Analyse des contraintes Auteur : Daghboudj Samir
1
Introduction L’analyse des contraintes est une branche très importante de la mécanique des milieux continus, elle représente une plate forme pour l’étude des structures et leurs comportements vis-à-vis aux sollicitations imposées ;
de ce fait la connaissance et la maitrise des calculs de contraintes est est
indispensable et présente une grande importance.
C’est dans ce cadre que vient cette étude que que nous avons commencé par un premier chapitre consacré à des généralités sur tenseurs de contraintes. contraintes. Dans un second chapitre nous avons présentés et décrits la représentation géométrique des (cercles de Mohr). Mohr). Le troisième chapitre est consacré à des applications et comparaison avec les résultats résultats obtenus par le logiciel RDM6 . Et en fin nous avons a vons terminé notre travail par une conclusion générale.
2
Chapitre 1 Tenseurs de contraintes 1. Introduction : L’étude d’un phénomène quelconque impliquant un mouvement (déformation d’une plaque, écoulement d’un fluide …) est basé sur la résolution d’équations mathématique, décrivant les lois physiques qui régissent ce mouvement, ces équations qui expriment généralement une conservation (de forces, de de moments, d’énergie…) sont appelées les équations de conservation.
2. Forces dans le milieu continu : Considérons un milieu continu, il existe 3 types de forces Forces intérieures Forces massiques (volumique) extérieures Forces surfaciques
2.1 Forces intérieures : Ce sont les forces qui s’exercent s’exercent entre les particules qui forment le milieu, elles sont de même module module et de sens opposé, elles peuvent donc être négligées.
2.2 Forces massiques : Appelés forces de pesanteur, elles sont proportionnelle à la masse de milieu et s’exercent à travers son volume.
d Fv = ρ.g.dΩ r
r
ρ : masse volumique r
g : accélération de la pesanteur dΩ : élément de volume
2.3 Forces surfaciques : Appelée aussi forces de contact, elles s’exercent s’exercent grâce au principe de Cauchy qui qui s’énonce (l’effet du matériau à l’extérieur de (S) sur la matériau à l’intérieur de (S) est équipollent à l’existence d’une r
force dF surfacique qui agit sur chaque élément de (S).
3
r
= τ .ds r
d F
surf
τ : vecteur contrainte
r
dS : élément de surface Donc :
Fsurf = ∫∫ τ.ds r
S
Avec : r
τ = lim
r
dF dS
ds →0
3. Notion de contrainte ; Définition : un solide est en état de contrainte s’il est soumis à l’action de forces extérieures. Considérons un domaine (D), délimitant un solide ( Ω), qui est en équilibre sous à l’action de plusieurs plusieurs forces extérieures Fi . Sous l’action des ses forces le solide est d’un coté en équilibre et de l’autre nous avons naissance de contraintes à l’intérieur de ( Ω). Soit (π) un plan virtuel qui partage (Ω) en deux parties (figure 1),
Figure 1
4
Isolant la partie (2).
