INTRODUCCION El Análisis Estructural se refiere al uso de las ecuaciones de la resistencia de materiales para encontrar los esfuerzos internos, deformaciones y tensiones que actúan sobre una estructura resistente, como edificaciones o esqueletos resistentes de maquinaria. Igualmente el análisis dinámico estudiaría el comportamiento dinámico de dichas estructuras y la aparición de posibles vibraciones perniciosas para la estructura. El tipo de método empleado difiere según la complejidad y precisión requerida por los cálculos: Métodos clásicos, para estructuras muy sencillas entre los que se encuentran la teoría de vigas de Euler-Bernoulli es el método más simple, es aplicable sólo a barras esbeltas sometidas a flexión y esfuerzos axiales. Naturalmente no todas las estructuras se dejan analizar por este método. Cuando existen elementos estructurales estructurales bidimensionales en general deben emplearse métodos basados en resolver ecuaciones diferenciales. Métodos programables: programables: Así para determinar esfuerzos sobre marcos o pórticos se usa frecuentemente el método matricial de la rigidez basado en el modelo de barras largas, que modeliza los elementos resistentes como elementos unidimensionales sometidos predominantemente a flexión Cuando se trata de analizar elementos más pequeños o con forma irregular donde pueden producirse concentraciones de tensiones se usan métodos numéricos más complejos como el Método de los elementos finitos.
A partir de los esfuerzos se pueden calcular directamente los desplazamientos y las tensiones. En el caso del método de los elementos finitos se suele determinar directamente el desplazamiento sin necesidad de calcular los esfuerzos internos. Una estructura correctamente diseñada además de ser funcional y económica debe cumplir obligatoriamente dos criterios razonables de seguridad: El criterio de resistencia, consistente en comprobar en que en ninguno de sus puntos el material sobrepasa unas tensiones admisibles máximas. El criterio de rigidez, consistente en comprobar que bajo las fuerzas y solicitaciones actuantes los desplazamientos y deformaciones de la estructura no sobrepasan un cierto límite. Dicho límite está relacionado con criterios de funcionalidad, pero también de estabilidad o de aplicabilidad de la teoría de la elasticidad lineal.
MARCO TEORICO BREVE HISTORIA DEL ANALISIS ESTRUCTURAL
Podemos distinguir algunos períodos importantes de esta historia y en ellos algunos pueblos, construcciones, personajes y descubrimientos importantes. Veamos:
ANTES DE LOS GRIEGOS (3400 – 600 AD) Los pueblos de Egipto, Asiria y Persia fueron los más destacados de éste período. Las pirámides Las pirámides egipcias son un ejemplo de estas extraordinarias estructuras antiguas. Adicionalmente a las pirámides son de destacar los templos construidos con columnas, muros y vigas en piedra y barro cocido.
GRIEGOS Y ROMANOS (600 AC – 476 DC) Los templos griegos como el Partenón el Partenón y algunas construcciones romanas como puentes, acueductos, coliseos y templos, son ejemplos notorios de este período. Como elementos estructurales los romanos introdujeron la bóveda y el arco para la construcción de techos y puentes respectivamente. respectivamente.
PERÍODO MEDIEVAL (477 - 1492) En este período, los árabes introdujeron la notación decimal la cual permitió un desarrollo importante en las matemáticas. Leonardo Davinci.
PERIODO TEMPRANO (1493- 1687) Francis Bacon (1561-1626), fue uno de los creadores del método experimental Galileo Galilei (1564-1642). Matemático, físico y astrónomo italiano. Considerado como
el fundador de la teoría de las Estructuras. En su libro Dos nuevas ciencias, publicado en 1938, Galileo analizó la falla de algunas estructuras simples como la viga en voladizo. Aunque sus resultados fueron corregidos posteriormente, puso los cimientos para los desarrollos analíticos posteriores especialmente especialmente en la resistencia de materiales. Robert Hooke (1635-1703), desarrolló la ley de las relaciones lineales entre la fuerza y la deformación
de
los
materiales
o
ley
de
Hooke.
Isaac Newton (1642-1727), formuló las leyes del movimiento y desarrolló el cálculo. Desde el año 1000 y durante este período, de destacaron las Catedrales góticas las que en la actualidad, son testimonio del ingenio de sus constructores.
PERÍODO PRE MODERNO (1688 - 1857) Entre
los
investigadores
notables
de
este
período
se
encuentran:
John Bernoulli (1667-1748), quien formuló el principio del trabajo virtual. Leonard Euler (1707-1783), desarrolló la teoría del pandeo de columnas. Charles August de Coulomb (1736-0806), presentó el análisis de la flexión de las vigas elásticas. Louis M. Navier (1785-1836), publicó un tratado sobre el comportamiento elástico de las estructuras, considerado como el primer texto de Resistencia de Materiales Emile Clayperon (1799-1864), quien formuló la ecuación de los tres momentos para el análisis de las vigas continúas.
