I
INDICE CAPITULO 1
MATERIALES Y CIRCUITOS MAGNETICOS
1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.1.3.1.3.1.1.3.2.a.b.c.d.e.1.4.1.5.1.6.-
1.7.1.7.1.1.7.2.1.8.1.9.a.b.1.10.1.11.1.12.1.13.1.13.CAPITULO 2
Campo Magnético en un toroide hueco Cálculo de la Inducción magnética B Cálculo del flujo magnético magnético φ en el toroide Toroide con núcleo de material magnético Curvas de Imanación y características de los materiales magnéticos Curvas de Imanación Pérdidas en núcleos magnéticos Pérdidas por Histéresis Fórmula de Steinmetz Pérdidas por Histéresis Rotatoria Pérdidas por Corrientes Parásitas (Foucault) Factor de Apilamiento Pérdida total en el núcleo Separación de las pérdidas por Histéresis y por corrientes de Foucault Ley de Faraday Inductancias Inductancias propias y mutuas Forma de onda de la Corriente de excitación i 0 en un reactor con núcleo saturable, para un flujo senoidal Cálculo Gráfico de los Coeficientes de la Serie de Fourier de i 0(t) Valor eficaz y Potencia de la función i 0(t) Valor eficaz Potencia Representación Fasorial de la Corriente de Excitación Circuito Equivalente de un reactor con núcleo saturable Determinación de Parámetros Resistencia de la bobina R b Conductancia de pérdida gc y susceptancia de magnetización b m Medición de Pérdidas en núcleos magnéticos El Circuito Magnético El Toroide con un entrehierro pequeño Alguna Algunass cons conside iderac racion iones es gene general rales es en en la la resolu resolució ción n de Circui Circuitos tos Magné Magnétic ticos os
1
1 1 2 3 4 4 5 5 7 8 8 9 9 9 10 11 12 14 15 15 15 16 17 17 17 17 18 19 20 22
TRANSFORMADOR MONOFASICO DE DOS ENROLLADOS
24
2.1.2.2.2.3.2.4.2.5.2.5.1.2.5.2.2.5.3.2.6.2.7.2.8.-
24 24 26 27 29 29 30 30 31 32 33
Introducción Algunos aspectos constructivos Flujos magnéticos en Transformador Obtención del Circuito Equivalente del Transformador Otros circuitos equivalentes equivalentes del transformador Circuito equivalente referido al primario Circuito equivalente referido al secundario Circuitos equivalentes aproximados Diagrama fasorial de un Transformador Polaridad en el Transformador Determinación experimental de los parámetros del circuito equivalente del Transformador 2.8.1.- Prueba de vacío 2.8.2.- Prueba de cortocircuito 2.8.3.- Cálculo separado de las resistencias y reactancias de cada bobinado bobinado R 1, R 2, X1, X2 a.Separación directa (analítica)
33 34 35 35
II
b.Con Corriente Continua 2.9.- Pérdidas dispersas (PSL) 2.10.- Corrección del valor de los parámetros del transformador transformador por efecto de la temperatura 2.11.- Determinación de la razón de transformación 2.12.- Rendimiento del transformador 2.12.1.-Rendimiento 2.12.1.-Rendimiento convencional ( η) 2.12.2.-Rendimiento 2.12.2.-Rendimiento máximo (ηmáx) 2.12.3.-Rendimiento 2.12.3.-Rendimiento diario o energético (η ( ηd ) 2.13.- Sistema en tanto por unidad 2.13.1.-Introducción 2.13.2.-Condiciones 2.13.2.-Condiciones bajo las cuales deben calcularse las cantidades en por unidad a.Sin transformadores Conservación de la Ley de Ohm − Conservación de la Ley de Joule − b.Presencia de transformadores 2.13.3.-Cambio de base 2.13.4.-Ventajas del sistema en tanto por unidad 2.13.5.-Sistemas 2.13.5.-Sistemas en tanto por unidad en circuitos trifásicos 2.13.6 2.13.6.-V .-Valo alores res en en por unid unidad ad en la la base base propia propia de de los pará paráme metros tros del del tran transfo sforma rmador dor 2.14.- Regulación de tensión del transformador (Reg) 2.14.1.-Definición 1 2.14.2.-Definición 2 2.15.- Conexión de transformadores en paralelo 2.15.1.-Introducción 2.15.2.-Conexión 2.15.2.-Conexión en paralelo de transformadores con igual razón de transformación 2.15.3.-C 2.15.3.-Conex onexión ión en parale paralelo lo de transforma transformadores dores de distinta distinta razón de transforma transformación ción 2.16.- El autotransformador 2.16.1.-Introducción 2.16.2.-Obtención del circuito equivalente del autotransformador elevador referido al primario 2.16.3.-Autotransformador 2.16.3.-Autotransforma dor reductor 2.16.4.-Determinación 2.16.4.-Determinación de los parámetros 2.16.5.-Comparación entre las potencias nominales del autotransformador y del transformador 2.16.6.-Comparación 2.16.6.-Comparación entre las impedancias equivalentes del autotransformador y del transformador respectivo CAPITULO 3
TRANSFORMADORES TRIFASICOS Y BANCOS
3.1.3.1.1.3.1.2.3.2.3.3.3.3.1.3.3.2.a. b.c.3.3.3.3.3.4.3.3.5.-
Introducción Transformadores trifásicos tipo acorazado Transformador trifásico tipo núcleo con tres columnas Polaridad en transformadores trifásicos Conexiones trifásicas de transformadores Consideraciones generales Deducción de algunas conexiones Conexión YY0 ó YY12 Conexión ∆Y5 Conexión YZ11 Determinación experimental experimental del Desplazamiento angular de la conexión Conclusiones Normas internacionales
35 36 36 37 37 37 37 38 39 39 39 39 40 40 40 42 42 42 43 44 44 45 45 45 46 46 47 47 48 49 50 50 50
51
51 51 52 53 53 53 54 54 54 55 55 56 56
II
b.Con Corriente Continua 2.9.- Pérdidas dispersas (PSL) 2.10.- Corrección del valor de los parámetros del transformador transformador por efecto de la temperatura 2.11.- Determinación de la razón de transformación 2.12.- Rendimiento del transformador 2.12.1.-Rendimiento 2.12.1.-Rendimiento convencional ( η) 2.12.2.-Rendimiento 2.12.2.-Rendimiento máximo (ηmáx) 2.12.3.-Rendimiento 2.12.3.-Rendimiento diario o energético (η ( ηd ) 2.13.- Sistema en tanto por unidad 2.13.1.-Introducción 2.13.2.-Condiciones 2.13.2.-Condiciones bajo las cuales deben calcularse las cantidades en por unidad a.Sin transformadores Conservación de la Ley de Ohm − Conservación de la Ley de Joule − b.Presencia de transformadores 2.13.3.-Cambio de base 2.13.4.-Ventajas del sistema en tanto por unidad 2.13.5.-Sistemas 2.13.5.-Sistemas en tanto por unidad en circuitos trifásicos 2.13.6 2.13.6.-V .-Valo alores res en en por unid unidad ad en la la base base propia propia de de los pará paráme metros tros del del tran transfo sforma rmador dor 2.14.- Regulación de tensión del transformador (Reg) 2.14.1.-Definición 1 2.14.2.-Definición 2 2.15.- Conexión de transformadores en paralelo 2.15.1.-Introducción 2.15.2.-Conexión 2.15.2.-Conexión en paralelo de transformadores con igual razón de transformación 2.15.3.-C 2.15.3.-Conex onexión ión en parale paralelo lo de transforma transformadores dores de distinta distinta razón de transforma transformación ción 2.16.- El autotransformador 2.16.1.-Introducción 2.16.2.-Obtención del circuito equivalente del autotransformador elevador referido al primario 2.16.3.-Autotransformador 2.16.3.-Autotransforma dor reductor 2.16.4.-Determinación 2.16.4.-Determinación de los parámetros 2.16.5.-Comparación entre las potencias nominales del autotransformador y del transformador 2.16.6.-Comparación 2.16.6.-Comparación entre las impedancias equivalentes del autotransformador y del transformador respectivo CAPITULO 3
TRANSFORMADORES TRIFASICOS Y BANCOS
3.1.3.1.1.3.1.2.3.2.3.3.3.3.1.3.3.2.a. b.c.3.3.3.3.3.4.3.3.5.-
Introducción Transformadores trifásicos tipo acorazado Transformador trifásico tipo núcleo con tres columnas Polaridad en transformadores trifásicos Conexiones trifásicas de transformadores Consideraciones generales Deducción de algunas conexiones Conexión YY0 ó YY12 Conexión ∆Y5 Conexión YZ11 Determinación experimental experimental del Desplazamiento angular de la conexión Conclusiones Normas internacionales
35 36 36 37 37 37 37 38 39 39 39 39 40 40 40 42 42 42 43 44 44 45 45 45 46 46 47 47 48 49 50 50 50
51
51 51 52 53 53 53 54 54 54 55 55 56 56
III
a.b.3.4.3.4.1.3.4.2.3.4.3.3.4.4.3.4.5.3.4.6.3.4.7.3.4.8.3.4.9.3.5.3.6.3.6.1.3.6.2.a.b.3.6.3.3.6.4.3.6.5.CAPITULO 4
CAPITULO 5
Normas americanas Normas alemanas Circuito equivalente de un transformador trifásico Introducción Conexión estrella-estrella Conexión delta-delta Conexión delta-estrella Conexión estrella-delta Característica de excitación Valor de los parámetros en por unidad Determinación experimental experimental de los parámetros del circuito equivalente “por fase” Razón de transformación trifásica trifásica (aT) Pérdidas dispersas Armónicos en transformadores trifásicos y bancos Introducción Transformador estrella-estrella sin neutro Tipo acorazado o banco Tipo núcleo Transformador estrella-estrella con neutro encadenado Transformador estrella-triángulo Transformador estrella-zigzag
56 56 56 56 57 58 59 59 59 59 60 60 61 61 61 63 63 63 64 65 66
PRINCIPIOS DE CONVERSION ELECTROMECANIC ELECTROMECANICA A
67
4.1.4.2.4.3.4.3.1.4.3.2.4.3.3.4.3.4.4.3.5.4.3.6.4.3.7.4.4.4.4.1.4.4.2.4.4.3.-
67 67 68 68 70 71 72 72 72 72 73 73 74 75
Introducción Estado y variables de estado Sistema de acoplamiento electromecánico electromecánico de campo magnético Función de Estado Energía Fuerza de origen eléctrico a partir de la Función de Estado Energía Función de Estado Coenergía Magnética Fuerza de origen eléctrico a partir de la Coenergía Sistema de N entradas eléctricas y M entradas mecánicas Relación terminal en el sistema de acoplamiento de campo magnético Observaciones generales Sistema de acoplamiento de Campo Eléctrico Consideraciones generales Relación terminal en un sistema de campo eléctrico Funciones de Estado Energía y Coenergía Coenergía y Fuerza de origen eléctrico en el sistema de campo eléctrico
CONCEPTOS BASICOS DE MAQUINAS ROTATORIAS
77
5.1.5.2.5.2.1.5.2.2.5.2.3.5.3.5.3.1.5.3.2.5.4.5.4.1.5.4.2.5.5.-
77 78 78 80 81 82 82 84 85 85 90 94
Introducción Consideraciones generales Máquinas síncronas elementales Máquinas elementales de Corriente Continua Máquinas elementales de Inducción Tensiones inducidas Máquinas de Corriente Alterna Máquinas de Corriente Continua Fuerzas magnetomotrices magnetomotrices de los devanados distribuidos Devanado de paso completo Devanado de paso fraccionario Torque en máquinas de polos no salientes
IV
1
CAPITULO 1 MATERIALES Y CIRCUITOS MAGNETICOS 1.1.-
Campo magnético en un toroide hueco
Un bobina de forma toroidal es la configuración mas sencilla en cuanto al campo magnético establecido al circular una corriente por ella. Esto permite visualizar mejor los fenómenos que ocurren y obtener una mejor aproximación en la descripción de ellos. Así entonces, para este estudio, consideraremos el toroide de la Figura 1.1 donde supondremos que:
C R f
R b
a
i
dl R
+
v
θ
r
x
O
-
B z Figura 1.1.- Bobina devanada sobre un núcleo de forma toroidal −
− −
El conductor de la bobina es de diámetro pequeño y uniforme. Tiene una resistencia total R b y está enrollado en N vueltas distribuidas uniformemente sobre un toroide de pared muy delgada de material no magnético con núcleo de aire. La bobina está conectada a una fuente de voltaje con resistencia interna R f No hay ningún objeto magnéticamente susceptible, ubicado cerca de la bobina
En base a las consideraciones anteriores, se puede postular que todos los puntos ubicados a la misma distancia r del centro O del toroide, se encuentran en idéntica situación o estado magnético, en cuanto al campo magnético establecido por la corriente i que circula en la bobina. 1.1.1.- Cálculo de la Inducción magnética B Para deducir la expresión de la Inducción Magnética B establecida por la corriente que circula en la bobina, utilizaremos la Ley Circuital de Ampere:
∫
B • dl = µ0 I
(1.1)
C
en que:
C
: Curva sobre la que se evalúa B y que enlaza la corriente neta I.
B
: Inducción magnética en un punto sobre C [Weber/m2]
d l : Elemento de longitud sobre la curva C µ 0 : Permeabilidad del vacío: 4 π · 10 -7 [Hy/m]
2
Aplicando (1.1) a la Figura 1.1 se tiene: C
: Circunferencia de centro O y radio r B = B θˆ d l = r dθ θˆ , de donde :
B=
µ0 I 2π r
(1.2)
Para la curva C , se presentan 3 casos: −
Que C sea tal que:
−
Que C sea tal que:
−
Que C sea tal que:
0 〈 r 〈 ( R − a )
⇒ I = 0; B = 0
r 〉 (R + a )
⇒ I = 0; B = 0
( R − a ) 〈 r 〈 (R + a ) ⇒ I = + N i
Por lo que se puede escribir
B=
µ0 N i ˆ θ 2π r
para (R - a ) 〈 r 〈 (R + a )
(1.3)
1.1.2.- Cálculo del flujo magnético φ en el toroide Por definición se tiene que:
φ=
∫ S
B • nˆ dA
(1.4)
donde :
φ
: flujo que atraviesa la superficie
B : Inducción magnética sobre S n : vector unitario normal a la superficie S dA : Elemento de área en S.
Para evaluar (1.4) consideremos la Figura 1.2 en que se muestra una sección cualquiera del toroide.
Eje Toroide dA
dα
α x dx
a
R r Figura 1.2.- Sección de un toroide
3
En ella se puede escribir: r = R + x cos α dA = x dα dx
B • nˆ = B Luego, (1.4) queda: x =a
φ = ∫
x =0
α = 2π
µ 0 N i x dx dα
0
2π (R + x cos α )
∫ α=
(1.5)
Por lo que el flujo φ que atraviesa la sección transversal del toroide es:
φ = µ 0 N i R − R 2 − a 2
(1.6)
Para el toroide de sección rectangular, se obtiene:
φ=
µ 0 N i c b Ln 2π a
(1.7)
Donde a y b son las distancias medidas desde el eje del toroide a cada lado del rectángulo (b 〉 a) y c es la altura. Si se supone que la inducción magnética B es constante en el interior del toroide y su valor corresponde al que existe en el centro de su sección transversal; es decir en (1.2), r se reemplaza por R, se obtiene: −
para el toroide de sección circular:
φ=BA = −
µ 0 N i a 2 2 R
(1.8)
y para el toroide de sección rectangular:
φ=
µ 0 N i c ( b − a ) π (a + b )
(1.9)
A manera de ejemplo, consideremos el toroide de sección rectangular, para evaluar el flujo usando las expresiones anteriores con: a = 4 cm; b = 6 cm; c = 2 cm; N = 600 espiras y una corriente de 1 Amp. en la bobina. Los valores obtenidos son φ = 9,73 · 10-7 [Weber] y φ = 9,6 · 10-7 [Weber] según se utilice (1.7) y (1.9) respectivamente. Se puede observar que utilizando la expresión aproximada en lugar de la mas exacta, se comete un error del 1,34 %. Por lo tanto, en lo sucesivo, para evaluar el flujo de un toroide de sección
rectangular o circular, se usarán las expresiones aproximadas que consideran que la inducción magnética B es constante en toda la sección transversal e igual al valor que tiene en el centro.
1.2.-
Toroide con núcleo de material magnético
Si el toroide de la Figura 1.1 se rellena con material ferromagnético, las expresiones anteriores deben modificarse. En ausencia del material ferromagnético, la densidad de flujo en el centro de la sección del toroide que designaremos por B 0 es: B0 =
µ 0 N i 2π R
(1.10)
4
Con el núcleo de material ferromagnético, este valor que se designará por B, se incrementa. No entraremos en detalles para explicar esta situación. Sin embargo, es conveniente indicar que existen materiales en los cuales el efecto es contrario, es decir, la densidad de flujo disminuye (materiales diamagnéticos). Los materiales en los cuales B aumenta se denominan paramagnéticos y, cuando el efecto es importante se denominan ferromagnéticos. Para el toroide con núcleo ferromagnético, se puede afirmar ahora que:
B = B0 + Bi
(1.11)
En que Bi es la inducción magnética proveniente de la magnetización del material. Si consideramos que el comportamiento del material del núcleo es lineal se puede escribir:
B i = χ m B0
(1.12)
Donde χ m es la susceptibilidad magnética del material y de esta forma: B = (1 + χ m )B 0
(1.13)
Según lo planteado, la ley circuital de Ampere se puede escribir:
∫
B 0 • d l = µ 0 N i
(1.14)
C
Despejando B0 de (1.13), introduciéndolo en (1.14) y despejando se obtiene:
∫
H • d l = N i
(1.15)
C
En donde se ha definido:
µ = µ 0 (1 + χ m )
y
B=µ H
(1.16)
La expresión (1.15) corresponde a la ley circuital de Ampere cuando existe material magnético. H es el vector intensidad de campo y µ es la permeabilidad magnética del material (constante sólo si la relación BH es lineal).
