FACULTAD DE INGENIERÍA CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL
“LEVANTAMIENTO TOPOGRÁFICO MÉTODO POTHENOT Y HANSEN” AUTOR(ES): • • • • •
Aguilar Rosas, Yulissa Espinola Garcia, Edson Haro Genovez, Arnold Jimenez Marreros, Arturo Sanchez Robles, Nilson
CURSO: •
!"!GRA#$A $$
DOCENTE: VILLAR QUIROZ JOSUALDO
TRUJILLO – PERÚ - 2016 DEDICATORIA G.O.G.R
%edicamos este este traba&o te'rico a %ios por ser nuestra nuestra (ortaleza cada d)a d)a * guiador de nuestros nuestros pasos, a nuestros padres por ser pilares (undamentales en nuestra vida *a +ue ellos velan por nuestro bienestar * educaci'n as) mismo dedicamos este traba&o te'rico a todos los estudiantes de topogra()a de la clase -./0 de la universidad "rivada del Norte, +ue sirva como un incentivo acad1mico para (uturas investigaciones en dicho tema * adem2s a nuestra maestro, Josualdo 3illar 4uiroz por su asesoramiento para realizar el presente in(orme de investigaci'n5
Los autores.
AGRADECIMIENTO
Este in(orme es el resultado del es(uerzo con&unto de todos los +ue (ormamos el grupo de traba&o, por lo cual agradecemos agradecemos pro(undamente a %ios por por guiarnos en la toma de decisiones decisiones en nuestras nuestras vidas cada d)a, en el transcurso de nuestros caminos e ilumin2ndonos en todo lo +ue realizamos5 A nuestros padres, por inculcarnos valores, por su entera con(ianza * apo*o incondicional5 A nuestro maestro, Josualdo 3illar 4uiroz, por brindarnos conceptos (undamentales * concisos para nuestra investigaci'n5
Índice 1.
INTRODUCCIÓN........................................................................5
2.
OBJETIVOS............................................................................. 7
2.1. OBJETIVO GENERAL....................................................................... 2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS................................................................
3. 4. 5.
CLASIFICACIÓN DE LOS METODOS DE INTERSECCIÓN................8 GENERALIDADES..................................................................10 LA INTERSECCIÓN INVERSA SIMPLE.......................................12
!.1. DESCRIPCI"N DEL #$TODO.........................................................12 !.2. RESOLUCI"N GR%FICA................................................................. 12 !.&. INCERTIDU#BRE A PRIORI...........................................................1' !.'. PLANI#ETRÍA ( *).....................................................................16 !.!. OBSERVACI"N DE CA#PO............................................................1
2 2........................................................................................... 21 2 2........................................................................................... 21 g...............................................................................................22 1 1
1
(A
g C 200
(A
C ....................................................................................22
(
B.....................................................22
,
!"#1.......................................................................................24 AB AP1 P1P2 P2 B +,B
E
!"#1 !"# 3 !"# $ !"# A.........................24
+,A....................................................................................2'
2 % 3 &....................................................................................24 +,B
B
E
+,A....................................................................................2!
$........................................................................................25
1. INTRODUCCIÓN
El presente traba&o comprende el estudio del m1todo de "othenot * Hansen en el cual hablaremos de su de(inici'n, sus usos * e&emplos dirigida (undamentalmente a alumnos del curso de topogra()a5 Estos m1todos nos permitir2n obtener las coordenadas de uno o de varios puntos apo*2ndonos en otros v1rtices con coordenadas determinadas en (ases previas5 En opogra()a se necesita el implantar puntos por+ue la distancia e6istente entre los de 7 er orden es demasiado grande para realizar tareas concretas5 Se hace necesario establecer por m1todos topogr2(icos nuevos puntos, denominados v1rtices topogr2(icos, de modo +ue la distancia entre ellos no supere la +ue necesita el traba&o concreto5 8a aplicaci'n (undamental del m1todo de intersecci'n consiste en permitir la densi(icaci'n de redes e6istentes5 ambi1n puede aplicarse para comprobar la bondad de las mismas o en los traba&os preliminares de enlace a un determinado sistema de coordenadas5 Supongamos +ue tenemos +ue realizar un levantamiento, por e&emplo, en un determinado sistema de coordenadas previamente establecido5 "ara ello tendremos +ue dotar de coordenadas en dicho sistema a alguno de nuestros puntos, para luego de(inirlo como origen del sistema de c2lculo5 En este tema estudiaremos los m1todos angulares simples * en el siguiente completaremos el an2lisis con los m9ltiples5 8a opogra()a es geometr)a comprobada5 Seguimos principios geom1tricos pero necesitamos redundancia de observaciones, de datos, para poder asegurar la bondad de los resultados con la precisi'n re+uerida5
