Travaux pratiques
R.D.M.
Réal Réalis iséé par par : HAMMOU Youness OUAZA Aissam 1ère GC2
KHLILA Mahdi HOULI Ahmed Année scolaire 2002-2003
I/ But de l'epérien!e: L'appareil universel d'étude de flambement "A# $%$ a été conçu pour effectuer une série d'expériences en vue de déterminer les charges critiques de flambement des poutres droites en fonction de leurs élancement et des conditions de fixation de leurs extrémités. Trois types de fixation seront testés dans notre expérience: Poutres articulées aux deux extrémités. Poutres encastrées aux deux extrémités. Poutres articulées une extrémité et encastrées l'autre.
II/ &tude d'un d'unee pout poutre re iar iarti! ti!ulée ulée : !tude théorique: "alcul de la charge critique: critique: #'apr$s la théorie d'!uler% la charge de flambement critique pour une poutre articulée aux deux extrémités est égale : P c
=
Π
&
EI &
l
"alcull de d e : : "alcu
b(&"m
d()mm
I
bd ) =
*&
I
=
+%-.*,
**
−
m
+
!tude expérimentale: L'appareil d'étude de flambement contient deux instruments de mesure:
Le premier est un dynamom$tre qui permet d'indiquer la charge appliquée verticalement sur la poutre. Le second est un comparateur qui permet de mesurer la fl$che latérale de la poutre.
R( L'effort effectivement appliqué sur l'éprouvette est égal trois fois la valeur indiquée par le dynamom$tre.
Pour une poutre d'acier de longueur L(,"m% on trouve les résultats suivants:
"harge/0g1
2ombre de graduations )
&
+. 3.4 *,.*& *).**.*5
*, *+ &, &)5 -& 4 5* **4
La charge critique de flambement est obtenue lorsque la fl$che hori6ontale présente pour la premi$re fois une grande variation. #ans ce cas% la charge critique de flambement est égale *,%-0g. Théoriquement% elle est donnée par:
P c
=
Π
&
EI
l &
=
&+.%3 N
Pour comparer les deux% il faut convertir la premi$re en 2.
III/ &tude d'une poutre arti!ulée ) une etrémité et en!astrée ) l'autre: !tude théorique: "alcul de la charge critique: #'apr$s la théorie d'!uler% la charge de flambement critique pour une poutre articulée aux deux extrémités est égale : P c
=
&Π & EI
l &
"alcul de : "omme dans le cas précédent:
b(&"m
d()mm
I
bd ) =
*&
I
=
+%-.*,
**
−
m
+
!tude expérimentale:
Pour une poutre d'acier de longueur L(*%&"m% on trouve les résultats suivants: "harge/0g1
2ombre de graduations ) 4 *& **5 &* &+ &3 ), )) )
* *+ && )& ++ -3 5*,3 *+, *5,
La charge critique de flambement est obtenue lorsque la fl$che hori6ontale présente pour la premi$re fois une grande variation. #ans ce cas% la charge critique de flambement est égale &+0g. Théoriquement% elle est donnée par:
P c
=
&Π & EI
=
l &
+3-%& N
Pour comparer les deux% il faut convertir la premi$re en 2.
I*/&tude d'une poutre ien!astrée : !tude théorique: "alcul de la charge critique: #'apr$s la théorie d'!uler% la charge de flambement critique pour une poutre articulée aux deux extrémités est égale : P c
=
& +Π EI
l &
"alcul de : "omme dans les deux cas précédents:
b(&"m
d()mm
I
bd ) =
*&
I
=
+%-.*,
**
−
m
+
!tude expérimentale:
Pour une poutre d'acier de longueur L(&%-"m% on trouve les résultats suivants: "harge/0g1
2ombre de graduations
) 4 *& **5 &* &+ &3 ), )) ) )4 +& ++5 -* -+
* ) 3 *, *& *&, &) &3 )+ +, + -& -5 3 5-
La charge critique de flambement est obtenue lorsque la fl$che hori6ontale présente pour la premi$re fois une grande variation. #ans ce cas% la charge critique de flambement est égale ),0g. Théoriquement% elle est donnée par: P c
=
+Π & EI
l &
=
4**%). N
Pour comparer les deux% il faut convertir la premi$re en 2.
*/ +on!lusion: 7pr$s avoir analyser les différents résultats obtenus% on remarque que la charge critique de flambement diff$re d'une fixation une autre% et que la disposition de la poutre est obtenue lorsqu'elle est encastrée aux deux extrémités.
I , Introdu!tion : L'appareil d'étude de torsion des barres permet d'étudier les caractéristiques de torsion de barres circulaires. Le but de cet manipulation est de déterminer% expérimentalement% la relation entre l'angle de torsion et le moment de torsion d'une part% et entre la longueur de fixation et l'angle de torsion d'autre part% et enfin de déterminer% pour chaque type de matériau /comme l'acier% l'aluminium% le laiton81% la valeur du module d'élasticité en torsion .
