ECUACIONES DIFERENCIALES FASE FASE 1: PLANIFICACIÓN
PRESENTADO POR: ALEXSANDER DIAZ GUALDRON LEIDY VIVIANA RUIZ SAAVEDRA YADIRA YA DIRA SULEIMA S ULEIMA SUATERNA SUATERNA DENNIS HERREÑO DUARTE DUARTE DARYI SUGEY MATEUS PAEZ
GRUPO: 100412_277
PRESENTADO A ORLANDO HARER TUTOR
UNIVERSIDAD UNIVERS IDAD NACIONAL NACION AL A!IERTA A!IERTA Y A DISTANCIA OCTU!RE " DE 201#
CEAD VEL$Z INTRODUCCIÓN
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
CEAD VEL$Z INTRODUCCIÓN
E% &'()*(+,' ,* *-)* ,'&./*()' +(% *- *% *-.%),' ,* % 3%+&&+( ,* %'- &'('&+/+*()',5.++,'- *( % .(+,, 16 ,*% &.-' ,* *&.&+'(*- ,+**(&+%*-6 -'* *&.&+'(*- ,+**(&+%*,* 3+/* ',*(6 .)+%+8(,' %'- /9)','- (*&*-+'- 3 % &.%/+(&+( ,* %'- **&+&+'-6 )',' *-)' &'( *% +( ,* ./*() % &3&+,, (%;)+& < ,*-'%% &'/3*)*(&+- 5.* 3*/+)( % *-).,+()* , *-3.*-) (*&*-+,,*- ,* '/&+( *%&+'(,- &'( *% 3*+% ,*% .).' 3'*-+'(%= E% 3*-*()* )' )+*(* &'/' +( 3%+& %'- &'('&+/+*()'- ,5.++,'- *( % .(+,, .(' ,* *&.&+'(*- ,+**(&+%*-6 &.-' 5.* ('- +(, >*/+*()-6 )9&(+&- < *-))*?+- @-+& 3 , -'%.&+( **&+&+'- 3@&)+&'- ,* , * (@%+-+- -'* -+).&+'(*- 3'3.*-)-6 %' &.% -*@ /.< +/3')()* *( % -'%.&+( ,* 3'%*/- *%*- )()' *( (.*-) +, 3'*-+'(% &'/' 3*-'(%=
O!BETIVOS
O*)+' G*(*%
*-'%* 3'%*/- < **&+&+'- ,* *&.&+'(*- ,+**(&+%*- ,* 3+/* ',*( 3 % .(+,, 1= O*)+'- E-3*&;+&'-
&'/3*(,* %- )*/@)+&- < % '/ ,* ,*-'%%' ,* %- &)++,,*- ,* % .(+,, 1= D -'%.&+( &, .(' ,* %'- ;)*/- 3%()*,' R*%+8 .( +()*&&+( < -'&+%+8&+( &'( )','- %'- &'/3*'- ,* ?.3' &'%')+'
PRIMERA ACTIVIDAD INDIVIDUAL
S* 3*-*()( ,+*8 10 3*?.()- )+3' SA!ER PRO6 ,* %- &.@%*- &, +()*?()* ,** -*%*&&+'( ,'- < -*%*&&+'( % *-3.*-) &'*&) .-)++&@(,'% &'( )',' *% 3'&*,+/+*()' */3%*(,'6 *% /9)',' ,*&.,' 3 %%*? -. -'%.&+( ?*(*% <' 3)+&.%= E% *-).,+()* ,** ?()+8 5.* %'- **&+&+'- -*%*&&+'(,'- -*( ,+**()*- %'- ,* -.- &'/3*'-= E+/3')()* 5.* &, .(' ,* %'- +()*?()*- ,*% ?.3' *+-* < *%+/*()* &'/' /;(+/' .(' ,* %'- **&+&+'- ,*-'%%,'- 3' -.- &'/3*'- ,* ?.3' < 5.* *-)' 3*/+)+@ .( &'/3*(-+( +()*?% ,* % .(+,,=
ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA A &'()+(.&+(6 .-)*, *(&'()@ 3*?.()- 5.* -* ,*-'%%( *( )'(' .( *(.(&+,'6 3'%*/ ' &'()*)'6 *()* % &.%6 .-)*, ,** -*%*&&+'( - *%*&&+'( 5.*%% '3&+( 5.* *-3'(, &'*&)/*()* % ;)*/ 3%()*,' *()* &.)' +,*()++&,- &'( %- %*)- A6 B6 C6 D= U( *8 % -*%*&&+'(*6 /@5.*% &'( .( %' % 5.* &'*-3'(, < .-)++5.* % *-3.*-)= R*-3'(, %- 3*?.()- 1 < 2 &'( -* % -+?.+*()* +('/&+(=
E( % UNAD CEAD B'-9 A&**,' A&**,' < G/*8 .( *-).,+()* ,* I(?*(+*; ,* -+-)*/- '-* *% -+?.+*()* %*)*' *( %- '+&+(- ,* % EC!TI= CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Una Ecuación Diferencial (E.D.) es una ecuación que contiene una aria!le "esconoci"a # sus "eria"as$ se clasifican "e acuer"o a tres co%&onentes. 1. Tipo
2. Orden
3. Linealidad
'. Tipo Una E.D. es ordinaria si la aria!le "esconoci"a "e&en"e sola%ente "e una aria!le In"e&en"iente$ &ero si la aria!le "esconoci"a "e&en"e "e "os o %*s aria!les in"e&en"ientes$ la ecuación "iferencial es parcial. +. Orden El or"en "e una E.D. es el or"en "e la %a#or "eria"a que a&arece en la ecuación. ,. Linealidad Una E.D. es lineal si cu%&le "os caracter-sticas. caracter-sticas. a. La aria!le "e&en"iente “y” unto con to"as sus "eria"as son "e /ri%er or"en$ esto es la &otencia "e ca"a ter%ino "e “y” es '. “ ”
1= U( *&.&+( *&.&+( ,+**(&+ ,+**(&+%% ',+(% ',+(% ,* T*& T*&* * ',*( L+(*% L+(*% &'*-3'(, &'*-3'(,** =
A.