2. OBJETIVOS 2.1.
OBJETIVO GENERAL
Estudio de los m1todos de levantamiento topogr2(ico :"othenot * Hansen; 2.2.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Solventar un problema de resecci'n por el m1todo de "othenot5 %esarrollar un problema de "othenot simple5 %esarrollar un problema de "othenot ampliado5 %eterminar un problema con soluci'n anal)tica por el m1todo Hansen5
3. CLASIFICACIN DE LOS METODOS DE INTERSECCIN Seg9n los datos previos del punto de estaci'n5 -
%irecta5
5
5
-
$nversa
-
Mi6ta5
Seg9n el n9mero de observaciones5 -
Simple5
-
M9ltiple5
Seg9n el modelo de observaci'n 5
Angular5
5
Angular m2s distancias5
%irecta= se estaciona s'lo en puntos conocidos5 -
$nversa= se estaciona s'lo en puntos desconocidos5
-
Mi6ta= se estaciona en puntos conocidos * desconocidos5
"or otro lado, dependiendo del n9mero de observaciones de +ue se disponga, las intersecciones se clasi(ican en simples o m9ltiples= -
Simple=
tenemos
s'lo
imprescindibles
los
datos
para
resolver
geom1tricamente el problema5 -
M9ltiple= tenemos m2s datos +ue los estrictamente necesarios para determinar la posici'n del punto5
#inalmente la medida electromagn1tica de distancias ha permitido introducir observaciones de distancia en los m1todos de intersecci'n5 El orden de precisi'n en la medida de distancias con las
estaciones totales es an2logo al de la medida de 2ngulos5
m1todos de intersecci'n con s'lo medidas angulares,
-
m1todos de intersecci'n con medidas angulares * de distancias5
!. GENERALIDADES El m1todo de intersecci'n inversa consiste en estacionar el teodolito en un punto de situaci'n desconocida y de la observaci'n 2ngulos +ue (orman las visuales a puntos conocidos deducir la posici'n del primero5 8os puntos conocidos son o torr triangulaci'n o puntos levantados con anterioridad5 No es necesaria la medida de distancia5 8as dos (ormas m2s comunes de intersecci'n inversa la constitu*en= el problema de los tres puntos o de "othenot y el problema de dos puntos o de Hansen5 El problema de "othenot re+uiere visibilidad de tres puntos de coordenadas conocidas * estaciona teodolito 9nicamente en el punto +ue trata de levantarse midiendo 2ngulos +ue se (orman e6isten varias soluciones anal)ticas resolver este problema, la primera soluci'n se debe a Snelliu secuencia del c2lculo +ue se detalla m2s adelante corresponde soluci'n obtenida por >urc?hardt5 El problema de 2O
Hansen sustituir
al
de "othenot, con un grado de precisi'n in(erior, c desde el punto +ue se
+uiere determinar s'lo se vean dos conocidos pudiendo sustituir el tercero por uno au6iliar, pero condici'n de estacionar en 1l estos datos son su(icientes determinar anal)ticamente la posici'n de los dos puntos5 En los dos casos anteriores cual+uier error +ue se cometa en el +ueda sin comprobaci'n por eso, siempre +ue se pueda, debe to un dato suplementario +ue consiste en observar un 2ngulo m2s indispensable para el c2lculo, a otro punto conocido5 En el m1todo "othenot si se observan los 2ngulos cuatro puntos conocidos de tres se pueden resolver cuatro problemas de "othenot, (orman por combinaci'n de los cuatro v1rtices tres a tres esto p no solamente comprobar el traba&o de campo, sino obtener un promedio para las coordenadas de(initivas del punto5
