TR2 M (Manchay Diego, Zambrano Jimy Carolina Martinez).UPS.2014

FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA METODOS NUMERICOS INFORME DE TRABAJO PRIMER PARCIAL

TEMA: “ELIMINACIÓN DE GAUSS-SIMPLE Y MÉTODO DE GAUSS-JORDAN.”. ALUMNOS:   

CAROLINA MARTÍNEZ. MANCHAY DIEGO. ZAMBRANO JIMMY.



. .

 

FECHA DE ENTREGA: 20 DE NOVIEMBRE DEL 2014 PERÍODO ELECTIVO: OCTUBRE 2014- FEBRERO 2015

CALIFICACIÓN:

.

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA MÉTODOS NUMÉRICOS INFORME Nº2 INGENIERIA ELECTRICA 20-11-2014

METODOS NUMERICOS Alumno: Diego Manchay

e-mail: [email protected]

Alumno: Jimmy Zambrano


Alumno: Carolina Martinez.


INFORME Nº2 1. RESUMEN:

Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería, un método que se utiliza es la eliminación de Gauss el método fundamental para resolver ecuaciones algebraicas lineales simultáneas es un algoritmo efectivo en extremo para obtener las soluciones de muchos problemas en ingeniería. Además se menciona operaciones en matrices y su traspuesta esto utilizando métodos computacionales avanzados en un entorno como el interfaz de Matlab. PALABRAS CLAVE: Métodos

Numéricos, Matemáticas de ingeniería, Matlab, Eliminación de Gauss

2.- ABSTRAC: Numerical methods make us unfit to understand numerical order to solve mathematical problems, naval engineering, outlines a method that is used is the Gaussian elimination fundamental method for solving simultaneous linear algebraic equations is an effective algorithm in the extreme for solutions many problems in engineering. Besides operations and its transpose matrices mentioned this using advanced computational methods in an environment like Matlab interface KEYS WORK : Numerical Methods, Engineering Mathematics,

Matlab.

4. INTRODUCCION

El presente artículo da a conocer ciertos conceptos de la eliminacion de Gauss Simple y sus aplicaciones em problemas de la ingenieria de manera práctica y utilizando un programa realizado en Matlab , la cual va a proporcionar una facilidad al momento de realizar cualquier tipo de ejercicio que requiera del mismo ,así permitiendo la interacción entre el usuario y los servicios que ofrece nuestra programación. 5. M ARCO TEORICO

5.1. ELIMINACION DE GAUSS SIMPLE. En la ingenieria ciertos problemas brindan un numero determinado de incognitas,utilizando las ecuaciones se puede desarrollar un esquema sistemático o algorítmico para eliminar incógnitas y sustituir con el fin de encontrar el valor deseado de alguna variable. La eliminación de Gauss es el más básico de dichos esquemas.

5.1.1 Eliminación hacia adelante de incógnitas. La primera fase consiste en reducir el conjunto de ecuaciones a un sistema triangular superior. El paso inicial será eliminar la primera incógnita, x1, desde la segunda hasta la n-ésima ecuación. Para ello, se utiliza operaciones aritmeticas simples como divicion, multiplicacion,suma ,resta

3. OBJETIVO GENERAL: 

Conocer el metodo de eliminacion de Gauss Jordan y sus aplicaciones en Ingenieria y la manera de operación de este método numérico en el programa de Matlab.

3.1 Obj etivos E specíficos: 







Interpretar las operaciones con matrices y su traspuesta Resolver operaciones con matrices con dimenciones m,n,p. Resolver problemas por medio de la eliminacion simple de Gauss. Utilizar un paquete informatico (MATLAB) para la respectiva realizacion de los ejemplos.

Figura N1: metodo de eliminacion simple de Gauss

MÉTODOS NUMÉRICOS Campus Kennedy


Las dos fases de la eliminación de Gauss: eliminación hacia adelante y sustitución hacia atrás. Los superíndices prima indican el número de veces que se han modificado los coefi cientes y constantes.

5.1.2. División entre cero La razón principal por la que se le ha llamado simple al método anterior se debe a que durante las fases de eliminación y sustitución hacia atrás es posible que ocurra una división entre cero. Por ejemplo, si se utiliza el método de eliminación de Gauss simple para resolver:

Los ejemplos se presentan a continuacion como una resolucion de problemas para poner en practica estos conceptos de como utilizar estos dos metodos numericos. 6. PROBL EM AS PROPUESTOS.