1.3.-
Curvas de Imanación y características de los materiales magnéticos
1.3.1.- Curvas de Imanación La Figura 1.3 muestra una disposición para determinar la curva de imanación (Curva de Histéresis o Curva B-H). La intensidad H se mide a través de la corriente, según (1.17) H=
N i 2π R
(1.17)
En cuanto a B, se supone medida de una forma que por ahora no interesa. Por intermedio del interruptor K se puede invertir la polaridad, para obtener valores negativos de la corriente. En primer lugar se debe desmagnetizar la muestra y luego se aumenta la corriente hasta el valor de H máximo fijado para la prueba; en seguida se disminuye hasta cero, se invierte la polaridad y se repite el proceso. Se debe tener cuidado en no volver a retomar un valor ya pasado, debido a las características de histéresis del material. La curva obtenida se muestra en la Figura 1.4, donde se puede observar que:
5
a i
A K
+
φ R
+ e -
-
B Figura 1.3.- Circuito para determinar la curva B-H −
−
existe una densidad de flujo residual (Br ) aún cuando la intensidad de campo H (y la corriente) sea cero. existe una fuerza coercitiva (Hc) aún cuando la densidad de flujo B sea cero.
La Curva de Magnetización Normal se define como el lugar geométrico de todos los puntos (B max, Hmáx) de los distintos lazos de Histéresis. B
Bmáx1 Bmáx2 Br
-Hmáx1-Hmáx2-Hc Hc
Hmáx2 H máx1
H
Curva de Magnetización Normal
-Br -Bmáx2 -Bmáx1
Figura 1.4.- Familia de anillos de Histéresis y Curva de Magnetización Normal
1.3.2.- Pérdidas en núcleos magnéticos a.-
Pérdidas por Histéresis
La existencia de un campo eléctrico o magnético indica siempre una acumulación de Energía. En ciertas condiciones, que dependen de las propiedades del medio, la energía entregada cuando se establecen los campos, vuelve al sistema inicial cuando éstos se suprimen. En el vacío, el proceso es totalmente reversible.
6
En toda pieza de un aparato en la que existan los campos eléctrico y magnético, los procesos de acumulación y liberación de energía no son totalmente reversibles. Cierta cantidad de energía se disipa siempre en forma de calor, en el medio ocupado por el campo. En general, la densidad volumétrica de energía ω entregada al medio, cuando B varía desde un valor B 1 cualquiera a otro B 2 es: B2
ω = ∫ H dB B1
(1.18)
Para realizar la integración indicada es preciso conocer H como función de B, para la variación de inducción magnética que se considere. Por ejemplo, si la variación de B es cíclica y la región ocupada por el campo contiene un material ferromagnético, se necesitará la curva de imanación del material del núcleo (Figura 1.4) para todo el ciclo. Si se considera constante la permeabilidad (relación lineal entre B y H) la histéresis deberá considerarse despreciable, por lo que, usando (1.16) se puede escribir:
ω=
1 2µ
(B
2 2
− B12 )
(1.19)
o bien:
ω=
B2 2µ
=
µ H2 2
Cuando la inducción magnética B se establece a partir de cero.
Figura 1.5.- Pérdidas de histéresis por ciclo de magnetización de un material ferromagnético
(1.20)
7
A partir de (1.18) y las Figuras 1.5 a), b), c) y d) se puede mostrar que la densidad volumétrica de energía ω disipada en el núcleo, en un ciclo de magnetización es igual al área encerrada en este ciclo. En efecto: Bmax
ω a = ∫
− Br
H dB = Area Achurada en la Figura 1.5 a)
como H 〉 0 y B max 〉 - B r ⇒ ωa 〉 0 , es decir esta área corresponde a energía absorbida por el sistema. De la misma forma: Br
ω
b
ω
ω
= ∫ H dB = Area Achurada en la Figura 1.5 b) 〈 0
⇒
Bmáx
− Bmáx
c
= ∫
d
= ∫
Br
− B r
H dB = Area Achurada en la Figura 1.5 c) 〉 0
H dB = Area Achurada en la Figura 1.5.a) 〈 0
el sistema cede energía (a la fuente)
⇒
el sistema absorbe energía (de la fuente)
⇒
el sistema cede energía (a la fuente)
− B máx
Luego, la densidad de energía total absorbida por el sistema, por ciclo de histéresis será:
ω H = ωa + ω b + ωc + ω d = A H
(1.21)
Donde AH es el área en [Weber/m2] x [ Amp. vuelta/m ] del ciclo de histéresis. En un núcleo magnético excitado con Corriente Alterna de frecuencia f, se tendrá f ciclos de histéresis por segundo, por lo que la potencia P H disipada en el núcleo de volumen V, será: PH = f V ω H = f V A H
(1.22)
Fórmula de Steinmetz Empíricamente Steinmetz encontró que la energía perdida por unidad de volumen y por ciclo está dada aproximadamente por:
ω H = η B nmax
(1.23)
En que: η (coeficiente de Steinmetz) y n (exponente de Steinmetz) tienen valores que dependen del material del núcleo. Los valores de η y n, en la actualidad, pueden no ser constantes para un material, por lo que deben evaluarse para un cierto dominio de B máx y usarse luego sólo en éste. Aplicando logaritmo en ambos miembros de (1.23) se t iene: log ω H = log η + n log B max
(1.24)
La expresión (1.24) indica que existe una relación lineal entre log ω H y log B máx , tal como se muestra en la Figura 1.6 , donde a= log ω H y la pendiente n es la razón entre ∆V y ∆U Si en forma experimental, se construye el gráfico de la Figura 1.6 para un cierto material y este corresponde a una línea recta, se podrá verificar que n es constante.
8
La pérdida total por histéresis en un volumen V en que la inducción magnética sea uniforme y varíe cíclicamente con una frecuencia de f [ciclos/seg] se puede expresar como: PH = η V f B nmax
(1.25) log ω H
V U
a
log B máx Figura 1.6 .- Gráfico que muestra la Ecuación (1.24)
b.-
Pérdidas por histéresis rotatoria
Son causadas por la variación del estado de imanación debido a los cambios en la dirección de magnetización. Este efecto ocurre en máquinas eléctricas cuando un núcleo se mueve en un campo magnético constante y puede, en algunos casos llegar a ser importante.
c.-
Pérdidas por corriente parásitas (Foucault)
El material de un núcleo es conductor y, si la inducción magnética varía, cambia el flujo enlazado por trayectorias en él. Esto da lugar a tensiones inducidas y en consecuencia, se establecen corrientes, si las trayectorias constituyen caminos cerrados, razón por lo cual, los núcleos excitados con flujos variables en el tiempo, se construyen laminados. Las corrientes anteriormente mencionadas, se denominan parásitas o de Foucault y por supuesto dan origen a pérdidas de potencia en el núcleo. La determinación analítica de ellas es bastante engorrosa y no tiene sentido efectuarla en este curso; sin embargo, es posible demostrar que (ver Gourishankar: Conversión de Energía Electromecánica) si el voltaje inducido en la bobina de excitación y el flujo en el núcleo son funciones sinusoidales del tiempo, la potencia media perdida por unidad de volumen p F es:
π 2 f 2 t 2 B 2max p F = 6 ρ
(1.26)
donde: t es el espesor de las láminas, f es la frecuencia de la fuente de alimentación y ρ es la resistividad del material. Si B es uniforme en todo el volumen, las pérdidas totales debido a las corrientes parásitas P F son: PF =
V π 2 f 2 t 2 B 2max 6 ρ
(1.27)
9
Factor de Apilamiento Como una forma de disminuir las pérdidas por corrientes parásitas, el material que forma el núcleo está constituído por chapas (láminas) delgadas, recortadas en forma adecuada y apretadas entre si. Entre ellas se coloca una capa de material aislante, como forma de evitar el contacto eléctrico. Esto significa que el volumen ocupado por las láminas (de material magnético) es menor que el volumen total del núcleo. La zona entre las láminas tiene una permeabilidad menor que la del material y por lo tanto conduce menor flujo. El factor de apilamiento relaciona el área ocupada por el material magnético con la que ocupa toda la sección del núcleo, es decir: Fap =
A ef
(1.28)
At
donde: Aef es el área efectiva ocupada por el material magnético y A t es el área total del núcleo. Los valores del Factor de Apilamiento varían entre 0,95 y 0,90 para láminas con espesores comprendidos entre 0,63 y 0,35 mm y entre 0,75 y 0,40 para láminas con espesores entre 0,12 y 0,025 mm.
d.-
Pérdida total en el núcleo
Corresponde a la suma de las pérdidas por histéresis y corrientes parásitas. Es decir, por unidad de volumen se tiene: p n = η
f B nmax
+
π
2
f 2 t 2 B 2max
(1.29)
6 ρ
Si la inducción magnética B es uniforme en todo el volumen, entonces la pérdida total P n será el producto de pn por el volumen V.
e.-
Separación de las pérdidas por Histéresis y por corrientes de Foucault
Aún cuando lo que interesa a menudo es la magnitud de la pérdida total en el núcleo, en algunos casos se hace necesario conocer los valores de P H y PF separados. Esto permite saber sobre que factores se debe actuar con el objeto de disminuir la pérdida total en forma económica. 2
La separación se puede efectuar en principio considerando que P H depende de f y PF depende de f . Para ello se hacen mediciones a dos frecuencias distintas f 1 y f 2. Sean: Pn1 y Pn2
: Potencia total perdida en el núcleo a las frecuencias f 1 y f 2 respectivamente.
PH1 y PH2 : Potencia perdida por histéresis a f 1 y f 2. PF1 y PF2 : Potencia perdida por corrientes parásitas a f 1 y f 2. Se pueden plantear entonces, el siguiente sistema de ecuaciones:
(1) PH 1 + PF 1 = Pn 1
(2) PH 2 + PF 2 = Pn
2
(3)
PH 1 PH
2
=
f 1 f 2
(4)
PF 1 PF 2
=
f 12 f 22
(1.30)
10
Donde se ha supuesto que al hacer las mediciones a las dos frecuencias, se mantiene constante el valor de Bmáx. La resolución del sistema de 4 ecuaciones (1.30) permite determinar, por ejemplo, P H1 y PF1: PH 1 =
PF 1 =
1.4.-
f 22 Pn 1 − f 12 Pn 2
(1.31)
f 2 (f 2 − f 1 ) f 1 (f 1 Pn 2 − f 2 Pn 1 )
(1.32)
f 2 (f 2 − f 1 )
Ley de Faraday
La Ley de Faraday (Faraday-Henry), expresa que en una trayectoria cerrada C, que enlaza un flujo magnético que varía en el tiempo se induce una tensión e, dada por: e=−
d dt
∫
B • nˆ dA
(1.33)
S
en que las distintas variables se asocian a la Figura 1.7. n Curva C dA
B i +
R + v
e -
-
S Figura 1.7.- Lazo de corriente para explicar la ley de Faraday Por definición:
φ = ∫ B • nˆ dA
(1.34)
S
entonces: e=−
dφ
(1.35)
dt
En la ley de Faraday, la tensión inducida se considera en el sentido positivo de la curva cerrada orientada C, es decir, como fuente. El signo menos (-) expresa el hecho que el sentido que tiene la tensión inducida es tal, que al poder hacer circular una corriente por la trayectoria C, se produzca una inducción magnética que tienda a evitar que el enlace de flujo cambie (ley de Lenz). En las aplicaciones, se considera que e es una caída de tensión, por lo que a partir de la Figura 1.7 se puede escribir: v = R i + e = R i +
dφ dt
(1.36)
En general, el flujo enlazado λ se define como: λ = N φ . Por otra parte, si consideramos el toroide de la Figura 1.1, la curva C es la descrita por todo el conductor de la bobina, que matemáticamente es muy complicada. Sin embargo, se puede calcular el enlace de flujo pensando en una sola espira, considerando que:
11
B =
µ 0 N i
(1.37)
2π R
De este modo, el flujo enlazado por una espira λ1 será: λ1 = B A = φ . Para cada espira se tiene el mismo resultado, por lo que el flujo total enlazado λ corresponderá a:
λ = N λ 1 = N φ
(1.38)
Supongamos que el toroide de la Figura 1.1 se conecta a una tensión alterna sinusoidal v=
2 V cos ω t e=v=
volt y se desprecia la resistencia de la bobina y de la fuente. En estas condiciones: 2 V cos ω t = N
dφ dt
(1.39)
Resolviendo esta ecuación se obtiene:
φ=
2V
ω N
sin ω t
(1.40)
Es decir, en las condiciones planteadas, el flujo es sinusoidal y su magnitud es independiente de las características del núcleo. Escribiendo (1.40) como:
φ = φ máx sin ω t φ máx =
V 4.44 f N
(1.41) (1.42)
Donde V es el valor eficaz de la tensión, ω = 2 π f es la frecuencia angular y 2 π/ 2 es aproximadamente igual a 4,44. A partir de (1.42) se puede escribir: V = 4,44 f N φ máx
(1.43)
o bien: V = 4,44 f N A B máx
(1.44)
Esta última expresión permite medir en forma aproximada la inducción magnética máxima en el núcleo a través de la tensión efectiva V.
1.5.-
Inductancias propias y mutuas
Consideremos los circuitos C 1 y C2 magnéticamente acoplados que se muestran en la Figura 1.8 suponiendo en principio que sólo circula corriente en el circuito C 1
Definición 1: El flujo producido por la corriente i 1 que recorre la trayectoria C 1 , que es enlazado por C1 se denomina enlace propio λ 11 y está dado por:
λ11 = ∫ B • nˆ dA
s1
(1.45)
Definición 2: El flujo producido sólo por i 1 que es enlazado por la trayectoria C 2 se denomina enlace de flujo mutuo λ 1 2 y vale:
λ1 2 = ∫ B • nˆ dA
s2
(1.46)
12
C1
C2
i 1
i2 S1
S2 B
Figura 1.8.- Circuitos magnéticamente acoplados Según lo anterior, las inductancias propia L 11 y mutua L12 se definen como:
λ 11
L 11 =
y
i1
L1 2 =
λ1 2 i1
(1.47)
Análogamente podemos definir la inductancia propia de la trayectoria C 2, L22 y mutua L21
λ 22
L 22 =
y
i2
L 21 =
λ 21 i2
(1.48)
Estas definiciones se pueden extender a más de 2 circuitos acoplados. Además: L 12 = L21 = M Si como ocurre normalmente, circula corriente en las dos bobinas y éstas están acopladas se puede escribir:
λ1 = λ11 ± λ 21 = L11 i1 ± L 21 i 2
(1.49)
λ 2 = ± λ12 + λ 22 = ± L12 i1 + L 22 i 2
(1.50)
Donde λ 1 y λ 2 son los flujos totales enlazados por C 1 y C2 respectivamente. Por otra parte el doble signo depende de los sentidos relativos de las corrientes en las trayectorias.
1.6.-
Forma de onda de la Corriente de excitación i0 en un reactor con núcleo saturable, para un flujo senoidal Consideremos el toroide de la Figura 1.1.- La resistencia es despreciable y la tensión aplicada es
v=
2 V cos ω t =e, con lo que se puede escribir: 2V
φ=
ω N
B=
i=
φ A
=
sen ω t 2V
ω N A
2 π R H N
sen ω t
(1.51)
(1.52)
(1.53)
La relación entre B y H ( φ e i0 en este caso), corresponde a la curva de imanación del núcleo. La Figura 1.9 muestra las ondas de tensión, flujo y la curva de histéresis así como la curva obtenida para i 0(t), la que se muestra separada en la Figura 1.10. Según esta Figura, se puede concluir que cuando el flujo es forzado a ser sinusoidal y el núcleo es saturable, la corriente de excitación, no es sinusoidal.