PERÍODO MODERNO (DESDE 1858) En 1826, L.M.Navier (1785-1836) publicó un tratado sobre el comportamiento elástico de las estructuras, el cual se considera como el primer libro de texto sobre la teoría moderna de la resistencia de los materiales. EL desarrollo de la mecánica estructural
continuó a un paso tremendo durante todo el resto del siglo XIX y hacia la primera mitad del XX, cuando se desarrollaron la mayor parte de los métodos clásicos par el análisis de las estructuras que se describen en este texto. Los colaboradores importantes de este período incluyeron B:P: Clapeyron (1799-1864), quien formuló la ecuación de los tres momentos para el análisis de las vigas continuas; J:C: Maxwell (1831-1879), quien presentó el método de las deformaciones coherentes y la ley de las deflexiones y los círculos de Mohr del esfuerzo y la deformación unitaria; Alberto Castigliano (1847-1884), quien formuló el teorema del trabajo mínimo; C. E. Grene (18421903), quien desarrolló el método del momento-área; H. Müller-Breslau (1851-1925), quien presentó un principio para la construcción de las líneas de influencias; G. A. Maney (1888-1947), quien desarrollo el método de la pendiente-deflexión, que se consideraba como el precursor del método material de las rigideces, y Hardy Cross (1885-1959); quien desarrolló el método de la distribución de momentos, en 1924. EL método de la distribución de momentos proporciona a los ingenieros un procedimiento iterativo sencillo para el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas con intensidad. Este método, que fue usado con mayor amplitud por los ingenieros un procedimiento iterativo sencillo para el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas con intensidad. Este método, que fue usado con mayor amplitud por los ingenieros en estructuras durante este período, como edificios muy altos, lo cual no habría sido posible sin disponer del método de la distribución de momentos. El advenimiento de las computadoras en la década de 1970 revolución el análisis estructural. Debido a que la computadora podía resolver grandes sistemas de ecuaciones simultáneas, los análisis que llevaban y, a veces, semanas en la era previa a la computadora ahora se podían realizar en segundos. El desarrollo de los métodos actuales, orientados a la computadora se pueden atribuir, entre otros, a J. H. Argyris, R. W. Clough, S. Kelsey, R. Livesley, H. C: Martin, M. T. Turner, E. L. Wilson y O. C. Zienkiewiez.
Los escritos sobre el análisis estructural se han encontrado solamente después del Renacimiento. La tendencia histórica del análisis estructural después del Renacimiento, puede dividirse en las siguientes categorías: LA ERA DE LOS GRANDES MAESTROS Esta es la era de Leonardo de Vinci (1452-1519), Galileo Galilei (1564-1642), Fontana (1543-1607) y Mimar Sinan (1490-1588) de Estambul, quienes tuvieron gran sentido físico acerca de las estructuras y sus éxitos se basaron en sus talentos innatos. Dignos de mención los trabajos de Leonardo (el hombre que introdujo los conceptos de fuerza y de momento) y el libro de galileo “Dos Nuevas Ciencias” acerca de la teoría de la viga en voladizo o cantiliver. LA ERA DE LOS GRANDES MATEMÁTICOS En esta era los matemáticos mencionados adelante, lo mismo que muchos otros, mostraron interés en la mecánica estructural. Hombres como Hooke (1635.1703) Johann Bernoulli (1667-1748), Daniel Bernoulli (1700-1782), Euler (1707-1783), y Lagrnge (1736-1813) establecieron los principios fundamentales de los conceptos de energía. La relación entre esfuerzos y deformaciones, las ecuaciones diferenciales de deformaciones y sus soluciones. Su interés fue más en la teoría matemática de la elasticidad y sus hallazgos, tales como la ley del esfuerzo-deformación de Hooke, la ecuación de las barras vibrantes de Bernoulli, el pandeo de columnas de Euler y las ecuaciones de flexión de placas de Lagrange, contribuyeron sin duda al desarrollo de la teoría de las estructuras. LA ERA DE LOS GRANDES INGENIEROS Esta era puede considerarse como la edad de oro de la ingeniería estructural. Hombres tales como Nvier (1785-1836), Saint-Venant (1797-1886), Clapeyron (1799-1864), Airy (1801-1892), Maxwell (1831-1879), Catigliano (1847-1884), Mohr (1835-1918), y Muller-
Breslau ( 1851-1925) utilizaron exitosamente las formulas matemáticas desarrolladas en la era anterior para la solución de problemas estructurales. Ellos deben considerarse mas como ingenieros que como matemáticos, aunque sus conocimientos en las ciencias matemáticas fueron sobresalientes. Sus descubrimientos y teoremas fueron la base para el desarrollo de la teoría de las estructuras en la era moderna. LA ERA MODERNA A principios del siglo XX hombres como G.A Maney, H. Cross, R.w. Southwelly G. Kani comprendieron que era necesarios métodos más prácticos para analizar las estructuras indeterminadas. Ellos introdujeron, respectivamente, los métodos de pendientedeflexión (1915), distribución de momentos (1932), relajación y distribución de esfuerzo cortante. Cada uno de estos métodos, parte de u7n conjunto de hipótesis que simplifican el cálculo para obtener soluciones, con ciertas aproximaciones, de los problemas estructurales complejos. Estos métodos llegaron a ser muy utilizados en las oficinas de ingeniería (aun hoy en día se sigue utilizando el Método de Cross en las oficinas de diseño) debido a su simplicidad y adaptabilidad para los cálculos manuales. En 1922, K.A. Calisev publicó un artículo que describía un método de aproximaciones sucesivas para el análisis de estructuras reticulares, en el que se determinas aproximaciones sucesivas de las rotaciones de los nudos de una estructura, de esta manera los sistemas de numerosas ecuaciones se pueden resolver con cálculos manuales. Puede decirse que este método fue el predecesor del Método de Cross. El análisis de las estructuras indeterminadas recibió un gran impulso en 1932, año en que Hardy Cross presento su método de distribución de momentos. El hecho de que el artículo escrito por Cross constaba de diez páginas y que iba seguido de una discusión de 146 páginas, ilustra el gran interés que produjo dicho artículo. El interés suscitado
por el artículo es una indicación del impacto que el método de Cross tuvo en el análisis de las estructuras indeterminadas. En 1857, Clapeyron presentó a la Academia Francesa su “Teorema de los tres Momentos” para el análisis de las vigas continuas, en la misma forma que BERTOT la
había publicado dos años antes en las Memorias de la Sociedad de Ingenieros Civiles de Francia, pero sin darle crédito alguno. Puede decirse que a partir de este momento se inicia el desarrollo de una verdadera “Teoría de las Estructuras”. En 1854 el Ingeniero francés BRESSE publicó su libro “Recherches Analytiques sur la Flexion et la Résistance de Pieces Courbés” en que presentaba métodos prácticos para
el análisis de vigas curvas y arcos. En 1867 fue introducida por el alemán WINKLER (1835-1888), la “Línea de Influencia”. También hizo importantes contribuciones a la Resistencia de
Materiales,
especialmente en la teoría de flexión de vigas curvas, flexión de vigas apoyadas en medios elásticos. James Clerk MAXWELL (1830-1879) de la Universidad de Cambridge, publicó el que podríamos llamar el primer método sistemático de análisis para estructuras estáticamente indeterminadas, basado en la igualdad de la energía interna de deformación de una estructura cargada y el trabajo externo realizado por las cargas aplicadas; igualdad que había sido establecida por Clapeyron. En su análisis, presentó el Teorema de las Deformaciones Recíprocas, que por su brevedad y falta de ilustración, no fue apreciado en su momento. En otra publicación posterior presentó su diagrama de fuerzas internas para cerchas, que combina en una sola figura todos los polígonos de fuerzas. El diagrama fue extendido por CREMONA, por lo que se conoce como el diagrama de Maxwell-Cremona.
