lugar par . Con esta disposición, puede contarse com o superficie activa de las armaduras las dos caras d e cada placa, a excepción de las dos extremas, en la s Fig . 134. Condensador de placas cuales es activa solamente una de las caras . Siendo n el número de placas y S la superficie activa de cada una de las cara s en em e , la superficie activa de cada armadura será .
220 . Agrupamiento en paralel o
El esquema de este agrupamiento es el indicado en la fig . 133 . En él están dis puestos los condensadores de forma que todos ellos tienen .sus armaduras unidas a los dos conductores de alimentación . C, Como se ve en este agrupamiento, todos lo s C? G condensadores están sometidos a la misma tensió n f -fo . -. V. Según esto, la carga que tomará cada condensa dor será respectivamente ¡~ = C1 V; Qt Q2 = C2 V; Q3 = C3 V . . . . Fig . 133. Agrupamiento de condensadores en paralelo
La carga total del conjunto de los condensa dores que forman el agrupamiento sera igual a l a suma de las cargas de cada uno de ellos, o se a (a)
Q = Q1+Q2+Q3+ . . . .
Llamando Ca la capacidad total del conjunto, es evidente que su valor será ta l que se verifique Q = C V. Sustituyendo en la expresión (a) los valores hallados para cada carga se tien e CV=C1V-{-C2 V+C3 V+ . . . . Dividiendo los dos miembros de esta expresión por V se tien e (109) 148
C=C1 - C2 +C3 + . . . .
(n — 1)
S
En consecuencia, la capacidad total del condensador ser á 8 ' 84 K (n — 1) S (110) C = 108 d Ejemplo 67 . Un condensador plano está constituido por 5l placas cuadradas de 12 X 12 cm de superficie . Entre cada dos placas existe como dieléctrico papel micanita de 0,2 mm d e espesor y constante dieléctrica igual a 6 . ¿Cuánto vale la capacidad del condensador ? Aplicando la fórmula (110) se tien e _ C
8,84 108
K
(n—1)3 _ d
8,84 108
6
(51—1)12X12 0,02
=0,2 µ F
222 . Condensador arrollad o
Otro procedimiento empleado para consegui r capacidades elevadas consiste en preparar un condensador arrollado . En este tipo de condensador las armadura s están constituidas por dos finas hojas de alumini o A, entre las que se coloca, como dieléctrico, pape l Fig. 135 . Condensador arrollado parafinado especial B . El conjunto se arrolla e n bobinadoras adecuadas, con las que se obtiene un bloque bien plegado que ocup a relativamente poco espacio (fig . 135) . 149
Con este sistema de fabricación se consigue una gran economía del metal d e las armaduras, ya que prácticamente se duplica la capacidad que se conseguiría co n las láminas extendidas y separadas por el mismo dieléctrico . Siendo a el ancho de la lámina de aluminio y L su longitud, la sección activa de cada armadura será 2 a L, y por consiguiente, la capacidad del condensador arrollado será.
2 (111) C -= 8 'O8K
L
Ejemplo 68 . Dos láminas de aluminio de 100 mm de ancho y 5 metros de longitud , separadas por papel parafinado de 0,2 mm de espesor y constante dieléctrica igual a 2, so n arrolladas para formar un condensador . ¿Cuál será el valor de la capacidad obtenida ? Aplicando la fórmula (111) se tien e C=
8,84 K 108
2aL d
_
8,84
1o8
2 2X10X500_ = 0,088 0088 0,02
p. F
de las armaduras para mantener constante el valor de la capacidad del condensador . En resumen, conviene que el material que constituye el dieléctrico tenga ele vados sus dos valores característicos : rigidez dieléctrica y constante dieléctrica . Los datos necesarios para el cálculo de un condensador son : la capacidad C en microfaradios y la tensión de alimentación V en voltios . El proceso del cálculo es co mo sigue : 1 .° Estimado el coeficiente de seguridad Ks que se desea tener, se deduce l a tensión de perforación del dieléctrico, para lo que se despeja este valor en la fórmula (103). Así se tiene Ven voltios . Vp = Ks 2 .° Elegido el material más adecuado para el dieléctrico, se toma en la Tabl a IX el valor correspondiente a su rigidez dieléctrica Hp. 3 .° Conocidas la tensión de perforación Vp y la rigidez dieléctrica Hp del aislante, se deduce seguidamente el espesor del dieléctrico despejando este valor en l a fórmula (102) . Así se tiene
223 . Cálculo de un condensador .
V p Hp
d=
Calcular un condensador consiste en determinar las dimensiones de las armaduras y el espesor del dieléctrico . Estas dimensiones conviene sean lo más reducida s posible (siempre que exista la suficiente seguridad), a fin de que el condensador ocu pe poco espacio y que su precio de coste resulte pequeño . Al calcular un condensador conviene tener en cuenta las dos consideracione s que se deducen de la fórmula (105) . C_
8,84 108
K
S = d
1 . a Según esta fórmula la capacidad de un condensador depende de la relación entre la superficie activa de la armadura y el espesor del dieléctrico . De aquí se deduce que cuanto más delgado sea éste, tanto menor deberá ser la superficie activ a de las armaduras para que se mantenga constante la capacidad deseada del condensador. Ahora bien, la reducción del espesor d del dieléctrico tiene un límite, que vie ne dado por el coeficiente de seguridad conveniente con objeto de evitar la perforación del dieléctrico . Recordando que la perforación del material depende de su rigidez dieléctrica es lógico que cuanto mayor sea el valor de la rigidez del dieléctrico , tanto más pequeño puede ser el espesor del aislante y, por consiguiente, más reducida la superficie activa de la armadura . En consecuencia, para obtener un condensador de poco tamaño es preciso emplear como dieléctrico un material cuya rigidez sea elevada . 2 . a Según la misma fórmula (105) la capacidad de un condensador depend e de la constante dieléctrica del material aislante colocado entre las placas ; en efecto , cuanto mayor sea la constante dieléctrica, tanto menor puede ser la superficie activa 150
4 .° Sobre la Tabla X se toma la constante dieléctrica K del aislante adoptad o como dieléctrico . 5 .° Conocidos los valores del espesor d del dieléctrico y su constante dieléctrica K, se podrá determinar el valor de la superficie activa de las armaduras despejando este valor en la fórmula (105). C
d
108
8,84 K
en cm'
5 .° aJ Si el condensador fuera de placas en paralelo, se elegirá inicialmente l a superficie activa de una cara de cada placa . Llamémosla Sa. con lo que el número de placas deberá ser n=
S
+ 1
Sa
5 .° b) Si el condensador fuera del tipo arrollado, se elegirá el ancho a de la lámina metálica . Entonces será preciso calcular la longitud necesaria . Su valor será L=
S 2 a
Ejemplo 69 . Calcular condensador de placas en paralelo de 12 Iz F de capacidad qu e deb, funcionar bajo 500 V . El dieléctrico será mica, cuya constante dieléctrica es 5 y su rigide z dieléctrica 600 kV/cm . Admitiendo un coeficiente de seguridad de 3,6, la tensión de perforación valdr á
Vp=Ks
• V = 3,6 X 500 =
1 .800
V
151
Por consiguiente, el espesor del dieléctrico valdr á Vp
1 .800 000 = 0,003 cm = 0,03 m m 600 La superficie activa de las armaduras debe ser igual a d=
=
d• 108 _ 12X0,003X108_ 27150cm ' 8,84, K 8,84 X 5 Por ser excesivamente grande esta superficie para una sola placa, dispondremos placas apiladas en paralelo . Admitiendo que cada cara de placas tiene una superficie de 20 X 30 = 600 cm 2 , el número de placas necesario ser á C•
S—
CAPITULO XVII I
S 27.150 + 1 = 600 + 1 = 45 + 1 = 46 placas . Sa Así queda terminado el cálculo del condensador . n
Ejemplo 70 . Calcular condensador arrollado para 2,5
tensión empleando lámina de 100 mm de ancho y como dieléctrico papel parafinado de 6/10 0 mm de espesor, cuya constante dieléctrica es 2,5 y la rigidez dielectrica de 100 kV/cm . La tensión de perforación ser á Vp=Hpd=100.000X0,006=600 V Por consiguiente, el coeficiente de seguridad val e Kg =
V
V
=
162 0
= 5, valor que es suficiente .
La superficie activa de cada armadura debe vale r S
=
C • d • 108 _ 2,5
8,84 K
X 0,006 X 108 8,84 X 2, 5
= 680.000 cm'
La longitud total de la lámina metálica deberá se r L = S
2a
680 .000
2 X 100
MAGNETISMO Y ELECTROMAGNETISMO
µ F de capacidad y 120 V de
224. Generalidades En las máquinas eléctricas se presentan fenómenos magnéticos cuyo conocimiento es de gran importancia . A este respecto se debe tener en cuenta que la transformación de la energía eléctrica en mecánica o viceversa se efectúa siempre median te un flujo de líneas de fuerza que recorre el circuito magnético de la máquina . En el conjunto de los fenómenos magnéticos, se distinguen los siguientes : 1 . 0 Aquellos que son originados por imanes y cuyo estudio es el objeto de l Magnetismo propiamente dicho, y 2.° Los que son debidos a corrientes eléctricas que circulan por bobinas, cuyo estudio comprende el Electromagnetismo .
A)
= 3 .400 cm = 34 m
225.
MAGNETISMO
Imane s
Imán es todo cuerpo capaz de atraer al hierro y sus derivados . Los imanes pueden ser naturales y artificiales . Imanes naturales son los que poseen la propiedad magnética por naturaleza . Este es el caso del mineral conocido con el nombre de magnetita o piedra imán. Imanes artificiales son barras de hierro o acero que han adquirido la propieda d magnética por medios exteriores, sea por frotamiento con otro imán, por simple in fluencia o por la acción de corrientes eléctricas . Los imanes artificiales pueden ser temporales o permanentes . Imanes temporales son aquellos en los cuales la propiedad magnética sólo existe mientras actúa la causa exterior imanadora . Imanes temporales son todos lo s constituidos por hierro . Imanes permanentes son aquellos en los cuales se mantienen las propiedade s magnéticas, aun después de haber cesado la causa imanadora . Imanes permanente s son todos los constituidos por acero . 152
153
226.
229.
Polos, línea neutra y eje de un imá n
Colocando un trozo de cartulina sobre un imán y espolvoreando sobre la cartulina limaduras de hierro, se observa como éstas, al ser agitadas, tienden a concentrarse en los extremos del imán, disminuyendo su concentración desde estos puntos hasta la zona media, donde es nulo e l número de limaduras . Este experiment o hace ver que la propiedad de imantació n se localiza en los extremos de la barra, lo s cuales reciben el nombre de polos de l imán (fig . 136). Fig . 136. Imán recto Eje de un imán es la línea que un e los polos, y linea neutra es la recta, perpendicular al eje, equidistante de los polos . La línea neutra corresponde al centro de la zona donde no son perceptibles las pro piedades magnéticas . 227.
Acción de la tierra
La esfera terrestre se comporta como un potente imán cuyos polos magnéticos, aunque no coinciden con los polos geográficos, se encuentran muy próximos a éstos . Para comprobar la acción magnética de la Tierra basta suspender un imán po r su centro de gravedad de forma que pueda girar libremente . Entonces, el eje de l imán tomará la dirección Norte—Sur de la Tierra . Por otra parte, un imán suspendido se orienta siempre de la misma forma, es de cir, que uno de sus extremos señala siempre el Norte de la Tierra, mientras que e l otro extremo señala, en todas las ocasiones, el polo Sur . Esto demuestra que no so n iguales los dos polos magnéticos de un imán . Recibe el nombre de polo Norte el ex tremo que señala el Norte geográfico de la Tierra, y polo Sur del imán el extrem o opuesto, es decir, el que señala el Sur geográfico de la Tierra . 228.
Aguja magnética
N
5
Es una laminilla de acero imantado, de forma de romboide alargado, dispuesta sobre una punta muy fina, alrededor de la cual puede girar libreFig. 137 . Aguja magnétic a mente (figura 137) . De igual forma que cualquier otro imán, la aguja magnética se orienta en la dirección N -S de la Tierra . En la práctica, para facilitar su manejo, se coloca la aguj a magnética en una cajita, con una cubierta de cristal que permite apreciar la desviación de la aguja . En este caso el conjunto recibe el nombre de brújula . 154
Acción mutua de los imane s
Con dos imanes, cuyas polaridades han sido previamente determinadas, podemos efectuar los siguientes experimentos : 1 . 0 Acercando el polo N de uno de lo s imanes al polo también N del otro (fig . 138 a) se origina una fuerza de repulsión que tiende a se pararlos . 2 .0 Asimismo acercando el polo S de un o de los imanes al polo también S del otro (fig . 13 8 ç) b) se origina también una fuerza de repulsión . Fig . 138 . Acción mutua de 3 . 0 En cambio, si acercamos el polo N d e dos imane s uno de los imanes al polo S del otro (fig . 138 c) se presenta una fuerza de atracción que tiende a unirlos fuertemente . Los experimentos expuestos permiten enunciar la llamada Ley de atracciones y repulsiones, que rige las acciones mutuas entre los imanes : "Polos magnéticos de igual nombre se repelen, mientras que polos magnéticos de nombre contrario se atraen" . En este punto conviene aclarar la aparente anomalía que presenta la orientación de u n imán cualquiera en el campo magnético terrestre . En efecto, según hemos dicho antes, el polo N de un imán orientado señala el polo N geográfico, mientras que el polo S del imán señala el polo S geográfico de la Tierra . Esto parece estar en cdntradicción con la ley de atracciones y repulsiones. Para solventar esta aparente anomalía se ha convenido en aceptar que en el polo N geográfico de la Tierra se encuentra el polo S magnético terrestre, mientras que en el polo S geográfic o se encuentra el polo N magnético terrestre .
230. Campo magnétic o Se da el nombre de campo magnético de un imán a la porción del espacio en e l cual son apreciables los efectos magnéticos originados por dicho imán . Repetidamente hemos observado las acciones ejercidas por un imán sobre l a aguja magnética, virutas de hierro u otro imán que se encuentran separados de aquel . Estas observaciones obligan a admitir que los polos del imán emiten una fuerza propia que pone al espacio que Io rodea en el estado especial definido como camp o magnético : El estudio de los campos magnéticos es muy difícil, ya que solamente es posi ble hacerlo a base de observar los efectos producidos . Para facilitar el estudio, se su pone teóricamente que de uno a otro polo del imán se extienden las llamadas linea s de fuerza. Estas líneas de fuerza se caracterizan por su dirección . sentido e intensidad . Experimentalmente se puede conocer la dirección de las líneas de fuerza de l campo magnético de un imán . Sea, por ejemplo, el imán ,de forma de herradura d e la fig . 139 . Si se coloca sobre él un trozo de cartulina fina y encima se espolvorea n 155
limaduras de hierro, al mover la cartulina las limaduras se dispondrán formando líneas que se dirigen de uno a otro polo, formando lo que se llama el espectro magné tico. Ha de observarse que aunque en la fig . 139 sólo aparecen las líneas de fuerza correspondientes al plano de la cartulina, en realidad existen en todo el espacio comprendido entre uno y otro polo . 231 . Sentido de las líneas de fuerza El sentido de las líneas de fuerza ha sido establecid o teóricamente de acuerdo con la siguiente regla : "Las líneas d e fuerza del campo magnético creado por un imán, salen po r su polo Norte y después de un recorrido por el espacio exterior, vuelven a entrar en el imán por s u polo Sur (figs . 140 y 141) . -Dado que las líneas de fuerza se di\,,,; , ' rigen por el exterior de uno a otro polo, es lógico admitir que de este último van *' =-=-_~ al primero por el interior del imán, con T„'■ lo cual el recorrido total de las líneas d e fuerza constituye u n conjunto de líneas ceFig . 140. Campo magnético de un imá n rradas . Este recorrid o recibe el nombre de circuito magnético . Fig . 139. Lfneas de fuerza de un imán de herradura
232 . Intensidad de campo magnético Experimentalmente se comprueba que dos imanes distintos atraen una misma masa de hierro a distancias diferentes . Ell o es debido a que uno ejerce más fuerza de atracción que el otro . Recibe el nombre de intensidad de campo magnético e n un punto del campo, la fùerza ejercida por el mismo sobre un a masa magnética de valor igual a la unidad situada en ese punto . La unidad de intensidad de carnpo es el gausio (G ) . Se admite que un centímetro cuadrado de superficie perpendicular a la dirección de las líneas de fuerza es atravesada por un número de líneas de fuerza igual a l valor de la intensidad de campo en gausios . Atendiendo al valor de la intensidad del campo, los campos magnéticos pue den ser uniformes y variables . Fig. 141 . Circuit o magnético de la s lineas de fuerza de un imán de herradura
156
Campo magnético uniforme es aquel cuya intensidad es constante en todos sus puntos y las líneas de fuerza son líneas paralelas . En caso contrario el campo es va riable.
233 . Teoría molecular de los imane s Experimentalmente se comprueba que cortando un imán en dos trozos se obtienen dos imanes completos, cada uno con sus dos polos y línea neutra (fig . 142). Volviendo a cortar estos dos trozos, se obtendrán cuatro imanes . Este hecho se repite siempre hasta con los más pequeños pedacitos que se obtengan, lo que indica que la acción de un imán reside e n cada una de sus moléculas separadamente . Se admite, según la teoría molecuN s) lar, que las moléculas que constituyen u n a) trozo de hierro o acero son imanes eleI/V S i ¡N sl mentales. b ) Ahora bien, si el trozo de hierro o sI acero no ha sido sometido a ninguna ac- IN si lm S) N S l c) ción magnética exterior, sus moléculas esFig. 142 . Subdivisión de imanes. tarán dispuestas desordenadamente, como indica la figura 143 a), aunque de tal manera que quedan compensados sus efectos magnéticos, por lo que en consecuencia el trozo de hierro es neutro magnéticamente hablando . Si el trozo de hierro o acero es sometido a una imantación exterior, los imanes moleculares s e o Oe e ve 49 0 ' % e .s eeov e orientan de acuerdo con el sentido de la causa imaoee% eveQ 9b ,%e c:•%eovv c. o e nadora, con lo que queda convertido en un imá n a) completo . 'e000 -- - o -ve o La orientación de las moléculas puede ser para a oa % dpk, Oee cial (fig . 143, b) o total (fig. 143, c), lo cual depene DO a ~ aa o e% e ,ee lb a ZOO/0 ae Q e . de del valor de la intensidad magnética que origin e b) la causa imanadora del trozo de hierro o acero . • o a a a a a a M Un trozo de hierro puede ser imantado po r -a a O/DW =1 aao contacto o por influencia de otro imán . aman au aa-- -s000 Cuando un trozo de hierro o acero se pone en C) contacto con un imán, se convierte a su vez en otr o Fig . 143 . Magnetismo molecular : a) hierro neutro, b) hierro imantado imán completo con sus dos polos, explicándose ese) hierro saturado te efecto porque las líneas de fuerza del imán orientan a las moléculas del trozo de hierro o acero . También puede ser imantado el pedazo de hierro o acero sin ponerlo en contacto con el imán, sino colocándolo suficientemente próximo para que quede baj o el efecto del campo magnético creado por él, diciéndose entonces que el pedazo d e hierro o acero ha sido imantado por influencia . 15 7
B) ELECTROMAGNETISM O 234. Generalidade s
En la historia de la electrotecnia fué decisivo el descubrimiento de las recíprocas relaciones existentes entre las corrientes eléctricas y los campos magnéticos, y a que sólo mediante corrientes eléctricas es posible obtener los intensos campos magnéticos que necesitan las máquinas . Los campos magnéticos producidos por imanes permanentes son siempre d e pequeña intensidad . Por eso sólo son empleados en pequeñas máquinas como magnetos y en algunos aparatos de medida . Cuando se desea disponer de campos magnéticos más intensos, se emplean bobinas formadas por numerosas espiras, cuyo conductor es recorrido por corriente s eléctricas . Electromagnetismo es la parte de la electrotecnia que estudia las relaciones recíprocas entre los campos magnéticos y las corrientes eléctrica s 235.
Campo magnético producid o por una corriente rectilínea
Si. en las cercanías de un conductor rectilíneo recorrido por una corrient e eléctrica disponemos una aguja imantada, se observará que ésta se orienta, no d e 1+ acuerdo con el campo magnético terrestre, sino que e n todas las posiciones tiende a colocarse en dirección normal al conductor (fig . 144) . El experimento anterior demuestra claramente qu e en las cercanías del conductor existe un campo magnéti ,i co producido indudablemente por la corriente eléctrica , ya que si se corta la circulación de ésta, también desapa rece el campo magnético . Fig. 144 . Demostración d e El hecho de que se disponga siempre la aguja magla existencia de un campo magnético . nética normalmente al conductor, indica que las línea s de fuerza del campo magnético creado por una corriente eléctrica al recorrer un con ductor rectilíneo, son circunferencias concéntricas normales al conductor y co n centro en el mismo . 236.
Sentido-de las líneas de fuerz a
Acabamos de decir que las líneas de fuerza del campo magnético creado po r una corriente rectilínea, son circunferencias concéntricas, pero, ¿cuál es su sentido ? A base de los experimentos efectuados con la aguja magnética, se comprueb a que el sentido de las líneas de fuerza depende del sentido de la corriente en el conductor, estableciéndose la siguiente regla, llamada del sacacorchos, que dice así : 158
"Colocando un sacacorchos de forma que su eje coindica con la línea del conductor y haciéndolo avanzar en el mismo sentido que la corriente eléctrica, el senti do de giro del sacacorchos coindice co n el sentido de giro de las líneas de fuerza " (fig . 145) . En la fig . 146 aparecen dos conductores perpendiculares al plano del papel . En a) el signo X indica que la corrient e eléctrica se aleja del observador o, lo que es igual, que se mete en el plano del dibujo, mientras que en b) el punto • significa que la corriente eléctrica en el conducto r Fig . 145. Regla del sacacorchos . se acerca al observador o, lo que es igual , tiende a salir del plano del papel . Si en ambos casos se aplica la regla del sacacorchos, podemos comprobar qu e en a) las línéas de fuerza giran en el mismo sentido que las agujas del reloj, mientra s que en b) el sentido de giro de las líneas de fuerza es contrario al de las agujas del reloj . 237 .
a)
Intensidad del campo creado por una corriente rectilínea
b)
Fig . 146 Sentido de las lineas de fuerza creadas por una corriente rectilínea
La intensidad del campo magné tico creado por una corriente que recorre un conductor, no es uniform e en todos los puntos del campo, sino que varía con la distancia del punto que consideremos al conductor, de forma que cuanto mayor sea la distancia menor será el valor de la intensidad del campo en ese punto . Por otra parte, la intensidad del campo magnético depende del valor de la intensidad de la corriente, siendo directamente proporcional a ésta . d Siendo 1 la intensidad de la corriente que recorre el conductor C (fig . 147) y d la distancia del punto P al conductor , el valor de la intensidad de campo en este punto valdrá
P
(112)
H= 0,2 ! d
Corriente rectilíne a
Fig. 147 .
fórmula que dice : "El valor de la intensidad del campo magnético, en gausios, crea do en un punto cualquiera por una corriente eléctrica que recorre un conductor rec 159
tilíneo, es igual a 0,2 veces el cociente que resulta de dividir la intensidad de la corriente, en amperios, por la distancia, en centímetros, que separa dicho punto de l conductor ". 238.
Campo magnético creado por una espir a
Consideremos ahora una espira recorrida por una corriente eléctrica (fig . 148) , veamos cuál es el campo magnético que origina . Para ello admitamos que un troz o Y infinitamente pequeño de la espira tiene una dirección rectilínea . En consecuencia, aplicando a cad a trozo la regla del sacacorchos, se comprobará qu e todas las líneas de fuerza creadas por el conjunt o de trozos, o sea, por la espira entera, tienden a pasar reunidas por el interior de la espira en un mismo sentido . Esto hace ver que una espira recorrida po r una corriente puede ser equiparada a un imán de Fig. 148. Campo magnético creado por una espira poco espesor y de superficie igual a la de la espira , siendo sus polos las dos caras . Para determinar e n este caso el sentido de las líneas de fuerza, se hace uso de otra regla del sacacorchos , que se enuncia así : "Colocando un sacacorchos, perpendicular al plano de la espira, de forma qu e su eje pase por el centro de ésta y haciendo que gire el sacacorchos en el mismo sen tido que gira la corriente eléctrica en la espira, el sentido de avance del sacacorcho s coincide con el sentido de avance de las líneas de fuerza en el interior de la espira" . De esta forma se comprueba que la espira de la fig . 148 crea un campo magnético de dirección tal que el po lo Norte de la espira está encima y el polo Sur queda de bajo . 239.
Solenoide y bobin a
Se entiende por solenoide un conjunto de corrientes circulares cuyos planos son perpendiculares a una línea llamada eje de solenoide. Prácticamente no es posibl e la construcción de solenoides como el definido, pero e n la práctica se consiguen los mismos efectos por bobinas, que están constituidas por un hilo conductor, aislado y arrollado en hélice de poco paso, sobre un tubo de cartón, baquelita, madera, etc . (fig . 149) . Fig . 149. Campo magnético Si la bobina se construye de forma tal que pueda creado por una bobina girar libremente al hacer que sus espiras sean recorridas por una corriente eléctrica, se podrá comprobar que la bobina se orienta de manera 160
idéntica a como lo hace un imán suspendido de manera que uno de sus extremos s e dirige al N . de la Tierra y el otro señalará el S . Asimismo, si tomamos dos solenoides recorridos por corrientes eléctricas y lo s acercamos, se observará que entre ellos se presentan fuerzas de atracción y repulsión, igual que ocurría con los imanes . Estas experiencias hacen ver que se pued e considerar un solenoide como si fuera un imán con sus polos N . y S ., con su eje y su línea neutra .
240.
Sentido de las líneas de fuerz a
Comprobada la similitud, de un solenoide con un imán, es preciso conoce r exactamente la polaridad de sus extremos . Es indudable que los polos de un solenoide se pueden determinar observand o su orientación en el campo magnético terrestre . Sin embargo, se hace más comod a y práctica la determinación de los polos de un solenoide usando la misma Regla del sacacorchos dada para una espira y expuesta en el párrafo 238, ya que el efect o magnético de un solenoide es la suma de los efectos producidos por todas las espira s que lo constituyen . La regla del sacacorchos para solenoides se enuncia así : "Colocando un sacacorchos de forma tal que su eje coincida con el ele del solenoide, y haciendo que gire el sacacorchos en el mismo sentido que gira la corrient e en las espiras del solenoide, el sentido de avance del sacacorchos coincide con el sen tido de avance de las líneas de fuerza en el interior del solenoide" . Conocido el sentido de las líneas de fuerza en el interior de la bobina, es fáci l determinar los polos, recordando que el N es el extremo por donde salen las línea s de fuerza del solenoide, mientras que el polo S es el extremo por donde entran la s líneas de fuerza en el solenoide . N Un análisis de la regla del sacacorchos hac e ver que para conseguir una determinada polarida d en un solenoide, no tiene ninguna importancia c l sentido en que están arrolladas las espiras de la bobina y que lo verdaderamente esencial es el sentid o de giro de la corriente . Esto se puede comproba r en los solenoides de la fig . 150, viéndose que so n S contrarios los sentidos de arrollamiento de las esa) b) piras de las bobinas a) y b). Sin embargo, amba s Fig . 150 La polaridad de la bobin a está dado por el sentido bobinas tienen su polo N en la parte superior y e l de la corriente . S en la inferior, lo que se debe a rlue en la bobin a a) la corriente entra por la espira superior, mientras que en la bobina b) la corrient e entra por la espira baja, lo que determina que el sentido de giro de la corriente sea e l mismo en las dos bobinas . 161
241 .
Intensidad del campo originado por una bobina
Las líneas de fuerza existentes en el campo magnético creado por una bobin a se mantienen paralelas en el interior de la misma, mientras que se expansionan e n cuanto llegan al exterior, de forma similar a lo que ocurre en un imán . Así, pues, en el interior de la bobina existe un campo magnético uniforme, e s decir, que será constante el valor de la intensidad de campo, lo cual es tanto má s exacto cuanto más larga sea la bobina . En cambio, en el exterior de ésta existirá un campo magnético variable y e l valor de la intensidad será distinto de un punto a otro . Como quiera que la intensidad de campo cuyo valor más interesa conocer e s el constante en el interior de la bobina, conviene disponer de una fórmula que permita su cálculo . Indudablemente, que la intensidad del campo será tanto mayo r cuanto más alta sea la intensidad de la corriente en la bobina, así como cuanto má s número de espiras tenga ésta . En cambio, la longitud de la bobina influye inversa mente en el valor de la intensidad de campo . Cuando el diámetro de la bobina es poco importante ante su longitud, el valor de la intensidad del campo magnético constante existente e n su interior viene dado por la fórmula (113)
H—
1,25
NI
de rsted
en gausio s
1
Ejemplo 71 . Una bobina de 6 cm de longitud tiene 1 .200 espiras recorridas por una corriente de 20 A . ¿Cuánto vale la intensidad del campo magnético constan te que crea en su interior ? H _ 1,25 N 1_ 1,25 X 1 .200 X 20 =5 .000 G 1 6 242 . Electroimanes Recibe el nombre de electroimán el conjunt o formado por una bobina y un núcleo de hierro colocado en el interior de la misma . El núcleo d e hierro se imanta por influencia del campo magnétiFig. 151 . Electroimán recto co creado por la bobina durante todo el tiemp o que dure el paso de la corriente por sus espiras, resultando un campo más intens o que el producido por la bobina . Existen diversos tipos de electroimanes . Los más usados son los rectos, los d e herradura, los acorazados y los electroimanes de succión . Electroimán recto (fig . 151) es aquel cuyo núcleo interior está constituido po r una barra de hierro de sección cilíndrica o prismática b . El sentido de las líneas de fuerza del electroimán es el mismo que el de las producidas por la bobina a que rodea al núcleo . 162
Los electroimanes de herradura tienen formas como la indicada en la fig . 152 . Estos electroimanes están constituidos por dos núcleos, cada uno de los cuales es e n realidad un verdadero electroimán recto, con su correspondiénte bobina excitadora . Es muy importante conectar correctaCu/ala mente las dos bobinas, ya que es preciso se sumen sus efectos . Los dos núcleos del electroimán de herradura están unidos mediante una tercera pieza de hierro, llamada culata, de form a que quedan libres dos polos, uno d e ellos N y el otro S . Ordinariamente, lo s electroimanes de herradura quedan com- Fig. 152. Electroimán de herradura pletados con otra pieza de hierro llama da armadura, colocada frente a los núcleos y separada de lo s mismos por un espacio de aire a, que recibe el nombre d e entrehierro . El Electroimán acorazado (fig . 153) está constituid o Fig . 153 . Electroimán acorazado por un solo núcleo central, provisto de su bobina . El conjun to está totalmente cubierto por una corona C que, al mism o tiempo que hace de segundo polo del electroimán , protege la bobina y demás partes interiores . Esto s electroimanes se emplean en grúas, de manera qu e la armadura está formada por los materiales a ele var, que necesariamente deben ser magnéticos (per files de acero, chapas de hierro, etc) . El sistema polar de las máquinas eléctricas , tanto generadores como receptores, está constituido por electroimanes . Así, en la figura 154, se ve el circuito magnétic o de una dínamo en e l Fig . 154 Circuito magnétic o de una dinamo cual existen cuatro núcleos polares (1) sujeto s a la culata (2) . que en este caso es un anillo cilíndrico . La armadura está formada por un cilindro de hierro dulc e (3) separado de los polos por el entrehierro (4) . Fig. 155 . Electroimán En otras ocasiones los electroimanes se emplea n freno para producir una fuerza de tracción haciendo desplaza r una pieza móvil que además hace de núcleo (fig . 155) . Son los electroimanes freno, ya que en ellos el desplazamiento del núcleo se aprovecha para atraer una correa y ésta frenar una polea .
163
(El coeficiente 1,25 se pone para obtener el valor en unidades prácticas) . El producto N 1 recibe el nombre de amperios—vueltas (Av) de la bobina . Po r lo tanto, la fuerza magnetomotriz de una bobina es igual a 1,25 veces el valor de sus amperios--vueltas.
CAPITULO XI X
Ejemplo 72 . ¿Cuánto valen los amperios—vueltas y la fuerza magnetomotriz de un a bobina que teniendo 800 espiras es recorrida por una corriente de 6 A de intensidad ? 1?I valor de los amperios—vueltas de la bobina es d e NI= 800 X 6 = 4 .800 A v y la fuerza magnetomotriz alcanza por su parte un valo r
CIRCUITO MAGNETIC O E
A) MAGNITUDES FUNDAMENTALE S 243. Generalidade s En todos los imanes, solenoides y electroimanes, existe un flujo de líneas d e fuerza que saliendo al exterior por el polo N . entran por el S ., después de recorre r el campo magnético exterior . Por otra parte, en el interior terminan el recorrid o completo yendo del polo S . al polo N . Este recorrido de las líneas de fuerza recibe el nombre de circuito magnético de manera similar al circuito eléctrico, que decíamos era el camino recorrido por l a corriente eléctrica . A pesar de la semejanza aparente que presentan los circuitos eléctrico y magnético, existe entre ellos una diferencia esencial . En efecto, el circuit,) eléctrico puede estar cerrado o abierto, no circulando corriente en este último caso . En cambio , un circuito magnético está siempre cerrado, ya que nunca pueden ser suprimidas la s líneas de fuerza dado que no existe ninguna substancia aisladora del magnetismo . Así, pues, siempre que existe una causa productora de magnetismo habrá líneas d e fuerza recorriendo un circuito magnético cerrado . De la misma manera que el circui to eléctrico se caracteriza por un conjunto de magnitudes, asimismo otras sirven para estudiar el circuito magnético . Las más importantes son el flujo, la inducción, l a reluctancia y la fuerza magnetomotriz . 244. Fuerza magnetomotri z
(114) 164
e=1,25N1
1,25
NI =
1,25 X 4.800
= 6.000
Representando por O (léa'sé "cita") el valor N I de los amperios—vueltas de una bobina O = NI y despejando su valor en la fórmula (114), result a e (115) 8 = 1,25 o también, observando quel : 1,25 = 0, 8 (115 a)
8=0,8 e
fórmula que dice : "El valor de los amperios—vueltas de una bobina es igual a 0,8 ve ces su fuerza magnetomotriz " . La fórmula de los amperios—vueltas de una bobina O = NI hace ver que par a conseguir su valor es indiferente que sea producido por mayor o menor número d e espiras N o por una corriente I más o menos intensa, ya que lo verdaderamente inte resante para obtener el efecto deseado es el resultado del producto de los dos valores N 1. Así, por ejemplo, resultará igual valor en amperios—vueltas y, en consecuencia, la misma fuerza magnetomotriz en dos bobinas, una de ellas de 500 espiras re corridas por una corriente de 6 amperios de intensidad, y otra de 60 espiras recorridas por una corriente de 50 amperios, ya que ambas tendrán los mismos amperios — vueltas 500 X 6 = 60 X 50 = 3 .000 Av, y, por consiguiente, la misma fuerza magnetomotriz . 245.
La fuerza magnetomotriz es la causa que mantiene el flujo de 1 íneas de fuerza en un circuito magnético . Esta característica es similar a la fuerza electromotriz d e un generador, causa de la existencia de la corriente . La fuerza magnetomotriz s e manifiesta siempre que una bobina es recorrida por una corriente eléctrica . Se comprueba experimentalmente que el valor de la fuerza magnetomotriz d e una bobina es proporcional al número de espiras N que la forma y a la intensidad I de la corriente que la recorre . siendo su valo r
=
Flujo magnétic o
Se da el nombre de flujo magnético al número total de líneas de fuerza existente en un un circuito magnético . Lo representaremos por la letra Griega 4) (se lee "fi") . Esta magnitud es similar a la intensidad de corriente en un circuito eléctrico , ya que es evidente que cuanto mayor sea el valor del flujo, tanto mayor será la cantidad de líneas de fuerza en el circuito magnético . La unidad de flujo magnético es el maxvelio (M) . Un múltiplo del mismo es e l megamaxvelio (MM), que vale un millón de maxvelios . 16 5
246.
1 nducción
Se da el nombre de inducción a la cantidad de líneas de fuerza que atraviesa un centímetro cuadrado de superficie normal a la dirección de dichas líneas de fuer za . Representaremos la inducción por la letra griega (3 (se lee "beta") . La inducción en un circuito magnético es una característica similar a la densidad de corriente en un circuito eléctrico . Por eso, en muchas ocasiones, se la conoc e como densidad de flujo magnético . La unidad de inducción es el gausio (G) . Un múltiplo de la misma es el Kilo gausio (kG), que vale mil gausios . Para aclarar el concepto de lo que es el gausio nos referiremos a un ejempl o cualquiera. Si se dice que en una determinada parte de un circuito magnético ha y una inducción de 6 .000 gausios, se indica que existen 6 .000 líneas de fuerza por ca da cm 2 de superficie de esa parte . 247.
Relación entre el flujo y la inducció n
Según se ha definido, el flujo representa la cantidad total de líneas de fuerz a de un circuito magnético, mientras que la inducción es el número de líneas de fuer za por unidad de superficie . De acuerdo con estas definiciones, s i una superficie de S centímetros cuadrado s es atravesada por un flujo magnético de 1 maxvelios (fig . 156) la inducción existent e en dicha superficie valdr á (116)
=
S en gausio s
Fig. 156 . Inducción en una superfici e normal a las lineas de fuerza
fórmula que dice : "La inducción, en gausios, existente en una sección del circuit o magnético es igual al cociente que resulta de dividir el valor del flujo, en maxvelios, que lo recorre por la superficie de dicha sección, en centímetros cuadrados" . Ejemplo 73 . ¿Cuánto vale la inducción en una determinada parte de un circuito mag nético sabiendo que su sección es de 30 cm 2 y que el flujo es de 270 .000 maxvelios? _ d _ 270.000 = 9.000 G S 30 24.8 .
Caso en que la sección no es perpendicula r a la dirección del fluj o
La fórmula (116) sólo es aplicable en el caso general de que la sección dada s e encuentre en un plano perpendicular a la dirección de las líneas de fuerza . Existen casos en los cuales la sección dada forma un ángulo a con la perpendicular a la dirección de las líneas de fuerza (fig . 157) . Entonces el flujo que atravies a dicha sección tendrá un valo r (116; a)
166
I =~ •S •cosa
Ejemplo 74 . ¿Cuánto vale el flujo que atraviesa una sección de 50 cm 2 , que forma u n ángulo de 30° con la perpendicular a la dirección de las líneas de fuerza, sabiendo que la inducción en dicha sección es de 8 .000 G ? =Scosa=8.000X50X
=346 .000 249.
M
=
2
0,346 M M
Reluctanci a
Recibe el nombre de reluctancia la mayor o menor resistencia ofrecida por el circui to magnético al establecimiento del flujo d e líneas de fuerza . La reluctancia de los circuitos magnéticos es una característica similar a la resistencia de los circuitos eléctricos, 'aunque entre ellas aparecen diferencias fundamentales que serán expuestas más adelante .
Fig . 157. Inducción en una superficie inclinada respecto a las líneas de fuerza .
La reluctancia no tiene unidad especial . Su valor es representado corriente mente con la letra R . Antes de abordar el estudio de la reluctancia de un circuito magnético, aclara remos el concepto de la permeabilidad magnética . B) 250.
PERMEABILIDAD MAGNETIC A
Efecto de un núcleo de hierr o
Se ha dicho anteriormente que un núcleo de hierro introducido en una bobin a determina un aumento del flujo magnético que recorre el interior de esa bobina . Se explica este efecto, teniendo en cuenta que, al estar sometido el núcleo de hierr o al campo magnético creado por la bobina, se imanta fuertemente, por lo que su s imanes moleculares se orientan y crean, por sí mismos, un flujo suplementario qu e refuerza el creado por la bobina . Prácticamente el efecto obtenido representa una acumulación de líneas d e fuerza, lo que se expresa diciendo que el hierro y sus derivados ofrecen gran facilidad al establecimiento de líneas de fuerza . Debido a esta propiedad es por lo que todos los circuitos magnéticos de máquinas y aparatos eléctricos son construidos de materiales magnéticos, reduciendo a l mínimo valor posible los entrehierros, es decir, los espacios de aire u otras substan cias no magnéticas situadas entre las partes de hierro . 251.
Coeficiente de permeabilida d
Según acabamos de ver, cuando se coloca un núcleo de hierro en el interior d e una bobina, la cantidad de líneas de fuerza que pasan por cada centímetro cuadrado de sección de núcleo es mayor que el que atravesaba esa superficie unidad cuand o 167
en el interior de la bobina . había aire u otra substancia no magnética . Se da el nombre de coeficiente de permeabilidad a la relación que existe entr e la antidad de líneas de fuerza que atraviesa un cm 2 de núcleo de hierro y la qu e atravesaba cuando en el interior de la bobina había un material no magnético . El coeficiente de permeabilibad lo representamos por la letra griega p (se lee "mu") . Designando por H a la intensidad de campo magnético existente en el interio r de la bobina y por /3 la inducción correspondiente al núcleo de hierro introducid o en aquélla, resulta como valor del coeficiente de permeabilidad . (117)
H
Ejemplo 75 . ¿Cuánto vale el coeficiente de permeabilidad de un núcleo de hierro introducido en un solenoide sabiendo que antes de colocarlo la intensidad del campo en el aire interior valía H = 8 G y después la inducción alcanzaba un valor de (3 = 12 .000 G ? =
12 .000
Il
8
= 1 .500
Es decir, que por el simple hecho de haber colocado el núcleo de hierro, ha aumentado e n 1 .500 veces la cantidad de líneas de fuerza que recorre el circuito magnético .
253.
Instalación para ensayos de permeabilida d
Para efectuar los ensayos necesarios que permitan preparar las tablas o curva s que relacionen los valores del coeficient e de permeabilidad de un material magnético en función de la inducción existente e n el mismo, se hace uso de la instalació n que aparece en la fig . 158 . En esencia, e s lo siguiente : Del material cuya curva de permeabilidad se desea construir, se prepara un núcleo de forma toroidal, núcleo qu e irá rodeado en toda su longitud por un a bobina . Cuando las N espiras de esta boFig. 158 . Esquema de instalación par a bina estén recorridas por una corriente d e ensayos de permeabilidad. I amperios de intensidad (medida por e l amperímetro A), la intensidad del camp o magnético creado por ella valdrá, de acuerdo con la fórmula (113) , 1,25 H= 1
252 . Variación de la permeabilida d
El valor del coeficiente de permeabilidad depende de la clase del hierro, as í como el valor de la inducción a que está sometido . Acabamos de ver en el ejemplo 75 el caso de una bobina que, excitada con un a determinada intensidad de corriente, crea en su interior cuando es sólo aire (o material no magnético) una intensidad de campo de 8 gausios, mientras que al introdu cir un núcleo de hierro, la inducción en éste alcanza 12 .000 gausios, de donde resul ta que cl valor del coeficiente de permeabilidad correspondiente vale 1 .500 . Pues bien, si se aumenta 8 veces la intensidad del campo originado por la bobina, de forma que sea igual a 64 gausios, la inducción en el núcleo de hierro no crec e en igual proporción, es decir, no valdrá 8 X 1 2 .000 = 96 .000 gausios, sino que sóIo alcanza un valor de 18 .000 gausios, resultando entonces un coeficiente de permeabilidad M1 _
P1 _ 18 .000 = 28 1 H1 64
Así, pues, el valor del coeficiente de permeabilidad de un núcleo de hierro de pende del valor de la inducción a que está sometido . Ahora bien, no es posible expresar fórmula matemática alguna que relacione esos valores . Por eso, para conoce r su relación es preciso recurrir a tablas o a curvas de cada material, preparadas d e acuerdo con ensayos adecuados .
NI
en gausios
siendo l la longitud de la línea de fuerza media, que en el caso que examinamos val e 1 = rr dm, ya que dm es el valor del diámetro medio del toro . Por otra parte, puede ser medido el flujo magnético (E , en maxvelios, que re corre el circuito magnético formado por el toro, para lo que se dispondrá un aparato de medida de flujo F llamado flux ímetro . Designado por S la sección del núcleo de hierro, en centímetros cuadrados , conocemos el valor de la inducción, en gausios, existente en el mismo usando la fór mula (116) : 13 4 : S. Así, pues, mediante el empleo de la instalación que acabamos de describir, es tamos en condiciones de conocer el par de valores, el de la intensidad de campo H y el de la inducción /3, existente en el núcleo de hierro, para cualquier valor de la intensidad de la corriente que recorre las espiras de la bobina . 254.
Curva'de magnetismo
Con la instalación de la fig . 158 podemos ir obteniendo sucesivos pares de va lores de la intensidad de campo y de la inducción en el núcleo de hierro . Para ello e s preciso completar la instalación conectando, en serie con la bobina, un reostato de regulación R, cuya resistencia puede ser regulada en un amplio margen . El valo r total de la resistencia debe ser tal que cuando está incluida, el circuito formado po r el reostato y la bobina será recorrido por una corriente de muy pequeña intensidad , con lo que resultan prácticamente nulas tanto la intensidad del campo como la inducción en el núcleo de hierro .