( )
B.
d y d y dy x −7 x 2 2 +6 xy −7 y =0 3 dx dx dx
C.
d y d y dy + 5 x 2 2 + 3 xy − 6 y =e x + 1 3 dx dx dx
D.
δ y δ y c + 2 = 0 4 δx δt
3
2
dy d y dy + 7 x 2 2 −6 x + 5 y = x + 2 dx dx dx 3
2
3
3
2
4
2
2
L *&.&+( 5.* &./3%* % &'(,+&+( *- % ! 3'5.*
TERCER ORDEN
3
Justificación: T*&* ',*(6 % /<' ,*+, ,* % *&.&+( *-
d y x 3 dx 6 %+(*% 3'5.* 3
)',- -.- ,*+,- -'( ,* 3+/* ?,' 3')*(&+ 1 < -.- &'*+&+*()*- ,*3*(,*( ,* % +%* +(,*3*(,+*()* X6 ,*/@- % *&.&+( *-)@ +?.%, 0= N@*86 2012=
( ) ( ) 4
2= L *&.&+( ,+**(&+% A= != C= D=
2
2
2
d y d y 3 dy y y 3 + + =5 x &'*-3'(,* : 4 2 dx dx dx
E&.&+( ,+**(&+% O,+(% ,* -*?.(,' ',*( (' %+(*%= E&.&+( ,+**(&+% O,+(% ,* &.)' ',*( %+(*%= E&.&+( ,+**(&+% O,+(% ,* -*?.(,' ',*( %+(*%= E&.&+( ,+**(&+% O,+(% ,* &.)' ',*( (' %+(*%=
CUARTO ORDEN
NO LINEAL POTENCIA DIFERENTE DE 1
( ) ( ) 4
2
2
2
d y d y 3 dy y y 3 + + =5 x 4 2 dx dx dx
Justificación: D* &.)' ',*( 3' 5.* % /@+/ 3')*(&+ ,* .( ,*+, *- 4 N' %+(*%
3'5.* % +%* Y *- ,* )*&* ?,' < 3 -* %+(*% ,** -* ,* 3+/* ?,'
Responda las preguntas 3 y 4 con base a la siguiente información.
E( .( CIPA ,*% CEAD I?.9 ,*% &.-' ,* *&.&+'(*- ,+**(&+%*- -* 3*-*() % -+?.+*()* -+).&+(= C.(,' % *&.&+( ,+**(&+% (' *- -*3%*6 *&) (+ %+(*%6 3',;/')(-'/% *( .( *&.&+( 5.* -*3/'- *-'%*J6 ,* )% '/ *( &'(*)+ *&.&+'(*,+**(&+%*- 5.* 3.*,*( -* )(-'/,- *( -*3%*- 3' /*,+' ,* -.-)+).&+'(*- ,*&.,-6 &'/' *- *% &-' ,* %- *&.&+'(*- ,+**(&+%*- >'/'?9(*- 5.* -'( ,* % '/
dy =f ( x , y ) dx
y 6 *( %- 5.* -* 3.*,*( *3*- &'/' .( .(&+( 5.* -%' ,*3*(,* ,*% &'&+*()* x =
3
T*(+*(,' *( &.*() % +('/&+( ()*+'6 % -'%.&+( ?*(*% ,* % *&.&+( ,+**(&+% x
>'/'?9(*=
dy 2 + y = xy dx
2
C'*-3'(,* :
A.
x
y = c −e x y
B.
e =cx
C.
y =lnx + e + c
D.
y = c + x
y
2
Otra forma de solución:
C'*-3'(,* : A. B.
x
y = c −e x y
e =cx
y
C.
y =lnx + e + c
D.
y = c + x
2
D)'-: x
E&.&+(:
2
dy 2 + y = xy dx
y = vx ≅ dy = xdv + vdx
I?.%/'- 0= x
dy 2 dy + y = xy ≅ x 2 + y 2 − xy =0 dx dx
2
S.-)+).+/'- ,
2
( xdv + vdx ) dx
+( vx )2− x ( vx )= 0
R*%+8/'- %- /.%)+3%+&&+'(*- < %- -*3&+'(*- ,* % -./ x
dv 2 vdx dv + x +( vx )2−v x 2=0 ≅ x 3 + x 2 v +( vx )2− v x 2= 0 dx dx dx
3
S&/'- &)' &'/K( x
dv 2 dv dv dv + x v ( v −1 ) =0 ≅ x 3 + x 2 v ( v )=0 ≅ x 3 + x 2 v 2=0 ≅ x3 =− x 2 v 2 dx dx dx dx
3
2
2
dv − x v = 3 dx x
dv dv dv dv v 1 =− x 2−3 v 2 ≅ =− x −1 v 2 ≅ =− v 2 ≅ = − ≅ dx dx dx x dx x
D*/'- )9/+('- -*/*()*- /'- %,'dv −v dv dx = = dx x −v x 2
≅
2
A>' +()*?/'- 3' -*3,'
∫ −dvv =∫ dx x 2
2
∫
−2+ 1
∫
¿ x ∨¿+ C
∫ xdx =ln ¿ ¿ x ∨¿+ C −−1 =ln ¿ v
S.-)+).+/'- *% %' ,*
¿ x ∨¿+ C x = ln ¿ y −−1 =ln | x|+ C − − x = ln ¿ ≅ y y x
¿ x ∨¿+ C
≅
N'- 5.*,:
¿ x ∨¿+ C x = ln ¿ y
E%*/'- 3')*(&+ -* * x y
e =e ln | x|+ c x y
e =e ln| x|∗e
c
x y
c
x y
c
e =e ∨ x ∨¿
e =e x x y
−1
dv v v −1 1 1 −2 dv =v = = = = = ≅ 2 2 −2 + 1 −1 −1 v v −v −v
e =cx
∫ −dvv =−( −v1 ) 2
x y
Respuesta B = e =cx T>* M)> S'&** 6 2014
4 E% ).)' ,.()* % CIPA %* +(,+& %'- *-).,+()*- 5.* *( %- *&.&+'(*- ,+**(&+%*- -.-'%.&+'(*- -'( ?*(*%*-6 3*' -+ -* -+?(( %'*- +(+&+%*- -* ')+*(* .( -'%.&+( 3)+&.% ,* ,+&> *&.&+( ,+**(&+% ,*+,' 5.* -* &'('&* *% %' ,* % &'(-)()* &J= x
S+ % *&.&+(
2
dy 2 + y = xy -* 3*-*() % &'(,+&+( +(+&+% ,* < 116 *% %' ,* % dx
&'(-))* &J *-: A.