El italiano BETTI en 1872, publicó una forma generalizada del Teorema de Maxwell, conocida como el Teorema Recíproco de Maxwell-Betti. El alemán Otto MOHR (1835-1918) hizo grandes aportes a la Teoría de Estructuras. Desarrolló el método para determinar las deflexiones en vigas, conocido como el método de las cargas elásticas o la Viga Conjugada. Presentó también una derivación más simple y más extensa del método general de Maxwell para el análisis de estructuras indeterminadas, usando los principios del trabajo virtual. Hizo aportes en el análisis gráfico de deflexiones de cerchas, con el complemento al diagrama de Williot, conocido como el diagrama de Mohr-Williot, de gran utilidad práctica. También obtuvo su famoso Círculo de Mohr, para la representación gráfica de los esfuerzos en un estado biaxial de esfuerzos. Alberto CASTIGLIANO (1847-1884) presentó en 1873 el principio del trabajo mínimo, que había sido sugerido anteriormente por MENABREA, y que se conoce como el Primer Teorema de Castigliano. Posteriormente, presentó el denominado Segundo Teorema de Castigliano para encontrar deflexiones, como un corolario del primero. En 1879 publicó en París su famoso libro Thèoreme de l´Equilibre de Systèmes Elastiques et ses Applications, destacable por su originalidad y muy importante en el desarrollo del análisis hiperestático de estructuras. Heinrich MüLLER-BRESLAU (1851-1925), publicó en 1886 un método básico para el análisis de estructuras indeterminadas, aunque en esencia era una variación de los presentados por Maxwell y Mohr. Le dio gran importancia al Teorema de Maxwell de las Deflexiones Recíprocas en la evaluación de los desplazamientos. Descubrió que la “Línea de Influencia” para la reacción o una fuerza interna de una estructura era, en
alguna escala, la elástica producida por una acción similar a esa reacción o fuerza interna. Conocido como el teorema de Müller-Breslau, es la base para otros métodos indirectos de análisis de estructuras mediante modelos. HARDY CROSS (1885-1959) profesor de la Universidad de Illinois, publicó en 1930 su famoso método de Distribución de Momentos, que puede decirse revolucionó el análisis de las estructuras de marcos continuos de concreto reforzado y puede considerarse uno de los mayores aportes al análisis de estructuras indeterminadas. Este método de aproximaciones sucesivas evade la resolución de sistemas de ecuaciones, como las presentadas en los métodos de Mohr y Maxwell. La popularidad del método decayó con la disponibilidad de los computadores, con los cuales la resolución de sistemas de ecuaciones dejó de ser un problema. Los conceptos generales del método fueron extendidos posteriormente al estudio de flujo en tuberías. Posteriormente se hicieron populares los métodos de KANI y TAKABEYA, también de tipo iterativo y hoy en desuso.
LA ERA CONTEMPORÁNEA Hacia la mitad del siglo XX fueron desarrollados poderosos equipos de cálculo, tales como computadores analógicos y digitales, y los ingenieros fueron impulsados a establecer métodos que requieran menos suposiciones y restricciones en el planteamiento de los problemas, logrando mejores resultados. Fue introducido el llamado Método Matricial de análisis de estructuras. Las ideas en el método matricial no son nuevas; están muy ligadas con los principios establecidos por Castigliano, Maxwell y Muller-Breslau. La única razón para que el método no fuera completamente desarrollado y utilizado en el último siglo se debe a que este conlleva la solución de numerosas ecuaciones simultaneas. Aun para una
pequeña y sencilla estructura, el número de ecuaciones simultáneas podría ser tal que la solución sin computador, no sería posible. Es difícil decir quién fue el primero en introducir los métodos matriciales en el análisis de las estructuras. Desde luego, ninguno surge con la seguridad de Castigliano o de Hardy Cross en otros métodos. Como en otras innovaciones, las mismas ideas parecen habérsele ocurrido simultáneamente podría ser tal que la solución sin computador, no sería posible. Es difícil decir quién fue el primero en introducir los métodos matriciales en el análisis de las estructuras. Desde luego, ninguno surge con la seguridad de Castigliano de Hardy Cross en otros métodos. Como en otras innovaciones, las mismas ideas parecen habérsele ocurrido simultáneamente a m diferentes autores. Al parecer los computadores se crearon de inmediato métodos de análisis adecuados para el cálculo en computador, e más usado de ellos es el método directo de las rigideces, creado en la década de 1950. Al principio de dicha década. Samuel Levy sugirió algunas de las ventajas del método de desplazamientos, usando coeficientes de influencia para el análisis de las estructuras de los aviones. Al mismo tiempo, varios investigadores estaban elaborando una variedad de métodos para el análisis con base en métodos matriciales, con el objeto de aprovechar la capacidad de los computadores. Este confuso conjunto de métodos se consolido algo con el tiempo. En 1954 Turner, Clough, Martin y Topp presentaron el primer tratamiento del método directo de las rigideces, demostraron que la matriz de rigideces se puede ensamblar superponiendo las rigideces de los elementos individuales. La dualidad de los métodos de las fuerzas o la flexibilidad y de los métodos de los desplazamientos o rigidez, fue demostrada por Argyris y Kelsey en 1960 en su tratado de los teoremas de energía. Desde entonces, se ha obtenido una gran unidad de los diversos procedimientos.
