Universidad Dr. José Matías Delgado Facultad de Ingeniería Industrial
Investigación de Operaciones 2
“Siste mas de Colas”
Alumno s Alejandra María Velasco Barrera Arturo Ricardo López Rodas Carlos Alberto Viche Romero Patricia Stephanía Alonso García Rene José Jardín Alberto
Catedrátic o 1
Ing. René Linares
Fecha de Entrega Jueves, 18 de agosto 2011
2
Índice Introducción al Sistema de Colas............................................................................................ 4 Los elementos de un modelo de colas. .............................................................................. 4 La Distribución Exponencial................................................................................................ 5 CAPITULO 1..................................................................................................................... 6 1.1 Modelo de Colas de Poisson Generalizado. ..................................................................... 6 1.1.1 Concepto.................................................................................................................... 6 1.1.2Fórmulas. .............................................................................................................. ...... 7 1.1.3Casos de Aplicación. ................................................................................................... 8 CAPITULO 2.................................................................................................................... 12 2.1 Colas Especializadas de Poisson. .................................................................................... 12 2.1.1 Concepto.................................................................................................................. 12 2.2 Notación General de la Situación General de Colas. ...................................................... 13 2.2.1Concepto. ............................................................................................................. .... 13 2.3 Medidas de Rendimiento de Estado Estable. ................................................................. 15 2.3.1 Concepto.................................................................................................................. 15 2.3.2 Fórmulas. ................................................................................................................. 15 2.3.3 Casos de Aplicación. ............................................................................................... 17 2.4 Modelo de Un Solo Servidor........................................................................................... 20 3
2.4.1 Concepto.................................................................................................................. 20 2.4.2 Fórmulas y Casos de Aplicación............................................................................... 20 2.5 Modelo de Servidores Múltiples. ................................................................................... 25 2.5.1 Concepto.................................................................................................................. 25 2.5.2 Fórmulas y Casos de Aplicación............................................................................... 25 2.6 Modelo de Servicio de Máquinas. .................................................................................. 32 2.6.1 Concepto.................................................................................................................. 32 2.6.2 Fórmulas. ................................................................................................................. 32 2.6.3Casos de Aplicación. ................................................................................................. 32 2.7 Fórmula de Pollaczeek-Khintchine (PK)......................................................................... 35
4
2.7.1 Concepto.................................................................................................................. 35 2.7.2Fórmula................................................................................................................. .... 35 2.7.3 Casos de Aplicación. ........................................................................................... 35 Conclusión ....................................................................................................................... ..... 38 Bibliografía........................................................................................................................ .... 39
5
Introducción al Sistema de Colas Un sistema de colas es aquel que tiene como propósito cuantificar el fenómeno de espera por medio de colas, esta cuantificación la logra mediante medidas representativas como la eficiencia, longitud promedio de cola, el tiempo promedio de espera y la utilización de las instalaciones. Un análisis de Colas es funcional a la hora de optimizar los costos, es decir, que la suma de los costos de ofrecer cualquier servicio y el tiempo de esperar por dicho servicio, se reduzcan al mínimo.
Los elementos de un modelo de colas. Los principales elementos son el cliente y el servidor. Existen otros elementos como la fuente de clientes y la instalación, que es en donde los clientes pueden recibir servicio inmediato o esperar en la línea de espera. La fuente puede ser finita o de infinita. Para realizar un buen análisis de cola se representa el proceso de llegada a las instalaciones como tiempo entre llegadas de los clientes, y el servicio brindado se describe con el tiempo de servicio por cada cliente; ambos tiempos pueden ser probabilísticos o determinísticos. A la hora de efectuar un análisis de colas, el tamaño de la cola desempeña un papel importante
ya que
este puede ser finito o
infinito. A su vez, la disciplina de cola es fundamental ya que con ella se determinara la manera en la cual los clientes serán seleccionados para ser atendidos, la más común es la de “primero llegar, primero en servirse” (PLPS), pero existen otras como: •
Último en Llegar, Primero en Servirse (ULPS)
•
Dar Servicio en Orden Aleatorio (SEOA)
•
Disciplina en general o cualquier tipo de disciplina (DG)
•
Que los clientes se coloquen en la cosa por orden de prioridad.
