ECUACIONES DIFERENCIALES Ecuaciones diferenciales de primer orden y sus aplicaciones
Presentado por: LE!"ER ANDR#S ON$%LE$ LIDIA &ILENA 'EL(RAN !UD! DA!AN DA!AN &A)EC)A &A)E C)A LEONARDO *A"IER LEON
rupo: ++,, ++,,,-./ ,-./
UNI"ERSIDAD UNI"ERSID AD NACIONAL NAC IONAL A'IER(A ! A DIS(ANCIA DIS(ANCIA 0UNAD1 0UNAD 1 LICENCIA(URA EN &A(E&%(ICAS
AOS(O /2,+
,3 4por5ue nacen las Ecuaciones Diferenciales6 Las primeras ideas para resol7er pro8lem9ticas fsicas por medio del c9lculo diferencial a finales del si;lo <"II lle7aron a la creaci=n de una rama de las matem9ticas 5ue se conoce >oy en da como ecuaciones diferenciales3 Ne?ton en n
sus estudio o8ser7o 5ue si
d y dx
n
= 0 @ entonces y01 es un polinomio de ;rado nB,@
aun5ue esta afirmaci=n de8i= esperar >asta el si;lo a8la por primeras 7e de ecuaciones diferenciales y en este mismo ao el matem9tico Lei8ni dice 5ue las ecuaciones diferenciales son funciones de elementos del tri9n;ulo caracterstico3
/3 4Definir una Ecuaci=n Diferencial6 Una ecuaci=n diferencial es una ecuaci=n 5ue tiene las deri7adas de una o m9s 7aria8les dependientes con respecto a una o m9s 7aria8les independientes
3 4Clasificaci=n de las Ecuaciones Diferenciales6 Una ecuaci=n diferencial tiene distintas clasificaciones@ una de las maneras de clasificar una ecuaci=n diferencial@ es 5ue di;a 5ue se trata de una ecuaci=n diferencial ordinaria 0E3C3D3O1@ esto 5uiere decir 5ue se deri7a la 7aria8le dependiente con respecto a una Gnica 7aria8le independiente@ pero si la ecuaci=n implica deri7adas parciales decimos 5ue estamos ante una ecuaci=n diferencial parcial3
H3 4Definici=n de la soluci=n a una Ecuaci=n Diferencial6 Una ecuaci=n diferencial es una ecuaci=n 5ue contiene deri7adas de una 7aria8le@ como en la ecuaci=n 2
d x dx a 2 + b + cx =d dt dt
A5u es la 7aria8le y las deri7adas son con respecto a una se;unda 7aria8le t3 Las letras a@ 8@ c y d se toman a5u como constantes3 Esta ecuaci=n podra descri8irse como una ecuaci=n diferencial lineal@ de se;undo orden@ con
coeficientes constantes3 Es de se;undo orden de8ido al orden m9s alto de deri7adas presentes@ lineal por5ue nin;una de las deri7adas est9 ele7ada a nin;una potencia y los factores multiplicando las deri7adas son constantes3 Si fuera la posici=n de un o8eto y t el tiempo@ entonces la primera deri7ada es la 7elocidad@ la se;unda la aceleraci=n@ y esta podra ser una ecuaci=n descri8iendo el mo7imiento de un o8eto3 Como se muestra@ tam8iJn se dice 5ue esta es una ecuaci=n no >omo;Jnea@ y al resol7er pro8lemas fsicos@ uno de8e considerar tam8iJn la ecuaci=n >omo;Jnea3 +3 4Dentro del concepto de la definici=n de la soluci=n a una Ecuaci=n Diferencial@ definir a 5uJ corresponde una soluci=n particular@ una soluci=n ;eneral y una soluci=n implcita6 soluci=n particular: Es un caso particular de la soluci=n ;eneral@ en donde la constante 0o constantes1 reci8e un 7alor especfico soluci=n ;eneral: una soluci=n de tipo ;enJrico@ epresada con una o m9s constantes3 Soluci=n implcita: Una funci=n o relaci=n 5ue satisface a una ecuaci=n diferencial y 5ue in7olucra en su estructura tanto 7aria8les dependientes como independientes decimos 5ue es una soluci=n implcita de la ecuaci=n diferencial dada3 •
•
•
Actividad 2. −1 / 2
1. y K 0, B sen ¿ y
1
1
K B
1
K y 3 /2
2
3 M cos 01
¿
/0
2¿ cos ( x )
3/ 2
y
1 K
3
cos x
¿ 3/ 2
x ¿ 1− sen ¿ cos ( x )
¿
cos x
Reemplaamos en la Soluci=n
cos ( x )
1− sen ( x )¿
3
3/ 2
2¿
K
1
− ( )¿ x 0, B sen
1− sen ( x )¿
y
2 y
K
y
3
cos x
3/2
y
3
¿ 1− sen ( x )¿ x ¿ cos ¿ cos ( x ) ¿
K
yK
,
t
y
3
K 0
1− sen ( x )¿
3/ 2
−3 / 2
1− sen ( x )¿
0
dy + 20 y =24 y K dt
2.