13 v, φ v (t)
φ
φ (t) 4'
4''
2 1
3
9
3'
2' 0 a
5''
5'
3''
4 b
c
6' d
e
8 f
7' 1'
6'' g
h
t
2''
i0
7''
9'
1" - 9''
5
7 6
8'' 8'
1''' 2''' 3'''
a b
i0
4'''
c 5''' d
6''' 7'''
e
8'''
f g 9''' t
Figura 1.9.- Determinación gráfica de la Corriente de excitación en un reactor de núcleo ferromagnético, para un flujo sinusoidal y considerando que la resistencia óhmica de la bobina es despreciable
14
i0(t) i0(k) i0(t 1)
t 1+T/2
T
t 1 α k
i0(t 1+T/2)
t
Intervalo m
Figura 1.10.- Forma de onda de la corriente de excitación La corriente de excitación de la Figura 1.10 presenta las siguientes características: −
Es periódica, de período T (2 π)
−
Tiene simetría de media onda, es decir: i 0 (t 1 + T 2) = −i 0 (t 1 ) Por lo anterior, puede ser desarrollada en serie de Fourier como sigue: ∞
i 0 (t ) = ∑ [I 0 a n cos n ω t + I o b n sen n ω t ]
(1.54)
0
donde Ioan e Iobn son los valores máximos de los coeficientes de la serie, esto es: I0 a n =
I 0 b n =
2 T 2
T 2
(t ) cos n ω t
dt
(1.55)
T 2
(t ) sen n ω t
dt
(1.56)
∫ −
i T 2 0
T ∫ −
i T 2 0
Por las características de i 0(t), la serie de Fourier no tiene término constante (su valor medio es cero) y además sólo existen los armónicos impares ( n = 1,3,5....). De acuerdo con ésto, el desarrollo de la serie hasta el quinto armónico tiene la forma de las ecuaciones (1.57) ó (1.58) siguientes: i 0 ( t ) = I 0a1 cos ω t + I 0b1senω t + I 0 a3 cos 3ω t + I 0b3sen3ω t + I 0a5 cos 5ω t + I 0b5 sen5ω t
(1.57)
i 0 ( t ) = I 01 cos(ωt - φ1 ) + I 03 cos(3ωt - φ 3 ) + I 05 cos(5ωt - φ 5 )
(1.58)
Donde: I 0 n =
I 02an + I 02 bn
y
φ n = tg -1
I 0 bn I 0an
con n=1,3,5,..
(1.59)
Cálculo Gráfico de los Coeficientes de la Serie de Fourier de i0(t) En la práctica, no se dispone de la función i 0(t) en forma analítica y por lo tanto no es posible aplicar las expresiones (1.55) y (1.56) para determinar los coeficientes de la serie de Fourier. Sin embargo, se puede obtener un gráfico de i 0(t) y a partir de él, determinar los coeficientes en forma aproximada. Para ello existen diversos métodos, uno de los cuales veremos a continuación con ayuda de la Figura 1.10. El método consiste en lo siguiente:
15 − −
Se divide el período 0 - 2 π de la onda de i 0(t) en m intervalos iguales de longitud 2 π/m cada uno. En el punto medio de cada intervalo, se mide el valor de i 0 dado por la curva en conjunto con el valor del ángulo, es decir, para el intervalo k: i 0(k) y α . Bajo esas condiciones: I 0an =
I 0 bn =
2 m 2 m
k = m
∑ i 0 (k ) cos n α k
(1.60)
k =1 k = m
∑ i 0 (k ) sen n α k
(1.61)
k =1
donde n= 1,3,5, ..... y α k =
2 π 2 k - 1 m 2
La precisión que se obtiene al calcular los coeficientes de esta forma depende de la cantidad de intervalos que se consideren. Mientras mayor sea m, mejor será la precisión.
1.7.-
Valor Eficaz y Potencia de la función i0(t)
1.7.1.- Valor Eficaz En general, el valor eficaz o efectivo de una función periódica desarrollada en serie de Fourier, es igual al valor medio en un período más la raíz cuadrada de la suma cuadrática de los valores eficaces de los armónicos de la onda. En el caso de i 0(t), su valor medio es nulo y por lo tanto su valor efectivo I oef será (considerando hasta el quinto armónico): I 0 e f = I 02a1ef + I 02 b1ef + I 02a 3ef + I 02 b 3ef + I 02a 5ef + I 02 b 5ef
(1.62)
1.7.2.- Potencia La potencia eléctrica instantánea p es: p( t ) = v ( t ) i ( t ) Donde v( t ) =
(1.63) 2 V cos ω t e i(t) = i0(t) corresponde a las expresiones (1.57) ó (1.58)
La potencia media P es por definición: P=
1 T
T
∫ p( t) dt 0
Al reemplazar (1.57) en (1.64) se tiene 3 tipos de términos: a)
Producto de 2 cosenos de la misma frecuencia
b)
Productos de coseno por seno de igual y distinta frecuencia
c)
Productos de coseno por coseno de distinta frecuencia
(1.64)
16
Las integrales de b) y c) en un período son nulas y por lo tanto, sólo queda la integral correspondiente al tipo de término indicado en a) cuyo valor es: P = V I 0a1ef
(1.65)
Este resultado expresa el hecho que la potencia es igual al producto del valor eficaz de la tensión por el valor eficaz de la componente de la corriente de la misma frecuencia y que está en fase con la tensión. Por otra parte, como se ha considerado que la resistencia de la bobina es despreciable, representa la potencia disipada en el núcleo. Reconsiderando la expresión (1.57) y el resultado obtenido en (1.65) se puede apreciar que existen términos de la corriente de excitación que no contribuyen a la potencia media P. Ello permite considerar a la corriente de excitación como la suma de dos (2) componentes. − −
I p : Componente de pérdidas en el núcleo, que en este caso corresponde a I oa1 Im: Componente magnetizante, que considera todos los términos que no contribuyen a la potencia disipada y que en este caso se puede escribir como:
Im =
I 2ob1 + I 20a 3 + I 20 b 3 + I 20a 5 + I 20 b5
(1.66)
En que todos los valores pueden se r efectivos o máximos según corresponda.
1.8.-
Representación Fasorial de la Corriente de Excitación
La corriente de excitación que se ha estudiado es la misma que existe por ejemplo, en un transformador. Su valor, en este caso, es del orden del 1 al 8% de la corriente nominal. Por ello, aún cuando no es sinusoidal, se puede considerar como tal, como una buena aproximación en la mayoría de los casos. Esto significa despreciar los armónicos de orden mayor que 1. Es decir: i 0 ( t ) = 2 I 0a1ef cos ω t + 2 I 0b1ef sen ω t
(1.67)
definiendo:
i p =
2 I 0a1ef cos ω t
Componente Componente de Pérdida
(1.68)
im =
2 I 0b1ef sen ω t
Componente Componente de Magnetización Magnetización
(1.69)
o bien, utilizando (1.58): i 0 ( t ) = I 0 cos(ωt − ϕ)
⇒
I = I ∠ − ϕ 0 0
2 2 con I 0 = ( 2 I 0a1ef ) + ( 2 I 0b1 )
(1.70)
2 I 0b1ef 2I 0a1ef
y ϕ = tg -1
(1.71)
El ángulo ϕ representa el desfase del fasor I 0 respecto de la tensión aplicada, por lo que se puede dibujar el siguiente diagrama fasorial (Figura 1.11).
17
I p
V
ϕ
Im Io
φ
Figura 1.11.- Diagrama fasorial que representa la corriente de excitación De la Figura 1.11 se puede escribir: I p = I 0 cos ϕ
1.9.-
e
I m = I 0 sen ϕ
(1.72)
Circuito Equivalente de un reactor con núcleo saturable
No obstante las características no lineales del núcleo, las bobinas con núcleo saturable se pueden representar sin mucho error, por un circuito eléctrico de parámetros constantes como se muestra en la Figura 1.12, donde: −
gc : Conductancia (recíproco de la resistencia) que representa las pérdidas en el núcleo.
−
bm : Susceptancia (recíproco de la reactancia) asociada a la magnetización del núcleo. Io
R b
Im +
I p
E
g
+ V -
c
- jbm
-
Figura 1.12.- Circuito equivalente de un reactor con núcleo saturable
Determinación de Parámetros a.Resistencia de la bobina Rb: Se puede medir utilizando el método del Vóltmetro y Ampérmetro, efectuando varias lecturas y calculando el promedio. También podría emplearse algún tipo de puente (de Wheatstone por ejemplo). En los dos se usa corriente continua. El valor obtenido, se puede considerar como resistencia efectiva (de corriente alterna), ya que el efecto de la frecuencia es poco influyente hasta valores de alrededor de 60 ciclos/seg. b.Conductancia de pérdida gc y susceptancia de magnetización b m: Para este propósito se usa el circuito mostrado en la Figura 1.13. Se aplica a la bobina una tensión sinusoidal, de magnitud y frecuencia conocidas y se miden: la potencia total P disipada en el reactor a través del wátmetro W, el voltaje aplicado, con el vóltmetro V y la corriente de excitación establecida I 0, con el ampérmetro A. Según lo ésto, la potencia perdida en el núcleo P n será: Pn = P - I 02 R b
(1.73)
18
A
+-
+ W
Io
+ v
V -
Figura 1.13.-Circuito para determinar los parámetros g c y bm Como se conoce R b, la expresión (1.73) permite calcular P n. Por otra parte, de la Figura 1.12 se tiene: Pn = E 2 g c = V 2 g c
(1.74)
Si se desprecia la caída de tensión en R b. De (1.73) y (1.74) se obtiene entonces: gc =
P - I 20 R b
(1.75)
V2
Análogamente, la susceptancia de magnetización b m se puede obtener a partir de la potencia reactiva Qn asociada a la magnetización del núcleo; es decir:
b m =
Qn V2
=
(V I 0 ) 2 − Pn2 V2
(1.76)
1.10.- Medición de Pérdidas en núcleos magnéticos La forma mas sencilla de medir las pérdidas en núcleos magnéticos consiste en emplear el circuito de la Figura 1.13 y utilizar la ecuación (1.73). Este método es sencillo y razonablemente satisfactorio cuando no se requiere mucha precisión. Sin embargo, para que el valor de la potencia perdida tenga un significado preciso, deben especificarse los valores de la inducción magnética B, la frecuencia f y las dimensiones y peso del núcleo e indicarse de que manera se obtuvo y dispuso la muestra. De ellos, el único que presenta alguna dificultad para su medición, es la inducción magnética B (o Bmáx). Si se puede despreciar la resistencia del conductor de la bobina (o la caída de tensión en ella), la inducción magnética máxima B máx se puede determinar a partir de (1.44). Cuando se requiere mediciones más precisas, se puede bobinar sobre el devanado inicial, otro idéntico (la misma cantidad de vueltas, sección y número de espiras) y utilizar el circuito de la Figura 1.14, en que el wáttmetro W mide directamente la potencia perdida en el núcleo. Por otra parte, debido a que el flujo φ es enlazado por todas las espiras de la bobina 2, se inducirá en ésta, una tensión: E 2 = 4,44 f N 2 A B max . Como la carga del bobinado 2 corresponde a las impedancias de las bobinas de tensión del Wáttmetro y el vóltmetro (ambas de valor elevado), la corriente en este devanado será pequeña y por lo tanto, el voltaje medido por el vóltmetro V 2 y la tensión inducida en la bobina 2, E 2 tendrán
19
una diferencia despreciable. Así entonces, la densidad de flujo máxima se podrá calcular a partir de la lectura del vóltmetro V 2 B max =
V2 4,44 f N A
(1.77)
A
+-
+ -
N : N
W
+ V1
V
Bob 2
Bob 1
V2
-
Figura 1.14.- Circuito para medir las pérdidas en el núcleo Debido a que la forma del toroide no permite efectuar pruebas con distintos tipos de muestras magnéticas, se ha diseñado y construido un dispositivo especial con este fin, denominado Aparato o Puente de Epstein cuyas características se muestran en la Figura 1.15.
1.11.- El Circuito Magnético De acuerdo con lo estudiado hasta ahora, estamos en condiciones de asociar una serie de ecuaciones y variables tanto del sistema de campo magnético, como de los circuitos eléctricos. Por ello se puede emplear el concepto de circuito magnético y establecer entonces las respectivas analogías con el circuito eléctrico. El cuadro siguiente muestra un resumen de ellas.
Tabla 1.1.- Cuadro de Analogías Circuito Eléctrico Símbolo Nombre I Corriente V Voltaje Conductividad σ =1/ ρ R Resistencia Ecuación Nombre l Resistencia de un R = Conductor eléctrico σA
i=
v R
∑ i k = 0
∫ ∫ E s
J • n dA = 0
c
• dl = 0
Circuito Magnético Símbolo Nombre Flujo φ Ni Fuerza Magnetomotriz Permeabilidad µ Reluctancia ℜ Ecuación Nombre Reluctancia de una rama l ℜ= de un núcleo magnético A
µ
Ley de Ohm en el Circuito Eléctrico
φ=
ℜ ∑ φ k = 0
I Ley de Kirchhof Ley de Conservación de la carga II Ley de Kirchhof
N i
∫ ∫ H • d l = N i s
B • n dA = 0
c
Ley de Ohm en el Circuito Magnético Ley de Conservación del Flujo (Sumatoria) Ley de Conservación del Flujo (forma integral) Ley Circuital de Ampere
20
Figura 1.15.- Planta y perfil del Aparato o Puente de Epstein
1.12.- El Toroide con un entrehierro pequeño Consideremos el toroide de la Figura 1.16 que corresponde al de la Figura 1.1 en el cual se ha sacado una parte del núcleo (entrehierro g). Supongamos que el largo del entrehierro es mucho menor que el largo total del toroide, por lo que la inducción magnética B continua teniendo las misma características que tenía sin entrehierro, es decir, despreciemos el flujo de dispersión. Aplicando la ley circuital de Ampere, se tiene:
∫
H • dl =
c
b
∫
a
H Fe • d l +
a
∫ b
H Fe (l − g ) + H g g = N i
H g • d l = N i
(1.78) (1.79)
Se puede obtener otra ecuación considerando la continuidad de B (ley de conservación del flujo), dado que despreciamos los flujos de dispersión., es decir. B Fe=Bg
21
HFe R Hg g
a b
Figura 1.16.- Bobina Toroidal cuyo núcleo tiene un entrehierro g (GAP) En cuanto a las relaciones entre B Fe y HFe se tienen dos posibilidades: a)
Que exista una ecuación que permita calcular B Fe como función de HFe ( o viceversa). Por ejemplo:
a1)
BFe= µFe HFe; si en el cálculo se supone µFe constante y conocido (parte lineal de la curva). El problema es de tipo lineal.
a2)
BFe= a HFe/(b+HFe); ecuación que corresponde a una aproximación de la curva B-H del material, donde a y b son conocidos y que recibe el nombre de “Ecuación de Fröelich”. El problema es de tipo no lineal y se debe resolver por métodos iterativos. En estos casos, se dispone de un sistema de 4 ecuaciones y 4 variables, a saber:
b)
H Fe (l − g ) + H g g = N i
(1.80)
B Fe = B g
(1.81)
B Fe = B Fe ( H Fe )
(1.82)
Bg = µ0 H g
(1.83)
Que no se disponga de la ecuación (1.82), pero se tenga la curva de magnetización normal del material. En este caso, se puede resolver el sistema de ecuaciones mediante un método gráfico o por iteraciones con aproximaciones sucesivas. En los dos métodos anteriores, conviene introducir las ecuaciones (1.81) a (1.83) en la (1.80) que queda de la siguiente forma: B Fe =
µ 0 N i g
−
µ 0 H Fe (l − g) g
(1.84)
22
b1)
Método Gráfico: La ecuación (1.84), como se aprecia, corresponde a una recta con pendiente negativa en el plano B Fe-HFe. El punto en que esta recta corta a la curva de magnetización normal dará la solución del sistema de ecuaciones tal como se muestra en la Figura 1.17. B'
µ o N i
Fe
g BFe
HFe
N i l-g
H' Fe
Figura 1.17.- Solución mediante el método gráfico b2)
Método iterativo: En este método, se da un valor inicial a H Fe (generalmente HFe (0) = 0). Con este valor se calcula B Fe (0) según (1.84). Con B Fe (0) se va la curva de magnetización (que en este caso conviene tener en forma de una tabla discreta de valores) y se determina un nuevo valor para H Fe (HFe (1)) que permite calcular BFe (1) con la ecuación (1.84), etc. Cuando se dispone de una tabla con valores discretos de B Fe y de HFe y el valor de BFe no coincide con alguno de los valores tabulados, se puede considerar una interpolación lineal entre los puntos donde se encuentra este valor, para encontrar el nuevo valor de H Fe. El proceso se repite hasta que se cumpla algún "criterio de convergencia ", tal como, por ejemplo: k +1 B k Fe − B Fe ≤ ε
(1.85)
Donde ε es un valor positivo pequeño, que está relacionado con la precisión que se requiera, k es la iteración anterior y k+1 corresponde a la iteración actual.
1.13.- Algunas consideraciones generales en la resolución de Circuitos Magnéticos De acuerdo con lo visto en este Capítulo, podemos indicar a manera de resumen lo siguiente: a)
La inducción magnética B es igual en todos los puntos de una sección normal al sentido del flujo.
b)
En todas las secciones de una rama del circuito magnético, el flujo tiene e l mismo valor.
c)
Se desprecian los flujos de dispersión.
d)
Para aplicar la Ley Circuital de Ampere se debe considerar como partes de las trayectorias, los ejes de simetría de la estructura magnética.
e)
Para circuitos magnéticos con núcleos de buena calidad, con entrehierros pequeños y trabajando sin saturación, la permeabilidad del material del núcleo ( µFe) es mucho mayor que la de los entrehierros (µ0); es decir µFe >> µ0 y por lo tanto se puede además, hacer la consideración que µFe → ∞, por lo que
23
al aplicar la Ley Circuital de Ampere, la intensidad de campo H tiende a cero en toda trayectoria de material magnético. Mas aun, en la resolución de problemas, se considera que H Fe es igual a cero en estas condiciones. Esta consideración es importante porque representa una aproximación que permite simplificar bastante la resolución de circuitos magnéticos. Sin embargo, se debe tener cuidado al emplearla, pues por tratarse de la aplicación de límite, se podrían producir indeterminaciones que hagan imposible resolver el problema.
24
CAPITULO 2 TRANSFORMADOR MONOFASICO DE DOS ENROLLADOS 2.1.-
Introducción
En general, un transformador (T/F) es un dispositivo eléctrico formado por un conjunto de bobinas, (enrollados, bobinados) acopladas magnéticamente entre si. Cada enrollado tiene un par de terminales, a través de los cuales puede entrar o salir energía eléctrica. En forma esquemática, el transformador de dos bobinados se puede representar según la Figura 2.1.