6
El comportamiento del cliente humano juega un papel importante ya que este se puede saltar de una cola a otra o rehusar a utilizar tal recurso tomando en cuenta lo anterior y además el tipo de servicios que se ofrezcan,
se debe seleccionar el tiempo de diseño ideal para la
instalación ya que estos diseños pueden estar en paralelo, en serie o en red. Una vez explicados los elementos del análisis de colas, se puede hablar del papel que juega la distribución exponencial en el modelo de colas, ya que tiene una relación directa con la distribución de Poisson que será utilizada para resolver problemas del modelo de colas de una forma eficaz y comprensible.
La Distribución Exponencial Por lo general la llegada de los clientes se hace de manera aleatoria es decir, que la ocurrencia de un evento no está influida por el tiempo que haya transcurrido desde la ocurrencia del evento anterior. Es por eso que los tiempos aleatorios entre llegadas se puede describir con la distribución exponencial de la siguiente manera:
Al hecho que la distribución exponencial sea totalmente aleatoria y las probabilidades de ocurrencia sean totalmente independientes al tiempo desde la última ocurrencia se le llama amnesia o falta de memoria de la exponencial. La distribución exponencial
se utiliza para describir el tiempo entre
llegadas en el modelo de nacimientos puros (solo permite llegadas) y el tiempo entre salidas en el modelo de muerte pura (solo se permiten salidas). Por otro lado, la distribución de Poisson establece que los tiempos entre llegadas y de servicio tienen una distribución exponencial.
7
CAPITULO 1 1.1 Modelo de Colas de Poisson Generalizado. 1.1.1 Concepto. Este modelo se basa en el comportamiento a largo plazo también conocido como estado estable, este estado se logra luego de que el sistema de colas ha funcionado por un tiempo suficientemente largo. El análisis que se realiza difiere con el comportamiento transitorio, que se sostiene durante el inicio del funcionamiento del sistema. Para razones de estudio, se analizan los sistemas de cola bajo un estado estable. En el modelo generalizado se supone que las frecuencias de llegada y de salida dependen del estado, o sea que dependen de la cantidad de clientes en la instalación. Para la correcta utilización de la ecuación de Poisson se definen la siguiente notación:
n= Cantidad de clientes en el sistema (en la cola y en el servicio). λn= Frecuencia de llegada cuando hay n clientes en el sistema. µn= Frecuencia de salida cuando hay n clientes en el sistema. Pn= Probabilidad de estado estable de que haya n clientes en el sistema.
Para tener los datos correctos hay varias consideraciones a tomar, como las siguientes:
1 Las probabilidades Pn se calculan utilizando el diagrama de frecuencia de transición mostrado en la siguiente figura:
λn-1
λ0 λ1
0 2
1
…
λn
n-1
8
n
n+1
…
µ1 µn
µn+1 µ2
9
2
Para n > 0 el estado n solo puede cambiar a dos estados posibles: • •
µn n+1: cuando hay una llegada con frecuencia λn n-1: cuando hay una salida con frecuencia
3
El estado 0 solo puede cambiar al estado 1 cuando hay una llegada con frecuencia λ0
4
no se puede definir sistema está vacío.
µn ya que no pueden existir
salidas si el
5 En condiciones de estado estable, para n>0 las tasas esperadas del flujo de entrada y salida del estado n deben ser iguales.
1.1.2Fórmul as. Tomando en cuenta el diagrama de frecuencia de transición mostrado anteriormente, la condición de estado estable y considerando a n > 0, se pueden deducir las formulas a utilizar en el Modelo de Colas de Poisson Generalizado. -
Tasas esperadas de flujo.
Tasas esperada de flujo hacia el estado Tasas esperada de flujo que sale del estado -
Frecuencias de salida y de llegada. (Se obtienen a partir de una ecuación de balance.)
-
Probabilidad de n=0 (Realizando una ecuación de balance para n=0)
⁄
ec.
1 -
Probabilidad de n=1 (Realizando una ecuación de balance para n=1) ec. 2
Simultaneando la ecuación 1 y la ecuación 2 se obtiene:
Por lo anterior, se puede expresar la formula general para calcular Pn de la siguiente manera:
-
Fórmula para Calcular P0
∑
1.1.3Casos de Aplicación.