y
6 5
6
− e−
2 ot
5
/2y K /H ,
6
K
5
6
− e−
2 ot
Aplicamos Re;la de la Cadena
5
Sea K B/2t K u y
,
d du
6
K B
5
e
0
u
¿ 3
d , y K B dt 0B/2t1
Sustituimos y
y
,
K B
6 − 20 t 5
e
− K /H e
,
− 20t
/H
e
/H
e
− 20t
20 t
y
,,
e
mx
B +
Reemplaamos en la Ecuaci=n 6
/2 0
6
− e−
5
2 ot
5
−20 t
e
/H B /H
/H K /H 4. y K
0B/21 Simplificamos
1 K /H
K /H
Si es Soluci=n
@ Soluci=n de la Ecuaci=n ,
y + 6 y =0
6 5
u
. e . −20
y
,,
,
y + 6 y =0
B +
mx !K e
,
m
2
2
,,
K m e
0/1
mxmx
mx 2
mx
y =me mx ( 2 )
y
m
0,1
e B + me c K 2 / en ,Q M +m K 2
0m M 1 0m M /1 mK
mK/
5. y K x
y
,,
m
@ Soluci=n de la Ecuaci=n y
/
m y K x
<
m
2
2
x
m
K2
y
y
01 m
,
,,
,
m K mx
2
=
m x
m
m / mx K 2
+ 2 m= 0
m K B/
Acti7idad + Secci=n /3 Eercicio / x
0,1
dy + (3 x + 1 ) y =e−3 x dx
x
m+ 1
m
2
+2 m xm
m K 2 x
−3 x
dy ( 3 x + 1) e + y= dx x x e
e
e
∫ 3 x x+1 dx 3
∫ dx +∫ x1 dx
3 x +¿ x
x e
3 x
∫ 3 x x+ 1 dx y c =C e − 3∫ dx −∫ 1 dx
y c =C e
x
− 3 x −¿ x
y c =C e
− 3 x +¿ x−
1
y c =C e
−1 −3 x
y c = C x e −3 x
Ce y c = x
Eercicio / di R E + i = dt L L
∫ R L dt e Rt L
e
t =0 i =i 0 − R ( 0)
i 0=C e L
i 0=C ( 1 ) +
+
E R
E R
E C =i 0− R
i ( t )=
( )
− R t
E L i 0− e R
i ( t )=C e
− R t L
+
+
E R
E R
Eercicio /T
dT − KT =− K Tm dt p ( t ) dt e∫ → p ( t )=− K
− k dt e ∫
− Kt
e
tK2
(K(2
Kt (0t1KC e +Tm
(021K(2 k ( ) (2KC e + Tm 0
CK(2 M (m Kt T ( t )=(T 0 −Tm ) e + Tm
Kt (0t1K C e + Tm
Kt (0t1K0(o M (m1 e +Tm
ACTIVIDAD No. 6
A tra7Js de las lecturas del teto o de otro teto 5ue se encuentre en la 8i8lio;rafa o los recursos el estudiante de8e definir los si;uientes conceptos:
Definir 5uJ si;nifica modelar en matem9ticas
Definir
5ue es un modelo matem9tico3
Definir
el modelo matem9tico 5ue refiere al crecimiento y decrecimiento
incluyendo la ley de enfriamiento3
Definir el modelo de la mec9nica cl9sica y los circuitos simples3
Definir
el modelo de meclas3 Desarrollo
Definir qué sinifica !odelar en !ate!"ticas
&odelar es el proceso de utiliar y aplicar modelos@ seleccionarlos@ modificarlos y construir modelos matem9ticos identificando patrones caractersticos de situaciones@ o8etos o fen=menos 5ue se desea estudiar o resol7er@ para finalmente e7aluarlos3
Definir que es un !odelo !ate!"tico.
