1 Taquimetría a Concepto básico
Taquimetría es la rama de la topografía centrada en el levantamiento de planos a través del taquímetro (un dispositivo que permite la medición de ángulos y distancias) (Pérez, J., y Merino, M. 2014). Se considera a la taquimetría como un método para realizar mediciones con rapidez aunque sin demasiada precisión. Por lo general se emplea en aquellas situaciones en las cuales, por sus características, resulta imposible emplear una cinta métrica (Pérez, J., y Merino, M. 2014). La taquimetría posibilita la medición de distancias horizontales o verticales de forma indirecta. A partir del taquímetro, similar a un teodolito, es posible realizar tres lecturas (un hilo inferior, otro medio y un tercer hilo superior) y, tomando el valor del ángulo verticular, llegar a la medida que se pretende conocer (Pérez, J., J ., y Merino, M. 2014). b Tipos de taquimetría
Taquimetría horizontal: en la que se trabaja mediante visuales horizontales empleando niveles o taquímetros. Los datos a tomar en campo serán (Pérez, J., y Merino, M. 2014): 1. Altura de instrumento. 2. Angulo horizontal. 3. Lecturas de los hilos extremos y del hilo medio. La utilización de este tipo de taquimetría está limitada a terrenos
sensiblemente llanos (Pérez, J., y Merino, M. 2014).
Taquimetría inclinada: en la que se trabaja mediante visuales inclinadas empleando exclusivamente taquímetros. Será necesario añadir a los datos anteriores, el ángulo vertical de cada alineación. Su utilización es apropiada en terrenos irregulares (Pérez, J., y Merino, M. 2014).
c Constantes y formulas taquimétricas
En el taquímetro existen dos constantes propias del instrumento, que dependen del tipo de aparato, la distancia focal de su lente objetivo y la separación de los hilos taquimétricos. Las constantes mencionadas son las siguientes (Mendoza, J. 2004):
Constante taquimétrica o aditiva (c): es la distancia del eje vertical del instrumento al foco anterior del objetivo (Mendoza, J. 2004).
Constante estadimétrica o diastimométrica (k), representa la relación de distancia focal del objetivo con la distancia entre los hilos distanciométricos (Mendoza, J. 2004).
C y K , son valores fijos para cada aparato generalmente C=0 y K=100. Pero si se desconocen pueden calcularse. C= t+f ( t y f; don mrdidas fijas para cada aparato) = =
− ∑ − ∑
(1 Estadal) (> 2 Estadales)
Formulas Taquimétricas: son
las fórmulas necesarias para determinar
en algunos casos el desnivel o una diferencia de altura entre el calaje y la horizontal; distancias horizontal e inclinada, con las cuales es posible obtener las coordenadas de todos puntos del levantamiento. Además, a partir de la obtención de la diferencia de altura entre el calaje y la horizontal calcular la cota de los puntos de relleno conforme se desprende del siguiente análisis (Universidad Santiago de Chile, 2009). Sea la siguiente figura:
Figura 1.1 (Universidad Santiago de Chile, 2009). Datos de terreno
Parámetros a calcular
Z: Angulo cenital
Dh: Distancia horizontal
hi: Altura instrumental
Di: Distancia inclinada
Hs: Hilo superior leído en la mira
∆h: Diferencia de altura (calaje en
Hm: Hilo medio leído en la mira Hi: Hilo inferior leído en la mira CA: Cota estación (dato)
la horizontal) CB: Cota punto o estación (a calcular)
Del análisis matemático se llega a las siguientes expresiones (Universidad Santiago de Chile, 2009): Di = K ×G sen (Z) K= Constante estadimétrica = 100 G= (Hilo superior – Hilo inferior) = generador Dh = K ×G sen2 (Z) 1
∆h = K ×G sen (2Z) 2
De la misma figura, para el cálculo de cotas tenemos lo siguiente (Universidad Santiago de Chile, 2009): CA + hi = CB + Hm – ∆h (Si Z<100g) CB = CA +hi – Hm + ∆h CA + hi = CB + Hm + ∆h (Si Z>100g) CB = CA +hi – Hm – ∆h En general: CB = CA +hi – Hm +- ∆h d Ejemplo de taquimetría