168 169
Maniobrando sobre el reostato y reduciendo progresivamente el valor de su resistencia, irá aumentando la intensida d de la corriente en la bobina y con ella lo s valores de la intensidad del campo y l a inducción en el núcleo de hierro . Anotando para cada punto del ensayo el par de valores, se podrán recoge r todos ellos en tablas . Así, en la Tabla X I aparecen los correspondientes al acer o fundido . Asimismo se puede trazar la llamada curva de magnetismo, curva de forma similar a la de la figura 159, en la cua l se ponen los valores de la intensidad d e campo H en abcisas y los de las inducciones í3 en ordenadas . 255 . Forma de la curva de magnetismo . Saturación
TABLA XI Inducción gausiooss
Acero fundido
Intensida d de campo 1{ gausios
Coeficiente de permeabilida d tl
1 .000 2 .000 3 .000 4 .000 5 .000
0,9 1,1 1,25 1,5 1,75
1 .15 0 1 .82 0 2 .400 2 .670 2 .860
6.000 7.000 8 .000 9.000 10.000
2,1 2,75 3,4 4 5
2 .85 0 2 .540 2 .35 0 2 .25 0 2 .000
11 .000 12.000 13 .000 14.000 15 .000
6,25 7,7 10,5 15 25
1 .760 1 .560 1 .240 93 5 600
16 .000 17 .000 18 .000 19 .000 20 .000
44 81 124 200 312
36 5 21 0 14 5 95 64
Examinando la forma de la curv a de magnetismo de la fig . 159, se observ a que en su recorrido aparecen tres partes bien definidas . La primera parte OA es ascendente y sensiblemente recta con fuerte inclinación . En ella se admite . sin error apreciable, que la inducción (3 varia en proporció n directa a la intensidad del campo H . La segunda parte A(' presenta una curvatura muy acusada, por Io que recibe e l nombre de codo de la curra de magnetismo . La tercera y última parte CD es también sensiblemente recta, pero de muy poc a inclinación respecto aleje de abcisas . De este examen se deducen también la s consideraciones siguientes : A En la primera parte, o sea, la correspon diente a la gran inclinación inicial de la curva , se consiguen importantes aumentos del valo r de la inducción en el núcleo de hierro con pequeños incrementos de la intensidad de l p N campo creado por la bobina . En cambio, en la última parte, o sea, l a Fig . 159. Curva de magnetismo correspondiente a la recta de inclinación despreciable, sólo se pueden conseguir pequeños aumentos del valor de la inducción a expensas de elevados incrementos de la intensidad del campo creado por la bobina . 170
Así, por ejemplo, para aumentar la inducción en un núcleo de acero fundid o desde 0 hasta 12 .000 gausios, es suficiente un incremento de la intensidad del campo igual a 7,7 gausios . En cambio, para elevar la inducción en ese mismo materia l desde 1 2 .000 hasta 18 .000 gausios (es decir, para un aumento de 6 .000 gausios sola mente), es preciso incrementar la intensidad del campo desde 7,7 hasta 124 gausio s (es decir, que exige un aumento de 116,3 gausios) . Efectuando ensayos similares con distintos materiales magnéticos se comprueb a que en todos ellos disminuye el coeficiente de permeabilidad a partir de haber alcan zado cierto valor característico para cada material . Asimismo se comprueba que cuando se ha alcanzado un determinado valor d e la inducción, se hace más y más difícil aumentarlo, aunque crezca la intensidad d e campo . Se dice que un núcleo de hierro está magnéticamente saturado cuando por más que se incremente el valor de la intensidad del campo creado por la bobina, n o es posible conseguir un aumento apreciable del valor de la inducción en el núcleo . En la práctica no se llega nunca al estado de saturación de los circuitos magné ticos, pero no obstante es conveniente tener sumo cuidado en no sobrepasar ciert o valor límite de la inducción para cada material, ya que las inducciones mayores exi girían un elevado valor de la intensidad del campo y, en consecuencia, una corrient e eléctrica en la bobina de intensidad exagerada . Este valor límite corresponde aproximadamente a 18 .000 gausios en el acero fundido, 8 a 9 .000 gausios en la fundición de hierro y 17 .000 gausios en la chap a magnética, tanto ordinaria como superior .
256 . Explicación física de l a magnetización del hierro El aumento del flujo magnético experimentado al introducir en el interior d e la bobina un núcleo de hierro, tiene la siguiente explicación física : Según la teoría molecular, las moléculas del núcleo de hierro constituyen verdaderos imanes elementales . Cuando el hierro está en estado magneticamente neutro, esos imanes elementales están orientados libremente de forma tal que se compensan mutuiimente sus fuerzas magnéticas . Introduciendo el núcleo de hierro en el interior de una bobina cuyas espira s son recorridas por una corriente eléctrica, el flujo de líneas de fuerza creado por l a bobina obliga a orientarse a los imanes moleculares a fin de que las 1 íneas de fuerz a se introduzcan en todos ellos por su polo Sur . El resultado de este fenómeno es l a magnetización mayor o menor del núcleo de hierro, el cual, por sí mismo, creará u n flujo propio que incrementará el inicial producido por los amperio--vueltas de la bo bina . El grado de orientación experimentado por los imanes moléculares del núcle o de hierro depende de la fuerza magnetomotriz de la bobina y, en consecuencia, de l a 17 1
intensidad de la corriente que recorre las espiras de ésta . Aumentando progresiva mente esta intensidad de corriente, las moléculas del hierro se orientarán más y más . De esta forma llegará un momento en que sea completa la orientación de los imane s moleculares, Io que ocurrirá cuando sus ejes tengan direcciones paralelas al eje de l a bobina . Entonces se presentará la máxima magnetización del núcleo de hierro, esta do que se ha definido como de saturación, ya que a partir del mismo, por mucho que se incremente la fuerza magnetomotriz de la bobina (o, lo que es igual, por má s que se eleve la intensidad de la corriente que recorre sus espiras), no se consigu e modificar la posición de los imanes moleculares, lo que indica que no se podrá con seguir ya ningún aumento de la magnetización .
257 . Coeficiente de permeabilidad d e las substancias no magnética s
Una substancia es no magnética cuando no experimenta en su seno efecto s magnéticos . Estas substancias no son atraídas por los imanes y electroimanes . Las substancias no magnéticas se caracterizan por tener un coeficiente de per meabilidad de valor igual a la unidad (p = 1) . Así, pues, en estas substancias la intensidad de campo magnético es igual a la inducción H = 1i . Substancias no magnéticas son, además del aire, el latón, cobre, cartón, mica , etc . Cuando en un circuito magnético se encuentra una substancia no magnética , se dice de ella que constituye un entrehierro .
C) RELUCTANCIA MAGNETIC A 258.
Generalidade s
Se ha definido la reluctancia como la mayor o menor resistencia ofrecida .po r un circuito magnético al establecimiento del flujo de líneas de fuerza . La reluctancia depende del estado y clase del circuito magnético, ya que, como hemos visto, cada clase de hierro ofrece una permeabilidad distinta, que también varía con el valor de la inducción a que está sometida . 259.
Clases de circuitos magnético s
Los circuitos magnéticos pueden ser simples o compuestos . Un circuito magnético es simple cuando el total de las líneas de fuerza qu e contituyen el flujo pasan sucesivamente por todas las partes del circuito (p . e . . el de la fig . 160) . En cambio, en un c i rcuito compuesto eI flujo se bifurca, es decir, se reparte entre varios circuitos como se ve en la fig . 167 . 172
En resumen, en un circuito magnético simple todas las partes que lo constituyen están en serie, mientras que en los compuestos hay partes dispuestas en derivación . Los circuitos magnéticos simples se dividen en homogéneos y heterógeneos . Un circuito magnético es homogéneo cuando todo él está formado por una mism a substancia, estando además sometido a un a misma inducción en todo su recorrido . Por D ejemplo, el circuito magnético de la fig . 160 e s homogéneo . Un circuito magnético es heterogéneo po r cualquiera de las razones siguientes : a) Por estar formado por sustancias diferéntes : b) po r Fig. 160 . Circuito magnétic o no ser constante la inducción a lo largo del cirhomogéneo cuito, debido a que en su recorrido hay parte s de diferente sección . Por ejemplo, el circuito magnético de la fig . 165 es heterogéneo por ambos motivos . En efecto, las partes 1 . 2 y 3 son de hierro, mientras que l a 4 es un entrehierro de aire . Además, la parte 2 tiene sección diferente que la 1 y la 3 .
260.
Reluctancia de un circuito magnético homogéneo
Sea el circuito magnético homogéneo de la fig . 160 . La reluctancia de este circuito dependerá de los valores siguientes : 1 .° Longitud del circuito. En efecto, cuanto más largo es el circuito, mayo r será la resistencia opuesta a las líneas de fuerza . Así pues, la reluctancia de un circui to magnético es directamente proporcional a su longitud . 2 .° Sección del circuito . En efecto, cuanto mayor sea la sección ofrecida a l paso del flujo . más fácil será el establecimiento de éste o, lo que es igual . menor se rá la resistencia que encuentre . Así, pues, la reluctancia de un circuito magnético e s inversamente proporcional a su sección . 3 .° Clase de material. La reluctancia de un circuito magnético depende también de la clase de material que lo constituye, así como de su estado magnético . y a que como hemos dicho una clase de hierro ofrece más facilidad al paso del flujo d e líneas de fuerza que otro . Esta característica del material está representada por e l coeficiente de permeabilidad del material para la inducción a que está sometido . Resumiendo, la reluctancia de un circuito magnético homogéneo . de longitu d 1 en centímetros, sección SFe en centímetros cuadrados y coeficiente de permeabilidad p (correspondiente a la inducción Í3 a que está sometido el núcleo), tiene u n valor R dado por la fórmula (118) R
=
µ
1 SF e
173
Ejemplo 76 . ¿Cuánto vale la reluctancia del circuito magnético de la fig . 160, construido de acero fundido y en forma toroidal, sabiendo que su diámetro interior es Di = 4 8 cm . y el exterior De = 52 cm ., estando sometido a una inducción de 18 .000 gausios ? El diámetro medio del toro será de Dm = por loque la espira
media
De -}- Di _ 52 + 48 = 50 c m 2 2
tendrá una longitu d
lm=i Dm = 3,14 X 50 = 157 c m la diámetro de la seccion circular del núcleo es de 2 cm por lo que dicha sección tendrá u n valor a d d' = 3 14 4X2 s SFe= 4 =3,14 cm'
tudes, derivada de que la resistencia eléctrica de un conductor tiene un valor constant e (mientras no varíe su temperatura), sin depender en absoluto de la intensidad de co rriente que lo recorre, mientras que la reluctancia de un circuito magáético no es constante, ya que depende del valor de la inducción que existe en el circuito, dado qu e para cada valor de la inducción, un mismo material tiene un coeficiente de permeabilidad distinto . Por este motivo, para poder determinar la reluctancia de un circuito magnético, es preciso conocer previamente el valor de la inducción en él existente, lo qu e permitirá determinar el valor del coeficiente de permeabilidad correspondiente . Esto no sucede en el circuito eléctrico, ya que para determinar su resistenci a no es preciso conocer previamente el valor de la intensidad de corriente que ha d e recorrerlo .
El acero fundido, sometido a la inducción de 18 .000 gausios, tiene un coeficiente de permeabilidad igual a 145 . Por consiguiente la reluctancia del núcleo indicado tendrá por valor : _ lm _ 157 =0,3 4 µSFe 145X3,14
D) 263.
261.
Longitud y sección del circuito magnétic o
Recibe el nombre de longitud de un circuito magnetico la correspondiente a la línea de fuerza media o, lo que es igual, la media aritmética de las longitudes d e todas las líneas de fuerza que recorren dicho circuito . Recibe el nombre de sección de un circuito magnético el valor de una superficie que, situada en un plano normal a la dirección de las líneas de fuerza, abraza a todas las que existen en el circuito magnético . Cuando se trata de determinar los valores de la longitud y sección de un circuito magnético, aparece una notable diferencia con los valores correspondientes d e un circuito eléctrico : En efecto, en los circuitos eléctricos la longitud del conducto r es muy grande en comparación con su sección, por lo que no se comete error importante si se toma el valor de la longitud con sierta aproximación . En cambio, en los circuitos magnéticos no existe desproporción fuerte entr e la longitud y la sección, por lo que estos valores han de ser calculados con gran exac titud . Así, en el ejemplo 76, hemos visto como la longitud del circuito era la de la circunferencia media . Ordinariamente, los circuitos magnéticos presentan formas bastante complica das, resultando difícil la determinación de la longitud y sección . En casos tales se trazará a ojo la línea media . midiéndose su longitud, que será la del circuito magné tico . 262.
Diferencia entre la reluctancia y la resistencia
Hemos asimilado la reluctancia de un circuito magnético con la resistencia de un circuito eléctrico . Sin embargo, existe una diferencia esencial entre estas magni174
HISTERESIS MAGNETIC A
Generalidade s
La instalación de la fig . 158 permite estudiar otro fenómeno magnético, conocido con el nombre de histéresis . Histéresis, que quiere decir remanencia, es la característica que poseen todo s los materiales magnéticos de mantener su imantación al cesar la causa que la produ ce . El fenómeno de histéresis da lugar a pérdidas de potencia en los circuitos mag néticos de las máquinas y aparatos eléctricos, por lo cual es de gran importancia s u conocimiento y estudio . La manera más sencilla de estudiar el fenómeno de histéresis consiste en some ter el núcleo de hierro a intensidades de campo de distinto valor absoluto y de diferente sentido, o sea, someterlo a un ciclo de valores de intensidad de campo, obteniendo lo que se denomina ciclo de histéresis . 264.
Ciclo de histéresi s
Como ya hemos visto, sometiendo un grupo de hierro neutro a un campo magnético de intensidad progresivamente creciente, se obtiene la curva de magnetism o del núcleo ensayado . Sobre un sistema de ejes coordenados (fig . 161) llevemos en abcisas las intensidades de campo H y en ordenadas las correspondientes inducciones 13 . Partiendo de un hierro neutro, cuando la bobina no es recorrida por corriente eléctrica, ella n o creará intensidad de campo H = O y la inducció n en el núcleo también será nula (3 = 0 . El punto O d Fig . 161 . Ciclo de histéresi s representa este estado de material . 175
Aumentando ahora la intensidad del campo creado por la bobina (para lo qu e es preciso reducir el valor de la resistencia del reostato R), también aumentará el valor de la inducción en el núcleo de hierro . La representación de este proceso es la curva oa. El punto a corresponde a la saturación del hierro . Hasta aquí los ensayos efectuados son los mismos que se hicieron para traza r la curva de magnetismo y es que, en realidad, la curva oa representa precisament e la del hierro neutro . Prosigamos las experiencias haciendo disminuir la intensidad de campo cread o por la bobina (para lo que es suficiente intercalar progresivamente el reostato, con l o que disminuirá la intensidad de la corriente que recorre las espiras de la bobina) . Entonces se obtiene el extraño resultado de que, para una misma intensidad de campo , el valor de la inducción, durante el descenso de la curva, no coincide con el obtenido en la curva oa, sino que queda por encima de ella, lo que indica que en el hierr o se presenta una especie de retraso de la inducción respecto al campo, siendo ésta l a razón del nombre de histéresis dado a este fenómeno . Cuando la intensidad de campo queda anulada (por ser nula la intensidad de la corriente que recorre la bobina) ; queda todavía en el hierro cierta imantación residual, de manera que la inducció n conserva el valor ob, que recibe el nombre de magnetismo remanente . Para hacer desaparecer el magnetismo remanente, es preciso someter al núcle o de hierro a una intensidad de campo negativa, es decir, de sentido contrario al anterior . Para conseguir tal objeto se ha dispuesto en la instalación de la fig . 158 el conmutador C, que permite invertir el sentido de la corriente eléctrica en la bobina . Pasando el conmutador a la posición Il y aumentando la intensidad de la corriente en la bobina, ésta irá produciendo una intensidad de campo progresivamente mayor . La variación de la inducción respecto a la intensidad de campo vendrá re presentada por la curva bcd. En ella se observa que para que quede anulada la inducción se precisa que la intensidad de campo tome el valor oc, que recibe el nombre de fuerza coercitiva. Al llegar la curva al punto d vuelve a manifestarse la saturación del núcleo d e hierro . Entonces se opera sobre el reostato R, volviendo a incluir progresivament e sus resistencias de manera que disminuye la intensidad del campo . La curva de re presenta la variación de la inducción que corresponde a este proceso, señalando o e el magnetismo remanente, valor igual y de sentido contrario al ob. Colocando ahora el conmutador en la posición I se restablece el sentido inicia l de la corriente eléctrica en la bobina, así como el de la intensidad del campo producido por ella . Reduciendo la resistencia del reostato se conseguirán los valores de l a inducción dados por la curva efa, en la cual se observa que para anular la inducció n se precisa una intensidad de campo de valor of que es la fuerza coercitiva igual y d e sentido contrario a la señalada por oc. Al llegar la curva al punto a, donde se vuelve a manifestar la saturación de l núcleo de hierro, se confunde con la curva inicial oa de magnetismo del hierro neutro, diciéndose entonces que el hierro ha recorrido un ciclo magnético .
En la fig . 161 se observa que, para un mismo valor oh de la intensidad del campo, corresponden tres valores distintos hm . hn t' hp de la inducción en el núcleo de hierro, lo que indica que para conocer la inducción que toma un núcleo de hierro , con una determinada intensidad de campo, es preciso conocer su estado anterior . 265.
Explicación física de la histéresi s
Se vió anteriornIente que cuando un núcleo de hierro se somete a una intensidad de campo progresivamente creciente, los imanes moleculares giran para orientarse más y más en el sentido señalado por el flujo de líneas de fuerza (fig . 143) . También se vió que llega un instante en el cual es completa la orientación de lo s imanes moleculares, estado magnético que corresponde a la saturación del hierro . Reduciendo el valor de la intensidad de campo, los imanes molecuales tien den a girar a su posición inicial . Sin embargo, a pesar de quedar anulada la intensidad del campo, los imanes elementales no llegan a alcanzar la posición neutra debido a que lo impide el rozamiento de las moléculas . La posición tomada por los imanes moleculares para el valor nulo de la intensidad del campo determina una ciert a magnetización del núcleo, llue constituye precisamente el magnetismo remanente . Cambiando el sentido de la corriente en la bobina y, en consecuencia, el de l a intensidad de campo creado por ella, en un principio la fuerza magnética se emple a en hacer girar a los imanes moleculares hasta la posición del hierro neutro . La intensidad de campo necesaria para que esto ocurra es precisamente la fuerza coercitiva . Luego todo aumento de la intensidad de campo se destina a hacer girar aún más a los imanes moleculares, hasta conseguir su completa orientación en el sentido eones pondiente al de las líneas de fuerza . Resumiendo lo expuesto, resulta que los aumentos y reducciones de la intensidad del campo hacen girar a los imanes moleculares en uno u otro sentido . Asimismo se ve que el fenómeno de la histerésis, por el cual los valores de la inducción s e retrasan respecto a la intensidad de campo, es debido al frotamiento de las moléculas entre sí cuando éstas giran por la acción del magnetismo . 266.
Pérdidas de potencia por histéresi s
Según la hipótesis expuesta, el fenómeno de histéresis en un núcleo de hierr o es debido a los frotamientos de sus moléculas al girar . Este frotamiento origina un a pérdida de potencia conocida eon el nombre de pérdida por histéresis . que tiene importancia en las máquinas eléc ' -icas, ya que influye en el rendimiento, así como e n el calentamiento . Se demuestra matemáticamente, y lo confirma la experiencia, que esta pérdida de potencia es proporcional .il área de la curva de histéresis . Así, pues, cuant o menor es la superficie interior ci, la curva abcdefa del ciclo de histéresis menor es la pérdida originada .
176 177
Además, la pérdida de potencia por histéresis es proporcional a los valores siguientes : 1 . ° Al volumen V del núcleo de hierro en cm 3 . 2 0 Al número de ciclos por segundo 3 . 0 Al valor de la inducción máxima R en gausios . 4 o Depende también de la calidad del hierro, expresada por el coeficiente d e histéresis KH . Steinmetz, para determinar las pérdidas de potencia por histéresis, estableci ó la fórmula siguiente :
f
(119)
PH =
necesario emplear materiales que tengan poca pérdida de potencia por histéresis, co mo son los hierros al silicio. 3 . a En imanes permanentes (polos de magnetos, etc .), los materiales a emplear deben ser de tal clase que exijan una elevada fuerza coercitiva para anular e l magnetismo remanente . Para tal objeto se emplean aleacciones especiales, como so n el acero al tungsteno, acero al cobalto, acero al cromo-níquel, etc .
KH f~ 1 .6 V vatios 107
El coeficiente KH varía de 0,0015 a 0,003, aunque en hierros de muy buen a calidad desciende hasta 0,0007 . 267.
Histéresis giratoria
En todo el estudio efectuzdo hasta ahora, hemos supuesto que la intensida d del campo mantiene constantemente la misma dirección respecto al núcleo de hierro, variando tan sólo el sentido y el valor de la intensidad . Un campo como el descrito recibe el nombre de campo alternativo . Consideremos ahora un núcleo de hierro que gire en el seno de un campo mag nético creado por un par de polos N—S (fig . 162) . Fácilmente se puede comprobar que el flujo que atraviesa una zona cualquiera del núcleo, por ejemplo, la A, varía constantemente durant e una revolución, lo que determina que asimismo varí e el valor de la inducción . En este caso también se presentará en el núcleo de hierro el fenómeno de histéresis, pero como es originado por la rotación del núcle o Fig . 162. Histéresis giratoria recibe el nombre de histéresis giratoria . Las histéresis alternativa y giratoria no son equivalentes, sino que las pérdida s de potencia son más importantes en la histéresis giratoria que en la alternativa par a la misma inducción y frecuencia . 268.
Elección de los materiales magnético s
Para elegir adecuadamente los materiales que han de constituir los circuito s magnéticos de las máquinas y aparatos eléctricos, es preciso tener en cuenta las con sideraciones siguientes : 1 . , En núcleos de hierro imantados por bobinas cuya intensidad de camp o es constante (por ejemplo, los polos de dínamos y alternadores), conviene emplea r acero dulce, debido a que su magnetismo remanente es muy elevado . 2 . a En núcleos de hierro imantados por bobinas cuya intensidad de campo e s variable (por ejemplo, inducidos de dínamos, estatores de motores asíncronos), es 178
1 7(1
CAPITULO XX CALCULO DE LOS CIRCUITOS MAGNETICO S A)
Se hace evidente esta analogía considerando las siguientes observaciones : 1 . a El numerador de la fórmula representa la fuerza magnetomotriz de la bobina e = 1,25 N 1, la cual, según dijimos en el párrafo 224, es una magnitud similar a la fuerza electromotriz de un circuito eléctrico . 2 . a El denominador representa la reluctancia del circuito magnético R = 1 : µ S, característica similar a la resistencia del circuito eléctrico . 3 . a Vemos que el valor del cociente de la fuerza magnetomotriz y la reluctancia es el flujo de líneas de fuerza 1 existente en el circuito magnético, de form a idéntica a como el valor del cociente de la fuerza electromotriz y la resistencia eléc trica es la intensidad de corriente que recorre el circuito eléctrico . Así, pues, podemos poner como fórmula de la ley Hopkinso n e
CIRCUITOS MAGNETICOS HOMOGENEO S
269 . Ley de Hopkinson 270.
Según en el párrafo 241, un solenoide de longitud 1, en centímetros, formad o por N espiras, recorridas por una corriente de I amperios de intensidad, produce un a intensidad de campo magnético H en su interior, que, de acuerdo con la fórmul a (113), tiene un valor :
H=
NI
1,25
1
gausio s
Si en el interior de la bobina se introduce un núcleo de hierro, aumenta el número de líneas de fuerza, ya que el núcleo de hierro presenta un coeficiente de permeabilidad p . Por consiguiente la inducción 13, que de acuerdo con la fórmula (117 ) es igual a 0' = µ H, tendrá en este caso un valo r
1,25 N I µ gausio s 1
Siendo S la sección del núcleo de hierro, el flujo (ñ establecido en el mismo, d e acuerdo con la fórmula (116), vale (I) =- (3 S, por lo que en este caso tendremo s 1,25
NI µ
S
Mediante una sencilla transformación de la anterior expresión, podemos dejar la de la forma siguiente :
=
1,25 1
Ni
S
expresión que recibe el nombre de Ley de Hopkinson, análoga a la Ley de Ohm d e los circuitos eléctricos . 180
de Ohm y Hopkinso n
A pesar de la aparente analogía de las leyes de Ohm y Hopkinson, existe entr e ambas la diferencia fundamental siguiente : En un circuito eléctrico la resistencia es constante, mientras no varie su temperatura por lo cual la intensidad de corriente que recorre dicho circuito sólo depend e del valor de la tensión existente entre los extremos del mismo . En cambio, en un circuito magnético, el valor de su reluctancia depende de l valor que tome la inducción en el circuito, como se vió en el párrafo 262 . Por tal motivo, el flujo de líneas de fuerza existente en el circuito magnético, depende además de la fuerza magnetomotriz, de la inducción correspondiente, valor que, po r su parte, depende del propio flujo .
271.
Problemas a resolver e n un circuito magnético
maxvelio s
1
(120)
Diferencia entre las leyes
En Un circuito magnético pueden presentarse dos tipos distintos de problemas : 1 . 0 Conocida la fuerza magnetomotriz e aplicada a un circuito magnético d e reluctancia determinada R, calcular el flujo establecido en el circuito 1 = e/ R . 2 .° Dado el valor del flujo de líneas de fuerza 1 que debe ser establecido e n un circuito magnético determinado, calcular los amperios- -vueltas necesarios . El primer tipo de problemas no tiene solución inmediata, ya que como indic a la ley de Hopkinson el flujo magnético es igual al cociente de la fuerza magnetomotriz y la reluctancia c = e/ R . Ahora bien, en el valor de la reluctancia entra el coeficiente de permeabilidad , 181
como se ve en la fórmula
(118)
1
R-
µ
y el coeficiente de permeabilidad depende del valor de la inducción correspondient e y no podemos conocer esa inducción si no se sabe previamente cual es el flujo, valo r que precisamente se desea determinar . Así, pues, queda clara la dificultad de calcular un circuito magnético al no ser constante el valor del coeficiente de permeabilidad . Por consiguiente, sólo veremos el cálculo matemático del segundo problema , mientras que para el primero explicaremos un método gráfico . 272. Amperios-vueltas necesarios para mantene r un flujo dado en un circuito magnétic o
flujo
En un circuito magnético homogéneo, de sección S, en cm 2 , recorrido por u n en maxvelios, existe una inducció n
= sen gausios . Siendo p el coeficiente de permeabilidad correspondiente (teniendo en cuent a la clase de material y el valor de la inducción), la reluctancia del circuito magnétic o valdrá 1
-
µ S Sustituyendo en la fórmula O = 0,8 ch R, que da los amperios-- vueltas necesarios, el valor calculado para la reluctancia, resultar á
µ S Ahora bien, el coeficiente del flujo (1) por la sección S del núcleo da el valo r de la inducción R existente en el mismo, por lo que, en definitiva, el valor de los am perios vueltas necesarios para crear el flujo dado será . (122)
0 =
De la fórmula (122), que da el número de amperios-vueltas necesarios par a mantener un determinado flujo en un circuito magnético, se deduce una expresió n que indica el número d e amperios-vueltas que s e TABLA XI I precisan por cada centímetro de longitud de l a Amperios-vueltas por cm . (h) de distintos materiale s línea de fuerza media . Es Chap a Chapa mag. Inducción Acero Fundición magnética ta expresión e s extra (123)
h
=
It Las substancias magnéticas están caracteriza das por valores específico s de amperios -vueltas po r centímetro para cada valor de la inducción . En l a Tabla XII se indican lo s valores en el acero, hierr o fundido y chapas magnéticas ordinaria y extrasuperior .
182
0,7 0,9 1 1,2 1,4
6 .000 7.000 8.000 9.000 10 .000
1,7 2,2 2,7 3,2 4
11 .000 12 .000 13 .000 14 .000 15 .000
5 6,2 8,5 12 20
ordinaria
superio r
0,45 0,5 0,6 0,7 0,9
0,8 1 1,2 5 1,4 5 1, 6
28 40 55 80 110
1,3 1,7 2,3 3,3 4,7
1, 8 2 2, 5 3, 1 4
150 200 -
6,3 8 10,5 13,5 18
2 4,5 8 13 20
5 7 12 23 40
s
84 .000 = 14 .000 G = = 6 Sobre la Tabla XII se comprueba que a la chapa magnética ordinaria, para la inducción d e 14 .000 gausios, corresponde h = 13,5 amperios- vuelta por centímetro . Por otra parte, la longitud de la línea de fuerza media e s 1=zdm= 3,14 X 20 = 62,8 c m Ln consecuencia, el número de amperios vueltas que debe producir la bobina será
8=h1=13,5X62,8=847
IL
El cálculo de los circuitos magnéticos queda simplificado haciendo uso de u n nuevo valor, designado con el nombre de amperios- vueltas por centímetro .
1 .000 2 .000 3 .000 4 .000 5 .000
de hierro
35 80 16.000 35 ,, Qué Ejemplo 77 . 140 17.000 65 62 número de amperios-vuelta s 90 240 18 .000 100 deberá producir la bobina d e 19.000 160 170 excitación del circuito magne300 20 .000 250 tico de la fig. 163, cuya forma es un anillo cilíndrico d e 3 cm de ancho y 6 cm 2 de sección, si se desea que exista un flujo de 84 .000 maxvelios, sabiendo que está construído de chapa magnética ordinaria ? La inducción existente en el núcleo val e
0,8 Í 1
273 . Amperios-vueltas por centímetr o
fundido
0,8 R
Fig . 163 Circuit o magnético formado por un anillo cilín drico
Av
274. Solución gráfica del problema primero
Según se dijo en el párrafo 271, otro de los problemas que s e puede presentar en el cálculo de los circuitos magnéticos consiste en determinar e l flujo establecido en el mismo conocidos los valores de la reluctancia y el de la fuerz a 18 3
magnetomotriz producida por la bobina de excitación . Como ya se dijo, este problema no tiene solución inmediata, sino que es preciso recurrir a un método gráfico . Este método consiste en fijar inicialmente varios valores previos para el fluj o útil I y calcular los amperios-vueltas necesarios para mantener cada uno de dichos flu jos, operando como se ha indicado . Luego se traza un a curva, tomando en abcisas los valores hallados para lo s amperios—vueltas 81, 02 y en ordenadas los correspondientes valores de los flujos (P1, 'b2 Sea esta curva la trazada en la fig . 164 . Entonces se determina sobre dicha curva el cl), que será producido por los amperiovueltas O que ha de crear la bobina . Fig . 164. Solución gráfica Este método, aunque tiene los errores inherente s para el cálculo del Ruj o a los procedimientos gráficos, da suficiente aproximació n necesario para que sea plenamente aceptado con garantía en lo s cálculos magnéticos . B)
275.
CIRCUITOS MAGNETICOS HETEROGENEO S
Generalidade s
Acabamos de estudiar los circuitos magnéticos homogéneos formados por un a sola substancia y sometidos a igual inducción en todo su recorrido . En la práctica , los circuitos de las máquinas eléctricas son heterogéneos , es decir, que están formados por distintas partes, que s e distinguen bien por estar constituidos por substancia s diferentes o por no ser constante el valor de la inducció n en todo su recorrido . Así, la fig . 165 representa un circuito magnético heterogéneo formado por cuatro parte s distintas, de las cuales la cuart t es un espacio de aire o entrehierro . Es de observar que todo r 1 circuito magnético hete Fig .165 Circuito magnétic o rogéneo es recorrido por el mismo número de líneas d e heterogéneo fuerza, lo que se expresa dici indo que el flujo tiene un valor constante. 276.
Valor de la reluctancia tota l
La reluctancia total de un circuito magnético heterogéneo formado por varia s partes diferentes, es igual a la suma de los valores de las reluctancias de todas ellas , ya que las líneas de fuerza que constituyen el flujo magnético deberán extenderse a lo largo de las diversas partes que componen el circuito magnético . Así, pues, siendo lt , 12, 13 . . . . las longitudes de las líneas de fuerza media en la s distintas partes del circuito magnético ; St , S2,5'3 . . . . las secciones de esas partes, y 184
sus respectivos coeficientes de permeabilidad las reluctancias correspondientes será n
pi, µ2, µ3 . . . .
R1 =--
Il
R8=
R2= 12 32
l 31
ls I ls Ss
resultando para valor de la reluctancia total del circuito magnético heterogéne o
R=R1 +R2 -}-R3+
(124)
. . . .
277 . Valor del flujo magnético Para determinar el valor del flujo establecido en un circuito magnético heterogéneo, aplicaremos la fórmul a i (1 21 ) de la Ley de Hopkinson, cuidando de tomar e n cl denominador la reluctancia total de dicho circuito . Así, pues, tendremo s
1,25N I
(125)
R1 + R2
+P2+ . . . .
Ya quedó establecido en el párrafo 271 que no tienen solución inmediata lo s problemas en los que se trata de calcular el valor del flujo, ya que para determinar lo s valores de las distintas reluctancias R I , R2 . . . .es preciso conocer previamente lo s coeficientes de permeabilidad pl . p2 . . . . correspondientes, pero estos valores son de terminados de acuerdo con las inducciones y, en definitiva, del flujo, lo que lleva a un círculo vicioso . 278 . Amperios—vueltas totales y parciales Como ya sabemos, los amperios vueltas que debe producir la bobina de excitación del circuito magnético es de un valor igual a 0,8 veces el producto del valo r del flujo por el de la reluctancia . En el caso de un circuito heterogéneo se verific a
l
0,8 (D i
31
+
+
12 c
i 2
32
13 l is S s
Introduciendo el valor del fluio en el paréntesis, en cada uno de los sumando s aparecerá el cociente de este flujo por la sección de la correspondiente parte de l circuito magnético heterogéneo, cociente que sabemos es igual al valor de la inducción respectiva . Así, pues, se puede pone r e = 0,8 P1 1 1 l it
+ 0,8P21 2 + 0,8 R31 3 l'2
µ3
Observemos que en los distintos términos del segundo miembro de la anterio r expresión aparecen las relaciones 0,8 P 1
0,8 P2
µ1
µ2
0,8
R3
µ3
185
que representan los valores de los amperios vueltas por centímetro hl, h2 . h3 . . . . correspondientes a cada una de las partes que constituyen el circuito magnético . Po r consiguiente, el valor de los amperios-vueltas totales necesarios para mantener u n flujo determinado en un circuito magnético heterogéneo será (126) e=h i 1 1 +h 2 1 2 +h 3 1 3 + . . . En la fórmula anterior, los términos del segundo miembro hi 11, h2 12 . . . . re presentan los valores de los amperios rueltas parciales correspondientes a cada un a de las partes que constituyen el circuito magnético heterogéneo . Por consiguiente , la fórmula (126) puede ser enunciada de la siguiente manera : "En todo circuito magnético heterogéneo, el valor de los amperios vuelta s totales necesarios para mantener un flujo dado es igual a la suma de los amperio s vueltas parciales correspondientes a las distintas partes que lo constituyen" . 279 . Amperios—vueltas parciales del entrehierr o
Como se dijo en el nárrafo 257 se da el nombre de entrehierro a toda parte d e un circuito magnético heterogéneo formado por un material no magnético, po r ejemplo, aire, cartón, latón, etc . Como ya se expuso en dicho párrafo, el coeficiente de permeabilidad de tod a substancia no magnética es igual a la unidad . Por consiguiente, los amperios -vueltas por centímetro de un entrehierro serán iguales a 0,8 veces la inducció n ha = 0,8
a
y, en consecuencia, si el entrehierro tiene una longitud, la, los amperios vueltas parciales correspondientes al mismo valdrá n (127)
Oa = ha la = 0,8 pa l a
A veces el entrehierro no es perceptible a primera vista . Tal sucede con las lla madas uniones magnéticas . Estos entrehierros son consecuencia del montaje del circuito magnético, ya que por esmerado que sea, siempre aparece una determinadà reluctancia . Se admite que cada unión magnética equivale a un entrehierro de 0,003 cent ímetros de longitud . Este valor es pequeño comparado con las restantes partes de l circuito magnético, pero conviene tenerlo en cuenta cuando en él existen varia s uniones magnéticas .
1 . 0 Las inducciones correspondientes a las distintas partes del circuito magnético, para lo que se hará uso de la fórmula (116). 2 .° Sobre la tabla XII se elegirá el valor de los amperios--vueltas por cent ímetro, correspondiente para el material de cada parte del circuito, teniendo en cuent a la inducción a que está sometido . 3 .° Se calculan seguidamente los amperios—vuelta s parciales correspondientes a cada parte del circuito, para l o que basta multiplicar el de amperios--vueltas por centímetro , por la longitud de la línea de fuerza media en dicha parte . 4.° Finalmente el valor de los amperios—vueltas totales es igual a la suma de los amperios--vueltas parciales coFig . 166. Circuito mag- rrespondientes a las distintas partes que componen el circuinético heterogéneo del to magnético heterogéneo . ejemplo 78. Ejemplo 78 . Calcular los amperios-vueltas necesarios para que en el circuito magnético heterogéneo de la fig . 166 quede establecido un flujo de 90 .000 maxvelios . Las dimensiones y substancias de las distintas partes del circuito magnético son las siguientes : Longitud cm
Parte
Substancia
1 2 3
Acero fundido Chapa magnética extrasuperior » »
Sección cm ,
l l = 10 Si = 9 ls = 12 S9 = 7, 5 ls = 9,9 Sa = 1 0 a Aire la = 0,1 Sa = 1 0 Aplicando la fórmula (116) se obtienen las inducciones que figuran en la relación siguien te . Esas inducciones permiten determinar los Av/cm correspondientes, así como los amperios vueltas parciales. Parte
Inducción G
1
P1 = 10.000
2 3 a
ji, = 12.000 = 9.000 Pa = 9.000
Av/cm hl =
4 h= = 7 ha = 3,1 ha = 7 .200
AV parciales
8r = = 88 = 8a =
40 84 30 720
resultando finalmente como amperios-vueltas totales necesario s 8 = e t +8, + 8a + 0a =40+84 +30+ 720=874 Av
C) CIRCUITOS MAGNETICOS DERIVADO S
280 . Proceso de cálculo de un circuito magnético heterogéne o
281 . Generalidade s
El proceso para determinar el número de amperios vueltas totales necesario s para excitar un circuito magnético es el siguiente : Los datos conocidos son las dimensiones del circuito y el flujo que se dese a mantener. A partir de ellos se determina :
Hasta ahora se ha supuesto que el circuito magnético era simple, es decir, qu e todo él era recorrido por el mismo flujo . En la práctica son muy corrientes los núcleos magnéticos compuestos, forma dos por dos o más circuitos derivados, en los cuales el flujo creado por la bobina d e
186
18 7
excitación se bifurca en dos o más flujos parciales, cada uno de los cuales recorr e un camino distinto . Así, en la figura 167 se ve como el flujo total (D, creado por la bobina B, recorre la columna central, dividiéndose luego en dos iguales, que recorre n las columnas laterales . Los circuitos magnéticos compuestos presentan formas muy variadas . Ahor a bien, en general los distintos circuitos magnéticos derivados suelen ser de igual forma y dimensiones, lo que facilita extraordinariamente e l cálculo .
La columna central es recorrida por el flujo total de 2,1 megamaxvelios, mientras que l a lateral y las culatas lo serán sólo por la mitad, o sea, 1,05 megamaxvelios . Podemos establecer el cálculo del siguiente cuadro : Parte
Columna central . » lateral . Culatas . . . .
Es de observar que, desde el punto de vista magné tico, el conjunto de la figura 167 produce los mismo s efectos que si se dividiera en dos circuitos iguales, pero separados, como se indica en la figura 168 . Por consiguiente, es posible calcular lo s amperios—vueltas necesarios para establecer el flujo parcial en cada circuito deriva do, haciendo uso de las reglas dadas para los circuitos magnéticos simples . Por otra parte, los amperios—vueltas así calculados son exactamente los qu e debe producir la bobina B, ya que al estar dispuestos en derivación los dos circuitos magnéticos, la fuerza magnetomotriz de la bobina sirve para excitar simultánea mente a ambos . Así, pues, siendo cp el flujo total que recorre el núcleo central, el flujo parcial que recorrerá cada un o de los circuitos derivados valdrá la mitad que el anterior 1' = (h/2 . Conocidos los valores de las secciones de las distintas partes del circuito magnético, se puede n determinar las inducciones correspondientes . Luego , Fig. 168. Circuitos magnéticos con el valor de la inducción y según la clase de materia l derivados . que forma cada parte del circuito, se determinarán lo s respectivos valores de los amperios—vueltas por centímetro sobre la tabla XII . Finalmente, se calculará el valor total de los amperios—vueltas que debe producir la bobina, sumando los amperios—vueltas parciales correspondientes a las dis tintas partes del circuito magnético . Ejemplo 79. Calcular el circuito magnético de la fig . 167 en el que ha de establecers e un flujo total de 2,1 megamaxvelios, sabiendo que todo él está construído de chapa magnétic a extrasuperior de las dimensiones siguientes :
Columna central . » lateral . Culatas 188
Longitud
Av
12 .000 15 .000
7 40 23
50 50 2 X 40
35 0 2 .000
.
14.000
1 .840 4 .190
CJ DISPERSION MAGNETIC A
Circuito magnético doble .
Partes
Av/cm
Así, pues, la bobina deberá producir 4 .190 amperios—vueltas .
282 . Cálculo de los circuitos magnéticos derivado s
Fig . 167 .
Inducción
Sección cm,
Longitud cm
175 70 75
50 50 40
283.
Flujo útil y flujo de dispersió n
Hasta ahora iieinos supuesto que todas las líneas de fuerza pasan solament e por el núcleo de hierro . Sin embargo, ordinariamente parte del flujo se separa de l conjunto, recorriendo un camino diferente . Así, en el circuito magnético de la figura 169, en el que la bobina B crea un flujo de líneas d e fuerza, la mayor parte de estas líneas de fuerza siguen u n camino que recorre todas las partes de hierro, debido a que en él encuentra menor reluctancia, pero una peque ña parte del flujo va del polo N . al S ., derivándose a traves del aire, sin pasar por la armadura . Ahora bien, el flujo es creado por la bobina B par a producir un determinado efecto en un punto cualquier a del circuito magnético . La parte del flujo que cumple esta misión recibe el nombre de flujo útil. En la fig . 169 Fig. 169. Dispersió n magnética el flujo útil es la parte señalada por (D, que, recorriendo la armadura, produce un efecto de atracción de la misma . ' La parte del flujo total producido por la bobina, pero no aprovechada para e l efecto útil, recibe el nombre de flujo de dispersión . En la fig . 169 forman el flujo de dispersión las líneas de fuerza señaladas por 4d, que van del polo N . al polo S . sin pasar por la armadura . 284. Coeficiente de dispersió n
La bobina que excita un circuito magnético debe ser capaz de producir un flujo total igual a la suma de los flujos útil y de dispersión . Así, pues, se debe verifica r (128)
(Dt
=
(D
+ 18 9
Se da el nombre de coeficiente de dispersión a la relación que existe entre lo s flujos total (W. y útil (P. Designándolo por V tendremos
(129)
v =
=1 +
d
es decir que el coeficiente de dispersión tiene un valor superior a la unidad . Es sumamente difícil efectuar el cálculo exacto del coeficiente de dispersión aunque exis ten algunos métodos para ello . Por eso en la práctica se recurre a valores obtenido s experimentalmente en la construcción de máquinas y aparatos eléctricos . Despejando en la fórmula (129) el valor del flujo total 1t se tien e
(130)
Or
= v
fórmula que dice : "El coeficiente de dispersión es el valor por el cual hay tiplicar el flujo útil para obtener el flujo total" .
que ,Mul-
285 . Cálculo exacto del circuito magnétic o
286 . Condiciones para obtener el flujo máximo Cuando se estudian las máquinas eléctricas, se comprueba que el circuito magnético tiene como función esencial la de canalizar el flujo de líneas de fuerza cread o por los polos . Para el mejor aprovechamiento de los amperios--vueltas de las bobinas polares , se deben tener en cuenta, al construir el circuito magnético, las siguientes condiciones : 1 . a Entrehierros mínimos, ya que un entrehierro grande consume una eleva da proporción de los amperios—vueltas totales . 2 . a Alejarse de saturar el hierro, ya que en un circuito magnético saturado , para conseguir un ligero aumento de flujo y, por consiguiente, de la inducción, s e precisa un fuerte incremento de la fuerza magnetomotriz de la bobina . 3 .a Reducción de los flujos de dispersión, ya que éstos obligan a crear en las bobinas polares un flujo mayor que el útil . Si el flujo de dispersión es exagerado ser á necesario un flujo total excesivamente grande, con el consiguiente aumento de lo s amperios- -vueltas de la bobina .
Al efectuar el cálculo de un circuito magnético se debe emplear, en las diversas partes que lo constituyen, el valor correspondiente del flujo para determinar lo s valores exactos de la inducción . Así, en la figura 169 se hará uso del flujo útil par a determinar la inducción de la armadura y del entrehierro, mientras que al calcula r las correspondientes a los núcleos y culata se empleará el flujo total . Ejemplo 80 . Calcular el circuito magnético de la fig . 169 sabiendo que el coeficient e de dispersión entre las zapatas polares es de 1,2, que el flujo útil es de 300 .000 maxvelios y que sus dimensiones y materiales son las que se indican en la relación siguiente : Sección Longitu d Parte cm' Material cm Armadura 37,5 Hierro fundido Entrehierro 50 Aire Núcleos 30 Chapa magnética transf. Culata 24 » » H flujo total producido por la bobina que recorre la culata y núcleo, val e = v (D = 1,2 X 300 .000 = 360 .000 M Podemos establecer el siguiente cuadro de cálcul o Flujo Inducción Avlcm Parte maxvelios gausios h Armadura Entrehierro Núcleos Culata
300 .000 300 .000 360 .000 360 .000
8.000 6.000 12 .000 15 .000
20 0, 1 15 20
Av
1 .12 0 960 21 0 80 0 AMPERIOS-VUELTAS TOTALES . 3 .09 0 Así, pues, el total de amperios--vueltas que debe producir la bobina de excitación será d e 3 .090 . 190
56 4.800 7 40
191
288.