Problemas propuestos del Texto de Métodos Numéricos para Ingenieros, sexta Edición, Capitulo 9 Eliminación de Gauss (Steven C. Chapra, Raymond P. Canale)[15] 9.3 Un número de matrices se definen como:

En la normalización del primer renglón habrá una división entre a11 = 0. También se pueden presentar problemas cuando un coeficiente está muy cercano a cero. La técnica de pivoteo se ha desarrollado para evitar en forma parcial estos problemas

5.2. PIVOTEO Un problema en la eliminacion de Gauss es cuando un elemento

Conteste las siguientes preguntas con respecto a estas matrices:

pivote es cero, ya que el paso de normalización origina una

(a) ¿Cuáles son las dimensiones de las matrices?

división entre cero.

(b) Identificar las matrices cuadradas, columnas y filas.

También llegan a surgir problemas cuando el elemento pivote es

(c) ¿Cuáles son los valores de los elementos: a12, b23, d32, E22,

cercano a o más aún que sea exactamente igual a cero, debido a

F12, G12?

que si la magnitud del elemento pivote es pequeña comparada

(d) Llevar a cabo las siguientes operaciones:

con los otros elementos, entonces se pueden introducir errores de redondeo. Por lo tanto, antes de normalizar cada renglón, resulta conveniente determinar el coeficiente más grande disponible en la columna debajo del elemento pivote. Los renglones se pueden intercambiar de manera que el elemento más grande sea el elemento pivote; esto se conoce como pivoteo parcial. Al procedimiento, donde tanto en las columnas como en los renglones se busca el elemento más grande y luego se intercambian, se le conoce como pivoteo completo, el cual se usa en muy raras ocasiones debido a que al intercambiar columnas se cambia el orden de las x y, en consecuencia, se agrega complejidad significativa y usualmente injustificada al programa de computadora.

5.3. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN El método de Gauss-Jordan es una variación de la eliminación de Gauss. La principal diferencia consiste en que cuando una incógnita se elimina en el método de Gauss-Jordan, ésta es eliminada de todas las otras ecuaciones, no sólo de las subsecuentes. Además, todos los renglones se normalizan al dividirlos entre su elemento pivote. De esta forma, el paso de eliminación genera una matriz identidad en vez de una triangular En consecuencia, no es necesario usar la sustitución hacia atrás para obtener la solución.

Introducimos los valores de las matrices >> A=[4 5; 1 2 ; 5 6] A= 4 5 1 2 5 6 >> B=[4 3 7;1 2 6;2 0 4] B= 4 3 7 1 2 6 2 0 4 >> C = [3; 5; 1] C= 3 5 1 >> D= [9 4 3 -6; 2 -1 6 5] D= 9 4 3 -6 2 -1 6 5 >> E=[1 5 9; 7 2 3;4 0 6] MÉTODOS NUMÉRICOS Campus Kennedy


E= 1 5 9 7 2 3 4 0 6 >> F = [2 0 1; 1 7 3] F= 2 0 1 1 7 3 >> G= [7 5 4] G= 7 5 4

a) Hallar las dimensiones de las matrices >> size (A) ans = 3 2 >> size (B) ans = 3 3 >> size (C) ans = 3 1 >> size (D) ans = 2 4 >> size (E) ans = 3 3 >> size (F) ans = 2 3 >> size (G) ans = 1 3

b. Identificar el cuadrado, las filas y columnas de las matrices >> A.^2 ans = 16 25 1 4 25 36 >> B.^2 ans = 16 9 49 1 4 36 4 0 16 >> C.^2 ans = 9 25 1 >> D.^2 ans = 81 16 9 36 4 1 36 25 >> E.^2 ans = 1 25 81 49 4 9

16 0 >> F.^2 ans = 4 0 1 49 >> G.^2 ans = 49 25 >> A(1,:) ans = 4 5 >> A(2,:) ans = 1 2 >> A(3,:) ans = 5 6 >> A(:,1) ans = 4 1 5 >> A(:,2) ans = 5 2 6 >> B(1,:) ans = 4 3 >> B(2,:) ans = 1 2 >> B(3,:) ans = 2 0 >> B(:,1) ans = 4 1 2 >> B(:,2) ans = 3 2 0 >> B(:,3) ans = 7 6 4 >> C(1,:) ans = 3 >> C(2,:) ans = 5 >> C(3,:) ans = 1