1. En una peluquería se atiende e un cliente cada vez, y tiene tres sillas para los clientes que esperan. Si el lugar está lleno, los clientes van a otra parte. Las llegadas siguen una distribución de Poisson con una media de 4 por hora. El tiempo de un corte de pelo es exponencial, con 15 minutos de promedio. Determine lo siguiente: a) La probabilidad de estado estable λ = 4 clientes por hora 4,
n= 0 , 1 , …. , 4
λn = 0,
µn =
n
5
= 4 clientes/hora
( )
( )
( )
p0 = p1=
b) La cantidad esperada de clientes en la peluquería.
La cantidad de Clientes es 2
c) La probabilidad de que los clientes vayan a otra parte por estar lleno el local.
La Probabilidad es de 0.2
2. Considere la situación de una línea de espera con un solo servidor donde las tasas de llegadas y salidas son constantes y están dadas por λn=4 llegadas/hora y μn=5 salida/hora para toda n>=0
a) probabilidad de estado estable de no tener a alguien en el sistema. b) probabilidad de que el sistema no este vacío.
-
λn=4
-
μn=5 salida/hora
-
llegadas/hora
de que este vacío.
•
P1= (4/5)Po
•
P5= (4/5)^5Po
•
P2= (4/5)^2Po
•
P6= (4/5)^6Po
•
P3= (4/5)^3Po
•
P7= (4/5)^7Po
•
P4= (4/5)^4Po
•
P8=(4/5)^8Po
Po{1+(4/5)+(4/5)^2+(4/5)^3+(4/5)^4+(4/5)^5+(4/5)^6+...}=1 Po{1/(1-4/5)}=1 Po=1/5
a) Probabilidad de que el sistema este vacío: Po=1/5=0.2
b) Probabilidad de que el sistema no este vacío: 1-Po= 1-0.2 = 0.8
Po= probabilidad
3. El First Bank of Springdale tiene un cajero automático que despacha a automovilistas que forman una línea. Los vehículos llegan siguiendo una distribución de Poisson, con una frecuencia de 12 por hora. El tiempo necesario para hacer una transacción en el cajero es exponencial, con 6 minutos de promedio. En la línea cabe un total de 10 automóviles. Una vez llena, los automóviles que lleguen deben irse a otra parte. Calcule lo siguiente:
a) La probabilidad de que un vehículo que llegue no pueda usar el cajero, porque la línea está llena. b) La probabilidad de que un vehículo no pueda usar el cajero inmediatamente al llegar. c) La cantidad promedio de vehículos en la línea. λ= 12 carros/min μ= 10 carros/hora n=10 carros
• • • • • •
P1=(6/5)Po P2=(6/5)^2Po P3=(6/5)^3Po P4=(6/5)^4Po P5=(6/5)^5Po
• • • • •
P6=(6/5)^6Po P7=(6/5)^7Po P8=(6/5)^8Po P9=(6/5)^9Po P10=(6/5)^10Po
Po{1+(6/5)+(6/5)^2+(6/5)^3+(6/5)^4+(6/5)^5+(6/5)^6+(6/5)^7+(6/5)^8+(6/5)^9+(6/5)^10}=10
Po=0.0311
a) Probabilidad de que la línea este llena: P10= (6/5)^10(Po)=(6/5)^10(0.0311)=0.1926
b) Probabilidad de que un vehículo no pueda usar el servicio inmediatamente: 1-Po= 1-0.0311= 0.9689
c)
Cantidad de vehículos en cola: 0Po+1P1+2P2+3P3+4P4+5P5+6P6+7P7+8P8+9P9+10P10= 6.7098≈ 7 Vehículos
CAPITULO 2 2.1 Colas Especializadas de Poisson. 2.1.1 Concepto. El caso de colas especializadas de Poisson tiene como estudio aquellos casos en los cuales existe “c” servidores colocados en paralelo. El servidor en paralelo es aquel que brinda al cliente la facilidad de seleccionar la cola del primer servidor disponible. La frecuencia de llegadas al sistema es
λ
por unidad de tiempo y La
tasa de servicio en cualquier servidor en paralelo es
µclientes
por
unidad de tiempo. La cantidad de clientes en el sistema incluye los que hay en el servicio y en la cola. El esquema del sistema se muestra continuación.