c=e
B.
c =1 + e
C=
c =1 − e
D.
c =0
Otra forma de solución:
Datos: E&.&+(:
x
2
dy 2 + y = xy dx
C'(,+&+( +(+&+% <11 C'()()* C I,*()++&/'- 5.* % *&.&+( *- ,* )+3' !*('.%%+ ,'(,*: dy + p ( x ) y= f ( x ) y n dy
E()'(&*-
dy 2 + y = xy dx
x
2
x
2
dy − xy =− y 2 dx
dy 1 −1 − y = 2 y 2 dx x x
C'(*)+/'- % *&.&+( ,* !*('.%%+ *( .( *&.&+( %+(*% n =2 1−n
u= y u=
= y 1−2= y−1
1
y
y =
1
u
dy −1 du = dx u 2 dx
R**/3%8(,' −1 du 1 1 −1 − = 2 2 u dx x u
1 2
x u
2 M.%)+3%+&/'- /'- %,'- 3' −u
du 1 1 + u = 2 dx x x
C%&.%/'- *% &)' ,* +()*?&+( ∫ 1 x dx ln| x| ln y m ( x )= e =e =e = x m ( x )= x
x
du 1 + u= dx x
d 1 [ x∗u ]= dx x
I()*?(,' x∗u =ln | x|+ c R*&',/'- 5.*
u=
1
y
E%*/'- 3')*(&+ -* * x y
e =e ln | x|+ c x y
e =e ln| x|∗e
c
x y
c
x y
c
e =e ∗¿ x ∨¿ e =e ∗ x x y
e =c∗ x c= e Respuesta: A. c = e
Respona !as p"e#untas $ a !a %& con 'ase en s(#u(ente (n)o"*ac(+n. ECUACIONES DI,ERENCIALES DE PRIMER ORDEN L- *&.&+'(*- ,+**(&+%*- -'( .( / .(,/*()% ,* %- /)*/@)+&- %- &.%*,*-&+*( .( -+).&+( ;-+& ,*)*/+(,6 -; /+-/' ,*)*/+(( < -* ,* /(* *&) ' 3'+/,6 % -'%.&+( 3'3+, ,* .( *&.&+( * +()*3*)( % -'%.&+( 5.* -* *(&.*()*= E+-)*( +'- /9)','- 3 -'%.&+'( *&.&+'(*- ,+**(&+%*- ,*3*(,+*(,' ,*% ',*( *( 5.* -* *(&.*()* % ,*+,=
I(+&+%/*()* -* *-).,+( %- *&.&+'(*- ,+**(&+%*- ,* 3+/* ',*( 5.* -* &&)*+8( *( 5.* *%&+'(( .( .(&+( ,*-&'('&+, < .( ,*+, ,* 3+/* ',*( ,'(,* 3 3',* *-'%*%- -* 3.*,*( */3%* )%*- &'/' V+%*- -*3%*-6 *&)-6 &)' +()*?()*6 < %+(*%*- %- &.%*- (' *5.+**( )(-'/&+'(*- 3*' &.(,' % *&.&+( ,+**(&+% (' *-*3%*6 *&)6 &)' +()*?()* (+ %+(*%6 3',;/'- )(-'/% *( .( *&.&+( 5.* -*3/'- *-'%*J6 ,* )% '/ *( &'(*)+ *&.&+'(*- ,+**(&+%*- 5.* 3.*,*( -* )(-'/,- *( -*3%*- 3' /*,+' ,* -.-)+).&+'(*- ,*&.,-6 &'/' *- *% &-' ,* %*&.&+'(*- ,+**(&+%*- >'/'?9(*- 5.* -'( ,* % '/
dy =f ( x , y ) 6 *( %- 5.* -* 3.*,*( dx
y *3*- &'/' .( .(&+( 5.* -%' ,*3*(,* ,*% &'&+*()* x 6 ' ,* % '/
dy =f ( u ) dx
dy ,'(,* . *- .( *3*-+( *( )9/+('- ,* 6 < dx =f ( x , y )
dy =f ( u ) , dondeu esuna expresión enterminos de x , y .)'/@)+&/*()* -* )(-'/ *( dx
+%*- -*3%*-=
$
La so!uc(+n #ene"a! e !a ecuac(+n ()e"enc(a! co""espone a: A=
x + ln| y|+ ( y + 1 ) √ y + 1 −
!=
x + ln| y|+ √ y + 1 + c =0
2
2
2
2
2
( y +1 ) 2
C=
2
x Lny −
2
x Lny +
+ c =0
3 2
D=
3 2
( y + 1) 3
3 2
+ c =0
1 y + c =0 3
dy dx = 2 2 2 −2 xyln ( y ) x + ( y √ y + 1 )
S'%.&+( R*-'%*/'-: dy ( x ) dx 1 = 2 2 2 x y ( x ) ln ( y ( x ) ) x + y ( x ) √ y ( x )2 + 1
−
R**-&++/'- % *&.&+(: x
¿ ¿ ¿2 2 y ( x ) + 1 y ¿ 2 x + √ ¿ −1 ¿
M.%)+3%+&/'- /'- %,'- 3':
−2 xy + ( x 2 + y 2 √ y 2 + 1 ) ln ( y ) : D* *-) /(* ')*(*/'-: 2 yln
( y ) x + ( x + y √ y + 1 ) y ´ ( x ) =0
S* -* 5.*
2
2
2
R ( x , y )=2 ln ( y )
< S ( x , y )= x + y √ y + 1 6 *-)' (' *- .( *&.&+( *&)6 <
5.*: ∂ R ( x , y ) ∂ S ( x , y ) =2 xln ( y ) + 2 x ≠ 2 x = ∂y ∂x
2
2
2
D*&%/'- .( &)' ,* +()*?&+( μ ( y ) 6 ,* )% /(* 5.*: μ ( y ) R ( x , y ) + μ ( y )