Núcleo
Terminales Bobinado 1 (Primario)
Bobinado 1 con N1 espiras
Bobinado 2 con N 2 espiras
Terminales Bobinado 2 (Secundario)
Figura 2.1.- Representación esquemática de un transformador El transformador recibe energía a una cierta tensión (terminales del bobinado 1) y la entrega con muy pocas pérdidas a otra tensión (terminales del bobinado 2) más baja (reductor) o más alta (elevador). Por otra parte, permite aislar eléctricamente dos partes de un dispositivo o de un sistema eléctrico. Según el área de aplicación, los transformadores se pueden clasificar en tres grupos: a) Transformadores de Comunicación: Usados generalmente como transformadores de salida para equilibrar la impedancia de la carga (Parlante) a la de salida del amplificador con el fin de obtener máxima transferencia de Potencia. En algunos casos se usan también para aislar dos secciones de un sistema. b) Transformadores de Medida: Utilizados para medir altas corrientes ó altas tensiones por medio de instrumentos de escala reducida o bien para alimentar dispositivos de protección de equipos o sistemas eléctricos. c) Transformadores de Poder o de Potencia: Se usan en conjunto con los generadores para una transmisión y distribución eficiente de Energía Eléctrica. Así, para transmitir grandes bloques de Energía entre dos puntos alejados, se requiere elevar la tensión para diminuir la corriente y con ello las pérdidas. Por otra parte, en los centros de consumo, se requieren tensiones de valores más bajos, por lo que se deben ocupar de nuevo los transformadores, para reducirlas. En este curso nos ocuparemos en particular de los transformadores de Poder. 2.2.-
Algunos aspectos constructivos
La Figura 2.2 muestra diferentes tipos de transformadores, desde uno monofásico de tamaño y voltajes bajos, hasta el de mayor tamaño que requiere ventiladores de refrigeración exteriores.
25
a)
b)
c)
e)
d) Figura 2.2.- Diversos tipos de Transformadores
Constructivamente se pueden destacar las siguientes partes componentes: a) Núcleo: Las dos formas fundamentales de estructuras de transformadores son "tipo núcleo" y "tipo acorazado", que se muestran esquemáticamente en la Figura 2.3. La sección suele ser cuadrada ó rectangular (transformadores pequeños) y también circular (transformadores grandes), en los que las láminas se agrupan en capas de anchura variable. Las láminas pueden tener formas de E, L, o I.
Núcleo Bobinados de Alta y Baja
Bobinados de Alta y Baja
a)
Núcleo Bobinados de Alta y Baja
b)
Fig. 2.3.- Tipos de núcleo usados en transformadores monofásicos a) Tipo núcleo, b) Acorazado
26
En algunos transformadores monofásicos de distribución de baja potencia se utilizan 1 o 2 tiras largas de acero enrolladas sobre el bobinado, con el fin de conseguir que el flujo tenga siempre la dirección del laminado y además que no existan entrehierros. b) Enrollados: Se construyen sobre formas de material aislante impregnado, de adecuada resistencia mecánica. El conductor puede ser redondo (transformadores pequeños) o rectangular (transformadores de gran potencia). En el caso de conductores grandes, éstos se subdividen en hebras aisladas entre si y transpuestas cada cierta longitud, con el fin de reducir la pérdida adicional, producida por la distribución no uniforme de la corriente en el interior de él. c) Refrigeración y Aislamiento: En los transformadores muy pequeños, la superficie es relativamente grande frente al volumen, por lo que la refrigeración por radiación y por convección natural es suficiente para mantener una temperatura de funcionamiento adecuada. Al aumentar el tamaño, es necesario incrementar la superficie que disipa calor ó proveer medios para forzar la disipación, tal como los ventiladores de la Figura 2.2. e). Además se hace necesario dotar de ductos de ventilación a los devanados y al núcleo. La refrigeración se puede conseguir por aire (con o sin ventiladores) o por aceite (autorefrigerado, refrigerado por aire forzado o agua, o por aceite forzado) d) Tanques: Los transformadores que emplean refrigeración por aceite, deben tener sus núcleos y devanados encerrados en tanques, construidos de acero soldado y de formas redonda, ovalada o rectangular. En el volumen del tanque debe quedar un espacio para permitir la dilatación del aceite. En la mayoría de los casos, está constituido por un estanque, llamado de dilatación; ubicado sobre el transformador (Figura 2.2. b). 2.3.-
Flujos Magnéticos en el Transformador
En la Figura 2.4. se muestra la situación de un transformador funcionando normalmente, es decir, con su enrollado primario (1) conectado a una fuente de tensión v 1 y el secundario (2) conectado a una impedancia de carga Zc. Las resistencias óhmicas R 1 y R 2 de los bobinados se han considerado fuera de éstos.
φ R 1
v1
φ 11
φm
φ 21
φ 22
i1
R 2 +
+ -
12
N1
dφ
11 dt -
+ N1
φ
L1
φ
L2
N2
N2
i2 +
dφ
22 dt
-
v 2 -
Figura 2.4.- Flujos magnéticos en un Transformador Los flujos indicados en la Figura 2.4. son: φ11: Flujo enlazado por la bobina 1. φ22: Flujo enlazado por la bobina 2. φL1: Parte del flujo establecido por la corriente i 1, que no es enlazado por la bobina 2. φL2: Parte del flujo establecido por la corriente i 2, que no es enlazado por la bobina 1. φ12: Parte del flujo establecido por la corriente i 1, que es enlazado por la bobina 2.
Zc
27
φ21: Parte del flujo establecido por la corriente i 2, que es enlazado por la bobina 1. φm: Flujo mutuo, común a los dos bobinados. Es importante consignar que φL1 y φL2 (llamados también flujos de fuga o de dispersión) tienen gran parte de su circuito magnético en el aire, por lo que la magnitud de ellos se puede considerar prácticamente proporcional a las corrientes respectivas. De acuerdo con la Figura 2.4, en el circuito magnético del transformador existen tres fuerzas magnetomotrices (fmm), a saber: − − −
2.4.-
Fuerza magnetomotriz primaria: N 1i1, que establece φL1 Fuerza magnetomotriz secundaria: N 2i2, que establece φL2 Fmm resultante: F R = N 1i1 - N2i2; que establece el flujo mutuo φm, enlazado por todas las espiras de los enrollados primario y secundario.
Obtención del Circuito Equivalente del Transformador En la Figura 2.4, se pueden plantear las siguientes ecuaciones: Para los flujos: φ11 = φ m + φ L1
(2.1)
φ 22 = φ m − φ L2 Para los circuitos eléctricos: v 1 = R 1i1 + N 1
dφ11 dt dφ 22
v 2 = − R 2 i 2 + N 2
(2.2)
dt
Combinando (2.1) y (2.2) se tiene: v1 = R 1i1 + N1
dφ L1
+ N1
dt dφ L 2
v 2 = − R 2i 2 − N 2
dt
dφ m dt
+ N 2
(2.3)
dφ m dt
Sea: e1 = N1 e 2 = N 2
dφ m dt dφ m
⇒
e1 e2
=
N1 N 2
=a
(2.4)
dt
donde “a” se denomina “razón o relación de transformación” del transformador, la que como se aprecia, depende exclusivamente del número de espiras de ambos bobinados. Reemplazando en (2.3) e introduciendo la derivada de la corriente se obtiene:
28
v1 = R 1i1 + N 1
dφ L1 di1 di1
v 2 = − R 2 i 2 − N 2
dt
+ e1
dφ L 2 di 2 di 2
dt
(2.5) + e2
Según lo planteado, φL1 y φL2 son prácticamente proporcionales a i 1 e i2 respectivamente, por lo que se puede escribir finalmente: v 1 = R 1i 1 + L L1
di 1 dt
v 2 = − R 2 i 2 − L L 2
+ e1
di 2 dt
(2.6) + e2
en que: L L1 = N1
dφ L1
L L2 = N 2
di1 dφ L 2
(2.7)
di 2
son las inductancias de dispersión o de fuga de los bobinados 1 y 2. Para las corrientes se tiene: FR = N1i1 − N 2 i 2
(2.8)
Si escribimos la Fuerza magnetomotriz resultante F R como N1i0, la expresión (2.8) queda: N1i 0 = N 1i 1 − N 2 i 2
(2.9)
Cuando i2=0, se tiene que i 0=i1, es decir, la corriente i 0 es la que circula en el primario del transformador, cuando éste está funcionando sin carga (en vacío). Por lo tanto, i 0 es la corriente de excitación del transformador, con las características ya citadas en el capítulo anterior, para el toroide. Dividiendo (2.9) por N1 se tiene: i 0 = i1 −
i2 a
(2.10)
con “a”, definido según (2.4). Pasando (2.4), (2.6) y (2.10) al dominio de la frecuencia s = jω se puede escribir:
D = R DI + jX DI + ED V 1 1 1 1 1 1
(2.11)
D = −R DI − jX DI + ED V 2 2 2 2 2 2
(2.12)
D E 1 D E 2
=
N 1 N 2
=a
D DI 0 = DI1 − I 2 a
(2.13) (2.14)
29
En que X 1 y X2 son las respectivas reactancias de dispersión de los bobinados, definidas como: X 1 = ωL L1
(2.15)
X 2 = ωL L 2
Con ω = 2πf; frecuencia angular. Por otra parte, según se demostró en el Capítulo 1, se puede escribir:
I = I + I 0 c m I = g E
(2.16)
I = − jb E m m 1
(2.18)
c
c
(2.17)
1
Las ecuaciones (2.11) a (2.18) permiten representar el transformador mediante el circuito equivalente de la Figura 2.5.
I
jX1
R 1
1
I /a 2
N
c
R 2
-jbm
I
2
+ +
+
E
1
E
-
-
+ g
jX 2
: N 2
I0 Im
Ic
V 1
1
-
2
V 2
C A R G A
Transformador Ideal Figura 2.5.- Circuito equivalente de un transformador de dos enrollados En el circuito equivalente de la Figura 2.5, se ha incluido un transformador ideal que permite relacionar las tensiones inducidas E 1 y E2; de esta forma, quedan enlazadas las ecuaciones (2.11) y (2.12), por medio de (2.13). Se supone que este transformador no tiene pérdidas de ningún tipo y la permeabilidad magnética es infinita.
2.5.-
Otros circuitos equivalentes del transformador
2.5.1.- Circuito equivalente referido al primario En el circuito mostrado en la Figura 2.5, sigue existiendo un transformador; lo que dificulta un tanto su uso. Como una forma de eliminar el transformador ideal, pueden combinarse las ecuaciones (2.11) a (2.13) en una sola. Para ello, amplifiquemos (2.12) por a:
= −a (R + jX ) I + aE aV 2 2 2 2 2
(2.19)
Los términos de (2.19) reciben el nombre de tensiones (voltajes o caídas de voltaje) del secundario referidas al primario. Por otra parte, la caída de tensión en la impedancia de fuga del secundario se puede expresar como:
(
a (R 2 + jX 2 ) I 2 = a 2 R 2 + ja 2 X 2
)I
2
a
(2.20)
30 2
De esta forma, la corriente del secundario I 2 queda referida al primario como I 2/a y además, a R 2 y 2 a X2 corresponden a la resistencia y reactancia de fuga del secundario referidas al primario. Luego, despejando aE2 de (2.19) y considerando (2.13) y ( 2.20), la ecuación (2.19) queda:
(
= aV + a 2 R + ja 2 X aE 2 2 2 2
)I
2
a
=E 1
(2.21)
reemplazando (2.21) en (2.11) se obtiene finalmente:
(
= R I + jX I + a 2 R + ja 2 X V 1 1 1 1 1 2 2
)I
2
a
+ aV 2
(2.22)
Las ecuaciones (2.14) a (2.18) no tienen cambios, ya que corresponden al primario y por lo tanto el circuito equivalente referido al primario queda:
I
R 1
1
jX1
I /a 2
ja 2 X 2
I0 Im
Ic +
2 a R 2 +
+ g
V 1
c
E = aE 2 1
-jbm
-
aV 2
-
C A R G A
Fig. 2.6.- Circuito equivalente de un transformador de dos enrollados, referido al primario
2.5.2.- Circuito equivalente referido al secundario Procediendo en forma análoga, es posible obtener un circuito que tiene la misma forma que el de la Figura 2.6, pero en el cual, los parámetros y variables quedan referidos al secundario. En estas condiciones se tiene: 2
(R 1/a +jX 1/a2): Impedancia del primario referida al secundario 2
2
(a gc-ja bm): Admitancia de excitación referida al secundario V1/a; aI1; aI0; aIc;aIm: Tensión y corrientes primarias, referidas al secundario
2.5.3.- Circuitos equivalentes aproximados La caída de tensión en la impedancia de fuga del primario de un transformador es habitualmente pequeña comparada con la tensión V 1, por lo que es una buena aproximación considerar la admitancia de excitación conectada en la entrada, tal como se muestra en la Figura 2.7 (referido al primario); donde las resistencia y reactancia equivalentes referidas al primario R eq1 y Xeq1 son: R eq1 = R 1 + a 2 R 2 X eq1 = X 1 + a 2 X 2
(2.23)
31
I
R eq1
I /a 2
1 I0
Ic +
jX eq1 +
Im
+ g
V 1
c
E = aE 2 1
-jbm
C A R G A
aV 2
-
Fig. 2.7.- Circuito equivalente aproximado (con la admitancia de excitación conectada en la entrada) Por otra parte, como la corriente de excitación I 0 es pequeña comparada con la corriente nominal del lado respectivo (del 1 al 8%), en muchos casos no se considera, por lo que, en este caso, el circuito equivalente referido al primario, queda de la forma mostrada en la Figura 2.8. Los circuitos equivalentes aproximados, pueden también referirse al secundario. En cualquier caso, el uso de uno u otro circuito, dependerá de la condición de funcionamiento del transformador.
I
1
R eq1
jX eq1
I /a 2 + C A R G A
+ V1
aV 2
-
Fig. 2.8.- Circuito equivalente aproximado de un transformador, despreciando la corriente de excitación
2.6.-
Diagrama fasorial de un Transformador
Consideremos de nuevo las ecuaciones del transformador, a partir de las cuales se obtuvo el circuito equivalente referido al primario, es decir:
= R I + jX I + (a 2 R + ja 2 X ) V 1 1 1 1 1 2 2
I
2
a
+ aV 2
I = I + I 2 1 0 a
I = I + I 0 c m I = g E c
c
1
I = − jb E m m 1
(2.24)
32
y suponiendo que la carga del transformador es de tipo Tomando como referencia el fasor aV 2 inductivo, se puede dibujar el diagrama fasorial de la Figura 2.9. V1 E1= aE 2 Ic
a V2 θ2
Im I0
jI1 X1
2 jI2 /a a X 2
I2/a a 2R 2
θ1
I1R 1
I2/a
φ
I1 Figura 2.9.- Diagrama fasorial de un transformador, referido al primario
En la Figura 2.9, θ1 es el ángulo de desfase entre la tensión y la corriente del primario y θ2 es el que existe entre la tensión y la corriente del secundario, los que determinan el factor de potencia en la entrada y en la salida del transformador. Es conveniente hacer notar que este diagrama se puede dibujar referido al secundario, así como también considerando los circuitos equivalentes aproximados del transformador.
2.7.-
Polaridad en el transformador
Cuando los devanados de los transformadores se conectan en paralelo o formando grupos polifásicos, las conexiones deben realizarse con las polaridades relativas correctas. Con el fin de simplificar esto, la American Standard Association (ASA), ha adoptado ciertas marcas normalizadas para los terminales. La Figura 2.10 muestra estas marcas para transformadores (TT/FF) de potencia y distribución de dos devanados. Los terminales de alta tensión se designan como H 1 y H2 y los de baja, como X 1 y X2, donde H1 y X1 son bornes para los cuales, las polaridades de las tensiones instantáneas inducidas por el flujo resultante en el núcleo, son las mismas.
X1 H 1
H2
X2
H1
H2
H2
+
VH
-
+
VH
-
+
VX
-
-
VX
+
X1 a)
H1
X2 b)
X2
X1 c)
Fig. 2.10.- a) Marcas de Polaridad según ASA; b) Terminales con polaridad sustractiva; c) Aditiva
33
Los conductores terminales suelen sacarse por los lados opuestos de la cubierta, ó por la parte superior del tanque ó a través de la tapa, según se muestra en la Figura 2.10 a). En la Figura 2.10 b), los terminales de igual polaridad relativa son adyacentes; de modo que si se interconectan H 2 y X 2, se aplica tensión entre los bornes H 1 y H2, la tensión entre H 1 y X1 es aproximadamente igual a la diferencia entre las tensiones V H y VX, por lo que esta disposición exterior de los terminales se denomina “polaridad externa sustractiva”. De la misma forma se puede demostrar que la Figura 2.10 c) corresponde a “polaridad externa aditiva”.
2.8.-
Determinación experimental de los parámetros del circuito equivalente del Transformador Se pueden determinar a partir de los datos obtenidos al efectuar las dos pruebas siguientes:
2.8.1.- Prueba de vacío Consiste en alimentar el transformador a tensión y frecuencia nominal, con el otro enrollado en circuito abierto. En estas condiciones se miden: la corriente I 0; la tensión V 0 y la Potencia P0. Normalmente se acostumbra alimentarlo por el lado de baja tensión (porque es mas cómodo trabajar a un nivel de tensión menor) con el lado de alta abierto (sin carga). De esta forma se obtienen los parámetros de excitación, los que según lo indicado, resultan referidos al lado de baja tensión.