II , &tude théori-ue : H.pothse de la manipulation:
La barre est rectiligne et d'une section circulaire uniforme sur toute sa longueur.
Le couple appliqué est constant sur toute sa longueur et agit autour de l'axe polaire.
Les contraintes induites n'exc$dent pas la limite de proportionnalité.
Les plans sectionnant gardent leur planéité apr$s élongation.
"!hématisation théori-ue:
0 9oient:
θ l'angle
de torsion sur une longueur l. T le moment de torsion appliqué. le module d'élasticité en torsion. Z le deuxi$me moment de surface polaire.
T
;n démontre que:
I Z
=
Gθ l
#onc % on peut établir les formules suivantes:
;<
K *
=
K & l
;<
K &
=
θ
G
l
θ = K *T
=
=
K )
T θ
;<
K )
GI z T GI Z
l =
I z
III , &tude epérimentale : &périen!e %: &tudier la relation entre le moment de torsion et l'an1le de torsion2
&prou3ette:
A!ier2
;n ins$re la barre d'essai% de longueur l(),"m% dans les mandrins% puis on serre. ;n fait varier le moment de torsion et on note la valeur donné par le comparateur pour chaque moment appliqué. =oici les résultats trouvés: peson ressort/0g1
T/2.m1(Peson/>g1? g/4%5*1?distance/,%*1
,%* *%& &%) )%+
=oici le diagramme θ
5
l GI Z
,%+4,,%45* *%+3*&%+-&&%4+) )%+)))%4&+
=
θ /rad1(comparateur/mm1? ,%,&
comparateur/mm1
&+ -, 3& *,*)) ** *4, &*5
,%+5 * *%++ &%* &% )%&& )%5 +%)
,%43 *%,* ,%43 *%,3 *%,5 *%,4 *%* *%*
f /T 1 :
y = 1,0678x - 3E-05
4 ) 3 m . N ( 2 T
o=f(T) Linéaire (o=f(T))
1 0 0
2
4
6
o(rad) R2(: on remarque que θ varie linéairement en fonction de T% le coefficient de proportionnalité est de l'ordre de *%, N −* m −* .
&périen!e $: &tudier la relation entre la lon1ueur de 4iation et l'an1le de torsion d'une arre:
Appareil :
Appareil d'étude de torsion des arres2
&prou3ette:
A!ier2
;n ins$re une barre d'essai en acier dans les mandrins et on fait varier la longueur d'essai l% tout en appliquant le m@me moment de torsion la barre. Le comparateur nous permet d'obtenir les résultats suivants: Lon1ueur5mm6 )-, ),, &-, &,, *-,
#'o< θ
=
θ 5rad6
+omparateur5mm6
f /l 1 sera
*5) *-*+& **+ 55
). ).*, &.5+ &.&5 *.3
représentée comme suit:
Titre du ra!"i#ue 4
n o i 3 s r ) d o t a 2 e r ( d O1 e l g 0 n a ' l
y = 0,00$3x % 0,454 &=f(') Linéaire (&=f('))
0
200
400
longueur l(mm)
R2(: on remarque que l'angle de torsion θ varie linéairement en fonction de la longueur l% le coefficient de proportionnalité est de l'ordre de * 4.)m . −
&périen!e 7
déterminer le module d'élasti!ité en torsion de l'a!ier8 du laiton
et de l'aluminium:
Appareil :
Appareil d'étude de torsion des arres2
Pour chaque type de matériau% on fixe la longueur d'essai ),,mm et on fait varier le moment de torsion et on rel$ve pour chaque cas la valeur de l'angle de torsion. Les résultats sont indiqués sur le tableau ci dessous:
Aatériau
peson/>g1
T/2.m1
* & ) * & ) * & )
7cier
Laiton
7luminium
comparateur/mm1
,%45* *%4& &%4+) ,%45* *%4& &%4+) ,%45* *%4& &%4+)
;/rad1
-, *,** *,3 &)5 )3 *+5 ),+34
* &%* )%&& &%*+ +%3 3%)+ &%4 %* 4%-5
"alculons donc le module d'élasticité de chaque matériauB sachant que: G
=
T l θ
I Z
7vec I z
d +
π =
)5
./d(,.,,5mmBl(,.)m1
#'o< les résultats suivants:
T
θ
,%45* ,%4)+ ,%4*+ ,%+ ,%+* ,%+ ,%)) ,%)& ,%)*
Aatériau 7cier Laiton 7luminium
T
moy θ ,%4+ ,%+& ,%)&
l I z
3%+ *, 5 3%+ *, 5 3%+ *, 5
G / Nm & 1
3%,* *, 5 )%*) *, 5 &%)4 *, 5
+ommentaire: on remarque que l'acier a un module d'élasticité en torsion plus grand que celui du laiton qui est de son tour plus supérieur celui de l'aluminium.