E-)' -+?(++& 5.*
2 yln ( y )
dy ( x ) S ( x , y )=0 E- *&) dx
∂ ∂ μ ( y ) R ( x , y ) )= ( μ ( y ) S ( x , y ) ) : ( ∂y ∂x
dμ ( y ) x + 2 μ ( y ) x + 2 ln ( y ) μ ( y ) x = 2 μ ( y ) x dy
D*-3*/'- μ ( y ) ,*% %,' +85.+*,': ∂ μ ( y ) ∂y −1 = μ ( y ) y
I()*?/'- *( /'- %,'- &'( *-3*&)'
y
ln ( μ ( y ) )=−ln ( y )
T'//'- *3'(*(&+%*- ,* /'- %,' μ ( y )=
1
y
M.%)+3%+&/'- *( /'- %,'- ,*
( x + y ( x ) 2
2
P' μ ( x ( x ) ) :
(
)
dy ( x ) + 2 x y ( x ) ln ( x ( x ) )=0 dx
2 √ y x +1 )
2 dy ( x ) x 2 2 xln ( y ( x ) ) + + √ y ( x ) + 1 y ( x ) =0 dx y ( x )
2
x 2 Y ( x , y )= y + y √ y + 1 E- .( *&.&+( *&)6 < 5.*:
S*/'- 5.* P ( x , y )=2 xln ( y ) ∂ P ( x , y ) 2 x ∂ ( x , y ) = = ∂y y ∂x
D*+(+/'-
f ( x , y ) 6 3' %' )()'
∂ f ( x , y ) = P ( x , y ) Y ∂x f ( x , y ) =c 1
E()'(&*-6 % -'%.&+( -*@ ,, 3'
6 D'(,*
c1
∂ f ( x , y ) = ( x , y ) ∂y
E- .( &'(-)()* +)+=
∂ f ( x , y ) C'( *-3*&)' x *( ',*(6 3 *(&'() f ( x , y ) : ∂x
I()*?/'-
∫
2
f ( x , y ) = 2 ln ( y ) x dx =ln ( y ) x + ! ( y )
D'(,*
! ( y ) *- .( .(&+( +)+ ,* y =
D+**(&+/'- f ( x , y ) &'( *-3*&)' y *( ',*( 3 *(&'() 2 ∂ f ( x , y ) ∂ x d! ( x ) 2 = ( ln ( y ) x + ! ( y ) )= + ∂y ∂y y dy
S.-)+).+/'- ,*()'
∂ f ( x , y ) = ( x , y ) : ∂y
x d! ( y ) x + = + y √ y2+ 1 y dy y 2
2
! ( y ) :
d! ( y ) : dy
R*-'%*/'- 3
d! ( y ) = y √ y 2 + 1 dy
I()*?/'-
d! ( y ) C'( *-3*&)' y : dy 3
1 2 y √ y + 1 dy = ( y + 1) 2 3
∫
! ( y )=
2
S.-)+).+/'- ! ( y ) ,*()' ,* f ( x , y ) : 3
1 2 f ( x , y ) =ln ( y ) x + ( y + 1 ) 2 3 2
F+(%/*()*6 % -'%.&+( ,*
f ( x , y ) =c 1 *-:
3
1 2 ln ( y ) x + ( y + 1 ) 2 =c 1 3 2
L' &.% -*; %' /+-/' 5.*: 3 2
2
x ln ( y ) + 2
( y + 1 ) 3
= c1
- A! Reso!e" !a ecuac(+n ()e"enc(a!
dy =dx "si y ( 0 )= # −1 / e! a!o" sen ( x − y + 1 )
ap"o0(*ao e !a constante c co""espone a:
1= 2= = 4=
1 0 1 2
ⅆ$
sⅇn ( % −$ + 1 )
=ⅆ%
ⅆ $ = sⅇn ( % −$ + 1 )
,
∫ ⅆ =∫ sⅇn ( % −$ +1 ) dx $
. % −$ + 1 ,.1, ,., 1 Y
∫s
Y
∫s
n ( u ) 1 du
ⅇ
Y&'-U *-)' 3'
ⅇ
n ( u ) du
∫s
ⅇ
n ( u ) du &'- .
S.-)+).+/'- % *&.&+( . . % −$ + 1 Y&'- 1<&
0 Q1
Q1 &'- 1 Q1 0 &
Q1 &'- 1 1 0 &
Q1 &'- 16 1=42 &
Q1 06 &
Q1 0= &
C16141
S+ 3'+//'- & 1
1. La s(#u(ente ecuac(+n ()e"enc(a! x ( 2 x −3 y ) dy = y (2 x − y ) dx 3
so!uc(+n #ene"a!: y −2 9 ln − =6 ln | x|+ c 3 x y A=
||
() x
−2 !=
()
3
y x
−9 ( e ) y / x =6 ( e ) y / x + c
||
y =6 ln| x|+ c x
C=
9 ln
D=
9 (e)
y / x
=6 ( e ) y / x + c
3 −¿ y
3
X 2 x 3−3 y 3 ¿ dy = y 2 x ¿ dx 3
3
y ( 2 x − y ) dy = dx x ( 2 x3 −3 y 3)
2 x
3
3
y ( 3 − 3) dy y x x = 3 dx x 2 x 3 y 3
()
x
3
−
x
3
3
3
3
t(ene
co*o
y 3 ¿ ) x
2−(
¿ y 3 2−3 ( ¿ ) x
¿ ¿ ¿
()
dy y = ¿ dx x
3
u ( 2 −u ) du ∗ x + u= 3 dx 2 −3 u u ( 2− u ) du ∗ x = −4 3 dx 2−3 u 3
4
du 2 u − u −2 u + 3 u x = 3 dx 2−3 u
4
4
du 2u x = 3 dx 2−3 u
3
2 −3 u 4
2u
du =
dx x
∫ u− du− 32 ∫ duu = ln ( x ) +c 4
−3
u
3
−
y 3 ¿ x
¿ 3¿ −1 ¿
3 ln (u )= ln ( x ) + c 2
y 3 ¿ x
¿ ¿ −2 ¿
−2
() y x
3
−9 ln
| |= y x
−2 Respuesta: A.