Figure 2 r
Appelons dF la résultante des efforts exercés par la partie (1) sur la partie (2) à travers l’élément de r
surface (dS) , soit le rapport
dF dS
, en passant à la limite quand dS → 0 , on obtient la contrainte sur la
section au point M. r
r
T (M , n ) = lim r
dF dS
ds → 0
r r
T( M , n ) est la contrainte au point M sur la facette dS , dont l’orientation est définit par la normale unitaire n extérieure à la facette dS. r
r
r
dF = T (M , n ).dS r
r
Le vecteur contrainte T peut être décomposé en deux composantes :
Figure 3 r r
Projetons T sur la normale n et sur le plan perpendiculaire à cette normale, soit alors
5
r
T = Tn + Tt r
r
r
Tn : Contrainte normale r
T t : Contrainte tangentielle (cisaillement) Notation universelle:
σn : Contrainte normale r
τt : Contrainte tangentielle (cisaillement)
r
4. Tenseur de la contrainte : Concéderons une particule de forme parallélépipédique ( figure 4) 4) de centre M
Figure 4
6
r
r
r
Soient : T1 , T2 , T3 contraintes associées au facettes de normales e1 , e 2 , e3 ,chaque vecteur contrainte peut être décomposé selon les 3 axes ( x1 , x 2 , x 3 ) , d’où les 9 composante des 3 vecteurs r
r
r
r
r
peuvent s’écrire sous la forme :
σ11 T1 σ12 σ13
σ21 T 2 σ22 σ23
r
σ31 T3 σ32 σ33
r
r
Effectuant les produits scalaires :
T2 . e1 = T 2 . e1 . cos ( T 2 , e1) r
r
r
r
r
cos ( T 2 , e1) = r
r
r
σ21 T2
σ21 = T 2 . cos ( T 2 , e1) r
r
T2 = T 2
Or :
et
r
e1 =1 r
Alors : r
σ21 = T 2 . cos ( T 2 , e1) = T 2 . e1 r
De même r
σ22 = T 2 . e 2 r
r
σ11 = T1 . e1 r
r
σ31 = T3 . e1 r
r
σ23 = T 2 . e3 r
r
σ12 = T1 . e 2 r
r
σ32 = T3 . e2 r
r
σ13 = T1 . e3 r
r
σ33 = T3 . e31 r
r
En en déduit la notation indicielle :
σij = Ti . e j r
i : indice indiquant la normale à la facette j : indice indiquant la projection de la contrainte
7
r
r
r
5. Vecteur contrainte sur une facette quelconque : Considérons une particule tétraédrique, appliquons sur elle la loi fondamentale fondamentale de la dynamique
∑ Fexter = m.γ r
r
Considérons le bilan des forces agissant sur l a particule Forces surfaciques Facettes ABC MCA MAB Aires ds n 2 .ds n 3 .ds
MCB
Forces volumiques
n1 .ds
Projection
M x1
T1
− σ21
− σ31
− σ11
Projection
M x2
T2
− σ22
− σ32
− σ12
Projection
M x3
T3
− σ23
− σ33
− σ13
r
r
r
r
ρ. 1 .dv ρ. 2 .dv ρ. 3 .dv
Soit dF1 la résultante suivant x1 de toutes les actions sur la particule alors on peut écrire : r
dF1 = dm. γ 1 r
r
dF1 = T1 .ds − ( σ11. n1 .ds + σ21. n 2 .ds + σ31. n 3 .ds ) r
dF1 = T1 .ds − ( σ11. n1 + σ21 . n 2 + σ31 . n3).ds r
D’autre part :
8
dF1 = ρ.dv. γ 1 Alors :
T1.ds − ( σ11. n1 + σ21 . n 2 + σ31 . n 3) = ρ. γ 1
Si la particule est très petite
dv ds
dv ds
→ 0 alors :
T1 = σ11. n1 + σ21 . n 2 + σ31 . n3 T2 = σ12 . n1 + σ22 . n 2 + σ33 . n3 T1 = σ13 . n1 + σ23 . n 2 + σ33 . n3 D’où :
T1 T T2 T3 r
dépend de
n1 n n2 n 3 r
r
donc : T = σ.n r
r r
σ : application linéaire qui lie T à n
En notation indicielle :
T j = σ ji . n i
σij
: les composantes du tenseur de second ordre dit tenseur cartésien de contrainte attaché à M ou
tenseur de Cauchy.
{T}= [σ].{n} r
r
Soit en écriture matricielle :
T1 σ11 σ21 σ31 n1 T2 = σ12 σ22 σ32.n 2 T1 σ13 σ23 σ33 n 3 La connaissance du tenseur de contrainte σij suffit pour déterminer l’état de contrainte autour d’un point
9
6. Symétrie du tenseur des contraintes : Etudions la rotation d’une particule parallélépipédique de dimensions ( dx1 , dx 2 , dx 3 ) , autour de son centre de de masse P
Ecrivons la loi fondamentale de la dynamique en projetons sur l’axe Px1 ,seules les forces ayant un moment non nul par rapport a Px1 sont représentés. r
r
Considérons les efforts :
± σ23 . dx1 . dx 3 [force élémentaire sur les deux facettes de normale Px 2 ]. r
± σ32 . dx1 . dx 2 [force élémentaire sur les deux facettes de normale Px3 ]. r
Soit M1 le moment résultant de ses forces par rapport à Px1 on écrit donc : r
M1 = σ23 . dx1 . dx 3 .(
dx 2 dx dx dx ) + σ23 . dx1 . dx 3 .( 2 ) − σ32 . dx1 . dx 2 .( 3 ) − σ32 . dx1 . dx 2 .( 3 ) 2 2 2 2
M1 = σ23 . dx1 . dx 2 .dx 3 − σ32 . dx1 . dx 2 .dx 3 = ( σ23 − σ32 ). dx1 . dx 2 .dx 3 Avec :
dx 2 dx 2 et représentent les bras des leviers. 2 2 Appliquant la loi fondamentale de la dynamique de rotation.