R b
I0
jX b
B A +
+ V 0
W
Im
Ic (gc ) b
E b
-
A
+ -j(b m ) b
V -
-
a)
b)
Figura 2.11.- Prueba de vacío de un transformador: a) Circuito equivalente; b) Circuito empleado El circuito equivalente y el circuito empleado se muestran en la Figura 2.11 a) y b) donde: R b: Resistencia del enrollado de baja tensión. X b: Reactancia del enrollado de baja tensión. (gc) b: Conductancia de pérdidas en el núcleo referida al lado de baja tensión. (bm) b: Susceptancia de magnetización referida al lado de baja tensión. Según las condiciones en que se realiza la prueba, se cumple que:
(R b + jX b ) I 0 〈 〈 E b
⇒ E b ≈ V0 ,
por lo que se obtiene:
(g c ) b ( b m ) b
=
=
P0 V02 Q0 V02
=
(V0 I 0 )2 V02
− P02
(2.25)
34
Estos valores corresponden a los del transformador, si el lado de baja tensión es el primario, es decir:
(g c )1 = (g c ) b ( b m )1 = ( b m ) b
(2.26)
Si el lado de baja corresponde al secundario, entonces, los parámetros referidos al primario son:
(g c )1
(g c ) b
=
( b m )1
=
a2 ( b m ) b
(2.27)
a2
2.8.2.- Prueba de cortocircuito Consiste en alimentar el transformador a frecuencia nominal, ajustando el voltaje de entrada de manera que con el otro lado en cortocircuito, circule la corriente nominal. En estas condiciones se miden: la corriente Icc; la tensión V cc y la Potencia P cc. Normalmente se acostumbra alimentarlo por el lado de alta tensión (porque es más cómodo trabajar a una nivel de corriente menor) con el lado de baja en cortocircuito. De esta forma se obtienen los parámetros impedancia equivalente Z eq y resistencia equivalente R eq, los que según lo indicado, resultan referidos al lado de alta tensión. El circuito equivalente aproximado y el circuito empleado, se muestran en la Figura 2.12. Considerando el circuito equivalente y el circuito de medición se puede escribir:
(Z eq )a = (R eq )a2 + (X eq )a2
=
Vcc
(2.28)
I cc
y por otra parte:
(R eq )a I cc
=
Pcc
(2.29)
2 I cc
(Req ) a
j(X ) a eq
A A
+
B
W
+ V cc
V
-
-
a)
b)
Figura 2.12.- Prueba de cortocircuito: a) Circuito equivalente aproximado; b) Circuito empleado En general, los parámetros resultarán siempre referidos al lado por el cual se alimenta el transformador. Si el lado de alta tensión corresponde al primario, los parámetros quedan referidos a este lado, es decir:
35
Z eq
= Z eq1 = R eq1 + jX eq1
a
(2.30)
R eq1 = R 1 + a 2 R 2
donde:
(2.31)
X eq1 = X 1 + a 2 X 2
Si el lado de alta corresponde al secundario: Z eq
a
= Z eq 2 = R eq 2 + jX eq 2 R eq 2 =
con: X eq 2 =
R 1 a2 X1 a2
(2.32)
+ R 2 (2.33) + X2
2.8.3.- Cálculo separado de las resistencias y reactancias de cada bobinado R1, R2, X1, X2 La prueba de cortocircuito permite determinar solamente los valores de R eq y X eq. A partir de ella no es posible obtener en forma separada los valores de resistencia y reactancia de cada bobinado. En muchos casos; sin embargo, conviene conocer estos valores (cuando se utiliza el circuito equivalente exacto, por ejemplo). Para obtenerlos, se puede emplear uno de los dos métodos siguientes:
a) Separación directa (analítica): Considerando las características constructivas de los transformadores, se pueden hacer las siguientes suposiciones: − − −
Los dos bobinados tienen la misma longitud por vuelta. El área de la sección transversal del conductor de la bobina es proporcional a la corriente nominal del devanado. La trayectoria magnética de los flujos de dispersión de los dos bobinados, es la misma. A partir de ellas se obtiene: R 1 = a 2 R 2
X1 = a 2 X 2
(2.34)
Por lo que: R 1 = X1 =
R eq1
R 2 =
2 X eq1
X2 =
2
R eq1 2a 2 X eq1
(2.35)
2a 2
b) Con Corriente Continua (CD): En este caso es necesario hacer medidas adicionales de las resistencias óhmicas en corriente continua de los bobinados 1 (R CD)1 y 2 (R CD)2. Se pueden utilizar el método de Vóltmetro-Ampérmetro, por ejemplo; o bien usar un Puente de Wheatstone, etc. Se supone proporcionalidad tanto entre las resistencias en corriente alterna de ambos bobinados (R 1 y R 2) como entre las inductancias de dispersión (L L1 y LL2), con las respectivas resistencias de Corriente Continua medidas, es decir: R 1 R 2
=
L L1 L L2
=
(R CD )1 (R CD )2
(2.36)
36
Con esta consideración se obtiene: R 1 = K 1 R eq1
R 2 = K 2 R eq1
X 1 = K 1 X eq1
X 2 = K 2 X eq1
(2.37)
donde: K 1 =
(R CD )1 (R CD )1 + a 2 (R CD )2
K 2 =
(R CD )2 (R CD )1 + a 2 (R CD )2
(2.38)
Es conveniente indicar que los dos métodos anteriores, por el hecho de hacer consideraciones distintas, pueden entregar resultados diferentes.
2.9.-
Pérdidas dispersas (PSL)
Se denomina así, a la diferencia entre la potencia de cortocircuito P cc y el producto entre la resistencia equivalente de corriente continua (R eq)CD y la corriente de cortocircuito I cc al cuadrado, es decir: 2 PSL = Pcc − (R eq )CD I cc
(2.39)
o bien: 2 PSL = R eq − (R eq )CD I cc
(2.40)
donde, R eq es la Resistencia Equivalente calculada en la prueba de cortocircuito (en corriente alterna) y (R eq)CD corresponde a la Resistencia Equivalente a los dos enrollados, medida con corriente continua. Ambos valores deben estar referidos al mismo lado del transformador. Las pérdidas dispersas incluyen todas aquellas que existen en Corriente Alterna y que no están presentes en Corriente Continua, a saber: las pérdidas en el núcleo y las debidas a las corrientes parásitas en los conductores y estructuras del transformador, al efecto pelicular, etc.
2.10.- Corrección del valor de los parámetros del transformador por efecto de la temperatura El valor de la Resistencia Equivalente R eq obtenido en la prueba de corto circuito corresponde normalmente a la temperatura ambiente que se puede estimar en 20ºC. Sin embargo, la temperatura de trabajo es mas elevada y, por lo tanto, la resistencia que presentan los enrollados es mayor que la medida en la prueba. En general, para determinar la resistencia R eqT2 a la temperatura de trabajo T 2, suponiendo conocido el valor que tiene a la temperatura ambiente T 1, tanto en corriente continua (R eqCDT1) como en corriente alterna (R eqT1), se puede emplear la expresión:
[R eq ]T2 = [R eqCD ]T1 234,5 + T2 + [R eq − R eqCD ]T1 234,5 + T1
(2.41)
Donde 234,5 corresponde al recíproco del coeficiente de variación de resistencia del cobre con la temperatura, a 0ºC. Si se desprecian las pérdidas dispersas, la expresión (2.41) se puede escribir:
37
[R eq ]T2 = [R eq ]T1 234,5 + T2
(2.42)
234,5 + T1
La diferencia [R eq- R eqCD] se supone constante con la temperatura. En todo caso, ambas resistencias deben estar referidas a la misma temperatura. En cuanto a los valores de la conductancia de pérdidas g c, la susceptancia de magnetización b m y las reactancias de dispersión X 1 y X2; ellas no son afectados por los cambios de temperatura.
2.11.- Determinación de la razón de transformación La razón de transformación se determina en forma aproximada a través de la razón entre las tensiones medidas en los terminales de los bobinados con el transformador en vacío. Se usan dos vóltmetros para medir las tensiones de los lados de alta y baja tensión, los que deben ser leídos simultáneamente. Se hace una segunda lectura intercambiando los instrumentos. El cuociente entre el promedio de las mediciones de primario y secundario es el valor de la razón de transformación.
2.12.- Rendimiento del transformador 2.12.1.- Rendimiento convencional (η) Corresponde a la definición habitual de rendimiento; es decir, es la razón entre la potencia de salida (Ps) y la potencia de entrada (P e), es decir: η% =
Ps Pe
* 100
(2.43)
Para una carga de corriente I2, Factor de Potencia cos θ2 y suponiendo tensión nominal en la carga V2N, la potencia de salida es V 2N I2 cos θ2. Luego, la potencia de entrada corresponderá a la potencia de salida 2 mas la potencia perdida en los conductores de las bobinas R eq 2 I 2 y en el núcleo P 0, supuesta independiente de
la carga. Así entonces, se puede escribir: η% =
V2N I 2 cos θ 2 V2N I 2 cos θ 2 + R eq2 I 22 + P0
* 100
(2.44)
La expresión (2.44), se puede arreglar de la siguiente forma: η% =
S N K cos θ 2 S N K cos θ 2 + K 2 Pcc + P0
* 100
(2.45)
En que S N es la Potencia Aparente Nominal del transformador, P cc es la potencia medida en la prueba de cortocircuito a corriente nominal y K es el “Factor de Carga”; definido como la razón entre la corriente de carga I2 y la corriente nominal del transformador I N, es decir: K =
I2 I 2 N
(2.46)
2.12.2.- Rendimiento máximo (ηmáx) En la expresión (2.44), V 2N, R eq2 y P0 son constantes, por lo que el rendimiento es función de dos variable; la corriente de carga I 2 y el Factor de potencia cos θ2. En la práctica; sin embargo, el factor de
38
potencia debe tener un rango de variación estrecho, alrededor de la unidad. En estas condiciones, la única variable es entonces la corriente I 2. Existe un valor de la corriente I 2, para el cual el rendimiento es máximo. 2 2 Este valor se puede obtener haciendo d η/dI2 = 0. Si para este valor de la corriente, d η/dI2 < 0, la función será máxima, es decir, el rendimiento será máximo. Derivando (2.44) respecto a la corriente se obtiene: P0
I 2 (η máx ) =
(2.47)
R eq 2
La expresión (2.45) es el valor de I 2 que hace que el rendimiento sea máximo, ya que para él, la segunda derivada es negativa. Por otra parte, la expresión (2.47) se puede arreglar del siguiente modo: Pérdidas nominales en vacío
I 2 (η máx ) = I 2 N
Pérdidas nominales en cortocircuito
(2.48)
Como normalmente las pruebas de vacío y cortocircuito se hacen en condiciones nominales, el Factor de Carga para el cual se obtiene el rendimiento máximo K( ηmáx) será: K (η máx ) =
I 2 (η máx ) I 2 N
=
P0
(2.49)
Pcc
Introduciendo (2.49) en (2.45) se obtiene el rendimiento máximo ηmáx para las condiciones planteadas: S N η máx % = S N
P0 Pcc
P0 Pcc
cos θ 2 * 100
(2.50)
cos θ 2 + 2 P0
Como se puede apreciar, a Factor de Potencia constante, el rendimiento máximo depende sólo de las características del transformador. Idealmente sería conveniente que P 0 y Pcc fueran iguales
2.12.3.- Rendimiento diario o energético (ηd) Cuando un transformador está operando en un sistema eléctrico, queda sometido a las variaciones que la carga experimenta durante un cierto tiempo que puede ser un día, un mes o un año, por ejemplo. De acuerdo con esto, es necesario estudiar su comportamiento, desde el punto de vista de su rendimiento, ante las fluctuaciones que la carga servida experimenta. Así entonces, se puede definir por ejemplo, el rendimiento diario ηd, como la razón entre la energía entregada y la energía recibida por el transformador en 24 horas. Es decir: 24
∑ S N K i cos θ 2i t i ηd % =
t =0 24
24
t =0
t =0
∑ S N K i cos θ 2i t i + ∑
* 100 K i2
(2.51)
Pcc t i + 24 P0
donde se ha supuesto que el transformador, con carga o en vacío, está conectado a la red de alimentación las 24 horas del día y t i es el tiempo de duración de cada intervalo en el cual el trabaja con un factor de carga K i y factor de potencia de la carga cos θ2i. Además, se ha considerado que las pérdidas en el núcleo no dependen de la carga.
39
2.13.- Sistema en tanto por unidad 2.13.1.- Introducción Las líneas de transmisión de Energía Eléctrica se operan a niveles en que el kilovolt (kV) es la unidad más conveniente para expresar los voltajes. Debido a que se transmite una gran cantidad de potencia, los términos comunes son los kilowatt (kW) o megawatt (MW) y los kilovoltamperes (kVA) o megavoltamperes (MVA). Sin embargo, estas cantidades, al igual que los Volt, los amperes y los ohm, se expresan frecuentemente en por ciento o en por unidad de un valor base o de referencia especificado para cada una. Por ejemplo, si se selecciona una base de voltaje de 120 kV, los voltajes de 108, 120, y 126 kV equivaldrán a 0,9, 1,0 y 1,05 en por unidad o a 90, 100 y 105 % respectivamente, del valor base 120 kV. El valor en por unidad de cualquier cantidad se define como la razón entre la cantidad y su base. La relación en por ciento es 100 veces el valor en por unidad. Ambos métodos de cálculo, porcentual y en por unidad, son más simples y mas informativos que los Volt, los amperes y los ohm reales. El método en por unidad tiene una ventaja sobre el porcentual: el producto de dos cantidades expresadas en por unidad queda expresado también en por unidad, mientras que el producto de dos cantidades dadas en por ciento se debe dividir por 100 para obtener el resultado en por ciento. El método que más se emplea en la resolución de problemas en que intervienen transformadores, generadores, líneas, etc.; consiste en representar estos elementos a través de sus circuitos equivalentes. Los parámetros de los circuitos equivalentes y las variables asociadas, pueden expresarse en unidades convencionales (ohm, volt, watt, etc.) o bien en por unidad (pu) o en tanto por uno (º/1). Cuando se emplean valores en por unidad, se simplifica la resolución de problemas, entre otras cosas, porque ello permite eliminar las razones de transformación, cuando existen transformadores, y efectuar comparaciones en forma mucho más sencilla.
2.13.2.- Condiciones bajo las cuales deben calcularse las cant idades en por unidad En esta sección, se estudiará el sistema en pu aplicado al análisis de los sistemas monofásicos y a la resolución de problemas relacionadados con los transformadores monofásicos, donde es más sencillo introducir estos conceptos que en los sistemas trifásicos. Sin embargo, la extensión a los sistemas trifásicos es inmediata, como se verá posteriormente. Las magnitudes de base en una red eléctrica deben seleccionarse de tal forma, que el circuito equivalente resultante en por unidad sea isomorfo al real, es decir, que las leyes fundamentales de la electricidad sean también válidas en el sistema equivalente en por unidad. Consideremos en principio dos situaciones:
a) Sin transformadores: Como las características topológicas de la red no se alteran, sólo interesa como invariante la forma de las ecuaciones de las leyes de Ohm y de Joule, debido a que las asociadas a las leyes de Kirchhoff se conservarán automáticamente. De acuerdo con lo planteado en la sección anterior, los valores en tanto por unidad de los fasores (indicados con un punto sobre el respectivo símbolo) de tensión (voltaje), corriente, impedancia, potencia aparente y admitancia se definen de la forma indicada en las expresiones (2.52) siguientes:
D (pu) = V
D (volts) V VB (volts)
D DI( pu ) = I(Amperes)
I B (Amperes)
D (pu) = Z
D (Ohm) Z Z B (Ohm) (2.52)
SD (pu) =
SD (Volt − Amperes) S B (Volt − Amperes)
D (pu) = Y
D (Mho) Y YB (Mho)
40
Obsérvese que los valores en por unidad son complejos si en unidades convencionales lo son, ya que las bases son cantidades modulares. Si se escogen V B e IB como voltaje y corriente base respectivamente, será necesario determinar las otras cantidades de base, es decir: Z B , SB y Y B. En la Figura 2.13 siguiente se han representado los sistemas original y transformado (en tanto por unidad). I (amp)
+ V(volt)
+ Z(ohm)
-
I(pu)
Z(pu)
V(pu) -
a)
b)
Fig. 2.13.- Circuitos equivalentes: a) Sistema original; b) Sistema transformado (en por unidad)
-
Conservación de la ley de Ohm Para que se cumpla la ley de ohm, en ambos circuitos, las cantidades de base deben satisfacerla, es
decir: VB = Z B I B
-
⇒
ZB =
VB IB
(2.53)
Conservación de la Ley de Joule De la misma forma se puede demostrar que en este caso: S B = VB I B
(2.54)
Para la admitancia se cumple que: YB =
1
(2.55)
ZB
Las ecuaciones (2.53) a (2.55) muestran que sólo se necesita definir dos magnitudes de base. Lo habitual es considerar como tales a la potencia aparente S B y la tensión V B, en cuyo caso, la corriente base se obtiene a partir de la ecuación (2.54) y la impedancia base se puede escribir como:
ZB =
(VB ) 2 SB
=
( kVB ) 2 MVA B
(2.56)
donde kV B y MVAB son los kilovolt base y Megavolt-amperes base respectivamente.
b) Presencia de transformadores: En un sistema eléctrico aparecen distintos niveles de voltaje. Con el objeto de eliminar este inconveniente, se requiere determinar que relación, además de las dos anteriores, deben cumplir las bases elegidas en los diferentes niveles de tensión, al utilizar el sistema en pu. Considérese para el análisis, la Figura 2.14. que representa el circuito equivalente aproximado (se ha despreciado la corriente de excitación) de un transformador en cantidades convencionales y el circuito respectivo en tanto
41
por unidad. Z1 y Z2 corresponden a las impedancias de cortocircuito de cada uno de los enrollados, N 1 y N2 corresponden al número de espiras de cada bobinado.