() y x
3
6 ln| x|+ c
−9 ln
||
y =6 ln | x|+ c x
E-)* )+3' ,* 3*?.()- &'(-) ,* .( *(.(&+,'6 3'%*/ ' &'()*)' 3)+ ,*% &.% -* 3%()*( &.)' '3&+'(*- (./*,- ,* 1 46 .-)*, ,**@ -*%*&&+'( % &'/+(&+( ,* ,''3&+'(*- 5.* *-3'(, ,*&.,/*()* % 3*?.() < /&% *( % >' ,* *-3.*-)6 ,* &.*,' &'( % -+?.+*()* +('/&+(:
Ma"2ue A s( % 3 4 son co""ectas. Ma"2ue B s( % 3 5 son co""ectas. Ma"2ue C s( 4 3 6 son co""ectas. Ma"2ue D s( 5 3 6 son co""ectas.
7. S(*u!t8nea*ente en !a UNAD CEAD I'a#u9 un estu(ante e In#en(e"a (nust"(a! O'se"a e! *(s*o !et"e"o en !as o)(c(nas e !a ECBTI.
( )
2
2
d y dy e + =1 es una 2 2 E! estu(ante puee a)("*a" 2ue !a Ecuac(+n ()e"enc(a! dx dx y
ecuac(+n ()e"enc(a! o"(na! No !(nea! po"2ue: 1= 4. 5. 4=
y
e
L -*?.(, ,*+, ,*3*(,* ,* La Ecuac(+n ()e"enc(a! no cont(ene a"(a'!e Inepen(ente 0. La p"(*e"a e"(aa est8 e!eaa a! cua"ao. L +?.%,, ,**; -* +?.% &*'=
R*
Respuesta: Comprobación por medio del enunciado
L +%* ,*3*(,+*()* ;3< .()' &'( )',- -.- ,*+,- -'( ,* P+/* ',*(6 *-)' *- % 3')*(&+ ,* &, )*/+(' ,* ;3< *- 1=
( ) dy dx
2
2
C, &'*+&+*()* ,*3*(,* -'%' ,* % +%* +(,*3*(,+*()* ;0<
d y e 2 dx y
= T*(+*(,' *( &.*() 5.* *% 3+/* /9)',' ,* -'%.&+'( .( *&.&+( ,+**(&+% ,* 3+/* ',*( *- *% ,* +%*- *% &.% )+*(* &'/' '/ ?*(*%
dy =f ( x ) ! ( y) dx
< % -*3%-
dy! ( y )= dxf ( x ) 6 -* +()*? < -* 3.*,* %%*? % -'%.&+( ?*(*%6 >< '&-+'(*- 5.* -*
*5.+** .( )(-'/&+( *-3*&+% ,* % '/ dy )9/+('- ,* 6 < dx =f ( x , y )
dy =f ( u ) ,'(,* . *- .( *3*-+( *( dx
dy =f ( u ) , donde u esuna expresión enterminos de x , y dx
.)'/@)+&/*()* -* &'(+*)* *( +%*- -*3%*-= C'( -* % ()*+' +('/&+( *% /9)',' /@- 3'3+,' < % -'%.&+( ?*(*% ,* % *&.&+( ?*(*% dx =( x y + x + y +1 ) dy &'*-3'(,*( : 2
2
2
2
1= T(-'/%*- +%*- -*3%*-= 2= V+%*- -*3%*-=
2
x − 2 x
=
y +1=c e
4=
x + 1 =c e
( x + 1 )
2
y − 2 y
2
4
( y + 1 )
4
Comprobación por medio de ecuaciones de variables separables Colocamos la ecuación de la forma Pdx =dy
despejando la ecuación
dx =( x y + x + y + 1 ) dy 2
2
2
2
y
¿ (¿ 2 + 1 ¿ ) 2 2 x ( y + 1 )+¿ dy dx =¿ 2
y + 1
¿
x
¿ (¿ 2 + 1 ¿)dy dx =¿ Despejando dx 2 y = + 1 ) dy ( 2 x 1 ( + )
He, integrando dx
∫ ( x +1) =∫ ( y +1 ) dy 2
2
1 2
∫
(( − ) 1
x 1
−
1
( x +1 )
)
∫ ( y +1 ) dy
dx =
2
( x + 1 ) ln ( x −1 )− ln ¿ ¿ 1 ¿ 2
implificamos la ecuación con !uler " las identidades logar#tmicas
( x −1 ) 2 y 3 ln = + 2 y + C !levamos a la !uler ( x +1 ) 3 ln
e ln
e
( x − 1) ( x + 1 )
( x − 1) ( x + 1 )
=e =e
2 y 3
3
2 y 3
3
+ 2 y + C
+ 2 y + C
a
'
ln
( x −1) ( x + 1 )
e &e
e
a+' e
=
despejamos constante
( x −1) ( x + 1 )
$dentidades logar#tmicas
3
2 y +2 y ( x −1 ) 3 C e = ( x +1 )
( x −1 )=C e
2 y 3
3
+ 2 y
( x + 1 )
10= T*(+*(,' *( &.*() %'- /9)','- ,* -'%.&+( ,* %- *&.&+'(*- ,+**(&+%*- ,* 3+/* ',*(
( x + e x seny + y ) dx *% /9)',' 3'3+,' ,* -'%.&+( ,* % *&.&+( ,+**(&+% −( 3 x y + e x cosy + y ) dy =1 < 3
3
2
-. -'%.&+( ?*(*% &'*-3'(,*( : 4
1= =
x + y
+ e x cosy+ x y 3= c
4 4
2= =
4
x + y 4
4
+ e x seny + x y =c 3
= E&)4= F&)' +()*?()* Comprobación por medio de ecuaciones e%actas Colocamos la ecuación de la forma
Pdx + dy =0
despejando la ecuación
( x + e x seny + y ) dx =−( 3 x y +e x cosy + y ) dy 3
3
( x + e x seny + y ) dx +( 3 x y +e x cosy + y ) dy = 0 3