En la tabla TE7.1 se reproducen los datos de campo de un levantamiento taquimétrico con teodolito y mira vertical con estaciones en los vértices de una poligonal de apoyo A, B, C previamente calculada. Partiendo del punto A de coordenadas conocidas se colimó al punto B, se impuso una lectura de 0º00’00” en el círculo horizontal y, finalmente, se tomaron los datos de los puntos 1, 2 y
3 que se reproducen en la tabla TE7.1. De igual forma se procedió en las estaciones B y C (Casanova, L. 2010). Calcule las coordenadas de los puntos de relleno
Solución (Casanova, L. 2010):
e Aplicaciones de la taquimetría a la topografía e ingeniería
1. Levantamientos de poca precisión. 2. Levantamientos donde el uso de cinta métrica sea difícil por las características mismas del terreno. 3. Como método auxiliar para métodos de mayor precisión. 2 Plancheta a Concepto básico
La plancheta es uno de los más antiguos instrumentos de topografía. En su forma moderna, una plancheta consiste propiamente en un tablero de dibujo con su trípode, y una alidada óptica provista de hilos taquimétricos o de estadía. Un estadal y una cinta son el complemento de un equipo de plancheta, al tablero sele fija una hoja de papel, tela de dibujar u otro material y se va dibujando directamente un plano trazando las direcciones y la distancias obtenidas visando con la alidada y utilizando la regla de esta.4.2 Descripción y uso. El tablero de dibujo de una plancheta está construido cuidadosamente para resistir el alabeo y otras distorsiones debidas a la acción de agentes atmosféricos. La superficie superior es lisa pero tiene medios, como abrazaderas o grapas de latón, para sujetar el material de dibujo al tablero. En el centro de la superficie inferior del ultimo esta un receptáculo roscado que se adapta a un cabezal, también roscado, que constituye la parte superior del trípode. Existen dos tipos de cabezales radicalmente diferentes, el llamado tipo CGS y el denominado tipo Johnson, para nivelar y orientar al tablero. El tipo CGS (o del Coast and Geodesic Survey) tiene cuatro tornillos niveladores, un tornillo sujetador y un tornillo tangencial, similares a los de un tránsito. El cabezal tipo Johnson tiene una articulación de rodilla para sostener el tablero en posición después de nivelarlo e impedir que gire en el plano horizontal. La
alidada óptica consiste en un anteojo sostenido por un pedestal o poste rígidamente unido a una regla base, tiene 45 cm de largo. El anteojo está provisto de retícula con un hilo vertical y tres horizontales. La plancheta es muy útil para el trazo de poligonales y el levantamiento de detalles. Rara vez se utiliza en levantamientos de deslinde o de vías terrestres, aunque muchas veces hay que agregar algunos detalles por medio de la plancheta después que se han realizado levantamientos con teodolito y cinta, o sobre un Aero fotograma (Mata, E. 2012). b Tipos de levantamiento con plancheta
Trazo de la poligonal: para
trazar una poligonal se emplaza la plancheta
sobre el punto original A del levantamiento, se nivela y se sujeta. El punto a en la hoja de dibujo se marca para representar esta estación. Con el borde de la regla en a y la alidada dirigida hacia B se traza la línea ab. La distancia AB se puede determinar mediante una cinta o por estadía, y su longitud se marca a la escala del plano para localizar b. Es esencial que este primer tramo sea trazado con precisión debido a que sirve de línea base para todas las otras medidas (Mata, E. 2012). La plancheta se traslada ahora a la estación B, se centra y se nivela. Se orienta colocando el borde de la regla sobre la línea ba y se gira el tablero sobre su eje vertical hasta que la alidada quede dirigida al punto A. Se mide la distancia BA y el promedio de AB y BA se utiliza para trazar ab. Se visa a la siguiente estación C con la regla tocando a b, se determina la distancia BC y se marca la longitud de bc. En forma semejante se van ocupando los puntos sucesivos y se trazan así las líneas de la poligonal (Mata, E. 2012).