CAPITULO XX I CALCULO DE ELECTROIMANE S 287 . Fuerza de tracció n
Los electroimanes se construyen en muchas ocasiones para que produzcan un a determinada fuerza de tracción . Esta fuerza atractiva se origina al ser aproximada la armadura al núcleo . Aqué lla queda imantada por influencia de éste, de forma que en sus extremos aparece n polos, cuyos signos son contrarios a los de los núcleos más próximos . En consecuen cia, la armadura es fuertemente atraída por el núcleo . Sea un electroimán en herradura (fig . 170), cuyos extremos de sección S, e n centímetros cuadrados, están sometidos a una inducción 0, en gausios . Se demues tra matemáticamente que la fuerza de tracción de cada un o de los polos del electroimán vale (131)
F=
•
8a
S
X 981 .000
=
S
~; • 24 .640 .000
F
= (
) S en kilogramo s
Ejemplo 81 . El electroimán de la fig . 170 tiene sus extremos de 200 cm 2 de sección . L.a inducción en los mismos es de 12 .000 gausios. ¿Cuánto vale su fuerza de atracción ? Aplicando la fórmula (I32) se obtien e 000 ) ' o X2X200=2.304kg 5 .000 )'_`15 .000 192
Ejemplo 82 . Comprobar el resultado conseguido en el electroimán estudiado en e l ejemplo anterior, en los dos casos que se presentarían si la sección aumenta a 250 cm 2 o disminuye hasta 160 cm 2 . El flujo de líneas de fuerza que recorre el circuito magnético del electroimán val e (D • S = 12 .000 X 200 = 2.400.000 M Por consiguiente, la inducción en los dos casos que ahora estudiamos valdr á _
Z
5.000
La fórmula (132) parece indicar que para obtener en un electroimán una fuerza de tracción importante es suficiente aumentar la sección de los extremos de lo s núcleos . Esto sólo será exacto si se conserva constante la inducción, lo que exige u n aumento del valor del flujo en proporción directa al aumento de la sección . Si el flujo no siguiera el aumento de la sección, la inducción disminuirá a l aumentar la superficie polar, variando inversamente a ésta . En consecuencia la fuerza de tracción será menor a pesar de haber aumentado la superficie polar . Por eso, si se desea aumentar la fuerza de tracción de u n electroimán es conveniente aumentar la inducción en las superficies polares, para lo que se suele reducir la sección de las mis mas, dándoles forma cónica o piramidal, como se indica en l a fig . 171 . Con ello se consigue concentrar las líneas de fuerz a en los polos del electroimán . Ahora bien, es preciso no exage1 rar la reducción de la sección, ya que un aumento excesivo de la inducción podría conducir a una fuerte dispersión, con l a Fig.171 Aumento de consiguiente disminución del flujo útil y de la fuerza de trac- la fuerza de tracción de un electroimán . ción que se trataba de aumentar .
en kilogramo s
(El valor 981 .000 se pone para hacer que la fuerza veng a dada en kilogramos) . Ha de tenerse en cuenta que en un elecFig . 170. Fuerza d e troimán en herradura existen dos extremos frente a la armadutracción de un eléctroimán ra, por lo que la sección de atracción es igual a la suma de la s superficies de ambos extremos . En la práctica se hace uso de una fórmula mucho más sencilla que la (131) . Esa fórmula se obtiene tomando en el denominador el valor aproximado 25 .000 .00 0 = 5 .0002, con lo que resulta la expresión (132)
Aumento de la fuerza de tracció n
Sr S'_
Si
_ 2 .400.000 = 9 .600 G 25 0 _ 2 .400 .000 = 1.5 .000 G 150
Finalmente la fuerza de tracción en ambos casos alcanzará un valor : Fr — (
5 .000 )2 S i
= (9.600)' X2X250=1 .843,2kg 11 5 .000 I
(
1 , ' 5 .000 S,
= ( 15 .000 )' X 2
1
p,
'1
5 000
X
160
= 2 .880 k g
comprobando así que . en el primer caso, aunque aumenta la sección queda reducida la fuerza de tracción, mientras que, por el contrario, al disminuir el valor de la sección polar aumenta la fuerza de tracción obtenida . 289.
Electroimán acorazad o
En los electroimanes acorazados se ha de tener en cuenta, al efectuar el cálculo, que la sección S de la fórmula (132) es la suma de la superficie del núcleo circu lar central y la del anillo exterior que hace de cubierta protectora . 193
Ejemplo 83 . ¿Cuánto valdrá la fuerza de tracción de un electroimán acorazado sa biendo que el núcleo central, que está sometido a una inducción de 12 .000 gausios, tiene un a sección de 400 c m 2 y que la cubierta exterior tiene 46 y 54 cm de diámetro interior y exterio r respectivamente? La superficie del anillo circular exterior valdrá : Se=1 Dm e
3,14 X 50 X 4 = 628 cm' El valor del flujo que recorre el circuito magnético vale :
0=Bi Si =
=
X 400 = 4.800.000 M Por consiguiente, la inducción en la sección circular exterior será : 12 .000
Se
4 .800 .000 = 62 8
7.640
G
La fuerza total de tracción del electroimán alcanzará el valor siguiente : 1
Bi Bel s Se _ ,2 Si + 5 .000 \ 5 .000 I
(12 .000) 2
X 628 = 2 .304 + 1 .454 = 3 .758 kgs
5 .000
/
X+ t
7.640 s )
5.000
X
291.
Cálculo de la bobina de excitació n
El cálculo de la bobina de excitación de un electroimán comprende la determinación de la sección del conductor, así como el número de espiras . El cálculo varía según la forma de conectar la bobina en el circuito, ya que s i estuviera conectada en serie sería conocido el valor de la intensidad de la corrient e que recorre sus espiras, mientras que si está conectada en derivación el dato conocido es el de la tensión aplicada a sus bornes . La sección del conductor será calculada de forma tal oue la elevación de temperatura en la bobina, a causa de la pérdida Joule en ella producida, no alcance u n valor exagerado que pueda deteriorar los aislamientos . Como ya sabemos, el aumento de temperatura en un conductor depende del valor de la densidad de corriente . así como de las condiciones de refrigeración a que está sometido . En la práctica se adopta la densidad de corriente por comparación con caso s similares anteriores . Como orientación pueden tomarse de 2 a 2,5 amperios po r mm 2 , aunque en bobinas muy bien ventiladas se llega a 3 y 3,5 A/mm 2 y, en cambio, en bobinas encerradas o sometidas a una ventilación ineficaz es preciso reducir la densidad de corriente hasta un valor de 1,5 A/mm 2 aproximadamente .
290 . Electroimán fren o
Los electroimanes freno (fig . 155) son acorazados y disponen en su parte inferior de una abertura por la que pasa el núcleo, que es succionado por la bobina . Cuando ésta es recorrida por una corriente eléctrica, pro duce un flujo que determina polos de sentido contrari o en el núcleo y en la parte fija del electroimán, resultando así la atracción del núcleo . Si se abre el circuito de la bo bina, desaparece la intensidad de imantación y con ella l a fuerza de succión . Entonces, un mecanismo de resort e aleja el núcleo, sacándolo parcialmente del interior del electroimán . La fuerza media de tracción de un electroimán freFig . 172. Determinación no cuya bobina produce NI amperios—vueltas, con un de la sección polar entrehierro la, puede ser determinada matemáticamente , obteniéndose la fórmula siguiente : (NI)' • a 2 (133) F= en kb 0,981 X 10 8 la'
J
J
en la cual Sa es la sección del entrehierro cuyo valor en un electroimán con polo s cónicos como los de la fig . 172, viene dado por la fórmul a
(134)
Sa
= a d1
-f-d2 1 2
+
td1' en c m
4
que es la suma de la base más el área de la superficie lateral del tronco del cono . 194
292.
Bobina conectada en serie
Cuando la bobina de excitación de un electroimán está conectada en seri e (fig . 173), el cálculo queda reducido a un proceso muy sencillo . En tal caso se conoce además de la cantidad de amperios - vueltas que debe producir, el valor de la intensidad de la corriente I en el circuito, que es la misma que recorre las espiras de l a bobina . Así pues, el número de espiras que debe tener la bobi na será :
e
N=
e
I
En cuanto a la sección del conductor se deducirá un a vez adoptada la densidad de corriente más conveniente . Entonces tendremos Sc
=
I
Fig . 173 . Bobina de excitación conectada en serie.
a
Conocida la sección necesaria quedarán determinadas las dimensiones del conductor (diámetro, en el caso de hilo redondo y longitudes de los lados si se trata d e pletina), tanto desnudo como aislado . Finalmente, una vez distribuido el número de espiras en las capas necesarias . se verificarán las dimensiones que alcanzará la bobina, comprobándose si es factibl e su colocación en el núcleo magnético al cual va a excitar . En caso de no ser posible . 195
se deberán rehacer todos los cálculos, adoptando una densidad de corriente mayo r que la empleada en el primer cálculo . Ejemplo 84 . Calcular bobina de excitación para un electroimán freno cuyo circuit o magnético exige 8 .000 amperios-vueltas, sabiendo que la bobina ha de ir conectada en serie e n un circuito recorrido por una corriente de 20 amperios de intensidad . El número de espiras que debe tener la bobina e s 8 8 .000 N = - = 20= 400 espiras Adoptando una densidad de corriente de 2 A/mm 2, la sección del conductor deberá se r 20 = IO mm 9 2 Adoptemos una pletina de 2 X 5 mm, pletina que aislada tomará unas dimensiones d e 2,3 X 5,3 mm, las cuales nos servirán para verificar si el tamaño dula bobina es adecuado al sitio que se dispone . Sc = ô =
293 .
Bobina conectada en derivació n
Fig. 174 .
Bobina de exci tación conectada en derivación .
En el caso de que la bobina de excitación de u n electroimán vaya a ser conectada en derivación (fig . 174), el cálculo se basa en la siguiente consideración : Estando sometida la bobina a una tensión de V voltios, para que sus espiras sean recorridas por una co rriente de I amperios de intensidad, es preciso que l a resistencia R de la bobina sea tal que se verifique la fór mula (23) de la Ley de Ohm V= R I
Para poder efectuar el cálculo es preciso basarse en unas dimensiones supuestas de la bobina y de ellas deducir la longitud de la espira media lm en metros . Designando por N el número de espiras de la bobina, p la resistividad del conductor e n caliente y Sc la sección del conductor, la resistencia de la bobina valdr á
Despejando en esta expresión el valor de la sección del conductor . resulta finalmente (135)
Sc=
plm 8
Conocida la sección necesaria podrán ser elegidas las dimensiones del conduc tor (diámetro o lados de pletina), tanto desnudo como aislado . A partir de las dimensiones del conductor aislado se determinan el número d e capas de la bobina, así como el número de espiras por capa . Por ejemplo, sea un con ductor redondo cuyo diámetro aislado vale daisl . Siendo R el radial de la bobina (fig . 175), el número de capas que se podrán disponer en ell a será R (136) Ncapas = T dais/. I Asimismo, siendo A el axial de la bobina, el número d e espiras por capa de la bobina será (137)
Nesp/capa =
A
V=pSc
NI
Observemos que el producto N 1 del número de espiras de la bobina por la intensidad de la corriente que recorre sus espiras es precisamente la cantidad de ampe rios—vueltas O que debe producir la bobina . Así, pues . podemos pone r V= p lmO SÇ
196
Dimensione s útiles de una bobina
Fig. 175.
dais/.
Conocidos los dos valores anteriores queda inmediatamente conocido el núme ro total de espiras de la bobina mediante el product o (138)
N = Ncapas X Nesp capa
En estas condiciones, para que la bobina pueda producir los amperios --vueltas exigidos O será necesario que las espiras sean recorridas por una corriente cuy a intensidad valga .éo 8 . I _
N
Finalmente, se verificará la densidad de corriente resultante mediante la fórmula :
a=
Bobina polar de dinamo .
Fig . 176.
Sustituyendo el valor así obtenido para la resistencia en la fórmula (23) de la Ley de Ohm, resulta
V
I Sc
comprobando si su valor no es anormal, tanto por exceso como por defecto . En ca so de ser anormal el resultado obtenido, nos permitirá rehacer el cálculo partiend o de otras dimensiones de bobinas que nos parezcan van a resultar más adecuadas . Ejemplo 85 . Calcular una bobina polar de dínamo shunt, cuyas dimensiones son la s indicadas en la figura 176 (la longitud axial del polo es 140 mm) . sabiendo que debe produci r 4 .570 amperios-vueltas y que entre sus bornes existe una tensión de 40 voltios. De las dimensiones de la bobina se deduce que la longitud de la espira media es igual a lm
=
2 (0,15
+
0,18)
=
0,66 m
197
Aplicando la fórmula (135) se obtiene para sección del conductor necesario suponiendo que éste sea de cobre (p = 0,02, en caliente ) plm9—0,02X0,66X4 .570=151 mm' V 40 , Sobre la tabla III vemos que el hilo comercial más próximo es el de 1,4 mm de diámetr o desnudo, que tiene una sección de 1,54 mm 2 . Aislando este hilo con dos capas de algodón resulta un diámetro de 1,7 mm para el hil o aislado. Dado que la dimensión axial de la bobina es de 100 mm, el número de espiras por capa se rá A = 100 = 58 Nesplcapa = 1,7 daisi. Sc=
rá
Asimismo, dado que la dimensión radial de la bobina es de 40 mm, el número de capas se Ncapas =
R _ daisi.
40 3 1,7 = 2
así, pues, el número de espiras de la bobina ser á N = Nesplcapa X Ncapas = 58 X 23 = 1 .334 Por consiguiente, la corriente de excitación deberá tener una intensidad igual a 9 4.57 0 = 3,43 A I WrEn consecuencia, la densidad de corriente ser á
s
Sc
2,23 A¡mm' 1,54 —
valor plenamente aceptable, por lo que el cálculo se da por concluído .
294 . Cálculo completo de un electroimá n
Veamos, con un ejemplo, el proceso de cálculo de un electroimán . Ejemplo 86 . Calcular un electroimán que desarrolle un esfuerzo de tracción de 1 .800 kg, sabiendo que la bobina de excitación ha de ir conectada en derivación de una red de 220 V 1 . 0 Para construir el núcleo magnético se elige chapa magné tica extrasuperior, adoptando una inducción en los polos de 15 .00 0 gausios . En consecuencia, la sección total de los polos, de acuerd o con la fórmula (132), deberá ser igual a 'I s a = F r 5 .000 = 1 .800 ( 5 .000 ¡ = 200 cm ' B 15 .000 / así, pues, cada polo deberá tener la mitad, es decir, 100 cm 2 , por l o que adoptaremos una sección cuadrada de 10 X 10 cm para los núFig. 177. Circuito ma$- cleos polares . nético del electroima n 2 .° La experiencia en construcción de electroimanes nos per del ejemplo . mite adoptar como circuito magnético el indicado en la figura 177 . Podemos comprobar que la línea de fuerza media tiene un recorrido en el hierro 2 (25 + 20) = 90 cm , mientras que no existe entrehierro . Sin embargo,e s necesario tomar un valor de recorrido en el aire debido a la reluctancia que ofrecen las unione'
s
198
magnéticas . Se toma por cada unión una longitud de 0,003 cm, de manera que en el circuit o que estudiamos tenemos un entrehierro de 2 X 0,003 = 0,006 c m 3 .° Calcularemos ahora el número de amperios-vueltas necesarios para excitar el circuit o magnético . Para ello, sobre la Tabla XII encontramos que a la chapa extrasuperior para la induc ción de 15 .000 gausios corresponden 40 amperios-vueltas por centímetro . Así, pues, el valor d e amperios-vueltas totales necesarios para mantener el flujo en el circuito que estudiamos será, d e acuerdo con la fórmula (126) , 9r=hr1+hala=40X90+15 .000X0,006=3 .690Av 4.° Adoptaremos provisionalmente como dimensiones de cada una de las dos bobinas d e excitación las que aparecen en la figura 178 . El diámetro interior de la parte ocupada por el conductor es igual a la suma de la diagona l del núcleu n uls el doble del espesor del tubo aislante (4,5 mm ) Dl = VZ X 100 + 2 X 4,5 = 150 m m El diámetro exterior de la bobina deberá ser tal que se puedan colocar las dos bobinas, una en cada núcleo, con cierta separación entre ellas . Lo tomaremos igual aDe=180 mm . Por consiguiente, el diámetro medio de la bobina será 180 = 165 mm 2 2 y la longitud de la espira media será igual a Dm =
Di + De = 150
lm=xDm=3,14X 165 = 518 mm=0,518 m
Fig. 178 . Bobina de exci tación del electroimá n del ejemplo.
5 .° Estando conectadas las dos bobinas en serie, cada una de ellas estará sometida a un a tensión de 120 : 2 = 60 voltios y deberá producir la mitad de los amperios-vueltas necesarios, o sea 9i = 3'2~=1 .845 A v 2 Tenemos ya todos los datos necesarios para calcular la sección del conductor . De acuerd o con la fórmula (135) valdrá 0=
0,02 X0,518 X 1 .845 plm6 =0,319mm ' V 60 Esta sección corresponde a un hilo conductor de 0,638 mm de diámetro, por lo que debe rá tomarse el hilo comercial de 0,65 mm de diámetro desnudo, cuya sección es de Sc = J,33 2 mm 2 . Este hilo, aislado con esmalte y algodón, toma un diámetro exterior de 0,8 mm . 6 .° Por consiguiente, el número de espiras por capa será igual a _ A 14 0 Nespicapa = 0, 8 = 17 5 daisi. Asimismo, siendo el radial de 15 mm, el número de capas que se pueden colocar so n Sc =
Ncapas =
dais/.
=
0,8
En consecuencia, el número total de espiras de la bobina ser á N = Nesplcapa
X
Ncapas = 175
X 18 = 3 .150 espiras 199
7 . 0 Para que la bobina produzca los 1 .845 amperios-vueltas exigidos, la corriente de ex citación deberá tener un valor de 9 N
_
1 .845 3 .150
= 0,585 A
pór lo que la densidad de corriente tomará un valor d e e
= 1 = 0,585 Sc 0,33 2
=
1,76 A/mm 2
valor totalmente aceptable, por lo que podemos dar por terminado el cálculo . 295 .
Aplicaciones de los electroimanes
Los electroimanes tienen numerosas aplicaciones en la técnica de la electricidad . Aunque la principal de todas es la de crear el campo magnético de las máquina s eléctricas, también son usados en grúas, sustituyendo a los ganchos, si se aprovech a su fuerza de atracción . Asimismo el efecto magnético es el fundamento de la gra n mayoría de los aparatos de medida, así como de los timbres, contactores, relés, etc . Timbres eléctricos . La instalación de un timbre eléctrico está representada e n la fig . 179 . Consisten en una campana metálica sobre la que puede golpear el mar tillo de repique e obedeciendo a la acción ejercida por el electroimán c sobre la armadura d . Cuando no ha y corriente en las bobinas del electroimán, la lámina resorte i mantiene a la armadura pegada al top e metálico h. Al empujar el botón pulsador a se juntan los contactos b y se cierra el circuito eléctrico, de forma que las bobinas de los núFig. 179. Esquema de un timbre eléctrico cleos son recorridas por una corriente eléctrica . El electroimán excitad o atrae a la armadura, con lo que se interrumpe el paso de la corriente por las bobina s al faltar el contacto entre la armadura y el tope metálico h. Hecho inactivo el electroimán, vuelve la armadura a su posición inicial de contacto con el tope h por la acción de la lámina resorte . Esto hace que se cierre de nuevo el circuito y que se repita el proceso de atrac ción de la armadura, apertura del circuito, falta de corriente, cierre del circuito , etc ., una y otra vez mientras esté oprimido el botón del pulsador . A cada atracció n de la armadura corresponde un golpe de martillo sobre la campana, produciend o un sonido, y la repetición de sonidos origina el conocido repiqueteo . El timbre eléctrico es, actualmente, un dispositivo de señales sonoras indispensables en casas, oficinas, teléfono, centrales, etc . En la instalación de la figura 17 9 la energía eléctrica es suministrada por una pila . No obstante, los timbres pueden se r alimentados por corriente alterna, estando reglamentado que los timbres de los do -
f
200
micilios particulares deban ser utilizados a baja tensión, de 6 a 24 voltios, como pro tección de accidentes . Por eso es necesario disponer de transformador de timbre, es pecialmente calculado para esta aplicación . C'ontactor es todo interruptor de enganche automático usado para cerrar u n circuito, mandándolo a distancia . En la figura 180 aparece el esquema de instalació n de un contactor tripolar para el acoplamient o a la red de un motor trifásico . a Como se ve en esa figura, el interruptor A r obedece a las acciones opuestas de un electroimán E y de un resorte R . La bobina del electroimán es excitada en derivación con e l circuito principal y en su circuito va dispuest a la caja de pulsadores, uno de ellos, el M, llama do de cierre, y el otro, el P, de apertura. La ca ja de pulsadores se coloca en el punto más cómodo para el gobierno del motor . Fig. 180. Esquema de contado r Apretando el pulsador M se cierra el circuito de excitación de la bobina del elec troimán, el cual atraerá al núcleo N originando una fuerza que será aprovechada para cerrar el interruptor A, conectando el circuito principal de alimentación del motor . El propio eje del núcleo cierra un contacto auxiliar Ca, cuya función consist e en mantener cerrado el circuito de excitación de la bobina del electroimán, aún des pués de dejar de presionar el pulsador M . Para desconectar el circuito principal de alimentación del motor basta apreta r el pulsador P, con lo que quedará abierto el circuito de la bobina del electroimán . Entonces, el núcleo N . obedeciendo a la acción del resorte R, volverá a la posició n del reposo, que es la indicada en la figura 180 . Interruptor automático de máxima o disyuntor de máxima es un aparato que efectúa la apertura de un circuito eléctrico cuando la intensidad de la corriente que lo recorre llega a un valor máximo . En la figura 66 aparece e l esquema de un interruptor automático para línea trifásica . Existen en el mercado innumerables tipos de interruptores automáticos, cada uno de los cuales presenta u n sistema de construcción distinto . Para formarse una ide a Fig . 181 . Interruptor de su funcionamiento veamos el que aparece esquemáticaautomático de máxima . mente representado en la figura 181 . Cerrado a mano el interruptor . las cuchillas P quedan sujetas a los contactos C mediante el enganche d e las uñas D . Si la corriente que recorre el circuito es de una intensidad superior a l a tolerada por el interruptor, la fuerza ejercida por el electroimán E determina la atrac ción de la armadura A, haciendo que la palanca Q gire sobre el eje O, con lo que s e levantan las uñas D . Entonces se desenganchan las cuchillas P, y el resorte R, empujándolas, obliga a abrirse el circuito . 201
Relé de alarma es un aparato que, intercalado en un circuito eléctrico, tiene l a misión de avisar la existencia de una intensidad de corriente superior a un valor da do, de una sobretensión, inversión de corriente, etc . Entre otros muchos que se fabrican existe el relé cuyo esquema aparece en la figura 182 . Cuando la intensidad de corriente en línea toma un valor superior al admisible ; la fuerza del electroimán E, venciendo al resorte antagonista R, determina la atracción de- la armadura A, lo que hace girar la palanca Q alrededor del eje O, hasta que al cerrarse el contacto Fig . 182. Relé de alarma C, se pone en funcionamiento el timbre T, la lámpa ra L u otro dispositivo de alarma similar . Limita—corrientes es un aparato destinado a interrumpir la corriente en u n circuito, cuando su intensidad toma un valor excesivo . En realidad efectúa la misma función que un disyuntor, del que se diferencia por su construcción más sencilla y su funcionamiento más simple . Son muy usados, colocándolos en las entradas de las acometidas de las casas particulares, a fin de limita r la intensidad de corriente absorbida por el usuario . U n esquema sencillo es el que aparece en la figura 183 . r Mientras que la intensidad de corriente no excede el valor límite, el resorte R hace que permanezca cerrado e l contacto C, de forma que la instalación estará en funcio - Fig. 183 . Limita-corrientes namiento . Si la corriente toma una intensidad excesiva, el electroimán actúa sobre l a armadura A y al vencer al resorte R, determina oscilaciones de la luz, rápidas y molestas, que obligan al abonado a reducir el consumo .
CAPITULO XXI I FUERZAS ELECTROMOTRICES INDUCIDA S 296. Generalidades Siempre que un conductor situado en un campo magnético se halle sometido a una variación del valor del flujo de líneas de fuerza, se generará en él una fuerza electromotriz, que recibe el nombre de inducida. Si ese conductor forma parte de un circuito cerrado, éste será recorrido por una corriente eléctrica que asimismo es llama da inducida . A este fenómeno, por el cual se produce una fuerza electromotriz en un conductor al variar el flujo a que está sometido, se le da el nombre de inducción . 297.
F . e . m . dinámica y estátic a
Teniendo en cuenta la manera de conseguir la variación del flujo a que est á sometido el conductor, se distinguen en forma general dos clases distintas de fuer zas electromotrices inducidas : dinámicas y estáticas . En unos casos, la variación del flujo se obtiene a base de un movimiento del conductor en el seno de un campo magnético de intensidad constante . Entonces, l a fuerza electromotriz producida, recibe el nombre de dinámica. Ejemplos de fuerzas electromotrices de esta clase son las que se producen e n los alternadores y en las dínamos, en las cuales las bobinas del inducido se mueve n respecto al flujo magnético creado por los polos . En otroscasos, la variación del flujo en el conductor es el resultado de un campo magnético de intensidad variable . Generalmente, en estos casos . el conductor se encuentra en una posición invariable respecto al campo, por lo que la fuerza electro motriz que en él se produce es conocida con el nombre de estática. Las f. e . ms . qu e se producen en los bobinados de un transformador son de esta clase . 298. Procedimientos de inducción Aunque existen varios procedimientos para producir fuerzas electromotrice s inducidas, los más usados son los siguientes :
202
20 3
1 . o Consideremos (fig . 184) una bobina B conectada en serie con un amperí metro . Esa bobina se encuentra en el seno del campo magnético producido por e l imán permanente M . Al acercar el imán a l a bobina, la aguja del amperímetro acusa el pa so de una corriente eléctrica . Io que nos obli ga a aceptar la idea de que en la bobina se h a producido una fuerza electr omotriz dinámica . Igualmente . al efectuar con el imán e l Fig . 1M. Producción de una f. e . m . movimiento inverso . es decir . al alejarlo de l a magnetoeléctrica . bobina . vuelve a acusar la aguja del amperí metro el paso de una corriente eléctrica . aunque en esta segunda operación . la desviación de la aguja sea en sentido contrario a como Io hizo cuando el imán se acerca ba a la bobina . De forma similar se obtendrán los mismos resultados anteriores dejando fijo e l imán permanente y haciendo que la bobina se acerque o aleje del mismo . En cambio, cuando se mantienen fijos tanto la bobina como el imán permanente . la aguja del amperíme tr o no acusa desviación alguna a pesar de estar situad a la bobina en el seno del campo magnético . Io que demues t ra que únicamente se pro duce f. e . ni . cuando ocurre la variación de flujo en la bobina . Las maquinas eléct r icas en las cuales la f . e . m . inducida se produce en bobinas situadas en campos magnéticos creados por imanes permanentes_ reciben el nombre de maquinas magnetoeléct r icas . aunque ordinariamente se las llama uagnetos . _ . o Si se reemplaza el imán permanente M de la figura 184 por una segund a bobina Be (fig . 185) . cuyas espiras son recorridas por una corriente eléctrica . para l o que se conectan sus bornes a los de una pila G . esta bobina Be se comporta exactamente igual qu e un iman permanente . ya que crea un flujo magnético de líneas de fuerza . En consecuencia . podemos repetir todos lo s experimentos indicados en el apartado I . t ' . comprobando que los resultados obtenidos son iguale s Fig . 185 . Producción de una t e m . dinamoeléctrica (lue en aquél . va que se produce una fuerza electromotr iz dinámica cuando la bobina B se muev e respecto a las lineas de fuerza creadas por la bobina Be . Las máquinas eléctricas en las cuales la f . e . nm . inducida se produce en bobinas situadas en el seno de campos magnéticos c r eados por otras bobinas de excitación (o nor electroimanes) . reciben el nombre de maquinas dinamoeléctricas . distinguiéndose entre ellas las dínamos v los alternadores . 3 . c ' Con el conjunto formado por las dos bobinas B y Be se puede ejecuta r otro experimento . consistente en dejar fijas ambas bobinas y hacer pasar e interrumpir la corriente en la bobina de excitación_ para Io que se dispone el interrupto r T en el circuito formado por la bobina Be v el generador G de la figura 185 . 204
Al abrir y cerrar el interruptor T se observa un desvío de la aguja del amperímetro, aunque en sentido contrario, según se trate de la apertura o cierre . Esto indica que la simple variación del valor del flujo magnético produce una f . e . m . induci da . Este experimento es el fundamento de los transformadores .
299 . F . e. m . inducida en un conductor rectilíneo Si un conductor rectilíneo se desplaza en el seno de un campo magnético, d e manera que corte en su movimiento a las líneas de fuerza, se origina en dicho conductor una fuerza electromotriz inducida durante el tiempo que dure ese desplaza miento . Se puede comprobar experimentalmente este fenómeno con el conductor P Q de la figura 186 . situado en el campo magnético creado por el par de polos N S . Para acusar la f . e . m . inducida conectemos los extremos P y Q del conductor a lo s bornes de un miliamperímetro A mediant e los hilos de conexión c y d. Con el conjunto así constituido po demos efectuar las siguientes observaciones : l . a Suponiendo en reposo el par d e polos N S, si se mueve el conductor PQ e n la dirección señalada por la flecha observaremos como el miliamperímetro acusará el paso de una corriente eléctrica, desviándose la aguja en un determinado sentido . Esta corriente eléctrica prueba que en e l seno del conductor se ha inducido una f . e . m . . cuyo sentido es el indicado por la flecha e. Fig . 186 . Conductor que se muev e en un campo magnétic o 2 .a Al cesar el movimiento del conductor PQ, el miliamperímetro dejará d e acusar el paso de corriente eléctrica . Asimismo, no acusará el miliamperímetro paso de corriente cuando el conduc tor PQ, en su movimiento, se salga del espacio ocupado por el campo magnétic o creado por el par de polos N S . Esto indica que para que se induzca una f . e . m . en el seno del conductor e s preciso que éste corte Iíneas de fuerza . 3 . a Manteniendo en reposo al par de polos y moviendo el conductor e n sentido contrario a como se movió en la experiencia I . a . es decir, en sentido opuesto al señalado por la flecha r, volverá el miliamperímetro a acusar el paso de corriente eléctrica, pero en este caso la aguja se desviará en sentido contrario al que s e desviaba enteriormente . Esta experiencia indica que el sentido de la f . e . m . induci205
da depende del sentido en que se mueve el conductor respecto al campo magnético . 4 . a Dejemos ahora en reposo al conductor PQ y movamos el par de polo s N—S en la dirección contraria a la señalada por la flecha v. Entonces el miliamperímetro volverá a acusar el paso de una corriente eléctrica, cuyo sentido, señalado po r la desviación de la aguja, será el mismo con que circulaba la corriente en la experien cia 1 . a , o sea, cuando se hallaban los polos en reposo y se movía el conductor en l a dirección señalada por la flecha v . Así, pues, la f . e . m . inducida tendrá el sentido indicado por la flecha e . Esta experiencia demuestra que para que se produzca una f . e . m . inducida e n un conductor no es absolutamente necesario que se mueva éste, siendo suficient e que exista un desplazamiento relativo del conductor respecto al campo magnético . 5 . a Moviendo simultáneamente el sistema polar N—S y el conductor PQ d e forma que se desplacen en la misma dirección y sentido, así como a igual velocidad , comprobaremos que no se desvía la aguja del miliamperímetro, lo que demuestr a que no se induce f. e . m . alguna en' el conductor . Esto es lógico, ya que, a pesar d e que se mueven el conductor y el sistema polar, no existe desplazamiento relativ o entre ellos y, en consecuencia, el conductor no corta líneas de fuerza del camp o magnético . 6 . a Moviendo simultáneamente el sistema polar N -S y el conductor PQ, pe ro con velocidades diferentes, existirá un desplazamiento relativo entre conductor y polos . Entonces existirá corriente eléctrica, señalada por la desviación de la aguj a del miliamperímetro . Esto era de esperar, ya que en este caso el conductor PQ cor ta líneas de fuerza del campo magnético creado por los polos N--S . 7 . a Finalmente, hagamos que el conductor PQ se mueva en el campo magné tico, pero de forma que la dirección de su movimiento sea paralela a la dirección d e las líneas de fuerza . En este caso, no se desviará la aguja del miliamperímetro, de= mostrando de esta manera que no se induce f. e . m . en el conductor . Ello era presumible, ya que al moverse el conductor en dirección paralela a las líneas de fuerza n o las cortará . En resumen, se puede enunciar la siguiente ley : "Si un conductor se mueve en un campo magnético con dirección tal que cor te líneas de fuerza, se inducirá en dicho conductor una fuerza electromotriz . Este fenómeno de inducción depende exclusivamente del movimiento relativo del conductor con respecto al campo magnético" . 300. Sentido de la f . e . m . inducid a
En las experiencias anteriores hemos visto que el sentido de la desviación de ' aguja del miliamperímetro dependía del sentido relativo del movimiento del cond e tor PQ respecto al campo magnético creado por el sistema polar N- S . Una cuida s sa observación de dichas experiencias permite deducir una sencilla regla para co r cer el sentido de la fuerza electromotriz inducida en el conductor . 206
Esta es la regla llamada de "los tres dedos de la mano derecha", que se enuncia así : "Disponiendo los dedos pulgar, índice y medio de la mano derecha de manera que formen ángulos rectos entre sí (fig . 187), y haciendo dirigir el dedo índice en e l sentido del flujo del campo magnético y el dedo pulgar en el sentido del movimiento relativo del conducto r respecto al sistema polar, la dirección indicada por e l dedo medio señala el sentido de la fuerza electromotriz inducida en el seno del conductor" . 301 . Valor de la f . e. m . inducida
Según hemos visto en las experiencias del párrafo Fig . 187. Regla de los tre s 299, en un conductor se genera f . e . m . inducida siemdedos de la mano derech a pre que corte líneas de fuerza del campo magnético . Dado que el fenómeno de la inducción es consecuencia del corte de líneas de fuerz a por el conductor, es natural suponer que el valor de la f . e . m . inducida dependa de la velocidad de corte de las líneas de fuerza . Esto puede ser comprobado experimentalmente observando que la intensidad de la corriente medida por el miliamperímetro depende de las siguientes circunstancias : 1 .a De la velocidad mecánica con que se mueve el conductor respecto al sis tema polar N—S . Esto queda explicado observando que cuanto mayor es esa velocidad, más líneas de fuerza cortará el conductor en la unidad de tiempo . 2 .d De la longitud del conductor, ya que cuanto más largo sea, mayor será e l espacio que atravesará en su movimiento, es decir, que tanto mayor será el númer o de líneas de fuerza cortadas . 3 .d De la inducción existente en el campo magnético atravesado por el conductor, ya que cuanto mayor sea el número de líneas de fuerza por centímetro cuadrado, tanto mayor será el número que corta el conductor al desplazarse . Así, pues , el valor de la f. e . m . inducida en el conductor es directamente proporcional a la velocidad v en centímetros por segundo con que se mueve el conductor perpendicular mente a las líneas de fuerza, a la longitud 1 del conductor, en centímetros, y a la inducción /3 en gausios, existente en el campo magnético . En consecuencia, podemo s establecer la fórmula siguiente : (139) e =
100 .000 .000
voltio s
que dice : "El valor de la fuerza electromotriz en voltios, inducida en el seno de u n conductor que se mueve perpendicularmente a la dirección de las líneas de fuerza de un campo magnético, es igual al producto del valor de la induccion, en gausios , existente en el campo por la longitud del conductor, en centímetros, y por la velo -
207
cidad con que se desplaza dicho conductor, en centímetros por segundo, y dividid o ese producto por. cien millones" . (La cantidad 100 .000 .000 que aparece en el denominador de la fórmula anterior, tiene por objeto obtener el resultado en voltios) . Ejemplo 87 . ¿Cuál sera el valor de la f. e . m . inducida en un conductor de 200 mm d e longitud, que se mueve con una velocidad de 25 m/s perpendicularmente a las líneas de fuerz a de un campo magnético, cuya indución es de 6 .000 G ? Poniendo la longitud en centímetros 1 = 20 y la velocidad en centímetros por segund o v=2 .500, y aplicando la fórmula (139), se obtiene para valor de la f . e. ni . inducida : e
302.
P • 1
•
v
100 .000 .000
6.000
X 20 X 2 .500 100 .000 .000
=3 V
Observación importante
La f. e . m . inducida en un conductor que corta las líneas de fuerza de un campo magnético, es independiente de la substancia que constituye el conductor . Est o puede ser comprobado experimentalmente moviendo en un mismo campo magnético y con igual velocidad, conductores de idéntica longitud pero de distintas substan cias, por ejemplo de plata, cobre, aluminio, hierro, etc ., con el resultado de que e n todos los casos son exactamente iguales en valor y sentido las f . e . ms . inducidas .
303.
F . e . m . generada en una espir a
En las máquinas eléctricas no existen conductores únicos actuando independientemente, sino que todos los conductores se encuentran formando parte de bobinas, cada una de las cuales dispone de una o más espiras . Es preciso observar que en una espira sólo se genera f . e . m . en cada uno de los dos la dos conductores que cortan líneas de fuerza , mientras que en los que se mueven . paralela mente a ellas no se produce efecto úil, teniendo como misión servir de enlace entre los conductores activos . Para que se sumen las e. ms. inducida s en los conductores activos de una espira, e s preciso que en todo instante éstos se encuentren bajo polos de sentido contrario. Para de mostrar esta ley examinemos los resultados qu e Fig . 188. Espira con sus dos lado s activos bajo el mismo polo se obtienen en los casos siguientes : 1 .° En la figura 188 se ve una espira cuyos dos conductores activos se encuentran simultáneamente bajo el mismo polo .
f
208
En tales condiciones, al desplazarse la espira en la dirección señalada por la flecha v , se inducirá f. e . m . solamente en los lados activos PQ y CD, que cortan líneas d e fuerza en sus movimientos, mientras que no ocurrirá lo mismo en las cabezas QC y DP, ya que por desplazarse paralelamente a la dirección de las líneas de fuerza n o cortan a éstas . Fácilmente podemos comprobar que en los conductores PQ y CD se induce n f. e . ms . exactamente iguales en valor absoluto, ya que ambos conductores, d e igual longitud, se mue ven con idéntica velocidad en el mismo campo magnético . Por otra parte , aplicando la "Regla de los tres dedos de la mano derecha", comprobamos que las f. e . ms . indicadas en lo s dos conductores tienen el mismo sentido Fig . 189 . Espira con sus dos lados activos bajo polo s absoluto que va de l a del mismo nombre cara anterior a la posterior del polo, es decir, de P a Q en el conductor de la izquierda y de D a C en el d e la derecha . Ahora bien, en el conjunto de la espira esas dos f. e . ms . tienen sentid o opuesto, por lo que resulta nula la suma de ambas, de forma igual a lo que ocurrirí a con dos pilas iguales conectadas en oposición . 2 . 0 Exactamente e l mismo resultado se obtien e si la espira tiene sus lado s activos situados bajo polo s distintos pero ambos de l mismo nombre (fig . 189) . En efecto, igual que en e l caso anterior, se inducirá n en los dos conductores de l a espira f . e . ms . iguales en valor absoluto, pero opuesto s en sentido relativo dentro de la espira, lo que da com o . 190. Espira con sus dos lados activos baj Fig o polos de nombre contrari o resultado una f . e . m . de valor nulo . 3 . 0 Un resultado totalmente contrario se consigue cuando la espira está colo cada de forma tal que sus dos conductores activos se mueven simultáneamente baj o 209
polos de nombre contrario . Tal sucede con la espira de la figura 190, en la cual se ve que el lado PQ se mueve bajo un polo N, mientras que el lado CD lo hace bajo el polo S inmediato al primero . Al desplazarse la espira en el sentido señalado por la flecha v se inducirá en su s dos conductores activos f . e . ms . iguales, por ser asimismo iguales sus longitudes y estar sometidos a campos magnéticos de la misma inducción . En este caso, las dos f . e . ms. inducidas tienen sentidos absolutos contrarios , ya que, según la "Regla de los tres dedos de la mano derecha "; la f. e . m . inducida en el conductor PQ tiene el sentido de adelante a atrás, es decir, de P a Q, mientra s que la f. e . m . generada en el conductor CD tiene un sentido de atrás a adelante, es decir, de C a D . Ahora bien, dentro de la espira las dos f. e . ms . tienen el mismo sentido relativo, por lo que en estas condiciones los dos conductores activos de la espira PQ y C D ejercen el mismo papel que dos generadores acoplados en serie cuyas f . e . ms . sea n iguales . Por consiguiente, la fuerza electromotriz resultante en el conjunto de la es pira tendrá un valor doble que la inducida en cada uno de los conductores activos .
(140)
el =
2e
voltio s
Ejemplo 88 . ¿Cuánto valdrá la f. e. m . generada en una espira cuyos lados activos tienen una longitud de 15 cm y se mueven con una velocidad de 20 m/s, bajo polos de nombr e contrario, siendo la inducción de 7 .000 G ? De acuerdo con la fórmula (139), la f . e. m . inducida en cada conductor val e e
_
B • l • v
100.000 .000
_ 7 .000 X 15X 2.000 100.000 .000
= 2,1 V
Por consiguiente, la f. e . m . resultante que se genera en la espira será de acuerdo con la fórmula (140) e, = 2e = 2X2,1=4,2 V
304 . Bobinas En la práctica, los circuitos eléctricos de las máquinas y aparatos eléctricos disponen de un elevado número de conductores reunidos en bobinas. Recibe el nombr e de bobina cada uno de los conjuntos compactos de espiras que, unidos entre sí , constituyen los bobinados de las máquinas Ÿ aparatos eléctricos . Desde el punto de vista de la función que ejercen en las máquinas, se distinguen dos clases de bobinas : 1 . a Bobinas cuya función es la de excitar los electroimanes, estando dispuestas de forma tal que rodean sus núcleos . 2 . a Bobinas que, colocadas en las ranuras de las armaduras de las máquinas , son el lugar donde se producen las f. e . ms . que las caracterizan .
210
El número total de espiras que componen una bobina es arrollado de una sol a vez sobre un modelo apropiado y después el conjunto es aislado de forma tal qu e puede ser colocado o retirado solidaria mente, bien de las dos ranuras que ocup a o del núcleo que rodea . Las bobinas de inducido, o sea , aquellas que ocupan dos ranuras de arma dura, se componen de los lados activos y las cabezas (fig . 191) . Lado activo. Es la parte de la bobina situada en el interior de la ranura . Cabeza de bobina es la parte exterior qu e va en el aire . Fig . 191 . Bobina de armadura Solamente los lados activos corta n líneas de fuerza, es decir, que solamente en ellos se genera f . e . m ., mientras que no ocurre tal cosa en las cabezas . La función de éstas se reduce a servir de conexió n entre los lados activos, a fin de conseguir que se sumen las f . e . ms. en ellos genera das .
305. F . e . m .
generador
en
una
bobin a
En las máquinas eléctricas rotativas se consigue generar f . e . m . en los conduc tores activos mediante un movimiento giratorio de éstos, durante el cual cortan la s líneas de fuerza creadas por uno o más pares de polos . Prácticamente, el resultado e s idéntico al que se obtendría si se desplazaran los conductores que forman las bobinas con movimiento rectilíneo, bajo un sistema polar N—S, ya que lo que realment e importa es que dichos conductores corten líneas de fuerza en su movimiento . Según hemos dicho en el párrafo anterior, las bobinas están formadas por u n determinado número de espiras . Para que se sumen todas las f. e . ms . generadas en los distintos conductores e s preciso que cada una de las espiras cumpla la condición exigida en el párrafo 303 . Así, pues, podemos enunciar la regla siguiente : Los dos lados activos de una bobina deben estar situados, simultáneamente, bajo polos de nombre contrario . En cuanto al valor de la f . e . m . resultante, generada en la bobina, será igual a la suma de las f. e . ms . parciales inducidas en la totalidad de las espiras que la constituyen . Así, pues, su valor será igual al de la f. e . m . inducida en una sola espira , multiplicado por el número de espiras que constituyen la bobina . Llamando NB al número de espiras de una bobina y e l a la f . e . m . inducid a en cada espira, el valor de la f . e . m . total generada en la bobina resultará ser igual a
(141)
En
=
NB e1 211
Recordando que la f . e . m . generada en una espira es igual al doble de la gene rada en cada uno de los conductores, resulta que el valor de la f . e . m . total genera da en la bobina será .
En =
(142)
2
NB
B
v
100 .000 .000
riación media del flujo en ese tiempo valdrá : (1) 1 —~ $ t
en voltio s
y la f . e . m . generada en la bobina puede ser expresada de esta forma :
Ejemplo 89 .