Con
3
2
3
2
3
3
x
3
P ( x , y )= x + e seny + y
3
( x , y )=3 x y + e cosy + y x
2
x
P y =e cosy + 3 y x
3
2
x = e cosy + 3 y
Derivada respecto a " 2
Derivada respecto a %
!s claro &ue x
P y ¿ e cosy + 3 y
2
'uego la !. D. es e%acta
Calculemos la función potencial ( )&ue nos dar* directamente las soluciones ( ( x , y )= C Como x
3
( x = x + e seny + y
3
$ntegrando respecto de % 4
x x 3 ( ( x , y )= + e seny + xy + ) ( y ) 4
Derivando respecto de " e igualando a + &ueda
e cosy + 3 xy + ) ( y ) =3 x y + e cosy + y x
*
2
x
2
3
Es ec(" e cosy + 3 xy + ) ( y ) =3 x y + e cosy + y x
*
2
) ( y )= y *
x
2
3
) ( y )= y *
De donde basta tomar
) ( y )=
y
3
3
e integramos obteniendo
4
4
- por tanto
x
4
( ( x , y )= + e seny + xy + 4
x
3
y
4
4
s#, la solución de la !. D. viene dada, impl#citamente, por
x
4
x
4
3
y
4
+ e seny + xy + = C 4
4
x + y 4
4
+ e x seny + xy 3 C
PRIMERA ACTIVIDAD GRUPAL
S* 3%()* .( -+).&+( 3'%*/ < *% ?.3' ,* *%+8 %'- 3')*- *-3*&)+'- *( *% '' &'%')+' &'( *% +( ,* *&'('&* %- &&)*;-)+&- ,*% 3'%*/ 5.* -* > 3%()*,' < .-& *% /9)',' ,* -'%.&+( /@- 3'3+,' -*?K( %- *&.&+'(*- ,+**(&+%*- ,* 3+/* ',*(= /roblema:
C'(,.&)++,, ,*% /)*+%= !' &+*)- &'(,+&+'(*- % &()+,, &'(-)()* &%';--*?.(,' ,* &%' 5.* 3- )9- ,* .( 3*, *-)@ ,, 3'= d- =−+ dx 2 D'(,* *- % &'(,.&)++,, ,*% /)*+%6 (cm ) *- % -.3*+&+* ,* .( & ,* %
3*, 3*3*(,+&.% % ,+*&&+( ,*% %.' < T *- % )*/3*). &/ ,* *- &6 ,* '/ 5.* T ,+-/+(.<* &.(,' ./*()= H%% *% (K/*' ,* &%';- 3' >' ,*% &%' 5.* 3- 2
)9- ,* ( 1 m )
,* % 3*, ,* .( >+)&+( +?';+& ,* 12" &/ ,* *-3*-' < 06002"6 -+
% )*/3*). ,* % & +()*+' *- ,* "C < ,* % & *)*+' *- ,* 7"C=
olución:
A= 100cm x 100cm= 10 cm2
125 cm espesor
l!"
Q
T= #5$C
A= 1m2
T= %5$C X
D)'-: 0=002" A 1 /2 100 &/2 T1 " C T2 7" C X 12" &/ E&.&+( I(+&+%
=−+
d- dx
V*/'- 5.* )*(*/'- .( ,*+,6 3' )()' 3 ')*(* *% %' ,* %- &%';-6 ,*-3*/'- % ,*+, * +()*?/'-= d- d- =−+ dx =d- = ≅ ≅ dx −+ d% −+
R*',*((,' )9/+('− d- = dx +
A>' +()*?/'∫ d- =∫ − dx +
R*-'%*/'- %- +()*?%*- 3' -*3,'= P+/*' +()*?/'- ,T= C'/' )*(*/'- ,'- )*/3*).-6 .( +(+&+% < ') +(%6 .)+%+8/'- %+()*?%*- ,*+(+,- *( .( +()*%' &*,' W0"6 7"6 -* 3%+& % *&.&+(: F(/*S. 6 201
(x / ' fxdx = =¿ (' − (a a '
∫¿ a
A>' **/3%8/'−5
∫ d- = ∫ d-d% = ('− (a=−5 −75=80 a75
A>' +()*?/'-
− +
dx
∫ −+ dx = −+ ∫ dx = −+ x +C I?.%/'- %'- *-.%),'- ,* %- ,'- +()*?&+'(*80=
− +
x
D*-3*/'- 80=
− +
x ≅ =
80 +
x
R**/3%8/'- 3' %'- %'*- +(+&+%*2
80∗0.0025∗100 cm = 125 cm
Cal ∗3.600 se! Cal se! Cal =16 =16 =57.600 se! 1 .ora .ora
SEGUNDA ACTIVIDAD GRUPAL S* 3*-*() .( 3'%*/ .()' &'( -. -'%.&+(6 ,* '/ &'%')+ ,**( *%. < (%+8 )', % -'%.&+( % -+).&+( 3%()*6 -+ &'(-+,*( 5.* )',' *% 3'&*-' < *-3.*-) -* *(&.*() ,* /(* &'*&)6 ,**( *%+8 3')*- *( &.()' 3'&*,+/+*()' %)()* < /.%- .)+%+8,-6 *-%)(,' *( ')' &'%' %'- 3')*- *)- % -'%.&+(= S+ *% ?.3' &'(-+,* 5.* *% 3'&*-' <' *-3.*-) -* *(&.*() +(&'*&)'6 ,**( *%+8 % '-*&+( < &'*&&+( % *' ' *'*- *(&'(),'- *-%)(,' *( ')' &'%' % &'*&&+( < 3')*- *)- % -'%.&+(= S+).&+( < -'%.&+( 3%()*,: ituación " solución planteada:
S* -* 5.* % 3'%&+( ,* &+*) &'/.(+,, ./*()6 *( .( +(-)()* &.%5.+*6 &'( .( 3+,*8 3'3'&+'(% % (K/*' ,* 3*-'(- 3*-*()*- *( ,+&>' +(-)()*= S+ % 3'%&+( -* ,.3%+& *( " '-6 &.@()' ,*/'@ *( )+3%+&-*6 C.@()' ,*/'@ *( &.,.3%+&-*