Método de radiaciones: estando la plancheta orientada en una estación de la
poligonal, se trazan líneas radiales a los puntos cuya situación se desea (Mata, E. 2012).
Generalmente las distancias se miden por estadia, pero una cinta de tela es apropiada para distancias cortas. Las líneas radiales, o rayos, se trazan con el borde de la regla y las distancias se marcan a escala (Mata, E. 2012).
Método de intersecciones:
en este método se trazan rayos de longitud
indefinida hacia el mismo punto desde por lo menos dos emplazamientos de la plancheta. La intersección de los rayos de la ubicación del punto deseado. Una línea medida sirve como base y no se requieren ningunas otras distancias (Mata, E. 2012). La denominación de “triangulación grafica” se aplica algunas veces a este método, ya que es análogo al de triangulación óptica con teodolito. El método es particularmente importante en la localización de puntos distantes e inaccesibles. En la práctica real de campo, se pueden utilizar los métodos de radiaciones y de intersecciones en el mismo emplazamiento. La mayor parte de los detalles se ubican por radiación (Mata, E. 2012). La elevación de un punto inaccesible localizado por intersección se puede hallar leyendo el ángulo vertical con el hilo reticular medio en el pinto, midiendo a escala la distancia trazada hasta el, y calculando la elevación mediante una formula trigonométrica (Mata, E. 2012).
Método de resecciones: el
método de la resección es un procedimiento para
orientar empleado cuando la plancheta ocupa una posición todavía no localizada en el plano (Mata, E. 2012).
Problema de los tres puntos:
el método de trisección indirecta o de los tres
puntos tiene muchas aplicaciones. Permite al topógrafo emplazar la plancheta en una posición favorable para tomar detalles, y luego determinar su situación en un plano observando tres puntos a localizar, como torres o cúpulas de iglesias, tanques de agua elevados, astabanderas, arboles aislados, antenas de radio, etcétera. La
medición de las tres distancias por
dispositivos electrónicos ofrece un novedoso procedimiento. El método de
los tres puntos ha sido empleado extensamente en la navegación para determinar la posición de un navío observando tres puntos notables en el litoral, reconocibles en una carta de la costa (Mata, E. 2012). El problema de los tres puntos se analiza con frecuencia en artículos técnicos, y se han ideado soluciones trigonométricas, mecánicas y gráficas (Mata, E. 2012). Si la plancheta está en un círculo que pase por los tres puntos conocidos en el terreno, su localización será indeterminada. Una solución eficaz resulta cuando la plancheta está francamente dentro del triángulo formado por los tres puntos, o bien cuando la plancheta no está cerca del circulo que pasa por los tres puntos (Mata, E. 2012). c Aplicación
Se usa preferentemente para obtención de curvas de nivel, pues es donde es más eficiente. Cuando en un trabajo, la mayoría de puntos por situar son detalles especiales importantes, con poco trabajo de configuración, se prefiere hacerlo con Tránsito. Los polígonos, cuadrículas o triangulaciones en que se apoya el trabajo de plancheta se levantan por separado con tránsito (EcuRed. 2011). Se utiliza mucho para configurar apoyándose en una cuadrícula trazada en el terreno, pues quedan definidas las zonas por cubrir con cada hoja de dibujo, y se van "rellenando" los cuadros con hojas de configuración, que después se hacen coincidir para formar un "mosaico" al unirlas (EcuRed. 2011). Aunque con cualquier papel puede trabajarse, se prefiere usar papeles gruesos, de color, tipo Duplex, o papel especial que resiste el sol y no se deforma con cambios de temperatura. Las deformaciones por temperatura son muy importantes cuando se fijan puntos y se dibuja, en el campo, son diferentes
a las condiciones en que después se usarán las hojas para los estudios y proyectos. Actualmente se están empleando películas de poliéster, principalmente el llamado Mylar, en sustitución de las hojas especiales de papel para la plancheta. Este material tiene deformaciones mínimas y gran graduación (EcuRed. 2011). 3 Métodos para la determinación de áreas
El área es una medida de superficie que representa el tamaño de la misma. En los trabajos topográficos comunes, el área se expresa en metros cuadrados (m2), hectáreas (ha) o kilómetros cuadrados (km2), dependiendo del tamaño de la superficie a medir. La equivalencia entre las unidades de superficie mencionadas es (Casanova, L. 2010): 1 ha => 10.000 m2 1 km2 => 100 ha El cálculo del área de una superficie se determina indirectamente, midiendo ángulos y distancias y realizando los cálculos correspondientes (Casanova, L. 2010). 3.1 Tipos de métodos a Métodos de medición campo
División de la superficie en figuras simples (triángulos, rectángulos y trapecios): en
el cálculo de áreas de superficies de poca extensión, en donde
se puede realizar el levantamiento mediante el empleo de cintas métricas, la superficie se puede descomponer en figuras conocidas: como triángulos, rectángulos, u otras figuras elementales cuyas áreas se pueden calcular mediante la aplicación de fórmulas sencillas (Casanova, L. 2010).