¿Cuánto valdrá la f . e . m . generada en una bobina constituida por 50 espiras, cuyos lados activos tienen una longitud de 100 mm, cuando se mueve con una velocida d de 18 m/s en campos magnéticos de nombre contrario y cuya inducción es de 6 .000 G ? De acuerdo con la fórmula (142), la f. e . m . generada en la bobina será EB=2NB
Blv 100 .000 .000
_ 2 X 50 X 6.000 X 10 X 1 .800 100.000.00 0
-108 V
306 . Otra expresión de la f . e. m . de una bobin a
Sea la bobina PQCD de la figura 192, que se mueve en el seno de un camp o magnético con una velocidad uniforme de valor v en cm/sg . En la posición indicad a en la figura, en el lado CD situado fuera del polo n o se genera f. e . m . alguna . Por su parte, en el lado PQ se inducirá f. e . m . mientras se desplace frente al po lo N . Supongamos que tarda el tiempo t en recorrer el ancho a del polo . Según las leyes del movimiento, la velocida d de desplazamiento de la bobina ser á Fig . 192. F . e . m. generada a en una bobina v _ t Aplicando la fórmula (142) de la f . e . m . generada en una bobina y teniend o en cuenta que sólo hay un lado activo, y sustituyendo el valor de la velocidad v po r el anterior tenemos a 100 .000 .000 t Ahora bien, el producto 1 .a representa la superficie del polo atravesado por la s líneas de fuerza . Pero además, el producto . 1 . a es el valor total del flujo existent e en el campo magnético (D =(i•1• a Por consiguiente, podemos poner como valor de la f . e . m . generada en la bobina la expresión siguiente : (143)
EB =
NB voltio s 100.000.000 t
Esta expresión de la f. e . m . es muy interesante, ya que en muchas ocasione s es conocida la variación del flujo en la bobina . Supongamos que durante un tiemp o t, en segundos, el flujo varía desde un valor inicial d>1 hasta un valor final P2,L a va-
(144)
EB = NB
(D 1 — (D Y
100 .000 .000
•
t
fórmula que dice : "La fuerza electromotriz en voltios, generada en una bobina, e s igual a la variación del flujo dividida por el tiempo en el cual ocurre dicha variación , multiplicada por el número de espiras de la bobina y dividido el resultado así obtenido por cien millones" . Ejemplo 90 . Una bobina de 40 espiras es atravesada por un flujo de 1,80 megamaxvelios . Una décima de segundo más tarde es atravesado por un flujo de 0,6 megamaxvclios . S e desea conocer el valor de la fuerza electromotriz inducida en la bobina durante ese tiempo . Aplicando la fórmula (144) se tiene como valor de la f . e . m . NB ((D,— EB =
(DY)
100.000 .000 t
307.
40
(1 .800 .000 — 600 .000)= 4,8 V 100 .000 .000 X 1/1 0
F . e . m . estática de una bobin a
Además de la f. e . m . dinámica, originada por el movimiento de la bobina e n el seno de un campo magnético, existe otra posibilidad de inducir una f . e . m . en di cha bobina suponiéndola parada, f . e . m . que llamábamos estática . Sea una bobina situada en un campo magnético, de forma tal que sea atravesada por las líneas de fuerza (fig . 193) . Si la bobina está en reposo y el valor de la inducción del campo no varía, no se inducirá f. e . m . alguna en la bobina . Pero si, continuando fija la bobina , aumenta o disminuye el valor de la inducción del campo , varía proporcionalmente el flujo que atraviesa là bobina , generándose en ella una f . e . m . inducida . El valor de esta fuerza electromotriz estática vien e Fig. 193 . Bobina colocada dado por la fórmula (144), ya que ésta permite el cálcu - en un campo magnétic o variable . Io de la f. e . m . a partir de la variación del flujo que atraviesa la bobina . 308. Sentido de la f . e . m . estática .
Dado que la f. e . m . estática se produce en una bobina que se encuentra en re poso, no es posible determinar su sentido haciendo uso de la "regla de los tres dedo s de la mano derecha" ya que en ésta, uno de los elementos que previamente debe ser conocido, es el sentido del movimiento . Por ello, es necesario recurrir al uso de 213
la Ley de Lenz, que se enuncia así : "El sentido de la fuerza electromotriz inducida en una bobina en reposo es tal , que su efecto se debe oponer a la causa que ha originado dicha fuerza electromotriz" . Esta ley es consecuencia del principio de la causa y el efecto explicado en e l párrafo 8 . Para que su aplicación práctica sea adecuada, observamos los resultados ob tenidos cuando se acerca o aleja un imán N—S a una bobina B, de forma que aument e o disminuya el valor del fluj o que atraviesa la bobina . Al aproximar el imán a la bobina, com o se indica en la figura 194, apare ce en ésta una f. e . m . estática , cuyo sentido deberá ser tal qu e su efecto se oponga a la causa qu e la ha producido . Ahora bien, l a Fig . 194 Determinación del sentid o de una f. e. m . estática causa originaria de la f . e . m . n o es otra que la aproximación de l imán, por lo que, en consecuencia, la corriente que recorre las espiras de la bobin a deberá ser de sentido tal que su campo magnético tienda a repeler al imán . Para ello , es preciso que en la cara C de la bobina aparezca un polo N . De acuerdo con la regl a del sacacorchos, expuesta en el párrafo 240, para que esto ocurra, la corriente ha d e circular en las espiras de la bobina en el sentido indicado en la figura . Por el contrario, si alejamos el imán de la bobina, desplazándolo en el sentid o inverso al indicado por la flecha v, también aparecerá una f . e . m . estática . Su senti do debe ser tal que la corriente que recorra las espiras cree un campo magnético cuya acción se oponga al alejamiento del imán, es decir, que tienda a atraerlo . Par a ello, es preciso que en la cara C aparezca un polo S, lo que exige que la corriente gire en las espiras en sentido contrario al indicado en la figura .
AUTO—INDUCCIO N 309 . F . e . m. de auto—inducció n
rriente, también varía en proporción directa el valor del flujo existente en la bobina . En consecuencia, la bobina quedará sometida a los efectos de un flujo variable, po r lo que se inducirá en ella misma una fuerza electromotriz . Debido a que la caus a inicial de esta f. e . m . inducida en la bobina es la variación de la intensidad de corriente en ella misma, se le da el nombre de fuerza electromotriz de auto—inducción . Esta f. e . m . de auto--inducción también aparece en un conductor recorrid o por una corriente de intensidad variable, pero sus efectos son despreciables . Mucho mayor importancia tiene la auto—inducción de una bobina, sobre todo cuando est á constituída por un elevado número de espiras, lo cual s e puede comprobar en la figura 195, en la que se ve una bobina recorrida por una corriente eléctrica que crea un camp o magnético . Claramente se comprueba cómo la variación de l flujo magnético en cada espira, debido a la variación de l a intensidad de la corriente en la propia espira, queda reforza Auto-inducción da por la acción de las espiras vecinas . Por consiguiente, la f. Fig . 195.en unabobi na e. m . de auto—inducción en cada espira será mucho mayo r que si solamente estuviera sometida a la variación de flujo en la propia espira . 310.
Sentido de la f . e . m . de auto—inducció n
De acuerdo con la Ley de Lenz, el sentido de la f. e . m . de auto—inducción e n una bobina debe ser tal que su efecto se oponga a la variación de la intensidad de co rriente que la recorre . Por consiguiente, podemos enunciar las dos reglas siguientes : I . a En el caso de que disminuya la intensidad de corriente que recorre las es piras de la bobina, la f. e. m . de auto—inducción tiene que ser del mismo sentido que la corriente . Entonces puede decirse que la bobina actúa como si fuera un generador . 2 . a En el caso de que aumente la intensidad de corriente que recorre las espi ras de la bobina, la f . e . m . de auto—inducción tiene que ser de sentido contrario al de la corriente ya existente . Entonces se puede decir que la bobina actúa como si fuera un receptor, ya que cre a una fuerza contraelectromotriz . I'
Según vimos en el párrafo 241, cuando una bobina de N espiras es recorrid a por una corriente eléctrica de I amperios de intensidad, en su interior existe un flujo de líneas de fuerza que alcanza un valo r
1,25 N I S 1 Cuando la intensidad de la corriente que recorre la bobina es de valor constan te, el valor del flujo no varía . En cambio, si varía el valor de la intensidad de la co214
B
311 . Apertura y cierre de un circuit o
Apertura de un circuito
Al abrir y cerrar un circuito, por ejemplo el de la figura 196, varía la intensidad de corriente que lo recorre, desde su valor nominal a cero o inversamente, por lo que se generarán f . e . ms . de auto--inducción . 1 . 0 Cierre del circuito . Al ser cerrado un circuito, la intensidad de corrient e aumenta desde cero hasta su valor nominal . Por consiguiente, en el circuito se producirá una fuerza electromotriz de auto—inducción, cuyo sentido será tal que s e Fig . 196.
215
oponga al establecimiento de la corriente . Por eso recibe el nombre de contracorriente y su resultado es que la intensidad de corriente en el circuito no alcanza s u valor nominal hasta que han transcurrido algunos instantes . 2 . 0 Apertura del circuito. De forma inversa, cuando es abierto un circuito, l a intensidad de la corriente que lo recorre no se anulará instantáneamente, sino qu e transcurrirá determinado tiempo hasta que ello suceda . La f. e . m . auto—inducida en este caso será del mismo sentido que la corriente que circulaba en el circuito, tendiendo a prolongar su existencia . Por tal motivo recibe el nombre de extracorriente. Como quiera que el circuito está abierto, cuando se produce la tensión de extracorriente, ésta se manifiesta en forma de chispa entre los contactos del interruptor, la cual recibe el nombre de chispa de ruptura. 312 . Símil mecánico de la auto—inducció n
Como acabamos de ver en el párrafo anterior, la f. e . m . de auto—inducción s e opone a las variaciones de la corriente de tal forma que al cerrar el circuito determina que tenga que trascurrir cierto tiempo antes de establecerse el valor nominal de l a corriente . En cambio, cuando se abre el circuito, hace que la corriente se mantenga aún cierto tiempo más antes de anularse . Los efectos anteriores permiten afirmar que la fuerza electromotriz de auto — inducción retrasa la corriente respecto a la tensión principal del circuito . No es fácil establecer un símil hidráulico de la auto—inducción . En cambio , existe un símil mecánico comparándolo con un volante . Al ponerlo en marcha es preciso consumir un trabajo inicial para vencer la inercia del volante . En cambio, al cesar la fuerza de rotación aplicada al eje, éste sigue girando durante cierto tiemp o debido a la energía mecánica acumulada en el volante . 313 .
Valor de la f . e . m . de auto—inducción de una bobina
La f. e . m . de auto inducción es un caso particular de la inducción en una bobina a causa de la variación del flujo que la atraviesa, por lo que su valor podrá se r determinado por la fórmul a
(145)
ex
= Ne( 0 1 — 10 8 t
0:)
Vemos que, por una parte, la f. e . m . de auto—inducción es directamente proporcional al número de espiras de la bobina NB . Pero, además, fijémonos que el valor del flujo creado por una bobina, de acuer do con la fórmula (120), es directamente proporcional al número de espiras que l a constituye . luego resulta que la f . e . m . de auto—inducción vuelve a ser proporciona l al número de espiras de la bobina, resultando que, en definitiva, su valor es proporcional al cuadrado del número de espiras NB . 216
Además, el valor de la f . e . m ; de auto—inducción es inversamente proporcional al tiempo trascurrido en la variación de la corriente . 314.
Coeficiente de auto—inducción de la bobina
Recibe el nombre de coeficiente de auto- -inducción de una bobina el cociente que resulta de dividir el valor del flujo 1 que atraviesa la bobina y el de la intensi dad de corriente 1 que crea ese flujo, al circular por la espira, es decir, que tendremos (146) L =
10 I La unidad de coeficiente de auto --inducción es el henrio (H). Un submúltipl o de la misma es el milihenrio (mH), que vale una milésima de henrio . Si en vez de una espira, la bobina tiene NB espiras, el coeficiente de auto—inducción será NB veces mayor que el obtenido con la espira única, luego valdrá .
(le
L= NB
(146a)
lo e I Recordemos que el valor del flujo producido por una bobina es igual a _1,25N1
S
1
Por consiguiente, el coeficiente de auto—inducción de una bobina valdr á =
(147)
1,25 NB2
µ-
10e 1
Ejemplo 91 . ¿Cuánto vale el coeticiente de auto-inducción de una bobina sin núcle o de hierro W = 1), constituida por 200 espiras, siendo su longitud de 100 mm y la sección ofrecida al paso del flujo de 300 cm Z ? Según la fórmula (147) se tien e 1,25NB'ItS _ 108 1
1,25X2001X300 =0 015 H
10 8 X 1 0
'
315 . Energía almacenada en una bobina
Cuando en una bobina se establece una corriente, se almacena en ella una can tidad determinada de energía . Esta queda en reserva para ser cedida al efectuarse l a apertura del circuito en la extracorriente de ruptura . Esta energía recibe el nombre de electromagnética. Su valor es igual a
(148)
A
=
L12
en julio s
fórmula que dice : "La energía electromagnética almacenada en una bobina, en julios, es igual a la mitad del producto del coeficiente de auto—inducción de la misma , 217
en henrios, por el cuadrado de la intensidad que recorre sus espiras, en amperios" . Ejemplo 92 . ,Cuánto vale la energía electromagnética almacenada en la bobina del ejemplo 91 cuando es recorrida por una corriente de 20 A de intensidad ? Aplicando la fórmula (148) se tiene A—
LJ' 2
0,015
X
20'
2
(D
=3 J
INDUCCION MUTU A 316.
Coeficiente de inducción mutua .
Consideremos dos bobinas próximas A y B, recorridas por corrientes de inten sidades il e i2 (fig . 197). En estas condiciones la bobina B es atravesada por un flu jo debido a la bobina A y recíprocamente . En consecuencia, cualquier variación de la corriente qu e recorre la bobina A, determina una f . e . m . de inducción en la bobina B, y a la inversa . Entonces s e dice que hay inducción mutua entre las dos bobiFig . 197.
Inducción mutua.
nas .
Recibe el nombre de coeficiente de inducción mutua la relación que existe entre la parte del flujo que, creado por una de las bobinas, atraviesa la otra y la intensidad de la corriente que al circular por aquélla engen dró el flujo indicado . Así pues, siendo il la intensidad de la corriente en la bobina A y 0A ' la part e del flujo, que creado por ella atraviesa la bobina B, el coeficiente de inducción mu tua vale
M=
En el caso de que el flujo de inducción mutua aumente el flujo propio de un a bobina, se dice que el coeficiente de inducción mutua es positivo y entonces se verifica
4)A ' i1
Igualmente siendo i2 la intensidad de la corriente en la bobina B y OB' la par te del flujo que, creado por ella, atraviesa la bobina A, el coeficiente de inducció n
En caso contrario, es decir cuando el flujo de inducción mutua se oponé a l flujo propio de la bobina, se dice que el coeficiente de inducción mutua es negativo , verificándose entonces (D = £ i2 — Mit 318.
Relación entre los coeficientes de inducció n mutua y auto—inducción de las bobina s
Consideremos dos bobinas A y B, formadas por NB 1 y NB 2 espiras, colocada s en el núcleo común F (fig . 198) y sean i 1 e i2 las intensidades de las corrientes qu e circulan por sus espiras respectivas . El coeficiente de auto -inducción mutua de ambas bobinas . puede ser expresado de las dos formas siguientes : M = NB, A, (DB, (D A ' M _ NB,
i1
i$
OB '
317. Auto—inducción e inducción mutua combinadas .
El flujo de inducción mutua que, originado por la bobina A, atraviesa la bobina B, próxima a la primera, puede ser de igual sentido que el flujo originado por l a
218
Acoplamiento electro-
i.
A
L1=NB,
£, NB2
t
por lo que podemos transformar la expresión (I) en la siguiente :
!2
Se demuestra matemáticamente que son iguales los dos valores así obtenido s para el coeficiente de inducción mutua . Estando expresado el coeficiente de inducción mutua por la relación entre u n flujo y una intensidad de corriente, de la misma manera que el coeficiente de auto- inducción, es natural que las unidades sean las mismas . Así pues, el henrio es también la unidad de coeficiente de inducción mutua .
propia bobina B o de sentido contrario .
Fig . 198 .
magnético de dos bobinas. Multiplicando esta s dos igualdades se tien e OB' OA' M' = NB1 NB, (1 ) 1 1 . i2 Suponiendo inicialmente que no existe dispersión del flujo, sabemos que lo s coeficientes de auto—inducción de las bobinas valen precisament e
mutua valdrá también
M=
=£i2 +Mi1
M' = £ 1 £g de donde se obtiene finalmente como coeficiente de inducción mutu a (149)
M = 3 L, L,
fórmula que dice : "El coeficiente de inducción mutua de dos bobinas es igual a l a raíz cuadrada del producto de los valores de sus coeficientes de auto—inducción " . Ejemplo 93 . Dos bobinas cuyos coeficientes de auto-inducción son respectivament e £1 = 0,04 H y £2 = 0,09 H se hallan dispuestas sobre un núcleo común de forma tal que n o existe flujo de dispersión . Se pregunta cuánto vale el coeficiente de inducción mutua .
M = 3L,
•
L, =
30,04
X
0,09 = 0,06 H
219
319 . Factor de acoplamiento La fórmula (149) del coeficiente de inducción mutua se obtuvo en la hipótesi s de que todo el flujo producido por una de las bobinas, y que pasa a través de ella , pase también a través de la otra . Sin embargo, esto sucede raramente, ya que siempre existe una dispersión del flujo . En consecuencia, el valor real del coeficiente d e inducción mutua es más pequeño que el deducido por la fórmula (149) y val e
M = Ka 3 L, L, (150) El coeficiente Ka recibe el nombre de factor de acoplamiento de las dos bobinas . Su valor es siempre menor que la unidad, dependiendo de la posición relativa d e las dos bobinas . En el supuesto de que no exista dispersión, el factor de acoplamiento serí a Ka 1 y las bobinas tendrían un acoplamiento rígido, mientras que si el factor d e acoplamiento es pequeño, se dice que existe un acoplamiento flexible . Ejemplo 94 . ¿Cuánto vale el factor de acoplamiento de dos bobinas iguales cuyo coeficiente de auto-inducción vale 0,05 H si el coeficiente de inducción mutua vale 0,04 H? Despejando el valor del factor de acoplamiento en la fórmula se tien e Ka =
M 3 L, L,
=
0,04
= 0, 8
30,059
CORRIENTES PARASITAS O DE FOUCAULT 320.
Generalidades
Como ya se hizo observar en el párrafo 302, la f. e . m . inducida se produce e n cualquier material conductor siempre que éste se encuentre sometido a una variación del flujo de líneas de fuerza . Dado que los materiales magnéticos son bueno s conductores eléctricos, también se generarán fuerzas electromotrices en los núcleos magnéticos de las máquinas que se encuentran sometidas a flujos variables . La f . e . m . inducida en el núcleo magnético origina corrientes de circulació n en el mismo, las cuales, por dar lugar a efectos perjudiciales, reciben el nombre d e corrientes parásitas o de Foucault. 321.
Pérdidas de potencia
Las corrientes parásitas dan lugar a pérdidas de potencia en los núcleos magnéticos de las máquinas, reduciendo su rendimiento y aumentando el calor producido . Esas pérdidas de potencia son debidas al efecto Joule (pág . 49), desarrollado e n el núcleo magnético, que tiene cierta resistencia eléctrica, al ser recorrido por las co rrientes parásitas . Mediante cálculo matemático se puede llegar a la conclusión de que las pérdidas de potencia por corrientes parásitas en un núcleo magnético alcanza un valo r dado por la fórmula (151) 220
PF
= KF V1e0' f;rs vatios
fórmula en la cual V representa el volumen del núcleo en centímetros cúbicos, e e s el espesor en centímetros de la chapa empleada para constuir el núcleo, ¡3 es el valor de la inducción en gausios, f la frecuencia de la variación del flujo, en período s por segundo . Por su parte, KF representa un coeficiente que depende de la calidad del material magnético empleado en la construcción del núcleo . Para los más corrientes , KF vale aproximadamente 0,000165 . 322.
Reducción de las pérdidas por corrientes de Foucault
Los inconvenientes derivados de las pérdidas por corrientes de Foucault, e s decir, el aumento de calor de la máquina y la reducción del rendimiento, hacen ver la necesidad que existe de reducir, en el mayor grado posible, el valor de estas pérdi das . Para conseguir esta reducción es preciso que los núcleos magnéticos sometido s a flujos variables no sean macizos, sino que estén construidos apilando chapas delga das aisladas entre sí. De esta manera, las corrientes parásitas encuentran interrumpido su camino por el aislamiento entre chapas, por lo que se ven obligadas a cerrar se en espacios muy reducidos, en los cuales es pequeño el valor de la f. e . m . induci da y, en consecuencia, la corriente y las pérdidas consiguientes. El espesor de las chapas corrientemente empleadas en la construcción de lo s núcleos magnéticos de las máquinas eléctricas es de 0,5 mm . en las rotativas (dínamos, alternadores y motores) y de 0,35 mm . en las estáticas (transformadores) . El aislamiento de las chapas consiste a veces en el simple óxido que las cubre . En cambio, cuando se trata de máquinas en las cuales se quiere asegurar un alto ren dimiento, el aislante de las chapas consiste bien e n una capa de papel muy fino o en barniz . Antes se prefería el aislamiento con papel, a causa de qu e los barnices conocidos presentaban fuerte tendencia a pulverizarse, con lo que desaparecía poco a poco el aislamiento . En cambio, actualmente s e preparan barnices de alta calidad que resisten si n alterarse largo tiempo, por lo que ha quedado eliminado el uso de aislamiento de papel en las cha Fig. 199. Apilado de lac chapa s pas magnéticas . de un hucleo magnétic o Al apilar las chapas para formar el núcle o magnético, debe tenerse sumo cuidado de que queden sus planos paralelos a la direc ción del flujo magnético que atraviesa el núcleo . En las máquinas rotativas est o exige que las chapas queden perpendiculares al eje de giro, como muestra la figur a 199 .
221
CAPITULO XXIII FUERZAS ELECTROMAGNETICAS Y ELECTRODINAMICA S 323. Generalidades En el capítulo anterior se ha examinado la producción de fuerza electromotriz en un conductor que se desplaza en el seno de un campo magnético . De esta manera se transforma la energía mecánica, suministrada al conductor en su movimiento, en energía eléctrica . Análogamente se puede transformar la energía eléctrica en energía mecánic a mediante un campo magnético, en cuyo seno se encuentra un cuerpo conductor re corrido por una corriente eléctrica . Entonces, sobre el conductor se ejerce una fuerza de traslación y, en el caso de que dicho conductor no esté sujeto, se pone en movimiento . Esta fuerza recibe distinto nombre, según cual sea la causa productora de l campo magnético en el que está situado el conductor . Si el campo es debido a un imán permanente, la fuerza obtenida se llama fuerza electromagnética, mientras que si el campo es producido por un electroimán o simplemente una bobina excitad a por corriente eléctrica, la fuerza resultante sobre el conductor recibe el nombre d e fuerza electrodinámica. 324. Fuerza ejercida sobre un conducto r Cuando un conductor situado en un campo magnético es recorrido por un a corriente eléctrica, se desarrolla sobre él una fuerza que tiende a desplazarlo en u n determinado sentido . Si se invierte el sentido de la corriente en el conductor, seguirá sometido a l a fuerza resultante, pero el sentido de ésta será opuesto al que tenía anteriormente . La explicación de este fenómeno es la siguiente : Sea (fig . 200) un conductor situado en el campo magnético que existe entr e los polos libres de un electroimán . Cuando el conductor no es recorrido por corriente eléctrica (fig . 200, A) el campo magnético es uniforme, es decir, que las líneas d e fuerza son paralelas . Por otra parte, de acuerdo con lo expuesto en el párrafo 235, si el conducto r es recorrido por una corriente eléctrica aparecerá un nuevo campo magnético, cuyas líneas de fuerza son circunferencias concéntricas con el propio conductor (fig . 200, B) y cuya intensidad disminuye al alejarse del mismo . En la figura 200, B) la 222
corriente en el conductor es de sentido tal que sale del plano del dibujo, por Io que el sentido de las líneas de fuerza, de acuerdo con la "Regla del sacacorchos" (párrafo 236), es contrario al de giro de las agujas del reloj . Veamos ahora lo que sucede al superponerse los dos campos magnéticos, e l debido al par de polos N—S y el originado por la corriente eléctrica que recorre e l conductor (fig . 200, C) . Entonces aparece un campo magnético resultante en el cua l no es uniforme la distribución d e s las líneas de fuerza . En efecto, observemos que en el lado izquierd o del conductor las líneas de fuerza originadas por éste son de sentid o w N opuesto a las líneas de fuerza de l . de la fueria electromagnética Fig. 200 Origen campo uniforme debido al par d e sobre un conductor. polos N—S, mientras que en su la do derecho coinciden los sentidos de las líneas de fuerza de los dos campos . Po r consiguiente, el campo magnético inicial, debido al par de polos N—S, queda debilitado en la parte izquierda del conductor y reforzado en su parte derecha . Esta distorsión de las líneas de fuerza del campo resultante determina u n alargamiento de las situadas en la parte derecha del conductor . Se admite, en teoría , que las líneas de fuerza son elásticas y que, al igual que si fueran hilos de goma , tienden a ocupar la posición de mínima energía potencial . Esta propiedad de las líneas de fuerza determina que éstas ejerzan una fuerza sobre el conductor para desplazarlo en el sentido indicado por la flecha . Sentido de la fuerza ejercida sobre el conductor. En las experiencias anteriore s se ha visto que el sentido del desplazamiento del conductor depende del sentido d e la corriente en el mismo . De acuerdo con ellas se ha deducido la llamada Regla de los tres dedos de la mano izquierda, que permite conocer el sentido de la fuerza sobre el conductor . Esa regla se enuncia así : "Disponiendo (fig . 201) los dedos pulgar, índice y medio de la mano izquierda de manera que formen entre s í ángulos rectos y haciendo dirigir el dedo índice en el senti do de las líneas de fuerza del campo magnético uniform e creado por el par de polos N- S y el dedo medio en el sentido en que es recorrido el conductor por la corriente, l a dirección del dedo pulgar indicará el sentido de la fuerz a de traslación" . Fig . 201 . Regla de lo s tres dedos de la man o Como se ve, esta regla es similar a la enunciada en e l izquierda . párrafo 300 para determinar el sentido de la fuerza electro motriz inducida en un conductor que se mueve en un campo magnético, teniend o con éste como única diferencia, la mano que se ha de usar . Por tal motivo, se distinguen diciendo que la derecha es la mano de los generadores, mientras que la izquierda es la mano de los motores. 223
325. Valor de la fuerza
Para determinar el valor de la fuerza F en kilogramos ejercida por el campo magnético sobre el conductor, supongamos que éste, en su movimiento por la acción de la fuerza, toma una velocidad v en metros por segundo . Por consiguiente , el conductor desarrollará una potencia mecánic a
(I)
P = 0,0981 F v en vatio s
(el coeficiente 0,0981 aparece con objeto de obtener el resultado en vatios). Como ya se sabe, en todo conductor que se mueve en el seno de un camp o magnético cortando líneas de fuerza, se genera una fuerza electromotriz inducida , cuyo valor viene dado por la fórmula (139 ) E
=
. • v 100 .000.000
Esta fuerza electromotriz tendrá un sentido contrario al de circulación de l a corriente en el conductor, ya que según el principio de la causa y el efecto producido debe oponerse a la causa que lo produce . Por este motivo, la fuerza electromotriz inducida en el conductor en el cas o que tratamos, recibe el nombre de fuerza contraelectromotriz . Siendo I el valor de la intensidad de la corriente que recorre el conductor, l a potencia eléctrica consumida en el mismo para mantener el movimiento valdrá :
(II)
P= El =
l
.1. v 100 .000 .000
en vatios .
Igualando el valor de la potencia mecánica dado en (I) y la eléctrica de (II) y simplificando el valor común de la velocidad v, resulta como valor de la fuerza obte nida . (152)
F=
10,2
I
I
.000 en kilogramos
100 .000 fórmula que dice : "El valor de la fuerza en kilogramos ejercida sobre un conducto r que situado en un campo magnético es recorrido por una corriente eléctrica, es igua l a 10,2 veces el producto que resulta de multiplicar el valor de la inducción en gausio, por la longitud del conductor en centímetros y por el valor de la intensidad d e la corriente en amperios que recorre el conductor, y dividido el resultado por 10 0 millones" . 224
Ejemplo 95 . ¿Cuánto vale la fuerza electrodinámica ejercida por el campo magnétic o uniforme creado por un electroimán, sobre un conductor de 20 cm de longitud, recorrido po r una corriente de 25 A de intensidad, sabiendo que la inducción es de 5 .000 G ? Aplicando la fórmula (152) resulta como valor de la fuerza electrodinámica ejercida sobr e el conductor
_
10,2[3 • 11 100.000.000
_
10,2X5 .000X20X2 5 100.000.000
= 0,255 k g
326 . Aplicación de la fuerza electrodinámica a los motore s
Como ya se definió anteriormente, un motor eléctrico es la máquina capaz d e efectuar la transformación de energía eléctrica en energía mecánica . Se explica el funcionamiento de un motor observando que en el seno de los campos magnético s creados por los polos se encuentran conductores recorridos por corriente eléctrica. Sea (fig . 202) una parte de un motor eléctrico, en la cual se ve un polo N y bajo el mismo una ranura del rotor ocupada por dos conductores recorridos po r corrientes de sentido tal que entran en el plano del dibujo . Aplicando la "Regla de los tres dedos de la mano izquierda " s e Fig. 202 . Fundamento del motor eléctrico comprueba que el campo ejerce sobr e ambos conductores una fuerza electrodinámica y que las dos fuerzas son del mism o sentido . Como quiera que los conductores se encuentran, en la práctica, sólidament e sujetos en el interior de las ranuras de l núcleo magnético del rotor, las fuerza s ejercidas sobre los distintos conductore s se transmiten al paquete creando un par motor que hace girar al rotor, produciendo la energía mecánica en su eje . Para que se sumen todas las fuerza s electrodinámicas individuales ejercidas so bre el número de conductores del rotor , es preciso que todas ellas tiendan a hace r girar al rotor en el mismo sentido . Para que ocurra tal cosa es necesario que lo s Fig. 203. Motor de corriente continua conductores situados bajo polos S sean recorridos por corrientes de sentido con trario al de las que recorren los conductores colocados bajo polos N . Así, en la figura 203, que representa un motor de corriente continua, se puede comprobar cómo 225
todas las fuerzas electrodinámicas que actúan sobre los conductores son de igual sen tido, haciendo girar al rotor en sentido contrario al de las agujas del reloj . 327.
Fuerza electrodinámica entre conductores próximo s
Recordemos que todo conductor recorrido por una corriente crea a su alrededor un campo magnético, cuyas líneas de fuerza son circunferencias concéntrica s con el conductor. Sean dos conductores próximos A y B, recorridos po r corrientes eléctricas de Il e 12 amperios de intensidad respectivamente (fig . 204) . Sobre cada uno de esos conductores se ejerce una fuerz a electrodinámica, cuya causa es la acción ejercida por el camp o magnético creado por el otro conductor . Para determinar el sentido de la fuerza resultante bast a aplicar la regla de los tres dedos de la mano izquierda . Así, e n Fig. 204. Fuerza electrodi námica entre conductores el punto C del conductor B, son conocidos los sentidos de l a próximos . corriente y de las líneas de fuerza, comprobando así que e l sentido de la fuerza electrodinámica es el señalado por la flecha F, que, como se ve , tiende a acercar los conductores . Un examen de los diversos casos que se pueden presentar nos permite enunciar las leyes siguientes : L a Dos conductores próximos, recox rridos por corrientes del mismo sentido, tien F den a juntarse . 2a Dos conductores próximos, recorridos por corrientes de sentido contrario , tienden a repelerse . 328.
Observemos que una vez estacionada la bobina, el flujo por ella creado es de l mismo sentido que el flujo del campo magnético exterior, lo que nos permite enunciar la siguiente regla : "La acción ejercida por un campo magnético sobre una bobina, recorrido po r una corriente, consiste en un par de fuerzas, que tiende a hacer girar a la bobin a hasta una posición tal que el sentido del flujo creado por la bobina sea el mismo qu e el del campo magnético" . En estas condiciones, el flujo existente en el campo magnético será el máxim o posible, lo que permite enunciar un nuevo principio que dice : "Un circuito móvil, espira o bobina, situado en un campo magnético, tiend e siempre a tomar una posición tal que el flujo resultante sea el máximo posible" .
F
Acción ejercid a sobre una bobina
a) Fig . 205.
b)
Fuerza electrodinámica sobre una bobina .
Sea (fig . 205, a) una bobina recorrid a por una corriente eléctrica, situada en un campo magnético, de tal manera que el plano de la bobina forma un ángulo a con un plano X X perpendicular a las líneas de fuerza del campo . Aplicando a los dos lados de la . bobina la regla de los tres dedos de la mano izquierda, se comprueba que sobre ellos se ejercen las fuerzas F, cuyo sentido es tal que tienden a hacer girar a la bobina . El giro se mantiene hasta que la bobina tom e una posición perpendicular a las líneas de fuerza, ya que entonces las fuerzas F actúan en la misma dirección, pero con sentido contrario, por lo que es nulo el efect o resultante . 226
227
CORRIENTES
ALTERNA S
CAPITULO XXI V CONOCIMIENTOS MATEMATICOS FUNDAMENTALE S
329. Funciones trigonométrica s Las funciones trigonométricas más importantes de un ángulo son el seno, el co seno y la tangente . Seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la relación que exist e entre su cateto opuesto y la hipotenusa . Se representa abreviadamente por sen. Así , sobre la figura 206, los senos de los ángulos a y ¡3 vale n
(153 a)
sena =
(153b)
sen
a
cosa =
h C
(154 b)
b c
cos
[3
=
á C
Tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la relación qu e
existe entre los catetos opuesto y adyacente al mismo . Se représenta por tg. Las tangentes de los ángulos a y ¡3 son• respectivament e (155 a)
tga= b
(155b)
tg[
b a
Ejemplo 96 . Los lados del triángulo rectángulo de la figura 206 miden respectivamente : cateto a, 3 m . ; cateto b, 4 m ., y la hipotenusa c, 5 m . Determinar el seno, coseno y tangent e de sus ángulos agudos a y 13 . Para el ángulo a las funciones valdrán
b = 4 = 0,8 ; a 1g a = = 3 = 0,75 = 3 = 0,6 ; Cos a = 5 e 5 b 4 Asimismo las funciones trigonométricas del ángulo ¡3 valen a 3 sen s = b = 4 = 0,8; cos [3 = = = 0,6 ; tg [3 = = 3 = 1,33 sen a =
228
a C
tarios.
(156 a) - =sena = cos
[3
Asimismo, podemos comprobar sobre las fórmulas (153 b) y (154 a) que la relación entre el cateto a yla hipotenusa c representa simultáneamente el coseno de l ángulo a y el seno del ángulo (3
(156 b)
h =cosa = sen
Estas igualdades conducen a la siguiente regla : "Dos ángulos complementarios tienen el seno y coseno de valores tales, que el seno de uno de ellos es el coseno del otro y recíprocamente" .
Coseno de un ángulo agudo de un triángulo rec tángulo es la relación que existe entre su cateto adFig. 206. Triángulo rectángul o yacente y la hipotenusa. Se representa por cos. Los cosenos de los ángulos a y ¡3 son respectivament e
(154 a)
Se sabe por Geometría que la suma de los valores de los tres ángulos de u n triángulo cualquiera vale 1800 . Dado que, en un triángulo, rectángulo uno de su s ángulos es de 90 0 , resulta que la suma de los otros dos ángulos vale también 90 0 , l o que indica que los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complemenPor otra parte, una simple observación de las fórmulas (153 a) y (154 b) per mite comprobar que la relación entre el cateto a y la hipotenusa c representa al mismo tiempo el seno del ángulo a y el coseno del ángulo ( 3
A) NOCIONES DE TRIGONOMETRI A
B
330. Angulos complementarios
331. Variación de las funciones trigonométrica s Consideremos el punto P, que, partiendo de Po, recorre la circunferencia de l a figura 207 en sentido contrario al de las agujas del reloj . En un determinado instante alcanza la posición Pl , habiendo descrito el ángulo a . Los valores de sus funciones trigonométricas son :
sen a =
Pl M 0 P1
cos
a -=-
0M O P1
Veamos la variación de las funciones trigonométricas considerando distintas posiciones del punto móvil . Cuando éste se encuentra en eI punto de origen Po el ángulo a es nulo, siendo también nulo el valor de l seno . En cambio, el coseno es igual a la unidad . A medida que el punto móvil se desplaza acercándose al punto P2, el ángulo va aumentando desde Fig. 207. Variación de las funciones trigonométricas . cero a 900 y asimismo aumenta el valor del seno, mientras que disminuye el del coseno, ya que crece el segmento P1 M y decrece el segmento O M . Cuando el móvil se encuentra en el punto P2, el ángulo descrito es de 900 y entonces el coseno queda anulado, mientras que el seno vale la unidad, ya que en 229
tonces es igual a la relación del radio dividido por el radio . Lo expuesto hace ver que los valores de las funciones trigonométricas dependen del valor del ángulo . Existen tablas en las que aparecen los valores de los senos , cosenos y tangentes de los ángulos comprendidos entre cero y 90 0 . En la tabla XII I aparecen los valores de las funciones trigonométricas de ángulos muy usados en Electrotecnia . TABLA XII I Funciones trigonométricas de ángulo s muy usados en Electrotecni a Ángulo a
sen a
0 30
0
1
' /s = 0,5 V 2 /2 = 0,707
V 3 /2 = 0,866 V 2 /2 = 0,707
V T/2 = 0,866
'~i = 0, 5 0 — ' 'p=—0,5
45
60 90 120
1
V 3 /2=0,866
B) 332.
cos a
334.
FUNCIONES SENOIDALES
Generalidade s
Examinemos ahora los principios fundamentales que rigen los fenómenos periódicos, especialmente los senoidales . Se dice de un fenómeno que es periódico cuando se reproduce idénticament e en iguales intervalos de tiempo . Cada uno de estos intervalos recibe el nombre d e período y el número de períodos contenidos en la unidad de tiempo es la frecuencia. Por consiguiente, entre los valores del período T en segundos y la frecuencia f en períodos por segundo existen las relaciones . (156) f =
(157) T =
1 f
las cuales hacen ver que la frecuencia es inversa del período . De los fenómenos periódicos, el que interesa para el estudio de las corriente s alternas es el senoidal. 333.
Movimiento senoida l
Para alcanzar una idea clara de la función senoidal, examinemos el movimiento de un punto móvil que, a velocidad uniforme, se desplaza con sentido contrario 230
al de las agujas de un reloj a lo largo de la circunferencia de radio A 0 (fig . 208) . Sea Po la posición del móvil en el instante inicial y P la posición alcanzada en un instante cualquiera cuand o ha transcurrido el tiempo t a partir del instante inicial . Siendo w la velocidad angular del móvil, es decir , el ángulo girado en la unidad de tiempo, o sea en un segundo, es evidente que en el tiempo t en segundos, el ángulo girado será : a=o> t (158) Fig . 208. Representación del movimiento senoidal . Sea el punto p la proyección del punto móvil P sobre el eje yy, perpendicular al radio O Po correspondiente al instante inicial . Fácilmente podemos comprobar cómo al mismo tiempo que el móvil P tiene un movimiento circular, la proyección p tiene un movimiento alterno a lo largo del eje yy. Asimismo, mientras que la velocidad de giro del móvil P es constante, la velocidad de traslación de la proyección p es variable, siendo en cada instante su distancia al centro (159) y=OP • sena=Aosen a comprobando que este valor presenta uña variación senoidal, dado que depende de l valor del seno del ángulo a girado por el móvil desde el instante inicial al instant e considerado . Representación gráfica
Las funciones senoidales pueden ser representadas gráficamente en un sistem a de ejes coordenados por la curva llamada senoide . Para ello se toman, sobre el eje de abscisas, los valores del ángulo girado a y en ordenadas los valores instantáneos de la función senoidal correspondiente a lo s ángulos . El trazado de la senoide es muy sencillo . Sea (fig . 209) un sistema de ejes coordenados sobre cuyo eje de abscisas se señalan, de 45 0 en 45 0 , los valores de los ángulos de un giro completo . Por los punto s de división se levantan perpendiculares a l eje de abscisas y, sobre cada una de ellas , tomamos a partir de su pie una longitu d igual al valor del seno del ángulo correspondiente . Ha de tenerse en cuenta que los valores positivos del seno (es decir, de 0 a 180 0 ) serán tomados encima del ej e de abscisas, mientras que los valores negativos (de 190 a 3600 ) serán tomado s debajo . De esta forma se obtienen un a Fig. 209. Representación gráfica de una función senoidal serie de puntos que, unidos por un traz o continuo, permiten obtener la senoide . 23 1
Se llama onda positiva de la senoide a la parte de la curva que se halla sobre e l eje de abscisas, y onda negativa a la parte de la curva que se halla bajo el citado ej e de abscisas . Cada onda está formada por dos partes simétricas respecto a la ordenad a correspondiente al punto máximo de la curva. Por otra parte, la onda negativa e s igual a. la onda positiva invertida . 335.
a
=
o) f
Valores instantáneos y máximo de la función senoida l
La función senoidal va tomando valores diferentes en los instantes sucesivos . Los valores de esa función, correspondientes a los distintos instantes, reciben el nombre de valores instantáneos. Dentro de la senoide existen ciertos valores instantáneos característicos, com o son el valor nulo y el valor máximo . El valor nulo o cero, corresponde a los ángulos de fase cuyo seno es tambié n nulo, es decir, los ángulos de 0 0 , 180 0 y 360° . El valor máximo, también llamado amplitud, es el mayor de los valores instantáneos de la función senoidal . Su valor corresponde a los ángulos de 90 0 y 2700 . El ángulo de 90° tiene como seno la unidad positiva, por lo cual en ese ángulo de fas e se obtiene el valor máximo positivo, representado gráficamente en la figura 209 po r la ordenada máxima de la onda positiva . En cambio, el ángulo de 270° tiene como seno la unidad negativa, por lo cual en ese ángulo de fase se obtiene el valor máximo negativo . 337.
Valor medio de una función senoida l
Para medir y comparar las funciones senoidales no se hace uso de los valore s instantáneos, ya que ésto s .se caracterizan por ser variables . Por eso se recurre a otro s dos valores que tienen la particularidad de no depender del tiempo transcurrido, e s decir, que son constantes. Estos son los valores medio y eficaz . 232
Ao
Am=
(160)
Fase y ángulo de fas e
Según hemos dicho, el punto P en su movimiento circular va ocupando dis tintas posiciones . Recibe el nombre de fase cada una de las posiciones que va ocupando el punto móvil en su trayectoria circular . Asimismo, recibe el nombre de ángulo de fase el ángulo determinado por el radio que pasa por el punto P, que se halla en una fase cualquiera, con el eje de parti da del movimiento . Así, en la figura 208, Po representa la fase inicial y P una fas e cualquiera, a la que corresponde a como ángulo de fase . Como ya hemos dicho anteriormente, el valor del ángulo de fase en un instan te cualquiera, dado por el tiempo t transcurrido desde el momento inicial, viene dado por la fórmula (158) 336.
Valor medio de una función senoidal es la media aritmética de todos los valores instantáneos que toma aquélla durante medio período, o sea el valor de la ordenada media de una onda de la senoide•(positiva o negativa) . Se demuestra matemáticamente que siendo Ao el valor máximo de una función senoidal, el valor medi o de la misma viene dado por la fórmula 2 que dice : "El valor medio de una función senoidal es igual al doble del valor máximo dividido por 3,14 ". 338.
Valor eficaz de una función senoida l
El valor eficaz de una función senoidal es igual a la raíz cuadrada de la medi a de los cuadrados de los valores instantáneos que toma aquélla durante un período . Este valor, también llamado efectivo, es de gran importancia en el estudio d e las funciones senoidales, ya que, haciendo uso del mismo, pueden ser estudiadas co n toda sencillez debido a que matemáticamente se obtiene el mismo resultado operan do con los valores instantáneos sucesivamente variables o con el valor constant e igual al valor eficaz . Se demuestra que entre los valores máximo Ao y eficaz A existe la relación dada por la expresió n
A
(1.61)
=
Ao
fórmula que dice : "El valor eficaz de una función senoidal es igual al valor máxim o dividido por V-fT' . Ejemplo 97 . ¿Cuánto valen los valores medio y eficaz de una función senoidal cuy o valor máximo es igual a 450 ? Según la fórmula (160), el valor medio ser á 2 X 450 = 287 3,1 4 Asimismo, según la fórmula (161), el valor eficaz de la función senoidal indicada será igua l Em =
a E
2 Eo
=
Eo=
V-i339.
=
a
450=
l~
31 8
Relación entre los valores medio y efica z
En gran número de ocasiones es interesante conocer la expresión que relacion a los valores medio y eficaz de una función senoidal . Esa relación la obtendremos despejando el valor máximo Ao en las fórmula s (160) y (161) e igualando sus valores 2
Am= ri- A 233
Despejando el valor eficaz result a (162)
A =
2
342.
z
ri- Am =
1,11
Am
fórmula que dice : "El valor eficaz de una función senoidal es igual a 1,11 veces e l valor medio" . Ejemplo 98 . ¿Cuánto valdrá el valor medio de una tensión senoidal sabiendo que s u valor eficaz es de 120 V ? Despejando en la fórmula (162) el valor medio se tien e A _ 120 V Am = 1,11 1,11 = 108
C) REPRESENTACION VECTORIAL 340.
Generalidades
Acabamos de estudiar la teoría, así como la representación de las funcione s senoidales, mediante la curva llamada senoide . A pesar de que esta representación e s sumamente clara, no es muy usada en la práctica, ya que exige un trazado engorros o y resulta complicado su uso para sumar o restar dos o más funciones . Por eso es mucho más usada la representación vectorial, que, como vamos a ver a continuación, es sencilla de construcción, así como más práctica para efectua r los cálculos necesarios en el estudio de las corrientes alternas . 341.