MÉTODOS DE ANÁLISIS
Los principios básicos de la estática fueron descubiertos desde el principio con gran exactitud y han servido de base a todos los métodos de análisis; sin embargo, la laboriosidad que representan los cálculos matemáticos que se requieren para relacionar las cargas externas que actúan sobre una estructura con las reacciones que provocan en los apoyos y con las fuerzas internas que se desarrollan en sus miembros, fue lo que dio lugar a la búsqueda de diversos métodos que facilitasen su utilización. Así se han introducido los métodos aproximados que producen resultados muy cercanos a los reales y generalmente mayores que estos; el inconveniente se presenta en los nodos de los pórticos, porque, si existe un verdadero valor del momento en el nodo, cuando se obtiene en las vigas un momento mayor que éste, en las columnas resultará menor, ya que siempre se tienen que cumplir las leyes del equilibrio, en consecuencia, el momento en la columna no está del lado de la seguridad; por lo tanto, se debe mantener la práctica prudente de mejorar las cargas cuando se usen estos métodos. Las cargas permanentes se pueden determinar con certeza, en cambio las cargas variables siempre serán inciertas, lo cual introduce en los cálculos una imprecisión; lo cual indica que no tiene sentido realizar largas y complicadas operaciones para tratar de obtener resultados precisos, si los datos no lo son. Ahora bien, si se cuenta con herramientas que faciliten el manejo de los algoritmos, entonces se justifica la aplicación de un método de análisis riguroso por laborioso que éste sea. La única ventaja que tendría este método es que no se suma su propia deficiencia con la incertidumbre de las cargas. El punto de aplicación de las cargas es un factor importante que afecta la precisión de los resultados; esto exige un interés especial por parte del calculista en estudiar cuidadosamente la distribución de las cargas y evitar transformar las que son concentradas en repartidas, porque éstas nunca son equivalentes, si satisfacen las solicitaciones de momento, no será así con las de corte y viceversa. Con los recursos que existen actualmente de la computación electrónica y los programas computarizados que han sido elaborados para el análisis de pórticos, no se
justifica incurrir en deficiencias derivadas de la estimación del sistema de cargas de diseño, ya que dichos programas están concebidos para introducir todas las condiciones de carga con facilidad. El tiempo que un calculista invertía anteriormente en efectuar los cálculos de una edificación, utilizando reglas de cálculo o máquinas rudimentarias de calcular, hoy lo puede emplear con ventaja en hacer un buen estudio del sistema de cargas que se aproxime lo mejor posible a las que actuarán realmente durante la vida útil del edificio; sólo así serán más exactos los cálculos realizados con el computador, de lo contrario, si seguimos aplicando las mismas hipótesis, los resultados seguirán siendo imprecisos.
TEORÍA CLÁSICA El primero de los métodos de cálculo que se usó para determinar las secciones de los diferentes elementos estructurales, fue el que se basó en las cargas admisibles. Se establecieron unos coeficientes que afectaban la capacidad resistente de los materiales, limitando el trabajo del concreto hasta un 45% de su capacidad a la rotura y el del acero hasta un 50% (MOP 1967). Estos valores surgieron de la llamada teoría clásica, que se apoyaba en la hipótesis del comportamiento elástico de los materiales, y que seguían la ley de Hooke. Se sabe que el concreto no es elástico, pero los ensayos han demostrado que, para niveles bajos de carga, las deformaciones son sensiblemente proporcionales a los esfuerzos. Esto permite efectuar un análisis lineal de la pieza. La linealidad en matemática es una bendición, porque nos permite predecir situaciones aplicando ecuaciones y fórmulas, es decir, se puede tener un conocimiento previo del futuro comportamiento de una pieza cuando ésta sea sometida a la acción de una fuerza. Si no existe una relación lineal entre fuerza y deformación, el análisis resulta más complejo. La evolución de los métodos de cálculo para el diseño estructural ha sido mucho más marcada que la de los métodos de análisis, porque, cuando se comenzó a utilizar el concreto como material de construcción, se conocía muy poco sobre sus propiedades físicas y elásticas. Se trató como un material elástico, pero se sabía que no lo era. Por esta razón se limitó la capacidad resistente de las piezas a valores tan bajos. La relación entre los módulos de elasticidad del acero y del concreto (MOP 1967) incluida en todas las fórmulas de la teoría clásica, introduce una notable imprecisión en los cálculos, ya que el módulo de elasticidad del concreto no existe puesto que este material no es elástico, sin embargo, este artificio simplificó los cálculos y facilitó el diseño durante muchos años porque se convertía así un material realmente heterogéneo en otro ideal homogéneo que cumplía con la ley de Hooke; transformándose de este modo un problema no lineal en otro lineal. Desde 1904 hasta nuestros días se han realizado numerosos ensayos con piezas de concreto armado sometidas a compresión, tracción, flexión y corte, que han
contribuido a clarificar el comportamiento de este material bajo la acción de diferentes cargas. En 1950 ya se hablaba del método de rotura; pero fue en 1956 cuando las normas del American Concrete Institute (ACI) lo establecieron por primera vez, dejando como método alternativo, el clásico (ACI 1971). Por otra parte, los métodos de análisis que se estaban aplicando siempre han dado resultados fiables; el calculista sabía cuál era la incidencia de las cargas en las piezas estructurales, por lo tanto estaba consciente de las limitaciones y podía tomar sus precauciones. Además, para el cálculo de estructuras de poca altura, que eran las más frecuentes antes de los años 60, se usaba generalmente el método de Cross, que permite alcanzar la precisión que se desee. Y para estructuras más altas se usaban métodos aproximados de los cuales se conocía también el grado de aproximación, y los calculistas estimaban valores de las cargas un poco más altos que los esperados. Pero ahora, cualquier método, aún los más laboriosos, se pueden computarizar, lo cual hace aún más fiables sus resultados, naturalmente, siempre que los programas y los datos de salida se interpreten correctamente. El conocimiento que se venía adquiriendo del comportamiento de los materiales debería haberse traducido en una reducción del factor de seguridad, es decir, en un incremento de los coeficientes de trabajo de los materiales; sin embargo, no fue así. Durante el período que se estuvo aplicando la teoría clásica se mantuvieron constantes los coeficientes de reducción 0,45 para la resistencia del concreto y 0,50 para el acero. Sólo hubo algunas variaciones para el coeficiente de trabajo del concreto que se empleaba en columnas, que inicialmente era de 1/3 (MOP 1967) y luego se empleó también 0,45. Esta penalización mayor para el concreto en columnas se debió a que en un principio no se tomaba en cuenta la flexión en las columnas y sólo se analizaban para que resistieran carga axial. Ya se sabe que esta condición no es real, puesto que siempre estará presente la flexión en una columna, bien sea por excentricidades en las cargas, o por momentos en los extremos de la pieza provenientes de las vigas que concurren al nodo o por efecto de pandeo en columnas largas. Si se analiza la situación que se ha planteado, realmente el criterio para determinar estos coeficientes no fue el de suministrar un factor de seguridad, sino el de mantener unas condiciones de trabajo tales que la pieza se comportase elásticamente. Lógicamente, al avanzar en los estudios experimentales, lo que se estaba ratificando era la característica inelástica del concreto, inclusive para niveles bajos de carga, por consiguiente, la respuesta no podía ser la de incrementar los coeficientes de trabajo. En el fondo, se estaba manteniendo un factor de seguridad elevado.