Un modelo matem9tico se define como una descripci=n desde el punto de 7ista de las matem9ticas de un >ec>o o fen=meno del mundo real@ desde el tamao de la po8laci=n@ >asta fen=menos fsicos como la 7elocidad@ aceleraci=n o densidad3 El o8eti7o del modelo matem9tico es entender ampliamente el fen=meno y tal 7e predecir su comportamiento en el futuro3
Definir el !odelo !ate!"tico que refiere al creci!iento # decreci!iento inclu#endo la le# de enfria!iento.
El crecimiento o disminuci=n de al;Gn dato se puede epresar de forma matem9tica con las funciones y usar la inte;raci=n y la deri7aci=n para encontrar un formula 5ue nos permita >acer el c9lculo de al;una cantidad 5ue crece en un tiempo determinado@ encontrar ese tiempo o la constante de crecimiento o decaimiento a la cual est9 sueta cierta cantidad inicial3 La ley de enfriamiento de Ne?ton se define como@ la ra=n de cam8io de la temperatura de un cuerpo respecto al tiempo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo en el instante t y la temperatura del am8iente (23 Siempre 5ue (2 se manten;a constante3 Es@ la rapide con la 5ue cam8ia la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura de un cuerpo y la temperatura del medio am8iente3
Definir el !odelo de la !ec"nica cl"sica # los circuitos si!$les.
La mec9nica cl9sica es la ciencia 5ue estudia las leyes del comportamiento de cuerpos fsicos macrosc=picos en reposo y a 7elocidades pe5ueas comparadas con la 7elocidad de la lu3
Eisten 7arias formulaciones diferentes@ en mec9nica cl9sica@ para descri8ir un mismo fen=meno natural 5ue@ independientemente de los aspectos formales y metodol=;icos 5ue utilian@ lle;an a la misma conclusi=n3 Un circuito LC simple es denominado de se;undo orden por5ue su funci=n de transferencia comporta un polinomio de se;undo ;rado en el denominador3
Definir el !odelo de !e%clas
Al meclar dos fluidos a 7eces sur;en ecuaciones diferenciales lineales de primer orden3
En un troo de madera 5uemada se encontr= 5ue -T del CB,H se >a8a desinte;rado3 4Cu9l es la de la madera aproimada6 0Es precisamente este dato el 5ue los ar5ue=lo;os usaron para determinar la edad de las pinturas pre>ist=ricas encontradas en una ca7erna de Lascau@ Francia1: la semi7ida del car8=n ,H C B,H es de +322 aos Soluci=n: A0t1 K A 0 2
→
A 0 e
kt
K
A 0 e
K
e
1 2
3 V W 2 0,1 5600 k
: la vida media del C −14 esde 5600 a ñ o s ,
1
5600 k
X +22Y K ,n
2
0/1 →
− A0t1 K A e 0
0.00012378 t
01
X Y K
−0.693147 5600
X Y K B23222,/T
Como ya se desinte;ro el -T del CB,H@ resta por desinte;rar el / del CB,H ori;inal en el (roo de madera de donde: A K / A X 23/ A 0
−0.00012378 t
23/ A =¿
− X 23/ K e
A 0 e
0
−1.93102154
tK
0H1 Al reemplaar H en se tiene:
0
0.00012378 t
X B23222,/Tt K in 23/
K ,+322
0.00012378
Respuesta: el troo de madera tiene una edad aproimada de ,+322 aos3
Ra=n de entrada K 23/ Y; a litros minuto Ra=n de salida K + litros minuto Como la ra=n de tiempo es diferente a la 5ue sale entonces: dv dt
K M + K B/ litros minuto
Inte;ramos 7 0t1 K B/ t c K /22 litros C K /22 7 0t1 K B/t /22 y
y 3 5
,
,
1
K 0
5
kg ¿
3
K 0
kg / min
5
0
kg / min ¿
Solución:
litros minuto
1M0
y −2 t + 200
1 0+
54
B 0 (−2 t + 200 ) 1
Ecuación Resultante
Resolvemos demostración
−1
,3 Fi 01 K C
2
litros minuto
t + 100 Z 5 dt ¿ K
¿
−5 2
ln / t + 100 /¿
C ¿
y
,
1 54
K
(−2 t +200 )
K
−5
ln[ t ,22 ¿
−5
K 0t ,22 ¿
2
2
−5
t + 100 ¿
−5
/3 Z0t ,22 ¿
3 yQ K Z
2
3 5
2
¿
3 Inte;ramos por mJtodo de sustituci=n3 u
−5
K 0t ,22 ¿
2
−3
t + 100 ¿
¿ ¿ 3 ¿
−5
0t ,22 ¿
3 y K
2
2
5 −3
t + 100 ¿
yK
2 5
−5
2
¿ 3 t + 100 ¿
¿
2
−3
t + 100 ¿
¿
H3 y K t + 100 ¿ ¿ ¿ ¿
2
2
−5
K
2
3
−4
t + 100 ¿
¿
C