Funciones senoidales d e igual frecuencia e igual fas e
Dos funciones senoidales son de igual frecuencia cuando tienen el mismo número de períodos por segundo . Se dice que dos funciones senoidales están en .fase cuando constantemente toman el mismo ángulo_ de fase . Así, pues, las funciones senoidales en fase pasan en u n mismo instante por sus valores nulos o por sus valores máximos . Sin embargo, es de observar que las funciones en fase pueden tener o no igual amplitud o valor máximo . La representación senoidal de dos funciones senoidales de igual frecuencia e igual fase es la de la figura 211, a), en la cual se ven los dos senoides A y A' de diferente amplitud, pero dispuestas de forma ta l que coinciden en un mismo instante sus valores máximos o nulos . Vectorialmente quedan representadas dos funciones senoidales en fase por dos vectore s superpuestos OP y OP' (figura 211,b), cuyas longitudes coinciden respectivamente con lo s Fig. 211,.) Representación senoidal valores de las amplitudes A y A' de las dos funde funciones en fase ciones . Esas amplitudes son, en general, de valor diferente, pero en todo instante tienen igual ángulo de fase, ya que por ser de igual frecuencia giran con la misma velocidad . 343 . Suma de funciones senoidales de igual fase
Representación vectoria l Sean las dos funciones senoidales de igual frecuencia e igual fas e
Para representar vectorialmente una función senoidal, tomemos dos ejes perpendiculares OX y Oy (fig . 210) e imaginemos un segmento OP llamado vector, d e longitud igual a la amplitud o valor máximo de l a función senoidal que se desea representar . Est e vector OP gira con velocidad angular uniforme c en sentido contrario al de las agujas del reloj, par tiendo de la posición inicial que coincide con el ej e OX llamado origen de fases. Es fácil de comprobar que, en todo momenFig 210. Representació n to, el valor instantáneo de la función senoidal que vectorial de una función senoidal da determinado' por la proyección Op del vecto r OP sobre el eje Oy . En efecto, en un instante cualquiera se verific a Op=OP . sena=Ao • sena= y Dado que existe una relación constante entre los valores eficaz y máximo, e l diagrama vectorial puede ser empleado también tomando como vectores los valore s eficaces de las funciones senoidales . 234
y=Asena
y'=A'sen a
representadas en' la figura 210 por las senoides A y A', y en la figura 211 por lo s vectores OP y OP' . La suma de estas funciones será
y+ÿ =Asena+A'sena=(A +A')sen a Por consiguiente, la suma de dos funciones senoidales de igual frecuencia e igual fase es otra función senoidal de la misma frecuencia y fase que aquéllas, per o cuya amplitud es la suma aritmética de las amplitudes de las funciones que se suman . Este mismo resultado se hubiera obtenido e n cualquiera de la representaciones gráficas de las figuras 211, a) y b) . En la primera se hubiera conseguido como suma otra senoide M de valores instantáneos , exactamente la suma de los valores instantáneos correspondientes de las senoides A y A' a sumar. En la fig . 211, b) et vector 0M represe'nta la suFig. 211,b) Representació n ma de los vectores OP y OP' componentes . e vectorial de funciones en fas 23 5
344.
Diferencia de funciones senoidales de igual fase
Veamos ahora la determinación del valor de la diferencia de las dos funcione s senoidales de igual frecuencia y de la misma fas e
y=Asena
y'=Asen a
El valor de la diferencia de dichas funciones será
y— y ' =Asena—Asena=(A—A')sen a lo que indica que la diferencia que se busca es otra función senoidal de igual frecuencia y fase que las componentes y cuya amplitud es igual a la diferencia aritmé tica de las amplitudes de las funciones que se restan . En el caso de ser varias funciones senoidales de igual frecuencia y fase que s e suman y restan, la resultante será otra función senoidal cuya amplitud será igual a l a suma algebraica de las amplitudes de los componentes . 345.
Funciones senoidales de fase distinta
Se dice que dos funciones senoidales están desfasadas cuando sus expresione s son como las siguientes :
yi =A l sen a
y2=A2 sen(a±p)=A 2 sena '
Siendo çp un ángulo de valor constante . Se comprueba que, en todo instante , existe entre las fases de ambas funciones una diferencia constante de ángulo dad a por ;p. El signo ± significa que cuando es +, la función y2 va adelantada respecto a la función yl o sea, que al = a + mientras que cuando es — , va retrasada, o sea que a l = a — 99 . En efecto, supongamos que (p está precedida por el signo — . En tal caso, la función Y 2 tomará su valor máximo después que la función y l , o sea, cuando haya transcurrido el tiempo necesario para qu e hayan girado el ángulo tp . El mismo tiem / po tendrá que transcurrir para que se anule el valor de Y2 a partir del instante e n que se haya anulado el de yl . Por el contrario, si 'p va precedida del signo + , los valores de Y2, máxim o o nulo, se presentan antes que los y 1, en un tiempo igual al necesario para girar el Hg. 212 . Representación senoidal de do s ángulo (p . funciones de fase distinta En las figuras 212 y 213 aparecen las representaciones senoidal y vectorial de dos funciones desfasadas en un ángulo ip . Obsérvese que los vectores OP( y OP2, que representan a las dos funciones senoida les, forman en todo momento el ángulo ya que giran a igual velocidad, por ser am bas de la misma frecuencia . 236
346.
Suma de funciones senoidales de distinta fase
Supongamos ahora que se desea conocer la suma de dos funciones senoidale s de igual frecuencia, pero de distinta fase . Sean estas funciones las representadas e n las figuras 212 y 213 . Su valor será también una función senoidal, por ser la suma de dos funcione s senoidales, pero en este caso su amplitud no será igual a la suma de los valores má ximos de las dos funciones que se suman . Se determina fácilmente la suma haciend o uso de la representación vectorial . Sean (fig . 213 ) OP( y OP2 los vectores representativos de las funciones sumandos . La suma viene dada por la diagonal 0M del paralelogramo que se construye toman do como lados los vectores OPi y OP2 . 347.
Triángulo de vectores
Fig. 213 . Representación vectorial de dos funciones de fase distint a
Para obtener el vector resultante de la suma de dos vectores dados, no es nece sario trazar el paralelogramo completo, ya que se puede abreviar la construcción . En efecto, observemos en la figura 213 que el vector resultante 0M forma un triángul o con el vector OP2 y el lado P2M, paraleio a M OPt . Por lo tanto, para obtener la resultante de la suma de dos vectores, bastará trazar éstos , 0 uno a continuación de otro, como indica la fi A gura 214, en la cual OA representa el vecto r Fig . 214 . Triángulo de vectores . OP2 y AM el vector OP] trazado a continua ción del otro de manera que forme con el anterior el ángulo de desfase entre las fun ciones que se suman . Así pues, la resultante de la suma de dos vectores es el segmen to que une el origen del primero con el extremo final del segundo, poniendo uno a continuación del otro . 348.
Polígono de vectores
Para sumar varias funciones senoidales de fase distinta, habrá que efectua r primero la suma de dos de ellas, luego la suma de ambas con la tercèra y así sucesi vamente : Se simplifica la construcción gráfica trazan do el llamado polígono de vectores . En la figura 215 aparece la suma de tres vectores OA, AB, B M de distinta fase . Para su construcción se ha trazad o primeramente el vector OA, luego, a partir de A , O el vector AB que forma un ángulo ypl con el prime Fig. 215. Polígono de vectores . ro y finalmente, a continuación de B, el vector BM , formando un ángulo yp2 con la paralela al vecto r 237
OA . El vector OM, que une el origen del primer vector sumando y el final del último, representa la suma de todos los componentes. 349 . Descomposición vectorial
X,
Fig . 216. Descomposición vectorial .
A veces es interesante descomponer un vector cual quiera, sustituyéndolo por dos o más cuya suma sea igua l al vector dado . En la figura 216, 0M es el vector que se desea descomponer en otros dos cuyas direcciones sea n OX y OY . Para conseguirlo trazaremos por el punto M, paralelas a las direcciones OX y OY . Los segmentos OPl y OP2 son precisamente los valores de los vectores que s e buscan, ya que la resultante de ambos es la diagonal 0 M del paralelogramo, cuyos lados son los vectores así halla dos .
CAPITULO XX V CORRIENTES ALTERNAS 350.
Generalidades
En el párrafo 37 se adelantó que, además de la corriente continua, que ha sid o la estudiada hasta ahora, existía otra clase de corriente caracterizada por la variabilidad, tanto de su valor absoluto como del sentido en que recorre el conductor . Una corriente que cambia de sentido a intervalos de tiempo iguales, recibe e l nombre de corriente alterna. Por otra parte, en el caso de que los valores absoluto s de esta corriente vayan siendo, en instantes sucesivos, proporcionales a los valore s de los senos de los ángulos de 0 a 360 grados, esa corriente recibe el nombre de corriente alterna senoidal. Esta clase de corriente eléctrica es la casi únicamente empleada en la práctica . Antes de estudiar la generación de fuerzas electromotrices al ternas senoidales, examinemos el caso de un conductor que se mueve en un camp o magnético en dirección oblicua respecto a la dirección de las líneas de fuerza .
351.
Conductor que se mueve en direcció n oblicua a las líneas de fuerz a
En los párrafos 299 a 301 se estudió la generación de una f . e . m . en un conductor que se mueve dentro de un campo magnético, siempre que corte líneas d e fuerza . En el supuesto de que la dirección del movimiento del conductor fuera perpendicular a las líneas de fuerza, se dedujo en el párrafo 301 la fórmula (139), qu e daba el valor de la f. e . m . inducida, fórmula que se expresaba así : •
1
v
e= 108
Ahora bien, si el conductor no se mueve perpendicularmente a las líneas d e fuerza, sino que forma un ángulo O con la dirección de éstas, la f . e . m . inducida tendrá entonces un valor inferior al dado por la fórmula anterior . Sea un conductor A (fig . 217) que se mueve oblicuamente a la dirección de la s líneas de fuerza del campo magnético creado por el sistema polar N—S, siendo s u 238
239
dirección AB, que forma un ángulo O con el eje yy, perpendicular a la dirección de l flujo . Observemos que a pesar de que su desplazamiento se efectúa con velocidad v , en metros por segundo, no es ésta la velocidad real de corte de las líneas de fuerza . En efecto, se puede comprobar qu e dicho conductor corta igual número de líneas de fuerza que otro que se moviera en la dirección AC, perpendicular al flujo con velocidad Vc. Como quiera que lo verdadera mente importante para generar un a f. e . m . en el conductor es la cantida d de líneas de fuerza cortadas, result a Fig . 217. Conductor que se mueve en dirección que en ambos conductores se induoblicua a las Ifneas de fuerza cen fuerzas electromotrices de igua l valor absoluto . Según la fórmula (139), la f . e . m . inducida en un conductor de longitud 1, qu e se mueve en la dirección AC, perpendicular a las líneas de fuerza de un campo magnético, de inducción a, en gausios, vale
•1•vc
e=
10 8 Este valor es también el de la f . e . m . inducida en el conductor que se desplaza de A a B con velocidad v, oblicuamente a las líneas de fuerza, ya que, como decimos, corta el mismo número de éstas . Ahora bien, observemos que, en la figura 217 , ABC es un triángulo rectángulo en el cual, según la fórmula (154) de Trigonometría , se verifica Vc = V •
cos O
Sustituyendo este valor de Vc en la fórmula anterior se obtiene finalmente, como expresión del valor de la fuerza electromotriz inducida en un conductor, que s e mueve en dirección oblicua a las líneas de fuerza, la siguiente : (163)
e
=
U8v
cos
O
fórmula que dice : "La fuerza electromotriz inducida en un conductor que se muev e oblicuamente a la dirección de las líneas de fuerza, es inferior a la que se inducirí a si el conductor se moviera perpendicularmente a las mismas, siendo su valor igual a l que se obtendría en este último caso multiplicando por el coseno del ángulo qu e forman la dirección del movimiento del conductor y la perpendicular a la direcció n de las líneas de fuerza". Ejemplo 99. ¿Cuál será el valor de la f. e . m . inducida en un conductor de 20 cm d e longitud que se mueve con velocidad de 1 .500 cm/s oblicuamente a la dirección de las líneas d e fuerza de un campo magnético, cuya inducción es de 8 .000 gausios, siendo de 6 0 0 el ángulo formado por la dirección del movimiento con la perpendicular a la dirección de las líneas de' fuerza ? 240
Aplicando la fórmula (163) Xlll) resulta e
=
lv
1Og
teniendo en cuenta que el coseno de 6 0 0 vale 0,5, (Tabl a
y
8.000X20X1 .500 100 .000 .000
cos e
1 -12 V 2 '
352 . Fuerza electromotriz senoida l
Para que quede formada una idea concreta de la forma en que se genera un a fuerza electromotriz alterna senoidal, veamos la que se produce en un conducto r que recorre una trayectoria circular en el seno de un campo magnético . Sea (fig . 218) el conductor A, d e longitud 1, colocado normalmente al plano del dibujo, que gira con velocida d constante r ; en metros por segundo, en el seno del campo magnético, de inducció n p, creado por el sistema polar N--S . Dicho conductor, que parte de l a posición A, situada en la línea neutra XX , se mueve en sentido contrario al de la s agujas del reloj, ocupando las posiciones sucesivas A', A", etc . La fuerza electromotriz generada e n el conductor, cuando se encuentra en u n punto cualquiera, es igual a la que se produciría si se moviera en la dirección de l a Fig. 218 . Generación de una f. e. m . tangente, en el punto considerado, a l a senoidal trayectoria circular . Cuando el conductor se encuentra en la posición A', el radio OA ha descrito un ángulo a y la tangente e n esa posición forma un ángulo O con la perpendicular a la dirección de las líneas d e fuerza . En consecuencia, estando en esa posición, se inducirá en el conductor un a fuerza electromotriz cuyo valor viene dado por la fórmula (163 ) e
= 1 08 cos
O
Por Geometría sabemos que la tangente es perpendicular al radio que pasa po r el punto de tangencia, de donde resultan complementarios los ángulos a y O . Recordemos que, según la fórmula (156) , cosO=sen a
por lo que la expresión obtenida para la f. e . m . inducida en un conductor giratori o se transforma en la siguiente :
(164) . e
=
R
• 108 v
sen a 241
Observemos que en la expresión anterio r
• 1 • v 108 representa precisamente el valor de la -fuerza electromotriz que se induciría en e l conductor si éste se moviera perpendicularmente a las líneas de fuerza . Llamemo s Eo al valor de esta fuerza electromotriz ; en consecuencia, la fórmula (164) se convierte en
(165)
A
B
C
D
E
e=Eosen a
fórmula que indica que la fuerza electromotriz generada en un conductor giratori o en cada instante es proporcional al seno del ángulo descrito por el conductor en es e instante, es decir, que es una fuerza electromotriz senoidal . 353 . Producción práctica de una f . e . m . altern a
Para la producción práctica de fuerzas electromotrices alternas se emplean las máquinas llamadas alternadores, que transforman energía mecánica en eléctrica . Para comprender la forma en que se produce la f. e . m . alterna, consideremo s el dispositivo representado en la figura 219, en el que se encuentra dispuesta un a bobina que puede girar en el seno del campo magnético creado por un sistema polar . Los extremos de la espira están uni dos a dos anillos, sobre los que frotan escobillas que sirven para pode r conectar la espira a un circuito exterior, formado en la figura por u n galvanómetro . En cuanto la espira gira, sus dos conductores cortan líneas de fuerza, generándose en ellos f. e . ms . cuyos sentidos relativos dentro de la espira son iguales . Como ya hemos visto en e l párrafo anterior, la f . e . m . genera Fig. 219. Producción práctica de una f . e. m . alterna da en cada conductor es senoidal . Así, pues, en el conjunto de la es pira se suman dos f. e . ms . senoidales de igual frecuencia e igual fase, resultando otr a f. e . m ., también senoidal, de frecuencia y fase idéntica a las componentes . Examinando las distintas posiciones que va ocupando la espira en su giro, y re presentando gráficamente las f . e . ms . correspondientes, se obtiene una senoide como la que aparece en la figura 220 . Como se ve, el máximo de la f . e . m . generada e n la espira se obtiene cuando el plano de ésta coincide con la línea eje de los polos , mientras que se anula la f. e . m . cuando el plano de la espira coincida con la línea ' neutra . 242
Por consiguiente, la f. e . m . generada cambia dos veces de sentido por cad a vuelta completa de la espira, y con ella también cambiará el sentido de la corrient e en el circuito formado por la espira y el circuito exterior . Por eso recibe el nombr e de corr iente alterna .
't rN
.d111lIIil
►
/l::IIIOhIIrh...t lemme. r
1i iii ;'PP-
II Fig . 220.
Representación de una f. e. m . senoidal.
354 . Período, alternancia y frecuenci a
Como ya se indicó en el párrafo 332, recibe el nombre de período de un a f. e . m . o corriente alterna, el tiempo que tarda en recorrer todos los valores instantáneos de un ciclo, o sea, de una senoide . Es decir, en la espira giratoria de la figur a 220, que se mueve en el campo magnético creado por un sistema de dos polo s (bipolar), el período coincidirá con el tiempo que tarda la espira en dar una vuelt a completa . El período se expresa en segundos . Alternancia es la mitad de un período , es decir, que corresponde a media vuelta de la espira . Se distinguen la alternancia po sitiva y negativa correspondientes a las respectivas semiondas de la senoide . Frecuencia de una f . e . m . o corriente alterna, es el número de períodos con tenido en la unidad de tiempo, o sea, en un segundo . La frecuencia se indica vulgarmente en períodos por segundo y también e n ciclos por segundo, pero la verdadera unidad de frecuencia es el herzio (Hz) . En lfspaiia, la frecuencia normal es de 50 herzios, Io que quiere decir que existen 50 pen o dos o ciclos por segundo, o también 100 alternancias por segundo .
De las definiciones de período y frecuencia se deduce que entre dichos valore s existe una relación algebraica muy sencilla, dada por la fórmula (157), en la qu e siendo f la frecuencia en períodos por segundo, es indudable que el tiempo de duración de un período será T
= f
segundo s
Así, el período de la corriente normal en España (50 Hz) dura 1/50 de segundo y la alternancia, que vale la mitad del período, durará 1 / 100 de segundo . 243
Esta fórmula relaciona la frecuencia, número de polos y velocidad de una máquina de corriente alterna .
355 . Velocidad eléctric a Hasta ahora, hemos supuesto que el conductor giratorio se movía en el camp o magnético creado por un sistema bipolar N—S, de tal forma que, durante una vuelt a completa (o sea, en el giro de 36 00 geométricos), se presentaban sucesivamente lo s valores instantáneos que componen un solo ciclo completo (o sea, una senoide qu e representa 3600 eléctricos) . Así, pues, e n una máquina bipolar la velocidad eléctric a de variación de la f . e . m . alterna, inducida en el conductor giratorio, coincide con l a velocidad mecánica de giro de ese conductor . Ahora bien, la mayoría de las máquinas eléctricas están provistas de varios pare s de polos, es decir, son multipolares. En es tas máquinas no coinciden los valores de la s Fig . 221 . F. e . m . generada en un a velocidades eléctricas y mecánicas . En efecmáquina multipolar to, sea la máquina exapolar (6 polos) de l a figura 221, en la que el conductor A, qu e parte de la línea XX, gira en sentido contrario al de , las agujas del reloj . Como es fá cil comprobar, por cada par de polos se presentan en el conductor todos los valore s de f. e . m . correspondientes a un ciclo completo . En efecto, desde A hasta A' se in ducen en el conductor todos los valores instantáneos de una senoide, tanto los posi tivos (cuando se mueve frente a un polo S) como los negativos (cuando se desplaz a frente a un polo N) . Exactamente igual ocurre durante los recorridos desde A' hast a A", así como desde A" hasta A, que completan un giro completo del conductor . Resumiendo, a cada vuelta completa del conductor (o sea, en el giro de 360 0 geométricos) corresponden tantos ciclos eléctricos como pares de polos tiene la máquina . Así, pues, siendo 2p el número de polos de la máquina (o sea, siendo p el número de pares de polos), existirá entre las velocidades eléctricas y mecánica la relación
?IL
1 vuelta del conductor = p ciclos eléctricos 356 . Valor de la frecuenci a Normalmente se acostumbra a indicar la velocidad mecánica del rotor de un a máquina en revoluciones , por minuto . Por otra parte, recordemos que la frecuenci a ha sido definida como el número de ciclos por segundo . Según hemos visto en el párrafo anterior, por cada vuelta del rotor se producen p ciclos eléctricos, luego a la velocidad de n vueltas por minuto (o sea, a n : 6 0 vueltas por segundo) corresponde la frecuenci a (166) f = 244
p 60
herzios o pis
Ejemplo 100 . ¿Qué valor tendrá la frecuencia de la f . e . m . generada en un alternado r de 12 polos que gira a 600 r/m ? Aplicando la fórmula (166) se obtiene como valor de la frecuenci a n 600 =6X = 60 Hz 60 60 En la Tabla XIV se dan las velocidades, én revoluciones por minuto, para má quinas de 2 a 16 polos y frecuencias de 50, 60 y 100 períodos por segundo . f= p
TABLA XI V N .° Polos 2p 2 4 6 8
1o 12 14 16
50 Hz
FRECUENCIA f 60 Hz
100 Hz
3 .000 1 .500 1 .000 750 600 500 428 375
3 .600 1 .800 1 .200 900 720 600 514 450
6 .000 3 .000 2 .000 1 .500 1 .200 1 .000 857 750
357 . Nomenclatura de los valore s A fin de evitar toda ambigüedad, designaremos con letras minúsculas los valores instantáneos (e, v, i) . Asimismo emplearemos las letras mayúsculas con subíndi ce o para representar los valores máximos (Eo, Vo, lo), con subíndice m los medio s (Em, Vm, 1m) y sin subíndices los valores eficacés (E, V, 1) . Por otra parte, recordemos que las relaciones entre los valores máximos, me dio y eficaz vienen dadas por las fórmulas (160), (161) y (162) . 358.
Propiedades de las corrientes alternas
Vamos a examinar las propiedades generales de las corrientes alternas en l o que respecta a los efectos caloríficos, magnéticos y químicos que originan, dejand o para el capítulo siguiente el estudio de los circuitos eléctricos recorridos por corrien te alterna . 359.
Efectos calorífico s
En principio se puede enunciar la siguiente regla : "La corriente alterna calienta los conductores exactamente igual que una corriente continua" . El efecto Joul e en un conductor no depende del sentido de la corriente, lo que es fácil comprobar , 24 5
ya que al alimentar una estufa con corriente alterna se produce el mismo efecto calorífico que si fuera alimentada con corriente continua . Para calcular el efecto Joule originado por segundo en un conductor, recorrido por una corriente alterna, se empleará la misma fórmula (26), pero tomando como intensidad el valor eficaz de la corrient e P = I? 12 Esto nos permite obtener una nueva idea del valor eficaz de la intensidad de la corriente . Sean (fig . 222) dos resistencias de valor R idénticas . Una de ellas es reco rrida por una corriente continua de intensidad I, medida por el amperímetro At . La segunda es recorrida por una corriente altern a que puede ser regulada de forma tal que sean iguales las cantidades de calor producidas po r ambas resistencias en la unidad de tiempo . Fig . 222 . Comparación de las corrientes continua y alterna Entonces podremos afirmar que el valor d e la corriente alterna, medido por el amperímetro A 2 , es igual a la intensidad constante de la corriente continua, siendo aqué l precisamente el valor eficaz .
en ella creados corresponden a los indicados en la figura . En consecuencia, se originará una atracción sobre el imán permanente . En cambio, durante la otra alternancia, los polos en la bobina serán de sentido contrario al señalado en la figura, originándose, en consecuencia, una repulsión entre la bobina y el imán . Como quiera que el imán permanente tiene cierta inercia, no seguirá las acciones sucesivas de atracción y repulsión, por lo que realmente queda en reposo . Po r consiguiente, una corriente alterna no ejerce efecto apreciable sobre un imán permanente. b) Acción sobre un hierro dulce . Si la P M pieza situada frente a la bobina B de la figur a 223 es de hierro dulce en lugar de imán permael • nente, la bobina ejercerá continuamente una , acción atractiva sobre el núcleo . En efecto Fig . 223. Efecto magnético d e cualquiera que sea el sentido de la corrient e una corriente altern a o en la bobina, el polo de la misma situado junt al núcleo, magnetizará a éste en sentido contrario, por lo que se atraerán recíprocamente la bobina y el núcleo de hierro dulce .
362. 360.
Efectos químicos
Sabemos que las descomposiciones electrolíticas se efectúan de tal maner a que el metal sigue siempre el sentido de la corriente . Así, pues, si alimentamos un baño electrolítico con una corriente alterna, resultará que los productos de la des composición se dirigirán alternativamente hacia uno y otro electrodo, por lo que e n definitiva no se obtiene ningún resultado práctico . Por consiguiente, podemos afirmar que "la corriente alterna no es utilizabl e en electrolisis ni para la carga de acumuladores" . 361.
Efectos magnético s
En el estudio del electromagnetismo se vió que el sentido de las líneas de fuer za, originadas por una bobina, dependía del sentido de la corriente que la recorre . Así, pues, una bobina, recorrida por una corriente alterna, cambiará en cada alternancia el sentido de las líneas de fuerza . En consecuencia, veamos los efectos magné ticos, originados en tales condiciones, sobre un imán permanente o un trozo d e hierro dulce . a) Acción sobre un imán permanente . Consideremos (fig. 223), una bobin a B, que es recorrida por una corriente alterna de frecuencia f, en períodos por segundo . En la prolongación del eje de dicha bobina se encuentra un imán permanente P , cuyos polos N—S están señalados convenientemente . Durante la alternancia en qu e la bobina es recorrida por la corriente del sentido señalado por la flecha I, los polos 246
Fuerza electromagnética y electrodinámic a
Si el conductor situado en el campo magnético de la figura 200 es recorrid o por una corriente alterna, se ejercerá sobre él una fuerza, pero su sentido será opues to para cada alternancia cuando el campo sea originado por un imán permanente o por un electroimán excitado por corriente continua, lo cual se puede comproba r haciendo uso de la regla de los tres dedos de la mano izquierda para cada una de la s alternancias de la corriente . Como quiera que el conductor posee cierta inercia, n o seguirá las variaciones del sentido de la fuerza, por lo que quedará en reposo . En cambio, si el campo magnético es debido a un electroimán excitado por co rriente alterna y varía simultáneamente el sentido de la corriente, tanto en la bobina de excitación como en el conductor, la fuerza electromagnética mantendrá constantemente su sentido, lo que se puede comprobar fácilmente aplicando la regla d e los tres dedos de la mano izquierda a cada una de las alternancias .
247
CAPITULO XXV I RECEPTORES DE CORRIENTE ALTERNA 363.
Clases de receptores
Al estudiar los circuitos de corriente continua se consideraba que los recepto res estaban constituidos solamente por resistencia óhmica . En cambio, en los circui tos de corriente alterna es necesario tener en cuenta tres propiedades de distinta naturaleza física, que son : resistencia, inductancia y capacidad . Para alcanzar a comprender los diferentes efectos producidos, estudiaremo s primeramente los receptores llamados puros, o sea, los que poseen tan sólo una d e las tres propiedades, excluyendo las otras dos . Estos receptores son : la resistencia pu ra, la inductancia pura y la capacidad pura .
_
R
¿Cuál es el valor eficaz de la intensidad de corriente que recorre un circuito de resistencia pura, cuyo valor es de 20 n, cuando entre sus extremos existe una tensió n alterna senoidal de 120 V de valor eficaz ? Aplicando la fórmula (22) se tiene
Ejemplo 101 .
A) RESISTENCIA PUR A 364.
Esta expresión permite obtener las siguientes conclusiones : 1 . a La corriente que recorre un circuito formado por una resistencia pura e s alterna senoidal, de igual frecuencia y de la misma fase que la tensión existente entre los hilos de la línea . En efecto, cuando la tensión es de valor nulo, también se anula la intensidad de corriente, y cuando la tensión alcanza su valor máximo, también lo alcanza la intensidad d e corriente . La representación gráfica de la intensidad de corriente viene dada por la senoide i de la figur a Fig. 225. Tensión e intensida d 225, en la cual la senoide v representa la tensió n en fase existente entre los hilos de la línea . Puede compro barse la coincidencia de los instantes en que se presentan los valores nulos de la ten sión e intensidad, así como la de los correspondientes valores máximos . 2 . a El valor eficaz de la intensidad de la corriente senoidal es igual al cociente que resulta de dividir el valor eficaz de la tensión V existente entre'los hilos de l a línea por el valor de la resistencia del circuito, exactamente igual a lo que ocurrí a cuando el circuito era de corriente continua . Así, pues, es aplicable la fórmula (22 ) de la Ley de Ohm . V
Circuito de resistencia pur a
V
Se entiende por resistencia pura aquella que está totalmente desprovista d e auto—inducción y capacidad . En la figura 224 aparece representada simbólicamente por la línea quebrada R . Conectemos una resistencia pura, de R ohmios, a los hilos de unas líneas d e corriente alterna, entre los cuales existe una tensión senoidal de valor instantáne o v = Vo sen a y frecuencia f Por el circuito así formado circula una corriente alterna senoidal cuyo valo r puede ser calculado aplicando la Ley de Ohm . Así, pues, la intensidad de corrient e instantánea vale i=
v
Vo
R
R
sen a
Siendo Vo la amplitud de la tensión senoidal, l a relación constante Vo : R representa el valor máxim o lo alcanzado por la intensidad de corriente senoidal : Así, pues, la expresión anterior puede ser transformada en la siguient e Fig . 224. Circuito de resistencia para
(167) 248
i=/o sena
R
1
B) 365.
12 0 20
=6 A
INDUCTANCIA PUR A
Circuito de inductancia pur a
Teóricamente queda definida como inductancia pura la de una bobina total mente desprovista de resistencia y capacidad . En la práctica no es posible consegui r una inductancia pura pero, para facilitar el estudio de los circuitos de corriente alter na, admitiremos su existencia . Una inductancia pura es representada simbólicamente por la línea ondulada de la figura 226 . Sea una bobina de inductancia pura, cuyo coeficiente de autoinducción val e L henrios, conectada a los hilos de una línea, entre los cuales existe una tensión alterna senoidal de valor instantáneo v = Vo sen a y frecuencia f Por el circuito as í formado circulará una corriente alterna senoidal, cuya frecuencia es exactamente .l a 249
misma que la de la tensión . La corriente alterna, al recorrer las espiras de la bobina, producirá un fluj o alterno senoidal, cuyo valor será continuamente variable . Este flujo variable origin a (según estudiamos en el capítulo XXII) una f . e . m . de auto—inducción cuyo valor, dependiendo del flujo, también será alterno senoidal . Designaremos s u valor instantáneo por ex. Dado que, por hipótesis, hemos admitido que la bobina está desprovista de resistencia, no se producir á Fig . 226. Ctrcuito de inductancia purs en ella ninguna caída de tensión óhmica . Por consiguiente, en todo instante deben ser iguales la tensión existente entre los hilos de la línea y la f . e . m . debida al fenómeno de auto—inducción en la bobina .
366 .
una bobina que, al ser recorrida por una corriente senoidal de valor máximo lo e s atravesada por un flujo senoidal de valor máximo «o, val e
e L=NB d o
Io 10 8
De esta fórmula se deduce la expresió n (B)
sulta (C)
0o 4
Exm=4fLl o
Ahora bien, según la fórmula (162) el valor media de una función senoidal e s igual a 2 \ : rr veces el valor eficaz
Exm = 2 3 2 a
Según se vió en el párrafo 313, el valor de la f . e . m . generada en una bobina e s igual al producto del número de espiras que la forman multiplicado por la relació n que existe entre la variación del flujo y el tiempo en que se produce esa variación . Una bobina, recorrida por una intensidad de co rriente senoidal, es atravesada por un flujo, también senoidal, de igual frecuencia que aquélla . Así , pues, como se puede comprobar en la figura 227 , durante el tiempo correspondiente a un cuarto d e período, o sea, T/4, el flujo varía desde su valo r máximo 'o hasta su valor nulo, es decir, que l a variación del flujo es igual a 4o . Fig . 227. Curva representativa de En consecuencia, siendo NB el número de un flujo que varfa senoidalmente espiras de la bobina, el valor medio Exm de la f . e . m . de auto-inducción será igual a
T
=LIo
108 Substituyendo en la expresión (A) la parte despejada en la expresión (B), re -
Valor de la f . e . m . auto—inducció n
Exm=NB
NB (Do
108
_ 4NBdl o T' • 108
(El divisor 10 8 es necesario para conseguir que el resultado sea obtenido e n voltios). Recordemos (fórmula 156) que el valor del período T es inverso del valor d e la frecuencia f, por lo que se puede pone r
Ex
Asimismo, según la fórmula (161), el valor máximo de una función senoidal e s veces el valor eficaz
lo= 3 2 1
En consecuencia, sustituyendo en la expresión (C) los valores Exm e lo po r los obtenidos ahora, tenemo s 232Ex=4fLV
I
Simplificando y despejando el valor eficaz de la f . e . m . de auto—inducción , resulta finalmente (168)
Ex=2afL I
fórmula que dice : "La f. e . m . eficaz de auto--inducción, generada en una bobin a cuando es recorrida por una corriente alterna senoidal, es igual a 2 n veces el producto de la frecuencia por el coeficiente de auto--inducción y la intensidad efica z de la corriente" . Ejemplo 102 . ¿Cuál será el valor de la f. e . m . inducida en una bobina cuyo coeficiente de auto-inducción vale 0,02 H cuando es recorrida por una corriente alterna de 20 A de intensidad eficaz y 50 Hz de frecuencia ? Aplicando la fórmula (168) se tien e E1 =2afL1=2X3,14X50X0,02X20 = 125,6 V 367 . Desfase de la intensidad de corrient e
(A)
Exm =
4
f NB •(D o 108
Por otra parte, según la fórmula (146, a), el coeficiente de auto—inducción de 250
Como ya se expuso en el párrafo 312, la f. e . m . de auto -inducción, cread a en un circuito, determina el retraso de la corriente respecto a la tensión existente e n los extremos del mismo . 251
Ahora bien, es necesario conocer el valor del ángulo del desfase en retras o existente entre la intensidad de corriente que recorre el circuito y la tensión aplica da al mismo . Para determinarlo, recordemo s que el valor de la f . e . m . inducida en una bobina depende de la mayor o menor velocida d de variación del flujo que la atraviesa . Fijé monos que cuando el flujo que atraviesa l a bobina alcanza su valor máximo ~o (valo r que corresponde a la máxima intensidad d e Fig . 228 . Representación senoidal del corriente Io), la velocidad de variación de l desfase de la intensidad debido a una flujo es pequeñísima, realmente nula . En caminductancia pura bio, cuando se anula el valor del flujo (o sea , cuando es nula la intensidad de corriente), la velocidad de variación del flujo es má xima, siendo asimismo máximo el valor de la f . e . m . de auto inducción . En resumen, al valor máximo de la intensidad de corriente corresponde el valor nulo de la f . e . m . de auto --inducción y al valor nulo de l a intensidad de corriente corresponde el valor máximo de l a f. e . m . de auto inducción . Lo expuesto indica que entre la corriente que recorre u n circuito formado por una inductancia pura y la tensión aplica I da en sus extremos, existe un desfase de 90 0 eléctricos, estando retrasada la corriente . Fig . 229 . Reprevectoria l En la figura 228 han sido representadas las senoides de l a sentación del desfase debid o a una inductanci a tensión v de la línea y de la intensidad de corriente i que recopura rre el circuito . Asimismo en la figura 229 aparecen representa dos los vectores de la tensión V y de la intensidad I, formando un ángulo de 900. 368 . Valor de la intensidad de corrient e
Ejemplo 103 . ¿Cuál será la intensidad eficaz de la corriente que recorrerá una bobin a de inductancia pura, cuyo coeficiente de auto-- inducción es de 0,05 henrios, cuando a sus bornes se aplica una tensión alterna de 120 V . y 50 herzios de frecuencia ? Aplicando la fórmula (169) se tien e V 120 = 7,64 A 2X3,14X50X0,0 5 I¡ 2af1 369.
En la fórmula (169) la cantidad 2 rr f L representa el mismo papel que una re sistencia, y, por lo tanto, debe medirse en ohmios . Esa cantidad recibe el nombre de reactancia de auto---inducción, y la representaremos por la letra X. Así, pues, se tiene (170)
Ex
(169) I =
V
2r.f L
fórmula que dice : "La intensidad de corriente alterna que recorre una inductanci a pura es igual al cociente que resulta de dividir el valor de la tensión existente en su s bornes por 2 7r veces el producto de la frecuencia, en herzios, y el coeficiente d e auto -inducción, en henrios" . 252
X=2r•f C
fórmula que dice : "La reactancia de auto-inducción de una inductancia es igual a 2 7r veces el producto del coeficiente de auto-inducción, en henrios, por el valor d e la frecuencia, en herzios, de la corriente alterna que recorre la bobina " . Esto nos hace ver cómo la reactancia de auto-inducción de una inductanci a no tiene un valor constante, sino que varía proporcionalmente con la frecuencia . Ejemplo 104 . ¿Cuánto vale la reactancia de una bobina, cuyo coeficiente de auto-in ducción es de 0,02 henrios, cuando es recorrida por una corriente de 50 Hz de frecuencia ? Aplicando la fórmula (170) resulta como valor de la reactanci a
X=2 tfL=2X3,14X50X0,02=6,28 9 Ejemplo 105 . Hállense los valores de la reactancia de la bobina del ejemplo anterior , cuando la frecuencia de la corriente tome valores de 60, 100 y 1 .000 Hz. Para la frecuencia de 60 Hz la reactancia vale X'=2af'L=2X 3,14X60X0,02=7,53 9 Asimismo, para la frecuencia de 100 Hz la reactancia tomaría un valor de
X"=2af"L=2X3,14X100X0,02=12,56 9 Finalmente, a la frecuencia de 1 .000 Hz el valor de la reactancia ser á
Si en la fórmula (168) despejamos la intensidad de corriente, se obtien e I 2f L En una inductancia pura, sometida a una tensión alterna senoidal de valor eficaz V voltios, la f . e . m . de auto -inducción Ex generada en la misma es igual en valor al de la tehsión Ex = V. Así, pues, resulta
Reactancia de auto-inducció n
X"'=2af"L=2X3,14X1 .000X0,02 = 125,6 9 Ejemplo que permite comprobar como el valor de la reactancia es directamente proporcional con el de la frecuencia . 370.
Casos particulares
Veamos los casos particulares que se presentan cuando se aplica a una bobin a de inductancia pura una tensión continua o una tensión de alta frecuencia . 1 . 0 Cuando a los bornes de la bobina se aplica una tensión continua (es decir , de frecuencia nula), la reactancia queda anulada X = O . Esto nos hace ver que e n corriente continua la inductancia pura no ofrece resistencia alguna al paso de la elec tricidad . 253
2 .° Cuando a los bornes de la bobina se aplica una tensión de alta frecuencia , su rectancia X = 2 1r f L toma un valor muy elevado . Esto hace ver que la bobin a ofrece gran resistencia al paso de las corrientes alternas de alta frecuencia .
C) CAPACIDAD PUR A
371 . Circuito de capacidad pura Se da el nombre de capacidad pura a un condensador totalmente desprovisto de resistencia . Según vimos en el párrafo 214, si unimos las armaduras de un condensador a una línea de corriente continua, se cargan de electricidad instantáneamente . Un a vez cargado, el condensador posee una f . e . m . igual y opuesta a la tensión de la línea . La existencia de esta f. e . m . se demuestra con toda facilidad de la manera siguiente : Desconectando de la red las dos armaduras y uniéndolas mediante un conductor, se descargan, dando lugar a una corriente de brevísima duración . Veamos ahora lo que sucede al conectar las dos armaduras del condensador a los hilos de una red de corriente alterna (fig . 230), entre los cuales existe la tensió n instantánea v = V sen a de frecuencia f. En tal caso, durante los instantes en que aumenta el valor absoluto de la tensión de la red, el condensador se carga, mientras qu e durante los instantes en que disminuye el valor absolut o de la red, el condensador se descarga . Estas cargas y descargas del condensador se suceden con la misma rapidez Fig. 230. Circuito de capacidad pura con que cambia de sentido la tensión de la red de alimen tación, por lo que resulta fácil de comprobar que se establece en el circuito una corriente alterna de la misma frecuencia que la de la ten sión de alimentación . El fenómeno que aparece en el condensado r sometido a una tensión alterna es similar al que se presenta en el dispositivo que estudiamos en la fi gura 1 29 si en el circuito hidráulico se dispone un a bomba alternativa de pistón B en lugar de la bomb a centrífuga (fig . 231) . Al funcionar la bomba de pistón, impulsa e l agua alternativamente en uno u otro sentido, haciendo que la membrana elástica E se estire haci a Fig . 231 . Símil hidráulico de la uno u otro lado en su posición normal . Si el moviacción de ana corriente alterna sobre un condensador. miento del pistón es suficientemente rápido, e l agua circula sin descanso en uno u otro sentido a lo largo del circuito, aunque, si n embargo, no atraviesa la membrana elástica . 254
De forma análoga, al cargarse y descargarse las armaduras del condensador un a vez por cada alternancia, la corriente alterna circulará constantemente por el circui to, aunque, sin embargo, la electricidad no atraviesa el dieléctrico del condensador . No obstante, dado que para los efectos prácticos todo sucede como si existier a una corriente alterna, es por lo que se admite la expresión tan extendida de que u n
condensador permite el paso de la corriente alterna, pero no la corriente continua.
372 . Valor de la f . e . m . de capacidad La f. e . m . del condensador es igual en valor a la tensión de la red de la alimen tación, ya que se ha supuesto que se trata de una capacidad pura, desprovista de resistencia, por lo que en él no se presenta caída de tensión óhmica . Vamos a calcular el valor de la f. e . m . del condensador, partiendo del valor medio de la intenV sidad. Sabemos que el valor medio de la intensida d Vo de corriente de carga es igual a la cantidad de elec0 tricidad acumulada en una de las armaduras, dividido por el tiempo transcurrido . En un condensador conectado a una red d e T corriente alterna, la tensión aplicada a sus armaduFig . 232. Variación senoidal de ras varía durante un cuarto de período desde el vauna tensión alterna lor nulo hasta el valor máximo (fig. 232). Por otra parte, según la fórmula (104) la cantidad de electricidad acumulada en cada armadu ra de un condensador es igual al producto del valor de su capacidad C por la tensió n existente entre sus armaduras . Así, pues, en el instante cero, siendo la tensión nula , también lo será la cantidad de electricidad acumulada en el condensador . En cambio, transcurrido un cuarto de peíodo, la tensión alcanza el valor máximo Vo y entonces la cantidad de electricidad acumulada tomará un valo r Qo = C Vo Por consiguiente, el valor medio de la intensidad de corriente durante la carg a será . Im =
Q ° _ t
C Vo
4CVo
T 4
T
=4fCVo
Pasando a valores eficaces la intensidad de corriente I y la tensión V, result a 2Vz
I=4fC
V 255
Simplificando y despejando el valor eficaz de la tensión existente en los bornes del condensador se tiene V=
1
2af C Según hemos dicho, la f . e . m . del condensador es igual en todo instante a l a tensión de la red de alimentación . Así, pues, finalmente result a (171)
Ey=
estando C en faradios .
1 2f C
Ejemplo 106 . ¿Cuál será el valor de la f. e . m . de capacidad de un condensador de 25 0
µ F (250 X 10 -6 F) si al estar conectado a una red de 50 Hz se establece una corriente de 25 A ? Aplicando la fórmula (171) se tien e 1 _ Ey _ 2afC
25X106 2X3,14X50X250 =318 V
373 . Desfase de la intensidad de corrient e
Al estudiar el efecto de una inductancia pura sobre la corriente vimos que ha cía retrasar ésta 90 0 respecto a la tensión . Vemos ahora, cómo, por el contrario, un a capacidad pura adelanta la corriente 90 0 respecto a la tensión . En efecto, en todo instante la f . e . m . del condensador debe ser igual y contraria a la tensión de alimentación . Así, pues, cuando la f . e . m . tiene el valor máximo , la intensidad de corriente es nula . Después, cuando la tensión de la red va bajando, el condensador cede la corrient e de carga . Esto nos indica que la corrient e va adelantada respecto a la tensión . Asimismo, en el símil hidráulico d e la figura 231 se observa que al cesar l a Fig. 233 . Representación senoidal del adelanto presión de la bomba de pistón en un dede la corriente en un condensador. terminado sentido y antes de empezar a ejercer la presión en sentido contrario, el agua comienza a circular en este últim o sentido por efecto de la tensión elástica que posee la membrana . Así, pues, la corriente de agua va adelantada respect o a la acción debida a la presión de la bomba alternativa . En resumen, la corriente alterna que se establece en u n V circuito formado por una capacidad pura, presenta un des fase de 90° de adelanto respecto a la tensión aplicada a lo s Fig .234. Representació n vectorial del adelanto extremos del circuito . de la corriente en u n condensador En la figura 233 están representadas las senoides de l a tensión V existente entre los hilos de la línea y de la intensidad de la corriente alter 256
na 1 que recorre el circuito . Asimismo, en la figura 234 aparecen representados lo s vectores de esos valores, formando un ángulo de 90 0 . 374.
Valor de la intensidad de corrient e
Si en la fórmula (171) despejamos la intensidad de corriente, se tien e (172)
I=2IrfC V
fórmula que dice : "La intensidad de corriente que recorre un circuito formado po r una capacidad pura es igual al producto que resulta de multiplicar el valor de la ten sión por 2 Ir veces la frecuencia y la capacidad, en faradios" . Ejemplo 107 . ¿Cuál será el valor de la intensidad de corriente en un circuito constituí do por un condensador de 400 µ F y resistencia nula cuando a sus armaduras se aplica una ten sión alterna de 150 V y 50 Hz ? Aplicando la fói'mula (172) se tiene 400 X150=18,84 A 1=2r.fC V= 2 X 3,14 X 50 X 375.