MÉTODO DE CROSS
El método de Hardy Cross es esencialmente el método de Jacobi aplicado a las fórmulas de desplazamiento de análisis estructural. El método de Cross fue desarrollado por el ingeniero de estructuras estadounidense Hardy Cross. El método de Cross hizo posible el diseño eficiente y seguro de un gran número de construcciones de concreto armado durante mucho tiempo. El Método de Distribución de Momentos o Método de Cross, es un método que sirve para determinar los momentos flexiones en las secciones o cortes más interesantes de una viga, claro o pórtico. Este método no se utiliza solo en Estructuras, tiene aplicaciones en el área de Hidráulica y en la topografía (Compensación de redes de nivelación), entre otras. FORMA DE APLICAR: El cálculo es relativamente sencillo, sin que aparezcan en su desarrollo integraciones complejas ni sistemas de ecuaciones complicados. Una vez comprendido el mecanismo del método, las operaciones matemáticas se reducen a sumas, restas y divisiones. Además, no exige recordar nada de memoria. Si se dispone de tablas de momentos, rigideces y factores de transmisión, puede resolverse cualquier estructura. Si, como es frecuente, se trata de estructuras con piezas de sección constante en cada vano y con cargas uniformemente distribuidas, ni siquiera es necesario el empleo de tablas. Pero para lo anterior es importante saber los momentos de empotramiento perfecto y reacciones de las vigas, esto según el tipo de carga y formas de los apoyos. Para la aplicación del método de Cross deben seguirse los siguientes pasos:
Momentos de “empotramiento” en extremos fijos: son los momentos
producidos al extremo del miembro por cargas externas cuando las juntas están fijas. Rigidez a la Flexión: la rigidez a la flexión (EI/L) de un miembro es representada como el producto del Módulo de Elasticidad (E) y el segundo momento de área, también conocido como Momento de Inercia (I) dividido por la longitud (L) del
miembro, que es necesaria en el método de distribución de momentos, no es el valor exacto pero es la razón aritmética de rigidez de todos los miembros. Factores de Distribución: pueden ser considerados como las proporciones de los momentos no balanceados llevados por cada uno de sus miembros. Factores de Acarreo o Transporte: los momentos no balanceados son llevados sobre el otro extremo del miembro cuando la junta es liberada. La razón de momento acarreado sobre el otro extremo, al momento en el extremo fijo del extremo inicial es el factor de acarreo. Convención de Signos: un momento actuando en sentido horario es considerado positivo. Esto difiere de la convención de signos usual en ingeniería, la cual emplea un sistema de coordenadas cartesianas.
MÉTODO DEL MOMENTO TOPE
El método del Momento Tope fue un procedimiento simplificado que se usó en España y que apareció por última vez en la Norma EH - 91 publicada por Real Decreto 1039/1991, el 28 de Junio (Ministerio de Fomento 1995). Esta Norma estuvo vigente hasta que fue derogada por la Norma EHE publicada por Real Decreto 2661/1998, el 11 de Diciembre (Ministerio de Fomento 1999). Aunque este método no se ha utilizado en Latinoamérica, que es el ámbito de este trabajo, sin embargo, se considera conveniente incluirlo con fines comparativos. El momento tope se calcula adoptando la distribución rectangular de esfuerzos en el concreto y el diagrama bilineal en el acero. Para el caso del diseño balanceado, definido por el agotamiento simultáneo del concreto y del acero, la profundidad ylím del diagrama de compresión es el 75% de la profundidad xlím del eje neutro (fig. 1). Estos valores se denominan límites, porque determinan el tipo de falla; si la profundidad del bloque en compresión es menor que el límite, significa que el porcentaje de acero es menor o igual al balanceado, la viga está subrreforzada y la falla se producirá en tracción. En caso contrario, el porcentaje de acero será mayor que el balanceado, la viga resultará sobrerreforzada y la falla se producirá en compresión.