.
I1(A) Z (Ω) 1
+
.
.
.
V1 (V)
.
.
E 2 (V)
E 1 (V)
.
.
Z 2(Ω) I2 (A) +
N1 : N2 a : 1
+
.
V2 (V)
-
-
. I1 (pu) Z 1 (pu)
.
.
.
V1(pu)
V2 (pu)
-
-
a)
.
Z2 (pu) I 2(pu) +
b)
Fig. 2.14.- Circuitos equivalentes: a) Sistema original ; b) Sistema transformado (por unidad) En la Figura 2.14 a) se puede escribir (en unidades convencionales)
C =V C − CI ZC E 1 1 1 1
C =V C + CI ZC E 2 2 2 2
(2.57)
de donde se obtiene:
C E 1
=
C E 2
C − CI Z C V 1 1 1 C + CI Z C V 2 2 2
=
N 1 N 2
=a
(2.58)
En la Figura 2.14 b), en por unidad se tiene:
C ( pu ) − CI ( pu ) ZC ( pu ) = V C ( pu ) + CI ( pu ) ZC ( pu ) V 1 1 1 2 2 2
(2.59)
Tomando como bases de voltaje a ambos lados del transformador, V B1 y VB2 la expresión (2.59) queda:
− I Z V 1 1 1 VB1
=
+ I Z V 2 2 2 VB 2
⇒
− I Z V 1 1 1 + I Z V 2 2 2
=
VB1 VB 2
(2.60)
Comparando (2.60) con (2.58), se puede escribir: VB1 VB2
=
N 1 N 2
=a
(2.61)
O sea, las tensiones bases de ambos lados deben estar en relación directa con el número de espiras. Por lo mismo, las corrientes bases de ambos lados quedan en relación inversa con el número de espiras. I B1 I B2
=
N 2 N1
=
1 a
(2.62)
A partir de (2.61) y (2.62), la potencia base a ambos lados del transformador debe ser la misma. S B1 = S B2 = S B
(2.63)
42
2.13.3.- Cambio de base En general, los fabricantes expresan las impedancias de transformadores y otras máquinas eléctricas en por unidad o porcentaje, tomando como bases el voltaje y la potencia aparente nominales del equipo. Como en los problemas aparecen involucrados diferentes aparatos (con distintas características nominales) se hace necesario expresar las impedancias en tanto por unidad, respecto a otra base, que sea común para todas. Para una impedancia dada o antigua Z a (pu) es posible calcular una impedancia nueva Z n (pu) o respecto a otra base, utilizando la siguiente expresión:
kVBa Z n (pu) = Z a (pu) kV Bn
2
kVA Bn kVA Ba
(2.64)
donde kVABa y kBABn son los kVA bases dado o antiguo y nuevo respectivamente y kV Ba y kVBn corresponden a los respectivos kV bases dado y nuevo. 2.13.4.- Ventajas del sistema en tanto por unidad −
Los valores en por unidad, base propia, característicos de máquinas similares, aunque de tamaños muy diferentes, varían muy poco.
−
En los transformadores, la impedancia equivalente en por unidad es independiente del lado a que está referida.
−
En los cálculos se manejan cantidades que están en un margen estrecho alrededor de la unidad (condiciones normales), lo que permite comprobar los valores por inspección.
2.13.5.- Sistema en tanto por unidad en circuitos trifásicos Recordemos que los circuitos trifásicos balanceados se resuelven considerando una fase, con un neutro de retorno, en el llamado circuito equivalente monofásico o por fase; por ello, las bases para las diferentes cantidades en los diagramas de impedancias son los kVA (o MVA) por fase y los kV de línea a neutro. Generalmente, los datos que se dan son los kVA o MVA trifásicos totales y los kV de línea a línea (entre líneas o de línea). Debido a esta costumbre de especificar el voltaje línea a línea y los kilovoltamperes o megavoltamperes totales, puede surgir alguna confusión al considerar la relación entre el valor por unidad del voltaje de línea y el del voltaje de fase. Aunque se puede especificar un voltaje de línea como base, el voltaje que se requiere para la solución del circuito monofásico es el voltaje a neutro. El voltaje base a neutro es el voltaje base línea a línea dividido por 3 . Debido a que ésta es también la relación entre los voltajes línea a línea y línea a neutro de un sistema trifásico balanceado, el valor en por unidad de un voltaje línea a neutro sobre el voltaje base línea a neutro es igual al valor en por unidad del voltaje línea a línea en el mismo punto sobre el voltaje base línea a línea, siempre que el sistema esté balanceado. Igualmente, los kilovoltamperes trifásicos son tres veces los kilovoltamperes monofásicos, y la base de los kilovoltamperes trifásicos es tres veces la base de los kilovoltamperes monofásicos. Por lo tanto, el valor en por unidad de los kilovoltamperes trifásicos sobre los kilovoltamperes base trifásicos es idéntico al valor en por unidad de los kilovoltamperes monofásicos sobre los kilovoltamperes base monofásicos . Para los sistemas monofásicos o para los sistemas trifásicos, donde el término corriente se refiere a la corriente de línea I L, el de voltaje se refiere a voltaje al neutro V LN y el de la potencia aparente corresponde al valor por fase S1φ , las siguientes expresiones relacionan las distintas cantidades:
43
IB =
S B1φ
=
VBLN
S B3φ 3 VBLL
ZB =
VBLN IB
=
VBLL 3 IB
=
(VBLL ) 2 S B3φ
(2.65)
donde SB3φ corresponde a la potencia base total (trifásica). Por comodidad se acostumbra usar como bases los MVA trifásicos (MVA B3φ ) y los kV entre líneas (kV BLL), en cuyo caso, la impedancia base se puede determinar simplemente como: ZB =
(kVBLL )2
(2.66)
MVA B3
Con la excepción de los subíndices, las expresiones (2.56) y (2.66) son idénticas. En lo que sigue de este curso, las ecuaciones se utilizarán sin los subíndices, pero se deben usar con los voltajes y potencias correspondientes. Es conveniente dejar claro también, que en los cálculos en por unidad donde intervienen transformadores trifásicos, se requiere que los voltajes base en los dos lados del transformador tengan la misma relación que la de los voltajes nominales entre líneas de ambos lados, lo que es independiente del tipo de conexión de los enrollados. Como se dijo, la potencia base es la misma en ambos lados y por lo tanto las corrientes bases quedan en relación inversa con la r azón de transformación trifásica. 2.13.6.- Valores en por unidad en la base propia de los parámetros del transformador En la prueba de cortocircuito se tiene: Z eq =
Vcc
(2.67)
I cc
Expresando la corriente y el voltaje en pu, en la base propia (V B=V N; IB=I N y SB=S N) se puede escribir: Z eq (pu) =
Vcc / V N
(2.68)
I cc / I N
Si, como normalmente ocurre, la prueba de cortocircuito se hace a corriente nominal; I cc=I N, y por lo tanto, la impedancia equivalente en pu queda: Z eq ( pu ) =
Vcc
(2.69)
I N
o bien: Z eq % =
Vcc I N
* 100
(2.70)
Lo que justifica el que, al valor de la impedancia equivalente de un transformador, expresado en porcentaje en la base propia se le denomina "tanto por ciento de caída de tensión" o " tensión de cortocircuito en por ciento". En las mismas condiciones, se puede demostrar que: R eq (pu) =
Pcc S N
X eq (pu) =
Q cc S N
(2.71)
44
Por otra parte, se puede demostrar también, que si la prueba de vacío se hace a Voltaje nominal, los valores de gc y bm quedan: g c (pu) =
P0 S N
b m (pu) =
Q0
(2.72)
S N
2.14.- Regulación de tensión del transformador (Reg) 2.14.1.- Definición 1: Reg% =
Tensión Secundaria en Vacío − Tensión Secundaria nominal en Carga Tensión Secundaria nominal en Carga
* 100
(2.73)
Deducción de la expresión de la regulación en función de los parámetros Consideremos el circuito equivalente aproximado (se desprecia la corriente de excitación) referido al secundario de la Figura 2.15 siguiente.
R eq2
jX eq2
I
2
+
+
V1 /a
V 2N
-
-
Figura 2.15.- Circuito equivalente del transformador para determinar la regulación tensión Para deducir la expresión de la regulación de tensión, se considerará como referencia, la tensión en la carga, es decir, V 2N∠0º y se supondrá que el consumo es inductivo; o sea, la corriente I 2 atrasa al voltaje V 2N un ángulo de θ2º, determinado por el Factor de Potencia de la carga. En estas condiciones, resolviendo el circuito de la Figura 2.15, se obtiene que el módulo de la tensión secundaria en vacío, que corresponde a la tensión de entrada V 1/a es:
V 1 a
=
(V2N + R eq2 I 2 cos θ 2 + X eq2 I 2 sin θ 2 )2 + (R eq2 I 2 sin θ 2 − X eq2 I 2 cos θ 2 )2
(2.74)
Introduciendo (2.74) en (2.73), arreglando y ordenando se obtiene: Reg % =
(R eq I 2 + cos θ 2 )2 + (X eq I 2 + sin θ 2 )2
− 1 * 100
(2.75)
donde R eq, Xeq, I2 están expresados en por unidad en la base propia del transformador. La expresión (2.75) se obtuvo al suponer que el consumo es inductivo. En el caso de que éste sea capacitivo, se puede emplear la misma expresión cambiando θ2 por -θ2.
45
2.14.2.- Definición 2 Reg% =
Tensión Secundaria en Vacío Nominal − Tensión Secundaria en Carga Tensión Secundaria en Vacío Nominal
* 100
(2.76)
es decir; según el circuito de la Figura 2.15
V 1N Reg % =
a
− V 2
V 1N
* 100
(2.77)
a Para deducir la expresión de regulación en función de los parámetros se puede utilizar nuevamente la expresión (2.74), despejando V 2N que ahora corresponderá a V 2, considerando V 1/a como V1N/a. Se obtiene así: 2
V 2 = V 1N − (R eq2 sin θ 2 − X eq2 cos θ 2 ) I 22 − (R eq2 cos θ 2 + X eq2 sin θ 2 ) I 2 2 a
(2.78)
Introduciendo (2.78) en (2.77), desarrollando la raíz en serie de potencia y ordenando se obtiene: Reg % = (R eq cos θ 2 + X eq sin θ 2 ) I 2 +
1 2
(R eq sin θ 2 − X eq cos θ 2 )2 I 22
* 100
(2.79)
en que R eq, X eq, I2, están en por unidad base propia del transformador y donde sólo se han considerado dos términos de la serie de potencia. Es importante hacer notar que como las definiciones son distintas, los resultados obtenidos son diferentes. Para efectos prácticos, en muchos casos se usa la expresión: Reg % = R eq cos θ 2 + X eq sin θ 2 I 2 * 100
(2.80)
2.15.- Conexión de transformadores en paralelo 2.15.1.- Introducción La conexión de dos o más transformadores en paralelo permite: − −
Ampliar la capacidad de una subestación para atender consumos adicionales permanentes o periódicos. Alimentar un consumo desde dos o más líneas o redes, con fines de seguridad de servicio y eficiencia.
En principio y sin mayor análisis, podemos indicar que para un buen funcionamiento de transformadores en paralelo, se debería cumplir en lo posible que: − − − −
Sus potencias nominales no sean muy diferentes (relación no mayor de 1 : 3). Tengan iguales razones de transformación. La carga se distribuya entre ellos, en proporción a sus potencias nominales. La conexión se haga considerando las polaridades.
46
2.15.2.- Conexión en paralelo de transformadores con igual razón de transformación La Figura 2.16 a) muestra el diagrama de la conexión en paralelo de dos transformadores de igual razón. La Figura 2.16 b) corresponde al circuito equivalente, despreciando la corriente de excitación, donde Zeq2k =R eq2k +jXeq2k , con k=1,2; es la impedancia equivalente de cada uno de ellos, referida al secundario e I 2k es la corriente de cada transformador, referida al secundario. I1
+
I 11
I21
I2 +
I12
I 22
V1
I
V2 -
-
21
jXeq
Req 21
21 I2
a I1 +
I
22
Req 22
jXeq
+
22
V1 a
V2
-
-
a)
b)
Figura 2.16.- Conexión en paralelo de transformadores de igual razón: a) Conexiones; b) Circuito Equivalente A partir de la Figura 2.16 b) se puede escribir: Z eq21I 21
=
Z eq22 I 22
⇒
I 21 I 22
=
Z eq22 Z eq21
o bien
I 21 I 22
=
Yeq21 Yeq22
(2.81)
Es decir, los transformadores de igual razón, conectados en paralelo, toman carga en proporción a sus admitancias equivalentes o sea en razón inversa a sus impedancias equivalentes. Por otra parte, si en (2.81) consideramos corrientes nominales y amplificamos el segundo miembro por V 2N, podemos escribir: Z eq21 Z eq22
=
S 2N S1N
(2.82)
Lo que permite concluir que, cuando se conectan en paralelo transformadores de igual razón, ellos tomarán cargas proporcionales a sus potencias nominales, si sus impedancias equivalentes son inversamente proporcionales a sus potencias aparentes nominales. En las expresiones (2.81) y (2.82) no se ha considerado el ángulo de las impedancias; esto se debe a que no tiene gran incidencia en las relaciones obtenidas.
2.15.3.-Conexión en paralelo de transformadores de distinta razón de transformación Esta situación se puede presentar cuando a alguno de los transformadores se le cambia el número de espiras en uno de los enrollados (cambio de TAP o cambio del derivaciones). A pesar de que sus tensiones nominales son iguales (condición necesaria para la puesta en paralelo), el hecho indicado hace que las tensiones inducidas en los secundarios sean distintas. Se considera aceptable el funcionamiento de transformadores con cambio de derivaciones, siempre que la "Corriente de circulación" no sea mayor que el 10% de la corriente nominal del transformador más pequeño. La Figura 2.17 muestra esta situación, donde:
47
/a : Tensión inducida en el secundario del transformador 1 V 1 1 /a : Tensión inducida en el secundario del transformador 2 V 1 2 a1 y a2 son las respectivas razones de transformación luego del cambio de TAP Zeq 21 Zeq 21 I 21 +
+ V1 a1 -
V1 -
IL
VL
ZL
-
+ V1 a2 -
I 22
+
I 22 Zeq 22
+
I 21
+ +
IL
+ V1
Zeq 22
V1 a
1
V1
VL
ZL
a2
-
a)
-
-
b)
Figura 2.17.- Conexión en paralelo de dos transformadores de distinta razón: a) Diagrama, b) Circuito equivalente referido al secundario A partir del circuito equivalente se puede obtener:
I I
I
Z eq22
21 =
Z eq21
22 =
c =
+
Z eq22
Z eq21 Z eq21 + Z eq22
(1 V 1 a
1
Z eq21
−
+
1 a2
I
L +
I
c
(2.83)
I
L −
)
Z eq22
I
c
(2.84)
Donde Ic, se denomina “corriente de circulación”; la que como se observa, no depende de la corriente de carga y circula por lo tanto, entre los transformadores, debido a la diferencia entre las razones de transformación. Se aprecia también, que si a1=a2, la corriente de circulación es cero.
2.16.- El autotransformador 2.16.1.- Introducción Un transformador ordinario de dos enrollados, cuyos devanados primario y secundario se conectan en serie, recibe el nombre de autotransformador. Las Figuras 2.18 a), b), c), d) muestran la forma en que se puede obtener un autotransformador elevador a partir del correspondiente transformador, donde las variables, a' , I1' , I '2 , V1' , V2' corresponden al transformador; I1 , I 2 , V1 , V2 son las del autotransformador. E 1 y E2 son las mismas en ambos casos. El bobinado 2 suele llamarse bobinado serie y el devanado 1, bobinado común. Por otra parte, Y 0 = gc- jbm es la admitancia de excitación y Z 1=R 1+jX1; Z2=R 2+jX2 son las respectivas impedancias de los enrollados primario y secundario del transformador.
