Fuerzas Distribuidas
Ing. Omar Coronado Zuloeta Frank Ecson OlazabalAlberca Jhonn Franklyn Oliva Mera Jesús Miguel Quiroz Flores Kattia Reque Esqueche Angelo Iván
01 / 02 / 2012
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En los temas desarrollados anteriormente en clase hemos tratado con fuerzas concentradas cada una de las cuales podía representarse, simplemente, por una magnitud vectorial que tenía un módulo, una recta soporte, un sentido y en ocasiones, un punto de aplicación. Pero en muchos casos las cargas no están concentradas en un punto, sino que están distribuidas ya sea a lo largo de una línea (tal como la de contacto del rodillo) o sobre una superficie (tal como la acción del viento sobre un anuncio). En estos casos se habla de cargas distribuidas.
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En los temas desarrollados anteriormente en clase hemos tratado con fuerzas concentradas cada una de las cuales podía representarse, simplemente, por una magnitud vectorial que tenía un módulo, una recta soporte, un sentido y en ocasiones, un punto de aplicación. Pero en muchos casos las cargas no están concentradas en un punto, sino que están distribuidas ya sea a lo largo de una línea (tal como la de contacto del rodillo) o sobre una superficie (tal como la acción del viento sobre un anuncio). En estos casos se habla de cargas distribuidas.
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Todas las fuerzas consideradas hasta ahora han sido fuerzas concentradas. Consideraremos ahora cargas distribuidas dirigidas de forma normal a las superficies sobre las que actúan, como en el caso de la presión. Dos ejemplos de cargas normales distribuidas son la presión del viento actuando sobre el lado de un edificio y la presión del agua sobre una presa. Los métodos para determinar las resultantes de cargas normales distribuidas son muy similares a los usados para cargas concentradas. La única diferencia notable es que se usa integración en vez de una suma.
Consideremos la carga mostrada en la figura:
Fig. 1 Paralela al eje z y está distribuida sobre la región plana A que se encuentra en el plano xy. La distribución de la carga está especificada por la función p(x,y), llamada intensidad de carga. Las unidades de la intensidad de carga son N/m2, Ib/pie2, etc. La región plana A se conoce como área de carga y la superficie formada por la gráfica de la intensidad de la carga se llama superficie de carga.
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Ademas:
Fig. 2 Como se ve en la figura, dA representa un elemento de área diferencial (infinitesimal) de A. La fuerza aplicada a dA es d R = p dA. La carga de superficie distribuida puede entonces representarse matemáticamente como un número infinito de fuerzas no coplanares d R paralelas al eje z. Por lo tanto, la resultante puede determinarse empleando los métodos explicados previamente para fuerzas paralelas no coplanares. Sin embargo, como el sistema de fuerzas en este caso consiste en un número infinito de fuerzas diferenciales, cada sumatoria debe remplazarse por una integral sobre el área cargada A. La fuerza resultante se obtiene de
∑ lo que produce:
Donde el rango de integración es el área de carga A. Las coordenadas en la figura.
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que localizan la línea de acción de R se muestra
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Fig. 3 y son determinadas por las ecuaciones:
∑ ∑. Después de hacer las sustituciones apropiadas, esas ecuaciones toman la forma:
∫ ̅ ∫∫ ∫ ^
Observamos que d R = p dA representa un volumen diferencial entre el área de la carga A y la superficie de carga. Este volumen se ha denotado por dV en la figura. Por lo tanto, la fuerza resultante R también puede escribirse como:
Donde V es el volumen total de la región V que se encuentra entre el área de carga A y la superficie de carga. Remplazando p dA por d V, se obtiene
∫ ∫ ∫ ̅ ∫∫ ∫
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Estas últimas ecuaciones definen las coordenadas de un punto conocido como el centroide del volumen que ocupa la región V. Este punto se rotula C en la figura 3. La coordenada z del centroide no es de interés aquí porque y son suficientes para definir la línea de acción de la fuerza resultante.
