MODUL 0 MELACAK BILANGAN BILANGAN SEBAGAI WARISAN BUDAYA DAN FAKTA ALAMI Mengenal Mengenal Bilangan Sebagai Sebagai Warisan Budaya Budaya
Bilangan Bilangan dan Teori Bilangan Bilangan (Number (Number Theory) Theory) adalah adalah satu satu dari dari kajian kajian matematika matematika yang yang tertua. tertua. Keadaan tertua tertua ini dapat dilacak kembali kembali berdasarkan berdasarkan keperluan keperluan bilangan bilangan dating lebih awal dari keperluan bentuk atau bangun (shape) dalam geometri. Masyarakat pada zaman kuno memerlukan kuantitas untuk berbagai keperluan. Beberapa keperluan kuantitas antara lain adalah (1) membilang, (2) menyatakan banyak atau jumlah, terhadap apa yang mereka miliki atau yang mereka peroleh, misalnya jumlah ternak, banyaknya binatang hasil buruan, banyaknya buah yang diambil, banyaknya anak,(3) membandingkan banyak atau jumlah, dan (4) melakukan tukarmenukar barang (misalnya (misalnya “barter” hasil bumi akibat belum ada “mata uang” sebagai alat alat untuk “jual-beli”). Pada saat zaman kuno ini, keperluan utama bilangan adalah untuk membilang. Kajian tentang sifat-sifat bilangan diduga belum mereka lakukan. Secara sistematis, sesuai dengan kaidah penyelidikan, mereka dipandang belum mengembangkan operasi bilangan beserta sifat-sifatnya, serta belum mencari pola bilangan dan nama-nama tertentu dari bilangan-bilangan khusus (misalnya bilangan perfek, bilangan prima, bilangan abundan, bilangan defisien, barisan bilangan). Bilangan itu sendiri dikenal, dipahami, dan digunakan tanpa perlu mengetahui penjelasannya, artinya tidak ada definisi tentang bilangan karena bilangan dipandang sebagai undefined term , yaitu istilah yang tidak didefinisikan. Bilangan merupakan kreasi budaya
manusia yang tumbuh dan berkembang selama ribuan tahun di berbagai belahan dunia. Dalam pengertian yang sederhana, teori bilangan berkaitan dengan kajian bilangan bulat dan sifat-sifatnya. sifat-sifatnya. Ini berarti bahwa dalam pembahasan teori bilangan bilangan tidak dijumpai dijumpai adanya pembahasan tentang bilangan pecahan p ecahan dan bilangan desimal. Demikian pula, teori bilangan tidak membahas tentang bilangan irasional, serta bilangan-bilangan yang terkait dengan logaritma dan perbandingan trigonometri. Kajian bilangan bulat ini antara lain terkait dengan faktor atau pembagi, faktor persekutuan, faktor persekutuan terbesar (fpb), kelipatan, kelipatan persekutuan, kelipatan persekutuan terkecil (kpk), keprimaan, persamaan Diophantine (persamaan yang memerlukan penyelesaian berupa bilangan bulat), kekongruenan,
dan model pengkodean.
Bilangan-bilangan yang khas, misalnya bilangan prima, bilangan Mersenne, bilangan abundan, bilangan defisien, dan bilangan bersekawan, merupakan bagian pembahasan yang melengkapi
keseluruhan pembahasan dalam teori bilangan. Fungsi-fungsi khas, misalnya fungsi banyak pembagi, fungsi jumlah pembagi, dan fungsi Euler, juga menjadi sasaran pembahasan yang memperdalam kajian tentang bilangan bulat. Rekaman pertama kali tentang teori bilangan yang dikenal manusia, berupa cara melambangka melambangkan n dan menuliskan bilangan. bilangan. Cara Cara ini disebut dengan dengan sistem numerasi. numerasi. Sistem lambang ng dasar dasar yang disebut numerasi numerasi (numera (numeration tion system) system) mempunyai mempunyai tiga tiga komponen, komponen, yaitu yaitu lamba angka (digit), basis yang yang bermakna bermakna penelomp penelompokan okan,, dan aturan dalam dalam menulisk menuliskan an bilang bilangan an
menggunakan angka dan “member” nilai. Lambang dasar dapat berupa gambar benda (ikan, bunga), gambar pahatan (taji atau paku
∇,
arah
<
) , serta gambar noktah atau titik dan garis.