48
2.16.2.- Obtención del circuito equivalente del autotransformador elevador referido al primario Normalmente la caída de tensión en la impedancia del primario Z 1, es mucho menor que E 1 y por lo tanto, no se comete un gran error si en la Figura 2.18 d) se coloca la admitancia de excitación Y 0 en la entrada, tal como se muestra en la Figura 2.19. I' 1 +
+
V2'
E2 -
-
-
+
+
+
E1
V1'
I 2'
a' : 1
I1
V1
-
-
+
+
E1
E2 -
-
a) I' 1
+ V1'
+ V2 -
b) I 2'
I 2' a' ' Z2 a : 1 + + Y0 E1 E2
Z1
I1
+
Z1
+
V2'
-
-
-
I2
a' : 1
V1
-
Y0
I 2 a' a' : 1 + + E1
E2 -
-
-
c)
Z2 I 2
+ V2 -
d)
Figura 2.18.- Formación de un autotransformador a partir de un transformador: a) Diagrama del transformador b) Diagrama del autotransformador, c) y d) Circuitos equivalentes de ambos I1
Z1
+ V1
Y0
I 2 a' a' : 1 + + E1
E2 -
-
-
Z2 I 2
+ V2 -
Fig. 2.19.- Circuito equivalente aproximado de un Autotransformador elevador En la Figura 2.19 se pueden plantear las siguientes ecuaciones:
V 1
=
(R 1 + jX 1 )
V 2
=
V 1
E 1
=
a' E 2
+
E 2
−
I 2
+
a'
(R 2
E 1
+
jX 2 )I 2
(2.85)
Combinando las ecuaciones anteriores se puede obtener finalmente:
V 1
=
[(1
−
a) 2 (R 1
+
jX 1 ) + a 2 (R 2
+
jX 2 )
]I
2
a
+
aV 2
(2.86)
Ecuación en que todas las tensiones están referidas al primario y donde: a
=
a' a'+1
=
N1 N1 + N 2
〈1
(2.87)
49
es la razón de transformación del autotransformador elevador. La ecuación (2.86) se puede representar mediante el circuito equivalente mostrado en la Figura 2.20, donde: R eq1
=
(1 − a) 2 R 1
X eq1
=
(1 − a) 2 X 1 + a 2 X 2
+
a 2 R 2
(2.88)
son las resistencia y reactancia equivalentes referidas al primario, respectivamente Req 1
I1 +
jXeq 1
I
2 a
I0 ( g c )1
V1
-j(b m ) 1
-
+
aV
2
-
Fig. 2.20.- Circuito equivalente aproximado y referido al primario del autotransformador elevador
A partir de (2.88) se puede escribir también: R eq1 (Autotransformador) = (1 − a) 2 R eq1 (Transformador) X eq1 ( Autotransf ormador ) = (1 − a) 2 X eq1 (Transformador )
(2.89)
El circuito equivalente se puede referir también al secundario, en cuyo caso:
R eq2 X eq2
=
=
R eq1 a2 X eq1 a2
=
=
R 1 a' 2 X1 a' 2
+
R 2 (2.90)
+
X2
Es decir, bajo las consideraciones planteadas, las resistencia y reactancia equivalentes del autotransformador y del transformador elevador referidas al secundario son iguales. Además: (g c ) 2 (b m ) 2
= =
a 2 (g c )1 a 2 (b m )1
(2.91)
2.16.3.- Autotransformador reductor Bajo las mismas condiciones anteriores, se puede demostrar que: Z eq1 (Autotransf ormador r eductor ) = Z eq2 (Autotransf ormador elevador ) Z eq2 (Autotransf ormador r eductor ) = Z eq1 (Autotransf ormador elevador )
(2.92)
50
2.16.4.- Determinación de los parámetros Las pruebas, la forma de efectuarlas y los cálculos para obtener los parámetros del circuito equivalente aproximado del autotransformador son similares a lo establecido para el transformador.
2.16.5.- Comparación entre las potencias nominales del autotransformador y del transformador Considerando que en su funcionamiento como autotransformador, no se excedan las corrientes y tensiones de los enrollados del transformador, se puede demostrar que:
S 2 N
=
(1 + a ' )S'2 N =
1 1− a
S' 2 N
(2.93)
Es decir; si la razón de transformación del autotransformador es cercana a la unidad, éste puede transferir una potencia nominal mucho mayor que la del transformador a partir del cual se armó. Ello se debe a que ahora, además de la potencia de transformación (T), se agrega la potencia de conducción (C). De acuerdo con esto, la potencia aparente S 2N se puede descomponer en dos partes: T
=
(1 − a) S 2N
C = a S 2N
=
=
V' 2N I'2N
V2N I 2N - V' 2N I' 2N
(2.94)
2.16.6.- Comparación entre las impedancias equivalentes d el autotransformador y del transformador respectivo Según (2.89) se tiene que: Z eq1 (autotransf ormador ) = (1 − a) 2 Z eq1 ( transformador )
(2.95)
Como a < 1, se tendrá que la impedancia equivalente como autotransformador es menor que la del respectivo transformador. Este hecho trae dos consecuencias: −
Las pérdidas por efecto Joule (y totales) son menores en el autotransformador. Por lo tanto, el rendimiento es superior al del transformador.
−
Las corrientes de cortocircuito son mayores en el autotransformador, por lo tanto, en el caso de una falla, los bobinados quedarán sometidos a corrientes mayores que para el respectivo transformador.
51
CAPITULO 3 TRANSFORMADORES TRIFASICOS Y BANCOS 3.1.-
Introducción
La transformación de potencia trifásica, puede hacerse mediante transformadores trifásicos o bancos formados por tres unidades monofásicas. El transformador trifásico es menos costoso que un banco de igual potencia, porque sus devanados están colocados sobre un núcleo magnético común, lo que, como se demostrará luego, permite un considerable ahorro de material. Los transformadores trifásicos pueden ser de tipo acorazado y de tipo núcleo. 3.1.1.- Transformador trifásico tipo acorazado Puede considerarse como tres transformadores monofásicos de tipo acorazado, colocados uno junto a otro, tal como se muestra en la Figura 3.1 a). La única diferencia entre esta disposición y la de la Figura 3.1 b), que corresponde a un transformador trifásico, es que las láminas del núcleo de este último están entrelazadas, es decir, las tres partes del núcleo no están separadas. Esto hace que los flujos en el núcleo, correspondientes a fases diferentes, se superpongan en las partes indicadas por D-E-F y G.
Devanados H
D A
I
F B
E
J C
G
K
Núcleos a)
b)
Figura 3.1.- Transformador de tipo acorazado: a) Tres t ransformadores monofásicos, b) La unidad trifásica correspondiente Supongamos que el transformador funciona con tensiones inducidas sinusoidales equilibradas. En estas condiciones, los flujos en el núcleo deberán ser sinusoidales y estar equilibrados; por lo tanto pueden ,Φ yΦ de la Figura 3.2 a). representarse por los vectores Φ A B C Los 3 devanados primarios pueden conectarse simétricamente en el circuito, de manera que los sentidos positivos de los flujos en el núcleo sean los mismos (Figura 3.2 b), o bien, pueden invertirse las conexiones de la fase central (Figura 3.2 c). En el primer caso:
(
)
C =Φ C =1 Φ C −Φ C = Φ Φ D E A B 2 2 donde
3
C = Φ C = Φ C Φ = Φ A B C
(3.1)
. Lo mismo vale para Φ F y Φ G
En la Figura 3.2 c) en cambio:
(
)
C' =Φ C' = 1 Φ C +Φ C = 1Φ Φ D E A B 2 2 Es decir:
Φ'D ΦD
=
1 3
=
0,577
(3.2)
(3.3)
52 ΦD
ΦA
Φ'D
ΦC
ΦB
a) Φ'D
ΦD
X
ΦA
ΦB
ΦC
ΦA
X
X
X
X
ΦB
ΦC X
Φ'E
ΦE
b)
c)
Fig. 3.2.- Relaciones de los flujos en un transformador trifásico de tipo acorazado; a) diagrama fasorial para tensiones de fase equilibrada, b) sentidos positivos de los flujos para devanados conectados simétricamente, c) sentidos positivos de los flujos cuando se invierten las conexiones de la fase central. El método normal de conexión es el indicado en c) Por lo tanto, invirtiendo la conexión del enrollado central, el flujo en esta parte del núcleo es sólo del 57,7%, del que había con la conexión de la Figura 3.2.b). Se puede concluir entonces, que en estas condiciones, en las zonas D-E-F y G, el flujo es igual a la mitad del que existe en las zonas A-B y C e igual al flujo en las zonas H-I-J y K, lo que permite ahorrar una importante cantidad de material, tal como se indica en la Figura 3.3 (zona achurada). En todas las partes del núcleo, excepto en las zonas D-E-F y G, los flujos son los mismos que existirían en los transformadores monofásicos. La superposición de los flujos no afecta de manera importante el funcionamiento del transformador trifásico de tipo acorazado, salvo en modificar la formas de onda y desequilibrar ligeramente las intensidades de las corrientes de excitación.
Figura 3.3.- Comparación de diseños con transformadores monofásicos y trifásicos del tipo acorazado
3.1.2.- Transformador trifásico tipo núcleo, con tres columnas En la Figura 3.4, se muestra la formación de un transformador trifásico tipo núcleo a partir de tres unidades monofásicas. Si las tensiones aplicadas son sinusoidales, simétricas y equilibradas, los flujos de la Figura 3.4 a) cumplirán la relación:
Φ A
+Φ = +Φ B C
0
(3.4)
53
Por lo tanto, se puede omitir la parte central del núcleo, tal como se muestra en la Figura 3.4 b). Sin embargo, por razones de construcción, se usa la disposición del núcleo mostrada en la Figura 3.4.c), lo que produce un ligero desequilibrio del circuito magnético para las tres fases, pero permite un importante ahorro de material del núcleo.
ΦB
B
ΦB ΦA
ΦA Φ
A
C
A
B
Φ
C
D
H1
H2
A C
X1
C
ΦA
H3
B
X2
ΦB
X3
C Φ
C
E
núcleos a)
b)
c)
Figura 3.4.- Síntesis de un transformador trifásico de tres ramas, tipo de núcleo, a partir de tres unidades monofásicas
3.2.-
Polaridad en transformadores trifásicos
En el caso de un banco trifásico formado por tres unidades monofásicas, se tiene para cada unidad, el concepto de polaridad explicado en 2.7. Lo mismo ocurre para cada fase de un transformador trifásico tipo acorazado. En el transformador trifásico tipo núcleo, la situación es diferente. La polaridad se puede establecer sólo para los enrollados que están sobre una misma pierna o columna del núcleo. Junto al concepto de “marcas de polaridad”, se tiene el de “comienzos de enrollado” o “puntas de enrollado”, debido a la necesidad de que en todo instante se cumpla la relación (3.4). De esta forma, se puede considerar como “comienzos de enrollado” a los terminales tales que si por ellos entran corrientes, se establezcan flujos como los mostrados en la Figura 3.4 c). Para cada columna entonces; H 1 y X1 (o H2 y X2 o H3 y X3) serán homólogos o no, dependiendo de si la polaridad es sustractiva o aditiva.
3.3.-
Conexiones trifásicas de transformadores
Para efectos del análisis que se hará en este punto, se considerará como equivalentes a tres transformadores monofásicos, las tres columnas de un transformador trifásico tipo núcleo ó las tres fases de un transformador trifásico tipo acorazado.
3.3.1.- Consideraciones generales Se utilizarán las siguientes convenciones: −
Los enrollados ubicados en una misma fase, se dibujan siempre paralelos y con las marcas de polaridad o de comienzo de enrollado en el mismo sentido.
−
Los enrollados se dibujan ubicados formando ángulos entre si, iguales a la diferencia de fase entre las tensiones que existen en ellos y, por comodidad se representan por un trazo.
54 −
Los transformadores se consideran ideales.
−
Para todos los casos se considera secuencia positiva en los sistemas trifásicos de tensiones a ambos lados del transformador.
−
Se considera positivo el ángulo en que las tensiones secundarias atrasan a las tensiones respectivas del primario.
−
A cada tipo de conexión trifásica se le asigna un subíndice numérico (entre 0 y 12) que indica por que múltiplo de 30º, el fasor voltaje del lado secundario atrasa al fasor voltaje del primario. Esto se denomina desplazamiento angular de la conexión.
−
Los bornes sacados al exterior, se designan con las letras H 1, H2 y H3, para el primario y X 1, X2 y X3 para el secundario.
3.3.2.- Deducción de algunas conexiones a) Conexión YY 0 o YY12: Según lo indicado, significa que el primario y el secundario están en estrella y que el desfase entre ellos es de 0º (ó 360º) H1
11
H1
H2
X1
X2
X
X
1
H3 X
X
10 X
X1
2
N
9
X3
H3
3
X
X
X2
X
X
X
X3 X
X
H2 7
5
6
a)
b)
Figura 3.5.- Conexión YY 0: a) Diagrama fasorial b) Conexión de los enrollados
b) Conexión ∆Y5: Significa que el primario está conectado en delta o triángulo y el secundario en estrella y que el secundario atrasa al primario en 150º. H1
11
X
X3
10
H1
H2
X
X
X
X
X
X
X1
X2
X3
H3
2
X2
X
X
N
X
3
X
H3
X
7
6
a) Figura 3.6.- Conexión
∆Y5
X1
H2
b) : a) Diagrama fasorial b) Conexión de los enrollados
55
c) Conexión YZ11: La conexión Z, llamada Zig-Zag, requiere que cada fase tenga dos secundarios iguales, los que se interconectan por pares en serie, teniendo presente que la serie esté formada por enrollados de distinta fase. Uno de los objetivos de esta conexión, es que las corrientes de secuencia cero, que circulan por todas las fases con igual dirección y sentido, que producen fuerzas magnetomotrices (fmm) iguales y opuestas en cada fase, se compensen entre si. H1 H1
X1
H2
1
1
H3
X
X
2
X
3
X X
10
1
1'
2 2'
3" 2"
9 H3
X
X N
3
X
X
X2
2
1"
X3
2'
X
3'
X X
3' 6
X3
X
1'
H2 X
X2
X1
X
X
1"
5
a)
X
X
2"
3"
b)
Figura 3.7.- Conexión YZ 11: a) Diagrama fasorial b) Conexión de los enrollados
3.3.3.- Determinación experimental del Desplazamiento angular de la conexión o del Diagrama fasorial Se utiliza un método de corriente alterna, que permite determinar directamente el diagrama fasorial, efectuando una serie de medidas de voltaje en los bornes del transformador. Este consiste en lo siguiente: Se conectan juntos un borne primario con uno secundario (H 1 y X1, por lo general) y se excita el transformador con un voltaje igual o inferior al nominal y de secuencia conocida, efectuándose medidas de tensión entre todos los otros terminales. Con los valores obtenidos se dibuja el diagrama fasorial a escala, lo que permite determinar el desplazamiento angular de la conexión. A manera de ejemplo, consideremos la Figura 3.8 siguiente, que muestra la conexión ∆Y5 ya vista. X3
150º
X2 VH X 2 2
VH X 2 3 X1
VH X 3 2
H1
VH X 3 3
H3
H2
Figura 3.8.- Diagrama fasorial obtenido para la conexión En la Figura 3.8 se aprecia que:
∆Y5
56
VH2X3
=
VH2X 2
=
VH3X3 〉 VH3X2
(3.5)
3.3.4.- Conclusiones A modo de resumen podemos indicar lo siguiente: −
En los transformadores trifásicos no basta conocer la polaridad, ya que ella no indica de una manera completa las relaciones fasoriales.
−
Debe usarse el concepto de desplazamiento angular, que indica el ángulo en que el fasor X 1-N atrasa al fasor H1-N (o el fasor X 1-X2 atrasa al H1-H2).
−
La polaridad puede ser aditiva o sustractiva. Cuando es sustractiva, se obtienen desplazamientos angulares de 0º y ± 30º. Con polaridad aditiva, los desplazamientos angulares pueden ser de 180º y 180º ± 30º.
−
Estos tipos de conexiones corresponden cuando se tiene secuencia positiva. Cuando la secuencia es negativa, se tiene lo siguiente: Aquellos grupos de conexiones de desplazamiento angular 0º ó 180º, no cambian. Los grupos de 0 ± 30º ó 180 ± 30º, cambian a 0 30º o 180 30º, respectivamente.
3.3.5.- Normas internacionales a) Normas americanas: Designan los bornes como H 1, H2 y H3 para el lado de alta tensión y x 1, x2 y x3 para el lado de baja tensión. En cuanto al desplazamiento angular, aceptan sólo dos grupos de conexiones: −
Grupo Nº 1: Con un desplazamiento angular de cero grados, obtenido con transformadores conectados en estrella-estrella ó delta-delta.
−
Grupo Nº 2: Con un desplazamiento angular de 30º, en que el lado de baja tensión atrasa 30º al lado de alta. Este se obtiene con conexiones estrella-delta ó delta-estrella. Esta clasificación pone en evidencia el hecho de que sólo se acepta polaridad sustractiva.
b) Normas alemanas: Designan los bornes con las letras U,V y W para el lado de alta tensión y u, v y w para el de baja tensión. Admiten las conexiones tanto de polaridad aditiva como sustractiva. 3.4.-
Circuito equivalente de un transformador trifásico
3.4.1.- Introducción Cuando un transformador trifásico o un banco trifásico opera en condiciones balanceadas, puede analizarse considerando el circuito equivalente “por fase”. Este consiste en representar el transformador por una sola fase. Con el objeto de mostrar más claramente la obtención del circuito equivalente, consideraremos un banco trifásico, formado por tres unidades monofásicas. El circuito equivalente de una de las unidades monofásicas se muestra en la Figura 3.9, donde se ha incluido un transformador ideal de razón a:1, con el fin de realizar las conexiones delta ó estrella de primario y del secundario del transformador trifásico ó del banco trifásico.
57
I
r eq1
1
jx
eq1
+
a : 1 +
V 1
V2
-
Transformador Ideal
Figura 3.9.- Circuito equivalente aproximado de un transformador monofásico
3.4.2.- Conexión estrella-estrella (YY) En la Figura 3.10 se muestra la conexión de un transformador trifásico ó de tres transformadores monofásicos formando un banco trifásico en conexión estrella tanto para el primario como para el secundario. Se puede apreciar que para obtener el circuito equivalente “por fase”, basta con considerar una de las tres fases, ya que existe un punto común (neutro).