a
Instalación de Servici o
Frecuenc ia de llegadas λ
Col a
Servid or 1
Servid or
Clientes
Servid or
Frecuencia de Salidas µ Frecuenc ia de Salidas µ Frecuenc ia de Salidas µ
Sistem a
2.2 Notación General de la Situación General de Colas. 2.2.1Concepto. •
Notación de Kendall para el caso de colas especializadas de Poisson:
(a/b/c) : (d/e/f) En donde: a= Distribución de llegadas. b= Distribución de Salidas (o del tiempo de servicio). c= Cantidad de servidores en paralelo (=1,2,…, ∞) d= Disciplina de la cola. e= Cantidad máxima (finita o infinita) admisible en el sistema (tanto cola como servicio). f= Tamaño de la fuente (finito o infinito). •
Las notaciones que se utilizan para representar las distribuciones de llegada y salida (a,b) son:
M= Distribución de Markov (o de Poisson) de las llegadas o salidas también llamada distribución exponencial del tiempo entre llegadas o tiempo de servicio. D= Tiempo constate (determinístico)
Ek= Distribución de Erlang o gamma del tiempo (suma de distribuciones exponenciales independientes) GI= Distribución General del tiempo entre llegadas. G= Distribución General del tiempo de servicio.
•
La notación de disciplinas de cola (d) se describe de la
siguiente manera: PLPS: primero en llegar, primero en servirse. ULPS: Último en llegar, primero en servirse. SEOA: Servicio en orden aleatorio. DG: Disciplina General
•
Ejemplo de lectura de notación:
(M/D/10) : (DG/20/∞) -
Utiliza llegadas de Poisson o tiempo entre llegadas de tipo exponencial.
-
Tiempo constaste de servicio.
-
10 servidores en paralelo.
-
La disciplina de cola es de DG es decir, cualquier tipo de disciplina
-
Existen 20 clientes en todo el sistema.
-
Y el tamaño de la fuente es infinito.
2.3 Medidas de Rendimiento de Estado Estable. 2.3.1 Concepto. •
Medidas de rendimiento de estado estacionario o estable
Ls= Cantidad esperada de clientes en el Sistema. Lq= Cantidad esperada de clientes en la Cola Ws= Tiempo esperado de espera en la Sistema. Wq= Tiempo esperado de espera en la Cola. = Cantidad esperada de Servicios Ocupados.
2.3.2 Fórmulas. -
Cantidad esperada de clientes en el sistema
Ls= ∑ -
Cantidad esperada de clientes en la cola
Lq = ∑
-
Formula de Little (relaciones Ls-Ws, Lq-Wq)
Ls=λef* Ws
En donde:
λef=
Frecuencia efectiva de llegada al sistema. Es igual a la tasa (nominal) de
llegada λ cuando todos los clientes que se llegan se unen al sistema. Nota: Si
λef<λ, los clientes no pueden unirse al sistema porque se encuentra lleno.
Relación Ws y Wq Ws=Wq+1/µ
Relación Ls-Lq
-
λ=λef + λperdido λef=λ-λperdido
Ls=Lq+
En teoría, Ls-Lq es igual a la cantidad promedio de servidores ocupados (c) por lo que se dice que: C = Ls – Lq -
Utilización de Instalación =
2.3.3 Casos de Aplicación. 1.
El estacionamiento de visitas de Ozark College se limita sólo a cinco cajones. Los automóviles que lo usan llegan siguiendo una distribución de Poisson de frecuencia de cinco por hora. El tiempo de
estacionamiento
tiene
distribución
exponencial
con
30
minutos de promedio. Las visitas que no pueden encontrar un lugar
vacío
inmediatamente
cuando
llegan
pueden
esperar
provisionalmente dentro del estacionamiento hasta que salga un automóvil estacionado. Los cajones provisionales solo pueden contener tres vehículos. Otros vehículos que no se pueden estacionar ni encontrar un espacio de espera temporal se deben ir a otra parte. Calcular:
a) Lq en forma directa con la fórmula ∑ Primeramente se calcula n = 1 , 2, …,5
n =6, 7, 8 El valor de
se calcula sustituyendo
en la siguiente ecuación:
p0 + p1 + … + p8 = 1
Es decir;
(
)
Conociendo
ya se puede calcular
n
2 0.2165 4
1 0.1443 6
3 0.2165 4
a
4 0.1624 0
:
5 0.0974 4
6 0.0584 7
7 0.0350 8
8 0.02105
Para encontrar Lq y conociendo de p1 a p8, se aplica la siguiente fórmula ∑
a) Ws a partir de Lq.