$gualmente el problema de Hansen se observan los 2ngulos a tres conocidos desde los dos +ue se tratan de levantar pueden plantearse tres problemas de Hansen, por combinaciones dos a dos de los tres puntos conocidos * un "othenot para cada punto, teniendo datos su(icientes para comprobaci'n, permitiendo como en el caso anterior hallar las coordenadas por dos o m2s m1todos di(erentes y tomar despu1s el promedio, como de(initivo, si los resultados son concordantes5 Sin embargo si los puntos a determinar (orman parte de red de triangulaci'n ser2 necesario estacionar en los puntos conocidos5
uno * calcular las coordenadas del punto o de los puntos por dos rutas di(erentes, 1stas deben coincidir para comprobar el c2lculo5 8os puntos as) levantados se utilizan en triangulaciones de orden secundario, en la obtenci'n de puntos de apo*o para (otogrametr)a a1rea * para levantamientos topogr2(icos5 Se emplean estos m1todos, adem2s, para determinar la posici'n de puntos de sondeo desde un bote se miden los 2ngulos a puntos conocidos * ubicados en el litoral5 8os 2ngulos se miden con un se6tante, instrumento ideado por el ingl1s Hadle* * el norteamericano God(re* en /-7.5 Este mismo proceso empleado para determinar el lugar +ue ocupa en un plano la estaci'n donde se encuentra colocada la plancheta se llama resecci'n * se e&ecuta lanzando visuales a puntos +ue han sido levantados * dibu&ados con anterioridad5 8a plancheta ideada en /@. por "raetorius (ue considerada como el me&or instrumento topogr2(ico hasta la aparici'n de la ta+uimetr)a, hace casi dos siglos, * aun+ue a9n ho* d)a, han tratado de modernizarla no de&a de ser m2s +ue un ingenioso instrumento5
". LA INTERSECCIN INVERSA SIMPLE
".1.
DESCRIPCIN DEL M#TODO.
8a intersecci'n inversa simple es un problema cl2sico en topogra()a * es conocido como problema de "othenot por ser este autor el +ue primero obtuvo la resoluci'n num1rica del mismo5 8a intersecci'n inversa simple consiste en la observaci'n desde un v1rtice, cu*as coordenadas planim1tricas se pretenden obtener, de otros tres cu*as coordenadas son conocidas5 8as tres visuales "A, ">, "< proporcionan los datos necesarios para resolver matem2ticamente el problema5 2O
Se conocer2n las coordenadas=
A (X A, Y A)
B (XB,YB)
C(XC,YC)
8os datos de campo ser2n= A
>
<
8" , 8 " , 8 " ".2.
RESOL$CIN GR%FICA.
8a resoluci'n gr2(ica puede realizarse por cual+uiera de los siguientes m1todos5 - "apel transparente5 - $ntersecci'n de arcos capaces5 - Escuadra * transportador5 - Regla * transportador5 - 3ariable italiana del m1todo anterior5
El m1todo de resoluci'n gr2(ica del papel transparente consiste en sit9ar por coordenadas en papel milimetrado los puntos conocidos5 En otra ho&a se sit9an a partir de un punto cual+uiera los 2ngulos a * B5 Superponemos las dos ho&as * hacemos +ue coincidan las visuales con sus puntos5 As) obtenemos las coordenadas de "5 El gr2(ico siguiente re(le&a el procedimiento de resoluci'n de una intersecci'n inversa simple por el m1todo de intersecci'n de los arcos capaces de los 2ngulos a * B5
2O
El problema no tiene soluci'n cuando los cuatro puntos :los tres conocidos * el punto +ue se desea determinar; est2n en la misma circun(erencia5
a + þ + B = 2OO
g
En una intersecci'n inversa es necesario controlar +ue no se d1 esta situaci'n5
".3.