La determinación de la fuerza resultante de una carga normal distribuida sobre un área plana puede resumirse como sigue:
La magnitud de la fuerza resultante es igual al volumen de la región entre el área de carga y la superficie de carga. La línea de acción de la fuerza resultante pasa por el centroide del volumen limitado por el área de carga y la superficie de carga.
Siempre que el ancho del área de carga sea despreciable comparado con su longitud, una carga distribuida (también llamada carga de línea) puede representarse como una carga de línea. Las cargas distribuidas a lo largo de una curva plana y a lo largo de una línea recta se muestran en la figura 4 (a) y (b), respectivamente.
Fig. 4 Las cargas de línea se caracterizan por la intensidad de carga w, que es una función de la distancia medida a lo largo de la línea de distribución. La gráfica de w se llama diagrama de carga. Las unidades de w son N/m, Ib/pie, etc.
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Como se muestra en la figura 5 (a):
Fig.5 Una carga de línea recta es equivalente a un número infinito de fuerzas diferenciales, cada una de magnitud dR = w dx. Como esas fuerzas son paralelas, su resultante es:
∑
Dirigida paralelamente al eje z, como se indica en la figura 5 (b). La línea de acción de R puede determinarse igualando los momentos respecto al punto O para los dos sistemas en las figuras 5 (a) y (b):
̅ Donde hemos usado dR = w dx, Sustituyendo la expresión para R dada, y despejando x, obtenemos:
∫ ̅ ∫ 7
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Con referencia a la figura 5(a), observamos que dR = w dx es igual al área diferencial dA bajo el diagrama de carga. Por lo tanto, la ecuación representa el área total A bajo ese diagrama. Sustituyendo w dx = dA, la ecuación puede escribirse como:
∫ ∫ ̅ ∫
Se muestra en el capítulo 8 que localiza el centroide del área bajo el diagrama de carga, marcado C en la figura 3.11 (b) (la coordenada z del centroide no es de interés en este caso). Por lo tanto, podemos concluir lo siguiente para cargas de línea recta:
La magnitud de la fuerza resultante es igual al área bajo el diagrama de carga. La línea de acción de la fuerza resultante pasa por el centroide del área bajo el diagrama de carga.
Observando las ecuaciones antes vistas:
∫ ∫ ̅ ∫ Vemos que el cálculo de la resultante de caigas distribuidas es esencialmente un problema de integración. Si la superficie de carga o el diagrama de carga tiene una forma simple, entonces pueden usarse labias de centroides, como la 6, para determinar la resultante de la manera en que se ilustra en los siguientes problemas muestra.
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Tabla 6
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Determine la resultante de la carga de línea que actúa sobre la viga mostrada en la figura.
Notamos que el diagrama de carga no es uno de los tipos comunes dados en la tabla 6. Sin embargo:
El diagrama de carga puede representarse como la suma de tres cargas de línea correspondientes a los dos triángulos A1 y A2 y al rectángulo A3. La resultante de esas tres cargas de línea es igual al área del diagrama de carga. Su línea de acción pasa por el centroide del diagrama; su localización puede encontrarse en la tabla 6.
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Si P1, P2 y P3 son las resultantes de las cargas de línea representadas por las áreas A1, A2 y A3, respectivamente, tenemos:
La línea de acción de cada una de esas fuerzas pasa por el centroide del diagrama de carga correspondiente, llamados C1, C2 y C3. Las coordenadas x de los centroides se obtienen usando la tabla.
Se infiere que la magnitud de la resultante de la carga de línea en la figura (a) está dada por: Respuesta
Para determinar , que es la distancia horizontal del punto O a la línea de acción de R, se usa la ecuación de momento:
∑
De lo que resulta
La resultante se representa:
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Calcule la resultante equivalente y su ubicación con respecto al punto A
Calculamos primero la fuerza resultante. FR =
∫ ⁄ = 14.885 N
Luego calculamos su ubicación respecto al punto A x=
∫ ⁄ m ∫ ⁄
La carga sobre el entrepaño está distribuida como se muestra. Determine la magnitud de la fuerza resultante equivalente y su ubicación, medida desde el punto O.