Fig. 1 Profundidad del diagrama de compresión y distribución lineal de deformaciones
METODO DE AREA DE MOMENTOS
Se le llama así, dado que el método se basa en dos teoremas relacionados con el área del diagrama de momentos flexionantes. Este método de área-momento es válido solo para vigas elástico lineales con pendientes pequeñas. Desde el punto de vista práctico, el método se limita a encontrar deflexiones y ángulos de rotación en puntos específicos sobre el eje de una viga. 1. Teorema 1: Entender la relación de la curvatura con la pendiente de la elástica. Establecer las condiciones iniciales, de giros, y utilizar medios diferenciales para el cálculo de la pendiente. 2. Teorema 2: Establecer una relación entre la curva y la deflexión. Calcular el desplazamiento vertical de la elástica usando el diagrama de momentos.
MARCO TEÓRICO Este método se basa en la relación que existe entre el momento M y la curvatura y proporciona medios prácticos y eficientes para calcular la pendiente y la deflexión de la curva elástica de vigas y pórticos. El método tiene dos teoremas. El primero relaciona la curvatura con la pendiente de la curva elástica y el segundo la curvatura con la deflexión. De la ecuación general de flexión tenemos:
Integrando:
Tengamos presente
que curvatura de un elemento viga.
TEOREMA 1: El área bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elástica.
: Ángulo tangente en B medido desde la tangente en A. Se mide en radianes. Áreas positivas indican que la pendiente crece.
TEOREMA 2:
Por teoría de los ángulos pequeños tenemos: , si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la desviación vertical entre las tangentes en A y B.
Momento de primer orden con respecto a A del área bajo la curva de entre A Y B. El teorema es: “La desviación de la tangente en un punto A sobre la curva elástica con
respecto a la tangente prolongada desde otro punto B, es igual al momento del área bajo la curva entre los puntos Ay B con respecto a un eje A. Se cumple siempre cuando en la curva no haya discontinuidades por articulaciones. Esta desviación siempre es perpendicular a la posición original de la viga y se denomina flecha.
MÉTODO DE TRES MOMENTOS El ingeniero francés Clapeyron en 1857; enunció por primera vez la ecuación fundamental de los tres momentos. “La ecuación de los tres momentos es aplicable a
tres puntos cualquiera de un viga, siempre que no haya discontinuidades, tales como articulaciones, en esa parte de la estructura”. Entonces, este método sirve para hallar los momentos en los apoyos de una viga hiperestática, o en puntos característicos o notables de la viga. Al aplicar la ecuación fundamental de los tres momentos, a tres puntos de apoyo consecutivos i, j, k, los términos del corrimiento del segundo miembro de la ecuación serán nulos o iguales a movimientos conocidos de los puntos de apoyo; obteniendo de esta manera una ecuación que contiene, como únicas incógnitas, a los momentos en los apoyos. Esto significa, que podemos escribir una ecuación en forma independiente, para tres puntos de apoyo consecutivos en una viga continua. De esta manera, se llega a un sistema compatible “n” ecuaciones independientes con “n”
incógnitas que son los movimientos en los apoyos, los cuales se hallan resolviendo el sistema. Cuando en una estructura continua, tenemos un apoyo extremo empotrado, la forma de salvarlo lo veremos en los ejercicios de aplicación. Vigas continuas: Cuando se trabajan con vigas con más de un tramo, las reacciones no pueden ser calculadas estáticamente. Una forma de resolverlas es aplicando el Teorema de los Tres Momentos, el cual puede ser utilizado también para resolver vigas de un solo tramo. Esta ecuación puede ser expresada de la siguiente manera: Los términos: Pueden obtenerse fácilmente de la siguiente tabla, que agrupa los 6 tipos de cargas básicos. Estos tipos básicos de carga pueden combinarse para obtener tipos más complejos, sumándose o restándose. Si se va a trabajar con más de dos tramos, deben escribirse una ecuación de Tres Momentos por cada par de tramos consecutivos. Por ejemplo: Tramos 1 - 2 Tramos 2 - 3 Tramos 3 - 4
En este caso tendríamos 3 ecuaciones con 5 incógnitas (M1, M2, M3, M4 y M5). Generalizando, siempre vamos a tener dos incógnitas más que las ecuaciones de Tres Momentos que vamos a construir. Pero los momentos en los extremos pueden ser hallados de acuerdo a los siguientes criterios: 1. Si tenemos un apoyo simple, el momento en dicho extremo será igual a cero. Para el diagrama de arriba, M1 = 0 y M5 = 0. 2. Si tenemos un empotramiento, se puede construir una ecuación adicional de Tres Momentos, creando un tramo virtual en el que todos los valores sean iguales a cero. Para el diagrama de arriba, si suponemos que el apoyo 5 es un apoyo empotrado, podríamos escribir la siguiente ecuación de Tres Momentos, en donde todos los términos con subíndice cero valen cero: O sea: 3. Si tenemos un voladizo, el momento en tal extremo seguirá valiendo cero. Además, el momento siguiente al de dicho extremo será igual a la suma de los productos de las cargas por su brazo de palanca a este último apoyo. M1=0 y M2=PL1
METODO DE LOS TRES MOMENTOS (ECUACION DE CLAPEYRON) Este método se emplea solo en vigas de varios tramos apoyados en una o varias secciones intermedias y cuyos extremos son apoyos simples 1. Transformamos la viga En caso de existir algún voladizo o empotramiento, transformamos la viga para poder aplicar la ecuación. a. Voladizo: Lo sustituimos por la fuerza vertical y el momento flector equivalente en el apoyo más próximo. b. Empotramiento: Lo sustituimos por un apoyo simple y un tramo adicional simplemente apoyado de inercia infinita y longitud genérica “L”
2. Enumeramos apoyos (empezando por el 0) y tramos (empezando por el 1) 3. Descomponemos la viga en tramos simplemente apoyados despreciando los momentos que aparecen en los puntos de corte. 4. Obtenemos los diagramas de momentos de cada tramo baja apoyado, considerando únicamente las cargas exteriores que realmente están aplicadas en ese tramo. a. Obtenemos el área de ese diagrama de momentos b. Definimos la posición del centro de gravedad (c.d.g) de ese área. Caso 1. Carga puntual. Caso 2. Carga uniformemente repartida. 5. Aplicamos la ecuación de los tres momentos en los apoyos intermedios apoyo “n” Apoyo “n”
6. Obtenemos un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son los momentos en los apoyos intermedios. 7. Calculo las reacciones en los apoyos planteando las ecuaciones de equilibrio en cada tramo real, con todas las fuerzas que actúan en él y teniendo en cuenta los momentos que aparecen debido al corte. 8. Dibujo de los diagramas de momentos y cortante sobre la viga real.