INCERTID$MBRE A PRIORI.
8a incertidumbre e6istente en un punto " determinado por el m1todo de intersecci'n inversa, se analiza estudiando el desplazamiento de las tangentes al arco capaz en el punto de intersecci'n5 A partir de las inversas de las distancias, * sobre la propia visual se situa un punto +ue denominamos AC, >C,
>C
Dniendo los puntos AC, >C,
Se obtiene +ue la incertidumbre viene e6presada por=
e
ea :lado ma*or; F :lado intermedio; S
En la e6presi'n de la incertidumbre= o
ea es la incertidumbre e6istente en la visual acimutal realizada con el e+uipo5 o
S es la super(icie del tri2ngulo (ormado por los puntos AC, >C,
o
lado ma*or del tri2ngulo indicativo del error5
o
8ado intermedio del tri2ngulo indicativo del error5
o
8a incertidumbre ser2 menor a medida +ue lo sea la incertidumbre de la observaci'n acimutal :ea;5
"or otra parte ser2 menor la incertidumbre al aumentar la super(icie del tri2ngulo * al disminuir la longitud de los lados del tri2ngulo indicativo del error5 El tri2ngulo indicativo del error a(ecta en dos sentidos= su super(icie * la longitud de los lados +ue lo (orman5 8os lados han de ser lo m)nimos posibles pero la super(icie la m26ima5 Ello implica +ue el tri2ngulo me&or :el +ue aparecer)a en la intersecci'n m2s deseable; ser2 un tri2ngulo e+uil2tero +ue tiene la propiedad de abarcar una ma*or 2rea con el per)metro m)nimo5
El caso 'ptimo en (unci'n de estas variables ser2 :
a;
"recisi'n angular= la trisecci'n inversa es me&or cuanto m2s preciso es el e+uipo5
b;
8ongitud de los lados del tri2ngulo de error * super(icie del mismo= $nteresa +ue las visuales (ormen unos ! apro6imadamente, *a +ue necesitamos el tri2ngulo de ma*or super(icie con el menor per)metro= el tri2ngulo e+uil2tero5 8a intersecci'n inversa debe tender a una (orma en Y5
No debemos tampoco olvidar +ue no e6iste soluci'n al problema cuando los cuatro puntos :los tres conocidos * el punto +ue se desea determinar; est2n en la misma circun(erencia5 ".!.
PLANIMETRÍA &'( )*.
A (X A, Y A)
B(XB,YB)
C(XC,YC)
Y los datos de campo son= A
>
<
8" , 8 " , 8 "
".".
OBSERVACIN DE CAMPO.
8as tres visuales "A, ">, "< proporcionan los datos necesarios para resolver matem2ticamente el problema5 ES4DEMA %E
"or di(erencias de lecturas de campo conoceremos el valor de los 2ngulos a * B5 a 8" K 8" þ = LP - LP
A partir de las coordenadas de los puntos A, > * <, se conocen los acimutes entre estos puntos * las distancias A> * ><5 El 2ngulo en > se puede calcular por di(erencias de acimutes= BL
=
θ B A
− C θ B
El problema estar2 resuelto anal)ticamente cuando determinemos el valor de los 2ngulos A * <5 "ara obtenerlos vamos a estudiar dos procedimientos5 8os dos llevan a la misma soluci'n, * se trata 9nicamente de dos (ormas di(erentes de resolver el problema= - M1todo de "othenot5 - M1todo de