∑ M = I1. θ1'' = M1
10
Avec :
I1 =
1 12
m.(dx 22 + dx 32 ) =
1 12
ρ. dx1. dx 2 .dx3 .(dx 22 + dx 32 )
Ce qui donne :
( σ 23 − σ 32 ).dx1.dx 2.dx 3 =
σ 23 − σ 32 =
1 12
1 12
ρ. dx1 . dx 2 .dx 3 .(dx 22 + dx 32 ). θ1''
ρ.(dx 22 + dx 32 ). θ1''
Quand les dimensions dimensions de la particule sont très petites et tendent vers zéro zéro on aura :
σ23 − σ32 = 0 ⇒ σ23 = σ32 Il on est de même pour :
σ12 − σ21 = 0 ⇒ σ12 = σ21 σ13 − σ31 = 0 ⇒ σ13 = σ31 Finalement on peut dire que :
σij = σ ji
D’où la symétrie du tenseur de contrainte et la relation T j = σ ji . n i devient T j = σij . n j Ecriture matricielle :
T1 σ11 σ12 σ13 n1 T2 = σ12 σ22 σ23.n 2 T1 σ13 σ23 σ33 n 3 7. Conséquences de la symétrie symétrie du tenseur de contrainte: La réciprocité des contraintes tangentielle : sur deux facettes quelconques orthogonales les contraintes tangentielles sont égales en module.
11
Les composants σ11 , σ22 , σ33 sont les composantes normales du tenseur de contrainte tandis que les composantes non diagonales σ12 , σ23 , σ13 représentent les contraintes de cisaillement.
8. Contraintes principales et invariants : La symétrie du tenseur de contrainte entraîne qu’il possède 3 vecteurs propres σ1 , σ2 , σ3 réelles, appelés contraintes principales ; en prenants ces 3 vecteurs (directions principales) comme repère le tenseur des contraintes devient diagonal.
r
Repère quelconque ( O , x1 , x 2 , x 3 ) r
r
r
r
repère principal ( O , X1 , X 2 , X3 )
r
σ11 σ12 σ13 [σij]= σ12 σ22 σ23 σ13 σ23 σ33
σ1 0 0 [σ]= 0 σ2 0 0 0 σ3
8. Intérêt des contraintes principales : La connaissance des contraintes principales est d’une grande grande importante et concerne essentiellement le calcul des structures en RDM, un exemple important est celui du critère d’apparition de la rupture
σ r = Max (σ1 , σ2 , σ3 ) Où :
σ1 , σ2 , σ3 : contraintes principales σr
: contrainte de rupture
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9. Interprétation physique : On peut trouver une particule contenant le point (P) et orienté de telle façon que ces facettes ne seront soumise qu’a des contraintes normales (contraintes principales) à l’exclusion de toute les contraintes tangentielles.