b) La cantidad promedio de automóviles que no podrán entrar al estacionamiento durante un periodo de 8 horas. Automóvil/ho ra
2. Tomando de referencia el caso de aplicación 2 en la sección 1.1.3 en donde λ=4 μ=5 para todo n>=0 a su vez se dice que: λef= 4(Po+P1+P2+...) = 4 llegadas por hora Calcular: a) Ls b)Lq c) Ws d) Wq
a) Cantidad de clientes en el sistema:
Ls= ∑
; Pn=
Ls= 0Po+1P1+2P2+3P3+4P4+... Ls= 4 clientes esperados en el sistema
b) Cantidad de clientes en cola: Ls = Lq + λef/ 4= Lq+4(Po+P1+P2+...)/5 4=Lq+4/5 Lq=3.2≈ 4 Clientes en Cola
c) Tiempo de espera en el sistema: Ws Ls= λef Ws Ls/ λef=Ws ; 4/4= Ws ; 1=Ws Ws= 1 hora estimada de espera en el sistema
d) Tiempo de espera en la fila: Wq Lq= λef Wq Lq/ λef=Wq; 3.2/4=Wq=0.8 Wq= 0.8 hora estimada de espera en fila
2.4 Modelo de Un Solo Servidor. 2.4.1 Concepto. El Modelo de un solo Servidos
es un caso especial del modelo
generalizado explicado con anterioridad en la sección 2.2. El modelo ocurre cuando c=1 en donde las llegadas suceden con la frecuencia de
λ
clientes por unidad de tiempo y la tasa de servicio es
µ
por unidad de tiempo. Para este ocuparán:
modelo
se
-
Notación de Kendall (sección 2.2.1)
-
Deducciones de Pn (sección 1.1.2)
-
Medidas de rendimiento (sección 2.3)
-
DG: Disciplina General.
2.4.2 Fórmulas y Casos de Aplicación.
• Modelo (M/M/1) : (DG/∞/∞) de Utilización = ⁄ Factor Numero esperado de clientes en el sistema: Tiempo de espera: Número de clientes esperado en la cola:
y
de clientes
1.
Lavado Autómata para automóviles funciona solo con un lugar. Los autos llegan siguiendo una distribución de Poisson, con 4 autos por hora, que pueden esperar en el estacionamiento de la instalación, si el lugar de lavado está ocupado. El tiempo para lavar y limpiar un automóvil es exponencial, con 10 minutos de promedio. Los automóviles que no se pueden estacionar en la instalación pueden esperar en el arroyo junto al lavado. Eso quiere decir que para todo fin práctico no hay límite del tamaño del sistema. El gerente de la instalación desea determinar el tamaño del estacionamiento.
Para este caso λ = 4 automóviles por hora µ=
Como
= 6 automóviles por hora
el sistema puede funcionar en condiciones de
estado estable. a) Determine la utilización porcentual del lavador de automóviles. ( )
( )
b) Determine la probabilidad de que un automóvil que llega deba esperar en el estacionamiento para ser lavado.
c)
Si hay siete cajones de estacionamiento, determine la probabilidad de que un automóvil que llegue encuentre un cajón vacío.
( )
( )
2. John Macko es alumno en la U de Ozark. Hace trabajos extraños para aumentar sus ingresos. Las peticiones de trabajo llegan en promedio cada 5 días, pero el tiempo entre ellas es exponencial. El tiempo para terminar un trabajo también es exponencial, con una media de 4 días. Resolver: a) Cual es la probabilidad de que le falte trabajo a John? b) si John cobra unos 50$ por cada trabajo, cuál es su ingreso mensual promedio? c) si al final del semestre John decide subcontratar los trabajos pendientes a 40$ cada uno, cuanto debe esperar para pagar en promedio? Datos λ=1/5trabajos/día μ=1/4trabajos/día
-
ρ=λ/μ=(1/5)/(1/4) = 0.8
Desarrollo a) Tomando en cuenta que si: ρ<1, Po=1-ρ Po=1-ρ; Po=1- 0.8 = 0.2
b) Considerando que le pagan después del trabajo realizado. μ es la tasa promedio de trabajo realizado entonces: μ es la tasa promedio de trabajo=30dias*1/4 trabajos / días * 50$= 375$ en 1 mes si la tasa de trabajo tiene de entrada y salida se mantiene constante.