Reactancia de capacida d
En la fórmula (171) la cantidad 1 : 2 rr f C representa el mismo papel que una resistencia y, en consecuencia, se puede medir en ohmios . Esa cantidad recibe el nombre de reactancia de capacidad o capacitancia y la representamos por la letra Y. Así, pues, se tien e (173) Y =
1
2af C
fórmula que dice : "La reactancia de capacidad de un condensador recorrido por una corriente alterna senoidal, es igual al valor inverso del producto que resulta de mul tiplicar 2 n por la frecuencia de la corriente en herzios , y por la capacidad del condensador en faradios" . Esto nos hace ver cómo la reactancia de capacidad de un condensador no tiene un valor constante, sino que es inversamente proporcional al valor de la frecuencia de la corriente que recorre el circuito . Ejemplo 108 ¿Cuánto vale la capacitancia de un condensador de 100 µ F de capacidad cuando es recorrido por una corriente alterna de 50 Hz de frecuencia ? Aplicando la fórmula (173) se tiene Y_
1
2afC
_
1 .000.000
2X3,14X50X100
-31,84 4
Ejemplo 109 . Hállense los valores de la capacitancia del condensador anterior cuando la frecuencia de la corriente toma valores de 60, 100 y 1 .000 Hz ? . Para la frecuencia de 60 Hz la capacitancia tomará el valor Y
=
1
2rfC'
_
1 .000.000
2X3,14X60X100
=
26,53 0 257
Asimismo, para la frecuencia de 100 Hz la capacitancia vale 1 1 .000.00 0 --= Y 2afC" - 2X 3,14 X 100 X 100 — Ftnnuucnte, a la frecuencia de 1 .000 1
15,92 5
el valor de la capacitancia será 1 .000 .000 1,59 5 Y" 2afC 2 X 3,14 X 1 .000 X 100 — Ejemplo que hace ver como el valor de la capacitancia está en proporción inversa con el d e la frecuencia . Hz
CAPITULO XXVI I CIRCUITOS REALES DE CORRIENTE ALTERN A
376.
Casos particulare s
Veamos los casos particuloscs que se presentan cuando a las armaduras de u n condensador se aplica una tensión continua o una tensión de alta frecuencia . 1 . 0 Cuando a las armaduras del condensador se aplica una tensión constant e (es decir, de frecuencia nula), su capacitancia es infinita . Esto confirma la idea que ya teníamos de que la corriente continua no atraviesa al condensador . 2 .° Cuando a las armaduras del condensador se aplica una tensión de alta frecuencia, su capacitancia es de valor muy pequeño, prácticamente nulo . Esta hace ve r que un condensador ofrece una resistencia pequeñísima al paso de la corriente alter na cuando ésta es de alta frecuencia . 377.
Comparación de los efectos producidos por una inductancia y una capacidad
Comparando el estudio anterior, se deduce lo siguiente : 1 . 0 La inductancia, lo mismo que la capacidad, determina una resistencia e n ohmios . Ahora bien, observemos que cuando aumenta el coeficiente de auto—induc ción de la inductancia, aumenta la reactancia correspondiente, mientras que cuand o aumenta la capacidad del condensador, disminuye su capacitancia . 2 .° Tanto la inductancia como la capacidad determinan un desfase de la corriente que recorre el circuito respecto a la tensión aplicada en sus extremos . Este desfase vale 900 en ambos casos, pero mientras que en la inductancia que da retrasada la corriente respecto a la tensión, en el condensador queda adelantad a la corriente . 3 .° El valor de la reactancia, tanto de auto—inducción como de capacidad , depende del valor de la frecuencia de la corriente de alimentación, pero mientras e n la inductancia de una bobina aumenta en proporción directa con la frecuencia, la capacitancia de un condensador, por el contrario, varía en proporción inversa con l a frecuencia .
258
A) CIRCUITO CON RESISTENCI A E INDUCTANCIA EN SERI E 378. Triángulo de tensiones
Consideremos el caso representado en la figura 235, en la que existe, conecta do a una red de corriente alterna, un circuito formado por una bobina de resistenci a R, en ohmios, y coeficiente de auto—inducción L, e n henrios . Por el circuito circulará una corriente cuya intensidad será alterna senoidal, de igual frecuencia que la d e la red de alimentación . Esta corriente dará lugar a do s caídas de tensión diferentes en el circuito . Una caíd a Fig . 235 . Circuito con de tensión óhmica, cuyo valor será en cada instant e resistencia e inductanci a en serie igual al producto de la resistencia de la bobina e n ohmios por el valor instantáneo de la intensidad de co rriente que recorre el circuito . Así, pues, la caída de tensión óhmica valdrá eR =Ri. La otra caída de tensión será inductiva o reactiva, y, según se vió en el párraf o 366, su valor también es variable e igual al producto de la reactancia de la bobin a X = 2 Jr f L por el valor instantáneo de la intensidad de corriente . Así, pues, la caída de tensión inductiva vale ex = Xi = 2 7r f L i. En todo momento, la tensión instantánea v de la red, a la que está conectad a la bobina, debe ser igual a la suma de los valores instantáneos de las dos caídas de tensión, es decir, que se debe verifica r
v=eR +e x Como no es posible efectuar la suma aritmé tica de las caídas de tensión para cada uno de lo s Fig . 236. Triángulo de tensiones infinitos instantes que forman un ciclo, sumaremos los valores eficaces correspondientes para obtene r el valor eficaz de la tensión de la red . A
ER=RI
B
259
Ahora bien, las caídas de tensión óhmicas ER = R le inductiva Ex = X 1 n o están en fase, por lo que es preciso recurrir a la suma geométrica de sus valores eficaces. Para efectuar la suma geométrica adoptaremos el eje horizontal como fase o dirección de la corriente . Así, en la figura 236 tomaremos en AB el valor eficaz d e la caída de tensión óhmica ER (que, como sabemos, está en fase con la intensida d de corriente) y en la perpendicular BC el valor eficaz de la caída de tensión inducti va Ex (que, según quedó demostrado en el párrafo 367, está adelantada un ángul o de 90 0 respecto a la corriente) . Entonces la hipotenusa AC, que cierra el triángul o de vectores ABC, representa la suma geométrica, y da el valor eficaz y la fase de l a tensión V existente entre los hilos de la línea de alimentación . El triángulo ABC, formado por los vectores que representan las caídas de l a tensión óhmica e inductiva y la tensión de la red, recibe el nombre de triángulo de tensiones. El ángulo tp señala el desfase existente entre la corriente I que recorre e l circuito y la tensión V de la red de alimentación . Obsérvese que, en el caso que estudiamos, de circuito inductivo, la corriente queda retrasada respecto de la tensión . Las leyes trigonométricas nos permiten establecer las relaciones siguientes : 1 .a La caída de tensión óhmica es igual a la tensión de la red multiplicada po r el coseno del ángulo
(174) ER = V cos
cp
2 . a La caída de tensión inductiva es igual a la tensión de la red multiplicad a por el seno del ángulo
(175)
Ex= V sen
cp
3 . a La tangente del ángulo (p es igual a la relación de los valores de las caídas de la tensión inductiva y óhmica (176)
tg
_ Ex ER
Por otra parte, el teorema de Pitágoras permite establecer una nueva ecuació n que liga los tres valores de tensión . Esta expresión e s (177) V = VER' + Ex '
fórmula que dice : "La tensión aplicada a los bornes de un circuito provisto de resis tencia e inductancia es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los va lores de las caídas de tensión óhmica e inductiva" . Ejemplo 110 . Al ser aplicada a una bobina una tensión alterna de 120 V de valor eficaz la corriente queda retrasada un ángulo de 300 respecto a aquélla. ¿Cuánto valen las caída s de tensión óhmica e inductiva ? La caída de tensión óhmica val e
ER = V cos p = 120 cos 30° = 120 X 0,866 = 103,9 V Por su parte, la caída de tensión inductiva es igual a Ex= Vsencp= 120 sen 30° = 120 X 0,5 = 60 V
260
379 . Triángulo de resistencia . Impedancia
Si dividimos las longitudes de los tres lados del triángulo ABC de la figura 23 6 por el valor eficaz de la intensidad de corriente que recorre el circuito, obtendremo s un triángulo semejante al anterior . Sea el triángul o obtenido el A' B' C' de la fig . 237, en el cual el cateto horizontal A' B' representa el valor de la resistencia R del circuito de la figura 235, ya que se tien e
e
A'B'=
RI
ER
Fig. 237. Triángul o de resistencias.
El cateto vertical B' C' representa la reactancia de auto -inducción del mism o circuito, ya que se tiene B' C'
= Ex I
XI =X I
Finalmente, la hipotenusa A' C' del triángulo obtenido representa el cocient e V : I, que resulta al dividir el valor eficaz de la tensión de la red de alimentación po r el valor eficaz de la intensidad de corriente que recorre el circuito . Es decir, que l a hipotenusa corresponde al valor que, según la Ley de Ohm, tendría la resistenci a del circuito si no hubiera efecto de inductancia . Por eso recibe el nombre de resistencia aparente del circuito, aunque también es conocida con la denominación d e impedancia . La designaremos por la letra Z. El triángulo A' B' C' de la figura 237 es el triángulo de resistencias, el cual , como hemos dicho antes, es semejante al triángulo de tensiones A B C de la figur a 236 . Por consiguiente, el ángulo yo es exactamente el mismo que en el triángulo de tensiones y señala el desfase de la corriente y la tensión . De acuerdo con las leyes trigonométricas se pueden establecer las relacione s siguientes : I . a La resistencia del circuito es igual al valor de la impedancia multiplicad o por el coseno del ángulo p
(178) R = Z
cos
cp
2 . a La reactancia de auto—inducción del circuito es igual al valor de la impedancia multiplicado por el seno del ángul o
(179) X = Z sen
cp
3 .a La tangente del ángulo tp es igual a la relación de los valores de la reactancia de auto- inducción y de la resistencia X (180) tg =
R
Por otra parte, de acuerdo con el teorema de Pitágoras, podemos establecer una expresión que ligue las tres resistencias . Se tien e (181) Z=p -{- x 9 261
fórmula que dice : "El valor de la impedancia de un circuito que posee resistencia e inductancia es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los valores d e la resistencia óhmica y de la reactancia de auto -inducción" .
Asimismo, en la alternancia en que las ondas senoides son negativas, su producto es también positivo, ya que se verifica
Ejemplo 111 . Una bobina tiene una resistencia de 4 12 y un coeficiente de auto-inducción de 0,02 H. ¿Cuánto valen la reactancia de auto-inducción y la impedancia cuando se conecta la bobina a una red de 50 Hz de frecuencia? ¿Cuánto vale el ángulo 'pde desfase ? Aplicando la fórmula (170) se tiene como valor de la reactancia de auto-inducció n
de manera que también quedará por encima del eje de abscisas la segunda onda d e la potencia eléctrica . Cuando la corriente alterna recorre un circuito provisto de resistencia e induc tancia (p. e . un motor eléctrico, un transformador, etc .), las ondas senoides de la tensión e intensidad están desfasadas, como se indica en la figura 238, b) .
X= 2 cfL=2X3,14X50X0,02=6,28 2
p=(—v)(—i)=v i
De acuerdo con la fórmula (181) la impedancia de la bobina es de
Z=j/ R'-+-X' =+6,28'=7,44 2 Finalmente, la tangente del ángulo ipde desfase valdr á X _ 6,28 6, tg ? = R 4 =1 ' 5 7
er-
-
oabo .,
,
\
.,í —
/
Potencia en corriente alterna
i!IIIÍ
Se vió en corriente continua, que el valor de la potencia eléctrica, en vatios , viene dado por el producto de los valores constantes de la tensión, en voltios, y d e la intensidad de corriente, en amperios, de acuerdo con la fórmula (25 )
P= V I En corriente alterna, los valores de la tensión y de la intensidad de corrient e varían continuamente, por lo que también serán diferentes los productos de los va lores instantáneos . Por consiguiente, para determinar la potençia eléctrica de una co rriente alterna, será preciso calcular las potencias instantáneas correspondientes a todos los instantes de un ciclo y dividir la suma de todos esos valores por el tiemp o de duración del período, obteniéndose así la potencia media del ciclo . Veamos ahora la diferencia que resulta en el valor de la potencia en corrient e alterna, según que ésta circule por un circuito que sólo tenga resistencia pura o qu e posea cierta inductancia . Cuando una corriente alterna pasa a través de un circuito con solo resistenci a pura (p . e . lámparas de filamento, estufas de calefacción, etcétera), las ondas de ten sión e intensidad están en fase, es decir, que en un mismo instante pasan por sus va lores nulos y alcanzan en igual momento sus valores máximos, positivos o negativo s (fig . 238, a) . Entonces se observa que en la alternancia en que son positivas las on das de las senoides de la tensión v y de la intensidad i, su producto en cada instant e p = v i es también positivo, como aparece en la parte inferior de la figura 238, a) .
I~~
,
IIIli,i lr JI' ~
l~~
Lua nd a
0
oabcdefe50'
262
\ \
v
valor que indica que la corriente está retrasada un ángulo = 57 0 30 ' respecto de la tensión .
380.
_
-a
trIhO
0abcdefgitktmnO -0prn0
a)
'
Y
A
b)
Fig . 238 . Representación de la potencia eléctrica : a) En circuit o de resistencia pura . b) En circuito con resistencia e inductancia .
Determinando la curva de la potencia instantánea de forma similar al caso anterior, resultará que durante el tiempo en que son de igual signo los valores de l a tensión e intensidad (sean los dos positivos o los dos negativos), la potencia es posi tiva, por lo que la parte correspondiente de la curva de la potencia quedará sobre e l eje de abscisas (trozos bcdef y hklmn). En cambio, durante los instantes en que so n de distinto signo los valores de la tensión e intensidad dela corriente (uno de ello s positivo y el otro negativo), el producto resultante será negativo, por lo que la parte correspondiente de la curva de la potencia quedará debajo del eje de abscisas (tro zos oab y fgh) . La presencia de potencias negativas, consecuencia del desfase de la intensida d de corriente respecto a la tensión, trae como resultado que la potencia media qued e reducid+ en relación al caso de estar en fase la corriente y la tensión, ya que se de 26 3
ben restar las superficies negativas de las superficies positivas para obtener la poten cia media resultante . Para generalizar el estudio de la potencia media en corriente alterna, supongamos el caso de una tensión senoidal de valor instantáne o
v = Vo sen a aplicada a un circuito que posee resistencia e inductancia . Este circuito será recorrido por una corriente alterna senoidal, desfasada en retraso un ángulo yo respecto a l a tensión . La corriente tendrá un valor instantáne o
i= lo sen (a —y) En este mismo instante, la potencia eléctrica instantánea valdr á
p= vi= Voto sen a• sen(a — y ) Esta expresión confirma que la potencia instantánea es de un valor constante mente variable, por lo que no sirve para el cálculo práctico de la potencia media . Matemáticamente se demuestra que esta potencia media tiene por valo r (182)
P = V l cos y
fórmula que dice : "La potencia real o activa en corriente alterna es igual al producto de tres factores : uno, el valor eficaz de la tensión de la red ; otro, el valor eficaz de la intensidad de corriente que recorre el circuito, y el tercero, el coseno del ángu lo de desfase entre los dos anteriores" . Este tercer valor recibe el nombre de factor de potencia. La potencia activa se mide, igual que en corriente continua, en vatios y Kilo vatios .
Se puede comprobar en la representación gráfica este valor nulo de la potenci a activa media observando que los trozos negativos de la curva de potencia son exactamente iguales a los trozos positivos, d e modo que la potencia media resultant e queda compensada (figura 239). 3 .° En circuitos que poseen resistencia e inductancia, la intensidad de corriente queda retrasada, respecto a la tensión , un ángulo yo comprendido entre 0° y 90° . Entonces, el factor de potencia tendrá un . 239 .cFig Repruncinc i t de l a valor comprendido entre la unidady cero, poten de ciro potencia aic de inductancia puta y la potencia activa tomará un valor mayor que cero, pero menor que el valor que tendría si no hubiera desfase en el circuito . Ejemplo 112 . Un circuito de corriente alterna, en cuyos bornes existe una tensión d e valor eficaz de 120 V, absorbe una intensidad de 25 A . ¿Cuál será la potencia activa del mism o en los casos de ser una resistencia pura, una inductancia pura o un circuito tal que determina u n desfase de 45 0 de la intensidad de corriente respecto a la tensión ? En el caso de ser resistencia pura, la potencia activa valdr á P= V/coso=120X25X 1 =3 .000W=3kW
Cuando se trata de una inductancia pura, la potencia activa será nula por serlo el cosen o de 90° . Finalmente, en el caso de existir un desfase de 45° entre la corriente y la tensión, la potencia activa valdrá (cos 45° = 0,707) .
P= Vlco845 ° =120X25X0,707=2 .121 W=2,12k W 382.
Potencia aparente
Se da el nombre de potencia aparente de un circuito de corriente alterna a l producto de los valores eficaces de la tensión V y la intensidad de corriente I. La de signaremos por Pz . Así, pues, se tiene
381 . Casos particulares
(183) 1 .° En un circuito con solo resistencia pura están en fase la tensión y la intensidad de corriente, es decir, que el factor de potencia es igual a la unidad y la po tencia activa vale
P= V 1 lo que hace ver que la potencia activa de un circuito, que sólo posee resistencia pura, es calculada exactamente con la misma fórmula que en corriente continua, tomando los valores eficaces de la tensión e intensidad de corriente . 2 .° En circuitos constituidos por inductancia pura, la intensidad de corriente queda retrasada un ángulo de 90° respecto a la tensión . Entonces el factor de potencia es el coseno del ángulo de 90°, que es cero, anulándose, en consecuencia, e l valor de la potencia activ a
P= Vlcos90= Vl• 0=0 264
Pz = V I
es decir, que la fórmula de la potencia aparente es precisamente la misma que se us a en corriente continua para medir la potencia activa . La unidad de potencia aparente es el voltiamperio (VA), cuyo valor es igual a la potencia aparente de un circuito que, sometido a la tensión de un voltio, es recorrido por una corriente de un amperio de intensidad . Un múltiplo del voltiamperi o es el Kilovoltiamperio (kVA), que vale mil voltiamperios . 383.
Triángulo de potencias
Multiplicando las longitudes de los tres lados del triángulo de tensiones de l a figura 236 por el valor eficaz de la intensidad de corriente que recorre el circuito , obtendremos evidentemente un nuevo triángulo semejante al anterior, que lo desig 265
naremos con el nombre de triángulo de poténcias. Sea el triángulo obtenido el A " B" C" de la figura 240, en el cual la hipotenusa A " C" representa el valor de la potencia aparente, ya qu e se tiene A" C" = VI=Pz Otra expresión de la potencia aparente se ob tiene recordando la semejanza del triángulo A" B " P C" con el A B C, resultando Fig. 240. Triángulo de potencias
Pz=zl' El cateto horizontal A" B" representa la potencia activa . En efecto, según la s reglas trigonométricas se tien e
A"B"=Pzcos pp= Vlcosp= P valor que, como hemos visto en el párrafo 380, es precisamente el correspondient e a la potencia activa . Otra expresión de la potencia activa e s
P=RI' fórmula que dice : "La potencia activa de un circuito de corriente alterna es la qu e corresponde al efecto Joule en la resistencia" . Finalmente, por similitud con los otros dos lados del triángulo, se admite qu e el cateto vertical B" C" representa otra clase de potencia, que recibe el nombre d e potencia reactiva, siendo su valo r (184)
Px = V l sen ~ p
La potencia reactiva se expresa también mediante la fórmula
Px=XI' La unidad de potencia reactiva es el voltiamperio reactivo (VAr), y un múltiplo de la misma es el kilovoltiamperio reactivo (kVAr), que representa 1 .000 VAr . Según hemos dicho, los triángulos ABC y A" B" C" son semejantes, por l o que el ángulo p será idéntico en ambos . Esto nos permite establecer una nueva ex presión como valor de la tangente del ángulo (p de desfase entre la corriente 1 y l a tensión V Px (185) tg y = P Por otra parte, de acuerdo con el teorema de Pitágoras, podemos establece r una expresión que ligue las tres potencias . Se tien e (186)
Pz=1/-P'+Px '
Ejemplo 113 . Una bobina sometida a 120 V, absorbe una corriente de 30 A de intensidad, retrasada un ángulo de 25 0 respecto a la tensión ¿Cuánto valen las potencias activa, reactiva y aparente de la bobina ? La potencia activa, de acuerdo con la fórmula (182), vale (cos 25° = 0,906 ) P = VIcos pp=120X30X0,906=3.260W 266
= 3,26 kW
Por su parte, la potencia reactiva, según la fórmula (184), vale (Sen 25° = 0,4226 ) Px = V/senil=120X30X0,4226=1 .520VAr = 1,52 kVAr Finalmente, la potencia aparente, de acuerdo con la fórmula (186), ser á
Pz = 3 P' + Pz' = V3,26' + 1,52' = 3,6 kV A valor que podría haber sido obtenido directamente mediante la fórmula (183 ) Pz=
V/=
120X
30=3 .600 VA=
3,6
kV A
384 . Corrientes activa y magnetizante
Como ya sabemos, en un circuito con resistencia y auto —inducción, la corrien te queda retrasada un ángulo respecto a la tensión . En la figura 241 está representada la corriente I, y su valor ha sido descompuesto e n dos componentes, una la en la misma dirección que l a tensión y otra lx perpendicular a la anterior . La primera, representada por el segmento AB, est á en fase con la tensión y recibe el nombre de corriente activa. Su valor es igual a . Pig. 241 . Descomposición de la corriente en sus componen (187) la = / cos cp tes activa y reactiva. La segunda AD, queda retrasada 90° respecto a la tensión y recibe el nombr e de corriente magnetizante o reactiva, siendo su valo r (188) Ix=Isen y Recordando la fórmula (182), que da el valor de la potencia activa, resulta un a nueva expresión para la misma (189) P= Vla que dice : "La potencia activa en corriente alterna es igual al producto de la tensió n por el valor dela intensidad de corriente activa" . Por otra parte, la fórmula (184) de la potencia reactiva puede ser transformada en la siguiente : (190) Px = V lx que dice : "La potencia reactiva es igual al producto de la tensión por el valor de l a intensidad de corriente magnetizante" . El teorema de Pitágoras permite establecer la expresión siguient e (191) I=V /a'+lx ' que dice : "El valor de la intensidad de corriente alterna es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los valores de las corrientes activa y magnetizante" . Ejemplo 114 . ¿Cuáles son los valores de las componentes activa y magnetizante de l a intensidad absorbida por la bobina indicada en el ejemplo anterior ? Según la fórmula (187), la componente activa de la corriente vale
/a=1cosp= 30X 0,906 = 27,18 A Asimismo, de acuerdo con la fórmula (188), la componente magnetizante es de un valo r igual a /x=lsen~p =30x 0 .4226 = 12,67 A 267
Ejemplo 115 . Calcular el circuito formado por una bobina que tiene 312 de resistencia y cuyo coeficiente de auto-inducción vale 0,0127 H, si a sus bornes se aplica una tensión alterna senoidal de 120 V de valor eficaz y 50 Hz de frecuencia . 1 . 0 La reactancia de auto-inducción de la bobina, según la fórmula (170), val e X=2zfL=2X3,14X50X0,0127=4S2 La impedancia, de acuerdo con la fórmula (181), es igual a Z= 3 R' + X'-= 3 3'x-4'=5S 2 3 .° La intensidad de corriente que recorre la bobina tomará un valor d e V _ 120 1= = 24 A Z 5 4.° Para hallar el ángulo ip de desfase, determinemos previamente su tangente mediant e la fórmula (180) X 4 tg?— R —= - 3 = 1,33 lo que indica que el ángulo de desfase es (p = 530 5 .° La tensión activa vale ER=R1—3X24 =72 V y la tensión reactiva es igual a Ex = X 1 = 4 X 24 = 96 V 6 .° La intensidad activa tiene por valor, (fórmula 187) , la=1cosz=24 • cos 53° = 24 X 0,602 = 14,45 A La intensidad magnetizante, de acuerdo con la fórmula (188), tiene un valor igual a lx=1senf=24 sen 53° = 24 X 0,798 = 19,15 A 7 . 0 La potencia activa, según la fórmula (182), val e P= V1cos f= 120 X 24 X 0,602 = 1 .733 W = 1,73 k W La potencia reactiva, de acuerdo con la fórmula (184), tiene por valo r Px = V 1 sen pp = 120 X 24 X 0,798 = 2 .300 VAr =2,3 kVAr Finalmente, se calcula la potencia aparente mediante la fórmula (186) y tiene un valo r Pz = 3 P'+Px' = 3 1,73'+2,3'=2,88kV A que también hubiera sido hallado mediante la fórmula (183 ) Pz= V/=120X24=2 .880 VA = 2,88 kVA
B) CIRCUITO CON VARIAS RESISTENCIAS E INDUCTANCIAS EN SERI E
385 . Polígono de tensiones
Consideremos el caso representado en la figura 242, en la que existe, conecta do a una red de corriente alterna, un circuito formado por tres bobinas en serie, cuyas resistencias son de R1, R2, y R3, ohmios y cuyos coeficientes de autoinducción respectivos valen L1, L2 y L3 henrios . 268
Por el circuito circulará una corriente cuya intensidad será alterna senoidal, d e igual frecuencia que la de la red de alimentación . Esta corriente dará lugar a dos caídas de tensión en cada bobina, una activa y otra reactiva . La caída de tensión activa en cada bobina será en cada instante igual al producto de l a intensidad instantánea de la corriente por e l correspondiente valor de la resistencia óhmica . Así, pues, se tiene respectivament e eR1
=P1 i
eR
,=P2 i
e R3
Fig . 242. Circuito formado por varia s resistencias e inductancias en serie .
=Ps i
Por su parte, la caída de tensión inductiva en cada bobina es igual al product o de la intensidad instantánea de la corriente por el correspondiente valor de la reactancia de auto -inducción . Así, pues, siendo los valores de las reactancia s
Xt =2r.fEr
X2 =
2r.f£2
Xy=
2rfL3
se tiene como valores de las caídas de tensión reactiva s ex1
= X1
1
ex, - X,
%
ex,
=
X3 I
En todo momento, la tensión instantánea v de la red, a la que está conectad o el circuito, debe ser igual a la suma de todas las caídas de tensión, tanto activas como reactivas, es decir, que debe verificarse V = (ep1 + ex ' ) + (eR, + es,)l\ + r(eR3 + ex3 1) Vamos a efectuar la suma geométrica de los valores eficaces de las distinta s caídas de tensión a fin de obtener el valor eficaz y fase de la tensión total de la red . Para ello, en la figura 243 adoptaremos el ej e F horizontal* como fase o dirección de la co rriente y tomaremos sobre el segmento OA e l valor eficaz de la caída de tensión óhmica ER I en la primera bobina, y sobre el segmen to AB, perpendicular a la dirección de 1, e l valor eficaz de la caída de tensión reactiv a ER, Ex2 G E.x t en esta misma bobina . La resultante OB , que cierra el triángulo OAB, cuyos cateto s son las dos caídas de tensión, representa e l valor eficaz de la tensión parcial V1 existent e 0 H J ER, A entre los bornes de la primera bobina . Por su Fig . 243 . Polígono de tensiones de un circuito con varias resistencia s parte, ip, señala el ángulo que está adelanta e inductancias en seri e do esta tensión parcial Vi respecto de la intensidad de corriente que recorre el circuito .
Trazando por el punto B la paralela BG a la dirección de I, tomaremos sobr e los segmentos BC y CD los valores eficaces de las caídas de tensión óhmica ER 2 y reactiva Ex 2 de la segunda bobina . De esta forma, el segmento BD que cierra el triángulo BCD representa el valor eficaz de la tensión parcial V2 existente entre lo s bornes de esta segunda bobina y (P2 señala el ángulo en que esta tensión está adelantada respecto de la intensidad de corriente . De igual forma, si sobre el segmento DE paralelo a la dirección de 1 tomamos el valor eficaz ER3 de la caída de tensión óhmica de la tercera bobina y sobre el segmento EF, perpendicular al anterior, el valor eficaz Ex3 de la caída de tensión reactiva de la misma, el segmento DF, que cierra el triángulo DEF, representa el valor eficaz de la tensión parcial V3 existente entre los bornes de esta tercera bobin a y lp3 señala el ángulo de adelanto de esta tensión respecto de la intensidad de corriente . Observemos que el segmento OF representa, por una parte, la suma geométrica de las tensiones parciales correspondientes a las tres bobinas conectadas en serie . Asimismo representa la suma total de las caídas de tensión, tanto activas como reactivas de las tres bobinas . Por otra parte, su dirección forma un ángulo lp con el ej e horizontal y representa el ángulo de adelanto de la tensión total V existente en l a red respecto a la intensidad de corriente I que recorre el circuito . La figura OABCDEF recibe el nombre de polígono de tensiones. Si en esa figura prolongamos la recta FE hasta encontrar a la dirección de I en el punto J, obtendremos el triángulo OJF, en el cual el cateto horizontal OJ representa la suma d e todas las caídas de tensión óhmica , (192)
OJ
=EP,+ER,+ER,=Ea
fórmula que permite afirmar : "En un circuito de varias bobinas en serie, la caída de tensión óhmica total es igual a la suma aritmética de las caídas de tensión óhmica correspondientes a las distintas bobinas" . De forma similar, el cateto vertical JF representa la suma de las caídas de ten sión reactivas de todas las bobina s
(193) JF=Ex,+Ex,+ Ex,=Ex fórmula que dice : "La caída de tensión reactiva total, en un circuito formado po r varias bobinas en serie, es igual a la suma aritmética de las caídas de tensión reactivas correspondientes a las distintas bobinas" . Según esto, la tangente del ángulo lp de desfase de la intensidad de corriente I que circula en el circuito respecto a la tensión total V de la red, val e (194)
tg
cp =
.Ex _ Ex, + Ex2 ER
ER, +
ER,
Ex, + Epa +
En cuanto a la tensión total, de acuerdo con el teorema de Pitágoras, valdr á
(195) 270
V= 3
ER ' +
Ex' = 3( ER, + FR2 + - ER8) ' + (Ex, + Ex, + Ex,) '
386 . Polígono de resistencia s
Dividiendo los segmentos que forman el polígono de tensiones de la figura 243 por el valor eficaz de la intensidad de la corriente I se obtendría el polígono de resistencias semejante al anterior . Sobre este polígono de resistencias se comprobaría que la resistencia óhmica total del circuito es igual a la suma aritmética de los valores de las resistencias óhmicas que en él existen
(196) R = R1 + R$ + Rs +
Asimismo, que la reactancia de auto—inducción total del circuito es igual a l a suma aritmética de las reactancias de auto—inducción de las distintas inductancia s que en él existen (197) X = XI + X2 + Xs + Por su parte, la impedancia total ofrecida por el circuito al paso de la corrient e valdrá (198)
Z=
{P' +
X2 = 3 ( Ql + M +
R,)2
+
(X, + X, + X,)
Finalmente, la tangente del ángulo lp, de desfase de la corriente 1 respecto a la tensión total de la red V, puede ser calculada mediante la fórmul a (199)
tg
~p
=
X _ X,+X2 +X; R R,+R2 +Rs
387 . Polígono de potencias
Multiplicando los segmentos que forman el polígono de tensiones de la figura 243 por el valor eficaz de la intensidad de la corriente 1 se obtendría el polígono de potencias, semejante tanto al polígono de tensiones como al de resistencias . Sobre el polígono de potencias se comprobaría que la potencia activa total de l circuito es igual a la suma aritmética de los valores de las potencias activas de las distintas resistencias existentes en el circuit o
(200) P = P, + Ps + Ps + Asimismo, que la potencia reactiva total del circuito es igual a la suma aritmé tica de los valores de las potencias reactivas de las distintas inductancias que en é l existen (201) Px = Px, + Px, + Px, Por su parte, la potencia aparente total del circuito valdr á
(202)
Pz = l' P 2 + Px2 = 3 (P, - P2 + P,) 2 ±
(Px, + Px2 t
Px,)2
Finalmente, la tangente del ángulo lp de desfase de la corriente I respecto a l a tensión total de la red V, puede ser calculada mediante la fórmula (203)
tg Ÿ
= Px P
Px, + Px2+Px, P, + Ps + Ps 271
0
Ejemplo 116 . Dos bobinas conectadas en serie forman un circuito a cuyos extremos s aplica una tensión alterna senoidal de 120 V de valor eficaz y 50 Hz de frecuencia . La primerae bobina tiene 3 S2 de resistencia óhmica y 0,015 H de coeficiente de auto-inducción, y la segun da 7 S2 de resistencia y 0,02 H de coeficiente de auto-inducción . Calcúlese este circuito : 1 .° Resistencia total del circuito, es igual a la suma de las resistencias parciale s
7 . Los factores de potencia parciales de las dos bobinas y el total del circuito serán, e n consecuencia, cos cp, = cos 57° 30' = 0,537 cos P2 = cos 41° 54' = 0,744 cos cp = cos 47° 42' = 0,67 3
R= R,+R2=3+7=10 Q 2 . 0 Las reactancias parciales de las dos bobinas se calculan mediante la fórmula (170), resultando
8.
X,= 2fL 1 =2 X3,14X50X0,015=4,71 Q X2 = 2af£2=2X3,14X50X 0,02 = 6,28 Q En consecuencia, la reactancia total del circuito, suma de las reactancias parciales, ser á igual a X=X1+X2=4,71+6,28=10,99 Q 3 .° Las impedancias parciales de las bobinas calculadas mediante la fórmula (181) tendrán un valor Z, = VP1 2 + X1 2 Z,= VP22+X4 2
= V32 + 4,71 2
= V72 +6,282
= 5,58 Q
=9,4 Q La impedancia total del circuito no es igual a la suma aritmética de las impedancias parcia les, sino a su suma geométrica . Su valor también es dado por la fórmula (198) tomando com o resistencia y reactancia las totales del circuito . Así, pues, se tiene como impedancia tota l Z = VP2 + X
2
2
= V10 + 10,992 = 14,85 Q
4:° La intensidad de la corriente que recorre el circuito tendrá como valor eficaz el co ciente que resulta de dividir el valor eficaz de la tensión aplicada al circuito por la impedanci a total del mismo V 120 t= Z 14,8 5 =~08 A 5 .° Las tensiones parciales en los bornes de cada bobina tiene como valor eficaz el pro ducto del valor eficaz de la intensidad de la corriente que recorre el circuito por el respectivo valor de la impedancia de la bobin a V, = Z, 1= 5,58 X 8,08 = 45,08 V V2 = Z, / = 9,4 X 8,08 = 75,95 V (Obsérvese que la suma de las tensiones parciale s V, + V2 = 45,08 + 75,95 = 121,03 V es mayor que la tensión total de 120 voltios aplicada al circuito, Io cual es debido a que las tensiones parciales VI y V2 no están en fase) . 6 .° Los desfases de la corriente respecto a las tensiones parciales en los bornes de cad a bobina y con la tensión total aplicada al circuito, valen = X' = 4,71 tg p1 = 1,57, de donde cp, = 57° 30' R, 3 tg P2
=
tgcp = 272
X2 P2 X R
— —
6,2 8 7
=
10,99 10 = 1,099, de donde cp = 47° 42 '
= 0,897, de donde cp 2 = 41° 54'
0
Las potencias activais parciales de las bobinas, de acuerdo con la fórmula (182), vale n P1 = V, f cos cp, = 45,08 X 8,08 X 0,537 = 195,6 W P, = V2 f cos p, = 75,95 X 8,08 X 0,744 = 456,6 W La potencia activa total absorbida por el conjunto, suma de las potencias activas parciales,
vale P = P, + P, = 195,6 + 456,6 = 652,2 W Valor que podría haber sido determinado directament e P = V / cos cp = 120 X 8,08 X 0,673 = 652,5 W 9 .0 Las potencias reactivas parciales de las bobinas serán calculadas mediante la fórmula (184)
Px, = V, t sen cp, = 45,08 X 8,08 X 0,843 = 307,05 VA r Px, = V / sen p, = 75,95 X 8,08 X 0,668 = 409,95 VA r
La potencia reactiva total del conjunto, suma de las potencias reactivas parciales de amba s bobinas, vale Px = Px, + Px, = 307,05 + 409,95 = 717 VA r Valor que podría ser determinado directament e Px = V I sen cp = 120 X 8,08 X 0,74 = 717 VA r 10° La potencia aparente total del circuito se calcula mediante la fórmula (183) toman do los valores eficaces de la tensión total y de la intensidad de corriente que recorre el circuito Pz = V / = 120 X 8,08 = 969,6 VA También podría haber sido calculado el valor de la potencia aparente total usando-la fórmula (202) siempre que se tomen como potencias activa y reactiva los valores totales antes calculados Pz = V P2 + Px 2 = V 652,5 + 7172 = 969 VA
2
C) CIRCUITO CON RESISTENCI A Y CAPACIDAD EN SERI E 388 . Triángulo de tensione s
Consideremos el circuito representado en la figura 244, constituído por una resistencia pura de R ohmios y un condensador de Cfarati a Vo sen« dios de capacidad . El conjunto está sometido a una ten sión alterna senoidal de valor eficaz V, en voltios, y frecuencia f, en herzios, y es recorrido por una corrient e ' cuya intensidad será alterna senoidal de igual frecuencia que la de la tensión de alimentàción . Esta corriente Fig . 244 . Circuito con resistenci a y capacidad en serie da lugár a dos caídas de tensión diferentes en el circuito . Una de ellas, óhmica, cuyo valor será, en cada instante, igual al producto del va -
n ""uHG'
27 3
lor de la resistencia R por el valor instantáneo de la intensidad de corriente que recorre el circuito . Así, pues, la caída de tensión óhmica valdr á
3 .a La tangente del ángulo ip es igual a la relación de los valores de las caída s de tensión capacitiva y óhmica
La otra caída de tensión es originada por la capacidad del condensador . Segú n vimos en el párrafo 372, su valor es asimismo variable e igual al producto de la reac tancia de capacidad del condensador multiplicado por el valor instantáneo de la intensidad de corriente . Así, pues, la caída de tensión reactiva de capacidad val e
ey=Yi =
i
2af C
En todo momento, la tensión instantánea de la red, a la que está conectado e l circuito, debe ser igual a la suma de los valores instantáneos de las dos caídas de ten sión, es decir, que se debe verificar v=eR +ey Como no es posible efectuar la suma aritmética de las caídas de tensión par a cada uno de los infinitos instantes que forman un ciclo, efectuaremos la suma geo métrica de los valores eficaces, para así obtener el va E =Rl B I lor eficaz de la tensión de la red . Así, en la figur a 245 tomamos en AB el valor eficaz de la caída d e tensión óhmica L'(z — R 1 en fase con la intensida d de corriente y en la perpendicular BC el valor efica z C de la caída de tensión reactiva de capacidad o capaFig . 245. Triángulo d e citiva L'y = Y 1. Esta caída de tensión capacitiva estensiones tá retrasada un ángulo de 90° respecto a la corriente , de acuerdo con lo expuesto en el párrafo 373 . La hipotenusa AC, que cierra el triángulo de tensiones ABC, representa el valor eficaz y la fase de la tensión existente ent r e los hilos de la red de alimentación . El desfase existente entre la corriente y la tensión viene señalado por el ángulo p , pudiendo comprobar cómo en este caso la corriente queda adelantada respecto a l a tensión . El triángulo ABC permite establecer las relaciones siguientes : L a La caída de tensión óhmica, como ocurre en un circuito inducido, e s igual a la tensión de la red multiplicado por el coseno del ángulo (p . Así se obtien e la misma fórmula (174)
El? = V cos y 2 . a La caída de tensión capacitiva es igual a la tensión de la red multiplicad o por el seno del ángulo tp (204) 274
Ey = V sen ~p
Ey
tg?=
(205)
eR=P i
El?
Por otra parte, el teorema de Pitágoras permite establecer otra ecuación qu e liga los tres valores de tensión . Esta ecuación e s
V=V ER2+Ey 2
(206)
fórmula que dice : "La tensión aplicada a los bornes de un circuito provisto de resistencia y capacidad es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los va lores eficaces de las caídas de tensión óhmica y capacitiva" . 389 . Triángulo de resistencia s Dividiendo las longitudes de los tres lados del triángulo de tensiones ABC de la figura 245 por el valor eficaz de la intensidad de corriente que recorre el circuito , se obtiene otro triángulo semejante al primero, que recibe el nombre de triángulo de resistencias y está represen- A' tado por A'B'C' de la figura 246 . En él el cateto horizon tal A'B' representa el valor de la resistencia del circuit o de la figura 244, ya que se tiene A'B'=
EQ_RI I I
R
Triángulo d e resistencia s
Fig. 246.
Por su parte, el cateto vertical B'C' representa la reactancia de capacidad o ca pacitancia del condensador . En efecto, se tien e
YI = Y
Ey
B'C'_
.1
I
Finalmente, la hipotenusa A'C' representa la resistencia aparente o impedancia del circuito de forma similar a lo que se indicó al estudiar el circuito formad o por resistencia y auto—inducción . Siendo, como hemos dicho, semejantes los triángulos ABC y A'B'C', el ángulo pp representa en este último el desfase entre la corriente l y la tensión V. Podemos establecer las relaciones siguientes : 1 . a La resistencia del circuito es igual al valor de la impedancia multiplicad o por el coseno del ángulo p
R=Z cos p 2 . a La reactancia de capacidad o capacitancia del circuito es igual al valo r de la impedancia multiplicado por el seno del ángul o (207)
Y
=
Z
sen
y 275
3 . 3 La tangente del ángulo es igual a la relación de los valores de la reactancia de capacidad o capacitancia y de la resistenci a
tg ~
(208)
_
-
Por otra parte : de acuerdo con el teorema de Pitágoras . podemos establecer l a siguiente expresión . que liga los tres valores de resistencia s (209)
Z=y' R'- y ¿
fórmula que dice : "Ln un circuito de corriente alterna que posee resistencia y capacidad, el valor de la impedancia del conjunto es igual a la raíz cuadrada de la sum a de los cuadrados de los valores de la resistencia óhmica y de la reactancia de capacidad o capacitancia " . Ejemplo 117 . Calcúlese el circuito de la figura 244, formado por una resistencia de 6 S2 y un condensador de 400 pl de capacidad, sometido a una tensión alterna senoidal de 150 V d e valor coca/ v 50 Ilr de frecuencia . 1°
La capacitancia del condensador, fórmula ( I73) . val e Y
1
1 .000 .000 2v3,14 50X400
2r.fC
390.
Multiplicando las longitudes de los tres lados del triángulo de tensiones ABC de la figura 245 por el valor eficaz de la intensidad de la corriente que recorre e l circuito, se obtiene un nuevo triángulo semejante . E l a" r triángulo así obtenido, el A"B"C" de la figura 247, recibe el nombre de triángulo de potencias. En este triángulo, el cateto horizontal A"B" representa la potencia activa del circuito ; el cateto vertica l B"C" la potencia reactiva, y la hipotenusa A"C" la potencia aparente .
-Y¿ -_ 1
62 +8 2
Pz = P
=10 S2
53° = 0, 6
53° = 0, 8 5 .° La caída de tensión óhmica en la resistencia R val e ER
V
.
cosy —
ER== 1?1=6X 15 = 90 V 6 .° La caída de tensión reactiva de capacidad y capacitiva en el condensador C, de acuerdo con la fórmula 121141 . valdrá y = 150
X
2
0,8 = 1 0 V
valor que también podía haber sido calculado mediante el producto de la capacitancia por la in tensidad de la corriente
Ey= Y/=8X
15=120 V
Esta tension reactiva es, precisamente, la que existe entre las armaduras del condensador 276
391.
cp = 150 X 15 X 0,8 = 1 .800 VAr = 1,8 kVAr
Corrientes activa y reactiva
Siguiendo un procedimiento análogo al expuesto en el párrafo 384, se pued e descomponer el valor de la intensidad eficaz de la corriente que recorre el circuit o formado por resistencia y capacidad en dos componentes : una activa y otra reactiva . La corriente activa, que está en fase con la tensión aplicada al circuito, tien e el mismo valor dado por la fórmula 18 7
la=lcos p
1500,6=90 V
valor que también podía haber sido calculado mediante el product o
Ey= V • sen
V1cosrp= 150 X 15 X 0,6 = 1 .350 W = 1,35 kW
Py = V / sen
1
cos u = cos sen y = sen
150 X 15 = 2.250 VA = 2,25 kV A
Finalmente, la potencia reactiva tiene un valo r
3 . " La intensidad eficai de la corriente que recorre el circuito es igual al cociente que resulta de disidir la tensión de la red por la impedancia del conjunt o
que corresponde a un ángulo y; — 53° . cuyo coseno y seno salen respectivament e
V1
Por su parte, la potencia activa es igual a
=~ ~
V _ t50_ = 15 A Z 10 4 .° II ángulo de destose, que en este caso es en adelanto de la corriente respecto de l a tension . sera calculado mediante la fórmula (208) . teniendo un valo r Y 8 — jg = = 1,3 3
e' Fig . 247. Triángulo de potencias
Ejemplo 118 . ¿Cuál es el valor de las potencias aparente, activa y reactiva del circuit o estudiado en el ejemplo anterior ? La potencia aparente val e
" La impedancia del conjunto . de acuerdo con la formula (2119) . toma un valo r
Z= 3 R z
Triángulo de potencia s
Por su parte, la corriente reactiva, adelantada un ángulo de 90 0 respecto a la tensión, tiene el valor dado por la fórmul a
ly=lsen p Ejemplo 119 . ¿Cuáles son los valores de las componentes activa y reactiva de la intensidad de corriente existente en el circuito provisto de resistencia y capacidad estudiado e n los ejemplos anteriores ? La componente activa valdrá la=/coscp= 15X0,6=9 A En cuanto a la componente reactiva valdrá
ly= !sen p=15X0,8=12A 277
D) 392 .