En la Tabla 3.1 se resumen las expresiones más comunes para el cálculo de figuras elementales (Casanova, L. 2010).
Tabla 3.1 Áreas de figuras elementales (Casanova, L. 2010).
Ejemplo (Casanova, L. 2010):
En el diseño de una urbanización es necesario construir la Avenida 4 y la Calle 12. La parcela A- 1, representada en la figura E1-8, originalmente colindaba por el norte con el eje de la Calle 12 y por el oeste con el eje de la Avenida 4. Las dos vías a construir son perpendiculares entre si, y se debe cumplir con los siguientes retiros: • 8 m a partir del eje de la Avenida 4. • 4 m a partir del eje de la Calle 12.
Se pide calcular: a.- La nueva área de la parcela A-1, teniendo en cuenta además que su esquina noroeste debe ser redondeada con un arco de circunferencia de radio R=2.00 m. b.- El área a expropiar de la parcela A-1 para la construcción de ambas vías. Los demás datos se muestran en la figura
Figura 3.1 Diseño de urbanización (Casanova, L. 2010). Solución. El área original A0 de la parcela A-1 es el área de un rectángulo A0 = 35,280*20,820 = 734,530 m2 . El área final Af de la parcela A-1 será el área del rectángulo A1234 menos el área en exceso del círculo Ae.
Método de dobles distancias meridianas:
el área de una figura cerrada
puede calcularse por el método de dobles distancias meridianas (DDM). Este procedimiento requiere la compensación de las proyecciones de los segmentos del polígono, que se obtienen normalmente por Poligonación. El método DDM no se usa tan comúnmente como el método de las coordenadas por no ser tan conveniente, pero dados los datos de una
poligonal ajustada, conduce a los mismos resultados (Cordova, C., y Mediavilla, O.2009). Por definición, la distancia meridiana de un segmento de una poligonal es la distancia perpendicular del punto medio del segmento al meridiano de referencia. Para simplificar el problema se coloca generalmente un meridiano de referencia sobre la estación de la poligonal situada más al oeste (Cordova, C., y Mediavilla, O.2009). Distancia meridiana del lado de una poligonal (Cordova, C., y Mediavilla, O.2009): Se llama distancia meridiana del lado de una poligonal a la distancia meridiana del punto medio del mismo lado (Figura 3.2) (Cordova, C., y Mediavilla, O.2009):
Fi ura 3.2 Distancia meridiana Cordova C.
Mediavilla O.2009 .
Demostración del cálculo de áreas por el método de DDM (Figura 3.3) (Cordova, C., y Mediavilla, O.2009):
Figura 3.3 Demostración del cálculo de áreas por el método de DDM Cordova C. Mediavilla O.2009 .
Regla práctica para calcular un área por el método DDM (Cordova, C., y Mediavilla, O.2009): 1. La primera DDM es igual al primer ∆E. 2. Para calcular los demás DDM, se debe sumar algebraicamente la DDM anterior con el ∆E anterior y con el ∆E siguiente. 3. La última DDM es igual al último ∆E pero con signo contrario y ésta es la verificación.