c) Cantidad de trabajos en el sistema: Ls = ∑ Pn=P^n *Po Ls=4 trabajos en el sistema Lq= Ls - Ls/ λef = 3.2 * 40$=128$ a pagar
3. A través de los años el detective Columbo, del departamento de policía de Fayetteville, ha tenido un éxito fenomenal en la solución de cada caso que se le presenta. Solo es cuestión de tiempo para que pueda resolver cualquier caso. Columbo admite que el tiempo en cada caso es totalmente aleatorio, pero en promedio cada investigación dura aproximadamente semana y media. Los delitos en la tranquila Fayetteville no son muy comunes. Suceden al azar, con una frecuencia de uno por mes (4 semanas). Columbo pide un ayudante con quien compartir la pesada carga de trabajo. Analice la petición de Columbo, en particular desde los siguientes puntos de vista: a)
La cantidad promedio de casos que esperan ser
investigados. b) El porcentaje de tiempo en el que está ocupado el detective. c)
El tiempo necesario
para resolver el caso. Datos λ=1/4 µ=1/1.5 a) Lq=Ls λef/µ Lq= ∑
- λef/µ; ∑
casos
b) 1- Po = 1 – 0.625 = 0.3750 horas
Lq = 0.6 – (1/4)/(1/1.5); Lq = 0.2250
c) Tiempo de servicio = Ws – Wq = 1.3 meses
•
Modelo (M/M/1) : (PLPS/∞/∞)
( ) ∑ 1.
En una cafetería puede sentarse una máximo de 50 personas. Los clientes llegan en una corriente de Poisson con una frecuencia de 10 por hora, y son servidos, uno por uno, con una rapidez de 12 por hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llegue no entre a la cafetería porque esté llena? • • • • • • Encontrando
(
)
Ahora, se puede encontrar
( )
b)
Suponga que a tres clientes (con tiempos aleatorios de llegadas) les gustaría sentarse juntos. ¿Cuál es la probabilidad de que se les pueda dar ese gusto? (Suponga que pueden hacerse los arreglos para que se sienten juntos siempre que haya tres asientos disponibles). 2 4
2.
Los pacientes llegan al consultorio de un doctor siguiendo una distribución de Poisson, con la frecuencia de 20 pacientes por hora. La sala de espera no tiene lugar más que para 14 pacientes. El tiempo de consulta por paciente es exponencial, con promedio de 8 minutos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no espere un paciente que llega?
Encontrando
( )
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente que llega encuentre un asiento vacío en la sala? (
)
c)
¿Cuál es el tiempo total esperado que pasa un paciente en el consultorio?
Por lo que encontrando ∑
(
)
(
)
Entonces 2 4
2.5 Modelo de Servidores Múltiples. 2.5.1 Concepto. Supóngase que las llegadas son Poisson, los tiempos de servicio son exponenciales, hay una sola línea, varios servidores y una cola infinita que opera con la disciplina de primero en llegar primero en ser servido. • • • • • • • •
Tiempo de servicio y de llegadas del tipo exponencial. Llegadas aleatorias. Múltiples servidores. PLPS No hay límite de recepción de clientes. Población infinita. Hay espacio suficiente. No hay abandono no rechazo.
2.5.2 Fórmulas y Casos de Aplicación.
•
Modelo (M/M/c) : (DG/∞/∞) Especificaciones: -
C servidores en paralelo.
La frecuencia de llegada es de servidor. -
λ
y la rapidez de servicio es
No hay límite de cantidad en el sistema entonces:
µ
por
λef =λ
Si el número de clientes en el sistema, n, es igual o excede a c, la tasa combinada de salidas de la instalación es
. Por otra parte
si n es menor que c, la tasa de servicio es igual a
. Así, en
términos del modelo generalizado tenemos:
2 5
-
Calculamos así
-
Y para
se tiene
⏟
1.