36

1 9

16

7

6

4



>> C(:,1) ans = 3 5 1 >> D(1,:) ans = 9 4 3 -6 >> D(2,:) ans = 2 -1 6 5 >> D(:,1) ans = 9 2 >> D(:,2) ans = 4 -1 >> D(:,3) ans = 3 6 >> D(:,4) ans = -6 5 >> E(1,:) ans = 1 5 9 >> E(2,:) ans = 7 2 3 >> E(3,:) ans = 4 0 6 >> E(:,1) ans = 1 7 4 >> E(:,2) ans = 5 2 0 >> E(:,3) ans = 9 3 6 >> F(1,:) ans = 2 0 1 >> F(2,:) ans = 1 7 3 >> F(:,1) ans = 2

1 >> F(:,2) ans = 0 7 >> F(:,3) ans = 1 3 >> G(1,:) ans = 7 5 >> G(:,1) ans = 7 >> G(:,2) ans = 5 >> G(:,3) ans = 4

4

c) Hallar los valores de las posiciones: >> A(1,2) ans = 5 >> B(2, 3) ans = 6 >> D(3, 2) ??? Index exceeds matrix dimensions. >> E(2, 2) ans = 2 >> F(1, 2) ans = 0 >> G(1, 2) ans = 5

d) Realizar las siguientes operaciones: Completamos las matrices para que sean todas cuadradas rellenando con CEROS para poder realizar las operaciones. >> A = [4 5 0 0; 1 2 0 0; 5 6 0 0; 0 0 0 0] A= 4 5 0 0 1 2 0 0 5 6 0 0 0 0 0 0 >> B = [4 3 7 0; 1 2 6 0; 2 0 4 0; 0 0 0 0] B= 4 3 7 0 1 2 6 0 2 0 4 0 0 0 0 0 >> C = [3 0 0 0; 5 0 0 0; 1 0 0 0; 0 0 0 0] C= 3 0 0 0 MÉTODOS NUMÉRICOS Campus Kennedy


5 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 >> D = [9 4 3 -6; 2 -1 6 5; 0 0 0 0; 0 0 0 0] D= 9 4 3 -6 2 -1 6 5 0 0 0 0 0 0 0 0 >> E = [ 1 5 9 0; 7 2 3 0; 4 0 6 0; 0 0 0 0] E= 1 5 9 0 7 2 3 0 4 0 6 0 0 0 0 0 >> F = [2 0 1 0; 1 7 3 0; 0 0 0 0; 0 0 0 0] F= 2 0 1 0 1 7 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> G = [7 5 4 0; 0 0 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 0] G= 7 5 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> E+B ans = 5 8 16 0 8 4 9 0 6 0 10 0 0 0 0 0 >> A+F ans = 6 5 1 0 2 9 3 0 5 6 0 0 0 0 0 0 >> B-E ans = 3 -2 -2 0 -6 0 3 0 -2 0 -2 0 0 0 0 0 >> 7*B ans = 28 21 49 0 7 14 42 0 14 0 28 0 0 0 0 0 >> A*B ans = 21 22 58 0 6 7 19 0 26 27 71 0 0 0 0 0 >> C' ans = 3 5 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> B*A ans = 54 68 0 0 36 45 0 0 28 34 0 0 0 0 0 0 >> D' ans = 9 2 0 0 4 -1 0 0 3 6 0 0 -6 5 0 0 >> A*C ans = 37 0 0 0 13 0 0 0 45 0 0 0 0 0 0 0 >> A*C ans = 37 0 0 0 13 0 0 0 45 0 0 0 0 0 0 0 >> I=eye(4) I= 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 >> I*B ans = 4 3 7 0 1 2 6 0 2 0 4 0 0 0 0 0 >> E'*E ans = 66 19 54 0 19 29 51 0 54 51 126 0 0 0 0 0 >> C'*C ans = 35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

CODIGO DEL PROGRAMA. A=input('Matriz cuadrada A : ') b=input('Vector de términos independientes b :' ) [n,q]=size(A); for i=1:n-1; Piv=0; Piv= abs (A(i,i)); p=i; for k=i+1:n if abs (A(k,i))>Piv; Piv=abs(A(k,i)); p=k;


UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA MÉTODOS NUMÉRICOS INFORME Nº2 INGENIERIA ELECTRICA 20-11-2014 end end if p~=i; for j=i:n; aux=A(i,j); A(i,j)=A(p,j); A(p,j)=aux; end aux=b(i); b(i)=b(p); b(p)=aux end for k=i+1:n; m=A(k,i)/A(i,i); for j=i+1:n; A(k,j)=A(k,j)-m*A(i,j); end A(k,i)=0; b(k)=b(k)-m*b(i); end end x=zeros(n,1); disp(A); disp(b); for i=n:-1:1; aux=0; for j=i+1:n aux=aux+A(i,j)*x(j); end x(i)=(b(i)-aux)/A(i,i); end disp(x)

ESTE PROBLEMA SE LO REALIZO EN MATLAB. 9.6. Para el conjunto de ecuaciones 2x2 + 5x3 = 1 2x1 + x2 + x3 = 1 3x1 + x2 = 2 (a) Calcular el determinante. (b) la regla de Cramer para resolver Uso de las x. (c) Sustituya sus resultados en la ecuación original para comprobar sus resultados. a) Hallar el determinante: tenemos el determinante areglado. >> x=[0 2 5;2 1 1; 3 1 0] x= 0 2 5 2 1 1 3 1 0 >> det(x) ans = 1.0000

: la respuesta del determinante

b) Hallar las raíces: Matriz cuadrada A : [0 2 5;2 1 1; 3 1 0] A= 0 2 5 2 1 1 3 1 0 Vector de términos independientes b :[1;1;2] b= 1 1 2 b=

2 1 1 b= 2.0000 1.0000 -0.3333 3.0000 0 0

1.0000 0 2.0000 5.0000 0 0.1667

2.0000 1.0000 -0.5000 Donde el Resultados de las incógnitas: -2.0000 8.0000 -3.0000

CODIGO DEL PROGRAMA function callcramer(m) disp(' '); A = rand(m,m); b = rand(m,1); disp('Timing backslash:'); tic x = A\b; % Backslash operator for solving A*x = b toc xc = cramersrule(A,b); disp(['norm of backslash residual = ' num2str(norm(A*x-b),4)]); disp(['norm of Cramer''s Rule residual = ' num2str(norm(A*xc-b),4)]); disp(' '); return end function x = cramersrule(A,b) % Demo of Cramer's Rule for solving A*x = b disp('Timing Cramer''s Rule:'); tic [m n] = size(b); z = zeros(m,1); Ai = A; for k=1:m Ai(:,k) = b; z(k) = det(Ai); Ai(:,k) = A(:,k); end detA = det(A); x = z / detA;

toc disp(['Max abs(det(Ai)) = ' num2str(max(abs(z)),4)]); disp(['abs(det(A)) = ' num2str(abs(detA),4)]); return end

ESTE CODIGO SE LO REALIZO EN MATLAB R2013. c) Comprobación de las raíces: >> x=[0 2 5;2 1 1; 3 1 0] x= 0 2 5 2 1 1 3 1 0 >> y=[-2;8;-3] y= MÉTODOS NUMÉRICOS Campus Kennedy


-2 8 -3 >> x*y ans = 1 1 2

Como observamos en la figura 3, vamos reduciendo el determiante hasta obtener los ceros deseados debajo del perfil de la determinante.

9.9 Utilice la eliminación de Gauss para resolver: 4x1 + x2 - x3 = -2 5x1 + x2 + 2x3 = 4 6x1 + x2 + x3 = 6 Emplear pivoteo parcial y compruebe sus respuestas mediante la sustitución ellos en las ecuaciones originales.

Figura4: resultado encontrado para el problema 9.9 utilizando matlab. Una vez realizado el metodo de la eliminacion de Gauss el programa realizado en matlab nos brinda la solucion requerida. En la que destacamos que: X1= 3 X2=-13 X3=1

ESTE CODIGO SE LO REALIZO EN MATLAB R2013.

Figura 2: Intefaz en Matlab de la resolucion del problema 9.9 Como se puede apreciar en la figura 2, realizamos el ingreso de valores de cada incognita expresada como en una matriz en este caso de 3x3 ya que tenemos 3 ecuaciones y 3 incognitas. Para obtener un determinante con todos sus valores para proceder a resolverlo utilizando algun metodo matematico como es el caso de usar el metodo de Gauss para eliminacion simple.