− +3 23H 0t ,22 ¿ C t K ,+ litros − 23H 0,+ ,22 ¿ C 4
4
C K /3/T
−9
10
Necesitamos a7eri;uar cuanto tiempo se necesita para 5ue se desinte;re el -2 de P' B2- es decir para 5ue la cantidad presente sea el ,2 X 23, 0,2 de ,1 de la ori;inal@ sustituyendo este 7alor de A en 01 se O8tiene: ,3,K
− 0.21 t
e
−2.30 X B23/ lt K ln 23, X t K −0.21 =11
Entonces para 5ue se desinte;re el -2 de P' M 2-\ se necesitan aproimadamente ,, >oras3
ACTIVIDAD No. &
El ;rupo de estudiantes definen la ecuaci=n diferencial para la ley de enfriamiento propuesta por Ne?ton y encontrar la soluci=n a tra7Js de la demostraci=n3 Resol7er a si;uiente situaci=n o pro8lema3 En el sonado caso de Diomedes Da una de las 7ersiones desec>adas deca 5ue en ese amanecer fro >acia las + de la maana 0/ ;rados de temperatura cerca de la capital de (una1@ Doris Adriana fue asesinada e inmediatamente arroada por el Seor %l7are del 7e>culo3 A las T:22 a3m3 >ora en 5ue lle;aron las autoridades al alto del Sote@ encontraron 5ue el cad97er re;istra8a una temperatura de ,/]C3 A las ,2:22 a3 >ora de >acer el le7antamiento@ el forense determina 5ue la temperatura del cad97er re;istra8a T ]C3 4A 5uJ >ora fue asesinada Doris Adriana6 ! por5ue es rec>aada la 7ersi=n del seor %l7are3 Rta: aproimadamente a las >oras + minutos H se;undos de la madru;ada3 Desarrollo dT = k ( T −Tm ) dt
La >omeostasis@ o conunto de funciones 7itales de un indi7iduo@ re;ula su temperatura corporal 0en condiciones normales@ sin enfermedad1 entre y :+ ^C Datos'
T 0 =12 T 1=8 T m= 2 T ( t 0 )=36 T =T m+ C e
kt
=¿ T =2+ C e kt =¿ T −2=C ekt
T 0 =12 =¿ 12−2=C e
k 0
=¿ 10=C
T 1 =8 =¿ 8 −2=10 e
k = ln
3 5
=¿ 6 =10 e k =¿ e k =
10
=
3 5
=−0.51083
−0.51083 t
=¿ 36 −2=10 e−
T =2 + 10 e
− 0.51083 t
e
6
k
=
34 10
0.51083 t
=¿− 0.51083 t = ln3.4 =¿ t =
ln3.4
−0.51083
=−2.9566=2 ! 23 min
Doris Adriana fue asesinada a las T:22 de la maana menos / >oras y / minutos esto es a las +:/ de la maana3
3. La
po8laci=n de un pue8lo crece con una ra=n proporcional a la po8laci=n en el tiempo t@ la po8laci=n inicial de +22 aumenta ,+ en ,2 aos 4Cu9l ser9 la po8laci=n pasados 2 aos6 45uJ tan r9pido est9 creciendo la po8laci=n en t K 26 3 dp dt K Yp dp p K Ydt K
Z
dp = " p
Ydt ln p K Y t C
lnp k + t + c k + t D c K c P0t1 2 K c e
(K2 Po K +22 +o
k P0t1 K po entonces +22 K c e
+22 K c ( K ,2 k + 10 k + 10 P0t1 K 0+22 23,+1 +22 K ++ ++ K +22 e ,3,+ K e
k + 10 ln ,3,+ K ln 0 e ¿ → ln 1.15=10 x k
e
Funcion real: p 0t1 K +22
Y K 232,-T
0.01398 x t
t K 2 0.01398 x t p0t1 K +22 e
→ p0t1 K , personas
0.01398 x 30 p0t1 K 3-- e
→t =30
0.01398 x 30 → p0t1 K ,, personas al ao p0t1 K 3-- e
Respuesta: La po8laci=n pasados 2 aos ser9 de , personas con una 7elocidad de ,, personas cada ao3 5. El is=topo reacti7o del plomo decae con una ra=n proporcional a la cantidad
presente al tiempo t y tiene una 7ida media de 3 >oras3 Si al principio >a8a un ;ramo de plomo 4Cu9nto tiempo de8e transcurrir para 5ue decai;a -263 Soluci=n: A: Cantidad de plom= P'B/2- presente en el tiempo t (: (iempo en >oras dA dt : Rapide de desinte;raci=n del P' M /2-
V W 2: Constante de proporcionalidad@ dA dt K BYA: la rapide de desinte;raci=n es proporcional a la cantidad presente3 dA dt K BYdt X lnA K BYt A 0
C 1 X A K e−kt + C X A K c e−kt 1
K A 021 K ,: Cantidad de P' M /2- en tK o
−k ( 0) ,K c e X cK , 0/1 en 0,1Q −kt AK e
01 en 0,1Q
0,1
0/1 01
0H1
A031 K 23+: en tK 3 se desinte;ra la mitad del P' M /2- 0+1 23+ K
− k ( 3.3)
e
X B3V K lN23+ X V K
−0.693147 X V K 23/, 0+1 en 0H1Q −3.3
01 Sustituyendo 01 en 0H1 se o8tiene la funci=n para la cantidad de P' B/2- en el tiempo t:
− 0.2 l t AK e
01
dy dx K
25.