Calcule la cantidad mínima de servidores en paralelo necesarios en cada uno de los siguientes casos (llegada y salida de Poisson) para garantizar que el funcionamiento de la cola sea estable, es decir, que la longitud de la cola no crezca en forma indefinida:
a) Los clientes llegan cada 5 minutos, y son servicios a una tasa de 10 clientes por hora.
2 6
b) El tiempo promedio entre llegadas es 2 minutos, y el tiempo promedio de servicio es 6 minutos.
c) La frecuencia de llegada es 30 clientes por hora, y la rapidez de servicio por servidor es 40 clientes por hora.
•
Modelo (M/M/c) : (DG/N/∞), c N Especificaciones: -
El límite del sistema es finito igual a N.
-
Tamaño máximo de la cosa es N-c.
-
Tasas de llegada y de servicio
-
λ ef< λ
λ
y
µ
Respectivamente.
(causado por el límite N del
sistema.) Fórmulas asociadas a este modelo: Modelos con varios servidores:
{
2 7
(∑ )
( ) )(
(∑ ) {
1. Eat & Gas es una gasolinera con dos bombas. El carril que llega a ellas puede dar cabida cuando mucho a cinco automóviles, incluyendo los que llenan el tanque. Los que llegan cuando el carril está lleno van a otra parte. La distribución de los vehículos que llegan es de Poisson, con promedio de 20 por hora. El tiempo para llenar y pagar las compras es exponencial, con 6 minutos de promedio. Determine lo siguiente:
0/hora
=10/hora a)
Cantidad promedio de mecánicos sin
trabajo.
b) El porcentaje de tiempo en el que se usa una bomba.
2 8
c)
La utilización porcentual de las dos bombas. ( )
d) La probabilidad de que un automóvil que llegue no reciba servicio de inmediato, sino que se forme en cola.
2 9
•
Modelo (M/M/∞) : (DG/N/∞) (Modelo de Autoservicio) Especificaciones: -
Cantidad ilimitada de servidores.
-
Se supone una llegada continua.
-
Tasas de servicio λ y µ Respectivamente.
En este modelo el número de servidores es ilimitado porque el cliente mismo es también el servidor. Este es normalmente el caso en los establecimientos de autoservicio. Una vez más en términos del modelo generalizado se tiene : ln = l , para toda n³ 0 mn = nm , para toda n³ 0 La sustitución directa en la expresión de pn produce que :
Ya que ∑
se deduce que:
(
⁄ )
1. A los conductores nuevos se les pide pasar un examen por escrito, antes de hacer las pruebas de manejo. Los exámenes escritos suelen hacerse en el departamento de policía de la ciudad. Los registros de la ciudad de Springdale indican que la cantidad promedio de exámenes escritos es de 100 por día de 8 horas. El tiempo necesario para contestar el examen es de 30 minutos, más o menos. Sin embargo, la llegada real de los aspirantes y el tiempo que tarda cada uno en contestar son totalmente aleatorios. Determine lo siguiente:
3 0
a) La cantidad promedio de asientos que debe tener el departamento de policía en el salón de exámenes.
=12.5 por hora
= 2 por hora
=
b) La probabilidad de que los aspirantes rebasen la cantidad promedio de asientos que hay en el salón de exámenes.
c)
La probabilidad de que los aspirantes rebasen la cantidad promedio de asientos que hay en el salón de exámenes.
3 1
2.6 Modelo de Servicio de Máquinas. 2.6.1 Concepto. Notación Kendall: (DG/K/K), R K
(M/M/R)
:
Este modelo se diferencia por tener una fuente finita de clientes. En este caso, λ es la frecuencia de unidad de tiempo; dicha
descomposturas por máquina y por maquina deberá ser reparada por un
mecánico a una tasa de µ maquinas por unidad de tiempo. A su vez se supone que todas las descomposturas y servicios siguen una distribución de Poisson.
2.6.2 Fórmulas. 2.6.3Casos Aplicación. 1.
de
Toolco tiene un taller con 22 máquinas en total. Se sabe que cada máquina se descompone con una frecuencia promedio de una vez cada dos horas. Se necesita un promedio de 12 minutos para
terminar
una
reparación.