Figura3: resolucion del problema 9.9 utilizando el metodo de eliminacion de Gauss

clc,clear n=input('Ingrese el número de ecuaciones: ' ); disp('Ingrese los coeficientes de las ecuaciones: ' ) for i=1:n for j=1:n fprintf('A (%d,%d): ',i,j) A(i,j)=input( ''); end end disp('Ingrese los términos independientes de las ecuaciones: ') for k=1:n fprintf('A (%d,%d): ',k,n+1) A(k,n+1)=input( ''); end disp('La matriz ampliada que se formó es la siguiente: ') A=A disp('A continuación de realizará la eliminacion hacia adelante. ') x=1; while(x



Despues de operar el programa realiza la comparacion de los terminos del perfil principal y la ultima columna para obtener de esta manera el resultado de el sistema de ecuacion.

9.13 Resuelva: x1 + x2 - x3 = -3 6x1 + 2x2 + 2x3 = 2 - 3x1 + 4x2 + x3 = 1 Con: (a) la eliminación Gauss , (b) la eliminación de Gauss con parciales pivotante,

Figura 7: resultado del problema 9.13

Figura4: Interface del Programa Matlab para ingresar los coeficientes del determinante. Una vez que he ingresado todos los coeficientes de la determinante como se ve en la figura 4 ,el programa me lo ordena como se observa en la figura 5.

Donde : X1= -0.25 X2= -0.5 X3= 2.25 Como podemos obcervar en la figura 7, el programa obtiene el resultado del sistema de ecuaciones palnteado para el problema 9.13 utilizando el metodo de eliminacion de Gauss.

ESTE CODIGO SE LO REALIZO EN MATLAB R2013Y ES EL MISMO QUE EL PROBLEMA 9.9. 9.14 Realizar el mismo cálculo que en el ejemplo 9.11, pero el uso cinco paracaidistas con las siguientes características: Tabla 1: Datos para del problema 9.14

Figura5: Determinante ordenado Una vez que tenemos el determinante el programa creado en Matlab empiesa a realizar el metodo de eliminacion de Gauss Reduciendo a cero las filas debajo del perfil del determinante como se ve en la figura 6.

Figura6: operación del metodo de eliminacion de Gauss para el problema 9.13

Los paracaidistas tienen una velocidad de 9 m / s. Sea la pocicion de los paracaidistas, como se ve en la figura

Figura8-a: esquema de planteamiento del problema 9.14.



Figura 9: Determinante del sistema de ecuaciones del problema 9.14. El programa procede a realizar la operación para obtener la respuesta por medio del metodo de eliminacion de Gauss.

Figura8-b: esquema de planteamiento del problema 9.14. Sea un sistema de ecuaciones:

m1 g − T − c1v

=

m1a

m2 g + T − c2v − R = m2a m3 g + T – c3v − R = m3a m4 g + T – c4v − R = m4a m5 g – c5v

+

R = m5a

Sustituyendo los valores de la tabla sea v=9m/s tenemos. (60Kg)(9.8m/s2) T +0 (10Kg/s)(9m/s) = 60a –

−

(75kg)(9.8m/s2) + T (12Kg/s)(9m/s) R = 75a –

Figura 10: procesamiento del programa.

–

(60kg)(9.8m/s2) + T (15Kg/s)(9m/s) R = 60a –

–

(75Kg)(9.8m/s2) + T (16kg/s)(9m/s) R = 75a –

–

(90Kg)(9.8m/s2)+0 (10Kg)(9m/s) + R = 90a –

Operando tenemos:

60a + T +0 = 498 75a T + R = 627 –

60a - T + R = 453 75a T + R = 591 –

90a + 0 - R = 792

Una vez que obtenemos un sistema de ecuaciones podemos ingresar los coeficientes para obtener el determinante de 5x5 como se ve en la figura 9.

Figura 11: Resultado del metodo de eliminacion de Gauss para el problema 9.14. MÉTODOS NUMÉRICOS Campus Kennedy


Como obcervamos en la figura 11 el programa no puede encontrar la solucion debido a que no puede operar con ecuaciones que se eliman o estan erroneas. Por lo que se procede a realizar el mismo proceso pero esta vez utilizando 3 ecuaciones ya que solo tengo 3 incognitas por lo que nuestro determinante sera de 3x3 y no como antes de 5x5. Entonces. Seaque tengo 5 ecuaciones y 3 incognitas procedo a reducir la matriz.