4. Hacer la suma algebraica de los productos formados por la DDM multiplicada por el ∆ N de cada uno de los lados de una poligonal y luego dividir por dos. Calcular el área de la siguiente figura (Cordova, C., y Mediavilla, O.2009): :
Método de las coordenadas rectangulares: la expresión general para el cálculo del área de un polígono cerrado a partir de las coordenadas de sus vértices, se puede deducir de la figura 1-8, observando que el área del polígono ABCD es (Casanova, L. 2010):
Figura 3.4 Área de un polígono (Casanova, L. 2010).
Una regla práctica para memorizar la ecuación 1.11 es observar que en ella se cumple que "el doble del área de un polígono cerrado es igual a la suma algebraica del producto de cada una de las coordenadas norte por la diferencia entre la coordenada este anterior y la coordenada este siguiente." En forma general la ecuación 1.11 se puede escribir (Casanova, L. 2010):
El cálculo correspondiente a la ecuación 1.12 puede organizarse en forma tabulada como se indica a continuación (Casanova, L. 2010):
Se colocan en forma ordenada los pares de coordenadas de cada punto, luego en la posición anterior al primer punto se repite la coordenada este del último, y después del último punto, se repite la coordenada este del primero. Se unen mediante flechas cada una de las coordenadas norte con los estes anteriores y posteriores. Finalmente, la suma algebraica del producto de cada uno de los nortes por la diferencia entre los estes indicados nos dará el doble del área (Casanova, L. 2010). En forma análoga la ecuación 1.14 (Casanova, L. 2010):
Se colocan en forma ordenada los pares de coordenadas de cada uno de los puntos. Después del último punto se repiten las coordenadas del primero. Se conectan mediante líneas el norte de cada punto con el este que le sigue y en el otro sentido se conectan el este de cada punto con el norte siguiente. Luego se
multiplica en cruz, tomando como positivo el producto de nortes por estes y como negativo el producto de estes por nortes. Finalmente el doble del área del polígono es la suma algebraica de los productos anteriores (Casanova, L. 2010). Al aplicar las expresiones anteriores, el resultado puede dar valores positivos o negativos, dependiendo del sentido en que se recorra el polígono, pero lógicamente se debe tomar siempre en valor absoluto (Casanova, L. 2010). Ejemplo (Casanova, L. 2010): Calcular el área del polígono representado en la figura E1-9.
Solución: Para aplicar la ecuación 1.12 ordenamos los datos en forma tabulada:
b Métodos para medición en un plano
Método de tiras: se trazan en el área a medir una serie de líneas paralelas
a una distancia regular (mientras más pequeña sea la distancia entre las líneas más exacto es el método). Al final de las líneas se trazan perpendiculares que cortan la línea del perímetro a medir, de modo que incluyan una porción igual a la que excluye. Una vez construidos los rectángulos se procede a calcular su superficie, según el cálculo geométrico (largo x ancho), sumando todos sus totales y convirtiendo dicho resultado (en cms.) a kilómetros según la escala de la carta (Aguilar, A. 2007). Ejemplo:
Figura 3.5 Método de tiras (Aguilar, A. 2007).
Método de triangulación: se trazan en el área a medir una serie de triángulos, tratando de que abarquen la mayor superficie del área, y se calcula la superficie de cada uno de ellos, de acuerdo a la fórmula geométrica 1/2 (base x altura), sumando todos los resultados. Aquellos sectores que no son cubiertos por los triángulos se completan por el método de tiras. El resultado final (en cms. cuadrados) se transforma a kil6metros cuadrados según la escala (Aguilar, A. 2007).
Ejemplo (Aguilar, A. 2007):
Figura 3.6 Método de triangulación (Aguilar, A. 2007).