10. Recherche des éléments principaux : Les contraintes principales s’obtiennent par résolution de l’équation caractéristique à partir du repère initial quelconque ( O , x1 , x 2 , x 3 ) . r
r
r
Equation caractéristique
det [ σij − λ. δij ] = 0 Soit :
σ11 − λ σ12 σ13 P (λ ) = det σ12 σ22 − λ σ23 = 0 σ13 σ23 σ33 − λ 2 P (λ ) = (σ11 − λ ) [ (σ22 − λ ).(σ33 − λ ) − (σ23 ) ] − σ12 .[ σ12 .(σ33 − λ ) − σ13 . σ23 ] + σ13 .[ σ12 . σ23 − σ13 .(σ22 − λ ) ] = 0
Soit après arrangement : 3
2 2 2 + σ23 + σ13 P (λ ) = − λ + (σ11 + σ22 + σ33 ). λ 2 − ( σ11 . σ22 + σ22 . σ33 + σ11 . σ33 ) − (σ12 ).λ 2 2 2 + (σ11 . σ22 . σ33 + 2. σ12 . σ13 . σ23 − σ11 . σ23 − σ22 . σ13 − σ23 . σ12 ) = 0
On introduisant les grandeurs I1 , I2 ,I3 3
P (λ ) = − λ + I1 . λ 2 − I2 .λ + I3 I1 = 0
13
I1 , I2 ,I3 : sont les invariants du tenseur des contraintes définis par :
I1 = σ11 + σ22 + σ33 = trace (σij ) 2 2 2 I2 = σ11 . σ22 + σ22 . σ33 + σ11 . σ33 ) − (σ12 + σ23 + σ13 )
2 2 2 I3 = σ11 . σ22 . σ33 + 2. σ12 . σ13 . σ23 − σ11 . σ23 − σ22 . σ13 − σ23 . σ12 = det (σij )
r
r
r
Dans le repère principal ( O , X1 , X 2 , X3 ) ses invariants sont donnés par les relations rela tions :
I1 = σ1 + σ2 + σ3 = trace (σ ) I2 = σ1 . σ2 + σ2 . σ3 + σ1 . σ3 I3 = σ1 . σ2 . σ3 = det (σ ) 11. Déviateur des contraintes : On peut décomposer le tenseur de contrainte en la somme de deux tenseurs : Un tenseur sphérique Un tenseur déviatorique
σij = σ. δij + Sij σ σ=
: Partie sphérique
σ11 + σ22 + σ33 σ1 + σ2 + σ3 I1 = = 3 3 3
Sij : Partie déviatorique 1 Sij = σij − . σkk . δij 3 2 σ11 − σ22 − σ33 1 S11 = σ11 − (σ11 + σ22 + σ33) = 3 3 2 σ22 − σ11 − σ33 1 S22 = σ22 − (σ11 + σ22 + σ33) = 3 3 2 σ33 − σ11 − σ22 1 S33 = σ33 − (σ11 + σ22 + σ33) = 3 3 S12 = σ12
S13 = σ13
S23 = σ23
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Finalement l’expression du tenseur déviatorique est :
2 σ11 − σ22 − σ33 3 [Sij]= σ12 σ13
σ23 2 σ33 − σ11 − σ22 3
σ12
σ13
2 σ22 − σ11 − σ33 3
σ23
Pour le tenseur déviatorique les invariants J 1 ,J2 ,J 3 sont définit de la même manière que les invariantes du tenseur des contraintes :
J1 = trace (Sij ) = S11 + S22 + S33 = S1 + S2 + S3 = 0 2 2 2 J 2 = S11 .S22 + S22 .S33 + S11 . S33 ) − (S12 + S23 + S13 )
J3 = det (Sij ) = S1.S 2 .S3 Remarque : Les invariants sont utilisés en plasticité des solides (Critère de van Mises).
12 .Tenseur de contrainte particulier : Etat de contrainte uniaxial : ( traction ou compression simple ) L’état de contraintes en un point M est dit dit uniaxial si le tenseur des contraintes se réduit à :
σ 0 0 [σij]= 0 0 0 0 0 0
r
T ( M , n ) = σ . e1 r
r
Cet état de contraintes est appelé état de traction simple simple si σ est positif et état de compression simple si σ est négatif. Si σ
〉 0 ⇒ traction
Si σ
〈0 ⇒
compression
Etat plan de contrainte : En un point M, l'état de contrainte est plan, si le tenseur des contraintes est de la forme :
σ11 σ12 0 [σij]= σ12 σ22 0 0 0 0
15
Dans ce cas les contraintes évoluent dans le plan ( O , x1 , x 2 ) . r
r
Si de plus nous avons σ33 ≠ 0 , on parle de pseudo état plan de contrainte.