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Calculamos la fuerza resultante
Calculamos la ubicación de la fuerza resultante:
3. Reemplace el sistema con una fuerza y un momento de par equivalentes actuando en O. De la fig. adjunta tenemos
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La columna se usa para dar soporte al piso que ejerce una fuerza de 3000lb.Sobre la parte superior de la columna. El efecto de la presión del suelo a lo largo de su lado es distribuido como se muestra. Reemplace esta carga por una fuerza resultante equivalente y especifique donde actúa esta a lo largo de la columna, medida desde su base A.
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Hasta ahora hemos tratado con fuerzas concentradas despreciando el ancho de las cargas y viendo el objeto como una línea, ahora no despreciaremos estar magnitud sobre una superficie. Son cargas cuya distribución puede ser uniforme o no. La fuerza distribuida está caracterizada por su intensidad y por su dirección y sentido. Cuando las zonas a las que se aplican las cargas son considerables frente al tamaño del cuerpo, ya no es válida la hipótesis de fuerza concentrada. La superficie puede considerarse compuesta por un gran número de elementos de superficie muy pequeños de área dA, así el momento de un elemento respecto al eje y será: Y el momento total de la superficie A respecto del eje y será: M y
n
x dA i
i
o M y xi dAi
i 1
A
El momento de una masa, fuerza, volumen, superficie o línea respecto a un eje o a un plano puede definirse de manera análoga recibiendo el nombre de de la magnitud que se considere. Este puede ser nulo y su signo positivo o negativo ya que las coordenadas pueden ser positivas o negativas.
P= p(x) N/m 2
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Multiplicamos por el ancho W(x) = p(x) b N/m
como ahi un numero de fuerzas dF=w(x) dx y Fr= ΣF Fr=
∫
Procedemos a encontrar el centro de presion y con ello el momento asi como detallaremos con un ejemplo
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La carga distribuida actúa sobre la viga como se muestra en la figura. Determine la magnitud de la fuerza resultante equivalente y especifique el lugar donde actúa, medido desde el soporte A. 2
W=(-x +2x+3) KN/m
2
W=(-x +2x+3) KN/m
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En ejercicios de aplicación práctica no sólo interesa conocer la presión en determinados puntos en el interior de un fluido sino que surge la pregunta de cuál será el efecto del fluido sobre un cuerpo sumergido. Cuando un cuerpo sólido se sumerge en un fluido, éste ejercerá sobre el cuerpo determinadas fuerzas. Se trata de determinar la resultante de las fuerzas actuantes así como su lugar de actuación. ¿Para qué calculamos las fuerzas? Como parte del diseño de algunas superficies que se encuentran sumergidas es necesario conocer la resistencia a las fuerzas actuantes. Se requiere entonces determinar la magnitud, dirección y localización de las fuerzas sobre el área. La fuerza debida a la presión hidrostática en realidad se distribuye sobre toda el área pero se determina una fuerza resultante y su localización. La dirección siempre será perpendicular al área.
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También se encuentran ejemplos típicos de lo que se conoce como paredes rectangulares expuestas a una presión que varía desde cero, en la superficie del fluido, hasta un máximo, en la parte inferior de la pared, a lo que llamamos los muros de contención. Por lo tanto la fuerza debida a la presión de fluido tiende a tirar la pared o a romperla, en el sitio en que está fija en el fondo; como se observa en la siguiente figura.
La fuerza real se distribuye sobre toda la superficie de la pared pero, para fines de análisis, es conveniente determinar la fuerza resultante y el sitio en el cual actúa, conocido como centro de presión. Esto es, si la fuerza entera estuviera concentrada en un solo punto ¿en qué lugar estaría dicho punto y cuál sería la magnitud de tal fuerza? En la siguiente figura se muestra la distribución de presión sobre el muro de contención vertical. Como se indicó en la ecuación , la presión varia linealmente (como una línea recta) con respecto de la profundidad en el fluido. La longitud de las flechas punteadas representa la magnitud de la presión de fluido en diferentes puntos sobre la pared. Debido a esta variación lineal en la presión, la fuerza resultante total puede ser calculada con la ecuación:
En la que:
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Pero la presión promedio es la que se encuentra en la parte media del muro y puede calcularse mediante la ecuación: = (d /2)
En la que d es la profundidad total del fluido
Por lo tanto, tenemos : FR=d/2)
La distribución de presión que se muestra ya vista indica que una mayor porción de la fuerza actúa sobre la parte más baja de la pared. El centro de presión está en el centroide del triángulo de distribución de presión, a un tercio de la distancia del pie de la pared. La fuerza resultante, F R actúa perpendicularmente a la pared en ese punto. A continuación presentamos el procedimiento para calcular la magnitud de la fuerza resultante debido a la presión de fluido y para calcular la posición del centro de presión sobre una pared rectangular, también se puede aplicar el procedimiento tanto si la pared está vertical o inclinada.
