Teselaciones La palabra teselación deriva de tesel o tesela tesela.. Cada una de las piezas con las que antiguamente se formaban pavimentos. Mosaico, embaldosado. Cubrimiento con planchas o baldosas.
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Programa de Estudios NM1 UNIDAD: TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS. Traslaciones, simetrías y rotaciones de figuras planas. Uso de regla y compás; de escuadra y transportador; manejo de un programa computacional que permita dibujar y transformar figuras geométricas. Tiempo estimado : 20 a 25 horas.
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CABRI-GEOMETRE II Cahier de brouillon interactif: Cuaderno de borrador interactivo. Software creado por Jean-Marie Laborde y Franck Bellemain en el Instituto de Informática y Matemáticas de Grenoble, Francia en colaboración con Texas Instruments. 44
Cabri II permite construir y explorar objetos geométricos de forma interactiva. La base geométrica de este software estimula la búsqueda y la formulación de conjeturas desde las formas más sencillas a una geometría de mayor complejidad.
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Transformaciones Geométricas en el plano: aplicaciones que modifican la posición y/o medidas de la figura sobre las que se aplican. TRASLACIÓN ISOMÉTRICAS SIMETRÍA AXIAL ROTACIÓN Simetría central Homotecia 66
TRASLACIÓN : Es una T.Isométrica que produce un desplazamiento paralelo de una figura,de acuerdo a un vector, y por lo tanto, mantiene sus lados de igual medida y paralelos que los de la figura original.
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SIMETRÍA AXIAL Es una T.Isométrica respecto a un eje de simetría de modo que el segmento que une dos puntos simétricos es perpendicular al eje de simetría, siendo éste la mediatriz de dicho segmento.
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ROTACIÓN Es una T.Isométrica, tal que los puntos simétricos pertenecen a un mismo arco de circunferencia de centro el punto de rotación y ángulo de medida en el cual se efectuó la rotación.
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TESELACIÓN CON POLÍGONOS REGULARES U
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DEMOSTRACIÓN Sea n el número de lados de un polígono regular, el ángulo interior es :
mn - 2m -2n = 0 m(n-2) - 2n = 0 m(n-2) - 2(n-2) = 4 (n-2)(m-2) = 4 Los únicos valores enteros que pueden tomar estos binomios son : (n-2) = 1 ; (m-2) = 4 n=3 (triángulo) ; m = 6 (n-2) = 2 ; (m-2) = 2 n=4 (cuadrado) ; m = 4 (n-2) = 4 ; (m-2) = 1 n=6 (hexágono) ; m = 3
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TESELACIÓN COMBINANDO POLÍGONOS REGULARES Triángulo Equilátero - Cuadrado (3 y 2 ) Triángulo Equilátero - Hexágono regular ( 4 y 1 ) ; (2 y 2 ) Hexágono Regular - Triángulo Equilátero Cuadrado (2 , 1 y 1 ) Octógono Regular - Cuadrado (2 y un ) 1313
TESELACIÓN CON POLÍGONOS IRREGULARES ¿Se puede teselar con un triángulo escaleno cualquiera? Sí, es posible formando un paralelógramo. Dependerá del tipo de triángulo el paralelógramo formado :
ROGER PENROSE Matemático contemporáneo inglés. Matemática recreacional. Teselaciones Cuasi periódicas. Rombo Gordo y Rombo Flaco. Dardo y volantín.
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ROMBO GORDO Rombo de ángulos 108º y 72º Si el rombo se construye con un lado de longitud la razón áurea = (1+ 5) / 2 ; y se le divide a través de una diagonal y trazos de longitud 1, se forman los teseles conocidos como Dardo y Volantín.
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ROMBO FLACO Rombo de ángulos 36º y 144º Se puede obtener realizando simetría axial con pentágonos regulares. Se pueden realizar teselaciones combinando ambos rombos o bien con otras figuras.
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CONSTRUCCIÓN DE UN TESEL Técnica del mordisco : Consiste en producir figuras, no solamente polígonos, que teselan el plano. Se dibujan segmentos o curvas en una figura base, aplicándose las transformaciones isométricas adecuadas. Permite la creatividad en el diseño.
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Escher
”La división regular del plano en figuras congruentes que evoquen en el observador una asociación con un objeto natural familiar, es uno de esos problemas o hobbies que generan pasión. He trabajado en este problema geométrico multitud de veces a lo largo de los años, intentando resolver distintos aspectos cada vez. No puedo imaginar lo que mi vida hubiera sido si no hubiera encontrado nunca este problema; se puede decir que estoy locamente enamorado de él, y sigo sin saber porqué"
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EXPERIENCIA EN AULA Curso : 27 alumnos. Número de computadores : 14 Software : Cabri II. Módulo de autoinstrucción. Número de horas pedagógicas : - 4 de apresto para el uso del software. - 6 de reconocimiento de las transformaciones isométricas.
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- 4 de reconocimiento de propiedades de los polígonos para teselar. - 4 de teselación combinando polígonos regulares. - 4 de construcción de un tesel. Penrose. - 6 de diseño propio de una teselación. - 2 de formalización del contenido. Total = 30 horas pedagógicas.
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Evaluación : Formativa. Sumativa : Diskette con diseño de una teselación. Trabajo con diseño en papel y la descripción de la construcción con las transformaciones isométricas utilizadas.
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VENTAJAS Las transformaciones isométricas fueron aprendidas para ser aplicadas Permite al alumno desarrollar su creatividad Relaciona la Matemática con otras áreas Desarrolla capacidades y valores Da la posibilidad de corrección inmediata Favorece un aprendizaje interactivo
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DESVENTAJAS La dificultad de asumir el computador como herramienta de trabajo. Número de computadores insuficientes. La ausencia de un ayudante. Falta de autonomía del alumno para el aprendizaje. Calidad del módulo de autoinstrucción.