σ11 σ12 0 [σij]= σ12 σ22 0 0 0 σ33 Etat de contrainte isotrope L'état de contraintes en un point M est isotrope si, quelque soit la facette, nous avons r
sont égales et le tenseur de contrainte à la T ( M , n ) = σ .n , ainsi les trois contraintes principales sont r
r
forme suivante quelque soit le repère:
σ 0 0 [σ]= 0 σ 0 0 0 σ
Si σ
〉0 ⇒
tension et si σ
〈0 ⇒
compression
Etat de cisaillement simple L'état de contraintes en M est un état de cisaillement simple par rapport aux deux directions x1 et x 2 le tenseur des contraintes se réduit à : r
0 τ 0 [σij]= τ 0 0 0 0 0
r
pour ce cas τ = σ12
13. Mesure de contrainte : Les contraintes sont des forces par unité de surface (pression), l’unité de mesure des contraintes dans 2 le système système international ( SI ) est le Pascal 1 Pa = 1 N/m dont le multiple est le méga pascal 6
6
2
1 MPa = 10 Pa = 10 N/mm
.
16
Chapitre 2
Représentation géométrique des (cercle de Mohr) 1. Introduction : La représentation de Mohr consiste à présenter présenter l’état de contraintes tridimensionnelle d’un point P sur un graphe bidimensionnelle appelé plan de Mohr ou encore, plan des contraintes normales σN et tangentielles τt . En développant ce si, Les axes de cordonnées choisis choisis sont les axes principaux dont les contraintes principales sont des valeurs distinctes distinctes prises par convention dans l’ordre l’ordre :
σ1 〉 σ2 〉 σ3 Soit un point P d’un milieu continu en état de contrainte (figure) la composante σN du vecteur r r
contrainte T(P , n ) est donnée par le relation : r
σN = T(P , n ).n r
r
r
Pour chaque facette de normale unitaire n on obtient 1 un point M extrémité du vecteur contrainte r r
T( P , n ) , on se propose de chercher le lieu géométrique de ce point M , si on fait varier cette facette dans le plan de Mohr . (O , σN , τt ) r
r
Sachant que :
⇒ T 2 = σ2N + τ2t
r
T = σN + τt r
r
En écriture indicielle l’expression de σN devient : r
σ N = T(P , n ).n = Ti . n i = n i . Ti = ni . σij. n j r
r
17
Alors :
σ N = ni . σij. n j Soit alors :
σN = {n1 n 2
σ11 σ12 σ13 n1 n 3} σ12 σ22 σ23.n 2 σ13 σ23 σ33 n 3
En développant cette relation on obtient dans le repère quelconque ( O , x1 , x 2 , x 3 ) : r
2
2
r
r
2
σN = σ11. n1 + σ22 . n 2 + σ33 . n3 + 2. σ12 . n1. n 2 + 2. σ13 . n1 . n 3 + 2. σ23 . n 2 . n 3 r
r
r
Raisonnant dans le repère principal ( O , X1 , X 2 , X3 ) où : 2
2
2
σN = σ1 . n1 + σ2 . n 2 + σ3 . n 3 Car σij = 0 pour i ≠ j
2 2 2 T = σ N + τt = T.T = Ti . Ti = (σij. n j). (σij. n j ) = ( σij )².( n j )²