H1
r eq1
IA
r eq1
IB
H3
jx eq1
+ VC -
N
I b
a : 1 + V b -
r eq1
IC
X1
+ Va -
+ VB -
Ia
a : 1
+ VA -
H2
jx eq1
jx eq1
X2
Ic
a : 1 + Vc -
X3
n
Figura 3.10.- Transformador trifásico en conexión estrella-estrella La Figura 3.11, muestra el circuito equivalente por fase correspondiente, donde: R eq1
= r eq1
X eq1
=
=
a
aT
x eq1
(3.6)
En la ecuación (3.6), a T es la razón de transformación trifásica, es decir, la razón entre las tensiones de línea del primario y secundario. En este caso se tiene:
aT
=
VH1H2 VX1X2
=
3VA 3Va
=
a
(3.7)
58
Es decir, las razones de transformación trifásica y monofásica son iguales. I
1
I
jX eq1
R eq1
2
a
T
+
+
V 1
a
-
V 2
T
-
Figura 3.11.- Circuito equivalente por fase referido al primario de un transformador en conexión YY
3.4.3.- Conexión Delta-Delta (∆∆) La Figura 3.12 muestra un transformador ó banco trifásico en conexión delta-delta . Como se observa, no es posible considerar una sola fase ya que no existe un punto común. Si se cortocircuita el secundario; desde el primario se ve el circuito de la Figura 3.13 a), el que puede transformarse en una estrella equivalente, tal como el de la Figura 3.13 b), donde se puede obtener un “punto común” o “punto neutro”. Este punto no es real; sin embargo, permite considerar una sola fase del transformador trifásico. I H1
r eq1
A
H2
Ia
a : 1
+
+
VA
Va -
I
jx eq1
r eq1
B
jx eq1
Ib
a : 1
+
+
VB
V b -
H3
r eq1
IC
jx eq1
X1
X2
Ic
a : 1
+
X3
+
VC
Vc
-
-
. Figura 3.12.- Transformador trifásico en conexión delta-delta
H1
IA
H1
IA
req1 + jx eq1 I H2
I H3
r'eq1 + jx'eq1 I
B
req1 + jx eq1
H2
N'
I H3
a)
r'eq1 + jx'eq1
r'eq1 + jx'eq1
req1 + jx eq1 C
B
C
b)
Figura 3.13.- Transformador trifásico en conexión ∆∆ visto desde el primario al cortocircuitar el secundario: a) Delta; b) Estrella equivalente
59
Para la Figura 3.13 b) se tiene: z eq
z' eq1 = r' eq1 + jx'eq1 =
=
r eq1 + jx eq1
3
3
(3.8)
De acuerdo con esto, el circuito equivalente “por fase” del transformador trifásico en conexión será el de la Figura 3.11, donde: R eq1
=
X eq1
=
aT
=
r eq1
r ' eq1 = x ' eq1 =
VH1H 2
∆∆
3 x eq1
=
(3.9)
3 VA
VX1X 2
Va
=a
3.4.4.- Conexión delta-estrella Bajo las mismas consideraciones anteriores, el circuito equivalente por fase, es el de la Figura 3.11, donde R eq1 y Xeq1 corresponde a los dados en la expresión (3.9) y a T es de la forma: aT
=
VH1H 2
=
VX1X 2
VA
=
3Va
a 3
(3.10)
3.4.5.- Conexión estrella-delta En las condiciones planteadas, el circuito equivalente es el de la Figura 3.11, donde R eq1 y X eq1 están dados por la expresión (3.6) y a T está dado por la expresión (3.11):
aT
=
VH1H 2
=
VX1X 2
3VA Va
=
3a
(3.11)
3.4.6.- Característica de excitación Cuando se requiere, la característica de excitación se pueden representar por medio de una conductancia gc y una susceptancia b m conectadas en paralelo, a la entrada del circuito equivalente ya visto. En este caso, es posible demostrar, que si los parámetros están referidos a un lado del transformador trifásico que esté conectado en triángulo, su valor por fase es: Y0
=
gc
− jb m =
3 Y' 0 = 3 (g'c − jb' m )
(3.12)
donde Y’0 corresponde al valor de la admitancia de excitación en cada lado del triángulo.
3.4.7.- Valor de los parámetros en por unidad Cuando los parámetros del circuito equivalente por fase se expresan en por unidad, sus valores son independientes de la conexión, es decir:
60
Z Y (pu) = Z ∆ (pu) (3.13) YY (pu) = Y∆ (pu) donde el subíndice equivalente.
∆
indica que el enrollado está en triángulo y el subíndice Y, la estrella
Por otra parte, al igual que en el transformador monofásico, al expresar los parámetros en (pu) en la base propia y considerando que la prueba de cortocircuito se ha hecho a corriente nominal y que la de vacío se hizo a voltaje nominal, se tiene: VCC
Z eq (pu) =
V N
R eq (pu) = g C (pu) = b m (pu) =
PCC S N
(3.14)
P0 S N Q0 S N
en que todas las tensiones y potencias deben ser trifásicas (o todas por fase).
3.4.8.- Determinación experimental de los parámetros del circuito equivalente “por fase” El procedimiento es similar al empleado en el transformador monofásico, excepto que todas las conexiones y mediciones son trifásicas; es decir, las tensiones se miden entre líneas (V CC, V0), las corrientes son las de línea (I CC, I0) y la potencia es la total (P CC y P0). Los valores de los parámetros del circuito equivalente “por fase” se calculan con la tensión “por fase” (VCC/ 3 , V0/ 3 ), corrientes de línea (I CC, I 0) y potencia por fase (PCC/3; P0/3). Para cualquier tipo de conexión de los enrollados del transformador trifásico se tiene entonces: Z eq
gc
VCC
=
=
3 I CC P0 V02
R eq
b m
=
=
PCC 2 3 I CC
Q0 V02
=
( 3V0 I 0 ) 2
2
(3.15)
− P0
V02
3.4.9.- Razón de transformación del transformador trifásico (aT) Es conveniente hacer notar que debido a que en general, las tensiones primaria y secundaria de un transformador trifásico presentan desfases que dependen del tipo de conexión; la razón de transformación es un número complejo. En la práctica; sin embargo, es usual considerarla como un número real positivo (módulo de a T ) y tomar en cuenta el desfase por inspección, de acuerdo a la conexión particular. Por ejemplo, para la conexión T = a T ∠150º . ∆Y5 se puede demostrar que a
61
3.5.-
Pérdidas dispersas
De la misma forma que en el transformador monofásico, las pérdidas dispersas se calculan restando 2 las pérdidas RI en corriente continua a las medidas en la prueba de cortocircuito. De esta forma, si R 1 y R 2 son las resistencias medidas con corriente continua, entre dos terminales del lado primario y dos del 2 secundario respectivamente, siendo I 1 e I2 las respectivas corrientes de línea; las pérdidas totales RI , independiente del tipo de conexión de los enrollados, serán: RI 2total
= 1,5
(R I
2 1 1 +
R 2 I 22
)
(3.16)
Por lo que las pérdidas dispersas se determinan como: PSL
=
(
PCC - 1,5 R 1I12
+
R 2 I 22
)
(3.17)
Donde P CC corresponde a las pérdidas medidas en la prueba de cortocircuito, para las mismas corrientes.
3.6.-
Armónicos en transformadores trifásicos y bancos
3.6.1.- Introducción En los transformadores monofásicos, suele despreciarse los armónicos de la corriente de excitación, debido a su pequeño valor. Sin embargo, los fenómenos de armónicos en sistemas trifásicos pueden, en algunos casos, ejercer efectos importantes en las características del sistema, particularmente, en el comportamiento de los bancos trifásicos estrella-estrella. Por otra parte, a pesar de su tamaño relativamente pequeño, los armónicos de la corriente de excitación de un banco trifásico pueden, en ciertas ocasiones, inducir en los circuitos de comunicaciones cercanos, tensiones que interfieran seriamente con el funcionamiento adecuado de dichos circuitos. Según lo estudiado en el Capítulo 1, la corriente de excitación de un reactor con núcleo saturable (equivalente al comportamiento de un transformador en vacío), no es sinusoidal y se puede representar aproximadamente por: i 0 (t) = I 01 cos (ω t − φ 1 ) + I 03 cos (3 ω t − φ 3 ) + I 05 cos (5 ω t − φ 5 )
(3.18)
donde se han despreciado los armónicos de orden superior a cinco. En la realidad, el tercer armónico es el más importante debido a que en muchos casos su valor eficaz es comparativamente grande frente al valor de la fundamental y adicionalmente, como su período es un tercio del de ésta, las componentes de las tres fases quedan en fase, tal como se muestra en la Figura 3.14. Según esto, presentan características de componentes de secuencia cero. En cuanto a los quintos armónicos y, de acuerdo con lo que se muestra en la Figura 3.15, presentan características de componentes de secuencia negativa; es decir, tienen invertido el orden de las corrientes de las fases, según se puede verificar en la misma Figura. Se analizará a continuación, el comportamiento de los transformadores trifásicos y bancos, de acuerdo a la conexión de sus enrollados y al tipo de núcleo que tengan, considerando solamente los terceros armónicos, en consideración a lo ya indicado.
62
1,5 I 1
I b1
a1
I
c1
0,5 I b3
I a3
0 0
50
100
150
I 200
250
360
c3 300
350
-0,5
-1 Angulo[Grados]
-1,5
Figura 3.14.- Corriente de excitación de primer y tercer armónico en un transformador trifásico
1,5 I a1
1
I c1
I b1
0,5
0
-0,5
50 I a5
100
150
200 I b5
250
300
350
I c5
-1
-1,5
Angulo [Grados]
Figura 3.15.- Corriente de excitación de primer y quinto armónico en un transformador trifásico
63
3.6.2.- Transformador estrella-estrella sin neutro a) Tipo acorazado ó banco: Consideremos la Figura 3.16 que esquematiza esta situación.
I A
0A
a : 1 +
+
Va I 0B B
N I 0C C
a
Vab
a : 1
-
b
n a : 1
c
Figura 3.16.- Transformador trifásico en conexión estrella-estrella sin neutro (con neutro flotante) Considerando los sentidos de las corrientes y al hecho de que no existe conductor entre el neutro del primario del transformador y el neutro de la fuente de alimentación (que no se muestra), la suma (fasorial) de las corrientes de excitación de las tres fases debe ser cero; es decir, para los terceros armónicos se debe cumplir:
I
0A3 +
I
0B3 +
I
0C3 =
0
(3.19)
La única forma para que (3.19) se cumpla es que I 0A3 = I0B3 = I 0C3 = 0, es decir, si se desprecia los armónicos superiores al tercero, la corriente de excitación sería sinusoidal, (ya que los terceros armónicos están obligados a ser cero debido a la conexión), pero entonces, dadas las características no lineales del núcleo, el flujo deja de ser sinusoidal. Esto significa, que aparecen terceros armónicos en la onda del flujo establecido en el núcleo y en las tensiones inducidas en los enrollados. Sin embargo, por el hecho de que los terceros armónicos están todos en fase, las tensiones entre líneas no presentan terceros armónicos (recuérdese =V −V ) que V ab a b La tensión eficaz por fase (conteniendo terceros armónicos) es: Va
=
2 Va1
+
2 Va3
(3.20)
Donde Va1 y V a3 son los valores efectivos de la fundamental y del tercer armónico respectivamente. Va3 suele variar entre un 30 y un 70% de V a1. Si como valor representativo consideramos que V a3 es un 50% de V a1, se tiene que Vab
= 1,12
3 Va1 .
b) Tipo núcleo: Debido a la configuración del núcleo y a los sentidos de arrollamiento y corriente en ellos, los flujos de tercer armónico, que en las tres columnas tienen en todo instante la misma magnitud y sentido (Figura 3.4.c) están obligados a cerrar su circuito magnético a través del aire. Como la reluctancia del aire es más elevada que la del material magnético, se tiene que la magnitud de estos flujos es pequeña. Por ello, en el
64
transformador trifásico tipo núcleo, aún cuando no pudieran circular corrientes de tercer armónico en las líneas, las tensiones por enrollado se deforman muy poco.
3.6.3.- Transformador estrella-estrella con neutro encadenado Las corrientes de tercer armónico pueden circular por las líneas si se conectan los neutros del primario del transformador y del generador (fuente). Esto permite eliminar los terceros armónicos de las tensiones fase neutro, pero se puede producir interferencia inductiva en circuitos cercanos, sobre todo en el caso en que la conexión entre los neutros se realiza a través del suelo. Para verificar esto, consideremos la Figura 3.17 donde se muestra una línea de potencia trifásica A-B-C y una línea telefónica a-b descubierta. Para mayor sencillez supondremos que ambos circuitos están en un mismo plano y que en el instante considerado los sentidos de las corrientes son los indicados. XA A
B
IA
XB XC
C IB
a
b
IC B
Figura 3.17.- Líneas de potencia A-B-C y telefónica a-b, paralelas Aplicando la Ley Circuital de Ampere se tiene:
B=
µ 0 DI A
2π X A
+
DI
B
XB
+
X C DI
C
(3.21)
En que B , es la inducción magnética total sobre el circuito telefónico. Si se supone que la separación entre conductores de potencia es bastante menor que las distancias al circuito de comunicación, se tiene, en forma aproximada que X A=XB=XC=X y por lo tanto:
B=
µ0 2π X
(I A + I B + I C )
(3.22)
Si las corrientes de línea están equilibradas, las corrientes sinusoidales desfasadas 120º (tales como los armónicos fundamentales, quintos, séptimos, etc.) dan una suma nula en todo instante y si, según lo indicado, las distancias de las tres fases al circuito de comunicación es prácticamente la misma, la inducción
magnética B resultante creada por estos armónicos es aproximadamente cero. No obstante, si la línea de potencia suministra la corriente de excitación a un transformador o banco estrella-estrella con neutro encadenado, las corrientes de las líneas contienen terceros armónicos. Para mayor sencillez, supongamos que la conexión de los neutros se hace a través del suelo y que el efecto inductivo del tercer armónico de la corriente de tierra es despreciable debido a la altura a la que los circuitos se encuentra sobre el suelo. Los terceros armónicos de las tres corrientes de línea están en fase en las tres fases y por lo tanto, los valores instantáneos de las inducciones magnéticas debidos a ellos se suman directamente, produciendo un efecto inductivo importante. Por otra parte, la frecuencia es el triple de la fundamental, por lo que la tensión inducida es de esta frecuencia y su valor es tres veces mayor que la tensión de frecuencia fundamental que induciría un flujo fundamental igual. Recordemos para justificar lo anterior, que: E ind
=
4,44 f N A B máx
(3.23)
65
3.6.4.- Transformador estrella-triángulo Consideremos el banco estrella-triángulo de la Figura 3.18. En el lado primario, el banco se comporta de la misma forma que el banco estrella-estrella visto en 3.6.3. Es decir, las tensiones primarias varían sinusoidalmente; cada transformador monofásico ó cada fase recibe su corriente de excitación y los terceros armónicos de la corriente de excitación circulan por el conductor neutro. I
0A
a : 1
A
I
0B
p
a : 1
B
V pq I N I C
0C
N
a : 1
q
Figura 3.18 .- Transformador estrella-delta abierta Los terceros armónicos, de las corrientes de excitación crean pequeñas caídas de tensión en las impedancias de fuga de los transformadores y por lo tanto, las fuerzas electromotrices inducidas por el flujo mutuo contienen terceros armónicos débiles que aparecen como componentes pequeños de las tensiones de los secundarios. Como estas componentes (de tercer armónico) están en fase en los tres transformadores, la tensión en el vértice del triángulo secundario (bornes pq) contiene un tercer armónico V pq, cuyo valor es el triple del de cada transformador monofásico o de cada fase. Aún cuando esta tensión suele ser pequeña comparada con las tensiones secundarias, si se unen lo bornes pq, es capaz de crear una corriente de tercer armónico que circula por el Delta del secundario. La acción combinada de las corrientes de excitación de tercer armónico que circulan por el primario y secundario, crea las fuerzas magnetomotrices de esta frecuencia, necesarias para permitir variaciones prácticamente sinusoidales del flujo, como ocurre en forma mejor aún, en la conexión delta-delta. Por ello, al cerrar el delta del secundario, se reducen los terceros armónicos de las corri entes de excitación del primario. Si al cerrar la delta del secundario, se desconecta el neutro, la corriente de excitación del primario no contiene terceros armónicos. El triángulo cerrado del secundario proporciona un camino para los terceros armónicos de las corrientes. Como para crear esta corriente se requiere una fuerza electromotriz de dicha frecuencia, el flujo mutuo se ajusta por si mismo para contener el tercer armónico necesario para generarla. Por lo tanto, el flujo mutuo induce un tercer armónico de la tensión respecto al neutro en el primario, pero por lo general, éste es de valor muy pequeño y la onda de tensión primaria respecto al neutro es prácticamente sinusoidal. Para las conexiones delta-estrella y delta-delta ocurre algo similar, por lo que podemos consignar a manera de conclusión, lo siguiente: Los componentes de tercer armónico de la corriente de excitación necesarios para una variación sinusoidal del flujo, circulan por los devanados conectados en delta, de un banco triángulo-triángulo; triángulo-estrella ó estrella-triángulo, pero (para transformadores exactamente iguales) no están presentes en