Figura 13: respuesta del problema 9.14 reduciendo el determinante. Las respuestas obtenidas son: a=aceleracion= -8.52m/s2 T= tencion de la cuerda = -13.2 N R= -25N ESTE CODIGO SE LO REALIZO EN MATLAB R2013 Y ES EL MISMO QUE EL PROBLEMA 9.9 9.16. Desarrollar, depurar y probar un programa, ya sea en un lenguaje de alto nivelo lenguaje de macros de su elección para multiplicar dos matrices- es decir, [X] = [Y] [Z], donde [Y] es m por n y [Z] es n por p. Pruebe el programa utilizando las matrices de problema resuelto. 9.2. “ 9.2. Tres matrices se definen como ”

Figura12: ingreso de datos para una determinante de 3x3.

Una vez que ingresamos los valores se procede a encontrar los valores del problema, el programa procesa los datos para que por ultimo encuentra elresultado utilizando el metodo de eliminacion de Gauss.

Matrices a resolver del problema(9.2) para realizar el 9.16. Option Explicit Sub GaussElim() Dim n As Integer Dim er As Integer Dim i As Integer Dim a(10, 10) As Single Dim b(10) as Single Dim x(10) as Single Range('a1').Select n = 3; a(1,1) = 1; a(1, 2) = 1; a(1, 3) = -1; a(2, 1) = 6; a(2, 2) = 2; a(2, 3) = 2; a(3, 1) = -3; a(3, 2) = 4; a(3, 3) = 1; b(1) = 1; b(2) = 10; b(3) = 2; Call Gauss(a(), b(), n, x(), er) If er = 0 Then For i = 1 To n MsgBox "x(" & i & ") = " & x(i) Next i Else MsgBox "ill-conditioned system" End If End Sub Sub Gauss(a, b, n, x, er) Dim i As Integer Dim j As Integer Dim s(10) As Single Const tol As Single = 0.000001 %er = 0 For i = 1 To n s(i) = Abs(a(i, 1))


UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA MÉTODOS NUMÉRICOS INFORME Nº2 INGENIERIA ELECTRICA 20-11-2014 For j = 2 To n If Abs(a(i, j)) > s(i) Then s(i) = Abs(a(i, j)) Next j Next i Call Eliminate(a, s(), n, b, tol, er) If er <> -1 Then Call Substitute(a, n, b, x) End If End Sub Sub Pivot(a, b, s, n, k) Dim p As Integer Dim ii As Integer Dim jj As Integer Dim factor As Single Dim big As Single Dim dummy As Single p = k big = Abs(a(k, k) / s(k)) For ii = k + 1 To n dummy = Abs(a(ii, k) / s(ii)) If dummy > big Then big = dummy p = ii End If Next ii If p <> k Then For jj = k To n dummy = a(p, jj) a(p, jj) = a(k, jj) a(k, jj) = dummy Next jj dummy = b(p) b(p) = b(k) b(k) = dummy dummy = s(p) s(p) = s(k) s(k) = dummy End If End Sub Sub Substitute(a, n, b, x) Dim i As Integer Dim j As Integer Dim sum As Single x(n) = b(n) / a(n, n) For i = n - 1 To 1 Step -1 sum = 0 For j = i + 1 To n sum = sum + a(i, j) * x(j) Next j x(i) = (b(i) - sum) / a(i, i) Next i End Sub Sub Eliminate(a, s, n, b, tol, er) Dim i As Integer Dim j As Integer DIm k As Integer Dim factor As Single For k = 1 To n - 1 Call Pivot(a, b, s, n, k) If Abs(a(k, k) / s(k)) < tol Then er = -1 Exit For End If For i = k + 1 To n factor = a(i, k) / a(k, k) For j = k + 1 To n a(i, j) = a(i, j) - factor * a(k, j) Next j b(i) = b(i) - factor * b(k) Next i Next k If Abs(a(k, k) / s(k)) < tol Then er = -1 End sub

9.17 Desarrollar, depurar y probar un programa, ya sea en un lenguaje de alto nivel o lenguaje de macros de su opción para generar la transpuesta de una matriz. Pruébelo en las matrices de problema resuelto. 9.2. “ 9.2. Tres matrices se definen como ”

Matrices a resolver del problema(9.2) para realizar el 9.16. Matriz A

Figura 14: ingreso de coeficientes del determinante del problema 9.17. Una vez que tenemos todos los coeficientes de la determinante como se ve en la figura 14, el programa procede a realizar el proceso programado para realizar la transpuesta de una matriz como se ve en la figura 14. Matriz B