dp = +p dt
⨜
dp = ⨜ dt p
−¿| p|
e
1
p
− +t +C e −+t + C
=lne
p=−ce
+t
dp = +p = dt
dp =+dt = p
ln P= +t + c
+t = P=ce pos(t(o>
Po= P ( 0 )
C'(,+&+( I(+&+% t =0 p= 0 c =/ + ( 0)
p0= ce p0= c
P: po'!ac(+n en t(e*po P&: po'!ac(+n (n(c(a! en t = & t : t(e*po en a?os dp dt : Rap(e@ con !a 2ue au*enta !a po'!ac(+n k : Constante e p"opo"c(ona!(a +t L' &.% p=− po e
p= po e
+t
P'-+)+'
/ara allar 0 lo &ue acemos es una segunda medición. t =5 a0os
p=2 p0 2 p 0= p0 e
+ ( 5)
5 +
2= e
+ = ¿
2
5
+ =0,13 p= po e
0,13 t
1Cu*l ser#a el tiempo si se triplicara2 0,13 t 3 p 0=3 po e −0,39 t
3= e
¿ 3= 0.39 t
¿3 0,39
=t
2,81 a0os =t 3 p 0= Po e
0,13t
0,13 t
3= e
0.13 t =ln 3
t =
1.09 0.13
t =8.3 1Cu*l ser#a el tiempo si se cuadruplicara2 0,39 t
4 p 0= po e
¿ 4 =0,39 t
¿4
=t
0,13
t =2,55 a0os 0,13 t
4 p 0= Po e 0,13 t
4=e
0.13 t =ln 4
t =
1.38 0.13
t = 10.6 a0os
Respuesta: 'a población se triplicara a los .3 a4os " se cuadriplicara a los 56.7 a4os
Se#una act((a "upa!: Ret"oa!(*entac(+n Denn(s S* 3*-*() .( 3'%*/ .()' &'( -. -'%.&+(6 ,* '/ &'%')+ ,**( *%. < (%+8 )', % -'%.&+( % -+).&+( 3%()*6 -+ &'(-+,*( 5.* )',' *% 3'&*-' < *-3.*-) -* *(&.*() ,* /(* &'*&)6 ,**( *%+8 3')*- *( &.()' 3'&*,+/+*()' %)()* < /.%- .)+%+8,-6 *-%)(,' *( ')' &'%' %'- 3')*- *)- % -'%.&+(= S+ *% ?.3' &'(-+,* 5.* *% 3'&*-' <' *-3.*-) -* *(&.*() +(&'*&)'6 ,**( *%+8 % '-*&+( < &'*&&+( % *' ' *'*- *(&'(),'- *-%)(,' *( ')' &'%' % &'*&&+( < 3')*- *)- % -'%.&+(= S+).&+( < -'%.&+( 3%()*,:
S(tuac(+n 3 so!uc(+n p!anteaa: S* -* 5.* % 3'%&+( ,* &+*) &'/.(+,, ./*()6 *( .( +(-)()* &.%5.+*6 &'( .( 3+,*8 3'3'&+'(% % (K/*' ,* 3*-'(- 3*-*()*- *( ,+&>' +(-)()*= S+ % 3'%&+( -* ,.3%+& *( " '-6 &.@()' ,*/'@ *( )+3%+&-*6 C.@()' ,*/'@ *( &.,.3%+&-* dp = +p dt
⨜
dp = ⨜ dt p
−¿| p|
e
1
p
L *&.&+( .)+%+8 *-) &'*&)
F%)' *% ,*-3** ,* % *&.&+( < %* >+-' %) % &'(-)()*
− +t + C e L +()*?&+( 5.*, +*( *&> 3*' *- &'( -+?('- 3'-+)+'−+t + C
=lne
A% *%*% % E.%* (' -* *%+/+( *% %( < 5.*,' /% ,*-3*, % *&.&+(
p=−ce
+t
E- % *&.&+( 3*' &'( -+?(' 3'-+)+'
C'(,+&+( I(+&+% t =0
p=0 + ( 0)
p0= ce
c =/
L &'(-)()* *-)@ +*( >%%,
p0= c
L' &.%
p=− po e
+t
% *&.&+( -+?.* *-)(,' (*?)+ < ,** ,* -* 3'-+)+
P >%% %' 5.* >&*/'- *- .( -*?.(, /*,+&+(= p=2 p0
t = 5 a0os 2 p 0= po e
+ ( 5)
L *-)@ +*( >%%,
5 +
2= e
+ = ¿
L* >+-' %) /@- &+- ,*-+/%*- ,*-3.9- ,*% 3.()'
2
+ =0,13
5
p= po e
0,13 t
P .( /<' *&)+).,
L *&.&+( *-)@ +*( *-&+)
C.@% -*; *% )+*/3' -+ -* )+3%+& 0,13 t
3 p 0=3 po e −0,39 t
3= e
¿ 3= 0.39 t
L *&.&+( (' *-)@ +*( A% */3%8 % &'(-)()* *-* (' *- *% %'
!.*( ,*-3** 3*' % *&.&+( < *-)@ /%6 % (' &'*-3'(,*
¿3 0,39
=t
2,81 a0os =t
L *-3.*-) *-)@ /%6 < 5.* % &'(-))* (' )*(; *% %' &'*&)'
C.@% -*; *% )+*/3' -+ -* &.,.3%+& 0,39 t
4 p 0= po e
L *&.&+( *-)@ +*(
¿ 4 =0,39 t A% */3%8 % &'(-)()* *-* (' *- *% %' ¿4
=t
!.*( ,*-3** % *&.&+( *-)@ +*( < % &'*-3'(,*
t =2,55 a0os
L *-3.*-) *-)@ /%6 % '3*&+( 5.*, /% >*&>
0,13
Co*p"o'ac(+n e! p"o'!e*a ante"(o" con !os a!o"es 3 "espuestas co""ectas Sea P= Po'lación de la comunidad enel tiempot po= Po'lación inicial , ent = 0 t =-iempo,ena0os dp = Rapide1 conla 2ue aumete la po'lación dt 3 > 0 Costante de proporcionalidad