Tanto
el
tiempo
entre
descomposturas como el tiempo de reparación siguen una distribución exponencial.
Para este caso, se supone como 4 la cantidad de mecánicos empleados para aumentar la productividad del taller. R= mecánicos empleados K= número máquinas
de
3 2
Resultados del análisis comparativo obtenidos del TORA. c
Lambda
Mu
1 2 3 4
0.500 0.500 0.500 0.500
5.00 5.00 5.00 5.00
L’da eff 4.9980 8.8161 9.7670 9.9500
po
Ls
Lq
Ws
Wq
0.0004 12.0040 11.004 2.4018 0.2018 0.0564 4.3677 2.6045 0.4954 0.2954 0.1078 2.4660 0.5128 0.2525 0.0525 0.1199 2.1001 0.1102 0.2111 0.0111
Utilizando los datos obtenidos de TORA; calcular: a) Comprobar los valores de
del cuadro anterior.
b) Calcular la cantidad esperada de mecánicos sin trabajo, si R=4 (
)
c)
Calcular la probabilidad de que todos los mecánicos estén sin trabajo para R=3
3 3
d) Calcular la probabilidad de que la mayoría (más de la mitad de los mecánicos estén sin trabajo para R=3
3 4
2.7 Fórmula de Pollaczeek-Khintchine (P-K) 2.7.1 Concepto. Esta fórmula se utiliza cuando las llegadas y las salidas en un modelo de cola no se encuentran representadas por una distribución de Poisson. Para este caso, se dice que el tiempo está representado por una distribución de probabilidades con medida E(t) y varianza var(t). Se dice que
λE(t)
λes
la frecuencia de llegada a la instalación con un servidor y
1.
2.7.2Fórmu la. { }
(
{ }
{ }) (
})
{
{ }
2.7.3 Casos Aplicación. 1.
de
(M/G/1) : (GD/
Llega un producto con una distribución de Poisson, con la frecuencia de una cada 45 minutos. Este producto requiere de dos operaciones consecutivas que hace un trabajador. En la primera usa una maquina semiautomática que termina su ciclo exactamente en 28 minutos. La segunda operación es hacer ajustes y cambios secundarios, y el tiempo que dura depende del estado del producto al salir de la operación 1. En forma específica, el tiempo de la operación 2 se distribuye uniformemente entre 3 y 6 minutos. Como en cada operación se requiere la atención completa del trabajador, no se puede cargar un artículo a la maquina semiautomática sino hasta que el articulo actual 3 5
haya salido de la operación 2 .
3 6
{ }
{ }
a) Determine la cantidad de artículos que esperan su procesamiento en la maquina semiautomática. { }
{ } (
{ } { })
{ }
{ }
Sustituyendo (
(
)
(
) )(
)
Sustituyendo en la fórmula de { } (
)
b) ¿Cuál es el porcentaje del tiempo en que el trabajador no tendrá qué hacer? { }
(
)
3 7
c)
¿Cuánto tiempo se necesita, en promedio, para que un artículo que llega salga de la operación 2?
( )
3 8
37
Conclusión
A partir de la información bibliográfica resumida en el presente reporte, se puede concluir que los sistemas de colas surgen a partir del estudio matemático de las líneas de espera (colas), el cual es un fenómeno común que ocurre cuando la demanda de un servicio excede su oferta. Dicho estudio proporciona una base teórica sobre el comportamiento de las colas en las diferentes instancias que ocurren situaciones de espera.
Frecuentemente,
las
empresas
deben
decidir
en
base
a
comportamientos observados en el flujo de servicios que debe estar capacitada para ofrecer, aunque generalmente es imposible predecir con exactitud el momento en que se presentarán los clientes que demandan el servicio, así como el tiempo requerido para que dicho servicio sea realizado.
Los distintos modelos de aplicación para los sistemas de colas, no resuelven en su totalidad el problema que se presenta, pero contribuye con información vital necesaria al momento de la toma de decisiones, prediciendo
factores
como
estabilidad,
tiempo
de
espera
y
comportamiento de los clientes; es por ello que los sistemas de colas son ampliamente utilizados y a partir de eso se deriva su importancia.
3 8
Bibliografía. •
Investigaciones de Operaciones, 7ma Edición, Hamdy A. Taha
3 9