Alors : 2
2
2
2
2
σ N + τt = σ1 . n1 + σ2 . n 2 + σ3 . n3 Sachant que la normale unitaire est définit par : 2 2 2 n1 + n 2 + n 3 = 1
Alors :
σ1. n12 + σ2 . n 22 + σ3 . n32 = σN 2 2 2 2 2 2 2 2 σ1 . n1 + σ2 . n 2 + σ3 . n 3 = σN + τt 2 2 2 n1 + n 2 + n 3 = 1 Ou bien sous la forme matricielle :
σ12 σ22 σ32 n12 σ2N + τ2t . 2 = σ σ σ σ n 2 1 2 3 N 1 1 1 n 32 1
18
La résolution de ce système d’équation par rapport à n12 , n 22 , n 32 , on trouve un résultat qui peut nous r r
aider à trouver le lien géométrique du point M extrémité du vecteur contrainte T(P , n ) . On trouve en utilisant la méthode de Cramer :
σ2N + τ2t σ22 σ32 σ2 σ3 σN 2 2 1 1 1 σN + τt − σ N ( σ2 + σ3 ) + σ2 . σ3 2 = n1 = ( σ1 − σ2 ).( σ1 − σ3 ) σ12 σ22 σ32 σ σ σ 1 2 3 1 1 1 Par analogie on obtient : 2 2
n =
2 2 σN + τt − σN ( σ1 + σ3 ) + σ1. σ3 ( σ2 − σ1 ).( σ2 − σ3 )
2
2
σN + τt − σN ( σ1 + σ2 ) + σ1. σ2 n = ( σ3 − σ1 ).( σ3 − σ2 ) 2 3
Posons : 2 2 2 σN + τt − σN ( σ2 + σ3 ) + σ2 . σ3 = K1 . n1
avec : K1 = ( σ1 − σ2 ).( σ1 − σ3 )
Cette équation est l’équation d’un cercle de centre C1 =
σ2 + σ3 2
et de rayon R1 =
σ2 − σ3
De même on aura : 2
2
2
σN + τt − σ N ( σ1 + σ3 ) + σ1. σ3 = K 2 . n 2 C’est l’équation d’un cercle de centre C2 =
avec : K 2 = ( σ2 − σ1 ).( σ2 − σ3 )
σ1 + σ3 2
et de rayon R 2 =
σ1 − σ3 2
Et : 2
2
2
σN + τt − σN ( σ1 + σ2 ) + σ1. σ2 = K3 . n 3 C’est l’équation d’un cercle de centre C3 =
avec : K 2 = ( σ3 − σ1 ).( σ3 − σ2 )
σ1 + σ2 2
et de rayon R 2 =
19
σ1 − σ2 2
2
Discutions des cas : Sachant que : 2 2 2 n1 , n 2 , n 3
〉0
et σ1
〉 σ2 〉 σ3
Nous avons : 2 2 K1 = ( σ1 − σ2 ).( σ1 − σ3 ) 〉 0 ce qui implique que : σ N + τt − σN ( σ2 + σ3 ) + σ2 . σ3
〉0
et cela
signifie qu’on est à l’extérieure du cercle C 1. 2 2 K 2 = ( σ2 − σ1 ).( σ2 − σ3 ) 〈 0 ce qui implique que : σN + τt − σ N ( σ1 + σ3 ) + σ1 . σ3 〈 0 ce qui
revient à dire qu’on se trouve à l’intérieure du cercle C2. 2 2 K 2 = ( σ3 − σ1 ).( σ3 − σ2 ) 〉 0 ce qui implique que : σ N + τt − σN ( σ1 + σ2 ) + σ1. σ2 〉 0 et cela
signifie qu’on est à l’extérieure du cercle C 3.
Conclusion r
Lorsqu’on fait varier la facette de normale unitaire n r r
vecteur contrainte T(P , n ) , varie dans la zone en gris.
20
le lieu géométrique du point M , extrémité du
Remarque : Si σ2 = σ3 le tri cercle de Mohr se réduit à un seul seul cercle, et le lieu géométrique du point M est le périmètre de ce cercle.
Si
Mohr ainsi que le lieu géométrique du point σ1 = σ2 = σ3 le tri cercle de Mohr
M se réduit à un point.