De ta! *ane"a 2ue: dp dp = 3P ⇔ = 3dt dt P
Inte#"a*os 3 e!ea*os a !a Eu!e"
lnP = 3t + C 1 3t
P=ce
1
po= P ( 0 )
2
Sust(tu3eno 4> en %> se o't(ene e! a!o" e !a constante C 3 (0 )
P=ce
⇔
c = po
Sust(tu3eno 5> en %> 3t
P= po e
4
t =5 } P= po
La po'!ac(+n se up!(co en $ a?os $>
5 3
4 2 po= p o e 4 2 =e
5 3
⇔
ln 2 =5 3 ⇔ 3 =0.13873
#
La )unc(+n 2ue a !a po'!ac(+n en )unc(+n e! t(e*po t/ se o't(ene sust(tu3eno -> en 6> P= po e
0.13873 t
7
Cuano !a po'!ac(+n se t"(p!(ca 1> 2uea: 3 p o= po e
t =
0.13873 t
⇔
3 =e
0.13873 t
⇔
ln 3=0.13873 t
ln 3 ⇔ t = 7.92 0.13873
Cuano !a po'!ac(+n se cua"up!(ca 1> 2uea: 4 p o= po e
t =
0.13873 t
⇔
4 =e
0.13873 t
ln 4 ⇔ t = 9.993 0.13873
⇔
ln 4 =0.13873 t
La "espuesta es 2ue !a po'!ac(+n se t"(p!(ca ap"o0(*aa*ente 1.4 a?os/ 3 se cua"up!(ca a !os .5 a?os
Se#una act((a "upa!: Ret"oa!(*entac(+n ((ana/ A!e0sane"
CONCLUCIONES •
L *%+8&+( ,* *-)* )' ('- 3*/+)* , .( *&'+,' ,* % .(+,, .(' < *'8 %'&'('&+/+*()'- ,5.++,'- *( *% ,*-'%%' ,* *-) .(+,,6 3 *()*(,* .( 3'&' %3%+&&+'(*- 5.* )+*(*( %- *&.&+'(*- ,+**(&+%*-6 -'( .( >*/+*() /.< K)+% 3 *% ,*-'%%' ,* @*- ,+;&+%*- ,* -'%.&+'( /*,+()* %'- /9)','- &'(*(&+'(%*- ' 3' )*(* '/- /@- &'/3%*- < ,* /@- (@%+-+- /)*/@)+&'=
•
E( % **&.&+( ,* *-)* )' **&+)/'- *% &'('&+/+*()' *( &.()' % *%+8&+( ,* **&+&+'- ,* *&.&+'(*- ,+**(&+%*-6 %'?(,' -; )*(* /@- &'('&+/+*()' -'* *% )+3' ,* -'%.&+'(*- 5.* -* %* ,( *-)'- **&+&+'- 3%()*,'- *( *% &.-' ,* '/ +()*?%=
REFERENCIAS G&;6 A= 2014= !cuaciones diferenciales. L'.--* 8 G.3' E,+)'+% P)+= 33= 2##= R*&.3*,' *% 14 ,* -*3)+*/* ,* 201# ,*:>))3:+%+')*&+).%=.(,=*,.=&':2077%+.(,-3*,*=&)+'(,'&ID110174#7
A%'(-'6 A=6 %*86 B= C%8,6 B= 200= !cuaciones diferenciales ordinarias: ejercicios " problemas resueltos= D*%) P.%+&&+'(*-= 33= "2= R*&.3*,' *% 14 ,* -*3)+*/* ,* 201# ,*:>))3:+%+')*&+).%=.(,=*,.=&':2077+,107#2 M*-6 F= 2012= !cuaciones diferenciales ordinarias: una introducción= C'%'/+: E&'* E,+&+'(*-= 33= 1"= R*&.3*,' *% 14 ,* -*3)+*/* ,* 201# ,*:>))3:+%+')*&+).%=.(,=*,.=&':2077%+.(,-3,*)+%=&)+'(,'&ID10"4022 C+&*,'6 A=6 G&;6 B=6 O-3+(6 L= 2010= 9todos para resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias = E,+&+'(*- E%+8&'/= 33= "= R*&.3*,' *% 14 ,* -*3)+*/* ,* 201# ,*:>))3:+%+')*&+).%=.(,=*,.=&':2077+,10"#"0 A/<6 B= 201"= 9todos de solución de ecuaciones diferenciales de primer orden= U(,= WV+,*'-= R*&.3*,' *% 14 ,* -*3)+*/* ,* 201# ,*:>))3:>,%=>(,%*=(*)10"#74
OA Un(a I Ecuac(ones ()e"enc(a!es e p"(*e" o"enInt"oucc(+n a !as ecuac(ones ()e"enc(a!es E( *-)'- *&.-'- ,+?+)%*- -* +(, +('/&+( %'- *-).,+()*- ,*% &'()*(+,' )*/@)+&' ,* % U(+,, 1 E&.&+'(*- ,+**(&+%*- ,* 3+/* ',*(6 I()',.&&+( %- *&.&+'(*- ,+**(&+%*&'( *% '*)+' ,* &+%+) *% *&'('&+/+*()' ,* %?.('- *%*/*()'- 5.* -* ,**( )*(* *( &.*() 3 *% &./3%+/+*()' ,* %'- '*)+'- &'?(+)+'- ,* % .(+,,= CM)/@)+&-6 201"= Differential !&uations and $ntegration. WOVA= R*&.3*,' *% 14 ,* -*3)+*/* ,* 201# ,*:>))3:[[[=&12='?&%&.%.-D+**()+%E5.)+'(-(,I()*?)+'(
C126 2014= olving eparable (irst8Order Differential !&uations= WOVA= R*&.3*,' *% 14 ,* -*3)+*/* ,* 201# ,*:>))3:[[[=&12='?&%&.%.-S'%+(?S*3%*F+-)O,* D+**()+%E5.)+'(-