MÉTODO DE LA CARGA UNITARIA
El método de carga unitaria es la más útil y puede usarse para determinar deformaciones en cualquier lugar de una estructura, que sean causadas por cualquier tipo o combinación de cargas. Este método es derivado del principio del trabajo virtual. El método nos dice en resumen que el trabajo externo virtual es igual que el trabajo interno virtual. El trabajo externo virtual es realizado por las fuerzas externas virtuales debido a los desplazamientos externos reales. El trabajo interno virtual es realizado por las fuerzas internas virtuales debido a los desplazamientos internos reales.
En donde las fuerzas internas reales representan los elementos mecánicos de la carga unitaria Los desplazamientos internos reales representan los elementos mecánicos de las cargas reales.
La ecuación general es = 0LNuNrAEdx + 0LCKVuVrAGdx + 0LMuMrEIdx + 0LTuTrGJdx
∆
Llevar a cabo este método es sencillo, solo basta con seguir unos pasos. 1. Primero de la viga original calculamos las reacciones, y los elementos mecánicos. 2. De la misma viga suponemos una deformación (esto se hace dependiendo de las cargas e imaginando que sucede) solo para tener idea de donde buscaremos el desplazamiento. 3. A la viga le quitamos todas las cargas, y le dibujamos una carga unitaria o un par en el lugar en el que deseamos encontrar la deformación o el Angulo de rotación.
4. En la nueva viga con carga unitaria encontramos las reacciones y los elementos mecánicos unitarios. 5. Ya con los elementos mecánicos de las cargas y los elementos mecánicos unitarios procedemos a usar la fórmula de la carga unitaria. 6. Dependiendo de que nos pidan calcular es la parte de la fórmula que usaremos 7. Si nos piden deformación axial solo usaremos la parte de la ecuación = 0LNuNrAEdx
∆
8. Si nos piden la deformación por flexión en cualquier parte de la viga usaremos: = 0LCKVuVrAGdx
∆
9. Si nos piden el ángulo de la deformación en cualquier lugar de la viga usaremos: θ = 0LMuMEIdx
10. Y si nos piden varios pues se usa la formula completa, dependiendo lo que nos pidan. Este método es básicamente un procedimiento.
METODO DE KANT
Método tradicional para analizar pórticos con desplazamientos mediante distribución de momentos, se vuelve sumamente complicado para estructuras de muchos grados de libertad como son los edificios para oficinas o apartamentos corrientes. Su programación aunque no es difícil, se tiene el inconveniente de consumir mucha memoria de computador.
TEOREMA DE CASTIGLIANO En 1879 Alberto Castigliano, ingeniero italiano de ferrocarriles, publicó un libro donde escribía un método para determinar el desplazamiento de un cuerpo, sólo se aplica a cuerpos de temperatura constante , de material con comportamiento elástico lineal; es decir nos ayuda a calcular las deflexiones producidas en una viga a causa de una determinada carga que debe soportar y por ende nos ayuda a elegir el mejor material para la construcción de estás según su resistencia y para que propósito la necesitamos. Si se va a calcular el desplazamiento en un punto, el teorema establece que ese desplazamiento es igual a la integral calculada entre cero y la longitud de la barra, del momento flector por la derivada del momento flector respecto a una fuerza P todo entre el módulo de elasticidad del material por el momento de inercia del área transversal, respecto a x. =0LMfdMfdPdxEI
∆
Donde: ∆ = desplazamiento del punto causado por las cargas reales que actúan sobre la viga P= Fuerzas externas de magnitud variable aplicada a la viga, en dirección del desplazamiento Mf= Momento interno en la viga, expresado en función de x, y causado tanto por la fuerza P como por las cargas de la viga E= Módulo de elasticidad del material I= Momento de inercia del área transversal, calculado respecto al eje neutro Al hablar de momento interno de una viga me refiero al momento flector en cualquier punto a lo largo de esta; y sabemos que: momento de una fuerza=fuerza x distancia Pues el momento flector nos es una excepción, pero en particular la fuerza aplicada, es la fuerza cortante producida por una carga w y todas las fuerzas que actúan sobre la viga; por lo tanto, la razón de cambio del momento flector en un determinado punto es: Mf = abVdx Donde: Mf= momento flector V= fuerza cortante Se dice que una fuerza es cortante, cuando está produciendo presión (o una carga) y
provoca el rompimiento de un objeto, en este caso de una viga; sabemos que: presión=fuerza área; Pero al hablar de un objeto lineal como una viga: presión= fuerzadistancia En nuestro caso sería: -carga= fuerza cortantedistancia Entonces: fuerza cortante=-carga x distancia La razón de cambio de la fuerza cortante en cualquier punto es igual al negativo de la carga (por tener dirección hacia abajo) distribuida aplicada en ese mismo punto. V=ab-wdx V= Fuerza cortante W= Carga
MÉTODO MATRICIAL El método matricial de la rigidez es un método de cálculo aplicable a estructuras hiperestáticas de barras que se comportan de forma elástica y lineal. En inglés se le denomina direct stiffness method (DSM, método directo de la rigidez), aunque también se le denomina el método de los desplazamientos. Este método está diseñado para realizar análisis computarizado de cualquier estructura incluyendo a estructuras estáticamente indeterminadas. El método matricial se basa en estimar los componentes de las relaciones de rigidez para resolver las fuerzas o los desplazamientos mediante un ordenador. El método de rigidez directa es la implementación más común del método de los elementos finitos. Las propiedades de rigidez del material son compilados en una única ecuación matricial que gobierna el comportamiento interno de la estructura idealizada. Los datos que se desconocen de la estructura son las fuerzas y los desplazamientos que pueden ser determinados resolviendo esta ecuación. El método directo de la rigidez es el más común en los programas de cálculo de estructuras (tanto comerciales como de fuente libre). Métodos de cálculo matricial En términos generales, existen dos procedimientos genéricos en mecánica de medios continuos de solidos deformables para poder establecer el sistema completo de ecuaciones dependiendo del orden en que las vayamos aplicando. Las ecuaciones que podemos poner en juego son las ecuaciones de equilibrio, las de comportamiento y las de compatibilidad del problema. Cuando partiendo de las ecuaciones de equilibrio las utilizamos para incorporarlas a las de comportamiento y final mente el resultado lo introducimos en las ecuaciones de compatibilidad, estamos aplicando el método denominado de la compatibilidad o de la flexibilidad. Hablando en términos de las variables implicadas, en este caso llegamos a formular los desplazamientos en función de las cargas aplicadas. Si seguimos el procedimiento inverso, inicialmente relacionamos de- formaciones y desplazamientos aplicando las ecuaciones de compatibilidad para posteriormente aplicar las leyes de comportamiento y finalmente las ecuaciones de equilibrio, en ese caso el método se denomina de la rigidez o del equilibrio. En la Figura 1.4.1 se esquematiza breve- mente este proceso. En cálculo matricial, tal y como se verá a continuación en un ejemplo, es posible aplicar ambos procedimientos. Sin embargo, tal y como se desarrollara en los capítulos siguientes, únicamente es posible llegar a un procedimiento automático y
sistematizado con el método de la rigidez, siendo este por tanto el que se ha implantado y generalizado.