tan
2
0 y1
$K y !KM dy dx K d# dx
d# dx M ,
d# dx K , d#
Z
sec ( # )
Z
(
2
#
2
2
=∫ ❑
2
x + y
D
tan
1 + cos ( 2 # )
2
tan
M, K
)
2
,
K
2
tan
0 y1
01
→
01
→
d
d# 2 sec ( # ) K dx
Z
cos
2
( # ) d# = x +C
d K C
sen ( 2 # ) 4
+
→y
K C
sen ( 2 x + 2 y )
K C
4
/ /y sen 0/ /y1 K H Y
y + 2 xy = 1 $ y = e
22.
2
− x
,
x
∫e
2
t
2
− x
dt + C 1 e
o
Soluci=n: ,
y + 2 xy =1
→y
,
+ 2 xy −1=0
021
− x
e
yK
x
∫e
2
2
t
− x
dt + C 1 e
2
0,1
o
2
− x
t
e dt +¿ e
2
− x
,
y + 2 x e
2
2
x
x
2
0 e
∫¿
2
¿−2 x C e− x K B/ 1
2
− x
e
2
0
t
B/ C 1 e
∫¿ o
2
− 2 x C e− x 1
− x
x
− x
,
→ y =−2 x e
2
KB/ e
∫¿
2
x
∫e
2
t
− x
dt + 1−2 x C 1 e
2
(2 )
o
o
Sustituimos 0,1 y 0/1 en 021@ se o8tiene: 2
2
− x
t
e dt + C 1 e x
− x
e
B/
2
∫ ¿−1=0 o
x
− x
2
e
∫e
2
t
− x
dt +1−2 x C 1 e
2
+ 2 x ¿
o
− x
B/ e
2
x
∫e
2
t
dt −2 x C 1 e
o
du − 1= u 2 dx du = u2 + 1 dx du u
2
= 1 dx
− x
+ 2 x e
2
x
∫e
dy dx
2
t
o
uK y, du dx K ,
2
− x
dy =( x + y + 1)2 dx
23.
2
− x
x
o
e dt +¿ e
2
− x + x
t
e dt + ¿ e
− x
dt + 2 x C 1 e
2
=0
2
=∫ dx ∫ du u 2
2
=>
ln ( x + y + 1 )
− x + C
(i)lioraf*a
$ILL@ Dennis@ _Ecuaciones Diferenciales _3 rupo editorial I8eroamJrica3 Espaa3 ,--/3 •
SI&&ONS@ eor;e3 _Ecuaciones Diferenciales`3 rupo editorial I8eroamJrica3 Espaa3 ,--/3 'i8lio;rafa de consulta3 •
CA&P'ELL@ S3 L3 _Introducci=n a las Ecaciones Diferenciales` 3 Editorial3@ AddisonBesley3 &eico ,--T3 •
LARSON@)ostetler 3 _Ecuaciones Diferenciales`3 3 Editorial )arla 3 &eico ,--3 •
SOVOSV!@ COLE 3 _Ecuaciones Diferenciales`3 rupo Editorial I8eroamerica3 &eico3 ,--3 •
RAIN"ILLE@ Earl D3 Ecuaciones diferenciales3 Editorial@ Prentice )all3
•
NALEBSAFF@VentBEd?ard3 Fundamentos de ecuaciones diferenciales3 Editorial Educati7a3 •
•
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•
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