1. Calcule la magnitud de la fuerza resultante, F R de la ecuación. FR= (d /2) A
En la que: peso específico del fluido d = profundidad total del fluido A= área total de la pared
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2. Localice el centro de presión a una distancia vertical de d /3 a partir del pie de la pared. 3. Muestre la fuerza resultante que actúa en el centro de presión en forma perpendicular a la pared.
a) En la siguiente figura el fluido es gasolina (sg=0.68), y la profundidad total es de 12 pies. La pared tiene 40 pies de largo. Calcule la magnitud de la fuerza resultante sobre la pared y la localización del centro de presión
Centro de presión
12 pies FR
d/3
1.
Paso . FR= (d /2)A
(0.68)(62.4lb/pies3)= 42.4 lb/pies3
A=(12pies)(40pies)=480 pies
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FR= 42.4 lb x12 pies x 480 pies2 =122112 pies3
2
2. Paso El centro de presión está a una distancia de:
d /3= 12pies/3 = 4 pies
a partir del fondo de la pared
3. Paso La fuerza F R , actúa de manera perpendicular a la pared en el de presión como se muestra en la figura. b) Determine la magnitud de la fuerza hidrostática por metro de longitud que actúa sobre la pared. El agua tiene una densidad de 3
p=1Mg/m .
6m FR
=1Mg/m3
kg/m
a) Paso: FR= (d /2)A
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(103)(9.81N/m3)=9810N/m3 A=6mX1m FR=9810x(6/2)(6)N FR=176.58KN
b) Paso El centro de presión está a una distancia de: d /3= 6m/3 = 2m
a partir del fondo de la pared
c) Paso La fuerza F R , actúa de manera perpendicular a la pared en el centro de presión como se muestra en la figura.
Determinar la magnitud de la fuerza hidrostática que actúa sobre la compuerta ab, la cual tiene un ancho de 2m. El agua tiene densidad de =1Mg/m3
3m
A 2m B
En el punto A se desarrolla: FR= (d /2)A
(103)(9.81N/m3)=9810N/m3
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A=3mx2m=6m R A=9810x(6)N=58860N
En el punto B se desarrolla: FR= (d /2)A
(103)(9.81N/m3)=9810N/m3 A=5mx2m=10m RB=9810x(10)N=98100N
Como me piden la compuerta AB: FR= (5-3)x(58860+98100) =156960N 2 FR=156.960KN
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1.
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Como sabemos, la fuerza resultante en una superficie plana vertical se encuentra direccionada en forma perpendicular a dicha superficie, pues ahora veremos que dicha fuerza resultante también tendrá su dirección perpendicular a dicha superficie, pero ahora con una inclinación de un ángulo θ; esto se sustenta con la teoría general que siempre la “fuerza resultante actuará en forma perpendicular a cualquier superficie lisa sumergida”, y que el centro de presión sobre una superficie puede variar
dependiendo del ángulo de inclinación. Veremos a continuación una pequeña demostración para hallar la fuerza resultante sobre cualquier superficie inclinada sumergida:
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Se muestra una presa, cuya cortina tiene 30.5 m de largo y retiene 8m de agua dulce; tiene un ángulo de inclinación θde 60°, calcule la magnitud de la fuerza resultante sobre la cortina de la presa y la localización del centro de presión.