CIRCUITO CON VARIAS RESISTENCIA S Y CAPACIDADES EN SERI E
Composición de tensione s
Consideremos el caso representado en la figura 248, en el cual aparece, conec tado a una red de corriente alterna, un circuito formado por las resistencias R 1 y R 2 y dos condensadores de capacidad C1 y C2 , todos ellos acoplados en serie . Por el circuit o 3c Vo s n .< f--circulará una corriente cuya intensidad ser á alterna senoidal, de igual frecuencia que la de la red de alimentación . Esta corriente determina caídas de tensión activas en las resistencias y reactivas en los condensadores . Cada Fig . 248 . Circuito formado por varia s resistencias y capacidades en serie. caída de tensión activa es igual ál product o de la intensidad instantánea de la corrient e por el correspondiente valor de la resistencia óhmica . Así, pues, se tiene respectivamente ep,
=R,
eR2
j
=R2
j
ey2
2 tfC,
=
j
v = el?, + eR2 + ey, + ey 2 Efectuando la suma geométrica de los valores eficaces de las distintas caída s de tensión, como se indica en la figura 249, se forma el triángulo rectángulo O B D , cuyo cateto horizontal O B representa la suma de toda s las caídas de tensión óhmica, mientras que el cateto vertical B D representa la suma de todas las caídas de tensión reactivas . El ángulo señala que la intensidad d e corriente 1, que circula en el circuito está adelantada resD pecto de la tensión total V de la red , El valor de la tangente del ángulo ye es
ER ER, + ER, +
En cuanto a la tensión total, de acuerdo con el teorema de Pitágoras, valdrá
(211) 278
V= VER 2 +Ey 2=
¡
Y= Yi +Y2
(ERA+Ep2+ . . . .)2+(Ey,+Ey'2+ . . . .)e
+
Según el teorema de Pitágoras, la impedancia total ofrecida por el circuito a l paso de la corriente será + Y2
= V(RI
+
+ R2
. . . .)2 + (YI +
Y2 + . . . .) 2
Por su parte, la tangente del ángulo Ip de desfase de la intensidad de corrient e 1, respecto a la tensión total V, puede también ser expresada mediante la fórmul a (213)
1g~—
Yt+Ys+ . . . . .
Y
R—RI+R2+
Ejemplo 120. Calcúlese el circuito de la figura 248, constituido por dos resistencias d e 4 y 6 S2 y dos condensadores de 800 y 1 .000 ¡Il- . A los extremos del mismo se aplica una ten-
sión alterna senoidal de 250 V de valor eficaz y 50 1 .0
Hz
de frecuencia .
La resistencia total del circuito val e 1? —R,+R2 =4+6=1052
2.0 Las reactancias de capacidad de cada condensador so n _ 1 .000 .000 = _ 1 4 Y' 2af C, 2 X 3,14 X 50 X 800 1 .000 .000 _ 1 = 3,2 Y2 ,14 14. . X 50 X 1 .000 2 7 f C 2 — 2 X 3,1 En consecuencia, la reactancia de capacidad total valdrá
Fig . 249. Composición de tensiones .
fg ~ = Ey= Ey i +Ey2 +. . . . .
+
Asimismo, la reactancia de capacidad o capacitancia total del circuito es igua l a la suma aritmética de las capacitancias de los distintos condensadores que constituyen el circuito .
2fC2
En todo momento, la tensión instantánea de la red a la que está conectado e l circuito, debe ser igual a la suma de todas las caídas de tensión, tanto activas com o reactivas, es decir, que en todo instante, debe verificars e
(210)
R=R~+RY
(212) Z = 1/R2
j
Por su parte, las caídas de tensión reactivas en los condensadores, serán de lo s valores siguientes : ey, _
Dividiendo los lados que forman el triángulo de tensiones OBD, de la figura 249, por el valor eficaz de la intensidad de la corriente que recorre el circuito, obtendremos un nuevo triángulo, semejante al primero, que es el triángulo de resisten cias . Sobre el triángulo de resistencias se comprueba que la resistencia total del cir cuito es igual a la suma aritmética de los valores de las resistencias óhmicas que en tran en el circuito
3 .0
SZ
Y= Y, -~- Y2 =4+ 3,2=7,252 La impedancia total ofrecida por el circuito es d e Z
= 1782 + Y Z
= V10 2 + 7,22 — 12,3 S2
4 . 0 La intensidad de corriente que recorre el circuito e s 250 V 20 A 1= . Z = 12,3 = 279
5 .° El desfase de la intensidad respecto de la tensión total aplicada al circuito, es un ángulo cuya tangente vale !g
10 = 0,7 2 R lo que indica que la corriente se encuentra adelantada un ángulo de 35° 45 ' respecto de la tensión . 6.0
$
FI factor de potencia del circuito vale
cos p = cos 35° 45' = 0,81 2
CAPITULO XXVII I
394 . Triángulo de potencia s
CIRCUITO CON RESISTENCIA, AUTO—INDUCCIO N
Multiplicando los lados que forman el triángulo de tensiones de la figura 24 9 por el valor eficaz de la intensidad de corriente que recorre el circuito, obtendremo s un nuevo triángulo semejante al de tensiones, que es el triángulo de potencias . Observemos que las potencias activas y reactivas totales son iguales a las suma s aritméticas de las potencias activas y reactivas parciales . Por su parte, según el teorema de Pitágoras, la potencia aparente total del circuito valdr á (214)
Pz=VP2+Py2=V(P,+PZ+ . . . .)e+(Py,+Py2+ . . . .) 2
Asimismo se comprueba que la tangente del ángulo p de desfase de la intensidad de la corriente que recorre el circuito respecto de la tensión total aplicada a l mismo, puede también ser expresada por la fórmul a (215)
tg ?
_
Py P
Py 1+Py2-I- P, + P, +
Ejemplo 121 . ¿Cuánto valen las potencias aparente, activa y reactiva totales to estudiado en el ejemplo 120 ? La potencia aparente vale
Pz= V/= 250 ;<20=5 .000VA=5kV A La potencia activa o real será igual a P = Pzcos'=5X0,812=4,06k W La potencia reactiva, siendo sen,p = 0,584, toma un valor d e Py=P• sen { =5X0,584=2,72kVAr
del circui-
Y CAPACIDAD EN SERI E
395 . Composición de tensiones Consideremos el esquema representado en la figura 250, correspondiente a u n circuito, conectado a una red de corriente alterna, que contiene una bobina cuya resistencia es R, en ohmios, y coeficiente de auto—inducción L, en henrios, y un con densador de capacidad C, en faradios . Siendo V la tensión eficaz aplicada al circuito, éste será recorrido por una corriente cuya intensidad será alterna senoidal, de igual fre cuencia que la de la tensión . La corriente dará lugar a tres caídas de tensión distintas : una de ellas, óhmica, de valo r instantáneo eR = Ri. La segunda, inductiva o reactiva, de valor instantáneo ex = Xi. Finalmente, la tercera caída de tensión es capacitativa y de valor instantáneo ey = Yi. Fig. 250 . Circuito formado por resisEn todo momento, la tensión instantáne a tencia, inductancia y capacidad en seri e de la red de alimentación, a la que está conec tado el circuito, debe ser igual a la suma de los valores instantáneos de las tres caída s de tensión, es decir, que se debe verifica r V =
ep
–}-
ex+ey
De forma similar a lo indicado en casos anteriores, es preciso efectuar la suma geométrica de los correspondientes valores eficaces para obtener el valo r eficaz de la tensión de la red de alimentación . D A este efecto, adoptaremos el eje horizontal co Fig . 251 . Composición d e tensiones mo fase o dirección de la corriente (fig . 251) . Enton ces, el vector AB representa la caída de tensión óhmi BC la caída de tensión reactiva de auto—inducció n (en fase con la corriente), ca ER 280
281
Ex (adelantada un ángulo de 900 respecto de la corriente) y BD la caída de tensió n reactiva de capacidad Ey (retrasada un ángulo de 90 0 respecto de la corriente) . Observemos que los vectores representativos de las caídas de tensión reactiv a de auto--inducción Ex y de capacidad L)' se encuentran en la misma dirección, per o sus sentidos son contrarios . Por consiguiente, la caída de tensión reactiva resultant e o total será igual a la diferencia de amba s (216)
Exy=Ex — Ey
Esta fórmula indica que, según que el efecto de auto--inducción del circuit o sea mayor o menor que el efecto de capacidad, el valor de la caída de tensión reactiva total será positiva o negativa . En la figura 251 se ha supuesto que el efecto de auto -inducción es mayor qu e el de capacidad, por Io que la diferencia Ev — Ev es positiva y el vector BF = BC — BC queda por encima del vector AB origen de fases . La tensión total en los bornes del circuito, suma geométrica de las caídas d e tensión óhmicas ER y reactiva resultante Ex y = Ex — L'y, queda representada po r la hipotenusa AF, que cierra el triángulo rectángulo ABF, que constituye la sum a geométrica de los tres vectores dados . Por lo tanto, la hipotenusa AF da el valor y la fase de la tensión de la red V. Según el teorema de. Pitágoras, el valor de esta tensión e s (217)
V = VER' + Ex? = VER' +(Ex—Ey) 2
Por otra parte, las leyes trigonométricas nos permiten establecer las dos ex presiones siguientes ER = V cos ?
Exy= Vsen'.
En la figura 251 el ángulo representa el desfase existente entre la corrient e I que recorre el circuito y la tensión total V aplicada al mismo . El valor de su tan gente es dado por (218)
tgcp— Exy — ER
Ex—Ey ER
Si se dividen los segmentos vectoriales de la figura 251 por el valor constant e de la intensidad eficaz de la corriente 1, que circula por el circuito, se obtiene un a nueva figura 252 semejante a la primera . En la figura así obtenida, el segmento- A' B' representa la resistencia óhmica R del circuito, B' C' la reactancia de auto—inducción X y B' D' la reactanci a . de capaci dad Y. Ahora bien, como quiera que los vectores representativos de las reactancias de auto—inducción y capacidad se encuentran en la misma dirección pero en senti_ _c do contrario, la reactancia total será igual a la diferencia aritmética de las dos componente s (219)
1
X
fC
El signo de esta diferencia indica cual es el fenómeno dominante en el circuito, si el de auto--inducción o el de capacidad . D' Fig . 252 . Composición En la figura 252 la hipotenusa A' F' del triángul o de resistencias . A'B'F' representa la resistencia aparente o impedancia Z del circuito completo, cuyo valor, de acuerdo con el teorema de Pitágoras, e s (220)
Z =V R~ + (X — Y)2
Siendo semejantes las figuras 251 y 252, el ángulo ye es de igual valor en una y otra . Así, pues, el signo del ángulo de desfase depende del que tenga la diferenci a X — Y de las reactancias componentes . Si esta diferencia resultara positiva a caus a de que el efecto de auto—inducción es mayor que el de capacidad, el ángulo tambien será positivo, lo que indica que la tensión V de la red irá en adelanto respect o de la corriente 1 que recorre el circuito . Por el contrario, si el efecto de capacida d fuera mayor que el de auto—inducción, será negativa la diferencia X — Y de los valores de la reactancia, y asimismo será negativo el ángulo cp, lo que indica que la tensión V de la red irá retrasada respecto de la intensidad de la corriente 1 que recorr e el circuito . En la figura 252 se comprueba que el ángulo p, dado por su tangente, val e (221)
tg cp =
Asimismo se deducen las expresione s Como ya se ha dicho, si el efecto de auto inducción es superior al de capacidad, el punto D extremo del vector representativo de la caída de tensión reactiv a total, queda por encima del eje AB origen de fases, siendo el ángulo ye positivo . En cambio, si el efecto de capacidad fuera superior al de auto - inducción, e l punto D quedaría por debajo del vector origen de fases, siendo el ángulo p negativo . Así, pues, se deduce que el signo del ángulo ye es el mismo que el de la diferen cia Ex — Ey de las caídas de tensión reactivas . 282
R=Zcosy
X— Y
-
X—Y=Zsen p
397 . Composición de potencia s Multiplicando las longitudes de los segmentos de la figura 251 por el valor eficaz de la intensidad de corriente que recorre el circuito, obtendremos una nueva figura semejante a las anteriores (fig . 253). 283
En esta figura, el segmento A"B" representa la potencia activa P absorbid a por el circuito . Por su parte, los segmentos B"C" y B"D" representan respectiva mente las potencias reactivas de auto-inducción Px y de capacidad Py. Estas potencias reactivas tienen dis puestos sus vectores en la misma dirección, pero en sen tido contrario, por lo que la potencia reactiva resultan te será igual a la diferencia aritmética de las dos componentes (222)
Pxy = Px — Py
El signo de esta diferencia señala cual es el fenómeno dominante en el circuito, si el de auto -inducción o el de capacidad . En la figura 253 la hipotenusa A"F" del triángulo rectángulo A"B"F" representa la potencia aparente Pz del circuito completo, cuyo valor, de acuerdo con e l teorema de Pitágoras, e s Fig. 253 .
Composición de potencias
(223)
Pz = V P2 + Pxy 2 =
Vp 2 + ( Px - Py)2
El ángulo del triángulo A"B"F " de la figura 253 es exactamente el mismo que el de las figuras 251 y 252 . El signo de dicho ángulo es el mismo que el que re sulta de la diferencia de las potencias reactivas componentes Px - Py. Si esta dife rencia fuera positiva (a causa de ser mayor la potencia reactiva de autoinducció n que la reactiva de capacidad), el ángulo será positivo, indicando que el desfase d e la tensión es en adelanto respecto de la intensidad de corriente que recorre el circui to . Por el contrario, si la potencia reactiva de auto -inducción es menor que la capacidad, la diferencia Px - Py será negativa y asimismo lo será el ángulo (p, indican do que la tensión de la red queda retrasada respecto de la intensidad de la corrient e que recorre el circuito . El ángulo dado por su tangente val e Px — Py (224) 1g cp = Pxy P P Asimismo se deducen las expresiones
P=Pz cos yp
Pxy = Pz sen y
Ejemplo 122. Una bobina, que tiene 3 S2de resistencia y un coeficiente de auto-inducción de 0 .0127 Hz, se halla conectada en serie con un condensador de 400 ElE de capacidad . A los bornes del circuito así constituído se aplica una tensión alterna senoidal de 500-V de valor eficaz y 50 Hz de frecuencia . Cálculese este circuito . 1 . 0 La reactancia de auto-inducción vale, (fórmula 170) , X = 2-fE=2X3,14X50X0,0127= 4 2 La reactancia de capacidad es igual a . (fórmula 173) . 1 Y= — 1 .000 .000 = 82 2zfC 2X 3,14 X 50 X 400 284
En consecuencia, la reactancia resultante, diferencia de las reactancias de auto-inducción y capacidad, vale X-Y=4-8=-452 El signo negativo de la diferencia indica que en el circuito domina el fenómeno de capacidad, lo que es evidente teniendo en cuenta que la reactancia de capacidad es de 8 2, mientras que la de auto-inducción es sólo de 4 S-2 . 2.° La impedancia total del circuito vale, (fórmula 220) , Z={~R'+(X—Y)2 =V3'+(4—8)' =552 3 . ° La intensidad eficaz de la corriente que recorre el circuito val e = V = 500= 100 A 1 4 .° La tangente del ángulo de desfase (pe s X—Y — 4— 8 = — 1,3 3 tg p _ R 3 lo que indica que la tensión de la red va retrasada un ángulo 'p = 36 0 50 ' respecto a la intensidad de la corriente . El factor de potencia será coS = cos 36° 50' = 0, 6 5 .0 La potencia activa absorbida por el circuito val e P=R1'=3 X 100'=30 .000W =30kW 6 .0 Las potencias reactivas componentes valen respectivamente Px=X12 =4X 100 2 = 40 .000 VAr = 40 kVA r Py= Y12 =8X 100 2 =80 .000VAr=80kVA r En consecuencia, la potencia reactiva resultante será Pxy = Px — Py = 40 — 80 = — 40 kVA r valor negativo, ya que, como sabemos, domina el efecto de capacidad . 7 . 0 La potencia aparente total del circuito es d e Pz = VP + Px? = V302 + (—40)2 = 50 kVA valor que también se hubiera obtenido mediante la expresión Pz=Z12 =5X,1002 =50.000 VA=50kV A
RESONANCI A 398 . Condiciones de resonanci a
Según sabemos, la intensidad de la corriente que recorre un circuito constituído por resistencia pura, auto--inducción y capacidad en serie, viene dada por la ex presión
Z VR 2 + (X El valor de esta intensidad de corriente será máxima cuando se verifique l a igualdad de las reactancias de auto -inducción y capacidad X= Y Recordando las fórmulas de los valores de X (fórmula 170) y de Y (fórmula 173) se puede también poner la igualda d
2rfL= 2af C 285
Cuando ésto ocurre, se dice que el circuito está en resonancia y en tales condi ciones la intensidad de corriente toma un valo r V j R es decir, exactamente el mismo que si el circuito contuviera solamente la resistenci a pura R . Como quiera que la reactancia resultante es nula, el ángulo de desfase result a también nulo, Io que indica que en un circuito en resonancia se encuentran en fase la tensión de la red y la intensidad de corriente que recorre el circuito . En un circuito con resonancia de tensión se presentan fenómenos muy curiosos que en algunas ocasiones pueden ser perjudiciales,incluso peligrosos . En efecto , en circuitos con resonancia, las tensiones reactivas correspondientes a la auto inducción y la capacidad pueden tomar valores muy superiores al de la tensión de l a red aplicada al circuito . Sea el circuito de la figura 250, formado por una bobina AB de resistencia R y coeficiente de auto inducción L acoplada en serie a un condensador de capacida d C. Sus respectivas reactancias son iguales, por lo que el circuito se encuentra en resonancia . En estas condiciones, la corriente que circula por el circuito tiene el valo r arriba indicado . Supongamos además que sea pequeño el valor de la resistencia óhmica R de l a bobina . Entonces el valor de la corriente será elevado, resultando, en consecuencia , también elevadas las tensiones reactivas parciales correspondientes a la auto inducción y al condensador . De esta manera se puede dar el caso paradógico que, en l a instalación de la figura 250, los volt ímetros VI y V2 . que miden las tensiones existentes en los bornes de la bobina AB y del condensador BD, señalen valores muy superiores al indicado por el volt ímetro V, que mide la tensión de la red . Así, pues, se ve que el efecto de resonancia determina sobretensiones en algunos puntos del circuito, con el consiguiente peligro para el aislamiento de los conductores, calculado para el valor de la tensión de la red de alimentación y que al estar sometido a tensiones mucho más fuertes puede resultar perforado .
Veamos ahora las tensiones parciales correspondientes a la bobina meramente determinamos la impedancia parcial de la bobina, que val e
Z,
V R9
+
X'2
=Y
0,5 9 + 9,422
= 9,43
y
al condensador . Pri-
S2
En consecuencia, la tensión en los bornes de la bobina será d e V, = Zl 1= 9,43 X 300 = 2 .829 V Por su parte, la tensión existente entre las armaduras del condensador será d e V2 =Y1=9,42X300=2 .826 V Este ejemplo hace ver que se presentan fuertes sobretensiones en el circuito, a causa del fenómeno de resonancia . Es de notar que en las redes normales de 50 y 60 Hz es difícil, prácticamente imposible , que se presenten estos fenómenos de resonancia . I`n cambio son corrientes en altas frecuencia s aprovechado este fenómeno en las aplicaciones de Radio y Televisión . Si en la igualdad de la pag. 285 despejamos la frecuencia se obtiene la fórmul a
f = 2rr L C que da el valor de la frecuencia que pone en resonancia un circuito de corriente alterna que tiene un coeficiente de auto -inducción L en herzios y una capacidad Cen faradios .
Ejemplo 123 . Una bobin9 de 0 .5 S2 de resistencia óhmica y 0,03 1-1 de coeficiente de auto-inducción se halla conectada en serie con un condensador de 335 pI de capacidad . E l circuito se halla sometido a una tensión de 150 V y 50 Hi . Istúdiese el circuito . La reactancia de auto-inducción . fórmula (170) . val e X=2ttfL=2X3,14X50X0,03—9,42
La reactancia de capacidad, fórmula
Y
2fC
es igual a
(173),
1
1 .000 .000 2
X
S2
3,14
X
50
_
X
33 5
9'4252
Como se ve, el circuito está en resonancia, ya que son iguales las reactancias de aut ción y capacidad . La intensidad de corriente que recorre el circuito val e
1=
R
o-induc-
1050
=
= 300 A
287
CAPITULO XXI X CIRCUITOS DERIVADOS 399. Generalidades La distribución de la energía eléctrica es efectuada prácticamente por circuitos derivados, todos ellos sometidos a la misma tensión, cuyo valor debe permanece r aproximadamente invariable en toda la longitud de la línea de alimentación de lo s circuitos . El estudio de las características eléctricas en un conjunto de circuitos deriva dos ofrece mayores dificultades que el de los circuitos con receptores en serie . Un procedimiento seguro y sencillo está basado en el principio de separación de las potencias activa y reactiva, el cual va a ser expuesto a continuación . 400.
Principio de la separación de potencia s
Este principio se enuncia así : "En un conjunto de receptores de corriente alterna se conservan por separado las potencias activa y reactiva" . Este principio es aplicable tanto a los circuitos en serie como a los derivado s o en paralelo . Al estudiar los circuitos en serie ya se demostró que la potencia activa to tal era igual a la suma aritmética de las potencias activas parciales y que la potenci a reactiva total era igual a la suma aritmétic a de las potencias reactivas parciales, tanto inductivas como capacitivas . Vamos a demostrar este principio e n los circuitos derivados . Para ello nos referi Fig. 254. Circuitos derivados remos al conjunto de tres circuitos derivado s que aparecen en la figura 254, los cuales están conectados a una red de corriente alterna en la que existe una tensión de valo r eficaz V, en voltios, y frecuencia f, en herzios . 288
El primero de estos circuitos está constituido por una resistencia pura de R 1 ohmios, y una inductancia de coeficiente de auto—inducción L1 herzios . Este circuito será calculado aisladamente, resultando que su impedancia es Z1 y que la corriente alterna senoidal tiene una intensidad eficaz de Il amperios, retrasada (po r ser circuito inductivo) un ángulo (pl respecto de la tensión de la red . El segundo de los circuitos derivados contiene una resistencia de R2 ohmios y un condensador de C2 microfaradios . Calculado independientemente este circuito , se determina su impedancia Z2, así como la corriente absorbida, cuya intensida d eficaz designaremos por 12 amperios, estando adelantada (por ser circuito capacitivo) un ángulo tP2 respecto de la tensión de la red . Finalmente, el tercer circuito está constituido por una resistencia de R 3 ohmios, una inductancia cuyo coeficiente de auto--inducción es de L 3 herzios y u n condensador de C3 microfaradios, conectados en serie, pero de valores tales que domina el efecto de auto --inducción sobre el de capacidad . Calculado por separado este circuito, se determina su impedancia Z3, así como el valor eficaz de la intensida d de la corriente absorbida 13 y el ángulo de desfase respecto a la tensión (p3 (ángulo que en este caso queda en retraso por dominar en el circuito el efecto de auto -inducción) . Designemos por i1, i2 e i3, los valores instantáneos de las intensidades de la s corrientes que respectivamente absorben los tres circuitos derivados . Es indudabl e que en todo instante la intensidad instantánea absorbida de la red por el conjunt o de los tres receptores es igual a la suma aritmética de los valores instantáneos de la s intensidades de corriente parciales de los distintos circuitos, o sea, que se debe veri ficar % =i1+
/ + ¡s
Dado que no es posible efectuar esta suma aritmética para el infinito númer o de instantes comprendidos en un período, es necesario recurrir a la suma geométric a de los valores eficaces de las intensidade s de corriente parciales para determinar e l valor eficaz de la intensidad de corrient e total absorbida por el conjunto . Para ello tomaremos como eje d e referencia de fases el vector de la tensión 0 V, ya que este valor es común a los tre s circuitos derivados (fig . 255) . Entonces , a partir del origen A, trazaremos sucesiva Fig. 235. Composición de las intensidades mente los vectores de las intensidades d e parciales de circuitos derivados los circuitos, formando el ángulo de desfase correspondiente . Así, AB, que representa la intensidad Il , forma un ángul o 'P l en retraso respecto al vector de la tensión . Luego, sobre BC tomaremos el vector representativo de la intensidad 12, de manera que forme un ángulo P2 en adelanto res289
pecto a la línea BM, paralela al eje de referencia . Finalmente, CD representa la inten sidad I3_, estando trazado de manera tal que forme un ángulo i p3 en retraso respect o a una recta paralela al eje de referencia . Como se explicó en el párrafo 348, la suma de los tres vectores vendrá dada , en valor y ángulo, por el vector AD que cierra el polígono de vectores . De acuerdo con la figura 255, podemos expresar lo siguiente : 1 .° La intensidad de corriente activa total es igual a la suma aritmética de la s intensidades de corriente activas parciales, ya que se verific a AG=AE+EF+F G
401 .
Potencia aparente total del conjunt o
Conocidos los valores de las potencias activa y reactiva totales absorbidas po r el conjunto de los circuitos derivados, quedará fácilmente determinada la potenci a aparente total mediante la fórmula ya conocida P
= Vp 9
Inmediatamente puede ser deducida la intensidad de corriente total absorbid a por el conjunto, que valdrá
I cos 9
=
4 cos pi
+ /,
cos
92 + /, cos 9,
2 .° La intensidad de corriente reactiva total es igual a la suma algebraica d e las intensidades de corriente reactivas parciales, ya que tiene
AK
= AH ,— HJ + J K
expresión que también se puede poner as í
(II) I sen cp = 1i sen pi — 1, sen 9, + I, sen tp, En esta última fórmula los términos Il sen ~pl e I3 sen cp3 son positivos, ya qu e corresponden a circuitos inductivos . En cambio 1 2 sen `p2 es negativo, por ser capa-
citivo el segundo circuito . Multiplicando las igualdades (1) y (II) por el valor eficaz de la tensión V se ob tienen las siguientes
V 1 cos
cp =
V lt cos p t + V I, cos 92 + V I, cos p,
V / sen p = V It sen 91 — V /, sen y . + V 1, sen
cp s
Ahora bien, el producto de los valores eficaces de la tensión y de la intensida d por el coseno del ángulo de desfase entre ambos, representa precisamente la potencia activa de la correspondiente parte del circuito . Asimismo, el producto de los va lores eficaces de la tensión y de la intensidad por el seno del ángulo de desfase entr e ambos representa, por su parte, la potencia reactiva . Así, pues, resulta, respectiva mente Potencia activa total P = P, + P, + Pe Potencia reactiva total Pxy =
Px, — Py,
+ Pxy.
lo que demuestra que la potencia activa total es igual a la suma aritmética de las potencias activas parciales, mientras que la potencia reactiva total es igual a la suma al gebraica de las potencias reactivas parciales, en la cual hay que tener en cuenta lo s signos de las potencias reactivas . 290
P
I—
igualdad que también se puede poner de la forma siguient e
(I)
+ Pxy'
así como el ángulo de desfase de esta corriente respecto a la tensión, de acuerdo co n la fórmula tagcp=
Pxy
P Podría también deducirse los valores de la impedancia, resistencia y reactanci a combinadas del conjunto, para lo que se aplicarán las fórmula s
Z=
Î
X— Y= Z sen y
P= Zcoscp
Si la expresión X — Y resulta positiva (para lo que es necesario que el ángul o (p también sea), en el conjunto de los circuitos paralelos dominará el efecto de auto inducción, mientras que si es negativa indica que el efecto de capacidad del conjunto predomina sobre el de auto—inducción . Ejemplo 124 . Los tres circuitos de la figura 254 se encuentran dispuestos en derivación y sometidos a una tensión de 220 V y 50 Hz de frecuencia . El primero contiene una resistencia R I = 4 S2 y una inductancia cuyo coeficiente de auto-inducción vale LI = 0,02 H . El segun do está constitu ído por una resistencia R2 = 5 S2 y un condensador de C2 = 960 µ F de capacidad . Por su parte, el tercero comprende una bobina de R3 = 2 S2 de resistencia y L3 = 0,0 1 H de coeficiente de auto-inducción y un condensador de C3 = 2 .000 µ F de capacidad . Calcúlese los valores de los distintos circuitos y los del conjunto . Estableceremos primeramente el siguiente cuadro de cálculo . Circuito
CONCEPTO Reactancia de auto-inducción Reactancia de capacidad Reactancia resultante
Q 4 u
6,28 — 6,28
Impedancia .' Intensidad de corriente tg cp = (X— Y) : R Angulo de desfase . . . Potencia aparente Potencia activa Potencia reactiva
S? A
7,44 29,5 1,57 57° 30' 6 .490 3 .490 5 .480
.
.
.
.
VA W VAr
Circuit o ' II
Circuito lit
— -3,18 -3,18
3,1 4 -1,5 9 1,5 5
6 36,6 — 0,636 — 32° 30' 8 .052 6.790 e- 4 .300
2,5 2 87, 5 0,77 5 37° 45 ' 19.250 11 .800 13 .450 29 1
A continuación se calculan las potencias activa y reactiva totales del conjunto . La potencia activa total vale P=P,+P2 + P8 = 3 .490+6 .790+11 .800=22 .080 W Asimismo, la potencia reactiva total será igual a PxyPxr — PyZ +Pxya=5 .480 — 4 .300+13 .450=14.630VA r Por consiguiente, la potencia aparente total del conjunto ser á Pz = 3 P' + Pxy' = V22.080' + 14 .630' = 26.480 VA La intensidad de la corriente total absorbida por el conjunto es igual a Pz = 26.480 = 120 A V 220 En cuanto al ángulo de desfase de la corriente total absorbida por el conjunto respecto a la tensión de la red será obtenido mediante la expresió n _ Pxy _ 14 .630 tg 1662 (P P 22 .080 = ' de donde resulta que el ángulo de desfase es (p = 33° 30 ' , comprobándose que el efecto domimante en el conjunto es el de inductancia, ya que la tangente del . ángulo pes positiva .
CAPITULO XXX
/=
SISTEMAS POLIFASICOS 402. Generalidades Hasta ahora, el estudio efectuado se ha referido a una sola corriente .alterna, e s decir, a lo que se llama corriente alterna monofásica . Pero en la práctica resulta más conveniente el empleo simultáneo de varias corrientes alternas monofásicas de igual valor eficaz e igual frecuencia, pero de distinta fase, formando un sistema polifásico de corrientes . Recibe el nombre de sistema polifásico de corriente el conjunto formado po r varias corrientes alternas monofásicas de igual frecuencia e igual valor eficaz, per o defasadas entre sí un ángulo eléctrico igual a 360° dividido por el número de corrientes monofásicas que componen el sisteina . Así, un sistema trifásico es el conjunto de tres f. e . ms. monofásicas defasadas 120° eléctricos, y un sistema exafásico e s el conjunto de seis f . e . ms . monofásicas defasadas 60° eléctricos . Por excepción, recibe el nombre de sistema bifásico el conjunto de dos f . e . ms . alternas monofásicas defasadas entre sí 90° eléctricos (en lugar de 180° que debiera ser de acuerdo con la definición anterior) . La representación senoidal de un sistema polifásico de corrientes consiste e n un número de senoides igual al de fases, desplazadas entre si un ángulo igual al eléc trico que caracteriza al sistema . La representación vectorial de un sistema polifásico de corrientes consiste e n una estrella de tantos vectores iguales como sea el número de fases, colocados d e manera que, cada dos consecutivos, formen el ángulo característico del sistema .
A) TENSIONES E INTENSIDADE S 403.
Sistema bifásico de f . e . ms .
Un sistema bifásico es el formado por dos f. e . ms . alternas monofásicas, d e igual frecuencia e igual valor eficaz, defasadas, una con respecto a la otra, la cuart a parte de un período, es decir, 90° eléctricos . 292
293
Si en el campo magnético creado por un sistema bipolar N --S (fig . 256) colocamos dos conductores A y B en dos puntos del rotor cuyos radios forman un ángulo de 900 , al girar simultáneamente eso s dos conductores, las fuerzas electromotrices inducidas en los mismos formarán u n sistema bifásico . Cuando la fuerza electromotriz de l conductor A es máxima, como sucede en e l instante representado en la figura, la f . e . m . del conductor B es nula . Cuando el rotor haya girado un cuarto de vuelta, la f. e . m . del conductor A será nula, mientras que la del conductor B será máxima . Así, pues, ambas f . e . ms . estarán defasadas 90° eléctricos . Fig. 256. Generación de un sistema bifásico de f. e . ms. El sistema bifásico tiene como repre sentación senoidal la de la figura 257, a), e n la cual existen dos senoides e A y eB desplazadas un cuarto de período . De igual manera, la representación vectorial es la de la figura 257, b), en la cual se ven dos vec tores iguales EA y E B que forman un ángulo EA de 90° . Para la realización práctica de un sis tema bifásico de f . e . ms ., se disponen en e l inducido del generado r dos bobinados independientes, cuya posició n está desplazada 90° eléctricos uno con respect o Fig. 257 . Representación de un sistema bifásico : al otro . En la figura 25 8 a) senoidal; b) vectorial están representados esquemáticamente los bobinados de las dos fases, cuyos principios son U y V, y finales X e Y . En la práctica, los dos bobinados de un sistema bifásico presentan, directa mente unidos, sus dos finales XY, dejando libres sus dos principios U y V . El punto de conexión y los dos principios forman los tres terminales de la máquina, que están unidos a los hilos de la red bifásica . El hilo unido al punto de conexión de los finales recibe el nombre de hilo común, y los otros dos son conocidos como hilos extremos. Veamos ahora cómo están relacionadas las tensiones entre hilos extremos y entre éstos y el hilo común, y las corrientes que circulan por el hilo común y por lo s hilos extremos . 294
1 .° En un sistema bifásico es preciso tener en cuenta, además de la tensió n simple Vf existente entre los extremos de cada una de las fases, la tensión entre lo s hilos extremos, llamada tensión compuesta Ve, la cual es resultante de la composición de las generadas en las dos fases . Para determinar el valor eficaz de la ten sión compuesta, tendremos que efectuar l a suma geométrica de las producidas en am bas fases, como se ha hecho en la figura 259 . De acuerdo con ella se deduce Y
Vc = 2 Vf• cos 45 °
V
Fig . 758 . Representación esquemátic a de un bobinado bifásic o
teniendo en cuenta que cos 45 0 = VT : 2, y simplificando se obtiene finalment e (225) Vc =
Vf en voltio s
fórmula que dice : "La tensión compuesta de un sistema bifásico es igual a Vf veces la tensión simple existente entre los extremos de una fase" . 2 .° La intensidad que circula por el hilo común !c, a la cual se da también e l nombre de compuesta, es, en cada instante, igual a la suma geométrica de las intensi dades simples /f que circulan por los hilos extremo s y por las fases respectivas . Mediante una deducció n similar a la empleada para obtener la fórmula (231) , se llega a (226)
Fig . 259. Composición de tensiones de un sistema bifásic o
Ic =
If en amperio s
fórmula que dice : "La intensidad compuesta que circula por el hilo común de un sistema bifásico es igua l a VT veces la corriente que circula por los hilos extremos" .
Ejemplo 125. Un alternador bifásico genera 120 V por fase y suministra,una intensidad de corriente simple de 60 A. Se desea saber cuánto valen la f. e . m . y la intensidad compuestas . Según la fórmula (225), la f. e . m . compuesta valdrá :
Ec=Yz Er=
1,41 X 120= 170 V
De igual forma, la intensidad en el hilo común será, de acuerdo con la fórmula (226) , /c=v 2
lr=1,41 X60=84,6 A
404 . Sistema trifásico de e . ms . Un sistema trifásico está formado por tres f . e . ms . alternas monofásicas, d e igual frecuencia e igual valor eficaz, defasadas, entre sí, la tercera parte de un perío do, es decir, 120° eléctricos . 295
Si en el campo magnético creado por un sistema bipolar N—S (fig . 260) colocamos tres conductores A, B y C, situándolos en tres puntos del rotor, cuyos radio s forman ángulos de 120°, al girar simultáneamente esos tres conductores, las fuerzas electromotrices que en ellos se inducen forman u n sistema trifásico, ya que esas f . e . ms . están defasadas en un tercio de período, es decir, e n 120° eléctricos . El sistema trifásico tiene como representación senoidal la de la figura 261 a) en la cua l existen tres senoides eA , eB y ec desplazada s un tercio de período, o sea, 120 0 eléctricos . De igual manera, la representación vectorial del sistema trifásico es la de la figura 26 1 Fig. 260. Generación de un sistema b), en la cual se ven tres, vectores iguales : EA , trifásico de f. e . ms . EB y Ec, que forman, entre sí, ángulos de 1209 . Para realizar prácticamente un sistema trifásico de f . e . ms ., se disponen, en el inducido del generado r de corriente alterna, tres bobinados independientes, desplazados entre s í un ángulo de 120° eléctricos . En la figura 26 2 están representadas, esquemáticamente, las tre s fases, cuyos principio s Fig . 261 . Representación de un sistema trifásico : son U, V y W y sus fina a) Senoidal; b) Vectoria l les X, Y y Z . Cada bobinado simple produce una f. e . m . alterna monofásica que podría se r aprovechada por separado sacando un hi lo de cada uno de los extremos de las dis tintas fases . Sin embargo, el empleo por separa do de las tres f. e . ms . no produce ningu na ventaja práctica en el aprovechamien to de energía electrica, ya que de esa for ma sería preciso disponer seis hilos en l a red trifásica . Por eso, en la práctica, se conectan entre sí las tres fases, con lo qu e Fig. 262 Representación esquemática de un bobinado trifásico abierto. se consigue reducir el número de hilos d e la red y, en consecuencia, el peso de co bre necesario . Dos son las conexiones usadas normalmente : estrella y triángulo .
IV;
296
405 . Conexión trifásica en estrell a
Consiste esta conexión en unir los finales X, Y, Z de las tres fases, formand o un punto común llamado "punto neutro " y dejando libres los tres principios U, V y W . De estos puntos se sacarán tres hilos llamado s activos . Un cuarto hilo, llamado neutro, puede sacarse del punto neutro (fig . 263) . En una conexión trifásica es preciso distinguir : la tensión por fase y la tensión de línea ; la intensidad de corriente por fase y la que circula po r los hilos activos de línea . 1 .° Siendo Vf la tensión de una fase y llamando VL a la tensión en línea, es decir, la existente entre dos hilos activos, es evidente que el valor eficaz de esta última es igual a la suma geomé- Fig. 263. Representación esquemática de un bobinado trifásico conectrica de los valores eficaces de las tensiones produtado en estrella . cidas en dos fases, como se ha hecho en la figur a 264 . De acuerdo con la construcción de esta figura, se tien e
VL
=
2 Vf
•
cos
30
Teniendo en cuenta que cos 30 = \¡2 y simplificando, se obtiene final mente (227)
VL = li
Vf en voltio s
fórmula que dice : "La tensión en línea o compuesta de un sistema trifásico en estre lla es igual a VT veces la tensión simple existente entre lo s extremos de una fase" . 2 .° Siendo If la intensidad por fase y llamando IL a la intensidad de corriente que circula por un hilo activo, es evidente, como se observa en la figura 263, que ambos valores son,iguales (228) IL = If en amperio s fórmula que dice : "En un sistema trifásico en estrella_ so n iguales los valores de las intensidades de corriente en línea y por fase" . Ejemplo 126 . Un motor trifásico conectado en estrella a una red de 220 V absorbe 2 0 A de línea. ¿Cuánto valen la tensión e intensidad por fase ? Si en la fórmula (227) se despeja el valor de la tensión por fase, se tien e Fig. 264 . Composició n de tensiones de u n sistema trifásico e n estrella.
Vi =
VL V T
= 220 = 127 V
1,7 3
De acuerdo con la fórmula (228), la intensidad por fase será la misma que la de la línea , es decir . 20 A . 297
406.
Conexión trifásica en triángulo
Consiste esta conexión en conectar el final de cada fase con el principio de l a siguiente . Así, en la figura 265 están unidos el final X de la primera fase con el principio V de la segunda y de igual manera l o están Y con W y Z con U . De cada uno de lo s tres puntos de unión se saca un hilo al exterior, los cuales forman los tres hilos activos . En esta conexión puede comprobarse : 1 .° La tensión en línea entre hilos activos es la misma que la que existe entre lo s extremos de una fase . Así, pue s
(229)
Fig. 265. Representación esquemátic a de un bobinado trifásico conectado en triángulo .
IL =
In– If en amperios .
fórmula que dice : "La intensidad en línea o compuesta de un sistema trifásico e n triángulo es igual a veces la intensidad simple que recorre una fase" . Ejemplo 127 . Un motor trifásico tiene su bobinado conectado en triángulo y está acoplado a una red de 220 V . de la que absorbe 30 A . ;, Cuánto valen la tensión y la intensidad po r fase? La tensión por fase es la misma que la de línea
Vt= VL=220 V
La intensidad por fax la hallaremos despejando este valor en la fórmula (230) . Tendremos, pues If=
407.
IL
vs
30 1
3
= 17,3 A
Comparación de las conexiones trifásicas .
Como acabamos de ver, tanto con la conexión en estrella, como con la conesión triángulo, son suficientes tres hilos para el transporte de la energía en redes tri fásicas. Ahora bien, con la conexión estrella se puede disponer un cuarto hilo, llama do neutro, el cual se hace imprescindible si se supone va a existir un fuerte desequi librio entre las fases . Este cuarto hilo es muy interesante en las distribuciones para 298
conductores de la línea es V-i veces mayor que la tensión simple existente entre los extremos de una fase . 2 . a En la conexión triángulo, son iguales los valores de las tensiones en línea y por fase . En cambio, la intensidad de la corriente en línea es V-S veces mayo r que la que recorre cada fase . B)
VL = Vf en voltio s
Lo que se expresa diciendo : "En un sistema trifásico en triángulo son iguale s los valores de las tensiones en línea y por fase" . 2 .° La intensidad de corriente en línea tiene un valor eficaz igual a la sum a geométrica de los valores eficaces de las intensidades de corriente que circulan po r las dos fases unidas, en el vértice del cual parte cada hilo activo . Como las intensidades de fase están defasadas 120 0 eléctricos, podremos efectuar una construcción similar a la de la figura 264 y deducir en consecuenci a
(230)
alumbrado ; entonces se conectan las lámparas entre un hilo activo y el neutro . Para conectar un generador o un receptor trifásico a la red, se ha de guarda r cuidado de efectuar la conexión que le corresponde teniendo en cuenta las obser vaciones siguientes : 1 . a En la conexión estrella, son iguales los valores de las intensidades de co rriente en línea y en fase . En cambio, la tensión compuesta existente entre dos hilo s
POTENCIA S
408 . Potencias en un sistema polifásic o
Dado que un sistema polifásico de corrientes está constituido por un determinado número de fases, en cada una de las cuales se desarrolla cierta potencia eléctri ca, es evidente que la potencia total del sistema ha de ser igual a la suma de las po tencias de las distintas fases que lo componen . Así, pues, siendo q el número de fases del sistema, las cuales se suponen equi libradas, la potencia activa valdrá
P = q Vf If co s
(231)
siendo Vf e If los valores eficaces de la tensión e intensidad de la corriente en cad a una de las fases, y representando ip el ángulo de desfase entre estos valores . Asimismo la potencia reactiva total del sistema polifásico será dada po r
(232)
Px = q Vf If sen p
y la potencia aparente total valdrá igualment e
Pz = q Vf If
(233) 409. Potencia en un sistema bifásic o
En un sistema bifásico q = 2 . Por lo tanto, si sustituimos este valor en la fórmula (231) nos encontramos con la expresió n (234)
P = 2 Vf If co s
l fórmula que dice : "La potencia eléctrica de un sistema bifásico de corriente es igua e al duplo del producto que resulta de multiplicar los valores eficaces de la tensión intensidad de la corriente por el factor de potencia, siempre que se tomen los valores simples o de fase" . 299
Ahora bien, recordando que la tensión compuesta entre los hilos extremos e s igual a VI veces la tensión simple, y que la intensidad compuesta en el hilo común es igual a V2 veces la intensidad simple, se puede establecer las expresione s (235 b)
P = 33
Vc If cos
cp
(235 c) P = 3
Por su parte, en la conexión triángulo son iguales los valores de las tensione s de línea y fase, mientras que la intensidad de corriente de línea es V3 veces mayor que la que recorre una fase . Así, pues, se tiene
Vf le cos p
fórmulas que dicen : "La potencia real de un sistema bifásico de corrientes es igua l a veces el producto del factor de potencia por los valores eficaces de la ten sión e intensidad de la corriente, siempre que se tomen estos valores de tal maner a que uno sea simple y el otro compuesto" . Empleando razonamientos análogos a los que acabamos de exponer para deducir las fórmulas de la potencia activa, se obtendrían las expresiones correspondientes a las potencias reactiva y aparente . Ejemplo 128 . ¿Cuánto valen las potencias aparente, activa y reactiva absorbidas po r un motor bifásico que toma 25 A de intensidad por fase al estar sometido a una tensión simple de 120 V, sabiendo que el factor de potencia es de 0,8 ? La potencia aparente vale Pz=2 VfIf=2X 120X25=600 VA=o,6 kV A
Por su parte, la potencia activa valdr á
P=2 Vllfcos~p=2X 120X15 X 0,8 = 480 W =0,48 kW cos ip = 0,8 le corresponde sen tp = 0,6, la potencia reactiva absor-
(238)
410. Potencia en un sistema trifásic o En un sistema trifásico q = 3 . En consecuencia, para obtener la expresión d e las potencias en un sistema trifásico, bastará sustituir este valor en las fórmula s (231), (232) y (233) dadas en el párrafo 408 . Así, pues, la potencia activa de un sistema trifásico de corrientes valdrá . (236)
Vf If cos cp
P = 3
Ordinariamente se hace uso de otra expresión, que da la potencia del sistem a trifásico, a base de los valores eficaces de la tensión e intensidad de corriente e n linea o compuesta . Vamos a demostrar que, tanto en la conexión triángulo com o en la conexión estrella, la fórmula a emplear es la misma y tiene por expresió n (237)
P =,1 3
VL IL
300
=
3
ri-
IL cos
cp
=
VL IL cos 9
= 3 Vf If sen 9
(239)
Px = YT VL IL sen
tp
según que se empleen los valores simples o de fase o se haga uso de los valores com puestos o de línea . Deducción similar a la efectuada para la potencia activa nos permite deduci r como fórmulas de la potencia aparente de un sistema trifásico de corrientes las do s expresiones siguiente s
Pz
= 3
Vf If
(241)
Pz
= 33
VL IL
según que se empleen valores simples o de fase o se haga uso de los valores compues tos o de línea . Ejemplo 129. Calcúlense las potencias aparente y activa de un alternador trifásico que . con una tensión en bornes de 3 .000 V, suministra por cada conductor de línea 50 A bajo un factor de potencia de 0,88 . De acuerdo con la fórmula (241), la potencia aparente vale YT VLIL=1,73X3 .000X50=259.500VA =259, 5kV A
Por su parte, de acuerdo con la fórmula (237), la potencia activa es de P
= VTVL IL cos pp = 1,73 X 3 .000 X 50 X 0,88 = 228 .360 W = 228,36 k W
C)
ESTUDIO DE LOS CIRCUITOS POLIFASICO S
COS cp
En efecto, en la conexión estrella la tensión en línea es igual a V j veces la tensión por fase, mientras que son iguales las intensidades de corriente en línea y por fase . Así, pues, se tien e P
Px
(240)
2 Vf Ir sen p = 2 X 120 X 25 X 0,6 = 360 VAr=0,36 kVAr
ILcoscp— 3 3 ri-
Por consiguiente, se pueda afirmar : "La potencia activa de un sistema trifási co de corrientes es igual a V'S veces el producto del factor de potencia por lo s valores eficaces de la tensión e intensidad de corriente correspondientes a là línea" . Razonamientos análogos nos permitirían deducir como fórmulas de la poten cia reactiva de un sistema trifásico de corrientes las dos expresiones siguientes .