La respuesta es : 2

ESTE CODIGO SE LO REALIZO EN MATLAB R2013



Matriz C Ingrese la matriz A = [1 2 -1; 5 2 2; -3 5 -1] En donde el “;” separa una fila de la matriz con la columna en esta matriz se puede apreciar su dimencionamiento que es de 3x3

Ingrese el vector B, correspondiente independientes b= [2; 9; 1]

a

los

términos

La Matriz C, que correspondiente a la matriz aumentada AB [Ab] = 1 2 -1 2 5 2 2 9 -3 5 -1 1 ETAPA 1= La matriz correspondiente a esta etapa antes del proceso: 5 2 2 9 1 2 -1 2 -3 5 -1 1 Figura 16:transpuesta de la matriz c

CODIGO DEL PROGRAMA clear; clc; fprintf('Dame la matriz a la que le quieres calcular la transpuesta\n' ) f=input('cuantas filas:'); c=input('cuantas columnas:'); for k=1:c for j=1:f fprintf('fila: %x\n',j) fprintf('columna: %x',k) r=input(' numero de estafila y columna'); a(j,k)=r; j=j+1; end k=k+1; end a fprintf('La Matriz transpuesta es:\n\n') b=a; b' pause

ESTE CODIGO SE LO REALIZO EN MATLAB R2013 9.18 Desarrollar, depurar y probar un programa, ya sea en un lenguaje de alto nivel o lenguaje de macros de su elección para resolver un sistema de ecuaciones con eliminación de Gauss con pivoteo parcial. Basar el programa en el pseudocódigo de la Fig. 9.6. Pruebe el programa utilizando el siguiente sistema (que tiene una respuesta de x1 = x2 = x3 = 1), x1 + 2x2 - x3 = 2 5x1 + 2x2 + 2x3 = 9 - 3x1 + 5x2 - x3 = 1

Eliminacion gaussiana con pivoteo parcial En el interface de matlab para poder ingresar la matriz tenemos.

Los Multiplicadores correspondiente a esta etapa son: m(2,1)= 0.20000 m(3,1)= -0.60000 La Matriz correspondiente a esta etapa despues del proceso: Columns 1 through 3 5.00000 2.00000 2.00000 0 1.60000 -1.40000 0 6.200000 0.20000 Column 4 9.0000 0.2000 6.4000 ETAPA 2= La matriz correspondiente a esta etapa antes del proceso: Columns 1 through 3 5.000 2.000 2.000 0 6.2000 0.2000 0 1.6000 -1.4000 Column 4 9.0000 6.4000 0.2000 Los Multiplicadores correpondientes a esta etapa son: m(3,2)= 0.25806451613 La Matriz correspondiente a esta etapa despues del proceso: Columns 1 through 3 5.000 2.000 2.000 0 6.2000 0.2000 0 0 -1.451613 MÉTODOS NUMÉRICOS Campus Kennedy


Column 4 9.0000 6.4000 -1.451613 SOLUCION: La matriz Ab final: Columns 1 through 3 5.000 2.000 2.000 0 6.20000 0.2000 0 0 -1.451613 Column 4 9.000 6.4000 -1.451613 La solucion de X1 hasta Xn es: X1= 1 X2= 1.000000000000000 X3= 1 >> En esta parte vemos la eliminacion gausiana con pivoteo parcial Y su solucion como se ve en la figura 17.

Figura17: resolución del problema 9.18. La eliminacion por el metodo de Gauss tambien tiene un pivoteo parcial para dejar en 1 a los coeficientes del determinante en la primera fila