FR= (d/2)A
Para calcular el área de la cortina, necesitamos la altura de su cara, denotada con L en la figura 4.7: Senθ=d/L L=d/senθ= (8/sen60°)m =9.24m
Entonces, el área de la cortina es: A=(9.24m)(30.5m)=281.8m2
Ahora ya podemos calcular la fuerza resultante : FR = (d/2)A =
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Х
Х 281.8m2
= 11060KN =11.06MN
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El centro de presión está a una distancia vertical de: d/3 = 8m/3 =2.67m
A partir del pie de la cortina O, medido a partir del pie de la cortina a lo largo de su superficie, el centro de presión está en: L/3 = 9.24m/3 = 3.08m
Medidos a lo largo de la superficie de la cortina, definimos: Lp= distancia medida desde la superficie libre del fluido hasta el centro de presión Lp=L – L/3 Lp = 9.24m – 3.08m=6.16m Mostramos F R actuando en el centro de presión perpendicularmente a la pared.
En el fondo de un depósito lleno de agua hay una compuerta AB sin pero de 0.5m x 0.8m. la compuerta está articulada con bisagras a lo largo de su borde superior A y se apoya en un tope liso B. determinar: (a) las reacciones en A y B cuando la tensión del cable es nula. (b) la mínima tensión del cable BCD para que se abra la compuerta.
cuando T=0 Datos e incógnitas: AB=0.8m; a=0.5m; RA=?? ; NB=?? ; T=0
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En primer lugar se determina la fuerza resultante debido al agua
PA =ρg hA =ρg(0.45) N/m2 PB =ρg hB =ρg(0.45+0.48)=ρg(0.93) N/m2 WA=Pxa=ρg( 0.45)(0.5) =ρg (0.225) N/m WB=Pxa=ρg (0.93)(0.5) =ρg (0.465) N/m
F1=ρg (
(
)= 940.8 N
F2=ρg (0.225)(0.8)= 1764 N
Entonces la fuerza resultante será: FR=940.8+1764= 2704.8N……….(1)
Se sabe que el centro de gravedad de la compuerta se encuentra en la parte media de esta. Luego calculamos la posición de la fuerza resultante con respecto al C G de la compuerta, entonces aplicamos momentos en el punto B. MFR(B) =
∑
2704.8(d) =
(B)
d= 0.354m Ycp – YcG = 0.046 m…………………(2)
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En la figura se muestra el DCL de la compuerta, en donde se observa las fuerzas que actúan sobre ella y sus puntos de aplicación (T=0)
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, tenemos
∑
A =0
FR(d) =NB(0.8) 0.8NB=22704.8(0.4+0.046) NB=1507.9N…………………………(3)
∑
X =0
Ax + FRsen37°=NBsen37° Ax=(NB – FR)(3/5) =(1507.9 – 2704.8)(3/5) Ax=1197N ()……………………………(4)
∑
Y =0
Ay - FRcos37°= -NBcos37° Ay=(FR - NB)(3/5) =(2704.8 – 1507.9)(3/5) Ay=957N………………………………….(5)
La fuerza de reacción en A será
√
RA= RA=
RA=1543.8N………………………………………………Rpta
La tensión mínima será aquella que hará que la reacción en B sea nula.