Como quiera que a bida por el motor será d e Px
VL
P=3
V3 VL IL cos
cp
411 . Proceso de cálcul o El estudio y cálculo de los circuitos polifásicos, suponiendo el caso general d e estar equilibrados, se efectúa de manera idéntica que para los circuitos monofásicos . Para ello se calcula, por separado, una sola fase, teniendo en cuenta de hacer uso d e los valores de la tensión, intensidad e impedancia por fase . 301
Ejemplo 130 . Calcular un circuito trifásico conectado en estrella (fig . 266) sabiend o que cada fase está constituida por una bobina de 5 Si de resistencia y coeficiente de auto-inducción de 0,02 1-1 . La tensión de la red es de 220 V . Suponiendo que las tres fases del sistema están equilibradas, basta con calcular una sola, pero se ha d e S R tener en cuenta que la tensión por fase es -Tvece s menor que la línea . Así, pues, se tien e T Vf = VL _ 220 = 127 V 1,73 V3 La reactancia de una fase, de acuerdo con la fórmula (170), vale
f
CAPITULO XXX I MEJORA DEL FACTOR DE POTENCI A
Xf = 2 a fLf=2X3,14X50X0,02=6,28 4 Fig. 266.
La impedancia por fase, de acuerdo con la fórmula (181), val e
Circuito trifásico en estrella
Zf
Rf' -i- Xf' =
V
5 y + 6,28' = 8 4 La intensidad de corriente por fase, igual a la de línea, tiene un valo r
If = 1L =
Zf=
1 87= 15,87 A
Para calcular el ángulo de desfase de la corriente respecto a la tensión, determinamos primeramente su tangente mediante la fórmula (180 ) tg
=
Xf Rf
_ 6,28 = 1,26 5
así, pues, el ángulo de retraso es de 4 = 51 0 30 ', siendo el factor de potencia cos p = 0,62 3 y el sen (p = 0,782 . Para calcular las potencias se ha de tener en cuenta que es un sistema trifásico . Así, pues , de acuerdo con la fórmula (241), la potencia aparente val e Pz =
V 3
VL IL = 1,73
X
220
X
Tanto la distribución de energía eléctrica como su utilización práctica, resultan fudamentalmente afectadas por el valor del factor de potencia . Recordemos que en un circuito eléctrico cuyas potencias son P la activa en vatios, Px o Py la reactiva de auto—inducción o capacidad en VAr y Pz la aparente en voltiamperios, el factor de potencia es calculado mediante la expresió n cos
cQ =
P
Pz Ahora bien, resulta mucho más cómodo determinar el factor de potencia d e un circuito, partiendo del cálculo de la tangente del ángulo de desfase de la intensidad y de la tensión . Según las fórmulas (185) y (208), esa tangente val e tg
15,87 = 6 .230 VA = 6,23 kVA
La potencia activa tiene por valor P
412. Generalidades
Px
Ig p
0
P
Py P
según que el circuito sea inductivo o capacitivo .
= V T VL IL cos pp = 1,73 X 220 X 15,87 X 0,623 = 3 .880 W = 3,88 kW
Finalmente, la potencia reactiva es igual a Px = v 3 VL IL sen pp = 1,73 X 220 X 15,87 X 0,782 = 4 .780 VAr = 4,78 kVA
413 .
Factor de potencia instantáneo y medio
En una instalación hay que distinguir el factor de potencia instantáneo y e l medio . El factor de potencia instantáneo de una instalación es el que resulta al efectuar el cálculo con los valores de las potencias activa P y reactiva Pxy medidas co n los vatímetros correspondientes . Entonces se tien e Pxy rg
P
valor que permite determinar el correspondiente factor de potencia cos p (hágase uso de la tabla XVI) . El factor de potencia medio de una instalación es el que resulta cuando el cálculo se efectúa con los valores de las energías activa A y reactiva Axy de esa insta 302
30 3
lación durante un determinado espacio de tiempo . Así, pues result a
(242)
tg-
cp
med
=
Axy
A
valor que permite conocer el correspondiente factor de potencia medio cos (p med sobre la misma tabla XVI . La energía activa A queda registrada en kW h por el contador de energía activa, mientras que la energía reactiva Axy es asimismo registrada en kVAr--h por e l correspondiente contador de energía reactiva . Es de notar que en la casi totalidad de los casos no coinciden los valores d e los factores de potencia instantáneo y medio de una instalación . Ello es debido a que continuamente están variando los valores de las potencias activa y reactiva d e esa instalación . Ejemplo 131 . Los consumos mensuales de un taller han sido : Energía activa 2 .400 kW-h ; energía reactiva 4 .200 kVAr-h . Por otra parte, en un determinado instante se miden co n vatímetros las potencias, que resultan ser : activa 15 kW y reactiva 24 kVAr . Determínese lo s factores de potencia medio e instantáneo . La tangente del ángulo medio val e tg y med
=
Axy _ 4 .200 = 1,75 A 2 .400
con el que, sobre la tabla XVI, encontramos que el factor de potencia medio vale cos ,p med = 0,495 . Por otra parte, la tangente del ángulo ipinstantáneo val e PPy 15 = 1,6 tg con el que, sobre la tabla XVI, encontramos que elfactorde potencia instantáneo vale COS ~p = 0,53 . 414. Importancia del factor de potenci a
Las instalaciones industriales (fábricas, talleres, etc .), disponen de mayor o menor número de motores y transformadores, receptores que, por ser inductivos , determinan un retraso de la corriente respecto de la tensión de la red . Este desfase resulta más exagerado cuando las máquinas trabajan en vacío o con potencias má s pequeñas que la nominal . El valor del factor de potencia tiene suma importancia como puede ser comprobado sobre las fórmulas (182) y (237) de la potencia activa en una red mono o trifásica P== V l cos
r~
P= VB Vlcoscp
Despejando en estas expresiones el valor de la intensidad de corriente result a
(243) 304
1=
P
V cos p
(244)
I = VIT
P V COS tp
Estas fórmulas hacen ver que, al disminuir el valor del factor de potencia cos ,p de una instalación (por aumentar el ángulo t,o de retraso de la corriente respect o de la tensión), crece el valor de la intensidad para la misma potencia útil . Esto re presenta un fuerte inconveniente, ya que tal aumento de la intensidad 1 determin a una elevación proporcional de la caída de tensión R I. así como un incremento de l a potencia perdida en la línea R 1 2 . Ejemplo 132 . Un taller que consume 260 kW de potencia activa, tiene una red trifási ca de 500 V de tensión en línea . ¿Cuál será el valor de la intensidad de la corriente absorbid a cuando el factor de potencia valga 1, 0,9, 0,8, 0,6, 0,5 y 0,4 ? Aplicando sucesivamente la fórmula (244) se obtienen los valores de intensidad de corrien te que figuran en el siguiente cuadro :
Factor de potencia .
.
.
.
cos p =
Intensidad de corriente(A)
1=
1
0,9
0,8
0,6
0,5
0,4 I
300
333
375
500
600
750
415 . Tarifas de energía reactiva
Con el fin de evitar que las instalaciones receptoras de energía eléctrica tengan factores de potencia bajos, las compañías suministradoras están autorizadas para recargar el importe de la factura de energía eléctric a TABLA XV multiplicándola por un coeficiente de corrección a, cuy o valor depende del que tenga el factor de potencia de l a cos y a instalación . En la Tabla XV aparece la escala de coeficientes de corrección . 1 0,97 En las instalaciones de factor de potencia menor qu e 0,95 a 0,999 0,9 8 0,55, está autorizada la Delegación de Industria para exi0,9 a 0,949 0,9 9 . 0,85 a 0,899 1 gir se tomen las medidas adecuadas para su corrección y , 0,75 a 0,849 . 1,0 3 en caso de no ser atendida su demanda, para ordenar el cor 0,7 a 0,749 1, 1 te de la energía eléctrica a esa instalación . 0,65 a 0,699 1,1 7 0,6 a 0,649 1,2 5 Ejemplo 133 . Un taller ha consumido en un determinado a 0,599 1,3 3 0,55 mes A = 22 .800 kW-h de energía activa y Ax = 25 .25 0 menos que 0,55 1,3 8 kVAr-h de energía reactiva . Suponiendo un precio de 0,75 peseta s para el kW-h . calcúlese el importe de la factura . Si no se tuviera en cuenta el coeficiente de corrección, el coste de la energía sería C ' = A p = 22.800 X 0,75 =
17 .100
peseta s
Para calcular el factor de potencia medio calculemos previamente el correspondiente valo r de la tangente tep
med
=
Ax x-
AA
=
25
= 1,107
30 5
con el cual encontramos, sobre la Tabla XVI, que el factor de potencia medio del mes vale co s ,p = 0,67, al que corresponde un coeficiente de corrección a =1,17 (Tabla XV) . Así, pues, el costo de la factura será C = A • p a = 22 .800
X
0,75
X
1,17 = 20 .007 peseta s
En b), con el condensador C conectado, el motor sigue absorbiendo 100 amperios de intensidad, pero sólo toma de la red los 80 amperios de la corriente activ a (medidos por el amperímetro Ai) mientras que la corriente reactiva de 60 amperio s es suministrada por el condensador (lo que se comprueba mediante el amperímetr o
A2). 416 .
Mejora del factor de potenci a
Tanto a las compañías suministradoras como a los abonados, les interesa mejo rar el factor de potencia de la instalación . Con ello se consigue reducir la caída d e tensión y la pérdida de potencia en la línea . Por otra parte, los gastos que pueda n originarse quedan pronto amortizados por el menor coste de la energía consumida . Los medios empleados para mejorar , el factor de potencia son clasificados en directos e indirectos . Medios directos son aquellos que determinan un aumento del factor de potencia actuando sobre las mismas causas que lo hacen disminuir . Los más importante s consisten en : 1 .° Reemplazar los motores asíncronos que funcionen en vacío o a pequeñas cargas por otros más ajustados a la potencia mecánica exigida . Sustituir lo s transformadores que tengan corriente de vacío demasiado elevada . 2 .° Eliminar la s anticuadas transmisiones mecánicas de los talleres por el accionamiento individua l de cada máquina, lo que permite a cada motor trabajar a su potencia nominal . Los medios indirectos consisten en reducir el valor de la energía reactiva ab sorbida de la red, para lo que se dis R S pone en la instalación un generado r ■ de energía reactiva . Como generadores de energía reactiva pueden emplearse los motores síncronos, per o están mucho más extendidos los condensadores estáticos . En la fig. 267 se explica la acción correctora de un condensaí■ dor sobre una instalación inductiva . Sea un motor asíncrono M, que absorbe una corriente de 100 A de ind) tensidad, bajo un factor de potenFig . 267. Corrección del factor de potencia de la red mediante condensadores cia cos ,p = 0,8, de manera que l a corriente activa por fase es la = 1 cos (p = 100 X 0,8 = 80 A, y la corriente reactiva lx = 1 sen ,p = 100 X 0,6 = 60 A . En a), cuando no está conectado el condensador a los bornes del motor, éste
0
absorbe de la red tanto la corriente activa corno la reactiva, de manera que el amperímetro Al señala el valor de la corriente total (100 amperios), suma geométrica d e las intensidades componentes . ;06
417 . Cálculo de una batería de condensadores
El cálculo de una batería de condensadores está basado en el razonamiento siguiente : Sea una instalación receptora de corriente alterna que consume una potenci a activa P, en kW, bajo un factor de potencia cos ,p . La potencia reactiva Px, en kVAr , consumida valdrá (A) Px =P • tgcp La composición de potencias de esta instalación viene representada por e l triángulo ABC de la figura 268 . Si se instala una batería de condensadores, el factor de potencia de la instalación quedará mejorado, tomando un valor cos ,p' . Dado que la potencia activa con sumida sigue siendo P, la potencia reactiva Px ' absorbida en estas condiciones ser á (B)
Px'=P • tgcp'
siendo ahora la composición de potencias la re presentada por el triángulo ABD de la misma fi gura 268 . Para conseguir la mejora indicada ser á Fig . 268. Efecto de la correcció n preciso disponer una batería de condensadore s del factor de potenci a que suministre una potencia reactiva Py de vaigual a la diferencia de la potencia reactiva Px, absorbida inicialmente por la ins talación y la P x' absorbida por la misma una vez efectuada la mejora del factor d e potencia . Así, pues, se debe verificar .
Py=Px—Px ' Sustituyendo en la expresión anterior Px y Px' por los valores dados en la s fórmulas (A) y (B), resulta
Py = P
tg
p— P
tg
p'
sacando a P como factor común, resulta finalment e
(245) Py = P (tg (p — tg p' ) fórmula que dice : "La potencia reactiva en kVAr, que debe producir una batería d e condensadores, es igual al producto que resulta de multiplicar el valor de la potenci a activa de la instalación, en .Kilovatios, por la diferencia de los valores de la tangent e de ,p antes y después de efectuada la corrección del factor de potencia" . 307
A fin de facilitar los cálculos, se han dispuesto en la Tabla XVI los valores d e las tangentes correspondientes a factores de potencia cos yo comprendidos entr e 0,41 y la unidad . TABLA XV I COS?
tg p
0,40
2,289 2,225 2,160 2,098 2,041
0,50
0,45 1,985 6 . 1,930 7 1,878 8 1,828 9 1,779
1
2 3 4
COS?
tg p
COS?
tg ?
COS?
tg ?
0,60
2 3 4
1,020 0,992 0,%4 0,936 0,909
0,80
2 3 4
1,333 1,300 1,265 1,233 1,200
0,70
2 3 4
1,732 1 ;686 1,642 1,600 1,560
0,55 6 7 8 9
1,518 1,480 1,441 1,404 1,369
0,65 6 7 8 9
1,169 1,138 1,108 1,078 1,049
0,75 6 7 8 9
0,882 0,855 0,829 0,802 0,776
0,85 6 7 8 9
1
1
1
COS?
1
2 3 4
tg?
0,750 0,724 0,698 0,672 0,646 0,620 0,593 0,569 0,539 0,512
COS?
0,90
tg
2 3 4
0,48 4 0,45 6 0,426 0,39 5 0,368
0,95 6 7 8 9
0,32 9 0,29 1 0,25 1 0,20 3 0,142
1
Ejemplo 134 . Calcular batería de condensadores para un taller que consume una potencia activa media de 50 kW bajo un factor de potencia igual a 0,65, de forma que, una vez mejorado, se obtenga un valor de 0,85 . Sobre la Tabla XVI vemos que las tangentes correspondientes a los factores de potenci a 0,65 y 0,85 son respectivamente 1,169 y 0,620, por lo que, de acuerdo con la fórmula (245), l a potencia reactiva a suministrar por los condensadores deberá ser igual a Py
=
P (tg p
- tg
p') = 50 (1,169 - 0,620) = 27,45 kVAr
CAPITULO XXXI I APARATOS DE MEDID A 418 . Amperímetro
Es el aparato que sirve para medir la intensidad de corriente que recorre u n conductor. Como aparece en la figura 54, el amperímetro se conecta en serie con e l conductor cuya corriente se desea medir . En un amperímetro debe ser pequeña la pérdida de potencia R 12 y la caíd a de tensión R I. Para ello es necesario que su resistencia interior sea lo más pequeña posible. Se consigue este resultado haciendo que su circuito eléctrico esté formad o por un conductor corto y de mucha sección . Existen amperímetros de bobina móvil, de hierro móvil, térmicos y electrodinámicos . a) El amperímetro de bobina móvil es un aparato fundado (ver párrafo 328 ) en la acción electromagnética ejercida por un campo magnético constante, cread o por un imán permanente N -S, sobre una bobina móvil R, cuyas espiras son recorridas por la corriente qu e se desea medir . La toma de corriente se efectúa por medio d e dos espirales de bronce fosforoso, las cuales al mism o tiempo hacen de resortes para crear un esfuerzo antagonista en oposición a la fuerza electromagnética, d e manera que la bobina se situará en la posición en la qu e sea nula la resultante de ambas . La aguja A (fig . 269) , solidaria con la bobina, señala sobre la escala E el valo r Fig . 269. AWperfinetro de bobina móvil . de la intensidad de la corriente que recorre las espira s de la bobina . El amperímetro de bobina móvil sólo sirve para medir corriente continua, ya que, como se expuso en el párrafo 362, el sentido de la acción electromagnética de pende del sentido de la corriente en las espiras .
3 08
30 g
b) El amperímetro de hierro móvil es un aparato fundado en la repulsión qu e se ejercen mutuamente dos placas de hierro dulce, C y D, cuando están sometidas a l campo magnético creado por la bobina B (fig . 270, a). La placa C está sujeta 2n el interio r de la bobina, mientras que la D es móvil por ser solidaria a la aguja A . Cuando la bobin a sea recorrida por la corriente que se desea me dir, las dos placas se imantan con iguales polaridades en sus extremos próximos (fig . .o. 270, b) por lo que se origina una fuerza de repulsión que tiende a llevar a la placa D a a) b) una posición tal que quede equilibrada con Fig . 270. Amperímetro de hierro móvil . la fuerza antagonista del resorte R . Los amperímetros de hierro móvil pueden ser empleados tanto en corriente continua como en alterna, ya que el sentido de la fuerza de repulsión de las placa s se mantiene, dado que sus polaridades varían simultáneamente . c) El amperímetro térmico está fundado en la dilatación de un conductor debido al calor producido en el mismo cuando es recorrido por una corriente eléctrica . Es utilizable en corriente continua y alterna . d) El amperímetro electrodinámico está fundad o en la acción que se ejercen mutuamente dos bobinas, un a fija A y otra móvil B, cuando por ellas circula la corriente eléctrica que se desea medir (fig . 271) . La fuerza electrodinámica hará girar a la bobina móvil hasta una posición en que quede equilibrada su acción con la del resorte antagonista R . Este amperímetro sirve para medir corriente continua y alterna, ya que al variar simultáneamente el senti Fig . 271 . Amperímetro electrodinámico. do de la corriente en ambas (en corriente alterna), s e mantiene constante el sentido de la fuerza electrodinámica .
419 . Voltímetro
Es el aparato que sirve para medir la tensión existente entre dos puntos de u n circuito eléctrico . Como se indica en la figura 53, para instalar un voltímetro se conectan sus do s bornes a los puntos cuya diferencia de potencia se desea medir . El voltímetro se construye en las mismas disposiciones y tipos que los amperímetros, ya en ellos lo que en realidad se mide es la intensidad de corriente que circula por el conductor, cuyo valor es Iv = V : Rv. 310
Para que resulte pequeña la pérdida de potencia en un voltímetro, que val e V2 : R, es preciso que su resistencia interior sea grande, para lo que su circuito eléctrico está formado por un conductor de gran longitud y pequeña sección . 420 . Shunt
Se da este nombre a una resistencia que se conecta en paralelo con un amperímetro (fig . 272) a fm de poder medir corrientes más intensas que las comprendida s en el campo de medida del aparato . Recibe el nombre de poder multiplicador m de l shunt la relación que existe entre la corriente total I, que recorre el conductor, y la corriente parcial IA , que pasa por el amperímetr o (246)
m
Fig . 272. instalación de un Shunt
IA
En dos circuitos derivados, las intensidades d e corriente están en razón inversa con los valores de sus resistencias (fórmula 46 )
RA ls Rs IA proporción que puede ser, transformada en la siguiente : Is +- IA _ Rs+RA Ps IA Observemos que el numerador ls + IA es el valor de la corriente total que s e desea medir, por lo que el primer miembro es el poder multiplicador del shunt . Así , pues, simplificando el segundo miembro y despejando Rs, result a (247)
Rs
=-
RA M
— 1
fórmula que dice : "La resistencia que ha de tener un shunt es igual al cociente que resulta de dividir el valor de la resistencia del amperímetro por el del poder multiplicador disminuído en una unidad " . Ejemplo 135 . Con un amperímetro de escala 0-75 A y resistencia interior 0,0018 S2 se desea medir una corriente de 720 A . ¿Cuál ha de ser el poder multiplicador del shunt? ¿Qué resistencia deberá tener éste ? Siendo la relación entre la intensidad total del circuito y la máxima que puede medir e l amperímetr o / 720 _ 9, 2 75 IA elegiremos como poder multiplicador del shunt m = 10 . La resistencia del shunt deberá ser de _ RA — 0,0018_ 0,0002 4 R'—m—1 10— 1 311
421 .
Reductor de tensió n
Se da este nombre a una resistencia, que conectada en serie con un voltímetro (fig . 273), permite a éste medir tensiones de mayor valor que las de campo de me P dida del aparato . Recibe el nombre de poder multiplicador m del reductor la relación que existe entre la tensió n total V, que se desea medir, y la tensión parcial Vv , señalada por el voltímetr o
Fig . 273 .
(248)
Instalación de u n reducto r
=
V
VV
En el circuito en serie formado por el voltímetro y el reductor se verific a
VR RR
Vv Rv
proporción que puede ser transformada en la siguient e
Vv+Vil Vv
Pv+ RR Pv
Observemos que el numerador Vv + VR es el valor de la tensión total que s e desea medir, por lo que el primer miembro es el poder multiplicador del reductor . Así, pues, simplificando el segundo miembro y despejando RR result a
(249) RR = Pv (m — 1 ) fórmula que dice : "La resistencia que ha de tener un reductor es igual al product
o que resulta de multiplicar el valor de la resistencia del voltímetro por el poder multi plicador disminuido en una unidad" . Ejemplo 136 . Con un voltímetro de escala 0-150 V y resistencia interior 2 .400 Sl s e desea medir una tensión de 2 .800 V . ¿Cuál ha de ser el poder multiplicador del reductor? ¿Qué resistencia deberá tener éste ? Siendo la relación entre las tensiones total y parcial de voltímetro s V 2.800 _ 18,66 Vv 150 elegiremos como poder multiplicador del reductor m = 20. La resistencia de éste deberá ser d e
Rr2=Rv(m—
dad I de la corriente, medida con un amperímetro, resultando P = V I (fig . 274) . En corriente alterna monofásica puede ser también usado este método, per o sólo en el caso de que la corriente esté en fase con la tensión, es decir, cuando se trata de instalaciones con solo resistencia . Sin embargo, l o normal es que exista un desfase 'p entre esos valores , P resultando que la potencia es igual a N
P=
Vlcos p
por lo que no sirve para calcular su valor éste métod o volt ímetro—amperímetro . Tanto en corriente continua como en alterna, pa- Fig . 274. Medida de la potencia con amperímetro y voltímetro . ra medir la potencia se hace uso del vatímetro, aparat o basado en la acción electrodinámica y de construcció n similar al amperímetro de esta clase . Consta de dos circuitos independientes . Uno fijo, llamado amperimétrico, se conecta en serie con uno de los conductores de la red, siendo recorrido por la corriente I de la línea . El otro circuito es móvil, y por ser conectado en derivación entre los puntos cuya potencia se desea medir, recibe el nombre de voltimétrico. El vatímetro electrodinámico sirve también para medir la potencia reactiva . Para ello se dispone en serie con el circuito voltimétrico una inductancia, cuyo valo r de reactancia es grande en relación con su resistencia, lo que determina un desfas e de la intensidad de la corriente que recorre ese circuito respecto a la tensión de l a red de aproximadamente 90° eléctricos . Se mide la potencia de una red trifásica con hilo neutro con tres vatímetros , cuyos circuitos amperimétricos son conectados en serie con los tres hilos activos , mientras que los voltimétricos van dispuestos en . derivación entre los hilos activos y el neutro . Entonces, la potencia total será la suma de las potencias señaladas por lo s tres vatímetros . Cuando no se dispone de hilo neutro, se hace uso del método de los dos vatímetros . Entonces, los dos circuitos amperimétricos se conectan en serie con dos hilo s activos y los circuitos voltimétricos se conectan entre esos dos hilos y el tercero . Con las conexiones dispuestas correctamente, la potencia total es igual a la sum a algébrica de las señaladas por los dos vatímetros .
1) = 2.400 (20 — 1)=45 .600 2
422 . Medida de la potenci a
423 . Medida de resistencia s
En corriente continua se puede determinar la potencia mediante el product o de los valores de la tensión V de la red, medida con un voltímetro, de la intensi y
Para medir el valor de una resistencia se puede emplear el método basado e n la Ley de Ohm, para lo que es sometida a la tensión V medida con voltímetro, comprobándose con amperímetro la intensidad de la corriente I que la recorre .
312
3l 3
Para efectuar medidas de precisión se emplea el Puente de Wheatstone, cuy o esquema aparece en la figura 275 . Las resistencias Rl,R2 yR3 pertenecen al aparato y tienen un valor conocido . R4 es la resistencia a medir . A los nudos A y B s e G aplica una d . d . p . continua de baja tensió n (4 ó 6 voltios) y a los nudos C y D se conect a un miliamperimétrico . Maniobrando sobre la s resistencias del aparato hasta conseguir que e l amperímetro no acuse el paso de corriente alguna, se verifica : 1 . o La intensidad de corriente en la rama A,C,B, es constante, lo que también ocurr e en la rama A,D,B . Así pue s P Mg. 275.
Esquema del Puente de Wheat toue .
Ii= 1g
1s = 14
2 . 0 Las caídas de tensión entre AC y AD son iguales . Lo mismo ocurre con las caídas de tensión entre CB y DB . (A )
R1 11
= R3 J3
(B) R,12
= 84
14
Dividiendo las igualdades anteriores (A) y (B) se tien e Pl 11
P3 13
R2 12
R4 14
De donde simplificando los valores de las intensidades y despejando la resistencia R4, resulta (250)
R4 -=--
R3 R2
Para medir las grandes resistencias de aislamiento se hace uso del ohmimetro , aparato de fácil manejo y suficiente precisión para la clase de medidas en que es empleado .
FIN DEL TOMO PRIMERO
314
TABLA DE VALORES UTILE S o
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Circun- Superficie l Cuad ferendrado cia circulo 3,14 6,28 9,42 12,57 15,01 18,85 21,99 25,13 28,27 31,41 34,55 37,69 40,84 43,98 47,12 50,26 53,40 56,54 59,69 62,83 65,97 66,11 72,25 75,39 78,54 81,68 84,82 87,96 91,10 94,24 97,38 100,53 103,67 106,81 109,95 113,09 116,23 119,38 122,52 125,66 128,80 131,94 135,08 138,23 141,37 144,51 147,65 150,79 153,93 57,08
0,78 3,14 7,07 12,57 19,63 28,27 38,48 50,26 63,61 78,54 95,03 113,09 132,73 153,93 176,71 201,06 226,98 254,46 283,52 314,15 346,36 380,13 415,47 452,38 490,87 530,93 572,55 615,75 660,62 706,85 754,76 804,24 855,29 907,92 962,11 1 .017,87 1 .075,21 1 .134,11 1 .194,59 1 .256,63 1 .320,25 1 .385,44 1 .452,20 1 .520,52 1 .590,43 1 .661,90 1 .734,94 1 .809,55 1 ..885,74 1 .963,49
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 224 256 289 324 361 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 900 961 1 .024 1 .089 1 .156 1 .225 1 .296 1 .369 1 .444 1 .521 1 .600 1 .681 1 .764 1 .849 1 .936 2 .025 2 .116 2 .209 2 .304 2 .401 2 .500
Cubo
1 8 27 64 125 216 343 X12 729 1 .000 1 .331 1 .728 2 .179 2 .744 3 .375 4 .096 4 .913 5 .832 6 .859 8 .000 9 .261 10 .648 12 .167 13 .824 15 .625 17 .576 19 .683 21 .952 24 .389 27 .000 29 .794 32.768 34 .937 39 .304 42 .875 46 .656 50 .653 54 .872 59 .319 64 .000 68 .921 74 .088 79 .507 85 .184 91 .125 97 .336 103 .823 110 .592 117 .619 125 .000
Ruiz cuadrada 1 .000 1 .414 1 .732 2 .000 2 236 2 .449 2.645 2.828 3.000 3 .162 3 .316 3 .464 3 .605 3 .741 3 .872 4 .000 4 .123 4 .242 4 .358 4 .472 4 .582 4.690 4 .795 4.898 5 .000 5 .099 5 .196 5 .291 5 .385 5 .477 5 .567 5 .656 5 .744 5 .830 5 .916 6 .000 6 .082 6 .164 6.244 6.324 6.403 6.480 6.557
6 .633 6 .708 6 .782 6.855 6.928 7.000 7.071
Rai z cúbica
1 .000 1 .250 1 .142 1 .587 1 .700 1 .817 1 .912 2 .000 2 .080 2 .154 2 .223 2 .289 2 .351 2 .410 2 .466 2.519 2 .571 2 .620 2 .668 2 .714 2 .758 2 .802 2 .843 2 .884 2 .924 2 .962 3 .000 3 .036 3.072 3.107 3.141 3 .174 3 .207 3 .239 3 .271 3 .301 3 .332 3 .361 3 .391 3 .419 3 .448 3 .476 3 .503 3 .530 3 .556 3 .583 3 .608 3 .634 3 .659 3.684
N
o
Q
Circun - Superfici e Cua ferendel "raa cia circulo
51 160,22 2.042,82 52 163,36 2 .123,71 53 166,50 2 .206,18 54 169,64 2 .290,21 55 172,78 2 .375,82 56 175,92 2 .463 .01 57 179,07 2 .551,75 58 182,21 2 .642,08 59 185,35 2 .733,97 60 188,49 2 .827,43 61 191,63 2 .922,46 62 194,77 3 .019,07 63 197,92 3 .117,24 64 201,06 3 .216,99 65 204,20 3 .318,30 66 207,34 3 .421,18 67 210,48 3 .525,65 68 213,62 3 .631,68 69 216,77 3 .739,28 70 219,91 3 .848,45 71 223,05 3 .959,19 72 226,19 4 .071,50 73 229,33 4 .185,38 74 232,47 4 .300,84 75 235,61 4 .417,86 76 238,76 4.536 .45 77 241,90 4.656,62 78 245,04 4 .778,36 79 248,18 4 .901,66 80 251,32 5 .026,54 81 254,46 5 .153,00 82 257,61 5 .281,01 83 260,75 5 .410,59 84 263,89 5 .541,77 85 267,03 5 .674,50 86 270,17 5 .808,80 87 273,31 5 .944,67 88 276,46 6 .082,11 89 279,60 6 .221,13 90 282,74 6 .361,72 91 285,88 6 .503,87 92 289,02 6.647,61 93 292,16 6.792,90 94 295,31 6.939,78 95 298,45 7.088,21 96 301,59 7.238,23 97 304,73 7.389,81 98 307,87 7.542,96 99 311,01 7 .697,68 100 314,16 7 .853,97
Cuba
2 .601 132 .651 2.704 140 .608 2 .809 148 .877 2 .916 157 .464 3 .025 166 .375 3 .136 175 .616 3 .249 185 .193 3 .364 195 .112 3 .481 205 .379 3 .600 216 .000 3 .721 226 .981 3 .844 238 .328 3 .969 250.047 4.096 262 .144 4.225 274 .625 4 .356 287.496 4 .489 300 .763 4 .624 314 .432 4 .761 328 .509 4 .900 343 .000 5 .041 357 .911 5 .184 373 .248 5 .329 389 .017 5 .476 405 .224 5 .625 421 .875 5 .776 438 .976 5.929 456.533 6.084 474.552 6 .241 493.039 6 .400 512.000 6 .561 531 .441 6 .724 551 .368 6 .889 571 .787 7 .056 592 .701 7 .225 614 .125 7 .396 636 .056 7 .569 656 .503 7 .744 681 .472 704 .969 7 .921 8 .100 729 .000 8 .281 753 .571 8.464 778 .688 8 .649 804 .357 8.836 830 .584 9.025 857 .375 9.216 884.736 9.409 912 .673 9.704 941 .192 9.801 970 .299 10 .000 1 .000 .000
Rui z
drad a
z
" la cúbica
7 .141 7.211 7.280 7.348 7.416 7.483 7.549 7 .615 7 .681 7 .745 7 .810 7 .874 7 .937 8 .000 8 .062 8 .124 8 .185 8 .246 8 .306 8 .366 8.426 8 .485 8 .544 8 .602 8 .660 8 .717 8 .774 8 .831 8 .888 8 .944 9 .000 9 .055 9 .110 9 .165 9.219 9.273 9.327 9.380 9 .433 9 .486 9 .539 9 .591 9 .643 9 .695 9 .746 9 .797 9 .848 9 .899 9.949 10.000
3 .70 8 3 .73 2 3 .75 6 3 .77 9 3 .802 3 .825 3 .848 3 .870 3.892 3 .91 4 3.936 3.957 3.979 4.000 4 .02 0 4 .04 1 4 .06 1 4 .08 1 4 .101 4 .121 4 .140 4 .160 4 .179 4 .198 4 .21 7 4.235 4.25 4 4.27 2 4 .29 0 4 .308 4 .326 4 .34 4 4 .362 4 .379 4 .396 4 .41 4 4 .43 1 4.447 4.464 4.48 1 4 .49 7 4 .51 4 4 .530 4 .54 6 4 .562 4 .578 4 .594 4 .61 0 4 .626 4 .642
Ra
31 5
MEDIDAS Y TOLERANCIAS DE HILO DE COBRE ESMALTAD O
Hil o esmaltad o
Hilo de cobre ° Eo
c
Sección, mm'
0 .0 4 0 .05 0 .06 0.07
0.00126 0 .00196 0 .00283 0 .00385
0 .0 8 0 .09 0 .10 0.11 0.12 0 .1 3 0 .14 0 .15
0 .1 6 0 .17 0 .18 0.19 0 .20 0 .21 0 .22 0 .23 0 .24 0.25
Mínimo
Nominal
Máximo
Aumento e mín im p o d 0 o r Diámetr o esmalte, exterior mámrmo, mm
o _ P e so k
1 .000 m
0 .00
12.15 8 .05 5 .84 4 .285
13.96 8.94 6 .21 4 .559
15 .77 9.83 6.58 4 .833
0.011 0 .013 0 .013 0 .016
0 .057 0 .071 0481 0.096
0 .01 3 0 .01 9 0 .027 0 .038
0.00503 0 .00636 0 .00785 0 .0095 0 0.01131
0.003
3.281 2 .593 2 .100 1 .735 1 .458
3.490 2 .758 2 .234 1 .846 1 .551
3.699 2 .923 2 .368 1 .957 1 .644
0.016 0.019 0 .019 0 .019 0.019
0 .106 0 .120 0 .130 0.140 0 .150
0 .048 0 .062 0 .075 0 .090 0.107
0 .01327 0 .01539 0 .01769
0 .004
1 .243 1 .072 0 .933
1 .322 1 .140. 0 .993
1 .401 1 .208 1 .053
0 .025 0 .025 0 .025
0 .169 0.179 0 .189
0 .12 7 0 .147 0.158
0 .02011 0 .02270 0.02545 0.02835 0 .03142 0 .03464 0 .03801 0 .0415 5 0.04524 0.04909
0 .26 0 .27 0.28 0 .29 0 .30 0 .35 0 .40
0 .0531 0 0.05725 0.06158 0.06605 0 .07069 0 .09621 0 .1257
0 .4 5 0 .50 0 .55 0.60 0.65 0 .70
0 .1590 0 .1964 0 .2376 0.2627 0 .3318 0 .3848
316
0.
mm
mm
Resistencia en Ohmios por metro lineal a 20'C
Toleran cia en el
0.005
0 .007
0 .009
0 .821 0 .727 0 .648 0.582 0.525 0 .482 0 .4384 0 .4012 0 .3684 0.3395
0.873 0 .773 0 .689 0 .619 0.558 0.507 0 .4615 0 .4223 0 .3878 0.3574
0.925 0.819 0 .730 0 .656 0 .591 0.532 0.4846 0 .4434 0 .4072 0.3753
0 .025 0 .025 0 .025 0 .025 0.025 0.030 0 .030 0 .030 0 .030 0.030
0 .200 0 .210 0.220 0.230 0 .240 0 .255 0 .265 0 .275 0.285 0 .295
0 .190 0 :21 5 0 .239 0.266 0.294 0.32 7 0 .358 0 .39 1 0 .424 0.45 9
0 .3139 0 .2911 0.2707 0 .2523 0 .2358 0 .1732 0.1326
0 .3304 0 .3064 0.2849 0.2656 0.2482 0 .1823 0 .1396
0 .3469 0 .3217 0 .2991 0 .2789 0.2606 0.1914 0 .1466
0 .030 0 .030 0.035 0.035 0 .035 0 .040 0 .045
0.307 0.317 0.332 0 .342 0 .352 0 .408 0.465
0 .498 0 .536 0.57 5 0.61 6 0 .658 0 .896 1 .150
0.1059 0 .0858 0 .0708 0 .0596 0 .0508 0 .04377
0.1103 0 .0894 0 .0738 0.0621 0 .0529 0 .04559
0 .1147 0.0930 0 .0768 0 .0646 0.0550 0 .04741
0.050 0.055 0 .060 0 .065 0 .070 0 .075
0 .523 0 .579 0 .635 0.692 0 .747 0 .804
1 .47 0 1 .800 2 .190 2 .60 3 .05 3.54
Hil o esmaltad o
Hilo de cobre
c
E-
Oó oc
Sección, mm'
Tolerancia . el 0,
A mínim o de 0 por Diámetro esmalte, exterior máximo, mm mm
Resistencia en Ohmios por metro lineal a 20° C
pes k o 1 .000 m
mm
Mínimo
Nominal
Máximo
0 .012
0 .03812 0 .03350 0 .02968 0 .02648 0 .02376 0 .02145
0 .03971 0 .03490 0 .03092 0.02758 0.02475 0 02234
0 .04130 0 .03630 0 .03216 0.02648 0 .02574 0 .02323
0 .080 0 .080 0.085 0.085 0 .090 0 .090
0 .862 0 .912 0 .967 1 .017 1 .072 1 .122
4 .08 4.62 5 .20 5 .82 6 .47 7 .1 7
0 .01846 0 .01551 0 .01322 0 .01140
0 .01911 0 .01605 0.01368 0.01180
0 .095 0 .095 0 .095 0.095
1 .236 1 .336 1 .436 1 .536
8.71 10 .30 12 .1 0 14 .00
1 .640 1 .750 1 .850
16 .1 0 18.20 20 .50
mm 0 .75 0.80 0 .85 0 .90 0 .95 1 .00
0 .4418 0 .5026 0 .5674 0 .6362 0 .7088 0 .7854
1 .10 1 .20 1 .30 1 .40
0 .9503 1 .1310 1 .3273 1 .5394
0.016
0 .01781 0 .01497 0 .01276 0 .01100
1 .50 1 .60 1 .70
1 .7671 2 .011 2 .270
0 .020
0 .0096 0 .0085 0 .00752
0 .00993 0 .00873 0 .00773
0 .01020 0 .00896 0 .00794
0 .095 0 .100 0 .100
1 .80 1 .90 2 .00 2 .10 2 .20
2 .545 2 .835 3 .142 3.464 3.801
0 .025
0 .00670 0 .00603 0.00544 0 .00495 0 .00450
0 .00689 0.00619 0 .00558 0 .00507 0 .00461
0 .00708 0.00635 0 .00572 0 .00519 0 .00472
0.100 0 .100 0 .110 0 .110 0 .110
1 .955 2 .055 2 .175 2 .275 2 .375
23 .1 0 25 .60 28 .4 0 31 .30 34 .30
2 .30 2 .40 2 .50 2 .60 2 .70 2.80 2 .90 3 .00
4 .155 4 .524 4 .909 5 .310 5 .725 6 .158 6 .605 7 .069
0 .00411 0.00378 0.00348 0 .00322 0 .00299 0 .00278 0 .002600 0 .002431
0 .00422 0.00387 0 .00357 0 .003304 0 .003064 0 .002849 0 .002656 0 .002482
0.00434 0.00397 0.00365 0 .00338 0 .00313 I 0 .002911 0 .002712 0 .002533
0.110 0 .110 0 .110 0 .110 0 .110 0 .110 0.110 0.110
2 .480 2 .580 2 .680 2 .780 2 .880 2 .980 3 .080 3 .180
37 .40 40 .90 44 .30 47 .80 51 .6 0 55 .40 59 .50 63 .60
3 .50 4 .00
9 .621 12 .57
0
0.001786 0 .001368
0 .001823 0 .001396
0 .001860 0 .001424 '
0 .120 0 .120
3 .700 4 200
86 3 0 11 2 6
4.50 5.00
15.90 19 .64
0.050
0 .001081 0 .000876
0 .001103 0 .000894
0 .001125 0.000912
0.130 0 .130
4 720 5 .220
''43 J ' 16
0 .030
0.
~
.
'
I
I
31 -
Págin a
Capítulo XIX
INDICE DE MATERIAS
XX Capítulo
1 Il III
IV V
VI VII VIII
IX X XI
XII
XIII XIV XV XVI XVII XVIII
318
Página
Prólogo Energía y sus transformaciones Teoría de la electricidad Circuito Eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resistencia eléctrica Circuitos eléctricos homogéneos A) Ley de Ohm B) Potencia eléctrica C) Energía eléctrica D) Efecto Joule Resistencias en serie Circuitos derivados Circuitos mixtos : Reostatos Generadores eléctricos Acoplamiento de generadores a) Acoplamient o en serie b) Generadores en oposición c) Acoplamiento en paralelo d) Acoplamiento mixto Descripción de generadores A) Pares termoeléctricos B) Pilas hidroeléctricas C) Acumuladores Receptores eléctricos Baños electrolíticos Leyes de Kirchhoff Electrostática Condensador eléctrico Magnetismo y electromagnetismo A) Magnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B) Electromagnetismo
5 7 12 19
32 42 42 44
XX I XXII
XXIII
Circuito magnético A) Magnitudes . lundamentale s B) Permeabilidad magnética C) Reluctancia magnética D) Histéresis magnética Cálculo de los circuitos magnéticos A) Circuitos magnéticos homogéneos B) Circuitos magnéticos heterogéneos C) Circuitos magnéticos derivados D) Dispersión magnética Cálculo de electroimanes Fuerzas electromotrices inducidas Auto- -inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inducción mutua Corrientes parásitas o de Foucault Fuerzas electromagnéticas y electrodinámicas
16 4 16 4 16 7 17 2 17 5
18 0 18 0 18 4 18 7 18 9 19 2
20 3 21 4 21 8
22 0 22 2
CORRIENTES ALTERNA S
47
49 55 60 67 70 78 84 84 88 90 96
XXIV
XXV XXVI
XXVI I
101 101 102
106
XXVIII
116 123 128
XXIX XXX
134 141 153 153
158
XXXI XXXII
Conocimientos matemáticos fundamentales A) Nociones de Trigonometría B) Funciones senoidales C) Representación vectorial Corrientes alternas Receptores de corriente alterna A) Resistencia pura B) Inductancia pura C) Capacidad pura Circuitos reales de corriente alterna A) Circuito con resistencia e inductancia en serie B) Circuito con varias bobinas en serie C) Circuito con resistencia y capacidad en serie D) Circuito con varias resistencias y capacidades Circuito con resistencia, inductancia y capacidad en serie Resonancia Circuitos derivados Sistemas polifásicos A) Tensiones e intensidades B) Potencias C) Estudio de los circuitos polifásicos Mejora del factor de potencia Aparatos de medida
22 8 228 23 0 23 4
23 9 24 8 248
249 25 4 25 9 25 9 26 8 27 3 27 8 28 1 28 5 28 8 29 3 293 299 30 1 30 3 ;Il< ~
31 9