El objetivo de los métodos matriciales Excepto en la estructuras más simples, los valores de los esfuerzos y movimientos no puedes hallarse exclusivamente sustituyendo números en formulas algebraicas conocidas. Se requieren cálculos más complejos, y en muchos casos el ingeniero se encuentra con una amplia gama de posibles procedimientos. La elección del método a seguir esta normalmente condicionada, en parte, por el grado de aproximación requerido, y, en parte, por su práctica y sus preferencias. Cuando compara métodos que son igualmente precisos, la elección suele basarse en dos consideraciones: el trabajo numérico que llevan consigo y la facilidad con que puedan detectarse y rectificarse los posibles errores. En general, dará preferencia a un método en el que pueda hacer uso de la experiencia adquirida en el análisis de estructuras semejantes, especialmente si dicho método le permite emplear su capacidad de juicio ingenieril para efectuar aproximaciones y reducir pasos intermedios. Otro factor que puede guiar la elección, es la preferencia de muchos ingenieros por emplear cantidades que presente un significado físico directo. Este es uno de los atractivos de métodos tales como los de distribución de momentos (iterativos); a lo largo de todo el cálculo, el ingeniero siente que está llevando a cabo un proceso que tiene una realidad física. En tales métodos los errores pueden a menudo detectarse, más por aplicación del sentido común que por un estricto criterio matemático, ya que los números representan términos cuyas magnitudes son conocidas, al menos aproximadamente por el ingeniero. Todas estas consideraciones están basadas en el supuesto que todo el trabajo, incluyendo el análisis numérico, es realizado por el propio ingeniero- normalmente una
persona con considerables conocimientos del comportamiento estructural, pero no demasiado gusto por el proceso meramente numérico o matemático. Sin embargo, si se utiliza un computador para llevar acabo dicho trabajo numérico, los criterios por los cuales un método debe juzgarse si es bueno o malo deben ser revisados. La cuestión ahora no es decidir si a un ser humano le resultara el cálculo tedioso, sino si el método es adecuado para ser fácilmente adaptado a una máquina. Si esto último sucede, entonces el método es bueno, aunque el número total de operaciones realizadas sea considerablemente superior al de otro método de menor facilidad de mecanizar. De esto se deduce que el desarrollo de los métodos de cálculo de estructuras en los que el trabajo numérico puede ser el hecho convenientemente en un computador, lleva a procedimientos a la vez sistemáticos y generales. El objetivo es, pues, no disminuir el número total de operaciones aritméticas, sino conseguir métodos que puedan aplicarse a muchos tipos diferente de estructuras y que utilicen el máximo posible de procedimientos numéricos típicos para los cuales ya existen rutinas en los computadores. Para llevar a cabo estos fines, los conceptos de algebra matricial son extremadamente útiles.
CONCLUSION Podemos Concluir que:
En el transcurso de la historia el análisis estructural ha evolucionado de una manera muy impresionante hasta la actualidad, donde se siguen estudiando y realizando descubrimientos importantes.
La deformación de una viga es producida por la carga que tiene que soportar y de las demás fuerzas que se aplican sobre ella.
El teorema de Castigliano nos da el valor con más aproximado de la deformación de una viga.
El material con el que se construye una viga es muy importante, puesto que depende de este cuán resistente puede ser y para qué función la queremos.
INFOGRAFIA
http://ingcivil-2008.blogspot.com/2008/05/mtodo-de-area-demomentos.html http://www.buenastareas.com/ensayos/Carga-Unitaria/32531392.html http://www.arqhys.com/arquitectura/ingenieria-historia.html http://es.scribd.com/doc/90454985/Historia-Del-Analisis-Estrutural http://prezi.com/tvhywlzj_lru/edit/#2_13696309 http://www.buenastareas.com/ensayos/M%C3%A9todo-DeCross/6492593.html http://www.buenastareas.com/ensayos/Metodo-De-Los-TresMomentos/1549630.html http://www.buenastareas.com/ensayos/MetodoDe-Los-Tres-Momentos/1549630.html http://www.buenastareas.com/ensayos/Teorema-DeCastigliano/1228475.html http://www.buenastareas.com/materias/ingenieria-y-kant/0
ANEXO Ejemplo de los métodos para el análisis estructural