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En la figura se muestra el DCL de la compuerta cuando la reacción en el punto B es N B = 0
En primer lugar se determina el ángulo φ que forma la dirección de la tensión y la línea que define la compuerta Tg(θ+β) =
Tg(37°+β) = 1.875 -1
37°+β = Tg (1.875) β=25°
Tomando momentos al punto A se tiene
∑
A =0
FR[0.4+(Ycp - YcG )]=T(0.8senβ) 2704.8(0.4+0.046)=T(0.8sen25° T=3568N………………………………………….Rpta
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Un fluido (líquido o gas) en reposo puede, por definición, transmitir fuerzas de comprensión pero no fuerzas de tensión o fuerzas cortantes. Como una fuerza cortante se ejerce tangente a una superficie, un fluido en reposo sólo podrá ejercer, sobre una superficie sumergida, una fuerza comprensiva normal a ésta y que recibe el nombre de presión. Ésta presión, llamada presión hidrostática, es igual en todas las direcciones y se debe al peso del fluido existente sobre todo punto de la superficie sumergida; por tanto, las presiones en los fluidos varían linealmente con la profundidad si el fluido tiene un peso específico constante. La presión absoluta p A a una profundidad d es: ... (0)
Donde:
= presión atmosférica en la superficie del fluido = p atm
= peso específico del fluido = densidad del fluido
g = aceleración de la gravedad d = altura vertical medida desde la superficie libre = h
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En caso que la superficie no esté vertical, sino que tiene una inclinación , d viene dada por d = y.sen( ), por lo que:
En el sistema de unidades SI, la densidad del agua dulce es 1000 kg/m 3 y en el U.S. Customary system, el peso específico del agua dulce es 62,4 lb/ft 3. La aceleración de la gravedad g es 9,81 m/s 2 en el SI y 32,2 ft/s s en el U.S. Customary. En general los instrumentos de medida de la presión miden el exceso de ésta sobre la presión atmosférica. Este valor se denomina “presión manométrica” y de la ecuación resulta inmediato que la presión
manométrica p g es: ...(1)
En el análisis de muchos problemas de ingeniería en los que intervienen fuerzas en fluidos, es necesario determinar la fuerza resultante R debida a la distribución de presiones sobre una superficie sumergida y localizar la intersección de su recta soporte con dicha superficie. A este punto de intersección se le da el nombre de “centro de presión”.
En el caso de la presión de un fluido sobre una superficie plana sumergida, el diagrama de carga (área) para una carga distribuida a lolargo de una línea se convierte en un sólido de presiones (volumen), según se indica en la , ya que la intensidad de una carga distribuida (presión) sobre la superficie sumergida varía sobre una superficie en ves a lo largo de una línea. 35
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Figura 3
Cuando se aplica la presión distribuida p a una superficie en el plano xy, la ordenada p(x,y) a lo largo del eje z representa la intensidad de la fuerza (fuerza por unidad de superficie. Elmódulo del incremento de fuerza sobre un elemento de superficie es: dR = p dA = dV ps donde dV ps es un elemento de volumen del sólido de presione, como semuestra en la figura (b). El módulo de la fuerza resultante R que actúa sobre la superficie sumergida es:
Donde V ps es el volumen del sólido de presiones. UBICACIÓN DEL CENTRO DE PRESIÓN: El centro de presión es aquel punto sobre un área en el que se puede suponer que actúa la fuerza resultante para tener el mismo efecto que la fuerza distribuida sobre el área entera, debida a la presión del fluido. La recta soporte de la fuerza resultante R se puede localizar respecto a los ejes x e y utilizando el principio de los momentos. Para los momentos respecto al eje y:
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Para los momentos respecto al eje x:
Las ecuaciones 3a y 3b indican que la recta soporte de la fuerza resultante pasa por el centroide C V del volumen del sólido de presiones. Si la presión está distribuida uniformemente sobre la superficie, el centro depresión P coincidirá con el centroide C A del área. Si lapresión no está distribuida uniformemente sobre la superficie, el centro de presión P y el centroide C A tendrán posiciones diferentes, según se indican en la .
Las ecuaciones (2) y (3) sólo son aplicables a superficies sumergidas planas; ahora bien, en la práctica, muchas veces se tienen superficies curvas, como es el caso de ciertas tuberías, presas y depósitos. En tales problemas, la fuerza resultante R y la intersección de su recta soporte con la superficie curva se pueden determinar por integración en cada problema concreto, no siendo posible desarrollar fórmulas generales aplicables a una amplia gama de problemas. Para evitar esta dificultad, se ha desarrollado el método que se ilustra en la figura 4.
Figura 4
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En la figura 4, una compuerta cilíndrica de radio a y longitud L cierra una abertura de la pared de un depósito que contiene un fluido. En la figura 4b se ha representado la distribución de la presión sobre la compuerta. A partir de dicha distribución, se pueden determinar por integración las componentes horizontal y vertical de la fuerza resultante y combinarlas para obtenerla. También puede utilizarse el método del sólido de presiones para determinar la fuerza resultante R si se utilizan los planos horizontal y vertical para aislar la compuerta y un volumen de fluido en contacto con ella, según se indica en la figura 4c. La fuerza que la presión ejerce sobre la superficie horizontal del fluido es:
Análogamente, sobre la superficie vertical.