Figura 18: Resolución de Matlab para el problema 9. 18

CÓDIGO DEL PROGRAMA. Clear a=input('INGRESE LA MATRIZ AUMENTADA a='); %PASO 1 [n,m]=size(a); bol=0; %PASO 2 Haga pasos 3-5 for i=1:n-1 for p=i:n if a(p,i)~=0 break; end end if p==n disp('EL SISTEMA TIENE INFINITAS SOLUCIONES O NO EXISTE SOLUCION'); bol=1; break; end %PASO 4 intercambio de filas if p~=i disp('pivoteando' ) aux=a(i,:); a(i,:)=a(p,:); a(p,:)=aux; end %PASO 5 Haga los pasos 6-7 for j=i+1:n %PASO 6 m(j,i)=a(j,i)/a(i,i); %PASO 7 a(j,:)=a(j,:)-m(j,i)*a(i,:); end end a if bol==0 %PASO 8 if a(n,n)==0 & a(n,n+1)==0 disp('EL SISTEMA TIENE INFINITAS SOLUCIONES' ); fprintf('PROCEDIMIENTO TERMINADO SIN EXITO\n'); elseif a(n,n)==0 & a(n,n+1)~=0 disp('EL SISTEMA NO TIENE SOLUCION'); fprintf('PROCEDIMIENTO TERMINADO SIN EXITO\n'); else % PASO9 %Haga los pasos 9-11 x(n)=a(n,n+1)/a(n,n);


UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA MÉTODOS NUMÉRICOS INFORME Nº2 INGENIERIA ELECTRICA 20-11-2014 %comienza la sustitucion hacia atras %PASO 10 for i=n-1:-1:1 s=0; for j=i+1:n s=s+a(i,j)*x(j); end x(i)=(a(i,n+1)-s)/a(i,i); end %PASO 11 disp('la solucion aproximada del sistema es') for i=1:n fprintf('\n x(%1d)=%6.3f',i,x(i)); end fprintf('\nPROCEDIMIENTO TERMINADO SATISFACTORIAMENTE\n' ); end end


Figura 21: El programa se encarga de obtener el resultado empleado elmetodo de eliminacion de Gauss. 7. CONCLUSIONES 

Comprobamos que coinciden las raíces hallándolas mediante ambos métodos de Gauss y pivotación.



El método de pivotación es un método más u tilizado, ya que nos permite encontrar más rápidamente la solución

9.20 Desarrollar, depurar y probar un programa, ya sea en un lenguaje de alto nivel o lenguaje de macros de su elección para resolver un sistema de n ecuaciones lineales simultáneas con base en la Sec. 9.6. Pruebe el programa resolviendo Prob. 7.12.

a las ecuaciones. 

Se pudo comprobar que mediante el método de Cramer que al sustituir los valores, se resuelve el sistema de ecuaciones.

“7.12 Determinar las raíces de las ecuaciones no lineales simultáneas”

y = -x2 + x + 0,75 y + 5xy = x2 Emplear conjeturas iniciales de x = y = 1.2 y utilizar la herramienta Solver de Excel o un paquete de software de su elección.



El método de Cramer es efectivo, pero al momento de encontrar la solución a las ecuaciones lineales, no converge tan rápidamente como lo hace el método de la pivotación.



Se tuvo que hacer las matrices cuadradas rellenando con ceros, para poder operar los ejercicios planteados, ya

Ecuaciones despejadas.

que casi ninguno coincidían en sus dim ensiones. -x2 + x = 0.45 -X2 + 6x = 1.2



El método de eliminacion Gauss con pivoteo inicial nos permite aplicar este método en problemas comunes en la ingeniería en la que tenemos n incógnitas con m variables



Hemos aprendido a resolver sistemas de ecuaciones utilizando el método de eliminacion de gauss de manera analítica y con algoritmos de computación como en un entorno de Matlab.

Figura 19 resolucion del problema 9.20 realizado en Matlab Una vez que se ingresan los datos el programa procesa estoddatos y los ordena de forma de una matriz ampliada como se ve en la figura 20.

Figura 20 : Proseso de la eliminacion de Gauss

8. REFERENCIAS

[1] «PROCESOS NUMERICOS,» [En línea]. Available: https://sites.google.com/site/pn20111/home/metodoscerrados/3-1-metodo-de-biseccion. [Último acceso: 12 11 2014]. [2] «PROCESOS NUMERICOS,» [En línea]. Available: https://sites.google.com/site/pn20111/home/metodoscerrados/3-2-metodo-regla-falsa. [Último acceso: 13 11 2014]. [3] «PROCESOS NUMERICOS,» [En línea]. Available: https://sites.google.com/site/pn20111/home/4-metodosabiertos/4-1-metodo-de-punto-fijo. [Último acceso: 13 11 2014]. [4] Steven C. Chapra, Raymond P. Canale “ CAP9-Eliminacion de Gauss” Metodos Numericos para Ingenieros. Sexta edicion. Editorial MacGrawHill.USA.pp 269-272.


TR2 M (Manchay Diego, Zambrano Jimy Carolina Martinez).UPS.2014

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