Basis atau penelompokan antara lain basis 10, basis 20, dan basis 60. Aturan yang digunakan dalam menuliskan dan memberi nilai bilangan antara lain ditulis mendatar (horizontal) dan dituli dituliss tegak tegak (vertic (vertical) al),, nilai nilai bilang bilangan an dihitun dihitung g secara secara aditif atau secara multiplikatif, serta menggunakan nilai tempat (place value, positional value) atau tidak menggunakan nilai tempat, atau menggunakan menggunakan nilai nilai tempat secara semu. semu. Penemuan sistem numerasi merupakan karya besar manusia, seperti halnya penemuan alphabet, karena dengan sistem ini, manusia secara turun-menurun dapat membawa pengetahuan yang dimiliki dimiliki dari dari satu generasi generasi ke generasi-generasi generasi-generasi berikutnya. berikutnya. Masyarakat Masyarakat kuno kuno yang mempunyai mempunyai peninggalan peninggalan rekaman rekaman tentang tentang perjalanan sejarah sejarah bilangan bilangan antara lain lain adalah bangsa bangsa Mesir kuno (ancient (ancient Egyption), Egyption), bangsa Irak kuno kuno (ancient (ancient Babyloni Babylonian), an), dan suku suku Indian Indian Mayan Mayan di Amerika Latin. Bangsa Mesir menggunakan sistem melalui tulisan pada lembaran (barangkali pada kulit kayu atau lembaran daun tertentu) pada sekitar tahun 2850 S.M. Lembar-lembar itu disebut dengan Papyrus. Dua Papyrus terkenal yang ditemukan sebagai peninggalan sejarah bilangan adalah Papyrus Moscow (ditulis sekitar tahun 1850 S.M., dan Papyrus Rhind (ditulis sekitar tahun 1650 S.M.). Lambang-lambang bilangan dalam Papyrus merupakan bagian dari tulisan Mesir kuno yang disebut dengan hieroglyph. Sistem numerasi Mesir kuno mempunyai angka berupa lambang gambar benda, mempunyai basis 10, ditulis mendatar, dan bersifat aditif (nilai suatu bilangan sama dengan jumlah nilai dari masing-masing lambangnya.
keseluruhan pembahasan dalam teori bilangan. Fungsi-fungsi khas, misalnya fungsi banyak pembagi, fungsi jumlah pembagi, dan fungsi Euler, juga menjadi sasaran pembahasan yang memperdalam kajian tentang bilangan bulat. Rekaman pertama kali tentang teori bilangan yang dikenal manusia, berupa cara melambangka melambangkan n dan menuliskan bilangan. bilangan. Cara Cara ini disebut dengan dengan sistem numerasi. numerasi. Sistem lambang ng dasar dasar yang disebut numerasi numerasi (numera (numeration tion system) system) mempunyai mempunyai tiga tiga komponen, komponen, yaitu yaitu lamba angka (digit), basis yang yang bermakna bermakna penelomp penelompokan okan,, dan aturan dalam dalam menulisk menuliskan an bilang bilangan an
menggunakan angka dan “member” nilai. Lambang dasar dapat berupa gambar benda (ikan, bunga), gambar pahatan (taji atau paku
∇,
arah
<
) , serta gambar noktah atau titik dan garis.
Basis atau penelompokan antara lain basis 10, basis 20, dan basis 60. Aturan yang digunakan dalam menuliskan dan memberi nilai bilangan antara lain ditulis mendatar (horizontal) dan dituli dituliss tegak tegak (vertic (vertical) al),, nilai nilai bilang bilangan an dihitun dihitung g secara secara aditif atau secara multiplikatif, serta menggunakan nilai tempat (place value, positional value) atau tidak menggunakan nilai tempat, atau menggunakan menggunakan nilai nilai tempat secara semu. semu. Penemuan sistem numerasi merupakan karya besar manusia, seperti halnya penemuan alphabet, karena dengan sistem ini, manusia secara turun-menurun dapat membawa pengetahuan yang dimiliki dimiliki dari dari satu generasi generasi ke generasi-generasi generasi-generasi berikutnya. berikutnya. Masyarakat Masyarakat kuno kuno yang mempunyai mempunyai peninggalan peninggalan rekaman rekaman tentang tentang perjalanan sejarah sejarah bilangan bilangan antara lain lain adalah bangsa bangsa Mesir kuno (ancient (ancient Egyption), Egyption), bangsa Irak kuno kuno (ancient (ancient Babyloni Babylonian), an), dan suku suku Indian Indian Mayan Mayan di Amerika Latin. Bangsa Mesir menggunakan sistem melalui tulisan pada lembaran (barangkali pada kulit kayu atau lembaran daun tertentu) pada sekitar tahun 2850 S.M. Lembar-lembar itu disebut dengan Papyrus. Dua Papyrus terkenal yang ditemukan sebagai peninggalan sejarah bilangan adalah Papyrus Moscow (ditulis sekitar tahun 1850 S.M., dan Papyrus Rhind (ditulis sekitar tahun 1650 S.M.). Lambang-lambang bilangan dalam Papyrus merupakan bagian dari tulisan Mesir kuno yang disebut dengan hieroglyph. Sistem numerasi Mesir kuno mempunyai angka berupa lambang gambar benda, mempunyai basis 10, ditulis mendatar, dan bersifat aditif (nilai suatu bilangan sama dengan jumlah nilai dari masing-masing lambangnya.