M#TODO DE POT+ENOT
El es+uema de situaci'n de la intersecci'n inversa simple es el de la (igura5
Se establece el valor de la diagonal com9n "> en ambos tri2ngulos5
$gualando las dos e6presiones de la distancia "> se obtiene=
8levando a un miembro los t1rminos de los +ue conocemos su valor, * de&ando en el otro los +ue +ueremos determinar :A * <; obtenemos=
El segundo miembro es conocido en su totalidad5 "odr2 igualarse a la tangente de un 2ngulo au6iliar +ue denominamos δ =
B
D ⋅ senβ = tan A
δ
C
B
D ⋅ senα
A partir de los datos del problema siempre se podr2 calcular cu2l es el valor de un 2ngulo :+ue no posee sin ning9n sentido geom1trico;, a trav1s del arco tangente de la e6presi'n anterior5 "or otro lado= senC tan δ − senA
1
3amos a aplicar propiedades de (racciones5 Supongamos la siguiente (racci'n=
En ella podremos establecer=
b+a
b−a
!perando en nuestra e6presi'n=
=
d+c
d−c
senA + senC
=
senA − senC
/ + tan δ / − tan δ
!peramos en el segundo t1rmino5
=
= tan
50
g
+
Y el segundo miembro es el desarrollo de la tangente de una suma5 Si en un caso general es=
tan
+ ( a + b )= tanA tanB 1−tanA xtanB
En el nuestro, a la inversa=
g
tan 50 1
Entonces=
+ tanδ g
= tan ( 50g + δ )
−tan 50 x tanδ
+ tanδ =tan (50g + δ )
+ueda= 50
+ δ
senA + senC − tan ¿ aenA −SenC
Haciendo operaciones en el primer t1rmino de la e6presi'n, * aplicando= senA + senB − senA − senB
2 sen 1 cos
A + B 2
A + B 2
xcos xsen
A −B 2
A − B 2
Se obtiene=
senA + senC = aenA −senC
2 sen 2 cos
senA + senC 2 = x senA − senC 2
1
( A + C ) cos 1 ( A −C )
2
2
1
( A + C ) sen 1 ( A −C )
2
sen cos
2
A + C 2
A + C 2
cos
x sen
A −C 2
A −C
1
1
2
2
= tan ( A + C ) xCtang ( A −C )
2
8a e6presi'n inicial era= senA + senC 1+ tanδ − senA − senC 1 −tanδ
Sustitu*endo por los valores obtenidos tras operar 1 1 senA + senC =tan ( A +C ) xctang ( A −C ) senA − senC 2 2
+ tanδ =tan (50g + δ ) 1 −tanδ 1
$gualando= tan
1 2
( A+ C ) xctan 1 ( A−C )= tan ( 50 g + δ ) 2
Y despe&ando= tan
1 2
( A− C )= tan 1 ( A + C ) ctan ( 50 g+ δ ) 2
Es decir= g
+ δ tan ¿
50
tan
1 2
tan
A + C
( A− C )=
2
¿
E6presi'n +ue permite calcular
1 2
( A −C ) ,*a +ue δ es conocido5
En el cuadril2tero "A>< se ha de cumplir +ue δla suma de todos los 2ngulos interiores sea !!g= A + C + ∝+ β + B= 400 g
A + C =400 −( α + β + B ) 1 2
( A + C )=200g − 1 ( α + β + B ) 2
"odremos calcular 1 2
( A + C )
%esignando por= O 1
M = ( A + C ) 2
1
M = ( A −C ) 2
Y el !"#le$a ge"$%t!&'" a *ea" !e*elt".
MÉTODO DE HANSEN.
n "'a&"ne e !eenta la ne'e&a e leanta! " *nt" e'"n"'&" P1 y P2 &an" ee ell" a "t!" " '"n"'&" A y C *e "! * nat*!ale/a n" ean eta'&"na#le.