El volumen de fluido V f tiene un peso W, el cual tiene un peso W, el cual viene dado por la expresión.
En la figura 4d puede verse las cuatro fuerzas F 1v, F 1h , F 2h Y W, junto con sus rectas soporte. Se pueden combinar las dos fuerzas verticales y las dos horizontales, dando:
Donde F v y F h son las componentes rectangulares de una fuerza resultante R. Es decir, R es la resultante de F 1v F 1h, F 2h y W, que son las fuerzas que el agua adyacente y la Tierra ejercen sobre el volumen de agua en contacto con la compuerta. Esta fuerza es la misma que la que ejerce el agua sobre la compuerta porque el volumen de agua en contacto con la compuerta está en equilibrio y la fuerza que la compuerta ejerce sobre el agua es de igual módulo y dirección pero de sentido contrario a la que ejerce el agua sobre la compuerta. El módulo de la resultante es:
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La pendiente de la recta soporte de la resultante viene dada por la expresión
Por último, la situación de la recta soporte de la resultante respecto a un punto arbitrario se puede determinar sumando momentos respecto al punto en cuestión. Para el punto O representado en la figura 4e,
En el caso de la compuerta cilíndrica, la recta soporte de la resultante pasa por el punto O, según se indica en la figura 4f. Esto se debe al hecho de que la presión siempre se ejerce normalmente a la superficie; por tanto, en el caso de la compuerta cilíndrica, la recta soporte de cada incremento dR de la resultante pasa por el punto O. Dicho de otro modo, los incrementos forman un sistema de fuerza concurrentes. Los ejemplos siguientes ilustran el procedimiento para determinar la fuerza resultante y localizar el centro de presión de superficies sumergidas utilizando los métodos de integración y de sólido de presiones.
1. El agua contenida por una presa tiene una profundidad de 30 m, según se indica en la figura. Determinar a) El modulo de la fuerza resultante que ejerce presión del agua sobre una longitud de 9m de la presa. b) La distancia del centro de presión a la superficie libre del agua.
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En la figura:
Se ha representado una sección del solido de presiones en la base de la presa, la presión es: P= P=
2
P = 294300 N/m
a) Así pues, para la longitud de de la presa igual a 9m, el volumen del solido de presiones es:
R = VPS = (294300)(30)(9) = 39730500 N = 39.7MN
b) Como la anchura del solido de presiones es constante y su sección es un triangulo, la distancia del centroide del solido a la superficie libre del agua será:
DP = (d) = 2 (30) = 20m
Quedando el resultado como se muestra en la figura:
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2. Determinar el modulo de la resultante de las fuerzas de presión que ejercen sobre la placa rectangular representada en la figura y localizar el centroide de presión respecto a la superficie del fluido.
Para el elemento dA representado en la figura: P = P = δ g (dC – y)
dA = b (dy)
Por tanto, el módulo del incremento de fuerza dR sobre el elemento de superficie dA es: dR = p (dA) = δ g (dC – y)(b dy)
El modulo de la fuerza resultante R será:
R = ∫ = ∫ = = La recta soporte de la fuerza resultante R se localiza utilizando el principio de los momentos. Sumando los momentos respecto a un eje x en la superficie del fluido, se tiene: MX = MX =
MX = MX =
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∫ ∫ = R =
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Por lo tanto la distancia d P del centro de presión a la superficie del fluido será
= Este problema se puede resolver también utilizando el solido de presiones representado en la siguiente figura:
Ya que se conocen las posiciones de los centroides para el prisma rectangular y la cuña triangular de la figura. En la parte superior, en el centroide y en la base de la placa, las presiones son, respectivamente:
Para el prisma rectangular: Vrp=
drp =
Vtw=
Para la cuña triangular: Vtw =
Para el sólido de presiones: VPS= Vrp + Vtw =
dPS = dP
Por tanto,
( ) =
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