&tude théori-ue: Cuand une force de cisaillement est appliquée une poutre possédant un seul axe de symétrie% de telle mani$re que la force agisse un angle droit par rapport cet axe% la poutre subira probablement une torsion. l existe un sel point d'application de cette force de tel sorte qu'il n'y ait pas de torsion. "e point est appelé !entre de !isaillement2 Le but de cette essai est de déterminer expérimentalement ce point.
&tude epérimentale: "!hématisation:
("are
Résultats epérimentau: =oici le tableau des mesures qu'on as obtenu: Position de charge: "omparateur gauche: comparateur droit:
D), D&- D&, D*- D*, DD3 D-4 D), D*& D- +5 +* *& *,4 4&%- 3, )&
, - *, *- &, &- ), +5 +%- 5 *,, **& *)* *-3 )& *) , D*5 D&5 D+ D3,
Traçons la courbe pour déterminer le point qu'on cherche:
L'intersection des deux droites de tendances donne une valeur de
e
=
*%)mm
Objectifs :
Aettre en évidence expérimentalement la loi de comportement effortD fl$che médiane. =érifier lEinfluence : du moment quadratique du matériau sur la fl$che médiane. #éterminer le diagramme des contraintes normales dans une section donnée. Aontrer la variation des contraintes normales le long de la poutre.
Connaissances associées : Proportionnalité entre effort et fl$che
F = kf
)
FL +5 EI L : longueur de la poutre : moment d'inertie Linéarité du diagramme de 2avier !xpression de la fl$che
f =
!xpression de la contrainte normale
=
My IGz
Données numériques : &prou3ette
Module d9Youn1
&
7cier
200 GPa
7luminium
70 GPa
imensions 5mm6 Fauteur h
Lon1ueur L
-,,
Lar1eur l
),
*-
Introduction : l s'agit d'essais de flexion de deux types de poutres savoir une poutre en acier et une en aluminium. "es essais consistent calculer les rigidités et les modules dEyoung de chaque type de poutre% les comparer aux résultats théoriques et trouver la disposition optimale dEune poutre soumise la flexion. Pour chaque type on fait deux manipulations% l'une traitant le cas plat et l'autre chant.
I ;
1) Section à plat :
La figure 1 représene une seci!n d"une p!ure subissan une c#arge cenrée sur sa l!ngueur e sa largeur$
h
l
=i1ure %
ans le !as d9une poutre a.ant de telle disposition8 la ri1idité est donnée par la 4ormule !i;aprs : k th =
7vec
l# ) = *&
+5 EI
L)
/*1
"harge
2) Section à chant :
La figure % représene une seci!n d"une p!ure subissan une c#arge cenrée sur sa l!ngueur e sa #aueur$
l
h Fi!"re2
Cuant cette disposition% la rigidité de la poutre est donnée par lEexpression ciDapr$s :
k th =
+5 EI
/&1
L)
#l ) = *&
avec
II ; +omparaison des ri1idités théori-ues et epérimentales :
Type de section
Eprouvette
A plat
A !hant
Ri1idité 5K#/m6
Ri1idité 5K#/m6
0héori-ue
&périmentale
0héori-ue
&périmentale
A!ier
>?@
7
$CD$
$>7
Aluminium
$$>2@
$@%
D2$
%C
III ; +omparaison des modules d'élasti!ité théori-ues et epérimentau :
•
Section à plat
!prouvette 7cier 7luminium
•
Aodule d'élasticité /Pa 1 Théorique !xpérimental &,, &&-%)++ 3, 5%33)
!stimation de l'erreur ,%*& ,%&)4
Aodule d'élasticité /Pa 1 Théorique !xpérimental &,, &,)%+45
!stimation de l'erreur ,%,*4
Section à chant :
!prouvette 7cier 7luminium
3,
5&.4-4
,%*5-
I* ; Re!her!he de la disposition optimale d'une poutre en 4leion : l s'agit dans cette partie de déterminer la position optimale d'une poutre soumise une flexion tout en comparant% pour un m@me type poutre les rigidités chant et plat. Pour ce fait on donne les résultats expérimentaux concernant les rigidités sous forme d'un tableau comme suit:
&prou3ette A!ier Aluminium
Ri1idité 5K#/m6
7 plat 7 chant 7 plat
3), &)3 &5*
7 chant
*,3-
#'apr$s le tableau ciDdessus pour les deux types de poutres les rigidités dans & $me disposition sont plus grandes que celle dans la * $re disposition% dans la pratique la disposition optimale qui se rend utile dans les constructions est la disposition plat.
* ; +omparaison entre les deu t.pes de matériau :
Les trois tableaux tracés précédemment permettent comparer les modules d'élasticité ainsi que les rigidités des deux matériaux testés. !n effet on constate que l'acier a un module d'élasticité plus grand que celui de l'aluminium en plus qu'il est plus rigide que l'aluminium.