ee P1 y P2 e $&en l" ng*l" 1,2, y 3 e4ala" en la &g*!a. te $%t"" !e'&#e el n"$#!e e !"#le$a e 6anen5
En la (igura los 2ngulos /, , 7 * pueden obtenerse por di(erencia de lecturas de campo, * los 2ngulos @ * se pueden calcular por di(erencia a !!g en los tri2ngulos A"/" * >"/"5 El problema se reduce a obtener el valor de los 2ngulos A * >, situaci'n mu* seme&ante al de "othenot5 3amos a resolverlo planteando dos ecuaciones con los 2ngulos A * > como inc'gnitas, * sustitu*endo de (orma an2loga a como lo hac)amos en dicho m1todo5 En los tri2ngulos "/A>, ""/A, >""/ Y A>" se obtiene=
n el t!&ng*l" ABP 1
→
n el t!&ng*l" AP 2P1
→
n el t!&ng*l" BP 2P1
→
n el t!&ng*l" BP 2 A
→
A> A"/ en1 A"/ = sen > "/" sen 7 = sen @ "/ " sen = sen >" " > sen A A> = sen
e'&!:
Multiplicando ordenadamente * teniendo en cuenta +ue el 2ngulo @ es suplementario de los /, , 7, as) como el lo es de , 7, , resulta= AB⋅ AP1 ⋅ P1P2 ⋅ P2 B
=
en1⋅ en ⋅ en 7 ⋅ en A
A"/ ⋅ "/" ⋅ " > ⋅ A> sen > ⋅ sen @ ⋅ sen ⋅ sen sen > sen/ ⋅ sen 7 ⋅ sen sen A = sen @ ⋅ sen ⋅ sen = E enemos dos ecuaciones con dos inc'gnitas A + B =
P7
senB senA
E
8lamamos H a la suma de * 7= 2 + = 6
Y sustituimos= A + > = H P 7 → > H K A
senB
8. 9a!a
E
senA
3O
→ sen:H
8. 9a!a
K A; E ⋅ senA
3O
senH ⋅ cosA K cosH ⋅ senA E ⋅ senA senH ⋅ cosA :senA; ⋅ :E P cosH; sen H tg A = E + cos H > = H − A El problema geom1trico ha +uedado resuelto5
CALC$LO DE LAS COORDENADAS DE LOS P$NTOS P1 P2
Resuelta la (igura al conocer todos los 2ngulos +ue la (orman, el c2lculo de coordenadas +ueda reducido a determinar el acimut * la distancia desde el punto conocido, al igual +ue hac)amos en directa5 θA
"
"/
A
>
= θ + A A
θ > = θ> − > θ >"/ = θ>A − B − 7
8. 9a!a
2;
"uede darse el caso +ue en vez de tener un punto desconocido tengamos varios como por e&emplo "/ , " , "7 para determinar sus coordenadas5 Este problema se denomina m1todo de "othenot m9ltiple5 Se considera m9ltiple por ser m2s de uno los puntos a determinar, pero no debemos olvidar +ue este no es el criterio +ue nosotros hemos adoptado para considerar una intersecci'n como tal5
"ara la resoluci'n num1rica tenemos como datos iniciales las coordenadas A:Q, Y; ,>:Q, Y;, <:Q, Y; * los de campo son los 2ngulos
/ ,
,
7
,
/
,
,
7
, +ue pueden
obtenerse por di(erencias de lecturas5 Al igual +ue en el problema de Hansen, la geometr)a +ueda resuelta obteniendo el valor de los 0
2ngulos A * <5
!perando en los tri2ngulos A>"/ , "/>",, 555 se obtiene=
Multiplicando ordenadamente obtenemos=
1
P"! "t!" la" la *$a e l" ng*l" el "l
C = N − A
C"n et" al"!e *ea !e*elta la &g*!a y *ee !eal&/a!e '*al*&e! 'l'*l" en ella.
CALC=LO 0- LA> COOR0-?A0A>
Pa!a "#tene! la '""!enaa e l" *nt" e'"n"'&" #ata '"n ete!$&na! l" a'&$*te y la &tan'&a a ell" ee l" *nt" '*ya '""!enaa n" an &" !""!'&"naa:
2
θ P B =
θ
C
B
+ :.. − C −
β 7 ; + :.. − α 7 − β ;
C"n et" t%!$&n" e !"'ee a ete!$&na! el al"! e la '""!enaa a!'&ale y a#"l*ta e 'aa *n" e l" *t".
3