Método de cuadriculado: para utilizar éste método se deben realizar los siguientes pasos (Aguilar, A. 2007): 1. Se superpone, en el área a medir un papel transparente previamente cuadriculado en centímetros (se recomienda el cm. cuadrado, haciendo
la salvedad que cuanto menor sea el cuadriculado es mas exacto el cálculo). 2. Se cuentan en primer lugar las cuadrículas que están completamente cubiertas por el área en cuestión. Estas recibirán un valor 1 (cada una de ellas). 3. Las cuadrículas que están parcialmente cubiertas por el área en cuestión se les asigna un valor de 0,5. Para mayor exactitud del método se pueden valorizar estas cuadriculas en 0,25 - 0,75 - 0,3 - etc., dependiendo del área aproximada que ocupa la cuadricula. 4. Se procede el recuento de los valores de las cuadrículas completas o incompletas, cuyo resultado será la superficie del área en centímetros. 5. Dicha superficie en centímetros se transforma en kilómetros según sea la escala de la carta Ejemplo:
Figura 3.7 Método de cuadriculado (Aguilar, A. 2007).
Mediante un planímetro: el
planímetro es un aparato de medición utilizado
para el cálculo de áreas irregulares que están representadas en un mapa. Este modelo se obtiene con base en la teoría de integrales de línea o de recorrido. Para los casos en los que se necesita calcular superficies irregulares o en perspectiva, como mapas o manchas la geometría clásica o incluso la geometría analítica no son suficientes y no prestan mayor utilidad. Por ello es necesario recurrir a una herramienta de medición específica para tal fin, el planímetro es una buena y fácil alternativa (Siacara, W. S/F). Una vez colocado y preparado para medir, estará apoyado en tres puntos: el polo que es la parte fija al papel, el visor y la rueda del mecanismo de medida situada en el mecanismo de la articulación. Cada vez que se efectúa un recorrido, la rueda o roldana ha establecido una serie de giros, dependiendo de la forma de la figura a medir, y en ellos habrá accionado los mecanismos del contador. El planímetro clásico, que es el representado aquí nos ofrece la lectura mediante una rueda graduada en diez partes, siendo cada una de ellas 1/10 de vuelta, además se completa la lectura mediante otra rueda cuyo índice es un nonius decimal. Como la segunda rueda mide 1/100de partes de la primera, y con el nonius decimal podemos apreciar hasta 1/10 parte de su menor división, cada unidad de nonius representa 1/1000 de vuelta. La lectura del planímetro la constituyen tres cifras, la lectura de la rueda horizontal, y las dos unidades de limbo y nonius. Hay que fijarse en la rueda duran te el proceso de recorrido de la figura, puesto que si la primera rueda, pasa una vez por el “cero”, habrá que añadir una unidad a la primera lectura, o dos si ha dado dos
vueltas, etc., teniendo entonces una lectura de cuatro cifras (Siacara, W. S/F) . Uso del planímetro:
Cuando se emplea la tabla de constantes que trae el planeamiento, se gradúa el brazo trazador colocándolo en la posición correspondiente a la escala
del mapa, se recorre el perímetro del arrea con la mirilla y se lee el valor de la superficie del terreno en el disco graduado del instrumento (Siacara, W. S/F) . Él arrea se calcula según la ecuación: A = K . L Dónde: A = área (m) K = constante del planímetro según escala del mapa (m2) L = lecturas del promedio con el planímetro, de la figura cuya área se desea conocer (a dimensional). Procedimiento:
Cuando no se usa la tabla y se desea calcular el arrea de un terreno sobre un mapa (ejemplo 1:1.000), se procede de la siguiente forma: 1. Se coloca el brazo trazador en cualquier posición. 2. Se gradúan el disco y el nonio del instrumento en ceros y se recorre el perímetro de un arrea conocida, que puede ser un cuadrado de 1X1 cm y cuya superficie en el terreno, en escala 1:10.000 corresponde a un cuadrado de 100X100m y arrea de 10.000 m2 , la lectura para este cuadrado en el planímetro es de 0.1 La constante será: A = K .L K = A / L K = 10.000 m2 / 0.1 = 100.000 m2 = 10Has 3.
Se colocan el disco y el nonio, nuevamente en ceros y se recorre el
perímetro del arrea que se requiere medir, de la cual se harán 3 lecturas, que luego se promedian. (Ejemplo 0.65). Finalmente el arrea se calcula a partir de la
ecuación ya mencionada.
A=K.L
Ejemplo: A = 10Has. (0.65) = 6.5Has.
