2.4. Euklidska topologija na R
Lema 2.4.3. Skup cijelih brojeva Z je zatvoren skup u euklidskoj topologiji na R .
∞ Dokaz: Komplement skupa Z u odnosu na R je skup + n=−∞ (n, n + 1), a ovaj je kao prebrojiva unija otvorenih skupova, otvoren skup. Dakle Z je zatvoren skup kao komplement otvorenog skupa.
♣
Lema 2.4.4. Skup racionalnih brojeva Q nije ni otvoren ni zatvoren u euklidskoj topologiji na R .
∈
Dokaz: Ako pretpostavimo da postoje a, b R, takvi da je a < b i (a, b) Q, to bi zna cˇ ilo da su svi brojevi intervala (a, b) racionalni, sˇ to oˇcigledno nije ta cˇ no, pa dakle skup Q ne moˇze zadovoljavati osobinu ( ), tj. nije otvoren skup. Na sliˇcan na cˇ in rezonuju´ci, pokazuje se da skup R Q nije otvoren, pa skup Q dakle nije ni zatvoren skup.
⊆
∗
\
♣
Lema 2.4.5. Jedini otvoreno-zatvoreni skupovu u euklidskoj topologiji na R su sam skup R i ∅ . Dokaz ostavljamo cˇ itaocu za vjeˇz bu. Sada c´ emo dati karakterizaciju otvorenih skupova na realnoj pravoj u euklidskoj topologiji.
⊆
Teorem 2.4.6. Skup S R je otvoren ako i samo ako se mo ˇ ze prikazati kao unija otvorenih intervala.
Dokaz: Neka je S = i∈I (ai , bi ) (ai , bi R, ai < bi za i I ) . Kako je otvoren interval otvoren skup i kako je dakle, S unija utvorenih skupova, to je i S otvoren skup. Neka je sada S R otvoren skup. To prema osobini ( ) zna cˇ i da za svaki x S , postoji I x (I x = (a, b)), takav da je x I x S . Odavde je onda I x S .
∈
∈
∈
⊂
∗ ∈ ⊂
x S
∈
S druge strane, ako je x da mora vrijediti
⊆
∈ S , onda x ∈ I ⊆ x
S =
I x ,
x S
∈
tj. S jeste unija otvorenih intervala.
27
♣
x S I x ,
∈
pa zakljuˇcujemo