21
Chapitre 3 Applications et comparaison comparaison avec les résultats résultats obtenus par le logiciel RDM6 Exemple N ° 1 En un point (M) d’un milieu continu l’état de contrainte est donné donné par le tenseur suivant :
120 0 0 [σij (M)]= 0 40 10 0 10 40 On se propose de calculer manuellement puis à l’aide du module rosette (RDM6) : 1) les contraintes principales σ1 , σ2 , σ3 . 2) les contraintes totale T, normale σN et tangentielle τt , suivant une facette de normale unitaire
n= r
1 3
2
. e1 + r
3
. e2 r
Calcul manuel : 1) contraintes principales :
det [ σij − λ. δij ] = 0 Soit :
120 − λ 0 det 0
Alors :
λ1 =120 40 − λ 10 = 0 ⇒ (120 − λ ).[ (40 − λ )² − 10² ] = 0 ⇒ λ 2 = 30 λ3 = 50 10 40 − λ 0
0
σ1 =120 σ2 = 50 σ3 = 30
2) Contrainte totale suivant la normale n : r
T1 120 0 0 40 10 . T i = σ ij. n j ⇒ T 2 = 0 T 0 10 40 3 T = T12 + T 22 + T32
T1 = 40 3 = 69,28 3 2 40 = = ⇒ 6 32 . 65 T 2 3 3 0 T 3 = 10 6 = 8.16 3
1
= 77,02
22
Contrainte normale σN
σ N = n i . σij. n j = (
1 3
,
2 3
,0 ) . (40 3 ,
40 3
6,
10 3
6 ) = 66.66
Contrainte tangentielle τt ,
τ = T 2 − σ2N
= 38,58
Calcul avec RDM6 : 1 Etape : Saisie des composantes du tenseur des contraintes.
Résultats sur le fichier texte généré
23
2 Etape : Lancement du calcul est obtention des valeurs des contraintes principales
24
3 Etape : Saisie des composantes du vecteur normale unitaire
25
4 Etape : Lancement du calcul est obtention des valeurs des contraintes normale et tangentielle
5 Etape : Génération d’un fichier texte qui récapitule tous les résultats
26
Génération d’un fichier texte qui récapitule tous les résultats
Conclusion : On remarque une grande concordance c oncordance entre les résultats obtenus et ceux données par le module Rosette du logiciel RDM6.
27
Exemple N ° 2 En un point (M) d’un milieu continu l’état de contrainte est donné par le tenseur suivant :
15 0 5 [σ ij ( M )]= 0 15 5 5 5 15 On se propose de calculer manuellement puis à l’aide du module rosette (RDM6) : 1) les contraintes principales σ1 , σ2 , σ3 . 2) les contraintes totale T, normale σN et tangentielle τt , suivant une facette de normale unitaire
n= r
2 2
.e 1 + r
2 2
r
.e 3
Calcul manuel : Contraintes principales :
det [ σij − λ. δij ] = 0 0 5 15 − λ 0 =0 dét 15 − λ 5 5 5 15 − λ
⇒ (15 − λ ) .[(15 − λ )² − 25 ] + 5[ − 5. (15 − λ ) ] = 0
(15 − λ ) .[(15 − λ )² − 25 ] + 5[ − 5. (15 − λ ) ] = 0 2
(15 − λ ) .( λ − 30 λ +175 ) = 0
2
⇒ (15 − λ ) .( λ − 30 λ +175 ) = 0
15 − λ = 0 ⇒ λ 1 =15 ⇒ 2 λ − 30 λ +175 = 0 ⇒ λ 2 =15 − 50 , λ 3 =15 + 50
Alors :
σ 1 = 15 + 50 = 22,07 σ 21 = 15 σ 3 = 15 − 50 = 7,92 r
Contrainte totale suivant la normale n :
2 T 1 =10 2 =14,14 T 1 15 0 5 2 T i =σ ij. n j ⇒ T 2 = 0 15 5 . 0 ⇒ T 2 = 2.5 2 = 3,53 5 5 15 2 =10 2 =14,14 T 3 T 3 2 T =
412,34 = 20,30
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Contrainte normale σN
σ N = ni .σ ij. n j = (
2 2
, 0,
2 2
) . (10 2 , 2,5 2 , 10 2 ) = 20
Contrainte tangentielle τt , τ =
2
T
2
− σ N
= 3,47
Calcul avec RDM6 : Saisie des composantes composantes du tenseur des contraintes, lancement du calcul, est obtention des valeurs valeurs des contraintes principales.
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Saisie des composantes de la normale unitaire, lancement du calcul, est obtention des valeurs des contraintes principales. Totale, normale et tangentielle.
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Génération d’un fichier texte qui récapitule tous les résultats
On peut remarquer que les résultats obtenu par le logiciel sont pratiquement les mêmes que celles tirés à partir du calcul manuel.
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